Chuyên đề Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số m

CHUYÊN ĐỀ 12: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN THEO THAM SỐ m

Giáo viên: Doãn Thị Thanh Hương – 0988.163.160

HPT bậc nhất hai ẩn phụ thuộc tham số:

Trong đó: am ; bm ; cm ; a’m ; b’m ; c’m là những hệ số phụ thuộc tham số m.

A. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

1. Giải và biện luận hệ phương trình : (I)

Bước 1: Rút ẩn mà hệ số của nó không chứa m ở một trong hai phương trình (VD rút y)

Bước 2: Thay ẩn y vừa rút vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.

Lập luận: Nhận thấy (1’) có nghiệm y khi (2’) có nghiệm x.

=> Hệ có (I) nghiệm, vô số nghiệm hay vô nghiệm PHỤ THUỘC vào (2’) có 1 nghiệm x, vô số nghiệm x hay vô nghiệm.

* Xét phương trình (2):

+ Khi H(m) = 0  m = mo ta có:

- Nếu K(mo) = 0 thì (2’) có vô số nghiệm x

=> (1’) có vô số nghiệm y tương ứng.

=> Hệ có vô số nghiệm (x, y) = (x, )

- Nếu K(mo) ≠ 0 thì (2’) vô nghiệm => (1’) vô nghiệm.

=> Hệ vô nghiệm.

+ Khi H(m) ≠ 0  m ≠ mo ta có (2’) luôn có nghiệm duy nhất x =

=> (1’) có nghiệm duy nhất y = => Hệ có nghiệm duy nhất khi m ≠ mo

2. Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm.

* Thường trong bài toán tìm m để hệ có nghiệm, vô nghiệm còn liên quan đến các ý b), ý c) của bài toán nên ta thường làm theo các bước như bài toán Giải và biện luận hệ:

* Sau đó lập luận để tìm m theo yêu cầu bài toán.

* Từ đó cũng tìm được luôn nghiệm x, y theo m để làm các ý tiếp theo.

3. Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất rồi suy ra nghiệm x ; y của hệ theo m

Bước 2: Giải điều kiện bài toán:

* Hệ có nghiệm nguyên:

Viết Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên

Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

* Hệ có nghiệm x, y dương (âm):

Giải bất phương trình ẩn m => Tập giá trị của m

* Hệ có nghiệm x, y thỏa mãn một hệ thức đã cho:

Thay biểu thức nghiệm x , y vào hệ thức rồi giải phương trình ẩn m

=> Giá trị của m

Bước 4: Giải điều kiện trên kết hợp với giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất

=> Kết luận giá trị m (tập giá trị m) thỏa mãn điều kiện.

4. Tìm m đề ba đường thẳng đã cho đồng quy.

- Xác định giao điểm của 2 trong 3 đường thẳng (giao điểm của 2 đường thẳng không chứa m)

- Thay giao điểm tìm được vào đường thẳng còn lại chứa m, giải phương trình tìm ẩn m.

5. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện đã cho:

Bước 1: Xét hệ hai đường thẳng

=> Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M chính là điều kiện hệ có nghiệm duy nhất.

Bước 2: Giải hệ hai đường thẳng, tìm nghiệm x, y theo m

Bước 3: Giải điều kiện của M

Bước 4: Kết luận tập giá trị m thỏa mãn bài toán.

6. Tìm m để hai hệ phương trình tương đương.

Bước 1: Tìm điều kiện của m để mỗi hệ đã cho có nghiệm.

Bước 2: Tìm nghiệm x ; y theo m của mỗi hệ

+ Cho nghiệm x của hệ này bằng nghiệm x của hệ kia (1)

+ Cho nghiệm y của hệ này bằng nghiệm y của hệ kia (2)

Giá trị m cần tìm cùng thỏa mãn (1) , (2) và điều kiện của m

7. Chứng tỏ nghiệm (x ; y) của hệ luôn nằm trên đường thẳng cố định.

Từ hệ, bằng phương pháp thế, cộng trừ đại số tạo ra một phương trình mới f(x,y) = 0 không phụ thuộc vào m

=> Phương trình biểu thị mối liên hệ (x ; y) là đường thẳng cố định cần tìm.

B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) b) c)

d) e) f)

g)

Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau: Vô nghiệm ; Vô số nghiệm:

Bài 3: Cho hệ phương trình: . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.

Bài 4: Giải và biện luận hệ phương trình sau:

Bài 5: Cho hệ phương trình ( m là tham số ) :

a) Giải hệ phương trình khi m = 1.

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 6. Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình với .

b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất trong đó trái dấu.

c) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn .

Bài 7: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước: 2x + y + = 3

Hướng dẫn

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2

- Hệ

- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:

2. + + = 3

 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12

3m2 – 26m + 23 = 0 m1 = 1 ; m2 = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy m = 1 ; m =

Bài 8: Cho hệ phương trình: ( m là tham số)

a) Giải hệ phương trình với m = 1

b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 - 2y2 = 1.

Bài 9: Cho hệ phương trình

Tìm giá trị của để hệ có nghiệm sao cho .

Bài 10. Cho hệ phương trình : ( m là tham số ).

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) trong đó x = 2.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y) thoả mãn 2x + y = 9.

Bài 11: Cho hệ phương trình:

a) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = - 3

Bài 12: Cho hệ phương trình:. Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức .

Bài 13: Cho hệ phương trình

a) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

b) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

c) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7

Bài 14: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ với

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn điều kiện x > y

Bài 15: Cho hệ phương trình

Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

Bài 16: Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình với m = 2

b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho

Bài 17: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

Hướng dẫn

Hệ 

Hệ có nghiệm duy nhất  Phương trình (1) có nghiệm y duy nhất  m2 – 4 ≠ 0

Vậy với thì hệ có nghiệm duy nhất (x,y) là:

Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) =

Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5

Bài 18: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

Bài 19: Cho hệ phương trình

Trong đó m ∈ Z ; m ≠ - 1. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.

Bài 20: Cho hệ phương trình

a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

b) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.

c) Chứng tỏ rằng điểm M(x ; y) (với (x ; y) là nghiệm của hệ đã cho) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Bài 21: Cho hệ phương trình

a) CMT nếu hệ có nghiệm (x y) thì điểm điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất.

Gợi ý: Điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất  x > 0 và y > 0

c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .

Gợi ý: Điểm thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .

 x2 + y2 = ()2 . Giải phương trình tìm được m.

Bài 22: Cho hệ phương trình

a) Chứng tỏ rằng nếu hệ có nghiệm (x y) thì điểm điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là các số nguyên.

c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .

Bài 23: Cho hệ phương trình (m là tham số)

a) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x > 0, y > 0

b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

Bài 24: Cho hệ phương trình :

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 25: Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình (1) khi m =1.

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 26: Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình (1) khi m =1.

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 27: Cho hệ phương trình:

Tìm giá trị của a để hệ phương trình thỏa mãn tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 28: Tìm m để hai hệ phương trình sau tương đương

a) Hệ (I) Hệ (II)

a) Hệ (I) Hệ (II)