Bài tập tọa độ không gian phân theo dạng có lời giải chi tiết – Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 1 TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x yz –3 2 –50 += . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). · (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT P n n AB , (0; 8; 12)0 éù = = --¹ ëû uu urr rr Þ Q yz ( ):2 3 110 +-= . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), 2 3 30 P x yz ( ): + + += . ĐS: Q x yz ( ): 2 20 - + -= Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB (2;1;3), ( 1; 2;1) - và song song với đường thẳng xt d yt zt 1 :2 32 ì =-+ ï = í ï =-- î . · Ta có BA ( 1;3;2) = uur , d có VTCP u ( 1;2; 2) =- r . Gọi n r là VTPT của (P) Þ n BA nu ì ^ í ^ î uur r rr Þ chọn n BAu, ( 10; 4; 1) éù = =-- ëû uur rr Þ Phương trình của (P): x yz 10 4 190 - + -= . Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d 1 () và d 2 () có phương trình: x yz d 1 1 12 ( ); 231 - +- == , x yz d 2 4 13 ( ): 6 93 - -- == . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và d 2 () . · Chứng tỏ (d 1 ) // (d 2 ). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x y z x yz 2 22 2 6 4 20 + + - + - -= . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v ( 1;6;2) = r , vuông góc với mặt phẳng x yz ( ): 4 110 a + + -= và tiếp xúc với (S). · (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của () a là n ( 1; 4;1) = r . Þ VTPT của (P) là: [ ] P n nv, (2; 1;2) = =- r rr Þ PT của (P) có dạng: x y zm 2 20 - + += . Vì (P) tiếp xúc với (S) nên dIP ( ,( ))4 = m m 21 3 é =- Û ê = ë . Vậy: (P): x yz 2 2 30 - + += hoặc (P): x yz 2 2 210 - + -= . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng xyz d 1 1 ( ): 1 23 + == -- và xyz d 2 14 ( ): 1 25 -- == . Chứng minh rằng điểm M dd 12 ,, cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. · d 1 qua M 1 (0; 1;0) - và có u 1 ( 1; 2; 3) = -- r , d 2 qua M 2 (0;1;4) và có u 2 ( 1;2;5) = r . uu 12 ; ( 4; 8;4)0 éù= --¹ ëû r rr , MM 12 (0;2;4) = uuuuu ur Þ uu MM 12 12 ;.0 éù = ëû uuuuu ur rr Þ dd 12 , đồng phẳng. Gọi (P) là mặt phẳng chứa dd 12 , Þ (P) có VTPT n ( 1;2; 1) =- r và đi qua M 1 nên có phương trình x yz 2 20 + - += . Kiểm tra thấy điểm MP ( 1;–1;1) () Î . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 2 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x yz 33 2 21 -- == và mặt cầu (S): x y z x yz 2 22 2 2 4 20 + + - - - += . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). · (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1) = r . (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT [ ] n ui, (0;1; 2) = =- r rr Þ PT của (P) có dạng: y zD 20 - += . (P) tiếp xúc với (S) Û dIPR ( ,( )) = Û D 22 14 2 12 -+ = + Û D 3 25 -= Û D D 3 25 3 25 é =+ ê =- ë Þ (P): yz 2 3 2 50 - ++= hoặc (P): yz 2 3 2 50 - +-= . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z xy 2 22 2 4 40 + + + - -= và mặt phẳng (P):xz 30 + -= . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1) - vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). · (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT P n ( 1; 0;1) = r . PT (Q) đi qua M có dạng: Ax By Cz A BC 2 22 ( 3) ( 1) ( 1) 0,0 - + -+ += + +¹ (Q) tiếp xúc với (S) Û dIQ R A BC A BC 2 22 ( ,( )) 43 = Û- + += ++ (*) QP Q P nn AC CA ( ) () .00 ^ Û = Û + = Û =- rr (**) Từ (*), (**) Þ BA A B B A AB 2 2 22 5 32 8 7 100 -= + Û - += Û A B AB 2 74 = Ú =- · Với AB 2 = . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): x yz 2 2 90 + - -= · Với AB 74 =- . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): x yz 4 7 4 90 - - -= Câu hỏi tương tự: a) Với S x y z x yz 2 22 ( ): 2 4 4 50 + + -+ - += , P x yzM ( ):2 6 5 0, ( 1;1;2) + - += . ĐS: Q x yz ( ):22 60 + + -= hoặc Q x yz ( ):11 10 2 50 - + -= . Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x yz 2 22 –2 4 2 –30 ++ ++= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 3 = . · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = 0. Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x yz 2 22 2 2 2 –10 + + + -+= và đường thẳng xy d xz 20 : 2 60 ì - -= í - -= î . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 1 = . · (S) có tâm I( 1;1; 1) -- , bán kính R = 2. PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += + +¹ . Chọn M Nd (2;0; 2), (3;1;0) -Î . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 3 Ta có: MP NP dIP Rr 22 () () ( ,( )) ì Î ï Î í ï =- î Û a bc a bd ab a bc a bd ab ,2 ( ),3 (1) 17 7 ,2 ( ), 3 (2) é= =-+ =-- ê =- =-+ =-- ë + Với (1) Þ (P): x yz 40 + - -= + Với (2) Þ (P): x yz 7 17 5 40 - + -= Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng xyz 1 1 : 2 11 D - == - , x yz 2 1 : 1 11 D - == -- và mặt cầu (S): x y z x yz 2 22 –2 2 4 –30 ++ ++= . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D 1 và D 1 . · (P): yz 3 320 + ++= hoặc (P): yz 3 320 + +-= Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x y z x yz 2 22 2 4 6 110 + + - + - -= và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p 6p = . · Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới (b) là h = Rr 2 2 22 5 34 - = -= Do đó D D D D (loaïi) 2 22 2.1 2( 2)3 7 4 5 12 17 2 2 ( 1) + - -+ é =- = Û-+ =Û ê = ë + +- Vậy (b) có phương trình x yz 2 2 – –70 += . Câu hỏi tương tự: a) y z x yz Sx 22 2 4 6 110 2 ( ): + + + + - -= , x yz ( ):2 2 190 + - += a , p 8p = . ĐS: x yz ( ):2 2 10 + - += b Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 4 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x yz 0 + += và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz 0 + += (với A BC 2 22 0 + +¹ ). · Vì (P) ^ (Q) nên: A BC 1. 1. 1.0 + += Û C AB =-- (1) · dMP ( ,( ))2 = Û A BC A BC 2 22 2 2 +- = ++ Û A BC A BC 2 2 22 ( 2 ) 2() + - = ++ (2) Từ (1) và (2) ta được: ABB 2 8 50 += Û B AB 0 (3) 8 5 0 (4) é = ê += ë · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): xz 0 -= · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): x yz 5 8 30 - += . Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : x yz 13 1 14 -- == và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4. · Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by czb 20 + + += (a bc 2 22 0 ++¹ ) D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u ( 1;1;4) = r Ta có: a bc P ab d APd a bc 2 22 40 () 5 4 ( ;( )) ì + += ï ìD + Û íí = = î ï ++ î P Û ac ac 4 2 ì = í =- î . · Với ac 4 = . Chọn a cb 4,18 = = Þ =- Þ Phương trình (P): x yz 48 160 - +-= . · Với ac 2 =- . Chọn a cb 2, 12 = =- Þ= Þ Phương trình (P): x yz 22 40 + - += . Câu hỏi tương tự: a) Với x yz Md 1 : ; (0;3; 2),3 1 14 D - == -= . ĐS: P x yz ( ):22 80 + - -= hoặc P x yz ( ):48 260 - ++= . Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng xt dyt z ( ): 12 1 ì = ï =-+ í ï = î và điểm A( 1;2;3) - . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. · (d) đi qua điểm M(0; 1;1) - và có VTCT u ( 1;2;0) = r . Gọi n a bc ( ; ;) = r với a bc 2 22 0 ++¹ là VTPT của (P) . PT mặt phẳng (P): ax by cz ax by cz bc ( 0) ( 1) ( 1)00 - + + + - = Û + + + -= (1). Do (P) chứa (d) nên: un ab ab .0 202 = Û + = Û =- rr (2) ( ) a bc bc d AP bc bc a bc bc 22 2 22 22 32 52 ,()3 3 3 5 2 35 5 -+++ =Û =Û =Û +=+ +++ ( ) b bcc bc cb 2 22 44 02 02 Û - + =Û - = Û= (3) Từ (2) và (3), chọn b 1 =- Þ ac 2,2 = =- Þ PT mặt phẳng (P): x yz 2 2 10 - - += . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 5 Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M NI ( 1;1;0), (0; 0; 2), ( 1;1;1) -- . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 . · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += ++¹ . Ta có: MP NP dIP () () ( ,( ))3 ì Î ï Î í ï = î Û a b c a bd ab a b c a bd ab ,2 , (1) 5 7 ,2 , (2) é =- =- =- ê = =- =- ë . + Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x yz 20 - + += + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): x yz 75 20 + + += . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A( 1; 1;2) - , B( 1;3;0), C( 3; 4;1) - , D( 1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += + +¹ . Ta có: AP BP dCP dDP () () ( ,( )) ( ,( )) ì Î ï Î í ï = î Û a b cd a bd b c d a b cd abc abc 2 22 2 22 20 30 3a42 ì - + += ï + += ï í - + ++ + ++ = ï ï ++ ++ î Û b ac ada c ab ada 2, 4,7 2, ,4 é= = =- ê = = =- ë + Với b ac ada 2, 4,7 = = =- Þ (P): x yz 2 4 70 + + -= . + Với c ab ada 2, ,4 = = =- Þ (P): x yz 2 40 + + -= . Câu hỏi tương tự: a) Với A B CD ( 1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1) -- . ĐS: P x yz ( ):4 2 7 150 + + -= hoặc P xz ( ):2 3 50 + -= . Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( 1;2;3) , B(0; 1;2) - , C( 1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P () đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến P () bằng khoảng cách từ C đến P () . · Vì O Î (P) nên P ax by cz ( ):0 + += , với a bc 2 22 0 ++¹ . Do A Î (P) Þ a bc 2 30 + += (1) và dBP dCP b c a bc ( ,( )) ( ,( ))2 = Û-+ = ++ (2) Từ (1) và (2) Þ b 0 = hoặc c 0 = . · Với b 0 = thì ac 3 =- Þ P xz ( ):30 -= · Với c 0 = thì ab 2 =- Þ P xy ( ):20 -= Câu hỏi tương tự: a) Với A BC ( 1;2;0), (0;4;0), (0;0;3) . ĐS: x yz 6 3 40 - + += hoặc x yz 63 40 - += . Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( 1;1; 1) - , B( 1;1;2) , C( 1;2; 2) -- và mặt phẳng (P): x yz 2 2 10 - + += . Viết phương trình mặt phẳng () a đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB IC 2 = . · PT () a có dạng: ax by czd 0 + + += , với a bc 2 22 0 ++¹ Do A( 1;1; 1) () a -Î nên: a b cd 0 + - += (1); P ( ) () a ^ nên a bc 2 20 - += (2) IB IC 2 = Þ dB dC ( ,( )) 2 ( ;( )) aa = Þ a b cd a b cd a bc a bc 2 22 2 22 2 22 2 + ++ -+ -+ = ++ ++ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 6 a b cd a b cd 3 360 (3) 5 2 30 é - + -= Û ê -+ - += ë Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau : TH1 : a b cd abc b ac ada a b cd 0 13 2 20 ;; 22 3 360 ì + - += -- ï - += Û= =-= í ï - + -= î . Chọn a b cd 2 1; 2;3 = Þ =- =- =- Þ () a : x yz 2 2 30 - - -= TH2 : a b cd abc b ac ada a b cd 0 33 2 20 ;; 22 5 2 30 ì + - += - ï - += Û= == í ï-+ - += î . Chọn a b cd 2 3; 2;3 = Þ= = =- Þ () a : x yz 2 3 2 30 + + -= Vậy: () a : x yz 2 2 30 - - -= hoặc () a : x yz 2 3 2 30 + + -= Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng dd 12 , lần lượt có phương trình x yz d 1 2 23 : 2 13 - -- == , x yz d 2 1 21 : 2 14 - -- == - . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng dd 12 , . · Ta có d 1 đi qua A(2;2;3) , có d u 1 (2;1;3) = r , d 2 đi qua B( 1;2;1) và có d u 2 (2; 1;4) =- r . Do (P) cách đều dd 12 , nên (P) song song với dd 12 , Þ P dd n uu 12 , (7; 2; 4) éù = = -- ëû r rr Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: x y zd 7240 - - += Do (P) cách đều dd 12 , suy ra d AP dBP ( ,( )) ( ,( )) = Û dd 7.2 2.2 4.3 7.1 2.2 4.1 69 69 - -+ - -+ = d dd 3 21 2 Û - = - Û= Þ Phương trình mặt phẳng (P): x yz 14 4 8 30 - - += Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng dd 12 , lần lượt có phương trình xt d yt z 1 1 :2 1 ì =+ ï =- í ï = î , x yz d 2 2 11 : 1 22 - -+ == - . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d 1 và d 2 , sao cho khoảng cách từ d 1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d 2 đến (P). · Ta có : d 1 đi qua A( 1;2;1) và có VTCP u 1 ( 1; 1;0) =- r d 2 đi qua B(2;1; 1) - và có VTCP là u 2 ( 1; 2;2) =- r Gọi n r là VTPT của (P), vì (P) song song với d 1 và d 2 nên n uu 12 , ( 2; 2; 1) éù = = - -- ëû r rr Þ Phương trìnht (P): x y zm 220 + + += . m dd P d AP 1 7 ( ,( )) ( ;( )) 3 + == ; m dd P dBP 2 5 ( ,( )) ( ,( )) 3 + == ddP ddP 12 ( ,( )) 2( ,( )) = mm 7 2.5 Û + =+ mm mm 7 2(5) 7 2(5) é+ =+ Û ê + =-+ ë mm 17 3; 3 Û =- =- + Với m 3 =- Þ P x yz ( ):2 2 –30 + += + Với m 17 3 =- ÞP x yz 17 ( ):22 0 3 + +-= Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 7 Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1;2) - , B( 1; 0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): x yz 2 22 ( 1) ( 2) ( 1)2 - + - + += . · (S) có tâm I ( 1;2; 1) - , bán kính R 2 = . PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += + +¹ Ta có: AP BP dIPR () () ( ,( )) ì Î ï Î í ï = î Û a bc a bd ab a bc a bd ab , , 23 (1) 3 8, , 23 (2) é =- =-- =+ ê =- =-- =+ ë + Với (1) Þ Phương trình của (P): xy 10 - -= + Với (2) Þ Phương trình của (P): x yz 8 3 5 70 - - += Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1) - . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. · Ta có dOP OA ( ,( )) £ . Do đó dOP OA max ( ,( )) = xảy ra OAP () Û^ nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA (2; 1;1) =- uu ur Vậy phương trình mặt phẳng (P): x yz 2 60 - + -= .. Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: x yz 11 2 13 -- == . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. · Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH HI ³ Þ HI lớn nhất khi AI º . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH uuur làm VTPT Þ (P): x yz 7 5 770 + - -= . Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số { x ty tzt 2; 2; 22 =-+ =- =+ . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất. · Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì Pd ( ) () P hoặc Pd () () É . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA £ và IH AH ^ . Mặt khác ddP dIP IH HP ( ,( )) ( ,( )) () ì == í Î î Trong (P), IH IA £ ; do đó maxIH = IA HA Ûº . Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) ^ IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là ( ) n IA 6; 0;3 = =- r u ur , cùng phương với ( ) v 2;0;1 =- r . Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: x z xz 2( 4) 1.( 1)2 90 - - + = - -= . Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d 12 : 2 12 -- == và điểm A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += ++¹ . (P) có VTPT n a bc ( ; ;) = r , d đi qua điểm M( 1; 0;2) và có VTCP u (2;1;2) = r . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 8 Vì (P) É d nên MP nu () .0 ì Î í = î rr Þ a cd a bc 20 2 20 ì+ += í + += î Þ c ab d ab 2 (2) ì =-+ í =+ î . Xét 2 trường hợp: TH1: Nếu b = 0 thì (P): xz 10 -+= . Khi đó: d AP ( ,( ))0 = . TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn b 1 = ta được (P): ax y a za 2 2 (2 1) 2 20 + - + + += . Khi đó: d AP aa a 22 99 ( ,( )) 32 8 45 13 22 22 = =£ ++ æö ++ ç÷ èø Vậy d AP max ( ,( )) 32 = Û aa 11 20 24 + = Û =- . Khi đó: (P): x yz 4 30 - + -= . Câu hỏi tương tự: a) xyz dA 1 12 : , (5;1;6) 2 15 - +- == . ĐS: P x yz ( ):2 10 + - += b) x yz dA 12 : , ( 1; 4;2) 1 12 -+ == - . ĐS: P x yz ( ):5 13 4 210 + - += Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2) - và N( 1;1;3) - . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0; 0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. · PT (P) có dạng: Ax By Cz Ax By Cz BC ( 1) ( 2)0 20 + + + - = Û + + + -= A BC 2 22 ( 0) + +¹ N P A B C BC A BC ( 1;1;3) () 3 202 - Î Û- + + + - = Û =+ P B Cx By Cz BC ( ): (2) 20 Þ + + + + -= ; dKP B C BC B ( ,( )) 22 4 24 = ++ · Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại) · Nếu B 0 ¹ thì B dKP B C BC C B 222 11 ( ,( )) 2 4 24 2 12 = =£ ++ æö ++ ç÷ èø Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x yz – 30 + += . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 9 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (): x yz 1 1 12 - == -- và tạo với mặt phẳng (P) : x yz 22 10 - - += một góc 60 0 . Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz. · () qua điểm A( 1;0;0) và có VTCP u ( 1; 1; 2) = -- r . (P) có VTPT n (2; 2; 1) ¢ = -- r . Giao điểm Mm (0;0;) cho AMm ( 1; 0;) =- uuu ur . (a) có VTPT n AMu mm , (; 2;1) éù = =- ëû uuur ur r (a) và (P): x yz 22 10 - - += tạo thành góc 60 0 nên : ( ) nn mm mm 2 2 1 11 cos, 2 4 10 22 2 45 ¢ =Û =Û - += -+ rr Û m 22 =- hay m 22 =+ Kết luận : M(0; 0;2 2) - hay M(0; 0;2 2) + Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng xy ( ):2 – –10 = a , xz ( ):2–0 b = và tạo với mặt phẳng Q x yz ( ): –2 2 –10 += một góc j mà 22 cos 9 j = · Lấy A Bd (0;1;0), ( 1;3;2)Î . (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax By CzB –0 ++= . (P) qua B nên: A B CB 3 2–0 ++= Þ A BC (2 2) =-+ Þ P B Cx By CzB ( ): (2 2) –0 - + ++= B C BC B C BC 2 22 2 2 22 22 cos 9 3 (2 2) j - - -+ == + ++ Û B BCC 22 13 8 –50 += . Chọn C BB 5 1 1; 13 = Þ== . + Với BC 1 == Þ P x yz ( ):4 –10 - ++= + Với BC 5 , 1 13 == Þ P x yz ( ): 23 5 13 –50 - ++= . Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm AB ( 1;2; 3), (2; 1; 6) -- -- và mặt phẳng P x yz ( ): 2 30 + + -= . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc a thoả mãn 3 cos 6 a = . · PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += ++¹ . Ta có: AQ BQ () () 3 cos 6 a ì Î ï Î ï í ï = ï î Û a b cd b cd a bc a bc 2 22 230 2a 60 23 6 1 41 ì-+ - += ï - - += ï í ++ ï = ï + + ++ î Û a bc bdb a bc db 4, 3, 15 , 0, é =- =- =- ê =- = =- ë Þ Phương trình mp(Q): x yz 4 3 150 - + += hoặc (Q): xy 30 - -= . Câu hỏi tương tự: a) AB (0;0;1), ( 1;1;0), P Oxy 1 ( ) ( ),cos 6 a º= . ĐS: (Q): x yz 2 10 - + -= hoặc (Q): x yz 2 10 - -+= . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 10 Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d x yz 30 : 2 40 ì + + -= í + + -= î . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 0 60 a = . · ĐS: P x yz ( ):2 2 20 + +- -= hoặc P x yz ( ):2 2 20 - -- += Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P x yz ( ):5 2 5 10 - + -= và Q x yz ( ): 4 8 120 - - += . Lập phương trình mặt phẳng R () đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 0 45 = a . · Giả sử PT mặt phẳng (R): ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += ++¹ . Ta có: R P a bc ( ) () 5 2 50 ^ Û - += (1); · a bc RQ a bc 0 2 22 482 cos(( ),( )) cos45 2 9 -- =Û= ++ (2) Từ (1) và (2) Þ ac a acc ca 22 760 7 é =- + - =Û ê = ë · Với ac =- : chọn a bc 1, 0,1 = = =- Þ PT mặt phẳng R xz ( ):0 -= · Với ca 7 = : chọn a bc 1, 20,7 = == Þ PT mặt phẳng Rx yz ( ): 20 70 + += Câu hỏi tương tự: a) Với P x y z Q OyzM 0 ( ): 2 0,( ) ( ), (2; 3;1), 45 - -= º -= a . ĐS: R xy ( ): 10 + += hoặc R x yz ( ):5 3 4 230 - + -= Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: x yz 1 1 11 : 1 13 D - +- == - và x yz 2 : 1 21 D == - . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 D và tạo với 2 D một góc 0 30 = a . · Đáp số: (P):x yz 5 112 40 + + += hoặc (P): x yz 2 20 - - -= . Câu hỏi tương tự: a) Với xyz 1 2 : 1 11 D - == - , x yz 2 2 35 : 2 11 D - -+ == - , 0 30 = a . ĐS: (P): x yz 2 2 20 - - += hoặc (P): x yz 2 40 + + -= b) x yz 1 11 : 2 11 D -+ == - , xyz 2 21 : 1 11 D -+ == - , 0 30 = a . ĐS: (P): xyz (18 114) 21 (15 2 114) (3 114)0 + + ++ --= hoặc (P): xyz (18 114) 21 (15 2 114) (3 114)0 - + +- -+= Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M( 1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 00 45 , 30 . · Gọi n a bc ( ; ;) = r là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là ij ( 1;0;0), (0;1;0) == rr . Ta có: OxP OyP 2 sin( ,( )) 2 1 sin( ,( )) 2 ì = ï ï í ï = ï î Û ab cb 2 ì = í = î Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 11 PT mặt phẳng (P): x yz 2( 1) ( 2) ( 3)0 - + - ± -= hoặc x yz 2( 1) ( 2) ( 3)0 - - + - ± -= Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x yz 2 50 + - += và đường thẳng x yz d 1 13 : 2 11 + +- == . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất. · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += ++¹ . Gọi · PQ (( ),( )) = a . Chọn hai điểm M Nd ( 1; 1;3), ( 1;0;4) --Î . Ta có: M P c ab N P d ab () () 74 ìì Î =-- Þ íí Î =+ îî Þ (P): ax by a bz ab (2 ) 7 40 + +- - + += Þ ab a abb 22 3 cos. 6 5 42 a + = ++ TH1: Nếu a = 0 thì b b 2 33 cos. 2 6 2 a== Þ 0 30 = a . TH2: Nếu a ¹ 0 thì b a bb aa 2 1 3 cos. 6 542 a + = æö ++ ç÷ èø . Đặt b x a = và fx 2 () cos a = Xét hàm số xx fx xx 2 2 9 21 (). 6 5 42 ++ = ++ . Dựa vào BBT, ta thấy fx 00 min () 0 cos 0 90 30 a =Û = Û => a Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b cd 1, 1,4 = == . Vậy: (P): yz 40 - += . Câu hỏi tương tự: a) Với (Q): x yz 2 2 –30 ++= , x yz d 12 : 1 21 -+ == - . ĐS: P x yz ( ): 2 5 30 + + += . b) Với x yz Q Oxyd 12 ( ) ( ),: 1 12 -+ º == - . ĐS: P x yz ( ): 30 - + -= . c) Với Q x yz ( ):2 20 - - -= , xt dyt zt : 12 2 ì =- ï =-+ í ï =+ î . ĐS: P x yz ( ): 30 + + -= . Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm MN ( 1; 1;3), ( 1; 0;4) -- và mặt phẳng (Q): x yz 2 50 + - += . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất. · ĐS: P yz ( ): 40 - += . Câu hỏi tương tự: a) M N Q Oxy ( 1;2; 1), ( 1;1;2),( ) () - -º . ĐS: P x yz ( ):6 3 5 70 + + -= . Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng xt dyt zt 1 :2 2 ì =- ï =-+ í ï = î . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by czd a bc 2 22 0( 0) + + += ++¹ . Gọi · P Oy (( ),) = a . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 12 Chọn hai điểm M Nd ( 1; 2;0), (0; 1;2) - -Î . Ta có: MP c ab N P d ab ()2 ()2 ìì Î =- Þ íí Î =-+ îî Þ (P): ab ax by z ab 20 2 - ++ - += Þ b a b ab 22 2 sin 5 52 a = +- . TH1: Nếu b = 0 thì 0 0 = a . TH2: Nếu b ¹ 0 thì aa bb 2 2 sin 5 52 a = æö +- ç÷ èø . Đặt a x b = và fx 2 () sin = a . Xét hàm số fx xx 2 4 () 5 25 = -+ . Dựa vào BBT, ta được fxx 51 max () 65 = Û= Þ 0 0 > a . Vậy a lớn nhất khi a b 1 5 = . Chọn a b cd 1, 5, 2,9 = = =-= Þ (P): x yz 5 2 90 + - += . Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x yz d 1 12 : 1 21 -+ == - và x yz d 2 21 : 2 12 +- == - . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d 2 là lớn nhất. · d 1 đi qua M( 1; 2;0) - và có VTCP u ( 1;2; 1) =- r .Vì dP 1 () Ì nên MP () Î . PT mặt phẳng (P) có dạng: Ax By Cz ( 1) ( 2)0 -+ + += A BC 2 22 ( 0) + +¹ Ta có: d P un C AB () .02 Ì Û = Û =+ rr . Gọi · Pd 2 (( ),) = a Þ AB AB A ABB A ABB 2 22 22 43 1 (4 3) sin. 3 2 45 3.2 45 ++ == ++ ++ a TH1: Với B = 0 thì sin 22 3 = a TH2: Với B ¹ 0. Đặt A t B = , ta được: t sin tt 2 2 1 (4 3) . 3 2 45 + = ++ a Xét hàm số t ft tt 2 2 (4 3) () 2 45 + = ++ . Dựa vào BBT ta có: ft 25 max () 7 = khi t 7 =- Û A B 7 =- Khi đó f 53 sin ( 7) 9 = -= a . So sánh TH1 và TH2 Þ a lớn nhất với 53 sin 9 = a khi A B 7 =- . Þ Phương trình mặt phẳng (P) : x yz 7 5 9 0 - + -= . Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d 1 21 : 1 11 + -+ == - và điểm A(2; 1;0) - . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất. · ĐS: P x yz ( ): 2 10 + + -= . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 13 Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x yz 2 20 - + += và điểm A( 1;1; 1) - . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. · ĐS: P yz ( ):0 += hoặc P x yz ( ):25 60 + + -= . Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. · Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ x yz P a bc ( ):1 + += IA a JAb JK bc IK ac (4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ; 0;) =- =- =- =- u ur uur uur uur Þ a bc bc ac 4 56 1 5 60 4 60 ì + += ï ï í - += ï - += ï î Þ a bc 77 77 77 ;; 4 56 = == Vậy phương trình mặt phẳng (P): xyz 4 5 6 770 + + -= . Câu hỏi tương tự: a) Với A(–1; 1; 1). ĐS: (P): x yz 30 - - += Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh rằng: bc bc 2 += . Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. · PT mp (P) có dạng: x yz bc 1. 2 + += Vì MP () Î nên bc 1 11 1 2 + += Û bc bc 2 += . Ta có ABb ( 2; ;0) - uu ur , ACc ( 2; 0; ). - uu ur Khi đó S b c bc 222 () = + ++ . Vì b c bc bc bc 222 2 ;( )4 +³ +³ nên S bc 6 ³ . Mà bc bc bc bc 2( )4 16 = +³ Þ³ . Do đó S 96 ³ . Dấu "=" xảy ra Û bc 4 == . Vậy: S min 96 = khi bc 4 == . Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng P ( ):x yz 40 + + += . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6. · Vì (Q) // (P) nên (Q): x y zdd 0( 4) + + +=¹ . Giả sử B Q OxC Q Oy () , () = Ç =Ç Þ Bd C dd ( ;0;0), (0; ;0)( 0) - -< . ABC S AB AC 1 ,6 2 éù == ëû uu ur uu ur Û d 2 =- Þ Q x yz ( ): 20 + + -= . Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm AB (3; 0;0), ( 1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 9 2 . · ĐS: P xy ( ): 2 2z 30 + - -= . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 14 Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. · Giá sử Aa OxB b OyC c Oz ( ;0;0) , (0; ;0) , (0; 0;) Î ÎÎ a bc ( ,, 0) > . Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: x yz a bc 1 + += . Ta có: MP (9;1;1) () Î Þ a bc 9 11 1 ++= (1); OABC V abc 1 6 = (2) (1) Û abc bc ac ab 9 = ++ ≥ abc 2 3 3 9() Û abc abc abc 32 ( ) 27.9() 243 ³ Û³ Dấu "=" xảy ra Û a bc ac ab b c a bc 27 9 3 9 11 1 3 ì = ì == ï ï Û= í í + += ï ï = î î Þ (P): x yz 1 27 33 + += . Câu hỏi tương tự: a) Với M( 1;2;4) . ĐS: x yz P ( ):1 3 6 12 + += Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M( 1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC 2 22 1 11 ++ có giá trị nhỏ nhất. · ĐS: P x yz ( ): 2 3 140 + + -= . Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;3), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC ++ có giá trị nhỏ nhất. · ĐS: x yz P ( ):1 26 10 5 10 15 3 6 15 + += ++ + + ++ . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 15 TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d 1 12 : 2 13 + -- == và mặt phẳng P : x yz 10 - - -= . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A( 1;1; 2) - , song song với mặt phẳng P () và vuông góc với đường thẳng d . · dP u un; (2; 5; 3) éù = =- ëû u ur uur r . D nhận u r làm VTCP Þ x yz 1 12 : 2 53 D - -+ == - Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: {xt =- ;yt 12 =-+ ; zt 2 =+ (tR Î ) và mặt phẳng (P): x yz 2 2 30 - - -= .Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d). · Gọi A = d Ç (P) Þ A( 1; 3;1) - . Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: x yz 2 60 -+ + += D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ D: {x ty zt 1; 3;1 =+ =- =+ Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D: x yz 11 2 11 -+ == - . Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với D. · u (2;1; 1) D =- r . Gọi H = d Ç D. Giả sử H t tt (1 2;1 ;) + - +- Þ MH t tt (2 1; 2;) = - -- uuu ur . MHu D ^ uuu ur r Û t tt 2(2 1) ( 2) ( )0 - + - --= Û t 2 3 = Þ d u MH 3 ( 1; 4; 2) = = -- uuu ur r Þ d: xt yt zt 2 14 2 ì =+ ï =- í ï = î . Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P). · Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0. (D) = (P) Ç (Q) suy ra phương trình (D). Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng xz d x yz 20 : 32 30 ì-= í - + -= î trên mặt phẳng Px yz : 2 50 - + += . · PTTS của d: xt yt zt 4 3 7 2 2 ì = ï =-+ í ï = î . Mặt phẳng (P) có VTPT n ( 1; 2;1) =- r . Gọi A dP () =Ç Þ A 11 4; ;2 2 æö ç÷ èø . Ta có B dBP 33 0; ;0 , 0; ;0 () 22 æ ö æö - Î -Ï ç ÷ ç÷ è ø èø . Gọi H x yz ( ; ;) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H 474 ;; 363 æö -- ç÷ èø . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 16 Gọi D là hình chiếu vuông góc của d trên (P) Þ D đi qua A và H Þ D có VTCP u HA 3 (16;13;10) == uu ur r Þ Phương trình của D: xt yt zt 4 16 11 13 2 2 10 ì =+ ï =+ í ï =+ î . Câu hỏi tương tự: a) Với x yz d 1 12 : 2 13 + -- == , P x yz ( ): 3 2 50 - + -= . ĐS: xm ym zm 1 23 : 2 29 5 32 D ì =+ ï =+ í ï =+ î Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng ( ): 6 2 3 60 P x yz + + -= với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P). · Ta có: P OxA P OyB P OzC () ( 1; 0;0); () (0;3;0);() (0; 0;2) Ç= Ç= Ç= Gọi D là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; (a) là mặt phẳng trung trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I () D =Ç a Þ I 13 ; ;1 22 æö ç÷ èø . Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp DABC thì IJ ^ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ . Þ Phương trình đường thẳng d: xt yt zt 1 6 2 3 2 2 13 ì =+ ï ï í =+ ï ï =+ î . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A BC ( 1;2; 1), (2;1;1); (0;1;2) - và đường thẳng x yz d 1 12 : 2 12 - ++ == - . Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. · Ta có AB AC AB AC ( 1; 1;2), ( 1; 1;3) , ( 1; 5; 2) éù =- = --Þ = - -- ëû uu ur uu ur uu ur uu ur Þ phương trình mặt phẳng (ABC): xyz 5 2 90 + + -= Gọi trực tâm của tam giác ABC là H a bc ( ; ;) , khi đó ta có hệ: ( ) BH AC a bca CH AB a bc bH a bcc H ABC .0 232 .0 30 1 (2;1;1) 5 291 ì = ìì - +== ï ïï = Û + - = Û =Þ í íí ï ïï + +== Î îî î uuur uu ur uuur uu ur Do đường thẳng D nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên: ABC ABCd d un u nu uu , (12;2; 11) D D D ì ^ éù Þ= =- í ëû ^ î rr r rr rr . Vậy phương trình đường thẳng x yz 2 11 : 12 2 11 D - -- == - Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 17 Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương trình x yz d 11 : 2 11 -+ == - . Viết phương trình của đường thẳng D đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua d. · PTTS của d: xt yt zt 12 1 ì =+ ï =-+ í ï =- î . d có VTCP u (2;1; 1) =- r . Gọi H là hình chiếu của M trên d Þ H t tt (1 2;1 ;) + - +- Þ MH t tt (2 1;2 ;) = - - +- uuu ur Ta có MH ^ d Û MHu.0 = uuu ur r Û t 2 3 = Þ H 7 12 ;; 333 æö -- ç÷ èø , MH 1 42 ;; 3 33 æö = -- ç÷ èø uuu ur Phương trình đường thẳng D: x yz 21 1 42 -- == -- . Gọi M¢ là điểm đối xứng của M qua d Þ H là trung điểm của MM¢ Þ M 8 54 ;; 3 33 æö ¢ -- ç÷ èø . Câu hỏi tương tự: a) x yz Md 3 11 ( 4; 2;4);: 2 14 + -+ -- == - . ĐS: 13 : 3 21 +- D == - x yz Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t Î R. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A; cắt và vuông góc với (d). Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng xyz d 11 : 1 21 -+ == - và hai điểm A( 1 ;1; 2) - , B( 1;0;2) - . Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới D là nhỏ nhất. · d có VTCP d u ( 1;2; 1) =- r . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng D đi qua A và H thỏa YCBT. Ta có: (P): x yz 2 50 + - -= . Giả sử H x yz ( ; ;) . Ta có: d HP BHu cuøng phöông () , ì Î í î uuur r Þ H 1 82 ;; 3 33 æö ç÷ èø Þ u AH 3 ( 2; 5;8) D = =- uuur r Þ Phương trình D: x yz 1 12 2 58 - -+ == - . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x yz 11 : 2 31 ++ D == - và hai điểm A( 1;2; 1), - B(3; 1; 5) -- . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng D sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. · Giả sử d cắt D tại M M ttt ( 1 2 ;3;1) Þ -+ -- , AM tt t AB (2 2 ;3 2; ), (2; 3; 4) = -+ -- = -- uuur uu ur Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d Bd BH BA ( ,)=£ . Vậy d Bd ( ,) lớn nhất bằng BA HA Ûº AM AB AM AB .0 Û ^Û= uuur uu ur t t tt 2(2 2) 3(3 2) 402 Û -+ - - + = Û= M(3;6; 3) Þ- Þ PT đường thẳng x yz d 1 21 : 1 21 - -+ == - . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 18 Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D: x yz 11 2 12 +- == - . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. · Phương trình tham số của D: xt yt zt 12 1 2 ì =-+ ï =- í ï = î . Điểm C Î D nên C t tt ( 1 2 ;1 ;2) -+- . AC t t t AB (2 2;4 ;2 ); (2; 2;6) = -+ -- =- uu ur uu ur ; AC AB t tt , ( 24 2 ;12 8 ;12 2) éù =-- -- ëû uu ur uu ur AC AB tt 2 , 2 18 36 216 éù Þ = -+ ëû uu ur uu ur Þ S AC AB 1 , 2 éù = ëû uu ur uu ur = t 2 18( 1) 198 -+ ≥ 198 Vậy Min S = 198 khi t 1 = hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC: x yz 3 36 2 34 - -- == - -- . Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d 1 22 : 3 22 + -- == - và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d). · Đường thẳng (d) có PTTS: xt yt zt 13 22 22 ì =-+ ï =- í ï =+ î . Mặt phẳng (P) có VTPT n ( 1; 3; 2) = r Giả sử N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) Î d Þ MN t tt (3 3; 2 ;2 2) = --- uuu ur Để MN // (P) thì MNnt .07 = Û= uuu u rr Þ N(20; -12; 16) Phương trình đường thẳng D: x yz 2 24 9 76 - -- == - Câu hỏi tương tự: a) xyz d 12 : 1 21 -- == , P x yz ( ): 3 2 20 + + += , M(2;2;4). ĐS: x yz 1 33 : 1 11 D - -- == - b) x yz d 22 : 1 32 -+ == , P x yz ( ):2 10 + - += , M( 1;2;–1) . ĐS: 1 21 : 2 95 - -+ D == -- x yz c) x yz 2 41 3 22 - +- == - ,P x yz ( ):3 2 3 20 - - -= , M(3; 2; 4) -- . ĐS: x yz 3 24 : 5 69 - ++ D == - Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng x yz ( ):32 290 a - +-= và hai điểm A(4; 4;6) B , (2;9;3) . Gọi EF , là hình chiếu của A và B trên () a . Tính độ dài đoạn EF . Tìm phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng () a đồng thời D đi qua giao điểm của AB với () a và D vuông góc với AB. · ABn ( 2;5; 3), (3; 2;1) =- - =- uu ur r a , AB ABn 19 sin( ,( )) cos( ,) 532 a== uu ur r a EF AB AB AB AB 2 361 171 .cos( ,( )) 1 sin( ,( )) 381 532 14 aa = =- = -= AB cắt () a tại K(6; 1;9) - ; u ABn, ( 1;7;11) Da éù == ëû uur uu ur uur . Vậy xt yt zt 6 : 17 9 11 D ì =+ ï =-+ í ï =+ î Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 19 Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: x yz P x yz Q x yzd 11 ( ): 2 0,( ): 3 3 1 0,( ): 2 11 -- - += - + += == . Lập phương trình đường thẳng D nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d). · (P), (Q) lần lượt có VTPT là P Q PQ n n nn ( 1; 2;1), ( 1; 3;3) , ( 3; 2; 1) éù =- = -Þ = - -- ëû r r rr PTTS của (d): x ty tzt 1 2, ,1 =+ = =+ . Gọi A = (d) Ç (D) Þ A ttt (1 2; ;1) ++ . . Do A Ì (P) nên: t t tt 1 2 21 02 + - + + = Û =- Þ A( 3; 2; 1) - -- Theo giả thiết ta có: P PQ Q un u nn un , ( 3; 2; 1) D D D ì ^ éù Þ= = - -- í ëû ^ î rr r rr rr Vậy phương trình đường thẳng x yz 3 21 ( ): 3 21 D + ++ == . Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A BC ( 1;2; 1), (2;1;1), (0;1;2) - và đường thẳng x yz d 1 12 ( ): 2 12 - ++ == - . Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d). · Ta có AB AC AB AC ( 1; 1;2), ( 1; 1;3) , ( 1; 5; 2) éù =- = --Þ = - -- ëû uu ur uu ur uu ur uu ur Þ phương trình (ABC): xyz 5 2 90 + + -= Gọi trực tâm của DABC là H a bc ( ; ;) BH AC a bca CH AB a bc bH H ABC a bcc .0 232 .0 30 1 (2;1;1) ( ) 5 291 ì = ìì - +== ï ïï = Û + - = Û =Þ í íí ï ïï Î + +== îî î uuur uu ur uuur uu ur Do (D) Ì (ABC) và vuông góc với (d) nên: ABC ABCd d un u nn uu , (12;2; 11) D D D ì ^ éù Þ= =- í ëû ^ î rr r rr rr Þ PT đường thẳng x yz 2 11 : 12 2 11 D - -- == - . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 50 + - += , đường thẳng x yz d 3 13 : 2 11 + +- == và điểm A( 2;3;4) - . Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên D sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. · Gọi B = d Ç (P) Þ B( 1; 0;4) - . Vì P d () D D ì Ì í ^ î nên P d un uu D D ì ^ í ^ î rr rr . Do đó ta có thể chọn Pd u nu 1 , ( 1; 1; 1) 3 D éù = = -- ëû r rr Þ PT của D: xt yt zt 1 4 ì =-+ ï =- í ï =- î . Giả sử M ttt (1 ; ;4) D - + - -Î Þ AM ttt 2 2 1 26 26 3 2 93 3 33 æö = - += - +³ ç÷ èø Dấu "=" xảy ra Û t 1 3 = Û M 2 1 11 ;; 3 33 æö -- ç÷ èø . Vậy AM đạt GTLN khi M 2 1 11 ;; 3 33 æö -- ç÷ èø . Câu hỏi tương tự: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 20 a) P x yz ( ):2 2 90 + - += , xt dyt zt 1 : 32 3 ì =- ï =-+ í ï =+ î . ĐS: :1 4 = ì ï D =- í ï =+ î xt y zt Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1;1) - , đường thẳng xyz 2 : 1 22 D - == , mặt phẳng P x yz ( ):– 50 + -= . Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng D một góc 0 45 . · Gọi d uu , D rr lần lươt là các VTCP của d và D ; P n r là VTPT của ( P). Đặt d u a bc a bc 2 22 ( ; ; ),( 0) = + +¹ r . Vì d nằm trong ( P) nên ta có : Pd nu ^ rr Þ abc –0 += Û b ac =+ ( 1 ). Theo gt: d 0 ( , ) 45 D = Û a bc a bc a bc a bc 2 2 22 2 22 222 2( 2 ) 9() 2 .3 ++ = Û + + = ++ ++ (2) Thay (1) vào ( 2) ta có : a c ac cc 2 15 14 30 0 0; 7 + = Û= =- + Với c 0 = : chọn ab 1 == Þ PTTS của d là : xt yt z 3 1– 1 ì =+ ï =- í ï = î + Với a c 15 7 =- : chọn a c b 7, 15,8 = =- =- Þ.PTTS của d là: xt yt zt 37 1–8 1–15 ì =+ ï =- í ï = î . Câu 18. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x yz 3 21 2 11 - ++ == - và mặt phẳng (P): x yz 20 + + += . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới D bằng 42 . · PTTS d: xt yt zt 32 2 1 ì =+ ï =-+ í ï =-- î M( 1; 3;0) Þ- . (P) có VTPT P n ( 1;1;1) = r , d có VTCP d u (2;1; 1) =- r Vì D nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP dP u un, (2; 3;1) D éù = =- ëû r rr Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên D , khi đó MN x yz ( 1; 3;) = -+ uuu ur . Ta có MNu NP MN () 42 D ì ^ ï Î í ï = î uuu ur r Û x yz x yz x yz 2 22 20 23 110 ( 1) ( 3) 42 ì + + += ï - + -= í ï - + + += î Þ N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5) · Với N(5; –2; –5) Þ Phương trình của x yz 5 25 : 2 31 - ++ D == - · Với N(–3; – 4; 5) Þ Phương trình của x yz 3 45 : 2 31 + +- D == - . Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ): x yz 10 + - -= , hai đường thẳng (D): x yz 1 1 11 - == -- , (D¢): x yz 1 1 13 + == . Viết phương trình đường thẳng (d) nằm Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 21 trong mặt phẳng (a ) và cắt (D¢); (d) và (D) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng 6 2 . · (a) có VTPT n ( 1;1; 1) =- r , (D) có VTCP u ( 1; 1;1) D = -- r Þ (D) ^ (a). Gọi A ( ) () D¢ =Ç a Þ A(0; 0; 1) - ; B ( ) () D =Ç a Þ B( 1;0;0) Þ AB ( 1;0;1) = uu ur Vì (d) Ì (a) và (d) cắt (D¢) nên (d) đi qua A và (D) ^ (a) nên mọi đường thẳng nằm trong (a) và không đi qua B đều chéo với (D). Gọi d u a bc ( ; ;) = r là VTCP của (d) Þ d u n a bc .0 = + -= rr (1) và d u r không cùng phương với AB uu ur (2) Ta có: dd d Bd ( ,) ( ,) D = Þ d d ABu u , 6 2 éù ëû = uu ur r r Û b ac a bc 22 2 22 2 ( )6 2 +- = ++ (3) Từ (1) và (3) Þ ac 0 = Û a c 0 0 é = ê = ë . · Với a 0 = . Chọn bc 1 == Þ d u (0;1;1) = r Þ x d yt zt 0 : 1 ì = ï = í ï =-+ î · Với c 0 = . Chọn ab 1 =-= Þ d u ( 1; 1;0) =- r Þ xt d yt z : 1 ì = ï =- í ï =- î . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 22 Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: x yz 1 7 39 : 1 21 D - -- == - và 2 D : xt yt zt 37 12 13 ì =+ ï =- í ï =- î . · Phương trình tham số của 1 D : xt yt zt 7' 3 2' 9' ì =+ ï =+ í ï =- î Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với D 1 và D 2 Þ M(7 + t¢;3 + 2t¢;9 – t¢) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t) VTCP lần lượt của D 1 và D 2 là a r = (1; 2; –1) và b r = (–7;2;3) Ta có: MN a MNa MN b MNb .0 .0 ìì ïï ^= Û íí ^= ïï îî uuu urr uuu u rr uuu urr uuu u rr . Từ đây tìm được t và t¢ Þ Toạ độ của M, N. Đường vuông góc chung D chính là đường thẳng MN. Câu hỏi tương tự: a) Với xt yt z 1 3 ( ): 12 4 D ì =+ ï =-+ í ï = î , x t y t z t 2 2 2' ( ): 2' 2 4' D ì =-+ ï = í ï=+ î . ĐS: xyz x yz 2– 10 – 470 : 3 –2 60 D ì += í + += î Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) M 4; 5;3 -- và cắt cả hai đường thẳng: xy d yz 1 2 3 110 : 2 70 ì + += í - += î và x yz d 2 2 11 : 2 35 - +- == - . · Viết lại phương trình các đường thẳng: xt dyt zt 1 11 1 53 : 72 ì =- ï =-+ í ï = î , xt dyt zt 2 22 2 22 : 13 15 ì =+ ï =-+ í ï =- î . Gọi A d d B dd 12 , =Ç =Ç Þ A t tt 1 11 (5 3 ; 7 2 ;) - -+ , B t tt 2 22 (2 2 ; 1 3 ;1 5) + -+- . MA t tt 1 11 (3 9;2 2; 3) =-+ -- uuur , MB t tt 2 22 (2 6;3 4;5 2) = + + -- uuur MA MB tt tt tt t tt tt 12 1 2 12 2 12 12 , ( 13 8 13 16; 13 39 ; 13 24 31 48) éù =- - + + - + - - ++ ëû uuur uuur M, A, B thẳng hàng Û MA MB , uuur uuur cùng phương Û MA MB ,0 éù = ëû uuur uuur r Û t t 1 2 2 0 ì = í = î Þ AB ( 1; 3;2), (2; 1;1) --- Þ AB (3;2; 1) =- uu ur Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB (3;2; 1) =- uu ur Þ xt dyt zt 43 : 52 3 ì =-+ ï =-+ í ï =- î Câu hỏi tương tự: a) M(1;5;0), xyz d 1 2 : 1 33 - == -- , xt d yt zt 2 :4 12 ì = ï =- í ï =-+ î . ĐS: b) M(3; 10; 1) , x yz d 1 2 13 : 3 12 - ++ == , x yz d 2 3 71 : 1 21 - -- == -- ĐS: xt dyt zt 32 : 10 10 12 ì =+ ï =- í ï =- î Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 23 Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 12 , DD và mặt phẳng (a ) có phương trình là xt x yz yt x yz zt 12 2 112 : 5 3,: ,( ): 20 1 12 D Da ì =+ - ++ ï =+ == - + += í ï = î . Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của 1 D với (a ) đồng thời cắt 2 D và vuông góc với trục Oy. · Toạ độ giao điểm A của (a ) và 1 D thoả mãn hệ xtt y tx A zty x yzz 21 531 ( 1;2; 1) 2 201 ìì =+ =- ïï ïï =+= Û Þ- íí == ïï - + += =- ïï îî Trục Oy có VTCP là j (0;1;0) = r . Gọi d là đường thẳng qua A cắt 2 D tại B t tt (1 ;1 ; 2 2) + - + -+ . AB tt t d Oy ABj t AB (; 3;2 1); 0 3 (3;0;5) = - - ^ Û = Û =Þ= uu ur uu u rr uu ur Đường thẳng d đi qua A nhận AB (3;0;5) = uu ur làm VTCP có phương trình là xu y zu 13 2 15 ì =+ ï = í ï =-+ î . Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng xt d yt zt 1 1 : 12 12 ì =+ ï =+ í ï =+ î , đường thẳng 2 d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): xy 2 – –10 = và (Q): x yz 2 2 –50 ++= . Gọi I là giao điểm của dd 12 , . Viết phương trình đường thẳng d 3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng dd 12 , lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I. · PTTS của { d x ty tzt 2 : '; 1 2 '; 3 2' = =-+ =- . I dd 12 =Ç Þ I ( 1;1;1) . Giả sử: B t t t d Ct t t dtt 12 (1 ;1 2 ;1 2) , ( '; 1 2 ';3 2 ') ( 0, ' 1) + + +Î -+ - Î ¹¹ DBIC cân đỉnh I Û IB IC AB AC [ , ]0 ì = í = î uuur uuur ur Û t t 1 '2 ì = í = î Þ Phương trình { d x y zt 3 : 2; 3; 12 = = =+ Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 4 –3 110 += và hai đường thẳng d 1 : x 1 - = y 3 2 - = z 1 3 + , x 4 1 - = y 1 = z 3 2 - . Chứng minh rằng d 1 và d 2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời D cắt cả d 1 và d 2 . · Toạ độ giao điểm của d 1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d 2 và (P): B(3;–1;1) Phương trình đường thẳng D: x yz 2 75 5 84 + -- == -- . Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): x yz 3 12 3 50 + - -= và (Q): x yz 3 4 9 70 - + += , (d 1 ): x yz 5 31 2 43 + -+ == - , (d 2 ): x yz 3 12 2 34 - +- == - . Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d 1 ), (d 2 ). · (P) có VTPT P n ( 1; 4; 1) =- r , (Q) có pháp vectơ Q n (3; 4; 9) =- r Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 24 (d 1 ) có VTCP u 1 (2; 4; 3) =- r , (d 2 ) có VTCP u 2 ( 2; 3; 4) =- r Gọi: PQ P d PP Q d QQ uu 1 1 1 11 1 21 ( ) () () ( ) ( ),( ) () ( ) ( ),( ) () D D ì =Ç ï É ï í É ï = ï î P P rr Þ (D) = (P 1 ) Ç (Q 1 ) và (D) // (D 1 ) (D) có vectơ chỉ phương PQ u nn 1 [ ; ] (8; 3; 4) 4 = = -- r rr (P 1 ) có cặp VTCP u 1 r và u r nên có VTPT: P n uu 11 [ ; ] (25; 32; 26) == r rr Phương trình mp (P 1 ): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 x yz 25 32 26 550 Û + + += (Q 1 ) có cặp VTCP u 2 r và u r nên có VTPT: Q n uu 12 [ ; ] (0; 24; 18) = =- r rr Phương trình mp (Q 1 ): x yz 0( 3) 24( 1) 18( 2)0 -+ +- -= yx 4 3 100 Û - += Ta có: PQ 11 ( ) ( ) () D=Ç Þ phương trình đường thẳng (D) : x yz yz 25 32 26 550 4 3 100 ì + + += í - += î Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2– 2 –30 += và hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) lần lượt có phương trình x yz 41 2 21 -- == - và x yz 3 57 2 32 + +- == - . Viết phương trình đường thẳng ( D ) song song với mặt phẳng (P), cắt d 1 () và d 2 () tại A và B sao cho AB = 3. · Ad 1 () Î Þ A t tt (4 2 ;1 2;) + +- ; B d B t tt 2 () (3 2 ; 5 3 ;7 2) ¢ ¢¢ Î Þ -+ -+- AB t t t t tt (7 2 2; 6 3 2 ;72) ¢ ¢¢ = -+ - -+ - -+ uu ur , P n (2; 1;2) =- r . Từ giả thiết ta có: P ABn AB .0 3 ì = í = î uu ur r Û t t 2 1 ¢ ì = í =- î Þ A AB (2; 1;1), ( 1;2;2) - =- uu ur . Þ Phương trình đường thẳng (D): x yz 2 11 1 22 - +- == - . Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 10 - + += và hai đường thẳng x yz d 1 1 23 : 2 13 - +- == , x yz d 2 1 12 : 2 32 + -- == . Viết phương trình đường thẳng D song song với (P), vuông góc với d 1 và cắt d 2 tại điểm E có hoành độ bằng 3. · d 1 có VTCP u 1 (2;1;3) = r , d 2 có VTCP u 2 (2;3;2) = r , (P) có VTPT n (2; 1;1) =- r . Giả sử D có VTCP u a bc ( ; ;) = r , Ed 2 Î có E x 3 = Þ E(3; 1;6) - . Ta có: P un uu d 1 1 () .0 .0 D D ì ì = Û íí = ^ î î rr rr P Û abc a bc 20 2 30 ì -+= í + += î Û ac bc ì =- í =- î Þ Chọn u ( 1;1; 1) =- r Þ PT đường thẳng D: {x ty tzt 3; 1 ;6 =+ =-+ =- . Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng dd 12 ( ),() và mặt phẳng (P) có phương trình: x yz d 1 12 ( ): 1 21 ++ == , x yz d 2 2 11 ( ): 2 11 - -- == ; P x yz ( ): 2 50 + - += . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắtdd 12 ( ),() lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 25 · Đặt A a aaB b bb (1 ; 2 2 ; ), (2 2 ;1 ;1) -+ -+ + ++ Þ AB ab ab ab ( 2 3;2 3; 1) = -+ + - + + - ++ uu ur Do AB // (P) nên: P ABn ba ( 1;1; 2)4 ^ = - Û =- uu ur r . Suy ra: AB aa ( 5; 1; 3) = - - -- uu ur ABa a aaa 2 2 222 ( 5) ( 1) ( 3) 2 8 35 2( 2) 27 33 = - + -- +- = - + = - +³ Suy ra: a AB b 2 min 33 2 ì = =Û í =- î , A( 1;2;2) , AB ( 3; 3; 3) = - -- uu ur . Vậy x yz d 1 22 : 1 11 - -- == . Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng xyz d 1 8 6 10 ( ): 2 11 + -- == - và xt d yt zt 2 ( ):2 42 ì = ï =- í ï =-+ î . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d 1 ) tại A, cắt (d 2 ) tại B. Tính AB. · Giả sử: A t tt 1 11 (8 2 ;6 ;10) -+ +- Î d 1 , Bt tt 2 22 ( ;2 ; 4 2) - -+ Î d 2 . Þ AB t t tt tt 2 1 21 21 ( 2 8; 4);2 14) = - + - -- +- uu ur . ABi, ( 1; 0;0) = uu ur r cùng phương Û tt tt 21 21 40 2 140 ì- - -= í + -= î Û t t 1 2 22 18 ì =- í = î Þ AB ( 52; 16;32), (18; 16;32) --- . Þ Phương trình đường thẳng d: {x tyz 52; 16; 32 =- + =-= . Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1 ): xt yt zt 238 104 ì =-+ ï =-+ í ï = î và (d 2 ): x yz 32 2 21 -+ == - . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ). · Giả sử A t tt 1 11 ( 23 8 ; 10 4 ;) - + -+ Î d 1 , B t tt 2 22 (3 2 ; 2 2 ;) + -- Î d 2 . Þ AB tt t t tt 21 2 1 21 (2 8 26;2 4 8;) = - + - - +- uu ur AB // Oz Û AB k cuøng phöông , uu ur r Û tt tt 21 21 2 8 260 2 4 80 ì -+= í - - += î Û t t 1 2 17 6 5 3 ì = ï í ï =- î Þ A 1 4 17 ;; 3 36 æö - ç÷ èø Þ Phương trình đường thẳng AB: x y zt 1 4 17 ;; 3 36 ì =- = =+ í î Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d): x yz x yz 6 3 20 6 3 2 240 ì - += í + + -= î . Viết phương trình đường thẳng D // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC. · Phương trình mặt phẳng (a) chứa AB và song song d: (a): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng (b) chứa OC và song song d: (b): 3x – 3y + z = 0 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 26 D là giao tuyến của (a) và (b) Þ D: x yz x yz 6 3 2 120 330 ì + + -= í - += î Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD. · Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ^ (Oxy) Þ (P): 5x – 4y = 0 (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ^ (Oxy) Þ (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta có (D) = (P)Ç(Q) Þ Phương trình của (D) Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: xt d yt zt 1 12 : 1 ì =-- ï = í ï =+ î và xyz d 2 : 1 12 == . Xét vị trí tương đối của d 1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d 1 và vuông góc với d 2 . · Đường thẳng D cần tìm cắt d 1 tại A(–1–2t; t; 1+t) OA Þ uu ur = (–1–2t; t; 1+t) d d OAu tA 22 . 0 1 ( 1; 1;0) ^Û = Û =-Þ- uu ur r Þ PTTS của { d x ty tz : ; ;0 = =-= Câu hỏi tương tự: a) Với M( 1;1;1) , x yz d 1 21 ( ): 3 12 +- == - , xt d yt zt 2 22 ( ):5 2 ì =-+ ï =- í ï =+ î . ĐS: x yz d 1 11 : 3 11 - -- == - Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: (d 1 ) : xt yt zt 4 62 ì = ï =+ í ï =+ î và (d 2 ) : xt yt zt ' 3'6 '1 ì = ï =- í ï =- î Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d 2 ). Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua K vuông góc với (d 1 ) và cắt (d 1 ). · (d 1 ) có VTCP u 1 ( 1; 1; 2) = r ; (d 2 ) có VTCP u 2 ( 1; 3; 1) = r Kd Kt t t IK t tt 2 () ( ;3 6; 1) ( 1;3 5; 2) ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ÎÞ - - Þ = - -- uur IK u t t t tK 2 18 18 127 19 15 20 ;; 11 11 11 11 æö ¢ ¢ ¢¢ ^ Û -+ - + - = Û =Þ- ç÷ èø uur r Giả sử (d ) cắt (d 1 ) tại Ht t t Hd 1 ( ;4 ;6 2 ),( ( )) ++Î . HK t tt 18 56 59 ; ;2 11 11 11 æö = - - - -- ç÷ èø uuur HKu t t tt 1 18 56 118 26 40 11 11 11 11 ^ Û -- -- - = Û =- uuurr HK 1 (44; 30; 7). 11 Þ = -- uuur Vậy, PTTS của đường thẳng (d ): x yz 18 127 44; 30;7 11 11 11 l ll ì =+ =-- =- í î Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) với: (d 1 ): x yz 12 3 21 -+ == ; (d 2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 10 += và (Q): x yz 20 + - += . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d 1 ) và cắt (d 2 ). · Phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d 1 ): x yz 32 30 + + -= . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 27 A = (d 2 ) Ç (a) Û x yz xA x yz 32 30 58 10 1;; 33 20 ì + + -= æö ï += Û- ç÷ í èø ï + - += î Þ Phương trình AM: x yz 11 3 25 -- == - . Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ):2 20 - += và 2 đường thẳng x yz d 1 11 ( ): 1 32 - -- == , ( ) 12 ': 2 11 x yz d -- == - . Viết phương trình đường thẳng () D nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d'). · Ta có Pd nu (2; 1;2), ( 1;3;2) =-= rr và PTTS của (d'): xt yt zt 12 2 ì =- ï =+ í ï = î Gọi A = (d') Ç (P) Þ A t tt (1 2 ;2 ;) -+ . Do A Î (P) nên: t tt tA 2(1 2)2 20 0 ( 1;2;0) - - -+ = Û =Þ Mặt khác (D) nằm trong (P), vuông góc với (d) nên u D r vuông góc với Pd nu , rr Þ ta có thể chọn Pd u nu, ( 8; 2;7) D éù = = -- ëû r rr Þ Phương trình x yz 12 : 8 27 D -- == -- Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 10 - + -= và hai đường thẳng (d 1 ): x yz 1 23 2 13 - +- == , (d 2 ): x yz 1 12 2 32 + -- == . Viết phương trình đường thẳng (D) song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d 1 ) và cắt đường thẳng (d 2 ) tại điểm E có hoành độ bằng 3. · E Î (d 2 ) Þ E(3; 7; 6). P Pd d an a na aa 1 1 , 4( 1;1; 1) ì ^ éù Þ= =-- í ëû ^ î V V V rr r rr rr Þ (D): xt yt zt 3 7 6 ì =+ ï =+ í ï =- î . Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x yz 3 8 7 10 - + += . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P). · Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1) Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là P ABn , éù ëû uu ur r Þ d: x yz 21 2 12 -- == -- Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 : x yz 1 11 2 11 + -- == - ; d 2 : x yz 1 21 1 12 - -+ == và mặt phẳng (P): x yz 2 30 - - += . Viết phương trình đường thẳng D nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 . · Gọi A = d 1 Ç D, B = d 2 Ç D. Vì D Ì (P) nên A = d 1 Ç (P), B = d 2 Ç (P) Þ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1) Þ D chính là đường thẳng AB Þ Phương trình D: x yz 12 1 31 -- == - . Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 28 mặt phẳng (P): x yz 10 + + -= đồng thời cắt cả hai đường thẳng x yz d 1 11 ( ): 2 11 -+ == - và xt dy zt 2 1 ( ):1 ì =-+ ï =- í ï =- î , với tR Î . · Lấy ( ) Md 1 Î Þ ( ) M t tt 1 11 1 2 ;1; + -- ; ( ) Nd 2 Î Þ ( ) N tt 1 ; 1; - + -- Suy ra ( ) MN t t t tt 1 11 2 2;; = - - -- uuu ur d P MN knkR tt t tt * 1 11 () () .; 22 ^ Û = Î Û- - = =-- uuu ur r Û t t 1 4 5 2 5 ì = ï ï í - ï = ï î Þ M 132 ;; 5 55 æö = -- ç÷ èø Þ d: xyz 1 32 5 55 - = + =+ Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x yz 2 5 30 + + += , x yz d 1 11 ( ): 2 12 -+ == , x yz d 2 21 ( ): 1 12 -- == - ĐS: x yz d 1 22 : 2 15 + ++ == b) Với P x yz ( ):2 – –5 1 0 += , x yz d 1 1 12 : 2 31 + -- == , x yz d 2 22 : 1 52 -+ == - ĐS: x yz 1 43 2 15 - -- == -- Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): x yz 2– 10 + += , (Q): x yz – 2 30 + += , (R): x yz 2 –3 10 + += và đường thẳng 1 D : x yz 21 2 13 -+ == - . Gọi 2 D là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng 1 D , 2 D . · 1 D có PTTS: { x ty tzt 2 2; 1 ;3 =- =-+= ; 2 D có PTTS: { x sy szs 2 ; 5 3; =+ =+= . Giả sử d AdB 12 ; DD Ç = Ç= A t t tB s ss (2 2;1 ;3 ), (2 ;5 3;) Þ - -+ ++ AB s t st st ( 2 ;3 6; 3) =+ -+- uu ur , (R) có VTPT n ( 1;2; 3) =- r . d R ABn (), ^Û uu ur r cùng phương s t st st 2 3 63 1 23 + -+- Û == - t 23 24 Þ= Þ A 1 1 23 ;; 12 128 æö ç÷ èø Vậy phương trình của d: z xy 23 11 8 12 12 1 23 - -- == - . Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình xt d yt zt 1 :4 12 ì = ï =- í ï =-+ î , xyz d 2 2 : 1 33 - == -- , x yz d 3 1 11 : 5 21 + -+ == . Viết phương trình đường thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d d d 1 23 ,, lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB BC = . · Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d d d 1 23 ,, . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 29 Giả sử At t t Bu u u C v vv ( ;4–; 1 2 ), ( ;2 –3; 3 ), ( 1 5 ;1 2;1) -+ - -+ + -+ . Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC Û B là trung điểm của AC t vu t vu t vu ( 1 5)2 4 (1 2) 2.(2 3) 1 2 (1 ) 2( 3) ì + -+= ï Û - + + =- í ï-+ + -+ =- î Û t u v 1 0 0 ì = ï = í ï = î Þ A B C ( 1;3;1), (0;2;0), ( 1;1; 1) -- . Đường thẳng D đi qua A, B, C có phương trình: xyz 2 1 11 - == Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): xt yt zt 24 32 3 ì =+ ï =+ í ï =-+ î và mặt phẳng (P): x yz 2 50 - + + += . Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . · Chọn A(2;3; - 3), B(6;5; - 2)Î(d), mà A, B Î (P) nên (d) Ì (P) . Gọi u r là VTCP của ( d 1 ) Ì (P), qua A và vuông góc với (d) thì d P uu uu ì ^ í ^ î rr rr nên ta chọn dP u uu [ , ] (3; 9;6) = =- r rr . Phương trình của đường thẳng ( d 1 ) : xt y t tR zt 23 3 9() 36 ì =+ ï =-Î í ï =-+ î Lấy M(2+3t; 3 - 9t; - 3+6t) Î( d 1 ) . (D) là đường thẳng qua M và song song với (d). Theo đề : AM t tt tt 2 222 11 14 9 81 36 14 93 = Û + + = Û = Û =± · t = 1 3 - Þ M(1;6; - 5) x yz 1 165 ( ): 4 21 D - -+ Þ == · t = 1 3 Þ M(3;0; - 1) x yz 2 31 ( ): 4 21 D -+ Þ == Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 30 Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 10 + -+= và đường thẳng: d: x yz 2 11 1 13 - -- == -- . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng D nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến D bằng h 32 = . · (P) có VTPT P n ( 1;1; 1) =- r và d có VTCP u ( 1; 1; 3) = -- r . I d PI () ( 1;2;4) =ÇÞ Vì Pd ( ); D DD Ì ^Þ có véc tơ chỉ phương P u nu, ( 4;2; 2) D éù = =-- ëû r rr Gọi H là hình chiếu của I trên D H mpQ () ÞÎ qua I và vuông góc D Þ Phương trình (Q): x yz x yz 2( 1) ( 2) ( 4)02 40 - - + - - - = Û- + - += Gọi d P Qd 11 ( ) () =ÇÞ có VTCP PQ nn; (0;3;3) 3(0;1;1) éù == ëû rr và d 1 qua I x d yt zt 1 1 :2 4 ì = ï Þ =+ í ï =+ î Giả sử H d H t t IH tt 1 ( 1;2 ;4) (0; ;) ÎÞ + + Þ= uur . Ta có: t IHt t 2 3 32 2 32 3 é = = Û =Û ê =- ë · Với tH 3 ( 1;5;7) =Þ Þ Phương trình x yz 1 57 : 2 11 D - -- == -- · Với tH 3 ( 1; 1;1) =-Þ- Þ Phương trình x yz 1 11 : 2 11 D - +- == -- . Câu hỏi tương tự: a) P x yz ( ): 20 + + += , x yz d 3 21 : 2 11 - ++ == - , h 42 = . ĐS: x yz 5 25 : 2 31 - ++ D == - ; x yz 3 45 : 2 31 + +- D == - Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 2 90 + - += và đường thẳng x yz d 1 13 : 1 71 + -- == - . Viết phương trình đường thẳng D vuông góc với (P) và cắt d tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2. · Vì D ^ (P) nên D nhận P n (2;1; 2) =- r làm VTCP. Giả sử Mt t td ( 1;7 1;3) - + -Î . Ta có: dMP ( ,( ))2 = Û t 11 26 += Û t t 8 11 4 11 é =- ê ê ê = ë + Với t 8 11 =- Þ M 19 45 41 ;; 11 11 11 æö -- ç÷ èø Þ D: x ty tzt 19 45 41 2; ;2 11 11 11 ì =- + =- + =- í î + Với t 4 11 = Þ M 7 39 29 ;; 11 11 11 æö - ç÷ èø Þ D: x ty tzt 7 39 29 2; ;2 11 11 11 ì =- + = + =- í î Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 3 10 + - -= và các điểm A( 1;0;0); B(0; 2;3) - . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). · Ta có: AP ( 1; 0;0) () Î . Gọi VTCP của đường thẳng d là: u a bc a bc 2 22 ( ; ; ),0 = ++¹ r Ta có: P d P un c ab () .02 Ì Û = Û =+ rr Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 31 AB ( 1;2; 3) =-- uu ur ; d u AB a b a b ab , (2 7 ;2 2 ;2) éù =-- -+ ëû u ur uu ur Þ u AB a abb d Bd u a abb 22 22 , 12 24 54 ( ,) 245 éù ++ ëû == ++ uu ur r r + TH1: Nếu b = 0 thì d Bd ( ,)6 = + TH2: Nếu b 0 ¹ . Đặt a t b = Þ tt d Bd ft tt 2 2 12 24 54 ( ,) () 2 45 ++ == ++ Xét hàm số tt ft tt 2 2 12 24 54 () 2 45 ++ = ++ ta suy ra được d Bd ft 6 ( ,) () 14 £ =£ So sánh TH1 và TH2 Þ d Bd 6 ( ,) 14 ££ Do đó: a) d Bdb min( ( , ))60 = Û= . Chọn a =1 Þ c= 1 Þ Phương trình đường thẳng d: xt y zt 1 0 ì =+ ï = í ï = î b) d Bd ab max( ( , )) 14 = Û =- . Chọn b = –1 Þ a =1 , c = –1 Þ Phương trình đường thẳng d: xt yt zt 1 ì =+ ï =- í ï =- î Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 2 2 50 - + -= và các điểm A( 3;0;1) - ; B( 1; 1;3) - . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và cách B một khoảng nhỏ nhất. · ĐS: x yz d 31 : 26 112 +- == - . Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x yz 12 : 2 11 D +- == - , hai điểm A(0; 1;2) - , B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng D sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất). · Gọi Md D =Ç . Giả sử M ttt ( 1 2; ;2) -+- . VTCP của d: d u AM t tt (2 1; 1;) = = - +- uuur r AB(2;2; 1) - uu ur ; d ABu tt ; (1 ;1;4 2) éù =-- ëû uu ur r Þ d d ABu tt d Bd ft u tt 2 2 , 12 18 18 ( ,) () 6 22 éù -+ ëû = == -+ uu ur r r Xét hàm số tt ft tt 2 2 12 24 54 () 2 45 ++ = ++ . Ta có ftf ftf 1 max () (0) 18; min () (2) 11 == == Þ d Bd 1 ( ,) 18 11 ££ a) d Bdt 1 min( ( , ))2 11 = Û= Þ Phương trình đường thẳng d: xt yt zt 3 13 22 ì = ï =-+ í ï =- î Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 32 b) d Bdt max( ( , )) 180 = Û= Þ Phương trình đường thẳng d: xt yt zt 1 2 ì =- ï =-+ í ï =- î Câu hỏi tương tự: a) x yz AB x yz 10 : , (2;1; 1), ( 1;2;0) 10 D ì + + -= -- í - + -= î . ĐS: max x xy dd yz yz min 10 2 30 : ;: 20 20 ìì += + -= íí + -= - -= îî b) x yz AB 1 21 : , (3; 2;1), (2;1; 1) 1 21 D - +- = = -- - . ĐS: max x yz d 3 21 : 19 35 - +- == - ; x yz d min 3 201 : 5 207 - +- == -- . c) x yz AB 12 : , ( 1; 4;2), ( 1;2;4) 1 12 D -+ ==- - . ĐS: max x yz d 1 42 : 1 43 - -- == -- ; x yz d min 1 42 : 15 18 19 - -- == Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d 12 : 2 11 -- == , hai điểm AB ( 1;1;0), (2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và vuông góc với d, sao cho khoảng cách từ B đến D là lớn nhất. · Ta có VTCP của d là: d u (2;1;1) = r và AB ( 1;0;1) = uu ur . Gọi H là hình chiếu của B lên D ta có:dB BH AB ( ,) D=£ . Do đó khoảng cách từ B đến D lớn nhất khi HA º . Khi đó D là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB. Ta có d AB D D ì ^ í ^ î Þ Có thể chọn VTCP của D là d u u AB , ( 1; 1; 1) D éù = = -- ëû uu ur rr Þ PT của D là: xt yt zt 1 1 ì =+ ï =- í ï =- î Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1;2) - , cắt đường thẳng x yz 1 12 : 2 11 D +- == - sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng x yz 2 5 : 2 21 D - == - là lớn nhất. · Gọi Md 1 D =Ç . Giả sử M ttt ( 1 2; ;2) -+- .VTCP của d : d u AM t tt (2 1; 1;) = = - +- uuur r 2 D đi qua N(5; 0;0) và có VTCP v (2; 2;1) D =- r ; AN (5;1; 2) =- uuur ; d vu t tt ; ( 1;4 1;6) D éù=-- ëû rr Þ d d v u AN t dd ft vu tt 2 2 2 ,. (2) ( ,) 3. 3. () , 53 102 D D D éù ëû + = == éù -+ ëû uuur rr rr Xét hàm số t ft tt 2 2 (2) () 53 102 + = -+ . Ta suy ra được ftf 4 26 max () () 379 == Þ dd max( ( , )) 26 D = Þ Phương trình đường thẳng d: { x ty tzt 29; 1 41; 24 = =-- =+ Câu hỏi tương tự: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 33 a) x yz x yz A x yz 12 1 11 2 10 (2; 1;2),: ,: 10 2 11 DD - +- ì+ - += - == í - + += î . ĐS: x yz d 2 12 : 41 68 27 - +- == - . Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A( 1; 1;2) - , song song với mặt phẳng P x yz ( ): 10 + - += sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng x yz x yz 30 : 2 20 D ì + + -= í - + -= î là lớn nhất. · ĐS: x yt zt 1 1 2 ì = ï =-+ í ï =+ î . Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: xyz 2 1 22 - == và mặt phẳng (P): x yz 50 - + -= . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D một góc 0 45 . · Gọi dP u un ,, D r rr lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). Giả sử d u a bc a bc 2 22 ( ; ; )( 0) = ++¹ r . + Vì d Ì (P) nên dP un ^ rr Þ abc 0 - += Û b ac =+ (1) + · ( ) d 0 , 45 D = Û a bc a bc 2 22 222 2 3 ++ = ++ Û a bc abc 2 2 22 2( 2 ) 9() + + = ++ (2) Từ (1) và (2) ta được: c ac 2 14 300 += Û c ac 0 15 70 é = ê += ë + Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: {x ty tz 3; 1 ;1 =+ =--= + Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d: {x ty tzt 3 7; 1 8; 1 15 =+ =-- =- . Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng P x yz ( ): – 10 + += , cắt các đường thẳng x t xt d yt d yt z t zt 12 13 : ; :1 22 12 ìì =+ =- ïï = =+ íí ïï =+ =- îî và tạo với d 1 một góc 30 0 . · Ta có dP 1 () Ì . Gọi AdP 2 () =Ç Þ A(5; 1;5) - . d 1 có VTCP u 1 ( 1;1;2) = r . Lấy B tt td 1 (1 ; ;2 2) + +Î Þ AB t tt ( 4; 1;2 3) = - +- uu ur là VTCP của D Ta có d 0 1 cos( , ) cos30 D = Û t t tt 2 22 693 2 6( 4) ( 1) (2 3) - = - + + +- t t 1 4 é =- Û ê = ë Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 34 + Với t 1 =- thì AB ( 5; 0; 5) =-- uu ur Þ d: xt y zt 5 1 5 ì =+ ï =- í ï =+ î + Với t 4 = thì AB (0;5;5) = uu ur Þ d: x yt zt 5 1 5 ì = ï =-+ í ï =+ î Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), · tan2 = OBC . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. · BC: {x ty tz 2; 2;0 =+ =-= . Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm AB (2; 1;1), (0;1; 2) -- và đường thẳng xyz d 31 : 1 12 -+ == - . Viết phương trình đường thẳng D đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d một góc a sao cho 5 cos 6 a = . · PT mặt phẳng (OAB): x yz 4 20 + += . Gọi M = d Ç (OAB) Þ M( 10;13; 21) -- . Giả sử D có VTCP u a bc ( ; ;) = r + Vì D Ì (OAB) nên a bc 4 20 + += (1) + 5 cos 6 a = Û a bc a bc 2 22 25 6 6 -+ = ++ (2) Từ (1) và (2) Þ b cac b cac 52 , 11 11 ,6 é = =- ê ê = =- ë + Với b cac 52 , 11 11 = =- Þ u (2; 5; 11) = -- r Þ PT của D: x yz 10 13 21 2 5 11 + -+ == -- + Với b cac ,6 = =- Þ u (6; 1; 1) = -- r Þ PT của D: x yz 10 13 21 6 11 + -+ == -- Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A(0;1; 2) - , vuông góc với đường thẳng x yz d 32 : 1 11 +- == - và tạo với mặt phẳng (P): x yz 2 50 + - += một góc 0 30 = a . · Giả sử D có VTCP u a bc ( ; ;) = r . Ta có: ad 3 cos 2 a ì ^ ï í = ï î r Û a bc a bc a bc 2 22 0 23 2 6 ì - += ï +- í = ï ++ î Û c ab c aba 0, 2, é== ê =- =- ë + Với c ab 0, == Þ u ( 1;1;0) = r Þ D: {x ty tz ; 1;2 = =+ =- + Với c aba 2, =- =- Þ u ( 1; 1; 2) = -- r Þ D: {x ty tzt ; 1; 22 = =- =-- . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 35 Câu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A( 1; 1;2) - , song song với mặt phẳng P x yz ( ):2 30 - - += , đồng thời tạo với đường thẳng xyz 11 : 1 22 D +- == - một góc lớn nhất (nhỏ nhất). · D có VTCP u ( 1; 2;2) D =- r . Gọi VTCP của đường thẳng d là u a bc ( ; ;) = r . P d P un c ab () . 02 Û = Û =- rr P . Gọi góc giữa hai mặt phẳng là a. Þ ab ab a abb a abb 2 22 22 54 1 (5 4) cos. 3 5 42 35 42 a -- == -+ -+ + TH1: Nếu b = 0 thì 1 cos .5 3 a = + TH2: Nếu b 0 ¹ . Đặt a t b = Þ t ft tt 2 2 1 (5 4)1 cos. . () 33 5 42 a - == -+ Xét hàm số t ft tt 2 2 (5 4) () 5 42 - = -+ . Ta suy ra được: ft 53 0 cos () 9 a £ =£ So sánh TH1 và TH2, ta suy ra: 53 0 cos 9 a ££ Do đó: a) min(cos )0 a = Û a b 4 5 = Þ Phương trình đường thẳng d : x yz 1 12 4 53 - +- == b) 53 max(cos) 9 a = Û a b 1 5 =- Þ Phương trình đường thẳng d: x yz 1 12 1 57 - +- == - Câu 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A( 1; 0; 1) -- , cắt đường thẳng x yz 1 122 : 2 11 D - -+ == - sao cho góc giữa d và đường thẳng x yz 2 3 23 : 1 22 D - -+ == - là lớn nhất (nhỏ nhất). · Gọi Md 1 D =Ç . Giả sử M t tt (1 2 ;2 ;2) + + -- . VTCP của d : d u AM ttt (2 2; 2;1) = = + + -- uuur r . Gọi · d 2 (,) D = a . Þ t ft tt 2 2 22 cos. . () 33 6 149 a= ++ Xét hàm số t ft tt 2 2 () 6 149 = ++ . Ta suy ra được ftf 99 max () () 75 = -= ; ftf min () (0)0 == a) min(cos )0 a = t 0 Û= Þ Phương trình đường thẳng d : x yz 11 2 21 ++ == - b) 25 max(cos) 5 a = t 9 7 Û =- Þ Phương trình đường thẳng d : x yz 11 4 52 ++ == Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 36 Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là: x yz d 1 2 33 : 1 12 - -- == - , x yz d 2 1 43 : 1 21 - -- == - . Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của ABC D và tính diện tích của ABC D . · Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH P d P x yz 1 () ( ): 2 10 Þ ^Þ + - += B P dB 2 () ( 1;4;3) = ÇÞ Þ phương trình { BCx ty tz : 1 2; 4 2;3 =+ =-= Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d 2 , (Q) cắt d 2 và AB tại K và M. Ta có: Q x yz KM ( ): 2 20 (2;2;4) ( 1;2;5) - + - =ÞÞ (K là trung điểm của CM). x AByt zt 1 : 42 32 ì = ï Þ =+ í ï =- î , do ABC A AB dA S AB AC 1 1 ( 1;2;5) , 23 2 D éù = ÇÞ Þ == ëû uu ur uu ur . Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với A( 1; 1;1) - và hai đường trung tuyến lần lượt có phương trình là xyz d 1 12 : 2 32 -- == -- , xt dy zt 2 1 :0 1 ì =- ï = í ï =+ î . Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. · Ta có A d Ad 12 , ÏÏ . Gọi M d Nd 12 , ÎÎ lần lượt là trung điểm AC, AB. N tt (1– ; 0;1) + Þ B tt (1–2 ;1;1 2) + . Bdt 1 1 2 Î Þ= Þ B(0;1;2) Mt tt (2 ;1 3 ;2 2) -- Þ Ct tt (4 –1;3–6 ;3–4) . Cd tC 2 1 ( 1; 0;1) 2 Î Þ =Þ Ta có: AB AC 6,1 == . Gọi AD là đường phân giác trong của góc A thì DB DC 6 =- uu ur uuur Þ D 6 126 ;; 1 6;1 616 æö + ç÷ ç÷ + ++ èø Þ AD 1 2 61 ;; 1 61 616 æö -+ =ç÷ ç÷ + ++ èø uuur Vậy phương trình đường thẳng AD là: x yz 1 11 11 26 - +- == - + . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 37 TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1; 2;3) - . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy. · Gọi M là hình chiếu của I ( 1; 2;3) - lên Oy, ta có: M(0; 2;0) - . IM R IM ( 1; 0; 3) 10 =- - Þ == uu ur là bán kính mặt cầu cần tìm. Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là x yz 2 22 ( 1) ( 2) ( 3) 10 - + + + -= . Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1 ) : { x t y tz 2; ;4 = == và (d 2 ) : { 3; ;0 =- == x t y tz . Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). · Gọi MN là đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ) Þ MN (2; 1; 4); (2; 1; 0) Þ Phương trình mặt cầu (S): x yz 2 22 ( 2) ( 1) ( 2) 4. - + - + -= Câu hỏi tương tự: a) x yz d 1 21 : 1 12 -- == - , xt dy zt 2 22 :3 ì ¢ =- ï = í ï ¢ = î . ĐS: Sx yz 2 22 11 13 15 ( ): 6 6 36 æ öæ ö æö - + - + += ç ÷ç ÷ ç÷ è øè ø èø b) x y z x yz dd 12 21 2 42 ( ): ,( ): 1 22 1 62 -- - +- == == - ĐS: Sx yz 2 22 59 ( ):( 2) ( 3) 24 æö - + - + -= ç÷ èø Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x yz d 1 4 15 : 3 12 - -+ == -- và 2 2 : 33 =+ ì ï =-+ í ï = î xt dyt zt . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d 1 và d 2 . · Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính. Câu hỏi tương tự: a) xt d yt z 1 2 : 4 ì = ï = í ï = î , xt d yt z 2 3 : 0 ì =- ï = í ï = î . ĐS: Sx yz 2 22 ( ):( 2) ( 1) ( 2)4 - + - + -= Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 1 () D có phương trình {x ty tz 2; ;4 = == ; 2 () D là giao tuyến của 2 mặt phẳng xy ( ): 30 a + -= và x yz ( ):4 4 3 120 b + + -= . Chứng tỏ hai đường thẳng 12 , DD chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 12 , DD làm đường kính. · Gọi AB là đường vuông góc chung của 1 D , 2 D : A tt 1 (2; ;4) D Î , B ss 2 (3 ; ;0) D +-Î AB ^ D 1 , AB ^ D 2 Þ AB (2;1;4), (2;1;0) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 38 Þ Phương trình mặt cầu là: x yz 2 22 ( 2) ( 1) ( 2)4 - + - + -= Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A º O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’. · Kẻ CH ^ AB’, CK ^ DC’ Þ CK ^ (ADC’B’) nên DCKH vuông tại K. CH CK HK 2 22 49 10 Þ = += . Vậy phương trình mặt cầu: x yz 2 22 49 ( 3) ( 2) 10 - + - += Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:x yz 20 + + -= . Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A¢, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S). · Dễ thấy A¢( 1; –1; 0). Phương trình mặt cầu ( S): 0 1 2 2 5 2 2 2 = + - - - + + z y x z y x Þ (S) có tâm I 5 ;1;1 2 æö ç÷ èø , bán kính R 29 2 = +) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C) +) PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P): d: xt yt zt 5/2 1 1 ì=+ ï =+ í ï =+ î H 5 11 ;; 3 66 æö Þ ç÷ èø IH 75 53 366 == , (C) có bán kính r R IH 22 29 75 31 186 4 36 66 = - = - == Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình x yz 1 23 2 11 + -+ == - . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. · d(A, (d)) = BAa a , 4 196 100 52 4 11 éù ++ ëû == ++ uurr r PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 52 : x yz 2 22 ( –1) ( 2) ( –3) 50 + ++= Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d 57 : 2 21 +- == - và điểm M(4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB 6 = . Viết phương trình của mặt cầu (S). · d đi qua N( 5; 7;0) - và có VTCP u (2; 1;1) =- r ; MN ( 9;6; 6) =-- uuu ur . Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d Þ MH = d Md ( , )3 = . Bán kính mặt cầu (S): AB R MH 2 22 18 2 æö = += ç÷ èø . Þ PT mặt cầu (S): x yz 2 22 ( 4) ( 1) ( 6) 18 - + - + -= . Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) x yz :2 2 30 a - + -= và mặt cầu () S x y z x yz 2 22 : 2 4 8 40 + + - + - -= . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng ( ) a . Viết phương trình mặt cầu (S¢) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( ) a . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 39 · ( ) ( ) ( ) Sx yz 2 2 2 ( ): 1 2 4 25 - + + + -= có tâm ( ) I 1; 2;4 - và R = 5. Khoảng cách từ I đến (a) là: ( ) dIR ,()3 a =< Þ (a) và mặt cầu (S) cắt nhau. Gọi J là điểm đối xứng của I qua (a). Phương trình đường thẳng IJ : xt yt zt 12 2 42 ì =+ ï =-- í ï =+ î Toạ độ giao điểm H của IJ và (a) thoả ( ) xtt y tx H zty x yzz 121 21 1; 1;2 421 2 2 302 ìì =+ =- ïï ïï =-- =- Û Þ -- íí =+ =- ïï - + -== ïï îî Vì H là trung điểm của IJ nên ( ) J 3; 0;0 - . Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = 5 nên có phương trình: ( ) Sx yz 2 22 ( ):3 25 ¢ + + += . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P): 2 z = lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8. · Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT. Gọi (S 0 ) là mặt cầu có tâm Im 0 (0; 0;) thuộc trục Oz. Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S 0 ) theo 2 đường tròn tâm OO 1 (0;0;0) º , bán kính R 1 2 = và tâm O 2 (0;0;2) , bán kính R 2 8 = . Gọi R là bán kính mặt cầu thì Rm m mm Rm 2 22 22 2 22 2 4 64( 2) 16 82 ì ï =+ Þ+ = + - Þ= í = +- ï î Þ R 2 65 = và I 0 (0; 0;16) . Suy ra mặt cầu (S) có tâm I ab ( ; ;16) (a, b Î R), bán kính R 2 65 = . Vậy phương trình mặt cầu (S): xa ybz 2 22 ( ) ( ) ( 16) 260 - + - +-= (a, b Î R). Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 2 20 - - -= và đường thẳng d: x yz 12 1 21 +- == - . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3. · Giả sử I tt td ( ;2 1; 2) - - +Î , R là bán kính của (S), r là bán kính của (C). Ta có: dIPt ( ,( ))2 6 56 = Û- -= Û t t 1 6 11 6 é = ê ê ê =- ë . ( ) R dIPr 2 22 ( ,() 13 = += + Với t 1 6 = Þ I 1 2 13 ;; 6 36 æö -- ç÷ èø Þ (S): x yz 2 22 1 2 13 13 6 36 æ ö æ öæö + + + +-= ç ÷ ç ÷ç÷ è ø è øèø + Với t 11 6 =- Þ I 11 141 ;; 6 36 æö - ç÷ èø Þ (S): x yz 2 22 11 141 13 6 36 æ öæ ö æö - + + + -= ç ÷ç ÷ ç÷ è øè ø èø Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x yz 2 50 + - += . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng 5 6 . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 40 · Giả sử (S): x y z ax by czd 2 22 2 2 20 + + - - - += . + Từ O, A, B Î (S) suy ra: a c d 1 2 0 ì = ï = í ï = î Þ Ib ( 1; ;2) . + dIP 5 ( ,( )) 6 = Û b55 66 + = Û b b 0 10 é = ê =- ë Vậy (S): x y z xz 2 22 2 40 + + - -= hoặc (S): x y z x yz 2 22 2 20 40 + + - + -= Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A BC ( 1;3;4), ( 1;2; 3), (6; 1;1) -- và mặt phẳng x yz ( ): 2 2 10 a + + -= . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng () a và đi qua ba điểm A BC ,, . Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng () a . · Goi I a bc ( ; ;) là tâm mật cầu ta có : a b c a bc IA IB IA IC a b c a bc I a bc 22 2 2 22 22 2 2 22 (1 ) (3 ) (4 ) (1 ) (2 ) (3) (1 ) (3 ) (4 ) (6 ) (1 ) (1) ( 2 2 10 ì - + - + - = - + - + -- ì = ï ï í = Û - + - + - = - + -- +- í ï ïÎ + + -= î î a) bca a bc bI a bcc 761 5 4 36 1 ( 1; 1;1) 2 2 101 ìì +== ïï Û - - = Û =-Þ- íí ïï + + -== îî Þ R IA 22 25 == Þ Phương trình Sx yz 2 22 ( ):( 1)( 1) ( 1) 25 - + + + -= Tam giác ABC đều cạnh bằng 52 nên ABC S 253 2 = AB AC p AB AC (0; 1; 7), (5; 4; 3) , ( 25; 35;5) éù = -- = - - Þ= =-- ëû uu ur uu ur uu ur uu ur r ( ) ABC np 17 cos(( ),( )) cos, 153 a == rr a Gọi S ' là diện tích hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng () a Ta có ABC SS ABC 50 3 17 85 ' .cos(( ),( )) 46 153 a = == (đvdt) Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x yz 11 3 11 -+ == và mặt phẳng (P): x yz 2 2 20 + - += . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). · Gọi I là tâm của (S). I Î d Þ I t tt (1 3;1 ;) + -+ . Bán kính R = IA = tt 2 11 21 -+ . Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: t dIPR 53 ( ,( )) 3 + == Û tt 2 37 240 -= Û tR tR 01 24 77 37 37 é= Þ= ê = Þ= ê ë . Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0). Vậy phương trình mặt cầu (S): x yz 2 22 ( 1)( 1)1 - + + += . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 41 Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x yz 12 1 11 -+ == và mặt phẳng (P): x yz 2 –2 20 + += . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0). · Gọi I là tâm của (S) Þ ( ) I ttt 1 ; – 2; + . Ta có d(I, (P)) = AI Û t t 7 1; 13 == . Vậy: S x yz 2 22 ( ):( –2)( 1) ( –1)1 + ++= hoặc S x yz 2 22 20 19 7 121 ( ):–– 13 13 13 169 æ öæ öæö + + += ç ÷ç ÷ç÷ è øè øèø . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I ( 1;2; 2) - , đường thẳng D: x yz 2 23 - = += và mặt phẳng (P): x yz 22 50 + + += . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8p . Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và tiếp xúc với (S). · Ta có: d dIP ( ,( ))3 == . Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện. Ta có: rr 2 84 pp = Þ= Suy ra bán kính mặt cầu: R rd 2 22 25 = += Þ Sx yz 2 22 ( ):( 1) ( 2) ( 2) 25 - + - + += Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với () D tại điểm M 5 54 ;; 3 33 æö - ç÷ èø . Do đó: (Q) chứa () D và tiếp xúc với (S) đi qua M 5 54 ;; 3 33 æö - ç÷ èø và có VTPT MI 2 11 10 ;; 3 33 æö - ç÷ èø uu ur Þ PT mặt phẳng (Q): x yz 6 33 30 1050 - + -= . Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng { d x ty zt : ; 1; = =- =- và 2 mặt phẳng (P): x yz 2 2 30 + + += và (Q): x yz 2 2 70 + + += . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). · Giả sử: It td (; 1;) - -Î . Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên dIP dIQR ( ,( )) ( ,( )) == Û tt 15 33 -- = Û t 3 = . Suy ra: RI 2 , (3; 1; 3) 3 = -- . Vậy phương trình mặt cầu (S): ( ) ( ) ( ) x yz 2 22 4 3 13 9 - + + + += . Câu hỏi tương tự: a) { dx ty tzt : 2 ; 1 2;1 =+ =+ =- , P x yz ( ): 2 2 50 + - += , Q x yz ( ): 2 2 130 + - -= . ĐS: Sx yz 2 22 16 115 ( ):9 7 77 æ öæ ö æö - + - + -= ç ÷ç ÷ ç÷ è øè ø èø Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 2 100 - - += , hai đường thẳng (D 1 ): x yz 21 1 11 -- == - , (D 2 ): x yz 23 1 14 -+ == . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (D 1 ), tiếp xúc với (D 2 ) và mặt phẳng (P). · xt yt zt 1 2 : 1 D ì =+ ï = í ï =- î ; 2 D đi qua điểm A(2;0; 3) - và có VTCP u 2 ( 1;1;4) = r . Giả sử I ttt 1 (2 ; ;1) D + -Î là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S). Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 42 Ta có: AI ttt (; ;4) =- uur Þ AIu tt 2 , (5 4;4 5 ;0) éù = -- ëû uur r Þ AIu t dI u 2 2 2 , 54 (,) 3 D éù - ëû == uur r r tt tt dIP 2 2 2(1 ) 10 10 ( ,( )) 3 1 44 +- - -++ == ++ (S) tiếp xúc với 2 D và (P) Û dI dIP 2 (, ) ( ,( )) D = Û tt 54 10 - =+ Û t t 7 2 1 é = ê ê =- ë . · Với t 7 2 = Þ I 1175 ;; 2 22 æö - ç÷ èø , R 9 2 = Þ PT mặt cầu (S): x yz 2 22 11 7 5 81 2 2 24 æ ö æ ö æö - + - + += ç ÷ ç ÷ ç÷ è ø è ø èø . · Với t 1 =- Þ IR ( 1; 1;2),3 -= Þ PT mặt cầu (S): x yz 2 22 ( 1)( 1) ( 2)9 - + + + -= . Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0. · PT mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0 (S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0 (S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0 Tâm I Î (P): a + b – 2c + 4 = 0 Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3. Vậy (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0 Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích bằng 5. Gọi M là trung điểm của CC’. Biết rằng điểm A¢(0; 0; 2) và điểm C có tung độ dương. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB¢C¢M. · Ta có: AB 5 = và ABC S 5 D = nên AC 25 = . Vì AA’ ^ (ABC) và A, B Î (Oxy) nên C Î (Oxy). Gọi C xy ( ; ;0) . AB AC xy ( 1;2;0), ( ; ;0) == uu ur uu ur . Ta có: xy AB AC xx yy AC xy 22 20 44 22 25 20 ì ì += ^ ìì =-= Û ÛÚ í í íí = =- = += îî î î . Vì C y 0 > nên C(–4; 2; 0) . Do CC AA '' = uuur uuur Þ C¢(–4; 2; 2), BB AA '' = uuur uuur Þ B¢(1; 2; 2) và M là trung điểm CC¢ nên M(–4; 2; 1). Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 43 PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng: S x y z x by czd 2 22 ( ): 2 2 20 + + + + + += AS BS a b cd CS MS (0; 0;0) () 3 33 '( 1;2;2) () ; ; ;0 '( 4;2;2) () 2 22 ( 4;2;1) () ì Î ï ï Î Û= =- =-= í -Î ï -Î ï î (thoả a b cd 2 22 0 + + -> ) Vậy phương trình mặt cầu (S) là: S x y z x yz 2 22 ( ): 3 3 30 + + + - -= . Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. · Ta tính được AB CD AC BD AD BC 10, 13,5 == == == . Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là G 33 ; 0; 22 æö ç÷ èø , bán kính là R GA 14 2 == . Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID . Câu 22. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 2 60 + + -= , gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S). · Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). PT mặt cầu (S) có dạng: x y z Ax By CzD 2 22 2 2 20 + + + + + += A B CD 2 22 ( 0) + + -> . A, B, C, O Î (S) Û D A A B CD B C 0 33 36 120 3; ; ;0 960 22 960 ì = ï ì ï += Û =- =- =-= íí += î ï += ï î . Vậy (S): x y z x yz 2 22 6 3 30 + + - - -= có tâm I 33 3;; 22 æö ç÷ èø , bán kính R 36 2 = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Þ H là tâm của (C). Tìm được H 8 55 ;; 3 66 æö ç÷ èø . Þ Bán kính của (C): r R IH 22 27 52 1 22 = - = -= . Câu 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N. · Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: D º O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D¢(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C¢(0; 2; 2). PT mặt cầu (S) đi qua 4 điểm M, N, B, C¢ có dạng: x y z Ax By CzD 2 22 2 2 20 + + + + + += . M, N, B, C¢ Î (S) Û AD B CD A B CD A CD B CD 120 5 51 2220 ; ; ;4 8440 2 22 8440 ì+ += ï ì ï+ + += Û =- =- =-= íí + + += î ï + + += ï î Vậy bán kính R = A B CD 2 22 15 + + -= . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 44 Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. · I (1; 2; 3); R = 1 4 9 115 + + += ; d (I; (P)) = 2(1) 2(2) 34 3 4 41 - -- = ++ < R = 5. Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : xt yt zt 12 22 3 ì =+ ï =- í ï =- î Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C). J Î d Þ J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t) J Î (P) Þ 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0 Þ t = 1 Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R IJ 22 4 -= Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. · Gọi I , r là tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. OABC IOAB IOBC OCA ABC V V +V +V +V = = OAB OBC OCA ABC rS rS rS rS 1 1 11 .. .. .. .. 3 3 33 + ++ = TP rS 1 .. 3 Mặt khác: OABC V OA OB OC 1 84 . .. 6 63 = == (đvtt); OAB OBC OCA S S S OA OB 1 ..2 2 = = == ABC S AB 2 33 .8 23 44 = == (đvdt) Þ TP S 6 23 =+ (đvdt) Do đó: OABC TP V r S 3 4 6 23 == + (đv độ dài) Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho mn 1 += và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định. · Ta có: SMm SNn ( ; 0; 1), (0; ; 1) = - =- uuur uu ur Þ VTPT của (SMN) là n n m mn (; ;) = r Phương trình mặt phẳng (SMN): nx my mnz mn 0 + + -= Ta có: d(A,(SMN)) n m mn n m mn 22 22 +- = ++ mn mn mn mn mn 1. 1 1 1 22 12 - - = == - -+ Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định. Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình xt dy zt 1 :0 2 ì = ï = í ï =- î , x d yt zt 2 0 : 2 ì = ï = í ï =- î . Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R 6 = , có tâm nằm trên đường phân giác của góc nhỏ tạo bởi dd 12 , và tiếp xúc với dd 12 , . · Phương trình mp(P) chứa dd 12 , là P x yz ( ): 20 + + -= Phương trình mp(Q) chứa d 1 và vuông góc với (P là Q x yz ( ): 2 20 - + -= Phương trình mp(R) chứa d 2 và vuông góc với (P) là R x yz ( ):2 20 - - += Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 45 Phương trình hai mặt phân giác của hai mặt (Q) và (R): ( ) ( ) PG xy PG x yz 12 : 0, : 2 40 -= + - += Phương trình hai đường phân giác của d 1 , d 2 : xt xt a yt b yt z tz :: 222 ìì = =- ïï == íí ïï =-= îî Vì ad bd 11 cos(, ) cos(,) > nên đường thẳng a là phân giác của d 1 , d 2 thỏa mãn điều kiện. Do đó có hai tâm mặt cầu thỏa mãn I 12 (2;2; 2), I ( 2; 2;6) - -- Suy ra Sx yz 2 22 1 ( ):( 2) ( 2) ( 2)6 - + - + += hoặc Sx yz 2 22 2 ( ):( 2) ( 2) ( 6)6 + + + + -= Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 46 TĐKG 04: TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x yz 10 - + -= để DMAB là tam giác đều. · Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Þ (Q): x yz 30 + - -= d là giao tuyến của (P) và (Q) Þ d: {x y t zt 2; 1; = =+= M Î d Þ M tt (2; 1;) + AM tt 2 2 8 11 Þ = -+ . Vì AB = 12 nên D MAB đều khi MA = MB = AB ttt 2 4 18 2 8 10 2 ± Û - - = Û= M 6 184 18 2;; 22 æö ±± Þç÷ èø . Câu hỏi tương tự: a) Với (4;0;0) , (0;0;4) AB , (P): 2 2 40 - + -= x yz . ĐS: Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x yz 3 10 - -+= để DMAB là tam giác đều. · Giả sử M x yzP ( ; ;) () Î Þ x yz 3 10 - -+= (1). D MAB đều Û MA MB MA AB MP 22 22 () ì = ï í = ï Î î Û xz z x yz 4 84 61 31 ì + =- ï =- í ï - - =- î Û x y z 2 3 10 3 1 6 ì = ï ï ï = í ï ï =- ï î Þ M 2 101 ;; 336 æö - ç÷ èø Câu hỏi tương tự: a) Với A B P x yz ( 1;1; 3), (3;1; 1),( ):3 8 7 40 - - - + += . ĐS: C 26 6 26 2 ;1 ;2 3 33 æö + - -- ç÷ èø hoặc C 26 6 26 2 ;1 ;2 3 33 æö - + -+ ç÷ èø b) Với A B P x yz ( 1;2;3), ( 1; 4;2),( ): 10 - - + += . ĐS: C 1 3 5 11 3 53 ;; 4 42 æö -- ç÷ èø hoặc C 1 3 5 11 3 53 ;; 4 42 æö ++ ç÷ èø Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm AB (3;5;4), (3;1;4) . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳngP x yz ( ): 10 - - -= sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 . · Giả sử: C x yxyP ( ;; 1) () - -Î . AB 4 = . AC BC x y xy x y xyy 2 2 2 2 22 ( 3) ( 5)( 5) ( 3) ( 1)( 5)3 = Þ - + - + -- = - + - + -- Þ= Gọi I là trung điểm AB I(3;3;4) Þ . IAB S CI AB CI 2 17 . 4 17 17 = Þ = Þ= Û x xx x 22 4 (3 ) (8 ) 17 7 é = - + - =Û ê = ë + Với xC 4 (4;3;0) =Þ + xC 7 (7;3;3) =Þ . Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): x yz 2 2 –30 + += Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 47 sao cho MA = MB = MC . · Ta có AB AC n AB AC (2; 3; 1), ( 2; 1; 1) , (2;4; 8) éù = -- = - - - Þ= =- ëû uu ur uu ur uu ur uu ur r là 1 VTPT của (ABC) Suy ra phương trình (ABC): x yz 2 4 60 + - += . Giả sử M(x; y; z). Ta có: MA MB MC MP () ì == í Î î Û x y z 2 3 7 ì = ï = í ï =- î Þ M(2;3; 7) - Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm (0; 2;1), (2;0;3) - AB và mặt phẳng ( ):2 40 P x yz - - += . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và ( ) () ABMP ^ . · Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của AB 1 ( 1;1;1) 2 Þ == Q n AB uu uv r là một VTPT của (Q). I ( 1; 1;2) - là trung điểm của AB Þ Phương trình Q x yz ( ): 20 + + -= Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P). ; (0;3; 3) éù = =- ëû R PQ n nn r rr là VTPT của (R) Þ Phương trình của R yz ( ): 30 - += Toạ độ của M là nghịêm cuả hệ: x yz x yzM yz 2 40 2 1 17 20 ;; 3 66 30 ì - - += æö ï + + - = Þ -- ç÷ í èø ï - += î Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. · OABC là hình chữ nhật Þ B(2; 4; 0) Þ Tọa độ trung điểm H của OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB. + Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp có phương trình z = 2 ) tại I Þ I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S. + Tâm I(1; 2; 2) và R = OI = 22 1 2 23 + += Þ (S): x yz 2 22 ( 1) ( 2) ( 2)9 - + - + -= Câu 7. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A B (–1;3;–2), (–3; 7;–18) và mặt phẳng (P): x yz 2– 10 + += . Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. · A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A¢ là điểm đối xứng với A qua (P) Þ A'(3;1;0) Để M Î (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với A¢B Þ M(2;2; 3) - . Câu hỏi tương tự: a) Với AB (0; 1;2), ( 1;1;3) -- , P Oxy ( ) () º . ĐS: M 21 ; ;0 55 æö -- ç÷ èø b) Với A( 1;0;0), B( 1;2;0) , P x yz ( ): 40 + + -= ĐS: c) Với A B P x yz ( 1;2; 1), (3;1; 2),( ): 20 - - - += . ĐS: M 134 ;1; 55 æö - ç÷ èø . Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng D có phương trình tham số { x ty tzt 1 2; 1 ;2 =-+ =-= . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng D , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. · Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M D Î nên ( ) M t tt 1 2 ;1 ;2 -+- . AM BMtt 2 2 22 (3) (2 5) (3 6) (2 5) + = + + -+ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 48 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ ( ) ut 3 ;25 = r và ( ) vt 3 6;25 = -+ r . Ta có ut vt 2 2 22 (3) (2 5); (3 6) (2 5) = + = -+ rr Þ AM BM uv | | || + =+ rr và uv uv (6;4 5)| | 2 29 += Þ += rr rr Mặt khác, ta luôn có u v uv | | | ||| + ³+ r r rr Như vậy AM BM 2 29 +³ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi uv , rr cùng hướng t t t 3 25 1 36 25 Û = Û= -+ M( 1; 0;2) Þ và AM BM min( ) 2 29 += . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 29) + Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 3 3 110 - +-= và hai điểm A(3; 4;5) - , B(3;3; 3) - . Tìm điểm MP () Î sao cho MA MB - lớn nhất. · Xét tương tự như câu 6). + Nếu A, B ở cùng phía so với (P) thì MA MB AB -£ + Nếu A, B ở khác phía so với (P), ta lấy điểm A¢ đối xứng với A qua (P). Khi đó MA MA MA MB MA MB AB ¢ ¢¢ = Þ - = -£ ĐS: M 31 5 31 ;; 7 77 æö -- ç÷ èø . Câu hỏi tương tự: a) P x yz ( ): 40 + + -= , A( 1;2;1) , B(0;1;2) . ĐS: b) P x y z AC ( ): 2 0, ( 1;2; 1), ( 1; 2;1) - += -- . ĐS: M 7 11 ; ;1 22 æö ç÷ èø Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 0 8 2 2 = + + - z y x và các điểm A B (–1;2;3), (3;0;–1) . Tìm điểm MÎ (P) sao cho 2 2 MB MA + nhỏ nhất. · Gọi I là trung điểm của AB Þ I ( 1; 1; 1) . Ta có: AB MA MB MI 2 2 22 2 2 + =+ . Do đó: MA MB 22 + nhỏ nhất IM 2 Û nhỏ nhất Û M là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Û P IMn cuøng phöông MP , () ì í Î î uu ur r Û xtt ytx zty x yzz 11 120 123 2 2 801 ìì =+ =- ïï ïï =-= ÛÛ íí =+= ïï - + += =- ïï îî . Vậy M(0; 3; –1). Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x yz 0 + += , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7). ĐS: M º O(0; 0; 0). b) Với (P): x yz 5 7 50 + - -= , AB (4;9; 9), ( 10;13;1) -- . ĐS: M 50 192 75 ;; 17 17 17 æö -- ç÷ èø . Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 40 + + -= và các điểm A( 1;2;1) , B(0;1;2) . Tìm điểm MP () Î sao cho MA MB 22 2 + nhỏ nhất. · Giả sử I là điểm thoả mãn: IA IB IA IB 202 + = Û =- u ur u ur r u ur u ur Þ I 1 45 ;; 333 æö ç÷ èø Ta có: MA MB MI IA IB 2 2 2 22 2 32 + = ++ . Do I cố định nên IA IB 22 , không đổi. Vậy MA MB 22 2 + nhỏ nhất MI 2 Û nhỏ nhất MI Û nhỏ nhất M Û là hình chiếu của I Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 49 trên (P) Û M 5 14 17 ;; 9 99 æö ç÷ èø . Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x yz – – –30 = . Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F MA MB MC 2 22 =++ . Khi đó tìm toạ độ của M. · Gọi G là trọng tâm của DABC Þ G 78 ; ;3 33 æö ç÷ èø ; GA GB GC 2 22 56 32 104 64 9 9 93 + + = + += Ta có ( ) ( ) ( ) F MA MB MC MG GA MG GB MG GC 2 22 2 22 =+ + = + + + ++ uuu ur uu ur uuu ur uu ur uuu ur uuur MG GA GB GC MG GA GB GC MG GA GB GC 2 2 22 2 2 22 3 2( )3 = + + + + + + = + ++ uuu ur uu ur uu ur uuu ur F nhỏ nhất Û MG 2 nhỏ nhất Û M là hình chiếu của G lên (P) Û MG dGP 78 33 33 19 ( ,( )) 111 33 - -- = == ++ Vậy F nhỏ nhất bằng 2 19 64 553 3. 39 33 æö += ç÷ èø khi M là hình chiếu của G lên (P). Câu hỏi tương tự: a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x yz 30 - - -= . ĐS: F min 65 = , M 11 24 ;; 3 33 æö - ç÷ èø b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(2; 2; 1), (P): x yz 3– 20 + += . ĐS: M 22 61 17 ;; 3 33 æö - ç÷ èø c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): 0 6 2 2 = + + - z y x . ĐS: M (0; 4; 1) . Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( 1;0;1) - , B(2; 1;0) - , C(2; 4;2) và mặt phẳng (P): x yz 2 20 + + += . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức T MA MB MC 2 22 =++ đạt giá trị nhỏ nhất. · Giả sử M x yzP ( ; ;) () Î Þ x yz 2 20 + + += Û x yz ( 1) ( 1) 2( 1) 60 - + - + - += (1) Ta có: T x y z x yz x yz 2 22 2 22 3( 2 2 2) 31 3( 1) ( 1) ( 1) 22 éù = + + - - - + = - + - + -+ ëû (2) Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho các bộ số: ( 1;1;2) và x yz ( 1; 1; 1) - -- , ta được: x yz x yz 2 2 2 22 ( 6) 1( 1) 1( 1) 2( 1) (1 1 4)( 1) ( 1) ( 1) éù éù - = - + - + - £ ++ - + - +- ëû ëû Þ T 2 6 3. 22 40 6 ³ += . Dấu "=" xảy ra Û x x yz y z x yz 0 1 11 0 1 12 1 2 20 ì = ì- -- ï ï == Û= í í ï ï =- + + += î î Þ M(0; 0; 1) - . Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 40 + + -= và các điểm A( 1;2;1) , B(0;1;2) , C(0; 0;3) . Tìm điểm MP () Î sao cho MA MB MC 2 22 32 ++ nhỏ nhất. · Giải tương tự như Câu 10. Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 10 - + -= và các Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 50 điểm A( 1;2; 1) - , B( 1; 0; 1) - , C(2;1; 2) - . Tìm điểm MP () Î sao cho MA MB MC 2 22 +- nhỏ nhất. · Giải tương tự như Câu 10. ĐS: M 2 12 ;; 3 33 æö ç÷ èø . Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 20 - += và các điểm A( 1;2; 1) - , B(3;1; 2) - , C( 1; 2;1) - . Tìm điểm MP () Î sao cho MA MB MC 2 22 -- nhỏ nhất. · Giải tương tự như Câu 10. ĐS: ( ) M 2; 2;2 -- . Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x yz 30 + + -= . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA MB MC 23 ++ uuur uuur uuur nhỏ nhất. · Gọi I là điểm thoả: IA IB IC 2 30 + += u ur u ur uur r Þ I 23 13 25 ;; 666 æö ç÷ èø Ta có: T = ( ) ( ) ( ) MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI MI 23 2 3 66 + + = + + + + + == uuur uuur uuur uu ur u ur uu ur u ur uu ur uur uu ur uuu r Do đó: T nhỏ nhất Û MI uu ur nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên (P). Ta tìm được: M 13 2 16 ;; 9 99 æö - ç÷ èø . Khi đó T 433 min 3 = . Cách 2: Giả sử M x yzP ( ; ;) () Î Þ x yz 30 + + -= (1) Khi đó: MIx yz 2 22 2 23 13 25 6 66 æ öæ öæö = - + - +- ç ÷ç ÷ç÷ è øè øèø Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1), ta được: x y z x yz 2 2 2 22 43 23 13 25 23 13 25 1. 1. 1.3 6 6 6 6 6 66 éù éù æ ö æ ö æ ö æ ö æ öæ öæö êú - = - + - + - £- + - +- ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç÷ êú êú è ø è ø è ø è ø è øè øèø ë ûëû Þ MI 2 2 43 3 18 æö ³ ç÷ èø Û MI 433 18 ³ . Dấu "=" xảy ra Û x yz x yz 23 13 25 6 66 1 11 30 ì - -- ï == í ï + + -= î Û x y z 13 9 2 9 16 9 ì = ï ï ï =- í ï ï = ï î Û M 13 2 16 ;; 9 99 æö - ç÷ èø Vậy T 433 min 3 = khi M 13 2 16 ;; 9 99 æö - ç÷ èø . Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 40 + + -= và các điểm A( 1;2;1) , B(0;1;2) , C(0; 0;3) . Tìm điểmMP () Î sao cho MA MB MC 34 ++ uuur uuur uuur nhỏ nhất. · Giải tương tự như Câu 16. Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x yz ( ): 10 + + -= và ba Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 51 điểm A BC (2;1;3), (0; 6;2), ( 1; 1;4) -- . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng P () sao cho MA MB MC ++ uuur uuur uuur đạt giá trị bé nhất. · Dễ thấy A BC ,, không thẳng hàng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , thì G( 1; 2;3) - . Khi đó với mọi MP () Î ta có MA MB MC MG 3 + += uuur uuur uuur uuu ur , do đó MA MB MC ++ uuur uuur uuur đạt giá trị bé nhất MG Û uuu ur đạt giá trị bé nhất M Û là hình chiếu vuông góc của G trên P () . (P) có VTPT n ( 1;1;1) = r . Giả sử Mx yz P x yz 0 00 0 00 ( ; ; ) () 10 Î Þ + + -= (1). M là hình chiếu của G trên P () ( ) GM x yz 0 00 1; 2;3 Û = - +- uuur cùng phương với n r x y z x yz 0 0 0 0 00 1 2 3 ( 1)( 2)( 3) 111 1 11 - + - - + + +- Û = == ++ x yz 0 00 ( 1)1 1 33 + + -- - == Û x yz 0 00 2 78 ,, 3 33 - = == . Vậy M 2 78 ;; 3 33 æö - ç÷ èø . Câu hỏi tương tự: a) P x y z A BC ( ): 2 0, ( 1;2; 1), (3;1; 2), ( 1; 2;1) - += - -- . ĐS: M 512 ;; 233 æö - ç÷ èø . Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 3 3 2 370 - + += và các điểm A BC (4;1;5), (3; 0;1), ( 1;2;0) - . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA MB MB MC MC MA . .. ++ uuur uuur uuur uuur uuuu ruuur · Giả sử M x yzP ( ; ;) () Î Þ x yz 3 3 2 370 - + += (1) Khi đó S x yz 2 22 3( 2) ( 1) ( 2)5 éù = - + - + -- ëû . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được: x yz x yz 2 2 2 22 ( 44) 3( 2) 3( 1) 2( 2) (9 9 4)( 2) ( 1) ( 2) éù éù - = - - - + - £ ++ - + - +- ëû ëû Þ x yz 2 2 22 44 ( 2) ( 1) ( 2) 88 22 - + - + - ³= . Dấu "=" xảy ra Û x yz 2 12 3 32 - -- == - Û x y z 4 7 2 ì =- ï = í ï =- î Û M(4;7; 2) - . Vậy S min 3.88 5 259 = -= khi M(4;7; 2) - . Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm AB (0;1;2), ( 1;1;0) - và mặt phẳng (P): x yz 0 - += . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho DMAB vuông cân tại B. · Giả sử M x yzP ( ; ;) () Î . BA MB x yz ( 1;0;2), ( 1; 1;) = = +- uur uuur . Ta có: MP BA BM BA BM () .0 ì Î ï í= ï = î uur uuur Û xz x yz x yz 2 22 120 0 ( 1) ( 1)5 ì ++= ï - += í ï + + - += î Û xx yy zz 1 10 4 10 33 4 10 2 10 66 2 10 2 10 66 ìì -- -+ == ïï ïï ïï -+ -+ íí = Ú= ïï ïï -- -+ == ïï îî Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B( 1; 3; 0) - , C( 1; 3; 0) , Ma (0; 0;) với a > 0. Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC). Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 52 · BCMN MOBC NOBC V V Va a 33 3 æö = + =+ ç÷ èø đạt nhỏ nhất Û a a 3 = Û a 3 = . Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng xt d yt zt 2 : 12 ì =- ï = í ï =-- î và mặt phẳng (P): x yz 10 + -+= . Gọi d ¢ là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Tìm toạ độ điểm H thuộc d ¢ sao cho H cách điểm K( 1;1;4) một khoảng bằng 5. · Gọi A = d Ç (P) Þ A(4; 2;3) - . PT hình chiếu d¢ của d trên (P): xt yt zt 47 22 35 ì =+ ï =-- í ï =+ î . Giả sử H t t td (4 7; 2 2 ;3 5) ¢ + -- +Î . KH 2 25 = Û t 11 238 39 -± = Þ H. Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường thẳng D : x yz 12 1 12 -+ == - . Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho: MA MB 22 28 += . · PTTS của xt yt zt 1 :2 2 ì =- ï D =-+ í ï = î . M M t tt (1 ;2 ;2) D ÎÞ - -+ Ta có: MA MB ttt 2 22 28 12 48 4802 + = Û - + = Û= Þ M( 1;0;4) - Câu 25. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A BC (0;1;0), (2;2;2), ( 2;3;1) - và đường thẳng x yz d 1 23 : 2 12 - +- == - . Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC bằng 3. · xt dyt zt 12 :2 32 ì =+ ï =-- í ï =+ î . Giả sử M t t td (1 2; 2 ;3 2) + -- +Î . n AB AC 1 ; ( 1; 2; 2) 3 éù =- =- ëû uu ur uu ur r Þ ABC S 9 2 = . PT mặt phẳng (ABC): x yz 2 2 20 + - -= . t h dM ABC 4 11 ( ,() 3 -- == MABC t Vt 1 9 4 115 ..3 3234 + = = Û =- hoặc t 17 4 =- Þ M 3 31 ;; 2 42 æö -- ç÷ èø hoặc M 15 9 11 ;; 2 42 æö - ç÷ èø . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 53 Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: x yz 13 1 11 -- == . Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều. · Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có: MH = d Md ( ,)2 = . Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = MH 2 26 3 3 = Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ: x yz x yz 2 22 23 1 11 8 ( 2) ( 1) ( 2) 3 ì-- == ï í ï - + - + -= î . Giải hệ này ta tìm được: AB 22 2 2 22 2 ; ;3 , 2 ; ;3 33 3 3 33 æ öæö + + - -- ç ÷ç÷ è øèø . Câu hỏi tương tự: a) Với M( 1; 0; 1) - , xt d yt z :2 1 ì = ï = í ï = î . ĐS: AB 5 76 10 2 76 1 76 2 2 76 ; ;1, ; ;1 15 15 15 15 æ öæö + + -- ç ÷ç÷ è øèø hoặc AB 5 76 10 2 76 1 76 2 2 76 ; ;1, ; ;1 15 15 15 15 æ öæö - - ++ ç ÷ç÷ è øèø Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: xt yt z 1 22 3 ì =- ï =+ í ï = î . Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. · d có VTCP d u ( 1;2;0) =- r . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Giả sử ( ) t t H1 ;2 2 ;3 -+ Þ ( ) AH tt 1 ;1 2 ;0 = -+ uuu ur Mà AH ^ d nên d AHu ^ uuur r Þ ( ) ( ) tt 1 12 1 20 -+ - += Û t 1 5 =- Þ H 68 ; ;3 55 æö ç÷ èø Þ AH = 35 5 . Mà DABC đều nên BC = AH 2 2 15 5 3 = hay BH = 15 5 . Giả sử B ss (1 ;2 2 ;3) -+ thì ss 22 1 2 15 2 5 5 25 æ öæö -- + += ç ÷ç÷ è øèø Û ss 2 25 10 20 + -= Û s 13 5 -± = Vậy: B 6 3 8 23 ; ;3 55 æö -+ ç÷ èø và C 6 3 8 23 ; ;3 55 æö +- ç÷ èø hoặc B 6 3 8 23 ; ;3 55 æö +- ç÷ èø và C 6 3 8 23 ; ;3 55 æö -+ ç÷ èø Câu 28. Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : 12 1 22 -+ == x yz và mặt phẳng (P) : x yz 2 – –20 = . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 54 · Gọi A(a; 0; 0) Ox Î Þ aa dAP 2 22 22 ( ;( )) 3 2 12 == ++ ; aa d Ad 2 8 24 36 ( ;) 3 -+ = d(A; (P)) = d(A; d) a aa aa 2 2 2 8 24 36 4 24 360 33 -+ Û= Û - += aa 2 4( 3)0 3. Û - = Û= Vậy có một điểm A(3; 0; 0). Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz –2 2 –10 += và hai đường thẳng D 1 : x yz 19 1 16 ++ == ; D 2 : x yz 1 31 2 12 - -+ == - . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. · M (–1 + t; t; –9 + 6t) ÎD 1 ; D 2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a r = (2; 1; –2) AM uuur = (t – 2; t – 3; 6t – 8) Þ AMa ; éù ëû uuurr = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t) Ta có : d (M, D 2 ) = d (M, (P)) Û t tt 2 261 792 612 11 20 - + =- Û 35t 2 – 88t + 53 = 0 Û t = 1 hay t = 53 35 . Vậy M (0; 1; –3) hay M 18 533 ;; 35 35 35 æö ç÷ èø . Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x yz 2 2 10 + + -= , x yz 1 35 : 1 11 D -- == - , x yz 2 123 : 411 D - -- == ĐS: M(2;4;1) , M( 1;1;4) - Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x yz 1 12 : 2 11 D -+ == - và x yz 2 1 13 : 1 71 D + -- == - . Đường vuông góc chung của 1 D và 2 D cắt 1 D tại A, cắt 2 D tại B. Tình diện tích DOAB. · 1 D có VTCP u 1 (2; 1;1) =- r , 2 D có VTCP u 2 ( 1;7; 1) =- r Giả sử A ttt 11 11 (1 2; ;2) D + - -+Î , B t tt 2 2 22 (1 ;1 7 ;3) D -+ + -Î . Ta có: ABu tA tB ABu 11 2 2 .0 0 ( 1;0; 2) 0 ( 1;1;3) .0 ì ì = =Þ- ï Û íí = Þ- = î ï î uu ur r uu ur r Þ OAB S OA OB 1 , 2 éù = ëû uu ur uu ur = 6 2 . Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 2 10 - + -= và các đường thẳng x y z x yz dd 12 13 55 : ;: 2 32 6 45 -- -+ == == -- . Tìm các điểm 12 M d Nd , ÎÎ sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2. · PTTS của d 1 là: xt yt zt 12 33 2 ì =+ ï =- í ï = î . M Î d 1 nên tọa độ của M ( ) t tt 1 2 ;3 3 ;2 +- . Theo đề: t ttt t dMP t 2 22 1 2 2(3 3) 41 126 1 ( ;( )) 22 0 3 1 ( 2)2 + - - +-- é = = =Û =Û ê = ë +-+ + Với t = 1 ta được ( ) M 1 3;0;2 ; + Với t = 0 ta được ( ) M 2 1;3;0 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 55 · Ứng với M 1 , điểm N 1 2 d Î cần tìm phải là giao của d 2 với mp qua M 1 và // (P), gọi mp này là (Q 1 ). PT (Q 1 ) là: x yz x yz ( 3) 2 2( 2)0 2 2 70 (1) - - + - = Û - + -= . PTTS của d 2 là: xt yt zt 56 4 55 ì =+ ï = í ï =-- î (2) Thay (2) vào (1), ta được: t = –1. Điểm N 1 cần tìm là N 1 (–1;–4;0). · Ứng với M 2 , tương tự tìm được N 2 (5;0;–5). Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 2 2 10 - + -= và các đường thẳng x yz d 1 13 : 2 12 -- == - , x yz d 2 55 : 3 42 -+ == . Tìm các điểm 12 A d Bd , ÎÎ sao cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1. · Giả sử: At t td 1 1 11 (2 1, 3, 2) + + -Î , Bt ttd 2 222 (3 5,4 ,2 5) + -Î AB t t tt tt 2 1 21 21 (3 2 4,4 3,2 2 5) = - + -- +- uu ur P ABn tt tt tt 21 21 21 . 0 2(3 2 4)4 3 2(2 2 5)0 =Û - + - + ++ + -= uu ur r tt 21 6 10 Û + += t t tt AB P d ABP d AP 1 1 11 4 2 3 412 () ( ,( )) ( ,( ))1 33 + - ---+ Þ == == P t t 1 1 5 1 é =- Û ê = ë · Với t t AB 12 2 8 11 5 ( 9; 2;10), 7;; 3 33 æö - =-Þ = Þ -- ç÷ èø · Với t t AB 12 1 4 17 1 (3; 4; 2), 4;; 3 33 æö - -- = Þ =Þ- ç÷ èø Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. · Ta có AB ( 1; 4; 3) = - -- uu ur . Phương trình đường thẳng AB: xt yt zt 1 54 43 ì =- ï =- í ï =- î . Gọi D a a a AB (1 ;5 4 ;4 3) - - -Î DC aaa ( ;4 3;3 3) Þ = -- uuur . Độ dài đoạn CD ngắn nhất Û D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB Û AB DC ^ uu ur uuur Û a aa 16 12 9 90 -- + - += Û a 21 26 = . Vậy: D 5 49 41 ;; 26 26 26 æö ç÷ èø . Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x yz d 1 11 : 2 11 +- == - và xyz d 2 : 1 12 == . Tìm các điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x yz 20120 - ++= và độ dài đoạn MN bằng 2 . · Lấy M d Nd 12 , ÎÎ . Ta có P MNP MNn MN MN () .0 2 2 ì ì = ï Û íí = = îï î uuu ur r P Û MN 3 25 (0; 0;0), ;; 7 77 æö -- ç÷ èø . Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng xyz d 21 : 1 11 +- == - và các Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 56 điểm A BC ( 1; 0;0), (0;1;1), (0;0;2) . Tìm điểm M thuộc d sao cho góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng 0 30 = a . · ĐS: M(0; 2;1) - . Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: xt yt z 1 1 ( ):1 2 ì =+ ï D =-- í ï = î và x yz 2 31 ( ): 1 21 D -- == - . Xác định điểm A trên D 1 và điểm B trên D 2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. · Giả sử A(t+1; –t –1; 2)Î D 1 , B( t'+3; 2t' +1; t')Î D 2 Þ AB tt t tt (' 2;2' 2; ' 2) = - -+ ++- uu ur Vì đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Û AB là đoạn vuông góc chung của (D 1 ) và (D 2 ) Þ ABu ABu tt tt tt ABu ABu 11 22 . 0 2 3'0 '0 3 6'0 .0 ìì ïï ì ^ = += Û Û Û == í íí += ^=î ïï îî uu urr uu u rr uu urr uu u rr Þ A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0). Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) và đường thẳng xt d yt zt 24 :6 18 ì =+ ï =- í ï =-- î . Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. · AB (2; 3; 4) = -- uu ur Þ AB // d. Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d . Ta có: IA + IB = IA 1 + IB ³ A 1 B . Do đó IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A 1 B. Khi đó A 1 , I, B thẳng hàng Þ I là giao điểm của A 1 B và d. Vì AB // d nên I là trung điểm của A 1 B. Gọi H là hình chiếu của A lên d. Tìm được H 36 33 15 ;; 29 29 29 æö ç÷ èø . A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95 28 ;; 29 29 29 æö - ç÷ èø . I là trung điểm của A’B suy ra I 65 21 43 ;; 29 58 29 æö -- ç÷ èø . Câu hỏi tương tự: a) Với AB ( 1; 1;2), (3; 4; 2) - -- , x yz d 21 : 4 68 -+ == -- . ĐS: I 64 9 45 ;; 29 29 29 æö -- ç÷ èø . b) Với A B ( 1;2;–1), (7;–2;3) , x yz d 24 : 3 22 -- == - . ĐS: I(2;0;4) . Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D: xyz 11 2 12 +- == - . Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất. · PTTS của D: xt yt zt 12 1 2 ì =-+ ï =- í ï = î . Gọi M t tt ( 1 2 ;1 ;2) -+- Î D. Diện tích DMAB là S AM AB tt 2 1 , 18 36 216 2 éù = = -+ ëû uuur uu ur = t 2 18( 1) 198 -+ ≥ 198 Vậy Min S = 198 khi t 1 = hay M(1; 0; 2). Câu hỏi tương tự: a) Với AB (0;1;0), (2;2;2) , x yz 1 23 : 2 12 D - +- == - . ĐS: M( 3;0;1) - , S 32 min 2 = Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 57 b) Với xyz AB 31 (2; 1;1), (0;1; 2),: 1 12 D -+ - - == - . ĐS: MS 34 ( 5;8; 11),min 2 --= c) Với x yz AB 1 21 (0;1; 2), (2; 1;1),: 1 12 D - -- - - == - . ĐS: MS ( 2; 5; 5),min 22 --= d) Với x yz AB xy 10 (2; 1;1), ( 1; 1;0),: 2 10 D ì + - -= -- í - -= î . ĐS: M 123 ;; 6 32 æö -- ç÷ èø . e) Với x yz AB 12 ( 1; 4;2), ( 1;2;4),: 1 12 D -- - == - . ĐS: M 12 5 38 ;; 7 77 æö - ç÷ èø . Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; 11) - , B(3;5; 4) - , C(2;1; 6) - và đường thẳng x yz d 1 21 : 2 11 - -- == . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA MB MC -- uuur uuur uuur đạt giá trị nhỏ nhất. · Giả sử Mt t td (2 1;2 2; 1) + + +Î Þ MA MB MC t tt (2 1;2 4;) - - =- - - -- uuur uuur uuur MA MB MC -- uuur uuur uuur = t t tt 2 2 22 10 53 53 (2 1) (2 4)9 9 93 æö + + + += + +³ ç÷ èø Dấu "=" xảy ra Û t 10 9 =- Þ M 11 21 ;; 9 99 æö - -- ç÷ èø Câu 40. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho P x yz ( ): 2 50 + - += điểm A( –2; 3; 4) và đường thẳng x d yz 3 ( ): 13 2 + = + =- . Gọi D là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên D điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. · PTTS của d: xt yt zt 23 1 3 ì =- ï =- í ï =+ î . Gọi I là giao điểm của (d) và (P) Þ I( 1;0;4) - (d) có VTCP là a (2;1;1) = r , (P) có VTPT là n ( 1;2; 1) =- r [ ] an, ( 3;3;3) Þ =- rr . Gọi u r là vectơ chỉ phương của D u ( 1;1;1) Þ =- r xu yu zu 1 : 4 D ì =- ï Þ= í ï =+ î . Vì M M uuu (1 ; ;4) D Î Þ --+ , AM uuu (1 ; 3;) Þ = -- uuur AM ngắn nhất AM D Û^ AMu u uu . 0 1 (1 ) 1( 3) 1.0 Û = Û- - + - += uuurr u 4 3 Û= . Vậy M 7 4 16 ;; 3 33 æö - ç÷ èø Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình x yz 3 20 + - += . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Gọi D là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm điểm M thuộc D sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất. · Gọi I là trung điểm của AB I AB 3 33 ; ;; ( 1; 1; 1) 2 22 æö -- Þ = --- ç÷ èø uu ur Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 58 Þ PT (Q): x yz 3 0 2 + + += D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ PTTS của D: x ty tzt 71 2;; 44 ì =-+ =- =- í î . Giả sử M tt t OM tt 2 71 15 25 2;; ;6 44 28 æö - + - - ÎD = -+ ç÷ èø . OM nhỏ nhất khi tM 5 1 53 ;; 8 2 88 æö = Þ - -- ç÷ èø . Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1 ): x yz 31 1 12 -+ == - , (d 2 ): x yz 22 1 21 -+ == - . Một đường thẳng (D) đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d 1 ) tại điểm B và cắt đường thẳng (d 2 ) tại điểm C. Chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. · Lấy B Î (d 1 ), C Î (d 2 ). Từ : AB k AC = uu ur uu ur Þ k 1 2 = Þ B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Ta có thể tính được B(2; –1; 1), C(3; –4; –1). Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E F 4 39 (2;1;5), ( ; ;) . Gọi D là giao tuyến của hai mặt phẳng P : 2x y z 1 ()0 + -+= và Q x y z ( ): 2 70 - + -= . Tìm điểm I thuộc D sao cho: IE IF - lớn nhất . · PTTS của D: xt yt zt 1 5 33 ì =+ ï =- í ï =- î . PTTS của EF: xt yt zt 2 1 52 ¢ ì =+ ï ¢ =+ í ï ¢ =+ î . Xét hệ: tt t tt t tt 12 0 51 1 3 3 52 ¢ ì + =+ ï ì= ¢ - =+Û íí ¢=- î ï ¢ - =+ î Þ EF cắt D tại A(1;0;3). Trong mp( D ,EF) mọi điểm I Î D ta có IE IF EF -£ (hiệu 2 cạnh trong 1 tam giác nhỏ hơn cạnh thứ 3). Dấu "=" xảy ra Û I, E, F thẳng hàng, từ đó suy ra I trùng A. Vậy điểm I(1;0;3). Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x yz d : 1 11 == và hai điểm A(0; 0;3) , B(0;3;3) . Tìm điểm M Î d sao cho: a) MA MB + nhỏ nhất. b) MA MB 22 2 + nhỏ nhất. c) MA MB 3 - uuur uuur nhỏ nhất. · a) PTTS của d: xt yt zt ì = ï = í ï = î . Gọi M t ttd (; ;)Î . Ta có: ( ) P tt 22 3 ( 1) 2 ( 2)2 = - ++ -+ Xét hàm số fttt 22 () ( 1) 2 ( 2)2 = - ++ -+ Þ tt ft tt 22 12 () ( 1) 2 ( 2)2 -- ¢=+ -+ -+ tt ft tt 22 12 ()0 ( 1)2 ( 2)2 -- ¢ =Û =- -+ -+ [ ] tt t t 22 1 ( 2) ( 1)2 ( 2)2 - -- Û= -+ --+ (*) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 59 Xét hàm số u gu u 2 () 2 = + . Ta có u gu uu u uu 2 2 2 23 12 () 2..0 2 2 ( 2) æö ¢ç÷ = +- => ç÷ + ++ èø nên hàm số g đồng biến trên ¡ . Do đó từ (*), ta có [ ] gt gt t tt 3 ( 1) ( 2) 12 2 - = -- Û - =-+ Û= Dựa vào BBT của hàm số f ta suy ra ftf 3 min ()3 2 æö == ç÷ èø . Vậy MA MB min( ) 33 += đạt được tại t 3 2 = , tức là M 333 ;; 222 æö ç÷ èø . b) Tương tự câu 1), ta tính được Q MA MB t tt 2 222 2 9 30 45 (3 5) 20 = + = - + = -+ . Þ Q min 20 = khi t 5 3 = , tức M 5 55 ;; 222 æö ç÷ èø . c) Theo câu 1) , ta có MA ttt ( ; ;3) = --- uuur , MB ttt ( ;3 ;3) =- -- uuur . Suy ra MA MB ttt 2 (; 6; 3) - = -- uuur uuur MA MB ttt 22 2 3 18 45 3( 3) 18 32 Þ - = - + = - +³ uuur uuur Vậy MA MB min2 32 -= uuur uuur khi t 3 = , tức M(3;3;3) . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 60 Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x ym 2 22 4 –60 + ++ += và đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x yz 2 –2– 10 += , (Q): x yz 2 –2 –40 += và . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho độ dài MN = 8. · (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= m IMm 13 ( 13) -=< . Gọi H là trung điểm của MN Þ MH= 4 Þ IH = d(I; d) = m 3 -- (d) qua A(0;1;-1), VTCP u (2;1;2) = r Þ d(I; d) = u AI u ; 3 éù ëû = r uur r . Vậy : m 3 -- =3 Û m = –12. Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 30 + - += và mặt cầu (S): x y z xyz 2 22 6 8 2 230 + + - - - += . Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. · Mặt cầu (S) có tâm I(3; 4;1) , bán kính R = 3 Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với (P) Þ PTTS của d: xt yt zt 3 4 1 ì =+ ï =+ í ï =- î Khi đó M là giao điểm của d với (S) Þ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: xt tt yt xx zt yy zz x y z x yz 2 22 3 11 4 42 1 53 02 6 8 2 230 ì =+ ìì = =- ï ïï =+ï ïï == ÛÈ í íí =- == ï ïï == ïï + + - - - += ï îî î Þ MM 12 (4; 5;0), (2;3;2) Ta thấy dMP 1 ( ,( )) 43 = > dMP 2 ( ,( )) 23 = . Vậy M(4;5;0) là điểm cần tìm. Mặt cầu (T) có R MH HE 2 2 22 ' (4 3) 48 = + = += Tx yz 2 22 ( ):( 4) ( 5) 64 Þ - + - += Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là S x y z x yz P x yz 2 22 ( ): 4 2 6 5 0,( ):2 2 160 + + - + - += + -+= . Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng. · Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): ( ) ( ) d d IP dR 2.2 2.( 1) 3 16 ,5 3 + - -+ == = Þ> . Do đó (P) và (S) không có điểm chung. Do vậy, min MN = d –R = 5 –3 = 2. Trong trường hợp này, M ở vị trí M 0 và N ở vị trí N 0 . Dễ thấy N 0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M 0 là giao điểm của đoạn thẳng IN 0 với mặt cầu (S). Gọi D là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P), thì N 0 là giao điểm của D và (P). Đường thẳng D có VTCP là ( ) P n 2;2;1 =- r và qua I nên có phương trình là xt yt zt 22 12 3 ì =+ ï =-+ í ï =- î . Tọa độ của N 0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 61 t tt tt 155 2(2 2) 2( 1 2) (3 ) 16 0 9 150 93 + + -+ - - + = Û + = Û =- =- Suy ra N 0 4 13 14 ;; 3 33 æö -- ç÷ èø . Ta có IM IN 00 3 . 5 = uuu ur uuur Suy ra M 0 (0;–3;4) Câu hỏi tương tự: a) S x y z x yz 2 22 ( ): 4 4 20 + + - - += ; P x yz ( ):2 2 40 + - += . ĐS: M(2 2 2;2 2; 1 2 2) - - -+ , N 2 15 ;; 3 33 æö -- ç÷ èø Câu 48. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A BC (0;1;1), ( 1;0; 3), ( 1; 2; 3) - - -- và mặt cầu (S) có phương trình: x y z xz 2 22 2 2 20 + + - + -= . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. · (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R 2 = . PT mp(ABC): x yz 22 10 - + += Ta có ABCD ABC V dD ABCS 1 ( ;( )). 3 = nên ABCD V lớn nhất Û dD ABC ( ;( )) lớn nhất . Gọi DD 12 là đường kính của (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ thuộc (S) thì { } dD ABC dD ABC dD ABC 12 ( ;( )) max ( ;( )); ( ;( )) £ . Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D 1 hoặc D 2 . . DD 12 đi qua I(1;0;–1), và có VTCP là ABC n (2; 2;1) =- r Þ DD 12 : { x ty tzt 1 2; 2;1 =+ =- =-+ Tọa độ D 1 và D 2 thỏa: xt t yt zt t x yz 222 12 2 2 3 1 2 3 ( 1) ( 1)4 ì =+ é ï = ê =- ï Þ ê í =-+ - ê ï = ê ï ë - + + += î DD 12 7 41 145 ; ; ; ;; 3 33 3 33 æ öæö -- -- Þ ç ÷ç÷ è øèø Ta thấy: dD ABC dD ABC 12 ( ;( )) ( ;( )) > . Vậy điểm D 7 41 ;; 3 33 æö -- ç÷ èø là điểm cần tìm. Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 62 Dạng 4: Xác định điểm trong không gian Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a): x yz 3 2– 40 + += và hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (a), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và (a). · I(2;2;0). PT đường thẳng KI: x yz 22 3 21 -- == - . Gọi H là hình chiếu của I trên (a): H(–1;0;1). Giả sử K(x o ;y o ;z o ). Ta có: KH = KO Û x yz x yz x yz 0 00 22 2 2 22 0 00 0 00 22 3 21 ( 1) ( 1) ì -- == ï - í ï + + + - = ++ î Þ K 1 13 ;; 4 24 æö - ç÷ èø . Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1). Tìm tọa độ điểm M để MA MB MC MD 2 2 22 + ++ đạt giá trị nhỏ nhất. · Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G 7 14 ; ;0 33 æö ç÷ èø . Ta có: MA MB MC MD MG GA GB GC GD 2 2 2 2 2 2 2 22 4 + + + = + + ++ ³ GA GB GC GD 2 2 22 + ++ . Dấu bằng xảy ra khi M º G 7 14 ; ;0 33 æö ç÷ èø . Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x yz 30 + + += và điểm A(0; 1; 2). Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với A qua mặt phẳng (P). · (P) có VTPT n ( 1;1;1) = r . Giả sử A¢(x; y; z). Gọi I là trung điểm của AA¢ Þ xyz I 12 ;; 2 22 æö ++ ç÷ èø . A¢ đối xứng với A qua (P) Û AA n cuøng phöông I (P) , ì ï ¢ í Î ï î uuur r Û xyz xyz 12 1 11 12 30 2 22 ì -- == ï í ++ ï + + += î Û x y z 4 3 2 ì =- ï =- í ï =- î Vậy: A¢(–4; –3; –2). Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A BC ( 1; 0;0), (0;1;0), (0;3;2) và mặt phẳng xy ( ): 2 2 0. a + += Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A BC ,, và mặt phẳng ( ). a · Giả sử Mx yz 0 00 ( ; ;) . Ta có: MA MB MB MC MA dM ( ,( )) ì = ï = í ï = î a x y z xyz xy z xyz xy x yz 2 2 22 22 0 0 0 0 00 2 2 22 22 0 0 0 000 2 2 22 00 0 00 ( 1) ( 1) (1) ( 1) ( 3) ( 2) (2) ( 2 2) ( 1) (3) 5 ì - + + = + -+ ï ï Û + - + = + - +- í ++ ï - + += ï î Û x yz x yz 0 00 00 1, 1,2 23 23 14 ,, 3 33 é = == ê ê= = =- ë Þ M( 1; 1; 2) hoặc M 23 23 14 ;; 3 33 æö - ç÷ èø . Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 63 A B C (3; 0;0), (0;3;0), (0;0;3). Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36. · Phương trình ABC x yz ( ): 30 + + -= . DABC có trọng tâm G( 1;1;1) và AB= BC= CA= 32 Þ ABC S 93 2 = . Do hình chóp S.ABC đều nên đường thẳng SG qua G và vuông góc với (ABC) Phương trình xt SGyt zt 1 :1 1 ì =+ ï =+ í ï =+ î . Giả sử S ttt (1 ;1 ;1) + ++ Ta có : V S.ABC =36= SG 1 . 3 S ABC tt 8,8 Û= =- . Vậy: S(9;9;9) hoặc S( 7; 7; 7) - -- . Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác Câu 54. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. · Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P) ^ BC; (Q) qua B và (Q) ^ AC Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H 36 18 12 ;; 49 49 49 æö ç÷ èø Câu hỏi tương tự: a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2). ĐS: Câu 55. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A( 1;3;5) - , B( 4;3;2) - , C(0;2;1). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. · Ta có: AB BC CA 32 = == Þ ABC D đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC D cũng là trọng tâm của nó. Kết luận: I 588 ;; 3 33 æö - ç÷ èø . Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3). Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. · Ta có: AB AC (2; 2; 2), (0; 2;2). = -= uu ur uu ur Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là: x yz yz 1 0, 3 0. + - -= + -= VTPT của mp(ABC) là n AB AC , (8; 4;4). éù = =- ëû uu ur uu ur r Suy ra (ABC): x yz 2 10 - + += . Giải hệ: x yzx yzy x yzz 100 302 2 101 ìì + - -== ïï + -= Þ= íí ïï - + +== îî . Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2; 1). Bán kính là R IA 2 22 ( 1 0) (0 2) (1 1) 5. = = -- + - + -= Câu 57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B( 1;2;0) - ,C( 1;1; 2) - . Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. · H x yz ( ; ;) là trực tâm của DABC Û BH AC CH ABH ABC , , () ^ ^Î Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 64 BH AC CH AB x yz AB AC AH .0 2 291 .0 ;; 15 153 , .0 ì = ï ì Û = Û = = =- íí î ï éù = ëû î uuur uu ur uuur uu ur uu ur uu ur uuur Þ H 2 291 ;; 15 153 æö - ç÷ èø I x yz ( ; ;) là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC Û AI BI CII ABC , () = =Î AI BI CI BI AB AC AI 22 22 ,0 ì = ï Û= í ï éù = ëû î uu ur uu ur uur x y zI 14 61 1 14 611 ;; ;; 15 30 3 15 303 ì æö Û = = =-Þ- í ç÷ î èø Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA BC ( 1;0;1), (1;2; 1), ( 1;2;3) - -- và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz). · Phương trình ABC x yz ( ):2 10 - + += . Gọi I x yz ( ; ;) . IA IB IC == x yz yz 1 0, 3 0 (1) Þ + - -= + -= ; I ABC x yz ( )2 1 0 (2) Î Þ - + += Từ (1) (2) I(0; 2; 1) Þ . Bán kính mặt cầu là R dI Oxz ( ,( ))2 == Þ (S):xyz 2 22 ( 2) ( 1)4 + - + -= Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng (Oxy) và C nằm trên trục Oz. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho điểm H(2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC. · Giả sử B xy OxyC z Oz ( ; ;0)( ), (0;0;) ÎÎ . H là trực tâm của DABC Û AH BC CH AB AB AC AH ñoàng phaúng ,, ì ^ ï í^ ï î uuur uu ur uuur uu ur uu ur uu ur uuur Û AH BC CH AB AB AH AC .0 .0 , .0 ì = ï = í ï éù = ëû î uuur uu ur uuur uu ur uu ur uuur uu ur Û xz xy x y yzz 0 2 70 330 ì += ï + -= í ï - + -= î Û x yz x yz 3 177 17 177 3 177 ;; 4 24 3 177 17 177 3 177 ;; 4 24 é -- ++ = == ê ê -+ -- ê = == ê ë Þ BC 3 177 17 177 3 177 ; ;0, 0;0; 424 æ öæö --++ ç ÷ç÷ è øèø hoặc BC 3 177 17 177 3 177 ; ;0, 0;0; 424 æ öæö -+-- ç ÷ç÷ è øèø Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình x yz d 1 2 33 : 1 12 - -- == - và x yz d 2 1 43 : 1 21 - -- == - . Chứng minh đường thẳng d 1 , d 2 và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d 1 chứa đường cao BH và d 2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC. · d 1 qua M 1 (2; 3; 3), có VTCP a ( 1;1; 2) =- r ; d 2 qua M 2 (1; 4; 3) có VTCP b ( 1; 2;1) =- r Ta có ab ab MM 12 , 0, ,.0 é ù éù ¹= ë û ëû urr r rr uuuuu ur Þ dd 12 , cắt nhau. Phương trình mặt phẳng chứa dd 12 , : x yz –80 ++= A mpdd 12 ( ,) Î . Giả sử B t t td 1 (2 ;3 ;3 2 ) + + -Î Þ trung điểm của AB là tt Mt 55 ; ;3 22 æö ++ - ç÷ èø Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 65 Md 2 Î Þ tM 1 (2;2;4) =-Þ Þ B( 1;2;5). Giả sử C t t td 2 (1 ;4 2 ;3) + - +Î . ACa ^ uu urr Þ t = 0 Þ C(1;4;2) Câu 61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác trong BM của góc B lần lượt có phương trình là x yz d 1 2 33 : 1 12 - -- == - , x yz d 2 1 43 : 1 21 - -- == - . Tính độ dài các cạnh của tam giác của tam giác ABC. · Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d 1 Þ (P): x yz –2 10 + += . B là giao điểm của d 2 với (P) Þ B( 1; 4;3). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d 2 Þ (Q): x yz 2 20 - + -= . Gọi K là giao điểm của d 2 với (Q) Þ K (2;2;4) . Gọi E là điểm đối xứng của A qua K Þ E( 1;2;5) . Phương trình đường thẳng BE là x yt zt 1 4 3 ì = ï =- í ï =+ î . C là giao điểm của BE và CH Þ C( 1;2;5) . Ta có AB = AC = BC = 22 Þ Tam giác ABC đều. Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với ( ) A 3; 1;2 -- , ( ) B 1; 5;1 , ( ) C 2;3;3 , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D. · Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3. Gọi D là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm là giao điểm của D và (S). Đường thẳng D có vectơ chỉ phương ( ) AB 2;6;3 =- uu ur nên có phương trình: xt yt zt 22 36 33 ì =- ï =+ í ï =+ î Phương trình mặt cầu Sx yz 2 22 ( ):( 3)( 1) ( 2)9 - + + + += Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: ( ) ( ) ( ) xt t yt tt zt t x yz 2 2 22 22 1 36 49 82 330 33 33 49 3 1 29 ì =- é ï =- =+ ï ê Þ + + =Û í =+ =- ê ï ë - + + + += ï î · Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7 · Với tD 33 164 51 48 ;; 49 49 49 49 æö =-Þ- ç÷ èø (nhận) Câu 63. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A( 1;2;1) - , B(2;3;2) . Tìm tọa độ các đỉnh C, D và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó biết rằng tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng x yz d 12 : 1 11 +- == -- và điểm D có hoành độ âm. · Gọi I tt td (1 ; ;2) - - - +Î . Ta có IA t t t IB t tt ( ;2 ;1 ), (3 ;3 ;) = + -- = + +- u ur u ur . Do ABCD là hình thoi nên IA IB tt tt 2 . 0 3 9 60 1,2 = Û + + = Û =- =- u u r u ur . Vì C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 66 + Với t I CD 1 (0;1;1) ( 1;0;1), ( 2; 1;0) =-Þ Þ -- . + Với t I CD 2 ( 1;2;0) (3;2; 1), (0;1; 2) =-Þ Þ -- Do D có hoành độ âm nên ta chọn được nghiệm CD ( 1; 0;1), ( 2; 1;0) -- + Gọi (P) là mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT n r Ta có n IA n IB ( 1;1;0) (2;2;1) ì ï^ =- í ^= ï î u ur r u ur r Þ có thể chọn n IA IB, ( 1;1; 4) éù = =- ëû u ur u ur r Suy ra phương trình mặt phẳng P x yz ( ): –4 30 + += .. Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, A( 1;0;0), C( 1;2;0) - , D( 1; 0;0) - , S(0; 0; 3) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn SB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau và xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB. · AB DC = uu ur uuur Þ B(1; 2; 0). M là trung điểm SB, N là trung điểm CD Þ M 13 ;1; 22 æö ç÷ ç÷ èø , N(–1; 1; 0) Þ AM ^ BN. Vì DONB nằm trong mp(Oxy) nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp DONB thuộc mp(Oxy). Gọi I xy ( ; ;0). Ta có: IO IN IO IB ì = í = î Þ I 17 ; ;0 66 æö ç÷ èø . Câu 65. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3; 1) - , P(2;3; 4) - . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng R x yz ( ): 6 0. + - -= · Gọi I là tâm hình vuông Þ I 75 ;3; 22 æö - ç÷ èø . Gọi N a bcR ( ; ;) () Î . MP ( 3; 0; 3) =-- uuur . IN a bc 75 ; 3; 22 æö = - -+ ç÷ èø uur ; MP 32 = Þ IN 32 2 = . Ta có: NR IN MP IN () 32 2 ì Î ï ï ^ í ï = ï î uur uuur Û a bc ac a bc 22 2 60 75 3 30 22 7 59 ( 3) 2 22 ì + - -= ï æ ö æö ï- - - += ç ÷ ç÷ è ø èø í ï æö æö ï - + - + += ç÷ ç÷ èø èø î Û a bc a bc 2, 3,1 3, 1,2 é= = =- ê = = =- ë · Nếu N(2;3 1) - thì Q(5;3; 4). - · Nếu N(3;1; 2) - thì Q(4;5; 3). - Câu 66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3;0;8) , D( 5; 4;0) -- và đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C. · Ta có trung điểm BD là I(–1;–2; 4), BD = 12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0). ABCD là hình vuông Þ AB AD AI BD 22 2 2 1 2 ì = ï í æö = ï ç÷ èø î a b ab ab 2 22 22 2 22 ( 3) 8 ( 5) ( 4) ( 1) ( 2) 4 36 ì ï - ++ = + ++ Û í + + + += ï î ba aa 22 42 ( 1) (6 2) 20 ì =- Û í + +-= î a b 1 2 ì = Û í = î hoặc a b 17 5 14 5 ì = ï í - ï = î Þ A(1; 2; 0) hoặc A 17 14 ; ;0 55 æö - ç÷ èø Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTrần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 67 · Với A(1; 2; 0) Þ C(–3;–6; 8) · Với A 17 14 ; ;0 55 æö - ç÷ èø Þ C 276 ; ;8 55 æö -- ç÷ èø . Câu 67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết AC ( 1;2;0), (2;3; 4) - . và đỉnh B nằm trên mặt phẳng (Q): x yz 2 30 + + -= . Tìm toạ độ của đỉnh D, biết toạ độ của B là những số nguyên. · AC 32 = Þ AB 3 = . Gọi B x yz ( ; ;) . Ta có: BQ AB CB AB () 3 ì Î ï = í ï = î Û x yz x y zx yx x yz 2 22 2 22 2 22 2 3 (1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 3) ( 4) (2) ( 1) ( 2) 9 (3) ì+ += ï - + - + = - + - ++ í ï - + - += î Û x yz 1; 1;2 =- == Þ B( 1;1;2) - . Vậy D(4; 4; 6) - . Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. transitung_tv@yahoo.com Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.com