Chuyên đề: Hệ phương trình - Toán lớp 9

PAGE

PAGE 18

Bµi tËp vµ ®¸p ¸n

Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau:

1 19372 20383 21394 22405)23416 2442725438264492745102846112947123048133149143250153351163452173553183654Bµi tËp 2: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau:

159261037114812

Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 2

b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m

c) T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n x - y = 1

d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

Gi¶i:

a) Thay m = 2 vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã hÖ ph¬ng tr×nh trë thµnh

VËy víi m = 2 th× hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt ( x ; y) = ( 0 ; 1)

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m

Ta cã

(m )

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y ) = víi m

- XÐt m = 1 => Ph¬ng tr×nh (*) <=> 0x = 1, ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« nghiÖm

- XÐt m = - 1 => Ph¬ng tr×nh (*) <=> 0x = 3, ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« nghiÖm

c) §Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n x - y = 1

m = 0 (nhËn), m = - 1 (lo¹i)

VËy víi m = 0 th× hpt trªn cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x - y = 1

d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

XÐt hÖ ph¬ng tr×nh

Tõ ph¬ng tr×nh

thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã ph¬ng tr×nh

VËy lµ ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 4: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y)

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 3

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

c) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m, trong trêng hîp hÖ cã nghiÖm duy nhÊt t×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n: 2x2 - 7y = 1

d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Gi¶i:

a) Thay m = 3 vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã hÖ ph¬ng tr×nh trë thµnh

VËy víi m = 3 th× hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt ( x ; y) =

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

XÐt hÖ ph¬ng tr×nh

Tõ ph¬ng tr×nh

thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã ph¬ng tr×nh:

VËy lµ ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m ta cã hpt

`

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y ) = ()

- Víi m = 0 th× ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh 0x = -2 , ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« nghiÖm

- Víi m = 2 th× ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh 0x = 0 , ph¬ng tr×nh nµy v« sè nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« sè nghiÖm, nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ lµ

()

+) §Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = 1

<=> m = 1

VËy víi m = 1 th× hÖ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:

2x2 - 7y = 1

d) Thay ; vµo biÓu thøc A = ta ®îc biÓu thøc

A = = = = =

= =

§Ó biÓu thøc A = nhËn gi¸ trÞ nguyªn

nhËn gi¸ trÞ nguyªn nhËn gi¸ trÞ nguyªn

(m+2) lµ íc cña 5. Mµ ¦(5) =

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ; VËy víi c¸c gi¸ trÞ th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 5 Cho hÖ pt: . Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m.

Bµi lµm:

+ XÐt ph¬ng tr×nh (1) (2 + m)x = 3

NÕu 2 + m = 0 m = - 2 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 3 (3)

Do ph¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm hÖ v« nghiÖm.

NÕu 2 + m 0 m - 2.

Th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x =

+ Thay x = vµo ph¬ng tr×nh (2) ta cã:y = 2x – 1 = - 1 =

VËy víi m - 2 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt .

Tãm l¹i:

+) Víi m = - 2 th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

+) Víi m - 2 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt .

Bµi 6 T×m gi¸ trÞ cña m vµ p ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh

a) Cã mét nghiÖm duy nhÊt

b) Cã v« sè nghiÖm

c) V« nghiÖm

Gi¶i:

Thay x = 7 – y vµo ph¬ng tr×nh thø hai, ta cã:

m(7 - y) = 2y + p <=> (m + 2)y = 7m - p (1)

a) NÕu m + 2 <=> m => Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt nªn hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt.

Tõ (1) => y = , thay vµo x = 7 – y => x = 7 - =

VËy khi m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (;)

b) NÕu m = - 2 => Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh 0.y = - 14 – p

HÖ v« sè nghiÖm khi: -14 – p = 0 <=> p = - 14

VËy khi m = - 2 vµ p = - 14 th× hÖ v« sè nghiÖm

c) NÕu m = - 2 vµ p th× ph¬ng tr×nh(1) v« nghiÖm nªn hÖ v« nghiÖm

*) C¸ch kh¸c:

HÖ ph¬ng tr×nh ®· cho <=>

a) HÖ cã nghiÖm duy nhÊt <=>

b) HÖ v« sè nghiÖm <=> => m = - 2, p = - 14

c) HÖ v« nghiÖm <=> => m = - 2, p

Bµi 7 : Ph¬ng ph¸p:

Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

C¸ch 1:

Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (1) vµ gi¶i.

Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (2) vµ gi¶i.

C¸ch 2: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè

Bµi8 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh

T×m n ®Ó hÖ cã nghiÖm (x; y) = (1; - 2)

Gi¶i: Thay (x; y) = (2; 1) vµo (1) ta cã:

3 – 2.(- 2) = 73 + 4 = 7 (lu«n ®óng víi mäi n)

VËy (2; 1) lµ nghiÖm cña (1).

Thay (x; y) = (1; -2) vµo (2) ta cã:

(5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – 3

7n – 3 = n2 – 4n – 3 n(n –11) = 0

VËy víi n = 0 hoÆc n = 11 th× hÖ ®· cho cã nghiÖm (x; y) = (1; - 2)

Bµi 9 Cho hÖ ph¬ng tr×nh

T×m m ®Ó hÖ cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x = 1; y = 3).

Gi¶i:

Thay x = 1; y = 3 vµo (1) ta cã:

5m2 – 5m + m = 1 – 4m + 4m2 m2 = 1 (I)

Thay x = 1; y = 3 vµo (2) ta cã:

4m + 6 = m2 + 3m + 6 m(m – 1) = 0 (II)

Tõ (I) vµ (II) Víi m = 1 th× hÖ pt cã nghiÖm (x = 1 ; y = 3)

Bµi 10 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

T×m m; n ®Ó hÖ cã nghiÖm (x = 3; y = - 1)

Gi¶i: Thay x = 3; y = - 1 vµo hÖ pt ta cã:

VËy víi m = 2 vµ n = 5 th× hÖ cã nghiÖm (x = 3; y = - 1).

Bµi 11 Cho hÖ ph¬ng tr×nh (I)

T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n :

4x – 2y = - 6 (3)

Gi¶i:

§iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:

3(m + 5) + 6m 0 m

Do (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh (I) vµ tho¶ m·n (3)

(x; y) lµ nghiÖm cña (1), (2), (3)

KÕt hîp (1) vµ (3) ta cã:

Thay x = - 2, y = -1 vµo ph¬ng tr×nh (2) ta ®îc:

6m – (m +5) = m2 - 1 m2 – 5m + 4 = 0

(tháa m·n m)

VËy m = 1 hoÆc m = 4 th× hÖ (I) cã nghiÖm tho¶ m·n 4x – 2y = - 6

Bµi 12 Cho hÖ ph¬ng tr×nh (I)

T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n:

(2m – 1)x + (m + 1)y = m (3)

Gi¶i:

§iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: m.32.m m 0.

Tõ (1) y = 5 – mx. Thay vµo (2) ta cã:

2mx + 3(5 - mx) = 6 x = (m0)

Thay x = vµo y = 5 – mx ta cã: y = 5 - = - 4

VËy víi m0 hÖ (I) cã nghiÖm x = ; y = - 4

Thay x = ; y = - 4 vµo ph¬ng tr×nh (3) ta ®îc:

(2m – 1).+ (m + 1)(- 4) = m

18 - - 4m – 4 = m 5m2 – 14m + 9 = 0

(m – 1).(5m – 9) = 0 (tho¶ m·n m0)

VËy víi m = 1 hoÆc m = th× hÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n (2m – 1)x + (m + 1)y = m

Bµi 13 Cho hÖ pt:

T×m mZ ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt lµ c¸c sè nguyªn

Gi¶i:

Tõ (2) ta cã: y = mx – 1. Thay vµo (1) ta ®îc:

(m + 2)x + 2(mx - 1) = 5 3mx + 2x = 7

x.(3m + 2) = 7 (m ) x = .

Thay vµo y = mx – 1 y = .m – 1 y =

§Ó xZ Z 3m + 2 ¦(7) =

+) 3m + 2 = - 7m = - 3

+) 3m + 2 = 7m = (lo¹i)

+) 3m + 2 = 1m = (lo¹i)

+) 3m + 2 = -1m = - 1

Thay m = - 3 vµo y = y = 2 (t/m)

Thay m = - 1 vµo y = y = 6 (t/m)

KÕt luËn: mZ ®Ó hÖ cã nghiÖm nguyªn lµ m = -3 hoÆc m = -1

Bµi 14 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm nguyªn.

Gi¶i:

Tõ (1) ta cã y = 2 – (m – 3).x y = 2 – mx + 3x

Thay vµo (2) ta cã: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8- mx + 6x = 4

x.(6- m) = 4 (m 6)

x = . Thay vµo y = 2 – (m – 3).x ta cã: y =

§Ó xZ Z 6 - m ¦(4) =

+) 6 – m = 1 m = 5

+) 6 – m = -1m = 7

+) 6 – m = 2 m = 4

+) 6 – m = - 2m = 8

+) 6 – m = 4m = 2

+) 6 – m = - 4m = 10

Thay m = 5 vµo y = y = - 6 (t/m)

Thay m = 7 vµo y = y = 18 (t/m)

Thay m = 4 vµo y = y = 0 (t/m)

Thay m = 8 vµo y = y = 17 (t/m)

Thay m = 2 vµo y = y = 3 (t/m)

Thay m = 10 vµo y = y = 9 (t/m)

KÕt luËn: §Ó hÖ cã nghiÖm nguyªn th× m

(2)

(1)

Bµi 15 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

a) Chøng minh r»ng hÖ ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm duy nhÊt víi mäi m

b) T×m m ®Ó biÓu thøc: x2 + 3y + 4 nhËn GTNN. T×m gi¸ trÞ ®ã.

Gi¶i:

a) XÐt hai trêng hîp

Trêng hîp 1: m = 0 => HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ

(x ; y) = (1 ; 0)

Trêng hîp 2: m 0, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

<=> hay <=> <=> m2 + 2 0

Do m2 víi mäi m m2 + 2 > 0 víi mäi m.

Hay m2 + 2 0 víi mäi m

VËy hÖ ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm duy nhÊt víi mäi m

b) Rót y tõ (1) ta cã: y = mx – m2 (3)

ThÕ vµo (2) ta ®îc

2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2

2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2)

x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) do m2 + 2 0

x = m + 1

Thay vµo (3) y = m.(m + 1) – m2 = m

Thay x = m + 1; y = m vµo x2 + 3y + 4 ta ®îc:

x2 + 3y + 4 = (m + 1)2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5

= (m2 + 2.

= Do

VËy Min(x2 + 3y + 4) = khi m =

Bµi 16 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

T×m m ®Ó biÓu thøc: A = 2y2 – x2 nhËn GTLN. T×m gi¸ trÞ ®ã

Gi¶i:

Tõ (1) ta cã: y = 3mx - 6m2 + m + 2. Thay vµo (2) ta cã:

5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m

x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2 0 víi mäi m)

Thay x = 2m vµo y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta ®îc y = m + 2

Thay x = 2m ; y = m + 2 vµo A ta ®îc:

A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4)

A = - 2(m2 – 4m + 4 – 8)

= - 2(m2 – 4m + 4) +16

= Do

VËy MaxA = 16 khi m = 2

Bµi 17 BiÕt cÆp sè (x ; y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh

H·y t×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó biÓu thøc P = xy + 2(x + y) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Híng dÉn: BiÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh trªn trë thµnh:

HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

<=>

Khi ®ã P =

VËy MinP = - 4 <=> m = - 1 (tháa m·n )

Bµi 18 Gi¶ sö (x ; y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh

X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó hÖ tháa m·n tÝch xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt; lín nhÊt ?

Híng dÉn: BiÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh trªn trë thµnh:

HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm <=>

Ta cã xy =

Víi

=> xy

Víi

=> xy

Do ®ã

VËy Min(xy) = <=> a =

vµ Max(xy) = <=> a =

Bµi 19 T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh

cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt

Híng dÉn: T×m ®îc víi th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt lµ

Ta cã x + y =

Min (x + y) = <=> m = - 4 (tháa m·n )

C¸ch kh¸c:

Ta cÇn t×m S ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm m

- XÐt hai trêng hîp

*) Trêng hîp 1: S = 1 => m = - 2 (tháa m·n )

*) Trêng hîp 2: S , ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th×

<=>

VËy Min S = khi ®ã m = =

Min (x + y) = <=> m = - 4

Bµi 20 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 2

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m

c) T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n x - y = 1

d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

Gi¶i:

a) Thay m = 2 vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã hÖ ph¬ng tr×nh trë thµnh

VËy víi m = 2 th× hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ

( x ; y) = ( 0 ; 1)

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m

Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh

- Trêng hîp 1: m2 = 1 <=> m =

+) NÕu m = 1, thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã: hÖ ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm v×

+) NÕu m = -1, thay vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã:

<=> hÖ nµy còng v« nghiÖm v×

- Trêng hîp 2: m2 1 <=> m

HÖ ph¬ng tr×nh

VËy víi m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt

(x; y ) =

Tãm l¹i:

NÕu m = th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

NÕu m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt

(x; y ) =

c) §Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n x - y = 1

Víi m = - 1 (lo¹i) vµ m = 0 (nhËn)

VËy víi m = 0 th× hÖ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:

x - y = 1

d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

XÐt hÖ ph¬ng tr×nh

Tõ ph¬ng tr×nh

Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã ph¬ng tr×nh

, ®©y lµ ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 21 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y)

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 3

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

c) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m, trong trêng hîp hÖ cã nghiÖm duy nhÊt t×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n: 2x2 - 7y = 1

d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

(§Ò thi tuyÓn sinh THPT – N¨m häc : 2004 – 2005)

Gi¶i:

a) Thay m = 3 vµo hÖ ph¬ng tr×nh ta cã hÖ ph¬ng tr×nh trë thµnh

VËy víi m = 3 th× hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt

( x ; y) =

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

XÐt hÖ ph¬ng tr×nh

Tõ ph¬ng tr×nh

.

Thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã ph¬ng tr×nh:

VËy lµ ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m.

c) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m, ta cã hpt

- XÐt hai trêng hîp:

*) Trêng hîp 1: m , hÖ ph¬ng tr×nh trªn

`

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y ) = ()

*) Trêng hîp 2: m = 0 hoÆc m = 2

- Víi m = 0 th× ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh 0x = -2 , ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« nghiÖm

- Víi m = 2 th× ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh 0x = 0 , ph¬ng tr×nh nµy v« sè nghiÖm nªn hÖ ®· cho v« sè nghiÖm, nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ lµ:

(x

+) §Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = 1

<=> m = 1

VËy víi m = 1 th× hÖ ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:

2x2 - 7y = 1

d) Thay ; vµo biÓu thøc A = ta ®îc biÓu thøc

A = = = = =

= =

§Ó biÓu thøc A = nhËn gi¸ trÞ nguyªn nhËn gi¸ trÞ nguyªn nhËn gi¸ trÞ nguyªn

(m+2) lµ íc cña 5. Mµ ¦(5) =

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ; ta thÊy c¸c gi¸ trÞ m trªn ®Òu tháa m·n

VËy víi m th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 22 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

Chøng minh r»ng hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt

T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x, y kh«ng phô thuéc vµo m

Gi¶i:

a) XÐt hai trêng hîp

Trêng hîp 1: m = 0 => HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ

(x ; y) = (- 4 ; )

Trêng hîp 2: m 0, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

<=> hay

- §Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ta xÐt hiÖu:

2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 víi mäi m

- VËy 6m2 + 3 0 víi mäi m. Hay hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt víi mäi m

b) Rót m tõ (1) ta ®îc m = thay vµo (2) ta cã:

-x + 3. = 4 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0.

§©y chÝnh lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x, y kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 23 Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x, y kh«ng phô thuéc vµo m.

Híng dÉn :

<=>

Rót m tõ (1) ta ®îc: . Thay vµo (2) ta cã:

. §©y chÝnh lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x, y kh«ng phô thuéc vµo m.

Bµi 24 Cho hệ phương trình ẩn x, y sau:

Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất

Giả sử (x ; y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m.

Tìm m Î Z để x, y Î Z

Chứng tỏ (x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định (với (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình)

Hướng dẫn:

Với m ± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b/ Rút m từ phương trình thứ nhất và thế vào phương trình thứ hai ta được hệ thức

y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập với m

c/ . Vì x, y Î Z

m = 0 Þ (x = 1; y = 0)

m = - 2 Þ (x = 3; y = 2)

d/ Từ (4) và (5) suy ra x – y = 1 Þ y = x – 1

Vậy (x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định y = x – 1

Bµi 25 : Cho hai hÖ ph¬ng tr×nh

a) Víi a = 2, chøng tá hai hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng

b) Víi a = 5, chøng tá hai hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng t¬ng ®¬ng

Híng dÉn:

a) Thay a = 2 vµo hai hÖ ta nhËn ®îc tËp nghiÖm cña chóng : S = S’ =

=> Hai hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng

b) Thay a = 5 vµo hÖ (I) => S =

Thay a = 5 vµo hÖ (II), hÖ cã nghiÖm duy nhÊt => S’ =

VËy S ≠ S’ , nªn hai hÖ ph¬ng tr×nh trªn kh«ng t¬ng ®¬ng

Bµi 26: T×m gi¸ trÞ cña m, n ®Ó hai hÖ ph¬ng tr×nh sau t¬ng ®¬ng

Híng dÉn:

Tríc hÕt gi¶i hÖ (I) ®îc kÕt qu¶ nghiÖm duy nhÊt (x = 3 ; y = 1)

Hai hÖ ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng khi hÖ (II) còng cã nghiÖm duy nhÊt

(x = 3 ; y = 1). §Ó t×m m, n ta thay x = 3 ; y = 1 vµo hÖ (II)

KÕt qu¶ m =