Bài tập phần phân thức - Toán lớp 8 (có lời giải)

BÀI TẬP PHẦN PHÂN THỨC

Bài 1: Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. b) Cho và . Chứng minh rằng : .

a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)Do : Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).b) Từ : ayz + bxz + cxy = 0 Ta có :

Bài 2: Cho x, y, z đôi một khác nhau và .

Tính giá trị của biểu thức:

yz = –xy–xz

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

Do đó:

Tính đúng a = 1

Bài 3: Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên

Bài 4: Cho biÓu thøc: .

a) Rót gän .

b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña .

§K:

A=Ta cã ==

V× nªn (1)

DÊu “=” x¶y ra khi (2)Tõ (1) vµ (2) suy ra Bài 5: Cho c¸c sè lÇn lît tho¶ m·n c¸c hÖ thøc sau:

, . H·y tÝnh .

Tõ ®iÒu kiÖn ®· cho ta cã:

(1), (2)

Céng theo vÕ cña (1) vµ (2) ta cã

V×

Nªn

Bài 7: Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + ≥ 2.

Ta có a2 + b2 + ≥ 2

<=> a2 + 2ab+ b2 + ≥ 2 + 2ab<=>

<=> <=> (ĐPCM)

Bài 8:

Cho biểu thức A =

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm để A > 0.

a) KXĐ: x ≠ ± 1ta có A = = b)A > 0  1 – 2x > 0  x < Đối chiếu ĐKXĐ, ta được - 1 ≠ x < .Bài 9: Cho biểu thức

a/ Rút gọn A

b/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

c/ Tìm x để

a/ Rút gọn A

+ ĐKXĐ:

+ Rút gọn A :b/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Để A nguyên => 1 – 2x  Ư(2)

1 - 2x-2-112x1,5100,5LoạiLoạit/mLoạiVậy x = 0c/ Tìm x để ; Ta có: Kết hợp điều kiện : Bài 10: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c 0. Tính giá trị của biểu thức

.

Ta có

=>

=>

TH1 : Với a + b + c = 0.

Ta có :

TH 2 : Với a = b = c . Ta có : P = 2.2.2 = 8 Vậy : P = - 1 hoặc P = 8

Bài 10: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn : x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .

Vì x + y + z = 1 nên :

Ta có :

Tương tự: ; ( Với mọi x, y, z > 0)

Từ đó : . Dấu “=” xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là khi

Bài 11: Cho biểu thức: .

a) Tìm điều kiện xác định của Q, rút gọn Q.

b) Tìm x khi Q = .

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q.

Đk: Ta có:b)

Suy ra x = -1 hoặc x = 2.So sánh với điều kiện suy ra x = 2 thì Q = c) ; Vì 1 > 0; x2 – x + 1 =

Q đạt GTLN đạt GTNN

x= (t/m). Lúc đó Q = Vậy GTLN của Q là Q = khi x= .Bài 13:

Tìm x, y , z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 rồi tính giá trị của A với

A = (x-1)2017+(y-1)2017 +(z-1)2017

x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0(x - y)2 + (y - 1)2 +(z - 2)2= 0

Tính đúng A = (x-1)2017+(y-1)2017 +(z-1)2017=1

Bài 14

Cho P(x)=

a) Rút gọn P(x)

b)Xác định giá trị của x để P(x) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

a)P(x)= =

Dấu = xảy ra

P(x) có giá trị nhỏ nhất là khi x = 1

Bài 15

Cho a + b + c = 1 , a2 + b2 + c2 = 1 và . Tính giá trị của xy + yz + xz

.

Do đó:(x+y+z)2=( vì a2 + b2 + c2 = 1)

x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2xz = x2 + y2 + z2

2xy +2yz + 2xz = 0 xy + yz + xz = 0

Bài 16: Cho biểu thức:

Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. 2. Tìm x để .

(2điểm) +) điều kiện xác định và . Ta có

+) rút gọn A

Vậy 2. Vậy x > -1 hoặc và thì Bài 17: Rút gọn với n là số nguyên dương

Bài 18: C/m không phụ thuộc vào biến x

Phân thức:

Không phụ thuộc vào x

Bài 19: Chứng minh rằng: Nếu

Thì:

Chứng minh:Ta có:

Nên: a2 = (a+ b - c)2 – b2 = (a - c).(a + 2b - c)

b2 = (a + b - c)2 – a2 = (b - c).(2a + b - c)

Bài 20: Cho biểu thức

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.

b) Rút gọn A.

c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?

a) Điều kiện: x y; y0 b) A = 2x (x+y) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A

Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 12x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1

2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2

A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2.

+ A = 2 khi

+ A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2

Bài 21: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1.

Tính giá trị của biểu thức: A =

Ta có:

1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a)Tương tự: 1 + b2 = (b + a)(b + c) và 1 + c2 = (c + a)(c + b)Do đó: A = Bài 22: Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x =.

c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Biểu thức:

a) Rút gọn được kết qủa: (0,75 điểm)

b) hoặc (0,25 điểm)

A= hoặc A= (0,75 điểm)

c) A < 0x - 2 >0x >2 (0,25 điểm)

d) A Z x-2 Ư(-1) x-2{ -1; 1} x{1; 3} (0,5 điểm)

Bài 23: Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và

Chứng minh rằng:

(1) (Nhaân hai veá vôùi )

Töông töï, ta coù: (2) ; (3)

Coäng töøng veá (1), (2) vaø (3) ta coù ñpcm

Bài 24: ) Rút gọn biểu thức:

a) A= + +

b) B = A= = …. = = 1

b) Ta cã: = ;

Tö thøc: = -

=

MÉu thøc: =

Rót gän ta cã: B =

Bài 25:

1) a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz. Hãy rút gọn phân thức

b) Tìm tích: M=

2)

a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by và x +y + z 0; xyz0. CMR:

b) Cho , tính giá trị của biểu thức:

3) Cho biểu thức:

Rút gọn biểu thức P

Tìm x để P<1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1.

3aTừ x3 +y3+z3 =3xyz chỉ ra được x + y +z = 0 hoặc x=y=z

TH1: x + y +z =0=> x+y = -z; x+z= -y; y +z = -x. Khi đó P = -1

TH2: x=y=z. Khi đó P = 1.5 điểmbNhận xét được n4 +4 = [(n-1)2 +1][(n+1)2 +1]. Do đó:

M =1.5 điểm4aTừ gt => 2cz+z = x +y => 2cz = x+y –z =>

Tương tự Khi đó 2 điểmbTừ =>

Khi đó:

2 điểm5aĐKXĐ: x 0 và x1; x-1

Với x 0 và x1; x-1, rút gọn P ta có P = 1 điểmbP<1 <=><1

Vậy với x<1 và x 0 và x-1, thì P<11điểmcTa có : P =

Khi x>1 thì x-1>0. Áp dụng bđt Cosi, ta có : , dấu « = » xảy ra khi x =2. Vậy GTNN của P bằng 4 khi x = 21 điểmBài 26

b). Rút gọn biểu thức Mà x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ) Do đó kết quả trên được viết thành :

= 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx

= 3(x2 + y2 + z2)(xyz  0; y + z  0 và x + y + z  0). Bài 27: a). Cho và . Hãy tính z theo y.

b).Cho xy + xz + yz = 1 và x,y,z khác . Chứng minh rằng:

.

a). Ta có:b). Ta có:

x y z x(1  y2 )(1  z2 )  y(1 x2 )(1 z2 )  z(1 x2 )(1 y2 )

  

1 x2 1 y2 1 z2 (1 x2 )(1 y2 )(1 z2 )

Phân tích tử thức của phân thức trên, ta có:

x – xy2 – xz2 + xy2z2 + y – x2y – yz2 + x2yz2 + z – x2z – y2z + x2y2z

= xyz(xy + xz + yz) + y(1 – xy – yz) + x(1 – xz – xy) + z(1 – xz – yz) (1) Theo giả thiết xy + yz + xz = 1, nên xz = 1 – xy – yz ; yz = 1 – xz – xy ;

xy = 1 – xz – yz. Thay vào (1), ta được tử thức bằng 4xyz. Từ đó ta có được kết quả của bài toán. Bài 28: Cho và b + c - a0; bc0; a + b + c0.

Tính giá trị của biểu thức P = (x + y + xy + 1 )3.

b). Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :

a) Ta có (x + y + xy + 1)3 = [(x +1) + y(x + 1)]3 = [(x + 1)(y + 1)]3Vì vậy

( bc  0, a + b + c  0 và b + c – a  0 ). Vậy P = 8.

b).Ta có: ;

tương tự, ta có: Cộng theo từng kết quả tìm được, suy ra điều phải chứng minh.Cho hai số không âm và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

+ Ta có + Chứng minh được với hai số dương thì + Do đó + Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi .