Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 1 BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC. NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018. Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ các trường trên toàn quốc và của quý thầy cô trong nhóm Vận Dụng Cao. Kỹ năng: Phương pháp đại số. Phương pháp hình học. Phương pháp bđt modun. Phương pháp casio. Một số tính chất cần nhớ. 1. Môđun của số phức:  Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ      OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2 z = a + bi = a + b  Tính chất 2 2      z a b zz OM 0, , 0 0  z z z z . ' . ' z z z z , ' 0 ' '  z z z z z ' ' '    z z z z z z . ,  kz k z k   Chú ý: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 . z a b abi a b a b a b z z z z . Lưu ý: 1 2 1 2  z z z z dấu bằng xảy ra 1 2 0 z kz k 1 2 1 2  z z z z dấu bằng xảy ra 1 2 0  z kz k . 1 2 1 2 z z z z dấu bằng xảy ra 1 2 0  z kz k 1 2 1 2 z z z z dấu bằng xảy ra 1 2 0 z kz k 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 z z z z z z 2 2 z z z z  z 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ , x y Quỹ tích điểm M ax 0 by c (1) z a bi z c di (2) (1)Đường thẳng :ax 0  by c (2) Đường trung trực đoạn AB với , , , A a b B c d 2 2 2 x a y b R hoặc z a bi R Đường tròn tâm ; I a b , bán kính R 2 2 2  x a y b R hoặc Hình tròn tâm ; I a b , bán kính R Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 2  z a bi R 2 2 2 2   r x a y b R hoặc   r z a bi R Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm ; I a b , bán kính lần lượt là , r R 2 2 0     y ax bx c c x ay by c Parabol 2 2 2 2 1 1 x a y c b d hoặc 1 1 2 2 2 z a b i z a b i a 1 Elip 2 Elip nếu 1 1 2 2 2 , , , , a AB A a b B a b Đoạn AB nếu 2 a AB 2 2 2 2 1 x a y c b d Hypebol Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng. TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm Min z . Khi đó ta có  Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a; b  2 2 0 1 1 2 2 2 2  Min z z a b a b z i TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . z a bi z c di Tìm min z . Ta có  Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A a; b ,B c;d  2 2 2 2 2 2 , 2 Min a b c d z d O AB a c b d Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện . z a bi z c di Khi đó ta biến đổi . z a bi z c di z a bi z c di  Cho số phức thỏa mãn điều kiện . iz a bi z c di Khi đó ta biến đổi Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 3 . a bi c di iz a bi iz c di z z z b ai z d ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn. TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 0 z a bi R 0 z z R . Tìm Max Min z , z . Ta có  Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a; b bán kính R  2 2 0 2 2 0  Max Min z OI R a b R z R z OI R a b R z R Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản. Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi R iz a bi R z i i (Chia hai vế cho i ) z b ai R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R (Lấy liên hợp 2 vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 a bi R R c di z a bi R z c di c di c d Hay viết gọn 1 0 1 0 0 z R z z z R z z z (Chia cả hai vế cho 0 z ) Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip. TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi đó ta có  Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là Elip: 2 2 2 2 2 y x 1 a a c  2 2  Max Min z a z a c TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2 z z z z 2a Thỏa mãn 1 2 2a z z . Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ). Ta có Khi đề cho Elip dạng không chính tắc 1 2 1 2 z z z z 2a , z z 2a và 1 2 z ,z c, ci    ). Tìm Max, Min của 0 P z z . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 4 Đặt 1 2 2 2 2 z z 2c b a c  Nếu 1 2 0 z z z 0 2 Max Min P a P b  (dạng chính tắc) Nếu 1 2 0 0 1 0 2 z z z a 2 z z k z z  1 2 Max 0 1 2 Min 0 z z P z a 2 z z P z a 2  Nếu 1 2 0 0 1 0 2 z z z a 2 z z k z z  1 2 Max 0 z z P z a 2 Nếu 0 1 0 2 z z z z 1 2 Min 0 z z P z b 2 PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT. Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số. Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học. Xem hướng dẫn trên lớp. Dạng 3: Tả phí lù. Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 3 2 . z i z i Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. 1 2 z i . B. 1 2 5 5 z i . C. 1 2 5 5 z i . D. 1 2 z i . Hướng dẫn giải Chọn C. Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử ,  z x yi x y 2 2 2 2 3 2 3 2 1 3 2 1 z i z i x y i x y i x y x y 6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0 2 1 y x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 1 5 4 1 5 5 5 5     z x y y y y y y Suy ra min 5 5 z khi 2 1 5 5 y x Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 5 Vậy 1 2 . 5 5 z i Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử ,  z x yi x y 2 2 2 2 3 2 3 2 1 3 2 1 z i z i x y i x y i x y x y 6 9 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0 y x y x y x y Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện 3 2 z i z i là đường thẳng : 2 1 0 d x y . Phương án A: 1 2 z i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A. Phương án B: 1 2 5 5 z i có điểm biểu diễn 1 2 ; 5 5      d nên loại B. Phương án D: 1 2 z i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại B. Phương án C: 1 2 5 5 z i có điểm biểu diễn 1 2 ; 5 5     d (Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi) Cách 3: Tính nhanh. Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình : 2 1 0  x y . Vậy min 2 2 1 5 , 5 1 2  z d O Cách 4: Công thức tính nhanh. BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . z a bi z Tìm min z ? 2 2 0 1 1 2 2 2 2  Min z z a b a b z i BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . z a bi z c di Tìm min z ? 2 2 2 2 2 2 2 Min a b c d z a c b d Câu 2: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn 3 3 8 z z . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất . z Khi đó M m bằng A. 4 7. B. 4 7. C. 7. D. 4 5. Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1 : Đại số Gọi z x yi với ;  x y . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 6 Ta có 8 3 3 3 3 2 4  z z z z z z . Do đó 4 M max z . Mà 2 2 2 2 3 3 8 3 3 8 3 3 8 z z x yi x yi x y x y . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 1. 3 1. 3 1 1 3 3       x y x y x y x y 2 2 2 2 8 2 2 2 18 2 2 2 18 64  x y x y 2 2 2 2 7 7 7 x y x y z . Do đó 7 M min z . Vậy 4 7 M m . Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip 1 2 2 2 2 2 2 2 3; 0 , 0,3 8 1 4 16 7 2 4 3 7              F F y x a b a c Do vậy 4 4 7 7  Max Min z a M m z b Cách 3: Tổng quát Cho số phức z thỏa mãn 2 , z c z c a a c ta luôn có .  Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip 2 2 2 2 2 1 y x a a c  2 2  Max Min z a z a c Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn 2 3 1 z i . Giá trị lớn nhất của 1 z i là A. 13 2 . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Gọi z x yi ta có 2 3 2 3 2 3 z i x yi i x y i . Theo giả thiết 2 2 2 3 1 x y nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm 2; 3 I bán kính 1 R . Ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 z i x yi i x y i x y . Gọi ; M x y và 1;1 H thì 2 2 1 1 HM x y . M1 I H M2Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 7 Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn. Phương trình 2 3 : 3 2  x t HI y t , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: 2 2 1 9 4 1 13  t t t nên 3 2 3 2 2 ; 3 , 2 ; 3 13 13 13 13         M M . Tính độ dài MH ta lấy kết quả 13 1 HM . Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 2 3 1 z i . Giá trị lớn nhất của w 1 z i Ta có 2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 w 3 2 1 z i z i z i i i (Đường tròn tâm 3, 2 , 1 I R ) Vậy 2 2 w 3 2 1 1 13 Max OI R Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn 0 z a bi R , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn , , bk R I a b ) và 2 2 2 2  Max Min z OI R a b R z OI R a b R Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi z a bi Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn 1  z . Đặt 2 2 z i A iz . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1  A . B. 1 A . C. 1 A . D. 1 A . Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1: Đặt Có 2 2 , , 1   a a bi a b a b (do 1  z ) 2 2 2 2 2 2 1 4 2 1 2 2 2 2 a b i a b z i A iz b ai b a Ta chứng minh 2 2 2 2 4 2 1 1 2  a b b a . Thật vậy ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 1 4 2 1 2 1 2    a b a b b a a b b a Dấu “=” xảy ra khi 2 2 1 a b . Vậy 1  A . Cách 2 : Trắc nghiệm Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 8 Chọn 1 1 2 1 1 2 34 2 1 2 17  z z i A A iz z Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn 1 z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 1 . i A z A. 5. B. 4. C. 6. D. 8. Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có: 5 5 5 1 1 1 6.  i i A z z z Khi 6. z i A Chọn đáp án C. Cách 2: 5 5 1 5 z i i A z i z z Theo bài 2 1 5 5 1 5 5 1 6 Max z z i i z i Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn 1 z . Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức 2 3 1 1 . M z z z A. max min 5; 1. M M B. max min 5; 2. M M C. max min 4; 1. M M D. max min 4; 2. M M Hướng dẫn giải Ta có: 2 3 1 1 5  M z z z , khi max 1 5 5. z M M Mặt khác: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1, 2 2 2 1 z z z z z M z z khi min 1 1 1. z M M Chọn đáp án A. Câu 7: Cho số phức z thỏa 2 z . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức z i P z . A. 3 . 4 B.1. C. 2 . D. 2 . 3 Hướng dẫn giải Ta có 1 3 1 1 . | | 2   i P z z Mặt khác: 1 1 1 1 . | | 2 i z z Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 1 2 , xảy ra khi 2 ; z i giá trị lớn nhất của P bằng 3 2 xảy ra khi 2 . z i Chọn đáp án A. Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3 z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức 2 . z i A. 26 6 17 . B. 26 6 17 . C. 26 8 17 . D. 26 4 17 . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 9 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi ; ; 2 2   z x yi x y z i x y i . Ta có: 2 2 1 2 3 1 2 9 z i x y . Đặt 1 3sin ; 2 3cos ; 0; 2 .     x t y t t 2 2 2 2 1 3sin 4 3cos 26 6 sin 4cos 26 6 17 sin ; .  z i t t t t t max 26 6 17 2 26 6 17 2 26 6 17 3 17   z i z i Chọn đáp án A. Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3 z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức 2 . z i Ta có 2 2 1 2 3 2 1 4 3 1 4 3 3 17 Max z i z i i z (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn 1 z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 3 1 . P z z A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20. Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi ; ;   z x yi x y . Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1;1 .    z x y y x x Ta có: 2 2 2 2 1 3 1 1 3 1 2 1 3 2 1 P z z x y x y x x . Xét hàm số 2 1 3 2 1 ; 1;1 .    f x x x x Hàm số liên tục trên 1;1    và với 1;1 x ta có: 1 3 4 0 1;1 . 5 2 1 2 1  f x x x x Ta có: max 4 1 2; 1 6; 2 20 2 20. 5     f f f P Chọn đáp án D. Cách 2: (Casio) Từ 1 z , đặt sin cos  x t z x yi y t Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn 1. z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 1 . P z z z Tính giá trị của . M m . A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 3 3. D. 13 . 4 Hướng dẫn giải Gọi ; ;   z x yi x y . Ta có: 1 . 1 z z z Đặt 1 t z , ta có 0 1 1 1 2 0; 2 .      z z z t Ta có 2 2 2 1 1 1 . 2 2 . 2 t t z z z z z z x x Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 10 Suy ra 2 2 2 2 1 . 1 2 1 2 1 3 z z z z z z z z z x x t . Xét hàm số 2 3 , 0; 2 .    f t t t t Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra 13 13 3 max ; min 3 . . 4 4 f t f t M n Chọn đáp án A. Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2 . z z Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 1 3 1 . 6 6   z B. 5 1 5 1.   z C. 6 1 6 1.   z D. 2 1 2 1 . 3 3   z Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức , u v u v ta được 2 2 2 2 4 4 4 2 4 0 5 1.   z z z z z z 2 2 2 2 2 4 4 2 4 0 5 1. z z z z z z z Vậy, z nhỏ nhất là 5 1, khi 5 z i i và z lớn nhất là 5 1, khi 5. z i i Chọn đáp án B. Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 2 z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z A. 9 4 5 . B. 11 4 5 C. 6 4 5 D. 5 6 5 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi ; ;   z x yi x y . Ta có: 2 2 1 2 2 1 2 4. z i x y Đặt 1 2sin ; 2 2cos ; 0; 2     x t y t t . Lúc đó: 2 2 2 2 2 1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4 8 sin ;  z t t t t t 2 9 4 5 sin 9 4 5 ; 9 4 5      z t z max 9 4 5 z đạt được khi 5 2 5 10 4 5 . 5 5 z i Chọn đáp án A. Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 2 z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z Ta có 2 2 1 2 2 1 2 2 2 5 9 4 5 Max z i z Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1 6 2 10 i z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z A. 4 5 B. 3 5. C. 3. D. 3 5 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi ; ;   z x yi x y . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 11 Ta có: 2 2 6 2 1 6 2 10 1 . 10 2 4 5 2 4 5. 1 i i z i i z z i x y i Đặt 2 5 sin ; 4 5 cos ; 0; 2     x t y t t . Lúc đó: 2 2 2 2 2 2 5 sin 4 5 cos 25 4 5 sin 8 5 cos 25 4 5 8 5 sin ;  z t t t t t 2 25 20sin 5; 3 5    z t z max 3 5 z đạt được khi 3 6 . z i Chọn đáp án B. Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1 6 2 10 i z i . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z Ta có 6 2 10 1 6 2 10 2 4 5 1 1 i i z i z z i i i 2 2 2 4 5 3 5 Max z Câu 14: Gọi , z x yi x y  là số phức thỏa mãn hai điều kiện 2 2 2 2 26 z z và 3 3 2 2 z i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích . xy A. 9 . 4 xy B. 13 . 2 xy C. 16 . 9 xy D. 9 . 2 xy Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt , . z x iy x y  Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 2 2 9. x y Đặt 3cos , 3sin . x t y t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có 3 3 18 18sin 6. 4 2 2       P z i t Dấu bằng xảy ra khi 3 3 2 3 2 sin 1 . 4 4 2 2       t t z i Chọn đáp án D. Câu 15: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 2 4 2 z i z i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 2 . z i A. 5 B. 3 5. C. 3 2 D. 3 2 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi ; ;   z x yi x y . Ta có: 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 0 4 . z i z i x y x y x y y x Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 12 36 2 3 18 18 z i x y x x x x x Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 12 min 2 18 3 2 z i khi 3 . z i Chọn đáp án C. Cách 2: 2 4 2 2 2 6 2 4 w 2 6 w 4 z i z i z i i z i i i i Trong đó 2 w z i (quay về dạng bài toán 1) Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3 z i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 1 . z i A. 4. B. 2 2. C. 2. D. 2. Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi ; ; 1 1 1   z x yi x y z i x y i . Ta có: 2 2 1 2 9 1 2 9 z i x y . Đặt 1 3sin ; 2 3cos ; 0; 2 .     x t y t t 2 2 2 min 1 3sin 1 3cos 10 6cos 2 2 4 1 2   z i t t t z i z i , khi 1 . z i Chọn đáp án C. Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh) Ta có 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2 Min z i z i i z i Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3 4 5 z i và biểu thức 2 2 2 M z z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức . z i A. 2 41 z i B. 3 5. z i C. 5 2 z i D. 41. z i Hướng dẫn giải Gọi ; ;   z x yi x y . Ta có: 2 2 3 4 5 : 3 4 5 z i C x y : tâm 3; 4 I và 5. R Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 3 : 4 2 3 0.      M z z i x y x y x y d x y M Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C có điểm chung 23 ; 5 23 10 13 33 2 5      M d I d R M M 2 2 max 4 2 30 0 5 33 5 4 41. 5 3 4 5   x y x M z i i z i y x y Chọn đáp án D. Câu 18: Cho số phức , 1 2  m i z m m m i . Tìm môđun lớn nhất của . z A. 1. B. 0. C. 1 2 . D.2. Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 13 Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 2 max 1 1 1 ; 0. 1 2 1 1 1  m i m i z z z z i m m m i m m m Chọn đáp án A. Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: 2 2 1 z i . Số phức z i có môđun nhỏ nhất là: A. 5 1 B. 5 1 C. 5 2 D. 5 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. y x 1 1 O I M Cách 1: Gọi z x yi , ,  x y . Ta có: 2 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1 z i x y i x y Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn ( ) C tâm (2; 2) I và bán kính 1 R . 2 2 1 z i x y IM , với 2; 2 I là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm 0;1 , 2; 2 N Oy I với đường tròn (C). min 5 1 IM IN R Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: 2 2 1 z i . Số phức z i có môđun nhỏ nhất Ta có 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 5 1 Min z i z i i z i Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa 2 1 z i z i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với 1,3 A . A. 3 i . B.1 3 i . C. 2 3 i . D. 2 3 i . Hướng dẫn giải Gọi , M x y là điểm biểu diễn số phức , z x yi x y R Gọi 1, 2 E là điểm biểu diễn số phức 1 2 i Gọi 0, 1 F là điểm biểu diễn số phức i Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 14 Ta có : 2 1 z i z i ME MF Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục : 2 0 EF x y . Để MA ngắn nhất khi  MA EF tại M 3,1 3 M z i => Đáp án A. Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : 1 2 5 z i và 1 w z i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi , 1 2 1 2  z x yi x y z i x y i Ta có: 2 2 2 2 1 2 5 1 2 5 1 2 5 z i x y x y Suy ra tập hợp điểm ; M x y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm 1; 2 I bán kính 5 R Dễ thấy O C , 1; 1 N C Theo đề ta có: ; M x y C là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: 1 1 1 1 w z i x yi i x y i 2 2 1 1 1      z i x y MN Suy ra 1 z i đạt giá trị lớn nhất MN lớn nhất Mà , M N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C I là trung điểm 2 2 3; 3 3 3 3 3 3 2 MN M z i z Câu 22: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2 z . Tìm giá trị lớn nhất của 2 T z i z i . A. max 8 2 T . B. max 4 T . C. max 4 2 T . D. max 8 T . Hướng dẫn giải Chọn B 2 1 1 1 1 T z i z i z i z i . Đặt 1 w z . Ta có 1 w và 1 1 T w i w i . Đặt . w x y i . Khi đó 2 2 2 2 w x y . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1. 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 4  T x y i x y i x y x y x y x y x y Vậy max 4 T . Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn 2 3 1 z i . Giá trị lớn nhất của 1 z i là A. 13 2 . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 . (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN) Lời giải Cách 1: Đặt ,  z a bi a b , ta có 2 3 1 2 3 1. z i a b i 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1  a b a b Đặt 2 sin 3 cos  a t b t (vì 2 2 sin cos 1  t t ). Khi đó 1 1 1 . z i a b i 2 2 1 1  a b xét biểu thức 2 2 1 1 . P a b Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 sin 3 cos 2 sin 6sin 9 cos 4cos 4 a b t t t t t t 2 2 sin cos 13 6 sin 4cos 14 6sin 4cos t t t t t t P Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được 2 2 2 2 2 6sin 4 cos 6 4 sin cos  t t t t 2 6sin 4 cos 52 6sin 4 cos 52 2 13 14 2 13.    t t t t P Vậy 2 2 2 1 1 1 14 2 13 13 1 13 1.  z i a b Chọn A. Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 2 3 1 z i . Giá trị lớn nhất của 1 z i Ta có z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1 2 2 Max z 1 i 3 2 1 13 1 Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho các số phức , z w thỏa mãn 2 2 4 , 1 z i z i w iz . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là A. 2 2 . B. 2 2 . C. 2 . D. 3 2 2 . Lời giải Cách 1: Đặt , z a bi a b  , khi đó 2 2 2 2 z i a b i và 4 4 z i a b i . Nên ta có 2 2 2 2 2 2 4 2 2 a b a b a b b a Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 16 Khi đó 2 2 2 2 1 1 1 1 1 w iz a bi i b ai w a b a a . Dễ thấy 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 min . 2 2 2 2 2     w a a a w Chọn A. Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1) Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn 4 4 10. z z Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 . D. 5 và 3 . Hướng dẫn giải. Gọi z x yi , ,  x y . Theo giả thiết, ta có 4 4 10. z z 2 2 2 2 4 4 10 4 4 10  x yi x yi x y x y Gọi ; M x y , 1 4; 0 F và 2 4; 0 F . Khi đó 1 2 10  MF MF nên tập hợp các điểm M z là đường elip E . Ta có 4 c ; 2 10 5 a a và 2 2 2 9 b a c . Do đó, phương trình chính tắc của E là 2 2 1 25 9 y x . Vậy max ' 5 z OA OA và min ' 3 z OB OB . Chọn D. Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2 z i z i . Biết rằng số phức z x yi , ,  x y có môđun nhỏ nhất. Tính 2 2 P x y . A. 10 P . B. 8 P . C. 16 P . D. 26 P . Hướng dẫn giải. Cách 1: Gọi z x yi , ,  x y . Ta có 2 4 2 2 4 2 z i z i x y i x y i 2 2 2 2 2 4 2 x y x y 2 2 2 2 4 4 8 16 4 4 x x y y x y y 4 4 16 0 4 x y y x . Do đó 2 2 2 2 2 2 4 2 8 16 2 2 8 2 2 z x y x x x x x . Dấu " " xảy ra 2 2 x y . Vậy 2 2 2 2 8 P . Chọn B. Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1) Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1 3 2 i z i . A. max 1 z . B. max 2 z . C. max 2 z . D. max 3 z . Hướng dẫn giải. Ta có 2 3 1 1 1 1 1 . 1 1 3 2 i z iz i z z i i i . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 17 Vì 0 1 i nên 1 2 max 1 1 2 z r r . Chọn B. Câu 28: (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1 1 7 2 i z i . Tìm max z . A. max 4 z . B. max 3 z . C. max 7 z . D. max 6 z . Hướng dẫn giải. Ta có 1 7 1 1 7 2 1 2 3 4 1 1 i i z i i z z i i . Vì 3 4 0 5 i nên 2 2 1 2 max 1 3 4 6 z r r . Chọn D. Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn 1  z . Đặt 2 . 2 z i A iz Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1.  A B. 1. A C. 1. A D. 1. A (THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải Từ giả thiết, ta có 2 2 2 2 2 2 z i A A iz z i A Azi z i iz 2 2 2 2 A i A i z Ai z Ai . Mà 2 1 1 2 2 . 2     A i z A i Ai Ai Đặt ,  A x yi x y , khi đó 2 2 1 2   x y i y xi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 4 4 4 1 4 4 1.    x y y x x y y x y y x y Vậy môđun của 2 2 1.  A x y Chọn A. Câu 30: Với hai số phức 1 z và 2 z thỏa mãn 1 2 8 6 z z i và 1 2 2 z z . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 P z z . A. 5 3 5. P B. 2 26. P C. 4 6. P D. 34 3 2. P (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải  Bổ đề. Cho hai số phức 1 z và 2 z , ta luôn có 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2  z z z z z z . Chứng minh. Sử dụng công thức 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z và 2 . z z z . Khi đó 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 . . . . . . . . 2 . . 2 .  z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z đ p c m  Áp dụng  , ta được 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 3 1 1. z z z z z z z z Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được 2 2 1 2 1 2 2 2 26.  P z z z z Chọn B. Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 18 Câu 31: Với hai số phức 1 z và 2 z thỏa mãn 1 2 8 6 z z i và 1 2 2 z z . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 P z z . A. 5 3 5. P B. 2 26. P C. 4 6. P D. 34 3 2. P (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải  Bổ đề. Cho hai số phức 1 z và 2 z , ta luôn có 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2  z z z z z z . Chứng minh. Sử dụng công thức 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z và 2 . z z z . Khi đó 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 . . . . . . . . 2 . . 2 .  z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z đ p c m  Áp dụng  , ta được 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 3 1 1. z z z z z z z z Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được 2 2 1 2 1 2 2 2 26.  P z z z z Chọn B. Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn 2 2 5 1 2 3 1 z z z i z i . Tính min| | w , với số phức 2 2 w z i . A. 3 min| | 2 w . B. min| | 2 w . C. min| | 1 w . D. 1 min| | 2 w . Lời giải Ta có 2 2 2 2 2 5 1 4 1 2 1 2 1 2 z z z z i z i z i . Khi đó, giả thiết 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1    z i z i z i z i z i z i z i TH1. Với 1 2 z i , ta có 2 2 1 2 2 2 1 1. w z i i i w TH2. Với 1 2 3 1  z i z i , đặt ,  z x yi x y , ta có 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2 1 3 . 2  x y i x y i x y x y y Do đó 2 1 3 9 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 w z i x i i x i w x . Chọn A. Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn 1 3 z z . Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là A. 3. B. 5. C. 13. D. 5. Lời giải Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 19 Ta có 2 2 1 1 1 1         a z a z z z z z z z 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . z z z z z z z z z z Khi đó 2 2 4 2 2 2 4 4 . 2 1 0 ; 2 2         a a a a z z a z z z . Vậy 2 2 2 4 4 max ; min 4 13. 2 2 a a a a z z M m a Chọn C. Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn 10 1 2 2 i z i z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 2 2 z . B. 1 3 2 2 z . C. 2 z . D. 1 2 z . Lời giải Cách 1. Từ giả thiết, ta có 10 10 1 2 2 1 2 2 i z i i z i z z 10 10 2 2 2 2 1  z z i i z z i z z Lấy môđun hai vế của  , ta được 2 2 10 2 2 1 .  z z z Đặt t z , ta có 2 2 2 2 4 2 10 2 2 1 5 5 10 2 0 1. t t t t t t t t Vậy môđun của số phức z bằng 1 3 1 . 2 2 z Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm . z Cách 3. Đặt ,  z a bi a b và c z , thay vào đẳng thức đã cho thì 2 2 2 10 10 1 2 2 1 2 2 10 10 2 2 1 0       a bi Gt i c i i c i a bi c a b c i c c c Suy ra 2 2 2 10 10 2 0 2 10 10 2 1 0 1 2   a a c c c c b b c c c c nên 2 2 2 2 4 2 10 10 2 1 2 a b c c c c Giải ra ta có 1  c mà 0 c nên 1 c hay 1 z . Do đó 1 3 . 2 2 z Chọn B. Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 20 Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là ,  M M . Số phức (4 3 ) z i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là ,  N N . Biết rằng , , ,   M M N N là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 5 z i A. 1 . 2 B. 2 . 5 C. 1 . 2 D. 4 . 13 Lời giải Gọi ; ' ;  M x y M x y và 4 3 ; 3 4 4 3 4 3 3 4 ' 4 3 ; 3 4  N x y x y i z x y x y i N x y x y Dễ thấy ' '  MM NN vì cùng vuông góc với Ox nên để ' ' MM N N là hình chữ nhật. Khi và chỉ khi 2 2 ' ' ' ' 0 4 5 5 4   MM NN MN M N x y z x xi z i x x MN Ox Ta có 2 2 2 min 1 1 1 1 5 4 2 9 4 5 . 2 2 2 2 x x x z i Chọn C. Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2. z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 . T z i z i A. max 8 2. T B. max 4. T C. max 4 2. T D. max 8. T Lời giải Đặt ,  z x yi x y , ta có 2 2 1 2 1 2 1 2 z x yi x y 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1  x y x x y x y x Lại có 2 1 2 1 T z i z i x y i x y i 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 2 5 x y x y x y y x y x y Kết hợp với  , ta được 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 T x y x y x y x y Đặt t x y , khi đó 2 2 6 2 T f t t t với 1;1 .    t Ta có max 1 1 ' ; ' 0 1 1 4 2 2 6 2 f t f t t f t f t t . Chọn B. Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện 1 2 z . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 2 T z i z i A. max 8 2 T . B. max 8 T . C. max 4 2 T . D. max 4 T . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt ,  z x yi x y , ta có: Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 21 1 2 1 2 z x yi 2 2 2 2 1 2 2 1 * x y x y x Lại có: 2 1 2 1 T z i z i x y i x y i 2 2 2 2 1 2 1 x y x y 2 2 2 2 2 1 4 2 5 x y y x y x y Kết hợp với * , ta được: 2 2 2 6 2 2 T x y x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được 2 2 2 2 1 1 2 2 2 6 2 2 4       T x y x y Vậy max 4 T . Câu 38: Cho w sin cos i với 0 2  thỏa mãn 2 w 1 2 w . Giá trị của 2018 2 26 w 3     P là A. 2018 23 . P B. 2018 23 . P C. 2018 23 . P i D. 2018 29 . P Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 2 2 2 w 1 sin cos 1 1 cos 2 sin 2 w 1 2 2cos 2 . i i 2 2 2 w sin cos 2 . Từ giả thiết: 2 w 1 2 w cos 2 0 4  vì 0 2  . 2 2 2 2 2 w w w 1 2 2 2 2 i i . Vậy 2018 23 . P Câu 39: Cho các số phức 1 2 2 , 2 z i z i và số phức z thay đổi thỏa mãn 2 2 1 2 16. z z z z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức 2 2 M m bằng A. 15 . B. 7 . C. 11 . D. 8 . Lời giải Chọn D. Gọi M là điểm biểu diễn của z . Gọi 2;1 A , 2;1 B . Gọi 0;1 I là trung điểm AB . 2 2 2 2 1 2 16 16 z z z z MA MB 2 2 2 2 2 16 2 AB MA MB MI 2 MI Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn tâm 0;1 I bán kính 2 R . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 22 y x M 2 M 1 I O Ta lại có :   IM IO OM IM IO 1 3   OM . Do đó : 2 max 3  z M M 1 min 1  z M M 2 2 8 M m . Bài tương tự Câu 40: Cho hai số phức 1 2 , z z thỏa mãn 1 1 2 z i và 2 1 z iz . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 1 2 z z ? A. 2 1 m . B. 2 2 m . C. 2 m . D. 2 2 2 m . Lời giải Chọn D. Đặt 1 ; ,  z a bi a b 2 z b ai 1 2 z z a b b a i . Nên 2 2 1 2 1 2. z z a b b a z Ta lại có 1 1 1 2 1 1 2  z i z i z 1 2 2 z . Suy ra 1 2 1 2. 2 2 2 z z z . Dấu " " xảy ra khi 0 1 1 a b . Vậy 1 2 min 2 2 2 m z z . Câu 41: Gọi số phức ; ,  z x yi x y thỏa điều kiện 2 2 2 2 26 z z và 2 5 z i lớn nhất. Tính T x y . A. 2 5 T . B. 2 5 T . C. 2 5 T . D. 2 5 T . Lời giải Chọn A. Giả sử ; ,  z x yi x y Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 26 2 2 26 9 z z x y x y x y . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 23 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C tâm là gốc tọa độ O , bán kính 3 R . Ta có 2 2 2 5 2 5 z i x y Vì 2 2 2 5 9 nên điểm 2; 5 N thuộc đường tròn C . Gọi ; M x y là điểm thuộc C , khi đó 2 3 2 5 2 5 z i x y MN . Suy ra 2 5 z i lớn nhất MN lớn nhất MN là đường kính của C 2; 5 M Vậy 2 5 z i . Câu 42: Cho 1 2 , z z là hai số phức thỏa mãn phương trình 2 2 z i iz , biết 1 2 1 z z Tính giá trị của biểu thức: 1 2 P z z . A. 3 2 P . B. 2 P . C. 2 2 P . D. 3 P . Lời giải Chọn D. HD: Cách 1. Ta có: 2 2 2 2 2 2 (2 )(2 ) (2 )(2 ) z i iz z i iz z i z i iz iz 2 2 4 . 2 2 4 2 2 . 3 . 3 z z iz iz i iz iz i z z z z 2 1 . 1 1 1 1 z z z z z và 2 1 z Chú ý: 2 2 . 2 (2 )(2 ) (2 )(2 ) a a a z i z i z i z i z i Tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 2 , z z là đường tròn tâm O bán kính 1 R . Gọi 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) 1 M z M z OM OM Ta có: 1 2 1 2 2 1 1 2 1                      z z OM OM M M OM M đều Mà 1 2 1 2                  z z OM OM OM OM với M là điểm thỏa mãn 1 2 OM MM là hình thoi cạnh 1 3 3 OM P . Cách 2. Đặt , ,  z x yi x y , ta có 2 2 (2 1) z i x y i và 2 2 iz y xi . Khi đó: 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 (2 1) ( 2) 1 1 1  z z i iz x y y x x y z z Sử dụng công thức 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 z z z z z z z z z z . Chọn D. Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2 4 z i . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 z i . Tính giá trị của tổng 2 2 S M m . A. 82 S . B. 34 S . C. 68 S . D. 36 S . Lời giải Chọn C. y O x M 2 M 1 M Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 24 Cách 1: (Phương pháp hình học) Đặt số phức z x iy , ,  x y có điểm biểu diễn hình học là , P x y . Ta có 2 2 2 2 1 2 1 2 4 1 2 16 z i x y x y . Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm 1; 2 I , bán kính 4 R . Ta có 2 2 2 2 1 z i x y AP , với 2; 1 A . Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy: max 2 min 1 3 2 4 3 2 4  M AP AP IA R m AP AP IA R . Vậy ta suy ra 2 2 2 2 3 2 4 3 2 4 68 S M m . Cách 2: (Phương pháp đại số) Công cụ cơ bản: 1 2 1 2 1 2   z z z z z z , với mọi số phức 1 z , 2 z . Áp dụng, ta có: 2 1 2 3 3 1 2 3 3 4 3 2 4 3 2  z i z i i z i i M 2 1 2 3 3 1 2 3 3 3 2 4 3 2 4  z i z i i z i i m Vậy ta có 2 2 2 2 3 2 4 3 2 4 68 S M m . Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức 1 2 , , z z z thỏa 1 2 6 z z và 1 2 6 2 z z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 2 2 P z z z z z z z z z z . A. 30 3 . B. 36 2 . C. 50 . D. 50 2 . Lời giải Chọn B. Gọi , , A B M là điểm biểu diễn số phức 1 2 , , z z z , khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB vuông cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của 2 . . . P MA MB MO MA MO MB . Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát Cho tam giác ABC , đặt AB c , AC b , BC a , khi đó ta có . . . 1  MB MC MC MA MA MB bc ca ab Chứng minh: dùng bài toán kinh điển 2 2 2 2 2 2 . . .   xyc yza zxb x MA y MB z MC x y z Đặt ; ; a b c x y z MA MB MC khi đó . . . . . aMB MC bMC MA cMA MB x y z MA MB MC và 2 2 2 . . aMA bMB cMC xyc yza zxb abc MA MB MC từ đó sử dụng   suy ra hệ thức  . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 25 Áp dụng bài toán trên ta có 36 2 P , chọn B. Ta có thể chứng minh bài toán  trên bằng ngôn ngữ số phức. Gọi tọa độ các điểm , , , A B C M trên mặt phẳng phức là , , , u v w x khi đó a v w , b w u , c u v , MA x u , MB x v , MC x w . Khi đó bất đẳng thức  tương đương 1 x v x w x w x u x u x v u v u w v w v u w u w v 1 x v x w x w x u x u x v u v u w v w v u w u w v Mặt khác : x v x w x w x u x u x v x v x w x w x u x u x v u v u w v w v u w u w v u v u w v w v u w u w v Mà 1 x v x w x w x u x u x v u v u w v w v u w u w v nên suy ra  . Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 3 P z i z i A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 4 3 3 . Lời giải Chọn B. Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 26 Gọi điểm biểu diễn của z là M . Khi đó M nằm trên đường tròn tâm 0; 1 , 1. I R Gọi tọa độ các điểm 2; 1 , 2; 3 A B do đó: 2 2 2 3 2 . P z i z i MA MB Gọi 1 ; 1 2     K khi đó ta có: 1 . 2 IK IM IM IA Vậy IMK và IAM là hai tam giác đồng dạng. Khi đó: 2 MA MK . Vậy 2 P MK MB . Theo bất đẳng thức tam giác: 2 2 . P MK MB BK Vậy 2 3. Min P BK Câu 46: Với hai số phức 1 z và 2 z thoả mãn 1 2 8 6 z z i và 1 2 2, z z tìm giá trị lớn nhất của 1 2 . P z z A. 4 6 P . B. 2 26 P . C. 5 3 5 P . D. 34 3 2 P . Lời giải Chọn B. Vì hai số phức 1 z và 2 z thoả mãn 1 2 8 6 z z i và 1 2 2 z z nên 1 2 2 1 1 2 8 6 8 6 2  z i z z i z z z 1 2 1 2 4 3 1 4 3 1 2  z i z i z z * . Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức 1 z và 2 z khi đó từ * suy ra , A B nằm trên đường tròn C có tâm 4; 3 I , bán kính 1 R và AB là đường kính của đường tròn C . Như vậy 1 2 P z z OA OB . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 5 1 52 2 4 OA OB AB OI OA OB . Suy ra 2 2 52 2 . OA OB OA OB 2 2 2 2 . 52 52 104  OA OB OA OB OA OB 1 2 104 2 26  P z z OA OB . Dấu bằng xảy ra khi OA OB. Câu 47: Giả sử 1 2 , z z là hai trong số các số phức z thỏa mãn 2 1 iz i và 1 2 2. z z Giá trị lớn nhất của 1 2 z z bằng A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3. x y 3 4 B O I 1 AGv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 27 Lời giải Chọn A. Ta có 2 1 iz i 2 1 1 i z i 2 1 1 z i . Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm 1; 2 I , 1 R . Gọi M , N là điểm biểu diễn 1 z , 2 z nên 2 MN là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta có 1 2 2 3 z z OP . Ta có 2 2 2 1 2 1 2 2  z z z z 2 2 1 2 1 2 z z z z 16 1 2 4  z z . Dấu bằng xảy ra khi 1 2 z z  MN OI . Câu 48: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn 1 3 2 z z i ;  z m i với  m là tham số. Giá trị của m để ta luôn có 2 5  là: A. 7 3    m m . B. 7 3    m m . C. 3 7  m . D. 3 7   m . Lời giải Chọn B. Đặt , ,  z a ib a b có biểu diễn hình học là điểm ; M x y 1 3 2 z z i 1 3 2 x iy x y i 2 2 2 2 1 3 2 x y x y 2 1 6 9 4 4 x x y 2 3 0 x y Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng : 2 3 0  x y . Ta có: 2 5  2 5 z m i 1 2 5 x m y i 2 2 1 2 5 x m y 2 5 MI với ; 1 I m . Mà ta có ,  MI d I Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 28 Nên 2 5 MI , 2 5  d I 2 4 2 5 5 m 2 4 10 m 2 4 10 2 4 10    m m 3 7    m m . Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho z là số phức thỏa mãn 1 2 z i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 3 P z i z i A. 18 . B. 14 2 10 . C. 38 8 10 . D. 16 2 10 . Lời giải Chọn C. Gọi ; , ;  z x yi x y M x y là điểm biểu diễn số phức z . Do 2 2 1 2 1 1 4 z i x y suy ra M thuộc đường tròn tâm 1; 1 I , bán kính 2 R . Đặt 2;1 , 2; 3 , 0; 2 A B E là trung điểm của AB . Khi đó 2 2 2 2 3 P z i z i 2 2 2 2 2 1 2 3 x y x y 2 2 MA MB 2 2 2 2 AB ME 2 2 10 ME . Do E nằm ngoài đường tròn, nên Max ME EI R 2 10 38 8 10 Max P . Cách 2 : 2 2 2 2 3 P z i z i 2 2 2 2 2 1 2 3 x y x y = 2 2 2 2 8 18 x y y 2 2 2 2 8 18 0 x y y P . Suy ra tọa độ điểm M thỏa mãn 2 2 2 2 2 2 8 18 0 1 1 4  x y y P x y 2 2 1 1 4 : 4 12 22 0   x y x y P Hệ có nghiệm khi ,   d I R 38 8 10  P 38 8 10 38 8 10   P 38 8 10 Max P . Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 108)Cho các số phức 1 2 2 , 2 z i z i và số phức z thay Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 29 đổi thỏa mãn 2 2 1 2 16. z z z z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức 2 2 M m bằng A.15 . B. 7 . C.11 . D.8 Lời giải: Chọn D. Cách 1: Gọi số phức z x yi với , x y  . Ta có 2 2 1 2 16 z z z z 2 2 2 3 0 x y x . Khi đó tập hợp các điểm ( , ) M x y biểu diễn số phức z là đường tròn ( ) C có tâm ( 1,0) I và bán kính 2 R . Ta có min min | | z OM , max max | | z OM . Đường thẳng OI có phương trình 0 y . OI cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt , A B có tọa độ là nghiệm của hệ 2 2 2 3 0 0 x y x y  (1,0); ( 3,0) A B . Ta có OA OM OB   nên min | | z OA , max | | z OB . Khi đó 2 2 9 1 8 M m . Cách 2: Gọi số phức z x yi với , x y  . Ta có 2 2 1 2 16 z z z z 2 2 2 3 0 x y x . Khi đó tập hợp các điểm ( , ) M x y biểu diễn số phức z là đường tròn ( ) C có tâm ( 1,0) I và bán kính 2 R . 1 2 z Ta có: 1 1 1 z z min 1 z , 1 1 3 z z  max 3 z . Cách 3: Gọi số phức z x yi với , x y  . Ta có 2 2 1 2 16 z z z z 2 2 2 3 0 x y x . Khi đó tập hợp các điểm ( , ) M x y biểu diễn số phức z là đường tròn ( ) C có tâm ( 1,0) I và bán kính 2 R . Ta có min OM OI R , max OM OI R min 1 z , max 3 z CÂU PHÁT TRIỂN Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 5 z i . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị biểu thức 2 2 2 M m Mn bằng A.12 . B. 1 2 . C. 4 3 . D.8 Lời giải: Chọn C. Gọi số phức z x yi với , x y  , khi đó 2 2 | | z x y . Ta có: 2 4 5 z i 2 2 2 ( 4) 5 x y 2 2 15 4( 2 ) x y x y . Áp dụng bđt Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: 2 2 | 2 | 5( ) 5 | | x y x y z  . Khi đó ta có bất phương trình 2 | | 15 4 5 | | z z  5 | | 3 5 z   . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 30 Do đó 2 2 2 M m Mn 4 . 3 Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 | 3 2 | 5 z i z i . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 z i . Giá trị biểu thức 2 2 M m bằng A. 25 . B.35 . C. 15 2 . D. 20 . Lời giải: Chọn B. Gọi z x yi (với , x y  ) có điểm ( ; ) M x y biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Ta có 1 3 2 5 z i z i 2 2 2 2 1 1 3 2 5 x y x y 2 2 2 2 1 2 3 3 2 4 5 x y x y       (1). Số phức 2 2 z i x y i có điểm ; 2 M x y  biểu diễn 2 z i trên mặt phẳng tọa độ. Đặt (1;3), (3; 4) A B , từ (1) ta có 5 AM BM   . Mặt khác 5 AB nên M  thuộc đoạn AB . Khi đó max 2 M z i 5 OB , min 2 m z i 10 OA . Vậy 2 2 35 M m . Nhận xét: - GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu , A B . - Một sai lầm thường gặp là đánh giá min ; z d O AB nhưng do góc OAB là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM AB  . Câu 53: (Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn 3 4 5 z i . Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 P z z i . Khi đó modun của số phức w M mi A. 2 314 . B. 1258 . C. 3 137 . D. 2 309 . Lờigiải Chọn B. Cách 1: Giả sử , z x yi x y R ta có 3 4 5 z i 2 2 3 4 5 x y Ta có 4 2 3 P x y 4 3 2 4 23 x y P Ta có 2 2 2 4 3 2 4 20 3 4 100          x y x y Suy ra 10 23 10   P 13 33   P suy ra 33, 13 M m do đó ta được 33 13 w i vậy w 1258 . Cách 2: Gọi z x yi với ,  x y . Ta có: 2 2 3 4 5 3 4 5 z i x y . Suy ra, tập hợp điểm ; M x y biểu diễn cho số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn C tâm 3; 4 I và bán kính 5 R . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 31 Lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 4 2 3 0 P z z i x y x y P x y P , đây là phương trình của đường thẳng : 4 2 3 0  x y P . Ta thấy   M C . Điều kiện để  cắt C là: 23 , 5 10 23 10 13 33 2 5        P d I R P P . Suy ra: 13, 33 m M và 33 13 1258 w i w . Cách 3: Gọi z x yi với ,  x y . Ta có 2 2 2 2 2 1 4 2 3 P x y x y x y suy ra 4 3 2 P x y . Từ 2 2 2 2 4 3 3 4 5 3 4 5 3 4 5 0 2     P x z i x y f x x . Ta có 4 11 2 3 4 2 10 16 2      P x f x x P x . 0 0,2 1,6  f x x P . Suy ra 0,1 1,7 y P . Thay , x y vừa tìm được vào f x ta được 2 2 0,2 1,6 3 0,1 1,7 4 5 0 P P . Ta giải được 33 P hoặc 13 P . Đây tương ứng là GTLN và GTNN của P . Vậy 33, 13 M m . Khi đó, 1258  . Câu 54: Biết số phức z x yi , ,  x y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 4 3 z z i và biểu thức 1 2 3 P z i z i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 P x y . A. 61 10 P . B. 253 50 P . C. 41 5 P . D. 18 5 P . Lời giải Chọn A . Theo giả thiết 4 3 z z i 4 3 x yi x y i 2 2 2 2 4 3 x y x y 2 2 2 2 8 16 6 9 x y x x y y 8 6 25 0 x y . Ta có 2 2 2 2 1 1 2 3 P x y x y Xét điểm 1;1 E ; 2; 3 F và ; M x y . Khi đó, P ME MF . Bài toán trở thành tìm điểm : 8 6 25 0  M x y sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất. Vì 8 8 25 . 8 8 25 0 E E F F x y x y nên hai điểm , E F nằm cùng phía đối với đường thẳng  . Gọi  E là điểm đối xứng với E qua  Đường thẳng  EE đi qua điểm 1; 1 E và có VTPT 3; 4     EE n u nên có phương trình 3 1 4 1 0 x y 3 4 7 0 x y Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 32 Gọi H là giao điểm của  EE và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 3 4 7 8 6 25  x y x y 71 25 19 50  x y suy ra 71 19 ; 25 50     H  E đối xứng với E qua H nên 117 25 44 25    E E x y . Ta có   ME + MF = ME + MF E F . Dấu bằng xảy ra M là giao điểm của  E F và đường thẳng  Đường thẳng  E F đi qua điểm 2; 3 F và có VTPT 31;167   EE n có phương trình 31 2 167 3 0 x y 31 +167 + 439 = 0 x y Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 31 167 439 8 6 25  x y x y 67 50 119 50  x y Vậy 61 2 10 P x y . Câu 55: Gọi 1 2 , z z là 2 nghiệm của phương trình 1 2 1 2 z i z i thỏa mãn 1 2 2 z z . Biết rằng w là số phức thỏa mãn w 3 2 2 i . Tìm GTNN của biểu thức 1 2 w w P z z . A. 1 3 B. 2 3 C. 2 D. 6 . Lời giải. Chọn D . Giả sử , z x yi x y R ta có 1 2 1 2 z i z i 0 x suy ra tập hợp điểm biểu diễn 1 2 , z z là trục tung. Giả sử , A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho 1 2 , z z , ta có 1 2 2 z z 2 AB . Giả sử w , a bi a b R và M là điểm biểu diễn cho số phức w , ta có w 3 2 2 i 2 2 ( 3) ( 2) 4 a b suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm 3; 2 I bán kính 2 R . Ta có P MA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra 6 2 MA MB , vậy 6 2. 6 2 MinP Câu 56: Cho z là số phức thỏa 1 2 z i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 33 2 2 2 2 3 P z i z i A. 18 . B. 38 8 10 . C. 18 2 10 . D. 16 2 10 . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi ,  z x yi x y Ta có: 2 2 1 2 1 2 1 1 4 z i x yi i x y 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 x y x y x y x y (*) Theo bài ra: 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 P z i z i x yi i x yi i 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 8 18 x y x y x y y Thay (*) vào P ta được: 4 12 22 4 1 12 1 38 P x y x y Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được 2 2 2 2 2 2 4 1 12 1 38 4 12 1 1 38 4 12 .4 38 8 10 38       x y x y Vậy max 8 10 38 P . Câu 57: Giả sử 1 2 , z z là hai trong số các số phức z thỏa mãn 2 1 iz i và 1 2 2. z z Giá trị lớn nhất của 1 2 z z bằng A. 4 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 3. Lời giải Chọn A. Ta có 2 1 iz i 2 1 1 i z i 2 1 1 z i . Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm 1; 2 I , 1 R . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 34 Gọi M , N là điểm biểu diễn 1 z , 2 z nên 2 MN là đường kính. Dựng hình bình hành OMNP ta có 1 2 2 3 z z OP . Ta có 2 2 2 1 2 1 2 2  z z z z 2 2 1 2 1 2 z z z z 16 1 2 4  z z . Dấu bằng xảy ra khi 1 2 z z  MN OI . Câu 58: Xét các số phức z a bi ,  a b thỏa mãn 2 3 2 2 z i . Tính 2 P a b khi 1 6 7 2 z i z i đạt giá trị lớn nhất. A. 1 P . B. 3 P . C. 3 P . D. 7 P . Lời giải Chọn B Gọi z x yi với ,  x y . Ta có: 2 2 2 3 2 2 2 3 8 z i x y . Suy ra, tập hợp điểm ; M x y biểu diễn cho số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn C tâm 2; 3 I và bán kính 8 R . Gọi 1; 6 A , 7; 2 B và 3; 2 J là trung điểm của AB . Đặt 1 6 7 2 P z i z i suy ra 2 2 2  P MA MB MA MB . (BĐT Bunhiacopxki). Phương trình đường trung trực  của AB là: 3 2  x t y t . Ta có: 2 2 2 2 2 2 AB MA MB MJ với J là trung điểm của AB . Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên IJ .  MJ R Do vậy 2 2 2 4 IJ  P R AB nên 2 2 ax 4 IJ . m P R AB Dấu « = » xảy ra khi MA MB và ba điểm , , M I J thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ IA IB . Do đó:   M C , tọa độ của M là nghiệm hệ: 2 2 2 2 3 3 0 4 2 2 1 5 3 7 2 3 8 5 5 8 x t x t x x y t y t y y t t x y t t      Mặt khác : 4; 5 2 130 M P MA MB và 0;1 2 50 M P MA MB . Vậy để Max P thì 4; 5 M Suy ra 2 3 a b . Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn 2 4 2 z i , gọi 1 z và 2 z là số phức có mô- đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức 1 z và 2 z bằng. A. 8i . B. 4 . C. 8 . D. 8 . Lời giải Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 35 Chọn D. Gọi , ,  z x yi x y và ; M x y là điểm biểu diễn số phức z . Theo giả thiết 2 4 2 z i 2 4 2 x yi i 2 2 2 4 4 x y . Suy ra 2 2 : 2 4 4 M C x y Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 4 2 z i là đường tròn C có tâm 2; 4 I bán kính 2 R . Đường OI có phương trình 2 y x cắt đường tròn C tại hai điểm 10 2 5 20 4 5 ; 5 5       A , 10 2 5 20 4 5 ; 5 5       B . Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất. Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi ( ,  a b và 0 b ) thỏa mãn 1 z . Tính 2 2 4 P a b khi 3 2 z z đạt giá trị lớn nhất. A. 4 P . B. 2 2 P . C. 2 P . D. 2 2 P . Lời giải Chọn C. Cách 1: Từ giả thiết có 2 2 1 a b 2 2 1 0 b a với 1;1 a và . 1 z z . Ta có 3 2 z z 2 2 1 2 . z z z z 2 2. z z z 2 2 2 2 2 bi a b abi 2 2 2 2 a b b ab i 2 2 2 2 2 2 a b b ab 2 2 2 2 2 2 1 2 a b b a 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 a a a 3 2 2 4 4 2 a a a Xét 3 2 4 4 2 f a a a a , với 1 1 a . 2 12 2 4  f a a a ; 2 0 12 2 4 0  f a a a 1 1;1 2 2 1;1 3      a a Bảng biến thiên: Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 36 Suy ra 1;1 1 13 max 2 4     a f a f , đạt được khi 1 2 a , 2 3 4 b . Vậy 2 1 2 4 2 3 2 2     P a b . Cách 2: Ta có 3 cos sin cos 3 sin 3 z x i x z x i x . Vì 0 b nên sin 0 x , cos 1;1 x . Khi đó 3 2 z z cos 3 sin 3 cos sin 2 x i x x i x cos 3 cos 2 sin 3 sin x x x x i 2 2 cos 3 cos 2 sin 3 sin x x x x 2 2 2 2sin 2 .sin 2cos 2 .sin x x x x 2 2 2 2 4 8sin 2 sin 4 sin sin 2 4cos 2 sin x x x x x x 2 2 4 16sin cos 4sin x x x 2 2 4 16 1 4 1 t t t 3 2 16 4 16 8 t t t với cos 1;1 t x . Đặt 3 2 16 4 16 8 f t t t t , 1;1 t . 2 48 8 16 0  f t t t 1 1;1 2 2 1;1 3      t t Bảng biến thiên: 1;1 1 max 13 2     t f t f 1 cos 2 t x . Khi đó: 2 2 2 1 1 3 2 2 4 a a b a b . Vậy 2 1 2 4 2 3 2 2     P a b . t 1 1 2 2 3 1 f t  0 0 f t 13 1 a 1 1 2 2 3 1 f a  0 0 f a 13 4 1 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 37 Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min Câu 61: Cho 1 z , 2 z là hai số phức thỏa mãn 2 2 z i iz , biết 1 2 1 z z . Tính giá trị của biểu thức 1 2 P z z A. 3 2 P . B. 2 P . C. 2 2 P . D. 3 P . Lời giải Chọn D. Cách 1. + Đặt z x yi , ,  x y , ta có 2 2 2 2 1 2 z i iz x y i y xi 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 4 4 4 1 4 4 x y y x x y y y y x 2 2 1 2 1 1 1 x y z z z + Sử dụng công thức: 1 2 ,  z z ta có 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 z z z z z z Suy ra 3 P . Cách 2. + Biến đổi: 2 2 2 iz i iz z i Ta có 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 z i z i z i z i z z z . + Sử dụng công thức bình phương mô đun 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 , mz nz m z mnz z cos z z n z Trong đó 1 2 , z z là góc MON với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1 2 , z z trên mặt phẳng phức 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 . . , 1 , 2 z z z z z z z z cos z z cos z z . Vậy 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . , 3 3 P z z z z z z cos z z P . Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2 z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 T z i z i . A. max 8 2 T . B. max 4 T . C. max 4 2 T . D. max 8 T Lời giải Chọn B. Đặt , z x yi x y R , ta có 2 2 1 2 1 2 ( 1) 2 z x yi x y 2 2 2 2 1 2 2 1 x y x y x (*) Lại có 2 ( 1) 2 ( 1) T z i z i x y i x y i 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 2 1 4 2 5 x y x y x y y x y x y Kết hợp với (*), ta được 2 2 2 6 2 2 2( ) 2 6 2( ) T x y x y x y x y Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 38 2( ) 2 6 2( ) 2(2( ) 2 6 2( )) 4  T x y x y x y x y . Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5 1 3 3 1 z i z i z i . Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức: 2 3 z i ? A. 10 3 M . B. 1 13 M . C. 4 5 M . D. 9 M Lời giải Chọn C. 2 2 2 2 2 2 5 ( 1) ( 1) ( 3) 3 ( 1) ( 1) x y x y x y 2 2 2 2 2 2 5 ( 1) 10. ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)   x y x y x y 2 2 2 2 2 2 25 ( 1) 10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) 0        x y x y x y 2 2 ( 1) 20 2 5   x y z i 2 3 (4 2) 4 2 2 5 2 5 4 5  P z i z i i z i i Câu 64: Cho hai số phức ,  z thỏa mãn 1 3 2 z z i ;  z m i với  m là tham số. Giá trị của m để ta luôn có 2 5  là: A. 7 3    m m . B. 7 3    m m . C. 3 7  m . D. 3 7   m . Lời giải Chọn B. Đặt , ,  z a ib a b có biểu diễn hình học là điểm ; M x y 1 3 2 z z i 1 3 2 x iy x y i 2 2 2 2 1 3 2 x y x y 2 1 6 9 4 4 x x y 2 3 0 x y Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng : 2 3 0  x y . Ta có: 2 5  2 5 z m i 1 2 5 x m y i 2 2 1 2 5 x m y 2 5 MI với ; 1 I m . Mà ta có ,  MI d I Nên 2 5 MI , 2 5  d I 2 4 2 5 5 m 2 4 10 m 2 4 10 2 4 10    m m 3 7    m m . Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn 1 1 3 2 z z i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 4 7 P z i z i A. 20 . B. 10 . C. 12 5 . D. 4 5 . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 39 Lời giải Chọn A. Gọi z x yi , ,  x y . Ta có 1 1 3 2 z z i 2 1 3 z z i 2 2 2 2 2 1 3 x y x y 2 2 4 6 7 0 x y x y . Lại có 2 4 7 P z i z i 2 2 2 2 1 2 4 7 x y x y 4 8 8 2 4 8 72 x y x y . Mặt khác 2 4 8 8 2 4 8 72 5.80  x y x y 4 8 8 2 4 8 72 20  x y x y Suy ra 20  P . Câu 66: Cho số phức z a bi ( a , b là các số thực) thỏa mãn 3 4 z z i và có môđun nhỏ nhất. giá trị của . P a b là? A. 3 4 . B. 4 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D. Ta có: 3 4 a bi a bi i 2 2 2 2 3 4 a b a b 6 8 25 0 a b 25 8 6 b a Mô đun của số phức z là: 2 2 z a b 2 2 25 8 6     b b 2 100 2 225 36 b 15 6 Số phức min 2 z b 3 2 a 3 P Câu 67: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2 z i z i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. 1 z i . B. 2 2 z i . C. 2 2 z i . D. 3 2 i . Lời giải Chọn C. Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn 2 4 2 z i z i Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 40 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 4 8 16 4 4 4 4 16 4 a b i a b i a b a b a a b b a b b a b a b Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki. 2 2 2 2 2 2 2 2 16 1 1 8  a b a b z a b 2 2 z Dấu xảy ra 2 2 2 1 1 4  a b a b z i a b Câu 68: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2 z i z i . Số phức z có mô đun bé nhất bằng A. 3 2 B. 2 . C. 2 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C Đặt ,  z x yi x y . Khi đó 2 4 2 z i z i 2 4 2 x yi i x yi i 2 2 2 2 2 4 2 x y x y 4 4 16 0 x y 4 0 x y . Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng : 4 0  x y . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 41 min 4 ; 2 2 2  z d O . Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức 1 2 ; z z thỏa mãn 1 2 5 z z và 1 2 1 z z . Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 P z z là: A. 26. B. 26 . 2 C. 9. D. 1 . 2 Lời giải Chọn A. Ta gọi , M N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 2 ; z z . Từ giả thiết : 1 2 5 z z 5 OM ON          5 2 OI    với I là trung điểm của đoạn thẳng MN . 1 2 1 z z 1 OM ON          1 MN . Ta có 2 2 2 2 2 4 OM ON MN OI 2 2 2 2 2O 2 MN I OM ON 13 1 2 P z z OM ON 2 2 2 2 2 1 1 P OM ON  26 . Vậy max 26. P Câu 70: Cho hai số phức 1 2 ; z z thỏa mãn 1 2 5 z z và 1 2 1 z z . Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 P z z . Khi đó mô đun của số phức . M m i là : A. 76 . B.76 . C. 2 10 . D. 2 11 . Lời giải Chọn A. Ta gọi , M N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 2 ; z z . Từ giả thiết : 1 2 6 z z 6 OM ON          3 OI    với I là trung điểm của đoạn thẳng MN . 1 2 2 z z 2 OM ON          2 MN . Ta có 2 2 2 2 2 4 OM ON MN OI 2 2 2 2 2O 2 MN I OM ON 20. 1 2 P z z OM ON 2 2 2 2 2 1 1 P OM ON  40. Vậy ax 2 0 . m 1 P M 1 2 P z z OM ON          OM ON          6 . Vậy min 6 P m . Suy ra . M m i 40 36 76. Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 42 Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn 5 . 3 2 i z . Giá trị lớn nhất của biểu thức 4 2 5 z 1 1 i P z i là: A. 2 5 . B.3. C. 3 5 . D. 5 2 . Lời giải Chọn C. Ta gọi ( ; ) M x y là điểm biểu diễn số phức z . 5 . 3 2 i z 2 2 5 3 2 x y . Suy ra 5 ( ; ) (0;3); 2 M x y C I R       Khi đó: 4 2 5 z 1 1 i P z i 2 2 z 5 1 2 1 i z i 2 MA MB         , với 1 ;2 ; 1;5 2 A B     Ta có: 1 ; 1 2 IA        ; 1;2 IB    suy ra 2. IB IA       . Theo định lý Stewart ta có: 2 2 2 5 3 5 5 5 . 5 2 2 2 MA MB MI       2 2 2 15 MA MB (Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ MI MA AB             1 3 MA AB         1 3 MA MB MA             2 1 3 3 MA MB         Suy ra: 2 2 2 4 1 4 . .cos , 9 9 9 MI MA MB MA MB MA MB         2 2 4 1 4 . .cos AMB 9 9 9 MA MB MA MB 2 2 2 2 2 4 1 4 . 9 9 9 2. . MA MB AB MA MB MA MB MA MB     2 2 2 2 1 2 3 3 9 MA MB AB 2 2 2MA MB 2 2 2 3 3 MI AB 15 ) Vậy 2 P MA MB         2. 2.MA MB 2 2 2 2 2 1 2MA MB  45 3 5. Câu 72: Cho hai số phức 1 2 1 3 1 3 , 2 2 2 2 i i z z . Gọi z là số phức thỏa mãn 3 3 3 z i . Đặt , M n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 T z z z z z . Tính modun của số phức w M ni A. 2 21 3 B. 13 C. 4 3 3 D. 4 Lời giải Giả sử , , z x yi x y R . Ta có 2 2 3 3 3 3 1( ) 3       z i x y C Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 43 Gọi 1 3 1 3 ; , ; , ; 2 2 2 2             K x y A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1 2 , , z z z Ta tìm Max – Min của T OK OA OB Ta có , , A B O thuộc đường tròn ( ) C và ABO đều 2 2 Min T OA . Gọi K thuộc cung  OB . Ta có . . . KA OB OA BK AB OK KA KB OK 4 3 2 2.2 3  Max T KA R T 2 2 4 3 2 21 w 2 3 3       Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn 5 1 3 3 1 z i z i z i . Tìm giá trị lớn nhất M của 2 3 z i ? A. 10 3 M . B. 1 13 M . C. 4 5 M . D. 9 M . Lời giải Chọn D Gọi 1; 3 , 1; 1 , 0;1 A B C C là trung điểm AB Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 10 2 4 MA MB AB MC MA MB MC . Mặt khác 2 2 5 1 3 3 1 5 3 10  z i z i z i MC MA MB MA MB 2 2 25 10 2 10 2 5   MC MC MC . Mà 2 3 2 4 2 4 2 5 4 5    z i z i i z i i MC . Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi 2 5 z i . Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] Cho số phức z thỏa mãn 3 1 2 1 2 2 z i z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P z i . A. 1 2 P . B. 2 P . C. 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn A Áp dụng tính chất: 2 2 2 2 1 1 1 2 2 z z z z z z Ta có: 2 2 2 3 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2       z i z i z i z i z i z i 4 2 1 4 2 4 2 3 0 2 2 z i z i P z i Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 44 Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức 1 2 , z z thỏa mãn điều kiện 1 1 1 2 2 z i z z i và 2 10 1 z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 z z ? A. 10 1 . B. 3 5 1 . C. 101 1 . D. 101 1 . Lời giải Chọn B. +) Gọi 1 ; ,  z a bi a b . Nên 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2. 1 2 2 4 a z i z z i a b b b . Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 z là Parabol 2 4 x y . +) Gọi 2 , ,  z a bi a b . Khi đó 2 2 2 10 1 10 1 1 z i a b Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức 2 z là đường tròn 2 2 10 1 1 C x y tâm 10;1 I bamns kính 1 r . x y N I 1 M 1 2 z z nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất. Ta có: 1 MN IN IM MN IM IN IM . Nên MN nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 5 10 1 4 4 45 4 4 2         x x IM x x . 45 3 5 IM . Do đó 3 5 1 MN . Vậy 1 2 1 2 min 3 5 1 3 5 1 z z MN z z . Câu 76: [2D4-4] Cho hai số phức 1 2 , z z thỏa mãn 1 1 2 z i và 2 1 z iz . Tìm giá trị lớn nhất m của biểu thức Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 45 1 2 z z A. 2 2 2 m . B. 2 1 m . C. 2 2 m . D. 2 m . Lời giải Chọn A. Ta có 1 2 1 1 1 1 1 . 2. z z z iz i z z Đặt 1 z a bi với ( ,  a b ) theo đề bài ta có 2 2 1 1 4 a b (*). Ta cần tìm GTLN của 2 2 2 m a b Đặt 2 2 t a b . Ta có: 2 2 (*) 4 2 1 2 1 2( ) 2 a a b b a b t . Mà 2 2 2 2 2 1 ( 1) .  a b a b (**) nên 2 2 2 4( ) 8   t a b t 2 12 4 0  t t 6 4 2 6 4 2   t Kết hợp với 2 2 0 t a b suy ra 0 6 4 2   t Suy ra 2 12 8 2 2 2 2  m t Dấu "=" xảy ra khi (**) xảy ra khi 1 1 a b a b . Kết hợp (*) ta được 1 1 2 1  z i Vậy giá trị lớn nhất của m bằng 2 2 2 . Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức 1 z ; 2 z thỏa mãn 1 3 5 2 z i và 2 1 2 4 iz i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 3 T iz z . A. 313 16 . B. 313 . C. 313 8 . D. 313 2 5 Lời giải. Chọn A I 2 I 1 N M Ta có 1 3 5 2 z i 1 2 6 10 4 iz i . Suy ra điểm M biểu diễn số phức 1 2iz nằm trên đường tròn 1 T có tâm 1 6; 10 I và có bán kính là 1 4 R . Mặt khác, 2 1 2 4 iz i 2 3 6 3 12 z i nên điểm biểu diễn số phức 2 3 z là điểm N nằm trên đường tròn 2 T có tâm 2 6; 3 I và có bán kính là 2 12 R . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 46 Ta thấy 1 2 2 3 iz z 1 2 2 3 iz z MN . T lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất, khi đó bốn điểm M , 1 I , 2 I , N theo thứ tự thẳng hàng. Vậy giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 MN I I R R 313 16 . Câu 78: Cho hai số phức , z w thỏa mãn 3 2 1 1 2 2    z i w i w i . Tìm giá trị nhỏ nhất min P của biểu thức P z w . A. min 3 2 2 2 P . B. min 2 1 P . C. min 5 2 2 2 P . D. min 3 2 2 2 P . Lời giải Chọn C. Cách 1 : Giả sử z a bi ,  a b , w x yi ,  x y . 3 2 1  z i 2 2 3 2 1  a b (1) 1 2 2  w i w i 2 2 2 2 1 2 2 1  x y x y . Suy ra 0 x y . 2 2 2 2 P z w a x b y a x b x . Từ (1) ta có 3; 2 I , bán kính 1 r . Gọi H là hình chiếu của I trên : d y x . Đường thẳng HI có PTTS 3 2  x t y t . 3 ; 2 M HI M t t 2 2 1 M C t 1 2 1 2      t t 1 1 2 3 ; 2 2 2     t M , 5 2 2 MH 1 1 3 3 ; 2 2 2     t M , 5 2 2 MH Vậy min 5 2 2 2 P . Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 47 Cách 2 : 3 2 1  z i điều này cho thấy M z đang nằm trên hình tròn tâm 3; 2 I bán kính bằng 1. 1 2 2  w i w i điều này cho thấy N w đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng  là trung trực của đoạn AB với 1; 2 , 2;1 . A B : 0.  x y (Minh hoạ như hình vẽ) O y x 2 1 2 3 -2 -1 B A I M N Δ O y x 2 1 2 3 -2 -1 N M I . P z w MN min 3 2 5 2 2 , 1 . 2 2  P d I R Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho 1 z a bi và 2 z c di là 2 số phức thỏa mãn: 2 1 4 z và 1 10 z c d . Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức T ac bd cd . Hãy chọn khẳng định đúng về M . A. 11;15 M . B. 15;17 M . C. 11;12 M . D. Không tồn tại M . Lời giải Chọn A. Ta có 2 1 1 4 10  z z c d 2 2 4 5  a b c d . Khi đó: T ac bd cd 2 2 2 2 (5 )  a b c d c c 2 2 2 2 5 5 c c c c . Đặt 2 2 ( ) 2 2 10 25 5 f c c c c c . Ta có 2 4 10 5 2 2 10 25  c f c c c c 2 2 2 2 10 25 2 5 2 10 25       c c c c c 5 2 c Bảng biến thiên: Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 48 Dựa vào bảng biến thiên ta có 25 5 2 13,3 4  M . Dấu bằng xảy ra khi 2 5 2  a b c d . Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn 3 3 1 2  z z và 1 ax M m z z . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1; 2 M . B. 7 2; 2     M . C. 5 1; 2     M . D. 2 5 M M . Lời giải Chọn C. Ta có 3 3 3 1 1 1 3         z z z z z z 3 3 3 1 1 1 3         z z z z z z 3 3 3 1 1 1 3         z z z z z z 3 1 1 3 2          z z z z . Mặt khác: 3 3 1 1 1 1 3 3         z z z z z z z z . Suy ra: 3 1 1 3 2  z z z z . Đặt 1 0 t z z ta được: 3 3 2 0  t t 2 2 1 0  t t 2  t . Vậy 2 M . Câu 81: Cho số phức z x yi với , x y là các số thực không âm thỏa mãn 3 1 1 2 z z i và biểu thức 2 2 2 2 2 1 1        P z z i z z z i z i . Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P . Môđun của M mi là A. 3 . B. 1 . C. 4. D. 2 . c  5 2   f c 0 f c  25 5 2 4  Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 49 Lời giải Chọn B. Ta có 3 1 1 2 z z i 3 1 2 z z i 1 x y . 2 2 2 2 2 1 1        P z z i z z z i z i 2 2 16 8 ( ) x y xy x y 2 2 16 8 x y xy . Đặt t xy ta có 2 1 0 4 4   x y t . Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 16 8 P t t , với 1 0; 4      t ta được max 0 P ; min 1 P Vậy 1 M mi . Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức 1 2 1 3 1 3 , 2 2 2 2 z i z i . Gọi z là số phức thỏa mãn 3 3 3 z i . Đặt , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 1 2 T z z z z z . Tính mô đun của số phức w M mi . A. 2 21 3 . B. 13 . C. 4 3 3 . D. 4 Lời giải Chọn A. Giả sử , , M A B lần lượt biểu diễn số phức 1 2 , , z x yi z z . Từ giả thiết 3 3 3 z i ta có: 2 2 1 1 ( ) 3 3 x y . Nên M thuộc đường tròn tâm 1 1 0; , 3 3     I R . Ta có T MO MA MB . Để min T thì M trùng , , O A B nên 2 2 min 1 3 2 2 2 2 2           T OA . Để max T thì max OM và ( ) max MA MB nên 2 OM R và M nằm chính giữa cung nhỏ  AB và 2 0; 3     M . Do vậy 2 2 2 1 3 2 4 2 2 2 2 3 3 3           max T OM MA . Vậy 2 2 2 2 4 2 21 w 2 3 3     M m . x y 3 2 - 1 2 1 2 M O 1 I A BGv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 50 Câu 83: Cho hai số phức z và w thỏa mãn các điều kiện sau:   2 2 1 max 2 2 , 2    iz i z w i w . Tìm giá trị nhỏ nhất của z w . A. 9 2 5 . B. 13 2 5 . C. 5 2 . D. 1 2 5 . Lời giải Chọn B. Gọi , M N lần lượt là điểm biểu diễn của , z w với ; M x y . Ta có 2 2 1 2 2 1   iz i z z i z 2 2 2 2 2 2 1 2 4 7 0   x y x y x y . Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ : 2 4 7 0  x y không chứa O , kể cả bờ. Ta có   max 2 2 , 2  w i w suy ra 2 2 2 2 , 2; 2 2 2       w i NI I w NO . Do đó, N thuộc phần chung của hai hình tròn ; 2 I và ; 2 O . Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm 1; 1 E . Do đó, 1; 1 N . Ta thấy z w MN nên z w nhỏ nhất khi MN ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của N trên  . Ta có 2 2 2 1 4.1 7 13 , 2 5 2 4  d N . Vậy 13 min 2 5 z w . Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức 1 2 ; z z thỏa mãn 1 3 5 2 z i và 2 1 2 4 iz i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 3 T iz z . A. 313 16 . B. 313 . C. 313 8 . D. 313 2 5 . Lời giải Chọn A. Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 51 Đặt 1 2 2 , 3 ; ; ;  iz a bi z c di a b c d , gọi ; , ; A a b B c d . Có 1 3 5 2 z i 3 5 2 2 a bi i i 6 10 4 a b i 2 2 6 10 16 a b nên A I có tâm 6; 10 I bán kính 4 R . Có 2 1 2 4 iz i . 1 2 4 3 c di i i 3 6 12 d c i 2 2 2 6 3 12 c d nên B J có tâm 6; 3 J , bán kính 12  R . Có 1 2 2 3 T iz z 2 2 a c b d a c b d AB . Do A I , B J , 313 16  IJ R R nên  Max AB R R IJ 16 313 . Câu 85: Xét các số phức ,( , )  z a bi a b thỏa mãn 3 2 2. z i Tính a b biết biểu thức 1 2 2 2 5 S z i z i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4 3 . B. 2 3 . C. 4 3 . D. 3. Lời giải: Chọn A Giả thiết 2 2 3 2 2 ( ) : ( 3) ( 2) 4 z i T a b Gọi ( 1; 2), (2; 5), ( ; ) A B M a b lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 2 3 1 2 , 2 5 , z i z i z a bi Bài toán trở thành: Tìm ( ) M T sao cho biểu thức 2 S MA MB nhỏ nhất Ta có 2 2 2 2 ( 1) ( 2) 2 4 5 MA a b a b a b 2 2 2 4 4 8 a b a b 2 2 2 ( 2) ( 2) 2 a b MC với (2; 2) C O I J A B M -1 2 5Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 52 Ta có 2 2( ) 2 MA MB MB MC BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi , , B M C theo thứ tự đó thẳng hàng. Phương trình đường thẳng : 2 BC x M là giao của của BC và ( ) (2; 2 3) a b 4 3 T M . Câu 86: Cho các số phức 1 2 3 , , z z z thỏa mãn 1 2 1 2 2 2 6 2 z z z z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 P z z z z z . A. 6 2 2 P B. 3 2 3 P . C. 6 2 3 P . D. 9 2 3 2 P . Lời giải Chọn C. 6 6 6 2 60 0 60 0 M ' A ' A O B M Chọn , , A B M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1 2 , , z z z , Dựa vào điều kiện 1 2 1 2 2 2 6 2 z z z z 6 OA OB , 6 2 AB . Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O . Phép quay tâm B góc quay 0 60 ta có: 0 , 60 :  B Q A A  M M Do tam giác   BMM đều   AM A M ,  BM MM Suy ra 1 2 P z z z z z     OM AM BM OM MM A M OA . Dấu " " xảy ra khi , , ,   O M M A thẳng hàng. Khi đó tam giác  OBA có 6 OB , 6 2  BA BA và 0 105  OBA . Từ đó suy ra 2 2 0 2 . .cos105 6 2 3    OA OB BA OB BA . Vậy min 6 2 3 P . Câu 87: Cho hai số phức ,  z thỏa mãn 1 3 2 z z i ;  z m i với  m là tham số. Giá trị của m để ta luôn có 2 5  là: Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 53 A. 7 3    m m . B. 7 3    m m . C. 3 7  m . D. 3 7   m . Lời giải Chọn B. Đặt , ,  z a ib a b có biểu diễn hình học là điểm ; M x y 1 3 2 z z i 1 3 2 x iy x y i 2 2 2 2 1 3 2 x y x y 2 1 6 9 4 4 x x y 2 3 0 x y Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng : 2 3 0  x y . Ta có: 2 5  2 5 z m i 1 2 5 x m y i 2 2 1 2 5 x m y 2 5 MI với ; 1 I m . Mà ta có ,  MI d I Nên 2 5 MI , 2 5  d I 2 4 2 5 5 m 2 4 10 m 2 4 10 2 4 10    m m 3 7    m m . Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn 1 1 3 2 z z i . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 4 7 P z i z i A. 20 . B. 10 . C. 12 5 . D. 4 5 . Lời giải Chọn A. Gọi z x yi , ,  x y . Ta có 1 1 3 2 z z i 2 1 3 z z i 2 2 2 2 2 1 3 x y x y 2 2 4 6 7 0 x y x y . Lại có 2 4 7 P z i z i 2 2 2 2 1 2 4 7 x y x y 4 8 8 2 4 8 72 x y x y . Mặt khác 2 4 8 8 2 4 8 72 5.80  x y x y 4 8 8 2 4 8 72 20  x y x y Suy ra 20  P .