18 bài tập tọa độ phẳng có lời giải – phần đường Conic – Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 22 TĐP 03: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): xy 22 1 25 16 . A, B là các điểm trên (E) sao cho: AF BF 12 8 , với FF 12 , là các tiêu điểm. Tính AF BF 21 . 1 AF AF a 2 2 và BF BF a 12 2 12 AF AF BF BF a 12 4 20 Mà 1 AF BF 2 8 2 AF BF 1 12 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm FF 12 ( 1;1), (5;1) và tâm sai e 0,6 . Giả sử M x y ( ; ) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là c a e 3 5 0,6 nên ta có: MF MF x y x y 2 2 2 2 12 10 ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) 10 xy 22 ( 2) ( 1) 1 25 16 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E): xy 22 1 41 . Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. AB 2 4 3 2 4 3 ; , ; 7 7 7 7 Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): xy 22 1 100 25 . Tìm các điểm M (E) sao cho F MF 0 12 120 (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)). Ta có: ab 10, 5 c 53 . Gọi M(x; y) (E) MF x MF x 12 33 10 , 10 22 . F F MF MF MF MF F MF 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . .cos x x x x 22 2 3 3 3 3 1 10 3 10 10 2 10 10 2 2 2 2 2 x = 0 (y= 5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5). Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm FF 12 ( 3;0); ( 3;0) và đi qua điểm A 1 3; 2 . Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu thức: P F M F M OM F M F M 2 2 2 1 2 1 2 –3 – . . (E): xy a b a b 22 2 2 2 2 31 11 4 , ab 22 3 xy 22 1 41 M M M M M P a ex a ex x y a e x 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( – ) –2( )–( ) 1 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 23 Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): xy 22 4 16 64 . Gọi F2 là tiêu điểm bên phải của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F 2 và tới đường thẳng x 8 : 3 có giá trị không đổi. Ta có: F 2 ( 12;0) . Gọi M x y E 00 ( ; ) ( ) x MF a ex 0 20 83 2 , x d M x 0 0 83 8 ( , ) 33 (vì x 0 44 ) MF dM 2 3 ( , ) 2 (không đổi). Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): xy 22 5 16 80 và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích MAB. Phương trình đường thẳng (AB): xy 2 3 0 và AB 25 Gọi M x y E x y 22 0 0 0 0 ( ; ) ( ) 5 16 80. Ta có: x y x y d M AB 0 0 0 0 2 3 2 3 ( ; ) 1 4 5 Diện tích MAB: S AB d M AB x y 00 1 . . ( ; ) 2 3 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số xy 00 11 ; , ( 5 ; 4 ) 2 5 có: x y x y 2 22 0 0 0 0 1 1 1 1 9 . 5 .4 5 16 .80 36 2 5 4 20 5 x y x y x y x y 0 0 0 0 0 0 0 0 2 6 6 2 6 3 2 3 9 2 3 9 xy xy xy xy xy 00 00 00 00 54 58 11 max 2 3 9 26 2 5 2 3 9 x y 0 0 8 3 5 3 Vậy, MAB S khi M 85 max 9 ; 33 . Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp xy E 22 ( ) : 1 94 và hai điểm A(3;–2), B(–3; 2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. PT đường thẳng AB: xy 2 3 0 . Gọi C(x; y) (E), với xy 0, 0 xy 22 1 94 . ABC xy S AB d C AB x y 1 85 85 . ( , ) 2 3 3. 2 13 3 2 2 13 xy 22 85 170 3 2 3 13 9 4 13 Dấu "=" xảy ra xy x xy y 22 2 1 3 94 2 2 32 . Vậy C 32 ;2 2 . PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 24 Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip xy E 22 ( ) : 1 25 9 và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt elip tại hai điểm AB , sao cho M là trung điểm của AB . Nhận xét rằng M Ox nên đường thẳng x 1 không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT. Xét đường thẳng qua M(1; 1) có PT: y k x ( 1) 1 . Toạ độ các giao điểm AB , của và E () là nghiệm của hệ: xy y k x 22 1 (1) 25 9 ( 1) 1 (2) k x k k x k k 2 2 2 (25 9) 50 ( 1) 25( 2 9) 0 (3) PT (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt xx 12 , với mọi k . Theo Viet: kk xx k 12 2 50 ( 1) 25 9 . Do đó M là trung điểm của AB M kk x x x k k 12 2 50 ( 1) 9 22 25 25 9 . Vậy PT đường thẳng : xy 9 25 34 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với xy E 22 ( ) : 1 94 , M(1;1) ĐS: xy : 4 9 13 0 Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): xy 22 1 82 . Tìm điểm M (E) sao cho M có toạ độ nguyên. Trước hết ta có nhận xét: Nếu điểm x y E ( ; ) ( ) thì các điểm x y x y x y ( ; ),( ; ),( ; ) cũng thuộc (E). Do đó ta chỉ cần xét điểm M x y E 00 ( ; ) ( ) với x y x y Z 0 0 0 0 , 0; , . Ta có: xy 22 00 1 82 y 2 0 2 y 0 02 y x loaïi yx 00 00 0 2 2 ( ) 12 M(2;1). Vậy các điểm thoả YCBT là: (2;1),( 2;1),(2; 1),( 2; 1) . Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): xy 22 1 82 . Tìm điểm M (E) sao cho tổng hai toạ độ của M có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Giả sử M x y E ( ; ) ( ) xy 22 1 82 . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có: xy xy 22 2 ( ) (8 2) 10 82 xy 10 10 . + xy 10 . Dấu "=" xảy ra xy xy 82 10 M 4 10 10 ; 55 . + xy 10 . Dấu "=" xảy ra xy xy 82 10 M 4 10 10 ; 55 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 25 Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): xy 22 1 93 và điểm A(3;0) . Tìm trên (E) các điểm B, C sao cho B, C đối xứng qua trục Ox và ABC là tam giác đều. Không mất tính tổng quát, giả sử B x y C x y 0 0 0 0 ( ; ), ( ; ) với y 0 0 . Ta có: xy xy 22 22 00 00 1 3 9 93 . BC y 0 2 và BC x x 0 ( ) : d A BC x 0 ( ,( )) 3 Do A Ox , B và C đối xứng qua Ox nên ABC cân tâị A Suy ra: ABC đều d A BC BC 3 ( ,( )) 2 xy 00 33 yx 22 00 3 ( 3) x xx x 22 0 00 0 0 ( 3) 9 3 . + Với x 0 0 y 0 3 BC (0; 3), (0; 3) . + Với x 0 3 y 0 0 (loại). Vậy: BC (0; 3), (0; 3) . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): xy 22 1 94 và các đường thẳng d mx ny 1 :0 , d nx+my 2 :0 , với mn 22 0 . Gọi M, N là các giao điểm của d 1 với (E), P, Q là các giao điểm của d 2 với (E). Tìm điều kiện đối với mn , để diện tích tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất. PTTS của dd 12 , là: x nt d y mt 1 1 1 : , x mt d y nt 2 2 2 : . + M, N là các giao điểm của d 1 và (E) n m n m MN m n m n m n m n 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 ; , ; 9 4 9 4 9 4 9 4 + P, Q là các giao điểm của d 2 và (E) m n m n PQ m n m n m n m n 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 ; , ; 4 9 4 9 4 9 4 9 + Ta có: MN PQ tại trung điểm O của mỗi đường nên MPNQ là hình thoi. MPNQ S S MN PQ OM OP 1 . 2 . 2 = M M P P mn x y x y m n m n 22 2 2 2 2 2 2 2 2 72( ) 2. (9 4 )(4 9 ) Áp dụng BĐT Cô-si: m n m n m n m n m n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (9 4 ) (4 9 ) 13 (9 4 )(4 9 ) ( ) 22 mn S mn 22 22 72( ) 144 13 13 () 2 . Dấu "=" xảy ra m n m n m n 2 2 2 2 9 4 4 9 Vậy: S 144 min 13 khi mn . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: xy 22 1 16 9 . PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 26 Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). (H) có các tiêu điểm FF 12 ( 5;0); (5;0) . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3), Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: xy ab 22 22 1 ( với a > b) (E) cũng có hai tiêu điểm F F a b 2 2 2 12 ( 5;0); (5;0) 5 (1) M E a b a b 2 2 2 2 (4;3) ( ) 9 16 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ: a b a a b a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 40 9 16 15 . Vậy (E): xy 22 1 40 15 Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình xy 22 1 94 . Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM (d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó (H) có một tiêu điểm F ( 13;0) . Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 . Khi đó: 9a 2 – 4b 2 = c 2 (*) Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x 13) – a y = 0 Toạ độ của M là nghiệm của hệ: ax by c bx ay b 13 Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x 2 + y 2 = 9 Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): yx 2 và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ hai điểm M, N (P) sao cho IM IN 4 . Gọi M x y N x y 0 0 1 1 ( ; ), ( ; ) là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có: x y x y 22 0 0 1 1 ; IM x y y y 2 0 0 0 0 ( ; 2) ( ; 2) ; IN y y y y IN y y 22 1 1 1 1 1 1 ( ; 2) ( ; 2); 4 (4 ; 4 8) Theo giả thiết: IM IN 4 , suy ra: yy yy 22 01 01 4 2 4 8 y x y x y x y x 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1; 2; 4 3 9; 6; 36 Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M N (4;–2), (1;1) hay M N (36;6), (9;3) . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): yx 2 8 . Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x x 12 , . Chứng minh: AB = xx 12 4 . Theo công thức tính bk qua tiêu: FA x 1 2 , FB x 2 2 AB FA FB x x 12 4 . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): xy 22 55 , Parabol P x y 2 ( ) : 10 . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng xy ( ) : 3 6 0 , đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P). Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2 Tâm I nên: I b b (6 3 ; ) . Ta có: b b b bb b b b 4 3 1 6 3 2 4 3 2 (C): xy 22 ( 3) ( 1) 1 hoặc (C): xy 22 ( 2) 4
