Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Huỳnh Đức Khánh

HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC Baøi 01 HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sinx sin : sin x x y x → = ℝ ℝ ֏ được gọi là hàm số sin, kí hiệu là sin . y x = Tập xác định của hàm số sin là . ℝ 2) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cosx cos : cos x x y x → = ℝ ℝ ֏ được gọi là hàm số sin, kí hiệu là cos . y x = Tập xác định của hàm số cô sin là . ℝ 3) Hàm số tang Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức ( ) sin cos 0 , cos x y x x = ≠ kí hiệu là tan . y x = Tập xác định của hàm số tan y x = là D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ 4) Hàm số côtang Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức ( ) cos sin 0 , sin x y x x = ≠ kí hiệu là cot . y x = Tập xác định của hàm số cot y x = là { } D \ , . k k π = ∈ ℝ ℤ II – TÍNH TUẦN HO=N V= CHU KÌ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Định nghĩa Hàm số ( ) y f x = có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số 0 T ≠ sao cho với mọi D x∈ ta có: ● D x T − ∈ và D. x T + ∈ ● ( ) ( ) f x T f x + = . CHUÛ ÑEÀ Tác giả: Huỳnh Đức Khánh SĐT: 0975120189 Facebook: https://www.facebook.com/duckhanh0205Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số sin y x = tuần hoàn với chu kì 2 T π = ; hàm số cos y x = tuần hoàn với chu kì 2 T π = ; hàm số tan y x = tuần hoàn với chu kì T π = ; hàm số cot y x = tuần hoàn với chu kì . T π = 2) Chú ý ● Hàm số ( ) sin y ax b = + tuần hoàn với chu kì 0 2 T a π = . ● Hàm số ( ) cos y ax b = + tuần hoàn với chu kì 0 2 T a π = . ● Hàm số ( ) tan y ax b = + tuần hoàn với chu kì 0 T a π = . ● Hàm số ( ) cot y ax b = + tuần hoàn với chu kì 0 T a π = . ● Hàm số ( ) 1 y f x = tuần hoàn với chu kì 1 T và hàm số ( ) 2 y f x = tuần hoàn với chu kì 2 T thì hàm số ( ) ( ) 1 2 y f x f x = ± tuần hoàn với chu kì 0 T là bội chung nhỏ nhất của 1 T và 2 T . III – SỰ BIẾN THIÊN V= ĐỒ THỊ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số sin y x = ● Tập xác định D=ℝ , có nghĩa xác định với mọi ; x∈ℝ ● Tập giá trị [ ] 1;1 T = − , có nghĩa 1 sin 1; x − ≤ ≤ ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , π có nghĩa ( ) sin 2 sin x k x π + = với k∈ℤ . ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π π π     − + +       và nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 2 2 k k π π π π     + +       ,k∈ℤ . ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 2) Hàm số cos y x = ● Tập xác định D=ℝ , có nghĩa xác định với mọi ; x∈ℝ ● Tập giá trị [ ] 1;1 T = − , có nghĩa 1 cos 1; x − ≤ ≤ ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , π có nghĩa ( ) cos 2 cos x k x π + = với k∈ℤ . ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2 k k π π π − + và nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2 k k π π π + ,k∈ℤ . ● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 3) Hàm số tan y x = ● Tập xác định D \ , ; 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ ● Tập giá trị ; T =ℝ ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , π có nghĩa ( ) tan tan x k x π + = với k∈ℤ . ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , ; 2 2 k k k π π π π     − + + ∈       ℤ ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. x 2 π − π − y 2 π O 3 2 π − π 3 2 π 4) Hàm số cot y x = ● Tập xác định { } D \ , ; k k π = ∈ ℝ ℤ ● Tập giá trị ; T =ℝ ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , π có nghĩa ( ) tan tan x k x π + = với k∈ℤ . ● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) ; , ; k k k π π π + ∈ℤ ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. x 2 π − π − y 2 π O 3 2 π − π 3 2 π 2π − 2πCÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TẬP XÁC ĐỊNH Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số 2017 . sin y x = A. D . =ℝ B. { } D \ 0 . =ℝ C. { } D \ , . k k π = ∈ ℝ ℤ D. D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0 , . x x k k π ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ Vật tập xác định { } D \ , . k k π = ∈ ℝ ℤ Chọn C. Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số 1 sin . cos 1 x y x − = − A. D . =ℝ B. D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ C. { } D \ , . k k π = ∈ ℝ ℤ D. { } D \ 2 , . k k π = ∈ ℝ ℤ Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 1 0 cos 1 2 , . x x x k k π − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ Vậy tập xác định { } D \ 2 , . k k π = ∈ ℝ ℤ Chọn D. Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số 1 . sin 2 y x π =     −       A. D \ , . 2 k k π       = ∈         ℝ Z B. { } D \ , . k k π = ∈ ℝ Z C. ( ) D \ 1 2 , . 2 k k π       = + ∈         ℝ Z D. ( ) { } D \ 1 2 , . k k π = + ∈ ℝ Z Lời giải. Hàm số xác định sin 0 , . 2 2 2 x x k x k k π π π π π     ⇔ − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ + ∈       ℤ Vậy tập xác định D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Chọn C. Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số 1 . sin cos y x x = − A. D . =ℝ B. D \ , . 4 k k π π       = − + ∈         ℝ ℤ C. D \ 2 , . 4 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ D. D \ , . 4 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Lời giải. Hàm số xác định sin cos 0 tan 1 , . 4 x x x x k k π π ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ Vậy tập xác định D \ , . 4 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Chọn D. Câu 5. Hàm số 1 1 tan cot sin cos y x x x x = + + + không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 2 ; 2 2 k k π π π     +       với . k∈ℤ B. 3 2 ; 2 2 k k π π π π     + +       với . k∈ℤ C. 2 ; 2 2 k k π π π π     + +       với . k∈ℤ D. ( ) 2 ;2 2 k k π π π π + + với . k∈ℤ Lời giải. Hàm số xác định sin 0 sin 2 0 2 , . cos 0 2 x k x x k x k x π π  ≠   ⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈   ≠   ℤ Ta chọn 3 3 2 k x π =  → ≠ nhưng điểm 3 2 π thuộc khoảng ( ) 2 ;2 2 k k π π π π + + . Vậy hàm số không xác định trong khoảng ( ) 2 ;2 2 k k π π π π + + . Chọn D. Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số cot 2 sin 2 . 4 y x x π     = − +       A. D \ , . 4 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ B. D . =∅ C. D \ , . 8 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ D. D . =ℝ Lời giải. Hàm số xác định sin 2 0 2 , . 4 4 8 2 k x x k x k π π π π π     − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ + ∈       ℤ Vậy tập xác định D \ , . 8 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Chọn C. Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số 2 3tan . 2 4 x y π     = −       A. 3 D \ 2 , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ B. D \ 2 , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ C. 3 D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ D. D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Lời giải. Hàm số xác định 2 3 cos 0 2 , . 2 4 2 4 2 2 x x k x k k π π π π π π     ⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈       ℤ Vậy tập xác định 3 D \ 2 , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Chọn A. Câu 8. Hàm số cos 2 1 tan x y x = + không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 3 2 ; 2 2 4 k k π π π π     + +       với . k∈ℤ B. 2 ; 2 2 2 k k π π π π     − + +       với . k∈ℤ C. 3 3 2 ; 2 4 2 k k π π π π     + +       với . k∈ℤ D. 3 2 ; 2 2 k k π π π π     + +       với . k∈ℤ Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 tan 0 x + ≠ và tanx xác định tan 1 4 , . cos 0 2 x k x k x x k π π π π    ≠− +   ≠−     ⇔ ⇔ ∈     ≠    ≠ +     ℤTa chọn 4 0 2 x k x π π    ≠−    =  →    ≠     nhưng điểm 4 π − thuộc khoảng 2 ; 2 . 2 2 k k π π π π     − + +       Vậy hàm số không xác định trong khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π π π     − + +       . Chọn B. Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số 2 3tan 5 . 1 sin x y x − = − A. D \ 2 , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ B. D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ C. { } D \ , . k k π π = + ∈ ℝ ℤ D. D . =ℝ Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 1 sin 0 x − ≠ và tanx xác định 2 sin 1 cos 0 , . 2 cos 0 x x x k k x π π   ≠  ⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈   ≠   ℤ Vậy tập xác định D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Chọn B. Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số sin 2. y x = + A. D . =ℝ B. [ ) D 2; . = − +∞ C. [ ] D 0;2 . π = D. D . =∅ Lời giải. Ta có 1 sin 1 1 sin 2 3, . x x x − ≤ ≤  → ≤ + ≤ ∀ ∈ℝ Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sin 2 x+ với mọi . x∈ℝ Vậy tập xác định D . =ℝ Chọn A. Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số sin 2. y x = − A. D . =ℝ B. { } \ , . k k π ∈ ℝ ℤ C. [ ] D 1;1 . = − D. D . =∅ Lời giải. Ta có 1 sin 1 3 sin 2 1, . x x x − ≤ ≤  →− ≤ − ≤− ∀ ∈ℝ Do đó không tồn tại căn bậc hai của sin 2. x− Vậy tập xác định D . =∅ Chọn D. Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số 1 . 1 sin y x = − A. { } D \ , . k k π = ∈ ℝ ℤ B. D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ C. D \ 2 , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ D. D . =∅ Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 sin 0 sin 1. x x − > ⇔ < ( ) * Mà 1 sin 1 x − ≤ ≤ nên ( ) * sin 1 2 , . 2 x x k k π π ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ Vậy tập xác định D \ 2 , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Chọn C. Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số 1 sin 2 1 sin 2 . y x x = − − + A. D . =∅ B. D . =ℝ C. 5 D 2 ; 2 , . 6 6 k k k π π π π     = + + ∈     ℤ D. 5 13 D 2 ; 2 , . 6 6 k k k π π π π     = + + ∈     ℤ Lời giải. Ta có 1 sin 2 0 1 sin 2 1 , . 1 sin 2 0 x x x x  + ≥   − ≤ ≤ ⇒ ∀ ∈   − ≥   ℝ Vậy tập xác định D . =ℝ Chọn B. Câu 14. Tìm tập xác định D của hàm số 2 5 2 cot sin cot . 2 y x x x π     = + − + +       A. D \ , . 2 k k π       = ∈         ℝ ℤ B. D \ , . 2 k k π π       = − + ∈         ℝ ℤ C. D . =ℝ D. { } D \ , . k k π = ∈ ℝ ℤ Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời 2 5 2 cot sin 0 x x + − ≥ , cot 2 x π     +       xác định và cotx xác định. Ta có 2 2 2cot 0 5 2 cot sin 0, . 1 sin 1 5 sin 0 x x x x x x   ≥   → + − ≥ ∀ ∈   − ≤ ≤  → − ≥   ℝ cot 2 x π     +       xác định sin 0 , . 2 2 2 x x k x k k π π π π π     ⇔ + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠− + ∈       ℤ cotx xác định sin 0 , . x x k k π ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ Do đó hàm số xác định , . 2 2 x k k x k x k π π π π    ≠− +  ⇔ ⇔ ≠ ∈    ≠   ℤ Vậy tập xác định D \ , . 2 k k π       = ∈         ℝ ℤ Chọn A. Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số tan cos . 2 y x π     =       A. D \ , 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ . B. D \ 2 , 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ . C. D=ℝ . D. { } D \ , k k π = ∈ ℝ ℤ . Lời giải. Hàm số xác định khi và chỉ khi .cos cos 1 2 2 2 x k x k π π π ≠ + ⇔ ≠ + . ( ) * Do k∈ℤ nên ( ) * cos 1 sin 0 , . x x x k k π ⇔ ≠± ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ Vậy tập xác định { } D \ , . k k π = ∈ ℝ ℤ Chọn D.Vấn đề 2. TÍNH CHẴN LẺ Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. sin . y x = B. cos . y x = C. tan . y x = D. cot . y x = Lời giải. Nhắc lại kiến thức cơ bản: Hàm số sin y x = là hàm số lẻ. Hàm số cos y x = là hàm số chẵn. Hàm số tan y x = là hàm số lẻ. Hàm số cot y x = là hàm số lẻ. Vậy B là đáp án đúng. Chọn B. Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. sin . y x =− B. cos sin . y x x = − C. 2 cos sin . y x x = + D. cos sin . y x x = Lời giải. Tất các các hàm số đều có TXĐ: D=ℝ . Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Bây giờ ta kiểm tra ( ) ( ) f x f x − = hoặc ( ) ( ). f x f x − =− Với ( ) sin y f x x = =− . Ta có ( ) ( ) ( ) sin sin sin f x x x x − =− − = =− − ( ) ( ) f x f x  → − =− . Suy ra hàm số sin y x =− là hàm số lẻ. Với ( ) cos sin . y f x x x = = − Ta có ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin f x x x x x − = − − − = + ( ) ( ) ( ) { } , f x f x f x  → − ≠ − . Suy ra hàm số cos sin y x x = − không chẵn không lẻ. Với ( ) 2 cos sin y f x x x = = + . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 cos sin f x x x − = − + − ( ) ( ) [ ] 2 2 2 cos sin cos sin cos sin x x x x x x   = − + − = + − = +   ( ) ( ) f x f x  → − = . Suy ra hàm số 2 cos sin y x x = + là hàm số chẵn. Chọn C. Với ( ) cos sin . y f x x x = = Ta có ( ) ( ) ( ) cos .sin cos sin f x x x x x − = − − =− ( ) ( ) f x f x  → − =− . Suy ra hàm số cos sin y x x = là hàm số lẻ. Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. sin 2 . y x = B. cos . y x x = C. cos .cot . y x x = D. tan . sin x y x = Lời giải. Xét hàm số ( ) sin 2 . y f x x = = TXĐ: D=ℝ . Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Ta có ( ) ( ) ( ) sin 2 sin 2 f x x x f x − = − =− =− ( ) f x  → là hàm số lẻ. Xét hàm số ( ) cos . y f x x x = = TXĐ: D=ℝ . Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) .cos cos f x x x x x f x − = − − =− =− ( ) f x  → là hàm số lẻ. Xét hàm số ( ) cos cot . y f x x x = = TXĐ: ( ) { } D \ . k k π = ∈ ℝ ℤ Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) cos .cot cos cot f x x x x x f x − = − − =− =− ( ) f x  → là hàm số lẻ. Xét hàm số ( ) tan . sin x y f x x = = TXĐ: ( ) D \ . 2 k k π       = ∈         ℝ ℤ Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan tan sin sin sin x x x f x f x x x x − − − = = = = − − ( ) f x  → là hàm số chẵn. Chọn D. Câu 19. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. sin . y x = B. 2 sin . y x x = C. . cos x y x = D. sin . y x x = + Lời giải. Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ. Chọn A. Câu 20. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung? A. sin cos 2 . y x x = B. 3 sin .cos . 2 y x x π     = −       C. 2 tan . tan 1 x y x = + D. 3 cos sin . y x x = Lời giải. Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O . Xét đáp án B, ta có ( ) 3 3 4 sin .cos sin .sin sin 2 y f x x x x x x π     = = − = =       . Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung. Chọn B. Câu 21. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. 2 cos sin . y x x = + B. sin cos . y x x = + C. cos . y x =− D. sin .cos3 . y x x = Lời giải. Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ. Chọn D. Câu 22. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? A. cot 4 . y x = B. sin 1 . cos x y x + = C. 2 tan . y x = D. cot . y x = Lời giải. Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Chọn A. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn. Câu 23. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. sin . 2 y x π     = −       B. 2 sin . y x = C. cot . cos x y x = D. tan . sin x y x = Lời giải. Viết lại đáp án A là sin cos . 2 y x x π     = − =       Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ. Chọn C. Câu 24. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. 2 1 sin . y x = − B. 2 cot .sin . y x x = C. 2 tan 2 cot . y x x x = − D. 1 cot tan . y x x = + +Lời giải. Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ. Chọn C. Câu 25. Cho hàm số ( ) sin 2 f x x = và ( ) 2 tan . g x x = Chọn mệnh đề đúng A. ( ) f x là hàm số chẵn, ( ) g x là hàm số lẻ. B. ( ) f x là hàm số lẻ, ( ) g x là hàm số chẵn. C. ( ) f x là hàm số chẵn, ( ) g x là hàm số chẵn. D. ( ) f x và ( ) g x đều là hàm số lẻ. Lời giải. Xét hàm số ( ) sin 2 . f x x = TXĐ: D=ℝ . Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Ta có ( ) ( ) ( ) sin 2 sin 2 f x x x f x − = − =− =− ( ) f x  → là hàm số lẻ. Xét hàm số ( ) 2 tan . g x x = TXĐ: ( ) D \ . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 tan tan tan g x x x x g x   − = − = − = =   ( ) f x  → là hàm số chẵn. Chọn B. Câu 26. Cho hai hàm số ( ) 2 cos 2 1 sin 3 x f x x = + và ( ) 2 sin 2 cos3 2 tan x x g x x − = + . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ( ) f x lẻ và ( ) g x chẵn. B. ( ) f x và ( ) g x chẵn. C. ( ) f x chẵn, ( ) g x lẻ. D. ( ) f x và ( ) g x lẻ. Lời giải. Xét hàm số ( ) 2 cos 2 . 1 sin 3 x f x x = + TXĐ: D=ℝ . Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 cos 2 cos 2 1 sin 3 1 sin 3 x x f x f x x x − − = = = + − + ( ) f x  → là hàm số chẵn. Xét hàm số ( ) 2 sin 2 cos3 . 2 tan x x g x x − = + TXĐ: ( ) D \ 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ . Do đó D D. x x ∀ ∈ ⇒− ∈ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin 2 cos 3 sin 2 cos3 2 tan 2 tan x x x x g x g x x x − − − − − = = = + − + ( ) g x  → là hàm số chẵn. Vậy ( ) f x và ( ) g x chẵn. Chọn B. Câu 27. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? A. 3 1 . sin y x = B. sin . 4 y x π     = +       C. 2 cos . 4 y x π     = −       D. sin 2 . y x = Lời giải. Viết lại đáp án B là ( ) 1 sin sin cos . 4 2 y x x x π     = + = +       Viết lại đáp án C là 2 cos sin cos . 4 y x x x π     = − = +       Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Chọn A. Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ. Xét đáp án D. Hàm số xác định [ ] sin 2 0 2 2 ; 2 ; 2 x x k k x k k π π π π π π     ⇔ ≥ ⇔ ∈ + ⇔ ∈ +     ( ) ; . 2 D k k k π π π      → = + ∈     ℤ Chọn D 4 x π = ∈ nhưng D. 4 x π − =− ∉ Vậy sin 2 y x = không chẵn, không lẻ. Câu 28. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Đồ thị hàm số sin y x = đối xứng qua gốc tọa độ . O B. Đồ thị hàm số cos y x = đối xứng qua trục . Oy C. Đồ thị hàm số tan y x = đối xứng qua trục . Oy D. Đồ thị hàm số tan y x = đối xứng qua gốc tọa độ . O Lời giải. Ta kiểm tra được hàm số sin y x = là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy . Do đó đáp án A sai. Chọn A. Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. ( ) 2 cos sin 2 . 2 y x x π π     = + + −       B. sin sin . 4 4 y x x π π         = − + +             C. 2 sin sin . 4 y x x π     = + −       D. sin cos . y x x = + Lời giải. Viết lại đáp án A là ( ) 2 cos sin 2 2 sin sin 2 . 2 y x x x x π π     = + + − =− +       Viết lại đáp án B là sin sin 2 sin .cos 2 sin . 4 4 4 y x x x x π π π         = − + + = =             Viết lại đáp án C là 2 sin sin sin cos sin cos . 4 y x x x x x x π     = + − = + − =       Ta kiểm tra được đáp án A và B là các hàm số lẻ. Đáp án C là hàm số chẵn. Chọn C. Xét đáp án D. Hàm số xác định ( ) sin 0 D 2 ; 2 . cos 0 2 x k k k x π π π  ≥       ⇔  → = + ∈     ≥     ℤ Chọn D 4 x π = ∈ nhưng D. 4 x π − =− ∉ Vậy sin cos y x x = + không chẵn, không lẻ. Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ ? A. 4 cos . 3 y x x π     = + −       B. 2017 cos . 2 y x x π     = + −       C. 2018 2015 cos sin . y x x = + + D. 2017 2018 tan sin . y x x = + Lời giải. Viết lại đáp án B là 2017 2017 cos sin . 2 y x x y x x π     = + − = = +       Ta kiểm tra được đáp án A và D không chẵn, không lẻ. Đáp án B là hàm số lẻ. Đáp án C là hàm số chẵn. Chọn B. Vấn đề 3. TÍNH TUẦN HO=N Câu 31. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số sin y x = tuần hoàn với chu kì 2 . π B. Hàm số cos y x = tuần hoàn với chu kì 2 . π C. Hàm số tan y x = tuần hoàn với chu kì 2 . π D. Hàm số cot y x = tuần hoàn với chu kì . π Lời giải. Chọn C. Vì hàm số tan y x = tuần hoàn với chu kì . π Câu 32. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? A. sin y x = B. sin y x x = + C. cos . y x x = D sin . x y x = Lời giải. Chọn A. Hàm số sin y x x = + không tuần hoàn. Thật vậy: Tập xác định D=ℝ . Giả sử ( ) ( ), D f x T f x x + = ∀ ∈ ( ) ( ) sin sin , D x T x T x x x ⇔ + + + = + ∀ ∈ ( ) sin sin , D T x T x x ⇔ + + = ∀ ∈ . ( ) * Cho 0 x = và x π = , ta được ( ) sin sin 0 0 sin sin 0 T x T T π π  + = =     + + = =   ( ) 2 sin sin 0 0 T T T T π  → + + + = ⇔ = . Điều này trái với định nghĩa là 0 T > . Vậy hàm số sin y x x = + không phải là hàm số tuần hoàn. Tương tự chứng minh cho các hàm số cos y x x = và sinx y x = không tuần hoàn. Câu 33. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn? A. cos . y x = B. cos 2 . y x = C. 2 cos y x x = . D. 1 . sin 2 y x = Lời giải. Chọn C. Câu 34. Tìm chu kì T của hàm số sin 5 . 4 y x π     = −       A. 2 . 5 T π = B. 5 . 2 T π = C. . 2 T π = D. . 8 T π = Lời giải. Hàm số ( ) sin y ax b = + tuần hoàn với chu kì 2 T a π = . Áp dụng: Hàm số sin 5 4 y x π     = −       tuần hoàn với chu kì 2 . 5 T π = Chọn A. Câu 35. Tìm chu kì T của hàm số cos 2016 . 2 x y     = +       A. 4 . T π = B. 2 . T π = C. 2 . T π =− D. . T π =Lời giải. Hàm số ( ) cos y ax b = + tuần hoàn với chu kì 2 T a π = . Áp dụng: Hàm số cos 2016 2 x y     = +       tuần hoàn với chu kì 4 . T π = Chọn A. Câu 36. Tìm chu kì T của hàm số ( ) 1 sin 100 50 . 2 y x π π =− + A. 1 . 50 T = B. 1 . 100 T = C. . 50 T π = D. 2 200 . T π = Lời giải. Hàm số ( ) 1 sin 100 50 2 y x π π =− + tuần hoàn với chu kì 2 1 . 100 50 T π π = = Chọn A. Câu 37. Tìm chu kì T của hàm số cos 2 sin . 2 x y x = + A. 4 . T π = B. . T π = C. 2 . T π = D. . 2 T π = Lời giải. Hàm số cos 2 y x = tuần hoàn với chu kì 1 2 . 2 T π π = = Hàm số sin 2 x y= tuần hoàn với chu kì 2 2 4 . 1 2 T π π = = Suy ra hàm số cos 2 sin 2 x y x = + tuần hoàn với chu kì 4 . T π = Chọn A. Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của 1 T và 2 . T Câu 38. Tìm chu kì T của hàm số cos3 cos5 . y x x = + A. . T π = B. 3 . T π = C. 2 . T π = D. 5 . T π = Lời giải. Hàm số cos3 y x = tuần hoàn với chu kì 1 2 . 3 T π = Hàm số cos5 y x = tuần hoàn với chu kì 2 2 . 5 T π = Suy ra hàm số cos3 cos5 y x x = + tuần hoàn với chu kì 2 . T π = Chọn C. Câu 39. Tìm chu kì T của hàm số ( ) 3cos 2 1 2 sin 3 . 2 x y x     = + − −       A. 2 . T π = B. 4 T π = C. 6 T π = D. . T π = Lời giải. Hàm số ( ) 3cos 2 1 y x = + tuần hoàn với chu kì 1 2 . 2 T π π = = Hàm số 2 sin 3 . 2 x y     =− −       tuần hoàn với chu kì 2 2 4 . 1 2 T π π = = Suy ra hàm số ( ) 3cos 2 1 2 sin 3 2 x y x     = + − −       tuần hoàn với chu kì 4 . T π = Chọn B. Câu 40. Tìm chu kì T của hàm số sin 2 2 cos 3 . 3 4 y x x π π         = + + −             A. 2 . T π = B. . T π = C. 3 . T π = D. 4 . T π = Lời giải. Hàm số sin 2 3 y x π     = +       tuần hoàn với chu kì 1 2 . 2 T π π = =Hàm số 2 cos 3 4 y x π     = −       tuần hoàn với chu kì 2 2 . 3 T π = Suy ra hàm số sin 2 2 cos 3 3 4 y x x π π         = + + −             tuần hoàn với chu kì 2 . T π = Chọn A. Câu 41. Tìm chu kì T của hàm số tan 3 . y x π = A. . 3 T π = B. 4 . 3 T = C. 2 . 3 T π = D. 1 . 3 T = Lời giải. Hàm số ( ) tan y ax b = + tuần hoàn với chu kì T a π = . Áp dụng: Hàm số tan 3 y x π = tuần hoàn với chu kì 1 . 3 T = Chọn D. Câu 42. Tìm chu kì T của hàm số tan 3 cot . y x x = + A. 4 . T π = B. . T π = C. 3 . T π = D. . 3 T π = Lời giải. Hàm số ( ) cot y ax b = + tuần hoàn với chu kì T a π = . Áp dụng: Hàm số tan 3 y x = tuần hoàn với chu kì 1 . 3 T π = Hàm số cot y x = tuần hoàn với chu kì 2 . T π = Suy ra hàm số tan 3 cot y x x = + tuần hoàn với chu kì . T π = Chọn B. Nhận xét. T là bội chung nhỏ nhất của 1 T và 2 . T Câu 43. Tìm chu kì T của hàm số cot sin 2 . 3 x y x = + A. 4 . T π = B. . T π = C. 3 . T π = D. . 3 T π = Lời giải. Hàm số cot 3 x y= tuần hoàn với chu kì 1 3 . T π = Hàm số sin 2 y x = tuần hoàn với chu kì 2 . T π = Suy ra hàm số cot sin 2 3 x y x = + tuần hoàn với chu kì 3 . T π = Chọn C. Câu 44. Tìm chu kì T của hàm số sin tan 2 . 2 4 x y x π     = − +       A. 4 . T π = B. . T π = C. 3 . T π = D. 2 . T π = Lời giải. Hàm số sin 2 x y= tuần hoàn với chu kì 1 4 . T π = Hàm số tan 2 4 y x π     =− +       tuần hoàn với chu kì 2 . 2 T π = Suy ra hàm số sin tan 2 2 4 x y x π     = − +       tuần hoàn với chu kì 4 . T π = Chọn A. Câu 45. Tìm chu kì T của hàm số 2 2 cos 2017. y x = + A. 3 . T π = B. 2 . T π = C. . T π = D. 4 . T π = Lời giải. Ta có 2 2 cos 2017 cos 2 2018. y x x = + = + Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì . T π = Chọn C. Câu 46. Tìm chu kì T của hàm số 2 2 2 sin 3cos 3 . y x x = + A. . T π = B. 2 . T π = C. 3 . T π = D. . 3 T π = Lời giải. Ta có ( ) 1 cos 2 1 cos 6 1 2. 3. 3cos 6 2 cos 2 5 . 2 2 2 x x y x x − + = + = − + Hàm số 3cos 6 y x = tuần hoàn với chu kì 1 2 . 6 3 T π π = = Hàm số 2 cos 2 y x =− tuần hoàn với chu kì 2 . T π = Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì . T π = Chọn A. Câu 47. Tìm chu kì T của hàm số 2 tan 3 cos 2 . y x x = − A. . T π = B. . 3 T π = C. . 2 T π = D. 2 . T π = Lời giải. Ta có ( ) 1 cos 4 1 tan 3 2 tan 3 cos 4 1 . 2 2 x y x x x + = − = − − Hàm số 2 tan 3 y x = tuần hoàn với chu kì 1 . 3 T π = Hàm số cos 4 y x =− tuần hoàn với chu kì 2 2 . 4 2 T π π = = Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì . T π = Chọn C. Câu 48. Hàm số nào sau đây có chu kì khácπ ? A. sin 2 . 3 y x π     = −       B. cos 2 . 4 y x π     = +       C. ( ) tan 2 1 . y x = − + D. cos sin . y x x = Lời giải. Chọn C. Vì ( ) tan 2 1 y x = − + có chu kì . 2 2 T π π = = − Nhận xét. Hàm số 1 cos sin sin 2 2 y x x x = = có chu kỳ là . π Câu 49. Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2π ? A. 3 cos . y x = B. sin cos . 2 2 x x y= C. ( ) 2 sin 2 . y x = + D. 2 cos 1 . 2 x y     = +       Lời giải. Hàm số ( ) 3 1 cos cos3 3cos 4 y x x x = = + có chu kì là 2 . π Hàm số 1 sin cos sin 2 2 2 x x y x = = có chu kì là 2 . π Hàm số ( ) ( ) 2 1 1 sin 2 cos 2 4 2 2 y x x = + = − + có chu kì là . π Chọn C. Hàm số ( ) 2 1 1 cos 1 cos 2 2 2 2 x y x     = + = + +       có chu kì là 2 . π Câu 50. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau? A. cos y x = và cot . 2 x y= B. sin y x = và tan 2 . y x = C. sin 2 x y= và cos . 2 x y= D. tan 2 y x = và cot 2 . y x = Lời giải. Hai hàm số cos y x = và cot 2 x y= có cùng chu kì là 2 . πHai hàm số sin y x = có chu kì là 2π , hàm số tan 2 y x = có chu kì là . 2 π Chọn B. Hai hàm số sin 2 x y= và cos 2 x y= có cùng chu kì là 4 . π Hai hàm số tan 2 y x = và cot 2 y x = có cùng chu kì là . 2 π Vấn đề 4. TÍNH ĐƠN ĐIỆU Câu 51. Cho hàm số sin y x = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 π π           , nghịch biến trên khoảng 3 ; 2 π π           . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 3 ; 2 2 π π     − −       , nghịch biến trên khoảng ; 2 2 π π     −       . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 π           , nghịch biến trên khoảng ;0 2 π     −       . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 2 π π     −       , nghịch biến trên khoảng 3 ; 2 2 π π           . Lời giải. Ta có thể hiểu thế này '' Hàm số sin y x = đồng biến khi góc x thuộc gốc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc x thuộc gốc phần tư thứ II và thứ III '' . Chọn D. Câu 52. Với 31 33 ; 4 4 x π π     ∈       , mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số cot y x = nghịch biến. B. Hàm số tan y x = nghịch biến. C. Hàm số sin y x = đồng biến. D. Hàm số cos y x = nghịch biến. Lời giải. Ta có 31 33 ; 8 ; 8 4 4 4 4 π π π π π π         = − + +             thuộc gốc phần tư thứ I và II. Chọn C. Câu 53. Với 0; 4 x π     ∈       , mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Cả hai hàm số sin 2 y x =− và 1 cos 2 y x =− + đều nghịch biến. B. Cả hai hàm số sin 2 y x =− và 1 cos 2 y x =− + đều đồng biến. C. Hàm số sin 2 y x =− nghịch biến, hàm số 1 cos 2 y x =− + đồng biến. D. Hàm số sin 2 y x =− đồng biến, hàm số 1 cos 2 y x =− + nghịch biến. Lời giải. Ta có 0; 2 0; 4 2 x x π π         ∈ → ∈             thuộc góc phần tư thứ I. Do đó sin 2 y x = đồng biến sin 2 y x  → =− nghịch biến. cos 2 y x = nghịch biến 1 cos 2 y x  → =− + nghịch biến. Chọn A. Câu 54. Hàm số sin 2 y x = đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 0; 4 π           . B. ; 2 π π           . C. 3 ; 2 π π           . D. 3 ;2 2 π π           . Lời giải. Xét A. Ta có 0; 2 0; 4 2 x x π π         ∈ → ∈             thuộc gốc phần tư thứ I nên hàm số sin 2 y x = đồng biến trên khoảng này. Chọn A. Câu 55. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng ; 3 6 π π     −       ? A. tan 2 6 y x π     = +       . B. cot 2 6 y x π     = +       . C. sin 2 6 y x π     = +       . D. cos 2 6 y x π     = +       . Lời giải. Với 2 ; 2 ; 2 ; 3 6 3 3 6 2 2 x x x π π π π π π π             ∈ − → ∈ − → + ∈ −                   thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhất nên hàm số sin 2 6 y x π     = +       đồng biến trên khoảng ; 3 6 π π     −       . Chọn C. Vấn đề 5. ĐỒ THỊ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 56. Đồ thị hàm số cos 2 y x π     = −       được suy từ đồ thị ( ) C của hàm số cos y x = bằng cách: A. Tịnh tiến ( ) C qua trái một đoạn có độ dài là . 2 π B. Tịnh tiến ( ) C qua phải một đoạn có độ dài là . 2 π C. Tịnh tiến ( ) C lên trên một đoạn có độ dài là . 2 π D. Tịnh tiến ( ) C xuống dưới một đoạn có độ dài là . 2 π Lời giải. Nhắc lại lý thuyết Cho ( ) C là đồ thị của hàm số ( ) y f x = và 0 p> , ta có: + Tịnh tiến ( ) C lên trên p đơn vị thì được đồ thị của hàm số ( ) y f x p = + . + Tịnh tiến ( ) C xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số ( ) y f x p = − . + Tịnh tiến ( ) C sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số ( ) y f x p = + . + Tịnh tiến ( ) C sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số ( ) y f x p = − . Vậy đồ thị hàm số cos 2 y x π     = −       được suy từ đồ thị hàm số cos y x = bằng cách tịnh tiến sang phải 2 π đơn vị. Chọn B. Câu 57. Đồ thị hàm số sin y x = được suy từ đồ thị ( ) C của hàm số cos y x = bằng cách: A. Tịnh tiến ( ) C qua trái một đoạn có độ dài là . 2 π B. Tịnh tiến ( ) C qua phải một đoạn có độ dài là . 2 π C. Tịnh tiến ( ) C lên trên một đoạn có độ dài là . 2 π D. Tịnh tiến ( ) C xuống dưới một đoạn có độ dài là . 2 π Lời giải. Ta có sin cos cos . 2 2 y x x x π π         = = − = −             Chọn B. Câu 58. Đồ thị hàm số sin y x = được suy từ đồ thị ( ) C của hàm số cos 1 y x = + bằng cách: A. Tịnh tiến ( ) C qua trái một đoạn có độ dài là 2 π và lên trên 1 đơn vị. B. Tịnh tiến ( ) C qua phải một đoạn có độ dài là 2 π và lên trên 1 đơn vị. C. Tịnh tiến ( ) C qua trái một đoạn có độ dài là 2 π và xuống dưới 1 đơn vị. D. Tịnh tiến ( ) C qua phải một đoạn có độ dài là 2 π và xuống dưới 1 đơn vị. Lời giải. Ta có sin cos cos . 2 2 y x x x π π         = = − = −             Tịnh tiến đồ thị cos 1 y x = + sang phải 2 π đơn vị ta được đồ thị hàm số cos 1. 2 y x π     = − +       Tiếp theo tịnh tiến đồ thị cos 1 2 y x π     = − +       xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số cos . 2 y x π     = −       Chọn D. Câu 59. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 1 sin 2 . y x = + B. cos . y x = C. sin . y x =− D. cos . y x =− Lời giải. Ta thấy tại 0 x = thì 1 y= . Do đó loại đáp án C và D. Tại 2 x π = thì 0 y= . Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn. Chọn B. Câu 60. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. sin . 2 x y= B. cos . 2 x y= C. cos . 4 x y=− D. sin . 2 x y     = −       Lời giải. Ta thấy: Tại 0 x = thì 0 y= . Do đó loại B và C. Tại x π = thì 1 y=− . Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa. Chọn D. Câu 61. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 2 cos . 3 x y= B. 2 sin . 3 x y= C. 3 cos . 2 x y= D. 3 sin . 2 x y= Lời giải. Ta thấy: Tại 0 x = thì 1 y= . Do đó ta loại đáp án B và D. Tại 3 x π = thì 1 y= . Thay vào hai đáp án A và C thì chit có A thỏa mãn. Chọn A. Câu 62. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. sin . 4 y x π     = −       B. 3 cos . 4 y x π     = +       C. 2 sin . 4 y x π     = +       D. cos . 4 y x π     = −       Lời giải. Ta thấy hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng 1 − . Do đó loại đáp án C. Tại 0 x = thì 2 2 y=− . Do đó loại đáp án D. Tại 3 4 x π = thì 1 y= . Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn. Chọn A. Câu 63. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. sin . 4 y x π     = −       B. cos . 4 y x π     = −       C. 2 sin . 4 y x π     = +       D. 2 cos . 4 y x π     = +       Lời giải. Ta thấy hàm số có GTLN bằng 2 và GTNN bằng 2 − . Do đó lại A và B. Tại 3 4 x π = thì 2 y=− . Thay vào hai đáp án C và D thỉ chỉ có D thỏa mãn. Chọn D. Câu 64. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. sin . y x = B. sin . y x = C. sin . y x = D. sin . y x =− Lời giải. Ta thấy tại 0 x = thì 0 y= . Cả 4 đáp án đều thỏa. Tại 2 x π = thì 1 y=− . Do đó chỉ có đáp án D thỏa mãn. Chọn D. Câu 65. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. cos . y x = B. cos y x =− C. cos . y x = D. cos . y x = Lời giải. Ta thấy tại 0 x = thì 1. y=− Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn. Chọn B. Câu 66. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. sin . y x = B. sin . y x = C. cos . y x = D. cos . y x = Lời giải. Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 . Do đó chỉ có A hoặc D thỏa mãn. Ta thấy tại 0 x = thì 0 y= . Thay vào hai đáp án A và D chỉ có duy nhất A thỏa mãn. Chọn A. Câu 67. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. tan . y x = B. cot . y x = C. tan . y x = D. cot . y x = Lời giải. Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 . Do đó ta loại đáp án A và B. Hàm số xác định tại x π = và tại x π = thì 0 y= . Do đó chỉ có C thỏa mãn. Chọn C. Câu 68. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. sin 1. 2 y x π     = − −       B. 2 sin . 2 y x π     = −       C. sin 1. 2 y x π     =− − −       D. sin 1. 2 y x π     = + +       Lời giải. Ta thấy hàm số có GTLN bằng 0 , GTNN bằng 2. − Do đó ta loại đán án B vì [ ] 2 sin 2;2 . 2 y x π     = − ∈ −       Tại 0 x = thì 2 y=− . Thử vào các đáp án còn lại chỉ có A thỏa mãn. Chọn A. Câu 69. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 1 sin . y x = + B. sin y x = . C. 1 cos y x = + . D. 1 sin y x = + . Lời giải. Ta có 1 cos 1 y x = + ≥ và 1 sin 1 y x = + ≥ nên loại C và D. Ta thấy tại 0 x = thì 1 y= . Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có A thỏa. Chọn A. Câu 70. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 1 sin . y x = + B. sin y x = . C. 1 cos y x = + . D. 1 sin y x = + . Lời giải. Ta có 1 cos 1 y x = + ≥ và 1 sin 1 y x = + ≥ nên loại C và D. Ta thấy tại x π = thì 0 y= . Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có B thỏa. Chọn B. Vấn đề 6. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Câu 71. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 3sin 2. y x = − A. 1, 5. M m = =− B. 3, 1. M m = = C. 2, 2. M m = =− D. 0, 2. M m = =− Lời giải. Ta có 1 sin 1 3 3sin 3 5 3sin 2 1 x x x − ≤ ≤  →− ≤ ≤  →− ≤ − ≤ 1 5 1 . 5 M y m  =    →− ≤ ≤  →   =−   Chọn A. Câu 72. Tìm tập giá trị T của hàm số 3cos 2 5. y x = + A. [ ] 1;1 . T = − B. [ ] 1;11 . T = − C. [ ] 2;8 . T = D. [ ] 5;8 . T = Lời giải. Ta có 1 cos 2 1 3 3cos 2 3 2 3cos 2 5 8 x x x − ≤ ≤  →− ≤ ≤  → ≤ + ≤ [ ] 2 8 2;8 . y T  → ≤ ≤  → = Chọn C. Câu 73. Tìm tập giá trị T của hàm số 5 3sin . y x = − A. [ ] 1;1 . T = − B. [ ] 3;3 . T = − C. [ ] 2;8 . T = D. [ ] 5;8 . T = Lời giải. Ta có 1 sin 1 1 sin 1 3 3sin 3 x x x − ≤ ≤  → ≥− ≥−  → ≥− ≥− [ ] 8 5 3sin 2 2 8 2;8 . x y T  → ≥ − ≥  → ≤ ≤  → = Chọn C. Câu 74. Cho hàm số 2 sin 2 3 y x π     =− + +       . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 4, . y x ≥− ∀ ∈ℝ B. 4, . y x ≥ ∀ ∈ℝ C. 0, . y x ≥ ∀ ∈ℝ D. 2, . y x ≥ ∀ ∈ℝ Lời giải. Ta có 1 sin 1 2 2 sin 2 3 3 x x π π         − ≤ + ≤  → ≥− + ≥−             4 2 sin 2 0 4 0 3 x y π      → ≥− + + ≥  → ≥ ≥       . Chọn C. Câu 75. Hàm số 5 4 sin 2 cos 2 y x x = + có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải. Ta có 5 4 sin 2 cos 2 5 2 sin 4 y x x x = + = + . Mà 1 sin 4 1 2 2 sin 4 2 3 5 2 sin 4 7 x x x − ≤ ≤  →− ≤ ≤  → ≤ + ≤ { } 3 7 3;4;5;6;7 y y y ∈  → ≤ ≤  → ∈ ℤ nên y có 5 giá trị nguyên. Chọn C. Câu 76. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số ( ) 2 sin 2016 2017 y x =− + . A. 2016 2. m=− B. 2. m=− C. 1. m=− D. 2017 2. m=− Lời giải. Ta có ( ) ( ) 1 sin 2016 2017 1 2 2 sin 2016 2017 2. x x − ≤ + ≤  → ≥− + ≥− Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2. − Chọn B. Câu 77. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 1 . cos 1 y x = + A. 1 . 2 m= B. 1 . 2 m= C. 1. m= D. 2. m= Lời giải. Ta có 1 cos 1 x − ≤ ≤ . Ta có 1 cos 1 x+ nhỏ nhất khi và chỉ chi cosx lớn nhất cos 1 x ⇔ = . Khi 1 1 cos 1 . cos 1 2 x y x =  → = = + Chọn A. Câu 78. Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos y x x = + . Tính . P M m = − A. 4. P = B. 2 2. P = C. 2. P = D. 2. P = Lời giải. Ta có sin cos 2 sin . 4 y x x x π     = + = +       Mà 1 sin 1 2 2 sin 2 4 4 x x π π         − ≤ + ≤  →− ≤ + ≤             2 2 2. 2 M P M m m   =    → → = − =   =−    Chọn B. Câu 79. Tập giá trị T của hàm số sin 2017 cos 2017 . y x x = − A. [ ] 2;2 . T = − B. [ ] 4034;4034 . T = − C. 2; 2 . T   = −     D. 0; 2 . T   =     Lời giải. Ta có sin 2017 cos 2017 2 sin 2017 4 y x x x π     = − = −       . Mà 1 sin 2017 1 2 2 sin 2017 2 4 4 x x π π         − ≤ − ≤  →− ≤ − ≤             2 2 2; 2 . y T    →− ≤ ≤  → = −     Chọn C. Câu 80. Hàm số sin sin 3 y x x π     = + −       có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Áp dụng công thức sin sin 2 cos sin 2 2 a b a b a b + − − = , ta có sin sin 2cos sin cos . 3 6 6 6 x x x x π π π π             + − = + = +                   Ta có { } 1 cos 1 1 1 1;0;1 . 6 y x y y π ∈     − ≤ + ≤  →− ≤ ≤  → ∈ −       ℤ Chọn C. Câu 81. Hàm số 4 4 sin cos y x x = − đạt giá trị nhỏ nhất tại 0 x x = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 0 2 , . x k k π = ∈ℤ B. 0 , . x k k π = ∈ℤ C. 0 2 , . x k k π π = + ∈ℤ D. 0 , . 2 x k k π π = + ∈ℤ Lời giải. Ta có ( )( ) 4 4 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos cos 2 . y x x x x x x x = − = + − =− Mà 1 cos 2 1 1 cos 2 1 1 1 x x y − ≤ ≤  →− ≥− ≥  →− ≥ ≥ . Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 − . Đẳng thức xảy ra ( ) cos2 1 2 2 . x x k x k k π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ℤ Chọn B. Câu 82. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 1 2 cos3 . y x = − A. 3, 1. M m = =− B. 1, 1. M m = =− C. 2, 2. M m = =− D. 0, 2. M m = =− Lời giải. Ta có 1 cos3 1 0 cos3 1 0 2 cos3 2 x x x − ≤ ≤  → ≤ ≤  → ≥− ≥− 1 1 1 2 cos3 1 1 1 . 1 M x y m  =    → ≥ − ≥−  → ≥ ≥−  →   =−   Chọn B. Câu 83. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2 4 sin 2 sin 2 . 4 y x x π     = + +       A. 2. M = B. 2 1. M = − C. 2 1. M = + D. 2 2. M = + Lời giải. Ta có 2 1 cos 2 4 sin 2 sin 2 4 sin 2 cos 2 4 2 x y x x x x π     −     = + + = + +             sin 2 cos 2 2 2 sin 2 2. 4 x x x π     = − + = − +       Mà 1 sin 2 1 2 2 2 sin 2 2 2 2 4 4 x x π π         − ≤ − ≤  →− + ≤ − + ≤ +             . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2. + Chọn D. Câu 84. Tìm tập giá trị T của hàm số 6 6 sin cos . y x x = + A. [ ] 0;2 . T = B. 1 ;1 . 2 T     =     C. 1 ;1 . 4 T     =     D. 1 0; . 4 T     =     Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2 6 6 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 3sin cos sin cos y x x x x x x x x = + = + − + 2 2 2 3 3 1 cos 4 5 3 1 3sin cos 1 sin 2 1 . cos 4 . 4 4 2 8 8 x x x x x − = − = − = − = + Mà 1 5 3 1 1 cos 4 1 cos 4 1 1. 4 8 8 4 x x y − ≤ ≤  → ≤ + ≤  → ≤ ≤ Chọn C. Câu 85. Cho hàm số 4 4 cos sin y x x = + . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2, . y x ≤ ∀ ∈ℝ B. 1, . y x ≤ ∀ ∈ℝ C. 2, . y x ≤ ∀ ∈ℝ D. 2 , . 2 y x ≤ ∀ ∈ℝ Lời giải. Ta có ( ) 2 4 4 2 2 2 2 2 1 cos sin sin cos 2 sin cos 1 sin 2 2 y x x x x x x x = + = + − = − 1 1 cos 4 3 1 1 . cos 4 . 2 2 4 4 x x − = − = + Mà 1 3 1 1 1 cos 4 1 cos 4 1 1 2 4 4 2 x x y − ≤ ≤  → ≤ + ≤  → ≤ ≤ . Chọn B. Câu 86. Hàm số 2 1 2 cos y x = + đạt giá trị nhỏ nhất tại 0 x x = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 0 2 , . x k k π π = + ∈ℤ B. 0 , . 2 x k k π π = + ∈ℤ C. 0 2 , . x k k π = ∈ℤ D. 0 , . x k k π = ∈ℤ Lời giải. Ta có 2 2 1 cos 1 0 cos 1 1 1 2cos 3. x x x − ≤ ≤  → ≤ ≤  → ≤ + ≤ Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1. Dấu '' '' = xảy ra cos 0 . 2 x x k π π ⇔ = ⇔ = + Chọn B. Câu 87. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số 2 2 sin 2 cos . y x x = + A. 3, 0. M m = = B. 2, 0. M m = = C. 2, 1. M m = = D. 3, 1. M m = = Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 sin 2 cos sin cos cos 1 cos y x x x x x x = + = + + = + Do 2 2 2 1 cos 1 0 cos 1 1 1 cos 2 . 1 M x x x m  =   − ≤ ≤  → ≤ ≤  → ≤ + ≤  →   =   Chọn C. Câu 88. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 2 2 . 1 tan y x = + A. 1 . 2 M = B. 2 . 3 M = C. 1. M = D. 2. M = Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 cos 1 1 tan cos y x x x = = = + . Do 2 0 cos 1 0 2 2. x y M ≤ ≤  → ≤ ≤  → = Chọn D. Câu 89. Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 8sin 3cos 2 y x x = + . Tính 2 2 . P M m = − A. 1. P = B. 2. P = C. 112. P = D. 130. P = Lời giải. Ta có ( ) 2 2 2 2 8sin 3cos 2 8sin 3 1 2 sin 2 sin 3. y x x x x x = + = + − = + Mà 2 2 1 sin 1 0 sin 1 3 2sin 3 5 x x x − ≤ ≤  → ≤ ≤  → ≤ + ≤ 2 5 3 5 2 1. 3 M y P M m m  =    → ≤ ≤  →  → = − =   =   Chọn A. Câu 90. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 sin 3 sin 2 y x x = + . A. 2 3. m= − B. 1. m=− C. 1. m= D. 3. m=− Lời giải. Ta có 2 2sin 3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 y x x x x = + = − + 3 1 3 sin 2 cos 2 1 2 sin 2 cos 2 1 2 2 2 sin 2 cos sin cos 2 1 2 sin 2 1. 6 6 6 x x x x x x x π π π       = − + = − +                = − + = − +             Mà 1 sin 2 1 1 1 2sin 2 3 1 3. 6 6 x x y π π         − ≤ − ≤  →− ≤ + − ≤  →− ≤ ≤             Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1. − Chọn B. Câu 91. Tìm tập giá trị T của hàm số 12 sin 5cos . y x x = − A. [ ] 1;1 . T = − B. [ ] 7;7 . T = − C. [ ] 13;13 . T = − D. [ ] 17;17 . T = − Lời giải. Ta có 12 5 12 sin 5cos 13 sin cos . 13 13 y x x x x     = − = −       Đặt 12 5 cos sin 13 13 α α =  → = . Khi đó ( ) ( ) 13 sin cos sin cos 13sin y x x x α α α = − = − [ ] 13 13 13;13 . y T  →− ≤ ≤  → = − Chọn C. Câu 92. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 4 sin 2 3cos 2 . y x x = − A. 3. M = B. 1. M = C. 5. M = D. 4. M =Lời giải. Ta có 4 3 4 sin 2 3cos 2 5 sin 2 cos 2 5 5 y x x x x     = − = −       . Đặt 4 3 cos sin 5 5 α α =  → = . Khi đó ( ) ( ) 5 cos sin 2 sin cos 2 5sin 2 y x x x α α α = − = − 5 5 5. y M  →− ≤ ≤  → = Chọn C. Câu 93. Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 sin 4 sin 5 y x x = − + . Tính 2 2 . P M m = − A. 1. P = B. 7. P = C. 8. P = D. 2. P = Lời giải. Ta có ( ) 2 2 sin 4 sin 5 sin 2 1. y x x x = − + = − + Do ( ) 2 1 sin 1 3 sin 2 1 1 sin 2 9 x x x − ≤ ≤  →− ≤ − ≤−  → ≤ − ≤ ( ) 2 2 10 2 sin 2 1 10 2 2. 2 M x P M m m  =    → ≤ − + ≤  → = − =   =   Chọn D. Câu 94. Hàm số 2 cos cos y x x = − có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có 2 2 1 1 cos cos cos . 2 4 y x x x     = − = − −       Mà 2 3 1 1 1 9 1 cos 1 cos 0 cos 2 2 2 2 4 x x x     − ≤ ≤  →− ≤ − ≤  → ≤ − ≤       { } 2 1 1 1 1 cos 2 2 0;1;2 4 2 4 4 y x y y ∈      →− ≤ − − ≤  →− ≤ ≤  → ∈       ℤ nên có 3 giá trị thỏa mãn. Chọn C. Câu 95. Hàm số 2 cos 2 sin 2 y x x = + + đạt giá trị nhỏ nhất tại 0 x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 0 2 , . 2 x k k π π = + ∈ℤ B. 0 2 , . 2 x k k π π =− + ∈ℤ C. 0 2 , . x k k π π = + ∈ℤ D. 0 2 , . x k k π = ∈ℤ Lời giải. Ta có 2 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 y x x x x = + + = − + + ( ) 2 2 sin 2sin 3 sin 1 4. x x x =− + + =− − + Mà ( ) 2 1 sin 1 2 sin 1 0 0 sin 1 4 x x x − ≤ ≤  →− ≤ − ≤  → ≤ − ≤ ( ) ( ) 2 2 0 sin 1 4 4 sin 1 4 0 x x  → ≥− − ≥−  → ≥− − + ≥ . Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 . Dấu '' '' = xảy ra ( ) sin 1 2 . 2 x x k k π π ⇔ =− ⇔ =− + ∈ℤ Chọn B. Câu 96. Tìm giá trị lớn nhất M và nhất m của hàm số 4 2 sin 2 cos 1 y x x = − + A. 2, 2. M m = =− B. 1, 0. M m = = C. 4, 1. M m = =− D. 2, 1. M m = =− Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2 4 2 4 2 2 sin 2 cos 1 sin 2 1 sin 1 sin 1 2. y x x x x x = − + = − − + = + − Do ( ) 2 2 2 2 0 sin 1 1 sin 1 2 1 sin 1 4 x x x ≤ ≤  → ≤ + ≤  → ≤ + ≤ ( ) 2 2 2 1 sin 1 2 2 . 1 M x m  =    →− ≤ + − ≤  →   =−   Chọn D. Câu 97. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 4 sin cos 4 y x x = − . A. 3. m=− B. 1. m=− C. 3. m= D. 5. m=− Lời giải. Ta có ( ) 2 4 2 1 cos 2 4 sin cos 4 4. 2cos 2 1 2 x y x x x   −   = − = − −       ( ) 2 2 cos 2 2cos2 2 cos 2 1 3 3. x x x =− − + =− + + ≤ Mà ( ) 2 1 cos 2 1 0 cos 2 1 2 0 cos 2 1 4 x x x − ≤ ≤  → ≤ + ≤  → ≤ + ≤ ( ) 2 1 cos 2 1 3 3 1. x m  →− ≤− + + ≤  → =− Chọn B. Câu 98. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 7 3cos . y x = − A. 10, 2. M m = = B. 7, 2. M m = = C. 10, 7. M m = = D. 0, 1. M m = = Lời giải. Ta có 2 1 cos 1 0 cos 1 x x − ≤ ≤  → ≤ ≤ 2 2 4 7 3cos 7 2 7 3cos 7 x x  → ≤ − ≤  → ≤ − ≤ . Chọn B. Câu 99. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một hàm số ( ) 4 sin 60 10 178 y t π     = − +     với t∈ℤ và 0 365 t < ≤ . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất? A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Lời giải. Vì ( ) ( ) sin 60 1 4 sin 60 10 14. 178 178 t y t π π         − ≤  → = − + ≤         Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất ( ) 14 sin 60 1 178 y t π     ⇔ = ⇔ − =     ( ) 60 2 149 356 . 178 2 t k t k π π π ⇔ − = + ⇔ = + Do 149 54 0 365 0 149 356 365 0 356 89 k t k k k ∈ < ≤  → < + ≤ ⇔− < ≤  → = ℤ . Với 0 149 k t =  → = rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 365 t < ≤ thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày). Chọn B. Câu 100. Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức 3cos 12. 8 4 t h π π     = + +       Mực nước của kênh cao nhất khi: A. 13 t = (giờ). B. 14 t = (giờ). C. 15 t = (giờ). D. 16 t = (giờ). Lời giải. Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất cos 1 2 8 4 8 4 t t k π π π π π     ⇔ + = ⇔ + =       với 0 24 t < ≤ và . k∈ℤ Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn. Chọn B. Vì với 14 2 8 4 t t π π π =  →⇔ + = (đúng với 1 k= ∈ℤ ) Baøi 02 PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN 1) Phương trình sinx a = Trường hợp 1 a >  → phương trình vô nghiệm, vì 1 sin 1 x − ≤ ≤ với mọi x . Trường hợp 1 a ≤  → phương trình có nghiệm, cụ thể: ▪ 1 2 3 0; ; ; ; 1 2 2 2 a       ∈ ± ± ± ±         . Khi đó 2 sin sin , sin 2 x k x k x k x a α π α π α π  = +  = ⇔ ∈  = − + =  ⇔ ℤ . ▪ 1 2 3 0; ; ; ; 1 2 2 2 a       ∉ ± ± ± ±         . Khi đó arcsin 2 sin , arcsin 2 x a k x a k x a k π π π  = +  = ⇔ ∈  = − +  ℤ . 2) Phương trình cosx a = Trường hợp 1 a >  → phương trình vô nghiệm, vì 1 cos 1 x − ≤ ≤ với mọi x . Trường hợp 1 a ≤  → phương trình có nghiệm, cụ thể: ▪ 1 2 3 0; ; ; ; 1 2 2 2 a       ∈ ± ± ± ±         . Khi đó 2 cos cos , cos 2 x k x k x k x a α π α α π  = +  = ⇔ ∈  = = ⇔ − +  ℤ . ▪ 1 2 3 0; ; ; ; 1 2 2 2 a       ∉ ± ± ± ±         . Khi đó arc cos 2 cos , arc cos 2 x a k x a k x a k π π  = +  = ⇔ ∈  = − +  ℤ . 3) Phương trình tanx a = Điều kiện: ( ) . 2 x k k π π ≠ + ∈ℤ ● 1 0; ; 1; 3 3 a       ∈ ± ± ±         . Khi đó tan tan a , t n x x k x k a α α π = = + = ⇔ ⇔ ∈ℤ . ● 1 0; ; 1; 3 3 a       ∉ ± ± ±         . Khi đó tan arctan , x a x a k k π = ⇔ = + ∈ℤ . 4) Phương trình cotx a = Điều kiện: ( ) . x k k π π ≠ + ∈ℤ ● 1 0; ; 1; 3 3 a       ∈ ± ± ±         . Khi đó cot cot cot , x a k x x k α α π ⇔ = ⇔ + = = ∈ℤ . ● 1 0; ; 1; 3 3 a       ∉ ± ± ±         . Khi đó arccot , c ot a x a x k k π = ⇔ = + ∈ℤ . CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Giải phương trình 2 sin 0 3 3 x π     − =       . A. ( ) . x k k π = ∈ℤ B. ( ) 2 3 . 3 2 k x k π π = + ∈ℤ C. ( ) . 3 x k k π π = + ∈ℤ D. ( ) 3 . 2 2 k x k π π = + ∈ℤ Lời giải. Phương trình 2 2 sin 0 3 3 3 3 x x k π π π     − = ⇔ − =       ( ) 2 3 . 3 3 2 2 x k k x k π π π π ⇔ = + ⇔ = + ∈ℤ Chọn D. Câu 2. Số nghiệm của phương trình ( ) 0 3 sin 2 40 2 x − = với 0 0 180 180 x − ≤ ≤ là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 7. Lời giải. Phương trình ( ) ( ) 0 0 0 3 sin 2 40 sin 2 40 sin 60 2 x x − = ⇔ − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 40 60 360 2 100 360 50 180 . 2 40 180 60 360 2 160 360 80 180 x k x k x k x k x k x k    − = + = + = +    ⇔ ⇔ ⇔    − = − + = + = +       Xét nghiệm 0 0 50 180 . x k = + Vì 0 0 0 0 0 0 180 180 180 50 180 180 x k − ≤ ≤  →− ≤ + ≤ 0 0 1 130 23 13 . 18 18 0 50 k k x k k x ∈  = − → = −  ⇔ − ≤ ≤   →  = → =   ℤ Xét nghiệm 0 0 80 180 . x k = + Vì 0 0 0 0 0 0 180 180 180 80 180 180 x k − ≤ ≤  →− ≤ + ≤ 0 0 1 100 13 5 . 9 9 0 80 k k x k k x ∈  = − → = −  ⇔ − ≤ ≤   →  = → =   ℤ Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Chọn B. Cách 2 (CASIO). Ta có 0 0 0 0 180 180 360 2 360 . x x − ≤ ≤  →− ≤ ≤ Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm ( ) ( ) 3 sin 2 40 2 f X X = − − với các thiết lập Start 360, End 360, Step 40 = − = = . Quan sát bảng giá trị của ( ) f X ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 1 sin 2 3 2 x π     + =       trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 3 6 12 sin 2 sin . 3 6 2 2 3 6 4 x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π π π π     + = + = − +       ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈           + = − + = +       ℤ Biểu diễn nghiệm 12 x k π π = − + trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1). Biểu diễn nghiệm 4 x k π π = + trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. Chọn C. Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng 2 x k n π α = +  → số vị trí biểu diễn trên đường tròn lượng giác là n . Xét 2 12 12 2 x k x k π π π π = − + ⇔ = − +  → có 2 vị trí biểu diễn. Xét 2 4 4 2 x k x k π π π π = + ⇔ = +  → có 2 vị trí biểu diễn. Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau. Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số sin 3 y x = và sin y x = bằng nhau? A. ( ) 2 . 2 4 x k k x k π π π  =   ∈  = +   ℤ B. ( ) . 4 2 x k k x k π π π  =   ∈  = +   ℤ C. ( ). 4 x k k π = ∈ℤ D. ( ). 2 x k k π = ∈ℤ Lời giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3 sin x x = ( ) 3 2 . 3 2 4 2 x k x x k k x x k x k π π π π π π  =  = +    ⇔ ⇔ ∈   = − + = +    ℤ Chọn B. Câu 5. Gọi 0 x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 2 0 1 sin 2 x x = − . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 0 0; . 4 x π     ∈       B. 0 ; . 4 2 x π π     ∈     C. 0 3 ; . 2 4 x π π     ∈       D. 0 3 ; . 4 x π π     ∈     Lời giải. Điều kiện: 1 sin 2 0 sin 2 1. x x − ≠ ⇔ ≠ Phương trình ( ) ( ) 2 2 sin 2 cos 2 1 sin 2 1 2 cos 2 0 cos 2 0 1 sin 2 sin 2 1 x x x x x x x + =  =  = ⇔ =     →  − = −   loaïi thoûa maõn ( ) sin 2 1 2 2 . 2 4 x x k x k k π π π π ⇔ = − ⇔ = − + ⇔ = − + ∈ℤ Cho 1 0 4 4 k k π π − + >  → > . Hình 1 O 4 π O 12 π − sin cos sin cos Hình 2 Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với 3 3 1 ; . 4 4 k x π π π     = → = ∈     Chọn D. Câu 6. Hỏi trên đoạn [ ] 2017;2017 − , phương trình ( ) ( ) sin 1 sin 2 0 x x + − = có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Lời giải. Phương trình ( ) ( ) sin 1 sin 1 2 . 2 sin 2 vo nghiem x x x k k x π π  = −  ⇔ ⇔ = − ⇔ = − + ∈  =   ℤ Theo giả thiết 2017 2017 2 2 2017 2 2017 2 2 2 k k π π π π π π − + + − ≤ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ { } xap xi 320,765 321,265 320; 319;...;321 . k k k ∈  →− ≤ ≤   → ∈ − − ℤ Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin 3 4 2 x π     − =       bằng: A. 9 π . B. 6 π − . C. 6 π . D. 9 π − . Lời giải. Ta có 3 2 3 4 3 sin 3 sin 3 sin 4 2 4 3 3 2 4 3 x k x x x k π π π π π π π π π π   − = +          − = ⇔ − = ⇔               − = − +    ( ) 7 2 7 3 2 36 3 12 . 11 11 2 3 2 12 36 3 k x x k k k x k x π π π π π π π π     = + = +   ⇔ ⇔ ∈     = + = +       ℤ TH1. Với min Cho max 7 7 0 0 7 2 24 36 . 7 17 36 3 0 1 24 36 x k k x k x x k k x π π π π   > ⇔ > − ⇒ = → =  = +   →   < ⇔ < − ⇒ = − → = −    TH2. Với min Cho max 11 11 0 0 11 2 24 36 . 11 13 36 3 0 1 24 36 x k k x k x x k k x π π π π   > ⇔ > − ⇒ = → =  = +   →   < ⇔ < − ⇒ = − → = −    So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là 13 36 x π = − và nghiệm dương nhỏ nhất là 7 36 x π = . Khi đó tổng hai nghiệm này bằng 13 7 36 36 6 π π π − + = − .Chọn B. Câu 8. Gọi 0 x là nghiệm âm lớn nhất của phương trình ( ) 0 3 cos 5 45 2 x − = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ( ) 0 0 0 30 ;0 x ∈ − . B. ( ) 0 0 0 45 ; 30 x ∈ − − . C. ( ) 0 0 0 60 ; 45 x ∈ − − . D. ( ) 0 0 0 90 ; 60 x ∈ − − . Lời giải. Ta có ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 45 30 360 3 cos 5 45 cos 5 45 cos30 2 5 45 30 360 x k x x x k  − = +  − = ⇔ − = ⇔  − = − +   ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 5 75 360 15 72 . 5 15 360 3 72 x k x k k x k x k   = + = +   ⇔ ⇔ ∈   = + = +     ℤ TH1. Với 0 0 0 max 5 15 72 0 1 57 . 24 x k k k x = + < ⇔ < − ⇒ = − → = − TH2. Với 0 0 0 max 1 3 72 0 1 69 . 24 x k k k x = + < ⇔ < − ⇒ = − ⇒ = − So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là 0 57 . x = − Chọn C. Câu 9. Hỏi trên đoạn ;2 2 π π     −     , phương trình 13 cos 14 x = có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải. Phương trình ( ) 13 13 cos arccos 2 . 14 14 x x k k π = ⇔ = ± + ∈ℤ Với 13 arccos 2 14 x k π = + . Vì 13 ;2 arccos 2 2 2 2 14 x k π π π π π     ∈ −  →− ≤ + ≤     CASIO xapxi 13 0,3105 0,9394 0 arccos . 14 k k k x ∈  →− ≤ ≤   → =  → = ℤ Với 13 arccos 2 . 14 x k π = − + Vì 13 ;2 arccos 2 2 2 2 14 x k π π π π π     ∈ −  →− ≤ − + ≤     { } CASIO xapxi 13 13 0,1894 1,0605 0;1 arccos ; arccos 2 . 14 14 k k k x k π ∈         →− ≤ ≤   → ∈  → ∈ − − +         ℤ Vậy có tất cả 3 nghiệm thỏa mãn. Chọn B. Cách 2 (CASIO). Dùng chức năng TABLE nhập hàm ( ) 13 cos 14 f X X = − với các thiết lập Start , End 2 , Step 2 7 π π π = − = = . Ta thấy ( ) f X đổi dấu 3 lần nên có 3 nghiệm. Cách 3. Dùng đường tròn lượng giác Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn cung từ 2 π − đến 2π . Tiếp theo ta kẻ đường thẳng 13 14 x = . Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng 13 14 x = cắt cung lượng giác vừa vẽ tại 3 điểm. O sin 13 14 x = cos Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình 0 cos 15 sin . 2 x x     + =       Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 0 290 . X ∈ B. 0 20 . X ∈ C. 0 220 . X ∈ D. 0 240 . X ∈ Lời giải. Ta có ( ) 0 0 0 cos 15 sin cos 15 cos 90 2 2 x x x x         + = ⇔ + = −             ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 90 360 50 240 2 . 210 720 15 90 360 2 x x k x k k x x k x k   + = − +  = +   ⇔ ⇔ ∈    = −   + = − − +    ℤ Nhận thấy 0 290 X ∈ (do ứng với 1 k = của nghiệm 0 0 50 240 x k = + ). Chọn A. Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2 cos 0 x x − = trên [ ] 0;2 . π A. 3 . T π = B. 5 . 2 T π = C. 2 . T π = D. . T π = Lời giải. Ta có sin 2 cos 0 sin 2 cos sin 2 sin 2 x x x x x x π     − = ⇔ = ⇔ = −       2 2 2 2 6 3 2 2 2 2 2 k x x k x x x k x k π π π π π π π π π    = − +  = +    ⇔ ⇔         = − − + = +            . Vì [ ] 0;2 x π ∈ , suy ra { } { } 2 1 11 0 2 0;1;2 6 3 4 4 . 1 3 0 0 2 2 4 4 2 k k k k k k π π π π π π     ≤ + ≤ − ≤ ≤ ⇒ ∈   ⇔     − ≤ ≤ ⇒ ∈ ≤ + ≤       Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn [ ] 0;2π là 5 3 ; ; ; 3 . 6 6 2 2 T π π π π π → = Chọn A. Câu 12. Trên khoảng ;2 2 π π           , phương trình cos 2 sin 6 x x π     − =       có bao nhiêu nghiệm? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 2. Lời giải. Ta có cos 2 sin cos 2 cos 6 6 2 x x x x π π π             − = ⇔ − = −                   ( ) 2 2 2 6 2 3 . 2 2 2 2 6 2 9 3 x x k x k k k x x k x π π π π π π π π π π    − = − +  = − −    ⇔ ⇔ ∈         − = − − + = −            ℤ Vì ;2 2 x π π     ∈       , suy ra { } 7 5 2 2 1 2 3 6 12 . 2 2 8 5 2 2; 1 2 9 3 3 12 k k k k k k k k π π π π π π π π ∈ ∈     < − − < − ≤ < −   → = −   ⇔     < − < − ≤ < −   → = − −       ℤ ℤ Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên khoảng ;2 . 2 π π           Chọn A. Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình ( ) 0 tan 2 15 1 x − = trên khoảng ( ) 0 0 90 ;90 − bằng: A. 0 0 . B. 0 30 . − C. 0 30 . D. 0 60 . − Lời giải. Ta có ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 tan 2 15 1 2 15 45 180 30 90 . x x k x k k − = ⇔ − = + ⇔ = + ∈ℤ Do ( ) 0 0 0 0 0 0 4 2 90 ;90 90 30 90 90 3 3 x k k ∈ −  →− < + < ⇔ − < < 0 0 0 0 0 1 60 60 30 30 . 0 30 k k x k x ∈  = − → = −    →  →− + = −  = → =   ℤ Chọn B. Câu 14. Giải phương trình ( ) cot 3 1 3. x − = − A. ( ) 1 5 . 3 18 3 x k k π π = + + ∈ℤ B. ( ) 1 . 3 18 3 x k k π π = + + ∈ℤ C. ( ) 5 . 18 3 x k k π π = + ∈ℤ D. ( ) 1 . 3 6 x k k π π = − + ∈ℤ Lời giải. Ta có ( ) ( ) cot 3 1 3 cot 3 1 cot 6 x x π     − = − ⇔ − = −       ( ) 1 1 1 5 3 1 . 6 3 18 3 3 18 k x k x k k x π π π π π = ⇔ − = − + ⇔ = − + ∈ → = + ℤ Chọn A. Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số tan 4 y x π     = −       và tan 2 y x = bằng nhau? A. ( ) . 4 2 x k k π π = + ∈ℤ B. ( ) . 12 3 x k k π π = + ∈ℤ C. ( ) . 12 x k k π π = + ∈ℤ D. 3 1 ; , . 12 3 2 m x k k k m π π   +   = + ≠ ∈       ℤ Lời giải. Điều kiện: cos 0 4 . 4 4 2 cos 2 0 4 2 x m x x m x m x π π π π π π π        ≠ − −     − ≠           ⇔ ⇔ ≠ +       ≠ +  ≠       Xét phương trình hoành độ giao điểm: tan 2 tan 4 x x π     = −       ( ) 2 . 4 12 3 x x k x k k π π π π ⇔ = − + ⇔ = + ∈ℤ Đối chiếu điều kiện, ta cần có ( ) 3 1 , . 12 3 4 2 2 m k m k k m π π π π + + ≠ + ⇔ ≠ ∈ℤ Vậy phương trình có nghiệm 3 1 ; , . 12 3 2 m x k k k m π π   +   = + ≠ ∈       ℤ Chọn D. Câu 16. Số nghiệm của phương trình 3 tan tan 11 x π = trên khoảng ;2 4 π π           là? A. 1 B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có ( ) 3 3 tan tan . 11 11 x x k k π π π = ⇔ = + ∈ℤ Do { } CASIO xap xi 3 ;2 2 0,027 1,72 0;1 . 4 4 11 k x k k k π π π π π π ∈     ∈ → < + <   →− < <   → ∈       ℤ Chọn B. Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5 tan 0 x x − = trên nửa khoảng [ ) 0;π bằng: A. π . B. 3 2 π . C. 2π . D. 5 2 π . Lời giải. Ta có ( ) tan 5 tan 0 tan 5 tan 5 . 4 k x x x x x x k x k π π − = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ∈ℤ Vì [ ) 0; x π ∈ , suy ra { } 0 0 4 0;1;2;3 4 k k k k π π ∈ ≤ < ⇔ ≤ <   → = ℤ . Suy ra các nghiệm của phương trình trên [ ) 0;π là 3 0; ; ; . 4 2 4 π π π               Suy ra 3 3 0 . 4 2 4 2 π π π π + + + = Chọn B. Câu 18. Giải phương trình tan 3 .cot 2 1. x x = A. ( ) . 2 x k k π = ∈ℤ B. ( ) . 4 2 x k k π π = − + ∈ℤ C. ( ) . x k k π = ∈ℤ D. Vô nghiệm. Lời giải. Điều kiện: ( ) cos3 0 6 3 . sin 2 0 2 x k x k x x k π π π    ≠ +   ≠     ⇔ ∈     ≠    ≠     ℤ Phương trình ( ) 1 tan 3 tan 3 tan 2 3 2 . cot 2 x x x x x k x k k x π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ∈ℤ Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x kπ = không thỏa mãn . 2 x k π ≠ Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn D. Câu 19. Cho tan 1 0 2 x π     + − =       . Tính sin 2 6 x π     −       . A. 1 sin 2 . 6 2 x π     − = −       B. 3 sin 2 . 6 2 x π     − =       C. 3 sin 2 . 6 2 x π     − = −       D. 1 sin 2 . 6 2 x π     − =       Lời giải. Phương trình tan 1 0 tan 1 2 2 x x π π         + − = ⇔ + =             ( ) . 2 4 4 x k x k k π π π π π ⇔ + = + ⇔ = − + ∈ℤ Suy ra ( ) 2 2 2 2 2 . 2 6 3 x k x k k π π π π π = − +  → − = − + ∈ℤ Do đó 2 2 3 sin 2 sin 2 sin . 6 3 3 2 x k π π π π             − = − + = − = −                   Chọn C. Câu 20. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan 1 x = ? A. 2 sin 2 x = . B. 2 cos 2 x = . C. cot 1 x = . D. 2 cot 1 x = . Lời giải. Ta có ( ) tan 1 . 4 x x k k π π = ⇔ = + ∈ℤ Xét đáp án C, ta có ( ) cot 1 . 4 x x k k π π = ⇔ = + ∈ℤ Chọn C. Cách 2. Ta có đẳng thức 1 cot . tan x x = Kết hợp với giả thiết tan 1 x = , ta được cot 1 x = . Vậy hai phương trình tan 1 x = và cot 1 x = là tương đương. Câu 21. Giải phương trình cos 2 tan 0. x x = A. ( ) . 2 x k k π = ∈ℤ B. ( ) . 2 x k k x k π π π   = +  ∈  =   ℤ C. ( ) . 4 2 x k k x k π π π   = +  ∈  =   ℤ D. ( ) . 2 x k k π π = + ∈ℤ Lời giải. Điều kiện: ( ) cos 0 . 2 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤ Phương trình cos 2 0 cos 2 tan 0 tan 0 x x x x  =  = ⇔  =  ( ) ( ) ( ) 2 . 4 2 2 x k x k k x k x k π π π π π π    = +  = +   ⇔ ⇔ ∈    = =    ℤ thoûa maõn thoûa maõn Chọn C. Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sinx m = có nghiệm. A. 1. m ≤ B. 1. m ≥ − C. 1 1. m − ≤ ≤ D. 1. m ≤ − Lời giải. Với mọi , x ∈ℝ ta luôn có 1 sin 1 x − ≤ ≤ . Do đó, phương trình sinx m = có nghiệm khi và chỉ khi 1 1. m − ≤ ≤ Chọn C. Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 0 x m − = vô nghiệm. A. ( ) ( ) ; 1 1; . m ∈ −∞ − ∪ +∞ B. ( ) 1; . m ∈ +∞ C. [ ] 1;1 . m ∈ − D. ( ) ; 1 . m ∈ −∞ − Lời giải. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx a = . Phương trình có nghiệm khi 1 a ≤ . Phương trình vô nghiệm khi 1 a > . Phương trình cos 0 cos . x m x m − = ⇔ = Do đó, phương trình cosx m = vô nghiệm 1 1 . 1 m m m  < −  ⇔ > ⇔  >  Chọn A. Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 1 x m = + có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx a = . Phương trình có nghiệm khi 1 a ≤ . Phương trình vô nghiệm khi 1 a > . Do đó, phương trình cos 1 x m = + có nghiệm khi và chỉ khi 1 1 m + ≤ { } 1 1 1 2 0 2; 1;0 m m m m ∈ ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤  → ∈ − − ℤ . Chọn C. Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2 2 3 x m π     − − =       có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong . S A. 6. T = B. 3. T = C. 2. T = − D. 6. T = − Lời giải. Phương trình cos 2 2 cos 2 2. 3 3 x m x m π π         − − = ⇔ − = +             Phương trình có nghiệm 1 2 1 3 1 m m ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − { } ( ) ( ) ( ) 3; 2; 1 3 2 1 6. m S T ∈  → = − − −  → = − + − + − = − ℤ Chọn D. Baøi 03 MOÄT SOÁ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC THÖÔØNG GAËP 1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng 0 at b + = trong đó , a b là các hằng số ( ) 0 a≠ và t là một hàm số lượng giác. Cách giải. Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a , ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 2) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng sin cos a x b x c + = Cách giải. Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 . a b c + ≥ Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b + , ta đựợc 2 2 2 2 2 2 sin cos . a b c x x a b a b a b + = + + + Do 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b             + =               + + nên đặt 2 2 2 2 cos sin . a b a b a b α α =  → = + + Khi đó phương trình trở thành ( ) 2 2 2 2 cos sin sin cos sin . c c x x x a b a b α α α + = ⇔ + = + + 3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng 2 0 at bt c + + = trong đó , , a b c là các hằng số ( ) 0 a≠ và t là một hàm số lượng giác. Cách giải. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. 4) Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng 2 2 sin sin cos cos 0 a x b x x c x + + = Cách giải. ● Kiểm tra cos 0 x = có là nghiệm của phương trình. ● Khi cos 0 x ≠ , chia hai vế phương trình cho 2 cos x ta thu được phương trình 2 tan tan 0. a x b x c + + = Đây là phương trình bậc hai đối với tanx mà ta đã biết cách giải. Đặc biệt. Phương trình dạng 2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d + + = ta làm như sau: Phương trình 2 2 sin sin cos cos .1 a x b x x c x d ⇔ + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos 0. a x b x x c x d x x a d x b x x c d x ⇔ + + = + ⇔ − + + − = 5) Phương trình chứa sin cos x x ± và sin .cos x x Định nghĩa. Phương trình chứa sin cos x x ± và sin .cos x x ( ) s sin co i s s n co 0 a b x x x x c ± + + = Cách giải. Đặt sin cos t x x = ± (điều kiện 2 2 t − ≤ ≤ ) Biểu diễn sin .cos x x theo t ta được phương trình cơ bản. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT H@M SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 cos 3 0 x− = . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5 . 6 S π ∈ B. 11 . 6 S π ∈ C. 13 . 6 S π ∉ D. 13 . 6 S π − ∉ Lời giải. Ta có ( ) 2 6 2 cos 3 0 cos cos . 6 2 6 x k x x k x k π π π π π   = +  − = ⇔ = ⇔ ∈   =− +    ℤ Nhận thấy với nghiệm 1 11 2 . 6 6 k x k x S π π π = =− + → = ∈ Chọn B. Câu 2. Hỏi 7 3 x π = là một nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 2 sin 3 0. x− = B. 2 sin 3 0. x+ = C. 2 cos 3 0. x− = D. 2 cos 3 0. x+ = Lời giải. Với 7 3 x π = , suy ra 7 3 sin sin 2 sin 3 0 3 2 7 1 2 cos 1 0 cos cos 3 2 x x x x π π    = =     − =   ⇔     − =     = =    . Chọn A. Cách 2. Thử 7 3 x π = lần lượt vào từng phương trình. Câu 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin 4 1 0. 3 x π     − − =       A. . 4 x π = B. 7 . 24 x π = C. . 8 x π = D. . 12 x π = Lời giải. Ta có 1 2sin 4 1 0 sin 4 sin 4 sin 3 3 2 3 6 x x x π π π π             − − = ⇔ − = ⇔ − =                   ( ) 4 2 4 2 3 6 2 8 2 . 7 7 4 2 4 2 6 3 6 24 2 k x k x k x k k x k x k x π π π π π π π π π π π π π π π       − = + = + = +    ⇔ ⇔ ⇔ ∈       = + − = − + = +          ℤ TH1. Với Cho 0 min 1 0 0 . 8 2 8 2 4 8 k k x k k x π π π π π > = +  → + > ⇔ >− → = ⇒ = TH2. Với Cho 0 min 7 7 7 7 0 0 . 24 2 24 2 12 24 k k x k k x π π π π π > = +  → + > ⇔ >− → = ⇒ = So sánh hai nghiệm ta được 8 x π = là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn C. Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình tan 2 3 0 3 x π     − + =       trên đường tròn lượng giác là? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải. Ta có tan 2 3 0 tan 2 3 tan 2 tan 3 3 3 3 x x x π π π π                 − + = ⇔ − =− ⇔ − = −                         ( ) 2 2 . 3 3 2 k x k x k x k π π π π π ⇔ − =− + ⇔ = ⇔ = ∈ℤ Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D. Chọn A. Cách trắc nghiệm. Ta có 2 2 4 k x k π π = =  → có 4 vị trí biểu diễn. Câu 5. Hỏi trên đoạn [ ] 0;2018π , phương trình 3 cot 3 0 x− = có bao nhiêu nghiệm? A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018. Lời giải. Ta có ( ) cot 3 cot cot . 6 6 x x x k k π π π = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ Theo giả thiết, ta có xap xi 1 0 2018 2017,833 6 6 k k π π π ≤ + ≤  →− ≤ ≤ { } 3 0;1;...;2017 k k ∈  → ∈ ℤ . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. sin O cos C D A B Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 2 cos 1 x = ? A. 2 sin . 2 x = B. 2sin 2 0. x+ = C. tan 1. x = D. 2 tan 1. x = Lời giải. Ta có 2 2 1 2cos 1 cos 2 x x = ⇔ = . Mà 2 2 2 1 sin cos 1 sin . 2 x x x + =  → = Do đó 2 2 2 sin tan 1 cos x x x = = . Vậy 2 2 2 cos 1 tan 1. x x = ⇔ = Chọn D. Câu 7. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2 tan 3 x = ? A. 1 cos . 2 x =− B. 2 4 cos 1. x = C. 1 cot . 3 x = D. 1 cot . 3 x =− Lời giải. Ta có 2 2 2 2 2 sin tan 3 3 sin 3cos cos x x x x x = ⇔ = ⇔ = 2 2 2 1 cos 3cos 4 cos 1. x x x ⇔ − = ⇔ = Vậy 2 2 tan 3 4 cos 1 x x = ⇔ = . Chọn B. Câu 8. Giải phương trình 2 4 sin 3 x = . A. ( ) 2 3 , . 2 3 x k k x k π π π π   = +  ∈   =− +    ℤ B. ( ) 2 3 , . 2 2 3 x k k x k π π π π   = +  ∈   = +    ℤ C. ( ) , . 3 3 3 k x k k π π    = +  ∈    ≠   ℓ ℤ ℓ D. ( ) , . 3 3 k x k k π    =  ∈    ≠   ℓ ℤ ℓ Lời giải. Ta có 2 2 3 3 4 sin 3 sin sin 4 2 x x x = ⇔ = ⇔ =± . Với ( ) 2 3 3 sin sin sin . 2 2 3 2 3 x k x x k x k π π π π π   = +  = ⇔ = ⇔ ∈   = +    ℤ Với ( ) 2 3 3 sin sin sin . 4 2 3 2 3 x k x x k x k π π π π π   =− +      =− ⇔ = − ⇔ ∈         = +    ℤ Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ). sin O cos 3 π 2 3 π 3 π − 2 3 π − B A Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đó là 3 x k π = . Suy ra nghiệm của phương trình ( ) 3 , . 3 3 3 k x k x k k k l π π π π     =    =    ⇔ ∈       ≠ ≠       ℓ ℤ ℓ Chọn D. Câu 9. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2 2 3sin cos x x = ? A. 1 sin . 2 x = B. 3 cos . 2 x = C. 2 3 sin . 4 x = D. 2 cot 3. x = Lời giải. Ta có 2 2 3sin cos x x = . Chi hai vế phương trình cho 2 sin , x ta được 2 cot 3 x = . Chọn D. Câu 10. Với x thuộc ( ) 0;1 , hỏi phương trình ( ) 2 3 cos 6 4 x π = có bao nhiêu nghiệm? A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải. Phương trình ( ) ( ) 2 3 3 cos 6 cos 6 . 4 2 x x π π = ⇔ =± Với 3 cos 6 cos 6 cos 6 2 2 6 6 x x x k π π π π π π = ⇔ = ⇔ =± + . ( ) ( ) { } { } 1 1 35 0;1 0;1;2 36 3 12 12 1 1 37 0;1 1;2;3 36 3 12 12 k k k x k k k x k k ∈ ∈     = + ∈ − < <  → =   ⇔ ⇔ →     =− + ∈ < <  → =       ℤ ℤ có 6 nghiệm. Với 3 5 5 cos 6 cos 6 cos 6 2 2 6 6 x x x k π π π π π π =− ⇔ = ⇔ =± + . ( ) ( ) { } { } 5 5 31 0;1 0;1;2 36 3 12 12 5 5 41 0;1 1;2;3 36 3 12 12 k k k x k k k x k k ∈ ∈     = + ∈ − < <  → =   ⇔ ⇔ →     =− + ∈ < <  → =       ℤ ℤ có 6 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm. Chọn D. Câu 11. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cos 1 0 x m + − = có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Ta có 1 3 cos 1 0 cos 3 m x m x − + − = ⇔ = . Phương trình có nghiệm { } 1 1 1 1 3 1 3 0;1;2 . 3 m m m m ∈ − ⇔− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ +  → ∈ ℤ Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m . Chọn C. Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 2108;2018 − để phương trình cos 1 0 m x+ = có nghiệm? A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038. Lời giải. Ta có 1 cos 1 0 cos . m x x m + = ⇔ =− Phương trình có nghiệm [ ] { } 2018;2018 1 1 1 1 1;2;3;...;2018 m m m m m ∈ ∈− ⇔− ≤− ≤ ⇔ ≥ → ∈ ℤ . Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m . Chọn A. Câu13. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình ( ) 2 sin 2 1 m x m − = + nhận 12 x π = làm nghiệm. A. 2. m≠ B. ( ) 2 3 1 . 3 2 m + = − C. 4. m=− D. 1. m=− Lời giải. Vì 12 x π = là một nghiệm của phương trình ( ) 2 sin 2 1 m x m − = + nên ta có: ( ) 2 2 2 .sin 1 1 2 2 2 4 12 2 m m m m m m m π − − = + ⇔ = + ⇔ − = + ⇔ =− . Vậy 4 m=− là giá trị cần tìm. Chọn C. Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 1 sin 2 0 m x m + + − = có nghiệm. A. 1. m≤− B. 1 . 2 m≥ C. 1 1 . 2 m − < ≤ D. 1. m>− Lời giải. Phương trình ( ) ( ) 2 1 sin 2 0 1 sin 2 sin . 1 m m x m m x m x m − + + − = ⇔ + = − ⇔ = + Để phương trình có nghiệm 2 1 1 1 m m − ⇔− ≤ ≤ + 1 2 2 1 0 1 0 2 1 1 1 1 2 3 2 1 0 0 1 1 1 m m m m m m m m m m m     − −       ≥ ≤ + ≥       + +     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥    <−     −     − ≤ − ≤       + + >−       là giá trị cần tìm. Chọn B. Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 2 sin 2 1 m x m − = + vô nghiệm. A. 1 ;2 . 2 m     ∈     B. ( ) 1 ; 2; . 2 m     ∈ −∞ ∪ +∞       C. ( ) 1 ;2 2; . 2 m     ∈ ∪ +∞       D. 1 ; . 2 m     ∈ +∞      Lời giải. TH1. Với 2 m= , phương trình ( ) 2 sin 2 1 0 3 m x m − = + ⇔ = : vô lý. Suy ra 2 m= thì phương trình đã cho vô nghiệm. TH2. Với 2 m≠ , phương trình ( ) 1 2 sin 2 1 sin 2 . 2 m m x m x m + − = + ⇔ = − Để phương trình ( ) ∗ vô nghiệm [ ] 1 2 1 1 2 1;1 . 1 1 2 2 1 2 2 m m m m m m m m  +   > >  +  −  ⇔ ∉ − ⇔ ⇔    + − < <  <−    −  Kết hợp hai trường hợp, ta được 1 2 m> là giá trị cần tìm. Chọn D. Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx Câu 16. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos 2 sin 2 1 x x − = . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. . 4 S π ∈ B. . 2 S π ∈ C. 3 . 4 S π ∈ D. 5 . 4 S π ∈ Lời giải. Phương trình 1 2 cos 2 1 cos 2 4 4 2 x x π π         ⇔ + = ⇔ + =             2 2 4 4 cos 2 cos , . 4 4 2 2 4 4 4 x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π π   =  + = +        ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈          =− +  + =− +     ℤ Xét nghiệm 4 x k π π =− + , với 1 k = ta được 3 . 4 x π = Chọn C. Câu 17. Số nghiệm của phương trình sin 2 3 cos 2 3 x x + = trên khoảng 0; 2 π           là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Phương trình 1 3 3 3 sin 2 cos 2 sin 2 2 2 2 3 2 x x x π     ⇔ + = ⇔ + =       2 2 3 3 sin 2 sin , . 3 3 2 2 6 3 3 x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π π π   =  + = +        ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈          = +  + = − +     ℤ 1 0 0 2 2 k k k π π ∈ < < ⇔ < <  → ℤ không có giá trị k thỏa mãn. 1 1 0 0 . 6 2 6 3 6 k k k k x π π π π ∈ < + < ⇔− < <  → = → = ℤ Chọn A. Câu 18. Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2 2 cos sin 2 2 sin x x x − = + trên khoảng ( ) 0;2 . π A. 7 . 8 T π = B. 21 . 8 T π = C. 11 . 4 T π = D. 3 . 4 T π = Lời giải. Phương trình 2 2 cos sin sin 2 2 cos 2 sin 2 2 x x x x x ⇔ − − = ⇔ − = ( ) cos 2 1 2 2 . 4 4 8 x x k x k k π π π π π     ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =− + ∈       ℤ Do 7 1 1 17 8 0 2 0 2 15 8 8 8 2 8 k k x x k k k x π π π π π π ∈   = → =  < <  → <− + < ⇔ < <  →  = → =    ℤ 7 15 11 . 8 8 4 T π π π  → = + = Chọn C. Câu 19. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất 0 x của 3 3sin 3 3 cos 9 1 4 sin 3 . x x x − = + A. 0 . 2 x π = B. 0 . 18 x π = C. 0 . 24 x π = D. 0 . 54 x π = Lời giải. Phương trình 3 3sin 3 4 sin 3 3 cos 9 1 sin 9 3 cos 9 1 x x x x x ⇔ − − = ⇔ − = 1 3 1 1 sin 9 cos 9 sin 9 2 2 2 3 2 x x x π     ⇔ − = ⇔ − =       2 9 2 3 6 18 9 sin 9 sin 7 2 3 6 9 2 3 6 54 9 k x k x x k x k x π π π π π π π π π π π π π     − = + = +       ⇔ − = ⇔ ⇔           − = − + = +       min Cho 0 min 2 1 0 0 18 9 4 18 . 7 2 7 7 0 0 54 9 12 54 k k k k k x k k k x π π π π π π ∈ > ∈   + > ⇔ >−  → = → =   →  + > ⇔ >−  → = → =    ℤ ℤ So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là . 18 x π = Chọn B. Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn. Câu 20. Số nghiệm của phương trình sin 5 3 cos5 2 sin7 x x x + = trên khoảng 0; 2 π           là? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải. Phương trình 1 3 sin 5 cos5 sin7 sin 5 sin7 2 2 3 x x x x x π     ⇔ + = ⇔ + =       ( ) 7 5 2 3 6 sin7 sin 5 . 3 7 5 2 3 18 6 x x k x k x x k k x x k x π π π π π π π π π π    = + +  = +        ⇔ = + ⇔ ⇔ ∈               = − + + = +            ℤ 1 1 0 0 . 6 2 6 3 6 k k k k x π π π π ∈ < + < ⇔− < <  → = → = ℤ 0 18 1 8 2 0 1 . 18 6 2 3 3 9 7 2 18 k k x k k k x k x π π π π π π ∈   = → =    < + < ⇔− < <  → = → =     = → =    ℤ Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn D. Câu 21. Giải phương trình 3 cos sin 2 sin 2 . 2 2 x x x π π         + + − =             A. 5 2 6 , . 2 18 3 x k k x k π π π π   = +  ∈   = +    ℤ B. 7 2 6 , . 2 18 3 x k k x k π π π π   = +  ∈   =− +    ℤ C. 5 2 6 , . 7 2 6 x k k x k π π π π   = +  ∈   = +    ℤ D. 2 18 3 , . 2 18 3 x k k x k π π π π   = +  ∈   =− +    ℤ Lời giải. Ta có cos sin 2 x x π     + =−       và sin cos 2 x x π     − =−       . Do đó phương trình 3 sin cos 2sin 2 3 sin cos 2 sin 2 x x x x x x ⇔− − = ⇔ + =− ( ) 3 1 sin cos sin 2 sin sin 2 sin sin 2 2 2 6 6 x x x x x x x π π         ⇔ + =− ⇔ + =− ⇔ + = −             ( ) 2 2 2 6 18 3 . 5 2 2 2 6 6 x x k x k k x x k x k π π π π π π π π π     + =− + =− +   ⇔ ⇔ ∈     + = + + =− −       ℤ Xét nghiệm 1 ' , ' 5 7 2 '2 6 6 k k k k x k x k π π π π =− − ∈ ∈ =− −  → = + ℤ ℤ . Vậy phương trình có nghiệm ( ) 2 7 , '2 , ' . 18 3 6 x k x k k k π π π π =− + = + ∈ℤ Chọn B. Câu 22. Gọi 0 x là nghiệm âm lớn nhất của sin 9 3 cos7 sin7 3 cos 9 x x x x + = + . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 0 ;0 . 12 x π     ∈ −       B. 0 ; . 6 12 x π π     ∈ − −     C. 0 ; . 3 6 x π π     ∈ − −      D. 0 ; . 2 3 x π π     ∈ − −      Lời giải. Phương trình sin 9 3 cos 9 sin7 3 cos7 x x x x ⇔ − = − 9 7 2 3 3 sin 9 sin 7 5 3 3 9 7 2 48 8 3 3 x x k x k x x k x x x k π π π π π π π π π π π π   − = − +  =             ⇔ − = − ⇔ ⇔                 = +    − = − − +           max Cho 0 max 0 0 1 . 5 5 0 1 48 8 6 48 k k k k k x k k k x π π π π π ∈ < ∈  < ⇔ <  → =− → =−    →  + < ⇔ <−  → =− → =−   ℤ ℤ So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là ;0 . 48 12 x π π     =− ∈ −       Chọn A. Câu 23. Biến đổi phương trình ( ) cos3 sin 3 cos sin 3 x x x x − = − về dạng ( ) ( ) sin sin ax b cx d + = + với b , d thuộc khoảng ; 2 2 π π     −       . Tính b d + . A. . 12 b d π + = B. . 4 b d π + = C. . 3 b d π + =− D. . 2 b d π + = Lời giải. Phương trình 3 sin 3 cos3 sin 3 cos x x x x ⇔ + = + 3 1 1 3 sin 3 cos3 sin cos sin 3 sin . 2 2 2 2 6 3 x x x x x x π π         ⇔ + = + ⇔ + = +             Suy ra . 6 3 2 b d π π π + = + = Chọn D. Câu 24. Giải phương trình cos 3 sin 0. 1 sin 2 x x x − = − A. , . 6 x k k π π = + ∈ℤ B. 2 , . 6 x k k π π = + ∈ℤ C. 7 2 , . 6 x k k π π = + ∈ℤ D. 7 , . 6 x k k π π = + ∈ℤ Lời giải. Điều kiện ( ) 2 1 1 6 sin 0 sin sin sin . 5 2 2 6 2 6 x k x x x k x k π π π π π    ≠ +    − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ∈    ≠ +     ℤ Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường tròn lượng giác (Hình 1). Phương trình cos 3 sin 0 cos 3 sin x x x x ⇔ − = ⇔ = ( ) cot 3 cot cot . 6 6 x x x l l π π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ Biểu diễn nghiệm 6 x l π π = + trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2. Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm 2 6 x k π π = + . Do đó phương trình có nghiệm ( ) 7 2 . 6 x l l π π = + ∈ℤ Chọn C. Câu 25. Hàm số 2sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 3 x x y x x + = − + có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có ( ) ( ) 2sin 2 cos 2 2 sin 2 1 cos 2 3 . sin 2 cos 2 3 x x y y x y x y x x + = ⇔ − − + =− − + Điều kiện để phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 7 2 5 0 y y y y y ⇔ − + + ≥ − ⇔ + − ≤ { } 5 1 1;0 7 y y y ∈ ⇔− ≤ ≤  → ∈ − ℤ nên có 2 giá trị nguyên. Chọn B. O sin cos 6 π 5 6 π Hình 1 O sin cos 6 π Hình 2 Câu 26. Gọi 0 x là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2 3 sin 2 3 sin cos 2. x x x x + + − = Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 0 0; . 12 x π     ∈       B. 0 ; . 12 6 x π π     ∈     C. 0 ; . 6 3 x π π     ∈      D. 0 ; . 3 2 x π π     ∈      Lời giải. Phương trình 1 3 3 1 cos 2 sin 2 sin cos 1 2 2 2 2 x x x x ⇔ + + − = sin 2 sin 1 6 6 x x π π         ⇔ + + − =             . Đặt 2 2 2 2 . 6 6 3 6 2 t x x t x t x t π π π π π = −  → = + → = + → + = + Phương trình trở thành sin 2 sin 1 cos 2 sin 1 2 t t t t π     ⇔ + + = ⇔ + =       ( ) 2 2 sin sin 0 sin 2 sin 1 0. t t t t ⇔ − = ⇔ − = min 1 sin 0 0 0 . 6 6 6 k t t k x k k k x π π π π ∈ = ⇔ =  → = + > ⇔ >−  → = → = ℤ min min 1 2 2 0 0 . 1 6 3 6 3 sin 5 1 2 2 2 0 0 . 6 2 k k t k x k k k x t t k x k k k x π π π π π π π π π π ∈ ∈   = +  → = + > ⇔ >−  → = → =  = ⇔   = +  → = + > ⇔ >−  → = → =    ℤ ℤ Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là ; . 6 12 6 x π π π     = ∈     Chọn B. Câu 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 10;10 − để phương trình sin 3 cos 2 3 3 x x m π π         − − − =             vô nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 9. Lời giải. Phương trình vô nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 3 2 4 4 0 1 m m m m  <−  ⇔ + − < ⇔ − > ⇔  >  [ ] { } 10;10 10; 9; 8;...; 2;2;...;8;9;10 m m m ∈ ∈−  → ∈ − − − −  → ℤ có 18 giá trị. Chọn C. Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( ) 2 cos sin 2 1 x x m + = + vô nghiệm. A. ( ) ( ) ; 1 1; . m∈ −∞ − ∪ +∞ B. [ ] 1;1 . m∈ − C. ( ) ; m∈ −∞ +∞ D. ( ) ( ) ;0 0; . m∈ −∞ ∪ +∞ Lời giải. Phương trình vô nghiệm ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 m   ⇔ + < +     ( ) 4 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0. m m m m m m ⇔ + > ⇔ + > ⇔ > ⇔ ≠ Chọn D. Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 10;10 − để phương trình ( ) 1 sin cos 1 m x m x m + − = − có nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 11. Lời giải. Phương trình có nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 1 4 0 4 m m m m m m m  ≥  ⇔ + + ≥ − ⇔ + ≥ ⇔  ≤−  [ ] { } 10;10 10; 9; 8;...; 4;0;1;2;...;8;9;10 m m m ∈ ∈−  → ∈ − − − −  → ℤ có 18 giá trị. Chọn C. Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 2018;2018 − để phương trình ( ) 2 1 sin sin 2 cos 2 0 m x x x + − + = có nghiệm. A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020. Lời giải. Phương trình ( ) 1 cos 2 1 sin 2 cos 2 0 2 x m x x − ⇔ + − + = ( ) 2 sin 2 1 cos 2 1. x m x m ⇔− + − =− − Phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 4 4 1 m m m m ⇔ − + − ≥ − − ⇔ ≤ ⇔ ≤ [ ] { } 2018;2018 2018; 2017;...;0;1 m m m ∈ ∈− → ∈ − −  → ℤ có 2020 giá trị. Chọn D. Vấn đề 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT H@M SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 31. Hỏi trên 0; 2 π          , phương trình 2 2sin 3sin 1 0 x x − + = có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Phương trình 2 1 sin 2sin 3sin 1 0 2 sin 1 x x x x   =  − + = ⇔  =   ( ) 2 6 sin sin 5 2 . 6 6 sin 1 2 2 x k x x k k x x k π π π π π π π   = +     =   ⇔ ⇔ = + ∈     =    = +    ℤ Theo giả thiết 1 1 0 2 0 6 2 12 6 6 5 5 1 0 0 2 . 2 6 2 12 12 1 0 0 2 4 2 2 k k k k k k x x k k k k k k π π π π π π π π π π π ∈ ∈ ∈     ≤ + < − < <  → = → =       ≤ < ⇔ ≤ + < ⇔ − < <−  → ∈∅         − < <  → ∈∅ ≤ + <       ℤ ℤ ℤ Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trên 0; 2 π          . Chọn A. Câu 32. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2 2 cos 5cos 3 0 x x + + = trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Phương trình ( ) 2 cos 1 2 cos 5cos 3 0 3 cos 2 x x x x  =−   ⇔ + + = ⇔  =−   loaïi ( ) cos 1 2 . x x k k π π ⇔ =− ⇔ = + ∈ℤ Suy ra có duy nhất 1 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác. Chọn A. Câu 33. Cho phương trình 2 cot 3 3cot 3 2 0. x x − + = Đặt cot t x = , ta được phương trình nào sau đây? A. 2 3 2 0. t t − + = B. 2 3 9 2 0. t t − + = C. 2 9 2 0. t t − + = D. 2 6 2 0. t t − + = Lời giải. Chọn A. Câu 34. Số nghiệm của phương trình ( ) 2 4 sin 2 2 1 2 sin 2 2 0 x x − + + = trên ( ) 0;π là? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 sin 2 2 4 sin 2 2 1 2 sin 2 2 0 . 1 sin 2 2 x x x x   =   − + + = ⇔   =   ( ) ( ) 0; 0; 2 2 2 8 8 4 sin 2 sin . 3 3 3 2 4 2 2 4 8 8 x k x x k x x k x k x π π π π π π π π π π π π π     = +  → = = +   = = ⇔ ⇔     = + = +  → =       ( ) ( ) 0; 0; 2 2 1 6 12 12 sin 2 sin . 5 5 5 2 6 2 2 6 12 12 x k x k x x x k x k x π π π π π π π π π π π π π     = + = +  → =   = = ⇔ ⇔     = + = +  → =       Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn B. Câu 35. Số nghiệm của phương trình 2 sin 2 cos 2 1 0 x x − + = trên đoạn [ ] ;4 π π − là? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Lời giải. Phương trình 2 2 sin 2 cos 2 1 0 cos 2 cos 2 2 0 x x x x − + = ⇔− − + = ( ) cos 2 1 cos 2 1 2 2 , . cos 2 2 x x x k x k k x π π  =  ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈  =−  ℤ loaïi Do [ ] { } ;4 4 1 4 1;0;1;2;3;4 . k x k k k π π π π π ∈ ∈ −  →− ≤ ≤ ⇔− ≤ ≤  → ∈ − ℤ Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn. Chọn C. Câu 36. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2 2sin 3cos 0 4 4 x x − = trên đoạn [ ] 0;8 . π A. 0. T = B. 8 . T π = C. 16 . T π = D. 4 . T π = Lời giải. Phương trình 2 2 2sin 3cos 0 2 1 cos 3cos 0 4 4 4 4 x x x x     − = ⇔ − − =       ( ) 2 1 cos 1 4 2 2 cos 3cos 2 0 cos cos cos 4 4 4 2 4 3 cos 2 4 x x x x x x π   =  ⇔− − + = ⇔ ⇔ = ⇔ =   =−    loaïi [ ] [ ] 0;8 0;8 4 4 2 8 4 20 4 3 3 3 8 . 4 20 3 3 2 8 4 3 3 3 x x x k x k x T x k x k x π π π π π π π π π π π π π π π ∈ ∈     = + = +  → =   ⇔ ⇔ → = + =     =− + =− +  → =       Chọn B. Câu 37. Số nghiệm của phương trình ( ) ( ) 2 1 3 1 cot 3 1 0 sin x x − − − + = trên ( ) 0;π là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Điều kiện: ( ) sin 0 . x x k k π ≠ ⇔ ≠ ∈ℤ Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 cot 3 1 cot 3 1 0 cot 3 1 cot 3 0 x x x x ⇔ + − − − + = ⇔ − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 0; 0; 3 cot cot cot 1 4 4 4 . cot 3 cot cot 6 6 6 x x x x k x x x x k x x π π π π π π π π π π ∈ ∈        = −  =− + → =     =−        ⇔ ⇔ ⇔     =    = + → =  =     thoûa maõn thoûa maõn Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn. Chọn B. Câu 38. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2 2cos 2 0 x x + − = trên đoạn [ ] 0;3π . A. 17 . 4 T π = B. 2 . T π = C. 4 . T π = D. 6 . T π = Lời giải. Phương trình ( ) 2 2cos 2 2 cos 2 0 2 2cos 1 2cos 2 0 x x x x + − = ⇔ − + − = ( ) 2 2 cos 2 2 4 cos 2cos 2 2 0 cos 2 2 1 cos 2 x x x x x   =   ⇔ + − − = ⇔ ⇔ =  +  =−   loaïi [ ] [ ] 0;3 0;3 9 2 ; 9 7 17 4 4 4 . 7 4 4 4 4 2 4 4 x x x k x x T x k x π π π π π π π π π π π π π ∈ ∈   = +  → = =  ⇔  → = + + =   =− +  → =    Chọn A. Câu 39. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 2 3sin 4 0 x x + + = trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 1 2 sin 3sin 4 0 2sin 3sin 5 0 x x x x ⇔ − + + = ⇔− + + = ( ) ( ) sin 1 sin 1 2 . 5 2 sin 2 x x x k k x π π  =−   ⇔ ⇔ =− ⇔ =− + ∈  =   ℤ loaïi Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm. Chọn A. Câu 40. Cho phương trình cos cos 1 0 2 x x+ + = . Nếu đặt cos 2 x t = , ta được phương trình nào sau đây? A. 2 2 0. t t + = B. 2 2 1 0. t t − + + = C. 2 2 1 0. t t + − = D. 2 2 0. t t − + = Lời giải. Ta có 2 cos 2cos 1. 2 x x = − Do đó phương trình 2 2 2cos 1 cos 1 0 2cos cos 0. 2 2 2 2 x x x x     ⇔ − + + = ⇔ + =       Đặt cos 2 x t = , phương trình trở thành 2 2 0. t t + = Chọn A. Câu 41. Số nghiệm của phương trình 5 cos 2 4 cos 3 6 2 x x π π         + + − =             thuộc [ ] 0;2π là? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Ta có 2 2 cos 2 1 2sin 1 2 cos 3 3 6 x x x π π π             + = − + = − −                   . Do đó phương trình 2 3 2cos 4 cos 0 6 6 2 x x π π         ⇔− − + − − =             ( ) 1 cos 2 6 2 1 6 cos 2 , 6 2 6 3 3 2 cos 2 6 2 x x k x x k k x k x π π π π π π π π π π        − =   =− +             ⇔ ⇔ − = ⇔ − =± + ⇔ ∈               = +  − =           ℤ loaïi . Ta có [ ] 0;2 11 2 6 6 x x k x π π π π ∈ =− +  → = ; [ ] 0;2 2 2 2 x x k x π π π π ∈ = +  → = . Vậy có hai nghiệm thỏa mãn. Chọn B. Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan cot 8 x m x + = có nghiệm. A. 16. m> B. 16. m< C. 16. m≥ D. 16. m≤ Lời giải. Phương trình 2 tan cot 8 tan 8 tan 8tan 0 tan m x m x x x x m x + = ⇔ + = ⇔ − + = . Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ( ) 2 4 0 16 m m ′ ∆ = − − ≥ ⇔ ≤ . Chọn D. Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( ) cos 2 2 1 cos 1 0 x m x m − + + + = có nghiệm trên khoảng 3 ; 2 2 π π           . A. 1 0 m − ≤ ≤ . B. 1 0 m − ≤ < . C. 1 0 m − < < . D. 1 1 2 m − ≤ < . Lời giải. Phương trình ( ) 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 0 . 2 cos x x m x m x m   =  ⇔ − + + = ⇔  =   Nhận thấy phương trình 1 cos 2 x = không có nghiệm trên khoảng 3 ; 2 2 π π           (Hình vẽ). Do đó yêu cầu bài toán cosx m ⇔ = có nghiệm thuộc khoảng 3 ; 1 0 2 2 m π π     ⇔− ≤ <       . Chọn B. cos sin O m 1 2 Câu 44. Biết rằng khi 0 m m = thì phương trình ( ) 2 2 2sin 5 1 sin 2 2 0 m x m m x− + + + = có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 2 π π     −       . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 3. m=− B. 1 2 m= . C. 0 3 7 ; . 5 10 m     ∈      D. 0 3 2 ; . 5 5 m     ∈ − −       Lời giải. Đặt ( ) sin 1 1 t x t = − ≤ ≤ . Phương trình trở thành ( ) 2 2 2 5 1 2 2 0. t m m m − + + + = ( ) * Yêu cầu bài toán tương đương với: TH1: Phương trình ( ) * có một nghiệm 1 1 t =− (có một nghiệm x ) và một nghiệm 2 0 1 t < < (có bốn nghiệm x ) (Hình 1). Do 2 1 2 1 c t t m m a =−  → =− =− − . Thay 1 1 t =− vào phương trình ( ) * , ta được ( )( ) ( )( ) 2 2 3 6 0;1 . 1 1 0;1 2 4 m t m t  =−  → =− ∉    =−  → = ∈   loaïi thoûa TH2: Phương trình ( ) * có một nghiệm 1 1 t = (có hai nghiệm x ) và một nghiệm 2 1 0 t − < ≤ (có ba nghiệm x ) (Hình 2). Do 2 1 2 1 c t t m m a =  → = = + . Thay 1 1 t = vào phương trình ( ) * , ta được ( ]( ) ( ]( ) 2 2 1 2 1;0 . 1 3 1;0 2 4 m t m t  =  → = ∉ −    =  → = ∉ −   loaïi loaïi Vậy 1 2 m=− thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do 1 3 2 ; . 2 5 5 m     =− ∈ − −       Chọn D. Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( ) 2 2cos 3 3 2 cos3 2 0 x m x m + − + − = có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; . 6 3 π π     −       A. 1 1. m − ≤ ≤ B. 1 2. m < ≤ C. 1 2. m ≤ ≤ D. 1 2. m ≤ < Lời giải. Đặt ( ) cos 1 1 t x t = − ≤ ≤ . Phương trình trở thành ( ) 2 2 3 2 2 0. t m t m + − + − = Ta có ( ) 2 2 5 m ∆= − . Suy ra phương trình có hai nghiệm 1 2 1 . 2 2 t t m   =   = −   O cos sin O Hình 1 Hình 2 2 t sin cos 2 t Ta thấy ứng với một nghiệm 1 1 2 t = thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ; . 6 3 π π     −       Do đó yêu cầu bài toán 2 1 0 1 2 0 1 2. t m m − < ≤ ⇔− < − ≤ ⇔ < ≤ Chọn B. Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình ( ) 2 2 3 2 2 0 t m t m + − + − = có hai nghiệm 1 2 , t t thỏa mãn ( ) ( ) 2 1 0 1 0 1 . 1 0 . . 1 0 P t t a f a f   ≤    − < ≤ < < ⇔ >     − >   Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx Câu 46. Giải phương trình ( ) 2 2 sin 3 1 sin cos 3 cos 0. x x x x − + + = A. ( ) 2 . 3 x k k π π = + ∈ℤ B. ( ) . 4 x k k π π = + ∈ℤ C. ( ) 2 3 . 2 4 x k k x k π π π π   = +  ∈   = +    ℤ D. ( ) 3 . 4 x k k x k π π π π   = +  ∈   = +    ℤ Lời giải. Phương trình ( ) 2 t tan 3 1 t 3 0 an 1 an tan 3 x x x x  = ⇔ − + = = + ⇔     ( ) 4 . 3 x k k x k π π π π   = +  ⇔ ∈   = +    ℤ Chọn D. Câu 47. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 2 2sin 3 3 sin cos cos 2 x x x x + − = . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ; . 3 S π π       ⊂         B. ; . 6 2 S π π       ⊂         C. 5 ; . 4 12 S π π       ⊂         D. 5 ; . 2 6 S π π       ⊂         Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 2 2 2 sin 3 3 sin cos cos 2 sin cos x x x x x x ⇔ + − = + ( ) 2 3 3 sin cos 3cos 0 3cos 3 sin cos 0. x x x x x x ⇔ − = ⇔ − = sin O cos 2 t 1 1 2 t = ( ) 0 cos 0 . 2 2 k x x k k x π π π = = ⇔ = + ∈  → = ℤ 3 sin cos 0 3 sin cos x x x x − = ⇔ = ( ) 0 1 tan tan tan . 6 6 6 3 k x x x k k x π π π π = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈  → = ℤ Vậy tập nghiệm của phương trình chứa các nghiệm 6 π và 2 π . Chọn B. Câu 48. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình ( ) 2 2 sin 3 1 sin cos 3 cos 3 x x x x − + + = . A. sin 0 x = . B. sin 1 2 x π     + =       . C. ( ) 3 1 cos 1 tan 0 1 3 x x   +     − − =      −   . D. ( )( ) 2 tan 2 3 cos 1 0 x x + + − = . Lời giải. Phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 sin 3 1 sin cos 3 cos 3 sin cos x x x x x x ⇔ − + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 sin 3 1 sin cos 0 sin 1 3 sin 3 1 cos 0. x x x x x x   ⇔ − − + = ⇔ − − + =     2 2 sin 0 cos 1 cos 1 0. x x x = ⇔ = ⇔ − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 sin 3 1 cos 0 1 3 sin 3 1 cos x x x x − − + = ⇔ − = + 3 1 tan tan 2 3 tan 2 3 0. 1 3 x x x + ⇔ = ⇔ =− − ⇔ + + = − Vậy phương trình đã cho tương đương với ( )( ) 2 tan 2 3 cos 1 0 x x + + − = . Chọn D. Câu 49. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2 sin 3 sin cos 1 x x x + = ? A. ( ) 2 cos cot 3 0 x x− = . B. sin . tan 2 3 0 2 4 x x π π             + + − − =                 . C. ( ) 2 cos 1 . tan 3 0 2 x x π         + − − =           . D. ( ) ( ) sin 1 cot 3 0 x x − − = . Lời giải. Phương trình 2 2 2 sin 3 sin cos sin cos x x x x x ⇔ + = + ( ) 2 3 sin cos cos 0 cos 3 sin cos 0. x x x x x x ⇔ − = ⇔ − = cos 0 sin 0. 2 x x π     = ⇔ + =       1 3 sin cos 0 tan . 3 x x x − = ⇔ = Ta có 1 1 tan tan 3 4 tan 2 3 tan 2 3 0. 1 4 4 1 tan .tan 1 .1 4 3 x x x x π π π π + +         + = = = + ⇔ + − − =             − − Vậy phương trình đã cho tương đương với sin . tan 2 3 0 2 4 x x π π             + + − − =                 .Chọn B. Câu 50. Cho phương trình 2 cos 3sin cos 1 0 x x x − + = . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. x kπ = không là nghiệm của phương trình. B. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2 cos x thì ta được phương trình 2 tan 3tan 2 0 x x − + = . C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho 2 sin x thì ta được phương trình 2 2 cot 3cot 1 0 x x + + = . D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2 3sin 2 3 0 x x − + = . Lời giải. Với 2 sin 0 sin 0 . cos 1 cos 1 x x x k x x π   = =     =  → ⇔     =± =     Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng. Phương trình 2 2 2 cos 3sin cos sin cos 0 x x x x x ⇔ − + + = 2 2 2 sin 3sin cos 2 cos 0 tan 3tan 2 0 x x x x x x ⇔ − + = ⇔ − + = . Vậy B đúng. Phương trình 2 2 2 cos 3sin cos sin cos 0 x x x x x ⇔ − + + = 2 2 2 2 cos 3sin cos sin 0 2 cot 3cot 1 0 x x x x x x ⇔ − + = ⇔ − + = . Vậy C sai. Chọn C. Phương trình 1 cos 2 sin 2 3 1 0 cos 2 3sin 2 3 0. 2 2 x x x x + ⇔ − + = ⇔ − + = Vậy D đúng. Câu 51. Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình 2 2 sin 4 sin cos 4 cos 5 x x x x − + = trên đường tròn lượng giác là? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 2 2 sin 4 sin cos 4 cos 5 sin cos x x x x x x ⇔ − + = + ( ) 2 2 2 4 sin 4 sin cos cos 0 2sin cos 0 2sin cos 0 x x x x x x x x ⇔− − − = ⇔ + = ⇔ + = 1 tan 2 x ⇔ =−  → có 2 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng gác. Chọn C. Câu 52. Số nghiệm của phương trình 2 2 cos 3sin cos 2 sin 0 x x x x − + = trên ( ) 2 ;2 π π − ? A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Lời giải. Phương trình 2 tan 1 4 1 3tan 2 tan 0 . 1 1 tan arctan 2 2 x x k x x x x k π π π   =  = +    ⇔ − + = ⇔ ⇔    =  = +     Vì ( ) { } 9 7 2 ;2 2 2 2; 1;0;1 4 4 4 k x k k k π π π π π π ∈ ∈ −  →− < + < →− < <  → ∈ − − ℤ . Vì ( ) 1 2 ;2 2 arctan 2 2 x k π π π π π ∈ −  →− < + < { } CASIO xapxi 28,565 24,565 28; 27; 26; 25 k k k ∈  →− < <−  → ∈ − − − − ℤ . Vậy có tất cả 8 nghiệm. Chọn D. Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 2 4 sin 3 3 sin 2 2cos 4 x x x + − = là: A. 12 π . B. 6 π . C. 4 π . D. 3 π . Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 2 2 4 sin 3 3 sin 2 2cos 4 sin cos x x x x x ⇔ + − = + ( ) 2 cos 0 3 3 sin 2 6cos 0 6cos 3 sin cos 0 1 tan 3 x x x x x x x  =   ⇔ − = ⇔ − = ⇔  =   min Cho 0 min 1 0 0 2 2 2 2 . 1 0 0 6 6 6 6 k k x k k k k x x k k k k x π π π π π π π π π π ∈ > ∈     = + + > ⇔ >−  → = → =   ⇔  →     = + + > ⇔ >−  → = → =       ℤ ℤ So sánh hai nghiệm ta được 6 x π = là nghiệm dương nhỏ nhất. Chọn B. Câu 54. Cho phương trình ( ) ( ) 2 2 2 1 sin sin 2 2 1 cos 2 0 x x x − + + + − = . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. 7 8 x π = là một nghiệm của phương trình. B. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2 cos x thì ta được phương trình 2 tan 2 tan 1 0 x x − − = . C. Nếu chia hai vế của phương trình cho 2 sin x thì ta được phương trình 2 cot 2 cot 1 0 x x + − = . D. Phương trình đã cho tương đương với cos 2 sin 2 1 x x − = . Lời giải. Chọn D. Câu 55. Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 2sin 1 3 sin cos 1 3 cos 1. x x x x + − + − = A. 6 π − . B. 4 π − . C. 2 3 π − . D. 12 π − . Lời giải. Phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sin 1 3 sin cos 1 3 cos sin cos x x x x x x ⇔ + − + − = + ( ) 2 2 sin 1 3 sin cos 3 cos 0 x x x x ⇔ + − − = ( ) 2 tan tan 1 4 an tan 3 3 1 3 t 3 0 x k x x x x x k π π π π   =− +  =−   ⇔    =   = +    ⇔ + − − = ⇔ max Cho 0 max 1 0 0 4 4 4 . 1 2 0 1 3 3 3 k k k k k x k k k x π π π π π π ∈ < ∈  − + < ⇔ <  → = → =−   →  + < ⇔ <−  → =− → =−    ℤ ℤ So sánh hai nghiệm ta được 4 x π =− là nghiệm âm lớn nhất. Chọn B. Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 10;10 − để phương trình ( ) 2 2 11sin 2 sin 2 3cos 2 x m x x + − + = có nghiệm? A. 16. B. 21. C. 15. D. 6. Lời giải. Phương trình ( ) 2 2 9 sin 2 sin 2 cos 0 x m x x ⇔ + − + = ( ) ( ) 1 cos 2 1 cos 2 9. 2 sin 2 0 2 sin 2 4 cos 2 5. 2 2 x x m x m x x − + ⇔ + − + = ⇔ − − =− Phương trình có nghiệm ( ) ( ) 2 2 5 2 16 25 2 9 1 m m m m  ≥  ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ ⇔  ≤−  [ ] { } 10;10 10; 9;...; 1;5;6;...;10 m m m ∈ ∈−  → ∈ − − −  → ℤ có 16 giá trị nguyên. Chọn A. Câu 57. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình ( ) ( ) 2 2 sin 2 1 sin cos 1 cos x m x x m x m − − − − = có nghiệm? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số. Lời giải. Phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 1 sin 2 1 sin cos 2 1 cos 0 m x m x x m x ⇔ − − − − − = ( ) ( ) ( ) 1 cos 2 1 cos 2 1 . 1 sin 2 2 1 . 0 2 2 x x m m x m − + ⇔ − − − − − = ( ) 2 1 sin 2 cos 2 2 3 . m x m x m ⇔ − + = − Phương trình có nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 2 3 4 4 0 0 1 m m m m m m − + ≥ − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ { } 0;1 m m ∈  → ∈  → ℤ có 2 giá trị nguyên. Chọn A. Câu 58. Tìm điều kiện để phương trình 2 2 sin sin cos cos 0 a x a x x b x + + = với 0 a≠ có nghiệm. A. 4 a b ≥ . B. 4 a b ≤− . C. 4 1 b a ≤ . D. 4 1 b a ≤ . Lời giải. Phương trình 2 tan tan 0 a x a x b + + = . Phương trình có nghiệm ( ) 2 4 0 4 0 a ab a a b ⇔∆= − ≥ ⇔ − ≥ ( ) 4 4 4 0 0 1. b a b a b a a a − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ Chọn C. Câu 59. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 sin sin 2 2 x m x m + = vô nghiệm. A. 4 0 3 m ≤ ≤ . B. 0 m< , 4 3 m> . C. 4 0 3 m < < . D. 4 3 m<− , 0 m> . Lời giải. Phương trình 1 cos 2 2. sin 2 2 sin 2 cos 2 2 1. 2 x m x m m x x m − ⇔ + = ⇔ − = − Phương trình vô nghiệm ( ) 2 2 2 0 1 2 1 3 4 0 . 4 3 m m m m m m  <   ⇔ + < − ⇔ − > ⇔  >   Chọn B. Câu 60. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ ] 3;3 − để phương trình ( ) 2 2 2 cos 2 sin 2 1 0 m x m x + − + = có nghiệm. A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 4 . Lời giải. Phương trình ( ) 2 1 cos 2 2 . 2 sin 2 1 0 2 x m m x + ⇔ + − + = ( ) 2 2 4 sin 2 2 cos 2 4 m x m x m ⇔ − + = + . Phương trình có nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 16 2 4 12 12 1 1 m m m m m m ⇔ + + ≥ + ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ [ ] { } 3;3 3; 2; 1;1;2;3 m m m ∈ ∈−  → ∈ − − −  → ℤ có 6 giá trị nguyên. Chọn C. Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA sin cos x x ± và sin cos . x x Câu 61. Giải phương trình ( ) sin cos 2 sin cos 2 x x x x + + = . A. , . 2 x k k x k π π π   = +  ∈  =   ℤ B. 2 , . 2 2 x k k x k π π π   = +  ∈  =   ℤ C. 2 , . 2 2 x k k x k π π π   =− +  ∈  =   ℤ D. , . 2 x k k x k π π π   =− +  ∈  =   ℤ Lời giải. Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x π     = + = +       . Vì [ ] sin 1;1 2; 2 4 x t π       + ∈ − ⇒ ∈ −           . Ta có ( ) 2 2 2 2 2 1 sin cos sin cos 2 sin cos sin cos 2 t t x x x x x x x x − = + = + + ⇒ = . Khi đó, phương trình đã cho trở thành ( ) 2 2 1 1 2 2 4 5 0 . 5 2 t t t t t t  = −  + = ⇔ + − = ⇔  =−  loaïi Với 1 t = , ta được 1 sin cos 1 sin sin sin 4 4 4 2 x x x x π π π         + = ⇔ + = ⇔ + =             . 2 4 4 2 4 4 x k x k π π π π π π π   + = +  ⇔   + = − +    2 , 2 2 x k k x k π π π  =   ⇔ ∈  = +   ℤ . Chọn B. Câu 62. Cho phương trình ( ) 3 2 sin cos 2sin 2 4 0 x x x + + + = . Đặt sin cos t x x = + , ta được phương trình nào dưới đây? A. 2 2 3 2 2 0. t t + + = B. 2 4 3 2 4 0. t t + + = C. 2 2 3 2 2 0. t t + − = D. 2 4 3 2 4 0. t t + − = Lời giải. Đặt 2 sin cos sin 2 1. t x x x t = +  → = − Phương trình đã cho trở thành ( ) 2 2 3 2 2 1 4 0 2 3 2 2 0. t t t t + − + = ⇔ + + = Chọn A. Câu 63. Cho phương trình 5sin 2 sin cos 6 0 x x x + + + = . Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho? A. 2 sin . 4 2 x π     + =       B. 3 cos . 4 2 x π     − =       C. tan 1. x = D. 2 1 tan 0. x + = Lời giải. Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x π     = + = +       . Điều kiện 2 2. t − ≤ ≤ Ta có ( ) 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 2.sin .cos sin 2 1. t x x x x x x x t = + = + + ⇒ = − Khi đó, phương trình đã cho trở thành ( ) 2 2 5 1 6 0 5 1 0 t t t t − + + = ⇔ + + = : vô nghiệm. Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 2 1 tan 0. x + = Chọn D. Câu 64. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x + = − là: A. . 2 π − B. . π − C. 3 . 2 π − D. 2 . π − Lời giải. Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x π     = + = +       . Điều kiện 2 2. t − ≤ ≤ Ta có ( ) 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 2 sin cos sin 2 1. t x x x x x x x t = + = + + ⇒ = − Phương trình đã cho trở thành ( ) 2 2 1 1 1 2 3 0 . 3 2 t t t t t t  = −  = − ⇔ + − = ⇔  =−  loaïi Với 1 t = , ta được 1 2 sin 1 sin sin sin 4 4 4 4 2 x x x π π π π             + = ⇔ + = ⇔ + =                   2 2 4 4 , 2 2 2 4 4 x k x k k x k x k π π π π π π π π π π   =  + = +    ⇔ ⇔ ∈    = +  + = − +     ℤ . TH1. Với max 2 0 0 1 2 . k x k k k x π π ∈ = < ⇔ <  → =− → =− ℤ TH2. Với max 1 3 2 0 1 . 2 4 2 k x k k k x π π π ∈ = + < ⇔ <−  → =− → =− ℤ Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là 3 2 x π =− . Chọn C. Câu 65. Cho x thỏa mãn phương trình sin 2 sin cos 1 x x x + − = . Tính sin . 4 x π     −       A. sin 0 4 x π     − =       hoặc sin 1 4 x π     − =       . B. sin 0 4 x π     − =       hoặc 2 sin 4 2 x π     − =       . C. 2 sin 4 2 x π     − =−       . D. sin 0 4 x π     − =       hoặc 2 sin 4 2 x π     − =−       . Lời giải. Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x π     = − = −       . Điều kiện 2 2. t − ≤ ≤ Ta có ( ) 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 2sin cos sin 2 1 . t x x x x x x x t = − = + − ⇒ = − Phương trình đã cho trở thành 2 2 0 1 1 0 1 t t t t t t  =  − + = ⇔ − = ⇔  =  . Với 1 t = , ta được 1 2 sin 1 sin . 4 4 2 x x π π         − = ⇔ − =             Với 0 t = , ta được 2 sin 0 sin 0. 4 4 x x π π         − = ⇔ − =             Chọn B. Câu 66. Từ phương trình ( ) 5sin 2 16 sin cos 16 0 x x x − − + = , ta tìm được sin 4 x π     +       có giá trị bằng: A. 2 . 2 B. 2 . 2 − C. 1. D. 2 . 2 ± Lời giải. Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x π     = − = −       . Điều kiện 2 2. t − ≤ ≤ Ta có ( ) 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 2.sin cos sin 2 1 . t x x x x x x x t = − = + − ⇒ = − Phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) 2 1 5 1 16 16 0 . 21 5 t t t t  =   − − + = ⇔  =−   loaïi Với 1 sin cos 1. t x x = ⇒ − = ( ) ∗ Mặt khác ( ) ( ) 2 2 sin cos sin cos 2 x x x x + + − = , kết hợp với ( ) ∗ suy ra ( ) 2 2 sin cos 1 2 sin cos 1 sin 4 2 x x x x x π     + + = ⇔ + =± ⇔ + =±       . Chọn D. Câu 67. Cho x thỏa mãn ( ) 6 sin cos sin cos 6 0 x x x x − + + = . Tính cos . 4 x π     +       A. cos 1. 4 x π     + =−       B. cos 1. 4 x π     + =       C. 1 cos . 4 2 x π     + =       D. 1 cos . 4 2 x π     + =−       Lời giải. Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x π     = − = −       . Điều kiện 2 2. t − ≤ ≤ Ta có ( ) 2 2 2 2 2 1 sin cos sin cos 2 sin cos sin cos . 2 t t x x x x x x x x − = − = + − ⇒ = Phương trình đã cho trở thành ( ) 2 1 1 6 6 0 13 2 t t t t  =− −  + + = ⇔  =  loaïi 1 1 2 sin 1 sin sin 4 4 4 2 2 x x x π π π             ⇒ − =− ⇔ − =− ⇔ − =                   1 1 cos cos . 2 4 4 2 2 x x π π π             ⇒ − − = ⇔ + =                 Chọn C. Câu 68. Từ phương trình ( ) ( ) 1 3 cos sin 2sin cos 3 1 0 x x x x + + − − − = , nếu ta đặt cos sin t x x = + thì giá trị của t nhận được là: A. 1 t = hoặc 2 t = . B. 1 t = hoặc 3 t = . C. 1 t = . D. 3 t = . Lời giải. Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 2 sin cos . 2 t t x x t x x − = − − ≤ ≤  → = Phương trình trở thành ( ) ( ) 2 1 3 1 3 1 0 t t + − − − − = ( ) ( ) 2 1 1 3 3 0 1. 3 t t t t t  =  ⇔ − + + = ⇔ ⇔ =  =   loaïi Chọn C. Câu 69. Nếu ( ) ( ) 1 5 sin cos sin 2 1 5 0 x x x + − + − − = thì sinx bằng bao nhiêu? A. 2 sin 2 x = . B. 2 sin 2 x = hoặc 2 sin 2 x =− . C. sin 1 x =− hoặc sin 0 x = . D. sin 0 x = hoặc sin 1 x = . Lời giải. Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 2 sin cos . 2 t t x x t x x − = − − ≤ ≤  → = Phương trình trở thành ( ) 2 1 5 1 1 5 0 t t + + − − − = ( ) ( ) 2 1 1 5 5 0 5 t t t t  =  ⇔ − + + = ⇔  =   loaïi sin cos 1 cos sin 1 x x x x ⇒ − = ⇔ = − . Mặt khác ( ) 2 2 2 2 sin 0 sin cos 1 sin sin 1 1 . sin 1 x x x x x x  =  + = ⇒ + − = ⇔  =  Chọn D. Câu 70. Nếu ( )( ) 1 sin 1 cos 2 x x + + = thì cos 4 x π     −       bằng bao nhiêu? A. 1. − B. 1. C. 2 . 2 D. 2 . 2 − Lời giải. Ta có ( )( ) 1 sin 1 cos 2 1 sin cos sin .cos 2 x x x x x x + + = ⇔ + + + = ( ) sin cos sin .cos 1 2 sin cos 2.sin .cos 2. x x x x x x x x ⇔ + + = ⇔ + + = ( ) ∗ Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 2 sin cos . 2 t t x x t x x − = + − ≤ ≤  → = Khi đó ( ) ∗ trở thành ( ) 2 2 1 2 1 2 2 3 0 3 t t t t t t  =  + − = ⇔ + − = ⇔  =−  loaïi sin cos 1 x x ⇒ + = . Ta có ( ) 2 2 cos cos cos sin sin cos sin . 4 4 4 2 2 x x x x x π π π     − = + = + =       Chọn C. Câu 71. Cho x thỏa mãn 2sin 2 3 6 sin cos 8 0 x x x − + + = . Tính sin 2 . x A. 1 sin 2 . 2 x =− B. 2 sin 2 . 2 x =− C. 1 sin 2 . 2 x = D. 2 sin 2 . 2 x = Lời giải. Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x π     = + = +       . Vì [ ] sin 1;1 0; 2 4 x t π       + ∈ − ⇒ ∈           . Ta có ( ) 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 2 sin cos sin 2 1. t x x x x x x x t = + = + + ⇒ = − Phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) 2 6 2 1 3 6 8 0 2 6 t t t t   =  − − + = ⇔   =   loaïi 2 1 sin 2 1 . 2 x t = − = Chọn C. Câu 72. Hỏi trên đoạn [ ] 0;2018π , phương trình in cos s 4 sin 2 1 x x x + = − có bao nhiêu nghiệm? A. 4037. B. 4036. C. 2018. D. 2019. Lời giải. Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x π     = − = −       . Vì [ ] sin 1;1 0; 2 4 x t π       − ∈ − ⇒ ∈           . Ta có ( ) 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 2 sin cos sin 2 1 . t x x x x x x x t = − = + − ⇒ = − Phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) 2 1 4 1 1 . 3 4 t t t t  =   + − = ⇔  =−   loaïi Với 1 t = , ta được sin 2 0 2 , 2 k x x k x k π π = ⇔ = ⇔ = ∈ℤ . Theo giả thiết [ ] 0;2018 0 2018 0 4046 2 k x k π π π ∈  → ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ { } 0;1;2;3;...;4036 k k ∈  → ∈  → ℤ có 4037 giá trị của k nê có 4037 nghiệm. Chọn A. Câu 73. Từ phương trình ( ) 2 sin cos tan cot x x x x + = + , ta tìm được cosx có giá trị bằng: A. 1. B. 2 . 2 − C. 2 . 2 D. 1. − Lời giải. Điều kiện sin 0 sin 2 0 cos 0 x x x  ≠   ⇔ ≠   ≠   . Ta có ( ) ( ) sin cos 2 sin cos tan cot 2 sin cos cos sin x x x x x x x x x x + = + ⇔ + = + ( ) ( ) 2 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos . 2 sin cos 2. sin cos x x x x x x x x x x + ⇔ + = ⇔ + = Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 2 sin cos . 2 t t x x t x x − = + − ≤ ≤  → = Phương trình trở thành ( ) 2 3 2 1 2 2 0 2 t t t t t ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ = sin cos 2 sin 2 cos . x x x x ⇒ + = ⇔ = − Mà ( ) 2 2 2 2 2 sin cos 1 cos 2 cos 1 2 cos 2 2 cos 1 0 x x x x x x + = ⇒ + − = ⇔ − + = ( ) 2 1 2 cos 1 0 cos 2 x x ⇔ − = ⇔ = . Chọn C. Câu 74. Từ phương trình 3 3 3 1 sin cos sin 2 2 x x x + + = , ta tìm được cos 4 x π     +       có giá trị bằng: A. 1. B. 2 . 2 − C. 2 . 2 D. 2 . 2 ± Lời giải. Phương trình ( )( ) sin cos 1 sin co 3 1 sin 2 2 s x x x x x + = + ⇔ − ( )( ) 2 sin cos 2 sin 2 3sin 2 . x x x x ⇔ + + − = Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 2 sin cos . 2 t t x x t x x − = + − ≤ ≤  → = Phương trình trở thành ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 1 t t t + − + = − ( ) 3 2 1 3 3 5 0 . 1 6 t t t t t  =−  ⇔ + − − = ⇔  =− ±   loaïi Với 1 t =− , ta được 1 sin cos 1 sin 4 2 x x x π     + =− ⇔ + =−       . Mà 2 2 2 1 2 sin cos 1 cos cos . 4 4 4 2 4 2 x x x x π π π π                 + + + =  → + = ⇔ + =±                         Chọn D. Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cos sin cos 0 x x x x m − − + = có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Đặt ( ) 2 1 sin cos 2 2 sin cos . 2 t t x x t x x − = + − ≤ ≤  → = Phương trình trở thành ( ) 2 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 2 t t m m t t t m − − + = ⇔− = − − ⇔ − =− + . Do ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 0 1 3 2 2 t t t − ≤ ≤  →− − ≤ − ≤ −  → ≤ − ≤ + . Vậy để phương trình có nghiệm 0 3 2 2 1 2 2 2 2 1 2 m m + − + − ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ≤ { } 1;0;1 . m m ∈  → ∈ − ℤ Chọn C.