Chuyên đề Bài toán thực tế - Đại số

Nguyễn Xuân Nam

Chuyên đề Bài Toán Thực Tế -ĐẠI SỐ

PAGE 12

PAGE \* MERGEFORMAT 89.

Chương I

CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ

CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ PISA

VÍ DỤ MINH HỌA ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Toán 9+ Tuyển sinh 10 link tải xem thử

HYPERLINK "https://drive.google.com/drive/folders/1fZO3MUmCpKe_jO1P2t7Z7o86IXIJx9_f?usp=sharing" https://drive.google.com/drive/folders/1fZO3MUmCpKe_jO1P2t7Z7o86IXIJx9_f?usp=sharing

Bắt đầu từ một vấn đề thực tế

Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan.

Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế thông qua quá trình đặt giả thuyết, tổng quát, hình thức hóa.

Giải quyết bài toán bằng phương pháp toán học.

Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định những hạn chế của lời giải.

Có thể minh họa phương pháp giải như hình vẽ

5

5

Lời giải thực tế Lời giải toán học

4

1,2,3

Vấn đề thực tế Vấn đề toán học

Thế giới hiện thực Thế giới toán học

Ví dụ 1 (Ván trượt)

Eric là một người rất thích môn trượt ván. Anh ấy đến một cửa hàng có tên là SKATER để xem giá cả của các loại ván trượt.

Ở cửa hàng này bạn có thể mua ván trượt hoàn chỉnh hoặc có thể mua các bộ phận rời của nó: thân ván, một bộ phận 4 bánh xe, 2 trục, 1 bộ các chi tiết đi kèm (vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông và các đai ốc) và tự lắp cho mình một cái ván trượt. Sau đây là bảng giá của cửa hàng (Hình vẽ).

Bảng giá của cửa hàng

Các mặt hàngGía (zed)Ván trượt hoàn chỉnh82 hoặc 84Thân ván40, 60 hoặc 65Một bộ 4 bánh xe14 hoặc 36Một bộ gồm 2 trục16Một bộ các chi tiết

(vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông, đai ốc)10 hoặc 20Câu hỏi

Eric có 120 zeds và muốn mua một ván trượt tốt nhất tỏng khả năng có thể. Eric có thể trả bao nhiêu tiền cho mỗi bộ phận của ván trượt. Hãy viết câu trả lời vào bảng dưới đây:

Bảng liệt kê số tiền Eric

trả khi mua các bô phận của ván trượt

Bộ phậnSố tiền (Zeds)Thân vánMột bộ 4 bánh xeMột bộ gồm 2 trụcMột bộ các chi tiết (vòng bi, miếng đệm cao su, bu – lông, đai ốc)

Ta có những phân tích sau đối với bài toán:

Vấn đề được đặt ra là chọn mua ván trượt có chất lượng tốt nhất. Đây là tình huống thực tế, thực sự phản ánh thực tế cuộc sống hàng ngày của nhiều Học sinh vì hầu hết chỉ có một lượng tiền nhất định để chi tiêu và muốn mua ván trượt chất lượng tốt nhất với số tiền mình có. Đối với những học sinh không quen với ván trượt thì các hình ảnh được đưa ra để cung cấp thêm các thông tin cần thiết.

Có 4 thành phần cho một chiếc ván trượt và học sinh phải lựa chọn 3 trong số 4 thành phần đó (vì chỉ có một mức giá cho một bộ trục). Học sinh có thể dễ dàng xác định các số tiền để mua khi thay đổi các thành phần và so sánh nó với số tiền ban đầu. Có thể xây dựng bản tính ban đầu như sau:

Thân ván 40 60 65

Một bộ 4 bánh xe 14 36

Một bộ gồm 2 trục 16

Một bộ các chi tiết 10 20

Tổng số tiền Eric có 120

Cần tìm 4 số mà tổng tối đa của chúng nhỏ hơn hoặc bằng 120. Những hạn chế đối với những con số là: số đầu tiên là 40, 60 hoặc 65; số thứ hai là 14 hoặc 36; số thứ ba là 16; số thứ tư là 10 hoặc 20. Bài toán có thể được diễn đạt dưới dạng ngôn ngữ toán học như sau:

Tìm 3 số là số tự nhiên khác biết rằng (hay ) với điều kiện và .

Từ đây ta có lời giải bài toán:

Cách 1:

Học sinh sử dụng phuong pháp liệt kê được phương án có thể:

Và tính tổng của chúng để tìm ra phương án phù hợp là .

Tuy nhiên cách này mất nhiều thời gian vậy có cách nào đỡ tốn thời gian hơn không? Giáo viên có thể gợi ý học sinh tính số tiền nhiều nhất phải bỏ ra và tìm các phương án giảm giá thành.

Cách 2:

Có thể thấy rằng ván trượt tốt nhất có giá: là quá nhiều so với số tiền ta có nên cần lựa chọn phương án khác. Cần giảm giá thành xuống ít nhất zeds. Có những khả năng sau để có thể giảm giá thành:

Thân ván: Có thể giảm hoặc zeds

Một bộ trục 4 bánh xe: có thể giảm zeds

Trục: không giảm được gì

Các chi tiết: giảm zeds

Danh sách trên làm ta thấy được phương pháp rõ ràng đó là giảm lượng tiền mua bánh xe

thì tổng số tiền mua sẽ là zeds và là phương án tối ưu nhất.

So sánh hai cách làm ta thấy điều phải liệt kê khả năng xảy ra nhưng cách giải quyết sau ngắn gọn, giúp ta tìm thấy được ngay lời giải tối ưu và đây cũng là một cách làm có thể áp dụng trong nhiều tình huống khác trong thực tế cuộc sống. Như vậy khi giải quyết một bài toán cần suy nghĩ đến tất cả những giải pháp có thể, đánh giá để tìm được giải pháp tối ưu nhất về một ý nghĩa nào đó (tiết kiệm thời gian, tiền bạc, công sức,..)

Qua các bước trên ta thấy rằng phương án tốt nhất tìm được là . Tuy nhiên bài toán trên cũng cho thấy một thực tế rằng giữa lý thuyết và thực tế có những khác biệt nhất định. Cụ thể là ở ví dụ này với lập luận thích hợp, một trong những giải pháp đưa ra ở trên có thể được coi là “tốt hơn” ví dụ học sinh có thể lập luận rằng đối với một chiếc ván trượt có bộ bánh xe chất lượng tốt là vấn đề quan trọng hơn cả.

Ví dụ 2 (Nhịp tim)

Vì lý do sức khỏe, người ta nên hạn chế những nỗ lực của họ, ví dụ như trong thể thao nhịp tim không vượt quá tần số nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỷ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối đa và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức sau:

Nhịp tim tối đa được khuyến cáo

Nghiên cứu gần thấy cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một chút. Công thức mới như sau:

Nhịp tim tối đa được khuyến cáo

Câu hỏi 1

Hoàn thiện bảng sau về nhịp tim tối đa được khuyến cáo:

Bảng nhịp tim tối đa được khuyến cáo

Tuổi (theo năm)91215182124Nhịp tim tối đa được khuyến cáo (công thức cũ)211208205202199196Nhịp tim tối đa được khuyến cáo (công thức mới)201,7197,5195,4191,2Câu hỏi 2

Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và giá trị đó là bao nhiêu?

Câu hỏi 3

Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo trong bảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số này theo tuổi.

Câu hỏi 4

Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. Hãy viết và rút gọn công thức cho nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục theo tuổi.

Câu hỏi 5

Công thức mới đã làm thay đổi nhịp tim khuyến cáo theo độ tuổi như thế nào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng.

Bài toán cung cấp thông tin thực tế về sức khỏe con người. Để làm được bài toán này, học sinh cần phải chuyển được những thông tin đã cho trong đề bài thành phương trình đại số (hay hàm số), biết vận dụng các kỹ năng đại số để giải quyết lần lượt các vấn đề đặt ra.

Cụ thể là:

Câu 1 chỉ yêu cầu học sinh kỹ năng tính toán đơn giản để điền số liệu vào bảng cho trước.

Câu 2 đòi hỏi học sinh phải biết cách biểu diễn nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo hai công thức cũ và mới lần lượt là hai hàm số và với thể hiện nhịp tim tối đa trong mỗi phút và đại diện cho tuổi tính theo năm. Vì hai hàm số có hệ số góc khác nhau nên đồ thị của chúng cắt nhau tại một điểm. Học sinh có thể tìm ra được điểm này bằng cách giải phương trình

.

Hoặc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để suy ra là và .

Nội dung của câu 3, 4 thực chất ứng với kỹ năng rút gọn biểu thức. Đó là rút gọn: và .

Câu 5 sẽ được giải quyết dễ dàng nếu học sinh biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ (Hình vẽ).

Kết hợp với câu 2 ta thấy, khi ta có đồ thị hàm nằm phía dưới đồ thị hàm và khi thì đồ thị hàm nằm phía trên đồ thị hàm . Điều đó có nghĩa là ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim được khuyến cáo ở công thức mới cao hơn công thức ban đầu và thấp hơn công thức ban đầu với lứa tuổi dưới 40.

Đồ thị biểu diễn nhịp tim theo công thức cũ và mới

Bài toán trên minh họa cho những lợi ích của toán học trong việc giải quyết những vấn đề có liên quan đến chất lượng cuộc sống của con người. Học sinh phải kết hợp nhiều kỹ năng đã học: kỹ năng xây dựng hàm số, kỹ năng rút gọn biểu thức, kỹ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị...

Ví dụ 3 (Gía sách)

Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, cái kẹp nhỏ, cái kẹp lớn và cái ốc vít. Người thợ mộc đang có tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, cái ốc vít. Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá sách?

Ta có những phân tích sau đối với bài toán:

Vấn đề đặt ra là tìm số giá sách người thợ mộc có thể làm được. Câu hỏi được đặt trong bối cảnh thế giới thực và sự thực tế này là xác thực tuy nhiên ít phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như không có thông tin không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra.

Một cái giá sách cần số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 4, 6, 12, 2 và 14. Chúng ta có theo đề bài số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là 26, 33, 200, 20, 510.

Cần chuyển câu hỏi: “Người thợ mộc có thể làm được bao nhiêu cái giá sách?” thành một vấn đề toán học. Đó có thể là tìm bội số lớn nhất của tập đầu tiên (4, 6, 12, 2 và 14) thỏa mãn tập còn lại (26, 33, 200, 20, 510).

Từ đó học sinh sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là đi tìm là số tự nhiên lớn nhất đồng thời thỏa mãn các điều kiện (hay nói cách khác là là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn đồng thời các điều kiện: ).

Từ đây ta có lời giải bài toán:

Cách 1

Học sinh có thể giải bài toán bằng cách liệt kê theo bảng dưới đây:

(4 6 12 2 14) cho 1 cái giá

(8 12 24 4 28) cho 2 cái giá

(12 18 36 6 42) cho 3 cái giá

(16 24 48 8 56) cho 4 cái giá

(20 30 60 10 70) cho 5 cái giá

(24 36 72 12 84) chi 6 cái giá

Tiếp tục liệt kê đến khi thấy một con số vượt ra ngoài giá trị của tập còn lại. Ở bài toán trên, học sinh sẽ thấy rằng nếu làm 6 giá sách thì cần có 36 tấm gỗ ngắn trong khi theo dữ kiện đề bài ta chỉ có 33 tấm gỗ ngắn. Vậy người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là 5 cái giá sách.

Tuy nhiên cách này khá dài dòng và nếu số liệu đưa ra là những con số rất lớn thì cách này không khả thi. Vậy còn cách nào khác không?

Cách 2

Học sinh có thể giải quyết bài toán rất nhanh dựa theo sự ước tính: , các tỉ số đều lớn hơn hoặc bằng . Vậy câu trả lời là .

Ví dụ 4

Xây dựng những hình khối:

Susan thích xếp những khối hình từ những khối lập phương nhỏ như hình 1 dưới đây:

Hình 1

Susan có rất nhiều những hình khối lập phương nhỏ như thế. Bạn ấy sử dụng keo để gắn các hình khối với nhau để được những hình khối khác. Bạn ấy đã gắn 8 khối lập phương để được một khối như hình 2. Hình 2

Câu hỏi 1

Susan cần bao nhiêu khối lập phương nhỏ để làm được một khối như trong hình 3?

Hình 3

Câu hỏi 2

Susan cần bao nhiêu khối lập phương nhỏ để làm được một khối như trong hình 4?

Hình 4

Câu hỏi 3

Susan nhận ra rằng bạn ấy đã sử dụng nhiều các khối lập phương nhỏ hơn mức cần thiết để làm được hình khối như trong hình 2. Bạn ấy thấy có thể dán các khối nhỏ để được một khối trông giống như hình 2 nhưng rỗng bên trong. Em có biết số lượng tối thiểu các khối lập phương nhỏ mà bạn ấy cần để làm được hình khối như hình 2 nhưng rỗng bên trong là bao nhiêu không?

Câu hỏi 4

Bây giờ Susan muốn làm một hình khối trông giống như một hình khối đặc có độ dài là 6 khối lập phương nhỏ, chiều rộng là khối lập phương nhỏ và chiều cao là khối lập phương nhỏ. Bạn ấy muốn dùng ít nhất các khối lập phương nhỏ bằng cách để lỗ rỗng lớn nhất có thể ở bên trong hình khối này. Số tối thiểu các khối lâp phương nhỏ mà Susan cần dùng để làm hình khối như trên là bao nhiêu?

Bài toán trên gồm một loại câu hỏi khai thác những kiến thức về thể tích của hình hộp chữ nhật tuy nhiên các kiến thức toán học không được đưa ra một cách tường minh mà ẩn giấu

dưới một loạt tình huống xảy ra trong thực tế mà học sinh có thể quan sát được. Để giải quyết được bài tập học sinh cần phải hiểu được những kiến thức toán học ẩn dấu bên trong tình huống đưa ra là gì. Nếu chưa thể hiểu ngay được thực chất yêu cầu thì với câu 1 một cách tự nhiên là học sinh sẽ tìm cách để đếm các khối lập phương nhỏ. Ở hình 1 có 2 lớp khối lập phương mỗi lớp có khối lập phương nhỏ. Vậy tổng số khối lập phương sẽ là khối. Ở hình 2 với cách tính tương tự ta cũng tính được số khối lập phương cần thiết sẽ là khối. GV có thể đưa ra câu hỏi: Vậy để tính được số khối lập phương cần thiết cho một khối hình hộp chữ nhật bất kì ta có thể làm thế nào? Dựa trên việc so sánh cách làm ở mỗi ví dụ, học sinh sẽ có thể nhận xét là về mặt thực chất ta có thể tính số lượng khối lập phương cần có thông qua tính thể tích hình hộp chữ nhật với mỗi khối lập phương nhỏ có thể hiểu là hình lập phương đơn vị. Đây cũng có thể là một cách xây dựng cách tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương rất tự nhiên.

Câu 3, 4 là câu hỏi đòi hỏi vận dụng sâu hơn. Với hình vẽ trực quan học sinh có thể tính được ngay số khối lập phương tối thiểu ở câu 3 là khối. Tuy nhiên mức độ khó tăng lên ở câu 4, học sinh không thể dựa trên hình vẽ trực quan nữa vì vậy GV có thể có những gợi ý để giúp học sinh tìm được cách làm. Cụ thể có thể coi hình cần xây dựng gồm 4 lớp mà mỗi lớp gồm có khối lập phương nhỏ. Vậy ta có thể bỏ bớt các khối lập phương nhỏ ở lớp nào mà không làm ảnh hưởng đến hình dạng bên ngoài của khối? Câu trả lời là chỉ có thể bỏ các khối lập phương nhỏ nằm ở các lớp giữa trừ các khối bao quanh. Vậy số khối lập phương có thể bỏ bớt ở lớp thứ 2 là bao nhiêu? (12 khối). Từ đó tính được số lượng khối lập phương cần thiết là: khối.

LỜI BÌNH

Pisa được xây dựng bởi các nhà khoa học có uy tín ở các nước phát triển nên đảm bảo tính chính xác. Nhiều nội dung của Pisa hoàn toàn áp dụng được trong chương trình Trung học cơ sở ở nước ta. Học sinh thông qua các nội dung của Pisa sẽ thấy được mối liên hệ giữa ứng dụng của toán học và thực tiễn cuộc sống. Học sinh cảm thấy thích thú hang say học toán hơn rất nhiều so với việc học các kiến thức toán học trừu tượng, khô khan. Pisa giúp học sinh thấy toán học thật sự hấp dẫn, thật sự bổ ích. Pisa kích thích lòng ham mê, học tập của các em học sinh. Với các câu hỏi đa dạng, phong phú, phù hợp với nhiều mức độ trình độ học sinh khác nhau, Pisa giúp giáo viên đánh giá đầy đủ được năng lực, tư duy, năng lực ngôn ngữ, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của học sinh. Pisa chính là tài liệu quan trọng và cần thiết cho việc dạy và học toán ở bậc Trung học cơ sở ở nước ta hiện nay.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài toán 1 (Tỉ giá)

Mei – Ling từ Singapore đang chuẩn bị đến Nam Phi theo chương trình trao đổi sinh viên. Cô ấy cần đổi một số đô la Singapore (SGD) thành đồng rand Nam Phi (ZAR).

Câu hỏi 1

Mei – Ling biết rằng tỉ giá giữa đô la Singapore và đồng rand Nam Phi là: . Mei – Ling muốn đổi đô la Singapore thành đồng rand Nam Phi với tỉ giá trên. Mei – Ling đổi được bao nhiêu đồng rand Nam Phi?

Câu hỏi 2

Quay trở lại Singapore sau 3 tháng, Mei – Ling còn . Cô ấy muốn đổi thành đô la Singapore và tỉ giá lúc này là: . Mei – Ling đổi được bao nhiêu đô la Singapore?

Câu hỏi 3

Trong 3 tháng, tỉ giá đã thay đổi từ xuống cho mỗi . Mei – Ling có lợi không khi cô đổi đồng rand Nam Phi thành đô la Singapore? Hãy đưa ra lời giải thích cho câu trả lời của bạn.

Bài toán 2 (Trò chuyện qua Internet)

Mark (từ Sydney, Australia) và Hans (từ Berlin, Đức) thường xuyên trao đổi với nhau bằng cách sử dụng “Chat” trên Internet. Để có thể trò chuyện, họ phải đăng nhập cùng một lúc vào mạng. Để tìm thời điểm thích hợp, Mark tìm ở bảng múi giờ quốc tế (Hình vẽ) và thấy như sau:

Bảng múi giờ quốc tế

Greenwich 12 Nửa đêm Berlin 1:00 AM Sydney 10:00 AM

Câu hỏi 1

Khi ở Sydney là 7 giờ chiều thì ở Berlin là mấy giờ?

Câu hỏi 2

Mark và Hans không thể liên lạc với nhau vào khoảng thời gian từ 9 giờ sang đến 4 giờ 30 phút buổi chiều (giờ địa phương) vì họ phải đi học. Ngoài ra, từ 11 giờ tối đến 7:00 sáng (giờ địa phương) họ cũng thể trò chuyện vì đó là giờ đi ngủ.

Khi nào là thời gian thuận lợi nhất để Mark và Hans có thể trò chuyện với nhau? Hãy viết giờ địa phương vào bảng dưới đây:

Địa điểmThời gianSydneyBerlinBài toán 3

Bạn Lan nói với bạn Tuấn rằng: “Trái đất xoay quanh mặt trời và cách mặt trời triệu km. Nếu khoảng cách này tăng thêm một kilomet thì thời gian mà trái đất quay quanh mặt trời cũng chỉ mất thêm chưa đầy giây thôi”. Bạn Lan nói có đúng không nếu ta coi quỹ đạo khi trái đất xoay quanh mặt trời là hình tròn?

Hình mô phỏng quỹ đạo của trái đất

Bài toán 4

Cước phí bưu điện của Zealand dựa vào trọng lượng của các mặt hàng (tính theo gam), được cho ở bảng dưới đây:

Bảng cước phí bưu điện của Zealand

Trọng lượng (tính bằng gam)Cước phíDưới g zeds g zeds g zeds g zeds g zeds g zeds g zeds g zeds g zeds Câu hỏi

Jan muốn gửi bưu phẩm cho một người bạn với trọng lượng lần lượt là gam và gam. Theo bảng cước phí trên thì Jan nên gửi bưu phẩm thành một bưu kiện hay gửi tách riêng thành bưu kiện thì có lợi hơn. Vì sao?

Bài toán 5 (Sự tăng trưởng)

Năm 1998, chiều cao trung bình của nam nữ thanh thiếu niên ở Hà Lan được biểu diễn bằng biểu đồ dưới đây:

Biểu đồ về chiều cao của thanh thiếu niên Hà Lan năm 1998

Câu hỏi 1

So với năm, chiều cao trung bình của nữ thanh niên tuổi đã tăng lên tới . Chiều cao trung bình của một nữ thanh niên 20 tuổi vào năm 1980 là bao nhiêu?

Câu hỏi 2

Theo biểu đồ này, trung bình thời gian nào trong cuộc đời nữ giới cao nhanh hơn nam giới cùng độ tuổi?

Câu hỏi 3

Giải thích biểu đồ để thấy rằng tốc độ tăng trưởng về chiều cao của trẻ em gái chậm lại sau 12 tuổi.

ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài toán 1 (Tỉ giá)

Câu hỏi 1

Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng.

Đáp án: .

Câ hỏi 2

Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng.

Đáp án: .

Câu hỏi 3

Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời mở.

Đáp án: Có thể có nhiều cách lập luận như

Có lợi vì cô ấy nhận cho nhưng chỉ phải trả cho .

Có, bởi tỷ giá hối đoái thấp hơn, Mei -Ling sẽ nhận được nhiều đô la Singapore hơn với số tiền đang có.

Có, bởi vì mỗi rẻ hơn được .

Có, bởi vì khi bạn chia cho kết quả sẽ nhỏ hơn so với khi bạn chia cho .

Có, có lợi cho mình bởi nếu nó không xuống thì cô ấy sẽ nhận ít hơn khoảng .

Nhận xét

Hai câu hỏi đầu tiên của bài tập thuộc về năng lực tái hiện. Cả hai đều yêu cầu học sinh liên kết các thông tin cung cấp theo yêu cầu tính toán tuy nhiên câu 2 khó hơn vì nó yêu cầu đảo ngược suy nghĩ. Câu 3 có mức độ khó cao hơn yêu cầu học sinh trước hết là xác định các dữ kiện toán học có liên quan, so sánh cả hai câu trả lời, kết luận và đồng thời giải thích kết luận đưa ra. Ở kì đánh giá 2003 có học sinh thuộc khối OECD trả lời đúng câu hỏi 3.

Bài toán 2

Câu hỏi 1

Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng.

Đáp án: 10 giờ sáng.

Câu hỏi 2

Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời ngắn.

Đáp án: Học sinh sẽ trả lời đúng nếu đưa ra được bất kì thời gian nào phù hợp với điều kiện đã cho và chênh lệch về thời gian là 9 giờ. Đáp án có thể được lấy từ một trong những khoảng thời gian sau đây:

Sydney: 4:30 PM – 6:0 PM; Berlin: 7:30 PM – 9:00 AM.

Sydney: 7:00 AM – 8:00 AM; Berlin: 10:00 PM – 11:00 PM.

Nhận xét

Mặc dù các dữ kiện đưa ra ít và có vẻ đơn giản nhưng đây là một câu hỏi khá phức tạp. Học sinh cần hiểu được rằng thời gian ngủ và thời gian ở trường hạn chế thời gian thích hợp hai người có thể trò chuyện với nhau. Đầu tiên cần phải xác định thời gian rỗi của mỗi người theo giờ địa phương sau đó so sánh để tìm được thời gian mà cả hai có thể thực hiện chúng cùng một lúc. Theo báo cáo của PISA năm 2003, chỉ có học sinh các nước trong khối OECD trả lời thành công câu hỏi này.

Bài toán 3

Nếu bán kính của quỹ đạo trái đất bằng (km) thì chiều dài quỹ đạo là (km). Khi ta kéo dài bán kính thêm một km thì chiều dài của quỹ đạo mới sẽ là (km) (hình vẽ):

Như vậy quỹ đạo mới chỉ dài thêm km hay xấp xỉ km. Ở đây dữ kiện chưa biết ở giả thiết chính là tốc độ chuyển động của Trái đất xung quanh Mặt trời, tốc độ đó là km/h như vậy thực chất thời gian chỉ tăng có gấn giây thôi.

Bài toán 4

Đây là một bài tập tuy không khó nhưng có nội dung rất thực tế giúp giáo dục cho học sinh ý thức tối ưu trong suy nghĩ cũng như trong việc làm. Giải bài toán này học sinh sẽ thấy rằng nếu gửi bưu phẩm như hai bưu kiện riêng biệt thì chi phí sẽ rẻ hơ