Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
MỤC LỤC Trang Chương I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chủ đề 1 Kỹ thuật biến đổi tương đương 3 Chủ đề 2 Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 44 1. Sử dụng tính chất của tỉ số 45 2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 54 3. Sử dụng tính chất tam thức bậc hai. 59 Chủ đề 3 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng 68 Chủ đề 4 Chứng minh các bất đẳng thức về tổng, tích của dãy số - Phương pháp quy nạp 86 Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CAUCHY 117 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 118 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. 141 3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy 161 4. Kỹ thuật thêm bớt 175 5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 191 6. Kỹ thuật đổi biến số 199 Chủ đề 6 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPXKI 220 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi 221 2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản 236 3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 252 4. Kỹ thuật thêm bớt 275 5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki 289 Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC Chủ đề 7 Ứng dụng nguyên lý DIRICHLET trong chứng minh bất đẳng thức 307 Chủ đề 8 Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức 319 Chủ đề 9 Ứng dụng một hệ quả của bất đẳng thức SCHUR 333 Chủ đề 10 Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán 344 tìm cực trị. 1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh điển 344 2. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số. 367 3. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật sắp thứ tự các biến 382 4. Phương pháp tiếp tuyến 389 5. Khảo sát hàm nhiều biến số 393 6. Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề 398 7. Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển 405 Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Chủ đề 11 Một số bất đẳng thức hay và khó 409 Chủ đề 12 Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi, thi TSĐH và tuyển sinh lớp 10 chuyên toán. 649 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩa Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó + AB;A B;A B;A B được gọi là các bất đẳng thức. + Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau A B 0; A B 0; A B 0; A B 0 + Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai. Quy ước: Khi nói v ề m ột b ất đẳng th ức mà không nói gì thêm thì ta hi ểu đó là m ột b ất đẳng th ức đúng. II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức + Tính chất giao hoán Với các số thực A và B bất kì, ta luôn có AB B A + Tính chất bắc cầu Với các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có AB,B C A C + Tính chất liên hệ với phép cộng - Với các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có AB A M B M - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có AB;C D A C B D AB;C D A D B C + Tính chất liên hệ với phép nhân - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có AB;M 0 A.M B.M AB;M 0 A.M B.M - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có 0A B 0A.C B.D 0C D + Tính chất liên hệ với lũy thừa - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có nn AB 0 A B 0 , với n là số thực dương. nn AB A B , với n là số tự nhiên lẻ. nn AB A B 0 , với n là số tự nhiên chẵn. mn mn 0;A 1 A A mn mn 0;0 A 1 A A + Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo - Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có 11 AB AB III. Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ + 2 A0 với A + 2k A0 với A và k là số tự nhiên + A0 với A + AB A B + AB A B Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung cơ bản của chương I gồm: Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trên. Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời giải và các lời giải được trình bày cụ thể. Giới thiệu một số bài tập tự luyện. Chủ đề 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Kiến thức cần nhớ Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức AB . Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổ biến là các dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: AB A B 0 + Dạng tổng bình phương: 22 2 AB mX nY kZ 0 , với các số m, n, k dương. + Dạng tích hai thừa số cùng dấu: AB X.Y 0 hoặc 2n AB X.Y 0 + Xây dựng các bất đẳng thức từ các điều kiện ban đầu: Nếu x, y, z [a,b] thì ta nghĩ ngay tới một trong các bất đẳng thức đúng sau đây xa x b 0; xa y a z a 0; x b y b z b 0 Một số đẳng thức cần nhớ + 22 2 2222 ab a b ab a 2ab b;a b 22 + 2 22 2 ab c a b c 2ab 2bc 2ca + 22 2 2 2 2 a b b c c a a b ab b c bc c a ca 2abc + 22 2 2 2 2 a b c abbcca ab ab bcbc ca ca 3abc + a b b c c a abc a b c ab bc ca + a 1 b 1 c 1 abc abbcca a bc 1 + a 1 b 1 c 1 abc abbcca a bc 1 + 33 3 2 2 2 ab c 3abc a b ca b c ab bc ca + 3 33 3 ab c a b c 3a b b c c a + 22 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b ca bc a b c ab abbc bcca ca Một số bất đẳng thức cơ bản + 2 22 22 a b 2ab; 2 a b a b 4ab + 2 22 3a b ab ab 4 + 22 2 ab c ab bc ca + 2 22 2 3a b c a b c 3 ab bc ca + 2 44 4 3 a b c ab bc ca 3abc a b c + Bất đẳng thức tam giác bc a b c ab c 0 ca b c a b ca 0 ca b 0 ab c a b Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức. + Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức. + Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức. + Kỹ thuật đặt biến phụ. + Kỹ thuật sắp thứ tự các biến. + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến. 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: 22 2 22 2 a) a b c ab bc ca b) a b c 3 2 a b c Phân tích: Các bất đẳng thức trên khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Lời giải a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 222 22 2 22 2 22 2 a 2ab b b 2bc c c 2ca a ab c ab bc ca 2 ab b c c a 0 2 Suy ra 22 2 ab c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 22 2 2 2 2 22 2 ab c 3 2a b c a 2a 1 b 2b 1 c 2c 1 a1 b 1 c 1 0 Suy ra 22 2 ab c 3 2a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: 2 22 2 ab c a b c 33 Phân tích: Đây là một bất đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Lời giải Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 2 22 2 2 22 2 22 2 3a b c a b c ab c a b c a 33 9 ab b c c a 9 Suy ra 2 22 2 ab c a b c 33 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: Qua hai ví d ụ trên ta nh ận th ấy khi bi ến đổi t ương đương b ất đẳng th ức b ậc hai thường xu ất hi ện các đại l ượng 22 2 ;; a b bc ca v ới đi ều ki ện d ấu đẳng th ức x ẩy ra t ại ab c . Do đó tr ước khi bi ến đổi b ất đẳng th ức ta nên d ự đoán d ấu đẳng th ức x ẩy ra để t ừ đó có h ướng đi h ợp lí. Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: 22 22 2 ab c d e ab c d e Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Để được các tích ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau 22 22 2 22 2 2 a b c d e abc de akb a kc akd a ke 0 Trong trường hợp trên ta có thể chọn k2 , tức là ta phải nhân hai vế với 4. Lời giải Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 22 22 2 a b c d e abcde 22 22 2 222 2222 2 22 2 2 4a bc de 4ab ac ad ae 4 a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ae 4e 4 a2b a 2c a2d a 2e 0 4 Suy ra 22 22 2 a b c d e abcde Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2b2c2d2e . Nh ận xét: V ới b ất đẳng th ức trên, ngoài phép bi ến đổi t ương đương ta còn có th ể dùng tính ch ất c ủa tam th ức b ậc hai để ch ứng minh. Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c 1 . Chứng minh rẳng: 22 3 3 3 11 2 1 1 1 3 a) b) 1ab 1 abc 1a 1 b 1a 1 b 1 c Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu của các biểu thức xuất hiệt các bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên là xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bình phương. Chú ý đến giả thiết a, b 1 ab 1 0 . Lời giải a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 22 2 2 2 22 11 2 1 1 1 1 1ab 1 ab 1ab 1 a 1b 1 a 1b ab ab 1 0 a1b 1ab 1 Suy ra 22 11 2 1ab 1a 1 b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 1 . b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. 33 3 3 3 3 11 1 3 11 1 1 4 1 abc 1 abc 1 abc 1 a 1b 1c 1 a 1 b 1c Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta được 33 3 33 4 33 4 11 1 1 2 2 1abc 1 a 1b 1c 1ab1abc 44 1abc 1ab abc Suy ra 33 3 11 1 3 1abc 1 a 1b 1c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 33 ab a b . Chứng minh rẳng: 22 ab ab 1 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức 22 ab ab . Trong khi đó giả thiết lại xuất hiện biểu thức ab . Vậy mối liên hệ của hai biểu thức này như thế nào? Dễ thấy được hằng đẳng thức 22 3 3 ab a b ab a b . Do đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết với biểu thức 22 ab ab để làm xuất hiện 33 ab và 22 ab ab , khi đó ta được 33 22 33 ab aab b ab . Tới đây chỉ cần chứng minh 33 33 ab 1 ab là xong. Lời giải Biến đổi giả thiết ta được 33 33 2 2 2 2 33 33 2 2 3 3 2 2 33 ab a b ab a ab b a ba ab b ab a b aab b a b aab b ab Ta cần chứng minh được 33 33 3 3 3 33 ab 1a b a b 0 2b 0 b ab Do b0 hiển nhiên đúng. Nên bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab . Chứng minh rằng: 22 2 ab 2ab b a Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và các biểu thức trong căn có chứa các bình phương, lại có thêm điều kiện ab 0 , nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 ab 2ab b a a b 2 a b . 2ab b 2ab b a 2b a b 2 a b . 2ab b 0 Vì ab 0 nên ba b 0 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 44 4 ab c abca b c Phân tích: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức cơ bản có vế trái là các lũy thừa bậc chẵn. Để ý ta thấy abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng của các bình phương. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 44 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 a b c abc bac cab 0 2a 2b 2c 2abc2bac2cab 0 a b 2a b b c 2b c c a 2a c 2a bc 2b ac 2c ab 0 a b b c c a ab bc bc ac ab ac 0 Suy ra 44 4 ab c abca b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 8. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: 10 10 2 2 88 44 a b a b ab ab Phân tích: Để ý ta thấy 10 2 8 4 10 2 8 4 a.a a.a,b .b b.b , do đó ta biến đổi tương đương để thu gọn và chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức 10 10 2 2 8 8 4 4 12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12 a b a b ab ab aab ab b aab ab b 82 22 28 2 2 22 22 6 6 2 22 2 2 4 2 2 4 ab a b ab b a 0 ab a b a b 0 ab a b a ab b 0 Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 9. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện ab c 0 . Chứng minh rằng: ab 2bc 3ca 0 Phân tích: Từ giả thiết ab c 0 ta có thể rút một biến theo các biến còn lại, chẳng hạn ca b , thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được 22 3a 4ab 2b là biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương. Đến đây ta tìm cách phân tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Theo giả thiết thì cab , nên bất đẳng thức đã cho tương ứng với 2 22 2 2 2 ab c 2a 3a 0 ab a b 2b 3a 0 ab 2ab 3a 2b 3ab 0 3a 4ab 2b 0 a 2 a b 0 Từ đó ta có điều phải chứng minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 0 . Ví dụ 10. Chứng minh với các số thực a dương, ta có: 2 2 5a 1 a11 2a 2 a1 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa một biến a, nên thông thường ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh. Để ý thêm nữa ta thấy, bất đẳng thức chứa các đại lượng 2 a1 và 2a làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức 2 a1 , lại thấy đẳng thức xẩy ra khi a1 nên suy nghĩ rất tự nhiên là biến đổi tương đương bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng 2 a1 xem có thể chứng minh bài toán được không. Với a1 khi đó ta có 2 2 5a 1 a1 ;5 22a a1 và 11 1 5 22 nên ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức 22 22 22 2 2 2 2 22 2 2 22 5a 1 5 a 1 a11a1 50 2a 2 2 2a a1 a1 a1 5a 1 a 1 51 00 2a 2 a a1 2a 1 a1 9a 1 a1 a 1 5a a 5 .0 . 0 22 aa 1 2 a 1 Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 . Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 ab b c c a 2a b c ab bc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy những đặc điểm sau: + Hai vế của bất đẳng thức cùng có bậc một. + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến một bất bất đẳng thức khá hay dùng 33 xy xyx y . Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 33 xy xyx y với x, y là các số dương Thật vậy 2 33 2 2 x y xy x y x y x y xy xy x y x y 0 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 3 ab a b bc b c ca c a ab b c c a 2a b c ab bc ca ab bc ca Suy ra 33 3 3 3 3 ab b c c a 2a b c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c. Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có 22 2x 1 . x x 1 2x 1 . x x 1 Phân tích: Bất đẳng thức chỉ chứa một biến và có chứa căn bậc hai. Trước hết ta kiểm tra điều kiện xác định của các căn thức 2 2 13 xx 1 x 0 24 và 2 2 13 xx 1 x 0 24 Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x. Quan sát bất đẳng thức ta thấy nếu thay x bằng x thì vế trái của bất đẳng thức trở là 2 2x 1 . x x 1 và vế phải của bất đẳng thức là 2 2x 1 . x x 1 , khi đó nếu nhân hai vế với 1 thì được 22 2x 1.x x 1 2x1.x x1 , tức là bất đẳng thức không thay đổi gì cả. Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp x không âm là được. Với 1 0x 2 , ta thấy vế trái luôn dương và vế phải nhỏ hơn hoặc bằng không nên ta có thể chia nhỏ các trường hợp 1 0x 2 và 1 x 2 để chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Vì 2 2 13 xx 1 x 0 24 và 2 2 13 xx 1 x 0 24 Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x. Nếu x0 , ta đặt xt,t 0 khi đó bất đẳng thức trở thành. 22 22 2t 1 t t 1 2t 1 t t 1 2t 1 t t 1 2t 1 t t 1 Bất đẳng thức cuối này có dạng như bất đẳng thức ở đề bài và quan trọng hơn lúc này ta lại có t0 . Như vậy, với lập luận này ta thấy rằng chỉ cần xét bài toán trong trường hợp x0 là đủ. Lúc này có hai khả năng xảy ra : + Nếu 1 0x 2 thì 22 2x 1 . x x 1 0; 2x 1 . x x 1 0 suy ra 22 2x 1x x 1 2x 1x x 1 . Nên bất đẳng thức đúng. + Nếu 1 x 2 thì hai vế cùng dương, nên bình phương hai vế ta được 22 22 42 42 2x 1 x x 1 2x 1 x x 1 4x x 3x 1 4x x 3x 1 x 0 Mà 1 x 2 nên bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 13. Cho các số thực a,b,c [0, 1] . Chứng minh rằng: 43 2 ab c ab bc ac 1 Phân tích: Từ giả thiết a,b,c [0, 1] ta được 0a,b,c 1 , khi đó theo tính chất của lũy thừa ta được 43 2 aa;b b;c c . Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức được thay bằng đại lượng ab c ab bc ca . Cũng từ giả thiết a,b,c [0, 1] và biểu thức bên làm ta liên tưởng đến tích 1 a 1b 1c 0 . Do đó ta sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên. Lời giải Theo giả thiết a,b,c [0, 1] ta có 1 a 1b 1c 0 1 a b c ab bc ac abc 0 1 a b c ab bc ac abc Cũng từ giả thiết a,b,c [0, 1] nên abc 0 và 43 2 aa;b b;c c . Do đó ta suy ra 43 2 1 a b c ab bc ac a b c ab bc ac Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 hoặc a1;b c 0 và các hoán vị. Ví dụ 14. Chứng minh rằng với mọi số thực khác không a, b ta có: 22 22 ab a b ba ba Phân tích: Để ý ta thấy 2 22 22 ab a b 2 ba ba , do đó ta có thể biến đổi bất đẳng thức thành 2 ab ab 20 ba ba . Đến đây ta có thể phân tích thành tích rồi quy đồng hoặc đặt biến phụ ab t ba , chú ý điều kiện t2 . Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2 22 22 a b ab ab ab ab ab 201 20 ba ba ba ba ba ba Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên. + Hướng 1: Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đẳng thức 2 22 22 ab aba b 0 ab Mà 2 22 22 ab a b ab ab 0 2 Do đó bất đẳng thức được chứng minh. + Hướng 2: Đặt ab t ba , khi đó ta được 2 2 ab t4t2 ba Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành t1 t 2 0 . - Nếu t2 , suy ra t2 0 nên t1 t 2 0 . - Nếu t2 , suy ra t1 0;t 2 0 nên t1 t 2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab Ví dụ 15. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 22 ab a 2 b 6 12a 24a 3b 18b 36 0 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của có sự xuất hiện các đại lượng aa 2 ;b b 6 và chú ý thêm các đại lượng bên ta nhận thấy 2 aa 2 1 a 1 và 2 bb 6 9 b 3 . Đến đây ta thấy có hai ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên. + Thứ nhất là ta biến đổi tương đương làm xuất hiện các bình phương 22 a1 , b 3 . + Thứ hai là đặt biến phụ xaa 2;y bb 6 và sử dụng điều kiện của biến phụ để chứng minh. Lời giải Cách 1: Gọi P là vế trái của bất đẳng thức đã cho, ta có 22 22 Paba 2 b 6 12a 24a 3b 18b 36 a a 2 b b 6 12 3 b b 6 12 bb 6 12 a a 2 3 b 3 3 a 1 2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 ab a 2 b 6 12 a 1 3 b 3 3 0 Đặt 2 2 xaa 2 x 1 a 1 0 ybb 6 y9 b3 0 Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành xy 12 x 1 3 y 9 3 0 x 3 y 12 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì x1 0;y 3 0 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 24 2 2 2 1019a 18b 1007c 30ab 6b c 2008ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn và vế phải xuất hiện tích của hai trong ba biến nên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng các bình phương. Tuy nhiên vì hệ số khác nhau nên ta cần phải tinh ý khi phân tích. Sau khi chuyển vế ta phân tích thành 22 2 22 ma b n b c k c a và cần tìm m, n, k sao cho m k 1019; n k 18; k m 1007 . Giải hệ điều kiện trên ta tìm được m 15; n 3; k 1004 . Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 4 2 2 2 2 22 2 22 15 a 2ab b 3 b 2b c c 1004 c 2ca a 0 15 a b 3 b c 1004 c a 0 Vật bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 ab c . Ví dụ 17. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a1;b 1 . Chứng minh rằng: ab 1 b a 1 ab Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và đẳng thức xẩy ra tại ab 2 , do đó ta có các ý tưởng chứng minh bất đẳng thức sau đây: + Thứ nhất là đặt biến phụ xa1;yb1 để làm mất căn bậc hai và phân tích thành các bình phương. + Thứ hai là khử căn bậc hai bằng một đánh giá quen thuộc 22 xy 2xy . Để ý đến chiều bất đẳng thức và điều kiện dấu bằng xẩy ra tại ab 2 ta đánh giá được a1 1 a b 1 1 b a1 a1.1 ; b 1 b 1.1 22 2 2 Lời giải Cách 1: Đặt xa1;y b1 , khi đó x0;y 0 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 2 x1y y 1y x1y 1 22 2 2 22 2 2 2 2 22 22 x1y y 1y x1y 1 x1y 1 2x 1y x1y 1 2y 1x 0 x1y 1 y 1x 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy 1 hay ab 2 . Cách 2: Áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được a1 1 a a1 a1.1 22 b1 1 b b1 b1.1 22 Do đó ta được ab ab ab 1 b a 1 ab 22 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 2 . Ví dụ 18. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 44 3 3 22 2a b ab ab 2ab Phân tích: Để ý ta thấy, với ab thì dấu đẳng thức xẩy ra nên ta tách các hạng tử để tạo ra nhân tử chung 2 ab . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 4 22 4 4 343 2 2 3 3 22 2 2 22 22 a2ab b a ab b ab 0 ab a b a b 0 a b ab a ab b 0 a b 3ab a b 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Ví dụ 19. Cho a, b là hai số thực khác không. Chứng minh rằng: 22 2 2 22 2 22 4a b a b 3 ba ab Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy khi 22 ab thì bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng và 2 22 22 22 22 ab ab 2 ba ab . Nên ta có các ý tưởng biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau: + Thứ nhất là quy đồng hai về và phân tích làm xuất hiện nhân tử chung 2 22 ab + Thứ hai là đặt biến phụ 2 22 2ab t ab , chú ý điều kiện 0t 1 . Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức đã cho tương đương với. 2 22 2 2 22 2 2 4 2 2 4 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 2 22 222 22 2 22 22 22 2 22 2 2 22 22 4 4 22 22 22 2 2 22 2 2 4a b a b 4a b a b a 2a b b 120 0 ba ab ab a b ab a b 11 0a b 0 ab a b ab a b ab a b ab ab a b ab 00 ab a b ab a b Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Cách 2: Bất đẳng thức được viết lại thành 2 22 22 222 22 ab 4a b 5 ab ab . Đặt 2 22 2ab t ab , khi đó ta được 0t 1 . Suy ra 2 2 22 22 22 ab ab 4 4 2ab t ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 4 t5 t5t40 t1t40 t Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì 0t 1 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Ví dụ 20. Cho các số thực dương a, b, m, n m n . Chứng minh rằng: ab 2 na mb mb na m n Phân tích: Nhận thấy bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng tại ab, do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện 2 ab , chú ý đến điều kiện mn Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 ma b m a b a1 b 1 00 na mb n m nb ma n m na mb n m nb ma n m ma b m a b 11 mn 0. 0 n m na mb nb ma n m na mb nb ma Vì a,b 0 và mn nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi ab hoặc mn . Ví dụ 21. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 33 2 2 ab 2 a 2ab 3 2a b 2a b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra với ab , khi đó rất tự nhiên ta nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng 2 ab . Mặt khác với ab ta lại có 22 33 2 2 ab 1 a 2ab ;1 3 2a b 2a b . Để ý là 21 1 33 , nên ta ta biến đổi bất đẳng thức thành 22 33 2 2 ab 1 a 2ab 1 3 2a b 2a b . Tới đây ta quy đồng hai vế và phân tích thành các bình phương. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 33 2 2 33 2 2 22 2 22 22 33 33 2 33 2 2 2 4 33 2 2 ab 2 a 2ab a b 1 a 2ab 1 33 2a b 2a b 2a b 2a b ab 2a b a b 12ab ab 0 2a b 2a b 32ab 32ab ab 32a b 2a b 2a b 0 a b 2a 2b 2a b 2ab 0 a b a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vật bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . Ví dụ 22. Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 2 22 2 2 2ab b 3 5 a4b 3a 2b Phân tích: Dấu đẳng thức xảy ra với ab , khi đó 2 22 2 2 2ab 2 b 1 ; 55 a4b 3a 2b . Nên ta ta biến đổi bất đẳng thức thành 2 22 2 2 22ab 1 b 0 55 a4b 3a 2b . Tới đây ta quy đồng hai vế và phân tích thành các bình phương. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 22 2 2 22 2ab b 3 2 2ab 1 b 0 55 5 a4b 3a 2b a 4b 3a 2b 2222 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 32 2 3 2a ba 4b 3a ba b 2a 10ab 8b 3a 3b 00 a4b 3a 2b a 4b 3a 2b a b 2 a 4b 3a 2b 3 a b a 4b 0 a b 9a 21a b 16ab 4b 0 a b 3a 2b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab hoặc 3a 2b Ví dụ 23. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 66 6 5 5 5 a) a a b a c b b c b a c c a c b 0 b) a b c a b b c c a Phân tích: a) Quan sát bất đẳng thức thứ nhất ta nhận thấy ac a b b c do đó bất đẳng thức lúc này tương đương với 2 aa b c a c b c 0 . Đến đây chỉ cần sắp thứ tự các biến sao cho ca c b c 0 là xong. b) Tương tự như trên ta có ac ab b c , biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được bất đẳng thức 55 5 5 ab a b ac b c 0 . Đến đây ta chỉ cần sắp thứ tự các biến sao cho 55 ac b c 0 là xong. Lời giải a) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử ab c 0 . Khi đó ta có 2 2 aa b a c a b c b a c c a c b 0 aa b a b b c b b c b a c c a c b 0 aa b aab b c ab c a b cac b c 0 ab a b c cac b c 0 Vì ab c 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . b) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử ac 0;b c 0 . Khi đó ta có 65 6 5 6 5 5 5 5 55 5 55 5 5 aab b bc c ca 0 a a b b b c c c a 0 aa b b a b c a c c a 0 ab a b ac b c 0 Vì ac 0;b c 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 24. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: bc ca ab ab c ab c Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau: + Quy đồng hai vế của bất đẳng thức thì vế trái xuất hiện 22 2 bc ca ab và vế phải xuất hiện abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab . Như vậy chỉ cần chuyển vế trái ta viết được thành tổng các bình phương + Để ý ta thấy 2 ca b bc ca 2c ab ab . Như vậy ta cần nhân hai vế với 2 và ghép tương tự. Lời giải Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau 22 2 22 2 22 2 bc ca ab ab c bc ca ab abca b c ab c 2bc 2 ca 2 ab 2abca b c 0 ab bc bc ca ca ab 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau 22 2 2 22 22 2 bc ca ab bc ca ab ab c 2 2a b c ab c a b c bc ca ca ab ab bc 2c 2a 2b 0 ab b c c a cb a2ab ac b 2bc bc a2ca 0 ab bc ca ca b a b c b c a 0 ab bc ca Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 25. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab c ab c bc a Phân tích: Nhận thấy 2 2 ab a 2a b bb . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 222 22 2 22 2 ab c 2a b 2b c 2c a 0 bc a a 2ab b b 2bc c c 2ca a 0 bc a ab b c c a 0 bc a Vì a, b, c là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 26. Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức. 22 2 2 2 k1 1 82k ab a b ab Phân tích: Vì vai trò của a, b như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab , do đó khi biến đổi bất đẳng thức ta cần làm xuất hiện nhân tử 2 ab . Khi đó bất đẳng thức trở thành 2 2222 22 a b a 4ab b a b ka b 0 . Để tìm k lớn nhất ta cho ab , khi đó ta được 44 12a ka 0 k 12 . Đến đây ta chỉ cần chứng minh k12 bất đẳng thức đúng là được. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 2222 22 k1 1 82k ab a b ab k2k 1 4 1 4 0 ab a b a b ab ab k a b b a b 3a a b 3a b 0 a b ab a a b b ab a b a 4ab b ka b 0 ab a b a b a b ab a 4ab b a b kab 0 Vì 2 ab 0 nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi 2222 22 a 4ab b a b ka b 0 Cho ab thì bất đẳng thức trên trở thành 44 12a ka 0 k 12 . Ta chứng minh k12 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho Thật vậy, ta xét các trường hợp sau + Với k12 thì ta được 2222 22 a 4ab b a b ka b 0 . + Với k12 thì bất đẳng thức 2222 22 a 4ab b a b ka b 0 trở thành 2222 22 2 2 2 22 22 2 2 2 2 a 4ab b a b 12a b 0 a b 4a b 4ab a b 2ab 0 a b 4ab a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Vậy hằng số k lớn nhất là 12. Ví dụ 27. Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức 33 3 3 3 k1 1 164k ab a b ab Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta được 33 3 3 3 k1 1 164k ab a b ab 33 3 3 3 3 3 2 22 2 2 33 3 3 33 2 2 43 22 3 4 33 2 2 2 43 22 3 4 2 2 33 k4k 1 8 1 8 0 ab a b a b ab ab 3k a b a b a b 7b 4ab a 7a 4ab b 0 ba ab a b ab ab a 5ab 12ab 5ab b 3k a b 0 ab a ab b a b a 5a b 12a b 5ab b a ab b 3ka b 0 Vì 2 ab 0 nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi 43 22 3 4 2 2 33 a 5a b 12a b 5ab b a ab b 3ka b 0 Cho ab thì bất đẳng thức trên trở thành 66 24a 3ka 0 k 8 . Ta chứng minh k8 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho. Thật vậy, ta xét các trường hợp sau + Với k8 thì 43 22 3 4 2 2 33 a 5a b 12a b 5ab b a ab b 3ka b 0 . + Với k8 thì bất đẳng thức trên được viết lại thành 43 22 3 4 2 2 33 a 5a b 12a b 5ab b a ab b 24a b 0 Ta có 44 22 2 2 a b 2a b ; a b 2ab nên 4 3 22 3 4 4 4 2 2 22 22 a 5a b 12a b 5ab b a b 5ab a b 12a b 24a b Và 22 aab b ab Do đó ta có 43 22 3 4 2 2 33 a 5a b 12a b 5ab b a ab b 24a b Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Vậy hằng số k lớn nhất là 8. Ví dụ 28. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 22 3a 2ab 3b 22 a b ab Phân tích: Đẳng thức xẩy ra khi ab , do đó ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng 2 ab . Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất hiện nhân tử chung có dạng 2 ab ta cần chú ý đến phép biến đổi 22 22 2a b a b a b Khi đó ta có 2 22 22 ab 2a b a b 2a b a b Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau 22 22 22 22 3a 2ab 3b 22 a b ab 3a 2ab 3b 2a b 2 2a b 2 a b ab 22 22 2 22 4 2 22 22 ab 2a b 0 ab 2a b a b ab 2a b a b 2a b 0 ab ab 2a b a b 0 0 2a b a b Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 29. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2ab a b a b ab 22 ab Phân tích: Để ý ta thấy 22 ab 4ab a b ab 2ab 2ab 2a b 2 a b Lại có 22 2 22 22 22 ab ab ab ab 2 ab 2 ab ab ab2ab 2 2 Do đó ta biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi như sau 2 22 22 2 22 ab ab a b 2ab 1 1 ab 0 22ab2 ab ab ab 2 a b 2a 2b 2 a b 2 ab 0 Vì 2 ab 0 nên ta cần chứng minh 22 2a 2b 2 a b 2 ab 0 Thật vậy, ta có 2 22 22 2 2 2 ab ab 2a b 2a b a b ab ab 2ab a b ab Do vậy bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 22 2 2 22 22 22 22 22 4 22 11 ab 0 2a b a b ab ab 2a b a b a b 0 2a b 4ab ab 2a b 2ab 0 a b 0 2a b 2 ab 2a b 0 2a b 2 ab Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng, Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Ví dụ 30. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 a) a b c 2 ab bc ca b) abc a b c b c a c a b Lời giải a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có 2 2 2 aa(b c) 0a b c 0b a c b b(a c) 0c a b cc(a b) Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c 2ab bc ca b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có 2 22 a a bc a b c a bc 0 Chứng minh tương tự ta được 22 2 2 2 2 bb (c a) 0;cc (a b) 0 Nhân vế các bất đẳng thức ta được 22 2 22 2 2 2 2 222 22 2 abc a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b Mà ta lại có ab c 0;b c a 0;c a b 0 Nên từ bất đẳng thức trên ta được abc a b c .b c a .c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: B ất đẳng th ức abc a b c b c a c a b không ch ỉ đúng v ới a, b, c là các c ạnh c ủa m ột tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các s ố th ực dương b ất kì. Bât đẳng này là m ột tr ường h ợp c ủa b ất đẳng th ức Schur. Trong ph ần Ph ụ l ục 3, ta s ẽ bàn nhi ều v ề b ất đẳng th ức này h ơn. Bài 31. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: 22 2 33 3 ab c b c a c a b a b c Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 222 33 3 222 33 3 22 2 22 2 ab c b c a c a b a b c ab c b c a c a b a b c 0 ab c a b c a b c a b c 0 a b ca b c a b ca b c a b c a b c a b c 0 ab c c a b c a b 0 Do a, b, c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 32. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: a bc b ca c ab 1 ab bc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau: + Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 3 . + Khi thay 1 bằng ab c vào bất đẳng thức và chuyến vế thì ta được các nhóm abc a bc; b ca b ca; c ab c ab . Vì vai trò a, b, c như nhau nên ta dự đoán mỗi nhóm trên không âm. Để chứng minh dự doán trên ta có thể bình phương làm mất căn bậc hai rồi biến đổi tương đương thành tổng các bình phương. + Để ý giả thiết ab c 1 , khi đó ta có abc a b a c . Dễ dàng nhận ra ab ac a bc . Như vậy chỉ cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp còn lại thì bất đẳng thức được chứng minh. Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a bc b ca c ab a b c ab bc ca abc a bc b ca b ca c ab c ab 0 Ta cần chứng minh a bc a bc 0; b ca b ca 0; c ab c ab 0 Thật vậy, ta có 2 2 a bc a bc 0 a bc a bc a bc a 2a bc bc 1a 2bc a b c a 2bc b c 0 Chứng minh tương tự ta được bca b ca 0; c ab c ab 0 . Đến đây bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Cách 2: Kết hợp với giả thiết ab c 1 ta có abc a b a c; b ca a b b c; c ab c a b c Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành ab ac ab b c c a b c 1 ab bc ca Mặt khác ta có 22 2 ab a c a bc a ab bc ca a 2a bc bc bc 2bc b c 0 Chứng minh tương tự ta được bc a b b ca; c a bc c ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab ac a b b c c a b c ab c ab bc ca Hay ab ac ab b c c a b c 1 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 33. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 22 2 ab c a b c a b c a b c 3abc Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có những nhận xét sau: + Dễ thấy đẳng thức xẩy ra khi ab c và vai trò các biến là như nhau. + Để ý ta thấy 2 abc a b c a aab ac , như vậy bất đẳng thức được viết lại thành aa b a c b b c b a c a c b c 0 , là bất đẳng thức được chứng minh ở Ví dụ 23. + Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể sử dụng cách đặt biến phụ: xb c a;y c a b;z a b c Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 xy z yzx zx y 3x y yz zx 444 8 Chú ý đến đẳng thức 22 2 2 2 2 x y y z z x x y xy y z yz z x zx 2xyz ta có thể biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên. Lời giải Cách 1: Vai trò của a, b ,c là như nhau nên có thể giả thiết ab c 0 . Bất đẳng thức đã cho tương đương với 22 2 2 abc a b c a abc b c a b abc c a b c 0 aa b a c b b c b a c a c b c 0 ab aa c bb c ca c b c 0 ab a b c cac b c 0 Vì ab c 0 nên ab c 0; a c b c 0 , suy ra bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c hoặc ab;c 0 và các hoán vị. Cách 2: Đặt xb c a;y c a b;z a b c . Khi đó ta được yz z x x y a;b ;c 22 2 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 xy z yzx zx y 3x y yz zx 444 8 Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau 222 22 2 2 2 2 xy z yzx zx y 3x y yz zx 444 8 2xyxy yz yz zxzx 6xyz 3x y y z z x 2x yy z z x 8xyz 3x yy z z x 8xyz x y y z z x Ta cần chứng minh 8xyz x y y z z x Thật vậy, áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được xy 2 xy;y z 2 yz;z x 2 zx Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 8xyz x y y z z x . Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c hoặc ab;c 0 và các hoán vị. Ví dụ 34. Cho các số thực a,b,c [-1, 2] và ab c 0 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 22 2 a) a b c 6 b) 2abc a b c 2abc 2 c) a b c 8 abc Phân tích: a) Từ điều kiện a,b,c [-1, 2] , để tạo ra 2 a ta có thể sử dụng các bất đẳng thức a1 a 2 0 , áp dụng tương tự và để ý đến giả thiết ab c 0 b) Để chứng minh được bất đẳng thức ta cần làm như thế nào để vừa có thể tạo ra 22 2 ab c vừa làm xuất hiện tích abc. Để ý giả thiết ab c 0 có thể biến đổi tương đương thành 22 2 ab c ab bc ca 2 . Như vậy trong bất đẳng thức có thêm sự xuất hiện của ab bc ca . Từ điều kiện a,b,c [-1, 2] ta cũng nên để ý đến bất đẳng thức a1 b 1 c 1 0 . c) Cũng tương tự như câu b nhưng trong bất đẳng thức ở câu c có sự xuất hiện của biểu thức 8abc nên ta lại chú ý đến a2 b 2 c 2 0 . Lời giải a) Do a,b,c [-1, 2] nên ta có a1 a 2 0 hay 2 aa 2 . Chứng minh tương tự ta được 22 bb 2;cc 2 . Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với giả thiết ab c 0 ta được 22 2 ab c a b c 6 6 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Trước hết ta chứng minh 22 2 ab c 2abc 2 Do a,b,c [-1, 2] nên ta có a1 b 1 c 1 0 Hay abc ab bc ca a b c 1 0 abc ab bc ca 1 0 Mặt khác, vì ab c 0 nên 2 ab c 0 Hay 22 2 ab c ab bc ca 2 Khi đó ta được 22 2 22 2 ab c abc 1 0 a b c 2abc 2 2 Ta cần chứng minh 22 2 ab c 2abc . Thật vậy, vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử ab c . Từ đó suy ra ab c 1c 0 c 1 3 Khi đó ta được 2abc 2a.b.c 2a.b Suy ra 2 22 2 2 2 2 2 a b c 2abc a b c 2a.b a b c 0 Do đó ta có 22 2 ab c 2abc Kết hợp hai kết quả trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh chứng minh. c) Do a,b,c [-1, 2] nên ta có a2 b 2 c 2 0 Hay abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 0 abc 2 ab bc ca 8 0 Mà ta có 22 2 ab c ab bc ca 2 Nên 22 2 abc a b c 8 0 hay 22 2 ab c 8 abc . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 35. Cho các số thực a,b,c [0, 2] và ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 3a b c 5 Lời giải Đặt x a 1; y b 1; z c 1 , khi đó ta được x, y, z [ 1, 1] và xy z 0 Ta có 22 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c x 1 y 1 z 1 xy z 2x y z 3 x y z 3 3 Dấu đẳng thức có khi xy z 0 hay ab c 1 . Mặt khác do x, y, z [ 1, 1] nên ta có 2 22 2 22 2 1x 1y 1 z 1 x 1 y 1z 0 2 2 xy yx zx 0 2 x y z x y x 0 xy z 2 Suy ra 22 2 ab c 5 . Đẳng thức xẩy ra khi a2;b 1;c0 và các hoán vị. Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được 22 2 3a b c 5 . Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 36. Cho các số thực a,b,c [0, 2] và ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 3 a b c 3a 1b 1c 1 9 Lời giải Đặt x a 1; y b 1; z c 1 , khi đó ta được x, y, z [ 1, 1] và xy z 0 Đặt 33 3 P a b c 3a 1b 1c 1 , khi đó P được viết lại thành 33 3 33 3 2 2 2 P x 1 y 1 z 1 3xyz x y z 3xyz 3x y z 3x y z 3 Mà xy z 0 nên ta có 33 3 2 2 2 x y z3xyz x y z x y zxy yz xz 0 Do đó 22 2 P3x y z 3 Mà ta chứng minh được 22 2 0x y z 2 nên 3P 9 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 37. Cho các số thực a,b,c [0, 1] . Chứng minh rằng: ab c 2 1bc 1 ca 1 ab Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy + Với ab c 0 thì ab c 0 , bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Như vậy ta cần tìm cách chứng minh cho trường hợp ab c 0 + Từ giả thiết a,b,c [0, 1] và trường hợp ab c 0 dẫn đến 0a,b,c 1 . Khi đó để tạo ta 1bc ta nghĩ đến bất đẳng thức 1b 1c 0 1 bc b c . Để ý vế phải của bất đẳng thức có thể được viết thành 2a b c ab c , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức a2a 1bc a b c . Lời giải Vì a,b,c [0, 1] nên ta có 0a,b,c 1 . + Xét trường hợp ab c 0 suy ra ab c 0 , khi này bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. + Xét trường hợp ab c 0 , khi đó ta có a1 a1 b1 c1 0 b c 1 bc 0 a b c 2bc 2 bc 0 0 bc Khi đó ta có 12 a 2a 1bc a b c 1 bc a b c Chứng minh tương tự ta được b2b c 2c ; 1 ca a bc ab 1 a bc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab c 2a 2b 2c 2 1 bc 1 ca 1 ab a bc a b c a bc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 1;c 0 và các hoán vị Ví dụ 38. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 1 . Chứng minh rằng: abc b ca c ab 3 abc b ca c ab 2 Phân tích: Để ý từ giả thiết ab c 1 ta có abc a b a c , khi đó bất đẳng thức có thể viết lại thành aa bc bc ba bc ca ca bc ab 3 2 ab ac b c b a c a c b Đến đây ta quy đồng hai vế và biến đổi tương đương bất đẳng thức, chú ý đến đẳng thức 22 2 2 2 2 a b b c c a ab ac bc ba ca cb 2abc Lời giải Áp dụng giả thiết ab c 1 ta được abc aab c bc a b a c Áp dụng tương tự ta được bca b c a b;c ab c a b c Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 2 2 2 222 aa bc bc ba bc ca ca bc ab 3 2 ab ac b c b a c a c b aab ac bc b c b ba bc ca c a 3 ccb ca aba b a b b c c a 2 ab ac bc ba ca cb 6abc ab c b c a c a b 0 Vậy bất đẳng thứ được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Nh ận xét: Trong b ất đẳng th ức trên, có m ột kinh nghi ệm nên nh ớ khi tìm l ời gi ải đó là tìm cách đổi chi ều b ất đẳng th ức. Cách đơn gi ản nh ất là nhân hai v ế v ới 1 khi đó ta được: 3 2 bc a ca b ab c abc b ca c ab Bây gi ờ ta chưa bi ến đổi ngay mà tìm cách tri ệt tiêu các đại lượng âm trong các bi ểu th ức tr ước và đổi d ấu v ế ph ải. Để ý ta th ấy 2 abc bc a bc , do v ậy ch ỉ c ần c ộng 1 vào m ỗi phân s ố r ồi quy đồng là ta tri ệt tiêu được các đại l ượng âm, không nh ững v ậy ta còn đổi đư ợc d ấu bên v ế ph ải, c ụ th ể là 32 2 2 3 111 3 22 bc a ca b ab c bc ca ab abc b ca c ab a bc b ca c ab Đến đây ta s ẽ tìm th ấy các h ướng khác để x ử lí bài toán. Ví dụ 39. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab c 3 bc c a a b 2 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện nay có rất nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức này. Để chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau + Thứ nhất ta xét hiệu hai vế và chú ý a 1 ab ac bc 2 2b c 2 b c , khi đó ta có 6 phân thức. Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c , nên ta ghép hai phân thức làm một nhóm sao cho có thể phân tích được thành bình phương của hiệu hai trong ba số a, b, c. Để ý là 2 ab ab ab bc c a bc c a . + Thứ hai ta để ý đến biến đổi aabc 1 bc bc . Do đó ta cộng vào hai vế của bất đẳng thức với 3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về dạng như sau 11 1 2a 2b 2c 9 bc c a a b , đến đây ta có thể đơn giản hóa bất đẳng thức bằng việc đặt biến phụ xb c;y c a;z a b . + Thứ ba là ta tiến hành đặt biến phụ xb c;y c a;z a b ngay từ đầu, khi đó ta được yz x z x y x y z a;b ;c 22 2 và bất đẳng thức cần chứng minh thu được ở đây là yz x z x y x y z 3 xy z sẽ chứng minh dễ dàng hơn. Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 a1 b 1 c 1 0 bc 2 c a 2 a b 2 ab ac b c b a c a c b 0 b c b c c a c a ab ab ab ab b c b c c a c a 0 b c ca ca a b a b b c ab b c c b 0 b c ca ca a b a b b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với a1 b 1 c 1 9 1 1 1 2a 2b 2c 9 bc 2 c a 2 a b 2 2 bc c a a b Đặt xb c;y c a;z a b , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 11 1 x y y z z x xy z 9 6 xy z y x z x x z xy y z z x xy y z x z 22 20 0 yx z y z x 2xy 2yz 2zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 3: Đặt xb c;y c a;z a b , khi đó ta được yz x z x y x y z a;b ;c 22 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 yz x z x y x y z 3 xy z xy y z z x xy y z x z 22 20 0 yx z y z x 2xy 2yz 2zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 40. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a 2b 3c 11 . Chứng minh rằng: 2b 3c 16 6a 3c 16 6a 2b 16 15 6a 1 2b 1 3c 1 Phân tích: Quan sát giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ ngay đến việc đổi biến x6a 1;y 2b 1;z 3c 1 , chính việc đổi biến này ta thu được kết quả không thể hợp lý hơn là xy z14 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy y z z x 1 1 1 14 15 yx z y x z x y z Đến đấy việc chứng minh bất đẳng thức hết sức đơn giản. Lời giải Đặt x6a 1;y 2b 1;z 3c 1 , suy ra xy z14 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành y z 14 z x 14 x y 14 15 xy z xy y z z x 1 1 1 14 15 yx z y x z x y z xy y z z x 1 1 1 xy z 15 yx z y x z x y z xy y z z x 22 2 315 yx z y x z xy 2 yx 22 2 xy y z z x yz x z 220 0 zy z x 2xy 2yz 2zx Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 14 xy x 3 hay 11 11 11 a;b ;c 18 6 9 . Ví dụ 41. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab a b 2c bc b c 2a ca c a 2b 0 Phân tích: Với bất đẳng thức trên ta có các ý tưởng chứng minh sau: + Thứ nhất là ta khai triển các tích và nhóm các hạng tử với nhau một cách hợp lý, chú ý là 2 22 2 2 ab ac 2abc a b c 2bc a b c . + Thứ hai là vì a là số thực dương nên ta có ab a b 2c ab 2 abc c c , áp dụng tương tự ta biến đổi được bất đẳng thức về dạng đơn giản. Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 222 a b ab 2abc b c bc 2abc c a ca 2abc 0 ab c 2bc b c a 2ca c a b 2ab 0 ab c b c a c a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab a b 2c bc b c 2a ca c a 2b 0 abc abc abc a b 2c b c 2a c a 2b a b b c c a 06 cab bacbac Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 42. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 33 3 22 2 2a b c 9a b c 33 abc ab c Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Khi đó ta có được kết quả đẹp là 2 33 3 22 2 2a b c 9a b c 6; 27 abc ab c , do đó ta rất tự nhiên ta nghĩ đến xét hiệu hai vế của bất đẳng thức. Hơn nữa ta lại có hai kết quả sau 33 3 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2a b c 6abc 2 a b c a b c ab bc ca 27 a b c 9 a b c 18 a b c ab bc ca Đến đây càng thấy yên tâm là đã đi đúng hướng. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 33 3 22 2 2a b c 9a b c 6270 abc ab c 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 2a b c a b c ab bc ca 18 a b c ab bc ca 0 abc ab c ab c 9 2a b c ab bc ca 0 abc ab c ab b c c a a b c a b c 9abc 0 Do 22 2 ab b c c a 0 nên ta chỉ cần chứng minh 22 2 33 3 2 2 2 2 2 2 ab c a b c 9abc 0 ab c 3abc ab c bc a ca b 6abc 0 Bất đẳng thức này đúng vì ta có 22 2 33 3 ab c a b b c c a ab c 3abc 0 2 Và 222 22 2 2 2 2 ab c b c a c a b 6abc a b c b c a c a b 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 43. Cho a, b, c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 44 44 44 4 ab c b c a c a b a b c 28a b c Phân tích: Bài toán gợi cho ta hằng đẳng thức: 44 422 4 xy x y 2x 6xy y Khi đó ta có 44 4 2 24 44 4 2 24 44 422 4 a b c b c a 2b c 6ab c a c a b a b c 2b c 6ab c a bc b c 2b 6bc c Để ý đến bất đẳng thức 22 2 xy z xy yz zx Lời giải Dễ dàng chứng minh được 44 422 4 xy x y 2x 6xy y Áp dụng hằng đẳng thức trên ta được 44 4 2 24 44 4 2 24 44 422 4 a b c b c a 2b c 6ab c a c a b a b c 2b c 6ab c a bc b c 2b 6bc c Do đó ta được 44 44 22 44 4 22 2 44 4 22 22 22 ab c b c a c a b a b c 4 a b c 24b c 12a b c b c 4a b c 24 ab bc ca Như vậy ta cần chứng minh 44 4 22 22 22 4 4 4 22 2 2 2 2 4 4 4 4 a b c 24 a b b c c a 28 a b c ab bc ca a b c Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 44. Cho a, b, c là các số thực khác 1 thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 a1 b 1 c 1 Phân tích: Từ giả thiết abc 1 ta nghĩ đến cách đặt biến phụ 11 1 a;b ;c xy z . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 11 1 1 1x 1 y 1 z . Sử dụng các biến đổi cơ bản và giả thiết xyz 1 ta có các kết quả sau 3x y z 11 1 1 1x 1 y 1 z xy yz zx x y z 3x y z 11 1 1 x 1y 1y 1 z 1 z 1 x xy yz zx x y z Đến đây ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 2 11 1 1 1 1 21 1x 1y 1 z 1x 1y 1y 1 z 1 z 1x Và sử dụng các kết quả trên. Lời giải Vì abc 1 nên a,b,c 0 . Đặt 11 1 a;b ;c xy z , khi đó xyz 1 và x,y,z 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 11 1 1 1x 1y 1 z Bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 2 11 1 1 1 1 21 1x 1y 1 z 1x 1 y 1y 1 z 1 z 1 x 32x y z xy yz zx 3 x y z 21 xy yz zx x y z xy yz zx x y z 3x y z 3x y z 121 10 xy yz zx x y z xy yz zx x y z 2 3x y z 10 xy yz zx x y z Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 45. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab b c c a 2 ab b c c a Phân tích: Quan sát kĩ bất đẳng thức cần chứng minh ta có các nhận xét như sau + Để ý ta thấy ab 2a ab 2b 1, 1 ab ab ab ab , do đó ta có kết quả sau ab b c c a ab b c c a 11 1 1 1 1 a b b c ca a b b c ca Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể đặt ab b c c a x;y ;z ab b c c a , khi đó ta được x 1 y1 z 1 x1 y 1 z 1 hay xy yz zx 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là 22 2 xy z 2 . Đến đây ta có thể chứng minh được bất đẳng thức + Với cách đặt ab b c x;y ab b c như trên ta có được một kết quả khác như sau xy 1 a b b c a b b c a c .1: x y abb c ab b c a c Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 xy 1 xy 1 xy 2 x y 2xy 2 xy xy Đến đây ta cũng có thể chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải Cách 1: Đặt ab b c c a x;y ;z ab b c c a . Khi đó ta có 8abc x1 y 1 z 1 ab b c c a Và 8abc x1 y 1 z 1 ab b c c a Suy ra x 1 y1 z 1 x1 y 1 z 1 2 xy yz zx 2 xy yz zx 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 22 2 2 2 2 xy z 2 xy z 2xy yz zx 0 x y z 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 0 hay một trong ba số a, b, c bằng 0. Cách 2: Đặt ab b c x;y ab b c . Khi đó ta được xy 1 a b b c a b b c .1: x y abb c ab b c ab b c a b b c ab b c a b b c : ab b c ab b c 2ab 2bc a c 2ab 2bc a c Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 xy 1 xy 1 xy 2 x y 2xy 2 xy xy Dễ thấy 2 2 xy 1 xy 2xy 1 xy Do đó ta được 2 2 xy 1 x y 2xy 2 xy 1 2xy 2 xy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi một trong ba số a, b, c bằng 0. Ví dụ 46. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: abc 3 2a bc a 2bc a b 2c 4 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đưa ra các ý tưởng sau + Thứ nhất ta để ý đến biến đổi sau aabc 1 2a b c 2a b c . Áp dụng tương tự ta có thể đổi chiều bất đẳng thức. Đến đây để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể đặt biến phụ x 2a b c; y a 2b c; z a b 2c . + Đặt biến phụ x 2a b c; y a 2b c; z a b 2c ngay từ đầu và khi đó ta được bất đẳng thức 3x y z 3y x z 3z x y 3 4x 4y 4z 4 . + Đặt biến phụ x b c; y a c; z a b và viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau yz x z x y x y z 3 4 2y z 2 z x 2x y . Với các bất đẳng thức ở cả ba ý tưởng trên ta có thể chứng minh tiếp bằng biến đổi tương đương. Lời giải Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh abc9 111 2a bc a 2bc a b 2c 4 ab c a b c ab c 9 2a bc a 2bc a b 2c 4 11 1 4a b c 9 2a b c a 2b c a b 2c Đặt x2a b c;y a 2b c;z a b 2c x y z 4a b c Khi đó bất đẳng thức trên trở thành 22 2 11 1 x y y z x z xy z 9 2 2 2 0 xy z y x z y z x xy y z z x 0 2xy 2yz 2zx Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Đặt x2a b c;ya 2b c;z a b 2c Suy ra 3x y z 3y x z 3z x y a;b ;c 44 4 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 3x y z 3y x z 3z x y 3 4x 4y 4z 4 1x y y z z z 3 x y y z z z 6 4y x z y x x 2 y x z y x x xy y z z x xy y z x z 22 20 0 yx z y z x 2xy 2yz 2zx Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 3: Đặt x b c; y a c; z a b Suy ra yz x x z y x y z a;b ;c 22 2 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành yz x z x y x y z 3 x y z 3 4yz zx x y 2 2y z 2 z x 2x y Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Neibizt. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 47. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 11 1 b c c a a b ab c abc b ca c ab Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh thực sự đã gây ra rất nhiều khó khăn khi giải nó. Khi thực hiện biến đổi tương đương thì ý nghĩ đầu tiên là chuyển vế và xét các hiệu theo nhóm, nhưng ta cần ghép các nhóm như thế nào cho phù hợp. Để ý một công cụ rất hiệu quả trong lúc bế tắc đó là vai trò các biến như nhau nên có thể sắp thứ tự các biến. Cho nên ta ghép đại các nhóm như sau 22 2 2 3 22 1a b 1 b c 1 c a ac b cab a bc b ca ca c a bc ab ab b c ba babc ca a bc c ab Đến đây thì hay rồi, chỉ cần chọn b là số lớn nhất trong ba số a, b, c là bài toán coi như xong. Nói thật nếu khi ghép theo cách khác và được kết quả khác thì ta có thể sắp thứ tự các biến theo kiểu khác cũng không sao cả. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 22 2 22 2 22 3 22 2 3 22 11 1 b c c a a b ab c abc b ca c ab 1a b 1 b c 1 c a 0 ac b cab a bc b ca bc b a 11 ca 0 babc ac ab c a bc c a c a bc ab ab b c b a 0 babc ca a bc c ab Không mất tính tổng quát ta giả sử b là số lớn nhất trong ba số a, b, c khi đó ta được 3 bc b a bc ab ca 0; 0 babc Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 48. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 22 2 2 ab c a b c bc c a a b bc a c a b Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức cồng kềnh và phức tạp, ở đây ta cũng có dấu bằng xẩy ra tại ab c nên khi biến đổi tương đương ta thường nghĩ đến các đại lượng 22 2 ab ;b c ; c a . Ta để ý đến việc xét các hiệu 22 2 22 22 2 2 aa b b c c ;; bc c a a b b c ac ab Kết quả thu được là 2 22 22 22 2 22 22 22 ab a b ac c a aa bc bc bc b c bc b c bc b c ab a b bb ca ac ca c a ca c a 2 22 22 22 ca c a bc b c cc ab ab ab a b a b a b Khi đó có 6 phân thức rất phức tạp. Đến đây ta chọn các biểu thức cùng tử để ghép cặp vì ghép các phân thức cùng mẫu lại không cho ta kết quả tốt. Chẳng hạn 22 2 2 abab abab bc b c c a c a Với các biểu thức như trên ta có thể biến đổi tiếp hoặc tìm cách sắp thứ tự biến. Lời giải Xét hiệu hai vế ta được bất đẳng thức 22 2 22 22 2 2 aa b b c c 0 bc c a a b b c ac ab Đặt 22 2 22 22 2 2 aa b b c c A;B ;C bc c a a b b c ac ab Ta có 222 2 22 22 22 22 ab c ab c ab a b ac c a aa A bc bc b c bc b c bc b c bc Chứng minh tương tự ta được 22 22 2 2 2 2 bc b c ab a b ca c a bc b c B;C ca c a ca c a a b a b a b a b Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 22 2 2 2 2 22 2 2 ab a b ac c a bc b c ab a b bc b c b c b c c a c a c a c a ca c a bc b c 0 a b ab a b ab Đến đây ta có hai hướng chứng minh bất đẳng thức trên + Hướng 1: Xét các hiệu sau 2 22 2 22 2 2 22 2 2 ab a b a b c ab bc ca ab a b ab a b 0 b c bc c a c a b c bc c a c a 2 22 2 22 2 2 22 2 2 2 22 2 22 2 2 22 2 2 bc b c a b c ab bc ca bc b c bc b c 0 ca c a a b a b ca c a a b a b ca c a a b c ab bc ca caca acca 0 ab a b b c b c ab a bb c b c Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . + Hướng 2: Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử ab c 0 . Khi đó ta có 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 22 abab abab ab ab ab 0 b c bc c a c a b c bc c a c a bc b c bc b c bc bc bc 0 ca c a a b a b ca c a a b a b ca c a ac c a ca ca ac 0 a b a b b c bc b c bc a b a b Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Một số bài toán khác Ví dụ 49. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 2 2 2 a b ca bb cc a bc a 2 2 2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 222222 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 22 22 2 2 22 2 ab c abbccaabc 2a b 2b c 2c a bc a 2 2 2 2 ab b c c a ab a b b c b c c a c a bcc 2 2 2 2 2 2 ab b c c a ab bcc 22 a b 2 a b bc c a 22 b c 2 b c 2 2 c a 2 c a Aa b B b c C c a 0 Với 22 22 22 11 A b 22 a b 2 a b 11 B c 22 b c 2 b c 11 C c 22 c a 2 c a Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được A,B,C 0 . Thật vậy 22 22 22 22 a b 2a b 11 A0 b 22 a b 2 a b 2 2 a b 2 a b Hoàn toàn tương tự ta có B,C 0 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 50. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 ab c ab ab b c bc c a ca bc a Lời giải Nhận thấy 2 2 ab a 2a b bb và 2 22 22 3a b ab aab b 2 4a ab b 2a 2b Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức tương đương với 22 2 2 22 22 22 2 2 22 2 ab b c c a 3a b bcc 4a b 2ab 2a b 3b c 3 c a 4b c bc 2b c 4c a ca 2c a Aa b B b c Cc a 0 Với 22 22 22 13 A b 4a b ab 2 a b 13 B c 4b c bc 2 b c 13 C c 4c a ca 2 c a Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được A, B,C 0 . Thật vậy 22 22 2 2 13 4abab2ab A0 b 4a b ab 2 a b 4a b ab 2 a b Hoàn toàn tương tự ta có B,C 0 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Nh ận xét: Hai b ất đẳng th ức trên ngoài phép bi ến đổi t ương đương ta còn có th ể ch ứng minh b ằng nhi ều cách khác nhau. L ời gi ải các cách khác đư ợc trình bày trong ch ủ đề “Tuy ển ch ọn các b ất đẳng th ức hay và khó”. Ví dụ 51. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab c a bc b c ca a b a b b c ca Lời giải Ta có 22 2 2 2 2 ab b c c a ab b c c a 0 ab b c c a Do đó 22 2 2 2 2 ab c b c a a b bc c a a b bc c a Khi đó ta cần chứng minh 22 2 2 2 2 2 2 2 2a 2b 2c a b b c c a bc c a a b a b bc c a Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2a b c 2b c a 2c a b 0 bc c a a b ab a b b c b c c a c a 0 ac b c ab a c ab b c Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 52. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 222 22 2 ab b c c a 5 2 a 2ab b b 2bc c c 2ca a Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 ab a b b c b c c a c a 5 ab b c c a ab b c c a 2 ab b c c a Đặt ab b c c a x;y ;z ab b c c a , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy z 2 Ta có a b b c b c ca ca a b xy yz zx a b bc bc c a c a a b a b bc c a bc c a a b c a a b b c ab b c c a ab b c c a 1 ab b c c a Mà 2 xy z 0 , do vậy 22 2 x y z 2 xy yz zx 2 . Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Ví dụ 53. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 3a b c ab b c c a ab b c c a ab c Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 3a b c ab b c c a ab b c c a ab c ca b a b c b c a 2a b c 3a b c ab b c c a ca b 2ab a b c 2bc b c a 2ca ab c ab b c c a 11 1 2ab bc ca a b c abc ab b c c a Theo bất đẳng thức dạng 11 1 9 xy z x y z ta được 22 2 2 2 2 11 1 9abc ab c 2abc a b c ab b c c a a b c Ta cần chỉ ra được 22 2 9abc ab c 2ab bc ca ab c , bất đẳng thức này tương đương với 33 3 ab c 3abc ab c bc a ca b . Không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có 2 33 3 ab a b c cac b c 0 ab c 3abc ab c bc a ca b Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Ví dụ 54. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 23 2 5b a 5c b 5a c ab c ab 3b bc 3c ca 3a Lời giải Cách 1: Ta sẽ chứng minh 33 2 5b a 2b a ab 3b với a, b là các số thực dương. Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 33 2 3 3 2 3 2 2 2 33 2 2 5b a 2b a ab 3b 5b a 2ab 6b a b 3ab ab ab ab a ba b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Chứng minh tương tự ta được 33 3 3 32 5c b 5a c 2c b; 2a c bc 3c ca 3a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 3 23 2 5b a 5c b 5a c ab c ab 3b bc 3c ca 3a Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Ta có 33 2 3 3 2 32 3 2 2 2 2 22 2 2 2 2 a 5b2bab 3b a b2ab aab b ab 2ab ab ab 2a b 2ab 2ab a b ab a ab 3b Do đó ta có 33 2 a5b 2b a ab 3b hay ta được 33 2 5b a 2b a ab 3b Áp dụng tương tự ta được 33 3 3 32 5c b 5a c 2c b; 2a c bc 3c ca 3a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 3 23 2 5b a 5c b 5a c ab c ab 3b bc 3c ca 3a Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: Trong hai cách ch ứng minh trên, m ục đích chung đều là đi ch ứng minh b ất đẳng th ức 33 2 5 2 3 ba ba ab b , nh ưng v ấn đề đặt ra là làm th ế nào để tìm ra được đại l ượng 2 ba . Câu tr ả l ời s ẽ được trình bày trong ph ụ l ục “Ph ương pháp h ệ s ố b ất định trong ch ứng minh b ất đẳng th ức”. Ví dụ 55. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0a,b,c 2 và ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c 9 Lời giải Cách 1: Đặt 33 3 Aa b c và kết hợp với giả thiết của bài toán ta được 3 33 3 A a b c ab c 3ab b c c a 27 3 3 c 3 a 3 b 27 9 ab bc ca 3abc Mặt khác, do 0a,b,c 2 nên 2 a 2b 2c 0 hay 8 4 a b c 2 ab bc ca abc 0 2ab bc ca abc 4 a b c 8 4 2ab bc ca abc 4 Khi đó ta được 2A 54 9.2 ab bc ca 6abc 54 9. abc 4 3abc 18 6abc 18 Suy ra A9 , do đó ta được bất đẳng thức 33 3 ab c 9 . Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc 0 2ab bc ca 4 ab c 3 Giải hệ trên ta được a2;b 1;c0 và các hoán vị của nó. Cách 2: Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất. Khi đó ta được 3a b c 3a , suy ra 1a 2 . Do đó ta được a1 a 2 0 Ta có 33 33 3 3 3 3 3 3 Aa b c a b c 3bcb c a b c a 3 a 9 a 1 a 2 9 Hay ta được bất đẳng thức 33 3 ab c 9 . Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2;b 1;c0 và các hoán vị của nó. Chủ đề 2 SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. Kiến thức cần nhớ 1. Một số tính chất của tỉ số + Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có 11 ab ab + Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: - Nếu a 1 b thì aa c bb c - Nếu a 1 b thì aa c bb c - Nếu ac bd thì aa c c bb d d 2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức + aa;a 0 + ab b a b + ab ab 0 ab + ab a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + ab a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + ab a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 0 hoặc ab 0 . + Cho các số thực 12 n a ,a ,...,a , thế thì hiển nhiên ta có 12 n 1 2 n a a ... a a a ... a + Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có ab 2 ba . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . 3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức. Cho tam thức bậc hai 2 f(x) ax bx c với a0 . Khi đó ta viết được 2 2 2 b f(x) ax bx c a ax 2a 4a với 2 b 4ac Từ đó ta có một số tính chất sau: Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi 2 b 4ac 0 Tính chất 2: Nếu 2 b 4ac 0 thì af(x) 0 . Tính chất 3: Nếu 2 b 4ac 0 và đa thức có hai nghiệm 12 1 2 x; x x x thì + af(x) 0 với mọi giá trị 12 xx x . + af(x)>0 với mọi giá trị 1 xx hoặc 2 xx . B. Một số ví dụ minh họa. 1. Sử dụng tính chất của tỉ số. Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab 1 2a b a 2b Phân tích: Để ý ta thấy ab 1 ab ab , như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta cần đánh giá được aa b b ; 2a b a b 2b a a b . Lời giải Do a, b là các số dương nên ta có 2a ba b;a 2ba b Từ đó suy ra aa b b ; 2a b a b 2b a a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab a b ab 1 2a b 2b a ab ab ab Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab c 12 ab b c c a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép trên ta nhận thấy khó có thể biến đổi tương đương để chứng minh bài toán, ở đây ta cũng không cần phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra. Để ý một chút ta có abc 1 ab c a b c ab c , như vậy cần đánh giá được aa ab c a b . Dễ nhận thấy đánh giá đó hiển nhiên đúng, do đó chỉ cần áp dụng tương tự thì bất đẳng thức bên trái được chứng minh. Để chứng minh được bất đẳng thức bên phải thì ta cần phải đánh giá được a ac ab c ab , việc này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ tính chất của tỉ số. Lời giải Do a, b, c là các số dương nên ta có a 1 ab . Vì vậy theo tính chất của tỉ số ta được aa ac ab c ab c a b Áp dụng tương tự ta có bb c c ab b c ab c a b c ab c b c a b c c a , Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức kép trên ta được ab c 12 ab b c c a Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Cho a, b, c, d là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: abc d 12 a b c b cd cd a d a b Lời giải Theo tính chất của tỉ số ta có aa ad 1 ab c a b c ab c d Mặt khác ta lại có aa ab c a b c d Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được aa ad ab c d ab c a b c d Tương tự ta có bb ba ab c d b c d a b c d cc bc a b cd cd a a bc d dd dc ab c d d a b a b c d Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được. abc d 12 a b c b cd cd a d a b Nh ận xét: Để ch ứng minh các b ất đẳng th ức ta c ần tinh ý s ử d ụng các tính ch ất c ủa t ỉ s ố. Ngoài ra các b ất đẳng th ức trong ở hai ví d ụ trên có th ể được phát bi ểu l ại nh ư sau: Cho các bi ểu th ức v ới a, b, c là các s ố th ực dương. ab c A a b bc ca ab c d B a b c bcd cd a d a b Ch ứng minh A, B không th ể nh ận các giá tr ị nguyên. Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ac bd . Chứng minh rằng: 22 aab cd c bd bd Phân tích: Để ý ta nhận thấy 22 ac ab cd bd bd , đến đây ta áp dụng tính chất của tỉ số để chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Từ ac bd suy ra 22 ab cd bd , theo tính chất tỉ số ta được 22 2 2 ab ab cd cd c d bb d d Do đó ta có 22 aab cd c bd bd Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab c 1 bc c a a b Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nhìn chiều bất đẳng thức ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên để đánh giá được bất đẳng thức theo Cauchy không hề đơn giản tí nào với những ai mới học bất đẳng thức. Chú ý đến giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác, nó có mối liên hệ như thế nào với a bc , do bc a nên ta thấy được a 01 bc , với kết quả đó ta có thể khử căn bằng đánh giá aa bc bc . Đến đây thì bài toán đươc giải quyết triệt để tương tự như ví dụ thứ nhất. Lời giải Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có aa a 01 bc bc bc Vì a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được aa bc a b c Do đó ta có aa bc a b c Chứng minh tương tự ta được bb c c ; ca a b c a b a b c Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được ab c 1 bc c a a b Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 1a b a b a b 2 a 1 b 1 a b1 a 1 b1 Phân tích: Để ý ta thấy a 1 a1 nên có aa ab 1 a 1 và aab a1 a b 1 , áp dụng tương tự ta chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải + Trước hết ta chứng minh 1a b a b 2a 1 b 1 a b 1 Do a là số thực dương nên ta có a 1 a1 suy ra aab a1 a b 1 Chứng minh tương tự ta có bab b1 a b 1 Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cuối ta được 1a b a b 2a 1 b 1 a b 1 + Ta chứng minh ab a b ab 1 a 1 b 1 Do a, b dương ta có aa a1 a b 1 và bb b1 a b 1 Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta được ab a b ab 1 a 1 b 1 Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được bài toán cần chứng minh. Ví dụ 7. Cho 12 n 1 2 n a ; a ;...; a ; b ; b ;...; b là các số thực dương. Kí hiệu 12 n 1 2 n 12 n 1 2 n aa a a a a M Max ; ; ...; ; m Min ; ; ...; bb b b b b Chứng minh rằng: 12 n 12 n a a ..... a mM bb .... b Phân tích: Nhận thấy 12 n 1 2 n 12 n 1 2 n aa a a a a M Max ; ; ...; ; m Min ; ; ...; bb b b b b nên ta có i i a mM b với mọi i1,2, ,n . Do đó ta được ii i mb a Mb , đến đây ta áp dụng cho i1,2, ,n thì ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Lời giải Vì 12 n 1 2 n 12 n 1 2 n aa a a a a M Max ; ; ...; ; m Min ; ; ...; bb b b b b nên ta được i i a mM b với mọi i1,2, ,n . Suy ra ii i mb a Mb với mọi i1,2, ,n . Lần lượt cho i bằng các giá trị 1, 2, , n rồi cộng các theo vế lại với nhau ta được 12 n 1 2 n 1 2 n b b .... b m a a ..... a M b b .... b Hay 12 n 12 n a a ..... a mM b b .... b . Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 11 1 1 abc a b abc b cabc ca abc Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải thay đại lượng ở các mẫu bên vế trái bởi các đại lượng nhỏ hơn sao cho khi biểu thức thu được vẫn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải. Điều đó có nghĩa là cần tìm vế phải cho bất đẳng thức 33 ab abc ? , để ý trong vế trái của bất đẳng thức ta không đánh giá được gì từ tích abc, cho nên ta tập trung đánh giá 33 ab . Trong vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh có chứa tích abc ở mẫu nên khi đánh giá mẫu vế trái ta cũng cần làm xuất hiện tích abc ở các phân thức, như vậy khi đánh giá 33 ab cần làm xuất hiện tích ab, điều này gợi ý cho ta đánh giá rất đẹp 33 ab aba b . Nếu chứng minh được bất đẳng thức đó thì ta thu được kết quả là 33 ab aba b khi đó ta suy ra được đánh giá 33 ab abc ab a b c . Đến đây ta có các đánh giá tiếp theo 33 11 c ab abc abab c abcab c Như vậy ta cần tập trung chứng minh 33 ab aba b , bất đẳng thức này được biến đổi tương đương thành 2 ab a b 0 là một đánh giá đúng. Lời giải Ta có 33 2 2 22 2 2 2 a b ab ab ab a ab b ab ab a b a ab b ab a b a 2ab b ab a b 0 Suy ra 33 33 33 ab aba b a b abc ab a b abc ab abc ab a b c Từ đó ta được 33 11 c ab abc abab c abcab c Chứng minh tương tự ta có 33 33 11 a bc abc bc a b c abc a b c 11 b ca abc acab c abcab c Cộng theo vế các bất đẳngthức trên ta được 33 3 3 3 3 11 1 1 abc a b abc b cabc ca abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: B ất đẳng th ức trên là m ột b ất đẳng th ức hay. Để ch ứng minh được nó ta c ần ch ứng minh 33 ab aba b . Nh ưng v ấn đề là làm sao tìm ra được b ất đẳng th ức ph ụ đó. Đầu tiên là do yêu c ầu làm xu ất hi ện tích ab, k ế đến là c ần ph ải làm cho hai v ế đồng b ậc 3 và cu ối cùng là chú ý khi ab thì hai v ế c ủa b ất đẳng th ức đó b ằng nhau. Khi phân tích bài toán ta c ần chú ý đến các y ếu t ố nh ư đẳng th ức x ẩy ra ở đâu, tính đồng b ậc c ủa b ất đẳng th ức, ch ọn chi ều đánh giá nh ư th ế nào cho h ợp lí,... Tuy nhiên khi ti ến hành các bước phân tích mà gi ả thi ết càng g ần v ới k ết lu ận thì c ơ h ội càng l ớn. Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 11 1 1 2 a2b 3 b 2c 3 c 2a 3 Phân tích: Ý tưởng tương tự như ví dụ trên, ở đây ta chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 , như vậy ta cần có các đánh giá sao cho đảm bảo có đẳng thức xẩy ra. Nhận thấy 22 2 ab 2ab;b 1 2b nên 22 a2b3 2ab b 1 . Khi đó ta có đánh giá 22 11 1 2ab b 1 a2b 3 . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 11 1 11 1 1 2ab b 1 bc c 1 ac a 1 a2b 3 b 2c 3 c 2a 3 Vấn đề còn lại là chứng minh được 11 1 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 . Đây là một đẳng thức quen thuộc và nhiều hướng để xử lí nó. Lời giải Ta có 22 2 2 2 ab 2ab;b 1 2b a 2b 3 2ab b 1 Do đó ta được 22 11 1 2ab b 1 a2b 3 Chứng minh tương tự ta có 22 2 2 11 1 1 1 1 ; 2bc c 1 2 ac a 1 b2c 3 c2a 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 11 1 11 1 1 2ab b 1 bc c 1 ac a 1 a2b 3 b 2c 3 c 2a 3 Ta cần chứng minh 11 1 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau Cách 1: Do abc 1 , nên tồn tại các số dương x, y, z để xy z a;b ;c yz x Khi đó ta có 1 1 1 111 ab b 1 bc c 1 ca a 1 x y y z x z 11 1 zz x x y y zx y 1 xy z x y z x y z Cách 2: Do abc 1 , nên ta được 11 1 abc a 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 ab b abc abc ac a ca a 1 ac a 1 1 a1 ac 1 ac a ca a1 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 222 1 a1 b 1 b 1 c 1 a1 b 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 2 a 1 b 1 a b 2a 2 2ab 2a 2 Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 22 2 a1 b 1 b 1 c 1 a1 b 1 11 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 Ta cần chứng minh 11 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau Cách 1: Do abc 1 , nên tồn tại các số dương x, y, z để xy z a;b ;c yz x Khi đó ta có 11 1 1 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 x x y y z z 11 1 zy xz y x yz xz yy 1 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Cách 2: Do abc 1 , nên ta được 11 1 abc 1 b ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a abc bc b 1 cab bc b bc 1 b 1 bc b 1 bc b 1 1 bc b Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Nh ận xét: Các b ất đẳng th ức trong ví d ụ 8, 9 và 10 cho th ấy k ỹ thu ật đánh giá ở m ẫu được s ử d ụng nh ư th ế nào trong chứng minh b ất đẳng th ức, th ực ch ất c ủa vi ệc đánh giá này là thay th ế các m ẫu b ởi các đại lượng khác sao cho các đánh giá cùng chi ều và đảm b ảo d ấu đẳng th ức x ẩy ra. Đi ều quan tr ọng là bi ết cách ch ọn các đánh giá phù h ợp sao cho càng ch ặt càng t ốt. Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 1 ab ab b c bc c a ca Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta có nhận xét là tử của các phân thức là các đại lượng ab, bc, ca. Chú ý đến giả thiết abc 1 ta có thể viết lại phân thức bên vế trái theo các ý tưởng như ab 1 a b ab ac bc 1 hoặc là ab 1 ab ab 1 1 1 ab . Đến đây ta viết được vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành các biểu thức 11 1 ac bc 1 ab bc 1 bc ca 1 hoặc 11 1 11 1 1 1 1 11 1 ab b c c a và để đơn giản ta có thể đặt 33 3 xab;ybc;z ca hoặc 33 3 11 1 x;y ;z ab c và chú ý đến giả thiết abc 1 dẫn đến được xyz 1 , lúc này ta được bất đẳng thức như ví dụ 9. Lời giải Để ý với điều kiện abc 1 , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 11 1 1 11 1 1 1 1 11 1 ab b c c a Đặt 33 3 11 1 x;y ;z ab c , khi đó ta được xyz 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 3 3 3 11 1 1 xy 1 y z 1 z x 1 Ta chứng minh được 33 x y 1 xy x y xyz xy x y z và áp dụng tương tự ta được 33 3 3 3 3 11 1 1111 1 xy z xy yz zx xy 1 y z 1 z x 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Nh ận xét: B ất đẳng th ức trên là m ột b ất đẳng th ức khó, khi tôi phân tích để tìm l ời gi ải thì các câu h ỏi được đặt ra nh ư bi ến đổi các bi ểu th ức nh ư th ế nào để bài toán đơn gi ản h ơn, s ử d ụng gi ả thi ết nh ư th ế nào đây, thay vì đánh giá c ả t ử và m ẫu ta có quy v ế đánh giá m ẫu được không. Sau các bước bi ến đổi nh ư trên thì bài toán nhìn có v ẻ d ễ h ơn đôi chút và n ếu t ận d ụng t ốt các l ợi th ế này thì công vi ệc còn l ại s ẽ không gây đư ợc khó kh ăn n ữa. Ví dụ 12. Cho các số thực a; b; c [0; 1] . Chứng minh rằng: ab c 1 ac b 1 ab c 1 bc a 1 Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể trực tiếp đánh giá tử của các phân thức, do vậy ta tìm cách đánh giá mẫu của mỗi phân thức. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức trên, ta cần một đánh giá kiểu ab c 1 ? . Giả thiết có gợi cho ta điều gì? Nên nhớ là khi a; b; c [0; 1] ta thường thu được các bất đẳng thức dạng 1a 1 b 0 hay 1ab a b , đến đây ta cộng vào hai vế với c thì được ab c 1 a b c . Lúc này ta có đánh giá tốt cho việc chứng minh bất đẳng thức là aa ab c 1 a b c . Chỉ cần áp dụng tương tự cho các trường hợp còn lại là ta hoàn thành chứng minh bài toán. Lời giải Vì a; b [0; 1] nên ta có 1a 1 b 0 suy ta 1ab a b Do đó ta được ab c 1 a b c suy ra aa ab c 1 a b c . Chứng minh tương tự ta được bb c c ; ab c 1 a b c bc a 1 a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab c 1 ac b 1 ab c 1 bc a 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 13. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 1 a 1b 1c 7 2 1b 1 c 1 a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đẳng thức không xẩy ra tại ab c mà xẩy ra tại a1;b c 0 và các hoán vị. Trong trường hợp này để dễ có những đánh giá hợp lí ta có thể sắp thứ tự các biến. Vì đẳng thức xẩy ra tại a1;b c 0 nên không mất tính tổng quát ta sắp thứ tự các biến bằng cách chọn a là số lớn nhất. Khi đó ta mạnh dạn có các đánh giá kiểu như 22 1b 1;1c 1 mà vẫn bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, các đánh giá này dẫn tới 22 22 22 1a 1 b 1a; 1 b 1b 1 c . Còn lại 2 2 1c 1a cần phải đánh giá như thế nào để cùng chiều với hai đánh giá trước đó. Để ý là sau khi đánh giá hai phân thức đầu ta thu được 22 ab như vậy ta cần làm xuất hiện 2 c trong đánh giá 2 2 1c 1a . Để ý đến a là số lớn nhất nên ta có 2 2 22 1c 1 c 1a 1 a . Kết quả là sau một số bước đánh giá như trên ta thu được đại lượng 22 2 2 1 2a b c 1a , bây giờ nếu biến đổi được thành biểu thức chỉ chứa biến a thì càng dễ chứng minh hơn. Từ giả thiết ab c 1 và chú ý đến bc0 ta có một đánh giá rất tự nhiên là 22 22 bc b c 1 a . Bây giờ việc chứng minh bất đẳng thức hoàn toàn đơn giản. Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có 22 1b 1;1c 1 . Do đó 22 2 22 2 22 2 2 1a 1 b 1 c 1 1a; 1 b; c 1b 1 c 1 a 1 a Từ đó ta được bất đẳng thức 22 2 22 2 22 2 2 22 22 22 1 a 1b 1c 1 2a b c 1 b 1 c 1a 1a 11 2a b c 2a 1 a 1a 1a Ta cần chứng minh 2 23 2 17 2a 1 a a 1 4a 3a 1 0 2 1a Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1;b c 0 và các hoán vị. Nh ận xét: Đi ểm m ấu ch ốt để tìm ra cách ch ứng minh b ất đẳng th ức trên chính là các đánh giá 22 2 22 2 22 2 2 11 1 1 1; 1 ; 11 1 1 ab c ab c bc a a , vi ệc phát hi ện ra các đánh giá đó đòi h ỏi ph ải có s ự suy lu ận m ột cách lôgic. Ví dụ 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 3 1bc 1 ca 1 ab . Chứng minh rằng: ab c 3 1 a bc 1b ca 1c ab 4 Lời giải Đặt ab c x;y ;z 1bc 1 ca 1 ab , suy ra ta có xy z 3 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành xy z 3 1x 1 y 1 z 4 Mà ta có xx y y z z ;; 1x 1x y z 1y 1x y z 1 z 1x y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được xy z 3 1x 1 y 1 z 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a3;b c 0 và các hoán vị. 2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối. Ví dụ 15. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab c b c a 1 bc a c a c Phân tích: Để ý ta có 2 2 22 22 ab c b c a ac ba cb ab ca bc bc a c ac abc , phân tích thành nhân tử 2 2 22 22 ac ba cb a b ca bc a b b c c a , mà a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ab c;b c a;c a b . Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải Ta có 22 2 2 2 2 a b c b c a ac ba cb ab ca bc bc a c a c abc ab b c c a abc Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta có ab c;b c a;c a b Do đó ta suy ra ab b c c a abc Hay ab b c c a 1 abc Suy ra ab c b c a 1 bc a c a c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 aab b b bc c c ca a 3 Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát kĩ bất đẳng thức ta có nhận định là cần phải có một đánh giá kiểu 2 22 aab b ka b để khi khử căn ta thu được ab . Vấn đề là cần xác định giá trị của k để đánh giá trên là đúng, nhớ là đẳng thức xảy ra tại ab c nên ta xác định được 1 k 4 , tức là ta có 2 22 1 aab b a b 4 . Một điều nữa cần chú ý là các biến a, b, c là các số thực bất kì nên khi khử căn ta cần lấy giá trị tuyệt đối và để ý đến ab a b . Lời giải Trước hết ta chứng minh 2 22 ab aab b 4 . Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 22 2 2 2 2 4a bab a b2ab 3a 2ab b 0 3a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức trên được chứng minh. Từ bất đẳng thức trên ta có 2 22 ab ab ab aab b 42 2 Chứng minh tương tự ta được 22 2 2 bc c a bbc c ; c ca a 22 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 2a b c aab b b bc c c ca a 3 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 17. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: ab c a b c a b b c c a Phân tích: Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta luôn có ab a b , bây giờ ta tìm cách chứng minh c a bc bc c a . Để là mất các giá trị tuyệt đối ta thường sử dùng cách xét dấu các số hoặc là bình phương hai vế, trong trường hợp này ta chọn cách bình phương hai vế vì việc xét dấu rất khó khăn. Khi bình phương hai vế ta thu được kết quả là: ab ca b c a c b c ab ca b c ab ca b c Bất đẳng thức sẽ được giải quyết nếu như ta khẳng định được ab 0 . Chú ý đến vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức thì việc giả sử ab 0 là hoàn toàn thực hiện được. Bây giờ ta cần trình bày lại lời giải nữa là xong. Lời giải Trong ba số a, b, c có ít nhất hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a, b. Khi đó ta được ab a b Như vậy ta chỉ cần chứng minh c a bc bc c a Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 222 2 c a b c 2cab c a c b c 2ac b c ab ca bc a c bc ab ca bc ab ca bc Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a, b, c cùng dấu. Ví dụ 18. Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 2 ab 1 ab 1 4 1a 1 b Phân tích: Ta có một đẳng thức quen thuộc là 22 2 1a 1 b 1a b ab và như vậy nếu ta đánh giá được 2 1 ab 1 ab 1 a b ab 4 thì bài toán xem như được giải quyết. Để ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Cauchylaf 2 1 ab 1 ab 1 a b ab 4 và ta cần chỉ ra được ab 1 ab a b 1 ab , đánh giá này là hoàn toàn đúng đắn theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. Lời giải Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta được ab a b;1 ab 1 ab Do đó ta được 2 22 22 22 a b 1 ab a b 1 ab ab a b 1 1 4 1a 1 b 1a 1 b 41 a 1 b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a0;b 1 hoặc a1;b 0 . Ví dụ 19. Cho a, b, c là các số thực đôi một không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 11 ab b c c a Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức là 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 1 ab b c c a , như vậy nếu đánh giá được 22 2 2 ab a b thì bài toán được chứng minh. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 1 ab b c c a Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 22 2 2 ab a b . Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 22 22 2 2 22 ab a b 4ab 0 , Đúng với mọi a, b. Chứng minh tương tự như trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 bc b c;c a c a Nhân theo vế các kết quả trên ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 1 ab b c c a Vì đẳng thức không xẩy ra nên ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 1 ab b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 20. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 3 3abc a b b c c a a b c Phân tích: Nhận định đầu tiên khi tìm hiểu bất đẳng thức trên là tìm cách phá giá trị tuyệt đối. Quan sát kĩ ta thấy không thể bình phương cũng không thể xét dấu các đại lượng để phá giá trị tuyệt đối được. Trong trường hợp này ta thử nghĩ đến cách sắp thứ tự các biến để phá giá trị tuyệt đối xem có thể chứng minh được hay không. Chẳng hạn ta chọn ab c , khi đó ta phá được các giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức được viết lại thành 3 3abc a b 3c 0 , nhận thấy 3 ab 0;3abc 3c 0 nên bất đẳng thức thu được hoàn toàn đúng. Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử ab c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3 3 333 2 3abc ab b c ac a b c 3abc a b 3c 0 a b 3 c ab c 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì ab c . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 21. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 ab b c c a 2a b c ab bc ca Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử ab c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 22 2 2 2 22 2 2 2 ab b c a c 2a b c ab bc ca 2a c 2 a b c ab bc ca 4a c 2 a b b c c a a c bc c a a b bc bc c a 2a b b c 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do ab c . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 22. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 33 3 3a b b c c a ab c abc 34 Phân tích: Trước hết ta dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải xuất hiện các đại lượng ab;b c;c a nên suy nghĩ đầu tiên khi biến đổi bất đẳng thức là cần phải làm thế nào để xuất hiện ở vế trái các đại lượng ab;b c;c a , chính yêu cầu này làm ta liên tưởng đến một hằng đẳng thức bậc ba hết sức quen thuộc đó là 22 2 33 3 1 ab c 3abc a b c a b b c c a 2 . Như vậy sau khi áp dụng thì vế trái của bất đẳng chứa đại lượng 22 2 ab b c c a mà bên vế phải lại là tích các đại lượng ab;b c;c a , từ chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ đến đánh giá 2 22 2 3 ab b c c a 3 a b b c c a . Bây giờ ta cần một đánh giá kiểu 3 2a b c 3 a b b c c a là hoàn thành chứng minh bất đẳng thức. Chú ý đến dấu giá trị tuyệt đối và các biến không âm ta có được các đánh giá đúng là ab a b;b c b c;c a c a , đến đây thì các yêu cầu để chứng minh bài toán đã được xử lí, việc trình bày lời giải hoàn toàn đơn giản. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 ab c a b b c c a 3a b b c c a 64 2a b c a b b c c a 9 a b b c c a Theo tính chất của bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có ab a b;b c b c;c a c a Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 2a b c a b b c c a a b b c c a 3a b b c c a Và 2 22 2 3 ab b c c a 3 a b b c c a Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 22 2 2a b c a b b c c a 9 a b b c c a Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 23. Cho n số thực 12 n x ; x ;...;x (với n3 ). Chứng minh rằng: 12 n 12 2 3 nx 1 12 n x x ... x xx x x ... x x Max{x ; x ;...; x } n2n Trong đó 12 n Max{x ; x ;...; x } là số lớn nhất trong các số thực 12 n x ; x ;...;x Lời giải Để ý là trong hai số thực x, y bất kì ta luôn có Min{x, y} x, y Max{x, y} và xy x y Max{x,y} 2 Sử dụng đẳng thức xy x y Max{x,y} 2 , ta có: 12 n 12 2 3 n 1 12 1 2 2 2 2 3 n 1 n 1 12 2 n 1 12 n x x ... x x x x x ... x x n2n xx x x x x x x x x x x ... 2n 2n 2n Max{x , x } Max{x ,x} Max{x ,x } Max{x ; x ;...; x } n Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 12 n x x ... x . 3. Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai. Ví dụ 24. Cho a, b là các số thực thỏa mãn 22 a a 2b 4b 4ab 0 Chứng minh rằng: 0a 2b 1 Phân tích: Để ý rằng bất phương trình bậc hai 2 12 At Bt C 0 t t t với A0 , trong đó 12 t; t là các nghiệm của tam thức 2 At Bt C . Phân tích bất đẳng thức giả thiết ta thu được 2 a2b a 2b 0 , ta xem vế trái là đa thức biến a2b , khi đó ta có lời giải sau. Lời giải Bât đẳng thức giả thiết tương đương với 2 22 a 4ab 4b a2b 0 a2b a 2b 0 Đặt 2 t a 2b t t 0 0 t 1 0 a 2b 1 Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 25. Cho a, b là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 24 2 2 2 3 a b 2 a 2 b 4ab a 4ab Phân tích: Bất đẳng thức có hai biến và biến a có bậc cao nhất là 2, do đó ta biến đổi bất đẳng thức theo hướng xuất hiện một tam thức bậc hai có biến là a như sau 2 22 2 2 b1a 4b1 b a 4b 0 Ta xem vế trái của bất đẳng thức là tam thức bậc hai, để ý đến 2 2 b1 0 , ta cần chứng minh được biệt thức của tam thức có giá trị âm. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 22 2 2 b1a 4b1 b a 4b 0 Xét đa thức 2 22 2 2 f(a) b 1 a 4b 1 b a 4b Khi đó ta có 2 2 22 2 2 4b 1 b 4 b 1 .4b 16b 0 Do đó ta có 2 2 b1 f(a) 0 mà 2 2 b1 0 nên ta được 2 22 2 2 f(a) b 1 a 4b 1 b a 4b 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 26. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn bc d . Chứng minh rằng: 2 a b cd 8acbd Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 a 2b 3cda b cd 8bd 0 Xét tam thức 2 2 f(a) a 2b 3cda b cd 8bd Khi đó ta có 22 'b 3c d b c d 8bd c bc d 8 Do bc d nên ta được '0 suy ra f(a) 0 Hay 2 2 a 2b 3cda b cd 8bd 0 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 27. Cho a, b, c, d, e là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 ab c d e a b c d e Phân tích: Bất đẳng thức này đã được chứng minh bằng kĩ thuật biến đổi tương đương. Ở đây ta sử dụng tư tưởng của tam thức bậc hai để chứng minh. Để ý ta viết lại được bất đẳng thức như sau 22222 f(a) a b c d e ab c d e , đến đây ta cần phải chứng minh được 22 2 2 2 bcde 4b c d e 0 . Việc này hoàn toàn thực hiện được nhờ phép biến đổi tương đương hoặc bất đẳng thức Bunhiacpoxki. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 22 2 a b c d e a bc de 0 Xét 22222 f(a) a b c d e ab c d e Khi đó ta có 22 2 2 2 bcde 4b c d e Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 2 2 22 22 2 4b c d e 1 111 b c d e bcce Suy ra 22 2 2 2 bcde 4b c d e 0 Do đó ta được 22222 f(a) a b c d e ab c d e 0 Hay bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 28. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 1 a,b,c 2 và ab c 0 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 6 Phân tích: Từ giả thiết 1a 2 , ta có thể thiết lập được bất đẳng thức bậc hai dạng a2 a 1 0 , áp dụng tương tự và chú ý đến giả thiết ab c 0 . Giải Theo tính chất về dấu của tam thức bậc hai ta có 1a 2 a 2 a 1 0 1b 2 b 2 b 1 0 1c 2 c 2 c 1 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 222 aa 2 b b 2 c c 2 0 a b c a b c 6 Vì ab c 0 nên 22 2 ab c 6 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 29. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki. a) Cho các số thực bất kỳ 1 231 2 3 a,a ,a , b, b, b khác 0. Chứng minh rằng: 2 22 2 2 2 2 11 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ab ab ab aaa b b b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 12 3 12 3 aa a bb b b) Cho các số thực bất kỳ 12 n 1 2 n a , a , ..., a , b , b ,..., b khác 0. Chứng minh rằng: 2 22 2 2 2 2 11 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a b a b ... a b a a ... a b b ... b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 12 n 12 n aa a ... bb b Lời giải a) Xét đa thức 222 2 2 2 2 123 11 22 33 1 2 3 22 2 2 2 2 2 2 2 111 1 222 2 3 33 3 22 2 11 2 2 3 3 f(x) a a a x 2 a b a b a b b b b a x 2a b x b a x 2a b x b a x 2a b x b ax b a x b a x b 0 Vì f(x) 0, x R nên ta có 2 222 2 2 2 11 22 33 123 1 2 3 'ab ab ab a a a b b b 0 Hay 2 22 2 2 2 2 11 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ab ab ab aaa b b b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 12 3 11 2 2 3 3 12 3 aa a ax b a x b a x b bb b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Xét da thức 22 2 2 2 2 2 12 n 11 22 nn 1 2 n 22 2 2 2 2 2 2 2 111 1 2 22 2 n nn n 22 2 11 2 2 n n f(x) a a ... a x 2 a b a b ... a b b b ... b a x 2a b x b a x 2a b x b ... a x 2a b x b a x b a x b ... a x b 0 Vì f(x) 0, x R nên ta có 2 22 2 2 2 2 11 2 2 n n 1 2 n 1 2 n ' a b a b ... a b a a ... a b b ... b 0 Hay 2 22 2 2 2 2 11 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a b a b ... a b a a ... a b b ... b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 12 n 11 2 2 n n 12 n aa a a x b a x b ... a x b ... bb b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 30. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn ad b c . Chứng minh rằng: Nếu tồn tại số thực m sao cho 2m ad bc thì với mọi xR ta luôn có: 2 x a xb xc xd m 0 Phân tích: Quan sát biểu thức bên vế trái ta nhận thấy ngay đây là đa thức bậc 4, với phép đặt biến phụ 22 y x a d x x b c x , khi đó vế trái trở thành đa thức bậc hai, bây giờ ta cần chứng minh được biệt thức âm, cần chú ý đến giả thiết 2m ad bc vì chắc chắn phải cần đến nó mới có thể chứng minh được. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 xa dxadx bcx bc m 0 Do ad b c nên ta đặt 22 y x a d x x b c x , khi đó ta được bất đẳng thức 22 2 y ady bc m0 y ad bcy abcd m0 Xét 22 f(y) y ad bc y abcd m Ta có 22 22 y ad bc 4.1. abcd m ad bc 4m Vì 2m ad bc nên 2 2 y 4m ad bc 0 do đó ta có f(y) 0 Hay 2 x a xb xc xd m 0 Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 31. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 2 3a 4b 5c 44 ab bc ca Phân tích: Bất đẳng thức có bậc hai đối với mỗi biến, nên ta nghĩ đến việc đưa về tam thức bậc hai. Bất đẳng thức có ba biến nhưng có thêm điều kiện ab c 1 cho nên ta có thể chuyển bất đẳng thức thành bất đẳng thức chỉ có hai biến. Đến đây ta chọn một biến làm biến chính, còn lại ta xem như là tham số và sử dụng tính chất tam thức bậc hai là một ý tưởng không tồi chút nào. Lời giải Từ giả thiết ab c 1 suy ra c1 a b , thay vào bất đẳng thức ta được 2 22 3a 4b 5 5a 5b 44ab 44 a b 1 a b 48a 16 3b 4 a 45b 54b 25 0 Xét 22 f(a) 48a 16 3b 4 a 45b 54b 25 , khi đó ta được 22 2 ' 64 3b 4 48 45b 54b 25 176 3b 1 0 Do đó suy ra f(a) 0 hay 22 48a 16 3b 4 a 45b 54b 25 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 11 1 a;b ;c 23 6 . Ví dụ 32. Cho a, b là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 22 22 31 a a 1 b b 2 1 ab ab Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy, bất đẳng thức có tính đối xứng với hai biến a, b và là có bậc hai đối với mỗi biến do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến sử dụng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh. Trước hết ta viết lại bất đẳng thức 22 2 2 b3b 3a 3b 5b 3a 3b 3b 1 0 Xem vế trái là một tam thức bậc hai biến a khi đó, để ý đến 2 b3b 3 0 ta cần chứng minh được biệt thức 0 . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 b3b 3a 3b 5b 3a 3b 3b 1 0 Xét tam thức bậc hai 22 2 2 f(a) b 3b3a 3b 5b3a 3b 3b 1 Khi đó ta được 2 22 2 2 3b 5b 3 4 b 3b 3 3b 3b 1 a 3a 1 0 Để ý ta thấy 2 2 33 b3b 3 b 0 24 , do đó ta được f(a) 0 Hay 22 2 2 b3b 3a 3b 5b 3a 3b 3b 1 0 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra ki và chỉ khi 2 2 2 b3b 1 0 35 3b 5b 3 ab a 2 2b 3b 3 Ví dụ 33. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 222 31 a a 1 b b 1 c c 1 abc abc Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bất đẳng thức có tính đối xứng và có bậc hai đối với mỗi biến, do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến tam thức bậc hai. Như vậy ta cần chọn một biến chính, là c chẳng hạn, khi đó các biến a, b đóng vai trò tham số. Để ý thấy vế trái của bất đẳng thức có đại lượng 22 1a a 1 b b rất cồng kềnh khi biến đổi, do đó ta cần thay đại lượng đó bằng một đại lượng bé hơn, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta có hai ý tưởng là 22 1a a 1 b b 2a a 2b b ab Hoặc 22 2 22 22 22 1ab a b 1 a 1 b 1ab 1a a 1 b b 22 Nhận thấy ngay ý tưởng đầu không thực hiện được vì chẳng hạn ab 0 thì bất đẳng thức 2222 3ab 1 c c 1 abc a b c không đúng. Do đó ta chỉ có thể theo ý tưởng thứ hai. Lúc ta được bất đẳng thức 22 2 22 2 21 a a 1 b b1 c c 1 ab1 c c Bây giờ ta cần chứng minh 22 2 2 2 2 3 1 ab 1 c c 2 1 abc abc , viết thành 22 2 2 2 2 2 f(c) 3 abc 3 2ab 3abc 1 3ab 0 . Công việc cuối cùng là chứng minh 2 22 22 22 3 2ab 3a b 4 3 a b 1 3a b 0 thì bài toán xem như được chứng minh. Ở đây nếu như ta không chứng minh được biệt thức 0 thì ý tưởng trên hoàn toàn phá sản. Cũng may trong bài toán này ta thu được 4 31 ab 0 . Đến đây chỉ cần trình bày lại lời giải nữa là xong. Lời giải Ta có 22 2 2 2 22 22 21 a a 1b b 1 ab a b 1 a 1b 1ab Do đó ta được bất đẳng thức 22 2 22 2 21 a a 1 b b1 c c 1 ab1 c c Ta cần chứng minh 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 31 ab 1c c 21abc abc 3 abc 3 2ab 3abc 1 3ab 0 Xét tam thức bậc hai 22 2 2 2 2 2 f(c) 3 a b c 3 2ab 3a b c 1 3a b Khi đó ta được 2 4 2 2 22 22 3 2ab 3a b 4 3 a b 1 3a b 3 1 ab 0 Dễ thấy 22 3ab 0 nên ta được f(c) 0 Hay 22 2 2 2 2 2 3 abc 3 2ab 3abc 1 3ab 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Nh ận xét: Đây là m ột bài toán khó, ban đầu n ếu xem c là bi ến và a, b là tham s ố mà ch ứng minh bi ệt th ức 0 th ực s ự r ất khó kh ăn, cho nên ý tưởng làm đơn gi ản hóa v ế trái là hoàn toàn t ự nhiên. Nh ưng để có m ột đánh giá h ợp lí c ần ph ải xem xét bài toán m ột cách t ổng th ể và luôn để ý đến các tình hu ống có th ể x ẩy ra. Ví dụ 34. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn abc ab bc ca 4 . Chứng minh rằng: ab c ab bc ca Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 hoặc ab 2;c 0 . Quá trình đánh giá bất đẳng thức cần chú ý đến đẳng thức xẩy ra. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bất đẳng thức có tính đối xứng đối với ba biến và có điều kiện nên ta có thể đưa về dạng tam thức bậc hai. Chẳng hạn từ giả thiết ta rút được 4bc a bcbc . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: 4bc 4 bc bc bc bc bcbc bcbc Và nếu xem b là biến và c là tham số thì ta thu được bất đẳng thức có bậc hai đối với một biến 22 2 2 f(b) 1 c c b c c 4 b c 4c 4 0 . Lúc này ta có 2 222 cc 4 41 c c c 4c 4 cc 1 5c 8 . Bây giờ ta cần phải chỉ ra được 0 và 2 1c c 0 . Chú ý trong trường hợp này đẳng thức xẩy ra tại c1 hoặc c0 , ta nhận thấy khi c1 thì hai yêu cầu trên được đáp ứng ngay. Nhận thấy từ giả thiết abc a b c 4 nếu chọn c nhỏ nhất thì ta có ngay c1 , do đó ta có thể giả sử c là số bé nhất trong ba số a, b, c. Việc giả sử này là hoàn toàn có thể vì vai trò của các biến như nhau. Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau. Lời giải Không mất tính tổng quát ta giả sử c là số bé nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có 32 4 abc ab bc ca c 3c c 1 Từ abc ab bc ca 4 suy ra 4bc a bcbc . Như vậy ta cần chứng minh 4bc 4 bc bc bc bc bcbc bcbc Hay 22 2 2 1c c b c c 4b c 4c 4 0 Xét 22 2 2 f(b) 1 c c b c c 4 b c 4c 4 Khi đó ta có 2 222 cc 4 41 c c c 4c 4 cc 1 5c 8 Vì c1 nên ta có 22 2 cc 1 5c 8 cc 1 5 8 3cc 1 0 Lại thấy khi c1 thì 2 1c c 0 nên f(b) 0 Hay 22 2 2 1c c b c c 4b c 4c 4 0 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 hoặc ab 2;c 0 và các hoán vị. Nh ận xét: S ử d ụng nguyên lí Dirichlet c ũng có th ể ch ứng minh đư ợc b ất đẳng th ức trên, tuy nhiên để s ử d ụng được nguyên lí Dirichlet không h ề đơn gi ản. Qua đó ta nh ận th ấy v ới các b ất đẳng th ức b ậc hai thì ngh ĩ đến s ử d ụng các tính ch ất c ủa tam th ức b ậc hai là đi ều h ết s ức t ự nhiên và th ực t ế các tính ch ất c ủa tam th ức b ậc hai c ũng đã cho th ấy hi ệu qu ả trong ch ứng minh b ất đẳng th ức. Ví dụ 35. Cho a, b, c là các số thực bất kì thỏa mãn điều kiện: ab c 2 và 33 3 ab c 3abc 2 . Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c. Chứng minh rằng: 2 Mm 3 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy được vai trò như nhau của ba biến a, b, c nên để đơn giản ta có thể sắp thứ tự các biến để quy định M và m cho bất đẳng thức. Chẳng hạn ta chọn Ma;m c , khi đó ta cần chứng minh 2 ac 3 . Chú ý đẳng thức 22 2 33 3 1 ab c 3abc a b c a b b c c a 2 , kết hợp với ab c 2 , ta viết lại được 22 2 ab b c c a 2 , vì ta cần phải chứng minh 2 ac 3 nên ta có thể xem đẳng thức bên là phương trình bậc hai ẩn Xa c và viết lại ta được 2 2 XbcX bc 1 0 . Đến đây ta thấy được hai ý tưởng để chứng minh 2 X 3 . Một là ta cần giải ra các nghiệm X theo bc sau đó chứng minh 2 X 3 . Hai là đổi vai trò trong phương trình và xem X là tham số, khi đó từ điều kiện có nghiệm của phương trình ta suy ra được 2 X 3 . Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a là số lớn nhất và c là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta cần chứng minh 2 ac 3 Ta có 33 3 2 2 2 2 a b c 3abc a b c a b c ab bc ca Hay 22 2 ab b c c a 2 . Đặt Xa c , khi đó ta được 22 22 22 22 2 22 22 X ab bc2 X acbc bc2 Xac 2bc 2acbc 2 2X 2 b c X 2 b c 2 X b c X b c 1 0 Xem phương trình trên có ẩn là bc , khi đó để phương trình có nghiệm thì 22 2 42 X4X 1 0 X X 2 3 Suy ra 2 ac 3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 23 2 2 3 a;b;c 33 3 và các hoán vị. Chủ đề 3 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 1. Kiến thức cần nhớ a. Nội dung phương pháp Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức AB . Tư tưởng của phương pháp là ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những mệnh đề mâu thuẫn nhau, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng. Các b ước suy lu ận ph ản ch ứng Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh). Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất ta đã biết. Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai. Vậy bài toán được chứng minh. Chú ý: Trong các b ước suy lu ận ph ản ch ứng nêu trên, b ước 1 r ất quan tr ọng vì c ần t ạo ra m ệnh đề ph ủ định đi ều c ần ch ứng minh th ực s ự chính xác. b. Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức + Dùng mệnh đề đảo. + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết. + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng. + Phủ định rồi suy ra hai mệnh đề trái ngược nhau. + Phủ định rồi suy ra kết luận. c. Một số đẳng thức và bất đẳng thức cần nhớ. + 22 2 22 2 ab b c c a ab c ab bc ca 0 2 + 22 2 a1 b 1 c 1 0 + 22 2 ab b c c a 0 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là đúng: 22 2 2 2 2 ab 2bc b c 2ca c a 2ab Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng sai. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng sai không thể xẩy ra là được. Lời giải Giả sử cả ba bất đẳng thức trên cùng sai, tức là ta có ba bất đẳng thức sau 22 2 2 2 2 ab 2bc b c 2ca c a 2ab Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 ab 2ab b c 2bc c a 2ca 0 Hay 22 2 ab b c c a 0 . Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức 22 2 ab b c c a 0 . Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Cho các số thực a,b,c (0, 2) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là sai: a2 b 1 b2 c 1 c2 a 1 Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Chú ý ở đây ta có giả thiết a,b,c (0, 2) nên có thể sử dụng đến các hiệu 2a,2 b,2 c là các số dương. Lời giải Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế với vế ta có a2 b.b2 c.c2 a 1 a2 a.b2 b.c2 c 1 Mặt khác do a(0,2) nên ta có 2a 0 . Do đó ta được 2 22 0a2 a 2a a 1 1 2a a 1 a 1 1 Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có 0b2 b 1;0c2 c 1 Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được a2 a.b2 c.c2 c 1 Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức a2 a.b2 b.c2 c 1 . Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn thỏa mãn các điều kiện sau a b c0;ab bc ac0;abc 0 Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương. Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba số a, b, c đều là số dương, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp một số nào đó không dương. Như vậy ta chỉ cần chứng minh một số bất kì không dương không thể xẩy ra là được. Lời giải Giả sử rằng trong ba số a, b, c có một số không dương, không mất đi tính tổng quát ta chọn số đó là a, tức là ta có a0 . Vì abc 0 nên a0 , do đó suy ra a0 . Lại có ab c 0 nên bc 0 , từ đây suy ra ab c 0 Theo giả thiết thứ hai ab bc ca 0 hay ab c bc 0 dẫn đến bc 0 Như vậy ta được a0;bc 0 vì thế ta có abc 0 . Bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết thứ ba của bài toán. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 4. Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 bất đẳng thức: 11 1 a2 b 2 c 2 bc a Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh không tồn tại ba số dương a, b, c để cả ba bất đẳng thức trên đều đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Chú ý các bất đẳng thức trên làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng 1 x2 x . Lời giải Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức: 11 1 a2;b 2;c 2 bc a Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được: 11 1 1 1 1 ab c 6 a b c 6 (1) bc a a b c Vì a, b, c là các số dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta được 11 1 a2;b 2;c 2 ab c Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 11 1 ab c 6 2 ab c Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 5: Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong các số 9ab , 9bc , 9ac nhỏ hơn 2 ab c . Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh tồn tại ít nhất một trong ba số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn 2 ab c , điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn 2 ab c . Như vậy ta chỉ cần chứng minh ba số 9ab, 9bc, 9ca cùng lớn hơn 2 ab c không xẩy ra là được. Chú ý các đại lượng 9ab, 9bc, 9ca, 2 ab c làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức 22 2 ab c ab bc ca . Lời giải Giả sử điều cần chứng minh là sai, tức là ta có các bất đẳng thức sau 22 2 9ab a bc ;9bc a b c ;9ca a bc Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được 22 22 2 22 2 3a b c 9ab bc ca a b c 3ab bc ca ab c ab bc ca a b b c c a 0 1 Theo bài ra a, b, c đôi một khác nhau nên ta lại có 22 2 ab b c c a 0 2 Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) mâu thuẫn với nhau. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 6: Cho a, b, c, d là bốn số thực dương bất kì. Chứng minh rằng ba bất đẳng thức sau không thể cùng xảy ra: ab c d 1 ab c d ab cd 2 abcd c dab 3 Phân tích: Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh cả ba bất đẳng thức trên không cùng xẩy ra tức là có ít nhất một bất đẳng thức sai, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cả ba bất đẳng thức trên cùng đúng không thể xẩy ra là được. Lời giải Giả sử tồn tại bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn cả ba bất đẳng thức. Từ bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức (2) ta có 2 22 ab ab c d ab cd cd a b ab a b 3ab 3ab cd 3ab 4 Mặt khác ta lại có 2 2 abcd c dab a b cd c d a b ab ab cd ab ab ab cd a b cd 4ab.cd ab ab cd 4ab.cd ab 3cd 5 Ta thấy hai bất đẳng thức (4) và (5) mâu thuẫn với nhau. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện 22 ab ab bc ca 0 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c Phân tích: Đại lượng 22 ab ab bc ca làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức 2 22 2 ab c a b c 2ab bc ca . Như vậy từ giả thiết của bài toán đã cho ta suy ra được giả thiết mới 22 2a b ab bc ca 0 . Vậy nếu 22 2 ab c , thì ta được bất đẳng thức mới 2 22 2 ab c 2ab bc ca 0 a b c 0 . Rõ ràng bất đẳng thức thu được là sai, do đó ta nghĩ đến sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh bài toán. Ngoài ra, để ý bất đẳng thức 22 2a b ab bc ca 0 và 2 ab c 0 ta được bất đẳng thức 2 22 ab c 2a b ab bc ca . Khai triển và thu gọn ta cũng được 22 2 ab c . Lời giải Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức 22 2 ab c , khi đó ta được 22 22 22 2 2 22 ab ab 2ab bc ca a b c 2ab bc ca 2a b abbcca a bc Kết hợp với giả thiết ta có 22 22 02a b ab bc ca a b c a b c 0 Bất đẳng thức cuối cùng là sai. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Bất đẳng thức trên cũng có thể chứng minh theo cách sau đây: Giả thiết của bài toán tương đương với 22 2a b ab bc ca 0 Mà ta luôn có 2 ab c 0 , do đó ta được bất đẳng thức 2 22 22 2 2 2 22 2 ab c 2a b ab bc ca a b c 2 ab bc ca 2 a b 2 ab bc ca ca b . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 8. Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện 33 ab a b . Chứng minh rằng: 22 ab 1 Phân tích: Quan sát giả thiết ta nhận thấy ab 0 và hai đại lượng 33 ab;a b không đồng bậc. Do đó ta có thể đồng bậc hai vế bằng cách nhân thêm 22 ab . Vì yêu cầu chứng minh 22 ab 1 nên kết hợp với giả thiết ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức 33 2 2 ab a ba b . Đến đây ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng hoặc biến đổi tương đương để chứng minh bài toán. Lời giải Từ giả thiết ta có ab 0 . Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức 22 ab 1 . Khi đó kết hợp với giả thiết ta được 3 3 2 2 3 3 32 23 22 3 2 2 a b a bab a b aab ab b ab a b 2b 0 b ab a 2b 0 Vì ab 0 nên ta có 3 ab a 0 ab a 2b 0 . Do đó bất đẳng thức trên không thể xẩy ra. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Bất đẳng thức trên cũng có thể chứng minh theo cách sau đây: Từ giả thiết ta có ab 0 . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 33 2 2 3 3 3 2 2 3 22 3 2 2 ab a ba b ab a ab ab b a b ab 2b 0 a ab 2b 0 Mà ta có ab 0 nên 2 aab 0 nên ta được 22 aab 2b 0 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a4,b 5,c 6 và 22 2 ab c 90 Chứng minh rằng: ab c 16 Phân tích: Từ điều kiện của biến a4,b 5,c 6 , để quy về một điều kiện ta có thể sử dụng cách đặt biến phụ ax 4;b y 5;z c 6 , khi đó điều kiện của biến mới là x, y, z 0 . Giả thiết lúc này được viết lại là 22 2 x y z 12 x y z 4x 2z 13 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy z 1 . Từ những kết quả thu được ở trên ta nếu ta giả sử xy z 1 thì ta thu được điều kiện 0x,y,z 1 . Khi đó ta có 22 2 xy z x y z suy ra 22 2 x y z 12 x y z 4x 2z 13 . Đến đây xem như bài toán được giả quyết xong. Lời giải Đặt ax 4;b y 5;z c 6 , khi đó ta có x, y, z 0 . Giả thiết lúc này được viết lại là 22 2 22 2 x 4 y 5 z 6 90 x y z 12 x y z 4x 2z 13 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy z 1 Giả sử tồn tại x, y, z 0 , thỏa mãn điều kiện 22 2 x y z 12 x y z 4x 2z 13 Nhưng bất đẳng thức xy z 1 không đúng. Tức là ta có xy z 1 . Khi đó hiển nhiên có 0x,y,z 1 nên 22 2 xx;y y;z z . Suy ra 22 2 xy z x y z . Từ đó ta có 22 2 13 x y z 12 x y z 4x 2z 13 x y z 4x 2z 13 x y z 13 Hay 13 13 , đây là một mâu thuẫn. Vậy điều giả sử trên không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 10. Cho a, b, c là ba số thực bất kì thỏa mãn các điều kiện sau: 3 abc 2015 và ab bc ca 2015 a b c Chứng minh rằng trong ba số a, b, c đó có đúng một số lớn hơn 2015. Phân tích: Từ bài toán ta nhận thấy không thể có trường hợp cả ba số a, b, c cùng lớn hơn 2015. Bài toán yêu cầu chứng minh rằng trong ba số a, b, c đó có đúng một số lớn hơn 2015. Điều này có nghĩa là không thể có hai số lớn hơn 2015 cũng không thể có cả ba số cùng không lớn hơn 2015. Như vậy để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh hai trường hợp này không xẩy ra là được. Để ý là khi so sánh các số a, b, c với 2015 ta thường so sánh a 2015; b 2015; c 2015 với 0. Lại thấy từ giả thiết ta được 2015 a b c ab bc ca 0 nên ta được P a 2015 b 2015 c 2015 2015 2015 a b c ab bc ca 0 . Lời giải Xét biểu thức 23 P a 2015 b 2015 c 2015 abc 2015 ab bc ca 2015 a b c 2015 2015 2015 a b c ab bc ca 0 Giả sử khẳng định của bài toán là sai, khi đó sẽ có hai trường hợp + Trường hợp thứ nhất cả ba số a, b,c đều không lớn hơn 2015, khi đó ta có a 2015 0; b 2015 0; c 2015 0 Suy ra P0 , điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trên. + Trường hợp thứ hai là có ít nhất hai số lớn hơn 2015, chẳng hạn là a, b. Khi đó ta được a 2015; b 2015 suy ra a 2015 0; b 2015 0 . Do đó ta có P a 2015 b 2015 0 c 2015 0 a 2015 b 2015 Suy ra c 2015 , dẫn đến 3 abc 2015 , điều này mâu thuẫn với giả thiết 3 abc 2015 . Vậy điều giả sử không thể xẩy ra. Do đó bài toán được chứng minh. Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 22 22 22 222 a 2b 2ac bc 3abc 9 Chứng minh rằng: abc 1 Phân tích: Trước hết ta nhận thấy, nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì bài toán được chứng minh. Như vậy ta cần phải chứng minh cho trường hợp cả ba số a, b, c khác 0. Để ý từ giả thiết ta thu được 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 abc abc a 2b 2ac bc 3abc a 2 b 3abc ab Mà ta lại có 22 2 2 2 2 22 222 222 22 abc abc a 2 b 3a b c 2 abc 4 abc 3a b c ab Đến đây ta có thể sử dụng phép phản chứng hoặc phân tích thành nhân tử để chứng minh bài toán. Lời giải Nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì bài toán được chứng minh. Như vậy ta cần phải chứng minh cho trường hợp cả ba số a, b, c khác 0. Từ giả thiết ta thu được 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 abc abc a 2b 2ac bc 3abc a 2 b 3abc ab Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức abc 1 Đặt 2 xabc 1 x 1 . Khi theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 22 22 xx 9 a 2b 2acbc3abc a 2b 3x ab 11 a2b 39 ab Hay 99 , điều này là vô lý. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ngoài ra ta cũng có thể trình bày như sau: Biến đổi tương tự như trên ta được 22 2 2 2 2 22 222 222 22 abc abc 9 a 2 b 3a b c 2 abc 4 abc 3a b c ab Đặt xabc 0 khi đó ta được 22 96x 3x x 2x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 . Ví dụ 12. Cho a, b là các số thức dương thỏa mãn ab 2 . Chứng minh rằng: 33 ab 2 Phân tích: Để bài toán đơn giản hơn ta có thể thực hiện làm mất căn bậc ba bằng cách đặt 33 xa;y b , khi đó giả thiết của bài toán trở thành 33 xy 2 và ta cần chứng minh xy 2 . Để ý ta thấy xy 2 tương đương với 3 xy 8 , khai triển ta và sử dụng giả thiết ta được được 33 xy xy x y . Như vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có được bất đẳng thức cần chứng minh. Tuy nhiên nếu xy 2 , với cách biến đổi như trên ta thu được 33 xy xy x y là một bất đẳng thức sai. Do đó ta có thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc phép phản chứng để giải quyết bài toán. Lời giải Đặt 33 xa;y b , khi đó giả thiết của bài toán trở thành 33 xy 2 và ta cần chứng minh xy 2 . Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức xy 2 . Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 3 33 33 xy 8 x y 3xy 8 2 3xyx y 8 xy x y 2 xy x y x y Chia 2 vế cho số dương xy khi đó ta được bất đẳng thức 2 22 xy x xy y 0 x y Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ví dụ 13. Cho 25 số tự nhiên 12 25 aa a ..., ,, khác 0 thoả mãn điều kiện: 12 25 11 1 9 aa a Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau. Phân tích: Để chứng minh trong hai 25 số tự nhiên trên luôn tồn tại hai số bằng nhau ta có thể giả sử 25 số đó khác nhau từng đôi một, để dễ biến đổi ta nên sắp thứ tự cho 25 số đó, chẳng hạn 12 25 aa a ... . Với cách sắp thứ tự như vậy ta sẽ nhận được kết quả là 12 25 a1a 2 a 25 ,,..., . Khi đó ta có 12 25 11 1 1 1 1 aa a 1 2 25 Đến đây ta chỉ cần chỉ ra 11 1 9 12 25 là bài toán được giải quyết Lời giải Giả sử trong 25 số tự nhiên 12 25 aa a ..., ,, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát ta có thể chọn 12 25 aa a ... . Khi đó ta có 12 25 a1a 2 a 25 ,,..., Suy ra ta được 12 25 11 1 1 1 1 aa a 1 2 25 Mặt khác ta chứng minh được 11 1 2 2 2 1... 1 2 25 22 2 3 225 11 1 12 ... 2 1 3 2 25 24 1 2 2 1 3 2 ...... 25 24 12 25 1 9 Điều này dẫn tới 12 25 11 1 9 aa a Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ví dụ 14. Cho 25 số tự nhiên 1 2 2015 aa a ..., ,, khác 0 thoả mãn điều kiện: 1 2 3 2015 11 1 1 ... 89 aa a a Chứng minh rằng trong 2015 số tự nhiên đó luôn tồn tại hai số bằng nhau. Lời giải Giả sử trong 2015 số tự nhiên 12 2015 aa a ..., ,, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát ta có thể chọn 1 2 2015 aa a ... . Khi đó ta có 1 2 3 2015 a 1,a 2, a 3,...,a 2015 Suy ra ta được 1 2 3 2015 11 1 1 1 1 1 1 ... ... aa a a 1 2 3 2015 Mặt khác ta chứng minh được 11 1 2 2 2 1... 1 2 2015 2 2 2 3 2 2015 11 1 1 2 ... 2 1 3 2 2015 2014 1 2 2 1 3 2 ... 2015 2014 1 2 2015 1 89 Điều này dẫn tới 1 2 2015 11 1 89 aa a Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ví dụ 15. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 44 3 3 ab a b . Chứng minh rằng: ab 2 Lời giải Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, khi đó ta có bất đẳng thức ab 2 . Đặt ax 1;b y 1 khi đó ta được xy 0 Xét hiệu hai vế của giả thiết ta được 44 3 3 44 3 3 22 3 3 22 2 2 a b a b 1x 1y 1x 1y xy 3x y 3x y xy 3x y 3xy x xy y 0 Hay 44 3 3 ab a b 0 Mà ta lại có ab 2 do đó suy ra 44 3 3 ab a b . Bất đẳng thức thu được trái với giả thiết của bài toán. Vậy điều ta giả sử là không xẩy ra hay bài toán được chứng minh. Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn 22 2 ab c1ab . Chứng minh rằng: ac và bc Phân tích: Quan sát bài toán ta nhận thấy vai trò của a, b là như nhau, do đó ta chỉ cần chứng minh ac , trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự. Để tìm mối liên hệ của a và c ta viết lại giả thiết là 22 2 ac bac b . Do đó nếu như ac thì ta được bất đẳng thức 22 2 2 ac bac b 0 b ac . Mặt khác ta lại thấy 22 bb ac b ac . Như vậy ta được 22 2 ca ac 0 , nhưng do a, c là các số nguyên dương nên ta lại thu được 22 2 2 2 ca ac c1 a a 0 , hai bất đẳng thức này mâu thuẫn với nhau, bài toán được giải quyết xong. Lời giải + Trước hết ta chứng minh ac . T viết lại giả thiết là 22 2 ac bac b . Giả sử ac khi đó ta được 22 2 2 ac bac b 0 b ac . Mà ta lại thấy 22 bb ac b ac . Như vậy ta được 22 2 ca ac 0 . Mà do a, c là các số nguyên dương nên ta được 22 2 2 2 ca ac c1 a a 0 . Hai bất đẳng thức này mâu thuẫn với nhau. Do đó không thể xẩy ra ac , tức là ta có bất đẳng thức ac . Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được bc . Vậy bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c abc . Chứng minh rằng 2 trong 3 bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng 23 6 2 3 6 2 3 6 6; 6; 6 ab c b c a c a b Phân tích: Từ cách phát biểu bài toán ta ưu tiên lựa chọn phương pháp phản chứng để chứng minh. Vì bài toán yêu cầu ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức là đúng, điều này có nghĩa là không thể có trường hợp có ít nhất hai bất đẳng thức trên cùng sai. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trường hợp có ít nhất hai bất đẳng thức trên cùng sai không thể xẩy ra là được. Chú ý giả thiết và các bất đẳng thức ta có thể đặt 11 1 x;y ;z ab c . Khi đó giả thiết trở thành xy yz zx 1 và các bất đẳng thức là 2x 3y 6z 6; 2y 3z 6x 6; 2z 3x 6y 6 . Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z ab c . Khi đó giả thiết trở thành xy yz zx 1 và các bất đẳng thức là 2x 3y 6z 6; 2y 3z 6x 6; 2z 3x 6y 6 . Ta cần chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên là đúng. Giả sử điều cần phải chứng minh là sai. tức là có ít nhất hai bất đẳng thức trên không đúng. Không mất tính tổng quát ta chọn 2x 3y 6z 6; 2y 3z 6x 6 là hai bất đẳng thức bị sai, khi đó ta được 2x 3y 6z 6; 2y 3z 6x 6 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 8x 5y 9z 12 Từ xy yz zx 1 ta được 1yz x yz , khi đó ta có bất đẳng thức 22 22 81 yz 5y 9z 12 8 1 yz y z 5y 9z 12 y z yz 5y 9z 6yz 12y 12z 8 0 y3z 2 4y 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 18. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 . Chứng minh rằng: 11 1 1 18a 1 8b 18c Phân tích: Để ý ta thấy 2 2 11x xa 8x 18a và vì a là số thực dương nên ta có điều kiện 0x 1 . Như vậy để đơn giản hóa bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đổ biến 11 1 x;y ;z 18a 1 8b 18c , khi đó ta được 0x;y;z 1 . Giả thiết được viết lại là 32 2 2 2 2 2 8x.y.z 1 x 1 y 1 z và bất đẳng thức cần chứng minh là xy z 1 . Nhìn giả thiết ta liên tưởng đến một bất đẳng thức quen thuộc 8xyz x y y z z x , như vậy ta cần cách tìm biến đổi làm xuất hiện các đại lượng xy,y z,z x . Nhận thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 xy z x y z xy x z 2y z x y x z Như vậy nếu xy z 1 thì 2 22 1x x y z x , lúc này ta được các bất đẳng thức ngược chiều nhau. Đến đây một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép phản chứng. Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z 18a 1 8b 18c . Suy ra 22 2 22 2 1x 1y 1 z a;b ;c 8x 8y 8z , khi đó ta được 0x;y;z 1 . Vì abc 1 nên giả thiết được viết lại là 32 2 2 2 2 2 8x.y.z 1x 1y 1 z và bất đẳng thức cần chứng minh là xy z 1 . Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có bất đẳng thức xy z 1 . Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 1x x y z x y z x y x z 2y z x y x z 0 Áp dụng tương tự ta có 22 1y 2x z x y y z 0; 1 z 2x y x z y z 0 Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 32 2 2 2 2 2 8x.y.z 1x 1y 1 z x y y z z z Hay 8xyz x y y z z x , rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức sai. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Một số ví dụ khác Ví dụ 19. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 3 ab c . Chưng minh rằng: ab b c c a 32 Lời giải Đặt xab;ybc;z ca , khi đó ta được 2 2 2 2 2 2 222 2a x z y ; 2b x y z ; 2c z y x Giả thiết được viết lại thành 22 2 2 2 2 2 2 2 111 3 2 xz y x y z zy x Bất đẳng thức cần chứng minh là xy z 32 Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có xy z 32 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 2 2 2 2 222 22 2 2 2 2 2 2 2 3 3 111 2 xz y x y z z y x 3 xz y x y z zy x Mặt khác theo một bất đẳng thức quen thuộc ta lại có 6 22 2 2 2 2 2 2 2 222 xy z xz y x y z zy x xyz 8 3 Do đó ta được 3 2 2 2 2 2 2 222 3 333 2 8 xz y x y z z y x Hay ta được 33 22 , bất đẳng thức thu được là một bất đẳng thức sai. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 20. Cho a, b là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: 1a b1; 1 a b ab 1 Chứng minh rằng: 2a,b 2 Lời giải Vì vai trò của a, b như nhau nên ta chỉ cần chứng minh 2a 2 . Việc chứng minh 2b 2 hoàn toàn tương tự. Giả sử bất đẳng thức 2a 2 là sai, khi đó ta có a2 hoặc a2 . + Xét trường hợp a2 , khi đó từ 1a b1 suy ra b1 a 1 2 1 , do đó ta được ab 2 mà ab 1 nên a b ab 1 điều này mâu thuẫn với giả thiết thứ hai của bài toán. Như vậy trường hợp này không xẩy ra. + Xét tường hợp a2 , khi đó từ 1a b 1 suy ra b1a 121 , do đó ta được ab 2 mà ab 1 nên a b ab 1 điều này mâu thuẫn với giả thiết thứ hai của bài toán. Như vậy trường hợp này cũng không xẩy ra. Các kết quả trên chứng tỏ điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 21. Cho a, b, c là các số thức không âm thỏa mãn ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 ab c abc Lời giải Nếu abc 0 , thì bất đẳng thức được chứng minh. Xét abc 0 , khi đó ta được a,b,c 0 . Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là 22 2 ab c abc . Khi đó ta có 22 2 2 abc a b c a nên bc a . Chứng minh tương tự ta được bac,cab Từ đó suy ra ab c ab bc ca . Mặt khác ta lại có 22 2 abc a b c ab bc ca abc ab bc ca Kết hợp hai bất đẳng thức ta được abc a b c , bất đẳng thức này mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Vậy điều giả sử không thể xẩy ra, tức là bài toán được chứng minh. Ví dụ 22. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 ab c ab c . Chứng minh rằng: ab c b c a c a b 1 Lời giải Bất đẳng thức có tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính tổng quát ta giả sử ab c , Khi đó ab c 0 và ac b 0 . + Nếu bc a 0 , bất đẳng thức hiển nhiên đúng. + Nếu bc a 0 . Khi này ta đặt xb c a;y c a b;z a b c . Khi đó ta viết lại giả thiết là x;y;z 0 và 22 2 xy z xy y z z x . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xyz 1 . Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử xyz 1 . Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 21 1 1 xy z xy y z z x xy yz zx Hay xy z xyzxyz , vì xyz 1 nên xy z xyz Tuy nhiên cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được x1 x 2 , thiết lập các đánh giá tương tự ta có xy z 3 xy z xyz xyz 3 2 Mặt khác 22 2 9 xy z x y z 3 xy y z z x xy z Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử trên là sai, do vậy xyz 1 . Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh, dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Nh ận xét: Ta có th ể s ử d ụng phương pháp ph ản ch ứng theo h ướng nh ư sau Gi ả s ử 1 xyz , khi đó t ừ gi ả thi ết c ủa bài toán suy ra 2 22 x y z xy yz zx x y z xy yz zx xyz x y z Theo b ất đẳng th ức Cauchy và k ết h ợp v ới gi ả s ử ta l ại có 22 2 3 33; 3 xy yz zx x y z x y z Do đó 2 2 2 2 2 2 3 2 2 9 2 9 xy z xy yz zx xy z xy z xy yz zx xy yz zx xy z xy yz zx xyz x y z C ộng theo v ế a b ất đẳng th ức trên ta được 2 22 x y z xy yz zx x y z xy yz zx xyz x y z Đi ều này mâu thu ẫn v ới đẳng th ức trên, do đó đi ều gi ả s ử là sai. Nh ư v ậy b ất đẳng th ức trên được ch ứng minh. Ví dụ 23. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: ab c;a b c 6;ab bc ca9 Chứng minh rằng: 0a1;1 b 3;3 c 4 Lời giải Từ giả thiết của bài toán, ta suy ra 2 22 2 a b c a bc 2abbcca 18 Mặt khác, vì a, b, c là các số dương cho nên 22 bc 6 a 9 abbcca abc a6 a 42 Hay 3 3a 3a 0 4 , từ đó suy ra 0a 4 , do vậy 0a b c Khi đó 22 2 2 18 a b c acbcc ca bc 6c . Suy ra c3 . Bây giờ ta chứng minh c4 . Thật vậy, giả sử c4 khi đó ta được 2 c4c , từ đây ta suy ra 22 22 2 2 ab 6 c 18 a b c c 4c 22 Hay 2 c 2c 0 0 c 4 2 . Mâu thuẫn với c4 , do vậy c4 Từ đó ta có 3c 4 Cũng từ đây ta suy ra ab c 4 . Ta chứng minh a1 . Thật vậy, giả sử a1 Khi đó ta được 1a b c 4 , suy ra a1 a 4 0; b 1 b 4 0; c 1 c 4 0 Hay 22 2 a5a 4;b 5b4;c 5c4 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c 5a b c 12 18 Điều này mâu thuẫn với điều kiện 22 2 ab c 18 . Do đó a1 . Vậy 0a1 . Cuối cùng ta chứng minh 1b 3 Thật vậy, vì a1 và c4 , do đó b6 a c 6 1 4 1 hay b1 Ta cần chứng minh b3 . Giả sử b3 , khi đó ta có b3 c3 0 Hay bc 3 b c 9 3 6 a 9 9 3a Từ đó suy ra 9 abbcca abc bc ab c 9 3a Hay ab c 3 0 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai do 3c 4 . Vì vậy giả sử b3 là sai. Do đó b3 . Vậy ta được 1b 3 . Như vậy bài toán được chứng minh xong. Chủ đề 4 CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TỒNG, TÍCH CỦA DÃY SỐ - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 1. Một số kiến thức cần nhớ a) Phương pháp làm trội, làm giảm Giả sử cần chứng minh AB , khi đó ta cần làm trội biểu thức A thành AM rồi chứng minh MB . Cũng có thể làm giảm B thành MB rồi chứng minh AM . Phương pháp làm trội, làm giảm thường được áp dụng cho bất đẳng thức về tổng hoặc tích của một dãy số. Khi đó dùng các tính chất bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. + Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tổng của dãy số là: Giả sử ta cần chứng minh 12 3 n Ax Ax Ax ... A x M , khi đó ta thực hiện làm trội ii1 i A x By By để thu được 12 3 n n 1 Ax Ax Ax ... A x B y B y Sau đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức n1 By By M . + Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tích của dãy số là: Giả sử ta cần chứng minh 12 3 n Ax .A x .Ax ...A x M , khi đó ta thực hiện làm trội i1 i i By Ax By để thu được n 12 3 n 1 By Ax .A x .Ax ...Ax By Sau đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức n 1 By M By . + Một số tổng sai phân hay dùng 11 1 a 1 1 ; nn 1 n n a nn 1 n n a 2a 1 1 nn a n 2a nn a n a n 2a 11 1 1 1 1.2 2.3 n nn 1 11 1 k ... nn a n a n 2a x n ka nk 1a n ka 11 1 11 1 1.2.3 2.3.4 2 1.2.3 nn 1 n 2 n n 1 n 2 Chú ý: - Ta c ần áp d ụng làm tr ội, làm gi ảm sao cho b ất đẳng th ức cu ối cùng c ần ch ứng minh ph ải càng đơn gi ản càng t ốt. - Thông thường ta tìm quy lu ật vi ết các s ố h ạng c ủa dãy r ồi đưa ra cách vi ết t ổng quát, t ừ đó ta m ới làm tr ội cho s ố h ạng t ổng quát và áp d ụng cho các s ố h ạng c ụ th ể. b) Phương pháp quy nạp toán học + Nội dung của phương pháp quy nạp Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đúng nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: - Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n - Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k kN suy ra được bất đẳng thức đúng với nk 1 + Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức An B n với 0 nn,n N , ta tiến hành các bước như sau: - Bước 1: Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 0 nn - Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với 0 nkk n,k N - Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 và kết luận bất đẳng thức đúng với 0 nn . Chú ý: - Thông thường khi ch ứng minh b ất đẳng th ức có s ự ph ụ thu ộc vào s ố nguyên d ương n, thì ta nên chú ý s ử d ụng phương pháp quy n ạp toán h ọc. - Trong phương pháp quy n ạp toán h ọc thì b ất đẳng th ức có đư ợc t ừ b ước th ứ hai chính là m ột gi ả thi ết m ới đư ợc dùng để ch ứng minh b ất đẳng th ức trong b ước th ứ ba. Do đó c ần ph ải khai thác th ật hi ệu qu ả gi ả thi ết quy n ạp. 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Với mọi số tự nhiên n >1. Chứng minh rằng: 11 1 1 ... 2n 1 n 2 n n Phân tích và lời giải Nhận thấy tổng trên có n số hạng, do đó ta làm trội bằng cách thay mẫu nk với k 1, 2, 3, ...,n 1 bằng nn . Tức là ta có: 11 1 nk nn 2n , với k 1, 2, 3, ...,n 1 Khi đó ta được: 11 1 1 1 n 1 ... ... n 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 2. Với mọi số tự nhiên n1 . Chứng minh rằng: 11 1 1 1 ... 2 n1 n 2 n 3 3n 1 Phân tích và lời giải + Trước hết ta chứng minh: 11 1 1 ... 2 n1 n 2 n 3 3n 1 Tổng trên có 2n 1 số hạng và lại thấy 2n 1 2n 2 2 n1 n1 , do đó áp dụng tư tưởng như ví dụ trên ta làm trội bằng cách thay mỗi số hạng bằng số hạng lớn nhất. Tức là ta được 1 1 1 1 111 1 2n1 ... ... 2 n 1 n 2 n 3 3n 1 n 1n 1n 1 n 1 n 1 + Bây giờ ta chứng minh: 11 1 1 1... n1 n 2 n 3 3n 1 Tổng trên có 2n 1 số hạng và số hạng chính giữa là 1 2n 1 , ta chuyển bất đẳng thức cần chứng minh thành 2n 1 1 1 1 1 ... 2n 1 n 1 n 2 n 3 3n 1 Ở đây ta lại nhận thấy 2n 1 2 1 n. 2n 1 2n 1 2n 1 có chứa số hạng chính giữa, do đó ý tưởng ở đây là ghép các cặp dạng 11 1 1 1 1 ; ; ...; n1 3n 1 n 2 3n 2n 2n 2 thì được n tổng, rồi chứng minh mỗi tổng đó đều lớn hơn 2 2n 1 . Để chứng minh các tổng trên đều lớn hơn 2 2n 1 ta chỉ cần chứng minh được 11 2n 1 k 2n 1 k , trong đó k nhận các giá trị từ 1; 2; ...; n . Thật vậy: 22 2 11 4n2 4n2 2 2n 1 k 2n 1 k 2n 1 2n 1 k 2n 1 Đến đây ta có lời giải như sau: Ta có 11 1 1 1 ... ... n1 n 2 2n 1 3n 3n1 11 1 1 1 ... n1 3n 1 n 2 3n 2n1 4n 2 4n 2 1 2 1 ... .n 1 2n 1 2n 1 2n 1 n1 3n 1 n 13n Vậy ta được 11 1 1 1... n1 n 2 n 3 3n 1 Vậy bài toán được chứng minh Nh ận xét: B ất đẳng th ức bên trái là m ột b ất đẳng th ức khó, s ử d ụng cách làm nh ư b ất đẳng th ức bên ph ải không đem l ại hi ệu qu ả, cho nên ta ph ải tìm m ột ph ương án khác. Đi ểm quan tr ọng để tìm ra l ời gi ải cho bài toán này chính là phát hi ện các t ổng b ằng nhau 13 1 2 3 ...2 2 2 22 1 nn n n nn n và ý t ưởng ghép các c ặp 11 1 1 1 1 ; ; ...; 13 1 2 3 2 2 2 nn n n nn sao cho khi quy đồng có cùng m ột t ử s ố là 22 1 n và bước ti ếp theo chính là đánh giá m ẫu v ề cùng 21 n . Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n2 ta có: 2n 1 1 1 1 1 3n 2 ... 3n 2 2n 2 2n 3 2n 4 4n 2 4n 1 Phân tích và lời giải Đặt 11 1 1 P... 2n 2 2n 3 2n 4 4n 2 + Chứng minh 2n 1 P 3n 2 . Tổng P có 2n 1 số hạng, ta ghép thành n cặp cách đều hai đầu, còn lại một số hạng đứng giữa là 1 3n 2 , mỗi cặp có dạng: 22 2 23n 2 23n 2 11 2 3n 2 k 3n 2 k 3n 2 3n 2 k 3n 2 k1, 2,..., n -1, n Do đó ta được: 2n 1 2n 1 P 3n 2 3n 2 3n 2 + Chứng minh 3n 2 P 4n 1 . Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: Với mọi 0k m 2 k,m Z , ta có: 11 1 1 * mk 2m 2 k m 2m 2 Chứng minh: Từ giả thiết 0k m 2 k,m Z , ta thấy các mẫu số đều dương và 3m 2 0 . Quy đồng mẫu số hai vế ta có 22 22 3m 2 3m 2 *m2m2mk2m2k mk 2m 2 k m2m 2 2m 2m 2m 2m km 2km 2k k k km 2k k m 2 Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, nên bổ đề được chứng minh Viết lại biểu thức P và áp dụng bổ đề ta có 11 1 1 11 2P ... 2n 2 4n 2 2n 3 4n 1 4n 2 2n 2 11 2n 1 2n 2 4n 2 Hay 13n2 3n2 P2n1 2 2n 1 2n 1 4 n 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nh ận xét: Ý tưởng c ủa bài toán trên c ũng là ghép theo c ặp, v ới b ất đẳng th ức bên trái ta th ấy không có v ấn đề gì l ớn c ả. Tuy nhiên v ới b ất đẳng th ức bên phía ph ải, s ẽ th ực s ự gây ra nhi ều khó kh ăn n ếu không phát hi ện ra b ổ đề: V ới 02, km km Z , ta có: 11 1 1 22 22 mk m k m m Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số nguuyên dương n2 ta có n n1 1 1 1 1 1 ... n 2234 21 Phân tích và lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh là một bất đẳng thức kép nên ta chia thành hai bất đẳng thức để chứng minh. Nhận thấy tổng trên có n 21 phân số nên nếu chia theo nhóm tương tự như ví dụ trên không đem lại hiệu quả vì khi quy đồng theo nhóm thì các tử số không bằng nhau. Để tiện cho việc tìm lời giải ta đặt: n 11 1 1 P1 ... 234 21 Tức là ta cần chứng minh n1 Pn 2 Quan sát yêu cầu bài toán, ta thấy có thể làm trội bằng cách chia biểu thức thành nhiều nhóm, rồi làm trội từng nhóm. + Trước hết ta chứng minh Pn . Để ý ta thấy n1 1 ... 1 (có n số 1), nên ta có thể chia P thành n nhóm sao cho mỗi nhóm đều có thể bé hơn hoặc bằng 1. Ta có thể làm như sau: n1 n1 n n 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1; 2. 1; ... 4. 1; ...; ... 2 . 1 23 2 4 7 4 221 2 Như vậy P được chia thành các nhóm có số phân số lần lượt là: n1 1; 2; 4; 8; ...; 2 , ta cần kiểm tra xem tổng các phân số có phải là n 21 không? Ta có n1 n 1 2 4 8 ... 2 2 1 , điều này có nghĩa là ta nhóm vừa đủ, và có tất cả n nhóm như vậy, khi này ta có thể giải được như sau: Ta có: 23 3 4 n1 n 11 1 1 1 1 1 1 1 P 1 ... ... ... ... 23 52212 21 2 21 Làm trội biểu thức bằng cách thay các phân số trong mỗi ngoặc bằng phân số lớn nhất trong mỗi nhóm ta được n1 23 n1 11 1 1 P 1 .2 .4 .8 ... .2 1 1 ... 1 n 2 22 2 + Để chứng minh n1 P 2 ta cũng làm tương tự. Ta có 23 n1 nn 11 1 1 1 1 1 1 1 P 1 ... ... ... 221 4 6 21 2 2 1 2 2 Làm trội biểu thức bằng cách thay phân số trong mỗi ngoặc bằng phân số nhỏ nhất trong mỗi nhóm ta được. n1 23 n n n n1 nn 11 1 1 1 n 1 P 1 .2 .4 ... .2 1 22 22 2 2 2 n 1 n1 2 1 n1 P1 22 2 22 Kết hợp hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 5. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, ta luôn có: 22 2 11 1 1 .... 2 23 n Phân tích và lời giải Để chứng minh bất đẳng thức trên ta cần làm trội mỗi phân số bằng các thay mẫu số bằng một số nhỏ hơn. Để ý đến đánh giá 2 kkk 1 , khi đó ta thu được các đánh giá có dạng 2 11 1 1 k1 k k kk 1 , cho k 2,3, ...,n ta thì ta được một bất đẳng thức 22 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 ... 12 2 3 n 1 n 23 n . Bây giờ ta cần kiểm tra xem 11 1 1 1 1 1... 2 12 2 3 n 1 n có đúng không. Dễ thấy bất đẳng thức trên đúng, do đó ta trình bày lại lời giải như sau: Ta có: 2 11 1 1 ,k k1 k k kk 1 là số nguyên dương. Cho k 2,3, ...,n ta có: 2 2 2 11 1 2 2 11 1 23 3 ... 11 1 n1 n n Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: 22 2 11 1 .... 1 23 n Suy ra 22 2 11 1 1 .... 2 23 n . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có: 22 2 2 111 1 1 ... 4 468 2n Lời giải Ta có 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 111 1 1 1 1 1 ... ... 4.2 4.3 4.4 4.n 2.2 2.3 2.4 2.n 11 1 1 1 1 1 ... 1 444 234 n Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nh ận xét: B ất đẳng th ức t ổng quát c ủa ví d ụ trên là: 22 2 2 2 11 1 1 1 ... .2 .3 .4 . k kkk kn , * kN Ta thay k b ởi m ột s ố t ự nhiên khác 0 tu ỳ ý s ẽ được các bài toán m ới, ch ẳng h ạn v ới k5 ta có 22 2 2 11 1 1 1 ... 25 10 15 20 5n Ví dụ 6. Chứng minh rằng: 22 2 1 1 1 2014 .... 2015 2 3 2015 Lời giải Ta có với mọi k1 thì 2 kkk 1 0 nên 2 11 1 1 k1 k k kk 1 Cho k 2, 3, 4, ..., 2015 , ta có: 2 2 2 11 1 1 1.2 2 2 11 1 1 2.3 2 3 3 ... 11 1 1 2014.2015 2014 2015 2015 Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta được 22 2 1 1 1 1 2014 ..... 1 2015 2015 2 3 2015 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 22 2 2 11 1 1 5 1... 3 12 3 n Phân tích và lời giải Dễ thấy vì n là số nguyên dương nên ta có: 22 2 2 2 11 1 1 1 ... 1 1 12 3 n 1 Bây giờ ta chứng minh 22 2 2 11 1 1 5 ... 3 12 3 n . Thực hiện ý tưởng làm trội như các ví dụ trên với đánh giá 2 11 1 k1 k k . Tức là ta sẽ thu được một bất đẳng thức 22 2 2 11 1 1 1 1 ... 1 1 2 nn 12 3 n , tuy nhiên ở đây ta không thể khẳng định được 15 2 n3 là đúng. Do đó trong bất đẳng thức trên ta không thể làm trội theo các đánh giá như trên được. Tất nhiên là với bài toán này ta vẫn thực hiên ý tưởng làm trội nhưng với một đánh giá tốt hơn, khi đó ta cần một đánh giá theo kiểu 22 2 22 2 2 1a a a 1 1 2b ak b ak b k ak ak b . Để ý ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh là 22 2 11 12 ... 3 23 n nên với k2 khi đó ta chọn các giá trị a, b nguyên dương sao cho 2 a2 3 2b 2a b , thử một vài trường hợp ta chọn được a2,b 1 . Tức là ta được 22 2 14 4 1 1 2 2k 1 2k 1 k4k 4k 1 . Vấn đề bây giờ ta cần kiểm tra xem đánh giá được chọn có đủ tốt hay không: 22 2 11 12 2 2 2 2 2 2 2 2 ... ... 3 5 5 7 2n 1 2n1 3 2n1 3 23 n Như vậy đánh giá ta chọn là một đánh giá đủ tốt nên ta chỉ cần trình bày lại lời giải cho bài toán như sau: Ta có, với mọi k1 , ta có: 22 2 14 4 1 1 2 2k 1 2k 1 k4k 4k 1 Cho k2, 3, 4, , n ta có: 22 2 22 2 22 2 14 4 2 2 22 2.2 1 2.2 1 3 5 24.2 4.2 1 14 4 2 2 22 2.3 1 2.3 1 3 7 34.3 4.3 1 ... 14 4 2 2 2 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 n4n 4n 1 Cộng vế với vế các đánh giá trên ta được: 22 2 2 11 1 1 2 2 2 5 ... 1 1 2 32n 1 3 3 12 3 n Từ (1) và (2) được bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có: 33 3 11 11 .... 4 23 n Phân tích: Để ý ta thấy với mọi kN* ta luôn có 3 kk kkk 1 k 1 , khi đó ta có đánh giá 33 11 1 kk k k1.k.k 1 , bây giờ ta làm trội theo đánh giá đó bằng cách cho k2, 3, 4, , n . Lời giải Ta có: 33 2 11 1 1 ,k 2 kk k k1.k.k 1 kk 1 Cho k2, 3, 4, , n ta có: 3 3 3 11 1.2.3 2 11 2.3.4 3 ... 11 n n1.n.n 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 33 3 11 1 1 1 1 ... ... 1.2.3 2.3.4 23 n n1.n.n 1 Mặt khác ta lại có 11 1 11 1 1 1 ... 2.3.4 3.4.5 2 1.2 2.3 n1.n.n 1 n 1n nn 1 11 1 1 1 1 21.2 4 4 nn 1 2nn 1 Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nh ận xét: Bài toán t ổng quát là v ới m ọi s ố nguyên dương n ta luôn có: 33 3 11 1 1 1 .... 4 23 n 2n n 1 Ta có th ể đặc bi ệt hóa b ằng cách - Ch ọn n là m ột s ố t ự nhiên b ất kì, ch ẳng h ạn v ới n100 ta có bài toán: Ch ứng minh r ằng: 33 3 11 1 1 1 ... 4 101.200 2 3 100 - Ch ọn giá tr ị n là n ăm thi, ch ẳng h ạn v ới 2015 n ta có b ất đẳng th ức: 33 3 11 1 1 ... 4 2 3 2015 Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 33 3 11 1 1 1 65 40 5 6 2014 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức kép nên ta cần một đánh giá kép là 3 11 1 k kk 1 k 2 k 1 k k 1 , bây giờ ta làm trội và làm giảm theo đánh giá đó bằng cách cho k 5, 6, 7, , 2014 . Lời giải Ta có: 33 2 11 1 1 kk k k1kk 1 kk 1 33 2 2 11 1 1 k k 3k 2k kk 1 k 2 kk 3k 2 Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được: 3 11 1 k kk 1 k 2 k 1 k k 1 Cho k 5, 6, 7, , 2014 ta có: 3 3 3 11 1 5.6.7 4.5.6 5 111 6.7.8 5.6.7 6 ... 111 2014.2015.2016 2013.2014.2015 2014 Đặt 33 3 11 1 A 5 6 2014 , cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 11 1 1 1 1 A 5.6.7 6.7.8 2014.2015.2016 4.5.6 5.6.7 2013.2014.2015 Ta cần chứng minh: 11 1 1 65 5.6.7 6.7.8 2014.2015.2016 Và 11 1 1 4.5.6 5.6.7 2013.2014.2015 40 + Chứng minh: 11 1 1 65 5.6.7 6.7.8 2014.2015.2016 Ta có: 11 1 11 1 11 1 1 5.6.7 6.7.8 2014.2015.2016 2 5.6 2015.2016 2 30 390 65 + Chứng minh: 11 1 1 4.5.6 5.6.7 2013.2014.2015 40 Ta có: 11 1 11 1 1 4.5.6 5.6.7 2013.2014.2015 2 4.5 2014.2015 40 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1 , ta luôn có: 2 2 11 1 1 9 ... 513 25 20 nn1 Phân tích và lời giải Để ý ta thấy các mẫu số được viết dưới dạng 2 2 kk1 , ta cần một đánh giá kiểu 2 2 kk1 ? . Trước hết ta thử với bất đẳng thức Cauchy, khi đó ta được 2 2 kk1 2kk1 . Do đó ta có 2 2 11 111 2k k 1 2k k 1 kk1 . Bây giờ ta cho k1, 2, 3, 4, , n thì ta thu được 22 2 2 2 11 1 1 1 1 1 ... 1 2n1 2 12 2 3 2n 1 nn1 Bất đẳng thức được chứng minh nếu ta chỉ ra được 11 9 220 2n 1 , tuy nhiên đánh giá đó không đúng với giá trị n lớn. Có phải ta đang làm trội với một đánh giá sai. Đến đây hoặc ta vẫn sử dụng các đánh giá đó nhưng với k nhận giá trị lớn hơn 1 hoặc ta tìm một đánh giá khác. Chú ý một tí ta nhận thấy 91 1 20 5 4 , do đó ta cần làm trội từ k2, 3, 4, , n và khi đó ta thu được kết quả là 22 2 2 2 2 11 1 11 1 1 1 1 .... 22 n 1 4 4 23 34 2n 1 nn1 Đến đây, chỉ cần trình bày lại lời giải mà không cần phải tìm đánh giá khác nữa. Lời giải Ta có: 2 2 11 111 2k k 1 2k k 1 kk1 Cho k2, 3, 4, , n ta có: 22 22 22 1111 22 3 23 1111 23 4 34 ... 111 1 2n n 1 n(n 1) Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 22 2 2 2 2 11 1 11 1 1 1 1 .... 22 n 1 4 4 23 34 2n 1 nn1 Hay 22 2 2 2 2 11 1 1 11 9 .... 55420 23 34 nn1 Ví dụ 11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n3 , ta có: 33 3 3 11 1 1 65 ... 54 12 3 n Lời giải Đặt 33 3 3 11 1 1 P... 12 3 n , thực hiện làm trội mỗi phân số ở vế trái bằng cách làm giảm mẫu, ta có 33 22 1 2 1 1 ,k 1 k kk k k1 k 1 k1k k 1k Cho k4, 5, ..., n , ta có: 33 3 11 1 1 1 1 1 1 1 2P 2 ... 3.4 4.5 4.5 5.6 12 3 n1n nn 1 251 1 1 251 1 65 108 3.4 108 3.4 27 nn 1 Do đó ta được 65 P 54 hay bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 4 7 10 3n 2 3n 1 1 36 9 12 3n 3n 3 3n 1 Phân tích và lời giải Gọi vế trái của bất đẳng thức là P, ta cần làm trội P thành Q với điều kiện là Q phải dễ thu gọn hơn, điều này có nghĩa là Q phải có các tử và mẫu giống nhau. Để ý rằng các phân số có tử, mẫu hơn kém nhau hai đơn vị, nên ta nghĩ đến bất đẳng thức 22 nn1 nn n 2 n 2 n2 n . Đặt 14 7 10 3n 2 3n 1 P 36 9 12 3n 3n 3 , lúc này ta có 1 4 7 10 3n 2 3n 1 1 3 6 9 3n 3 3n PQ 3 6 9 12 3n 3n 3 3 6 7 10 3n 2 3n 1 Nhận thấy Q không thể thu gọn được hết nên rất khó để có đánh giá tiếp theo. Để ý tiếp ta thấy các tử của biểu thức Q và các mẫu của biểu thức P là 3, 6, 9, ... và các mẫu của biểu thức Q và các tử của biểu thức P là 4, 7, 10,... do đó thì tích PQ có thể thu gọn được. Chú ý là 2 PPQ , do đó ta có thể trình bày lời giải như sau: 2 1 4 7 10 3n 2 3n 1 1 4 7 10 3n 2 3n 1 P 36 9 12 3n 3n 3 36 9 12 3n 3n 3 1 3 6 9 3n 3 3n 1 4 7 10 3n 2 3n 1 3 6 7 10 3n 2 3n 1 3 6 9 12 3n 3n 3 11 34 67 3n 33n 2 3n 3n 1 334 6 7 9 3n 2 3n 3n 1 3 11 n3 33n 3 9n 1 Từ đây suy ra 1 P 3n 1 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 13. Chứng minh rằng với mọi số nguuyên dương n2 ta có 2 15 11 n n 1 ... 2 2! 3! 4! n1! Phân tích: Để ý ta biến đổi được số hạng tổng quát của các số hạng trên như sau: 2 kk 1 kk 1 1 1 ,k2,kN k1! k 1! k 1! k 1! Bây giờ ta làm trội bất đẳng thức trên bằng cách cho k2, 3, ..., n . Lời giải Ta có: 2 kk 1 kk 1 1 1 ,k2,kN k1! k 1! k 1! k 1! Cho k nhận được giá trị 2, 3 ,…, n rồi cộng lại ta được: 2 1 5 n n 1 111 1 1 1 1 ... ... 2! 3! 2! 1! 3! 2! 4! n1! n 1! n1! 111 1 1 1 1 22 2! 1! 2! n! n! n1! n 1! Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 14. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi n2,n N 22 2 11 1 1 ... 8 2.3 3.4 nn 1 Phân tích và lời giải Dễ nhận ra các phân số có dạng tổng quát là 2 1 kk 1 , cho nên trước khi đánh giá ta cần biến đổi 22 2 1k1k 1 1 kk 1 kk 1 kk1 k1 Quan sát chiều bất đẳng thức ta nhận thấy để đánh giá làm trội thì ta có hai cách - Thay phân số 2 1 k1 bởi số nhỏ hơn. - Thay phân số 1 kk 1 bởi số lớn hơn. Trong hai cách trên dù thực hiện theo cách nào thì kết quả thu được càng đơn giản càng tốt và có thể liên tiếp được. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 22 111 1 2 k kk 1 k1 , với cách đánh giá này ta thu được kết quả 22 2 2 2 2 111 1 1 11 1 22 kk kk 1 k 1 k 1 k 1 . Rõ ràng với kết quả đó ta có thể khử được liên tiếp. Bây giờ kiểm tra xem với đánh giá như vậy ta có chứng minh được bài toán không? Cho k 2, 3, ..., n rồi cộng lại ta được: 22 2 2 2 2 2 2 2 22 11 1 11 1 1 1 1 1 ... ... 2 2.3 3.4 23 34 n nn 1 n 1 11 1 1 28 2 n1 Đây là kết quả đúng, ta có thể trình bày lại lời giải như sau: Sử dụng bất đẳng thức 22 xy xy , x; y R 2 , ta có k2 thì: 22 2 22 2 2 2 1k1k 1 1 kk 1 kk 1 kk1 k1 11 1 1 11 1 22 kk k1 k1 k1 Cho k 2, 3, ..., n rồi cộng lại ta được: 22 2 2 2 2 2 2 2 11 1 11 1 1 1 1 1 ... ... 2 2.3 3.4 23 34 n nn 1 n 1 22 11 1 1 28 2 n1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 15. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, ta luôn có: 11 1 1.... 2n11 23 n Phân tích và lời giải Để chứng minh bất đẳng thức có chứa căn thức ở mẫu thì điều đầu tiên là tìm cách trục căn thức mẫu, trong bài toán này khi trục căn thức ở mẫu trực tiếp thì ta thu được kết quả 1k k k , để ý thấy trong căn là các số tự nhiên liên tiếp nên ta cần viết được k về dạng k1 k hoặc kk1 , tuy nhiên các phân số còn phụ thuộc vào k ở mẫu nên không thể khử liên tiếp được, do đó cách làm này không đem lại kết quả. Cũng thực hiện theo ý tương này, nhưng ta cần tìm cách cố định mẫu số, do đó ta cần biến đổi chút ít trước khi trục căn thức. Để ý ta thấy 2k k 1 k , do đó ta làm trội được 12 kk k1 , đến đây ta mới trục căn thức thì thu được kết quả 2 2k 1 k kk1 . Lúc này chỉ cần cho k 1, 2, 3, ..., n là có thể khử được các căn thức ở giữa và kết quả thu được là 2n 1 1 chính là vế phải của bất đẳng thức. Bây giờ ta trình bày lại lời giải như sau: Ta có: 12 2 2k 1 k, k k2k k k 1 là số nguyên dương. Cho k 1, 2, 3, ..., n ta có: 12 2 1 1 23 2 2 ... 1 2n 1 n n Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được 11 1 1.... 2n11 23 n Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 16. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 11 1 1 ... 2 2 32 4 3 n 1 n Phân tích và lời giải Để ý cách viết các số hạng của tổng trên có dạng 1 k1 k , ta cần làm trội sao cho có thể khử được liên tiếp. Nhận nhấy ở mẫu có chứa k và k1 nên ta cần viết 1 thành 1k 1 k k 1 k k 1 k , quan sát chiều của bất đẳng thức ta làm trội được k1 k k 1 k 2 k 1 k 1 k , đến đây ta có kết quả là: 2k1 k1k 2 k1k 122 k1 k k 1 k k1.k k k 1 Bây giờ ta có thể trình bày lời giải như sau: Ta có: k1 k k 1 k 1k1k k1 k k 1 k k1 k 2k 1 k 1 k 2 k 1 k 22 k1 k k 1.k k k1 Cho k 1, 2, 3, ..., n rồi cộng vế với vế ta có: 11 1 2 2 2 2 2 2 ... ... 2 32 n1 n 1 2 2 3 n n1 2 22 n1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nh ận xét: Bài toán t ổng quát là v ới m ọi s ố nguyên dương n ta luôn có: 11 1 2 ... 2 2 32 n 1 n n 1 Ta có th ể đặc bi ệt hóa b ằng cách - Ch ọn n để n1 là m ột s ố chính phương, ch ẳng h ạn v ới n99 ta có bài toán: Ch ứng minh r ằng: 11 1 9 ... 25 32 100 99 - Ch ọn giá tr ị n là n ăm thi, ch ẳng h ạn v ới n 2009 ta có b ất đẳng th ức: 11 1 1 2 88 ... 2 245 3 2 4 3 2010 2009 2010 Đây là đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Thái Bình n ăm 2009 – 2010 Ví dụ 17. Với số tự nhiên n3 . Đặt n 11 1 S ... 31 2 5 2 3 2n 1 n n 1 Chứng minh rằng: n 1 S 2 Phân tích: Để ý ta biến đổi được số hạng tổng quát của các số hạng trên như sau: 1k1kk1k11 2k 1 2k 2k 1 2k 1 k 1 k 2k k 1 Bây giờ ta làm trội bất đẳng thức trên bằng cách cho k1, 2, 3, ..., n . Lời giải Vì 2 22 2k 1 4k 4k 1 4k 4k nên 2k 1 2 k k 1 . Do đó ta được: 1k1kk1k11 2k 1 2k 2k 1 2k 1 k 1 k 2k k 1 Cho k 1, 2, 3, ..., n rồi cộng vế với vế ta có n 1 111 1 1 1 1 S... 2 1 2 2 2 2 23 23 24 2n 2n 1 11 1 22 2n 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nh ận xét: Bài toán t ổng quát là v ới m ọi s ố nguyên dương n ta luôn có: 11 1 11 ... 2 21 3125 2 3 2 1 1 n nnn Ta có th ể đặc bi ệt hóa b ằng cách - Ch ọn n để n1 là m ột s ố chính phương, ch ẳng h ạn v ới n99 ta có bài toán: Ch ứng minh r ằng: 11 1 119 ... 22.10 20 3 1 2 5 2 3 199 99 100 - Ch ọn giá tr ị n là n ăm thi, ch ẳng h ạn v ới n 2001 ta có b ất đẳng th ức: 1 1 1 1 1 2001 ... 22003 2 2002 3 1 2 5 2 3 4003 2001 2002 Đây là đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Lam S ơn Thanh Hóa n ăm 2001 – 2002 Ho ặc n 2007 ta có b ất đẳng th ức: 1 1 1 1 1 2007 ... 2 2009 2 2008 3 1 2 5 2 3 4015 2007 2008 Đây là đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Ninh Bình n ăm 2007 – 2008 Ví dụ 18. Chứng minh rằng: 43 1 1 1 44 ... 44 45 2 1 1 2 3 2 2 3 2016 2015 2015 2016 Phân tích: Để ý ta biến đổi được số hạng tổng quát của các số hạng trên như sau: 2 2 k1 k k k1 k1 k k k1 111 kk 1 k1 k k k1 k k 1 k1 k k k1 Bây giờ ta làm trội bất đẳng thức trên bằng cách cho k1, 2, 3, ..., n . Lời giải Đặt n 11 1 S ... 21 12 32 2 3 n1 n n n1 Để ý rằng với k1 , ta có: 2 2 k1 k k k1 k1 k k k1 111 kk 1 k1 k k k1 k k 1 k1 k k k1 Cho k 1, 2, 3, ..., n rồi cộng vế với vế ta có: n 1 111 1 1 1 S... 1 12 2 3 n n1 n1 Do đó ta được 2015 1 S1 2016 . Như vậy, ta phải chứng minh: 43 1 44 1 44 2016 45 1936 2016 2025 44 45 2016 . Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên có điều phải chứng minh. Nh ận xét: Th ực ch ất đây là bài toán tính t ổng: 11 1 1 ... 1 21 1 2 3 2 2 3 1 1 1 n S nnnn n Đến đây ta có th ể ch ọn n là m ột giá tr ị nào đó r ồi có th ể làm tr ội, làm gi ảm để t ự sáng t ạo ra các b ất đẳng th ức t ương ứng. Ví dụ 19. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 11 1 1 ... 1 22 11 3 3 22 n1 n1 n n n1 Phân tích và lời giải Nhận thấy số hạng tổng quát được viết dước dạng 1 k1 k1 k k . Quan sát chiều bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy cần phải chứng minh được bất đẳng thức kiểu k1 k1 k k A với điều kiện biểu thức A phải chứa k và k1 đồng thời phải phân tích được thành tích, do đó biểu thức A có thể là kk 1 k 1 k . Bây giờ ta cần chứng minh k1 k1 k k k k 1 k 1 k . Để đơn giản hơn ta có thể đặt xk;y k 1 rồi chứng minh xy y x xx y y , bất đẳng thức này được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương. Đến đây ta thu được bất đẳng thức: 11 11 ... ... 22 11 n1 n1 n n 21 12 n1 n n n1 . Bây giờ ta cần chứng minh được : 11 1 1 ... 1 21 12 32 2 3 n1 n n n1 n1 Rõ ràng đây là kết quả của bài toán trong ví dụ trên. Ta có thể trình bày lời giải như sau: Bổ đề: Với mọi số thực dương x, y ta có: xy y x xx y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, ta được: 2 xy y x xx y y xx y y xy y x 0 x x y y y x 0 x yx y0 xy x y 0 Vậy bổ đề được chứng minh. Áp dụng bổ đề ta có: n 1 n 1 nn nn 1 n 1 n 11 n 1 n 1 nn nn 1 n 1 n Vì thế ta được: 11 1 ... 22 1 1 3 3 22 n 1 n 1 n n 11 1 ... 21 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1 Mà theo kết quả của ví dụ trên thì 11 1 1 ... 1 21 12 32 2 3 n1 n n n1 n1 Vậy bài toán đươực chứng minh. Nh ận xét: Quan sát k ĩ hai ví d ụ 14 và 15 ta nh ận th ấy, để ch ứng minh được b ất đẳng th ức trong ví d ụ 15 thì ta ch ỉ c ần ch ứng minh được: 11 11 ... ... 22 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 nn nn nnnn Đi ều này t ương đư ơng v ới ch ứng minh 11 1 1 nn nnnn nn . Tuy nhiên trong tình hu ống không có ví d ụ 14 thì b ất đẳng th ức trong ví d ụ 15 th ực s ự là khó, để tìm ra được đánh giá 11 1 1 nn nnnn nn c ần ph ải phân tích th ật k ĩ m ối quan h ệ gi ữa các con s ố trong bài toán. Ví dụ 20. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng mọi nN : 11 1 1... 22 22 3 3 n n Lời giải Bổ đề: Với mọi x, y > 0, ta có 22 2 2 xy xy 2xyx y Chứng minh: sử dụng phương pháp biến đổi tương đương ta được 22 2 2 2 2 22 22 2 22 2 22 22 2 2 22 22 xy xy 2xyx y xy 2xy x y xy2xy 2x y 0 4x y 2 x y xy x y xy 0 2x y 2 x y 2x y xy x y xy 0 2x y 2 x y Do x, y > 0 nên bất đẳng thức cuối cùng đúng, bổ đề được chứng minh. Áp dụng bổ đề với 11 xk ;y k 22 , ta được: 11 11 1 1 1 1 kk kk 2k k k k 22 22 2 2 2 2 11 1 1 2k k k k k k 22 2 2 Từ đây suy ra: 12 22 ,k 1 kk 1 1 11 1 1 kk kk k k 22 22 2 2 Cho k 1, 2, ..., n rồi cộng vế với vế ta được: 11 1 2 2 2 2 2 2 1 ... ... 22 3 3 n n 1 3 3 5 1 1 nn 22 2 2 2 2 22 2 22 11 1 n 22 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 21. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng: 22 nn 1 1 2 3 ... n n 1 n 33 Lời giải Ta sẽ chứng minh: 22 kk 1 k 1k k k 1k kk 1, k 1 * 33 Thật vậy, bất đẳng thức bên trái tương đương với 2 2 2k k 1 2 k 1 k 3 k 2k k 1 2k 1 k 2k k 1 2k 1 4k 4k 2k 1 0 1 Bất đẳng thức bên phải tương đương với 2 2 3 k 2 k 1 k 2k k 1 2k k 1 2k 1 k 2 kk1 2k 1 4k 4k 2k1 0 1 Cả hai đánh giá cuối cùng đề đúng, do đó bất đẳng thức (*) được chứng minh. Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức trên cho k 1, 2, ..., n , khi đó ta được: 22 20 1 21 0 33 22 23 2 2 3 2 2 1 33 22 34 23 3 4 3 3 2 33 ... 22 nn 1 n 1n n n 1n nn 1 33 Cộng các bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta thu ngay được kết quả cần chứng minh. Ví dụ 22. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n5 , ta có: n2 2n Phân tích: Với bất đẳng thức dạng như bài toán này ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh. Do đó ta thực hiện theo trình tự các bước quy nạp, vấn đề là khi thực hiện quy nạp ta sử dụng giả thiết quy nạp như thế nào mà thôi. Trong bài toán này ta có giả thiết quy nạp là k2 2k và cần phải chứng minh 2 k1 2k1 . Để ý là k5 nên ta được 22 2 2k k1 kk 5 3k 1 k1 . Do đó để hoàn tất chứng minh ta cần chỉ ra được k1 2 22k , đây là kết quả đúng theo giả thiết quy nạp. Đến đây ta trình bày lời giải như sau: Lời giải + Với n5 , bất đẳng thức trở thành: 52 25 32 25 (đúng) Suy ra bất đẳng thức đúng với n5 + Giả sử bất đẳng thức đúng đến nkk N,k 5 , tức là ta được k2 2k + Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , hay 2 k1 2k1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: k1 k 2 22.2 2k 1 Vì k5 nên 22 22 2 2k k 2k1 k 2k 1 k1 kk 5 3k 1 k1 Suy ra ta được 2 2 2k k 1 2 Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức đúng với nk 1 , nên theo nguyên lý quy nạp thì bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 23. Cho x1 là một số thực cho trước. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: n 1x 1 nx Phân tích: Ta sử dụng phưng pháp quy nạp để chứng minh bài toán này. Ở đây giả thiết quy nạp là k 1x 1 kx và ta cần chứng minh k1 1x 1 k 1x . Nhận thấy từ giả thiết quy nạp ta có k1 k 1x 1x 1x 1x 1 kx , ta cần chỉ ra được 1x 1 kx 1 k 1x , nhưng đây rõ ràng là một kết quả đúng. Do đó ta trình bày lại lời giải như sau: Lời giải + Với n1 , bất đẳng thức trở thành 1x 1x (đúng). Suy ra bất đẳng thức đúng với n1 . + Giả sử bất đẳng thức đúng đến nkk N,k 1 , tức là ta được k 1x 1 kx + Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , hay k1 1x 1 k 1x Thật vậy, vì x1 x1 0 nên theo giả thiết quy nạp, ta có k1 k 1x 1x 1x 1x 1 kx Mà 2 1x 1 kx 1 k 1x kx 1 k 1x nên k1 1x 1x 1 kx 1 k 1x Hay bất đẳng thức đúng với nk 1 , nên theo nguyên lý quy nạp suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 24. Chứng minh với mọi số thực a, b thỏa mãn ab 0 , ta có: n nn ab a b 22 Phân tích: Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp, tuy nhiên để chứng minh được k1 k1 k1 ab ab 22 , ta cần chứng minh được bất đẳng thức kk k1 k1 ab a b a b 22 2 . Lời giải + Với n1 , bất đẳng thức hiển nhiên đúng. + Giả sử bất đẳng thức đúng đến nkk N,k 1 , tức là ta có: k kk ab a b 22 + Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , hay k1 k1 k1 ab ab 22 Thật vậy, vì ab 0 , nên theo giả thiết quy nạp ta có: k1 k kk ab ab ab a b ab 22 2 2 2 Bất đẳng thức đúng với nk 1 nếu ta chứng minh được k k k1 k1 ab a b a b * 22 2 Mà (*) tương đương với k k k1 k1 k1 k1 k k kk ab a b 2a b a b ab ba 0 ab a b 0 ** Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có thể giả sử ab , khi đó ab 0 1 Mặt khác, từ ab 0 a b nên k kk kk ab 0 a b b a b 0 2 Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức (**) luôn đúng. Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 25. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 13 5 2n 1 1 246 2n 3n 1 Phân tích: Bất đẳng thức trên có thể chứng minh được theo cách làm trội như ví dụ 12. Tuy nhiên ở đây ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Theo bài toán ta có giả thiết quy nạp là 13 5 2k 1 1 246 2k 3k 1 và cần chứng minh được 13 5 2k 1 2k 1 1 2 4 6 2k 2k 2 3k 4 , như vậy để hoàn thành bài toán ta cần chỉ ra được 12k1 1 2k 2 3k 1 3k 4 . Đây là bất đẳng thức đúng có thể chứng minh bẳng phép biến đổi tương đương. Lời giải + Kí hiệu bất đẳng thức đã cho là (*) , với n1 , bất đẳng thức trở thành 11 11 222 3.1 1 (đúng) Bất đẳng thức đúng với n1 . + Giả sử (*) đúng đến nkk N,k 1 , tức là ta được 13 5 2k 1 1 246 2k 3k 1 + Ta cần chứng minh (*) đúng với nk 1 , hay 135 2k 1 2k 1 1 246 2k 2k 2 3k 4 Theo giả thiết quy nạp, ta có 1 3 5 2k 1 2k 1 1 2k 1 246 2k 2k 2 2k 2 3k 1 Bất đẳng thức (*) đúng với nk 1 khi 12k1 1 2k 1 3k 4 2k 2 3k 1 2k 2 3k 1 3k 4 22 2k 1 3k 4 2k 2 3k 1 k 0 (đúng) Do đó (*) đúng với nk 1 , nên theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 26. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 11 1 1 ... 1 n1 n 2 n 3 n 2n1 Lời giải + Với n1 bất đẳng thức có dạng: 11 1 13 11 11 1 2 1 3 12 (đúng) Nên bất đẳng thức đúng với n1 + Giả sử bất đẳng thức đúng đến nk k N,k 1 , tức là k 11 1 1 S ... 1 k1 k 2 k 3 3k 1 + Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , hay k1 11 1 1 S ... 1 k2 k 3 k 4 3k 4 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có k1 k k 11 1 1 2 SS S 3k 2 3k 3 3k 4 k 1 3k 1 3k 2 3k 4 Hay k1 k SS 1 . Do đó bất đẳng thức đúng với nk 1 , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 27. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức: nn 32 7n Lời giải Thử trực tiếp với n1, 2, 3, 4 ta thấy n4 thì bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh mọi giá trị cần tìm của n là n4,n N . Tức là chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n4,n N : nn 32 7n + Với n4 thì bất đẳng thức trở thành có dạng 44 32 7.4 81 44 (đúng) Nên bất đẳng thức đúng với n = 4 + Giả sử bất đẳng thức đúng đến nk k N,k 4 tức là: kk 32 7k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , hay k1 k 1 32 7k1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có k1 k k 33.3 32 7 Nhưng với mọi k4 thì kk1k k1 k k1 32 7k 2 2 21k 2 7 k 1 2 7 2k 1 2 7 k 1 Suy ra bất đẳng thức đúng với nk 1 , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được hoàn thành. Ví dụ 28. Cho n số thực dương 12 n x , x , ..., x có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 12 n x x ... x n Lời giải + Với n1 , thì 1 x1 1 (đúng) nên bất đẳng thức đúng với n1 . + Giả sử bất đẳng thức đúng đến nk k N,k 1 , tức là với mọi 12 k x , x , ..., x 0 thỏa mãn 12 k x.x ...x 1 thì 12 k x x ... x k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , nghĩa là với mọi 12 k k1 x , x , ..., x , x 0 thỏa mãn 12 k k1 x .x ...x .x 1 thì 12 k k1 xx ... x x k 1 Do 12 k k1 x.x ...x .x 1 và vai trò các biến số như nhau nên có thể coi kk1 k k1 x1 x 1 x 1 x 0 hay kk1 kk1 xx 1 xx 1 Đặt ' kkk1 xxx thế thì ' 12 k x , x , ..., x là k số dương thỏa mãn ' 12 k x.x ...x 1 , do vậy theo giả thiết quy nạp ta có: ' 12 k x x ... x k 2 Từ (1) và (2), ta suy ra ' 12 k k1 1 2 k xx ... x x x x ... x 1 k 1 ' 12 k k1 1 2 k x x ... x x x x x 1 k 1 Điều này chứng tỏ bất đẳng thức cũng đúng với nk 1 , theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n . Ví dụ 29. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2 ta có: n1 n nn1 Lời giải + Với n2 , thì bất đẳng thức có dạng: 21 2 221 4 3 (đúng), Nên bất đẳng thức đúng với n = 2 +Giả sử bất đẳng thức đúng đến nk k N,k 2 , tức là k1 2 kk1 + Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , hay k1 k k1 k 2 Sử dụng giả thiết quy nạp ta được: k1 k 1 k1 k kk1 k1 k1 Vì 2 22 k1 k 2k1 k 2k nên k k1 k 1 2k 2 k1 k1 k1 k 2k Do đó ta được k k1 k1 k k 1 k k2 k k kk1 k 2k k k1 kk 2 k 1 k 2 Vậy bất đẳng thức đúng với nk 1 nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n2 . Ví dụ 30. Chứng minh rằng với mọi n1,n N , ta có 11 1 7 ... n 1 n 2 2n 10 Phân tích tìm lời giải Khác với bài toán trước, ở bài này các bạn sẽ gặp “một chút rắc rối” ở bước chuyển quy nạp, tức là ở đây ta gặp trường hợp “giả sử bất đẳng thức đúng với k nhưng không chứng minh được sẽ đúng cho k + 1”, thật vậy nếu bất đẳng thức đúng cho n = k, tức ta có : k 11 1 7 S ... k 1 k 2 2k 10 Khi đó nếu sử dụng giả thiết quy nạp này cho nk 1 , ta sẽ có : k1 k k 11 1 1 1 1 S ... S k 2 k 3 2k 2 2k 1 2k 2 k 1 17 1 S 10 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 Nhưng 71 7 10 10 2k 1 2k 1 nên ta chẳng thu được điều gì ở đây! Như vậy, ta nên làm gì để vượt qua chướng ngại này? Nếu để nguyên dạng như ban đầu thì khó mà giải quyết thành công bài toán bằng quy nạp, do đó ta cần biến đổi bất đẳng thức đã cho một chút, ở đây ta chọn một biểu thức trung gian kiểu 7m ,m 0 10 n thích hợp sao cho bất đẳng thức sau đúng: 11 1 7m ... n 1 n 2 2n 10 n Số m này phải thỏa mãn hai điều kiện sau: + Bước chuyển quy nạp từ k sang k + 1 có thể thực hiện được. + Bất đẳng thức trên đúng với một “giá trị đầu” của n (lưu ý “giá trị đầu” ở đây có thể khác với giá trị đầu của bất đẳng thức cho ở đề bài ). Đây sẽ là khởi điểm phép quy nạp của ta . Xét điều kiện đầu tiên ta có: k1 k 17m 1 SS 10 n 2k 12k 1 2k 12k 1 Do đó m phải thỏa mãn m1 m 1 11 m nk1 kk1 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 1m 2m 2k 1 k 4m 1 k 2m 0 2k 1 2k 1 k k 1 Bất đẳng thức cuối cùng này đúng với mọi k khi và chỉ khi 1 4m 1 0 m 4 Xét điều kiện thứ hai: + Với n = 1 bất đẳng thức trở thành: 17 1 mm 210 5 (không được vì m 1 4 ) + Với n = 2 bất đẳng thức trở thành: 11 7m 7 m 21 2 2 10 2 30 (không được vì m 1 4 ) + Với n = 3 bất đẳng thức trở thành: 11 1 7m 1 m 31 3 2 3 3 10 3 4 (không được vì m 1 4 ) + Với n = 4 bất đẳng thức trở thành: 11 1 1 7m 11 m 4 1 4 2 43 44 10 4 42 Bất đẳng thức này đúng với m 1 4 . Như vậy ta sẽ chọn m = 1 4 và điểm xuất phát quy nạp là n = 4, ta đi đến lời giải cho cả bài toán như sau Lời giải Kiểm tra trực tiếp ta thấy bất đẳng thức đã cho đúng với n = 1, 2, 3 Xét trường hợp n4 . khi đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn 11 1 7 1 ... n 1 n 2 2n 10 4n + Với n4 bất đẳng thức trở thành 1 1 1 1 7 1 533 51 1066 1071 4 1 4 2 4 3 4 4 10 4.4 840 80 (đúng) Nên bất đẳng thức đúng với n4 . + Giả sử bất đẳng thức đúng với nk k N,k 4 , tức là k 11 1 7 1 S ... k1 k 2 2k 10 4k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , hay k1 11 1 7 1 S... k2 k 3 2k 2 10 4k 1 Sử dụng giả thiết quy nạp ta được k1 k k 11 1 1 1 1 S... S k2 k 3 2k 2 k 1 2k2 2k 2 171 1 S 10 4k 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 Do vậy chỉ cần chứng minh 11 1 2 11 4k k k 1 2k 1 2k1 4k 1 k 1 2k1 21 2k 1 2k 1 0 k1 2k 1 kk1 Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng. Vậy bất đẳng thức đúng với nk 1 , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi n4 . Bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 31: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi nN 22 2 11 1 79 1... 48 23 n Lời giải Kiểm tra trực tiếp, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng với n 1, 2, 3, 4 . Xét trường hợp n5 , khi đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn 22 2 11 1 79 2 1 ... , n 5,n N 48 2n 1 23 n + Với n5 bất đẳng thức trở thành 22 2 2 1 1 1 1 79 2 205 1 79 2 1 99 100 48 2.5 1 144 25 48 11 2345 (đúng) Nên bất đẳng thức đúng với n5 + Giả sử bất đẳng thức đúng với nkk 5,k N , tức là 22 1179 2 1 ... 48 2k 1 2k + Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , hay 22 2 11 1 79 2 1 ... 48 2k 3 2k k1 Sử dụng giả thiết quy nạp ta được 22 2 2 11 1 79 2 1 1... 48 2k 1 2k k1 k1 Do đó ta chỉ cần chứng minh 22 2 2 22 21 2 1 2 2 2k 1 2k 3 2k 1 2k 3 k1 k1 14 2k 1 2k 3 4 k 1 2k 1 2k 3 k1 4k 8k 3 4k 8k 4 0 1 Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng. Vậy bất đẳng thức đúng với nk 1 , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi n5 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 32: Cho các số thực dương 12 n a ; a ; ...; a thỏa mãn điều kiện 12 n a .a ...a x . Chứng minh rằng: 33 3 3 3 123 n aaa ... a x n 1 Lời giải + Với n1 ta có 33 1 ak là một đẳng thức đúng. + Giả sử bất đẳng thức đúng với nkk N* , tức là ta có 333 3 3 333 3 12 3 k 123 k a a a ... a x k 1 a.a.a...a k 1 + Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , tức là 3 3 3 3 3 333 3 3 1 2 3 k1 1 2 3 k k1 a a a ... a x k a .a .a ...a .a k Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta được 3 3 3 3 333 3 3 123 k1 123 k k1 a a a ... a a .a .a ...a a k 1 Ta cần chứng minh 33 3 3 33 3 3 12 k k1 1 2 k k1 333 3 3 1 2 k k 1 1 2 k k1 k1 1 2 3 k a.a...a a k 1 a.a....a .a k a .a ....a a 1 a .a ...a .a a 1 a .a .a ...a 1 0 Rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 33: Cho các số thực 12 n a ; a ; ...; a 1 . Chứng minh rằng: n 12 n 12 n 11 1 n 1a 1a 1a 1 a .a ...a Lời giải + Với n1 bất đẳng thức trở thành 11 11 1a 1a (đúng) + Giả sử bất đẳng thức đúng với nkk N* , tức là k 12 k 12 k 11 1 k 1a 1a 1a 1 a .a ...a + Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , tức là k1 12 k k1 12 k1 11 1 1 k1 1a 1a 1a 1a 1 a .a ...a Theo giả thiết quy nạp ta được k 12 k k1 k1 12 k 11 1 1 k 1 1a 1a 1a 1a 1a 1 a .a ...a Như vậy ta cần chứng minh được kk1 k1 12 k 1 2 k1 k1 k1 1a 1 a .a ...a 1 a .a ...a Rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 33: Cho x là số thực dương bất kì. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương ta luôn có: 2n 1 nn1 n xx 1 x1 2 x1 Lời giải + Với n1 bất đẳng thức trở thành 3 2 44 2 xx 1 x1 x1 8xx 1 0 x 1 0 x1 2 Như vậy bất đẳng thức trên đúng với n1 + Giả sử bất đẳng thức đúng với nkk N* , tức là ta có 2k 1 kk1 k xx 1 x1 2 x1 + Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1 , tức là 2k 3 k1 k 2 k1 xx 1 x1 2 x1 Theo giả thiết quy nạp ta được 22k3 kk1 k xx 1 x1 x1 22 x1 Ta cần chứng minh 2 k1 k 2 k k 1 k1 k 2 2 kk1 k k1 k2 2 2 k1 xx 1 x x 1 x1 2 x1 x 1 x 1 .x . x 1 4 x 1 .x . x 1 0 x1 x 1 0 Rõ ràng bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Chủ đề 5 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY A. Kiến thức cần nhớ 1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi) Bất đẳng thức có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy. Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy(Côsi). Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy. 2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy a. Dạng tổng quát + Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực không âm ta có: Dạng 1: 12 n n 12 n xx ... x x .x ...x n Dạng 2: n 12 n 12 n x x ... x n. x .x ...x Dạng 3: n 12 n 12 n xx ... x x.x ...x n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12 n x x ... x + Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực dương ta có: Dạng 1: 2 12 n 1 2 n 11 1 n ... x x x x x ...x Dạng 2: 2 12 n 12 n 11 1 x x ...x ... n xx x Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12 n x x ... x b. Một số dạng đặc biệt n n2 n3 Điều kiện x, y 0 x, y, z 0 Dạng 1 xy xy 2 3 xy z xyz 3 Dạng 2 2 xy xy 2 3 xy z xyz 3 Dạng 3 11 4 xy x y x, y 0 11 1 9 xy z x y z x, y, z 0 Dạng 4 11 xy 4 xy x, y 0 11 1 xy z 9 xy z x, y, z 0 Đẳng thức xẩy ra xy xy z 3. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy + 2 22 22 x y 2xy; 2x y x y ; 2x y x y + 2 22 3x y xy xy 4 + 22 2 xy z xy yz zx + 2 22 2 3 x y z x y z 3 xy yz zx + 22 2 2 22 xy yz zy xyz x y z + 2 44 4 3 x y z xy yz zx 3xyz x y z B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải. Trong chuỗi đánh giá, cái ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra mà ta hay gọi là bảo toàn “Điểm rơi”. Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho một bất đẳng thức quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải. Ý tưởng chính của chọn điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý. Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Trước khi tìm hiểu về kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ta hãy xét một số ví dụ về chọn “Điểm rơi” dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dạng được đề cập. Bài toán 1. Cho số thực a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 Aa a Sai lầm thường gặp là: 11 Aa 2a 2 aa . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2. Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ nhất của A là 2 1 aa1 a , điều này không xẩy ra vì theo giả thiết thì a2. Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy giá trị của a càng tăng thì A càng tăng, do đó ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a2 . Khi đó ta nói A đạt giá trị nhỏ nhất tại “Điểm rơi a2 ”. Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1 a vì không thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Vì vậy ta phải tách a hoặc 1 a để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a1 , ka sao cho tại “Điểm rơi a2 ” thì a1 ka , ta có sơ đồ sau: a1 21 ka a2 k 4 11 k2 a2 Khi đó ta được 1a 3a 1 Aa a4 4 a và ta có lời giải như trên. Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 1a 1 3a a1 3a 3.2 5 Aa 2 1 a4 a 4 4a 4 4 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 . 2 Chú ý: Ngoài cách ch ọn c ặp s ố 1 , a ka ta có th ể ch ọn các các c ặp s ố sau: 1 , ka a ho ặc , k a a ho ặc 1 , a ka . Bài toán 2. Cho số thực a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 1 Aa a Sơ đồ điểm rơi: 2 2 a1 21 k a a2 k 8 11 k4 4 a Sai lầm thường gặp là: 22 a 1 7a a 1 7a 1 7a 1 7.2 9 A2. 88 8 8 2a8 2.284 aa . Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù giá trị nhỏ nhất của A bằng 9 4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: 11 a2 2a 2.2 là sai. Lời giải đúng: 3 22 aa 1 6a a a 1 6a 3 6.2 9 A3. 88 8 8 8 8 4 8 4 aa Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 9 . 4 Bài toán 3. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn ab 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 Aab ab Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab 2 . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 ab 1 ab 24 . Khi đó ta có điểm rơi như sau: ab 1 11 1 kab ab 4 k 144k 16 4 ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 ab 1 1 ab ab 24 4 Do đó ta được 11 117 A 16ab 15ab 2 16ab. 15ab 8 15. ab ab 4 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 4 Bài toán 4. Cho số thực a6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 18 Aa a Phân tích: Ta có 22 18 9 9 Aa a aaa Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a6 . Ta có sơ đồ điểm rơi: 2 a9 36 3 ka a6 k 24 99 k2 a6 Lời giải Ta có 222 2 3 a 9 9 23a a 9 9 23a 9 23.36 A3 39 24 a a 24 24 a a 24 2 24 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a6 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 39 Bài toán 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a2b 3c 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 394 Aa b c a2b c Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi a2b 3c 20 và tại điểm rơi a2,b 3,c 4. Sơ đồ điểm rơi: a3 23 4 ka a2 k 33 k2 3 a2 b9 33 m2b b3 m 2 93 m2 2b 2 c4 4 nc c4 1 n 4 4 n 1 c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3a 3 b 9 c 4 a b 3c A 4a 2 2b 4 c 4 24 3a 3 b 9 c 4 a 2b 3c 22 2 332513 4a 2 2b 4 c 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2,b 3,c4. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 13. Bài toán 6. Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn ab 12; bc 8 . Chứng minh rằng: 1 1 1 8 121 ab c 2 ab bc ca abc 12 Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi ab 12; bc 8 ,tại điểm rơi a3;b 4;c 2 . Khi đó ta được ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng nhóm sau: ab2 a c 2 b c 2 a c b 8 ;; , ; ; , ; ; , ; ; ; . 18 24 ab 9 6 ca 16 8 bc 9 6 12 abc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 ab2 a b 2 1 3 18 24 ab 18 24 ab 2 ac 2 a c 2 31 9 6 ca 9 6 ca 3 4 bc 2 b c 2 3 3 16 8 bc 16 8 bc 4 ac b 8 a c b 8 4 4 9 6 12 abc 9 6 12 abc 3 13a 13b 13a 13b 13 13 13 22 12 18 24 18 24 18 24 3 13b 13c 13b 13c 13 13 13 22 8 48 24 48 24 48 24 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 8 121 ab c 2 ab bc ca abc 12 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a3;b 4;c 2 . Bài toán 7. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ab ab A ab ab Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a và b nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại ab . Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi: ab ab 21 ab kab ab k 4 k2 ab 1 ab 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3a b a b ab a b ab 3.2 ab 3 5 A 2 1 ab ab 2 2 4 ab 4 ab 4 ab 4 ab Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 2 . Bài toán 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab c bccaab A bc c a a b a b c Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại ab c . Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi: ab c 1 12 bc c a a b 2 ab c k 4 bc c a a b 2 2k ka kb kc k Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được ab c bccaab 3bccaab A b c c a a b 4a 4b 4c 4 a b c a b c b c a c a b 3 b c c aab 22 2 b c 4a c a 4b a b 4c 4 a a b b c c 111 3 9 15 22223 222 4 2 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 15 2 Bài toán 9. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 11 A 2ab ab Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại 1 ab 2 . Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi: 22 1k 2 1 2ab ab ab 2k 2 k 1 1 2 2 2ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 2 11 4 4 A 4 2ab ab ab 2ab ab Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 ab 2ab 1 ab ab 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4. Bài toán 10. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 11 A 2ab 1a b Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại 1 ab 2 . Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi: 22 11 1 2 ab k 3 22kab3 1a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 22 22 2 11 1 1 1 A2 6ab 3ab 3ab 1a b 1a b 6ab 21 4 1 3ab 3ab 1a b 6ab a b 1 4ab 2 22 2 41 448 2.1 1 3.1 3 ab ab ab 1 4 3 22 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 1a b 6ab 1 ab ab 2 ab 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 3 . Bình lu ận: Qua các bài toán trên ta th ấy, khi gi ải các bài toán ch ứng minh b ất đẳng th ức thì các đánh giá trung gian ph ải được b ảo toàn d ấu đẳng th ức. Cho nên vi ệc xác định đúng v ị trí đi ểm r ơi x ẩy ra s ẽ tránh cho ta s ử d ụng các đánh giá trung gian sai l ầm. Trong đánh giá t ừ trung bình c ộng sang trung bình nhân, việc xác định đi ểm r ơi đúng s ẽ ch ỉ cho ta cách ch ọn các đánh giá h ợp lí trong chu ỗi các đánh giá mà ta c ần ph ải s ử d ụng. Bây gi ờ ta đi tìm hi ểu k ĩ thu ật đánh giá t ừ trung bình c ộng sang trung bình nhân thông qua m ột s ố ví d ụ sau. Ví dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 222 ab b c c a 8abc Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c . Trong bất đẳng thức trên thì vế trái có các đại lượng 22 2 2 2 2 ab;b c;c a và vế phải chứa đại lượng 22 2 8a b c . Để ý ta nhận thấy 22 2 8a b c 2ab.2bc.2ca , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến các đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 22 2 2 2 2 ab 2ab;b c 2bc;c a 2ca . Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 22 22 xy 2xy 2xy , ta có: 22 22 22 ab 2ab 0 bc 2bc 0 ca 2ca 0 Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được: 22 2 2 2 2 222 222 a b b c c a 8a bc 8a bc Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét: - Ch ỉ được nhân các v ế c ủa b ất đẳng th ức cùng chi ều (k ết qu ả được b ất đẳng th ức cùng chi ều) khi và ch ỉ khi các v ế cùng không âm. - Để ý r ằng ta s ử d ụng cách đánh giá 22 22 22 xy xy xy khi ch ưa xác định được x, y âm hay dương. - Nói chung ta ít g ặp bài toán s ử d ụng ngay b ất đẳng th ức Cauchy nh ư bài toán nói trên mà ph ải qua m ột vài phép bi ến đổi đến tình hu ống thích h ợp r ồi m ới s ử d ụng b ất đẳng th ức Cauchy. Ví dụ 1.2: Cho a, b là các số thực dương không âm tùy ý. Chứng minh rằng: 8 2 a b 64ab a b Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab . Trong bất đẳng thức trên, vế trái có đại lượng 84 ab ab2ab và vế phải có đại lượng 2 64ab a b . Để ý ta nhận thấy khi ab thì ab 2ab và 2 ab 4ab , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến các đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho hai số ab và 2ab . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 22 22 xy 2xy 2xy , ta được: 4 84 2 ab ab2ab 22ab ab 64abab Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 1.3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab 1 . Chứng minh rằng: 22 11 4ab 7 ab ab Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại 1 ab 2 . Khi đó ta có 22 ab 2ab và 1 4ab 4ab . Để ý đại lượng 22 ab nằm ở mẫu nên ta cần tìm cách thêm vào 2ab để tạo thành 2 ab , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá 22 22 2 11 4 4 4 2ab ab ab 2ab ab . Như vậy lúc này bên vế trái còn lại 1 4ab 2ab , đến đây ta sử dụng cách ghép hai đại lượng nghịch đảo 1 4ab 2 4ab . Như vậy lúc này ta thấy vế trái còn lại 1 4ab và ta cần chỉ ra được 1 1 4ab . Điều này không thể làm khó ta được vì dễ nhận ra được 2 4ab a b 1 . Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Ta viết lại biểu thức vế trái thành 22 2 2 11 1 1 1 1 4ab 4ab ab 2ab 4ab 4ab ab ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có các đánh giá sau: 22 22 2 11 4 4 4 2ab ab ab 2ab ab 1 4ab 2 4ab ; 2 1 4ab a b 1 1 4ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 11 1 1 4 1 1 4ab 2 4ab. 7 2ab 4ab 4ab 4ab ab (a b) ab Hay 22 11 4ab 7 ab ab Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab 2 . Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các ví dụ sau đây. Ví dụ 1.4: Cho số thực a bất kì. Chứng minh rằng: 2 2 a2 2 a1 Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là 22 a2 2a 1 . Để ý ta nhận thấy 22 2 2 a2 a 1 1;2a 1 2a 1.1 , do đó ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân để chứng minh bất đẳng thức. Ngoài ra, Để ý ta cũng có thể viết 22 2 22 2 a2 a 1 1 1 a1 a1 a1 a1 , đến đây ghép cặp nghịch đảo để chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy 2xy , ta có 22 2 2 a 2 a1 1 2a1.1 2a 1 Hay 2 2 a2 2 a1 . Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 a1 1 a 0 . Ta cũng có thể trình bày lời giải như sau: Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có 22 2 22 2 a2 a 1 1 1 a1 2 a1 a1 a1 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 2 1 a1 a1 1 a 0 a1 Ví dụ 1.5: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab . Chứng minh rằng: 1 a3 ba b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải không chứa biến, nên khi áp dụng áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta cần phải khử hết các biến, như vậy ta cần phải có các đại lượng ab;b , ngoài ra chiều bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Để ý là ab a b khi đó ta áp dụng đánh giá cho 3 số dương 1 ab;b; ba b . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được 3 11 1 a b ab 3.b.ab. 3 ba b b a b ba b Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2 1 ab b b1 ba b Ví dụ 1.6: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ab c 3 bc c a a b 2 Phân tích: Đây là bất đẳng thức Neibizt đã được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương. Tuy nhiên ở đây ta thử dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh xem sao. + Hướng 1: Để ý đẳng thức xẩy ra khi ab c nên khi đó có ab c 1 bc c a a b 2 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số ab c ; bc 4a khi đó ta được abc 1 bc 4a , áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức: ab c bccaab 3 b c c a a b 4a 4b 4c Như vậy ta cần chứng minh được bc c a a b 3 b c c a a b 6 4a 4b 4c 2 a b c . Đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai. Do đó ta không thể thực hiện chứng minh theo hướng thứ nhất được. + Hướng 2: Để ý là aabc 1 bc bc , khi đó áp dụng tương tự được bất đẳng thức ab c a b c ab c 9 bc c a a b 2 hay 11 1 2a b c 9 bc c a a b . Dễ dàng chỉ ra được 3 11 1 1 3. bc c a a b ab b c c a và chú ý ta lại thấy 3 2a bc a b bc c a 3. a b bc c a . Đến đây ta có lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab c a b c ab c 9 bc c a a b 2 Hay 11 1 2a b c 9 bc c a a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 2a bc a b bc c a 3. a b bc c a 11 1 1 3. bc c a a b ab b c c a Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 11 1 2a b c 9 bc c a a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng : 3 3 1 a 1b 1c 1 abc Phân tích: Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c , để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể lũy thừa bậc 3 hai vế, khi đó ta được 3 3 1a 1 b 1 c 1 abc hay 33 22 2 1 a 1b 1c 13.abc 3.abc abc . Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến đẳng thức 1 a 1b 1c 1 a b c ab bc ca abc . Như vậy bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 3 ab c 3.abc và 3 22 2 ab bc ca 3. a b c , rõ ràng hai đánh giá trên đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 3 1a 1 b 1 c 1 abc Hay 33 22 2 1 a b c ab bc ca abc 1 3. abc 3. a b c abc Hay 33 22 2 ab c ab bc ca 3.abc 3.abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 ab c 3.abc và 3 22 2 ab bc ca 3. a b c Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 1.8: Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 ab ab c a b c d 64 abcd Phân tích: Bất đẳng thức được viết lại thành 2 ab ab c a b c d 64abcd . Dễ thấy đẳng thức không xẩy ra tại ab c d , do đó để dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại đâu ta cần quan sát thật kỹ vai trò các biến trong bất đẳng thức. Nhận thấy trong bất đẳng thức a và b, ab và c, ab c và d có vai trò như nhau, do đó ta dự đoán đẳng thức xẩy ra khi ab;a b c;a b c d hay 4a 4b 2c d , kiểm tra lại ta thấy kết quả đúng vậy. Như vậy khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần chú ý bảo toán dấu đẳng thức. Trước hết ta có các đánh giá như sau: 2 ab 2ab;ab c 2 abc; ab c d 4a b cd Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được 2 ab ab c a b c d 16ab. abc.ab cd Tiếp tục áp dụng các đánh giá như trên ta được ab. a b c. a b c d ab. 2c ab.2 a b c.d ab. 2cab.2 2cab.d 4abcd Đến đây ta thu được 2 ab ab c a b c d 64abcd chính là bất đẳng thức cần chứng minh. Ngoài ra, để đơn giản hơn ta có thể thực hiện các đánh giá như 22 2 ab 4ab; ab c 4ca b; ab c d 4a b cd Đến đây ta nhân theo vế và thu gọn thì được 2 ab ab c a b c d 64abcd Bây giờ ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 ab ab c a b c d 64abcd Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Cauchy dạng 2 xy 4xy , ta có 2 22 ab c d 4dab c 0 a b c 4c a b 0; a b 4ab 0 Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta suy ra 22 2 a b a b c a b c d 64abcd a b a b c Hay 2 ab ab c a b c d 64abcd Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d2c 4b 4a 0 Ngoài ra, ta cũng có thể trình bày lời giải như sau: Áp d ụng b ất đẳng th ức Cauchy ta có 2 ab 2ab;ab c 2 abc; ab c d 4a b cd Nhân theo v ế các b ất đẳng th ức ta đư ợc 2 ab ab c a b c d 16ab. abc.ab cd Ti ếp t ục áp d ụng các đánh giá nh ư trên ta được ab. a b c. a b c d ab. 2c ab.2 a b c.d ab. 2cab.2 2cab.d 4abcd Đến đây ta thu được 2 ab ab c a b c d 64abcd Hay b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Ví dụ 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 11 1 1 a b abc b cabc ca abc abc Phân tích: Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng cách đánh giá mẫu, ở đó ta chứng minh bất đẳng thức phụ 33 ab aba b bằng phép biến đổi tương đương. Trong ví dụ này ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ trên bằng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Ta viết lại bất đẳng thức phụ trên thành 33 2 2 ab ab ab , khi đó ta có các đánh giá là 33 3 2 3 3 3 2 aa b 3ab;a b b 3ab . Đến đây cộng theo vế ta thu được bất đẳng thức trên. Đến đây ta trình bày lời giải như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 33 3 2 3 3 3 2 aa b 3ab;a b b 3ab Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 33 2 2 ab ab ab Suy ra 33 a b abc ab a b c Từ đó ta được 33 11 c a b abc ab a b c abc a b c Chứng minh tương tự ta có 33 33 11 a bc abc bc a b c abc a b c 11 b ca abc acab c abcab c Cộng theo vế các bất đẳngthức trên ta được 33 3 3 3 3 11 1 1 abc a b abc b cabc ca abc Nh ận xét: Khi đi tìm l ời gi ải cho b ất đẳng th ức trên, cái làm khó ta chính là ph ải phát hi ện ra b ất đẳng th ức ph ụ 33 ab aba b . Trong quá trình đó đòi h ỏi ta ph ải có s ự phân tích k ĩ càng và có nh ững định hướng rõ ràng, còn trình bày ch ứng minh b ất đẳng th ức thì cách nào c ũng được mi ễn là càng g ọn càng t ốt. Ví dụ 1.10: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 64 6 4 6 4 4 4 4 2a 2b 2c 1 1 1 ab b c c a a b c Phân tích: Vì vai trò các biến như nhau trong bất đẳng thức nên ta được dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c , khi đó ta được 2 64 4 2a 1 2a a 1 aa a , do đó đẳng thức sẽ xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của bất đẳng thức phức tạp hơn nên ta chọn đánh giá bên vế trái trước. Từ chiều bất đẳng thức ta cần phải thay các mẫu bởi các đại lượng bé hơn, tức là ta cần có đánh giá 64 ab ? , cho nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy, khi đó ta có 64 32 ab 2ab , đánh giá này vẫn được bảo toàn dấu đẳng thức. Lúc này ta được 6 4 32 22 2a 2a 1 aa 2ab ab và áp dụng tương tự thì ta sẽ thu được 64 6 4 6 4 22 22 22 2a 2b 2c 1 1 1 ab b c c a ab bc ca . Việc chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 4 4 4 11 1 1 1 1 ab bc ca a b c , nhưng đây là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó bài toán được chứng minh. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số ta được 6 4 6 4 6 4 32 3 2 3 2 22 2 2 2 2 2a 2b 2c 2a 2b 2c 1 1 1 a b b c c a 2a b 2b c 2c a a b b c c a Ta cần chứng minh được 22 2 2 2 2 4 4 4 11 1 1 1 1 ab bc ca a b c Thật vậy, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có 44 22 4 4 22 4 4 22 11 2 1 1 2 1 1 2 ;; ab ab b c bc c a ca Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta thu được 22 2 2 2 2 4 4 4 11 1 1 1 1 ab bc ca a b c . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 1.11: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a1 b 1 c 1 9 ab c 2bc 2 ca 2 ab 2 Phân tích: Vì vai trò các biến như nhau trong bất đẳng thức nên ta được dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c , khi đó ta được 2 a1 3 aa1 2a 2 , do đó đẳng thức sẽ xẩy ra tại ab c 1 . Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 2 2 2 ab c a b c 9 2abc 2 Để ý đến đánh giá 22 2 ab c ab bc ca khi đó ta được 22 2 2 2 2 22 2 ab c a b c ab c 1 1 1 2abc 2 abc Ta cần chứng minh được 22 2 a1 3b 1 3c 1 3 ;; 2a 2 2 b 2 2 c 2 . Chú ý đến ab c 1 , ta có 22 a1 a 1 13 2a 2 2a 2a 2 , do vậy đến đây bài toán được chứng minh. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 ab c a b c 9 2abc 2 Mặt khác ta có 22 2 ab c ab bc ca 1 1 1 abc abc a b c Do đó ta được 22 2 2 2 2 22 2 ab c a b c ab c 1 1 1 2abc 2 abc Ta cần chứng minh được 22 2 ab c 1 1 1 9 2abc2 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 a1 a 1 13 2a 2 2a 2a 2 Áp dụng tương tự ta được 22 b1 3c 1 3 ; 2b 2 2 c 2 . Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c 1 1 1 9 2abc2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 1.12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 ab 1 b c 1 c a 1 33 ab bc ca Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta có các ý tưởng tiếp cận như sau: + Hướng thứ nhất: Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến đánh giá tương tự như trong ví dụ 1.9 là 33 33 ab 1 a b abc aba b c , khi đó ta được bất đẳng thức là 33 ab a b c ab 1 a b c ab ab ab và áp dụng hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức 33 3 3 3 3 ab 1 b c 1 c a 1 1 1 1 ab c. ab bc ca ab bc ca . Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 11 1 ab c. 33 ab bc ca . Tuy nhiên bất đẳng thức đó là đúng nhờ hai đánh giá sau: 3 ab c 3abc 3 và 3 11 1 1 1 1 3. . 3 ab bc ca ab bc ca + Hướng thứ hai: Áp dụng trự tiếp bất đẳng thức Cauchy ta có 3 33 33 ab 1 3ab 3ab nên ta được 33 ab 1 3 ab ab , áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 33 3 3 3 3 ab 1 b c 1 c a 1 1 1 1 3 ab bc ca ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 11 1 3 ab bc ca , tuy nhiên đánh giá này đã được khẳng định trong hướng thứ nhất. Bây giờ ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Cách 1: Dễ dàng chứng minh được 33 ab aba b , khi đó ta có 33 ab a b c ab 1 a b c ab ab ab Áp dụng tương tự ta được 33 3 3 3 3 ab 1 b c 1 c a 1 1 1 1 ab c. ab bc ca ab bc ca Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 ab c 3abc 3 và 3 11 1 1 1 1 3. . 3 ab bc ca ab bc ca Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 11 1 ab c. 33 ab bc ca Suy ra 33 3 3 3 3 ab 1 b c 1 c a 1 33 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được 3 33 33 ab 1 3ab 3ab Suy ra 33 ab 1 3 ab ab , áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 33 3 3 3 3 ab 1 b c 1 c a 1 1 1 1 3 ab bc ca ab bc ca Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 3 22 2 11 1 1 33 ab bc ca a b c . Do đó ta được 33 3 3 3 3 ab 1 b c 1 c a 1 33 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 1.13: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 11 88 1 a 1b 1c Phân tích: Với bất đẳng thức trên việc dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra hơi khó. Để dễ quan sát hơn ta có thể viết lại bất đẳng thức như sau: 22 2 22 2 ab b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 1 8 1 a 1b 1c Hay ta cần chứng minh 22 2 22 2 8 a b b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 1 a 1b 1c Quan sát thật kĩ bất đẳng thức trên ta thấy cần phải chứng minh được 22 1a 1 b 2 a b 1 ab Với bất đẳng thức trên, ta sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc bất đẳng thức Cauchy. Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy, chú ý bên vế phải của bất đẳng thức có chứa đại lượng 2a b 1 ab , như vậy ta cần biến đổi vế trái thành 22 ab 1 ab . Để kiểm tra nhận định trên ta chỉ cần nhân tung hai biểu thức rồi so sánh là được và rất may là nhận định trên là đúng. Bây giờ ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại như sau: 22 2 22 2 ab b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 1 8 1 a 1b 1c Hay ta cần chứng minh 22 2 22 2 8 a b b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 1 a 1b 1c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 22 2 2 22 1a 1 b 1a b ab a b 1 ab 2 a b 1 ab Áp dụng tương tự 22 2 2 1b 1c 2 b c 1 bc; 1 c 1 a 2 c a 1 ca Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 8 a b b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 1 a 1b 1c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 1.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 22 2 a 1 1b 1b 1c 1c 1 a 24 1c 1 a 1b Phân tích: Đầu tiên ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức thì ý tưởng đầu tiên đó là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tức là ta cần phải chứng minh được 2 22 2 1 a 1b 1b 1c 1c 1 a 24 ab c 3 Tuy nhiên bất đẳng thức trên không đúng, muốn kiểm tra ta chỉ cần chọn một một bộ số, chẳng hạn 1 a2;b c 2 để thử thì thấy bất đẳng thức trên không đúng. Do đó đánh theo bất đẳng thức Bunhiacopxki không thực hiện được. Trong tình huống này ta nghĩ đến đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy. Trước hết ta thử đánh giá trực tiếp bằng bất đẳng thức Cauchy xem sao, ta có 22 2 2 2 2 4 3 4 3 22 2 22 2 1 a 1b 1b 1c 1c 1 a a 1 1b 1c 3 1c 1 a 1b 1 a 1b 1c Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 43 4 32 2 2 a 1 1b 1c 8 1 a 1 b 1 c Tuy nhiên đánh giá trên lại không đúng. Như vậy để đánh giá được theo bất đẳng thức Cauchy hay Bunhiacopxki ta cần biến đổi các biểu thức trước. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần biến đổi 22 1a 1 b thành đại lượng có chứa 22 1a ; 1 b và ta có thể biến đổi như sau: 22 2 22 1 a 1 b ab 1 a b 4 ab 1 a b 4a 1 b 4b 1 a Đến đây ta được 22 22 22 2 1a 1 b 1a 1 b 4b. 4a. 1c 1c 1c , áp dụng tương tự ta thu được 22 2 2 22 22 22 2 2 2 2 1b 1c 1c 1 a 1c 1b 1c 1 a 4b. 4c. ; 4a. 4c. 1a 1a 1a 1 b 1 b 1 b . Để ý ta thấy trong các đánh giá trên xuất hiện các cặp nghịch đảo nên ta ghép chúng lại 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 a 1c 1b 1c 1b 1 a 4b. 4b. 8b; 4a. 4a. 8a; 4c. 4c. 8c 1c 1 a 1c 1b 1 a 1b Chú ý đến giả thiết ab c 3 ta có được điều cần chứng minh và lúc này ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng Cauchy ta có 22 2 22 1 a 1 b ab 1 a b 4 ab 1 a b 4a 1 b 4b 1 a Suy ra 22 22 22 2 1a 1 b 1a 1 b 4b. 4a. 1c 1c 1c Áp dụng tương tự ta thu được 22 2 2 22 22 22 2 2 2 2 1b 1c 1c 1 a 1c 1b 1c 1 a 4b. 4c. ; 4a. 4c. 1a 1a 1a 1 b 1 b 1 b Khi đó ta được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 22 2 2 2 22 22 22 2 2 2 2 1 a 1b 1b 1c 1c 1 a 1c 1 a 1b 1 a 1b 1c 1b 1c 1 a 4b. 4a. b. 4c. 4a. 4c. 1c 1c 1 a 1 a 1b 1b Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 a 1c 1b 1c 1b 1 a 4b. 4b. 8b; 4a. 4a. 8a; 4c. 4c. 8c 1c 1 a 1c 1b 1 a 1b Suy ra 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 a 1c 1b 1c 1b 1 a 4b. 4b. 4a.4a. 4c.4c. 8abc24 1c 1 a 1c 1b 1 a 1b Do đó ta được 22 2 2 2 2 22 2 a 1 1b 1b 1c 1c 1 a 24 1c 1 a 1b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 1.15: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 2 a1 b 1 c 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 12 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết ta có ab c 1 1 2 11 a 1 b1 c1 b1 c1 b1 c1 Tương tự ta có b2 c 2 ; b1 c1 c1 a 1 a 1 b1 Khi đó ta được 4. a 1 b 1 ab 4 ab c1 a1 b 1 c1 a 1 b1 Áp dụng tương tự ta được 4. b 1 c 1 4. c 1 a 1 bc ; ca a1 b 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 4. a 1 b 1 4. b 1 c 1 4. c 1 a 1 ab bc ca c1 a 1 b1 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có a1 b 1 b 1 c 1 c 1 a1 3 c1 a 1 b1 Suy ra ab bc ca 12 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2 . Ví dụ 1.16: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 3 8a b c 27 a b b c c a 16 ab bc ca ab c Lời giải Đẳng thức xẩy ra tại ab c , khi đó 22 2 3 8a b c 27 a b b c c a 8 ab bc ca ab c Do đó ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 22 2 2 2 2 3 3 8a b c 8a b c .27 a b b c c a 27 a b b c c a 2 ab bc ca ab c ab bc ca a b c Ta cần chứng minh được 3 22 2 27 a b c a b b c c a 8 ab bc ca a b c Dễ thấy ab b c c a ab c ab bc ca abc Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 22 2 a b c 3 abc; ab bc ca 3 a b c Suy ra ab c cb bc ca abc 9 Do đó ta được 8 a b bc c a a b c cbbcca 9 Suy ra 22 2 2 2 2 27 a b c a b b c c a 24 a b c a b c cb bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 3 22 2 24a b c a bc ab bc ca 8abbcca a bc Hay 2 22 2 3a b c a b c Rõ ràng đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 1.17: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 2 2 2 ab b c c a 32 Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 bc c a a b 2 Lời giải Đặt 22 2 2 2 2 xa b;yb c;z c a , khi đó ta được x; y; z 0 và từ giả thiết ta được xy z 32 Từ đó ta có 22 2 2 2 2 xy z 2a b c . Do đó ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 xy z x y z x y z a;b ;c 22 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 bc 2b c 2y Do đó ta được 22 2 2 ax y z bc 2y 2 Hoàn toàn tương tự ta có 22 2 2 2 2 2 2 bx y z c x y z , ca a b 2z 2 2x 2 Suy ra 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 ab c bc c a a b xy z y xy z z xy z x 2y 2 2 2z 2 2 2x 2 2 1111xyz xy z xy z 22 2 111132 xy z xy z 62 2 11119.323 xy z x y z 3 3 xy z 2 62 62 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 1.18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 42 2 4 2 2 4 2 2 33 3 3 3 3 ab c b c a c a b 2 b2c c 2a a 2b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả thiết ta có 42 2 2 22 22 2 4 22 3 ab c a ab ca a.2a.bc 2a Hoàn toàn tương tự ta được 42 2 3 4 2 2 3 bc a 2b;c a b 2c Khi đó ta được 42 2 4 2 2 4 2 2 33 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ab c b c a c a b 2a 2b 2c b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a a 2b Ta cần chứng minh được 33 3 33 3 3 3 3 2a 2b 2c 2 b2c c 2a a 2b Thật vậy, đặt 33 3 3 3 3 x b 2c ; y c 2a ; z a 2b Khi đó ta được 33 3 x2y 4z y 2z 4x z 2x 4y b;c;a 99 9 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 z 2x 4y 2 x 2y 4z 2 y 2z 4x 2 9x 9y 9z Hay ta cần chứng minh 2z x y y z x 462 9x yz x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương ta có 33 zx y zxy y z x yzx 3. . 3; 3 .. 3 xy z xyz xy z xyz Khi đó ta được 2z x y y z x 462 9x yz x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 1.19: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 22 2 ab c ab bc ca 28 abc ab c Lời giải Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là P, khi đó ta có 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 ab c ab bc ca Pabc abc ab c ab c ab bc ca ab c 2ab 2bc 2ca abc ab c ab bc ca 1 1 1 1 1 1 ab c 2ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 11 1 9 11 1 ;ab bc ca 9 ab bc ca ab bc ca ab bc ca Để ý là 22 2 ab c ab cb ca . Khi đó ta được 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 ab bc ca 9 Pabc 2.9 ab bc ca ab c 8a b c ab bc ca a b c 18 ab bc ca ab bc ca ab c 2 8 18 28 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 1.20: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 ab a b 2c 6. ba ba Chứng minh rằng: bc ca 4ab 8 3 a2b c b 2a c c a b Lời giải Từ giả thiết 22 22 22 22 ca b a ab b 2 a b ab a b 2c 66 ba ab ba ab Áp dụng bất đẳng thức Cachy ta có 22 22 22 22 ca b a ab b 2 a b ca b ab 2ab 6 4 ab ab ab c(a b) 02 ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 bc ac bc ac a 2b c b 2a c abc 2b c abc 2a c ca b bc ac 2abc a b c 2abc a b c Và 2 ab bc ca abc a b c ab.bc bc.ca ab.ca 3 Suy ra ta có 2 2 ca b ca b bc ac 3 3 ab 2ab bc ca 2 a2b c b 2a c c a b 1 ab Gọi P là vế trái của bất đẳng thức Đặt 2 2 ca b 3t 4 tP ab t 21 t (với 0t 2 ). Ta có 22 32 22 2 2 2 3t 4 3t 4 8 8 7t 8t 32t 24 8 tt33 3 21 t 21t 6t1t t2 7t 22t 12 88 33 6t 1 t Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra. Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Ví dụ 2.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện ab c 1 . Chứng minh rằng: ab b c c a 6 Sai lầm thường gặp: 2. a b.1 a b 1 ab 22 2. b c.1 b c 1 bc 22 2. c a.1 c a 1 ca 22 2a b c 3 5 ab b c c a 6 22 . Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì? Nguyên nhân sai lầm: Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab b c c a 1 ab c 2 . Điều này trái với giả thiết. Phân tích tìm lời giải: Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau - Đẳng thức xẩy ra tại đâu? - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số nào? Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là 1 ab c 3 , từ đó ta có 2 ab b c c a 3 . Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc hai nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số là a và 2 3 ,…. Đến đây ta có lời giải đúng như sau: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy xy 2 cho hai số không âm ta có: 2 ab 323 3 ab . a b. . 2322 2 bc 323 3 bc .bc. . 2322 2 ca 323 3 ca . c a. . 2322 2 2a b c 3. 3 3 ab b c c a . 6 22 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 2.2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện ab c 1 . Chứng minh rằng: 33 3 3 ab b c c a 18 Sai lầm thường gặp 3 3 3 3 3 3 ab 1 1 a b a b .1.1 3 bc 1 1 b c b c .1.1 3 ca 1 1 c a c a .1.1 3 33 3 3 2a b c 6 8 ab b c c a 18 33 . Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì? Nguyên nhân sai lầm: Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab b c c a 1 ab c 2 . Điều này trái với giả thiết. Phân tích tìm lời giải: Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau - Đẳng thức xẩy ra tại đâu? - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số? Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là 1 ab c 3 , từ đó ta có 2 ab b c c a 3 . Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc ba nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số là a, 2 3 và 2 3 ,…. Đến đây ta có lời giải đúng như sau: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 3 xy z xyz 3 cho các số thực dương ta được 3 33 3 3 33 3 3 33 3 22 ab 9229 33 ab . a b. . . 4334 3 22 bc 9229 33 bc .bc. . . 4334 3 22 ca 9229 33 ca . c a. . . 4334 3 Suy ra 33 3 3 3 2a b c 4 9 ab b c c a . 18 43 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 3 33 3 ab 2c b c 2a c a 2b 3 3 Phân tích: Do vai trò của các biến a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là ab c 1 , từ đó ta có a2b b 2c c 2a 3 và 3a 3b 3c 3 . Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc ba nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số là 3a, b2c và 3,… Đến đây ta có lời giải như sau: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 3 xy z xyz 3 cho các số thực dương ta được 33 33 33 33 33 33 113ab2c3 a b 2c . 3a. b 2c .3 . 993 113bc2a3 bc 2a . 3b. c 2a .3 . 993 193ca2b3 ca 2b . 3c. a 2b .3 . 943 Suy ra 3 3 333 6a b c 9 1 a b 2c b c 2a c a 2b . 3 3 93 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 2.4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 4 ab c . Chứng minh rằng: 111 1 2a b c a 2b c a b 2c Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến đánh giá 411 xy x y . Đầu tiên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại 3 ab c 4 , khi đó ta có 2a b c và bc nên ta có đánh giá như sau 111 1 11111 1211 2a b c 4 2a b c 4 2a 4 b c 16 a b c . Áp dụng tương tự ta được 111 1111 1 2a bc a 2bc a b 2c 4 a b c . Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 411 xy x y cho hai số dương. Ta có: 111 1 11111 1211 2a b c 4 2a b c 4 2a 4 b c 16 a b c Tương tự ta có 11121 1 1112 ; a2b c 16 a b c a b 2c 16 a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 111 1111 1 2a bc a 2bc a b 2c 4 a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 ab c 4 . Ví dụ 2.5: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab c 2 bc c a a b Phân tích: Trong chủ đề thứ hai ta đã chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp sử dụng tính chất của tỉ số, nhưng ở đó điều kiện của bài toán cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Với bài toán này ta không chứng minh được như vậy mà phải sử dụng các đánh giá khác. Quan sát bất đẳng thức ta thấy cần phải khử các căn bậc hai bên vế trái. - Cách thứ nhất là bình phương hai vế, tuy nhiên lúc đó bên vế trái vẫn còn chứa căn bậc hai, do đó ta không nên sử dụng cách này. - Cách thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy xy 2 , để ý đến chiều của bất đẳng thức nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số. Từ đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép biến đổi aa bc ab c và vì không cần quan tâm đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta có đánh giá a2a ab c ab c . Đến đây chỉ cần áp dụng tương tự cho hai căn thức còn lại là bài toán được chứng minh Lời giải Vì a là số thực dương nên ta có aa bc ab c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy xy 2 ta được a2a ab c ab c Chứng minh tương tự ta được b2b c 2c ; ca a b c a b a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab c 2 bc c a a b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 0 , điều này trái với giả thiết a, b, c là các số thực dương. Do vậy đẳng thức không xẩy ra. Tức là ta được ab c 2 bc c a a b Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 2.6: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab b c c a 2 a b 6c b c 6a c a 6b Phân tích: Để ý đến giả thiết ab c 3 , ta thu được c3 a b , khi đó ta có 22 22 2 2 ab 6c ab 63 a b 3 a 3 b Lại cũng từ giả thiết trên ta có ab 3 c . Khi đó 2 22 22 2 2 3c ab 3 c ab 6c 3a 3 b 3a 3 b . Đến đây để đơn giản hóa ta đặt 22 2 x3 a 0;y 3 b 0;z 3 c 0 , lúc này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là xy z 2 yz z x x y , đây chính là bất đẳng thức ở ví dụ trên. Lời giải Từ giả thiết ab c 3 , ta có 22 22 2 2 ab 6c ab 63 a b 3 a 3 b Do a, b, c là các số thực dương nên từ ab c 3 ta suy ra 0 a,b,c 3 . Do đó ta được 2 22 22 2 2 3c ab 3 c ab 6c 3a 3 b 3a 3 b Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 22 2 2 2 2 3a 3 b 3 c 2 3b 3c 3c 3 a 3 a 3b Đặt 22 2 x3 a 0;y 3 b 0;z 3 c 0 , lúc này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là xy z 2 yz z x x y Đến đây ta chứng minh tương tự như ví dụ trên. Ví dụ 2.7: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 c2ab a 2 bc b2 ca Phân tích: Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức xy xy 2 , tuy nhiên nếu sử dụng ngay thì ta chỉ đánh giá cho các tử số được, như vậy dưới mẫu vẫn còn chứa căn thức. Cho nên để sử dụng được bất đẳng thức đó ta cần phải khử được các căn ở dưới mẫu trước, tuy nhiên việc này không thực hiện được. Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta thấy, chỉ cần đổi được chiều bất đẳng thức thì ta có thể sử dụng bất đẳng thức trên có các căn thức ở mẫu và việc khử các căn ở tử số cũng đơn giản hơn. Từ sự phân tích đó ta có thể làm như sau ab bc ca 1 c2ab a 2 bc b2 ca 2ab 2 bc 2 ca 11 1 321 c2ab a 2 bc b2 ca ca b 1 c2ab a 2 bc b 2 ca Lúc này áp dụng bất đẳng thức xy xy 2 ta được cc ab c c2ab , thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab bc ca 1 c2ab a 2 bc b2 ca 2ab 2 bc 2 ca 11 1 321 c2ab a 2 bc b2 ca ca b 1 c2ab a 2 bc b 2 ca Áp dụng bất đẳng thức xy xy 2 ta được cc a a b b ;; ab c a b c ab c c2ab a 2 bc b2 ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ca b 1 c2ab a 2 bc b2 ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: Khi đánh giá m ột b ất đẳng th ức b ằng b ất đẳng th ức Cauchy n ếu b ị ng ược chi ều thì ta có th ể đổi chi ều b ất đẳng th ức b ằng cách nhân hai v ế v ới 1 r ồi c ộng thêm h ằng s ố để c ả hai v ế đều dương. K ĩ thu ật s ử d ụng b ất đẳng th ức Cauchy nh ư trên còn được g ọi là k ĩ thu ật Cauchy ngược d ấu, v ấn đề này s ẽ được bàn c ụ th ể h ơn trong ch ủ đề “K ĩ thu ật Cauchy ng ược d ấu” Ví dụ 2.8: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab bc ca 0 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c b c a c a b 2 abc b ca c ab Phân tích: Đầu tiên ta thử với ab c thấy rằng dấu đẳng thức không xẩy ra, nên ta dự đoán nó xẩy ra tại một biến bằng 0, điều này càng có cơ sở khi bài toán cho a, b, c không âm. Cho c nhận giá trị 0 và ab thì dấu đẳng thức xẩy ra. Như vậy ta chọn được điểm rơi của bất đẳng thức là ab;c 0 và các hoán vị. Cũng từ điều kiện ab bc ca 0 ta thấy trong ba số có nhiều nhất một số bằng 0. Do đó khi đánh giá bất đẳng thức ta cần chú ý đến bảo toán dấu bằng. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy 2 a bc ab c ab ac , như vậy nếu dưới mẫu có tích 2 abc ab ac thì theo chiều bất đẳng thức cần phải chứng minh ta có ngay đánh giá 2 2 aab bc ca abc ab ac 2 , nhưng để có được điều này ta phải nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số trong căn với tử số. Tuy nhiên vì cho các biến a, b, c không âm nên việc nhân thêm không thể thực hiện được. Trong tình huống này chú ý đến điểm rơi và nhận xét trong a, b, c có nhiều nhất một số bằng 0 ta có thể chia trường hợp để đánh giá bất đẳng thức. - Trường hợp trong ba số a, b, c có một số bằng 0 và ta giả sử là c, khi đó bất đẳng thức trở thành ab 2 ba , bất đẳng thức này hiển nhiên đúng. - Trường hợp cả ba số a, b, c đều dương, lúc này thì việc nhân thêm không bị ảnh ảnh hưởng gì đến các đánh giá cả. Đến đây ta có đánh giá như sau 22 2 ab c abc 2abc 2abc abc a ab bc ca ab ac abc ab ac Áp dụng tương tự ta được 22 bc a 2bc a c a b 2c a b ; bca c ab a b bc bc c a Lúc này ta được bất đẳng thức 22 2 a b c b c a ca b 2a b c 2b c a 2ca b abc b ca c ab ab ac ab b c b c c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được ab c b c a c a b 1 ab ac ab b c b c c a Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được ab b c c a 4abc 1 ab b c c a Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng, ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Vì các số a, b, c không âm và ab bc ca 0 nên trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 0. Ta xét các trường hợp sau - Trường hợp trong ba số a, b, c có một số bằng không, khi đó không mất tính tổng quát ta giả sử c0 , lúc này bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 ab ab 20 ba ab - Trường hợp cả ba số a, b, c đều dương, khi đó ta có 22 2 ab c abc 2abc 2abc abc a ab bc ca ab ac abc ab ac Áp dụng tương tự ta được 22 bc a 2bc a c a b 2c a b ; bca c ab a b bc bc c a Lúc này ta được bất đẳng thức 22 2 ab c b c a c a b 2ab c 2b c a 2c a b abc b ca c ab ab ac ab b c b c c a Ta cần chứng minh được ab c b c a c a b 1 ab ac ab b c b c c a Biến đổi tương đương và thu gọn ta được 4abc 11 ab b c c a Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do 4abc 0 và đẳng thức không xẩy ra trong trường hợp này. Vậy bài toán được chứng minh xong. Nhân xét: Trong ch ứng minh b ất đẳng th ức vi ệc chia trường h ợp để ch ứng minh gây ra nhi ều khó kh ăn. Do đó n ếu tìm được m ột cách gi ải mà không c ần ph ải quan tâm đến vi ệc xét các tr ường h ợp thì s ẽ t ốt h ơn nhi ều. V ới bài toán trên ta th ử tìm l ời gi ải khác mà không ph ải chia trường h ợp xem sao? C ũng xu ất phát t ừ nh ận xét nh ư trên nh ưng mà khi tích 2 abcab ac n ằm ỏ trên t ử thì không ảnh h ưởng gì c ả. Do đó ta có đánh giá nh ư sau 2 2 ab a c abcab ac suy ra 2 1 2 abcab ac ab a c Đến đây ta nhân c ả hai v ế v ới 2 0 ab c abc thì ta được 2 1 2 ab c a b c abc ab a c . Hay 2 2 ab c a b c abc ab a c và công vi ệc còn l ại hoàn toàn nh ư trên. Ví dụ 2.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 6 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c 2 b1 c1 a 1 Phân tích: Đầu tiên ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 2 , chú ý đến hằng đẳng thức 32 b1 b 1 b b 1 và khi b2 thì 2 b1 b b 1 3 do đó ta có đánh giá sau 22 32 b1 b b 1 b 2 b1 b 1 b b 1 22 , từ đây ta suy ra được 2 3 a2a b2 b1 , áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 33 3 ab c 2a 2b 2c b2 c2 a 2 b1 c1 a 1 Ta cần phải chứng minh được 22 2 2a 2b 2c 2 b2 c2 a 2 , đến đây ta đánh giá trên tử số hay dưới mẫu đều được bất đẳng thức ngược chiều. Do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến tư tưởng Cauchy ngược dấu, tức là ta biến đổi 2 22 2a ab a b2 b2 , chú ý đến đẳng thức xẩy ra tại ab c 2 ta lại có 3 3 22 2 2 222 3 4 a2 b b ab 2ab 2ab a 2b a 2.b.b 33 9 b 2 bb4 3b.4 Áp dụng tương tự ta được 22 2 2a b c 2ab bc ca 2a 2b 2c ab c 99 b2 c2 a 2 Mà theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 ab c ab bc ca 12 3 Đến lúc này ta có 22 2 2a 2b 2c 2.6 2.12 62 99 b2 c2 a 2 . Đây chính là điều cần phải chứng minh. Ta trình bày lại lời giải như sau. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 2xy x y ta được 22 3 2 a a 2a 2a b1 b b 1 b 2 b1 b1 b b 1 Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 33 3 ab c 2a 2b 2c b2 c2 a 2 b1 c1 a 1 Ta cần phải chứng minh được 22 2 2a 2b 2c 2 b2 c2 a 2 Thật vậy, ta có 2 22 2a ab a b2 b2 , mà cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 22 2 2 222 3 4 a2 b b ab 2ab 2ab a 2b a 2.b.b 33 9 b 2 bb4 3b.4 Suy ra 2 a2 2b 2a a 9 b2 . Chứng minh tương tự ta được 22 2 2a b c 2ab bc ca 2a 2b 2c ab c 99 b2 c2 a 2 Mặt khác theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 ab c ab bc ca 12 3 Do đó ta được 22 2 2a 2b 2c 2.6 2.12 62 99 b2 c2 a 2 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2 . Ví dụ 2.10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: bc ca ab 1 2 abc b ca c ab Phân tích: Để ý là abc aab c bc a b a c . Do đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được. Do đó bc bc 1 bc bc 2a b a c abc ab ac . Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp giả thiết, ta có: bc bc bc 1 bc bc 2a b a c abc aa b c bc a b a c Tương tự ta được ac 1 ac ac ab 1 ab ab ; 2b a b c 2 c a c b bac c ab Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được bc ca ab 1 ab ab bc bc ca ca 2 a cb c a b a cb a b c abc b ca c ab 1ab bc ab ac bc ca 1 1 ab c 2a c b c a b 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 2.11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab bc ca 3 2 c3 a 3 b3 Phân tích: Để ý là 2 ab c 3ab bc ca nên ab bc ca 3 , do đó ta được 22 c3 c ab bc ca b c c a , suy ra ta được bất đẳng thức sau 22 ab ab ab c3 c ab bc ca ca c b Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có ab 1 ab ab 2c a c b ca c b . Lời giải Từ bất đẳng thức 2 ab c 3ab bc ca và ab c 3 . Suy ra ab bc ca 3 . Như vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 ab ab ab 1 ab ab 2c a c b c3 c ab bc ca ca c b Tương tự ta được 22 bc 1 bc bc ca 1 ca ca ; 2a c a b 2 b a b c a3 b 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab bc ca a b c 3 22 c3 a 3 b3 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Ví dụ 2.12: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab bc ca a b c a3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6 Phân tích: Đại lượng 1 a3b 2c và chiều bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức dạng 9111 xy z x y z , khi đó ta được 99 111 a3b 2c a c b c 2b a c b c 2b Suy ra ta có 9ab 9ab ab ab a a 3b 2c a c b c 2b a cb c2 Áp dụng tương tự và chú ý đến tổng ca ab ca bc bc ab ab c cb b a c a . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 9111 xy z x y z , ta được 99 111 a3b 2c a c b c 2b a c b c 2b Từ đó suy ra 9ab 9ab ab ab a a 3b 2c a c b c 2b a cb c2 . Tương tự ta chứng minh được 9bc bc bc b 9ca ca ca c ; b3c 2a b a c a 2 c 3a 2b c b b a 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có 9ab 9bc 9ca ca ab ca bc bc ab a b c a3b 2c b 3c 2a c 3a 2b c b b a c a 2 3a b c 2 Hay ab bc ca a b c a3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 2.13: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a,b 1; a b 3 ab. Chứng minh rằng: 22 a1 b 1 1 1 82 ab ab 6 Phân tích và lời giải Trước hết ta nhận thấy vai trò như nhau trong bất đẳng thức của a, b và dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab 3 . Từ giả thiết ab 3 ab , ta suy ra 11 3 1. ab ab Để đơn giản hóa ta đặt 11 x;y ab . Khi đó giả thiết trở thành xy 3xy 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 xy 1 8 2 1x 1y xy 6 Chú ý là các đại lượng 2 22 xy; x y ; x y liên hệ với nhau bởi hằng đẳng thức quen thuộc. Do đó ta sẽ cố biểu diễn giả thiết cũng như bất đẳng thức qua một đại lượng. Theo bất đẳng Cauchy ta được 2 3x y 1x y 3xy x y 4 .Từ đó suy ra 2 xy 3 . Cũng theo bất đẳng thức quen thuộc mn 2mn ta được 2 22 22 xy 1x 1y 22 x y 22 2 Và 1x y xy 1 1 xy 3 3x y 3 x y Lúc này ta được 22 22 2 2 1x y xy 1x 1y 22 x y xy 3x y xy 11 12 1 1182 22 22 . 23 233.236 3x y 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 xy ab 3 3 . Ví dụ 2.14: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 ab ab 2c 1 8 3a 3b 2c Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức thành 2 1 a b a b 2c 3a 3b 2c . 8 Cách phát biểu của bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức 2 xy xy 4 . Lời giải Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 1 a b a b 2c 2a 2b a b 2c 2 2a 2b a b 2c 11 3a 3b 2c 22 8 Từ đó ta được 2 ab ab 2c 1 8 3a 3b 2c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 2c . Ví dụ 2.15: Cho các số thực ab 0 . Chứng minh rằng: 2 32 2a 5 ab 2b 3 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy có các ý tưởng sau: + Ý tưởng thứ nhất là sử dụng bất đẳng thức Cauchy với đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, ở đây để ta cần khử được đại lượng 2 ab 2b 3 thì ta cần phân tích được a k a b m2b 3 m2b 3 6m , dễ dàng tìm ra được 1 k2;m 2 . + Ý tưởng thứ hai là đánh giá 2 ab 2b 3 theo đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng, chú ý đến dấu đẳng xẩy ra ta được 33 4a 4b 2b 3 2b 3 4a 6 4a 4b 2b 3 2b 3 33 Đến đây ta chỉ cần chứng minh được 3 32 2a 5 8 2a 3 27 bằng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là xong. Lời giải Cách 1: Biểu thức viết lại như sau 2 2b 3 2b 3 32 P2a 2b 3 22 ab 2b 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 4 2 2b 3 2b 3 32 2a 2b 22 ab 2b 3 2b 3 32 42a 2b 8 2 ab 2b 3 Do đó P5 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2b 3 32 2a 2b 2 ab 2b 3 hay 31 a,b 22 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 4a 4b 2b 3 2b 3 4a 6 8 4a 4b 2b 3 2b 3 2a 3 3327 Từ đó ta có 3 3 32 2a 3 2a 3 2a 3 432 P2a 3 8 333 2a 3 2a 3 27 Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 2a 3 2a 3 2a 3 432 8 333 2a 3 Do đó P5 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2b 3 32 2a 2b 2 ab 2b 3 hay 31 a,b 22 . Ví dụ 2.16: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 2 abc b ca c ab Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 3 . Bất đẳng thức chứa đại lượng 2 1 abc , để ý đến chiều ta liên tưởng đến đánh giá quen thuộc 411 xy x y , khi đó ta có 2 a11a 4a bc abc . Để ý tiếp ta có 22 22 2 aa a bc abc ab c . Như vậy áp dụng tương tự ta thu được 22 2 ab c 1111 1 4a b c abc b ca c ab . Bài toán sẽ được chứng minh xong nếu ta chỉ ra được 11 1 1 ab c . Chú ý tiếp đến giả thiết ta được 22 2 ab c ab bc ca 1 1 1 1 abc abc a b c . Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc dạng 411 xy x y , ta được 22 aa1 1 4bc abc a Kết hợp với giả thiết 22 2 ab c abc ta được 22 22 2 aa a bc abc ab c Do đó 2 22 222 aa1 1 11 a 4bc 4a abc a ab c Áp dụng tương tự ta được 22 2 ab c 1111 1 4a b c abc b ca c ab Ta cần chứng minh 11 1 1 ab c Thật vậy, Áp dụng một đánh giá quen thuộc và kết hợp với giả thiết, ta được 22 2 ab c ab bc ca 1 1 1 1 abc abc a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 Ví dụ 2.17: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab a 32 2 ab b bc c ca a Phân tích: Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c , khi đó để ý đến đánh giá 2b a b a3b 2b. a b 22 khi đó ta được 2 a22a a3b ab b . Áp dụng tương tự thì 22 2 ab a 2a22b22c2 a3b b 3c c 3a ab b bc c ca a , như vậy ta chỉ cần chỉ ra được ab c 3 a3b b 3c c 3a 4 , đây là một bất đẳng thức có thể chứng minh bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2b a b a3b 2b. a b 22 Áp dụng tương tự ta được 22 2 ab a 2a22b22c2 a3b b 3c c 3a ab b bc c ca a . Ta cần chứng minh 2a 2 2b 2 2c 2 3 2 a3b b 3c c 3a 2 Hay ab c 3 a3b b 3c c 3a 4 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c a3b b 3c c 3a a b c 3ab 3bc 3ca . Mặt khác, từ một đánh giá quen thuộc ta có 2 ab c 3ab bc ca Do đó ta được 22 2 2 2 2 22 2 a b c 3 ab bc ca a b c 2 ab bc ca ab bc ca 14 ab c a b c ab c 33 Từ đó suy ra 2 2 ab c ab c 3 a3b b 3c c 3a 4 4 ab c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 2.18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 6 ab b c c a . Chứng minh rằng: 111 3 3a 3b 2c 3a 2b 3c 2a 3b 3c 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 411 xy x y ta được 11 11 1 3a 3b 2c 4 2a b c a 2b c 2a b c a 2b c 11 1 112 1 1 444abbcca ab c a ab b c 12 1 1 16 a b b c c a Hoàn toàn tương tự ta được 112 1 1 3a 2b 3c 16 a c a b b c 112 1 1 2a 3b 3c 16 b c a b c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 111 14443 3a 3b 2c 3a 2b 3c 2a 3b 3c 16 a b b c c a 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 4 Ví dụ 2.19: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 13a 5b 12c 9 . Chứng minh rằng: ab 3bc 6ca 1 2a b 2b c 2c a Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 11 1 1 21 2 1 1 1 b a 3c 3b 3a 6c Áp dụng bất đẳng thức dạng 11 1 9 xy z x y z , Ta có 21 1 1 1 9 ba b b a 2b a 21 1 1 1 9 3c 3b 3c 3c 3b 6c 3b 11 1 1 1 9 3a 6c 6a 6a 6c 12a 6c Do đó ta được 11 1 1 1 1 21 2 1 1 1 9 9 9 b a 3c 3b 3a 6c 2b a 6c 3b 12a 6c 2b a 6c 3b 12a 6c 13a 5b 12c 1 99 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 3 ab c 10 . Ví dụ 2.20: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 14 3 abc 2 ab b c c a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 ab c b c a c a b abc a b b c c a 2 3 Từ đó suy ra 3 3 2abc 4 abc 2 ab b c c a ab b c c a Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 3ab bc ca 3abc abc 1 . Do đó ta được 14 1abc1 abc13 abc 2 abc abc 2 abc 2 2 2 ab b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 2.21: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 23a 6b 6c 53 ab ac b a b c c a c b Lời giải Bất đẳng thức được viết lại là 2a 2 3b 2 3c 5 ab ac b a b c c a c b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2a a a ab ac ab ac 23b b 3b ab b c ba b c 23c c 3c ac b c ca c b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2a 2 3b 2 3c ab ac b a b c c a c b aab 3b c 3c 5 ab ac ab b c ac b c Do đẳng thức không xẩy ra nên ta được 2a 2 3b 2 3c 5 ab ac b a b c c a c b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 2.22: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab bc ca 3 8 1c 1 a 1b Lời giải Từ giả thiết ab c 1 ta có 2 2222 1 c a b c c a b 2ab bc ca 2 ab bc 2ab ca Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 411 xy x y ta được ab 1 ab ab 4 2ab bc 2 ab ca 2ab bc 2 ab ca Do đó ta có 2 ab 1 ab ab 8ab bc ab ca 1c Áp dụng tương tự 22 bc 1 bc bc ca 1 ca ca ; 8bc ca ab bc 8 ca ab bc ca 1a 1 b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab bc ca 1c 1 a 1b 1 ababbc bc ca ca 3 8 abbc abca bcca abbc ca ab bcca 8 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 2.23: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 3 ab c 4 . Cứng minh rằng: 33 3 11 1 3 a3b b 3c c 3a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 a3b 2 a 3b a 3b .1.1 3 Do đó ta được 3 13 a3b 2 a3b Áp dụng tương tự ta được 33 13 1 3 ; b3c 2 c3a 2 b3c c 3a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 11 1 3 3 3 a3b 2 b 3c 2 c 3a 2 a3b b 3c c 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 33 3 3.9 3 a3b 2 b 3c 2 c 3a 2 4a b c 6 Do đó ta được 33 3 11 1 3 a3b b 3c c 3a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 4 . 3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “Ghép cặp” để bài toán trở nên đơn giản. Ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán sau: - Dạng 1: Chứng minh XY Z A B C . Ý tưởng 1: Nếu ta chứng minh đượcXY 2XY 2A . Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ 2B;Z X 2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có: XY Z A B C Ý tưởng 2: Nếu ta chứng minh được XA 2 XA 2B Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ 2C;Z X 2A (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh. - Dạng 2: Chứng minh XYZ ABC với X, Y, Z 0 Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được 2 XY A . Sau đó tương tự hóa để chỉ ra 22 YZ B ; ZX C (nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có 22 2 XYZ A B C = ABC ABC . Chú ý m ột s ố cách ghép đối x ứng: Phép cộng: 2x yz x y yz z x xy y z z x xy z 22 2 Phép nhân: 22 2 xyz xy . yz . zx x, y,z 0 xyz xy. yz. zx Ví dụ 3.1: Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: ab bc ca ab c ca b Phân tích: Bài toán này có dạng XY Z A B C , trong đó ab bc ca X,Y ,Z ,Aa,Bb,Cc ca b . Để ý rằng hai biểu thức ab c và bc a là đối xứng với b (tức vai trò của a và c như nhau). Do đó sử dụng kỹ thuật ghép cặp ta sẽ thử chứng minh ab bc 2b ca . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab bc ab bc 22b ca c a Tương tự ta có ca ab bc ac 2a; 2c bc a b Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được ab bc ca ab c ca b Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: abc b c a c a b a b c Phân tích: Nếu bc a c a b a b c 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Ta xét trường hợp bc a c a b a b c 0 . Để ý rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ ABC , vì vậy sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta chỉ cần chứng minh 2 babcbca . Lời giải Bất đẳng thức có tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính tổng quát ta giả sử ab c , Khi đó ab c 0 và ac b 0 . + Nếu bc a 0 , bất đẳng thức hiển nhiên đúng. + Nếu bc a 0 . Khi này ta có bc a;c a b;a b c là các số dương. Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng 2 xy 4xy , suy ra 2 2 ab c b c a ab c b c a b 4 2 2 bc a c a b bc a c a b c 4 2 2 ca b a bc ca b a bc a 4 Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: Khi ch ưa xác định được các s ố không âm mà áp dùng ngay b ất đẳng th ức Cauchy thì s ẽ d ẫn đến sai l ầm. Trong tình hu ống đó ta có th ể chia nh ỏ thành các trường h ợp riêng để ch ứng minh bài toán. Ví dụ 3.3: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c b c a ab c bc a Phân tích: Để ý là 22 2 2 22 2 2 ab a b a 2. 2 c bc b c , áp dụng tương tự và cộng theo vế các bất đẳng thức thu được. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 22 2 2 ab a b a 2. 2 c bc b c Tương tự ta được 22 2 2 22 2 2 bc b c a c 2; 2 ab ca ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 ab c b c a b c a 22 2 ab c a b c bc a Hay 22 2 22 2 ab c b c a ab c bc a Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: bc c a a b ab c 3 ab c Phân tích: Để ý là theo bất đẳng thức Cauchy ta có bc 2 bc bc 2 a aa và cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có bc ca bc ca 22c ab a b . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có bc 2 bc bc 2 a aa Tương tự ta được ca ca a b ab 2; 2 bc bc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bc c a a b bc ca ab 2 ab c ab c Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có bc ca bc ca 22c ab a b Áp dụng tương tự ta được ca ab ab bc 2a; 2 b bc c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bc ca ab ab c ab c Do đó ta suy ra bc c a a b 2a b c ab c Ta cần chứng minh được 2 a b c ab c 3 ab c 3 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Cauchy và giả thiết abc 1 Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 3.5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 pa p b p c abc 8 Phân tích: Từ giả thiết ta nhận được pa; p b; p c là các số dương và chú đến pa p b c . Do đó ta nghĩ đến đánh giá pa p b c pa p b 22 . Như vậy ta có thể chứng minh bất đẳng thức như sau: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có p a p b pc p a pb pb pc pc p a p a pb pb pc pc p a 22 2 2p a b 2p b c 2p c a 1 abc 22 2 8 Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 3.6: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 11 1 111 2 p a pb pc a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 11 1 111 1 1 1 11 1 p a pb pc 2 p a p b 2 pb pc 2 p c p a 11 1 p a p b pb pc pc p a 11 1 p a pb pb pc pc p a 22 2 11 1 2 ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 3.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 22 2 10a 10b c 4 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 22 22 cc 8a 2 8a 4ac 22 22 22 cc 8b 2 8b 4bc 22 22 2 2 2a 2b 2 2a .2b 4ab Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có 22 2 10a 10b c 4 ab bc ca 4.1 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 22 22 ab bc ca 1 1 ab c 3 8a 8b 4 2 c 2a 2b 3 Nh ận xét: Đây là m ột l ời gi ải ng ắn g ọn nh ưng có v ẻ h ơi thi ếu t ự nhiên. Chúng ta s ẽ th ắc m ắc t ại sao l ại tách đư ợc 2 8 10 . N ếu tách cách khác, ch ẳng h ạn 4 6 10 li ệu có gi ải đư ợc không? T ất nhiên m ọi cách tách khác đều không d ẫn đến k ết qu ả, và tách 2 8 10 c ũng không ph ải là s ự may m ắn. Bây gi ờ ta s ẽ tìm lí do vi ệc tách 2 8 10 ở bài toán trên. T ừ b ất đẳng th ức c ần ch ứng minh ta th ấy vai trò c ủa a, b nh ư nhau nên ta c ần chia đều c ra thành hai ph ần và c ũng l ấy ra ka, kb để ghép c ặp v ới 2 c . T ức là v ới 010 k . Áp d ụng b ất đẳng th ức Cauchy ta có: 22 22 2. 2 22 cc ka ka kac 2 2 22 2. 2 22 cc kb kb kbc 22 2 2 10 10 2 10 10 20 2 ka k b ka kb kab C ộng theo v ế 3 b ất đẳng th ức trên, ta có: 22 2 10 10 2 20 2 abc kacbc kab Lúc này ta cân b ằng h ệ s ố để làm xu ất hi ện gi ả thi ết, t ức là: 22 8 2 20 2 2 400 80 4 2 41 200 0 25 10 2 k kk k kk k k k Ta ch ọn giá tr ị 8 k . Khi đó ta có l ời gi ải bài toán nh ư trên. Ví dụ 3.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 5 . Chứng minh rằng: 22 2 3a 3b c 10 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 22 22 cc 2a 2 2a . 2ac 22 22 22 cc 2b 2 2b . 2bc 22 22 22 ab 2a.b 2ab Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: 22 2 3a 3b c 2 ab bc ca 2.5 10 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 1;c 2 Ví dụ 3.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãnab 12, bc 8 . Chứng minh rằng: 1 1 1 8 121 ab c 2 ab bc ca abc 12 Phân tích: Trước hết ta dự đoán được đẳng thức ra tại a3,b 4,c 2 , Khi đó ta sẽ tách các đại lượng bên vế trái và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, chú ý là quá trình ghép cặp phải đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra. Với phân tích đó ta thực hiện ghép cặp như sau 2a b 1 2 b c 3 2 a c ;; 1 ab 18 24 2 bc 16 8 4 ca 9 6 Cộng các kết quả trên ta được a5b 7c 2 2 2 9 648 24 ab bc ca 4 , khi này ta cần phải chứng minh được 5a 43b 17c 8 47 648 24 abc 6 . Để ý là nếu bây giờ ta ghép cặp bốn đại lượng trên thì sẽ không bảo toàn dấu đẳng thức. Cho nên ta sẽ ghép cặp để triệt tiêu đại lượng 8 abc trước, do đó ta có đánh giá 8a b c 4 abc 9 12 6 3 . Cuối cùng bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được chỉ ra được 13a 13b 13c 13 18 16 24 2 . Thực hiện ghép cặp tương tự như các ví dụ trên ta có các đánh giá sau 13a 13b 13 13c 13b 13 ; 18 24 3 24 48 6 , cộng theo vế hai đánh giá đó ta được điều phải chứng minh. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2a b 1 2 b c 3 2 a c ;; 1 ab 18 24 2 bc 16 8 4 ca 9 6 8 a b c 4 13a 13b 13 13c 13b 13 ;; abc 9 12 6 3 18 24 3 24 48 6 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 8 1 3 4 13 13 121 ab c 2 1 ab bc ca abc 2 4 3 3 6 12 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 3, b 4, c 2 . Ví dụ 3.10: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 2a b c ab c 111 2 bc a abc Phân tích: Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 3 2a b c a b cb ca bc a a b c abc Để ý bên vế phải ta viết được thành 33 3 3 ab c a b c abc abc abc abc . Do đó ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy với các nhóm a a a bbb c c c , ,;, , ; , , bc a a b c a b c Lúc này ta được 3 3a b c a b cbca 3 bca a b c abc . Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3a b c 2a b c 3 abc abc hay 3 ab c 3 abc . Rõ ràng đánh giá cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 33 2a b c 2a b c ab c abcbca 111 2 bc a bcaabc abc abc Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được 33 3 aa a 3a b b b 3b c c c 3c ;; bca a b c a b c abc abc abc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 3 3a b c a b cbca 3 bca a b c abc Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 3 ab c 3abc hay 3 ab c 3 abc Suy ra 33 3a b c 2a b c a b cb ca 33 bc a a b c abc abc Hay 3 2a b c a b cb ca bc a a b c abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 3.11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 3 22 2 ab c 10 abc ca b 9a b c Phân tích: Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Theo một đánh giá quen thuộc ta nhận thấy 2 22 2 10 10 10 3 9a b c 3a b c . Như vậy ta chỉ cần chứng minh 3 ab c 10 abc ca b 3 . Để chứng minh được bất đẳng thức đó thì ta cần triệt tiêu được 3 abc , điều này có nghĩa là ta cần có một đánh giá kiểu 3 3 k abc 2 k abc , chú ý đến đẳng thức xẩy ra ta chọn được 8 k 9 . Tuy nhiên để làm xuất hiện 3 8 9abc thì ta cần chứng minh được 3 ab c 1 ca b abc . Để ý rằng 3 2 33 aa c 3a 3a cc b bc abc , áp dụng ghép cặp tương tự ta được 33 ab c a b c 1 ca b abc abc . Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 2 33 aa c 3a 3a cc b bc abc Áp dụng tương tự ta được 33 bb c 3b c c a 3c ; aab b b c abc abc Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có 33 ab c a b c 1 ca b abc abc Do đó ta được bất đẳng thức 33 3 ab c 1 abc abc ca b abc Ta cần chứng minh 3 22 2 3 110 abc 9a b c abc Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 12 abc 3 9abc Mà ab c 1 , suy ra 3 1 abc 3 nên 3 88 3 9abc Do đó 33 33 3 11 82810 abc abc 33 3 abc 9 abc 9 abc Mặt khác, theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 22 2 10 10 10 3 9a b c 3a b c Từ đó ta được 3 22 2 3 110 abc 9a b c abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 3.12: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab bc ca 0 . Chứng minh rằng: 22 2 a1 b 1 c 1 3 bc c a a b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta để ý đến đánh giá 2 a1 2a , khi đó ta được bất đẳng thức 22 2 a 1 b 1 c 1 2a 2b 2c b c c a ab b c c a ab Như vậy ta cần phải chứng minh 2a 2b 2c 3 bc c a a b , đây là một bất đẳng thức nhìn hình thức thì đẹp nhưng đáng tiếc nó lại không đúng, ta có thể kiểm tra với ab;c 0 . Như vậy đánh giá trên không hiệu quả. Để ý ta thấy vế phải là hằng số 3, do đó nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số vế trái thì khi đó ta được 22 2 3 a1 b 1 c 1 3 bc c a a b và như vậy ta chỉ cần chỉ ra đại lượng dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 1 là được. Điều này có nghĩa là ta cần chứng minh được 22 2 a1 b 1 c 1 b c c a a b Chú ý đến tính đối xứng trong bất đẳng thức trên ta nghĩ đến đánh giá 2 22 a1 b 1 a b Đây là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Cauchy hoặc Bunhiacopxki. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 22 2 3 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 3 bc c a a b bc c a a b Như vậy ta cần chứng minh được 22 2 a1 b 1 c 1 1 bc c a a b Hay 22 2 a1 b 1 c 1 b c c a a b Thật vậy, ta có 2 2 2 22 22 22 22 a 1 b 1 a b ab a b 1 a b 2ab ab 1 2ab Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Cauchy Áp dụng tươg tự ta được 22 22 22 b1 c1 b c ;a 1 c 1 a c Nhân theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 a1 b 1 c 1 b c c a a b Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 3.13: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: ab b c c a 3 cab a bc b ca Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 ab b c c a ab b c c a 3 cab a bc b ca cab a bc b ca Ta cần chứng minh ab b c c a 1 cab a bc b ca Hay a b b c ca cab a bc b ca Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 6 22 2 ab c 3 a1 b 1 c 1 64 3 Và 22 2 4 c ab a bc c ab a bc b 1 a c Tương tự ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 64 c ab a bc b ca a 1 b 1 c 1 a b b c c a 64 a b b c c a Hay ab b c c a a ab a bc b ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c 1 . Ví dụ 3.14: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 22 2 a2b b 2c c 2a 3 aab bc b bc ca c ca ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 3 22 2 a2b b 2c c 2a aab bc b bc ca c ca ab a2b b 2c c 2a 3 aab bc b bc ca c ca ab Ta cần chứng minh 22 2 2 2 2 22 2 a2b b 2c c 2a 1 aab bc b bc ca c ca ab Hay 22 2 2 2 2 2 2 2 a 2b b 2c c 2a a ab bc b bc ca c ca ab Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2bb 2c a b bb c c b bc ac b2c c 2a b c c c a a c ca ab c2a a 2b c a a a b b a ab bc Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c . Ví dụ 3.15: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 2 22 2 2 2 2 22 22 22 ab b c c a a b c 8ab bc ca Lời giải Đặt 22 2 xa;y b;z c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 2 xy y z z x x y z 8xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 4xy xy 2xy 2xy xy Áp dụng tương tự được 4xy 4yz 4zx 2xy 2 yz 2 zx xy y z z x Do đó ta được 2 4xy 4yz 4zx xy z xyz xy y z z x Như vậy ta được 2 xy y z z x x y z 4xy 4yz 4zx xy y z z x xy z xy y z z x Ta cần chứng minh 2 4xy 4yz 4zx xy y z z x xy z 8xy yz zx xy y z z x Hay 2 4xy 4yz 4zx xy y z z x xy z 8xy yz zx 0 xy y z z x Hay 22 2 xy x y yz y z zx z x 0 , bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Ví dụ 3.16: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 2 2 2 1 a 1b 1c 1 ab 1 bc 1ca Phân tích: Quan sát đại lượng 33 3 1 a 1b 1c ta liên tưởng đến bất đẳng thức đã được chứng minh 3 33 3 1x 1y 1 z 1xyz , tuy nhiên để ý các đại lượng bên vế phải thì ta áp dụng bất đẳng thức trên kiểu như 3 33 3 2 1a 1 b 1 b 1ab . Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với mọi số thực dương x, y, z ta có 3 33 3 1x 1y 1 z 1xyz Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 33 3 3333 33 333 222 333 1 x y z xy yz z x xyz 1 3xyz 3x yz xyz Hay 33 3 33 33 33 222 x yzxy yz zx 3xyz 3xyz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 33 33 33 222 xy z 3xyz;xy yz zx 3xyz Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 33 33 33 222 xy z xy yz zx 3xyz 3xyz Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 3 33 3 2 3 33 3 2 3 33 3 2 1a 1 b 1 b 1ab 1b 1c 1c 1bc 1c 1 a 1 a 1ca Nhân từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 1 a 1b 1c 1 ab 1 bc 1ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiab c . Ví dụ 3.17: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 33 3 33 3 ab c b c a c a b a b c Phân tích: Để ý ta thấy ab c b c a 2b , như vậy nếu ta chứng minh được đánh giá 3 33 ab c b c a k a b c b c a thì bài toán có cơ hội được chứng minh. Chú ý đến đẳng thức xẩy ra tại ab c ta chọn được 1 k 4 . Để áp dụng cho các trường hợp khác ta quy về chứng minh bổ đề: Với mọi x; y 0 ta có 3 33 xy xy 4 . Đây là một bất đẳng thức đúng và được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương đồng thời sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Lời giải Bổ đề: Với mọi x, y > 0, ta có 3 33 xy xy 4 Chứng minh: Do 33 2 2 xy x y x xy y nên bổ đề trên tương đương với 2 22 xy xxy y 4 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng 2 xy xy 4 , ta được 22 22 22 xy xy xxy y x y 3xy x y 3 44 Bổ đề được chứng minh. Để ý rằng a, b, c là ba cạnh của tam giác thì hiển nhiên ta có: ab c 0, b c a 0, c a b 0 Áp dụng bổ đề, ta có: 3 33 3 3 33 3 3 33 3 ab c b c a ab c b c a 2b 4 bc a c a b bc a c a b 2c 4 ca b a b c ca b a bc 2a 4 Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo ta được 33 3 33 3 ab c b c a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.18: Cho các số thực a, b, c 2 thỏa mãn 11 1 1 ab c . Chứng minh rằng : a2 b 2 c 2 1 Lời giải Đặt a x 2, b y 2, c z 2 với x, y, z 0 . Ta có: Khi đó giả thiết được viết lại thành 11 1 1 x2 y 2 z 2 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành xyz 1 . Biến đổi giả thiết áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 11 1 11 11 1 z2 x 2 y2 2 x 2 2 y 2 xy xy 2x 2 2 y 2 x 2 y 2 Tương tự ta được 1zx 1 yz ; y2 x 2 z2 x 2 y 2 z2 Nhân ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được 1 xyz xyz 1 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Ví dụ 3.19: Cho a, b, c các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng : 111 1 1 1 a 2b c b 2c a c 2ab a3b b 3c c 3a Phân tích: Bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến đánh giá quen thuộc 11 4 xy x y . Để ý là a3b b 2c a 2a 2b c nên rất tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá 11 4 2 a 3b b 2c a a 2b c a3b b 2c a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 11 4 xy x y ta có 11 4 2 a 3b b 2c a a 2b c a3b b 2c a 11 4 2 b3c c 2a b b 2c a b3c c 2a b 11 4 2 c3a a 2b c c 2a b c3a a 2b c Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta được 111 1 1 1 a 2b c b 2c a c 2ab a3b b 3c c 3a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a3b b 2c a b3c c 2a b a b c c3a a 2b c 4. Kỹ thuật thêm bớt Nếu ở các kỹ thuật trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngoài của một bài toán. Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đột phá ý tưởng. Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố bên ngoài” trong việc giải quyết vấn đề. Ngay từ đây chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với kỹ thuật này với những ví dụ mà cách đánh giá nó tương đối đa dạng. Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 ab c ab c bc a Phân tích: Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương và cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên bây giờ ta sẽ áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bài toán. Dễ dàng nhận ra không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cũng không thể sử dụng kĩ thuật ghép đối xứng để giải quyết bài toán. Ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bên vế trái xuất hiện các đại lượng 22 2 ab c ;; bc a và bên vế phải có đại lượng ab c , chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp sau 22 2 ab c ,b ; , c ; , a bc a Để sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp trên, trước hết ta cần phải thêm vào vế trái một tổng ab c rồi mới tiến hành ghép theo cặp. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có 22 2 ab c b 2a; c 2b; a 2c bc a Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 22 ab c abc bc a2a2b2c abc bc a bca Bài toán được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 4.2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 ab c abc bc a c b a 2 Phân tích: Áp dụng ý tưởng như trên, tuy nhiên ở đây ta cần triệt tiêu bc ở dưới mẫu nên ta thêm cho 2 a bc một số bc k và chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c nên ta tìm được k4 . Do đó ta có lời giải như sau. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có 22 2 abc b ca c ab a; b; c bc 4 c a 4 a b 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 abc b ca c ab ab c bc 4 c a 4 a b 4 Suy ra 22 2 ab c abc bc c a a b 2 Bài toán được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 4.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c 3 4 1b 1c 1c 1 a 1 a 1b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể chứng minh được bài toán theo ý tưởng như trên, nhưng ta cần trả lời được các câu hỏi đặt ra là - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số? - Các đại lượng được thêm vào có dạng như thế nào? Để ý đến đại lượng 3 a 1b 1c ta thấy nên áp dụng bất đẳng thức cho ba số, khi đó đại lượng thêm vào cần triệt tiêu được tích b1 c1 ở dưới mẫu, do đó ta nghĩ đến các đại lượng kiểu b1 c1 ; kk với k là một số dương nào đó. Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , khi đó 3 ab1c1 kk 1b 1c sẽ cho ta k4 . Vì vậy ta có chứng minh sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 33 3 a 1 b 1 c a 1b 1c 3 3a 88 8 8 4 1b 1c 1b 1c Áp dụng tương tự ta được 3 3 b1c1a3 c 1a1b3 b; c 88 4 8 8 4 1c 1 a 1 a 1b Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được 33 3 ab c 1 33 ab c a b c 444 1b 1c 1c 1 a 1 a 1b Hay 33 3 ab c 1 3 ab c 24 1b 1c 1c 1 a 1 a 1b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết abc 1 , ta lại có 3 133 33 ab c abc 242 44 Suy ra 33 3 ab c 3 4 1b 1c 1c 1 a 1 a 1b Bài toán được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 4.4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c 1 bc 2 c a 2 a b 2 Phân tích: Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , khi đó ta chú ý đến đánh giá sau 3 abc2 a 39 bc 2 và áp dụng tương tự. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được 33 3 abc2 b ca2 c ab2 a; b; c 39 3 9 3 9 bc 2 c a 2 a b 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 33 3 ab c abcabc6 ab c 39 bc 2 c a 2 a b 2 5a b c ab c 2 93 bc 2 c a 2 a b 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 ab c 3abc 3 . Do đó 33 3 ab c 5.32 1 93 bc 2 c a 2 a b 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 4.5: Cho a, b, c độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c c a b b c a 1 3c 3b 3a Phân tích: Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , khi đó ta chú ý đến đánh giá sau 33 ab c a b c c1 c 1 3abc 3c 3 3 3c 3 3 và áp dụng tương tự. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được 3 3 3 ab c c1 ab c 3c 3 3 ca b b1 ca b 3b 3 3 bc a a1 bc a 3a 3 3 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 33 3 ab c c a b b c a ab c ab c 1 1 3c 3b 3a 3 Vậy bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 4.6: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 22 2 33 3 bc ca a b 1 1 1 1 2a b c ab c b c a c a b Phân tích: Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c , khi đó ta chú ý đến đánh giá 22 3 33 bc b c 1 bc b c 1 3 3 4bc 2b 4bc 2b 2a ab c a b c và áp dụng tương tự. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 22 3 33 bc b c 1 bc b c 1 3 3 4bc 2b 4bc 2b 2a ab c a b c Từ đó suy ta 2 3 bc 3 b c 1 3 3 1 2a 4bc 2b 2a 4b 4c ab c Tương tự ta có 22 33 ca 331 ab 3 3 1 ; 2b 4c 4a 2c 4a 4b bc a c a b Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 33 3 bc ca ab 3 3 1 1 11 1 1 11 2 4 4 ab c 2 ab c ab c b c a c a b Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Ví dụ 4.7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 2 ab c b a bc 2 bc a c a b Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khác so với các ví dụ trên, tuy nhiên đẳng thức vẫn xẩy ra tại ab c . Để ý hai đại lượng đầu ta sử dụng cách thêm – bớt như các ví dụ trên thì được 33 abca3 b cab3 a; b 24 2 2 4 2 bc a c a b khi đó ta được 33 2 2 a b c c 3b 3c a bc bc 4 4 bc a c a b và ta cần phải chứng minh được 2 c3b3c b aa bc 4 4 2 hay 2 cbc c bc 4 , đánh giá cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta được 33 2 abca3 b cab3 c bc a; b; c 24 2 2 4 2 bc 4 bc a c a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 2 33 2 ab ca 33 bc a b c bc 2 2 2 bc a c a b ab c b a bc 2 bc a c a b Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Ví dụ 4.8: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 ab c aab b b bc c c ca a bc a Phân tích: Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c , quan sát bất đẳng thức ta nhân thấy bên trái có đại lượng 2 a b và vế phải lại chứa 22 aab b , do đó để sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy 2xy ta cần làm xuất hiện đại lượng 22 aab b , do đó ta để ý đến phép biến đổi 22 2 2 aa a abb a b ab ab bb b , lúc này chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta có đánh giá 22 22 aab b b2a ab b b . Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 ab c ab c 2a ab b 2b bc c 2c ca a bc a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được một trong hai khả năng sau 22 2 2 2 2 ab c a b c 2abc bc a b c a 22 2 2 2 2 aab b b bc c c ca a a b c Để ý ta nhận thấy 22 2 ab c ab c bc a do đó khả năng thứ nhất luôn đúng. Như vậy bài toán được chứng minh. Lời giải Ta có 22 2 2 aa a abb a b ab ab bb b , tương tự ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 ab c a ab b b bc c c ca a bc a b c a Theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 22 22 22 22 aab b b2a ab b b bbc c c2b bc c c cca a a2c ca a a Suy ra 22 2 22 2 2 2 2 ab c ab c 2a ab b 2b bc c 2c ca a bc a Ta cần chứng minh được 22 2 2 2 2 ab c a b c 2abc bc a b c a Hay 22 2 ab c ab c bc a Bất đẳng thức cuối cũng chính là bất đẳng thức trong ví dụ 1. Vậy bài toán được chứng minh xong. Nh ận xét: T ừ nh ững ví d ụ trên ta đã th ấy được s ự hi ệu qu ả c ủa k ỹ thu ật thêm - b ớt trong ch ứng minh b ất đẳng th ức. Tuy nhiên không ph ải v ới b ất đẳng th ức nào c ũng có th ể làm được theo cách nh ư trên, mà đôi khi ta c ần ph ải th ực hi ện vi ệc bi ến đổi tương b ất đẳng th ức tr ước r ồi m ới th ực hi ện thêm b ớt. Dưới đây là m ột s ố ví dụ nh ư v ậy. Ví dụ 4.9: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab c a bc b c c a ab ab b c ac Phân tích: Nhận thấy ta chưa thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá ngay bất đẳng thức trên, do đó ta cần biến đổi bất đẳng thức thành ab b c c a 0 bc c a a b , đến đây ta cũng chưa thể áp dụng được bất đẳng thức Cauchy. Bây giờ ta cần tìm cách loại đi các dấu trừ mới có thể áp dụng được, để ý đến ab c a 1 bc bc lúc này ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Cauchy. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành ab b c c a 0 bc c a a b Để ý rằng ab c a b c a b c a b c 1, 1 , 1 bc bc c a c a a b a b Vậy sau khi thêm bớt như vậy, ta đã quy bài toán về chứng minh. ab c a b c 3 ca b c a b Mặt khác bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì 3 a b c a bc a bc a bc 3. . 3 ca b c a b ca b ca b Phép chứng minh hoàn tất. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 4.10: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng : ab c abbcca Lời giải Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với 22 2 2 2 2 2 22 2 2a b c 2ab bc ca ab c 2 a b c a b c 2ab bc ca ab c 2 a b c a b c 9 Vậy ta cần chứng minh: 22 2 ab c 2 a b c 9 Hay là 22 2 aa a b b b c c c 9 Điều này hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy bộ ba số ta có 3 22 3 22 3 22 aa a 3a.a.a 3a bb b 3b.b.b 3b cc c 3c.c.c 3c Bài toán được giải quyết. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 4.11: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng : 22 2 ab c 3 2 abc b ca c ab Phân tích: Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức thì điều đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ta xem có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy được không? Nhận thấy dưới các mẫu có chứa căn bậc hai và ta tìm cách khử căn trước. Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá 2bc b c , khi đó ta được 22 a2a 2a b c abc , hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 ab c 2a 2b 2c 2a b c 2b c a 2c a b abc b ca c ab Ta cần chỉ ra được 22 2 2a 2b 2c 3 2a b c 2b c a 2c a b 2 Để ý đến đánh giá 2 2a 2a b c a 2a b c 8 , áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 2a 2b 2c a b c 3 2a b c 2b c a 2c a b 2 2 Đến đấy bài toán được chứng minh xong. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được2bc b c suy ra 22 a2a 2a b c abc . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 ab c 2a 2b 2c 2a b c 2b c a 2c a b abc b ca c ab Ta cần chứng minh được 22 2 2a 2b 2c 3 2a b c 2b c a 2c a b 2 , thật vậy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có 22 2 2a 2a b c 2b 2b c a 2c 2c a b a; b; c 2a bc 8 2bc a 8 2c a b 8 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2a 2b 2c a b c 3 2a b c 2b c a 2c a b 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Ví dụ 4.12: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng : 33 3 ab c 3 2 abc b ca c ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2bc b c suy ra 33 a2a 2a b c abc . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 33 3 3 3 3 ab c 2a 2b 2c 2a b c 2b c a 2c a b abc b ca c ab Ta cần chứng minh được 33 3 2a 2b 2c 3 2a b c 2b c a 2c a b 2 , thật vậy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có 3 2 3 2 3 2 a2a b c 2a a 2a b c 8 b2b c a 2b b 2b c a 8 c2c a b 2c c 2c a b 8 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 222 22 2 2a 2b 2c a b c ab bc ca ab c 2a b c 2b c a 2c a b 4 Hay 22 2 33 3 3a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2a b c 2b c a 2c a b 4 Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 3a b c ab bc ca 3 42 Thật vậy, từ giả thiết ta có 22 2 ab c 3 và 22 2 ab c ab bc ca Do đó suy ra 22 2 2 2 2 3a bc ab bc ca 2a bc 3 442 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Ví dụ 4.13: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng : aa 2b c b b 2c a c c 2a b 0 ab 1 bc 1 ca 1 Phân tích: Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trên sao cho vế phải là một số khác không, điều này làm ta nghĩ đến cộng vào hai vế của bất đẳng thức với một số dương nào đó? Để ý ta thấy aa 2b c a 3 3b 3a 3ab ab 1 ab 1 ab 1 , khi đó để làm mất dấu từ ta cộng thêm 3 thì được 3a 3ab 3a 3 3 ab 1 ab 1 , thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức a1 b 1 c 1 3 ab 1 bc 1 ca 1 . Đến đây ta áp dùng bất đẳng thức Cauchy thì được 3 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 3 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 1 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a1 b 1 c 1 ab 1 bc 1 ca 1 Đến đây ta biến đổi tương đương đổi tương đương thì được 22 2 a 1 b 1 c1 ab 1 bc1 ca 1 abc a b c 1 a b c abc a b c 1 abc 1 abc a b c 1 abc 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do abc 1 . Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau Lời giải Để ý ta thấy aa 2b c a 3 3b 3a 3ab ab 1 ab 1 ab 1 , áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh là 3a 3ab 3b 3bc 3c 3ca 0 ab 1 bc 1 ca 1 Bất đẳng thức trên tương đương với 3a 3ab 3b 3bc 3c 3ca 33 39 ab 1 bc 1 ca 1 Hay a1 b 1 c 1 3 ab 1 bc 1 ca 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 3 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 1 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a1 b 1 c 1 ab 1 bc 1 ca 1 Đến đây ta biến đổi tương đương đổi tương đương thì được 22 2 a 1 b 1 c1 ab 1 bc1 ca 1 abc a b c 1 a b c abc a b c 1 abc 1 abc a b c 1 abc 0 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3a b c 3abc suy ra abc 1 Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Nh ận xét: Thông qua các ví d ụ trên ta nh ận th ấy được hi ệu qu ả c ủa k ĩ thu ật thêm - b ớt trong b ất đẳng th ức Cauchy - B ất đẳng th ức Cauchy có th ể giúp ta lo ại b ỏ các rào c ản nh ư các c ăn th ức, các l ũy th ừa b ậc cao,… - K ĩ thu ật thêm - b ớt có th ể giúp ta đối x ứng hóa b ất đẳng th ức c ũng nh ư các đánh giá h ợp lí trong quá trình tìm l ời gi ải. - Chú ý đến đi ểm r ơi giúp ta b ảo toàn d ấu đẳng th ức trong chu ỗi đánh giá. Sau đây là m ột s ố ví d ụ khác Ví dụ 4.14: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca 2abc . Chứng minh rằng : 22 2 11 1 1 2 a2a 1 b 2b 1 c 2c 1 Lời giải Từ giả thiết ab bc ca 2abc suy ra 11 1 2 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó ta có xy z 2 . Bất đẳng thức được viết lại là 33 3 22 2 xy z 1 2 2x 2y 2 z Hay 33 3 22 2 xy z 1 2 yz zx x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 2 3 2 3 2 xyzyz3x 88 4 yz yzxzx3y 88 4 zx zxyxy3z 88 4 xy Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 22 2 3x y z xy z xyz 224 yz z x x y Hay 33 3 22 2 xy z xyz1 42 yz z x x y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 ab c 2 . Ví dụ 4.15: Cho a, b, c là các số thực không âm trong đó không có hai số nào có tổng bằng 0. Chứng minh rằng : 22 2 2 2 2 22 2 222 2ab bc ca bbc c cca a a ab b 4 abc b ca c ab a b c Phân tích: Bất đẳng thức có dấu đẳng thức xẩy ra tại ab;c 0 và các hoán vị của nó, như vậy kết hợp với giả thiết ta có thể xét hai trường hợp. Tuy nhiên để ý biểu thức trong căn ta nhận thấy 22 2222 abc b bc c a b c và để ý đến chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá 22 2 222 2a bc b bc c a b c . Khi đó ta được 22 22 2 2 2222 22 2 2b bc c bbc c bbc c abc a b c abc b bc c Đến đây áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 bbc c cca a a ab b abc b ca c ab 2b bc c 2 c ca a 2 a ab b 2ab bc ca 4 ab c a b c ab c a b c Đây chính là bất đẳng thức cần chứng minh. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 222 2a bc b bc c a b c Khi đó ta suy ra 22 22 22 2222 22 2 2b bc c bbc c bbc c abc a b c abc b bc c Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 bbc c cca a a ab b abc b ca c ab 2b bc c 2 c ca a 2 a ab b 2ab bc ca 4 ab c a b c ab c a b c Hay 22 2 2 2 2 22 2 222 2ab bc ca bbc c cca a a ab b 4 abc b ca c ab a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab;c 0 và các hoán vị. Ví dụ 4.16: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng : 11 1 1113 3 3 23 a b c2a b 2b c2c a a a 2b b b 2c c c 2a Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức và chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta có đánh giá 23 1 3 1 3 2 a a 2b a a 2b aa 2b Khi đó tương tự ta được bất đẳng thức 11 1 1113 3 3 23 ab c a 2b b 2c c 2a a a 2b b b 2c c c 2a Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3 3 3 3 a 2b b 2c c 2a 2a b 2b c 2c a Rõ ràng bất đẳng thức trên không thể chứng minh được, điều này cho thấy cách đánh giá như trên không đem lại hiệu quả và ta cần phải tìm cách khác. Để ý là trong phép đánh giá trên ta triệt tiêu được đại lượng 11 1 ab c nhưng không đem lại hiệu quả. Vậy ta thử đánh giá làm triệt tiêu 33 3 a2b b 2c c 2a thì sẽ có kết quả như thế nào? Để làm được như vậy ta cần làm xuất hiện các 2a b; 2b c; 2c a trong các căn và sự xuất hiện đó chỉ có thể được giải quyết bằng kĩ thuật thêm - bớt. Khi đó chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta được 23 3 2a b 3 2a b 2 2a b 2a b aa 2b aa 2b aa 2b Hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức 11 1 23 a a 2b b b 2c c c 2a 2a b 2b c 2c a 3 3 3 2a b 2b c 2c a a a 2b b b 2c c c 2a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2a b 2b c 2c a 1 1 1 ab c a a 2b b b 2c c c 2a Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến cách ghép đối xứng. Nhưng ghép như thế nào đây và nếu không chứng minh được bất đẳng thức trên thì chuỗi đánh giá trên hoàn toàn vô tác dụng. Sau một thời gian mày mò cuối cùng cũng phát hiện ra 2a b 2 1 ab aa 2b Đánh giá này tương đương với 2 a2b 3b2a b là một đánh giá đúng. Thực hiện hoàn toàn tương tự ta được điều cần phải chứng minh. Ví dụ 4.17: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 11 1 2ab bc ca 9 ab bc ca Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1. Khi đó dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có 11 1 1 1 1 ab bc ca ab bc ca 3 ab bc ca ab bc ca Như vậy ta cần chứng minh ab bc ca 3 nữa là xong. Tuy nhiên với ab c 3 thì bất đẳng thức ab bc ca 3 lại không đúng. Như vậy cách đánh giá như trên không hiệu quả. Ta cần tìm cách khác. Trong bất đẳng thức có đại lượng 2ab bc ca và giả thiết thì có ab c 3 , giữa chúng có mối liên hệ là 2 22 2 ab c 2ab bc ca a b c Điều này gợi ý cho ta thêm vào hai vế của bất đẳng thức đại lượng 22 2 ab c , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 22 2 11 1 ab c 9 a b c ab bc ca Hay 22 2 11 1 ab c ab bc ca Kết hợp với giả thiết ab c 3 thì bất đẳng thức trên được viết là 22 2 2 2 2 3 ab c 3 abca b c abc Theo một đánh giá quen thuộc thì 2 1 abc a b c ab bc ca 3 Do đó ta được 2 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca a b c 1 abc a b c abc a b c a b c 39 Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 2 2 2 3 26 ab bc ca a b c abbcca abbcca a b c ab c a b c 27 327 Suy ra ta được 22 2 abc a b c 3 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 4.18: Cho a, b, c, d là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a d db bc c a 0 bd cb a c a d Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c d . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy chưa thể xác định được các phân số đã không âm hay chưa và vế phải lúc này là 0 nên việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy là không thể được. Bây giờ ta cần thay đổi các tử số để đảm bảo các phân số không âm và vế phải cũng là một hằng số dương. Yêu cầu này gợi ý cho ta sử dụng kĩ thuật thêm - bớt Để ý ta thấy ad a b 1 bd bd , hoàn toàn tương tự ta được a d db bc c a 11 114 bd cb c a d a ab d c b a c d 4 db cb c a d a Lại thấy các phân số không cùng mẫu nhưng có các cặp cùng tử, do đó ta viết được bất đẳng thức trên thành 11 11 ab c d 4 db c a bc a d Bất đẳng thức trên làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng 11 4 xy x y 4a b 11 ab db c a a b cd Hoàn toàn tương tự ta cũng có 4c d 11 cd bc a d a b cd Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế ta có ngay điều phải chứng minh. Ví dụ 4.19: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 33 3 ab c 1 ab c 2 bb c c c a a a b Phân tích: Để ý đến đánh giá 33 3 abbc a bbc3 3.. a 24 2 4 2 bb c b b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 33 3 a b bc a bbc 3 3.. a 24 2 4 2 bb c b b c Hoàn toàn tương tự ta có 33 bcca3 c aab3 b; c 24 2 2 4 2 cc a a a b Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 33 3 33 3 ab c 3 ab c a b c 2 bb c c c a a a b ab c 1 ab c 2 bb c c c a a a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 4.20: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 33 3 22 2 ab c 2 ab c 9 b2c c 2a a 2b Phân tích: Để ý đến đánh giá 33 3 22 a b 2c b2c a b2cb 2c a 3. . 27 27 27 27 3 b2c b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 33 3 22 a b 2c b2c a b2cb 2c a 3. . 27 27 27 27 3 b2c b c Hoàn toàn tương tự ta có 33 22 bc2ac2ab c a2ba2bc ; 27 27 3 27 27 3 c2a a 2b Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 33 3 22 2 33 3 22 2 ab c abcabc 93 b2c c 2a a 2b 2a b c ab c 9 b2c c 2a a 2b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 4.21: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 33 3 1 ab c 3 Phân tích: Để ý đến đánh giá 33 33 3 11 ab 3a.b. ab3 33 33 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 33 3 3 3 3 11 1 a b ab 3; b c bc 3; c a ca 3 33 33 33 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 33 3 33 3 3 3 3 1 2a b c 3 ab bc ca 3 3 21 2a b c a b c 33 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab 3 1 bc 1 ab c 3 3 1 ca 3 ab bc ca 1 Ví dụ 4.22: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 4a b c 3abc. Chứng minh rằng: 33 3 11 1 3 8 ab c Phân tích: Biến đổi giả thiết ta được 11 1 3 ab bc ca 4 . Chú ý đến đánh giá 3 33 3 3 11 1 1 11 31 3. . . 882ab ab a b Lời giải Từ giả thiết ta có 11 1 3 4a b c 3abc ab bc ca 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 33 3 3 11 1 1 11 31 3. . . 882ab ab a b Hoàn toàn tương tự ta được 33 3 3 11 1 31 1 1 1 31 .; . 82bc 82ca bc c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 3 11 1 3 3 1 1 1 9 1 1 1 3 2 82ab bc ca 8 8 ab c a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 11 1 1 ab c 2 ab c 2 11 1 3 ab bc ca 4 5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu. Trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán bất đẳng thức, một sai lầm thường gặp đó là sau một loạt các đánh giá ta thu được một bất đẳng thức ngược chiều. Điều này làm không ít người cảm thấy nản lòng. Lúc này nếu ta bình tĩnh suy nghĩ một chút thì thấy với đánh giá ngược chiều bằng cách nào đó ta thêm vào trước một dấu âm thì lập tức đánh giá đó sẽ cùng chiều. Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bớt, thậm chí có phần khéo léo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó. Chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với một số ví dụ sau Ví dụ 5.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 2 a1 b 1 c 1 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức không ít bạn sẽ đánh giá 2 a1 2a , áp dụng tương tự khi đó ta được bất đẳng thức 22 2 11 1 1 11 2a 2b 2c a1 b 1 c 1 Tuy nhiên bất đẳng thức thu được lại bị ngược chiều. Đến đây chúng ta sẽ bị lúng túng trong cách giải. Ta vẫn phải đánh giá mẫu nhưng nếu có thể thêm được dấu âm trước đánh giá đó thì tốt biết mấy. Điều ta mong muốn sẽ được giải quyết bằng phép biến đổi sau đây 22 22 1a a a 11 1 2a 2 a1 a1 Đến đây thì ta có thể đánh giá mẫu mà không sợ bị ngược chiều nữa Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy ta được 22 22 1a a a 11 1 2a 2 a1 a1 Hoàn toàn tương tự ta có: 22 1b1 c 1; 1 22 b1 c1 Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 22 2 11 1 abc3 3 22 a1 b 1 c 1 Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5.2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 11 1 3 1ab 1 bc 1 ca 2 Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp ta thu được 11 1 1 1 1 3 1ab 1 bc 1 ca 2 2ab 2 bc 2 ca Do đó ta sẽ áp dụng bất đẳng Cauchy theo ý tưởng như trên Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1ab ab ab 11 1 1ab 1 ab 2 2ab Tương tự ta có 1bc1 ca 1; 1 1bc 2 1ca 2 Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 11 1 1 3ab bc ca 1ab 1 bc 1 ca 2 Để ý là 1 1 ab b c c a ab c 3 ab bc ca 2222222 Do đó ta được 11 1 3 1ab 1 bc 1 ca 2 Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Nh ận xét: K ỹ thu ật Cauchy ngược d ấu có th ể hi ểu là ta l ấy ngh ịch đảo hai v ế c ủa m ột đánh giá theo b ất đẳng th ức Cauchy sau đó nhân hai v ế v ới -1. Khi đó b ất đẳng th ức ban đầu s ẽ không b ị đổi chi ều. Dưới đây là m ột s ố ví d ụ tương t ự. Ví dụ 5.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 2 b1 c 1 a 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 22 aab ab ab aa a 2b 2 b1 b1 Tương tự ta có 22 bbcc ca b; c 22 c1 a 1 Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 22 2 ab d abbcca ab c 2 b1 c1 d1 Mặt khác theo một đánh giá quen thuộc 2 1 ab bc ca a b c 3 3 Do đó ta được 22 2 ab c 33 3 22 b1 c1 a 1 Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 5.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 22 2 2 2 2 ab c abc 2 ab b c c a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 2 22 22 aab ab b aa a 2ab 2 ab ab Tương tự ta có 33 22 2 2 bcc a b; c 22 bc c a Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 22 2 2 2 2 ab c abcabc ab c 22 ab b c c a Bài toán được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 5.5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 a1 b 1 c 1 3 b1 c1 a 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 22 a1b a 1b a1 ab b a1 a1 a1 2b 2 b1 b1 Tương tự ta có: 22 b1 bc c c 1 ca a b1 ; c 1 22 c1 a 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta đươc 22 2 a1 b 1 c 1 a b c ab bc ca ab c 3 2 b1 c1 a 1 ab c ab bc ca 3 22 Mà theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 ab c ab bc ca 3 3 Do vậy ta được 22 2 a1 b 1 c 1 3 b1 c1 a 1 Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 2 bc 1 ca 1 a b 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 22 ba ac ba ac aabc abc abc aa a a a 22 4 bc 1 bc 1 2b c Suy ra ta có 2 a1 aababc 4 bc 1 Hoàn toàn tương tự ta có 22 b1 c1 bbcabc; c caabc 44 ca 1 a b 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c abbcca3abc 3 44 bc 1 ca 1 a b 1 Mặt khác ta có theo một đánh giá quen thuộc ta được 2 ab c 3ab bc ca 3abbcca 344 Và 3 33abc 3a b c 3abc 44 Do đó ta được 22 2 ab c 33 3 44 bc 1 ca 1 a b 1 hay 22 2 ab c 3 2 bc 1 ca 1 a b 1 Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac 3 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c 1 2b 1 2c 1 2a 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 33 333 2 a 2ab ab 2ab aa a 3 2b 1 b b 1 3b Tương tự ta có 33 b2bcc 2ca b; c 33 2c 1 2a 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 2ab bc ca ab c ab c a b c 2 3 2b 1 2c 1 2a 1 Mặt khác ta lại có 2 ab c ab bc ca a b c 3 ab bc ca 3 3 Do đó ta được 33 3 ab c 1 2b 1 2c 1 2a 1 Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 a2b b 2c c 2a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 3 222 3 4 a2ab 2ab 2 aa aab 3 a2b a b b 3ab Tương tự ta có 22 22 33 22 b2 c 2 bbc; cca 33 b2c c 2a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 22 2 22 2 ab c 2 ab c ab bc ca 3 a2b b 2c c 2a 2 3ab bc ca 3 33 3 33 3 Mặt khác ta có 2 3 aab b ab a.ab.b 3 3 Hoàn toàn tương tự ta được 22 bbcc cca a bc ; ca 33 33 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 21 ab bc ca a b c ab bc ca 33 ab c 21 213 ab c . .3 . 3 333 333 33 3 Suy ra ta có 22 2 22 ab bc ca .3 2 33 33 3 Do đó ta được 22 2 22 2 ab c 1 a2b b 2c c 2a Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 33 3 ab c 1 a2b b 2c c 2a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 23 3 3 2 333 3 6 a2ab 2ab 2 aa aba 3 a2b a b b 3ab Tương tự ta có 22 33 22 33 b2 c 2 bcb; cac 33 b2c c 2a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 33 3 22 2 33 3 33 3 22 2 ab c 2 ab c ba cb ac 3 a2b b 2c c 2a 2 3ba cb ac 3 Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 2 aa 1 2a 1 2ab b ba ba.a.1 b b 33 3 Tương tự ta có 33 22 2bc c 2ca a cb ; a c 33 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 33 3 22 2 2a b c ab c 2 ab c bacbac abbcca 3 33 3 3.3 Do đó ta có 22 2 33 3 ab c 1 a2b b 2c c 2a Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5.10: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 222 22 2 ab c abc 3 aab b b bc c c ca a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 322 22 2 2 ab a b aabab ab2ab aa a 3ab 3 3 aab b aab b Tương tự ta có 33 22 2 2 b2bc c 2ca ; 33 bbc c cca a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 222 22 2 ab c abc 3 aab b b bc c c ca a Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 5.11: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ab c d 4 . Chứng minh rằng: 22 2 2 ab c d 2 1b 1c 1d 1 a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 22 2 a1 b ab aabab aa 2 1b 1b 1b Áp dụng tương tự ta được 22 2 bbcc cdd da b; c ; c 22 2 1c 1d 1 a Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 ab c d abbccdda 4 2 1b 1c 1d 1 a Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 ac b d ab c d ab bc cd da 2 22 8 Do vậy ta được 22 2 2 abc d 2 1b 1c 1d 1 a Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c d 1 Ví dụ 5.12: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ab c d 4 . Chứng minh rằng: 22 2 2 1 111 2 a1 b 1 c 1 d 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 22 22 2 a1 a 1aaa 11 1 2a 2 a1 a1 a1 Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 1b1 c1d 1; 1 ; 1 22 2 b1 c1 d1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 1 111 2 a1 b 1 c 1 d 1 Bài toán được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c d 1 Ví dụ 5.13: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ab c d 4 . Chứng minh rằng: 22 2 2 ab c d 2 1bc 1 cd 1da 1 ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 22 22 2 a1 bc abc aabcabcabc aa a 2 1bc 1 bc 1bc 2b c Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 bbcdc cdad dab b; c ; d 22 2 1cd 1 da 1 ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 ab c d abcbcdcdadab 4 22 2 2 1bc 1 cd 1da 1 ab Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có ba ac ba.ac 24 Tương tự ta được b a.ac c b.bd d c.ca a d.db ab bc cd da abc bcd cda dab 24 Mà ta có 2 ac b d ac b d ab bc cd da 1 44 16 và 22 3 bc a d da b c abc bcd cda dab 44 ad b c b c ad ab c d 1 16 4.16 Do đó ta được 22 2 2 ab c d 2 1bc 1 cd 1da 1 ab Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c d 1 6. Kỹ thuật đổi biến số Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn” Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này. Ví dụ 6.1: Cho a, b là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng: 22 2 2 22 2 22 4a b a b 3 ba ab Phân tích: Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau ở vế trái có vẻ như tạo ra được nghịch đảo của hạng tử thứ nhất. Vì vậy ta thử phân tích tổng hai hạng tử đó để xem kết quả có như dự đoán hay không. 2 22 22 4 4 22 22 2 2 22 22 ab ab a b 2ab 2ab 2 b a ab ab Với kết quả như vậy ta có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đơn giản hơn. Lời giải Để ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành 2 22 22 222 22 ab 4a b 5 ab ab Đặt 2 22 22 ab t ab ta có t4 . Từ đó suy ra 22 2 22 4a b 4 t ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 t1 t 4 tt5t4 t5 0 0 4t t Bất đẳng thức cuối cùng đúng do t4 . Bài toán được giải quyết hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab Ví dụ 6.2: Cho các số thực a,b,c 2 thỏa mãn 11 1 1 ab c . Chứng minh rằng : a2 b 2 c 2 1 Phân tích: Để triệt tiêu các dấu trừ trong bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đổi biến xa 2;yb 2;z c 2 , khi đó giả thiết trở thành 11 1 1 x2 y 2 z 2 và ta cần chứng minh xyz 1 . Đây là một bất đẳng thức có thể chứng minh bằng cách ghép cặp đối xứng. Tuy nhiên trong lời giải dưới đây ta chứng minh bài toán bằng kỹ thuật đổi biến. Lời giải Đặt xa 2;yb 2;z c 2 với x, y, z là các số thực dương. Bài toán quy về chứng minh xyz 1 với x, y, z 0 thỏa mãn 11 1 x y z 11 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 Đến đây ta đặt tiếp xy z m;n ;p mnp1 x2 y 2 z 2 Khi đó ta có 1x 2 2 2 1 n p 2m 11 x mx x x m m np Tương tự ta đươc 2n 2p y;z pm m n Do đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2m 2n 2p 1mnnppm 8mnp np p m mn Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có m n n p p m 2mn.2np.2pm 8mnp Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi mnp a b c 1 x y z 3 Ví dụ 6.3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 11 1 1 2a 1 2b 1 2c 1 Phân tích: Giả thiết abc 1 gợi ý cho ta cách đổi biến xy z a;b ;c yz x với x, y, z là các số thực dương. Lời giải Đặt xy z a;b ;c yz x với x, y, z là các số thực dương. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 111 y z x 11 xy z 2xy2yz2zx 21 2 1 21 yzx Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 22 y2z y y2z y y2z y y 2x y 2x y 2z y xy z 2x y 2z y 4 Tương tự ta có 22 z2x z x 2y x zx ; 2x y 2z x xy z x y z Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được: 2 22 2 2 y2z y z2xz x2yx yz x 2x y 2y z 2z x xy z 2xy yz zx x y z 1 xy z Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 6.4: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc 1 . chứng minh rằng: 11 1 1 ab 1 b c 1 c a 1 Phân tích: Ta nhận thấy sự tương tự của bất đẳng thức trên với bất đẳng thức 33 3 3 3 3 11 1 1 ab 1 b c 1 c a 1 Do đó ý tưởng đầu tiên đó ta đặt 33 3 xa;y b;z c , khi này ta vẫn được xyz 1 và khi đó ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh 33 3 3 3 3 11 1 1 xy 1 y z 1 z x 1 Ngoài ra từ giả thiết abc 1 , ta có thể sử dụng các phép đổi như sau 22 2 22 2 xy z x y z yz zx xy a ;b ;c ,a;b ;c ;a;b ;c yz x yz zx xy xy z Lời giải Đặt 33 3 xa;y b;z c , khi đó ta được xyz 1 . Bất đẳng thức càn chứng minh trở thành 33 3 3 3 3 11 1 1 xy 1 y z 1 z x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 2 2 x y x y x y xy xy x y Khi đó ta được 33 11 z xy z xy 1 xy x y xyz Chứng minh tương tự ta được 33 3 3 3 3 11 1 z x y 1 xy z x y z xy z xy 1 y z 1 z x 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 6.5: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 33 11 1 3 ab 1 b c 1 c a 1 abc 1 abc Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải chứa căn bậc ba. Do đó điều đầu tiên ta nghĩ đến là làm mất các căn bậc ba này và ta có hai ý tưởng đổi biến để làm mất căn bậc ba là - Đặt 33 3 xa,y b,z c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 3 3 3 11 1 3 xyz xyz 1 xy 1 y z 1 z x 1 - Đặt 3 abc k . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 11 1 3 ab 1 b c 1 c a 1 k 1 k Ta thử chứng minh bài toán với các cách đổi biến trên như sau Lời giải Đặt 33 3 xa,y b,z c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 3 3 3 11 1 3 xyz xyz 1 xy 1 y z 1 z x 1 Ta có 33 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 33 33 33 333 11 1 M3 1 xyz xy 1 y z 1 z x 1 11 1 xyyzzx 3 x1 y 1 z 1 xy 1 y z 1 z x 1 yx 1 z y 1 xz 1 1x 1y 1 z xy 1 y z 1 z x 1 1 y 1 z 1 z Theo bất đẳng thức Caucy ta được 33 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 1x 1y 1 z 3 xyz xy 1 y z 1 z x 1 yx 1 z y 1 xz 1 3xyz 1 y 1z 1z Từ đó suy ra 33 3 33 M 3xyz 1 x y z P 3xyz 3 xyz xyz Mặt khác ta lại có 22 2 33 3 3 x y z xyz 1 33 x y z 1 3xyz 3 xyz xyz xyz xyz 1 Do đó ta được 33 3 3 3 3 33 1xyz P 1 xyz P xyz xyz 1 xyz xyz 1 Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Nh ận xét: Ta c ũng có th ể ch ứng minh bài toán trên theo cách sau V ới cách đặt 3 abc k , khi đó t ồn t ại các s ố th ực dương ,, xyz sao cho ;; ky kz kx ab c xy z Khi đó b ất đẳng th ức c ần ch ứng minh t ương đương v ới 11 1 3 1 11 1 ky kz kz kx kx ky kk xy y z z x Hay 3 1 xy z ykz z kx x ky k Áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 3 1 1 xy z x y z ykz z kx x ky x y kz y z kx z x ky xy z x y kz y z kx z x ky xy z k kxyyzzx V ậy b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. D ấu đẳng th ức x ẩy ra khi ab c . Ví dụ 6.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 bc a 3 2 ab 1 b c 1 c a 1 Phân tích: Ta viết lại giả thiết thành 11 1 1 ab bc ca , điều này gợi ý cho ta các đặt biến phụ 11 1 x;y ;z ab c . Khi đó giả thiết của bài toán trở thành xy yz zx 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy z 3 2 y1 z 1 x 1 . Chú ý đến xy yz zx 1 ta viết được 22 x1 x xy yz zx x y x z khi đó ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là xy z 3 2 y x y z zx zy x y x z Đến đây ta sử dụng đánh giá Cauchy để giải quyết bài toán. Lời giải Từ giả thiết ab c abc suy ra 11 1 1 ab bc ca . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , Khi đó giả thiết của bài toán trở thành xy yz zx 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy z 3 2 y1 z 1 x 1 . Dễ thấy 22 x1 x xy yz zx x y x z Tương tự ta được 22 y1 y z y x; z 1 z x z y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 xy z x y z y1 z1 x 1 yx y z zx zy x y xz 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z Ta cần chứng minh 2x 2y 2z 3 x 2yz x y 2z 2x yz 2 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 22 2 2x 2y 2z 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z xx 2y z yxy 2z z2xy z 2x y z 2x y z 3 2 xy z xy yz zx x y z xy z 3 Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 3 . Ví dụ 6.7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab 3c a3b c 3a b c 15 3a 3b 2c 3a 2b 3c 2a 3b 3c 8 Phân tích: Để đơn giản hóa các đại lượng vế trái ta có thể đặt 3y 3z 5x a 8 x2a 3b 3c 3z 3x 5y y3a 2b 3c b 8 z3a 3b 2c 3x 3y 5z c 8 Khi đó ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 7x y y z z x 27 15 8z x y 8 8 Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá tiếp. Lời giải Đặt x 2a 3b3c;y 3a 2b3c;z 3a 3b 2c , khi đó ta được 3y 3z 5x 3z 3x 5y 3x 3y 5z a;b ;c 88 8 Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 7x y y z z x 27 15 8z x y 8 8 Theo bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được xy y z z x 6 zx y Do đó ta được 7 x y y z z x 27 7.6 27 15 8z x y 8 8 8 8 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 6.8: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab b c c a 16 ab c b c 4a a c 16b 15 Lời giải Đặt xa b c 3a y x y b c 4a 15b z x z c a 16b 15c 21x 5y z Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 6x 5y z 20x 5y 16x z 16 15x 15y 15z 15 Hay y 3x z 16x 16 4 28 3x 4y 15x 15z 15 5 15 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có y4x 4 z 16x 8 ; 3x 3y 3 15x 15z 15 Do đó ta được ab b c c a 16 a b c b c 4a a c 16b 15 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi y4x 5c a 3x 3y 7 3c z16x b 7 15x 15z Bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 6.9: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 33 3 11 1 3a b b c c a ab c 2c a b ab c Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chưa thấy có dấu hiệu đặt biến phụ, do đó ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trước. Ở đây ta chọn biến đổi vế trái trước 33 3 3 3 3 33 3 33 3 3 3 3 11 1 a b b c c a ab c 3 ab c c a b Quan sát biểu thức sau khi biến đổi ta thấy cần phải đánh giá 33 3 ab c về 3 ab c , điều này có nghĩa là ta cần chứng minh được 3 33 ab ka b , chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta tìm được 1 k 4 . Như vậy ta đi chứng minh 3 33 1 ab a b 4 , đây là một đánh giá đúng và có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Đến đây ta có thể đặt ab b c c a x;y ;z ca b và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 33 3 3x y z xy z 3 42 . Chú ý lúc này đẳng thức xẩy ra tại xy z 2 và ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bài toán trên. Lời giải Bất đẳng thức được viết lại là 33 3 3 3 3 33 3 ab b c c a 3a b b c c a 3 2c a b ca b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 33 33 3 3 2 2 3 33 4a b a b 3 a b a b 3 a b a b ab ab 3aba b a b Suy ra 3 33 33 ab ab c4c Áp dụng tương tự ta có bất đẳng thức 33 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ab b c c a ab b c c a ca b 4c 4a 4b Ta cần chứng minh 33 3 33 3 ab b c c a 3a b b c c a 3 2c a b 4c 4a 4b Đặt ab b c c a x;y ;z ca b , bất đẳng thức trở thành 33 3 3x y z xy z 3 42 Hay 33 3 12 x y z 6 x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 x 8 8 12x; y 8 8 12y; z 8 8 12z Suy ra 33 3 x y z 48 12x y z 6x y z 6x y z 6x y z 36 Hay 33 3 12 x y z 6 x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 6.10: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 ab c 3 a b b c c a bca 2 c a b Phân tích: Cũng tương tự như ví dụ trên ta cần biến đổi bất đẳng thức trước khi đưa ra cách đổi biến. Trong ví dụ này ta chọn các biến đổi vế phải ab b c c a a b b c c a c a b c c aab b Lúc này để ý ta thấy cả hai vế xuất hiện các đại lượng ab c ;; bc a , lại để ý ta nhận thấy rằng aab b bc c ca .; . ; . cbc a ca b ab . Do đó ta có thể đặt ab c x;y ;z bc a , khi đó ta được xyz 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 2 3xy yz zxxy z xy z 2 Đến đây ta có lời giải sau Lời giải Đặt ab c x;y ;z bc a suy raxyz 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 2 3xy yz zxxy z xy z 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 x y z 3 xyz 3 Nên 2 xy z 3xy z Ta cũng có 2 x y z 3 xy yz zx Do đó ta được 2 2x y z 3xy yz zx 3 x y z Hay 2 3xy yz zxxy z xy z 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 6.11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn c8ab . Chứng minh rằng: 1c c 1 4a 2b 3 4bc 3c 2 2ac 3c 4 2 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy sự khác biệt của giả thiết cũng như bất đẳng thức cần chứng minh so với các ví dụ ở trên. Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vai trò của a, b như nhau. Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab . Mặt khác ta thấy tử của biểu thức thứ hai và thứ ba có biến c, do đó nếu ta viết lại hai biểu thức đó như biểu thức thứ nhất thì dưới mẫu xuất hiện đại lượng 1 c , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c , khi này ta viết lại giả thiết là 1 8ab 1 c . Đến đây ta thấy được cách đặt là 2 x 2a; y 2b; z c và bất đẳng thức được viết lại thành 11 1 1 2x y 3 2y z 3 2z x 3 2 Tuy nhiên từ hình thức của bất đẳng thức ta thấy tương tự bất đẳng thức quen thuộc 22 2 2 2 2 11 1 1 2 2x y 3 2y z 3 2z x 3 Do đó ta chọ cách đặt 22 2 2 x 2a; y 2b; z c để đưa bài toán về dạng quen thuộc. Lời giải Đặt 22 2 2 x 2a; y 2b; z c . Khi đó từ giả thiết ta được xyz 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 2 2 2 11 1 1 P 2 2x y 3 2y z 3 2z x 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 22 2 2x y 3 x y x 1 2 2 xy x 1 Do đó ta được 11 1 P 2xy x 1 2 yz y 1 2 zx z 1 Ta chứng minh 11 1 1 xy x 1 yz y 1 zx z 1 theo các cách sau Cách 1: Do xyz 1 , nên tồn tại các số dương x, y, z để mn p x;y ;z np m Khi đó ta có 11 1 1 1 1 xy x 1 yz y 1 zx z 1 m m n n p m 111 pn m p n m np pm mn 1 mn np pm mn np pm mn np pm Cách 2: Do xyz 1 , nên ta được 11 1 xyz 1 y xy x 1 yz y 1 zx z 1 xy x xyz yz y 1 xyz yz y yz 1 y 1 yz y 1 yz y 1 yz y 1 Suy ra 1 P 2 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 1 hay 1 ab ;c 2 2 . Ví dụ 6.13: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 2 a2a 1 b 2b 1 c 2c 1 Phân tích: Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại 3 ab c 2 . Giả thiết của bài toán được viết lại thành 11 1 2 ab c , khi đó để đơn giản hóa giả thiết ta có thể đổi biến 11 1 x;y ;z ab c , khi này giả thiết mới là xy z 2 với 0x,y,z 2 . Cũng từ cách đặt trên ta suy ra được 11 1 a;b ;c xy z , thay vào bất đẳng thức cần chứng minh thì được 33 3 22 2 xy z 1 2 2x 2y 2 z Đến đây ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách thêm bớt hoặc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lời giải Từ giả thiết ab bc ca 2abc suy ra 11 1 2 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó ta có xy z 2 . Bất đẳng thức được viết lại là 33 3 22 2 xy z 1 2 2x 2y 2 z Hay 33 3 22 2 xy z 1 2 yz zx x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 2 3 2 3 2 xyzyz3x 88 4 yz yzxzx3y 88 4 zx zxyxy3z 88 4 xy Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 22 2 3x y z xy z xyz 224 yz zx x y Hay 33 3 22 2 xy z xyz1 42 yz z x x y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 ab c 2 . Nh ận xét: Ngoài cách s ử d ụng b ất đẳng th ức Cauchy thì ta c ũng có th ể áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức Ví dụ 6.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 ab c 1 ca 2c ab 2a bc 2b Lời giải Từ giả thiết ab bc ca 3abc ta được 11 1 3 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z ab c . Khi đó ta được xy z 3 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 xy z 1 x2y y 2z z 2x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 2 2 2 2 3 22 22 4 3 2xy x x 2xy 2xy 2xy 2xy xx x 3 x2y x 2y x y y 2xy Áp dụng tương tự ta được 2 22 22 22 2 22 2yz yz2zx y; z 33 y2z z 2x Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 3 22 2 2 2 2 33 22 2 xy z 2 xy z xy yz zx 3 x2y y 2z z 2x Mạt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 22 3 22 3 3 22 xy xy 1 2xy 1 xy 33 yz yz 1 2yz 1 yz 33 zx zx 1 2zx 1 zx 33 Suy ra 2 3 22 2 2 2 2 33 2xy yz zx 2 x y z xy yz zx 1 1 3 39 Do đó ta được 22 2 22 2 xy z 2.3 31 3 x2y y 2z z 2x . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 6.15: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn 11 1 2 ab c . Chứng minh rằng: 11 1 1 a3b b 3c c 3a Phân tích: Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết bằng cách đặt xa;y b;z c , khi này giả thiết được viết lại thành 11 1 2 xy z và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 2 2 2 11 1 1 x3y y 3z z 3y Chú ý đến giả thiết 11 1 2 xy z ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là 22 2 2 22 11 1 1111 2x y z x3y y 3z z 3y Để ý theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 22 22 26 4 x3y x yyy 4xy , như vậy ta được 22 22 4 44 26 4 11 11 11112113 4 8 xy y 8 xy x3y xy y 2xy Đến đây áp dụng tương tự ta được Lời giải Đặt xa;y b;z c . Khi đó ta được 11 1 2 xy z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 2 2 2 11 1 1 x3y y 3z z 3y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 22 22 26 4 x3y x yyy 4xy Áp dụng một bất đẳng thức Cauchy khác ta được 22 22 4 44 26 2 2 4 444 11 1 11 1 4 x3y xy y 2xy 2 xy.y 11 1 2 11 3 8x y y 8x y Tương tự ta có 22 2 2 1113 1113 ; 8y z 8 z x y3z z 3y Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có 22 2 2 22 11 1 1111 1 2x y z x3y y 3z z 3y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 9 ab c 4 Nh ận xét: Ta có th ể s ử d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki để ch ứng minh b ất đẳng th ức 22 1113 8 3 xy xy Áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ta được 2 2 2 2222 4 3 1111 3 x y x yyy x y Do đó ta được 22 2 22 12 2 2113 38 3 23 3 xy x y xy xy xy Ví dụ 6.17: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 c2 ab a 2 bc b2 ca Phân tích: Để ý là ab 1 c c2 ab 2 ab , do đó ta đặt ab c x;b ;z bc ca ab . Lời giải Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ab bc ca 1 1 1 cb a c2 ab a 2 bc b2 ca 22 2 ab ca bc Đặt ab c x;b ;z bc ca ab , suy ra xyz 1 . Biểu thức P được viết lại thành 11 1 1 x2 y 2 z 2 . Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2 x2 y 2 z 2 Triển khai và thu gọn ta được xy yz xz 3 Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy và xyz 1 . Do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: Ta có th ể ch ứng minh bài toán trên theo cách khác nh ư sau Bi ểu th ức v ế trái đư ợc vi ết l ại là 12 2 2 1 3 22 22 2 2 2 2 ab bc ca c a b c ab a bc b ca c ab a bc b ca Đặt 22 2 ca b M caba bcbca Áp d ụng b ất đẳng th ức Cauchy ta có 2;2 ;2 ab a b bc b c ca c a Do đó ta có 1 22 2 ca b c a b M ab c a b c ab c caba bcbca Suy ra 1 22 2 ab bc ca caba bcbca Do đó b ất đẳng th ức trên được ch ứng minh. Đẳng th ức x ẩy ra khi và ch ỉ khi ab c . Ví dụ 6.18: Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: aa b b c c abc 3 3 Lời giải Đặt xa;y b;z c . Từ giả thiết ta được 22 2 xy z 3 . Khi này bất đẳng thức trở thành 33 3 Px y z xyz 33 Không mất tính tổng quát ta giả sử xy z . Khi đó ta có 222 2 zxy;x y 3 z 3 Do đó ta có 33 2 3 3 xy zz xy xy Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 22 2 2 33 2 2 2 2 3x y x z x y x xyy x xyy 27 3 Suy ra 33 xy 33 nên ta được P33 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x3;y z 0 và các hoán vị a3;b c 0 và các hoán vị Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a3;b c 0 và các hoán vị. Nh ận xét: Qua các ví d ụ trên ta nh ận th ấy, đổi bi ến có một vai trò to l ớn trong ch ứng minh b ất đẳng th ức, đổi bi ến có th ể làm m ột b ất đẳng th ức tr ở nên đơn gi ản, đổi bi ến có th ể đưa m ột b ất đẳng th ức hoán v ị v ề b ất đẳng th ức đối x ứng. Chúng ta cùng tham kh ảo thêm m ột s ố ví d ụ khác sau đây để th ấy được s ự độc đáo c ủa k ỹ thu ật đổi bi ến Ví dụ 6.19: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 ab c 2 bc c a a b Lời giải Đặt 33 3 ax;b y;c z , do đó x, y, z 0 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 3 33 33 3 3 3 3 xy z 2 yz z x x y Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau 32 3 33 2 2 xx yz y z Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 23 32 32 22 3 3 22 22 33 33 2 2 xx yz y z 3yz y z 2yz yz y z Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Áp dụng tương tự ta được 33 3 2 2 2 3 33 33 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 xy z x y z yz zx x y y z z x x y Ta cần chứng minh 22 2 22 2 2 2 2 xy z 2 yz z x x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 xy z x y z yz z x x y xy z y z x z x y 2x 2y 2z 2 xy z x y z xy z Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Ví dụ 6.20: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 11 1 a1 b 1 c 1 1 bc a Lời giải Do abc 1 nên ta có thể đặt xy z a;b ;c yz x với x, y, z là các số thực dương. Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là xzy xz y 11 1 1 yyz zxx Hay xyz x y z y z x z x y Do x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử xy z 0 Như vậy xy z 0;x z y 0 . Như vậy ta xét các trường hợp - Nếu yz x 0 thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. - Nếu yz x 0 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có x y z y z x x; y z xz x y y; z x yx y z z Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. Ví dụ 6.21: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc a b c 2 . Chứng minh rằng: 3 ab c abc 2 Lời giải Biến đổi giả thiết abc a b c 2 ta được a 1 b 1 c1 a 1 b1 b1 c1 c1 a 1 11 1 1 a1 b 1 c a Đặt 11 1 x;y ;z a1 b 1 c a suy ra xy z 1 Từ trên suy ra 1x y z 1y z x 1 z x y a;b ;c xx yy z z Và bất đẳng thức được viết lại thành xy y z z x yz z x x y 3 xy z 2 xyz Hay xy y z z x 3 .. . y zz x z xxy xyy z 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được xy 1 x y . yzz x 2 y z z x yz 1 y z . zxx y 2 z x x y zx 1 z x . xyy z 2 x y y z Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta thu được điều phải chứng minh Ví dụ 6.22: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab bc ca 2abc 1 . Chứng minh rằng: 11 1 4a b c ab c Lời giải Từ giả thiết suy ra 11 1 1 2 ab c abc Đặt xy z a;b ;c yz z x x y , vớix, y,z 0; x y z 1 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành yz z x x y x y z 4 xy z yzzxxy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được xx 4x y y 4y z z 4z ;; yz y z xz z x x y x y Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được yz z x x y x y z 4 xy z yzzxxy Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 2 Ví dụ 6.23: Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab c d 2 b c d c da da b a b c Lời giải Không mất tính tổng quát ta có thể chọn ab c d 1 Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab c d 2 1 a 1b 1c 1c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có aa a 2a 1a 1 1aa 1a a 2 Hoàn toàn tương tự ta có bc d 2b; 2c; 2d 1b 1c 1d Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức ta được: ab c d 2 1 a 1b 1c 1c Ở đây dấu đẳng thức không xẩy ra nên ab c d 2 1 a 1b 1c 1c Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Khi đưa lời giải trên cho bài toán trên, chắc hẳn bạn đọc sẽ thắc mắc là tại sao lại có thể chọn được ab c d 1 và nếu chọn ab c d k bất kì thì bài toán có giải được không? Và ngoài cách chọn điều kiện như trên có thể chọn theo cách khác (chẳng hạn như abcd 1 ) được không? Câu trả lời là hoàn toàn được, thực chất việc chọn này bắt nguồn từ việc đổi biến. Sau đây là cách đổi biến dẫn đến kết quả ab c d 1 . Ta thực hiện biến đổi một hạng tử bên vế trái như sau: aa a ab c d ab c d bc d b cd b c d ab c d ab c d ab c d ab c d Tới đây ta đổi biến như sau: ab c d x;y ;z ;t a b cd a b cd a b cd a b cd Thay vào biểu thức trên ta được: ax bcd y z t và xy z t 1 Áp dụng cho vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta được xy z t 2 yz t z t x t x y x yz Và xy z t 1 Như vậy sau phép đổi biến ta có một bất đẳng thức mới có hình thức hoàn toàn giống như bất đẳng thức cần chứng minh và được bổ sung thêm điều kiện giả thiết cho các biến là xy z t 1 . Ví dụ 6.24: Cho a, b , c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng 9 ab c ab bc ca a b b c c a 8 Lời giải Đây là một bất đẳng thức đơn giản được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương kết hợp với bất đẳng thức Cauchy. Ta thử chứng minh bằng phương pháp đổi biến xem sao Bất đẳng thức tương đương với 8a b c ab bc ca 9 a b b c c a Chia cả hai vế cho 3 abc ta được 333 22 2 33 3 33 33 33 8a b c ab bc ca 9 a b b c c a abc abc ab c ab bc ca 8 abc abc abc (abc) (abc) (abc) ab b c a c 9 abc abc abc abc abc abc Đặt 33 3 ab c x ; y ; z xyz 1 abc abc abc Thay vào bất đẳng thức trên ta được 8x y z xy yz zx 9 x y y z z x Như vậy sau phép đổi biến ta có một bất đẳng thức mới có hình thức hoàn toàn giống như bất đẳng thức cần chứng minh và được bổ sung thêm điều kiện cho biến là xyz 1 . Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức trên với điều kiện của biến là xyz 1 .Thật vậy: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 222 8 x y z xy yz zx 9 x y y z z x 8 3 x y y z z x xy yz zx 9 2 x y y z z x xy yz zx xx yy z z 6xy yz zx xy yz zx 6 yzxzx y Dễ thấy rằng theo bất đẳng thức Cauchy thì bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Ví dụ 6.25: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c b c a c a b 6 5 bc a c a b a b c Lời giải Không mất tính tổng quát ta có thể chọn ab c 1 22 2 a1 a b 1 b c 1 c 6 5 12a 2a 1 2b 2b 12c 2c Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 a1 2a 1 a 2a 1 a 24 Suy ra 2 2 a1 1 a a 3 12a2a12a1a1 0 44 Do đó ta được 2 a1 a 4a1 a a3 4. 4 1 a3 a3 12a 2a 1a a 3 Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 a1 a b 1 b c 1 c 33 3 41 1 1 a3 b 3 c 3 12a 2a 1 2b 2b 1 2c 2c 3.9 6 43 ab c 9 5 Vậy bài toán được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 6.26: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 22 2 111 3 2 ab c b c a c a b Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z ab c khi đó ta thu được xyz 1 . Ta có 22 2 1x xyz x 1 1 yz yz ab c yz Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành xy z 3 x y z 9 11 1 yz zx x y 2 y z z x x y 2 11 1 9 xy z yz z x x y 2 Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 6.27: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 333 22 2 2a 2b c 2b 2c a 2c 2a b 9 ab c ab 4c b c 4a c a 4b 2 Lời giải Đặt x 2a 2b c; y 2b 2c a; z 2c 2a b Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên x;y;z là các số dương. Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 33 3 2 2 2 xy x xyz yz zx x y 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 33 3 22 2 xy z y z x z x y xy z x; y ; z yz 4 y z 4 x y 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 22 2 33 3 22 2 xy x xyyzzx xy z yz zx x y 2 xy x xyyzzx xy z yz z x x y 2 Áp dụng bất đẳng thức 22 2 xy z xy yz zx ta được 33 3 2 2 2 xy x xyz yz zx x y 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Chủ đề 6 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI A. Kiến thức cần nhớ 1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki. Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki. 2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki a. Dạng tổng quát + Cho hai dãy số tùy ý 12 3 n a ; a ; a ; ...; a và 12 3 n b ; b ; b ; ...; b . Khi đó ta có: Dạng 1: 2 22 2 2 2 2 12 n 1 2 n 11 22 nn a a ... a b b ... b a b a b ... a b Dạng 2: 22 2 2 2 2 12 n 1 2 n 11 22 nn a a ... a b b ... b a b a b ... a b - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: 12 n 12 n aa a ... bb b Dạng 3: 22 2 2 2 2 12 n 1 2 n 11 22 nn a a ... a b b ... b a b a b ... a b - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: 12 n 12 n aa a ... 0 bb b Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý 12 n a ; a ; ...; a và 12 n x ; x ; ...; x với 12 n x ; x ; ...; x 0 Khi đó ta có 2 22 2 12 n 12 n 12 n 1 2 n aa... a aa a ... x x x x x ... x - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là: 12 n 12 n aa a ... 0 xx x Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. b. Một số dạng đặc biệt n2 n3 2 22 2 2 ab xy ax by 2 22 2 2 2 2 ab c x y z ay by cz 22 2 2 ab xy ax by 22 2 2 2 2 ab c x y z ay by cz 22 22 ab xy ax by 22 2 2 2 2 ab c x y z ay by cz 2 22 ab ab xy x y x, y 0 2 22 2 ab c ab c xy z x y z x, y 0 Đẳng thức xẩy ra khi ab xy Đẳng thức xẩy ra khi ab c xy z B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số ví dụ sau Ví dụ 1.1: Cho a là số thức dương thỏa mãn mãn a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 Aa a + Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: 2 2 11 A a 2a. 2 a a . Sai lầm 2: 2 2 2 11111 A11a a .42 22a2 a Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 . + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 aa1 a trái với giả thiết a2 + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức 2 22 2 2 ab x y ax by với dấu đẳng thức xẩy ra tại ab xy . Giả sử với các số ; ta có 22 22 22 2 2 2 2 11 1 1 Aa .a . a a aa Ta cần chọn hai số ; sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a2 . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi: a2 4 a1 1 a + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 2 22 22 11 1 1 1 Aa a .4 1 4a 17 17 a aa 1a 1 15a 1 15 17 1 54 a 4 17 2 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 . 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2 . Ví dụ 1.2: Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn ab 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 22 11 Aa b ab + Sai lầm thường gặp: 22 22 11 Aa b 2 2 22 ab Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 22 . + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 22 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 11 ab ab 1 ab Khi đó ab 2 trái với giả thiết ab 4 + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức 22 22 ab x y ax by với dấu đẳng thức xẩy ra tại ab 0 xy . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ; ta có 2222 22 22 22 2222 22 22 22 22 11 1 1 a.a. a a aa 11 1 1 b. b . b b bb 111 Aab ab Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại ab 2 . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi: a1 4 a ab 2 b1 1 b + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 22 22 22 22 22 11 1 1 1 a.a .41 4a a aa 17 17 11 1 1 1 b.b .41 4b b cb 17 17 Khi đó ta được 111 A4ab ab 17 Để ý ta thấy 11 4 ab a b , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được 15 a b 141ab4 A4ab ab 4 a b 4 17 17 1 215 17 17 Dấu đẳng thức xẩy ra a1 4a ab 2 b1 4b Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17. Đẳng thức xẩy ra khi ab 2 . Ví dụ 1.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa ab c 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 11 1 Aa b c bc a + Sai lầm thường gặp: 3 22 2 22 2 11 1 a b c A a b c 2. 2. 2. 3 2 2 3 2 bc a bc a Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 32 . + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 32 thì dấu đẳng thức xẩy ra tại 11 1 ab c a b c 1 ab c Khi đó ab c 3 không thỏa mãn giả thiết ab c 6 + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức 22 22 ab x y ax by với dấu đẳng thức xẩy ra tại ab 0 xy . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ; ta có 2222 22 22 22 2222 22 22 2 2 2222 22 22 22 11 1 1 a.a. a b bb 11 1 1 b. b . b c cc 11 1 1 c.c. c a aa 22 1111 Aabc ab c Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại ab c 2 . Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi: a1 b 4 b1 4 ab c 2 ab bc ca 1 c1 c1 a + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 22 22 22 22 22 22 22 22 11 1 1 1 a.a .41 4a b bb 17 17 11 1 1 1 b.b .41 4b c cc 17 17 11 1 1 1 c.c .41 4c a aa 17 17 Khi đó ta được 1111 A4abc ab c 17 Để ý ta thấy 11 1 9 ab c a b c , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được 15 a b c 191abc9 A4abc ab c 4 ab c 4 17 17 115 3 317 .6 2. 42 2 17 Dấu đẳng thức xẩy ra a1 4b b1 ab c 2 4c c1 4a Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 317 , 2 khi ab c 2 Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b,c thỏa ab c 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 11 1 Aa b c bc c a a b Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ; ta có: 2 22 22 22 22 2 22 2 22 22 11 1 1 aa a bc bc bc 11 bb ca ca 11 cc ab ab 1111 Aabc ab b c c a Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại ab c 2 Do đó ta có sơ đồ điểm rơi a1 b 4 b1 4 ab c 2 ab bc ca 1 c1 c1 a Lời giải 22 22 2 2 22 11 1 1 1 a.a .41 4a bc bc 17 17 b c 11 1 b4b ca 17 c a 11 1 c4c ab ab 41 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1111 A4abc 17 a b b c c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được 19 A4abc 17 a b a b c a 19 4 a b c 17 6 a b c 3 131 1 9 9 a b c a b c 88 17 2 6 a b c 2 6 a b c 131 1 9 9 317 .63abc. . 88 2 17 2 6 a b c 2 6 a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 317 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2 Ví dụ 1.5: Cho các số thực dương a, b,c thỏa a b c 2abc 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 2 22 2 22 22 2 89b ca 8 9c ab 8 9a bc A 24 24 24 ab c Phân tích: Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại ab c 2 . Do đó ta có sơ đồ điểm rơi a1 b 4 b1 4 ab c 2 ab bc ca 1 c1 c1 a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 222 2 222 2 222 2 89b ca 4 218 4. 9b ca 24 a a 89c ab 4 218 4. 9b ca 24 b b 89a bc 4 218 4. 9b ca 24 a c Do đó ta được 14 4 4 A9abcabbcca ab c 24 Hay 44 4 24.A 9 a b c ab bc ca ab c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 44 4 24.A a b c 2a bc2bac2cab 6a bc ab c 44 4 2 .a 2 .b 2 .c 2 2abc 2 2abc 2 2abc 6 a b c ab c 12 6 a b c 2abc 72 Suy ra ta được 72 A66 24 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 66 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2. Ví dụ 1.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 11 1 A4a 4b 4c ab c Phân tích: Trong ví dụ này ta xét biểu thức đại diện 2 2 1 A4a a . Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường: 2 2 11 1 4a 2a a a 2 Đẳng thức xảy ra khi 1 a 2 , khi đó nếu áp dụng tương tự thì không thỏa mãn giả thiết của toán. Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại 2 ab c . 3 Khi đó ta cần chọn một bộ số ; để có đánh giá 2 222 2 22 22 2 2 .2a 11 1 a A4a 2a a a Dấu đẳng thức xẩy ra tại a 2a với 2 a 3 . Từ đó dễ dàng chọn được 8; 9 ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 22 19 11 9 894a 16a 4a 16a aa aa 145 19 11 9 8 9 4b 16b 4b 16b bb bb 145 19 1 1 9 8 9 4c 16c 4c 16c cc cc 145 Từ đó ta được 1 1 1 1 1 81 145 A 16a b c 9 16a b c ab c a b c 2 145 145 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 145 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 ab c . 3 Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3 ab c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 2 2 2 11 1 1 1 1 Aa b c ab b c c a Phân tích: Xét biểu thức 2 22 11 Aa ab . Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp thì ta được 2 22 11 1 1 1 aa ab ab 3 . Khi đó dấu đẳng thức không xẩy ra tại 1 ab c 2 . Từ đó ta chọn các số p, q, r để có đánh giá như sau: 2222 22 22 2 2 22 2 2 2 2 111 Aa pqr ab pq r qr pa 1qr ab ap ab pq r p q r Và đẳng thức xảy ra tại 11 a ab pq r với 2 ab c 3 . Từ đó ta chọn được một bộ số thỏa mãn là 1 p,q r 2 2 . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 22 2 2 222 22 22 2 2 222 22 22 2 2 222 22 1 1 1 a22 1 1 2 a22 22 a a 2a b 2 a b 2ab ab 33 1 1 1 b 22 1 1 2 b 22 22 b b 2b c 2 b c 2bc bc 33 1 1 1 c 22 1 1 2 c 22 22 c c 2ca 2 c 2ca ca 33 a Từ đó ta được 2a b c 1 1 1 2 3 36 333 A4 2abc 4abc 2 33 33 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 333 2 khi 1 ab c 2 . Ví dụ 1.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 a 4b 9c 2015 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pa b c Phân tích và lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 11 1 Pabc am. bn. cp. mn p 11 1 am bn cp mnp Để sử dụng được giả thiết ta 22 2 a4b 9c 1 cần chọn một bộ số m; n; p sao cho hệ sau thỏa mãn 22 2 2 2 2 2 2 2 ma n b pc x 4y 9z m1 am bn cp n2 11 1 p3 mn p Khi đó ta có lời giải như sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 2 22 2 22 2 11 Pabc a.2b. 3c. 2p 11 1 14 a4b 9c 36 12 3 Do đó ta được 14 P 6 hay giá trị nhỏ nhất của P là 14 6 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 2 a4b 9c 1 11 1 a;b ;c a4b 9c 728 63 Ví dụ 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãna2b 3c 14 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 Pa b c Phân tích và lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 2 2 mnk a b c ma nb kc Để áp dụng giả thiết a2b 3c 6 ta cần chọn một bộ số m; n; k thỏa mãn hệ sau m1 ma nb kc a 2b 3c n2 ab c k3 mnk Khi đó ta có lời giải như sau Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta được 2 2 22 2 2 2 2 a2b 3c 114 P.12 3a b c 14 14 14 14 Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 14 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2b 3c 14 a1;b 2;c 3 ab c 12 3 Ví dụ 1.10: Cho a, b, c là các số thực dương sao thỏa mãn 4a 9b 16c 49 . Chứng minh rằng: 12564 49 ab c Phân tích và lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 125 64 ma n b k c m 5n 8k ab c Như vậy ta cần chọn một bộ số m; n; k sao cho hệ sau thỏa mãn 222 m a n b k c 4a 9b 16c 49 nb kc ma 58 Thử một số trường hợp ta chọn được m2;n 5;k 8 , khi đó ta có lời giải như sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 125 64 4a 9b 16c 2 3.5 4.8 49 ab c Hay 2 1 25 64 1 25 64 49 49 49 ab c a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 15 8 13 a;b ;c 2 2a 3b 4c 25 4a 9b 16c 49 Cách 2: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể sử dụng bất đẳng thức Binhacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên chú ý đến giả thiết 4a 9b 16c 49 , ta cần nhân thêm hệ số để khi áp dụng dưới mẫu xuất hiện 4a 9b 16c . Do đó ta có thể chứng minh bài toán trên như sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopcki dạng phân thức ta được 2 2 215 32 1 25 64 4 225 1024 49 49 a b c 4a 9b 16a 4a 9b 16c 49 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 15 8 13 a;b ;c 2 2a 3b 4c 25 4a 9b 16c 49 Ví dụ 1.11: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 14 P ab ab + Sai lầm thường gặp: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 22 22 2 18 18 14 1 8 P18 ab 2ab ab ab ab 2ab ab + Nguyên nhân sai lầm: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab khi đó 22 18 2ab ab . Tức là dấu đẳng thức của bất đẳng thức trên không xẩy ra + Phân tích: Để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, ta chọn một số k sao cho 2 2 2 22 22 1k 1k 1k 2ab ab ab 2ab và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra, tức là thỏa mãn điều kiện 22 1k 2ab ab với ab , do đó ta chọn được k1 . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 22 2 2 11 14 1 1 7 7 7 P4 ab 2ab 2ab 2ab 2ab ab ab ab 2ab Mặt khác ta lại có 2 ab 1 ab 24 Do đó ta được P18 , hay giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 18. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab 2 . Ví dụ 1.12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 19 30 ab ab bc ab c Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta chú ý cộng các mẫu để có thể viết được thành 2 ab c . Để ý là nếu đánh giá 2 2 22 2 2 12 12 12 ab c 2ab bc ca ab c , khi đó đẳng thức không xẩy ra vì 22 2 12 ab c 2ab bc ca Như vậy để có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta làm như sau 2 2 2 22 2 2 1k 1k 1k ab c 2ab bc ca ab c Ta cần chọn k để đẳng thức sau đúng 22 2 1k ab c 2ab bc ca , dễ dàng chọn được giá trị k2 . Đến đây ta có lời giải như sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 2 2 2 19 1 4 7 ab bc ca ab bc ca ab c a b c 2ab bc ca 12 77 9 ab bc ca ab bc ca ab c . Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 7 21 ab bc ca . Tuy nhiên, dễ thấy 2 ab c 1 ab bc ca ab bc ca 33 Do đó ta được 7 21 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 1.13: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 22 2 abc 1 3 5a b c 5b c a 5c a b Phân tích và lời giải Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c , Trước hết ta để ý đến mẫu số có thể phân tích được 2 2222 2 5a b c a b c 2 2a bc . Quan sát bất đẳng thức ta thấy có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi vậy ta cần chọn các số m;n để được bất đẳng thức 22 22 22 22 2222 22 2 2 2 2 mn a m n a ma na ab c ab c 22a bc 22abc 5a b c Đồng thời đẳng thức 22 2 2 mn ab c 22a bc đúng với ab c . Dễ dàng chọn được m1;n 2 Khi đó ta có thể giải được bài toán như sau: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 2 2 22 22222 22 2 2 2 12 a a1 1 a 2a 99 ab c 2abc ab c 22a bc 5a b c Chứng minh tương tự ta được 22 2 2222 2 2 22 2 2222 2 2 b1 b 2b 9ab c 2b ac 5b c a c1 c 2c 9ab c 2c ab 5c a b Do đó ta có 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 abc 5a b c 5b c a 5c a b 12a 2b 2c 1 9 2a bc 2b ca 2c ab Ta cần chứng minh được 22 2 22 2 12a 2b 2c 1 1 93 2a bc 2b ca 2c ab Bất đẳng thức đó tương đương với 22 2 22 2 2a 2b 2c 2 2a bc 2b ca 2c ab Hay 22 2 bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì 2 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab ab bc ca 2abc a b c Như vậy đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Ví dụ 1.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 2 abc b ca c ab Phân tích và lời giải Tương tự như ví dụ trên ta chọn được mn 1 , khi đó áp dụng bất đẳng Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 23 3222 3222 222 aa a 1a a 11 a 44a abc a abc aab c a ab c a b c Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 ab c 1111 1 4a b c abc b ca c ab Ta cần chứng minh 11 1 1 ab c Thật vậy, áp dụng một đánh giá quen thuộc và kết hợp với giả thiết, ta được 22 2 ab c ab bc ca 1 1 1 1 abc abc a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 Ví dụ 1.15: Cho các số thực a, b thỏa mãn 2a b 2 . Chứng minh rằng: 22 22 ab1 a b3 25 Phân tích: Giả sử đẳng thức xẩy ra tại am;b n;2a b 2 . Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các số p, q để có đánh giá như sau 22 2222 22 2 2 11 ab1 p q a b1 paqb1 pq pq Và đánh giá trên xẩy ra dấu bằng tại am;b n;2a b 2 , ta được pq mn 1 từ đó ta có thể chọn pm, q n 1 . Hoàn toàn tương tự với biểu thức 2 2 xy3 ta có thể chọn pm, q n 3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ab1 .ma n1b1 mn1 1 ab3 .ma n3b3 mn3 Từ đó ta được 22 22 22 22 22 2 2 22 22 ab1 a b3 11 ma n 1 b 1 ma n 3 b 3 mn1 m n3 mm n1 n3 ab m n1m n3 m n1m n3 Ta cần chọn m, n sao cho 22 2 2 22 22 22 22 mm n1 n3 2 mn1 m n3 mn1 m n3 2m n 0 m2n2 m2n6 2 m 3 0 mn1 m n3 2 n 2m n 0 3 Khi đó ta được 22 22 12 5 6 5 38 5 ab1 a b3 a b 25 25 25 25 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 a;b 33 Ví dụ 1.16: Cho các số thực a, b tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 a1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 2 6 22 Phân tích: Giả sử đẳng thức xẩy ra tại ab m . Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các số p, q để có đánh giá như sau 22 22 22 22 22 1 a1 b 1 . p q a 1 b 1 pq 1 .p a 1 q b 1 pq Ta cần chọn p, q sao cho đẳng thức xảy ra khi x = y = a nên pq m1 m 1 từ đó ta có thể chọn pm 1;q m 1 . Tương tự với biểu thức 22 a1 b 1 ta có thể chọn pm 1;q m 1 và với biểu thức 22 a2 b 2 ta có thể chọn pq 1 . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 22 22 22 22 22 1 a1 b 1 . m 1 a 1 m 1 b 1 m1 m 1 1 a1 b 1 . m 1 a 1 m 1 b 1 m1 m 1 1 a2 b 2 1.a2 1.b 2 2 Từ đó ta được 22 2 2 2 2 22 a1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 2 2m 1 4 ab 22 2 2m 1 2 m 1 Ta cần chọn m sao cho 2 2m 1 1 0m 23 2m 1 Với giá trị vừa tìm của m ở trên ta được 22 2 2 2 2 a1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 2 6 22 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab 3 2. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng 2 11 2 2 n n ab a b ... a b về đại lượng 22 2 2 2 2 12 n 1 2 n a a ... a b b ... b hoặc ngược lại. Để rõ hơn ta xét một số ví dụ sau Ví dụ 2.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 11 1 9 ab c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 11 1 1 1 1 1 1 1 ab c a. b. c. 9 ab c a b c ab c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 2.2: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng: ab b c c a 6 ab c a b c ab c Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể đưa đưa đại lượng dưới các dấu căn ở vế trái vào trong cùng một căn thức, chú ý chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 ab b c c a ab c a b c ab c ab b c c a 1 1 1 6 ab c a b c ab c Do đó ta được ab b c c a 6 ab c a b c ab c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ab c b c a c a b a b c Phân tích: Để ý là ab c b c a 2b . Do đó ta nghĩ đến việc đưa hai đại lượng dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng 2 22 xy 2x y , ta được 2 ab c b c a 2a b c b c a 4b Do đó ta được ab c b c a 2b , tương tự ta có b c a c ab 2c; c ab a b c 2a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab c b c a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Ví dụ 2.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng: 22 2 ab c ab c 2 bc c a a b Phân tích: Để ý nếu ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 ab c abc bc c a a b 2 Bất đẳng thức trên gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ở đây ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản xem sao. Ta cần đánh giá đại lượng ab c sao cho xuất hiện 22 2 ab c bc c a a b , do đó ta viết ab c thành abc bc c a a b bc c a a b , đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản. Lời giải Ta có abc ab c .b c .c a .ab bc c a a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 22 2 ab c .b c . c a . a b bc c a a b ab c bc c a a b bc c a a b Do đó ta có 22 2 2 ab c ab c 2ab c bc c a a b Suy ra ta được 22 2 ab c ab c 2 bc c a a b Bất đẳng thức được chứng minh.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 2.5: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 22 ab 1. Chứng minh rằng: a1 a b 1 b 2 2 Phân tích: Chú ý đến giả thiết có đại lượng 22 ab và trong bất đẳng thức cần chứng minh cho đại lượng a1 a b 1 b . Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là 22 a 1 a b1b a b 1 a 1b . Đến đây ta chỉ cần đánh giá 22 ab 2a b là xong. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 22 a1 a b 1 b a b 1 a 1 b a b 2 2a b 2 2 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 ab 1 ab 2 ab 2 a1 b 1 11 ab Ví dụ 2.6: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 44 4 44 4 a3b b 3c c 3a ab c 44 4 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy nếu đánh giá từ vế trái sang vế phải của bất đẳng thức thì rất khó khăn, do đó ta tìm cách đánh giá từ vế phải sang vế trái, tức là ta cần chứng minh được bất đẳng thức kiểu 4 a3b ? 4 . Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c nên ta viết được 2 42 a 3b a bbb 4 4 444 , chú ý đến chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là 2 22 22 a b b b 1111 a bbb 4 4 4 4 16 16 16 16 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta đánh giá được 2 22 a3b về 44 a3b , tuy nhiên đánh giá này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ bất đẳng thức Bunhiacopxki. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có 2 2 42 222 2 2 222 2 4 4 4 4 a 3b a b b b 1111 ab b b 4 4 4 4 4 16161616 11 a bbb 1 1 1 1a b b b 16 16 Do đó ta được 4 44 a3b a 3b 44 Hoàn toàn tương tự ta được 44 44 4 4 b3c b 3c c3a c 3a ; 44 4 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 44 4 44 4 a3b b 3c c 3a ab c 44 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 2.7: Cho các số thực a;b;c 0; 1 . Chứng minh rằng: abc 1 a 1 b 1 c 1 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy trong căn thức thứ nhất có chứa nhân tử a và trong căn thức thứ hai lại có chứa nhân tử 1a , để ý là a1 a 1 nên ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để triệt tiêu đi biến a 2 abc 1 a 1 b 1 c a 1 a bc 1b 1c bc 1 b 1 c Khi này ta được abc 1 a 1 b1 c bc 1 b1 c . Không cần quan tâm đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta có bc 1 b 1 c bc 1 b 1 c . Đến ta đây ta lặp lại đánh giá như trên thì bài toán được hoàn tất. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có 2 abc 1 a 1 b 1 c bc 1 b 1 c Do đó ta được abc 1 a 1 b1 c bc 1 b1 c Dễ dàng chứng minh được xy x y x,y 0 . Áp dụng vào bài toán ta được bc 1 b 1 c bc 1 b 1 c Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 bc 1b 1c b 1 b c 1c 1 Hay bc 1b 1c 1 Vậy ta có abc 1 a 1 b 1 c 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 2.8: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 22 2 3a b c a 2 b 2 c 2 . Phân tích: Bất đẳng thức trên có các biến độc lập nhau, do đó nếu đánh giá làm giảm đi số biến thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Ta chú ý đến sự xuất hiện của đại lượng 2 ab c ở vế trái và 2 a2 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Sự xuất hiện này làm cho ta suy nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá đại lượng 2 ab c làm sao cho xuất hiện đại lượng 2 a2 . Như vậy ta sẽ có đánh giá sau 2 2 2 2 bc bc ab c a.1 2. a 2 1 22 Ta quy bài toán về chứng minh 2 22 bc 31 b 2 c 2 2 . Bất đẳng thức này chỉ có hai biến và có thể chứng minh được bằng phép biến đổi tương đương. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng 2 22 2 2 ab x y ax by ta được 2 2 2 2 bc bc ab c a.1 2. a 2 1 22 Bài toán đưa về chứng minh 2 22 bc 31 b 2 c 2 2 Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 2 2 bc bc 1 0 2 Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bc 2 aabc1 bc bc 1 Nh ận xét: B ất đẳng th ức này còn đư ợc ch ứng minh b ằng cách s ử d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki k ết h ơp v ới nguyên lý Dirichlet nh ư sau: Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba s ố a, b, c luôn t ồn t ại hai s ố cùng không l ớn h ơn 1 ho ặc không nh ỏ h ơn 1. Không m ất tính t ổng quát ta gi ả s ử hai s ố đó là b và c, khi đó ta được 22 11 0 bc . Áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ta được 22 222 .1 1. 1. 2 1 ab c a b c a b c Bài toán quy v ề ch ứng minh 22 2 2 31 2 2 bc b c Bi ến đổi t ương đư ơng b ất đẳng th ức trên ta thu được 22 11 0 bc . Bất đẳng th ức cu ối cùng đúng theo gi ả s ử trên. V ậy bài toán đư ợc ch ứng minh. Ví dụ 2.9: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 22 2 ab bc ca 1 a 1b 1c 1 Phân tích: Tương tự như trên, ta chú ý đến sự xuất hiện đại lượng 2 ab bc ca 1 ở vế trái và 2 a1 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Ta cần đánh giá đại lượng 2 ab bc ca 1 làm sao cho xuất hiện đại lượng 2 a1 . Để thực hiến được đánh giá đó ta để ý đến phép biến đổi 2 2 ab bc ca 1 a.b c 1.bc 1 . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 222 2 ab bc ca 1 a. b c bc 1 a 1 b c bc 1 Bài toán quy về chứng minh 22 22 bc bc 1 b 1 c 1 Đây là một đẳng thức đúng vì 22 22 bc bc 1 b 1 c 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 1 b c a b c abc Ví dụ 2.10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn 22 22 a1 b 1 c 1 d 1 16 . Chứng minh rằng: 3 ab ac adbcbdcd abcd 5 Phân tích: Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 2 ab ac ad bc bd cd abcd 1 16 Quan sát giả thiết ta viết bất đẳng thức cần chứng minh được thành 2 22 22 ab ac ad bc bd cd abcd 1 a 1 b 1 c 1 d 1 Đến đây ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki với cách áp dụng như các ví dụ trên. Lời giải Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau 4 ab ac adbcbdcd abcd 1 4 Hay 2 ab ac ad bc bd cd abcd 1 16 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 22 2 ab ac ad bc bd cd abcd 1 ab cd bcd 1.bcbd cd 1 a 1 b c d bcd bc bd cd 1 Bài toán đưa về chứng minh 22 22 2 b c d bcd bc bd cd 1 b 1 c 1 d 1 Đây là một bất đẳng thức đúng vì 22 22 2 b c d bcd bc bd cd 1 b 1 c 1 d 1 Ví dụ 2.11: Cho các số thực a, b, c > 1 thỏa mãn 11 1 2 ab c . Chứng minh rằng: a1 b 1 c 1 a b c Phân tích: Sự xuất hiện đại lượng a1 b 1 c 1 cùng với chiều của bất đẳng thức cần chứng minh là cơ sở để ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Tuy nhiên ta cần đánh giá làm sao để xuất hiện 1 a . Để ý ta có 1 a1 a.1 a và với sự xuất hiện của đại lượng ab c thì nhận định trên càng có cơ sở. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 a. b. c. ab c a1 b 1 c 1 ab c ab b 11 1 ab c 3 ab c Do đó ta được a1 b 1 c 1 a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 22 2 11 1 1 3 ab c ab c a1 b 1 c 1 2 ab c Ví dụ 2.12: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 9 4a b c bc c a a b Phân tích: Các đại lượng trong bất đẳng thức có dạng phân thức nên điều đầu tiên ta nghĩ đến là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tuy nhiên do bậc ở mẫu lớn hơn trên tử nên việc đánh giá sẽ khó khăn hơn. Do đó ta tính đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản, nhưng để dễ đánh giá hơn ta viết bất đẳng thức lại thành 22 2 ab c 9 ab c 4 bc c a a b Đến đây áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 ab c a b c ab c bc c a a b bc c a a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab c 9 ab c 3 bc c a a b 4 b c c a a b 2 Đánh giá cuối cùng chính là bất đẳng thức Neibiz. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta có 22 2 222 22 2 2 ab c ab c bc c a a b ab c ab c bc c a a c ab c bc c a a b Dễ dàng chứng minh được ab c 3 bc c a a b 2 Do đó ta có 22 2 ab c 9 ab c 4 bc c a a b Hay 22 2 ab c 9 4a b c bc c a a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 2.13: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 abc 9 bc a c a b a b c 2ab bc ca Phân tích: Tương tự như ví dụ trên ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 ab c 9 ab bc ca 2 bc a c a b a b c Ta thấy ab c b c a c a b ab bc ca 2 và 2 cc ab c . a ab c Đến đấy ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như lời giải sau đây Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 ab c 9 ab bc ca 2 bc a c a b a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 22 2 bc a c a b a b c ab c 2 bc a c a b a b c ab c a bc a b ca b c 11abc 22bca bc a c a b a b c Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có ab c 3 bc a . Do đó ta được 22 2 ab c 9 ab bc ca 2 bc a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 2.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 1 ab 2c b c 2a c a 2b 2 Phân tích: Chú ý đến giả thiết và chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là 2 4a b 2c 1 1 2 a b 2c a b 2 c . Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 4a b 2c 1 1 2 a b 2c a b 2 c Kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được ab 2 ab 2 ab 1 ab ab ab 2c 2 ab2c ac b c 4a b 2c Áp dụng tương tự ta có bc 1 bc bc bc 2a 2 ab ac ca 1 ca ca ca 2b 2 ab b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca 1 1 ab c ab 2c b c 2a c a 2b 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 9 . Cách 2: Đặt xa;y b;z c . Từ giả thiết ta suy ra xy z 1 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 2 2 2 2 2 2 xy yz zx 1 2 xy 2z y z 2x z x 2y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 2 2 4 x y 2z 1 1 2 x y 2z x y 2z Do đó ta có 22 2 22 2 xy 2xy 2xy 1 xy xy xy 2z 2 x z y z xy 2z 4x y 2z Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 yz 1 yz yz zx 1 zx zx ; 2x y x z 2 x y y z y z 2x z x 2y Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 xy yz zx x y z 1 22 x y 2z y z 2x z x 2y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 9 . Ví dụ 2.15: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 33 3 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ab c 1 ab c 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b Phân tích: Để ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacoxki là 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2a b 2a c aa b a c a aab ac a a b c Lời giải Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2a b 2a c aa b a c a aab ac a a b c Do đó 3 2 22 2 2 aa 2a b 2a c ab c , chứng minh tương tự ta được 33 22 2 2 22 22 2 2 bb c c ; 2b c 2b a 2c a 2c b ab c a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ab c 1 ab c 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Ví dụ 2.16: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 22 2 abc a b c ab bc ca 1abc 1ab 1 bc 1 ca Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 33 3 2 2 2 2 22 2 33 3 2 2 2 2 22 2 33 3 22 2 ab bc ca 1 ab 1 bc 1 ca ab c ab bc ca 1ab 1 bc 1 ca ab bc ca c abc a abc b ca b ab c abc abc abc 1ab 1 bc 1 ca ab bc ca abc 1 ab c a b abc 1ab 1 bc 1 ca 2 33 3 22 2 c abc a b c ab bc ca 1abc 1ab 1 bc 1 ca Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy khi và chỉ khi ab c Ví dụ 2.17: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 22 2 ab c 2 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c abc 22 Phân tích và lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 2 33 3 ab c abc 8 . Quan sát giả thiết và chiều bất đẳng thức cần chứng minh ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Bất đẳng thức không xẩy ra dấu đẳng thức tại ab c mà lại xảy ra tại ab 0;c 2 . Do đó ta có đánh giá bất đẳng thức trên theo hướng giảm biến. Vì vai trò của a, b, c như nhau nên ta giả sử c là số lớn nhất, khi đó ta có đánh giá 22 22 2 ab ab c 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 33 3 3 3 2 2 2 22 2 2 22 2 4 22 2 ab c abc ab cc ab ab c a ab b c ab ab c 2ab2c 2ab 4 4c 4ab Đến đấy ta đặt tab , do đó ta có 22 22 2 ab ab c tab 1 22 Khi đó ta được 2 33 3 2 2 2 2 ab c abc 4t 1 t 2t 2 c c 2 4t 1t 2t 2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 4t 1 t 2t 2 8 Hay 22 t1 t 2t 2 2 t t 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab 0;c 2 và các hoán vị của nó. Ví dụ 2.18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 43 2 4 3 2 4 3 2 111 1 ab c b c a c a b Phân tích: Để ý đến đánh giá 2 43 2 2 2 2 2 ab c 1 b c a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 43 2 2 2 2 2 ab c 1 b c a b c Do đó ta có 22 43 2 2 43 2 2 22 2 11bc 1bc ab c ab c 1 b c ab c Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 43 2 4 3 2 4 3 2 2 22 2 111 3abcabc ab c b c a c a b ab c Ta cần chứng minh 22 2 2 22 2 3a b c a b c 1 ab c Hay 2 22 2 2 2 2 ab c 3 a b c a b c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 3 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 a b c a bc a b c 3abca bc 3a bc Mà 2 3 22 2 2 2 2 222 ab c ab c a b c;a b c 3abc 3 3 Do đó 22 2 2 2 2 3a b c a b c a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 2.19: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 32 3 2 3 2 abc 1 ab c b c a c a b Phân tích: Để ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau 2 32 1 ab c 1 c a b c a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 32 1 ab c 1 c a b c a Do đó ta được 32 2 32 11 a1c a 1c aa aaca1 9 ab c 1 ab c ab c 1 c a Chứng minh tương tự ta được 32 3 2 babb1 c cbc1 ; 99 bc a c a b Do đó ta có bất đẳng thức 32 3 2 3 2 a b c abbcca a bc3 9 ab c b c a c a b Ta cần chứng minh ab bc ca 6 1 9 hay ab bc ca 3 Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 ab c ab bc ca 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 2.20: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3a 4b 5c P bc c a a b Phân tích: Quan sát biểu thức ta thấy có thể viết biểu thức về dạng 34 5 P12 a b c bc c a a b Yêu cầu của bài toán cùng với cách phát biểu của biểu thức làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiapcopxki Lời giải Biến đổi biểu thức P ta được 34 5 P12 a b c bc c a a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 13451 b c c a ab 32 5 2bccaab2 Nên 2 1 P32 5 12 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 1 32 5 12 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bc c a a b 2 35 . Ví dụ 2.21: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3c b 4 a c 5b a T 2b a b 2c c 2a Lời giải Biến đổi biểu thức ta có 3c b 4 a c 5b a T12 3 4 5 2b a b 2c c 2a 3a bc 4a bc 5a bc a2b b 2c c 2a 34 5 ab c a2b b 2c c 2a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 13451 a2b b 2c c 2a 3 2 5 3a2bb2cc2a3 Do đó ta được 2 1 T325 12 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là 2 1 32 5 12 3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bc c a a b 2 35 Ví dụ 2.22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác và x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng: 22 2 ax by cz xy yz zx bc a c a b a b c Phân tích: Để ý là 2 22 ab cx ax x bc a 2 2b c a , do đó ta thêm vào hai vế cùng một đại lượng 22 2 xy z 2 và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Lời giải Đặt 22 2 ax by cz T bc a c a b a b c . Khi đó ta có 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 xy z ax x by y cz z T 2bca2 cab2 abc2 1x y z ab c 2bcacababc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 1x y z 1 ab c x y z 2bcacababc2 Do đó ta được 22 2 2 xy z 1 Txyz 22 Suy ra 22 2 ax by cz xy yz zx bc a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c xy z Ví dụ 2.23: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2a 2b 2c 3 ab b c c a Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là khử căn bậc hai bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2a 2b 2c 2a 2b 2c 3 ab b c c a ab b c c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2a 2b 2c 3 ab b c c a Tuy nhiên đánh giá trên lại là một đánh giá ngược chiều. Để ý ta thấy bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức hoán vị, có một kinh nghiệm khi chứng minh bất đẳng thức đó là nếu ta biến đổi từ bất đẳng thức hoán vị về thành bất đẳng thức đỗi xứng thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Với kinh nghiệm đó ta thử biến đổi bất đẳng thức về dạng đối xứng xem sao. Quan sát đại lượng vế trái ta có thể đối xứng hóa như sau 2a a c 2b a b 2c b c 2a 2b 2c ab b c c a ab ac b c b a c a b c Đến đây ta có thể khử căn bất đẳng thức trên bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau 2aac 2bab 2cb c a b a c bc b a c a bc 2a 2b 2c 2a 2b 2c a b a c bc b a c a bc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2a 2b 2c 2a 2b 2c 3 a b a c bc b a c a bc Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 8a b c ab bc ca 9 a b b c c a Tiếp tục biến đổi tương đương ta được ab b c c a 8abc Đây là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 2.24: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab 2c 3 a b 2c b c 2a c a 2b 2 Phân tích và lời giải Ta đối xứng hóa bất đẳng thức trên thành a a 2b c b a b 2c c b c 2a 3 2 a b 2c a 2bc bc 2a a b 2c c a 2b bc 2a Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 4a b c 3ab3bc 3ca a bc A a b 2c b c 2a c a 2b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 16 a b c 3ab 3bc 3ca a b c 9 a b 2c b c 2a c a 2b Biên đổi tương đương ta được 33 3 2a b c ab a b bc b c ca c a Theo bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 ab c 3abc . Do đó ta cần chứng minh được 33 3 ab c 3abc aba b bcb c cac a Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được abc a b c b c a c a b Đây là một đánh giá đúng quen thuộc. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . 3. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó giải quyết được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức. Ví dụ 3.1: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab c abc bc c a a b 2 Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 22 2 ab c a b c ab c abc bc c a a b 2 ab c a ab 2a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 3.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 a2bc b 2ca c 2ab Phân tích: Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 22 2 ab c ab c 1 a2bc b 2ca c 2ab a b c 2 ab bc ac Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Nh ận xét: N ếu ta thay các bi ến a, b, c t ương ứng b ởi 11 1 ,, ab c thì ta thu được b ất đẳng th ức 22 2 1 22 2 bc ca ca bc a ca b ca b Để ý ta l ại th ấy 2 22 2 1 22 bc a bc a bc a , khi đó ta đư ợc b ất đẳng th ức 22 2 22 2 1 22 2 ab c bc a ca b ca b Ví dụ 3.3: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab c 1 2b c 2c a 2a b Phân tích: Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như thế mà áp dụng thì không được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp. Để ý là 22 2 ab c a b c 2b c 2c a 2a b a2b c b 2c a c 2a b . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c a b c 2b c 2c a 2a b a2b c b 2c a c 2a b 3 ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab c 3ab bc ca Tuy nhiên đánh giá trên ta một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi khi và chỉ khi ab c Ví dụ 3.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 222 ab c abc a2b b 2c c 2a 3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 33 3 2 ab c ab c a2b b 2c c 2a ab c Ta lại có 2 22 2 1 ab c a b c 3 Do đó ta được 33 3 222 ab c abc a2b b 2c c 2a 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 3.5: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 44 4 22 2 abc a b c ab c 1abc 1ab 1 bc 1 ca Phân tích: Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể nghĩ đến việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 22 2 44 4 22 2 2 22 ab c ab c 1 a b 1 bc 1 ca 3 a b bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 ab c abc a b c 1abc 3ab bc ca Nhưng thực sự bất ngờ khi cách áp dụng như thế này lại không giúp ta giải quyết được bài toán vì đánh giá trên là một đánh giá không đúng. Nên buộc ta phải tìm hướng giải quyết khác Để ý ta thấy 22 2 c1 ab a 1 bc b1 ca 1 abc a b c . Khi đó ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 42 2 4 2 2 22 2 22 2 22 22 2 2 2 2 22 2 ab c ac ba cb 1ab 1 bc 1 ca c1 ab a 1 bc b 1 ca acb a c b acb a c b 1abc a b c c1 ab a 1 bc b1 ca Khi đó ta cần chứng minh được 22 2 22 2 ab c acb a c b abca b c a b c ab ca bc Theo bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 2 2 ab c ab c a b c ab c a b bc c a a b bc c a ab ca bc 22 2 2 2 2 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 3.6: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 bc c a a b 3 bc ab c c a bc a a b ca b Phân tích: Bất đẳng thức có tử là các lũy thừa bậc hai, tuy nhiên ta không thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như các ví dụ trên vì ta sẽ thu được bất đẳng thức ngược chiều. Để ý ta thấy có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức kiểu 2 22 22 bc bc xy bc ab c Ta cần xác định được x và y sao cho tổng của chúng là 22 bc ab c và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra. Xét đến vai trò đối xứng của b và c trong biểu thức ta có thể xác định được 22 xb ab;y c ac , khi đó ta được 2 22 22 22 bc bc b c ab c a bab c ca bc ab c Đến đây ta có thể giải được bài toán trên. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 22 22 bc bc bc b c ab c a b c ab c bab cc a bab cc a Áp dụng tương tự ta được 22 22 2 2 ca a b ca a b ; bc a b c a bc ca bc a a b ca b Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: 22 2 22 2 2 2 2 bc c a a b 3 bc ab c c a bc a a b ca b Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 3.7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 2 2 2 111 1 2 4a bc a 4bc a b 4c Phân tích: Sự xuất hiện biểu thức 22 2 1 4a b c và chiều của bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức với cách đánh giá tương tự như ví dụ trên. Như vậy ta cần viết 22 2 1 4a b c về dạng 2 AB C xy z , ta cần xác định được các đai lượng AB C;x y z với 22 2 xy z 4a b c . Để ý đến giả thiết ab c 3 khi đó 2 ab c 9 , do đó ta có thể định được AB C theo phép biến đổi 2 22 2 22 2 2 2 ab c 11 . 9 4a b c 2a a b c a . Đến đây ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là 2 22 2 22 2 2 2 22 2 2 2 ab c 1a b c 9 2a a b c a 2a a b c a Đến đây ta có thể trình bày lời giải cho bài toán như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 22 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 ab c 11 1a b c . 99 4a b c 2a a b c a 2a a b c a Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 22 11b a c 9 a 4bc 2b a b bc 11c a b 9 ab 4c 2c ac b c Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 111 1 2 4a bc a 4bc a b 4c Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 3.8: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 bc c a a b 1 1 1 ab c abc b ca c ab Phân tích: Để ý đến biến đổi và đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau 22 22 2 222222222 bc bc bc b c abc abc b c cab bc a cab bc a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki dạng phân thức ta có 22 22 2 222222222 bc bc bc b c abc abc b c cab bc a cab bc a Áp dụng tương tự ta được , 22 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 ca c a a b a b ; bca c ab ab c c a b b c a a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 bc c a a b 1 1 1 ab c abc b ca c ab Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: N ếu ta thay các bi ến a, b, c t ương ứng b ởi 11 1 ,, ab c thì ta thu được b ất đẳng th ức 22 2 222 ab c b c a c a b ab c bc a ca b ca b Để ý ta l ại th ấy 2 22 ab c bcb c bc bc a bc a , khi đó ta được b ất đẳng th ức 22 2 bc b c ca c a ab a b abc bc a ca b ca b Ví dụ 3.9: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 3 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b Phân tích: Để ý ta có phép biến đổi 2 2a b 2a c 2a a b c 2a bc khi đó ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau 2 2 114 1 9 2a bc 2a a b c 2a a b c 2a bc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 2 2 22 2 22 a2 1 a1 . 9 2a b 2a c 2a a b c 2a bc 14a a 1 2a a 99abc 2a bc 2a bc 2a a b c Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 b12b b 9a b c 2b ca 2b c 2b a c12c c 9a b c 2c ab 2c a 2c b Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được 22 2 ab c 1 3 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 bc ca ab 3 4 a1 b 1 c 1 Phân tích: Để ý ta có phép biến đổi 2222 a1 2a b c và theo bất đẳng thức Cauchy ta được 2 bc ab 4 . Khi đó ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau 2 22 22222 22 2 bc bc 1 b c 4 a1 a b c a 42a b c Áp dụng tương tự ta có lời giải như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopki dạng phân thức ta được 2 22 22222 22 2 bc bc 1 b c 4 a1 a b c a 42a b c Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 222222 2222 ca 1 c a ab 1 a b ; 44 b1 b c a b c 1 c a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức tên ta được 22 2 bc ca ab 3 4 a1 b 1 c 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 3.11: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 6 a2b c b 2c a c 2a b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến đánh giá các mẫu bằng bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên ở đây ta phân tích xem có sử dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá bất đẳng thức hay không? Bất đẳng thức có chứa căn và nếu ta làm mất được dấu căn thì tốt quá. Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá sau 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a a2b c b 2c a c 2a b 3a b 3b c 3c a 3 a2b c b 2c a c 2a b Như vậy ta cần chứng minh được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 12 a2b c b 2c a c 2a b Các phân thức ở vế trái bất đẳng thức trên có các tử là các bình phương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki dạng phân thức như các ví dụ trên, Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a a2b c b 2c a c 2a b 3a b 3b c 3c a 3 a2b c b 2c a c 2a b Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 32 3 2 2 2 2 22 2 2 22 3a b 9a b 9a 1 a 2b c ab c b ab c Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a a2b c b 2c a c 2a b 9a 9b 9c 312 a b c b ca ca b Do đó 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 3.12 36 a2b c b 2c a c 2a b Hay 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 6 a2b c b 2c a c 2a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Ví dụ 3.12: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: abc 1 3a b c 3b c a 3c a b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 2 22 2 ab c ab c 3a b c 3b c a 3c a b 3a b c Ta cần chứng minh được 2 2 22 2 22 2 ab c 1abc 3a b c 3a b c , tuy nhiên đây lại là một đánh giá sai. Do đó ta không thể áp dụng trực tiếp được. Ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trước rồi mới nghĩ đến áp dụng. Chú ý đến giả thiết cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Như vậy có thể bất đẳng thức sẽ liên quan đến các đại lượng ab c;b c a;c a b , ta thử biến đổi các đại lượng xem có thể tạo ra các đại lượng ab c;b c a;c a b không Để ý là 4a 3a b c a b c khi đó ta được 3a b c a b c 4a a b c 1 3a b c 3a b c 3a b c Đến đây ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4a 4b 4c 4 3a b c 3b c a 3c a b Ta có biến đổi sau 3a b c a b c 4a a b c 1 3a b c 3a b c 3a b c Áp dụng tương tự ta được 4b b c a 4c c a b 1; 1 3b c a 3b c a 3c a b 3c a b Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ab c b c a c a b 1 3a b c 3b c a 3c a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 22 2 ab c b c a c a b 3a b c 3b c a 3c a b ab c b c a c a b a b c 3a b c b ca 3b c a c a b 3ca b ab c 1 a b c 2ab 2bc 2ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: Ta có th ể s ử d ụng phép đổi bi ến để ch ứng minh b ất đẳng th ức 1 333 ab c b c a c a b ab c b c a c a b Đặt ;; x a bcy c a bz a bc Khi đó ta được 2;2 ;2 ay z b z x c x y Khi đó b ất đẳng th ức c ần ch ứng minh tr ở thành 1 22 2 xy z zx x y y z Áp dung b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức ta được 2 22 2 1 22 2 2 xy z xy z zx x y y z xy z xy yz zx V ậy b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Đẳng th ức x ẩy ra khi và ch ỉ khi ab c . Ví dụ 3.13: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 222 22 2 ab c abc ab bc ca bbc c cca a a ab b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được 222 22 2 22 2 222 22 2 2 22 2 2 2 2 ab c bbc c cca a a ab b ab c ab abc ac bc bca a b a c abc b c ab c ab ab ac ac bc bc 3abc Ta cần chứng minh 2 22 2 2 2 2 ab c ab c ab bc ca ab ab ac ac bc bc 3abc Hay 22 2 2 2 2 a b c abbcca ab ab ac ac bcbc 3abc Đẳng thức trên đúng với mọi a, b, c. Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.14: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 222 22 2222 ab c abc aab b b bc c c ca a a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được 222 22 2 22 3 32 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 32 22 2 2 2 ab c aab b b bc c c ca a ab c aab ab b bc bc c ca ac ab c ab c ab ab ac ac bc bc Ta cần chứng minh 2 33 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab c ab c ab c ab ab ac ac bc bc a b c Hay 22 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ab c a b c a b c ab ab ac ac bc bc Bất đẳng thức trên đúng với mọi a, b, c. Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.15: Cho a, b là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng: 22 22 2 2 4 32 a b 11 1 ab a b ab Bài làm Ta có 2 22 22 22 2 2 22 2 2 22 2 2 ab 11 4 4ab ab a b ab a b ab a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta đươc 22 4 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 ab ab 2ab ab 4a b ab a b ab a b 2a b a b 2ab a b Ta cần chứng minh 4 22 4 22 2 2 32 a b ab 2a b a b ab Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 8 22 2 2 ab 64ab a b hay 4 22 a b 8ab a b Triển khai và thu gọn ta được 4 ab 0 . Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số thực a, b. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab . Ví dụ 3.16: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 a 8bc b 8ca c 8ab Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên để áp dụng được ta cần viết các tử số về dạng bình phương. Khi đó ta được 2 22 2 2 2 2 ab c ab c a 8bc b8ca c8ab aa 8bc bb8ca cc 8ab Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 ab c 1 a a 8bc b b 8ca c c 8ab Bất đẳng thức trên có mẫu số chứa các căn bậc hai nên ta nghĩ đến đánh giá đưa các đại lượng trong các dấu căn về cùng trong một dấu căn. Để đến đại lượng trên tử số ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau 22 2 33 3 33 3 a a 8bc b b 8ca c c 8ab a a 8abc b b 8abc c c 8abc a b c a b c 24abc Đến đây ta chỉ cần chứng minh được 3 33 3 a b c a b c 24abc là bài toán được giải quyết xong. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 2 2 ab c ab c a 8bc b8ca c8ab aa 8bc bb8ca cc 8ab Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 3 3 3 33 3 a a 8bc b b 8ca c c 8ab a a 8abc b b 8abc c c 8abc a b c a b c 24abc Do đó 2 22 2 33 3 3 33 3 ab c ab c a8bc b 8ca c 8ab a b c a b c 24abc ab c ab c 24abc Ta cần chứng minh 3 33 3 a b c a b c 24abc , bất đẳng thức này tương đương với a b b c c a 8abc . Đây là bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Ví dụ 3.17: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 2 a3bc b 3ca c 3ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 2 2 ab c ab c a 3bc b 3ca c 3ab a a 3bc b b 3ca c c 3ab Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 33 3 33 3 aa 3bc b b 3ca c c 3ab a a 3abc b b 3abc c c 3abc ab c a b c 9abc Do vậy ta được 2 22 2 33 3 ab c ab c a3bc b 3ca c 3ab ab c a b c 9abc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 33 3 ab c 3 2 ab c a b c 9abc 3 33 3 ab c 9 4 ab c 9abc Thực hiện biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 33 3 12 ab a b bc b c ca c a 5 a b c 57abc Theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 33 3 ab c 3abc Do đó 33 3 3 3 3 6a bc 9abc 5a bc 57abc Như vậy ta cần chứng minh 33 3 2ab a b bc b c cac a a b c 9abc Hay 2 3a bc bc b c a a b a c 0 Do a, b, c có tính đối xứng, nên không mất tính tổng quát ta chọn a lớn nhất, khi đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Ví dụ 3.18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: ab c ab c bc a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca abbcca Ta cần chứng minh 2 ab c ab c ab b c c a Hay ab c a b bc ca Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 ab b c c a a. ab b. bc c. ca a b c ab bc ca Hay ab b c c a a b c ab bc ca Ta cần chứng minh a b c abbcca a bc Hay ta cần chứng minh 22 ab bc ca a b c ab bc ca a b c Mà ta có 2 ab c 3ab bc ca , như vậy phép chứng minh sẽ hoàn ta nếu ta chỉ ra được ab bc ca 3 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 22 2 ab bc ca a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Ví dụ 3.19: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 ab c ab c 33a b c bc a Phân tích: Theo bất đẳng thức Buniacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca Khi đó ta có 3 ab c ab c ab c bc a ab bc ca và phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 3 22 2 ab c 33 a b c ab bc ca . Việc chứng minh bất đẳng thức trên hoàn toàn dễ dàng. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca Do đó 3 ab c ab c ab c bc a ab bc ca Ta cần chứng minh 3 3 22 2 2 2 2 ab c 33ab c a b c 3ab bc ca 3ab c ab bc ca Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 2 22 2 3 a b c a b c ab bc ca ab bc ca 3a b c ab bc ca Lũy thừa bậc ba hai vế ta được 62 22 2 ab c 27a b c ab bc ca Lấy căn bậc hai hai vế bất đẳng thức trên ta được 3 22 2 ab c 3ab bc ca 3a b c Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Ví dụ 3.20: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c ab c 23a b c bc a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 ab c a b c ab c 2 ab c bc a b c a Ta cần chứng minh 22 2 22 2 ab c ab c 3a b c bc a Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 2 2 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca Ta cần chỉ ra được 2 22 2 22 2 22 2 ab c a b c 3a b c ab bc ca hay 22 2 2 2 2 a b c a bc 3abbc ca Tức là ta cần chứng minh 32 3 2 3 2 22 2 aab b bc c ca 2ab bc ca Đánh giá trên đây đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.21: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 22 2 ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 bc c a a b 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c ab c bc c a a b ab c b c a c a b 1 ab c b c a c a b Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 2 22 2 2 2 2 22 22 3 22 2 11 ab c 2ab c 2ab c b c 22 12a 2b 2c 2 23 33 Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 2 ab c b c a c a b 3 Do đó ta được 22 2 2 2 2 13 2 ab c b c a c a b Từ đó suy ra 22 2 ab c 3 bc c a a b 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 3 . Ví dụ 3.22: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 9 2a b c a1 b 1 c 1 Phân tích: Để ý ta thấy 222 22 2 2 2 2 11 1 ab c a 1 b1 b1 ab c bc ca ab a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 2 2 2 ab c 3bc ca ab ;3 2 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 222 11 1 9 ab c 2 a 1 b1 b1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 ab c 3a 3b 3c 2a b c a 2b c a b 2c a1 b 1 c 1 Mặt khác ta lại có 22 2 22 2 2 2 2 2 3a 3 a a 4 2a b c ab ac , áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a 3b 3c 3 2 2a bc a 2bc a b 2c Do đó 22 2 ab c 3 2 a1 b 1 c 1 (1) Áp tương tự như trên ta được 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 3b c 3 c a 3 a b bc c a a b 2a b c a 2b c a b 2c a1 b 1 c 1 Dễ dàng chứng minh được 2 22 22 2 2 2 2 2 3b c bc 3 2a b c a b a c Tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3b c 3 c a 3 a b 3 2a b c a 2b c a b 2c Hay 22 2 bc c a a b 3 a1 b 1 c 1 (2) Công theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được 222 11 1 9 ab c 2 a 1 b1 b1 Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Ví dụ 3.23: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 3 3 ab c abc 11 1 1 ab b c c a ab b c c a abc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 2 22 2 11 1 c a b ab b c c a ca b a b c b c a ab c ca b a b c b c a Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 3 2 2 3 22 2 ab c 1 ca b a b c b c a 2abc abc ab c 2abc ca b a b c b c a 22 33 22 2 ab c abc ab c abc ca b a b c bc a 2abc a b b cc a Do đó ta được 3 3 ab c abc 11 1 1 ab b c c a ab b c c a abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Ví dụ 3.24: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãnab c 1 . Chứng minh rằng: 1 a 1b 1c a b c 2 bc c a a b b c a Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 1 a 1b 1c a b c 2a 2b 2c a b c 232 bc c a a b b c a b c c a a b b c a aa b b c c 3 ac bc ab 3 bb c c a c a a b 2 2 bb c a a b cc a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 ac bc ab bb c a a b cc a ac bc ab ab bc ca abc b c abc a b abc c a 2abc a b c Ta cần chứng minh 2 ab bc ca 3 2 2abc a b c Hay 2 ab bc ca 3abc a b c Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 3.25: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c abc 2a bc 2b ca 2c ab Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 222 2 22 2 22 11 1 1 2a bc b c 2ab c c a 2abc a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và chú ý một bất đẳng thức quen thuộc 2 2 2 ab c ab bc ca 9 3 Ta có 222 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 11 1 2a bc b c 2ab c c a 2abc a b 99 1 ab bc bc 2abc a b c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.26: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: ab c ab c 6 bc a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca Do đó ta được 2 ab c ab c ab c a b c bc a ab bc ca Ta cần chứng minh 2 ab c ab c 6 ab bc ca Thật vậy, từ giả thiết ta có 2 2 22 2 ab c a b c ab c 3 ab bc ca 22 Đặt ta b c 0 t 3 . Khi đó ta được bất đẳng thức sau 2 2 22 2 2 2t t6 2t tt 3 6t 3 t 3 t 2 0 t3 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t0 . Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.27: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 33 3 ab c 1 b8 c8 a 8 Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , do đó ta chú ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy là 2 32 bb 6 b8 b 2 b 2b 4 2 . Khi đó hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 22 2 33 3 ab c 2a 2b 2c bb 6 c c 6 a a 6 b8 c8 a 8 Ta cần chỉ ra được 22 2 22 2 ab c 1 2 bb 6 c c 6 a a 6 . Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho đánh giá trên. Lời giải Áp dụng bấy đẳng thức Cauchy ta có 2 32 bb 6 b8 b 2 b 2b 4 2 Tương tự ta có 22 33 aa 6 c c 6 a2 ;c 2 22 Khi đó ta được bất đẳng thức sau 22 2 2 2 2 22 2 33 3 ab c 2a 2b 2c bb 6 c c 6 a a 6 b8 c8 a 8 Ta cần chứng minh 22 2 22 2 ab c 1 2 bb 6 c c 6 a a 6 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 22 2 ab c ab c bb 6 c c 6 a a 6 ab c a b c 18 Ta cần chỉ ra được 2 22 2 ab c 1 2 ab c a b c 18 Hay 2 22 2 2a bc a b c a bc 18 Hay 2 ab c a b c 12 0 Hay ab c 4 ab c 3 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì từ ab bc ca 3 ta có 2 ab c 3ab bc ca 9 a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Ví dụ 3.28: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki a được 2 22 2 ab c ab c 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab 32ab bc ca Để ý ta thấy 22 2 ab c 3 nên ta có 2 32ab bc ca a b c Suy ra 2 ab c 1 32ab bc ca Do đó ta được 22 2 ab c 1 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 3.29: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 7 4a 3 4b 3 4c 3 Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ đầu tiên là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 22 2 22 2 11 1 9 4a 3 4b 3 4c 3 4a b c 9 Phép toán sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 93 ab c 3 7 4a b c 9 Tuy nhiên đánh giá trên không đúng. Do vậy ta phải tìm hướng giải khác cho bài toán trên. Để ý bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là 22 2 22 2 aa c 3 7 4a 3 4b 3 4c 3 Đến đây ta cũng nghĩ đến bất đẳng tức Bunhiacopxki dạng phân thức nhưng áp dụng theo chiều 2 22 ab ab xy x y . Để ý tiếp ta lại thấy 22 2 4a 3 a ab ac 3a bc Do đó để bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá 2 2 222 22 2 2 2 34 a 49a 9a 16a 4a 3 a ab ca 3a bc a ab ca 3a bc Suy ra 22 22 49a 9a 16a ab c 4a 3 3a bc Hoàn toàn tương tự ta được 222 2 222 2 49b 9b 16b 49c 9c 16c ; ab c a b c 4b 3 3b ca 4c 3 3c ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 49a 49a 49c 16a 16b 16c 9 4a 3 4b 3 4c 3 3a bc 3b ca 3c ab Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 16a 16b 16c 12 3a bc 3b ca 3c ab Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 bc ca ab 3 4 3a bc 3b ca 3c ab Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì được 2 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca bc ca ab 3a bc 3b ca 3c ab ab bc ca 3abc a b c Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 1 abc a b c ab bc ca 3 do đó ta được 2 22 2 2 2 2 4 ab bc ca 3abc a b c ab bc ca 3 Suy ra 2 22 2 2 2 2 ab bc ca 3 4 ab bc ca 3abc a b c . Do đó ta được bất đẳng thức 22 2 bc ca ab 3 4 3a bc 3b ca 3c ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 3.30: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab a 32 2 ab b bc c ca a Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta thấy có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tuy nhiên trước hết ta đánh giá mẫu số để làm mất các dấu căn, để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta được Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2b a b a3b 2b. a b 22 Áp dụng tương tự ta được 22 2 ab a 2a22b22c2 a3b b 3c c 3a ab b bc c ca a . Ta cần chứng minh 2a 2 2b 2 2c 2 3 2 a3b b 3c c 3a 2 Hay ab c 3 a3b b 3c c 3a 4 Thật vây, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì được 2 22 2 ab c ab c a3b b 3c c 3a a b c 3ab 3bc 3ca . Tương tự như ví dụ trên ta chứng minh được 2 22 2 ab c 4 3 ab c 3ab 3bc 3ca Do đó ta được ab c 3 a3b b 3c c 3a 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 3.31: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: ab a ab c bc a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca abbcca Ta cần chứng minh 2 ab c ab c ab b c c a Hay ab b c c a a b c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab 1 b c 1 c b 1 ab ;b c ;c a 22 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 ab b c c a a b c ab bc ca 2 Mà lại có 22 2 ab c 3 a b c 3 Suy ra a b c a bc 3abbcca a bc ab bc ca Hay ab c ab bc ca Do đó ta có 1 ab b c c a a b c a b c ab b c c a a b c 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ví dụ 3.32: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 abc b ca c ab 2 ab c b c a c a b Phân tích: Để ý là 22 2 22 2 abc b ca c ab ab c b c a c a b abc bc ca ab ab c b c a c a b a b c b c a c a b Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau 22 2 22 2 abc b ca c ab ab c b c a c a b abc bc ca ab ab c b c a c a b a b c b c a c a b Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 ab c abc a b c b c a c a b a ab ac b bc ab c ca bc ab c 2a b c ab bc ca Mà theo một đánh giá quen thuộc thì 2 3ab bc ca a b c nên 22 a b c a bc 3a bc 2 2 2a b c ab bc ca ab c a b c 3 Do đó ta được 22 2 3a b c abc 2 ab c b c a c a b Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 ab bc ca bc ca ab ab c b c a c a b abc b c c a a b 3abcab c 3ab c 2 abc 6 a b c Do đó ta được 22 2 abc b ca c ab 6a b c ab c b c a c a b Lại có 2 11 ab c a b c 33 nên 6a b c 2 Hay 22 2 abc b ca c ab 2 ab c b c a c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 ab c . 9 4. Kỹ thuật thêm bớt Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các ví dụ sau để minh họa cho điều đó. Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 a2 b 2 c 2 Phân tích: Các đại lượng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức nên suy nghĩ đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức một cách trực tiếp ta thu được bất đẳng thức 22 2 2 22 11 1 1111 6 9 a2 b 2 c 2 a b c Để hoàn thành phép chứng minh ta cần đánh giá được 22 2 11 1 3 ab c . Tuy nhiên để ý là đại lượng 22 2 11 1 ab c trội nhất nên không thể đánh giá về đại lượng trội hơn Do đó ta không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh được, vì vậy ta tính đến phương án đổi chiều bất đẳng thức trước. Chú ý là 2 22 11 a 2 a1 a 2 Như vậy ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 11 1 2 2 2 12 a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 11 1 a b c 11 1 32 1 a2 b 2 c 2 a2 b 2 c 2 Đến đây ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để đánh giá bất đẳng thức 22 2 22 2 ab c 1 a2 b 2 c 2 Lời giải Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 11 1 32 1 a2 b 2 c 2 Hay 22 2 22 2 ab c 1 a2 b 2 c 2 Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cộng mẫu kết hợp với giả thiết ta được 22 22 2 22 2 222 22 2 ab c a b c ab c 1 a2 b 2 c 2 a b c 6 ab c 2ab bc ca Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 4.2: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 222 ab bc ca 1 c2ab a 2bc b2ca Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 222 222 ca b 1 c2ab a 2bc b2ca Đến đây ta có thể áp dụng bất đảng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được. Lời giải Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 222 ab bc ca 32 1 c2ab a 2bc b2ca Hay 222 222 ca b 1 c2ab a 2bc b2ca Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được 2 22 2 22 2 22 2 ab c ca b 1 c2ab a 2bc b2ca ab c 2ab bc ca Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 4.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 ab c ab c . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 2 a 2b 2c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 ab c 1 2a 2 b 2 c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 222 ab c ab c 2a 2 b 2 c 6a b c Ta cần chứng minh 2 2 22 2 22 2 ab c 1abc 6a b c abbcca 3 6a b c . Từ giả thiết của bài toán ta được abc a b c ab bc ca và từ đánh giá quen thuộc 2 ab bc ca 3abc a b c , suy ra ta được 2 ab bc ca 3 ab bc ca ab bc ac 3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Ví dụ 4.4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1 . Chứng minh rằng: 11 1 9 1ab 1 bc 1 ca 2 Lời giải Đặt 11 1 P 1ab 1 bc 1 ca . Xét 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 P3 1 1 1 1 1 1 ab bc ca 2 2 2ab 2 22bc 2 2 2ca 2 22ab 22bc 22ca ab bc ca 2a b c 2ab 2 a b c 2bc 2a b c 2ca ab bc ca ab 2c 2a b c a 2b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 ab bc ca ab 2c 2a b c a 2b c ab b c c a 1 4a b 2c 2a bc a 2bc 1a b b c c a 3 44 ac b c ab ac b c ab Do đó ta được P3 3 9 P 24 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Ví dụ 4.5: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 2a bc 2b ca 2c ab Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 2a 2b 2c 2 2a bc 2b ca 2c ab Hay 22 2 22 2 2a 2b 2c 111 1 2a bc 2b ca 2c ab Hay 22 2 bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 22 2 2 22 2 2 2 2 bc ca ab bc ca ab 2a bc 2b ca 2c ab bc 2a bc ca 2b ca ab 2c ab ab bc ca 1 ab bc ca 2abc a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Ví dụ 4.6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 222 a2b b 2c c 2a 1 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 22 2 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Hay 222 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 11 1 1 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Hay 22 2 222 cab 1 3 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 33 3 22 2 2 33 3 33 3 cab 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b ca b c2a4b 3c a2b 4c 3a b2c 4a3b ab c 3a b c 6ab bc ca Ta cần chứng minh 2 33 3 33 3 ab c 1 3 3a b c 6ab bc ca Hay 33 3 3 3 3 ab bc ca ab bc ca Thật vậy, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ab bc ca a b ab b c bc c a ca ab bc ca 2ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 3 ab bc ca ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Ví dụ 4.7: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c ab bc ca ab bc ca aab bc b bc ca c ca ab Lời giải Theo một đánh giá quen thuộc ta có 22 2 22 2 ab c ab c ab bc ca 1 ab bc ca Do đó ta cần chứng minh 22 2 ab bc ca 1 aab bc b bc ca c ca ab Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 22 2 22 2 22 2 ab bc ca 32 aab bc b bc ca c ca ab ab bc ca 11 1 2 aab bc b bc ca c ca ab abc b ca c ab 2 aab bc b bc ca c ca ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 2 2 22 2 2 ab c ab c 1 aab bc b bc ca c ca ab ab c ab bc ca bc ca ab 1 aab bc b bc ca c ca ab ab bc ca Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 abc b ca c ab 2 aab bc b bc ca c ca ab Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Nh ận xét: Qua các ví d ụ trên ta nh ận th ấy ch ỉ v ới vi ệc thêm b ớt vào b ất đẳng th ức m ột đại lượng phù h ợp ta có th ể đổi được chi ều b ất đẳng th ức và áp d ụng được b ất đẳng th ức Bunhiacopxki để ch ứng minh bài toán. K ỹ thu ật này g ọi là k ỹ thu ật thêm – b ớt trong b ất đẳng th ức Bunhiacopxki. V ậy thì k ỹ thu ật thêm b ớt còn được s ử d ụng trong các trường h ợp nào n ữa, ta ti ếp t ục tìm hi ểu các ví d ụ sau đây Ví dụ 4.8: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 11 1 3 2a 2 b 2 c Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp ta được 11 1 9 2a 2 b 2 c 6a b c Trong khi đó ta có 22 2 0a b c 3a b c 3 nên 9 3 6a b c Như vậy đánh giá như trên không chứng minh được bài toán. Bất đẳng thức cần chứng minh không cần phải đổi chiều như các ví dụ trên nhưng khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì không đem lại hiệu quả. Để có một đánh giá tốt hơn ta cần thay đổi cách phát biểu các đại lượng của bất đẳng thức xem sao? Chú ý một tí ta sẽ có biến đổi khá thú vị sau 11 a 2a 2 22 a . Lúc này bất đẳng thức trở thành ab c 3 2a 2 b 2 c . Với bất đẳng thức này hy vọng ta sẽ chứng minh được. Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau 11 11 11 3 a b c 3 2a 2 2 a 2 2a 2 2 2a 2 b 2 c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 ab c a b c ab c 2a 2 b 2 c a2 a b 2 b c 2 c 2 a b c 3 Ta cần chứng minh được 2 ab c 3 2a b c 3 hay 2 ab c 6ab c 9 Hay 22 ab c 6ab c 9 0 a b c 3 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Nh ận xét: Nh ư v ậy b ằng vi ệc thêm – b ớt m ột đại l ượng ta đã bi ến đổi b ất đẳng th ức đã cho v ề d ạng khác và khi đó có th ể d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki m ột cách thu ận l ợi h ơn. V ậy thì làm th ể nào để ta có th ể ch ọn được đại l ượng phù h ợp? Xét ý t ưởng sau đây: Ta s ẽ tìm m ột s ố m dương sao cho 11 1 22 ma m aa có t ử s ố là 11 ma là m ột đại l ượng dương và đánh giá mày càng ch ặt càng t ốt. Do đó ta ch ọn được 1 2 m , khi đó thì 11 0 22 22 a a a . Để ch ứng minh b ất đẳng th ức 3 22 2 ab c ab c ta có th ể áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức theo cách khác sau Áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức ta được 44 4 33 3 2 22 2 33 3 4 4 4 22 2 22 2 2 ab c a b c ab c aa b b c c abc ab c a bc Ta c ần ch ứng minh được 33 3 4 4 4 44 4 2 2 2 3 3 3 32 2 ab c a bc ab c a b c ab c Áp d ụng b ất đẳng th ức Cauchy ta đư ợc 42 3 4 2 3 4 2 3 2; 2 ; 2 aa ab b bc c c . C ộng theo v ế các b ất đẳng th ức trên ta được b ất đẳng th ức cu ối cùng. V ậy bài toán được ch ứng minh xong. Ví dụ 4.9: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: abc 1 3a b c 3b c a 3c a b Phân tích: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cần tìm số m dương sao cho a1 3m mb mc a m 3a b c 3a b c có tử số là a1 3m mb mc là một số dương và đánh giá trên càng chặt càng tốt. Để ý giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta nghĩ đến chọn m sao cho tử số trên có dạng ab c . Từ những nhận định đó ta chọn được 1 m 4 . Khi đó ta có lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a1 4b 1 4c 11 3a b c 4 3b c a 4 3c a b 4 4 Hay bất đẳng thức cần chứng minh trở thành ab c b c a c a b 1 3a b c 3b c a 3c a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 22 2 ab c b c a c a b 3a b c 3b c a 3c a b ab c b c a c a b a b c 3a b c b ca 3b c a c a b 3ca b ab c 1 a b c 2ab 2bc 2ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 4.10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 5a 3b 5b 3c 5c 3a 4 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ đầu tiên là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 2 5a 3b 5b 3c 5c 3a 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b 5a 3b 5b 3c 5c 3a 5a 3b 3a b 2c 5b 3c 3b c 2a 5c 3a 3c a 2b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 5a 3b 5b 3c 5c 3a 4 5a 3b 3a b 2c 5b 3c 3b c 2a 5c 3a 3c a 2b Hay 2 22 2 22 2 64 a b c 4ab bc ca a b c 18 a b c 30 ab bc ca Tuy nhiên đánh giá trên là sai. Do đó ta không thể áp dụng được trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki mà cần biến đổi bất đẳng thức về một dạng khác. Với ý tưởng đó ta cần tìm số m dương sao cho a5 3m 3 m b 2mc k a b c 5a 3b m 3a b 2c 3a b 2c 3a b 2c Và đánh giá trên càng chặt càng tốt. Từ những nhận định đó ta chọn được m1 . Khi đó ta có lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 5a 3b 5b 3c 5c 3a 1111 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b Hay 2 a b c 2b c a 2c a b 1 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 a b c 2b c a 2c a b 3a b 2c 3b c 2a 3c a 2b 2a b c b c a c a b ab c 3ab 2c b c a 3b c 2a c a b 3c a 2b Ta cần chứng minh được 2 2a b c b c a c a b 1 ab c 3ab 2c b c a 3b c 2a c a b 3c a 2b Hay 2 22 2 2a b c 1 2a b c 4 ab bc ca Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 4.11: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 3a b 3b c 3c a 4 2a c 2b a 2c b Phân tích: Để ý đến phép biến đổi 3a b a b c 1 2a c 2a c . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab c b c a c a b 1 2a c 2b a 2c b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki dạng phân thức ta được 2 ab c b c a c a b 2a c 2b a 2c b ab c b c a c a b ab c 2ac b c a 2b a c a b 2c a Ta cần chứng minh được 2 ab c b c a c a b 1 ab c 2ac b c a 2b a c a b 2c a Hay 2 22 2 ab c 1 ab c 2ab bc ca Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 4.12: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 ab c abbcca5 bc c a a b 2 ab c Phân tích: Để ý đến phép biến đổi abca 1 bc bc . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 bc a c a b a b c 1 ab bc ca bc c a a b 2 ab c Hay 2 22 2 ab c bc a c a b a b c bc c a a b 2a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiachopxki dạng phân thức ta được 2 2 22 2 bc a c a b a b c bc c a a b ab c b c a c a b bc bc a c a c a b a b a b c ab c 2a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 4.13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 ab c b c a c a b 2 a2bc b 2ca c 2ab Phân tích: Để ý đến phép biến đổi 2 2 ab c a 2bc a b c 1 bc a2bc . Ta lại có 2 a 2bc ab c bc a ba c bc a ba c 0 Lại thấy 22 2 222 a 2bc a b c b 2ca b c a c 2ab c a b a b c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 a 2bc a b c b 2ca b c a c 2ab c a b 1 a2bc b 2ca c 2ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 2 22 2 a 2bc a b c b 2ca b c a c 2ab c a b a2bc b 2ca c 2ab a 2bc a b c b 2ca b c a c 2ab c a b M Với 22 2 2 22 M a 2bc a 2bc a b c b 2ca b 2ca b c a c 2ab c 2ab c a b Ta cần chứng minh được 2 22 2 3 3 3 3 3 3 44 4 22 22 22 ab c ab ab bc bc ca ca ab c 4ab bc ca Hay 22 2 2 2 2 ab a b bc b c ca c a 2a b 2b c 2c a Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 4.14: Cho a, b, c là các số dương thõa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 1 1 1 15 14 b c c a a b 56 7 a 7b 7c Phân tích: Để ý ta thấy 2 22 111 a . 77 7a 7a khi đó ta quy bài toán về chứng minh 22 2 22 2 11 1 a b c 9 2 bc c a a b 4 7 a 7b 7c Lời giải Ta có 22 2 22 2 22 2 1 1 1 a 1 1 1b 1 1 1c .; . ; . 77 77 77 7 a 7 a 7b 7b 7c 7c Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau: 22 2 22 2 11 1 a b c 9 2 bc c a a b 4 7 a 7b 7c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phan thức ta được 22 22 2 22 2 22 2 11 1 9 9 bc c a a b bc c a a b 2a bc ab c a b c ab c 24 7a 7 b 7 c 7 a 7b 7c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab c 99 ab c 6 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 3 ab c 9 ab c 6 ab c 99 9919 3.. 62262 2a b c 2a b c Do vậy đánh giá giá cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nh ận xét: Ở đây ta được s ử d ụng k ỹ n ăng thêm b ớt b ằng cách đưa vào tham s ố m để lý lu ận và đưa vào các đi ều ki ện ràng bu ộc h ợp lí để tìm ra m. Ví dụ 4.15: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 aa 1 b b 1 c c 1 Phân tích: Chú ý đến phép biến đổi 2 2 2 2a 1 41 3 aa 1 3a a 1 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh cần chứng minh với 22 2 22 2 2a 1 2b 1 2c 1 3 aa 1 b b 1 c c 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 22 2 2 22 2 22 2 2a 1 2b 1 2c 1 2a 2b 2c 3 aa 1 b b 1 c c 1 ab c a b c 3 Ta cần chứng minh được 2 22 2 2a 2b 2c 3 3 ab c a b c 3 Hay 2 ab c 6ab bc ca 9a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab bc ca 3abc a b c 3 a b c Ta quy bài toán về chứng minh 2 a b c 6 3a b c 9a b c Đặt ab c t1 3 , khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành 2 22 3 3t 18t 27t 9t t 2 3t 0 Theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 33 t2 t 1 1 3t và t1 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Ví dụ 4.16: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 222 22 2 ab c abc 2a 1 2b 1 2c 1 ab c 6 Phân tích: Áp dụng ý tưởng như các ví dụ trên là cần tìm một số dương m sao cho đánh giá 22 a2mama m 2a 1 2a 1 có tử số 2 2ma m a dương và đánh giá càng chặt càng tốt. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta chọn được 1 m 2 , tuy nhiên nếu chọn như vậy thì ta không đảm bảo được tử số luôn dương. Do đó nếu chọn được m mà làm triệt tiêu được 2 a thì mới đảm bảo được tử dương. Để ý đến ab c 3 khi đó ta chọn a m 2 . Áp dụng tương tự ta có lời giải như sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 222 22 2 aa b b c c abc a b c 22a 1 2 2b 1 2 2c 1 2 ab c 6 Hay 22 2 22 2 2a b c ab c 3 2a 1 2b 1 2c 1 ab c 6 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c 2a 1 2b 1 2c 1 2a b c 3 Khi đó ta cần chứng minh được 22 2 22 2 22 2 2a b c 9 3 2a b c 3 ab c 6 Đặt 22 2 ta b c 3 , khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 92t 9 2t 31 20 2t 3 2t 3 t6 t6 23 t 2t 2 t 6 t 2 1 0t3 0 2t 3 2t 3 t6 t6t t 6 t2 2t 3 t 6t t 6 0 t2t 6 t 6 0 Do t3 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 4.17: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 3a 1 3b 1 3c 1 18 ab bc ca Phân tích: Áp dụng ý tưởng như các ví dụ trên là cần tìm một số dương m sao cho đánh giá 22 a3mama m 3a 1 2a 1 có tử số 2 3ma m a dương và đánh giá càng chặt càng tốt. Khi đó nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thấy có sự xuất hiện của các hạng tử bậc 3 và nếu quy đồng thì ta thu được một bất đẳng thức bậc 5 thì khó đánh giá. Để ý đến đánh giá 22 aa a 3a 1 3a 3 , đây là một đánh giá khá chặt. Khi đó xét biến đổi sau 2 aa a 33a 1 33a 1 , hoàn toàn tương tự ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức có bất đẳng thức sau ab c 1 abc 3 33a 1 33b 1 33c 1 18 ab bc ca Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab c 1 abc 3 33a 1 33b 1 33c 1 18 ab bc ca Hay ab c 1 1 3a 1 3b 1 3c 1 6ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 2 2 ab c ab c 1 3a 1 3b 1 3c 1 3a b c a b c 3 a b c 1 Khi đó ta quy bài toán vể chứng minh 22 2 11 1 6ab bc ca 3a b c 1 Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki dạng phân thức thì được 22 2 2 2 2 11 4 1 6ab bc ca 3a b c 1 3 a b c 6 ab bc ca 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Ví dụ 4.18: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 9a 1 9b 1 9c 1 12 3 ab bc ca Phân tích: Để ý đến phép biến đổi 2 aa a 99a 1 99a 1 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 aa b b cc abc 1 99a 1 9 9b 1 9 9c 1 9 12 3 ab bc ca Hay ab c 3 1 9a 1 9b 1 9c 1 43 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 2 2 ab c ab c 1 9a 1 9b 1 9c 1 9a b c a b c 9 a b c 1 Lại theo bất đẳng thức Cauchy ta có 33 21 3 ab bc ca 43 ab bc ca Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 13 1 9a b c 1 21 3 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 2 2 22 2 13 9a b c 1 21 3 ab bc ca 19 9a b c 1 61 3 ab bc ca 13 16 1 9a b c 1 6 1 3 ab bc ca 9a b c 7 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . 5. Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki. Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như 11 1 1 1 1 1 1 1 1) a; b; c ; ; ; ; ; ; ; ; ;.. xy z xy yz zx xy yz zx 2) a; b; c yz; zx; xy ; yz; zx; xy ;... 3) a;b;c y z;zx;x y; y z x;zxy;x y z;... Với một số bất đẳng thức có giả thiết là abc 1 ta có thể đổi biến 22 2 22 2 11 1 1 1 1 1) a; b; c ; ; ; ; ; ;... xy z xy z xy z b ca x y z 2) a; b; c ; ; ; ; ; ; ; ; ;... yzx a b c y z x yz zx ab x y z 3) a; b; c ; ; ; ; ; ;... yz zx xy xy z yz xy zx x y z 4) a; b; c ; ; ; ; ; xy z yz zx xy ;... Ví dụ 5.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 abc 3 2abc ab 2abc bc 2abc ca Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành abc a b c ac ab bc 2ac ab 2ab bc 2bc ca 3 Để ý ta thấy bất đẳng thức có sự lặp lai của các đại lương ab; bc; ca và chú ý ta nhận thấy abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab . Do vậy một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến là xab;ybc;z ca . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với abc a b c ac ab bc 2ac ab 2ab bc 2bc ca 3 Đặt xab;ybc;z ca , khi đó ta được xy z 3 ,bất đẳng thức cần chứng minh trở thành yz x xyyzzx 2y z 2z x 2x y 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 22 2 yz x y z x 2y z 2z x 2x y y2y z z 2z x x 2x y xy x 2 x y z xy yz zx Ta cần chứng minh 2 22 2 xy x xy yz zx 3 2 x y z xy yz zx Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 22 2 4 22 2 9x y x 3xy yz zx 2 x y z xy yz zx x y x 3 xy yz zx 2 x y z xy yz zx Đặt 22 2 A x y z ; B xy yz zx suy ra 2 A2B x y z 9 , khi đó ta cần chứng minh 2 22 A2B 3B2A B A B 2AB . Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Ví dụ 5.2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab c 3 2 ab b c c a Phân tích: Bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 22 2 2 2 2 ab c 3 ab b c c a 2 Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến phép đổi biến 22 2 xa;y b;z c , khi đó bất đẳng thức trở thành xy z 3 xy y z z x 2 Đây là bất đẳng thức được chứng minh trong mục 2 với phép đối xứng hóa. Lời giải Đặt 22 2 xa;y b;z c , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy z 3 xy y z z x 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 xy z xy y z z x xx z y y x z z y x y xz y z y x zx zy xy z 2x y z x y xz y z yx z x z y 4 x y z xy yz zx xy y z z x Ta cần chứng minh 4 x y z xy yz zx 9 2 xy y z z x Hay 8 x y z xy yz zx 9 x y y z z x Hay 8xyz x y y z z x Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Ví dụ 5.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc . Chứng minh rằng: 22 2 2 22 ab c 1 11 3 bc a a bc Phân tích: Quan sát giả thiết ta thấy có thể viết lại giả thiết thành 11 1 1 ab c . Đến đây ta đặt 11 1 x;y ;z ab c và khi này ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 22 2 xy z 3x y z zx y Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lời giải Từ giả thiết ab bc ca abc suy ra 11 1 1 ab c Đặt 11 1 x;y ;z ab c , từ giả thiết suy ra xy z 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 xy z 3x y z zx y Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 2 2 2 xy z xy z x y z zx y xz yx zy xz yx zy Ta cần chứng minh 2 22 2 22 2 22 2 xy z 3x y z xz yx zy Hay 22 2 2 2 2 xy z 3xz yx zy Vì xy z 1 , nên bất đẳng thức trên trở thành 22 2 2 2 2 xy z x y z 3xz yx zy Hay 33 3 2 2 2 2 2 2 xy z xz yx zy 2xz yx zy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 32 2 3 2 2 3 2 2 xxz 2xz;y yx 2yx;z zy 2zy Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 2 2 2 xy z xz yx zy 2xz yx zy Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Nhân xét: B ất đẳng th ức trên còn đư ợc ch ứng minh theo cách sau Bi ến đổi t ương đương b ất đẳng th ức ta được 22 2 22 2 22 2 22 22 2 22 2 2 22 2 22 2 22 2 222 3 3 3 111 1110 xy z xy z zx y xy z xy z x y z xy z zx y xy z xy z x y z xy z zx y xz y x z y xy y z z x zx y xy y z z x xy z Vì 1 xy z nên 11 1 ;; 1 xy z . Do đó b ất đẳng th ức cu ối cùng đúng. Phép ch ứng minh hoàn t ất. Ví dụ 5.4: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: ab bc ca 3 4 c3ab a 3bc b3ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức nghĩ đến đổi biến xa;y b;z c . Khi đó bất đẳng thức được viết lai thành 22 2 xy yz zx 3 4 z 3xy a 3yz y 3zx . Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng kỹ thuật thêm – bớt. Lời giải Đặt xa;y b;z c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy yz zx 3 4 z3xy a 3yz y 3zx Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 22 2 22 2 xy yz zx 3 4 z 3xy x 3yz y 3zx 1xy1 yz 1 zx 3 1 33 3 4 z3xy x 3yz y 3zx zx y 3 4 z 3xy x 3yz y 3zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một đánh giá quen thuộc ta được 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 xy z zx y z3xy x 3yz y 3zx x y z 3 xy yz zx xy z 3 4 xy z xy z 3 Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 5.5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc . Chứng minh rằng: abc b ca c ab abc a b c Phân tích: Trước hết ta viết lại giả thiết thành 11 1 1 ab c , khi đó ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c . Bất đẳng thức được viết lại thành x yz y zx z xy 1 xy yz zx Để ý đến giả thiết xy z 1 , áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta được xyz xxy z yz x y x z x yz Áp dụng tương tự ta có lời giải như sau Lời giải Từ giả thiết ab bc ca abc suy ra 11 1 1 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó ta được xy z 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x yz y zx z xy 1 xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta được xyz xxy z yz x y x z x yz Chứng minh tương tự ta được yzx y zx; z xy z xy Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được x yz y zx z xy x y z xy yz zx 1xy yz zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3 hay ab c 3 . Ví dụ 5.6: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab bc ca abc . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 b 2a c 2b a 2ac 3 ab cb ac Lời giải Từ giả thiết ta được 11 1 1 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó ta có xy z 1 . Bất đẳng thứ cần chứng minh được viết lại thành 22 2 2 2 2 x2y y 2z z 2x 3 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 22 x2y 1.x 2.2y 3x 2y Do đó ta được 2 22 x2y x2y x2y 3 3 Tương tự ta có 22 2 2 y2z z 2x y2z ; z 2x 33 Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta được 22 2 2 2 2 3x y z x2y y 2z z 2x x2y y 2z z 2x 3 33 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3 hay ab c 3 . Ví dụ 5.7: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 22 2 bc ca ab 1 1 1 1 2a b c ab c b c a c a b Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng 11 1 ab c , để ý đến phép biến đổi 2 2 bc 1 11 ab c a bc . Từ đó rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến. Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 xy z xyz yz z x x y 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 xy z xy z xyz yz z x x y 2 2x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ví dụ 5.8: Cho các số thực a, b, c 1 thỏa mãn 11 1 2. ab c Chứng minh rằng: ab c a 1 b 1 c 1 Phân tích: Chính sự xuất hiện giải thiết 11 1 2 ab c làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng phép đổi biến 11 1 x;y ;z ac c . Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z ac c , khi đó x; y; z 0;1 và xy z 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 11 1 1 x 1 y 1 z xy z x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 1x 1y 1 z 1 1 1 1 1 1 3x yz xy z xyz xyz Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 ab c 2 . Ví dụ 5.9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 2 abc . Chứng minh rằng: 2ab bc ca a b c 6 Phân tích: Để ý ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành ab c 2abc2 Trước hết ta biến đổi giả thiết thành a1 b 1 c a a1 b 1 b 1 c 1 c 1 a1 11 1 1 a1 b 1 c 1 Khi đó ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z a1 b 1 c 1 . Để ý là từ cách đổi biến đó ta được 1x y z 1y z x 1 z x y a;b ;c xx yy z z . Bất đẳng thức được viết lại thành yz z x x y 1 1 1 2 xy z xyz . Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán Lời giải Ta có 2 2 abbcca a bc a bc Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 2 ab c abc abc6 ab c 2abc3 ab c 2abc3 Giả thiết được viết lại thành a1 b 1 c a a1 b 1 b 1 c 1 c 1 a1 11 1 1 a1 b 1 c 1 Đặt 11 1 x;y ;z a1 b 1 c 1 , suy ra xy z 1 . Khi đó ta được 1x y z 1y z x 1 z x y a;b ;c xx yy z z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành yz z x x y 1 1 1 2 xy z xyz Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được yz z x x y 1 1 1 1 1 1 2x 2y 2z 2 xy z xyz xyz Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2 Ví dụ 5.10: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 bc a 3 2 ab 1 b c 1 c a 1 Phân tích: Từ giả thiết ta được 11 1 1 ab bc ca , khi đó rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c , suy ra xy yz zx 1 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 xy z 3 2 y1 z 1 x 1 Để ý đến phép biến đổi 22 x1 x xy yz zx x y x z . Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh được bài toán. Lời giải Từ giả thiết ab c abc suy ra 11 1 1 ab bc ca . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , Khi đó giả thiết của bài toán trở thành xy yz zx 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy z 3 2 y1 z 1 x 1 . Dễ thấy 22 x1 x xy yz zx x y x z Tương tự ta được 22 y1 y z y x; z 1 z x z y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 xy z x y z y1 z1 x 1 yx y z zx zy x y xz 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z Ta cần chứng minh 2x 2y 2z 3 x 2yz x y 2z 2x yz 2 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 22 2 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z 2x y z 2x y z 3 2 xy z xy yz zx x y z xy z 3 Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 3 . Ví dụ 5.11: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 1 ab c . Chứng minh rằng: 22 2 bc c a a b 2 ab c Phân tích: Quan sát giả thiết của bài toán ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 xy z y z x z x y 2 yz zx xy . Để ý đến đánh giá 2 4xy x y . Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 4x 4y 4z 2 yz z x x y Bất đẳng thức trên dễ dàng chứng minh được bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z ab c . Từ giả thiết suy ra xy z 1 . Bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 xy z y z x z x y 2 yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 xy y z z x xy ; yz ; zx 44 4 Khi đó ta được bất đẳng thức sau 22 2 22 2 xy z y z x z x y 4x 4y 4z yz zx xy y z z x x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 22 2 4x y z 4x 4y 4z 2x y z 2 yz z x x y 2x y z Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Nh ận xét: Ngoài cách ch ứng minh nh ư trên ta có th ể áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ch ứng minh theo cách sau B ất đẳng th ức đư ợc vi ết l ại thành 222 11 1 1 1 1 2 xy z yz z x x y Theo m ột đánh giá quen thu ộc ta có 22 2 22 2 22 2 11 11 4 11 11 4 11 11 4 xx xyz y z yz y z yz yy yzx zx z x zx z x zz zxy xy x y xy x y C ộng theo v ế các b ất đẳng th ức trên ta được 22 2 22 2 44 4 xy z y z x zx y xy z yz zx xy y z z x x y M ặt khác, theo b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ta được 22 2 22 2 2 2 44 4 2 222 xy z yz z x x y xy z xy y z z x yz z x x y xy z y z zx xy xy z yz z x x y B ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Ví dụ 5.12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: ab c 1 2ba 2 c b 2 a c Phân tích: Từ giả thiết abc 1 của bài toán, rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến dạng xy z a;b ;c yz x , chú ý đến các các căn bậc hai có trong bất đẳng thức cần chứng minh, ta chọn cách đổi biến là xy z a;b ; c yz x . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 22 2 2 2 2 xz yx zy 1 2z y y x 2x z z y 2y x x z . Bất đẳng thức cần chứng minh có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki dạng phân thức. Do đó ta thử áp dụng xem có thể chứng minh được bài toán không? Lời giải Vì abc 1 nên tồn tại các số thực dương để xy z a;b ; c yz x . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 2 2 2 xz yx zy 1 2z y y x 2x z z y 2y x x z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 22222 22 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 22 2 22 2 2 2 2 xz yx zy x z y x z y 2z y y x 2x z z y 2y x x z 2xyz x y 2x yz z y 2xy z x z xy yz zx xy yz zx 1 x y y z z x 2xyz x y z xy yz zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5.13: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 aa 1 b b 1 c c 1 Phân tích: Nếu ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki trực tiếp kiểu 22 2 222 11 1 9 aa 1 b b 1 c c 1 a b c a b c 3 Khi đó để phép chứng minh được hoàn tất ta phải chỉ ra được 22 2 22 2 9 1a b c a b c 6 ab c a b c 3 Với giả thiết abc 1 thì đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai. Để ý đến giả thiết abc 1 ta nghĩ đến phép đặt ẩn phụ, vấn đề đặt ra là ta chọn cách đặt ẩn phụ nào? Trước hết ta thấy bất đẳng thức có tính đối xứng do đó để không làm mất tính đối xứng của nó ta sẽ không đặt ẩn phụ kiểu xy z ;; yzx hoặc yz x ;; xy z . Đầu tiên ta sử dụng phép đổi biến 11 1 a;b ;c xy z khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 xy z 1 xx 1 y y 1 z z 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 2 22 2 222 xy z xy z xx 1 y y 1 z z 1 x y z x y z 3 Ta cần chứng minh được 2 22 2 xy z x y z xy z 3 Tuy nhiên đánh giá này lại sai. Do đó cách đổi biến này không khả thi Như vậy ta tính đến cách đổi biến 22 2 xy z a;b ;c yz zx xy và 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z . Trong hai cách đổi biến trên, suy nhĩ một chút ta sẽ loại cách đặt thứ nhất vì bất đẳng thức chỉ chứa biến ở mẫu nên khi đổi biến và quy đồng mỗi phân thức ta sẽ thu được một phân thức thức mà trên tử có chứa các đại lượng 22 2 2 2 2 yz ; z x ; x y còn dưới mẫu lại chứa các đại lượng 44 4 x; y ;z trộn hơn, nên muốn đánh giá các mẫu theo chiều tăng lên là rất khó. Do đó ta chỉ còn cách đổi biến 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z , hy vọng sẽ chứng minh được bài toán. Khi này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 44 4 42 22 4 2 22 4 2 22 xy z 1 xxyz yz y yzx zx z zxy xy Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 44 4 42 22 4 2 22 4 2 22 2 22 2 44 4 22 22 22 xy z x x yz y z y y zx z x z z xy x y xy z x y z xyz x y z x y y z z x Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 4 4 4 22 22 22 xy z x y z xyzx y z xy yz zx Biến đổi tơng đương và thu gọn ta được 22 2 2 2 2 x y y z z x xyz x y z Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Nh ận xét: N ếu ch ấp nh ận bi ến b ất đẳng th ức trên t ừ d ạng đối x ứng v ề d ạng hoán v ị thì v ới cách đổi bi ến ;; yz x ab c xy z , b ất đẳng th ức c ần ch ứng minh tr ở thành 22 2 222 22 2 1 ab c aab b b bc c c ca a Khi đó b ất đẳng th ức t ương đương v ới 22 22222 22 2 2 2 2 22222 2 22222 aa a abb a b c abbc ca a a b c ab bc ca a ab b a abb a b c abbc ca ac a b c a abb a b c abbc ca Áp d ụng tương t ự ta quy bài toán v ề ch ứng minh 22 2 222 22 2 ac bc cc ab bc ca ab c aab b b bc c c ca a Áp d ụng d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki d ạng phân th ức ta được 22 2 222 22 2 2 22 2 2 2 2 ac ba cb aab b b bc c c ca a ab bc ca ab bc ca abc c a bc b a b bc a b c ca a V ậy b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Ví dụ 5.14: Cho các số thực a; b; c 1 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 1 a 1b 1c Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc 1 và tính đối xứng của bất đẳng thức ta nghĩ đến phép đổi biến. Ngoài ra ta cũng thấy các phân thức chứa biến trên tử nên ta có thể chọn cách đổi biến 22 2 xy z a;b ;c yz zx xy Lời giải Đặt 22 2 xy z a;b ;c yz zx xy với x; y; z 0 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 44 4 22 2 22 2 xy z 1 xyz y zx z xy Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 44 4 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 xy z xy z xyz y zx z xy x yz y zx z xy Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 22 2 22 2 xy z 1 xyz y zx z xy Hay tương đương với 22 2 2 22 2 2 2 2 2 xy z x yz y zx z xy 0 xy yz zx 0 Đánh giá cuối cùng luôn là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 5.15: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 11 1 1 2 a1 a 2 b 1 b 2 c 1 c2 Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc 1 và tính đối xứng của bất đẳng thức ta có thể đổi biến 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z . Lời giải Đặt 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z với x; y; z 0 , khi đó bất đẳng thức càn chứng minh trở thành 44 4 22 2 2 2 2 xyz 1 2 x yz 2x yz y zx 2y zx zxy 2zxy Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 44 4 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 xyz xyz2xyz y zx 2y zx z xy 2z xy xy z xyz2xyz y zx 2y zx z xy 2z xy Phép chứng minh sẽ hoàn nếu ta chỉ ra được 2 22 2 22 2 2 2 2 xy z 1 2 xyz2xyz y zx 2y zx z xy 2z xy Hay ta cần chứng minh 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x yz 2x yz y zx 2y zx z xy 2z xy Khai triển và thu gọn ta được 22 2 2 2 2 xy yz zx xyz x y z Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Ví dụ 5.16: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn abcd 1 . Chứng minh rằng: 22 22 1 111 1 a1 b 1 c 1 d 1 Lời giải Cách 1: Đặt xy x t a;b ;c ;d zz t x với x; y; z; t 0 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 2 22 2 2 xy z t 1 xy y z z t t x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và bất đẳng thức Cauchy ta được 2 222 22 2 2 xy z t xy y z z t t x 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 22 2 2 xt x y x y z y z t z t xy xt y z xy z t y z t x z t xt x y x y z y z t z t xy z t xt y z xy y z z t xt 1 4x y z t x t y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c d 1 . Cách 2: Đặt 22 2 2 yz zt tx xy a;b ;c ;d xy c t với x; y; z; t 0 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 44 4 4 22 2 2 22 2 2 xy z t 1 xyz y zt z tx t xy Áp dụng liên tục bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 44 22 2 2 22 2 2 2 22 22 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 xz xz xyz z tx xyz z tx xz xz xy z t xy x z z x z t Hoàn toàn tương tự ta được 44 22 222222 22 yt yt xy z t yzt t xy Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được 44 4 4 22 2 2 22 2 2 xy z t 1 xyz y zt z tx t xy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC Chủ đề 7. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) đã nêu ra một định lí mà về sau người ta gọi là Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý được phát biểu như sau: “N ếu nh ốt vào n chi ếc l ồng m ột s ố chú th ỏ mà s ố l ượng l ớn h ơn n thì ta s ẽ tìm được m ột chi ếc l ồng mà trong đó có nhi ều h ơn m ột con th ỏ” Chúng ta biết bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó, thường có trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và Quốc tế. Có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức như phương pháp chứng minh bằng phép biến đổi tương đương, phương pháp quy nạp, phương pháp chứng minh bằng phản chứng, dùng các BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki,... Trong bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá thú vị là ứng dụng nguyên lí Dirichlet. Với phương pháp này, giúp chúng ta chứng minh được một số bài toán bất đẳng thức một cách rất gọn gàng và độc đáo. Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa hết sức quan trọng: Trong 3 s ố th ực b ất kì a, b, c bao gi ờ c ũng tìm đư ợc hai s ố cùng d ấu. Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “ đi ểm r ơi” (tức là đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức. Chẳng hạn đẳng thức xảy ra khi ab c k thì ta có thể giả sử 2 số ; ak b k cùng dấu, khi đó thì ()( )0 akb k . Chúng ta sẽ tìm hiểu một số ví dụ sau để thấy được ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet trong việc giải bất đẳng thức như thế nào? Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 a2 b 2 c 2 9ab bc ca Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 9ab bc ca 3 a b c . Như vậy ta cần chứng minh 2 22 2 a2 b 2 c 2 3a b c Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Như vậy ta cần đánh giá từ 2 ab c làm xuất hiện 2 a2 , để ý ta thấy 2 2222 22 ab c a 1 1 1 b c a 2 1 b c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 222 2 2 2 22 2 2 3a 2 1 b c a 2 b 2 c 2 31 b c b 2 c 2 Biến đổi tương đương ta thu được 22 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 31 b c b2 c2 3 3b 3c bc2b2c 4 bc b c 1 0 b 1 c 1 0 Như vậy ta chỉ cần chỉ ra được 22 b1 c1 0 , tuy nhiên vì vai trò của a, b, c như nhau nên theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số 22 2 a1;b 1;c 1 luôn tồn tại hai số cùng dấu và ta hoàn toàn có thể giả sử hai số đó là 22 b1;c 1 . Như vậy bài toán được chứng minh xong. Nh ận xét: Ta có th ể ch ứng minh b ất đẳng th ức trên theo cách khác sau: Theo nguyên lí Dirichlet trong ba s ố 1; 1; 1 ab bc ca t ồn t ại hai s ố không trái d ấu, Không m ất tính t ổng quát ta gi ả s ử hai s ố đó ta 1; 1 ab bc khi đó ta được 2 110 1 ab bc ab c ab bc Suy ra 22 2 2 2 22 1 2 abc b abc ab bc B ất đẳng th ức c ần ch ứng minh vi ết l ại thành 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 89 abc ab bcca a bc ab bc ca Ta có 22 2 2 22 abc b ab bc và 22 2 33 ab c ab bc ca L ại th ấy 22 12 ab ab nên 22 2 2 2 2 264 ab bc ca ab bc ca Và 22 2 ac ac . T ừ các b ất đẳng th ức trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 89 abc ab bcca a bc ab bc ca V ậy b ất đẳng th ức trên được ch ứng minh. Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi 1 ab c . Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 2abc 1 2ab bc ca Lời giải Trước hết ta để ý đến đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 điều này có nghĩa là khi đẳng thức xẩy ra thì a1;b 1;c 1 cùng bằng 0, ngoài ta trong bất đẳng thức chứa các đại lượng ab,abc,... nên ta nghĩ đến tích ca 1 b 1 , tuy nhiên ta chưa thể khẳng định được tích đó có không âm hay không nên ta sử dụng nguyên lí Dirichlet. Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số a1;b 1;c 1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai đó là a1;b 1 , khi đó ta có a1 b 1 0 ca1 b 1 0 abc ac bc c 0 Khi đó ta có 22 22 2 a b c 2abc 1 a b 1 c 2 abc ac bc c 2 ab bc ca Dễ thấy 22 a b 1 c 2 abc ac bc c 0 nên ta có 22 a b 2ab 1 c 2c 2abc 2ac 2bc 2 bc ca 2 ab bc ca Suy ra 22 2 ab c 2abc 1 2ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Nh ận xét: Ta có th ể ch ứng minh được b ất đẳng th ức đúng v ới m ọi s ố th ực n ếu thay đổi m ột chút: 22 2 222 22 ab c abc ab bc ca Theo nguyên lí Dirichlet thì 22 2 222 2 22 22 11 0 ca b abc c bc ca Nên ta ch ỉ c ần ch ứng minh 22 2 22 22 22 22 1 10 a b b c c a ab bc ca a b bc ca B ất đẳng th ức này hi ển nhiên đúng. Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi 1 ab c Bài toán 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 22 2 ab c 2abc 3 a 1b 1c 1 Lời giải Sau khi nhân 2 vế cho 2 thì bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 2a b c 2abc 4 2 ab bc ca 2a b c Theo bài toán 2 ta được 22 2 ab c 2abc 1 2ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 ab c 3 2a b c a 1 b 1 c 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài toán 4. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 22 22 2 a2(b 2)(c 2) 3a b c abc 1 Lời giải Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 4 a b c 2abc 7 9 ab bc ca Theo bất đẳng thức Cauchy thì 22 2 2 2 2 2a b 2 2b c 2 2c a 2 4ab 4bc 4ca Và 22 2 3a 3b 3c 3ab 3bc 3ca Từ đó kết hợp với bài toán 2 ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c abc 4 Chứng minh rằng: ab bc ca abc 2 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 Cách 1: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1; b 1; c 1 cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử a1 b 1 0 thì ca 1 b 1 0 abc bc ca c Mặt khác ta có 22 2 2 4 a b c abc 2ab c abc Suy ra 2 4c 2ab abc 2 c ab Suy ra 0 ab bc ca abc 2 c bc ca bc ca c 2 Cách 2: Theo nguyên lý Dirichlet ta có ca 1 b 1 0 abc bc ca c ab bc ca abc abbcca acbc c ab bc ca abc ab c Ta đi chứng minh ab c 2 Từ 22 2 ab c abc 4 ta được 22 22 ab a4;b 4;ab 4 2 . Mặt khác cũng từ 22 2 ab c abc 4 suy ra 222 cabc a b 4 0 Xem đẳng thức trên là là phương trình là bậc hai theo biến c. Khi đó ta được 2 22 2 2 ab 4 a b 4 4 a 4 b 0 D Do đó phương trình có hai nghiệm 22 ab 4 a 4 b c 2 và 22 ab 4 a 4 b c 2 Vì c0 nên 22 ab 4 a 4 b c 2 Do đó ta được 22 2 2 22 22 22 ab 4 a 4 b ab 4 a 4 b ab 2 ab 2 22 4ab 4 a 4 b 4 ab 4a 4 b a b 0 Vậy bất đẳng thức phải chứng minh. Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc 4 . Chứng minh rằng: ab c ab bc ca Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a1 và b1 cùng không âm Khi đó ta được ca 1 b 1 0 abc bc ca c Suy ra a b cabc a b cac bcc a b cabc a b c 1 Mặt khác ta có 22 ab ca b 4 ab bc ca abc ca b ab abc ca b 44 Suy ra 4 c1abc14 ab Do đó ta được ab c abc 4 nên ta có a b c abc ab bc ca abc Hay ab c ab bc ca . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nhân xét: Ta c ũng có th ể ch ứng minh theo cách sau đây Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 s ố 1, 1,( 1) ab c cùng d ấu, không m ất tính t ổng quát, gi ả s ử 11 0 ab . Khi đó 11 0 c a b c ac bc abc . Do đó ta ch ỉ c ần ch ứng minh a b ab abc T ừ gi ả thi ết 4 ab bc ca abc suy ra 4 ab c ab ab Thay vào b ất đẳng th ức trên ta được b ất đẳng th ức t ương đư ơng là: 2 4 14 0 ab ab ab ab ab ab ab ab a b ab ab B ất đẳng th ức trên hi ển nhiên đúng. Phép ch ứng minh hoàn t ất. Bài toán 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 32a b c ab c . Lời giải Bất đẳng thức được viết lại là 22 2 11 1 P32abc0 ab c Không mất tính tổng quát giả sử a1 và b1 cùng không âm. Khi đó suy ra a1 b 1 0 . Ta có 2 22 2 2 22 22 22 2 2 11 1 1 1 2 1 P 3 2a b c 2a b c 3 ab ab ab c c 11 11 2c a b 2 a b c 3 a b 2a 2b 3 ab ab 11 2a 1 b 1 ab 1 0 ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 11 1 1 1 1 a 1b1 b1c 1 c 1a 1 3 bc c a a b Lời giải Đặt 11 1 xa ;y b ;z c bc a , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành x 1 y 1 y 1 z1 z1 x 1 3 Hay ta cần chứng minh xy yz zx 2 x y z Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số x2,y 2,(z 2) cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử x2 y 2 0 , suy ra xy 4 2x 2y 2 x y z 2z xy 4 Lại có 1 xyz abc x y z 2 x y z 2 2 xy z abc Suy ra zxy 1 2 xy1 z xy1 2 Từ hai bất đẳng thức trên ta được 2x y z 2z xy 4 xy yz zx Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài toán 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 aa 1b b 1c c 11 Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1,b 1,(c 1) cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử b1 c1 0 . Khi đó ta được 22 22 2 22 bb 1 c c 1 bcb 1 c 1 b c b c 1 1 bc b c 1 b c b c 1 2 Do đó ta được 22 2 2 222 aa 1b b 1c c 1 11 aa 1 b c b c 1 aa 1a 4a 5 22 Nên ta chỉ cần chứng minh 2 22 2 aa 1a 4a 5 2 a 1 a 3a 3 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài toán 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c a b c 2ab bc ca Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1,b 1,(c 1) cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 abc ac bc c . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 ab c 3abc 3 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 ab c 3 2ab bc ca Thật vậy ta có 22 2 2 2 2 ab c 3 ab c 2abc 1 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 ab 2ab;c 1 2c Kết hợp với abc ac bc c ta được 22 2 a b c 3 2ab 2c 2 bc ca c 2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài toán 11. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 1 abc 2 a 1 b 1 c 1 a b c 2 Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1,b 1,c 1 cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b1 0 ab a b1 . Vì vậy để hoàn tất bài toán ta chỉ cần chứng minh 22 2 1 2a1 b1 c1 ca b c 2 ba 1 Hay 22 2 1 a1 b 1 c 1 a b 2 1 c 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 2 ab 2 a 1 b1 c1 c1 2 2 a b 2 1c 2a b 2 1c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài toán 12. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 2a b c abc 8 5a b c Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1, b 1, c 1 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử a 1 b 1 0 abc ac bc c . Suy ra 22 2 2 2 2 2a bc abc 8 2a bc ac bc c 8 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2a b c ac bc c 8 5a b c Thật vậy, bất đẳng trên tương đương với 22 2 2 2 bc 2 c a 2 3a 1 3b 1 2c 1 0 Bất đẳng thức trên luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi à chỉ khi ab c 1 . Nh ận xét: Hoàn toàn t ương t ự ta có th ể t ổng quát hóa bài toán trên: a). Cho a, b, c là các s ố th ực dương. Ch ứng minh r ằng: 22 2 32 2 1 ma b c abc m m a b c . Trong đó m là s ố th ực cho tr ước th ỏa mãn 2 2 m b) Cho a, b, c là các s ố th ực dương. Ch ứng minh r ằng: 22 2 21 2 1 2 m a b c abc m ab bc ca . Trong đó m là s ố th ực cho tr ước th ỏa mãn 1 m c) Cho a, b, c là các s ố th ực dương. Ch ứng minh r ằng ta luôn có b ất đẳng th ức: 22 2 2 abca b c a b cab bcca d) Cho a, b, c là các s ố th ực dương. Ch ứng minh r ằng: 44 4 2136 abc a b c a b c Bài toán 13. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 33 3 5 a b c 3abc 9 9 ab bc ca Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1, b 1, c 1 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 3abc 3ac 3bc 3c . Suy ra 33 3 3 3 3 5 a b c 3abc 9 5 a b c 3ac 3bc 3c 9 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3 33 3 5 a b c 3ac 3bc 3c 9 9 ab bc ca 5 a b c 9 9ab 6bc 6ca 3c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 33 33 33 3 3 33 33 3 3 3 3 3 3 3c 3 c .1.1 c 1 1; 6ca 6 c a .1 2c 2a 2 6bc 6 b .c .1 2b 2c 2; 9ab 9 a .b .1 3a 3b 3 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 5 a b c 9 9ab 6bc 6ca 3c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài toán 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 9abc 1 4 ab bc ca Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số 11 1 a,b ,c 33 3 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử 11 a b 0 9abc 3ac 3bc c 33 . Suy ra 19abc 1 3ac 3bc c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 13ac 3bc c 4ab bc ca Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 1 c c a b 4ab 1 c c 1 c 4ab 1 c 4ab a b 4ab a b 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 hoặc 1 ab ;c 0 2 và các hoán vị Nh ận xét: Hoàn toàn t ương t ự ta có th ể ch ứng minh bài toán: Cho a, b, c là các s ố th ực không âm tho ả mãn ab c k . Ch ứng minh r ằng: 3 94 abc k k ab bc ca Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 2 1 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1, b 1, c 1 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử c1 ab 1 a1 b 1 a 0b c . Do đó ta được 2 2c 1 a 1 b1 c 1 1a b ab c 1 21ab 1 c c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 11 1 1 ab 1a 1 b 1 ab1 1 ab1 ba ba 1c 1ab c 1 1ab a b 1 ab a b Do đó ta được 22 2 22 2 11 1 2 1 a 1b 1c 1a 1 b 1 c cc 1 1 c c1 c 1 c1 c1 c1 c1 Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 Bài toán 16. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 1 ab c 1 a1 b 1 c 1 Lời giải Trước hết ta chứng minh 22 11 1 1ab a1 b 1 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 2 2 2 ab 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab a b ab 1 Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Mà ta có 1c 1ab 1 c nên ta có 22 11 c 1c a1 b 1 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 c1 1 1 1c a b c1 c1 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1, b 1, c 1 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử c1 ab 1 a1 b 1 a 0b c . Khi đó ta được 22 2 cc 1 1 c c1 1 c 1 1 1 1c a b c1 1 c c1 c1 c1 c1 c1 c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài toán 17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 a3 b 3 c 3 3 a1 b 1 c 1 Lời giải Trước tiên ta chứng minh 2 bổ đề sau: Bổ đề 1. 11 1 2 1 1 a 1b 1c 1 a b c Bổ đề 2. 22 2 11 1 1 1 ab c 1 1a 1 b 1 c + Bổ đề 1: Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 3ab bc ca 2a b c 3a b c ab c 3 2 abbcca a bc 1 a bc Đánh giá cuối cùng luôn đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy thì 3 22 2 222 ab c 3abc 3 Vậy bổ đề 1 được chứng minh. + Bổ đề 2: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a1,b 1,(c 1) cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử c1 a1)(b 1 0 ab 1 a b c . Ta có 22 22 11 1 ab 1 a b 0 1ab 1a 1 b (đúng) Do đó ta được 22 11 1 c 1ab c 1 1a b 1 Suy ra 22 2 2 11 1 1 c 1 1 1 a b c1 c1 c1 1 a 1b 1c c1 c1 c Vậy bổ đề 2 được chứng minh. Trở lại bài toán thì bất đẳng thức cần chứng minhtương đương với 22 2 11 1 2 2 2 3 1a 1 b 1 b a 1 b1 b1 Mà theo bổ đề trên ta có 22 2 22 2 11 1 2 2 2 1 a 1b 1b a1 b 1 b 1 22 2 2 12 1 3 ab c 1 a1 b 1 b 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài toán 18. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 22 2 bc a c a b a b c 3 5 abc b ca c ab Lời giải Chú ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành 22 2 22 2 22 2 12a 1 2b 12c 3 5 abc b ca c ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 22 2 2 22 2 222 22 22 1 2b 1 2c 2 2b 2c 2a bc a bca c a b b c 1a 1b Ta quy bài toán về chứng minh 2 2 22 2 2 12a 2a 3 5 bc a abc Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số 11 1 a,b ,c 33 3 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử 2 22 11 1 1 bc 0 bc bc 33 3 9 . Do đó ta được 22 2 22 2 2 2a 2a 18a bc a 9a 3a 5 21 aa 39 Suy ra 22 22 22 2 2 2 22 12a 1 2a 2a 18a bc a 9a 3a 5 abc a bc Dễ dàng chứng minh được 2 2 2 2 22 2 12a 18a 3 3a 1 17a 8a 5 0 5 9a 3a 5 abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Qua một số bài toán trên, ta thấy rằng nguyên lí Dirichlet không những có ứng dụng trong việc giải toán rời rạc, các bài toán về số học, tổ hợp, … mà còn rất có hiệu quả trong việc chứng minh một số bài toán về bất đẳng thức, trong một số trường hợp cho ta lời giải vô cùng đẹp đẽ và trong sáng, góp phần trong việc nâng cao tư duy và tạo sự hứng thú cho các học sinh yêu thích môn toán. Hy vọng rằng, với suy nghĩ và những ví dụ trên sẽ góp phần bổ sung thêm kiến thức và kinh nghiệm trong việc chứng minh bất đẳng thức. Chủ đề 8. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG ĐẲNG THỨC Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến ?! Câu trả lời là rất rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội, khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nào đó. Nhưng bạn hãy quan niệm rằng đằng sau bất kì một điều gì luôn hàm chứa một ý nghĩa nhất định. Và cũng không phải ngẫu nhiên mà sự lí giải lại được hình thành. Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy. Đôi khi bạn không thể hiểu được tại sao người ta lại có thể tìm ra một lời giải trông có vẻ “kì cục” như thế !!! Phải chăng là lần mò và may rủi lắm mới tìm ra được ? Câu trả lời lại một lần nữa được nhắc lại là mỗi lời giải đều có sự giải thích của riêng bản thân nó. Việc tìm ra lời giải đó phải đi qua một quá trình lập luận, thử, sai và đúng. Trong bài viết nho nhỏ này chúng tôi muốn giới thiệu đến các bạn một kĩ thuật cơ bản nhưng không kém phần hiệu quả trong việc chứng minh một số dạng của bất đẳng thức. Nó không giúp ta giải quyết tất cả các bài toán mà chỉ giúp ta tìm ra những lời giải ngắn gọn và ấn tượng trong một lớp bài toán nào đó. Một số bài toán tuy dễ đối với phương pháp này nhưng lại là khó đối với kỹ thuật kia. Đây cũng là điều hiển nhiên và dễ hiểu. 1. Ví dụ mở đầu Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng 22 2 22 2 2a b c 11 1 5 3 ab c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 22 2 11 1 2a 2b 2c 5 33 3 ab c Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây 2 2 12a 7 2a 33 3 a Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 2 a1 2a 6a 3 0 3a Hiển nhiên đúng với a là số thực dương. Áp dụng tương tự ta được 22 22 1 2b 7 2b 1 2c 7 2c ; 33 3 3 3 3 bc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 2a b c 11 1 2a 2b 2c 75 33 3 3 ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta. Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau 2 2 22 a1 a 1 2a 3 12a 5 0 33a3a Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương. Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện ab c 3 . Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng 2 2 12a 5 ma n 1 33 a Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định. Thiết lập tương tự với các biến b và c ta được 22 22 12b 5 1 2c 5 mb n; mc n 33 3 3 bc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có 22 2 22 2 11 1 2a 2b 2c 5ma b c 3n 5 3m n 3 ab c Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện mn 0 n m . Thế vào (1) dẫn đến 2 2 12a 5 ma 1 2 33 a Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 nên ta cần xác định m sao cho 2 2 22 a1 2a 3 12a 5 ma 1 a 1 m 0 33a3a Khi cho a1 thì ta có 2 2 a1 2a 3 2 3 3a từ đó ta dự đoán rằng 2 m 3 để tạo thành đại lượng bình phương 2 a1 trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ 2 2 12a 7 2a 33 3 a Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 22 2 5a b 5b c 5c a 3 ab 3a bc 3b ca 3c Lời giải Ta đi chứng minh bất đẳng thức 33 2 5a b 2a b ab 3a Thật vậy, dễ dàng chứng minh được 33 ab aba b , ta biến đổi tương đương bất đẳng thức bên như sau 33 3 3 3 33 2 2 33 33 2 ab aba b 5a b 6a aba b 5a b a 6a ab b 5a b a 2a b 3a b 5a b 2a b ab 3a Hoàn toàn tương tự ta được 33 3 3 22 5b c 5c a 2b c; 2c a bc 3b ca 3c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 3 22 2 5a b 5b c 5c a ab c 3 ab 3a bc 3b ca 3c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên, ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức 33 2 5a b ma nb ab 3a đúng, với mn 1 n 1 m . Ta viết lại bất đẳng thức trên thành 3 3 3 22 2 5a 1 ma 5t 1 b 1m mt 1 1 b a3a t 3t b b với a t b Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại ab c tức là xẩy ra tại t1 , khi đó ta cần xác định m sao cho 32 22 5t 1 5t 2t 1 mt 1 1 t 1 m 0 t3t t 3t Cho t1 thì ta được 2 2 5t 2t 1 2 t3t nên ta chọn m2 và từ đó ta được n1 . Khi này ta đi chứng minh bất đẳng thức 33 2 5a b 2a b ab 3a Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” như vậy. Phải chăng đó là dự đoán một cách may mắn. Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo một qui luật của nó. Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều hướng khá mới mẻ. Kỹ thuật này có tên là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique hay còn gọi là kỹ thuật hệ số bất định. Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó. 2. Một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định Có thể nói với phương pháp hệ số bất định ta có thể giải quyết được một lớp các bất đẳng thức mà ở đó các biến độc lập với nhau. Dưới đây là một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định. Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng 22 2 111 1 ab c b c a c a b Lời giải Ở đây ta cần tìm m để bất đẳng thức dưới là đúng 22 2 aa 1 11 1 ma 1 m a 1 3 ab c a a 3 3a a 3 Tương tự như trên ta dự đoán rằng với 1 m 9 thì bất đẳng thức phụ đúng. Thật vậy 22 2 22 a1 3a a1 b c 14a 00 99 aa 3 3a a 3 3a a 3 Hoàn toàn tương tự ta được 22 14b 1 4c ; 99 9 9 bb 3 c c 3 Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được 22 2 111 4abc 1 39 ab c b c a c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 33 3 ab c 3 . Chứng minh rằng 22 2 11 1 45abc27 ab c Lời giải Ta cần tìm hệ số m sao cho 2 23 2 a 1 5a 5a 4 4 5a 9 m a 1 m a 1 a a 1 aa Ta dễ dàng nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1. Khi cho a1 thì ta có thể dự đoán rằng m2 . Ta sẽ chứng minh rằng với m2 thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy 2 2 23 a1 2a a 4 4 5a 7 2a 0 aa Do 3 2 a3 2a a4 0 . Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng. Hoàn toàn tương tự ta được 23 2 3 44 5b 7 2b ; 5c 7 2c bc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 3 3 3 11 1 45abc212abc27 ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng 4a b c 11 1 7 ab c 3 Lời giải Ta cần tìm hệ số m sao cho 232 14a 7 ma 1 3ma 4a 7 3ma 3 0 a3 3 Dự đoán là đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , khi đó ta tìm được 1 m 6 . Như vậy ta đi chứng minh bất đẳng thức 2 2 14a 1 7 a 1 a1 6a 0 a3 6 3 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì từ 22 2 ab c 3 ta được 0a,b,c 3 . Hoàn toàn tương tự ta được 22 14b 1 7 1 4c 1 7 b1 ; c 1 b3 6 3c 3 6 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 4a b c 11 1 7 ab c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab c 3 và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định. Chứng minh rằng: 22 2 aa 1 b b 1 c c 1 3 Lời giải Biểu thức P xác định khi và chỉ khi 51 a, b, c 2 . Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Khi đó ta đi tìm m để bất đẳng thức sau đúng 2 1 aa 1 ma 2 Để ý đẳng thức xẩy ra tại a1 khi đó ta tìm được 3 m 2 , tức là ta cần phải chứng minh được 2 3a 1 aa 1 2 Thật vậy ta có 22 2 2 3a 1 5 a 1 3a 1 3a 1 aa 1 442 Chứng minh tương tự ta được 22 3b 1 3c 1 bb 1 ; cc 1 22 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 3a b c 3 aa 1 b b 1 c c 1 3 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng 22 2 11 1 1 aa 3 b b 3 c c 3 Lời giải Vì a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Do đó ta được a, b, c 0; 3 . Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Ta cần tìm m để bất đẳng thức sau đúng 2 14 ma 9 aa 3 Để ý là đẳng thức xẩy ra tại a1 , khi đó ta tìm được 1 m 9 Khi đó ta đi chứng minh 2 1a4 99 aa 3 Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 14a 4a a a 3 9 a 3 a 1 0 9 aa 3 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a0;3 . Chứng minh tương tự ta được 22 14b 1 4c ; 99 bb 3 c c 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 12 a b c 11 1 1 9 aa 3 b b 3 c c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 22 2 ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab c 33 2 bc c a a b Lời giải Từ giả thiết 22 2 ab c 1 , ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 ab c a b c b c c a a b 1 a 1b 1c Xét 2 22 2 2 22 a3a 2 3a 1 2a 3 3a 1 a a33 a0 2 1a 21 a 2 1 a Từ đó suy ra 2 2 a33 a 2 1a , chứng minh tương tự ta được 22 22 b33 c 33 b; c 22 1b 1c Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được 22 2 22 2 33 a b c ab c 33 22 1 a 1b 1c Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 3 . Bài toán 7. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng : 22 2 22 2 11 1 ab c ab c Lời giải Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số a, b, c thuộc khoảng 1 0; 3 , chẳng hạn 1 0a 3 thì ta có 2 22 2 22 2 11 1 9a b c a b c ab c nên bài toán được chứng minh, do vậy ta chỉ xét 17 a,b,c ; 33 . Khi đó ta đi tìm hệ số m để bất đẳng thức sau đúng 2 2 1 ama1 a , Để ý là khi a1 thì đẳng thức luôn xẩy ra với mọi m, do đó để chọn được m lấy giá trị của a càng gần 1 càng tốt và ta chọn m sao cho đẳng thức gần xẩy ra, bằng cách đó ta chọn được m4 là giá trị tốt nhất. Ta đi chứng minh bất đẳng thức 2 2 1 a4a4 a Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 22 a1 2 a 1 1 a4a 4 0 0 aa Hoàn toàn tương tự ta được 22 22 11 b4b4; c 4c4 bc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 11 1 ab c 4a b c 12 0 ab c Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Bài toán 8. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn 44 4 ab c 3 . Chứng minh rằng: 11 1 1 4ab 4 bc 4 ca Lời giải Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho bài toán này ngay được, ta cần phải biến đổi như thế nào đó để đưa bài toán đã cho về dạng các biến độc lập với nhau Áp dụng bất đẳng thức 22 ab ab 2 , khi đó hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 2 2 11 1 2 2 2 4ab 4 bc 4 ca 8a b 8 b c 8 c a Tiếp theo đặt 222 22 2 2 2 2 xb c ;y c a ;z a b thì ta được 44 4 xy z 4a b c 12 Bài toán quy về chứng minh 11 1 1 2 8x 8y 8 z . Đến đây ta chứng minh bất đẳng thức 11 1 x4 144 6 8x . Thật vậy bất đẳng thức tương đương với 2 2 x4 x 4 x4 1 x4 0 0 144 6x 2 8 x 144 x 2 8 x Vì xy z 12 nên x0;12 do đó bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng. Tương tự ta được 11 1 1 1 1 y4 ; z 4 144 6 144 6 8y 8 z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 11 1 1 11 xy z 12 3. 144 6 2 8x 8y 8 z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi xy z 4 hay ab c 1 . Bài toán 9. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ab c d 4 . Chứng minh rằng 22 2 2 1 111 2 a1 b 1 c 1 d 1 Lời giải Ta sẽ xác định hệ số m để bất đẳng thức sau là đúng 22 2 a1 a 1 2 1ma 1 ma 1 a1 a1 a1 a1 m 0 a1 Để ý là đẳng thức xẩy ra tại a1 , khi ta tìm được m1 . Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau đúng 2 2 2a a1 Thật vậy 2 22 aa 1 2 2a 0 a1 a1 Hoàn toàn tương tự ta được 222 22 2 2b; 2 c; 2d b1 c1 d1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 1 111 2 a1 b 1 c 1 d 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c d 1 . Nh ận xét: Ta có th ể s ử d ụng k ỹ thu ật “Cauchy ng ược d ấu” để tìm ra b ất đẳng th ức ph ụ trên 22 22 1 11 1 22 11 aa a a aa Bài toán 10. Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn ab c d 1 . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 22 22 1 6a b c d a b c d 8 Lời giải Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c d 4 Ta cần tìm hệ số m sao cho bất đẳng thức sau đúng 32 1 6a a ma 8 Để ý đẳng thức xẩy ra tại 1 a 4 , ta chọn được 5 m 8 . Khi đó ta cần chứng minh 32 51 6a a a 88 . Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 2 32 51 1 6a a a 0 4a 1 3a 1 0 88 8 Bất đẳng thức trên luôn đúng do a0 . Hoàn toàn tương tự ta được 32 3 2 32 51 5 1 51 6b b b ; 6c c c ; 6d d d 88 8 8 88 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 33 2 2 2 2 1 6a b c d a b c d 8 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 11. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn 22 22 ab c d 4 . Chứng minh rằng: 33 33 3 2a b c d 2 2 ab ac adbcbddc 2 Lời giải Theo bài ra a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn 22 2 2 2 ab c d 4 a b c d 2 2 ab ac ad bc bd cd a b c d 2 2 ab ac ad bc bd cd Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 33 3 3 3 2a b c d 2 a b c d 2 Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau đúng 2 3 2a 1 a 1 3a 1 2a m a 1 m a 1 22 Dễ dàng dự đoán được 9 m 2 . Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức 3 9a 1 3a 1 2a 22 Thật vậy 2 3 9a 1 3a 1 2a 2 a 1 a 2 0 22 Vậy bất đẳng thức trên đúng. Hoàn toàn tương tự ta được 33 3 9b 1 9 c 1 9d 1 3b 1 3c 1 3d 1 2b ; 2c ; 2d 22 2 2 22 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 2a b c d 2 a b c d 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi va chỉ khi ab c d 1 Bài toán 12. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 222 22 2 ab c 3 5 a 3ab b b 3bc c c 3ca a Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức sau đúng 3 22 a ma nb a3ab b Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại ab 1 ta tìm được 21 m;n 55 Khi đó ta đi chứng minh 3 22 a2ab 5 a3ab b Thật vậy, ta có biển đổi sau 32 2 2 2 3 22 22 2 2 22 a3ab ab 3ab ab a3abab a a3ab b a 3ab b a3ab b Theo bất đẳng thức 22 ab 2ab , do đó ta có 322 22 2 2 ab 3a b a3abab 2ab aa 5ab 5 a3ab b a 3ab b Áp dụng tương tự ta được 33 22 2 2 b2bc c 2ca ; 55 b3bc c c 3ca a Từ các bất đẳng thức trên ta suy ra 33 3 222 22 2 ab c abc3 55 a 3ab b b 3bc c c 3ca a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài toán 13. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 222 22 2 ab b c c a 2 aab b b bc c c ca a Lời giải Ta có biến đổi biểu thức như sau 22 33 22 2 2 ab a ab b ab aab b aab b Dễ dàng chứng minh được 22 2 2 1 aab b a ab b 3 Thật vật, bất đẳng thức trên tương đương với 2 22 2 2 2 2 3 a ab b a ab b a 2ab b 0 a b 0 Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh trên ta được 33 22 ab 1 ab 3 aab b Áp dụng tương tự kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 3 3 3 3 222 22 2 ab b c c a 2 ab c 2abc 2 3 aab b b bc c c ca a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . 3. Kĩ thuật đổi biến và phương pháp hệ số bất định Bây giờ chúng ta sẽ bước sang một khoảng không gian mới với lớp bất đẳng thức đối xứng ba biến và kĩ thuật đổi biến theo hướng chuẩn hóa kết hợp với phương pháp hệ số bất định. Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực không dương. Chứng minh rằng: ab c 3 bc c a a b 2 Lời giải Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho ab c . Khi đó ta đặt 3a 3b 3c x;y ;z ab c a b c ab c thì được xy z 3 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy z 3 yz z x x y 2 Bài toán trên tương đương với bài toán: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng ab c 3 bc c a a b 2 Cách đổi biến như trên ta gọi là chuẩn hóa. Bài toán qui về việc chứng minh ab c 3 3 a 3b 3c 2 Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức đúng 3a 1 a1 ma 1 m a 1 3a 2 23 a Dễ dàng dự đoán 3 m 4 . Ta chứng minh bất đẳng thức với m như vậy thì luôn đúng 2 3a 1 a3a1 0 3a 4 43 a Điều này hiển nhiên đúng. Hoàn toàn tương tự ta được b3b1 cb 3c1 ; 3b 4 3 c 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab c 3 3 a 3b 3c 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng 22 2 22 2 22 22 22 2 3a b c bc a a c b a b c 2a b c 2b a c 2c b a a b c Lời giải Tương tự như bài toán trên ta có thể chọn ab c 3 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 22 2 23 2a 23 2b 23 2c ab c a2a 3 b 2b 3 c 2c 3 Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau là đúng 2 2 2 23 2a ama 1 a2a 3 Ta lại có 2 2 2 22 a1 a 3 a 4a 6 23 2a a a2a 3 a2a 3 Từ đây dễ dàng dự đoán với m6 thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy 22 2 22 23 2a a 1 6 a a a6a 1 0 a2a 3 a2a 3 Điều này hiển nhiên đúng do a(0,3). Hoàn toàn tương tự ta được 22 22 22 23 2b 23 2c b6b 1; c 6c 1 b2b 3 c2c 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 22 2 23 2a 23 2b 23 2c ab c a2a 3 b 2b 3 c 2c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 222 ab c b c a c a b 6 5 bc a c a b a b c Lời giải Tương tự như bài toán trên ta có thể chọn ab c 3 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 a3 a b 3 b c 3 c 6 5 9 6a 2a 9 6b 2b 9 6c 2c Tương tự như trên ta dễ dàng tìm ra bất đẳng thức phụ sau: 2 2 2 a 3 a a 1 18a 9 21 9a 0 25 96a 2a 25 9 6a 2a Tưng tự ta được 22 b3 b c 3 c 21 9b 21 9c ; 25 25 96b 2b 9 6c 2c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 a3 a b 3 b c 3 c 6 5 9 6a 2a 9 6b 2b 9 6c 2c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài toán 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 22 2 ab c 9 4a b c bc c a ab Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử ab c 3 . Bài toán cần chứng minh qui về dạng sau 22 2 ab c 3 4 3a 3 b 3 c Dễ dàng dự đoán bất đẳng thức phụ sau 2 22 a1 9 2a a2a1 0 4 3a 43 a Điều này hiển nhiên đúng do a [0; 3). Hoàn toàn tương tự ta được 22 b2b1 c2c1 ; 44 3b 3c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c 3 4 3a 3 b 3 c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 22 2 22 2 22 2 b c 3a a c 3b a b 3c 1 2 2a b c 2b a c 2c b a Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử ab c 3 . Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 22 2 34a 3 4b 34c 1 2 2a 3 a 2b 3 b 2c 3 c Sử dụng bất đẳng thức phụ sau 22 2 2 2 34a a 1 398a 8a 7 0 6 6a 2a 3 2a 3 a Điều này hiển nhiên đúng vì 0a 3 39 8a 39 24 15 0 . Hoàn toàn tương tự ta được 22 22 22 34b 3 4c 8b 7 8c 7 ; 66 2b 3 b 2c 3 c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 22 2 34a 3 4b 34c 1 2 2a 3 a 2b 3 b 2c 3 c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Sau một quá trình tìm hiểu và phân tích cụ thể các bài toán, chắc hẳn rằng các bạn cũng đã phần nào cảm nhận được nét đẹp của phương pháp hệ số bất định dù rằng thực ra đây là một kĩ thuật cực kì đơn giản và dễ hiểu. Chúng tôi không xem phương pháp hệ số bất định là một phương pháp chính thống mà đơn giản nó là một kĩ thuật cần biết và cần nắm vững khi bạn học bất đẳng thức. Nhiều người quan niệm rằng phương pháp hệ số bất định không có ý nghĩa gì nhưng theo bản thân chúng tôi nó nên được khái quát để sử dụng trong một số trường hợp. Phương pháp hệ số bất định là một bước đệm quan trọng và đôi khi mang nhiều ý nghĩa trên con đường đi tìm lời giải cho bài toán. Một kĩ thuật hay không nhất thiết nó là nó giải được tất cả các dạng toán mà là nó phải đưa ta đến những ý tưởng, đường đi sáng sủa, dễ nghĩ, dễ nhận thấy bằng mặt trực quan. Chủ đề 9 ỨNG DỤNG CỦA MỘT HỆ QUẢ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR Trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông thì bài tập chứng minh bất đẳng thức là một trong những loại bài tập khó. Cái khó của loại bài tập này là ở chỗ, mỗi bài nó có một cách tiếp cận riêng, cách giải riêng và độc đáo. Chứa đựng trong chúng là những kiến thức sâu rộng và những kĩ năng phức tạp, nó đòi hỏi chúng ta cần phải có tư duy linh hoạt, kĩ năng thuần thục tới độ “linh cảm”. Mặc dù chúng ta đã biết rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết, phương pháp quy nạp, phương pháp đánh giá đại diện, phương pháp phản chứng...; cũng như đã có nhiều kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức là rất phong phú. Trong khi đó nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông lại đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy, khả năng linh hoạt và óc sáng tạo; đồng thời nó cũng giúp học sinh rèn luyện tính cần cù, tinh thần vượt khó. Hơn thế nữa, mỗi bất đẳng thức và cách chứng minh bất đẳng thức đó có một vẻ đẹp lộng lẫy và sức hấp dẫn kì lạ đối với mỗi người nghiên cứu chúng nên việc nghiên cứu chúng còn có tác dụng kích thích sự say mê trong học tập môn Toán cũng như các môn học khác. Bên cạnh đó, sau khi giải xong một bài tập về bất đẳng thức, một câu hỏi thường được đặt ra với chúng ta là: Bất đẳng thức này từ đâu mà có? Bất đẳng thức này có thể ứng dụng để chứng minh được các bài toán nào? Để trả lời câu hỏi này thật không đơn giản chút nào. Trước hết ta bắt đầu với bài toán: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab c a b c b c a abc Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đối xứng ba biến và nó là một hệ quả của bất đẳng thức Schur. Có ba cách giải đều rất hiệu quả như sau Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Cách 1. Khi đó ab c 0;a c b 0 . Nếu bc a 0 thì bất đẳng thức đã cho đúng. Do đó ta chỉ còn xét cả ba đại lượng ab c;ac b;b c a đều dương. Theo bất đẳng thức Cauchy 2 2 2 2 2 2 ab c a b c ab c a b c a 2 ab c a b c ab c b c a c 2 bc a a b c bc a a b c b 2 Do cả hai vế của các bất đẳng thức trên đều dương, nên nhân vế với vế ta được: 2 2 a b c a bc bc a abc Hay ta được a b c a bc bc a abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2. Ta có bất đẳng thức hiển nhiên 2 22 ab c a hay 2 ab c a c b a Tương tự ta có thêm hai bất đẳng thức nữa 22 bc a a b c b; c a b b c a c Do cả hai vế của các bất đẳng thức trên đều dương, nên nhân vế với vế ta được: 2 2 a b c a bc bc a abc Hay ta được a b c a bc bc a abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 3. Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 33 3 2 2 2 ab c 3abc ab c b c a c a b Không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có 2 33 3 2 2 2 ab a b c cac b c 0 ab c 3abc a b c b c a c a b Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Khá bất ngờ với cách giải thứ ba bởi vì khi biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được một hệ quả khác của bất đẳng thức Schur, thông thường với bài toán trên ta thường sử dụng cách thứ nhất hoặc cách thứ hai. Một vấn đề được đặt ra ở đây là từ bất đẳng thức ab c a b c b c a abc Ta có thể ứng dụng để chứng minh được một lớp những bất đẳng thức nào? 1. Bất đẳng thức Schur và các hệ quả a) Bất đẳng thức Schur: Cho a, b, c là các s ố th ực không âm. Khi đó ta có 0 aa b a c bbc ba cc a c b b) Hệ quả: Cho a, b, c là các s ố th ực không âm. Khi đó ta có + 33 3 2 2 2 3 ab c abc ab c bc a ca b + abc a b c b c a c a b 2. Một số bài toán ứng dụng hệ quả của bất đẳng thức Schur Với hai hệ quả trên ta sẽ ứng dụng để chứng minh được một lớp các bất đẳng thức đối xứng bậc ba, qua đó ta sẽ thấy được ứng dụng rộng lớn của bất đẳng thức Schur Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 33 3 a b c 6abc a b c ab bc ca Lời giải Để ý đến đẳng thức 22 2 a b c abbcca a bc b c a c a b 3abc Khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành 33 3 2 2 2 ab c 3abc ab c b c a c a b Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức Schur. Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và cỉ khi ab c Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 3 a b c 9abc 4a b c ab bc ca Lời giải Để ý đến đẳng thức 3 33 3 ab c a b c 3a b b c c a Do đó ta được 3 33 3 ab c 9abc a b c 9abc 3a b b c c a Theo hệ quả của bất đẳng thức Schur ta được 33 3 22 2 ab c 9abc 3a b b c c a ab c b c a c a b 6abc 3a b b c c a Để ý đến các đẳng thức 22 2 a b c b c a c a b 3abc a b c ab bc ca a b b c c a abc a b c ab bc ca Do đó ta được 22 2 ab c b c a c a b 6abc 3a b b c c a 4a b c ab bc ca Suy ra 33 3 a b c 9abc 3 a b b c c a 4 a b c ab bc ca Hay 3 a b c 9abc 4a b c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 9abc ab c 2ab bc ca ab c Lời giải Vì a, b, c là các số dương khi đó 22 2 9abc ab c 2ab bc ca ab c Tương đương với 2 9abc ab c 4ab bc ca ab c Hay 3 a b c 9abc 4a b c ab bc ca Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bài toán 2. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a b c 4abc 2 bc c a a b ab b c c a Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với aa b a cba b b c cc a b c4abc 2a b b c a c Hay tương đương với 33 3 2 2 2 2 2 2 33 3 2 2 2 ab c 3abc ab ab bc bc ca ca ab c 3abc a b c b c a c a b Bất đẳng thức cuối cùng là hệ quả của bất đẳng thức Schur Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 4ab bc ca 9abc 1 Lời giải Bất đẳng thức có các vế chưa đồng bậc, chú ý đến giả thiết ab c 1 ta đồng bậc hóa bất đẳng thức thành 3 4a b c ab bc ca 9abc a b c Đây chính là bất đẳng thức trong bài toán 2. Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 1 . Chứng minh rằng: 7 ab bc ca 2abc 27 Lời giải Dễ dàng chứng minh được ab c b c a c a b abc Hay 12a 1 2b 12c abc , khai triển ra ta được 1 2 a b c 4 ab bc ca 8abc abc 4ab bc ca 1 9abc Từ đó suy ra 19abc ab bc ca 4 Mặt khác, từ ab c 1 và bất đẳng thức Cauchy ta được 3 ab c 1 abc 327 Do đó ta có 19abc 7 ab bc ca 2abc 2abc 427 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Nh ận xét: M ột l ớp các b ất đẳng th ức t ương t ự 7 9 2 ab bc ca abc 33 3 2 2 2 2 3 abc abca b c 8 27 ab bc ca abc 33 3 6 91 ab c abc 22 2 13 4 27 ab c abc 7 8 9 3 ab bc ca abc Bài toán 7. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 11 1 ab c 2abc 2ab bc ca ab b c c a Lời giải Áp dụng bất đẳng tức Cauchy dạng 11 1 9 xy z x y z ta được 22 2 2 2 2 11 1 9abc ab c 2abc a b c ab b c c a ab c Ta cần chỉ ra được 22 2 9abc ab c 2ab bc ca ab c ,bất đẳng thức này tương đương với 33 3 2 2 2 ab c 3abc a b c b c a c a b . Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức Schur.Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 8. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 3a b c ab b c c a bc bc c a a b c Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 3a b c ab b c c a ab b c c a ab c ca b a b c b c a 2a b c 3a b c ab b c c a ca b 2ab a b c 2bc b c a 2ca ab c ab b c c a 11 1 2ab bc ca a b c abc ab b c c a Theo bất đẳng thức dạng 11 1 9 xy z x y z ta được 22 2 2 2 2 11 1 9abc ab c 2abc a b c ab b c c a ab c Ta cần chỉ ra được 22 2 9abc ab c 2ab bc ca ab c , bất đẳng thức này tương đương với 33 3 2 2 2 ab c 3abc a b c b c a c a b . Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức Schur Bài toán trên được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài toán 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 33 3 3 3 3 a1 b 1 c 1 2 bc 1 c a 1 a b 1 Lời giải Đặt 33 3 x a ;y b ;z c xyz 1 , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x1 y 1 z 1 2 yz 1 z x 1 x y 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 x1 y 1 z 1 yz 1 z x 1 x y 1 x1 y 1 z 1 x1 y z 1 y 1 z x1 z 1 x y 1 xy z 3 2xy yz zx 3 x y z 3 Ta cần chứng minh 2 xy z 3 2 2xy yz zx 3 x y z 3 , bất đẳng thức này tương đương với 22 2 x y z 2 xy yz zx 6 x y z 9 4xy yz zx 6 x y z 6 Hay 22 2 3 2 xy yz zx x y z Từ bất đẳng thức quen thuộc xy z y z x z x y xyz Khai triển và biến đổi tương đương ta được 3 xy z 9xyz 4xy x xy yz zx Do đó ta được 2 9xyz 9 4xy yz zx x y z xy z x y z Hay 22 2 9 2xy yz zx x y z xy z Cuối cúng ta cần chỉ ra rằng 9 3 xy z hay xy z 3 . Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài toán 10. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3 22 2 ab c a b c b c a c a b 27abc Lời giải Xét trường hợp ab c b c a c a b 0 , bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Xét trường hợp ab c b c a c a b 0 , khi đó dễ dàng chứng minh được ab c 0; b c a 0; c a b 0 . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 33 3 3 27abc a b c a b c b c a c a b 9 a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 27abc a b c b c a c a b ab c a b c a b c a b c Hay 3 22 2 27abc a b c b c a c a b 2 ab bc ca a b c Khi đó ta được 3 3 3 22 2 27abc a b c b c a c a b a b c 2ab bc ca a b c a b c Như vậy ta cần chứng minh 22 2 a b c 2 ab bc ca a b c 9abc Hay 22 2 9abc ab c 2ab bc ca ab c Khai triển và rút gọn ta được 33 3 2 2 2 ab c 3abc a b c b c a c a b abc a b c b c a c a c Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi a, b, c. Bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 1ab 1 bc 1 ca 12 1ab 1 bc 1 ca Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 3 22 2 2 2 2 1ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 3 1ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca Như vậy ta cần chứng minh 22 2 22 2 1ab 1 bc 1 ca 64 1ab 1 bc 1 ca hay ta cần chứng minh bất đẳng thức 1ab 1 bc 1 ca 81 ab 1 bc 1ca . Đặt xab;ybc;z ca , khi đó x, y,z 0 và xy z 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1x 1y 1 z 81 x 1 y 1 z , tương đương với bất đẳng thức sau 9xyz 7 xy yz zx 2 Ta dễ dàng chứng minh được 22 2 9xyz x y z 2 xy yz zx xy z . Mà xy z 1 nên ta suy ra được 9xyz 4 xy yz zx 1 . Vì xy z 1 nên 3xy yz zx 1 , do đó 4xyyz zx 1 7xyyz zx 2 Điều này dẫn tới 9xyz 7 xy yz zx 2 . Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Bài toán 12. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 22 2 a2 b 2 c 2 3a b c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 3a b c 6ab bc ca Hay 222 22 2222 2 22 abc 2 ab bc ca a b c 8 6 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Caychy ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 abc 2 ab bc ca a b c 8 abc 1 2 a b 1 bc 1 ca 1 a b c 1 2abc 4 ab bc ca a b c 1 Phép chứng minh hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 2abc 4 ab bc ca a b c 1 6 ab bc ca ab c 1 2abc 2ab bc ca Dễ dàng chứng minh được 22 2 9abc ab c 2ab bc ca ab c Ta cần chỉ ra được 9abc 1 2abc 1 2abc a b c 9abc ab c Đánh giá cuối cùng luôn đúng vì theo bất đẳng tức Cauchy thì 3 3 22 2 1 2abc 1 abc abc 3 a b c ; a b c 3 abc Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài toán 13. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2a b c abc 8 5a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 ab c 9 ab c 6 Bài toán quy về chứng minh 2 22 2 5 2a b c abc 8 a b c 9 6 Hay 22 2 715 ab c abc ab bc ca 623 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 22 2 3 1 2abc 1 3 a b c 9abc 9abc abc 22 2 2a b c 2.3 abc Do đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 79abc5 ab c ab bc ca 63 2a b c Hay 22 2 3.9abc 7a b c 10 ab bc ca ab c Theo một đánh giá quen thuộc thì 22 2 4a b c 4ab bc ca nên ta được 22 2 2 2 2 3.9abc 3.9abc 7a b c 3 a b c 4 ab bc ca ab c a b c Ta cần chỉ ra được 22 2 22 2 3.9abc 3a b c 4abbcca 10abbcca ab c 9abc ab c 2ab bc ca ab c Đánh giá cuối cùng đã được chứng minh. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài toán 14. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 ab c 14abc 4 bc c a a b ab b c c a Lời giải Đặt ab c x;y ;z bc c a a b , khi đó ta được 11 1 2 xy yz zx 2xyz 1 x1 y 1 z 1 Dễ dàng chứng minh được 3 xy z 2 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 xy z 14xyz 4 Dễ ta chứng minh được 2 2 9xyz x y z 4 xy yz zx xy z 9xyz x y z 14xyz 14xyz 4 xy yz zx xy z Từ 3 xy z 2 suy ra 9xyz 6xyz xy z , do đó ta được 9xyz 14xyz 4 xy yz zx 4 xy yz zx 8xyz 4 xy z Do đó ta được 2 xy z 14xyz 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 2 19bc 4b c 1 9ca 4c a 19ab 4a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 22 2 ab c 19bc 4b c 1 9ca 4c a 19ab 4a b ab c a b c 27abc 4a b c 4b c a 4c a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2222 2 a b c 1 27abc 4a b c 4b c a 4c a b Hay 1 4ab a b 4bc b c 4ca c a 3abc Để ý đến giả thiết ta viết lại được bất đẳng thức trên thành 3 ab c 4abab 4bcb c 4cac a 3abc Hay 33 3 ab c 3abc aba b bcb c cac a Biến đổi tương đương ta được abc a b c b c a c a b Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đúng và dễ dàng chứng minh được. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 hoặc 1 ab ;c 0 2 và các hoán vị. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Chủ đề 10. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ Trong việc chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị của một biểu thức, vận dụng phương pháp dồn biến để khảo sát hàm số là một chủ đề rất được nhiều bạn học sinh tham gia các kỳ thi chọn HSG và kỳ thi TSĐH, THPT – Quốc Gia quan tâm. Để có thể dồn một biểu thức nhiều biến về một biến chúng ta có nhiều kỹ thuật, tuy nhiên trong nội dung của chủ đề chúng tôi chỉ giới thiệu một số kỹ thuật quan trọng, thường gặp và sắp xếp theo sự phổ biến của các kỹ thuật đó gồm: - V ận d ụng các b ất đẳng th ức kinh đi ển. - K ết h ợp k ỹ thu ật đổi bi ến s ố. - K ết h ợp k ỹ thu ật s ắp th ứ t ự các bi ến. - Phương pháp ti ếp tuy ến. - Kh ảo sát hàm nhi ều bi ến. - K ết h ợp v ới vi ệc s ử d ụng b ổ đề. - V ận d ụng k ỹ thu ật d ồn bi ến c ổ đi ển 1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. Bài toán 1 . Cho các số thực ,, 0;1 : 1 1 1 abc abc a b c . Chứng minh rằng 22 2 3 4 ab c . Phân tích. Khai tri ển đẳng th ức ở gi ả thi ết cho ta: 2 22 2 114 ab c abc abc Để ý là : 3 3 AM GM ab c abc . T ừ đó ta quy vi ệc gi ải bài toán b ất đẳng th ức v ề bài toán kh ảo sát hàm s ố theo bi ến ,0;3. ta b ct Lời giải. Ta có 1 abc a b c ab bc ca abc 12 ab c ab bc ca abc 2 22 2 22 3 22 2 12 2 4 114 1 1 27 ab c a b c ab c abc ab c abc abc abc abc Đặt 0;3 ta b c t . Xét hàm số 32 4 22 27 Ft t t t Ta có 2 3 4 '220 2 9 3 t Ft t t t . Lập bảng biến thiên ta có: 33 24 MinF t F Vậy 22 2 3 . 4 ab c Dấu "" xảy ra khi 1 . 2 ab c Bài toán 2. Cho các số thực dương ,, xyz thỏa mãn 2 24 xzxyyz z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 22 2 xy z P yzxz xyz http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải. Ta có 2 2 2 42 2 8 2 02 AM GM xy x y xy xy zxyz xy zz z Lại có : 2 2 2 2 331 22 1 1 xy xy z z P xy xy xy z xy xyz z z Đặt ,2 xy tt z . Khảo sát hàm số 2 3 ,2; 1 21 t ft t t t Ta tìm được 2; 5 min 2 6 ft f Hay 5 min 6 P xy z . Bài toán 3. Cho các số thực không âm thỏa mãn 2 ac b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 32 27 1 ab c P ac b c c Lời giải. Ta có 2 2 1 0 1 ca b c abc ab c ac b c c a c b c c 1 ab c ac b c c Do đó 4 32 127 1 cc P cc . Xét hàm số 4 32 , 27 0 ft t tt có: 3 32 2 '4 ' 0 27 3 ft t f t t Lập bảng biến thiên ta có 16 27 ft Do đó 16 min 0, 4, 2 27 Pabc hoặc 0, 4, 2. ba c Bài toán 4. Cho các số thực dương ,, abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 23 22 127 32 22 1 b P a c bc a Lời giải. Ta có 23 2 127 1 1 4 32 4 1 32 AM GM AM GM abc abc ab c P abc Đặt ,0. tabct Xét hàm số 2 11 ,0; 4 32 ft t t t có : 3 41 1 ''0 . 4 16 t ft ft t t Lập bảng biến thiên ta có 11 42 f ft Hay 1 1 min 2 2 1. ab P c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài toán 5. (HSG Tỉnh Nghệ An – 2012) Cho các số thực dương ,, abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 23 P aab abc abc Lời giải. Ta có 3 14 1 4 16 4 .. 22 4 3 3 AM GM ab a b c aab abc a abc Suy ra 33 2 P ab c ab c Đặt ,0 ta b ct Xét hàm số 33 2 ft t t với 0 t ta có 2 33 ' 2 2 ft t tt . 2 33 '0 0 1 2 2 ft t t tt Lập bảng biến thiên ta có 0 3 min f t 1 2 t f . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2 khi và chỉ khi 16 21 1 4 21 416 1 21 a ab c b ab c c 16 4 1 ,, , , 21 21 21 abc . Bài toán 6. Cho các số thực ,, xyz không âm và thỏa mãn điều kiện 32 3 x yz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 2 23 9 1 x P zz x y y Lời giải. Ta có 2 22 22 36 264 11 99 4 1 yy xy xx xy xy xy 2 2 x3y 6 4x3y 2Doxy 01 0 Lại do 332 xyz , vậy nên : 2 2 32 2 3 z zz P . Đặt 2 9 3, . 4 zz tt . Khảo sát hàm số 411 ftt t ta tìm được 9 ; 4 715 max 44 ft f Hay 2 32 3 23 1 0, , 15 32 0 2 max 4 31 7 2, 0, 0 2 4 2 3 xy z xy z xy P xy zz z Bài toán 7. (Khối B năm 2014) Cho các số thực ,, abc không âm và thỏa mãn điều kiện () 0 abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2( ) ab c P bc a c a b Lời giải. http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2( ) 2 1 ab ab c bc a c a b c ab . Vậy 2 2( ) 1 c P c ab ab , Đặt ,0. c tt ab Xét hàm số 21 () 12 gtt t với 0 t , Khảo sát hàm số ta được GTNN của P bằng 3 2 đạt được khi 0, , 0 abcb . Bài toán 8. Cho các số thực ,, abc là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 222 bc abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 22 2 2 6 3 cb bc a P aa bc Lời giải. Từ giả thiết ta có 22 2 2 3 2 2 22 2 3 bc bc c cbc bc aabcb bc ab bc Nên 22 33 62 6 22 2 2 2 3 2 3 ab c b c aa P aa bc a cb ab ac b c 3 63 23 2 3 8 a bc bc bc b c Đặt 1 ,0 tt bc . Khảo sát hàm số 3 3 2,0 8 ft t t t Ta tìm được 0; 416 39 Maxf t f Hay 16 3 max . 98 Pabc Bài toán 9. Cho các số thực ,, xyz là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 22 3 x yz xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 16 xy x P yz x z y z Lời giải. Ta có 22 2 3 yz xy xz yx xy z Suy ra 22 33 () ( ) 4 2( ) (2 )2 () 16 16 16 xy xy xy y z x z xy zxy xy xy xy x y xyxy xy zz Do đó 4 216 y x y P x Đặt ,0. tx yt Khảo sát hàm số 4 ,0; 216 t t t t f Ta được 0; 7 min 6 . 8 ft f Hay 3 7 min 89 xy P z http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài toán 10. Cho các số thực ,, xyz là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 22 2 3 z y xy yz x zx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 1 2 2 x P xyy z yz Lời giải. Ta có 2 22 2 3 3 z y xy yz zx x z x xy y z 2 2 23 23 2 4 3 2 2 x xy z xy z xz y yz z y x Do đó 2 1 2 2 x y z yz . Lại có : 2 3 2 11321 1 2.3 2 . 2 2 332 3 3 yy z xyy z x y y z x x y z y z Nên 3 13 2 2 P yz y z Đặt 2,0. y ztt Khảo sát hàm số 3 13 ,0; ft t t t Ta tìm được 0; 2 3. 9 maxf t f Hay 3 2 max 91 x P yz Bài toán 11. Cho các số thực ,, xyz là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 22 2 4 z xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 23 2 2 2 23 2 32 2 yx P y x z y x yz xy Lời giải. Ta có : 222 2 2 32 2 2 2 2 2 2 2 1 24 2 3 3 2 3()()2(4 )(2) yxz y x z x y x xy x y x x y x x y x z x z Từ đó suy ra 2 22 2 22 1 yxx P y y xy x y Đặt ,0 x tt y . Khảo sát hàm số 2 1 2 ,0 ft tt t Suy ra 0; min 1 2 ft f . Hay min 2 2. Pxyz Bài toán 12. Cho các số thực ,, xyz thỏa mãn 2 0 110 xy xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 21 . xy x y z P z Lời giải. Từ giả thiết suy ra 0 z . Lại có 2 2 22 4 4 xy xy xxy z z y Từ giả thiết 22 2 1110 10 xy z x y z http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 22 11 10 10 xy xy zz z z Do đó 3 22 11 1 1 .2 10 2 4 xy x y P zzz zz Đặt 1 0 t z . Xét hàm số 22 210 10 , 0 ft t t t t Ta có 22 '23510 ' 0 1 ft t t t f t t Lập bảng biến thiên ta có 0; 81 1 Maxf t t Hay 1 81 3 4 2 z MaxP xy Bài toán 13. Cho các số thực dương ,, abc thỏa mãn 22 2 2 b ac . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 22 23 . 1 2 bc ac P aab ab Lời giải. Từ giả thiết ta có 2 2 1 2 abc bc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 2 22 1 bc a b a cbc 1 b bc a ac 21ac a bbbc c 22 1 22 2 2 bc a ab bc c aab aab 2 21 2 2aab acab bc 2 21 1 22 bc ac ab aab Từ đó suy ra 2 13 2 P ab ab Đặt 1 0 t ab , đồng thời 2 22 2 1 24 2 24 ab c ab ab t Xét hàm số 2 31 ,; ' 13 24 ftt tt ft t Lập bảng biến thiên suy ra 13 6 3 ft f Hay 3211 ,, ; ; . 6 333 MaxP a b c Bài toán 14. Cho các số thực dương ,, abc thỏa mãn điều kiện 23 18 ab c abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 33 111 23 22 . 3 21 3 Pa b c bac Lời giải. Ta có 3 2 3 18 3. . 2 23 3 3 3 AM GM ab c abc a b c ab c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 93 23. 32 ab c a b c Lại có : 3 33 3 26 22 21 2 5 21 3 26 334 24 23 9 AM GM AM GM bb bac ac a ab c c Do đó 148 23 3239 Pa b c ab c Đặt 23 , 3 ab c tt . Khảo sát hàm số 148 ,3; 39 ft t t t Ta được 3; min 3 5 ft f Hay min 5 2 3 1. Pabc Bài toán 15. Cho các số thực không âm ,, xyz thỏa mãn 22 2 56 yz x xy yz zx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 2. Pxyz z y Lời giải. Từ 2 22 2 2 2 56 5 6 xxyyzzxy yyz yz z z Suy ra 5 x z y z y . Do đó 2 2 2 y z yz P Đặt ,0 yz tt . Khảo sát hàm số 4 0 2, 2 t ft t t Ta được 0; 3 1 2 Maxf t f . Hay 1 3 1 2 . 2 x MaxP yz Bài toán 16. Cho các số thực dương ,, xyz thỏa mãn 22 2 1 y xz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 11 1 2. 11 1 xy yz xz P xy z yz z x x y Lời giải. Ta có 11 1 11 1 xy yz xz yzzx xy 22 2 22 2 11 1 xyz xy yz x yz zx y zx yz z x x y 22 2 222 333 41 1 44 41 4 4 zx xy y z z x y yzzx xy 22 2 44 3 42 3 2 3 2 3 xy z x y z xy z xy z x y z xy z Suy ra 2 4 2 23 xy z x yz xy P z Đặt ,0 3 xy z t t . Khảo sát hàm số 2 4 2, 0; 3 23 t ft tt t Ta tìm được 0; 3 min 3 6 3 12 ft f Hay 1 min 6 3 12 . 3 Pxyz http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài toán 17. Cho các số thực ,, 1 xyz thỏa mãn 3 x yz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 22 2 . 1 1 445 xy P xz yx xy Lời giải. Ta có 3 x yz . Đồng thời, do 11 10 ,1 xy xy xy xy Do đó 22 22 424 22 4 yxyxy yx yy xx x 2 2 245 33 2 zz z z Lại có 22 22 2 18 17 22 2 xxy xyxy z z xy y Từ các kết quả trên suy ra 2 2 816 45 z P z z z . Khảo sát hàm số 2 2 816 45 ,1; z fz z z z z Ta tìm được 1; 3 5 2 maxf z f . Hay 53 5 3 max 5 ;; 1; ; , ;1; 22 2 2 Pxyz Bài toán 18. Cho các số thực dương ,, xyz thỏa mãn 22 x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 22 2 22 12 3 . 1 11 xy z z P xz z z y Lời giải. Từ điều kiện giả thiết ta có 22 12 12 2 xyz z xyz x y xyz Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: 2 22 22 2 22 22 2 2 2 2 22 41 1 x y xyz x y xyz xyxy z xy z Từ đó : 2 22 2 13 11 z P z zz Xét hàm số 2 22 2 13 () , 0 11 1 z fz z zz z Ta có : 22 3 2 154 () 1 z zz fz z Nên : 5 () 0 5 2 0 . 2 fz z z Lập bảng biến thiên cho ta có giá trị lớn nhất của P là 16 . 9 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 22 4 22 125 2 22 5 22 5 5 2 2 x xy xy z xy z y z z http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài toán 19. Cho các số thực không âm ,, xyz thỏa mãn 22 2 6 xy y z z x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 1 . 624 xy z P xy yz zx z Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: 22 2 2 1 21 26 xy y z z x x y y z z x 11 63 3 6 32 6 3 xy z xy z zxy z z Từ điều kiện ban đầu, khai triển ta lại có: 2 3 x y z xy yz zx Từ đó cho ta 2 2 1 3 324 xy z Pxyz Lại có 22 2 3 33 xy z xy yz zx x y z x yz 32 0 2 xy z . Đặt 32 ,0; 2 tx y zt . Khảo sát hàm số 2 2 3 32 ,0; 324 2 t t ft t Ta được 32 0; 2 5 2 8 max f t f . Hay 1 5 max 80. xy P z Bài toán 20. Cho các số thực dương ,, xyz thỏa mãn 1 xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 . 2 xy z P x yz y zx z xy Lời giải. Ta có: 111 xy z z xy x y nên 2 2 11 11 xy z P zy yz z x zx x y 2 11 2 11 1 1 xy z yz x z x y 2 2 22 2 2 22 2 1111 4 11 11 22 2 4 2 4 xy yx y xy z yxy x xy x y xy xz z xyxy xy xy x y xy 2 2 4 2 1 1 2 z z z . Khảo sát hàm số 2 2 4 2 ,0 1 1 2 z fz z z z cho ta 0: 13 min 3 . 14 fz f Hay 1 13 min 14 3 xy P z http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài toán 21. Cho các số thực ,, abc thỏa mãn 0 3 a ab bc ca bc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 22 2 2 . b Pa a ba c c c a c b ac Lời giải. Ta có 22 22 2 2 4 2 61 aba c a ab ac bc a bc và 22 002 32 a b a c a ab ac bc a bc ab bc ca Từ (1), (2) suy ra 22 9 aba c , tương tự 9 22 cac b Do đó 3 4 33 4 ac b ac Pac ac ac a c 2 22 12 12 33 1 ac ac a c ac ac . Đặt ,0 ac tt . Khảo sát hàm số 2 12 31,0 ft t t t ta được 0; min 2 8 ft f . Hay min 8 1. Pabc Bài toán 22. Cho ,, 1;3 : 2 6 xyz x y z . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 33 3 5 P xy z . Lời giải. Từ giả thiết ta có : 22 2 2 443 43 3 xyz xy z xy z Ta lại có : 2 11 0 152 52 3 xyxyxy z zxy z . Mặt khác ta có : 26 4 1;2. zxy z Ta có : 22 33 35 23 43 35. P xy xy xy z z z xy z Vì 2 52 3 z xy z 32 33 23 5 2 3 4 3 6 15 5 , 1;2 zz P z z z zz 3 33 2 2 3 5 3 60 150 126, 1;2 zz P z z z z . Đặt 3 33 2 2 3 5 , 3 60 150 126. fz z z gz z z z Xét hàm số , fz gz trên miền 1;2 z Đạo hàm và lập bảng biến thiên hàm số , fz gz ta có : 210 60 10 Minf z tại 210 5 10 zxy . 42 Maxg z tại 21. z xy Vậy 210 60 10 MinP khi 510, 210 xy z . 42 MaxP khi 1, 2. xyz Bài toán 23. Cho các số thực dương ,, abc thỏa mãn điều kiện 22 2 3 324 c ab abac . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 22 2 . 25 14 2 ac b P bc ab ac b c Từ giả thiết ta có 22 2 2 2 2 2 2 2 34 4 43 2 ab ac a b a cb c abc 22 22 44 1 ab ac c c ac bb Lại có 2 222 22 02 ab ac ab c b c ab bc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 2 222 4 2 bbc c ab 22 2 2 43 22 3 ab ab ac bc c bc 20 2 2 ac c a b b Lúc đó 22 2 2 22 2 25 4 2 ac b b c c P bc ab ac 2 22 2 25 24 1 1.. 5 2 bc ac ac b a b aba b b c c b Xét hàm số 1 ,0;2 5 t ft t t có 2 2 11 '0 5 2. ,0 55 t t ft t Suy ra 9 2 10 f ft . Hay 2 9 10 1. a MinP bc Bài toán 24. Cho các số thực thay đổi ,, xyz thỏa mãn 22 2 16 3 25 xy z xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 35 10 56 P xy z xy xyyzzx Lời giải. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwazr ta có : 2 2 22 2 35 10 210 6 10 xy x y P x y z xy xy yz zx xyz xy xy yz zx 10 xy yz zx xy yz zx . Đặt ,0 txyyzzxt Xét hàm số 2 10 , 0 Ft t t t Ta có : 10 '2 100 2 Ft t t Lập bảng biến thiên ta có : 10 5 22 MinF F . Vậy 5 2 MinP khi 56 , 34 34 xy z hoặc 56 , 34 34 xy z . Bài toán 25. Cho các số thực ,, xyz thuộc đoạn 1;3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 25 12 2012 yz T x xy yz zx Lời giải. Ta biến đổi biểu thức đã cho trở thành : 2 2 25 12 2012 2012 yz T x xy z yz Mặt khác với mọi số thực ,1;3 yz , áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có : 2 4yzyz . Do đó ta có : 2 2 2 25 12 2012 503 yz TN x xyz yz Vì ,1;3 0 yz y z nên ta chia cả tử và mẫu của N cho y z ta được : 2 25 12 2012 503 N xx yz y z http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Đặt 13 ,; 62 x tt yz . Lúc đó ta xét hàm số : 2 25 1 3 () , ; 62 12 2012 503 ft t tt . Ta có : 2 25 24 2012 '( ) 12 2012 503 t ft tt ; 503 '( ) 0 24 2012 0 6 ft t t (loại). Lập bảng biến thiên ta nhận thấy rằng với 13 ; 62 t , ta có () f t đồng biến. Do đó ta có ngay được 175 () 62516 ft f . Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 ,, 1,3,3 6 txyz . Vậy ta có giá trị nhỏ nhất của 75 2516 T đạt được khi ,, 1,3,3 xyz . Bài toán 26. Cho các số thực dương ,, abc thỏa mãn 2 ac b và 22 2 4 ac b ab c a c b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 1. bacb P ac ac b Lời giải. Ta có 2 22 2 2 2 14 14. 4 bab b ac b ab c a a a cc c bc ac b a c b ab b ac c 1 4. 2 * ac b c b a bac b ca ac b bac Đặt 2 ac tt b , từ (*) ta có 243 3 2 1 22402 02 22 4 2 tt tt t t t t dot t t hay 4 ac b Lại có 2 22 2 1 11 1 b bacb b ac P b ac ac b ac ac Xét hàm số 2 2 1 1, 1 1 4 ub fu u u uac , ta có 3 41 1 '21 0, 4 1 u fu u u u 1 625 . 4144 f fu Vậy 625 144 MaxP 2 42 ac b a ab c c b . Bài toán 27. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : 1 xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 3 14 11 1 xy z P xyz y zx z xy zx y . Lời giải. Biểu thức P được viết lại như sau : 44 3 22 14 11 11 1 xy z P xy x xyz y xyz zx y Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 22 21 11 44 xy z xy http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 2 22 3223 3 22 2 2 2 2 428 428 428 121 11 1 1 xy xy zxyz z zz x y xyz zz z z 2 332 22 1 428 9 57 ,1 21 121 z zzzz z z zz Xét hàm số 32 2 957 ,1 21 zz z Pz z z . Ta có : 2 3 353 14 23 5 '0 3 21 zz z Pz z z . Lập bảng biến thiên ta có : 553 38 MinP z P . Vậy 53 1 5 ,. 833 MinP x y z Bài toán 28. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 22 2 89 4 xy z xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 23 42 636 11 2 11 xy z P y zx Lời giải. Từ giả thiết ta có : 2 2 38 6 4 x z y zx xyz 2 2 3 0 8 22 3 3 22 3 2 yzxy x z zxy y Ta lại có : 22 9 44 441283 12 xz zx y y x z zx zx yy . Ta có : 23 2 3 42 8 816 4 12 2 16 216 33 18 216 11 3 2 3 2 xy z x z y P y zx yz zx 22 283 16 2 32 216 198 216 198 yzx y yy . Xét hàm số 2 232 3 , 2 216 198 y Fy y y . Ta có : 2 8 81 99 432 '03 216 198 216 198 yy Fy y yy . Lập bảng biến thiên ta có : 52 3 3 MinF y F . Vậy 52 3 MinP khi 6, 3, 2. x yz Bài toán 29. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn : 22 2 1 xy z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 3 211 2 xy z Pxyz xyz xy yz zx Lời giải. Từ giả thiết ta có : 2 12 x yz xy yz zx Ta có : 33 3 2 2 2 3 x yz xyz x yzx y zxy yzzx 31 xyz x y z xy yz zx 33 3 111 31 xy z xyyz zx xyz xy yz zx 9 31 . xyyz zx xy yz zx http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Đặt 22 2 10 1. txy yz zx x y z t 19 1 4 12 3 1 2 2 2 Pt t t tt t . Xét hàm số 4 22 , 0;1 Ft t t t . Ta có : 2 2 4 '2 0 2 40 2 Ft t t t . Lập bảng biến thiên ta có : 14 MinF t F Vậy 4 MinP khi 1 . 3 xy z Bài toán 30. [THPT Quốc Gia 2015] . Cho các số thực ,, abc thuộc đoạn 1;3 và thỏa mãn 6 ab c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 2 2 2 2 1 2 12 72 bbc ca a a P abc ab bc ca bc . Lời giải. Do 11 1 ,, 1;3 33 0 30 ab c abc ab c 5 2 37 ab bc ca abc abc ab bc ca 11 ab bc ca Lại có 2 12 3 ab c ab bc ca . Hơn nữa: 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 212 ab bc ca a ab bbc ca b b ca b a b ca a cc c Nên 22 1 72 1 5 22 72 ab bc ca ab bc ca Pabc abbcca ab bc ca ab bc ca Đặt ,11;12 ab bc ca t t Khảo sát hàm số 72 5 ,11;12 22 t ft t t ta tìm được 11;12 160 11 11 Maxf t f Hay 160 11 MaxP khi ;; 1;2;3 abc và các hoán vị của nó. Bài toán 31. Cho các số thực ,, abc thỏa mãn 0, 0, 1 ab c và 2 ab c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 2 2 2 2 1 Pabbccaab bc ca . Lời giải : Từ giả thiết ta có : 0, 1 ab c và 2 ab c Ta có 2 ()( )2( )1 P ab bcca ab bcca abca b c 2 ()()41 ab bc ca ab bc ca abc . Mà 2 () () (1 ) 1 4 ab c abc ab c (Vì 0, 1 ab c và 2 ab c ) nên 1 abc ab bc ca Suy ra : 2 ()()4( )5 P abbc ca abbc ca abbc ca Đặt tab bc ca . Ta có 2 ()4 0 33 ab c t .. Xét hàm số 2 () ( 4 5) ft tt t trên đoạn 4 0; 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Có 2 '( ) 3 8 5 ft t t , 4 10; 3 '( ) 0 54 0; 33 t ft t . 452 (0) 0 , (1) 2 , ( ) 327 ff f . Suy ra 4 [0; ] 3 Max ( ) (1) 2 ft f Vậy 2 MaxP , đạt được khi 0, 1, 1 ab c hoặc 1, 0, 1 ab c . Bài toán 32. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ab c và 22 2 5 ab c Chứng minh rằng ()( )( )( ) 4 abb cc aab bc ca Lời giải. Ta có ()( )( )( ) 4 abb cc aab bc ca : ( )( )( )( ) 4 Pabbcacabbcca (*). Nếu 0 ab bc ca thì 0 P suy ra BĐT được chứng minh. Nếu 0 ab bc ca , đặt 0 ab bc ca x ta có : 2 2 () 24 abb c a c ab b c 3 () 1 4 ab b c a c ac Ta có 22 2 4 + ab c abbc ca 2 22 2 2 22 2 ++ 2 2 2 2 2+ =3 ac a b b c ac a b b c ac ac ac Suy ra 2 45 3 x ac ,từ đây ta có x 5 và 4 (5 ) 2 3 ac x . Từ 1, 2 suy ra 3 14 .(5 ) 43 Px x = 3 23 (5 ) 9 x x Lại có 3 (5 ) fx x x hàm số liên tục trên đoạn 0;5 . 5 '5(5 ) 2 fx x x ; 5 ’; 2 0 x fx x . Ta có 250 63, 0 ff f Vậy [0;5] 263 x Maxf x f , [0;5] 00 x Minf x f . nên suy ra 23 .6 3 4 9 PP . Vậy (*) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 2; 1; 0 ab c . 2. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số. Bài toán 33. Cho a, b, c dương thỏa mãn : 22 2 3 ab c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 5 Pabc abc . Phân tích. Ta có 2 22 2 3 aabc babb ccca đồng th ời 2 3 ab bc ca abc a b c . Do đó gi ữa các đại l ượng ,, ab c ab bc ca abc t ồn t ại m ột m ối liên h ệ mà ta quan tâm. Và để làm g ọn các bi ểu th ức ta có th ể s ử d ụng phép đổi bi ến s ố (d ạng ẩn ph ụ) nh ư l ời gi ải sau: Lời giải. Đặt 2 3, 0 , 23 xy xa b cy ab bc ca xy http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Mặt khác ta có: 2 2 13 3 x ab bc ca abc a b c abc y . 22 2 936 55 3 x x Px x y x . Xét hàm số 2 2 36 5 3 x Fx x x với 3 x Ta có: 54 3 2 3 5 15 27 81 ' 3 xx x x Fx x Vì 54 3 5 15 27 81 0 ' 0 3 xxx x Fx x . Lập bảng biến thiên ta có: 318 MinF F . Vậy 18 MinP khi 3 1. 3 x ab c y Bài toán 34. (HSG Tỉnh 12 - Nghệ An 2010) . Cho các số dương a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 2 ab bc c và 2ac Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab c P ab b c c a . Phân tích. Nh ận th ấy đẳng th ức ở gi ả thi ết và bi ểu th ức P có d ạng đồng b ậc, do đó ta có th ể ngh ĩ đến v ận d ụng cách đổi bi ến ki ểu . . axc byc để d ồn bi ểu th ức ba bi ến v ề bi ểu th ức hai bi ến. Lời giải. Đặt 1 1 0 . 0 2 2 2 . 2 1 x axc x byc xy y y x Ta có 2 22 1 12126 11 1 122 xx xy x x P xy y x x x xx xx Ta có 2 2 2 3 8 10 1 1 27 '00; 225 2 xx PxPxP xx 11 27 22 54 4 33 x ac MaxP y bc . BÌNH LUẬN. Thông thường phép đổi biến số được thực hiện với hai mục đích. Làm cho bài toán có cách nhìn đơn gi ản h ơn dưới d ạng ẩn ph ụ. Làm gi ảm s ố bi ến xu ất hi ện trong bài toán ban đầu. Sau đây mời các bạn cùng tiếp tục theo dõi các bài toán để làm rõ hơn những vấn đề đã nêu. Bài toán 35. Cho ,, abc là các số thực dương thỏa mãn 25 abbc bc và 2 ac Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 22 a P b ac . Lời giải. Đặt a x b c y b . Từ điều kiện ban đầu ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 21 5 3 2 2 x xyy y x y x x y 21 2 2 32 x x x x Khi đó biểu thức 2 22 2 1 1 3 1 3 2 xx xx P x xy x x x x Khảo sát hàm số 2 2 1 3 xx fx xx trên đoạn 1 ;2 2 ta có: 22 325 3 25 1 5'1 0,;2 22 2 2 2 22 fx x f x x x x x x Do đó 515 2 822 ff fx . Hay 2 5 max 2 ba P bc và 2 5 min 84 ab P cb Bài toán 36. Cho ,, xyz là các số thực dương thỏa mãn 22 2 11 1 . 2 ab c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 ab c P bc c a bc a Lời giải. Đặt 22 ,0 , 11 24 1 xy x y cc xy ab xx yy Khi đó 22 2 2 22 22 22 2 1 11 1 1 2 x y xy xy xy P yx x y xyx y xy xy xy 22 2 2 22 2 2 11 22 11 12 22 xy xy x y xy xy xy xy Đặt 1 ,0; . 4 xy t t Xét hàm số 2 2 11 2,0; 24 2 t ft t t t có 33 2 11 0, 0; 4 1 2 2 2 t ft t t t 14 1 45 13 ft f . Hay 41 5 n 1 mi 3 P . Dấu “=” xảy ra 2. ab c Bài toán 37. Cho ,, 0 abc . Chứng minh rằng 9 4 ab c abc bc a a b cab bc ca . Lời giải. Ta có 9 3 ab c VT ab c a c b bc a bc a c b a . http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Đặt ,, 0 ,, 1 xyz abc xy z bc a xyz . 2 9 3 27 39 VT x y z x y zxy yzzx xy z xy z x y z . Đặt 3. tx y z t Xét hàm số 2 27 ,3 39 Ft t t tt có 43 2 2 2 627 '03 39 tt t Ft t tt Lập bảng biến thiên ta có 34 4 MinF t F VT đpcm. Dấu ‘=’ xảy ra khi . ab c Bài toán 38. Cho ,, 0 xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 22 2 8 ()( ) ( ) z xy xy P z xy y z x z . Lời giải. Ta có : 2 22 11 8 (1) ( 1) xy x y zz P yx z z xy zz zz Đặt , xy ab zz . Khi đó : 22 2 1 8 ()( 1) ( 1) ab ab P ab b a Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có : 22 2 22 2 2 2 2 22 2 33 () ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2( ) 2.27( ) 27( ) 2( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2(2 2 2) 8( 1) ab a b ab b a ab ba ab ba ab ab ab ab b ba b ab ab 3 27 8 8( 1) ab P ab Đặt (1), 0 tab t . Khảo sát hàm số 3 27 1 ,0; 8 8 t t ft t Ta có 0; 3 min 3 . 8 ft f Vậy 3 min 8 P ab c Bài toán 39. Cho các số thực không âm ,, xyz thỏa điều kiện 220 xy x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 22 2 22 2 2 64 8 3 4 22 22 1 xy x y xy z P xy zxy Lời giải. Biểu thức đã cho kết hợp với giả thiết được biến đổi thành : 222 2 2 22 2 2 12 4 4 4 3 4 22 42 x yz xy xy x y P xy zxy 22 2 2 2 22 2 2 444 2 3 4 22 42 xyxy x xyy xy z xy zxy 22 2 22 2 2 24 3 4 22 42 xyxy xy z xy zxy http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 2 22 2 2 4 3 4 22 4 2 xy xy xy z xy z 22 22 2 4z 4 3 4 22 4 2 xy z xy z Giả thiết được viết lại là : 220 2220 xy x y z xy xz yz 22 2 10 zz yx xy Đặt 11 ;; 2 ab c z xy . Lúc đó điều kiện giả thiết được viết lại : 21 ab bc ca . Ta có : 22 2 2 1 2 2122 2 1 12 xa a a x ab a c xaabbccaa x . 22 2 2 1 2 2122 2 1 12 yb b a y ab b c ybabbccab y 22 11 1 22 222 ac b c cabbccac Từ đó ta có : 22 22 2 2 2 12 12 12 22 12 12 22 ab ab ab ab a c b c ab ab a c b c 22 222 2 12 12 1 12 12 2 2 ab abc c Dấu đẳng thức xảy ra khi ab . Từ đánh giá này ta có 22 2 2 33 4 16 2 2 cc P c c Xét hàm số 22 2 2 33 4 ,0 16 2 2 cc fc c c c . Ta có : 2 22 2 3123 ' 8 22 2 ccc fc cc c 2 2 2 324 3 8 2 cc c c Do đó : 2 22 '0 3 2 24 24 0 fc cc c c 2 22 28 24 0 cc 1 do 0 c . Đặt 2 2, 2 tc t . Khi đó bất phương trình 1 trở thành : 432 832 0 2 2 4 16 0 2 tt t t t t t Từ đó ta có : 22 22 2 0 0 2 cc c Lập bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của 5 8 P đạt được khi và chỉ khi : 222 22 2 22 cxy ab z . Bài toán 40. Cho các số thực ,, xyz thỏa mãn 22 2 0 2 xxyyz yzx z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 22 2 2 22 2 22 ln 2 xz y z x P x y z x z yy x z y z Lời giải. Đặt 2 2 2 0 ,, a b xz yc y b x za c Khi đó 2ln 1 ab c P bc c a a b 22 2ln 1 22 ab c ab ab c ba c 22 2ln 1 ab c ab c a b c ab Đặt 0. c t ab Xét hàm số 2 2ln 1 1 ft t t có 0 ' ft Suy ra 02 ft f . Hay min 2 P đạt được khi 40. xy zz x Bài toán 41. Cho ,, abc là 3 số thực dương thỏa mãn: 0, abc 0, bca 0 ca b và 2 41 ab c ab bc ca . Tìm GTNN của biểu thức 22 2 22 11 1 2 ab b c c a S ca b ab c Lời giải 1. Đặt , ax y z , by z x cz x y . Ta có ,, 0 4 xyz xy yz zx . Khi đó: 22 2 4 2 xy z S yz z x x y x yz . Giả sử 0 x yz . Khi đó y zyz zxxy x . Nên suy ra 22 2 4 2 xyz S yz x x yz . Mặt khác 22 2 22 2 4 22 2 x yz x y z xy yzzx yz x y z x x yz xy z 22 22 () 22 () 2 () 22 () xyz xyzyz yz x x yz yz xyz xyz yz x xyz = 1 22 xyz x yz yz x yzx . Đặt 222 xyz tt yz x . http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Xét hàm số 2 22 () , t 4 4 gt t t , ta có 23 22 '( ) 1 (4) t gt t nên 23 '( ) 0 ( 4) 2 2 0 gt t t 24 2 22 (8)( 48) 0 22 t tt t t . Lập bảng biến thiên ta có 4; min (2 2) 3 2 gt g Hay min 3 2 1, 2. Sacb Lời giải 2. Đặt x yz Q yzzx xy suy ra 2 2 ( )() ()( ) ( )( ) xy z xy yz zx Q y zz x x y y zz x z xx y x yy z ta thấy rằng 1 . 4 xy z x y z xyyz zx yz z x x y yz z x x y 22 2 2 2 2 11 1 44 4 x yz xyz x yz xy y z z x . Áp dụng BĐT AM-GM ta có 22 ()( ) 2 2( )( ) 2 2( ) xy xy xy y zz x xy yz zx xy xz yz yx xy xy xy yz zx xy yz zx Tương tự ta có ; ( )() ()( ) yz yz zx zx z xx y xy yzzx x y y z xy yzzx Suy ra: 1 ( )() ()( ) ( )( ) xy yz zx y zz x z xxy xyy z nên 22 2 2 4 xy z Q Suy ra 22 2 22 2 4 4 2 xy z P x yz . Đặt 22 2 2 tx y z t xyyzzx . Xét hàm số 2 4 () 4 , 2 2 t gt t t , khi đó ta có 2 2 4 '( ) 24 2 t gt t t ; 62 '( ) 0 32 256 0 2 2 gt t t t Lập bảng biến thiên ta có 2; min (2 2) 3 2 gt g Hay min 3 2 1, 2. Sacb Bài toán 42. (HSG Tỉnh 12 - Nghệ An 2010) . Cho a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn : 2 22 2 2 ab c a b c . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : 33 3 ab c P ab c ab bc ca Lời giải 1. Ta có : 33 3 2 2 2 3 bc bcab aabca a bc ca bc 3. ab c ab bc ca abc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Do đó : 2 3 3 3 11 cx c abc P ab c ab bc ca xc , với x = a+b +) Với c =0 thì P=1 . +) Với 0 c , từ giả thiết : 22 2 1 4 2 x xc ab a b x c . Đặt , 1 2 x tt c . Khảo sát hàm số : 2 3 31 1 1 t ft t , cho ta : 11 1; ax 9 MinP M P . Lời giải 2. Từ giả thiết: 2 22 2 1 2 ab bc ca a b c a b c Suy ra: 2 1 4 ab bc ca a b c Do đó: 33 3 333 3 4 14 4 4 16 ab c ab c P ab c a b c ab c ab c Đặt 2 4 4 4 44 4 a x ab c yzx b y ab c yz x x c z ab c Vì 2 8 40 3 yz yz x Ta có 3 33 3 3 11 3 16 16 P x y z x yz yzyz 32 1 31212 16 16 Px x x Xét hàm số 32 312 12 16 fx x x x với 8 0; 3 x 2 2 '9 24 12 ' 0 2 3 x fx x x fx x Ta tính được 2 8 176 0216, 33 9 ff f f Suy ra 88 0; 0; 33 11 ,0 176 ,16 94 9 10, 0 c MaxP a b a Maxf x Minf x MinP a b c Bài toán 43. cho ,, xyz là các số thực không âm và thỏa mãn 1 x yz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 2 () ( 1)( 1) ( 2) Mxyz x y x y xzz Lời giải : Đặt 1. z a Từ giả thiết ta có : 0, 1 xya và 2 ax y Khi đó 22 2 2 2 2 2 1 ()()2( )1 Paxxy yaax xy ya ax xy ya ax xy ya axy a x y 2 ()()41 ax xy ya ax xy ya axy . Mà 2 () () (1 ) 1 4 ax y xya xy a (Vì 0, 1 xya ; 2 ax y ) nên 1 axy ax xy ya http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Suy ra : 2 ()()4( )5 P ax xyya ax xyya ax xy ya Đặt tax xy ya . Ta có 2 ()4 0 33 ax y t . Xét hàm số 2 () ( 4 5) ft tt t trên đoạn 4 0; 3 Có 2 '( ) 3 8 5 ft t t , 4 10; 3 '( ) 0 54 0; 33 t ft t . 452 (0) 0 , (1) 2 , ( ) 327 ff f . Suy ra 4 [0; ] 3 Max ( ) (1) 2 ft f Vậy 2 MaxP , đạt được khi 0, 1, 0 x yz hoặc 1, 0, 0 x yz . Bài toán 44. ( Khối A - 2011) . Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn 1;4 và ; x yxz .Tìm nhỏ nhất của biểu thức 23 x yz P x yy z z x Lời giải. Đặt 1 ,, ;1 4 yaxz bx ab . Biểu thức P được viết lại như sau: 22 22 2 1 23 1 1 ';'0 10 1 10 ab P aa b b a Pb Pb a b ab ab b ab a b a Vì 112 ,;1 2 423 1 ab MinP b P a a a . Đặt 1 ;1 2 ta t . Xét hàm số 2 12 2 1 23 Ft t t . Ta có: 2 2 2 22 2 43 2 62 ';'0223610 1 23 18 6 12 6 8 0 t Ft F t t t t t t tt t t Vì 43 2 11 ;1 18 6 12 6 8 0 ' 0 ;1 22 ttttt Ftt 134 233 Ft F . Vậy 134 34 233 33 MinF t F MinP tại 11 ,4,1,2. 42 ab x y z Bài toán 45. ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2014 ) Cho ba số thực không âm thỏa mãn 35 7 9 ; ab c ab bc ca . http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Tìm giá trị nhỏ nhất của 44 4 32 1 1 P ab b c c a Lời giải. Ta có: 2 44 4 32 1 13 5 1 87 P a ab bc c ba a bc c Đặt ;,0 ac x yb c xxy , ta có: 2 2 2 2 2 44 4 2 2 2 32 1 1 932 xx y x y x Pxy yx y x x xyxy 2 2 2 32 2 xx y xy x xxy y 2 2 2 2 32 2 2. xx y y xx y y Đặt 2 0 y tt xx y , xét hàm số: 2 2 32 22 ft t t , ta có: 43 3 64 '22'024640 ft t f t t t t 2 t . Lập bảng biến thiên ta có: 5 8 P Bài toán 46. Cho ba số thực dương ,, abc thỏa : ab ac b c c . Tìm GTNN của biểu thức 2 22 ab c c P bc c a a b ab Lời giải. Đặt ,,1 axcb yc xy Thay 1 x vào giả thiết ta có : 0 bc b c không thỏa vì 0. c Thay 1 y vào giả thiết ta có : 0 ac a c không thỏa vì 0. c Xét ,1 x y .Thay vào giả thiết ta có : 2 11 22 1 1 12 1 1 1 0 1 1 1 0 11 1 2 4. xy xyxy x y xy xy x y x y x y x y xy x y xy xy Biểu thức P được viết lại như sau : 22 22 2 11 1 1 11 2 xy x y P yx xy xyxxyyxy xy xyxy 2 222 33 22 22 11 1 1 23 2 2 23 3 32 xy xy P xy xy xy xy xyxy xy xy xy xy xy xy xy . Đặt ,4 txyt Xét hàm số 32 2 23 3 ;4 2 tt t ft t tt http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ta có : 32 43 2 22 22 46 418 466 '04 22 tt t t tt t t ft t tt tt . Lập bảng biến thiên ta có : 41 4 8 Minf t f Vậy 41 24 MinP khi 2 x y hay 2. ab c 3. Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật sắp thứ tự các biến. Bài toán 47. Cho ,, 0 abc thỏa mãn: 3 ab c . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 22 2 P ab c abc . Phân tích. Ta d ễ dàng nh ận th ấy 22 22 23 2 P ab c abc c c ab c Khi đó ta mu ốn d ồn bi ểu th ức P v ề bi ến c b ằng đánh giá 2 2 2 3 0 4 ab c ab . Tuy nhiên d ấu c ủa 2 c thay đổi khi 0;3 c Để gi ải quy ết v ấn đề đó, ta có th ể gi ả s ử min 3 1 ,, 3 cabc c ab c c Lời giải. Giả sử min 3 1 ,, 3 cabc c ab c c . Từ giả thiết ta có: 2 3 0 4 c ab và 0;1 c . Ta có : 2 2 32 P cc ab c . Với 2 32 3 1 0 318 2 6 9 4 4 20 c ab cc P c c c . Đặt 32 1 318, 2 6 9 4 fc c c gc c c . Khảo sát hàm số ,, 0;1 fc gc c . Ta có 4 Minf c tại 1, 9 cMaxgc tại 0 c . Vậy 4 MinP tại 1 ab c ; 9 MaxP tại 3;0;0 và các hoán vị. Bình luận. Từ phân tích và lời giải bài toán trên, ta nhận thấy việc sắp thứ tự các biến phải thỏa mãn hai điều kiện: Thứ nhất: Vai trò c ủa các bi ến là nh ư nhau (ngh ĩa là khi thay đổi vai trò c ủa chúng thì gi ả thi ết và k ết lu ận c ủa bài toán không thay đổi) Thứ hai: Vi ệc s ắp th ứ t ự các bi ến ph ải xu ất phát t ừ ý định gi ải toán nào: có th ể là do vi ệc so sánh g ặp tr ở ng ại v ề d ấu nh ư bài toán trên hay để d ồn v ề m ột bi ến nào đó… Sau đây m ời các b ạn cùng tham kh ảo m ột s ố bài toán để th ấy được nh ững m ục đích khác nhau khi s ắp th ứ t ự các bi ến. Bài toán 48. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 34 Qa b c abc . Lời giải. Không mất tính tổng quát ta giả sử 0 ab c . Ta có : 33 ab c a b c và 1 c . http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Mặt khác 33 31; 22 ab c c c c c . Ta có : 2 22 2 2 334 33 3232 Qa b c abc c c cab . Vì 3 32 0 2 cc . Ta có : 22 32 3327 22 22 ab c ab ab Q c c Xét hàm số 32 327 3 ,1; 22 2 Fc c c c Ta có : 2 0 '3 3 0 1 c Fc c c c . Lập bảng biến thiên ta có : 113 MinF c F . Vậy 13 MinQ tại ; ; 1;1;1 abc . Bài toán 49. Cho các số thực ,, abc thỏa mãn: 22 2 9 b ac . Chứng minh rằng 210 ab bc c a . Lời giải. Ta có: 22 22 2 22 2 42 ab c abc ab a cbbb ca a 2 32 92 84 20 72 , 2 ab a t bab t t ft với . tab Không mất tính tổng quát, giả sử : || || | | b ac , ta có : 22 2 2 2 3 93 bc c ac . Lại có : 22 2 2| | 9 6 | | 3 at ba c b Do đó : 3;3 (2); (3) ( 2) 100 Maxf t Max f f f . Hay : 2 100 P . Dấu “=” xảy ra ,, 1;2;2 abc và các hoán vị của nó. Bài toán 50. Cho các số thực không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 2 2 2 11 1 Pxyyzzx xy z y zx Lời giải. Giả sử min ; ; z xyz . Khi đó ta có 2 22 z z xy xy yz zx x y z Lại có 22 2 2 22 2 2 2 2 1 ; 2 11 1 ; 2 2 1 2 1 y z x yz x z z z yx x z y Do đó 22 2 2 11 1 22 22 2 2 zz Px y zz z z xy y x Đặt ;0 , 22 zz xay bab http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ta có 22 2 2 2 11 1 1 1 a a b P a b aab a b b b a b . Đặt 0 a xx b khảo sát hàm số 2 1 ,0 1 x fx x x x x ta tìm được 5 2 Min f x . Vậy 5 2 Min P đạt được khi ,0 abc và các hoán vị của nó. Bài toán 51. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn 3 ab c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 222 22 2 P aabb b bcc ccaa Lời giải. Không mất tính tổng quát ta giả sử 222 222 0 03 0 aa b aabb b ab c aa c acac c 2 22 2 2 22 3 P bc b bc c bc b c bc Mặt khác ta có : 9 32 3 0 4 bc a b c bc b c bc Do đó 22 33 2 2 93 3 9 P bc bc bc bc . Xét hàm số 32 2 0 9 39, 0; ' 9 18 0 42 x Fx x x x F x x x x Lập bảng biến thiên ta có : 212 12 MaxF x F MaxP tại ;; 0;1;2 abc . Bài toán 52. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ()( )( )0 abb cc a . Tìm GTNN của 22 2 33 ab c abbcca P bc c a a b ab c Lời giải. Giả sử max{ , } abc . Ta có 22 2 2 2 () 1 () ab bc ca a b c abc ab c a bc bc a Khi đó 1 33 abc P abc bc a bc a . Đặt 2. abc tt bc a Khảo sát hàm số 2 1 () 3 3 2 gt t t với 2 t , ta tìm được GTNN của P bằng 72 2 . Bài toán 53. (ĐH Vinh MO TST 2011-2012) . Cho các số thực a,b,c không âm đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 22 2 11 1 Pa b c ab b c c a Lời giải 1. Giả sử ,, cMinabc Ta có : http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 22 2 22 2 2 2 ab b c c a ab bc ca Ab ac 2 22 2 . 2 ab b c a c ab bc ca Mà : 0 22 ab bc ca b c ac c b ac (đúng ). Suy ra : 2 2 Abcc ba a (1) Lại có : 22 2 11 1 B ab b c a c 2 22 2 12 ab ac b c ab b c a c (2) Đặt : 2 ; ab u b c a c v . Từ (1) và (2) suy ra : 2 22 22 2 12 2 2524 uu v u v uuv vu uv uv u v uv v u v P v Đặt ,0 u tt v . Xét hàm số : 2 2 45 ft t t t , ta có : 2 22 21 215 '2 4 ' 0 2 1 t ft t t ft t t tt Lập bảng biến thiên cho ta : 51 11 5 5 22 ff t . Vậy 2 0 11 5 5 22 1 , 5 0 c MinP a b ab ab ( Hoặc hoán vị ) Lời giải 2. Giả sử ,, cMinabc . Suy ra : ; ba a bc c . Do đó : 22 22 22 22 22 2 2 2 2 11 1 ab ab ab ab ab a b a P ab b 2 . 2 ab ba ab ba ab ba Đặt : ,2 ab tt ba . Xét hàm số : 2 2 23 ,' 2 0 2 2 5 2 t ft t f t t t t t . Lập bảng biến thiên cho ta : 35 1155 22 ft f Bài toán 54. Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 222 3 abc b ca c ab . Lời giải. Do a, b, c có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử 11 ;1 , 0; 33 ab c a c . Ta có: 22 2 2 22983 abc b ac ab ab c c c . 2 98 3 VT c c c . Xét hàm số 2 1 98 3 0 3 Fc c c c c . Ta có : 2 2 2 18 8 9 8 3 4 '09838181 9 29 8 3 cc c c Fc c c c c c cc c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Giải phương trình (1) và so sánh điều kiện ta được 17 33 , 324 cc . Lập bảng biến thiên ta có : 1 03 3 3 MinF c F F VT đpcm. Dấu ‘=’ xảy ra khi ,, abc là 11 111 ;;0 , ;; 22 333 và các hoán vị. Bài toán 55. Cho a, b là các số thực thuộc 0;2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 11 1 P ab b c c a Lời giải. Không mất tính tổng quát ta giả sử 02 ab c . Từ 2 11 02 4 ca ca . Tiếp tục ta có: 22 11 02 2 cb b bc b và 22 11 0 ba b b ab Suy ra 22 11 1 ,0;2 4 2 Pb b b . Xét hàm số 22 11 1 ,0;2 4 2 Fb b b b Ta có : 33 22 '01 2 Fb b b b . Lập bảng biến thiên ta có : 99 1 44 MinF b F MinP Dấu "" xảy ra tại ;; 0;1;2. abc 4. Phương pháp tiếp tuyến. Chú ý. N ếu đường th ẳng y ax b là ti ếp tuy ến c ủa đồ th ị hàm s ố y fx t ại đi ểm 00 ; Ax y (A không là đi ểm u ốn) khi đó t ồn t ại m ột kho ảng ; ch ứa đi ểm 0 x sao cho ,; fx ax b x ho ặc ,; fx ax b x . Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi 0 x x . Bài toán 56. Cho a, b, c dương thỏa mãn : 1 ab c . Chứng minh bất đẳng thức 9 11 1 10 ab c bc ca ab . Lời giải. Ta có 22 4 41 4 1 1 aa bc a bc a Hoàn toàn tương tự, ta sẽ chứng minh 22 2 25 2 5 2 5 44 4 9 10 aa b b cc ab c Xét hàm số 2 22 2 25 25 4420 ' xx f x x x fx x x Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 1 3 x là 99 3 100 x y Lúc đó 2 2 2 31 15 11 0, 0;1 2 49 5 25 93 100 100 xx xx xx x x x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Từ kết quả trên thay x bởi ,, abc ta được: 22 2 99 9 44 4 25 2 9 10 0 5 0 5 1 2 aa ab c a bb c c bc (đpcm) Bài toán 57. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức 11 1 9 1 1 1 4 a b c a bc a b bc c a . Lời giải. Chuẩn hóa 1. ab c Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh là: 4 1 41 41 9* 11 1 aa b b b b Xét hàm số 2 51 x fx x x , phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 1 3 x là 18 3. y x Do ,, abc là ba cạnh của một tam giác nên 1 1 1 2 1 2 2 2 ab c x ab c ab a c b c Suy ra 2 2 31 2 1 1 18 3 0; , 2 0 xx fx x xx x Từ đó ta có: 8 *99 1 VT f a f b f c a b c (đpcm). Bài toán 58. Cho 3 ,, 4 abc thỏa mãn 1. ab c . Chứng minh bất đẳng thức 22 2 9 * 10 11 1 ab c ab c . Lời giải. Xét hàm số 2 1 x fx x . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 1 3 x là 36 3 50 x y . Xét hiệu 2 2 0, 1 31 4 34 36 3 3 50 4 50 xx x fx x x Do đó 36 9 9 50 50 10 * ab c VT f a f b f c (đpcm). Bài toán 59. (Japan MO 2002) Chứng minh rằng với mọi số thực ,, abc không âm ta có bất đẳng thức 22 2 22 2 22 2 3 5 bc a c a b a b c bc c a a ab bc . Lời giải. Chuẩn hóa 1 ab c , bất đẳng thức đã cho trở thành: 22 222 21 12 12 1 2 3 * 5 2221 21 2 aa aaa a aa a Xét hàm số 2 2 4 41 1 22 x f x x x x , phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 1 3 x là 54 23 25 x y . http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Do đó 2 32 22 27 1 0 21 254 23 1 6 1 54 23 2 2 52 5 1 5 222 x xx x fx x xxxx 54 23 3 3. 25 25 5 * xy VT f a f b c z f (đpcm) Bài toán 60. (USA MO 2003) Chứng minh rằng với mọi số thực ,, abc không âm ta có bất đẳng thức 22 2 22 2 22 2 8 2 22 2 2 2 bc a c a b a b c bc c a a b ab c . Lời giải. Chuẩn hóa 1. ab c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 22 2 22 2 11 1 33 8* 21 2 1 1 32 a ab c ac bc b Xét hàm số 2 2 21 32 1 x fx x x x , phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 1 3 x là 12 4 3 x y . Khi đó 2 2 31 4 1 1 0, 0;1 2 24 3 33 1 xx x fx x x x Nên 12 4 3. 8 33 * VT f a f b f a b c c (đpcm). Bài toán 61. (Russia MO 2002) Cho các số thực dương ,, abc thỏa mãn điều kiện 3. ab c Chứng minh bất đẳng thức ab c a cbc ab . Lời giải. Ta có 2 22 2 92 bc ab c a ab bc ca Do đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 9* 22 2 aa c bc b Xét hàm số 2 , 2 fxx x tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ 0 1 x là 3. y x Khi đó 2 2 32 0, 0;3 312 fx x x x x x x xx Nên 3 *9 VT fa f b fc a b c (đpcm). Bài toán 62. Cho các số thực dương ,, abc Chứng minh bất đẳng thức 22 2 9 4 ab c ab c bc c a a b . Lời giải. Chuẩn hóa 1. ab c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 9 * 4 11 1 ab c ab c . Xét hàm số 2 1 x fx x , tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 0 1 3 x là 18 3 4 x y . Khi đó ta có http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 32 22 20 3 0, 0; 31 2 3 18 3 18 39 4 4 1 41 1 xx xx x fx xx x x Nên 18 * 99 444 VT a b fa f b fc c (đpcm). 5. Khảo sát hàm nhiều biến số. Bài toán 63. Cho a, b, c dương thỏa mãn : 22 2 3 ab c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 11 1 22 2 P ab c . Lời giải. Ta xét hàm số 2 11 1, 0;3 22 fx x x x Ta có: 2 35 0; 3 2 1 '0 10;3 2 35 0; 3 2 x fx x x x x . Lập bảng biến thiên ta có 2 11 11 1 22 2 2 fx f x x . Thay x bởi a, b, c vào ta được : 22 2 11 1 31 3 22 2 22 Pabc ab c . Vậy 3 MinP tại 1. ab c Bài toán 64. Cho các số thực 0; ,2 , abc , thỏa mãn 3 ab c . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 22 2 2 3 2 24 2060 bca Pa c Lời giải : Từ 33 ab c a b c . Suy ra : 2 22 32 3 2 6 240 320 Pbc b bc cc 22 344 2 28 2063 c bc c b . Ta có : 2 '6 2 , ' 3 0 4 bb c Pbc P b . Do 22 20 0 33 c c . Ta có bảng biến thiên : Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy : 2 0;2 2 0; 2 2 20 4 4 4 24 2067 28 2 0 063 4 MaxP Max P P P Do P P c ccc c Lại có : 2 24 2067. ' 8 24 0, 0;2 24 Pc c cfc c fc 0 2067 cf f . Hay 2067 1; 2; 0 MaxP a b c . http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 0;2 2 213 86 2063 33 3 b c MinP P c c Xét 2 13 86 2063, 0;2 33 gc c c c , ta có 26 86 ' 0 2 2023 33 gc c gc g . Hay 2023 2; 0; 1 MinP c b a . Bài toán 65. Cho các số thực dương ,, xyz thỏa mãn x z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 23 . 2 x z xz y P xzyz x z yyz Lời giải. Ta có 2 2 23 11 2 x x y xz y z y z yx x xz yz yz y zy z . Đặt 2 12 4 ;1 ab ab xy x a ab b zz b a y . Khi đó: 2 23 2 26 11 2 1 2 ab ab ab ab ab ab P b a ab ab a b ab Đặt 2 1 4 ab u v u ab v Xét hàm số 2 226 , 12 uv u fuv uv u v có 2 22 2 ', 0, 1 32 ,0 2 u vv u fuv u v uv Do đó 22 2 22 2 ,: 42 4 8 vv v fuv gv v v f Lại có 3 3 2 3 2 2 4 44 16 64 4 ''04 8 0 22 2 16 vv v v gv gv v v v vv Lập bảng biến thiên ta thấy 2; 11 min 4 2 3 gv g g Dấu “=” xảy ra 4 2 1 2 ab ab ab ab ab ab Hay 11 min 3 P xy z hoặc 24. x yz Bài toán 66. ( Khối A - 2011) . Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn 1;4 và ; x yxz .Tìm nhỏ nhất của biểu thức 23 x yz P x yy z z x Lời giải . Nếu x y , thì 16 55 xz Pz xz xz . http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Nếu x y , ta có : 22 2 2 ' xz z yyx Pz yzzx yz xz 22 '0 Pzxzyxyz zxyx Lập bảng biến thiên ta thấy : 2 2 12 ,, 1;2 23 1 23 yxx Pz xy t t xy t y P t yx Khảo sát sự biến thiên cho ta : 34 2. 33 f ft Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4; 1; 2. x yz Bài toán 67. Cho các số thực không âm ,, abc thỏa mãn , cac b . Chứng minh rằng 22 22 2 ab a bc c bc aabbcca Lời giải. Ta có 22 22 22 0 1 0 b a bc ab ab bc c a ac ba Xét hàm số 22 2 0 , a fc c ca b ab cb có: 22 2 2 2 ' cca b ab a b c fc ab b ca b c a 2 22 2 2 2 2 22 22 2 abc a b c a a b c a b c a ab bc b ca ab bc ca b 22 2 2 22 2 2a ab ac bc c b ab bc ca 22 2 2 2 0 ab ac a bc b c c ab bc ca ba do a cb c Suy ra 22 02 aab fc ab b b f a Lại có 2 22 22 1 3 2 ab aab ba ba ba b Từ (1), (2), (3) suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra 0 ab c Bài toán 68. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: abc a c b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 1 2 11 23 P ab c Lời giải. Ta có 10 ac b ac . Dễ thấy 1 ac 1 0 a c nên 1 ac b ac 2 22 22 2 22 2 2 22(1) 3 P= 1( ) (1 ) 1 22( ) 3 2 1( 1)( 1) 1 ac aac acc ac aa c c Xét 2 22 2 2 22( ) 3 2 1( 1)( 1) 1 xc fx xx c c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 22 22 2 2( 2 2 1) 3 1 () 2 víi 0 < x < (1)( 1) 1 xcx c fx c xc c 2 ' 222 4( 2 1) ( ) (1)( 1) cx cx fx xc trên khoảng 1 0; c , '2 0 ()0 1 fx x c c và 'fx đổi dấu từ dương sang âm khi x qua 0 x , suy ra fx đạt cực đại tại 0 . x x 22 22 2 12 3 23 Víi 0; : f 2 11 11 1 c xx c cc ccc c Xét 2 2 23 () víi c>0 1 1 c gc c c 2 '' 22 2 2(1 8 ) 1 ( ) g ( ) 0 ( × c >0) 22 (1)( 13) c gc c c v cc c 122410 c > 0: g 39 3 22 cg 1 2 10 . DÊu "=" xÈy khi 2 3 1 22 a Prab c Vậy giá trị lớn nhất của P là 10 3 . 6. Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề. Bài toán 69. Cho ,, 0 xyz thoả mãn 0 x yz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 3 3 16 xyz P xy z Bổ đề. Trước hết ta có: 3 33 4 x y xy (chứng minh bằng cách biến đổi tương đương) Lời giải. Đặt . x yz a Khi đó 33 33 3 3 33 64 64 4164 xy z a z z P tt aa (với z t a , 01 t ); Xét hàm số 3 3 1– 64 ftt t với 0;1 t . có 2 2 1 '( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1 9 ft t t f t t Lập bảng biến thiên 0;1 64 f 81 t Min t GTNN của P là 16 81 đạt được khi 40. x yz Bài toán 70. (Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005) . Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng 33 3 33 3 () ( ) ( 3 ) 8 ab c ab b c c a Lời giải : Đặt ,, 1 bc a xyz xyz ab c http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bất đẳng thức đã cho trở thành : 33 3 11 1 3 8 (1 ) (1 ) (1 ) xy z Áp dụng AM-GM ta có : 3 32 6 3 13 8(1 11 1 3 ) 1 8 2 11 x x x x Ta cần CM bất đẳng thức : 22 2 11 1 3 4 (1 ) (1 ) (1 ) xy z Bổ đề: 22 11 1 ,0 1 11 xy xy xy Bổ đề này được CM bằng cách biến đổi tương đương đưa về BĐT hiển nhiên : 22 () (1 ) 0 xy x y xy Do đó : 2 22 22 11 1 (1)1 1 11 (1 ) (1 ) (1 ) 2 1 zzz zz xy zzz T zz V z Giả sử: 3 ,, 1 1 zMaxxyz x z yz z Xét hàm số : 22 24 11 ;'( () 0,1 21 ( 1) ) zz z fz z zz z fz Suy ra : 3 (1) 4 () fz f . Bài toán 71. Cho ,, 0. abc Chứng minh rằng 22 2 3 ab c ab b c c a Bổ đề : Với ,0 x y thoả mãn 1. xy Ta có bất đẳng thức 22 11 2 1 11 xy xy . Chứng minh : Ta có 22 22 2222 11 2 2 2 11 11 1 xy xyxy xy xyxy 22 22 22 22 ()2 22 2()2 xyxy xyxy xy xy 22 22 2 (2)( 2)0( )(1)0 xy x y xy x y xy x y xy (luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi 1 xy hoặc 0 x y . Lời giải. Đặt ;; 1 bc a x y z xyz ab c . Do ,, 0; 1 xyz xyz nên giả sử 11 z xy Áp dụng Bất đăng thức Cauchy-Shwarz ta có 22 2 2 2 2 2 ab c a b c VT a b b c ca a b b c ca Chứng minh 22 2 23 ab c ab b c c a 22 2 11 2 23 11 1 xy z 22 2 2 2 11 2 2 2 1 22 22 11 11 1 1 1 z xy z xy z z z Ta chứng minh 2 13 2 1 1 2 z z z . Đặt 2 1 () 2 , 1 1 1 z fz z z z 222 1 '() 0 1 (1) ( 1) 1 z fz z zzz z z 3 () (1) 2 fz f Đẳng thức xảy ra khi 1 x yz hay ab c . http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài toán 72. Cho ,, 0 abc . Chứng minh rằng : 3 1 2 ab c ab b c c a Bổ đề : Với ,0 x y thoả mãn 1. xy Ta có bất đẳng thức 22 11 2 1 11 xy xy . Chứng minh : Ta có 22 22 2222 11 2 2 2 11 11 1 xy xyxy xy xyxy 22 22 22 22 ()2 22 2()2 xyxy xyxy xy xy 22 22 2 (2)( 2)0( )(1)0 xy x y xy x y xy x y xy (luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi 1 xy hoặc 0 x y . Lời giải. Đặt ,, 0 ,, 1 xyz bc a xy z ab c xyz 22 2 11 1 1 11 1 VT x yz Giả sử 11 xyz Vì 2 22 2 2 11 1 1 4 4 12 11 11 1 1 z xy xyz xy x y 22 11 2 1 11 z z xy Mặt khác ta lại có: 2 12 1 1 z z Như vậy ta có : 2 12 11 z VT z z Xét hàm số 2 2,1 11 z Fz z zz Ta có : 2 12 '01201. 1 zz Fz z z z zz Lập bảng biến thiên ta có : 33 11 22 MaxF F VT đpcm. Dấu "" xảy ra khi 1. x yz a b c Bài toán 73. Cho 1 ,, ;3 3 abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab c P ab b c c a Bổ đề. Với 01 xy ta có bất đẳng thức 11 2 11 1 xy xy Chứng minh. Ta có 2 1 11 2 2 11 11 (1)( 1) 1 xy x y xy xyxy xy xy Lời giải. Đặt 1 ,, ,, ,9 9 bc a xy z xyz abc và 1. xyz Khi đó 11 1 . 11 1 P x yz http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Không mất tính tổng quát, giả sử 1 9 9 xy z . Do 1 xyz nên 1; 1 z xy . Khi đó áp dụng bổ đề ta có 21 1 1 z P z z Đặt ,1 ztt . Khảo sát hàm số 2 21 ,1; . 1 1 t ft t t t Ta tìm được 1; 8 3 5 Maxf t t hay 9 8 3. 5 ac MaxP c b Bài toán 74. Cho các số thực dương ,, abc thỏa điều kiện 22 2 2 ab c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 44 4 4 22 44 11 264 22 ab bc a b b c P ca ac . Bổ đề. Ta có với mọi ,0 x y thì 2 22 2 x y xy . Dấu đẳng xảy ra khi và chỉ khi x y . Chứng minh. Thật vậy , bất đẳng thức đã cho được biến đổi tương đương trở thành : 2 22 2 2 22 0 xy x xyy xy Lời giải. Áp dụng bổ đề ta có : 2 2 2 4 22 44 2 22 8 xy xy x y xy Do đó : 44 4 44 4 4 44 1 8 ab bc b b b b ca ca ac 4 44 4 4 44 111 64 64 8 ab bc b b ca ac 1 Từ giả thiết ta có : 22 22 22 2 2 22 22 ab bc ab bc ca ac b c a b ac Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có : 22 2 2 2 2 22 ab bc ac b c a b ac 22 2 2 22 22 2 2 22 1 2 ab bc ac b c a b ac 22 2 2 22 2 2 2 2 22 1 4 ab b c ac b c a b a c 22 11 1 42 bb bc ab 11 48 bb ca 2 Từ đó ta có đánh giá : 22 1111 2248 22 ab bc b b ca ca Do đó ta có : 4 11 1 1 1 24 8 64 8 bb bb P ca ca Đặt ,0 bb tt ca . Xét hàm số 4 11 1 1 1 24 8 64 8 ft t t , 0 t Ta có : 3 1 ' 128 11 32 816 t ft t 3 3 111 '0 8 128 2 4 11 32 816 t ft t t t 76 232 0 tt 654 3 2 2 4 816 3264 16 0 tt t t t t t 02 t . Lập bảng biến thiên ta thấy GTLN của 15 32 P đạt được khi 2 t và dấu bằng ở các đánh http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word giá 1, 2 xảy ra . Do đó ta có : 22 2 2 6 a 3 2 bb ca ab c b c ab c . Bài toán 75. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ()( )( )0 abb cc a và max{ , } abc . Chứng minh rằng 11 7( ) 15 2 22 ab c abc bc c a a b a Lời giải. Bổ đề: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ()( )( )0 abb cc a và max{ , } abc . Chứng minh rằng bc bc ac a b a (1) Chứng minh bổ đề: Ta có (1) 1 ()( ) ( )( ) ab ac bca c bca b ; mặt khác , ta lại có 22 ()( ) 2 2( )( ) ab ab ab b c a c bc ac ab ab cba c ; tương tự 2 ()( ) 2 ac ac a b b c bc ba ac Suy ra 2( ) 1 ()( ) ()( ) 2 ab ac ab ac b c a c b c a b bc ba ac bc bc ac a b a . Dấu bằng xảy ra khi ab c hoặc 0, bac hoặc 0, cab Quay lại bài toán Xét hàm số 2 11 7 () 2 1 2 gt t t t với 0 t . Ta có 2 22 2 2 22 22 7 74 2 8 7 21 11 7 '( ) 1 2 2 27 t tt ttt t gt tt tt Vậy '( ) 0 3 gt t vì 0 t . Lập bảng biến thiên, ta được GTNN của () g t bằng 15 (3) 2 f . Từ đây ta được 11 7( ) 21 2 11 7( ) 2 2 a a bc bc f bc bc a a ab c abc bc c a a b a Vậy ta được 11 7( ) 15 2 22 ab c abc bc c a a b a . Do dấu bằng không xảy ra nên ta có điều phải chứng minh. 7. Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển. Bài toán 76. (Nghệ An MO TST – 2010 ). Xét các số thực dương a, b,c thỏa mãn 1 abc . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 3 3 3 3 6 bbc Pa cc a ab Lời giải : http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ta sẽ chứng minh : ,, ,, Pb Pabc c c ab . Thật vậy : 3 33 3 3 3 ,, , 6 2 1 ,2 Pabc a a a P bc bc b c bc b bc a c 2 33 2 3 6 bc abc 22 2 33 9. 6 6 bc bcc b b ab a cc 2 2 90 6 a bc ( Với giả sử ,1 ax , aM abc a ) . Lại có : 3 11 1 12 ,, 6 ,, 2 bc bc a a a aa a Pa P a a . Đặt ,1 att . Ta có : 32 6 112 26 ft t t t t Ta sẽ chứng minh : 32 6 112 215,1* 6 t t t t t Thật vậy : 98 6 5 * 2 15 12 610 ttt t . Xét hàm số : 98 6 5 21 2 65 1 1 gt t t t t , ta có : 87 5 4 4 4 3 4 '18 6 3 1510 6 48 90 60 8 . t gt t t tt t ttt th . Xét : 43 1 38 5 10, 1 ht t t t t , có : 32 2 '12 24 15;'' 36 0 48 0 4 3 t t tt t t t hht Lập bảng biến thiên ta thấy : ' 47 '0 39 h ht . Do đó : 10 0 ' t h ht g nên : 10 gt g . Bài toán 77. (MOSP 2001). Xét các số thực dương a, b,c thỏa mãn 1 abc Chứng minh bất đẳng thức 41 ab b c c a ab c Lời giải : Đặt : ,, 4 1 Pabc ab b c c a ab c 46 abab bcc b cac a ab c Ta sẽ CM : ,, ,, Pb Pabc c c ab , thật vậy : ,, , 42 , 28 Pabc Pa ab a b bc b c c bc ac a b c a bc bc a bc bc bc bc 222 24 2 2 2 bcbc bc a bb abbcb cbc bcc 2 2 2 4 bc a a b c bc 22 2 4 bc b c bc a a 2 2 4 2 bc a a b c bc a 24 ab a c bc a Giả sử : ,1 ax , aM abc a , và : 2 44 4 abc ab a a c . Vậy : http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 11 ,, , , , 2 8 ,84 Pbcbc a a aa aa P a abc a P a a 32 3 28 24 8 tt ft t t , Với 1 at ). Ta có : 3 32 4 1 2 '334 t ftt t t , lại có : 32 34 3 gt t t , có : 2 '9 8 0, 1 1 2 80 9 gt t t t t t gt g . Do đó : '0, 1 t ft . Hay : 10 ft f . BĐT được CM. Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung cơ bản của chương gồm Lựa chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, cùng với đó là quá trình phân tích các hướng tiếp cận bài toán và các lời giải độc đáo. Tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức từ các đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp THCS, THPT và một số bất đẳng thức từ các đề thi vào lớp 10 chuyên toán trong một số năm trở lại đây . Giới thiệu các bài tập tổng hợp để các em học sinh có thể tự rèn luyện. Chủ đề 11 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, cùng với đó là quá trình phân tích để đi đến hình thành lời giải cho bài toán bất đẳng thức đó. Từ các bài toán đó ta sẽ thấy được quá trình phân tích đặc điểm của giả thiết bài toán cũng như bất đẳng thức cần chứng minh, từ đó có những nhận định, định hướng để tìm tòi lời giải và cách trình bày lời giải cho một bài toán bất đẳng thức. Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 bc ca ab 1 1 1 2a 2b 2c ab c b c a c a b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Có thể nói đây là một bất đẳng thức hay tuy nhiên nó không thực sự khó. Quan sát bất đẳng thức ta có một cách tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Từ chiều của bất đẳng thức, ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá. Nhưng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bao nhiều số? Để ý bên vế trái bất đẳng thức có chứa 2 1 a và bên vế phải lại chứa 1 a nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số, ta cũng cần triệt tiêu các đại lượng bc bc . Chú ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá sau 22 bc b c bc b c 1 2 4bc 4bc a ab c a b c Thực hiện tương tự ta có 22 ca c a 1 ab a b 1 ; 4ca b 4ab c bc a c a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 bc ca ab b c c a a b 1 1 1 4bc 4ca 4ab a b c ab c b c a c a b Để ý là bc c a a b 1 1 1 1 4bc 4ca 4ab 2 a b c , lúc này ta thu được 22 2 bc ca ab 11 1 111 1 ab c 2ab c ab c b c a c a b Hay 22 2 bc ca ab 1 1 1 2a 2b 2c ab c b c a c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Ý tưởng thứ hai là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab bc ca bc ca ab ab c b c a c a b abc a b c b c a c a b Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 2 ab bc ca 11 1 2a 2b 2c abc a b c b c a c a b Biến đổi vế trái ta được 22 ab bc ca ab bc ca 11 1 2a 2b 2c 2abc ab bc ca abc a b c b c a c a b Điều này có nghĩa là bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Ý tưởng tiếp theo là sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bài toán. Chú ý đến phép biến đổi 22 bc 1 ab bc ca a ab c a b c , khi đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng sau 22 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 1 1 1 2a b c ab c b c a c a b . Biến đổi vế trái ta lại được 3ab bc ca 31 1 1 2a b c 2abc . Đến lúc này ta đưa bài toán cần chứng minh thành 22 2 111 3 2abc ab c b c a c a b Đến đây ta biến đổi bất đẳng thức bằng cách nhân cả hai vế với tích abc ta được bc ca ab 3 ab ca bc ab ca bc 2 Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Neibitz. Điều này đồng nghĩa với việc bất đẳng thức được chứng minh. Cách 4: Ta tiếp tục phân tích tìm lời giải với ý tưởng đổi biến, quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy 2 2 bc 1 11 ab c a bc , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 111 1111 2a b c 11 1 1 1 1 ab c bc c a a b Đến đây ta đặt 11 1 x;y ;z ab c . Khi đó bất đẳng thức trở thành 22 2 xy z xyz yz z x x y 2 Bất đẳng thức cuối cùng làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 2 22 2 xy z xy z xyz yz z x x y 2 2x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab c 1 b2c c 2a a 2b Phân tích và lời giải Cũng như bài toán trên ta dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c . Với bất đẳng thức trên ta cũng có một số ý tưởng tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Ý tưởng đầu tiên là đánh giá bất đẳng thức trên theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Khi đó ta được 2 22 2 ab c ab c a b c b2c c 2a a 2b ab2ca bc 2ab ca 2bc 3ab bc ca Bài toán sẽ được hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab c 1 3ab bc ca , nhưng đánh giá này chính là 2 ab c 3ab bc ca . Đây là một bất đẳng thức quen thuộc. Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Ta tiếp tục đánh giá bất đẳng thức với ý tưởng đổi biến. Quan sát bất đẳng thức ta hướng đến việc đổi biến làm đơn giản mẫu các phân số. Cho nên rất tự nhiên ta thực hiện phép đặt x b 2c; y c 2a; z a 2b , khi đó suy ra x,y,z 0 . Thực hiện biểu diễn các biến cũ theo biến mới ta được 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z a;b ;c 99 9 Khi này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z 1 9x 9y 9z Hay 4y z x 1 z x y 2 1 9x y z 9 x y z 3 Dễ dàng nhận ra yz x z x y 3; 3 xy z x y z theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó ta được 4y z x 1 z x y 2 4 1 2 1 9x yz 9x yz 3 3 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 3: Bây giờ ta thử đánh giá bất đẳng thức trên theo hướng đánh giá mẫu của các các phân thức xem sau. Quan sát ta nhận thấy b2c b 2a 2a b c , lại theo một bất đẳng thức Cauchy ta thấy 2 2 2a 2b 2c b2c b 2a a b c 4 cho nên rất tự nhiên ta thực hiện phép đánh giá sau 2 a b 2a a b 2a a b2c b2c b 2a ab c Thực hiện tương tự ta được 22 b c 2b c a 2c bc ; c2a a 2b ab c a b c Lúc này ta thu được bất đẳng thức 2 a b 2a b c 2b c a 2c ab c b2c c 2a a 2b ab c Để ý là 22 2 22 ab c 2ab bc ca a b 2a b c 2b c a 2c 1 ab c a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: ab c 1 1b a 1 c b 1 a c Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Trước hết ta áp dụng giả thiết viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành ab c 1 c2b a 2c b2a . Đây chính là bất đẳng thức trong bài 2, do đó ta có thể chứng minh bất đẳng thức theo các cách như trên. Ngoài ra ta còn có thêm giả thiết ab c 1 , ta thử phân tích xem còn có thêm ý tưởng nào khác không? Cách 1: Để ý là ab c 1 ta có 2 ab c 1 . Khi đó ta cần biến đổi ab c làm xuất hiện các đại lượng ab c ;; c2b a 2c b2a . Với nhận định này ta biến đổi được như sau ab c ab c ac 2b ba 2c cb 2a c2b a 2c b2a Khi đó ta sẽ được 2 2 ab c ab c ac 2b ba 2c cb 2a c2b a 2c b2a Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 ab c ac 2b ba 2c cb 2a c2b a 2c b2a ab c ac 2b ba 2c cb 2a c2b a 2c b2a Như vậy lúc này ta được 2 ab c ab c c2b a 2c b2a 3ab bc ca Rõ ràng đây cũng là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Điều này đồng nghĩa với bài toán được chứng minh. Cách 2: Cũng từ giả thiết ab c 1 ta được 1b a 0, suy ra a 0. 1b a Dễ thấy 2 1a b 1 , do đó ta có 2 a1 a b a a1 a b 1b a 1 b a Ta thực hiện tương tự được bc b1 b c; c1 b a 1c b 1 a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab c a1 a b b1 b c c1 c a 1b a 1 c b 1 a c Bài toán sẽ được hoàn tất nếu ta chỉ ra được a1 a b b1 b c c1 c a 1 Hay 22 2 ab c a b c ab bc ca 1 Chú ý đến đánh giá 22 2 ab c ab bc ca ta thấy đánh giá cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 4. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 abc ab c bc a c a b a b c Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có bc a 0;c a b 0;a b a 0 . Chú ý đến hình thức phát biểu của bài toán ta có một số ý tưởng chứng minh như sau Cách 1: Cách phát biểu vế trái của bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và ta có kết quả là 2 22 2 ab c abc ab c b c a c a b a b c b c a ca ba bc Đây chính là điều ta cần phải chứng minh. Cách 2: Ý tưởng thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Khi đó ta được 22 2 ab c b c a 2a; c a b 2b; a b c 2c bc a c a b a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 abc ab c 2ab c bc a c a b a b c Hay 22 2 abc ab c bc a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Trước hết ta chứng minh 2 a 3a b c bc a . Thật vậy, với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 2 22 abca3a bc a3a 4abc bc 2a bc 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Áp dụng tương tự ta được 22 bc 3b c a ; 3c a b ca b a bc Do đó ta được 22 2 abc 3a b c 2a b c a b c bc a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 111 3 2 ab c b c a c a b Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có một số ý tưởng tiếp bài toán như sau Cách 1: Ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Ở đây ta phân tích xem nên sử dụng cho mấy số. Đầu tiên ta chú ý đến đại lượng 3 1 a bên vế trái nên rất tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy cho ba số, ta cũng cần phải làm triệt tiêu 1 bc . Để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá là 3 1bc13 42 2a ab c . Áp dụng tương tự ta có 33 1ca13 1 ab13 ; 4 2 2b 4 2 2c bc a c a b Lúc này cộng theo vế các bất đẳng thức trên thì được 33 3 111 abc3333 2 2 2 2 2a 2b 2c ab c b c a c a b Hay 33 3 111 1113 ab c 2 ab c b c a c a b Để ý tiếp ta lại thấy 3 11 1 1 3. 3 ab c abc Do đó ta được 33 3 111 3 2 ab c b c a c a b Như vậy bài toán được chứng minh. Cũng sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhưng với hai số dương ta có thể thực hiện được không? Ta chú ý đến đại lượng 3 1 ab c bên vế trái, nếu muốn đánh giá về 1 a ta cần khử được 1 ab c và như vậy chú ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương đó là 3 1 ab c và ab c 4 . Khi đó ta được 33 ab c a b c 11 1 2 44a ab c a b c Áp dụng tương tự ta được 33 bc a c a b 111 1 ; 4b 4c bc a c a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 111 abbcca111 2abc ab c b c a c a b Để ý đến giả thiết abc 1 ta được 33 3 111 1111 2a b c ab c b c a c a b Đến đây ta thực hiện tương tự như trên. Cách 2: Chú ý đến giả thiết abc 1 ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 33 3 111 3 2 ab c b c a c a b abc abc abc Hay 22 2 11 1 3 ab c 11 1 1 1 1 2 bc c a a b Đến đây để đơn giản hóa ta đặt 11 1 x;y ;z ab c , suy ra xyz 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 xy z 3 yz z x x y 2 Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên. Hướng 1: Áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 2 3 xy z 3xyz xy z xyz 3 yz zx x y 2 2 2 2x y z Hướng 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 22 xyz x yz 2x yz 4 y z 4 yzx y zx 2y zx 4 z x 4 zxy z xy 2z xy 2 x y 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 xy z xyz xy z yz z x x y 2 Hay 22 2 3 3 xyz xy z xyz 1 yz z x x y 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 55 5 333 222 22 2 ab c abc 3 aab b b bc c c ca a Phân tích và lời giải Quan sát cách phát biểu của bài toán thì ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và khi đó ta được 2 33 3 55 5 222 22 23332 22 22 2 ab c ab c a ab b bbc c cca a a b cab abbc bcca ca Như vậy ta cần chỉ ra được 2 33 3 33 3 33 3 2 2 2 2 2 2 ab c ab c 3 ab c ab ab bc bc ca ca Hay 33 3 2 2 2 2 2 2 2a b c ab ab bc bc ca ca Dễ thấy 33 3 3 3 3 ab aba b;b c bcb c;c a cac a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 2 2 2 2a b c ab ab bc bc ca ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ý tưởng thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy, để ý đến đại lượng 5 22 a aab b bên vế trái và đại lương 3 a 3 bên vế phải, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng Cauchy cho hai số dương, để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c và cần triệt tiêu được 22 aab b nên ta chọn hai số đó là 22 5 22 aa ab b a ; 9 aab b . Khi đó ta được 22 22 55 3 22 2 2 aa ab b a a ab b aa 2a 2 993 aab b aab b Áp dụng tương tự ta có 22 2 2 535 3 22 2 2 bb bc c c c ca a b2bc 2c ; 93 9 3 bbc c cca a Để đơn giản hóa ta đặt 55 5 222 22 2 ab c A aab b b bc c c ca a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 333 aa ab b b b bc c c c ca a 2a b c A 99 9 3 Hay 33 3 2 2 2 2 2 2 5a b c ab ab bc bc ca ca A 9 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3 2 2 2 2 2 2 33 3 33 3 2 2 2 2 2 2 5a b c ab ab bc bc ca ca ab c 93 2a b c ab ab bc bc ca ca Đến đây ta thực hiện tương tự như cách 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 1111 30 ab bc ca ab c Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy các biến đều nằm dưới mẫu nên rất tự nhiên ta nghĩ đến các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki dạng phân thức Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức trên với ý tưởng đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy. Để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có 22 2 ab c ab bc ca nên đầu tiên để tạo ra đại lượng ab bc ca ta có đánh giá quen thuộc là 11 1 9 ab bc ca ab bc ca . Do đó ta có bất đẳng thức 22 2 2 2 2 1111 1 9 ab bc ca ab bc ca ab c a b c Như vậy ta cần phải chứng minh được 22 2 19 30 ab bc ca ab c Lại chú ý đến đánh giá tương tự như trên nhưng ta cần cộng các mẫu sao cho có thể viết được thành 2 ab c điều này có nghĩa là ta cần đến 2ab bc ca . Đến đây ta hai hướng là: - Thứ nhất là đánh giá 2 2 22 2 2 12 12 12 ab c 2ab bc ca ab c , Tuy nhiên đánh giá này không xẩy ra dấu đẳng thức. - Thứ hai là đánh giá 22 2 2 11 1 9 9 ab bc ca ab bc ca ab c ab c . Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 7 21 ab bc ca Tuy nhiên, dễ thấy 2 ab c 1 ab bc ca ab bc ca 33 Do đó ta được 7 21 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra thì ta được 22 2 22 2 22 11 1 1 16 3ab 3bc 3ca ab c ab c 3ab bc ca 16 12 1 ab c a b c 3 Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 21 1 1 18 3ab bc ca Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 21 1 1 6 6 18 3ab bc ca ab bc ca 1 ab c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Theo một đánh giá quen thuộc ta có 11 1 9 ab bc ca ab bc ca Do đó ta có bất đẳng thức 22 2 2 2 2 1111 1 9 ab bc ca ab bc ca ab c a b c Áp dụng tiếp đánh giá trên ta được 22 2 22 2 11 1 a b c 2ab 2bc 2ca 9 ab bc ca ab bc ca ab c Hay 22 2 12 9 ab bc ca ab c Mặt khác ta lại có 7 21 ab bc ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 1111 30 ab bc ca ab c . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: ab c 3 bc a Phân tích và lời giải Trước hết để mất dấu căn ta đặt xa;y b;z c , khi đó từ giả thiết ta có 22 2 xy z 3 và bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 xy z 3 yz x . Quan sát bất đẳng thức và dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại xy z 1 , ta có một số ý tưởng tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên cần chú ý đến giả thiết 22 2 xy z 3 , khi đó ta có đánh giá 2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 2 2 2 2 2 2 xy z xy z x y z 9 yz x xy yz zx xy yz zx xy yz zx Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 22 2 9 33 xyyzzx xy yz zx Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta được 32 2 3 2 2 3 2 2 xxy 2xy;y yz 2yz;z zx 2zx Do đó ta có 3 3 32 22 2 2 2 2 2 2 x y z xy xy xzxz yzyz 3xy yz xz Mà ta có đẳng thức quen thuộc 22 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z xy xy xzxz yzyz Do đó ta được 22 2 2 2 2 xy z x y z 3xy xz yz Để ý tiếp đến giả thiết 22 2 xy z 3 , ta có 22 2 xy z xy yz xz Mà ta có 22 2 xy z 3x y z 3 suy ra 22 2 3xy yz zx . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Cũng từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy, tuy nhiên khi áp dụng trực tiếp ta cần chú ý làm triệt tiêu các mẫu số và đánh giá về bình phương của các biến. Do đó ta đánh giá như sau 22 2 22 2 2 2 2 xy z xy 2x; yz 2y; zx 2z yz x Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 2 2 2 xy z x y y z z x 2x 2y 2z 6 yz x Hay 22 2 22 2 xy z 6xy yz zx yz x Bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 22 2 6xy yz zx 3 hay 22 2 3xy yz zx Đến đây ta làm như cách thứ 1. Cách 3: Cũng áp dụng bất đẳng thức Cauchy, tuy nhiên trong tình huống này ta bình phương hai vế trước Đặt 22 2 xy z A yz x , khi đó ta được 2 22 2 4 4 4 2 2 2 2 22 2 xy z x y z xy yz zx A2 yz x z x y yz x Đến đây ta chú ý đến cách ghép cặp sau 42 2 22 2 42 2 22 2 42 2 22 2 xxy xy z4x zz y yyz yz x4y xx z zzx zx y4z yy x Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 A x yz 4x yz A 9 A 3 Hay 22 2 xy z 3 yz x Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Cách 4: Trong các hướng tiếp cận trên ta đều thực hiện đánh giá sau quá trình đổi biến mà quên đi một đánh giá quan trọng là 2b b 1 , khi đó ta có a2a b1 b . Đây là một đánh giá cùng chiều mà vẫn bảo toàn dấu đẳng thức, ta thử thực hiện tiếp xem sao Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ab c 2a 2b 2c b1 c1 a 1 bc a Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 2a 2b 2c 3 b1 c 1 a 1 . Nhìn cách phát biểu của bất đẳng thức ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 22 2 2a b c 6a b c 2a 2b 2c b1 c 1 a 1 ab bc ca 3 ab c 9 Ta cần chứng minh được 2 2 6a b c 3 ab c 9 Hay 22 2 2a b c ab c 9 ab c 9 ab c 3 Đẳng thức cuối cùng chính là giả thiết. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 9. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 2abc1 2ab bc ca Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến một số ý tưởng tiếp cận như Sử dụng nguyên lí Dirichlet, sử dụng tính chất của tam thức bậc hai, sử dụng bất đẳng thức Cauchy,…, bây giờ ta đi phân tích từng ý tưởng để tìm lời giải cho bài toán. Cách 1: Trước hết ta thấy ta để ý đến đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 điều này có nghĩa là khi đẳng thức xẩy ra thì a1;b 1;c 1 cùng bằng 0, ngoài ta trong bất đẳng thức chứa các đại lượng ac,bc,abc,... nên ta nghĩ đến tích ca 1 b 1 , tuy nhiên ta chưa thể khẳng định được tích đó có không âm hay không nên ta sử dụng nguyên lí Dirichlet. Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số a1;b 1;c 1 luôn tồn tai hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai đó là a1;b 1 , khi đó ta có a1 b 1 0 ca1 b 1 0 abc ac bc c 0 Khi đó ta có 22 22 2 a b c 2abc 1 a b 1 c 2 abc ac bc c 2 ab bc ca Dễ thấy 22 a b 1 c 2 abc ac bc c 0 nên ta có 22 a b 2ab 1 c 2c 2abc 2ac 2bc 2 bc ca 2 ab bc ca Suy ra 22 2 ab c 2abc1 2ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Dễ thấy bất đẳng thức có bâc hai đối với mỗi biến do đó ta có thể viết lại bất đẳng thức về dạng đa thức biến a, còn b và c đóng vai trò tham số Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là 222 a2bc b ca b c 2bc 1 0 Xét 222 f(a) a 2 bc b c a b c 2bc 1 Quan sát đa thức f(a) ta nhận thấy nếu bc b c 0 thì khi đó ta luôn có f(a) 0 , tức là 222 a2bc b ca b c 2bc 1 0 . Bây giờ ta xét trường hợp sau bc b c 0 Khi đó ta có 2 '22 a bc b c b c 2bc 1 Để ý đến hệ số của hạng tử bậc hai là số dương nên để f(a) 0 thì ta phải chỉ ra được 2 '22 a bc b c b c 2bc 1 0 Hay bc b 2 c 2 1 0 Để ý đến bc b c 0 ta được b1 c1 1 , lúc này xẩy ta các khả năng sau - Cả b1; c 1 cùng nhỏ hơn 1 hay cả b, c đều nhỏ hơn 2, khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 b2 b c 2 c b2 b 1;c 2 c 1 44 Suy ra bc b 2 c 2 1 nên ta có bc b 2 c 2 1 0 . - Trong hai số b1; c 1 có một số lớn hơn 1 và một số nhỏ hơn 1 khi đó trong b, c có một số lớn hơn 2 và một số nhỏ hơn 2 suy ra bc b 2 c 2 0 nên ta cũng có bc b 2 c 2 1 0 . Như vậy cả hai khả năng đều cho ' a 0 nên bất đẳng thức được chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 3: Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có đánh giá 3 22 2 2abc 1 abc abc 1 3 a b c Lúc này ta được bất đẳng thức 3 22 2 2 2 2 222 ab c 2abc1 ab c 3abc . Ta cần chỉ ra được 3 22 2 222 ab c 3abc 2ab bc ca . Để làm mất căn bậc 3 ta có thể đặt 23 2 3 2 3 ax;b y;c z , khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 33 3 33 33 33 x y z 3xyz 2 x y y z z x Để ý đến đánh giá 2xy x y khi đó ta viết được 33 3 3 3 3 2 xy yz zx xyx y yz y z zxz z Bất đẳng thức sẽ được chứng minh xong nếu ta chỉ ra được 33 3 x y z 3xyz xy x y yz y z zx z z Khai triển và phân tích ta được bất đẳng thức xyz x y z y z x z x y Đây là một đánh giá đúng quen thuộc. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 4: Ngoài các cách giải như trên ta cũng có thể tham khảo thêm cách giải sau: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là 2 ab c 2abc 1 4ab bc ca Đặt ab c k , khi đó ta cần phải chứng minh 2 2 k 2abc 1 4 ab bc ca 4 ab bc ca k 2abc 1 Ta dễ dàng chứng minh được abc a b c b c a c a b hay 2 abc k 2a k 2b k 2c 4k ab bc ca k a b c 8abc 9abc 4ab bc ca k k Như vậy để hoàn tất chứng minh ta chỉ cần chỉ ra được 92kabc 9abc 2abc 1 1 kk Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 ab c k abc 327 nên cần chứng minh 32 92kabc 92kk 92kk 1 k27k 27 + Nếu 92k 0 , bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. + Nếu 92k 0 , khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 2 92kk 19 2k k k 1 27 27 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: ab c 3 ab 3c bc 3a ca 3b 4 Phâ tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát cách phát biểu của bài toán ta nghĩ đến sử dụng các bất đẳng thức Bunhiacopxki, Cauchy,…. Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta có các ý tưởng tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta được 22 2 22 2 2 22 2 ab c a b c ab 3c bc 3a ca 3b a b 3ac b c 3ab c a 3bc ab c ab bc ca 3 ab bc ca Ta cần chứng minh 2 22 2 ab c 3 4 ab bc ca 3 ab bc ca . Hay ta cần chứng minh 2 22 2 22 2 2 2 2 4a bc 3abbcca 9ab bc ca 4a b c 3abbcca abbcca Mà ta có 22 2 ab c ab bc ca , do đó để hoàn tất chứng minh ta cần chỉ ra được 22 2 2 2 2 3a b c 3ab bc ca Nhận thấy trong bất đẳng thức cần chứng minh, vế trái có bậc 2 và vế phải có bậc 3, do đó trước hết ta đồng bậc hai về. Chú ý đến giả thiết ab c 3 ta có 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 3 3 32 2 2 22 2 22 2 3a b c 3ab bc ca ab c a b c 3ab bc ca ab c ab bc ca 2ab bc ca aa b b b c c c a 0 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Hoặc ta có thể chứng minh theo bất đẳng thức Cauchy như sau 32 2 3 2 2 3 2 2 aab ab;b bc bc;c ca ca Cộng theo vế các bất đẳng trên ta cũng được điều phải chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Trong bài toán có giả thiết ab c 3 và trong bất đẳng thức cũng xuất hiện các số 3. Vậy thì các số 3 đó ẩn ý gì hay không? Để ý ta thấy ab 3c ab c a b c a c b c , áp dụng tương tự ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh là ab c 3 4 ac b c ab c a c a ab Đến đây ta có các hướng xử lí bất đẳng thức trên + Hướng 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c 3 4 ac b c ab c a c a ab 3 aa b b b c c c a a b b c c a 4 4a b c ab bc ca 33 a 3 b 3 c 4 9 ab bc ca 3 27 9 a b c 3 ab bc ca abc 36 4 ab bc ca 9 ab bc ca 3abc 36 3abc 13 ab bc ca Bất đẳng thức cuối cùng ta thấy có sự xuất hiện của các đại lượng ab bc ca; abc và chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta để ý đến abc a b c b c a c a b hay abc 3 2a 3 2b 3 2c 3abc 9 4 ab bc ca 3abc 36 4 ab bc ca 27 Đến đây để hoàn tất chứng minh ta cần chỉ ra được 4abbcca 27 13abbc ca abbcca 3 Vì 2 9 a bc 3abbcca abbcca 3 . Như vây bài toán được chứng minh xong. + Hướng 2: Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta đặt xb c;y c a;z a b , khi đó ta được xy z 6 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành yzx z x y x y z 3 xy yz zx 2 Hay 22 2 3xyz xy z 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 xy z 3xyz xyz 8 12 32 và 2 22 2 xy z xy z 12 3 Từ hai bất đẳng thức trên ta có 22 2 3xyz xy z 2 . Đến đây bài toán được chứng minh xong. + Hướng 3: Từ đại lượng a ac b c ta liên tưởng đến kỹ thuật thêm – bớt trong bất đẳng thức Cauchy, ta được 2 aa c a b c a3aaaab2ac3a 88 4 8 4 ac b c ac b c Áp dụng tương tự ta được 22 b b bc 2ab 3b c c ca 2bc 3c ; 84 8 4 ab c a b c ab Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, khi đó cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 3a b c a ab 2ac b bc 2ab c ca 2bc A 88 8 4 Hay 2 2 2 ab c ab c ab c ab bc ca 99 3 3 A 48 4 8 4 Đến đây bài toán được chứng minh xong. Bài 11. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 2 2 2 ab c a b b c c a bc a 2 2 2 Phân tích và lời giải Cách 1: Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xấy ra tại ab c , quan sát bất đẳng thức ta nhân thấy vế trái chứa các căn bậc hai, do đó ta hướng đến đánh giá làm mất các căn bậc hai. Tuy nhiên nếu ta sử dụng đánh giá 2 22 2a b a b thì sẽ thu được bất đẳng thức ngược chiều. Nên ta nghĩ đến bình phương hai vế, có điều nếu khai triển theo phép biến đổi tương đương thì vẫn còn căn bậc hai. Áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 a b b c ca a b b c ca 3 22 2 2 2 2 Hay 22 2 2 2 2 22 2 ab b c c a 3a b c 22 2 Như vậy ta cần chỉ ra được 22 2 22 2 ab c 3a b c bc a Chú ý bên vế trái xuất hiện đại lượng 22 2 ab c bc a nên ta sẽ đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tuy nhiên ta cần đánh giá là xuất hiện 22 2 ab c . Khi đó ta được 2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 2 2 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca Đến đây ta cần chứng minh được 2 22 2 22 2 22 2 ab c 3a b c ab bc ca Hay 32 22 2 2 2 2 ab c 3ab bc ca Nhận thấy 2 22 2 2222 22 ab c 3ab bc ca Do đó ta được 3 22 2 2222 22 2 2 2 ab c 3ab bc ca ab c Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca a b c ab bc ca Do đó ta được 32 22 2 2 2 2 ab c 3ab bc ca Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Bây giờ ta thử đánh giá từ vế trái sang vế phải đồng thời làm xuất hiện các căn bậc hai như vế phải xem sao? Để ý đến phép biến đổi 222 aab b bb , khi đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá, chú ý đến đẳng thức xẩy ra tại ab c nên để triệt tiêu b ở mẫu ta cộng thêm vào 2b, như vậy ta sẽ được 22 22 ab 2b 2 2 a b b . Do đó ta có đánh giá 222 22 aab 3b 2b 2 2 a b bb Thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 22 2 2 2 2 ab c 3a b c 22a b 22b c 22c a bc a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22a b 22b c 22c a 3a b c ab b c c a 22 2 Hay 22 2 2 2 2 ab b c c a ab c 22 2 Đến đây thì đơn giản hơn rồi, để ý đến bất đẳng quen thuộc 2 22 2x y x y , khi đó ta được 22 2 2 2 2 ab a b b c b c c a c a ;; 22 2 2 2 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 ab b c c a ab c 22 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Chú ý là đẳng thức xẩy ra tại ab c và trong các biến có các lũy thừa bậc 2, do đó ta thử biến đổi hai vế để làm xuất hiện các đại lượng kiểu 22 2 ab ;b c ;c a . Trước hết ta biến đổi vế trái, để ý là 2 2 ab a 2a b bb , như vậy ta sẽ được 22 2 22 2 ab b c c a ab c 2a b 2b c 2c a bc a b c c Do đó suy ra 22 2 22 2 ab b c c a ab c ab c bc a b c c . Như vậy để bất đẳng thức tương đương thì ta phải bớt ở vế phải đại lượng ab c và lúc này ta cần biến đổi biểu thức 22 2 2 2 2 ab b c c a ab c 22 2 làm xuất hiện 22 2 ab ;b c ;c a . Ta để ý đến phép biến đổi 2 22 22 ab ab a b 22 22a b 2a b , hoàn toàn tương tự thì vế phải trở thành 22 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 2 2 a b 2 a b 2 2b c 2 b c 2 2 c a 2c a Đến đây ta chỉ cần chỉ ra được 22 11 0 b 22a b 2a b , rõ ràng đánh giá này hoàn toàn đúng. Tươngng tự ta trình bày được lời giải như sau: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 222222 22 2 22 2 2 2 2 ab c abbcca 2a b 2b c 2c a a b c bc a 2 2 2 ab b c c a ab a b b c b c c a c a bcc 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 22 ab b c c a ab b c bcc 22a b 2a b 2 2b c 2b c ca 22c a 2c a 22 22 2 2 2 22 11 1 1 ab b c bc 22a b 2a b 2 2b c 2b c 11 ca 0 c 22c a 2c a Đặt 22 22 22 11 A b 22a b 2a b 11 B c 22b c 2b c 11 C c 22c a 2c a Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được A,B,C 0 . Thật vậy 22 22 2 2 22a b 2a b 11 A0 b 22a b 2a b 2 2a b 2a b Hoàn toàn tương tự ta có B,C 0 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 4: Bây giờ ta thử biến đổi từ vế phải sang vế trái xem sao, ở đây ta cần làm mất các căn bậc hai. Để thực hiện được biến đổi đó ta nghĩ đến đánh giá 2 22 2a b a b nhưng tiếc là đánh giá này lại ngược chiều. Một cách khác đó là sử dụng đánh giá kiểu 2xy x y , đánh giá này cùng chiều nên ta tập trung theo hướng này. Như vây ta cần viết được 22 ab 2 sao cho xuất hiện tích của hai đại lượng và sau khi đánh giá thì xuất hiện 2 a b . Để ý ta thấy 22 22 22 2 22 22 ab ab 1a b ab 1a ab ab ab b 2b a 22 2b 2b Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 b c 1b c a 1c 2c b ; 2a c 22c 2 2a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 1a b c a b b c c a ab c 2b c a 2 2 2 Hay 22 2 2 2 2 2 2 2 ab c a b b c c a ab c 2 2 2 bc a 2 2 2 Đến đây ta trình bày hoàn toàn tương tự như cách thứ nhất. Cách 5: Để ý ta thấy 22 2 2 2 2 ab b c c a ab b c c a 0 ab b c c a nên ta được 22 2 2 2 2 ab c b c a a b bc c a a b bc c a Suy ra 22 2 2 2 22 2 2 2a 2b 2c a b b c c a ab b c c a ab b c c a Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 2 2 1 a b c 2a 2b 2c ab c 2b c a a b b c c a Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 22 2 ab c ab c bc a Do đó ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 ab c a b b c c a bc a a b bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a ab b c c a ab b c c a 2 2 2 Đến đây thì áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 22 2 2 ab a b ab ab 2 ab ab 2 Áp dụng tương tự ta thu được 22 2 2 2 2 2 2 b c b c ca ca ; bc 2 c a 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta thu được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a ab b c c a ab b c c a 2 2 2 Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 12. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 ab c ab ab b c bc c a ca bc a Phân tích và lời giải Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bây giờ ta tìm hiểu xem ngoài cách làm đó thì còn cách chứng minh nào khác không? Cách 1: Quan sát bất đẳng thức ta nhân thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta được 22 2 ab c ab c bc a Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 ab c a b ab b c bc c a ca Tuy nhiên đánh giá trên không đúng, nên ta sẽ đi sang hướng khác. Nhớ lại cách đánh giá tạo ra đại lượng 22 ab ab ta có 222 22 aabab ab b b 2a b ab bb Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 ab c a b c 2a b ab 2b cbc 2ca ca bc a Như vậy ta cần chỉ ta được 22 2 2 2 2 ab c a b c 2abc bc a b c a Và đây là một đánh giá hoàn toàn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Tương tự như bài toán trên ta nhận thấy bất đẳng thức có thể chứng minh được bằng phép biến đổi tương đương, để ý ta thấy 2 2 ab a 2a b bb 2 22 2 22 22 22 ab aab b 3a b 2 ab aab b 2ab 4a ab b 2a 2b aab b 2 Do đó áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức tương đương với 22 2 2 2 22 2 2 2 22 ab b c c a 3a b 3b c bc c 4a b 2ab 2a b 4 b c bc 2b c 3c a 4c a ca 2c a 22 22 2 2 2 22 13 1 3 ab b c bc 4a b 2ab 2a b 4 b c bc 2b c 13 ca 0 c 4c a ca 2c a Đến đây ta đặt 22 22 22 13 A b 4a b ab 2a b 13 B c 4b c bc 2b c 13 C c 4c a ca 2c a Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được A,B,C 0 . Thật vậy 22 22 2 2 13 4abab2ab A0 b 4a bab 2a b 4a bab 2a b Hoàn toàn tương tự ta có B,C 0 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 13. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: bc ca ab 3 4 a3bc b 3ca c 3ab Phân tích và lời giải Cách 1: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c , suy nghĩ đầu tiên khi quan sát bất đẳng thức đó là tìm cách làm mất căn bậc hai ở các biểu thức, tuy nhiên để ý đến chiều bất đẳng thức ta thấy chỉ có thể làm mất căn ở các tử thức bằng bất đẳng thức Cauchy còn ở mẫu thì lại không thực hiện được. Quan sát kĩ các đại lượng trong mỗi phân thức ta nhận thấy bc 1 a a3bc 3 bc , điều này gợi ý cho ta đặt ẩn phụ dạng a x bc . Áp dụng tương tự bất đẳng thức được viết lại thành 11 1 3 ab c 4 33 3 bc ca ab Đến đây ta đặt ab c x;y ;z bc ca ab , khi đó ta được xyz 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 11 1 3 x3 y 3 z 3 4 Quan sát bất đẳng thức được tạo thành ta có các hướng chứng minh bất đẳng thức trên + Hướng 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 4x 3y 3 4y 3 z 3 4z 3x 3 3x 3 y 3 z 3 4xy yz zx 24x y z 108 3 xyz 3xy 3yz 3zx 8x 9y 9z 27 24 5 xy yz zx 3 x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 3 3 5xy yz zx 15. xyz 15; 3x y z 9. xyz 9 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 5xy yz zx 3 x y z 24 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . + Hướng 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, nhưng trước hết ta cần đổi chiều bất đẳng thức 11 1 3 x y z 3 x3 y 3 z 3 4 x 3 y 3 z 3 4 Khi đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 xy z xy z x3 y 3 z 3 x y z 9 Ta cần chứng minh 2 xy z 3 xy z 9 4 hay 4x y z 2 xy 2 yz 2 zx 3 x y z 9 x y z 8 xy yz zx 27 Áp dụng bất đẳng thứ Cauchy ta được 22 2 3 3 8 xy yz zx 8.3. x y z 24; x y z 3. xyz 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được x y z 8 xy yz zx 27 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Từ hướng thứ hai của cách 1, gợi ý cho ta đổi chiều bất đẳng thức như sau Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab c 3 4 a3bc b 3ca c 3ab Đến đây ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 2xy x y cho các căn thức ở mẫu, khi đó ta được ab c 2a 2b 2c 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3 3b 2c a3bc b 3ca c 3ab Ta cần chứng minh 2a 2b 2c 3 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3 3b 2c 4 Đặt 1 2a 3y 3z 5x 4 x2a 3b 3c 1 y3a 2b 3c 2b 3z 3x 5y 4 z3a 3b 2c 1 2c 3x 3y 5z 4 Khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành 3y 3z 5x 3z 3x 5y 3x 3y 5z 3 4x 4y 4z 4 Hay xy y z x z 3153 yx z y z x Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 3 2 b1 c 1 a 1 Phân tích và lời giải Cách 1: Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta thấy có đánh giá 2 b1 2b , tuy nhiên đánh giá này cho ta một bất đẳng thức ngược chiều. Chính điều này gợi ý cho ta sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu. Khi đó áp dụng ta đẳng thức Cauchy ta được 222 22 2 22 2 22 aab ab ab aa a 2b 2 b1 b1 Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 22 22 bbcc ca b; c 22 c1 a 1 Khi đó ta có bất đẳng thức 22 2 2 2 2 22 2 22 2 ab c abbcca ab c 2 b1 c 1 a 1 Ta cần chứng minh 22 2 22 2 ab bc ca 3 ab c 22 . Để ý đến ab c 3 suy ra 22 2 ab c 3 , khi đó ta có Khi đó ta có 22 2 22 2 ab c 3 ab c 22 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ab bc ca a b c ab bc ca 3 ab c 22 2 2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab c ab bc ca 3 3 ab c ab bc ca 22 22 Đánh giá trên là một đánh giá ta đã từng gặp và có thể chứng minh được bằng phép biến đổi tương đương 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 ab c ab bc ca a b cab c 3ab bc ca aa b b b c c c a 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 3 3 32 2 2 22 2 ab c ab bc ca a b cab c 3ab bc ca ab c ab bc ca 2ab bc ca Dễ thấy 32 2 3 2 2 3 2 2 aab 2ab;b bc 2bc;c ca 2ca . Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được đánh giá như trên. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Vế trái của bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, do đó ta có đánh giá sau 2 22 2 22 2 222 ab c ab c b1 c 1 a 1 a b c 3 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 22 2 ab c 3 4ab bc ca a b c 9 2 ab c 3 Mà ab c 3 suy ra 22 2 ab c 3 nên 22 2 ab c 9 12 , suy ra ta được ab bc ca 3 , đây là một đánh giá sai. Do vậy cách dùng trực tiếp không đem lại hiệu quả. Điều này có nghĩa là ta cần biến đổi trước rồi mới có thể sử dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki. Ta bắt đầu với giả thiết, như trên ta suy ra được 22 2 ab c 3 , cho nên khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta cần làm xuất hiện đại lượng 22 2 ab c . Khi này ta được 2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 22 22 22 222222 ab c ab c a b c b 1 c1 a 1 ab 1 bc1 ca 1 ab bc ca 3 Bài toán quy về chứng minh 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c 3 2 ab bc ca 3 Hay 2 22 2 2222 22 2a bc 3abbcca 3 Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 22 2 2222 22 ab c 3ab bc ca Và từ 22 2 ab c 3 ta suy ra được 2 22 2 ab c 9 . Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 22 2 2222 22 2a b c 3ab bc ca 3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Sau hai cách làm như trên, ta thử tiếp cận với bất đẳng thức với cách đổi biến xem sao. Để ý đến giả thiết ab c 3 ta cần làm xuất iện số 3 trong các phân số 22 2 22 2 a3a 3a b1 3b 3 3b a b c Nhìn phân số sau khi biến đổi ta không tìm thấy ý tưởng đổi biến. Tuy nhiên từ ab c 3 suy ra 22 2 ab c 3 , khi đó ta có 22 22222 a3a b1 3b a b c Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 ab c 3a 3b 3c b1 c 1 a 1 3b a b c 3c a b c 3a a b c Đến đây ta thấy được ý tưởng đổi biến và cách đổi biến hợp lí nhất đó là Đặt 22 2 22 2 2 2 2 22 2 3a 3b 3c x;y ;z ab c a b c ab c , suy ra xy z 3 Khi đó ta có 22 2 22 2 ab c x y z y1 z 1 x 1 b1 c1 a 1 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được xy z 3 y1 z 1 x 1 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 xy z x y z xy z 93 y 1 z 1 x 1 xy yz zx 3 1 6 2 xy z 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 15. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 a2b 2c 2 9ab bc ca Phân tích và lời giải Cách 1: Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 9ab bc ca 3 a b c . Như vậy ta cần chứng minh 2 22 2 a2b 2c 2 3a b c Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Như vậy ta cần đánh giá từ 2 ab c làm xuất hiện 2 a2 , để ý ta thấy 2 2222 22 ab c a 1 1 1 b c a 2 1 b c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 222 2 2 2 22 2 2 3a 2 1 b c a 2 b 2 c 2 31 b c b 2 c 2 Biến đổi tương đương ta thu được 22 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 31 bc b 2c 2 3 3b3c bc 2b 2c4 bc b c 1 0 b 1 c 1 0 Như vậy ta chỉ cần chỉ ra được 22 b1c 1 0 , tuy nhiên vì vai trò của a, b, c như nhau nên theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số 22 2 a1;b 1;c 1 luôn tồn tại hai số cùng dấu và ta hoàn toàn có thể giả sử hai số đó là 22 b1;c 1 . Như vậy bài toán được chứng minh xong. Ngoài ra ta cũng có thể đánh giá từ 2 ab c làm xuất hiện 2 a2 theo bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau 2 2 2 bc ab c a 2 1 2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 bc b2c2 31 2 Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 22 22 22 bc 2bc 6bc 2 0 b c 2bc1 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Do vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Với các bất đẳng thức khi mà ta không thể tìm ra được ngay cách đánh giá thì tốt nhất ta nên khai triển nó ra nếu có thể, với bài toán này khi khai triển ta được 222 22 2222 2 22 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 9 ab bc ca Chú ý bên vế phải có đại lượng ab bc ca và nếu đánh giá vế trái về ab bc ca thì được 22 2 22 22 22 ab c ab bc ca;ab 1bc 1ca 1 2ab bc ca Khi đó ta được 222 22 2222 2 22 222 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 abc 2 8 ab bc ca Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 3 22 2 2 2 2 3 9abc 9abc abc 1 1 3 abc ab c 3abc Để ý đến đánh giá 3 ab c 9abc 4ab c ab bc ca Ta được 2 9abc 4abbcca a bc ab c , khi đó ta có 2 22 2 abc 1 1 4 ab bc ca a b c Do đó ta được 222 22 2222 2 22 2 22 2 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 4ab bc ca 4 ab bc ca 4a b c a b c 4 ab bc ca 4 ab bc ca ab bc ca 9 ab bc ca Vậy phép chứng minh hoàn tất. Cách 3: Ngoài các cách trên ta có thể tham khảo thêm cách sử dụng nguyên lí Dirichlet như sau: Trong ba số 22 2 a1;b 1;c 1 luôn tồn tại hai số cùng dấu. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là 22 a1;b 1 , khi đó ta được 22 22 2 2 a1b 1 0 ab a b 1 0 Ta có 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 222 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2b2c2 abc2ab bc ca 4a b c 8 caba b 1 2ab2 3bc 3 3ca3 3a b c ab 2a b 2 3b c 3 3c a 3 3 a b c a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 2 2 22 22 2 2a b 2 4ab; 3b c 3 6bc; 3c a 3 6ca; ab 2ab;3a b c 3ab bc ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b 2 3b c 3 3c a 3 3 a b c a b 9 ab bc ca Suy ra 22 2 a2b 2c 2 9ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 16. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 11 1 ab c 82 ab c Lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bất đẳng thức có chứa các căn bậc hai và biểu thức trong căn bậc hai lại chứa biến dưới mẫu.. Do đó để tìm được lời giải cho bài toán ta có các định hướng sau: - Loại bỏ các căn bậc hai bằng các bất đẳng thức phụ. - Đưa toàn bộ các đại lượng trong căn vào cùng một căn thức. - Bình phương hai vế. Bây giờ ta đi tìm hiểu xem ta có thể tiếp cận bất đẳng thức trên như thế nào từ các định hướng trên. Cách 1: Để loại bỏ các căn bậc hai trong trường hợp biểu thức dưới dấu căn được viết dạng tổng, ta thường dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki, rất may trong trường hợp này ta có đánh giá cùng chiều. Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta được 2 222 22 11 99 82 a 1 9 a a a aa aa Áp dụng tương tự ta được 22 22 19 1 9 82 b b ; 82 c c bc bc Khi đó ta được 22 2 22 2 11 1 111 82 a 82 b 82 c a b c ab c ab c Hay 22 2 22 2 11 11 111 ab c abc ab c ab c 82 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1999 ab c 82 ab c 82 hay 99 9 ab c 82 ab c Chú ý đến giả thiết ab c 1 kết hợp với một đánh giá quen thuộc ta có 99 9 9.9 81 ab c a b c Như vậy đánh giá cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Cách 2: Để đưa toàn bộ các biểu thức vào trong cùng một dấu căn ta chú ý đến bất đẳng thức phụ: Với a, b, x, y là các số thực dương ta luôn có: 22 22 2 2 ax b y a b x y Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ Thật vậy, bình phương hai vế ta được 22 22 2 2 22 2 2 2 22 2 2 22 2 2 ax b y 2.ax.b y a b x y ax b y ab xy ax b y ab xy Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunhiacopxki, do đó bất đẳng thức trên đúng. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 11 1 11 1 ab c ab c ab ab c c 11 1 ab c ab c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 2 11 1 ab c 82 ab c Thật vậy, từ giả thiết ab c 1 suy ra 2 ab c 1 và theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 11 1 9 81 ab c a b c Do đó ta được 2 2 11 1 ab c 82 ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Ngoài ra ta cũng có thể chứng minh đánh giá trên theo cách sau Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có 2 2 2 2 3 3 22 2 3 33 11 1 1 ab c 3abc 3 ab c abc 11 80 1 9abc 9 abc 81 abc Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có. 22 2 2 2 3 33 3 1 1 2 80 1 80 1 80 1 80 abc ; 9abc 9 81 abc 9 9 a b c 9 3. abc Do đó ta suy ra 2 2 11 1 2 80 ab c 9 82 ab c 9 9 Đến đây bài toán được chứng minh. Cách 3: Ngoài hai cách làm trên, ta thử bình phương hai vế của bất đẳng thức, tuy nhiên để ý rằng cách làm này không làm mất hết các dấu căn. Đặt 22 2 22 2 11 1 Aa b c ab c , khi đó ta được 22 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 11 1 Aa b c ab c 11 1 1 1 1 2. a b 2. b c 2. c a ab b c c a Quan sát các tích dưới dấu căn ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki và chú ý đến đại lượng 22 2 22 2 11 1 ab c ab c ta có các đánh giá sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 22 2 22 22 2 22 22 11 1 1 ab ab ab ab ab ab 11 1 1 b c bc bc bc bc bc 11 1 1 ca ca ca ca ca ca Do đó ta có 22 2 2 22 2 22 22 11 1 1 1 1 Aa b c 2ab bc ca ab bc ca ab c 11 1 9 ab c a b c 82 ab c a b c Hay A82 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn aa b c 3bc . Chứng minh rằng: 33 3 ab ac 3a b a c b c 5b c Lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c , Quan sát bất đẳng thức trên ta có một số nhận xét như sau: - Bất đẳng thức có ba biến nhưng chỉ có b, c có vai trò như nhau, do vậy ta cố gắng quy bất đẳng thức hai biến bằng phép đặt ẩn phụ. - Bất đẳng thức có sự xuất hiện của các đại lượng ab;b c;c a , cho nên ta cũng có thể đổi biến xa b;yb c;z c a . - Giả thiết aa b c 3bc ta có thể viết được thành ab ac 4bc , khi đó có thể sử dụng các bất đẳng thức Cauchy hoặc một số bất đẳng thức phụ để đánh giá Từ các nhận xét đó ta có một số ý tưởng chứng minh bất đẳng thức như sau Cách 1: Trước hết ta viết lại giả thiết 2 a a b c 3bc a ab bc ca 4bc a b a c 4bc Lúc này ta đặt xa b;y a c thì được xy 4bc Để ý đến đánh giá 2 33 2 2 2 2 22 2 2 22 22 3 xy x yx xy y 2x y.x y xy 2 x y 2xy. x y xy 2 bc 8bc. bc 4bc 2 b c 4bc.b c 4 b c .b c 2 b c Do đó ta được 33 3 ab ac 2b c Ta cần chứng minh 3 a b a c bc bc . Thật vậy 23 ab ac b c 4bcb c b c b c b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Đặt xb c;y c a;z a b , suy ra bc a c a b a b c a;b ;z 22 2 Khi đó giả thiết được viết lại thành 2 2 2 2 22 2 3x y z yz x xy z yz 44 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 33 3 2 2 3 2 y z 3xyz 5x y z y z yz 3xyz 5x x y z 3yz 5x Từ giả thiết 22 2 xy z yz suy ra 2 xyz và 2x y z Điều này dẫn đến 2 3x 3yz và 2 2x x y z . Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 5x x y z 3yz . Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 3: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 33 33 3 ab ac 3a b a c b c 5 bc bc bc Đặt ab ac x;y bc bc , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành trở thành 33 xy 3xy 5 Ta có 22 2 ab ac aa b c bc 2aab c 2bc abac xy bc bc bc bc bc Do đó ta được 22 22 2 ab ac xy 1 x y bc Suy 33 xy x y nên 33 x y 3xy 5 x y 3xy 5 Mà ta có 2 2 22 xy xy 1 1 xy 2x y x y 2 xy 1 22 8 Do đó ta được xy 3xy 5 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 4: Giả thiết được viết lại thành 2 a a b c 3bc a ab bc ca 4bc a b a c 4bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3bc a a b c 3a abc a bc Ta có 33 2 2 2 223 ab ac ab ac 2a b c b c 2a b c 4bc 2 bc b c b c 2 bc b c 2bc b c b c 4bc b c bc bc Lại có 23 abacbc 4bcbcbc bcbc Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 18. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c b c a c a b 2 b b 2c c c c 2a a a a 2b b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy, để đơn giản hóa ta cần thực hiện phép đổi biến xaa;ybb;z cc , tuy nhiên ta không thể đổi biến ở các tử số, do đó ta cần phải biến đổi tử số sao cho xuất hiện các đại lượng aa;b b;c c , nhưng biến đổi theo cách nào đây? Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá 22 ab c 2a bc , để ý đến giả thiết abc 1 , nên ta thay bc bằng 1 a , khi đó ta được 22 ab c 2a bc 2aa 2x , áp dụng tương tự ta có bất đẳng thức 22 2 22 2 ab c b c a c a b 2a bc 2b ca 2c ab bb 2c c c c 2a a a a 2b b b b 2cc cc 2a a a a 2b b 2a a 2b b 2c c 2x 2y 2z y2z z 2x x 2y bb 2c c c c 2a a a a 2b b Bây giờ ta cần chỉ ra được xy z 1 y2z z 2x x 2y . Đến đây ta có hai hướng để chứng minh bất đẳng thức trên + Hướng 1: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Ta có 2 22 2 xy z xy z x y z y2z z 2x x 2y xy 2z y z 2x z x 2y 3 xy yz zx Theo một đánh giá quen thuộc ta nhận thấy 2 xy z 1 3xy yz zx . Do đó ta có xy z 1 y2z z 2x x 2y , tức là bài toán được chứng minh. + Hướng 2: Tiếp tục đổi biến để đơn giản hóa các mẫu số Đặt my 2z;n z 2x;p x 2y khi đó ta suy ra 4n p 2m 4p m 2n 4m n 2p x;y ;z 99 9 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 4n p 2m 4p m 2n 4m n 2p 1 9m 9n 9p Hay np m p n m 415 mn p m p n Đánh giá cuối cùng luôn đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy ta luôn có 33 np m npm p n m pnm 44.3...12; 3...3 mn p mnp m p n mpn Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 19. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 11 1 3 4 ab 2 b c 2 c a 2 Phân tích và lời giải Đầu tiên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta có thấy để dễ đánh giá hơn ta cần đổi chiều bất đẳng thức, khi đó ta được bất đẳng thức sau 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 3 2 ab 2 b c 2 c a 2 Đến đây ta có các hướng tiếp cận bất đẳng thức trên như sau: + Hướng thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxi dạng phân thức. Tuy nhiên để sử dụng được đánh giá đó ta cần viết các tử số thành bình phương đúng. Như vậy cách thứ nhất là ta viết biểu thức 22 2 2 22 22 22 ab a b ab 2 a b 2 ab 2 hoặc 2 22 22 22 2 2 ab ab ab 2 a b 2 . Ta tiếp cận với từng trường hợp - Trường hợp biến đổi biểu thức theo cách thứ nhất và áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki ta thu được bất đẳng thức sau 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2a b c ab b c c a ab 2 b c 2 c a 2 2a b c 6 Bất đẳng sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 2 22 2 2a b c 3a b c 9 Kết hợp với giả thiết ab c 3 thì bất đẳng trên trở thành 22 2 3a b c , rõ ràng đánh giá trên là sai. - Trường hợp biến đổi biểu thức theo cách thứ hai và áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki ta thu được bất đẳng thức sau 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 ab b c c a ab b c c a ab 2 b c 2 c a 2 2a b c 6 Bất đẳng sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 2 22 2 2 2 2 22 2 2a b b c c a 6a b c 18 Bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b b c b c c a c a a b a b c 9 Quan sát các đại lượng vế trái ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki, tức là ta có 2 222 2 22 2 2 2 22 2 2 2 ab b c b ca bc c a c ab ca a b a bc Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2a b b c b c c a c a a b 2a b c ab bc ca ab c a b c ab c 9 Như vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. + Hướng thứ hai: Tiếp tục với bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức nhưng ta cần tạo ra bình phương đúng trên các tử số, khi đó ta có các cách sau Biến đổi biểu thức 2 22 22 2 2 22 22 ab ab 1 2 ab 2 2a b 1 ab ab ab , áp dụng tương tự và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 ab b c c a ab 2 b c 2 c a 2 4a b c 2a b 2 b c 2 c a ab b c c a ab b c c a Ta cần chứng minh được 22 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2a b 2 b c 2 c a 8a b c 3 a b b c c a ab b c c a Hay 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2a b 2 b c 2 c a 24 a b b c c a ab b c c a Biến đổi tương đương ta thu được 22 2 22 2 2 2 2 66 6 ab 1 b c 1 c a 1 0 ab b c c a Đến đây mà ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 66 6 10; 1 0; 10 ab b c c a thì bài toán được chứng minh hoàn tất. Vì vai trò của a, b, c như nhau nên để đơn giản hóa ta nên sắp thứ tự các biến, khi đó chỉ cần chứng minh hiệu nhỏ nhất không âm là được. Giả sử ab c , khi đó ta được 22 2 2 2 2 66 6 ab c a b c . Khi đó xẩy ra các trường hợp sau Nếu 22 ab 6 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu 22 ab 6 , khi đó ta được 22 6 10 ab , như vậy nhận định trên hoàn toàn sai và ta phải hướng khác. Tuy nhiên sau một quá trình biến vất vả mà dừng tại đây thì hơi phí, ta nên thử xem với 22 ab 6 , có khai thác được gì không? Dễ thấy với 22 ab 6 ta được 22 11 8 ab 2 và 3 ab 3 b 2 , khi này ta được 22 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 10 10 5 16 8 b c 2 c a2 a2 b 2 8 b b 2 16 b 6 b Do đó ta lại có 22 2 2 2 2 11 1 3 4 ab 2 b c 2 c a 2 . Vậy trong trường hợp này bất đẳng thức cũng đúng. Nên bài toán cũng được chứng minh. Bài 20. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab c a b b c 1 bca b c a b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy chưa thể sử dụng được ngay các các bất đẳng thức Cauchy hay Bunhiacopxki. Với những bài toán như thế này thì ý tưởng đầu tiên có thể là biến đổi tương đương vì bất đẳng thức có hình thức không quá cồng kềnh phức tạp. Cách 1: Đầu tiên với ý tưởng biến đổi tương đương, ta quy đồng và được bất đẳng thức sau: 22 aa b b c ba b b c ca b b c bc a a b bc a b bc Khai triển các vế ta được 223 22 222 aa b b c ba b b c ca b b c bc a ac ab b bc bc aab ac b ab c bcc aa Và 22 22 2 ab b c ab b c a 3b c 3ab 3bc Như vậy bất đẳng thức sẽ dược chứng minh nếu ta chỉ ra được 22 3 2 2 2 ac ab b bc bc 2b 2ab ab bc c a a Quan sát đánh giá trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy 23 2 2 2 2 3 2 2 ac b bc ab ac cb b cb 2ab; 2b ; 4bc bc a c b a c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 3 2 2 2 ac ab b bc bc 2b 2ab ab bc c a a Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Từ ý tưởng biến đổi tương đương như trên ta có nhận xét 22 2 2 ab b c 2a b b c a 2b c ab b c 2 bc a b ab b bc ca ab b c Quan sát chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Vấn đề là ta triển khai vế trái như thế nào để khi áp dụng bất đẳng thức trên thì có vế phải như trên. Để ý là trong phép biến đổi trên ta đã cộng thêm vào vế trái với 1 và chú ý đến sự xuất hiện của 2b nên ta có đánh giá sau 22 2 22 2 2 22 2 ab b c a 2b c ab c a b c b 1 bc a ab bc ca ab bc bcababbccab Từ hai kết quả trên ta được ab c a b b c 12 bc a b c a b Hay ab c a b b c 1 bca b c a b . Điều này có nghĩa là bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy theo bất đẳng thức Cauchy thì ab c a b b c 3; 1 3 bc a b c a b Và lại thấy 22 2 ab b c 2a b b c a c ab b c 2 bc a b ab b c ab b c Nên ta sẽ chứng minh ab c a b b c 32 bc a b c a b . Bất đẳng thức này tương đương với 2 ac ab b c c a bc a ab b c Để ý rằng b c b aac , do đó ta viết lại được bất đẳng thức trên thành 2 ac ab ab c a c a bc a c ab b c Hay 22 ab c b c a ac bc ca ab b c Tiếp tục khai triển và thu gọn ta được 2 2 2 b c a b ab bc a a b b c a b b c b ac 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng hay bài toán được chứng minh xong. Bài 21. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab b c c a 0 . Chứng minh rằng: 222 22 2 ab c b c a ca b 2 bbc c cca a a ab b Phân tích và lời giải Cách 1: Có thể nói đây là một bất đẳng thức khó, ngay cả bước đầu dự đoán dấu đẳng thứ xẩy ra. Bất đẳng thức trên xẩy ra dấu đẳng thức không chỉ tại ab c mà còn tại ab,c 0 và các hoán vị. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể đánh trực tiếp được mẫu vì các đại lượng 22 2 a;b;c trội hơn các đại lượng ab;bc; ca . Do đó để có thể đưa ra các đánh giá hợp lí ta cần biến đổi các phân thức trước. Chú ý là ta có thể đưa một trong hai thừa số trên tử xuống mẫu, nhưng ta chọn đưa bc vì dưới mẫu có 2 22 bbc c b c bc . Khi này ta được 22 2 ab c a b c a bc bbc c bc bc bc bc Đến đây ta thấy có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxk dạng phân thức được nên ta lại biến đổi như sau 2 2 22 2 ab c a b c a abc bbc c ab c abc ab c bc Hoàn toàn tương tự ta có 22 22 2 2 bc a c a b bc ; abc abc cca a a ab b bc a c a b ca a b Khi đó theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 222 22 2 22 2 2 ab c bc a ca b bbc c c ca a a ab b ab c abc abc abc ab c b c a ca b bc c a a b ab c 11 1 2ab bc ca abc ab b c c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 2 22 2 ab c 2 11 1 2ab bc ca abc ab b c c a 11 1 ab c 4ab bc ca 2abc ab b c c a 11 1 a b c 2abc 2 ab bc ca ab b c c a Theo bất đẳng thức dạng 11 1 9 xy z x y z ta được 22 2 2 2 2 11 1 9abc ab c 2abc a b c ab b c c a ab c Ta cần chỉ ra được 22 2 9abc ab c 2ab bc ca ab c , bất đẳng thức này tương đương với 33 3 ab c 3abc ab c bc a ca b . Không mất tính tổng quát ta giả sử ab c . Khi đó ta có 2 33 3 ab a b c cac b c 0 ab c 3abc ab c bc a ca b Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh có các đại lượng bậc hai liên quan đến 22 2 ab c hoặc ab bc ca , do đó ta thử tìm mối liên hệ với các đại lượng này xem sao. Để ý là ta sẽ chỉ tìm mối liên hệ ab bc ca thôi vì như cách 1 thì 22 2 ab c trội hơn nên muốn đánh giá theo chiều tăng lên là rất khó. Để ý ta nhận thấy 22 b bc c ab ca ca b c a b c Như vậy ý tưởng là làm dưới mẫu xuất hiện tổng 22 bbc c ab c ca , điều này có thể thực hiện được bằng cách nhân cả tử và mẫu với ab bc ca rồi sử dụng đánh giá Cauchy. Như vậy ta sẽ làm như sau 22 2 22 22 2 ab c abc ab bc ca 4abc ab bc ca bbc c bbc c ab bc ca bbc c ab bc ca 4a ab bc ca bc a b c Hoàn toàn tương tự ta được 222 22 2 22 2 ab c bc a ca b bbc c c ca a a ab b 4a ab bc ca 4b ab bc ca 4c ab bc ca b c ab c c a a b c ab ab c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 4a ab bc ca 4b ab bc ca 4c ab bc ca 2 bc a b c c a a bc a b a b c Để ý ta viết lại bất đẳng thức trên thành 2 ab c ab c bc c a a b 2ab bc ca Đánh giá trên đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Do vậy bất bất đẳng thức được chứng minh. Bài 22. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 3 . Chứng minh rằng 2 22 2 ab b c c a 1 1 1 4ab bc ca ca b ab c Phân tích và lời giải Ta nhận thấy cách phát biểu của bất đẳng thức có dạng 2 A4BC , với 22 2 ab b c c a 1 1 1 A;Babbcca;C ca b ab c Nhận xét này khá đặc biệt, nó giúp ta liên hệ với đánh giá quen thuộc của bất đẳng thức Cauchy dạng 2 xy 4xy với x,y 0 . Do đó một cách tự nhiên ta đưa ra các hướng tiếp cận bất đẳng thức trên là: + Thứ nhất: Biểu diễn AX Y , với X, Y là hai đại lượng thích hợp để có được bất đẳng thức 2 A4XY , từ đó chứng minh XY BC . Trước hết ta triển khai A và BC như sau 22 2 a c cb b a b a cb c a ab bc ac AXY;BC ca b c a b a b b c a c ca b Để ý thấy trong BC có các hạng tử 22 2 ab bc ac ;; ca b và trong XY có ab c b c a ,; ,; , cc a a b b . Do đó ta chọn X và Y sao cho tích XY có chứa các hạng tử 22 2 ab bc ac ;; ca b , ta có thể chọn như sau ac c b b a X;Y ca b c a b . Từ các nhận xét trên ta có các lời giải như dưới đây Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 a b b c c a a c c bba a c c b ba 4 c a b c ab c a b c ab c a b Ta cần chứng minh 22 2 ac c b b a 1 1 1 ab bc ca cab c a b ab c Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 22 2 22 2 22 ab b a bbc c c ac b a abbc c b c ac a 1 cbc a b a a b bc a c ca b ca b ab ac a a a a bc ac ab 10 0 bc b c bc bc Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử ab,a c . Do đó bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . + Thứ hai: Biểu diễn B BC CD D với D là một đại lượng thích hợp để có được bất đẳng thức 2 B 4BC CD D , từ đó chứng minh B CD A D . Ta tìm D như sau: Xét hiệu 22 2 Babbccaabbcca 111 ACD D Dc a b D ab c Để ý là khi xem b là một biến thì hệ số của b là 11 a c ac D , như vậy để thu biểu thức ta có thể cho hệ số của b bằng 0 hay chọn Dac . Từ các nhận xét trên ta có các lời giải như dưới đây Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 2 2 2 11 1 abbcca 1 1 1 4ab bc ca ca ca ab c a b c Ta cần chứng minh 22 2 ab bc ca 1 1 1 a b b c c a ca ca c a b ab c Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 2 ab b c 0 b , Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử ab c . Do đó bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Bài 23. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 11 1 16 a b c ab c . Chứng minh rằng 33 3 11 1 8 9 ab 2a c b c 2b a c a 2c b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c , nên khi đó từ giả thiết ta thấy được 11 16a a a4 , do đó đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 4 . Đầu tiên ta bắt đầu với giả thiết 11 1 16 a b c ab c . Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc ta được 2 ab bc ca 3 a b c 11 1 ab bc ca 16 a b c ab c abc abcabbcca abbcca Hay 18 9 6ab bc ca . Như vậy ta có gắng chứng minh được 33 3 11 1 1 6ab bc ca ab 2a c b c 2b a c a 2c b Để chứng minh được điều đó ta cần chỉ ra được 3 ab 2a c A và ta phải xác định được A. Điều này làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy theo hướng từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Để ý đến dấu đẳng thức xảy ra tại 1 ab c 4 khi đó ta thấy ac ac ab 22 Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương trên ta có 3 ab ac ac ac ab 2a c a b 3 22 2 Hay 3 3 27 a b a c ac 1 2 ab 2 22 27 a b a c ab 2a c Hoàn toàn tương tự ta có 33 12 1 2 ; 27 b c b a 27 c a c b bc 2b a c b 2cb Cộng theo các bất đẳng thức trên ta được 33 3 4a b c 11 1 27 a b b c c a ab 2a c b c 2b a c a 2c b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được 4a b c 1 27 a b b c c a 6 ab bc ca Hay 8a b c ab bc ca 9 a b b c c a Đánh giá trên ta một đánh giá đúng Do đó 33 3 11 1 1 6ab bc ca ab 2a c b c 2b a c a 2c b Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 4 . Bài 24. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 . Chứng minh rằng: 3 33 3 ab c 11 1 18 1 a 1b 1c Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , quan sát đại lượng vế trái và chiều bất đẳng thức ta nghĩ đến việc đổi chiều bất đẳng thức. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 33 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ab c ab c a b c 318 abc54 18 1 a 1b 1c 1 a 1b 1c Để ý rằng abc 1 thì 33 2 33 2 aa a 1a abc a bc a nên bất đẳng thức trên trở thành 22 2 3 22 2 ab c 18 a b c 54 bc a ca b ab c Lại cũng từ abc 1 ta có 3 ab c 27abc 27 , do đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 ab c 3 2 bc a ca b ab c Vế trái của đánh giá trên có dấu hiệu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Lúc này ta được 2 22 2 22 2222 ab c ab c bc a ca b ab c a b c ab bc ca Và ta cần chỉ ra được 2 22 2 ab c 3 2 ab c ab bc ca hay 22 2 ab bc ca a b c , đây là một đánh giá sai. Do đó ta không thể tách ra chứng minh như trên được. Tuy nhiên để ý đến khi ab c 1 thì 2 3 22 2 18 a b c ab c 27 ab c ab bc ca Điều này gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy 2xy . Khi đó ta được 2 5 3 22 2 2 2 2 18 a b c 18 a b c ab c 2 ab c ab bc ca a b c ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 5 5 22 2 22 2 18 a b c 81 2 54 a bc a b c abbcca 2 ab c ab bc ca Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 6 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 a b c a b c ab bc ca ab bc ca 27ab c ab bc ca 81abcab c a b c 81 a b c a b c Khi đó ta được 5 22 2 ab c 81a b c . Như vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng 22 2 2 2 2 2a b c a b c ab bc ca Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 ab b c c a 0 , là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Bài 25. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 . Chứng minh rằng: 11 1 1 ab 4 b c 4 c a 4 2 Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Từ giả thiết và bất đẳng cần chứng minh đều gợi ý cho ta phép đổi biến + Ý tưởng thứ nhất là 33 3 ax;b y;c z để sử dụng một đánh giá quen thuộc là 33 x y 4 xy x y 4xyz xy x y 4z + Ý tưởng thứ hai ta đổi biến dạng xy z a;b ;c yz x hoặc 22 2 xy z a;b ;c yz zx xy ,… Cách 1: Đặt 33 3 ax;b y;c z , từ giả thiết abc 1 suy ra xyz 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 3 3 3 11 1 1 2 xy 4 y z 4 z x 4 Để ý ta thấy 33 x y 4 xyx y 4xyz xyx y 4z , áp dụng tương tự ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 11 1 1 2 xy x y 4z yz y z 4x zx z x 4y zx y 1 xy 4z y z 4x z x 4y 2 4z 4x 4y 2 xy 4z y z 4x z x 4y 4z 4x 4y 31 xy 4z y z 4x z x 4y xy y z z x 1 xy 4z y z 4x z x 4y Đặt xy y z z x A x y 4z y z 4x z x 4y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 22 2 4x y z A x y x y 4z y z y z 4x z x z x 4y 4x y z 2 x y z 10 xy yz zx Để chứng minh A1 , ta cần chứng minh 2 22 2 2 2 2 4x y z 2 x y z 10 xy yz zx x y z xy yz zx Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z 0 . Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Đặt xy z a;b ;c yz x khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 yz zx xy 1 2 xz y 4yz xy z 4zx yz x 4xy Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 22 2 xz y xy z yz x 1 xz y 4yz xy z 4zx yz x 4xy Ta tách ra chứng minh hai bất đẳng thức sau 22 2 22 2 22 2 yz x 1 2 xz y 4yz xy z 4zx yz x 4xy zx xy yz 1 2 xz y 4yz xy z 4zx yz x 4xy Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức thứ nhất Dễ thấy theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 22 2 xy z yz x xz y 4yz xy z 4zx yz x 4xy x y z 5 xy yz zx Ta cần chỉ ra được 2 22 2 xy z 1 2 xy z 5xy yz zx hay 2 22 2 2 2 x y z x y z 5 xy yz zx x y z 3 xy yz zx Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng, do vậy bất đẳng thức thứ nhất được chứng minh. Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 zx xy yz xz y 4yz xy z 4zx yz x 4xy xy yz zx x y y z z x 5 x yz xy z xyz Ta cần chỉ ra được 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 xy yz zx x y y z z x 5 x yz xy z xyz xy yz zx 3 x yz xy z xyz Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng, do vậy bất đẳng thức thứ hai được chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh xong Bài 26. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 11 1 ab c ab c . Chứng minh rằng: ab c b c a c a b 1 Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức nhận thấy nếu vế trái là một số âm thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp vế trái dương là được. Bài toán có giả thiết rất phức tạp nên trước hết ta đánh giá giả thiết trước. Quan sát hai vế của giả thiết ta nghĩ đến đánh giá 11 1 ab c 9 ab c . Do đó ta nhân hai vế của giả thiết với ab c và áp dụng đánh giá trên ta suy ra được ab c 3 . Bây giờ ta cần chứng minh được ab c b c a c a b 1 . Để đơn giản hóa bài toán ta có thể đặt xb c a;y c a b;z a b c và khi này ta cần chứng minh xyz 1 với giả thiết mới là xy z 3 Với giả thiết và kết luận như vậy ta thấy khó có thể đưa ra được các đánh giá hợp lí, do đó ta nghĩ đến việc sử dụng tiếp giả thiết ban đầu và với cách đổi biến như trên ta viết lại được giả thiết là 22 2 xy z xy y z z x . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá ta được 22 21 1 1 xy z xy y z z x xy yz zx Hay xy z xyzxyz . Đến đây ta cũng chưa thể chỉ ra được xyz 1 Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại xy z 1 nên theo đánh giá Cauchy ta có xy z 3 xy z 2 Kết hợp với trên ta được xy z 3 xyzx y z xy z 3 2xyzxy z 2 Để ý lại có xy z 3 nên 2x y x x y z 3 nên ta được 2x y z 2xyz x y z 2 2xyz xyz 1 Đến đây bài toán được chứng minh Ngoài ra cũng từ cách phân tích như trên ta có thể chứng minh theo phương pháp phản chứng như sau Giả sử xyz 1 . Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 21 1 1 xy z xy y z z x xy yz zx Hay xy z xyzxyz , vì xyz 1 nên xy z xyz Tuy nhiêm cũng theo bất dẳng thức Cauchy ta được x1 x 2 , thiết lập các đánh giá tương tự ta có xy z 3 xy z xyz xyz 3 2 Mặt khác 22 2 9 xy z x y z 3 xy y z z x xy z Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử trên là sai, do vậy xyz 1 . Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh, dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Nh ận xét: Ta có th ể s ử d ụng phương pháp ph ản ch ứng theo h ướng nh ư sau Gi ả s ử 1 xyz , khi đó t ừ gi ả thi ết c ủa bài toán suy ra 2 22 x y z xy yz zx x y z xy yz zx xyz x y z Theo b ất đẳng th ức Cauchy và k ết h ợp v ới gi ả s ử ta l ại có 22 2 3 33; 3 xy yz zx x y z x y z Do đó 2 2 2 2 2 2 3 2 2 9 2 9 xy z xy yz zx xy z xy z xy yz zx xy yz zx xy z xy yz zx xyz x y z C ộng theo v ế a b ất đẳng th ức trên ta được 2 22 x y z xy yz zx x y z xy yz zx xyz x y z Đi ều này mâu thu ẫn v ới đẳng th ức trên, do đó đi ều gi ả s ử là sai. Nh ư v ậy b ất đẳng th ức trên được ch ứng minh. Bài 27. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 a 8bc b 8ca c 8ab Phân tích và lời giải Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Bây giờ ta đi phân tích xem có thêm cách chứng minh nào khác nữa hay không? Cách 1: Nhận thấy bất đẳng thức có chứa căn bậc hai, do đó nên ta có thể đánh giá làm mất các dấu căn bậc hai thì cơ hội sẽ cao hơn. Tuy nhiên các đánh giá mẫu thức đều không đem lại hiệu quả. Do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến. Chú ý là ta có thể đổi biến các mẫu thức cũng có thể đổi biến các phân thức. Ở đây ta chọn cách đổi biến cả phân thức. Đặt 22 2 ab c x;y ;z a 8bc b 8ca c 8ab . Khi đó được 22 2 2 22 aa x x 8bc a8bc 1x Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 22 by c z ; 8ca 8ab 1y 1 z . Khi đó ta được 22 2 22 2 222 22 2 xy z 1 1x 1y 1 z 512xyz 512 1x 1y 1 z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy z 1 . Với giả thiết và bất đẳng thức như trên, để chứng minh được bài toán ta cần khai thác được tổng xy z , do đó ta nghĩ đến phương pháp phản chứng. Giả sử 0x y z 1 . Khi đó ta được 22 2 22 2 2 2 1 x 1 y 1 z xy z x xy z y xy z z Hay 22 2 1x 1y 1 z x y y z z x 2x y z x 2y z x y 2z Dễ thấy xy y z z x 8xyz xy z x xy z y xy z z 64xyz Do đó ta được 22 2 x y y z z x 2x y z x 2y z x y 2z 512x y z Suy ra 22 2 222 1x 1y 1 z 512xyz , điều này trái với giả thiết. Vậy không thể có 0x y z 1 , tức là xy z 1 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Để ý ta thấy 2 2 a1 8bc a8bc 1 a , hoàn toàn tương tự ta nghĩ đến đặt ẩn phụ 22 2 bc ca ab x ; y ; z xyz 1 ab c Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 11 1 1 18x 1 8y 18z Dễ thấy 1 8x 1 8y 1 8z 1 8 x y z 64 xy yz zx 512xyz . Theo bất đẳng thức Cauchy ta suy ra được 6 18x 1 8y 18z 3 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 18x.18y 1 8y.1 8z 18z.18x 1 8x 18y 1 8z 8x y z 2 1 8x 18y 1 8z 18x 1 8y 18z 510 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 8x y z 8; 1 8x 1 8y 1 8z 3 1 8x 1 8y 1 8z 3. 1 8x.1 8y.1 8z 9 Do đó ta được 8x y z 2 1 8x 18y 1 8z 18x 1 8y 18z 510 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Để ý theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 2 22 2 ab c ab c aa 8bc b b 8ca c c 8ab a 8bc b 8ca c 8ab Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 3 3 3 33 3 a a 8bc b b 8ca c c 8ab a a 8abc b b 8abc c c 8abc a b c a b c 24abc Ta chứng minh được 3 33 3 a b c a b c 24abc nên ta được 2 22 2 a a 8bc b b 8ca c c 8ab a b c Suy ra 2 2 22 2 ab c ab c a b c a8bc b 8ca c 8ab Hay 22 2 ab c 1 a 8bc b 8ca c 8ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 28. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 33 11 1 3 ab 1 bc 1 ca 1 abc 1 abc Phân tích và lời giải Bất đẳng thức này đã được trình bày trong trong chủ đề kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Trong phép chứng minh đó ta chưa hiểu được tại sao lại nhân thêm một đại lượng vào biểu thức vế trái. Thực chất cách đổi biến đó xuất phát từ cách chứng minh thứ nhất dưới đây Cách 1: Đặt 11 1 P ab 1 bc 1 ca 1 Để ý là bc 1 abc 1 bc 1 a 1 1 b1 b1 ab 1 a b 1 ab 1 Nhân thêm vào biểu thức P đại lượng abc 1 và áp dụng tương tự ta được ab 1 bc 1 ca 1 a1 b 1 c 1 P1 abc 3 a1 b 1 c 1 ab 1 b c 1 ca 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 ab 1 b c 1 ca 1 3abc a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 1 3 abc ab 1 b c 1 ca 1 Do đó ta được 2 3 3 3 3 3 33 3abc abc1 13 abc 1 P 3 abc 3 3 P abc abc abc abc 1 Do đó ta được 33 11 1 3 ab 1 b c 1 ca 1 abc 1 abc Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Cách 2: Đặt 3 abc k , khi đó tồn tại các số thực dương x,y,z sao cho ky kz kx a;b ;c xy z Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 11 1 3 ky kz kz kx kx ky kk 1 11 1 xy y z z x Hay xy z 3 ykz z kx x ky k 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 xy z x y z ykz z kx x ky x y kz y z kx z x ky xy z x y kz y z kx z x ky xy z 3 k1 k 1 xy yz zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 29. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 b2c c 2a a 2b 3 Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát vế trái của bất đẳng thức là ta liên tưởng đến một đánh giá quen thuộc là 2 22 2 1 xy z x y z 3 , khi đó ta được 22 2 2 ab c 1a b c b2c c 2a a 2b 3 b2c c 2a a 2b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được ab c 1 b2c c 2a a 2b Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta có cách hướng sau đây + Hướng 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 ab c ab c b2c c 2a a 2b 3ab bc ca Theo một đánh giá quen thuộc ta đươc 2 ab c 3ab bc ca , do đó ta được ab c 1 b2c c 2a a 2b Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. + Hướng 2: Thực hiện đổi biến như sau: Đặt xa 2b;y b 2c;z c 2a , khi đó ta được x2y 4z y 2z 4x z 2x 4y a;b ;b 999 Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x 2y 4z y 2z 4x z 2x 4y x 4z y 4x z 4y 115 9y 9z 9x y y z z x x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có xy y z z x z x y 2; 2; 2; 3 9 yx z y x z y z x Công theo vế các bất đẳng thức trên ta được đánh giá cuối cùng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 30. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 33 3 ab c . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 6c ac b Phân tích và lời giải Quan sát giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy vai trò như nhau của hai biến a, b. Hơn nữa từ giả thiết 33 3 ab c , ta thu được 33 33 ab 1 cc . Đến đây để đơn giản hóa ta có thể đặt ab x;y cc và như vậy giả thiết được viết thành 33 xy 1 với 0x,y 1 . Ta biến đổi để viết lại bất đẳng thức theo biến mới như sau Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 22 ab a b 161 1 cc cc , lúc này ta được bất đẳng thức cần chứng minh là 22 x y 1 61x 1y . Từ giả thiết ta cần làm xuất hiện tích 1x 1y Để ý từ giả thiết ta được 33 3 3 2 2 xy 1y 1x 1x 1y 1 x x 1 y y Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 1x x 3x;1y y 3y , do đó 33 xy 9xy 1 x 1 y xy 3 1 x 1 y Lại từ giả thiết ta được 22 2 2 x y 1 x 1x y 1 y 2xy 1x 1y 61 x 1 y Hay 22 xy 1 61x1y , vì dấu đẳng thức không xẩy ra nên ta được bất đẳng thức 22 x y 1 61x 1y . Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Bài 31. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 33 33 33 33 3 a b bc c a 222 abbc ca a bc Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta thấy các biến đều có lũy thừa bậc ba nên để đơn giản ta có thể đổi biến Đặt 33 3 xa;y b;z c , khi đó ta có xyz 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy y z z x 222 xy yz zxxy z Để ý đến giả thiết xyz 1 ta viết lại được bất đẳng thức như sau x y y z zx 22xyzxy yz zx x y z 1 xy y z z x 22x 1 y 1 z 1 Bình phương hai vế ta được 2 xy y z z x 8x 1 y 1 z 1 Đến đây ta nghĩ đến việc ghép theo cặp để chứng minh. Để ý bên vế trái có đại lượng xy và ta cần biến đổi làm xuất hiện x1 , nên ta sử dụng bất đẳng thức Buniacopxki Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 24 1 xy x x 1 y hay ta được bất đẳng thức 22 4 2 2 4 2 xy xxz x 1 x xy 1 z x 1 Tương tự ta được các bất đẳng thức 22 4 2 2 4 22 yy z 1 x y 1 ;z z x 1 y z 1 Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 4 4 4 22 2 xyz x y y z z x1 x1 y 1 z x 1 y 1 z 1 Hay 22 2 2 2 2 x y y z z x 1x 1y 1 z Mặt khác ta lại có 22 2 1x 1y 1 z 1x 1y 1 z.8xyz 81 x 1 y 1 z Do đó ta được bất đẳng thức 2 xy y z z x 8x 1 y 1 z 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 32. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 2 1 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được bất đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhân thấy không thể đánh trực tiếp bằng bất đẳng thức Cauchy hay Bunhiacopxki được. Do đó ta tính đến phương án biến đổi bất đẳng thức trước. Từ giả thiết gợi ý cho cho ta các cách đổi biến như xy z a;b ;c yz x hoặc 22 2 xy z a;b ;c yz zx xy hoặc 22 2 yz zx xy a;b ;c xy z Để ý đến tính đối xứng của bất đẳng thức ta loại cách đổi biến thứ nhất vì nó biến bất đẳng thức đối xứng thành bất đẳng thức hoán vị sẽ gây khó khăn hơn. Trong hai cách đổi biến còn lại ta ưu tiên chọn cách thứ ba vì các biến đều nằm dưới mẫu nên khi biến đổi thì các lũy thừa sẽ được đưa lên tử và cơ hội sẽ rõ ràng hơn. Hy vọng ta sẽ gặp may mắn với nhận định này. Đặt 22 2 xy yz zx a;b ;c zx y , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 44 4 222 22 2 22 2 22 2 zy x 2xyz 1 xy z zx y yz x xy z zx y yz x Để ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22222 xy z x z y z Suy ra 44 2 22 2 2 2 zz xz y z xy z . Hoàn toàn tương tự ta được 44 4 22 2 22 2 44 4 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 42 2 4 2 2 4 2 2 22 2 2 2 2 zy x xy z zx y yz x zyx xz y z x y zy yx zx xy z y z x z x y xy x z y z Cũng theo đánh giá như trên 22 2 222222 xy zzx y yz x x y y zz x Khi đó ta có 22 2 2 2 2 22 2 222222 2x y z 2x y z xy z zx y yz x x y y z z x Do đó ta được bất đẳng thức 44 4 222 22 2 22 2 22 2 42 2 4 2 2 4 2 2 222 22 2 2 2 2 zy x 2xyz xy z zx y yz x xy z zx y yz x xy z y z x z x y 2xyz xy x z y z Ta cần chứng minh 42 2 4 2 2 4 2 2 222 2 2 22 22 xy z y z x z x y 2xyz 1 xy x z y z . Để ý ta phân tích được 42 2 4 2 2 4 2 2 222 2 2 2 2 2 2 xy z y z x z x y 2xyz x y x z y z Do đó 42 2 4 2 2 4 2 2 222 2 2 22 22 xy z y z x z x y 2xyz 1 xy x z y z . Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Nh ận xét: Đây th ực s ự là m ột b ất đẳng th ức khó và quá trình phân tích tìm l ời gi ải c ũng có ph ần may m ắn. Tuy nhiên n ếu ta không giám suy ngh ĩ đến các kh ả n ăng có th ể x ẩy ra thì may m ắn đó s ẽ không đến v ới b ản thân. Ngoài ra các b ạn có th ể tham kh ảo thêm cách gi ải khác sau Vì 1 abc nên trong ba s ố a, b, c luôn có hai s ố n ằm cùng phía so v ới 1. Không m ất tính t ổng quát ta gi ả s ử hai s ố đó là a và b. Khi đó ta có 1 11 0 1 c ab ab ab c Do đó ta được 2 21 11 1 1 1 21 1 c ab c ababc ab c c Áp d ụng b ất đẳng th ức Bunhiacopxki ta có 22 11 1 1 11 11 11 1 11 11 ab ab ab ab ba ba c ab c ab a b ab a b Do đó ta được 22 2 22 2 11 1 2 11 1 11 1 11 1 1 1 11 1 ab c ab c cc c cc c cc c Nh ư v ậy b ất đẳng th ức ban đầu được ch ứng minh. Đẳng th ức x ẩy ra khi 1 ab c Bài 33. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 422 4 4 22 4 4 22 4 ab bc ca 1 aab b b bc c c ca a Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể rút gọn được các biến có bậc 1 ở tử mỗi phân số sau khi đánh giá mẫu số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 422 3 aab 2ab Do đó 33 3 4 224 3 4 33 ab ab a aab b 2ab b 2a b Tương tự ta được 33 3 3 3 3 4 224 4 22 4 4 22 4 33 3 3 3 3 ab bc ca a b ac aab b b bc c c ca a 2a b 2b c 2c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3 33 3 3 3 3 ab c 1 2a b 2b c 2c a Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ab c b c a 11 2a b 2b c 2c a 2a b 2b c 2c a Đến đây ta có hai hướng để chứng minh bất đẳng thức như sau + Hướng 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 33 3 6 6 6 33 3 3 3 3 33 6 33 6 33 6 2 33 3 66 6 33 33 33 bc a b c a 2a b 2b c 2c a 2a b b 2b c c 2c a a ab c 1 ab c 2ab 2bc 2ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . + Hướng 2: Ta đơn giản hóa bất đẳng thức bằng cách đặt 33 3 xa;y b;z c Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành yz x 1 1 1 11 2x y 2y z 2z x 2x 2y 2z 11 1 yz x Đặt xy z m;n ;p mnp1 yz x . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 11 1 1 2m 1 2n 1 2p 1 Hay ta cần chứng minh 2m 1 2n 1 2n 1 2p 1 2p 1 2m 1 2m 1 2n 1 2p 1 2a b c 6 Đánh giá cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy và mnp 1 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 34. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3 22 2 ab c ab bc ca 28 abc ab c Phân tích và lời giải Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức bất đẳng thức có đại lượng 3 ab c làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức 3 33 3 ab c a b c 3a b b c c a Dễ dàng chứng minh được a b b c c a 8abc . Do đó ta được 3 33 3 a b c a b c 24abc . Khi đó ta được bất đẳng thức 3 33 3 22 2 2 2 2 ab c ab bc ca a b c 24abc ab bc ca abc abc ab c a b c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3 2 2 2 22 2 2 2 2 a b c 24abc ab bc ca a b c ab bc ca 28 4 abc bc ca ab ab c a b c Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 2 2 ab c ab c a b c 2 bc ca ab ab bc ca ab bc ca Để hoàn thành chứng minh ta cần chỉ ra được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab c ab bc ca a b c ab bc ca 24 2 ab bc ca ab bc ca ab c a b c Theo bất đẳng thức Cauchy thì bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 35. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 44 4 4 4 4 33 3 22 2 3 3 3 3ab bc ca 8a 8b 8c 6 ab c bc a ca b ab c Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức nhận thấy đại lượng 44 4 4 4 4 ab bc ca có bậc 8 nên ta cần đánh giá đại lượng đó về đại lượng bậc thấp hơn. Theo một đánh giá quen thuộc ta có 44 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca abc a b c a b c Do đó ta có 44 4 4 4 4 22 2 3ab bc ca 3 ab c Như vậy bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 33 3 33 3 8a 8b 8c 3 bc a ca b ab c Hay 33 3 33 3 ab c 3 8 bc a ca b ab c Để ý đến abc 1 , ta viết bất đẳng thức trên thành 33 3 6 6 6 33 3 3 3 3 22 2 ab c 3 a b c 3 88 11 1 1a 1 b 1 c ab c ab c Đặt 22 2 xa;y b;z c xyz 1 , khi đó bất đẳng thức trên trở thành 33 3 33 3 xy z 3 8 1x 1y 1 z Áp dụng bất đẳng thức Cachy ta được 33 2 33 2 33 2 33 2 33 2 33 2 xx 13x 82 1x 1x 1x yy 13y 82 1y 1y 1y zz 13z 82 1z 1z 1z Do đó ta được 33 3 2 2 2 33 3 2 2 2 2x 2y 2z 3 3 x y z 82 1x 1y 1 z 1x 1y 1 z Như ậy phép chứng minh hoàn sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được 22 2 22 2 2 2 2 xy z 3 1 1 1 3 44 1 x 1 y 1 z yz 1 zx 1 xy 1 Đặt mxy;n yz;p zx mnp 1 , bất đẳng thức trên trở thành 22 2 11 1 3 4 m1 n1 p 1 Ta có 22 11 1 1 1 mn 1 mn m1 n1 mn 1 1 mn 1 1 nm Mặt khác ta lại có 2 22 2 p1 11 p 1 33 mn 1 p 1 4 4 p1 p1 4p 1 Do đó 22 2 11 1 3 4 m1 n1 p 1 là bất đẳng thức đúng Suy ra bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 36. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: ab c 1 aabc b bca c cab Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy các hạng tử trong căn chưa đồng bậc, do đó chú ý đến giả thiết ab c 1 ta có thể viết được abc aab c bc a b c a . Để khử được căn bậc hai dưới các mẫu số ta chú ý đến bát đẳng thức Cauchy hoặc Bunhiacopxki. Tuy nhiên để ý đến chiều bất đẳng thức ta chọn cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là ab c 1 aabca b bcab c cabc Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thì được các trường hợp sau + Trường hợp 1: ab c a a bc a ab c a 2a bc + Trường hợp 2: a b c a ab ac a a b c a a ab ac Ta đi kiểm tra xem trong hai trường hợp trên thì trường hợp nào có đánh giá hợp lí - Với đánh giá aabca 2a bc , áp dụng hoàn toàn tương tự ta được ab c a b c a a bc b b ca c c ab 2a bc 2b ca 2c ab Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được ab c 1 2a bc 2b ca 2c ab Đến đây để đơn giản hóa bài toán ta có thể đặt xa;y b;z c , khi quy bài toán về chứng minh 22 2 22 2 xy z 1 2x yz 2y zx 2z xy Để có những đánh giá tiếp theo ta nghĩ đến đổi chiều bất đẳng thức thành 22 2 yz zx xy 1 2x yz 2y zx 2z xy Đến đây ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 222222 xy yz zx yz zx xy 1 2x yz 2y zx 2z xy 2 x yz xy z xyz x y y z z x Điều này cho thấy bất đẳng thức trên được chứng minh. - Với đánh giá a b c a ab ac a a b c a a ab ac , khi đó ta được aa a aabc aab ac a b c Hoàn toàn tương tự ta có bb c c ; bbca a b cc cab a b c Như vậy cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 37. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab c bc a ca b 32 bc b c ca c a ab a b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có các hướng đánh giá bất đẳng thức như sau. - Đánh giá mỗi phân số bằng cách thay tử số bằng đại lượng nhỏ hơn - Đánh giá mẫu bằng cách thay các mẫu bởi các đại lượng lớn hơn - Đánh giá đồng thời cả tử và mẫu Cách thứ nhất ta chú ý đến đánh bc 2bc biến đổi bất đẳng thức thành 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab c bc a ca b 2a 2b 2c bc c a a b bc b c ca c a ab a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 2a 2b 2c 32 bc c a a b hay 22 2 2 2 2 ab c 3 2 bc c a a b Tuy nhiên đây lại là một đánh giá sai Để ý là ta cần phải đánh giá làm sao bất đẳng thức thu được càng đơn giản càng tốt, do đó ta ưu tiên đánh giá làm mất đi các căn bậc hai dưới mẫu. Như vậy ta chọn cách đánh giá thứ hai trước. Chú ý là ta cần phải thay mẫu bởi một đại lượng lớn hơn, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy dạng 2xy x y và cần phải bảo toàn dấu đẳng thức nên ta sẽ áp dụng cho hai số 22 2bc; b c , cách đánh giá này có cảm giác hợp lí vì vế phải có số 2 . Như vậy lúc này ta sẽ được 2 22 22 22bcb c 2bc b c b c . Áp dụng tương tự ta thu được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 ab c b c a ca b 2a 2b 2c bc c a a b 2bc b c 2ca c a 2ab a b Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2a 2b 2c 3 bc c a a b hay ab c 3 bc c a a b 2 Để ý đánh giá cuối cùng là bất đẳng thức Neibizt quen thuộc và việc chứng minh nó hoàn toàn đơn giản. Bài 38. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab c ab bc ca 9 5a b c Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đây là một bất đẳng thức hoán vị do đại lượng 22 2 ab bc ca . Rõ ràng bất đẳng thức hoán vị bao giờ cũng khó xử lý hơn bất đẳng thức đối xứng. Cho nên nếu đối xứng hóa được đại lượng 22 2 ab bc ca thì cơ hội chứng minh bài toán sẽ lớn hơn. Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 22 2 2 2 2 22 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab c abc Như vậy sau đánh giá này ta có bất đẳng thức 2 22 2 2 2 2 22 2 ab bc ca ab c ab bc ca 9 ab c 9 ab c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 ab bc ca ab c 9 5a b c ab c Bất đảng thức trên chứa các đại lượng 22 2 ab c;ab bc ca;a b c và chúng liên hệ với nhau bởi hằng đẳng thức 2 22 2 ab c a b c 2ab bc ca do đó để đơn giản hóa ta đặt xa b c;y ab bc ca khi đó 22 2 2 ab c x 2y và lúc này bất đẳng thức được viết lại thành 2 2 2 2 yx y x2y 9 5x x 3 0 xx Đánh giá cuối cùng luôn đúng do x là số dương. Vậy bài toán được chứng minh xong. Nhân xét: Ngoài cách ch ứng minh nh ư trên ta có th ể tham kh ảo thêm các sau đây Đặt 1; 1; 1 xa y b zc , khi đó ta có ;; 1 xy z B ất đẳng th ức c ần ch ứng minh được vi ết l ại thành 2 2 2 222 22 0 xy z xy yz zxxy yz zx Để ý là 2 2 2 222 2 22 2 22 11 1 xy z xy yz zxxy yzzx xy z y x z y x z Vì ;; 1 xy z nên 1; 1; 1 0 xy z do đó 2 22 2 11 10 xy z y x z y x z Hay b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Bài 39. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 3 3 3 ab bc ca a b c ab c 2 ab bc ca ca b bca Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải chứa căn bậc hai nên ta cần phải đánh giá làm mất căn bậc hai trước, chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 2xy x y . Như vậy nếu ta sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy thì được 33 3 3 3 3 ab c a b c 2 abbcca abbcca bc a b c a Có điều khi đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy thì các đại lượng đưa ra cần phải đồng bậc. Do đó đánh giá như trên không được hợp lí. Như vậy để đánh giá được ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trước, chú ý là hai đại lượng trong căn có bậc 4 và 0, do đó ta cố đưa về cùng bậc 2 bằng một phép biến đổi, chẳng hạn 33 3 33 3 ab bc ca ab c a b c 2ab bc ca 2 .bc bc a bc b c a . Khi này ta có đánh giá 33 3 33 3 33 3 ab bc ca ab c a b c 2ab bc ca 2 .bc bc a bc b c a ab bc ca ab c bc bc b c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3 22 2 22 2 ab bc ca ab c ab bc ca bc a b c bc b c a c a b Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 23 2 2 2 2 22 222 32 2 ab a bc ab bc ca ccab abc cb a cab ab a a c aca aca0 0 bb b Đến đây ta hoàn toàn có thể giả sử trong ba số a, b, c thì a là số nằm giữa. Do đó bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 40. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 8 . Chứng minh rằng: 11 1 1 2a b 6 2b c 6 2c a 6 4 Phân tích và lời giải Trước hết quan sát kỹ giả thiết abc 8 , nhìn có vẻ thấy hơi lạ mắt vì ta thường gặp giả thiết kiểu abc 1 . Do đó suy nghĩ đầu tiên đó là tìm cách đưa về giả thiết abc 1 và vì thế ta sử dụng cách đổi biến a2x;b 2y;c 2z , khi đó ta được xyz 1 và lúc này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 11 1 1 2x y 3 2y z 3 2z x 3 2 Đến đây ta có một số ý tưởng tiếp cận bài toán trên. Cách 1: Đầu tiên ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại xy z 1 . Để ý đến chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng Cauchy hoặc Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ở đây ta nên áp dụng cho mấy số? Chú ý là với xy z 1 thì 2x y 3 x y 1 x 2 , do đó ta có thể đánh giá như sau 11 1 1 2x y 3 4 x y 1 x 2 Hoàn toàn tương tự ta thu được bất đẳng thức 11 1 2x y 3 2y z 3 2z x 3 11 1 1 1 1 1 4x y 1 y z 1 z x 1 x 2 y 2 z 2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 11 1 1 1 1 2 x y 1y z 1 z x 1x 2 y 2 z 2 Đến đây ta tách ra chứng minh hai bất đẳng thức sau 11 1 1 xy 1 y z 1 z x 1 và 11 1 1 x2 y 2 z 2 Với giả thiết xyz 1 thì bất đẳng thức 11 1 1 xy 1 y z 1 z x 1 được chứng minh bằng phép đổi biến. Bây giờ ta tập trung chứng minh bất đẳng thức 11 1 1 x2 y 2 z 2 Bất đẳng thức trên tương đương với xx x 1 x2 y 2 z 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức ta được 2 xy z xy z x2 y 2 z 2 x y z 6 Và ta cần chỉ ra được 2 xy z xyz6 xy yz zx 3 Rõ ràng đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó bài toán được chứng minh. Cách 2: Cách phát biểu của bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức 22 2 2 2 2 11 1 1 2 2x y 3 2y z 3 2z x 3 Do đó để đưa về dạng như trên ta có thể đặt 22 2 xm;y n;z p khi đó từ xyz 1 ta suy ra được mnp 1 và bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 2 2 2 11 1 1 2 2m n 3 2n p 3 2p m 3 Bất đẳng thức này đã được chứng minh trong chủ đề thứ hai. Bài 41. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 44 4 22 2 ab bc ca 3 2 a1 b 1 c 1 Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy trên tử mỗi phân số có chứa các lũy thừa bậc chẵn. Do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên trước khi áp dụng ta cần khử thừa số bậc lẻ trước. Cách 1: Chú ý đến giả thiết abc 1 , ta viết lại được bất đẳng thức như sau 44 4 33 3 ab c 3 2 a c ac b a ab c b bc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 44 4 33 3 332 ab c ab c a c ac b a ab c b bc a c b a c b ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 33 2 ab c 3 2 ac ba cb ab bc ca Hay 2 22 2 3 3 3 2a b c 3ac ba cb ab bc ca Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 44 4 22 22 22 3 3 3 2a b c 4 ab bc ca 3 ac ba cb 3ab bc ca Dễ thấy theo một đánh giá quen thuộc ta có 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 a b 1 2ab; b c 1 2bc; c a 1 2ca ab bc ca 3 2 ab bc ca Mà 3 22 2 ab bc ca 3 a b c 3 suy ra 22 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca Do đó ta được 22 2 2 2 2 3ab bc ca 3 ab bc ca Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 44 4 22 22 22 3 3 3 2a b c ab bc ca 3ac ba cb Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta được 4 4 44 3 4 44 4 3 4 4 4 4 3 44 4 3 3 3 a a a b 4ab;b b b c 4bc;c c c a 4ca ab b ab bc ca Và 422 3 4 22 3 4 22 3 44 4 22 22 22 3 3 3 aab 2ab;b bc 2bc;c ca 2ca ab c ab bc ca 2ab2bc 2ca Cộng theo vế hai kết quả trên ta được 44 4 22 22 22 3 3 3 2a b c ab bc ca 3ac ba cb Vậy bài toán được chứng minh. Cách 2: Khi quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến là đánh giá 44 2 ab ab 2a a1 , đáng tiếc là đánh giá này cho một bất đẳng thức ngược chiều. Chính điều này gợi ý cho ta sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu. Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 42 2 22 2 22 ab ab ab ab ab ab ab 2a 2 a1 a1 Hoàn toàn tương tự ta được 44 22 22 bc bc ca ca bc ; ca 22 b1 c1 Khi đó ta được 44 4 22 2 33 3 ab c abbcca ab bc ca 2 a c ac b a ab c b bc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 ab bc ca 3 ab bc ca 22 Hay 22 2 2ab bc ca 3 ab bc ca Dễ thấy 3 22 2 2 22 ab bc ca 3 ab.bc.ca 3 Và ta cần chỉ ra được 22 2 ab bc ca ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 22 2 44 ab ab bc 3 abc 3ab Thiết lập các bất đẳng thức tương tự và cộng theo vế ta được 22 2 3ab bc ca 3 ab bc ca Hay 22 2 ab bc ca ab bc ca Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 42. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 44 4 22 2 2 2 2 ab c 3 4 bc b c c a c a a b a b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sat bất đẳng thức ta nhân thấy các dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, sử dụng kĩ thuật đánh giá mẫu,…. Cách 1: Suy nghĩ đầu tiên khi quan sát bất đẳng thức đó là dấu hiệu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Như vậy khi đó ta được 44 4 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c bc b c c a c a a b a b ab c bc b c c a c a a b a b Như vậy ta cần chỉ ra được 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c 3 4 bc b c c a c a a b a b Để ý ta thấy khi khai triển mẫu thì xuất hiện đại lượng 33 3 ab c và đánh giá đại lượng đó theo kiểu 33 3 ab c ? rất phức tạp. Do đó đánh giá một cách trực tiếp như vậy có vẻ không đem lại hiệu quả. Như vậy để áp dụng có hiệu quả ta nên biến đổi bất đẳng thức về một dạng khác. Chú ý là tại các mẫu xuất hiện tích của hai đại lượng do đó ta sẽ đưa một đại lượng lên trên tử số. Khi đó ta có các cách biến đổi là 2 2 4 22 22 a a bc bc bc b c hoặc là 2 2 4 22 22 a a bc bc bc b c Để ý rằng sau khi áp dụng thì ta thu được biểu thức là tổng các mẫu số, do đó chú ý đến giả thiết ab c 3 thì ta chọn cách biến đổi thứ hai. Khi này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c 3 bc c a a b bc c a a b 4 Đến đây áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab c a b c b c ca a b b c ca a b bc c a a b 2a b c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 2 2 2 ab c 3 2 bc c a a b Như vậy sau một số bước đánh giá ta đưa được về một bất đẳng thức có vẻ đơn giản hơn và bất đẳng thức cần chứng minh lúc này cũng có dấu hiệu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta được 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 ab c ab c bc c a a b bc a c a b Và ta cần chứng minh được 22 2 2 2 bc a c a b 32 , tuy nhiên đánh giá này lại sai vì 22 2 2 2 1 b c ac a b ab b c c a 32 2 . Như vậy để đảm bảo các đánh giá đúng chiều ta cần nâng lũy thừa của các phân số lên, do đó ta có đánh giá 2 22 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 ab c ab c bc c a a b a b c b a c c a b Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 22 22 ab c b a c c a b ab c ab c bc a cab 2a b c ab bc ca Do đó ta được 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2222 22 ab c a b c ab c b a c c a b 2a b c ab bc ca Ta cần chỉ ra được 2 22 2 22 2 2222 22 ab c 3 2 2a b c ab bc ca Hay 22 2 2 2 2 22 22 22 a b c a bc 3abbc ca Để ý ta nhận thấy 22 2 2222 22 2 2 2 ab c ab c 3ab bc ca; a b c 3 3 Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. Cách 2: Có thể thấy bài toán trên đã được chứng minh xong, tuy nhiên lại quá vất vả trong việc tìm lời giải. Có một điều dễ nhận ra là nếu bài này được ra trong một kì thì mà thời gian có hạn thì cách như trên sẽ lấy hết thời gian của các bài toán khác. Có phải đang có một cách giải khác ngắn gọn hơn hay không? Ta thử quan sát kỹ lại bất đẳng thức một làm nữa xem sao? Ta nhận thấy trong mỗi phân thức thì tử có bậc 4 và mẫu có bậc 3, chú ý đến giả thiết ab c 1 thì ta có thể đồng bậc như sau 44 4 22 2 2 2 2 ab c abc 4 bc b c c a c a a b a b Do đó ta hướng đến đơn giản hóa các mẫu số, điều này làm ta nghĩ đến chứng minh một đánh giá kiểu 22 3 3 xy x y 2x y . Đây là một đánh giá chứng minh được bằng phép biến đổi tương đương. Bây giờ ta thử áp dụng đánh giá đó xem sao 44 4 22 2 2 2 2 44 4 33 3 3 3 3 ab c bc b c c a c a a b a b ab c 2b c 2 c a 2a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 44 4 33 3 3 3 3 ab c abc 4 2b c 2 c a 2 a b Bất đẳng thức này có thể chứng minh được bằng cách áp dụng đồng thời bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và bất đẳng thức Cauchy. Bài 43. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 22 2 22 2 abc abc 3 5a b c 5b c a 5c a b Phân tích và lời giải Trước hết ta dụ đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy được sự phức tạp của bài toán. Suy nghĩ đầu tiên khi đọc bài toán đó là khử được các căn bậc hai bên vế trái, tuy nhiên ở đây ta không nên bình phương vì biểu thức trong căn tương đối cồng kềnh. Như vậy ta cần một đánh giá để có thể khử hết các căn bậc hai hoặc một đánh giá mà đưa về chỉ một căn thức. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Mặt khác chú ý đến tổng ab c bên vế phải vì thế ta cần đánh giá sao cho có thể rút gọn được ab c . Từ các nhận xét đó ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thì 33 3 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 ab c 5a b c 5b c a 5c a b abc ab c 5a b c 5b c a 5c a b Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 22 2 abc 1 3 5a b c 5b c a 5c a b Đến đây ta để ý lại thấy 2 2222 5a b c 5a b c 2bc và chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ta có có 2 22222 2 5a b c ab c 2abc 2abc , khi này ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Như vậy ta cần có trên tử 2 3a , điều này ta hoàn toàn có thể làm được. Khi này ta sẽ được 2 2 2 22 2 2 2 2 22 22 2 2 3a a1 9 ab c 2abc 2abc 5a b c 1a 2a 9 ab c 2abc Hoàn toàn tương tự ta thu được 22 2 2 2 2 2222 2 2 222 2 22 b1 b 2b c 1 c 2c ; 99 ab c 2b ac a b c 2c ab 5b c a 5c a b Do đó ta có 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 a b c 1 2a 2b 2c 1 9 2a bc 2b ca 2c ab 5a b c 5b c a 5c a b Bây giờ ta cần phải chứng minh được 22 2 22 2 12a 2b 2c 1 1 93 2a bc 2b ca 2c ab Bất đẳng thức đó tương đương với 22 2 22 2 2a 2b 2c 2 2a bc 2b ca 2c ab Đến đây ta đổi chiều bất đẳng thức và được 22 2 bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì 2 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab ab bc ca 2abc a b c Như vậy đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 44. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab b c c a 8 Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta thấy bên vế phải có các đại lượng 22 2 ab;b c;c a và ta cần tìm được một đại lượng trung gian mà các đánh giá phải cùng chiều, do đó suy nghĩ đầu tiên là đồng bậc các hạng tử trong mỗi đại lượng trên. Để thực hiện được việc này ta để ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Lúc này ta được ta 22 2 22 2 ab a 1 ab ; b c b 1 b c ; c a c 1 c a Nhân theo vế ta được 2 22 2 ab b c c a a 1 b 1 c 1 ab b c c a Hay 2 22 2 ab b c c a ab b c c a a1 b 1 c 1 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab b c c a 8 a1 b 1 c 1 Trong các đánh giá trên ta chưa sử dụng đến giả thiết. Ta cần phải sử dụng giả thiết cho các đánh giá tiếp theo. Nhận thấy ta chưa thể sử dụng ngay được giả thiết nên ta cần biến đổi giả thiết về một dạng khác trước. Thật vậy, từ giả thiết ab bc ca 3 ta dễ dàng suy ra ab c 3 và abc 1 . Dễ thấy ab b c c a ab c ab bc ca abc 3a b c abc 8 Do đó từ giả thiết ta suy ra được ab b c c a 8 Như vậy ta cần chỉ ra được ab b c c a 1 a1 b 1 c 1 Hay ab b c c a a 1 b 1 c 1 Để ý đến các phép biến đổi a b bc c a 3a bc abc 8 a 1 b 1 c 1 abc abbcca a bc 1 Ta có ab b c c a a 1 b 1 c 1 3 a b c abc abc bc bc ca a b c 1 2 a b c 2abc 4 2 2abc 0 Do đó suy ra ab b c c a a 1 b 1 c 1 Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 45. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 bc a 3 2 ab 1 b c 1 c a 1 Phân tích và lời giải Từ giả thiết của bài toán là ab c abc suy ra 11 1 1 ab bc ca . Khi này suy nghĩ hết sức tự nhiên là đặt 11 1 x;y ;z ab c . Do đó giả thiết của bài toán trở thành xy yz zx 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là 22 2 xy z 3 2 y1 z 1 x 1 Với giả thiết xy yz zx 1 ta thấy được 22 x1 x xy yz zx x y x z Tương tự ta được 22 y1 y z y x; z 1 z x z y Để ý tiếp ta lại có theo bất đẳng thức Cauchy thì x2x x2y z yx y z Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 xy z x y z y1 z1 x 1 yx y z zx zy x y xz 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2x 2y 2z 3 x 2yz x y 2z 2x yz 2 Với bất đẳng thức trên thì sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là hợp lí nhất. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 22 2 2x 2y 2z 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z xx 2y z yxy 2z z2xy z 2x y z 2x y z 3 2 xy z xy yz zx x y z xy z 3 Như vậy bài toán được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 3 . Bài 46. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 a,b,c 1; a b c 4 Chứng minh rằng: 22 2 11 1 9 ab c 2 a 1b 1c 1 Phân tích và lời giải Khi quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là đổi biến làm mất các căn bậc hai. Từ suy nghĩ đó ta đặt 22 2 xa 1;yb 1;z c 1 . Khi đó ta suy ra 22 2 a x 1; b y 1; c z 1 . Giả thiết của bài toán được viết lại thành 22 2 xy z 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 11 1 9 2x y z x1 y 1 z 1 Hay 22 2 11 1 9 xy z 2 x1 y 1 z 1 Ta viết vế trái của bất đẳng thức trên thành 22 2 2 2 2 xy z yz zx xy x1 y 1 z 1 x1 y 1 z 1 Lúc này ta dự đoán 22 2 yz zx x y 3 x1 y 1 z 1 và 22 2 yz z x x y 3 x1 y 1 z 1 Quan sát kĩ các biểu thức trên và chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta nghĩ đến đánh giá có thể đưa các đại lượng vào trong cùng một căn bậc hai. Để thực hiện điều này ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng 22 2 ab c 3a b c . Khi đó ta được 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 xy z 3x 3y 3z 2x yz x 2yz x y 2z x1 y 1 z 1 Mặt khác ta lại có 22 2 22 2 2 2 2 2 3x 3 x x 4 2x y z x y x z , áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3x 3y 3z 3 2 2x y z x 2y z x y 2z Do đó 22 2 xy z 3 2 x1 y 1 z 1 Như vậy bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 22 2 yz z x x y 3 x1 y 1 z 1 Điều này có thể thực hiện hoàn toàn tương tự như trên 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 3y z 3 z x 3x y yz z x x y 2x yz x 2yz x y 2z x1 y 1 z 1 Dễ dàng chứng minh được 2 22 22 2 2 2 2 2 3y z yz 3 2x y z x y x z Tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 3y z 3 z x 3x y 2x y z x 2y z x y 2z yz z x x y 33 x y xz zy x y xz y z Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 2 ab c 3 . Bài 47. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 3a 1b 1c 1 ab 1 bc 1 ca 1 2 Phân tích và lời giải Cách 1: Trước hết ta dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cả hai vế đều chứa các đại lượng a1;b 1;c 1 , do đó ta biến đổi bất đẳng thức bằng cách chia cả hai vế cho a1 b 1 c 1 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành ab c 3 2 a 1 c1 a 1 b1 c1 b1 Đến đây ta thấy có hai hướng đánh giá là - Hướng thứ nhất ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki đưa các đại lượng trong căn bên vế trái vào trong cùng một căn bậc hai thì được abc a1 c 1 a1 b 1 c 1 b 1 3a 3b 3c a1 c 1 a1 b 1 c 1 b 1 Như vậy ta quy bài toán về chứng minh abc 3 4 a1 c 1 a1 b 1 c 1 b 1 Bất đẳng thức trên tương đương với 4ab 1 bc 1 ca 1 3a 1b 1c 1 3abc 3 abbcca a bc Nhận thấy đánh giá trên không đúng. - Hướng thứ hai là áp dụng bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 ta có aa.11a1 2a 1 c 1 a1 c 1 a1 c 1 Hoàn toàn tương tự ta được b11 b c 1c 1 ; 2a 1 b 1 2 c 1 b 1 a1 b 1 c 1 b 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab c 3 2 a 1 c1 a 1 b1 c1 b1 Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Nhận xét tương tự như trên nhưng ta hướng theo đánh giá làm vế trái xuất hiện nhân tử chung là 1 trong trong 3 đại lượng đó với mong muốn có thể giảm xuống còn hai biến. Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có ab 1 bc 1 a 1 b 1 bc 1 Khi đó ta được ab 1 bc1 ca 1 a 1 b 1bc1 ca 1 Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 3b 1 c 1 bc 2b 1 c 2 Đến đây nếu ta đưa được các đại lượng dưới dấu căn bên trái vào trong một căn thức thì cơ hội sẽ cao hơn, tuy nhiên cũng tương tự như trên ta thử làm xất hiện thêm nhân tử chung để rút gọn xem sao. Chú ý là bên vế phải chứa hai đại lượng b1;c 1 nên ta sẽ cố đánh giá vế trái về một trong hai đại lượng trên. - Trước hết ta đánh giá về b1 , để ý là bc 2b 1 c 1 b 1 c 2 , do đó ta cần làm xuất hiện c1 để khi bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được bc 2b 1 c 1 . Để ý là c cc1. c1 , khi đó ta được cc bc 2b 1 c 1. bc 2b 1 c 1 1 c1 c1 b1 c 2 2c 1 c1 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 c2 2c 1 3c 1 4c 2 2c 1 9 c 1 c1 2 Đánh giá cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bài toán được chứng minh xong. - Bây giờ ta thử đánh giá về c1 , khi đó theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có bc 2b 1 c 1. bc 2b 1 1. c 1 c bc 2b 1 1 Và ta cần chỉ ra được 3b 1 bc 2b 2 bc b 1 2 . Tuy nhiên đánh giá cuối cùng không đúng, do đó hướng đánh giá này không hợp lí. Bài 48. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 222 22 2 2 11 19 aab b b bc c c ca a ab c Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến đánh giá quen thuộc 222 22 2 22 2 11 1 9 aab b b bc c c ca a 2a b c ab bc ca Và ta cần chỉ ra được 2 22 2 2 2 2 2a bc ab bc ca a b c a bc ab bc ca Đáng tiếc đánh giá cuối cùng lại là một đánh giá sai. Nên ta phải tìm hướng đánh giá khác. Quan sát kỹ bất đẳng thức trên ta thấy được sự liên quan giữa các mẫu số với các đại lượng 22 2 ab c;ab bc ca , ta thử xem có mối liên hệ nào hay không? Để ý ta thấy 22 2 222 aab b c bc ca a b c ab bc ca , điều này dẫn đến 22 2 2 2 2 22 22 22 ca b c ab c ab bc ca a ab b c bc ca 1 a abb a abb a abb Hoàn toàn tương tự thì ta được 22 2 222 22 2 222 22 2 11 1 ab c ab bc ca aab b b bc c c ca a ca b 3a b c aab b b bc c c ca a Như vậy bây giờ ta cần chứng minh được 222 22 2 22 2 2 ca b 3a b c aab b b bc c c ca a 9a b c ab bc ca ab c Để ý tiếp đại lượng 222 22 2 ca b aab b b bc c c ca a , theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 222 22 2 ab c ca b abc ab bc ca aab b b bc c c ca a ab c ab bc ca Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 2 9a b c ab bc ca ab c 3 ab bc ca ab c Hay 2 22 2 2 6a b c 3ab bc ca ab c ab bc ca ab c Hay 4 22 2 a b c 3 2 a b c ab bc ca ab bc ca Đến đây thì ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá. Để ý là khi dấu đẳng thức xẩy ra thì 22 2 2a b c ab bc ca 3ab bc ca nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 22 2 4 3abbcca 2a b c abbc ca 3abbcca 2a b c abbcca ab c 4 Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 49. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 a abc b abc c abc 1 cab a bc bac 2abc Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Nhận thấy các đại lượng trong căn và ở các mẫu chưa đồng bậc nên suy nghĩ đầu tiên đó là đồng bậc các đại lượng đó. Để ý đến giả thiết ab c 1 ta thấy 22 aabc aa b c abc aa ba c cab ca b c ab a c b c Hoàn toàn tương tự 22 b abc b a b b c ; c abc c a c b c baca bbc;a bca ba c Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành aa b a c b b c a b ca c b c 1 c a c b ab ac ab b c 2abc Hay abca b a c b acb c a b c aba c b c 1 2 c a c b ab ac ab b c Quan sát bất đẳng thức trên ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy, để ý là bcab ac ca b.ba c bab.cac Trong hai các viết trên ta chọn cách viết thứ nhất vì khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 2xy x y thì không tạo ra các đại lượng có chứa các bình phương (Nên nhớ là các bình phương bao giờ cũng trội nhất trong các đại lượng bậc 2). Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được ba c c a b ab 2bc ca bcab ac 22 Áp dụng tương tự ta được abca b a c b acb c a b c aba c b c c a c b ab ac ab b c a ab 2bc ca b ab bc 2ca c 2ab bc ca 2c a c b 2 a b a c 2 a b b c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a ab 2bc ca b ab bc 2ca c 2ab bc ca 1 c a c b ab ac ab b c Hay a a b ab 2bc ca b b c ab bc 2ca c c a 2ab bc ca ab b c c a Vế trái của bất đẳng thức có bậc 4 còn vế phải có bậc ba nên ta co thể đồng bậc là a a b ab 2bc ca b b c ab bc 2ca c c a 2ab bc ca ab b c c a ab c Triển khai và rút gọn ta được 33 3 222222 2 2 2 33 3 222222 2 2 2 a b c b ca c a b ab bc ca 5abcabc abc a b c b ca c a b 2ab bc ca 4abc abcabc Hay 22 2 2 2 2 abc a b c a b b c c a , đây là một đánh giá đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Bài 50. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3 22 2 ab c a b c b c a c a b 27abc Phân tích và lời giải Cách 1: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Đầu tiên ta nhận thấy nếu vế trái của bất đẳng thức âm thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Như vậy ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp vế trái không âm là được. Xét trường hợp ab c b c a c a b 0 , khi đó dễ dàng chứng minh được ab c 0;b c a 0;c a b 0 . Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì ý tưởng tiếp cận đầu tiên là đổi biến, ta có thể đặt xa b c;y b c a;z c a b suy ra ta được xz x y y z a;b ;c x,y,z0 22 2 Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh đươc viết lại thành 32 2 2 64xyz x y z 27 x y y z z x Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 3xyx x y z xy yz zx Do đó ta được 32 2 64.3xyz x y z 64 x y z xy yz zx Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 222 64 x y z xy yz zx 3.27 a b b c c a Lấy căn bậc hai hai vế ta được 9x y y z z x 8 x y z xy yz zx Đây là một đánh giá đúng quen thuộc. Do đó bài toán được chứng minh Cách 2: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy, khi đó nếu áp dụng trực tiếp thì ta có 3 27 a b c b c a c a b a b c nên bài toán quy về chứng minh 6 22 2 2 ab c 27abc , tuy nhiên đánh giá đó là một đánh giá sai. Do đó ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy như vậy được mà cần biến đổi bất đẳng thức trước. Để ý ta thấy khi đẳng thức xẩy ra thì ab c a bc a b ca b c và lại có 22 2 ab c a b c a b ca b c 2ab bc ca a b c Do đó ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số trên, khi đó ta được 3 27abc a b c b c a c a b a b c a b c a b c a b c Hay 3 22 2 27abc a b c b c a c a b 2 ab bc ca a b c Khi đó ta được 3 3 3 22 2 27abc a b c b c a c a b a b c 2ab bc ca a b c a b c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 3 3 22 2 3333 2ab bc ca a b c a b c 9abc Lấy căn bậc ba hai vế ta được 22 2 ab c 2ab bc ca a b c 9abc Khai triển và rút gọn ta được 33 3 2 2 2 ab c 3abc ab c bc a ca b abc a b c b c a c a c Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 51. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 222 222 22 2 a b c b ca ca b 1 2 2a b c 2b a c 2c a b Lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta thấy có thể tiếp cận theo hướng sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki,… Cách 1: Đầu tiên ta nhận thấy tại các mẫu số của các phân thức có chứa các đại lượng bình phương 2 ab , 2 bc , 2 ca . Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá quen thuộc 2 22 ab 2a b khi đó mẫu sẽ trở thành 22 2 2a b c . Hoàn toàn tương tự ta thu được bất đẳng thức 222 2 2 2 222 222 22 2 a b c b ca ca b a bc bca b ca 2a 2b 2c 2a b c 2b a c 2c a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 222 22 2 ab c b c a b c a 1 2 2a 2b 2c Hay 222 22 2 ab c b c a b c a a b c Triển khai và thu gọn ta được 22 2 ab c ab bc ca . Đánh giá cuối cùng đúng với mọi a, b, c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Cách 2: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta có 222 22 2 22 2 2 22 2 22 2 a b c b ca ca b 2a b c 2b a c 2c a b ab c 2a b c a b b c c a Ta cần chứng minh được 2 22 2 22 2 ab c 1 2 2a b c a b b c c a Hay 2222 22 2 2a b c 2a b c a b b c c a Khai triển và thu gọn ta được 22 2 ab bc ca a b c , đây là một đánh giá sai nên ta dừng chứng minh theo cách này ở đây. Do không thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki trực tiếp nên ta cần biến đổi bất đẳng thức trước xem có thể sử dụng được hay không? Tuy nhiên ta sẽ biến đổi cách như thế nào đây? Trước hết ta tìm mối liên hệ của các đại lượng trong mỗi phân thức thì thấy rằng 22 2 22 22 a b c a bc 2abc 2a b c 2a b c Như vậy ta sẽ có 22 22 22 2 22 2 ab c a b c 2ab c a 2ab c 11 2a b c 2a b c 2a b c Và nếu áp dụng tương tự thì ta thu được 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 a b c b ca ca b 3 2a b c 2b a c 2c a b a2ab c b 2bc a c 2ca b 15 3 22 2a b c 2b c a 2c a b Hay 22 2 22 2 22 2 a2ab c b 2bc a c 2ca b 5 2 2a b c 2b c a 2c a b Để ý đến chiều bất đẳng thức ta thấy không thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được. Cũng chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta nghĩ đến một đánh giá kiểu 2 2 2a b c ? . Vì khi dấu đẳng thức xẩy ra thì 2 2 2a b c nên ta không sử dụng bất đẳng thức Cauchy mà nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản. Khi đó chú ý đến dấu đẳng thứ xẩy ra ta có đánh giá 2 22 2 2a b c 2 4 2a 2 b c 4 a b c . Và áp dụng hoàn toàn tương tự ta thu được 22 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 a2ab c b 2bc a c 2ca b 2a b c 2b c a 2c a b a2ab c b 2bc a c 2ca b 3 2 ab c ab c 2ab bc ca 3 2 ab c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 2 ab c 2ab bc ca 35 22 ab c Hay 2 2 ab c 2ab bc ca 5 3 ab c Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 2 ab c 3ab bc ca Đánh giá cuối cùng đúng với mọi a, b, c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 52. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 1 a,b,c ; 1 2 . Chứng minh rằng: ab b c c a 23 1c 1 a 1b Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được bất đẳng thức bên trái xẩy ra dấu bằng tại 1 ab c 2 và bất đẳng thức bên phải xẩy ra dấu bằng tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta thấy có thể đơn giản hóa bằng cách đổi biến và ta có thể đổi biến bằng cách sau Đặt x a 1; y b 1; c z 1 , khi đó ta được 3 x,y,z ; 2 2 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là xy 2 y z 2 z x 2 23 zx y Bây giờ ta đi chứng minh từng bất đẳng thức + Trước hết ta chứng minh xy 2 y z 2 z x 2 2 zx y Để ý là xy 2 x y z 2 1 zz , do đó hoàn toàn tương tự ta viết lại bất đẳng thức trên như sau xy 2 y z 2 z x 2 51 1 1 zx y Hay 11 1 5x y z2 xy z Đặt tx y z , theo một đánh giá quen thuộc thì 11 1 9 9 xy z x y z t Như vậy ta được 11 1 9 xy z 2 t 2. xy z t Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 9t 2 9 5t t2 Tuy nhiên đây là một đánh giá đúng vì 333 9 tx y z 222 2 Vậy bất đẳng thức bên trái được chứng minh. + Chứng minh xy 2 y z 2 z x 2 3 zx y Ta viết lại bất đẳng thức như sau xy y z x z 2 2 2 3 yx z y z x x y z Rõ ràng ta không thể sử dụng các bất đẳng thức Cauchy hay Bunhiacopxki. Trong tình huống này ta để ý đến phép sắp thứ tự các biến để quy bất đẳng thức về bất đẳng thức ít biến hơn. Không mất tính tổng quát, ta giả sử 3 xy z 2 2 . Khi đó tasẽ có 2 2y x 2y xy x2 0 yx 2 x 2xy Do đó ta được xy x2 yx 2 x . Hoàn toàn tương tự ta được yz y 2 zy 2 y và xz x 2 zx 2 x Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được xy y z x z 4y 2 x yx z y z x x 2 y Ta cần chứng minh 4y 2 2 2 2 2y 2 x3 x 3 x2 y x y z x2 z Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng vì x1 x 2 22 x3 0 x 3 xx x y2 1 2z Vậy bất đẳng thức bên phải được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 53. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 22 2 2a b c a 2b c a b 2c 8 2a b c 2b c a 2c a b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ta tại ab c . Quan sát kỹ bất đẳng thức ta có một số nhận xét như sau - Bất đẳng thức đồng bậc 0. - Bất đẳng thức có các phân thức liên quan đến các đại lượng bình phương. - Trong mỗi phân thức ta thấy ở các tử và mẫu có sự lặp lại của các đại lượng. Từ những nhận xét trên ta có cách hướng tiếp cận bài toán như sau. Cách 1: Bất đẳng thức đồng bậc 0, nên ý tưởng đầu tiên là đổi biến theo hướng chuẩn hóa Đặt 3a 3b 3c x;y ;z ab c a b c ab c , khi đó ta có xy z 3 . Khi đó ta được 2 2 2 22 2 2 2 2 2.3a 3b 3c 2a b c 2x y z ab c a b c ab c 3a 3b 3b 2a b c 2x y z 2 ab c a b c ab c Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 222 22 2 22 2 2x y z x 2y z x y 2c 8 2x y z 2y z x 2z x y Hay 22 2 22 2 22 2 3x 3y 3 z 8 2x 3x 2y 3y 2z 3 z Hay 22 2 22 2 x6x 9 y 6y 9 z 6z 9 8 3x 6x 9 3y 6y 9 3z 6z 9 Đến đây ta thấy các phân thức có dạng như nhau đối với mỗi biến nên ta dự đoán là 2 2 x6x 9 mx n 3x 6x 9 Để tìm m và n ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định hoặc là cách sau đây 2 22 22x 3 4 x 1 x6x 9 1 1 33 3x 6x 9 2x 1 Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 4x y z 3 x6x 9 y 6y 9 z 6z 9 8 3 3x 6x 9 3y 6y 9 3z 6z 9 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Từ nhận xét các phân thức liên quan đến các đại lượng bình phương nên ta thử phân tích các tử ra xem có mối liên hệ gì với mẫu không? Khai triển tử số ta được 22 2 2a bc 4a 4abc bc Mặt khác quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải đổi chiều bất đẳng thức trước, nên ta nghĩ đến phép biến đổi 2 2 2 2a b c k 2a b c , khi đó để đổi chiều bất đẳng thức ta cần tìm k sao cho 3k 8 0 và đây ta chọn k nguyên thì càng tốt. Trước hết ta thử với k3 thì được 22 2 2 2 222 222 2a b c 6a 3 b c 2a b c 2 a b c 3 2a b c 2a b c 2a b c Như vậy ta thấy k3 thì phép biến đổi tương đối đẹp, ta cần thực hiện tiếp các phân thức còn lại để xem có đánh giá được gì hay không? Để ý là nếu không thể đánh giá được thì ta thử tiếp với các số khác lớn hơn. Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 222 222 22 2 ab c b ac c a b 1 2 2a b c 2b c a 2c a b Đây chính là bất đẳng thức đã được chứng minh trong bài 51, ta có thể trình bày lại một cách như sau Áp dụng bất đẳng thức cơ bản 2 22 xy 2x y , ta được 222 2 2 2 222 222 22 2 a b c b ca ca b a bc bca b ca 2a 2b 2c 2a b c 2b a c 2c a b Ta cần chứng minh 22 2 22 2 ab c b c a b c a 1 2 2a 2b 2c Hay 22 2 22 2 ab c b c a b c a a b c Triển khai và thu gọn ta được 22 2 ab c ab bc ca , đánh giá cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Chú ý đến sự lặp lại của các đại lượng a,b c trong cả phân thức thứ nhất nên ta có thể viết lại được 2 2 22 2 bc 2 2a b c a bc 2a b c 2 a hoặc 2 2 22 2 2a 1 2a b c bc a 2a b c 21 bc Nên để đơn giản hóa ta có thể đặt bc x a hoặc a x bc . Trước hết ta tiếp cận với với cách đặt thứ nhất. Hoàn toàn tương tự ta đặt được bc c a a b x;y ;z ab c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 x2 y 2 z 2 8 x2 y 2 z 2 Hay 22 2 22 2 x1 y 1 z 1 1 2 x2 y 2 z 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 22 2 222 x1 y 1 z 1 x y z 3 x2 y 2 z 2 x y z 6 Ta cần chứng minh 2 22 2 xy z 3 1 2 xy z 6 Hay 22 2 2x y z 3 x y z 6 Hay 2 xy z 6 2xy yz zx 12 0 * Dễ thấy, theo bất đẳng thức Cauchy ta được 2 3 bc c a c a a b a b bc xy yz zx ab b c c a ab b c c a 312 abc Do đó bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Với cách đặt thứ hai, hoàn toàn tương tự ta viết được bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 22 2 2x 1 2y 1 2z 1 8 2x 1 2y 1 2z 1 hay 22 2 22 2 2x 1 2 y 1 2 z 1 1 2x 1 2y z 2 . Tuy nhiên với cách đổi biến này, sau các đánh giá ta thu được xy yz xz 12 . Bạn đọc tự kiểm tra xem đánh giá ta thu được có đúng không. Bài 54. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 44 4 a1 b 1 c 1 2ab bc ca ab c b c a c a c Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy các đại lượng trong căn bậc hai dưới các mẫu chưa đồng bậc, chú ý đến giả thiết abc 1 ta có thể đồng bậc là 44 322 ab c a abcb c aa bc bc . Tức là khi đó ta được 4322 ab c aabc bc . Lại thấy bất đẳng thức chứa căn dưới mẫu, nên ta cần đánh giá làm mất căn bậc hai, Chú ý đến chiều bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng 2xy x y . Như vậy dưới mẫu cần có một tích hai đại lượng đồng bậc, để ý tiếp bên vế phải có 2ab bc ca nên ta có thể đưa xuống dưới mẫu, do đó ta sẽ có tích 32 2 2 2 2a bc bc ab abc ca . Đến đây áp dụng bất đẳng Cauchy thì ta được 33 4 32 2 2 2 3 32 2 2 2 a1 a1 2a bc.abbcca 2a bc bc ab abc ca a1 abc bc ab abc ca Để ý tiếp ta thấy 33 2 32 2 2 2 2 a1 a abc aa bc abc bc ab abc ca a bca b c Do đó ta được 33 2 4 a1 a abc a ab c abca b c 2a bc.abbcca Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 33 44 b1 b c 1 b ; ab c a b c 2b c a. ab bc ca 2 c a c. ab bc ca Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 33 3 44 4 a1 b 1 c 1 1 2a bc.abbc ca 2b c a.ab bc ca 2c a c.abbc ca Hay 33 3 44 4 a1 b 1 c 1 2ab bc ca ab c b c a c a c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 55. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 32 abc b ca c ab Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bất đẳng thức có chứa căn bậc hai nên suy nghĩ đầu tiên đó là tìm cách loại bỏ các dấu căn, để làm điều này ta có thể bình phương hai vế, nhưng cách làm này không làm mất hết các dấu căn mà còn làm cho bất đẳng thức thêm phức tạp, ta cũng không thể đưa các phân thức dưới dấu căn vào cùng một căn bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki vì sẽ tạo ra một bất đẳng thức ngược chiều. Do đó ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá, khi đó ta được 3 a3 b 3 c 3 a3 b 3 c 3 3 abc b ca c ab abc b ca c ab Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a3 b 3 c 3 8 abc b ca c ab Hay a3 b 3 c 3 8a bc b ca c ab . Tuy nhiên để chứng minh được đánh giá này lại hơi khó, nên ta tạm dừng ý tưởng này tại đây. Như vậy để chứng minh bất đẳng thức trên ta cần phải có những biến đổi trước. Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 2a 3 2 b 3 2 c 3 6 abc b ca c ab Để ý đến giả thiết ab c 3 , khi đó ta viết được a3 ab ac do đó ta sẽ được 2a 3 2 a a b c ab ac 2 abc a bc abc a bc Đến đây áp dụng bất đẳng thức quen thuộc 2x y x y , ta được 2a 3 2 a a b c ab ac ab ac 2 abc a bc abc a bc abc a bc Áp dụng tương tự ta được 2b 3 2 c 3 ba b c ca c b ; bca b ca bca c ab c ab c ab Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 2a 3 2b 3 2c 3 abc b ca c ab ab ac b a b c c a c b abc a bc b ca b ca c ab c ab Lúc này xuất hiện các phân thức trong căn có cùng tử số nên ta ghép lại theo nhóm, khi đó ta sẽ được ab a b 4a b 22a b 22a b 22 abc b ca abc b ca abc b ca c 1 ab 1 c Áp dụng tương tự ta được b c b c 22 c a c a 22 ; b ca c ab a 1 a bc c ab b 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab ab b c b c c a c a 22 22 22 abcbca bca cab abccab c1 a1 b1 Dó đó ta có 2a 3 2 b 3 2 c 3 22 22 22 abc b ca c ab c1 a 1 b1 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 22 22 6 c1 a 1 b1 hay 111 3 c1 a 1 b1 2 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 111 9 9 3 c1 a 1 b1 a 1 b 1 c1 2 3a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 56. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 222 a2b b 2c c 2a 1 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức thì suy nghĩ đầu tiên đó là đổi chiều bất đẳng thức và để thực hiện điều này ta có phép biến đổi tương đương sau 22 2 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Hay 22 2 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 11 1 1 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Hay 22 2 222 cab 1 3 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Bất đẳng thức có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức nên trước hết ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì được 22 2 222 33 3 22 2 2 33 3 33 3 cab 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b ca b c2a4b 3c a2b 4c 3a b2c 4a3b ab c 3a b c 6ab bc ca Phép chứng minh minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 33 3 33 3 ab c 1 3 3a b c 6ab bc ca Hay 33 3 3 3 3 ab bc ca ab bc ca Để chứng minh bất đẳng thức trên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy và để ý đến giả thiết ab bc ca 3 thì được 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ab bc ca a b ab b c bc c a ca ab bc ca 2ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 3 ab bc ca ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 57. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 22 2 2 2 2 22 2 ab bc ca abc . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 32 2 3 2 2 3 2 2 ab bc ca 3 2 ca b a b c b c a Phân tích và lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 3 . Trước hết ta viết lại giả thiết thành 22 2 11 1 1 ab c , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến. Đặt 11 1 x,y ,z ab c . Khi đó giả thiết được viết lại là 22 2 xy z 1 và bất đẳng thức được viết lại thành 33 3 22 2 2 2 2 xy z 3 2 yz z x x y Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta được. 2 22 2 33 3 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 xy z xy z yz z x x y xy z y z x z x y Ta cần chứng minh được 2 22 2 22 2 2 2 2 xy z 3 2 xy z y z x z x y Hay 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2x y z 3 x y z y z x z x y Đến đây ta cần đánh giá vế phải sao cho xuất hiện 22 2 xy z , sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 22 22 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 2x yz yz xy z 2x y z y z 3 22 23 .x y z . x y z 9 Tương tự ta cũng có 22 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 23 yz x .x y z . x y z 9 23 zx y .x y z . x y z 9 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 xy z y z x z x y .x y z . x y z 3 Cuối cùng ta cần chứng minh được 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .x yz.x yz 2x yz 1 x yz 3 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 58: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab c 1 ab c b c ac ab 2 Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c , Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có một số nhận xét sau - Bất đẳng thức có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức - Bất đẳng thức chứa các căn bậc hai nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy - Đây là bất đẳng thức đồng bậc nên ta nghĩ đến phép đổi biến Từ những nhận xét trên ta đi tìm hiểu các hướng tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Trước hết ta bắt đấu với bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì được đánh giá 2 ab c ab c b c ac ab ab b c c a Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab c 1 ab c ab b c c a 2 Hay 2a b c a b b c c a Tuy nhiên đánh giá cuối cùng lại là một đánh giá sai, do đó ta không thể dụng được trực tiếp như vậy, điều này làm ta nghĩ đến việc biến đối bất đẳng thức trước. Để ý là aabc bc bc bc , hoàn toàn tương tự ta viết vế trái của bất đẳng thức trên là ab c b c ac ab 11 1 ab c b c a c a b b c ab ac Do đó bất đẳng thức được viết lại thành 11 1 1 abc bcacab a b c b c ab ac 2 Đến đây theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 9a b c 11 1 ab c b c ab ac ab b c c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 9a b c 1 ab b c c a a b c ab b c c a 2 Để ý là theo bất đẳng thức Cauchy ta được a b b c c a 3.2. a b c Do đó ta có 9a b c 9a b c 3.2. a b c ab b c c a 3.2. a b c 3a b c 1 ab c 22 Suy ra ta được ab c 1 ab c bc a c a b 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Cách 2: Bây giờ ta thử áp dụng bất đẳng thức Cauchy xem có chứng minh được bài toán không. Để ý ta thấy các phân số có mẫu chứa các căn bậc hai và ta phải đánh giá sao cho bất đẳng thức thu được cùng chiều với bất đẳng thức cần chứng minh. Điều này làm ta liên tưởng đế bất đẳng thức Cauchy dạng 2xy x y . Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 1a b c 1 2 2a 2b 2c b c a c a b Lúc này ta cần đánh giá các mẫu theo kiểu 2a 2b 2c b c ? . Để ý là khi khai triển thì 2a 2b 2c b c 2a. b c 2b 2c b c . Do đó theo bất đẳng thức xy 2xy và bất đẳng thức Cauchy ta được 2a b c 2b 2c 2 b c; 2a. b c 2 Nên ta có 2a 2b 2c b c 2a. b c 2b 2c b c 2a b c 2a 5b 5c 2b c. b c 22 Từ đó suy ra a2a 2a 5b 5c 2a 2b 2c b c Áp dụng tương tự ta có b2b c 2c ; 2b 5c 5a 2c 5a 5b 2a 2b 2c c a 2a 2b 2c a b Đến đây cộng theo vế của các bất đẳng thức trên thì được 1a b c 2a 2b 2c b c a c a b 2a 2b 2c 2a 5b 5c 2b 5a 5c 2c 5a 5b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2a 2b 2c 1 2a 5b 5c 2b 5a 5c 2c 5a 5b 2 Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 22 2 2 2a 2b 2c 2a 5b 5c 2b 5a 5c 2c 5a 5b 2a b c a b c 1 2. 2 2a 2b 2c 10ab 10bc 10ca 4a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Cách 3: Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức đồng bậc 1 2 do đó ta sử dụng phép đổi biến 3a 3b 3c x;y ;z ab c a b c ab c . Khi đó ta được xy z 3 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 ab c 1 3 ab c ..abc ab c 3 bcacab 2 ab c Hay xy z 1 xy z yz zx x y 2 Kết hợp với điều kiện xy z 3 , bất đẳng thức trở thành xy z 1 xy z 3x 3x 3x 2 Dễ dàng chứng minh được tt 3 t1 3t 2 42 với 0t 3 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được xy z 1 3 xy z xyz3 3x 3y 3 z 2 42 1 xy z 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 59. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc . Chứng minh rằng: 22 2 2 22 ab c 1 11 3 bc a a bc Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được bất đẳng thức xẩy ra tại ab c 3 . Quan sát giả thiết bài toán ta có thể viết ab bc ca abc lại thành 11 1 1 ab c . Điều này gợi ý cho ta phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c , từ đó suy ra xy z 1 . Lúc này bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 xy z 3x y z zx y . Đến đây ta có các cách chứng minh như sau Cách 1: Ý tưởng thức nhất là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, tuy nhiên ta không nên sử dụng trực tiếp vì bên vế phải có 22 2 xy z trội hơn 2 xy z . Do đó ta sẽ biến đổi vế trái sao cho khi áp dụng có thể rút gọn được đại lượng 22 2 xy z . Từ nhận định đó ta được 2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 2 2 2 xy z xy z x y z zx y xz yx zy xz yx zy Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 22 2 22 2 xy z 3x y z xz yx zy Hay 22 2 2 2 2 xy z 3xz yx zy Để đồng bậc hóa bất đẳng thức ta chú ý đến xy z 1 , nên bất đẳng thức trên trở thành 22 2 2 2 2 xy z x y z 3xz yx zy Hay 33 3 2 2 2 2 2 2 xy z xz yx zy 2xz yx zy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 32 2 3 2 2 3 2 2 xxz 2xz;y yx 2yx;z zy 2zy Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 2 2 2 xy z xz yx zy 2xz yx zy Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến xy z 1 ta được 22 2 22 2 22 2 22 22 2 22 2 2 22 2 22 2 22 2 222 xy z 3x y z zx y xy z xy z 3x y z x y z zx y xy z xy z 3x y z x y z zx y xz yx z y xy y z z x zx y 11 1 xy 1 y z 1 z x 1 0 xy z Vì xy z 1 nên 11 1 ;; 1 xy z . Do đó bất đẳng thức cuối cùng đúng. Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Bài 60: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 2 a2b 3 b 2c 3 c 2a 3 Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta liên tưởng đến đánh giá quen thuộc 22 a2b 3 a 12b 2 2a 2b 2 Áp dụng tương tự ta được 22 2 ab c 1a b c 2a b 1 b c 1 c a 1 a2b 3 b 2c 3 c 2a 3 Như vậy ta cần chứng minh ab c 1 ab 1 b c 1 c a 1 Để có các đánh giá hợp lý trước hết ta đổi chiều bất đẳng thức Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với ab c 11 1 312 ab 1 b c 1 c a 1 Hay b1 c1 a 1 2 ab 1 b c 1 c a 1 Bất đẳng thức trên làm ta liên tưởng đề bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 22 2 2 b1 c1 a 1 ab 1 b c 1 c a 1 b1 c 1 a 1 b1 a b 1 c 1 b c1 a 1 c a 1 ab c 3 a1 a c 1 b 1 b a1 c 1 c b 1 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab c 3 2 a1 a c 1 b 1 b a1 c 1 c b 1 Để ý đến giả thiết 22 2 ab c 3 ta có 22 2 2 22 2 a1 a c 1 b 1 b a1 c 1 c b 1 a b c ab bc ca3ab c 3 191 a b c abbcca 3a b c a bc3 222 Khi đó ta được 22 2 ab c 3 ab c 3 2 1 a1 a c 1 b 1 b a1 c 1 c b 1 ab c 3 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 61. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab a 32 2 ab b bc c ca a Phân tích và lời lời giải Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy ý tưởng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để đánh biểu thức vế trái hoặc là sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá mẫu, nhưng trước hết để có những đánh giá đảm bảo dấu đẳng thức ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Đầu tiên ta tiếp cận với bất đẳng thức Bunhiacopsxki dạng phân thức. Để ý là ta không nên sử dụng trực tiếp vì khi đó dưới mẫu có các đại lượng mũ 2 nên sẽ trội hơn. Do đó ta sẽ đánh giá như sau 2 22 2 2 2 2 ab c ab a ab b bc c ca a a ab b b bc c c ca a Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 ab c 32 2 aab b b bc c c ca a Để dễ dàng hơn ta chú ý đên đánh giá mẫu trước. Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra thì ta có 2b a b . Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2b a b a3b 2b. a b 22 Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 a3ab b 3bc c 3ca aab b b bc c c ca a 22 22 22 Khi đó ta sẽ được 22 22 2 22 2 ab c a b c a3ab b 3bc c 3ca aab b b bc c c ca a 22 22 22 Và như vậy ta cần phải chứng minh được 2 22 2 ab c 3 4 a3ab b 3bc c 3ca . Hay 2 ab c 3ab bc ca , đánh giá này là một đánh giá đúng, do đó bất đẳng thức được chứng minh. Bây giờ ta thử tiếp cận với bất đẳng thức Cauchy với đánh giá các mẫu xem sao. Để ý là 2 aab aa b , tích này làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng quen thuộc 2xy x y . Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta được 2b a b a3b 2b. a b 22 Áp dụng tương tự ta được 22 2 ab a 2a22b22c2 a3b b 3c c 3a ab b bc c ca a . Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2a 2 2b 2 2c 2 3 2 a3b b 3c c 3a 2 hay ab c 3 a3b b 3c c 3a 4 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phâm thức ta được 2 22 2 ab c ab c a3b b 3c c 3a a b c 3ab 3bc 3ca . Ta cần phải chứng minh được 2 22 2 ab c 3 4 a b c 3ab 3bc 3ca Hay 2 22 2 4a b c 3a b c 3ab 3bc 3ca Khai triển và thu gọn ta được 22 2 ab c ab bc ca , đây là một đánh giá đúng. Vậy bài toán cũng được chứng minh Nh ận xét: Trong bài toán trên thì hai ý tưởng ti ếp c ận là nh ư nhau, ch ỉ khác nhau ở ch ỗ là dùng công c ụ gì trước thôi. Ngoài ra ta có th ể dùng phương pháp đổi bi ến để ch ứng minh b ất đẳng th ức 3 33 3 4 ab c a b bc ca Đặt 3; 3; 3 xa by b czc a . T ừ đó suy ra 39 3 9 3 9 ;; 28 28 28 x y z y zx zx y ab a B ất đẳng th ức trên được vi ết l ại thành 36 xy z y z x yz x x yz . Các b ạn th ử ch ứng minh ti ếp xem sao? Bài 62: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 ab c 1 1 1 ab c bca a b c Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta thấy có các ý tưởng tiếp cận là sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki,… Cách 1: Trước hết ta bắt đầu với bất đẳng thức Cauchy, tuy nhiên ta không thể sử dụng trực tiếp để đánh giá vế trái hay vế phải vì sẽ tạo ra một đánh giá sai, do đó ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh trước 2 22 2 22 2 ab c 1 1 1 a b c a bc ab c ab c 3 b c a a b c ca b b ca bc a Đến đây ta quan sát thấy bên vế trái có ab c ca b và bên vế phải có số 3 nên ta có ab c 3 ca b Mặt khác ta lại thấy vế trái có 22 2 22 2 ab c bc a và vế phải lại có ab c bca nên cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 22 2 a2ab 2bc 2c 1; 1 ; 1 bc a bc a Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 ab c a b c 32 bc a bc a Theo bất đẳng thức Cauchy ta lại thấy ab c 3 bc a Do đó ta có 22 2 22 2 ab c a b c 33 bc a bc a Hay 22 2 22 2 ab c a b c bc a bc a Kết hợp với bất đẳng thức ab c 3 ca b ta được 22 2 22 2 ab c a b c a b c 3 ca b b ca bc a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Cũng như trên ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 22 2 ac ba ca ab bc ca ab c abc abc Hay 2 22 2 a c b a c b abc a b c ab bc ca Đến đấy từ 22 2 ac ba cb đánh giá về ab c;ab bc ca thì ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, khi đó ta có 2 22 2 2 22 2 ac ba cb cb a abbcca 11 1 ac ba cb a b c ca b Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức này ta được 2 22 22 2 11 1 ac ba ca a b c abbcca a bc ca b Hay 2 22 22 2 ab bc ca ac ba ca . a b c ab bc ca a b c abc Hay 2 22 2 ac ba ca abc ab bc ca a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 55. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 22 2 a3b 3c 3 4a b c1 Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , quan sát bất đẳng thức ta thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Cách 1: Để ý là 22 a3 a 111 , Do đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 2 2 2 bc bc bc bc a 1 11 1 1 1.a .1 .11.1 22 2 2 ab c 1 Hay 2 2 2 bc 4a 3 2 4a b c 1 2 Bài toán quy về chứng minh 2 22 bc b3c 3 42 2 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có 33 2 2 22 2 2 22 22 2 2 22 b 3 c 3 3b 3c b c 9 2b 2c b c b c 1 8 bc 2b 2c 2bc 2bc 8 2 b c 8 4 2 2 Như vậy ta được 2 2 22 2 2 bc a3b 3c 3 4 4 a3 4a b c1 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau 222 2 2 bc 1 b c 1 bc 1 a1111 333 bc 1 b c 1 bc 1 1.a 333 Hay 2 2 2 bc 1 4a 3 1 4a b c 1 3 Ta cần chứng minh 2 22 bc 1 b3c 3 41 3 Thật vậy, biến đổi tương đương ta được 2 22 22 22 22 2 bc 1 b 3 c 3 41 3bc 5 b c 8b c 8bc 11 0 3 2b c 2 b c 3bc 1 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng, do đó ta có 2 2 22 2 2 bc a3b 3c 3 4 4 a3 4a b c1 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 56. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 9 . Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 ab b c c a 9 ab 9 bc 9 ca 9 Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy tử của các phân thức chứa các đại lượng 33 ab , 333 3 bc,c a . Chú ý đến chiều của bất đẳng thức, các đại lượng đó làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức 3 33 4x y x y , ngoài ra chú ý đến tích ab có thể đánh giá về 2 ab . Bây giờ ta thử xem các phân tích đó có thể giả quyết được bài toán không? Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc 3 33 4x y x y ta có 3 33 33 4a b ab ab ab 9 4ab 36 4ab 36 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 4ab a b và 2 a b 36 12 a b Do đó ta được 3 33 33 22 4a b ab 36ab ab ab ab 9 4ab 36 ab 36 ab 36 36 a b ab ab 3 12 a b Áp dụng tương tự ta có 33 3 3 bc c a bc 3; c a 3 bc 9 ca 9 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được 33 3 3 3 3 ab b c c a 2a b c 9 9 ab 9 bc 9 ca 9 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc 3 33 4x y x y ta có 33 33 ab ab a b 4ab 6 ab 9 3 ab 9 4ab 36 4ab 36 24 6 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 ab ab 4ab 6 4ab 6 a b 333 3 4ab 36 24 4ab 36 24 2 Do đó ta được 33 3a b ab ab 9 bc 9 2 6 2 Tương tự ta có 33 3 3 3b c 3 c a bc bc 9 c a ca 9 ; bc 9 2 6 2 ca 9 2 6 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên và kết hợp với đánh giá quen thuộc , ta được 33 3 3 3 3 2 ab b c c a ab bc ca 27 3a b c ab 9 bc 9 ca 9 6 2 ab c 27 3a b c 9 18 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Bài 57. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab 1 3ab . Chứng minh rằng: 22 3a 3b 1 1 1 ab ba 1 a b 1 Lời giải Biến đổi biểu thức vế trái ta được 22 22 22 2 2 ba 1 a b 1 3ab 3ab 11 11 P ab ab b a 1 a b1 b a 1 a b1 Hay 22 ba 1 1 P ba 1ab1 ba 1ab1 Đặt 11 x;y ab , từ giả thiết ta suy ra xy xy 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 x y xy xy 2 xy xy 2 xy 3 0 xy 1 xy 3 0 Từ đó ta suy ra xy 1 . Khi đó ta có 3xy 2 xy xy 1 1 x y 2 Pxy xy. xy. x1 y 1 x1 y 1 x1 y 1 xy x y 1 2 2 2 xy 2xy 1 3xy 1 xy 5 xy xy 5xy 44 4 xy 1 3xy 1 31 44 Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy 1 hay ab 1 Bài 58. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 33 3 ab c ab c b2c c 2a a 2b 9 Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy các dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức hoặc kỹ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức Cauchy. Bây giờ ta đi tìm lời giải theo các định hướng nêu trên Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 33 3 4 4 4 ab c ab c a b c b2c c 2a a 2b ab2ca bc 2ab ca 2bc 3ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 2 22 2 ab c ab c 9 3ab bc ca Thật vậy, ta cần chú ý hai bất đẳng thức quen thuộc 2 22 2 1 ab c a b c ab bc ca 3 Từ đó ta có 2 2 2 22 2 2 2 2 ab c a b c a b c ab c 9 3ab bc ca 9 ab bc ca Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 33 3 3 3 2 22 33 3 3 3 2 22 33 3 3 3 2 b2c b 2c aa a a 3a b 2c b 2c 27 b 2c b 2c 27 c2a c 2a bb b b 3b c2a c 2a 27 c2a c 2a 27 a2b a 2b cc c c 3c a 2b a 2b 27 a 2b a 2b 27 Cộng theo vế các bất dẳng thức trên ta được 22 2 33 3 22 2 b2c c 2a a 2b 2a 2b 2c ab c b2c c 2a a 2b 27 27 27 Hay 22 2 33 3 11 a b c 2 ab bc ca ab c b2c c 2a a 2b 27 Ta cần chứng minh được 2 22 2 11 a b c 2 ab bc ca ab c 27 9 Hay 2 22 2 11 a b c 2 ab bc ca 3 a b c Triển khai và thu gọn ta được 22 2 ab c ab bc ca . Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Bài 59. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c 3 4 1b 1c 1c 1 a 1 a 1b Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bất đẳng thức này đã được chứng minh bằng kỹ thuật thêm bớt trong chủ để về bất đẳng thức Cauchy. Ở đây ta trình bày thêm cách sử dụng bất đẳng tức Bunhiacopxki dạng phân thức. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 33 3 2 22 2 2 22 2 ab c 1b 1c 1c 1 a 1 a 1b ab c a1 b 1 c b1 c 1 a c1 a 1 b ab c 2ab bc ca a b c 3abc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra đươc 2 22 2 ab c 3 4 2abbcca a bc3abc Hay 2 22 2 4a b c 6 ab bc ca 3 a b c 9abc Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 22 2 a b c abbcca 3abca bc 3a bc Do đó ta có 2 6abbcca 3a b c 9 6abbcca abbcca 9 Ta cần chứng minh được 22 6abbcca abbcca 9 4abbcca Hay 2 ab bc ca 2 ab bc ca 3 0 Hay ab bc ca 1 ab bc ca 3 0 Đánh giá cuối cùng luôn đúng vì 3 22 2 ab bc ca 3 a b c 3 . Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 60. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 11 1 3 ab c . Chứng minh rằng: 33 3 11 1 3 4 1 ab abc1bc abc1ca abc Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy được sự phức tạp của bài toán. Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta cần phải đơn giản hóa được các căn thức ở các mẫu số, đồng thời khai thác thật khéo léo các giả thiết của bài toán. Quan sát kỹ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy nếu ta đánh giá được vế trái về đại lượng 11 1 ;; ab c thì xem như bài toán được giải quyết. Dễ thấy từ giả thiết ta có thể suy ra được 11 1 3; abc 1 ab c . Bây giờ ta đi tìm cách đánh giá các mẫu Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào giả thiết ta được 22 2 3 22 2 11 1 3 3abc1 ab c abc Do đó 3 3 33 ab 1 1 11 ab 1ab abc 1ab 1 Để ý là khi ab 1 thì 2 1 a b 1 ab ab , do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 2 2 ab 1 1 ab 1 a b a b 1 a b 1 ab ab ab 1 22 Suy ra 2 3 ab ab 1 1 2 Hay 3 3 ab 1 1 1 2a b ab Do đó ta được 3 11 2a b 1ab abc Hoàn toàn tương tự ta được 33 3 11 1 1 ab abc1bc abc1ca abc 11 1 1 2a b b c c a Ta cần chứng minh 11 1 3 ab b c c a 2 Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc kết hợp với giả thiết ta được 11 1 1111 3 ab b c c a 2a b c 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiab c 1 . Cách 2: Để ý thấy có số 1 ở dưới mẫu nên để dễ đánh mẫu hơn ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để tách số một ra khỏi mẫu số. Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta được 2 33 3 13 11 1 9 1 16 16 1 a b abc 1 a b abc a b abc Để ý lại thấy trong mẫu số có chứa đại lượng abc nên nếu ta đánh giá được 3 ab về ab thì có thể đặt được nhân tử chung. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 a b 4ab , khi đó ta được 3 11 1 a b 4ab abc ab 4a 4b c ab abc Bây gờ để triệt tiêu căn bậc hai ta để ý đến bất đẳng thức Cauchy dạng 2xy x y . Chú ý là cần bảo toàn dấu đẳng thức nên ta có 13 211 39ab 4a 4b c ab 4a 4b c 9ab 4a 4b c Mặt khác lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 44 1 11 1441 4a 4b c 81 4a 4b c 81 a b c Do đó ta được 3 1131441 16 32ab 96 a b c 1ab abc Áp dụng tương tự ta được 33 3 11 1 1 a b abc 1 b c abc 1 c a abc 33 1 1 1 91 1 1 16 32 ab bc ca 96 a b c Ta cần chứng minh 33 1 1 1 91 1 1 3 16 32 ab bc ca 96 a b c 4 Thật vậy, Áp dụng hai bất đẳng thức quen thuộc ta được 22 2 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 33; 3 ab c ab bc ca ab c a b c Từ đó suy ra 33 1 1 1 91 1 1 3 9 27 3 16 32 ab bc ca 96 a b c 16 32 96 4 Bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 61. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab 2 b c 2 c a 2 12 ab ab b c bc c a ca Phân tích và lời giải Cách 1: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy các mẫu số không đồng bậc, chú ý đến giả thiết của bài toán ta viết lại được 22 2 2 22 ab 2 a b 2 ab ab bc ca ab ab c ab Để ý là 22 22 22 ab 2 2 ab bc ca 1 a b ab bc ca a b ab bc ca Khi đó áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 2 2 2 2 abbcca 2 ab bc ca 2 abbcca 9 a b ab bc ca b c ab bc ca c a ab bc ca Bất đẳng thức có các tử giống nhau nên áp dụng một đánh giá quen thuộc ta được 22 2 2 2 2 22 2 2ab bc ca 2 ab bc ca 2ab bc ca a b ab bc ca b c ab bc ca c a ab bc ca 92 ab bc ca 2a b c 3ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2ab bc ca 1 2a b c 3ab bc ca Để để triệt tiêu các đại lượng âm trên tử số ta chú ý đến 2 ab c 1 , khi đó ta có 2 22 2 2 2 2 2a b c ab bc ca 2ab bc ca 1 2a b c 3ab bc ca 2 a b c 3 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 ab c 3 . Cách 2: Kết hợp với giả thiết ta có biến đổi như sau 22 ab ab ab ab c ab a b ab bc ca Do đó ta có 22 22 22 22 22 2 2 ab 2 a b 2 ab ab ab ab bc ca a1 b 1 ab ab bc ca ab ab bc ca Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 22 2 2 bc 2 b 1 c 1 bc bc bc ab bc ca bc ab bc ca 22 2 22 22 cba 2 c 1 a 1 ca ca ca ab bc ca ca ab bc ca Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 2 2 22 2 22 2 2 a1 a1 a b ab bc ca c a ab bc ca 4a 1 4 a 1 4 2a b c 2 ab bc ca aabc Áp dụng tương tự ta được 22 22 2 2 22 22 2 2 b1 b1 4 b c ab bc ca b a ab bc ca c1 c1 4 b c ab bc ca c a ab bc ca Cộng theo vế các kết quả trên ta được 22 2 2 2 ab 2 b c 2 c ba 2 12 ab ab b c bc c a ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 ab c 3 . Bài 62. Cho các số thực thỏa mãn a,b,c (0; 1) và abc 1 a 1 b 1 c . Chứng minh rằng: 24 2 4 2 4 ab b c c a 15 bc a 8 Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải đổi biến để làm mất đi các dấu trừ bên vế phải, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến xa b;yb 1;z c 1 , tuy nhiên quan sát kỹ giả thiết thì ta có thể biến đổi abc 1 a 1 b 1 c 1 a 1b 1c 1 abc Đến đây ta đặt 1 a 1b 1c x;y ;z ab c . Khi đó ta có xyz 1 và 11 1 a;b ;c 1x 1y 1 z Do xyz 1 nên trong các số x, y, z có hai số nằm cùng phía so với 1, giả sử hai số đó là x và y. Khi đó ta có 1z x1 y 1 0 x y 1 xy z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 11 1 1 xy 1x 1y 1xy1 1xy1 yx yx 1z 1xy 1 z 1xy x y 1 xy x y Từ đó ta được 22 2 22 2 2 22 2 11 1 ab c 1x 1y 1 z z1 z 1 2z 1 z1 33 1z 4 4 1z 1z 41 z Bất đẳng thức trên viết lại được thành 22 2 33 3 ab c 15 ab c bc a 8 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 22 2 4 4 4 22 2 2 2 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca Mà cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 2 22 22 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca a b c ab bc ca 1 ab c a b c 3 Từ đó suy ra 2 22 2 22 2 22 2 2 22 2 2 2 2 ab c ab c 3 3a b c bc a 2 1 ab c a b c 3 Mặt khác ta lại có 2 33 3 2 2 2 2 22 2 ab c a b c a b c 3a b c a b c Do đó ta được 3 23 33 3 2 2 2 33 3 33 3a bc a b c a bc 48 Từ các kết quả trên ta được 22 2 33 3 ab c 3 3 15 ab c bc a 2 8 8 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 2 . Bài 63. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 0 a,b,c 1 và ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 9 2 1 a 1b 1b 1c 1c 1 a Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy được sự phức tạp của bài toán, để có các đánh giá hợp lý trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Bất đẳng thức có tính đối xứng nên ta sẽ đi phân tích một biểu thức rồi áp dụng tương tự Quan sát biểu thức 22 22 ab 1a 1 b ta thấy được dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức quen thuộc 2 22 2a b a b , như vậy trên tử xuất hiện bình phương đúng nên rất tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên để ý là ta viết mẫu số thành 22 22 1a b ab lại trội hơn nên muốn đánh giá vế đại lượng lớn hơn sẽ rất khó khăn. Từ đó ta nghĩ đến việc tìm ra mối liên hệ giữa tử và mẫu. Để ý là ta chứng minh được 2 22 1a 1 b 1ab , nên ta cần đánh giá tử số về 2 1ab hoặc 2 1ab . Nhận thấy 22 22 22 22 1a 1 b ab 1 2 1a 1 b 21 a 1 b , nên chú ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có 2 22 1a 1 b 1ab suy ra 2 22 2 22 1a 1 b 1ab 1a 1 b 1ab . Bây giờ ta biến đổi tương tự xem ta sẽ thu được kết quả như thế nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 3 6 2 1 a 1b 1b 1c 1c 1 a 1 a 1b 1b 1c 1c 1 a 12 1 a 1b 1b 1c 1c 1 a Theo phân tích như trên ta có 2 22 2 22 1a 1 b 1ab 1a 1 b 1ab Áp dụng tương tự ta được 22 22 2 2 22 22 2 2 1b 1c 1c 1 a 1bc 1 ca ; 1b 1c 1c 1 a 1bc 1 ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 1 a 1b 1 b 1c 1c 1 a 1ab 1 bc 1 ca 1 a 1b 1 b 1c 1c 1 a 1ab 1 bc 1 ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 3 22 2 2 2 2 1ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 3 1ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 1ab 1 bc 1 ca 64 1ab 1 bc 1 ca Hay ta cần chứng minh 1 ab1 bc 1 ca 81 ab1 bc 1 ca . Đặt xab;ybc;z ca , khi đó x,y,z 0 và xy z 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1x 1y 1 z 81 x 1 y 1 z , tương đương với bất đẳng thức sau 9xyz 7 xy yz zx 2 Ta dễ dàng chứng minh được 22 2 9xyz x y z 2 xy yz zx xy z . Mà xy z 1 nên ta suy ra được 9xyz 4 xy yz zx 1 . Vì xy z 1 nên 3xy yz zx 1 , do đó 4xyyz zx 1 7xyyz zx 2 Điều này dẫn tới 9xyz 7 xy yz zx 2 . Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh xong. Bài 64. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a,b,c [1; 2] . Chứng minh rằng: 33 3 ab c 5abc Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh có tính đối xứng giữa các biến, do đó ta không mất tính tổng quát, ta giả sử 1c b a 2 . Khi đó dễ thấy ba b c 0 Hay 2 bba c ac . Từ đây ta suy ra 2 32 b b a c abc b a c ac a c abc b a c ac a c abc Như vậy ta cần chứng minh 2 33 a c b a c ac a c abc 5abc Hay 22 ac a c ba c 6abc Để ý rằng do a,b,c [1; 2] nên a2 2c b c , từ đó dẫn đến 0a c b Như vậy ta có 22 2 ac a c ba c bac a c ba c 2ab a c 2ab 2c c 6abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại a2;b c 1 và các hoán vị của nó. Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 ab c 5 bc ca ab Bất đẳng thức cần chứng minh có tính đối xứng giữa các biến, do đó ta không mất tính tổng quát, ta giả sử 1c b a 2 . Khi đó dễ thấy 22 cb b a 0 Từ đó suy ra 32 2 2 bcb ba ac hay 2 bb a a ac a c b Mặt khác ta cũng có 22 cc c ab ac a và 2 a2a 2c bc bc b Từ các đánh giá trên ta thu được 22 2 ab c b a a c bc ca ab a b c a Vì ba 2 nên 2b 1 a và a1 1 b2 . Do vậy 2b a 1 10 ab2 hay ab 5 ba 2 . Chứng minh tương tự ta được ac 5 ca 2 Từ hai đánh giá trên ta được 22 2 ab c b a a c 5 5 5 bc ca ab a b c a 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại a2;b c 1 và các hoán vị của nó. Bài 65. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 1 ab 1 b c 1 c a 1 . Chứng minh rằng: ab c ab bc ca Lời giải Quan sát bất đẳng thức ta thấy giả thiết là một bất đẳng thức nên để có các đánh giá hợp lí ta cần nghĩ đến việc đánh giá lại bất đẳng thức giả thiết trước. Quan sát giả thiết ta thấy có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki nên ta thử xem có đánh giá được hay không. Cách 1: Trước hết ta để ý đến các mẫu số, để đồng bậc ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thì được 2 2 ab 1 a b c ab c , hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 22 2 2 2 2 222 2 11 1 ab 1 b c 1 c a 1 a b c b ca ca b ab c a b 1 b c a b c 1 c a b c a 1 a b c b c a c a b a bc bc a c a b a b c a bc a b c a bc Do đó ta được 22 2 2 a b c b ca ca b 1 ab c Hay 2 22 2 a b c a bc bc a c a b Hay ab c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Cách 2: Cũng bắt đầu với giả thiết nhưng ta biến đổi tương đương điều kiện ta được 11 1 1 ab 1 b c 1 c a 1 11 1 11 1 2 ab 1 b c 1 c a 1 ab b c c a 2 ab 1 b c 1 c a 1 Vế trái của giả thiết làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 22 2 2 22 2 ab b c c a ab 1 b c 1 c a 1 ab b c c a ab ab 1 b c b c 1 c a c a 1 ab b c c a ab b c c a 2a b c Từ đó suy ra 2 22 2 ab b c c a 2 ab b c c a 2a b c Hay 22 2 2 ab b c c a 2 a b b c c a 2ab c Biến đổi tương đương và thu gọn ta được ab bc ca a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Nh ận xét: Ngoài hai cách nh ư trên ta có th ể tham kh ảo thêm cách ch ứng minh ph ản ch ứng sau đây: Gi ả s ử t ồn t ại các s ố dương a, b, c th ỏa mãn 111 1 11 1 ab b c c a và ab c ab bc ca T ừ đó suy ra 1 ab bc ca abc Khi đó ta có 1 1 ab bc ca ab bc ca abc ab ab bc ca ab ab c ab bc ca ab ab c Áp d ụng tương t ự ta được 1 ab bc ca ab bc ca ab ab c ab bc ca b c a b c ab bc ca ab bc ca ca a b c ab bcca Hay 22 2 2 22 1 aab b b bc c ab ab c ab bc ca b c a b c ab bc ca cca a ca a b c ab bcca M ặt khác 22 2 2 2 22 22 2 2 3 . 4 33 .. 44 3 1 23 aab b b bc c a b a b c ab bcca b c a bc ab bc ca ab cca a ca a b c ab bcca a b a bc ab bc ca bc ca bc a b c ab bcca c a a bc ab bc ca ab c ab c ab bc ca T ừ đó ta được 11 (vô lí). V ậy đi ều gi ả s ử là sai. V ậy b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. D ấu đẳng th ức x ẩy ra t ại 1 ab c . Bài 66. Cho a, b, c thỏa mãn 22 2 a4;b 5;7 c 6;a b c 90 . Chứng minh rằng: ab c 16 Phân tích và lời giải Quan sát giả thiết của bài toán thì ý suy nghĩ đầu tiên là đổi biến, khi đó ta thực hiện đặt ax 4,b y 5,c z 6 , suy ra ta được x, y, z 0 . Từ giả thiết 22 2 ab c 90 , ta được 22 2 x4 y 5 z 6 90 hay 22 2 x y z 8x 10y 12z 13 Giả sử ta có xy z 1 , mà x, y, z 0 suy ra 22 2 xy z 1 Ta có: 22 2 2 2 2 xy z 8x 10y12z x y z 8x y z 2y z 2z 18 2 2 x y z 1 8 2 2 13 Điều này vô lí, vì vậy xy z 1 Do đó ta có a b c 4 x5 y 6 z 15 x yz 16 Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia4;b 5;c 7 . Ngoài ra từ giả thiết 22 2 a4;b 5;7 c 6;a b c 90 , nên ta sẽ có các điều kiện 4a 9;5b 8;6c7 . Từ các điều kiện trên ta có 2 2 2 a36 4a 9 a 4 9 a 0 a 13 b40 5b 8 b 5 8 b 0 b 13 c42 6c7 c 6 7 c 0 c 13 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 a b c 423640 ab c 16 13 Bài toán được chứng minh xong. Bài 67. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 11 1 1 ab c . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 11 1 3 3 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giả thiết ta được 2 22 2 11 1 11 1 1 1 1 1 13 3a b b a b b ab c Mặt khác ta có 22 2 22 5a 2ab 2b 2a b a b 2a b Suy ra 22 5a 2ab 2b 2a b Do đó ta được 22 11112 2a b 9 a b 5a 2ab 2b Chứng minh tương tự ta được 22 2 2 1112 1 112 ; 9b c 9 c a 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 11 1 11113 3a b c 3 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Bài 68. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 a1 b 1 c 1 2 ab c Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 a1 b 1 c 1 2a b c Chú ý đến đánh giá 22 a1 2a 2a 12a 2a 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 a1 2a 2a 12a 2a 1 Áp dụng tương tự ta có 22 b 1 2b 2 b 1 ; c 1 2c 2 c 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 a 1 b 1 c 1 2a 2b 2c 2 a b c 3 Hay 22 2 a1 b 1 c 1 2a b c 3 2 a b c Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 ab c 3 abc 3 Nên 2a b c 3 2 a b c 2 a b c 3 3 2 2a b c Do vậy ta được 22 2 a1 b 1 c 1 2a b c Suy ra ta được 22 2 2a b c a1 b 1 c 1 2 ab c a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 69. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 33 3 ab c 1 b8 c8 a 8 Phân tích: Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Khi đó chú ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy 2 32 bb 6 b8 b 2b 2b 4 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 32 bb 6 b8 b 2b 2b 4 2 Tương tự ta có 22 33 aa 6 c c 6 a8 ;c 8 22 Khi đó ta được bất đẳng thức sau 22 2 2 2 2 22 2 33 3 ab c 2a 2b 2c bb 6 c c 6 a a 6 b8 c8 a 8 Ta cần chứng minh 22 2 22 2 ab c 1 2 bb 6 c c 6 a a 6 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 22 2 ab c ab c bb 6 c c 6 a a 6 ab c a b c 18 Ta cần chỉ ra được 2 22 2 ab c 1 2 ab c a b c 18 Hay 2 22 2 2a bc a b c a bc 18 Hay 2 ab c a b c 12 0 Hay ab c 4 ab c 3 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì 2 ab c 3ab bc ca 9 a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 70. Cho các số thực a,b,c [0;1] . Chứng minh rằng: 11 1 3abc 2 a 2b 2c Phân tích: Để ý đến đánh giá 22 1 a 1 2a 2a a 1 a 2 a 1 a 2a , do đó bài toán quy về chứng minh ab c 3abc . Với giả thiết a,b,c [0;1] ta thu được đánh giá 22 2 ab c 3 nên 22 2 3a bc a b c a bc 9abc . Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 1 a 1 2a 2a a 1 a 2 a 1 a 2a Áp dụng tương tự được 11 b; c 2b 2c Do đó ta được 11 1 ab c 2 a 2b 2c Ta cần chứng minh ab c 3abc Thật vậy, do a,b,c [0;1] nên ta có 22 2 ab c 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra 3 3 22 2 222 3a bc a b c a bc 3abc.3abc 9abc Hay ab c 3abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 71. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 11 1 27 1ab 1 bc 1 ca 8 Lời giải Từ giả thiết ab c 1 ta suy ra 1 abc 27 . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 ab 1 bc 1bc 1 ca 1ca 1 ab 27 8 1ab 1 bc 1 ca Hay 22 2 32ab bc ca abca b c 27 8 1ab bc ca abca b c abc Hay 22 2 83 2abbcca abc 271 abbcca abc abc Hay 22 2 22 2 311ab bc ca 19abc 27abc 0 4 3 19abc 27a b c 11.4 ab bc ca Từ bất đẳng thức quen thuộc ab c b c a c a b abc suy ra 12a 1 2b 12c abc Hay 11.4 ab bc ca 11 1 9abc Ta cần chứng minh 22 2 4 3 19abc 27a b c 11 1 9abc Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 1 27abc 1 4abc 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng do 1 abc 27 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Bài 72. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 22 ab a b . Chứng minh rằng: 10 3 a2b 2 Phân tích: Để ý là 22 22 111 ab a b a b 222 và khi đó phân tích a2b theo 11 a;b 22 như sau 113 a2b a 2b 222 . Lời giải Ta biến đổi giả thiết như sau 22 22 111 ab a b a b 222 Biểu thức vế trái được viết lại như sau 113 a2b a 2b 222 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 11 1 1 15 a2b 12 a b 5. 22 2 2 22 Do đó ta được 11 5 a2b 22 2 Suy ra 53 10 3 a2b 22 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 510 5210 a;b 55 . Bài 73. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab 3 . Chứng minh rằng: 23 2 3a 4 b 2 9 4a 2 b Phân tích: Để ý là 23 22 3a 4 b 2 3a 1 2 b 4a 4 a bb , đến đấy ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Lời giải Biểu thức P được viết lại như sau 23 22 3a 4 b 2 3a 1 2 b 4a 4 a bb Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được 3 22 a1 a1 2 b b 2 bb 3 a b a b 2. 1; 3 .. ; 2 4a 4a 4 4 44 2 2 2 2 bb Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 a1 2 b b a b 3 9 12 4a 4 4 2 2 2 2 b Hay 23 2 3a 4 b 2 9 4a 2 b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 a1 4a a2 ab 4 b2 2b 4 b Bài 74. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 44 4 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 3 3 33 3 ab b c c a 2. 2. 9 11 1 ab b c c a Phân tích: Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra, ta quy bài toán về chứng minh hai bất đẳng thức sau 22 2 2 2 2 ab b c c a 32 và 3 3 33 3 11 1 3 2 ab b c c a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 2 22 2 4 4 4 a b bc c a 6a bc 63a b c 32 Mặt khác ta lại có 2 2 4 33 3 2 2 2 2 2 2 xy z x y z x y z xy z ;xy z 3 Do đó ta được 3 22 2 2 33 3 xy z xy z 3 Áp dụng kết quả trên ta được 23 33 3 2 2 2 11 1 11 1 1 3 a b bc c a a b bc c a Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 22 2 2 2 2 22 2 44 4 11 1 1 1 1 2a b 2 b c 2 c a ab b c c a 99 93 4 4a b c 49 43a b c Do đó ta có 2 3 33 3 11 1 13 9 34 64 ab b c c a Suy ra 3 3 33 3 11 1 3 2 ab b c c a Từ các kết quả trên ta được 22 2 2 2 2 3 3 3 33 3 ab b c c a 32 2. 2. 9 11 1 3 2 ab b c c a Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 75. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 111 1 abc 1a b c 1 b a c 1 c a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho giả thiết ta được 2 3 3ab bc ca 3 abc abc 1 Khi đó ta có 22 11 1 1 a bc abc a bc aabbcca Chứng minh tương tự ta được 22 11 1 1 ; 1b c a bab bc ca 1 c a b cab bc ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 111 1a b c 1 b a c 1 c a b 1111 1 abbcca 1 . ab bc ca a b c ab bc ca abc abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 76. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 24 2 4 24 222 1 a 1 b1 b 1 c1 a 1 b1 Phân tích: Để ý đến đánh giá 2 24 44 2 22 2 a 1 b 1 a b 2a 2 2a b 2a 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 24 44 2 22 2 a 1 b 1 a b 2a 2 2a b 2a 2 Áp dụng tương tự ta được 22 2 24 2 4 24 22 2 2 2 2 2 2 2 222 a1 b 1 b 1 c 1 a1 b 1 11 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 Ta cần chứng minh 22 2 2 2 2 2 2 2 11 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 Cách 1: Do 22 2 abc 1 a b c 1 , nên ta đặt 22 2 xy z a;b ;c x;y;z0 yz x Khi đó ta có 22 2 2 2 2 2 2 2 11 1 1 1 1 xx yy z z ab a 1 bc b 1 ca c 1 111 zy x z y x yz xz yy 1 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Cách 2: Do 22 2 abc 1 a b c 1 , nên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 11 1 abc 1 b ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a abc bc b 1 cab bc b bc 1 b 1 bc b 1 bc b 1 1 bc b Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiab c 1 . Bài 77. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 3 2b c 2c b 2c a 2a c 2a b 2b a Phân tích và lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Để ý đến chiều của bất đẳng thức và các mẫu số ta liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy dạng 2 4xy x y . Khi đó ta được 22 3b 3c 9 b c 2b c 2c b 44 Áp dụng tương tự ta được 22 9c a 9a b 2c a 2ac ;2ab 2b a 44 Khi đó ta được bất đẳng thức 22 2 22 2 ab c 2b c 2c b 2c a 2a c 2a b 2b a 4a b c 9b c c a a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 ab c 3 bc c a a b 4 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 ab c 1a b c bc c a a b 3 b c c a a b Mà ta dễ dàng chứng minh được ab c 3 bc c a a b 2 Do đó 22 2 2 ab c 133 bc c a a b 3 2 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 78. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 33 3 ab c 3 . Chứng minh rằng: ab bc ca 3 2 3c 3 a 3b Phân tích và lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Để ý ta không thể thay 3 bởi đại lượng 33 3 ab c vì đại lượng này có số mũ cao sẽ gây khó khăn cho các đánh giá tiếp theo. Do đó trước hết ta cần đơn giản hóa giả thiết. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 3a bc a b c 6 9 a bc 3 Và 2 1 ab bc ca a b c 3 3 Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta cần khử các căn bậc hai, chú ý đến chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3c 3 a 3b 3c 3 a 3b ab bc ca 3 a c bc b a c a bc b a Đến đây áp dụng một đánh giá quen thuộc ta được ab bc ca a c bc b a c a bc b a 1ab ab bc bc ca ca 4a cb cb a c a b cb a 13 ab c 44 Do đó ta được 2 ab bc ca 9 4 3c 3 a 3b hay ab bc ca 3 2 3c 3 a 3b Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 79. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 333 3 33 3 33 111 1 2 2a 1 b c 2 b 1 c a 2 c 1 a b Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là đổi biến nhằm đơn giản hóa bất đẳng thức. Tuy nhiên ở đây ta không dựa vào giả thiết abc 1 để đổi biến, mà ta chú ý đến các đại lượng 333 2a 1;b c , có nghĩa là ta nghĩ đến đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy cho hai số, nên để đánh giá không xuất hiện các căn bậc hai thì ta đổi biến theo cách đặt 32 3 2 3 2 ax,b y,c z , từ giả thiết suy ra xyz 1 . Lúc này áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 3 2 2 y z 2yz; x x 2x ; x 1 2x Do đó ta thu được 333 2 22 2 11 1 2a 1 b c 2 x 1 y z 2 x 1 yz Để ý đến giả thiết xyz 1 , ta có 23 2 2 1x x x 1 2x 2 2x 1yz 2x x122x 12x 2x Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh 11 1 1 x2 y 2 z 2 Do xyz 1 nên ta đặt mn p x;y ;z np m Khi đó bất đẳng thức trên trở thành np m 1 m2n n 2p p 2m Biến đổi tương đương ta được bất đẳng thức mn p 1 m2n n 2p p 2m Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 22 2 2 22 2 mn p m n p m2n n 2p p 2m m2nm n2pn p 2mp mn p 1 mnp 2nm 2pn 2mp Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi ab c 1 . Bài 80. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 22 2 ab 7 bc 7 ca 7 6 ab b c c a Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta thấy có số 7, vậy thì số 7 này có ý nghĩa gì trong bài toán. Để ý đến giả thiết 22 2 ab c 3 và các đại lượng bậc hai trong bất đẳng thức, ta có thể viết được 22 2 71 2a b c . Khi đó ta có 22 2 2 2 22 22 ab 1 2 a b c ab 7 ab ab Chú ý là nếu trên tử có đại lượng 2ab thì ta có thể kết hợp với 22 ab để tạo ra 2 ab , để ý đến chiều bất đẳng thức thì theo bất đẳng thức Cauchy ta sẽ được 22 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 ab 1 2 a b c 2ab 2 a b c ab 2c 1 ab ab ab Lại để ý ta thấy 2 22 ab 2a b nên ta được 22 2 2 2 2 2 222 22 a b 2c a b 2c 3 c 11 2 ab 2a b ab Do đó ta có 22 2 222 ab 7 3 c 2 ab ab Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 222222 ab 7 bc 7 ca 7 9 c b a 2 ab c a b c ab b c c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 2 2 2 cb a 3 2 ab c a b c Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2222 22 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 ab c 3ab bc ca cb a 3 2 ab c a b c 2ab bc ca 2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c 1 . Nh ận xét: Ngoài ra ta có th ể quy bài toán v ề ch ứng minh b ất đẳng th ức 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 3 ab c b c a c a b ab bc ca Áp d ụng b ất đẳng th ức Cauchy ta đư ợc 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 3 22 2 22 2 22 2 3. ab c b c a c a b ab b c c a abc a b c ab c ab b c c a Phép ch ứng minh s ẽ hoàn t ất n ếu ta ch ỉ ra được 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 1 ab c a b c ab c ab bc c a Áp d ụng b ất đẳng th ức 2 22 2 xy x y ta được 22 2 22 2 2 2 2 8 a b bc ca a b b c c a M ặt khác ta l ại có 2 22 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 42 42 42 ab b c a b c ab a c ab c bc ca a b c Nhân theo v ế các b ất đẳng th ức trên ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 64 2 2 2 ab bc ca a b c a bc a b c Hay 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 82 2 2 a b bc ca a b c a bc ab c T ừ đó d ẫn đến 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 a b bc ca a b c a b c a b c Hay 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 1 ab c a b c ab c ab bc c a V ậy b ất đẳng th ức trên được ch ứng minh. Bài 81. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 33 3 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 33 3 ab c 1 b8 c8 a 8 Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 , Khi đó để ý đến phép biến đổi 32 b8 b 2b 2a 4 và cả chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá 2 2 b2b 4 b 1 3 3 , do đó ta được 2 b2 b 2b 4 3b 2 . Suy ra 22 2 3 2 aa a b8 3b 2 b2 b 2b 4 Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 33 3 ab c a b c b8 c8 a 8 3b 2 3 c 2 3 a 2 Bây giờ để tạo ra đại lượng 33 3 ab c và chú ý đến chiều bất đẳng thức ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thì được 2 2 22 2 2 2 2 33 3 33 3 ab c a b c b8 c 8 a 8 3b 2 3 c 2 3 a 2 ab c ab c 3b 2 3 c 2 3a 2 ab c b2 c2 a 2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được ab c 1 b2 c 2 a 2 Hay 22 2 2 2 2 ac ba cb 2 a b c abc 8 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 2 3 3 2 3 3 2 a a 13a;b b 13b;c c 13c Do đó ta được 33 3 2 2 2 2a b c 3 3 a b c hay 22 2 ab c 3 Do đó ta chỉ cần chứng minh 22 2 ac ba cb 2 abc 0 Không mất tính tổng quát ta giả sử b là số ở giữa hai số a và c, khi đó ta có 22 2 2 2 2 2 2 ac ba cb 2 abc 0 ac ba b 3 a b 2 abc 0 b1 b 2 ab c a b 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng, do đó bài toán được chứng minh. Bài 82. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3 22 2 33 3 ab c ab bc ca 10 3abc ab c Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có đại lượng 3 33 3 ab c ;a b c và đại lượng 22 2 ab bc ca ta cần tìm đánh giá liên hệ giữa các đại lượng đó. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 33 3 3 3 3 a b c a b c 3 a b b c c a a b c 24abc Và 333 2 3 3 3 2 3 3 3 2 a b b 3ab ; b c c 3bc ; c a a 3ca Nên ta được 33 3 2 2 2 ab c ab bc ca Do đó ta được 3 22 2 3 3 3 22 2 33 3 3 3 3 33 3 2 2 2 33 3 ab c ab bc ca a b c 24abc ab bc ca 3abc 3abc ab c a b c ab c ab bc ca 8 3abc ab c Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 2 2 2 2 2 2 33 3 ab c ab bc ca ab bc ca 3abc 2. 2. 2 3abc 3abc 3abc ab c Do vậy 3 22 2 33 3 ab c ab bc ca 10 3abc ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c . Bài 83. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 44 4 a1 b 1 c 1 2ab bc ca ab c b c a c a b Phân tích và lời giải Nhận thấy biểu thức dưới các dấu căn không đồng bậc nên chú ý đến giả thiết abc 1 ta có thể viết được 44 a b c a abc b c . Để ý đến chiều của bất đẳng thức ta nghĩ đến một tích dưới mẫu để có thể áp dụng được bất đẳng thức Cauchy 2xy x y khi đó ta được 44 32 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 a b c ab bc ca 2 a abc b c ab bc ca 2 a bc bc ab ac abc a bc bc ab ac abc ab c a 1 ab c a bc a Từ đó suy ra 3 4 a1 2aab bc ca ab c ab c Áp dụng tương tự ta được 33 44 b 1 2b ab bc ca c 1 2c ab bc ca ; ab c a b c bc a c a b Công theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 44 4 a1 b 1 c 1 2ab bc ca ab c b c a c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c 1 . Bài 84. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 22 2 ab c 18 3 81 abc a b c ab c Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức ta thấy có các đại lượng 2 22 2 ab c ;a b c , ta cần đánh giá đại lượng abc về ab bc ca để tìm xem có mối liên hệ nào với các đại lượng trên hay không. Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau 2 3abc a b c ab bc ca Suy ra 23 3 2 ab c 3ab c 3ab c abc 3abc a b c ab bc ca Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 3 2 22 2 3a b c 18 3 81 ab c ab c ab bc ca Để ý là khi ab c thì 3 2 22 2 2 2 2 3a b c 93 93 ab c a b c ab bc ca Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 2 22 2 2 2 2 2 22 2 3 3a b c 27 a b c 93 93 ab c a b c ab bc ca ab bc ca a b c Mà cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 22 2 3 ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c 3 Do đó ta được 22 2 2 22 2 3 27 a b c 3.27 a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c 81 ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 85. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 4 1ab 1 bc 1 ca Phân tích và lời giải Để dễ tìm ra các đánh giá hợp lí ta tìm cách đưa các đại lượng vế trái vào trong cùng một bình phương. Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có 2 22 2 11 1 1 1 1 3 1ab 1 bc 1 ca 1ab 1 bc 1 ca Ta cần chứng minh 2 11 1 9 4 1ab 1 bc 1 ca Hay 11 1 3 2 1ab 1 bc 1 ca Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một đánh giá quen thuộc, ta được 11 1 9 9 3 3a b c 2 1 ab 1 bc 1 ca 3 ab bc ca Do đó ta được 22 2 11 1 3 4 1ab 1 bc 1 ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1. Bài 86. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 33 3 ab c 3 . Chứng minh rằng: 44 4 ab c 3 16 bc c a a b Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được vì khi đó các mẫu số sẽ có số mũ lớn, cũng không thể đánh giá mẫu theo chiều trội hơn vì lúc này mẫu cũng sẽ có số mũ lớn. Do đó ta hướng đến các đánh giá làm giảm bậc của các mẫu số hoặc là biến đổi lại giả thiết theo chiều số mũ nhỏ hơn Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức theo hướng làm giảm số mũ ở các mẫu số, điều này làm ta liên tưởng đến kỹ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức Cauchy, Chú ý đế dấu đẳng thức xẩy ra và giả thiết 33 3 ab c 3 ta được 3 4 3 4 3 4 aa 1 11a 16 16 16 2 b c bc bb 1 1 1b 16 16 16 2 c a ca cc 1 11 c 16 16 16 2 a b ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 44 4 ab c 1a b c abc3 2b c c a a b 16 8 bc c a a b 1a b c 9 2b c c a a b 16 Dễ dàng chứng minh được ab c 3 bc c a a b 2 Suy ra 44 4 ab c 3 16 bc c a a b Bất đẳng thức được chứng minh xong. Cách 2: Chú ý đến đến giả thiết 33 3 ab c 3 , ta sẽ đánh giá làm giảm bậc của các hạng tử trong giả thiết, chú ý đến lũy thừa bậc 4 của các mẫu, ta chọn các đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy là 33 2 3 3 2 3 3 2 a a 13a; b b 13b; c c 13c Do đó ta được 33 3 2 2 2 2a b c 3 3 a b c hay 22 2 ab c 3 Bây giờ ta cần làm trội các mẫu số làm sao cho xuất hiện 22 2 a;b;c . Khi đó ta chú ý đến đánh giá 2 4 22 ab 4a b thì được 3 42 2 22 2 22 2 33 3 22 2 aa a a 2.2a . 3 a . 3 a bc 4b c 4 3 a 127a a . 216 2a 3a 3a Áp dụng tương tự ta được 33 3 44 4 ab c abc3 16 16 bc c a a b Bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 87. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 44 4 4 4 4 1 1 1 243 11 1 3 ab c 2abc Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng ta nhận thấy bất đẳng thức có có các căn bậc cao và các đại lượng lại có lũy thừa bậc cao. Do đó ta cần đánh giá để đưa tổng các lũy thừa về cùng một lũy thừa để có thể khử căn. Trước hết ta biến đổi bất đẳng thức thành 44 4 4 11 1 3 11 1 31 ab c 2abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 44 4 4 4 4 3 11 1 1 1 1 11 1 31 1 1 ab c a b c Ta quy bài toán về chứng minh 44 4 4 3 11 1 3 11 1 1 ab c 2abc Hay 3 11 1 3 11 1 1 ab c 2abc Để ý là 3 1 1 abc 3 abc nên 33 3 33 13 3 11 1 2abc abc 3 abc Do đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 3 3 11 1 1 11 1 1 ab c abc Đặt 11 1 x;y ;z ab c thì bất đẳng thức trên trở thành 3 3 1x 1y 1 z 1 xyz Đây là một đánh giá đúng đã được chứng minh. Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiab c 1 . Bài 88. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 b c ac ab ab c 2 44 4 Phân tích và lời giải Bất đẳng thức này không xẩy ra dấu bằng tại ab c , cũng không xẩy ra tại ab;c 0 nà đẳng thức xẩy ra tại a1;b c 0 và các hoán vị của nó. Do đó ta nghĩ đến việc sắp thứ tự biến. Tuy nhiên ta cần tiệt tiêu được các dấu căn bậc hai bên vế trái. Ngoài ra để ý là với dấu đẳng thức xẩy ra như trên thì ta dự đoán bc b c . Do đó ta dự đoán là 2 2 bc bc aa 42 . Nếu chứng minh được đánh giá đó thì xem như bài toán được giải quyết xong. Ta xét 22 22 22 bc bc bc bc aa aabc a 42 42 bc b c bc 0 44 Từ đó suy ra 2 2 bc bc aa 42 Hay 2 bc bc aa 42 Áp dụng tương tự ta được 22 ac ab ac ab bb ;c c 42 42 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 222 b c ac ab ab c 2abc2 44 4 Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 89. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 11 1 9 1 1 1 4 a b c a bc a b bc c a Phân tích và lời giải Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức có các đại lượng đồng bậc nên ta nghĩ đến phép đổi biến ab c x;y ;z ab c a b c ab c . Từ đó suy ra xy z 1 . Khi đó nhân cả hai vế của bất đẳng thức với ab c , khi đó bất đẳng trở thành 11 1 1 1 1 ab c 9 4a b c ab c a b b c c a 111 111 94 ab c ab bc ca ab c a b c ab c a b c ab c a b c Hay 11 1 1 1 1 94 xy z x y y z z x Hay 11 1 1 1 1 xy z 9 4x y z xy z x y y z z x Hay xy y z z x x y z 4 zx y yzzxxy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có xx 4x yy 4y z z 4z ;; yz y z z x x z x y x y Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được y z y y z z 4x 4y 4z xx z xxy y z z x x y Hay xy y z z x x y z 4 zx y yzzxxy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 90. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 4a b c bc c a a b ab c ab b c c a Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán đươc dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải khử các căn bậc hai, do đó ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki. Tuy nhiên để áp dụng các bất đẳng thức này ta cần tạo ra tích các đại lượng. Do đó ta biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh như sau b c a b ca ca a b b c a b b c ca abc 4a b c Chú ý đến chiều của bất đẳng thức cần chứng minh thì áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ab ac a bc hoặc a b a c ac ab , tuy nhiên để ý đến mẫu số ta chọn đánh giá thứ nhất. Khi đó ta được bc a bc b c ab ac bc bc bc aa a Theo bất đẳng thức Cauchy ta có bc bc 2bc 2a Do đó ta được bc a b a c bc bc a2 Áp dụng tương tự ta được b c a b ca ca a b b c a b b c ca abc bc ca ab 2a b c 2 ab c Ta cần chứng minh bc ca ab 2a b c 2 4 a b c ab c Hay bc ca ab ab c ab c Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 22 2 bc ab ca bc ab ca 3a b c a b c a b c ac b a c b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 91. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng 22 2 22 2 11 1 ab c ab c Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta liên tưởng đến một đánh giá quen thuộc 22 2 11 1 1 1 1 a bc ab bc ca abc ab c Và lại có 2 3abc a b c ab bc ca Do đó ta có 22 22 2 2 ab c 3ab c 11 1 a bc abc ab c abc a b c ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 2 3a b c ab c ab bc ca Hay 22 22 2 3a b c a b c ab bc ca Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 2 2 22 2 3 a b c a b c ab bc ca ab bc ca 3. a b c ab bc ca Hay 62 22 2 ab c 27a b c ab bc ca Mà ab c 3 nên ta có 62 ab c 81a b c Suy ra 22 22 2 3a b c a b c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Nh ận xét: Ngoài cách ch ứng minh trên ta có th ể tham kh ảo thêm các cách ch ứng minh sau đây Cách 1: Do 2 22 2 ,, 0 9 abc a b c a b c + Trường h ợp 1: Gi ải s ử 1 trong 3 s ố a, b, c nh ỏ h ơn 1 3 Khi đó t ổng 22 2 11 1 9 ab c , b ất đẳng th ức luôn đúng trong trường h ợp này. + Trương h ợp 2: Gi ải s ử c ả 3 s ố a, b, c đều l ớn h ơn 1 3 . Do 17 3;; 33 ab c abc T ừ đó ta có 2 2 2 22 121 1 44 aa a aa aa Suy ra 2 2 1 44 aa a T ương t ự ta có 22 22 11 44; 4 4 bb c c bc C ộng v ế theo v ế các b ất đẳng th ức trên ta đư ợc 22 2 22 2 11 1 43 0 ab c a b c ab c Hay 22 2 22 2 11 1 abc ab c V ậy b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi 1 ab c . Cách 2: + Trường h ợp 1: V ới ,, 0;1 2 abc . Khi đó ta có 22 43 2 2 2 1 12 1 0 4 4 1 0 4 4 aa aaa a a a Áp d ụng tương t ự ta được 22 22 11 44; 4 4 bb c c bc C ộng theo v ế c ủa 3 b ất đẳng th ức ta được 22 2 22 2 11 1 12 4 0 ab c abc ab c Hay 22 2 22 2 11 1 ab c ab c + Trường h ợp 2: N ếu có m ột trong 3 s ố a, b, c l ớn h ơn ho ặc b ằng 12 . Không m ất tính t ổng quát gi ả s ử ab c , khi đó suy ra: 2 22 1 12 2 2 642 2 abc c c Khi đó ta đư ợc 22 2 11 1 642 ab c . Trong khi đó 2 22 2 9 ab c a b c T ừ đó suy ra 22 2 22 2 11 1 ab c ab c V ậy b ất đẳng th ức đư ợc ch ứng minh. Bài 92. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: ab a ab c bc a Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta thấy có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, do đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca abbcca Ta quy bài toán về chứng minh 2 ab c ab c ab b c c a Hay ab b c c a a b c Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra và chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy là ab 1 bc 1 cb 1 ab ;b c ;c a 22 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 ab b c c a a b c ab bc ca 2 Mà lại có 22 2 ab c 3 a b c 3 Mặt khác a b c a bc 3abbcca a bc ab bc ca Hay ab c ab bc ca Do đó ta có 1 ab b c c a a b c a b c ab b c c a a b c 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 93. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c ba c ca b 6 5 bc a c a b a b c Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát biểu thức thứ nhất bên vế trái ta thấy cả tử và mẫu cùng chứa đại các đại lượng a; b c , tuy nhiên dưới mẫu lại là tổng nên nếu đánh giá mẫu được về tích thì có cơ hội rút gọn được. Chú ý đến chiều bất đẳng thức và dấu đẳng thức xẩy ra ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy là 2 22 2 22 bc 33 abc a bc abc bc 44 4 b c 4a 3b 3c 4 Suy ra ta được 2 2 ab c 4ab c 4a 4a 3b 3c 4a 3b 3c b c abc Đại lượng thu được trong đánh giá trên làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta có 2 2 91 4a a a 9 1 4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 a 3a b c . Suy ra ta được 2 ab c 27a 1 25 abc 25abc Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 22 22 bc a c c a 27b 1 27c 1 ; 25 25 25 a b c 25 a b c bca c ca Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 ab c ba c ca b 27 a b c 36 25 5 25 a b c bc a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Nh ận xét: C ũng nh ận định nh ư trên, nh ưng ta chú ý đến các phép bi ến đổi sau 22 2 1 bc ab c a bc bc a a ho ặc 22 2 1 a ab c bc a bc a bc + N ếu ta đặt ;; bc ca a b xy z ab c , khi đó b ất đẳng th ức đư ợc vi ết l ại thành 22 2 6 5 11 1 xy z xy z Để ý đến d ấu đẳng th ức x ẩy ra t ại 2 xy z , do đó ta có đánh giá 22 2 2 44 4 34 14 3 43 xx x x xx x xx Hoàn toàn t ương t ự ta thu được 22 2 44 4 34 3 4 3 4 11 1 xy z xy z xy z Phép ch ứng minh s ẽ hoàn t ất n ếu ta ch ỉ ra được 44 4 6 34 3 4 3 4 5 xy z Đến đây ta thay l ại ;; bc ca a b xy z ab c vào b ất đẳng th ức thì được 44 4 6 3 3 4 3 34 33 4 5 ab c bc a c a b a b c Và ta ch ứng minh hoàn toàn nh ư trên. + N ếu ta đặt ;; ab c xy z bc ca a b , khi đó b ất đẳng th ức trên được vi ết l ại là 22 2 6 5 11 1 xy z xy z Và ta ch ứng minh hoàn toàn tương t ự. Bài 94. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 2 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c ab c ba c ca b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại 3 ab c 2 . Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta có một số nhận xét như sau: Vế trái chứa các lũy thừa bậc ba nhưng vế phải lại chứa căn bậc hai, ngoài ra với dấu đẳng thức xẩy ra tại 3 ab c 2 thì 3 ab c c . Do đó ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy cho hai số, tuy nhiên để có được đánh giá 3 ab c2cab c ta cần tạo ra được đại lượng ab c . Chú ý đến giả thiết và một đánh giá quen thuộc ta có 33 ab a b ab a b ab a b 22 abc c Từ đó ta có 33 33 ab a b cc 2cab 2c Tương tự ta có 33 33 33 3 3 ac a c b c b c bb 2bac;a a 2abc 2b 2a Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 33 3 ab c ab c ba c ca b Bài toán được chứng minh xong. Ngoài cách chứng minh như trên ta có thể chứng minh bài toán bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 2 22 2 ab c b a c c a b 2a b c a b c abc a b c a b c Theo một bất đẳng thức quen thuộc ta có 2 1 abc a b c ab bc ca 3 Từ đó ta được 2 22 2 2 2 2 3 22 2 4 6 4 abc a b c a b c a b c ab bc ca a b c abbcca abbcca 3 ab c 3 Do đó ta có 6 2 4 ab c ab c b a c c a b 3 Hay 3 2 ab c ab c b a c c a b 3 Dễ dàng chứng minh được 3 33 3 ab c ab c 9 Từ đó ta được bất đẳng thức sau 33 3 ab c ab c ba c ca b Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 95. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 33 3 33 3 abc 1 abc b ac c ba Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến phép biến đổi 3 33 3 3 a1 abc bc 1 a . Khi đó ta nghĩ đến phép đổi biến bc x a và biểu thức trên được viết lại thành 3 1 1x . Chú ý là khi ab c thì x2 , ta có đánh giá 322 2 11 2 2 1x x1x x 1 x 2 x1 x x 1 Khi này thay lại bc x a vào bất đẳng thức trên ta được 32 32 2 32 a2 2a bc abc 2a bc 2 a Theo một đánh giá quen thuộc ta được 2 22 bc 2b c , khi đó ta suy ra được 32 32 2 2 3 aa ab c abc Hoàn toàn tương tự ta có 32 32 3 2 22 3 2 22 33 bb c c ; ab c a b c bac c ba Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 33 3 33 3 abc 1 abc b ac c ba Vậy bài toán được chứng minh xong. Nh ận xét: Ngoài cách làm nh ư trên ta có th ể ch ứng minh bài toán nh ư sau: Th ực hi ện bi ến đổi nh ư trên và ch ứng minh 32 1 11 2 bc bc aa Th ật v ậy, b ất đẳng th ức trên tương đư ơng v ới 2 32 4 2 11 20 44 bc bc bc bc bc aa a a a Bất đẳng th ức cu ối cùng luôn đúng, do v ậy b ất đẳng th ức trên đư ợc ch ứng minh. Áp d ụng tương t ự ta quy bài toán v ề ch ứng minh 22 2 11 1 1 11 1 11 1 22 2 bc ca a b ab c Th ật v ậy, áp d ụng đánh giá quen thu ộc 2 22 2 xy x y ta có 22 2 22 222 22 2 2 12 2 22 1 2 1 2 aa a ab c abc bc abc a Hoàn toàn t ương t ự ta suy ra b ất đẳng th ức c ần ch ứng minh Bài 96. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3 2 ab c a b b c c a 11 1 ab c 31 ab c ab bc ca Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Để có những đánh giá hợp lý ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại thành 3 2 ab c a b b c c a a b cb ca 3 bc a a b c ab bc ca Quan sát bất đẳng thức trên ta viết được vế trái thành 22 2 2 2 2 a b cb ca ac ba ca bc ca ab bc a a b c abc abc Quan sát vế phải ta nhận thấy cần đánh giá đại lượng 22 2 ac ba ca về đại lượng ab c để có thể thu gọn được hai vế, chú ý đến chiều bất đẳng thức ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì được 33 22 2 522 222 33 22 2 225 222 33 22 2 252 222 ac ac ba 3 abc 3a abc ac cb cb 3 abc 3c abc ba ba bc 3 abc 3a abc Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được 3 22 2 222 ac ba cb a b c abc Do đó ta có 3 22 2 3 ab c abc ab c a b c bc a abc abc Hoàn toàn tương tự ta có 3 bca a b c ab c abc Suy ra 3 2a b c a b cb ca bc a a b c abc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 3 2 3 2a b c 3a b c a b b c c a 3. abc ab bc ca Hay 3 2 8a b c 81a b c a b b c c a abc ab bc ca Khai triển và thu gọn ta được 22 8 a b c ab bc ca 81 ac bc ca ab ab bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 8ab bc ca 81 ab bc bc ca ca ab 81. 24 ab bc ca 27 Mặt khác ta lại có 2 3ab bc ca a b c . Do đó ta được 32 2 2 24 ab bc ca 8 ab bc ca .3 ab bc ca 8 ab bc ca a b c Hay 22 81abc a b b c c a 8 a b c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 97. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 abc b ca c ab 2 ab c b c a a a b Phân tích và lời giải Để có các đánh giá hợp lí ta viết lại vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 ab c bc ca ab ab c b c a a a b a b c b c a a a b Để ý ta thấy các nhóm trên có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nên ta tách ra và áp dụng thì được 2 22 2 2 ab c ab c a b c b c a a a b a ab ac b bc ab c ca bc ab c 2a b c ab bc ca Mà theo một đánh giá quen thuộc thì 2 3ab bc ca a b c nên ta được 22 a b c a bc 3a bc 2 2 2a b c ab bc ca ab c a b c 3 Do đó ta được 22 2 3a b c ab c 2 ab c b c a a a b Cũng như trên ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thì được 22 2 2 bc ca ab bc ca ab a b c b c a a a b abc b c abc c a abc a b ab bc ca 3abc a b c 3 a b c 2 abc b c c a a b abc 6 a b c Do đó ta được 22 2 abc b ca c ab 6a b c ab c b c a a a b Lại có 2 11 ab c a b c 33 nên 6a b c 2 Hay 22 2 abc b ca c ab 2 ab c b c a a a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 ab c 9 Bài 98. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 33 3 ab bc ca 3 2 8 1c 1 c 1 a 1a 1b 1 b Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là cố gắng đơn giản hóa các đại lượng dưới dấu căn rồi tiến tới loại bỏ căn bậc hai. Trước hết ta ta biến đổi đơn giản hóa các biểu thức trong căn. Chú ý đến giả thiết ab c 1 ta viết được 32 2 2 2 22 2 ab ab ab ab 1 c 1c 1 c a b a b c c ab ab ab a b 2ab bc ca ab ab c c Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 a b 2abbcca abbc 2ab ca và ab 2ab Do đó theo một đánh giá quen thuộc ta có 22 ab 1 ab 2 2ab bc 2 ab ca ab a b 2ab bc ca Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có ab 1 ab ab 1 a b ab bc ab ca a c b c 2ab bc 2 ab ca 22 22 Từ đó ta được 3 ab 1 a b ac b c 42 1c 1 c Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 33 3 ab bc ca 1c 1 c 1 a 1a 1b 1 b 1a b b c c a ac b c b a c a c b ab 42 Ta cần chứng minh 1a b b c c a 32 ac b c b a c a c b ab 8 42 Hay ab b c c a 3 ac b c b a c a c b ab Đến đây ta chú ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được ab b c c a ac b c b a c a c b ab a b b cca 33.33 ac b c b a c a c b ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 ab c 3 Bài 99. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chưng minh rằng: 22 2 11 1 1 87 2 ab c abab cbc b acac Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng ta nhận thấy vế trái có ba phân thức phía sau đồng bậc nên ta đánh giá ba phân thức đó trước. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 22 2 11 1 1 3 ab a b cb c b ac a c a b c a b c b a c Trong biểu thức dước dấu căn ta chú ý đến đại lượng ab b c c a có thể đánh giá về ab c . Như vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 8a b c 8 ab b c c a 27 27 Ngoài ra chú ý đến đại lượng 22 2 ab c ở dưới mẫu của phân thức thứ nhất, để đánh giá được vế trái về 2 ab c thì ta cần đánh giá đại lượng 22 2 abc và ab bc ca . Do đó cũng theo bất đẳng tức Cauchy ta có 3 22 2 ab bc ca abc 27 . Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được 3 22 2 2 8ab bc ca abca bb cc a 27 Suy ra ta được 11 1 27 ab a b cb c b ac a c 2 ab bc ca Khi đó ta được bất đẳng thức sau 22 2 2 2 2 11 1 1 1 27 ab c a b c ab a b cb c b ac a c 2 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 11 1 9 9 ab bc ca ab bc ca ab c ab c Và ta lại có 2 13 3 ab bc ac ab c Do đó ta được 22 2 2 2 2 22 2 11 1 1 1 27 ab c a b c ab a b cb c b ac a c 2 ab bc ca 1 2 23 23.3 87 9 ab bc ca 2 2 ab c 2ab bc ca Bài toán được chứng minh xong, đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 3 . Bài 100. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 11 1 10 ab b c c a Phân tích và lời giải Bất đẳng thức không xẩy ra dấu bằng tại ab c , do đó ta dự đoán xẩy ra tại một biến bằng không và hai biến còn lại bằng nhau. Thay vào bất đẳng thức ta có dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab ;c 0 2 . Trong tình huống này ta nghĩ đến sắp thứ tự các biến và đánh giá làm sao bảo toàn được dấu đẳng thức. Vì vai trò của các biến như nhau nên ta giả sử c là số nhỏ nhất trong các số a, b, c. Như vậy khi đánh giá ta cần chú ý sao cho dấu đẳng thức xẩy ta tại 1 ab ;c 0 2 . Trong các đánh giá ta cần xem vai trò của a, b như nhau so với c. Từ những phân tích trên ta có các đánh giá sau 22 22 22 2 2 cc c c ab a ac b bc a b 44 2 2 Tương tự ta có 22 22 22 cc bc b ;a c a 22 Do đó ta có bất đẳng thức 22 2 2 2 2 2 2 2 2 11 1 1 1 1 ab b c c a cc c c ab b a 22 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 11 2 cc cc ba ba 22 22 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có 22 22 2 11 cc cc 2b a ab 22 22 44 4 cc c c cc ab 2b a ab 22 2 2 22 Và 2 36 6 6 cc cc cc 2b a 4 b a ab 22 22 22 Kết hợp lại ta được 22 2 2 11 1 10 cc c c ab b a 22 2 2 Suy ra 22 2 2 2 2 11 1 10 ab b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 11 a; b; c ; ; 0 22 và các hoán vị của nó. Bài 101. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 3ab bc ca ab b c c a ab b c c a ab c Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức trên ta chú ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên để áp dụng được ta cần để ý đến phép biến đổi 22 2 2 ab a b ab ab ab hoặc đánh giá quen thuộc 2 22 2a b a b . Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 22 2 ab c 3ab bc ca ab c ab b c c a 2a b c 2a b c ab c 3ab bc ca bc a ab b c c a 2a b c 2a b c Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 3ab bc ca ab b c c a ab b c c a ab c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 ab b c c a ab b c c a ab b c c a 2a b 2 b c 2 c a 2a 2b 2c 12 ab bc ca 3 ab bc ca ab c 4a b c 4a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Chủ đề 12 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH ĐH- THPT QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thì với các bài toán ngày càng khó hơn. Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi chuyên toán các năm gần đây. Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: 11 1 ab c 9 ab c b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn ab c 3. Chứng ming rằng: 22 2 1 2009 670 ab bc ca ab c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh H ải Phòng n ăm 2009 - 2010 Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 3 3 11 1 1 ab c abc; 3 ab c abc Suy ra 11 1 ab c 9 ab c Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c b) Ta có 2 22 2 ab c ab bc ca a b c ab bc ca 3 3 Suy ra 2007 669 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có 22 2 22 2 11 1 a b c 2ab 2bc 2ca 9 ab bc ca ab bc ca ab c Suy ra 22 2 2 11 9 1 ab bc ca ab c ab c Do đó ta được 22 2 1 2009 670 ab bc ca ab c . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1. Bài 2. Với số tự nhiên n3. Chúng minh rằng n 1 S 2 . Với n 11 1 S... 31 2 5 2 3 2n 1 n n 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Bình Định n ăm 2009-2010 Lời giải Với n3 , ta có 2 2 1n1nn1n 2n 1 4n 4n 1 2n 1 n n 1 n1 n 1 1 1 2 2n 1. n n n 1 4n 4n n+1- n Do đó ta được n 1 111 1 1 1 1 1 S1 ... 1 222 22 3 n n1 n1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 3. Chứng minh rằng 2 m1 2 n n3 2 , với mọi số nguyên m, n. Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Bình n ăm 2009-2010 Lời giải Vì m, n là các số nguyên nên m n là số hữu tỉ và 2 là số vô tỉ nên m 20 n . Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với m 2 n , khi đó ta được 22 2 2 m2n m 2n 1 hay 1 2 m2n Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 2 m2n1 1 222 2 nn n 1 22 11 n 1 n3 2 1 22 n2 2 n n + Trường hợp 2: Với m 2 n , khi đó ta được 22 2 2 m2n m 2n 1 hay 1 2 m2n Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 2 1 22 mm 2n1 1 n 22 2 2 2 nn n n 1 22 n 11 n3 2 1 n2 2 n Vậy bài toán được chứng minh. Bài 4. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 2 bc c a a b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúcn ăm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 ab c ab bc ca 22 bc c a a b b c ca ca a b a b b c Mà ta lại có ab bc ca b c ca ca a b a b b c abab bcb c cac a ab b c c a 1 ab b c c a ab b c c a Do đó bất đẳng thức trên trở thành 2 ab c 0 bc c a a b . Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn ab c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 ab bc ca Pa b c ab bc ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Ngh ệ An n ăm 2009-2010 Lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 và giá trị nhỏ nhất của P là 4. Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức 22 2 22 2 ab bc ca ab c 4 ab bc ca Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có 22 2 2 2 2 33 3 2 2 2 2 2 2 3a bc a b c a bc ab c ab bc ca ab bc ca Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có 32 2 3 2 2 3 2 2 aab 2a b;b bc 2b c; cca 2ca Suy ra 22 2 2 2 2 3a b c 3ab bc ca 0 Do đó ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca ab c a b c ab bc ca a b c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 ab bc ca ab c 4 ab c Hay 22 2 22 2 22 2 9a b c ab c 4 2a b c Đặt 22 2 ta b c . Từ giả thiết 22 2 ab c 3 a b c 3 , do đó ta được t3 Bất đẳng thức trên trở thành 2 9t t42t9t8tt32t30 2t Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t3 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 6. Cho biểu thức 22 22 Pa b c d ac bd , trong đó ad bc 1 . Chứng minh rằng: P3 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thanh Hóa n ăm 2009-2010 Lời giải Cách 1: Ta có 22 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 ac bd ad bc a c 2abcd b d a d 2abcd b c ac d b d c a b c d Vì ad bc 1 nên 2 22 22 1ac bd a b c d (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 22 22 Pa b c d ac bd 2 a b c d ac bd Suy ta 2 P 21 acbd acbd . Rõ ràng P0 vì 2 2 2 1 ac bd ac bd Đặt xac bd , khi đó ta được 22 2 22 2 2 2 P 21x x P 41 x 4x1 x x 1x 4x1x 4x 3 Hay 2 22 P1x 2x 33 . Do đó ta được P3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ad bc 1 2a 3d c 2b 3c d Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 22 ab c d ac bd 3ad bc Hay 22 2 2 ab c d ac bd a 3d c b 3c d Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 22 2 22 22 3d c 3d 2 3cd c a3d c a a 44 3c d 3d 2 3cd c b3cd b b 44 Cộng theo về hai bất đẳng thức trên ta được 22 22 ab c d ac bd a 3d c b 3c d Bài toán được chứng minh xong. Bài 7. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 xy z 2x 2y 2z ab c a b c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thanh Hóa n ăm 2009-2010 Lời giải Cách 1: Vì 22 2 ab c 0 nên ta có 22 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 xy z ab c ab c bc a a c b a b c x2 y 2 z 2 ab c bc a a c b a b c 2x 2y 2z x y z ab c Giả sử ab c, khi đó 22 2 2 ca 0;c b 0 . Với c là cạnh lớn nhất và các góc đều nhọn nên 22 2 ca b . Do đó ta có 22 2 2 2 2 2 2 2 bc a 0;a c b 0;a b c 0 Suy ra 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 bc a a c b a b c 2x 2y 2z x y z ab c 2x 2y 2z Hay 22 2 22 2 2 2 2 22 2 xy z ab c 2x 2y 2z ab c Hay 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 xy z 2x 2y 2z ab c a b c . Bài toán được chứng minh xong Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 x2x y 2y z 2z 0 a a bc b a bc c a bc xb c a y a c b z a b c 0 a a bc b a bc c a bc Do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nhọn nên 22 2 2 2 2 2 2 2 ab c;b c a;c a b Nên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 bc a 0;a c b 0;a b c 0 Do vậy bất đẳng thức trên luôn đúng. Bài toán được chứng minh xong. Bài 8. a) Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau: 11 1 2 k1 k k k1 b) Chứng minh rằng: 11 1 1 88 245 3 2 4 3 2010 2009 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thái Bình n ăm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 12k12k 2k 1 2 k k 1 0 k 1 k 0 k1 k k.k 1 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi k nguyên dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Áp dụng kết quả câu a ta có 11 1 1 VT 2 1 3 2 4 3 2010 2009 11 1 1 1 1 22 2 1 2 2 3 2009 2010 1188 21 21 VP 45 45 2010 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 9. Với a, b, c là những số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 ab c abc 5 3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà N ội n ăm 2009-2010 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 2 2 2 2 3a 8b 14ab 3a 8b 12ab 2ab 4a 9b 12ab 2a 3b Suy ra 22 2 2 22 aa a 2a 3b 3a 8b 14ab 2a 3b Áp dụng tương tự ta thu được 22 2 22 2 2 2 2 22 2 ab c 3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca ab c 2a 3b 2b 3c 2c 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c abc 2a 3b 2b 3c 2c 3a 5 5a b c Do đó ta được 22 2 22 2 2 2 2 ab c abc 5 3a 8b 14ab 3b 8c 14bc 3c 8a 14ca Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Bài 10. Giả sử x, y, z là những số thực thoả mãn điều kiện 0x,y,z 2 và xy z 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: 44 4 Mx y z 121 x 1 y 1 z Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà N ội n ăm 2009-2010 Lời giải Đặt a x 1; b y 1; c z 1 , ta được 1 a;b;c 1 và ab c 0 . Biểu thức M được viết lại thành 44 4 3 3 3 2 2 2 Ma b c 4a b c 6a b c 4a b c 3 12abc Để ý là khi ab c 0 thì 33 3 ab c 3abc 0 nên biểu thức trên thử thành 44 4 2 2 2 Ma b c 6a b c 3 Theo một đánh giá quen thuộc thì 44 4 2 22 2 ab c abca b c 0 1 ab c a b c 0 3 Do đó suy ra M3 hay giá trị nhỏ nhất của M là 3. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 0 hay xy z 1 . Mặt khác do 1 a;b;c 1 nên ta có a; b; c 1 . Từ đó ta có 42 4 2 4 2 aa a;b b b;c c c Suy ra 44 4 2 2 2 Ma b c 6a b c 3 7a b c 3 Mà ta lại có ab c 0 nên trong ba số a, b, c có một hoặc hai số âm, tức là luôn tồn tại hai số cùng dấu. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là b và c. Khi đó ta được bc b c a Đến đây ta có M14a 3 17 hay giá trị lớn nhất của M là 17. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1;b 1;c 0 và các hoán vị hay x2;y 0;z 1 và các hoán vị Bài 11. a) Cho 3 số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab b c c a ab c ab bc ca 26 6 2009 b) Cho a0;b 0 . Chứng minh rằng 12 8 ab 2a b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán TP H ồ Chí Minh n ăm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 ab b c c a ab b c c a 2 2 2 26 6 2009 Hay 22 2 12 a b b c 2007 c a 0 13 3 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 12 8 ab 2ab Đặt cb , do b0 nên ta được c0 , khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành 12 8 ac 2a c Theo một đánh giá quen thuộc ta được 12 2 2 2.4 8 a c 2a c 2a c 2a c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2a b . Bài 12. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a2b 1 1a 1 b . Chứng minh 2 1 ab 8 . Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Qu ảng Bình n ăm 2015-2016 Lời giải Từ giả thiết a2b 1 1a 1 b . Đặt ab x;y 1a 1 b Suy ra xy a;b 1x 1y . Khi đó ta được x2y 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 2 2 xy 1 8 1x 1y Từ giả thiết ta suy ra 1x 2y;1 y x y nên lại viết bất đẳng thức cần chứng minh thành 2 2 2 xy 1 4xy x y 8 2y x y Đánh giá cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . Bài 13. Cho x, y, z là các số thực dương sao cho xyz x y z 2 . Chứng minh rằng: 11 1 3 2 xy yz zx Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2009-2010 Lời giải Giả thiết của bài toán được viết lại thành 11 1 1 x1 y 1 z 1 . Đặt 11 1 a;b ;c x1 y 1 z 1 . Khi đó ta được ab c 1 . Từ đó suy ra 1 a b c 1b c a 1c a b x;y ;z aa b b ca Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ab bc ca 3 2 b c ca ca a b a b b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được ab 1 b a 2b c c a bc c a bc 1 c b 2c a a b ca a b ca 1 a c 2a b b c ab b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca 3 2 b c ca ca a b a b b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 2 Bài 14. Cho các số thực không âm a, b, c sao cho ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 a2 b 2 c 2 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 ab c 1 a2 b 2 c 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 22 2 22 2 222 22 2 ab c a b c ab c 1 a2 b 2 c 2 a b c 6 ab c 2ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 15. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x2y 3z 18 . Chứng minh rằng: 2y 3z 5 3z x 5 x 2y 5 51 1x 1 2y 1 3z 7 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên toán Đại h ọc Vinh, 2009 – 2010 Lời giải Đặt ax;b 2y;c 3x , khi đó giả thiết trở thành ab c 18 và bất đẳng thức được viết lại thành bc 5 c a 5 a b 5 51 1 a 1b 1c 7 Bất đẳng thức trên tương đương với bc 5 c a 5 a b 5 51 11 1 3 1a 1 b 1 c 7 Hay 11 1 72 ab c 6 1a 1 b 1 c 7 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 11 1 3 1 a 1b 1c 7 Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta có 11 1 9 9 3 1a 1 b 1 c 3 a b c 21 7 Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 6 hay x6;y 3;z 2 . Bài 16. Giả sử x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xy z 1 . Chứng minh rằng: 22 xy z 2x 2y 1 1xy Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà N ội n ăm 2010-2011 Lời giải Ta sẽ quy bài toán về việc chứng minh bất đẳng thức cùng bậc là 22 22 xy z x y z 2x 2y 1 xy z xy xz y z 2x 2y x y z xy Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2x 2y x y Do đó ta chỉ cần chứng minh zx zy z xy Bất đẳng thức trên tương đương với 2 22 zxy zx y zxy 2zxy z x y 0 Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi 1 xy ;z 0 2 . Bài 17. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab c ab bc ca 6 . Chứng minh rằng: 33 3 22 2 ab c ab c 3 bc a Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHNN Hà N ội n ăm 2010-2011 Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 33 3 22 2 ab c ab c bc a Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 33 3 ab c ab c bc a ab bc ac Theo một đánh giá quen thuộc ta có 22 2 ab c ab bc ca Do đó ta được 2 22 2 2 2 2 ab c a b c ab bc ca Nên ta có 2 22 2 22 2 ab c ab c ab bc ac Do đó ta suy ra 33 3 22 2 ab c ab c bc a + Chứng minh 22 2 ab c 3 . Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 2 2 2 2 2 a b 2ab; b c 2bc; c a 2ca; a 1 2a;b 1 2b;c 1 2c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 3a b c 3 2 ab bc ca a b c 12 Hay 22 2 ab c 3 Kết hợp hai kết quả trên ta được 33 3 22 2 ab c ab c 3 bc a Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 18. Cho các số dương a, b, c thoả mãn ab c abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 ab c S bc1 a ca1b ab1c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Kết hợp với giả thiết ta có 22 bc 1 a bc a bc bc a a b c a b a c Hoàn toàn tương tự ta được 22 ca 1 b a b b c ; ba 1 c a c b c ; Nên ab c S ab ac ab b c ac b c aa b b c c .. . abac b cb c c bac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được aa 1a a . abac 2a b a c Hoàn toàn tương tự ta được 1a a b b c c 3 S 2 a b a cb c a b a cb c 2 Vậy giá trị lớn nhất của S là 3 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Cách 2: Ta viết lại giả thiết thành 11 1 1 ab bc ca . Đăt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó giả thiết trở thành xy yz zx 1 Ta viết lại biểu thức S thành 22 2 yz zx xy S x1 y 1 z 1 Để ý đến giả thiết xy yz zx 1 ta được yz zx xy S x y xz y z xz z x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được yz zx xy 3 2 x y xz y z xz z x y z Vậy giá trị lớn nhất của S là 3 2 . Bài 19. Cho các số dương a, b c .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 22 2 cab 1 a bc 1 b ca 1 S bbc 1 cca 1 a ab 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 3 x y z 3 xyz ta được 22 2 3 3 22 2 3 c ab 1 .a bc 1 .b ca 1 ab 1 bc 1 ac 1 S3 3 abc bbc 1.c ac 1.a ab 1 2ab.2 bc.2 ca 36 abc Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 6, đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Cách 2: Đặt ab 1 bc 1 ca 1 x;y ;z bc a Khi đó biểu thức được viết lại thành 22 2 xy z S yz x Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 22 2 xy z xy z Sxyz yz x x y z Do đó ta được ab 1 bc 1 ca 1 1 1 1 Sabc6 bc a a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 6, đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 20. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy z 182 . Chứng minh rằng: 111 1 4 xy z y z x z x y Đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên toán Đại h ọc Vinh, 2010 – 2011 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 111 1 42 2x y z 2y z x 2z x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22x y z 2x y z , do đó ta được 12 2x y z 2x y z Hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức 1 1 1 111 2 2x y z x 2y z x y 2z 2x y z 2y z x 2z x y Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 111 1 2x y z x 2y z x y 2z 82 Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được 111 9 9 1 2x yz x 2yz x y 2z 4x y z 4.18 2 8 2 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 62 . Bài 21: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 36 1 ab c ab bc ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh v ĩnh Phúc n ăm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức đã cho tương đương: ab c ab bc ca 3ab bc ca 6a b c Để ý rằng 2 ab bc ca 3abc a b c 3 a b c Nên bài toán quy về chứng minh 3 3a b c 33ab c 6ab c Bất đẳng thức trên tương đương với 2 3a b c a b c 3 0 Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Cách 2: Đặt 11 1 a;b ;c xyz1 xy z . Khi đó ta có 3 6 3abc 6abc 11 ab c ab bc ca a b c ab bc ca 36 3 6 11 1 1 1 1 1 1 xy yz zx x y z ab bc ca a b c Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 3xy yz zx x y z Suy ra 2 39 11 xy yz zx xy z Mặt khác 2 2 96 3 11 0 xy z x y z xy z với x,y,z 0 . Nên ta được 2 96 1 xy z xy x Từ đó ta được bất đẳng thức 36 1 xy yz zx x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 22. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 2 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 11 197 ab c 2 bc a Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán TP H ải Phòng n ăm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau 22 22 2 2 ax b y a b x y Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 22 22 22 2 22 22 22 2 2 ab x y a x b y 2 a b x y 2ax 2by a b x y ax by Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunhiacopxki Áp dụng bất đẳng thức trên ta có 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 11 1 11 1 ab c ab c ab bc a a 11 1 ab c ab c Ta cần chứng minh 2 2 11 1 97 ab c ab c 4 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý giả thiết ab c 2 , ta được 2 22 2 2 22 11 1 81 ab c a b c ab c ab c 16 65 97 ab c 4 ab c a b c Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 ab c 3 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 2 181 9 9 a1 a a 16 4b 4b b Hay 2 2 97 1 9 aa 44b b Chứng minh tương tự ta được 22 22 97 1 9 97 1 9 bb ; c c 44c4 4a ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 97 1 1 1 9 1 1 1 ab c abc 44abc bc a Mà ta lại có 11 1 9 ab c a b c Do đó ta được 22 2 22 2 11 14 81 ab c abc bc a 4a b c 97 Ta cần chứng minh 481 97 ab c 2 4a b c 97 Hay 81 97 ab c 8 4a b c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 81 4 65 ab c a b c ab c 4a b c 4a b c 465 6597 2a b c 4 ab c 4.2 8 8 Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 ab c 3 Bài 23: Cho các số a, b, c 1;2 . Chứng minhrằng: 22 2 2 2 2 ab b c c a 7 ab bc ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Hà T ĩnh n ăm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 22 22 222 ab ab bc bc ca ca 7abc cabca b bc aabca b bc 5abc 2bc 2ab 0 ab ca b bc c a b 4ca 2c 2a ca 0 ab b c c a b2ac 2c a 0 Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử 2a b c 1 khi đó ta được 2a 2 c; 2c 2 a . Do đó ta được ab b c c a 0;b2ac 2c a 0 Nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 2;c 1 và các hoán vị. Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab b c c a 7 ba c b a c Vì vai trò các biến như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử 2a b c 1 . Khi đó ta có aab a b 1110 cbc b c cbc b c 1110 aab a b Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được ac a b b c ac a b b c ac 2022 ca b c a b ca b c a b ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được ac 252aca2c0 ca Từ 2a b c 1 suy ra 2a 2 c; 2c 2 a nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 24. Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn ab c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pab bc ca abc Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Ngh ệ An n ăm 2010-2011 Lời giải Đặt xa;y b;z c . Từ giả thiết ta được 22 2 xy z 3 . Khi này biểu thức P trở thành 22 2 P x y y z z x xyz Dễ thấy P0 theo bất đẳng thức Cauchy Không mất tính tổng quát ta giả sử y là số nằm giữa x, z. Khi đó ta có 22 2 zy z y x 0 yz zx xyz zy Do đó ta có 22 2 2 2 2 2 P xyyz zxxyz xy zy yx z Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 22 2 22 2 2 2 2x 2y 2z 2y xz xz 8 3 Suy ra 22 yx z 2 nên ta được P2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 xy z z0 x2y và các hoán vị ab c 1 a2;b 1;c 0 và các hoán vị Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 2. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 hoặc a2;b 1;c 0 và các hoán vị. Bài 25. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 22 2 a1 a b 1 b c 1 c 1 1 1 bc ac ab a b c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh H ưng Yên n ăm 2010-2011 Lời giải Để ý là 22 a1 a ab bc ca a b c a , do đó ta được 2 a1 a b c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2a b c a ab c a a a1 a b c 11 1 2 bc bc bc 2bc 2 b c Hoàn toàn tương tự ta được 22 b1 b 11 1 c1 c 11 1 ; ac 2 a c ab 2 a b Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 a1 a b 1 b c 1 c 1 1 1 bc ac ab a b c Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Bài 26. a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng : 1111 ab 4 a b b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn 11 1 2010. xy z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 111 P 2x yz x 2yz x y 2z Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Yên n ăm 2010-2011 Lời giải a) Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau 22 1111 4ab a b 0 a b ab 4 a b Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab b) Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 111 1 1211 2x y z 4 x y x z 16 x y z Hoàn toàn tương tự ta được 11121 1 1112 ; x2y z 16 x y z x y 2z 16 x y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 1 1 1 2010 1005 P 2x yz x 2yz x y 2z 4 x y z 4 2 Vậy giá trị lớn nhất của P là 1005 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 670 Bài 27. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab c 3. Chứng minh rằng: 11 1 3 1ab 1 bc 1 ca 2 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Bình Ph ước n ăm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 11 1 9 A 1 ab 1 bc 1 ca 3 ab bc ca Mặt khác dễ thấy 2 ab c ab bc ca 3 Mà ab c 3 nên ab bc ca 3 Do đó ta được 993 A. 3ab bc ca 3 3 2 Dấu bằng xảy ra khi 1ab 1 bc 1 ca ab c a b c 1 ab c 3 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 ab 1 1 ab 1 1 ab 3 ab 2. 1 1 1ab 4 1ab 4 1ab 4 4 Hoàn toàn tương tự ta có 13ab 1 3ca ; 1ab 4 1 ca 4 Do đó ta được 9ab bc ca 11 1 . 1ab 1 bc 1 ca 4 Mặt khác ta chứng minh được ab bc ca 3 Do đó ta suy ra 9ab bc ca 11 1 3 1ab 1 bc 1 ca 4 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1ab ab ab 11 1 1ab 1 ab 2 2ab Tương tự ta có 1bc1 ca 1; 1 1bc 2 1ca 2 Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 11 1 1 3ab bc ca 1ab 1 bc 1 ca 2 1a b b c c a a b c 3 3 333 22 2 2 2 2 2 Bài toán được chứng minh xong. Bài 28. Chứng minh bất đẳng thức: 11 1 1 ... 4 12 3 4 5 6 79 80 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà N ội n ăm 2011-2012 Lời giải Dễ thấy 11 1 1 1 1 ;;... 1 2 2 3 3 4 3 4 79 80 80 81 Do đó ta được 11 1 1 1 1 ... ... 1 2 34 79 80 23 45 80 81 Suy ra 11 1 1 1 1 2 ... ... 1 2 3 4 79 80 1 2 2 3 80 81 Hay 11 1 2 ... 2 1 3 2 ... 81 80 1 2 3 4 79 80 Nên ta được 11 1 ... 4 1 2 3 4 79 80 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 29. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 3 3 3 3 a b b c c a ab bc ca abc a abc b abc c abc Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Ngh ệ An n ăm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 3 ab c b ca a b c 11 1 1 ca b c ab bc ca ab Đặt ab c x ; y ; z x; y; z 0; xyz 1 bc a Khi đó bất đẳng thức trên trở thành 3 3 3 xy z xy yz zx x y z 1 1 1 1 zx y xy y z z x x y y z z x xyz 1 xyz xy y z z x 1 1 xy y z z x Đặt 3 txyyzzx suy ra t2 . Khi đó ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 33 2 t1 1 t t1 1 2t t tt 2 t 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t2 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 3 ab c b ca a b c 11 1 1 ca b c ab bc ca ab Hay 22 2 2 2 2 3 22 2 bc ca ab a b c a b c 31111 bc ca ab bc ca ab ab c Đặt 22 2 ab c x;y ;z bc ca ab , khi đó ta có xyz 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3 11 1 3x yz 1 1 x 1 y 1 z xy z Hay 3 3 x y z xy yz zx 1 2 x y z xy yz zx Đặt 3 t2xyzxyyzzx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có xy z xy yz zx 6 Do đó ta có 3 t26 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 322 t1 1 t t 1 t 2t 1 tt 1 t 2 0 Đánh giá cuối cùng đúng với mọi t2 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 30. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab c 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ca P ab 2c bc 2a ca 2b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thanh Hóa n ăm 2011-2012 Lời giải Để ý đến giả thiết ab c 2 ta có ab 2c ab c a b c b c c a Do đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được ab ab 2ab 2ab bc c a ab 2c bc c a Hoàn toàn tương tự ta được bc 2bc 2bc ca 2ca 2ca ; ab c a ab b c bc 2a ca 2b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca 2ab 2ab 2bc 2bc 2ca 2ca b c ca a b ca a b b c ab 2c bc 2a ca 2b 2a b c 4 Hay P4 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 4. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 ab c 3 Bài 31. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 9 abc 4 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c ab c ba c ca b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 33 ab a b ab a b ab a b ab a b 22 9 abc c 4 Từ đó ta có 33 33 ab a b cc 2cab 2c Tương tự ta có 33 33 33 33 ac a c bb 2bac 2b bc b c aa 2abc 2a Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 33 3 ab c ab c ba c ca b Bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c b a c c a b 2a b c a b c 9 2a b c a b c abc a b c a b c 4 Theo một bất đẳng thức quen thuộc ta có 2 1 abc a b c ab bc ca 3 Từ đó ta được 2 22 2 2 2 2 3 6 22 2 44 abc a b c a b c a b c ab bc ca ab c ab bc ca ab bc ca ab c 33 Do đó ta có 6 2 4 ab c ab c b a c c a b 3 Hay 3 2 ab c ab c b a c c a b 3 Dễ dàng chứng minh được 3 33 3 ab c ab c 9 Từ đó ta được bất đẳng thức sau 33 3 ab c ab c ba c ca b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 32. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 3 222 22 2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 54 abc ca b a b c b c a ab c ab bc ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2011-2012 Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 22 2 222 222 222 222 22 2 2 24 4 4 33 3 3 88 8 4 4 3 88 8 22 2 c a b a b c b c a c 2ab a 2bc b 2ca 12a b c 2 3abc a b c ab bc ca 3 abc 3 a b c 9 3. a b c . a b c 93abc Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 222 24 4 4 22 2 2 2 2 2 2 2 3 22 2 ca b a b c b c a a b c ab bc ca 23abc.93abc 54 abc Hay 3 222 22 2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 54 abc ca b a b c b c a ab c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 33. Cho các số dương a,b,c thay đổi và thoã mãn3a 4b 5c 12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab 2ac 3bc S ab a b ac a c bc b c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Bà R ịa – V ũng Tàu n ăm 2011-2012 Lời giải Ta viết lại biểu thức S thành 12 3 S 11 1 1 1 1 11 1 ab c a b c Áp dụng bất đẳng thức 11111 xy z 9 x y z ta có 2c a 1 3b c 1 12 3 ab1 S 11 1 1 1 1 9 9 9 11 1 ab c a b c 63a 4b 5c 18 2 99 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức S là 2. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 34. Cho a, b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 33 3 3 a4b P a8b bab Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà N ội n ăm 2011-2012 Lời giải Biểu thức P được viết lại là 3 3 33 3 3 3 4b 1 a P 8b bb 1 1 a a a Đặt b t0 a . Khi đó bất đẳng thức được viết lại là 3 33 3 14t P 18t t1t Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 32 2 24t 18t 1 2t 1 2t 4t 1 2t 2 Suy ra 32 2 2 11 1 18t 1 2t 12t Ta sẽ chứng minh 32 32 3 4t 2t 12t t1t Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 32 2 32 24 2 32 3 4t 2t 12t t t1 t t 1 2t t 1 0 12t t1t Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t. Do đó ta được 32 33 2 2 3 14t 1 2t P1 18t 1 2t 1 2t t1t Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab Bài 35. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 3a 3b 2c P 6a 5 6 b 5 c 5 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà N ội n ăm 2011-2012 Lời giải Từ giả thiết ab bc ca 5 ta có 22 a5 aab bc ca a b c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 3a b 2 c a 5a 3b 2c 6a 5 6 a b c a 24 Chứng minh tương tự ta được 22 3a 5b 2c a b 2c 6b 5 ; c 5 22 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 9a 9b 6c 6a 5 6 b 5 c 5 2 Suy ra 22 2 23a 3b 2c 3a 3b 2c 2 P 9a 9b 6c 3 6a 5 6 b 5 c 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 3 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 1;c 2 . Bài 36. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 P a abc b abc c abc 9 abc Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh B ắc Ninh n ăm 2011-2012 Lời giải Ta có 22 a abc a a b c abc aab ac Do đó ta được 2 aa b a c a a 1 aabc aa b a c 22 Chứng minh tương tự ta được 22 bb 1 c c 1 babc ; c abc 22 Do đó ta được 22 2 aa 1 b b 1 c c 1 a abc b abc c abc 22 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có aa 1 a1 b c a b c 1 abc a a a 222 2 Chứng minh tương tự ta được bb 1 c c 1 abc b; abc c 22 Như vậy ta có 22 2 P a abc b abc c abc 9 abc a b c 6 abc Mà ta có 3 ab c 2 ab c 3abc 3;6abc 6 3 3 Nên ta suy ra 25 53 P3 3 33 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 53 3 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 37. Cho a, b, c là số thực dương. Chứng minh rằng: 2ab 3bc 3ca a 2b 3c 3a 8b 6c 3b 6c a 9c 4a 4b 9 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Đặt x a; y 2b; z 3c , khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành xy yz zx x y z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 9 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được xy xy xy 1 2 3x 4y 2z x2y x y z x y z 9 x2y x y z xy 1 2 2 2x y 2xy 99x 9y x y z 81 9x y z Hoàn toàn tương tự ta được yz 2y z 2yz zx 2z x 2zx ; 3y 4z 2x 81 3z 4x 2y 81 9x y z 9x y z Cộng theo các vế cảu ba bất đẳng thức trên ta được 2xy yz zx xy yz zx x y z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 27 9x y z Mà theo một đánh giá quen thuộc ta lại có 2 xy z xy yz zx 3 Do đó ta có 2xy yz zx 2 x y z xy z x y z xy z 27 27 27 9 9x y z Suy ra xy yz zx x y z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 9 Hay bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a2b 3c . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 62 1 xy xy xy 18 2 1 . 3x 4y 2z 81 81 x y z y x 2x y z 2y x 2xy 2x y 81 9x y z Hoàn toàn tương tự ta được yz 2y z 2yz zx 2z x 2zx ; 3y 4z 2x 81 3z 4x 2y 81 9x y z 9x y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2xy yz zx xy yz zx x y z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 27 9x y z Đến đây chứng minh hoàn toàn tương tự như trên. Bài 38. Giả sử a, b, c là các số dương thoả mãn abc 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 2 2 2 abc M b c a c ab ab c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh H ải D ương n ăm 2011-2012 Lời giải Ta chứng minh M1 Đặt 33 3 ax; b y; c z , khi đó x; y; z 0 và xyz 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 66 3 6 6 3 6 6 3 xy z 1 yz x z x y x y z Dễ thấy 55 6 6 5 5 yz y z 0 y z yz yz Suy ra 66 4 4 4 4 yzxyz yzx y z Từ đó ta được 66 3 44 4 11 yz x yz x y z Hay 44 66 3 4 4 4 xyz x yz x x y z Do đó ta được 34 66 3 4 4 4 xx yz x x y z Tương tự ta có 34 34 6 6 34 4 4 6 6 34 4 4 yy z z ; z x y x yz x y z x yz Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 33 3 66 3 6 6 3 6 6 3 xy z 1 yz x z x y x y z Vậy giá trị lớn nhất của M là 1. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 39. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 abc 3 2 bc a c a b a b c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thái Bình n ăm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta được 33 3 abca3 b cab3 c abc3 a; b; c 24 2 2 4 2 24 2 bc a c a b a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3a b c abc ab c 2 bc a c a b a b c Hay 33 3 ab c abc 2 bc a c a b a b c Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 3 ab c 3abc 3 Nên ta được 33 3 abc 3 2 bc a c a b a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacioxki dạng phân thức ta được 2 22 2 33 3 22 2 ab c abc ab bc ca 3abc bc a c a b a b c Ta cần chứng minh được 2 22 2 2 2 2 2a b c 3ab bc ca 3abc Vì abc 1 nên ta được ab c 3 . Dễ thấy 2 22 2 2 22 2 22 2 ab c a b c ab c a b c ab c 3 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 2a b c a b c 3 ab bc ca 3abc Hay 3 3 2 2 22 2 2 2 2 22 33 2 2 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca ab bc ca 3ab bc ca 3abc 2a b c 2ab bc ca ab bc ca 9 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 2 3 2 2 3 2 2 33 3 2 2 2 aab 2ab;b bc 2bc;c ca 2ca 3a b c 9abc 9;3ab bc ca 9abc 9 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và thu gọn ta được 33 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ab bc ca ab bc ca 9 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 40. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 22 2 22 2 ab bc ca A14a b c ab bc ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHQG TP H ồ Chí Minh n ăm 2012-2013 Lời giải Dễ dàng tính được 22 2 1a b c ab bc ca 2 . Lại có 22 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 ab c a b ca b c a ba b bc c ca ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 2 3 2 2 3 2 2 a b a 2a b; b bc 2b c; c ca 2c a Do đó suy ra 22 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ab c a ba b bc c ca ab bc ca 3ab bc ca Từ đó ta được 22 2 2 2 2 13 ab bc ca a b c Hay 22 2 22 2 2 2 2 22 2 33a b c 3ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c 2a b c Đặt 22 2 1 ta b c t 3 . Khi này biểu thức được viết lại thành 3 3t28t 3 3t27t 3 t 3 A14t 2t 2 2t 2t 2 2t 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 27t 3 27t 3 2. 9 22t 2 2t Mặt khác t3 1 3 4 22 62 3 . Suy ra 423 A9 33 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 23 3 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Bài 41. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab 3 c;c b 1;a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2ab a b c ab 1 Q a1 b 1 c 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà N ội n ăm 2012-2013 Lời giải Cách 1: Ta có 2ab a b c ab 1 a 1 b 1 ab 1 c 1 Q a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 1 ab1 1 ab1 c1 a b 1 ab a b 1 a1 b 1 Từ giả thiết a b c b 1 b a 1 a 1 b1 0 ab a b1 c1 2 Suy ra 1ab1 Q ab 2 2ab 1 Đặt xab x 2 , khi đó ta được 1x1 Q x2 2x 1 Suy ra x2 x 5 51 x1 5 Q0 12 x 2 12 2x 1 12x 1 x 2 Do đó ta có 5 Q. 12 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5 12 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1;b 2;c 3 Cách 2: Nhận thấy ab c b 1 a 1 do đó ta được c3 b a 1 Khi đó a1 b 1 0 ab a b 1 c 1 Ta sẽ chứng minh 5 Q 12 . Thật vậy 2ab a b c ab 1 5 Q 12 a1 b 1 c 1 Tương đương với 7abc 7 a b 19ab 5c a b 17c 5 0 Đặt A 7abc 7 a b 19ab 5c a b 17c 5 khi đó ta có A 7abc 7 a b 19ab 5c a b 17c 5 5abc 2abc 7 a b 19ab 5c a b 17c 5 5c a b 1 6 c 1 7c 19 c 1 5c a b 17c 5 10c 30 0 Bất đẳng thức được chứng minh. Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5 12 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1;b 2;c 3 Cách 3: Ta có ab c a b c 0 Từ ab c b 1 a 1 mà ba . Do đó ta được ab a b 1 ab c 1 a1 b 1 0 ab ab 1 a b ab 1 Khi đó ta được 2 2ab a b c ab 1 2ab a b c abc 2ab abc Q a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 a1 b 1 c 1 ab 2 c ab 2 c ab 2 c ab a b 1c 1 ab ab 1 1c 1 2ab 1c 1 c1 c 2 1c2 1 c2 1 1 5 .. c1 c1 2 12 cc 11 2c c 1 21 21 ab c 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5 12 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1;b 2;c 3 Bài 42. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 11 1 P a1 b 1 c 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Bình Ph ước n ăm 2012-2013 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 11 1 1 1 1abbcca3 P 2a 2b 2a 2abc 2 a1 b 1 c 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 43. Cho n số thực 12 n x , x , ..., x với n3 . Kí hiệu 12 n Max x , x , ..., x } là số lớn nhất trong các số 12 n x , x , ..., x .Chứng minh rằng: 12 2 3 n 1 12 n 12 n x x x x ... x x x x ... x Max x , x , ..., x } n2n Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà N ội n ăm 2012-2013 Lời giải Để ý là trong hai số thực x, y bất kì ta luôn có Min{x, y} x, y Max{x, y} và xy x y Max{x,y} 2 Sử dụng đẳng thức xy x y Max{x,y} 2 , ta có: 12 n 12 2 3 n 1 xx ... x xx x x ... x x n2n 1 2 1 2 22 23 n1 n 1 12 2 n 1 12 n xx x x x x x x x x x x ... 2n 2n 2n Max{x , x } Max{x ,x} Max{x ,x } Max{x ; x ;...; x } n Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 12 n x x ... x Bài 44. Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn 3 xy z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất: 33 3 222 S x yzxyz Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2012-2013 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 2 2 22 2 2 2 2 xy z xx yy zz x y z Hay 22 33 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 32 xy z x y z xy z x y z (*) 23 Mặt khác, dễ dàng chứng minh được 2 22 2 22 2 222 33 3 xyz x y z x z y y z x 2z 2x 2y 22 2 27 9 x y z 6 xy yz xz 8xyz 82 27 3 x y z 9xyz 3 x y z x y z 883 Đặt 2 22 2 xy z 3 tx y z 34 . Khi đó ta được 2 2 22 2 2 2 2 3 t 2t t t9 7t t9 1 3 11 3 25 St t t 3 8 3 3 9 4 64 9 4 64 6 4 8 64 64 Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 25 64 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 2 Bài 45. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 13a 1 3b 13c 6 1b 1c 1 a Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2012-2013 Lời giải Cách 1: Ta viết lại vế trái thành 22 2 2 2 2 2 2 2 1 3a 1 3b 1 3c 1 1 1 3a 3b 3c 1b 1c 1 a 1b 1c 1 a 1b 1c 1 a Ta đi chứng minh 22 2 2 2 2 11 1 3 ab c 3 ; 22 1b 1c 1 a 1b 1c 1 a + Trước hết ta chứng minh 22 2 11 1 3 2 1b 1c 1 a . Ta có các hướng sau Hướng 1: Không mất tính tổng quát, giải sử ab c Do ab bc ca 3 bc 1 Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với x, y 0; xy 1 ta có 22 11 2 yz 1 y1 z 1 Thật vậy, ta có: 2 22 2 2 yz 2 yz 1 y 1z 1 y z yz 1 0 Do vai trò của các biến như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử ab c Khi đó ta được 3bc ab bc ca bc 1 Không mất tính tổng quát, giải sử ab c . Do ab bc ca 3 bc 1 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 11 1 1 2 P bc 1 a1 b 1 c 1 a1 Do đó ta sẽ chứng minh: 2 222 12 3 2abc3 3 aa b c 3abc 0 bc 1 2 2 a1 abc a bc 1 Từ giả thiết suy ra ab c 3 và abc 1 . Do đó ab c 3abc 0 Do đó ta được 22 2 2 11 1 1 2 3 bc 1 2 a1 b 1 c 1 a1 Hướng 2: Biến đổi biểu thức vế trái như sau 22 22 2 2 2 2 11 1 a b c P3 a 1 b1 c1 a 1 b1 c1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 22 2 2 2 4a 4a a a a a ab c 3a 3 3a ab bc ca a ab ac 2a bc 2a bc Áp dụng tương tự với hai biểu thức còn lại ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4a 4b 4c a b c 1 3a 3 3b3 3c 3 2a bc 2bca 2c ab Ta sẽ chứng minh 22 2 22 2 ab c 1 2a bc 2b ca 2c ab Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 3a b c 1 22 2a bc 2b ca 2c ab Hay 22 2 bc ca ab 1 2 2a bc 2b ca 2c ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 2 22 222 222 2 22 2 2 2 2 bc ca ab bc ca ab 2a bc 2b ca 2c ab 2a bc b c 2ab c c a 2abc a b ab bc ca 1 ab bc ca 2abc a b c Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. + Chứng minh 22 2 ab c 3 2 1b 1c 1 a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 aab ab ab aa a 2b 2 b1 b1 Tương tự ta có 22 bbcc ca b; c 22 c1 a 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c abbcca 3 ab c a b c 22 b1 c1 a 1 Mặt khác ta có 2 ab c 3ab bc ca ab c 3 Suy ra 22 2 ab c 3 2 1b 1c 1 a Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Ta viết lại vế trái thành 22 2 2 2 2 2 2 2 1 3a 1 3b 1 3c 1 1 1 3a 3b 3c 1b 1c 1 a 1b 1c 1 a 1b 1c 1 a Khi đó áp dụng ta đẳng thức Cauchy ta được 22 22 1b b b 11 1 2b 2 b1 b1 Hoàn toàn tương tự ta được 22 1c1 a 1; 1 22 c1 a 1 Khi đó ta có bất đẳng thức 22 2 11 1 abc 3 2 b1 c1 a 1 Mặt khác ta lại có 22 2 ab c abbcca 3 ab c a b c 22 b1 c1 a 1 Do đó ta được 22 2 2 2 2 5a b c 11 1 3a 3b 3c 9 36 22 1b 1c 1 a 1b 1c 1 a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 46. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 11 P abc 12ab bc ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2012-2013 Lời giải Do 22 2 ab c 1 1 2ab bc ca a b c Suy ra 22 2 2 2 2 1abc 1 111 P abc ab bc ca ab c a b c Đến đây ta chứng minh P30 bằng các cách sau Cách 1: Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 11 1 9 9 ab bc ca ab bc ca ab c ab c . Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 7 21 ab bc ca Tuy nhiên, dễ thấy 2 ab c 1 ab bc ca ab bc ca 33 Do đó ta được 7 21 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 22 2 22 2 22 11 1 1 16 3ab 3bc 3ca ab c ab c 3ab bc ca 16 12 1 ab c a b c 3 Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 21 1 1 18 3ab bc ca Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 21 1 1 6 6 18 3ab bc ca ab bc ca 1 ab c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Theo một đánh giá quen thuộc ta có 11 1 9 ab bc ca ab bc ca Do đó ta có bất đẳng thức 22 2 2 2 2 1111 1 9 ab bc ca ab bc ca ab c a b c Áp dụng tiếp đánh giá trên ta được 22 2 22 2 11 1 a b c 2ab 2bc 2ca 9 ab bc ca ab bc ca ab c Hay 22 2 12 9 ab bc ca ab c Mặt khác ta lại có 7 21 ab bc ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 1111 30 ab bc ca ab c . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 47. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c ab c bc a Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2012-2013 Lời giải Đặt 11 1 x;y ;z xyz1 ab c . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 33 3 xy z 1 1 1 zx y x y z Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopcxki ta được 2 22 2 33 3 22 2 xy z xy z xy z zx y xx yz zx Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 11 1 xy z xy z Thật vậy theo một đánh giá quen thuộc và giả thiết xyz 1 ta có 22 2 xy yz zx 1 1 1 xy z xy yz zx xyz x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 48. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 1a 1 b 1 c 81 a 1 b 1 c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh B ắc Ninh n ăm 2012-2013 Lời giải Vì a, b, c là các số dương và ab c 1 nên ta có a,b,c 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 1a 1b 1c 2 1 b 1 c Tương tự ta có 1b 2 1 c 1 a;1c 2 1 a 1 b Nhân theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 1a 1 b 1 c 81 a 1 b 1 c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Bài 49. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0a b c 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 11 1 Aa b c 1 a1 b 1 c 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh H ải D ương n ăm 2012-2013 Lời giải Đặt x1 c,y 1 b,z 1 a . Từ 0a b c 1 ta được 1x y z 2 Ta viết lại biểu thức A là 11 1 x x y y z z Ax y z 3 xy z y z x z x y x y xyx.y x y x 11 0 1 0 1 yz yzy.z yzz zy zyz.y zyz 11 0 1 0 1 yx yxy.x yxx xy z y x z xx y y z z x z 222 yz y x zx yzxz x y zx Đặt x1 tt1 z2 . Do đó ta được 22 2t 1 t 2 xz 1 t 1 2t 5t 2 5 5 t zx t t 2t 2 2t 2 Do 1 t1 2 nên ta có 2t 1 t 2 2t suy ra xz 5 zx 2 Từ đó ta được 5 A3 2. 2 10 2 Vậy giá trị lớn nhất của A là 10. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi. Bài 50. Cho a, b, c ,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c d 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 44 44 33 33 ab c d P ab c d Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Nam Định n ăm 2012-2013 Lời giải Cách 1: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại 3 ab c d 4 . Ta đi chứng minh 3 P 4 . Điều này tương đương với chứng minh 44 44 33 33 ab c d 3 4 ab c d Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta có 44 4 4 33 3 3 44 44 3 3 3 3 44 4 4 3 3 3 3 4a b c d 3 a b c d 4a b c d a b c d a b c d 3a b c d a b c db a c dc a b dd a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 44 4 4 3 444 4 3 444 4 3 aaa b 4ab;a aa c 4ac;a aa d 4ad Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 44 4 4 3 9a b c d 4a b c d Hoàn toàn tương tự ta được 44 4 4 3 44 4 4 3 44 4 4 3 9b a c d 4b a c d 9c a b d 4c a b d 9d a b c 4d a b c Do đó ta được 44 44 33 3 3 12 a b c d 4a b c d4b a c d 4c a b d4d a b c Hay 44 44 3 3 3 3 3a b c d a b c db a c dc a b dd a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 3 4 , đạt được khi 3 ab c d 4 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 44 44 2 2 2 2 2 44 44 2 2 2 2 3 3 3 3 4a b c d a b c d ; ab c d a b c d ab c d Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 44 44 3 3 3 3 2 2 2 2 4a bc d a bcd a b c d Hay 22 44 44 3 3 3 3 2 2 2 2 16 a b c d 4 a b c d a b c d Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 22 2 2 4a b c d a b c d 9 Do vậy 22 3 3 33 2 2 2 2 33 33 4a b c d a b c d 9 a b c d Suy ra ta được 22 44 44 3 3 3 3 16 a b c d 9 a b c d Hay 4 4 44 3 3 33 4a b c d 3 a b c d Do đó ta được 44 44 33 3 3 ab c d 3 P 4 ab c d Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 3 4 , đạt được khi 3 ab c d 4 Bài 51. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a4b 9c S bc a c a b a b c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh H ải D ương n ăm 2013-2014 Lời giải Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 nên ab c 2 . Đặt bc a x;c a b y;a b c z , do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x;y;z 0 . Khi đó ta được xy z 2 và yz x z x y a;b ;c 22 2 . Khi đó 4x z 9 x y 4x z 9 x y yz 1 y z S 2x 2y 2z 2 x y z 1y 4x z 9x 4z 9y 2x y x z y z Ta có 2 2 2 y4x y x 222 xy x y z9x z x 366 xz x z 4z 9y z y 2 3 12 12 yz y z Do đó 1 S4612 11 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 x y2x 3 z3x 25 2 1 y a ;b ;c 2z 3y 36 3 2 z1 xy z 2 Khi đó 22 2 ab c . Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 11 khi ABC vuông . Bài 52. Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 2 22 xxy y y yz z zzx x S x y 2z y z 2x z x 2y Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh H ải D ương n ăm 2013-2014 Lời giải Ta có 22 22 22 3x y x y xxy y x y 3xy x y 44 Suy ra 22 xxy y x y xy 2z 2x z y z Áp dụng tương tự ta được 1xy yz zx S 2 y z z x z xxy xy y z Đặt ax y;b y z;c z x , khi đó ta được 1a b c 13 3 S. 2b c c a a b 2 2 4 Vì theo bất đẳng thức Neibizt thì ab c 3 bc c a a b 2 . Vậy ta được giá trị nhỏ nhất của S là 3 4 đạt được tại xy z . Bài 53. Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn abc bcd cda dab 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 3 3 P4a b c 9c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà N ội n ăm 2013-2014 Lời giải Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c kd , với k là số dương. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được 33 2 22 33 3 33 2 33 3 33 2 33 3 33 2 13abc ab c kk ab 3abd d kk k bb 3bcd d kk k c a 3cad d kk k Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 2 3 23 2 2 3 abc abd bcd cad 12 3 ab c 3d kk k k Hay 33 2 3 23 2 36 9 ab c 9d kk k Ta cần tìm k để 3 23 36 44k 3k6 0 kk và ta chọn k là số dương. Đặt 2 11 kx 2x thay vào phương trình trên và biến đổi ta thu được 63 x12x 1 0 Giải phương trình này ta được 3 x6 35 , để ý là 6356 35 1 nên ta tính được 33 635 6 35 k 2 Do đó ta tính được giá trị nhỏ nhất của P là 2 33 36 635 6 35 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 33 635 6 35 ab c .d 2 Bài 54. Giả sử dãy số thực có thứ tự 1 2 3 192 x x x ... x thỏa mãn điều kiện: 12 3 n 1 2 3 192 xx x ... x 0 x x x ... x 2013 Chứng minh rằng: 192 1 2013 xx 96 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà N ội n ăm 2013-2014 Lời giải Trước hết ta chứng minh bài toán phụ sau: Với 12 3 n aa a ... a thỏa mãn 12 3 n 12 3 n a a a ... a 0 a a a ... a 1 Khi đó ta được n1 2 aa n . Thật vậy, từ điều kiện của bài toán ta nhận thấy tồn tại số tự nhiên k để 12 3 k k1 n aa a ... a 0 a ... a Khi đó từ 12 3 n 12 3 n a a a ... a 0 a a a ... a 1 suy ra k1 n 12 3 k k1 n 12 3 k k1 n 12 3 k 1 a...a aa a ... a a ... a 0 2 1 aa a ... a a ... a 1 aa a ... a 2 Cũng từ 12 3 k k1 n a a a ... a 0 a ... a ta được 12 3 k 1 k1 n n 1 aa a ... a a 2k 1 a...a a 2n k Do đó n1 2 11 n 2n 2 aa 2k n 2n k 2 n k n nk n Như vậy bài toán được chứng minh xong. Từ giả thiết của bài toán trên ta viết lại như sau 12 3 n 1 2 3 192 xxx x ... 0 2013 2013 2013 2013 xx x x ... 1 2013 2013 2013 2013 Áp dụng kết quả của bài toán phụ ta được 192 1 192 1 xx 2 2013 xx 2013 2013 192 96 Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 55. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 22 2 ab c 1 . Chứng minh: 22 2 22 2 ab 2c bc 2a ac 2b 2ab ba ca 1ab c 1 bc a 1ac b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2013-2014 Lời giải Do 22 2 ab c 1 nên ta có 22 2 2 22 2 2 22 2 22 2 ab 2c ab 2c ab 2c ab 2c 1 abc a b c abc a b ab ab 2c a b ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 22 2 22 2 22 2 2a b c 2c a b 2ab ab 2c a b ab a b c 22 Suy ra 22 2 2 2222 22 2 ab 2c ab 2c ab 2c ab 2c 1ab c a b c ab 2c a b ab Tương tự ta được 22 22 22 bc 2a ca 2b bc 2a ; ca 2b 1bc a 1ca b Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên kết hợp 22 2 ab c 1 ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 56. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: ab c 3 4 a 1 b1 b1 c1 c1 a 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2013-2014 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4a c 1 4b a 1 4c b 1 3 a 1 b 1 c 1 4abbcca 4a b c 3abc3ab bc ca 3a b c 3 ab bc ca a b c 6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta được 2 3 3 ab bc ca 3. abc 3; a b c 3 abc 3 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được ab bc ca a b c 6 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 57. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c ab bc ca 6abc . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 ab c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán TP Hà N ội n ăm 2013-2014 Lời giải Giả thiết của bài toán được viết lại thành 11 1 1 1 1 6 ab bc ca a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 22 2 11 2 1 1 2 1 1 2 ;; ab bc ca ab b c c a 121 21 2 1; 1 ; 1 ab c ab c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 11 1 1 1 1 1 1 1 332 2.612 ab bc ca a b c ab c Hay 22 2 11 1 3 ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 58. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 11 1 3 ab a 2 bc b 2 ca c 2 4 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán TP Hà N ội n ăm 2013-2014 Lời giải Đặt xy z a;b ;c yz x . Gọi P là vế trái, khi đó ta được 11 1 P ab a 2 bc b 2 ca c 2 yz zx xy xy xz 2yz xy yz 2xz xz yz 2xy Biến đổi tương đương ta được yz zx xy 3P111 xy xz 2yz xy yz 2xz xz yz 2xy 111 3 P xy yz xz xy xz 2yz xy yz 2xz xz yz 2xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 11 1 1 AB C A B C Ta có 99 93 3 P xy yz xz P 3 4xy 4yz 4xz 4 4 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 59. a) Chứng minh rằng: 33 ab aba b , với a, b là hai số dương. b) Cho a, b là hai số dương thỏa mãn ab 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 33 2 2 3 Fa b a b ab 2 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2013-2014 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 ab a ab b abab 0 ab a 2ab b 0 ab a b 0 Ta thấy với a, b là hai số dương nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng. b) Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh trên ta có 2 2 33 ab aba b nên theo giả thiết ta được 2 2 2 33 a b ab a b ab Mặt khác ta có 2 22 ab a b 2ab 11ab Do đó 22 2 2 3ab Fab 12ab abab 1 22 11 15 1 15 15 ab 2.ab. ab 4 16 16 4 16 16 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng 15 16 , đạt được khi 1 ab 2 . Cách 2: Ta có 2 2 33 1 Fa b a b ab 2 Mà ta luôn có bất đẳng thức 3 33 ab ab 4 , với mọi a, b > 0. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có 2 3 2 33 ab 1 ab 416 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 ab 7a b 11 1715 Fab 16 8 16 8 16 8 16 Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng 15 16 , đạt được khi 1 ab 2 . Bài 60. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn 22 2 11 1 1 1 1 12 3 ab c ab c Chứng minh rằng: 111 1 4a bc a 4bc a b 4c 6 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2013-2014 Lời giải Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 22 2 11 1 1 1 1 11 1 412 3 ab c a b c ab c Suy ra 11 1 1 1 1 14 3 0 ab c a b c Do đó ta được 11 1 1 ab c và ab c 9 Đặt 111 P 4a bc a 4bc a b 4c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 411 xy x y ta được 111 P 4a b c a 4b c a b 4c 1111111 4 3a a bc 3a a b c 3a a bc 11 1 1 3 1 1 1 1 43a 3b 3c a b c 43 3 6 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Bài 61. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 2 2 2 bc a c a b a b c 2 bc ca ab Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thanh Hóa n ăm 2013-2014 Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 2 2 2 3 22 22 2 bc a c a b a b c 2 bc ca ab ab c a b c a b c a b c 2abc a b c 2abc a b c a 2abc b c a b c 2abc c 0 abc a b a c b c a b c 0 ab c a b c a ba c b a bc ca bc a b c 2 2 0 bc a a b c 0 ab c b c a c a b 0 Vì a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên ab c 0;b c a 0;c a b 0 Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 62. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 22 2 x y z 3xyz . Chứng minh rằng: 22 2 44 4 xy z 3 2 xyz y xz z xy Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Nam Định n ăm 2014-2015 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 24 44 2 11 x 1 2x yz x yz xyz x yz 2x yz 2 yz 21 1 1 11 1 yz 4 y z yz 2 yz Từ hai bất đẳng thức trên ta được 2 4 x111 4y z xyz Hoàn toàn tương tự ta có 22 44 y111 z 111 ; 4x z 4 x y yxz z xy Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 44 4 xy z 11111xyyzzx 2 y z x 2 xyz xyz y xz z xy Mặt khác ta lại có 22 2 xy yz zx x y z Do đó ta được 22 2 xy z 3xyz 3 xyz xyz Suy ra 22 2 44 4 xy z 3 2 xyz y xz z xy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 1 Cách 2: Từ giả thiết của bài toán ta được 22 2 3xyz x y z xy yz zx Suy ra 11 1 3 xy z . Đặt 11 1 a;b ;c xy z , khi đó ta được ab c 3 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 44 4 abc bca cab 3 2 abc b ca c ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 42 abc 2a bc Do đó ta được 22 4 2 abc a bc bc 2 abc 2a bc Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 44 4 abc bca cab ab bc ca 2 abc b ca c ab Dễ thấy ab bc ca a b c 3 nên ta được 22 2 44 4 abc bca cab 3 2 abc b ca c ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 1 Bài 63. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 42 4 2 4 2 5 2abc a b c a b b c c a 9 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà N ội n ăm 2013-2014 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức dạng 22 2 xy z xy yz zx ta được 42 4 2 4 2 2 2 2 ab bc ca abc ab bc ca Bài toán quy về chứng minh 22 2 5 2abc a b c abc a b b c c a 9 Hay 22 2 5 2a b c ab bc ca 9abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 12a 1 2b 1 2c ab ;bc ; ca 9b 3 9c 3 9a 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 11 1 2a 2b 2c ab bc ca 9a 9b 9c 3 3 3 Hay 22 2 ab bc ca 2 ab bc ca a b c 9abc 3 Như vậy ta cần chỉ ra được 42 2a b c a b c 9abc 3 Hay 4abc a b c 4 3abc a b c 1 39 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 2 1ab bc ca 3abca b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 42 4 2 4 2 4 2abc a b c 1 a b b c c a 9 Để ý là 2 22 2 2 2 2 1 abbcca ab bc ca 2abca bc Như vậy ta quy bài toán về chứng minh 2 2 22 2 2 4 2 42 4 2 4 ab bc ca a b b c ca 9 Để ý đến giả thiết ta biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 ab a 1 bc b 1 ca c 1 9 4 ab ab ac bc b c ab ca c b c a 9 ab bc ca 49a b b c c a bc c a a b Dễ dàng chứng minh được 9a b b c c a 8 a b c ab bc ca 8 a b c Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có 2 22 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca 1 bc c a a b 2a b c 2a b c Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 ab bc ca 9a b b c c a 4 bc c a a b Hay bất đẳng thức trên được chứng minh. Bài 64. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 2 22 2 3 a b c 3 abc 2 ab bc ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Ngh ệ An n ăm 2014-2015 Lời giải Đặt 33 3 22 2 xa;y b;z c . Suy ra 23 2 3 2 3 ax;b y;c z , nên 33 3 ax,b y,c z với x; y; z 0 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 33 33 33 x y z 3xyz 2 x y y z z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 xy x y 2xy xy 2 x y Tương tự ta có 33 3 3 yz y z 2 y z ; zx z x 2 z x Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 3 xy x y yz y z zx z x 2 x y y z z x Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3 x y z 3xyz xy x y yz y z zx z x Vì vai trò của các biến bình đẳng nên có thể giả sử xy z 0 Khi đó 22 xx y zy z z x yx yy z 0 Suy ra 33 3 xy z 3xyz xyx y yzy z zxz x Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 65. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện 2c b abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 34 5 S bc a c a b a b c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh B ắc Ninh n ăm 2014-2015 Lời giải Từ giả thiết ta có ab c 0;b c a 0;c a b 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 11 4 xy x y ta được 11 11 11 S2 3 bc a c a b bc a a b c c a b a b c 24 6 cb a Mà 21 2c b abc a bc nên kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được 6 S2a 43 a Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 43 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c 3. Bài 66. Cho phương trình 2 ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm thuộc đoạn 0;2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 8a 6ab b P 4a 2ab ac Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2014-2015 Lời giải Gọi 12 1 2 x; x x x là hai nghiệm của phương trình đã cho. Theo định lí Vi-ét ta có 12 12 bc xx ;xx aa Khi đó 2 2 22 12 12 2 12 12 bb 86 8 6xx xx aa 8a 6ab b P bc 4a 2ab ac 42x x xx 42 aa Do 22 22 12 1 12 2 1 2 12 0x x 2 x xx;x 4 x x xx 4 2 12 12 xx 3xx 4 Do đó ta được 12 12 12 12 86x x 3xx 4 P3 42x x xx Đẳng thức xảy ra khi 12 xx 2 hoặc 12 x0;x 2 hay cb 4a b 2a; c 0 Vậy giá trị lớn nhất của P là 3. Bài 67. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 2014 . Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 22 2 5a b 5b c 5c a 2014 ab 3a bc 3b ca 3c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Lào Cai n ăm 2014-2015 Lời giải Dễ dàng chứng minh được 33 ab aba b , ta biến đổi tương đương bất đẳng thức bên như sau 33 3 3 3 3 3 2 2 33 33 2 ab aba b 5a b 6a aba b 5a b a6a ab b 5a b 5a b a 2a b 3a b 2a b ab 3a Hoàn toàn tương tự ta được 33 3 3 22 5b c 5c a 2b c; 2c a bc 3b ca 3c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3 3 3 22 2 5a b 5b c 5c a a b c 2014 ab 3a bc 3b ca 3c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi 2014 ab c 3 Bài 68. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xx 1 y y 1 z z 1 18 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 11 1 B xy 1 y z 1 z x 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thái Bình n ăm 2014-2015 Lời giải . Ta biến đổi giả thiết 22 2 xx 1 y y 1 z z 1 18 x y z 18 x y z Áp dụng một đánh giá quen thuộc ta được 2 xy z 54 3xy z Hay 0x y z 6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 11 1 9 ab c a b c ta được 11 1 9 9 3 B xy 1 y z 1 z x 1 2.6 3 5 2x y z 3 Hay 3 B 5 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy z 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 3 5 . Đẳng thức xẩy ra khi xy z 2 Bài 69. Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: abc b ca c ab 3 abc b ca c ab 2 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thái Bình n ăm 2014-2015 Lời giải Kết hợp với giả thiết ta có biến đổi sau abc 2bc 2bc 2bc 11 1 abc a bc aa b c bc ab ac Hoàn toàn tương tự ta được bca 2ca c ab 2ab 1; 1 . bca c ab bc b a c a bc Khi đó ta được abc b ca c ab bc ca ab 32 abc b ca c ab ab ac b c b a c a c b Ta quy bài toán về chứng minh bc ca ab 3 4 ab ac b c b a c a c b Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 2 2 2 22 2 4bc b c 4ca c a 4ab a b 3 a b b c c a bc c a ab b c bc c a ca a b ab 6abc 6 aab b c c ba c b c a 22 20 ab bc a c ab b c c a 0 ab bc ca Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 70. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a 3b 2c abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 12 3 B a1 b 4 c 9 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2014-2015 Lời giải Giả thiết của bài toán được viết lại thành 632 1 bc ca ab . Đặt 12 3 a;b ;c xy z , khi đó ta được xy yz zx 1 Biểu thức B được viết lại thành 22 2 xy z B x1 y 1 z 1 Để ý đến giả thiết xy yz zx 1 ta có 22 x1 x xy yz zx x y z x Khi đó ta được 2 xx x1 xy z x Hoàn toàn tương tự ta được xy z B xy x z xy y z z x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được x1x x 2x y z x xy z x y1y y 2x y y z xy y z z1z z 2z x y z xz y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được xy z 3 B 2 xy x z xy y z z x y z Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 3;b 23;c 33 Bài 71. Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab c 2 bc c a a b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Qu ảng Tr ị n ăm 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 2 22 22 2 aa 2a ab c bc ab c Hoàn toàn tương tự ta được 22 22 2 2 2 2 22 2 2 b2b c 2c ; ab c a b c ca a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 ab c 2 bc c a a b Vì đẳng thức không xẩy ra nên ta có bất đẳng thức 22 2 2 2 2 ab c 2 bc c a a b Bài toán được chứng minh xong. Bài 72. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 bc a c a b a b c A 2a 2b 2c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Đăk L ăk, 2014 – 2015 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 3 bc a 3bc a 2a 1 2a 4 2 2 ca b 3ca b 2b 1 2b 4 2 2 ab c 3ab c 2c 1 2c 4 2 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 bc a c a b a b c 3a b c ab c 3 2a 2b 2c 2 2 2 Hay 33 bc a c a b a b c 33 ab c 2a 2b 2c 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Đặt xb c a;y c a b;z a b c , khi đó ta viết lại giả thiết thành xy z 3 . Bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 3 xy z A 2y z 2 z x 2x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 33 3 2 2 2 xy z xy z xyz 3 A yz zx x y 2 2 2xy yz zx Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 73. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x1;y 2;z 3 và xy z 5 . Chứng minh rằng: 149 36 x1 y 2 z 3 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Yên Bái n ăm 2014-2015 Lời giải Do x1;y 2;z 3 nên x 1 0; y 2 0; z 3 0 . Khi đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 12 3 14 9 36 x1 y 2 z 3 x y z 6 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 5 12 3 x1 y 2 z 3 Bài 74. Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn xy z xyz 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pxy yz zx Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán Đại H ọc Vinh n ăm 2014-2015 Lời giải Cách 1: Giả sử x là số nhỏ nhất trong ba số x, y, z. khi đó ta xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1: yz 1 . Kho đó ta được xy 1; zx 1 nên P3 + Trường hợp 2: yz 1 . Khi đó ta được xyz x . Do đó 22 4 x y z xyz x y z x 2 x y x z 2x xy yz zx 2x P 2 P Suy ra P4 . Kết hợp các kết quả ta được giá trị nhỏ nhất của P là 4. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x0;y z 2 và các hoán vị. Cách 2: Giả sử x là số lớn nhất trong các số x, y, z. Khi đó ta được 3 xy z 3x;xyz x Suy ra 3 x3x 4 hay 2 x1 x x 4 0 x 1 . Ta có 22 2 2 P xy yz zx x x y z yz x x 4 xyz yz x x2 4 yz1 x 4 Suy ra P4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x0;y z 2 và các hoán vị. Bài 75. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rẳng: 22 2 ab c 3 2 b3 c3 a 3 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh B ắc Giang n ăm 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 ab c 4a4b 4c 4a 4b 4c b7 c7 a 7 b3 c 3 a 3 4 b 3 4 c3 4 a 3 Áp dụng tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 4a b c 4a 4b 4c 4.9 3 b7 c7 a 7 a b c 21 3 21 2 Suy ra ta được 22 2 ab c 3 2 b3 c3 a 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 76. 1) Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: 3 3 aab abc a bc 4 2) Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: 22 2 bc ca ab 1 a2bc b 2ca c 2ab Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Tin - Toán T ỉnh Ti ền Giang n ăm 2014-2015 Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3 3 a b4c aa a 4 ab 2. .b b; abc .b.4c 44 4 3 Từ đó ta có 3 a b4c 4a b c a 4 aab abc a b 43 3 . Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 4b 16c 2) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 ab c 1 a2bc b 2ca c 2ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 222 ab c ab c 1 a 2bc b 2ca c 2ab a b c 2ab 2bc 2ca Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Bài 77. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy z 1 . Chứng minh rẳng: 22 2 1x 1y 1 z 6 xyz y zx z xy Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán Thành Ph ố Hà N ội n ăm 2014-2015 Lời giải Áp dụng giả thiết ta được 2 1x 1 x x y y z z x y z 1x xyz xy z x xy z x Hoàn toàn tương tưh ta được 2 2 xz x y xz y z 1y yzx xy y z xy y z xy x z 1z zxy yz z x Đặt ax yy z;b y zz x;c x yz x , khi đó ta viết lại được bất đẳng thức thành ab b c c a 6 ca b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được ab bc c c 2; 2; 2 ba c b a a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab b c c a 6 ca b Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 78. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy yz zx 1 . Chứng minh rẳng: 22 2 xy z 3 2 x1 y 1 z 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHSP TP H ồ Chí Minh, 2014-2015 Lời giải Áp dụng giả thiết ta được 22 xx x x1 x xy yz zx xy x z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 xx 1xx 2x y z x xy x z xy x z Do đó ta được 2 x1 x x 2x y z x x1 Hoàn toàn tương tự ta được 22 y1 y y z 1 z z ; 2x y y z 2 z x y z y1 z 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 xy z x1 y 1 z 1 1 xxy y z z 3 2 x y z xx y y z z xy z 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3 Bài 79. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 22 2 2 2 2 x y y z z x 2014 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 xy z P yz z x x y Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thanh Hóa, 2014 – 2015 Lời giải Dễ dàng chứng minh được 22 2y z x y do đó ta được 22 22 xx yz 2y z . Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 xy z P 2y z 2 z x 2x y Đặt 22 2 2 2 2 ay z;b z x;c x y , suy ra a b c 2014 Từ đó ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 bc a c a b a b c x;y ;z 22 2 Khi đó ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 1b c a ca b a b c P abc 22 Xét biểu thức 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 bc a c a b a b c Q abc bc a c a b ab c aa b b c c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 2 22 ab c b c a Qabc bc a a b c ab c a b c a b c a b c 2014 ab c a b c Do đó ta được 2014 P 22 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2014 22 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2014 xy z 32 . Bài 80. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac abc 4 . Chứng minh rằng: 22 2 a b c a bc 2abbc ac Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà N ội n ăm 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 4 số ta có : 43 3 33 3 2 2 2 4 abc ab bc ac 4 a b c 1 abc a b c 3 abc 3 a b c Khi đó ta quy bài toán về chứng minh 3 22 2 222 a b c 3 a b c 2 ab bc ac Đặt 33 3 22 2 a x, b y, c z x, y, z 0 , bất đẳng thức được viết lại thành 3 3 3 333333 x y z 3xyz 2 x y 2 z x 2 z y Dễ dàng chứng minh được 33 3 x y z 3xyz xy x y yz y z xz x z 33 3 3 3 3 xy x y yz y z xz x z 2 x y 2 z x 2 z y Khi đó ta được 3 3 3 333333 x y z 3xyz 2 x y 2 z x 2 z y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 81. Giả sử x, y, z là các số thực lớn hơn 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy z P yz 4 z x4 x y 4 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà N ội n ăm 2015-2016 Lời giải Ta có 4x 4y 4z P 4y z 4 4 z x 4 4x y 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 4y z 4 2 4 y z 4 y z 4 4 y z Áp dụng tương tự thì ta được 4x 4y 4z x y z P4 yz x z x y 4y z 4 4 z x 4 4x y 4 Dễ dàng chứng minh được xy z 3 yz x z x y 2 Do đó ta được P6 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 4 . Bài 82. Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn: 22 33 1 1 ab b a 2a 2b 44 2 2 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà N ội n ăm 2015-2016 Lời giải Ta dễ dàng chứng minh được 2 22 2 22 11 3 1 a0a aab ab 24 4 2 11 3 1 b0b bba ab 24 4 2 Áp dụng đánh giá trên và bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 22 2 33 11 ab b a a b 2a 2b 1 44 24 11 2a 2b 22 11 2a 2b 422 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab . 2 Bài 83. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 22 2 11 1 1. xy z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 yz z x x y P xy z y z x z x y Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2015-2016 Lời giải Ta có 22 2 2 22 111 P 11 1 1 1 1 xy z zy zx x y Đặt 11 1 a;b ;z xy z thì a;b;c 0 và 22 2 ab c 1. Khi đó ta được 22 2 22 2 2 2 2 22 2 ab c a b c P bc c a a b a1 a b 1 b c 1 c Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có 3 222 2 22 2 2 2 22 2 2 1 1 2a 1a 1a 4 a 1 a .2a 1a 1a 223 27 2a 33.a a1 a 2 a1 a 33 Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 22 b33.b c 33.c ; 22 b1 b c 1 c Cộng theo vế các kết quả trên ta được 33 P 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 33 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 3 Bài 84. Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 44 44 4 4 abc T bc a a c b a b c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Nam Định n ăm 2015-2016 Lời giải Ta có 2 4 4 22 22 4 4 22 2b c b c 2bc b c b c bc b c Do đó ta được 22 44 22 2 22 2 2 2 aa a a bc a a b c bc b c a abc b c a Hoàn toàn tương tự ta được 22 44 2 2 2 4 4 2 2 2 bb c c ; ac b a b c ab c a b c Cộng theo vế các kết quả trên ta được T1 . Vậy giá trị lớn nhất của T là 1. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 85. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 2 22 22 2 4a b c 4b c a 4c a b 3 2a b c 2b c a 2c a b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Nam Định n ăm 2015-2016 Lời giải Ta có 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22a b c 4a b c 2bc 4a b c b c 2 2a b c 2a b c 2a b c Áp dụng tương tự ta viết lại được bất đẳng thức 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 bc c a a b 3 2a b c 2b c a 2c a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 bc bc 2a b c a b c a ca ca 2b c a b c b a ab ab 2c a b c a c b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 bc c a a b 3 2a b c 2b c a 2c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Bài 86. Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện 3 ab 4ab 12 . Chứng minh rằng: 11 2015ab 2016 1a 1 b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh H ải D ương n ăm 2015-2016 Lời giải Ta có 3 3 12 (a b) 4ab 2 ab 4ab . Đặt tab,t 0 thì 32 3 2 2 12 8t 4t 2t t 3 0 t 1 2t 3t 3 0 Do 2 2t 3t 3 0, t nên t1 0 t 1 . Vậy 0ab 1 Dễ dàng chứng minh được 11 2 1a 1 b 1ab , a,b 0,ab 1 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 2 11 1 1 aba abb 00 1a 1 b 1ab 1 ab 1a 1 ab 1 b 1 ab ba ab1 ba a b 00 1a 1 b 1ab 1ab1a1b Do 0ab 1 nên bất đẳng thức này đúng. Tiếp theo ta sẽ chứng minh 2 2015ab 2016, 1ab a,b 0,ab 1 Đặt tab,0 t1 ta được 2 2 2015t 2016 1t 32 2 2015t 2015t 2016t 2014 0 t 1 2015t 4030t 2014 0 Do 0t 1 nên bất đẳng thức trên đúng. Vậy 11 2015ab 2016 1a 1 b . Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 1 . Bài 87. Cho a,b,c là các số thực bất kỳ . Chứng minh rằng: 2 22 2 3a b c a1 b 1 c 1 4 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Ngh ện An n ăm 2015-2016 Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 22 2 2a 2 2b 2 2c 2 3 2a 2b 2c Đặt x a 2; y b 2; z c 2. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 22 2 x2 y 2 z 2 3x y z Ta có 22 22 2 2 x2 y 2 xy 1 2x2y 3 Suy ra 2 2 22 2 2 xy 3 x2 y 2 2xy x y 3 x y 2 22 22 22 2 2 2 22 2 3 x2 y 2 z 2 x y z 4 2x y 2z 2 3 4x y z 2 x y 2z 3 x y z 2 Do đó ta được 2 22 2 3a b c a1 b 1 c 1 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c . 2 Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4abc 4abbcca a bc 4 6ab bc ca Theo nguyên lý Dirichlet ta giả sử 22 22 2 2 2 2 2 22 22 2a 1 2b 1 0 c 2a 1 2b 1 0 4a b c c 2a c 2b c Khi đó ta quy bài toán về chứng minh 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 22 4ab bc ca a b 2ac 2bc 4 6 ab bc ca 32bc 1 3 2ca 1 ab 2ab 1 0 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 88. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 ab c ab c Chứng minh rằng: 33 3 a) a b c 3abc ab c 3 b) 13bc 13ca 13ab 2 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Bà R ịa – V ũng Tàu, 2015 – 2016 Lời giải a) Giả thiết của bài toán được viết lại thành abc a b c ab bc ca Mà ta lại có 2 ab c ab bc ca 3 Do đó ta được 2 ab c abc a b c 3abc a b c 3 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . b) Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 44 4 ab c 3 a 3abc b 3abc c 3abc 2 Áp dụng kết quả câu a ta được 44 4 2 2 2 ab c a b c a 3abc b 3abc c 3abc 2a b c a 2b c a b 2c Ta cần chỉ ra được 22 2 abc 3 2 2a bc a 2bc a b 2c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c abc 2a b c a 2b c a b 2c 2a b c a 2b c a b 2c Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2a bc a 2bc a b 2c 12a b c Suy ra 22 ab c a b c ab c a b c 2a bc a 2bc a b 2c 23 23 a b c Cũng từ giả thiết 11 1 ab c ab c ta suy ra được 11 1 9 ab c a b c 3 ab c a b c Do đó ab c a b c 3 2 23 . Từ các kết quả trên ta được 22 2 abc 3 2 2a bc a 2bc a b 2c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 89. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 2 a1 b 1 c 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thái Bình n ăm 2015-2016 Lời giải Theo một đánh giá quen thuộc ta được 2 a b c 3 ab bc ca 9 a b c 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 1a a a 11 1 2a 2 1a 1a Hoàn toàn tương tự ta được 22 bc 1; 1 22 11 b1 c1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c 2 11 1 3 3 2 a1 b 1 c 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 90. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 bc a 9 9 ab c 2 2ab bc ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Thái Bình n ăm 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c bc a ab c ab c a b c Mà theo một đánh giá quen thuộc thì ab c 3ab bc ca Do đó ta được 22 2 bc a 9 9 3ab bc ca ab c 2ab bc ca 2 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 9 3ab bc ca 2ab bc ca 3ab bc ca 3 ab bc ca 9279 3 22 82 2ab bc ca Suy ra 22 2 bc a 9 9 ab c 2 2ab bc ca Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 91. Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab b c c a 1. Chứng minh rằng: 3 ab ac bc 4 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán TP Hà N ội n ăm 2015-2016 Lời giải Dễ dàng chứng minh được 8 ab b c c a ab c ab bc ca 9 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 9a b b c c a 8 a b c ab bc ca Ta có đẳng thức ab c ab bc ca a b b c c a abc Nên ta được 9a b b c c a 8 a b b c c a 8abc a b b c c a 8abc Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Do đó bất đẳng thức trên đúng. Áp dụng bất đẳng thức trên và kết hợp với giả thiết ta được 8 1abcabbcca 9 Lại có ab c 3ab bc ca Nên ta được 2 3 89 1 3 ab bc ca ab bc ca 3 ab bc ca 98 Hay 3 ab bc ca 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 2 . Bài 92. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 55 5 11 1 ab c 6 ab c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh B ạc Liêu n ăm 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 525 25 2 11 1 a2a;b 2b;c 2c ab c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 55 5 2 2 2 11 1 ab c 2a b c ab c Dễ thấy 2 22 2 ab c ab c 3 3 Do đó ta được 55 5 11 1 ab c 6 ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 93. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy z 32 . Chứng minh rằng: 111 3 4 x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Bình Thu ận n ăm 2015-2016 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 111 x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y 9 x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y 3 x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y 24 xy yz zx Mà theo một đánh giá quen thuộc thì 2 3xy yz zx x y z 18 Do đó ta được x3y 5z y 3z 5x z 3x 5y 8.18 12 Suy ra 111 93 12 4 x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 2 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 28x3y5z 8x 3y5z Suy ra 142 42 8x 3y 5z x3y 5z 2 8x 3y 5z Hoàn toàn tương tự ta được 142 1 42 ; 8y 3z 5x 8z 3x 5y y3z 5x z 3x 5y Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 111 x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y 42 42 42 8x 3y 5z 8y 3z 5x 8z 3x 5y Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có 42 42 42 9.42 36 2 3 8x 3y 5z 8y 3z 5x 8z 3x 5y 4 16 x y z 16.3 2 Suy ra 111 3 4 x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 2 . Bài 94. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 ab bc ca 1 Pa b c 2 ab c Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán ĐH Vinh n ăm 2015-2016 Lời giải Từ giả thiết ab c 2 ta được 22 2 4a b c ab bc ca 2 Do đó biểu thức P được viết lại thành 22 2 22 2 22 2 4a b c 1 Pa b c 4 ab c Đặt 22 2 2 ta b c t 2 3 . Khi đó ta được 22 22 t1 2 1 1t t t 1 3t t 3 3 9 Pt 1 1 488 44 4 4 24 t2t Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9 4 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 0;c 2 và các hoán vị. Bài 95. a) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1a 1 b 1 ab b) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 22 11 P1a1b a2a b 2b Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Bình Ph ước n ăm 2015-2016 Lời giải a) Bình phương hai vế ta được 2 1 a 1 b 1 2 ab ab a b 2 ab a b 0 b) Áp dụng bất đẳng thức câu a và 11 4 xy x y ta được 22 2 22 3 22 44 4 P1ab 1abab1 a2a b 2b ab ab 2ab 2ab 4 ab ab 7ab 1 1 7ab 7 7ab 13.4. . 1 16 16 8 16 16 8 4 8 ab Mặt khác từ giả thiết ta có ab a b 2 ab ab 4 Do đó ta được 77.4 21 P 48 4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21 4 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 2 Bài 96. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 11 1 3 ab c . Chứng minh rằng: 22 2 ab c abbcca 3 2 1b 1c 1 a Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Ninh Bình n ăm 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 11 1 9 3abc3 ab c a b c Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 aab ab ab aa a 2b 2 1b 1b Hoàn toàn tương tự ta được 22 bbcc ca b; c 22 1c 1 a Khi đó ta được 22 2 a b c abbcca abbcca abbc ca ab c 3 22 2 1b 1c 1 a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 97. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab c 3 . Chứng minh rằng: 44 4 ab c 1 3 a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh B ắc Giang n ăm 2015-2016 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 4 4 aa2b214a 27 27 9 9 a2 b 2 bb2c214b 27 27 9 9 b2 c2 cc2a214c 27 27 9 9 c2 a 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 44 4 2a bc 4a bc ab c 1 27 3 3 a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 Hay 44 4 10 a b c ab c 211 27 27 3 a2 b 2 b 2 c 2 c 2 a2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 44 4 ab c ab c a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 ab bc ca 4a b c 12 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 2 22 2 3 a b c ab bc ca 4 a b c 12 3a b c ab bc ca 24 Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a bc a b c a bc 9a bc Lại thấy 2 22 2 2 2 2 8a b c a b c ab bc ca; 8 a b c 8.3 24 3 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 22 2 2 2 2 3a bc 9a bc ab bc ca 24 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 98. Cho ba số thực x;y;z 1 . Chứng minh rằng: 44 4 22 xy z 48 x1 y1 z 1 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Ti ền Giang n ăm 2015-2016 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsxki ta được 2 44 4 2 2 2 22 xy z 1x y z 3y 1 z 1 x 1 x1 y1 z1 Ta quy bài toán về chứng minh 2 22 2 xy z 144 y1 z 1 x 1 Hay 22 2 xy z 12 y1 z 1 x 1 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 xy x xy z y1 z 1 x 1 x y z 3 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 xy x 12 xy z 3 hay 22 2 xy z 12x y z 36 xy z 12x y z 36 0 xy z 6 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 2 . Cách 2: Ta đi chứng minh bất đẳng thức: Với a1 thì 2 4 a16a 1 Thật vậy 22 442 2 a 16 a 1 a 16a 32a 16 0 a 2 a 4a 4 0 Vì a1 nên 2 a4a 4 0 , do đó bất đẳng thức trên đúng. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 2 4 y16y 1 do đó 44 24 x16x y y1 . Hoàn ta tương tự ta được 44 4 444 22 444 xy z xyz 16 48 yzx x1 y1 z 1 Vì theo bất đẳng thức Cauchy thì 44 4 44 4 xy z 3 yz x Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 99. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 2xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy z P zz x x x y x x z Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh C ần Th ơ n ăm 2015-2016 Lời giải Biến đổi giả thiết ta được 11 1 2 xy z . Đặt 11 1 a;b ;c xy z , khi đó giả thiết trở thành ab c 2 . Ta viết lại biểu thức P là 22 2 2 ab c P a2b c 2a b2c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 ab c ab c abc2 P a2b c 2a 3 3 b2c 3a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 3 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 xy z 2 Bài 100. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 2ab 2 bc 2 ca Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2015-2016 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 ab bc ca 1 2ab 2 bc 2 ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 22 2 2ab 1 1 ab 3 ab Do đó ta được 3 22 2 2 3 2 ab ab a ab 3 2ab 3ab Hoàn toàn tương tự ta được 33 3 22 2 2 2 22 2 ab bc ca a ab b bc c ca 3 2ab 2 bc 2 ca Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 2 ab b a 2b ab 33 Suy ra 2 3 2 aa 2b a2ab aab 33 Hoàn toàn tương tự ta được 2 33 3 22 ab c aab b bc c ca 3 3 Từ đó ta được 22 2 22 2 ab bc ca 1 2ab 2 bc 2 ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 101. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 11 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 5a 5b 2c P 12 a 11 12 b 11 c 11 Trích đề thi tuy ển sinh l ớp 10 chuyên Toán T ỉnh Qu ảng Bình n ăm 2015-2016 Lời giải Dễ thấy 22 a11 a ab ca ca a b a c , do đó ta được 2 12 a 11 2 3 a b a c 3 a b a c 4a 3b c Hoàn toàn tương tự ta được 2 12 b 11 2 3 a b b c 3 a b b c 3a 4b c 2 ca b c a b 2c c11 c a b c 22 Khi đó ta được 22 2 15a 15b 12 a 11 12 b 11 c 11 3c 22 Suy ra 5a 5b 2c 10a 10b 4c 2 P 15a 15b 15a 15b 6c 3 3c 22 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 3 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2a 3b 3a 2b c ab 1;c 5 ab bc ca 11 Bài 102. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 11 1 1 18a 1 8b 18c Trích đề thi HSG t ỉnh Nam Định n ăm 2011-2012 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 32 2 12a 1 2a 4a 18a 1 2a 1 2a 4a 1 2a 2 Do đó ta được 2 3 11 12a 18a . Hoàn toàn tương tự ta được 22 33 11 1 1 ; 12b 1 2c 18b 1 8c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 222 33 3 1 1 1 111 12a 1 2a 12a 18a 1 8b 18c Theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 222 22 2 111 9 1 12a 1 2a 12a 32a b c Suy ra 33 3 11 1 1 18a 1 8b 18c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra hi và chỉ khi ab c 1 Bài 103. Cho x, y thỏa mãn x, y R 1 0x,y 2 . Chứng minh rằng: y x22 1y 1x 3 Trích đề thi HSG t ỉnh Thái Bình n ăm 2011-2012 Lời giải Từ giả thiết suy ra 11 2 xy0 xy 2xy 2 22 11 1 xx x. ;y y y. x x y y x y 22 2 Lại có 22 22 1 1 xy xy xy xy 33 4 4 xy 22 xy xy x y 2 36 Từ các bất đẳng thức trên ta được 2222 12 xx y y x y x y xy x y 223 46 22 1 x y xy 3 Suy ra yxx yy x y x22 1y 1x 1x y xy 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 xy 2 Bài 104. Cho a,b,c,d là các số thực thỏa mãn điều kiện abc bcd cda dab a b c d 2012 Chứng minh rằng: 22 22 a 1 b 1 c 1 d 1 2012 Trích đề thi HSG t ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2011-2012 Lời giải Từ giả thiết ta có 2 2 2012 abc bcd cda dab a b c d ab 1 c d cd 1 a b Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ab 1 c d cd 1 a b ab 1 a b cd 1 c d ab a b 1 cd c d 1 a 1 b 1 c 1 d 1 Suy ra 22 22 a 1 b 1 c 1 d 1 2012 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 105. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc a b 3ab . Chứng minh rằng: ab b a 3 ab1bcc1cac1 Trích đề thi HSG t ỉnh Phú Th ọ n ăm 2011-2012 Lời giải Từ giả thiết ta suy ra 11 c3. ab Ta viết lại vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành ab b a 1 1 1 ab1bcc1cac1 11 1 c 1 c 1 cc ab ab b b a a Đặt 11 x;y ;z c ab .Khi đó giả thiết trở thành xy z 3 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 11 1 3 x y xy y z yz z x zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 11 1 9 x y xy y z yz z x zx x y xy y z yz z x zx Đặt Axyxy yzyz zxzx Theo Bunhiacopxki ta lại có ta có: 2 A36 xy yz zx 36 xy z3 z Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 3z 1 xy x y 44 Khi đó ta phải chứng minh 22 2 3z 3z 1 A 3 6 z 3 z 27 27 44 Hay A33 . Do đó ta được 99 3 x y xy y z yz z x zx 3 3 Suy ra 11 1 3 x y xy y z yz z x zx Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi bà chỉ khi ab c 1 Bài 106. Cho ba số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: 44 4 33 3 ab c 1 bc 2a c a 2b a b 2c Trích đề thi HSG Thành ph ố H ải Phòng n ăm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 4 3 4 3 4 3 a2ac1a 9a 3 b bc 2a b2ba1b 9b 3 c ca 2b c2cb1c 9c 3 a ab2c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 44 4 33 3 ab c cab5abc 9a 9b 9c 3 b c a bc 2a c a 2b a b 2c Hay 44 4 33 3 ab c 8abc5 9b c a 3 bc 2a c a 2b a b 2c Để ý ta lại có ab c 3 bca . Do đó ta được 44 4 33 3 ab c 85 1 33 b c 2a c a 2b a b 2c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 44 4 33 3 2 22 2 abc b c 2a c a 2b a b 2c b c 2a c a 2b a b 2c ab c bc a Hay 2 44 4 222 33 3 ab c abc 3ab bc ca bc a b c 2a c a 2b a b 2c Mặt khác cúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 ab c ab c 3ab bc ca bc a Do đó ta được 44 4 2 33 3 ab c 3ab bc ca 3 ab bc ca b c 2a c a 2b a b 2c Hay 44 4 33 3 abc 1 b c 2a c a 2b a b 2c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c Bài 107. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 671 . Chứng minh rằng : 22 2 xy z 1 xy z x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 Trích đề thi HSG Thành Ph ố Hà N ội n ăm 2011-2012 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 33 3 xy z x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 xy z x y x 3xyz 2013 x y z Biến đổi mẫu số bên vế phải ta được 33 3 22 2 3 22 2 x y x 3xyz 2013 x y z x y z x y z xy yz zx 3 xy yz zx x y z xy z x y z 2xy 2yz 2zx x y z Suy ra ta có 2 22 2 3 xy z xy z 1 xy z x yz 2013 y zx 2013 z xy 2013 xy z Vậy bất đẳng thức được chứng minh.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2013 xy z 3 . Bài 108. a) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xy yz zxxy z 6 . Chứng minh rằng: 22 2 xy z 3 b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 3 22 2 2 2 2 ab c P ab b c c a Trích đề thi HSG T ỉnh Ngh ệ An n ăm 2011-2012 Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 2 2 22 2 xy 2xy;y z 2yz;z x 2zx x1 2x;y 1 2y;z 1 2z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 3 x y z 3 2 xy yz zx x y z 12 Hay 22 2 xy z 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 1 . b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 2 2 2 2 22 22 2 2 a a ab ab ab ab b aa a 2ab 2 ab ab ab Hoàn toàn tương tự ta được 33 22 2 2 bcc a b; c 22 bc c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 22 2 2 2 2 ab c abc3 P 22 ab b c c a Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 109. Chứng minh bất đẳng thức: 11 1 1 ... 2 2 1 3 2 4 3 2012 2011 Trích đề thi HSG T ỉnh Qu ảng Bình n ăm 2011-2012 Lời giải Xét biểu thức 1 n1 n với nN* . Dễ thấy 2n 1 2 n n 1 1 . Thật vậy, ta có 2 n1 n 0 n1 2 nn1 n 0 2n 1 2 nn 1 1 Khi đó ta có 2n 1 n 111 2 n1 n n.n 1 n n1 Khi đó ta được 11 1 1 ... 2 1 3 2 4 3 2012 2011 11 1 1 1 1 1 2... 21 2 1 2 2 3 2011 2012 2012 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 110. Cho x, y, z là cácsố thực dương thoả mãn điều kiện xy z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 44 4 22 2 2 2 2 xy z F xy x y y z y z z x z x Trích đề thi HSG t ỉnh Hà T ĩnh n ăm 2012-2013 Lời giải Ta có 44 22 22 xy xy xy x y xy x y Hoàn toàn tương tự ta được 44 22 2 2 44 22 22 yz yz yz y z yz y z zx zx z x zx z x zx Áp dụng bất đẳng thức 22 2 ab ab 2 ta được 44 4 22 2 2 2 2 44 4 4 4 4 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 xy z F xy x y y z y z z x z x 1xy yz zx 2 xy x y y z y z z x z x xy y z z x 1 4 xy x y y z y z z x z x xy y z z x 1 4x y y z z x xy y z z 1 8x y y z 2 x 11 xy z z) 4 4 Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 4 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3 Bài 111. Cho n 1 A 2n 1 2n 1 với * nN . Chứng minh rằng: 12 3 n A A A ... A < 1 Trích đề thi HSG t ỉnh H ải D ương n ăm 2012-2013 Lời giải Ta có n 1 2n 1 2n 1 1 1 A 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 1 1 1 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 Vì 11 0 2n 1 2n 1 và 11 2 2n 1 2n 1 2n 1 Nên n 11 AnN* 2n 1 2n 1 Do đó ta được 12 3 n 11 1 1 1 AA A... A 1 3 3 5 2n 1 2n 1 Hay 12 3 n 1 AA A... A 1 1 2n 1 Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 112. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 ab c ab a 1 bc b 1 ca c 1 Trích đề thi HSG t ỉnh Ninh Bình n ăm 2012-2013 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 2 22 2 2 2 ab c ab c ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab c ab a 1 bc b 1 ca c 1 1b bc 1 b1 bc bc b1 1 bc b Do đó ta được 22 2 ab c 1 ab c ab a 1 bc b 1 ca c 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 113. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab bc ca a b c a3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6 Trích đề thi HSG t ỉnh Phú Th ọ n ăm 2012-2013 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 9111 xy z x y z ta được 11 1111 a3b 2c a c b c 2b 9 ac b c 2b Do đó ta được ab ab 1 1 1 1 ab ab a a3b 2c 9 ac b c 2b 9 a c b c 2 Hoàn toàn tương tự ta được bc 1 bc bc b ac 1 ac ac c ; 2a b3c 9 a b bc 2 3a 2bc 9 a b b c 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca a3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 1ac bc ab ac bc ab a b c a b c 9a b b c a c 2 6 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 114. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 33 3 ab c 3abc 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 Pa b c Trích đề thi HSG t ỉnh Ngh ệ An n ăm 2012-2013 Lời giải Từ giả thiết ta được 22 2 ab a a b c ab bc ca 1 hay 22 2 22 2 2 22 2 1 ab c ab bc ca ab c 2 2a b c 2ab bc ca ab c 2 3a b c a b c ab c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 211 ab c a b c 3 ab c a b c ab c Do đó ta được 22 2 2 2 2 3a bc 3 a bc 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 33 3 3 ab 0;c 1 ab c 3abc 1 ac 0;b 1 ab c 1 a1;b c 0 Bài 115. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 abc 6 . Chứng minh rằng: a2b 3c 1 1 1 3 a 2b 3c 2b 3c a a 2b 3c Trích đề thi HSG t ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2012-2013 Lời giải Đặt ax;2b y;3c z , khi đó ta được xyz 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành xy z 1 1 1 3xyz yzx x y z Đặt np m x;y ;z mn p . Khi đó bất đẳng thức trở thành 33 3 2 2 2 2 2 2 m n p3mnp mn mnnp np mp mp Biến đổi tương đương ta được mnp m n p n p m p m n Bất đẳng thức trên luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 116. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab c 6 . Chứng minh rằng: bc 5 c a 4 a b 3 6 a1 b 2 c 3 Trích đề thi HSG t ỉnh Qu ảng Bình n ăm 2012-2013 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bc 5 c a 4 a b 3 11 19 a1 b 2 c 3 Hay 11 1 ab c 6 9 a1 b 2 c 3 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 11 1 9 a1 b 2 c 3 a b c 6 Do đó ta được 11 1 9 ab c 6 ab c 6 9 a1 b 2 c 3 a b c 6 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a3;b 2;c 1 Bài 117. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 12 3 3 ab b . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 27a b 8c 3 2 cc 9a a 4a b b 9b 4c Trích đề thi HSG Thành Ph ố Hà N ội n ăm 2012-2013 Lời giải Cách 1: Đặt 12 3 a;b ;c xy z , khi đó giả thiết được viết lại là xy z 3 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 22 2 2 2 2 xy z 3 2 xy y z z x Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta chứng minh được 33 3 22 2 2 2 2 xy z xyz3 22 xy y z z x Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a3;b 2;c 1 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2222 22 22 22 22 22 2 2 22 22 22 22 2 2 22 22 22 27a 27a 3c 3c 3 3c 3 3c 3 1 cc c2a c9a cc 9a cc 9a 2c.9a b b 4a 4a 1 4a 1 1 aab 4a b a4a b a4a b 8c 8c 18b 18b 2 18b 2 3 bb2c 9b 4c b9b 4c b 9b 4c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 2 2 2 27a b 8c 1 1 2 3 3 2a b c 2 cc 9a a 4a b b 9b 4c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a3;b 2;c 1 . Bài 118. Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn xy z 3 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 22 22 2 2x y z 2y z x 2z x y 4xyz 4yz 4 zx 4xy Trích đề thi HSG T ỉnh Phú Th ọ n ăm 2013-2014 Lời giải Cách 1: Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2x y z 2x y z Tương tự ta có 22 2 2 2 2 2y z x 2y z x ; 2z x y 2z x y Do đó ta sẽ chứng minh xy z y z x z x y 2xyz 4yz 4 zx 4xy Bất đẳng thức này tương đương với yz z x x y 1 4yz2yz 4 zx2zx 4xyxy Ta có 2yz yz 1 4yz2yz 2 yz 2 yz 2yz 2 yz yz 2 yz Dễ thấy 2 0 2 yz yz xy 1 1 1 nên 11 2yz 2yz yz2 yz Do đó ta được yz 1 4yz2yz 2yz Hoàn toàn tương tự có zx 1 x y 1 ; 4zx2zx 4 xy2xy 2zx 2 xy Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được yz z x x y 1 1 1 4yz2yz 4 zx2zx 4xyxy 2xy 2 yz 2 zx Theo một đánh giá quen thuộc thì 11 1 9 9 1 6x yz 2 xy 2 yz 2 zx 6 xy yz zx Do đó ta suy ra yz z x x y 1 4yz2yz 4 zx2zx 4xyxy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy rakhi và chỉ khi xy z 1 . Cách 2: Gọi vế trái của bất đẳng thức là P. Khi đó biến đổi P như sau 222 22 2 xy z 1 1 1 Pxyz 4yz 4 xz 4yx 4 yz 4xz 4 yx Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 22 2 xy z xy z 4yz 4 xz 4yx 12 xy yz zx 11 1 9 4yz 4 xz 4yx 12 xy yz zx Do đó ta được 2 22 2 22 2 3 22 2 3 9x y z xy z P 12 xy yz xz 12 xy yz xz 3 xy yz xz 9 xy yz xz 12 xy yz xz 12 xy yz xz 12 xy yz xz 36 x y z 12 xy yz xz 12 3 x y z Đặt 3 xy z xyz t 1 3 . Khi đó ta có 2 32 2 2 36t 4t 12t t 1 t t 3 0 12 3t Đánh giá cuối cùng luôn đúng. Bất đẳng thức được chứng minh xong. Cách 3: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 xy x z xy y z z y x z P4 xyz 4 yz xyz 4 xz xyz 4 yx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2xy 2xz 2xy 2yz 2xz 2yz M xyz 4 yz xyz 4 xz xyz 4 yx yz x z x z 2 yz 4 yz xz 4 xz yx 4 yx 11 1 1 1 1 22 z 4 yz x 4 yz y 4 yx y 4 yz zx 4 yz x 4 yx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 11 1 3 z 4 yz x 4 yz y 4 yx xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy) 11 1 6 y4 yz zx4yz x4yx xyz(4yz)(4 xz)(4xy) Do đó ta được 3 3 12 3 P 3xyz(4 yz)(4 xz)(4 xy) Mặt khác ta lại có 4 3xyz 12 xz xy yz 3xyz 4 xz 4 yz 4 xy 4 Mà 1 1 1 9 xy yz xz 3 3 3xyz xy xz yz 0 xy z x y z xyz Suy ra 3 3 3xyz 4 xz 4 yz 4 xy 81 3xyz 4 xz 4 yz 4 xy 3 3 Do đó ta được 3 3 12 3 P4 33 . Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 4: Đặt vế trái của bất đẳng thức là P. Với x, y, z 0 ta có 22 yz x y z 9 yz 4 yz 0 44 4 Tương tự ta cũng có 4zx 0;4 xy 0 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 22 2 2 4x x y z xxy z 2xy z Từ đó suy ra 2 22 2 2x y z 2x y z 4yz 44 yz Hoàn toàn tương tự ta có 22 22 2 2 2 2 2y z x 2z x y 2y z x 2z x y ; 4zx 4 xy 44 zx 44 xy Do đó ta được 22 2 2x y z 2y z x 2z x y PQ 44 yz 44 zx 44 xy Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy 22 22 22 2x y z 2x y z 442 4yz 2 . 4 yz 2x y z 993 4 4 yz 4 4 yz 2y z x 2y z x 442 4zx 2 . 4 zx 2y z x 993 44 zx 44 zx 2z x y 2z x y 442 4xy 2 . 4 xy 2z x y 993 44 xy 44 xy Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 48 84 Q 12 xyyz zx x yz 8 Q xy yz zx 93 39 Bất đẳng thức trên sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra đươc 84 xy yz zx 4xyz 39 Thậy vậy, ta viết lại bất đẳng thức trên thành 3 84 .x y z x y z xy yz zx 4xyz 81 27 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 3 3 x y z 3 xyz; xy yz zx 3 x y z Suy ra 3 84 .x y z x y z xy yz zx 4xyz 81 27 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Cách 5: Vế trái của bất đẳng thức được viết lại thành 222 22 2 11 1 x y z Px y z 4 xy 4 yz 4 zx 4 yz 4 zx 4 xy Áp dụng bất đẳng Cauchy ta có 22 2 2 2 2 22 2 22 2 9x y z 18 x y z 11 1 xy z 4xy 4 yz 4 zx 15 x y z 12 xy yz zx Theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 22 3 2 x4 yz x4 yz x1x 1 3. . x 4yz 9 3 4 yz 9 3 x4 yz x15xxyz1 x 4yz 9 3 9 9 3 Tương tự ta có 22 y 5y xyz 1 z 5z xyz 1 ; 4zx 9 9 3 4 xy 9 9 3 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 222 x y z 5 xyz 2 xyz xy z 1 4yz 4 zx 4xy 9 3 3 3 Do đó ta được 22 2 22 2 18 x y z 2 xyz A 33 15 x y z Từ giả thiết ta được 22 2 xy z 3 . Do đó ta có 22 2 22 2 18 x y z 3 15 x y z Cũng từ giả thiết ta được xyz 1 . Từ đó suy ra 2 xyz 11 xyz 11xyz xyz P3 4xyz 33 3 3 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong Bài 119. Cho x, y là các số thực dương thoả mãn xy 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 11 B xy xy Trích đề thi HSG T ỉnh Thanh Hóa n ăm 2013-2014 Lời giải Ta có 3 12xy 1111 B xy 1 3xy xy xy 1 3xy xy 3xyx y Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 xy 1 xy 44 . Gọi 0 B là một giá trị của B, khi đó luôn tồn tại x, y để 2 00 0 12xy B 3Bxy 2 Bxy 1 0 xy 1 3xy Để tồn tại x, y thì phương trình trên phải có nghiệm xy, tức là 0 2 00 0 B4 23 B 8B 4 0 B4 23 Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B > 0. Do đó ta có 0 B4 23 . Với 0 0 0 2B 33 33 B4 23 xy x(1 x) 6B 62 3 6 2 3 2 23 23 1 33 xx 11 1 33 x,x 3 22 0 62 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 42 3 , đạt được khi 23 23 11 1 1 33 x;y 22 hoặc 23 23 11 1 1 33 x;y 22 . Bài 120. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ca 7abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4ab 9ca 4bc a2b a 4c b c C Trích đề thi HSG t ỉnh H ải D ương n ăm 2013-2014 Lời giải Từ 2ab 6bc 2ca 7abc ta được 26 2 7 ca b Đặt x, y,z 0 11 1 x;y ;z 2z 6x 2y 7 ab c Khi đó ta được 4ab 9ca 4bc 4 9 4 a2b a 4c b c 2x y 4x z y z C Hay 2 2 2 49 4 C 2xy 4x z y z 2xy 4x z y z 2x y 4x z y z 23 2 x2y 4x z y z 17 17 x2y 4x z y z Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 x;y z1 2 Bài 121. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 4a 9b 16c 26 bc a c a b a b c Trích đề thi HSG t ỉnh Qu ảng Tr ị n ăm 2013-2014 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 8a 18b 32c 49 1681 bc a c a b a b c Hay 49 16 ab c 81 bc a c a b a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 234 4 9 16 81 b c a c a b ab c a b c ab c Do đó ta được 81 a b c 49 16 ab c 81 bc a c a b a b c a bc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 122. Cho a, b, c thỏa mãn 0 a;b;c 4 và ab c 6 . Tìm giá trị lớn nhất của 22 2 Pa b c ab bc ca Trích đề thi HSG Thành ph ố Hà N ội n ăm 2013-2014 Lời giải Vì 0 a;b;c 4 do đó ta được a4 b 4 c 4 0 , biến đổi tương đương ta thu được a 4 b 4 c 4 0 abc 4abbcca 16a bc 64 0 4ab bc ca abc 16 a b c 64 Do abc 0 nên ta được 4 ab bc ca abc 16 a b c 64 16.6 64 32 ab bc ca 8 Ta có 2 22 2 2 P a b c ab bc ca a b c ab bc ca 6 8 28 Vậy giá trị lớn nhất của P là 28. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a0;b 2;c 4 và các hoán vị. Bài 123. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy z 4 . Chứng minh rằng 22 2 11 1 1 xyz x 4yz y 4zx z 4xy Trích đề thi HSG t ỉnh Th ừa Thiên Hu ế n ăm 2013-2014 Lời giải Dễ thấy 22 2 11 1 1 1 1 ;; 4yz 4zx 4xy x4yz y 4zx z 4xy Do đó ta được 22 2 11 1 111 4yz 4zx 4xy x 4yz y 4zx z 4xy Kết hợp với giả thiết ta được 11 1 xyz 1 4yz 4zx 4xy 4xyz xyz Suy ra 22 2 11 1 1 xyz x 4yz y 4zx z 4xy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 124. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a a b c 2 ca b bc c a a b Trích đề thi HSG t ỉnh B ắc Giang n ăm 2013-2014 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 2 22 2x y x y ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2a b 2 b c 2 c a ab b c c a ca b 2c 2a 2b ab b c c a 2c 2a 2b Mặt khác cũng áp dụng bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 ab c 2a2b2c bc c a a b bc c a a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a b b c c a 22a 2 2b 22c bc c a a b 2c 2a 2b Hay ab b c c a 4a 4b 4c ca b bccaab Thật vậy, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 11 4 xy x y , ta được ab b c c a 1 1 1 1 1 1 ab c ca b cb acab 4a 4b 4c bc c a a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 125. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 1 1 ab c bc ca a b Trích đề thi HSG t ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2013-2014 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab 1 3b c 3 1a c 1 3 ;; ac b a c b bc ca ca a b b c a b Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 ab c 1 1 1 3 3 3 2 ab c a b c bc ca a b Hay 22 2 22 2 ab c 1 1 1 ab c bc ca a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 126. Cho ba số dương a,b,c thoả mãn 22 2 2 2 2 ab b c c a 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 bc c a a b 22 Trích đề thi HSG t ỉnh H ải D ương n ăm 2014-2015 Lời giải Dễ thấy 2 22 2a b a b . Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 2 2 22 22 ab c a b c bc c a a b 2b c 2 c a 2c a Đặt 22 2 2 2 2 xb c,y c a,z a b Khi đó ta được suy ra 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab c yzx zxy xyz bc c a a b 22x 2 2y 22z Áp dụng tiếp bất đẳng thức trên thì ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 yz x z x y x y z 22x 2 2y 22z yz z x x y 1 xy z 2x 2y 2z 22 yz z x x y 1 2x 3x 2y 3y 2z 3z 2x 2y 2z 22 111 2y z 3x 2 z x 3y 2 x y 3z x y z 22 22 2 2 Do đó ta được 22 2 ab c 1 bc c a a b 22 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 32 Bài 127. Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 55 5 333 222 22 2 ab c abc 3 aab b b bc c c ca a Trích đề thi HSG t ỉnh Thái Bình n ăm 2013-2014 Lời giải Cách 1: Ta có 3 32 233 22 2 22 a2ab 3a 2a b a ab b a b ab a b 3 aab b aab b ab a b 0 Đánh giá cuối cùng luôn đúng. Do đó 3532 22 2 2 a2ab a2aab 33 aab b aab b . Chứng minh tương tự ta được 55 5 333333222 222 22 2 ab c abcabcabbcca 33 aab b b bc c c ca a Mặt khác vì vai trò a, b, c như nhau nên giả sử ab c 0 33 3 2 2 2 2 2 2 2 ab c ab bc ca a a b b b c c c a ab a b ac b c b c 0 Từ đó suy ra 55 5 333 222 22 2 ab c abc 3 aab b b bc c c ca a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 55 5 222 22 2 66 6 32 2 3 2 2 3 2 2 2 33 3 33 3 2 2 2 2 2 2 ab c aab b b bc c c ca a ab c aab ab b bc bc c ca ca ab c a b cab ab bc bcca ca Mặt khác ta có 2 22 33 a b 0 a ab b ab a b ab a b Chứng minh tương tự 33 3 3 bc bcb c;c a cac a Suy ra 33 3 3 3 3 3a b c a b c ab a b bc b c ca c a 2 33 3 33 3 33 3 2 2 2 2 2 2 ab c ab c 3 ab c ab ab bc bc ca ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 128. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab c 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 32 3 2 3 2 abc P 9a 3b c 9b 3c a 9c 3a b Trích đề thi HSG t ỉnh V ĩnh Phúc n ăm 2014-2015 Lời giải Cách 1: Ta có 32 3 2 3 2 3a 3b 3c P 27a 9b 3c 27b 9c 3a 27c 9a 3b Đặt xy z 3 x 3a; y 3b; z 3c x; y; z 0 Khi đó ta viết lại được 32 3 2 3 2 xy z P xy z y z x z x y Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki và chú ý đến giả thiết ta có 2 32 32 2 3 2 2 1 xy z 1 z x y z x 1 1z 1 x 1 x zx 1 x zx x 9 xy z x y z xy z x y z Hoàn toàn tương tự thu được 32 3 2 y1yxy y 1zyz ; 99 yz x z x y Từ đó suy ra 3 x y z xy yz zx 6 xy yz zx P 99 Dẽ dàng chứng minh được 2 1 xy yz zx x y z 3 3 Do đó 6xy yz zx 63 P1 99 . Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 xy z 1 a b c 3 Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 đạt được tại 1 ab c 3 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 32 11 1 9a 3a;9b 2b 9a 9b c 3a 2b c 1 2a b 33 3 Hoàn toàn tương tự ta được 32 3 2 9b 9c a 2b c; 9c 9a b 2c a Do đó ta suy ra ab c 1 1 1 P 2a b 2b c 2c a b c a 222 ab c Đặt bc a x;y ;z xyz1 ab c . Khi đó ta được 11 1 P 2x 2y 2 z Ta chứng minh 11 1 1 2x 2y 2 z . Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 2z 2 y 2 y 2z 2z 2 x 2 x 2 y 2z xy yz zx 4 x y z 12 xyz 2 xy yz zx 4 x y z 8 xy x 3 Bất đảng thức cuối cùng luôn đúng do 3 x y z 3 xyz 3 Do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 đạt được tại 1 ab c 3 Bài 129. Cho các số thực dương x, y, z thảo mãn 22 2 xy z 3. Chứng minh rằng: 3 33 xy z xy yz xz yz xz xy Trích đề thi HSG t ỉnh Phú Th ọ n ăm 2014-2015 Lời giải Ta có 33 3 3 33 3 3 3 yy xy z xx zz A yz xz xy xyz xyz xyz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 222 3 3x y z 3xyz xyz 1. Suy ra 33 3 Axx yy zz Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 33 33 22 2 3 3 xx y y z z x y z x y z 3 xy yz xz Lại thấy theo bất đẳng thức Cauchy thì 22 2 33 22 2 3 x1 1 y 1 1 z 1 1 x .1.1 ; y .1.1 ; z .1.1 33 3 Nên 22 2 33 22 2 3 xy z 6 xy z 3 3 Do đó ta được 33 3 Axx yy zz xy yz xz Hay 3 33 xy z xy yz xz yz xz xy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 2 33 3 22 2 xy z 1 xy z x y z1 xy z 3 Bài 130. Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn xy z 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 2 2 2 A 2x 3xy 2y 2y 3yz 2z 2z 3zx 2x Trích đề thi HSG t ỉnh Ninh Bình n ăm 2014-2015 Lời giải Ta viết lại biểu thức A thành 22 2 A2xy xy 2yz yz 2zx zx Theo một đánh giá quen thuộc ta có 22 22 xy 7x y 2x y xy 2 x y 44 Do đó ta được 2 7x y 2x y xy 2 Hoàn toàn tương tự ta thu được 22 2 2 2 2 A 2x 3xy 2y 2y 3yz 2z 2z 3zx 2x 7 x y z 3 7 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 37 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 1 Bài 131. Cho các số dương a,b,c có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 a6a 9 b 6b 9 c 6c 9 24 a2a 3 b 2b 3 c 2c 3 Trích đề thi HSG t ỉnh Gia Lai n ăm 2014-2015 Lời giải Ta có 2 2 22 2 a1 8a 8 a6a 9 8a 6 8a 6 11 4a4 2 a2a 3 a1 2 a 1 2 Hoàn toàn tương tự ta được 22 22 b6b 9 c6c 9 4b 4; 4c 4 b2b 3 c2c 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với giả thiết ta được 22 2 22 2 a6a 9 b 6b 9 c 6c 9 4a b c 3.4 24 a2a 3 b 2b 3 c 2c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 132. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 11 1 P a2b 3 b 2c3 c 2a 3 Trích đề thi HSG t ỉnh Ngh ệ An n ăm 2014-2015 Lời giải Đặt 22 2 a x ;b y;z c khi đó ta được xyz 1 và bểu thức P được viết lại thành 22 2 2 2 2 11 1 P x2y 3 y 2z 3 z 2x 3 Ta có 22 2 2 2 xy 2xy;y 1 2y x 2y 3 2xy y 1 Do đó ta được 22 11 1 2xy y 1 x2y 3 Chứng minh tương tự ta có 22 2 2 11 1 1 1 1 ; 2yz z 1 2 zx z 1 y2z 3 z 2x 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 11 1 1 P 2xy y 1 yz z 1 zx x 1 Ta cần chứng minh 11 1 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 Đến đây ta có hai hướng đánh giá 11 1 xy y 1 yz z 1 zx x 1 Hướng 1: Do xyz 1 , nên tồn tại các số dương m, n, p để mn p x;y ;z np m Khi đó ta có 11 1 p m n 1 xy y 1 yz z 1 zx x 1 m n p m n p m n p Hướng 2: Do xyz 1 , nên ta được 11 1 zx x 1 1 xy y 1 yz z 1 zx x 1 z 1 zx 1 zx z zx z 1 Từ đó ta được 1 P 2 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 133. Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn xy yz zx xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 111 M 4x 3y z x 4y 3z 3x y 4z Trích đề thi HSG T ỉnh H ải D ương n ăm 2014-2015 Lời giải Từ giả thiết ta có 11 1 1 xy z . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 64 16 16 4 4 4 4 3 1 4x 3y z 4x3y z x 2yy z x y z Tương tự ta được 64 1 4 3 64 3 1 4 ; x 4y3z x y z 3x y4z x y z Do đó ta được 111 11111 M 4x 3y z x 4y 3z 3x y 4z 8 x y z 8 Vậy M đạt giá trị lớn nhất là 1 8 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 3 . Bài 134. Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn xy z 3 . Chứng minh rằng: xy z 1 x3x yz y 3y zx z 3z xy Trích đề thi HSG T ỉnh Hà Nam n ăm 2014-2015 Lời giải Áp dụng giả thiết ta chú ý đến phép biến đổi 3x yz x x y z yz x y x z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 x y x z xy xz Do đó ta được xx x x3x yz x xy xz x y z Áp dụng tương tự ta được yz z z ; y 3yzx x yzz 3zxy x yz Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được xy z 1 x3x yz y 3y zx z 3z xy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 1 . Bài 135. Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn 11 1 3 ab c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 2 2 2 11 1 P aab b b bc c c ca a Trích đề thi HSG Thành Ph ố Hà N ội n ăm 2014-2015 Lời giải Cách 1: Ta có 22 22 22 3a b a b aab b a b 3ab a b 44 Do đó ta được 22 12111 ab 2 a b aab b Hoàn toàn tương tự ta có 22 2 2 1111 1 111 ; 2b c 2 c a bbc c cca a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 11 1 111 P3 ab c aab b b bc c c ca a Vậy giá trị lớn nhất của P là 3. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 aab b 2ab ab ab Do đó ta được 22 11 ab aab b Hoàn toàn tương tự ta có 22 2 2 11 1 1 ; bc ca bbc c cca a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 11 1 111 P ab bc ca aab b b bc c c ca a Dễ thấy 11 1 111 3 ab c ab bc ca Do đó ta được P3 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 3. Bài 136. Cho a, b, c là các các số thực không âm thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c ab bc ca 6 Trích đề thi HSG T ỉnh Đăk L ăk n ăm 2014-2015 Lời giải Cách 1: Để ý đến giả thiết ab c 3 ta có 2 22 2 33 3 3 3 3 22 2 33 3 ab c a b c ab c ab bc ca a b c 2 9a b c ab c 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 2 3 3 2 3 3 2 a a 13a;b b 13b;c c 13c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 2a b c 3 3 a b c Do đó ta được 22 2 33 3 2 2 2 9a b c ab c a b c 3 2 Lại thấy 2 22 2 ab c ab c 3 3 Do đó ta được 22 2 33 3 9a b c ab c 6 2 Hay 33 3 ab c ab bc ca 6 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 33 3 3 3 3 2 2 2 3a bc a b c a bc a b c Dễ thấy 22 2 ab c 3 , do đó ta được 33 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3a b c 3a bc a b c a bc Khi đó ta suy ra 33 3 2 2 2 2 2 2 ab c ab bc ca a b c ab bc ca ab c ab bc ca ab c ab c 9 3 6 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 137. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a1;b 2;a b c 6 . Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 4abc Trích đề thi HSG T ỉnh B ắc Giang n ăm 2014-2015 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 11 1 1111 1 1 1 11 1 4 1 4 a b c a b c ab bc ca abc 11 1 a b c 1 1 1 1 7 33 ab c abc ab c abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được babbc bc a2 ; 2 2223 6 Do đó ta được 23 3 bb c2c ab bc 2c abc 6a 2 2 6 2 2 3 3 2 6 3 108 Do đó ta được 23 ab c 108 , mà theo giả thiết a1;b 2 suy ra 2 ab 2 Suy ra ta có 3 2232 216 108a b ab c a b abc abc 6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và các giả thiết ta lại có 3 123 6 2 1 1 5 3.7 3.7 7 33; 2 ; ab c abc ab 2 2 abc 6 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 11 1 7 5 7 33 ab c abc 2 2 Hay 11 1 7 3 ab c abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1;b 2;c 3 . Bài 138. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 19a 3 19b 3 19c 3 T 1b 1c 1 a Trích đề thi HSG T ỉnh H ưng Yên n ăm 2014-2015 Lời giải Cách 1: Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 b19a 3 19a 3 19a 3 1b 1b b19a 3 38a 6 19ab 3b 19a 3 22 Hoàn toàn tương tự được 22 19b 3 38b 6 19bc 3c 19c 3 38c 6 19ca 3a ; 22 1c 1 a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 35 a b c 18 19 ab bc ac 19a 3 19b 3 19c 3 T 2 1b 1c 1 a 35. 3 ab bc ca 18 19.3 33 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Cách 2: Dễ thấy 22 2 3a 1 19a 3 16a 1b 1b 1b . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 16a 16ab 16ab 16a 16a 16a 8ab 2b 1b 1b 22 22 3a 1 3a1b 3a1b 3a1b 3a 1 3 a 1 3a 1 2b 2 1b 1b Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 35 a b c 18 19 ab bc ac 19a 3 19b 3 19c 3 T 2 1b 1c 1 a 35. 3 ab bc ca 18 19.3 33 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 33. Bài 139. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 2 2 . Chứng minh rằng: 88 8 8 8 8 4 4 22 4 4 2 2 4 4 22 xy y z z x 8 xy xy y z yz z x zy Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh H ải Dương n ăm h ọc 2013-2014 Lời giải Đặt 22 2 ax;b y;c z suy ra abc 8 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 44 4 4 4 4 22 2 2 2 2 ab b c c a 8 ab ab b c bc c a ca Dễ dàng chứng minh minh được 2 22 22 44 2 2 ab 3a b ab ;a b ab 22 Suy ra 44 2 2 22 ab a b 3 ab ab . Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 44 4 4 4 4 22 2 2 2 2 2a b c ab b c c a 3 ab ab b c bc c a ca Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 22 2 222 ab c 3abc 12 Do đó ta được 44 4 4 4 4 22 2 2 2 2 ab b c c a 8 ab ab b c bc c a ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 2 Bài 140. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 bc c a a b 3 a. b. c. abc abc b ca c ab Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh B ắc Giang n ăm h ọc 2013-2014 Lời giải Cách 1: Ta có 22 b c ab ac a. a. abc a bc . Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý đến giả thiết ab bc ca 3 ta có 222 2 a bc ab c 3abc a bc abc 3 bc abc ab ac Do đó ta được 22 2 ab ac 1 ab ac 1 b c 1 a. a. abc abc a bc abc bc bc Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 22 ca 1 a b 1 b. ; c. bca c ab ca ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 bc c a a b a b c a. b. c. abc b ca c ab abc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được ab c 3 abc a b c 3 abc abc Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 3ab bc ca abc a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 2 2 b c c a a b ab ac bc ab ca ac a. b. c. a b c abc b ca c ab a bc b ca c a Ta cần chứng minh được 2 22 2 2 22 2 ab ac bc ab ca ac 3 ab c abc abc b ca c a ab ac bc ab ca ac abc a b c 9 abc b ca c a Dễ thấy 2 1 abc a b c ab bc ca 3 3 và cũng từ giả thiết ta suy ra abc 1 . Do đó ta được 2 abc a b c 3 . Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 ab ac bc ab ca ac 3 abc b ca c a Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 22 2 22 ab ac bc ab ca ac 11 10 abc b ca c a ab ac b c b a c a c b 0 abc b ca c a ab ac b ca b c a bc ca c b 0 ca abc b ca ba b a 2a c Do vai trò của các biến như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử Bài 141. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn: 33 33 11 1 1 2 1 a 1b 1c 1d Chứng minh rằng: 22 2 2 1 a 1b 1c 1d 0 1a a 1 b b 1 c c 1 d d Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Đồng Tháp n ăm h ọc 2013-2014 Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh 22 2 2 33 33 1 a 1b 1c 1d 0 1 a 1b 1c 1d Hay 22 22 33 3 3 33 33 11 1 1 ab c d 1 a 1b 1c 1d 1 a 1b 1c 1d Từ giả thiết và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 33 3 3 3 3 11 1 1 12d 3d 2 1 a 1b 1c 1d 1d 1d Hay 2 33 3 3 11 1 3d 1 a 1b 1c 1d Hoàn toàn tương tự ta được 2 33 3 3 2 33 3 3 2 33 3 3 111 3a 1b 1c 1d 1 a 11 1 3b 1 a 1c 1d 1b 11 1 3c 1 a 1b 1d 1c Cộng theo vế bốn bất đẳng thức trên ta được 22 22 33 3 3 33 33 11 1 1 ab c d 1 a 1b 1c 1d 1 a 1b 1c 1d Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c d 1 . Bài 142. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3 ab c 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 22 2 11 1 Sa b c ab c Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Trà Vinh n ăm h ọc 2013-2014 Lời giải Cách 1: Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta được 2 222 22 11 44 17 a 1 4 a a a aa aa Áp dụng tương tự ta được 22 22 14 1 4 17 b b ; 17 c c bc bc Khi đó ta được 22 2 22 2 1 1 1 444 17 a 17 b 17 c a b c ab c ab c Theo một đánh giá quen thuộc ta có 11 1 36 ab c a b c Nên ta được 444 36 ab c a b c ab c a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả thiết ta được 36 9 135 ab c a b c ab c 4a b c 4a b c 9 135 135 51 2. a b c . 3 36 2 4a b c 4. 2 Từ đó ta suy ra 22 2 22 2 11 151 17 a 17 b 17 c 2 ab c Hay 22 2 22 2 11 1317 ab c 2 ab c Như vậy giá trị nhỏ nhất của S là 317 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 2 . Cách 2: Dễ dàng chứng minh được: Với a, b, x, y là các số thực dương ta luôn có: 22 22 2 2 ax b y a b x y Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 11 1 11 1 Sa b c ab c ab ab c c 11 1 ab c ab c Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 11 1 9 81 ab c a b c ab c Do đó ta được 2 22 2 11 1 81 ab c a b c ab c ab c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta có 2 22 81 9 9 1215 1215 135 ab c 2. ; 42 9 4 16 a b c 16 a b c 16. 4 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 2 81 9 135 153 ab c 24 4 ab c Từ các kết quả đó ta được 153 3 17 S 42 . Như vậy giá trị nhỏ nhất của S là 317 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 2 . Bài 143. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 bc ca ab P ab c b c a c a b Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Lâm Đồng n ăm h ọc 2013-2014 Lời giải Kết hợp với giả thiết ta viết lại biểu thức P thành 22 2 2 2 2 bc ca a b P ab ac ab bc ca bc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 2 2 ab bc ca bc ca a b ab bc ca P ab ac ab bc ca bc 2 2ab bc ca Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 22 2 ab bc ca 3 a b c 3 Suy ra ta được 3 P 2 hay giá trị nhỏ nhất của P là 3 2 . Đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Bài 144. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0a;b;c 1 . Chứng minh rằng: ab c 1a 1 b 2 c 2 bc 1 c a 1 a b 1 Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh An Giang n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Từ giả thiết ta được 01 a;1 b 1;a b 1 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 1a 1 b a b 1 11a1bab1 3 Suy ta 11 a 1 b a b 1 Vì 2c 0 nên khi đó ta được 2c 1 a 1 b a b 1 2 c Suy ra 2c 1a 1 b 2 c ab 1 Hay c2 1a 1 b 2 c ab 1 a b 1 (1) Ta đi chứng minh a2a bc 1 a b 1 . Thật vậy, biến đổitương đương bất đẳng thức trên ta được aa b 1 2a b c 1 a b 2c 1 a 0 Tương tự ta được b2b ac 1 a b 1 Từ các kết quả trên ta được ab c 1a 1 b 2 c bc 1 c a 1 a b 1 22a 2b 2 ab 1 a b 1 ab 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 0;c 1 . Bài 145. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 11 1 ab c 2 3ab bc ca ab c Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Lâm Đồng n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Dễ thấy 11 1 18 26 ab c a b c . Do đó ta được 33 3 ab c 6 3ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 a 1 13a;b 1 13b;c 1 13c Ta quy bài toán về chứng minh 3a b c 3ab bc ca Hay 2 ab c 3ab bc ca , đây là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 146. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c b c a c a b 6 5 abc b ca c ab Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Thái Bình n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 22 bc 33 abc a bc abc bc 44 4 b c 4a 3b 3c 4 Suy ra ta được 2 2 ab c 4ab c 4a 4a 3b 3c 4a 3b 3c b c abc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 91 4a a a 9 1 . 4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 a 3a b c . Suy ra ta được 2 ab c 27a 1 25 abc 25abc Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 22 22 bc a c c a 27b 1 27c 1 ; 25 25 25 a b c 25 a b c bca c ca Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 ab c b a c c a b 27 a b c 36 25 5 25 a b c bc a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 147. Cho a, b, c là các số thực không âm sao cho ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 2 1 9bc 4 b c 1 9ca 4 c a 1 9ab 4 a b Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG Thành Ph ố h ải Phòngn ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 22 2 ab c 1 9bc 4 b c 1 9ca 4 c a 1 9ab 4 a b ab c a b c 27abc 4a b c 4b c a 4c a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2222 2 a b c 1 27abc 4a b c 4b c a 4c a b Hay 1 4ab a b 4bc b c 4ca c a 3abc Để ý đến giả thiết ta viết lại được bất đẳng thức trên thành 3 ab c 4abab 4bcb c 4cac a 3abc Hay 33 3 a b c 3abc ab a b bc b c ca c a Biến đổi tương đương ta được abc a b c b c a c a b Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đúng và dễ dàng chứng minh được. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 hoặc 1 ab ;c 0 2 và các hoán vị. Bài 148. Cho x, y, z là các số thực không dương. Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 22 2 233 2 33 2 33 xy z yz x zx y 3 8 xyz y z y zx zx z xy x y Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG Tr ường ĐHKHTN Hà N ội n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Dễ dàng chứng minh được 3 3 22 22 2y z y z y z 2 yz y z Và lại có 2 xyz 2xyz . Nhân theo vế hai kết quả trên ta được 233 22 xyz y z 2xyzy z Suy ra ta được 33 3 3 2 222 233 22 2 2 22 2 2 3 3 22 2 2 2 2 xy z xy z 2 x yz xyz y z xyz y z yz yz 2xy xz yz yz 2 xy xz 2yz Hoàn toàn tương tự ta được 33 3 3 3 3 22 2 233 2 33 2 33 22 22 2 2 2 2 22 22 2 2 22 22 2 2 22 2 2 xy z yz x zx y xyz y z y zx zx z xy x y yz x z x y 2xy xz 2yz 2xy 2xz yz 2 2xy xz 2yz Ta càn chỉ ra được 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 22 2 2 22 22 yz x z x y 3 4 x y xz 2yz x y 2xz yz 2x y x z 2yz Đặt 22 2 2 2 2 axy;b yz;c zx . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành ab c 3 2a b c a 2b c a b 2c 4 Bất đẳng thức trên tương đương với b c ac ab 3 2a b c a 2b c a b 2c 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2a 2b 2c bc a c a b 2a b c a 2b c a b 2c 2a b c 6ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 22 2 2 2a 2b 2c 3 2a b c 6ab bc ca 4a bc 3a bc 3abba ca ab c 3ab bc ca Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z Bài 149. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 2 xy yz zx P 4x 5y 4y 5z 4z 5x Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG Tr ường ĐHKHTN Hà N ội n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 xy z Pxyyzzx 4x 5y 4y 5z 4z 5x Đặt xy z 1 5y 5z 5x Q3 4x 5y 4y 5z 4z 5x 4 4x 5y 4y 5z 4z 5x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 5x y z 5y 5z 5x 4x 5y 4y 5z 4z 5x 4xy yz zx 5 x y z 55 5 6 xy yz zx 5x y z 6xy yz zx Do đó ta được 15 Q3 4 5 6 xy yz zx Khi đó ta suy ra 2 15 Pxyyzzx3 4 5 6 xy yz zx Đặt 1 axy yz zx 0 a 3 . Khi đó ta được 2 a5 9a 15 Pa3 456a 25 6a Ta sẽ chứng minh a5 9a 1 9 25 6a . Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với 13a 10 27a 0 , đây là một đánh giá đúng do 1 0a 3 . Do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Suy ra 1 P 3 hay giá trị lớn nhất của P là 1 3 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3 . Bài 150. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 3 33 3 22 2 ab c abc 18 1 9b ca 1 9c ab 1 9a bc Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Th ừa Thiên Hu ế n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 33 3 22 2 ab c abc 1 9b ca 1 9c ab 1 9a bc ab c 9abcab bc ca Dễ thấy 2 22 2 ab c ab c 3 và để ý đến giả thiết ab bc ca 1 ta được 2 4 22 2 ab c ab c ab c 9abcab bc ca 9ab c 9abc Do đó ta có 4 33 3 22 2 ab c abc 1 9b ca 1 9c ab 1 9a bc 9a b c 9abc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 43 ab c a b c 18 9a b c 9abc Hay ab c 9abc . Để ý đến giả thiết ab bc ca 1 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 22 2 a b c a b c ab bc ac 3 abc.3 a b c 9abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Bài 151. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 5a 4bc 5b 4ca 5c 4ab 3a b c 2 ab bc ca Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Qu ảng Nam n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 222 5a 4bc 2 bc 5b 4ca 2 ca 5c 4ab 2 ab 3 a b c Hay 22 2 22 2 22 2 5a 5b 5c 3a b c 5a 4bc 2 bc 5b 4ca 2 ca 5c 4ab 2 ab Hay 22 2 22 2 22 2 15a 5b 5c 1 5a 4bc 2 bc 5b 4ca 2 ca 5c 4ab 2 ab 3a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2222 222 22 2 22 2 22 2 22 2 2 5a 4bc 3 a b c 8a 3b 3c 4bc 4.3 bc. 3 a b c 23a 3b 3c 9bc 4bc 3 a b c 33 2a b c 3bc Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2222222 2 5a 4bc 2 bc 3 a b c 10a 5b 5c 10bc Suy ra 22 22 2 2222 10a 10a 10a 5b 5c 10bc 2 5a4bc 2bc 3ab c Lại có 22 10bc 5b 5c nên ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 10a 10a a 10a 5b 5c 10bc 10a 10b 10c a b c Do đó ta được 22 22 2 2222 10a a ab c 2 5a4bc 2bc 3ab c Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 15a 5b 5c 5a 4bc 2 bc 5b 4ca 2 ca 5c 4ab 2 ab 3a b c abc 1 ab c b a c c b a Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 152. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2a 3b 4b 8c P a2b c a b 2c a b 3c Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Qu ảng Nam n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Đặt xa 2b c;y a b 2c;z a b 3c . Khi đó ta được a 5yx3z;b x z 2y;c z x Biểu thức P được viết lại thành 4x 2y 8y 4z P17 yx z y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 4x 2y 8y 4z 4x 2y 8y 4z P172.2.1712217 yx z y y x z y Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 2 17 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 22 4x 2y 2x y yx z2y 2x 8y 4z 2y z zy Bài 153. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 2xy xz 1 . Xh]ngs minh rằng: 3yz 4zx 5xy 4 xy z Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Tuyên Quang n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Biến đổi vế trái của bất đẳng thức như sau 3yz 4zx 5xy yz zx 2yz 2xy 3zx 3xy xy z x y x z y z Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được yz zx 2yz 2xy 3zx 3xy 2z; 4y; 6x xy x z y z Do đó ta được 3yz 4zx 5xy 6x 4y 2z xy z Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 6x 4y 2z 4 x y 2 x z 8 xy 4 xz 4 2 xy xz 4 Do đó ta suy ra 3yz 4zx 5xy 4 xy z Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3 Bài 154. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 44 4 2 2 2 3x y z 7 x y z 12 0 . Tìm giá trị nỏ nhất của biểu thức: 22 2 xy z P y2z z 2x x 2y Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Yên Bái n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết của bài toán. Áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có 2 44 4 2 2 2 xy z 3x y z Khi đó ta được 2 22 2 2 2 2 3 x y z 7 x y z 12 0 Hay 22 2 xy z 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 22 2 2 2 2 222 xy z xy z P y2z z 2x x 2y xy yz zx 2 xy zx yz Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 2 22 22 22 3 22 2 2 2 2 22 2 22 2 xy yz zx x y z x y yz zx xy z x y z xy z xy z 33 Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 xy z 2xy yz zx 2 x y z 3 Do đó ta được 2 22 2 22 2 22 2 22 2 xy z xy z P1 3 xy z 3x y z 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi xy z 1 . Bài 155. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 22 2 ab c b c a c a b 3 5 ab c b c a c a b Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Đăk L ăk n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Để ý là 22 2 22 2 22 2 a b c a b c 2c a b 2c a b 1 ab c a b c ab c Áp dụng tương tự ta quy bài toán về chứng minh 22 2 22 2 ab c b c a c a b 6 5 abc b ca c ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 22 bc 33 abc a bc abc bc 44 4 b c 4a 3b 3c 4 Suy ra ta được 2 2 ab c 4ab c 4a 4a 3b 3c 4a 3b 3c b c abc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 91 4a a a 9 1 . 4a 3b 3c 25 4a 3b 3c 25 a 3a b c . Suy ra ta được 2 ab c 27a 1 25 abc 25abc Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 22 22 bc a c c a 27b 1 27c 1 ; 25 25 25 a b c 25 a b c bca c ca Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 ab c b a c c a b 27 a b c 36 25 5 25 a b c bc a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 156. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 2xyz . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 xy z 1 2y z xyz 2z x xyz 2x y xyz Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Gia Lai n ăm h ọc 2014-2015 Lời giải Giả thiết của bài toán được viết lại thành 11 1 2 xy z . Đặt 11 1 x;y ;z ab c thì ta được ab c 2 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab Chú ý đến giả thiết ab c 2 , ta có bc bc bc bc 1 1 2a b c a 2a bc aa b c bc a b a c Hoàn toàn tương tự ta được ca ca 1 1 ab ab 1 1 ; 2b c a b 2 c a b c 2b ca 2c ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bc ca ab 2a bc 2b ca 2c ab bc 1 1 ca 1 1 ab 1 1 a b c 1 2a b c a 2 b c ab 2 c a b c 2 Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 xy z 2 Bài 157. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 3 x2 y 2 z 2 P xy z y z x z x y Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh C ần Th ơ n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Đặt 11 1 a;b ;z xy c , suy ra abc 1 . Biểu thức P được viết lại thành 22 2 a bc 1 2a b ca 1 2b c ab 1 2c P bc c a a b Hay a 1 2a b 1 2b c 1 2c P bc c a a b Ta viết biểu thức P thành 22 2 ab c 2a 2b 2c P b c c a ab b c c a ab Dễ dàng chứng minh được ab c 3 bc c a a b 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 3 22 2 ab c ab c abc3abc3 bc c a a b 2 2 2 2a b c DO đó ta được 33 9 P2. 22 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 x y z 1 Bài 158. Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng: 3 22 2 ab c ab bc ca a b c 33 3 Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Kiên Giang n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 62 22 2 ab c ab bc ca a b c . 33 3 Hay 6 2 22 2 ab c ab bc ca a b c 27 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 2 2 2 2 3 6 22 2 ab bc ca a b c ab bc caab bc caa b c ab bc ca ab bc ca a b c ab c 327 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 159. Cho a, b, c là các số thực không âm trong đó không có hai số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng: 222 22 2 11 1 3 ab bc ca aab b b bc c c ca a Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Thanh Hóa n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Vì vai trò của các biến như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử c là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta được 222 2 222 2 bbc c bcb c b aac c a ca c a ab bc ca ab c a b ab Từ đó ta có 222 22 22222 11 1 3 11 aab b b bc c c ca a aab b a b Và có 31 ab bc ca ab Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2 11 1 3 ab ab a ab b Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 2 4 22 22 33 22 2222 11 1 1 1 1 0 ab ab ab ab aabb ab ab a ab b 2ab a b 00 ab ab aab b ab ab aab b Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 160. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và ab c 1 . Chứng minh rằng: 44 4 111 9 ab b c c a a b c Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG Thành Ph ố Hà N ội n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Cách 1: Để ý đến giả thiết lại viết lại được bất đẳng thức trên thành 4a b c 4a b c 4a b c ab c a b c ab c 9 ab b c c a a b c 4c 4a 4b b c a c a b 12 12 ab b c c a a b c 4c 4a 4b b c a c a b ab b c c a a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 11 4 xy x y , ta được ab b c c a 1 1 1 1 1 1 ab c ca b cb acab 4a 4b 4c bc c a a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 44 4 111 9 1c 1 a 1b a b c Ta sẽ chứng minh 41 18c 3 1c c . Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 23 5c 1 c 1 c 18c 3 5c 1 21c 3c 18c 3c 1 2c 1 0 Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác và ab c 1 nên 2c 1 2ca b c ca b 0 Do đó bất đẳng thức trên đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 161. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c ab c bc a . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 33 3 3 3 3 ab 1 b c 1 c a 1 P ab 1 b c 1 c a 1 Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG Tr ường Đại h ọc Vinh n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho giả thiết ta được ab c ab c 3 bc a Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức cho giả thiết ta được 2 ab c ab c a b c abbcca a bc bc a ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacopxki ta có 2 22 2 33 2 2 ab 1 a b 1 ab 1a b 1 a b 1 3 Do đó ta được 33 2 2 ab 1 3 ab 1 a b 1 Hoàn toàn tương tự ta thu được 22 2 2 2 2 33 3 P ab 1 b c 1 c a 1 Ta sẽ chứng minh 22 2 2 2 2 11 1 1 ab 1 b c 1 c a 1 Thật vậy, bất đẳng thức trên được viết lại thành 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 2 ab 1 b c 1 c a 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 ab b c c a ab b c c a ab 1 b c 1 c a 1 2a b c 3 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 ab b c c a 4a b c 6 a b b c b c ca ca ca a b c 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 ab b c b ac Áp dụng tương tự ta được 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 a b b c b c ca ca ca ab c ab bc ca Mà từ giả thiết ta được ab bc ca 3 . Do vậy ta được 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 a b b c b c ca ca ca a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 3. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 162. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 22 2 abc b ca c ab 2ab b c c a Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Đăk L ăk n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 22 abc b ca ab c 1 abc b ca 22 Khi đó ta được 22 22 2 2 ab c 1 abc b ca c ab c ab 2 Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 ab c 1 ab c 1 c ab cab 2 2a b c 1 c ab 2 2 Bài toán quy về chứng minh 2a bc 1 c ab 2a bb cc a c1 c ab b c c a c abc bc ca ca 1 b 1 0 Theo nguyên lí Dirrichlet thì trong ba số a, b, c luôn tìm được hai số cùng phía với 1. Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử hai số đó là a và b. Khi đó bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi Bài 163. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy z 1 . Chứng minh rằng: 32 3 2 3 2 x2x x y 2y y z 2z z 23 3 xy z y z x z x y Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Kiên Giang n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Áp dụng giả thiết xy z 1 ta được 2 32 x1 x x2x x x1 x x x x xy z x 1 x Áp dụng tương tự ta được 32 3 2 3 2 x2x x y 2y y z 2zz xy z y z x z x y xy z xx xy xz Ta cần chứng minh 23 xy z xx xy xz 3 Từ xy z 1 x y z 3 . Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 3x x y y z z x y z x x y y z z x y z Do đó ta được 1 xx y y z z 3 . Tư đó ta có 123 xy z xx xy xz 3 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 xy z 3 . Bài 164. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab bc ca a b c Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Th ừa Thiên Hu ế n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với 22 2 2 2 2 44 4 4 4 4 22 22 22 2 44 4 2 2 2 2a b c 2ab bc ca ab c 2a b c a b c 2ab bc ca ab c 2a b c a b c 9 Vậy ta cần chứng minh 44 4 ab c 2a b c 9 Hay là 44 4 aa a b b b c c c 9 Điều này hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy bộ ba số ta có 3 44 2 3 44 2 3 44 2 aa a 3a.a.a 3a bb b 3b.b.b 3b cc c 3c.c.c 3c Bài toán được giải quyết. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 165. Cho a, b, c là các số thực dương thả mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 44 4 22 22 2 2 2a 2b 2c ab c a b c 9 b c ac ab Trích đề thi ch ọn HS d ự thi HSGQG T ỉnh Thái Nguyên n ăm h ọc 2015-2016 Lời giải Dễ dàng chứng minh được 22 44 2 2 ab ab aba b c Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 2 2 44 4 ab b c c a 2a b c ca b Bài toán quy về chứng minh 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 4a 4b 4c 2a b c 18 ca b b c ac ab Áp dụng bất đẳng thức Caychy ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 a b 4c b c 4a c a 4b 4; 4; 4 ca b ab b c c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 22 22 2 2 a b b c c a 4a 4b 4c 12 ca b b c ac ab Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được ab c 3 , đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bài toán được chứng minh xong Bài 102. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn Min a b; b c; c a 0 và 22 2 ab c 2ab bc ca . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab bc ca 1 ab b c c a 2 Phân tích và lời giải Trước hết ta phân tích các giả thiết của bài toán, từ Min a b; b c; c a 0 ta suy ra được trong các tổng trên không có tổng nào bằng không và từ giả thiết thứ hai ta thu được trong các biến a, b, c chỉ có có thể có một biến bằng 0. Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại ab;c 0 và các hoán vị của nó. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể đánh giá trực tiếp tử hoặc mẫu của các biểu thức. Do đó ta hướng đến biến đổi các biểu thức trước. Chú ý đến phép biến đổi 22 22 22 ab a b ab ab ab . Để đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra ta nhân với 2 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2ab a b 2bc b c 2ca c a 1 ab b c c a Đến đây áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 22 22 2ab a b 2ab.2ab 2ab ab ab ab Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 22 22 2 2 2 2 2bc b c 2ca c a 2bc 2ca ; bc bc c a c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ab a b 2bc b c 2ca c a 2ab 2bc 2ca a b b c ca a b b c ca Khi đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 2 2 2 2ab 2bc 2ca 1 ab b c c a Để ý là 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 ab b c c a 2ab 2bc 2ca 3 ab b c c a ab b c c a Lúc này áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 a b b c c a 2a 2b 2c ab b c c a 2a b c 2a b c 2ab 2bc 2ca 8ab bc ca 4 2ab bc ca 2a b c Do đó ta có 22 2 2 2 2 2ab 2bc 2ca 1 ab b c c a Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab;c 0 và các hoán vị. Bài 103. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 1 ab 2c b c 2a c a 2b 2 Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức trên ta thấy được một số ý tưởng tiếp cận như sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki để khử các căn bậc hai, đổi biến để đơn giản hóa giả thiết,… Cách 1: Trước hết với ý tưởng khử các căn bậc hai, ta chú ý đến đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau 2 4a b 2c 1 1 2 a b 2c a b 2 c Khi đó kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được ab 2 ab 2 ab 1 ab ab ab 2c 2 ab2c ac b c 4a b 2c Áp dụng tương tự ta có bc 1 bc bc ca 1 ca ca ; bc 2a 2 c a 2b 2 ab ac ab b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca 1 1 ab c ab 2c b c 2a c a 2b 2 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 9 . Cách 2: Đặt xa;y b;z c . Từ giả thiết ta suy ra xy z 1 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 2 2 2 2 2 2 xy yz zx 1 2 xy 2z y z 2x z x 2y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 2 2 2 2 4 x y 2z 1 1 2 x y 2z x y 2z Do đó ta có 22 2 22 2 xy 2xy 2xy 1 xy xy xy 2z 2 x z y z xy 2z 4x y 2z Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 yz 1 yz yz zx 1 zx zx ; 2x y x z 2 x y y z y z 2x z x 2y Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 xy yz zx x y z 1 22 x y 2z y z 2x z x 2y Bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 104. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 1 ab c . Chứng minh rằng: 22 2 bc c a a b 2 ab c Phân tích và lời giải Từ giả thiết của bài toán thì suy nghĩ rất tự nhiên là đổi biến 11 1 x;y ;z ab c , khi đó giả thiết trở thành xy z 1 và bất đẳng thức được viết lại là 22 2 xy z y z x z x y 2 yz zx xy Quan sát bất đẳng thức trên ta có các cách xử lý như sau Cách 1: Chú ý đến dụng bất đẳng thức Cauchy ta được các đánh giá 22 2 xy y z z x xy ; yz ; zx 44 4 Khi đó ta được bất đẳng thức sau 22 2 22 2 xy z y z x z x y 4x 4y 4z yz zx xy yz z x x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta có 2 22 2 4x y z 4x 4y 4z 2x y z 2 yz z x x y 2x y z Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Cách 2: Biến đổi bất đẳng thức thành 22 2 11 1 1 1 1 1 xy z yz z x x y 2 Theo một đánh giá quen thuộc ta có 22 2 22 2 22 2 11 x 1 1 4x xyz yz y z yz y z 11 y 1 1 4y yzx zx z x zx z x 11 z 1 1 4z zxy x y xy x y xy Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 11 11 1 1 4x 4y 4z xy z yz z x x y y z z x x y Đến đây đánh giả tương tự như cách 1 hoặc có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau đây 22 2 2 2 2 2 2 4x 4y 4z 4x 4y 4z 2x y y z z x yz z x x y yz z x x y xy z 2yz zx xy2xyz2 yz z x x y Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 105. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 22 2 9a b c 2a 2b 2c 11 1 bc a abbcca Phân tích và lời giải Để ý đến các đại lượng vế trái của bất đẳng thức ta nhận thấy các ý tưởng tiếp cận bài toán như khai triển rồi đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy hoặc sử dụng đánh giá quen thuộc 2 22 2 3x y z x y z . Ta đi phân tích các ý tưởng đó theo các cách sau Cách 1: Triển khai vế trái ta được 22 2 22 2 22 2 2a 2b 2c a b c a b c 11 1 34 4 bc a bca bc a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 22 2 2 22 2 22 2 ab c abc 111 2 bc a bc a ab c a b c a b c 33 bc a b c a bc a Từ đó ta được 22 2 22 2 ab c a b c ab c 34 4 9 bca b ca bc a Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca Suy ra 2 22 2 9a b c 2a 2b 2c 11 1 bc a abbcca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức 2 22 2 3x y z x y z ta được 2 22 2 2a 2b 2c 1 a b c 11 1 32 bc a 3 bca Ta cần chứng minh được 2 2 9a b c 1abc 32 3bca abbcca Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 ab c ab c bc a ab bc ca Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 ab c a b c 32 27 bc a b c a Thật vậy, đặt ab c tt3 bc a . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 32t 27t t3 4t 3 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi Bài 106. Cho a, b, c, d là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 222 22 2 ab c abc 3 aab b b bc c c ac a Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức thì suy nghĩ đấu tiên đó là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Do đó ta thử tiếp cận bài toán với bất đẳng thức xem như thế nào? Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 33 3 222 22 2 22 22 2 2 2 2 33 3 2 2 2 2 2 2 22 2 ab c aab b b bc c c ac a ab c a b c ab c ab ab bc bc ac ca ab c a b c Ta cần chứng minh 22 2 ab c a b c ab c 3 Hay 2 22 2 3a b c a b c Bất đẳng thức cuối cùng là một đánh giá quen thuộc. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Ngoài ra để ý đến mối liên hệ giữa tử và mẫu ta chú ý đến hằng đẳng thức bậc ba quen thuộc 33 2 2 ab a b a ab b . Do đó ta có phép biến đổi 33 33 2 22222 ab ab ab aab b aab b aab b Hoàn toàn tương tự ta có 33 3 222 22 2 33 3 3 3 3 2 22222 2a 2b 2c aab b b bc c c ac a ab b c c a aab b b bc c c ac a Để ý là 22 33 2 2 ab a ab b ab a b a ab b 3 Khi này ta được 33 22 ab a b 3 aab b , đến đây bài toán xem như được chứng minh và ta trình bày lại lời giải như sau Cách 2: Ta có 33 33 2 22222 ab ab ab aab b aab b aab b Áp dụng tương tự ta được 33 3 3 2222 2222 bc c a bc; c a bbc c bbc c c ac a c ac a Công theo vế các đẳng thức trên ta được 33 3 2 22222 33 3 222 22 2 ab c aab b b bc c c ac a bc a 0 aab b b bc c c ac a Hay 33 3 222 22 2 33 3 2 22222 ab c aab b b bc c c ac a bc a aab b b bc c c ac a Do đó ta được 33 3 222 22 2 33 3 3 3 3 2 22222 2a 2b 2c aab b b bc c c ac a ab b c c a aab b b bc c c ac a Để ý ta thấy 22 33 2 2 ab a ab b ab a b a ab b 3 Do đó ta được 33 22 ab a b 3 aab b Áp dụng tương tự ta được 33 3 3 3 3 222 22 2 2a b c ab b c c a 3 aab b b bc c c ac a Suy ra 33 3 222 22 2 2a b c 2a 2b 2c 3 aab b b bc c c ac a Hay 33 3 222 22 2 ab c abc 3 aab b b bc c c ac a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Cách 3: Ngoài hai lời giải trên ta có thể tham khảo thêm lời giải bằng phương pháp biến đổi tương đương như sau Vì a, b là các số thực dương nên ta có 3 2 32 2 22 3a ab a b 0 3a 2ab a ab b 2a b aab b Áp dụng tương tự ta được 33 22 22 3b 3c 2b c; 2c a bbc c c ac a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 222 22 2 ab c abc 3 aab b b bc c c ac a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 107. Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn 22 2 11 1 2 a1 b 1 c 1 . Chứng minh rằng: 3 ab c a b c b c a c a b 4 Phân tích và lời giải Khi tiếp cận bài toán này có lẽ ấn tượng đầu tiên là giả thiết của bài toán là một đẳng thức phức tạp. Tuy nhiên khi nhìn bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy tích các đại lượng ab c;b c a;c a b thì thấy tự tin hơn tí vì ít nhiều liên tưởng đến một số đánh giá quen thuộc. Để có các bước đi hợp lí ta đi đánh giá lại giả thiết trước. Từ giả thiết 22 2 11 1 2 a1 b 1 c 1 , ta được 22 2 22 2 ab c 1 a1 b 1 c 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki ta được 2 22 2 22 2 222 ab c ab c 1 a1 b 1 c 1 a b c 3 Suy ra 2 22 2 ab c 3 a b c hay 3 ab bc ca 2 . Quan sát tích các đại lượng dưới dấu căn ta liên tưởng đến một bất đẳng thức khá là hay gặp ab c b c a c a b abc . Như vậy ta thu được bất đẳng thức ab c a b c b c a c a b ab cabc Đến đây ta chú ý đến đánh giá 2 ab bc ca abc a b c 3 Khi đó ta được 2 ab bc ca 3 ab c a b c b c a c a b 34 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 108. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng mỉnh rằng: 22 2 3a b c 4abc 13 Phân tích và lời giải Trước hết ta đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta thấy xuất hiện đại lượng 22 2 ab c liên hệ với giả thiết của bài toán bằng một hằng đẳng thức quen thuộc 2 22 2 ab c a b c 2ab bc ca . Như vậy khi đó ta trong bất đẳng thức sẽ có đại lượng ab bc ca và abc . Hai đại lượng này làm ta liên tưởng đến phép sắp thứ tự để giảm biến, hoặc sử dụng bất đẳng thức phụ quen thuộc, hoặc sử dụng nguyên lí Dirichlet. Từ sự phân tích đó ta có các lời giải sau Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 3a b c 6ab bc ca 4abc 13 Hay 3ab bc ca 2abc 7 Không mất tính tổng quát ta giả sử ab c , do đó ta được a1 . Khi đó ta có 2 2 23 3ab bc ca 2abc 3a b c bc 3 2a bc 3 2a 3a b c 4 3a 3 2a 27 3a 2a 3a 3 a 44 Ta cần chứng minh 23 27 3a 2a 7 4 Hay 2 32 2a 3a 1 0 a 1 2a 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Ta có ab c b c a c a b 3 2c 3 2b 3 2a 27 18 a b c 12 ab bc ca 8abc 12 ab bc ca 27 8abc Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được abc a b c b c a c a b Do đó ta được abc 12 ab bc ca 27 7abc Hay 4ab bc ca abc 3 3 Do đó ta có 22 2 2 2 2 16 ab bc ca 3 a b c 4abc 3 a b c 12 3 Ta cần chứng minh 22 2 16 ab bc ca 3 a b c 12 13 3 Hay 22 2 9 a b c 16 ab bc ca 75 Thật vậy, áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có 22 2 22 2 2 2 2 2 2 9 a b c 16 ab bc ca ab c 8ab c 2ab bc ca ab c 8a b c 3 72 75 3 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 3: Trong ba số dương bất kì a, b, c luôn tồn tại hai số cùng phía so với 1. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a và b. khi đó ta có c1 a 1 b 0 abc c a b c Ta có 2 22 2 2 22 2 ab 3 a b c 4abc 3 c 4c a b 4c 2 3c c 1 26 3c4c3c4c 13 22 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 109. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 2 a2a 1 b 2b 1 c 2c 1 Phân tích và lời giải Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Cauchy. Ở đây ta thực hiện đổi biến và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xem có thể chứng minh được không. Từ giả thiết ab bc ca 2abc suy ra 11 1 2 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó ta có xy z 2 . Bất đẳng thức được viết lại là 33 3 22 2 xy z 1 2 2x 2y 2 z Hay 33 3 22 2 xy z 1 2 yz zx x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 33 3 22 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 xy z xy z yz z x x y xy z yz x zx y xy z x y yx xz zx yz zy 6xyz Ta cần chứng minh 2 22 2 2 2 22 22 xy z 1 2 x y yx xz zx yz zy 6xyz Hay 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y y x xz zx yz zy 6xyz Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2x y z x y z 2x y z 2x y z x y z 3 Mà ta lại có 2 2 2 3 3 3 2 2 22 22 xy z x y z x y z xy yxxz zxyz zy Suy ra ta có 2 2 2 2 3 3 3 2 2 22 22 2x y z x y z 4x y z xy yxxz zxyz zy 33 Ta cần chỉ ra được 33 3 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 4 x y z x y yx xz zx yz zy 3xy yx xzzx yzzy6xyz Hay 33 3 2 2 2 2 2 2 4 x y z x y y x xz zx yz zy 18xyz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 2 2 2 2 2 2 4 x y z 12xyz; x y y x x z 3xyz; z x y z z y 3xyz Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 2 2 2 4 x y z x y y x xz zx yz zy 18xyz Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 ab c 2 . Bài 110. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 53 a abc b abc c abc 9 abc 3 Phân tích: Chú ý đến phép biến đổi 22 aabc a a b c abc aa b a c , do đó ta có đánh giá 2 aa b a c a a 1 aabc aa b a c 22 . Lời giải Ta có 22 a abc a a b c abc aab ac Do đó ta được 2 aa b a c a a 1 aabc aa b a c 22 Chứng minh tương tự ta được 22 bb 1 c c 1 babc ; c abc 22 Do đó ta được 22 2 aa 1 b b 1 c c 1 a abc b abc c abc 22 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có aa 1 a1 b c a b c 1 abc a a a 222 2 Chứng minh tương tự ta được bb 1 c c 1 abc b; abc c 22 Như vậy ta có 22 2 a abc b abc c abc 9 abc a b c 6 abc Mà ta có 3 ab c 2 ab c 3abc 3;6abc 6 3 3 Nên ta suy ra 22 2 25 53 a abc b abc c abc 9 abc 3 3 33 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 111. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 33 3 3 3 3 ab c 1 ab c b c a c a b Phân tích: Để đồng bậc mẫu ta chú ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 33 3 2 2 2 ab c a b c a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 33 3 2 2 2 ab c a b c a b c Suy ra 3 4 33 2 33 3 22 2 aa b c a a ab ac ab c ab c a b c ab c Chứng minh tương tự ta được 44 33 2 3 3 2 22 2 2 2 2 b b ab bc c c ca bc ; bc a c a b ab c a b c Do đó ta được bất đẳng thức sau 44 4 33 3 3 3 3 2 22 2 ab c 2ab bc ca abc ab c b c a c a b ab c Ta cần chứng minh 44 4 2 22 2 ab c 2ab bc ca 1 ab c Hay 22 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và bất đẳng thức Cauchy ta được 24 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 3 3ab bc ca ab bc ca ; ab bc ca 3 abc 3 Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 2 22 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca Hay 22 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 112. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 2 a1 b 1 c 1 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến đổi chiều bất đẳng thức. Ngoài ra ta có thể sắp thứ tự các biến để chứng minh bài toán. Lời giải Cách 1: Không mất tính tổng quát, giải sử ab c Do ab bc ca 3 bc 1 Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với x, y 0; xy 1 ta có 22 11 2 yz 1 y1 z 1 Thật vậy, ta có 2 22 2 2 yz 2 yz 1 y 1z 1 y z yz 1 0 Không mất tính tổng quát, giải sử ab c . Do ab bc ca 3 bc 1 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 11 1 1 2 bc 1 a1 b 1 c 1 a1 Do đó ta sẽ chứng minh: 22 2 12 3 a 3 bc 3a bc 0 a a b c 3abc 0 bc 1 2 a1 Từ giả thiết ab bc ca 3 , suy ra ab c 3 và abc 1 . Do đó ab c 3abc 0 Do đó ta được 22 2 2 11 1 1 2 3 bc 1 2 a1 b 1 c 1 a1 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Gọi biểu thức vế trái là P, ta biến đổi biểu thức P như sau 22 22 2 2 2 2 11 1 a b c P3 a 1 b1 c1 a 1 b1 c1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 22 2 2 2 4a 4a a a a a ab c 3a 3 3a ab bc ca a ab ac 2a bc 2a bc Áp dụng tương tự với hai biểu thức còn lại ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4a 4b 4c a b c 1 3a 3 3b3 3c 3 2a bc 2bca 2c ab Ta sẽ chứng minh 22 2 22 2 ab c 1 2a bc 2b ca 2c ab Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 3a b c 1 22 2a bc 2b ca 2c ab Hay 22 2 bc ca ab 1 2 2a bc 2b ca 2c ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 2 22 222 222 2 22 2 2 2 2 bc ca ab bc ca ab 2a bc 2b ca 2c ab 2a bc b c 2ab c c a 2abc a b ab bc ca 1 ab bc ca 2abc a b c Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 113. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 43 2 4 3 2 4 3 2 111 1 ab c b c a c a b Phân tích: Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có đánh giá 2 43 2 2 2 2 2 ab c 1 b c a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 43 2 2 2 2 2 ab c 1 b c a b c Do đó ta có 22 43 2 2 43 2 2 22 2 11bc 1bc ab c ab c 1 b c ab c Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 43 2 4 3 2 4 3 2 2 22 2 111 3abcabc ab c b c a c a b ab c Ta cần chứng minh 22 2 2 22 2 3a b c a b c 1 ab c Hay 2 22 2 2 2 2 ab c 3 a b c a b c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 3 22 2 222 22 2 2 2 2 a b c 3abc a bc 3a bc Từ giả thiết abc 1 suy ra ab c 3 . Do đó ta được 2 3 22 2 2 2 2 222 ab c ab c a b c;a b c 3abc 3 3 Suy ra 22 2 2 2 2 3a b c a b c a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c 1 Bài 114. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 ab c 3 abc b ca c ab 2 Phân tích: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta để ý đến các đánh giá 33 3 aabc1 a abc1 3a 3. . abc 4 2 a bc 4 2 2 và 2 ab c ab bc ca 3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 aabc1 a abc1 3a 3. . abc 4 2 a bc 4 2 2 Suy ra 3 a5abc1 abc 4 4 2 Chứng minh tương tự ta được 33 b5bca1 c 5cab1 ; bca 4 4 2 c ab 4 4 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 5a b c ab c abbcca3 abc b ca c ab 4 4 2 9ab bc ca 44 Mặt khác ta lại có 2 ab c ab bc ca 9 3 Do đó ta có 33 3 ab c 933 abc b ca c ab 4 4 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 115. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab a b 3 . Chứng minh rằng: 22 3a 3b ab 3 ab b1 a 1 a b 2 Phân tích: Chú ý đến đánh giá 2 a b 4ab , khi đó ta viết lại được giả thiết của bài toán là 2 ab 4a b 12 0 và đặt ta b . Lời giải Từ giả thiết ab a b 3 suy ra 3a b ab . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 ab 3a b ab a b 4a b 12 0 2 a b 3 4 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2 2 3a b 2ab 3a b 3a b 3 ab 2ab ab a b 1 a b 2 3a b 6 2a b 3a b 3a b 3 ab 6 2ab 4ab 2 Đặt ta b 2 t3 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 2 32 3 2 2 3t 6 2t 3t 3t 3 t6 2t 4t 2 3t 9t 18t 12 4t 4t 6t 18t t2 t t 6 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với t2 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab 1 . Bài 116. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãnab c 1 . Chứng minh rằng: 1 a 1b 1c a b c 2 bc c a a b b c a Phân tích: Để ý đến giả thiết ab c 1 ta có các phép biến đổi sau 1 a 2a b c 2a 1 bc bc bc và aa ac bb c bb c Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 1a 1 b 1 c a b c 2a 2b 2c a b c 232 bc c a a b b c a b c c a a b b c a aa b b c c 3 ac bc ab 3 bb c c a c a a b 2 2 bb c a a b cc a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 ab bc ca ac bc ab bb c a a b c c a 2abc a b c Ta cần chứng minh 2 ab bc ca 3 2 2abc a b c Hay 2 ab bc ca 3abc a b c Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 117. Cho a, b, c là các số thực không âm tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 11 1 ab bc ca 4 ab b c c a Phân tích: Bất đẳng thức có các đại lượng 22 2 ab ; b c ; c a dưới mẫu, do đó đẳng thức không thể xẩy ra tại ab c . Ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại một biến bằng 0. Do đó ta nghĩ đến sắp thứ tự các biến để giảm biến cho bài toán. Lời giải Không mất tính tổng quát ta giả sử ab c , khi đó ta có 22 2 2 11 1 1 ab bc ca ab; ; ba bc c a Do đó ta được bất đẳng thức sau 22 2 222 11 1 1 11 ab bc ca ab ba ab b c c a ab Ta cần chứng minh 22 2 11 1 ab 4 ba ab Thật vậy, ta có 2 22 2 2 2 ab 11 1 ab ab ab ab 2 ba ab ba ab ab ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 ab ab ab ab 2. 2 ab ab ab ab Suy ra 22 2 11 1 ab 4 ba ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 c0 c0 35b ab ab a 2 Bài 118. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab bc ca 3 4 c3ab a 3bc b3ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến phép đổi biến xa;y b;z c và để có các đánh giá hợp lí ta có thể đổi chiều bất đẳng thức. Lời giải Đặt xa;y b;z c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy yz zx 3 4 z 3xy a 3yz y 3zx Ta biến đổi biểu thức vế trái như sau 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 xy yz zx 1 3xy 3yz 3zx P 3 z 3xy a 3yz y 3zx z 3xy a 3yz y 3zx 1z x y 11 1 3 z3xy x 3yz y 3zx 1z x y 1 3z3xy x 3yz y 3zx Đặt 22 2 22 2 zx y Q z 3xy x 3yz y 3zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một đánh gia quen thuộc ta được 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 xy z zx y Q z 3xy x 3yz y 3zx xy z 3xy yz zx xy z 3 4 xy z xy z 3 Do đó ta được 13 3 P1 . 34 4 . Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 119. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 0 . Chứng minh rằng: 33 3 3 a b 16c 16 81 ab c Phân tích: Để ý là 33 3 3 3 3 3 333 a b 16c a b 16c ab c a b c ab c a b c . Khi đó ta nghĩ đến phép đổi biến ab c x;y ;z ab c a b c ab c . Lời giải Đặt ab c x;y ;z ab c a b c ab c . Khi đó ta được xy z 1 . Bất đẳng thức được viết lại thành 33 3 33 3 333 a b 16c 16 x y 16z 81 ab c a b c ab c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 1 xy 4z 1 1 x y z 1 4 Suy ra 22 2 4 xy 4z 9 Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 33 3 2 2 2 4 x y z x y 16z x y 4z 9 Hay 33 3 16 x y 16z 81 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 2 xy 4z xy 4z a b 4c 11 1 x y 16z Bài 120. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3 ab c 2 . Chứng minh rằng: 2 22 2 11317 ab 1 c 2 ab c Phân tích: Để ý đến phép biến đối 2 22 22 22 11 11 ab 1 a b 1 ab ab ab ab Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến đánh giá 22 22 2 2 xm y n x y m n Lời giải Dễ dàng chứng minh được: Với các số thực dương x, y, m, n ta luôn có 22 22 2 2 xm y n x y m n Thật vậy, bình phương hai vế và rút gọn ta được 22 2 2 xm y n xy mn Hay 2 22 2 2 xm y n xy mn Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunhiacopxki quen thuộc. Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là P, áp dụng bất đẳng thức trên ta được 2 22 22 2 2 2 2 22 22 2 2 11 1 1 Pa b 1 c a b 1 c ab c a b c 11 1 1 1 1 ab c a b c ab ab c c Mà ta lại có 11 1 9 ab c a b c Nên ta được 2 2 81 Pabc ab c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 222 2 81 81 1215 Pabc abc ab c 16a b c 16ab c 81 1215 3 17 2 16 2 3 16 2 Hay 317 P 2 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 2 . Bài 121. Cho các số thức a,b,c 0;1 . Chứng minh rằng: 11 1 a 1b 1c ab c 3 Lời giải Không mất tính tổng quát ta giả sử 1a b c 0 , khi đó ta có a1 ab c 3 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 31 b 1 c 1 b c 3 1 b 1 c 1 b c Suy ra 11 b1 c1 b c Do đó ta được 1a 1a 1 b 1 c 1 b c Hay 1a 1 a 1b 1c 1b c Mặt khác ta lại có 1a 1a ab c 1 b c Nên ta được 1a 1a 1 b 1 c ab c Suy ra 1a1 1 a 1b 1c 1 a 1b 1c ab c a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 122. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 22 a2b 1 . Chứng minh rằng: 22 2 a4b 33 ba b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 44 4 4 24 2 2 2 3 22 aa a 27a ab abb a2b 3 Suy ra 2 4 4 a 27a b hay 2 2 a 33a b Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có 44 4 4 33 22 2 2 2 22 22 2 2 2 16b a a 108b 2b ab ab 2b ab ab 2a 4b 33 Suy ra 2 4 2 22 16b 108b ab hay 2 22 4b 63b ab Do đó ta được 22 22 2 a4b 33 a 2b 3 3 ba b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3 ab 3 Bài 123. Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng : 33 33 3 3 a4b 1 a8b bab Phân tích: Biểu thức vế trái được viết lại thành 3 3 33 3 3 3 4b 1 a 8b bb 1 1 a a a . Đến đây ta nghĩ đến phép đổi biến b t a . Lời giải Biểu thức vế trái được viết lại là 3 3 33 3 3 3 4b 1 a 8b bb 1 1 a a a Đặt b t0 a . Khi đó bất đẳng thức được viết lại là 3 33 3 14t 1 18t t1t Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 32 2 24t 18t 1 2t 1 2t 4t 1 2t 2 Suy ra 32 2 2 11 1 18t 1 2t 12t Ta sẽ chứng minh 32 32 3 4t 2t 12t t1t Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 32 2 32 24 2 32 3 4t 2t 12t t t1 t t 1 2t t 1 0 12t t1t Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t. Do đó ta được 32 33 2 2 3 14t 1 2t 1 18t 1 2t 1 2t t1t Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab . Bài 124. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 3 ab c 4 . Chứng minh rằng: 33 3 11 1 3 a3b b 3c c 3a Phân tích: Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 4 . Khi đó ta có đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy là 3 3 a3b 2 a 3b a 3b .1.1 3 . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 a3b 2 a 3b a 3b .1.1 3 Do đó ta được 3 13 a3b 2 a3b Áp dụng tương tự ta được 33 13 1 3 ; b3c 2 c3a 2 b3c c 3a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 11 1 3 3 3 a3b 2 b 3c 2 c 3a 2 a3b b 3c c 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 33 3 3.9 3 a3b 2 b 3c 2 c 3a 2 4a b c 6 Do đó ta được 33 3 11 1 3 a3b b 3c c 3a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 4 . Bài 125. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca ab bc ca 2 cab a bc a ca c ab a bc a ca Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca cab a bc a ca ab bc ca 3abc Mà ta có 2 22 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca 3 Và 2 ab bc ca abc a b c 3 Nên ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 a b bc ca 3abc a b bc ca 3abc a b c ab bc ca 4 ab bc ca ab bc ca 33 Do đó ta có ab bc ca 3 cab a bc a ca 4 Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 ab bc ca ab bc ca 3 cab a bc a ca c ab a bc a ca Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được ab bc ca ab bc ca 2 cab a bc a ca c ab a bc a ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1 ab c 3 . Bài 126. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 21 1 4 9 1 a 1b 1c Phân tích: Từ giả thiết ta suy ra 11 1 1 ab bc ca . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó ta được xy yz zx 1 . Khi đó để ý đến phép biến đổi 22 x1 x xy yz zx x y x z Lời giải Từ giả thiết ta suy ra 11 1 1 ab bc ca . Đặt 11 1 x;y ;z ab c . Khi đó ta được xy yz zx 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 2x y z 4 9 x1 y 1 z 1 Để ý ta thấy 22 x1 x xy yz zx x y x z Áp dụng tương tự bất đẳng thức trở thành 2x y z 4 9 xy x z xy y z y z z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2x y z xy x z xy y z y z z x 11 1 1 1 1 xy z xy x z xy x z 4y z 4 y z xy y z z x 1 9 11 xy z x 4 4 4y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 15 a; b; c ; 15; 15 7 Bài 127. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab c abbcca5 bc c a a b 2 ab c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được 2 22 2 ab c ab c abc 1 bc c a a b 2ab bc ca 2 ab bc ca Khi đó ta được bất đẳng thức 22 2 22 2 2 2 2 ab c abbcca abc abbcca 1 bc c a a b ab c a b c 2ab bc ca Ta cần chứng minh 22 2 22 2 ab c ab bc ca 5 1 2 ab c 2ab bc ca Đặt 22 2 ab bc ca t0t1 ab c . Khi đó bất đẳng thức trên trở thành 2 2 15 t1 t 1 2t 1 0 2 2t Bấ đẳng thức cuối cùng luôn đúng với 0t 1 . Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 128. Cho a, b, c là các số thực dương không âm. Chứng minh rằng: 3 22 2 ab c ab bc ca 28 abc ab c Lời giải Ta có 3 22 2 ab c 2ab bc ca ab c 11 1 ab c abc ab bc ca abc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và cauchy ta được 22 2 22 2 3 3 22 2 9a b c 11 1 ab c ab bc ca ab bc ca 2ab bc ca a b c 2.3. a b c .3. abc 18 abc abc Do đó ta được 3 22 2 9a b c ab c 18 abc ab bc ca Suy ra ta có bất đẳng thức 3 22 2 22 2 2 2 2 9a b c ab c ab bc ca ab bc ca 18 abc ab bc ca ab c a b c Ta cần chứng minh 22 2 22 2 9a b c ab bc ca 10 ab bc ca ab c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 22 2 22 2 8a b c 8ab bc ca ab bc ca a b c 2; 8 ab bc ac ab bc ca ab bc ca ab c Cộng theo vế của hai bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 9a b c ab bc ca 10 ab bc ca ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 129. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3 ab c 2 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 27 ab c 2 ab c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 141 41 4 4; 4 ; 4 ab c ab c Do đó ta được 22 2 1 1 1 444 12 ab c ab c Khi đó ta có 22 2 11 1 4 4 4 ab c a b c 12 ab c ab c Và theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có 444 36 ab c a b c Từ đó ta suy ra 22 2 11 1 36 ab c a b c 12 ab c ab c Ta cần chứng minh 36 27 ab c 12 ab c 2 Hay 36 51 ab c ab c 2 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 9 9 135 135 45 ab c 2 3; 432 4a bc 4a bc 4. 2 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 36 51 ab c ab c 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 130. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 3 22 2 3 3 3 ab c 9a b c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 3 22 2 3 3 3 ab c 9abca b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 33 3 3 3 3 33 3 ab c a b c 9abc a b c 27.ab.ac. ab ab 3a 3a Mà ta có 33 3 3 3 3 22 2 ab c a b c 3abc ab ab ab bc ca 3a 3a ab c a b c ab bc ca ab bc ca 3a Suy ra 3 22 2 33 3 ab c a b c ab bc ca 9abc a b c ab bc ca 3a Như vậy ta cần chứng minh được 22 2 22 2 ab c a b c ab bc ca ab bc ca a b c 3a Hay 22 2 ab c ab c ab bc ca 1 0 3 Đánh giá trên luôn đúng do ta có thể giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 131. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: ab bc ca 1 4ab 4 bc 4 ca Lời giải Đặt xa;y b;z c . Khi đó ta viết lại giả thiết là 44 4 xy z 3 . Bất đẳng thức được viết lại là xy yz zx 1 4xy 4 yz 4 zx Khi đó gọi vế trái là P thì ta có xy yz zx 4 4 4 P3 1 1 1 4 xy 4 yz 4 zx 4 xy 4 yz 4 zx Ta có 22 2 22 22 2xy 2 xy 22xy 4xy 11 1 4xy 4 xy 4xy 2 xy 9xy 1 4xy 5 xy 1 99 9 Tương tự ta được 22 22 25yz 25xz ; 4yz 9 9 4 zx 9 9 Do đó ta được 22 2 2 2 2 4 4 4 15 x y y z z x 15 x y z P3 2 2 4 99 9 9 Suy ra P1 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 132. cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 9 4 b1 b 5 c1 c 5 a 1 a 5 Phân tích: Chú ý đến đánh giá b2 3 b1 b 5 4b 2 Lời giải Ta có bất đẳng thức luôn đúng sau 2 22 b2 3 4b 16b 16 3b 18b 15 b 1 0 b1 b 5 4b 2 Từ đó ta suy ra a2 b 2 3a 2 b1 b 5 4b 2 Tương tự b2 c2 3b 2 c 2 a 2 3c2 ; c1 c 5 4c 2 a 1 a 5 4a 2 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, và sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số, ta được: a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 3a 2 b 2 c 2 9 4b 2 c 2 a 2 4 b1 b 5 c1 c 5 a 1 a 5 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 133. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab b c c a 16 ab c b c 4a a c 16b 15 Lời giải Đặt xa b c 3a y x y b c4a 15b zx z c a 16b 15c 21x 5y z Khi đó biểu thức vế trái P được viết lại là 6x 5y z 20x 5y 16x z y 3x z 16x 4 P 15x 15y 15z 3x 4y 15x 15z 5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có y4x 4 z 16x 8 ; 3x 3y 3 15x 15z 15 Do đó ta được 48 4 16 P 315 5 15 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi y4x 5c a 3x 3y 7 3c z16x b 7 15x 15z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 5c 3c a;b 77 . Bài 134. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 2 ab c . Chứng minh rằng: 11 1 1 a3b b 3c c 3a Phân tích: Quan sát giả thiết ta chú ý đến phép đổi biến xa;y b;z c . Đến đây ta có thể đánh giá các căn bậc hai theo bất đẳng thức Cauchy hoặc Bunhiacopxki như sau 2 2 22 22 26 4 x3y x yyy 4xy 2 2 2 22 22 4x 3y 1111 x y y y x 3y Lời giải Cách 1: Đặt xa;y b;z c . Khi đó ta được 11 1 2 xy z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 2 2 2 11 1 1 x3y y 3z z 3y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 22 22 26 4 x3y x yyy 4xy Áp dụng một bất đẳng thức Cauchy khác ta được 22 22 4 44 26 2 2 4 444 11 1 11 1 4 x3y xy y 2xy 2 xy.y 11 1 2 11 3 8x y y 8x y Tương tự ta có 22 2 2 1113 1113 ; 8y z 8 z x y3z z 3y Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có 22 2 2 22 11 1 1111 1 2x y z x3y y 3z z 3y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 9 ab c 4 Cách 2: Đặt xa;y b;z c . Khi đó ta được 11 1 2 xy z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 2 2 2 11 1 1 x3y y 3z z 3y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 2 22 22 4x 3y 1111 x y y y x 3y Do đó ta được 22 2 22 12 2 2113 x3y 8 x y x3y 2x 3y x3y Tương tự ta có 22 2 2 1113 1113 ; 8y z 8 z x y3z z 3y Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có 22 2 2 22 11 1 1111 1 2x y z x3y y 3z z 3y Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 9 ab c 4 Bài 135. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 ab c 1 ca 2c ab 2a bc 2b Lời giải Từ giả thiết ab bc ca abc ta được 11 1 3 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z ab c . Khi đó ta được xy z 3 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 xy z 1 x2y y 2z z 2x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 2 2 2 2 3 22 22 4 3 2xy x x 2xy 2xy 2xy 2xy xx x 3 x2y x 2y x y y 2xy Áp dụng tương tự ta được 2 22 22 22 2 22 2yz yz2zx y; z 33 y2z z 2x Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 3 22 2 2 2 2 33 22 2 xy z 2 xy z xy yz zx 3 x2y y 2z z 2x Mạt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 22 3 22 3 3 22 xy xy 1 2xy 1 xy 33 yz yz 1 2yz 1 yz 33 zx zx 1 2zx 1 zx 33 Suy ra 2 3 22 2 2 2 2 33 2xy yz zx 2 x y z xy yz zx 1 1 3 39 Do đó ta được 22 2 22 2 xy z 2.3 31 3 x2y y 2z z 2x . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 136. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 23 3 3 22 2 16 3 ab c ab c ab c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 33 3 2 2 2 2 22 2 ab c a b c a b c 3a b c a b c Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 3a b c a b c a b c Suy ra 33 3 2 2 2 ab c a b c 1 ab c 3 Cũng từ hai bất đẳng thức trên ta được 23 33 3 2 2 2 3a b c a b c Suy ra 2 33 3 3 3 3 42 22 2 22 2 22 2 2 2 2 ab c 6ab c 123 2 3a b c ab c ab c a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 22 2 2 2 2 ab c 3 3 33 3 ab c a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được 33 3 33 3 2 22 2 6a b c ab c 3 ab c ab c Hay 23 3 3 22 2 16 3 ab c ab c ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 137. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab c 1 4a 4b c 4b 4c a 4c 4a b 3 Phân tích: Để ý đến phép biến đổi 4a a b c a 4a 4b c 3ca 3ca a 4a 4b c 4a 4b c 4a 4b c Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4aab c 4ba b c 4cab c 4ab c 4a 4b c 4b 4c a 4c 4a b 3 Ta có 4a a b c a 4a 4b c 3ca 3ca a 4a 4b c 4a 4b c 4a 4b c Tương tự ta có 4b a b c 4c a b c 3bc 3ba b; c 4b 4c a 4b 4c a 4c 4a b 4b 4c a Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 9ca 9ab 9bc ab c 4a 4b a 4b 4c a 4b 4c a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 21 94121 4a 4b c 2bc 2a b 2bc 22a b 2b c 2 2a b Do đó ta được 9ca 2ca ca 4a 4b c 2a b 2b c Hoàn toàn tương tự 9ab 2ab ab 9bc 2bc bc ; 4b 4c a 2b c 2c a 4b 4c a 2c a 2a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 9ca 9ab 9bc 4a 4b a 4b 4c a 4b 4c a 2ca ca 2ab ab 2bc bc ab c 2a b 2b c 2b c 2c a 2c a 2a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 138. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 30 abc ab c Phân tích: Chú ý là theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1abc 1 1 1 9 abc abc ab bc ca ab bc ca Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 19 30 ab bc ca ab c Lời giải Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 23 2 ab bc ca 3abc a b c 3abc a b c 3abc.27abc 81 abc Suy ra ab bc ca 9abc Áp dụng bất đăng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 2 22 2 3 22 2 11 1 1 1 7 abc 9abc 9abc 9abc ab c a b c 97 ab c 2.9abc ab c 3 9 21 30 ab c 2ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Cách 2: Với giả thiết ab c 1 , biểu thức P được viết lại thành 22 2 2 2 2 2 2 2 11 1 abc 1 111 abc abc ab bc ca ab c a b c ab c Theo một đánh giá quen thuộc ta có 11 1 9 ab bc ca ab bc ca Do đó ta có 22 2 2 2 2 11 1 9 abc ab bc ca ab c a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và bất đẳng thức 2 ab c ab bc ca 3 Ta được 22 2 22 2 19 ab bc ca ab c 11 1 7 ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab c 22 22 2 97 9 7.3 30 ab bc ca ab c 2ab bc ca ab c a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Bài 139. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 11 1 b c c a a b ab c abc b ca c ab Phân tích: Chú ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxi 22 22 2 222 22 22 22 ab ab ab a b cab a b c ab bac ab c bac ab c Hoặc phép biến đổi tương đương. Lời giải Cách 1: Áp dụng ất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 22 2 222 22 22 22 ab ab ab a b cab a b c ab bac ab c bac ab c Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 22 2 22 2 2 bc b c abc ca b b a c ca c a bca ab c c c a Mà ta lại có 22 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 bc caab 111 ab c ca b b a c a b c c b a ba c a b c Do đó ta được 22 2 11 1 b c c a a b ab c abc b ca c ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau 22 2 22 2 22 3 22 2 3 22 11 1 b c c a a b ab c abc b ca c ab 1a b 1 b c 1 c a 0 ac b cab a bc b ca bc b a 11 ca 0 babc ac ab c a bc c a c a bc ab ab b c b a 0 babc ca a bc c ab Không mất tính tổng quát ta giả sử b là số lớn nhất trong ba số a, b, c khi đó ta được 3 bc b a bc ab ca 0; 0 babc Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 140. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 abc b ca c ab 0 2a ab ac 2b bc ba 2c ca cb Phân tích: Để ý đến phép biến đổi 22 22 2 ab c a bc a a ab bc ca 1 2a ab ac 2a ab ac 2a ab ac Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 22 2 22 2 bc a ca b ab c 0 2a ab ac 2b bc ba 2c ca cb bc a ca b ab c 11 13 2a ab ac 2b bc ba 2c ca cb ab ac ab b c b c c a 3 a2a b c b a 2b c c a b 2c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 3 ab ac ab b c b c c a a2a b c b a 2b c c a b 2c ab b c c a 3 abc 2a b c a 2b c a b 2c Ta cần chứng minh 22 2 ab b c c a 1 abc 2a b c a 2b c a b 2c Hay 22 2 ab b c c a abc2ab c a 2b c a b 2c Hay 22 ab bc ca a b c 2abc a b c 3abc ab bc ca Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 2 ab bc ca a b c 9abc ab bc ca 3abc ab bc ca 33 2abbcca a bc 2abc a b c a b c 3abc a b c 3 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 22 ab bc ca a b c 2abc a b c 3abc ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 bc ca ab a b c 2a b c 2b c a 2c a b 2a ab ac 2b bc ba 2c ca cb Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 22 2 2 bc ca ab 2a ab ac 2b bc ba 2c ca cb ab bc ca bc 2a ab ac ca 2b bc ba ab 2c ca cb ab bc ca 3 4 4abc a b c Ta cần chứng minh ab c 3 2a b c 2b c a 2c a b 4 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 11 111 a 1aa 2a b c ab ac 4 a b a c 2ab c 4 ab ac Áp dụng tương tự ta được abc 2a b c 2b c a 2c a b 1a a 1 b b 1c c 3 4a b a c 4 a b b c 4a c b c 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 141. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 33 3 abc 1 b2c a c2a b a 2b c Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 a b 2c a a 8a 3b 2c a 39 9 b2c a b2c a Chứng minh tương tự ta được 33 b8b3c2a c 8c3a2c ; 99 c2a b a 2b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 ab c abc 1 3 b2c a c2a b a 2b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 33 3 22 2 2 33 3 333 abc b2c a c 2a b a 2b c abc abc b2c a c2a b a2bc 3abbcca Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 33 3 ab c a b c abc 33 a b c 3 a b c Nên 33 3 ab c 3 Mà theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 3abbcca a bc 9 abbcca 3 Do đó ta được 2 33 3 ab c 1 3ab bc ca hay bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Biểu thức vế trái được viết lại thành 44 4 ab c ab 2c a bc 2a b ca 2b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 44 4 22 2 2 2 2 ab c ab c ab ba ac ca bc cb 6abc ab 2c a bc 2a b ca 2b c Mà ta có 22 2 2 2 2 ab ba ac ca bc cb 6abc a b c ab bc ca 3abc 3 ab bc ca 3abc Áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 ab c ab bc ca abc a b c 3abc 33 2a b c a b c a b c 3ab bc ca 39 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 22 2 ab c 3ab bc ca 3abc Do đó ta được 33 3 abc 1 b2c a c2a b a 2b c . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 142. Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm ta có: 3 ab b c c a ab bc ca 38 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta thu được: 3 3 22 2 ab bc ca a b c ab cab bc ca abc abc. a b c . 33 9 . Dễ thấy ab bc ca a b c a b b c c a abc . Do đó ta có 8ab bc ca a b c 9 a b b c c a Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 a b bc c a a b bc c a 2a bc . từ đó suy ra 3 8 ab b c c a ab bc ca ab c 9 83 ab bc ca . a b b c c a 92 Hay tương đương 3 ab b c c a ab bc ca 38 . Bài toán được chứng minh xong. Bài 143. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 3 a b 4ab 2 . Cứng minh rằng: 44 22 2 2 9 3a b ab 2 a b 1 16 Lời giải Dễ thấy với mọi a, b ta luôn có 2 a b 4ab . Kết hợp với bất đẳng thức giả thiết 3 a b 4ab 2 , ta được 32 ab ab 2 a b 1 Do đó ta được 2 22 ab 1 ab 22 Khi đó ta được bất đẳng thức 2 4 4 22 22 22 22 22 2 22 22 22 22 2 2 2 2 3a b ab 2 a b 1 3 a b ab 2a b 1 ab 9 3 a b 2ab 1 a b 2ab 1 44 Mà ta lại có 22 22 22 22 2 22 22 2 2 22 22 ab 4a b 4ab 1 91 ab 2a b 1 44 22 2a b 1 ab 11 1 9 42 216216 Do đó ta được 44 22 2 2 9 3a b ab 2 a b 1 16 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab 2 . Bài 144. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3 2 ab b c c a ab bc ca 1 3 1 8abc ab c 1 Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bất đẳng thức có chứa căn bậc ba nên suy nghĩ rất tự nhiên là đánh giá làm mất căn bậc ba. Tuy nhiên ta không đánh giá theo hướng đó được vì đại lượng trong căn có dạng tích nên không thể dùng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá, ngoài ra ta cũng không thể sử dụng phép đặt ẩn phụ vì như vậy đại lượng ngoài căn sẽ có bậc cao. Để ý đến đại lượng ab b c c a abc trong căn bậc ba, nếu ta đánh giá được đại lượng 2 ab bc ca 1 ab c 1 về abc ab b c c a thì khi đó ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh bất đẳng thức. Với ý tưởng như vậy và chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta tập trung chứng minh bất đẳng thức 2 ab bc ca 1 2abc ab b c c a ab c 1 + Hướng 1: Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thì được 22 2 a b c 1 ab bc ca a b c abc 2abc ab bc ca ab bc ca a b c 4abc a b c 3abc Dễ thấy 22 2 a b c 1 ab bc ca a b c abc 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2ab bc ca a b c 2abc ab bc ca 3 4abc ab bc ca a b c 2 3 abc.3abc a b c a b c 4 4abc a b c 3 Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 22 2 ab bc ca a b c 3abc. abc 3abc 3 Cộng theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 a b c 1 ab bc ca a b c abc 2abc ab bc ca ab bc ca a b c 4abc a b c 3abc Như vậy bất đẳng thức 2 ab bc ca 1 2abc ab b c c a ab c 1 được chứng minh. + Hướng 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 ab c ab bc ca 1 1 a b c 1 bc a bc a ab bc ca 1 1 b c a 1 ab c Cộng theo vế hai bất đẳng thức này ta được 2 ab b c c a ab bc ca 1 2 a b c 1 abc Tư đó suy ra 2 ab bc ca 1 2abc ab b c c a ab c 1 Như vậy với bất đẳng thức 2 ab bc ca 1 2abc ab b c c a ab c 1 ta quy bài toán về chứng minh 3 ab b c c a 2abc 3 1 8abc ab b c c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 22 2 3 3 22 2 ab b c c a 2abc 1 8abc ab b c c a ab b c c a 2abc 1 2. 8abc ab b c c a abc abc ab b c c a ab b c c a Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 ab b c c a abc 1 1 .21 4abc 4 ab b c c a Do đó ta suy ra được 3 ab b c c a 2abc 3 1 8abc ab b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 145. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 abc 3 ab c b b c c a b Phân tích và lời giải Cách 1: Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Để ý đến đại lượng 2 ab c có thể đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau 2 2 ab c1 b c a b c Khi đó ta được 2 aa1bc ab c ab c . Áp dụng tương tự ta được 22 2 ab c a1bcb1cac1ab ab c ab c b b c c a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a1 b c b 1 c a c 1 a b 3 ab c Hay a1 b c b 1 c a c 1 a b 3 a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được a1 b c b 1 c a c 1 a b a b c a ab ac b bc ab c ca bc a b c a bc 2abcbca Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 22 2 abc3a b c9 abc 3 Do đó ta được 2 2a b c 2abcbca 2a b c 3 Suy ra 2 ab c a b c 2ab cb ca 3ab c 3ab c Từ đó ta có a1 b c b 1 c a c 1 a b 3 a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Trước hết để làm mất các dấu căn bậc hai ta chú ý đến đánh giá 22 2 22 2 ab c ab c b b c c a b ab c ab c ab c b c a c a b Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 abc ab c 3 ab c b c a c a b Theo đánh giá như cách 1 ta có ab c 3 nên ta được 22 2 22 2 abc ab c ab c b c a c a b ab c 3 ab c b c a c a b Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 abc 1 ab c b c a c a b Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 a1 b c b 1 c a c 1 a b abc ab c b c a c a b ab c Theo một đánh giá quen thuộc ta có 22 2 2 2 2 ab c 3a b c 3 a b c Khi đó ta được 22 22 2 2 a1 b c b 1 c a c 1 a b a b c 2 ab bc ca ab c a b c ab c 2ab bc ca 1 ab c Từ đó ta được 22 2 abc 1 ab c b c a c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 146. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 1ab 1 bc 1 ca 3 2 ab b c c a Phân tích và lời giải Cách 1: Chú ý đến giả thiết 22 2 ab c 1 , khi đó ta có 2 22 2 22 2 2 22 2 2 2 22 2a b c 2ab ab c a b 1ab c ab 2a b 2ab ab 1c 2a b 2 a b Khi đó ta được 22 2 22 2 22 2 2 2 2 1ab 1 bc 1 ca ab b c c a 11 1 1 c a b 2 ab b c c a ab b c c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 2 2 2 11 1 c a b 3 ab b c c a ab b c c a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 2 2 2 22 2 11 1 9 9 9 4 4a b c ab b c c a ab b c c a 2 22 2 22 2 ca b 1a b c 193 . 3b c c a a b 3 4 4 ab b c c a Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 22 2 22 2 2 2 2 11 1 c a b 3 ab b c c a ab b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Cách 2: Để ý ta thấy 2 ab ab 4 suy ra 2 22 2 ab 1 1ab 1 1 4 4 ab ab ab Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 1ab 1 bc 1 ca 1 1 1 3 4 a b bc c a a b bc c a Mà ta lại có 22 2 2 2 2 22 2 11 1 9 9 9 4 4a b c ab b c c a ab b c c a Do đó ta được 22 2 1ab 1 bc 1 ca 9 3 3 44 2 ab b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Để ý đến đánh giá 22 2 ab c ab bc ca , khi đó ta được 22 2 2a b c ab bc ca Do đó ta được 22 2 22 2 22 1ab a b c ab bc ca 2ab ab 2a b a b b c ca b c ca 2a b 2 a b Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 22 2 2 2 2 bc c a a b c a bc a b 1ab 1 bc 1 ca ab b c c a 2a b 2b c 2c a Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 bc c a a b c a bc a b 3 2 2a b 2 b c 2 c a Do đó ta được 22 2 1ab 1 bc 1 ca 3 2 ab b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 147. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 4 a1 bc b 1 ca c 1 ab Phân tích và lời giải Cách 1: Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 3 . Biến đổi giả thiết ta được 11 1 1 ab bc ca . Đến đây rất tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c , khi đó giả thiết trở thành xy yz zx 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 xyz yzx zxy 1 1yz 1 zx 1xy 4 Hay 22 2 xyz yzx zxy 1 xy yz xz yz xy yz xz zx xy yz xz xy 4 Đặt mxy;nyz;p zx m n p 1 và bất đẳng thức trên trở thành mp mn np 1 mnnp mp np mnmp 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được mp 1 mp mp mnnp 4 m n n p mn 1 mn mn mp np 4 m p n p np 1 np np mnmp 4 m n m p Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được mp mn np m n p 1 mnnp mp np mnmp 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 . Cách 2: Để ý đến giả thiết ab c abc ta được 2 11 1 a 1 bc aa abc aab ac Theo bất đẳng thức Cauchy ta được 111 1 1211 ab ac 4 a b a c 16 a b c Suy ra 2 11 1 1 4 a1 bc aa b aa c Hoàn toàn tương tự ta được 22 11 1 1 1 1 1 1 ; 44 b1 ca bb c ba b c 1 ab cc b cc a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 11 1 a1 bc b 1 ca c 1 ab 11 1 1 1 1 1 4 aa b a a c b b c b a b c c b c c a Lại có 11 1 ab aa b b a b , do đó ta được 11 1 1 1 1 111 ab bc ca aa b aac bb c bab cc b cc a Suy ra ta được 22 2 11 1 1111abc1 4 ab bc ca 4abc 4 a1 bc b 1 ca c 1 ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 148. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 9 4 b1 a c 1 b a 1 c Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . Bất đẳng thức cần chứng minh có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, do đó ta thử tiếp cận với bất đẳng thức đó xem sao? 2 22 2 2 2 2 ab c ab c b1 a c 1 b a 1 c ab1 a bc 1 b ca 1 c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 22 2 9a b c 4 ab 1 a bc 1 b ca1 c Bất đẳng thức trên không đồng bậc và ta cần phải đánh giá đại lượng có bậc 4 về phải về đại lượng trội hơn, tuy nhiên đánh giá không khả thi, nên ta tạm dừng đánh giá này ở đây. Chú ý đến giả thiết ab bc ca 1 khi đó ta viết được 2 1a a b c a , hoàn toàn tương tự ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành ab c 9 4 ba b a c c a b b c a c a b c Hay bất đẳng thức tương đương với 22 2 222222 ac b c ba c a cb a b ab bc ca abc a b c 99 44 abc a b a c b c abc a b a c b c Dễ thấy 2 22 2 2 2 2 a b b c c a abc a b c ab bc ca abc a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 8ab bc ca 8 abc a b b c c a 27 27 2 ab bc ca 1 abc a b c 33 Khi đó ta được 22 2 2 2 2 1 27 1 ab bc ca abc a b c 3 9 84 abc a b a c b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 149. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 222 ab c b c a c a b 3 a b c b ca ca b Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh thì suy nghĩ đầu tiên là làm mất các căn bậc hai. Để ý đến chiều bất đẳng thức ta có các đánh giá như sau 22 2 2 2 2 222 22 2 2 2 2 3 22 2 a b c b ca ca b ab c b c a c a b ab cb c ac a b 3. . . a b c b ca ca b Hoặc là 22 22 22 2222 22 2 2a b c ab c a b c ab c a b c a b c ab c a b c Ta đi tìm hiểu xem trong các đánh giá trên thì đánh giá nào giải quyết được bài toán + Với đánh thứ nhất ta quy bài toán về chứng minh 22 2 2 2 2 22 2 ab cb c ac a b .. 1 a b c b ca ca b Hay 22 2 2 2 2 2 2 2 a b c b ca ca b a b c b c a c a b Tuy nhiên đánh giá quá phức tạp, như vậy cách thứ nhất không khả thi. + Với đánh giá thứ hai ta được bất đẳng thức 22 2 22 2 2 2 2 222 222 4a b c 2 a b c a b c b ca ca b a b c b ca ca b a b c a b c Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 22 2 4a b c 2 a b c 3 ab c a b c Hay ta phải chứng minh được 22 2 2 2 2 2 2 2 4a b c 6 3ab c 3 ab c 3 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 2 22 2 ab c ab c 3 3 . Như vậy bài toán được chứng minh. Bài 150. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3abc . Chứng minh rằng: 2 44 4 11 1 a b c 27 ab c 4 ab 1ac 1 bc 1ab 1 ca 1 bc 1 Phân tích và lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy được sự phức tạp của bài toán. Bất đẳng thức trên có một số ý tưởng tiếp cận như đổi biến, sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bài toán với ý tưởng đổi biến Nhận thấy giả thiết của bài toán có thể viết lại được 11 1 3 ab bc ca , đến đây hoàn toàn tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến 11 1 x;y ;z ab c khi đó giả thiết được viết lại thành xy yz zx 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 22 2 yz zx xy 27 xy z 4 x 1 xy 1 xz y 1 yz 1 xy z 1 zx 1 yz Ta thấy sau khi đổi biết thì thu được một bất đẳng thức còn phức tạp hơn cả bất đẳng thức ban đầu nên ta tạm dừng ý tưởng này lại. Cũng từ giả thiết ta thử đổi biến 11 1 x;y ;z bc ca ab xem sao? Việc ta cần làm đó là đánh giá sao cho xuất hiên các đại lượng ab; bc; ca . Dễ thấy 11 1 9 3 ab c a b c abc , khi đó gọi P là vế trái của bất đẳng thức thì ta thu được đánh giá 44 4 22 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 33 3 3 3 3 9a b c P abc ab 1ac 1 bc 1ab 1 ca 1 bc 1 ab c 9 bc ab 1ac 1 ca bc 1ab 1 ab ca 1 bc 1 abc bca cab 9 bc ab 1ac 1 ca bc 1ab 1 ab ca 1 bc 1 Đến đây ta có thể thay 11 1 ab ; bc ; ca zx y vào bất đẳng thức trên thì bất đẳng thức trở thành 33 3 xy z P9 1y 1 z 1 z 1x 1x 1y Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 33 3 xy z 3 4 1y 1 z 1 z 1x 1x 1y Bất đẳng thức trên đã được chứng minh trong kỹ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức Cauchy. Cách 2: Nhận thấy bất đẳng thức có dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 44 4 2 22 2 abc ab 1ac 1 bc 1ab 1 ca 1 bc 1 ab c ab 1ac 1 bc 1ab 1 ca 1 bc 1 Hay ta được 44 4 2 22 2 ab c ab 1ac 1 bc 1ab 1 ca 1 bc 1 ab c abc a b c 2 ab bc ca 3 Dễ thấy 11 1 9 ab c a b c và 2 22 2 ab c ab c 3 Do đó ta được 2 44 4 2 22 2 2 22 2 11 1 a b c ab c ab 1ac 1 bc 1ab 1 ca 1 bc 1 1 ab c a b c 9 3 ab c abc a b c 2 ab bc ca 3 27 a b c abc a b c 2 ab bc ca 3 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 27 a b c 27 4 abca bc 2abbcca 3 Hay ta cần chứng minh 22 2 4a b c abc a b c 2 ab bc ca 3 Để ý đến giả thiết ab c 3abc ta quy bài toán về chứng minh 2 22 2 12 a b c a b c 6 ab bc ca 9 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3abc a b c 3 abc abc 1 . Dễ thấy 2 22 2 22 2 3 22 2 222 3a b c a b c 6a b c 6ab bc ca 3a b c 9 abc 9 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 22 2 12 a b c a b c 6 ab bc ca 9 Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 151. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 11 1 13 . 2abc 3a 4b 5 3b 4c 5 3c 4a 5 Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 2 2 2 abc abc abc 3 2 3a 4b 5 3b 4c 5 3c 4a 5 Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ rất tự nhiên là đánh giá làm mất các dấu căn bậc hai, chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 abc abc abc 3a 4b 5 3b 4c 5 3c 4a 5 abc abc abc 3 3a 4b 5 3b 4c 5 3c 4a 5 Đến đây ta quy bài toán về chứng minh 22 2 2 2 2 abc abc abc 1 4 3a 4b 5 3b 4c 5 3c 4a 5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 3a 4b 5 2ab 4a 6b Do đó ta được 22 abc abc 2ab 4a 6b 3a 4b 5 Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 11 1 1 112 1 1 1 1 2ab 4a 6b 4 2ab 4a 6b 72 ab a 24b 72ab 36a 24b Do đó ta được 22 abc c bc ac 72 36 24 3a 4b 5 Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 abc a ca ba abc b ab bc ; 72 36 24 72 36 24 3b 4c 5 3c 4a 5 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 5ab bc ca abc abc abc a b c 72 72 3a 4b 5 3b 4c 5 3c 4a 5 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 5ab bc ca ab c 1 ab bc ca 3 72 72 4 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 2 ab c ab bc ca 3 3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 152. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 33 3 2 2 2 2 2 2 ab c 3abc ab2a b bc2b c ca2c a Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Quan sát bất đẳng thức trên ta có một số hướng tiếp cận như sau Cách 1: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử c là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta cố gắng đánh giá bất đẳng thức xoay quanh biến c. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 2 2 2 22 22 2 2 2 c3b c bc 2 b c c 2b b c 2 c3a c ca 2 c a c 2a c a 2 Ta quy bài toán về chứng minh 22 33 3 2 2 3 3c a b ab c 3abc ab2a b c 2 Hay 22 33 2 2 2 33 2 2 3c a b ab 3abc ab2a b 2 2a 2b 2ab 2 a b 3c a b Ta cần biến đổi vế trái của bất đẳng thức trên sao cho xuất hiện đại lượng 2 ab . Ta có 3 3 22 22 2 2 2 22 2 2 22 2 22 2a 2b 2ab 2 a b 2 a b a b ab 2ab 2 a b a b a b a b ab 2ab2ab ab a b a b a b 2 a b 4ab 2 Theo giả sử trên ta có ab 2c do đó ta được 22 ab a b 2ca b Mặt khác 22 2 22 ab 2; ab 2a b 4ab ab ab 4ab a b 2 Suy ra ta được 22 2 22 ab a b 2 a b 4ab 3c a b 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Cũng với ý tưởng sắp thứ tự các biến, ta giả sử ab c . Khi đó ta chú ý đến các đánh giá sau 22 22 2 22 22 2 22 22 2ab 2 a b a a b 2ab 2bc 2 b c c b c 2cb ca c a 2ca 2 c a 2abc b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 22 33 2 2ab 2 a b 2bc 2 b c 2ca 2 c a ca c a ac 3b a c 2abc b Ta quy bài toán về chứng minh 22 33 3 3 3 2 ca c a a b c3abc a c3b a c 2abc b Hay 22 33 3 2 ca c a a 2b c 4abc 3b a c b Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 22 ac ab b c 2b a c 0 b Đánh giá trên là một đánh giá đúng vì 22 2 ac a ab b c 0; 2b c a a 2b 0 bb Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 153. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 22 2 2 222 2 22 ab b c c a ab bc ca 8abc ab c Phân tích và lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 2 22 2 2 2 2 22 2 ab b c c a ab c 2ab 2bc 2ca ab bc ca Không thể đánh giá bất đẳng thức trên bằng bất đẳng thức Cauchy hay Bunhiacopxki vì sẽ thu được những đánh giá ngược chiều nhau. Do đó ta hướng đến phép biến đổi tương đương. Khi đó bất đẳng thức trên tương đương với 2 22 2 2 2 2 ab b c c a ab b c c a 11 1 1 2ab 2bc 2ca 2ab bc ca Đến đây để có cách đánh giá dễ dàng hơn ta có thể sắp thứ tự các biến, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử ab c , khi đó ta được 22 2 2 2 ab b c ab b c ac 11 1 1 2ab 2bc 2ab 2bc 2ab bc Như vậy ta cũng cần đánh giá vế phải về đại lượng 2 ac Ta có 22 2 2 ab b c ac 2a b b c a c Bài toán quy về chứng minh 2 22 2 a c ca ca 11 1 2ca ab bc ca 2ab bc Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 a c ca ca 11 1 2ca 2ab bc 2ca ab bc Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta được 2caabbc abbcca nên ta có 22 ca ca 11 ab bc ca 2ca ab bc Do đó ta được 2 22 2 a c ca ca 11 1 2ca ab bc ca 2ab bc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 2 22 2 2 2 2 22 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 ab c ab b c c a ab c Đến đây ta đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó bất đẳng thức trên trở thành 2 22 2 2 2 2 22 22 22 xy y z z x x y z 8xy yz zz Ta thấy vế trái của bất đẳng thức có chứa đại lượng 2 xy z nên ta đánh giá nó về 22 2 x, y, z để có thể đổi biến tiếp. Dễ thấy 2 22 2 xy z x y z 2xy 2yz 2zx và theo bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4x y 4y z 4z x 2xy 2yz 2zx xy y z z x Do đó ta được 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 xy y z z x x y z 4x y 4y z 4z x xy y z z x xy z xy y z z x Ta quy bài toán về chứng minh. 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4x y 4y z 4z x xy y z z x xy z xy y z z x 8xy yz zx Đặt 22 2 mx;n y;p z , khi đó ta cần chứng minh 4mn 4np 4pm mn n p p mmn p mn np p m 8mn np pm Khai triển và thu gọn ta được 22 2 mn m n np n p pm p m 0 Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 154. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ab bc ca a b c ca a b b c cc a a a b bb c Phân tích và lời giải Cách 1: Để ý là ca 1 ac c a , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ab c bc a ca b 3 ca a b b c cc a a a b bb c Hay 22 2 cab a bc b ca 3 cc a a a b bb c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 2 2 2 3 cab a bc b ca c ab a bc b ca 3. . . cc a a a b bb c c c a a a b b b c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 cab a bc b ca .. 1 cc a a a b bb c Hay ta cần chứng minh 22 2 abc b ca c ab abca b b c c a Ta có 2 22 abc b ca aba c b c ca b a b do đó ta được 22 abc b ca aba c b c Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 b ca c ab bc a b a c ; c ab a bc ca a b b c Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 abc b ca c ab abca b b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành bc a 11 1 ca b ca b c a b 11 1 1 1 1 ab c a b c Đặt ab c x;y ;z bc a , khi đó ta được xyz 1 . Bất đẳng thức được viết lại thành yz x 1 1 1 1 z 1x 1y 1 z 1x 1y Bất đẳng thức trên tương đương với x1 y 1 z 1 0 1y 1 z 1x hay 22 2 x1 z 1 y 1 x 1 z 1 y 1 0 Khai triển và thu gọn ta được 222 2 2 2 xy yz zxxy z x y z 3 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và một đánh giá quen thuộc thì ta được 222 2 2 2 xy z x y z xy yz zx 3; x y z x y z 3 Cộng theo về hai bất đẳng thức trên ta được 222 2 2 2 xy yz zxxy z x y z 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Dễ thấy ab c ab a ca cc a c c a , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ab c b c a c a b 0 cc a a a b bb c Đến đây ta đặt ab b c c a x;y ;z 2b 2c 2a . Dễ thấy xyz 1 , khi đó ta được bc 1 ab c y1 2c ca z cc a 2a . Hoàn toàn tương tự ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành x1 y 1 z 1 0 yz x hay xy z 1 1 1 yz x x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 22 2 xx z xz 3 y y x xy 3 z z y yz 3 3. ; 3. ; . yy x y z z y z xx z x yz x Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và thu gọn ta được xy z 1 1 1 yz x x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 155. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 2 2 ab bc bc ca ca ab Phân tích và lời giải Cách 1: Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta luôn có ab a b a 2b ab bc a c a c Hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức ab bc ca a 2b b 2c c 2a ab bc bc ca ca ab a c a b b c Ta quy bài toán về chứng minh 2a b 2b c 2c a 1a b c ac ab b c Đặt xa;y b;z c , khi đó bất đẳng thức trở thành 22 2 22 2 2x y 2y z 2z x xy z xz x y y z Để ý đến phép biến đổi 2 2x y 2xyz 2xy zx zx nên bất đẳng thức trên trở thành 22 2 2xyz 2xyz 2xyz 2xy 2yz 2zx x y z xz x y y z Hay 22 2 111 xy z 2xyz 2xy 2yz 2zx xz x y y z Hay 2 22 2 111 2 x y z 2xyz x y z xz x y y z Lai thấy 2 2x xy yz xz 2xyz 2x yz yz , hoàn toàn tương tự ta thu được bất đẳng thức 2 xy z 2xy yz zx x y z yz z x x y Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 xy z 2xy yz zx yz z x x y xy z xy z y z x z x y x y z yz z x x y Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được 2 22 2 ab bc ca ab bc bc ca ca ab ab bc ca ab bc ca ab bc bc ca ca ab ab bc ca ab bc ca ab b c c a Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 2 ab bc ca 2abbcca 2 1 a bc ab b c c a Hay 22 2 22 2 ab bc ca 2abc ab b c c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 ba b b a b 2ab ab 2 2a b Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 2 2 ab bc ca a b c ab bc ca 2 ab b c c a 2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 ab c ab bc ca ab c 2 Hay 22 2 ab bc ca a b c , đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 22 2 22 2 ab bc ca ab bc bc ca ca ab ab bc ca ab. b c. c a. ab ac ab b c b c c a ab bc ca 2a b c ab ac ab b c b c c a Bài toán quy về chứng minh 22 2 ab bc ca 1 4 ab ac ab b c b c c a Hay 22 2 ab bc ca a b c 4 ab ac ab b c b c c a Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 4a b b c 4b c c a 4c a a b a b b c c a a b c Khai triển và thu gọn ta được 22 2 ab a b bc b c ca c a 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 156. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 22 2 111 3 8 a1 b c b 1 c a c 1 a b Phân tích và lời giải Cách 1: Từ giả thiết abc 1 , khi đó tồn tại các số dương sao cho yz x a;b ;c xy z . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 22 2 xyz yzx zxy 3 8 x y xy z y z yzx zx zx y Áp dụng bất đẳng tức Cauchy ta có 2 2 22 22 xy z 2z xy x y x y 2xy 2 2xy x y Do đó ta được 2 2 22 2 xyz x 42 x y xy xy z Hoàn toàn tương tự ta quy bài toán về chứng minh 22 2 2 2 2 xy z 3 2 xy y z z x Hay 22 2 22 2 2 2 2 2x 2y 2z 3 xy y z z x Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki bằng cách đối xứng hóa bất đẳng thức hoán vị. Cách 2: Đặt 22 2 ax;b y;c z với x; y; z 0 , suy ra xyz 1 . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 222 2 22 2 22 111 3 8 x1 y z y 1 z x z 1 x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaopxki ta có 2 222 2 22 2 1z1 x1 y z xy z z zz 1y 1 1x y z y zx y yy Do đó ta được 22 222 y1 z 1 x1 y z yz Suy ra 2 22 2 222 1yz x1 y 1 z 1 x1 y z Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 222 2 22 2 22 111 xyyzzx x1 y 1 z 1 x1 y z y 1 z x z 1 x y Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 8 x 1 y 1 z 1 xy yz zx 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 2 22 2 2 2 2 x1 y 1 x y ;y 1 z 1 y z ;z 1 x1 z x Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 x1 y 1 z 1 x y y z z x Để ý đến bất đẳng thức 8 xy y z z x xy z xy yz zx 9 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 88 x y z xyyz zx xyyz zx 93 Hay xy z 3 , đánh giá cuố cùng là một đánh giá đúng do xyz 1 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 157. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 222 22 2 abc 3 5 bca c a b a bc Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 222 22 2 abc 3 A 5 5b c a 5c a b 5 a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 22 5b c a 1 4 b c a b 2 c a Do đó ta được 22 2 2 2 aa a b2c a 5b ca b 2ca Chứng minh tương tự ta được 22 22 22 bb c c ; c2a b a 2b c 5c a b 5 a b c Từ đó ta được ab c A b2c a c2a b a 2b c , Ta cần chứng minh abc 3 5 b2c a c2a b a 2b c hay b2c c 2a a 2b 9 5 b2c a c2a b a 2b c . Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 2 22 2 b2c c 2a a 2b b2c a c2a b a 2b c b2c c 2a a 2b b 2c b 2c a c 2a c 2 a b a 2b a 2b c 9a b c b 2c b 2c a c 2a c 2 a b a 2b a 2b c 9a b c 9 5 5a b c 2ab 2bc 2ca Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 158. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 22 2 2 4a b c 9a b b c c a 4a b c ab c ab c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 33 3 2 2 2 ab c a b c a b c Do đó ta được 33 3 3 3 3 22 2 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 4a bc 4a bc a b c ab c ab c a b c 4a b c 4a b c ab c ab c a b c Mặt khác ta lại có a b b c c a 8abc , cho nên 8a b c ab bc ca 8a b b c c a 8abc 9 a b b c c a Do đó 22 9a b b c c a 8 a b c ab bc ca 8 ab bc ca ab c ab c a b c Từ các bất đẳng thức trên ta được 33 3 22 2 2 22 2 4a b c 9a b b c c a ab c ab c 4a b c 8ab bc ca 4a b c ab c a b c Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 159. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 bc a 3 2 ab 1 b c 1 c a 1 Lời giải Từ giả thiết ab c abc suy ra 11 1 1 ab bc ca . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , Khi đó giả thiết của bài toán trở thành xy yz zx 1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy z 3 2 y1 z 1 x 1 . Dễ thấy 22 x1 x xy yz zx x y x z Tương tự ta được 22 y1 y z y x; z 1 z x z y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 xy z x y z y1 z1 x 1 yx y z zx zy x y xz 2x 2y 2z x 2yz x y 2z 2x yz Ta cần chứng minh 2x 2y 2z 3 x 2yz x y 2z 2x yz 2 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 22 2 2x 2y 2z 2x 2y 2z x2y z x y 2z 2x y z xx 2y z yxy 2z z2xy z 2x y z 2x y z 3 2 xy z xy yz zx x y z xy z 3 Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 3 . Bài 160. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 2 a3bc b 3ca c 3ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 22 2 ab c a b c a 3bc b 3ca c 3ab a a 3bc b b 3ca c c 3ab ab c aa 3bc b b 3ca c c 3ab Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 33 3 333 aa 3bc b b 3ca c c 3ab a a 3abc b b 3abc c c 3abc a b c a b c 9abc Do vậy ta được 2 22 2 33 3 ab c ab c a3bc b 3ca c 3ab ab c a b c 9abc Ta cần chứng minh 2 33 3 ab c 3 2 ab c a b c 9abc Hay 3 33 3 ab c 9 4 ab c 9abc Thực hiện biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 33 3 12 ab a b bc b c ca c a 5 a b c 57abc Theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 33 3 ab c 3abc Do đó 33 3 3 3 3 6a b c 9abc 5a b c 57abc Như vậy ta cần chứng minh 33 3 2ab a b bc b c cac a a b c 9abc Hay 2 3a bc bc b c a a b a c 0 Do a, b, c có tính đối xứng, nên không mất tính tổng quát ta chọn a lớn nhất, khi đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 161. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: abc abc abc ab c ab c b c a c a b Lời giải Đặt xb c a 2a y z yc a b 2b z x za b c 2c x y Khi đó bất đẳng thức cần minh tương đương với xy y z z x 11 1 xy z 8 xy z Bình phương hai vế và quy đồng ta được 2 2 x y y z z x xy yz zx 8xyz x y z Hay 2 xy y z z x xy z 8xyz xy yz zx Để ý rằng với mn 0;k 0 , ta có tính chất mm k nn k Do đó ta có xy xy z y z x y z z x xy z ;; 2 xy 2 xy z 2 yz x 2 yz x 2 zx y 2 zx y Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được 3 xy y z z x xy z 8xyz 2xy z 2yz x 2 zx y Ta cần chứng minh 3 2 xy z xy z xy yz zx 2xy z 2yz x 2 zx y Hay 2 2xy z 2yz x 2 zx y x y z xy yz zx Khai triển và thu gọn ta được 22 2 xy y z z x 0 Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 162. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 3 ab b c c a ab c abc 3 12 a b c Lời giải Cách 1: Nhân hai vế với 12 a b c , khi đó bất đẳng thức trở thành 3 22 2 a b c 5 ab c ca 6 abc a b c Hay 2 3 a b c 3 ab c ca 6 abc a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 3 a b c 3 ab c ca 2 a b c 3 ab c ca 6 abc a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 22 2 3 2a b c ab c ab bc ca abc 6a b c 6a b c Hay 2 3 ab c 3ab bc ca 6abcab c Đặt 3a 3b 3c x;y ;z xyz3 ab c a b c ab c Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 2 9 ab c và đổi biến ta được bất đẳng thức sau 2 3 x y z 3 xy yz zx 6 xyz x y z Hay 3 3 xy yz zx 6 xyz Mặt khác ta lại có xy yz zx 3xyz x y z 3 xyz Ta cần chứng minh 3 1 xyz 2 xyz Đặt 6 txyz t1 , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 32 2 1t 2t 1 t 1t t 0 Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 163. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 222 a2b b 2c c 2a 1 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 22 2 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Hay 222 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 11 1 1 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Hay 22 2 222 cab 1 3 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 33 3 22 2 2 33 3 33 3 cab 2a 4b 3c 2b 4c 3a 2c 4a 3b ca b c2a4b 3c a2b 4c 3a b2c 4a3b ab c 3a b c 6ab bc ca Ta cần chứng minh 2 33 3 33 3 ab c 1 3 3a b c 6ab bc ca Hay 33 3 3 3 3 ab bc ca ab bc ca Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ab bc ca a b ab b c bc c a ca ab bc ca 2ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 3 ab bc ca ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 164. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 33 3 5 5 5 10 a b c 9 a b c 1 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 35 3 5 3 5 10a 5a a 10b 5b b 10c 5c c 0 Để ý rằng 35 2 2 10a 9a a a 1 a 9a 1 Do đó bất đẳng thức trở thành 22 2 2 2 2 a1 a 9a 1 b 1 b 9b 1 c 1 c 9c 1 0 Để ý tiếp ta lại thấy 2 2 81 1 a 9a 1 3a 1 3a 5 3a 1 0 33 Hay 2 8 1a 9a 1 3a 1 3 Do đó ta có 22 2 8 a1 a 9a 1 a1 a 1 a 9a 1 a1 a. 3a 1 3 Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 a1 a 9a 1 b 1 b 9b 1 c 1 c 9c 1 88 8 a1 a. 3a 1 b 1 b . 3b 1 c 1 c . 3c 1 33 3 Ta cần chứng minh a1 a 3a 1 b 1 b 3b 1 c 1 c 3c 1 0 Hay 22 2 3 3 3 4a b c 3 a b c 1 Do ab c 1 nên bất đẳng thức trên trở thành 3 22 2 3 3 3 4a b c a b c 3 a b c a b c Triển khai và thu gọn ta được ab a b bc b c ca c a 6abc Hay ab b c c a 6 ca b Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c 3 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 64 . Chứng minh rằng: 33 3 2 2 2 ab c 4a b c Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng 77 7 7 7 7 55 5 5 5 5 ab b c c a 1 3 ab b c c a Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 11 1 ab c ab c . Chứng minh rằng: 5 a b c 7 8abc Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 3 . Chứng minh rằng: ab c 1 ab 1 b c 1 c a 1 Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 25 14ab 14bc 14ca 3 27 Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 1 . Chứng minh rằng: ab c bc a ca b 2 ab b c c a Bài 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 2abc . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 2 a2a 1 b 2b 1 c 2c 1 Bài 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 11 93 abc 2 ab b c c a Bài 9. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 3 2ab bc ca 3. a b b c c a Bài 10. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 222 22 2 ab b c c a 5 2 a 2ab b b 2bc c c 2ca a Bài 11. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 33 3 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 ab c 1 ab c 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b Bài 12. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: ab c 33 ab c bc c a a b 2 Bài 13. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 1 1c 1 a 1b 4 Bài 14. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 ab c ab c 33a b c bc a Bài 15. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab c a bc b c ca a b a b b c ca Bài 16. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 3 64abc a b c 27 a b b c c a Bài 17. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab c ab bc ca ab b c c a 3 ca b abc a b c Bài 18. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 10abc 2 ab b c c a bc c a a b Bài 19. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 . Chứng minh rằng: 14 3 abc 2 ab b c c a Bài 20. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn 22 22 ab c d 1 . Chứng minh rằng: abcd 1 a 1 b 1c 1d Bài 21. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 6 a2b c b 2c a c 2a b Bài 22. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a,b,c [0; 1] . Chứng minh rằng: 33 3 2 2 2 2a b c ab bc ca 3 Bài 23. Cho a, b ,c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng 22 2 3 ab b c c a ab c 1 34 abc Bài 24. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: 44 4 4 4 4 ab b c c a 3 1ab 1 bc 1 ca Bài 25. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 33 3 2 2 2 1a 1 b 1 c 1ab 1 bc 1 ca Bài 26. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 11 1 P 2ab 2 bc 2 ca Bài 27. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc . Chứng minh rằng 44 4 4 4 4 33 3 3 3 3 ab b c c a 1 ab a b bc b c ac a b Bài 28. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a, b, c 0; a b c 1 . Chứng minh rằng: 33 ab b c c a 18 18 Bài 29. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c abc . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 2 abc b ca c ab Bài 30. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a, b, c [3; 5] . Chứng minh rằng: ab 1 bc 1 ca 1 a b c Bài 31. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3b c 12b c 4a 3c P 2a 3b 2a 3c Bài 32. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab b c c a 0 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 ab bc ca 4 ab b c c a Bài 33. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 3 2 b2b 3 c2c 3 a 2a 3 Bài 34. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: ab c ab c 6 bc a Bài 35. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn abc 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 3 3 3 3 222 22 2 ab b c c a P aab b b bc c c ca a Bài 36. Cho a, b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 33 22 ab 7aba b P ab a b Bài 37. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2 11 1 27 aa b b b c c c a 2a b c Bài 38. Cho a, b là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng: 22 22 2 2 4 32 a b 11 1 ab a b ab Bài 39. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 3 2 2 2 Pa b c a b c abc Bài 40. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2b 4c 12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2ab 8bc 4ca P a2b 2b 4c 4c a Bài 41. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 a 1b 1c 8abc . Chứng minh rằng: ab c1 Bài 42. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 a2b 3c 3abc . Chứng minh rằng: 86 4 3a 2b c 21 ab c Bài 43. Cho các số thực dương a, b, c lớn hơn 1 và thỏa mãn ab c abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 22 2 a2 b 2 c 2 P bc a Bài 44. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 ab c 1 2a bc 2b ca 2c ab Bài 45. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 11 1 27 1ab 1 bc 1 ca 8 Bài 46. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab b c c a P a b c b c 4a a c 16b Bài 47. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab bc ca 3 8 1c 1 a 1 b Bài 48. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 ab bc ca a b c ab b c c a 2 Bài 49. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 ab c P 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab Bài 50. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 33 3 11 1 1 6b 6c 6a ab c abc Bài 51. Cho các số thức a,b,c [0; 1] và ab c 0 . Chứng minh rằng: 11 1 5 ab 1 bc 1 ca 1 a b c Bài 52. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 11 1 2 2 2 1 a 1b 1c 1 a 1 b 1 c Bài 53. Cho các số thức a,b,c 0;1 . Chứng minh rằng: 11 1 a 1b 1c ab c 3 Bài 54. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 3 3 3 3 33 3 22 2 ab c P4a b 4b c 4c a 2 bc a Bài 55. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab 3c a3b c 3a b c 15 3a 3b 2c 3a 2b 3c 2a 3b 3c 8 Bài 56. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab bc ca 1 2a b 2b c 2c a Bài 57. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 ab bc ca 1 a b b c c a 2c a b ca b Bài 58. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 44 4 2 33 3 222 bc c a a b 1 ab c abc 22 2 3 Bài 59. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 222 22 2 2a b c ab c b a b c a b ab c bbc c cca a a ab b Bài 60. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 1 1 1 31 1 1 ab bc ca ab c Bài 61. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 4 4 4 ab b c c a a7 b 7 c 7 Bài 62. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 1 c6ab a 6bc b6ca 3 Bài 63. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 9 4 b1 a c 1 b a 1 a Bài 64. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 2 2 2 11 1 1 ab 1 b c 1 c a 1 . Chứng minh rằng: ab bc ca 3 Bài 65. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 33 3 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 1 b5 c5 a 5 2 Bài 66. Cho a, b, c là các thực dương thỏa mãn 2 ab c 9abc . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 3 2 13a 1 3b 13c Bài 67. Cho a, b, c là các thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng: ab c 1 a8c b 8a c 8b Bài 68. Cho a, b, c là các thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 12 . Chứng minh rằng: 11 1 3 1ab 1 bc 1 ca 5 Bài 69. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 3 ab c 4 . Chứng minh rằng 33 3 11 1 ab b c c a 25 ab c Bài 70. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng ab bc ca 11 12abc ca b Bài 71. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 . Chứng minh rằng 22 2 ab c 1 a2 b 2 c 2 Bài 72. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn min ab;b c;c a 0 . Chứng minh rằng 22 2 2 2 2 ab bc ca 1 ab b c c a 2 Bài 73. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1 . Chứng minh rằng: 11 1 ab c 43 ab c Bài 74. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng 22 2 22 2 a1 b 1 c 1 7 2 b1 c1 a 1 Bài 75. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 1 . Chứng minh rằng: 22 2 2 a1 bc b 1 ca c 1 ab 3 Bài 76. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 3a 3b 3c 48 bc c a a b Bài 77. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 3 22 2 22 2 P 6a 6a 5 6b 6b 5 6c 6c 5 ab ac bc ba ca cb Bài 78. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng 33 3 a1 b c b 1 c a c 1 a b 1 . Bài 79. Cho a, b , c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 ab c T 6a 9 6b 9 6c 9 . Bài 80. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab bc ca 3 2 2a 3b 7 2b 3c 7 2c 3a 7 . Bài 81. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22 2 ab c 3 . Chứng minh rằng: ab c 3 abc 1bc 1 ca 1 ab 2 Bài 82. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 3 . Chứng minh rằng 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 aab b b bc c c ca a 3 2 ab b c c a Bài 83. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c abc . Chứng minh rằng bc ca ab 3 3 4 a1 bc b 1 ca c 1 ab Bài 84. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 ba c 1 ab 2a ac 2c bc 2b Bài 85. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 11 1 b c a2 3a b 3a c 2a b c 3a c 3a b . Bài 86. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 11 1 3 1abc a1 b b 1 c c 1 a Bài 87. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca a b c ab bc ca bcbc c a ca a b ab Bài 88. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 2 33 3 2 2 2 ab c a b c 24 3a 1 3b 1 3c 1 9a 1 9b 1 9c 1 Bài 89. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 . Chứng minh rằng: 2ab 2bc 3ca 5 3 ac b c ab c a b c c a Bài 90. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc . Chứng minh rằng: 44 4 4 4 4 33 3 3 3 3 ab b c c a 1 ab a b bc b c ca c a Bài 91. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc . Chứng minh rằng: 22 2 2 2 2 ab b c c a 32 a b bc ca ab b c c a Bài 92. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 6a b c ab b c c a ab ab b c bc c a ca ab c Bài 93. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 33 3 ab c 1 . Chứng minh rằng: 222 52 2 5 2 2 5 2 2 111 81 4 ab c b c a c a b Bài 94. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 6 . Chứng minh rằng: 22 2 ab c 3 2 b2 b b 2 c 2 c c 2 a 2 a a 2 Bài 95. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 3 11 1 2 2a b 2b c 2c a ab b c c a Bài 96. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab c 3 . Chứng minh rằng: 22 2 11 1 8910abc ab c Bài 97. Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Chứng minh rằng: 44 4 22 2 ab c 48 b1 c1 a 1 Bài 98. Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của: 22 2 2 2 2 Pa ab b b bc c c ca a . Bài 99. Cho x, y, z là những số dương thỏa mãn x + y + z 6 . Chứng minh rằng: 33 3 xy z 6 yz x z x y Bài 100. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 2 22 2 a8b 8c 8 a b c Bài 101. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 3xyz . Chứng minh rằng: 22 2 22 2 2 2 2 yx z 1 xy 2x xz 2z yz 2y . HƯỚNG DẪN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xét biểu thức 2 32 a 6a 32a 4 a 20 , do a0 . Do đó 32 a32 6a , tương tự ta có 323 2 b 326b;c 326c Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 ab c 96 6a b c . Như vậy ta cần chứng minh 22 2 2 2 2 22 2 6a b c 4 a b c 96 2a b c 96 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 33 22 2 222 2 2 a b c 2.3abc 2.364 96 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 4 . Bài 2. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 77 2 2 55 ab a b 2 ab . Thật vậy, do a0;b 0 nên 77 2 2 77 2 2 5 5 55 2 43 22 3 4 ab a b 2a b a b a b 2 ab ab a b a ab ab ab b 0 Tương tự ta có 77 2 2 7 7 2 2 55 5 5 bc b c c a c a ; 22 bc c a . Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 77 7 7 7 7 22 2 55 5 5 5 5 ab b c c a ab c ab b c c a Ta cần chứng minh 22 2 1 ab c 3 . Tuy nhiên bất đẳng thứ này đúng vì 22 2 2 22 2 2 2 2 ab c a b b c c a 1 ab c a b c 0 33 3 Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 ab c 3 . Bài 3. Từ giả thiết ta có 11 1 ab c ab bc ca abcab c ab c . Mặt khác cũng từ giả thiết trên ta được 11 1 9 ab c a b c 3 ab c a b c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 5a bc 7a bc 8abca bc 5a bc 7a b c 8abbcca Mà ta có 2 ab c 3ab bc ca , ta cần chứng minh 2 2 8a b c 5a b c 7 a b c 3 Đặt ta b c 3 , bất đẳng thức trên trở thành 2 7t 21t 0 7t t 3 0 , bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Bài 4. Sử dụng giả thiết ab c 3 , ta thấy rằng bất dẳng thức cần chứng minh tương đương với ab c 1 4c 4 a 4b . Quy đồng hai vế và rút gọn ta được bất đẳng thức sau 22 2 ab bc ca abc 4 . Không mất tính tổng quát ta giả sử 22 2 a a c b c 0 ab ca ac abc . Khi đó ta có 2 22 2 2 2 a b b c c a abc b c a c 2abc c a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 2 2a 2b 2c 1 ca b 2c a b a b 4 254 Hay 22 2 ab bc ca abc 4 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Bài 5. + Trước hết ta chứng minh 22 2 14ab 14bc 14ca 3 . Từ giả thiết ab c 1 , ta có 1a b c ab 2ab . Do đó 0 1 4ab 1 , nên 2 1 4ab 1 . Áp dụng tương tự ta được 22 14bc 1;14ca 1 . Cộng theo vế ba bất đẳng thứ đó ta được 22 2 14ab 14bc 14ca 3 . + Chứng minh 22 2 25 1 4ab 1 4bc 1 4ca 27 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 25 34ab bc ca 16ab bc ca 27 7 ab bc ca 2 a b b c c a 27 Để ý ta có 2 22 15 1 7 5 1 7 ab 2a b 2 ab ab ab 9 9 981 9 981 Tương tự ta có 22 2 2 51 7 5 1 7 bc 2b c bc ; ca 2c a ca 9 9 81 9 9 81 . Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 517 ab bc ca 2 a b b c c a ab bc ca 9327 Mặt khác ta lại có 2 ab c 1 ab bc ca 33 Do đó 22 2 2 2 2 7 ab bc ca 2 a b b c c a 27 . Tức là bất đẳng thức trên được chứng minh. Bài 6. Để ý rằng ab c ab c a b c a c b c . Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ac b c a b c b b a c a 2 ab ac b c Áp dụng bất đẳng thức dạng 22 2 xy z xy yz zx ta được ac b c ab c b b a c a bc a b c a 2 ab ac b c . Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 3 . Bài 7. Giả thiết của bài toán tương đương với 11 1 2 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó ta được xy z 2 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 3 22 2 xy z 1 2 2x 2 y 2 z , Chú ý là x,y,z 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 2 x2x2x3x 88 4 2x . Từ đó suy ra 3 2 x1 x 2 2x . Thiết lập các bất đẳng thức tương tự và công theo vế ta được 33 3 22 2 xy z 31 xy z 22 2x 2y 2 z . Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 8. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được 33 22 2 14 11 4 abc 2abc 2abc a b bc c a a b bc c a 11 3. 3. a b c a b b c c a abc ac bc ab ac bc ba Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được 3 22 2 ab bc ca 11 abc abc 27 27 33 3 8ab bc ca 8 ab ac bc ba ca cb 27 27 Do đó 3 1 4 27.3 3 9 3 3. abc 8 2 ab b c c a Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 3 . Bài 9. Để ý ta có đẳng thức a b bc c a a b c abbcca abc . Theo một đánh giá quen thuộc thì 3 ab bc ca a b c 3 ab bc ca ; abc 27 Do đó 3 3 ab bc ca a b bc c a ab bc ca 3abbcca 27 ab bc ca 8. 27 Lấy căn bậc ba hai vế ta được bất đẳng thức 3 2ab bc ca 3. a b b c c a Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 10. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 ab a b b c b c c a c a 5 ab b c c a ab b c c a 2 ab b c c a Đặt ab b c c a x;y ;z ab b c c a , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 xy z 2 Ta có a b bc bc c a c a a b xy yz zx a b bc bc c a c a a b ab b c c a 1 ab b c c a Mà 2 xy z 0 , do vậy 22 2 x y z 2 xy yz zx 2 . Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 11. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2a b 2a c aa b a c a aab ac a a b c Do đó 3 2 22 2 2 aa 2a b 2a c ab c , chứng minh tương tự ta được 33 22 2 2 22 22 2 2 bb c c ; 2b c 2b a 2c a 2c b ab c a b c Cộng theo vé các bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 ab c 1 ab c 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 12. Biến đổi vế trái của bất đẳng thức như sau ab c ab c ab c a b c a b c ab c bc c a a b bc c a a b ab c a b c a b c Đặt ab c x;y ;z ab c a b c ab c , suy ra 22 2 xy z1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 2 2 2 xy z 33 2 yz zx x y Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên như sau Từ điều kiện 22 2 xy z1 , ta được 22 2 2 2 2 2 2 2 xy z x y z y z z x x y 1x 1y 1 z Xét 2 22 2 2 22 x3x 2 3x 1 2x 3 3x 1 x x33 x0 2 1x 21 x 2 1 x Từ đó suy ra 2 2 x33 x 2 1x , chứng minh tương tự ta được 22 22 y33 z 33 y; z 22 1y 1 z Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được 22 2 xy z 33 2 1x 1y 1 z Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 13. Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc dạng 41 1 xy x y ta được ab bc ca ab bc ca 1 c 1 a 1 b ac b c ab ac ab b c 1ab ab bc bc ca ca 4 a c b ca ba ca b b c ab c 1 44 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1 ab c 3 . Bài 14. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c a b c bc a ab bc ca ab bc ca Do đó 3 ab c ab c ab c bc a ab bc ca Ta cần chứng minh 3 22 2 3 22 2 ab c 33 a b c ab bc ca ab c 3ab bc ca 3a b c Thât vậy, theo bất đăgr thức Cauchy ta có 2 22 2 2 22 2 3 a b c a b c ab bc ca ab bc ca 3a b c ab bc ca Lũy thừa bậc ba hai vế ta được 62 22 2 ab c 27a b c ab bc ca Lấy căn bậc hai hai vế bất đẳng thức trên ta được 3 22 2 ab c 3ab bc ca 3a b c Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 15. Ta có 22 2 2 2 2 ab b c c a ab b c c a 0 ab b c c a Do đó 22 2 2 2 2 ab c b c a a b bc c a a b bc c a Khi đó ta cần chứng minh 22 2 2 2 2 2 2 2 2a 2b 2c a b b c c a bc c a a b a b bc c a Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2a b c 2b c a 2c a b 0 bc c a a b ab a b b c b c c a c a 0 ac b c ab a c ab b c Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 16. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 8 a b bc c a a b c abbcca 9 Thật vậy, khai triển và rút gọn ta được bất đẳng thức sau 222 ca b b c a a b c 0 Do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 2 22 64 27 a b b c c a 27. a b c ab bc ca 81 Mặt khác theo một đánh giá quen thuộc ta được 2 ab bc ca 3abc a b c Do đó ta được bất đẳng thức 2 3 27 a b b c c a 64abc a b c Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi ab c . Bài 17. Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab c ab bc ca ab b c c a 3 ca b abc a b c 22 2 ab c ab bc ca ab b c c a 36 ca b abc a b c 22 2 22 2 2 22 2 2 2 ab c ab bc ca ab a b bc b c ca c a 3abc 6 abc abc a b c ab c ab bc ca ab c ab bc ca 6 abc abc a b c ab c ab bc ca ab c ab bc ca 6 abc a b c abc a b c 2ab bc ca 6abbcca 3abcabc abc a b c Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng theo một đánh giá quen thuộc là 2 xy z 3xy yz zx Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 18. Đặt ab c x;y ;z bc c a a b , Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 x y z 10xyz 2 Dễ dàng chứng minh được ab c 3 bc c a a b 2 Do đó ta được 3 xy z 2 , từ đó ta suy ra 22 2 2 2 2 2 2 2 6xyz x y z 10xyz x y z 6xyz 4xyz x y z 4xyz xy z Mặt khác ta lại chứng minh được 22 2 6xyz xy z 2xy yz zx xy z Từ đó suy ra 22 2 x y z 10xyz 2 xy yz zx 4xyz Ta cần chứng minh xy yz zx 2xyz 1 Hay ab b c c a ab c 21 b c ca ca a b a b b c b c ca a b Đẳng thức trên được chứng minh dễ dàng. Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 19. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 22 2 3ab bc ca 3abc abc 1 3 ab ca ab bc ca bc ab ac ab bc ac bc 8 3 Cũng theo bất đẳng Cauchy ta có 14 11 4 abc 2abc 2abc a b b c ca a b b c ca 11 4 2 2abc 2abc ab b c c a 12 1113 221 2abc 2 4 2 2 ac bc ab ac bc ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 20. Từ giả thiết 22 2 2 ab c d 1 suy ra 0 a,b,c,d 1 . Xét 22 22 22 2 1 a 1 b 2 2a 2b 2ab a b c d 2a 2b 2ab 2cd 2cd ab 1 c d 2cd 2cd Hay 1a 1 b cd . Chứng minh tương tự ta được 1c 1d ab Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được abcd 1 a 1b 1 c 1d Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 ab c d 2 . Bài 21. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a a2b c b 2c a c 2a b 3a b 3b c 3c a 3 a2b c b 2c a c 2a b Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 32 3 2 2 2 2 22 2 2 22 3a b 9a b 9a 1 a 2b c ab c b ab c Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 22 2 3a b 3b c 3c a a2b c b 2c a c 2a b 9a 9b 9c 312 ab c b c a c a b Do đó 2 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 3.12 26 a2b c b 2c a c 2a b Hay 22 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3b c 3c a 6 a2b c b 2c a c 2a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 22. Từ giả thiết a,b,c [0; 1] , suy ra 0a,b,c 1 . Khi đó 2 1a 1 b 0 hay 22 1ab a b . Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 3ab bc ca a b c a b c 1 Mặt khác cúng từ giả thiết 0 a,b,c 1 , ta được 23 2 3 23 2 3 23 2 3 aa a a a 2a bb b b b 2b cc c c c 2c Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 22 2 3 3 3 a b c a b c 2a 2b 2c 2 Từ kết quả của (1) và (2) ta được 22 2 3 3 3 3ab bc ca 2a b c Hay 33 3 2 2 2 2a b c ab bc ca 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 23. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 27 a b b c c a 64abc Dễ dàng chứng minh được 9a b b c c a 8 a b c ab bc ca Nên ta được 22 ab bc ca 3abc ab bc ca 3abc a b c Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do đó phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 24. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái của bất đẳng thức ta được 44 4 4 4 4 44 4 4 4 4 22 2 2 2 2 2a b 2 b c 2 c a ab b c c a 1 ab 1 bc 1 ca 2 2ab 2 2bc 2 2ca ab c b c a 22ab 22bc 22ca 2 2ab 22bc 22ca Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và bất dẳng thức Cauchy ta được 2 22 2 2 2a b c ab c 22ab 22bc 22ca 22 2ab 222bc 22 2ca 2a b c 3 ab bc ca 9 2 Tương tự ta có 22 2 bc a 3 2 22ab 22bc 22ca Cộng hai bất đẳng thức ta được 44 4 4 4 4 ab b c c a 3 1ab 1 bc 1 ca Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 25. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với mọi số thức dương x, y, z ta có 3 33 3 1x 1y 1 z 1xyz Thật vậy, bất đẳng tương đương với 3 3 333 33 33333 222 333 1 x y z xy yz z x xyz 1 3xyz 3x yz x yz Hay 33 3 3333 33 222 x y z x y y z z x 3xyz 3x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 3333 33 222 x y z 3xyz; x y y z z x 3x y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 3333 33 222 x y z x y y z z x 3xyz 3x y z Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 3 333 2 3 33 3 2 3 333 2 1 a 1b 1b 1 ab 1b 1 c 1c 1bc 1 c 1a 1a 1 ca Nhân từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 1a 1 b 1 c 1ab 1 bc 1 ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 26. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 11 1 9 P 2ab 2 bc 2 ca ab bc ca 6 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 ab c ab bc ca Do đó 22 2 99 P1 36 ab c 6 Bài toán được hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 27. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 4 44 3 444 4 3 aaa b 4ab;b b b a 4ab Suy ra 44 4 4 3 3 3 3 2a 2b a b a b ab a b a b Áp dụng tương tự và kết hợp với giả thiết ab bc ca abc , ta được 44 4 4 4 4 33 3 3 33 ab b c c a a b b c c a 2ab 2bc 2ac ab a b bc b c ac a b ab bc ca 1 abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 Bài 28. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 1 ab b c c a 108 Không mất tính tổng quát, ta giả sử ab c 0 . Ta có biến đổi sau 3 2 3 22 2ab.2ab a b ab b c c a abab 4 Áp dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy ta có 3 2 3 2 3 66 3 2ab 2ab a b 2ab2ab a b 3 ab ab c 4 4 108 4.3 Từ đó suy ra 2 1 ab b c c a 108 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 Bài 29. Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc dạng 41 1 xy x y , ta được 22 2 2 23 3222 322 22 aa a a1 1 11 a 44a abc a abc aab c a ab c a b c Áp dụng tương tự ta được 22 2 ab c 1111 1 4a b c abc b ca c ab Ta cần chứng minh 11 1 1 ab c Thật vậy, Áp dụng một đánh giá quen thuộc và kết hợp với giả thiết, ta được 22 2 ab c ab bc ca 1 1 1 1 abc abc a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 3 Bài 30. Do a, b, c [3; 5] , nên ta được 2 ab 2 a b 4 Khi đó ta được 2 22 4ab 4 a b 2ab a b Hay 2ab 1 a b Chứng minh tương tự ta được 2bc 1 b c;2 ca 1 c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab 1 bc 1 ca 1 a b c Do dấu đẳng thức ở các bất đẳng thức trên không đồng thời xẩy ra. Do đó ta được ab 1 bc 1 ca 1 a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 31. Đặt x 2a; y 3b; z 3c Biểu thức đã cho viết lại như sau y z 2x z 4y 4z y z x x 2x z 4y 4x 4x 4z P x y xz x y xz y x z x x z 4x 4y 5 x y x y xz xz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được y x z x 4x x z 4y 2; 4; 4 xy x x z y x z Do đó ta được P10 5 5 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 33 xy z 2a3b 3c a b c 22 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 5, đạt được tại 33 ab c 22 . Bài 32. Vì vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể giả sử c là số nhỏ nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta được 22 2 2 11 1 1 ab bc ca ab; ; ba bc c a Do đó ta cần chứng minh 22 2 11 1 ab 4 ab ab hay 2 2 ab ab 2 ab ab Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 22 2 c0 ab 3ab c0 ab a b Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 33. Áp dụng giả thiết ta có biển đổi như sau 22 2 22 2 2 2 2 22 2 a3a 3a b 2b 3 3b 3.2b 3 3b a b c .2b a b c 3a a2b c 2ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 2 22 2 3a 3a a2b c 2ac 2a b c Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 222 22 2 2 2 2 22 2 ab c b2b 3 c2c 3 a 2a 3 3aaa 3 22 ab c a b c ab c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c 1 Bài 34. Cách 1: Đặt 2 ab c 3 t 3 3 t 3 3 Ta có 2 242 2 242 23 t t 5 t ab c ab c 6 3 t 0 bc a t6t 6 3t 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c 1 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 ab c ab c 3 2 b c a abbcca abbcca Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau 2 2 36 ab c 4 ab c 4 0 ab bc ca ab c 3 ab c 3 a b c 2 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng, do đó bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi ab c 1 Bài 35. Ta có biến đổi biểu thức như sau 22 33 22 2 2 ab a ab b ab aab b aab b Dễ dàng chứng minh được 22 2 2 1 aab b a ab b 3 Thật vật, bất đẳng thức trên tương đương với 2 22 2 2 2 2 3 a ab b a ab b a 2ab b 0 a b 0 Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh trên ta được 33 22 ab 1 ab 3 aab b Áp dụng tương tự kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 3 3 3 3 222 22 2 ab b c c a 2 Pabc2abc2 3 aab b b bc c c ca a Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 , đẳng thức xẩy ra khi ab c 1 . Bài 36. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 22 2 2 11 2ab. a b a b 2ab a b 22 Suy ra 2 22 ab ab. a b 22 Do đó ta được 33 33 2 22 2 22 2 22a b 7ab a b ab 7aba b P ab a b ab a b 2 2 a b 4ab 22 a b a b 6ab ab a b ab a b Mặt khác lại theo bất đẳng thức Cauchy ta được 2 a b 4ab 4 ab a b Do đó ta có 2 2 2 a b 4ab 82. ab a b P82 ab a b ab a b Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 82 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab Bài 37. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 11 1 1 3 aa b bbc cc a abca b bc c a Ta cần chứng minh 3 2 19 abc a b b c c a 2a b c Hay 6 8a bc 729abca b bc c a Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 27abc a b c ; 27 a b b c c a 8 a b c Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 6 8 a b c 729abc a b b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab c . Bài 38. Ta có 2 22 22 22 2 2 22 2 2 22 2 2 ab 11 4 4ab ab a b ab a b ab a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta đươc 22 4 22 2 2 22 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 ab ab 2ab ab 4a b ab a b ab a b 2a b a b 2ab a b Ta cần chứng minh 4 22 4 22 2 2 32 a b ab 2a b a b ab Thậ vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 8 22 2 2 a b 64a b a b Hay 4 22 ab 8aba b . Triển khai và thu gọn ta được 4 ab 0 . Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi số thực a, b. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ab . Bài 39. Xét đẳng thức sau 33 3 2 2 2 22 2 ab c 3abc a b ca b c ab bc ca 3a b c ab bc ca Từ đó suy ra 33 3 2 2 2 1 abc a b c a b c ab bc ca 3 Khi đó ta được 33 3 4 Pa b c abbcca 3 Để ý ta thấy khi ab c 3 thì 22 2 ab c 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 2 3 3 2 3 3 2 a a 13a;b b 1 3b;c c 13c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 2 2 2 2 2 2 2a b c 3 3ab c 2ab c 3 Nên ta được 33 3 2 2 2 ab c a b c Suy ra 2 22 2 2 2 2 415 95 Pa b c abbcca abc a b c 7 326 22 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 7. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 . Bài 40. Đổi biến xa;y 2b;z 4c , khi dó ta được xy z12 và biểu thức P được viết lại thành xy yz zx P xy y z z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 2 xy y z z x xy yz zx x y z P6 xy y z z x 2 4x y 4 y z 4 z x Vậy giá trị lớn nhất của P là 6. Đẳng thức xẩy ra tại xy z 4 a 4;b 2;c 1 . Bài 41. Giả sử ab c 1 . Khi đó ta có 1 a 1b 1c b c c a a b Dễ dàng chứng minh được a b b c c a 8abc . Do đó ta có 8abc 8abc vô lí. Vậy ab c 1 . Bài 42. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 86 4 b 4 3 4 4 3a 2b c a 2 a b c ab c 2 a 2 b c b3 2ab a 2.4 .4 4 18 22 2 Mặt khác ta lại có 22 2 2 2 2 2 32 1 9 3abc a 2b3c a c 2bc 2ab 2bc 2a b 2a b Do đó ta được 2a b 6 , suy ra 2a b 18 21 2 . Từ đó ta được 86 4 3a 2b c 21 abc . Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 43. Ta có 11 1 ab c abc 1 ab bc ca . Ta viết lai biểu thức P thành 22 2 22 2 2 2 2 a1 b 1 1 b 1 c 1 1 c 1 a1 1 P bc a bc a 11 1 1 1 1 a1 b 1 c 1 ab b c c a Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2a 1 2 b 1 2 c 1 11 1 1 1 1 P22 ab bc ca a b c ab bc ca Dễ thấy 11 1 1 1 1 33 ab c ab bc ca . Do đó ta được P3 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất cỉa P là 32 , đẳng thức xẩy ra khi ab c 3 Bài 44. Bất đẳng thức tương đương với 22 2 bc ca ab 1 2a bc 2b ca 2c ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để chứng minh bất đẳng thức trên. Bài 45. Từ giả thiết ab c 1 ta suy ra 1 abc 27 . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 ab 1 bc 1bc 1 ca 1ca 1 ab 27 8 1ab 1 bc 1 ca Hay 22 2 3 2 ab bc ca abc a b c 27 8 1ab bc ca abca b c abc Hay 22 2 83 2abbcca abc 271 abbcca abc abc Hay 22 2 22 2 311ab bc ca 19abc 27abc 0 4 3 19abc 27a b c 11.4 ab bc ca Từ bất đẳng thức quen thuộc ab c b c a c a b abc suy ra 12a 1 2b 12c abc Hay 11.4 ab bc ca 11. 1 9abc Ta cần chứng minh 22 2 4 3 19abc 27a b c 11 1 9abc Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 1 27abc 1 4abc 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng do 1 abc 27 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 Bài 46. Đặt xa b c 3a y x y b c4a 15b zx z c a 16b 15c 21x 5y z Khi đó biểu thức P được viết lại là 6x 5y z 20x 5y 16x z y 3x z 16x 4 P 15x 15y 15z 3x 4y 15x 15z 5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có y4x 4 z 16x 8 ; 3x 3y 3 15x 15z 15 Do đó ta được 48 4 16 P 315 5 15 . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 5c 3c a;b 77 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 16 15 , đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 5c 3c a;b 77 . Bài 47. Từ giả thiết ab c 1 ta có 2 2222 1c a b c c a b 2ab bc ca 2ab bc 2ab ca Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được ab 1 ab ab 4 2abbc 2ab ca 2abbc 2ab ca Do đó ta có 2 ab 1 ab ab 8 abbc abca 1c Áp dụng tương tự 22 bc 1 bc bc ca 1 ca ca ; 8bc ca ab bc 8 ca ab bc ca 1a 1 b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 ab bc ca 1c 1 a 1 b 1 ababbc bc ca ca 3 8 abbc ab ca bcca abbc ca ab bcca 8 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c Bài 48. Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 22 2 ab c ab bc ca 2 a 2b 2c ab b c c a Hay 2ab 2bc 2ca ab bc ca ab b c c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2ab 2ab 2bc 2bc 2ca 2ca ab; bc; ca ab b c c a 2ab 2 bc 2 ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2ab 2bc 2ca ab bc ca ab b c c a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c . Bài 49. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki a được 2 22 2 ab c ab c P 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab 32ab bc ca Để ý ta thấy, do 22 2 ab c 3 nên ta có 2 32ab bc ca a b c Suy ra 2 ab c 1 32ab bc ca Do đó ta được 22 2 ab c P1 1ab bc 1 bc ca 1 ca ab Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 50. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 33 3 3.9ab 1 6ab 1 4 9bc 6ab 6b a 9 abc 9 abc Áp dụng tương tự ta được 33 33 149ca6bc1 49ab6ca 6c ; 6a bc 9abc 9abc Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 33 3 33 12 15 ab bc ca 11 1 3 6b 6c 6a ab c 9abc abc Ta cần chứng minh 3 31 abc abc hay 2 3 3abc 1 Bất đẳng thức cuỗi cùng luôn đúng. Vì từ giả thiết ta được 2 3 3 1ab bc ca 3ab.bc.ca 3 abc Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 51. Không mất tính tổng quát ta giả sử 1a b c 0 . Khi đó ta có aa c c ; ab 1 bc 1 ca 1 bc 1 Suy ra 1b c 1 b 1 c bc ab c abc 2 ab 1 bc 1 ca 1 bc 1 bc 1 Mặt khác ta lại có ab b c c a ab b c c a 11 13 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 1 1 a 1 b 1b 1c 1 c 1 a 3 ab 1 bc 1 ca 1 3 Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được ab c a b c ab c 5 ab 1 bc 1 ca 1 Hay 11 1 5 ab 1 bc 1 ca 1 a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 1;c 0 và các hoán vị. Bài 52. Do a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab c 1 nên 0a,b,c 1 . Suy ra 1a,1 b,1 c 0 Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc 11 4 xy x y ta được 11 4 4 1a 1 b 2 a b 1 c Chứng minh tương tự ta có 11 4 1 1 4 ; 1 b 1c 1a 1c 1 a 1 b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 11 1 2 2 2 1 a 1b 1c 1 a 1 b 1 c Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ab c 3 . Bài 53. Không mất tính tổng quát ta giả sử 1a b c 0 , khi đó ta có a1 ab c 3 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 1 b 1 c 1 b c 31b 1c 1 b c Suy ra 11 b1 c1 b c Do đó ta được 1a 1a 1 b 1 c 1 b c Hay 1a 1a 1 b 1 c 1b c Mặt khác ta lại có 1a 1a ab c 1 b c Nên ta được 1a 1 a 1b 1c ab c Suy ra 1a1 1 a 1b 1 c 1 a 1b 1c ab c a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 54. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 33 33 3 3 33 2 2 3 33 4a b a b 3ab ab 3a ba b ab ab 3aba b a b Do đó ta được 33 3 4a b a b Áp dụng tương tự ta được 33 3 3 33 4b c b c; 4c a c a Từ đó ta có bất dẳng thức sau 33 3 3 3 3 33 3 22 2 22 2 ab c P4a b 4b c 4c a 2 bc a ab c 2a b c bc a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 22 2 3 ab c 3 ab c 3abc 6 bc a abc Suy ra P12 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12. Đẳng thức xẩu ra khi và chỉ khi ab c 1 Bài 55. Cách 1: Đặt x 2a 3b3c;y 3a 2b3c;z 3a 3b 2c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 7x y y z z x 42 8y x z y x z 8 Bất đẳng thức trên đung do xy y z z x 6 yx z y x z . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra tại ab c . Cách 2: Biến đổi vế trái của bất đẳng thức trên ta được ab 3c a3b c 3a b c 3a 3b 2c 3a 2b 3c 2a 3b 3c 7c b a 1 3 3a 3b 2c 3a 2b3c 2a 3b3c 11 1 17a b c 3a 3b 2c 3a 2b 3c 2a 3b 3c 915 17a b c 8 8a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra tại ab c . Bài 56. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 222 2 ab a b 1 a b a b a b 1 2ab a 2ab aab 9aaa 9 Áp dụng tương tự ta được 2 22 2 ab c ab bc ca 1 2a b 2b c 2c a 9 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 57. Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22 2 22 2 2 2 2 ab b b c b c a c a c a b a b 0 bc ca a b Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Do đó bài toán được chứng minh. Cách 2: Quy đồng và phá dấu ngoặc ta được 33 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 33 3 3 3 3 2 2 2 2ab bc ca ab bc ca bc ca ab ca ab bc 2 a b b c c a abc bc ca a bc ca ab ab c ab bc Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc 33 xy xyx y ta được điều phải chứng minh. Bài 58. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 2 32 5 3 22 2 2 22 2 5 2abc bc bc aabc. 2 2 8a b c ab a c a.2 b c . 2 2.27 Áp dụng tương tự ta được 444 2 3 3 3 22 2222 2 22 bc c a a b 1 a b c abbcca a bc 22 2 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 59. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 22 22 2 2 4abbc ca b c bc abbcca bcb c b c a bc Suy ra 22 22 2 ab c 4a ab bc ca bbc c bc a b c , áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 222 22 2 2 ab c b a b c a b 4ab bc ca ab c bc c a a b bbc c cca a a ab b ab c Ta cần chứng minh 22 2 22 2 ab c a b c ab c bc c a a b 2ab bc ca Hay 3 22 2 ab c ab c ab c bc c a a b 2ab bc ca Hay 3 22 2 ab c ab c ab c bc c a a b 2ab bc ca Bất đẳng thức trên tương đương với 2 ab c ab c bc c a a b 2ab bc ca Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 60. Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 2 222 11 1 111 11 133 ab c abc Ta cần chứng minh được 22 2 2 22 2 2222 22 2 2 2 2 11 1 1 1 1 333 ab bc ca ab c 11 1 1 1 1 333 ab bc ca ab c ab c 3 a b b c c a 00 abc a bc Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Kết hợp với giả thiết ta có 22 2 22 11 1 1 1 1 a b b c c a ab bc ca 3 ab bc ca ab bc ca b a c b a c 1a b a c b c b ac ac b 1a b b c c a 3 3 2a a b b c c 2b a c b a c abac b cb a c ac b 1 3. . . .63 aa b b c c 2 aab bc ca a ab bc ca aab 3 aa 2 22 2 22 2 2 2 2 bc ca a a1 b 1 c 1 1 1 1 33111 ab c a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 61. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 222 2 2 11 4 8 a b b c a 2b c 2a 2b 2b 2c 88 a 1 b1 b1 c1 b 7 Hoàn toàn tương tự 22 11 8 1 1 8 ; bc c a c a a b c7 a 7 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh. Bài 62. Ta có 2 c 6ab c a b c 6ab ab bc ca c 2ab 3ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 ab 1 ab ab 1 c6ab 9 ab bc ca 3 c2ab Hoàn toàn tương tự 22 2 ab bc ca 1 ab bc ca 2 c6ab a 6bc b6ca 9 c2ab a 2bc b2ca Phép chứng minh hoàn tất nếu ta chỉ ra được 22 2 22 2 2 2 2 ab bc ca c b c 11 c2ab a 2bc b2ca c2ab a 2bc b2ca Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 63. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 22 2 ab c ab c ab bc ca abc a b c b1 a c 1 b a 1 a Để ý là 2 2 ab bc ca a b c 3 ab bc ca 3; abc a b c 3 3 Ta được 2 ab c 9 4 ab bc ca abc a b c . Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Bài 64. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 ab 11 1 c a b c Do đó ta được 22 22 2 22 2 111c 2c ab 1 ab 11 1 c ab c Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 11 1 6abc 1 ab 1 b c 1 c a 1 ab c Hay ab bc ca 3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 65. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b5 b 2 3 23b 2 . Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 2 2 ab c 1 a b c b5 c5 a 5 23 b 2 c 2 a 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 2 33 3 ab c a b c ab c b2 c2 a 2 b2 c2 a 2 Ta quy bài toán về chứng minh. 22 2 2 2 2 ab c 1ac ba cb 2a b c 8 abc b2 c2 a 2 Dễ dàng chứng minh được 22 2 2 2 2 ab c 3;ac ba cb 2 abc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 66. Cách 1: Dễ thấy 2 9abc a b c 3 ab bc ca 3abc ab bc ca Đặt 11 1 x;y ;z xyz 3 xyyzxz 3 ab c . Bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 xy z 3 2 x3 y 3 z 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 xx x 1xx 2x y z x x3 x xy yz zx xy z x Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 xy z 3 2 x3 y 3 z 3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Đặt axy;b yz;c zx khi đó giả thiết trở thành 2 22 2 9x y z xy yz zx 3xyz xy yz zx và xyz 1 . Khi đó vế trái được viết lại thành 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 11 1 x y z 13yz 13zx 13xy x 3xyz y 3zxy z 3xyz xy z x 3xyz y 3xyz z 3xyz Ta quy bài toán về chứng minh 22 2 xy z 3 2 x 3xyz y 3xyz z 3xyz Đến đây chú ý đến 3xyz xy yz zx ta chứng minh được bất đẳng thức tương tự như cách 1 Bài 67. Từ giả thiết abc 1 , ta đặt xy z a;b ;c x;y;z 0 yz x . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 22 2 xy z 1 x 8yz y 8zx z 8xy Bất đẳng thức trên chính là bất đẳng thức ở bài 27. Bài 68. Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 11 1 9 9 3 1 ab 1 bc 1 ca 3 ab bc ca 5 3a b c Bất đẳng thức được chứng minh Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 11ab 2 1ab 25 25 Áp dụng tương tự ta được 11 1 63abbcca 1ab 1 bc 1 ca 5 25 Ta quy bài toán về chứng minh ab bc ca 12 . Bất đẳng thức cuối cùng đúng do 22 2 ab bc ca a b c 12 Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 69. Từ giả thiết ta có 3 22 2 222 31 ab c 3abc abc 48 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 3 11 1 ab b c c a ab c 3123 8abc 8abc 2 23 25 abc 8abc 8abc Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 70. Áp dụng giả thiết và bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ab c a b c b c c a ab ab c ac bc 1ab cc c c c Hoàn toàn tương tự ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 71. Chú ý đến 22 a2 a 1 1 2a 1 . Áp dụng tương tự ta quy bài toán về chứng minh 2a b c 6 . Bài 72. Để ý là 22 22 2 2 22 ab a b ab 2ab ab a b ab , áp dụng tương tự ta quy bài toán về chứng minh 22 2 2 2 2 2ab 2bc 2ca 1 ab b c c a Bất đẳng thức trên tương đương với 22 2 22 2 2 2 2 ab b c c a 4 ab b c c a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 a b bc c a 4a bc 4ab bcca 24 ab b c c a ab c 2a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 73. Từ giả thiết ta được 1 abc 33 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 11 1 3 1 1 1 33 2 6 3 ab c a b c abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có 3 3 11 1 1 3a b c 3 3. abc 6 3 ab c abc Cộng thoe vế hai bất đẳng thức trên và thu gọn ta được 11 1 ab c 43 ab c Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 74. Giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c suy ra 1 a1 3 . Khi đó biến đổi tương đương ta chứng minh được 22 2 22 2 b1 c1 1 bc 1 c 1 a1 a1 và 2 2 2 a1 a1 b1 Từ đó ta quy bài toán về chứng minh 3 2 2 2 2 1a 1 3a 4a 17 abc 2 0 2 a1 2a 1 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 75. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 2 a2 2bc b 2 2ca c 2 2ab 3 Ta có 22 222246 a2 2bc a 2 b c a 1 a a a Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 464646 a2 2bc b 2 2ca c 2 2ab a a b b c c Ta có 22 4 6 4 6 46 2 2 2 3 33 2 33 3 3 3 3 aa b b c c a b c a b c 21 2 2 ab c a b c 33 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 22 2 2 2 2 33 3 22 2 ab c a b c 1 ab c ab c 3 3a b c Suy ra 22 2 2 a2 2bc b 2 2ca c 2 2ab 3 Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 76. Ta có 222 22 2 22 2 22 2 3a 3b 3c bc c a a b ab c 1 1 1 9a b c 12 4 bc c a a b ab b c c a Theo bất đẳng thức Neibizt và bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 22 2 2 2 2 22 2 ab c 3 bc c a a b 2 11 1 9 9 3 4 4a b c ab b c c a ab b c c a Suy ra ta được 22 2 22 2 3a 3b 3c 48 bc c a a b . Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 77. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 22 3 22 2 6a 6a 5 5 a 1 6a a 4a a ab ac ab ac ab ac 22 2a 2a a 3 2a.2a a ab ac ab ac Do đó ta được 3 24 28a 6a 6a 5 27 4a ab ac b c Hoàn toàn tương tự ta được 44 4 2 22 2 ab c P 108 a b c 216 bc c a a b 108 a b c 3 216. 648 32 Vật giá trị nhỏ nhất của P là 648, đẳng thức xẩy ra tại ab c 1 . Bài 78. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 3 a3 b c ab ca a1 bc a1.1.1 bc a 33 Hoàn toàn tương tự ta được 33 3 a1 b c b 1 c a c 1 a b 1 . Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 79. Bạn đọc tự giải Bài 80. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ab bc ca 2a 3b 7 2b 3c 7 2c 3a 7 ab bc ca 3 2a 3b 7 2b 3c 7 2c 3a 7 Từ ab c 3 suy ra ab bc ca 3 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 22 ab ab ab ab 1 1 4a 6b 2 4 6b 4a 2 2a 3b 7 2a 1 3 b 1 2 Lại có 11 1111111 4a 2 2a2a2 9 2a 2a 2 9 a 2 Do đó ta được 22 ab a b ab 24 36 72 2a 3b 7 Hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 2 2 ab bc ca 2a 3b 7 2b 3c 7 2c 3a 7 a b c a b c ab bc ca 333 1 24 36 72 24 36 72 4 Suy ra 2 22 2 2 2 2 ab bc ca 3 4 2a 3b 7 2b 3c 7 2c 3a 7 Hay bất đẳng thức được chứng minh Bài 81. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 23 2 3 22 ab c a b c ab c 1bc 1 ca 1 ab a b c 3abc ab c 3abca b c ab c ab c ab bc ca Từ giả thiết và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22 3 a b c 9;ab bc ca 9;a b c 27abc Do đó ta được ab c 3 abc 1bc 1 ca 1 ab 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 82. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 22 33 22 ab a ab b ab a b a b Do đó ta được 22 22 aab b 1 ab ab , hoàn toàn tương tự ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 aab b b bc c c ca a ab b c c a 11 1 9 3 ab b c c a 2 2a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 83. Đặt 11 1 x;y ;z ab c , khi đó giả thiết được viết lại thành xy yz zx 1 . Suy ra xy z 3 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy z 33 yz 1 zx 1 xy 1 4 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 23 2 33 22 2 xy z x y z xy z yz 1 zx 1 xy 1 3xyz x y z 3xyz x y z x y z xy z x y z xy yz zx x y z 1 x y z Đặt tx y z 3 , khi đó dễ dàng chứng minh được 3 2 t33 4 1t Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 84. Bạn đọc tự chứng minh Bài 85. Nếu x,y,z 0, x y thì xx z yy z Do đó 11 1 b c a 3a b 3a c 2a b c 3a c 3a b ac ab 2a 2a 2b 2a 2c 4a 2 3a b 3a c 2a b c 4a b c 4a b c 4a b c Bài toán được chứng minh xong. Bài 86. Đặt xy z ak ;b k ;c k yz x . Khi đó bài toán quy về chứng minh 22 2 3 yz zx xy 3 kzx k xy kxy k yz kyz k zx 1 k Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta chứng minh được bài toán. Bài 87. Để ý ta thấy 2 2 22 22 ac ca b aab ab bc ca bcbc ab bc ca b c bc Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 22 2 2 2 2 ac ca b ab ab c bc bc a 0 bcbc c a ca a b ab Lại thấy 2 2 22 2 2 ac ca b ca a b c ca bcbc bcbc , do đó ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 22 2 22 2 2 2 2 ca a b b c ab bc ca ab c bcbc c a ca a b ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ca a b b c bcbc c a ca a b ab ab bc ca ab cb ca ab c ab c bc b c a ca c a b ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 88. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 aa a aa 9a 1 3a 1 6a 26a 3a 1 26 3a 1 Do đó ta được 2 2 22 2 ab c aa bb cc 24 6 9a 1 9b 1 9c 1 63a 1 63b 1 63c 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 33 3 aa b b c c a b c a b c 63a13b13c1 6 3a 1 63b 1 63c 1 Suy ra ta được 33 3 2 2 2 ab c a b c 24 3a 1 3b 1 3c 1 9a 1 9b 1 9c 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 98. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 6ab a b 6bc b c 9ca c a 5 a b b c c a 4c a ab b c ab a b bc b c 4ca c a 10abc 10 ca b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 4c a ab b c a c b 4c b 4a 10 ca b cacbab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 90. Dễ dàng chứng minh được 44 3 3 2a b ab a b , do đó ta có 44 33 ab a b 11 1 2ab 2 a b ab a b Hoàn toàn tương tự ta được 44 4 4 4 4 33 3 3 3 3 ab b c c a 1 1 1 ab bc ca 1 ab c abc ab a b bc b c ca c a Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 91. Áp dụng bất đẳng Bunhiacopxki ta có 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2a b b c c a ab 2ab b c 2bc c a 2ca 22 2 ab ab b c b c c a c a ab b c c a 2ab 2bc 2ca ab b c c a ab b c c a Bài toán quy về chứng minh 2ab 2bc 2ca 3 ab b c c a Giả thiết được viết lại thành 11 1 3 ab c . Đặt 11 1 x;y ;z xyz 3 ab c . Bất đẳng thức trên trở thành 22 2 3 xy y z z x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và kết hợp với xy z 3 , ta có 22 2 92 92 3 xy y z z x xy y z z x 3.2 x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 92. Ta có 2 22 22 2 2 ab ab 2 ab ab ab ab . Khi đó áp dụng tương tự ta được 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 ab b c c a ab ab b c bc c a ca ab b c c a 6 ab ab b c bc c a ca Bài toán quy về chứng minh. 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 6a b c ab b c c a 6 ab ab b c bc c a ca ab c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 ab b c c a 4a b c ab ab b c bc c a ca 2a b c ab bc ca Ta cần chứng minh được 2 22 2 2 22 2 6a b c 4a b c 6 2a b c ab bc ca ab c Đặt 22 2 xa b c;y ab bc ca x y và bất đẳng thức trên trở thành 4x 2y 4x 2y 4 2x y 6x 68 2x y x 2y 2x y x 2y Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 93. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 3 2 52 2 81a b c 81a b c 1279 88 4a ab c Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có 3 3 27 9 81 4a 2 4a 3 Do đó ta được 22 22 2 52 2 3 81a b c 81a b c 181 88 2 ab c 4a 3 Áp dụng tương tự ta được 222 52 2 5 2 2 5 2 2 22 2 2 2 2 33 3 111 ab c b c a c a b 81 a b ab b c bc c a ca 81 81 81 4 22 2 4a 4 a 4a 33 3 Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 33 2 33 3 22 2 2 2 2 3 3 3 81 81 81 81.9 243 4 22 2 4a b c 8 4a 4 a 4a 33 3 81 a b ab b c bc c a ca 81.2 a b c 162 444 Suy ra 222 52 2 5 2 2 5 2 2 1 1 1 243 162 81 44 4 ab c b c a c a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 94. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 b4 b2 b b 2 2 Do đó ta được 2 2 a2a b4 b2 b b 2 . Áp dụng tương tự ta được 22 2 22 2 ab c b2 b b 2 c 2 c c2 a 2 a a 2 2a 2b 2c b4 c4 a 4 Ta cần chứng minh được 22 2 ab c 3 4 b4 c4 a 4 . Đến đây áp dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu để chứng minh bất đẳng thức trên. Bài 95. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 2a b c 11 1 ab c 2a b 2b c 2c a ab b c c a Ta có 11 1 ab c 2a b 2b c 2c a ca b 1bc a 3 2a b 2b c 2c a 2 2a b 2b c 2c a 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 22 2 ab c ca b 2a b 2b c 2c a 3ab bc ca ab c bc a 1 2a b 2b c 2c a ab c 2ab bc ca Như vậy ta cần chứng minh được 2 3 ab c 2ab c 2 3ab bc ca ab b c c a Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có 22 3 ab c a b c 23 3ab bc ca 3 ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 3 3 ab c 2ab c 3 3ab bc ca ab b c c a Hay 9a b b c c a 8 a b c ab bc ca Đây là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 96. Không mất tính tổng quát, giả sử a là số lớn nhất trong ba số trên. Từ giả thiết ab c 3 , suy ra 1a 3 . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 2 11 1 8 42 a b c 117 10 a b c ab c Hay 22 2 869 8 69 8 10b 42b 10c 42c 10a 42a 48 b2 c 2 a Hay 22 2 2b 1 16 5b 2c 1 16 5c a 2 20a 4 bc a Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 22 2 2 22 2b 1 16 5b 2c 1 16 5c 2b 1 2c 1 bc b c 16 5b 16 5c 2b 2c 2 4 a 2 bc bc 16 5b 16 5c 16 5b 16 5c Ta cần chứng minh 22 2 2 4a 2 a 2 20a 4 a 2 a 2 5a 1 bc a b c a 16 5b 16 5c 16 5b 16 5c Thật vậy, vì ab;a c , do đó ta có bc b c 3a 16 5b 16 5c 16 5a 16 5a 16 5a Cho nên 22 2 a2 a 2 a2 16 5a b c 3a 3a 16 5b 16 5c 16 5a Bây giờ ta cần chỉ ra được 22 a2 16 5a a2 5a 1 3a a Đánh giá trên tương đương với 22 a2 16 5aa a 2 5a 1 3 a Hay 2 3a 2 0 , đánh giá cuối cùng luôn đúng với mọi a. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại 1 a2;b c 2 và các hoán vị của nó. Bài 97. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 44 4 2 2 2 22 2 ab c 1a b c 3b 1 c 1 a 1 b1 c1 a 1 Ta cần chứng minh 22 2 ab c 12 b1 c1 a 1 Thật vậy, ta có 22 2 b4 b b2 0 b b 1 44 Do đó 24 2 a4a b1 b . Áp dụng tương tự ta được 22 2 2 22 b4b c 4c ; c1 a 1 ca Công theo vế các bất đẳng thức trên ta được 22 2 2 2 2 22 2 ab c a b c 44.312 b1 c1 a 1 bc a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại ab c 2 . Bài 98. Giả sử amina,b,c. ta cóbc 3 c 3 . Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 22 2 2 22 2 2 2 2 3 3 2 22 P aab b b bc c aac c 43 3 bb bc cc . bc. bcb bc c 92 2 33 bc bc b bc c bc 44 22 ..12 93 93 Đẳng thức xảy ra khi a 0, b 2, c 1 và các hoán vị. Vậy giá trị lớn nhất của P là 12. Bài 99. Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 33 2 2 33 2 2 33 2 yz xx 3 x yz yz 8 2 zx yy 3 y zx z x 8 2 zy zz 3 z xy xy 8 2 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có: 33 3 22 2 2 2 2 33 3 22 2 xy z 1 3 2 x y z xy yz zx x y z yz zx x y 4 2 xy z 5 1 2 x y z xy yz zx yz z x x y 4 4 Mặt khác ta có 22 22 2 2 51 5 1 xy z xy yz zx x y z x y z 4 4 12 12 1 xy z 12 3 . Do đó 33 3 xy z 6 yz zx x y . Bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 2 22 2 44 4 222 xy z xy z xy z xyz 6 26 x y z y z x z x y 2 xy yz zx Do đó 33 3 xy z 6 yz zx x y . Bài toán được chứng minh xong. Bài 100. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 22 2 2 2 2 66 3 66 3 2 3 3 6 3 a 8 b 8 c 8 a 8abc b 8abc c 8abc ab c a b c ab c 8ab bc ca a 8bc b 8ca c 8ab ab c 27a b c 8 ab c a b c 3 11 8 1 1 8 1 27 a b c 3 27 3 abc 27 a b c Do đó 6 22 2 a8b 8c 8 a b c . Bài toán được chứng minh xong. Bài 101. Đặt 11 1 x,y ,z ab c == = thì giả thiết được viết lại là a + b +c = 3 Khi đó ta có: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 33 3 22 2 2 2 2 22 2 yx z a b c xy 2x xz 2z yz 2y a 2b b 2c c 2c 2ab 2bc 2ca 2 ab c a b c ab bc ca 3 a2b b 2c c 2c Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 22 ab ab 1 ab ab.ab.1 3 Tương tự 33 22 2 2 bc bc 1 ca ca 1 bc ; ca 33 Từ đó ta có 33 3 22 2 2 2 2 22 ab c ab bc ca a b c 2ab 2bc 2ca 3 1 39 Bài toán được chứng minh xong.
