Câu hỏi và bài tập tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh
α 0 y 0 x M O 1 1 1 − y x N α 0 y 0 x − M O 0 x y x CHUÛ ÑEÀ 7. TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ VAØ ÖÙNG DUÏNG Baøi 01 GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ TÖØ 0 0 ÑEÁN 0 180 1. Định nghĩa Với mỗi góc ( ) 0 0 0 180 α α ≤ ≤ ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM α = và giả sử điểm M có tọa độ ( ) 0 0 ; . M x y Khi đó ta có định nghĩa: • sin của góc α là 0 , y kí hiệu 0 sin ; y α= • cosin của góc α là 0 , x kí hiệu 0 cos ; x α= • tang của góc α là ( ) 0 0 0 0 , y x x ≠ kí hiệu 0 0 tan ; y x α= • cotang của góc α là ( ) 0 0 0 0 , x y y ≠ kí hiệu 0 0 cot . x y α= 2. Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM α = thì 0 180 . xON α = − Ta có 0 , M N y y y = = 0 . M N x x x =− = Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 sin sin 180 cos cos 180 tan tan 180 cot cot 180 . α α α α α α α α = − =− − =− − =− − 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị lượng giác 0 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180 sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 0 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 1 − tanα 0 1 3 1 3 0 cotα 3 1 1 3 0 Trong bảng kí hiệu " " để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 3 sin120 sin 180 60 sin 60 2 2 cos135 cos 180 45 cos 45 . 2 = − = = = − =− =− 4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vecto 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a = và . OB b = Góc AOB với số đo từ 0 0 đến 0 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a và . b Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là ( ) , a b . Nếu ( ) 0 , 90 a b = thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a b ⊥ hoặc . b a ⊥ b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có ( ) ( ) , , . a b b a = CÂU HỎI V. B.I TẬP TRẮC NGHIỆM 10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189 https://web.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị 0 0 cos 45 sin 45 + bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 0 0 0 0 2 cos 45 2 cos 45 sin 45 2. 2 sin 45 2 = → + = = Chọn B. b a b a A B O Câu 2. Giá trị của 0 0 tan 30 cot 30 + bằng bao nhiêu? A. 4 . 3 B. 1 3 . 3 + C. 2 . 3 D. 2. Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 0 0 0 0 1 tan 30 4 3 tan 30 cot 30 . 3 cot 30 3 = → + = = Chọn A. Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? A. O 3 sin150 . 2 =− B. O 3 cos150 . 2 = C. O 1 tan150 . 3 =− D. O cot150 3. = Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được O 1 tan150 . 3 =− Chọn C. Câu 4. Tính giá trị biểu thức cos30 cos 60 sin 30 sin 60 . P = − A. 3. P = B. 3 . 2 P = C. 1. P = D. 0. P = Lời giải. Vì 0 30 và 0 60 là hai góc phụ nhau nên 0 0 0 0 sin 30 cos 60 sin 60 cos30 = = cos30 cos 60 sin 30 sin 60 cos30 cos 60 cos 60 cos30 0. P → = − = − = Chọn D. Câu 5. Tính giá trị biểu thức sin 30 cos 60 sin 60 cos30 . P = + A. 1. P = B. 0. P = C. 3. P = D. 3. P =− Lời giải. Vì 0 30 và 0 60 là hai góc phụ nhau nên 0 0 0 0 sin 30 cos 60 sin 60 cos30 = = 2 2 sin 30 cos 60 sin 60 cos30 cos 60 sin 60 1. P → = + = + = Chọn A. Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. O O sin 45 cos 45 2. + = B. O O sin 30 cos 60 1. + = C. O O sin 60 cos150 0. + = D. O O sin120 cos30 0. + = Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 0 0 0 0 3 cos30 2 cos30 sin120 3. 3 sin120 2 = → + = = Chọn D. Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. O O sin 0 cos 0 0. + = B. O O sin 90 cos 90 1. + = C. O O sin180 cos180 1. + =− D. O O 3 1 sin 60 cos 60 . 2 + + = Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 0 0 0 0 cos 0 1 cos 0 sin 0 1. sin 0 0 = → + = = Chọn A. Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. O O cos 45 sin 45 . = B. O O cos 45 sin135 . = C. O O cos30 sin120 . = D. O O sin 60 cos120 . = Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 0 0 1 cos120 2 . 3 sin 60 2 =− = Chọn D. Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc 0 30 . B= Khẳng định nào sau đây là sai? A. 1 cos . 3 B= B. 3 sin . 2 C = C. 1 cos . 2 C = D. 1 sin . 2 B= Lời giải. Từ giả thiết suy ra 0 60 . C = Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 0 3 cos cos30 . 2 B= = Chọn A. Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 sin . 2 BAH = B. 1 cos . 3 BAH = C. 3 sin . 2 ABC = D. 1 sin . 2 AHC = Lời giải. Ta có 0 1 sin 2 30 3 cos 2 BAH BAH BAH = = → = . Do đó A sai; B sai. Ta có 0 3 60 sin . 2 ABC ABC = → = Do đó C đúng. Chọn C. Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. ( ) sin 180 cos . α α °− =− B. ( ) sin 180 sin . α α °− =− C. ( ) sin 180 sin . α α °− = D. ( ) sin 180 cos . α α °− = Lời giải. Hai góc bù nhau α và ( ) 180 α °− thì cho có giá trị của sin bằng nhau. Chọn C. Câu 12. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin sin . α β = B. cos cos . α β =− C. tan tan . α β =− D. cot cot . α β = Lời giải. Hai góc bù nhau α và β thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau. Do đó D sai. Chọn D. Câu 13. Tính giá trị biểu thức sin 30 cos15 sin150 cos165 . P = ° °+ ° ° A. 3 . 4 P =− B. 0. P = C. 1 . 2 P = D. 1. P = Lời giải. Hai góc 0 30 và 0 150 bù nhau nên sin 30 sin150 °= ° ; Hai góc 15° và 165° bù nhau nên cos15 cos165 °=− ° . Do đó ( ) sin 30 cos15 sin150 cos165 sin150 . cos165 sin150 cos165 0 P = ° °+ ° °= ° − ° + ° °= . Chọn B. Câu 14. Cho hai góc α và β với 180 α β + = ° . Tính giá trị của biểu thức cos cos sin sin P α β β α = − . A. 0. P = B. 1. P = C. 1. P =− D. 2. P = Lời giải. Hai góc α và β bù nhau nên sin sin α β = ; cos cos α β =− . Do đó, ( ) 2 2 2 2 cos cos sin sin cos sin sin cos 1 P α β β α α α α α = − =− − =− + =− . Chọn C. Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính ( ) ( ) sin .cos cos .sin P A B C A B C = + + + . A. 0. P = B. 1. P = C. 1. P =− D. 2. P = Lời giải. Giả sử ; A B C α β = + = . Biểu thức trở thành sin cos cos sin P α β α β = + . Trong tam giác ABC , có 180 180 A B C α β + + = °⇒ + = ° . Do hai góc α và β bù nhau nên sin sin α β = ; cos cos α β =− . Do đó, sin cos cos sin sin cos cos sin 0 P α β α β α α α α = + =− + = . Chọn A. Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính ( ) ( ) cos .cos sin .sin P A B C A B C = + − + . A. 0. P = B. 1. P = C. 1. P =− D. 2. P = Lời giải. Giả sử ; A B C α β = + = . Biểu thức trở thành cos cos sin sin P α β α β = − . Trong tam giác ABC có 180 180 A B C α β + + = °⇒ + = ° . Do hai góc α và β bù nhau nên sin sin α β = ; cos cos α β =− . Do đó, ( ) 2 2 2 2 cos cos sin sin cos sin sin cos 1 P α β α β α α α α = − =− − =− + =− . Chọn C. Câu 17. Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. sin cos . α β =− B. cos sin . α β = C. tan cot . α β = D. cot tan . α β = Lời giải. Hai góc nhọn α và β phụ nhau thì sin cos ; cos sin ; tan cot ; α β α β α β = = = cot tan α β = . Chọn A. Câu 18. Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2 sin 15 cos 20 sin 75 cos 110 S = °+ °+ °+ ° . A. 0. S = B. 1. S = C. 2. S = D. 4. S = Lời giải. Hai góc 15° và 75° phụ nhau nên sin75 cos15 . °= ° Hai góc 20° và 110° hơn kém nhau 90° nên cos110 sin 20 . °=− ° Do đó, 2 2 2 2 sin 15 cos 20 sin 75 cos 110 S = °+ °+ °+ ° ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 15 cos 20 cos 15 sin 20 sin 15 cos 15 sin 20 cos 20 2 = °+ + °+ − ° = °+ ° + °+ ° = . Chọn C. Câu 19. Cho hai góc α và β với 90 α β + = ° . Tính giá trị của biểu thức sin cos sin cos P α β β α = + . A. 0. P = B. 1. P = C. 1. P =− D. 2. P = Lời giải. Hai góc α và β phụ nhau nên sin cos ; cos sin α β α β = = . Do đó, 2 2 sin cos sin cos sin cos 1 P α β β α α α = + = + = . Chọn B. Câu 20. Cho hai góc α và β với 90 α β + = ° . Tính giá trị của biểu thức cos cos sin sin P α β β α = − . A. 0. P = B. 1. P = C. 1. P =− D. 2. P = Lời giải. Hai góc α và β phụ nhau nên sin cos ; cos sin α β α β = = . Do đó, cos cos sin sin cos sin cos sin 0 P α β β α α α α α = − = − = . Chọn A. Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21. Cho α là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin 0. α< B. cos 0. α> C. tan 0. α< D. cot 0. α> Lời giải. Chọn C. Câu 22. Cho hai góc nhọn α và β trong đó α β < . Khẳng định nào sau đây là sai? A. cos cos . α β < B. sin sin . α β < C. cot cot . α β > D. tan tan 0. α β + > Lời giải. Chọn A. Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai? A. cos75 cos50 . °> ° B. sin 80 sin 50 . °> ° C. tan 45 tan 60 . °< ° D. cos30 sin 60 . °= ° Lời giải. Chọn A. Trong khoảng từ 0° đến 90° , khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90 sin100 . °< ° B. cos 95 cos100 . °> ° C. tan 85 tan125 . °< ° D. cos145 cos125 . °> ° Lời giải. Trong khoảng từ 90° đến 180° , khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn B. Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin 90 sin150 . °< ° B. sin 90 15 sin 90 30 . ′ ′ ° < ° C. cos 90 30 cos100 . ′ ° > ° D. cos150 cos120 . °> ° Lời giải. Trong khoảng từ 90° đến 180° , khi giá trị của góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm. - Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn C. Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức 2 2 cos sin 1? α α + = A. 2 2 1 cos sin . 2 2 2 α α + = B. 2 2 1 cos sin . 3 3 3 α α + = C. 2 2 1 cos sin . 4 4 4 α α + = D. 2 2 5 cos sin 5. 5 5 α α + = Lời giải. Từ biểu thức 2 2 cos sin 1 α α + = ta suy ra 2 2 cos sin 1. 5 5 α α + = Do đó ta có 2 2 5 cos sin 5. 5 5 α α + = Chọn D. Câu 27. Cho biết 3 sin . 3 5 α = Giá trị của 2 2 3sin 5cos 3 3 P α α = + bằng bao nhiêu ? A. 105 . 25 P = B. 107 . 25 P = C. 109 . 25 P = D. 111 . 25 P = Lời giải. Ta có biểu thức 2 2 2 2 16 sin cos 1 cos 1 sin . 3 3 3 3 25 α α α α + = ⇔ = − = Do đó ta có 2 2 2 3 16 107 3sin 5cos 3. 5. . 3 3 5 25 25 P α α = + = + = Chọn B. Câu 28. Cho biết tan 3. α=− Giá trị của 6 sin 7 cos 6 cos 7 sin P α α α α − = + bằng bao nhiêu ? A. 4 . 3 P = B. 5 . 3 P = C. 4 . 3 P =− D. 5 . 3 P =− Lời giải. Ta có sin 6 7 6 sin 7 cos 6 tan 7 5 cos . sin 6 cos 7 sin 6 7 tan 3 6 7 cos P α α α α α α α α α α − − − = = = = + + + Chọn B. Câu 29. Cho biết 2 cos . 3 α=− Giá trị của cot 3tan 2 cot tan P α α α α + = + bằng bao nhiêu ? A. 19 . 13 P =− B. 19 . 13 P = C. 25 . 13 P = D. 25 . 13 P =− Lời giải. Ta có biểu thức 2 2 2 2 5 sin cos 1 sin 1 cos . 9 α α α α + = ⇔ = − = Ta có 2 2 2 2 2 2 2 5 cos sin 3. 3 cot 3tan cos 3sin 19 3 9 sin cos . cos sin 2 cot tan 13 2 cos sin 2 5 2 2. sin cos 3 9 P α α α α α α α α α α α α α α α α − + + + + = = = = = + + + − + Chọn B. Câu 30. Cho biết cot 5. α= Giá trị của 2 2 cos 5sin cos 1 P α α α = + + bằng bao nhiêu ? A. 10 . 26 P = B. 100 . 26 P = C. 50 . 26 P = D. 101 . 26 P = Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 cos cos 1 2 cos 5sin cos 1 sin 2 5 sin sin sin P α α α α α α α α α = + + = + + ( ) 2 2 2 2 2 1 3cot 5cot 1 101 2 cot 5cot 1 cot . 1 cot cot 1 26 α α α α α α α + + = + + + = = + + Chọn D. Câu 31. Cho biết 3cos sin 1 α α − = , 0 0 0 90 . α < < Giá trị của tanα bằng A. 4 tan . 3 α= B. 3 tan . 4 α= C. 4 tan . 5 α= D. 5 tan . 4 α= Lời giải. Ta có ( ) 2 2 3cos sin 1 3cos sin 1 9 cos sin 1 α α α α α α − = ⇔ = + → = + ( ) 2 2 2 2 9 cos sin 2 sin 1 9 1 sin sin 2 sin 1 α α α α α α ⇔ = + + ⇔ − = + + 2 sin 1 10 sin 2 sin 8 0 . 4 sin 5 α α α α =− ⇔ + − = ⇔ = • sin 1 α=− : không thỏa mãn vì 0 0 0 90 . α < < • 4 3 sin 4 sin cos tan . 5 5 cos 3 α α α α α = ⇒ = → = = Chọn A. Câu 32. Cho biết 2 cos 2 sin 2 α α + = , 0 0 0 90 . α < < Tính giá trị của cot . α A. 5 cot . 4 α= B. 3 cot . 4 α= C. 2 cot . 4 α= D. 2 cot . 2 α= Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 2 cos α α α α α α + = ⇔ = − → = − ( ) 2 2 2 2 2 2 sin 4 8cos 4 cos 2 1 cos 4 8cos 4 cos cos 1 6 cos 8cos 2 0 . 1 cos 3 α α α α α α α α α α ⇔ = − + ⇔ − = − + = ⇔ − + = ⇔ = • cos 1 α= : không thỏa mãn vì 0 0 0 90 . α < < • 1 2 2 cos 2 cos sin cot . 3 3 sin 4 α α α α α = ⇒ = → = = Chọn C. Câu 33. Cho biết sin cos . a α α + = Tính giá trị của sin cos . α α A. 2 sin cos . a α α= B. sin cos 2 . a α α= C. 2 1 sin cos . 2 a α α − = D. 2 11 sin cos . 2 a α α − = Lời giải. Ta có ( ) 2 2 sin cos sin cos a a α α α α + = → + = 2 2 1 1 2 sin cos sin cos . 2 a a α α α α − ⇔ + = ⇔ = Chọn C. Câu 34. Cho biết 1 cos sin . 3 α α + = Giá trị của 2 2 tan cot P α α = + bằng bao nhiêu ? A. 5 . 4 P = B. 7 . 4 P = C. 9 . 4 P = D. 11 . 4 P = Lời giải. Ta có ( ) 2 1 1 cos sin cos sin 3 9 α α α α + = → + = 1 4 1 2 sin cos sin cos . 9 9 α α α α ⇔ + = ⇔ =− Ta có ( ) 2 2 2 2 sin cos tan cot tan cot 2 tan cot 2 cos sin P α α α α α α α α α α = + = + − = + − 2 2 2 2 2 sin cos 1 9 7 2 2 2 . sin cos sin cos 4 4 α α α α α α + = − = − = − − = Chọn B. Câu 35. Cho biết 1 sin cos . 5 α α − = Giá trị của 4 4 sin cos P α α = + bằng bao nhiêu ? A. 15 . 5 P = B. 17 . 5 P = C. 19 . 5 P = D. 21 . 5 P = Lời giải. Ta có ( ) 2 1 1 sin cos sin cos 5 5 α α α α − = → − = E C B A 1 2 1 2 sin cos sin cos . 5 5 α α α α ⇔ − = ⇔ = Ta có ( ) 2 4 4 2 2 2 2 sin cos sin cos 2 sin cos P α α α α α α = + = + − ( ) 2 17 1 2 sin cos . 5 α α = − = Chọn B. Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều . MNP Góc nào sau đây bằng O 120 ? A. ( ) , MN NP B. ( ) , . MO ON C. ( ) , . MN OP D. ( ) , . MN MP Lời giải. • Vẽ NE MN = . Khi đó ( ) ( ) , , MN NP NE NP = 0 0 0 0 180 180 60 120 . PNE MNP = = − = − = Chọn A. • Vẽ OF MO = . Khi đó ( ) ( ) 0 , , 60 . MO ON OF ON NOF = = = • Vì ( ) 0 , 90 . MN OP MN OP ⊥ → = • Ta có ( ) 0 , 60 . MN MP NMP = = Câu 37. Cho tam giác đều . ABC Tính ( ) ( ) ( ) cos , cos , cos , . P AB BC BC CA CA AB = + + A. 3 3 . 2 P = B. 3 . 2 P = C. 3 . 2 P =− D. 3 3 . 2 P =− Lời giải. Vẽ BE AB = . Khi đó ( ) ( ) 0 , , 180 120 AB BC BE BC CBE CBA = = = − = ( ) 0 1 cos , cos120 . 2 AB BC → = =− Tương tự, ta cũng có ( ) ( ) 1 cos , cos , . 2 BC CA CA AB = =− Vậy ( ) ( ) ( ) 3 cos , cos , cos , 2 AB BC BC CA CA AB + + =− . Chọn C. Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao . AH Tính ( ) , . AH BA A. 0 30 . B. 0 60 . C. 0 120 . D. 0 150 . Lời giải. Vẽ AE BA = . Khi đó ( ) , AH AE HAE α = = (hình vẽ) 0 0 0 0 180 180 30 150 . BAH = − = − = Chọn D. Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc 0 50 . B= Hệ thức nào sau đây sai? H E C B A α F O P N E M A. ( ) 0 , 130 . AB BC = B. ( ) 0 , 40 . BC AC = C. ( ) 0 , 50 . AB CB = D. ( ) 0 , 40 . AC CB = Lời giải. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D. Vì ( ) 0 0 0 0 , 180 180 40 140 . AC CB ACB = − = − = Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có 2 . BC AC = Tính ( ) cos , . AC CB A. ( ) 1 cos , . 2 AC CB = B. ( ) 1 cos , . 2 AC CB =− C. ( ) 3 cos , . 2 AC CB = D. ( ) 3 cos , . 2 AC CB =− Lời giải. Xác định được ( ) 0 , 180 . AC CB ACB = − Ta có 0 1 cos 60 2 AC ACB ACB CB = = → = ( ) 0 0 , 180 120 AC CB ACB → = − = Vậy ( ) 0 1 cos , cos120 . 2 AC CB = =− Chọn B. Câu 41. Cho tam giác ABC . Tính tổng ( ) ( ) ( ) , , , . AB BC BC CA CA AB + + A. 180 . B. 360 . C. 270 . D. 120 . Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , 180 , 180 , 180 AB BC ABC BC CA BCA CA AB CAB = − = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , 540 540 180 360 . AB BC BC CA CA AB ABC BCA CAB → + + = − + + = − = Chọn B. Câu 42. Cho tam giác ABC với 60 A= . Tính tổng ( ) ( ) , , . AB BC BC CA + A. 120 . B. 360 . C. 270 . D. 240 . Lời giải. Ta có ( ) ( ) 0 0 , 180 , 180 AB BC ABC BC CA BCA = − = − ( ) ( ) ( ) 0 , , 360 AB BC BC CA ABC BCA → + = − + ( ) 0 0 0 0 0 0 360 180 360 180 60 240 . BAC = − − = − + = Chọn D. Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100 và có trực tâm . H Tính tổng ( ) ( ) ( ) , , , . HA HB HB HC HC HA + + A. 360 . B. 180 . C. 80 . D. 160 . C B A Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) , , , HA HB BHA HB HC BHC HC HA CHA = = = ( ) ( ) ( ) , , , HA HB HB HC HC HA BHA BHC CHA → + + = + + ( ) 0 0 0 2 2 180 100 160 BHC = = − = (do tứ giác HIAF nội tiếp. Chọn D. Câu 44. Cho hình vuông ABCD . Tính ( ) cos , . AC BA A. ( ) 2 cos , . 2 AC BA = B. ( ) 2 cos , . 2 AC BA =− C. ( ) cos , 0. AC BA = D. ( ) cos , 1. AC BA =− Lời giải. Vẽ AE BA = . Khi đó ( ) ( ) cos , cos , AC BA AC AE = 0 2 cos cos135 . 2 CAE = = =− Chọn B. Câu 45. Cho hình vuông ABCD tâm . O Tính tổng ( ) ( ) ( ) , , , . AB DC AD CB CO DC + + A. 0 45 . B. 0 405 . C. 0 315 . D. 0 225 . Lời giải. • Ta có , AB DC cùng hướng nên ( ) , AB DC 0 0 = . • Ta có , AD CB ngược hướng nên ( ) 0 , 180 AD CB = . • Vẽ CE DC = , khi đó ( ) ( ) 0 , , 135 . CO DC CO CE OCE = = = Vậy ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , 0 180 135 315 . AB DC AD CB CO DC + + = + + = Chọn C. F I C B H A 0 100 E D C B A E D C B A O Baøi 02 TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ 1. Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là . , ab được xác định bởi công thức sau: ( ) . . cos , . ab a b a b = Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước . 0. ab = Chú ý • Với a và b khác vectơ 0 ta có . 0 . ab a b = ⇔ ⊥ • Khi a b = tích vô hướng . aa được kí hiệu là 2 a và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ . a Ta có 2 2 0 . .cos0 . a a a a = = 2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: Với ba vectơ , , a b c bất kì và mọi số k ta có: • . . ab ba = (tính chất giao hoán); • ( ) . . a b c ab ac + = + (tính chất phân phối); • ( ) ( ) ( ) . . . ka b k ab a kb = = ; • 2 2 0, 0 0. a a a ≥ = ⇔ = Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: • ( ) 2 2 2 2 . ; a b a ab b + = + + • ( ) 2 2 2 2 . ; a b a ab b − = − + • ( )( ) 2 2 . a b a b a b + − = − 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Trên mặt phẳng tọa độ ( ) ; ; , O i j cho hai vectơ ( ) ( ) 1 2 1 2 ; , ; . a a a b b b = = Khi đó tích vô hướng . ab là: 1 1 2 2 . . ab ab a b = + Nhận xét. Hai vectơ ( ) ( ) 1 2 1 2 ; , ; a a a b b b = = đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi 1 1 2 2 0. ab a b + = 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ Độ dài của vectơ ( ) 1 2 ; a a a = được tính theo công thức: 2 2 1 2 . a a a = + b) Góc giữa hai vectơ Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu ( ) 1 2 ; a a a = và ( ) 1 2 ; b b b = đều khác 0 thì ta có ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . cos ; . . . ab a b ab a b a a b b a b + = = + + c) Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm ( ) ; A A A x y và ( ) ; B B B x y được tính theo công thức: ( ) ( ) 2 2 . B A B A AB x x y y = − + − CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. . . ab a b = . B. . 0 ab = . C. . 1 ab =− . D. . . ab a b =− . Lời giải. Ta có ( ) . . .cos , ab a b a b = . Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên ( ) ( ) 0 , 0 cos , 1 a b a b = → = . Vậy . . ab a b = . Chọn A. Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc α giữa hai vectơ a và b khi . . . ab a b =− A. 0 180 . α= B. 0 0 . α= C. 0 90 . α= D. 0 45 . α= Lời giải. Ta có ( ) . . .cos , ab a b a b = . Mà theo giả thiết . . ab a b =− , suy ra ( ) ( ) 0 cos , 1 , 180 . a b a b =− → = Chọn A. Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn 3, a = 2 b = và . 3. ab =− Xác định góc α giữa hai vectơ a và . b A. 0 30 . α= B. 0 45 . α= C. 0 60 . α= D. 0 120 . α= Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) 0 . 3 1 . . .cos , cos , , 120 . 3.2 2 . ab ab a b a b a b a b a b − = → = = =− → = Chọn D. Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn 1 a b = = và hai vectơ 2 3 5 u a b = − và v a b = + vuông góc với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ a và . b A. 0 90 . α= B. 0 180 . α= C. 0 60 . α= D. 0 45 . α= Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 2 13 . 0 3 0 3 0 5 5 5 u v uv a b a b a ab b ⊥ → = ⇔ − + = ⇔ − − = 1 1. a b ab = = → =− Suy ra ( ) ( ) 0 . cos , 1 , 180 . . ab a b a b a b = =− → = Chọn B. Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? A. 2 2 2 1 . . 2 ab a b a b = + − − B. 2 2 2 1 . . 2 ab a b a b = + − − C. 2 2 1 . . 2 ab a b a b = + − − D. 2 2 1 . . 4 ab a b a b = + − − Lời giải. Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số 1 2 và 1 4 nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D. Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 . . 4 a b a b a b a b ab ab a b a b + − − = + − − = → = + − − Chọn C. • A đúng, vì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . . . . . 2 . a b a b a b aa ab ba bb a b a b b a + = + + = + + + = + = + + 2 2 2 1 . . 2 ab a b a b → = + − − • B đúng, vì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . . . . . 2 . a b a b a b aa ab ba bb a b a b b a − = − − = − − − = + = + − 2 2 2 1 . . 2 ab a b a b → = + − − Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng . a Tính tích vô hướng . . AB AC A. 2 . 2 . AB AC a = B. 2 3 . . 2 a AB AC =− C. 2 . . 2 a AB AC =− D. 2 . . 2 a AB AC = Lời giải. Xác định được góc ( ) , AB AC là góc A nên ( ) 0 , 60 . AB AC = Do đó ( ) 2 0 . . .cos , . .cos 60 . 2 a AB AC AB AC AB AC aa = = = Chọn D. Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng . a Tính tích vô hướng . . AB BC A. 2 . . AB BC a = B. 2 3 . . 2 a AB BC = C. 2 . . 2 a AB BC =− D. 2 . . 2 a AB BC = Lời giải. Xác định được góc ( ) , AB BC là góc ngoài của góc B nên ( ) 0 , 120 . AB BC = Do đó ( ) 2 0 . . .cos , . .cos120 . 2 a AB BC AB BC AB BC aa = = =− Chọn C. Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. 2 1 . . 2 AB AC a = B. 2 1 . . 2 ACCB a =− C. 2 . . 6 a GAGB = D. 2 1 . . 2 AB AG a = Lời giải. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: • Xác định được góc ( ) , AB AC là góc A nên ( ) 0 , 60 . AB AC = Do đó ( ) 2 0 . . .cos , . .cos 60 2 a AB AC AB AC AB AC aa = = = → A đúng. • Xác định được góc ( ) , AC CB là góc ngoài của góc C nên ( ) 0 , 120 . AC CB = Do đó ( ) 2 0 . . .cos , . .cos120 2 a ACCB ACCB AC CB aa = = =− → B đúng. • Xác định được góc ( ) , GA GB là góc AGB nên ( ) 0 , 120 . GA GB = Do đó ( ) 2 0 . . .cos , . .cos120 6 3 3 a a a GAGB GAGB GA GB = = =− → C sai. Chọn C. • Xác định được góc ( ) , AB AG là góc GAB nên ( ) 0 , 30 . AB AG = Do đó ( ) 2 0 . . .cos , . .cos30 2 3 a a AB AG AB AG AB AG a = = = → D đúng. Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. . 0. AH BC = B. ( ) 0 , 150 . AB HA = C. 2 . . 2 a AB AC = D. 2 . . 2 a ACCB = Lời giải. Xác định được góc ( ) , AC CB là góc ngoài tại đỉnh C nên ( ) 0 , 120 . AC CB = Do đó ( ) 2 0 . . .cos , . .cos120 . 2 a ACCB ACCB AC CB aa = = =− Chọn D. Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có . AB AC a = = Tính . . AB BC A. 2 . . AB BC a =− B. 2 . . AB BC a = C. 2 2 . . 2 a AB BC =− D. 2 2 . . 2 a AB BC = Lời giải. Xác định được góc ( ) , AB BC là góc ngoài của góc B nên ( ) 0 , 135 . AB BC = Do đó ( ) 0 2 . . .cos , . 2.cos135 . AB BC AB BC AB BC aa a = = =− Chọn A. Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có , . AB c AC b = = Tính . . BABC A. 2 . . BABC b = B. 2 . . BABC c = C. 2 2 . . BABC b c = + D. 2 2 . . BABC b c = − Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 2 2 . . .cos , . .cos . . . c BABC BABC BA BC BABC B c b c c b c = = = + = + Chọn B. Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB AC ⊥ . 0. AB AC ⇒ = Ta có ( ) 2 2 2 . . . . BABC BA BA AC BA BAAC AB c = + = + = = Chọn B. Câu 12. Cho ba điểm , , A B C thỏa 2cm, 3cm, 5cm. AB BC CA = = = Tính . . CACB A. . 13. CACB = B. . 15. CACB = C. . 17. CACB = D. . 19. CACB = Lời giải. Ta có AB BC CA + = ⇒ ba điểm , , A B C thẳng hàng và B nằm giữa , . A C Khi đó ( ) 0 . . .cos , 3.5.cos 0 15. CACB CACB CA CB = = = Chọn B. Cách khác. Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 AB AB CB CA CB CBCA CA = = − = − + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 3 5 2 15. 2 2 CBCA CB CA AB → = + − = + − = Câu 13. Cho tam giác ABC có , , . BC a CA b AB c = = = Tính ( ) . . P AB AC BC = + A. 2 2 . P b c = − B. 2 2 . 2 c b P + = C. 2 2 2 . 3 c b a P + + = D. 2 2 2 . 2 c b a P + − = Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) . . . P AB AC BC AB AC BA AC = + = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 . . AC AB AC AB AC AB AC AB b c = + − = − = − = − Chọn A. Câu 14. Cho tam giác ABC có , , . BC a CA b AB c = = = Gọi M là trung điểm cạnh . BC Tính . . AM BC A. 2 2 . . 2 b c AM BC − = B. 2 2 . . 2 c b AM BC + = C. 2 2 2 . . 3 c b a AM BC + + = D. 2 2 2 . . 2 c b a AM BC + − = Lời giải. Vì M là trung điểm của BC suy ra 2 . AB AC AM + = Khi đó ( ) ( ) ( ) 1 1 . . . 2 2 AM BC AB AC BC AB AC BA AC = + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . . 2 2 2 2 b c AC AB AC AB AC AB AC AB − = + − = − = − = Chọn A. Câu 15. Cho ba điểm , , O A B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng ( ) . 0 OA OB AB + = là A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại . O C. tam giác OAB vuông tại . O D. tam giác OAB vuông cân tại . O Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) . 0 . 0 OA OB AB OA OB OB OA + = ⇔ + − = 2 2 2 2 0 0 . OB OA OB OA OB OA ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = Chọn B. Câu 16. Cho , , , M N P Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai? A. ( ) . . MN NP PQ MN NP MN PQ + = + . B. . . MP MN MN MP =− . C. . . MN PQ PQ MN = . D. ( )( ) 2 2 MN PQ MN PQ MN PQ − + = − . Lời giải. Đáp án A đúng theo tính chất phân phối. Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng . . MP MN MN MP = . Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán. Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh . a Tính . . AB AC A. 2 . . AB AC a = B. 2 . 2. AB AC a = C. 2 2 . . 2 AB AC a = D. 2 1 . . 2 AB AC a = Lời giải. Ta có ( ) 0 , 45 AB AC BAC = = nên 0 2 2 . . .cos 45 . 2. . 2 AB AC AB AC aa a = = = Chọn A. Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính ( ) . . P AC CD CA = + A. 1. P =− B. 2 3 . P a = C. 2 3 . P a =− D. 2 2 . P a = Lời giải. Từ giả thiết suy ra 2. AC a = Ta có ( ) 2 . . . . P AC CD CA ACCD ACCA CACD AC = + = + =− − ( ) ( ) 2 2 0 2 . cos , 2. .cos 45 2 3 . CACD CA CD AC a a a a =− − =− − =− Chọn C. Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh . a Tính ( ) ( ) . . P AB AC BC BD BA = + + + A. 2 2 . P a = B. 2 2 . P a = C. 2 . P a = D. 2 2 . P a =− Lời giải. Ta có ( ) 2 . 2 BD a BC BD BA BC BA BD BD BD BD = + + = + + = + = Khi đó ( ) .2 2 . 2 . 2 . 0 P AB AC BD AB BD AC BD BABD = + = + =− + ( ) 2 2 2. . cos , 2. . 2. 2 . 2 BABD BA BD aa a =− =− =− Chọn D. Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua . C Tính . . AE AB A. 2 . 2 . AE AB a = B. 2 . 3 . AE AB a = C. 2 . 5 . AE AB a = D. 2 . 5 . AE AB a = Lời giải. Ta có C là trung điểm của DE nên 2 . DE a = Khi đó ( ) 0 . . . . AE AB AD DE AB AD AB DE AB = + = + ( ) 0 2 . .cos , . .cos 0 2 . DE AB DE AB DE AB a = = = Chọn A. Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho 4 AC AM = . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng . DC Tính . . MB MN A. . 4. MB MN =− B. . 0. MB MN = C. . 4. MB MN = D. . 16. MB MN = Lời giải. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ , MB MN theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. • ( ) 1 1 3 1 . 4 4 4 4 MB AB AM AB AC AB AB AD AB AD = − = − = − + = − • ( ) 1 1 1 4 2 4 MN AN AM AD DN AC AD DC AB AD = − = + − = + − + ( ) 1 1 3 1 . 2 4 4 4 AD AB AB AD AD AB = + − + = + E D C A B N M D C B A Suy ra ( ) 2 2 3 1 3 1 1 . 9 . 3 3 . 4 4 4 4 16 MB MN AB AD AD AB AB AD AB AD AD AB = − + = + − − ( ) 2 2 1 0 3 3 0 0 16 a a = + − − = . Chọn B. Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có 8. AB = Tính . . AB BD A. . 62. AB BD = B. . 64. AB BD = C. . 62. AB BD =− D. . 64. AB BD =− Lời giải. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ , AB BD theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. Ta có ( ) 2 . . . . . 0 64 AB BD AB BA BC AB BA AB BC AB AB AB = + = + =− + =− =− . Chọn D. Câu 23. Cho hình thoi ABCD có 8. AC = Tính . . AB AC A. . 24. AB AC = B. . 26. AB AC = C. . 28. AB AC = D. . 32. AB AC = Lời giải. Gọi O AC BD = ∩ . Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ , AB AC theo các vectơ có giá vuông góc với nhau. Ta có ( ) 2 1 1 . . . . . 0 32 2 2 AB AC AO OB AC AO AC OB AC AC AC AC = + = + = + = = . Chọn D. Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có 8cm, 12cm AB AD = = , góc ABC nhọn và diện tích bằng 2 54cm . Tính ( ) cos , . AB BC A. ( ) 2 7 cos , . 16 AB BC = B. ( ) 2 7 cos , . 16 AB BC =− C. ( ) 5 7 cos , . 16 AB BC = D. ( ) 5 7 cos , . 16 AB BC =− Lời giải. Ta có 2 2. 54 27 cm . ABCD ABC ABC S S S ∆ ∆ = = ⇔ = Diện tích tam giác ABC là 1 1 . . .sin . . .sin . 2 2 ABC S AB BC ABC AB AD ABC ∆ = = 2 2. 2.27 9 5 7 sin cos 1 sin . 8.12 16 16 ABC S ABC ABC ABC AB AD ∆ ⇒ = = = → = − = (vì ABC nhọn). Mặt khác góc giữa hai vectơ , AB BC là góc ngoài của góc ABC Suy ra ( ) ( ) 0 5 7 cos , cos 180 cos . 16 AB BC ABC ABC = − =− =− Chọn D. D B C A C B D A O K D C B A Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB a = và 2 AD a = . Gọi K là trung điểm của cạnh . AD Tính . . BK AC A. . 0. BK AC = B. 2 . 2. BK AC a =− C. 2 . 2. BK AC a = D. 2 . 2 . BK AC a = Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 3. AC BD AB AD a a a = = + = + = Ta có 1 2 BK BA AK BA AD AC AB AD = + = + = + ( ) 1 . 2 BK AC BA AD AB AD → = + + ( ) 2 2 1 1 1 . . . . 0 0 2 0. 2 2 2 BAAB BAAD AD AB AD AD a a = + + + =− + + + = Chọn A. Vấn đề 2. QUỸ TÍCH Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn ( ) 0 MA MB MC + = là A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải. Gọi I là trung điểm 2 . BC MB MC MI → + = Ta có ( ) 0 MA MB MC + = .2 0 . 0 MA MI MAMI MA MI ⇔ = ⇔ = ⇔ ⊥ . ( ) * Biểu thức ( ) * chứng tỏ MA MI ⊥ hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính . AI Chọn D. Câu 27. Tập các hợp điểm M thỏa mãn ( ) 0 MB MA MB MC + + = với , , A B C là ba đỉnh của tam giác là A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác 3 . ABC MA MB MC MG → + + = Ta có ( ) 0 .3 0 . 0 . MB MA MB MC MB MG MB MG MB MG + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⊥ ( ) * Biểu thức ( ) * chứng tỏ MB MG ⊥ hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính . BG Chọn D. Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn . 0 MABC = là A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải. Ta có . 0 . MABC MA BC = ⇔ ⊥ Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với . BC Chọn B. Câu 29*. Cho hai điểm , A B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N thỏa mãn 2 . 2 AN AB a = là A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B . Khi đó 2 . AC AB = Suy ra 2 2 . 2 2 . AB AC AB a = = Kết hợp với giả thiết, ta có . . AN AB AB AC = ( ) 0 . 0 AB AN AC ABCN CN AB ⇔ − = ⇔ = ⇔ ⊥ . Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với . AB Chọn B. Câu 30*. Cho hai điểm , A B cố định và 8. AB = Tập hợp các điểm M thỏa mãn . 16 MAMB =− là A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường tròn. Lời giải. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng . AB IA IB → =− Ta có ( )( ) ( )( ) . MAMB MI IA MI IB MI IA MI IA = + + = + − 2 2 2 2 2 2 . 4 AB MI IA MI IA MI = − = − = − Theo giả thiết, ta có 2 2 2 2 2 8 16 16 16 0 . 4 4 4 AB AB MI MI M I − =− ⇔ = − = − = → ≡ Chọn A. Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định ( ) ( ) ( ) ; , ; , ; A A B B C C A x y B x y C x y thì • Trung điểm I của đoạn ; . 2 2 A B A B x x y y AB I + + → • Trọng tâm ; . 3 3 A B C A B C x x x y y y G G + + + + → • Trực tâm . 0 . . 0 HABC H HBCA = → = • Tâm đường tròn ngoại tiếp 2 2 2 2 . AE BE E EA EB EC AE CE = → = = ⇔ = • Chân đường cao K hạ từ đỉnh . 0 . AK BC A BK kBC = → = • Chân đường phân giác trong góc A là điểm . . AB D DB DC AC → =− • Chu vi: P AB BC CA = + + . • Diện tích: 2 1 1 . .sin . . 1 cos 2 2 S AB AC A AB AC A = = − . • Góc ( ) : cos cos , A A AB AC = . • Tam giác ABC vuông cân tại . 0 . AB AC A AB AC = → = Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 3; 1 , 2;10 , 4;2 . A B C − − Tính tích vô hướng . . AB AC A. . 40. AB AC = B. . 40. AB AC − = C. . 26. AB AC = D. . 26. AB AC − = Lời giải. Ta có ( ) ( ) 1;11 , 7;3 AB AC = − = − . Suy ra ( ) ( ) . 1 . 7 11.3 40. AB AC = − − + = Chọn A. Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai điểm ( ) 3; 1 A − và ( ). 2;10 B Tính tích vô hướng . . AOOB A. . 4. AOOB =− B. . 0. AOOB = C. . 4. AOOB = D. . 16. AOOB = Lời giải. Ta có ( ) ( ) 3;1 , 2;10 . AO OB = − = Suy ra . 3.2 1.10 4. AOOB =− + = Chọn C. Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ 4 6 a i j = + và 3 7 . b i j = − Tính tích vô hướng . . ab A. . 30. ab =− B. . 3. ab = C. . 30. ab = D. . 43. ab = Lời giải. Từ giả thiết suy ra ( ) 4;6 a= và ( ) 3; 7 . b= − Suy ra ( ) . 4.3 6. 7 30. ab= + − =− Chọn A. Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 3;2 a= − và ( ) 1; 7 . b= − − Tìm tọa độ vectơ c biết . 9 c a= và . 20. cb=− A. ( ) 1; 3 . c = − − B. ( ) 1;3 . c = − C. ( ) 1; 3 . c = − D. ( ) 1;3 . c = Lời giải. Gọi ( ) ; . c x y = Ta có ( ) . 9 3 2 9 1 1;3 . 7 20 3 . 20 c a x y x c x y y cb = − + = =− ⇔ ⇔ → = − − − =− = =− Chọn B. Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho ba vectơ ( ) ( ) 1;2 , 4;3 a b = = và ( ) 2;3 . c = Tính ( ) . . P a b c = + A. 0. P = B. 18. P = C. 20. P = D. 28. P = Lời giải. Ta có ( ) 6;6 . b c + = Suy ra ( ) . 1.6 2.6 18. P a b c = + = + = Chọn B. Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 1;1 a= − và ( ) 2;0 b= . Tính cosin của góc giữa hai vectơ a và . b A. ( ) 1 cos , . 2 a b = B. ( ) 2 cos , . 2 a b =− C. ( ) 1 cos , . 2 2 a b =− D. ( ) 1 cos , . 2 a b = Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 . 1.2 1.0 2 cos , . 2 . 1 1 . 2 0 ab a b a b − + = = =− − + + Chọn B. Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 2; 1 a= − − và ( ) 4; 3 b= − . Tính cosin của góc giữa hai vectơ a và . b A. ( ) 5 cos , . 5 a b =− B. ( ) 2 5 cos , . 5 a b = C. ( ) 3 cos , . 2 a b = D. ( ) 1 cos , . 2 a b = Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) 2.4 1 . 3 . 5 cos , . 5 4 1. 16 9 . ab a b a b − + − − = = =− + + Chọn A. Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 4;3 a= và ( ) 1;7 b= . Tính góc α giữa hai vectơ a và . b A. O 90 . α= B. O 60 . α= C. O 45 . α= D. O 30 . α= Lời giải. Ta có ( ) ( ) 0 . 4.1 3.7 2 cos , , 45 . 2 16 9. 1 49 . ab a b a b a b + = = = → = + + Chọn C. Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 1;2 x = và ( ) 3; 1 y = − − . Tính góc α giữa hai vectơ x và . y A. O 45 . α= B. O 60 . α= C. O 90 . α= D. O 135 . α= Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1. 3 2. 1 . 2 cos , , 135 . 2 1 4. 9 1 . x y x y x y x y − + − = = =− → = + + Chọn D. Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 2;5 a= và ( ) 3; 7 b= − . Tính góc α giữa hai vectơ a và . b A. O 30 . α= B. O 45 . α= C. O 60 . α= D. O 135 . α= Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) 0 2.3 5 7 . 2 cos , , 135 . 2 4 25. 9 49 . ab a b a b a b + − = = =− → = + + Chọn D. Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho vectơ ( ) 9;3 a= . Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ a ? A. ( ) 1 1; 3 . v = − B. ( ) 2 2; 6 . v = − C. ( ) 3 1;3 . v = D. ( ) 4 1;3 . v = − Lời giải. Kiểm tra tích vô hướng . av , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận vectơ đó không vuông góc với . a Chọn C. Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho ba điểm ( ) ( ) 1;2 , 1;1 A B − và ( ) 5; 1 C − . Tính cosin của góc giữa hai vectơ AB và . AC A. ( ) 1 cos , . 2 AB AC =− B. ( ) 3 cos , . 2 AB AC = C. ( ) 2 cos , . 5 AB AC =− D. ( ) 5 cos , . 5 AB AC =− Lời giải. Ta có ( ) 2; 1 AB = − − và ( ) 4; 3 AC = − . Suy ra ( ) ( ) ( ) 2.4 1 . 3 . 5 cos , . 5 4 1. 16 9 . AB AC AB AC AB AC − + − − = = =− + + Chọn D. Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 6;0 , 3;1 A B và ( ) 1; 1 C − − . Tính số đo góc B của tam giác đã cho. A. O 15 . B. O 60 . C. O 120 . D. O 135 . Lời giải. Ta có ( ) 3; 1 BA= − và ( ) 4; 2 BC = − − . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O 3. 4 1 . 2 . 2 cos , , 135 . 2 9 1. 16 4 . BABC BA BC B BA BC BA BC − + − − = = =− → = = + + Chọn D. Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) 8;0 , 0;4 , 2;0 A B C − và ( ) 3; 5 . D − − Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hai góc BAD và BCD phụ nhau. B. Góc BCD là góc nhọn. C. ( ) ( ) cos , cos , . AB AD CB CD = D. Hai góc BAD và BCD bù nhau. Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 8;4 , 5; 5 , 2;4 , 5;5 . AB AD CB CD = = − = − = − Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8.5 4. 5 1 cos , 10 8 4 . 5 5 2 . 5 4. 5 1 cos , 10 2 4 . 5 5 AB AD CB CD + − = = + + − − + − = =− + + ( ) ( ) 0 cos , cos , 0 180 . AB AD CB CD BAD BCD → + = ⇒ + = Chọn D. Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ 1 5 2 u i j = − và 4 . v ki j = − Tìm k để vectơ u vuông góc với . v A. 20. k = B. 20. k =− C. 40. k =− D. 40. k = Lời giải. Từ giả thiết suy ra ( ) 1 ; 5 , ; 4 . 2 u v k = − = − Yêu cầu bài toán: ( )( ) 1 5 4 0 40 2 u v k k ⊥ ⇔ + − − = ⇔ =− . Chọn C. Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ 1 5 2 u i j = − và 4 . v ki j = − Tìm k để vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau. A. 37 . 4 k = B. 37 . 2 k = C. 37 . 2 k =± D. 5 . 8 k = Lời giải. Từ giả thiết suy ra ( ) 1 ; 5 , ; 4 . 2 u v k = − = − Suy ra 1 1 25 101 4 2 u = + = và 2 16 v k = + . Do đó để 2 2 2 1 101 37 37 16 101 16 . 2 4 4 2 u v k k k k = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =± Chọn C. Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho ba vectơ ( ) ( ) 2;3 , 4;1 a b = − = và c ka mb = + với , . k m∈ℝ Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ ( ) a b + . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 2 . k m = B. 3 2 . k m = C. 2 3 0. k m + = D. 3 2 0. k m + = Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2 4 ;3 . 2;4 c ka mb k m k m a b = + = − + + + = Để ( ) ( ) 0 c a b c a b ⊥ + ⇔ + = ( ) ( ) 2 2 4 4 3 0 2 3 0. k m k m k m ⇔ − + + + = ⇔ + = Chọn C. Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 2;3 a= − và ( ) 4;1 b= . Tìm vectơ d biết . 4 ad = và . 2 bd =− . A. 5 6 ; . 7 7 d = B. 5 6 ; . 7 7 d = − C. 5 6 ; . 7 7 d = − D. 5 6 ; . 7 7 d = − − Lời giải. Gọi ( ) ; d x y = . Từ giả thiết, ta có hệ 5 2 3 4 7 . 4 2 6 7 x x y x y y =− − + = ⇔ + =− = Chọn B. Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho ba vectơ ( ) ( ) 4;1 , 1;4 u v = = và . a u mv = + với . m∈ℝ Tìm m để a vuông góc với trục hoành. A. 4. m= B. 4. m=− C. 2. m=− D. 2. m= Lời giải. Ta có ( ) . 4 ;1 4 . a u mv m m = + = + + Trục hoành có vectơ đơn vị là ( ) 1;0 . i = Vectơ a vuông góc với trục hoành . 0 4 0 4. ai m m ⇔ = ⇔ + = ⇔ =− Chọn B. Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 4;1 u= và ( ) 1;4 . v = Tìm m để vectơ . a mu v = + tạo với vectơ b i j = + một góc 0 45 . A. 4. m= B. 1 . 2 m=− C. 1 . 4 m=− D. 1 . 2 m= Lời giải. Ta có ( ) ( ) . 4 1; 4 . 1;1 a mu v m m b i j = + = + + = + = Yêu cầu bài toán ( ) 0 2 cos , cos 45 2 a b ⇔ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 1 4 5 1 2 2 2 2 2 17 16 17 2 4 1 4 m m m m m m m + + + + ⇔ = ⇔ = + + + + + ( ) 2 2 2 1 0 1 5 1 17 16 17 . 25 50 25 17 16 17 4 m m m m m m m m m + ≥ ⇔ + = + + ⇔ ⇔ =− + + = + + Chọn C. Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DYI Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy tính khoảng cách giữa hai điểm ( ) 1; 2 M − và ( ) 3;4 . N − A. 4. MN = B. 6. MN = C. 3 6. MN = D. 2 13. MN = Lời giải. Ta có ( ) 4;6 MN = − suy ra ( ) 2 2 4 6 52 2 13. MN = − + = = Chọn D. Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 1;4 , 3;2 , 5;4 A B C . Tính chu vi P của tam giác đã cho. A. 4 2 2. P = + B. 4 4 2. P = + C. 8 8 2. P = + D. 2 2 2. P = + Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2; 2 2;2 2 2 2 2 4;0 4 0 4 AB AB BC BC CA CA = + − = = − = ⇒ = + = = − = − + = Vậy chu vi P của tam giác ABC là 4 4 2. P AB BC CA = + + = + Chọn B. Câu 53. Trong hệ tọa độ ( ) ; ; O i j , cho vectơ 3 4 5 5 a i j =− − . Độ dài của vectơ a bằng A. 1 . 5 B. 1. C. 6 . 5 D. 7 . 5 Lời giải. Ta có 2 2 3 4 3 4 3 4 ; 1. 5 5 5 5 5 5 a i j a a =− − → = − − ⇒ = − + − = Chọn B. Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai vectơ ( ) 3;4 u = và ( ) 8;6 v = − . Khẳng định nào sau đây đúng? A. . u v = B. u và v cùng phương. C. u vuông góc với v . D. . u v =− Lời giải. Ta có ( ) . 3. 8 4.6 0 uv = − + = suy ra u vuông góc với v . Chọn C. Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho các điểm ( ) ( ) ( ) 1;2 , 2; 4 , 0;1 A B C − − và 3 1; 2 D − . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. AB cùng phương với . CD B. . AB CD = C. . AB CD ⊥ D. . AB CD = Lời giải. Ta có ( ) 3; 6 AB = − − và 1 1; 2 CD = − suy ra ( ) ( ) ( ) 1 . 3 . 1 6 . 0. 2 ABCD = − − + − = Vậy AB vuông góc với . CD Chọn C. Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) 7; 3 , 8;4 , 1;5 A B C − và ( ) 0; 2 D − . Khẳng định nào sau đây đúng? A. . AC CB ⊥ B. Tam giác ABC đều. C. Tứ giác ABCD là hình vuông. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn. Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1;7 1 7 5 2 7;1 5 2 5 2. 1; 7 5 2 7; 1 5 2 AB AB BC BC AB BC CD DA CD CD DA DA = ⇒ = + = = − ⇒ = → = = = = = − − ⇒ = = − ⇒ = Lại có ( ) . 1 7 7.1 0 AB BC = − + = nên AB BC ⊥ . Từ đó suy ra ABCD là hình vuông. Chọn C. Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) 1;1 , 0;2 , 3;1 A B C − và ( ) 0; 2 . D − Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Tứ giác ABCD là hình thoi. C. Tứ giác ABCD là hình thang cân. D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn. Lời giải. Ta có ( ) ( ) 1;1 3 3;3 AB DC AB DC = → = = . Suy ra DC AB và 3 . DC AB = ( ) 1 Mặt khác 2 2 2 2 1 3 10 . 3 1 10 AD AD BC BC = + = → = = + = ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 , suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân. Chọn C. Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 1;1 , 1;3 A B − và ( ) 1; 1 C − . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn. C. Tam giác ABC cân tại B . D. Tam giác ABC vuông cân tại A . Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2;2 , 0; 4 AB BC = = − và ( ) 2; 2 . AC = − Suy ra 2 2 2 2 2 . AB AC AB AC BC = = + = Vậy tam giác ABC vuông cân tại . A Chọn D. Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 10;5 , 3;2 A B và ( ) 6; 5 C − . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông cân tại B . D. Tam giác ABC có góc A tù. Lời giải. Ta có ( ) ( ) 7; 3 , 3; 7 AB BC = − − = − và ( ) 4; 10 . AC = − − Suy ra ( ) ( ) ( ) . 7 .3 3 . 7 0 AB BC = − + − − = và . AB BC = Vậy tam giác ABC vuông cân tại . B Chọn C. Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 2; 1 , 1; 1 A B − − − và ( ) 2;2 C − . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC vuông cân tại A . C. Tam giác ABC vuông tại B . D. Tam giác ABC vuông cân tại C . Lời giải. Ta có ( ) ( ) 3;0 , 3;3 AB BC = = − và ( ) 0;3 . AC = Do đó 2 2 2 3 . 3 2 AB AC AB AC BC BC = = ⇒ + = = Vậy tam giác ABC vuông cân tại . A Chọn B. Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai điểm ( ) 2;4 A − và ( ). 8;4 B Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại . C A. ( ). 6;0 C B. ( ), 0;0 C ( ). 6;0 C C. ( ). 0;0 C D. ( ) 1;0 . C − Lời giải. Ta có C Ox ∈ nên ( ) ;0 C c và ( ) ( ) 2 ;4 . 8 ;4 CA c CB c = − − = − Tam giác ABC vuông tại C nên ( ) ( ) . 0 2 . 8 4.4 0 CACB c c = ⇔ − − − + = ( ) ( ) 2 6; 6 6 0 . 0 0;0 0 c C c c c C = → ⇔ − = ⇔ = → Chọn B. Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai điểm ( ) 1;2 A và ( ) 3;1 . B − Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại . A A. ( ). 0;6 C B. ( ). 5;0 C C. ( ). 3;1 C D. ( ) 0; 6 . C − Lời giải. Ta có C Oy ∈ nên ( ) 0; C c và ( ) ( ) 4; 1 . 1; 2 AB AC c = − − = − − Tam giác ABC vuông tạiA nên ( ) ( ) ( )( ) . 0 4 . 1 1 2 0 6. AB AC c c = ⇔ − − + − − = ⇔ = Vậy ( ) 0;6 C . Chọn A. Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho ba điểm ( ) ( ) –4;0 , –5;0 A B và ( ). 3;0 C Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho 0. MA MB MC + + = A. ( ). –2;0 M B. ( ). 2;0 M C. ( ). –4;0 M D. ( ). –5;0 M Lời giải. Ta có M Ox ∈ nên ( ) ;0 M x và ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ;0 5 ;0 6 3 ;0 . 3 ;0 MA x MB x MA MB MC x MC x = − − = − − → + + = − − = − Do 0 MA MB MC + + = nên ( ) 6 3 0 2 2;0 . x x M − − = ⇔ =− → − Chọn A. Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai điểm ( ) –2;2 M và ( ). 1;1 N Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm , , M N P thẳng hàng. A. ( ). 0;4 P B. ( ). 0;–4 P C. ( ). –4;0 P D. ( ). 4;0 P Lời giải. Ta có P Ox ∈ nên ( ) ;0 P x và ( ) ( ) 2; 2 . 3; 1 MP x MN = + − = − Do , , M N P thẳng hàng nên ( ) 2 2 4 4;0 . 3 1 x x P + − = ⇔ = → − Chọn D. Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm ( ) 1;4 N − bằng 2 5. A. ( ) 1;0 . M B. ( ) ( ) 1;0 , 3;0 . M M − C. ( ) 3;0 . M D. ( ) ( ) 1;0 , 3;0 . M M Lời giải. Ta có M Ox ∈ nên ( ) ;0 M m và ( ) 1 ;4 . MN m = − − Theo giả thiết: ( ) 2 2 2 5 2 5 1 4 2 5 MN MN m = ⇔ = ⇔ − − + = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1;0 1 16 20 2 3 0 . 3 3;0 m M m m m m M = → ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ =− → − Chọn B. Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai điểm ( ) 1;3 A và ( ) 4;2 . B Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và . B A. 5 ;0 . 3 C − B. 5 ;0 . 3 C C. 3 ;0 . 5 C − D. 3 ;0 . 5 C Lời giải. Ta có C Ox ∈ nên ( ) ;0 C x và ( ) ( ) 1; 3 . 4; 2 AC x BC x = − − = − − Do ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 1 3 4 2 ;0 3 3 CA CB CA CB x x x C = ⇔ = ⇔ − + − = − + − ⇔ = → . Chọn B. Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai điểm ( ) ( ) 2;2 , 5; 2 . A B − Tìm điểm M thuộc trục hoàng sao cho 0 90 ? AMB = A. ( ) 0;1 . M B. ( ) 6;0 . M C. ( ) 1;6 . M D. ( ) 0;6 . M Lời giải. Ta có M Ox ∈ nên ( ) ;0 M m và ( ) ( ) 2; 2 . 5;2 AM m BM m = − − = − Vì 0 90 AMB = suy ra . 0 AM BM = nên ( )( ) ( ) 2 5 2 .2 0. m m − − + − = ( ) ( ) 2 1;0 1 7 6 0 . 6 6;0 M m m m m M = ⇔ − + = ⇔ → = Chọn B. Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai điểm ( ) 1; 1 A − và ( ) 3;2 . B Tìm M thuộc trục tung sao cho 2 2 MA MB + nhỏ nhất. A. ( ) 0;1 . M B. ( ) 0; 1 . M − C. 1 0; . 2 M D. 1 0; . 2 M − Lời giải. Ta có M Oy ∈ nên ( ) 0; M m và ( ) ( ) 1; 1 . 3;2 MA m MB m = − − = − Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 15. MA MB MA MB m m m m + = + = + − − + + − = − + 2 1 29 29 2 ; . 2 2 2 m m = − + ≥ ∀ ∈ ℝ Suy ra { } 2 2 min 29 . 2 MA MB + = Dấu '' '' = xảy ra khi và chỉ khi 1 1 0; . 2 2 m M = → Chọn C. Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hình bình hành ABCD biết ( ) 2;0 , A − ( ) 2;5 , B ( ) 6;2 . C Tìm tọa độ điểm . D A. ( ) 2; 3 . D − B. ( ) 2;3 . D C. ( ) 2; 3 . D − − D. ( ) 2;3 . D − Lời giải. Gọi ( ) ; . D x y Ta có ( ) 2; AD x y = + và ( ) 4; 3 BC = − . Vì ABCD là hình bình hành nên ( ) 2 4 2 2; 3 . 3 3 x x AD BC D y y + = = = → ⇔ → − =− =− Chọn A. Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 1;3 , 2;4 , 5;3 . A B C − Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho. A. 10 2; . 3 G B. 8 10 ; . 3 3 G − C. ( ) 2;5 . G D. 4 10 ; . 3 3 G Lời giải. Tọa độ trọng tâm ( ) ; G G G x y là 1 2 5 4 3 3 . 3 4 3 10 3 3 G G x y − + = = + + = = Chọn D. Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 4;1 , 2;4 , A B − ( ) 2; 2 . C − Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho. A. 1 ;1 . 4 I B. 1 ;1 . 4 I − C. 1 1; . 4 I D. 1 1; . 4 I − Lời giải. Gọi ( ) ; I x y . Ta có ( ) ( ) ( ) 4; 1 2; 4 . 2; 2 AI x y BI x y CI x y = + − = − − = − + Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên 2 2 2 2 IA IB IA IB IC IB IC = = = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 2 4 4 2 9 4 1 2 4 2 2 1 x y x y x x x y x y x y y + + − = − + − =− + = − + ⇔ ⇔ ⇔ = − + − = − + + = . Chọn B. Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 3;0 , 3;0 A B − và ( ) 2;6 . C Gọi ( ) ; H a b là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính 6 . a b + A. 6 5. a b + = B. 6 6. a b + = C. 6 7. a b + = D. 6 8. a b + = Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3; & 1;6 . 3; & 5;6 AH a b BC BH a b AC = + = − = − = Từ giả thiết, ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 . 1 .6 0 . 0 6 7. 5 3 .5 .6 0 . 0 6 a a b AH BC a b a b b BH AC = + − + = = ⇔ ⇔ → + = − + = = = Chọn C. Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 4;3 , 2;7 A B và ( ) 3; 8 . C − − Tìm toạ độ chân đường cao ' A kẻ từ đỉnh A xuống cạnh . BC A. ( ) ' 1; 4 . A − B. ( ) ' 1;4 . A − C. ( ) ' 1;4 . A D. ( ) ' 4;1 . A Lời giải. Gọi ( ) ' ; A x y . Ta có ( ) ( ) ( ) ' 4; 3 5; 15 . ' 2; 7 AA x y BC BA x y = − − = − − = − − Từ giả thiết, ta có ( ) ( ) '. 0 1 ' , ', thang hang ' . 2 AA BC AA BC B A C BA kBC = ⊥ ⇔ = • ( ) ( ) ( ) 1 5 4 15 3 0 3 13. x y x y ⇔− − − − = ⇔ + = • ( ) 2 7 2 3 1. 5 15 x y x y − − ⇔ = ⇔ − =− − − Giải hệ ( ) 3 13 1 ' 1;4 . 3 1 4 x y x A x y y + = = ⇔ → − =− = Chọn C. Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có ( ) ( ) 2;4 , 3;1 , A B − ( ) 3; 1 . C − Tìm tọa độ chân đường cao ' A vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho. A. 3 1 ' ; . 5 5 A B. 3 1 ' ; . 5 5 A − − C. 3 1 ' ; . 5 5 A − D. 3 1 ' ; . 5 5 A − Lời giải. Gọi ( ) ' ; . A x y Ta có ( ) ( ) ( ) ' 2; 4 6; 2 . ' 3; 1 AA x y BC BA x y = − − = − = + − Vì ' A là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên ' , , ' thang hang AA BC B C A ⊥ ( ) ( ) ( ) 3 2 .6 4 . 2 0 '. 0 6 2 4 5 . 3 1 2 6 0 1 ' 6 2 5 x y x AA BC x y x y x y BA kBC y − + − − = = = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + − − − = = = =− − Chọn D. Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm ( ) ( ) 3; 2 , 3;6 A B − − và ( ) 11;0 . C Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông. A. ( ) 5; 8 . D − B. ( ) 8;5 . D C. ( ) 5;8 . D − D. ( ) 8;5 . D − Lời giải. Dễ dàng kiểm tra 0 . 0 90 . BABC ABC = → = Gọi I là tâm của hình vuông . ABCD Suy ra I là trung điểm của ( ) 4; 1 . AC I → − Gọi ( ) ; D x y , do I cũng là trung điểm của ( ) 3 4 5 2 5; 8 . 6 8 1 2 x x BD D y y + = = → ⇔ ⇒ − + =− =− Chọn A. Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hai điểm ( ) 2;4 A và ( ) 1;1 . B Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại . B A. ( ) 4;0 . C B. ( ) 2;2 . C − C. ( ) ( ) 4;0 , 2;2 . C C − D. ( ) 2;0 . C Lời giải. Gọi ( ) ; C x y . Ta có ( ) ( ) 1;3 . 1; 1 BA BC x y = = − − Tam giác ABC vuông cân tại B . 0 BABC BA BC = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1. 1 3. 1 0 4 3 0 2 hay . 10 20 0 4 2 1 3 1 1 x y x y y y y y x x x y − + − = = − = = ⇔ ⇔ ⇔ − = = =− + = − + − Chọn C. Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho hình vuông ABCD có ( ) 1; 1 A − và ( ) 3;0 . B Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm. A. ( ) 0; 1 . D − B. ( ) 2; 3 . D − C. ( ) ( ) 2; 3 , 0;1 . D D − D. ( ) 2; 3 . D − − Lời giải. Gọi C ( ) ; . x y = Ta có ( ) ( ) 2;1 . 3; AB BC x y = = − Vì ABCD là hình vuông nên ta có AB BC AB BC ⊥ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1. 0 2 3 2 3 4 2 3 5 5 3 5 3 1 x y y x y x x y x y x x − + = = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =− − + = − = − = hoặc 2 2 x y = = . Với ( ) 1 4; 2 C − ta tính được đỉnh ( ) 1 2; 3 D − : thỏa mãn. Với ( ) 2 2;2 C ta tính được đỉnh ( ) 2 0;1 D : không thỏa mãn. Chọn B. Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) 1;2 , 1;3 , 2; 1 A B C − − − và ( ) 0; 2 . D − Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ABCD là hình vuông. B. ABCD là hình chữ nhật. C. ABCD là hình thoi. D. ABCD là hình bình hành. Lời giải. Ta có ( ) ( ) ( ) 2;1 1; 4 . 2 0 2;1 AB AB DC BC ABCD AB BC DC = − = = − − → → =− ≠ = − là hình hình hành. Chọn D. Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác OAB với ( ) 1;3 A và ( ) 4;2 B . Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác . OAB A. 5 5 ; . 2 2 E = B. 3 1 ; . 2 2 E = − C. ( ) 2 3 2;4 2 . E = − + + D. ( ) 2 3 2;4 2 . E = − + − Lời giải. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có 2 . 2 EA OA EB OB = = Vì E nằm giữa hai điểm , A B nên 2 . 2 EA EB =− ( ) * Gọi ( ) ; E x y . Ta có ( ) ( ) 1 ;3 . 4 ;2 EA x y EB x y = − − = − − Từ ( ) * , suy ra ( ) ( ) 2 1 4 2 3 2 2 . 2 4 2 3 2 2 x x x y y y − =− − =− + ⇔ = − − =− − Chọn D. Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho ba điểm ( ) ( ) 2;0 , 0;2 A B và ( ) 0;7 . C Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân . ABCD A. ( ) 7;0 . D B. ( ) ( ) 7;0 , 2;9 . D D C. ( ) ( ) 0;7 , 9;2 . D D D. ( ) 9;2 . D Lời giải. Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần có một cặp cạnh đối song song không bằng nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Gọi ( ) ; . D x y • Trường hợp 1: AB CD CD kAB AB CD ⇔ = ≠ (với 1 k ≠− ) ( ) ( ) 2 0; 7 2 ;2 . 2 7 x k x y k k y k =− ⇔ − − = − ⇔ = + ( ) 1 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2; 2 2 25. 0;5 5 AD x y AD x y AD BC x y BC BC = − ⇒ = − + → = ⇔ − + = = ⇒ = ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 7 25 7;0 . 7 2 k k k D k =− − − + + = ⇔ → =− loaïi • Trường hợp 2: AD BC AD BC ≠ . Làm tương tự ta được ( ) 2;9 . D = Vậy ( ) 7;0 D hoặc ( ) 2;9 D . Chọn B. Baøi 03 CAÙC HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VAØ GIAÛI TAM GIAÙC 1. Định lí côsin Cho tam giác ABC có , BC a AC b = = và AB c = . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .cos ; 2 .cos ; 2 .cos . a b c bc A b c a ca B c a b ab C = + − = + − = + − Hệ quả 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ; cos ; cos . 2 2 2 b c a c a b a b c A B C bc ca ab + − + − + − = = = 2. Định lí sin Cho tam giác ABC có , BC a AC b = = , AB c = và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có 2 sin sin sin a b c R A B C = = = 3. Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có , , a b c m m m lần lượt là các trung tuyến kẻ từ , , A B C . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 4 ; 2 4 . 2 4 a b c b c a m a c b m a b c m + = − + = − + = − 4. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● , , a b c h h h là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh , , BC CA AB ; ● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; ● 2 a b c p + + = là nửa chu vi tam giác; ● S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 2 2 2 a b c S ah bh ch = = = ( )( )( ) 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 4 . bc A ca B ab C abc R pr p p a p b p c = = = = = = − − − c b a C B A a m b m c m I c b a C B A c b a C B A CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC Câu 1. Tam giác ABC có 5, 7, 8 AB BC CA = = = . Số đo góc A bằng: A. 30 . ° B. 45 . ° C. 60 . ° D. 90 . ° Lời giải. Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 2 2 2 5 8 7 1 cos 2 . 2.5.8 2 AB AC BC A AB AC + − + − = = = . Do đó, 60 A= ° . Chọn C. Câu 2. Tam giác ABC có 2, 1 AB AC = = và 60 A= ° . Tính độ dài cạnh BC . A. 1. BC= B. 2. BC= C. 2. BC= D. 3. BC= Lời giải. Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 1 2.2.1.cos 60 3 3 BC AB AC AB AC A BC = + − = + − °= ⇒ = . Chọn D. Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh 9 AB= và 60 ACB= ° . Tính độ dài cạnh cạnh BC . A. 3 3 6. BC= + B. 3 6 3. BC= − C. 3 7. BC= D. 3 3 33 . 2 BC + = Lời giải. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AB BC . MN → là đường trung bình của ABC ∆ . 1 2 MN AC → = . Mà 3 MN= , suy ra 6 AC= . Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 2 2 2 2. . .cos 9 6 2.6. .cos60 3 3 6 AB AC BC AC BC ACB BC BC BC = + − ⇔ = + − ° ⇒ = + Chọn A. N M B C A Câu 4. Tam giác ABC có 2, 3 AB AC = = và 45 C= ° . Tính độ dài cạnh BC . A. 5. BC= B. 6 2 . 2 BC + = C. 6 2 . 2 BC − = D. 6. BC= Lời giải. Theo định lí hàm cosin, ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2. . .cos 2 3 2. 3. .cos 45 AB AC BC AC BC C BC BC = + − ⇒ = + − ° 6 2 2 BC + ⇒ = . Chọn B. Câu 5. Tam giác ABC có 60 , 45 B C = ° = ° và 5 AB= . Tính độ dài cạnh AC . A. 5 6 . 2 AC= B. 5 3. AC= C. 5 2. AC= D. 10. AC= Lời giải. Theo định lí hàm sin, ta có 5 5 6 sin 45 sin 60 2 sin sin AB AC AC AC C B = ⇔ = ⇒ = ° ° . Chọn A. Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1cm và có 60 BAD= ° . Tính độ dài cạnh AC . A. 3. AC= B. 2. AC= C. 2 3. AC= D. 2. AC= Lời giải. Do ABCD là hình thoi, có 60 120 BAD ABC = °⇒ = ° . Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 2 2 2. . .cos 1 1 2.1.1.cos120 3 3 AC AB BC AB BC ABC AC = + − = + − °= ⇒ = Chọn A. C A D B Câu 7. Tam giác ABC có 4, 6, 2 7 AB BC AC = = = . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho 2 MC MB = . Tính độ dài cạnh AM . A. 4 2. AM= B. 3. AM= C. 2 3. AM= D. 3 2. AM= Lời giải. Theo định lí hàm cosin, ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 4 6 2 7 1 cos 2. . 2.4.6 2 AB BC AC B AB BC + − + − = = = . Do 1 2 2 3 MC MB BM BC = → = = . Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 2 2 2. . .cos 1 4 2 2.4.2. 12 2 3 2 AM AB BM AB BM B AM = + − = + − = ⇒ = Chọn C. M B C A Câu 8. Tam giác ABC có 6 2 , 3, 2 2 AB BC CA − = = = . Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Khi đó góc ADB bằng bao nhiêu độ? A. 45 . ° B. 60 . ° C. 75 . ° D. 90 . ° Lời giải. Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 1 cos 2. . 2 120 60 AB AC BC BAC AB AC BAC BAD + − = =− ⇒ = °⇒ = ° 2 2 2 2 cos 45 2. . 2 AB BC AC ABC ABC AB BC + − = = ⇒ = ° Trong ABD ∆ có 60 , 45 75 BAD ABD ADB = ° = °⇒ = ° . Chọn C. D B C A Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A , đường cao 32 AH cm = . Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4 . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu? A. 38 . cm B. 40 . cm C. 42 . cm D. 45 . cm Lời giải. Do tam giác ABC vuông tại A , có tỉ lệ 2 cạnh góc vuông : AB AC là 3 : 4 nên AB là cạnh nhỏ nhất trong tam giác. Ta có 3 4 4 3 AB AC AB AC = ⇒ = . Trong ABC ∆ có AH là đường cao 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 9 40 4 32 16 3 AB AH AB AC AB AB AB AB ⇒ = + = + ⇔ = + ⇒ = . Chọn B. Câu 10. Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm , E F sao cho các góc , , MPE EPF FPQ bằng nhau. Đặt , , , MP q PQ m PE x PF y = = = = . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? A. . ME EF FQ = = B. 2 2 2 . ME q x xq = + − C. 2 2 2 . MF q y yq = + − D. 2 2 2 2 . MQ q m qm = + − Lời giải. F E Q P M Ta có 30 60 3 MPQ MPE EPF FPQ MPF EPQ = = = = °⇒ = = ° . Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 2 2 2 2 2. . .cos 2 .cos30 3 ME AM AE AM AE MAE q x qx q x qx = + − = + − °= + − 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 .cos60 MF AM AF AM AF MAF q y qy q y qy = + − = + − °= + − 2 2 2 2 2 MQ MP PQ q m = + = + Chọn C. Câu 11. Cho góc 30 xOy= ° . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho 1 AB= . Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: A. 3 . 2 B. 3. C. 2 2. D. 2. Lời giải. Theo định lí hàm sin, ta có .sin sin sin sin 1 .sin 2 sin sin 30 OB AB AB OB OAB OAB AOB AOB OAB OAB = ⇔ = = = ° Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi sin 1 90 OAB OAB = ⇔ = ° . Khi đó 2 OB= . Chọn D. x y O B A Câu 12. Cho góc 30 xOy= ° . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho 1 AB= . Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng: A. 3 . 2 B. 3. C. 2 2. D. 2. Lời giải. Theo định lí hàm sin, ta có .sin sin sin sin 1 .sin 2 sin sin 30 OB AB AB OB OAB OAB AOB AOB OAB OAB = ⇔ = = = ° Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi sin 1 90 OAB OAB = ⇔ = ° . Khi đó 2 OB= . x y O B A Tam giác OAB vuông tại 2 2 2 2 2 1 3 A OA OB AB ⇒ = − = − = . Chọn B Câu 13. Tam giác ABC có , , AB c BC a CA b = = = . Các cạnh , , a b c liên hệ với nhau bởi đẳng thức ( ) ( ) 2 2 2 2 b b a c a c − = − . Khi đó góc BAC bằng bao nhiêu độ? A. 30 . ° B. 45 . ° C. 60 . ° D. 90 . ° Lời giải. Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 2 2 2 cos 2. . 2 AB AC BC c b a BAC AB AC bc + − + − = = . Mà ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 3 0 b b a c a c b a b a c c a b c b c − = − ⇔ − = − ⇔− + + + = ( )( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 b c b c a bc b c a bc ⇔ + + − − = ⇔ + − − = (do 0, 0 b c > > ) 2 2 2 b c a bc ⇔ + − = Khi đó, 2 2 2 1 cos 60 2 2 b c a BAC BAC bc + − = = ⇒ = ° . Chọn C. Câu 14. Tam giác ABC vuông tại A , có , AB c AC b = = . Gọi a ℓ là độ dài đoạn phân giác trong góc BAC . Tính a ℓ theo b và c . A. 2 . a bc b c = + ℓ B. ( ) 2 . a b c bc + = ℓ C. 2 . a bc b c = + ℓ D. ( ) 2 . a b c bc + = ℓ Lời giải. D A C B Ta có 2 2 2 2 BC AB AC b c = + = + . Do AD là phân giác trong của 2 2 . . .BC AB c c c b c BAC BD DC DC AC b b c b c + ⇒ = = = = + + . Theo định lí hàm cosin, ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. . .cos 2 . .cos 45 c b c BD AB AD AB AD ABD c AD c AD b c + = + − ⇔ = + − ° + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2. 0 2. 0 c b c bc AD c AD c AD c AD b c b c + ⇒ − + − = ⇔ − + = + + . 2bc AD b c ⇒ = + hay 2 a bc b c = + ℓ . Chọn A. Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 0 60 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây? A. 61 hải lí. B. 36 hải lí. C. 21 hải lí. D. 18 hải lí. Lời giải. Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có 40, 30 AB AC = = và 0 60 . A= Áp dụng định lí côsin vào tam giác , ABC ta có 2 2 2 2 cos a b c bc A = + − 2 2 0 30 40 2.30.40.cos 60 900 1600 1200 1300. = + − = + − = Vậy 1300 36 BC= ≈ (hải lí). Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Chọn B. Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách 40m AB= , 0 45 CAB= và 0 70 CBA= . Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 53m . B. 30m . C. 41,5m . D. 41m . Lời giải. Áp dụng định lí sin vào tam giác , ABC ta có sin sin AC AB B C = Vì ( ) sin sin C α β = + nên ( ) 0 0 .sin 40.sin70 41,47 m. sin sin115 AB AC β α β = = ≈ + Chọn C. Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết 0 4m, 20m, 45 AH HB BAC = = = . Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 17,5m . B. 17m . C. 16,5m . D. 16m . Lời giải. Trong tam giác AHB , ta có 0 4 1 tan 11 19' 20 5 AH ABH ABH BH = = = → ≈ . Suy ra 0 0 90 78 41' ABC ABH = − = . Suy ra ( ) 0 0 180 56 19' ACB BAC ABC = − + = . Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC , ta được .sin 17m. sin sin sin AB CB AB BAC CB ACB BAC ACB = → = ≈ Chọn B. Câu 18. Giả sử CD h = là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm , A B trên mặt đất sao cho ba điểm , A B và C thẳng hàng. Ta đo được 24 m AB= , 0 0 63 , 48 CAD CBD = = . Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 18m . B. 18,5m . C. 60m . D. 60,5m . Lời giải. Áp dụng định lí Sin vào tam giác , ABD ta có . sin sin AD AB D β = Ta có D α β = + nên 0 0 0 63 48 15 . D α β = − = − = Do đó ( ) 0 0 .sin 24.sin 48 68,91 m. sin sin15 AB AD β α β = = ≈ − Trong tam giác vuông , ACD có .sin 61,4 m. h CD AD α = = ≈ Chọn D. Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng- ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 0 50 và 0 40 so với phương nằm ngang. Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 12m . B. 19m . C. 24m . D. 29m . Lời giải. Từ hình vẽ, suy ra 0 10 BAC= và ( ) ( ) 0 0 0 0 0 180 180 50 90 40 ABD BAD ADB = − + = − + = . Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có 0 0 .sin 5.sin 40 = 18,5 m sin10 sin sin sin BC AC BC ABC AC BAC ABC BAC = → = ≈ . Trong tam giác vuông ADC , ta có sin .sin 11.9 m. CD CAD CD AC CAD AC = → = = Vậy 11,9 7 18,9 m. CH CD DH = + = + = Chọn B. Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng 60m CD= , giả sử chiều cao của giác kế là 1m OC= . Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhình thấy đỉnh A của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc 0 60 AOB= . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây: A. 40m . B. 114m . C. 105m . D. 110m . 60° 1m 60m O C D A B Lời giải. Tam giác OAB vuông tại , B có 0 tan tan 60 . 60 3 m. AB AOB AB OB OB = ⇒ = = Vậy chiếu cao của ngọn tháp là ( ) 60 3 1 m. h AB OC = + = + Chọn C. Câu 21. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao 70m AB= , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 0 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 0 15 30' . Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 135m . B. 234m . C. 165m . D. 195m . Lời giải. Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có 0 0 60 , 105 30 CAB ABC ′ = = và 70. c= Khi đó ( ) 0 0 0 0 0 180 180 180 165 30 14 30 . A B C C A B ′ ′ + + = ⇔ = − + = − = Theo định lí sin, ta có sin sin b c B C = hay 0 0 70 sin105 30 sin14 30 b = ′ ′ Do đó 0 0 70.sin105 30 269,4 m. sin14 30 AC b ′ = = ≈ ′ Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc 0 30 nên 269,4 134,7 m. 2 2 AC CH= = = Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m. Chọn A. Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Câu 22. Tam giác ABC có 6cm, 8cm AB AC = = và 10cm BC= . Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng: A. 4cm . B. 3cm . C. 7cm . D. 5cm . Lời giải. M C B A Áp dụng công thức đường trung tuyến 2 2 2 2 2 4 a b c a m + = − ta được: 2 2 2 2 2 2 2 8 6 10 25 2 4 2 4 a AC AB BC m + + = − = − = 5. a m ⇒ = Chọn D. Câu 23. Tam giác ABC vuông tại A và có AB AC a = = . Tính độ dài đường trung tuyến BM của tam giác đã cho. A. 1,5 . BM a = B. 2. BM a = C. 3. BM a = D. 5 . 2 a BM= Lời giải. M A B C M là trung điểm của . 2 2 AC a AC AM ⇒ = = Tam giác BAM ∆ vuông tại A 2 2 2 2 5 . 4 2 a a BM AB AM a ⇒ = + = + = Chọn D. Câu 24. Tam giác ABC có 9 AB= cm, 12 AC= cm và 15 BC= cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác đã cho. A. 15 2 AM= cm. B. 10 AM= cm. C. 9 AM= cm. D. 13 2 AM= cm. Lời giải. M C B A Áp dụng hệ thức đường trung tuyến 2 2 2 2 2 4 a b c a m + = − ta được: 2 2 2 2 2 2 2 12 9 15 225 . 2 4 2 4 4 a AC AB BC m + + = − = − = 15 . 2 a m ⇒ = Chọn A. Câu 25. Tam giác ABC cân tại C , có 9cm AB= và 15 cm 2 AC= . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C . Tính độ dài cạnh . AD A. 6 AD= cm. B. 9 AD= cm. C. 12 AD= cm. D. 12 2 AD= cm. Lời giải. D B A C Ta có: D là điểm đối xứng của B qua C C ⇒ là trung điểm của . BD ⇒ AC là trung tuyến của tam giác . DAB ∆ 2 2 15. BD BC AC = = = Theo hệ thức trung tuyến ta có: 2 2 2 2 2 4 AB AD BD AC + = − 2 2 2 2 2 2 BD AD AC AB ⇒ = + − 2 AD ⇒ = 2 2 2 15 15 2. 9 144 12. 2 2 AD + − = ⇒ = Chọn C. Câu 26. Tam giác ABC có 3, 8 AB BC = = . Gọi M là trung điểm của BC . Biết 5 13 cos 26 AMB= và 3 AM> . Tính độ dài cạnh AC . A. 13 AC= . B. 7 AC= . C. 13 AC= . D. 7 AC= . Lời giải. A B C M Ta có: M là trung điểm của BC 4. 2 BC BM ⇒ = = Trong tam giác ABM ta có: 2 2 2 cos 2 . AM BM AB AMB AM BM + − = 2 2 2 2 . .cos 0. AM AM BM AMB BM AB ⇔ − + − = 2 13 3 ( / ) 20 13 7 0 7 13 13 3 ( ) 13 AM t m AM AM AM loai = > ⇔ − + = ⇔ = < 13. AM ⇒ = Ta có: AMB và AMC là hai góc kề bù. 5 13 cos cos 26 AMC AMB ⇒ =− =− Trong tam giác AMC ∆ ta có: 2 2 2 2 . .cos AC AM CM AM CM AMC = + − 5 13 13 16 2. 13.4. 49 7. 26 AC = + − − = ⇒ = Chọn D. Câu 27*. Tam giác ABC có trọng tâm G . Hai trung tuyến 6 BM= , 9 CN= và 0 120 BGC= . Tính độ dài cạnh AB . A. 11 AB= . B. 13 AB= . C. 2 11 AB= . D. 2 13 AB= . Lời giải. G N A B C M Ta có: BGC và BGN là hai góc kề bù mà 0 0 120 120 . BGC BGN = ⇒ = G là trọng tâm của tam giác ABC ∆ 2 4. 3 1 3. 3 BG BM GN CN = = ⇒ = = Trong tam giác BGN ∆ ta có: 2 2 2 2 . .cos BN GN BG GN BG BGN = + − 2 1 9 16 2.3.4. 13 13. 2 BN BN ⇒ = + − = ⇒ = N là trung điểm của 2 2 13. AB AB BN ⇒ = = Chọn D. Câu 28**. Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. 24 . B. 24 2 . C. 72 . D. 72 2 . Lời giải. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 81 2 4 292 144 208 2 4 100 225 2 4 a b c b c a m a a c b m b c a b c m + = − = = + = − = ⇔ = = + = − = 2 73 4 13 10 a b c = ⇒ = = Ta có: 2 2 2 208 100 292 1 cos 2 2.4 13.10 5 13 b c a A bc + − + − = = = 2 2 1 18 13 sin 1 cos 1 . 65 5 13 A A = − = − = Chọn C. Diện tích tam giác 1 1 18 13 : sin .4 13.10. 72 2 2 65 ABC ABC S bc A ∆ ∆ = = = Câu 29*. Cho tam giác ABC có , , AB c BC a CA b = = = . Nếu giữa , , a b c có liên hệ 2 2 2 2 b c a + = thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác tính theo a bằng: A. 3 2 a . B. 3 3 a . C. 2 3 a . D. 3 3 a . Lời giải. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác: 2 2 2 2 2 4 a b c a m + = − Mà: 2 2 2 2 b c a + = ⇒ 2 2 2 2 2 3 3 . 2 4 4 2 a a a a a a m m = − = ⇒ = Chọn A. Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có , , AB a BC b BD m = = = và AC n = . Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng: A. ( ) 2 2 2 2 3 m n a b + = + . B. ( ) 2 2 2 2 2 m n a b + = + . C. ( ) 2 2 2 2 2 m n a b + = + . D. ( ) 2 2 2 2 3 m n a b + = + . Lời giải. Gọi O là giao điểm của AC và . BD Ta có: 1 . 2 2 m BO BD = = BO là trung tuyến của tam giác ABC ∆ 2 2 2 2 2 4 BA BC AC BO + ⇒ = − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 m a b n m n a b + ⇔ = − ⇔ + = + . Chọn B. Câu 31**. Tam giác ABC có , , AB c BC a CA b = = = . Các cạnh , , a b c liên hệ với nhau bởi đẳng thức 2 2 2 5 a b c + = . Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc nào? A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác . ABC ∆ Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 AC AB BC b c a AM + + = − = − ( ) 2 2 2 2 2 2 4 9 9 9 b c a AG AM + ⇒ = = − 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 BA BC AC c a b BN + + = − = − 2 2 2 2 2 1 9 18 36 c a b GN BN + ⇒ = = − Trong tam giác AGN ∆ ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 18 36 4 cos 2. . 2 2. . 9 9 18 36 b c a c a b b AG GN AN AGN AGGN b c a c a b + + − + − − + − = = + + − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 18 36 4 2 2. . 9 9 18 36 b c a c a b b b c a c a b + + − + − − = + + − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 2 0 2 36.2. . 9 9 18 36 c a b b c a c a b − + = = + + − − 0 90 . AGN ⇒ = Chọn D. Câu 32**. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến , , a b c m m m thỏa mãn 2 2 2 5 a b c m m m = + . Khi đó tam giác này là tam giác gì? A. Tam giác cân. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông. D. Tam giác vuông cân. Lời giải. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b c b c a m a c b m a b c m + = − + = − + = − Mà: 2 2 2 5 a b c m m m = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 4 2 4 2 4 b c a a c b a b c + + + ⇒ − = − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 5 2 2 2 2 b c a a c b a b c ⇔ + − = + − + + − 2 2 2 b c a ⇔ + = ⇒ tam giác ABC ∆ vuông. Chọn C. Câu 33**. Tam giác ABC có , , AB c BC a CA b = = = . Gọi , , a b c m m m là độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau: ( ) I . ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 a b c m m m a b c + + = + + . ( ) II . ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 GA GB GC a b c + + = + + . Trong các khẳng định đã cho có A. ( ) I đúng. B. Chỉ ( ) II đúng. C. Cả hai cùng sai. D. Cả hai cùng đúng. Lời giải. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b c b c a m a c b m a b c m + = − + = − + = − ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 a b c m m m a b c ⇒ + + = + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 1 . 9 9 4 3 a b c GA GB GC m m m a b c a b c + + = + + = + + = + + . Chọn D. Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Câu 34. Tam giác ABC có 10 BC= và O 30 A= . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. 5 R= . B. 10 R= . C. 10 3 R= . D. 10 3 R= . Lời giải. Áp dụng định lí Sin, ta có 0 10 2 10. 2.sin 30 sin 2.sin BC BC R R BAC A = ⇒ = = = Chọn B. Câu 35. Tam giác ABC có 3, 6 AB AC = = và 60 A= ° . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. 3 R= . B. 3 3 R= . C. 3 R= . D. 6 R= . Lời giải. Áp dụng định lí Cosin, ta có 2 2 2 2 . .cos BC AB AC AB AC BAC = + − 2 2 0 2 2 2 2 3 6 2.3.6.cos 60 27 27 . BC BC AB AC = + − = ⇔ = ⇔ + = Suy ra tam giác ABC vuông tại , B do đó bán kính 3. 2 AC R= = Chọn A. Câu 36. Tam giác ABC có 21cm, 17cm, 10cm BC CA AB = = = . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. 85 cm 2 R= . B. 7 cm 4 R= . C. 85 cm 8 R= . D. 7 cm 2 R= . Lời giải. Đặt 24. 2 AB BC CA p + + = = Áp dụng công thức Hê – rông, ta có ( )( )( ) ( )( )( ) 2 24. 24 21 . 24 17 . 24 10 84 . ABC S p p AB p BC p CA cm ∆ = − − − = − − − = Vậy bán kính cần tìm là . . . . 21.17.10 85 . 4 4. 4.84 8 ABC ABC AB BCCA AB BCCA S R cm R S ∆ ∆ = ⇒ = = = Chọn C. Câu 37. Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R . Khi đó bán kính R bằng: A. 3 2 a R= . B. 2 3 a R= . C. 3 3 a R= . D. 3 4 a R= . Lời giải. Xét tam giác ABC đều cạnh , a gọi M là trung điểm của . BC Ta có AM BC ⊥ suy ra 2 2 2 1 1 3 . . . . . 2 2 4 ABC a S AM BC AB BM BC ∆ = = − = Vậy bán kính cần tính là 3 2 . . . . 3 . 4 4. 3 3 4. 4 ABC ABC AB BCCA AB BCCA a a S R R S a ∆ ∆ = ⇒ = = = Chọn C. Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao 12 cm 5 AH= và 3 4 AB AC = . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. 2,5cm R= . B. 1,5cm R= . C. 2cm R= . D. 3,5cm R= . Lời giải. Tam giác ABC vuông tại , A có đường cao AH ⇒ ( ) 2 . . AB AC AH = ∗ Mặt khác 3 3 4 4 AB AB AC AC = ⇔ = thế vào ( ), ∗ ta được 2 2 3 12 8 3 . 4 5 5 AC AC = ⇔ = Suy ra 2 2 3 8 3 6 3 . 2 3. 4 5 5 AB BC AB AC = = ⇒ = + = Vậy bán kính cần tìm là 3 . 2 BC R cm = = Câu 39. Cho tam giác ABC có 3 3, 6 3 AB BC = = và 9 CA= . Gọi D là trung điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác . ABD A. 9 6 R= . B. 3 R= . C. 3 3 R= . D. 9 2 R= . Lời giải. Vì D là trung điểm của BC ⇒ 2 2 2 2 27 2 4 AB AC BC AD + = − = ⇒ 3 3. AD= Tam giác ABD có 3 3 AB BD DA = = = ⇒ tam giác ABD đều. Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 3 3 .3 3 3. 3 3 R AB = = = Chọn B. Câu 40**. Tam giác nhọn ABC có , AC b BC a = = , ' BB là đường cao kẻ từ B và ' CBB α = . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính theo , a b và α là: A. 2 2 2 cos 2 sin a b ab R α α + − = . B. 2 2 2 cos 2 sin a b ab R α α + + = . C. 2 2 2 cos 2 cos a b ab R α α + + = . D. 2 2 2 cos 2 cos a b ab R α α + − = . Lời giải. Xét tam giác BB C ′ vuông tại , B′ có sin .sin . B C CBB B C a BC α ′ ′ ′ = ⇒ = Mà AB B C AC ′ ′ + = ⇔ .sin AB b a α ′= − và 2 2 2 .cos . BB a α ′ = Tam giác ABB′ vuông tại , B′ có ( ) 2 2 2 2 2 .sin .cos AB BB AB b a a α α ′ ′ = + = − + 2 2 2 2 2 2 2 2 .sin sin cos 2 sin . b ab a a a b ab α α α α = − + + = + − Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính là 2 2 2 sin 2 . 2 cos sin AB a b ab R R ACB α α + − = ⇔ = Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Câu 41. Tam giác ABC có 3, 6, 60 AB AC BAC = = = ° . Tính diện tích tam giác ABC . A. 9 3 ABC S ∆ = . B. 9 3 2 ABC S ∆ = . C. 9 ABC S ∆ = . D. 9 2 ABC S ∆ = . Lời giải. Ta có 0 1 1 9 3 . . .sin .3.6.sin 60 2 2 2 ABC S AB AC A ∆ = = = . Chọn B. Câu 42. Tam giác ABC có 4, 30 , 75 AC BAC ACB = = ° = ° . Tính diện tích tam giác ABC . A. 8 ABC S ∆ = . B. 4 3 ABC S ∆ = . C. 4 ABC S ∆ = . D. 8 3 ABC S ∆ = . Lời giải. Ta có ( ) 0 180 75 ABC BAC ACB ACB = − + = °= . Suy ra tam giác ABC cân tại A nên 4 AB AC = = . Diện tích tam giác ABC là 1 . sin 4. 2 ABC S AB AC BAC ∆ = = Chọn C. Câu 43. Tam giác ABC có 21, 17, 10 a b c = = = . Diện tích của tam giác ABC bằng: A. 16 ABC S ∆ = . B. 48 ABC S ∆ = . C. 24 ABC S ∆ = . D. 84 ABC S ∆ = . Lời giải. Ta có 21 17 10 24 2 p + + = = . Do đó ( )( )( ) ( )( )( ) 24 24 2 24 17 24 10 84 S p p a p b p c = − − − = − − − = . Chọn D. Câu 44. Tam giác ABC có 3, 6, 60 AB AC BAC = = = ° . Tính độ dài đường cao a h của tam giác. A. 3 3 a h = . B. 3 a h = . C. 3 a h = . D. 3 2 a h = . Lời giải. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có 2 2 2 2 . cos 27 3 3 BC AB AC AB AC A BC = + − = → = . Ta có 0 1 1 9 3 . . .sin .3.6.sin 60 2 2 2 ABC S AB AC A ∆ = = = . Lại có 1 2 . . 3. 2 ABC a a S S BC h h BC ∆ = → = = Chọn C. Câu 45. Tam giác ABC có 4, 60 AC ACB = = ° . Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A của tam giác. A. 2 3 h= . B. 4 3 h= . C. 2 h= . D. 4 h= . Lời giải. Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A . Tam giác vuông AHC , có 3 sin .sin 4. 2 3. 2 AH ACH AH AC ACH AC = → = = = Chọn A. Câu 46. Tam giác ABC có 21, 17, 10 a b c = = = . Gọi ' B là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh AC . Tính ' BB . A. ' 8 BB = . B. 84 ' 5 BB = . C. 168 ' 17 BB = . D. 84 ' 17 BB = . Lời giải. Ta có 21 17 10 24 2 p + + = = . Suy ra ( )( )( ) ( )( )( ) 24 24 2 24 17 24 10 84 S p p a p b p c = − − − = − − − = . Lại có 1 1 168 . ' 84 .17. ' ' 2 2 17 S b BB BB BB = ← → = → = . Chọn C. Câu 47. Tam giác ABC có 8 AB= cm, 18 AC= cm và có diện tích bằng 64 2 cm . Giá trị sinA ằng: A. 3 sin 2 A= . B. 3 sin 8 A= . C. 4 sin 5 A= . D. 8 sin 9 A= . Lời giải. Ta có 1 1 8 . . .sin 64 .8.18.sin sin . 2 2 9 ABC S AB AC BAC A A ∆ = ⇔ = ⇔ = Chọn D. Câu 48. Hình bình hành ABCD có , 2 AB a BC a = = và 0 45 BAD= . Khi đó hình bình hành có diện tích bằng: A. 2 2a . B. 2 2 a . C. 2 a . D. 2 3 a . Lời giải. Diện tích tam giác ABD là 2 0 1 1 . . .sin . . 2.sin 45 . 2 2 2 ABD a S AB AD BAD aa ∆ = = = Vậy diện tích hình bình hành ABCD là 2 2 2. 2. . 2 ABCD ABD a S S a ∆ = = = Chọn C. Câu 49*. Tam giác ABC vuông tại A có 30 AB AC = = cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC bằng: A. 2 50 cm . B. 2 50 2 cm . C. 2 75 cm . D. 2 15 105 cm . Lời giải. Vì F là trung điểm của AC ⇒ 1 15 . 2 FC AC cm = = Đường thẳng BF cắt CE tại G suy ra G là trọng tâm tam giác . ABC Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 1 3 ; ; 10 . 3 3 ; d B AC BF AB d G AC d B AC cm GF d G AC = = ⇒ = = = Vậy diện tích tam giác GFC là ( ) ( ) 2 1 1 . ; . .10.15 75 . 2 2 GFC S d G AC FC cm ∆ = = = Chọn C. Câu 50*. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 4 R= cm có diện tích bằng: A. 2 13 cm B. 2 13 2 cm C. 2 12 3 cm D. 2 15 cm . Lời giải. Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh bằng . a Theo định lí Sin, ta có 0 0 2 2.4 8.sin 60 4 3. sin 60 sin BC a R a BAC = ⇔ = ⇔ = = Vậy diện tích cần tính là ( ) 2 0 2 1 1 . . .sin . 4 3 .sin 60 12 3 . 2 2 ABC S AB AC BAC cm ∆ = = = Chọn C. Câu 51*. Tam giác ABC có 2 3, 2 BC AC AB = = và độ dài đường cao 2 AH= . Tính độ dài cạnh AB . A. 2 AB= . B. 2 3 3 AB= . C. 2 AB= hoặc 2 21 3 AB= . D. 2 AB= hoặc 2 3 3 AB= . Lời giải. Ta có 2 3 3 2 2 AB BC CA AB p + + + = = . Suy ra 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 AB AB AB AB S + − − + = . Lại có 1 . 2 3. 2 S BC AH = = Từ đó ta có 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 AB AB AB AB + − − + = ( )( ) 2 2 2 9 12 12 12 . 2 21 16 3 AB AB AB AB = − − ← → = ← → = Chọn C. Câu 52*. Tam giác ABC có , , BC a CA b AB c = = = và có diện tích S . Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 2S . B. 3S . C. 4S . D. 6S . Lời giải. Diện tích tam giác ABC ban đầu là 1 1 . . .sin . .sin . 2 2 S AC BC ACB ab ACB = = Khi tăng cạnh BC lên 2 lần và cạnh AC lên 3 lần thì diện tích tam giác ABC lúc này là ( )( ) 1 1 . 3 . 2 .sin 6. . . .sin 6 . 2 2 ABC S AC BC ACB AC BC ACB S ∆ = = = Chọn D. Câu 53*. Tam giác ABC có BC a = và CA b = . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. 0 60 . B. 0 90 . C. 0 150 . D. 0 120 . Lời giải. Diện tích tam giác ABC là 1 1 . . .sin . .sin . 2 2 ABC S AC BC ACB ab ACB ∆ = = Vì , a b không đổi và sin 1, ACB C ≤ ∀ nên suy ra . 2 ABC ab S ∆ ≤ Dấu " " = xảy ra khi và chỉ khi 0 sin 1 90 . ACB ACB = ⇔ = Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC là . 2 ab S= Chọn B. Câu 54*. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến , BM CN vuông góc với nhau và có 3 BC= , góc 0 30 BAC= . Tính diện tích tam giác ABC . A. 3 3 ABC S ∆ = . B. 6 3 ABC S ∆ = . C. 9 3 ABC S ∆ = . D. 3 3 2 ABC S ∆ = . Lời giải. Vì 2 2 2 5 BM CN a b c ⊥ → = + . (Áp dụng hệ quả đã có trước) Trong tam giác ABC , ta có 2 2 2 2 2 2 2 .cos 5 2 cos . cos a a b c bc A a bc A bc A = + − = − → = Khi đó 2 2 1 1 2 sin . .sin tan 3 3 2 2 cos a S bc A A a A A = = = = . Chọn A. Vấn đề 5. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP Câu 55. Tam giác ABC có 5, 8 AB AC = = và 0 60 BAC= . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. 1 r= . B. 2 r= . C. 3 r= . D. 2 3 r= . Lời giải. Áp dụng định lý hàm số côsin, ta có 2 2 2 2 . cos 49 7 BC AB AC AB AC A BC = + − = → = . Diện tích 1 1 3 . .sin .5.8. 10 3 2 2 2 S AB AC A = = = . Lại có 2 . 3 S S S pr r p AB BC CA = → = = = + + . Chọn C. Câu 56. Tam giác ABC có 21, 17, 10 a b c = = = . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. 16 r= . B. 7 r= . C. 7 2 r= . D. 8 r= . Lời giải. Ta có 21 17 10 24 2 p + + = = . Suy ra ( )( )( ) 24 24 2 24 17 24 10 84 S= − − − = . Lại có = → = = = 84 7 . . 24 2 S S pr r p Chọn C. Câu 57. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a . A. 3 4 a r= . B. 2 5 a r= . C. 3 6 a r= . D. 5 7 a r= . Lời giải. Diện tích tam giác đều cạnh a bằng: 2 3 4 a S= . Lại có 2 3 3 4 3 6 2 a S a S pr r a p = → = = = . Chọn C. Câu 58. Tam giác ABC vuông tại A có 6 AB= cm, 10 BC= cm. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. 1 r= cm. B. 2 r= cm. C. 2 r= cm. D. 3 r= cm. Lời giải. Dùng Pitago tính được 8 AC= , suy ra 12 2 AB BC CA p + + = = . Diện tích tam giác vuông 1 . 24 2 S AB AC = = . Lại có . 2 cm. S S pr r p = → = = Chọn C. Câu 59. Tam giác ABC vuông cân tại A , có AB a = . Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. A. 2 a r= . B. 2 a r= . C. 2 2 a r= + . D. 3 a r= . Lời giải. Từ giả thiết, ta có AC AB a = = và 2 BC a = . Suy ra 2 2 2 2 AB BC CA p a + + + = = . Diện tích tam giác vuông 2 1 . 2 2 a S AB AC = = . Lại có . . 2 2 S a S pr r p = → = = + Chọn C. Câu 60. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó tỉ số R r bằng: A. 1 2 + . B. 2 2 2 + . C. 2 1 2 − . D. 1 2 2 + . Lời giải. Giả sử 2 AC AB a BC a = = → = . Suy ra 2 2 2 BC a R= = . Ta có 2 2 2 2 AB BC CA p a + + + = = . Diện tích tam giác vuông 2 1 . 2 2 a S AB AC = = . Lại có . . 2 2 S a S pr r p = → = = + Vậy 1 2 R r = + . Chọn A.
