Bài tập Mặt cầu – Khối cầu – Nguyễn Đăng Dũng

BÀI GIẢNG 1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU .....PHẦN 1... Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài toán 1. Xác định mặt cầu Phương pháp:  Muốn chứng minh nhiều ểm cùng thuộc một mặt cầu ta chứ m h các ểm ó cù cách ều một ểm O cố ịnh một kho ng 0 R khô ổi.  Muốn chứng minh một ờng thẳng D tiếp xúc với một mặt cầu ( ; ) S O R , ta chứng minh ( , ) d O D R .  Muốn chứng minh một mặt phẳng () P tiếp xúc với một mặt cầu ( ; ) S O R , ta chứng minh ( ,( )) d O P R .  Tập hợp các ểm M tro khô a hì o ạn thẳng AB cố ị h d ới một góc vuông là mặt cầu ờng kính AB . Ví dụ 1: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là nửa hình lục giác đều, 2, AB a BC CD DA a , , SA ABCD SA h  . Mặt phẳng qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh rằng các điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó Giải Ta có các điểm ', ', ' B C D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh ,, SB SC SD. Do ABCDlà nửa lục giác đều với 2, AB a BC CD DA a , nên nếu gọi O là trung điểm của AB thì 1 OA OB OC OD Suy ra ACB  vuông tại C, ADB  vuông tại D. Vì ,' BC SA BC AC BC SAC BC AC     Mặt khác ' ' ' ' AC SC AC SBC AC BC    Tương tự ta cũng có '' AD BD  Do đó ' AB B  vuông tại ' ' 2 B OA OB OB ' AC B  vuông tại ' ' 3 C OA OB OC ' AD B  vuông tại ' ' 4 D OA OB OD Từ (1), (2), (3), (4) ta có ' ' ' OA OB OC OD OB OC OD a Vậy rằng các điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ cùng thuộc một mặt cầu tâm O bánh kính bằng a. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều , cạnh a, nội tiếp đường tròn tâm () O chứa trong mặt phẳng (P). Vẽ đường kính AD của đường tròn () O , dựng SD P  và . SD a 1) Chứng minh rằng SAC  và SAB  vuông. 2) Xác định tâm mặt cầu đi qua 5 điểm , , , , S A B C D . Giải 1) Do AD là đường kính của (O) nên 0 90 DCA CA DC   Mà SD ABC SD CA   CA SDC CA SC   SAC là tam giác vuông tại C. Tương tự ta có AB BD AB SDB AB SB AB SD      SAB là tam giác vuông tại B. (đpcm) 2). Gọi K là trung điểm cuả SA Theo chứng minh câu 1 ta có SAC là tam giác vuông tại C KA KS KC SAB là tam giác vuông tại B KA KS KB SADlà tam giác vuông tại D KA KS KD KA KA KC KD KS Vậy K là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S Bài tập 1. Cho hình chóp đều . S ABC , cạnh đáy AB a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60  . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Đáp số : 2 3 a R . 2. Cho mặt cầu đường kính 2 AB R Cắt mặt cầu bằng một mặt phẳng vuông góc với AB sao cho (0 2 ) AH x x R ta được thiết diện là đường tròn () T . Gọi MNPQ là hình vuông nội tiếp đường tròn () T . a) Tính theo R và x bán kinh đường tròn () T , cạnh của hình vuông MNPQ và các đoạn thẳng , AM BM .Đáp số: Cạnh hình vuông : 2 2. 2xR x , 2 AM xR ; 2 4 2 . BM R xR b) Tính thể tích của khối đa diện tạo bởi hai hình chóp AMNPQ và BMNPQ . Tính x để thể tích này đạt giá trị lớn nhất. 2 4 2 3 V R xR x ; 3 ax 4 . 3 M V R x R 3. Trong mặt phẳng () P cho hình thang cân ABCD với 2 AB a , BC CD DA a . Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng () P ta lấy một điểm di động S . Một mặt phẳng () Q qua A vuông góc với SB cắt ,, SB SC SD tại ,, P Q R theo thứ tự đó. a) CMR 7 điểm , , , , , , A B C D P Q R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính diện tích mặt cầu đó.Đáp số: Mặt cầu ờng kính AB và 2 4. Sa  b) CMR tứ giác CDRQ là một tứ giác nội tiếp và đường thẳng QR luôn đi qua một điểm cố định khi S chạy trên nửa đường thẳng Ax . c) Cho 3 SA a . Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S APQR và diện tích của tứ giác APQR .Đáp số: 2 3 45 7 , 4 224 APQR aa RS . 4. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với 2, AB a , ( ), AD DC a SA ABC SA a  . a) Tìm tâm mặt cầu () S qua 4 điểm , , , S A C D . Tìm chu vi đường tròn giao tuyến của () SAB với mặt cầu () S .Đáp số: 2 Pa  . b) Chứng minh ( ) ( ) SBC SAC  . c) Chứng minh AD tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC . BÀI GI ẢNG 1. M ẶT C ẦU, KH ỐI C ẦU .....PH ẦN 2... Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng Bài toán 1: Di ện tích và th ể tích kh ối c ầu Phương pháp:  Mặt cầu bán kính R có diện tích là: 2 4 SR  .  Khối cầu bán kính R có thể tích là: 3 4 : 3 VR  . Ví d ụ 1: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh 3 2 a AB và các cạnh còn lại đều bằng a Gi ải Trong mặt phẳng BCD gọi K là trung điểm CD, G là trọng tâm của BCD  Do BCD  và ACD  đều nên , BK CD AK CD CD ABK    Trong mặt phẳng ABK dựng AH BK AH BCD   Qua G dựng đường thẳng // d AH d BCD  Dựng đường trung trực của AB cắt d tại I Khi đó I là tâm mặt cầu Tam giác BCDđều cạnh a, BK là đường cao 3 2 a BK Tam giác ACD đều cạnh a, AK là đường cao 3 2 a AK ABK  đều cạnh 3 2 a 3 3 3 . 2 2 4 MK a a 1 1 3 3 3 . ; 2 3 3 2 6 3 a a a GK BK BG GK 33 . . 46 3 6 4 aa BM MK BM GK a KBM KIG GI GI GK MK a   2 2 2 2 2 2 3 13 13 3 6 36 6 a a a a BI BG IG BI Vậy khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDcó tâm I,bán kính 2 3 a R BI .Khối cầu có thể tích là 3 33 4 4 13 13 13 . 3 3 6 162 a V R a dvtt    Ví d ụ 2: Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a. gọi M, N lần lượt là trung điểm của , SB SD. Biết AM CN  . Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD Gi ải Do AM CN  . 0 . 0 22 . . . . 0 1 AS AB CS CD AM CN AS CS AB CS AS CD AB CD Đặt x SA SB SC SD , ta có 22 22 1 os cos cos 0 os 2 cos 0 2 x c ASC ax SCD ax SAB a x c ASC ax a SAB SCD       Xét ASB  có 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 .cos 2 .cos 3 SB AS AB AS AB SAB x x a ax SAB a ax SAB    Xét ASC  có 2 2 2 22 2 2 2 2 . .cos 2 2 2 .cos cos 4 SC AS AC AS AC SAC a x ax SAC x SAC x a    Từ (2), (3), (4) ta có 3 xa Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD thì I là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của SD. Nghĩa là , I SO IN SD  Ta có SIN  đồng dạng với SI SN SDO SD SO  22 2 2 2 2 1 . . 3 3 3 2 2 25 2 23 2 SD SD SN SD a a a SI SO SO SD OD a a Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD có tâm I và bánh kính 32 25 a R SI Diện tích mặt cầu là 2 22 3 2 18 4 4. 5 25 a S R a dvdt    Thể tích khối cầu là 3 33 4 4 3 2 9 2 . 33 2 5 5 5 a V R a dvtt    Bài t ập Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có chiều cao 3 2 R SH , nội tiếp mặt cầu ( ; ) OR . Gọi , MN lần lượt là trung điểm các cạnh , SA SC . a) Tìm giao tuyến của () BMN và () ABCD . Chứng minh giao tuyến này tiếp xúc với mặt cầu ( ; ) OR . b) Chứng minh 6 điểm , , , , , A B C D M N cùng thuộc một mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu này.Đáp số: 2 3 Sa  . c) Mặt phẳng () vuông góc với SB tại S , cắt khối cầu ( ; ) OR . Tính diện tích thiết diện thu được.Đáp số: 2 4 R S  . d) Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp . S ABC . Bài toán 2: Ti ếp tuy ến c ủa m ặt c ầu Phương pháp: 1) Đ ều kiện cầ v ủ ể ờng thẳng  tiếp xúc với mặt cầu ( ; ) S O R tạ ểm H là  vuông góc với bán kính OH tạ ểm H . 2) Đ ờng thẳng  tiếp xúc với mặt cầu ( ; ) ( , ) S O R d O R  . 3) Tro tr ờng hợp ểm A nằm ngoài mặt cầu thì: Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu, chúng nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A. Độ d các o ạn thẳng nối A với các tiếp ểm ều bằng nhau. Tập hợp các tiếp ểm là một ờng tròn nằm trên mặt cầu. Ví d ụ 1: Cho hình cầu S tâm O bán kính 5 R . Tam giác ABC với ba cạnh 13, 14, 15 BC CA AB , trong đó cả ba cạnh cùng tiếp xúc với mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ABC Gi ải Giả sử ,, AB BC CAlần lượt tiếp xúc với mặt cầu tại N, M, P. Như vậy ta có ,, ON AB OM BC OP CA    . Kẻ OH ABC  . Theo định lí ba đường vuông góc ta có ,, HM BC HN BC HP CA    Vì OM ON OP R HM HN HP Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với bán kính r HM Áp dụng công thức S r p . Ta có 13 14 15 21 2 p Theo công thức Hê-rông ta có 21.8.7.6 84 S p p a p b p c Từ đó ta có 4 r . Do vậy theo định lí Pitago thì khoảng cách từ O tới ABC là 22 5 4 3 OH Ví d ụ 2: Gi ải Bài t ập 1. Cho khối cầu tâm O bán kính R và đường kính ' SS . Một mặt phẳng vuông góc với ' SS cắt khối cầu theo một đường tròn tâm H . Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn này. Đặt (0 2 ) SH x x R . a) Tính các cạnh của tứ diện . S ABC theo R và x .Đáp số: 2 SA SB SC xR b) Xác định x để . S ABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và CMR ' , ' , ' S A S B S C đôi một vuông góc.Đáp số 4 . 3 R x 2. Cho mặt cầu ( ; ) S O R và () P cách O một khoảng cách (0 ) h h R . Gọi () L là giao tuyến của mặt cầu () S và () P . Lấy A là một điểm cố định thuộc () L . Một góc vuông xAy trong () P quay quanh điểm A. Các cạnh , Ax Ay cắt () L ở C và D . Đường thẳng đi qua A là vuông góc với () P cắt mặt cầu ở B . a) CMR 22 BC AD và 22 BD AC luôn không đổi. b) Với vị trí nào của CD là diện tích BCD  lớn nhất? c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD . CMR H luôn thuộc một đường tròn cố định. 3. Trên nửa đường tròn đường kính 2 AB R , lấy điểm C tùy ý. Kẻ CH AB  ( H thuộc đoạn AB ). Gọi I là trung điểm CH . Trên nửa đường thẳng () Ix ABC  tại I , lây điểm S sao cho 90 ASB . a) CMR CAB SAB   . b) CMR khi C chạy trên nửa đường tròn đó thì () SAB cố định. c) Cho AH x . Tính thể tích tứ diện . S ABCD theo , Rx . Tìm x để thể tích ấy đạt giá trị lớn nhất. Đáp số: 3 2 6 V Rx R x , 3 ax 6 . 3 M V R x R d) CMR khi C chạy trên nửa đường tròn đó thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . S ABI thuộc một đường thẳng cố định.