Chuyên đề bất đẳng thức – Lê Xuân Đại

Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 1 LÊ XUÂN ĐẠI (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những dạng toán thường có trong các đề thi ĐH- CĐ. Các thí sinh của chúng ta đều rất sợ và lúng túng khi gặp phải bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đơn giản là do các bài toán về BĐT thường là bài toán khó trong đề thi, nhằm phân l oại và chọn được các học sinh khá giỏi. Thường thì các sĩ tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết các bài toán về BĐT. Chuyên đề này muốn hệ thống cho các bạn các phương pháp cơ bản và một số dạng bài tập về BĐT. Hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi ĐH- CĐ sắp tới. Đọc xong chuyên đề này tôi tin các bạn sẽ không còn cảm giác sợ bất đẳng thức nữa Khi chúng ta hết đi sự sợ hãi và ngại ngần thì chúng ta sẽ đam mê và dành tình yêu cho nó. Dành tình yêu và sự đam mê cho toán học nói chung và BĐT nói riêng là điều rất cần thiết của một người làm toán sơ cấp chân chính và sự lãng mạn của toán học cũng bắt nguồn từ đó… Thành công chỉ đến khi bạn làm việc tận tâm và luôn nghĩ đến những điều tốt đẹp… Những lời khuyên bổ ích khi học về BĐT: 1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT. 2. Nắm vững các phương pháp cơ bản chứng minh BĐT như: PP biến đổi tương đương; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm… 3. Đặc biệt chú trọng vào ôn tập các kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; dấu bằng xảy ra khi nào; nếu áp dụng thế thì có xảy ra dấu bằng không; tại sao lại thêm bớt như vậy… 4. Luôn bắt đầu với các BĐT cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều áp dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng được, chẳng hạn như: * 2 2 2 a b c ab bc ca (1) với mọi a,b,cChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 2 * 2 (a b c) 3 (ab bc ca) (2) với mọi a,b,c * 2 2 2 2 (a b c) 3 (a b c ) (3)  với mọi a,b,c * 1 1 4 1 1 1 9 ; (4) a b a b a b c a bc với mọi a,b,c dương * 2 2 2 2 2 2 a x b y (a b) (x y) (5) với mọi a,b,x,y. * 2 2 2 x y (x y) (6) a b a b với mọi a,b dương và x,y bất kỳ * 2 2 2 2 x y z (x y z) (7) a b c a b c với mọi a,b,c dương và x,y,z bất kỳ ……… Dấu bằng xảy ra ở các BĐT (1), (2), (3) và (4) là a=b=c. Dấu bằng xảy ra ở BĐT (5) và (6) là x y a b ; ở (7) là x y z a b c (với mẫu khác 0). (Các em hãy bắt tay ngay vào việc chứng minh các BĐT cơ bản trên nhé. Hãy tìm cho mình một cách giải nhất quán, đơn giản, nhớ nó và khi làm bài thi đều phải chứng minh lại, rồi mới được áp dụng). Trước hết xin đưa ra 3 phương pháp thông dụng nhất để chứng minh BĐT I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: 1. Phương pháp chung Để chứng minh AB ta thường thực hiện theo một trong hai cách sau: Cách 1: Ta chứng minh A B0 . Để làm được điều này ta thường sử dụng hằng đẳng thức để phân tích AB thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. Cách 2: Xuất phát từ một BĐT đúng nào đó ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Đối với cách này thường cho ta lời giải không được tự nhiên cho lắm và thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt. Chú ý: Một số kết quả hay sử dụng * 2 x 0 với mọi x  và 2 x 0 x 0 * x 0 với mọi x  và x 0 x 0 2. Một số ví dụChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 3 Ví dụ 1 : C hứng minh rằng với mọi a,b ta có: 2 2 a b 2ab (1) Giải: Ta có 2 2 2 2 2 a b 2ab (a b) 0 a b 2ab (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b. Thật đơn giản phải không các bạn, nếu tinh ý thêm một chút thôi các bạn sẽ tì m ra n hững kết quả tổng quát hơn và niềm tin để vượt qua bài BĐT trong đề thi ĐH là hoàn toàn khả thi. Cụ thể là với ba số thực a,b,c bất kỳ ta có 2 2 a b 2ab ; 2 2 b c 2bc và 2 2 a c 2ac Cộng từng vế của 3 BĐT ta được kết quả sau: 2 2 2 a b c ab bc c a (2) Có thể thấy ngay có hai BĐT tương đương với (2) rất quen thuộc là 2 (a b c) 3(ab bc ca) (3) với mọi a,b,c 2 2 2 2 (a b c) 3 (a b c ) (4)  với mọi a,b,c Chúng ta sẽ nói thêm ứng dụng tuyệt vời của ba BĐT (2), (3) và (4) ở những phần sau Ví dụ 2 : C hứng minh rằng với mọi a,b,c  ta có: 4 4 4 a b c abc(a b c) Giải: Áp dụng liên tiếp BĐT (2) trong ví dụ 1 ta được: 4 4 4 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c (a ) (b ) (c) a b b c c a (ab) (bc) (ac) ab.bc ab.ac bc.ac abc(a b c) Như vậy nếu đề thi hỏi các bạn một bài như sau: “Cho 3 số thực a,b,c thoả mãn a b c1 . Chứng minh rằng: 4 4 4 a b c abc ” thì chắc các bạn đã có cơ hội cao để đạt điểm 10 rồi! (Hãy cứ tự tin lên như thế!) Ví dụ 3 : C hứng minh rằng với mọi a,b0 ta có: 3 3 2 2 a b a b ab Giải: Ta biến đổi 3 3 2 2 2 a b a b ab (a b) (a b)0 , suy ra đpcm. Nhận xét: BĐT trên thật đơn giản nhưng cũng có khá nhiều ứng dụng với các bài toán khó hơn, chẳng hạn ta xét 3 bài toán sau: Bài 3.1. Cho a,b,c0 . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc a c abc abc  Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 4 Hướng giải: Ta có 3 3 2 2 3 3 a b a b ab ab(a b) a b abc ab(a b c) Suy ra 3 3 1 1 a b abc ab(a b c)  . Cùng hai BĐT tương tự ta được 1 1 1 1 VT ab(a b c) bc(a b c) ac(a b c) a bc  (đpcm). Xin đưa ra thêm hai hệ quả của bài toán trên (coi như bài tập cho các bạn luyện tập) * Cho a,b,c0 thoả mãn abc=1. Khi đó: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b 1 b c 1 a c 1  * Cho a,b,c0 thoả mãn abc=1. Khi đó: 1 1 1 1 a b 1 b c 1 a c1  (che dấu bản chất hơn) Bài 3.2. Cho a,b,c không âm thoả mãn a b c 2012 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3 3 3 3 3 3 P 4(a b ) 4(b c ) 4(a c) Hướng giải: Mới nh ì n BĐT ta cảm thấy rất khó khăn vì có căn bậc 3 và điều quan trọng là phải xử lí được biểu thức trong dấu căn. Bất đẳng thức 3 3 2 2 a b a b ab cho ta một “manh mối” để tìm ra lời giải bài toán, nhưng nếu áp dụng nguyên xi như vậy thì chưa ổn. Ta biến đổi một chút BĐT này 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 a b a b ab 3(a b ) 3(a b a b ) 4(a b ) (a b) Như vậy ta có thu được BĐT 3 3 3 4(a b ) (a b) . Chắc các bạn cũng đồng ý với tôi rằng phép biến đổi đó rất tự nhiên chứ. Bây giờ áp dụng BĐT vừa tìm được ta có 3 3 3 3 3 3 3 3 3 P 4(a b ) 4(b c ) 4(a c ) (a b) (b c) (c a) 2(a b c) 4024 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2012 a b c 3 . Vậy GTNN của P bằng 4024. Bài toán tổng quát: Cho a,b,c không âm thoả mãn a b ck . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 3 3 3 3 3 3 P m(a b ) m(b c ) m(a c) Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 5 (m,k là các hằng số dương cho trước) Bài 3.3. Kí hiệu A,B,C là ba góc của một tam giác bất kì. Tìm giá trị lớn nhất của 3 3 3 3 3 3 sin A sin B sinC P A B C cos cos cos 2 2 2 Hướng giải: Đây quả là một bài toán khó, ta hãy mò mẫm theo các đầu mối nhỏ nhé * Thứ nhất: Ta đã có một đánh giá rất quen thuộc trong tam giác: C A B C sin A sin B 2cos .cos 2cos 2 2 2  * Thứ hai: Các căn bậc 3 gợi ý ta nghĩ tới BĐT: 3 3 3 a b 4(a b)  Như vậy, ta có 3 3 3 3 3 C C sin A sin B 4(sin A sin B ) 4.2cos 2. cos 2 2   Tương tự ta có 3 3 3 A sin B sinC 2. cos 2  và 3 3 3 B sin A sinC 2. cos 2  Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được 3 3 3 3 3 3 A B C sin A sin B sinC cos cos cos 2 2 2  Vậy P1  . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A=B=C Do đó giá trị lớn nhất của P bằng 1 khi tam giác ABC đều. Ví dụ 4 : C hứng minh rằng với a,b,c là 3 cạnh một tam giác bất kỳ ta có: 2 2 2 ab bc ca a b c 2(ab bc ca)  Giải: BĐT bên trái đã chứng minh, để chứng minh BĐT bên phải ta xuất phát từ một BĐT cơ bản trong tam giác là b c a bc . * Nếu sử dụng b c a thì ta biến đổi như sau: 2 2 2 2 2 2 2 a b c a (b c) b c 2bc a b c 2bc Tương tự 2 2 2 b a c 2ac ; 2 2 2 c a b 2ab . Cộng theo từng vế ba BĐT ta được đpcm. * Nếu sử dụng a b c thì ta biến đổi như sau: 2 a b c a ab ac , cùng hai BĐT tương tự ta có đpcm. Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 6 Ví dụ 5 : C hứng minh rằng với mọi a,b,x,y  ta có BĐT sau (BĐT Mincôpxki) 2 2 2 2 2 2 a x b y (a b) (x y) (1) Giải: Bình phương hai vế và biến đổi tương đương: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x b y 2 (a x )(b y ) a x b y 2ab 2xy (a x )(b y ) ab xy (*) + Nếu ab xy0  thì hiển nhiên (*) đúng + Nếu ab xy0 thì 2 2 2 2 2 2 (*) (a x )(b y ) (ab xy) (bx ay) 0 (luôn đúng) Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi bx=ay. Chú ý: Có thể chứng minh BĐT trên bằng cách sử dụng BĐT véc tơ rất đơn giản như sau (khi làm bài thi ĐH các bạn phải chứng minh BĐT này trước khi dùng nó, lúc đó các bạn hãy chọn một phương án chứng minh mà các bạn cho là hay và dễ nhớ nhất. OK). Đặt u (a;x)  và v (b;y)  , khi đó u v (a b; x y)   . Từ BĐT véc tơ u v uv     và công thức độ dài véc tơ ta có ngay đpcm. Nếu áp dụng hai lần BĐT (1) ta được BĐT sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 a x b y c z (a b c) (x y z) với mọi a,b,c,x,y,z  . Nhận xét: BĐT Mincôpxki có rất nhiều ứng dụng hay và có thể giải quyết được nhiều bài BĐT hóc búa. Xin được minh hoạ điều này qua 3 bài toán cơ bản sau đây: Bài 5.1. Cho a,b không âm thoả mãn a b1 . a) Chứng minh rằng: 2 2 1 a 1 b 5 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 1 1 P a b b a Hướng giải: a) Ta có 2 2 2 2 1 a 1 b (1 1) (a b)5 . Đẳng thức xảy ra khi 1 a b 2 . b) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 P a b (a b) (a b) 17 b a a b a b         . Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 7 Đẳng thức xảy ra khi 1 a b 2 . Vậy GTNN của P bằng 17 . Bài 5.2. Cho x,y,z dương thoả mãn x y z1 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z Hướng giải: Áp dụng BĐT Mincôpxki ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 P x y z (x y z) x y z x y z 9 (x y z) 82 (*) x y z         Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 x y z 3 . Với giả thiết x y z1 ta thay trực tiếp vào (*) và được kết quả là 82 . Tuy nhiên nhiều khi đề bài lại cho giả thiết khó đi rất nhiều, mặc dù dấu bằng vẫn xảy ra khi 1 x y z 3 . Chẳng hạn đề ĐH khối A năm 2003: Cho x,y,z dương thoả mãn x y z 1  . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z . Với bài toán này ta không thể thay x y z1 để ra ngay kết quả như bài trên được. Đứng trước tình huống này ta có ngay hai hướng giải quyết. Hướng 1: Đặt 2 t (x y z) 0 t 1  . Ta có 81 P t t . Ta “tách khéo” để dùng BĐT Côsi: 81 1 80 1 80 t t 2 t. 82 P 82 t t t t 1     . Hướng 2: Vẫn đặt 2 t (x y z) và xét hàm 81 f(t) t ; 0 t 1 t  . Ta có  2 2 2 81 t 81 f '(t) 1 0 t 0;1 t t , suy ra hàm f(t) nghịch biến trên  0;1 . Do đó f(t) f(1) 82 P 82 . Hướng giải quyết thứ hai sẽ được đề cập ở phần sau của chuyên đề. Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 8 Bài 5.3. Cho x,y,z dương thoả mãn x y z 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 P 223 x 223 y 223z Hướng giải: Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 P ( 223) x ( 223) y ( 223) z (3 223) (x y z) 2012 Đẳng thức xảy ra khi 5 x y z 3 . Vậy GTNN của P bằng 2012 . Có lẽ không phải nói gì thêm nữa thì các bạn cũng đã thấy vẻ đẹp và sức mạnh của BĐT Mincôpxki. Nhưng tôi nhắc lại rằng phải chứng minh lại BĐT này trước khi áp dụng nhé! 3. Bài tập tự luyện Bài 1. Chứng minh rằng: , , , , , a b c d e R ta có: a) 2 2 2 2 2 ( ) a b c d e a b c d e . b)     3 3 3 ( 0). 2 2 a b a b ab Bài 2. Chứng minh rằng: a) 5 5 4 4 2 2 ( )( ) ( )( ), , : 0. a b a b a b a b a b ab b) 2 2 1 1 2 , , 1. 1 1 1 a b a b ab Bài 3. Cho  ABC. Chứng minh rằng: a) 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c . b) 2 2 2 2( ). a b c ab bc ca Bài 4. Chứng minh rằng: a) (a c)(b d) ab cd , a,b,c,d0 b) 2 2 2 2 2 2 (a c) (b d) a b c d  , a,b,c,dR c) 1 1 1 11 b (c a) (c a) c a b c a          0 a bc d) b c a a b c a b c b c a 0 a bcChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 9 Bài 5. Cho a, b > 0: a + b = 2. Chứng minh rằng ab ab ab Bài 6. Cho hai số thực a ,b thoả mãn a + b ≥ 2. Chứng minh rằng : a 4 + b 4 ≥ a 3 + b 3 Bài 7. Cho ba số a ,b ,c [0;1]. Chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1 Bài 8. Cho a,b,c thoả mãn a b c1 . Chứng minh rằng: a b c a b c 1 1 1 a b c 3 3 3 3 3 3 3     Bài 9. Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c a ac c a b c II. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI 1. Bất đẳng thức Côsi a) Cho a 0, b 0 . Khi đó a b a b 2 . Đẳng thức xảy ra khi a=b. b) Cho a 0, b 0, c 0 . Khi đó 3 a b c abc 3 . Đẳng thức xảy ra khi a=b=c. Các dạng tương đương là: a b 2 a b ; 2 a b ab 2    3 a b c 3 abc ; 3 a b c abc 3      c) Tổng quát: Cho n số thực không âm 12 , ,..., ( 2) n a a an . Khi đó ta có 1 2 12 ... ... n n n a a a n a aa Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n ... a a a . Chú ý : Với các bài thi ĐH- CĐ thông thường chỉ cần áp dụng BĐT Côsi với 2 hoặc 3 số. 2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) a b 2 a,b 0 b a b) a b 2 a,b 0 b a Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 10 Giải. a) áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: ab ab 2 . 2 b a ba (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a=b. b) Ta không thể áp dụng ngay BĐT Côsi vì chỉ có điều kiện a,b0  . Biến đổi tương đương BĐT bằng cách bình phương hai vế: 2 2 2 2 2 a b a b a b 2 4 2 b a b a b a     Đến đây theo BĐT côsi thì BĐT sau là đúng, vậy ta có đpcm Chú ý là dấu bằng xảy ra khi ab . Cũng có t hể thấy ngay rằng a b và b a cùng dấu nên ta có a b a b 2 b a b a (lúc này lại áp dụng BĐT Côsi được) Ví dụ 2: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: a) 1 1 4 a b a b (1) b) 1 1 1 9 a b c a b c (2) Giải. a) Nếu viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng 1 1 (a b) 4 a b   thì hướng giải quyết là quá rõ ràng. Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta được a b 2 ab và 11 1 2 a b ab . Suy ra 1 1 1 (a b) 4 a b . 4 a b ab     . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b b) Hoàn toàn tương tự với phần a) bằng cách áp dụng BĐT Côsi với 3 số. Nhận xét: Hai BĐT trong ví dụ 1 có rất nhiều ứng dụng và cũng là con đường sáng tạo ra vô vàn các BĐT hay. Có thể nói phần lớn các BĐT trong đề thi ĐH- CĐ có gốc tích của hai BĐT này. Nói ra các áp dụng hay của hai BĐT này thì nhiều vô kể và không biết sẽ tốn kém bao giấy mực, tôi xin chỉ dẫn chứng ra vài bài toán điển hình. Bài 2.1. Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: Chuyen d@ Bfi t ding thfrc LTDH nii m 2015 Bien SOl;ln: Th�y Le Xuan Dl;li cvp !+ .!_ + .!_ 2:2 ( -'-+- 1 -+-' - ) ( 3) a b c a+b b+c a+c Huong gidi: ap dvng ba llln BDT (I) ta duqc I I 4 I I 4 I I 4 - + ->--· - + ->--· - + ->-­ a b-a+b' b c-b+c' a c-a+c Cong timg v� 3 BDT tren ta duqc di�u phai chung minh Dftu bing xay ra khi va chi khi a = b = c. Co le cac b;m da cam thfty qua .in tuqng v&i lai giiii cua bai toan, ki�n thuc sir dµng a day la r§.t dan gian nlmng hi?u qua. N�u ti�p t\JC ap d\Jng m9t llln nfr a BDT (3) ta duqc BDT sau: --+--+--2:2 + + (4) l I I ( I I l ) a+b b+c a+c 2a+b+c a + 2b+c a+b+2c Tu (3) va (4) ta duqc BDT: .!_ + .!_ + .!_ 2: 4 ( I + L + I ) (5) a b c 2a + b + c a + 2b + c a+ b + 2c D�n day cac b;m co nh& t&i d� thi DH khf>i A nam 2004 kh6ng. Xin dua ra day cho cac b;m co cam giac ·'ming ui" nhe: I I I Bai 2.2 . (DH-KA 2004): Cho a,b,c duang thoa man di€u ki?n -+-+-=4. a b C Ch· . I � I I (6) ung mm, rang: + + :s; 2a + b + c a+ 2b + c a+ b + 2c Bai 2.3. Cho a,b�c dum1g. Chung minh ring: ab be ac a + b + c -- + -- + --:s: (7) a+b b+c a+c 2 Huong giai: Theo BDT {I) ta co: Cung hai BDT tuang t\f ta duqc BDT (7) dn chung minh. Hj qua: N�u cho t6ng ba sf> a,b,c thi tim duqc GTLN cua bi@u thuc v� trai cua (7) Chiing hiµ, ta dua ra bai toan kha hay sau: 11Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 12 * Cho x,y,z dương thoả mãn x 2y 4z 12 . Chứng minh rằng: 2xy 8yz 4xz 6 x 2y 2y 4z 4zx  . Với bài toán này, các bạn chỉ cần coi a x;b 2y;c 4z thì a b c 12 và BĐT cần chứng minh trở thành: ab bc ac 6 a b b c a c  (đây chính là hệ quả của (7) rồi. OK) Bài 2.4. Gọi a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi tam giác đó. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c     (8) Hướng giải: Dễ thấy p a 0; p b 0; p c 0 và nhận xét rằng (p a) (p b) 2p a b c Điều này gợi ý ta dùng BĐT (1) cho hai số p-a và p-b. Cụ thể là: 1 1 4 4 p a p b (p a) (p b)c Cùng hai BĐT tương tự ta được BĐT (8) cần chứng minh Bài 2.5. Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 a b c a b c a b b c c a 2     (9) Hướng giải: Ta có 2 2 2 2 2 2 9 3 3(a b c ) 3 VT(9) a b c . . (a b c) 2(a b c) 2 a b c 2 ( do 2 2 2 2 (a b c) 3(a b c)  ) Bài 2.6. Cho x,y,z dương thoả mãn x y z1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z P x 1 y 1 z 1 . Hướng giải: Để có thể áp dụng được BĐT (2) ta biến đổi P như sau: x 1 1 y 1 1 z 1 1 1 1 1 P 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1    Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 13 Ta có 1 1 1 9 9 x 1 y 1 z 1 x y z 3 4 , suy ra 9 3 P 3 4 4  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 x y z 3 . Vậy GTLN của P bằng 3 4 . Với lời giải như trên các bạn có thể làm hoàn toàn tương tự với bài toán tổng quát hơn Bài 2.7. Cho x,y,z dương thoả mãn x y z1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z P kx 1 ky 1 kz1 . Bài 2.8. Cho a,b,c dương thoả mãn a b c1  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 P a 2bc b 2ac c 2ab Hướng giải: Ta có ngay 2 2 2 2 9 9 P 9 a 2bc b 2ac c 2ab (a b c) . Dấu bằng xảy ra khi a bc 1 a b c a b c 1 3  . Vậy min P 9 . Bài 2.9. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 6 2 cos2A 2 cos2B 2 cos2C5 Hướng giải: Ta có 1 1 1 9 2 cos2A 2 cos2B 2 cos2C 6 cos2A cos2B cos2C Dễ chứng minh được rằng 3 cos2A cos2B cos2C 2  (các bạn hãy tự chứng minh nhé) Suy ra 1 1 1 9 6 3 2 cos2A 2 cos2B 2 cos2C 5 6 2 (đpcm) Bài 2.10. Cho a,b,c dương thoả mãn a b c1 . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 30 ab bc ac a b c (10) Hướng giải: Ta đánh giá vế trái của (10) một cách rất tự nhiên như sau: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 9 ab bc ac ab bc ca a b c a b c Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 14 = 2 2 2 1 1 1 7 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c   2 9 7 9 7 30 1 ab bc ca 1 (a b c) 3 (do BĐT cơ bản 2 1 1 ab bc ca (a b c) 3 3  ) 3. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a) 1 1 1 ( )( ) 9 a b c a b c . b) 3 3 (1 a)(1 b)(1 c) 1 abc c) 2 2 2 a b c a bc b c c a a b 2 d) a b c a c b c b a c b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2  Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau: 2 1 2 A a a với a > 0. 3 2 3 B x x với x > 0. Bài 3. Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 3 3 T a bc Bài 4. Cho x, y, z > 0: x + y + z = 1. Tìm Min: 4 4 4 R x y z . Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau: (3 2 ); (0 3 /2). M x x x (1 )(2 )(4 ); (0 x 1, 0 2). N x y x y y    3 (1 ) ; 0 1. P x x x  Bài 6. Chứng minh rằng với a, b, c > 0 ta có: a) 6 a b b c c a c a b b) 3 2 a b c b c c a a b . c) bc ca ab a bc a b c d) 2 2 2 1 1 1 3 a b c (a b c) a b b c c a 2    Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 15 e) 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c c a      f) 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 1 1 1 a b c a b b c c a      Bài 7. Cho  ABC với ba cạnh là a,b,c. CMR: 3 a b c b c a c a b a b c . Bài 8. Cho , 1 a b . Chứng minh rằng: 1 1 a b b a ab  . Bài 9. Cho  ABC. Chứng minh rằng: a) 1 ( )( )( ) 8 p a p b p c abc  . b) 1 1 1 1 1 1 2 ( ) p a p b p c a b c . Bài 10. Cho a,b,c0 và a b c 1  . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 9 a 2bc b 2ca c 2ab Bài 11. Chứng minh rằng: a) 1 a 3 b(a b) , a b 0 b) 2 1 a 22 b(a b) , a b 0 c) 2 4 a 3 (a b)(b 1) , a b 0 d) 2 2 a 2 2 a 1 , aR e) 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y  x, y R f) 2 2 1 2 (x 1) 1 16 x x   0 x Bài 12. Cho a,b,c0 và a b c 1 . CMR: 8 abc(a b)(b c)(c a) 729  Bài 13. Cho a,b,c0 và 2 2 2 a b c 1 . CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c 33 2 b c c a a b Bài 14. Cho a,b,c0 : 1 1 2 a c b . CMR: a b c b 4 2a b 2cb Bài 15. a) Cho a , b , c > 0 và 1 1 1 2 1 a 1 b 1 c . CMR: 1 8  abc . b) Cho a,b,c,d0 thoả mãn 1 1 1 1 3 1 a 1 b 1 c 1d . CMR: 1 abcd 81  Bài 16. Cho a, b , c R và a + b + c = 0. CMR: a b c a b c 8 8 8 2 2 2 . Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 16 Bài 17. Chứng minh rằng 2 2 ( 2) 3 ( 0) 2 x x x Bài 18. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng 2 4 ab 27  . Bài 19. Chứng minh rằng nếu x > - 3 thì 1 3 9 3 2 2 x x Bài 20. Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì 2 4 a 3 (a b)(b 1) Bài 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn: 1 3 2 yx Bài 22. Với xyz = 1, x, y, z > 0. CMR: 2 3 2 2 2 y x z z x y y z x Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a b b a 1 1 3 3 với a, b là các số dương thoả mãn điều kiện ab = 1. Bài 24. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 3 P x y với x, y là các số dương thỏa mãn x+y=1. Bài 25. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 26 ) ( 16 ) ( 9 ) ( 4 z x y y z x x z y Bài 26. Cho x + y = 1, x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy y x A 1 1 2 2 Bài 27. Cho x,y 0 , x+ y= 1. CMR: 1 2 1 2 2   yx Bài 28. Cho a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất b a P 1 1 Bài 29. Cho x,y,z dương thoả mãn xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của a) P=x+y+z b) P= x y z c) 1 1 1 x y z Bài 30. Cho 3 số a,b,c > 0. CMR: 2 a a 3 + b 2 + 2 b b 3 + c 2 + 2 c c 3 + a 2  1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 17 Bài 31. Cho x ,y ,z [0;1]. CMR: (2 x + 2 y + 2 z )(2 – x + 2 – y + 2 – z )  81 8 Bài 32. Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 . Tìm GTLN của A = ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4 abc Bài 33. Cho a,b,c dương . Chứng minh rằng: 1 1 4 16 64 a b c d a b c d Bài 34. Cho a,b,c dương thoả mãn a b c1 . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 a b b c a c 18  Bài 35. Cho a,b,c dương thoả mãn ab bc ca5 . Chứng m i n h rằng: 2 2 2 3a 3b c 10 Bài 36. Cho a,b,c dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: a) 3 3 3 a b c a b c b) 3 3 3 2 2 2 a b c a b c Bài 37. Cho a,b,c dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 a 1 . b 1 . c 1 1 b c a            Bài 38. Giả sử a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 3 a b c b c a c a b Bài 39. Cho a,b,c dương thoả mãn a b c1 . Chứng minh rằng: (1 a)(1 b)(1 c) 8( 1 a)(1 b)(1 c) Bài 40. Cho a,b,c dương thoả mãn a b c abc . Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c 1 b c a Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 18 Để các bạn có thêm kỹ thuật khi áp dụng BĐT Côsi tôi xin giới thiệu một chút về phương pháp chọn điểm rơi côsi. Đây có thể nói là một “tuyệt chiêu” độc đáo giúp các em nhanh chóng tìm ra lời giải bài toán. III. PHƯƠNG PHÁP THÊM HẠNG TỬ VÀ CHỌN ĐIỂM RƠI CÔSI Từ việc dự đoán được dấu bằng xảy ra (điểm rơi Côsi), thêm bớt các số hạng cho phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt được những kết quả không ngờ. Để có được một định hướng đúng đắn chúng ta thực hiện các bước phân tích bài toán như sau: 1. Dự đoán dấu bằng xảy ra hay các điểm mà tại đó đạt được GTLN, GTNN. 2. Từ dự đoán dấu bằng, kết hợp với các BĐT quen biết, dự đoán cách đánh giá (tất nhiên là thêm một chút nhạy cảm và khả năng toán học của mỗi người) cho mỗi bài toán. Chú ý rằng mỗi phép đánh giá phải đảm bảo nguyên tắc “dấu bằng xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu bằng mà ta đã dự đoán ban đầu”. Để làm rõ điều này tôi xin phân tích cách suy nghĩ tì m r a lời giải trong các ví dụ sau: Ví dụ 1. Chứng minh rằng với a,b,c0 ta có: 2 2 2 a b c a b c b c a Phân tích bài toán: * Trước hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si cho 3 số thì không ra được kết quả mong muốn. * Dễ nhận thấy dấu bằng xẩy ra khi a = b = c. Khi đó 2 a b b . Vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện 2 a b để có chứng minh sau: Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b 2a; c 2b; a 2c b c a a b c a b c b c a 2a 2b 2c a b c b c a b c a Ví dụ 2. Chứng minh rằng với x,y,z > 0 ta có 3 3 3 2 2 2 x y z x y z y z x Phân tích bài toán: Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 19 Ta thấy rằng với hạng tử 3 x y có thể có hai hướng sau: Hướng 1 : Th ê m 3 2 x xy 2x y , cùng với BĐT cơ bản 2 2 2 x y z xy yz zx cộng các bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh. Hướng 2 : Th ê m 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 x x y y z z y 3x ; z 3y ; x 3z y y z z x x rồi cộng lại ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: x 3 + y 3 +z 3 x + y + z Phân tích bài toán: * Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1. * Ta muốn đạt hai mục đích là đánh giá giảm bậc từ bậc 3 xuống bậc 1 và đảm bảo dấu bằng khi x=1, như vậy phải sử dụng BĐT côsi với 3 số, đó là điều dễ hiểu. Vậy thì phải thêm hằng số nào vào với 3 x . Chắc các bạn đều thống nhất đó là số 1 rồi. Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta được 3 x 1 1 3x ; 3 y 1 1 3y ; 3 z 1 1 3z Cộng từng vế 3 BĐT ta được : 3 3 3 x y z 3( x y z)6 Mặt khác 3 x y z 3 xyz 3 nên 3(x y z) 6 x y z Vậy bài toán được chứng minh. Cũng theo hướng này ta có các kết quả sau: Với x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta có: 3 3 3 2 2 2 x y z x y z 2012 2012 2012 2011 2011 2011 x y z x y z (Các bạn hãy chứng minh các kết quả này nhé) Ví dụ 4. Cho a, b, c dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c 3 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b)4 Phân tích bài toán: Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 20 Ta sẽ thêm cho 3 a (1 b)(1 c) những hạng tử gì? Để trả lời được câu hỏi đó các bạn chú ý là dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. Lúc đó thì 3 a 1 1 1 1 b 1 c (1 b)(1 c) 4 8 8 8 Vì vậy ta có cách chứng minh sau: Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta được 3 3 3 a 1 b 1 c a 1 b 1 c 3 3. . . a (1 b)(1 c) 8 8 (1 b)(1 c) 8 8 4 Cùng hai BĐT tương tự ta có: 3 3 3 a b c 3 1 3 (a b c) (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) 4 2 2 (đpcm). Điều phải chứng minh. Ví dụ 5. Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c 1 (a b c) b(c a) c(a b) a(b c) 2 Phân tích bài toán: * Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c. * Khi đó 3 3 a a a c a b b(c a) a(a a) 2 4 2 . Viết như vậy vì dụng ý của ta là phải khử được mẫu số ở vế trái. Như vậy có thể thực hiện lời giải đơn giản như sau: Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta được 3 3 3 a c a b a c a b 3 3. . . a b(c a) 4 2 b(c a) 4 2 2 Cùng hai BĐT tương tự ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 6. Cho a, b, c dương thoả mãn a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của 3 3 3 P a 2010b b 2010c c 2010a Phân tích bài toán: * Dự đoán P đạt GTLN tại a b c 1 (tất nhiên không phải lúc nào điều dự đoán của ta cũng đúng) * Khi đó 3 3 a 2010b 2011 và dự đoán giá trị lớn nhất của P bằng 3 3 2011 (thế này mà thi trắc nghiệm thì ngon quá...) Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 21 * Bây giờ với một tham số m>0 nào đó, ta viết 3 3 2 2 3 3 1 1 (a 2010b) m m a 2010b . (a 2010b).m.m . 3 m m  . Vấn đề bây giờ là ta chọn m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dễ thấy dấu bằng xảy ra khi a b 1 m 2011 a 2010b m  Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta có: 3 3 2 2 3 3 1 1 (a 2010b) 2011 2011 a 2010b . (a 2010b).2011.2011 . 3 2011 2011  Cùng hai BĐT tương tự và cộng lại ta được: 3 2 3 1 2011(a b c) 6.2011 P . 3. 2011 3 2011      Dấu bằng xảy ra khi a b c 1 . Vậy GTLN của P bằng 3 3 2011. Ví dụ 7. Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 P a 64b c . Phân tích bài toán: Đây là bài toán mà các vai trò của các biến không như nhau. Tuy nhiên ta vẫn dự đoán được P đạt GTNN khi a=c. Vấn đề là bằng bao nhiêu thì chưa thể nói ngay được. Để biết điều đó ta xét hai tham số , 0  và viết P như sau:    3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 P (a ) (64b ) (c ) 4 2 Áp dụng BĐT Côsi ta có:   2 2 2 3 3 P 3 a 3.4 b 3 c 4 2 (*) Dấu bằng xảy ra khi    a c b / 4 2 3 (1) 4 a b c 3 Đến đây vẫn chưa đủ để có thể tìm ra  , . Để ý rằng giả thiết cho a+b+c=3 nên từ (*) ta sẽ làm cho các hệ số đứng trước a,b,c bằng nhau. Cụ thể là  2 2 3 12 (2) Từ (1) và (2) dễ tìm ra 24 12 , 17 17  . Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 22 Khi đó 24 3 a c ,b 17 17 và 3 2 12 P 17 Mọi thứ thế là ổn. Các bạn hãy tự viết lại lời giải bài toán này và “nâng nâng” trong niềm vui chiến thắng nhé. Nhận xét: Nếu ta bỏ giả thiết a+b+c=3 thì ta có thể thu được BĐT sau: Cho a,b,c không âm. Chứng minh rằng 3 3 3 3 289(a 64b c ) 64(a b c) . Lời giải của bài toán này dành cho bạn đọc (gợi ý là có thể chuẩn hoá để đưa về bài toán ở trên). Ví dụ 8. Cho x,y,z dương thỏa mãn xy yz xz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 P 3(x y ) z . Phân tích bài toán: Chắc không phải bình luận gì thì các bạn đều công nhận với tôi rằng bài toán này quá hay, cấu trúc đẹp mắt nhưng không hề dễ dàng. Tất nhiên ai chẳng mong rằng đề bài sẽ cho tìm GTNN của 2 2 2 P x y z hoặc vui hơn là tìm GTNN của 2 2 2 P x y z 2013.... Ta trở lại quá trình phân tích và tìm tòi lời giải cho bài toán: Điều kiện rằng buộc ở giả thiết là đối xứng với x,y,z, nhưng trong biểu thức P chỉ đối xứng với x,y; vai trò của z với x,y là như nhau. Vì vậy ta dự đoán P đạt GTNN khi x=y và 2 z x y 2 (với 0 nào đó). Ta đưa ra đánh giá như sau: 2 2 z x 2 .xz 2 2 ; 2 2 z y 2 .yz 2 2 và 2 2 . x y 2. .xy 2 2 Do đó: 2 2 2 . x y z 2. . xy yz xz 2 2 2 2     . Như thế ta chọn 0 sao cho 3 2 (số 3 trong đề bài), có thể thấy ngay một số 2 . Dấu bằng xảy ra khi 2 2 2 1 x y xy yz xz 1 z 2x 2y 5 z xy yz xz 1 2 x y z 2 5    Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 23 Lúc đó GTNN của P bằng 2. Các bạn hãy bắt tay tự giải bài toán tương tự sau nhé: Cho x,y,z dương thỏa mãn x y z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 z P x y 4 . IV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM 1. Nội dung phương pháp a) Các kiến thức liên quan: 1. Hàm f(x) đồng biến trên D khi và chỉ khi f '(x) 0 x D . 2. Hàm f(x) nghịch biến trên D khi và chỉ khi f '(x) 0 x D  . 3. Cho hàm f(x) đồng biến trên D, khi đó với u,v D ta có: u v f (u) f (v) 4. Cho hàm f(x) nghịch biến trên D, khi đó với u,v D ta có: u v f (u) f (v) b) Phương pháp giải: Để chứng minh BĐT bằng PP đạo hàm, ta khảo sát sự biến thiên của một hàm số f(x) nào đó có liên quan tới cấu trúc của BĐT cần chứng minh. Từ sự biến thiên của hàm số f(x) ta suy ra BĐT cần chứng minh. Chú ý là các biến bị ràng buộc theo giả thiết của bài toán. Để các bạn có thể hiểu ngay tư tưởng của phương pháp này tôi xin đưa ra một bài toán đơn giản sau: “ Cho a b . Chứng minh rằng: 2 2 1 1 a b a 1 b 1 ” Các bạn có thể chứng minh bài toán này bằng PP biến đổi tương đương, tuy nhiên nhìn vào đặc điểm hai vế của BĐT ta xét hàm số 2 1 f (x) x x 1 với x  Ta có 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2x x 2x 1 2x x x (x 1) f '(x) 1 0 (x 1) (x 1) (x 1) với mọi x  . Suy ra hàm f(x) đồng biến trên  . Mà a b f (a) f (b) , hay 2 2 1 1 a b a 1 b 1 (đpcm). Nhận xét: Bài toán trên đã thể hiện khá rõ về PP sử dụng đạo hàm trong bài toán BĐT. Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 24 2. Các dạng toán cơ bản Trong các đề thi vào ĐH- CĐ thường xuất hiện hai dạng bài toán sau: Dạng 1: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ có một biến. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x 0 ta có: x e 1 x (1) Lời giải. Xét hàm x f (x) e x 1 với x 0 . Ta có x f '(x) e 1 0 với mọi x 0 . Suy ra hàm f(x) đồng biến trên  0; f (x) f (0) 0  . Vậy x e 1 x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0. Nhận xét: Bằng việc xét đạo hàm hai lần và sử dụng ví dụ 1 ta có kết quả sau: 2 x x e 1 x 2 với mọi x 0 (2) Hoặc ta có kết quả tổng quát hơn: Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng: 2 n x x x e 1 x ... 2 n! với mọi x 0 (3) Ví dụ 2: Cho π 0 x 2   . Chứng minh rằng: a)  sin x x b) sinx 3 x x 6 (4) b) sinx 2x  (5) Lời giải. a) Xét hàm f(x) x sin x với π      x 0; 2 . Ta có f '(x) 1 cosx 0 , π      x 0; 2 Suy ra hàm f(x) đồng biến trên π      0; 2 . Do đó f(x) f(0) 0 (đpcm). b) Xét hàm 3 x f(x) sinx x 6 với π      x 0; 2 . Ta có 2 x f '(x) cosx 1 2 ; f ''(x) sin x x 0 (theo phần a) Do đó f '(x) f '(0) 0 f(x) f(0) 0 (đpcm). c) Xét hàm  2x f(x) sin x , ta có  2 f '(x) cosx . Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 25 Đến đây kịch bản không như hai phần (a) và (b) nữa vì f’(x) có nghiệm duy nhất π      x 0; 2 . Có lẽ đến đây các bạn sẽ lúng túng. Hãy thật bình tĩnh và nhớ lại rằng khi đạo hàm f’(x) có nghiệm trong đoạn π      0; 2 ta phải nghĩ tới bảng biến thiên của nó (hãy vẽ ngay ra nháp BBT đi). Từ BBT ta suy ra ngay      f(x) f 0 2 . Vậy  2x sinx (đpcm). Ví dụ 3: Cho x 2 . Chứng minh rằng 1 5 x x 2 (6) Lời giải. Nếu bạn nào chưa thạo về việc sử dụng BĐT Côsi để giải bài toán này thì PP sử dụng hàm số là một “vũ khí” để lấp lỗ hổng đó. Thật đơn giản khi ta xét hàm số 1 f(x) x x với x 2 . Ta có ngay 2 2 2 1 x 1 f '(x) 1 0 x x , suy ra hàm f(x) đồng biến trên   2; . Do đó 5 f(x) f(2) 2 (đpcm). Dạng 2: Bất đẳng thức cần chứng minh có nhiều biến Ví dụ 1: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: 3 3 a b c abc 10 a b c 3 abc (7) Lời giải. Đặt 3 a b c t abc , khi đó theo BĐT Côsi thì t 3. Ta cần chứng minh 1 10 t t 3 với t 3. Đến đây thì bài toán được giải hoàn toàn tương tự với việc chứng minh BĐT (6). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Ví dụ 2: Cho a,b,c dương thoả mãn 2 2 2 a b c 1 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 a b c 3 3 b c c a a b 2 (8) Giải. Từ giả thiết ta viết lại (8) dưới dạng: Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 26 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3 3 a b c 3 3 (a b c ) 1 a 1 b 1 c 2 a(1 a ) b(1 b ) c(1 c ) 2 Chú ý thêm rằng a,b,c (0;1) Điều này cho ta nghĩ tới việc chứng minh  2 2 3 x(1 x ) 9 với x (0;1) Xét hàm số 2 f(x) x(1 x ) trên khoảng (0;1) ta được ngay kết quả trên. Chú ý: Có một cách hỏi theo dạng hình học khá thú vị của bài toán trên như sau: Cho hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh là a,b,c và độ dài đường chéo chính là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 2 2 a b c P b c c a a b . Ví dụ 3. (ĐH Khối A-2003): Cho x,y,z dương thoả mãn  x y z 1 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z (9) Giải. Đặt vế trái của (9) là P. Theo các kết quả quen biết ta có:         2 2 2 2 1 1 1 9 P (x y z) (x y z) x y z x y z Nếu giả thiết cho x y z 1 thì đã quá ổn rồi, nhưng ở đây giả thiết lại cho  x y z 1 . Giả thiết này thường làm cho các em HS bối rối. Tại sao không nghĩ tới hàm số nhỉ. Các bạn chỉ cần đặt 2 (x y z) t thì  0 t 1 và BĐT cần chứng minh trở thành 81 t 82 t với  0 t 1. Điều này thì quá đơn giản rồi. Chú ý là dấu bằng vẫn xảy ra khi x y z 1 và x=y=z, hay 1 x y z 3 . Như vậy sức mạnh của PP hàm số thật kinh khủng và có thể xuyên thủng bất kì “hàng phòng ngự nào” cho dù giả thiết và kết luận của bài toán mới nhìn đã choáng. Tôi xin dẫn chứng thêm một vài bài BĐT “không đối xứng” nữa, có lẽ các bạn sẽ tâm phục khẩu phục điều tôi nói thôi. Ví dụ 4. Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 1 P a b c 4 Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 27 Giải. Sử dụng đánh giá 3 3 3 (a b) a b 4 , suy ra 3 3 3 3 2 (a b) 1 (1 c) 1 1 P c c (3c 3c 1) 4 4 4 4 4 Ta đã thành công khi đưa BĐT với 3 biến về chỉ còn 1 biến c, chú ý là c (0;1) . Xét hàm 2 1 f (c) (3c 3c 1) 4 , ta có 1 1 f '(c) (6c 3) 0 c 4 2 Từ đó 1 1 f (c) f 2 16     . Dấu bằng xảy ra khi 1 a b a b 4 1 1 c c 2 2   . Vậy GTNN của P bằng 1 16 , khi 1 1 a b ;c 4 2 . Ví dụ 5. Cho a,b,c không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh rằng: 7 ab bc ca 2abc 27  (10) Giải. W.L.O.G, giả sử c là số nhỏ nhất trong 3 số a,b,c. Khi đó 1 c 0; 3      . Ta sẽ tập trung vào việc đánh giá VT của (10) theo biến c. Ta có 2 a b ab bc ca 2abc c(1 c) ab(1 2c) c(1 c) (1 2c) 2      = 2 1 c c(1 c) (1 2c) 2     . Xét hàm số 2 1 c f (c) c(1 c) (1 2c) 2     với 1 c 0; 3      Ta có 1 f '(c) c(1 3c) 0 2 , suy ra hàm f(c) đồng biến trên 1 0; 3      Do đó 1 7 f (c) f 3 27      (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 a b c 3 . 3. Bài tập tự luyện Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 28 Bài 1. Chứng minh rằng: a) , 0 x sinx x b) 2 1 , 0 2 x x e x x c) tan 2 , 0; 2     sinx x x x  Bài 2. Tìm m để: 2 4 2 2 0 m x x m x . Bài 3. a) Cho x (0;1) . CMR: 2 2 3 x(1 x ) 9  . b) với 2 2 2 , , 0 : 1 a b c a b c ta có: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b Bài 4. Cho a b 0. CMR: 2 1 a a 1 2 1 b b 1 . Bài 5. Cho >1. CMR với mọi x 0 thì : (1+x) α 1+ x. Bài 6. a) CMR với mọi x thì 5 5 1 x (1 x) 16 . b) Tổng quát: n n n 1 1 a b 2 với n nguyên dương; a,b>0 thoả mãn a+b=1 c) Tìm GTNN của f(x)= 10 10 sin x cos x . Bài 7. Chứng minh rằng với mọi x>0 thì: lnx< x . Bài 8. Cho 0 x 2    . CMR: 3 1 2sin tan 2 2 2 2 x x x . Bài 9. Cho 0y>0. CMR: x y x y 2 ln x ln y . Bài 11. Chứng minh rằng 2 2 x x 1 x x 3 1 2 . Bài 12. (Khối A-2003). Cho x,y,z>0 thoả mãn: x+y+z  1. Chứng minh rằng: Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 29 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z . Bài 13. (Khối D-2001). CMR với mọi x 0 và với mọi >1 ta luôn có x 1 x . Từ đó hãy CMR: Với ba số dương a,b,c bất kì ta có: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a . Bài 14. Chứng minh rằng với mọi x 0 ta có: cosx 2 x 1 2 . Bài15. Cho tam giac ABC nhọn. Chứng minh rằng  sin A sin B sinC tan A tan B tanC 2 Bài 16. Chứng minh rằng mọi x 0 thì ta có: x x 2 e e 2 ln(x 1 x ) . Bài 17. Cho      2 cosx x 0; . CMR: 8 4 sin x(cosx-sinx) . Bài 18. Tìm GTNN của hàm số 2 9 f(x) 4x sin x, x 0 x  Bài 19. Cho 4 3 0  . Chứng minh rằng 3 1 . 2 2 Bài 20. Cho x y z 0 . Chứng minh rằng: x z y x y z z y x y z x Bài 21. Cho x,y,z không âm thỏa mãn 2 2 2 x y z 1 . Chứng minh rằng: 6(y z x) 27xyz 10  Bài 22. Cho x,y,z, dương thoả mãn x+y+z=4 và xyz=2. Tìm GTLN và GTNN của 4 4 4 P x y z Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 30 V. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ LỜI GIẢI Bài giải Với a, b, c > 0 ta chứng minh được: 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 a b a b ab b c b c bc c a c a ca  VT (1) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b ab abc b c bc abc c a ca abc  = 1 1 1 ab(a b c) bc(a b c) ca(a b c) = 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca abc     . Bài giải * Ta có: 2 1 x 2x 2 x 1 2 1 x  . Tương tự 2 y 1 2 1 y  và 2 z 1 2 1 z  Suy ra 2 2 2 x y z 3 2 1 x 1 y 1 z  * Ta có: 1 1 1 9 9 9 3 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 3 ( ) 6 2 x y z x y z x y z Bài giải Bài 2: Cho x, y, z 0 thoả mãn x y z 3  . Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z 3 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z   Bài 3: Cho a, b, c > 0 sao cho abc = 1. Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2 bc ca ab P a b a c b a b c c a c b Bài 1: Chứng minh rằng với a,b,c 0 ta cú 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc  (1) Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 31 Biến đổi 2 2 2 bc ca ab P a (b c) b (a c) c (a b) = 2 2 2 1 1 1 a b c b c a c a b bc ac ab = 2 2 2 1 1 1 a b c 1 1 1 1 1 1 b c c a a b Đến đây thì mọi thứ trở lên nhẹ nhàng hơn nhiều rồi Ta chỉ cần đặt 1 x a , 1 y b , 1 z c , khi đó xyz = 1 và 2 2 2 x y z P y z z x x y áp dụng BĐT Côsi ta được: 2 x y z x y z 4 , 2 y z x y z x 4 , 2 z x y z x y 4 x y z P x y z 2 3 x y z 3 3 P xyz 2 2 2 . Vậy min 3 P 2 khi x = y = z = 1 Bài giải Ta có (1) tương đương 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 a b c a b b c c a ab bc ca a b c ab c a bc . áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có: 3 3 3 2 a b b 3ab 3 3 3 2 b c c 3bc 3 3 3 2 c a a 3ca Từ đó suy ra 3 3 3 2 2 2 3(a b c ) 3(ab bc ca ) 3 3 3 2 2 2 a b c ab bc ca (2) Tương tự ta có 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 a b b c c a ab c a bc a b c (3) Từ (2) và (3) suy ra: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 a b c a b b c c a ab bc ca a b c ab c a bc Bài 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 1 a 1 b 1 c 1 ab 1 bc 1 ca (1) Bài 5: Cho a, b, c > 0: 1 1 1 3 a b c . Chứng minh rằng 1 a 1 b 1 c 8 (1) Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 32 Bài giải Từ 1 1 1 3 a b c suy ra 3 2 2 2 3abc ab bc ca 3 a b c abc 1 Biến đổi (1) 1 1 1 8 1 1 1 0 a b c abc             (2) Ta có VT(2) = 1 1 1 1 1 1 7 1 a b c ab bc ca abc = 1 1 1 7 4 ab bc ca abc 3 2 2 2 1 7 4 3 abc a b c 3 7 4 abc abc (do abc 1 ) 4 4 0 abc (do abc 1 ) (đpcm). Bài giải Ta có: 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 y 2 y 2 x 2 z 2 x 2 z x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z x  = = 1 1 1 1 1 1 x y y z z x    2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x y y z z x                  = 2 2 2 1 1 1 x y z Bài giải Theo BĐT Côsi ta có 1 1 x y 4 x y     , x,y 0 và 2 1 4 xy (x y) , x,y 0 Do đó 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ab 2ab 2ab a b a b     2 2 2 4 4 2 4 6 2(a b) 2ab a b . Bài 6: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 y 2 x 2 z 1 1 1 x y y z z x x y z  Bài 7: Cho a, b > 0 thoả mãn a + b = 1. Chứng minh rằng 2 2 1 1 6 ab a b Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 33 Bài giải Gặp những bài toán dạng này ta thường sử dụng BĐT sau (BĐT Mincôpxki) 2 2 2 2 2 2 ( ) x a y b x y a b (1) với mọi a,b,x,y 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x a y b z c x y z a b c (2) với mọi a,b,c,x,y,z Chứng minh BĐT (1) thật đơn giản, có thể đưa ra 2 cách như sau: Cách 1: Biến đổi tương đương (1) bằng cách bình phương hai vế và đưa về BĐT đúng 2 ( ) 0 bx ay Cách 2: Sử dụng BĐT véc tơ Với mọi véc tơ ,   u v ta có     u v u v (*) (vì 2 2 2 2 2 2 2 . 2 .                  u v u v u v u v u v u v ) Đặt ( ; )  u x a , ( ; )  v y b . áp dụng (*) suy ra ngay BĐT (1) áp dụng hai lần BĐT (1) ta suy ra BĐT (2), và cũng suy ra các BĐT tổng quát cho bộ 2n số… Trở lại bài toán: áp dụng BĐT (2) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 P x y z (x y z) x y z x y z     2 2 3 3 1 3 xyz 3 xyz       9 9t t Với 2 3 ( ) t xyz 2 x y z 1 0 t 3 9       . Đến đây thì ý tưởng dùng hàm số là khá rõ ràng rồi Xét hàm số 9 f(t) 9t t với 1 t 0, 9      Bài 8: (Khối A- 2003). Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x y z 1  . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 34 Ta có / 2 9 1 f (t) 9 0, t 0, 9 t      f(t) giảm trên 1 0, 9      1 f(t) f 82 9     . Vậy P f(t) 82 . Bài giải Từ giả thiết và BĐT cần chứng minh cho phép ta nghĩ ngay tới BĐT cơ bản sau: * Với a,b dương ta có 1 1 4 a b a b , hay 1 1 1 1 a b 4 a b      . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b * Áp dụng “khéo léo” BĐT trên ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z                      (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 2y z 4 2y x z 4 2y 4 x z 8 y 2x 2z                      (2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y 2z 4 2z y x 4 2z 4 y x 8 z 2y 2x                      (3) Cộng theo từng vế các BĐT (1), (2) và (3) ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z      Bài giải * Mấu chốt của bài toán là phải biết phân tích các cơ số ở vế trái 2 12 15 . 3 5 4 ; 2 12 20 . 4 5 3 ; 2 15 20 . 5 4 3 * Đến đây áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có Bài 9: (Khối A – 2005). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1 1 1 4 x y z . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z  Bài 10: (Khối B – 2005). Chứng minh rằng với mọi x R , ta có x x x x x x 12 15 20 3 4 5 5 4 3             Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 35 12 15 12 15 2 . 2.3 5 4 5 4                 x x x x x (1) 12 20 12 20 . 2.4 5 3 5 3                 x x x x x (2) 15 20 15 20 2 . 2.5 4 3 4 3                 x x x x x (3) Cộng các BĐT (1), (2), (3) ta được x x x x x x 12 15 20 3 4 5 5 4 3             (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=0. Bài giải * Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta có 3 3 3 3 3 1 x y 3 1.x .y 3xy 3 3 1 x y 3 xy xy (1) * Cùng hai BĐT tương tự ta được 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3 3 xy yz zx xy yz zx * Mặt khác: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 xy yz zx xy yz zx   3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3 xy yz zx Bài giải Bài 11: (Khối D – 2005). Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3 xy yz zx Bài 12: (Dự bị D– 2005). Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn x y z 0 . Chứng minh rằng x y z 3 4 3 4 3 4 6 Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 36 * Bài toán này có chút gần gũi với bài 11, nếu tinh ý ta thấy rằng x y z x y z 0 4 .4 .4 4 4 1 * Ta có : 4 x x x 3 4 1 1 1 4 4 4 4 8 x x x 3 4 2 4 2 4 * Cùng hai BĐT tương tự ta được 3 8 8 8 x y z x y z x y z 8 3 4 3 4 3 4 2 4 4 4 6 4 .4 .4 6    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0. Bài giải * Ta có 3 4 3 x x x x 1 x 1 4 3 3 3 3 Tương tự : 3 4 3 3 y y y y y 1 1 4 x 3x 3x 3x 3 .x Và 3 4 3 9 3 3 3 3 1 1 4 y y y y y       2 6 4 3 9 3 1 16 y y Do đó 2 3 3 6 4 3 3 3 3 y 9 x y 3 (1 x) 1 1 256 256 x 3 3 x y y             Bài giải Cách 1 Ta có 3 3 a 3b 1 1 1 a 3b (a 3b)1.1 (a 3b 2) 3 3  Bài 13: (Dự bị A – 2005). Chứng minh rằng với mọi x,y 0 , ta có           2 y 9 (1 x) 1 1 256 x y Bài 14: (Dự bị B – 2005). Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn 3 a b c 4 . Chứng minh rằng 3 3 3 a 3b b 3c c 3a 3  Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 37 3 3 b 3c 1 1 1 b 3c (b 3c)1.1 (b 3c 2) 3 3  3 3 c 3a 1 1 1 c 3a (c 3a)1.1 (c 3a 2) 3 3          3 3 3 1 1 3 a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6 4 6 3 3 3 4   Dấu “=” xảy ra  3 a b c 1 a b c 4 4 a 3b b 3c c 3a Cách 2 Đặt 3 x a 3b 3 x a 3b 3 y b 3c 3 y b 3c 3 z c 3a 3 z c 3a  3 3 3 3 x y z 4(a b c) 4 3 4 . Ta cần chứng minh x y z 3  BĐT này là quá đơn giản rồi! ( các em tự chứng minh xem nhé). Bài giải Từ 0 x 1   suy ra 2 x x Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta có  2 2 1 1 1 y x yx 2 yx x y 4 4 4 1 x y y x 4  (đpcm). Dấu bằng xảy ra  2 2 0 x y 1 x x 1 yx 4     x 1 1 y 4 Bài 15: (Dự bị 2 B – 2005). Chứng minh rằng nếu 0 x y 1    ta có 1 x y y x 4  . Bài 16: (Dự bị 2 D – 2005). Cho x, y, z dương thoả mãn x.y.z 1. Chứng minh rằng 2 2 2 x y z 3 1 y 1 z 1 x 2 Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 38 Bài giải Ta có  2 2 x 1 y x 1 y 2 x 1 y 4 1 y 4 Cùng hai BĐT tương tự ta được             2 2 2 x 1 y y 1 z z 1 x x y z 1 y 4 1 z 4 1 x 4  2 2 2 3 x y z 3(x y z) 3 3 3 9 3 3 3. xyz 1 y 1 z 1 x 4 4 4 4 4 4 2 (đpcm). Bài giải Đặt x a 3 , y b 3 , z c 3 (a, b, c 0) Ta có : x y z 3 3 3 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca abc (*) BĐT cần chứng minh trở thành: 2 2 2 a b c a b c a bc b ca c ab 4 3 3 3 2 2 2 a b c a b c 4 a abc b abc c abc (2) Ta có: 2 2 a abc a ab bc ca (a b)(a c) (do ab bc ca abc ) Tương tự 2 b abc (b a)(b c) và 2 c abc (c a)(c b) Do đó (2) 3 3 3 a b c a b c (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 4 (3) Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta có 3 3 3 a a b a c a 3 3. a (a b)(a c) 8 8 64 4 Tương tự 3 3 3 b b c b a b 3 3. b (b c)(b a) 8 8 64 4 3 3 3 c c a c b c 3 3. c (c a)(c b) 8 8 64 4 Bài 17: (Dự bị A– 2006). Cho x,y,z dương thoả mãn x y z 3 3 3 1 . Chứng minh rằng: x y z x y z x y z y z x z x y 9 9 9 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 (1) Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 39 Cộng từng vế của ba BĐT ta được: 3 3 3 a b c 1 3(a b c) (a b c) (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 2 4 3 3 3 a b c a b c (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 4 , suy ra (3) được chứng minh Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Bài giải * Giả thiết “xyz=1” thường có rất nhiều kỹ thuật “xử lí ” tinh tế, việc dùng nó thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán. Trong bài toán này có một liên hệ nhỏ giữa tử và mẫu, cụ thể ta thực hiện lời giải như sau: Ta có 2 2 2 4 x (y z) x y x z 2 x yz 2x x (do xyz=1) Tương tự 2 y (z x) 2y y và 2 z (x y) 2z z 2y y 2x x 2z z P y y 2z z z z 2x x x x 2y y * Đến đây tử và mẫu đã quá “gần gũi” rồi. Để bài toán đơn giản hơn ta thực hiện phép đổi biến “không làm thay đổi giả thiết” sau: a x x;b y y;c z z , khi đó abc=1. Lúc đó 2a 2b 2c P b 2c c 2a a 2b * Các bạn hãy chứng minh BĐT sau nhé (rất quan trọng đấy, quá nhiều áp dụng hay) a b c 3 mb nc mc na ma nb m n (với mọi a,b,c dương; m,n là hằng số dương cho trước) * Áp dụng BĐT này ta có ngay P 2 (cũng chẳng cần đến abc=1 nữa) Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1. Vậy GTNN của P bằng 2. Bài 18: (Khối A – 2007). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z y z x z x y P y y z z z z x x x x y y Bài 19: (Khối B – 2007). Cho x, y, z là các số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 2 2 2             x y z P x y z yz zx xy . Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 40 Bài giải Ta có 2 2 2 2 2 2 x y z x y z P 2 2 2 xyz Mà 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y z xy yz zx 2 2 2 2 2 2 x y z xy yz zx 1 1 1 xyz xyz x y z             2 2 2 2 2 2 x y z 1 1 1 x 1 y 1 z 1 P 2 2 2 x y z 2 x 2 y 2 z Ý tưởng dùng hàm số lại đến rất tự nhiên Xét hàm số 2 t 1 f(t) 2 t với t >0 / 2 1 ( ) 0 1 f t t t t Lập bảng biến thiên ta được 3 f(t) 2 , t 0 . Suy ra 9 P 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 1. Vậy GTNN của P băng 9 2 . Bài giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với a b b a a b ln 1 4 ln 1 4 1 4 1 4 a b   Xét hàm số x ln 1 4 f (x) x với x>0. Ta có: x x x x 2 x 4 ln 4 (1 4 )ln 1 4 f '(x) 0 x (1 4 ) Suy ra f(x) nghịch biến trên (0; )  . Bài 20: (Khối D- 2007). Cho a b 0. Chứng minh rằng b a a b a b 1 1 2 2 2 2          Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 41 Do f(x) nghịch biến trên (0; )  và a b 0 nên f (a) f (b)  và ta có điều phải chứng minh. Bài giải Ta có 2 2 2 2 2 2 2(x 6xy) 2(x 6xy) P 1 2xy 2y x y 2xy 2y * Nếu y=0 thì 2 x 1 P 2 . * Nếu y 0  thì 2 2 2 2 x x 2 6 y y 2t 12t P t 2t 3 x x 2 3 y y                        Đến đây có thể dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai hoặc dùng đạo hàm bằng cách khảo sát hàm số 2 2 2t 12t f (t) t 2t 3 , với t  . Ta tìm ra max 3 1 P 3 x , y 10 10 hoặc 3 1 x , y 10 10 min 3 2 P 6 x , y 13 13 hoặc 3 2 x , y 13 13 Bài giải Ta sẽ áp dụng BĐT sau: 2 (a b) 4ab Ta có   2 2 2 (x y)(1 xy) (x y)(1 xy) 1 P (1 x) (1 y) 4 (x y) (1 xy)   . Suy ra 1 1 P 4 4   Bài 21: (Khối B- 2008). Cho hai số thực x,y thay đổi thoả mãn hệ thức 2 2 x y 1 . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 2(x 6xy) P 1 2xy 2y . Bài 22: Khối D- 2008). Cho hai số thực không âm x,y thay đổi . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 (x y)(1 xy) P (1 x) (1 y) . Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 42 Khi x=0, y=1 thì 1 P 4 . Khi x=1, y=0 thì 1 P 4 . Vậy GTNN của P bằng 1 4 , GTLN của P bằng 1 4 . Bài giải Ta có 3 3 3 4(a b ) (a b) a,b 0 nên 3 3 3 4(a b ) a b Áp dụng BĐT này ta được 2 2 2 2 2 2 x y z x y z P (x y) (y z) (x z) 2 2 x y z y z x y z x         Đến đây ta dùng BĐT côsi cho 6 số ta được 6 2 2 2 x y z P 2.6 x.y.z. . . 12 y z x Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1. Vậy GTNN của P bằng 12. Bài giải Ta có 3 3 3 x 4(y z ) x y z , suy ra 3 3 3 y z y z x y z x 4(y z )  Cùng hai BĐT tương tự ta được đpcm. Bài 23 (Dự bị A- 2007): Cho x,y,z dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 x y z P 4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2 y z x     Bài 24: Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 3 3 3 y z x z x y P 2 x 4(y z ) y 4(x z ) z 4(x y )  Bài 25: Cho a,b,c dương thoả mãn điều kiện 3 1 a b c 1 2 abc     . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 2 2 2 a b b c c a P 1 ab 1 bc 1 ca . Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 43 Bài giải Biến đổi 2 2 2 2 a b c (a b c) P 1 1 1 a b c b c a (a b c) ab bc ca abc = 2 (a b c) 1 (a b c) 1 abc     Theo giả thiết ta có 1 2 1 (a b c) abc 3  , suy ra 2 (a b c) 3 P 2 2 (a b c). (a b c) 3 Dấu bằng xảy ra khi 4 3 3 2 a b c 2a a 1 0 (a 1)(2a a a 1) 0 a 1 1 2 1 (a b c) abc 3  Vậy GTNN của P bằng 3 2 khi a b c 1 . Bài giải Cái hay và khó của bài toán là giả thiết (x + y) 3 + 4xy ≥ 2 (1) Biểu thức A chỉ chứa các số hạng x 2 + y 2 và x 2 y 2 . Điều này cho ta nghĩ tới việc đánh giá tổng x+y và qua đó đánh giá được tổng bình phương x 2 + y 2 . Cụ thể ta biến đổi giả thiết (1) như sau: Ta có 3 2 3 3 2 (x y) (x y) (x y) 4xy 2 (x y) (x y) 2 0 x y 1 . Suy ra 2 2 2 (x y) 1 x y 2 2 . Ta biến đổi A như sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x y ) A 3 (x y ) x y 2(x y ) 1 3 (x y ) 2(x y ) 1 4 9 (x y ) 2(x y ) 1 4         Đặt t = x 2 + y 2 thì t ≥ 1 2 . Xét hàm 2 9 1 f (t) t 2t 1, t 4 2 ta tìm ra 9 min f (t) 16 khi 1 t 2 . Bài 26 (ĐH KB-2009). Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y) 3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) – 2(x 2 + y 2 ) + 1. Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 44 Vậy min 9 1 A khi x y 16 2 . Bài giải Trước hết ta biến đổi P theo tích xy. Ta có P= (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy = 16x 2 y 2 + 12(x 3 + y 3 ) + 34xy = 16x 2 y 2 + 12[(x + y) 3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x 2 y 2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x 2 y 2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, vì x, y 0 và x + y = 1 nên 1 0 4 t   . Khi đó S = 16t 2 – 2t + 12 Xét hàm f(t)=16t 2 – 2t + 12 với 1 t 0; 4      , ta tìm ra min, max của hàm f(t) Đáp số của bài toán là: Max P = 25 2 khi x = y = 1 2 Min P = 191 16 khi 2 3 x 4 2 3 y 4  hay 2 3 x 4 2 3 y 4  Bài giải Từ giả thiết ta có (x+y)(x+z)=4yz. Do đó BĐT tương đương với 3 3 3 (x y) (x z) 12yz(y z) 5(y z)  (1) Mặt khác   2 2 2 2 3 3 3(y z) x (y z)x 3yz 4x 4(y z)x 3(y z) 0 4 (2x y z) 2x 3(y z) 0 2x y z 8x (y z)      Áp dụng BĐT cơ bản: 3 3 3 (x y) 4(x y )  ta được 3 3 3 3 3 3 3 VT(1) 4(x y ) 4(x z ) 12yz(y z) 8x 4(y z) 5(y z)   (đpcm) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z. Bài 27 (ĐH KD-2009). Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của P = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy. Bài 28 (ĐH KA-2009): Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có 3 3 3 x y x z 3 x y x z y z 5 y z  . Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 45 Bài giải Ta biến đổi P theo một hàm số của biến t=ab+bc+ca. Ta có BĐT cơ bản 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) ( ) a b b c c a ab bc ca t Suy ra 2 3 2 1 2 P t t t . Mặt khác 2 ( ) 3( ) a b c ab bc ca suy ra 1 0 3 t   . Xét hàm 2 ( ) 3 2 1 2 f t t t t với 1 0 3 t   . Ta có 2 (2 3) 1 2 2 '( ) 2 3 1 2 1 2 t t f t t t t ; '( ) 0 (2 3) 1 2 2 f t t t (1) Đặt 1 2 u t thì 1 1 3 u   , pt (1) trở thành: 3 4 2 0 u u (2) Dễ chứng minh được 3 4 2 0 u u với mọi 1 1 3 u   , do đó (2) vô nghiệm, tức là (1) vô nghiệm. Từ đó suy ra ngay '( ) 0 f t với mọi 1 0 3 t   . Do đó ( ) (0) 2 f t f . Vậy minP=2 khi chẳng hạn a=b=0 và c=1. Bài giải Tập xác định của hàm số   2;5 D . Ta có 2 2 2 4 2 3 '( ) 2 4 21 2 3 10 x x f x x x x x , với ( 2;5) x . 2 2 '( ) 0 ( 2 4) 3 10 ( 2 3) 4 21 f x x x x x x x Suy ra 2 2 2 2 ( 2 4) ( 3 10) ( 2 3) ( 4 21) x x x x x x (1) Khai triển ta được 2 81 51 51 104 29 0 1 3 x x x x      . Thử lại chỉ có 1 3 x là nghiệm của (1). Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) suy ra 1 200 98 minf(x) 3 3 f     . Các đề thi năm 2011, 2012, 2013 các bạn có thể tham khảo đề-đáp án của bộ giáo dục tại http://www.toanmath.com Bài 29 (ĐH KB-2010). Cho a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) 2 P a b b c c a ab bc ca a b c Bài 30 (ĐH KD-2010). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 ( ) 4 21 3 10 f x x x x x Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 46 Trên đây chỉ là một cách tiếp cận với phương pháp và cách học về BĐT mà tôi muốn giới thiệu với các bạn, đặc biệt là các em học sinh lớp 12 chuẩn bị thi ĐH- CĐ. Còn một số chuyên đề sâu hơn tôi sẽ tiếp tục gửi tới các bạn sau. Hy vọng chút ít kiến thức này sẽ giúp các em học sinh 12 đạt được kết quả cao nhất trong kỳ thi ĐH sắp tới. Chúc các em thành công. Mọi thắc mắc hay chia sẻ hãy liên hệ với tôi theo địa chỉ Email: lexuandaicvp@gmail.com; SĐT: 0912960417 Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 47 MỘT SỐ BÀI TẬP CHO CÁC BẠN LUYỆN TẬP 1. Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của 3 3 3 1 P a b c 4 2. Cho a,b,c không âm thỏa mãn: a+b+c=1. Chứng minh rằng: 2 ab bc ca 2abc 27  3. Cho x y z 0 . Chứng minh rằng: x z y x y z z y x y z x 4. Cho a>b>c>0. Chứng minh rằng: 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 a b b c c a a b b c c a 5. Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 (x y z ) xyz(x y z) xy(x y ) yz(y z ) xz(x z ) 6. Cho x,y,z không âm thỏa mãn 2 2 2 x y z 1 . Chứng minh rằng: 6(y z x) 27xyz 10  7. Cho a,b,c dương và k>0 cho trước. Tìm GTNN của a b b c a c kabc P c a b (a b)(b c)(a c) 8. Cho x,y,z dương thỏa mãn 3 (x y z) 32xyz . Tìm GTLN, GTNN của 4 4 4 4 x y z P (x y z) . 9. Cho dãy 4 3 2 n u n 20n 0,5n 13n n 1 . Tìm số hạng lớn nhất của dãy và tính số hạng ấy. 10. Cho x,y là các số tự nhiên. Tìm GTLN của hàm số 1 1 f (x, y) x y 1 (x 1)(y 1) 11. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: 2 a b c b c c a a b . 12. Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c  2. Chứng minh : 2 2 2 1 1 1 1 a bc b ca c ab abc  13. Cho ba số dương a, b, c thỏa: 1 1 1 2 a b c . Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 3 3 3 a b b c c a  Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 48 14. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 x (y z) y (z x) z (x y) P yz zx xz 15. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 x x x y x x 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 y x x 17. Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [0; 1] và thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + z 2 . 18. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = x 3 + y 3 + z 3 3xyz. 19. Cho hai số thực , x y thay đổi và thoả mãn điều kiện 2 2 11 x y . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P x xy . 20. Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn 2 2 8 x y . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 P x y xy . 21. Cho x, y là hai số thực thay đổi và thoả mãn điều kiện: 2 2 x y x y . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 A x y . 22. Cho , x y là hai số thực thay đổi và thoả mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 x y x y . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 A x y . 23. Cho ba số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z y z z x x y P y z z x x y x y z . 24. Cho các số thực x, y, z thuộc khoảng (0; 1) và thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 (1 )(1 )(1 ) xyz x y z T 25. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: 1 1 2 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 2 2 ( 6) ( 6) A x y x y y x 26. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xy + yz + zx 2xyz 27. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 5 5 5 3 3 3 x y y z z x x y z xy x yz y zx z  . 28. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a.b.c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 49 ab bc ca T a b ab b c bc c a ca 29. Cho hai số thực x, y khác không, thỏa mãn: 4 2 x y y x y x . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 3 T x y x y 30. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 3 x y z  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 1 1 1 T x x y y z z 31. Cho các số thực không âm z y x , , thoả mãn 3 2 2 2 z y x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z y x zx yz xy A 5 . 32. Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 2 2 ( 1)( 1) x y x y P x y 33. Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). 34. Chứng minh: 1 1 1 12 x y z x y z      với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn   1;3 . 35. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 a b c a ab b b bc c c ca a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c 36. Cho x, y là hai số dương thay đổi thoả điều kiện 4(x + y) – 5 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 1 4 x y . 37. Chứng minh rằng: 2 cos 2 , . 2 x x e x x x R 38. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c b c a c a b P c a b . 39. Cho ba số thực a, b, c thoả mãn abc= 2 2 . Chứng minh rằng: 4 2 2 4 4 6 6 2 2 4 4 6 6 2 2 4 4 6 6 a c a c a c c b c b c b b a b a b a 40. Cho a,b,c là ba số thực dương tùy ý thoả mãn a+b+c = 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 2 ab bc ca P c ab a bc b ca Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 50 41. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 1 2 5 P x y z 42. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 2 2 3 8cos x 12cos x y 1 2cos x 43. Tìm GTLN của 4 4 4 4 2 ( ) 1 x x f x x x 44. Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 1 2 1 1 1 P a b c a b c 45. Cho a,b,c dương thoả mãn 2 2 2 1 a b c . CMR: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2( ) 3 a b c a b c abc . 46. Cho x,y,z dương thoả mãn 3 x y z . Tìm GTNN của biểu thức 3 3 3 4 4 4 2 1 8 4 2 2 1 8 4 2 2 1 8 4 2 x y z P y y x z z y x x z          . 47. Cho a,b,c dương thoả mãn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b b c c a a b c . Tìm GTLN của biểu thức 2 2 2009 2011 2007( ) 2009 2011 bc a c a b c bc a b P a bc . 48. Cho x,y,z không âm. Tìm GTLN của 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) P x y z x y z 49. Cho , , x y z là các số thực dương, thoả mãn 3 x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 (2 ) (2 ) (2 ) x y z P y z x z x y x y z . 50. Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 3 . Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 4 11 3 4 11 3 4 11 5 a b b c c a a ab b b bc c c ca a 51. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn 1 2 a b c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b b c b c a c a c a b P a b b c a c b c a c a b a c a b b c 52. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn 2 2 3 x y xy x y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 51 2 2 2 (1 2 ) 3 2 xy P x y xy . 53. Cho x, y, z 0 thoả mãn 0 x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 3 16 x y z P x y z 54. Chứng minh 2 2 2 1 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a với mọi số dương ; ; a b c . 55. Cho a,b, c dương và a 2 +b 2 +c 2 =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 2 2 2 3 3 3 a b c P b c a 56. Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện 1 1 1 2 x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). 57. Cho c b a , , > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 ) 1 1 1 )( ( 3 c b a c b a a c c b b a  . 58. Tìm GTLN của hàm số 2 2 2 2 4 2 ( ) sin os 2sin 1 4 3(1 4 ) 3(1 4 ) x x x f x c x x x    . 59. Cho x, y, z, t, s là các số thực thay đổi thỏa mãn 0 x y z t s     và 1 x y z t s . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức s ( ) ( y ) zt ts zt P x y y s x z . 60. Cho , , 0 x y z và 3 4 x y z . T ìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 3 E x y y z z x 61. Cho ba số thực , , a b c thuộc khoảng 0;2 và thoả mãn: 4 ab bc ca abc Chứng minh rằng: 2 2 2 4 4 4 3 3 a b c  62. Cho 2 số thực x, y thỏa mãn : 2 2 1 1 x y x y . Tìm GTLN, GTNN của F = 2(1 ) ( ) ( ) 2 2 xy x y x y x y y x x y . 63. Cho 2 số thực x, y thỏa mãn : 2 2 4 1 x y . Tìm GTLN, GTNN của 2 ( 1) 4 ( 1) 2( 1) x y x y P x y . 64. Tùy theo tham số m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 2 2 ( 2 1) (2 3) x y x my . Với , x y  Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 52 65. Cho 2 số thực không âm x,y thỏa mãn x 2 + y 2 + xy = 3. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 + y 3 – ( x 2 + y 2 ). 66. Cho a, b, c, d là các số thực không âm, khác nhau từng đôi một, thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 4. Chứng minh rằng 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 2 2 2 a c c b b a . 67. Với a, b, c là những số thực dương, chứng minh rằng c b a ab b a c ca a c b bc c b a 1 5 3 5 3 5 3 2 2 2 2 2 2 . 68. Với x, y, z là những số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz, chứng minh rằng 4 9 1 1 1 1 1 2 2 2 2  z y x . 69. Cho các số thực không âm a, b.Chứng minh rằng: ( a 2 + b + 4 3 ) ( b 2 + a + 4 3 ) ( 2a + 2 1 ) ( 2b + 2 1 ). 70. Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng: 0 2 2 2 x z zx z z y yz y y x xy x 71. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 2 1 3 1 2 2 2 2 z y x 72. Xét các tam thức bậc hai f(x) = a x 2 + bx + c, trong đó a < b và f(x) 0 với mọi x R. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a b c b a . 73. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng: 2 2 2 ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 c c b b a a 2 1 74. Biết rằng 3 2 1 y x y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 1 1 2 1 y x . 75. Các số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: ) ( 2 3 1 1 1 2 2 2 c b a c b a . 76. Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 2 a + b 2 + c 2 +  abc 12 1 77. Cho x, y là các số dương thỏa mãn 3 1 1 1 y x xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 2 2 1 1 1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 y x y x x y x y x y .