Bài tập chủ đề lượng giác
CHỦ ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC
1. Giải phương trình:
2
2 3 sin (1 cos ) 4cos .sin 3
2
0
2sin 1
x
x x x
x
+ - - =
-
2. Giải phương trình:
a.
2 2
sin 3 .cos2 sin 0 x x x + =
HD: Hạ bậc và biến đổi ta được phương trình: cos 2 .cos6 0 x x =
b.
4 2
cos 2cos2 2sin 3 x x x + - = .
3. Giải phương trình:
2
sin 2 .cos2 4sin .cos 3sin 2 cos2 2cos 3 0 x x x x x x x + - - - + =
HD: PT tương đương với: cos2 (sin 2 1) 2cos (sin 2 1) 3(sin 2 1) 0 x x x x x - + - - - =
4. Giải phương trình:
3
2 2 cos 2 sin 2 .cos( ) 4sin( ) 0
4 4
x x x x
π π
+ + - + =
5. Giải phương trình:
2
2 1 2 1 2 1
sin sin 2cos 0; 1/10
3 3
x x x
x
x x x
+ + +
+ - = ≥ .
6. Giải phương trình:
2
4(sin 3 cos ) 4 3sin .cos 3
0
4cos 1
x x x x
x
+ - - =
-
HD: Biến đổi:
2 2
4(sin 3 cos ) 4 3sin .cos 3(sin cos ) 0 x x x x x x + - - + = rồi phân tích
thành nhân tử.
7. Giải phương trình: cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin3 1/ 2 x x x x x x - = .
8. Giải phương trình:
2 2010
2 2010
2sin( ) 2 sin( ) ... 2 sin( ) 0
3 3 3
x x x
π π π
+ + + + + + =
HD: PTTĐ với
4 7 10 2008 2 5 8 11 2009
2
sin( )(2 2 2 2 ... 2 ) sin( )(2 2 2 2 ... 2 )
3 3
x x
π π
+ - + - - + + - + - - -
3 6 9 12 2010
sin (2 2 2 2 ... 2 ) 0 x - - + - - =
2
sin( ) 2sin( ) 4sin 0
3 3
x x x
π π
⇔ + + + - =
9. Cho tam giác ABC có
2
A B C
π
≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2cos 4 4cos 2 cos 2 cos 2 P C C A B = + + + .
HD: Từ giả thiết ta có:
1
0 cos
3 2 2
C C
π π
≤ ≤ ⇒ < ≤ .
Biến đổi
2
2(cos 2 1) 4cos 2 2cos .cos( ) P C C C A B = - + - -
2 2 2
4cos 2 4(2cos 1) 2cos 2 (2cos 2 1) 1 cos2 4 C C C C C ≥ + - - - = + + - - .
10. Tìm các góc của tam giác ABC thỏa mãn:
5
cos2 3(cos 2 cos2 ) 0
2
A B C + + + = .
11. Tìm GTLN của biểu thức:
2 2 2
sin sin 2sin P A B C = + + .
12. Tìm các góc của tam giác thỏa mãn:
2sin 2sin 4sin 5cos 3cos cos
2 2 2
A B C
A B C + + = + +
13. Tìm GTLN của biểu thức:
sin sin sin
cos cos cos
2 2 2
A B C
P
A B C
+ +
=
+ +
14. CMR trong mọi tam giác ta đều có:
2 2 2
cos .cos .cos 8 3.cos .cos .cos 24cos cos cos 1
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
A B C + ≥ -
HD: + Ta có :
2 2 2
sin sin sin
cos .cos .cos 1
2
A B C
A B C
+ +
= - .
+
sin sin sin
cos .cos .cos
2 2 2 4
A B C A B C + +
=
+ Đặt : sin ; sin ; sin x A y B z C = = = , bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại
thành:
2 2 2 2
4 3( ) 3( ) x y z x y z x y z + + + + + ≥ + + (1)
+ Mặt khác, ta có:
3 3
2
x y z + + ≤ nên :
2 2 2 2
8
(1) ( )
3
VT x y z x y z ≥ + + + + + và dễ chứng minh được.
15. CMR trong mọi tam giác ta có:
1
sin sin sin cos cos cos
2 2 2 8 2 2 2
A B C B C C A A B - - - ≤
HD: Nhân hai vế của bất đẳng thức với cos cos cos
2 2 2
A B C
, ta được:
1
sin A.sinB.sinC (sin sin )(sin sin )(sin sin )
8
A B B C C A ≤ + + + .
16. Cho tam giác ABC thỏa mãn: tan tan 1
2 2
A B
=
CMR: ABC Δ vuông
1
sin sin sin
2 2 2 10
A B C
⇔ =
HD: + GT ta có
2
tan tan 1 ... sin 1/10
2 2 2
A B C
= ⇔ ⇔ =
+
2
sin sin 8sin
2
C
A B =
+
2
cos cos 10sin 1
2
C
A B = - .
17. CMR với mọi tam giác ABC nhọn ta có:
cos
2
cos cos
2 2
A
B C
≥
∑
.
18. Tính các góc của tam giác ABC biết:
3 3
cos cos sin
2 2 2 2
A B A C A - - + = + .(1)
HD:
3 3 3
(1) 2cos cos cos
4 4 2 2
A C B A π π - - - ⇔ = +
2
3 3 3
2cos cos 2cos 1
4 4 2 4
A C B A π π - - - ⇔ = + -
2 2
3 1 1
2(cos .cos ) sin 0
4 2 4 2 4
A C B C B π - - - ⇔ - + = .
Bài 19 : Cho tam giác ABC t/m:
2 2
2 2
(1)
(2)
b a ac
c b ba
= +
= +
. CMR:
2
B AC = .
HD: (1) sin( ) sin 2 B A A B A ⇔ - = ⇔ =
Bài 20 : Cho 2 a c b + = . CMR cot cot 2cot
2 2 2
A C B
+ = .
Bài 21: Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn
4 4
(tan 2 ) tan cot f x x x = + .
Tìm GTNN của ( ) (cos ) (sin ) g x f x f x = + .
Bài 22: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: abc + a + c = b. Tìm GTLN của biểu thức:
2 2 2
2 2 3
1 1 1
P
a b c
= - +
+ + +
HD: Từ Gt ta có:
1 1
. . 1 ac a c
b b
+ + = . Ta thấy luôn tồn tại 3 góc thỏa mãn:
1
tan ; ; tan
2 2
tan
2
a b c
α γ
β
= = = , nên: tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
α β β γ γ α
+ + =
Suy ra : ta có thể chọn α β γ π + + = .
Khi đó:
2 2 2
2.cos 2sin 3cos
2 2 2
P
α β γ
= - + . KQ:
10
max
3
P = .
Bài 23: Tìm GTNN của biểu thức:
sin
2
cos
2
C
P
A B
=
- ∑
.
Bài 24: Tìm GTNN của biểu thức:
1 1 1
2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2
P
A B C
= + +
+ + -
Bài 25: CMR:
2 2 2
1
cos cos cos 1 (cos cos cos )
6 2 2 2
A B B C C A
A B C
- - - + + ≤ + + + .
HD: + cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C + + - =
2 2 2
3 1
cos cos cos (cos( ) cos( ) cos( ))
2 2 2 2 2
A B B C C A
A B B C C A
- - - + + = + - + - + -
1 2cos cos cos
2 2 2
A B B C C A - - - = + . Nên ta cần chứng minh:
1
4sin sin sin (1 2cos cos cos )
2 2 2 6 2 2 2
A B C A B B C C A - - - ≤ + , áp dụng bài 15 ta có đpcm.
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn t/m: Luôn (0;1) ∃∈ sao cho
2 2
sin sin sin A B C
α
+ = . Hỏi
tam giác ABC là tam giác gì? HD: + Từ gt ta có:
2 2
sin sin 1 A B + ≤
+ Áp dụng định lý hàm số cos ta có cos 0 C ≥ .
+ Lại có
2 2
sin sin 1 cos cos( ) 1 A B C A B + = + - ≥ , nên dấu bằng xảy ra.
Bài 27: Cho tam giác ABC có đường cao ' 5 BB = , đường cao
2
' 2;cos '
5
CC CBB = = .
Tính diện tích tam giác ABC.
HD: Xét hai trường hợp:
TH1: Tam giác ABC không tù, khi đó:
2 2 1
cos ' sin cos
5 5 5
CBB C C = ⇒ = ⇒ = .
' 5 ' 4
sin
cos ' 2 5
BB CC
BC B
CBB BC
= = ⇒ = = ,
nên
3
cos
5
B = .
Khi đó:
2 5 ' 5
sin sin( )
5 sin 2
BB
A B C AB
A
= + = ⇒ = = .
Do đó
5
2
S = .
TH2: Tam giác ABC tù tại C.
A
B C
B’
C’
