Các dạng BDHSG môn Toán Lớp 5 trường TH Hợp Thanh B
Trêng TiÓu häc Hîp Thanh B
PAGE
N¨n häc 2015 - 2016
TÍNH NHANH
Bài 1: Tính nhanh999999999:81-123456789:10+11111111,1 (9 chữ số 9 và 9 chữ số 1)
Giải
999999999:81-123456789:10+11111111,1= 12345679 – 12345678,9 + 11111111,1
= 0,1 + 11111111,1
= 11111111,2
Bài 2:
Giải
a).
2/9 + 6/27 + 8/36 + 12/54 + 16/72 + 18/81 =
2/9 x 6 = 4/3
b).
(1-2/5)x(1-2/7)x(1-2/9)x……x(1-2/99)=
3 x 5 x 7 x ……… x 97 = 3/99
5 x 7 x 9 x ……….x 99
c).
Gọi A= 1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/1024
Nhân A với 2:
Ax2 = 1+1/2+1/4+1/8+……..+1/512
Ax2 – A = 1+1/2+1/4+1/8+……..+1/512 – (1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512+1/1024)
A = 1 – 1/1024 = 1023/1024
Cách 2:
(1-1/2)+(1/2-1/4)+………+(1/512-1/1024) =
1 – 1/1024 = 1023/1024
Bài 3:
Tính tổng: 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +.............+ 99x100
Giải
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 99x100
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 99x100x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 99x100x(101-98)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 99x100x101 - 98x99x100.
A x 3 = 99x100x101
A = 99x100x101 : 3
A = 333300
Bài 4:
Tính nhanh.
8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500
Giải
8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500
= (2x4)/(3x3) x (3x5)/(4x4) x (4x6) / (5x5) x ... x (49x51) / 50x50)
= 2x4x3x5x4x6x...x49x51 / 3x3x4x4x5x5x...x50x50 (giản ước tử và mẫu)
= (2x51) / (3x50)
= 17/25
Bài 5:
Tính nhanh:
A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100
Giải
1/1x2x3= ½ x(1/(1x2) – 1/(2x3)
1/2x3x4= ½ x(1/(2x3) – 1/(3x4)
1/3x4x5= ½ x(1/(3x4) – 1/(4x5)
……………………………
1/98x99x100= ½ (1/(98x99) – 1/(99x100)
A = ½ x (1/1x2 – 1/2x3 + 1/2x3 – 1/3x4 + 1/3x4 – 1/4x5 + …….. + 1/98x99 – 1/99x100)
A = ½ x (1/1x2 – 1/99x100) =1/2 x ( ½ - 1/9900)
= ½ x (4950/9900 – 1/9900) =1/2 x 4949/9900
A = 4949/19800
Hoặc :
Nhân A với 2 ta được:
A = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/98x99x100
= (1/1x2 – 1/2x3) + (1/2x3 – 1/3x4) + (1/3x4 – 1/4x5) + …….. + (1/98x99 – 1/99x100) = 1/1x2 – 1/99x100 = 1/2 – 1/9900 = 9898/19800Vậy:A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100 = 9898/19800 : 2
A = 4949/19800
Bài 6: Tính: A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102 Giải
A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102Nhân A với 4 ta được:A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + ... + 100x101x102x(103 - 99)A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + ... + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650
Bài 7:Tính nhanh: 11 x 34 – ( 34 + 6 x 34 + 102)Tính nhanh:11x34-(34+6x34+102) = 11x34 – [34x(1+6+3)] = 11x34 – 10x34 = 34 Bài 8:Tính nhanh: 2x3+3x4+4x5+5x6+....+29x30
Giải
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 29x30
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 29x30x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 29x30x(31-28)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 29x30x31 – 28x29x30.
A x 3 = 29x30x31
A = 29x30x31 : 3
A = 8990
Bài 9:
So sánh A và B biết:
A= 163% X 167% B= 165% X 165%
Giải
Nhân A và B với 10000
A x 10000 = 163 x 167 = 165 x 163 + 165 + 161 = 165 x 164 + 161
B x 10000 = 165 x 165 = 165 x 164 + 165
Do 161 < 165 nên A x 10000 < B x 10000
Hay: A < B
Bài 10:
Tính tổng : A = 1 + 4 + 9 + 16 + .....+ 100 (A= 1x1 + 2x2 + 3x3 + … + 10x10)
Giải
A = 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + 100
A = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 10x10
A = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + …. + 10x(11-1)
A = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 10x11 – 10
A = (1x2 + 2x3 + 3x4 + ….. + 10x11) – (1+2+3+ … + 10)
A = (10x11x12) : 3 – (1+2+3+ …. +10)
A = 440 – 55
A = 385
Bài 11:
Tính nhanh: B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
Giải
B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
= 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1)
= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100
= (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100)
= (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)
= 343400 – 5050
B = 338350
Bài 12:
Tính tổng : A = 4 + 16 + 36 + 64 +.....+ 10000
Giải
A:4 = 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + 2500
A:4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 50x50
A:4 = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + …. + 50x(51-1)
A:4 = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 50x51 – 50
A:4 = (1x2 + 2x3 + 3x4 + ….. + 50x51) – (1+2+3+ … + 50)
A:4 = (50x51x52) : 3 – (1+2+3+ …. +50)
A:4 = 46 852 – 1275 = 45 577
A = 45 577 x 4
A = 182 380
Bài 13:
Tính M = 1 + 9 + 25 + 49 +...+ 9801
Giải
Cộng 2 vế với: 4+16+36+….+10000
M + (4+16+36+….+10000) = 1+4+9+16+25+….+9801+10000
= 1x1 + 2x2 + 3x3 + …….. + 100x100
= 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1)
= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100
= (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100)
= (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)
= 343400 – 5050
= 338350
M + (4+16+36+….+10000) = 338350Ta thầy : 4+16+36+….+10000
= 4x(1 + 4 + 9 + …….. + 2500)
= 4x(1x1 + 2x2 + 3x3 + …….. + 50x50)
= 4x(1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 50 x (51 – 1))
= 4x(1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 50 x 51 – 50 )
= 4x[(1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 50 x 51) – (1 + 2 + 3 + ................ + 50)]
= 4x[(50 x 51 x 52) : 3 - (50 x 51 : 2)]
= 171700
Vậy: M + 171700 = 338350
M = 338350 – 171700
M = 166 650
Bài 14:
Tính nhanh: (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100)
Giải
Xét mẫu số: 1/(2x3) + 1/(3x4) + …… + 1/(99x100)
= 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100
= (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)
= (1 + 1/3 + ............ + 1/99)+(1/2+1/4+1/6+….+1/100) – (1/2+1/4+1/6+ .......... + 1/100)x2
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + ....... +1/50 )
= 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100 (Đơn giản số trừ)
Vậy: (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100) =
(1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) = 1
Bài 15:
Tính nhanh: 1/(1 x2) + 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + ................. + 1/ (2013 x 2014)
Giải
Ta thấy:
1/(1x2) = 1 – 1/2
1/(2x3) = 1/2 – 1/3
1/(3x4) = 1/3 – 1/4
……………
Nên: 1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014 =
1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014 =
1 – 1/2014 = 2013/2014
Bài 16
Tính A= 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/2013x2014x2015
Giải
Nhân 2 vế với 2:
Ax2 = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/2013x2014x2015
= 1/1x2-1/2x3 +1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 -1/4x5 + ...+1/2013x2014 - 1/2014x2015
= 1/1x2 - 1/2014x2015 = 4056194 / 8116420
A = 4056194 / 8116420 : 2
A = 2028097 / 8116420
Mở rộng: Mẫu số có tích 4 số tự nhiên liên tiếp như trường hợp sau ta 2 vế với 3. Chú ý là: 3 = 4-1 = 5-2 = 6-2 = ……… A = 1/1x2x3x4 + 1/ 2x3x4x5 + 1/3x4x5x6 + … + 1/27x28x29x30
A x 3 = 3/1x2x3x4 + 3/2x3x4x5 + 3/3x4x5x6 + .......... + 3/27x28x29x30
A x 3 = 1/1x2x3 - 1/2x3x4 + 1/2x3x4 - 1/3x4x5 + 1/3x4x5 - 1/4x5x6 + ........+ 1/27x28x29 - 1/28x29x30
A x 3 = 1/1x2x3 - 1/28x29x30 = 1/6 - 1/24360 = 146154 / 146160
A = 48718 / 146160
Bài 17:
Tính: S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000 Giải
S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000S = 1x2 +(3x4-2x3)+(5x6-4x5)+(7x8-6x7)+……..+(1999x2000 – 1998x1999) = 2 + 3x(4-2) + 5x(6-4) + 7x(8-6) + ……… + 1999 x (2000-1998) = 2 + 3x2 + 5x2 + 7x2 + ……… + 1999x2 = 2 x (1+3+5+7+…..+ 1999) S = 2 x 1000000 = 2 000 000Bài 18:
Tính nhanh
8/9 x15/16 x24/25 x 35/36 x ........x 99/100
Giải
Ta thấy:
8/9 = (2x4)/(3x3) ; 15/16 = (3x5)/(4x4) ; 24/25 = (4x6)/(5x5) ; …. ; 99/100 = (9x11)/(10x10)
Nên có thể viết lại :
(2x4x3x5x4x6 x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11) / (3x3x4x4x5x5x6x6x7x7x8x8x9x9x10x10)
(2 x 11) / (3 x 10) = 22/30 = 11/15
Bài 19:
Tính nhanh:
1x4+2x5+3x6+...+99x102
Giải
1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 1x (2+2) + 2x(3+2) + 3x(4+2) + …. + 99x(100+2) =
(1x2+2x3+3x4+ …+99x100) + (2+4+6+…+198) =
Ta thấy: 1x2+2x3+3x4+…+99x100 nhân với 3 thì được
1x2x3+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+…+99x100x(101-98) =
1x2x3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+….+99x100x101-98x99x100 =
99x100x101 = 999900
Vậy : 1x2+2x3+3x4+…+99x100 = 999900 : 3 = 333300
Còn 2+4+6+…+198 có (198-2) :2+1= 99 (số hạng)
Tổng bằng : (198+2)x99 :2 = 9900
Kết quả :
1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 333 300 + 9 900 = 343 200
Bài 20:
Tính nhanh
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192
Giải
Cách 1:
A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384
A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 2:
Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 = 3 + 4
Tổng 4 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8
Tổng 5 số hạng đầu là:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
Vậy A = 16383
Cách 3:
Nhận xét từ TỔNG 3 số hạng đầu về sau ta được:
1+2+4 = 3+4
1+2+4+8 = 7+8
1+2+4+8+16 = 15+16
………………………
Vậy A = (8192-1)+8192 = 16383
PHẦN BỔ SUNG
Bài 21:
Tính tổng:
5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81
Giải
S = 5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81
S = 5/27 + 5/54 + 1/18 + 1/27 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 1/81
S = 5/27 + 5/54 + 5/90 + 5/135 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 5/405
S = 5/(9x3) + 5/(9x6) + 5/(9x10) + 5/(9x15) + 5/(9x21) + 5/(9x28) + 5/(9x36) + 5/(9x45)
S = 10/(9x6) + 10/(9x12) + 10/(9x20) + 10/(9x30) + 10/(9x42) + 10/(9x56) + 10/(9x72) + 10/(9x90)
S = 10/9 x (1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90)
S = 10/9 x (1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + 1/5x6 + 1/6x7 + 1/7x8 + 1/8x9 + 1/9x10)
S = 10/9 x (1/2 -13 + 1/3-1/4 + 1/4-1/55 + 1/5-1/6 + 1/6-1/7 + 1/7-1/8 + 1/8-1/9 + 1/9-1/10)
S = 10/9 x (1/2 - 1/10) = 10/9 x 4/10
S = 4/9
Bài 22:
Tính A=
Giải
A =
Bài 23:
Tìm A biết:
(1-1/3)x(1-1/6)x(1-1/10)x(1-1/15)x....x(1-1/780)xA=1
Giải
(1-1/3) x (1-1/6) x (1-1/10) x (1-1/15)x ...x (1-1/780) =2/3x 5/6x x 9/10 x...x 779/780 =4/6 x 10/12 x 18/20 x ...x 1558/1560 =4x10 x 18 x...x 1558/6x 12 x 20 x ...x 1560 =(1x4)x(2x5)x(3x6)x ... (37x40)x (38 x 41) / (2x3)x(3x4)x(4x5)x … x(39x40) =Giản ước ta còn41/3x39 = 41/117Ta được:41/117 x A = 1A = 1 : 41/117A = 117/41
Bài 24:
Tính:
Giải
=
=
=
=
=
= =
Bài 25:
Tính nhanh.
A = 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + 1/36 + 1/45
Giải
Nhân A với 1/2. Ta được:
A/2 = 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90
= 1/(2x3) + 1/(3x4) + … + 1/(9x10)
= 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + …+ 1/9 – 1/10
= 1/2 – 1/10 = 4/10
A = 4/10 x 2 = 4/5
Bài 26:
Tính nhanh : A =
Giải
Ta có thể viết lại :
A =
A =
A x 12 =
A x 12 =
A x 12 = =
A =
Bài 27:
So sánh A và B. Biết:
A = 1 x 2 + 2 x 4 + 3 x 6 + 4 x 8 +5 x 10 / 3 x 4 + 6 x 8 + 9 x 12 + 12 x 16 + 15 x 20
B = 11111 / 66665
Giải
A = 1x2 + 1x2x2x2 + 1x2x3x3 + 1x2x4x4 + 1x2x5x5 / 3x4 + 3x4x2x2 + 3x4x3x3 + 3x4x4x4 + 3x4x5x5
A = 1x2 x (4+9+16+25) / 3x4 x (4+9+16+25) = 1/6
A = 11111/66666
Vậy
A < B
Bài 28:
Tính: 6+16+30+48+...+19600+19998
Giải
B = 6 + 16 + 30 + 48 +...+ 19600 + 19998
Chia cả 2 vế cho 2 ta được
B/2 = 3 + 8 + 15 + 24 + ......... + 98000+ 9999
B/2= 1x3+2x4+3x5+4x6+…….+98x100+99x101
B/2= 100/6.[(100-1)x(2x100+1)] = 328350
Suy ra: B =328350x2=656700
Bài 29:
Tính: 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950
Giải
C=1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950
Nhân cả 2 vế với 2 ta được
2xC= 1x2 + 2x3 + 2x6 +2x10 + ……… 2x4851+2x4950
2xC=2+6+12+20+…………..+9702+9900
2xC = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 = 333300
Suy ra: A= 333300:2 = 166650
Bài 30:
Tính: D = 2 + 5 + 9 + 14 + ....+ 4949 + 5049
Giải
Nhân cả 2 vế với 2 ta được
2xD=1x4+ 2x5+ 3x6+ 4x7+……..+98x101+99x102
2xD = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
2xD = 1x2+1x2+2x3+2x2+3x4+3x2+...+99x100+99x2
2xD= (1x2+2x3+3x4+...+99x100)+2(1+2+3+...+99)
2xD = 333300 + 9900 = 343200
Suy ra : D= 343200 :2 =171600
Bài 31:
Tính: S = 2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2
Giải
Sx2 = 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2
Sx2 – S = (2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2) – (2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2)
S = 2x2x2x2x2x2 – 2
Bài 32:
Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n>1 thì:
3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)] <1/15
Giải
Đặt A = 3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)]
Nhân A với 5/3 ta được:
5/3A = 5/(9x14)+5/(14x19)+....+5/[(5n-1)x(5n +4)]
5/3A = 1/9 – 1/(5n+4)
A = 3/5 x [1/9 – 1/(5n+4)]
Với n > 1 thì [1/9 – 1/(5n+4)] < 1/9
Mà 3/5 x 1/9 = 1/15
Suy ra: A = 3/5 x [1/9 – 1/(5n+4)] < 1/15
Hay: 3/(9x14)+3/(14x19)+....+3/[(5n-1)x(5n +4)] <1/15
Bài 33:
Cho A = 2/3^2 +2/5^2+2/7^2 +.....+2/2007^2. Chứng minh A <1003/2008
Giải
Ta thấy
2/(3x3) < 2/(2x4) = 1/2 – 1/4
2/(5x5) < 2/(4x6) = 1/4 – 1/6
2/(7x7) < 2/(6x8) = 1/6 – 1/8
………
2/(2007x2007) < 2/(2006x2008) = 1/2006 – 1/12008
Nên:
A = 2/3^2 +2/5^2+2/7^2 +.....+2/2007^2 < 2/(2x4) + 2/(4x6) + …. + 2/(2006x2008) =
1/2 – 1/4 + 1/4 – 1/6 + 1/6 – 1/8 + … + 1/2006 – 1/2008 =
1/2 – 1/2008 = 1003/2008
Vậy: A < 1003/2008
Bài 34:
Tính hiệu của A và B, biết:
A = 1x2x3x ... x15x16
B = 1 + (2x(1x2) + 3x(1x2x3) + ... + 15x(1x2x3x...x15)
Giải
Ta có: A = 1 x 2 x 3 x 4 x ….. x 15 x (15 + 1)
= 15 x (1 x 2 x 3 x 4 x ….. x 15) + (1 x 2 x 3 x 4 x ….. x 15)
Cùng bớt ở A và B số hạng 15 x (1 x 2 x 3 x 4 x ….. x 15) ta có:
A= 1 x 2 x 3 x 4 x ….. x 15
B = 1+2x (1 x 2)+3 x(1 x 2 x 3) +4 x(1 x 2 x 3 x 4)+ … +14 x(1 x 2 x 3 x.. x 14)
Tương tự: A = 1 x 2 x 3 x 4 x ….. x 14 x (14 + 1)
Cùng bớt ở A và B số hạng 14 x (1 x 2 x 3 x 4 x ….. x 14) ta có:
A= 1 x 2 x 3 x 4 x ….. x 14
B = 1+2x (1 x 2)+3 x(1 x 2 x 3) +4 x(1 x 2 x 3 x 4)+ … +13 x(1 x 2 x 3 x.. x 13)
Theo quy luật phân tích như vậy ta có phép phân tích cuối cùng là:
A = 1 x 2 x 3 = 1 x 2 x (2 + 1) = 2 x (1 x 2) + 1 x 2
Lấy A – B = 2 x (1 x 2) + 1 x 2 – (1+2x (1 x 2)) = 1
Vậy A – B = 1.
Bài 35:
Tính
(1+1/31+1/41+1/51)x(1/31+1/41+1/51+1/61) - (1+1/31+1/41+1/51+1/61)x(1/31+1/41+1/51)
Giải
Đặt
A = (1+1/31+1/41+1/51) x (1/31+1/41+1/51+1/61)
= (1/31+1/41+1/51) x (1/31+1/41+1/51+1/61) + (1/31+1/41+1/51+1/61)
B = (1+1/31+1/41+1/51+1/61) x (1/31+1/41+1/51)
= (1/31+1/41+1/51+1/61) x (1/31+1/41+1/51) + (1/31+1/41+1/51)
Ta thấy:
(1/31+1/41+1/51) x (1/31+1/41+1/51+1/61) = (1/31+1/41+1/51+1/61) x (1/31+1/41+1/51)
A – B = (1/31+1/41+1/51+1/61) – (1/31+1/41+1/51) = 1/61
Hay:
(1+1/31+1/41+1/51)x (1/31+1/41+1/51+1/61) - (1+1/31+1/41+1/51+1/61)x(1/31+1/41+1/51) = 1/61
CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI VỀ TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA KIM ĐỒNG HỒ.
Toán về chuyển động của kim đồng hồ là một dạng toán khá khó và trừu tượng đối với học sinh. Để giúp học sinh phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức và phương pháp giải một cách chính xác, nhanh nhạy tôi đã chia các bài toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” thành các dạng và cách giải cụ thể cho mỗi dạng như sau:
Dạng 1: Hai kim trùng khít lên nhau.
* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 0.
Bài toán: Bây giờ là 7 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu kim phút lại trùng lên kim giờ ?
Phân tích: Kim phút và kim giờ chuyển động vòng tròn nên đây là dạng toán chuyển động cùng chiều đuổi nhau. Muốn biết được sau ít nhất bao lâu kim phút lại trùng lên kim giờ ? Ta hướng dẫn học sinh theo các bước cụ thể sau:
- Giáo viên cho học sinh quan sát vị trí của kim phút và kim giờ trên đồng hồ thật để trả lời câu hỏi:
(?) Vào lúc 7 giờ, kim phút và kim giờ nằm ở vị trí nào ?
(Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 7)
(?)Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ lúc đó là bao nhiêu ?
(7/12 vòng đồng hồ)
(?) Đến khi kim phút và kim giờ trùng khít lên nhau thì khoảng cách giữa hai kim là bao nhiêu ?
(Bằng 0)
(?) Lúc đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu ?
(Lúc đó kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đường đúng bằng khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lúc 7 giờ đúng, nghĩa là bằng 7/12 vòng đồng hồ).
(?) Mỗi giờ kim phút và kim giờ đi được bao nhiêu ?
(Cứ mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được 1/12 vòng đồng hồ nên trong một giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ là: 1 – 1/12 = 11/12 vòng đồng hồ.
Như vậy đây là chính là dạng toán “Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau” có khoảng cách ban đầu là 7/12 vòng đồng hồ và hiệu hai vận tốc là 11/12 vòng đồng hồ. Từ sự hướng dẫn, phân tích đó học sinh sẽ vận dụng và giải bài toán như sau:
Bài giải:
Trong một giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ thì kim giờ sẽ đi được 1/12 vòng đồng hồ. Vậy hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là:
1 - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)
Lúc 7 giờ kim giờ cách kim phút 7/12 vòng đồng hồ.
Khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút lại trùng với kim giờ là:
7/12 : 11/12 = 7/11 (giờ)
Đáp số: 7/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim chia cho hiệu vận tốc của chúng.
* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim bằng 0.
Bài toán: Bây giờ là 12 giờ, ít nhất sau bao lâu hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
Phân tích: Ta nhận thấy lúc 12 giờ khoảng cách giữa hai kim là bằng 0 nên ta hướng dẫn học sinh giải theo các bước sau:
Bài giải:
Lúc 12 giờ, hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số 12. Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên kim phút đi hết một vòng đồng hồ tức là 1 giờ mà hai kim vẫn chưa gặp nhau, lúc này là 1 giờ đúng.
Lúc 1 giờ kim phút chỉ vào số 12, kim giờ chỉ vào số 1. Khoảng cách lúc này giữa hai kim là 1/12 vòng đồng hồ.
Hiệu vận tốc của hai kim là:
1 – 1/12 =11/12 (vòng đồng hồ/giờ).
Kể từ lúc 1 giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:
1/12 : 11/12 = 1/11 (giờ)
Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để hai kim chập nhau là:
1 + 1/11 = 12/11 (giờ)
Đáp số : 12/11 giờ
Cách tính: Lấy 1 cộng với số thời gian ít nhất để hai kim trùng khít lên nhau biết hiện tại lúc đó là 1 giờ đúng.
Dạng 2: Hai kim vuông góc với nhau.
* Trường hợp 1: Khoảng cách giữa 2 kim nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 vòng đồng hồ.
Bài toán: Hiện nay là 3 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và kim giờ vuông góc với nhau ?
Phân tích:Lúc 3 giờ kim phút vuông góc với kim giờ nên khoảng cách giữa hai kim là 1/4 vòng đồng hồ. Để kim phút vuông góc với kim giờ một lần nữa thì kim phút phải đuổi kịp kim giờ và đi tiếp đến khi khoảng cách giữa hai kim là 1/4 vòng đồng hồ. Từ cách phân tích này ta có bài giải sau:
Bài giải:
Hiệu vân tốc giữa kim phút và kim giờ là:
1 - 1/12 = 11/12 (vòng đồng hồ/giờ)
Lúc 3 giờ khoảng cách giữa hai kim là 1/4 vòng đồng hồ. Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút lại vuông góc với kim giờ là:
( 1/4+ 1/4) : 11/12 = 6/11 (giờ)
Đáp số: 6/11 giờ
Cách tính: Lấy khoảng cách giữa 2 kim cộng 1/4 rồi chia cho hiệu vận tốc của chúng.
* Lưu ý: Khi hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi: “Lúc đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu ?” chúng ta cần lưu ý:
Đây là câu hỏi tương đối trừu tượng. Để học sinh dễ hình dung giáo viên nên cho học sinh quan sát hình vẽ để nhận thấy: Khi kim phút và kim giờ tiếp tục tạo với nhau một góc vuông thì kim phút đã chạy vượt lên gặp kim giờ. Tại thời điểm đó, kim phút đã đi hơn kim giờ một đoạn đường bằng KCBĐ (1/4 vòng đồng hồ) và 1/4 vòng đồng hồ nữa. Như vậy từ lúc 3 giờ đến khi kim phút và kim giờ vuông góc với nhau một lần nữa thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường là: 1/4+ 1/4 = 1/2(vòng đồng hồ).
* Trường hợp 2: Khoảng cách giữa 2 kim lớn hơn 1/4 vòng đồng hồ và nhỏ hơn hoặc bằng 3/4 vòng đồng hồ.
Bài toán : Hiện nay là 5 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa
