30 tính chất hình học Oxy điển hình – Trần Văn Tài – Hứa Lâm Phong

SOI KÍNH LÚP HÌNH HỌC PHẲNG OXY TRẦN VĂN TÀI – HỨA LÂM PHONG ( GV CHUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA) - 30 TÍNH CHẤT HÌNH PHẲNG THƯỜNG GẶP - PHÂN DẠNG BÀI TOÁN HÌNH PHẲNG - TRÍCH ĐỀ THI THỬ MỚI NHẤT 2016 - ĐÁP ÁN CHI TIẾT ẤN PHẨM NĂM 2016 FULL & FREE NHÀ XUẤT BẢN VÌ CỘNG ĐỒNG FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 3 A- CHỨNG MINH MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TAM GIÁC – TỨ GIÁC – ĐƢỜNG TRÒN. Để giúp bạn đọc rèn luyện thêm cho mình những kỹ năng trong quá trình chứng minh một số tính chất hình học, tác giả bổ sung thêm vào chuyên đề mục sau. Ngoài cách chứng minh đã nêu có thể có thêm những cách chứng minh khác nữa. Điều này tùy thuộc vào khả năng tư duy và lĩnh hội cũng như sở trường của mỗi người. Tựu trung lại thì hướng chứng minh vẫn xuất phát từ 4 con đường chính: Một là, sử dụng “các tính chất hình học thuần túy của THCS”. Hai là, sử dụng phương pháp “véctơ thuần túy” (lớp 10). Ba là, sử dụng phương pháp tọa độ hóa kết hợp “chuẩn hóa số liệu”. Bốn là, sử dụng phương pháp tổng hợp (kết hợp các cách trên). Tính chất 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , vẽ AH BC  tại H . Đường tròn C; AC cắt đoạn thẳng BH tại D. CMR: AD là tia phân giác của góc BAH. Hình vẽ AD là phân giác góc BAH dpcm BAD DAH     Hướng dẫn chứng minh: Do CA CD CAD  cân tại C. CAD ADC Mặt khác, ta lại có: CAD BAD gt ADC DAH gt BAD DAH  0 0 90 90 AD là phân giác góc BAH Tính chất 2: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Gọi I là trung điểm cạnh AC . Qua I kẻ đường thẳng d 1 vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng d 2 vuông góc AC , d 1 cắt d 2 tại E. CMR: AE BI  . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi M IE AB.  Do CI MB I MI BC    là trực tâm của BMC  BI MC  1 Vì IA IC A IM ICE c g c   IM IE Do đó AMCE là hình bình hành AE / / MC 2 Từ , BI AE  12 Tính chất 3: Cho đường tròn O; R và AB là dây cung của đường tròn đó AB R 2 , M là điểm thuộc cung lớn AB M A,M B  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB . CMR: AMH OBM . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Vẽ đường kính MC của đường tròn O MBC 0 90 Xét AHM  và MBC  có: ● HAM MCB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM ). ● MBC AHM cmt 0 90 AHM CMB g g   FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 4 Kéo dài MO căt O tại điểm thứ 2 là C dpcm AHM      đồng dạng CMB  AMH CMB BMO Mà OMB  cân tại O OB OM R BMO OBM AMH OBM dpcm Tính chất 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O , gọi M là giao điểm AB và CD . Khi đó CMR: MB.MA MC.MD Hình vẽ Đây cũng là địng nghĩa phương tích của 1 điểm đối với một đường tròn. O MB.MA MC.MD M R  2 Hướng dẫn chứng minh: Ta có ABCD là tứ giác nội tiếp CAB DBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC ) Xét ACM  và DMB  có CAB DBC cmt AMD : chung  ACM DBM g g AM CM DM BM AM.BM CM.DM dpcm   Tính chất 5: Cho tứ giác ABCD , khi đó AC BD AB CD BC AD  2 2 2 2 (định lý 4 điểm) Hình vẽ Từ kết quả của tính chất trên, ta có thể sử dụng để chứng minh 2 đường thẳng vuông góc. Hướng dẫn chứng minh: Dựng hệ trục Hxy như hình vẽ. Đặt A a; ,C c; ,B ;b 0 0 0 . Giả sử: D m;n Ta có AB a b 2 2 2 CD c cm m n 2 2 2 2 2 AD a am m n 2 2 2 2 2 BC b c 2 2 2 Từ 4 đẳng thức trên ta có: AB CD AD BC cm am 2 2 2 2 Vì a c m D ;n  00 trục tung AC BD  FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 5 Tính chất 6: Cho tam giác ABC AB AC có ba góc nhọn và hai đường cao BD,CE . Vẽ đường tròn tâm B bán kính BD cắt đoạn thẳng CE tại K. Qua D vẽ đường thẳng BC cắt đường thẳng BA tại M , cắt EC tại I . CMR: MK BK  . Hình vẽ dpcm BEK      đồng dạng BKM  BEK BKM 0 90 Do đó ta cần chứng minh BE.BM BK 2 Hướng dẫn chứng minh: Gọi H DI BC  . Ta có: ● BEC BHM gt EBC chung  0 90 BEC BHM g g BE.BM BH.BC   1 BCD  vuông tại D,DH là đường cao BH.BC BD 2 2 Mà BD BK R BE.BM BK 2 ● BE BK cmt BK BM EBK chung  BEK  đồng dạng BKM g g  BEK BKM 0 90 MK BK  . Tính chất 7: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc ABC cắt đường trung trực của đoạn thẳng AC ở D. CMR: DBC  vuông. Hình vẽ Ta sử dụng tính chất đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông. Hướng dẫn chứng minh: Gọi E là trung điểm BC , do ABC  vuông tại A EA EC Suy ra E thuộc đường trung trực cạnh AC DE AC  Mà AB AC AB / /DE  BDE ABD DBE DBE  cân tại BC D ED BE 2 DBC  vuông tại D. Tính chất 8: Cho điểm A ở ngoài đường tròn O . Vẽ cát tuyến ABC, ADE của đường tròn O . Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . CMR: Ax / /DE. Hình vẽ Để chứng minh song song, ta sử dụng tính chất so le trong của 2 góc bằng nhau, đồng thời sử dụng các mối liên hệ của các góc trong đường tròn, tứ Hướng dẫn chứng minh: Ta có xAB ADB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) Mà ADB BCE (do tứ giác BCED nội tiếp có góc ngoài bằng góc đối trong) xAB BCE (vị trí so le trong) Ax / /CE . FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 6 giác nội tiếp. Tính chất 9: Cho tam giác ABC nhọn AB AC , dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD vuông cân tại A , tam giác ACE vuông cân tại A . Gọi I là giao điểm BE và CD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,DE. Chứng minh rằng AI / /MN. Hình vẽ Gọi F,K lần lượt là trung điểm BD,EC . Hướng dẫn chứng minh: Ta có AD AB gt , AE AC gt DAC BAE  ABE DAC c g c ABE ADC   Từ đó suy ra BE CD  . Dễ dàng chứng minh FNKM là hình thoi FK MN  Ta có AB AF IF EC AK IK  2 2 FK thuộc trung trực AI FK AI  Do đó MN / /AI Tính chất 10: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, d 1 là đường phân giác trong góc HAC . Đường phân giác trong góc HBC cắt cạnh AD,d , AC 1 lần lượt tại M,N,I . CMR: AI MN  . Hình vẽ Điều phải chứng minh AMN  cân tại A AMN ANM Để chứng minh hai góc trên bằng nhau ta có thể sử dụng kỹ thuật tách góc. Hướng dẫn chứng minh: Gọi D AH BC  và E BH AC  Ta có o BDH BEC 90 BHD NCB Lại có AMN BHM HBM HBM NBC BM phan giac NCB NBC ANM  ANM AMN AMN  cân tại A Mà AI là đường phân giác MAN AI MN  Lưu ý: ACx ACB BAC ABC 0 180 Tính chất 11: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , vẽ đường tròn tâm H bán kính HA . D là FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 7 điểm trên đường H . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DB,DC. CMR: DMHN là tứ giác nội tiếp. Hình vẽ Cần chứng minh là MND MHD Kéo dài HD cắt H để tạo đường kính và đồng thời khai thác các giả thiết của các trung điểm. Hướng dẫn chứng minh: Gọi E là giao điểm của DH với đường tròn H Ta có BH.BC AH DH.HE 2 (do ABC  vuông tại A ) BH.BC DH.HE Lại có BHE DHC (đối đỉnh) HBE HDC c g c   BEH DCH MHD BED (do MH / /EB ) Tương tự ta có MND DCH Do đó MND MHD tứ giác DMHN nội tiếp. Tính chất 12: Cho hình vuông ABCD , vẽ đường tròn O đường kính AB và đường tròn tâm D bán kính DC . Gọi E là giao điểm của hai đường tròn trên EA  . Tia BE cắt CD tại M. CMR M là trung điểm CD. Hình vẽ Cần chú ý đến tính chất hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A,E thì OD AE  Hướng dẫn chứng minh: Ta có EAB  vuông tại E . Do A,E là giao điểm của hai đường tròn AE OD  Mà BM AE OD / /BM  , lại có OB / /DM nên OBMD là hình bình hành CB DM OB 2 M là trung điểm của CD Tính chất 13: Cho tam giác ABC , về phía ngoài của tam giác ABC , vẽ các tam giác đều ABD, ACE . F là giao điểm của đường thẳng qua D song song với AE và đường thẳng qua E song song với AD. CMR FBC  là tam giác đều. Hình vẽ FBC  đều FB FC BFC  0 1 60 Để chứng minh FB FC , ta chứng minh DFB FCE   Để chứng minh BFC 0 60 , ta khai Hướng dẫn chứng minh: Gọi M AE CF  Ta có DF / /AE AEFD AD / /EF  là hình bình hành ADF AEF FDB FEC Lại có DB DA EF,AC AE DF DBF FEC BF CF   và BFD FCE Mặt khác, FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 8 thác sự song song AE / / DF , đồng thời phân tích góc AMC, DFC AMC DFC AE / /DF AMC MEC FCE DFC BFC BFD  0 60 Suy ra BF FC cmt BFC FBC        0 60 đều. Tính chất 14: Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn O . M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC , vẽ BD OA  tại D , AE BC  tại F . CMR: MN DE.  Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Dựng đường kính AF của đường tròn O Ta có ADBE là tứ giác nội tiếp (do ADB AEB ) ABC EDN mà ABC AFC (do ACFB nội tiếp) EDN AFC DE / /AF Mà AF AC DE MN MN / /AC    Tính chất 15: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Gọi M là trung điểm AH , D là giao điểm của BM và đường trung trực của AC. CMR: DBC  vuông. Hình vẽ Gọi P,N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Hướng dẫn chứng minh: Khi đó, từ tính chất đường trung bình M,N,P thẳng hàng và do đó BH PM 2 , HC MN 2 Từ đó, áp dụng định lý Thales với AB / /DN (do cùng vuông góc AC ) Suy ra BH PM BM MH / /CD HC MN MD Lại có HM BC CD BC   DBC  vuông tại C Tính chất 16: Cho hình vuông ABCD . Trên tia đối của BA , lấy một điểm E; trên tia đối của CB , lấy một điểm F sao cho EA FC. CMR: FED  vuông cân. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Xét AB CD gt CF EA gt EAD FCD  0 90 EAD CFD c g c ED DF DEF EFD    EDF  vuông cân. FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 9 Tính chất 17: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. 2 CD AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên đường chéo AC, M là trung điểm HC. Chứng minh rằng BM MD.  Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi K là trung điểm DH suy ra KM là đường trung bình HCD  Suy ra KM AB,KM / /AB (do 2 AB / /CD,DC AB ) Nên ABMK là hình bình hành BM / /AK. Lại có KM AD,DH AM  nên K là trực tâm ADM  . AK DM DM BM do AK / /BM   Tính chất 18: Cho hình thoi ABCD có 60 o BAC và E là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi E là hình chiếu vuông góc của A lên BC . Chứng minh rằng AEF là tam giác đều. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có 00 180 60 FBA ABC Và đồng thời 0 60 ABE Suy ra AB là tia phân giác của góc FBE . Do FA BF,AE BE  nên theo tính chất phân giác ta có AF AE AEF  cân tại A. Lại có góc 0 60 FAE BAE FAB AEF  là tam giác đều. Tính chất 19: Cho hình bình hành ABCD . Gọi E,F là các điểm nằm trên cạnh AB và BC sao cho FA EC. Gọi I là giao điểm của FA và EC. Chứng minh rằng ID là tia phân giác của góc AIC. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên cạnh AF,CE. Dễ dàng chứng minh được 1 2 AFD CED ABCD S S S  AFD AFD S AF.DH,S CE.DK, CE AF gt  11 22 Suy ra DH DK DI là phân giác của góc AIC . Tính chất 20: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I , gọi E thuộc cạnh AC và kẻ đường thẳng qua E song song BD lần lượt cắt AD,CD tại F,H . Dựng hình chữ nhật FDHK . Chứng minh rằng KD / /AC và E là trung điểm BK. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi O là tâm hình chữ nhật FDHK suy ra OHD ODH Mặt khác OHD IDC ICD ODH ICD DK / /AC Do đo EI / /DK , I là trung điểm BD E là trung điểm BK (đpcm). Tính chất 21: Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C. N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Chứng minh rằng AN CN.  FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 10 Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có BCND là tứ giác nội tiếp (do 0 90 BCD BND ) BNC BDC CAB ANCB là tứ giác nội tiếp (do ANC ABC 00 180 90 AN NC  Tính chất 22: Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường tròn O . Đường phân giác ngoài góc BAC cắt đường tròn O tại điểm E . M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC . F là hình chiếu vuông góc của E trên AB , K là giao điểm MN và AE . Chứng minh rằng KF / /BC . Hình vẽ Gọi D là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A AD AE  (1). Ta có ED là đường kính của O ED BC  tại M. Hướng dẫn chứng minh: BEFM là tứ giác nội tiếp FME FBE ABE ADE MF / /AD MF AE     1 23 , MF AE ( )  1 2 3 . Lại có MN / /AB, EF AB EF / /MN  4 ,F 34 là trực tâm EKM KF EM   mà EM BC FK / /BC  Tính chất 23: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I , điểm D là chân đường phân giác trong của góc BAC . Đường thẳng AD cắt I tại điểm MA  . Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp ACD  . CMR:CM CJ  . Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: AJD ACD BAD BAD BCM  22 CJD BCM 2 Lại có CJD JCD 0 2 180 BCM JCD 0 2 2 180 BCM JCD CM CJ  0 90 . FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 11 Tính chất 24: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn O; R vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn O ( A,B là hai tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC của đường tròn. CMR: PC cắt AH tại I là trung điểm AH. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi D BP AC  Ta có PA PB PAB  cân tại P và BAC 0 90 PD PB PA (1) BPC  có IH CI IH / /PB PB CP (2) CPD  có IA CI AI / /PD PD CP (3) IH IA I là trung điểm AH. Tính chất 25: Cho tam giác ABC vuông tại C , kẻ đường cao CK , kẻ phân giác CE của góc ACK K,E AB. D là trung điểm AC , F DE CK.  CMR: BF song song CE . Hình vẽ Dựng hệ trục Kxy như hình vẽ. Đặt CK a,KE ,EC b. 1 Khi đó, ta có: ba K ; ,E ; ,C ;a ,D ; 1 0 0 1 0 0 22 . ab BC CK AC BC a b AK CK AC a b  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Hướng dẫn chứng minh: Ta có AE là phân giác của ACK  CK KE a CA ab CA EA CA b 1 qua E ; ED : ED b ; a lam vtcp  10 1 1 2 ax b y a 1 Và a F Oy ED F ; b  0 1 BK CK BC aa KB B ; bb 2 2 2 22 0 11 Do đó CE ; a a BF ; a b  2 1 1 1 CE / /BF dpcm . Tính chất 26: Cho tam giác ABC . Một đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại D . Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại F. Vẽ đường kính DE của đường tròn C. CMR: A,E,F thẳng hàng. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Ta có A,O,I thẳng hàng (do cùng nằm trên đường phân giác trong góc BAC ) Gọi M,N là tiếp điểm của O , I với AB FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 12 AIN  có OM / /IN AO OM OE AI IN IF 1 (Thales thuận) Lại có OD BC OD / /IF IF BC    AOE IAF 2 , OAE IAF OAE IAF   12 A,E,F thẳng hàng. Tính chất 27: Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A,B (O,O' trái phía so với AB ). Vẽ tiếp tuyến chung CD ( C O ,D O' , C,D nằm trên nửa mặt phẳng bờ OO' có chứa B ). Đường thẳng qua C song song với AD và đường thẳng qua D song song AC cắt nhau tại E. CMR: tứ giác BCED nội tiếp. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi M AB CD  Chứng minh MC MA.MB 2 , MD MA.MB 2 Từ đó ta có M là trung điểm của AE . Suy ra E,M,B, A thẳng hàng. BCD BAC (cùng chắn cung BC ) BED BAC ED / /AC BCD BED tứ giác BCED nội tiếp. Tính chất 28: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I có AD là đường phân giác trong góc A.( D là chân phân giác trong). Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn (C) cắt BC tại E. Chứng minh rằng tam giác AED cân tại E. Hình vẽ Hướng dẫn chứng minh: Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp ABC  E d BC  Giả sử EB EC . Ta có EAB ACB   và BAD DAC   , EAD EAB BAD ACB DAC ADE       ADE  cân tại E. Tính chất 29: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên AC, E là trung điểm của HD. CMR: BD AE  FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 13 Hình vẽ dựng hệ trục Hxy như hình vẽ, và đặt BC a a C a; ,B a; , A ; a 20 0 0 0 2 y x AC : x y a aa HD : x y 1 2 2 2 20 Hướng dẫn chứng minh: EM AH AHM : HD AM HD EM E AE HM AE BD       Cách 2: x y a D AC HD xy a a a a D ; E ; .           22 20 4 2 2 5 5 5 5 Ta có: a a a a AE ; ,BD ; AE.BD AE BD          2 9 9 2 5 5 5 5 0 Tính chất 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M là điểm đối xứng của D qua C . Gọi H,K lần lượt chân đường cao hạ từ D,C lên AM . CMR: HI / /BK Hình vẽ * Ta có: ABCD là tứ giác nội tiếp (do ABCD là hình vuông) và ABKC là tứ giác nội tiếp (do 0 90 ABC AKC ) A, B, K, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC Hướng dẫn chứng minh: ABKD là tứ giác nội tiếp. 0 45 1 AKB ADB * Mặt khác, 0 45 2 ADB KHI (góc ngoài bằng góc đối trong, do AHID là tứ giác nội tiếp có 0 90 AHD AID ). Từ 12 ; , suy ra 0 45 AKB KHI HI / /BK (so le trong). FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 14 B- TUYỂN CHỌN – PHÂN DẠNG HÌNH PHẲNG OXY NĂM 2016 Phần I. Các bài toán về tam giác. Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đường thẳng chứa đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B và phân giác trong kẻ từ C lần lượt là (d1): 3x – 4y + 27=0, (d2): 4x + 5y – 3 = 0, (d3): x + 2y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lần 1– Trƣờng THPT chuyên Bắc Giang – Bắc Giang Lời giải tham khảo  Véc-tơ chỉ phương của 1 d là 1 4;3 d a . Vì 1 d BC  nên BC nhận 1 4;3 d a làm vtpt. +) Ta có: vtpt của 3 d là 3 1;2 d n +) Gọi véc-tơ pháp tuyến của AC là: 22 ; ; 0 AC n a b a b  +) Do 3 d là phân giác của góc C nên ta có: 3 1 3 22 2 2 2 2 4.1 3.2 cos , cos , 25. 5 .5 0 2 2 3 4 0 34 AC d d d ab n n a n ab a a b a b a ab ab    TH1: Khi 0 a chọn 1 b thì 0;1 AC n +) Gọi 3 5 2 ; C cc d . Khi đó AC qua C có dạng: :0 AC y c +) Do 1 3 4 27 0 0 4 c 9; 3 x yc Ac y A C d A       +) M là trung điểm AC nên có: 1 2; 3 M c c . Mà 2 1 4 2 5 3 0 3 3 M d c c c . Vậy 5;3 ; 1;3 AC +) Phương trình BC qua C và vuông góc với 1 d có dạng: :4 3 5 0 BC x y Khi đó: 2 2; 1 B d BC B  Thử lại thấy A và B nằm cùng phía với 3 d hay 3 d là phân giác ngoài góc C nên không thỏa mãn.  TH2: Khi 34 ab , chọn 3 4 4;3 AC b a n khi đó AC song song với BC nên loại trường hợp này.  Vậy không có tam giác ABC thỏa bài toán đã cho. Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có góc A tù. Hãy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết chân 3 đường cao hạ từ đỉnh A,B,C lần lượt có tọa độ là: D( 1; 2), E(2;2), F( 1;2). Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2016 Lời giải tham khảo FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 15  Trước hết ta chứng minh rằng khi ABC tù ở A thì A là tâm vòng tròn nội tiếp DEF. Thật vậy: +) Do 2 tứ giác nội tiếp BDAE và DCFA nội tiếp nên: 0 0 90 90 ADE ABE BHF ADF ACF FHB  ADE ADF .Hay DH là tia phân giác góc FDE . Tương tự như vậy ta cũng có EA là phân giác của góc DEF . Suy ra A là tâm vòng tròn nội tiếp DEF.  Phân giác trong và ngoài tại D là : 12 : 3 1 0; : 3 7 0 d x y d x y +) Phân giác trong và ngoài tại E: 12 : – 2 2 0; : 2 – 6 0 e x y e x y +) Phân giác trong và ngoài tại F: 12 : –1 0; : – 3 0 f x y f x y Vì ABC có góc A tù thì 3 cạnh BC, CA, AB của nó có phương trình là: 2 1 1 , , d e f .  Vậy : : 3 7 0; : – 2 2 0; : –1 0 BC x y CA x y AB x y Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 1), đường thẳng BC có phương trình y = 0, đường phân giác trong của góc BAC có phương trình y = x − 2, điểm M(−6; −2) thuộc đường thẳng AB. Tính diện tích tam giác ABC. Lần 2 - Cao Đẳng nghề Nha Trang Lời giải tham khảo  Cách 1: (Kĩ thuật đối xứng qua phân giác)  Gọi  là đường thẳng qua M và vuông góc với phân giác AD, sao cho  cắt AD tại I, cắt AC tại N, rõ ràng AMN  cân tại A cho ta I là trung điểm MN. +) : 8 0 xy  +) 3; 5 0; 8 I AD I N    Phương trình đường thẳng AB qua hai điểm A, M có dạng: : 3 0 AB x y +) 0;0 B BC AB B   Phương trình đường thẳng AC qua hai điểm A, N có dạng: :3 8 0 AC x y +) 8 ;0 3 C AC BC C   Khi đó, dễ dàng tính được: 31 1 1 4 1 2 2 3 1 3 B A B A ABC C A C A x x y y S x x y y   Cách 1: (Đáp án)  Phương trình đường thẳng AB: 30 xy  Gọi  là góc giữa 2 đường thẳng AB và phân giác trong (d) thì 12 2 cos cos , 20 nn  FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 16 (với 1 1 ; 3 n là VTPT của AB và 2 1; 1 n là VTPT của (d))  Giả sử ;0 n A B  là tọa độ VTPT của đường thẳng (d’) chứa cạnh AC khi đó: 2 22 4 cos cos , 20 2 AB nn AB  22 3 10 3 0 A AB B ( 0 B  vì nếu 0 B thì 0 A mâu thuẫn giả thiết 0 n  ) 3; 3 1 1 ; 3 3 n B B AB AB n B B        . Ứng với 2 phương trình: 3 8 0 30 xy x y AB      +) Nên đường thẳng (d’) chứa cạnh AC là : 3 8 0 xy . Tọa độ điểm B và C lần lượt tìm được là : 0;0 B và 8 0; 3 C suy ra 8 3 BC Chiều cao của tam giác ABC ứng với cạnh BC là   ,BC 1 dA .  Suy ra diện tích là 4 3 S Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, BC 2BA . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Trên tia đối của tia FE lấy điểm M sao cho FM 3FE . Biết điểm M có tọa độ 5; 1 , đường thẳng AC có phương trình 2x y 3 0 , điểm A có hoành độ là số nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lần 1 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo  Tính chất hình học: BM AC  (Vẽ hình chính xác thì ta sẽ thấy ABC BEM   từ đó gợi ý ta chứng minh theo hướng chứng minh 2 tam giác bằng nhau).  Gọi I là giao điểm của BM và AC. Ta thấy BC 2BA EB BA,FM 3FE EM BC ABC BEM EBM CAB BM AC    . +) Đường thẳng BM đi qua M vuông góc với AC BM: x 2y 7 0 . +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ 13 x 2x y 3 0 5 x 2y 7 0 11 y 5   13 11 I; 55 12 6 IM ; 55 +) Ta có thêm: EMB IMF    (g-g) nên: 2 8 4 IB IM ; B 1; 3 3 5 5  Trong ABC  ta có 2 2 2 2 1 1 1 5 5 BA BI BI BA BC 4BA 2 I M F E C A BFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 17 +) Mặt khác 22 8 4 4 5 BI 5 5 5         , suy ra 5 BA BI 2 2 +) Gọi toạ độ A a,3 2a AC , Ta có : 22 22 a3 BA 4 a 1 6 2a 4 5a 26a 33 0 11 a 5    +) Do a là số nguyên suy ra A 3; 3 . 24 AI ; 55 +) Ta có AC 5AI 2;4 C 1;1 .  Vậy A 3; 3 , B 1; 3 , C 1;1 Bài 5 Cho ABC  vuông cân tại . A Gọi M là trung điểm , BC G là trọng tâm , ABM  điểm 7; 2 D là điểm nằm trên đoạn MC sao cho . GA GD Tìm tọa độ điểm , A lập phương trình , AB biết hoành độ của A nhỏ hơn 4 và AG có phương trình 3 13 0. xy Lần 4 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: GAD  vuông cân tại G.  Ta có: 2 2 3.7 2 13 ; 10 31 d D AG +) ABM  vuông cân GA GB GA GB GD . Vậy G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABD 0 2 90 AGD ABD GAD  vuông cân tại . G +) Do đó 2 ; 10 20; GA GD d D AG AD Gọi ;3 13 AG; 4 A a a a . Ta có: 22 2 5( ) 20 7 3 11 20 3 a loai AD a a a   Vậy 3; 4 A  Gọi VTPT của AB là ; AB n a b 22 3 cos cos , 1 . 10 AB AG ab NAG n n ab +) Mặt khác 2 2 2 2 33 cos 2 10 9. NA NM NG NAG AG NA NG NG NG Từ (1) và (2) 2 22 0 3 3 6 8 0 34 10 . 10 b ab ab b ab ab   Với 0 b chọn 1 a ta có : 3 0; AB x Với 34 ab chọn 4; 3 ab ta có : 4 3 24 0 AB x y G N M A C B DFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 18 +) Nhận thấy với : 4 3 24 0 AB x y thì 4.7 3. 2 24 ; 2 ; 10 16 9 d D AB d D AG (loại)  Vậy : 3 0. AB x Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A , gọi M là trung điểm của BC , N thuộc cạnh AB saο cho 4 AB AN . Biết rằng 2;2 M , phương trình đường thẳng : 4 4 0 CN x y và điểm C nằm phía trên trục hoành. Tìm tọa độ điểm A . Lần 1 –Trƣờng THPT chuyên Hùng Vƣơng Lời giải tham khảo  Ta có: 22 44 cos 17 17 AC AB AN ACN CN AN AC AN +) Khi đó, ta có được: 00 00 45 cos cos 45 5 cos 45 .cos sin 45 .sin 34 ACB NCB ACN ACN ACN +) Giả sử 22 ,0 BC n a b a b  , do 22 22 22 4 cos NCB cos , . 17 4 5 34 . 17 7 16 23 0 23 7 BC CN ab nn ab ab ab a ab b ab ab     Khi ba thì phương trình : 4 0 BC x y +) Do C BC CN  nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 4 4 0 44 x y x x y y  +) Nên 0;4 4;0 CB +) Phương trình : 0 ; AM x y A a a +) Ta có: 0 4 a AB AC a    , Khi đó được 0;0 A hoặc 4;4 A , nhưng do A và B nằm khác phía với CN nên thử lại ta có: 0;0 A  Khi 23 7 ab , thì phương trình : 23 7 32 0 BC x y FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 19 +) Do C BC CN  nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: 20 44 17 4 12 17 x xy xy y   (Loại do C nằm phía trên trục hoành). Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với 7 1;4 , 3;0 , ;0 3 A B C và điểm 1;0 M trên cạnh BC. Hãy xác định tọa độ điểm N trên AB và điểm P trên AC sao cho chu vi tam giác MNP nhỏ nhất Lần 2 –Trƣờng THPT Đồng Xoài Lời giải tham khảo:  Gọi K là điểm đối xứng của M qua AC, H là điểm đối xứng của M qua AB.  Chu vi tam giác MNP MNP CV MN NP PM KN NP PH HK HK const  +) Dấu bằng xảy ra khi H, N, P, K thẳng hàng. +) Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất bằng HK. Khi H, N, P, K thẳng hàng.  Tìm N, P. +) Phương trình đường thẳng :3 7 0 AB x y +) Phương trình đường thẳng : 3 0 AC x y +) Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên AB 2;1 I do đó K(-5; 2). +) Gọi J là hình chiếu vuông góc của M trên AC J(2;1) do đó H(3; 2). +) Phương trình đường thẳng : – 2 0 HK y . Ta có: N = HK ∩ AC, P = HK ∩AB.  Do đó tọa độ các điểm N, P cần tìm là: N(1; 2), P( ) 2 ; 3 5 . Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình: 10 xy , phương trình đường cao kẻ từ B là: 2 2 0 xy . Điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC. Lần 1 –Trƣờng THPT Nguyễn Hữu Cảnh – Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Gọi H là trực tâm  ABC. Tìm được B(0;-1), 1 cos cos 10 HBC HCB +) Pt đường thẳng HC qua M có dạng: a(x-2)+b(y-1)=0 ( ( ; ) n a b là VTPT và 22 0 ab ) FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 20 +) 2 22 22 1 cos 4 10 4 0 2 5 2 0 10 2( ) ab aa HCB a ab b bb ab         2 2, 1 1 1, 2( ) 2 a ab b a a b l b        . Nên phương trình : 2 3 0 CH x y Do AB CH B AB   nên viết được phương trình đường thẳng : 2 2 0 AB x y  C là giao điểm của AB và BC 25 ; 33 C và phương trình đường thẳng :6 3 1 0 AC x y Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2 1 0 xy  và điểm 1; 2 A . Gọi M là giao điểm của  với trục hoành. Tìm hai điểm B, C sao cho M là trung điểm AB và trung điểm N của đoạn AC nằm trên đường thẳng  , đồng thời diện tích tam giác ABC bằng 4. Lần 3 –Trƣờng THPT Nguyễn Hữu Cảnh- Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Tọa độ M: 2 1 0 0 xy y  1 ;0 2 M +) M là trung điểm AB nên 2; 2 B  Phương trình đường thẳng BC qua B và song song với MN  có dạng: : 2 2 0 BC x y +) Tham số hóa điểm ; 2 2 C c c +) Theo giả thiết, ta có: 22 1 ;. 2 12 4 . . 2 2 4 2 5 2 6 ABC S d A BC BC cc c c     Kết luận: 2; 2 B , 6; 10 C hoặc 2; 6 C Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, BC 2BA . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Trên tia đối của tia FE lấy điểm M sao cho FM 3FE . Biết điểm M 5; 1 , đường thẳng AC có phương trình 2x y 3 0 , điểm A FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 21 có hoành độ là số nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2016 –đề 1 Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AC BM  +) Gọi I là giao điểm của BM và AC. +) Ta thấy BC 2BA EB BA,FM 3FE EM BC ABC BEM EMB ACB BM AC    .  Đường thẳng BM đi qua M vuông góc với AC BM: x 2y 7 0 . +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ 13 x 2x y 3 0 5 x 2y 7 0 11 y 5   13 11 I; 55 12 6 IM ; 55 , 2 8 4 IB IM ; B 1; 3 3 5 5  Trong ABC  ta có 2 2 2 2 1 1 1 5 5 BA BI BI BA BC 4BA 2 +) Mặt khác 22 8 4 4 5 BI 5 5 5         , suy ra 5 BA BI 2 2 Gọi toạ độ A a,3 2a , Ta có 22 22 a3 BA 4 a 1 6 2a 4 5a 26a 33 0 11 a 5    +) Do a là số nguyên suy ra A 3; 3 . 24 AI ; 55 +) Ta có AC 5AI 2;4 C 1 ;1 .  Vậy A 3; 3 , B 1; 3 , C 1;1 Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A . B,C là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ .Đường phân giác trong góc B của tam giác có phương trình: 2 5 0 xy . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua 6;2 K Lần 2–Trƣờng THPT Lộc Ninh Lời giải tham khảo: I M F E C A BFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 22  Tham số hóa điểm 2 5; 2 5; B b b BD C b b +) Phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với BD: có dạng: : 2 0 xy  +) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ : 2 5 0 1 1;2 2 0 2 x y x I x y y  +)  cắt AB tại E, I là trung điểm OE nên 2;4 E +) 2 3; 4 ; 2 11; 2 EB b b KC b b +) Mà 1 5 b BE KC b     TH1: Khi 1 b suy ra: 3;1 ;C 3; 1 B Phương trình: :3 10 0; : 3 0 AB x y AC x y +) Nên 3;1 A AB AC A  (loại do trùng với B)  TH2: Khi 5 b suy ra: 5;5 ;C 5; 5 B Phương trình: : 7 30 0; : 7 40 0 AB x y AC x y +) Nên 31 17 ; 55 A AB AC A  Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết đỉnh 2;–1 B , đường cao qua A có phương trình 1 : 3 – 4 27 0 d x y , phân giác trong góc C có phương trình 2 : 2 – 5 0 d x y . Tìm toạ độ điểm A. Lần 2 –Trƣờng THPT Vạn Ninh – Khánh Hoà Lời giải tham khảo:  Đường thẳng BC qua 2;–1 B , có vectơ pháp tuyến là: 4;3 n . Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 4 3 5 0 xy . +) Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 4 3 5 0 1 ( 1;3) 2 5 0 3 x y x C x y y   Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2. Suy ra phương trình BB’: 21 12 xy 2 5 0 xy +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: 2 5 0 3 (3;1) 2 5 0 1 x y x I x y y  +) Nên ' 4;3 B , viết được phương trình đường thẳng : 3 0 AC y FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 23 +) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 3 0 5 ( 5;3) 3 4 27 0 3 yx A x y y  Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có (2;1) M là trung điểm cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao đi qua đỉnh A lần lượt có phương trình (d): x+ 5 0 y và (d’): 3x 1 0 y . Viết phương trình đường thẳng AC. Trƣờng Trung cấp nghề Ninh Hoà Lời giải tham khảo:  Do A là giao điểm của (d) và (d’) nên 2;7 A +) Do M là trung điểm của AB nên 6; 5 B +) Phương trình đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH có dạng: : 3 21 0 BC x y +) 9; 4 N BC d N  +) Do N là trung điểm của BC nên 12; 3 C  Phương trình đường thẳng AC: 5x 7 39 0 y Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh :2 1 0, :3 4 6 0 AB x y AC x y , điểm 1;3 M nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC sao cho 32 MB MC . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . Trƣờng THPT Khánh Sơn – Khánh Hoà Lời giải tham khảo:  2; 3 A AB AC A  +) Tham số hóa: b; 2 1 , 4 2; 3 B b AB C c c AC +) Do ,, B C M thẳng hàng, nên 32 32 MB MC MB MC     Tìm được 5 7 1 1; ; 3 3 3 GG          Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, 2 AB BC . Gọi D là trung điểm của AB, E nằm trên đoạn thẳng AC sao cho 3. AC EC Biết phương trình đường thẳng chứa CD là 3 1 0 xy và điểm 16 ;1 3 E . Tìm tọa độ các điểm , , . A B C Trƣờng THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: BE CD  FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 24 +) Gọi D I BE C  . Ta có BA EA BC EC nên E là chân phân giác trong góc B của tam giác ABC. Do đó 0 45 D CBE BE C   Phương trình đường thẳng :3 17 0 BE x y . +) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 3 17 0 5 (5;2) 3 1 0 2 x y x I x y y  +) Ta có 15 ,3 33 2 3 2 BC BC BC BI CI CE AC IE IB IE Từ đó tìm được tọa độ điểm 4;5 B  Gọi 3 1; c C Cc D , ta có: 2 2 2 1 2 2 5 (3 5) (c 5) 20 10 40 30 0 3 c BC BI c c c c   +) Với 1 c ta có 2;1 , 12;1 CA +) Với 3 a ta có 8;3 , 0; 3 CA Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, BC 2BA . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Trên tia đối của tia FE lấy điểm M sao cho FM 3FE . Biết điểm M 5; 1 , đường thẳng AC có phương trình 2x y 3 0 , điểm A có hoành độ là số nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lần 1 –Trƣờng THPT Lam Kinh Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: BM AC  +) Gọi I là giao điểm của BM và AC. +) Ta thấy BC 2BA EB BA,FM 3FE EM BC ABC BEM EBM CAB BM AC    .  Đường thẳng BM đi qua M vuông góc với AC BM: x 2y 7 0 . +) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ 13 x 2x y 3 0 5 x 2y 7 0 11 y 5   13 11 I; 55 12 6 IM ; 55 , 2 8 4 IB IM ; B 1; 3 3 5 5 +) Trong ABC  ta có 2 2 2 2 1 1 1 5 5 BA BI BI BA BC 4BA 2 Mặt khác 22 8 4 4 5 BI 5 5 5         , suy ra 5 BA BI 2 2 I M F E C A BFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 25 +) Gọi toạ độ A a,3 2a , Ta có 22 22 a3 BA 4 a 1 6 2a 4 5a 26a 33 0 11 a 5    Do a là số nguyên suy ra A 3; 3 . 24 AI ; 55  Ta có AC 5AI 2;4 C 1 ;1 . Vậy A 3; 3 , B 1; 3 , C 1;1 Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi K là điểm đối xứng của A qua C. Đường thẳng đi qua K vuông góc với BC cắt BC tại E và cắt AB tại ( 1 ;3) N . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng góc 0 45 AEB , phương trình đường thẳng BK là 3 15 0 xy và điểm B có hoành độ lớn hơn 3. Lần 2 –Trƣờng THPT Lê Lợi – Thanh Hoá Lời giải tham khảo:  Tứ giác ABKE nội tiếp 0 45 AKB AEB AKB  vuông cân tại A 0 45 ABK +) Đường thẳng BK có vtpt 1 (3;1) n , gọi 2 ( ; ) n a b là vtpt của đt AB và  là góc giữa BK và AB. +) Ta có : 12 22 12 . 3 1 cos 2 10. nn ab nn ab  22 3 5. a b a b 22 2 4 6 4 0 2 ba a ab b ab   + Với 2 ab , chọn 2 ( 2;1) : 2 5 0 (2;9) n AB x y B (Loại) + Với 2 ba , chọn 2 (1;2) : 2 5 0 (5;0) n AB x y B (TM)  Tam giác BKN có BE và KA là đường cao C là trực tâm của BKN : 3 10 0 CN BK CN x y  . ABK  và KCM  vuông cân 1 1 1 1 .4 4 2 2 2 2 2 2 BK KM CK AC BK BK KM 79 ; (3;6) 22 M MN BK M K  ,  Đường thẳng AC qua K vuông góc AB : 2 0 AC x y (1;2) A AC AB A  , C là trung điểm của AK (2;4) C .  Vậy: A(1;2), B(5;0), C(2;4). Bài 18: Cho tam giác ABC. Đường phân giác trong của góc B có phương trình 1 : 2 0 d x y , đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình 2 :4 5 9 0 d x y . Đường FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 26 thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm 1 (2; ) 2 M , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 5 2 R . Tìm tọa độ đỉnh A . Lần 1–Lê Lợi Thanh Hoá Lời giải tham khảo:  Tọa độ B là nghiệm của hệ 2 0 1 4 5 9 0 1 x y x x y y  +) Gọi M ’ là điểm đối xứng với M qua 1 d , ' 3 ( ;0) 2 M . +) Do AB đi qua B và M nên có pt: : 2 3 0 AB x y . BC đi qua M ' và B nên có pt: : 2 – 3 0 BC x y . +) Gọi là góc giữa 2 đường thẳng AB và BC suy ra 2.1 1.2 43 os sin 55 5. 5 c .  Từ định lý sin trong tam giác ABC, ta có: 23 sin AC R AC ABC . +) 3 , ( ; ); ( ;3 2 ) 2 a A AB C BC A a C c c , trung điểm của AC là 94 ( ; ) 24 a c a c N . +) 2 2 2 4 3 0 5; 2 43 3, 0 3 ( ) 9 2 ac Nd ac ac ac AC ca     Khi 5 a ta được 5; 1 A . Khi 3 a ta được 3;3 A .  Kết luận: 5; 1 , 3;3 AA . Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có M(8;2); E 11 9 ; 22 lần lượt là trung điểm của BC và AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và F là chân đường cao hạ từ C, biết đường thẳng đi qua F và trung điểm của AH có phương trình là : 2 – 8 0 d x y . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC Đề số 4–Moon Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: FI FM  và FI FM  +) IE CH ME AB ME IE CH AB    +) Ta có: tam giác AFH vuông tại F, có I là trung điểm AH nên từ đó cho ta FI IA IH FAI AFI Tương tự cũng do tam giác FBC vuông tại F, có M là trung điểm BC nên MB MC MF BFM FBM FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 27 Mà 00 90 90 FAI FBM AFI BFM FI FM   Phương trình đường thẳng: : 10 0 : 1 0 ME x y EI x y +) 3;2 I EI FI I  +) Do FI FM  nên phương trình đường thẳng : 2 4 0 MF x y +) 4;0 : 4 0; : 4 0 F MF FI F CF x y AB x y   Gọi ;4 ; ; 4 B b b AB C c c CF , do M là trung điểm BC nên: 16 6; 2 ; 10;6 8 bc BC bc  +) AC nhận E làm trung điểm 1;3 A  Vậy 1;3 A ; 6; 2 ; 10;6 BC Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC , các điểm 2; 1 M , N lần lượt là trung điểm của HB và HC ; điểm 11 ; 22 K là trực tâm tam giác AMN . Tìm tọa độ điểm C , biết rằng điểm A có tung độ âm và thuộc đường thẳng : 2 4 0 d x y . Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học:  CI AM , K là trung điểm IH. +) Gọi I là trung điểm của AH , ta có // MI AB MI AC  Suy ra: I là trực tâm tam giác AMC CI AM  +)Mà // NK AM NK CI  K là trung điểm HI  Đặt 2 4; A a a d , từ hệ thức 2 2 2 3; 33 aa AK KH H +) Suy ra: 71 2; 22 AK a a và 2 4 5 ; 33 aa MH +) Khi đó: 7 2 4 1 5 . 0 2 0 2 3 2 3 aa AKMH a a                 2 1 10 13 23 0 23 10 a aa a     2; 1 A .  Suy ra tọa độ 0;1 H và 4; 3 B +) Phương trình : AB 3 5 0 xy và : 1 0 BC x y +) Phương trình :3 5 0 AC x y Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: x+2y+4=0 I K(-1/2;1/2) M(2;-1) N H C A BFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 28  3 5 1 1;2 12 x y x C x y y  Kết luận: 2; 1 A ; 4; 3 B ; 1;2 C Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC 2AB , điểm 9 2 1; M là trung điểm của BC, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BAD CAM . Gọi E là trung điểm của AC, đường thẳng DE có phương trình: 2x 11y 44 0 , điểm B thuộc đường thẳng d có phương trình: x y 6 0 . Tìm tọa độ 3 điểm A, B, C biết hoành độ điểm A là một số nguyên. Trƣờng THPT Chuyên Biên Hòa, lần 1 Lời giải tham khảo: Goi I BE AD  , G AM BE    ABI AEG g.c.g BI GE . Mà BG 2GE (do G là trọng tâm của ABC) BI IG GE . Kẻ EH BC H AD . Chứng minh được CD 2HE,HE 2BD CB 5BD . 9 2 1; 2BM 5BD,B b;6 b ,D 22 11d; 2d ,M    18 11 55 9 D; 55d 3b 108 d 5 10d 3b 27 B 3; 3 b3 9 2 1; M là trung điểm của BC C 1;6 . Gọi E 22 11e; 2e , E là trung điểm của AC A 45 22e; 4e 6     2 e 2 tm AC 2AB 75e 278e 256 0 A 1; 2 128 el 75 Vậy A 1; 2 ,B 3; 3 ,C 1;6 Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 22 ( ) : ( 1) ( 2) 25 C x y ngoại tiếp tam giác ABC. Các điểm K(-1 ; 1), H(2; 5) lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A và B của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng C có hoành độ dương. Trƣờng THPT Tô Văn Ơn, lần 1 Lời giải tham khảo: FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 29 +(C) có tâm ) 2 ; 1 ( I . Gọi Cx là tiếp tuyến của (C) tại C. Ta có 1 2 HCx ABC Sđ AC (1) Do 0 90 AHB AKB nên AHKB là tứ giác nội tiếp ABC KHC (cùng bù với góc AHK ) (2) Từ (1) và (2) ta có // HCx KHC HK Cx . Mà HK IC Cx IC   . Do đó IC có vectơ pháp tuyến là ) 4 ; 3 ( KH , IC có phương trình 0 11 4 3 y x Do C là giao của IC và (C) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ  25 ) 2 ( ) 1 ( 0 11 4 3 2 2 y x y x   5 3 ; 1 5 y x y x . Do 0 C x nên ) 1 ; 5 ( C Đường thẳng AC đi qua C và có vectơ chỉ phương là ) 6 ; 3 ( CH nên AC có phương trình 0 9 2 y x . Do A là giao của AC và (C) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  25 ) 2 ( ) 1 ( 0 9 2 2 2 y x y x   1 5 ; 7 1 y x y x (loại). Do đó ) 7 ; 1 ( A Đường thẳng BC đi qua C và có vectơ chỉ phương là ) 2 ; 6 ( CK nên BC có phương trình 0 2 3 y x . Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ  25 ) 2 ( ) 1 ( 0 2 3 2 2 y x y x   1 5 , 2 4 y x y x (loại). Do đó ) 2 ; 4 ( B Vậy ) 7 ; 1 ( A ; ) 2 ; 4 ( B ; ) 1 ; 5 ( C . Bài tập tƣơng tự 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, gọi D là điểm đối xứng với C qua A. Điểm 2; 5 H là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AD, điểm 1; 1 K là hình chiếu vuông góc của điểm D trên AB, đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABD có phương trình 22 1 2 25 xy . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm A có hoành độ dương. lần 1–Trƣờng THPT Hồng Quang- Hải Dƣơng A B C H K I x FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 30 Tính chất hình học: IA HK  (Các em học sinh gắng chứng minh: kẻ tiếp tuyến Ax rồi chứng minh HK Ax ) Khi đó phương trình đường thẳng : 3 4 11 0 5;1 IA x y A IA T A  Lập phương trình đường thẳng AB, AD rồi giao với (T) giải hệ tìm B, D rồi suy ra C. Đáp số: 5;1 ; 4; 2 ; 9;9 A B C Bài tập tƣơng tự 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (C): 22 25 xy , đường thẳng AC đi qua điểm K(2; 1). Gọi M, N lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết phương trình đường thẳng MN là 4x − 3y + 10 = 0 và điểm A có hoành độ âm. lần 1–Sở GDDT Quảng Ninh, Đáp Số : 4;3 ; 3; 4 , 5;0 A B C Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có 1;4 A , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ADB có phương trình 20 xy , điểm 4;1 M thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB . Trƣờng THPT Chuyên Bình Long, Bình Phƣớc, lần 2 Lời giải tham khảo: K C A D B I M M' E Gọi AI là phan giác trong của BAC Ta có : AID ABC BAI IAD CAD CAI Mà BAI CAI , ABC CAD nên AID IAD DAI  cân tại D DE AI  PT đường thẳng AI là : 50 xy Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI PT đường thẳng MM’ : 50 xy Gọi ' K AI MM  K(0;5) M’(4;9) VTCP của đường thẳng AB là ' 3;5 AM VTPT của đường thẳng AB là 5; 3 n Vậy PT đường thẳng AB là: 5 1 3 4 0 xy 5 3 7 0 xy Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của BC và E là hình chiếu của A trên đường thẳng BC. Gọi F và G tương ứng là hình chiếu của E trên các cạnh AB và AC. Đường thẳng FG cắt đường thẳng AD FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 31 tại H. Biết rằng AH AD .2 , tọa độ điểm A 2;3 , phương trình đường thẳng FG x y : 3 4 2 0 và điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3. Tìm tọa độ các đỉnh B và C. Trƣờng THPT Hoàng Hoa Thám Lời giải tham khảo: I H D A B C E F G Chứng minh AD vuông góc FG: ABC là tam giác vuông có cạnh huyền BC, trung tuyến AD do đó: DA DB DC hay tam giác ACD cân tại D. Khi đó: DAC DCA . Mặt khác vì FAE DCA (góc có cạnh tương ứng vuông góc) và FAE GFA (AFEG là hình chữ nhật) do đó: DAC GFA . Vì: GFA AGH 0 90 , vậy: DAC AGH AD FG 0 90  . Phương trình đường thẳng: AD x y : 4 3 17 0 . Bài 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C): 22 2 3 26 xy . Trọng tâm của tam giác là 8 1; 3 G ; điểm 7;2 M nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC (M  A). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết – Trƣờng THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên Lời giải tham khảo ▪ Gọi I là tâm của đường tròn (C), E là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Kẻ đường kính AA’ ta có BA’ // CH, CA’ // BH nên BHCA’ là hbh. Suy ra E là trung điểm của A’H nên IE là đường trung bình của  AHA’. 1 2 IE EG AH AG nên ba điểm H, G, I thẳng hàng. Và 2 GH GI mà ta có I 2;3 nên H 1;2 . Ta có M nằm trên (C) và A, H, M thẳng hàng; tam giác MHB cân tại B. Nên BC là đường trung trực của HM. G E A' B' F M H I B C AFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 32 ▪ Phương trình đường thẳng BC: 30 x . Tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình: 22 30 3 2; 8 2 3 26 x x yy xy   Phương trình đường thẳng HM: 20 y . Tọa độ A là nghiệm hệ: 22 20 3 2 2 3 26 y x y xy   ▪ Vậy A 3;2 , B 3;8 , C 3; 2 . Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, 2 AB BC , D là trung điểm của AB, E thuộc đoạn AC sao cho 3 AC EC , biết phương trình đường thẳng CD: 3 1 0 xy , 16 ;1 3 E . Tìm tọa độ các điểm A, B, C. Lần 1–Trƣờng THPT Tam Đảo Vĩnh Phúc Lời giải tham khảo Gọi I BC CD  , ta có: 1 2 BA EA BA EC nên E là chân phân giác trong của góc ABC. Tam giác BCD vuông cân tại B nên viết được ptdt :3 17 0 BE x y . 5;2 I BE CD I  Dùng phương pháp gán độ dài chứng minh được: 3 4;5 IB IE B Tham số hóa điểm C CD , giải pt: 2;1 , 12;1 2 8;3 , 0; 3 CA BC BI CA    Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác vuông cân tại . Gọi là trung điểm , là trọng tâm tam giác điểm là điểm nằm trên đoạn sao cho . Tìm tọa độ điểm , lập phương trình , biết hoành độ của điểm nhỏ hơn và có phương trình . Lần 2–Trƣờng THPT Thuận Châu, Sơn La. Lời giải tham khảo: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Xác định hình chiếu của trên . Ta có tam giác vuông cân đỉnh nên tam giác vuông cân đỉnh Suy ra Theo giả thiết nên tam giác nội tiếp đường tâm bán kính . Ta có: suy ra suy ra Suy ra tam giác vuông cân đỉnh suy ra A B C M G (7; 2) D 3 13 0 xy NFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 33 Tìm điểm nằm trên đường thẳng sao cho Giả sử Với suy ra Tìm số đo góc tạo bởi và . Gải sử đường thẳng có vecto pháp tuyến ta có : TH 1 : chọn sy ra suy ra TH 2: chọn suy ra Trong hai trường hợp trên xét thấy nên Vậy: Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: 22 6 2 5 0 x y x y . Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20 10 9 0 xy và điểm H có hoành độ nhỏ hơn tung độ. lần 2–Trƣờng THPT Minh Châu- Hƣng Yên Lời giải tham khảo: (T) có tâm 31 I( ; ), bán kính 5 R. Do IA IC IAC ICA (1) Đường tròn đường kính AH cắt BC tại M  MH AB MH / /AC(cùng vuông góc AB) MHB ICA (2) Từ (1), (2), (3) ta có: 90 o IAC ANM ICA AHM MHB AHM Ta có: ANM AHM (chắn cung AM) (3) Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình cạnh BC. FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 34 A B C H M N I E Suy ra: AI vuông góc MN phương trình đường thẳng IA là: 2 5 0 xy Giả sử 52 A( a;a) IA. Mà 2 2 2 0 5 2 6 5 2 2 5 0 5 10 0 2 a A (T) ( a) a ( a) a a a a   Với 2 1 2 a A(; ) (thỏa mãn vì A, I khác phía MN) Với 0 5 0 a A( ; ) (loại vì A, I cùng phía MN) Gọi E là tâm đường tròn đường kính AH 9 2 10 E MN E t; t Do E là trung điểm AH 38 2 1 4 10 H t ; t 58 48 2 2 4 2 4 4 10 10 AH t ; t , IH t ; t         Vì 2 272 02 8 0 96 0 25 5 t AH HI AH.IH t  8 11 13 5 5 5 28 31 17 25 25 25 t H ; ( th o û a m a õ n ) t H ; ( lo a ï i )       Với 8 11 13 5 5 5 t H ; (thỏa mãn) Ta có: 63 55 AH ; BC nhận 21 n ( ; ) là VTPT phương trình BC là: 2 7 0 xy Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(-1;-2) ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi M, N, H lần luợt các tiếp điểm của (I) với cạnh AB, AC, BC. Gọi K(-1;-4) là giao điểm của BI với MN. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC, biết FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 35 H(2;1). lần 2–Trƣờng THPT Anh Sơn 2, Nghệ An Lời giải tham khảo: Ta có 22 ABC ACB KIC IBC ICB 0 90 2 BAC (1) Ta có 0 90 2 BAC KNC ANM AMN (2) Từ (1) và (2) suy ra KIC KNC nên tứ giác KNIC nội tiếp trong đường tròn đường kính IC. Mặt khác tam giác IHC nội tiếp trong đường tròn đường kính IC Vậy 5 điểm K, N, I, H, C nằm trên đường tròn đường kính IC. Gọi J là trung điểm của IC nên J là tâm đường tròn đi qua 5 điểm trên. Giả sử J(x;y) khi đó JC JK JH 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) (2 ) (1 ) JC JK x y x y JC JH x y x y   3 3 x y  (3; 3) J . Vì J là trung điểm của IC nên I(7;-4). Từ đó suy ra BI có phương trình 40 y BC đi qua H và C nên có phương trình 10 xy . Do đó, B(x;y) là nghiệm của hệ 40 10 y xy  ( 3; 4) B Vì 11 INC v NKC v Từ đó gọi C’ là điểm đối xứng của C qua đường thẳng BI. Khi đó K là trung điểm của CC’ nên C’(-1;-6). Đường thẳng AB qua B và C’ có phương trình là: 70 xy Giả sử AC có VTPT 22 ( ; ),( 0) n a b a b  Khi đó AC có phương trình ( 1) ( 2) 0 2 0 a x b y ax by a b Ta có ( , ) d I AC IH 22 7 4 2 52 a b a b ab 22 82 52 ab ab 1 23 7 a b a b      + 1 a b chọn a = 1, b = -1 nên AC có phương trình 10 xy ( trùng BC) ( loại). + 23 7 a b chọn a = 23 ; b = 7 nên AC có phương trình 23 7 37 0 xy + Khi đó A (x; y) là nghiệm của hệ 3 70 4 23 7 37 0 31 4 x xy xy y   C' J A C K B I N H MFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 36 Vậy 3 31 ( ; ) 44 A Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BC là : 7 31 0 d x y , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; -3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. THPT Bắc Yên Thành Lời giải tham khảo: Đường thẳng AB đi qua M nên có phương trình 2 3 0 a x b y 22 0 ab  0 ; 45 AB BC nên 0 22 34 7 cos 45 43 50 ab ab ab ab   . Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 ta được : 4 3 1 0 AB x y . : 3 4 7 0 AC x y . Từ đó A(-1; 1) và B(-4; 5). Kiểm tra 2 MB MA nên M nằm ngoài đoạn AB (TM) Từ đó tìm được C(3; 4) Nếu 4a = -3b, chọn a = 3, b = -4 được :3 4 18 0 AB x y , : 4 3 49 0 AC x y Từ đó A(10; 3) và B(10;3) (loại) Bài 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE và nội tiếp đường tròn tâm I(5;4). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết D(4;4), E(6;5) và đỉnh C thuộc đường thẳng 2 2 0 xy Chuyên khoa học tự nhiên, lần 3. Lời giải tham khảo: 0 00 180 90 , 90 2 CIA ICA ABC ABC CED IEC CED IC DE . Suy ra (2;1) DE là VTPT của đường thẳng IC suy ra phương trình IC là : x 2 14 0 y . Mà C thuộc đường thẳng : 2 2 0 (6;2) d x y C Phương trình 6 : (2 3 ;6) 23 x CE A a yt a 2 2 1 2 3 5 6 IA a (a = 0 loại) Suy ra : (6;6) A . Phương trình CD là : 62 22 xt yt a (6 2 ;2 2 ) Bb 22 2 1 2 2 2 5 IB b b 3 2 b ( 0 b loại) suy ra : (3;5) B Bài 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I, điểm M(2;−1) là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của B lên AI là FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 37 98 D; 55 ; Biết rằng AC có phương trình x + y − 5 = 0 , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. THPT Nguyễn Văn Trỗi, lần 1 Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC, E là trung điểm AB. Ta có tứ giác BFDA nội tiếp đường tròn đường kính AB và ngủ giác BEDIM nội tiếp đường tròn đường kính BI Suy ra 1 2 DEM DBM DBF DEF (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắnmột cung) nên EM là phân giác của góc ∠DEF , lại có 1 2 EF DE AB nên ME là đường trung trực của DF. Đường thẳng ME qua M và song song với AC nên có phương trình x + y − 1= 0 , F đối xứng với D qua ME nên 13 6 3 1 ; , ; 5 5 5 5 F MF nên véc tơ pháp tuyến của BC là 1; 3 n suy ra phương trình BC là : 3 5 0 xy nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ sau : 3 5 0 (5;0) 50 xy C xy . M là trung điểm BC suy ra B (−1;−2) , AF qua F và vuông góc với BC nên có phương trình 33 30 5 xy suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 33 30 5 50 xy xy (1;4) A Bài 33: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có hai điểm 1 3; 4 M và 38 34 ; 25 25 N nằm trên đường thẳng AB, phương trình đường thẳng AC là 3 4 6 0 xy . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng : 2 0 d x y và có hoành độ lớn hơn 1, đồng thời điểm P là chân đường phân giác trong AI có hình chiếu vuông góc lên đường thẳng AB là điểm N. THPT Nguyễn Diệu, Bình Định Lời giải tham khảo: +)Lập được ptAB: 3x +4y – 10 = 0. FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 38 Tọa độ A là nghiệm của hệ 3 4 10 0 3 4 6 0. xy xy  Tìm được A(2/3;2). +)Vì tâm đường tròn nội tiếp thuộc đường thẳng x – y – 2 = 0 nên I(a;a – 2), điều kiện a > 1. Ta có d(I;AB) = d(I;AC) 7 18 14 4( ) 2 () 3 aa an al    Vậy I(4;2) và bán kính đường tròn nội tiếp r = 2. +)Lập pt AI: y–2 = 0. Lập pt PN: 4x –3y – 2 = 0. P là giao điểm của AI và PN nên tọa độ P là nghiệm của hệ 20 4 3 2 0 y xy  giải được P(2;2) +)BC qua P(2;2) và có VTPT ( ; ) n a b có pt dạng ( 2) ( 2) 0. a x b y Ta có d(I;BC) = r 22 22 2 2 0. a a a b b ab Chọn a = 1 Khi đó pt BC là x – 2 = 0. Tọa độ B là nghiệm của hệ 3 4 10 0 x 2 0. xy  Tìm được tọa độ B(2;1) . Tọa độ C là nghiệm của hệ 3 4 6 0 x 2 0. xy  Tìm được tọa độ C(2;3). Bài 34: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh (4; 3) B , M là trung điểm của cạnh BC, D là giao điểm giữa đường phân giác trong của góc MAC và cạnh BC . Biết rằng 3 CB CD , đường thẳng AD có phương trình 3 2 5 0, xy diện tích tam giác ABC bằng 39 4 và đỉnh C có hoành độ dương. Hãy tính tọa độ các điểm A, C. THPT Phù Cát 1, Bình Định Lời giải tham khảo: +) Gọi E là điểm đối xứng của A qua M thì / / . AB CE Xét tam giác ACE có AM là trung tuyến, 2 3 CD CM nên D là trọng tâm, AD là phân giác của góc EAC nên tam giác AEC cân tại , A suy ra AD EC  suy ra . AD AB  Suy ra A là hình chiếu vuông góc của B trên , AD suy ra (1 ; 1). A +) Do 35 ;1 2 t D AD D t D A t   +) Từ 3 3 4 9 9 4 ;, 2 2 2 3 tt BC BD C t         FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 39 +) Do 2 3 13 ;, 2 ABC S d C AB AB từ đó suy ra 3, t suy ra 59 ;. 22 C FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 40 Phần II. Các bài toán về tứ giác Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng : 2 6 0 d x y , điểm (1;1) M thuộc cạnh BD biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh AB và AD đều nằm trên đường thẳng : 1 0 xy . Tìm tọa độ đỉnh C . Lần 1– Trƣờng THPT Bình Minh – Ninh Bình Lời giải tham khảo  Tính chất: CI HK   Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AD Gọi N là giao điểm của KM và BC Gọi I là giao điểm của CM và HK Ta có DKM vuông tại K và 0 45 MDK (1) KM KD KM NC Lại có MH MN ( do MHBN là hình vuông) Suy ra: KMH CNM   HKM MCN Mà NMC IMK nên 0 90 NMC NCM IMK HKM Suy ra CI HK  Đường thẳng CI đi qua (1;1) M và vuông góc với đường thẳng d nên ( 1;1) CI d VTPT n VTCP u nên có phương trình: ( 1) ( 1) 0 0 x y x y Do điểm C thuộc đường thẳng CI và đường thẳng nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 02 2 6 0 2 x y x x y y Vậy (2;2) C Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;3). Gọi N là điểm thuộc cạnh AB sao cho 2 3 AN AB . Biết đường thẳng DN có phương trình x+y-2=0 và AB=3AD. Tìm tọa độ điểm B. Lần 2– Trƣờng THPT Bố Hạ – Bắc Giang Lời giải tham khảo  Gọi 22 ( ; ); ( 0)  n a b a b là vectơ pháp tuyến của BD, BD đi qua điểm I(1;3) nên có phương trình: 30 ax by a b Theo giả thiết ta có: 3 2 5 3 13 3 10 3 AB NB AN AB AB ND AD AB AB BD   FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 41 Nên ta suy ra: 2 2 2 72 cos 2 . 10 BD ND NB BDN BDND Khi đó: 22 1 22 34 | | 7 2 cos cos( , ) 24 24 50 0 43 10 .2   ab ab BDN n n a b ab ab ab  Với 34 ab , chon a=4,b=3 suy ra: :4 3 13 0 BD x y Mà (7; 5) ( 5;11)  D BD DN D B  Với 43 ab , chọn a=3,b=4, PT :3 4 15 0 BD x y Mà ( 7;9) (9; 3)  D BD DN D B Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD . Điểm E(2;3) thuộc đoạn thẳng BD , các điểm H( 2;3) và K(2;4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD . Xác định toạ độ các đỉnh A,B,C,D của hình vuông ABCD. Lần 1– Trƣờng THPT Nguyễn Huệ – Khánh Hoà Lời giải tham khảo  Ta có: EH: y 3 0 EK : x 2 0 AH : x 2 0 AK : y 4 0  A 2;4  Giả sử n a;b , 22 a b 0 là VTPT của đường thẳng BD . Có: 0 ABD 45 nên: 22 a 2 ab 2 ab  Với ab , chọn b 1 a 1 BD: x y 1 0 B 2; 1 ;D 3;4 EB 4; 4 ED 1;1  E nằm trên đoạn BD (thỏa mãn) Khi đó: C 3; 1 Với ab , chọn b 1 a 1 BD: x y 5 0 . B 2;7 ;D 1;4 EB 4;4 ED 1;1  EB 4ED E nằm ngoài đoạn BD (Loại)  Vậy: A 2;4 ;B 2; 1 ;C 3; 1 ;D 3;4 Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm trên đường thẳng : 1 0 d x y . Điểm 9;4 E nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, điểm 2; 5 F nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, 22 AC . Xác định tọa độ các đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm. Lần 1 - Cao Đẳng nghề Nha Trang Lời giải tham khảo FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 42  Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC E’ thuộc AD. +) Vì EE’ vuông góc với AC và qua điểm 9;4 E phương trình EE’: ': 5 0 EE x y  Gọi ’ I AC EE  , tọa độ I là nghiệm hệ: 5 0 3 3; 2 1 0 2 x y x I x y y  +)Vì I là trung điểm của EE’ '( 3; 8) E  AD qua '( 3; 8) E và ( 2; 5) F phương trình AD: :3 1 0 AD x y +) (0;1) A AC AD A  . +) Giả sử ( ;1 ) C c c .Vì 2 2 2 4 2; 2 AC c c c ( 2;3) 0 C Cx  Gọi J là trung điểm AC ( 1 ;2) J phương trình BD: 30 xy . +) Do (1 ;4) ( 3;0) D AD BD D B  .  Vậy (0;1) A , ( 3;0), ( 2;3), (1;4). B C D Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có BD = 2AC. Đường thẳng BD có phương trình x – y = 0. Gọi M là trung điểm của CD và H(2;-1) là hình chiếu vuông góc của A trên BM. Viết phương trình đường thẳng AH. Trƣờng Ischool Nha Trang-Khánh Hoà Lời giải tham khảo  Gọi I là tâm của hình thoi ABCD và G BM AC  , suy ra G là trọng tâm của tam giác BCD. +) Tam giác BIG vuông tại I có: 2 2 2 2 1 sin 37 (6 ) IG IG IG IBG BG BI IG IG IG 1 cos( , ) sin 37 BD AH IBH  Đường thẳng BD có vectơ pháp tuyến 1 (1 ; 1) n gọi vectơ pháp tuyến của AH là 22 2 ( ; ) ( 0) n a b a b  . Ta có: 22 12 22 7 1 | | 1 5 cos . cos , 35 74 35 0 5 37 37 .2 7 a ab b BD AH n n a ab b a ab b      +) Với : 5 7 b a Chọn 2 (7;5) n ,ta có phương trình AH là :7 5 9 0 AH x y . +) Với : 7 5 b a Chọn 2 (5;7) n ,ta có phương trình AH là :5 7 3 0 AH x y .  Vậy :7 5 9 0 AH x y hoặc :5 7 3 0 AH x y . Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = J I E' F E D C B AFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 43 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử 1;3 H , phương trình đường thẳng :4 3 0 AE x y và 5 ;4 2 C . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD. Lần 2 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo  Tính chất hình học: CE AE  +) Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I. +) Suy ra: K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK  AE. Do KE là đường trung bình của tam giác AHD nên 1 2 KE AD hay KE BC , nên cho tam tứ giác BKEC là hình bình hành, dẫn tới CE BK . +) Do đó: : 2 8 27 0 CE AE CE x y  Mà 3 ;3 2 E AE CE E  , mặt khác E là trung điểm của HD nên 2;3 D  Khi đó, phương trình đường thẳng : 3 0 BD y , suy ra : 1 0 AH x nên 1;1 A .  Suy ra : 2 3 0 AB x y .Do đó: 3;3 B AB BD B   Vậy: 1; 1 , 3; , 3 2; 3 A B D Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD; E,F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH. Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Lần 5 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo  Tính chất hình học: AF EF   Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH, AB. +) Ta thấy các tứ giác ADEG và ADFG nội tiếp đường tròn đường kính DG, mà DG AE nên AE cũng là đường kính, đồng thời tứ giác ADEF cũng nội tiếp dẫn tới: AF EF  .  Đường thẳng AF (qua A và vuông góc với EF) có pt : 3 4 0 xy AF . Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ: FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 44 17 3 10 17 1 32 5 ; 3 4 1 5 5 5 5 x xy F AF xy y   22 2 2 12 2; 25 8 17 51 8 ;3 10 3 5 5 5 5 19 19 7 5 34 57 0 3 hay 3; 1 ; 5 5 5 AFE DCB g g EF AF E t t EF t t t t t t E E             +) Theo giả thiết ta được 3; 1 E , phương trình : 2 0 AE x y .  Gọi ; D x y , tam giác ADE vuông cân tại D nên: 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 1 2 13 hay D(1;-1) D(3;1) 1 3 0 11 x y x y AD DE AD DE x x y y yx xx xx yy        +) Vì D và F nằm về hai phía so với đường thẳng AE nên D(1;-1). +) Khi đó, C(5;-1); B(1;5). (Tìm được C vì DE nhận E làm trung điểm, tìm D bằng đẳng thức BC AD ).  Vậy B(1;5); C(5;-1) và D(1;-1). Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tοạ độ Oxy , cho hình vuông ABCD và M là một điểm thuộc cạnh , CD M C D . Qua điểm A dựng đường thẳng d vuông góc với AM , d cắt đường thẳng BC tại điểm N . Biết rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là gốc tọa độ O , I là giaο điểm của AO và BC . Tìm tọa độ điểm B của hình vuông biết 6;4 ,O 0;0 , 3; 2 AI và điểm N có hoành độ âm. Lần 2 –Trƣờng THPT chuyên Hùng Vƣơng Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: Tam giác AMN vuông cân tại A.  Do tứ giác AMCN nội tiếp, suy ra 0 45 AMN NCA nên tam giác AMN vuông cân tại A, khi đó AO MN  tại O, nên ta viết được phương trình đường thẳng: : 3 2 0 MN x y  Giả sử 2 ;3 2 ; 3 N n n MN M n n O A D C B N M IFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 45 +) Ta có: 2 6;3 4 ; 2 6; 3 4 AN n n AM n n +) Do: .0 AN AM AN AM  2 6 2 6 3 4 3 4 0 2 4; 6 2 n n n n n N n    Phương trình đường thẳng BC qua N và I là : 4 7 26 0 BC x y , +) Phương trình đường thẳng AB qua A và vuông góc với BC là : 7 4 26 0 AB x y  Vì B BC AB  nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 4 7 26 6 22 ; 7 4 26 55 xy B xy  Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x – y + 2 = 0 , đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x – y – 5 = 0, Gọi H là hình chiếu của B xuống đường chéo AC, Biết 92 ; 55 M ; K(9;2) lần lượt thuộc trung điểm AH và CD. Tìm hoành độ các đỉnh của hình chữ nhật biết hoành độ đỉnh C lớn hơn 4 Lần 1 –Trƣờng THPT Đồng Xoài Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: MK MB   Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt BH, BC lần lượt tại P, N. Tứ giác MKCP là hình bình hành (do MP//CK, 1 2 MP CK AB ) +) Mặt khác ta có MN  BC và BH  MC suy ra P là trực tâm của tam giác MBC. +) Vậy CP  BM suy ra MK  MB  Gọi 1 ;2 2 d B b b 9 8 36 8 ;2 , ; 5 5 5 5 MB b b MK         +) Vì . 0 1 (1;4) MB MK b B  Gọi 2 ; 5 1; 9 ; 9; 7 C c c d BC c c KC c c +) Vì 0 . 0 9;4 4 c BC CK BC KC C c     Nên ta có 9;4 C và 9;0 1;0 DA Bài tập tƣơng tự 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường tròn (C): 22 10 xy , đỉnh C thuộc đường thẳng có phương trình: 2 1 0 xy . Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên AC. Trung điểm của AM và CD lần lượt là 31 ; 55 N và P(1;1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết rằng điểm B có hoành độ dương và điểm C có tung độ âm. (lần 1–Trường THPT Quỳnh Lưu 2 Nghệ An) Phân tích và hướng dẫn đáp số: FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 46 Gọi Q là trung điểm BM, khi đó // 1 2 NQ AB NQ AB  suy ra PCQN là hình bình hành. Suy ra CQ//PN. Trong tam giác BCN thì Q là trực tâm nên CQ vuông góc với BN. Vì vậy PN vuông góc với BN. Đáp số: 3;1 , 1; 3 , 3; 1 , 1;3 A B C D Bài tập tƣơng tự 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm 9 ( ;3) 2 M là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là d: 4 4 0 xy . Viết phương trình cạnh BC. (lần 3–Trường THPT Phú riềng – Bình Phước) Đáp số: : 2 12 0 BC x y Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm 9 ;3 2 M là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là : 4 4 0 d x y . Viết phương trình cạnh BC. Lần 3 –Trƣờng THPT Phú Riềng- Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: MK AK   Gọi K là trung điểm của HD. Gọi P là trung điểm của AH. +) Ta có AB vuông góc với KP. Do đó P là trực tâm của tam giác ABK. Suy ra BP vuông góc với KM. +) Mặt khác, do BMKP là hình bình hành nên cho ta KM KM , nên suy ra MK AK  .  MK đi qua 9 ;3 2 M và vuông góc với AK có pt: 15 : 4 0 2 MK x y +) K MK d  nên tọa độ điểm K là nghiệm của hệ 15 40 1 ;2 2 2 4 4 0 xy K xy  +) Do K là trung điểm của HD nên 0;2 D ,suy ra phương trình đường thẳng : 2 0 BD y +) AH qua H và vuông góc với BD nên có phương trình: : 1 0 AH x +) Tham số hóa điểm ;2 Bb , vì M là trung điểm BC nên 9 ;4 Cb FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 47 +) Ta có: 9 ;2 ; 9 2 ;2 DC b BC b mà DC vuông góc với BC nên suy ra: 5 .0 17 2 b DC BC b    +) Nên điểm 5;2 4;4 BC hoặc 17 1 ;2 ;4 22 BC          Phương trình đường thẳng : 2 12 0 BC x y hoặc : 2 8 33 0 BC x y Bài tập tƣơng tự: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên cạnh CD lấy điểm K sao cho MNCK là hình bình hành. Biết 92 ; ;K 9;2 25 M và các đỉnh B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình 2 2 0 xy và 50 xy , hoành độ đỉnh C lớn hơn 4. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D. lần 2–Trƣờng THPT Yên Thế Lời giải tham khảo: +) MN là đường trung bình của tam giác HAB suy ra MN // AB và 1 2 MN AB +) MNCK là hình bình hành nên CK // MN; 11 22 CK MN AB CD suy ra K là trung điểm của CD và N là trực tâm tam giác BCM, do đó CN MB  và MK // CN nên MK MB  . 36 8 9 8 ;2 2 , ; , ;2 5 5 5 5 . 0 1 1;4 B d B b b MK MB b b MK MB b B         ' ; 5 . 0 9 9;4 9;0 1;0 C d C c c BC KC c C D A Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tọa độ điểm D(5; 4). Đường trung trực của đoạn CD có phương trình 1 : 2 3 – 9 0 dxy và đường phân giác trong góc BAC của tam giác ABC có phương trình 2 : 5 10 0 d x y . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD. Lần 1 –Trƣờng THPT Thanh Hoa - Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Phương trình đường thẳng DC qua D và vuông góc với 1 d có dạng :3 2 7 0 DC x y +) 1 3;1 M CD d M  +) M là trung điểm DC nên 1; 2 C  Ta lại có A thuộc 2 d nên ( ; 5 10) A a a M B C A D d2 d1FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 48 Mà ABCD là hbh nên 4 ( 4; 5 16) 5 10 6 B B xa AB DC B a a ya   Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua 2 d , ta có: '( 4; 3) C AB +) Ta có: A, B, C’ thẳng hàng 4 5 7 ' ' 2 5 13 aa C A kC B a aa  Vậy 2;0 6; 6 . A và B Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Biết trung điểm cạnh AB là M(0;3), trung điểm đoạn thẳng IC là E(1;0) và điểm A có tọa độ nguyên. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D. Trƣờng THPT Nguyễn Du – Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: ME DE  +) Gọi H là trung điểm DI, khi đó H là trực tâm tam giác ADC (chứng minh tương tự các bài trên), nên AH DE  +) Đồng thời AMEH là hình bình hành nên AH DE +) Suy ra: ME DE   Phương trình : 3 1 0 DE x y +) Tham số hóa điểm 3 1; D d d DE +) Để ý thấy rằng: MGB EGH   , khi đó cho ta G là trung điểm ME nên 13 ; 22 G  Tứ giác AMED nội tiếp, nên cho ta 0 45 DAE AME nên cho ta tam giác EMD vuông cân tại E.  Phương trình đường tròn (C) tâm E bán kính ME có dạng: 2 2 : 1 10 C x y +) D C DE  nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ 2 2 2 1 1 10 4 3 1 0 1 x y xy x xy y           TH1: 2; 1 D , ta lập được phương trình AC đi qua E và nhận 55 ; 22 DG làm VTPT nên có dạng: : 1 0 AC x y +) Phương trình : 1 0 BD x y +) 0;1 I AC BD I  +) Từ đó ta tìm được 2;3 2;3 2; 1 B A C  TH2: 4;1 D ta lập được phương trình AC đi qua E và nhận 71 ; 22 DG làm VTPT nên có dạng: :7 7 0 AC x y +) Phương trình : 7 11 0 BD x y FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 49 +) 67 ; 55 I AC BD I  +) Từ đó ta tìm được 8 9 8 21 ;; 5 5 5 5 BA         (loại do tọa độ A nguyên). Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M và D có phương trình 2 2 0 xy . Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D, biết 1;4 A và đỉnh C nằm trên đường thẳng : 5 0 xy  và hoành độ điểm C lớn hơn 3. Trƣờng THPT Chuyên Bình Long- Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Ta có điểm C nằm trên đường thẳng : 5 0 c;5 , , 3 x y C c c c  . +) Lại có: 2 2 1 2.4 2 , 2. , 2 2 5 12 2 2 5 2 2 5 3 8 10 3 5 6 d C MD d A MD cc cl c c    Suy ra 6; 1 C +) Ta có điểm D nằm trên đường thẳng : 2 2 0 2 2; , d x y D d d d . Lại có 2 3; 4 ; 2 8; 1 AD d d CD d d +) Do ABCD là hình chữ nhật nên 2 1 . 0 2 3 2 8 4 1 0 5 25 20 0 4 d AD CD d d d d d d d    Kết luận: 6; 1 C , 0;1 7;2 DB hoặc 6; 1 C , 6;4 1; 1 DB Bài 14: Trong mặt phẵng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chư̂ nhật ABCD có 5; 7 A , điễm C thuộc đường thẵng có phương trình – 4 0 xy . Đường thẳng đi qua D và trung điễm cũa đoạn thẵng A B có phương trình 3 – 4 – 23=0 xy . Tìm tọa độ điểm B và C, biết B có hoành độ dương. Lần 2–Trƣờng THPT Hà Huy Tập Lời giải tham khảo: FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 50  Ta có 4 0 ( ; 4) C x y C c c , M là trung điểm AB và I là giao điểm AC và DM +) Theo định lý Thales thuận ta có: 1 10 10 2; 3 3 3 CD IC ID c c AI AC I AM IA IM +) Mặt khác I thuộc DM nên ta có: 10 10 3 4 23 0 1 (1;5) 33 cc cC +) Ta có M thuộc MD: 3 23 3 9 ; 2 5; 42 mm M m B m         Và có thêm: 35 2 10; 2 3 19 2 6; 2 m AB m m CB m    +) Lại có 3 5 3 19 . 0 (2 10)(2 6) 0 22 mm AB CB m m         +) Suy ra 29 1 5 m hay m  Do đó 33 21 ( 3; 3) ; 55 B hay B . Do B có hoành độ dương nên ta nhận 33 21 ( ; ) 55 B  Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là 33 21 ( ; ), (1;5) 55 BC Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ oxy , cho hình vuông ABCD có A(-1;3). Điểm B thuộc đường thẳng : 2 1 0 d x y . Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC và CD. AM cắt BN tại 71 ; 55 I . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông. Trƣờng THPT Trần Cao Sơn – Khánh Hoà Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AM BN  +) Ta có: BAI IBM mà 0 90 BAI IMB Suy ra: 0 90 IBM IMB hay AM BM   Phương trình đường thẳng : 4 3 5 0 AM x y +) Phương trình đường thẳng BN qua I và vuông góc với AM có dạng: :3 4 5 0 BN x y +) 3;1 B d BN B   Phương trình đường thẳng : 2 5 0 BC x y  2; 1 1; 3 3; 1 M BC AM M C D  Bài 16: Trong hệ tọa độ , Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: , 0 31 7 y x I N M C D A BFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 51 hai đỉnh , BD lần lượt thuộc các đường thẳng 1 : 8 0, d x y 2 : 2 3 0 d x y . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm Trƣờng THPT Lê Hồng Phong Lời giải tham khảo:  12 ( ;8 ), (2 3; ) B d B b b D d d d +) Khi đó D ( 2 3; 8) B b d b d và trung điểm của BD là 2 3 8 ; 22 b d b d I +) Theo tính chất hình thoi ta có: 8 13 13 0 0 .0 6 9 9 0 1 AC BD AC b d b u BD I AC b d d I AC      .  Suy ra (0;8); ( 1;1) BD . +) Khi đó 19 ; 22 I ; ( 7 31 ; ) A AC A a a . 2 1 15 . 15 2 2 2 ABCD ABCD S S AC BD AC IA BD 2 2 2 3 (10;3) ( ) 63 9 225 9 9 7 6 ( 11;6) 2 2 2 2 4 a A ktm a a a aA                Suy ra (10;3) C . Bài 17: Trong mặt phẵng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15. Đường thẳng AB có phương trình 20 xy . Trọng tâm của tam giác BCD có tọa độ 16 13 ; 33 G . Tìm tọa độ A, B, C, D biết B có tung độ lớn hơn 3. Trƣờng THPT Đông Du - Đăklăk Lời giải tham khảo:  10 ( ; ) 5 3 5 35 d G AB BC AB +) Đường thẳng d qua G và vuông góc với AB là : : 2 15 0 d x y +) Gọi  1 (6;3) 5 3 N d AB N NB AB +)   2 2 (2 ; ) 5 (8;4) 4 b B b b AB NB B b Ta có: 3 (2;1) BA BN A ; 3 (7;6) 2 AC AG C ; (1;3) CD BA D  Kết luận: (2;1) A ; (8;4) B ; (7;6) C ; (1;3) D . Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD có 1;5 , 2 A AB BC và điểm C thuộc đường FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 52 thẳng : 3 7 0 d x y . Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia CB, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD. Tìm tọa độ các điểm B và C biết 51 ; 22 N và điểm B có tung độ nguyên. Trƣờng THPT- Lạc Long Quân – Khánh Hoà Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AN CN  +) Gọi I AC BD  +) Do tam giác BDN vuông tại N nên IN IB ID Mà lại có IC IA ID IB IN IC IA Suy ra tam giác ANC vuông tại N hay AN CN   Phương trình đường thẳng CN qua N và vuông góc với NC có dạng :7 9 13 0 CN x y +) 2; 3 C d CN C   Giả sử ; B a b . Do 2; AB BC AB BC  nên ta có hệ phương trình: 2 2 2 2 5; 1 1 2 5 3 0 79 ; 1 5 4 2 3 55 ab a a b b a b l a b a b      Vậy 5; 1 ; 2; 3 BC Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng (d): 30 xy và (d’): 60 xy . Trung điểm M của AB là giao điểm của (d) với Ox và điểm A có tung độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Lần 2- Trƣờng Trung cấp nghề Ninh Hoà Lời giải tham khảo:  Gọi I là giao điểm của (d) và (d’) suy ra 93 ; 22 I +) M là giao điểm của (d) và Ox suy ra 3;0 M 22 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 IM BC IM         12 22 32 AB +) Gọi ; AA A x y Ta có .0 MA MI MA MI  3 0 (1) AA xy +) Mặt khác 2 2 AB MA 2 22 3 2 (2) AA MA x y Từ (1) và (2) suy ra 4; 1 A hoặc 2;1 A +) Do A y > 0 nên 2;1 ; A 4; 1 B FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 53  Lấy đối xứng các điểm A, B qua tâm I ta được 7;2 ; 5;4 CD Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm 3; 1 I , điểm M trên cạnh CD sao cho 2 MC MD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đường thẳng AM có phương trình 2 4 0 xy và đỉnh A có tung độ dương. Lần 1–Trƣờng THPT Đoàn Thƣợng – Hải Dƣơng Lời giải tham khảo:  Gọi H là hình chiếu của I trên AM 3 ( ; ) 5 IH d I AM +) Giả sử AM BD N  và P là trung điểm của MC / / / / IP AM NM IP . Từ M là trung điểm của DP suy ra N là trung điểm của DI. +) Gọi cạnh của hình vuông là a thì 2 1 2 , 2 2 4 aa AI IN ID Từ 2 2 2 2 2 1 1 1 5 2 8 32 9 a IH IA IN a a +) A thuộc AM nên 2 2 2 ( ;2 4) (t 3) (2t 3) 3 5 18 9 0 A t t IA t t 3 (3;2) 3 3 14 ; 5 5 5 tA tA     . Do A có tung độ dương nên (3;2) A  Suy ra (3; 4) C . Đường thẳng BD đi qua điểm I và có vtpt (0; 3) AI có phương trình : 1 0 BD y . 3 ;1 2 N AM BD N  . N là trung điểm của DI 0; 1 (6; 1) DB Bài 21: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm 3;3 I và 2 AC BD . Điểm 4 2 ; 3 M thuộc đường thẳng AB, điểm 13 3; 3 N thuộc đường thẳng CD. Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3. Lần 2–Trƣờng GDTX Cam Lâm Lời giải tham khảo:  Tọa độ điểm ’ N đối xứng với điểm N qua I là 5 ' 3; 3 N Đường thẳng AB đi qua , ’ MN có phương trình: 3 2 0 xy Suy ra: 3 9 2 4 , 10 10 IH d I AB (Với H là chân đường vuông góc từ I xuống AB)  Do 2 AC BD nên 2 IA IB . Đặt 0 IB x , ta có phương trình: 2 22 1 1 5 22 48 xx xx I D A C B N N' H MFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 54  Đặt , B x y . Do 2 IB B AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ: 22 2 14 43 5 18 16 0 3 3 2 5 82 32 3 2 0 5 x x yy xy y xy xy y      +) Do B có hoành độ nhỏ hơn 3 nên ta chọn 14 8 ; 55 B  Vậy phương trình đường chéo BD là: 7 18 0 xy . Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A( 1; 4) và AB = 2AD. Đường thẳng chứa đường chéo BD có phương trình: x – y + 1 = 0, biết điểm D có hoành độ dương. Viết phương trình đường thẳng chứa đường chéo AC Đề 2 –Trƣờng GDTX Nha Trang Lời giải tham khảo:  Gọi I AC BD  +) Ta có: 1 4 1 ; 2 2 2 d A BD +) Ta có 2 2 2 1 1 1 5 1 10 8 4 8 AD AD AB AD +) Tham số hóa điểm ; 1 0 D d d BD d +) 22 0 10 1 3 10 2 dl AD d d d   Suy ra điểm 2;3 D  Phương trình đường thẳng AB nhận 3; 1 AD làm VTPT và qua A có dạng: :3 7 0 AB x y  11 3; 2 ; 0; 3 22 B AB BD B I C  Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm E(2; 3) thuộc đoạn thẳng BD, các điểm H(-2; 3) và K(2; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm E trên AB và AD . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C, D của hình vuông ABCD. Trƣờng THPT Hồng Lĩnh Hà Tĩnh Lời giải tham khảo:  Ta có: : 3 0 EH y : 2 0 EK x : 2 0 : 4 0 AH x AK y  2;4 A +) Giả sử ; n a b , 22 0 ab là VTPT của đường thẳng BD . Có: 0 45 ABD nên: 22 2 2 a ab ab  FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 55 +) Với ab , chọn 1 1 : 1 0 b a BD x y 2; 1 ; 3;4 BD 4; 4 1;1 EB ED  E nằm trên đoạn BD (t/m) Khi đó: 3; 1 C +) Với ab , chọn 1 1 : 5 0 b a BD x y . 2;7 ; 1;4 BD 4;4 1;1 EB ED  4 EB ED E ngoài đoạn BD (L)  Vậy: 2;4 ; 2; 1 ; 3; 1 ; 3;4 A B C D Bài 24: Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hình thang D ABC với hai đáy là AB và CD. Biết diện tích hình thang bằng 14, đỉnh 1;1 A và trung điểm cạnh BC là 1 ;0 2 H . Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng :5 1 0 d x y Lần 3–Trƣờng THPT Lƣơng Tài – Bắc Ninh Lời giải tham khảo:  Gọi E AH DC  . Dễ thấy 14 ADE ABCD HAB HEC S S    +) 13 , E 2A 13 2 a AH A H a ; +) phương trình : 2 3 1 0 AE x y ;5d 1 , 0 D d D d d D 2 1 28 E. , E 14 , E ... 30 2 () 13 13 AE d S A d D A d D A dL    +) Suy ra 2;11 D +) H là trung điểm AE 2; 1 E Phương trình CD: 3 5 0 xy  AB đi qua A và song song với CD :3 2 0 pt AB x y Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BD là 67 55 H ; , điểm 10 M( ; ) là trung điểm cạnh BC và phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH có phương trình là 7 3 0 x y . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Lần 2 –Trƣờng THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 56 Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: MN AN  +) Gọi N, K lần lượt là trung điểm của HD và AH NK //AD và 1 2 NK AD. Do AD AB NK AB.   Mà AK BD K  là trực tâm tam giác ABN. +) Suy ra BK AN  (1) Vì M là trung điểm BC 1 2 BM BC. Do đó NK // BM và NK BM +) Suy ra BMNK là hình bình hành MN //BK (2) +) Từ (1) và (2) suy ra MN AN.   Phương trình MN có dạng: 70 x y c . 1 0 1 7 0 0 1 M( ; ) MN . c c . phương trình MN là: 7 1 0 x y .  Mà 21 55 N MN AN N ; .  Vì N là trung điểm HD 21 D( ; ). Ta có: 86 55 HN ; Do AH HN  AH đi qua H và nhận 43 n ( ; ) là 1 VTPT. phương trình AH là: 4 3 9 0 x y .  Mà 03 A AH AN A( , ).  +) Ta có: 2 2 1 2 2 2 2 4 2 0 2 BB BB ( x ) x AD BM B( ; ). ( y ) y   Vì M là trung điểm BC 02 C( ; ).  Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: 0 3 2 2 0 2 2 1 A( ; ),B( ; ),C( ; ),D( ; ). Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và B , có 2 BC AD , đỉnh 3;1 A và trung điểm M của đoạn BC nằm trên đường thẳng : 4 3 0 d x y . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD, biết 6; 2 H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng CD . Lần 1–Trƣờng THPT Marie-Curie Hà Nội Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AH HM  +) Từ giả thiết ta có ABMD là hình chữ nhật. +) Gọi () C là đường tròn ngoại tiếp ABMD . BH DH  () HC HA HM  (*)  : 4 3 0 M d x y 4 3 ; M m m A D C B H M N KFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 57 9; 3 AH , 4 3 ; 2 HM m m Ta có: (*) .0 AH HM 9 4 3 3 2 0 1 m m m  Suy ra: 7;1 M . +) ADCM là hình bình hành DC đi qua 6; 2 H và có một vectơ chỉ phương 10;0 AM Phương trình : 2 0 DC y . +) : 2 0 D DC y ; 2 Dt +) 3 ; 3 AD t , 7 ; 3 MD t  2 2; 2 . 0 3 7 9 0 6 6; 2 ( tD AD DM AD MD t t t D H      loaïi) +) Gọi I AM BD  I là trung điểm AM 2;1 I I là trung điểm BD 6;4 B M là trung điểm BC 8; 2 C  Vậy: 6;4 B , 8; 2 C , 2; 2 D . Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AD, BC. Biết B(2; 3) và AB BC , đường thẳng AC có phương trình 10 xy , điểm 2; 1 M nằm trên đường thẳng AD. Viết phương trình đường thẳng CD. Trƣờng THPT Nguyễn Chí Thanh 1 Lời giải tham khảo:  Vì ABCD là hình thang cân nên nội tiếp trong một đường tròn. Mà BC CD nên AC là đường phân giác của góc BAD . +) Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua AC. Khi đó ' B AD . +) Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: Suy ra 3;2 H . +) Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H là trung điểm của BB’. Do đó ' 4;1 B .  Đường thẳng AD đi qua M và nhận ' MB làm vectơ chỉ phương nên có phương trình : 3 1 0 AD x y . Vì A AC AD  nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 1 0 1 1;0 3 1 0 0 x y x A x y y  FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 58  Ta có ABCB’ là hình bình hành nên ' 5;4 AB BC C . +) Gọi d là đường trung trực của BC, suy ra :3 14 0 d x y +) Gọi I AD d  , suy ra I là trung điểm của AD. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 3 14 0 43 11 38 11 ;; 3 1 0 10 10 5 5 xy ID xy           Vậy đường thẳng CD đi qua C và nhận CD làm vectơ chỉ phương nên có phương trình :9 13 97 0 CD x y . Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 2. Tâm I là giao của hai đường thẳng 1 : 2 0 d x y và 2 : 2 4 13 0 d x y . Trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của 1 d với trục Ox . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết điểm A có tung độ dương. Trƣờng THPT Ngọc Tảo Lời giải tham khảo:  12 73 ; 22 I d d I  +) 1 2;0 M d Ox M  +) Phương trình đường thẳng AD qua M và nhận 13 ; 22 MI là VTPT có dạng: : 3 2 0 AD x y +) Tham số hóa 3 2; 0 A a a AD a +) Vì: 1 2 10 4 10 10 2 ABCD AMI SS AM MI   +) Nên 2 1 1 17 1 10 ; 10 10 10 10 a a A +) Vì AD nhận M là trung điểm nên 23 1 ; 10 10 D +) AC nhận I làm trung điểm nên 53 29 ; 10 10 C +) BD nhận I làm trung điểm nên 47 31 ; 10 10 B  Kết luận: 17 1 ; 10 10 A ; 47 31 ; 10 10 B ; 53 29 ; 10 10 C ; 23 1 ; 10 10 D Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD 0 90 BAD ADC có đỉnh 2;2 D và 2 CD AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 59 D lên đường chéo AC. Điểm 22 14 ; 55 M là trung điểm của HC. Xác định tọa độ các đỉnh ,, A B C , biết rằng đỉnh B thuộc đường thẳng : 2 4 0 xy  . Lần 1 –Trƣờng THPT Nguyễn Viết Xuân Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: DM BM  +) Gọi E là trung điểm của đoạn DH. Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành ME AD  nên E là trực tâm tam giác ADM. Suy ra AE DM  mà // AE DM DM BM   Phương trình đường thẳng :3 16 0 BM x y +)Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 24 4;4 3 16 xy B xy  +) Gọi I là giao điểm của AC và BD, ta có 1 10 10 2; 2 3 3 AB IB DI IB I CD IC +) Phương trình đường thẳng : 2 10 0 AC x y +) P hương trình đường thẳng 14 18 : 2 2 0 ; 6;2 55 DH x y H C +) Từ 2 2;4 CI IA A .  Kết luận: 2;4 A ; 4;4 B ; 6;2 C Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có (4;5) D . Điểm M là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình 8 10 0 xy . Điểm B nằm trên đường thẳng 2 1 0 xy . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C, biết rằng C có tung độ nhỏ hơn 2. Lần 1–Trƣờng THPT Phan Bội Châu Lời giải tham khảo:  Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của B, D lên CM. 26 ( , ) 65 DK d D CM +) Gọi ; I BD AC G BD CM   . Suy ra, G là trọng tâm . ACD  Ta có : 52 2 2 2 65 BH BG DG GI BG DG BH DK DG FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 60 +) 2 17 18 52 ( ; 2 1); ( ; ) 70 () 65 65 17 b b B b b d B CM BH bl    (loại vì điểm B, D nằm cùng phía với CM) +) Ta có: (2; 5) I(3;0) B +) 2 1 (8 10; ) CM; . 0 65 208 143 0 11 () 5 c C c c CD CB c c cl     Suy ra: ( 2;1), (8; 1) CA  Vậy (8; 1), (2; 5), ( 2;1). A B C Bài 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với AB//CD có diện tích bằng 14, 1 ( ;0) 2 H là trung điểm của cạnh BC và 11 ( ; ) 42 I là trung điểm của AH. Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D thuộc đường thẳng d: 5 1 0 xy . Lần 1–Trƣờng THPT Phan Thúc Trực Lời giải tham khảo: (Giống bài 24)  Vì I là trung điểm của AH nên A(1;1); Ta có: 13 2 AH . +) Phương trình AH là: 2 3 1 0 xy . +) Gọi M AH CD  thì H là trung điểm của AM. +) Suy ra: 2; 1 M . Giả sử ; 5 1 0 d D d d a . Ta có: +) . ( , ) 14 ABCD ADM ABH MCH S S AH d D AH    28 ( , ) 13 d D AH Hay 13 2 28 2( ì 0) d d v a (2;11) D  Vì AB đi qua A(1;1) và có VTCP là (4;12) MD nên AB có phương trình :3 2 0 AB x y Bài 32: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD; E,F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH. Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Lần 2–Trƣờng THPT Quỳnh Lƣu 3 Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: AF EF  Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH AB. Ta chứng minh AF EF  . FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 61 +) Ta thấy các tứ giác ADEG và ADFG nội tiếp nên tứ giác ADEF cũng nội tiếp, do đó AF EF  . +) Đường thẳng AF có pt: : 3 4 0 AF x y . +) Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ : 17 3 10 17 1 32 5 ; 3 4 1 5 5 5 5 x xy F AF xy y      12 2; 25 AFE DCB EF AF    22 2 8 17 51 8 ;3 10 3 5 5 5 5 E t t EF t t          2 19 19 7 5 34 57 0 3 hay 3; 1 ; 5 5 5 t t t t E E   +) Theo giả thiết ta được 3; 1 E , phương trình : 2 0 AE x y . +) Gọi D(x;y), tam giác ADE vuông cân tại D nên 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 1 2 13 hay D(1;-1) D(3;1) 1 3 0 11 x y x y AD DE AD DE x x y y yx xx xx yy         Vì D và F nằm về hai phía so với đường thẳng AE nên D(1;-1).  Khi đó, C(5;-1); B(1;5). Vậy B(1;5); C(5;-1) và D(1;-1) Bài 33: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB AD CD , điểm (1 ;2) B , đường thẳng BD có phương trình là 20 y . Đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt cạnh AD tại M . Đường phân giác trong góc MBC cắt cạnh DC tại N . Biết rằng đường thẳng MN có phương trình 7 25 0 xy . Tìm tọa độ đỉnh D . Lần 1–Sở GD Vĩnh Phúc Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: M và C đối xứng qua BN.  Tứ giác BMDC nội tiếp 0 45 BMC BDC DBA BMC  vuông cân tại B, BN là phân giác trong MBC , MC đối xứng qua BN Nên cho ta: 4 ,, 2 AD d B CN d B MN A B D C G E F HFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 62 +) Do 24 AB AD BD AD +) : 2 0 ( ;2) BD y D a 5 5;2 4 3 3;2 ( ) aD BD a D loai cung phia B so voi MN     Vậy có một điểm thỏa mãn là: (5;2) D Bài 34: Trong mặt phẳng (Oxy), cho hình chữ nhật ABCD có 2 AB AD , đỉnh (0;5) A . Đường thẳng  qua đỉnh B và vuông góc với AC có phương trình 3 1 0 xy và đỉnh D nằm trên đường thẳng d có phương trình 2 7 0 xy . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD. Lần 1–Trƣờng THPT Trần cao Vân-Khánh Hoà Lời giải tham khảo: +) :3 5 0 AC ptAC x y   +) H AC   nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình: 8 35 81 5 ; 3 1 1 55 5 x xy H xy y   =) Trong AHB vuông tại B có, 22 2 2 2 2 4 . 5 4 AH AB AB AB AH AC AB AC AC AB 5 (2; 1) 4 AC AH C +) Phương trình đường tròn tâm 1;2 I bán kính IA có dạng: 22 : ( 1) ( 2) 10 C x y +) () D C d  nên tọa độ D là nghiệm hệ phương trình: 22 3 2 7 0 2 5 3 29 ( 1) ( 2) 10 5 x xy x y xy y     . Suy ra: 3 29 ( 2;3) ; 55 DD  +) BC   nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình: 22 3 3 1 0 4 5 1 14 ( 1) ( 2) 10 5 x xy x y xy y     . Suy ra 3 14 4;1 ; 55 BB   Vì I là trung điểm AD nên (4;1) B và ( 2;3) D Bài 35: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng : 2 3 0 AB x y và đường thẳng : 2 0 AC y . Gọi I là giao FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 63 điểm của hai đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD, biết 2 IB IA , hoành độ điểm I: 3 I x và 1;3 M nằm trên đường thẳng BD. Lần 2–Trƣờng THPT Tôn Đức Thắng Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: EF // BD  Ta có A là giao điểm của AB và AC nên 1;2 A . Lấy điểm 0;2 E AC . Gọi 2 3; F a a AB sao cho EF // BD. Khi đó EF 22 EF AE BI EF AE BI AI AE AI 22 1 2 3 2 2 11 . 5 a aa a     Với 1 a thì 1 ; 1 EF là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của BD là 1 ; 1 n . Phương trình : 4 0 BD x y 2;2 BD AC I  5; 1 BD AB B  Ta có 33 2 2; 2 22 IB IB IB ID ID ID D ID IA . 1 3 2 2;2 2 IA IA IA IC IC IC C IC IB .  Với 11 5 a thì 71 ; 55 EF là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của BD là 1 ; 7 n . Do đó, : 7 22 0 BD x y 8;2 I (loại). Bài 36: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết AB=AD=2; CD= 4, phương trình:0 BD x y , C thuộc đường thẳng : 4 1 0 d x y . Tìm tọa độ của A biết điểm C có hoành độ dương. Lần 1–Trƣờng THPT Trần Bình Trọng Lời giải tham khảo:  Giả sử 4 1; C c c d  Từ giả thiết chứng minh được DB vuông góc với BC và suy ra: 2 2 [ ,( )] CB d C BD ) 41 2 2 3 1 4 11 3 1 4 1 (5;1) 3 1 4 5 / 3(loai) cc c cc C cc   +) B là hình chiếu của C lên đt BD 3; 3 B  Mà AB= 2 nên A thuộc đường tròn có PT 22 (x 3) (y 3) 4 (1) +) Tam giác ABD vuông cân tại A => góc ABD= 45 0 => PT của AB là x= 3 hoặc y= 3 Với x= 3 thế vào (1) giải ra y =1 hoặc y= 5 => A(3; 1) thử lại không thỏa; A(3; 5) thỏa Với y= 3 thế vào (1) giải ra x =1 hoặc x= 5 => A(1; 3) thỏa; A(5; 3) không thỏa. E I A D B C F MFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 64 Bài 37: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCDcó 2 AD AB . Gọi , MN lần lượt là trung điểm của các cạnh , AD BC . Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK . Tìm tọa độ các đỉnh , , , A B C D biết 5; 1 K , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là 2 3 0 xy và điểm A có tung độ dương. Lần 3–Trƣờng THPT Thạch Thành 1 Bắc Ninh Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học : AC DK  Ta có CAD DKM CAD DKM   . Mà 90 90 DKM KDM KDM DAC AC DK  . +) Gọi AC DK I  . Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ 13 2 3 0 13 11 5 ; 2 7 0 11 55 5 x xy I xy y   +) Gọi J là trung điểm giao điểm của MN với AC khi đó J là tâm của hìnhh chữ nhât ABCD. +) Do tam giác KIJ KMD    22 22 5 4 IK KJ IK KM AB KM KD KJ KD AB AB +) Ta có: 22 13 11 6 5 1 3 4 55 5 IK JK KM         +) Từ đó suy ra: 8 5 AI +) Giả sử 22 13 26 64 ; 2 3 2 5 5 5 A a a AC a a         21 27 ; 55 1;1 Al A     +) 8 3; 3 2; 1 10 AI AC C J +) Phương trình đường tròn tâm J, bán kính AJ có dạng: 22 : 2 1 5 C x y +) Phương trình : 2 7 0 DK x y 1; 3 3;1 21 7 1 3 ;; 5 5 5 5 DB D KD C DB              Bài 38: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;2). Gọi M là trung điểm của AB, đường thẳng DM có phương trình 5x + 3y – 7 = 0, điểm C thuộc đường thẳng d có phương trình 2x – y – 7 = 0. Xác định tọa độ các điểm A,B,C,D biết FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 65 điểm D có hoành độ dương. Lần 1–Trƣờng THPT Thăng Long – Hà Nội Lời giải tham khảo: +) Gọi G là trọng tâm tam giác ABD  Giả sử ;2 7 C c c d Do 3 4 2 ;5 4 3 3 3 c CI CG G c +) Mà G thuộc DM nên: 42 5 3 5 7 0 4 3 3 3 c cc         Nên 4;1 2;3 CA +) Phương trình đường tròn tâm I bán kính AI có dạng: 22 : 1 2 10 C x y Nên 2; 1 0;5 D DM C D B  Bài 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD.Tam giác BDM nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: 22 ( 4) ( 1) 25 xy .Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là: 3 4 17 0 xy ; đường thẳng BC đi qua điểm E(7;0) và điểm M có tung độ âm Lần 1–Trƣờng THPT Xuân Trƣờng, Nam Định Lời giải tham khảo I M C A D B N E +(T) có tâm I(4;1);R=5 + Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM và N,C là chân các đường cao nên chứng minh được :IM  CN + Lập ptđt IM qua I và IM  CN : 4(x-4)+3(y-1)=0  4x+3y-19=0 + M là giao điểm (T) với IM : M(7; 3) M(1;5) (loai)   +Đường thẳng BC qua M,E có pt : x=7 + C là giao điểm BC và NC => C(7 ;1) + B đối xứng M qua C => B(7 ;5) + Đường thẳng DC qua C và vuông góc BC : y=1 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 66 D là giao điểm (T) và DC : D(9;1) D( 1;1)   Vì B,D nằm cùng phía với CN nên D(-1 ;1) +Do BA CD => A(-1 ;5) Bài 40: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên DE. Biết 2 14 H; 55 , 8 F ; 2 3 , C thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0, D thuộc đường thẳng d’: x – 3y + 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông. lần 2–Trƣờng THPT Thuận Thành -Bắc Ninh Lời giải tham khảo: Gọi M là giao điểm của AH và BC. Hai tam giác ADE và BAM bằng nhau nên BM = AE = AF. Suy ra các tứ giác ABMF, DCMF là các hình chữ nhật.. Gọi I là giao điểm của FC và MD. Ta có 11 HI MD FC 22 nên tam giác HFC vuông tại H. PT đường thẳng AD: 3x – y – 10 = 0. Giả sử A(a; 3a – 10). DA = DC a6 a2   A 6;8 A 2; 4    . Vì DF,DA cùng hướng nên A(2; – 4) . CB DA B 4; 2 . Vậy A(2; – 4), B 4; 2 , C 2;4 , D 4;2 . Bài 41: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm I( 5 ; 2 3 2 ), BC = 2AB, góc BAD = 60 0 . Điểm đối xứng với A qua B là ( 2;9) E . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết rằng A có hoành độ âm. lần 1, Sở giáo dục tỉnh Thanh Hóa Lời giải tham khảo: Đặt m AD m AB 2 . Ta có 2 2 2 0 2 2 . cos60 3 BD AB AD AB AD m . 3 BD m Do đó 2 2 2 AD BD AB nên tam giác ABD vuông tại B, nghĩa là AE IB  . 4 7 2 3 2 2 2 2 2 2 m m m BE IB IE       . Mặt khác 28 4 ) 3 2 ( 2 2 2 IE nên ta có A B E I D C FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 67 4 28 4 7 2 m m 3 2 2 3 m IB . Gọi ) ; ( b a n là vectơ pháp tuyến của AB ( ) 0 2 2 b a khi đó AB có phương trình 0 9 2 0 ) 9 ( ) 2 ( b a by ax y b x a Ta lại có ) ( 12 ) 4 3 2 ( 3 2 4 3 2 ) , ( 2 2 2 2 2 b a b a b a b a IB AB I d a b b a b b 3 4 , 0 0 ) 3 4 ( +) Với b = 0, chọn a = 1, khi đó AB có phương trình 0 2 x , suy ra IB có phương trình 0 5 y . Do IB AB B  nên ) 5 ; 2 ( B , mà B là trung điểm của AE nên ) 1 ; 2 ( A (thỏa mãn điều kiện 0 A x ). Do I là trung điểm của AC và BD nên ta suy ra (4 3 2;9), (4 3 2;5) CD +) Với a b 3 4 , chọn a = 1 3 4 b , khi đó AB có phương trình 0 3 36 2 3 4 y x , suy ra IB có phương trình 0 ) 5 ( ) 2 3 2 ( 3 4 y x . 0 19 3 8 3 4 y x Do IB AB B  nên       7 59 ; 7 14 3 16 B , mà B là trung điểm của AE nên       7 55 ; 7 14 3 32 A (không thỏa mãn điều kiện 0 A x ). Vậy ) 5 ; 2 ( ), 1 ; 2 ( B A , (4 3 2;9), (4 3 2;5) CD Bài 42: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cho hình chữ nhật ABCD có phương trình : 2 3 0 AD x y . Trên đường thẳng qua B và vuông góc với đường chéo AC lấy điểm E sao cho BE AC (D và E nằm về hai phía so với đường thẳng AC). Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm (2; 5) E , đường thẳng AB đi qua điểm (4; 4) F và điểm B có hoành độ dương. lần 1, Sở giáo dục tỉnh Bắc Giang Lời giải tham khảo: FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 68 B H F C A D E Ta có : 2 3 0  AB AD x y và AB đi qua F(4 ; -4) : 2 4 0 AB x y . Khi đó (1;2) A AB AD A  Ta có đường thẵng EF đi qua hai điễm E(2;-5) và F(4;-4). Do đó ta lập được phương trình : 2 12 0 EF x y Suy ra EF AD EF AB  tại F. Khi đó, ta ABC EFB   vì , AC BE EBF BCA (cùng phụ với HBC ) 5 AB EF . Ta có : 2 4 0 ( ;4 2 ), 0. B AB x y B b b b Vậy 2 2 2 5 ( 1) (2 2 ) 5 5 10 0 2( 0) (2;0) AB b b b b b dob B Ta có : 2 4 0 BC AB x y  và BC đi qua B(2; 0) : 2 2 0 BC x y AC đi qua A(1; 2) và vuông góc với BE AC nhận (0; 5) BE là véc tơ pháp tuyến : 5( 2) 0 2 AC y y . Khi đó, ta có (6;2) C AC BC C  CD đi qua C(6; 2) và : 2 3 0 CD AD x y  : 2 14 0 CD x y . Khi đó (5;4) D CD AD D  . Vậy ta có tọa độ A(1;2), B(2;0), C(6;2), D(5;4). Bài 43: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của đoạn , AD N thuộc đoạn DC sao cho ND NC 3 . Đường tròn tâm N qua M cắt AC tại BD AC I J J   , 1 ; 3 , đường thẳng đi qua N M, có phương trình : 0 1 y x . Tìm tọa độ điểm B. lần 2, THPT Việt Trì, Phú Thọ. Lời giải tham khảo: FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 69 MN cắt đường tròn tâm N tại K .ta chứng mính được tứ giác MIJK nội tiếp gócNKJ = gócAIM =45 0 ===> góc JNK= 90 0 NJ vuông góc với (MN) nên có phương trình : x-y-2 =0 ===>(     2 3 ; 2 1 N Tam giác JMN vuông cân nên   ) 1 ; 2 ( ) 4 ; 3 ( 2 M M PN MJ Với M(-2;1) gọi JA MN P  ta có ) 6 ; 7 ( . 3 P NM NP PJ PA 5 2 tìm được A(-3;4) , vì A là trung điểm của IP nên I(1; 2) Ta có MI AB 2 B(3;6) Tương tự Với M(3;-4) t tìm được A(6;-5) , I(4; -1) và B(8;1) Vậy tọa độ điểm B(3;6) hoặc B(8;1) Bài 44: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I. Các điểm 10 11 ; 33 G , 2 3; 3 E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABI và tam giác ADC. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết tung độ đỉnh A là số nguyên. lần 2, THPT Thanh Chƣơng 1, Nghệ An. Lời giải tham khảo: Gọi M là trung điểm của BI và N là hình chiếu vuông góc của G lên BI. Ta có: 2 2 1 (1) 3 3 3 IN AG GN AI IN IM BI IM AM E là trọng tâm ACD  K A C B D N M J I P FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 70 1 1 2 . 3 3 3 IE ID BI EN IN IE BI BN BN EN BGE  cân tại G. GA GB GE A, B, E cùng nằm trên đường tròn tâm G. Phương trình (AG): G : 13 51 0 51 13 ; AB qua AG x y A a a    Khi đó AGE  vuông cân tại G AG GE . 2 2 2 2 4 143 11 170 11 1 13 1;4 10 3 3 9 3 9 3 a AG a a a A a                   Ta có: 2 2 11 7 ; 3 3 2 2 AG AM AG AM M Phương trình (BD) đi qua E và M :5 3 17 0 BD x y Phương trình đường tròn (G; R=GA): 22 10 10 170 3 3 9 xx         . B là giao điểm thứ hai của (BD) và (G) 7;6 B . Bài 45: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân () ABCD AB CD có đỉnh (2; 1) A . Giao điểm hai đường chéo AC và BD là điểm (1;2) I . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI có tâm 27 9 ; 88 E . Biết đường thẳng BC đi qua điểm (9; 6) M . Tìm tọa độ các đỉnh , BD biết điểm B có tung độ nhỏ hơn 3. lần 2, THPT Cao Lãnh 2, Đồng Tháp. Lời giải tham khảo Gọi H là trung điểm DI và K là giao điểm của EI và BC Ta chứng minh EK BC  Thật vậy ta có , EH DI  góc DBC DAC (tính chất hình thang cân) DAC IEH (góc ở tâm), suy ra DBC IEH Mặt khác EIH BIK (đối đỉnh). Do đó 0 90 BIK EK BC  Ta có 35 25 ; , : 7 5 33 0 88 EI BC x y ( 1;3); : 3 5 0 AI AC x y Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 7 5 33 0 1 ( 1;8) 3 5 0 8 x y x C x y y  33 5 ; , 3. 7 b B BC B b b Ta có 10 IA IB 2 1 37 228 191 0 (4;1) 191 () 37 b b b B bl     2 10 2 . IC ID DI IB Suy ra ( 5;4) D Bài 46: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọ H FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 71 là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BD và M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh CD, BH. Biết điểm A(0; –1), phương trình đườngthẳng MN là 3 9 0 xy và điểm M có hoành độ nguyên. Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D. lần 1, THPT Chí Linh, Hải Dƣơng. Lời giải tham khảo Gọi E là trung điểm của AB thì tứ giác là hình vuông và E . Do đó hai tứ giác và là các tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên cũng là tứ giác nội tiếp là hình chiếu của trên đường thẳng . Đường thẳng đi qua và vuông góc với MN nên có phương trình . Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ Vì nên với . Tứ giác nội tiếp nên suy ra hai tam giác và đồng dạng Đường thẳng có phương trình là Tam giác vuông cân tại nên ta tìm được 2 điểm là và . Do và nằm về hai phía đối với đường thẳng nên Mà nên là trung điểm của nên ta tính được . Từ đó tính được Vậy Bài 47: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(4;6) . Gọi MN , lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và CD sao cho MAN 0 45 , M( 4;0) và đường thẳng MN có phương trình xy 11 2 44 0 . Tìm tọa độ các điểm BC D , , . lần 2, THPT Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh. Lời giải tham khảo Gọi , , . E BD AN F BD AM I ME NF    Ta có 0 45 MAN NDB nên hai tứ giác , ADNF ABNE nội tiếp. Do đó ,. ME AN NF AM  suy ra . AI MN  Gọi H AI MN  . Ta có , ABME MNEF là các tứ giác nội tiếp nên AMB AEB AMH . Suy ra . AMB AMH   Do đó B là điểm đối xứng của H qua đường thẳng AM N H C B M E A DFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 72 Từ AH MN  tại H , tìm được 24 22 ; 55 H . Do B là đối xứng của H qua AM , nên tìm được (0; 2). B Tìm được : 2 4 8 0, : 2 18 0 BC x y CD x y . Suy ra ( 8; 2) C Từ AD BC ta tìm được ( 4;10). D Bài 48: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có 0 135 BAD trực tâm tam giác ABD là ( 1;0) H . Đường thẳng đi qua D và H có phương trình 3 1 0. xy Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành, biết điểm 5 ;2 3 G là trọng tâm tam giác . ADC lần 2, THPT Chuyên Nguyễn Huệ. Lời giải tham khảo Ta có 00 180 45 BAD BHD BHD Gọi 22 ( ; ) (a 0) n a b b là VTPT của đường thẳng HB Do đường thẳng HB tạo với đường thẳng HD một góc 0 45 nên 0 2 2 22 3 2 cos 45 2 3 2 0 2 10. ab ab a ab b ba ab   Nếu 2 ab . Chọn 2, 1 ab . Phương trình đường thẳng : 2 2 0. HB x y Do G là trọng tâm tam giác ADC nên 1 2 2 (1; 4), (2;1) 1 b BG GD GB GD B D d  Phương trình đường thẳng : 3 7 0 AB x y ; Phương trình đường thẳng : 2 1 0 AD x y ; suy ra (2;1) A (loại) Nếu 2 ba . Phương trình đường thẳng : 2 1 0. HB x y ( 2 1; ), (3 1; ) B b b D d d 2 2 ( 5; 2), (5; 2) 2 b GB GD B D d  Phương trình đường thẳng : 3 13 0 AB x y ; Phương trình đường thẳng : 2 8 0 AD x y ; suy ra ( 1; 10) A Do ABCD là hình bình hành suy ra AD BC suy ra (1;14) C Thử lại: 0 1 cos cos , 45 2 ABD AB AD ABD (loại) Bài 49: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AD và 11 2 H; 55 là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh CE; 36 M; 55 là trung điểm của cạnh BH. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A có hoành độ âm. lần 2, THPT Cao Nguyên, ĐH Tây Nguyên. Lời giải tham khảo Vì M là trung điểm BH nên 1; 2 M Gọi F đối xứng với E qua A. Khi đó: // BF EC BFEH là hình thang, có AM là đường trung bình nên AM BH  Ta có: : 2 3 0 BH x y : 2 4 0, : 2 0 CE x y AM x y F N M E H C D B AFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 73 2 cos cos 5 CD BAM ECD CE Gọi ; 2 , 0 1 ; 2 2 A a a a AB a a Ta có . 22 cos 55 . AM AM AB u BAM AB u 2 1 5 6 11 0 1;2 11 5 a a a A al    : 2 0 AD y , vì 1;2 E CE AD E  Vì E là trung điểm AD nên 3;2 D . Vì BC AD 3; 2 C Bài 50: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 33 , đỉnh D thuộc đường thẳng d: 30 xy , 30 ACB . Giao điểm của đường phân giác trong góc ABD và đường cao của tam giác BCD kẻ từ C là điểm 3;3 H . Tìm tọa độ các đỉnh B, D biết hoành độ của B và D đều nhỏ hơn 3 . Lần 2, THPT Đoàn Thƣợng, Hải Dƣơng. Lời giải tham khảo Gọi I AC BD  . Đặt 3 AB x BC x , có S AB.BC=3 3 nên 3 x . Ta có 0 0 0 30 60 30 DBC ACB ABD HBD BD là phân giác trong của góc HBC và cũng là đường cao nên BD là trung trực của HC 3 HD CD ; 0 90 BHD BCD và 3 BH BC . 3 T/M 2 t; 3 ; 3 33 Loai 2 t D d D t HD t      33 ; 22 D . Đường thẳng HB đi qua H( 3;3) , có vecto pháp tuyến 33 ; 22 DH nên có phương trình: 33 3 3 0 3 4 3 0 22 x y x y . b;4 3 b B HD B 3 b . I H D C B AFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 74 2 2 53 Loai 2 3 3 1 9 3 3 T/M 2 b b HB b b        39 ; 22 B . Vậy tọa độ các điểm B, D là : 39 ; 22 B 33 ;; 22 D Bài 51: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABCD là hình thang vuông tại A và B sao cho 2 2 9 . AB BC AD . Biết đỉnh C(4,0) và đỉnh D(1,4), trục tung cắt đoạn thẳng AB tại điểm M thỏa mãn MB=2MA. Hãy tìm tọa độ của A, B. THPT Nguyễn Siêu lần 2. Lời giải tham khảo Từ giả thiết ta có: .. MAMB BC AD . Suy ra hai tam giác AMD và BCM đồng dạng. Từ đó ta có 90 CMD  . Gọi I là trung điểm CD ta có 5 ( ,2) 2 I . Vì M nằm trên Oy nên (0, ) Mt . Do tam giác MCD vuông tại M nên 5 22 CD MI . Suy ra 2 t . Vậy (0,2) M . Giả sử ( , ) A x y . Thì ( ,2 ) AM x y . Mặt khác 2 MB AM nên ( 2 ,6 2 ) B x y . Giải hệ .0 DA MA và .0 MB CB ta thu được ( , ) (0,2) xy (loại) Hoặc 17 ( , ) ( , ) 22 xy . Vậy 17 ( , ) 22 A và B=(1;-1). Bài 52: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử 1;3 H , phương trình đường thẳng :4 3 0 AE x y và 5 ;4 2 C . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD. THPT Phan Bội Châu, Bình Định. Lời giải tham khảo B A C D H K I E I A D B C MFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 75 - Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK  AE. +) K là trung điểm của AH nên 1 2 KE AD hay KE BC Do đó: CE AE CE: 2x - 8y + 27 = 0 Mà 3 ;3 2 E AE CE E  , mặt khác E là trung điểm của HD nên 2;3 D - Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1). - Suy ra AB: x - 2y +3=0. Do đó: B(3; 3). KL: A(-1; 1), B(3; 3) và D(-2; 3) FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 76 Phần III. Các bài toán về đƣờng tròn Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có phương trình . Các điểm K(-1 ; 1), H(2; 5) lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh C có hoành độ dương. Lần 2– Trƣờng THPT QG…- BÌNH PHƢỚC Lời giải tham khảo  Tính chất hình học: HK IC   (T) có tâm . +) Gọi Cx là tiếp tuyến của (T) tại C. +) Ta có Sđ (1) +) Do nên AHKB là tứ giác nội tiếp ABK CHK (góc trong bằng góc ngoài đối diện của tứ giác nội tiếp) (2) +) Từ (1) và (2) ta có . Mà .  Do đó IC có vectơ pháp tuyến là , IC có phương trình: +) Do C là giao của IC và (T) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:  25 ) 2 ( ) 1 ( 0 11 4 3 2 2 y x y x   5 3 ; 1 5 y x y x . Do 0 C x nên ) 1 ; 5 ( C +) Đường thẳng AC đi qua C và có vectơ chỉ phương là ) 6 ; 3 ( CH nên AC có phương trình: 0 9 2 y x . +) Do A là giao của AC và (T) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:  25 ) 2 ( ) 1 ( 0 9 2 2 2 y x y x   1 5 ; 7 1 y x y x (loại). Do đó ) 7 ; 1 ( A +) Đường thẳng BC đi qua C và có vectơ chỉ phương là ) 2 ; 6 ( CK nên BC có phương trình 0 2 3 y x . +) Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ  25 ) 2 ( ) 1 ( 0 2 3 2 2 y x y x   1 5 , 2 4 y x y x (loại). Do đó ) 2 ; 4 ( B  Vậy ) 7 ; 1 ( A ; ) 2 ; 4 ( B ; ) 1 ; 5 ( C . Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại B và C có AB >CD và CD = BC. Đường tròn đường kính AB có phương trình x 2 + y 2 – 4x – 5 = 0 cắt cạnh AD của hình thang tại điểm thứ hai N. Gọi M là hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng AB. Biết điểm N có tung độ dương và đường thẳng MN có phương trình: 3x + y – 3 = 0, tìm tọa độ của các đỉnh A, B, C, D của hình thang ABCD. 25 ) 2 ( ) 1 ( 2 2 y x ) 2 ; 1 ( I 1 2 HCx ABC AC 0 90 AHB AKB // HCx KHC HK Cx HK IC Cx IC   ) 4 ; 3 ( KH 0 11 4 3 y xFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 77 Lần 1– Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội Lời giải tham khảo  Tính chất hình học: NM là phân giác góc ANB  N C MN  tọa độ N là nghiệm của hpt: 22 3 3 0 4 5 0 xy x y x  +) Do N có tung độ dương nên 1 1 12 ( ; ), N (2; 3) 55 N .  Tứ giác BMND nội tiếp 45 o BNM BDM Suy ra MN là đường phân giác góc BNA nên N1 là điểm chính giữa cung 1 AB IN AB  với I(2;0) là tâm của (C) nên ta có phương trình đường thẳng :0 AB y  1;0 M MN AB M  , A,B là các giao điểm của đường thẳng AB và (C), giải hệ: 22 0 1;0 ; 5;0 5;0 ; 1;0 4 5 0 y AB AB x y x     +) Do IM cùng hướng với IA nên 1;0 ; 5;0 AB .  Ta lập được phương trình cách đường thẳng: : 2 2 0; : 1 AN x y MD y +) Mà 1;4 D AN MD D  +) 5;4 BC MD C  Vậy 1;0 ; 5;0 ; 4;4 ; 1;4 A B C D Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhận trục hoành làm đường phân giác trong của góc A, điểm E 3; 1 thuộc đường thẳng BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình 0 24 10 2 2 2 y x y x . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết điểm A có hoành độ âm. Lần 3 –Trƣờng THPT Phƣớc Bình Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: BC KI   Đường tròn ngoại tiếp có tâm I(1;5) +) Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 22 x 6 x 4 x y 2x 10y 24 0 y 0 y 0 y0    +) Do A có hoành độ âm suy ra 4;0 A . +) Và gọi 6;0 K ,vì AK là phân giác trong góc A nên KB KC , N1 N C D M A B IFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 78 do đó BC KI  và IK 5;5 là vtpt của đường thẳng BC. BC : 5 x 3 5 y 1 0 x y 4 0 .  Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ 22 x 8 x 2 x y 2x 10y 24 0 y 4 y 2 x y 4 0     Vây A(-4;0), B(8;4), C(2;-2) và A(-4;0), C(8;4), B(2;-2). Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm và (7,1) M là trung điểm của BC. Điểm (4,6) N là trung điểm của AH. Hình chiếu D của B lên AC thuộc đường thẳng 10 xy và đường thẳng AB đi qua điểm P(3,5). Tìm tọa các đỉnh A, B, C biết hoành độ điểm D lớn hơn 5. Lần 2 –Trƣờng THPT Quang Trung – Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: Chỉ ra OEHK là hình bình hành suy ra K. Có OK ^CD Þ phương trình CD. C 1 ẩn suy ra toạ độ C. Có C, K suy ra D từ đó có AH suy ra A, có A suy ra B. Nếu muốn bài này khó ta có thể bỏ đi các điểm D, K trong giả thiết mà k làm thay đổi kết quả của bài toán. Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn tâm 5;2 I , bán kính 10 R . Tiếp tuyến của I tại B cắt CD tại E. F là tiếp điểm của tuyến thứ hai của I qua E . AF cắt CD tại 5;5 T . Tìm tọa độ A,B biết E thuộc đường thẳng :3 5 3 0 d x y và 6 B x . Lần 1 –Trƣờng THPT Chuyên Quang Trung- Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: TI TE  +) Ta có: 1 2 FIE BFE sd BF +) Mặt khác: BFE FAB FAB ATD FTC  +) Nên suy ra: FIE FTE nên tứ giác EFTI nội tiếp, cho ta: 0 90 ITE IFE . Vậy TI TE  FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 79  Tham số hóa 3 5 ;3 5 E e e d +) 0;3 28 28 5 5;3 ;5 53 .0 IT TE e e E TE IT          +) Gọi J là trung điểm IE 43 7 ; 62 J . Do tứ giác IBEF nội tiếp đường tròn (C’) tâm J bán kính 5 10 ' 26 IE R +) Nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 22 22 8 1 5 2 10 128 43 7 250 25 6 2 9 129 25 x y xy x xy y                     Vậy điểm (8,1) B +) Phương trình đường thẳng AB qua B và song song với CD có dạng: : 1 0 AB y +) A AB C  nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 22 10 2;1 5 2 10 y A xy  +) Phương trình đường thẳng CD có dạng: : 5 0 CD y +) C,D là nghiệm của hệ: 22 6 50 5 4 5 2 10 5 x y y x xy y           Tìm được (6,5), (4,5) CD  Vậy: 2;1 ; 8;1 ; 6;5 ; ; 4;5 A B C D . Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn 22 : 1 1 20 C x y . Biết rằng AC=2BD và điểm B thuộc đường thẳng : 2 5 0 d x y . Viết phương trình cạnh AB của hình thoi ABCD biết điểm B có hoành độ dương. Lần 3 –Trƣờng THPT Đồng Xoài - Bình Phƣớc Lời giải tham khảo FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 80  Gọi I là tâm đường tròn (C), suy ra I(1;-1) và I là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng AB . +) Ta có: 2 2 AC BD IA IB +) Xét tam giác IAB vuông tại I, ta có: 2 2 2 2 1 1 1 5 1 5 4 20 IB IA IB IH IB +) Tham số hóa điểm ;2 5 B b b d  22 4 ( 1) (2 4) 5 4;3 5 2 5 b b b B b IB    +) Gọi 22 ( ; ) 0 n a b a b  là VTPT của đường thẳng AB, phương trình đường thẳng AB có dạng: : 4 3 0 AB a x b y  Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (C) nên ta có: 22 ,2 3 20 0 | 4 | a b IA b B a d 22 2 11 24 4 0 11 2 ab a ab b ab    +) Với 2 ab , chọn 1, 2 ba phương trình đường thẳng AB là: 2 11 0 xy +) Với 2 11 ab , chọn 11, 2 ba phương trình đường thẳng AB là: 2 11 41 0 xy Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 2 2 : 1 25 C x y . Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn () C cắt nhau tại điểm M nằm trên đường thẳng d song song với tiếp tuyến tại A của () C . Hai đường thẳng AB và AC cắt d lần lượt tại 19;1 E và 3; 11 F . Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Lần 6–Trƣờng THPT chuyên Quang Trung Lời giải tham khảo:  Cách 1: Tính chất hình học: Tứ giác EBCF nội tiếp đường tròn tâm M, bán kính 2 EF . +) Ta có: ACB yAB BEF nên tứ giác EBCF nội tiếp ( tứ giác có góc ngoài bằng góc trong đối diện) +) Mà MB MC nên dẫn tới M là tâm đường tròn ngoài tiếp tứ giác EBCF đường kính EF, M là trung điểm EF.  Phường trình đường tròn ; 2 EF M có dạng: FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 81 22 ' : 11 5 100 C x y +) B, C là giao điểm của (C) và (C’) 22 2 2 11 5 100 (1; 5), (5;3) (5;3), (1; 5) 1 25 xy BC BC xy    Tọa độ A BE CF  o B(1;-5), C(5;3), A(4;4) o B(5,3), C(1,-5), A(2,-4)  Cách 2:  Lập phương trình tiếp tiếp tuyến của (C) tại A song song với EF dẫn tới: : 3 4 22 0 : 3 4 28 0 Ay x y Ay x y    TH1: :3 4 22 0 Ay x y +) Lập phương trình đường thẳng AI qua tâm 1;0 I và vuông góc với Ay, ta có: : 4 3 4 0 AI x y +) 2;4 A AI Ay A  +) Tìm tọa độ B,C. Trong đó ( ); ( ) ; ; 5;3 1 5 B B AE C C AF C C    TH2: :3 4 28 0 Ay x y +) Lập phương trình đường thẳng AI qua tâm 1;0 I và vuông góc với Ay, ta có: : 4 3 4 0 AI x y +) 4; 4 A AI Ay A  +) Tìm tọa độ B,C. Trong đó ( ); ( ) 1; 5 , 5,3 B B AE C C A C FC   Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC là 3 4 12 0 xy , điểm A thuộc đường tròn 22 : 1 4 25 C x y và A có tọa độ âm, trung điểm I của AB thuộc đường tròn (C). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết trực tâm của tam giác trùng với tâm của đường tròn (C) và điểm B có hoành độ âm. Trƣờng THPT Hùng Vƣơng lần 2 –Bình Phƣớc Lời giải tham khảo:  1; 4 ; 5 HR +)Do : 4 3 16 0 qua H AH BC AH x y AH +) Nên ta có: 4;0 2; 8 Al A AH C An  Tham số hóa: 4 ; 3 3 B b b BC +) I là trung điểm BC nên có tọa độ: 35 2 1; 2 b Ib FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 82 +) Mặt khác: 2 2 1 35 2 4 25 4;6 23 bn b I C b B bl  Đường thẳng CH đi qua H và nhận 2;14 AB làm VTPT suy ra : 7 29 0 CH x y +) Suy ra 8; 3 C Bài 9: Trong mặt phẵng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đĩnh A (-3;4), đường phân giác trong cũa góc A có phương trình : 40 y và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(1;7). Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích  ABC gấp 2 lần diện tích  IBC. Lần 1 –Trƣờng THPT Hà Huy Tập Lời giải tham khảo:  Viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam gi ác ABC có tâim 1;7 I và bán kính 5 IA là: 22 ( 1) ( 7) 25 xy +) Giải hệ phương trình : 22 ( 1) ( 7) 25 40 xy y  để tìm D(5;4) +) Phương trình đường thẳng BC nhận 4; 3 ID làm VTPT nên có dạng : 4 3 0 BD x y m +) Ta có: 2 ,( ) 2 ( ,( )) ABC IBC S S d A BC d I BC      10 58 3 m m Vậy (BC): 4 3 10 0 xy hoặc: 12 9 58 0 xy Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có 1;4 A , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ADB có phương trình 20 xy , điểm 4;1 M thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB . Lần 1–Trƣờng THPT -Khánh Sơn - Khánh Hoà Lời giải tham khảo:  Gọi AF là phân giác trong của BAC +) Ta có : AFD ABC BAF FAD CAD CAF +) Mà BAF CAF , ABC CAD nên AFD FAD DAF  cân tại D DE AI  +) PT đường thẳng AF là : 50 xy FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 83  Goị N là điểm đối xứng của M qua AF PT đường thẳng : 5 0 MN x y Gọi J AI MN  0;5 J 4;9 N +) VTCP của đường thẳng AB là 3;5 AN VTPT của đường thẳng AB là 5; 3 n  Vậy phương trình đường thẳng AB là: 5 1 3 4 0 5 3 7 0 x y x y Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, gọi P là điểm trên cạnh BC. Đường thẳng qua P song song với AC cắt AB tại điểm D, đường thẳng qua P song song với AB cắt AC tại điểm E. Gọi Q là điểm đối xứng của P qua DE. Tìm tọa độ điểm A, biết ( 2;1) B , (2; 1) C và ( 2; 1) Q . Lần 2–Trƣờng THPT Anh Sơn II – Nghệ An Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: Q thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. +) Vì AD// PE, AE// PD nên ADPE là hình bình hành, do đó PD = AE, AD = PE. +) Gọi H là giao điểm của DE với CQ. Vì P, Q đối xứng nhau qua DE nên : , , D D H P EP DQ Q P EQ  . Do đó AE= DP= DQ, EQ= EP= AD. Suy ra ADEQ là hình thang cân, nên ADEQ nội tiếp được đường tròn. Vì thế ta có 00 180 180 DAQ DEQ DEQ DAQ (1). +) Tam giác ABC cân tại A nên tam giác EPC cân tại E, suy ra EP EC . Lại có Q đối xứng với P qua DE nên EQ EP , suy ra EQ EP EC . +) Từ đó có EQC ECQ EPH ECH EPH EQH  , suy ra EPCH nội tiếp được đường tròn (2).  Từ (1) và (2) ta được : 0 0 0 0 180 180 180 180 BCQ PEH QEH DEQ DAQ BAQ hay 0 180 BCQ BAQ . Suy ra tứ giác ABCQ nội tiếp, tức Q thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua B, C, Q có phương trình là 22 :5 C x y . +) Phương trình đường thẳng BC là 20 xy +) Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AK là 2 – 0 xy . +) Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 22 20 1, 2 1, 2 5 xy xy xy xy    . FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 84 +) Đối chiếu A, Q cùng phía với đường thẳng BC ta nhận điểm.  Vậy 1 ; 2 A . Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 22 T :x y 4x 2y 0 và đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 0 . Biết diện tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác IBC ( với I là tâm của đường tròn T ) và điểm A có tung độ dương. Viết phương trình đường thẳng BC. Trƣờng THPT Hoàng Hoa Thám Lời giải tham khảo:  Gọi d là đường phân giác trong của góc A +) Đường tròn T có tâm I 2;1 , bán kính R5 +) Khi đó đường thẳng d cắt đường tròn T tại A và A'có tọa độ là nghiệm của hệ: 22 x y 4x 2y 0 x y 0  x0 y0  hoặc x3 y3  +) Điểm A có tung độ dương suy ra A 3;3 và A' 0;0 +) Đường thẳng BC nhận ' 2; 1 IA làm vtpt nên có dạng: : 2 0 BC x y m +) Mặt khác ta có: ABC IBC 11 S 3S d A, BC .BC 3. d I, BC .BC 22 d A, BC 3.d I, BC m3 m 9 m 5 3. m 9 3. m 5 m6 55   +) Với m3 khi đó BC : 2x y 3 0 Tọa độ các điểm B,C là: 6 21 3 2 21 6 21 3 2 21 ; , ; 5 5 5 5         , suy ra B,C nằm khác phía đối với đường thẳng d ( Thỏa ) +) Với m6 khi đó BC : 2x y 6 0 Tọa độ các điểm B,C là: 12 2 6 6 4 6 12 2 6 6 4 6 ; , ; 5 5 5 5         , suy ra B,C nằm khác phía đối với đường thẳng d ( Thỏa )  Do đó phương trình đường thẳng BC là : 2x y 3 0 và 2x y 6 0 . Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là 12 : 2 2 0, :3 3 6 0 d x y d x y và tam giác ABC đều có diện tích bằng 3 và trực tâm I thuộc 1 d . Đường thẳng 2 d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ giao điểm 1 d và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương. Lần 2–Trƣờng THPT Đồng Dậu – Vĩnh Phúc Lời giải tham khảo: I A B C A'FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 85  Gọi M AI BC  . Giả sử ( 0), , AB x x R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC +) Do tam giác ABC đều nên 22 33 32 44 ABC xx Sx +) Do tam giác ABC đều nên trực tâm I là tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác ABC 1 1 3 3 3 3 3 r IM AM . +) Giả sử 1 (2 2; ) ( 1) I a a d a +) Do 2 d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên: 2 6 2 6 3(2 2) 3 6 3 1( ) ( ; ) 3 6 6 6 3 3 99 2 aa al d I d r a a     +) Suy ra (2;2) I .  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính 2 2 3 33 R AM phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC là : 22 4 ( 2) ( 2) 3 xy +) Giao điểm của đường thẳng 1 () d và (C ) là nghiệm của hệ phương trình: 22 2 2 0 4 ( 2) ( 2) 3 xy xy   Vậy giao điểm của 1 () d và 2 () d là 2 4 2 4 (2 ;2 ), (2 ;2 ) 15 15 15 15 EF Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng  định bởi: 22 ( ) : 4 2 0; : 2 12 0 C x y x y x y  . Tìm điểm M trên  sao cho từ M vẽ được tới (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 60 0 . Lần 1 –Trƣờng GDTX Cam Lâm Lời giải tham khảo:  Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính 5 R . +) Gọi A, B là hai tiếp điểm của (C) với hai tiếp của (C) kẻ từ M. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 60 0 thì tam giác IAM là nửa tam giác đều suy ra 2R=2 5 IM . +) Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: 22 2 1 20 xy . +) Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng  , nên tọa FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 86 độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: 22 2 1 20 (1) 2 12 0 (2) xy xy  Khử x giữa (1) và (2) ta được: 22 2 3 2 10 1 20 5 42 81 0 27 5 x y y y y x     Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: 9 3; 2 M hoặc 27 33 ; 5 10 M Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 22 : 3 1 9 C x y và đường thẳng : d 10 0 xy . Từ điểm M trên d kẻ hai tiếp tuyến đến C , gọi , AB là hai tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M sao cho độ dài đoạn 32 AB Đề 1 –Trƣờng GDTX Nha Trang Lời giải tham khảo:  Đường tròn (C) có tâm 3;1 , 3 I bk R OA +) Gọi H AB IM  , do H là trung điểm của AB nên 32 2 AH . +) Suy ra: 22 9 3 2 9 22 IH IA AH và 2 6 32 2 IA IM IH +) Gọi ;10 M m m d ta có 22 2 18 3 9 18 IM m m 22 2 24 90 18 12 36 0 6 m m m m m  Vậy 6;4 M Bài 16: Cho ABC  vuông cân tại . A Gọi M là trung điểm , BC G là trọng tâm , ABM  điểm 7; 2 D là điểm nằm trên đoạn MC sao cho . GA GD Tìm tọa độ điểm , A lập phương trình , AB biết hoành độ của A nhỏ hơn 4 và AG có phương trình 3 13 0. xy Lần 1–Trƣờng THPT- Hậu Lộc 2- Thanh Hoá Lời giải tham khảo:  Ta có 2 2 3.7 2 13 ; 10 31 d D AG +) ABM  vuông cân GA GB GA GB GD +) Vậy G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABD 0 2 90 AGD ABD GAD  vuông cân tại . G Do đó 2 ; 10 20; GA GD d D AG AD  Gọi ;3 13 ; 4 A a a a FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 87 22 2 5( ) 20 7 3 11 20 3 a loai AD a a a   +) Vậy 3; 4 A +) Gọi VTPT của AB là ; AB n a b 22 3 cos cos , 1 . 10 AB AG ab NAG n n ab +) Mặt khác 2 2 2 2 33 cos 2 10 9. NA NM NG NAG AG NA NG NG NG +) Từ (1) và (2) 2 22 0 3 3 6 8 0 34 10 . 10 b ab ab b ab ab   Với 0 b chọn 1 a ta có : 3 0; AB x Với 34 ab chọn 4; 3 ab ta có : 4 3 24 0 AB x y +) Nhận thấy với : 4 3 24 0 AB x y thì 4.7 3. 2 24 ; 2 ; 10 16 9 d D AB d D AG (loại)  Vậy : 3 0. AB x Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình : 22 ( 1) ( 2) 9 xy ( C ) và đường thẳng ::0 d x y m . Tìm m để trên đường thẳng (d) có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( C ) . ( B, C là hai tiếp điểm ) sao cho tam giác ABC vuông. Lần 1 –Trƣờng THPT Kẻ Sặt Hải Dƣơng Lời giải tham khảo:  Tâm đt (C) là: 1; 2 I , bk 3 R , từ A kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC AB=AC , AB  AC ABIC là hình vuông cạnh 3 IA= 32  ; A a a m d ; AI = 22 (1 ) ( 2) 3 2 a a m 22 (1 ) ( 2) 18 a a m 2 22 2( 3) 4 13 0 a m a m m (1). +) Để có duy nhất điểm A tức là phương trình (1) có nghiệm duy nhất. 2 0 2 35 0 5; 7. m m m m   Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 1; 2 I là tâm đường tròn ngoại tiếp và 0 90 AIC . Hình chiếu vuông góc của A trên BC là 1; 1 D . Điểm K( 4; - 1 ) thuộc đường thẳng AB. Tìm tọa độ các đỉnh A, C biết điểm A có tung độ dương. Lần 1 –Trƣờng THPT Khoái Châu – Hƣng Yên Lời giải tham khảo: FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 88  Tính chất hình học: ID AB  +) Do 0 0 0 45 90 135 ABC AIC ABC 0 45 ABD nên ADB  vuông cân tại D Do đó DA = DB. Lại có: IA = IB DI AB   Nên đường thẳng AB đi qua ( 4; - 1 ) và vuông góc với DI có phương trình 2 9 0 xy . +) Gọi ;2 9 A a a AB , do 2 ; 2 10 DA d D AB 22 1 2 8 2 10 aa 2 6 5 0 aa 1; 7 1 5 5;1 / A loaïi a a A t m +) Phương trình DB đi qua D có VTPT AD : 3 4 0 AD x y ; ; 3 4 C DB C c c .  Do IAC  vuông cân tại I nên . 0 4 1 3 3 2 0 2 IAIC c c c 2;2 C Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I; có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + y - 2 = 0, D(2; -1) là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A. Gọi điểm E(3; 1) là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AI; điểm P(2;1) thuộc đường thẳng AC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Trƣờng THPT Lê Quý Đôn – Khánh Hoà Lời giải tham khảo:  Tính chất hình học: DE AC  +) Gọi M là điểm đối xứng của A qua I. +) Ta có BCM BAM EDC (Do tứ giác ABDE nội tiếp). Từ đó suy ra DE / /MC mà MC AC DE AC   . Ta có DE 1;2 . +) AC :1 x 2 2 y 1 0 x 2y 4 0 .  Ta có   A d AC  . Tọa độ của A thỏa hệ phương trình x 2y 4 0 x 0 x y 2 0 y 2  A 0;2 . +) Ta có AD 2; 3 , AE 3; 1 . Phương trình BE : 3 x 3 y 1 0 3x y 8 0 . Phương trình BD : 2 x 2 3 y 1 0 2x 3y 7 0 .   B BE BD   Tọa độ của B thỏa hệ phương trình 17 x 3x y 8 0 17 5 7 B; 2x 3y 7 0 5 77 y 7   .  Ta có   C AC BD  , nên Tọa độ của C thỏa hệ phương trình FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 89 26 x x 2y 4 0 26 1 7 C; 2x 3y 7 0 1 77 y 7   .  Kết luận : A 0;2 , 17 5 B; 77 , 26 1 C; 77 Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm 1 2 3 4 A( ; ), B( ; ) và đường thẳng d có phương trình: 2 2 0 d : x y . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho: 22 36 MA MB . Lần 1 –Trƣờng THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh Lời giải tham khảo:  Giả sử 2 2; M m m d +) 2 2 2 2 22 36 2 3 2 2 1 4 36 MA MB m m m m 4;1 1 3 43 ; 5 55 M m m M        Bài 21: Trong m ặt ph ẳng v ới hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 2;6 A , chân đư ờng phân giác trong góc A là 3 2; 2 D , tâm đư ờng tròn ngo ại ti ếp tam giác ABC là 1 ; 1 2 I .Tìm tọa độ các đi ểm B và C. Trƣờng THPT Khánh Hoà Lời giải tham khảo:  Phương trình đư ờng th ẳng : 2 0 AD x . +) Phương trình đư ờng tròn (C) ngo ại ti ếp tam giác ABC : 2 2 1 125 :1 24 C x y +) G ọi E là giao đi ểm c ủa AD và (C) 2; 4 E +) E là đi ểm chính gi ữa cung BC không ch ứa đi ểm A IE BC  +) Phương trình đư ờng th ẳng : 2 5 0 BC x y +) B, C là giao đi ểm c ủa đư ờng th ẳng BC và đư ờng tròn (C)  5;0 ; 3; 4 BC hoặc 3; 4 ; 5;0 BC Bài 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhận trục hoành làm đường FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 90 phân giác trong của góc A, điểm E 3; 1 thuộc đường thẳng BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình 0 24 10 2 2 2 y x y x . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết điểm A có hoành độ âm. Lần 2 –Trƣờng THPT Nhƣ Xuân – Thanh Hoá Lời giải tham khảo: +) Đường tròn ngoại tiếp có tâm I(1;5)  Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 22 x 6 x 4 x y 2x 10y 24 0 y 0 y 0 y0    +) Do A có hoành độ âm suy ra A(-4;0). +) Và gọi K là giao điểm của phân giác trong góc A với (C), nên suy ra K(6;0). Vì AK là phân giác trong góc A nên KB=KC, do đó BC KI  và +) IK 5;5 là vtpt của đường thẳng BC. BC : 5 x 3 5 y 1 0 x y 4 0 .  Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ 22 x 8 x 2 x y 2x 10y 24 0 y 4 y 2 x y 4 0     Vây A(-4;0), B(8;4), C(2;-2) và A(-4;0), C(8;4), B(2;-2) . Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC. Biết M 3; 1 là trung điểm của cạnh BD, điểm C 4; 2 Điểm N 1; 3 nằm trên đường thẳng đi qua B và vuông góc với AD. Đường thẳng AD đi qua P 1;3 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D. Lần 2–Trƣờng THPT Phan Bội Châu Lời giải tham khảo:  Giả sử D a;b . Vì M là trung điểm của BC nên B 6 a;2 b +) AD DC BN//CD BN,CD  cùng phương.  Ta có: +) BN a 7;b 1 , CD a 4;b 2 a 7 b 2 a 4 b 1 b a 6 1 +) PD a 1; b 3 , CD a 4; b 2  PD CD a 1 a 4 b 3 b 2 0 2 Thế (1) vào (2) ta được   2 a5 2a 18a 40 0 a4 I A C B K EFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 91 a 4 b 2 D 4; 2 loại vì D trùng C a 5 b 1 D 5; 1 và B 1; 1 +) AD qua P 1;3 ,D 5; 1 AD : x y 4 0 +) AB BC  và đi qua B 1; 1 AB : 3x y 4 0   A AB AD A 2;2 Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Điểm D thuộc tia đối của tia AC sao cho GD GC . Biết điểm G thuộc đường thẳng : 2 3 13 0 d x y và tam giác BDG nội tiếp đường tròn 22 : 2 12 27 0 C x y x y . Tìm toạ độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm B có hoành độ âm và toạ độ điểm G là số nguyên. Lần 1–Trƣờng THPT Phù Cừ Hƣng Yên Lời giải tham khảo:  Tam giác ABC vuông cân tại A có G là trọng tâm nên GB = GC Mà GD = GC nên tam giác BCD nội tiếp đường tròn tâm G. +) Suy ra: 0 2 2 90 BGD BCD BCA BG GD  Hay tam giác BDG vuông cân tại G  Đường tròn (C) tâm I(1;6) bán kính 10 R ngoại tiếp tam giác BDG nên I là trung điểm của BD Do đó 10 IG và IG BD  =) Vì 13 2 : 2 3 13 0 ; 3 m G d x y G m Từ     2;3 10 28 75 ; 13 13 G IG G , do toạ độ điểm G là số nguyên nên G(2;3). BD đi qua I(1;6) và  IG BD nên phương trình : 3 17 0 BD x y     2;5 , 4;7 B B D BD C D (do hoành độ điểm B âm)  Vậy 2;5 B +) Gọi M là trung điểm của BC ta có AM = MB = MC (do ABC vuông cân tại A) (?) d: 2x + 3y - 13 = 0 I(1;6) D G F M C A B(?)FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 92 Suy ra AM BC GM MB   và 11 33 GM AM MB Nên 13 tan cos 3 10 MG GBM GBM MB +) Gọi , n ab với  22 0 ab là VTPT của BC. Ta có VTCP của BG là 4; 2 1;2 BG BG n là VTPT của BG +) Có . 3 cos , cos , cos cos , 10 . BG BG BG BG nn BG BC n n GBM n n nn    22 22 2 0 3 35 40 5 0 70 10 5 ab ab a ab b ab ab Trƣờng hợp 1: Với 0 1;1 a b n nên phương trình : 3 0 BC x y Trƣờng hợp 2: Với 7 0 1;7 a b n nên phương trình : 7 33 0 BC x y Do hai điểm D và G cùng mằn về một phía đối với đường thẳng BC nên phương trình BC thoả mãn là 30 xy  Vậy : 3 0 BC x y và 2;5 B Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-2; -1) và trực tâm H(2; 1). Cạnh BC = 20 . Gọi I, J lần lượt là chân các đường cao hạ từ B, C. Trung điểm của BC là điểm M thuộc đường thẳng d: x – 2y – 1 = 0 và M có tung độ dương. Đường thẳng IJ đi qua điểm E(3; - 4). Viết phương trình đường thẳng BC. Lần 1–Trƣờng THPT Phú Xuyên B Lời giải tham khảo:  Tứ giác AIHJ nội tiếp đường tròn đường kính AH, có phương trình: 22 C : x y 5 Vì M thuộc d nên tọa độ M(2b + 1 ; b). +) Đường tròn tâm M, đường kính BC có pt : 22 C' : x 2b 1 y b 5 +) Dễ thấy I, J thuộc đường tròn (C’). Vậy I, J là giao điểm của 2 đường tròn (C), (C’) nên pt IJ có dạng : 2 2 2 2 2 2 x y 5 x y 2 2b 1 x 2by 2b 1 b 5 2 2 2 2b 1 x 2by 2b 1 b 0 +) Vì IJ qua E nên ta có 2 b 1 b 1  . Mà b > 0 nên b = 1 suy ra M(3; 1)  Đường thẳng BC qua M, có véc-tơ pháp tuyến AH .  Vậy phương trình BC: 2x + y – 7 = 0 FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 93 Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm 1;2 ; 3;4 AB và đường thẳng : 3 0. dy ,Viết phương trình đường tròn C đi qua hai điểm , AB và cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt , MN sao cho 0 60 MAN . Lần 1–Trƣờng THPT Nguyễn Văn Trỗi Lời giải tham khảo: +) Gọi 22 : 2 2 0 C x y ax by c (đk 22 0) a b c 1;2 5 2 4 0 5 25 6 8 0 15 2 3;4 AC a b c b a a b c c a BC   .Vậy ;5 I a a +) Bán kính 2 22 5 15 2 2 4 5 R a a a a a +) 0 60 MAN . Suy ra 00 120 30 MIN I MN I NM hạ 1 , 2 IH d IH d I d R  22 1 2 2 4 5 4 3 0 1 3 2 a a a a a a a  Khi 1 a ta có đường tròn 22 : 2 8 13 0 C x y x y ( loại do , IA khác phía đường thẳng d ) Khi 3 a 22 22 : 6 4 9 0 : 3 2 4 C x y x y C x y (t/ mãn) 60° H I N M A BFULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 94 PHẦN PHỤ TRỢ THAM KHẢO BÀI 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử ( 5; 5), (9; 3) HK và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng 10 0 xy . Tìm tọa độ điểm A. (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 – ĐỀ CHÍNH THỨC). ☺Nhận xét và ý tƣởng: _ Có thể thấy “hình vẽ” chính là điểm tựa để ta giải quyết bài toán này, do đó việc vẽ “chính xác” hình vẽ có ý nghĩa quan trọng vì hình vẽ giúp ta “phát hiện các tính chất hình học quan trọng”. Cụ thể trong bài này, AHCK chính là tứ giác nội tiếp, và IH  AK. Và bài toán cũng từ đó mà được phân tích theo các hướng sau: + Hƣớng thứ 1: Chứng minh AHCK là tứ giác nội tiếp  IH = IK và I d  tìm tọa độ I. Để chứng minh IH  AK  ta có thể chứng minh IH // CK (do CK // AD) (phần chứng minh này xin dành cho bạn đọc).  Khi đó A thỏa mãn A thuộc đường tròn đường kính AC và đường thẳng AK. + Hƣớng thứ 2: Tương tự hướng thứ 1, ta tìm tọa độ điểm I, để chứng minh IH  AK  ta gắn hệ trục tọa độ Axy và chứng minh .0 AD IH  Khi đó A thỏa mãn A thuộc đường tròn đường kính AC và đường thẳng AK. + Hƣớng thứ 3: Tương tự hướng thứ 1, ta tìm tọa độ điểm I, đến đây ta có thể đặt A(x; y)  2 ẩn nên cần 2 phương trình  pt (1) là IA = IH, pt (2) là AH = HK (ta phải chứng minh AHK cân tại H). ► Hƣớng dẫn giải cách 1: * Ta có 90 180 AHC CKA AHC CKA      tứ giác AHCK nội tiếp. Gọi I là trung điểm AC I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác AHCK IK = IH (*) Mặt khác I d: x – y + 10 = 0 ( ; 10). I t t Do đó 2 2 2 2 2 2 (*) ( 5) ( 15) ( 9) ( 13) 0 I(0;10) HI KI t t t t t * ABD cân tại A (do AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến) ABD BDA   FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 95 Mặt khác 90 90 ABD BCA BCA DCK DBA DCK          . Mà CHI HCI   (do IHC cân tại I) Suy ra CHI KCD   KC // IH (đồng vị) mà CK  AD IH AD  * Đường AD qua K(9; – 3) nhận ( 5; 15) 5(1 ;3) IH làm vecto pháp tuyến có dạng là: 1( 9) 3( 3) 0 : 3 0 x y AD x y * A là giao điểm AD và đường tròn đường kính AC nên tọa độ A thỏa mãn hê: 22 30 ( 10) 250 xy xy  5 15 39 yx yx   Suy ra A(–15;5) hay A(9;–3) (loại vì trùng K) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là ( 15;5) A ► Hƣớng dẫn giải cách 2: * Ta có 90 AHC CKA    180 AHC CKA    tứ giác AHCK nội tiếp. Gọi I là trung điểm AC I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác AHCK IK = IH (*) Mặt khác I d: x – y + 10 = 0 ( ; 10). I t t Do đó 22 (*) HI KI 2 2 2 2 ( 5) ( 15) ( 9) ( 13) 0 I(0;10) t t t t t * Đặt AB = a, AC = 1. Dựng hệ trục Axy như hình vẽ. Ta có (0;0), (0; ), (1 ;0) A B a C Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .; 1 1 1 1 BH AB a a a a BH BC AB BH BC H BC BC a a a a Ta có H là trung điểm BD 23 22 2 ; 11 a a a D aa và 1 ;0 2 I là tung điểm AC. FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 96 Nên 2 22 23 22 1 ; 2( 1) 1 2 ; 11 aa IH aa a a a AD aa    . Xét 2 2 3 22 ( 1) ( ) .0 ( 1) a a a a a IH AD IH AD a  * Đường AD qua K(9; – 3) nhận ( 5; 15) 5(1 ;3) IH làm vecto pháp tuyến có dạng là: 1( 9) 3( 3) 0 : 3 0 x y AD x y * A là giao điểm AD và đường tròn đường kính AC nên tọa độ A thỏa mãn hê: 22 3 0 5 15 ( 10) 250 3 9 x y y x x y y x   suy ra A(–15;5) hay A(9;–3) (loại vì trùng K) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là ( 15;5) A ► Hƣớng dẫn giải cách 3: * Ta có 90 180 AHC CKA AHC CKA      tứ giác AHCK nội tiếp. Gọi I là trung điểm AC I là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác AHCK IK = IH (*) Mặt khác I d: x – y + 10 = 0 ( ; 10). I t t Do đó 2 2 2 2 2 2 (*) ( 5) ( 15) ( 9) ( 13) 0 I(0;10) HI KI t t t t t * Xét đường tròn nội tiếp tứ giác AHKC ta có AKH ACH HAB HAD AHK      cân tại H Suy ra AH = HK. Đặt A(x; y) ta có A thỏa mãn 22 22 5 15 ( 10) 250 39 ( 5) ( 5) 250 yx xy yx xy    Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là ( 15;5) A ► Hƣớng dẫn giải cách 4: (theo đáp án của Bộ GD&ĐT) * Gọi I là trung điểm AC ta có 2 AC IH IK nên I thuộc đường trung trực của HK. FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 97 Đường trung trực HK có phương trình 7 10 0 xy nên toa độ I thỏa mãn hệ 10 0 7 10 0 xy xy  0 (0;10) 10 x I y  * Ta có HKA HCA HAB HAD     nên AHK cân tại H, suy ra HA = HK mà MA = MK nên A đối xứng với K qua MH. Ta có (5;15) 5(1;3) MH . Đường thẳng MH có phương trình: 3 10 0 xy * Trung điểm AK thuộc MH và AK  MH nên A thỏa mãn hệ: ( 9) 3( 3) 0 15 ( 15;5) 93 3 10 0 5 22 xy x A xy y           Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là ( 15;5) A BÀI 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm I. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, K là hình chiếu vuông góc của B trên AI. Giả sử (2;5), (1 ;2), AI điểm B thuộc đường thẳng 3 5 0 xy , đường thẳng HK có phương trình 20 xy . Tìm tọa độ các điểm B, C. \ (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 – ĐỀ DỰ BỊ). ► Hƣớng dẫn giải : * Ta có B thuộc đường tròn tâm I bán kính IA và đường thẳng d: 3x + y + 5 = 0 nên thỏa hệ: 22 2 ( 1) ( 2) 10 ( 2;1) 1 3 5 0 x xy B y xy   * Ta có H HK (2 ; ) H h h và (2 2; 5), (2 2; 1) AH h h BH h h . Lại có AH  BH FULL & FREE TUYỆT PHẨM HÌNH HỌC PHẲNG OXY 2016 THẦY TRẦN VĂN TÀI – THẦY HỨA LÂM PHONG – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG 98 1 . 0 (2 2)(2 2) ( 5)( 1) 0 1 5 h AH BH h h h h h    Do đó ta có : 21 (2;1) hay ; 55 HH * Với 21 ; 55 H ta có 8 24 8 ( 1; 3), ; ( 1; 3) 5 5 5 AI AH nên ba điểm A, H, I thẳng hàng hay tam giác này cân tai A (không thỏa mãn) nên ta loại 21 ; 55 H và nhận (2;1) H * Phương trình đường BC khi đó là y – 1 = 0 và C là giao điểm của đường tròn tâm I bán kính IA và BC nên tọa độ C thỏa hệ: 22 2, 1 ( 1) ( 2) 10 4, 1 10 xy xy xy y    . Do B(–2;1) nên ta nhận (4;1) C Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là ( 2;1), (4;1) BC