74 bài hình học nâng cao lớp 8 - chương III - phần 2
Bài tập hình học nâng cao lớp 8 – chương III – phần 2
&&&-------+++++---------&&&
Bồi dưỡng HSG
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có góc B là góc tù. Kẻ AH vuông góc với BD tại H,
HK vuông góc với CD tại K. Gọi M là trung điểm của DK và N là trung điểm của BH.
(cho biết S là diện tích)
1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑩𝑵 ~ ∆𝑯𝑫𝑴
2/ Kẻ NO vuông góc với AB tại O. Chứng minh: 3 điểm O, H, M thẳng hàng
3/ AN cắt BC tại E và cắt CD tại F. Trong trường hợp
𝑺 ∆𝑨𝑯𝑫 𝑺 ∆𝑪𝑬𝑭 =
𝟏𝟓
𝟏𝟔
. Tính tỷ số
𝑺 ∆𝑨𝑯𝑭 𝑺 ∆𝑩𝑵𝑬
4/ Kẻ NS vuông góc với AD tại S. Chứng minh:
𝑯𝑴
𝑯𝑺
=
𝑩𝑪
𝑨𝑩
Bài 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn
có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H, EF cắt AH tại O. Gọi M và N lần lượt
là hình chiếu của C và B trên đường
thẳng EF
1/ Chứng minh:
𝑶𝑨
𝑨𝑫
=
𝑶𝑭
𝑫𝑭
2/ Chứng minh:
𝑴𝑪
𝑩𝑵
=
𝑯𝑪
𝑯𝑩
.
𝑨𝑪
𝑨𝑩
3/ Chứng minh:
𝑬𝑭
𝑴𝑵
=
𝑨𝑯
𝑨𝑫 +𝑯𝑫
4/ Chứng minh:
𝑨𝑴
𝑨𝑵
=
𝑶𝑭
𝑶𝑬
Bài 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn
(AB tại H, EF cắt AH tại O 1/ Chứng minh: HC.OF = OH.AC 2/ Gọi M là trung điểm của OB và N là trung điểm của OC. Chứng minh: 𝑯𝑩 𝑴𝑵 = 𝟐𝑨𝑪 .𝑩𝑫 𝑨𝑩 .𝑭𝑪 3/ Chứng minh: 𝑨𝑩 𝟐 − 𝑨𝑪 𝟐 = 𝟒 . (𝑨𝑴 𝟐 − 𝑨𝑵 𝟐 ) 4/ MF cắt EN tại S. Chứng minh: Đường thẳng AS đi qua trung điểm đoạn thẳng BC Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB BE, CF cắt nhau tại H 1/Chứng minh: 𝟐 𝑨𝑫 𝟐 = 𝑨𝑭 . 𝑨𝑩 + 𝑨𝑬 . 𝑨𝑪 + 𝟐𝑩𝑫 . 𝑪𝑫 2/ Gọi I là trung điểm của BC và K là điểm đối xứng H qua I. Chứng minh : ∆𝑨𝑲𝑪 ~ ∆𝑨𝑯𝑭 3/ AK cắt HC tại O. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AC sao cho EF // OM. Chứng minh: HM // BC 4/ KC cắt AD tại L và cắt HM tại J. Gọi T là điểm đối xứng O qua C. Chứng minh: Tam giác LTJ là tam giác vuông Bài 5. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB tại H. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của F và E trên đường thẳng AH 1/ Chứng minh: 𝑨𝑵 𝑨𝑴 = 𝑨𝑩 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 2/ Chứng minh: Với mọi trường hợp tam giác ABC nhọn, không thể xảy ra trường hợp M là trực tâm của tam giác BNC 3/ Chứng minh: 𝑴𝑨 𝑴𝑯 . 𝑵𝑨 𝑵𝑯 = ( 𝑨𝑫 𝑵𝑫 + 𝑨𝑴 𝑴𝑫 ) 𝟐 4/ Chứng minh: 𝟏 𝑺 ∆𝑩𝑭𝑪 + 𝟏 𝑺 ∆𝑩𝑬𝑪 − 𝟏 𝑺 ∆𝑩𝑯𝑪 = 𝟏 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 (S là diện tích) Bài 6. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB thuộc BC). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD 1/ Chứng minh: 𝑨𝑬 𝑨𝑭 = 𝑫𝑬 𝑫𝑭 2/ EC cắt AB tại K và cắt BF tại O. Chứng minh: 3 đường thẳng KF, BE, OD đồng quy 3/ OA cắt BC tại M. Chứng minh: 𝑨𝑴 𝟐 = 𝑴𝑩 . 𝑴𝑪 − 𝑨𝑩 . 𝑨𝑪 4/ Chứng minh: 𝑩𝑫 𝑪𝑫 . 𝑨𝑫 𝑨𝑬 + 𝑫𝑬 𝑨𝑬 = 1 và 𝑶𝑨 𝑶𝑴 = (𝟏 − 𝑫𝑩 𝑫𝑪 ) 𝟐 Bài 7. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Điểm E di động trên đoạn thẳng AB, điểm F di động trên đoạn thẳng AC sao cho EF // BC và BE > AE. Gọi M là N lần lượt là trung điểm của AF và AC. 1/ Chứng minh: Tứ giác EMNB là hình thang 2/ Chứng minh: Khi E và F di động thì giá trị của biểu thức A = 𝑺 𝑩𝑬𝑴𝑵 𝑺 𝑩𝑬𝑭𝑪 + 𝑺 ∆𝑬𝑭𝑵 𝑺 ∆𝑩𝑴𝑭 có giá trị Không đổi (S là diện tích) 3/ NE cắt BM tại O và EC cắt BF tại I. Chứng minh: OI // BC và 𝑺 ∆𝑩𝑶𝑰 𝑺 𝑨𝑶𝑰𝑪 > 𝟏 𝟑 4/ Trong trường hợp 𝑨𝑪 𝟐 = 𝟐 𝑨𝑩 𝟐 . Chứng minh: góc 𝑴𝑩𝑭 ̂ = góc 𝑵𝑬𝑪 ̂ Bài 8/ Cho tam giác ABC có N là trung điểm của AC. Điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho BM = 2AM. Cho MN cắt BC tại E. Cho biết S là diện tích 1/ Trong trường hợp BC = 12cm. Tính độ dài EC 2/ Biết diện tích tam giác AMN = 10 cm 2 . Tính diện tích tam giác NCE 3/ MC cắt BN tại I, EI cắt AC tại H và cắt AB tại K. Tính tỉ số 𝑰𝑯 𝑰𝑲 4/ Tính tỉ số diện tích tứ giác HMKC với diện tích tứ giác AICE Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ D và E lần lượt là hình chiếu của M và N trên đường thẳng BC 1/ Chứng minh: NE 2 = EC.BD 2/ Chứng minh: 𝑬𝑪 𝑩𝑫 = 𝑨𝑪 𝟐 𝑨𝑩 𝟐 3/ Chứng minh: 𝑨𝑫 𝟐 𝑨𝑬 𝟐 = 𝑩𝑫 .(𝟒𝑬𝑪 +𝑩𝑫 ) 𝑬𝑪 .(𝟒𝑩𝑫 +𝑬𝑪 ) 4/ BN cắt MD tại P và MC cắt NE tại Q. . Đặt a = AB 2 , b = AC 2 . Tính PQ 2 theo a và b 5/ Chứng minh: 𝑨𝑸 𝟐 𝑨𝑷 𝟐 = 𝑸𝑬 .(𝟐𝑩𝑫 +𝑬𝑪 ) 𝑷𝑫 .(𝟐𝑬𝑪 +𝑩𝑫 ) Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D bất kì. Kẻ DE vuông góc với BC tại E, BD cắt AE tại O 1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑶𝑫 ~ ∆𝑩𝑶𝑬 2/ Dựng hình bình hành DOEM và AOBN. Chứng minh: 𝑺 ∆𝑫𝑶𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑶𝑩 = 𝑺 ∆𝑪𝑫𝑴 𝑺 ∆𝑪𝑶𝑩 3/ Chứng minh: 3 điểm C, M, N thẳng hàng 4/ Chứng minh: AD.BE + DE.AB = AE.BD 5/ MN cắt AB tại P. Trên đoạn thẵng AB lấy Q sao cho góc 𝑪𝑶𝑫 ̂ = góc 𝑨𝑶𝑸 ̂ . Chứng minh: BP = AQ Bài 11. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E bất kì, DE cắt AB tại M và AE cắt CD tại N 1/ Xác định vị trí điểm E trên đoạn thẳng BC để BM + NC đạt giá trị nhỏ nhất. 2/ MC cắt BN tại O. Chứng minh: BO.BN = CO.CM 3/ MC cắt AD tại I. Chứng minh: BI _|_ AN 4/ BI cắt ND và NA lần lượt tại H và T, AH cắt IN tại G. Chứng minh: 𝟏 𝑫𝑮 𝟐 + 𝟏 𝑨𝑬 𝟐 − 𝟏 𝑰𝑯 𝟐 = 𝟏 𝑩𝑻 .𝑩𝑰 Bài 12. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của F và E trên đường thẳng BC. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆𝑴𝑫𝑭 ~ ∆𝑬𝑯𝑪 2/ Chứng minh: 𝑴𝑫 𝑵𝑫 = 𝑩𝑴 𝑩𝑫 . 𝑪𝑫 𝑵𝑪 3/ Chứng minh: 3 đường thẳng ME, NF, AD đồng quy 4/ Chứng minh: 𝑺 𝑴𝑭𝑬𝑵 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 = 𝑬𝑭 𝟐 𝑨𝑯 𝟐 − 𝑴𝑭 .𝑺 ∆𝑩𝑭𝑫 +𝑵𝑬 .𝑺 ∆𝑫𝑬𝑪 𝑨𝑫 .𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E bất kì. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B và D trên đường thẳng AE. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑨𝑬 𝑩𝑬 = 𝑩𝑪 +𝑩𝑬 𝑨𝑯 +𝑨𝑲 2/ Trong trường hợp 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑬 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 𝟐 , 𝑺 𝑨𝑫𝑪𝑬 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 𝟐 . Tính tỷ số 𝑩𝑯 𝑫𝑲 3/ Trong trường hợp ABCD là hình vuông. Xác định vị trí điểm E trên đoạn thẳng BC để: a/ 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑫𝑲 = 𝟓 𝟒 b/ 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑫 𝑺 ∆𝑩𝑲𝑪 = 𝟗 𝟕 Bài 14. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, EF cắt AH và BC lần lượt tại O và I. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: IB.IC = IF.IE và 𝑺 ∆𝑶𝑯𝑬 𝑺 ∆𝑶𝑨𝑭 = 𝑺 ∆𝑪𝑯𝑬 𝑺 ∆𝑪𝑨𝑭 2/ Chứng minh: 𝑰𝑭 𝑰𝑬 = 𝑩 𝑫 𝑪𝑫 . 𝑨𝑪 𝟐 𝑨𝑩 𝟐 3/ Chứng minh: 𝟏 𝑰𝑩 + 𝟏 𝑰𝑪 = 𝟐 𝑰𝑫 và 𝟏 𝑰𝑭 + 𝟏 𝑰𝑬 = 𝟐 𝑰𝑶 4/ Chứng minh: ( 𝟏 𝑬𝑶 + 𝟏 𝑬𝑰 ) 𝟐 = ( 𝟏 𝑨𝑶 + 𝟏 𝑨𝑫 ) 𝟐 + ( 𝟏 𝑪𝑫 + 𝟏 𝑪𝑰 ) 𝟐 Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AB tại K 1/ Chứng minh: 𝑩𝑲 𝑨𝑲 = 𝑨𝑯 𝟐 𝑯𝑪 𝟐 2/ Chứng minh: HK.AC + BK.AB = BH.BC 3/ Gọi E là điểm đối A qua B, F là điểm đối xứng F qua H. Chứng minh: EC _|_ KF 4/ EF cắt HK tại M. Trên đoạn thẳng AH lấy điểm S sao cho AK 2 = HS.AF. Chứng minh: KH.KM = AS.AF Bài 16. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD 1/ Chứng minh: 3 đường thẳng AC, BD, MN đồng quy 2/ Trên tia đối tia BD lấy điểm E bất kì, EM cắt AD tại H và EN cắt BC tại K. Chứng minh: HK // CD 3/ Đặt AB = a; CD = b ; BD = c. Xác định vị trí điểm E trên tia đối tia BD sao cho: a/ HK đi qua điểm đồng quy của 3 đường thẳng AC, BD, MN b/ HK chia hình thang ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau 17. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M là trung điểm của AB, AC cắt MD tại O và BD cắt MC tại I. Cho biết S là diện tích, AB = a, CD = b 1/ Chứng minh: OI // CD. Tính độ dài OI theo a và b 2/ AI và BO cắt đường thẳng CD lần lượt tại E và F. Chứng minh: EF = 3CD 3/ Tính tỉ số 𝑺 𝑭𝑶 𝑰𝑬 𝑺 𝑨𝑶𝑰𝑩 và 𝑺 ∆𝑨𝑰𝑭 𝑺 ∆𝑩𝑶𝑬 theo a và b Bài 18. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên cạnh CD lấy điểm E bất kì. Lấy điểm M thuộc cạnh AD, điểm N thuộc cạnh BC sao cho ME // AC và BD // NE. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑬 = 𝑺 ∆𝑩𝑵𝑬 và 𝑺 ∆𝑫𝑴𝑬 𝑺 ∆𝑪𝑵𝑬 = 𝑬𝑫 𝟐 𝑬𝑪 𝟐 . Từ đó xác định vị trí điểm E thuộc cạnh CD để (𝑺 ∆𝑫𝑴𝑬 ) 𝟐 + (𝑺 ∆𝑪𝑵𝑬 ) 𝟐 đạt giá trị nhỏ nhất 2/ MN cắt BD và AC lần lượt tại H và K, AC cắt BD tại O. Chứng minh: MH = KN Và OE đi qua trung điểm của cạnh MN 3/ Chứng minh: 𝑫𝑯 𝑨𝑲 = 𝑶𝑩 𝑶𝑨 4/ AH cắt BK tại S, OS cắt CD tại L. Đặt ED = a ; EC = b ; AB = c. Tính tỷ số 𝑳𝑫 𝑳𝑪 theo a, b, c Bài 19. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB BC). Vẽ HK vuông góc với AC tại K, BK cắt AH tại O. Gọi Q là trung điểm của cạnh AB. 1/ Chứng minh: 3 điểm C, O, Q thẳng hàng và 𝑶𝑯 𝑶𝑨 = 𝑲𝑪 𝟐 𝑲𝑯 𝟐 2/ Gọi D là điểm đối xứng A qua H. Chứng minh: OC _|_ DK 3/ DK cắt OC và BC lần lượt tại M và N, kẻ DE vuông góc với BK tại E. Chứng minh: 𝑯𝑴 𝑯𝑬 = 𝑶𝑩 𝑶𝑪 . 𝑨𝑪 𝑨𝑩 4/ Gọi P là trung điểm của AK, AN cắt HP tại I. Trên đoạn thẳng HD lấy điểm L sao cho LD = 2LH. Chứng minh: góc 𝑨𝑰𝑸 ̂ = góc 𝑪𝑳𝑯 ̂ Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB BC). Trên đoạn thẳng AH lấy điểm D bất kỳ, BD cắt AC tại M. Kẻ CK vuông góc với BM tại K. 1/ Chứng minh: AB 2 = BD.BK 2/ Gọi E là điểm đối xứng A qua H. Chứng minh: góc 𝑨𝑲𝑯 ̂ = góc 𝑫𝑪𝑬 ̂ 3/ Chứng minh: AK.EK =KM.KB 4/ EK cắt AC và BC lần lượt tại N và O. Chứng minh: AC là tia phân giác của góc 𝑲𝑨𝑶 ̂ 5/ Chứng minh: 𝟏 𝑨𝑴 + 𝟏 𝑨𝑪 = 𝟐 𝑨𝑵 Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và AHB. Cho AM và AN cắt đoạn thẳng BC lần lượt tại E và F. Cho biết S là diện tích và P là chu vi 1/ Chứng minh: MN // BC và HC = 3MN 2/ Cho biết 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 = 𝟑𝟔𝒄𝒎 ; 𝑷 ∆𝑯𝑴𝑵 = 𝟏𝟎 , 𝟐𝒄𝒎 , 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑩 = 𝟏𝟗 , 𝟒𝟒 cm 2 . Tính 𝑺 𝑪𝑴𝑵𝑩 3/ Tính BN 2 + MC 2 theo HB và HC 4/ Trong trường hợp NE, MF, AH đồng quy. Tính giá trị biểu thức A = 𝑵𝑪 𝟐 +𝑩𝑴 𝟐 𝑩𝑪 𝟐 Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác AHC và AHB. Cho AM và AN cắt đoạn thẳng BC lần lượt tại E và F. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆𝑯𝑴𝑵 ~ ∆𝑨𝑪𝑩 . Tìm tỷ số đồng dạng 2/ MN cắt AH tại O. Chứng minh: 𝑶𝑵 𝑶𝑴 = 𝑨𝑯 𝟐 𝑯𝑪 𝟐 3/ Tính AM 2 + AN 2 theo OA và MN 4/ Trong trường hợp 3 đường thẳng MF, EN, AH đồng quy. Tính tỷ số 𝑺 ∆𝑪𝑴𝑭 𝑺 ∆𝑩𝑵𝑬 5/ Trên AC lấy điểm P, trên AB lấy điểm Q sao cho MP // AH // NQ. Chứng minh: Tứ giác MPQN là hình chữ nhật 6/ PE cắt QF tại S. Chứng minh: 2 tam giác AEB và SBC có chung trực tâm và tính giá trị biểu thức A = 𝑯𝑷 𝟐 +𝑯𝑸 𝟐 𝑵𝑪 𝟐 +𝑩𝑴 𝟐 theo AB và AC Bài 23. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB thuộc BC). Gọi E là điểm đối xứng H qua A, D là điểm đối xứng H qua B 1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑩𝑫 ~ ∆𝑪𝑨𝑬 2/ AD cắt EF tại F. Chứng minh: DF 2 = FC.FE + 2HB 2 + 2AC 2 3/ Trên đoạn thẳng CD lấy điểm K sao cho DF 2 = 2DK.DC. Chứng minh: KC.BC = 𝑫𝑪 𝟐 + 𝑫𝑭 𝟐 𝟒 4/ Đường trung trực của DE cắt DF tại S. Trên tia đối tia HE lấy điểm M, trên tia đối tia FD lấy điểm N sao cho DF // MC và HE // NC. Chứng minh: MN // BS Bài 24. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB thuộc BC). Đường thẳng qua C song song với AB cắt AH tại G 1/ Chứng minh: AC 2 = HB.HC + HA.HG 2/ Gọi D là trung điểm của AB và vẽ AK vuông góc với CD tại K. Chứng minh: góc 𝑪𝑲𝑯 ̂ = góc 𝑩𝑲𝑫 ̂ 3/ AK cắt BC tại M. Gọi I là trung điểm của HB. Chứng minh: AH.AG = CM.CI và MH.MB = MI.MC 4/ Chứng minh: 3 điểm D, M, G thẳng hàng 5/ Trên tia đối tia BA lấy điểm L sao cho 𝑳𝑩 𝑳𝑨 = 𝑯𝑩 𝑯𝑪 −𝑯𝑩 . Lấy điểm S thuộc IL sao cho BS // AC. Chứng minh: HK _|_ HS Bài 25. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Trên tia đối tia CB lấy điểm D bất kì. Vẽ 3 đường cao AE, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ 3 đường cao AE, CI, DJ của tam giác ACD cắt nhau tại K. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆𝑬𝑴𝑱 ~ ∆𝑨𝑩𝑫 2/ Chứng minh: 𝑬𝑴 𝑬𝑱 = 𝑯𝑪 𝑲𝑪 ; 𝑩𝑬 𝑫𝑬 . 𝑫𝑪 𝑩𝑪 = 𝑩𝑯 𝑩𝑴 và 𝑬𝑵 𝑬𝑰 = 𝑯𝑬 𝑬𝑲 . 𝑨𝑫 𝑨𝑩 3/ Chứng minh: EC.BD = AC.MJ và góc 𝑴𝑵𝑬 ̂ = góc 𝑬𝑰𝑱 ̂ 4/ Chứng minh: Khi D di động trên tia đối tia CB thì A = 𝑩𝑨𝑫 ̂ + 𝑴𝑬𝑵 ̂ −𝑰𝑬𝑱 ̂ 𝟐 không dổi 5/ Cho BE = 4cm ; EC = 6cm ; HE = 3cm ; 𝑺 𝑨𝑴𝑬𝑩 𝑺 𝑨𝑬𝑱𝑫 = 𝟒 𝟏𝟓 . Tìm 𝑺 𝑨𝑩𝑲𝑫 6/ Cho 𝑺 ∆𝑯𝑴𝑬 .𝑺 ∆𝑨𝑬𝑱 𝑺 ∆𝑯𝑨𝑩 .𝑺 ∆𝑲𝑨𝑪 = 𝟏𝟐 𝟐𝟓 . Tìm tỉ số 𝑺 ∆𝑲𝑪𝑱 𝑺 ∆𝑨𝑱𝑫 Bài 26. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi E là điểm đối xứng H qua A, D là điểm đối xứng A qua B. Biết S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆𝑩𝑯𝑫 ~ ∆𝑨𝑬𝑪 và HD vuông góc với EC 2/ AD cắt EC tại I. Chứng minh: ∆𝑪𝑰𝑵 ~ ∆𝑪𝑫𝑬 3/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑰𝑯 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑯 = 𝑺 ∆𝑫𝑯𝑪 𝑺 ∆𝑫𝑨𝑪 4/ HD cắt IC tại M. Gọi P là Q lần lượt là trung điểm của HD và AM. Chứng minh: Tam giác PQC là tam giác vuông 5/ Vẽ HK _|_ AC tại K. Vẽ điểm L sao cho BL // AC, L và H nằm ở 2 mặt phẳng bờ AB khác nhau và BL.AC = BH.(BC +BH). Chứng minh: 3 điểm M, K, L thẳng hàng Bài 27. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB có đường cao AH ( H thuộc BC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc AMH là góc tù và HM _|_ HN. Đường thẳng qua B song song với AC cắt AH tại K. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑨𝑴 𝑩𝑴 = 𝑵𝑪 𝑵𝑨 2/ Cho biết 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑩 𝑺 𝑨𝑩𝑲𝑪 = 𝟑 𝟏𝟔 . Tính tỉ số 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑲 3/ HN cắt BK tại D. Chứng minh: HM 2 = HN.DN 4/ MK cắt BN tại O, HO cắt AB tại Q. Chứng minh: BN _|_ MK và 𝑸𝑨 𝑸𝑩 = 𝑨𝑵 𝑨𝑪 Bài 28. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Đường thẳng qua B song song với AC cắt AH tại K. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑩𝑯𝑫 𝑺 ∆𝑪𝑯𝑫 = 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑫 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 2/ Chứng minh: BN _|_ MD 3/ AH cắt BN tại I. Chứng minh: 𝑯𝑴 𝟐 𝑯𝑵 𝟐 = 𝟐𝑰𝑵 𝑰𝑩 4/ Đường thẳng qua A song song với BC cắt MD tại K. Chứng minh: IC _|_ BK Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB Vẽ DE _|_ BC tại E. Đường thẳng qua B song song với AC cắt DE tại M, AM cắt BD tại O. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: BC 2 = AC.(CD + MB) 2/ Chứng minh: 𝟏 𝑶𝑬 = 𝟏 𝑨𝑫 + 𝟏 𝑴𝑩 3/ Tính tỉ số 𝑺 ∆𝑪𝑫𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 . Nếu 𝑺 𝑨𝑫𝑬𝑩 𝑺 ∆𝑴𝑬𝑩 = 𝟑𝟗 𝟐𝟓 4/ Gọi P là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B song song với DE cắt PD tại S. Đường thẳng qua P song song với AC cắt OC tại Q. Tính tỉ số 𝑺 ∆𝑴𝑪𝑺 𝑺 ∆𝑴𝑬𝑸 nếu góc 𝑷𝑸𝑺 ̂ = góc 𝑨𝑪𝑩 ̂ Bài 30. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB kỳ. Vẽ DH _|_ BC tại H. Cho BD cắt AH tại O. 1/ Chứng minh: 𝑯𝑪 𝑨𝑪 = 𝑶𝑫 𝑶𝑨 2/ Vẽ các đường phân giác trong OM, ON, OP, OQ lần lượt của các tam giác DOH, BOH, AOB, DOA. (M, N, P, Q lần lượt thuộc HD, HB, AB, AD). Chứng minh: 𝑩𝑯 𝑨𝑩 = 𝑶𝑷 .𝑴𝑵 𝑶𝑵 .𝑷𝑸 3/ Chứng minh: 3 đường thẳng MN, PQ, BD đồng quy tại điểm I 4/ Chứng minh: BI là tia phân giác của góc 𝑨𝑰𝑯 ̂ Bài 31. Cho tam giác ABC nhọn (AB nhau tại H 1/ Chứng minh: BD 2 = BH.BE – HD.AD 2/ Chứng minh: DE.DF.EF = AF.BD.EC 3/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HE và AF. Chứng minh: 𝑴𝑵 𝑬𝑭 = 𝑴𝑫 𝑬𝑪 Bài 32. Cho tam giác ABC nhọn (AB cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DE và HE, MN cắt AB tại O. 1/ Chứng minh: ∆𝑯𝑬𝑫 ~ ∆𝑯𝑨𝑩 2/ Chứng minh: góc 𝑬𝑶𝑴 ̂ = góc 𝑬𝑭𝑵 ̂ 3/ Chứng minh: 𝑫𝑩 𝑫𝑪 + 𝑭𝑩 𝑭𝑨 = 𝟐𝑨𝑯 𝑴𝑶 −𝑨𝑯 4/ NF cắt BM tại S. Chứng minh: Tam giác BSC vuông 5/ Chứng minh rằng: nếu tam giác ABC cân tại C thì 3 điểm O, S, C thẳng hàng Bài 33. Cho tam giác ABC nhọn (AB cắt nhau tại H. Gọi M là hình chiếu của B trên đường thẳng EF, N là hình chiếu của C trên đường thẳng DF 1/ Chứng minh: ∆𝑵𝑫𝑪 ~ ∆𝑬𝑯𝑪 2/ Chứng minh: ME = NF 3/ Chứng minh: 𝑴𝑩 𝑵𝑪 = 𝑩𝑫 𝑪𝑫 4/ DF cắt BH tại O. Chứng minh: 𝑨𝑴 𝑩𝑵 = 𝑶𝑫 𝑶𝑭 Bài 34. Cho tam giác ABC nhọn (AB cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của EF và BC, I là điểm đối xứng H qua N. Kí hiệu S là diện tích 1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑴 𝑭 ~ ∆𝑨𝑵𝑪 2/ Chứng minh: ∆𝑨𝑴𝑯 ~ ∆𝑨𝑵𝑰 3/ Tính tỷ số 𝑬𝑭 𝑨𝑯 nếu 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑯 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑰 = 𝟖 𝟐𝟓 4/ IF cắt BE tại P, IE cắt CF tại Q, PQ cắt BC tại O. Chứng minh: IA _|_ IO Bài 35. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi D là E lần lượt là hình chiếu của H trên các đoạn thẳng AB và AC. 1/ Tính giá trị của biểu thức A = 𝑨𝑩 𝟔 +𝑨𝑪 𝟔 −𝑩𝑪 𝟔 (𝑨𝑩 𝟐 +𝑨𝑪 𝟐 )(𝑨𝑩 𝟒 +𝑨𝑪 𝟒 −𝑩𝑪 𝟒 ) 2/ Chứng minh: EC.BD.BC = EH.BH.AC 3/ Tính B = BC 2 – BD 2 – EC 2 theo HB và HC 4/ Chứng minh: AH 5 = BD.BH.HC.BC.EC 5/ Chứng minh: (HC + HE).(BC + AB) = (AH + AC) 2 6/ Chứng minh: 𝟏 𝑨𝑯 +𝑩𝑯 + 𝟏 𝑨𝑯 +𝑯𝑪 = 𝟏 𝑨𝑯 7/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑫𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 = 𝑨𝑫 .𝑨𝑬 +𝑨𝑯 .𝑨𝑬 +𝑨𝑯 .𝑨𝑫 𝑨𝑩 .𝑨𝑪 +𝑨𝑩 .𝑩𝑪 +𝑨𝑪 .𝑩𝑪 (S là diện tích ) 8/ Chứng minh: (𝑺 ∆𝑯𝑬𝑪 ) 𝟐 +(𝑺 ∆𝑯𝑩𝑫 ) 𝟐 (𝑺 ∆𝑨𝑩𝑬 ) 𝟐 +(𝑺 ∆𝑨𝑪𝑫 ) 𝟐 = 𝑯𝑩 𝟒 +𝑯𝑪 𝟒 𝑨𝑩 𝟒 +𝑨𝑪 𝟒 9/ Chứng minh: BE.CD = BD.HD + EH.EC + 3BD.EC 10/ Chứng minh: (AB + AC – BC) 2 = (AH + BH – AB) 2 + (AH + HC – AC) 2 11/ Tính tỷ số 𝑺 ∆𝑨𝑫𝑬 𝑺 𝑩𝑫𝑬𝑪 trong trường hợp 𝑩𝑫 𝑬𝑪 = 𝟏 𝟖 12/ Tính giá trị của biểu thức C = 𝑩𝑫 +𝑬𝑪 𝑨𝑩 +𝑨𝑪 + (𝑨𝑫 +𝑨𝑬 ) 𝟐 𝟐𝑩𝑯 .𝑪𝑯 13/ Chứng minh: AB.AC.BC – BD.HB.HB – EC.EC.HC = 3BD.EC.BC 14/ Chứng minh: (𝑺 𝑨𝑫𝑯𝑪 ) 𝟑 + (𝑺 𝑨𝑬𝑯𝑩 ) 𝟑 = 𝑨𝑯 𝟑 .(𝑩𝑪 𝟐 +𝟐 𝑨𝑯 𝟐 ).(𝑨𝑯 𝟐 −𝑩𝑪 𝟐 ) 𝟐 𝟖 𝑩𝑪 𝟑 15/ Chứng minh: 𝑯𝑩 𝟑 −𝑨𝑬 𝟑 𝑯𝑪 𝟑 −𝑨𝑫 𝟑 = ( 𝑩𝑪 −𝑬𝑪 𝑩𝑪 −𝑩𝑫 ) . ( 𝑨𝑩 𝟑 −𝑩𝑫 𝟑 𝑨𝑪 𝟑 −𝑨𝑬 𝟑 ) 𝟐 16/ Chứng minh: 𝑯𝑪 𝑨𝑯 +𝑩𝑯 + 𝑯𝑩 𝑨𝑯 +𝑯𝑪 = 𝑩𝑪 𝟐 .(𝑯𝑬 +𝑬𝑪 )(𝑩𝑫 +𝑬𝑪 ) 𝑨𝑩 .𝑨𝑪 .𝑯𝑪 (𝑩𝑪 +𝟐𝑨𝑯 ) 17/ Chứng minh: 𝑨𝑩 𝟓 . (𝑷 ∆𝑯𝑬𝑪 ) 𝟑 + 𝑨𝑪 𝟓 . (𝑷 ∆𝑩𝑯𝑫 ) 𝟑 = 𝟐 𝑨𝑯 𝟓 . 𝑩𝑪 . (𝟐𝑨𝑯 + 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 ). (𝑨𝑯 + 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 ) (P là chu vi) Bài 36. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi D là E lần lượt là hình chiếu của H trên các đoạn thẳng AB và AC. Cho CD cắt HE tại M, BE cắt HD tại N. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑴𝑬 𝑯𝑬 + 𝑵𝑫 𝑯𝑫 = 1 2/ Chứng minh: AH = (𝑩𝑯 +𝑨𝑩 )(𝑯𝑪 +𝑨𝑪 ) 𝑨𝑯 +𝑩𝑪 +𝑨𝑩 +𝑨𝑪 3/ Chứng minh: MN // BC và 𝑺 𝑨𝑴𝑯𝑵 = 𝑺 ∆𝑨𝑫𝑬 4/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑯𝑴𝑵 . 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 = (𝑺 𝑨𝑴𝑯𝑵 ) 𝟐 5/ Tính AM 2 + AN 2 theo AH và BC 6/ Tính tỉ số 𝑺 𝑩𝑵𝑴𝑪 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑵 nếu AM 2 + AN 2 = 𝟖 𝑩𝑪 𝟐 𝟐𝟕 7/ Giả sử B và C cố định. Điểm A chuyển động sao cho tam giác ABC luôn vuông tại A. Hãy tính tỉ số 𝑯𝑩 𝑯𝑪 trong trường hợp tỉ số 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑵 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 đạt giá trị lớn nhất Chứng minh rằng: 8/ AM 2 + BM 2 + AN 2 + NC 2 – BE 2 – CD 2 = MN.BC 9/ ( 𝟏 𝑴𝑵 + 𝟏 𝑩𝑪 ) . ( 𝟏 𝑩𝑬 𝟐 + 𝟏 𝑪𝑫 𝟐 ) = 𝟏 𝑨𝑯 .𝑨𝑫 .𝑨𝑬 10/ 𝑩𝑯 𝟑 −𝑯𝑪 𝟑 𝑨𝑩 −𝑨𝑪 = (𝑨𝑩 +𝑨𝑪 ).(𝑩𝑪 −𝑨𝑯 ).(𝑩𝑪 +𝑨𝑯 ) 𝑩𝑪 11/ 𝑨𝑩 𝟑 −𝑨𝑪 𝟑 𝑩𝑯 𝟐 −𝑯𝑪 𝟐 = 𝑨𝑪 .(𝑩𝑪 +𝑨𝑯 ) (𝑨𝑩 +𝑨𝑪 ).(𝑬𝑪 −𝑨𝑬 ) 12/ 𝑨𝑩 . (𝑷 ∆𝑨𝑯𝑪 ) 𝟑 + 𝑨𝑪 . (𝑷 ∆𝑨𝑯𝑩 ) 𝟑 = 𝑨𝑯 . (𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 ) 𝟑 (P là chu vi) 13/ 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑩 . 𝑷 ∆𝑨𝑯𝑪 + 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑪 . 𝑷 ∆𝑨𝑯𝑩 = 𝑨𝑯 𝟐 . (𝟐𝑨𝑯 + 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 ) 14/ (𝑯𝑩 + 𝑯𝑨 )(𝑯𝑨 + 𝑯𝑪 )(𝑨𝑩 + 𝑨𝑪 ) = 𝑨𝑯 . 𝑩𝑪 . (𝑨𝑩 + 𝑨𝑪 + 𝟐𝑩𝑫 + 𝟐𝑬𝑪 ) 15/ (𝑨𝑯 −𝑨𝑬 )(𝑨𝑩 −𝑨𝑯 ) 𝑨𝑬 + (𝑯𝑫 +𝑯𝑩 )(𝑯𝑪 +𝑨𝑪 ) 𝑩𝑫 = 𝟐 (𝑨𝑯 + 𝑩𝑪 ) 16/ 𝑨𝑩 +𝑩𝑫 𝑩𝑯 +𝑨𝑩 + 𝑨𝑪 +𝑬𝑪 𝑯𝑪 +𝑨𝑪 = 𝑨𝑯 +𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 𝑨𝑯 +𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 +𝑷 ∆𝑨𝑫𝑬 Bài 37. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi D là E lần lượt là trung điểm của AB và AC, DE cắt AH tại I. Biết S là diện tích 1/ Tính IB 2 + IC 2 theo AH và BC 2/ Chứng minh rằng: Nếu 𝑰𝑩 𝟐 +𝑰𝑪 𝟐 𝑩𝑬 𝟐 +𝑪𝑫 𝟐 = 𝟏 𝟐 thì tam giác ABC vuông cân 3/ Chứng minh: 𝑰𝑪 𝟐 𝑪𝑫 𝟐 + 𝑩𝑰 𝟐 𝑩𝑬 𝟐 = 1 4/ Chứng minh: (𝑺 ∆𝑫𝑰𝑩 ) 𝟑 + (𝑺 ∆𝑪𝑰𝑬 ) 𝟑 = 𝑩𝑪 . 𝑨𝑯 𝟑 .(𝑩𝑪 𝟐 −𝟑 𝑨𝑯 𝟐 ) 𝟔𝟒 5/ Qua D kẻ đường thẳng song song với AH cắt AC tại M. Chứng minh: BH.BC = 2AM.AC 6/ Gọi K là điểm đối xứng A qua H. Kẻ MP _|_ HE tại P. Chứng minh: CD _|_ PK 7/ Dựng điểm S sao cho BS // AC, KS // AB. Cho PK cắt AC tại T. Dựng HL _|_ AB tại L . Chứng minh: ST _|_ LC Bài 38. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M bất kì. Đường thẳng qua M song song với BC cắt AC tại N 1/ Đặt BC = a ; BM = b. Tính tỉ số 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑵 𝑺 𝑩𝑴𝑵𝑪 theo a và b (S là diện tích) 2/ Xác định vị trí điểm M trên cạnh AB để chu vi tứ giác BMNC bằng chu vi tam giác AMN 3/ Gọi D và E lần lượt là trung điểm của MN và BN. Gọi O là trọng tâm của tam giác AMN. Chứng minh: EO _|_ EC và góc 𝑩𝑶𝑴 ̂ = góc 𝑩𝑪𝑬 ̂ 4/ Điểm K thuộc cạnh AB sao cho góc 𝑬𝑶𝑲 ̂ = 150*. Chứng minh: AM 2 = 3AK.AB 5/ Tính tỉ số 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑵 𝑺 ∆𝑩𝑶𝑵 nếu như OE _|_ ON và tỉ số 𝑺 ∆𝑲𝑬𝑪 𝑺 ∆𝑲𝑫𝑬 nếu như AM = 2BM Bài 39. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AC và AB, HO cắt AB tại D. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑫𝑩 𝑫𝑪 = 𝑯𝑩 𝑯𝑪 2/ IC cắt OH tại E. Chứng minh: 𝑬𝑰 𝑬𝑪 = 𝑩𝑪 𝟐𝑯𝑪 3/ Lấy điểm F thuộc cạnh HC sao cho EF //AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: FC 2 = FM.FH 4/ Vẽ HK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: 𝟏 𝑯𝑬 = 𝟏 𝑲𝑪 + 𝟐 𝑨𝑪 Bài 40. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi I là trung điểm của AB. Vẽ AK vuông góc với IC tại K. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: BH.BC = 4IK.IC 2/ Trong trường hợp AH 2 = 2AK 2 . Tính tỷ số 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑯 𝑺 ∆𝑨𝑲𝑪 3/ Chứng minh: góc 𝑩𝑲𝑰 ̂ = góc 𝑯𝑲𝑪 ̂ 4/ HK cắt AC tại M. Lấy điểm N thuộc cạnh MB sao cho AN // BK. Chứng minh: Đường thẳng IN đi qua trung điểm của cạnh AC 5/ Đường thẳng qua H vuông góc với HK cắt AC tại O. Chứng minh: OA = 2OC Bài 41. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AB tại K 1/ Chứng minh: BH.HC = KB.KA + HK.(AC – HK) 2/ Vẽ AD vuông góc với CK tại D. Chứng minh: ∆𝑪𝑲𝑯 ~ ∆𝑪𝑩𝑫 và DA.DB = DH.DC 3/ Chứng minh: 𝟏 𝑨𝑫 𝟐 − 𝟏 𝑨𝑯 𝟐 = 𝑯𝑩 𝟐 +𝑯𝑲 𝟐 𝑨𝑲 .𝑯𝑲 .𝑨𝑩 .𝑨𝑪 4/ BD cắt AC tại E. Đường thẳng qua C song song với BE cắt HK tại F. Đường thẳng qua C song song với AB cắt EF tại O. Chứng minh: 3 điểm O, H, D thẳng hàng Bài 42. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AB tại K. Cho biết S là diện tích và P là chu vi 1/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑩𝑯𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑪 = 𝑷 ∆𝑨𝑯𝑩 𝑷 ∆𝑨𝑯𝑪 . 𝑺 ∆𝑩𝑲𝑪 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 2/ Vẽ AD vuông góc với KC tại D. Chứng minh: HD _|_ BD 3/ Gọi I là trung điểm của BC, AI cắt HK tại E. Chứng minh: 𝑬𝑪 𝑬𝑲 = 𝑩𝑫 𝑨𝑫 4/ Lấy điểm M thuộc cạnh AH sao cho MD // AB. Dựng điểm N sao cho MN // AC và AN // BC. Chứng minh: DN đi qua trung điểm cạnh MK Bài 43. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D là điểm đối xứng A qua B, E là điểm đối xứng A qua H, CD cắt AE tại I. 1/ Chứng minh: 𝑰𝑫 𝑰𝑪 = 𝟐 𝑫𝑬 𝟐 𝑨𝑬 𝟐 2/ Lấy điểm F thuộc cạnh EC sao cho IF // BC. Đường thẳng qua F song song với BE cắt HC và HA lần lượt tại M và N. Chứng minh: H là trung điểm của đoạn thẳng IN 3/ HD cắt NC tại K. Chứng minh: Tam giác AKD là tam giác vuông 4/ AK cắt HC tại O. Chứng minh: OE _|_ HF và 3 điểm K, M, E thẳng hàng Bài 44. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Trên cạnh HC lấy điểm M bất kì. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng AB và AC. Cho biết S là diện tích. 1/ Xác định vị trí điểm M trên đoạn thẳng HC để: a/ BD.EC = AB 2 b/ A = 𝑺 ∆𝑴𝑬𝑪 . 𝑺 ∆𝑴𝑩𝑫 đạt giá trị lớn nhất và B = (𝑺 ∆𝑴𝑬𝑪 ) 𝟐 + (𝑺 ∆𝑴𝑩𝑫 ) 𝟐 đạt giá trị lớn nhất 2/ Chứng minh: HD _|_ HE và 𝑯𝑩 𝑯𝑪 = 𝑯𝑫 𝟐 𝑯𝑬 𝟐 3/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑫 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑪 + 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑩 = 1 4/ Trong trường hợp 𝑩𝑫 𝑬𝑪 = 𝑴𝑩 𝟐𝑴𝑪 . Tính tỉ số 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑬 𝑺 𝑨𝑴𝑯𝑫 5/ HE cắt MD tại I. Cho biết AB = 15cm ; AC = 20cm. Xác định vị trí điểm M trên cạnh HC để 𝑰𝑫 𝑰𝑴 = 𝟐𝟔 𝟐𝟓 Bài 45. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AC tại K. Gọi E là trung điểm của AB. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑨𝑬 𝑨𝑲 = 𝑩𝑪 𝟐𝑨𝑯 2/ EC cắt HK tại I. Chứng minh: IH = IK và 𝑺 ∆𝑨𝑰𝑪 𝑺 ∆𝑩𝑰𝑬 = 𝑯𝑪 𝑯𝑩 3/ Vẽ CM vuông góc với AI tại M. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh: Tam giác BMO vuông 4/ Dựng điểm S sao cho BS // AC và AS // OM. Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑲 𝑺 ∆𝑶𝑰𝑬 − 𝑩𝑺 .𝑨𝑴 𝟐𝑯𝑴 .𝑨𝑪 = 1 Bài 46. Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ HK vuông góc với AC tại K. Gọi O và E lần lượt là trung điểm của AB và AC 1/ Chứng minh: OA. HK + AK.AE = HB.HC 2/ Dựng điểm D sao cho OD // AC và AD //BC. Chứng minh: ∆𝑨𝑯𝑫 ~ ∆𝑨𝑲𝑶 3/ Vẽ AM vuông góc với HD tại M. Chứng minh: 3 điểm M, O, K thẳng hàng 4/ Gọi N là điểm đối xứng M qua H. Trên cạnh MC lấy điểm I sao cho IM = 2IC. Trên cạnh AE lấy điểm S sao cho AS = EK. Chứng minh: góc 𝑰𝑵𝑪 ̂ = góc 𝑺𝑯𝑬 ̂ Bài 47. Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AC và HC 1/ Chứng minh: góc 𝑨𝑩𝑶 ̂ = góc 𝑯𝑨𝑰 ̂ 2/ Gọi E là trung điểm của AB. Cho AB = 15cm ; AC = 20cm. Tính diện tích tam giác OIE 3/ HE cắt OI tại K. Chứng minh: OB _|_ AK 4/ Đường thẳng qua I song song với OH cắt AH tại G. Trên đoạn thẳng OE lấy điểm S sao cho BH = 2OS. Chứng minh: GE.GO = GB.GC và HS _|_ GK Bài 48. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D và I lần lượt là trung điểm của AH và AC. Gọi E là điểm đối xứng H qua I 1/ Chứng minh: BH 2 .HE 2 + AB 2 .AE 2 = AH 2 .BC 2 2/ ID cắt AB tại O. Chứng minh: góc 𝑨𝑩𝑫 ̂ = góc 𝑪𝑩𝑰 ̂ . Tính giá trị của biểu thức A = BD 2 + CD 2 + BI 2 + OC 2 theo AH và BC 3/ Đường thẳng qua A vuông góc với BI cắt OH tại K. Chứng minh: AB // CK 4/ Đường thẳng qua D vuông góc với DB cắt IK tại M. Tính tỉ số 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑪 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑬 (S là diện tích) 5/ Chứng minh: Nếu BE 2 = 5AH 2 thì tam giác ABC vuông cân 6/ Đường thẳng qua I song song với AB cắt EC tại S. Chứng minh: 3 điểm S, D, B thẳng hàng 7/ Trong trường hợp 𝑺 ∆𝑩𝑫𝑰 + 𝑺 ∆𝑪𝑶𝑫 = 13,5 cm 2 ; 𝑶𝑬 𝟐 𝑨𝑩 𝟐 = 𝟕𝟑 𝟏𝟔 . Tính 𝑺 ∆𝑩𝑲𝑬 Bài 49. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng BD và EC. Gọi K là điểm đối xứng C qua H, HN cắt AC tại I. Cho biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝟏 𝑨𝑴 𝟐 + 𝟏 𝑨𝑵 𝟐 = 𝟓 𝟒𝑨𝑯 𝟐 2/ Chứng minh: 𝑯𝑴 𝟐 𝑯𝑵 𝟐 = 𝑯𝑪 .(𝑯𝑪 +𝟒𝑯𝑩 ) 𝑯𝑩 .(𝑯𝑩 +𝟒𝑯𝑪 ) ; 𝑯𝑴 𝑩𝑴 . 𝑪𝑵 𝑯𝑵 = 𝑯𝑪 𝑯𝑩 và 𝑩𝑴𝑯 ̂ + 𝑯𝑵𝑪 ̂ = 180* 3/ Chứng minh: BM 2 + NC 2 = 𝟐 𝑩𝑪 𝟐 .(𝟐 𝑩𝑪 𝟐 −𝟑 𝑨𝑯 𝟐 ) 𝟒 𝑩𝑪 𝟐 +𝟗 𝑨𝑯 𝟐 . Từ đó chứng minh rằng: Nếu BM 2 + NC 2 = 2.(HM 2 + HN 2 ) thì tam giác ABC vuông cân 4/ Chứng minh: 3 điểm K, M, I thẳng hàng. Tính tỉ số 𝑺 ∆𝑯𝑴𝑵 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 nếu như 𝑯𝑴 𝟐 𝑯𝑵 𝟐 = 𝟒 𝟑 Bài 50. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi I và O lần lượt là trung điểm của AB và AC. Đặt L là tổng bình phương độ dài 3 cạnh trong 1 tam giác. Ví dụ: 𝑳 ∆𝑨𝑩𝑪 = AB 2 + AC 2 + BC 2 1/ Tính A = 𝑳 ∆𝑨𝑩𝑯 + 𝑳 ∆𝑨𝑯𝑪 theo BC B = 𝑳 ∆𝑩𝑯𝑰 + 𝑳 ∆𝑪𝑯𝑶 theo AH và BC C = 𝑳 ∆𝑪𝑯𝑰 + 𝑳 ∆𝑩𝑯𝑶 theo HB và HC và D = (𝑳 ∆𝑪𝑯𝑰 ) 𝟐 + (𝑳 ∆𝑩𝑯𝑶 ) 𝟐 theo HB và HC 2/ Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: 𝑺 ∆𝑰𝑶𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 = 𝟏 𝟒 − 𝑨𝑩 𝟐 𝟐 𝑩𝑪 𝟐 (S là diện tích) 3/ Dựng KM _|_ IC tại M. Đường thẳng qua K song song với BC cắt IC tại N. Chứng minh: ∆𝑴𝑲𝑯 ~ ∆𝑲𝑪𝑵 và 𝑯𝑴 𝟐 𝑯𝑰 𝟐 = 𝑴𝑪 𝑰𝑪 . Từ đó tính tỉ số 𝑺 𝑰𝑯𝑴𝑲 𝑺 𝑵𝑯𝑴𝑲 nếu 𝑯𝑴 𝟐 𝑯𝑰 𝟐 = 𝟖 𝟐𝟕 4/ Gọi P là trung điểm của AK. Dựng điểm Q sao cho HK // QC, H và Q nằm ở cùng nửa mặt phẳng bờ AC và HK = 2QC. Chứng minh: MH _|_ PQ Bài 51. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường phân giác trong BD và EC (D thuộc AC và E thuộc AB). Đặt BC = a ; AB = b. Biết S là diện tích 1/ Chứng minh: Tứ giác BEDC là hình thang cân 2/ Tìm DE và (𝑺 ∆𝑨𝑫𝑬 ) 𝟐 theo a và b 3/ BD cắt AE tại O. Tính tỷ số 𝑺 𝑨𝑬𝑶𝑫 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 theo a và b. Nếu như AB = 15cm ; BC = 16cm. Tìm diện tích của tứ giác AEOD 4/ Gọi M là trung điểm của AD, MO cắt BC tại I. Nếu như 𝑺 ∆𝑩𝑶𝑴 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 = 𝟑 𝟏𝟔 , tìm tỉ số của a với b ; 𝑰𝑩 𝑰𝑪 và 𝑺 𝑩𝑬𝑶𝑰 𝑺 𝑴𝑬𝑰𝑪 5/ Tính tỉ số 𝑶𝑴 𝑶𝑰 nếu như 𝑷 ∆𝑨𝑫𝑬 𝑷 𝑩𝑬𝑫𝑪 = 𝟐𝟏 𝟏𝟑 (P là chu vi) Bài 52. Cho tam giác ABC nhọn (AB đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ các đường thẳng đi qua B và C và cùng song song với AD giao với đường thẳng EF lần lượt tại M và N. Cho EF cắt AH tại O 1/ Chứng minh: NC 2 = NE.NF 2/ Chứng minh: AD là tia phân giác của góc 𝑴𝑫𝑵 ̂ và 3 đường thẳng AD, MC, BN đồng quy 3/ Chứng minh: 𝑩𝑯 𝑨𝑩 = 𝑴𝑭 𝑴𝑩 4/ Chứng minh: 𝑴𝑬 𝑵𝑭 = 𝑨𝑩 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 và 𝑴𝑭 𝑵𝑬 = 𝑩𝑯 𝟐 𝑯𝑪 𝟐 Bài 53. Cho tam giác ABC nhọn (AB có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua A song song với BC cắt DF tại K, CK cắt AD tại M 1/ Chứng minh: ∆𝑩𝑭𝑫 ~ ∆𝑩𝑪𝑨 2/ Chứng minh: AF 2 = FE.EK và ME // BC 3/ MB cắt EF tại O. Chứng minh: OH đi qua trung điểm của cạnh BC 4/ Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AK và AE. Vẽ PS _|_ FQ tại S, QL _|_ AK tại L. Chứng minh: AB // SL Bài 54. Cho tam giác ABC nhọn (AB có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường trung trực đoạn thẳng BC cắt FC, BE, EF lần lượt tại M, N, I 1/ Chứng minh: 𝑴𝑪 𝑩𝑵 = 𝑨𝑩 𝑨𝑪 2/ Chứng minh: 𝑴𝑯 𝑴𝑵 = 𝑬𝑨 𝑬𝑭 3/ Chứng minh: 𝑰𝑭 𝑰𝑬 = 𝑨𝑪 𝟐 −𝑩 𝑯 𝟐 𝑨𝑩 𝟐 −𝑯𝑪 𝟐 và 𝑭𝑴 𝑬𝑵 = 𝑨𝑩 .(𝑨𝑪 𝟐 −𝑩𝑯 𝟐 ) 𝑨𝑪 .(𝑨𝑩 𝟐 −𝑯𝑪 𝟐 ) 4/ Đường thẳng qua B song song với AD cắt EF tại P. Chứng minh: IC // DP Bài 55. Cho tam giác ABC nhọn (AB 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Dựng DK vuông góc với EF tại K 1/ Chứng minh: FC là tia phân giác góc 𝑬𝑭𝑫 ̂ 2/ Chứng minh: AB 2 +AC 2 – BC 2 = 2AD.AH và 𝑩𝑪 𝟐 +𝑨𝑩 𝟐 −𝑨𝑪 𝟐 𝑩𝑪 𝟐 +𝑨𝑪 𝟐 −𝑨𝑩 𝟐 = 𝑩𝑫 𝑪𝑫 3/ Chứng minh: 𝟐𝑫𝑭 𝑫𝑲 = 𝑩𝑫 𝑯𝑫 + 𝑯𝑫 𝑩𝑫 4/ Chứng minh: DK là tia phân giác của góc 𝑩𝑲𝑪 ̂ Bài 56. Cho tam giác ABC nhọn (AB 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi O và I lần lượt là trung điểm của CD và AH. 1/ Chứng minh: OI 2 = (𝑨𝑯 −𝑯𝑫 ).(𝑨𝑯 −𝟑𝑯𝑫 )+𝑨𝑪 𝟐 𝟒 2/ Đường thẳng qua C song song với AD cắt EF tại K. Chứng minh: 𝑲𝑬 𝑲𝑭 = 𝑯𝑪 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 3/ Chứng minh: OI _|_ BK 4/ OI cắt KC tại M. Đường thẳng qua M song song với BC cắt AB tại N. Gọi G là trung điểm của HK. Chứng minh: Tam giác GCN vuông 5/ Chứng minh: 𝑯𝑨 .𝑯𝑩 .𝑯𝑪 𝑯𝑫 .𝑯𝑬 .𝑯𝑭 = 𝑨𝑩 .𝑨𝑪 .𝑩𝑪 𝑫𝑬 .𝑫𝑭 .𝑬𝑭 Bài 57. Cho tam giác ABC nhọn (AB 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của EF và BC 1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑬𝑭 ~ ∆𝑨𝑩𝑪 2/ Chứng minh: 𝑨𝑴 𝑨𝑵 = 𝑯𝑭 𝑯𝑩 3/ Đường thẳng qua N song song với AC cắt AM tại I. Chứng minh: EF // BI 4/ Chứng minh: 3 điểm E, I, D thẳng hàng Bài 58. Cho tam giác ABC có góc A tù và AC > AB. Vẽ đường phân giác trong AD của tam giác ABC (D thuộc BC). Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh AC lấy điểm F sao cho góc 𝑨𝑩𝑪 ̂ = góc 𝑨𝑫𝑬 ̂ và góc 𝑨𝑪𝑩 ̂ = góc 𝑨𝑫𝑭 ̂ 1/ Chứng minh: Tam giác DEF cân 2/ EF cắt AD tại O. Chứng minh: ∆𝑨𝑬𝑭 ~ ∆𝑨𝑪𝑩 và AE.AF = AO.AD 3/ Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MF // AD, MO cắt AB tại N. Chứng minh: góc 𝑩 𝑴𝑨 ̂ = góc 𝑩𝑵𝑫 ̂ 4/ Chứng minh: AD 2 = AB.AC – DB.DC 5/ Trên cạnh MF lấy điểm L sao cho OA = ML. Dựng hình bình hanh DONS. Chứng minh: 3 điểm B, S, L thẳng hàng Bài 59. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi D là trung điểm của AB. Kẻ AK vuông góc với CD tại K. Kí hiệu S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑫𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑯 = 𝑩𝑪 𝟐 .(𝑩𝑪 +𝟑𝑯𝑪 ) . Từ đó tính diện tích tam giác ABC nếu như AB = 9cm và 𝑺 ∆𝑨𝑫𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑯 = 𝟐𝟓 𝟏𝟒𝟔 2/ Chứng minh: 𝑨𝑫𝑯 ̂ = 𝑪𝑲𝑯 ̂ + 𝑫𝑲𝑩 ̂ 3/ Dựng điểm E sao cho HE // AC và EC // AB, AE cắt CD tại I, HI cắt AC tại M. Chứng minh: M là trung điểm của AC và 3 đường thẳng AK, HE, MB đồng quy Bài 60. Cho tam giác ABC nhọn (AB có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, DF cắt ME tại I. 1/ Chứng minh: FC là tia phân giác của góc 𝑬𝑭𝑫 ̂ 2/ Chứng minh: IM.IE = ID.IF 3/ Chứng minh: Tia phân giác trong góc I của tam giác IEF song song với tia phân giác trong góc A của tam giác ABC 4/ AI cắt BC tại K. Chứng minh: 𝑲𝑩 𝑲𝑪 = 𝑴𝑪 𝟐 𝑪𝑫 𝟐 5/ Chứng minh: 𝑨𝑩 𝟐 +𝑨𝑪 𝟐 −𝑩𝑪 𝟐 𝑨𝑩 𝟐 +𝑩𝑪 𝟐 −𝑨𝑪 𝟐 + 𝑨𝑪 𝟐 +𝑨𝑩 𝟐 −𝑩𝑪 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 +𝑩𝑪 𝟐 −𝑨𝑩 𝟐 = 𝑨𝑯 𝑯𝑫 Bài 61. Cho tam giác ABC nhọn (AB có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Cho DF cắt BH tại M, DE cắt HC tại N 1/ Chứng minh: 𝟑𝑨𝑫 𝑨𝑯 − 𝑴𝑫 𝑴𝑭 − 𝑵𝑫 𝑵𝑬 = 1 2/ Chứng minh: 𝑭𝑴 𝑯𝑴 + 𝑬𝑵 𝑯𝑵 = 𝑩𝑪 𝟐 𝑯𝑩 .𝑯𝑪 3/ Chứng minh: 𝑫𝑵 𝑨𝑪 . 𝑨𝑩 𝑫𝑴 = 𝑯𝑬 +𝑩𝑬 𝑯𝑭 +𝑭𝑪 4/ Đường thẳng qua C song song với AD cắt MN tại K. Gọi I là điểm đối xứng C qua K. Chứng minh: 3 đường thẳng AD, MN, BI đồng quy Bài 62. Cho tam giác ABC nhọn (AB có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ FM vuông góc với BC tại M 1/ Chứng minh: FM.AH + CD.BC = FC 2 2/ Trên đoạn thẳng BC lấy điểm K sao cho FC.BH = HC.FK. Đường thẳng qua B song song với AD cắt FK tại I. Chứng minh: BE.BK = BC.BI 3/ Dựng điểm O sao cho OB // EF và OE //AD. Chứng minh: 𝑬𝑭𝑶 ̂ = 𝑩𝑬𝑰 ̂ 4/ Vẽ CN vuông góc với EF tại N. Chứng minh: 𝑵𝑬 𝑩𝑴 = 𝑩𝑯 𝑯𝑪 5/ Chứng minh: 𝑭𝑴𝑰 ̂ = 𝑭𝑵𝑩 ̂ Bài 63. Cho tam giác ABC nhọn (AB có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, EF cắt AH tại I. Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại M 1/ Chứng minh: 𝑨𝑰 𝑨𝑬 = 𝑨𝑪 𝑨𝑫 +𝑯𝑫 2/ Chứng minh: 𝑨𝑬 𝑨𝑰 − 𝑯𝑪 𝑯𝑨 = 𝑯𝑫 𝟐 𝑯𝑭 .𝑨𝑫 3/ Chứng minh: 𝑫𝑬 𝑫𝑭 = 𝑴𝑩 𝑴𝑪 4/ Chứng minh: 𝑩𝑯 𝑨𝑩 + 𝑯𝑪 𝑨𝑪 = 𝑩𝑪 𝑨𝑴 Bài 64. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi O và D lần lượt là trung điểm của BC và AC. Đường thẳng qua C song song với AH cắt OD tại E. Biết S là diện tích và P là chu vi 1/ Chứng minh: AC 4 + BC 4 – AB 4 = 32OA 2 .HD 2 và DO.DE + AH.EC = CO.CH 2/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑬 = 𝑺 ∆𝑯𝑩𝑬 và 𝑺 ∆𝑬𝑩𝑫 = 𝑺 ∆𝑪𝑯𝑫 + 𝑺 ∆𝑬𝑯𝑫 3/ Cho AB =15cm ; AC =20 cm. Tìm diện tích tam giác BCE 4/ Chứng minh: BC 4 = 4HB 2 .OE 2 + 4EC 2 .AB 2 5/ Chứng minh: ( 𝑷 ∆𝑩𝑪𝑬 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑫 ) 𝟐 = 𝟒 𝑺 ∆𝑪𝑶𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 6/ Vẽ HK vuông góc với BE tại K. Chứng minh:𝑨𝑩𝑬 ̂ = 𝑯𝑨𝑲 ̂ 7/ AK cắt BC tại N và BD cắt AH tại M. Chứng minh: MN // HD Bài 65. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi D là trung điểm của AC. Vẽ AK vuông góc với BD tại K. Biết S là diện tích 1/ Chứng minh: 𝑲𝑫 𝑯𝑪 = 𝑨𝑲 𝟐𝑨𝑯 2/ AK cắt BC tại I. Chứng minh: KI là tia phân giác góc 𝑯𝑲𝑪 ̂ 3/ Tính A = KC 2 + HD 2 theo AB và AC. Từ đó tính tỉ số 𝑺 ∆𝑰𝑯𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 Nếu như KC 2 + HD 2 = 3AB 2 4/ Đường thẳng qua D song song với AK cắt AB và AH lần lượt tại M và N, HM cắt KN tại J. Lấy điểm S thuộc cạnh BN sao cho AS //BC. Chứng minh: CK _|_ BN và MN.JS = NJ.AS Bài 66. Cho tam giác ABC nhọn (AB Trên tia đối tia FC lấy điểm N, tia đối tia EB lấy điểm M để AN // BE và FC // AM 1/ Chứng minh: 𝑯𝑴 𝑯𝑵 = 𝑫𝑪 𝑫𝑬 và 𝑬𝑴 𝑬𝑯 + 𝑭𝑨 𝑭𝑩 = 𝑨𝑯 𝑯𝑫 1/ Chứng minh: 𝑬𝑴 𝑬𝑩 = 𝑭𝑵 𝑭𝑪 và 𝑬𝑴 𝑩𝑫 + 𝑭𝑵 𝑯𝑪 = 𝑨𝑯 𝟐 𝑯𝑫 .𝑨𝑫 3/ EF cắt BC tại I. Chứng minh: MN // HI và 𝑴𝑪 𝑩𝑵 = 𝑨𝑩 𝑨𝑪 Bài 67. Cho tam giác ABC nhọn (AB Đường thẳng qua A song song với BC cắt BE và CF lần lượt tại M và N 1/ Chứng minh: ∆𝑯𝑬𝑭 ~ ∆𝑯𝑵𝑴 và ∆𝑪𝑬𝑵 ~ ∆𝑩𝑭𝑴 2/ Chứng minh: 𝑴𝑬 𝑵𝑭 = 𝑨𝑩 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 . 𝑩𝑯 𝑯𝑪 và 𝑯𝑵 𝑬𝑪 + 𝑯𝑴 𝑩𝑭 = 𝑨𝑯 𝟐 𝑬𝑭 .𝑨𝑫 3/ Chứng minh: 𝑭𝑵 𝑭𝑯 . 𝑬𝑯 𝑬𝑴 = 𝑪𝑫 𝟐 𝑩𝑫 𝟐 và 𝑫𝑵 𝟐 𝑫𝑴 𝟐 = 𝑭𝑵 𝑭𝑯 . 𝑬𝑯 𝑬𝑴 . 𝑨𝑯 𝟐 +𝑩𝑫 𝟐 𝑨𝑯 𝟐 +𝑬𝑪 𝟐 Bài 68. Cho tam giác ABC nhọn (AB nhau tại H. Đường thẳng qua E vuông góc với EF cắt FC và BC lần lượt tại M và P 1/ Chứng minh: ∆𝑯𝑩𝑪 ~ ∆𝑯𝑭𝑬 và PC 2 = PM.PE 2/ Đường thẳng qua F vuông góc với EF cắt BE và BC lần lượt tại N và Q, PF cắt QE tại I. Chứng minh: QI.QN = PM.IE 3/ Chứng minh: 𝑯𝑵 𝑯𝑬 = 𝑩𝑫 𝑪𝑫 4/ Chứng minh: 𝑩𝑨𝑵 ̂ = 𝑴𝑨𝑪 ̂ 5/ Chứng minh: 𝑷𝑸 𝑩𝑪 = 𝑨𝑯 𝑨𝑫 +𝑯𝑫 Bài 69. Cho tam giác ABC nhọn (AB cắt nhau tại H. Cho EF cắt AH tại I. Gọi K là điểm đối xứng H qua D. 1/ Chứng minh: AI.AK = AH.AD 2/ Chứng minh: 𝑩𝑯 𝑨𝑩 + 𝑯𝑪 𝑨𝑪 = 𝑰𝑯 𝑬𝑭 3/ EF cắt BK tại O. Chứng minh: 𝑨𝑭 𝑶𝑭 = 𝑨𝑰 𝑶𝑩 4/ Lấy điểm P thuộc cạnh OA, điểm Q thuộc cạnh AB sao cho AC // IP // HQ. Chứng minh: 3 điểm P, Q, K thẳng hàng Bài 70. Cho hình chữ nhật ABCD ( AB > AD). Vẽ AH vuông góc với BD tại H, AH cắt CD tại K. Cho biết S là diện tích. Đặt AD = a; AB = b 1/ Chứng minh: AH.HK + HD.HB = AD 2 . Tính diện tích tứ giác ADKB theo a và b 2/ Đường thẳng qua C vuông góc với BK cắt AK tại N. Kẻ NO vuông góc với CD tại O, BK cắt AD tại E. Chứng minh: 𝑨𝑫 𝑫𝑬 = 𝑲𝑶 𝑲𝑪 3/ Chứng minh: BO // EC 4/ Tìm tỉ số 𝑨𝑵 𝑨𝑲 và 𝑺 ∆𝑯𝑬𝑪 𝑺 ∆𝑵𝑬𝑪 theo a và b Bài 71. Cho tam giác ABC nhọn (AB cắt nhau tại H. Đường thẳng qua B song song với AC cắt EF tại M. Đường thẳng qua C song song với AB cắt EF tại N 1/ Chứng minh: EC 2 = EN.ED 2/ Chứng minh: 𝑴𝑭 𝑬𝑵 = 𝑨𝑩 𝑨𝑪 . 𝑯𝑩 𝑯𝑪 và 𝑴𝑬 𝑵𝑭 = 𝑨𝑩 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 3/ Chứng minh: 𝑴𝑩 𝑵𝑪 = 𝑯𝑩 𝑯𝑪 . 𝑨𝑩 𝟐 𝑨𝑪 𝟐 và BC 2 = MF.EN 4/ Chứng minh: 𝟏 𝑴𝑭 + 𝟏 𝑬𝑵 = 𝑨𝑪 𝑯𝑪 .𝑩𝑭 Bài 72. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D là điểm đối xứng A qua H và E là điểm đối xứng A qua B. Cho BC cắt AD tại N. Vẽ AK vuông góc với EC tại K. 1/ Chứng minh: 𝑫𝑲𝑬 ̂ = 𝑨𝑪𝑩 ̂ 2/ Chứng minh: ∆𝑲𝑫𝑨 ~ ∆𝑩𝑬𝑪 3/ Chứng minh: AH.AN = NC.EK 4/ Đường thẳng qua B song song với AH cắt AK tại P, AH cắt PC tại Q. Đặt KD = a.KA. Trên đoạn thẳng AK lấy điểm O sao cho 𝑶𝑨 𝑶𝑲 = 𝟏 +𝟑 𝒂 𝟐 𝟑 −𝒂 𝟐 . Chứng minh: AH = AQ và OC _|_ BQ Bài 73. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi O và I lần lượt là trung điểm của BC và AC. Đường thẳng qua C vuông góc với BC cắt OI tại D. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng OC và CD 1/ Chứng minh: DI.AB = 2EF 2 2/ Chứng minh: 𝑶𝑬 𝑫𝑭 = 𝑨𝑩 𝟑 𝑨𝑪 𝟑 3/ Chứng minh: AE _|_ BD 4/ BD cắt AC tại M. Lấy điểm N thuộc cạnh OD sao cho MN // BC. Chứng minh: 𝑫𝑵 𝑶𝑵 = 𝑬𝑪 𝟐𝑶𝑬 và NF _|_ DE 5/ Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AC và CD lần lượt tại P và Q. Chứng minh: 𝑷𝑵 𝑷𝑸 . 𝑷𝑭 𝑷𝑴 = 𝑴𝑨 𝑴𝑪 Bài 74. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D là điểm đối xứng A qua B và E là điểm đối xứng A qua H, AE cắt CD tại I. Lấy điểm K thuộc cạnh AD sao cho IK _|_ CD 1/ Chứng minh: ∆𝑩𝑯𝑫 ~ ∆𝑩𝑫𝑪 2/ Chứng minh: 𝑯𝑰 𝑯𝑨 = 𝑪𝑰 𝑪𝑫 và HK _|_ HD 3/ Đường thẳng qua K song song với AC cắt AE và DE lần lượt tại M và N. Chứng minh: KA.KD = KH.KC và 𝑲𝑪𝑴 ̂ = 𝑯𝑵𝑲 ̂ 4/ Lấy điểm O thuộc cạnh EC sao cho OI //AC. Chứng minh: AE đi qua trung điểm của cạnh OK ^^^o0o-----------------&&& Hết &&&-------------------o0o^^^
