Các dạng toán phương trình mặt phẳng – Nguyễn Bảo Vương
Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trình mặt phẳng a) Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng • Vectơ 0 n là vectơ pháp tuyến (VTPT) của nếu giá của n vuông góc với . • Hai vectơ , ab không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên . Chú ý: • Nếu n là một VTPT của thì 0 kn k cũng là VTPT của . • Nếu , ab là một cặp VTCP của thì , n ab là một VTPT của . b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng 0 Ax By Cz D với 222 0 AB C . • Nếu có phương trình 0 Ax By Cz D thì ;; n ABC là một VTPT của . • Phương trình mặt phẳng đi qua 0 0 00 ;; M x yz và có một VTPT ;; n ABC là: 0 00 0 Ax x B y y C z z . c) Các trường hợp đặc biệt Các hệ số Phương trình mặt phẳng Tính chất mặt phẳng 0 D 0 Ax By Cz đi qua gốc tọa độ O . 0 A 0 By Cz D Ox hoặc Ox . 0 B 0 Ax Cz D Oy hoặc Oy . 0 C 0 Ax By D Oz hoặc Oz . 0 AB 0 Cz D Oxy hoặc Oxy . 0 AC 0 By D Oxz hoặc Oxz . 0 BC 0 Ax D Oyz hoặc Oyz . 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Chú ý: • Nếu trong phương trình không chứa ẩn nào thì song song hoặc chứa trục tương ứng. • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :1 x yz a bc . Ở đây cắt các trục toạ độ tại các điểm ;0;0, ;0;0, ;0;0 a bc với 0 abc . 2. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm ;; A AA Ax y z và mặt phẳng :0 Ax By Cz D . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng được tính theo công thức 222 , A AA Ax By Cz D dA AB C . 3. Vị trí tương đối a) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1 11 1 :0 Ax By C z D và 2 22 2 :0 Ax By C z D • 11 1 1 22 2 2 AB C D AB C D . • 11 1 1 22 2 2 AB C D AB C D . • 11 22 AB AB hoặc 11 22 BC BC . • 1 2 12 12 0 AA BB CC . b) Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng và mặt cầu :0 Ax By Cz D và 2 22 2 : S x a yb z c R . Để xét vị trí của và S ta làm như sau: • Bư ớc 1. Tính khoảng cách từ tâm I của S đến . • Bư ớc 2. + Nếu , dI R thì không cắt S . + Nếu , dI R thì tiếp xúc S tại H . Khi đó H được gọi là tiếp điểm, là hình chiếu vuông góc của I lên và được gọi là tiếp diện. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 + Nếu , dI R thì cắt S theo đường tròn có phương trình 22 2 2 ) : 0 x a yb z c R C Ax By Cz D . Bán kính của C là 2 , r R dI . Tâm J của C là hình chiếu vuông góc của I trên . 4. Góc giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1 11 1 :0 Ax By C z D và 2 22 2 :0 Ax By C z D . Góc giữa và bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT , nn . Tức là 1 2 12 12 222 222 1 11 2 22 . cos , cos , . . . n n AA BB CC nn nn AB C AB C B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho phương trình:mx + m(m - 1)y − (m 2 − 1)z - 1 = 0. (1) a. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) là phương trình của một mặt phẳng, gọi là họ (Pm). b. Tìm điểm cố định mà họ (Pm) luôn đi qua. c. Giả sử (Pm) với m ≠ 0, ±1 cắt các trục toạ độ tại A, B, C. Tính thể tích tứ diện OABC. Tìm m để ∆ABC nhận điểm 11 1 ;; 9 18 24 G làm trọng tâm. Nhận xét: Như vậy, để tìm điểm cố định mà họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Giả sử M(x 0; y 0; z 0) là điểm cố định của họ (P m), khi đó Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, ∀m. Bước 2. Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0, từ đó nhận được (x0; y0; z0). Bước 3. Kết luận. Ví dụ 2. Cho phương trình:(a + b)x + ay + bz - 3(a + b) = 0. a. Tìm điều kiện của a, b để phương trình đã cho là phương trình của một mặt phẳng, gọi là họ (Pa,b). b. Giả sử (Pa,b) với a, b ≠ 0 cắt các trục toạ độ tại A, B, C. Tìm a, b để: ∆ABC nhận điểm 4 G 1;4; 3 làm trọng tâm. ∆ABC nhận điểm ( ) H 2;1;1 làm trực tâm. Phương pháp Phương trình:Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của một mặt phẳng khi và chỉ khi A 2 + B 2 + C 2 > 0. Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường có thêm các câu hỏi phụ: Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định. Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số mặt phẳng của họ (Pm) đi qua M. Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn chứa một đường thẳng cố định. DẠNG 1. Phương trình mặt phẳng Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất với a > 0, b > 0. c. Chứng tỏ rằng họ (Pa,b) luôn chứa một đường thẳng cố định. 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết: a. (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 1; 2) và B(1; −3; 2). b. (P) đi qua điểm C(1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình x − 2y + 3z + 1 = 0. c. (P) đi qua điểm D(1; 1; 2) và có cặp vtcp a (2; -1, 1), b (2; -1; 3). d. (P) đi qua điểm E(3; 1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng:(R1): 2x + y + 2z - 10) và (R2): 3x + 2y + z + 8 = 0. Ví dụ 2. Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5). a. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B và C. b. Lập phương trình mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp ∆ABC làm đường tròn lớn. Ví dụ 3. Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1). a. Tìm điểm M thuộc Oy sao cho ∆MAB cân tại M. b. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Oy. c. Lập phương trình mặt cầu có bán kính nh ỏ nhất đi qua hai điểm A, B và cắt (P) theo thiết diện là đư ờng tròn lớn. Phương pháp Để viết phương trình m ặt phẳng (P) ta có th ể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1. Xác định M0(x0; y0; z0) ∈ (P) và vtpt n (n1; n2; n3) của (P). Bước 2. Khi đó:(P): 000 0 12 3 quaM (x ;y ;z ) vtptn(n ;n ;n ) ⇔ (P): n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) = 0. Cách 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích. Chú ý: Chúng ta có các kết quả: 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0), luôn có dạng: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 2. Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3), luôn có dạng: (P): n1x + n2y + n3z + D = 0 Để xác định (P), ta cần đi xác định D. 3. Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By + Cz + D = 0 , luôn có dạng: (P): Ax + By + Cz + E = 0 Để xác định (P), ta cần đi xác định E. 4. Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn, đó là mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình:(P): x a + y b + z c = 1. 5. Với phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm không thẳng hàng M, N, P chúng ta có th ể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta có: n MN n MP ⊥ ⊥ ⇔ n MN, MP = . Khi đó, phương trình m ặt phẳng (P) được cho bởi:(P): quaM vtptn . Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình:Ax + By + Cz + D = 0, (1) với A 2 + B 2 + C 2 > 0. Vì M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ ba phương trình với bốn ẩn A, B, C, D. Biểu diễn ba ẩn theo một ẩn còn lại, rồi thay vào (1) chúng ta nhận được phương trình mặt phẳng (P). DẠNG 2. Viết phương trình mặt phẳng Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Ví dụ 4. Cho hai điểm A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) và mặt phẳng (Q) có phương trình (Q): x + 2y + 3z − 4 = 0. a. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q). b. Tìm tọa độ điểm I thuộc (Q) sao cho I, A, B thẳng hàng. Ví dụ 5. Cho điểm A(2; −2; −4). a. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa trục Ox. b. Tìm điểm B thuộc mặt phẳng (P) sao cho ∆OAB đều. Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a. Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm ∆ABC. b. Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm ∆ABC. c. Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương của các trục toạ độ tại ba điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là: (P): x − 3y − 3z + 5 = 0, (Q): (m 2 + m + 1)x − 3y + (m + 3)z + 1 = 0. Với giá trị nào của m thì: a. Hai mặt phẳng đó song song ? b. Hai mặt phẳng đó trùng nhau ? c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau ? d. Hai mặt phẳng đó vuông góc ? Ví dụ 2. Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình là:(P1): Ax + By + Cz + D = 0, (P2): Ax + By + Cz + D' = 0 với D ≠ D'. a. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2). b. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2). Áp dụng với hai mặt phẳng:(P1): x + 2y + 2y + 3 = 0, (P2): 2x + 4y + 4y + 1 = 0. Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) và (P2) song song với nhau (giả sử có vtpt n(A; B;C) ) chúng ta thường gặp thêm câu hỏi: 1. Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2). 2. Viết phương trình m ặt phẳng (P) song song và cách đ ều (P1), (P2). 3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2)). 4. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và: a. Tiếp xúc với (P2). b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn. 5. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C)). Với yêu cầu "Tính khoảng cách d giữa (P1) và (P2)" chúng ta sử dụng kết quả:d = d((P1), (P2)) = d(M1, (P2)), với M1 ∈ (P1). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đ ều (P1), (P2)", chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: (Sử dụng tính chất): Thực hiện theo các bước: Bước 1. Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:(P): Ax + By + Cz + D = 0. (*) Bước 2. Lấy các điểm E1 ∈ (P1) và E2 ∈ (P2), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm E(x0; y0; z0). DẠNG 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Phương pháp Sử dụng kiến thức trong phần vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Để (P) cách đều (P1) và (P2) điều kiện là (P) đi qua điểm M, tức là: Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ⇒ Giá trị của D. Bước 3. Thay D vào (*), ta nhận được phương trình (P). Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích ): Điểm M(x; y; z) ∈ (P) cần dựng khi:d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Phương trình (P). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2))", chúng ta sử dụng ý tương trong cách 2 của yêu cầu (2), cụ thể: Điểm M(x; y; z) ∈ (Q) cần dựng khi:d(M, (P1)) = k.d(M, (P2)) ⇒ Phương trình (Q). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và thoả mãn điều kiện K", chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Gọi M2 là hình chiếu vuông góc của M1 trên (P2). Toạ độ của điểm M2 được xác định bằng cách: 12 2 22 M M (P ) M (P ) ⊥ ∈ ⇔ 12 22 M M t.n M (P ) = ∈ . Bước 2. Với điều kiện K là: a. Tiếp xúc với (P2) thì mặt cầu cần dựng chính là mặt cầu đường kính M1M2. b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn thì mặt cầu cần dựng chính là mặt cầu tâm M 2 và bán kính R = M1M2 = d. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r", chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) và bán kính R. Ta lần lượt: (S) tiếp xúc với (P1) tại M1 khi: 11 M I (P ) ⊥ ⇔ 1 M I t.n = . (S) cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính b ằng r khi:r 2 + M2I 2 = R 2 = M1I 2 ⇒ Giá trị t ⇒ Toạ độ tâm I. Bước 2. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R = M1I. Ví dụ 3. Cho điểm M1(2; 1; −3) và hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): x + y + 2z + 3 = 0, (P2): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = 0. 1. Tìm để (P1) song song với (P2). 2. Với m tìm được ở câu 1) hãy: a. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2). b. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đ ều hai mặt phẳng (P1) và (P2). c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = 2d((Q), (P2)). d. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và tiếp xúc với (P2). e. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn. f. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính r 62 = . Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) và (P2) cắt nhau chúng ta thường gặp thêm câu hỏi: 1. Tính góc giữa (P1) và (P2). 2. Viết phương trình giao tuyến (d) của (P1) và (P2). 3. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P1) và (P2). 4. Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và thoả mãn điều kiện K. 5. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và: a. Tiếp xúc với (P2). b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn. c. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C)). Với yêu cầu "Tính góc giữa (P1) và (P2)", chúng ta có ngay: (P1) có vtpt 1 n (A1; B1; C1) và (P2) có vtpT là 2 n (A2; B2; C2). Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P1) và (P2) (0 ≤ α ≤ 2 π ), ta có: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 cos α = 12 12 n .n n .n = 1 2 12 12 222 222 111 222 A A B B C C A BC . A BC ++ ++ ++ . Lưu ý: Để (P1) ⊥ (P2) ⇔ cos α = 0 ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. Với yêu cầu "Viết phương trình giao tuyến (d) của (P1) và (P2)", chúng ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (P1) và (P2) gồm các điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ: 1 2 (P ) (P ) . (1) Bước 2. Lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Lấy điểm M ∈(d) và gọi u là vtcp của (d) thì: 12 u n ,n = .Từ đó, ta có:(d): Qua M vtcp u . Cách 2: Lấy hai điểm M và N thuộc (d), ta có:(d): Qua M Qua N ⇔ (d): Qua M vtcp u MN = . Cách 3: Đặt x = f1(t) (hoặc y = f2(t) hoặc z = f3(t)) (t ∈ ), ta biến đổi hệ (1) về dạng: 1 2 3 x f (t) y f (t) z f (t) = = = , t ∈ . Đó chính là phương trình tham số của đường thẳng (d). Lưu ý: Như vậy, để thực hiện được yêu cầu này chúng ta cần có thêm kiến thức về đường thẳng trong không gian. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P1) và (P2)", chúng ta lập luận: Mặt phẳng phân giác (Q) của góc tạo bởi hai mặt phẳng (P1) và (P2) gồm các điểm M(x; y; z) thoả mãn: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Hai mặt phẳng (Q1) và (Q2). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và thoả mãn điều kiện K", chúng ta đã được thấy thông qua yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và thoả mãn điều kiện K" trong dạng toán 2 và s ẽ được thấy trong chủ đề về đường thẳng. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và thoả mãn điều kiện K", chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) và bán kính R. (S) tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 suy ra: 11 M I (P ) ⊥ ⇔ 11 M I // n ⇔ 11 M I t.n = . Bước 2. Với điều kiện K là: a. Tiếp xúc với (P2) thì:M1I = d(I, (P2)) ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I. Lưu ý: Với giả thiết này chúng ta còn có thể sử dụng phương trình mặt phẳng phân giác (Q1), (Q2) để xác định toạ độ tâm I. b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn thì:I ∈ (P2)) ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I. c. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính r thì: R 2 = d 2 (I, (P2)) + r 2 ⇔ M1I 2 = d 2 (I, (P2)) + r 2 ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I. Bước 3. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R = M1I. Ví dụ 4. Cho điểm M1(2; 5; 0) và hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): 3x − 2y − z + 4 = 0, (P2): x − 3y + 2z − 1 = 0. a. Chứng tỏ rằng (P1) cắt (P2) theo giao tuyến (d). Tính góc giữa (P1), (P2) và tìm một vtcp của đường thẳng (d). b. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P1) và (P2). c. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và tiếp xúc với (P2). d. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn. e. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính r 21/ 2 = . Chú ý: Với ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) có chứa tham số chúng ta thường gặp thêm câu hỏi "Xác định giá trị của tham số để ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một vuông góc với nhau. Tìm điểm chung của cả ba mặt phẳng". Khi đó, chúng ta thực hiện theo các bước: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Bước 1. Tìm các vtpt P n , Q n , R n của các mặt phẳng (P), (Q), (R). Bước 2. Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một vuông góc với nhau, điều kiện là: PQ PR RQ nn nn nn ⊥ ⊥ ⊥ ⇔ PQ PR RQ n .n 0 n .n 0 n .n 0 = = = . Bước 3. Toạ độ điểm chung I của ba mặt phẳng (P), (Q), (R) là nghiệm hệ phương trình tạo bởi (P), (Q), (R). Ví dụ 5. Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) có phương trình: (P): x + y + z – 6 = 0; (Q): x – 2y + z = 0; (R): kx + (m – 1)y – z + 2 = 0. a. Xác định giá tr ị m và k để ba mặt phẳng đó cùng đi qua m ột đường thẳng. b. Xác định giá trị m và k để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau. Tìm điểm chung của cả ba mặt phẳng. Hình 1 Hình 2 Hình 3 Chú ý: 1. Trong phần này chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn tới các dạng toán: D¹ng 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và thỏa mãn điều kiện K cho trước. D¹ng 2: Viết phương trình m ặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuy ến là đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K cho trước. D¹ng 3: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện K cho trước. D¹ng 4: Viết phương trình m ặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuy ến là đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K cho trước. 2. Trong trư ờng hợp mặt phẳng không cắt mặt cầu, cụ thể với mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) không cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) chúng ta thường gặp thêm các câu hỏi: 1. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và: I P H I P H I P H R Phương pháp Ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S). Xác định d = d(I, (P) Bước 2. So sánh d với R để đưa ra kết luận: Nếu d > R ⇔ (P) ∩ (S) = ∅ (Hình 1 trang bên). Nếu d = R ⇔ (P) tiếp xúc với (S) tại H (Hình 2 trang bên). Nếu d < R ⇔ (P) ∩ (S) = (C) là một đường tròn nằm trong mặt phẳng (P) (Hình 3 trang bên). Và trong trường hợp này nếu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (P): Ax + By + Cz + D = 0, thì phương trình đường tròn (C) có phương trình: (C): . DẠNG 4. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 a. Tiếp xúc với (S). b. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. c. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C)). 2. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB có đ ộ dài lớn nhất. 3. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). 4. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S). Ta lần lượt: Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có phương trình:(Q): Ax + By + Cz + D = 0. Bước 2. Với điều kiện K là: a. (Q) tiếp xúc với (S), suy ra:d(I, (Q)) = R ⇒ Giá trị của D ⇒ Phương trình (Q). b. (Q) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (Q)) ⇒ Giá trị của D ⇒ Phương trình (Q). c. (Q) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r, suy ra: 22 d(I, (Q)) R r = − ⇒ Giá trị của D ⇒ Phương trình (Q). Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P) và cắt (S) tại hai điểm B sao cho AB có độ dài lớn nhất", chúng ta thấy ngay đó là đường thẳng đi qua I và có vtcp n . Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Tìm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P). Bước 2. Mặt cầu (S') có tâm I' và bán kính R. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S)", các em học sinh cần có thêm kiến thức về đường thẳng để trình bày theo các bước: Bước 1. Gọi (T) là mặt cầu thoả mãn điều kiện đầu bài và giả sử (T) tiếp xúc với (S), (P) theo thứ tự tại M và H (H chính là hình chiếu vuông góc của I trên (P)), suy ra M, H, I thuộc (d) có phương trình cho bởi: Qua I (d) : vtcp n . Bước 2. Tiếp điểm H của (T) với mặt phẳng (P) là giao điểm của (d) với (P). Bước 3. Tiếp điểm M của (T) với mặt cầu (S) là giao điểm của (d) với (S). Bước 4. Viết phương trình mặt cầu đường kính MH. 1. caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x − 3y + 2z − 3 = 0, ( ) ( ) ( ) 2 22 (S) : x 8 y 8 z 7 68 − + + +− = . a. Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). b. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). c. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. d. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đư ờng tròn (C) có bán kính bằng r 51 = . e. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). f. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S). Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) tiếp xúc với mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) tại điểm M chúng ta thường gặp thêm các câu hỏi: 1. Tìm tọa độ tiếp điểm M của (P) và (S). Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 2. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và: a. Tiếp xúc với (S). b. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. c. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C)). 3. Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt mặt cầu (S) tại điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất. 4. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). Với yêu cầu "Tìm tọa độ tiếp điểm M của (P) và (S)", chúng ta thấy ngay M chính là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) không cắt (S). Tuy nhiên, với yêu cầu (2.a) chúng ta còn có thể thực hiện như sau: Bước 1. Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng tiếp xúc với (S) tại điểm N, suy ra N là điểm đối xứng với M qua I. Bước 2. Phương trình mặt phẳng (Q) được cho bởi: Qua N (Q) : vtpt n . Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt mặt cầu (S) tại điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất", chúng ta thấy ngay đường thẳng (d) đi qua hai điểm M và I. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Tìm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P), suy ra I' đối xứng với I qua M. Bước 2. Mặt cầu (S') có tâm I' và bán kính R. Ví dụ 2. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:(P): 2x − y + 2z − 5 = 0, ( ) ( ) 22 2 (S) : x 3 yz 49 − + +− = . a. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Tìm toạ độ tiếp điểm M của (P) và (S). b. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). c. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. d. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và chia (S) thành hai phần có tỉ số thể tích bằng 7 20 . e. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) theo thi ết diện là đường tròn (C) chúng ta thường gặp thêm các câu hỏi: 1. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của (C). 2. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và: a. Tiếp xúc với (S). b. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. c. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C’) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C’)). 3. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB có đ ộ dài lớn nhất. 4. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). 5. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S). Với yêu cầu "Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của (C)", chúng ta thực hiện theo các bước: Bước 1. Bán kính rC của (C) được xác định bởi 2 C r R d(I, (P)) = − . Bước 2. Toạ độ tâm của (C) chính là hình chi ếu vuông góc M c ủa I trên (P). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) không cắt (S). Tuy nhiên, với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính bằng (C)" chúng ta còn có thể thực hiện như sau: Bước 1. Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có tâm N, suy ra N là đi ểm đối xứng với M qua I. Bước 2. Phương trình mặt phẳng (Q) được cho bởi: Qua N (Q) : vtpt n . Các yêu cầu còn lại được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) không cắt (S). Ví dụ 3. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:(P): x + 2y + 3z − 10 = 0, ( ) ( ) 22 2 (S) : x 2 yz 256 − + ++ =. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 a. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Xác định toạ độ tâm M và tính bán kính r của (C). b. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). c. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. d. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính bằng r. e. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). f. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S). 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Lập phương trình mặt phẳng () P biết: 1. () P đi qua (1;2;3), (4; 2; 1), (3; 1;2) AB C ; 2. () P là mặt phẳng trung trực đoạn AC ( Với , AC ở câu 1); 3. () P đi qua (0;0;1), (0;2;0) MN và song song với AB ; 4. () P đi qua các hình chiếu của A lên các mặt phẳng tọa độ. Bài 2 Cho hai mặt phẳng có phương trình( ): 4 0 & ( ): 3 1 0. x y z x y z Lập phương trình mặt phẳng () P qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ), ( ) và mặt phẳng () P 1. Qua điểm (1;8;2). A 2. Vuông góc với mặt phẳng ( ) : 8 2 0. Qx y z 3. Tạo với ( ) : 221 0 R x y z góc với 1 cos . 33 Bài 3 Lập phương trình mặt phẳng () , biết: 1. () đi qua (2;3;1) M và song song với mp( ): 2 3 1 0 Px y z ; 2. () đi qua 2;1;1 , 1; 2; 3 AB và () vuông góc với ( ): 0 x yz ; 3. () chứa trục Ox và vuông góc với ( ): 2 3 2 0 Q x y z . 4. () qua ba điểm (2;8;5), (18;14;0), (12;8;3). AB C 5. () là mặt phẳng trung trực của EF với (5;2;7), (1;8;1). E F 6. () qua (2;3;5) D và song song với mặt phẳng ( ). Oyz 7. () qua (1; 3;2) G và vuông góc với hai mặt phẳng ( ): 2 5 1 0, ( ): 2 3 4 0. x y z x y z 8. () qua các hình chiếu của điểm ( 2;1;5) H trên các trục tọa độ. Bài 4 . Lập phương trình của P trong các trương hợp sau: 1. P đi qua 1;2;1 A và song song với : 3 10 Q x y z ; 2. P đi qua 0;1;2, 0;1;1, 2;0;0 M N E ; 3. P là mặt phẳng trung trực của đoạn MN ( , MN ở ý 2) ; 4. P đi qua các hình chiếu của (1;2;3) A lên các trục tọa độ ; 5. P đi qua 1;2;0, 0;2;0 BC và vuông góc với : 10 R x yz ; 6. P đi qua 1;2;3 D và vuông góc với hai mặt phẳng : : 20 x ; : 10 y z . Bài 5 Trong không gian Oxyz cho ba điểm (3;0;0), (1;2;1), AB (2; 1;2) C . 1. Lập phương trình mặt phẳng qua , AB và cắt trục Oz tại điểm M sao cho diện tích tam giác MAB bằng 9 2 (đvdt). 2. Lập phương trình mặt phẳng qua , CA và cắt trục Oy tại điểm N sao cho thể tích khối tứ diện ABCN bằng 12 (đvtt). 3. Lập phương trình mặt phẳng () qua ba điểm , BC và tâm mặt cầu nội tiếp hình tứ diện . OABC Bài 6 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm (1;2;3), ( 2;3; 1) AB , (0;1;1) C ( 4; 3;5) D . Lập phương trình mặt phẳng () biết: 1. () đi qua A và chứa Ox 2. () đi qua , AB và cách đều hai điểm , CD . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Bài 7 Lập phương trình mặt phẳng () , biết: 1. () đi qua 1;1;1 , (3;0;2) AB và khoảng cách từ 1;0; 2 C đến () bằng 2 ; 2. () cách đều hai mặt phẳng ( ): 2 2 1 0, ( ): 2 2 4 0 P x yz Q x yz 3. () đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng () P và ( ) Q , đồng thời () vuông góc với mặt phẳng ( ): 3 2 5 0 x y z . Bài 8 Lập phương trình () P biết () P : 1. Song song với : 2 3 6 14 0 Qx y z và khoảng cách từ O đến () P bằng 5 . 2. Đi qua giao tuyến của hai mp ( ): 3 2 0 xz ; ( ): 2 1 0 yz , khoảng cách từ 1 0;0; 2 M đến (P) bằng 7 63 . Bài 9 Lập phương trình mặt phẳng () biết 1. () đi qua (1;0;2), (2; 3;3) AB và tạo với mặt phẳng ( ) :4 3 0 x yz một góc 0 60 . 2. () đi qua (2; 3;5), C vuông góc với ( ): 5 1 0 Px y z và tạo với mặt phẳng ( ) :2 2 3 0 Q x yz góc 0 45 . Bài 10 Cho mặt phẳng ( ) :2 2 3 0 P xy z và ba điểm (1;2; 1), A (0;1;2), ( 1; 1;0). BC 1. Tìm điểm M Ox sao cho ( , ( )) 3. dM P 2. Tìm điểm N Oy sao cho điểm N cách đều mặt phẳng () P và điểm . A 3. Tìm điểm () KP sao cho KB KC và 3 . 2 KA 4. Tìm điểm () HP sao cho . HA HB HC Bài 11 1. Tìm , mn để 3 mặt phẳng sau cùng đi qua một đường thẳng: : 20 P x my nz , : 3 10 Q x y z và : 2 3 1 0 R x yz . Khi đó hãy viết phương trình mặt phẳng () đi qua đường thẳng chung đó và tạo với () P một góc sao cho 23 cos 679 . 2. Cho ba mặt phẳng: 1 ( ) : 3 0; x yz 2 ( ): 2 3 4 1 0 x yz và 3 ( ) : 224 0 xy z . a) Chứng minh các cặp mp 1 () và 2 ( ) ; 1 () và 3 () cắt nhau; b) Viết phương trình () P đi qua 1;0;1 A và giao tuyến của 1 () và 2 ( ) ; c) Viết phương trình ( ) Q đi qua giao tuyến của hai mp 1 () và 2 ( ) và đồng thời vuông góc với mp 3 () . 3. Cho ba mặt phẳng ( ) :(4 ) ( 5) 0 P a x a y az a và ( ):2 3 5 0; ( ):3 ( ) 0. Q x y bz R x cy a c a z c a) Biện luận vị trí tương đối của hai mặt phẳng () P và ( ). Q b) Tìm , ac để () P song song với ( ). R c) Tìm , ac để () P qua điểm (1; 3; 2) A và () P vuông góc với ( ). R Bài 12 Lập phương trình mặt phẳng () biết 1. () qua hai điểm (1;2; 1), (0; 3;2) AB và vuông góc với ( ) : 2 1 0. P x y z 2. () cách đều hai mặt phẳng ( ): 2 2 2 0, ( ): 2 2 3 0. xy z xy z 3.() qua hai điểm ( 1;0;2), (1; 2;3) CD và khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng () là 4. () đi qua (0;1;1) E và 11 ( ,( )) 2; ( ,( )) , 7 dA dB trong đó (1;2; 1), (0; 3;2). AB 5. Qua hai điểm (1;2;3), (5; 2;3) AB và () tạo với mặt phẳng () góc 0 45 , với ( ) : 4 2 0. x y z 6. Qua (1; 1; 1), C () tạo với mặt phẳng ( ): 2 0 x y góc 0 60 đồng thời 2 ( ,( )) . 3 dO Bài 13 Lập phương trình mặt phẳng () biết () 1. Cách đều hai mặt phẳng 1 2 ( ) : 5 27 8 0,( ) : 5 2760 0. xy z xy z 2. Song song với 3 ( ) : 6 321 0 x yz và khoảng cách từ (1; 2; 1) A đến mặt phẳng () là 1. 3. Qua hai điểm ( 5;0; 3), (2; 5;0) BC đồng thời () các đều hai điểm (1; 2; 6) M và ( 1; 4;2). N 2.Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 4. Qua (1; 3; 1), D vuông góc với mặt phẳng 3 224 0 xy z và ( ,( )) 3, dE với (5; 2; 3). E 5. Qua (4;2;1) F và 7 ( ,( )) , ( ,( )) 1 3 d I dJ trong đó (1; 1;2) I và (3; 4; 1). J 1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Câu 115. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng : 3 2 0 P xz . Vectơ nào dưới đây là m ột vectơ pháp tuyến của P ? A. 1;0; 1 n . B. 3; 1;2 n . C. 3; 1;0 n . D. 3;0; 1 n . Câu 116. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai vecto a và b đều khác 0 . Mệnh đề này sau đây đúng? A. , aP ab bP là một vectơ pháp tuyến của P . B. , , , 0 a Pb P ab a kb k là một vectơ pháp tuyến của P . C. , , , 0 a Pb P k ab a kb k là một vectơ pháp tuyến của P . D. , , , 0 a Pb P ab a kb k là một vectơ pháp tuyến của P . Câu 117. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng :0 Ax By Cz D . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Nếu 0 D thì song song với mặt phẳng Oyz B. Nếu 0 D thì đi qua gốc tọa độ. C. Nếu 0 0 BC AD thì song song với trục Ox . D. Nếu 0 0 BC AD thì chứa trục Oy . Câu 118. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng : 2 5 15 0 Q xy z và điểm 1;2; 3 E . Mặt phẳng P qua E và song song với Q có phương trình là: A. : 2 3 15 0 Px y z B. : 2 3 15 0 Px y z C. : 2 5 15 0 P xy z D. : 2 5 15 0 P xy z Câu 119. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai điểm 0;1;1 A và 1;2;3 B . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB . A. : 2 30 Px y z . B. : 2 6 0 Px y z . C. : 3 4 7 0 Px y z .D. : 3 4 26 0 Px y z . Câu 120. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz mặt phẳng P qua điểm 1;1;1 G và vuông góc với đường thẳng OG có phương trình là: A. : 30 Px y z B. : 0 Px y z C. :0 Px y z D. : 30 P x yz Câu 121. Trong không gian với hệ tọa đ ộ , Oxyz cho ba đi ểm 2;1; 1 , 1;0;4 , 0; 2; 1 AB C . Phương trình nào sau đây là phương trình c ủa mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC ? A. 2 5 50 x yz B. 25 0 x yz C. 2 5 50 x yz D. 2 5 50 xy z Câu 122. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai điểm 4;1; 2 A và 5;9;3 B . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là: A. 2 6 5 40 0 x yz B. 8 5 41 0 x yz C. 8 5 35 0 x yz D. 8 5 47 0 x yz Câu 123. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng : 4 3 7 3 0 x yz và điểm 1; 1;2 I . Phương trình mặt phẳng đối xứng với qua I là: A. : 4 3 7 3 0 x yz B. : 4 3 7 11 0 x yz C. : 4 3 7 11 0 x yz D. : 4 3 7 5 0 x yz Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Câu 124. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho ba điểm 3; 1;2 A , 4;1;1 B và 2;0;2 C . Mặt phẳng đi qua ba điểm , , AB C có phương trình : A. 3 3 14 0 x yz B. 3 3 80 x yz C. 3 2 80 x yz D. 2 3 80 x yz Câu 125. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz mặt phẳng chứa trục Oz và đi qua điểm 2; 3;5 P có phương trình là: A. :2 3 0 xy B. :2 3 0 xy C. : 3 2 0 x y D. : 20 y z Câu 126. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai điểm 1; 1;5 M và 0;0;1 N . Mặt phẳng chứa , MN và song song với trục Oy có phương trình là: A. : 4 1 0 xz B. : 4 2 0 xz C. :2 3 0 xz D. : 4 1 0 xz Câu 127. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz mặt phẳng đi qua điểm 0;0; 1 M và song song với giá của hai vectơ 1; 2;3 , 3;0;5 ab . Phương trình của mặt phẳng là: A. : 5 2 3 3 0 x yz B. : 5 2 3 21 0 x yz C. :10 4 6 21 0 x yz D. : 52 321 0 x yz Câu 128. Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng đi qua 2; 1;1 A và vuông góc với hai mặt phẳng :2 1 0 P xz và : 0 Qy . Phương trình của mặt phẳng là: A. :2 4 0 xy B. : 2 40 xz C. : 2 0 x yz D. :2 0 x yz Câu 129. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai điểm 2;0; 1 P , 1; 1;3 Q và mặt phẳng : 3 2 5 0 P x yz . Gọi là mặt phẳng đi qua , PQ và vuông góc với P , phương trình của mặt phẳng là: A. : 7 11 3 0 x yz B. : 7 11 1 0 x yz C. : 7 11 15 0 x yz D. : 7 11 1 0 x yz Câu 130. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm 8;0;0 M , 0; 2;0 N và 0;0;4 P . Phương trình của mặt phẳng là: A. :0 8 24 x yz B. :1 4 12 x yz C. : 42 0 x y z D. : 4 2 80 x y z Câu 131. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm 4; 3;2 A . Hình chiếu vuông góc của A lên các trục tọa độ , , Ox Oy Oz theo thứ tự lần lượt là , , M NP . Phương trình mặt phẳng MNP là: A. 4 3 2 50 x y z B. 3 4 6 12 0 x yz C. 2 3 4 1 0 x y z D. 1 0 43 2 xy z Câu 132. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz mặt phẳng P cắt trục Oz tại điểm có cao đ ộ bằng 2 và song song với mặt phẳng Oxy . Phương trình cửa mặt phẳng P là: A. : 2 0 Pz B. : 2 0 Px C. : 2 0 Py z D. : 2 0 Px y Câu 133. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm 1;2;3 G . Mặt phẳng đi qua G , cắt , , Ox Oy Oz tại ,, A BC sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng là: A. : 236 18 0 x y z B. : 3 2 6 18 0 x y z C. : 632 18 0 x y z D. : 6 3 3 18 0 x yz Câu 134. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho điểm 2;1;1 H . Mặt phẳng đi qua H , cắt , , Ox Oy Oz tại ,, A BC sao cho H là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình của mặt phẳng là: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 A. :2 6 0 x yz B. : 2 6 0 x yz C. : 2 6 0 xy z D. :2 6 0 x yz Câu 135. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho 1;6;2 , 0;0;6 , S A 0;3;0 , B 2;0;0 C . Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng SBH : A. 5 7 15 0 x yz B. 5 7 15 0 xy z C. 7 5 15 0 x yz D. 7 5 15 0 x yz Vấn đề 2. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Câu 136. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng : 3 4 2 4 0 Px y z và điểm 1; 2;3 A . Tính khoảng cách d từ A đến P . A. 5 9 d . B. 5 29 d . C. 5 29 d . D. 5 3 d . Câu 137. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm 2;1;1 A trên mặt phẳng :16 12 15 4 0 x yz . Tính độ dài đoạn thẳng AH . A. 55 . B. 11 5 . C. 11 25 . D. 22 5 . Câu 138. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho các điểm 1;1;3 A , 1;3;2 B , 1;2;3 C . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng đi qua ba đi ểm , , AB C . A. 3 . B. 3 . C. 3 2 . D. 3 2 . Câu 139. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng : 3 2 6 14 0 Px y z và mặt cầu 2 22 : 2 22 0 Sx y z x y z . Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu S tới mặt phẳng P là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 140. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz mặt cầu S có tâm 2;1; 1 I và tiếp xúc với mặt phẳng :2 2 3 0 x yz . Bán kính của S bằng: A. 2 B. 2 3 C. 4 3 D. 2 9 Câu 141. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho 3, 2, 2, 3,2,0 AB , 0,2,1 C và 1,1,2 D . Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng BCD có bán kính bằng: A. 9 B. 5 C. 14 D. 13 Câu 142. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng : 3 3 6 0 P xy z và mặt cầu 2 22 : 4 5 2 25 S x y z . Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến này có bán kính r bằng: A. 6 r B. 5 r C. 6 r D. 5 r Câu 143. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt cầu 2 22 : 6 4 12 0 Sx y z x y . Mặt phẳng nào sau đây cắt S theo một đường tròn có bán kính 3 r ? A. 3 0 x yz B. 2 2 12 0 x yz C. 4 3 4 26 0 x yz D. 3 4 5 17 20 2 0 x yz Câu 144. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt cầu S có tâm 2;1;1 I và mặt phẳng :2 2 2 0 P xy z . Biết mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu S . A. 2 22 : 2 1 18 S x y z . B. 2 22 : 2 1 1 10 S x y z . C. 2 22 : 2 1 18 S x y z . D. 2 22 : 2 1 1 10 S x y z . Câu 145. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt cầu 2 22 : 2 2 1 0 Sx y z y z và mặt phẳng : 2 2 2 15 0 P x yz . Khoảng cách ngắn nhất giữa điểm M trên S và điểm N trên P là: A. 3 3 2 B. 32 3 C. 3 2 D. 2 3 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Câu 146. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho hai mặt phẳng song song P và Q lần lượt có phương trình 20 x yz và 2 7 0 x yz . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng: A. 7 . B. 67 . C. 7 6 . D. 7 6 . Câu 147. Trong không gian với hệ tọa độ , Oxyz cho mặt phẳng : 3 2 5 0 x yz và đường thẳng 173 : 2 1 4 xy z . Gọi là mặt phẳng chứa và song song với mặt phẳng . Tính khoảng cách giữa và . A. 9 14 . B. 9 14 . C. 3 14 . D. 3 14 . Vấn đề 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Câu 148. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : 2 3 4 20 0 Pxy z và : 4 13 6 40 0 Q x yz . Vị trí tương đối của P và Q là: A. Song song. B. Trùng nhau. C. Cắt nhưng không vuông góc. D. Vuông góc. Câu 149. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : 2 2 14 0 Px y z và : 2 2 16 0 Q x yz . Vị trí tương đối của P và Q là: A. Song song. B. Trùng nhau. C. Cắt nhưng không vuông góc. D. Vuông góc. Câu 150. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cặp mặt phẳng nào sau đây song song với nhau? A. :2 5 0 P x yz và : 4 2 2 10 0 Q x yz . B. : 30 R x y z và :2 2 2 6 0 Sx y z . C. :0 T x yz và :0 22 2 x yz U . D. : 3 2 3 0 X xy z và :6 2 6 0 Y zy . Câu 151. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba mặt phẳng : 2 1 0 xy z , : 2 0 x yz và : 50 xy . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. B. C. D. Câu 152. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm 1;2;1 A và hai mặt phẳng :2 4 6 5 0 P x yz , : 2 3 0 Qx y z . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Mặt phẳng Q đi qua A và song song với P . B. Mặt phẳng Q không đi qua A và song song với P . C. Mặt phẳng Q đi qua A và không song song với P . D. Mặt phẳng Q không đi qua A và không song song với P . Câu 153. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : 3 2 1 0 Px y z và : 2 1 1 2 2 4 14 0 Q m x m m y m z . Để P và Q vuông góc với nhau khi m ? A. 1 m hoặc 3 2 m B. 1 m hoặc 3 2 m C. 2 m D. 3 2 m Câu 154. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : 30 x y nz và :2 2 6 0 x my z . Với giá trị nào sau đây của , m n thì song song với ? A. 2 m và 1 n B. 1 m và 2 n C. 1 2 m và 1 n D. 1 m và 1 2 n Câu 155. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 3;2;2 A , 2;2; 2 B và vectơ 2; 1;3 v . Gọi P là mặt phẳng chứa AB và song song với vectơ v . Xác định , m n để mặt phẳng : 4 5 1 0 Q x my z n trùng với P . A. 23, 45 mn . B. 23, 45 m n . C. 45, 23 mn . D. 45, 23 mn . Câu 156. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng :2 3 6 0 x my z m và Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 : 3 2 5 1 10 0. m xy m z Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó cắt nhau? A. 1 m . B. 1 m . C. 1 m . D. 1 2 m . Câu 157. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 4 3 7 7 0 x yz . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? A. Trục Oz cắt tại 0;0;1 M . B. Trục Oz chứa trong mặt phẳng . C. Trục Oz song song với . D. Trục Oz vuông góc với . Câu 158. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng :2 0 yz . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau : A. Ox B. yOz C. Oy D. Ox Câu 159. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây cắt các trục tọa độ? A. : 3 2 6 6 0 Px y z .B. : 2 0 Qx C. : 2 2 0 Rx z D. : 3 30 Sy z Câu 160. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm 2;6; 3 I và các mặt phẳng : 2 0 x , : 6 0 y , : 30 z . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. đi qua I B. Oz C. xOz D. Oz Câu 161. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 2 2 30 Px y z và mặt cầu 22 2 : 4 1 36 Sx y z . Vị trí tương đối của P và S là: A. P đi qua tâm của S . B. P không cắt S . C. P tiếp xúc với S . D. P cắt S . Câu 162. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 2 2 24 0 Px y z và mặt cầu 2 22 : 1 2 39 S x y z . Vị trí tương đối của P và S là: A. P đi qua tâm của S . B. P không cắt S . C. P tiếp xúc với S . D. P cắt S . Câu 163. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 3 2 1 0 P xy z và mặt cầu 2 22 : 3 2 1 14 S x y z . Vị trí tương đối của P và S là: A. P đi qua tâm của S . B. P không cắt S . C. P tiếp xúc với S . D. P cắt S . Câu 164. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 22 : 1 2 1 4 S x y z . Mặt phẳng nào sau đây cắt mặt cầu S ? A. 1 : 2 0 P x yz B. 2 : 2 0 P x yz C. 3 : 2 0 P x yz D. 4 : 2 0 P x yz Câu 165. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 22 : 1 3 2 49 S x y z . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S ? A. : 623 0 x yz B. : 236 5 0 x y z C. : 623 55 0 x yz D. : 2 2 7 0 x y z Câu 166. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 22 : 1 2 1 4 S x y z và mặt phẳng :2 2 4 0 xy z . Mặt phẳng P tiếp xúc với S và song song với . Phương trình của mặt phẳng P là: A. :2 2 4 0 P xy z B. :2 2 8 0 P xy z C. :2 2 4 0 P xy z D. :2 2 8 0 P xy z Câu 167. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 22 : 1 2 19 S x y z và điểm 3;4;0 A thuộc Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 S . Phương trình mặt phẳng tiếp diện với S tại A là: A. 2 2 2 0 x yz B. 2 2 2 0 x yz C. 2 2 14 0 x yz D. 7 0 x yz Câu 168. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 22 : 1 3 13 S x y z và mặt phẳng : 3 4 3 2 8 0 x m y mz m . Với giá trị nào của m thì tiếp xúc với S ? A. 1 m B. 0 m C. 1 m D. 2 m Vấn đề 4. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu 169. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng :2 3 0 P x yz và : 2 0 Qx z . Tính góc giữa hai mặt phẳng P và Q . A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 170. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng :2 2 9 0 P xy z và : 6 0 Qx y . Số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng bằng: A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 171. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có 0;2;0 A , 2;0;0 B , 0;0; 2 C và 0; 2;0 D . Số đo góc của hai mặt phẳng ABC và ACD là : A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 172. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 MNP . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng MNP và mặt phẳng Oxy bằng: A. 1 3 B. 2 5 C. 1 3 D. 1 5 Câu 173. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : 6 0 Px y và Q . Biết rằng điểm 2;1;2 H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ 0;0;0 O xuống mặt phẳng Q . Số đo góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng Q bằng: A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 174. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các đi ểm 1;0;0 , 0;2;0 , 0;0; A B Cm . Để mặt phẳng ABC hợp với mặt phẳng Oxy một góc 0 60 thì giá trị của m là: A. 12 5 m B. 2 5 m C. 12 5 m D. 5 2 m Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 175. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm trên trục Oy điểm M cách mặt phẳng : 2 2 2 0 x yz một khoảng bằng 4 . A. 0;6;0 M hoặc 0; 6;0 M . B. 0;7;0 M hoặc 0; 5;0 M . C. 0;4;0 M hoặc 0; 4;0 M . D. 0;3;0 M hoặc 0; 3;0 M . Câu 176. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng : 1 0 P x yz và : 50 Qx y z . Điểm M nằm trên trục Oy cách đều P và Q là: A. 0;2;0 M . B. 0;3;0 M . C. 0; 3;0 M . D. 0; 2;0 M . Câu 177. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm 2;3;4 A và mặt phẳng : 2 3 17 0. x yz A. 0;0;0 M . B. 0;0;1 M .C. 0;0;3 M . D. 0;0;2 M . Câu 178. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm E thuộc mặt phẳng Oxy , có hoành độ bằng 1, tung độ nguyên và cách đều hai mặt phẳng : 2 1 0 x yz và :2 2 0 x yz . Tọa độ của E là: A. 1;4;0 E . B. 1; 4;0 E . C. 1;0;4 E . D. 1;0; 4 E . Câu 179. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 2 2 2 : 1 2 3 36 Sx y z , điểm 1;2;0 I và đường thẳng 2 2 : 3 41 xy z d . Tìm tọa độ điểm M thuộc d , N thuộc S sao cho I là trung điểm MN . A. 3;2;1 3;6; 1 N N . B. 3; 2;1 3;6; 1 N N . C. 3;2;1 3;6;1 N N . D. 3; 2;1 3;6;1 N N . Câu 180. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 2;4;4 A , ' 2;5;5 B và mặt phẳng : 40 Px y z . Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho MA MB có giá trị nhỏ nhất. A. 2;1;1 M . B. 2; 1;1 M . C. 1;2;1 M . D. 1;1;2 M . Câu 181. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 1; 1;2, 2;0;1 AB và mặt phẳng :2 3 0 P x yz . Điểm M thuộc P thỏa mãn MA MB có giá trị lớn nhất có tọa độ: A. 1; 3;4 M . B. 2; 1;1 M . C. 1;2;1 M . D. 1;1;2 M . Câu 182. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 2;1; 1 A , 0;3;1 B và mặt phẳng : 30 P x yz . Tìm tọa độ điểm M thuộc () P sao cho 2MA MB có giá trị nhỏ nhất. A. 4; 1;0 M . B. 1; 4;0 M . C. 4;1;0 M . D. 1; 4;0 M . Câu 183. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 3 3 2 15 0 Px y z và ba điểm 1;4;5 A , 0;3;1 B , 2; 1;0 C . Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho 22 2 MA MB MC có giá trị nhỏ nhất. A. 4; 1;0 M . B. 4; 1;0 M . C. 4;1;0 M . D. 1; 4;0 M . Câu 184. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 3;5; 5 A , 5; 3;7 B và mặt phẳng : 0 Px y z . Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho 22 2 MA MB có giá trị lớn nhất. A. 6; 18;12 M . B. 6;18;12 M . C. 6; 18;12 M . D. 6;18; 12 M . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Đ2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG D¹ng to¸n 1: Phương trình mặt phẳng Phương pháp Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của một mặt phẳng khi và chỉ khi A 2 + B 2 + C 2 > 0. F Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường có thêm các câu hỏi phụ: Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định. Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số mặt phẳng của họ (Pm) đi qua M. Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn chứa một đường thẳng cố định. ThÝ dô 1. Cho phương trình: mx + m(m - 1)y − (m 2 − 1)z - 1 = 0. (1) a. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) là phương trình của một mặt phẳng, gọi là họ (Pm). b. Tìm điểm cố định mà họ (Pm) luôn đi qua. c. Giả sử (Pm) với m ≠ 0, ±1 cắt các trục toạ độ tại A, B, C. Tính thể tích tứ diện OABC. Tìm m để ∆ABC nhận điểm 11 1 G ; ; 9 18 24 − làm trọng tâm. Giải a. Ta có: A 2 + B 2 + C 2 = m 2 + m 2 (m - 1) 2 + (m 2 − 1) 2 = m 2 + (m - 1) 2 [m 2 + (m + 1) 2 ] > 0, mọi m. Vậy, với mọi m phương trình đã cho là phương trình c ủa một mặt phẳng. b. Giả sử M(x0; y0; z0) là điểm cố định mà họ (Pm) luôn đi qua, ta có: mx0 + m(m - 1)y0 − (m 2 − 1)z0 - 1 = 0, ∀m ⇔ m 2 (y0 − z0) + m(x0 - y0) + z0 - 1 = 0, ∀m ⇔ 0 0 0 0 0 yz 0 x y 0 z 10 − = −= −= ⇔ 0 0 0 x1 y1 z 1 = = = . Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 1; 1). c. Ta có ngay toạ độ của các điểm A, B, C là: 1 A ;0;0 m , 1 B 0; ; 0 m(m 1) − , 2 1 C 0; 0; 1m − . Khi đó: Thể tích tứ diện OABC được cho bởi: VOABC = 6 1 OA.OB.OC = 6 1 . 2 11 1 .. m m(m 1) 1 m − − = 22 1 6m (m 1) m 1 − + . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Điểm 11 1 G ; ; 9 18 24 − là trọng tâm ∆ABC khi: 2 11 m 3 11 m(m 1) 6 11 1m 8 = = − = − − ⇔ 2 m 3 m(m 1) 6 1m 8 = −= −= − ⇔ m = 3. F Nhận xét: Như vậy, để tìm điểm cố định mà họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua ta thực hiện theo các bước: Bíc 1: Giả sử M(x0; y0; z0) là điểm cố định của họ (Pm), khi đó Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, ∀m. Bíc 2: Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0, từ đó nhận được (x0; y0; z0). Bíc 3: Kết luận. ThÝ dô 2. Cho phương trình: (a + b)x + ay + bz - 3(a + b) = 0. a. Tìm điều kiện của a, b để phương trình đã cho là phương trình của một mặt phẳng, gọi là họ (Pa,b). b. Giả sử (Pa,b) với a, b ≠ 0 cắt các trục toạ độ tại A, B, C. Tìm a, b để: ∆ABC nhận điểm 4 G 1; 4; 3 làm trọng tâm. ∆ABC nhận điểm ( ) H 2;1;1 làm trực tâm. Tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất với a > 0, b > 0. c. Chứng tỏ rằng họ (Pa,b) luôn chứa một đường thẳng cố định. Giải a. Xét điều kiện: A 2 + B 2 + C 2 = 0 ⇔ (a + b) 2 + a 2 + b 2 = 0 ⇔ a b0 a0 b0 += = = ⇔ a = b = 0. Vậy, với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình c ủa một mặt phẳng. b. Với với a, b ≠ 0 ta có ngay : ( ) A 3;0;0 , 3(a b) B 0; ; 0 a + , 3(a b) C 0; 0; b + . Khi đó: Điểm 4 G 1; 4; 3 là trọng tâm ∆ABC khi: ab 4 a ab 4 b3 + = + = ⇔ 3a b 3a b = = ⇔ b = 3a. Vậy, với b = 3a ≠ 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm ∆ABC khi: HA BC HB AC H (P) ⊥ ⊥ ∈ ⇔ HA.BC 0 HB.AC 0 H (P) = = ∈ ⇔ ab 0 ab 0 2(ab) ab 3(ab) 0 −= −= + ++ − + = ⇔ a = b. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Vậy, với a = b ≠ 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. Thể tích tứ diện OABC được cho bởi: O.ABC 1 V OA.OB.OC 6 = 2 9 (a b) . 2 ab + = 9 2ab .9 2 ab ≥ = . Vậy, ta được ( ) O.ABC Min V9 = , đạt được khi a = b. c. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Viết lại phương trình mặt phẳng (Pa,b) dưới dạng: (Pa,b): a(x + y − 3) + b(x + z − 3) = 0. Từ đó, suy ra họ (Pa,b) luôn chứa các điểm có toạ độ thoả mãn hệ: x z3 0 x y3 0 +− = + −= . (*) Hệ (*) chính là phương trình giao tuyến (d) của hai mặt phẳng cố định: (P1): x + z − 3 = 0 và (P2): x + y − 3 = 0. Vậy, họ (Pa,b) luôn chứa một đường thẳng cố định (d). Cách 2: Nhận xét rằng họ mặt phẳng (Pa,b) luôn đi qua hai điểm M(1; 2; 2) và N(2; 1; 1) nên họ (Pa,b) luôn chứa một đường thẳng cố định (d) được cho bởi: (d): Qua M(1; 2; 2) Qua N(2; 1; 1) ⇔ (d): Qua M(1; 2; 2) vtcp MN(1; 1; 1) − − ⇔ x 1t (d) : y 2 t, t z 2t = + =−∈ = − . Cách 3: Nhận xét rằng họ mặt phẳng (Pa,b) luôn đi qua điểm M(1; 2; 2) và có vtpt n(a b; a; b) + , suy ra: n(a b; a; b).u(1; 1; 1) a b a b 0 + − − = + −− = ⇔ nu ⊥ , ∀a, b ≠ 0. Vậy, họ (Pa,b) luôn chứa một đường thẳng cố định (d) được cho bởi: (d): Qua M(1; 2; 2) vtcp u(1; 1; 1) − − ⇔ x1 y 2 z 2 (d) : 1 11 −− − = = −− . F Nhận xét: Như vậy, để tìm đường thẳng cố định thuộc họ mặt phẳng (Pa,b) chúng ta cần có thêm kiến thức về đường thẳng và các em học sinh cần nhớ lại rằng một đường thẳng (d) được hoàn toàn xác định khi biết nó: Là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau − Ứng với cách 1. Đi qua hai điểm phân biệt M, N − Ứng với cách 2. Đi qua một điểm M và có phương cố định − Ứng với cách 3. Và câu hỏi thường được các em học sinh đặt ra đối với các cách 2, cách 3 là việc xác định toạ độ điểm M, N và vectơ u . Câu trả lời như sau: Các điểm M, N có toạ độ thoả mãn hệ (*) và khi biết được toạ độ của cả M, N thì suy ra được toạ độ của vectơ u . Toạ độ của vectơ u có thể được xác định đ ộc lập với M, N dựa trên nhận xét: 1 2 (d) (P ) (d) (P ) ⊂ ⊂ ⇔ 1 2 un l un l 1 2 µ vtpt cña (P ) µ vtpt cña (P ) ⊥− ⊥ − ⇔ 12 u n ,n = . D¹ng to¸n 2: Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Cách 1: Thực hiện theo các bước: Bíc 1: Xác định M0(x0; y0; z0) ∈ (P) và vtpt n (n1; n2; n3) của (P). Bíc 2: Khi đó: (P): 000 0 12 3 qua M (x ;y ;z ) vtpt n(n ;n ;n ) ⇔ (P): n1(x − x0) + n2(y − y0) + n3(z − z0) = 0. Cách 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích. F Chú ý: Chúng ta có các kết quả: 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0), luôn có dạng: (P): A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 2. Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3), luôn có dạng: (P): n1x + n2y + n3z + D = 0 Để xác định (P), ta cần đi xác định D. 3. Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By + Cz + D = 0, luôn có dạng: (P): Ax + By + Cz + E = 0 Để xác định (P), ta cần đi xác định E. 4. Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn, đó là mặt phẳng (P) đi qua ba đi ểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình: (P): x a + y b + z c = 1. 5. Với phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm không thẳng hàng M, N, P chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta có: n MN n MP ⊥ ⊥ ⇔ n MN, MP = . Khi đó, phương trình m ặt phẳng (P) được cho bởi: (P): qua M vtpt n . Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0, (1) với A 2 + B 2 + C 2 > 0. Vì M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ ba phương trình với bốn ẩn A, B, C, D. Biểu diễn ba ẩn theo một ẩn còn lại, rồi thay vào (1) chúng ta nhận được phương trình mặt phẳng (P). ThÝ dô 1. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết: a. (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1; 1; 2) và B(1; −3; 2). b. (P) đi qua điểm C(1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình x − 2y + 3z + 1 = 0. c. (P) đi qua điểm D(1; 1; 2) và có cặp vtcp a (2; -1, 1), b (2; -1; 3). d. (P) đi qua điểm E(3; 1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng: (R1): 2x + y + 2z - 10) và (R2): 3x + 2y + z + 8 = 0. Giải a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1 (Sử dụng công thức): Gọi I là trung đi ểm của đoạn AB, suy ra I(1; −1; 2). Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Khi đó, mặt phẳng (P) được cho bởi: (P): qua I (P) AB ⊥ ⇔ (P): qua I(1; 1; 2) vtpt AB(0; 4; 0) chän (0; 1; 0) − − ⇔ (P): 0.(x - 1) + 1.(y + 1) + 0.(z - 2) = 0 ⇔ (P): y + 1 = 0. Cách 2 (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (P) khi: AM = BM ⇔ AM 2 = BM 2 ⇔ (x − 1) 2 + (y − 1) 2 + (z − 2) 2 = (x − 1) 2 + (y + 3) 2 + (z − 2) 2 ⇔ 8y + 8 = 0 ⇔ y + 1 = 0. Đó chính là phương trình mặt phẳng (P) cần tìm. b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Ta lần lượt sử dụng giả thiết: (P) đi qua điểm C(1; 2; −3) nên có phương trình: (P): A(x − 1) + B(y − 2) + C(z + 3) = 0 (1) ⇔ (P): Ax + By + Cz − A − 2B + 3C = 0. (P) song song với (Q): x − 2y + 3z + 1 = 0 nên: A B C A 2B 3C 1 23 1 −− + = = ≠ − ⇒ B 2A C 3A = − = . (2) Cách 2: Ta lần lượt sử dụng giả thiết: (P) song song với (Q): x − 2y + 3z + 1 = 0 nên có phương trình: (P): x − 2y + 3z + D = 0. Điểm C thuộc (P), suy ra: 1 − 2.2 + 3(−3) + D = 0 ⇔ D = 12. Vậy, phương trình mặt phẳng (P): x − 2y + 3z + 12 = 0. Thay (2) vào (1) rồi thực hiện phép đơn giản biểu thức, ta được phương trình mặt phẳng (P): x − 2y + 3z + 12 = 0. Cách 3: Mặt phẳng (P) được cho bởi: (P): qua C (P) //(Q) ⇔ (P): Q qua C(1;2; 3) vtpt n (1; 2;3) − − ⇔ (P): 1.(x − 1) − 2.(y − 2) + 3.(z + 3) = 0 ⇔ (P): x − 2y + 3z + 12 = 0. c. Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta có: na nb ⊥ ⊥ ⇔ n = [ a , b ] = 11 1 2 2 1 ;; 13 3 2 2 1 − − − − = ( −2; -4; 0). Mặt phẳng (P) được cho bởi: (P): qua D(1;1;2) vtpt n(1;2;0) ⇔ (P): (x − 1) + 2(y − 1) = 0 ⇔ (P): x + 2y - 3 = 0. d. Gọi n , 1 n , 2 n theo thứ tự là vtpt của các mặt phẳng (P), (R1), (R2), ta có: 1 n (2; 1; 2), 2 n (3; 2; 1). Vì (P) vuông góc với (R1) và (R2) nên nó nhận 1 n , 2 n làm cặp vtcp, từ đó: 1 2 nn nn ⊥ ⊥ ⇔ n = [ 1 n , 2 n ] = 12 2 2 2 1 ,, 2 1 13 3 2 = (-3; 4; 1). Mặt phẳng (P) được cho bởi: (P): qua E(3;1;2) vtpt n( 3;4;1) − ⇔ (P): 3x - 4y - z − 3 = 0. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 F Nhận xét: Như vậy, qua bài toán: Ở câu a), chúng ta nhận được hai phương pháp (có tính minh họa) để viết phương trình mặt phẳng. Ở câu b), với ba cách giải đó thì các cách 1 và cách 2 có tính minh họ a để các em học sinh hiểu cách khai thác từng giả thiết. Và như vậy, cách 3 luôn là sự lựa chọn khi thực hiện bài thi. Câu c), câu d) minh họa việc viết phương trình mặt phẳng khi biết cặp vtcp của nó. ThÝ dô 2. Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5). a. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B và C. b. Lập phương trình mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp ∆ABC làm đường tròn lớn. Giải a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Gọi n là vtpt của mặt phẳng (P), ta có: n AB n AC ⊥ ⊥ ⇔ n = AB, AC = (8; −2; −10) chọn n (4; −1; −5). Mặt phẳng (P) được cho bởi: (P): qua A(1;2;3) vtpt n(4; 1; 5) −− ⇔ (P): 4(x − 1) − (y − 2) - 5(z - 3) = 0 ⇔ (P): 4x − y - 5z + 13 = 0. Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình: (P): Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 > 0. (1) Vì A, B, C thuộc (P), ta được: A2B3C D 0 3A 5B 4C D 0 3A 5C D 0 + + += + + += + += ⇔ A 4B C 5B D 13B = − = = − . Thay A, B, C vào (1), ta được: (P): −4Bx + By + 5Bz − 13B = 0 ⇔ (P): 4x − y - 5z + 13 = 0. b. Mặt cầu (S) có tâm I(x; y; z) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, ta có: AI BI AI CI I (ABC) = = ∈ ⇔ 22 22 AI BI AI CI AB, AC, AH ®ång ph¼ng = = ⇔ 22 22 AI BI AI CI AB, AC .AI 0 = = = ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 (x 1) (y 2) (z 3) (x 3) (y 5) (z 4) (x 1) (y 2) (z 3) (x 3) y (z 5) 4x y 5z 13 − + − +− = − + − +− − + − +− = − + +− −− =− ⇔ 2x 3y z 36 xy z 5 4x y 5z 13 + += −+ = −− =− ⇔ x 39 / 7 y 89 /14 z 81/14 = = = ⇒ 39 89 81 I ; ; 7 14 14 . Khi đó, mặt cầu (S) được cho bởi: (S): T©m I §i qua A ⇔ (S): 39 89 81 T©m I ; ; 7 14 14 9338 B¸n kÝnh R IA 14 = = Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 ⇔ 2 22 39 89 81 667 (S) : x y z . 7 14 14 14 −+ −+ − = F Nhận xét: Như vậy, câu a) của thí dụ trên trên đã minh họa hai phương pháp viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước (kiến thức đã được trình bày trong phần chú ý của bài toán 2). ThÝ dô 3. Cho hai điểm A(1; −1; 5), B(0; 0; 1). a. Tìm điểm M thuộc Oy sao cho ∆MAB cân tại M. b. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với trục Oy. c. Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất đi qua hai điểm A, B và cắt (P) theo thiết diện là đường tròn lớn. Giải a. Với điểm M thuộc Ox thì M(0; y; 0), ta có: AM = BM ⇔ AM 2 = BM 2 ⇔ ( −1) 2 + (y + 1) 2 + ( −5) 2 = y 2 + 1 ⇔ 2y = −26 ⇔ y = −13 ⇒ M(0; −13; 0). Vậy, với M(0; −13; 0) thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Ta có: (P): qua A cÆp vtcp AB vµ j ⇔ (P): qua A(1; 1;5) vtpt n AB, j (4; 0; 1) − = = − ⇔ (P): 4x − z + 1 = 0. c. Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất đi qua hai điểm A, B và cắt (P) theo thiết diện là đường tròn lớn chính là mặt cầu đường kính AB, ta có: (S): T©m I lµ trung ®iÓm AB AB B¸n kÝnh R 2 = ⇔ 11 T m I ; ;3 22 18 B nk nhR 2 © ¸Ý − = ⇔ ( ) 22 2 11 9 (S) : x y z 3 . 22 2 − + + +− = ThÝ dô 4. Cho hai điểm A(2; 1; −3), B(3; 2; −1) và mặt phẳng (Q) có phương trình (Q): x + 2y + 3z − 4 = 0. a. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q). b. Tìm tọa độ điểm I thuộc (Q) sao cho I, A, B thẳng hàng. Giải a. Gọi n , Q n theo thứ tự là vtpt của (P) và (Q), ta được Q n (1; 2; 3). Ta có: Q n AB(1;1;2) n n (1;2;3) ⊥ ⊥ ⇔ n = Q AB, n = ( −1; −1; 1) chọn n (1; 1; −1). Mặt phẳng (P) được cho bởi: (P): qua A(2;1; 3) vtpt n(1;1; 1) − − ⇔ (P): x − 2 + y − 1 − (z + 3) = 0 ⇔ (P): x + y − z − 6 = 0. b. Giả sử điểm I(x; y; z) thuộc mặt phẳng (Q) , vì vectơ AI cùng phương với vectơ AB nên AI = t AB . Suy ra, tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 x2 t y1 t z 3 2t x 2y 3z 4 0 −= −= += + + −= ⇔ x t2 y t1 z 2t 3 t 2 2(t 1) 3(2t 3) 4 0 = + = + = − + + + + − − = ⇔ x3 y2 z1 t1 = = = − = ⇒ I(3; 2; −1). ThÝ dô 5. Cho điểm A(2; −2; −4). a. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa trục Ox. b. Tìm điểm B thuộc mặt phẳng (P) sao cho ∆OAB đều. Giải a. Ta có: (P): qua O cÆp vtcp OA vµ i ⇔ (P): qua O(0;0;0) vtpt n OA, i (0; 4; 2) = = − ⇔ (P): 2y − z = 0. b. Giả sử điểm B(x; y; z), ta lần lượt có: Điểm B ∈ (P) nên x + y = 0 ⇔ y = −x. (1) ∆OAB đều, ta được: OA = OB = AB ⇔ 22 22 OB OA AB OA = = ⇔ 2 22 2 2 2 x y z 24 (x 2) (y 2) (z 4) 24 + += − + + ++ = (1) ⇔ 22 2x z 24 xz 3 += −= ⇔ 2 2 z x3 2x (x 3) 24 = − + − = ⇔ 2 z x3 x 2x 5 0 = − − − = ⇔ z x3 x1 6 = − = ± ⇒ ( ) ( ) 1 2 B 1 6; 1 6; 6 2 B 1 6; 1 6; 6 2 + −− − − −+ − − . Vậy, tồn tại hai điểm B1 và B2 thỏa mãn điều kiện đầu bài. ThÝ dô 6. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a. Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm ∆ABC. b. Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm ∆ABC. c. Đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt chiều dương của các trục toạ độ tại ba điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Giải a. Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta được phương trình: (P): x a + y b + z c = 1. Để G(1; 2; 3) là trọng tâm ∆ABC, điều kiện là: a 3 b6 c 9 = = = ⇒ (P): x 3 + y 6 + z 9 = 1 ⇔ (P): 6x + 3y + 2z − 18 = 0. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 b. Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta được phương trình: (P): x a + y b + z c = 1. (1) Để H(2; 1; 1) là trực tâm ∆ABC, điều kiện là: HA BC HB AC H (P) ⊥ ⊥ ∈ ⇔ HA.BC 0 HB.AC 0 2 11 1 a bc = = + + = ⇔ bc 0 2a c 0 2 11 1 a bc − = − = + + = ⇔ a 3 b c 6 = = = . Thay a, b, c vào (1), ta được: (P): x 3 + y 6 + z 6 = 1 ⇔ (P): 2x + y + z − 6= 0. c. Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0, ta đư ợc phương trình: (P): x a + y b + z c = 1. Điểm M thuộc (P) nên: 1 11 1 a bc + + = ⇒ 1 = 1 11 a bc ++ si « C ≥ 3 1 11 3 . . a b c ⇔ abc ≥ 27. Thể tích tứ diện OABC, được cho bởi: VOABC = 6 1 OA.OB.OC = 6 1 .abc ≥ 27 6 = 2 9 . Vậy, ta được (VOABC)Min = 2 9 , đạt được khi: 1 1 11 a b c 3 = = = ⇔ a = b = c = 3. và khi đó: (P): xy z 1 3 33 + + = ⇔ (P): x + y + z - 3 = 0. D¹ng to¸n 3: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Phương pháp Sử dụng kiến thức trong phần vị trí tương đối của hai mặt phẳng. ThÝ dô 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là: (P): x − 3y − 3z + 5 = 0, (Q): (m 2 + m + 1)x − 3y + (m + 3)z + 1 = 0. Với giá trị nào của m thì: a. Hai mặt phẳng đó song song ? b. Hai mặt phẳng đó trùng nhau ? c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau ? d. Hai mặt phẳng đó vuông góc ? Giải a. Để hai mặt phẳng song song với nhau điều kiện là: 2 1 3 35 3 m3 1 m m 1 −− = = ≠ −+ ++ ⇔ 2 m m 11 m3 1 15 + += + =− ≠ , vô nghiệm. Vậy, không tồn tại m để hai mặt phẳng song song với nhau b. Để hai mặt phẳng trùng nhau điều kiện là: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 2 1 3 35 3 m3 1 m m 1 −− = = = −+ ++ ⇔ 2 m m 11 m3 1 15 + += + =− = , vô nghiệm. Vậy, không tồn tại m để hai mặt phẳng trùng nhau c. Từ kết quả của các câu a) và b) suy ra với mọi m hai mặt phẳng (P) và (Q) luôn cắt nhau. d. Gọi P n , Q n theo thứ tự là vtpt của (P) và (Q), ta được: P n (1; −3; −3) và Q n (m 2 + m + 1; −3; m + 3). Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau điều kiện là: P n ⊥ Q n ⇔ P n . Q n = 0 ⇔ m 2 + m + 1 − 3(−3) − 3(m + 3) = 0 ⇔ m 2 − 2m + 1 = 0 ⇔ m = 1. Vậy, với m = 1 thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau. ThÝ dô 2. Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) lần lượt có phương trình là: (P1): Ax + By + Cz + D = 0, (P2): Ax + By + Cz + D' = 0 với D ≠ D'. a. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2). b. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2). Áp dụng với hai mặt phẳng: (P1): x + 2y + 2y + 3 = 0, (P2): 2x + 4y + 4y + 1 = 0. Giải a. Nhận xét rằng (P1) và (P2) song song với nhau. Lấy điểm M(x0; y0; z0) thuộc (P1), ta có: Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. (1) Khi đó: d((P1), (P2)) = d(M, (P2)) = 0 00 22 2 Ax By Cz D' A BC + ++ + + (1) = 22 2 D' D A BC − + + . b. Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng: (P): Ax + By + Cz + E = 0. (2) Để (P) cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2) điều kiện là: 12 22 2 22 2 DE D E A BC A BC − − = ++ ++ ⇔ |D1 − E | = |D2 − E | DE ≠ ⇔ E = 12 1 (D D ) 2 + . (3) Thay (3) vào (2) ta được (P): Ax + By + Cz + 12 1 (D D ) 2 + = 0. Áp dụng với hai mặt phẳng (P1) và (P2): Trước tiên ta có: (P2): x + 2y + 2z + 1 2 = 0. a. Khoảng cách giữa (P1) và (P2) được cho bởi: d((P1), (P2)) = 222 1 5 3 5 2 2 36 12 2 − = = + + . b. Ta có thể trình bày theo ba cách sau: Cách 1: (Sử dụng kết quả trên): Ta có ngay: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 (P): x + 2y + 2z + 1 1 3 2 2 + = 0 ⇔ (P): x + 2y + 2z + 7 4 = 0. Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm. Điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇔ 1 x 2y 2z x 2y 2z 3 2 14 4 14 4 + + + + + + = ++ ++ ⇔ 1 x 2y 2z 3 x 2y 2z 2 + + + = + + + ⇔ x + 2y + 2z + 7 4 = 0. Đó chính là phương trình mặt phẳng (P) cần tìm. Cách 3: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng: (P): x + 2y + 2z + D = 0. (*) Lấy các điểm A(−3; 0; 0) ∈ (P1) và 1 B ;0;0 2 − ∈ (P2), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm 7 M ;0;0 4 − . Để (P) cách đều (P1) và (P2) điều kiện là (P) đi qua điểm M, tức: − 7 4 + D = 0 ⇔ D = 7 4 . Thay D = 7 4 vào (*), ta nhận được phương trình (P): x + 2y + 2z + 7 4 = 0. F Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) và (P2) song song với nhau (giả sử có vtpt n(A; B; C) ) chúng ta thường gặp thêm câu hỏi: 1. Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2). 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đề u (P1), (P2). 3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2)). 4. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và: a. Tiếp xúc với (P2). b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn. 5. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C)). Với yêu cầu "Tính khoảng cách d giữa (P1) và (P2)" chúng ta sử dụng kết quả: d = d((P1), (P2)) = d(M1, (P2)), với M1 ∈ (P1). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều (P1), (P2)", chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: (Sử dụng tính chất): Thực hiện theo các bước: Bíc 1: Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng: (P): Ax + By + Cz + D = 0. (*) Bíc 2: Lấy các điểm E1 ∈ (P1) và E2 ∈ (P2), suy ra đoạn thẳng AB có trung điểm E(x0; y0; z0). Để (P) cách đều (P1) và (P2) điều kiện là (P) đi qua điểm M, tức là: Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ⇒ Giá trị của D. Bíc 3: Thay D vào (*), ta nhận được phương trình (P). Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Đi ểm M(x; y; z) ∈ (P) cần dựng khi: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Phương trình (P). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = k.d((Q), (P2))", chúng ta sử dụng ý tương trong cách 2 của yêu cầu (2), cụ thể: Điểm M(x; y; z) ∈ (Q) cần dựng khi: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 d(M, (P1)) = k.d(M, (P2)) ⇒ Phương trình (Q). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và thoả mãn điều kiện K", chúng ta thực hiện theo các bước: Bíc 1: Gọi M2 là hình chiếu vuông góc của M1 trên (P2). Toạ độ của điểm M2 được xác định bằng cách: 12 2 22 M M (P ) M (P ) ⊥ ∈ ⇔ 12 22 M M t.n M (P ) = ∈ . Bíc 2: Với điều kiện K là: a. Tiếp xúc với (P2) thì mặt cầu cần dựng chính là mặt cầu đường kính M1M2. b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn thì mặt cầu cần dựng chính là mặt cầu tâm M2 và bán kính R = M1M2 = d. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r", chúng ta thực hiện theo các bước: Bíc 1: Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) và bán kính R. Ta lần lượt: (S) tiếp xúc với (P1) tại M1 khi: 11 M I (P ) ⊥ ⇔ 1 M I t.n = . (S) cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r khi: r 2 + M2I 2 = R 2 = M1I 2 ⇒ Giá trị t ⇒ Toạ độ tâm I. Bíc 2: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R = M1I. ThÝ dô 3. Cho điểm M1(2; 1; −3) và hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): x + y + 2z + 3 = 0, (P2): x + (m − 2)y + (m − 1)z − 3m = 0. 1. Tìm để (P1) song song với (P2). 2. Với m tìm được ở câu 1) hãy: a. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2). b. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2). c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P1), (P2) và d((Q), (P1)) = 2d((Q), (P2)). d. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và tiếp xúc với (P2). e. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn. f. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính r 62 = . Giải 1. Để hai mặt phẳng (P1), (P2) song song với nhau điều kiện là: 1 m 2 m 1 3m 11 2 3 − −− = = ≠ ⇔ m = 3. 2. Với m = 3 mặt phẳng (P2): x + y + 2z − 9 = 0 và có vtpt n(1; 1; 2) . a. Ta có ngay: d((P1), (P2)) = d(M1, (P2)) = 22 2 212( 3) 9 26 1 1 2 ++ − − = + + . b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: (Sử dụng tính chất): Mặt phẳng (P) song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng: (P): x + y + 2z + D = 0. (*) Lấy điểm N(1; 0; 4)∈ (P2), suy ra M1N có trung điểm 31 1 M ;; 222 . Để (P) cách đều (P1) và (P2) điều kiện là (P) đi qua điểm M, tức là: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 31 1 2. D 0 22 2 + + + = ⇔ D = −3. Thay D = −3 vào (*), ta nhận được phương trình (P): x + y + 2z − 3 = 0. Cách 2: (Sử dụng phương pháp quĩ tích): Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm thì điểm M(x; y; z) ∈ (P) khi: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇔ x y 2z 3 x y 2z 9 11 4 11 4 ++ + ++ − = ++ ++ ⇔ x y 2z 3 x y 2z 9 ++ + = ++ − ⇔ x + y + 2z − 3 = 0. Đó chính là phương trình mặt phẳng (P) cần tìm. c. Điểm M(x; y; z) ∈ (Q) khi: d(M, (P1)) = 2d(M, (P2)) ⇔ x y 2z 3 2 x y 2z 9 11 4 11 4 ++ + ++ − = ++ ++ ⇔ x y 2z 3 2 x y 2z 9 ++ + = ++ − ⇔ x y 2z 21 0 x y 2z 5 0 ++ − = + + − = . Vậy, tồn tại hai mặt phẳng thoả mãn điều kiện đầu bài là: (Q1): x + y + 2z − 21 = 0 và (Q2): x + y + 2z − 5 = 0. d. Gọi M2(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M1 trên (P2), ta có: 12 2 22 M M (P ) M (P ) ⊥ ∈ ⇔ 12 22 M M t.n M (P ) = ∈ ⇔ x 2 t y1 t z 3 2t x y 2z 9 0 −= −= += + + − = ⇔ x t 2 y t1 z 2t 3 6t 12 0 = + = + = − −= ⇔ t2 x 4 y 3 z1 = = = = ⇒ M2(4; 3; 1). Khi đó, mặt cầu (S) cần dựng chính là mặt cầu đường kính M1M2, tức là: (S): ( ) 12 12 T©m I 3; 2; 1 lµ trung®iÓm M M MM B¸n kÝnh R 6 2 − = = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 22 (S) : x3 y2 z 1 6 − + − ++ = . e. Gọi M2(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M1 trên (P2), theo d) ta có ngay M2(4; 3; 1). Khi đó, mặt cầu (S) cần dựng chính là: (S): 2 12 T©m M (4; 3; 1) B¸n kÝnh R M M 2 6 = = ⇔ (S): (x − 4) 2 + (y − 3) 2 + (z − 1) 2 = 24. f. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) và bán kính R. Gọi M2 là hình chiếu vuông góc của M1 trên (P2) thì M2 chính là tâm của đường tròn (C), ta có: R 2 − r 2 = M2I 2 = 2 12 1 M M IM − = 2 (d R) − ⇔ 2dR = d 2 + r 2 ⇔ 22 d r 24 72 R 46 2d 46 + + = = = ⇒ 2 IM 2 6 = = d(I, (P2)). (*) Ta lần lượt có: (S) tiếp xúc với (P1) tại M1 khi: M1I ⊥ (P1) ⇔ 1 M I t.n = ⇔ x 2 t y1 t z 3 2t −= −= += ⇔ x t 2 y t1 z 2t 3 = + = + = − . (S) cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r khi: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 r 2 + M2I 2 = R 2 = M1I 2 ⇔ ( ) 2 2 2 2 2 22 2 (t 2) (t 1) 2(2t 3) 9 6 2 t t (2t) 1 1 2 + ++ + − − + = ++ + + ⇔ 72 + 6(t − 2) 2 = 6t 2 ⇔ 96 − 24t = 0 ⇔ t = 4 ⇒ I(6; 5; 5). Khi đó, phương trình mặt cầu (S) được cho bởi: (S): ( ) 1 T©m I 6;5;5 BkÝnh R M I 4 6 = = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 22 (S) : x 6 y 5 z 5 96 − + − +− = . F Chú ý: Trong trường hợp hai mặt phẳng (P1) và (P2) cắt nhau chúng ta thường gặp thêm câu hỏi: 1. Tính góc giữa (P1) và (P2). 2. Viết phương trình giao tuyến (d) của (P1) và (P2). 3. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P1) và (P2). 4. Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và thoả mãn điều kiện K. 5. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và: a. Tiếp xúc với (P2). b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn. c. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C)). Với yêu cầu "Tính góc giữa (P1) và (P2)", chúng ta có ngay: (P1) có vtpt 1 n (A1; B1; C1) và (P2) có vtpT là 2 n (A2; B2; C2). Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P1) và (P2) (0 ≤ α ≤ 2 π ), ta có: cos α = 12 12 n .n n .n = 1 2 12 12 222 222 111 222 A A B B C C A BC . A BC ++ ++ ++ . Lưu ý: Để (P1) ⊥ (P2) ⇔ cos α = 0 ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. Với yêu cầu "Viết phương trình giao tuyến (d) của (P1) và (P2)", chúng ta thực hiện theo các bước sau: Bíc 1: Giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (P1) và (P2) gồm các điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ: 1 2 (P ) (P ) . (1) Bíc 2: Lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Lấy điểm M ∈(d) và gọi u là vtcp của (d) thì: 12 u n ,n = . Từ đó, ta có: (d): Qua M vtcp u . Cách 2: Lấy hai điểm M và N thuộc (d), ta có: (d): Qua M Qua N ⇔ (d): Qua M vtcp u MN = . Cách 3: Đặt x = f1(t) (hoặc y = f2(t) hoặc z = f3(t)) (t ∈ ), ta biến đổi hệ (1) về dạng: 1 2 3 x f (t) y f (t) z f (t) = = = , t ∈ . Đó chính là phương trình tham số của đường thẳng (d). Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Lưu ý: Như vậy, để thực hiện được yêu cầu này chúng ta cần có thêm kiến thức về đường thẳng trong không gian. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P1) và (P2)", chúng ta lập luận: Mặt phẳng phân giác (Q) của góc tạo bởi hai mặt phẳng (P1) và (P2) gồm các điểm M(x; y; z) thoả mãn: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇒ Hai mặt phẳng (Q1) và (Q2). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và thoả mãn điều kiện K", chúng ta đã được thấy thông qua yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và thoả mãn điều kiện K" trong dạng toán 2 và sẽ được thấy trong chủ đề về đường thẳng. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và thoả mãn điều kiện K", chúng ta thực hiện theo các bước: Bíc 1: Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) và bán kính R. (S) tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 suy ra: 11 M I (P ) ⊥ ⇔ 11 M I // n ⇔ 11 M I t.n = . Bíc 2: Với điều kiện K là: a. Tiếp xúc với (P2) thì: M1I = d(I, (P2)) ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I. Lưu ý: Với giả thiết này chúng ta còn có thể sử dụng phương trình mặt phẳng phân giác (Q1), (Q2) để xác định toạ độ tâm I. b. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn thì: I ∈ (P2)) ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I. c. Cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính r thì: R 2 = d 2 (I, (P2)) + r 2 ⇔ M1I 2 = d 2 (I, (P2)) + r 2 ⇒ Giá trị tham số t ⇒ Toạ độ tâm I. Bíc 3: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R = M1I. ThÝ dô 4. Cho điểm M1(2; 5; 0) và hai mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình: (P1): 3x − 2y − z + 4 = 0, (P2): x − 3y + 2z − 1 = 0. a. Chứng tỏ rằng (P1) cắt (P2) theo giao tuyến (d). Tính góc giữa (P1), (P2) và tìm một vtcp của đường thẳng (d). b. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P1) và (P2). c. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và tiếp xúc với (P2). d. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn. e. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính r 21/ 2 = . Giải a. Hai mặt phẳng (P1), (P2) theo thứ tự có vtpt 1 n (3; 2; 1) −− , 1 n (1; 3; 2) − , suy ra 12 nv n µ không cùng phương nên (P1) cắt (P2) theo giao tuyến (d). Ta lần lượt có: Côsin góc α tạo bởi (P1), (P2) được cho bởi: cos α = 12 12 n .n n .n = 2 2 22 2 2 3.1 2( 3) 1.2 1 2 3 (2) (1) . 1 (3) 2 − −− = + − + − + − + ⇔ 3 π α = . Giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (P1) và (P2) gồm các điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ: 3x 2y z 4 0 x 3y 2z 1 0 − − + = − + − = . (1) Tới đây, ta lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Gọi u là vtcp của (d) thì 12 u n , n ( 7; 7; 7) = =−− − chọn u (1; 1; 1). Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Cách 2: Lấy hai điểm A(0; 1; 2) và B(1; 2; 3) thuộc (d), thì vtcp của (d) là u AB(1; 1; 1) = . Cách 3: Đặt x = t, ta biến đổi hệ (1) về dạng: x t 3t 2y z 4 0 t 3y 2z 1 0 = − − + = − + − = ⇔ x t y 1t z 2t = = + = + ⇒ vtcp u(1; 1; 1) . b. Mặt phẳng phân giác (Q) của góc tạo bởi hai mặt phẳng (P1) và (P2) gồm các điểm M(x; y; z) thoả mãn: d(M, (P1)) = d(M, (P2)) ⇔ 2 2 2 2 22 3x 2yz 4 x3y 2z 1 3 (2) (1) 1 (3) 2 − − + − + − = + − + − + − + ⇔ 2x y 3z 5 0 4x 5y z 3 0 + − + = − ++ = . Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (Q1): 2x + y − 3z + 5 = 0 và (Q2): 4x − 5y + z + 3 = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. c. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) và bán kính R. (S) tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 suy ra: 11 M I (P ) ⊥ ⇔ 11 M I // n ⇔ 11 M I t.n = ⇔ x 2 3t y 5 2t zt −= −=− = − ⇔ x 3t 2 y 2t 5 zt = + = − + = − . Tới đây, ta lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: (S) tiếp xúc với (P2) thì: M1I = d(I, (P2)) ⇔ 2 22 2 22 (3t 2) 3( 2t 5) 2( t) 1 (3t) ( 2t) ( t) 1 ( 3) 2 + − − + + −− + − + − = + − + ⇔ 2 2 7t 14 14t 14 − = ⇔ 4t 2 = (t − 2) 2 ⇔ 2t t 2 2t t 2 = − =−+ ⇔ 1 2 t2 t 2 /3 = − = Ta lần lượt có: Với t1 = −2 ta được tâm I1(−4 ; 9 ; 2), suy ra mặt cầu: (S1): ( ) 1 11 T©m I 4; 9; 2 B¸n kÝnh R M I 56 − = = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 (S ) : x 4 y 9 z 2 56 + + − +− = . Với 2 2 t 3 = ta được tâm 2 11 2 I 4; ; 33 , suy ra mặt cầu: (S2): 2 1 2 11 2 T©m I 4; ; 33 B¸n kÝnh R M I 56 / 9 = = ⇔ ( ) 2 2 2 2 11 2 56 (S ) : x 4 y z 3 39 − + − +− = . Vậy, tồn tại hai mặt cầu (S1) và (S2) thoả mãn điều kiện đầu bài. Cách 2: (Dựa theo kết quả câu b): (S) tiếp xúc với (P2) thì tâm I phải thuộc mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P1) và (P2). Ta lần lượt: Với mặt phẳng phân giác (Q1): 2x + y − 3z + 5 = 0, suy ra: 2(3t + 2) + ( −2t + 5) − 3( −t) + 5 = 0 ⇔ 7t + 14 = 0 ⇔ t = −2. Khi đó, ta được mặt cầu: (S1): ( ) 1 11 T©m I 4; 9; 2 B¸n kÝnh R M I 56 − = = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 (S ) : x 4 y 9 z 2 56 + + − +− = . Với mặt phẳng phân giác (Q2): 4x − 5y + z + 3 = 0, suy ra: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 4(3t + 2) − 5( −2t + 5) + ( −t) + 3 = 0 ⇔ 21t − 14 = 0 ⇔ 2 t 3 = . Khi đó, ta được mặt cầu: (S2): 2 1 2 11 2 T©m I 4; ; 33 B¸n kÝnh R M I 56 / 9 = = ⇔ ( ) 2 2 2 2 11 2 56 (S ) : x 4 y z 3 39 − + − +− = . Vậy, tồn tại hai mặt cầu (S1) và (S2) thoả mãn điều kiện đầu bài. d. Giả sử mặt cầu (S) cần dựng có tâm I(x; y; z) và bán kính R. (S) tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 suy ra: 11 M I (P ) ⊥ ⇔ 11 M I // n ⇔ 11 M I t.n = ⇔ x 2 3t y 5 2t zt −= −=− = − ⇔ x 3t 2 y 2t 5 zt = + = − + = − . Để (S) cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn lớn điều kiện là: I ∈ (P2)) ⇔ (3t + 2) − 3(−2t + 5) + 2(−t) − 1 = 0 ⇔ 7t − 14 = 0 ⇔ t = 2. Khi đó, phương trình mặt cầu (S) cần dựng được cho bởi: (S): 1 T©m I(8; 1; 2) B¸n kÝnh R M I 56 − = = ⇔ ( ) ( ) ( ) 22 2 1 (S ) : x 8 y 1 z 2 56 − + − ++ =. e. Giả sử mặt cầu (T) cần dựng có tâm T(x; y; z) và bán kính R. (T) tiếp xúc với (P1) tại điểm M1 suy ra: 11 M T (P ) ⊥ ⇔ 11 M T // n ⇔ 1 1 M T t.n = ⇔ x 2 3t y 5 2t zt −= −=− = − ⇔ x 3t 2 y 2t 5 zt = + = − + = − . Để (T) cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính r thì: R 2 = d 2 (T, (P2)) + r 2 ⇔ M1T 2 = d 2 (T, (P2)) + r 2 ⇔ 2 2 7t 14 21 14t 14 2 − = + ⇔ 4t 2 = (t − 2) 2 + 3 ⇔ 3t 2 + 4t − 7 = 0 ⇔ 1 2 t 1 t 7/ 3 = = − . Ta lần lượt có: Với t1 = 1 ta được tâm T1(5; 3; −1), suy ra mặt cầu: (T1): ( ) 1 11 T©m T 5; 3; 1 B¸n kÝnh R M T 14 − = = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 22 1 (T ) : x 5 y 3 z 1 14 − + − ++ =. Với 2 7 t 3 = − ta được tâm 2 15 29 7 T ; ; 3 33 − , suy ra mặt cầu: (T2): 2 12 15 29 7 T©m T ; ; 3 33 686 B¸n kÝnh R M T 9 − = = ⇔ 2 2 2 2 15 29 7 686 (T ) : x y z 3 3 39 + + − +− = . Vậy, tồn tại hai mặt cầu (T1) và (T2) thoả mãn điều kiện đầu bài. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 F Chú ý: Với ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) có chứa tham số chúng ta thường gặp thêm câu hỏi "Xác định giá trị của tham số để ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một vuông góc với nhau. Tìm điểm chung của cả ba mặt phẳng". Khi đó, chúng ta thực hiện theo các bước: Bíc 1: Tìm các vtpt P n , Q n , R n của các mặt phẳng (P), (Q), (R). Bíc 2: Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một vuông góc với nhau, điều kiện là: PQ PR RQ nn nn nn ⊥ ⊥ ⊥ ⇔ PQ PR RQ n .n 0 n .n 0 n .n 0 = = = . Bíc 3: Toạ độ điểm chung I của ba mặt phẳng (P), (Q), (R) là nghiệm hệ phương trình tạo bởi (P), (Q), (R). ThÝ dô 5. Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) có phương trình: (P): x + y + z – 6 = 0; (Q): x – 2y + z = 0; (R): kx + (m – 1)y – z + 2 = 0. a. Xác định giá trị m và k để ba mặt phẳng đó cùng đi qua m ột đường thẳng. b. Xác định giá trị m và k để ba mặt phẳng đó đôi một vuông góc với nhau. Tìm điểm chung của cả ba mặt phẳng. Giải a. Nhận xét rằng: 11 12 ≠ − nên hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến (d) có phương trình: (d): x y z6 0 x 2y z 0 + +− = − += ⇒ Hai điểm A(4; 2; 0) và B(0; 2; 4) thuộc (d). Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cùng đi qua một đường thẳng điều kiện là: (d) ∈ (R) ⇔ A ∈ (R) và B ∈ (R) ⇔ 4k 2(m 1) 2 0 2(m 1) 4 2 0 + − += − −+ = ⇔ 2k m 0 2m 4 += = ⇔ m2 k1 = = − . Vậy, với m = 2 và k = −1 ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cùng đi qua m ột đường thẳng. b. Gọi P n , Q n , R n theo thứ tự là vtpt của các mặt phẳng (P), (Q), (R), ta đư ợc: P n (1; 1; 1), Q n (1; -2; 1), R n (k; m - 1; -1). Để ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một vuông góc với nhau, điều kiện là: PQ PR RQ nn nn nn ⊥ ⊥ ⊥ ⇔ PQ PR RQ n .n 0 n .n 0 n .n 0 = = = ⇔ 12 1 0 k m 11 0 k 2(m 1) 1 0 − += + −− = − − −= ⇔ km 2 k 2m 1 += −= − ⇔ m = k = 1. Khi đó, toạ độ điểm chung I là nghiệm hệ phương trình: x y z6 0 x 2y z 0 xz 2 0 + +− = − += − + = ⇔ x1 y2 z3 = = = ⇒ I(1; 2; 3). Vậy, với m = k = 1 thì ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một vuông góc với nhau và có điểm chung là I(1; 2; 3). D¹ng to¸n 4: Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng Phương pháp Ta thực hiện theo các bước: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 Bíc 1: Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S). Xác định d = d(I, (P) Bíc 2: So sánh d với R để đưa ra kết luận: Nếu d > R ⇔ (P) ∩ (S) = ∅ (Hình 1 trang bên). Nếu d = R ⇔ (P) tiếp xúc với (S) tại H (Hình 2 trang bên). Nếu d < R ⇔ (P) ∩ (S) = (C) là một đường tròn nằm trong mặt phẳng (P) (Hình 3 trang bên). Và trong trường hợp này nếu: (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (P): Ax + By + Cz + D = 0, thì phương trình đường tròn (C) có phương trình: (C): 2 22 x y z 2ax 2by 2cz d 0 Ax By Cz D 0 + + − − − + = + + += . Hình 1 Hình 2 Hình 3 F Chú ý: 1. Trong phần này chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn tới các dạng toán: D¹ng 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và thỏa mãn điều kiện K cho trước. D¹ng 2: Viết phương trình mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K cho trư ớc. D¹ng 3: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện K cho trước. D¹ng 4: Viết phương trình mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện K cho trư ớc. 2. Trong trư ờng hợp mặt phẳng không cắt mặt cầu, cụ thể với mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) không cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) chúng ta thường gặp thêm các câu hỏi: 1. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và: a. Tiếp xúc với (S). b. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. c. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C)). 2. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài lớn nhất. 3. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). 4. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S). Ta lần lượt: Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", chúng ta thực hiện theo các bước: Bíc 1: Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có phương trình: I P H I P H I P H R Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 20 (Q): Ax + By + Cz + D = 0. Bíc 2: Với điều kiện K là: a. (Q) tiếp xúc với (S), suy ra: d(I, (Q)) = R ⇒ Giá trị của D ⇒ Phương trình (Q). b. (Q) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (Q)) ⇒ Giá trị của D ⇒ Phương trình (Q). c. (Q) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r, suy ra: 22 d(I, (Q)) R r = − ⇒ Giá trị của D ⇒ Phương trình (Q). Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P) và cắt (S) tại hai điểm B sao cho AB có độ dài lớn nhất", chúng ta thấy ngay đó là đường thẳng đi qua I và có vtcp n . Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", chúng ta thực hiện theo các bước: Bíc 1: Tìm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P). Bíc 2: Mặt cầu (S') có tâm I' và bán kính R. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S)", các em học sinh cần có thêm kiến thức về đường thẳng để trình bày theo các bước: Bíc 1: Gọi (T) là mặt cầu thoả mãn điều kiện đầu bài và giả sử (T) tiếp xúc với (S), (P) theo thứ tự tại M và H (H chính là hình chiếu vuông góc của I trên (P)), suy ra M, H, I thuộc (d) có phương trình cho bởi: Qua I (d) : vtcp n . Bíc 2: Tiếp điểm H của (T) với mặt phẳng (P) là giao điểm của (d) với (P). Bíc 3: Tiếp điểm M của (T) với mặt cầu (S) là giao điểm của (d) với (S). Bíc 4: Viết phương trình mặt cầu đường kính MH. ThÝ dô 1. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x − 3y + 2z − 3 = 0, ( ) ( ) ( ) 2 22 (S) : x 8 y 8 z 7 68 − + + +− = . a. Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). b. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). c. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. d. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r 51 = . e. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). f. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S). Giải a. Xét mặt cầu (S) có tâm I(8; −8; 7) và bán kính R 2 17 = , ta có: 2 22 2.8 3.( 8) 2.7 3 d(I, (P)) 3 17 2 17 2 ( 3) 2 − −+ − = = > +− + . Do dó, mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S). b. Gọi (Q) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết: (Q) song song với (P) nên có phương trình: (Q): 2x − 3y + 2z + D = 0. (1) (Q) tiếp xúc với (S), suy ra: d(I, (Q)) = R ⇔ 2 22 2.8 3( 8) 2.7 D 2 17 2 ( 3) 2 − −+ + = +− + ⇔ |D + 54 | = 34 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 21 ⇔ 1 2 D 20 D 88 = − = − . Khi đó: Với D1 = −20 thay vào (1), ta được (Q1): 2x − 3y + 2z − 20 = 0. Với D2 = −88 thay vào (1), ta được (Q2): 2x − 3y + 2z − 88 = 0. Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (Q1) và (Q2) thỏa mãn điều kiện đầu bài. c. Gọi (R) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết: (R) song song với (P) nên có phương trình: (R): 2x − 3y + 2z + D = 0. (R) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (R)) ⇔ 2.8 − 3(−8) + 2.7 + D = 0 ⇔ D = −54. Vậy, phương trình mặt phẳng (R) có dạng 2x − 3y + 2z − 54 = 0. d. Gọi ( α) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết: (α) song song với (P) nên có phương trình: (α): 2x − 3y + 2z + D = 0. (2) (α) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính r 51 = , suy ra: 22 d(I, ( )) R r α= − ⇔ 2 22 2.8 3( 8) 2.7 D 68 51 2 ( 3) 2 − −+ + = − +− + ⇔ D 54 17 += ⇔ 1 2 D 37 D 71 = − = − . Khi đó: Với D1 = −37 thay vào (2), ta được (α1): 2x − 3y + 2z − 37 = 0. Với D2 = −71 thay vào (2), ta được (α2): 2x − 3y + 2z − 71 = 0. Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (α1) và (α2) thỏa mãn điều kiện đầu bài. e. Mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) sẽ có bán kính R 2 17 = và tâm I’ là điểm đối xứng với I qua (P). Để xác định toạ độ điểm I’ ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Gọi H(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của I trên (P), suy ra: IH (P) H (P) ⊥ ∈ ⇔ P IH // n H (P) ∈ ⇔ P IH t.n (2; 3; 2) H (P) = − ∈ ⇔ x 8 2t y 8 3t z 7 2t 2x 3y 2z 3 0 − = + =− −= − + − = ⇔ x 2t 8 y 3t 8 z 2t 7 17t 51 0 = + = −− = + += ⇔ x2 y1 z1 t3 = = = = − ⇒ H(2; 1; 1) ⇒ I’( −4; 10; −5). Cách 2: Giả sử I’(x; y; z), suy ra: II' (P) H (P) víi H lµ trung ®iÓm cña II' ⊥ ∈ ⇔ P II'// n H (P) ∈ ⇔ P II' t.n H (P) = ∈ ⇔ x 8 2t y 8 3t z 7 2t x 8 y8 z 7 2. 3. 2. 3 0 22 2 − = + =− −= + − + − + − = ⇔ x 2t 8 y 3t 8 z 2t 7 17t 85 0 = + = −− = + + = ⇔ x4 y 10 z5 t6 = − = = − = − ⇒ H(2; 1; 1) ⇒ I’( −4; 10; −5). Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 22 Khi đó, phương trình mặt cầu (S’) cần dựng được cho bởi: (S’): T©m I'( 4; 10; 5) R 2 17 − − = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (S') : x 4 y 10 z 5 68 + + − ++ = . f. Gọi (T) là mặt cầu cần dựng và giả sử (T) tiếp xúc với (S), (P) theo thứ tự tại M và H, suy ra: (T) là mặt cầu đường kính MH. M, H, I thuộc (d) có phương trình cho bởi: Qua I(8; 8; 7) (d) : vtcp n(2; 3; 2) − − ⇔ x 8 2t (d) : y 8 3t , t z 7 2t = + =− − ∈ = + . Tiếp điểm H của (T) với mặt phẳng (P) là giao điểm của (d) với (P), suy ra: 2(8 + 2t) − 3(−8 − 3t) + 2(7 + 2t) − 3 = 0 ⇔ 17t + 51 = 0 ⇔ t = −3 ⇒ H(2; 1; 1). Tiếp điểm M của (T) với mặt cầu (S) là giao điểm của (d) với (S), suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 22 (S) : 8 2t 8 8 3t 8 7 2t 7 68 +− +− − + + +− = ⇔ 2 17t 68 t 2 = ⇔=± . Khi đó, ta lần lượt với: Với t = 2 ta được ( ) 1 M 12; 14; 11 − và mặt cầu đường kính M1H là: (T1): 11 1 13 T©m T 7; ; 6 lµ trung®iÓm M H 2 M H 425 B¸n kÝnh R 24 − = = ⇔ ( ) ( ) 2 22 1 13 425 (T ) : x 7 y z 6 24 − + + +− = . Với t = −2 ta được ( ) 2 M 4; 2; 3 − và mặt cầu đường kính M2H là: (T2): 22 2 1 T©m T 3; ; 2 lµ trung ®iÓm M H 2 MH 17 B¸n kÝnh R 24 − = = ⇔ ( ) ( ) 2 22 2 1 17 (T ) : x 3 y z 2 24 − + + +− = . Vậy, tồn tại hai mặt cầu (T1) và (T2) thỏa mãn điều kiện đầu bài. F Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) tiếp xúc với mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) tại điểm M chúng ta thường gặp thêm các câu hỏi: 1. Tìm tọa độ tiếp điểm M của (P) và (S). 2. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và: a. Tiếp xúc với (S). b. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. c. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C)). 3. Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt mặt cầu (S) tại điểm N sao cho MN có đ ộ dài lớn nhất. 4. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). Với yêu cầu "Tìm tọa độ tiếp điểm M của (P) và (S)", chúng ta thấy ngay M chính là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 23 Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) không cắt (S). Tuy nhiên, với yêu cầu (2.a) chúng ta còn có thể thực hiện như sau: Bíc 1: Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng tiếp xúc với (S) tại điểm N, suy ra N là đi ểm đối xứng với M qua I. Bíc 2: Phương trình mặt phẳng (Q) được cho bởi: Qua N (Q) : vtpt n . Với yêu cầu "Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt mặt cầu (S) tại điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất", chúng ta thấy ngay đường thẳng (d) đi qua hai điểm M và I. Với yêu cầu "Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P)", chúng ta thực hiện theo các bước: Bíc 1: Tìm toạ độ điểm I’ đối xứng với I qua (P), suy ra I' đối xứng với I qua M. Bíc 2: Mặt cầu (S') có tâm I' và bán kính R. ThÝ dô 2. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x − y + 2z − 5 = 0, ( ) ( ) 22 2 (S) : x 3 yz 49 − + +− = . a. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Tìm toạ độ tiếp điểm M của (P) và (S). b. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). c. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. d. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và chia (S) thành hai phần có tỉ số thể tích bằng 7 20 . e. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). Giải a. Xét mặt cầu (S) có tâm I(3; 0; 4) và bán kính R = 3, ta có: 2 22 2.3 2.4 5 d(I, (P)) 3 R 2 ( 1) 2 +− = = = +− + . Do dó, mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Toạ độ tiếp điểm M(x; y; z) chính là hình chiếu vuông góc của I trên (P), suy ra: IH (P) H (P) ⊥ ∈ ⇔ P IH // n H (P) ∈ ⇔ P IH t.n (2; 1; 2) H (P) = − ∈ ⇔ x 3 2t yt z 4 2t 2x y 2z 5 0 − = = − −= − + − = ⇔ x 2t 3 yt z 2t 4 9t 9 0 = + = − = + += ⇔ x 1 y1 z2 t1 = = = = − ⇒ M(1; 1; 2). Vậy, mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1; 1; 2). b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Gọi (Q) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết: (Q) song song với (P) nên có phương trình: (Q): 2x − y + 2z + D = 0. (Q) tiếp xúc với (S), suy ra: d(I, (Q)) = R ⇔ 2 22 2.3 2.4 D 3 2 ( 1) 2 ++ = +− + ⇔ |D + 14 | = 9 ⇔ 1 2 D 5(läai) D 23 = − = − . Khi đó, với D2 = −23 ta được (Q): 2x − y + 2z − 23 = 0. Cách 2: Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng tiếp xúc với (S) tại điểm N, suy ra N là điểm đối xứng với M qua I nên N(5; −1; 6). Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 24 Phương trình mặt phẳng (Q) được cho bởi: Qua N(5; 1; 6) (Q) : vtpt n(2; 1; 2) − − ⇔ (Q): 2x − y + 2z − 23 = 0. c. Gọi (R) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết: (R) song song với (P) nên có phương trình: (R): 2x − y + 2z + D = 0. (R) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (R)) ⇔ 2.3 + 2.4 + D = 0 ⇔ D = −14. Khi đó, với D = −14 ta được (R): 2x − y + 2z − 14 = 0. d. Trước tiên, trong mặt phẳng Oxy ta xét đường tròn (C) tâm O bán kính R = 3 và đường thẳng x = m (0 < m < 3) (hình bên). Gọi V là thể tích của mặt cầu có bán kính R = 3, ta có: 11 2 1 VV 7 20 V V V = = − ⇔ 7(V − V1) = 20V1 ⇔ 1 7 VV 27 = ⇔ 3 23 m 74 (9 x )dx . R 27 3 π− = π ∫ ⇔ 3 3 m x 28 9x 33 −= ⇔ ( ) 3 m 28 27 9 9m 33 −− − = ⇔ m 3 − 27m + 26 = 0 ⇔ (m − 1)(m 2 + m − 26) = 0 0 m3 m 1 << ⇔= . Từ đó, yêu cầu của bài toán được phát biểu lại dưới dạng "Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cách I một khoảng bằng 1", do đó ta lần lượt: (α) song song với (P) nên có phương trình: (α): 2x − y + 2z + D = 0. (2) (α) cách I một khoảng bằng 1, suy ra: d(I, ( )) 1 α= ⇔ 2 22 2.3 2.4 D 1 2 ( 1) 2 ++ = +− + ⇔ D 14 3 += ⇔ 1 2 D 11 D 17 = − = − . Khi đó: Với D1 = −11 thay vào (2), ta được mặt phẳng (α1): 2x − y + 2z − 11 = 0. Với D2 = −17 thay vào (2), ta được mặt phẳng (α2): 2x − y + 2z − 17 = 0. Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (α1) và (α2) thỏa mãn điều kiện đầu bài. e. Mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) sẽ có bán kính R = 3 và tâm I’ là điểm đối xứng với I qua (P), suy ra I' đối xứng với I qua M nên I’(−1; 2; 0). Khi đó, phương trình mặt cầu (S’) cần dựng được cho bởi: (S’): T©m I'( 1; 2; 0) B¸n kÝnh R 3 − = ⇔ ( ) 2 22 (S') : x 1 (y 2) z 9 + +− + = . F Chú ý: Trong trường mặt phẳng (P) (có vtpt n(A; B; C) ) cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kính R) theo thiết diện là đường tròn (C) chúng ta thường gặp thêm các câu hỏi: 1. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của (C). 2. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và: a. Tiếp xúc với (S). b. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. c. Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C’) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi, diện tích của (C’)). 3. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài lớn nhất. 4. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). 5. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S). Với yêu cầu "Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của (C)", chúng ta thực hiện theo các bước: −3 y x 3 m O V1 V2 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 25 Bíc 1: Bán kính rC của (C) được xác định bởi 2 C r R d(I, (P)) = − . Bíc 2: Toạ độ tâm của (C) chính là hình chiếu vuông góc M của I trên (P). Với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và thoả mãn điều kiện K", được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) không cắt (S). Tuy nhiên, với yêu cầu "Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính bằng (C)" chúng ta còn có thể thực hiện như sau: Bíc 1: Giả sử mặt phẳng (Q) cần dựng cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có tâm N, suy ra N là điểm đối xứng với M qua I. Bíc 2: Phương trình mặt phẳng (Q) được cho bởi: Qua N (Q) : vtpt n . Các yêu cầu còn lại được thực hiện tương tự như trong trường hợp (P) không cắt (S). ThÝ dô 3. Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): x + 2y + 3z − 10 = 0, ( ) ( ) 22 2 (S) : x 2 yz 256 − + ++ =. a. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Xác định toạ độ tâm M và tính bán kính r của (C). b. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). c. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn. d. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính bằng r. e. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P). f. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) và (S). Giải a. Xét mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; −2) và bán kính R 56 = , ta có: 2 22 2 3.( 2) 10 d(I, (P)) 14 56 12 3 + −− = = < + + . Do dó, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) lần lượt có: Bán kính r được xác định bởi: 2 r R d(I, (P)) 56 14 42 = − = −= . Toạ độ tâm M(x; y; z) của (C) chính là hình chiếu vuông góc của I trên (P), suy ra: IH (P) H (P) ⊥ ∈ ⇔ P IH // n H (P) ∈ ⇔ P IH t.n (1; 2; 3) H (P) = ∈ ⇔ x2 t y 2t z 2 3t x 2y 3z 10 0 −= = += + + −= ⇔ x t 2 y 2t z 3t 2 14t 14 0 = + = = − −= ⇔ x3 y2 z1 t1 = = = = ⇒ M(3; 2; 1). Vậy, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn (C) có bán kính r 42 = và tâm M(3; 2; 1). b. Gọi (Q) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết: (Q) song song với (P) nên có phương trình: (Q): x + 2y + 3z + D = 0. (1) (Q) tiếp xúc với (S), suy ra: d(I, (Q)) = R ⇔ 2 22 2 3.( 2) D 56 12 3 + −+ = + + ⇔ |D − 4| = 28 ⇔ 1 2 D 32 D 24 = = − . Khi đó: Với D1 = 12 thay vào (1), ta được (Q1): x + 2y + 3z + 32 = 0. Với D2 = −44 thay vào (1), ta được (Q2): x + 2y + 3z − 24 = 0. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 26 Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (Q1) và (Q2) thỏa mãn điều kiện đầu bài. c. Gọi (R) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết: (R) song song với (P) nên có phương trình: (R): x + 2y + 3z + D = 0. (R) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn, suy ra: I ∈ (R)) ⇔ 2 + 3( −2) + D = 0 ⇔ D = 4. Vậy, phương trình mặt phẳng (R) cần dựng có dạng x + 2y + 3z + 4 = 0. d. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Gọi (α) là mặt phẳng cần dựng, ta lần lượt sử dụng giả thiết: (α) song song với (P) nên có phương trình: (α): x + 2y + 3z + D = 0. (α) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính r 42 = , suy ra: 22 d(I, ( )) R r α= − ⇔ 2 22 2 3.( 2) D 56 42 12 3 + −+ = − + + ⇔ 1 2 D 10 (lo¹i) D 18 = − = . Khi đó, với D2 = 18 ta được (Q): x + 2y + 3z + 18 = 0. Cách 2: Giả sử mặt phẳng (α) cần dựng cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có tâm N, suy ra N là điểm đối xứng với M qua I nên N(1; −2; −5). Phương trình mặt phẳng (α) được cho bởi: Qua N(1; 2; 5) ( ): vtpt n(1; 2; 3) −− α ⇔ (α): x + 2y + 3z + 18 = 0. e. Mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (P) sẽ có bán kính R 56 = và tâm I’ là điểm đối xứng với I qua (P), suy ra I' đối xứng với I qua M nên I’(4; 4; 4). Khi đó, phương trình mặt cầu (S’) cần dựng được cho bởi : (S’): T©m I'(4; 4; 4) B¸n kÝnh R 56 = ⇔ ( ) 2 22 (S') : x 4 (y 4) (z 4) 56 − + − + − = . f. Gọi (T) là mặt cầu cần dựng và giả sử (T) tiếp xúc với (S), (P) theo thứ tự tại A và M, suy ra: (T) là mặt cầu đường kính MA. M, H, I thuộc (d) có phương trình cho bởi: Qua I(2; 0; 2) (d) : vtcp n(1; 2; 3) − ⇔ x 2t (d) : y 2t , t z 2 3t = + = ∈ =−+ . Tiếp điểm M của (T) với mặt phẳng (P) là giao điểm của (d) với (P), suy ra: (2 + t) + 2.2t + 3(3t − 2) − 10 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ M(3; 2; 1). Tiếp điểm A của (T) với mặt cầu (S) là giao điểm của (d) với (S), suy ra: ( ) ( ) 2 2 2 (S) : 2 t 2 (2t) 2 3t 2 56 + − + +− + + = ⇔ 2 14t 56 t 2 = ⇔=± . Khi đó, ta lần lượt với: Với t = 2 ta được ( ) 1 A 4; 4; 4 và mặt cầu đường kính M1H là: (T1): 11 1 75 T©m T ; 3; lµ trung®iÓm A M 22 7 B¸n kÝnh R T M 2 = = ⇔ 22 2 1 7 57 (T ) : x (y 3) z 2 22 − +− + − = . Với t = −2 ta được ( ) 2 A 0; 4; 8 −− và mặt cầu đường kính A2M là: Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 27 (T2): 2 2 2 37 T©m T ; 1; lµ trung ®iÓm A M 22 B¸n kÝnh R T M 63/ 2 −− = = ⇔ ( ) 22 2 2 3 7 63 (T ) : x y 1 z 2 22 − ++ + + = . Vậy, tồn tại hai mặt cầu (T1) và (T2) thỏa mãn điều kiện đầu bài. HƯỚNG DẪN GIẢI. Vấn đề 2. LAÄP PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG Bài 1 1. Ta coù ( ) ( ) ( ) 3;4;4 , 2;3;1 , 8;5;1 AB AC AB AC = − − = − − ⇒ =− − − Vì () P ñi qua ,, A BC neân () P nhaän ( ) , 8; 5; 1 n AB AC = =− − − laøm VTPT Vaäy phương trình () P laø: 8( 1) 5( 2) ( 3) 0 x yz − − − − − − = Hay : 8 5 21 0 x yz + + − =. 2. Goïi M laø trung ñieåm AC , ta coù: 15 2; ; 22 M Vì () P laø maët phaúng trung tröïc ñoaïn AC neân () P ñi qua M vaø nhaän ( ) 2;3;1 AC= − − laøm VTPT. Vaäy phương trình () P laø: ( ) 15 2 23 1 0 22 xy z −− − − − = Hay : 23 0 x yz − − =. 3. Ta coù ( ) ( ) 0;2; 1 , 12; 3; 6 MN AB MN = − ⇒ = − − − Vì () P ñi qua , MN vaø song song vôùi AB neân () P nhaän ( ) 1 , 4;1;2 3 n AB MN = −= laøm VTPT. Vaäy phương trình () P laø: 42( 1) 0 42 2 0 xy z xy z ++ − = ⇔ ++ − = . 4. Goïi 12 3 ,, AA A laàn löôït laø hình chieáu cuûa A leân caùc truïc ,, Ox Oy Oz Ta coù ( ) ( ) ( ) 12 3 1;0;0, 0;2;0, 0;0;3 AA A neân phương trình () P laø: 1 6 3 2 60 1 23 x yz x yz + + = ⇔ + + −= . Bài 2 Xeùt hai ñieåm B,C thuoäc giao tuyeán cuûa hai maët phaúng ( ),( ). αβ Khi ñoù toïa ñoä caùc ñieåm B,C thoûa maõn heä x y z 4 0 . 3x y z 1 0 − + − = − + − = Choïn y0 = thì 3 11 3 11 x ,z B ;0; . 2 2 22 = − =⇒ − Choïn z0 = thì 3 11 3 11 x ,y C ; ;0 . 2 2 22 = − = − ⇒ −− Maët phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa ( ),( ) αβ khi vaø chæ khi (P) qua hai ñieåm B,C. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 28 Chuù yù: Neáu choïn giaù trò cuûa x (hoaëc y,z) maø heä voâ nghieäm thì hai maët phaúng khoâng cuøng ñi qua ñieåm coù hoaønh ñoä (hoaëc tung ñoä, cao ñoä) ñoù. Chaúng haïn, trong baøi naøy, khoâng theå choïn 3 x 2 ≠− vì neáu tröø veá vôùi veá hai phöông trình treân, ta luoân coù 3 x. 2 = − 1. Maët phaúng (P) laø maët phaúng qua ba ñieåm A,B,C.Ta coù 5 7 11 11 11 AB ; 8; ,BC 0; ; AB,AC (23; 5;5). 2 2 22 4 − −− − − ⇒ = − − Phöông trình maët phaúng (P) laø 23(x 1) 5(y 8) 5(z 2) 0 23x 5y 5z 7 0. − − − + − = ⇔ − + += 2. Maët phaúng (P) vuoâng goùc vôùi (Q) neân (P) (Q) (P) n n , n BC ⊥⊥ do ñoù ta coù veùc tô phaùp tuyeán cuûa noù laø (P) (Q) 11 n n ,BC (7; 1;1). 2 = = −− Maët phaúng (P) caàn tìm laø 7x y z 5 0. − ++ = 3. Giaû söû veùc tô phaùp tuyeán cuûa (P) laø (P) n (A;B;C). Vì (P) qua B,C neân (P) n .BC 0 C B. =⇔= − Vaäy (P) n (A;B; B). − Ta coù 22 2 A.1 B.2 ( B).( 2) 1 cos , 33 A B ( B) .3 + +− − = ϕ= + +− do ñoù 22 2 2 2 3(A 2B ) 11(A 4B) 4A 44AB 85B 0 5 17 (2A 5B)(2A 17B) 0 A B, A B. 22 + = + ⇔+ + = ⇔ + + =⇒= − = − Neáu 5 AB 2 = − thì choïn B 2 A 5,C 2 =−⇒ = = neân (P): 10x 4y 4z 7 0. − + −= Neáu 17 AB 2 = − thì choïn B 2 A17,C2 =−⇒ = = neân (P): 34x 4y 4z 29 0. − ++ = Bài 3 1. Ta coù ( ) 1; 2;3 n = − laø VTPT cuûa () P Vì ( ) / /( ) P α neân ( ) 1; 2;3 n = − cuõng laø VTPT cuûa () α . Vaäy phương trình () α laø: 2 3 10 x yz − + +=. 2. Ta coù ( ) 1;1;1 a = laø VTPT cuûa () β , ( ) 3; 3; 4 AB= − − − . Suy ra ( ) , 1;1;0 a AB = − Vì () α ñi qua , AB vaø () ( ) αβ ⊥ neân () α nhaän ( ) , 1;1;0 n a AB = = − laøm VTPT Vaäy phương trình () α laø: 10 xy − −=. 3. Vì () α chöùa truïc Ox vaø vuoâng goùc vôùi () Q neân () α nhaän , n ai = laøm VTPT Trong ñoù ( ) 1;0;0, (2;3;1) ia = = − laø VTPT cuûa () Q neân ( ) 0;1;3 n = Vaäy phương trình () α laø: 30 yz += . 4. Caùch 1: Ta coù AB(16;6; 5),AC(10;0; 2) − − neân Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 29 AB, AC ( 12; 18; 60) 6(2;3;10) =−− − = − Do ñoù ( ) α laø maët phaúng ñi qua A(2;8;5) vaø coù veùc tô phaùp tuyeán n(2;3;10) neân coù phöông trình 2(x 2) 3(y 8) 10(z 5) 0 2x 3y 10z 78 0. −+ − + − = ⇔ + + − = Vaäy ( ): 2x 3y 10z 78 0. α + + − = Caùch 2: Goïi maët phaúng ( ) α caàn tìm coù phöông trình laø 2 22 Ax By Cz D 0, A B C 0. + + + = ++> Maët phaúng ( ) α qua ba ñieåm A(2;8;5),B(18;14;0),C(12;8;3) neân 2A 8B 5C D 0 18A 14B D 0 18A 14B D 0 16A 6B 5C 0 12A 8B 3C D 0 6A 6B 3C 0 + + += + += + += ⇔ + − = ++ + = +− = Töø ñoù ta tính ñöôïc C 5A,2B 3A,D 39A. = = = − Do 2 22 A BC 0 ++> neân choïn A2 = thì B 3;C 10,D 78, = = = − hay phöông trình maët phaúng caàn tìm laø ( ): 2x 3y 10z 78 0. α + + − = 5. Goïi I laø trung ñieåm cuûa EF, ta coù I(3;5;4),EF( 4;6; 6). −− Maët phaúng trung tröïc cuûa EF laø maët phaúng ñi qua I vaø coù veùc tô phaùp tuyeán EF( 4;6; 6), −− phöông trình cuûa ( ) α 4(x 3) 6(y 5) 6(z 4) 0 2x 3y 3z 3 0. − −+ −− − = ⇔ − + − = Vaäy ( ): 2x 3y 3z 3 0. α − + −= 6. Phöông trình maët phaúng (Oyz) laø (Oyz) x 0 n (1;0;0). = ⇒ Maët phaúng ( ) α song song vôùi maët phaúng (Oyz) neân cuõng coù veùc tô phaùp tuyeán (Oyz) n (1;0;0), neân phöông trình cuûa maët phaúng ( ) α laø 1.(x 2) 0.(y 3) 0.(z 5) 0 x 2 0. − + − + − = ⇔ −= Vaäy ( ): x 2 0. α −= 7. Ta coù ( ) () n (1;2; 5),n (2; 3; 1). βγ − − − Maët phaúng ( ) α vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng ( ),( ) βγ neân ( ) ( ) () n n ,n ( 17; 9; 7). α βγ = =− −− Phöông trình maët phaúng ( ) α caàn tìm laø 17(x 1) 9(y 3) 7(z 2) 0 17x 9y 7z 4 0. − − − + − − = ⇔ + + − = Vaäy ( ): 17x 9y 7z 4 0. α + + − = 8. Hình chieáu cuûa ñieåm H( 2;1;5) − leân caùc truïc Ox,Oy,Oz laàn löôït laø M( 2;0;0),N(0;1;0),P(0;0;5). − Phöông trình maët phaúng (MNP) laø x yz 1 5x 10y 2z 10 0. 21 5 + += ⇔ − − + = − Vaäy ( ): 5x 10y 2z 10 0. α − −+ = Bài 4 . 1. Ta coù (1;1;3) Q n = laø moät VTPT cuûa () Q . Vì () / /() PQ neân () P coù moät VTPT Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 30 (1;1;3) PQ nn = = . Vaäy () P coù phöông trình laø : 1( 1) 1( 2) 3( 1) 0 3 6 0 x y z xy z − + − + − = ⇔ + + −= . 2. Vì () P ñi qua ,, M NE neân [ , ] ( 1; 2;0) n MN NP = =− − laø moät VTPT cuûa . Vaäy phöông trình cuûa ( ): 2 0 Px y += . 3. Goïi I laø trung ñieåm cuûa 3 (0;1; ) 2 MN I ⇒ . Vì () P laø mp trung tröïc cuûa ñoaïn MN neân () P ñi qua vaø nhaän (0;0; 1) MN = − laøm VTPT. Vaäy phöông trình ( ): 2 3 0 Pz− =. 4. Toïa ñoä hình chieáu cuûa A leân caùc truïc toïa ñoä laø ( ) ( ) ( ) 12 3 1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3 AA A . AÙp duïng phöông trình ñoaïn chaén ta coù phöông trình cuûa mp(P) laø: 1 6 3 2 60 1 23 x yz x yz + + = ⇔ + + −= . 5. Vì () P ñi qua , BC vaø vuoâng goùc vôùi () R ( () R coù (1;1;1) R n = laø moät VTPT) Neân () P nhaän , (0;1;1) PR n BC n = = − laøm VTPT. Vaäy phöông trình ( ): 2 0 P yz − − =. 6. Ta coù (1;0;0), (0;1;1) nn αβ = = − laàn löôït laø VTPT cuûa ( ),( ) α β . Vì () P vuoâng goùc vôùi hai () α vaø () β neân , (0;1;1) P n nn αβ = = laø VTPT cuûa () P Vaäy phöông trình ( ): 5 0 P yz + − =. Bài 5 1. Giaû söû () α caét truïc Oz taïi ñieåm (0;0; ). Mt Ta coù ( 2;2;1), ( 3;0; ) AB AM t −− neân , (2 ;2 3;6). AB AM t t = − Vì theá 2 22 2 1 1 1 , (2 ) (2 3) 6 8 12 45 2 2 2 ABM S AB AM t t t t = = + −+ = −+ . Theo baøi ra 9 , 2 ABM S = neân 22 8 12 45 9 8 12 36 0, tt tt −+ =⇔ −− = hay 3 3; . 2 tt = = − • Vôùi 3 t = thì , (6;3;6) AB AM = neân phöông trình ( ) : 2 2 6 0. xy z α + + − = • Vôùi 3 2 t = − thì , ( 3; 6;6) AB AM =− − neân phöông trình ( ) : 2 2 3 0. x yz α + − − = 2. Giaû söû () α caét truïc Oy taïi ñieåm (0; ;0). Nt Ta coù ( 2;2;1), ( 1; 1;2), ( 3; ;0) AB AC AN t − − − − neân 11 , (5;3;4) , . 5 . 62 ABCN AB AC V AB AC AN t =⇒= =− Vì theá 1 5 12 5 24 29; 19. 2 t t tt −= ⇔ −= ⇒ = =− • Neáu 1 29 , (29;3;16) 2 t AC AN = ⇒ − = neân phöông trình ( ) : 29 3 16 87 0 xy z α + + − = • Neáu 1 19 , (19; 3;8) 2 t AC AN = − ⇒ = − neân phöông trình ( ) : 19 3 8 57 0. x yz α − +− = 3. Phöông trình maët phaúng ( ): 0 OBC x y −= vaø phöông trình maët phaúng () P ITµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 31 ( ) : 5 3 4 15 0. ABC x y z + + − = Vì () α ñi qua , BC vaø taâm maët caàu noäi tieáp töù dieän OABC neân () α caét caïnh OA vaø () M α ∈ thì ( ,( )) ( ,( )). d M OBC d M ABC = Goïi (; ; ) M x yz thì töø ñieàu kieän ( ,( )) ( ,( )) d M OBC d M ABC = suy ra hai maët phaúng chöùa M thoûa maõn laø 3 5 0,10 3 15 0. xy xy z + − = + − − = Maët phaúng 10 3 15 0 x yz + − − = caét OA taïi ñieåm 3 ;0;0 2 N naèm trong ñoaïn thaúng OA neân maët phaúng caàn tìm laø ( ) : 10 3 15 0. x yz α + − − = Bài 6 1. Vì maët phaúng () α chöùa Ox neân phöông trình () α coù daïng: 0 ay bz += vôùi 22 0 ab +≠ . Do () A α ∈ neân: 23 0 ab += , choïn 23 b a =−⇒ = . Vaäy phöông trình cuûa ( ): 3 2 0 yz α −= . 2. Caùch 1: Vì () α caùch ñeàu , CD neân ta coù hai tröôøng hôïp: TH1: / /( ) CD α , khi ñoù , AB CD n = laø VTPT cuûa () α Maø ( ) ( ) ( ) 3;1;4, 4;4;4 12;28;16 AB CD n =− − =−− ⇒ =− Tröôøng hôïp naøy ta coù phöông trình cuûa () α laø: 3 7 4 23 0 x yz − −+ = TH 2: { } () CD I α ∩=, khi ñoù ta coù ñöôïc I laø trung ñieåm cuûa CD, suy ra ( ) 2; 1;3 I − − Maët phaúng () α ñi qua ,, A BI . Ta coù ( ) ( ) ( ) 3; 3;0 , 0; 4;4 , 12;12;12 AI BI AI BI = − − = − ⇒ = − Tröôøng hôïp naøy ta coù phương trình cuûa () α laø: 40 x yz − − + =. Caùch 2: Vì () α ñi qua A neân phương trình cuûa () α coù daïng: ( 1) ( 2) ( 3) 0 2 3 0 a x b y c z ax by cz a b c − + − + − =⇔ ++ − −− = (*) Do () B α ∈ neân 3 4 0 34 ab c b a c − + − = ⇒ = + (1) Maët khaùc: ( ) ( ) ,( ) ,( ) dC d D α α = neân ta coù: 2 22 2 22 2 5 52 ab c a b c a bc a bc −− − − − + = ++ ++ 2 5 52 4 3 0 2 5 52 0 ab c a b c a c a bc a bc a c + + = + − + = ⇔⇔ + + =− − + + = • 4 3 0 ac + = ta choïn 4 3, 7 c ab =−⇒ = =− , suy ra phöông trình () α laø: 3 7 4 23 0 x yz − −+ = . • 0 ac += ta choïn 1 1, 1 c ab =−⇒ = =− , suy ra phương trình cuûa () α laø: 40 x yz − − + =. Bài 7 1. Vì () α ñi qua A neân phương trình cuûa () α coù daïng: ( 1) ( 1) ( 1) 0 (1) a x b y cz + + − + − = Do () B α ∈ neân ta coù: 4 04 a bc b a c − + = ⇒ = + Maët khaùc ( ) 2 22 2 22 2 3 24 ,( ) 2 2 2 (4 ) ab c a c dC a b c a ac c α − − + = ⇔= ⇔ = ++ + + + Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 32 22 2 2 2 ( 2 ) 17 8 2 8 2 0 2 , 4 a c a ac c a ac c c a c a ⇔ + = ++ ⇔ +− =⇔ = − = • 2 ca = − ta choïn 1 2, 2 a cb =⇒=− = neân phương trình ( ): 2 2 1 0 x yz α + − += • 4 ca = ta choïn 1 4, 8 a cb = ⇒= = neân phương trình ( ) : 8 4 11 0 x yz α + + − = . 2. Ta coù (; ; ) M x yz laø moät ñieåm baát kì thuoäc () α khi vaø chæ khi ( ) ( ) 2 21 2 2 4 ,( ) ,( ) 33 x yz x yz dM P dM Q + +− − +− =⇔= 2 2 1 2 2 4 3 30 2 2 1 2 24 3 45 0 x yz x yz x y x y z x y z xy z + +− =− +− + + = ⇔⇔ + + − =− + − + − + − = Vaäy coù hai maët phaúng thoûa yeâu caàu baøi toaùn: 1 ( ): 3 3 0 xy α + += vaø 2 ( ): 3 4 5 0 xy z α − + − =. 3. Goïi , EF laø hai ñieåm naèm treân giao tuyeán cuûa hai maët phaúng () P vaø () Q . Khi ñoù toïa ñoä cuûa , EF laø nghieäm cuûa heä : 2 2 10 2 2 40 xy z x yz + + −= − + −= (*) Cho 0 x = , töø (*) ta coù ( ) 1, 1 0; 1;1 yz E = − =⇒ − Cho 6 x = , töø (*) ta coù ( ) 3, 4 6;3;4 yz F =− =−⇒ − − Suy ra ( ) 6; 2; 5 EF= − − . Vì () α ñi qua , EF vaø vuoâng goùc vôùi () β neân () α nhaän , n EF a = laøm VTPT Trong ñoù ( ) 3;2; 1 a = − laø VTPT cuûa () β neân ( ) 12; 9;18 n = − Vaäy phương trình cuûa ( ): 4 3 6 9 0 x yz α − + − =. Bài 8 1. Vì () / /() () : 2 3 6 0 P Q P x y zD ⇒ − − += . Maø 22 2 || ( ,( )) 5 5 35 2 36 D dO P D =⇒ =⇔= ± ++ . Vaäy phöông trình ( ) : 2 3 6 35 0 P x yz − −± = . 2. Giaû söû ( ): 0 P ax by cz d + + + = . Ta coù (2; 1;0), (5;1;1) AB − laø ñieåm chung cuûa () α vaø () β Vì () P ñi qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng () α vaø () β neân , () AB P ∈ neân ta coù: 20 2 5 0 72 a bd b a d ab cd c a d − + = = + ⇔ + ++ = =− − Maët khaùc: ( ) 2 22 1 2 77 ,( ) 63 63 cd dM P a bc + =⇒= ++ 2 22 2 2 22 7 2 27( 2 ) 49( ) 33 c d a bc c d a bc ⇔ + = ++ ⇔ + = ++ 22 2 2 27.49 49 (2 ) (7 2 ) a a ad a d ⇔ = + + ++ 22 27 32 5 0 5 27 ad a ad d ad = − ⇔ + +=⇔ = − . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 33 • ;5 d a b ac a =− ⇒ = =− Suy ra phương trình ( ): 5 0 5 1 0 P ax ay az a x y z + − − = ⇔ + − −= . • 27 17 36 ; 5 55 d a b ac a =− ⇒=− =− . Suy ra phương trình ( ) : 5 17 36 27 0 Px y z − − −= . Bài 9 1. Maët phaúng () α qua (1;0;2) A neân coù phöông trình daïng: 2 22 ( 1) ( 2) 0, 0. A x By C z A B C − + + − = + + > Vì () α qua (2; 3;3) B − neân 3 0 3. A B C A BC − + = ⇔ = − Veùc tô phaùp tuyeán cuûa () α laø (3 , , ), n B C BC α = − cuûa () β laø (4,1,1), n β = neân 0 2 22 4(3 ) cos60 cos( , ) . (3 ) . 18 BC B C nn BC B C αβ − + + = = − ++ Suy ra ( ) 22 2 22 4(3 ) 1 9 5 3 (13 3 ) 2 65 3 BC B C B BC C B C B BC C − + + = ⇔ − + = − −+ 2 51 124 51 0 0; . 124 B BC B B C ⇔ − = ⇔= = • Neáu 0 B = thì choïn 11 CA =−⇒ = neân ( ): 1 0 ga x z − + =. • Neáu 51 124 BC = thì choïn 124 29 CA = ⇒= neân maët phaúng caàn tìm laø : ( ) :29 51 124 277 0. xy z α ++ − = Vaäy coù hai maët phaúng thoûa maõn laø: ( ) :29 51 124 277 0; ( ) : 1 0. x y z xz αα + + − = − + = 2. Maët phaúng () α qua (2; 3;5) C − neân coù phöông trình daïng 2 22 ( 2) ( 3) ( 5) 0, 0. Ax B y C z A B C −+ ++ − = + + > Vì () ( ) P α ⊥ neân 5 0 5 (1). A BC A B C − −= ⇔ = + Vì goùc giöõa () α vaø () Q laø 0 45 neân 2 22 22 1 (2). 2 .3 A BC A BC ++ = ++ Theá (1) vaøo (2) ta coù 2 22 4 1 , 2 (5 ) BC BC B C + = + ++ hay 2 2 22 2 0 2(4 ) (5 ) 0 B BC BC B C B BC BC = + = + ++ ⇔ + =⇔ = − Neáu 0 B = thì coù phöông trình ( ) : 7 0. xz α + − = Neáu thì coù phöông trình ( ) : 4 0. x yz α + − = Bài 10 (P):2x y 2z 3 0 + − −=vaø A(1;2; 1), − B(0;1;2),C( 1; 1;0). − − 1. 2x 3 M Ox M(x;0;0),d(M,(P)) 3. 3 − ∈⇒ = = Caùc ñieåm caàn tìm M(6;0;0) hoaëc M( 3;0;0). − 2. N Oy N(0;y;0). ∈⇒ Vì d(N,(P)) NA = neân 2 22 y3 1 (2 y) ( 1) 3 − = + − + − ⇔ 2 8y 30y 45 0. − += BC = −Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 34 Khoâng toàn taïi ñieåm N thoûa maõn. 3. Goïi K(x; y;z) ta coù heä 2 22 K (P) 2x y 2z 3 0 KB KC 2x 4y 4z 3 39 KA (x 1) (y 2) (z 1) 24 ∈ + − −= = ⇔ + += = − + − + + = Giaûi heä ta tìm ñöôïc 1 52 1 K ;2; 1 , K ; ; . 2 63 3 −− − 4. Töø HA HB HC = = vôùi H(x;y;z) ta coù heä phöông trình 2x y 2z 3 0 13 2 1 2x4y4z 3 H ; ; . 6 33 2x 2y 6z 1 + − −= + += ⇒ − + −= Bài 11 1. Xeùt heä phöông trình: 3 10 2 3 10 xy z x yz + − += + + −= * Cho 1 6, 4 (6; 4;1) ( ) ( ) z x y A QR = ⇒ = =−⇒ − ∈ ∩ . * Cho 0 4, 3 ( 4;3;0) ( ) ( ) z x y B QR =⇒ =− =⇒ − ∈ ∩ . Ba maët phaúng ñaõ cho cuøng ñi qua moät ñöôøng thaúng , () AB P ⇔∈ 4 42 36 4 mn m mn − +=− = ⇔⇔ = = laø giaù trò caàn tìm. Ta coù: ( ) 1;2;4 n = laø VTPT cuûa () P Vì () α ñi qua A neân phöông trình cuûa () α coù daïng: ( 6) ( 4) ( 1) 0 a x b y c z − + + + −= Do () B α ∈ neân ta coù: 10 7 c ab = − + . Suy ra ( ) ; ; 10 7 v ab a b = − + laø VTPT cuûa () α Neân theo giaû thieát ta coù: 22 2 . 39 30 cos . 21. (7 10 ) nv ab nv ab b a ϕ − + = = ++ − Suy ra 22 2 39 30 23 23 cos 679 679 21. (7 10 ) ab ab b a ϕ − + = ⇔= ++ − ( ) 22 97 39 30 23 3 101 50 140 a b a b ab ⇔ −= + − ( ) ( ) 2 22 2 3.97 13 10 23 101 140 50 a b a ab b ⇔ −= − + 22 53 85 32 53 0 , 85 a ab b a b a b ⇔ + − =⇔=− = • a b = − ta choïn 1 1, 17 b ac =−⇒ = =− . Phöông trình ( ) : 17 7 0 xy z α −− + = • 53 85 ab = ta choïn 85 53, 65 b ac = ⇒= = . Phöông trình ( ) : 53 85 65 43 0 x yz α + + −= . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 35 2. a) Ta coù: 11 3 (1;1;1), (2;3;4), (1;2;2) nn n α α α = = = − laàn löôït laø VTPT cuûa ba maët phaúng 1 2 3 ( ),( ),( ) αα α . Vì 1 11 1 () 2 34 α ≠≠ ⇒ vaø 2 ( ) α caét nhau. Töông töï ta cuõng chöùng minh ñöôïc hai maët phaúng 1 () α vaø 3 () α caét nhau. b) Xeùt heä phöông trình : 30 2 3 4 10 x yz x yz + + − = + + −= (1) • Cho 12 3 8 0 (1) (8; 5;0) ( ) ( ) 23 1 5 xy x zB xy y α α += = =⇒⇔ ⇔ ⇒ − ∈ ∩ + = = − • Cho 12 1 9; 7 (9; 7;1) ( ) ( ) z xy C α α = ⇒ = =−⇒ − ∈ ∩ Vì () P ñi qua A vaø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 1 () α vaø 2 ( ) α neân () ( ) P ABC ≡ . Töø ñoù ta laäp ñöôïc phöông trình cuûa ( ) : 7 8 9 16 0 P x yz + +− = . c) Vì () Q ñi qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 1 () α vaø 2 ( ) α neân () Q ñi qua hai ñieåm , BC . Maët khaùc: 3 () ( ) Q α ⊥ neân ( ) 3 , 2; 1;0 n BC n α = =− − laø VTPT cuûa () Q . Vaäy phöông trình ( ) : 2 11 0 Q xy +− =. 3. a) Hai maët phaúng (P) vaø (Q) truøng nhau khi vaø chæ khi 4a a5 a 22 4a a5 a a 23 22 22 a5 a a 2 3 b5 9 b5 3 b5 − −− = = − −− == = ⇔⇔ −− −= = = = Vaäy khoâng toàn taïi a,b ñeå hai maët phaúng truøng nhau. Hai maët phaúng (P) vaø (Q) song song khi 4a a5 a a , 2 3 b5 − −− = = ≠ giaûi ra ta coù 22 a 22,b . 9 = = − Hai maët phaúng caét nhau khi chuùng khoâng song song, khoâng truøng nhau neân (P) vaø (Q) caét nhau vôùi moïi giaù trò a,b tröø 22 a 22,b . 9 = = − b) Neáu a0 = thì c 0 = neân thay vaøo thaáy khoâng thoûa maõn. Neáu c 0 = hoaëc ca 0 − = thì a0 = vaø cuõng khoâng thoûa maõn. Xeùt a 0,c 0,a c ≠≠ ≠ thì hai maët phaúng (P) vaø (Q) song song khi vaø chæ khi 4a a5 a a . 3 c a(c a) c − −− = = ≠ − Do ñoù: 4a a5 1 4a a5 1 4a a 6 3 c ca 3 c c a 3 a − −− − −− − − −− = = ⇒= ⇒= − − + Hay 2 a 7a 18 0 a 9;a 2. − − =⇒= = − Vôùi a9 = thì 42 c 5 = vaø vôùi a2 = − thì 3 c 2 = − . Vaäy caùc caëp soá caàn tìm laø 42 3 (a;c) 9; , 2; . 52 = −− c) Maët phaúng (P) qua ñieåm A(1;3;2) neân Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 36 4 a 3(a 5) 2a a 0 a 11. −− + + + =⇔ =− Vì (P) vuoâng goùc vôùi (R) neân 3(4 a) (a 5).c a.a(c a) 0, −−+ + − = hay 1376 45 6c 121(c 11) 0 c . 127 + + + =⇔=− Vaäy giaù trò caàn tìm cuûa a,c laø 1376 (a;c) 11; . 127 =−− Bài 12 Ta kí hieäu () n α ñeå chæ VTPT cuûa maët phaúng () α . 1. Ta coù () ( 1; 5;3), (2; 1; 1) P AB n − − − − neân () , (8;5;11). P AB n = Maët phaúng () α qua , AB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng () P neân () () ( ) () ( ) , , (8;5;11). P P n AB n n n AB n αα α ⊥ ⊥ ⇒= = Phöông trình maët phaúng () α caàn tìm: 8 5 11 7 0. xy z + + − = 2. Goïi (; ; ) M x yz laø moät ñieåm baát kyø thuoäc maët phaúng () α . Ta coù 22 2 22 2 2 22 2 2 3 ( ,( )) ( ,( )) 1 2( 2) 22 1 xy z xy z dM dM βγ + − + + + + =⇔= ++− ++ 2 2 22 2 3 2 2 22 2 3 2 22 2 2 3 xy z xy z xy z xy z x y z x yz + − + = + + + ⇔ + − + = + + + ⇔ + − + =− − − − 3 10 3 4 50 xz x yz + += ⇔ + − + = . Vaäy coù hai maët phaúng () α caàn tìm laø ( ): 3 1 0 xz α + += hoaëc ( ) : 3 4 5 0. x yz α + − + = 3. Maët phaúng () α ñi qua ñieåm ( 1;0;2) C − neân coù phöông trình daïng 2 22 ( 1) ( 2) 0, 0. a x by c z a b c + + + − = + + > Vì () α qua (1; 2;3) D − neân 2 2 0 2 2 (1). a bc c b a − += ⇒ = − Ta coù ( ,( )) 2 dO α = neân 2 22 2 2 (2). ac a bc − = ++ Theá vaøo roài bình phöông, ruùt goïn ta thu ñöôïc 22 2 5 84 0 2 5 ab a ab b ab = − − =⇔ = − Do 2 22 0 a bc ++ > neân • Vôùi 2 ab = thì choïn 1 2, 2, b ac =⇒= =− do ñoù phöông trình() α : 2 2 6 0. xy z +− + = • Vôùi 2 5 ab = − thì choïn 5 2, 14, b ac =−⇒ = =− do ñoù phöông trình maët phaúng () α laø 2 5 14 30 0. xy z −− + = Vaäy coù hai maët phaúng thoûa maõn 2 2 6 0, 2 5 14 30 0. xy z x y z +− + = − − + = 4. Maët phaúng () α qua (0;1;1) E coù phöông trình daïng: 2 22 ( 1) ( 1) 0, 0. Ax B y C z A B C + − + − = + + > (1) (2)Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 37 Theo baøi ra 11 ( ,( )) 2; ( ,( )) 7 d A dB αα = = neân 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 (1) 4 11 2 14 4 (2) 11 7 AB C AB C A B C A BC BC A B C BC A BC + − = + − = + + ++ ⇔ −+ + − = − + = ++ Töø ta coù 67 36 11( 2 ) 14( 4 ) 11 11( 2 ) 14(4 ) 45 8 11 BC A A B C BC A B C BC B C A −+ = + − = − + ⇔ + − = − + = • Vôùi 67 36 , 11 BC A −+ = thay vaøo (1) ta coù phöông trình 22 22 2 2 56 14 67 36 4 3826 4432 1368 0 (3) 11 11 BC B C B C B BC C −+ − + = ++ ⇔ − + = Phöông trình chæ coù nghieäm 0, BC = = khi ñoù 0 A = (khoâng thoûa maõn ñieàu kieän 2 22 0 A BC ++ > ) • Vôùi 45 8 , 11 BC A + = thay vaøo ta coù phöông trình 22 22 2 2 56 14 45 8 4 1362 1112 136 0 11 11 B C BC B C B BC C − + = ++ ⇔ + + = 2 34 ,. 3 227 B CB C ⇔= − = − • Vôùi 2 3 BC = − thì choïn 3 2, 6 C BA =−⇒ = = phöông trình ( ) : 6 2 3 1 0. x yz α + − += • Vôùi 34 227 B C = − thì choïn 227 34, 26 C BA = ⇒=− = phöông trình () α laø 26 34 227 193 0. xy z − + −= Vaäy coù hai maët phaúng caàn tìm laø: 6 2 3 1 0, 26 34 227 193 0. x yz x y z + − += − + − = 5. ( ) α qua A(1;2;3) neân coù phöông trình daïng 2 22 A(x 1) B(y 2) C(z 3) 0, A B C 0. − + − + − = ++> ( ) α qua B(5; 2;3) − neân B A. = Vì 0 (( ),( )) 45 α β= neân 22 5A C 3 2A C , −= + suy ra 22 4 7A 10AC 8C 0 A 2C, A C. 7 − − =⇒= = − Töø ñoù tìm ñöôïc hai maët phaúng thoûa maõn ( ): 2x2yz 9 0, ( ): 4x4y 7z 9 0. α + +− = α + − + = 6. ( ) α qua C(1; 1;1) − neân coù phöông trình daïng 2 22 A(x 1) B(y 1) C(z 1) 0, A B C 0. − + + + − = ++> Vì 0 (( ),( )) 60 α γ= neân 2 22 2 A B 2(A B C ). −= + + Vì 2 d(O,( )) 3 α= neân 2 22 3 A B C 2(A B C ). −+ − = + + (2) (3) (1)Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 38 Suy ra 2 A B 3 A B C. − = −+ − Do ñoù coù hai tröôøng hôïp Vôùi 5(B A) C 3 − = thì 2 2 22 BA 2(A B) A B 25 3 − − = ++ neân 22 8A 7AB 8B 0 A B 0 − + = ⇒= = (loaïi) Vôùi BA C 3 − = thì 2 2 22 BA 2(A B) A B 3 − − = ++ neân 22 1 4A 17AB 4B 0 A 4B, A B 4 − + = ⇒= = Töø ñoù ta coù hai maët phaúng thoûa maõn 4x y z 2 0; x 4y z 2 0. + − − = + + + = Bài 13 1. Goïi M ( ),M(x,y,z). ∈α Töø 12 d(M,( )) d(M,( )) α = α suy ra phöông trình maët phaúng caàn tìm ( ): 5x 2y 7z 34 0. α + ++ = 2. ( ) α song song vôùi 3 ( ): 6x 3y 2z 1 0 α − − += neân ( ): 6x 3y 2z D 0 (D 1). α − − += ≠ 2D d(A,( )) 1 1 D 5; D 9. 7 + α=⇔ =⇒ = =− Coù hai maët phaúng thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn ( ): 6x 3y 2z 5 0, ( ): 6x 3y 2z 9 0. α − − += α − − −= 3. ( ) α qua B( 5;0; 3) −− neân coù phöông trình daïng 2 22 A(x 5) By C(z 3) 0, A B C 0. + + + + = ++> ( ) α qua C(2; 5;0) − neân 7A 3C B . 5 + = Ta coù d(M,( )) d(N,( )) 6A 2B 3C 4A 4B 5C. α= α⇔ − − = − + Giaûi ra ta coù hai maët phaúng thoûa maõn ( ): x 2y z 8 0, ( ): 17x 31y 12z 121 0. α + ++ = α + + + = 4. ( ) α qua D(1; 3;1) − neân coù phöông trình daïng 2 22 A(x 1) B(y 3) C(z 1) 0, A B C 0. − + + + − = ++> ( ) α vuoâng goùc vôùi maët phaúng 3x 2y 2z 4 0 − + + = neân 2C 2B 3A. = − Ta coù 2 22 4A 5B 2C d(E,( )) 3 3. A BC ++ α= ⇔ = ++ Suy ra 2 2 22 2B 3A (A 7B) 9 A B , 2 − + = ++ töùc laø 22 62 113A 164AB 124B 0 A 2B; A B. 113 − − =⇒= = − Coù hai maët phaúng thoûa maõn laø ( ): 2x y 2z 3 0, ( ): 62x 113y 206z 195 0. α + − += α − − − = 5. ( ) α qua F(4;2;1) neân coù phöông trình daïng 2 22 A(x 4) B(y 2) C(z 1) 0, A B C 0. − + − + − = ++> Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 39 Vì 7 d(I,( )) ,d(J,( )) 1 3 α= α= neân ta coù heä 2 22 2 22 2 22 3A 3B C 7 3 3A 3B C 7 A 2B 3 A BC A 2B A 2B A B C 1 A BC − − + = − − + = −+ ++ ⇔ −+ −+ = + + = ++ Coù hai tröôøng hôïp Vôùi 16A 5B C 3 − = thì 22 11 256A 124AB 2B 0 A B; A B. 2 64 − − =⇒= = − Suy ra caùc maët phaúng thoûa maõn ( ): x 2y 2z 10 0, ( ): x 64y 112z 12 0. α + +− = α − + + = Vôùi 2A 23B C 3 + = thì 22 32 3 58 32 3 58 2A 64AB 251B 0 A B; A B. 22 − − − + + + = ⇒= = Suy ra caùc maët phaúng thoûa maõn ( ):( 32 3 58)x 2y (6 2 58)z 130 14 58 0 ( ): ( 32 3 58)x 2y (6 2 58)z 130 14 58 0 α − − + −+ + + = α − + + −− + − = Vaäy coù boán maët phaúng thoûa maõn. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 115. Chọn D. Câu 116. Chọn D. Câu 117. Ta cần chú ý ● Khi 0 D thì đi qua gốc tọa độ. ● Nếu 0 0 BC AD thì chứa trục Ox . Chọn B. Câu 118. Ta có P song song với Q nên có dạng: :2 5 0 P xy z D với 0. D Lại có P qua 1;2; 3 E nên thay tọa độ điểm E vào phương trình của P , ta được 15 D . Vậy : 2 5 15 0 P xy z . Chọn C. Câu 119. Mặt phẳng P đi qua 0;1;1 A và nhận 1;1;2 AB làm một VTPT nên có phương trình : 2 3 0. Px y z Chọn A. Câu 120. Mặt phẳng P đi qua 1;1;1 G và nhận 1;1;1 OG làm một VTPT nên có phương trình : 3 0. Px y z Chọn A. Câu 121. Mặt phẳng cần tìm đi qua 2;1; 1 A và nhận 1;2;5 BC làm một VTPT nên có phương trình 2 5 50 x yz . Chọn C. Câu 122. Tọa độ trung điểm của AB là 9 1 ;5; 2 2 M . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 40 Mặt phẳng cần tìm đi qua 9 1 ;5; 2 2 M và nhận 1;8;5 AB làm một VTPT nên có phương trình 8 5 47 0 x yz . Chọn D. Câu 123. Do đối xứng với qua I nên . Suy ra : 4 3 7 0 x y zD với 3 D . Chọn 0;1;0 M , suy ra tọa độ điểm N đối xứng với M qua I là 2; 3;2 N . Rõ ràng 2; 3;4 N nên thay tọa độ vào phương trình , ta được 11 D . Vậy phương trình mặt phẳng : 4 3 7 11 0 x yz . Chọn B. Câu 124. Ta có 1;0; 3 AB và 1;1;0 AC . Suy ra , 3;3;1 AB AC . Mặt phẳng cần tìm đi qua 3; 1;2 A và nhận , 3;3;1 AB AC làm một VTPT nên có phương trình 3 3 80 x yz . Chọn B. Câu 125. Mặt phẳng chứa trục Oz nên phương trình có dạng 0 Ax By với 2 2 0. AB Lại có đi qua 2; 3;5 P nên 2 3 0 AB . Chọn 23 BA . Vậy phương trình mặt phẳng : 3 2 0 xy . Chọn C. Câu 126. Ta có 1;1; 4 MN , trục Oy có VTCP 0;1;0 j . Suy ra , 4;0; 1 MN j . Mặt phẳng đi qua 1; 1;5 M và nhận , 4;0; 1 MN j làm một VTPT nên có phương trình : 4 1 0 xz . Chọn A. Câu 127. Ta có , 10;4;6 1. 10; 4; 6 ab . Mặt phẳng đi qua 0;0; 1 M và nhận , 10;4;6 ab làm một VTPT nên có phương trình : 10 4 6 6 0 x y z . Chọn A. Câu 128. Mặt phẳng P có VTPT 2;0; 1 P n và Q có VTPT 0;1;0 Q n . Ta có , 1;0;2 PQ nn . Mặt phẳng đi qua 2; 1;1 A và nhận , 1;0;2 PQ nn làm một VTPT nên có phương trình : 2 40 xz . Chọn B. Câu 129. Ta có 1; 1;4 PQ , mặt phẳng P có VTPT 3;2; 1 P n . Suy ra , 7;11;1 P PQ n . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 41 Mặt phẳng đi qua 2;0; 1 P và nhận , 7;11;1 P PQ n làm một VTPT nên có phương trình : 7 11 15 0 x yz . Chọn C. Câu 130. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là : 1 x yz ab c . Mà 8;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;4 MN P thuộc nên : 1 4 2 80 82 4 xy z x yz . Chọn D. Câu 131. Từ giả thiết, ta có 4;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;2 M N P . Phương trình mặt phẳng MNP theo đoạn chắn là: 1 3 4 6 12 0 43 2 xy z x yz . Chọn B. Câu 132. Ta có 0;0;2 P Oz M . Mặt phẳng Oxy có VTPT 0;0;1 k . Mặt phẳng cần tìm P đi qua 0;0;2 M và nhận 0;0;1 k làm một VTPT nên có phương trình : 2 0 Pz . Chọn A. Câu 133. Do ;0;0 A Ox A a . Tương tự 0; ;0 Bb và 0;0; C c . Suy ra tọa độ trọng tâm tam giác ABC là ;; 3 33 ab c G . Kết hợp với giả thiết, ta được 3; 6; 9. a b c Vậy phương trình m ặt phẳng : 1 3 69 x yz hay : 6 3 2 18 0. x y z Chọn C. Câu 134. Vì , , A Ox B Oy C Oz nên có dạng 1 x yz ab c . Vì 2 1 1 2;1;1 1 2 H bc ab ac abc a b c . Và H là trực tâm của tam giác .0 0 20 . 0 AH BC c b ABC ca BH AC . Từ đó, ta được 3, 6 a b c . Do đó phương trình m ặt phẳng : 1 3 66 x yz hay :2 6 0 x yz . Chọn A. Câu 135. Ta có 0;3; 6 2;0; 6 AB AC , suy ra , 18;12;6 AB AC là một VTPT của mp ABC . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 42 Do SBH ABC nên mặt phẳng SBH có một VTPT là , , 6; 30;42 AB AC SB . Vậy mặt phẳng SBH đi qua điểm 0;3;0 B và có một VTPT , , 6; 30;42 AB AC SB nên có phương trình 5 7 15 0 x yz . Chọn A. Câu 136. Ta có 2 22 3.1 4. 2 2.3 4 5 , 29 3 4 2 dA P . Chọn C. Câu 137. Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên . Do đó , AH d A . Mà 22 2 16.2 12. 1 15. 1 4 11 , 5 16 12 15 dA . Chọn B. Câu 138. Ta có 2;2; 1 AB và 0; 1;1 BC nên ; 1;2;2 AB BC . Suy ra phương trình mặt phẳng : 2 2 9 0. ABC x y z Khi đó 222 9 ,3 12 2 d O ABC . Chọn B. Câu 139. Ta có 2 22 : 2 22 0 Sx y z x y z hay 2 22 : 1 1 1 25 S x y z . Suy ra mặt cầu S có tâm 1;1;1 I . Khoảng cách cần tìm là: 2 2 2 3.1 2.1 6.1 14 , 3 3 2 6 dI P . Chọn C. Câu 140. Bán kính của S là: 22 2 2.2 2.1 1 1 3 4 , 3 22 1 R dI . Chọn C. Câu 141. Ta có 3,0,1 4, 1,2 BC BD . Suy ra mặt phẳng BCD có một VTPT là , 1,2,3 BC BD . Do đó mặt phẳng BCD có phương trình 2 3 7 0 x yz . Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm: 3 4 6 7 , 14 14 R d A BCD . Chọn C. Câu 142. Mặt cầu S có tâm 4;5;2 I , bán kính 5. R Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 43 Ta có 2 22 3.4 5 3. 2 6 , 19 31 3 dI P . Bán kính đường tròn giao tuyến là: 22 2 , 5 19 6 r R d IP . Chọn C. Câu 143. Mặt cầu S có tâm 3; 2;0 I và bán kính 5 R . Mặt phẳng cần tìm cắt S theo đường tròn có bán kính 22 3, 4 r dI P R r . Tính khoảng cách từ I đến các mặt phẳng đã cho chỉ có kết quả D thỏa mãn. Chọn D. Câu 144. Ta có 4 12 2 , 3 4 1 4 dI P . Suy ra bán kính mặt cầu 2 2 22 , 1 3 10 R r d IP . Vậy 2 22 : 2 1 1 10 S x y z . Chọn D. Câu 145. Mặt cầu S có tâm 0;1;1 I và bán kính 3 R . Ta có 2 22 2.0 2.1 2.1 15 5 3 , 2 22 2 dI P . Vậy khoảng cách ngắn nhất: min 3 3 , 2 h dI P R . Chọn A. Câu 146. Chọn 0;0;0 OP . Do PQ nên 222 77 ,, 6 2 11 d P Q dO Q Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q là 2 22 7 7 ;. 6 2 1 1 dP Q Chọn D. Câu 147. Đường thẳng đi qua 1;7;3 M . Vì là mặt phẳng chứa và song song với mặt phẳng nên , , d dM 22 2 3.1 2.7 3 5 9 14 3 2 1 . Chọn B. Câu 148. Mặt phẳng P có VTPT 2; 3;4 P n , mặt phẳng Q có VTPT 4; 13; 6 Q n . Ta có 23 4 13 . Do đó P cắt Q . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 44 Lại có . 2.4 3 . 13 4. 6 23 0. PQ n n Chọn C. Câu 149. Ta có 1 2 2 14 1 2 2 16 . Do đó P song song với Q . Chọn A. Câu 150. Ta xét hai mặt phẳng R và S , ta có 1 11 3 . 2 22 6 RS Xét các cặp còn lại ta thấy chúng không song song với nhau. Chọn B. Câu 151. Ta có VTPT c ủa , , lần lượt là 1;1;2 , 1;1; 1 , 1; 1;0 n n n . Xét cặp n và n , ta có 1 1 2 1 1 1 . Suy ra không song song với . Chọn C. Câu 152. Ta có A Q vì 1 2.2 3.1 0 . Mặt phẳng P có VTPT 2;4; 6 P n , mặt phẳng Q có VTPT 1 1;2; 3 2 QP n n . Vậy mặt phẳng Q đi qua A và song song với P . Chọn A. Câu 153. Mặt phẳng P có VTPT 1; 3;2 P n . Mặt phẳng Q có VTPT 2 2 1; 2 ;2 4 Q n m m m m . Để . 0 P Q PQ P Q n n n n 2 2 1 .1 2 . 3 2 4 .2 0 m mm m 2 1 6 3 9 0 . 3 2 m mm m Chọn A. Câu 154. Mặt phẳng có VTPT 1; 1; nn , mặt phẳng có VTPT 2; ;2 nm . Để khi và chỉ khi 1 .2 2 . 0 1 . . 1 .2 k m n kn k km n nk Chọn A. Câu 155. Ta có 5;0; 4 AB . Suy ra , 4; 23; 5 AB v . Do đó mặt phẳng P được xác định là đi qua 3;2;2 A và có một VTPT , 4; 23; 5 AB v nên có phương trình : 4 23 5 44 0 P x yz . Để PQ khi và chỉ khi 4 5 1 4 23 5 44 mn , suy ra 23 45 m n . Chọn A. Câu 156. Để trùng khi 2 36 1. 3 2 5 1 10 mm m m m Để song song khi 2 36 3 2 5 1 10 mm m m : không có giá trị m . Vậy để cắt thì 1 m . Chọn C. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 45 Câu 157. Trục Oz có VTCP 0;0;1 k . Mặt phẳng có VTPT 4; 3;7 n . Rõ ràng n không cùng phương với k và . 7 0 nk . Suy ra trục Oz cắt mặt phẳng tại 0;0;1 M . Chọn A. Câu 158. Trục Ox có VTCP 1;0;0 i . Mặt phẳng có VTP 0;2;1 n . Ta có .0 in và điểm 0;0;0 O . Suy ra mặt phẳng chứa trục Ox . Chọn D. Câu 159. Xét mặt phẳng P , ta có 2;0;0 0; 3;0 0;0;1 P Ox A P Oy B P Oz C . Chọn A. Cách khác. Ta thấy Q vắng y và z nên song song với Oyz , R vắng y nên song song với trục Oy , S vắng x nên song song với trục Ox . Câu 160. Mặt phẳng có VTPT là 0;0;1 n cùng phương với VTCP của trục Oz . Suy ra Oz . Do đó B sai. Chọn B. Câu 161. Mặt cầu S có tâm 0;4;1 I , bán kính 6 R . Khoảng cách từ tâm I đến P là: 08 23 ,3 1 4 4 dI P R . Vậy P cắt S . Chọn D. Câu 162. Mặt cầu S có tâm 1;2;3 I , bán kính 3 R . Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là 1 4 6 24 27 ,9 3 1 4 4 dI P R . Do đó P không cắt S . Chọn B. Câu 163. Mặt cầu S có tâm 3;2;1 I , bán kính 14 R . Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là: 922 1 , 14 91 4 dI P R . Do đó P tiếp xúc với S . Chọn C. Câu 164. Mặt cầu S có tâm 1;2;1 I và bán kính 2 R . Nhận thấy 4 222 121 2 ,0 111 dI P . Suy ra 4 P đi qua tâm mặt cầu S . Chọn D. Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 46 Câu 165. Mặt cầu S có tâm 1; 3;2 I và bán kính 7 R . Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S , dI R . Nhận thấy mặt phẳng 623 55 0 x yz thỏa mãn. Chọn C. Câu 166. Mặt cầu S có tâm 1;2;1 I và bán kính 2 R . Do P nên suy ra :2 2 0 P xy z D với 4 D . Lại có P tiếp xúc với S , dI P R 8 1 .2 2. 1 2.1 2 2 6 . 4 3 D D D D loaïi Vậy :2 2 8 0 P xy z . Chọn B. Câu 167. Mặt cầu S có tâm 1;2; 1 I . Suy ra 2;2;1 IA . Mặt phẳng tiếp diện với S tại A đi qua 3;4;0 A và nhận 2;2;1 IA làm một VTPT nên có phương trình 2 2 14 0. x yz Chọn C. Câu 168. Mặt cầu S có tâm 1;3;1 I và bán kính 3. R Để tiếp xúc S 2 2 3.1 4 3 3 1 2 8 ,3 9 49 m m m dI R mm 2 22 2 27 3 2 7 3 10 8 25 2 1 0 1 10 8 25 m m m m m m m m m . Chọn A. Câu 169. VTPT của mặt phẳng P và Q lần lượt là: 2;1;1, 1;0;1. PQ nn Ta có . 2 01 3 cos , cos , 2 4 11. 11 . PQ PQ PQ n n P Q nn n n . Suy ra hai mặt phẳng P và Q hợp với nhau góc 0 30 . Chọn A. Câu 170. VTPT của mặt phẳng P và Q lần lượt là: 12 2; 1; 2 , 1; 1;0 . nn Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q . Ta có 0 1 2 22 2 22 2.1 1 1 3 2 cos cos , 45 2 32 212 . 1 1 n n . Chọn B. Câu 171. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC là 1 ; 2 2; 2 2; 4 n AB AC . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 47 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ACD là 2 ; 4 2;0;0 n AC AD . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và ACD . Ta có 0 1 2 22 2 2 2 2 .4 2 1 cos cos , 60 2 2 2 2 2 4 . 4 2 n n . Chọn C. Câu 172. Mặt phẳng MNP có một VTPT là ; 1;1;1 n MN MP . Mặt phẳng Oxy có một VTPT là 0;0;1 k . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng MNP và Oxy . Ta có 222 1.0 1.0 1.1 1 cos cos , 3 111 nk . Chọn C. Câu 173. Từ giả thiết, suy ra 2;1;2 OH là một VTPT của mặt phẳng Q . Mặt phẳng P có VTPT 1; 1;0 P n . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q . Ta có 0 22 2 22 2.1 1 1 3 2 cos cos , 45 2 32 212 . 1 1 P n OH . Chọn B. Câu 174. Ta có 1;2;0 AB , 1;0; AC m . Suy ra mặt phẳng ABC có một VTPT là , 2 ; ;2 n AB AC m m . Mặt phẳng Oxy có một VTPT là 0;0;1 k . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và Oxy . Ta có 00 2 22 2 .0 .0 2.1 1 12 cos cos 60 cos , cos 60 . 25 22 mm nk m mm Chọn C. Câu 175. Vì M Oy nên 0 0; ;0 M y . Theo giả thiết: 0 0 0 0 7 22 , 4 4 1 6 . 5 1 4 0;7;0 0; 5;0 4 y y dy M M y M Chọn B. Câu 176. Gọi 0; ;0 M y Oy . Ta có: 1 5 , , 1 5 2 0;2;0 3 3 y y dM P dM Q y y y M . Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 48 Chọn A. Câu 177. Giả sử 0;0; M z Oz là điểm cần tìm. Theo giả thiết: 22 2 2 22 2.0 3.0 17 , 0 2 03 4 2 31 z AM d M z 2 2 2 – 6 17 13 4 3 1 9 0 0;0;3 . 4 zz z M z z Chọn C. Câu 178. Gọi 1; ;0 Ey với y . Theo giả thiết: 2 22 2 2 2 2 4 , , 121 21 1 yy dE dE 4 2 4 1; 4;0 3 24 4 yy y E y y y . Chọn B. Câu 179. Ta có M d nên 2 3 ;2 4 ; M t tt . Do I là trung điểm MN , suy ra 3 ;2 4 ; N t tt . Mặt khác, NS nên 2 22 3 1 2 4 2 3 36 t tt 2 3; 2;1 1 26 26 0 . 1 3;6; 1 N t t t N Chọn B. Câu 180. Đặt 4 f x yz . Ta có 2 4 44 6 0 fA và 25 54 12 0 fB . Suy ra A , B ở khác phía đối với mặt phẳng P . Khi đó điểm M thỏa mãn bài toán chính là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng P . Phương trình đường thẳng 2 : 1 3 1 3 x AB y t zt . Suy ra tọa độ điểm M thỏa mãn 2 1 3 2;1;1 1 3 40 x yt M zt x yz . Chọn A. Câu 181. Đặt 23 f x yz . Ta có 2 1 2 3 4 0 fA và 4 0 1 3 6 0 fB . Suy ra A , B ở cùng phía đối với mặt phẳng P . 1 Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 49 Ta có MA MB AB . 2 Từ 1 và 2 suy ra điểm M thỏa mãn là giao c ủa đường thẳng AB với mặt phẳng P . Phương trình đường thẳng 1 1 2 : 11 1 x yz AB . Suy ra độ điểm M thỏa mãn 1 1 2 1; 3;4 11 1 2 30 x yz M x yz Chọn A. Câu 182. Gọi ; ; I ab c là điểm thỏa mãn 2 0 IA IB , suy ra 4;1;3 I . Ta có 2 22 . MA MB MI IA MI IB MI Suy ra 2MA MB MI MI . Do đó 2MA MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên mặt phẳng P . Đường thẳng đi qua I và vuông góc với P có là 4 1 3 : 11 1 x yz d . Tọa độ hình chiếu M của I trên P thỏa mãn 1; 4 1 3 11 1 4;0 30 M x yz y x z . Chọn D. Câu 183. Gọi ; ; I ab c là điểm thỏa mãn 0 IA IB IC , suy ra 1;2;2 I . Ta có 22 2 22 2 22 2 MA MB MC MA MB MC MI IA MI IB MI IC 2 22 2 2 22 2 . 32 3 MI MI IA IB IC IA IB IC MI IA IB IC Do I cố định nên 22 2 MA MB MC nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I trên P . Đường thẳng đi qua I và vuông góc với P có là 1 2 2 : 3 32 xy z d . Tọa độ hình chiếu M của I trên P thỏa mãn 1 2 2 33 4; 1;0 3 3 2 15 2 0 x yz xy z M . Chọn B. Câu 184. Gọi ; ; I ab c là điểm thỏa mãn 20 IA IB , suy ra 13; 11;19 I . Ta có 22 22 22 2 2 2 MA MB MA MB MI IA MI IB 2 22 2 22 . 2 2 2 2 MI MI IA IB IA IB MI IA IB Tµi liÖu to¸n 12 n¨m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 50 Do I cố định nên 22 2 MA MB lớn nhất khi 2 MI lớn nhất hay MI nhỏ nhất nên M là hình chiếu của I trên () P .Vì M là hình chiếu vuông góc của I trên P nên 13 ; 11 ;19 7. 13 11 19 0 M t tt t MP t t t Suy ra 6; 18;12 M . Chọn C.
