Bài tập tỉ số thể tích khối đa diện (có đáp án và lời giải chi tiết)

https://toanmath.com/ T Ỉ SỐ TH Ể TÍCH A. BÀI T ẬP Câu 1. Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và  120 BCD = ° . ( ) SA ABCD ⊥ và SA a = . Mặt phẳng ( ) P đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp . S AMNP . A. 3 3 12 a . B. 3 3 42 a . C. 3 23 21 a . D. 3 3 14 a . Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD Mặt phẳng ( ) P qua A và vuông góc SC cắt ,, SC SB SD lần lượt tại ,, ′′ ′ BC D . Biết rằng 32 ′ = SB SB . Gọi 12 , VV lần lượt là thể tích hai khối chóp . ′′ ′ ′ S ABC D và . S ABCD . Tỉ số 1 2 V V là A. 1 2 4 9 V V = . B. 1 2 1 3 V V = . C. 1 2 2 3 V V = . D. 1 2 2 9 V V = . Câu 3. Cho hình chóp . S ABC có   ASB ASC =  60 BSC = = ° và 2 SA = ; 3 SB = ; 7 SC = . Tính thể tích V của khối chóp. A. 42 V = . B. 72 2 V = . C. 72 3 V = . D. 72 V = . Câu 4. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng ( ) P chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B ′ và D ′ . Tỷ số .' ' . S AB MD S ABCD V V là A. 3 4 . B. 2 3 . C. 1 6 . D. 1 3 . Câu 5.Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp . N ABCD là A. 3 V . B. 6 V . C. 4 V . D. 2 V . Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp . A AB C ′ ′′ . A. 3 V = . B. 1 2 V = . C. 1 4 V = . D. 1 3 V = . Câu 7. Trong không gian , Oxyz cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3 . 2 Biết rằng mặt phẳng ( ) ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 8.Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có thể tích bằng 3 12 3a . Thể tích khối chóp . A ABC ′ là. A. 2 4 3 V a = . B. 3 2 3 V a = . C. 3 4 3 V a = . D. 3 3 4 a V = . Câu 9. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAD cùng vuông góc với đáy, biết 3 SC a = . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SD , CD , BC . Tính thể tích khối chóp. https://toanmath.com/ A. 3 4 a . B. 3 8 a . C. 3 12 a . D. 3 3 a . Câu 10. Cho hình chóp . S ABC có A ′ và B ′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC ′′ . A. 3 V = B. 12 V = C. 8 V = D. 6 V = Câu 11. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số V V ′ . A. 1 4 V V ′ = . B. 5 8 V V ′ = . C. 1 2 V V ′ = . D. 2 3 V V ′ = . Câu 12. Cho hình chóp . S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 45 ° . H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng ( ) AHK , cắt SC tại I . Khi đó thể tích của khối chóp . S AHIK là: A. 3 6 a V = . B. 3 12 a V = . C. 3 18 a V = . D. 3 36 a V = . Câu 13. Cho khối chóp . S ABC , M là trung điểm của cạnh . BC Thể tích của khối chóp . S MAB là 3 2. a Thể tích khối chóp . S ABC bằng. A. 3 2a . B. 3 4a .P C. P 3 4 a P . P D. 3 1 2 a . Câu 14. Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy các điểm , MN sao cho 3, SM MB SN NC = = . Mặt phẳng ( ) AMN cắt cạnh SD tại điểm P . Tính thể tích của khối chóp . S MNP theo V . A. 8 V . B. 4 V . C. 9 80 V . D. 7 40 V . Câu 15. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể tích V của khối chóp . A MCD . A. 4 V  . B. 6 V  . C. 3 V  . D. 5 V  . Câu 16. Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp . N ABCD là A. 6 V . B. 4 V . C. 2 V . D. 3 V . Câu 17. Cho tứ diện ABCD có 1 DA = , ( ) DA ABC ⊥ . ABC ∆ là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba cạnh DA , DB , DC lấy điểm , , M NP mà 1 13 ,, 2 34 DM DN DP DA DB DC = = = . Thể tích V của tứ diện MNPD bằng A. 2 96 V = . B. 3 12 V = . C. 3 96 V = . D. 2 12 V = . Câu 18. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A ′ sao cho 1 3 SA SA ′ = . Mặt phẳng qua A ′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại ' B , C ′ , D ′ . Tính thể tích khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ . A. 81 V . B. 27 V . C. 3 V . D. 9 V . https://toanmath.com/ Câu 19. Cho tứ diện ABCD có ( ) 1; . DA DA ABC ABC =⊥ ∆ là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh , , DA DB DC lấy 3 điểm ,, M NP sao cho 1 1 3 ; ; . 2 34 DM DN DP DA DB DC = = = Thể tích của tứ diện MNPD bằng A. 2 96 V = . B. 3 12 V = . C. 3 96 V = . D. 2 12 V = . Câu 20. Cho khối chóp . S ABCD có thể tích là 3 a . Gọi , ,, M N PQ theo thứ tự là trung điểm của , , , . SA SB SC SD Thể tích khối chóp . S MNPQ là: A. 3 16 a B. 3 . 8 a C. 2 . 4 a D. 3 6 a Câu 21. Cho khối chóp . S ABC . Gọi A ′ , B ′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC ′′ và . S ABC bằng: A. 1 4 . B. 1 6 . C. 1 2 . D. 1 3 . Câu 22. Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành. , ,, M N PQ lần lượt là trung điểm của ,, , SA SB SC SD . Tỉ số thể tích của khối chóp . S MNPQ và khối chóp . S ABCD là. A. 1 8 . B. 1 4 . C. 1 16 . D. 1 2 . Câu 23. Cho hình chóp . S ABCD có ( ) SA ABCD ⊥ , ABCD là hình chữ nhật. 2 SA AD a = = . Góc giữa ( ) SBC và mặt đáy ( ) ABCD là 60° . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp . S AGD là A. 3 16 9 3 a . B. 3 32 3 27 a . C. 3 83 27 a . D. 3 43 9 a . Câu 24. Cho hình chóp . S ABCD có thể tích bằng 48 , đáy ABCD hình thoi. Các điểm , ,, M N PQ lần lượt thuộc ,, , SA SB SC SD thỏa: 2 , 3, 4 SA SM SB SN SC SP = = = , 5 SD SQ = . Thể tích khối chóp . S MNPQ là. A. 4 5 . B. 6 5 . C. 2 5 . D. 8 5 . Câu 25. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy, góc  60 ACB = ° , BC a = , 3 SA a = . Gọi M là trung điểm của SB . Tính thể tích V của khối tứ diện MABC . A. 3 6 a V = . B. 3 4 a V = . C. 3 3 a V = . D. 3 2 a V = . Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi ′ B và ′ C lần lượt là trung điểm của , AB AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện ′′ AB C D và khối ABCD bằng: A. 1 2 . B. 1 4 . C. 1 6 . D. 1 8 . Câu 27. Cho hình đa diện như hình vẽ https://toanmath.com/ Biết 6 SA = , 3 SB = , 4 SC = , 2 SD = và      60 ASB BSC CSD DSA BSD = = = = = ° . Thể tích khối đa diện . S ABCD là A. 10 2 . B. 62 . C. 52 . D. 30 2 . Câu 28. Cho tứ điện MNPQ . Gọi ,, I JK lần lượt là trung điểm các cạnh ,, MN MP MQ . Tính tỉ số thể tích MIJK MNPQ V V . A. 1 6 . B. 1 3 . C. 1 4 . D. 1 8 . Câu 29. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, 2 = SA a . Gọi ′ B , ′ D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng ( ) ′′ AB D cắt SC tại ′ C . Thể tích khối chóp ′′ ′ SAB C D là: A. 3 23 3 = a V . B. 3 23 9 = a V . C. 3 22 3 = a V . D. 3 2 9 = a V . Câu 30. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt bên ( ) SAB và ( ) SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và ( ) ABCD bằng 45°. Gọi 12 ; VV lần lượt là thể tích khối chóp . S AHK và . S ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp . S ABCD và tỉ số 1 2 V k V = . A. 1 2; 8 h ak = = . B. 1 2; 3 h ak = = . C. 1 ; 4 h ak = = . D. 1 ; 6 h ak = = . Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với , , OA OB OC vuông góc từng đôi một và , OA a = 2, OB a = 3 OC a = . Gọi , MN lần lượt là trung điểm của hai cạnh , AC BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: A. 3 3 4 a B. 3 a C. 3 2 3 a D. 3 4 a A D C B S https://toanmath.com/ Câu 32. Cho khối chóp . S ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A ′ , B ′ , C ′ sao cho 1 3 SA SA ′ = ; 1 4 SB SB ′ = ; 1 2 SC SC ′ = . Gọi V và ' V lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S ABC ′′ ′ . Khi đó tỉ số ' V V là A. 1 12 . B. 24 . C. 1 24 . D. 12 . Câu 33. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, 2 = SA a . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại ′ B , ′ D , C ′ . Thể tích khối chóp ′′ ′ SAB C D là: A. 3 23 3 = a V . B. 3 23 9 = a V . C. 3 22 3 = a V . D. 3 2 9 = a V . Câu 34. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ . A. 2017 27 . B. 4034 81 . C. 8068 27 . D. 2017 9 . Câu 35. Cho khối chóp . S ABC , M là trung điểm của cạnh SA . Tỉ số thể tích của khối chóp . S MBC và thể tích khối chóp . S ABC bằng. A. 1. B. 1 6 . C. 1 2 . D. 1 4 . Câu 36. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và 2 = SA a . Gọi ;′′ BD lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh , SB SD . Mặt phẳng ( ) ′′ AB D cắt cạnh SC tại ′ C . Tính thể tích của khối chóp . ′ ′′ S AB C D A. 3 16 45 a . B. 3 2 a . C. 3 2 4 a D. 3 3 a . Câu 37. Cho hình chóp . S ABC có   0 60 ASB CSB = = ,  0 90 ASC = , ;3 SA SB a SC a = = = .Thể tích V của khối chóp . S ABC là: A. 3 2 4 a V = . B. 3 6 18 a V = . C. 3 2 12 a V = . D. 3 6 6 a V = . Câu 38. Cho tứ diện ABCD có 1 DA = , ( ) DA ABC ⊥ . ABC ∆ là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DA , DB , DC lấy điểm , , M NP mà 1 13 ,, 2 34 DM DN DP DA DB DC = = = . Thể tích V của tứ diện MNPD bằng: A. 3 12 V = . B. 2 12 V = . C. 2 96 V = . D. 3 96 V = . Câu 39. Cho hình chóp . S ABC có M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp . S MNC biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 8a . A. 3 SMNC Va = . B. 3 2 SMNC Va = . C. 3 6 SMNC Va = . D. 3 4 SMNC Va = . Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc α . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là A. 2 3 cos . 4 ab α B. 2 3 sin . 4 ab α C. 2 3 cos . 12 ab α D. 2 3 sin . 12 ab α https://toanmath.com/ Câu 41. Cho hình chóp . S ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số . . S ABC S MNC V V . A. 1 4 ⋅ B. 1 2 ⋅ C. 2 . D. 4 . Câu 42.Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 . Trên các cạnh SA , SB , SC , SD lần lượt lấy các điểm A ′, B ′,C ′ và D ′ sao cho 1 3 SA SC SA SC ′′ = = và 3 4 SB SD SB SD ′′ = = . Tính thể tích V của khối đa diện lồi SABC D ′′ ′ ′ . A. 3 2 V = . B. 9 V = . C. 4 V = . D. 6 V = . Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 ° . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm . SC Mặt phẳng ( ) BMN chia khối chóp . S ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: A. 7 5 . B. 1 7 . C. 7 3 . D. 6 5 . Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều . SABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp . SABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. A. 1 7 . B. 7 5 . C. 1 5 . D. 7 3 . Câu 45. Cho khối chóp tam giác . S ABC có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB , N là điểm nằm giữa AC sao cho 2 AN NC = . Gọi 1 V là thể tích khối chóp .. S AMN Tính tỉ số 1 V V . A. 1 1 6 V V = . B. 1 1 2 V V = . C. 1 2 3 V V = . D. 1 1 3 V V = . Câu 46. Cho khối chóp . S ABCD có thể tích V . Các điểm A ′, B ′, C ′ tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC . Thể tích khối chóp . S ABC ′′ ′ bằng A. 16 V . B. 8 V . C. 4 V . D. 2 V . Câu 47. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể tích V của khối chóp . A MCD . A. 5 V  . B. 4 V  . C. 6 V  . D. 3 V  . Câu 48. Cho khối chóp . S ABC có 9, 4, 8 SA SB SC = = = và đôi một vuông góc. Các điểm ,, A B C ′′ ′ thỏa mãn 2. , SA SA ′ =     3. , SB SB ′ =     4. . SC SC ′ =      Thể tích khối chóp . S ABC ′′ ′ là A. 2 . B. 24 . C. 16. D. 12. Câu 49. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có thể tích bầng V . Lấy điểm A ′ trên cạnh SA sao cho 1 3 SA SA ′ = . Mặt phẳng qua A ′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh ,, SB SC SD lần lượt tại ,, B C D ′′ ′ . Khi đó thể tích chóp . S ABC D ′′ ′ ′ bằng: A. 3 V . B. 27 V . C. 9 V . D. 81 V . Câu 50. Cho hình chóp đều . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng ( ) AEF vuông góc với mặt phẳng ( ) SBC . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 6 12 a . B. 3 5 8 a . C. 3 3 24 a . D. 3 5 24 a . https://toanmath.com/ Câu 51. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có thể tích bằng . V Lấy A ′ trên cạnh SA sao cho 1 . 3 SA SA ′ = Mặt phẳng qua A ′ và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh ,, SB SC SD lần lượt tại ,, . BC D ′′ ′ Khi đó thể tích khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ là: A. 81 V . B. 3 V . C. 9 V . D. 27 V . Câu 52. Cho hình chóp . S ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho 2 SM MD = . Mặt phẳng ( ) ABM cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp . S ABNM . A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Câu 53. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC . Mặt phẳng ( ) P đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , F . Biết . . 1 4 S AEF S ABC VV = . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 2 a V = . B. 3 8 a V = . C. 3 2 5 a V = . D. 3 12 a V = . Câu 54. Cho khối chóp tứ giác . S ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là 1 V và 2 V ( ) 12 VV < . Tính tỉ lệ 1 2 V V . A. 16 75 . B. 8 27 . C. 16 81 . D. 8 19 . Câu 55. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , SC , SD . Tỉ số . . S MNPQ S ABCD V V là A. 1 6 B. 1 16 . C. 3 8 . D. 1 8 . Câu 56. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ 2018 thể tích MIJK MNPQ V V bằng: A. 1 4 . B. 1 6 . C. 1 8 . D. 1 3 . Câu 57. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho 2 SE EC = . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . A. 1 3 V = . B. 1 6 V = . C. 1 12 V = . D. 2 3 V = . Câu 58. Cho hình chóp . A BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC a = , 3 CD a = . Hai mặt ( ) ABD và ( ) ABC cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) BCD . Biết AB a = , M , N lần lượt thuộc cạnh AC , AD sao cho 2 AM MC = , AN ND = . Thể tích khối chóp . A BMN là A. 3 23 9 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 18 a . D. 3 3 9 a . Câu 59. Cho tứ diện ABCD . Gọi B ′ và C ′ lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C D ′′ và khối tứ diện ABCD . https://toanmath.com/ A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 6 . Câu 60. Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng () ABC . () mp ABC qua A vuông góc với đường thẳng SB cắt , SB SC lần lượt tại , HK . Gọi 12 , VV tương ứng là thể tích của các khối chóp . S AHK và . S ABC . Cho biết tam giác SAB vuông cân, tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 1 3 V V = . B. 1 2 1 2 V V = . C. 1 2 2 3 V V = . D. 1 2 1 4 V V = . Câu 61. Cho tứ diện MNPQ . Gọi ; ; I JK lần lượt là trung điểm của các cạnh ;; . MN MP MQ Tỉ số thể tích MIJK MNPQ V V là A. 1 4 . B. 1 3 . C. 1 6 . D. 1 8 . Câu 62. Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp . S MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp . S ABCD là: A. 81 8 V . B. 27 4 V . C. 2 9 2 V    . D. 9 4 V . Câu 63. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD , M là trung điểm của SC . Mặt phẳng ( ) P qua AM và song song với BD cắt SB , SD tại N , K . Tính tỉ số thể tích của khối . S ANMK và khối chóp . S ABCD . A. B. C. D. Câu 64. Cho khối chóp . S ABC . Trên các đoạn , , SA SB SC lần lượt lấy ba điểm , , A B C ′′ ′ sao cho 11 1 ; ; 23 4 SA SA SB SB SC SC ′′ ′ = = = . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC ′′ ′ và . S ABC bằng A. 1 24 . B. 1 2 . C. 1 12 . D. 1 6 . Câu 65. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a = , SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC , góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABC bằng 30 ° . Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Thể tích của khối chóp . S ABM bằng: A. 3 3 18 a . B. 3 3 24 a . C. 3 3 36 a . D. 3 3 12 a . 2 9 1 3 1 2 3 5 https://toanmath.com/ Câu 66. Cho hình chóp . S ABC , M là trung điểm của SB , điểm N thuộc cạnh SC thỏa 2 SN NC = . Tỉ số . . S AMN S ABC V V . A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 5 . D. 1 4 . Câu 67. Cho tứ diện ABCD có cạnh , AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau, ; 2 AB a AC a = = và 3 AD a = . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của , BD CD . Tính thể tích V của tứ diện ADMN . A. 3 4 a V = . B. 3 Va = . C. 3 3 4 a V = . D. 3 2 3 a V = . Câu 68. Cho khối chóp . S ABC có    60 , ASB BSC CSA = = = ° , SA a = 2, SB a = 4 SC a = . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a . A. 3 22 3 a . B. 3 42 3 a . C. 3 2 3 a . D. 3 82 3 a . Câu 69. Cho hình chóp . S ABCD . Gọi A ′, B ′, C ′ , D ′ lần là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ và . S ABCD . A. 1 8 . B. 1 16 . C. 1 2 . D. 1 12 . Câu 70. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi 1 V là thể tích khối chóp . S AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V ? A. 1 3 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 8 . Câu 71. Cho tứ diện đều . S ABC . Gọi 1 G , 2 G , 3 G lần lượt là trọng tâm của các tam giác , SAB ∆ SBC ∆ , SCA ∆ . Tính 12 3 . . S GG G S ABC V V . A. 1 48 . B. 2 27 . C. 1 36 . D. 2 81 . Câu 72. Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A ′, B ′, C ′ sao cho 1 3 SA SA ′ = , 1 3 SB SB ′ = , 1 3 SC SC ′ = . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S ABC ′′ ′ . Khi đó tỉ số V V ′ là A. 1 6 . B. 1 3 . C. 1 27 . D. 1 9 . Câu 73. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là . V Gọi M là trung điểm của . SB P là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2. SP DP = Mặt phẳng ( ) AMP cắt cạnh SC tại . N Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo . V . A. 23 30 ABCDMNP VV = . B. 7 30 ABCDMNP VV = . C. 19 30 ABCDMNP VV = . D. 2 5 ABCDMNP VV = . Câu 74. Cho khối lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp . A BCO ′ bằng A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . https://toanmath.com/ Câu 75. Cho hình chóp . S ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S MNPQ và . S ABCD bằng A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 16 . Câu 76. Cho tứ diện . S ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ) ABC bằng A. 3 V . B. 4 V . C. 8 V . D. 2 V . Câu 77. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 ° . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp . S AEMF . A. 3 6 36 a V = . B. 3 6 9 a V = . C. 3 6 6 a V = . D. 3 6 18 a V = . Câu 78. Cho hình chóp đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60 ° . Kí hiệu 1 V , 2 V lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 32 9 V V = . B. 1 2 32 27 V V = . C. 1 2 1 2 V V = . D. 1 2 9 8 V V = . Câu 79. Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA . Mặt phẳng MBC chia hình chóp thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần trên và phần dưới là A. 3 5 . B. 1 4 . C. 3 8 . D. 5 8 . Câu 80. Cho hình chóp . S ABC có , AB ′′ lần lượt là trung điểm các cạnh , SA SB . Khi đó tỉ số . . S ABC S A B C V V ′′ bằng A. 2 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 4 . Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh , AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau; 3 AB a = , 2 AC a = và 2 AD a = . Gọi , HK lần lượt là hình chiếu của A trên , DB DC . Tính thể tích V của tứ diện AHKD . A. 3 23 7 Va  . B. 3 43 21 Va  . C. 3 23 21 Va  . D. 3 43 7 Va  . Câu 82. Cho hình chóp . S ABC có A  , B  lần lượt là trung điểm của các cạnh , . SA SB Tính tỉ số thể tích '' . SABC SA B C V V A. 4 . B. 1 2 . C. 2 . D. 1 4 . Câu 83.Cho tứ diện . ABCD Gọi ', ' B C lần lượt là trung điểm của ,. AB AC Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện '' AB C D và khối tứ diện ABCD bằng: A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 6 . Câu 84.Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ( ) ABCD , góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBD và ( ) ABCD bằng 60° . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Tính thể tích khối chóp . S ADMN . https://toanmath.com/ A. 3 6 16 a V = . B. 3 6 24 a V = . C. 3 36 16 a V = . D. 3 6 8 a V = . Câu 85. Cho hình chóp . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , , . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp và là A. . B. . C. . D. . Câu 86. Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác . S ABC sao cho 1 2 SM MA = , 2. SN NB = Mặt phẳng ( ) α qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi 1 V là thể tích của khối đa diện chứa A , 2 V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 2 ? V V A. 1 2 5 . 4 V V = B. 1 2 5 . 6 V V = C. 1 2 6 . 5 V V = D. 1 2 4 . 5 V V = Câu 87.Cho hình chóp , S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có thể tích bằng 8 . Tính thể tích V của khối chóp . S OCD . A. 4 V = . B. 5 V = . C. 2 V = . D. 3 V = . Câu 88. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp . AGBC . A. 6 = V . B. 5 = V . C. 3 = V . D. 4 = V . Câu 89. Cho hình chóp . S ABC có 3 . 6 S ABC Va = . Gọi M , N , Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA , SB , SC sao cho SM MA = , SN NB = , 2 SQ QC = . Tính . S MNQ V : A. 3 2 a . B. 3 a . C. 2 3 a . D. 3 3a . Câu 90. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi 1 G , 2 G , 3 G , 4 G là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Thể tích khối tứ diện 1 234 GG G G là: A. 27 V . B. 18 V . C. 4 V . D. 12 V . Câu 91. Cho hình chóp . S ABCD . Gọi A ′, B ′, C ′ , D ′ theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ và . S ABCD . A. 1 2 B. 1 16 C. 1 4 D. 1 8 Câu 92. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tính tỉ số thể tích MIJK MNPQ V V . A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 8 . D. 1 4 . Câu 93. Cho hình chóp . S ABC có SA a = ; 3 2 SB a = ; 2 3 SC a = ,    60 ASB BSC CSA = = = ° . Trên các cạnh SB ; SC lấy các điểm B ′ , C ′ sao cho '' SA SB SC a = = = . Thể tích khối chóp . S ABC là: A. 3 23 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 a . D. 3 3 3 a . . S ABCD A ′ B ′ C ′ D ′ SA SB SC SD . S ABC D ′′ ′ ′ . S ABCD 1 2 1 4 1 8 1 16 https://toanmath.com/ Câu 94. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ) ABCD và SA a = . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho ,0 1 SM k k SA = << . Khi đó giá trị của k để mặt phẳng ( ) BMC chia khối chóp . S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là A. 15 4 k −+ = . B. 12 2 k −+ = . C. 15 2 k −+ = . D. 15 4 k + = . Câu 95. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB a = ; SA vuông góc mặt phẳng ( ) ABC , Góc giữa mặt phẳng ( ) SBC và mặt phẳng ( ) ABC bằng 30° . Gọi M là trung điểm của SC , thể tích khối chóp . S ABM là. A. 3 3 6 a . B. 3 3 36 a . C. 3 2 18 a . D. 3 3 18 a . Câu 96. Cho tứ diện ABCD . Gọi , MN lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD bằng A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 6 . D. 1 4 . Câu 97. Cho hình chóp tam giác . S ABC có thể tích bằng 8 . Gọi , , M NP lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC CA . Thể tích của khối chóp . S MNP bằng: A. 6 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Câu 98. Cho khối chóp ., S ABC gọi G là trọng tâm của tam giác . ABC Tỉ số thể tích . . S ABC S AGC V V bằng: A. 3 2 B. 3 C. 1 3 D. 2 3 Câu 99. Cho hình chóp tam giác . S ABC có   60 ASB CSB = = ° ,  90 ASC = ° , 1 SA SB = = , 3 SC = . Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho 1 3 SM SC = . Tính thể tích V của khối chóp . S ABM . A. 2 12 V = . B. 3 36 V = . C. 6 36 V = . D. 2 4 V = . Câu 100. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A ′ trên cạnh SA sao cho SA A S 3 1 = ′ . Mặt phẳng qua A ′ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh ,, SB SC SD lần lượt tại ,, B C D ′′ ′ . Khi đó thể tích khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ bằng: A. 27 V . B. 9 V . C. 3 V . D. 81 V . Câu 101. Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành có M là trung điểm . SC Mặt phẳng ( ) P qua AM và song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P và . Q Khi đó SAPMQ SABCD V V bằng A. 2 . 9 B. 2 . 3 C. 1 . 2 D. 4 . 9 Câu 102. Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh , , SA SB SC lần lượt lấy ba điểm , , A B C ′′ ′ sao cho 1 3 SA SA ′ = , 1 3 SB SB ′ = , 1 3 SC SC ′ = . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S ABC ′′ ′. Khi đó tỉ số V V ′ là https://toanmath.com/ A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 9 . D. 1 27 . Câu 103. Cho hình chóp . S ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho 3 SN NC = . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp SABC . A. 2 5 k = . B. 1 3 k = . C. 3 8 k = . D. 3 4 k = . Câu 104.Cho khối chóp . S ABC có thể tích bằng 6 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB . Tính thể tích V của khối chóp . S MNP . A. 3 V = . B. 3 2 V = . C. 9 2 V = . D. 4 V = . Câu 105. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ( ) ACD , ( ) ABD , ( ) ABC tại N , P , Q . Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là: A. 8 V . B. 54 V . C. 27 V . D. 16 V . Câu 106. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB . Tỉ số thể tích . . S CDMN S CDAB V V là A. 3 8 . B. 1 2 . C. 5 8 . D. 1 4 . Câu 107. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SD . Mặt phẳng ( ) α chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt SQ x SB = , 1 V là thể tích của khối chóp . S MNQP , V là thể tích của khối chóp . S ABCD . Tìm x để 1 1 2 VV = . A. 1 2 x = . B. 1 41 4 x −+ = . C. 1 33 4 x −+ = . D. 2 x = . Câu 108. Cho hình chóp SABC . Gọi ; MN lần lượt là trung điểm ; SB SC . Khi đó V SABC V SAMN là bao nhiêu? A. 1 4 . B. 1 8 . C. 1 16 . D. 4 . Câu 109. Cho khối chóp . S ABC có M SA ∈ , N SB ∈ sao cho 2 MA MS = −     , 2 NS NB = −     . Mặt phẳng ( ) α qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ). A. 3 5 . B. 4 9 . C. 3 4 . D. 4 5 . Câu 110. Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA SB SC a = = = . Gọi B ′, C ′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB , AC . Tính thể tích hình chóp . S AB C ′′ . A. 3 24 a V = . B. 3 48 a V = . C. 3 6 a V = . D. 3 12 a V = . Câu 111. Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a , M là trung điểm DC . Thể tích V của khối chóp . M ABC bằng bao nhiêu? A. 3 3 24 a V = . B. 3 2 a V = . C. 3 2 12 a V = . D. 3 2 24 a V = . https://toanmath.com/ Câu 112. Cho khối chóp tam giác có thể tích bằng 6. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Thể tích của khối chóp là A. . B. . C. . D. . Câu 113. Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh , , SA SB SC lần lượt lấy ba điểm , , ′′ ′ AB C sao cho 1 3 ′ = SA SA, 1 3 ′ = SB SB , 1 3 ′ = SC SC . Gọi V và ′ V lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . ′′ ′ S A B C . Khi đó tỉ số ′ V V là A. 1 9 . B. 1 6 . C. 1 3 . D. 1 27 . Câu 114. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho 2 SE EC = . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . A. 2 3 V = . B. 1 3 V = . C. 1 12 V = . D. 1 6 V = . Câu 115. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là . V Điểm P là trung điểm của , SC một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và . N Gọi 1 V là thể tích của khối chóp .. S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V ? A. 3 8 . B. 1 3 . C. 1 8 . D. 2 3 . Câu 116. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng ( ) MNI chia khối chóp . S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7 13 lần phần còn lại. Tính tỉ số = IA k IS ? A. 2 3 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 3 4 . Câu 117. Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng A. 27 V . B. 9 V . C. 4 27 V . D. 4 9 V . Câu 118. Cho tứ diện ABCD có 3 AB a = , 2 AC a = và 4. AD a = Tính theo a thể tích V của khối tứ diện ABCD biết    60 . BAC CAD DAB = = = ° A. 3 2 3 Va = . B. 3 62 Va = . C. 3 6 3 V a = . D. 3 22 V a = . Câu 119. Cho khối chóp . S ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho 2. SE EC = Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . A. 1 3 V = . B. 1 6 V = . C. 1 12 V = . D. 2 3 V = . Câu 120. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi A ′ là điểm trên cạnh SA sao cho 3 4 SA SA ′ = . Mặt phẳng ( ) P đi qua A ′ và song song với ( ) ABCD cắt SB , SC , SD lần lượt tại B ′ , C ′ , D ′ . Mặt phẳng ( ) P chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là: A. 37 98 . B. 27 37 . C. 4 19 . D. 27 87 . . S ABC , , M NP , , . BC CA AB V . S MNP 3 V = 3 2 V = 4 V = 9 2 V = https://toanmath.com/ Câu 121. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằng V . Gọi I là trọng tâm tam giác D SB . Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh ,, SB SC SD lần lượt tại ,, ′′ ′ BC D . Khi đó thể tích khối chóp . ′ ′′ S AB C D bằng: A. 9 V . B. 27 V . C. 3 V . D. 18 V . Câu 122. Cho hình lập phương . ABCD A B C D ′′ ′ ′ cạnh . a Gọi , MN lần lượt là trung điểm của các cạnh A B và BC ′′ . Mặt phẳng ( ) DMN chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi 1 V là thể tích của phần chứa đỉnh 2 , A V là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 55 89 . B. 37 48 . C. 1 2 . D. 2 3 . Câu 123. Cho tứ diện ABCD có , , M NP lần lượt thuộc các cạnh ,, AB BC CD sao cho , 2, 2 MA MB NB NC PC PD = = = . Mặt phẳng ( ) MNP chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng? A. 19 26 B. 26 45 C. 13 25 D. 25 43 Câu 124. Cho hình chóp . S ABCD . Gọi A ′, B ′, C ′ , D ′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ và . S ABCD là: A. 1 2 . B. 1 8 . C. 1 16 . D. 1 4 . Câu 125. Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đối một vuông góc; SA a = , 2 SB a = , 3 SC a = . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , SAB , SBC , SCA. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a . A. 3 2 27 a . B. 3 27 a . C. 3 2 9 a . D. 3 9 a . Câu 126. Cho tứ diện ABCD cạnh bằng 1. Xét điểm M trên cạnh DC mà 4. DM DC = Thể tích tứ diện ABMD bằng. A. 2 12 V = . B. 3 12 V = . C. 2 8 V = . D. 3 48 V = . Câu 127. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang với // AD BC và 2 = AD BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. .. 2 = S ABCD S ABC V V . B. .. 4 = S ABCD S ABC V V . C. .. 6 = S ABCD S ABC VV . D. .. 3 = S ABCD S ABC VV . Câu 128. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp . S ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. A. 7 5 . B. 7 3 . C. 1 5 . D. 1 7 . Câu 129. Cho khối chóp . S ABC ; M và N lần lượt là trung điểm của cạnh , SA ; SB thể tích khối chóp . S MNC bằng 3 a . Thể tích của khối chóp . S ABC bằng. A. 3 a . B. 3 12a . C. 3 8a . D. 3 4a . Câu 130. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB . Tính tỉ số thể tích . . S CDMN S CDAB V V là: https://toanmath.com/ A. 1 2 . B. 1 4 . C. 5 8 . D. 3 8 . https://toanmath.com/ TỈ SỐ THỂ TÍCH B. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và  120 BCD = ° . ( ) SA ABCD ⊥ và SA a = . Mặt phẳng ( ) P đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp . S AMNP . A. 3 3 12 a . B. 3 3 42 a . C. 3 23 21 a . D. 3 3 14 a . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABD và I là trung điểm BD thì 3 2 a AI = ; 13 36 a OI AI = = . Tam giác ICD vuông I có  60 ICD = ° , 1 2 2 a ID BD = = và 3 .cot 60 6 a IC ID = ° = . O ⇒ và C đối xứng nhau qua đường thẳng BD 23 3 a AC AI IC ⇒ = += . Khi đó ( ) BD AC BD SAC BD SA ⊥  ⇒⊥  ⊥  BD SC ⇒⊥ Mà ( ) SC P ⊥ nên ( ) // BD P Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) // P SBD MP MP BD SBD ABCD BD ∩=   ⇒  ∩=   Lại có ( ) ( ) BD SAC BD AN AN SAC ⊥   ⇒⊥  ⊂   AN MP ⇒⊥ Tam giác SAC vuông tại A có 2 . SN SC SA = 2 2 SN SA SC SC ⇒= 2 22 3 7 SN SA SC SA AC ⇒= = + Tam giác ABC có 2 SD a = ; 2 2 3 3 a BC IC IB = += và 2 22 AC AB BC = + ⇒ tam giác ABC vuông tại B ( ) BC SAB ⇒ ⊥ ; ( ) AM SAB ⊂ BC AM ⇒ ⊥ S A D C B M N P I O K https://toanmath.com/ Lại có tam giác SAB vuông nên AM SB ⊥ M ⇒ là trung điểm SB 1 2 SM SB ⇒ = Mà // MP BD nên 1 2 SP SM SD SB = = Mặt khác ABCD ABC BCD S SS ∆∆ = + 22 0 31 3 . .sin120 42 3 aa CB CD =+= . Suy ra 3 . 3 9 S ABCD a VV = = . Khi đó . . . S AMN S ABC V SM SN V SB SC = 31 3 . 7 2 14 = = . 3 28 S ANP VV ⇒ = . Do đó . 3 28 S ANM VV = . Vậy . . 3 14 S AMNP S ABCD V V = 3 . 3 42 S AMNP a V ⇒= . Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD Mặt phẳng ( ) P qua A và vuông góc SC cắt ,, SC SB SD lần lượt tại ,, ′′ ′ BC D . Biết rằng 32 ′ = SB SB . Gọi 12 , VV lần lượt là thể tích hai khối chóp . ′′ ′ ′ S ABC D và . S ABCD . Tỉ số 1 2 V V là A. 1 2 4 9 V V = . B. 1 2 1 3 V V = . C. 1 2 2 3 V V = . D. 1 2 2 9 V V = . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có '2 '2 33 SB SD SB SD =⇒=, bây giờ cần tìm ' SC SC Tọa độ hóa với ,, Ox OC Oy OB OS Oz ≡ ≡≡ và đặc biệt hóa cho 1 OA = ( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;0 1;0;0 , 0;0; 1;0; A C S a SC a  −  ⇒  ⇒= −    ( ) ( ) : 1 0 10 P x az x az ⇒ + − = ⇔ − += . Ta có ( ) ( ) ( ) 0 0;1;0 0;1; : 1 x B SB a SB y t t z at =   ⇒ = − ⇒ =+ ∈   = −    . Cho giao với ( ) 2 2 11 1 0 ' 0;1 ; P at B a a  ⇒ += ⇒ −   . https://toanmath.com/ Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 3 32 0;0; 3 11 3 0;1 ; 2 0;1; 3 3 : 31 0 32 S a aa a a a P x z aa a  − =      − − = − ⇒ ⇒= ⇒       − += − = −    Cho SC giao với ( ) . '' . . '' ' . . '' . 21 1 . 32 3 1 3 '1 1 ' ;0; 1 2 1 22 2 3 . 23 3 S AB C S ABC S AB C D S ABCD S AC D S ACD V V SC P C V V V SC V  = =    ⇒ ⇒=⇒ ⇒ =     = =   . Câu 3. Cho hình chóp . S ABC có   ASB ASC =  60 BSC = = ° và 2 SA = ; 3 SB = ; 7 SC = . Tính thể tích V của khối chóp. A. 42 V = . B. 72 2 V = . C. 72 3 V = . D. 72 V = . Hướng dẫn giải Chọn B Lấy hai điểm B ′, A ′ lần lượt trên hai cạnh SB và SC sao cho 2 SB ′ = , 2 SC ′ = . Ta có hình chóp . S AB C ′′ là hình tứ diện đều có cạnh bằng 2 . 3 . 22 12 S AB C V ′′ ⇒= 22 3 = . Ta lại có: . . .. S AB C S ABC V SA SB SC V SA SB SC ′′ ′′ = 22 . 37 = 4 21 = . . . 21 4 S AB C S ABC V V ′′ ⇒= 21.2 2 3.4 = 72 2 = . Câu 4. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC , mặt phẳng ( ) P chứa AM và song song với BD , cắt SB và SD lần lượt tại B ′ và D ′ . Tỷ số .' ' . S AB MD S ABCD V V là A. 3 4 . B. 2 3 . C. 1 6 . D. 1 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 3 7 A B C S B' C' https://toanmath.com/ Gọi là tâm hình bình hành đáy. . Đường thẳng qua và song song cắt tại . Ta có . nên . Tương tự nên do đó . . Câu 5.Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp . N ABCD là A. 3 V . B. 6 V . C. 4 V . D. 2 V . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt ABCD BS = , ( ) ( ) ; d S ABCD h = . Suy ra 1 3 V Bh = . Vì M là trung điểm của SA nên ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ;; 2 d M ABCD d S ABCD = , Lại vì N là trung điểm của MC nên ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ; ; 2 d N ABCD d M ABCD = . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 11 ;; 44 d N ABCD d S ABCD h = = . Từ đó ta có ( ) ( ) . 1 11 ; .. 3 43 4 N ABCD V V d N ABCD B Bh = = = . Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có thể tích bằng 1. Tính thể tích V của khối chóp . A AB C ′ ′′ . O I AO SO = ∩ I BD , SB SD ,D B′′ SAB MD SAB M SAMD V VV ′′ ′ ′ = + 21 1 .. 32 3 SAB M SABC V SB SM V SB SC ′ ′ = = = 1 6 SAB M SABCD V V ′ = 1 3 SAMD SACD V V ′ = 1 6 SAMD SABCD V V ′ = 1 3 SAB MD SABCD V V ′′ = D' B' I M D O A C B S https://toanmath.com/ A. 3 V = . B. 1 2 V = . C. 1 4 V = . D. 1 3 V = . Hướng dẫn giải ChọnD Ta có: ( ) ( ) .. . 1 11 ; 3 33 A AB C A A B C A B C ABC A B C V V d A A B C S V ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ∆ ′′ ′ == ⋅=⋅ = . Câu 7. Trong không gian , Oxyz cho các điểm A , B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy , Oz và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3 . 2 Biết rằng mặt phẳng ( ) ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 1 . , 3 ABC ABC OABC ABC SS V S d O ABC = ( ) ( ) 3 , d O ABC = Mà 3 2 ABC OABC S V = nên ( ) ( ) ,2 d O ABC = . Vậy mặt phẳng ( ) ABC luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính 2 R = . Câu 8.Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có thể tích bằng 3 12 3a . Thể tích khối chóp . A ABC ′ là. A. 2 4 3 V a = . B. 3 2 3 V a = . C. 3 4 3 V a = . D. 3 3 4 a V = . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 3 . . 12 3 ABC A B C ABC V S AA a ′′ ′ ′ = = . 33 '. 11 . .12 3 4 3 33 A ABC ABC V S AA a a ′ = = = . Câu 9. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAD cùng vuông góc với đáy, biết 3 SC a = . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SD , CD , BC . Tính thể tích khối chóp. A. 3 4 a . B. 3 8 a . C. 3 12 a . D. 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn B O A B C z x y https://toanmath.com/ Gọi F PQ AC = ∩ . Dễ thấy AF PQ ⊥ . Mặt khác do ( ) // MNPQ SC nên ( ) ( ) SAC MNPQ EF ∩= ( ) // ; EF SC F SA ∈ . Dựng AH EF ⊥ . Do ( ) PQ SAC ⊥ nên PQ AH ⊥ . Suy ra ( ) AH MNPQ ⊥ ( ) ( ) ; AH d A MNPQ ⇒ = . Ta có: 3 32 44 a AE AC = = ; 3 4 AF AS = 22 33 4 4 a SC AC = −= Suy ra: 22 22 .6 4 AF AE a AH AE AF = = + . Mặt khác do BD SC ⊥ nên PQ QM ⊥ suy ra tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. . MNPQ S MQ QP = 2 16 . 44 a BD SC = = Vậy . 1 . 3 A MNPQ MNPQ V AH S = 3 8 a = . Câu 10. Cho hình chóp . S ABC có A ′ và B ′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC ′′ . A. 3 V = B. 12 V = C. 8 V = D. 6 V = Hướng dẫn giải Chọn D Ta có . . .. S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC ′′ ′′ = 11 . 22 = 1 4 = Vậy .. 1 . 4 S A B C S ABC VV ′′ = 1 .24 4 = 6 = . A' B' A B C S https://toanmath.com/ Câu 11. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số V V ′ . A. 1 4 V V ′ = . B. 5 8 V V ′ = . C. 1 2 V V ′ = . D. 2 3 V V ′ = . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi khối tứ diện đã cho là ABCD . Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của AD , AB , AC , BC , CD , BD . Khi đó ta có: . 4. A FEG VV V ′ = + . Mặt khác . 1 8 A FEG VV = . Suy ra 11 22 V VV V V ′ ′ = + ⇒ = . Câu 12. Cho hình chóp . S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 45 ° . H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD mặt phẳng ( ) AHK , cắt SC tại I . Khi đó thể tích của khối chóp . S AHIK là: A. 3 6 a V = . B. 3 12 a V = . C. 3 18 a V = . D. 3 36 a V = . Hướng dẫn giải Chọn C H G E F J B D C A I https://toanmath.com/ Ta có  45 SBA SA AB a = ° ⇒ = = . Lại có ( ) BC SA BC SAB BC AH BC AB ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  . Mà ( ) AH SB AH SBC AH SC SC AH ⊥ ⇒⊥ ⇒⊥ ⇒ ⊥ . Tương tự ( ) SC AK SC AHK SC AI ⊥ ⇒⊥ ⇒⊥ . Ta có 2 2 22 11 22 3 SA SI a SI AC IC a SC == =⇒= . Tỉ số . .. . 11 1 . . 1. . 2 3 12 S AHI S AHI S ABCD S ABC V SA SH SI VV V SA SB SC = = ⇒= . Tỉ số . .. . 11 1 . . 1. . 3 2 12 S AIK S AIK S ABCD S ACD V SA SI SK VV V SA SC SD = = ⇒= . 3 2 . .. . 1 11 . .. 6 6 3 18 S AHIK S AHI S AIK S ABCD a V V V V aa ⇒ = += = = . Câu 13. Cho khối chóp . S ABC , M là trung điểm của cạnh . BC Thể tích của khối chóp . S MAB là 3 2. a Thể tích khối chóp . S ABC bằng. A. 3 2a . B. 3 4a .P C. P 3 4 a P . P D. 3 1 2 a . Hướng dẫn giải Chọn B 3 . 24 S ABC SMAB V V a = = . Câu 14. Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V . Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy các điểm , MN sao cho 3, SM MB SN NC = = . Mặt phẳng ( ) AMN cắt cạnh SD tại điểm P . Tính thể tích của khối chóp . S MNP theo V . A. 8 V . B. 4 V . C. 9 80 V . D. 7 40 V . Hướng dẫn giải Chọn C Trong mp ( ) SBC gọi E MN BC = ∩ . Trong mp ( ) ABCD gọi F AE BD = ∩ . Trong mp ( ) SBD gọi P FM SD = ∩ . Khi đó ( ) P AMN SD = ∩ . Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC ta có: .. 1 EB NC MS EC NS MB = 1 3 EB EC ⇒= . Lại có: EB AD  1 2 FB EB EB FD AD BC ⇒ = = = . Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBD ta có: .. 1 PD MS FB PS MB FD = 2 3 PD PS ⇒ = 3 5 SP SD ⇒ = . Khi đó: 1 2 SMNP SMNP SBCD VV V V = ⋅ SM SN SP SB SC SD = ⋅ ⋅ 31 3 9 4 2 5 40 = ⋅⋅ = 9 80 SMNP V V ⇒= . Câu 15. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể tích V của khối chóp . A MCD . A. 4 V  . B. 6 V  . C. 3 V  . D. 5 V  . Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ Câu 16. Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp . N ABCD là A. 6 V . B. 4 V . C. 2 V . D. 3 V . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt ABCD BS = , ( ) ( ) ; d S ABCD h = . Suy ra 1 3 V Bh = . Vì M là trung điểm của SA nên ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ;; 2 d M ABCD d S ABCD = , Lại vì N là trung điểm của MC nên ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ; ; 2 d N ABCD d M ABCD = . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 11 ;; 44 d N ABCD d S ABCD h = = . Từ đó ta có ( ) ( ) . 1 11 ; .. 3 43 4 N ABCD V V d N ABCD B Bh = = = . Câu 17. Cho tứ diện ABCD có 1 DA = , ( ) DA ABC ⊥ . ABC ∆ là tam giác đều, có cạnh bằng 1 . Trên ba cạnh DA , DB , DC lấy điểm , , M NP mà 1 13 ,, 2 34 DM DN DP DA DB DC = = = . Thể tích V của tứ diện MNPD bằng A. 2 96 V = . B. 3 12 V = . C. 3 96 V = . D. 2 12 V = . Hướng dẫn giải Chọn C D 13 3 . .1 3 4 12 ABC V = = . 11 3 1 . . .. 234 8 DMNP DABC V DM DN DP V DA DB DC = = = . 13 3 . 8 12 96 DMNP V ⇒= = . Câu 18. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có thể tích bằng V . Trên cạnh SA lấy A ′ sao cho 1 3 SA SA ′ = . Mặt phẳng qua A ′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại ' B , C ′ , D ′ . Tính thể tích khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ . S A B C D O M N https://toanmath.com/ A. 81 V . B. 27 V . C. 3 V . D. 9 V . Hướng dẫn giải Chọn A . Ta có 1 3 SA SB SC SD SA SB SC SD ′′ ′ ′ = = = = (theo Talet). Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: . . . . . 1111 1 ... . . . 3333 81 81 S A B C D A B C D S ABCD V SA SB SC SD V V V SA SB SC SD ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ = = =⇒= . Câu 19. Cho tứ diện ABCD có ( ) 1; . DA DA ABC ABC =⊥ ∆ là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên cạnh , , DA DB DC lấy 3 điểm ,, M NP sao cho 1 1 3 ; ; . 2 34 DM DN DP DA DB DC = = = Thể tích của tứ diện MNPD bằng A. 2 96 V = . B. 3 12 V = . C. 3 96 V = . D. 2 12 V = . Hướng dẫn giải Chọn C 13 3 . .1 . 3 4 12 ABCD V = = 11 3 1 . . .. . 234 8 DMNP DABC V DM DN DP V DA DB DC = = = Suy ra 13 3 . . 8 12 96 DMNP V = = Câu 20. Cho khối chóp . S ABCD có thể tích là 3 a . Gọi , ,, M N PQ theo thứ tự là trung điểm của , , , . SA SB SC SD Thể tích khối chóp . S MNPQ là: A. 3 16 a B. 3 . 8 a C. 2 . 4 a D. 3 6 a Chọn B https://toanmath.com/ Ta có: Tứ giác MNPQ đồng dạng với tứ giác ABCD với tỉ số 1 2 k = . Đường cao h ′ của hình chóp . S MNPQ bằng 1 2 đường cao h hình chóp . S ABCD Từ đó: 2 . 1 11 . . . . . 3 32 2 S MNPQ MNPQ ABCD h V Sh S  ′ = =   3 . 1 88 S ABCD a V = = .  Chú ý: Có thể tách khối . S MNPQ ra làm các khối nhỏ hơn và sử dụng công thức tỷ số thể tích. Câu 21. Cho khối chóp . S ABC . Gọi A ′ , B ′ lần lượt là trung điểm của SA và SB . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC ′′ và . S ABC bằng: A. 1 4 . B. 1 6 . C. 1 2 . D. 1 3 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có . . 11 1 . . 22 4 S ABC S ABC V SA SB V SA SB ′′ ′′ = = = . Câu 22. Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành. , ,, M N PQ lần lượt là trung điểm của ,, , SA SB SC SD . Tỉ số thể tích của khối chóp . S MNPQ và khối chóp . S ABCD là. A. 1 8 . B. 1 4 . C. 1 16 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Vì ABCD là hình bình hành nên ABC ACD SS  . . Do đó . .. 22 S ABCD S ABC S ACD V VV  . Ta có. https://toanmath.com/ . .. . . .. . . .. . . 22 S MNPQ S MNP S MPQ S MPQ S MPQ S MNP S MNP S ABCD S ABCD S ABCD S ABCD S ABC S ACD V VV V V VV V V VV V V      1 1 1 11 . . . .. 2 2 16 16 8 SM SN SP SM SP SQ SA SB SC SA SC SD     . Câu 23. Cho hình chóp . S ABCD có ( ) SA ABCD ⊥ , ABCD là hình chữ nhật. 2 SA AD a = = . Góc giữa ( ) SBC và mặt đáy ( ) ABCD là 60° . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp . S AGD là A. 3 16 9 3 a . B. 3 32 3 27 a . C. 3 83 27 a . D. 3 43 9 a . Hướng dẫn giải Chọn C Vì góc giữa ( ) SBC và mặt đáy ( ) ABCD là 60° nên  60 SBA = ° 2 tan 60 3 SA a AB ⇒= = ° . Khi đó: 2 2 43 . .2 3 3 ABCD aa S AB AD a = = = . Gọi M là trung điểm BC , khi đó: 2 1 23 23 ADM ABCD a S S = = . ⇒ 2 3 .. 2 21 2 3 8 3 . .2 . 3 3 3 3 27 S ADG S ADM aa VV a = = = . Câu 24. Cho hình chóp . S ABCD có thể tích bằng 48 , đáy ABCD hình thoi. Các điểm , ,, M N PQ lần lượt thuộc ,, , SA SB SC SD thỏa: 2 , 3, 4 SA SM SB SN SC SP = = = , 5 SD SQ = . Thể tích khối chóp . S MNPQ là. A. 4 5 . B. 6 5 . C. 2 5 . D. 8 5 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 24 = SMNP SABC V V , 1 40 = SMPQ SACD VV . 1 18 .24 .24 24 40 5 ⇒ = + = SMNPQ V . Câu 25. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy, góc  60 ACB = ° , BC a = , 3 SA a = . Gọi M là trung điểm của SB . Tính thể tích V của khối tứ diện MABC . G M D A B C S https://toanmath.com/ A. 3 6 a V = . B. 3 4 a V = . C. 3 3 a V = . D. 3 2 a V = . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1 (Tính trực tiếp). . Gọi H là trung điểm AB // MH SA ⇒ , mà ( ) SA ABC ⊥ ( ) MH ABC ⇒⊥ và 3 22 SA a MH = = . Tam giác ABC ∆ là nửa tam giác đều 22 AC BC a = = và 3 3 2 AC AB a = = nên diện tích đáy là: 2 11 3 . . 3. 22 2 ABC a S AB BC a a = = = . Vậy thể tích 23 1 1 3 3 . .. 3 32 2 4 MABC ABC aa a V S MH = = = . Cách 2 (Áp dụng tỷ số thể tích tứ diện). . Vì M trung điểm SB nên tỷ số thể tích tứ diện 1 2 MABC SABC V SM V SB = = 1 2 MABC SABC VV ⇒= . Tam giác ABC ∆ là nửa tam giác đều 22 AC BC a = = và 3 3 2 AC AB a = = nên diện tích đáy: 2 11 3 . . 3. 22 2 ABC a S AB BC a a = = = . Do đó 23 1 13 . . . 3 3 32 2 SABC ABC aa V S SA a = = = . Vậy 3 4 MABC a V = . Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi ′ B và ′ C lần lượt là trung điểm của , AB AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện ′′ AB C D và khối ABCD bằng: A. 1 2 . B. 1 4 . C. 1 6 . D. 1 8 . Hướng dẫn giải a a 3 60 o H M A B C S a a 3 60 o M A B C S https://toanmath.com/ Chọn B Ta có '' 11 1 .. 22 4 ′′ = = = AB C D ABCD V AB AC V AB AC . Câu 27. Cho hình đa diện như hình vẽ Biết 6 SA = , 3 SB = , 4 SC = , 2 SD = và      60 ASB BSC CSD DSA BSD = = = = = ° . Thể tích khối đa diện . S ABCD là A. 10 2 . B. 62 . C. 52 . D. 30 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Trên SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm A ′, B ′, C ′ sao cho 2 SA SB SC SD ′′ ′ = = = = . Ta có 2 AB BC C D DA ′′ ′ ′ ′ ′ = = = = . Khi đó hình chóp . S ABD ′′ và hình chóp . S CB D ′ là các hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2 . 3 .. 2 2 22 12 3 S A B D S C B D V V ′ ′ ′′ = = = . Mặt khác . . .. S ABD S A B D V SA SB SD V SA SB SD ′′ = ′′ 39 3. 22 = = , nên .. 9 2 S ABD S A B D VV ′′ = 9 2 2 . 3 2 23 = = . . . 3 . . 2. 3 2 S CBD S C B D V SC SB SD V SC SB SD ′′ = = = ′′ , nên .. 3 SCBD SC B D V V ′′ = 22 3. 2 2 3 = = . Thể tích khối đa diện . S ABCD là . . S ABD S CBD VV V = + 3 2 2 2 5 2 = += . A D C B S https://toanmath.com/ Câu 28. Cho tứ điện MNPQ . Gọi ,, I JK lần lượt là trung điểm các cạnh ,, MN MP MQ . Tính tỉ số thể tích MIJK MNPQ V V . A. 1 6 . B. 1 3 . C. 1 4 . D. 1 8 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 1 .. 8 MIJK MNPQ V MI MJ MK V MN MP MQ  . . Câu 29. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, 2 = SA a . Gọi ′ B , ′ D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng ( ) ′′ AB D cắt SC tại ′ C . Thể tích khối chóp ′′ ′ SAB C D là: A. 3 23 3 = a V . B. 3 23 9 = a V . C. 3 22 3 = a V . D. 3 2 9 = a V . Hướng dẫn giải Chọn D C' D C B S B' A' K J I M P Q N https://toanmath.com/ Ta có: 2 . 1 .. 2 3 = S ABCD V aa 3 2 3 = a . Vì ′ B , ′ D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD nên ta có ( ) ′′ ⊥ SC AB D . Gọi ′ C là hình chiếu của A lên SC suy ra ′ ⊥ SC AC mà ( ) ′ ′′ ∩= AC AB D A nên ( ) ′ ′′ ⊂ AC AB D hay ( ) ′ ′′ = ∩ C SC AB D . Tam giác SAC vuông cân tại A nên ′ C là trung điểm của SC . Trong tam giác vuông ′ SAB ta có 2 2 ′ = SB SA SB SB 2 2 2 3 = a a 2 3 = . .. ′′ ′ ′′ ′ ′ + = SAB C D SAB C SAC D S ABCD S ABCD V VV V V 1 2 ′′ ′′   = +     SB SC SD SC SB SC SD SC ′′ = SB SC SB SC 21 . 32 = 1 3 = . Vậy 3 2 9 ′′ ′ = SAB C D a V . Câu 30. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt bên ( ) SAB và ( ) SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và ( ) ABCD bằng 45°. Gọi 12 ; VV lần lượt là thể tích khối chóp . S AHK và . S ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp . S ABCD và tỉ số 1 2 V k V = . A. 1 2; 8 h ak = = . B. 1 2; 3 h ak = = . C. 1 ; 4 h ak = = . D. 1 ; 6 h ak = = . Hướng dẫn giải Chọn C. C' D' O D A B C S B' A B C D S H K a https://toanmath.com/ Do ( ) SAB và ( ) SAD cùng vuông góc với mặt đáy nên ( ) SA ABCD ⊥ . Ta có ( ) CD AD CD SAD CD SD CD SA ⊥  ⇒⊥ ⇒⊥  ⊥  . Dễ thấy góc giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và ( ) ABCD là  45 SDA = °. Ta có tam giác SAD là tam giác vuông cân đỉnh A . Vậy h SA a = = . Áp dụng công thức tỉ số thể tích có: 1 2 1 . 4 V SH SK V SC SD = = . Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với , , OA OB OC vuông góc từng đôi một và , OA a = 2, OB a = 3 OC a = . Gọi , MN lần lượt là trung điểm của hai cạnh , AC BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng: A. 3 3 4 a B. 3 a C. 3 2 3 a D. 3 4 a Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 3 11 . .. 32 OABC V OAOB OC a   = =     (đvtt) . Ta có .1 .4 OCMN OCAB V CM CN V CACB = = .Vậy 3 1 44 OCMN OABC a VV = = . Câu 32. Cho khối chóp . S ABC . Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A ′ , B ′ , C ′ sao cho 1 3 SA SA ′ = ; 1 4 SB SB ′ = ; 1 2 SC SC ′ = . Gọi V và ' V lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S ABC ′′ ′ . Khi đó tỉ số ' V V là A. 1 12 . B. 24 . C. 1 24 . D. 12 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có . . 3.4.2 24 ' '' ' V SA SB SC V SA SB SC = = = . Câu 33. Cho hình 1 6 Tchóp1 6 T . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, 2 = SA a . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại ′ B , ′ D , C ′ . Thể tích khối chóp ′′ ′ SAB C D là: A. 3 23 3 = a V . B. 3 23 9 = a V . C. 3 22 3 = a V . D. 3 2 9 = a V . Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ Ta có: 2 . 1 .. 2 3 = S ABCD V aa 3 2 3 = a . Ta có ( ) AD SDC ′ ⊥ AD SD ′ ⇒⊥ ; ( ) AB SBC ′ ⊥ AB SB ′ ⇒ ⊥ . Do ( ) SC AB D SC AC ′′ ′ ⊥ ⇒ ⊥ . Tam giác SAC vuông cân tại A nên ′ C là trung điểm của SC . Trong tam giác vuông ′ SAB ta có 2 2 SB SA SB SB ′ = 2 2 2 3 = a a 2 3 = . .. ′′ ′ ′′ ′ ′ + = SAB C D SAB C SAC D S ABCD S ABCD V VV V V 1 2 ′′ ′′   = +     SB SC SD SC SB SC SD SC ′′ = SB SC SB SC 21 . 32 = 1 3 = . Vậy 3 2 9 ′′ ′ = SAB C D a V . Câu 34. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ . A. 2017 27 . B. 4034 81 . C. 8068 27 . D. 2017 9 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 4 AEFG EFG ABCD BCD V S VS = = 1 4 AEFG ABCD VV ⇒= . C' D' O D A B C S B' https://toanmath.com/ 8 .. 27 AMNP AEFG V SM SN SP V SE SE SG = = 8 81 2 . 27 27 4 27 AMNP AEFG ABCD ABCD V V VV ⇒ = = = Do mặt phẳng ( ) ( ) // MNP BCD nên 11 22 QMNP QMNP AMNP AMNP V VV V =⇔= 1 2 1 2017 . 2 27 27 27 QMNP ABCD ABCD V VV = = = . Câu 35. Cho khối chóp . S ABC , M là trung điểm của cạnh SA . Tỉ số thể tích của khối chóp . S MBC và thể tích khối chóp . S ABC bằng. A. 1. B. 1 6 . C. 1 2 . D. 1 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Theo công thức tính thể tích tỷ số thể tích. . . 1 2 S MBC S ABC V SM V SA = = . Câu 36. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và 2 = SA a . Gọi ;′′ BD lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh , SB SD . Mặt phẳng ( ) ′′ AB D cắt cạnh SC tại ′ C . Tính thể tích của khối chóp . ′ ′′ S AB C D A. 3 16 45 a . B. 3 2 a . C. 3 2 4 a D. 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) . . 21 ′′ ′ ′′ = S AB C D S AB C VV mà ( ) .* ′′ ′′ = SAB C SABC V SB SC V SB SC ∆SAC vuông tại A nên ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 26 = + = + = SC SA AC a a a suy ra 6 = SC a Ta có ( ) ′ ⊥ ⇒ ⊥ BC SAB BC AB và ′ ⊥ SB AB suy ra ( ) ′ ⊥ AB SBC nên ′ ⊥ AB BC Tương tự ′ ⊥ AD SC . Từ đó suy ra ( ) ( ) ′ ′ ′ ′′ ⊥≡ SC AB D AB C D nên ′ ⊥ SC AC Mà 2 . ′ = SC SC SA suy ra 22 22 42 63 ′ = = = SC SA a SC SC a . Ta cũng có 22 2 2 2 2 22 4 4 45 ′ = = = = ++ SB SA SA a SB SB SA AB a a I O A D C B S D' B' C' https://toanmath.com/ Từ ( ) 8 * 15 ′′ ⇒ = SAB C SABC V V suy ra 8 81 8 . 15 15 2 30 ′′ = = = SAB C SABC SABCD SABCD VV V V mà 3 12 . 33 = = SABCD ABCD a V S SA Suy ra 33 82 8 . 30 3 45 ′′ = = SAB C aa V Từ ( ) 1 suy ra 3 . . 16 2 45 ′′ ′ ′′ = = S AB C D S AB C a VV . Câu 37. Cho hình chóp . S ABC có   0 60 ASB CSB = = ,  0 90 ASC = , ;3 SA SB a SC a = = = .Thể tích V của khối chóp . S ABC là: A. 3 2 4 a V = . B. 3 6 18 a V = . C. 3 2 12 a V = . D. 3 6 6 a V = . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M là điểm trên đoạn SC sao cho 3 SC SM = ;2 AB BM a AM a ⇒= = = ⇒ ABM ∆ . vuông tại B . ⇒ Trung điểm H của AM là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM ∆ (ABM) SH ⇒ ⊥ . 3 2 12 SABM a V ⇒=. 1 3 SABM SABC V SM V SC = = ⇒ 3 2 3 4 SABC SABM a VV = = . Câu 38. Cho tứ diện ABCD có 1 DA = , ( ) DA ABC ⊥ . ABC ∆ là tam giác đều, có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh DA , DB , DC lấy điểm , , M NP mà 1 13 ,, 2 34 DM DN DP DA DB DC = = = . Thể tích V của tứ diện MNPD bằng: A. 3 12 V = . B. 2 12 V = . C. 2 96 V = . D. 3 96 V = . Hướng dẫn giải Chọn D D 13 3 . .1 3 4 12 ABC V = = . 11 3 1 . . .. 234 8 DMNP DABC V DM DN DP V DA DB DC = = = . 13 3 . 8 12 96 DMNP V ⇒= = . Câu 39. Cho hình chóp . S ABC có M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính thể tích khối chóp . S MNC biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 8a . A. 3 SMNC Va = . B. 3 2 SMNC Va = . C. 3 6 SMNC Va = . D. 3 4 SMNC Va = . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 3 . .. . 1 .. 2 4 S MNC S MNC S ABC S ABC V SM SN SC V Va V SA SB SC = ⇒ = = . https://toanmath.com/ Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc α . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là A. 2 3 cos . 4 ab α B. 2 3 sin . 4 ab α C. 2 3 cos . 12 ab α D. 2 3 sin . 12 ab α Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H là hình chiếu của A ′ trên ( ) ABC . Khi đó  A AH α ′ = . Ta có .sin sin AH AA b αα ′′ = = nên thể tích khối lăng trụ là 2 . 3 sin . 4 ABC A B C ABC ab V AH S α ′′ ′ ∆ ′ = = . Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng AH ′ nên thể tích khối chóp là 2 .. 1 3 sin 3 12 S ABC ABC A B C ab VV α ′′ ′ = = . Câu 41. Cho hình chóp . S ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số . . S ABC S MNC V V . A. 1 4 ⋅ B. 1 2 ⋅ C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải. Chọn D Ta có . . S ABC S MNC V V = . . 4 .. SA SB SC SM SN SC = . H' C B A B' C' A' H S N C B A M S https://toanmath.com/ Câu 42.Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 . Trên các cạnh SA , SB , SC , SD lần lượt lấy các điểm A ′, B ′, C ′ và D ′ sao cho 1 3 SA SC SA SC ′′ = = và 3 4 SB SD SB SD ′′ = = . Tính thể tích V của khối đa diện lồi SABC D ′′ ′ ′ . A. 3 2 V = . B. 9 V = . C. 4 V = . D. 6 V = . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có .. SA B C D S D A B S D C B VV V V ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ = = + . .. 31 3 .. . 434 SD A B SDAB VV ′′ ′ = . 31 .. 16 2 S ABCD V = 3 .48 32 = 9 2 = . Tương tự: . 9 2 S DC B V ′ ′′ = . Vậy 9 V = . Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm . SC Mặt phẳng ( ) BMN chia khối chóp . S ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: A. 7 5 . B. 1 7 . C. 7 3 . D. 6 5 . Hướng dẫn giải Chọn A D' B' C' A' D B A S C https://toanmath.com/ Giả sử các điểm như hình vẽ. E SD MN E = ∩⇒ là trọng tâm tam giác SCM , // DF BC F ⇒ là trung điểm BM . Ta có: ( )  ( )  6 , 60 2 a SD ABCD SDO SO = = °⇒ = , 22 7 2 a SF SO OF = += ( ) ( ) 2 61 7 , ;. 24 27 SAD aa d O SAD OH h S SF AD ⇒== === 1 6 MEFD MNBC V ME MF MD V MN MB MC = ⋅⋅ = ( ) ( ) 3 5 51 1 5 1 5 6 ,4 6 6 3 2 18 2 72 BFDCNE MNBC SBC SAD a V V d M SAD S h S ⇒ = = ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 33 .. 1 6 7 6 . 3 6 36 S ABCD ABCD SABFEN S ABCD BFDCNE aa V SO S V V V = = ⇒= − = ⋅ Suy ra: 7 5 SABFEN BFDCNE V V = ⋅ Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều . SABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60  . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp . SABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. A. 1 7 . B. 7 5 . C. 1 5 . D. 7 3 . Hướng dẫn giải Chọn B E N M F O A B C D S H a a 60° H K N M I O A S B C D https://toanmath.com/ Đặt 1 1 2 2 ? SABIKN NBCDIK VV V VV V           . * 23 . 16 6 . 32 6 S ABCD a V aa  . * 3 . 1 1 1 61 6 . . . . . . .2 3 3 2 3 4 2 12 N BMC BMC BMC SO a V NHS S a a a     . * Nhận thấy K là trọng tâm của tam giác SMC 2 3 MK MN  . * . . 11 2 1 . . .. 22 3 6 M DIK MCBN V MD MI MK V MC MB MN   . 33 2 . . .CBN 5 5 6 5 6 . 6 6 12 72 MCBN M DIK M VV V V a a      . 3 33 3 1 1 . 2 2 3 76 6 5 6 7 6 7 72 6 72 72 5 5 6 72 S ABCD a V VV V a a a V a         . Câu 45. Cho khối chóp tam giác . S ABC có thể tích bằng V . Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB , N là điểm nằm giữa AC sao cho 2 AN NC = . Gọi 1 V là thể tích khối chóp .. S AMN Tính tỉ số 1 V V . A. 1 1 6 V V = . B. 1 1 2 V V = . C. 1 2 3 V V = . D. 1 1 3 V V = . Hướng dẫn giải Chọn D . 1 1 2 1 . . 1. . . 23 3 ASMN ASBC V V AS AM AN V V AS AB AC = = = = . Câu 46. Cho khối chóp . S ABCD có thể tích V . Các điểm A ′, B ′, C ′ tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC . Thể tích khối chóp . S ABC ′′ ′ bằng A. 16 V . B. 8 V . C. 4 V . D. 2 V . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có . . . 1 88 S A B C S A B C S ABC V SA SB SC V V V SA SB SC ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ = ⋅⋅ =⇒ = . https://toanmath.com/ Câu 47. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12và I là trung điểm CD , M là trung điểm BI . Tính thể tích V của khối chóp . A MCD . A. 5 V  . B. 4 V  . C. 6 V  . D. 3 V  . Hướng dẫn giải Chọn C Câu 48. Cho khối chóp . S ABC có 9, 4, 8 SA SB SC = = = và đôi một vuông góc. Các điểm ,, A B C ′′ ′ thỏa mãn 2. , SA SA ′ =     3. , SB SB ′ =     4. . SC SC ′ =      Thể tích khối chóp . S ABC ′′ ′ là A. 2 . B. 24 . C. 16. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn A . 11 .. .. . 36 S ABC SBC V SA S SA SB SC  . Ta có: 1 .. 24 SA B C SABC V SA SB SC V SA SB SC      . 2 SA B C V    . . Câu 49. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có thể tích bầng V . Lấy điểm A ′ trên cạnh SA sao cho 1 3 SA SA ′ = . Mặt phẳng qua A ′ và song song với mặt đáy của hình chóp cắt các cạnh ,, SB SC SD lần lượt tại ,, B C D ′′ ′ . Khi đó thể tích chóp . S ABC D ′′ ′ ′ bằng: A. 3 V . B. 27 V . C. 9 V . D. 81 V . Hướng dẫn giải Chọn B . Vì ( ) ( ) // // , // , // A B C D ABCD A B AB B C BC C D CD ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ⇒ . Mà '1 D 1 3 D3 SA SB SC S SA SB SC S ′′′ = ⇒= = = . Gọi 12 , VV lần lượt là . .D , S ABC S AC VV . Ta có 1 2 VV V += . C' B' A' C B A S https://toanmath.com/ . 1 . . 1 .. 27 27 S A B C S A B C S ABC V V SA SB SC V V SA SB SC ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ = =⇔=. . 2 . .D 1 .. 27 27 S A DC S A C D S AC V V SA SC SD V V SA SC SD ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ = =⇔=. Vậy 1 2 . . ' ' ' . 'C'D' 27 27 S A B C D S A B C S A VV V V VV ′′ ′ ′ + = += = . Vậy .' ' ' 27 S A BC D V V = . Câu 50. Cho hình chóp đều . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng ( ) AEF vuông góc với mặt phẳng ( ) SBC . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 6 12 a . B. 3 5 8 a . C. 3 3 24 a . D. 3 5 24 a . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh BC và EF ; H là trọng tâm tam giác ABC . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 AEF SBC AEF SBC EF ⊥    ∩=   Trong mặt phẳng ( ) SBC , ta có // EF BC SM BC   ⊥  nên ( ) 2 EF SM ⊥ . Từ (1) và (2) suy ra SM vuông góc với mặt phẳng ( ) AEF tại N Mặt khác Tam giác SHM vuông tại H có ( ) cos 3 HM M SM = . Tam giác AMN vuông tại N có ( ) cos 4 MN M AM = Từ (3) và (4) ta có HM MN SM AM = .. SM MN HM AM ⇔= (vì N là trung điểm SM ) 22 11 23 SM AM ⇔= 22 2 3 a SM AM ⇔= = Tam giác SHM vuông tại H có 13 . 36 a HM AM = = và 22 SH SM HM = − 5 2 3 a = . S A B C F E H M N https://toanmath.com/ Khi đó . 1 .. 3 S ABC ABC V S SH = 3 5 24 a = . Câu 51. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có thể tích bằng . V Lấy A ′ trên cạnh SA sao cho 1 . 3 SA SA ′ = Mặt phẳng qua A ′ và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh ,, SB SC SD lần lượt tại ,, . BC D ′′ ′ Khi đó thể tích khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ là: A. 81 V . B. 3 V . C. 9 V . D. 27 V . Hướng dẫn giải Chọn D 3 . . . . 1 .. 3 27 54 S A B C S ABC S A B C S ABC V V SA SB SC V V V SA SB SC ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′   = = ⇒= =     3 .. . . 1 .. 3 27 54 S A D C S ADC S A DC S ADC VV SA SD SC V V V SA SD SC ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′   = =⇒ = =     . .. . 54 54 27 S A B C D S A B C S A C D VV V V VV ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ = + = += Câu 52. Cho hình chóp . S ABCD có thể tích bằng 18, đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SD sao cho 2 SM MD = . Mặt phẳng ( ) ABM cắt SC tại N . Tính thể tích khối chóp . S ABNM . A. 9 . B. 6 . C. 10. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn C . Có : ( ) ( ) // M ABM SCD AB CD ∈∩      . ( ) ( ) // ABM SCD MN CD ⇔ ∩= . . 15 . 22 2 9 S ABNM SANM SANB SABCD SACD SACB V V V SM SN SN V V V SD SC SC  = + = +=   . Vậy : . 5 . 10 9 S ABNM SABCD VV = = . Câu 53. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC . Mặt phẳng ( ) P đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , F . Biết . . 1 4 S AEF S ABC VV = . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 2 a V = . B. 3 8 a V = . C. 3 2 5 a V = . D. 3 12 a V = . Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ Ta có BC SM ⊥ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Do ( ) ( ) FE P SBC = ∩ FE SM ⇒⊥ FE BC ⇒  và FE đi qua H . . . 1 4 S AEF S ABC VV = 1 . 4 SE SF SB SC ⇔= 2 1 4 SH SM  ⇔=   1 2 SH SM ⇒ = . Vậy H là trung điểm cạnh SM . Suy ra SAM ∆ vuông cân tại A 3 2 a SA ⇒= . Vậy 2 13 3 . . 32 4 SABC a a V = 3 8 a = . Câu 54. Cho khối chóp tứ giác . S ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là 1 V và 2 V ( ) 12 VV < . Tính tỉ lệ 1 2 V V . A. 16 75 . B. 8 27 . C. 16 81 . D. 8 19 . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi 1 G , 2 G , 3 G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SAD , SAC . F E M S B C A H https://toanmath.com/ Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB , AC thì 3 1 2 3 SG SG SI SJ = = 13 // G G IJ ⇒ ⇒ ( ) 13 // G G ABC . Chứng minh tương tự ta có ( ) 23 // G G ABC . Suy ra ( ) ( ) 12 3 // G G G ABCD . Qua 1 G dựng đường song song với AB , cắt SA , SB lần lượt tại M , N . Qua N dựng đường song song với BC , cắt SC tại P . Qua P dựng đường song song với CD , cắt SD tại Q . ⇒ Thiết diện của hình chóp . S ABCD khi cắt bới ( ) 12 3 GG G là tứ giác MNPQ . Ta có . . S MNP S ABC V V .. .. SM SN SP SA SB SC = 8 27 = .. 8 27 S MNP S ABC VV ⇒= (1) Tương tự ta cũng có .. 8 27 S MPQ S ACD VV ⇒ = (2) Từ (1) và (2) suy ra .. 8 27 S MNPQ S ABCD VV = 1 8 27 V V ⇒= 21 19 27 V VV V ⇒ = −= . Vậy 1 2 8 19 V V = . Câu 55. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , SC , SD . Tỉ số . . S MNPQ S ABCD V V là A. 1 6 B. 1 16 . C. 3 8 . D. 1 8 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có áp dụng công thức tỉ số thể tích, ta có . . .. S MNP S ABC V SM SN SP V SA SB SC = và . . .. S MQP S ADC V SM SQ SP V SA SD SC = Vì M, N, P, Q là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD 1 2 SM SN SP SQ SA SB SC SD ⇒= = = = . Và .. . 1 2 S ABC S ADC S ABCD VV V = = suy ra . . . . . 11 1 1 88 8 . 2 S MNP S MQP S MNPQ S ABCD S ABCD VV V V V + = + ⇒ = . Câu 56. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ 2018 thể tích MIJK MNPQ V V bằng: A. 1 4 . B. 1 6 . C. 1 8 . D. 1 3 . Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ Ta có: . . 111 1 . . .. 222 8 M IJK M NPQ V MI MJ MK V MN MP MQ = = = . Câu 57. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho 2 SE EC = . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . A. 1 3 V = . B. 1 6 V = . C. 1 12 V = . D. 2 3 V = . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: .. 11 22 S BCD S ABCD VV = = . Mặt khác: . . . . 2 21 3 33 S EBD S EBD S CBD S CBD V SE VV V SC = = → = = . Câu 58. Cho hình chóp . A BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC a = , 3 CD a = . Hai mặt ( ) ABD và ( ) ABC cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) BCD . Biết AB a = , M , N lần lượt thuộc cạnh AC , AD sao cho 2 AM MC = , AN ND = . Thể tích khối chóp . A BMN là A. 3 23 9 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 18 a . D. 3 3 9 a . Hướng dẫn giải Chọn C Do 2 AM MC = 2 3 AM AC ⇒= . Ta có . . 21 1 .. 32 3 A BMN A BCD V AM AN V AC AD = = = . Mà 3 . 11 1 3 . . .. 3 32 6 6 A BCD a V AB BC CD a a a = = = . K J I N Q P M A B C M N D a 3 a a https://toanmath.com/ 3 . . 3 3 18 A BCD A BMN V a V ⇒= = . Câu 59. Cho tứ diện ABCD . Gọi B ′ và C ′ lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C D ′′ và khối tứ diện ABCD . A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 6 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 11 1 22 4 AB C D ABCD V AB AC V AB AC ′′ ′′ = ⋅ = ⋅= . Câu 60. Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng () ABC . () mp ABC qua A vuông góc với đường thẳng SB cắt , SB SC lần lượt tại , HK . Gọi 12 , VV tương ứng là thể tích của các khối chóp . S AHK và . S ABC . Cho biết tam giác SAB vuông cân, tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 1 3 V V = . B. 1 2 1 2 V V = . C. 1 2 2 3 V V = . D. 1 2 1 4 V V = . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: // HK BC do cùng SB ⊥ trong () SBC , mà H là trung điểm SB nên K là trung điểm SC . Vậy có (xem A là đỉnh): 1 4 SHK SBC S V VS = = ′ . Câu 61. Cho tứ diện MNPQ . Gọi ; ; I JK lần lượt là trung điểm của các cạnh ;; . MN MP MQ Tỉ số thể tích MIJK MNPQ V V là A. 1 4 . B. 1 3 . C. 1 6 . D. 1 8 . Hướng dẫn giải Chọn D Trong trường hợp này áp dụng công thức tỉ lệ thể tích giữa 2 hình chóp tam giác: 111 1 . . .. 222 8 MIJK MNPQ V MI MJ MK V MN MP MQ = = = . Câu 62. Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp . S MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp . S ABCD là: https://toanmath.com/ A. 81 8 V . B. 27 4 V . C. 2 9 2 V    . D. 9 4 V . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 3 , d S MNPQ SM SI d S ABCD = = . Mặt khác gọi ABCD SS = ta có 11 1 . 42 8 DEJ BDA S S ∆ ∆ = = 1 16 DEJ SS ∆ ⇒= . Tương tự ta có 1 4 JAI DAB S S ∆ ∆ = 1 8 JAI S ∆ ⇒= . Suy ra 11 1 1 4. 2. 16 8 2 HKIJ S SS    =−+ =       . Mà 2 24 39 MNPQ HKIJ S S  = =   2 9 MNPQ ABCD SS ⇒= . Suy ra ( ) ( ) . 1 ,. 3 S ABCD V d S ABCD S = ( ) ( ) 1 3 9 27 ., . 32 2 4 d S MNPQ S V = = . Câu 63. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD , M là trung điểm của SC . Mặt phẳng ( ) P qua AM và song song với BD cắt SB , SD tại N , K. Tính tỉ số thể tích của khối . S ANMK và khối chóp . S ABCD . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B F E J Q P H N K M I O D S A B C 2 9 1 3 1 2 3 5 https://toanmath.com/ Gọi H là tâm hình vuông ABCD , E SH AM = ∩ E ⇒ là trọng tâm SAC ∆ SE SK SH SD ⇒= 2 3 SN SB = = . Ta có . . .. . . S AKM S ADC V SA SK SM V SA SD SC = 21 1 . 32 3 = = .. 1 6 S AKM S ABCD VV ⇒= Tương tự . . 1 3 S ANM S ABC V V = .. 1 6 S ANM S ABCD VV ⇒= . Từ đó . .. S ANMK S ANM S AKM V VV = + .. 11 66 S ABCD S ABCD VV = + . 1 3 S ABCD V = . Câu 64. Cho khối chóp . S ABC . Trên các đoạn , , SA SB SC lần lượt lấy ba điểm , , A B C ′′ ′ sao cho 11 1 ; ; 23 4 SA SA SB SB SC SC ′′ ′ = = = . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC ′′ ′ và . S ABC bằng A. 1 24 . B. 1 2 . C. 1 12 . D. 1 6 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: .' ' ' . 111 1 . . .. 234 24 S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC ′′ ′ = = = . Câu 65. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a = , SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC , góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABC bằng 30° . Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Thể tích của khối chóp . S ABM bằng: A. 3 3 18 a . B. 3 3 24 a . C. 3 3 36 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ . Tam giác ABC vuông cân tại B và AB a = nên 2 2 ABC a S ∆ = . Góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABC là góc  30 SBA = ° . Tam giác SAB vuông tại A : 3 tan 30 . 3 a SA AB = °= . Ta có: 33 . . . 13 3 . 3 18 2 36 S ABC S ABC ABC S ABM V aa V SA S V ∆ = = ⇒= = . Câu 66. Cho hình chóp . S ABC , M là trung điểm của SB , điểm N thuộc cạnh SC thỏa 2 SN NC = . Tỉ số . . S AMN S ABC V V . A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 5 . D. 1 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có . . 11 1 .. 23 6 S AMN S ABC V AM AN V AB AC = = = . Câu 67. Cho tứ diện ABCD có cạnh , AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau, ; 2 AB a AC a = = và 3 AD a = . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của , BD CD . Tính thể tích V của tứ diện ADMN . A. 3 4 a V = . B. 3 Va = . C. 3 3 4 a V = . D. 3 2 3 a V = . Hướng dẫn giải Chọn A . ( ) AB AC AB ACD AB AD ⊥  ⇒⊥  ⊥  . 1 11 . .. . . 3 32 ABCD ACD V S AB AC AD AB ∆ = = 3 1 .2 .3 . 6 a aa a = = . Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: a 2a 3a B A C D N M S A C M B https://toanmath.com/ 3 . .. . 1 11 1 . . .1. 2 24 4 4 D MAN D MAN D BAC D BAC V DM DA DN a VV V DB DA DC = ==⇒ = = . 1 6 TCâu 68. 1 6 TCho khối chóp . S ABC có    60 , ASB BSC CSA = = = ° , SA a = 2, SB a = 4 SC a = . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a . A. 3 22 3 a . B. 3 42 3 a . C. 3 2 3 a . D. 3 82 3 a . Hướng dẫn giải Chọn A Lấy , M SB ∈ N SC ∈ thoả mãn: SM SN SA a = = = 1 2 1 4 SM SB SN SC  =   ⇒   =   . Theo giả thiết:    0 60 ASB BSC CSA = = = ⇒ . S AMN là khối tứ diện đều cạnh a . Do đó: 3 . 2 12 S AMN a V = . Mặt khác : . . . S AMN S ABC V SM SN V SB SC = 11 1 . 24 8 = = 3 . . 22 8 3 S ABC S AMN a V V ⇒= = . Câu 69. Cho hình chóp . S ABCD . Gọi A ′, B ′, C ′ , D ′ lần là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ và . S ABCD . A. 1 8 . B. 1 16 . C. 1 2 . D. 1 12 . Hướng dẫn giải Chọn A N M C B A S https://toanmath.com/ Ta có 1 .. 8 SA B C SABC V SA SB SC V SA SB SC ′′ ′ ′′ ′ = = , 1 .. 8 SA C D SACD V SA SD SC V SA SD SC ′ ′′ ′ ′′ = = Suy ra . . S A B C D S ABCD V V ′′ ′ ′ 1 8 SA B C SA B C SA C D SABC SABC SACD V VV V V V ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ + = = = + . Vậy 1 8 SA B C D SABCD V V ′′ ′ ′ = . Câu 70. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi 1 V là thể tích khối chóp . S AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V ? A. 1 3 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 8 . Hướng dẫn giải Chọn A D C B A D' C' B' A' S I O N M P D C B A S https://toanmath.com/ Đặt = SM x SB , = SN y SD , 0 x < , 1 y ≤ . Vì + = + SA SC SB SD SA SP SM SN nên 11 1 2 31 += + ⇒ = − x y x y x Khi đó .. 1 .. 1 1 1 11 1 .. . .. . . . . . 2 2 2 2 2 22 2 = += + = + S ANP S AMP S ADC S ABC VV V SA SN SP SA SM SP yx V V V SA SD SC SA SB SC ( ) 11 4 4 31   = += +   −   x xy x x Vì 0 x > , 0 y > nên 1 1 3 << x Xét hàm số ( ) 1 4 31   = +   −   x f x x x trên 1 ;1 3       Ta có ( ) ( ) 2 11 1 4 31  ′ = −  −  fx x ; ( ) 2 0 3 ′ = ⇔= fx x . Bảng biến thiên x 1 3 2 3 1 y ′ – 0 + y || 1 3 3 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 V V bằng 1 3 . Câu 71. Cho tứ diện đều . S ABC . Gọi 1 G , 2 G , 3 G lần lượt là trọng tâm của các tam giác , SAB ∆ SBC ∆ , SCA ∆ . Tính 12 3 . . S GG G S ABC V V . A. 1 48 . B. 2 27 . C. 1 36 . D. 2 81 . Hướng dẫn giải Chọn B . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA . Ta có. G3 G2 N P M A B C S G1 https://toanmath.com/ 12 3 12 3 222 8 8 8 1 2 .. . 333 9 9 8 4 27 SG G G SG G G SMNP SABC SMNP V VV V V ==⇒== = . Câu 72. Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A ′, B ′, C ′ sao cho 1 3 SA SA ′ = , 1 3 SB SB ′ = , 1 3 SC SC ′ = . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S ABC ′′ ′ . Khi đó tỉ số V V ′ là A. 1 6 . B. 1 3 . C. 1 27 . D. 1 9 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 111 1 . . .. 333 27 V SA SB SC V SA SB SC ′ ′′ ′ = = = . Câu 73. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là . V Gọi M là trung điểm của . SB P là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2. SP DP = Mặt phẳng ( ) AMP cắt cạnh SC tại . N Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo . V . A. 23 30 ABCDMNP VV = . B. 7 30 ABCDMNP VV = . C. 19 30 ABCDMNP VV = . D. 2 5 ABCDMNP VV = . Hướng dẫn giải Chọn A . Gọi O là tâm hình bình hành. Gọi I MP SO N AI SC = ∩ ⇒= ∩ . Ta có: I I O M O I O M A B C S S D B S A C P N P N https://toanmath.com/ 1 . 3D 2 2 74 . 2 D 12 7 SPM SPI SMI SPI SMI SDB SDB SDO SBO S SS S S SP SM S SB S S S S SI SP SM SI SI SO S SB SO SO ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ + = = = = +   = + = ⇒ =     . Suy ra: 22 . 2 2 2 2 77 2 5 SAN SAI SNI SAI SNI SAC SAC SAO SCO S SS S S SN SI SI SN SN SC S S S S SO SO SC SC SN SC ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ + == =+ =+ =+ ⇒= . Suy ra: . .. . . .D . . . .. 7 2 2 2S . . D 2S . . D 30 S AMNP S AMP S MNP S AMP S MNP S AB S BCPD V VV V V SA SM SP SM SN SP V V V V A SB S B SC S + = = += + = . D. 23 30 ABC MNP VV ⇒ = . Câu 74. Cho khối lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp . A BCO ′ bằng A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn A ( ) ( ) .. 11 ,. 1 3 12 A BCO BCO ABCD A B C D V d A BCO S V ′ ′′ ′ ′ ′ = = = . Câu 75. Cho hình chóp . S ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S MNPQ và . S ABCD bằng A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 16 . Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ Ta có .. 1 8 S MNP S ABC VV = và .. 1 8 S MQP S ADC VV = . .. . . . 11 1 88 8 S MNPQ S MQP S MNP S ABC S ADC S ABCD V VV V V V ⇒ = + = + = . . 1 8 S MNPQ S ABCD V V ⇒= . Câu 76. Cho tứ diện . S ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ( ) ABC bằng A. 3 V . B. 4 V . C. 8 V . D. 2 V . Hướng dẫn giải Chọn C Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng ( ) MNP cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng ( ) MNP . Ta có: . . 1 .. 8 S MNP S ABC V SM SN SP V SA SB SC = = nên . 8 S MNP V V = . Câu 77. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp . S AEMF . A. 3 6 36 a V = . B. 3 6 9 a V = . C. 3 6 6 a V = . D. 3 6 18 a V = . Q P N M A B C D S https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn D Trong mặt phẳng ( ) : SBD EF SO I ∩= . Suy ra ,, AM I thẳng hàng. Trong tam giác SAC hai trung tuyến , AM SO cắt nhau tại I suy ra 2 3 SI SO = . Lại có 2 // 3 SE SF SI EF BD SB SD SO ⇒= = = . Ta có: . 1 3 S AEM SABC V SE SM V SB SC = ⋅= . . 1 3 S AFM SADC V SF SM V SD SC = ⋅= . Vậy .. . . . . 11 33 S AEM S AFM S AEMF S ABC S ADC S ABCD V V V VV V + =⇒= + . Góc giữa cạnh bên và đáy của . S ABCD bằng góc  60 SBO = ° suy ra 6 3 2 a SO BO = = . Thể tích hình chóp . S ABCD bằng 3 . 16 . 36 S ABCD ABCD a V SO S = = . Vậy 3 . 6 18 S AEMF a V = . Câu 78. Cho hình chóp đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60°. Kí hiệu 1 V , 2 V lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 32 9 V V = . B. 1 2 32 27 V V = . C. 1 2 1 2 V V = . D. 1 2 9 8 V V = . Hướng dẫn giải Chọn A F E I M O C A D B S https://toanmath.com/ Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Suy ra ( ) SO ABCD ⊥ . Và góc giữa cạnh bên SA với mặt đáy ( ) ABCD là góc  SAO . Theo giả thuyết  60 SAO = ° , nên tam giác SAC đều, suy ra 2 SA a = và 6 2 a SO = . Gọi M là trung điểm SA . Trong ( ) SAC , đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại I . Khi đó, IS IA IB IC ID = = = = nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . Tam giác SAO có .. SI SO SM SA = 2 6 23 SA a SI R SO ⇒= = = . Ta lại có, khối nón ngoại tiếp hình chóp có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD nên có bán kính đáy 2 2 a r = và chiều cao 6 2 a h SO = = . Suy ra 3 1 2 2 46 . 33 32 9 12 6 . 32 2 a V V aa π π       = =    . Câu 79. Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA . Mặt phẳng MBC chia hình chóp thành 2 phần. Tỉ số thể tích của phần trên và phần dưới là A. 3 5 . B. 1 4 . C. 3 8 . D. 5 8 . Hướng dẫn giải Chọn A Kẻ ( ) // , MN AD N SD ∈ . Mặt phẳng ( ) MBC cắt hình chóp . S ABCD theo thiết diện là hình thang MNCB . Gọi V là thể tích khối chóp . S ABCD . . .. . 1 1 1 2 2 4 S MBC S MBC S ABC S ABC V SM V V V V SA ==⇒= = . . .. . 11 1 1 .. 22 4 8 S MNC S MNC S ADC S ADC V SM SN V V V V SA SD = =⇒ = = . . .. 35 88 S MNCB S MBC S MNC MNDCBA V V V VV V = +=⇒ = . Vậy tỉ số thể tích của phần trên với phần dưới là 3 5 . I M O S D C B A https://toanmath.com/ . Câu 80. Cho hình chóp . S ABC có , AB ′′ lần lượt là trung điểm các cạnh , SA SB . Khi đó tỉ số . . S ABC S A B C V V ′′ bằng A. 2 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có . . .. 4 S ABC S A B C V SA SB SC V SC SA SB ′′ ′ = = ′′ . Câu 81. Cho tứ diện ABCD có các cạnh , AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau; 3 AB a = , 2 AC a = và 2 AD a = . Gọi , HK lần lượt là hình chiếu của A trên , DB DC . Tính thể tích V của tứ diện AHKD . A. 3 23 7 Va  . B. 3 43 21 Va  . C. 3 23 21 Va  . D. 3 43 7 Va  . Hướng dẫn giải Chọn B . Ta có: 2 . 2 22 . 1 .D 1 .. . . 22 = = = + D AHK D ABC V SA SK DH DH B AD V SA SC DB DB AD AB . 2 22 14 2 . 24 3 7 = = + a aa . 3 . 1 1 1 2 3 . 2. 2. 3 3 32 3 = = = D ABC ABC a V DA S a a a . Suy ra 3 . 43 21 = = AHKD D AHK a VV . M N D C B A S 2a 2a K D A C B H https://toanmath.com/ Câu 82. Cho hình chóp . S ABC có A  , B  lần lượt là trung điểm của các cạnh , . SA SB Tính tỉ số thể tích '' . SABC SA B C V V A. 4 . B. 1 2 . C. 2 . D. 1 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có '' .. . 4. '. '. '. ' SABC SA B C V SA SB SC SA SB V SA SB SC SA SB = = = . Câu 83.Cho tứ diện . ABCD Gọi ', ' B C lần lượt là trung điểm của ,. AB AC Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện '' AB C D và khối tứ diện ABCD bằng: A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 6 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có '' AB C D ABCD V V = '' . AB AC AB AC 11 1 . 22 4 = = . Câu 84.Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ( ) ABCD , góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBD và ( ) ABCD bằng 60° . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Tính thể tích khối chóp . S ADMN . A. 3 6 16 a V = . B. 3 6 24 a V = . C. 3 36 16 a V = . D. 3 6 8 a V = . Hướng dẫn giải Chọn A B' C' B D C A https://toanmath.com/ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó ta có  SOA là góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBD và ( ) ABCD nên  60 SOA = ° . Khi đó tan 60 SA AO ° = 2 .tan 60 . 3 2 SA AO a ⇒ = ° = 6 2 a = . Ta có . . 1 . . 4 S AMN S ABC V SA SM SN V SA SB SC = = và . . 1 .. 2 S AND S ACD V SA SN SD V SA SC SD = = . Do đó .. 1 11 . 2 42 S ADMN S ABCD VV  = +   . 3 . 8 S ABCD V = 3 2 31 6 6 .. . 8 3 2 16 aa a = = . Câu 85. Cho hình chóp . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , , . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp và là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Mạt khác: O N M A D B C S . S ABCD A ′ B ′ C ′ D ′ SA SB SC SD . S ABC D ′′ ′ ′ . S ABCD 1 2 1 4 1 8 1 16 C' D' B' A' A D B C S . .. ; S ABCD S ABD S CBD V VV = + . . . . S A B C D S A B D S C B D V VV ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ = + . . 111 1 ; 222 8 S A B D S ABD V SA SB SD V SA SB SD ′′ ′ ′′ ′ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ = https://toanmath.com/ . Vậy, Câu 86. Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác . S ABC sao cho 1 2 SM MA = , 2. SN NB = Mặt phẳng ( ) α qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi 1 V là thể tích của khối đa diện chứa A , 2 V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 2 ? V V A. 1 2 5 . 4 V V = B. 1 2 5 . 6 V V = C. 1 2 6 . 5 V V = D. 1 2 4 . 5 V V = Hướng dẫn giải Chọn A - Trong mặt phẳng ( ) SAC dựng MP song song với SC cắt AC tại P . Trong mặt phẳng ( ) SBC dựng NQ song song với SC cắt BC tại . Q Gọi D là giao điểm của MN và PQ . Dựng ME song song với AB cắt SB tại E (như hình vẽ). - Ta thấy: 1 3 SE SM SB SA = = 1 3 SN NE NB SB ⇒ = = = Suy ra N là trung điểm của BE và DM , đồng thời 1 3 DB ME AB = = 11 , . 42 DB DN DA DM ⇒ = = Do 1 // . 2 DQ DN NQ MP DP DM ⇒= = - Nhận thấy: 1. . . D AMP D BNQ VV V = − . . 111 1 . . .. 422 16 D BNQ D AMP V DB DN DQ V DA DM DP = = = .. 1 16 D BNQ D AMP VV ⇒ = 1. . 15 15 . .. 16 16 D AMP M ADP VV V ⇒= = - Do 1 // 3 QB NB NQ SC CB SB ⇒= = ( ) ( ) ; 1 ;3 d N DB QB d C AB CB ⇒== ( ) ( ) 1 ; .; 3 dQ DB dC AB ⇒= . . 111 1 222 8 S C B D S CBD V SC SB SD V SC SB SD ′′ ′ ′′ ′ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ = . . 1 . 8 S A B C D S ABCD V V ′′ ′ ′ = https://toanmath.com/ ( ) 1 .; . 2 QDB S d Q DB DB ⇒= ( ) 11 1 1 .. ; . 23 3 9 CAB d C AB AB S = = 8 . 9 ADP ABC SS ⇒ = Và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; ; 3 d M ADP d S ABC = ( ) ( ) . 1 .; . 3 M ADP ADP V d M ADP S ⇒= ( ) ( ) . 1 2 8 16 .; . . 3 3 9 27 ABC S ABC d S ABC S V = = 1 .. 15 16 5 . . . 16 27 9 S ABC S ABC V V V ⇒= = 2. 1 . 4 . 9 S ABC S ABC V V V V ⇒ = −= . Vậy 1 2 5 . 4 V V = Câu 87.Cho hình chóp , S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có thể tích bằng 8. Tính thể tích V của khối chóp . S OCD . A. 4 V = . B. 5 V = . C. 2 V = . D. 3 V = . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1. Gọi h là chiều cao của khối chóp . S ABCD Ta có 11 8 . .4 . 4 2 33 SABCD ABCD OCD SOCD SOCD V S h S h V V = = = = ⇒= . Cách 2. Ta có hai hình chóp có cùng chiều cao mà 4 ABCD OCD SS = 8 2 4 SOCD V ⇒== Câu 88. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm tam giác BCD. Tính thể tích V của khối chóp . AGBC . A. 6 = V . B. 5 = V . C. 3 = V . D. 4 = V . Hướng dẫn giải Chọn D O C A D B S https://toanmath.com/  Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD và khối chóp . AGBC có cùng đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) BCD. Do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có ∆∆ ∆ = = BGC BGD CGD S S S 3 ∆∆ ⇒ = BCD BGC SS (xem phần chứng minh). Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có: . . 1 1 . . 3 3 3 1 1 . . 3 3 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆  =   ⇒ = = =   =   ABCD BCD BCD ABCD BCD A GBC GBC GBC A GBC GBC V hS hS VS V S hS V hS . 11 .12 4 33 ⇒= = = A GBC ABCD V V . Chứng minh: Đặt ; = = DN h BC a . Từ hình vẽ có: +) 11 // 22 2 ⇒ = =⇒= ⇒= MF CM h MF ND MF DN MF DN CD . +) 2 22 // . 3 3 32 3 ⇒ = =⇒= = = GE BG h h GE MF GE MF MF BM +) 11 . 22 33 11 . 2 23 ∆ ∆∆ ∆ = ==⇒ = BCD BCD GBC GBC DN BC ha S SS h S GE BC a +) Chứng minh tương tự có 33 ∆∆ ∆ = = BCD GBD GCD SS S ∆∆ ∆ ⇒= =  BGC BGD CGD S S S .  Cách 2: G I D B C A H 1 H E B C D M N F A B C D https://toanmath.com/  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 11 ;; 33 ; = = ⇒= d G ABC GI d G ABC d D ABC DI d D ABC . Nên ( ) ( ) . 11 ; . . 4. 33 ∆ = = = G ABC ABC DABC V d G ABC S V Câu 89. Cho hình chóp . S ABC có 3 . 6 S ABC Va = . Gọi M , N , Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA , SB , SC sao cho SM MA = , SN NB = , 2 SQ QC = . Tính . S MNQ V : A. 3 2 a . B. 3 a . C. 2 3 a . D. 3 3a . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có . . .. S MNQ S ABC V SM SN SQ V SA SB SC = 11 2 .. 223 = 1 6 = .. 1 6 S MNQ S ABC VV ⇒= 3 1 .6 6 a = 3 a = . Câu 90. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi 1 G , 2 G , 3 G , 4 G là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Thể tích khối tứ diện 1 234 GG G G là: A. 27 V . B. 18 V . C. 4 V . D. 12 V . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi ,, I JK lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC . Gọi h là khoảng cách từ A đến ( ) BCD , 1 h là khoảng cách từ 4 G đến ( ) 12 3 GG G . Vì ( ) ( ) 12 3 // G G G BCD nên ( ) ( ) ( ) ( ) 4 12 3 1 1 2 , , dG G G G dG BCD G H h ′ = = = , 1 h AH = . 11 1 3 h KG h KA ⇒= = 1 3 h h ⇒ = . Gọi S , S ′ , 1 S lần lượt là diện tích các tam giác BCD , IJK và 12 3 GG G . Vì ,, I JK lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC nên: Q N M A C B S H 2 H 1 G 3 G 2 G 1 G 4 K J I B C D A https://toanmath.com/ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 1 . , . . , .. . , 2 222 4 2 4 BC S JK d I JK d D BC BC d D BC S ′ = = = = ( ) 1 . Tam giác 12 3 GG G đồng dạng với tam giác KIJ với tỉ số đồng dạng là: 12 1 2 3 G G AG Ik Ak = = . 2 1 24 39 S S   ⇒ = =   ′   1 4 9 SS ′ ⇒= ( ) 2 (Vì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng). Từ ( ) 1 và ( ) 2 1 9 S S ⇒= . Thể tích khối từ diện 1 234 GG G G là: 1 11 1 1 11 . . . . .. 3 3 9 3 27 3 27 Sh V V S h Sh  = = = =   . Câu 91. Cho hình chóp . S ABCD . Gọi A ′, B ′, C ′ , D ′ theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ và . S ABCD . A. 1 2 B. 1 16 C. 1 4 D. 1 8 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có . . 1 .. 8 S ABD S ABD V SA SB SD V SA SB SD ′′ ′ ′′ ′ = = . . 1 16 S A B D S ABCD V V ′′ ′ ⇒= . Và . . 1 .. 8 S B DC S BDC V SB SD SC V SB SD SC ′ ′′ ′ ′′ = = . . 1 16 S B DC S ABCD V V ′ ′′ ⇒= . Suy ra .. .. 1 11 16 1 68 S A B D S B DC S ABCD S ABCD V V VV ′ ′′ ′′ ′ + = += . . 1 8 S A B C D S ABCD V V ′′ ′ ′ ⇒= . Câu 92. Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tính tỉ số thể tích MIJK MNPQ V V . A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 8 . D. 1 4 . Hướng dẫn giải Chọn C D' C' B' A' D C B A S https://toanmath.com/ Do I ; J ; K lần lượt nằm trên ba cạnh MN ; MP ; MQ nên theo công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác ta có .. MIJK MNPQ V MI MJ MK V MN MP MQ = 111 1 .. 222 8 = = Câu 93. Cho hình chóp . S ABC có SA a = ; 3 2 SB a = ; 2 3 SC a = ,    60 ASB BSC CSA = = = ° . Trên các cạnh SB ; SC lấy các điểm B ′ , C ′ sao cho '' SA SB SC a = = = . Thể tích khối chóp . S ABC là: A. 3 23 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 a . D. 3 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn C Trên các cạnh SB; SC lấy các điểm ', ' B C sao cho '' SA SB SC a = = = suy ra . '' S AB C là hình chóp đều có các mặt bên là tam giác đều suy ra ' ' ' '' AB B C C A = = . Ta có: 2 22 36 ; 43 3 ABC aa a S AH SH SA AH = = ⇒= − = . Khi đó 3 . '' 2 12 S AB C a V = . Lại có . '' . 1 .. '' 66 S AB C S ABC V SA SB SC V SA SB SC = = Do đó 3 . 3 S ABC Va = . Câu 94. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ) ABCD và SA a = . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho ,0 1 SM k k SA = << . Khi đó giá trị của k để mặt phẳng ( ) BMC chia khối chóp . S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là A. 15 4 k −+ = . B. 12 2 k −+ = . C. 15 2 k −+ = . D. 15 4 k + = . Hướng dẫn giải Chọn C Giả sử ( ) MBC cắt SD tại N . Khi đó // // MN BC AD suy ra ( ) 0 SM SN kk SA SD = = > https://toanmath.com/ Ta có 2 .. .. , . S MBC S MNC S ABC S ADC VV SM SM SN k k V SA V SA SD = = = = .Do đó: 2 .. .. ; 22 S MBC S MNC S ABCD S ABCD VV kk VV = = .Bài toán t/m khi −+ ⇔ + −= ⇒ = 2 15 10 2 kk k Câu 95. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB a = ; SA vuông góc mặt phẳng ( ) ABC , Góc giữa mặt phẳng ( ) SBC và mặt phẳng ( ) ABC bằng 30° . Gọi M là trung điểm của SC , thể tích khối chóp . S ABM là. A. 3 3 6 a . B. 3 3 36 a . C. 3 2 18 a . D. 3 3 18 a . Hướng dẫn giải Chọn B ( ) ( )   3 0 0 33 ; 30 30 3 18 SABC SBC AB aa SBA V C SA = ⇒ = ⇒= ⇒ =   . 3 13 2 36 SABM SABM SABC V a V V =⇒= . Câu 96. Cho tứ diện ABCD . Gọi , MN lần lượt là trung điểm của AB và AC . Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AMND và khối tứ diện ABCD bằng A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 6 . D. 1 4 . Hướng dẫn giải Chọn B . Ta có 1 .. 4 AMND ABCD V AM AN AD V AB AC AD = = . Câu 97. Cho hình chóp tam giác . S ABC có thể tích bằng 8 . Gọi , , M NP lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC CA . Thể tích của khối chóp . S MNP bằng: A. 6 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 kk 1 22 2 += B D C A M N https://toanmath.com/ ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . 1 ., 2 .2 , 2 4 1 ., ., 2 2 4 ∆ ∆ = = = = ⇒= = S ABC ABC S MNP MNP S ABC S MNP BC d A BC MP d N MP VS V S MP d N MP MP d N MP V V Câu 98. Cho khối chóp ., S ABC gọi G là trọng tâm của tam giác . ABC Tỉ số thể tích . . S ABC S AGC V V bằng: A. 3 2 B. 3 C. 1 3 D. 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) ( ) . . ; 3 ; S ABC ABC S AGC AGC d B AC V S BO BL V S d G AC GN GL ∆ ∆ = = = = = . Câu 99. Cho hình chóp tam giác . S ABC có   60 ASB CSB = = ° ,  90 ASC = ° , 1 SA SB = = , 3 SC = . Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho 1 3 SM SC = . Tính thể tích V của khối chóp . S ABM . A. 2 12 V = . B. 3 36 V = . C. 6 36 V = . D. 2 4 V = . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Áp dụng công thức 22 2 . 1 . 1 cos cos cos 2cos cos cos 6 S ABC V abc α β ϕ α β ϕ = − − −+ . Ta có: 22 . 1 11 2 .1.1.3 1 0 6 22 4 S ABC V     = −−−=         . . . . 1 12 2 . 3 3 4 12 S ABM S ABM S ABC V SM V V SC ==⇒==. Cách 2: L G K J A C B S H N O https://toanmath.com/ . Gọi A ′, C ′ lần lượt là các điểm trên SA và SC sao cho 2 SA SC ′′ = = . Khi đó   90 SBA SBC ′′ = = ° hay ( ) SB A BC ′′ ⊥ . Tam giác A BC ′′cân tại B , gọi H là hình chiếu của B trên AC ′′ ta có: 22 AC ′′ = , 1 BH = . . 1 1 11 2 . . . . .1. .1.2 2 3 2 32 3 S A BC V SB BH AC ′′ = = = . . . . 13 3 3 2 2 .. . 22 4 4 3 4 S ABC S ABC S A BC V SA SC V V SA SC ′′ = ==⇒== ′′ . . . . 1 12 2 . 3 3 4 12 S ABM S ABM S ABC V SM V V SC ==⇒==. Câu 100. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A ′ trên cạnh SA sao cho SA A S 3 1 = ′ . Mặt phẳng qua A ′ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh ,, SB SC SD lần lượt tại ,, B C D ′′ ′ . Khi đó thể tích khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ bằng: A. 27 V . B. 9 V . C. 3 V . D. 81 V . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi thể tích . S ABCD V = h h a a . . 2 1 . 3 1 . Với đáy S = a h a. 2 1 h là chiều cao hính chóp . S ABCD . . S A B C D V ′′ ′ ′ = h h a a ′ ′ . 2 1 . 3 1 ' mà: h h 3 1 = ′ , a a 3 1 = ′ , a a h h 3 1 = ′ . Nên . S A B C D V ′′ ′ ′ = 27 V S.ABCD . Câu 101. Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình bình hành có M là trung điểm . SC Mặt phẳng ( ) P qua AM và song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P và . Q Khi đó SAPMQ SABCD V V bằng A. 2 . 9 B. 2 . 3 C. 1 . 2 D. 4 . 9 Chọn C 2 2 3 3 2 2 1 60 0 60 0 A S C B A' C' H https://toanmath.com/ Trong ( ) ABCD gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong ( ) SAC gọi I là giao điểm của SO và AM . Trong ( ) SBD từ I vẽ đường thẳng song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại P , Q , suy ra mp ( ) P là mp ( ) APMQ . + Ta thấy I là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và SO của tam giác SAC ⇒ I là trọng tâm tam giác SAC , Suy ra: 2 3 SI SP SQ SO SB SD = = = (định lý ta lét vì // PQ BD ) Ta có: . . 21 1 . . . 32 3 SAPM SABC V SA SP SM V SA SB SC = = = ⇒ 1 3 SAPM SABC VV = . . 21 1 . . . 32 3 SAQM SADC V SA SQ SM V SA SD SC = = = ⇒ 1 3 SAQM SADC VV = SAPMQ SABCD V V ⇒ SAPM SAQM SABCD VV V + = ( ) 1 3 SABC SADC SABCD V V V + = 1 3 SABCD SABCD V V = 1 3 = Câu 102. Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh , , SA SB SC lần lượt lấy ba điểm , , A B C ′′ ′ sao cho 1 3 SA SA ′ = , 1 3 SB SB ′ = , 1 3 SC SC ′ = . Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S ABC ′′ ′. Khi đó tỉ số V V ′ là A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 9 . D. 1 27 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 111 1 . . .. 333 27 V SA SB SC V SA SB SC      . Câu 103. Cho hình chóp . S ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho 3 SN NC = . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp SABC . A. 2 5 k = . B. 1 3 k = . C. 3 8 k = . D. 3 4 k = . Hướng dẫn giải Chọn C I O Q P M D C B S A https://toanmath.com/ Ta có ABMN SABC SBMN ABCN V VV V = − − . Mà 13 3 .. . 24 8 SBMN SABC SABC V VV = = ; 1 . 4 ABMN SABC VV = . Suy ra 31 3 84 8 ABMN SABC SABC SABC SABC VV V V V = −− = . Câu 104.Cho khối chóp . S ABC có thể tích bằng 6 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB . Tính thể tích V của khối chóp . S MNP . A. 3 V = . B. 3 2 V = . C. 9 2 V = . D. 4 V = . Hướng dẫn giải Chọn B 1 4 MNP ABC SS ∆∆ = . Do đó .. 1 13 .6 4 42 S MNP S ABC VV = = = . Câu 105. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ( ) ACD , ( ) ABD , ( ) ABC tại N , P , Q . Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là: A. 8 V . B. 54 V . C. 27 V . D. 16 V . Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/  Tam giác ABN ′ có // MN AB MN N M AB N B ′ ⇒= ′ .  Tam giác ACP ′ có // MP AC MP P M AC P C ′ = ′ .  Tam giác ADQ ′ có // QM AD MQ Q M AD Q D ′ ⇒ = ′ . Khi đó: MN MP MQ N M P M Q M AB AC AD N B P C Q D ′′ ′ ++ = + + ′′ ′ Mà 1 MCD MBC MBD BCD BCD BCD SS S N M P M QM N B P C QD S S S ′′ ′ ++ = + + = ′′ ′ nên 1 MN MP MQ AB AC AD ++ = Lại có 3 3 3 3 1 3 .. MN MP MQ MN MP MQ AB AC AD AB AC AD    = ++ ≥         (Cauchy) 1 . . .. 27 MN MP MQ AB AC AD ⇔≤ .. MN MP MQ ⇒ lớn nhất khi MN MP MQ AB AC AD = = M ⇒ là trọng tâm tam giác BCD 1 3 MN MP MQ AB AC AD ⇒= = = ( ) ( ) // NPQ BCD ⇒ , 2 2 3 NPQ N P Q S S ′′ ′  =   , Mà 1 4 N P Q BCD SS ′′ ′ = nên 1 9 NPQ BCD SS = và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ,, 2 d M NPQ d A BCD = Vậy giá trị lớn nhất của khối tứ diện MNPQ là ( ) ( ) 1 ., 3 MNPQ NPQ V S d M NPQ = ( ) ( ) 11 1 . ., 3 9 3 27 MNPQ BCD V V S d A BCD ⇔= = , với ( ) ( ) 1 ., 3 ABCD BCD V S d A BCD V = = Câu 106. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB . Tỉ số thể tích . . S CDMN S CDAB V V là A. 3 8 . B. 1 2 . C. 5 8 . D. 1 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có . . 1 1 .. 4 4 = =⇒ = SCMN SCMN SCAB SCAB V SC SM SN VV V SC SA SB . . 1 8 = SCMN S ABCD VV . . . 1 1 .. 2 2 = =⇒= SCMD SCMD SCAD SCAD V SC SM SD VV V SC SA SD . A B C D N N ′ Q ′ M Q P P ′ https://toanmath.com/ . 1 4 ⇒= SCMD S ABCD VV . . 3 8 = SCDMN S ABCD VV . . Câu 107. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SD . Mặt phẳng ( ) α chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt SQ x SB = , 1 V là thể tích của khối chóp . S MNQP , V là thể tích của khối chóp . S ABCD . Tìm x để 1 1 2 VV = . A. 1 2 x = . B. 1 41 4 x −+ = . C. 1 33 4 x −+ = . D. 2 x = . Hướng dẫn giải Chọn C Do ( ) ( ) // MN BC SBC PQ α    ∩=   // PQ BC ⇒ . . . 1 S MNQ S NPQ VV V V VV += ⇔ .. .. 1 22 2 S MNQ S NPQ S ABD S BCS VV VV += .. .. 1 SM SN SQ SP SN SQ SA SD SB SC SD SB ⇔ += 2 1 42 x x ⇔+ = 2 2 40 xx ⇔ +− = 1 33 4 x −+ ⇔= (vì 0 x > ). Câu 108. Cho hình chóp SABC . Gọi ; MN lần lượt là trung điểm ; SB SC . Khi đó V SABC V SAMN là bao nhiêu? A. 1 4 . B. 1 8 . C. 1 16 . D. 4 . N M O C A D B S P Q https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn D . . .4 S ABC S AMN V SB SC V SM SN = = . Câu 109. Cho khối chóp . S ABC có M SA ∈ , N SB ∈ sao cho 2 MA MS = −     , 2 NS NB = −     . Mặt phẳng ( ) α qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ). A. 3 5 . B. 4 9 . C. 3 4 . D. 4 5 . 1 7 THướng dẫn giải 1 7 TChọn D Cách 1: Ta có mặt phẳng ( ) α cắt các mặt ( ) SAC theo giao tuyến MQ SC  và cắt mặt ( ) SBC theo giao tuyến NP SC  . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) α với hình chóp là hình thang MNPQ . Do .. MNABPQ N ABPQ N AMQ V VV = + , gọi . S ABC VV = và ABC SS ∆ = ta có: ( ) ( ) . 1 ., . 3 N ABPQ ABPQ V d N ABC S = ( ) ( ) 11 1 2 7 ., . 3 3 3 3 27 d S ABC S S V  = −=   . ( ) ( ) . 1 ., . 3 N AMQ AMQ V d N SAC S ∆ = ( ) ( ) 12 4 8 ., . 3 3 9 27 ASC d B SAC S V ∆ = = . Vậy .. 5 9 MNABPQ N ABPQ N AMQ V VV V = += 4 9 SMNPQC VV ⇒ = . Suy ra 4 5 SMNPQC MNABPQ V V = . Cách 2: P Q N M A B C S https://toanmath.com/ Gọi I MN AB = ∩ ,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB , ta có 1 1 4 MS IA NB IB MA IB NS IA ⋅⋅ =⇒ = . Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác AMI ∆ , ta có: 1 BI SA NM BA SM NI ⋅⋅ = 1 NM NI ⇔= . Tương tự ta có: 1 PI PQ = . Vì 2 // 3 AM AQ MQ SC AS AC ⇒= = . Khi đó: . . 111 1 422 16 I BNP I AMQ V IB IN IP V IA IM IQ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ = .. 15 . 16 AMQ NBP I AMQ VV ⇒ = . Mà ( ) ( ) ( ) ( ) . . ; ; M AIQ AIQ S ABC ABC d M ABC VS VS d S ABC = ⋅ với ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2 3 ; d M ABC MA SA d S ABC = = và 42 8 33 9 AIQ ABC S AI AQ S AB AC = ⋅ = ⋅= . Suy ra . .. 15 2 8 5 16 3 9 9 AMQ NBP S ABC S ABC V VV = ⋅ ⋅⋅ = . Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: 5 1 4 9 5 5 9 − = . Câu 110. Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA SB SC a = = = . Gọi B ′, C ′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB , AC . Tính thể tích hình chóp . S AB C ′′ . A. 3 24 a V = . B. 3 48 a V = . C. 3 6 a V = . D. 3 12 a V = . Hướng dẫn giải Chọn A . Ta có SAC ∆ vuông cân tại S , SC ′ là đường cao SC ′ ⇒ cũng là trung tuyến 1 . 2 AC AC ′ ⇒ = . I P Q N M A B C S C' B' C B A S https://toanmath.com/ Tương tự 1 . 2 AB AB ′ = 33 . '' . 11 1 .. . . 2 2 4 6 24 S AB C S ABC aa VV ⇒ = = = Câu 111. Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a , M là trung điểm DC . Thể tích V của khối chóp . M ABC bằng bao nhiêu? A. 3 3 24 a V = . B. 3 2 a V = . C. 3 2 12 a V = . D. 3 2 24 a V = . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H là trung điểm BD , ABCD là trọng tâm ABD ∆ . Ta có 3 23 2 33 aa AH AG AH = ⇒= = . Trong ACG ∆ có 22 6 3 a CG AC AG = −= . Do đó 3 1 1 1 2 . . . .sin 60 3 3 2 12 CABD ABD a V CG S CG AB AD = = ° = . Mà 3 1 12 2 2 24 CABM CABM CABD CABD V CM a VV V CD ==⇒= = . Câu 112. Cho khối chóp tam giác có thể tích bằng 6. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Thể tích của khối chóp là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B . S ABC , , M NP , , . BC CA AB V . S MNP 3 V = 3 2 V = 4 V = 9 2 V = https://toanmath.com/ . + Gọi là chiều cao của hình chóp và . . . Mà . Suy ra . Câu 113. Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh , , SA SB SC lần lượt lấy ba điểm , , ′′ ′ AB C sao cho 1 3 ′ = SA SA, 1 3 ′ = SB SB , 1 3 ′ = SC SC . Gọi V và ′ V lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . ′′ ′ S A B C . Khi đó tỉ số ′ V V là A. 1 9 . B. 1 6 . C. 1 3 . D. 1 27 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 111 1 . . .. 333 27 ′ ′′ ′ = = = V SA SB SC V SA SB SC Câu 114. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho 2 SE EC = . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . A. 2 3 V = . B. 1 3 V = . C. 1 12 V = . D. 1 6 V = . Hướng dẫn giải Chọn B P N M S C B A h . S ABC . S MNP . 1 . . 3 S ABC ABC V hS  . 1 . . 3 S MNP MNP V hS  1 . 4 MNP ABC S S  . . 6 63 4 4 2 S MNP S MNP V V    https://toanmath.com/ . Ta có 1 1 2 2 SBCD SABCD VV = = . .. 2 .. 3 SEBD SCBD V SE SB SD V SC SB SD = = . Do đó 1 3 SEBD V = . Câu 115. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là . V Điểm P là trung điểm của , SC một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và . N Gọi 1 V là thể tích của khối chóp .. S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V ? A. 3 8 . B. 1 3 . C. 1 8 . D. 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn B . Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . G là trọng tâm tam giác SAC . Ta có ,, M GN thẳng hàng. Do ABCD là hình bình hành nên .. . 1 2 S ADC S ABC S ABCD VV V = = . Theo công thức tỉ số thể tích ta có: . .. .. . 11 . 1 24 2 S AMP S AMP S AMP S ADC S ABCD S ABCD V V V SM SP SM SM V SD SC SD V SD V = ⇔ = ⇔= . Tương tự . .. .. . 11 . 1 24 2 S ANP S ANP S ANP S ABC S ABCD S ABCD V V V SN SP SN SN V SB SC SB V SB V = ⇔ = ⇔= . Từ đó suy ra . . . .. . 11 44 S AMP S ANP S AMNP S ABCD S ABCD S ABCD VV V SM SN SM SN V V SD SB V SD SB     + = +⇒ = +         . Hay 1 1 4 V SM SN V SD SB   = +     . E A D B C S https://toanmath.com/ Ta chứng minh 3 SD SB SM SN += . Thậy vậy, qua , BD kẻ các đường song song với MN cắt SO lần lượt tại , E F . . Ta có: ; SD SF SB SE SD SB SE SF SM SG SN SG SM SN SG + = =⇒ += . 23 2. 3 2 SD SB SO SM SN SG ⇒ += = = . Đặt ; SD SB xy SM SN = = . Ta có 3 xy += . Mặt khác ( ) 1 2 1 11 1 3 3 1 4 4 44 3 V SM SN x y V SD SB x y xy xy xy  +   = + = += = ≥ =      +  . Vậy 1 V V nhỏ nhất bằng 1 3 . Câu 116. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng ( ) MNI chia khối chóp . S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7 13 lần phần còn lại. Tính tỉ số = IA k IS ? A. 2 3 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 3 4 . Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ Dễ thấy thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) MNI với hình chóp là hình ngũ giác IMNJH với // MN JI . Ta có MN , AD , IH đồng qui tại E với 1 3 = EA ED và MN , CD , HJ đồng qui tại F với 1 3 = FC FD , chú ý E , F cố định. Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có . . 1 = HS ED IA HD EA SI 1 .3. 1 3 ⇔ =⇔= HS HS k HD HD k . Từ đó ( ) ( ) ( ) ( ) , 3 31 , = = + d H ABCD HD k SD k d S ABCD . Suy ra .. . = −− HJIAMNCD H DFE I AEM J NFC V V VV . Đặt . = S ABCD VV và = ABCD SS , ( ) ( ) , = h d S ABCD ta có 1 8 = = AEM NFC SS S và ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 , = = + d I ABCD IA k SA k d S ABCD Thay vào ta được 13 9 1 1 . . 2. . . 33 1 8 3 1 8  = −  ++  HJIAMNCD k k V h S hS k k . Theo giả thiết ta có 13 20 = HJIAMNCD V V nên ta có phương trình ( ) ( ) 2 1 21 25 13 . 8 3 1 1 20 + = ++ k k kk , giải phương trình này được 2 3 = k . Câu 117. Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng A. 27 V . B. 9 V . C. 4 27 V . D. 4 9 V . Hướng dẫn giải Chọn B F E H Q P O N M B J D A S C I F E N M B A D C ( ) ( ) 2 1 21 25 . 8 3 1 1 kk V kk + = + + https://toanmath.com/ Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD , BD . Ta có 8 8 2 9 99 AMNP AMNP AEFI AEFI V V VV V =⇒== . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 ,. ,. ,. 33 26 2 9 MNPQ MNP MNP MNP AMNP V V d Q MNP S d A MNP S d Q MNP S V = = = = = . Câu 118. Cho tứ diện ABCD có 3 AB a = , 2 AC a = và 4. AD a = Tính theo a thể tích V của khối tứ diện ABCD biết    60 . BAC CAD DAB = = = ° A. 3 2 3 Va = . B. 3 62 Va = . C. 3 6 3 V a = . D. 3 22 V a = . Hướng dẫn giải Chọn D . Trên cạnh AB lấy điểm B ′; trên cạnh AB lấy điểm D ′ sao cho 2. AB AD AC a ′′ = = = Gọi 1 V là thể tích tứ diện . ; A B CD ′′ 2 V là thể tích tứ diện .. A BCD Khi đó các tam giác ; ; AB C ACD AB D ′ ′ ′′ đều cạnh bằng 2a suy ra tam giác B CD ′′ đều, cạnh bằng 2a . Tứ diện AB CD ′′ đều cạnh bằng 2a nên có thể tích. 1 1 . 3 B CD V S AH ′′ ∆ = ( ) 2 2 11 3 2 3 2.2. . 2 .2. 32 2 3 2 aa a a        = −                3 . 22 . 3 a = Áp dụng tỷ lệ thể tích ta có 2 1 21 1 .. 32 3 V AB AD V AB AD ′′ = = = 3 21 3 22 . V V a ⇒= = Câu 119. Cho khối chóp . S ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho 2. SE EC = Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . A. 1 3 V = . B. 1 6 V = . C. 1 12 V = . D. 2 3 V = . Hướng dẫn giải Chọn A 2a 2a 2a a 2a A C B D B' D' M H https://toanmath.com/ Ta có . . .. .. S EBD S CBD V SE SB SD V SC SB SD = SE SC = .. 2 3 S EBD S CBD VV ⇒= . 21 .. 32 S ABCD V = . 11 33 S ABCD V = = . -----------------------------------------------. Câu 120. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi A ′ là điểm trên cạnh SA sao cho 3 4 SA SA ′ = . Mặt phẳng ( ) P đi qua A ′ và song song với ( ) ABCD cắt SB , SC , SD lần lượt tại B ′ , C ′ , D ′ . Mặt phẳng ( ) P chia khối chóp thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó là: A. 37 98 . B. 27 37 . C. 4 19 . D. 27 87 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 2 .' ' ' . ' ' ' 3 27 .. 4 64 S A BC S ABC V SA SB SC V SA SB SC   = = =     Do đó .' ' ' .' ' ' 27 37 S A BC ABC A B C V V = ; tương tự . '' ' . '' ' 27 37 SD B C DBC D B C V V = Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra: . '' ' . '' ' . '' ' . '' ' . '' ' . '' ' . '' ' . '' ' 27 37 S A BC S D BC S A BC S D BC ABC A B C DBC D B C ABC A B C DBC D B C V V VV V V VV + = = = + . Câu 121. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, có thể tích bằng V . Gọi I là trọng tâm tam giác D SB . Một mặt phẳng chứa AI và song song với BD cắt các cạnh ,, SB SC SD lần lượt tại ,, ′′ ′ BC D . Khi đó thể tích khối chóp . ′ ′′ S AB C D bằng: https://toanmath.com/ A. 9 V . B. 27 V . C. 3 V . D. 18 V . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 2 3 ′′ = = = SB SD SI SB SD SO . Mà ' ' 1 '1 . . 1 .2. 1 ' '2 2 SC CA OI SC SC CC AO IS CC SC =⇒ =⇒= . . . . . . 4 9 1 41 2 3 . 92 9 ′′ ′ ′′ ′ ′′  =   ⇒ ⇒=   = =   S AB D S ABD S AB C D S BC D S BCD V V VV V V . Câu 122. Cho hình lập phương . ABCD A B C D ′′ ′ ′ cạnh . a Gọi , MN lần lượt là trung điểm của các cạnh A B và BC ′′ . Mặt phẳng ( ) DMN chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi 1 V là thể tích của phần chứa đỉnh 2 , A V là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 55 89 . B. 37 48 . C. 1 2 . D. 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H AB DN = ∩ ; MH cắt ' BB tại K , cắt ' AA tại S ; SD cắt '' AD tại E . Thiết diện tương ứng là ngũ giác DNKME . Phần đa diện chứa A có thể tích là: 1 . .' . S ADH S A EM K BNH V V V V = −− . 1 2 3 3 . 4 V k V   E K N M A' A N M A' A D C B B' C' D' D' C' B' B C D S H https://toanmath.com/ Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA BH = ; 4' AH A M = ; 4' AD A E = và 1 '' ' 3 SA BK AA = = . Đặt độ dài cạnh hình lập phương bằng 1thì: 12 '; 33 SA KB = = . Ta có: . 1 11 4 . . 1 .1.2 6 63 9 S ADH V SA AD AH   = =+=     . .' . 11 64 144 S A EM S ADH VV = = ; .. 11 8 18 K BNH S ADH V V = = Vậy thì phần đa diện chứa A có thể tích là: 4 1 1 55 9 144 18 144 − − = . Suy ra phần đa diện không chứa A có thể tích là: 3 55 89 1 144 144 −=. Câu 123. Cho tứ diện ABCD có , , M NP lần lượt thuộc các cạnh ,, AB BC CD sao cho , 2, 2 MA MB NB NC PC PD = = = . Mặt phẳng ( ) MNP chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng? A. 19 26 B. 26 45 C. 13 25 D. 25 43 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt 12 ,, ABCD BDMNPQ ACMNPQ VV V V V V = = = ( ) 1 . . . 1 4 MA NB PC QD QD Q MNP AD MB NC PD QA QA = ∩⇒ =⇒ =. 2 .. . ACMNPQ C MNP C MPQ C AQM V V V V V = = ++ . 12 2 .. 33 9 CMNP CMBD V CN CP V CB CD = = = ; 1 21 1 . 2 9 2 9 9 BCDM CMNP CMNP BCDA ABCD V V BM V V V BA V ==⇒ ==⇒= . 2 21 2 2 1 . 3 3 5 15 15 15 15 CPQ CDQ ACD ACD MCPQ MACD ABCD V S S S SV V V = = = ⇒= = = ; 1 4 2 2 .. 25 5 5 AMCQ AMCQ ABCD V AM AQ V V V AB AD = ==⇒=. Suy ra: 2 21 1 2 26 19 26 9 15 5 45 45 19 V V V V V V VV V = + + = ⇒= ⇒ = . Câu 124. Cho hình chóp . S ABCD . Gọi A ′, B ′, C ′ , D ′ lần lượt là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp . S ABC D ′′ ′ ′ và . S ABCD là: https://toanmath.com/ A. 1 2 . B. 1 8 . C. 1 16 . D. 1 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Xét hình chóp S.ABC. .' ' ' .' ' ' . . ' ' '1 1 .. 88 S A BC S A B C S ABC S ABC V SA SB SC VV V SA SB SC = =⇒= Tương tự: .' ' ' . 1 8 S A C D S ACD VV = .' ' ' ' . 1 8 S A B C D S ABCD VV = . Câu 125. Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đối một vuông góc; SA a = , 2 SB a = , 3 SC a = . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , SAB , SBC , SCA . Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a . A. 3 2 27 a . B. 3 27 a . C. 3 2 9 a . D. 3 9 a . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi E , F , K lần lượt là trung điểm SB , BC , CS . https://toanmath.com/ Ta có: 3 . 1 .. . 6 S ABC V SA SB SC a = = . Gọi h là chiều cao từ đỉnh P của MNPQ thì 1 3 h SA = . Mặt khác do 2 3 MN EF = ; 2 3 MQ FK = 4 41 1 . 9 9 4 9 MNQ EFK SBC SBC S S SS ⇒= = = . 3 . 1 11 1 . . . . 3 3 3 9 27 27 S ABC MNPQ MNQ SBC V a V h S SA S = = = = . Câu 126. Cho tứ diện ABCD cạnh bằng 1. Xét điểm M trên cạnh DC mà 4. DM DC = Thể tích tứ diện ABMD bằng. A. 2 12 V = . B. 3 12 V = . C. 2 8 V = . D. 3 48 V = . Hướng dẫn giải Chọn C ABCD là tứ diện đều, cạnh bằng 1 nên 2 . 12 ABCD V = . Ta có: 1 12 2 . . 4 4 12 48 DABM DABM DABC V DM V V BC ==⇒== . Câu 127. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang với // AD BC và 2 = AD BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. .. 2 = S ABCD S ABC V V . B. .. 4 = S ABCD S ABC V V . C. .. 6 = S ABCD S ABC VV . D. .. 3 = S ABCD S ABC VV . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 1 3 ∆ = ABC ABCD SS .. 1 3 ⇒= S ABC S ABCD VV . Câu 128. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60° . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D ; N là trung điểm của SC , mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp . S ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. A. 7 5 . B. 7 3 . C. 1 5 . D. 1 7 . Hướng dẫn giải Chọn A D M B C A S https://toanmath.com/ . Đặt 1 1 2 2 ? SABIKN NBCDIK VV V V V V =  → =  =  . * 23 . 16 6 . 32 6 S ABCD a V aa = = . * 3 . 1 1 1 61 6 . . . . . . .2 3 3 2 3 4 2 12 N BMC BMC BMC SO a V NH S S a a a ∆∆ = = = = . * Nhận thấy K là trọng tâm của tam giác SMC 2 3 MK MN →= . * . . 11 2 1 . . .. 223 6 M DIK M CBN V MD MI MK V MC MB MN = = = . 33 2 . . .CBN 5 5 6 5 6 . 6 6 12 72 M CBN M DIK M V V V V a a → = − = = = . 3 33 3 1 1. 2 3 2 76 6 5 6 7 6 7 72 6 72 72 5 5 6 72 S ABCD a V VV V a a a V a → = − = − = → = = . Câu 129. Cho khối chóp . S ABC ; M và N lần lượt là trung điểm của cạnh , SA ; SB thể tích khối chóp . S MNC bằng 3 a . Thể tích của khối chóp . S ABC bằng. A. 3 a . B. 3 12a . C. 3 8a . D. 3 4a . Hướng dẫn giải Chọn D Theo công thức tính tỷ số thể tích. . . .1 .4 S MNC S ABC V SM SN V SA SB = = . Câu 130. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB . Tính tỉ số thể tích . . S CDMN S CDAB V V là: A. 1 2 . B. 1 4 . C. 5 8 . D. 3 8 . Hướng dẫn giải Chọn D Phân tích: https://toanmath.com/ . Ta thấy việc so sánh luôn thể tích hai khối này trực tiếp thì sẽ khó khăn do đó ta sẽ chia ra như sau: và . Khi đó ta có. ( do và chung diện tích đáy SCD ). Ta có . Từ trên suy ra . = + . . . S MNCD S MCD S MNC = + .. S ABCD SACD S ABC =⇔= 11 24 SMCD SMCD SABCD SACD V V V V ( ) ( ) ( ) ( ) = ; 1 2 ; d M SCD d A SCD ==⇒= 11 48 SMNC SMN SMNC SABCD SABC SAB VS V V VS  =+ =   11 3 48 8 SMNCD SABCD SABCD V VV S D C B A N