Chuyên đề hình học không gian cổ điển – Bùi Trần Duy Tuấn
Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Lời nói đầu “Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” Tài liệu gồm 301 trang bao gồm các chủ đề sau: Chủ đề 1. Khối đa diện. Phép biến hình trong không gian Chủ đề 2. Góc trong không gian Chủ đề 3. Khoảng cách trong không gian Chủ đề 4. Thể tích khối đa diện Chủ đề 5. Nón - Trụ - Cầu Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau: 1. Kiến thức cơ bản cần nắm 2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa) 3. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có đáp án và lời giải chi tiết) Tài liệu được tôi sưu tầm, tổng hợp và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá trình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp và liên hệ về tài liệu xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna. Gmail: btdt94@gmail.com. Truy cập Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ để xem thêm các chuyên đề luyện thi đại học khác của tôi tổng hợp và biên soạn. Thầy cô nào cần “Cần file Word” liên hệ tôi. Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam – 15.09.2018 Tác giả: Bùi Trần Duy Tuấn Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển MỤC LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG ........................ 8 I. MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG ....................................................................... 8 1. Các đường trong tam giác ................................................................................................................ 8 2. Tam giác ABC vuông tại A .............................................................................................................. 8 3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường ........................................................................................ 9 4. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet ........................................................................................... 9 5. Các công thức tính diện tích .......................................................................................................... 10 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ..... 10 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ..................................................................... 10 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ....................................................................................... 10 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .......................................................................................... 11 4. Hai định lí về quan hệ vuông góc ................................................................................................... 11 5. Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu .......................................................... 11 CHỦ ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN .. 12 A. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN ......................................................................................... 12 I. KHỐI ĐA DIỆN. KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ ............................................................. 12 1. Khái niệm về hình đa diện .............................................................................................................. 12 2. Khái niệm về khối đa diện............................................................................................................... 12 3. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện ........................................................................................... 14 Một số kết quả quan trọng ................................................................................................................. 14 B. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN . HAI HÌNH BẰNG NHAU ....................... 15 I. PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN .............................................................................. 15 1. Phép tịnh tiến theo vectơ v ............................................................................................................ 15 2. Phép đối xứng qua tâm O ............................................................................................................. 15 3. Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục ) .......................................................... 15 4. Phép đối xứng qua mặt phẳng P ............................................................................................... 15 Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp .............................................................................. 15 II. HAI HÌNH BẰNG NHAU ....................................................................................................... 18 III. PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN .......................................... 18 1. Phép vị tự trong không gian .......................................................................................................... 18 2. Hai hình đồng dạng ....................................................................................................................... 18 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển C. KHỐI ĐA DIỆN LỒI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU ....................................................................................... 19 I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI ................................................................................................................ 19 II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU ............................................................................................................. 19 Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi .......................................................................................... 20 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 21 I. ĐỀ BÀI ................................................................................................................................................ 21 1. Khái niệm khối đa diện ................................................................................................................... 21 2. Khối đa diện lồi. Khối đa diện đều .................................................................................................. 24 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT .............................................................................. 26 1. Khái niệm khối đa diện ................................................................................................................... 26 2. Khối đa diện lồi. Khối đa diện đều .................................................................................................. 29 CHỦ ĐỀ 2: GÓC TRONG KHÔNG GIAN ....................................................................... 31 A. GÓC TRONG KHÔNG GIAN............................................................................................... 31 I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 31 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 31 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 31 II. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG .................................................................. 37 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 37 2. Một số loại góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường gặp đối với hình chóp ............................. 38 3. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 38 III. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ............................................................................................. 43 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 43 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 44 B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 49 I. ĐỀ BÀI ................................................................................................................................................ 49 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................... 54 CHỦ ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ........................................... 69 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ....................................................................................... 69 B. GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ...................................................................................... 70 DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG ............................... 70 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 70 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 71 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển DẠNG 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG ..................................... 76 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 76 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 78 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ......................................................................... 87 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 87 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 87 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU ................................. 91 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 91 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 92 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIÊM ............................................................................................................ 100 I. ĐỀ BÀI .............................................................................................................................................. 100 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................. 108 CHỦ ĐỀ 4: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN .......................................................................... 130 A. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ............................................................. 130 I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ......................................................................................................... 130 II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI HỘP CHỮ NHẬT ................................................. 130 III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KỸ THUẬT CẦN NẮM ............................................................. 131 1. Một số khái niệm và tính chất ...................................................................................................... 131 2. Kỹ thuật tìm đường cao bằng cách đưa về bài toán tìm khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng ........................................................................................................................................................ 131 B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN .............. 132 I. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRỰC TIẾP ........................................................................... 132 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 132 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 132 II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH GIÁN TIẾP BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP CÁC KHỐI CHÓP .............................................................................................................................. 144 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 144 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 144 III. PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH ..................................................................................... 151 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 151 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 151 IV. BÀI TOÁN MIN MAX THỂ TÍCH ........................................................................................ 163 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 163 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 163 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................ 172 I. ĐỀ BÀI .............................................................................................................................................. 172 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................. 183 PHẦN MỞ RỘNG: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN ........................................................... 212 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ...................................................................................... 212 1. Hệ trục tọa độ trong không gian ................................................................................................. 212 2. Tọa độ vectơ ............................................................................................................................. 212 3. Tọa độ của điểm ........................................................................................................................ 212 4. Tích có hướng của hai vectơ ....................................................................................................... 213 5. Vấn đề về góc ........................................................................................................................... 213 6. Vấn đề về khoảng cách ............................................................................................................... 214 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ỨNG DỤNG HÌNH GIẢI TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN .......................................................................................................... 215 CHỦ ĐỀ 5: NÓN - TRỤ - CẦU .............................................................................................. 224 A. MẶT NÓN .............................................................................................................................. 224 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ......................................................................................... 224 1. Mặt nón tròn xoay ....................................................................................................................... 224 2. Hình nón tròn xoay ..................................................................................................................... 224 3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón ............................................................................... 224 4. Giao tuyến của mặt tròn xoay và mặt phẳng ................................................................................ 225 II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ..................................................................................................... 225 1. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................ 225 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ........................................................................... 232 B. MẶT TRỤ ................................................................................................................................ 247 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ......................................................................................... 247 1. Mặt trụ tròn xoay ........................................................................................................................ 247 2. Hình trụ tròn xoay ....................................................................................................................... 247 3. Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ ......................................................................... 247 4. Tính chất ..................................................................................................................................... 247 II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ..................................................................................................... 248 1. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................ 248 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ........................................................................... 257 C. MẶT CẦU ........................................................................................................................................ 271 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ......................................................................................... 271 1. Định nghĩa................................................................................................................................... 271 2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu ............................................................................. 271 3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu .................................................................................. 271 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu .............................................................................. 271 5. Diện tích và thể tích mặt cầu........................................................................................................ 272 6. Một số khái niệm về mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện .................................................................... 272 II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ..................................................................................................... 273 1. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................ 273 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ........................................................................... 280 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 8 Hình học không gian cổ điển MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG 1. Các đường trong tam giác Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến, và 2 3 AG AM . Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm ba đường cao. Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực. Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong. 2. Tam giác vuông ABC vuông tại A Các tỉ số lượng giác: + sin AC BC + cos AB BC + tan AC AB + cot AB AC Định lí Pitago: 2 2 2 BC AB AC Diện tích: 2 . 1 S AB AC Độ dài đường trung tuyến 1 2 AM BC Hệ thức lượng: . . AH BC AB AC 2 2 . , . AB BH BC AC CH CB 2 . AH BH HC 2 2 2 2 1 1 1 , . AH HB HC AH AB AC G K N M A B C c b a c b a h h h H C B A R O B A C I r c b a B C A M H C B A αBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 9 Hình học không gian cổ điển 3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường Cho tam giác ABC có: + Độ dài các cạnh tương ứng là , , a b c + Chiều cao tương ứng kẻ từ các đỉnh , , A B C lần lượt là , , a b c h h h + , r R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC + 2 a b c p (nửa chu vi ABC ) a) Định lý cosin: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 b c a a b c bc A A bc a c b b a c ac B B ac a b c c a b ab C C ab b) Định lý sin: 2 sin sin sin a b c R A B C c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến: 2 2 2 2 2 4 AB AC BC AM 2 2 2 2 2 4 BA BC AC BN 2 2 2 2 2 4 CA CB AB CK d) Công thức tính diện tích tam giác: Gọi S là diện tích : ABC 1 1 1 . . . 2 2 2 ABC a b c S a h b h c h 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ; . 4 ABC ABC abc S S p r R ABC S p p a p b p c 4. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet ABC MNP ∽ nếu chúng có 2 góc tương ứng bằng nhau Nếu ABC MNP ∽ thì AB MN AC MP / / AM AN MN MN BC AB AC BC O c b a R A C B G K N M A B C N P M A C B N B A C M A B C a b c c b a c b a h h h H C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 10 Hình học không gian cổ điển 5. Các công thức tính diện tích Diện tích tam giác vuông Diện tích tam giác đều Diện tích đều: 2 3 4 a S Chiều cao đều: 3 2 a Diện tích hình vuông và hình chữ nhật 2 HVuong S a Đường chéo h/vuông: 2 a . HCN S AB AD Diện tích hình thang Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc o Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng 1 2 tích hai đường chéo. o Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng vuông góc ( ) mp P ta chứng minh vuông góc với hai đường thẳng , a b cắt nhau nằm trong . ( ) mp P Trình bày bài Ta có: ( ) ( ) a P b P P 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng d ta chứng minh vuông góc với ( ) mp P chứa . d Trình bày bài Ta có: P d d C B A b a P A d P h H C B A 1 . 2 ABC S AB AC . 2 AB CD AH S H D C B A O a D C B A D C B A 1 . 2 S AC BD Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 11 Hình học không gian cổ điển 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Phương pháp: Để chứng minh ( ) ( ) mp Q mp P ta chứng minh ( ) mp Q chứa một đường thẳng vuông góc . ( ) mp P Trình bày bài Ta có: ( ) ( ) P Q Q P 4. Hai định lí về quan hệ vuông góc Định lí 1: Nếu ( ) mp P và ( ) mp Q cùng vuông góc với mp thì giao tuyến (nếu có) của chúng vuông góc . mp Định lí 2: Cho ( ) mp P vuông góc ( ) mp Q . Một đường thẳng d nằm trong mp P vuông góc với giao tuyến của P và Q thì d vuông góc ( ). mp Q 5. Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu Gọi ' d là hình chiếu của d trên . Ta có: ' d d .cos S S Q P Q P Q d P d' d H S' S A' C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 12 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Chuû ñeà 1 KHOÁI ÑA DIEÄN. PHEÙP BIEÁN HÌNH TRONG KHOÂNG GIAN A. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I. KHỐI ĐA DIỆN. KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ 1. Khái niệm về hình đa diện o Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: + Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. + Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. o Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện o Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. o Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng d nào đấy. M A' E' F' C B' F D E A D' C' O B D B A C S Cạnh Mặt Đỉnh Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 13 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG o Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. o Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ. Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp. Khối đa diện được gọi là khối nón cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình nón cụt. Tương tự ta có đinh nghĩa về khối chóp n-giác; khối chóp cụt n-giác; khối chóp đều; khối hộp;... Ví dụ: - Các hình dưới đây là những khối đa diện: - Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện: Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác; Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác. N d C B E' D D' C' B' M A' E A Điểm trong Điểm ngoài Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 14 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG 3. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện Nếu khối đa diện H là hợp của hai khối đa diện H 1 , 2 H sao cho 1 H và 2 H không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện H thành hai khối đa diện 1 H và 2 H , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện 1 H và 2 H với nhau để được khối đa diện H . MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt. Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh. Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh. Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh. Cho H là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của H là lẻ thì p phải là số chẵn. Chứng minh: Gọi M là số các mặt của khối đa diện H . Vì mỗi mặt của H có p cạnh nên M mặt sẽ có . p M cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của H bằng 2 pM C . Vì M lẻ nên p phải là số chẵn. (Suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho H là đa diện có M mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của H là 2 pM C . Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là C và . M Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là 3 2 C M C M chẵn. Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện. Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. (Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn). Không tồn tại một hình đa diện có: + Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh; + Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh. 1 H H 2 H Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 15 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG B. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN . HAI HÌNH BẰNG NHAU I. PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN o Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm ' M xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. o Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. Nhận xét: + Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. + Phép dời hình biến một đa diện thành H một đa diện ' H , biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện ' H . MỘT SỐ PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN 1. Phép tịnh tiến theo vectơ v o Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành ' M sao cho ' MM v 2. Phép đối xứng qua tâm O o Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm ' M sao cho O là trung điểm ' MM o Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của H 3. Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục ) o Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc thành điểm ' M sao cho là đường trung trực của ' MM . o Nếu phép đối xứng trục biến hình H thành chính nó thì được gọi là trục đối xứng của H . 4. Phép đối xứng qua mặt phẳng P : o Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc P thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc P thành điểm ' M sao cho P là mặt phẳng trung trực của ' MM . o Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P biến hình H thành chính nó thì P được gọi là mặt phẳng đối xứng của H . Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước khác nhau: có 3 mặt phẳng đối xứng. v M' M O M' M O M' M I P M M'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 16 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Hình lăng trụ tam giác đều: có 4 mặt phẳng đối xứng. Hình chóp tam giác đều (cạnh bên và cạnh đáy không bằng): có 3 mặt phẳng đối xứng. Tứ diện đều: có 6 mặt phẳng đối xứng. Hình chóp tứ giác đều: có 4 mặt phẳng đối xứng. A B H D C A B H D C C D H B A D A B C D A B C C B A DBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 17 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Hình bát diện đều: có 9 mặt phẳng đối xứng. Hình lập phương: có 9 mặt phẳng đối xứng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 18 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG II. HAI HÌNH BẰNG NHAU Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Nhận xét: Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia. Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau. Ví dụ: Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình: phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm O hình H biến thành hình '' H . Ta có: hình H bằng hình '' H . III. PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN 1. Phép vị tự trong không gian Định nghĩa: Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho OM kOM gọi là phép vị tự. Điểm O gọi là tâm vị tự, số k được gọi là tỉ số vị tự. Các tính chất của phép vị tự: o Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm , M N thành hai điểm , M N thì M N kMN và do đó M N k MN . o Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng. 2. Hai hình đồng dạng Định nghĩa: Hình H được gọi là đồng dạng với hình H nếu có một phép vị tự biến hình H thành hình 1 H mà hình 1 H bằng hình H . O (H') (H'') (H) C'' C' D'' D' D C B'' B' B A' A'' A B A B' S' A' C' C S O v Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 19 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG C. KHỐI ĐA DIỆN LỒI . KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI Định nghĩa: Khối đa diện ( ) H được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của ( ) H luôn luôn thuộc ( ). H Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với môi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. (Hình 2.2) Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt Đ – C + M = 2 II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây: o Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. o Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại { ; }. p q Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3} và {3; 5}. Tứ diện đều Lập phương Bát diện đều 12 mặt đều 20 mặt đều A C B C' A' B' S C A B DBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 20 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Đa diện đều cạnh a Đỉnh Cạnh Mặt Thể tích V BK mặt cầu ngoại tiếp Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 3 2 12 a V 6 4 a R Lập phương {4; 3} 8 12 6 3 V a 3 2 a R Bát diện đều {3; 4} 6 12 8 3 2 3 a V 2 2 a R Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12 3 15 7 5 4 V a 3 15 4 R a Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20 3 15 5 5 12 V a 10 20 4 R a Giả sử khối đa diện đều loại { ; } p q có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có: . 2 . q C p M § MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI Cho một khối tứ diện đều. Khi đó: Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều; Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương. Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó: Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau Ba đường chéo bằng nhau. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 21 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. ĐỀ BÀI 1. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN Câu 1. Cho khối lăng trụ tam giác đều . ' ' ' A B C A B C . Về phía ngoài khối lăng trụ này ta ghép thêm một khối lăng trụ tam giác đều bằng với khối lăng trụ đã cho, sao cho hai khối lăng trụ có chung một mặt bên. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy cạnh? A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 Câu 2. Cho khối chóp tứ giác đều S.AB CD có tất cả các cạnh đều bằng a. Về phía ngoài khối chóp này ta ghép thêm một khối chóp tứ diện đều có cạnh bằng a, sao cho một mặt của khối tứ diện đều trùng với một mặt của khối chóp đã cho. Hỏi khối đa diện mới lập thành có mấy mặt? A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 Câu 3. Tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng A. 0 B. 4 C. 6 D. 2 Câu 4. Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng ? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Câu 5. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là: A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 Câu 6. Trong không gian cho hai vecto u và v . Với M là điểm bất kỳ, ta gọi 1 M là ảnh của M qua phép u T và M2 là ảnh của M1 qua phép v T . Khi đó phép biến hình biến điểm M thành đểm M2 là: A. Phép tịnh tiến theo vecto u v B. Phép tịnh tiến theo vecto u C. Phép tịnh tiến theo vecto v D. Một phép biến hình khác Câu 7. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành chính nó? A. Không có B. 1 C. 2 D. Vô số Câu 8. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b? A. Vô số B. 1 C. 2 D. Không có Câu 9. Trong không gian cho P và Q là hai mặt phẳng song song. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Không có phép tịnh tiến nào biến P thành Q B. Có duy nhất một phép tịnh tiến biến P thành Q C. Có đúng hai phép tịnh tiến biến P thành Q D. Có vô số phép tịnh tiến biến P thành Q Câu 10. Trong không gian cho hai tam giác A B C và ' ' ' A B C bằng nhau ' '; ' '; ' ' A B A B A C A C BC B C . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 22 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG A. Không thể thực hiện một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia B. Tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia C. Có nhiều nhất hai phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia D. Có thể thực hiện vô số phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia. Câu 11. Cho hình lập phương . ' ' ' ' A B CD A B C D . Gọi , I J lần luợt là trung điểm của các cạnh , AD B C . Phép tịnh tiến theo vecto 1 2 u AD biến tam giác ' A I J thành tam giác A. ' C C D B. ' C D P với P là trung điểm của ' ' B C C. K D C với K là trung điểm của ' ' A D D. ' ' D C D Câu 12. Cho hai mặt phẳng và song song với nhau. Với M là một điểm bất kỳ, ta gọi M1 là ảnh của M qua phép đối xứng Đ và 2 M là ảnh của 1 M qua phép đối xứng Đ . Phép biến hình f Đ Đ . Biến điểm M thành M2 là A. Một phép biến hình khác B. Phép đồng nhất C. Phép tịnh tiến D. Phép đối xứng qua mặt phẳng Câu 13. Trong không gian một tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng? A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 14. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' ' A B C D A B C D có các kích thước là , , . a b c a b c Hình hộp chữ nhật này có mấy mặt đối xứng A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 15. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B CD là hình vuông và SA vuông góc với AB CD . Hình chóp này có mặt đối xứng nào? A. Không có B. S A B C. S A C D. SAD Câu 16. Trong không gian cho hai điểm I và J phân biệt. Với môi điểm M ta gọi 1 M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm 2 , I D M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm J D . Khi đó hợp thành của I D và J D biến điểm M thành điểm 2 M là A. Phép đối xứng qua mặt phẳng B. Phép tịnh tiến C. Phép đối xứng tâm D. Phép đồng nhất Câu 17. Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng A. Hình hộp B. Hình lăng trụ tứ giác đều C. Hình lập phương D. Tứ diện đều Câu 18. Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 19. Cho hình lập phương . ' ' ' ' A B C D A B C D tâm O (tâm đối xứng). Ảnh của đoạn thẳng ' A B qua phép đối xứng tâm O D là đoạn thẳng A. ' D C B. ' C D C. ' D B D. ' AC Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 23 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Câu 20. Trong không gian cho hai hai mặt phẳng và vuông góc với nhau. Vói mỗi điểm M ta gọi 1 M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm 2 , D M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm D . Khi đó hợp thành của D o D biến điểm M thành điểm 2 M là: A. Phép tịnh tiến B. Phép đối xứng qua mặt phẳng C. Phép đối xứng tâm D. Phép đối xứng trục Câu 21. Tứ diện đều có mấy trục đối xứng A. 3 B. 1 C. 2 D. Không có Câu 22. Hình chóp tứ giác đều có mấy trục đối xứng? A. Không có B. 1 C. 2 D. 3 Câu 23. Hình vuông có mấy trục đối xứng? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 24. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Nếu hình H có trục đối xứng thì nó có ít nhất một tâm đối xứng. B. Nếu hình H có mặt đối xứng thì nó có ít nhất một trục đối xứng. C. Nếu hình H có mặt đối xứng và có trục đối xứng thì nó có ít nhất một tâm đối xứng. D. Nếu hình H có mặt đối xứng và có tâm đối xứng nằm trên mặt đối xứng thì nó có ít nhất một tâm đối xứng. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 24 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Câu 25. Trong các khối đa diện dưới đây, khối nào có số cạnh có thể là một số lẻ? A. Khối chóp; B. Khối tứ diện; C. Khối hộp; D. Khối lăng trụ. Câu 26. Trong các khối đa diện dưới đây, khối nào có số mặt luôn là số chẵn? A. Khối đa diện đều; B. Khối chóp; C. Khối chóp cụt; D. Khối lăng trụ. Câu 27. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Khối tứ diện đều có 6 cạnh B. Khối lập phương có 12 cạnh C. Số cạnh của một khối chóp là chẵn D. Khối 8 mặt đều có 8 cạnh chẵn Câu 28. Trong một khối đa diện lồi với các mặt là các tam giác, nếu gọi C là số cạnh và M là số mặt thì hệ thức nào sau đây đúng? A. 2 3 M C B. 3 2 M C C. 3 5 M C D. 2 M C Câu 29. Trong một khối đa diện lồi mà mỗi đỉnh chung của ba cạnh, nếu gọi C là số cạnh và Đ là số mặt thì hệ thức nào sau đây đúng? A. 3 2 Đ C B. 3 Đ C C. 4 3 Đ C D. 2 C Đ Câu 30. Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, 7 mặt. Vậy khối đa diện này có mấy cạnh? A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 Câu 31. Khối 12 mặt đều {mỗi mặt là ngũ giác đều} có mấy cạnh? A. 16 B. 18 C. 20 D. 30 Câu 32. Khối 20 mặt đều {mỗi mặt là tam giác đều} có mấy cạnh? A. 16 B. 18 C. 20 D. 30 Câu 33. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau; B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau; C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau Câu 34. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Số các cạnh của hình đa diện luôn A. Lớn hơn hoặc bằng 6 B. lớn hơn 6 C. lớn hơn 7 D. lớn hơn hoặc bằng 8 Câu 35. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Số các đỉnh, hoặc các mặt của bất kỳ hình đa diện luôn A. Lớn hơn hoặc bằng 4 B. lớn hơn 4 C. lớn hơn 5 D. lớn hơn hoặc bằng 5 Câu 36. Cho đa diện (H) có tất cả các mặt đều là tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tổng các mặt của (H) luôn là một số chẵn B. Tổng các mặt của (H) luôn gấp đôi tổng số đỉnh của (H) C. Tổng số các cạnh của (H) là một số không chia hết cho 3 D. Tổng số các cạnh của (H) luôn gấp đôi tổng số các mặt của (H) Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 25 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Câu 37. Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đôi số đỉnh A. Khối 20 mặt đều B. Khối lập phương C. Khối bát diện đều D. Khối 12 mặt đều Câu 38. Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau A. Khối 12 mặt đều B. Khối lập phương C. Khối bát diện đều D. Khối tứ diện đều Câu 39. Cho đa diện (H) có tất cả các mặt đều là tứ giác. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tổng số các cạnh của (H) luôn bằng tổng số các mặt của (H) B. Tổng các mặt của (H) luôn bằng tổng số các đỉnh của (H) C. Tổng số các cạnh của (H) luôn là một số chẵn D. Tổng số các mặt của (H) luôn là một số lẻ. Câu 40. Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của mấy cạnh? A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 Câu 41. Cho khối đa diện đều. Khẳng định nào sau đây sai A. Số đỉnh của khối lập phương bằng 8 B. Số mặt của khối tứ diện đều bằng 4 C. Khối bát diện đều là loại {4;3} D. Số cạnh của bát diện đều bằng 12. Câu 42. Cho khối chóp có đáy là n-giác. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Số mặt của khối chóp là 2 n B. Số cạnh của khối chóp là 2 n C. Số đỉnh bằng số mặt và bằng 1 n D. Số đỉnh của khối chóp là 2 1 n Câu 43. Khối đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là: A. 12 B. 30 C. 8 D. 20 Câu 44. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là đúng? A. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các cạnh bằng nhau B. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều C. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng nhau D. Có vô số khối đa diện đều lồi không có cùng số cạnh Câu 45. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hình lập phương là đa diện B. Tứ diện là đa diện lồi C. Hình hộp là đa diện lồi D. Hình tạo bởi hai tứ diện chung đáy ghép với nhau là một đa diện lồi. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 26 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1B 2A 3C 4D 5D 6A 7D 8A 9D 10C 11C 12D 13A 14C 15C 16B 17D 18D 19B 20D 21A 22B 23D 24D 25D 26A 27D 28B 29A 30B 31D 32D 33B 34A 35A 36A 37C 38D 39C 40B 41C 42C 43D 44C 45D 1. KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN Câu 1. Chọn B. Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ đứng tứ giác nên có 12 cạnh Câu 2. Chọn A. Khối lăng trụ lập thành là một khối lăng trụ tam giác nên có 5 mặt Câu 3. Chọn C. Câu 4. Chọn D. Câu 5. Chọn D. Câu 6. Chọn A. Theo định nghĩa phép tịnh tiến vectơ 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 u v T M M M M u M M M M u v M M u v T M M M M v Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành điểm M2 là phép tịnh tiến theo vecto u v . Câu 7. Chọn D. Câu 8. Chọn A. Câu 9. Chọn D. Câu 10. Chọn C. Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực hiện được một phép tịnh tiến biến ΔABC thành ΔA'B'C' thì phải có điều kiện, hai tam giác ABC và A'B'C' phải nằm trên hai mặt phẳng song song (hoặc trùng nhau) và ' , ' ' AB A B AC A C . A C A' C' B' BBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 27 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Khi đó phép tịnh tiến theo vecto ' u A A biến ΔA'B'C' thành ΔABC và phép tịnh tiến theo vecto v A A biến ΔABC thành ΔA’B’C’. Như vậy có nhiều nhất hai phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia. Câu 11. Chọn C. Gọi T là phép tịnh tiến theo vecto 1 2 u A D . Ta có , , ' T I D T J C T A K Vậy ' T A IJ K D C . Câu 12. Chọn D. Gọi , I J lần lượt là trung điểm của 1 1 2 , , MM M M I J Ta có: 1 1 1 2 D M M M M I M 1 2 1 2 1 2 D M M M M M J Suy ra: 2 1 1 2 2 MM IM M J IJ u (không đổi) Vậy 2 M là ảnh của M qua phép tịnh tiến u . Câu 13. Chọn A. Trong không gian, với tam giác đều bất kì ABC có bốn mặt phẳng đối xứng. Đó là: Ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh và mặt phẳng chứa ΔABC. Câu 14. Chọn C. Hình hộp chữ nhật . ' ' ' ' A B CD A B C D có 3 mặt đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực , , '. A B AD A A Câu 15. Chọn C. Ta có: B D S A C và O là trung điểm của . B D Suy ra S A C là mặt phẳng trung trực của . B D Suy ra S A C là mặt đối xứng của hình chóp, và đây là m/p duy nhất. Câu 16. Chọn B. Ta có: 1 1 1 2 I D M M MM IM 1 2 1 2 1 2 J D M M M M M J Do đó: 2 1 1 2 2 M M IM M J IJ (không đổi) Vậy 2 M là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ 2 u IJ Câu 17. Chọn D. Hình hộp có một tâm đối xứng là giao điểm của bốn đường chéo Hình lăng trụ tứ giác đều, hình lập phương là các hình hộp đặc biệt nên có một tâm đối xứng K J I D C B A D' A' C' B' 2 1 α β I J M M M O B C D A S 2 1 J I M M MBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 28 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Tứ diện đều không có tâm đối xứng. Thật vậy, giả sử tứ diện đều A B C D có tâm đối xứng . O Nhận thấy các đỉnh , , , A B C D không thể là tâm đối xứng của tứ diện , A B CD nên ảnh của A qua đối xứng tâm O là một trong ba đỉnh còn lại, nếu O D A B thì O là trung điểm của , A B nhưng trung điểm của AB cũng không thể là tâm đối xứng của . A B CD Câu 18. Chọn D. Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng đó là: , , , SA C S BD S MN S IJ , với , , , M N I J lần lượt là trung điểm của , , , AB CD D A BC . Câu 19. Chọn B. Ta có: ' ; ' o o D A C D B D Do đó: ' ' o D A B CD Câu 20. Chọn D. Gọi , , I J O lần lượt là trung điểm của 1 1 2 2 , , M M M M M M (với 1 M M và 1 2 , I M M và J ) Ta có: 1 2 / / IO M M nên IO , do đó nếu gọi a là giao tuyến của (α) và (β) thì I O a và O a . 2 điểm M và 2 M đối xứng nhau qua đường thẳng a Vậy hợp thành của D D biến điểm M thành điểm 2 M là phép đối xứng qua đường thẳng a . Câu 21. Chọn A. Tứ diện đều có ba trục đối xứng đó là ba đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối của nó. Câu 22. Chọn B. Hình chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng đó là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy. Câu 23. Chọn D. Trong không gian, hình vuông có 5 trục đối xứng, đó là: Hai đường thẳng chứa hai đường chéo , AC B D Đường thẳng đi qua trung điểm của , A B CD và đường thẳng đi qua trung điểm của AD và B C Trục ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp hình vuông Câu 24. Chọn D. Hình chóp tứ giác đều có một trục đối xứng, nhưng không có tâm đối xứng A sai Hình chóp . S A B C D có SA A BC D có mặt phẳng đối xứng là , S AC nhưng hình chóp này không có trục đối xứng B sai I O A M B J C N D S O A' D' A D C B B' C' a M 2 M 1 O J I M α βBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 29 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt đối xứng và có một trục đối xứng, nhưng không có tâm đối xứng C sai 2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Câu 25. Chọn D. Khối chóp n giác có tổng số cạnh bằng 2 n Khối tứ diện có 6 cạnh Khối hộp có 12 cạnh Khối lăng trụ n giác với n là một số lẻ thì số cạnh là 3 n, là một số lẻ. Ví dụ: Xét lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có 9 cạnh là một số lẻ Câu 26. Chọn A. Câu 27. Chọn D. Vì khối 8 mặt đều có tất cả 12 cạnh Câu 28. Chọn B. Vì mỗi mặt là tam giác và có M mặt, nên số cạnh là 3M. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên 3 2 M C . Vậy 2 3 . C M Câu 29. Chọn A. Vì có Đ đỉnh, mà mỗi đỉnh có 3 cạnh chung nên số cạnh 3Đ. Mà cứ một cạnh thì có 2 đỉnh nên ta có 3 2 D C .Vậy 2 3 . C D Câu 30. Chọn B. Áp dụng định lí Ơle: Ð 2 10 7 2 15 C M C C . Câu 31. Chọn D. Vì mỗi mặt là ngũ giác đều và có M mặt {M=12}. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên 5 5.12 30 2 2 M C . Câu 32. Chọn D. Vì mỗi mặt là tam giác đều và có M mặt {M=20}. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên 3.20 30 2 C . Câu 33. Chọn B. A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau. Mệnh đề sai vì Cho hình lăng trụ . ' ' ' A B C A B C : Có 5 mặt nhưng có 6 đỉnh. B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau. Là mệnh đề đúng Ví dụ: Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác C, D không thể xảy ra. Nên mệnh đề sai. Câu 34. Chọn A. Ví dụ hình chóp tam giác hoặc hình tứ diện thì cạnh của nó bằng 6. Câu 35. Chọn A. Ví dụ hình chóp tam giác hoặc hình tứ diện thì cạnh số mặt của nó bằng 4. C' B' A' C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 30 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Câu 36. Chọn A. Gọi tổng số mặt của (H) là M và tổng số các cạnh của (H) là . C Ta có: 3 2 . M C Suy ra M là một số chẵn. Vậy chọn đáp án A. Ví dụ: Xét hình tứ diện A B C D . Tổng các mặt là 4 (chẵn) Tổng các mặt là 4, tổng đỉnh là 4. Nên tổng các mặt của không thể gấp đôi tổng số đỉnh, nên nó là mệnh đề sai. Tổng các cạnh là 6, số này chia hết cho 3 câu C sai. Tổng số cạnh là 6, tổng các mặt là 4. Như vậy không thể tổng các cạnh gấp đôi tổng các mặt được. Câu 37. Chọn C. Khối bát diện đều có cạnh là 12 và có số đỉnh là 6. Nên chọn đáp án C. Câu 38. Chọn D. Khối tứ diện đều có số mặt là 4 và số đỉnh là 4. Câu 39. Chọn C. Gọi tổng số các mặt của H là M và tổng số các cạnh của H là C. Ta có: 4 2 2 M C C M . Suy ra C là một số chẵn. Ta có thể kiểm nghiệm như sau: Xét hình lập phương . ' ' ' ' A B CD A B C D Tổng các cạnh là 12, tổng các mặt là 6. Như vậy đáp án A sai. Tổng các mặt là 6, tổng các đỉnh là 8. Như vậy đáp án B sai. Tổng các mặt là 6 (chẵn). Như vậy đáp án D sai. Câu 40. Chọn B. Ta thấy mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 cạnh. Câu 41. Chọn C. Khối bát diện đều là loại {3;4}. Câu 42. Chọn C. Câu 43. Chọn D. Đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là đa diện 20 mặt và nó có 30 cạnh. Câu 44. Chọn C. Câu 45. Chọn D. Hình lập phương là chắn chắn là đa diện đều nên mệnh đề A đúng Tứ diện là đa diện lồi cũng là mệnh đề đúng Hình hộp là đa diện lồi, đây là mệnh đề đúng. B' B D C' D' A C A ' B C D ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 31 Góc trong không gian Chuû ñeà 2 Goùc trong khoâng gian A. GÓC TRONG KHÔNG GIAN I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. PHƯƠNG PHÁP o Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 o o Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo bởi hai đường thẳng. o Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b . Tức là: / / , , / / a a a b a b b b . Chú ý: + 0 0 , 90 a b . + Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một trong hai đường thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng sog song với đường còn lại. Ví dụ: Để tính , . AB CD Ta kẻ / / AE CD . Khi đó: , , . AB CD AB AE BAE + Nếu 1 2 , u u lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì khi 90 khi >90 1 2 0 0 , , 180 o u u a b Tức là: 1 2 1 2 1 2 . cos , cos , . . u u a b u u u u 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh . a Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung điểm của . AD A. 3 2 B. 3 4 C. 3 6 D. 1 2 E D C B A M b' a' b aBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 32 Góc trong không gian Lời giải: Chọn C. Gọi H là trung điểm của BD / / IH AB Nên ; ; AB CI IH IC HIC . Mà 3 , 2 2 a a IH CH CI Áp dụng định lý cosin trong , HIC ta được: 2 2 2 2 2 3 cos 2 . 6 3 2. . 2 2 3 cos ; . 6 a HI CI HC HIC HI CI a a AB CI Bài toán 2: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và , D SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết , 2 , AD DC a AB a 2 3 3 SA a A. 1 42 B. 2 42 C. 3 42 D. 4 42 Lời giải: Chọn C. Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM AD DC a Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh . A Do đó DM song song với . BC Suy ra ; ; SD BC SD DM SDM Lại có 2 2 21 3 a SM SA AM Và 2 2 21 2,SD 3 a DM a SA AD Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được 2 2 2 3 cos 2 . 42 SD DM SM SDM SD SM . Bài toán 3: Cho hình chóp . S ABCD có , , SA SB SC đôi một vuông góc với nhau và . SA SB SC a Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB . A. 30 0 B. 60 0 C. 90 0 D. 120 0 Lời giải: Chọn B. Qua M kẻ đường thẳng d song song với BC cắt đường thẳng AC tại N . N là trung điểm của AC . M A D C B S H I D B C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 33 Góc trong không gian Do đó ; ; SM BC SM MN SMN Ta có: , , SA SB SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a Suy ra ba tam giác vuông: SAB SAC SBC 2 2 . 2 a AB AC BC a SM SN MN Suy ra SMN là tam giác đều Vậy 0 0 60 , 60 SMN SM BC . Bài toán 4: Cho hình chóp . , S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm , O cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và 3 SA a . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng: A. 2 2 B. 2 4 C. 3 2 D. 3 4 Lời giải Chọn B. Gọi I là trung điểm của SD OI là đường trung bình của SBD 2 2 2 2 / / 3 2 2 2 OI SB SB SA AB a a OI a Vì / / , , OI SB SB AC OI AC AOI Ta có: 2 2 2 2 3 2 2 2 SD SA AD a a AI a AI OI AOI cân tại . I Gọi H là trung điểm của OA IH OA . Và 2 2 4 4 OA AC a OH . Xét OHI , ta có: 2 2 4 cos 4 a OH HOI OI a Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos , cos cos 2. . 4 2 2. .a 2 a a a OA OI AI SB AC HOI AOI OA OI a . Bài toán 5: Cho lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2 , a đáy ABC là tam giác vuông tại , A , 3 AB a AC a và hình chiếu vuông góc của đỉnh ’ A trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh . BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng ’, ’ ’ AA B C A. 3 4 B. 1 4 C. 1 2 D. 3 2 a M N A B C S 3 a a a I O H A B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 34 Góc trong không gian Lời giải: Chọn B. Gọi H là trung điểm của BC. ' A H ABC và 2 2 1 1 3 2 2 AH BC a a a . Vì ’ / / , ’ ’ / / ’, , AA BB B C BC AA BB BB BC B BH Ta có: 2 2 2 ' ' 3 ' 3 A H A A AH a A H a Ta có: . A H ABC A H A B C A H A B Trong tam giác vuông ’ ’ A B H có 2 2 ' ' ' ' 2 HB A B A H a Suy ra ’ B BH là cân tại ’ B có 2 ; B B B H a BH a Từ đó tính được 1 cos . 2.2 4 a BH a B Bài toán 6: Cho lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C có tất cả các cạnh đáy bằng . a Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 0 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng ( ’ ’ ) A B C trùng với trung điểm của cạnh ’ ’. B C Góc giữa BC và AC là . Giá trị của tan là: A. 3 B. 3 C. 1 3 D. 1 3 Lời giải: Chọn A. Ta có ' A H là hình chiếu của ' AA lên mặt phẳng đáy A B C Do đó 0 '; '; ' 'H 60 AA A B C AA A H AA Mặt khác ; ' '; ' ' ' BC AC AC B C AC H . Ta có: 0 3 3 3 ' .tan 60 . 3 . 2 2 2 a a a A H AH A H 3 2 tan tan 3. 2 a AH AC H a HC Bài toán 7: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 , a SA a , 3 SB a và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , . AB BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng , SM DN A. 7 5 5 B. 2 5 5 C. 5 5 D. 3 5 5 Lời giải: Chọn B. Gọi H là hình chiếu của S trên , AB suy ra SH ABCD a 3 a 2a A H A' B' C' C B H B' A' C' C BBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 35 Góc trong không gian Do đó SH là đường cao của hình chóp . S BMDN . Kẻ / / , , ME DN E AD SM DN SM ME . Ta có: 2 2 2 2 2 3 SA SB a a AB . SAB vuông tại S 2 AB SM a . Ta có: AME CDN ∽ , từ đó suy ra . 2 a AE Ta có: . AE AB AE SAB AE SA AE SH Suy ra 2 2 2 2 5 5 , 2 2 a a SE SA AE ME AM AE SME cân tại E có 5 ; . 2 a SE ME SM a Từ đó suy ra 5 2 cos 5 5 2 a SME a . Bài toán 8: Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh , a các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai mặt đường thẳng AD và BC . A. 0 30 B. 0 60 C. 0 90 D. 0 45 Lời giải: Chọn B. Gọi , , M N E lần lượt là các trung điểm của các cạnh , , CD AB BD . 2 a NE ME Do / / , , / / NE AD AD BC NE EM EM BC . Ta có: CD AM CD BM ( do ; ACD BCD lần lượt là hai tam giác cân tại A và B là 2 tam giác cân) CD ABM 0 ; 90 ACD BCD AMB AMB vuông tại M 2 2 AB a MN (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) . 2 a NE ME MN MNE là tam giác đều 0 60 MEN . A C D M E B N E B C D N A H S MBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 36 Góc trong không gian Bài toán 9: Cho lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân AB AC a , 0 120 BAC và ’ AB vuông góc với đáy ’ ’ ’ . A B C Gọi , M N lần lượt là trung điểm các cạnh ’ CC và ’ ’, A B mặt phẳng ’ ’ AA C tạo với mặt phẳng ’ ’ ’ A B C một góc 0 30 . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và ’ C N . A. 7 19 B. 5 2 39 C. 3 2 29 D. 7 2 29 Lời giải: Chọn D. Gọi K là hình chiếu của ’ B lên ’ ’ A C C K KB ’ ’ ’ AB AB C C K A B ' ' C K AB K Do đó: 0 ' ' ' ' , ' ' 30 AKB A B C AA C Gọi E là trung điểm của ’, AB suy ra ' ; / / ' NE C M NE C M Suy ra ' NEMC là hình bình hành. Nên / / ' ME C N ' , , C N AM EM AM AME Ta có: 2 2 2 2 2 . cos 3 BC AB AC AB AC A a 3 BC a Trong ’ ’ A KB vuông có 0 ' ' 60 KA B , ' ' A B a nên 0 3 ' ' 'sin60 2 a B K A B . Trong ’ AB K vuông có 0 ' ' .tan 30 2 a AB B K 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' 1 7 ' ; ' 2 4 4 2 C B C A A B a a AE AB EM C N EM Trong AEM vuông có: 2 2 2 2 29 29 16 4 a a AM AE EM AM Vậy 7 cos 2 29 ME AME MA . Bài toán 10: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các , , SAB SAD SAC là các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD biết SA= 3 a , , 3 . AB a AD a A. 1 2 B. 3 2 C. 4 130 D. 8 130 Lời giải: Chọn D. Ta có các , , SAB SAD SAC là các tam giác vuông tại . A Nên , SA AB SA AD SA ABCD A' N M E A B B' C C' KBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 37 Góc trong không gian Gọi O AC BD . Gọi M là trung điểm của . SA Do đó / / OM SC Suy ra ; BD ; SC OM BD Do BM DM MOB MOD (góc đối diện vs cạnh bé hơn thì bé hơn) ; BD ; SC OM BD MOB (góc giữa hai đường thẳng bé hơn 0 90 ) Có 2 2 2 2 7 4 2 SA a BM AM AB AB 2 2 2 2 2 13 2 2 2 2 SC SA AC SA AB BC a MO 2 2 10 2 2 2 BD AB AD a BO . Áp dụng định lý cosin trong MOB , ta có: 2 2 2 2 . .cos BM OM OB OM OB MOB 2 2 2 8 cos 2 . 130 OM OB BM MOB OM OB . II. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. PHƯƠNG PHÁP o Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng 0 90 . o Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng P thì góc tạo bởi đường thẳng a và hình chiếu a của nó trên P gọi là góc giữa đường thẳng a và mp P . Tức là: Nếu a không vuông với P và a là hình chiếu của a trên P thì , , . a P a a Chú ý: + 0 0 0 , 90 . a P + Nếu 0 / / , 0 . a P a P a P + Để tìm hình chiếu a của a trên P ta có thể làm như sau: Tìm giao điểm . M a P Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên P . Khi đó, a là đường thẳng đi qua hai điểm A và . M O A M B C D S P M H A φ aBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 38 Góc trong không gian 2. MỘT SỐ LOẠI GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI HÌNH CHÓP Bài toán: Cho khối chóp có đỉnh S và đáy là ... ABCDxxx , H là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy. Tìm góc giữa các đường thường và mặt phẳng trong các trường hợp sau: a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy o Tìm góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy ABCD H là hình chiếu vuông góc của S trên ABCD HD là hình chiếu vuông góc của SD trên ABCD Vậy , , SD ABCD SD D HD S H b. Góc giữa cạnh bên và mặt đứng o Tìm góc giữa cạnh bên SC và SHD với SHD ABCD Dựng CE HD E HD Vì CE HD CE SHD CE SH E là hình chiếu vuông góc của C trên SHD . Vậy , , SC SHD SC S SE C E . c. Góc giữa đường cao và mặt bên o Tìm góc giữa đường cao SH và mặt bên SCD Dựng HE CD E CD Vì CD HE CD SHE CD SH SCD SHE Ta có: . SCD SHE SE Dựng HK SE HK SCD SK là hình chiếu vuông góc của SH trên SCD . Vậy , , SH SCD SH S SK H K 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với đáy một góc 60 0 , gọi M là trung điểm của . BC Cosin góc tạo với SM và mặt đáy là: A. 6 cos 3 B. 1 cos 10 C. 3 cos 3 D. 3 cos 10 Lời giải: Chọn B. H A B C D S E H A B C D S K E S D C B A HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 39 Góc trong không gian Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH AB Mặt khác SAB ABC SH ABC HM là hình chiếu của SM trên ABC . Suy ra , , SM ABC SM HM SMH Khi đó 2 2 0 3 3 .tan 60 2 2 a a CH AC AH SH CH Do M là trung điểm của BC nên 2 2 BC a HM 2 2 1 cos 10 HM SMH HM SH . Bài toán 2: Cho lăng trụ đứng . ’ ’ ’ ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân tại , A BC a , ' 2 AA a và 5 cos ' 6 BA C . Tính góc giữa đường thẳng ’ A B và mặt phẳng ’ ’ AA C C . A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Lời giải: Chọn A. Kẻ BH AC và theo giả thiết lăng trụ đứng ta có BH AA nên ' ' BH AA C C . Hình chiếu của A B lên ' ' AA C C chính là cạnh A H . Suy ra góc giữa đường thẳng ’ A B và mặt phẳng ’ ’ AA C C là góc ' BA H . Đặt AB x thì 2 2 2 2 2 2 ' ' 2 ' . A B AA AB x a A C Áp dụng định lí hàm số cosin trong ' A BC , ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' 2 4 5 cos ' 2 ' . ' 6 2 2 A B A C BC x a a BA C x a A B A C x a Trong tam giác vuông ’ A BH có: 0 3 1 2 sin ' ' 30 ' 2 3 a BH BA H BA H A B a . Bài toán 3: Cho hình hộp . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh , a góc 0 60 A . Chân đường vuông góc hạ từ ’ B xuống mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy . ABCD Cho ' BB a . Tính góc giữa cạnh bên và đáy A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Lời giải: Chọn C. Gọi O AC BD . Theo giả thiết ta có ' B O ABCD H A B B' A' C' C M H A B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 40 Góc trong không gian ' ' , B B ABCD B B O ABCD O ABCD Hình chiếu ’ B B trên ABCD là OB ' , ' , ' B B ABCD B B BO B BO Tam giác ABD có AB AD a , 0 60 BAD ABD là tam giác đều 2 a BD a OB Trong tam giác vuông ’ : B OB 0 1 2 cos ' ' 60 ' 2 a OB B OB B OB BB a . Bài toán 4: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có 2 ; AB a AD = 2 3 a và ( ) SA ABCD . Gọi M là trung điểm của , CD biết SC tạo với đáy góc 45 0 . Cosin góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ( ) ABCD là: A. 3 13 B. 13 29 C. 377 29 D. 277 29 Lời giải: Chọn C. Từ ; SA ABCD SM ABCD SMA cos ; cos AM SM ABCD SMA SM Từ 0 ; 45 SA ABCD SC ABCD SCA SAC vuông cân tại . A 2 2 2 2 4 12 4 SA AC AB BC a a a . Ta có: 2 2 13. AM AD DM a 2 2 2 2 2 2 16 13 29 29 SM SA AM a a a SM a 13 377 cos ; 29 29 AM a SM ABCD SM a . Bài toán 5: Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB BC a ; ) ^ . ( SA ABC Biết mặt phẳng ( ) SBC tạo với đáy một góc 60 0 .Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ( ) ABC là: A. 10 15 B. 10 10 C. 10 20 D. 10 5 Lời giải: Chọn D. Ta có: SA ABC AC là hình chiếu của SC lên mp ABC ; SC ABC SCA B' D O A B C C' D' A' 45° A B M C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 41 Góc trong không gian ABC vuông cân 2 2 B AC AB a +Ta có ngay 0 ; 60 SB ABC SBA SBA Ta có: 0 tan .tan .tan 60 3 SA SBA SA AB SBA AB a AB 2 2 2 2 2 2 3 2 5 5 SC SA AC a a a SC a 2 10 cos ; 5 5 AC a a SC ABC SC a . Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC= 2 a . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Cosin của góc giữa SC và mặt phẳng SHD là A. 3 5 B. 5 3 C. 2 5 D. 5 2 Lời giải: Chọn A. Ta có 2 2 2 2 2 SB BC SC a suy ra SBC vuông tại B . BC SB mà BC AB BC SAB BC SH mà SH AB SH ABCD Kẻ CE HD mà CE SH CE SHD , , SC SHD SC SE CSE Ta có 1 1 1 . 2 2 2 CDH ABCD ABCD S S CE HD S 2 2 . a CE HD a CE HD Mà 2 2 5 2 a HD AD AH 2 5 5 a CE 2 2 30 3 cos 5 5 a SE SE SC CE CSE SC . Bài toán 7: Cho khối chóp . S ABC có đáy là tam giác cân tại A có 4 , AB AC a 0 120 BAC . Gọi M là trung điểm của , BC N là trung điểm của AB, SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA = 2 a . Góc giữa SN và mặt phẳng ABC là: A. 30 0 B. 45 0 C. 60 0 D. 90 0 Lời giải: Chọn A. Gọi H là trung điểm của AM . Vì SAM cân tại S nên SH là đường cao. Mà SAM ABC SH ABC A B C S E H A B C D S B H A D CBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 42 Góc trong không gian Ta có ; ; SN ABC SN NH SNH Ta có 0 0 60 .cos 60 2 MAC AM AC a 0 .sin 60 2 3 MC AC a 2 2 1 2 AH AM a SH SA AH a Ta có 1 3 2 NH BM a 0 1 tan 30 3 SH SNH SNH NH . 0 , 30 SN ABC . Bài toán 8: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh 4 , AB a AD 3 a . Điểm H nằm trên cạnh AB thỏa mãn 1 3 AH HB . Hai mặt phẳng ( ) SHC và ( ) SHD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SA = 5 a . Cosin của góc giữa SD và ( ) SBC là: A. 5 12 B. 5 13 C. 4 13 D. 1 3 Lời giải: Chọn B. Kẻ HK SB HK SBC . Gọi E DH BC , kẻ / / DF HK F EK DF SBC Hình chiếu của SD lên SBC chính là SF , , SD SBC SD SF DSF Ta có 2 2 2 SH SA AH a . Xét SHB có 2 2 2 2 1 1 1 13 6 36 13 a HK HK SH HB a Ta có 3 3 . 8 4 4 13 EH HB HK EH HK ED a DF ED CD DF ED EH . Ta có 2 2 2 2 SD SH DH a 2 2 2 10 5 cos 13 13 a SF SF SD DF DSF SD . H N A B M S C E A H D F K B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 43 Góc trong không gian III. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. PHƯƠNG PHÁP Để xác định góc giữa hai mặt phẳng P và Q , ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau: Cách 1: Theo định nghĩa: , , a P P Q a b b Q Cách 2: Khi xác định được P Q thì ta làm như sau: + Bước 1: Tìm mặt phẳng . R + Bước 2: Tìm p R P q R Q Khi đó: , , . P Q p q Ví dụ: Tìm góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD (hình vẽ bên) Dựng HE CD E CD Vì . CD HE CD SHD CD SE CD SH Vì SCD ABCD CD HE ABCD CD SE SCD , , SCD ABCD SE HE SEH Cách 3: Theo định lí về hinh chiếu .cos cos S S S S H E C B A D S b a Q P q p R P Q φ S' S Q PBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 44 Góc trong không gian 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho khối chóp . S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có 4. AB BC Gọi H là trung điểm của , . AB SH ABC Mặt phẳng ( ) SBC tạo với đáy một góc 60 0 . Cosin góc giữa 2 mặt phẳng ( ) SAC và ( ) ABC là: A. 5 5 B. 5 4 C. 10 5 D. 1 7 Lời giải: Chọn D. Kẻ HP AC , lại có: AC SH AC SPH ; cos ; cos SAC ABC SPH HP SAC ABC SPH SP Ta có: 0 , 60 BC AB BC SBA SBC ABC SBA BC SH 0 .tan 2.tan 60 2 3 SH HB SBH Ta có 0 0 45 ; 90 HAP APH APH vuông cân P 2 2 2 2 AH HP 2 2 2 12 2 14 14 SP SH HP SP 2 1 cos ; 14 7 HP SAC ABC SP . Bài toán 2: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng , ABCD , 3 SA AB a AD a . Gọi M là trung điểm . BC Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và SDM . A. 5 7 B. 6 7 C. 3 7 D. 1 7 Lời giải: Chọn B. Kẻ , SH MD H MD , mà SA MD SAH MD AH MD Do đó , , SMD ABCD SH AH SHA Ta lại có: 2 1 1 3 .3 . 2 2 2 AMD ABCD a S S a a 2 2 13 2 a DM CD CM a a 3a A B H M C D S P H A B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 45 Góc trong không gian 2 6 13 7 13 13 13 AMD S a a AH SH DM 6 cos 7 AH SH . Bài toán 3: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có 2 AB a và góc 0 120 BAD . Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy ABCD trùng với giao điểm I của hai đường chéo và 2 a SI . Tính góc tạo bởi mặt phẳng SAB và mặt phẳng ABCD A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Lời giải: Chọn A. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên . AB Ta có: AB HI AB SHI AB SH AB SI Do đó: , SH IH SHI Ta có 0 0 120 60 BAD BAI Suy ra: 0 0 sin 60 3 cos60 BI BI a AB AI AI a AB Xét tam giác vuông AIB có: 2 2 2 1 1 1 3 2 IH a IH IA IB Ta có: 0 1 tan 30 3 SI SHI SHI HI hay 0 30 . Bài toán 4: Cho lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh , a và 7 ' ' ' 12 A A A B A C a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ’ ’ ABB A và ABC A. 0 75 B. 0 30 C. 0 45 D. 0 60 Lời giải: Chọn D. Gọi H là hình chiếu của A trên ABC Vì ' ' 'C A A A B A A cách đều , , A B C nên HA HB HC , suy ra H là tâm của tam giác đều . ABC Gọi , I J lần lượt là trung điểm của , . BC AB Vì ' ' A J AB A JC AB CJ AB ' A JC chính là góc giữa hai mặt phẳng ’ ’ ABB A và ABC I A K H B C D S A' H J I B A C C' B'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 46 Góc trong không gian 2 2 2 2 7 ' ' 12 4 3 1 1 3 3 . 3 3 2 6 a a a A J AA AJ a a HJ CJ 3 1 cos cos : 6 2 3 JH a a A JC A JH A J 0 ' 60 A JC . Bài toán 5: Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh . a Biết ( ) SO ABCD và AC a , thể tích khối chóp là 3 3 2 a . Cosin góc giữa 2 mặt phẳng ( ) SAB và ( ) ABC là: A. 6 7 B. 3 7 C. 1 7 D. 2 7 Lời giải: Chọn C. Kẻ OP AB . Lại có AB SO AB SPO ; SAB ABC SPO cos ; cos OP SAB ABC SPO SP Ta có: AB BC CA a ABC đều 0 3 3 3 sin sin60 2 2 4 OP a PAO OP OA OA Ta có : .ABCD 1 1 . .2 3 3 S ABCD ABC V SO S SO S 2 2 3 1 3 3 3 .2. . 3 4 6 2 a a a SO SO 2 2 2 2 2 2 3 147 3 9 16 16 a a SO a SP SO OP a 7 3 4 a SP . 3 1 4 cos ; 7 7 3 4 a OP SAB ABC SP a . Nhận xét: Qua các bài toán trên, ta nhận thấy rằng muốn xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy (hình chóp, lặng trụ,..) ta sẽ “hạ đường vuông góc” từ “chân đường cao” của 1 đỉnh (lên mặt phẳng đáy) đến “giao tuyến” của hai mặt phẳng cần xác định góc. Từ đó xác định được góc cần tìm. Bài toán 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và . SA ABCD Để góc giữa ( ) SBC và ( ) SCD bằng 60 0 thì độ dài của SA là: A. a B. 2 a C. 3 a D. 2a O A P C B D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 47 Góc trong không gian Lời giải: Chọn A. Ta có BD AC BD SAC BD SC BD SA Kẻ BI SC ta có SC BI SC BID SC BD 0 , , 60 SBC SCD BI ID Trường hợp 1: 0 0 60 30 BID BIO Ta có 6 2 tan 2 2 BO a a BIO OI OC IO (vô lý) (OI là cạnh góc vuông, OC là cạnh huyền của tam giác vuông OIC ) Trường hợp 2: 0 0 120 60 BID BIO Ta có 6 tan 6 BO a BIO OI IO (hợp lý) Ta có 3 1 sin tan .tan 3 2 OI ICO ICO SA AC ICO a OC . Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 2 , AB a SA = 3 a và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC là: A. 2 2 B. 2 3 C. 2 4 D. 2 5 Lời giải: Chọn C. Vì ABCD là nữa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 2 AB a nên ta có được: , AD DC CB a BD AD Gọi I là giao điểm của AD và BC Ta có BD AD BD SAD BD SI BD SA Kẻ DE SI ta có SI BD SI BDE SI DE , ,BE SAD SBC DE Ta có: 1 ; 2 . 2 CD ID ID a AI a AB IA Ta có 2 2 3 3 sin 7 7 SA SA a AIS SI a SA AI Lại có: sin DE AIS DI 3 .sin 7 a DE DI AIS I O A B C D S E A D I C B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 48 Góc trong không gian tan 7 BD DEB ED . Từ 2 2 1 1 tan cos 2 cos 4 DEB . Bài toán 8: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và ; BA BC a SA vuông góc vơi đáy, . SA a Góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng: A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 75 Lời giải: Chọn C. Gọi H là trung điểm của AC . AH AC Vì BH AC SA ABC BH SA do BH ABC BH SAC SHC là hình chiếu của SBC lên SAC cos SHC SBC S S + Ta có: 2 2 2. AC BA BC a 2 1 1 2 2 . . . 2 2 2 4 SHC a a S SA HC a + Vì BC AB BC SA do SA ABC BC SAB BC SB SBC vuông tại . B Khi đó: 2 2 2 1 1 2 . . . 2 2 2 SBC a S SB SB a a a Vậy 2 0 2 2 1 4 cos 60 . 2 2 2 SHC SBC a S S a Bình luận: Trong bài toán trên, ta dễ dàng xác định được giao tuyến SC SAC SBC nhưng lại gặp khó khăn trong việc tìm một mặt phẳng vuông góc với SC . Đồng thời nhận thấy rằng việc xác định hình chiếu của B lên SAC và tính diện tích của hai tam giác ; SHC SBC là khá dễ dàng nên ta vận dụng cách 3 trong nội dung phương pháp đã trình bày ở trên để giải quyết nhanh bài toán. a a a H A B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 49 Góc trong không gian B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho hình lập phương . ’ ’ ’ ’. ABCD A B C D Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. Góc giữa mặt phẳng ’ A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau. B. Góc giữa mặt phẳng ’ A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau và phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương. C. Góc giữa mặt phẳng ’ A BD và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng mà 1 tan 2 . D. Cả ba mệnh đề trên đều sai. Câu 2. Cho hình chóp . S ABC có SA ABC và đáy ABC là tam giác vuông tại . A Khẳng định nào sau đây sai ? A. SAB ABC B. SAB SAC C. Vẽ , AH BC H BC góc AHS là góc giữa hai mặt phẳng SBC và . ABC D. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC là góc ACB . Câu 3. Cho tứ diện ABCD có AC AD và BC BD . Gọi I là trung điểm của . CD Khẳng định nào sau đây sai ? A. Góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD là góc AIB. B. BCD AIB C. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD là góc CBD . D. ACD AIB Câu 4. Cho hình chóp . S ABC có SA ABC và AB BC . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là góc nào sau đây ? A. Góc SBA B. Góc SCA C. Góc SCB D. Góc SIA với I là trung điểm của . BC Câu 5. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây sai ? A. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc ABS . B. Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là góc SOA (với O là tâm của hình vuông ABCD ). C. Góc giữa hai mặt phẳng SAD và ABCD là góc SDA . D. SAC SBD Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 50 Góc trong không gian Câu 6. Cho tứ diện ABCD có cạnh , , AB BC BD bằng nhau và đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Góc giữa AC và BCD là góc ACD . B. Góc giữa AD và ABC là góc ADB . C. Góc giữa AC và ABD là góc CAB . D. Góc giữa CD và ABD là góc CBD . Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 8. Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2 . a Trên đường thẳng qua O và vuông góc với ABCD lấy điểm . S Nếu góc giữa SA và ABCD có số đo bằng 0 45 thì độ dài đoạn SO bằng A. 3 SO a B. 2 SO a C. 3 2 a SO D. 2 2 a SO Câu 9. Cho hình lăng trụ đứng . ’ ’ ’ ABC A B C có ' , 2 , 5 AB AA a BC a CA a . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Đáy ABC là tam giác vuông. B. Hai mặt phẳng ’ ’ AA B B và ’ BB C vuông góc với nhau. C. Góc giữa hai mặt phẳng ABC và ’ A BC có số đo bằng 45 0 . D. ' 2 2 AC a . Câu 10. Cho tứ diện ABCD có 2 AB CD a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD và 3 MN a . Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD . A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Câu 11. Cho hình chóp . S ABC có SA ABC , 0 120 BAC , AB AC a và 2 3 a SA . Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC và ABC . A. 0 60 . B. 0 45 . C. 0 30 . D. 0 90 . Câu 12. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng . a Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AD và . SD Số đo của góc , MN SC bằng: A. 0 3 0 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 13. Cho hình chóp ngũ giác đều . . S ABCDE Góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số đo lớn nhất là: A. 0 36 B. 0 54 C. 0 72 D. 0 90 Câu 14. Cho hình chóp lục giác đều . S ABCDEF có cạnh đáy bằng . a Gọi O là hình chiếu của S lên mặt đáy và SO a . Góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số đo nhỏ nhất là. A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 15. Cho hình chóp . , S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng ; a SA vuông góc với đáy và 6 SA a . a) Góc giữa SC và ABCD có số đo bằng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 51 Góc trong không gian A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 75 b) Góc giữa SB và SAC thỏa mãn hệ thức nào sau đây ? A. 14 cos 14 B. 14 sin 14 C. 2 cos 14 D. 2 sin 14 c) Góc giữa AC và SBC thỏa mãn hệ thức nào sau đây ? A. 21 cos 7 B. 3 sin 7 C. 3 cos 7 D. 21 sin 7 Câu 16. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh . a Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm của cạnh . BC Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số đo của góc giữa SA và ABC bằng: A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 75 Câu 17. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm của cạnh . BC Biết SB a , khi đó số đo góc giữa SA và ABC bằng: A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 75 Câu 18. Cho hình chóp . , S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng . a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa mp SCD và mp ABCD là , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau ? A. 3 tan 3 B. tan 1 C. tan 2 D. tan 3 Câu 19. Cosin của góc giữa hai mặt của tứ diện đều bằng A. 3 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 3 Câu 20. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Số đo của góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng: A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 75 Câu 21. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 a và chiều cao bằng 2 2 a . Số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 75 Câu 22. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng , a góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Khi đó, độ dài đường cao SH bằng: A. 2 a B. 3 2 a C. 2 3 a D. 3 3 a Câu 23. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và , B SA vuông góc với , ABCD , 2 AB BC a AD a . Nếu góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 0 45 thì góc giữa mặt phẳng SAD và SCD bằng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 52 Góc trong không gian A. 0 60 B. 0 30 C. 6 arccos 3 D. 0 45 Câu 24. Cho hình lập phương . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có cạnh bằng a. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của ’, , ’ ’. BB CD A D Góc giữa MP và ’ C N bằng. A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 25. Cho tứ diện ABCD có D 72 , 58 , 50 , 40 AB cm CA cm BC cm C cm và CD ABC . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD bằng: A. 0 45 B. 0 30 C. 0 60 D. Đáp án khác. Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng . ’ ’ ’ ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a ; 0 120 , ' BAC BB a và I là trung điểm của ’. CC Tính cos ; ABC AB I ? A. 2 2 B. 3 10 C. 3 2 D. 5 3 Câu 27. Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng , a ' ' ' A A A B A C m . Để góc giữa mặt bên ’ ’ ABB A và mặt đáy bằng 60 0 thì giá trị của m là: A. 21 3 a B. 7 6 a C. 21 6 a D. 21 21 a Câu 28. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng . a Gọi O là tâm của đáy và , M N lần lượt là trung điểm của , . SA BC Góc giữa MN và ABCD bằng 0 60 thì độ dài MN là: A. 2 a B. 5 2 a C. 10 2 a D. 2 2 a Câu 29. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết 2 AB a , 0 30 ACB . Hình chiếu vuông góc của S trên ABC là trung điểm của cạnh BC và góc tạo bởi S A và mặt đáy bằng 0 60 . Tính cosin của góc tạo bởi AH và SC . A. 42 7 . B. 42 14 . C. 42 26 . D. 13 4 . Câu 30. Cho hình chóp đều . S ABC có 2 SA a , 3 AB a . a) Tính góc giữa SA và mặt phẳng đáy ABC . A. 0 60 B. 0 45 C. 0 30 D. 0 90 b) Tính tan của góc hợp bởi hai mặt phẳng SBC và A B C . A. 3 2 . B. 4 3 3 C. 3 4 D. 2 3 3 Câu 31. Cho hình chóp . S ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Gọi I và trung điểm của AB . a) Tính cosin của góc tạo bởi BD và mặt phẳng SAD A. 5 3 B. 10 2 C. 10 4 D. 10 6 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 53 Góc trong không gian b) Tính cosin của góc tạo bởi SD và mặt phẳng SCI . A. 15 5 B. 5 3 C. 3 4 D. 10 6 c) Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng IC và SD . A. 3 10 10 B. 3 10 20 C. 3 5 7 D. 2 5 7 Câu 32. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh A , có cạnh huyền BC a . Gọi I là trung điểm của BC và 3 2 a SA SB SC . Góc tạo bởi SI và mặt phẳng SAC bằng 0 30 . Tính cosin của góc tạo bởi SA và mặt phẳng SBC . A. 57 8 B. 19 5 C. 19 6 D. 57 9 Câu 33. Cho hình chóp đều . S ABCD , đáy tâm O và có cạnh bằng a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SA BC . Biết góc giữa MN và ABCD bằng 0 60 . Tính sin ; MN SAC . A. 5 5 B. 5 10 C. 3 5 D. 3 3 Câu 34. Cho hình lăng trụ đều . ' ' ' ABC A B C , đáy có cạnh bằng a , cạnh bên có độ dài bằng 3 a . Gọi M là trung điểm của AB và là góc tạo bởi đường thẳng ' MC và mặt phẳng ' ' BCC B . Tính tan . A. 2 tan 19 B. 1 tan 19 C. 3 19 tan 19 D. 1 tan 2 19 Câu 35. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA AB a , 3 AD a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính theo a cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng SDM và ABCD . A. 6 7 B. 3 4 C. 4 5 D. 2 3 Câu 36. Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a . Tính góc giữa m/p ' BA C và 'C DA . A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 Câu 37. Cho hình chóp đều . S ABCD đáy có bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SC . Biết 0 , 60 BM ND . Gọi h là chiều cao lớn nhất của hình chóp. Tính h . A. 30 2 a h B. 30 6 a h C. 15 2 a h D. 42 2 a h Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng . ' 'C' ABC A B có Ab AC a , 0 120 BAC và cạnh bên ' BB a . Gọi I là trung điểm của ' CC . Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và ' AB I A. 15 5 B. 15 8 C. 30 6 D. 30 10 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 54 Góc trong không gian II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1A 2D 3C 4A 5C 6C 7D 8B 9D 10C 11C 12D 13D 14B 15.C.B.D 16B 17C 18B 19D 20C 21B 22A 23A 24.D 25A 26B 27C 28C 29B 30.A.D 31.C.A.B 32D 33B 34B 35A 36C 37A 38D Câu 1. Chọn A. Câu 2. Chọn D. Câu 3. Chọn C. Câu 4. Chọn A. Câu 5. Chọn C. Câu 6. Chọn C. + A sai, vì , AC BCD ACB . + B sai, vì , AD ABC BAD + D sai, vì , CD ABD BDC Câu 7. Chọn D. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Do ABC , ABD là các tam giác đều nên AB CM AB CMD AB CD AB DM hay 0 , 90 AB CD Câu 8. Chọn B. Ta có: 2 2 2 2 AC AC a OA a 0 , 45 SA ABCD SAO Khi đó, SAO là tam giác vuông cân tại O. Suy ra 2 SO OA a . Câu 9. Chọn D. + 2 2 2 2 2 2 2 5 AB BC a a a AC ABC vuông tại B A đúng. + ABC vuông tại B AB BC Vì ' ' ' AB BC AB BB C AB BB ' ' ' ' AA B B BB C B đúng. D C B A M D N C B A 45° 2a 2a O A B C D S a 5 2a a a A' B' C' B C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 55 Góc trong không gian + Dễ dàng chứng minh được ' ' BC AA B B ' BC A B Vì 0 ' , ' , ' ' 45 ' ABC A BC BC AB BC ABC A BC AB A B ABA A B BC (vì ' ABA vuông cân tại A) => C đúng. + Ta có: 2 2 2 2 ' ' ' ' 5 6 AC AA A C a a a => D sai. Câu 10. Chọn C. Gọi I là trung điểm của AC , suy ra : / / ; / / MI AB NI CD MI NI a Khi đó , , AB CD MI NI . Xét tam giác MIN ta có: 2 2 2 2 2 2 0 2 3 1 cos 2. . 2 2 120 MI NI MN a a MIN MI NI a MIN Suy ra 0 , 60 MI NI hay 0 , 60 AB CD Chú ý : Trong câu hỏi trên do chưa thể kết luận được luôn MIN là góc nhọn nên ta không được phép viết , , AB CD MI NI MIN Câu 11. Chọn C. Gọi M là trung điểm của BC , AM BC SBC ABC SMA Tam giác ABC cân tại A nên : .cos .cos60 2 a AM AC MAC a Trong tam giác vuông SAM có: 1 tan : 30 2 2 3 3 SA a a SMA SMA AM Vậy , 30 SBC ABC Câu 12. Chọn D. Vì / / , , MN SA MN SC SA SC Ta có: 2 2 2 2 2 AC AB BC a a a Vì 2 2 2 2 2 2 2 SA SC a a a AC SAC vuông tại . S S 0 , 90 SA C SA SC Vậy 0 , , 90 MN SC SA SC . I M B C N D A 120° M A C B S a a a a a a a a O A B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 56 Góc trong không gian Câu 13. Chọn D. + Ta đã biết góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 , nên nếu có một cạnh đáy vuông góc với SA thì góc lớn nhất là 90 0 . + Vì SC SD và AC AD (hai dây chắn hai cung bằng nhau trong đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều ABCDE ) nên SA CD . Vậy góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số đo lớn nhất là 90 0 . Câu 14. Chọn B. Vì / / / / / / CD AF ED AB EF AO nên ta chỉ tính và so sánh các góc , , SAB SAF SAO . Mà SAB SAF nên ta chỉ cần so sánh , SAB SAO . Ta có: sin SO SAO SA Kẻ , SI AB I AB , khi đó sin SI SAB SA . Vì sin sin SO SI SAO SAB SAO SAB Vậy SAO nhỏ nhất và bằng 45 0 vì SAO vuông cân Câu 15. a) Chọn C. Xét SAC vuông tại A, ta có: 0 6 tan 3 60 2 SA a SCA SCA AC a Vậy 0 , 60 SC ABCD SCA b) Chọn B. Dễ dàng chứng minh được BO SAC => SO là hình chiếu của SB lên (SAC). , , SB SAC SB SO BSO Xét SBO vuông tại O, ta có: 2 14 2 sin 14 7 a BO BSO SB a . Vậy 14 sin sin 14 BSO . c) Chọn D. Trong (SAB), kẻ S , AH B H SB . E A B C O D S O A H B C D S O F A I B C D E SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 57 Góc trong không gian Vì BC SAB BC AH AH SAB Vì AH SB AH SBC HC AH BC là hình chiếu của AC lên (SBC). Do đó: , , AC SBC AC HC ACH . Xét ACH vuông tại H, ta có: sin AH ACH AC . Mà trong SAB , ta có: 2 2 .AB 6 7 SA a AH SA AB Vậy 6 21 7 sin sin 7 2 a AH ACH AC a . Câu 16. Chọn B. Gọi H là trung điểm của BC. SH ABC HA là hình chiếu của SA lên , , ABC SA ABC SA HA SAH Vì AH, SH lần lượt là đường cao trong hai tam giác đều ABC và SBC có cạnh bằng a nên AH SH . SAH vuông cân tại H 0 45 SAH . Vậy 0 , 45 SA ABC SAH Câu 17. Chọn C. Gọi H là trung điểm của BC SH ABC HA là hình chiếu của SA lên . ABC , , SA ABC SA HA SAH . Ta có: 2 2 2 2 3 2 2 2 2 a a SH SB BH a BC a AH Xét SAH vuông tại , H ta có: 0 3 2 tan 3 60 2 a SH SAH SAH a AH . Vậy 0 , 60 SA ABC SAH Câu 18. Chọn B. H B A C S S C A B HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 58 Góc trong không gian Vì SCD ABCD CD CD SAD SAD SCD SD SAD ABCD AD , , SCD ABCD SD AD SDA Xét SAD vuông tại A, ta có: tan 1 SA a SDA AD a . Vậy tan tan 1 SDA . Câu 19. Chọn D. Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh a. Cần tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Gọi H là trung điểm của AH CD CD SH CD Mà ACD BCD CD , , ACD BCD AH BH AHB Ta có: 3 2 a AH BH . Áp dụng định lí cosin trong ABH , ta được: 2 2 2 cos 2 . AH BH AB AHB AH BH 2 2 2 3 3 2 2 1 cos 3 3 3 2. . 2 2 a a a AHB a a Câu 20. Chọn C. Vì SH ABC HC là hình chiếu của SC trên ABC , , SC ABC SC HC SCH Gọi I là trung điểm của . AB Vì ABC đều cạnh a 3 2 a CI 2 3 3 3 a CH CI Xét SCH vuông tại , H ta có: 0 tan 3 60 3 3 SH a SCH SCH HC a Vậy 0 , 60 SC ABC SCH . a a A B C D S H C B D A H A I B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 59 Góc trong không gian Câu 21. Chọn B. Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng 2 a và chiều cao 2 2 a SO với O là tâm của hình vuông ABCD. Gọi I là trung điểm của 2 2 2 OI CD CD CD a OI . Vì CD SO CD SOI CD SI CD OI . Vì , , SCD ABCD CD SI CD SCD ABCD SI OI SIO OI CD Xét SIO vuông tại O, ta có: 0 2 2 tan 1 45 2 2 a SO SIO SIO OI a . Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy là 0 , 45 SCD ABCD SIO . Câu 22. Chọn A. Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó, 0 , , 60 SBC ABC SI AI SIA Ta có: 3 1 3 2 3 6 a a AI HI AI Xét SHI vuông tại H, ta có: 0 3 tan .tan .tan60 6 SH a SIH SH HI SIH HI 2 a SH Câu 23. Chọn A. Gọi H là trung điểm của AD. ABCH là hình vuông CH AD CH SAD SHD là hình chiếu của SCD lên (SAD). Gọi là góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD). Khi đó: cos SHD SCD S S Ta có: 0 , , 45 SC ABCD SC CA SCA I S D C B A O H A I B C S a a a a 45° H A B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 60 Góc trong không gian SAC vuông cân tại A 2 2 SA AC a SC a + 2 1 1 2 . . 2. 2 2 2 SHD a S SA HD a a + Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 AC CD a AC CD a a a AD ACD vuông tại C CD AC Vì CD AC CD SAC CD SC SCD CD SA vuông tại C. Khi đó: 2 1 1 . .2 . 2 2 2 2 SCD S SC CD a a a Vậy 2 0 2 2 1 2 cos 60 2 2 SHD SCD a S S a Câu 24. Chọn D. Gọi Q là trung điểm CC’ / / MQ BC Mà ' ' ' ' ' BC CC D D MQ CC D D C N ' MQ C N Trong hình vuông CC’D’D, ta có: ' ' C N D Q Vì ' ' ' ' ' ' C N MQ C N MPD Q C N MP C N D Q Vậy 0 ' , 90 C N MP . Câu 25. Chọn A. Trong (ABC), kẻ , CH AB H AB Vì AB CH AB CDH AB DH AB CD . Vì ABC ABD AB CH AB DH AB , , ABC ABD CH DH CHD Xét CHD vuông tại C, ta có: tan CD CHD CH Ta có: 72 50 58 90 2 2 ABC AB BC CA p p 2 90 90 72 90 50 90 58 1440 ABC S p p AB p BC p AC cm Mặt khác: S 2 1 2.1440 . 40 2 72 ABC ABC S CH AB CH cm AB N B P C Q A' M B' C' D' D A 58 cm 72 cm 40 cm 50 cm H C B A DBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 61 Góc trong không gian Do đó: 0 40 tan 1 45 40 CD CHD CHD CH Vậy 0 , 45 ABC ABD CHD . Câu 26. Chọn B. Gọi là góc giữa mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Vì ABC là hình chiếu của ' AB I trên (ABC) nên ' cos ABC AB I S S + Ta có: 1 . .sin 2 ABC S AB AC BAC 2 0 1 3 . . .sin120 2 4 a a a + 2 2 2 2 2 2 0 2 ' ' 2. . .cos 2 . .cos120 3 B C BC AB AC AB AC BAC a a a a a Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 5 4 2 13 13 ' ' ' ' 3 4 4 2 AB a a a AI a a a a B I B C C I a 2 2 2 2 2 2 5 13 ' 2 ' ' 4 4 a a AB AI a B I AB I vuông tại A. 2 ' 1 1 5 10 '. 2. 2 2 2 4 AB I a a S AB AI a Vậy 2 2 3 3 4 cos 10 10 3 a a Câu 27. Chọn C. Gọi O là trọng tâm của ABC đều O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Mà ' ' ' A A A B A C ' ' A O ABC A O AB Gọi I là trung điểm của AB, ta có: 1 1 3 3 . 3 3 2 6 OI AB a a OI CI Vì ' ' ' AB OI AB A OI AB A I AB A O 120° a a A' I C A B C' B' B' O I B A C C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 62 Góc trong không gian Vì ' ' ' ABB A ABC AB A I AB OI AB 0 ' ' , ' , ' 60 ABB A ABC A I OI A OI . Xét ' A OI vuông tại O, ta có: 0 3 3 6 cos ' ' ' 3 cos60 cos a OI OI a A OI A I A I SIA Xét ' A IA vuông tại I, ta có: 2 2 2 2 3 21 ' ' 2 2 6 a a a m A A A I AI Câu 28. Chọn C. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ABCD (1) Gọi H là trung điểm của OA / / MH SO (2). Vì (1) và (2) MH ABCD HN là hình chiếu của MN trên (ABCD). 0 , , 60 MN ABCD MN NH MNH Ta có: 3 3 3 2 .a 2 4 4 4 a CH AC Trong CNH , ta có: 2 2 0 2 . .cos45 NH CN CH CN CH 2 2 3 2 3 2 2 10 2. . . 2 4 2 4 2 4 a a a a a Xét MNH vuông tại H, ta có: 0 10 10 4 cos 2 cos60 cos a NH NH a MNH MN MN MNH Câu 29. Chọn B. Gọi H là trung điểm của BC , khi đó : SH ABC , suy ra góc tạo bởi SA và mặt đáy là 0 60 SAH . Có 0 2 2 3 tan 30 tan AB a BC a ACB 3 2 BC BH a , khi đó : 2 2 7 AH AB BH a Xét tam giác SAH ta có : 0 .tan 60 7. 3 21 SH AH a a Gọi M là trung điểm của SB , suy ra / / HM SC , khi đó: , , AH SC AH HM (1) H O N B C D A M S 60° 30° 2a M A H B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 63 Góc trong không gian Ta có : 2 2 2 2 21 3 6 2 2 2 SB SH BH a a HM MB a Tam giác AMB vuông tại B nên ta có : 2 2 2 2 2 2 4 6 10 AM AB MB a a a . Xét tam giác AMH có: 2 2 2 2 2 2 7 6 10 42 cos 0 2. . 28 2. 7. 6 AH HM AM a a a AHM AH HM a a (2). Từ (1) và (2) suy ra cosin của góc tạo bởi AH và SC là 42 cos 28 AHM Câu 30. a) Chọn A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên ABC . Do . S ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm tam giác ABC ( ABC đều nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC trùng nhau) Ta có , , SH ABC SA ABC SA HA SAH Gọi I là trung điểm của BC , khi đó tam giác ABC đều cạnh 3a nên: 3 3 2 3 2 3 a AI AH AI a . Xét tam giác SAH ta có: 3 3 cos 30 2 2 AH a SAH SAH SA a . Vậy , 30 SA ABC . b) Chọn D. Ta có , , HI BC SBC ABC SI AI SIA . Ta có: 2 2 2 2 2 3 3 2 2 SH SA AH a a a AH a HI 2 3 tan 3 3 2 SH a SIA IH a Câu 31. a) Chọn C. Ta có SI AB SI ABCD . Do SAB đều cạnh a 3 2 a SI Có: DA AB DA SAB DA SI hay SAD SAB Do đó, góc tạo bởi BD và mặt phẳng SAD khi xét trong hình chóp . D SAB thuộc trường hợp 2 – là góc tạo bởi cạnh bên và mặt đứng. Nên ta dựng BH SA H SA I H 3a 2a A C B S I K N H A B M C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 64 Góc trong không gian Suy ra , , BD SAD BD DH BDH . Ta có 2 BD a và 2 2 2 2 3 3 5 2 2 4 2 a a a BH DH BD BH a Khi đó 5 10 cos : 2 2 4 DH a BDH a BD b) Chọn A. Gọi M là trung điểm của BC và K là giao điểm của DM và CI khi đó BIC CMD ICB MDC . Mà 90 90 DCK ICB DCK CDM DM CI . Vậy DM CI DM SCI DM SI hay . DK SCI Suy ra 2 2 2 SD SA AD a . Ta có: 2 2 2 2 5 2 2 a a D M C D CM a Khi đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 . . 2 5 5 5 5 CD a a a CD DK DM DK a SK SD DK a DM a Xét tam giácSDK ta có: 6 15 cos 5 5. 2 SK a DSK SD a c) Chọn B. Dựng điểm N sao cho A là trung điểm của IN , khi đó ICDN là hình bình hành. Suy ra / / IC ND . Suy ra , , IC SD DN SD Ta có 5 2 a DN CI DM và 2 2 2 2 3 7 4 2 a a SN SI IN a Áp dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác SND ta có : cos 2 2 2 2 2 2 5 7 2 3 10 3 10 4 4 0 cos , 2. . 20 20 5 2. 2. 2 a a a SD DN SN SDN IC SD SD DN a a Câu 32. Chọn D. Do SA SB SC SI ABC (SI là trục của tam giác ABC ) hay SBC ABC . Khi đó góc tạo SA và mặt phẳng SBC là góc tạo bởi cạnh bên và mặt đứng. Khi đó, kẻ , AH BC H BC SA SBC ASH Góc tạo bởi SI và mặt phẳng SAC là góc tạo bởi chiều cao và mặt bên . Khi đó, kẻ , 30 IJ AC J AC SI SAC ISJ I H B A J C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 65 Góc trong không gian +) Ta có 2 2 2 2 3 2 2 2 2 a a a SI SC CI Xét SIJ ta có : 2 3 6 tan 30 . 2 3 6 a a IJ SI +) IJ là đường trung bình ABC nên suy ra 6 2 3 a AB IJ 2 2 2 2 6 3 3 3 a a AC BC AB a , khi đó 6 3 . . 2 3 3 3 a a AB AC a AH BC a . Suy ra 2 2 2 2 3 2 19 4 9 6 a a a SH SA AH +) Xét tam giác vuông SHA ( vuông tại H ) ta có: 19 57 6 cos 9 3 2 a SH ASH SA a . Câu 33. Chọn B. Do . S ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD . Gọi P là trung điểm của AO. Khi đó / / MP SO MP ABCD . Suy ra , 60 . MN ABCD MNP Xét NCP , ta có: 2 2 2 2 5 2 . cos 45 8 a PN CN CP CN CP . 10 4 a PN . Trong tam giác vuông MNP ta có: 10 10 4 cos60 2 cos 30 30 tan 2 4 2 a PN a MN MNP a a PM NP MNP SO PM . Gọi H là trung điểm của OC . Suy ra / / NH BD mà BD SAC NH SAC . Do đó , MN SAC NMH . Ta có 1 2 2 10 5 sin : 2 4 4 2 10 a NH a a NH OB NHM MN . Câu 34. Chọn B. H O P M A D C N B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 66 Góc trong không gian Do góc tạo bởi ' MC và mặt phẳng ' ' BCC B có chính là góc tạo bởi ' M C và mặt bên ' C BC khi xét trong hình chóp '. C MCB . Do đó kẻ MH BC H BC . Tam giác ABC đều cạnh a nên: 2 2 3 ' ' 2 a CM C M CM CC 2 2 3 5 3 2 2 a a a Có: 2 2 3 .sin .sin 60 ' ' 2 4 a a MH MB ABC C H C M MH 2 2 15 3 57 2 4 4 a a a Trong tam giác vuông ' C MH ta có: tan =tan 3 57 1 ' : ' 4 4 19 MH a a MC H C H Câu 35. Chọn A. Kẻ AI MD I MD , suy ra góc tạo bởi SDM và ABCD là góc SIA Ta có 2 . 3 2 2 2 ABCD AMD S AB AD a S và 2 2 2 2 2 2 3 13 2 2 2.S 6 13 13 7 13 13 AMD a a MD CD CM a a AI MD a SI SA AI Xét tam giác SAI , ta có : 6 cos 7 AI SIA SI Câu 36. Chọn C. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Hạ ' ' ' OH A C H A C H A C . Khi đó : ' ' ' A C OH A C BDH A C BD Vậy ' , ' , BA C DA C HB HD Trong tam giác vuông ' A BC có C' M A C H B B' A' A I M B C D S B' C' H O A B C D D' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 67 Góc trong không gian ' 2. . ' . 2 6 ' ' 3 3 A BC S BC A B a a a BH A C A C a Tương tự ta có 6 3 a DH . Trong tam giác BHD , áp dụng định lí cosin ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 cos 2. . 2 2 2. 3 a a a BH DH BD BHD BH DH a Suy ra 120 , 60 BHD HB HD . Vậy ' , ' 60 BA C DA C Câu 37. Chọn A. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và G là trọng tâm tam giác SAC Đường thẳng qua G song song với BM cắt BC ở F Đường thẳng qua G song song với DN cắt AD ở E Ta có 2 1 2 2 EA ED BF GM GN ED FC FB FC GC GA EA Suy ra EF đi qua tâm của hình vuông ABCD và O là trung điểm của đoạn EF . Từ , 60 , 60 BM ND GE GF 60 120 EGF EGF + Với 60 EGF Ta có GEF cân tại G , suy ra GEF cân tại G , suy ra GEF đều 3 2 GO E F Hình vuông ABCD có cạnh a nên ta dễ dàng tính được 10 3 a EF Suy ra chiều cao của chóp: 3 10 30 3 3. . 2 3 2 a SO GO a + Với 120 EGF . Ta có GEF cân tại G , suy ra 1 10 30 3 6 2 3 6 3 a a GO EF SO GO Do 30 30 30 2 6 2 a a a h . Câu 38. Chọn D. Cách 1: Kéo dài ' B I cắt BC tại M , khi đó , ' , ABC AB I ACM AIM Ta có CI ACM , do đó ta có cách dựng góc giữa hai mặt ACM và AIM như sau: Dựng , CH AM H AM ACM AIM CHI O N E G M A D F C B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 68 Góc trong không gian Ta có / / ' 1 ' 2 CI BB C CI BB là trung điểm của BM 2 1 3 . .sin 2 4 ACM ABC a S S AB AC BAC Ta có 2 2 2 2 2 2 . .cos 3 2 2 3 CM CB AB AC AB AC BAC a BM BC a Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 7 7 2 4 2 AB AM BM a AM AC a a AM a AM a Suy ra 2 2 2 2 2 2 2. 3 21 21 70 14 4 14 14 2 7 ACM S a a a a a CH IH CI CH AM a Xét tam giác ICH ta có: 21 14 30 cos . 14 10 70 CH a CHI IH a . I C A' A H M B B' C'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 69 Khoảng cách trong không gian Chuû ñeà 2 KHOAÛNG CAÙCH trong khoâng gian A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Các dạng khoảng cách trong không gian Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH , với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a . Kí hiệu: , d M a MH . Dạng 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là MH , với H là hình chiếu của M trên mặt phẳng . Kí hiệu: , d M MH . Dạng 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia. , , d a b d M b MH M a (Quy về bài toán dạng 1) Dạng 4: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng : , , d a d M MH M a (Quy về bài toán dạng 2) Dạng 5: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. , , , , d d a d A AH a A a (Quy về bài toán dạng 2) Dạng 6: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. o Đường thẳng c cắt hai đường thẳng , a b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của , a b . IJ gọi là đoạn vuông góc chung của , a b . o Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó: , d a b IJ o Nếu ta dựng 2 mặt phẳng , lần lượt chứa 2 đường thẳng chéo nhau , a b và song song với nhau thì: , , d a b d . b a α M H α M H H M α a β a K H B A α a H M αBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 70 Khoảng cách trong không gian Nhận xét: Tất cả các dạng toán tìm khoảng cách ở trên đều đưa về về hai bài toán tìm khoảng cách cốt lõi nhất đó là: tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. B. GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Và bây giờ, chúng ta sẽ đi sâu vào các bước (quy trình) để giải 1 bài toán khoảng cách với các dạng toán khoảng cách cơ bản nhất. DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1. PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước Cách 1: Bước 1. Trong mặt phẳng , M d hạ MH d với . H d Khi đó: , . d M d MH Bước 2. Tính toán tìm độ dài MH Chú ý: Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì: , , . d M d d A d AK A d Nếu / / MA d hay , , d M d d A d , ta có thể thay vì tìm , d M d ta sẽ tìm , d A d với , d A d dễ tính toán hơn, từ đó suy ra , d M d . Nếu MA d I , thì: , , d M d MI AI d A d (áp dụng định lý Ta-lét) Cách 2: Bước 1. Dựng (tìm) mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d . Bước 2. Tìm giao điểm H d . Lúc này H chính là hình chiếu của M trên đường thẳng d . Suy ra: , . d M d MH Bước 3. Tính toán tìm độ dài MH . c I b a J J I b a α β I d A M M d K A a α M H a H M d αBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 71 Khoảng cách trong không gian 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho hình chóp . A BCD có AC BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng . a Biết 2 AC a và M là trung điểm của . BD a) Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: A. 3 a 2 2 B. 2 3 3 a C. 4 5 3 a D. 11 2 a b) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng: A. 2 3 a B. 6 11 a C. 7 5 a D. 4 7 a Lời giải: Vì BCD đều cạnh a có đường trung tuyến nên 3 ; 2 a CM BD CM . a) Chọn D. Ta có: BD CM và BD AC do AC BCD BD ACM BD AM Vì , AM BD d A BD AM 2 2 2 2 3 11 , 2 2 2 a a d A BD AC CM a b) Chọn B. Trong , ACM kẻ , CH AM H AM . Khi đó: 3 2. . 6 2 , 11 11 2 a a AC CM d C AM CH a AM a Bài toán 2: Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều tâm , O cạnh , a hình chiếu của ’ C trên mp ABC trùng với tâm của đáy. Cạnh bên ’ CC hợp với mp ABC góc 0 60 . Gọi I là trung điểm của . AB Tính các khoảng cách: a) Từ điểm O đến đường thẳng ’ CC A. 2 a B. 3 2 a C. 4 a D. 3 a b) Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng ’ IC A. 2 13 3 a B. 3 13 13 a C. 3 3 a D. 13 3 a c) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ’ ’ A B A. 2 7 3 a B. 7 3 a C. 7 2 a D. 7 4 a Lời giải: a a 2 H C B M D ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 72 Khoảng cách trong không gian a) Tính , d O CC - Chọn A. Ta có: ' C O ABC OC là hình chiếu của CC lên ABC 0 ', ' 60 CC ABC C CO Trong mp ’ C CO dựng ' OH CC tại H ta được: , ' d O CC OH . Xét COH có: 2 3 2 3 3 .sin60 . . . 3 2 3 2 2 2 a a OH OC CI Suy ra: , ' 2 a d O CC . b) Tính , ' d C IC - Chọn B. Trong mp ’ C IC dựng ' CK IC tại K ta được: , ' d C IC CK Xét '. ' '. . ' ' OC CI CIC OC CI CK IC CK IC Mà 3 3 ' .tan 60 . 3 ; 3 2 a a OC OC a CI ; 2 2 2 2 2 2 13 ' ' 12 12 a a IC IO OC a Nên 3 . 3 3 13 2 , ' 13 13 13 2 3 a a a a d C IC CK a . c) Tính , ' ' d O A B - Chọn C. Vì ' / / ' ' ' ' ' ' ' C O ABC A B C OC A B C . Gọi J là trung điểm của ' ' A B ' ' ' ' ' ' ' ' C J A B A B C OJ A B (định lí 3 đường vuông góc) Tức là: , ' ' d O A B OJ Xét 2 2 2 2 3 7 ' ' ' 4 2 a a OC J OJ OC C J a Tức là: 7 , ' ' 2 a d O A B . Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng ; a góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khi đó, khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng: A. 2.cot a B. 2.tan a C. 2 .cos 2 a D. 2 .sin 2 a Lời giải: Chọn D. Giả sử, hình chóp tứ giác đều là . S ABCD với đáy ABCD có tâm , O cạnh bằng a . A B C C' B' A' K J I O a a a 60° HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 73 Khoảng cách trong không gian Vì OD là hình chiếu của SD lên ABCD nên , , SD ABCD SD OD SDO Trong , SBD kẻ , OH SD H SD . Khi đó, khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên là , d O SD OH . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BD BC CD a a a OD Xét OHD vuông tại , H ta có: 2 sin .sin .sin 2 OH a OH OD OD Bài toán 4: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng . a Khoảng cách từ D đến đường thẳng SB bằng: A. a B. 2 a C. 3 a D. 3 2 a Lời giải: Chọn A. Gọi H là giao điểm của AC và . BD AB BC CD DA a ABCD là hình thoi. Do đó AC BD đồng thời H là trung điểm của AC và . BD SAC cân tại S SH AC (1) SBD cân tại S SH BD (2) Từ (1) và (2) suy ra: SH ABCD (3) Vì SA SB SC SD nên HA HB HC HD . Suy ra ABCD là hình vuông (tứ giác đều) (4) Từ (3) và (4) ta được . S ABCD là hình chóp tứ giác đều. Xét SBD ta có: 2 2 2 , 2 SA SB a BD a BD SB SD . Thế nên SBD vuông tại S. Suy ra DS SB . Vậy , d D SB DS a . Bài toán 5: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SA ABCD và 2 SA a . Gọi O là tâm của hình vuông , ABCD khi đó khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SC bằng: A. 3 3 a B. 3 4 a C. 2 3 a D. 2 4 a Lời giải: Chọn A. Trong , SAC kẻ , AH SC H SC và , OK SC K SC Khi đó: O, d SC OK H C D A B S S O C D A B H a a αBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 74 Khoảng cách trong không gian Trong , SAC ta có: / / AH SC AH OK OK SC Xét AHC , có / / AH OK HK KC AO OC OK là đường trung bình của AHC . 2 2 1 . . 2 2 AH SA AC OK SA AC 2 2 1 2 . 2 3 , . 2 3 2 2 a a a d O SC OK a a Bài toán 6: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a . Gọi E là trung điểm của cạnh . CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE A. 2 5 5 a B. 5 3 a C. 5 5 a D. 3 5 5 a Lời giải: Chọn D. Ta có: SA ABCD SA BE , trong mặt phẳng ABCD dựng AH BE tại H , BE SAH BE SH d S BE SH Ta có: 2 1 1 1 . . . 2 2 2 2 ABE a S AB EF a a AH BE Mà 2 2 2 2 5 4 2 a a BE BC CE a Nên 2 2 5 a a AH BE , mà SAH vuông tại A, nên: 2 2 2 2 4 3 3 5 5 5 5 a a a SH SA AH a Vậy 3 5 , 5 a d S BE . Bài toán 7: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a tâm , O SA ABCD , SA a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của . AB Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM A. 2 5 a B. 3 17 a C. 30 10 a D. 3 7 a Lời giải: Chọn C. Vì IO là đường trung bình của tam giác SAC / / IO SA H K a a 2a O A B C D S H A F B C a a a E D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 75 Khoảng cách trong không gian Nên IO ABCD IO CM . Dựng OK CM K CM CM IOK CM IK . Tức là: , d I CM IK . Mà 2 2 2 2 4 a IK OI OK OK Do 1 . 2 OMC S OK MC 2 2 2 2 2 2 2 8 4 2 2 5 4 OMC a a a S a OK MC a a Suy ra 2 2 6 30 4 20 10 2 5 a a a a IK . Bài toán 8: Hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , A 2 BC a , 60 ABC . Gọi M là trung điểm cạnh BC và 5 SA SC SM a . Khoảng cách từ S đến cạnh AB là: A. 17 4 a B. 19 2 a C. 19 4 a D. 17 2 a Lời giải: Chọn B. Do SA SC SM nên chân đường cao hình là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC . Góc 120 AMC , nên H ở ngoài tam giác AMC Và dễ dàng chứng minh được HAM và ABM là hai tam giác đều cạnh . a Từ H kẻ HK AB , lại có AB SH tại K AB SHK AB SK SK là khoảng cách từ S đến cạnh . AB Ta có: HM AM a 2 2 2 2 5 2 SH SM HM a a a 3 2 a HK MI 2 2 2 2 2 3 19 19 4 4 4 2 a a a SK SH HK a . 60° H K A I B M C S K H M C A I B 60° S D C B M A O K I a a aBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 76 Khoảng cách trong không gian DẠNG 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Nhắc lại: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là MH , với H là hình chiếu của M trên mặt phẳng . Kí hiệu: , d M MH . 1. PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Tìm khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng Như vậy, muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng. Việc xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách sau: Cách 1: Bước 1. - Tìm hình chiếu H của O lên . - Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với . - Tìm . - Trong mặt phẳng , kẻ OH tại . H H là hình chiếu vuông góc của O lên . Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến . Lưu ý: Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với . Cách 2: Nếu đã có trước đường thẳng d thì kẻ / / Ox d cắt tại H . Lúc đó, H là hình chiếu vuông góc của O lên , . d O OH Một số chú ý và thủ thuật giải khoảng cách quan trọng: Nếu / / OA thì: , , d O d A . Nếu OA cắt tại I thì: , , d O OI AI d A (định lý Ta-lét) Chú ý đến việc đưa bài toán tìm khoảng cách từ một điểm (đề bài cho) bất kỳ đến một mặt phẳng về bài toán tìm khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đó và tìm mối liên hệ giữa hai khoảng cách này. Từ đó suy ra được khoảng cách theo yêu cầu của đề bài. (α) I A O K H α K A α O H O A I α M H β α O H d H O αBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 77 Khoảng cách trong không gian Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau: Cho hình chóp có đỉnh S có các cạnh bên có độ dài bằng nhau: ... SA SB SC SD . Khi đó hình chiếu O của S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đi qua các đỉnh ( , , , ,... A B C D ) nằm trên mặt đáy. Nếu đáy là: + Tam giác đều, O là trọng tâm + Tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền. + Hình vuông, hình chữ nhật, O là giao điểm của 2 đường chéo đồng thời là trung điểm mỗi đường. Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách: Đưa bài toán khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của khối đa diện mà khối đa diện đó có thể xác định được dễ dàng thể tích và diện tích đáy. Phương pháp này được sử dụng trong trường hợp không thể tính được khoảng cách bằng cách công cụ tính toán như: định lý Pytago, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý cô-sin,... + 1 3 . 3 V V S h h S : V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều của hình chóp. + . V V S h h S : V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ. Nếu tứ diện OABC có các cạnh , , OA OB OC đôi một vuông góc thì: 2 2 2 1 1 1 , d O ABC OA OB OC Các bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng hay gặp 1. Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên (SAB). + Kẻ , HI AB I AB . Vì ; 1 AB SH AB HI AB SHI + Kẻ , HK SI K SI . Từ 1 HK AB Do đó: , . HK SAB d H SAB HK 2. Khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới mặt đứng (chứa đường cao) Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên (SHB). + Kẻ AK HB + AK HB AK SHB AK SH , d A SHB AK I K H B A S K H A B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 78 Khoảng cách trong không gian 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2 AD a ; SA vuông góc với đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD bằng A. 3 2 2 a B. 2 3 3 a C. 2 5 a D. 3 7 a Lời giải: Chọn C. Trong , SAD kẻ , AH SD H SD . Vì AH SAD CD AD SA SAD CD AH CD SA Vì AH SD AH SCD AH CD 2 2 2 2 . .2 , 4 SA AD a a d A SCD AH SA AD a a 2 , 5 a d A SCD Bài toán 2: Cho khối chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại , B , 2 BA a BC a , 2 SA a , SA ABC . Gọi K là hình chiếu của A trên . SC Tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng SAB A. 8 9 a B. 9 a C. 2 9 a D. 5 9 a Lời giải: Chọn A. Ta có: SA ABC SA BC 1 ABC vuông tại B BC AB 2 Từ 1 và 2 / / BC SAB Trong mp SBC kẻ / / KH BC H SB , KH SAB d K SAB KH Ta có: 2 2 2 2 4 5. AC AB BC a a a 2 2 2 2 4 5 3 . SC SA AC a a a 2 2 2 4 4 . . 3 3 SA a a SA SK SC SK SC a Vì / / KH BC nên 4 .2 . 8 3 . 3 9 a a KH SK SK BC KH a BC SC SC a 2a a A B C H D S H A B C K SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 79 Khoảng cách trong không gian Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2 a . a) Khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên SCD bằng: A. 3 2 a B. 2 3 a C. 2 5 3 a D. 5 2 a b) Khoảng cách từ A đến một mặt bên SCD bằng: A. 3 a B. 2 6 a C. 2 2 3 a D. 2 5 2 a Lời giải: a) Chọn B. Vì O là tâm của đáy của hình chóp tứ giác đều . S ABCD nên 2 SO ABCD SO a . Gọi M là trung điểm của CD 2 2 OM CD BC a OM , lại có: SO CD CD SOM 1 Trong , SOM kẻ 1 OH SM . Vì 2 OH SOM OH CD . Từ 1 và 2 2 2 . . , OS OM OS OM OH SCD d O SCD OH SM OS OM Vậy 2 2 2. 2 2 , 3 2 2 a a a d O SCD a a b) Chọn C. Ta có: , 2 , d A SCD CA AO SCD C CO d O SCD 2 2 , 2. , 3 a d A SCD d O SCD H O A B M C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 80 Khoảng cách trong không gian Bài toán 4: Cho hình hộp đứng . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy là hình vuông, tam giác ' A AC vuông cân, ' . A C a Tính theo a khoảng cách h từ A đến mặt phẳng ' . BCD A. 6 3 a h . B. 3 6 a h . C. 3 3 a h . D. 6 6 a h . Lời giải: Chọn D. Do tam giác ' A AC vuông cân, suy ra: ' ' ' 2 2 A C a AC AA DD . Do / / / / ' AD BC AD BCD . , ' , ' (1) d A BCD d D BCD Kẻ ' ( ' ) DH D C H D C DH BCD , ' (2) d D BCD DH A AC vuông cân tại ' 2 a A AC A A Ta có ABCD là hình vuông nên 2 2 AC a DC . Xét tam giác ' C D D ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 6 6 (3) 6 ' a DH DH DD DC a a a Từ (1), (2), (3) suy ra: 6 , ' . 6 a d A BCD Bài toán 5: Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC vuông tại , A AB AC a , I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của , BC mặt phẳng SAB tạo với đáy 1 góc bằng 0 60 . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB theo . a A. 3 5 a B. 5 4 a C. 3 4 a D. 3 2 a Lời giải: Chọn C. Gọi K là trung điểm của AB 1 HK AB Vì SH ABC nên 2 SH AB Từ 1 và 2 AB SK Do đó: 0 , , 60 SAB ABC SK HK SKH Ta có: 3 tan 2 a SH HK SKH Vì / / IH SB nên / / IH SAB , , d I SAB d H SAB M H I C A K B S H C' D' A D C B B' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 81 Khoảng cách trong không gian Từ H kẻ HM SK tại M , HM SAB d H SAB HM Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 16 3 4 3 3 a HM HM HK SH a a a . Vậy 3 , 4 a d I SAB . Bài toán 6: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , A 0 30 ABC , tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng: A. 39 26 a B. 39 13 a C. 13 13 a D. 13 26 a Lời giải Chọn B. Gọi H là trung điểm của BC . Vì SBC đều, suy ra SH BC mà SBC ABC SH ABC Vì , 2 , d C SAB CB CH SAB B HB d H SAB , 2 , d C SAB d H SAB Gọi E là trung điểm của AB / / HE AC HE AB Trong , SHE kẻ , HK SE K SE (1) Vì HK SHE AB HE AB SHE AB HK AB SH (2) Từ (1) và (2) , HK SAB d H SAB HK Ta có: 3 2 .sin 2 2 4 a SH AC BC ABC a HE Xét SHE vuông tại H có đường cao , HK ta có: 2 2 . 39 26 SH HE a HK SH HE . Vậy 39 , 2 , 2 13 a d C SAB d H SAB HK . Bài toán 7: Cho hình chóp . S ABC có , 2 , 60 SB a SC a BSC . Gọi M là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC và 2 AM a . Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm thuộc đường thẳng AM , góc tạo bởi SB và đáy ABC bằng 30 . Tính khoảng cách h từ điểm A tới mặt phẳng . SBC A. 2 h a . B. h a . C. 2 h a . D. 3 h a . 30° K H E C A B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 82 Khoảng cách trong không gian Lời giải: Chọn B. Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mp ABC . Do , 30 . SH ABC SB ABC SBH Khi đó .sin .sin 30 . 2 a SH SB SBH a Áp dụng định lí cosin trong tam giác SBC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 . .cos60 5 2 3 3 BC SB SC SB SC a a a BC a . Cách 1: Suy ra 2 1 . 3. 2 ABC S AM BC a Khi đó 3 1 3 . 3 6 SABC ABC a V SH S . Mặt khác 2 1 1 3 . .sin .2 .sin60 . 2 2 2 SBC a S SB SC BSC a a Suy ra . 3 , . S ABC SBC V h d A SBC a S Cách 2: Kẻ . HK SM Chứng minh được , HK SBC d H SBC HK Do , . , . MA MA AH SBC M d A SBC d H SBC HK MH MH . Ta có . SH MH HK SM , suy ra: . . , . 1 MA SH MH MA SH d A SBC MH SM SM Mặt khác 3 .2 . 2 . .sin 60 2 . 3 SBC a a S SB SC SM a BC BC a Mà 2 , 2 2 a MA a SH Từ (1) và (2) ta được 2 . 2 , . a a h d A SBC a a Bài toán 8: Cho hình chóp . S ABCD đáy là hình thang, 0 90 ABC BAD , BA BC a , 2 AD a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2 SA a . Gọi H là hình chiếu của A lên . SB Tính (theo a ) khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD . A. 5 3 a B. 4 3 a C. 2 3 a D. 3 a Lời giải: Chọn D. Gọi I là trung điểm . AD Ta có 2 AD CI IA ID , suy ra ACD vuông tại C CD AC 1 Mà SA ABCD SA CD 2 H A B K M C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 83 Khoảng cách trong không gian Từ 1 và 2 CD SAC CD SC hay SCD vuông tại C . Gọi 1 2 , d d lần lượt là khoảng cách từ , B H đến mp SCD Ta có: SA SB SAB SHA SH SA ∽ 2 2 2 2 3 SA SH SA SH SB SB SB mà 2 2 1 1 2 2 3 3 d SH d d SB d Thể tích khối tứ diện . : S BCD 3 1 1 1 2 . . . . 3 3 2 6 SBCD BCD a V SA S SA BC AB Ta có: 2 2 2 SC SA AC a , 2 2 2 1 2 . 2 2 SCD CD CI ID a S SC CD a Ta có: 3 . 1 1 2 2 3. 1 6 . 3 2 2 S BCD SCD a a V d S d a Vậy khoảng cách từ H đến mp SCD là 2 1 2 3 3 a d d . Bài toán 9: Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và , 2 . AB a BC a Biết hình chiếu của ' B lên mặt phẳng ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và góc giữa đường thẳng ' CC và mặt phẳng ' ' ' A B C bằng 0 60 . Tính theo a khoảng cách h từ B đến mặt phẳng ' . B AC A. 2 39 13 a h . B. 39 13 a h . C. 13 3 a h . D. 2 13 3 a h . Lời giải: Chọn A. Gọi H là trung điểm của . BC Do tam giác ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ' . B H ABC Do ' BH B AC C , ' , 'AC d B B AC BC HC d H B , ' , 'AC 2 , ' (1) BC d B B AC d H B HC d H B AC Kẻ ( ), ' ( ' ) HI AC I AC HK B I K B I . Suy ra: , ' (2). d H B AC HK I A H B C D S 2 1 d d D C S B H K H B A' I C A C' B'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 84 Khoảng cách trong không gian Do 0 '/ / ' ', ', ' ' ' 60 . ' ' ' / / CC BB BB ABC CC A B C A B C ABC Khi đó 0 ' .tan ' .tan 60 3. B H BH B BH a a Ta có / / HI BA (cùng vuông góc với AC ), suy ra: . 2 2 AB a HI Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 13 39 (3) 13 3 3 a HK HK SH HI a a a . Từ (1), (2), (3) suy ra 2 39 , ' . 13 a h d B B AC Bài toán 10: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA a . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SAC bằng 0 30 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng SBM với M là trung điểm . CD A. 3 a B. 2 3 a C. 4 3 a D. 5 3 a Lời giải: Chọn A. Gọi O là giao điểm của AC và . BD Ta có: DO AC DO SAC DO SA Hình chiếu vuông góc của DS lên SAC là , SO góc giữa SD và SAC là 0 30 DSO . Gọi N là trung điểm của AB / / DN BM Suy ra 1 ; ; A; 2 d D SBM d N SBM d SBM Kẻ , AI BM AH SM . Từ đó chứng minh được AH SBM ; d A SBM AH Đặt DO x , ta có 0 .cot .cot 30 3 SO DO DSO x x Từ 2 2 2 2 a SO AO SA x Trong ABCD : 2 1 . . 2 2 ABM a S MN AB Mà 1 2 . 2 5 ABM a S AI BM AI Khi đó: 2 2 2 1 1 1 ; 3 3 a AH a d D SBM AH AI SA . I O H A N B C M D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 85 Khoảng cách trong không gian Bài toán 11: Hình hộp đứng . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có đáy là hình thoi cạnh , a góc 0 60 BAD đồng thời ' AA a . Gọi G là trọng tâm tam giác . BCD Khoảng cách từ G tới mặt phẳng ’ A BD bằng A. 2 21 7 a B. 2 7 7 a C. 21 7 a D. 21 21 a Lời giải: Chọn D. Vì , ' 1 ' 3 , ' d G A BD GO AG A BD O AO d A A BD 1 , ' , ' 3 d G A BD d A A BD Vì ' 1 ' BD AC BD AA O BD AA Trong ’ , AA O kẻ 'O, ' 2 AH A H A O . Từ 1 , 2 3 AH BD Từ 2 , 3 , AH A BD d A A BD AH 2 2 1 '. , ' 3 3 ' AA AO d G A BD AH AA AO Tam giác ABD cân có 0 60 BAD ABD đều có cạnh bằng a 3 2 a AO Vậy 2 2 2 2 3 . '. 21 2 , ' 21 3 ' 3 3 2 a a AA AO a d G A BD AA AO a a . Bài toán 12: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ABCD và 3 SA a . Gọi I là hình chiếu của A lên . SC Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với , SB SD cắt , BC CD tại , . P Q Gọi E là giao điểm của tia QP với . AB Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng . SBD A. 3 21 35 a B. 21 9 a C. 3 21 7 a D. 21 7 a Lời giải: Chọn A. Gọi O là tâm của hình vuông . ABCD Ta có , A E ở hai phía của SBD và AE SBD B . Gọi 1 , d d lần lượt là khoảng cách từ , E A đến mp SBD . H C' D' G O B C D A A' B'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 86 Khoảng cách trong không gian Ta có: 1 1 d EB EB d d d AB AB Qua A dựng AH SO .Dễ dàng chứng minh được AH BD . Khi đó 1 , AH d A SBD d Trong tam giác vuông , SAC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 5 2 3 CI SC AC IC AC SC SC AC AB BC SA AC SA AB BC a a a + CBS có 2 2 3 / / 5 3 2 IP CP CP BP IP SB SB CB BP CP + CSD có 2 2 / / 5 5 CQ IC CQ CQ IQ SD CD SC CD AB + 3 3 3 2 3 / / . . 2 2 2 5 5 EB BP EB CQ EB CQ AB AB CQ PC 1 3 3 5 5 EB d d AB + Tính AH : Tam giác SAO vuông tại , A khi đó 2 2 2 2 2 1 1 1 3 21 7 7 a a AH AH AH SA AO Vậy 1 3 3 3 21 3 21 . . 5 5 5 7 35 a a d d AH B 1 d d E A S D Q C P E B A H I OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 87 Khoảng cách trong không gian DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. PHƯƠNG PHÁP Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng . , , d a d M MH M a Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. , , , , d d a d A AH a A a Kết luận: Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đều quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đã đề cập ở dạng toán 2 phía trên. Do đó, việc cần làm là chọn điểm trên đường hoặc trên mặt sao cho việc xác định khoảng cách là đơn giản nhất. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng . a Hình chiếu vuông góc của A trên ’ ’ ’ mp A B C trùng với trung điểm của ’ ’. B C a) Tính khoảng cách từ ’ AA đến mặt bên ’ ’ BCC B A. 3 4 a B. 3 3 a C. 3 2 4 a D. 3 2 a b) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ A. 4 a B. 2 a C. 2 4 a D. 5 2 a Lời giải: a) Chọn A. Ta có: '/ / ' ' ' AA BB BCC B '/ / ' ' AA BCC B Gọi I là trung điểm của B C . A I B C ( A B C đều) Lại có: AI B C (gt). Suy ra: B C AA I Kẻ IJ AA . Suy ra IJ B C 1 IJ AA mà / / 2 AA BB IJ BB H M α a β a K H B A α a a a B a J I A' B' C' C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 88 Khoảng cách trong không gian Từ 1 và 2 IJ BCC B ', ' ' , ' ' d AA BCC B d I BCC B IJ Trong . ' ' . ' . ' ' AI A I AA I IJ AA AI A I IJ AA . Dễ thấy 3 ' 2 a A I , 2 2 2 2 3 ' 4 2 a a AI AA AI a . Suy ra: 3 . 3 2 2 4 a a a IJ a . Vậy 3 ', ' ' 4 a d AA BCC B . b) Chọn B. Hai đáy của lăng trụ song song nên , ' ' ' , ' ' ' d ABC A B C d A A B C mà A ABC và ' ' ' , ' ' ' 2 a AI A B C d ABC A B C AI . Bài toán 2: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB a và SA ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AB và . CD Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SAD bằng: A. 2 2 a B. 3 3 a C. 2 a D. 3 a Lời giải: Chọn C. Vì / / / / MN AD MN SAD MN SAD , , d MN SAD d M SAD Vì , MA AD MA SAD d M SAD MA MA SA Vậy , , 2 2 AB a d MN SAD d M SAD MA Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng 3 a . Khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng SAB bằng: A. 3 2 a B. 3 4 a C. 3 a D. 3 3 a Lời giải: Chọn C. Gọi O là tâm của đáy 3 SO ABCD SO a Vì / / , , CD SAB d CD SAB d C SAB A B M N C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 89 Khoảng cách trong không gian Vì , 2 , d C SAB CA CO SAB A OA d O SAB , 2 , d C SAB d O SAB Gọi I là trung điểm của AB 2 OI AB BC OI a Trong , SOI kẻ OH SI , dễ dàng chứng minh được OH SAB 2 2 2 2 . . 3 3 , 2 3 SO OI a a a d O SAB OH SO OI a a Vậy 3 , 2 , 2. 3 2 a d C SAB d O SAB a Bài toán 4: Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh , a mặt bên SBC vuông góc với đáy . ABC Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , , . AB SA AC Tính khoảng cách giữa hai mp MNP và mp SBC A. 3 3 a B. 3 2 a C. 3 4 a D. 3 3 2 a Lời giải: Chọn C. Theo giả thiết, suy ra: / / / / / / / / MN SA SAC MN SAC NP SC SAC NP SAC Mà , , MN NP MNP MN NP N nên / / mp MNP mp SBC . Gọi H là trung điểm của BC AH BC (do ABC đều) Vì ; ABC SBC BC ABC SBC AH SBC AH ABC AH BC Gọi , K AH MP KH SBC d K SBC KH Vì / / mp MNP mp SBC và K MNP Do đó: 1 3 , , 2 4 a d MNP SBC d K SBC KH AH . a a a M K H N B A P C S A H I O B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 90 Khoảng cách trong không gian Bài toán 5: Cho hình lăng trụ tứ giác đều . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có cạnh đáy bằng . a Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , , ’ ’. AD DC A D Khoảng cách giữa hai mặt phẳng MNP và ’ ACC bằng: A. 3 3 a B. 4 a C. 3 a D. 2 4 a Lời giải: Chọn D. Ta có: / / ; / / MN AC MP AA . Suy ra / / ' MNP ACC , ' , ' d MNP ACC d M ACC Vì , ' 1 ' 2 , ; d M ACC MA DM ACC A DA d D ACC . 1 , ' , ' 2 d M ACC d D ACC Gọi O là tâm của đáy ABCD 2 2 2 DO AC BD a DO Vì ' , ' ' DO AC DO ACC d D ACC DO DO AA Vậy 1 1 2 2 , ' , ' , ' . 2 2 2 4 a a d MNP ACC d M ACC d D ACC . B C O A' B' C' P D' N M D ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 91 Khoảng cách trong không gian DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1. PHƯƠNG PHÁP Có 3 cách để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Cụ thể: a. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau bằng đường vuông góc chung Định nghĩa đường vuông góc chung Đường thẳng c cắt hai đường thẳng , a b và cùng vuông góc với mỗi đường ấy gọi là “đường vuông góc chung” của a và . b Đoạn thẳng AB gọi là đoạn vuông góc chung của a và . b Khi đó, độ dài đoạn vuông góc chung AB là khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau , . a b Kí hiệu: , d a b AB Các cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau , a b : Trường hợp a b : - Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B . - Trong dựng BA a tại A . AB là đoạn vuông góc chung. Trường hợp a và b không vuông góc với nhau. - Dựng mp chứa a và song song với b . - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM tại M - Từ M dựng / / b b cắt a tại . A - Từ A dựng / / AB MM cắt b tại . B AB là đoạn vuông góc chung. b. Tính khoảng cách hai đường chéo bằng cách quy về tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Cách làm: - Dựng (tìm) mặt phẳng chứa b và song song với . a - Khi đó: , , , d a b d a d A AH với A a c. Tính khoảng cách hai đường chéo bằng cách quy về tìm khoảng cách 2 mặt phẳng song song Cách làm: - Dựng hai mặt phẳng , sao cho / / a b . - Khi đó: , , , d a b d d M MH B a b A c b B a A α b' b a A M' M B α H b A a α H M β α a bBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 92 Khoảng cách trong không gian 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật với 2 2 , AD AB a SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SB tạo với mặt đáy ABCD một góc 0 60 . Khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và SC bằng: A. 21 7 a h . B. 21 14 a h . C. 2 21 7 a h . D. 3 21 14 a h . Lời giải: Chọn C. Ta có: 0 , , 60 . SB ABCD SB AB SBA Do / / / / AB CD AB SCD , , , d AB SC d AB SCD d A SCD 1 Ta có: CD SA CD SAD CD AD Trong SAD dựng AH SD H SD a AH SAD AH CD b Từ , a b AH SCD , d A SCD AH 2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 7 2 21 7 3 4 12 a AH AH SA AD a a a 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra: 2 21 , 7 a h d AB SC . Bài toán 2: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên tạo với đáy ABCD một góc 0 60 . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng: a) SA và CD A. 2 42 7 a h . B. 42 7 a h . C. 42 14 a h . D. 42 2 a h . b) SH và . CD A. h a . B. 3 3 a h . C. 2 3 a h . D. 2 a h . Lời giải: Do . S ABCD là hình chóp đều nên gọi . AC BD H SH ABCD Suy ra: 0 , 60 SB ABCD SBH . Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: 0 2 6 .tan60 2 2 2 AC a a BH AH SH BH a) Chọn B A B C H D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 93 Khoảng cách trong không gian Ta có: / / CD SAB , , , (1) d CD SA d CD SAB d C SAB Do CH SAB A , , 2 , 2 CA d c SAB d H SAB d H SAB HA Kẻ HI AB I AB , kẻ HE SI E SI , khi đó: , 3 d H SAB HE Ta có . 2 2 AD a HI Xét tam giác SHI ,ta có : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 14 42 4 14 3 3 a HE HE HI SH a a a Từ 1 , 2 , 3 , 4 ta suy ra 42 , 7 a h d CD SA . b) Chọn D. Do SH CD nên kẻ HM CD , khi đó , 2 2 HM SH AD a d SH CD HM HM CD . Bài toán 3: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh 17 , 2 a a SD , hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn . AB Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng HK và SD: A. 3 5 a h . B. 2 3 5 a h . C. 3 4 a h . D. 3 3 a h . Lời giải: Chọn A. Ta có . SH ABCD SH HD 2 2 2 2 2 2 2 2 17 3. 4 4 SH SD HD SD HA DA a a a a Do / / / / HK BD HK SBD , , , 1 d HK SD d HK SBD d H SBD Kẻ , HE BD E BD suy ra: SHE SBD và SHE SBD SE Kẻ , HF SE F SE khi đó: HF SBD Suy ra: , 2 d H SBD HF Xét tam giác , HEB ta có: 0 sin .sin 45 . 2 2 2 a a HE HB HBE E A I H B C M D S E B F H A K D C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 94 Khoảng cách trong không gian Xét tam giác , SHE ta có : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 25 3 3 5 3 3 a HF HF SH HE a a a Từ 1 , 2 , 3 suy ra: 3 , . 5 a d HK SD Bài toán 4: Cho hình lăng trụ . ABC A B C có các mặt bên đều là hình vuông cạnh . a Gọi , D E lần lượt là trung điểm của , BC A C . Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng . a) B C và . A B A. 2 21 . 7 a B. 21 . 7 a C. 21 . 14 a D. 21 . 21 a b) DE và AB A. 3 . 2 a B. 3 . 3 a C. 3 . 6 a D. 3 . 4 a Lời giải: Do lăng trụ . ABC A B C có các mặt bên đều là hình vuông cạnh . a Nên . ABC A B C là lăng trụ đứng với hai đáy là tam giác đều cạnh . a a) Chọn B. Ta có / / / / B C BC B C A BC , , , d B C A B d B C A BC d B A BC 1 Gọi A B AB I , , , BI d B A BC d A A BC d A A BC AI 2 Do ABC là tam giác đều cạnh . a 3 2 a AD với . AD BC D BC Kẻ AH A D .Dễ dàng chứng minh được AH A BC , d A A BC AH 3 Xét tam giác A AD ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 7 21 7 3 3 a AH AH AA AD a a a Từ 1 , 2 , 3 suy ra / 21 , 7 a d B C A B AH b) Chọn D. Gọi F là trung điểm của / / B C , khi đó / / / / / / / / EF A B EFD A B BA DE A B BA FD B B , , , . d DE AB d DE A B BA d D A B BA Kẻ , DK AB K AB khi đó , . d D A B BA DK Ta có 2 2 3 3 : . 4 4 ABC ADB S S a a DK a AB AB Vậy / 3 , 4 a d DE AB . I H K A B D C F B' C' E A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 95 Khoảng cách trong không gian Bài toán 5: Cho lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Điểm A cách đều ba điểm , , A B C . Góc giữa AA và mặt phẳng ABC bằng 0 60 . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng A B và CC A. 13 . 13 a h B. 3 13 . 13 a h C. 2 13 . 13 a h D. 2 39 . 13 a h Lời giải: Chọn B. Gọi H là trọng tâm tam giác , ABC M là trung điểm của BC Vì A cách đều ba điểm , , A B C nên hình chiếu của A lên ABC trùng với trong tâm H . 0 , 60 AA A A B H AB A AH C C Tam giác ABC đều cạnh a nên 3 3 a AH 0 3 ' tan ' tan 60 . 3 a A H AH A AH a Ta có : / / / / ' ' . CC AA CC ABB A , ; ; d A B CC d CC ABB A d C ABB A 1 Gọi ; ( ; 3 ; CN CH ABB A N d C ABB A d H ABB A d H ABB A HN 2 Dựng ' HK A N K AN . Ta có : AB NH AB A NH AB HK AB A H Lại có : A N HK HK A AB . Khi đó ; d H ABB A HK 3 Ta có 1 1 3 3 . . 3 3 2 6 a a HN CN Xét tam giác A HN , ta có : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 13 13 13 a HK HK A H HN a a a 4 Từ 1 , 2 , 3 , 4 suy ra : 3 13 ; 13 a h d A B CC . Bài toán 6: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 o . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng , SB AC . A. 2 10 . 5 a h B. 10 . 10 a h C. 5 . 2 a h D. 10 . 5 a h Lời giải : Chọn D. B' 60° a N H K A B M C C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 96 Khoảng cách trong không gian Ta có: SA ABCD , 45 . SC ABCD SCA o Suy ra SAC vuông cân tại A 2. SA AC a Dựng điểm E sao cho ACBE là hình bình hành Khi đó : / . / / / AC EB AC SBE , , , d AC SB d AC SBE d A SBE 1 Kẻ AI EB I EB , kẻ AH SI H SI Dễ dàng chứng minh được: AH SEB , d A SEB AH 2 o Tính : AI Cách 1: Tam giác ABE vuông cân tại A 1 1 . 2 2 2 a AI EB AC Cách 2: Tacó 2 2 . 2 2 ABCD AEB S S a a AI EB AC a Xét SAI , ta có : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 5 10 5 2 2 a AH AH SA AI a a a 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra 10 , . 5 a h d AC SB Bài toán 7: Cho hình chóp . S ABC có đáy A B C là tam giác vuông, cân tại , 2 B AB BC a ; hai mặt phẳng SAB SAC , cùng vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và A B C bằng 0 60 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và SN theo . a A. 2 39 . 13 a B. 39 . 13 a C. 13 . 13 a D. 13 . 26 a Lời giải : Chọn A. Ta có . SAB ABC SA ABC CB SAB SAC ABC Khi đó 0 , 60 SBC ABC SBA 0 tan 60 2 3. SA AB a Từ N kẻ đường thẳng , song song với . AB Kẻ , AI I trong mp SAI kẻ AH SI HI Ta có : AI SAI AH SA 45° a A H E I B C D S 60° 2a I H N A M B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 97 Khoảng cách trong không gian Kết hợp SI AH AH SIN , . d A SIN AH Ta có / / / / . AB IN AB SIN , , , 1 d AB SN d AB SIN d A SIN AH Ta có AINM là hình chữ nhật, nên . 2 BC AI MN a Xét tam giác SAI ta có : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 13 2 39 13 12 12 a AH AH AI AS a a a 2 Từ 1 , 2 suy ra 2 39 , . 13 a d AB SN Bài toán 8: Cho hình chóp . S ABCD,có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 3. AB a BD a Mặt bênSAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc cạnhSDsao cho 2 MD MS . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AD và MC . A. 21 . 14 a h B. 2 21 . 7 a h C. 3 21 . 14 a h D. 21 . 7 a h Lời giải: Chọn D. Gọi H là trung điểm của 3 ; 2 a AB SH AB SH . Do . SAB ABCD SAB ABCD AB SH ABCD SAB SH AB Ta có / / AD BC / / , ; ; . AD MBC d AD MC d AD MBC d A MBC Cách 1 : (Làm trực tiếp) Trong SAD , kẻ / / . MN DA N SA Ta có : . AD SA AD SAB MN SAB AD AB Kẻ , AE BN E BN Khi đó : AE MN MBC AE MBC AE BN MBC , . d A MBC AE Kẻ NK AB . Ta có : 2 2 2 2 2 3 3 . . 3 3 3 4 6 BNA BAS NA SH a a S S SA NK Áp dụng định lý cosin trong tam giác NBA , ta có: 2 2 2 2 2 2 0 4 2 7 7 2 . . 2. . . 60 . 9 3 9 3 a a a a BN AB AN AB AN cosNAB a a cos BN N E A K H B C D M SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 98 Khoảng cách trong không gian Suy ra 2 2 3 7 21 2. : . 6 3 7 BNA S a a a AE BN Vậy 21 , . 7 a h d A MBC Cách 2: Dùng kỹ thuật chuyển đỉnh Gọi , AC DH T khi đó T là trọng tâm của tam giác ABD Suy ra 2 / / DT DM MT SH TH MS . MT ABCD Kẻ , TI BC I BC kẻ , TK MI K MI dễ dàng chứng minh được: TK MBC , . d T MBC TK Mặt khác: AT MBC C 3 , , 2 AC d A MBC d T MBC TK TC Ta có: 2 2 2 . 3 3 3 TI CT a TI AB AB CA 2 2 2 3 3 . . 3 3 3 2 3 MT DM a a MT SH SH DS Xét tam giác MTI , ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 9 21 2 21 21 4 4 a TK TK MT TI a a a Suy ra 3 21 , . 2 7 a h d A MBC TK Bài toán 9: Cho hai tia chéo nhau , Ax By hợp với nhau góc 0 60 , nhận AB a làm đoạn vuông góc chung. Trên tia By lấy điểm C sao cho BC a . Gọi D là hình chiếu vuông góc của C lên Ax . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AC và BD . A. 93 . 31 a h B. 2 93 . 31 a h C. 2 31 . 31 a h D. 31 . 31 a h Lời giải : Chọn A. I K T A H B C D M S E y z x a a A H I D K C BBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 99 Khoảng cách trong không gian Dựng tia Az song song và cùng chiều với By , suy ra AB xAz Khi đó: 0 , , 60 . Ax By Ax Az xAz Qua B , dựng đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng Az tại điểm , E khi đó ACBE là hình bình hành. Do đó 0 , 120 AE BC a EAD và / / / / . AC BE AC BDE Suy ra , , , d AC BD d AC BDE d A BDE 1 Kẻ AI ED I ED và . AH BI H BI Dễ dàng chứng minh được AH BDE Suy ra , d A BDE AH 2 Dựng / / . CK Az K Az CK AB Suy ra . CK ADK CK AD Mặt khác CD AD (giả thiết), do đó: AD CDK AD DK hay tam giác ADK vuông tại . D Ta có ABCK là hình vuông nên 0 .cos60 . 2 a AK BC a AD AK Xét tam giác ADE , ta có: 2 2 2 2 2 0 2 1 7 7 2 . . 120 2 . . . 4 2 2 4 2 a a a a DE AE AD AE AD cos a a ED Ta có : 0 0 3 . . 1 1 . .sin120 3 2 2 . . .sin120 . 2 2 7 2 7 2 AED a a AE AD a S AI DE AE AD AI DE a Khi đó xét tam giác vuông , ABI ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 28 31 93 31 3 3 a AH AH AB AI a a a 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra: 93 , . 31 a d AC BD Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 100 Khoảng cách trong không gian C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại , B SA vuông góc với mặt phẳng . ABC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và . SC Mệnh đề nào sau đây sai A. , d A SBC AH B. , d A SBC AK C. C, d SAB BC D. S, d ABC SA Câu 2. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh . a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Gọi M là trung điểm của . CD Khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAB nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A. 2 2 a B. a C. 2 a D. 2a Câu 3. Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại , B SA vuông góc với đáy. Biết SA a và AB b . Khoảng cách từ trung điểm M của AC tới mặt phẳng SBC bằng: A. 2 2 ab a b B. 2 2 2ab a b C. 2 2 3ab a b D. 2 2 2 ab a b Câu 4. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy b và đường cao SH a . Khoảng cách từ H tới mặt phẳng SBC bằng: A. 2 2 2 12 ab a b B. 2 2 12 ab a b C. 2 2 ab a b D. 2 2 3ab a b Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 60 ABC . Mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho 2 MC MS . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAB bằng: A. 3 a B. 3 6 a C. 2 3 a D. 3 3 a Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 60 ABC . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho MB MC và 2 NC ND . Gọi P là giao điểm của AC và MN. Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng SAB bằng: A. 3 8 a B. 5 3 1 2 a C. 5 3 14 a D. 3 3 10 a Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy b và đường cao SO a . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng SCD bằng: A. 2 2 4 ab a b B. 2 2 3 4 ab a b C. 2 2 2 4 ab a b D. 2 2 2 4 ab a b Câu 8. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, bốn cạnh bên đều bằng 3a và , 3 AB a BC a . Khoảng cách từ S đến ABCD bằng: Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 101 Khoảng cách trong không gian A. 2 3 a B. 3 2 a C. 2 2 a D. 2 a Câu 9. Cho hình lăng trục . ’ ’ ’ ABC A B C có cạnh đáy bằng a và ' AA a . Tính ; d AB CC ? A. 2 3 a B. 2 a C. 2 2 a D. 3 2 a Câu 10. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại , B 2 2 SA AC a và SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng: A. 4 3 3 a B. 2 6 3 a C. 3 3 a D. 6 3 a Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABD. Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng SDG bằng 5 và 1 SG . Thể tích khối chóp đã cho là: A. 25 12 B. 4 3 C. 4 D. 12 25 Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a , 3 BC a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết 2 SB a . Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SBC . A. 3 5 a B. 2 3 5 a C. 5 5 a D. 2 5 5 a Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có . AD k AB . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là H thỏa mãn 2 HB HA . Tỷ số khoảng cách từ A đến mặt phẳng SDH và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SHC là: A. 2 2 4 9 1 9 k k B. 2 2 1 4 9 . 2 1 9 k k C. 1 2 D. 1 2k Câu 14. Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, điểm E thuộc BC sao cho 3 BC EC . Hình chiếu vuông góc của ' A lên mặt đáy trùng với trung điểm H của AB. Cạnh bên ' 2 AA a và tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ B đến mp ' A HE bằng A. 39 3 a B. 3 5 a C. 3 4 a D. 4 5 a Câu 15. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Nếu AB a thì khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC bằng A. 2 15 5 a B. 15 5 a C. 5 5 a D. 2 5 5 a Câu 16. Cho hình chóp . S ABC có 0 , 2 , 120 AB a AC a BAC . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SBC tạo với đáy một góc 0 60 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng: A. 3 2 7 a . B. a 3 7 2 C. 7 2 a D. a 2 7 3 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 102 Khoảng cách trong không gian Câu 17. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh , a mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD bằng: A. 21 3 a B. 21 14 a C. 21 7 a D. 21 21 a Câu 18. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh , a SA vuông góc với đáy và cạnh bên SC hợp với đáy một góc 0 45 . Khoảng cách từ A đến SBC bằng: A. 2 3 a B. a 2 6 3 C. 6 3 a D. a 2 2 3 Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 2 HB HA . Biết SC tạo với đáy một góc 45° và cạnh bên 2 2 SA a . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB A. 3 2 a B. 2 2 3 a C. 3 3 2 a D. 2 3 a Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SAB là tam giác vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ trung điểm H của AB đến mặt phẳng SBD là? A. 3 3 a B. a C. 3 2 a D. 10 2 a Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có 3 SA a và SA ABC . Biết 2 AB BC a , 120 ABC . Tính khoảng cách từ A đến SBC ? A. 2a B. 2 a C. a D. 3 2 a Câu 22. Cho hình chóp đều S.ABC có AB a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính 4d a , biết d là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC . A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 Câu 23. Cho hình lập phương . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa ’ AA và ’ BD là: A. 3 3 B. 2 2 C. 2 2 5 D. 3 5 7 Câu 24. Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh . a Hình chiếu của ’ A lên ABC trùng với trung điểm H của . AC Biết ' 3 A H a . Khi đó, khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ’ ’ ABB A bằng: A. a 6 7 B. a 5 7 C. a 3 7 D. 4 a 7 Câu 25. Cho hình lập phương . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có cạnh bằng . a Khoảng cách từ D đến ’ A BC là: A. 3 2 a B. 2 2 a C. 5 2 a D. 2 a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 103 Khoảng cách trong không gian Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AC sao cho 2 HC HA . Gọi M là trung điểm của SC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho 3 SB SN . Khẳng định nào sau đây là sai: A. Khoảng cách từ M đến mp ABC bằng 4 3 lần khoảng cách từ N đến mp ABC B. Khoảng cách từ M đến mp SAB bằng một nửa khoảng cách từ C đến mp SAB C. Khoảng cách từ N đến mp SAC bằng 1 3 khoảng cách từ B đến mp SAC D. Khoảng cách từ M đến mp SAB bằng 3 2 khoảng cách từ H đến mp SAB Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Tam giác SAD cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thỏa mãn 2 0 SM CM . Tỷ số khoảng cách D đến mặt phẳng SAB và từ M đến mặt phẳng SAB là: A. 2 3 B. 3 2 C. 1 2 D. 2 Câu 28. Cho lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác vuông cân tại A với 3 AB AC a . Hình chiếu vuông góc của ' B lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho 2 HC HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ' B AC bằng. A. 2 3 a B. 3 a C. 3 3 2 a D. 2 a Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60°. Gọi H nằm trên đoạn AD sao cho 2 HD HA . Khi 3 3 SA , tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SBD . A. 9 21 14 d B. 21 7 d C. 2 21 7 d D. 3 21 7 d Câu 30. Cho lăng trụ tam giác đều . ’ ’ ’ ABC A B C có ' AA AB a . Gọi M là trung điểm của ’, CC khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ’ A BM bằng: A. 3 2 a B. 5 2 a C. 2 a D. 2 2 a Câu 31. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , SA ABCD SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác , ABD khi đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng ’ A BD bằng A. 2 2 a B. 2 a C. 2 6 a D. 2 3 a Câu 32. Cho hình lăng trụ . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông tâm , O cạnh ; a hình chiếu của ’ A lên ABCD trùng với . O Khoảng cách từ điểm ’ B đến mặt phẳng ’ A BD là? A. 3 2 a B. 2 2 a C. 2 a D. 5 2 a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 104 Khoảng cách trong không gian Câu 33. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với 2 , , AB a AD a CD a . Cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC hợp với đáy một góc 45 0 . Gọi d là khoảng cách từ điểm B đến , SCD khi đó tỉ số 6.d a bằng: A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Câu 34. Cho lăng trụ đứng . ’ ’ ’ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ; A mặt bên ’ ’ ABB A là hình vuông. Biết ' ' 3 B C a , góc giữa ’ B C và mặt phẳng ’ ’ ’ A B C bằng 30 0 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng ’ BA và ’ B C bằng: A. 2 a B. 3 2 a C. a D. 2a Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2 2a , 2 AB a , 2 BC a . Gọi M là trung điểm của CD. Hai mặt phẳng SBD và SAM cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAM bằng A. 4 10 15 a B. 3 10 5 a C. 2 10 5 a D. 3 10 5 a Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ABCD , SA AB a và . AD x a . Gọi E là trung điểm SC. Tìm x, biết khoảng cách từ E đến mp SBD là 3 a d . A. 1 x B. 2 x C. 3 x D. 4 x Câu 37. Cho hình hộp đứng . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy là hình vuông, tam giác ' A AC vuông cân tại A, cạnh ' 2 A C a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' BCD theo a? A. 3 3 a B. 6 3 a C. 2 2 a D. 3 2 a Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 90 ABC BAD , BA BC a ; 2 AD a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, 0 ; 30 SC SAD . Tính ; d A SCD ? A. a B. 2 a C. 2 a D. 3 a Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có 120 BAD . Cho SA ABCD . Gọi M là trung điểm của BC; biết 45 SMA . Tính , d B SDC ? A. 6 4 a B. 6 2 a C. 3 2 a D. 3 8 a Câu 40. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác MBC, cạnh bên 2 3 a SC . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB . A. 6 12 a d B. 6 6 a d C. 6 4 a d D. 6 8 a d Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 105 Khoảng cách trong không gian Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có 90 , 2 , 30 BAC BC a ACB . Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính khoảng cách từ trung điểm của AB đến mặt phẳng SBC . A. 21 2 a B. 21 7 a C. 21 14 a D. 21 21 a Câu 42. Cho hình hộp đứng . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy là hình vuông, tam giác ' A AC vuông cân, ' A C a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' BCD là: A. 6 3 a B. 6 2 a C. 6 a D. 6 4 a Câu 43. Cho tứ diện đều ABCD cạnh 3 a . Độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 6 4 a B. 6 2 a C. 3 2 a D. 6 3 a Câu 44. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA SB SC b . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3 4 a . Tính b theo a. A. 3 a b B. b a C. 2 3 a b D. 2 3 a b Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 3 AB AD . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là điểm H AB sao cho 2 BH AH . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng SAD bằng 3 2 và 3 SH . Tính khoảng cách giữa SH và CD. A. 1 B. 2 C. 3 2 D. 1 2 Câu 46. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh bên 5 SA a , mặt phẳng SCD tạo với mặt phẳng ABC một góc 60°. Khoảng cách giữa BD và SC là: A. 30 5 a B. 30 6 a C. 15 5 a D. 15 6 a Câu 47. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A có 2 AB AC a . Gọi M là trung điểm của BC. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống đáy là trung điểm của AM. Biết SA tạo với đáy góc 60°. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SA là: A. 6 3 a B. 6 2 a C. 6 4 a D. 3 2 a Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có 2 , 2 3 AC a BD a tâm O. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trung điểm của OB. Biết tam giác SBD vuông tại S. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SB là: A. 3 4 a B. 3 8 a C. 3 2 a D. 3 2 a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 106 Khoảng cách trong không gian Câu 49. Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh ' A lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết cạnh bên của khối lăng trụ tạo với đáy góc 60°. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và ' A C là: A. 3 4 a B. 2 a C. 3 4 a D. 3 2 a Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng SAC góc 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng 3 2 a . Tính độ dài đoạn thẳng BC. A. 2 BC a B. 2 BC a C. 3 BC a D. 3 BC a Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh a, 2 , AB a BC a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA BC . Gọi M là trung điểm CD. Khoảng cách giữa SC và BM là: A. 3 a B. 3 6 a C. 3 3 a D. 3 2 a Câu 52. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2 AB AC a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết SH a , khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC là: A. 2 3 a B. 4 3 a C. 3 2 a D. 3 3 a Câu 53. Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi M là trung điểm của AB, tam giác ' A CM cân tại ' A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích lăng trụ bằng 3 3 4 a . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và ' CC . A. 2 57 5 a B. 2 57 1 9 a C. 2 39 13 a D. 2 39 3 a Câu 54. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho 3 HD HB . Biết góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng đáy bằng 45°. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD là: A. 3 34 17 a B. 2 13 3 a C. 2 51 13 a D. 2 38 17 a Câu 55. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 3 AB a , 2 BC a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa AM và ' B C biết ' 2 AA a A. 10 10 a B. 2 a C. 30 10 a D. 2a Câu 56. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có , 2 , 120 AC a BC a ACB và đường thẳng ' A C tạo với mặt phẳng ' ' ABB A góc 30°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ' , ' A B CC . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 107 Khoảng cách trong không gian A. 21 14 a B. 21 7 a C. 21 3 a D. 21 21 a Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh CD, biết 5 SA a . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và BM là: A. 2 39 3 a B. 2 145 15 a C. 2 39 13 a D. 2 145 29 a Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O tam giác ABC vuông cân tại A có A B A C a , SA ABCD . Đường thẳng SD tạo với đáy một góc 45°. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB là: A. 3 2 a B. 5 5 a C. 10 10 a D. 10 5 a Câu 59. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . AB AD Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SCN bằng: A. 3 2 2 a B. 3 2 8 a C. 3 2 4 a D. 5 2 3 a Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBD tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 60°. Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM. A. 2 11 a B. 6 11 a C. 11 a D. 3 11 a Câu 61. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Cạnh SC hợp với đáy một góc 0 60 , gọi d là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng . SBD Khi đó, tỉ số d a bằng: A. 78 13 B. 18 13 C. 58 13 D. 38 13 Câu 62. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABC bằng 21 7 a . Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, MN. A. 9 3 42 a B. 3 3 42 a C. 6 3 42 a D. 12 3 42 a Câu 63. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng . a Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm SH đến SBC bằng . b Thể tích khối chóp . S ABCD là: A. 3 2 2 2 3 16 a b a b B. 3 2 2 3 16 a b a b C. 3 2 2 2 16 a b a b D. 2 3 ab Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 108 Khoảng cách trong không gian II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1B 2B 3D 4B 5B 6C 7C 8C 9D 10D 11A 12C 13B 14D 15B 16A 17C 18C 19C 20A 21D 22A 23B 24A 25B 26A 27B 28B 29C 30D 31D 32B 33A 34A 35C 36B 37B 38A 39A 40C 41B 42C 43B 44C 45A 46A 47B 48C 49A 50C 51B 52A 53B 54A 55C 56B 57D 58D 59B 60A 61A 62A 63A Câu 1. Chọn B. Câu 2. Chọn B. Vì / / CD SAB M CD , , d M SAB d D SAB DA a Câu 3. Chọn D. Vì ; 1 2 ; d M SBC MC AM SBC C AC d A SBC 1 ; ; 2 d M SBC d A SBC Kẻ , AH SB H SB ta có: 2 2 2 2 . , SA AB ab d A SBC AI SA AB a b Do đó: 2 2 1 , ; 2 2 ab d M SBC d A SBC a b Câu 4. Chọn B. Gọi I là trung điểm của . BC Kẻ , HK SI K SI 2 2 . , SH HI d H SBC HK SH HI Vì ABC có cạnh 3 2 b AB b AI 1 3 3 6 b HI AI Vậy 2 2 2 2 2 2 3 3 . 6 6 , 12 12 3 2 3 6 b ab a ab d H SBC a b a b b a Câu 5. Chọn B. A B M C D S M H A B C S H K I A B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 109 Khoảng cách trong không gian Ta có: SAB ABC SA ABCD SAD ABC . Dựng CH AB CH SAB Do , 3 2 , d C SAB CS MS d M SAB 2 2 2 3 3 , , . 3 3 3 2 6 a a d M SAB d C SAB CH Câu 6. Chọn C. Dựng CH AB CH SAB Giả sử MN cắt AD tại F. Theo định lý Talet ta có: 1 2 2 4 DF ND MC a DF MC NC . Khi đó 5 7 2 5 PA AF CA PC MC PA Do đó 5 5 , , 7 7 d P SAB d C sAB CH 5 3 5 3 . 7 2 14 a a Câu 7. Chọn C. Vì , 2 , d A SCD AC AO SCD C OC d O SCD , 2 , d A SCD d O SCD Gọi I là trung điểm của CD 1 2 2 b OI CD Kẻ , OH SI H SI Khi đó: 2 2 2 2 2 2 . . 2 ; 4 2 b a SO OI ab d O SCD OH SO OI a b b a . 2 2 2 ; 2 ; 4 ab d A SCD d O SCD a b Câu 8. Chọn C. Gọi O là tâm của đáy ABCD D O AC B Vì hình chóp . S ABCD có các bên bằng nhau nên D D 2 2 , SO ABC d S ABC SO SC OC Ta có: 2 2 2 2 3 2a AC AB BC a a A M H B C D S A H P B M C N F D S H O A B C I D S a 3 a 3a O B A C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 110 Khoảng cách trong không gian 2 AC OC a . Vậy 2 2 2 2 , 3 2 2 d S ABCD SO SC OC a a a Câu 9. Chọn D. Gọi I là trung điểm của AB CI AB Vì ' ' ' ' CI AB AA ABC CI AA B B CI AA do CI ABC , ' ' d C AA B B CI Vì '/ / ' ' CC AA B B 3 ', ' ', ' ' , ' ' 2 a d CC AB d CC AA B B d C AA B B CI Câu 10. Chọn D. Kẻ , AH SB H SB Vì AH SAB BC AB BC SAB BC AH BC SA Vì AH BC AH SBC AH SB 2 2 . , SA AB d A SBC AH SA AB Vì ABC vuông cân tại B 2 2 AC AB a Vậy 2 2 2 2 . . 2 6 , 3 2 SA AB a a a d A SBC AH SA AB a a Câu 11. Chọn A. Gọi M là trung điểm . AB Ta có: 2 , 2 , CG AG d C SDG d A SDG Suy ra 5 , 2 d A SDG . Dựng AH DG Mặt khác 5 2 AH SG AH SDG AH . Đặt 2 2 . 5 5 2 2 5 AD AM x AB x AH x AD AM Vậy . 1 25 . 3 12 S ABCD ABCD V SG S Câu 12. Chọn C. 2a a 2 a 2 a H A B C S H G A M B C D S I A B C B' C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 111 Khoảng cách trong không gian +) Kẻ , , HK BC HP SK d H SBC HP . Từ / / HK BC HK AB AB BC . 1 2 2 2 HK CH AB a HK AB CA +) A B C vuông tại B có H là trung điểm của cạnh AC 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 2 HB AC AB BC a a a HS SB HB a a a 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 5 5 , 5 5 a a HP d H SBC HP HS HK a a Câu 13. Chọn B. Không mất tính tổng quát. Đặt 3 3 AB AD k Dựng AE DH , lại có AE SH AE SDH Do đó 1 2 2 . , AH AD d A SDH AE d AH AD Tương tự dựng BF HC ta có: 2 2 2 . , BH BC d B SHC BF d BH BC Do vậy 2 2 2 1 2 2 2 2 1 4 9 . 2 1 9 d AH BH BC k d BH k AH AD Câu 14. Chọn D. Ta có ' A A tạo với đáy một góc 60° nên ' 60 A AH . Khi đó ' .cos60 2 AH A A a AB BC a . Do vậy 4 ; 3 a BH a BE Dựng BK HE , lại có ' ' BK A H BK A HE Do đó 2 2 . 4 , ' 5 BH BE a d B A HE BK BH BE Câu 15. Chọn B. Gọi H là trung điểm của BC 3 2 SH BC a SH Vì SBC ABC SBC ABC BC SH ABC SBC SH BC Kẻ A , HI AC I C . Khi đó: AC SHI Kẻ , HK SI K SI A P H C K B S E A F H B C D S K B' A H E B C C' A' K H B A I C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 112 Khoảng cách trong không gian Vì AC SHI SAC SHI Vì S 2 2 . , SHI SAC SH HI SHI SAC SI HK SAC d H SAC HK SH HI SHI HK I Ta có: 0 3 .sin .sin 60 2 4 a a HI HC ACB Vì d , 2 , 2 , 2 , d B SAC BC BH SAC C d B SAC H SAC HK HC d H SAC Vậy 2 2 2 2 3 3 . . 15 2 4 , 2 2. 2. 5 3 3 2 4 a a SH HI a d B SAC HK SH HI a a Câu 16. Chọn A. Kẻ , AH BC H BC và , AK SH K SH . Khi đó: , d A SBC AK Ta có: 2 2 0 2 . .cos120 7 BC AB AC AB AC a 0 1 1 . .sin120 . 2 2 ABC S AB AC AH BC 0 . .sin120 3 7 AB AC a AH BC Ta có: 0 , , 60 SBC ABC SH AH SHA Vậy a 0 3 3 , .sin .sin 60 7 2 7 a d A SBC AK AH SHA Câu 17. Chọn C. Gọi H là trung điểm của AB 3 2 a SH . Vì / / , , AB SCD d A SCD d H SCD H AB Gọi K là trung điểm của CD HK a . Kẻ , HI SK I SK Khi đó: 2 2 . 21 , 7 SH HK a d H SCD HI SH HK Vậy 21 , , 7 a d A SCD d H SCD Câu 18. Chọn C. 120° a 2a K A B H C S H I A B C K D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 113 Khoảng cách trong không gian Kẻ , AH SB H SB Khi đó 2 2 . , SA AB d A SBC AH SA AB Ta có: 0 , , 45 SC ABCD SC AC SCA SAC vuông cân tại A . 2 2 2 SA AC a a a Vậy 2 2 2.a 6 , 3 2 a a d A SBC a a Câu 19. Chọn C. Ta có , 45 SC ABC SCH Giả sử 3 AB BC CA x Ta có 2 2 2 . .cos60 7 CH AH AC AH AC x Ta lại có 2 2 2 2 2 8 8 SA SH AH a x x a 3 AB BC CA a Kẻ CK AB ta có CK AB CK SAB CK SH Mà 3 3 3 3 , 2 2 a a CK d C SAB Câu 20. Chọn A. Vì SAB là tam giác vuông cân tại S nên SH ABCD Từ H kẻ HI BD , từ H kẻ HK SI với , I BD K SI Ta có SH BD BD SHI BD HK HK SBD HI BD Do đó , d H SBD HK . Mặt khác 2 2 2 1 1 1 HI SH HK . Mà 1 , 2 2 a HI d A BD và 2 AB SH a . Nên 2 2 2 2 1 1 1 3 3 2 a HK HK a a a H A B C D S A H K B C S I K A H B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 114 Khoảng cách trong không gian Câu 21. Chọn D. Từ A kẻ AH BC , kẻ AK SH với , H BC K SH . Ta có SA BC BC SAH BC AK AK SBC AH BC Do đó , d A SBC AK thỏa mãn 2 2 2 1 1 1 SA AH AK . Mà 3 SA a và 3 sin60 . .2 3 2 AH AB a a Nên 2 2 2 2 1 1 1 4 3 3 , 2 2 9 3 9 a a AK d A SBC AK a a a Câu 22. Chọn A. Gọi O là tâm của tam giác ABC và H là trung điểm của BC. Có SO BC BC SAH AH BC , , SBC ABC SH AH SHA Kẻ OK SH suy ra , OK SBC d O SBC OK . Xét OKH vuông tại K, có 3 3 sin 60 . . . 2 6 4 a OK OH OH AH Do đó 3 4 , 3 , 3 4 a d d A SBC d H SBC d a Câu 23. Chọn B. Vì '/ / ' ' AA BB D D nên ', ' ', ' ' , ' ' d AA BD d AA BB D D d A BB D D Gọi O là tâm của hình vuông . ABCD Khi đó: ' ' AO BB D D 2 , ' ' 2 2 AC d A BB D D AO Câu 24. Chọn A. Vì ' ' CH ABB A A , ' ' 2 , ' ' d C ABB A CA HA d H ABB A , ' ' 2 , ' ' d C ABB A d H ABB A Kẻ A , HI AB I B và A'I ' , HK A I K Khi đó: ' ' HK ABB A K A H B C S K O A B H C S B C O A' B' C' D' D A B' H K I A B C C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 115 Khoảng cách trong không gian 2 2 ' . , ' ' ' A H HI d H ABB A HK A H HI Ta có 0 3 .sin .sin 60 2 4 a a HI AC BAC Vậy 2 2 2 2 3 3 . ' . 6 4 , ' ' 2 , ' ' 2. 2. 7 ' 3 3 4 a a A H HI a d C ABB A d H ABB A A H HI a a Câu 25. Chọn B. Gọi I là tâm của hình vuông ’ ’ CDD C ' DI CD Vì ' ' BC CDD C BC DI Vì ' ' ' ' DI CD DI A BCD A BC DI BC ' 2 , ' 2 2 C D a d D A BC DI Câu 26. Chọn A. +) , , 1 2 ; 2 3 , , d M ABC d N ABC MC NB SC SB d S ABC d S ABC , 1 2 3 : 2 3 4 , d M ABC A d N ABC sai. +) , 1 2 , d M SAB MS B CS d C SAB đúng. +) , 1 3 , d N SAC NS C BS d B SAC đúng. +) 1 , , 2 , 3 , d M SAB d C SAB D d C SAB CA HA d H SAB đúng. Câu 27. Chọn B. +) Từ 2 0 SM CM M thuộc đoạn thẳng SC và 2 SM MC . +) , 2 3 , d M SAB MS CS d C SAB 2 2 , , , 3 3 d M SAB d C SAB d D SAB I A' B C B' C' D' D A M H A C N B S M A H B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 116 Khoảng cách trong không gian , 3 2 , d D SAB d M SAB Câu 28. Chọn B. Ta có: 3 2 2 BC a HB a Lại có 2 2 ' ' 2 B H BB HB a Dựng ; ' ' HE AC HF B E HF B AC Ta có 2 2 3 HE CH HE a AB BC 2 2 . ' 2 3 ' HE B H a HF HE B H Mặt khác , ' 3 2 , ' d B B AC BC HC d H B AC . Do đó: 3 . 3 2 d HF a . Câu 29. Chọn C. Ta có AB là hình chiếu của SB trên mp ABCD . , , 60 3 tan 60 SB ABCD SB AB SBA SA AB Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến SBD . Lại có ba cạnh SA, AB, AD đôi 1 vuông góc với nhau. Nên 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3 21 7 3 3 3 h h SA AB AD Mà 2 2 21 , , , 3 7 HD d H SBD d A SBD d A SBD AD Câu 30. Chọn D. Vì ' ' ' AA AB AA B B là hình vuông Gọi I là tâm của hình vuông ’ ’ AA B B ' AI A B Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 5 ' ' ' ' 2 2 a a MA AC CM a a a MB MC B C a ' ' MA MB MAB là tam giác cân ở M. ' MI AB MI AI Vì ' ' AI MI AI A BM AI A B ' 2 , ' 2 2 AB a d A A BM AI E F H B A C A' C' B' A H D C B S a a I A' B' B M C' C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 117 Khoảng cách trong không gian Câu 31. Chọn D. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên A 2 2 2 . 3 3 2 3 3 AC AC C AG AO GC Vì , 2 3 , d G SBC GC AG SBC C AC d A SBC 2 , , 3 d G SBC d A SBC Kẻ , AH SB H SB Khi đó 2 2 2 2 .AB . 2 , 2 SA a a a d A SBC AH SA AB a a Vậy 2 2 2 2 , , . 3 3 2 3 a a d G SBC d A SBC Câu 32. Chọn B. Gọi ' ' I AB A B . Vì ’ ’ AA B B là hình bình hành nên ' AI IB Vì ', ' ' ' ' 1 , ' d B A BD B I AB A BD I AI d A A BD ', ' , ' d B A BD d A A BD Có: '. ' 1 1 ' . , ' . 3 3 A ABD ABD A BD V A O S d A A BD S ' . ' , ' ABD A BD S A O d A A BD S + 2 1 1 . . 2 2 2 ABD a S AB AD a a + ' 1 1 2 ' ' ' . ' . 2 . ' 2 2 2 A BD a A O ABCD A O BD S A O BD A O a A O Vậy 2 ' . ' . ' 2 2 , ' 2 2 . ' 2 ABD A BD a A O S A O a d A A BD S a A O Câu 33. Chọn A. Vì / / , , AB SCD d B SCD d A SCD d Kẻ , AH SD H SD Khi đó: 2 2 . , SA AD d A SCD AH SA AD Dễ dàng chứng minh được: a a G O A H B C D S C' I D' O A D C B B' A' a a 2a H A D C B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 118 Khoảng cách trong không gian . BC AC BC SAC BC SC 0 , , 45 SBC ABCD BC BC SC SBC ABCD SC AC SCA BC AC SAC vuông cân ở A 2 SA AC a Vậy 2 2 2 2 . . 2 6 3 2 SA AD a a a d AH SA AD a a . Khi đó: 6 6. 6 3 2 a d a a Câu 34. Chọn A. Gọi O là tâm của hình vuông ’ ’. ABB A Vì ' ' ' ' AC AB AC ABB A AC BA AC AA Trong ’ AB C , kẻ 'C, ' 1 OH B H B C Vì ' ' ' ' ' BA AC BA AB C BA A B Mà ' ' 2 OH AB C BA OH Từ (1) và (2) OH là đoạn vuông góc chung của ’ BA và ’ B C ', ' d BA B C OH Vì ' HB O và ' AB C đồng dạng nên ' . ' ' ' OH OB AC OB OH AC CB CB Ta có: 0 ' , ' ' ' ' , ' ' ' ' 30 B C A B C B C B C CB C 0 ' ' 3 ' 2 cos 30 cos ' ' B C a CB a CB C ; 0 ' ' 'tan ' ' 3.tan 30 ' ' CC B C CB C a a AA CC a Vì ’ ’ ABB A là hình vuông nên ' AB AA a ' 2 ' 2 2 ' 2 2 AB a AB AB a OB 2 2 2 2 3 2 AC BC AB a a a Vậy 2 2. . ' 2 ', ' ' 2 2 a a AC OB a d BA B C OH CB a Câu 35. Chọn C. Gọi H AM BD . Ta có: SBD ABC SH ABC SAM ABC Lại có 1 2 , , 2 HB AB d D SAM d B SAM HD DM H O A B' A' C' B C A B H K C M D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 119 Khoảng cách trong không gian 2 1 1 2 4 2 ADM ADC ABCD a S S S . Ta có: 1 2 . sin sin 45 2 2 ADM S AD DM D D D Do vậy 2 2 10 2 . cos 45 2 AM AD DM AD DM a Kẻ DK AM . Do vậy 2 2 10 2 10 , 5 5 10 ADM S a a a DK d B SAM AM . Câu 36. Chọn B. Ta có 1 , , 2 3 a d E SBD d A SBD . 2 , 3 a d A SBD Gọi H là hình chiếu của A lên BD. Và K là hình chiếu của A lên SH. Ta được 2 , 3 a AK SBD AK d A SBD . 2 2 2 2 2 2 . . . . AB AD x a AH BD AB AD AH AB BD a x a Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 9 1 4 a x a AK SA AH a a x a . 2 2 2 5 1 4 2 4 x x x x vì 0 x . Câu 37. Chọn B. +) Kẻ ' , ' , ' AP A B d A BCD d A A BC AP +) ' A AC vuông cân tại A ' ' 2 2 A C A A AC a Tứ giác ABCD là hình vuông 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ' 2 2 2 AC AB a AP A A AB a a a 2 6 6 , ' 3 3 3 a a a AP d A BCD Câu 38. Chọn A. Gọi E là trung điểm của AD khi đó ABCE là hình vuông cạnh a suy ra CE AD , lại có CE SA Do đó , 30 CE SAD CSE SC SAD . Lại có: sin 30 2 SC CE a SC a 2 2 2 SA SC AC a . E A K H B C D S C' B' P A B C D D' A' E F B A C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 120 Khoảng cách trong không gian Do 1 2 CE AD nên tam giác ACD vuông tại C suy ra AC CD , dựng AF SC . Ta có: . , SA SC d A SCD AF a SC . Câu 39. Chọn A. Do ABCD là hình thoi có 120 BAD nên tam giác ABC và ACD là các tam giác đều. Khi đó 3 2 a AM , dựng 3 2 a AE CD AE , dựng AF SE suy ra , d A SCD AF . Do 3 45 tan 45 2 a SMA SA AM Có: / / , , AB CD d B SCD d A SCD AF 2 2 . 6 4 SA SE a SA AE Câu 40. Chọn C. Gọi I là trung điểm của MB. Gọi G là trọng tâm của tam giác MBC suy ra SG ABC . Từ G kẻ GH AB , kẻ GK SH với , H AB K SH . Nên ; GK SAB d G SAB GK . Ta có 2 2 13 2 13 , 4 3 6 a a IC MC MI GC IC 2 2 3 1 3 , 6 3 6 a a SG SC GC GH MC Do đó S G H vuông cân tại G nên 1 1 6 6 . 2 2 6 12 a a GK SH Mà 3 6 6 ; 3 ; 12 4 a a d C SAB d G SAB Câu 41. Chọn B. Gọi H là trung điểm của AB SH AB SH ABC Xét tam giác ABC vuông tại A, có , 3 AB a AC a . Đặt SH x nên 2 2 2 2 2 2 13 , 4 4 a a SB x SC SH HC x F A B M E C D S G K A M H B C S I H A K B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 121 Khoảng cách trong không gian Mà 2 2 2 2 2 4 2 2 a a a SB SC BC x x SH Kẻ , HK BC HI SK với , K BC I SK nên HI SBC . Mặt khác 2 2 2 2 3 1 1 1 28 .sin 4 3 a HK HB B HI HK SH a 21 21 ; 14 14 a a HI d H SBC Mà 21 ; 2 , 2 7 a d A SBC d H SBC HI Câu 42. Chọn C. +) , ' , ' d A BCD d D BCD Hình hộp đứng . ' ' ' ' ' ABCD A B C D D D BCD . Kẻ ' ' , ' AP CD P CD d D BCD DP , ' , ' d D BCD DP d A BCD DP +) Hình hộp đứng . ' ' ' ' ' ABCD A B C D A A AC ' A AC vuông cân thì chỉ có thể vuông cân tại A ' ' ' 2 ' 2 2 2 2 a D D A A A C a A A AC AC a DC +) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 ' DP D D DC a a , ' 6 6 a a DP d A BCD Câu 43. Chọn B. Ta có AB CM AB CDM AB SH Kẻ MN CD AB MN do AB CDM MN là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD Ta có 3. 3 3 2 2 a a CM và 1 3 2 2 a C N CD . 2 2 6 6 , 2 2 a a MN CM NC d AB CD Câu 44. Chọn C. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà SA SB SC SO ABC SO BC . Gọi M là trung điểm của BC AM BC . P D A B C B' A' C' D' M B H N C DBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 122 Khoảng cách trong không gian Do đó BC SAM , kẻ MH SA nên MH là đoạn vuông góc chung của SA và BC. Suy ra 3 ; 4 a d SA BC MH . Ta có 3 3 3 sin : 60 4 2 2 MH a a MAH MAH MA Mà 2 2 3 . 3 3 2 3 a a AO AM . 2 cos 3 AO a SAO SA SA Câu 45. Chọn A. Kẻ , HK CD K CD và , HE SA E SA . Có SH HK CD HK HK là đoạn vuông góc chung của SH và CD. Ta có AD SAB AD HE HE SAD . Suy ra 3 ; 2 d H SAD HE . Mà 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 AH SH AH HE AH . Mặt khác 3 3 AB AH AD AH AD nên tứ giác AHKD là hình vuông, do đó 1 ; HK d SH CD . Câu 46. Chọn A. Ta có: 60 OE CD CD SOE SEO +) Đặt 2 2, AB x OA x OE x +) 2 2 2 2 5 2 tan 60 3 SO SA OA a x OE OE x 2 2 5 5 2 , 3 a x x a AB a SO a Ta có: BD SAD . Dựng ; OK SC d BD SC OK Ta có: 2 2 . 6 30 5 5 SO OC a OK a SO OC . Câu 47. Chọn B. Gọi H là trung điểm của AM khi đó 2 2 BC a 2 6 2 tan60 2 2 2 BC a a AM a HA SH HA . O H A B M C S E A H B C K D S K O A B E C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 123 Khoảng cách trong không gian Dựng ME SA . Do BC AM BC ME BC SH do đó ME là đường vuông góc chung của BC và SA. Cách 1: 2 2 . 6 . . 2 SH AM a ME SA SH AM ME SH HA Cách 2: Dựng HF SA suy ra 6 2 2 a ME HF Câu 48. Chọn C. Gọi H là trung điểm của OB khi đó S H A B CD Ta có tam giác SBD vuông tại S có đường cao SH nên 2 2 3 3 3 9 3 . . 2 2 4 2 a a a a SH HB HD SH Dựng OK SB OK là đường vuông góc chung của AC và SB. Dựng 2 2 . 3 4 SH HB a HM SB HM SH HB Do đó 3 ; 2 2 a d AC SB OK MH . Câu 49. Chọn A. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó 2 3 ' ; 3 3 a A G ABC AG AM Do đó ' tan 60 A G GA a . Gọi I là trung điểm của ' ' CI AB AB A CI AB A G AB Dựng ' IK A C do đó IK là đường vuông góc chung của AB và ' A C . Dựng ' GE A C Suy ra 2 2 ' . 3 3 2 2 4 ' A G GC a a GE IK GE A G GC . Câu 50. Chọn C. I là trung điểm của AB SI AB SI ABC SI AC . Mà AC AB AC SAB AC SB . H F E A B M C S H O A M K B C D S I G E K M B A C A' C' B'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 124 Khoảng cách trong không gian Gọi K là trung điểm của SB AK SB AK là đoạn vuông góc chung của AC, SB nên 3 ; 2 a d SB AC AK AB a . Gọi H là trung điểm của SA BH SA . Mà AC BH . Suy ra BH SAC . ; ; 30 BC SAC BC HC BCH Ta có sin 3 sin 30 BH BH BCH BC a BC . Câu 51. Chọn B. Gọi N là trung điểm của AD suy ra / / MN AC . Ta có 3 6 , 2 2 a a MN BM và 3 2 a BN suy ra BMN vuông. Do đó BM MN BM AC BM SAC . Gọi I là giao điểm của AC và BM. Từ I kẻ IK SC Nên IK là đoạn vuông góc chung SC, BM ; d SC BM IK . Ta có 3 3 ~ . . 3 2 6 SA a a a SAC IKC IK IC SC a Vậy 3 ; 6 a d SC BM . Câu 52. Chọn A. +) Dựng / / , ; Ax BC d SA BC d B SAx +) Dựng HK Ax SHK Ax +) Dựng , 2 , HE SK d B SAx d H SAx Ta có: sin sin 56 2 a HK AH HAK a 2 2 . , 3 SH HK a d H SAx HE SH HK +) Do đó 2 , 3 a d SA BC Câu 53. Chọn B. Ta có: ' A CM cân tại ' A .Dựng ' A H CM H là trung điểm của CM và ' A H ABC Khi đó 2 3 3 3 ' . ' . ' 4 4 ABC a a V A H S A H A H a H I A C B K S I K N A B C M D S x K E H B A C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 125 Khoảng cách trong không gian , ' ', ' , ' d AB CC d CC A AB d C A AB CK Vậy 2 2 ' . ' . 2 57 ' 19 ' A H CM A H CM a CK A M A H MH Hoặc các em có thể tính như sau: 2 2 ', ' 2 , ' 2. ' . ' d C A AB d H A AB A H MH A H MH Câu 54. Chọn A. +) Dựng HK CD CD SHK do vậy , 45 SCD ABCD SKH . Ta có: HKD vuông cân tại K do vậy 3 3 tan 45 2 2 a a HK KD SH HK . +) Dựng / / Ax BD ta có: , , , d SA BD d BD SAx d H SAx Dựng 2 HE Ax HE OA a Dựng HF SE HF SAx Ta có: 2 2 . 3 34 17 SH HE a HF SH HE Câu 55. Chọn C. Gọi N là trung điểm của ' BB suy ra / / ' MN B C . Do đó , ' ' , , d AM B C d B C AMN d C AMN . Mà M là trung điểm của BC nên , , d B AMN d C AMN . Ta có BA, BM, BN đôi một vuông góc với nhau. Nên 2 2 2 2 1 1 1 1 , BA BM BN d B AMN . Mặt khác 1 , 3, ' 2 2 2 BC a BM a AB a BN BB . Suy ra 2 2 2 2 2 1 1 1 1 10 3 , 3 2 a a d B AMN a a . 30 30 , , ' 10 10 a a d B AMN d AM B C B' K H M A B C C' A' E O A F x H B K C D S N A B' M B C C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 126 Khoảng cách trong không gian Câu 56. Chọn B. Kẻ ' ' CH AB H AB CH ABB A . Nên ' A H là hình chiếu vuông góc của ' A C lên ' ' ABB A . Do đó ' , ' ' ' 30 A C ABB A CA H . Vì . ' ' ' ABC A B C là hình lăng trụ nên '/ / ' '/ / ' ' CC AA CC ABB A ' , ' ', ' ' , ' ' d A B CC d CC ABB A d C ABB A CH . Ta có 2 1 3 . .sin 2 2 ABC a S AC BC ACB . 2 2 2 2 2 . .cos 7 7 AB AC BC AC BC BCA a AB a 2. 21 21 ' , ' 7 7 ABC S a a CH d A B CC AB Câu 57. Chọn D. Dựng / / DN BM N là trung điểm của AB. Khi đó , , d SD BM d BM SDN , , d B SDN d A SDN Dựng AE DN DN SAE , dựng AF SE khi đó AF SE AF SDN AF DN Do vậy , , d B SDN d A SDN 2 2 . 5 2 145 2 29 29 AE SA a AF a AE SA Với 2 2 . 2 5 AN AD a AE AN AD . Câu 58. Chọn D. Lấy M là trung điểm BC, H là hình chiếu của A lên SM. Xác định được , 45 AD ABCD SDA SA BC AM BC SAM BC AH , AH SM AH SBC d A SBC AH Vì / / AD SBC chứa BC nên: , , , d SB AD d AD SBC d A SBC AH B' H A B C C' A' F E A N B C M D S H A D C M B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 127 Khoảng cách trong không gian Tính: 2, 2 a SA AD a AM . Mà 2 2 2 1 1 1 2 5 AH a AH AS AM . Câu 59. Chọn B. Vì tam giác SAB đều nên 3 3 2 2 AB a SM SM AB Vì SAB ABCD SAB ABCD AB SM ABCD SAB SM AB SM CN Mà CN DM CN SMI , SCN SMI I CN DM Kẻ , MH SI H SI Vì 2 2 . , SCN SMI SM MI SCN SMI MH SCN d M SCN MH SM MI SMI MH SI Vì AMD và IND đồng dạng nên . AD MD AD ND ID ID ND MD Ta có: 2 2 2 2 , . 2 . 5 2 5 5 5 2 2 2 a a AD a ND a AD ND a ID MD a a a MD AD AM a Khi đó: 5 5 3 5 2 5 10 a a a MI MD ID Vậy 2 2 3 3 5 3 3 5 3 2 , . : 2 10 2 10 8 a a a a a d M SCN MH Câu 60. Chọn A. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD AO BD BD SAO . Do đó 6 , 60 2 a SBD ABCD SOA SA . Qua C vẽ đường thẳng song song với BM cắt AD tại E. Khi đó / / , , BM SCE d BM SC d M SCE Mà 2 2 , , 3 3 ME AE d M SCE d A SCE N H A M B C D S O M A K E H C B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 128 Khoảng cách trong không gian Kẻ AH CE tại H suy ra CE SAH và . . AH CE CD AE . Kẻ AK SH tại K suy ra , AK SCE d A SCE AK . Mà 3 5 a AH nên 2 2 2 1 1 1 3 11 a AK AK AH SA . Do đó 2 3 2 , 3 11 11 a a d BM SC Câu 61. Chọn A. Gọi O là tâm của đáy. Kẻ , AH SO H SO . Vì BD AC BD SAC SBD SAC BD SA Vì SBD SAC SBD SAC SO AH SBD SAC AH SO 2 2 . , SA AO d d A SBD AH SA AO Ta có: 0 , , 60 SC ABCD SC AC SCA Xét SAC vuông tại A, ta có: 0 .tan 2.tan60 6 SA AC SCA a a Vì O là tâm của đáy nên O là trung điểm của 2 2 2 AC a AC AO Khi đó: 2 2 2 6. 78 78 2 13 13 2 6 2 a a a d d a a a Câu 62. Chọn A. Gọi H là tâm của , ABC I là trung điểm của BC. Suy ra , , 60 SBC ABC SI AI SIA . Đặt 1 3 tan 60 . 3 6 2 x x AB x HI AI SH HI 2 21 2 21 3 3 2 7 7 7 ABC x a a a x S . Gọi P là trung điểm của AC suy ra / / / / NP SA SA MNP . . 3 , , , A MNP MNP V d SA MN d SA MNP d A MNP S . O H A B C D S I M H P A B C N SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 129 Khoảng cách trong không gian • 3 . 9 7 3 , 392 A MNP AMP a V d N ABC S • 2 1 1 21 21 . . . 2 2 7 2 28 MNP a a a S MP NP . Do đó 9 3 9 3 , , 42 42 a a d A MNP d SA MN Câu 63. Chọn A. Gọi , M I lần lượt là trung điểm của BC và . SH 2 2 AB a HM Vì , 1 2 , d I SBC SI IH SBC S SH d H SBC , 2 , 2 d H SBC d I SBC b Kẻ , HK SM K SM Khi đó: , 2 d H SBC HK b Xét SHM vuông tại H và có đường cao , HK ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 HK SH HM SH HK HM 2 2 2 2 2 2 2 . . 2 2 16 2 2 a b HK HM ab SH HM HK a b a b Vậy 3 2 . 2 2 2 2 1 1 2 2 . . . 3 3 16 3 16 S ABCD ABCD ab a b V SH S a a b a b H I K D A M B C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 130 Thể tích khối đa diện Chuû ñeà 4 THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN A. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 1. Thể tích khối chóp / 1 . . 3 K c V S h Với: S : Diện tích đáy h : Chiều cao 2. Thể tích khối chóp cụt 1 3 V h B B BB Với , B B : Diện tích hai đáy h : Chiều cao II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI HỘP CHỮ NHẬT 1. Thể tích khối lăng trụ . LT V S h Với: S : Diện tích đáy h : Chiều cao 2. Thể tích khối hộp chữ nhật Thể tích khối hộp chữ nhật: . . V a b c với , , a b c là ba kích thước Thể tích khối lập phương: 3 V a với a là độ dài cạnh ABCD S h D C B A S D' C' B' A' A B C D h H H h A D C B C' D' B' A' B' C' A' B C A A B C D D' A' C' B' A B C D D' A' C' B' 1 . 3 ABCD V S h Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 131 Thể tích khối đa diện III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KỸ THUẬT CẦN NẮM 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT Tứ diện đều là tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt bên đó sẽ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau: Cho hình chóp có đỉnh S có các cạnh bên có độ dài bằng nhau: ... SA SB SC SD . Khi đó hình chiếu O của S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đi qua các đỉnh ( , , , ,... A B C D ) nằm trên mặt đáy. Nếu đáy là: + Tam giác đều, O là trọng tâm + Tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền. + Hình vuông, hình chữ nhật, O là giao điểm của 2 đường chéo đồng thời là trung điểm mỗi đường. Lặng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. 2. KỸ THUẬT TÌM ĐƯỜNG CAO BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Nếu / / OA thì: , , d O d A . Nếu OA cắt tại I thì: , , d O OI AI d A (định lý Ta-lét) (α) I A O K H α K A α O H O A IBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 132 Thể tích khối đa diện B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRỰC TIẾP 1. PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp) hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,… Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin,.. Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. o Nếu / / OA thì , , d O d A o Nếu OA I thì , , d O IO IA d A (định lý Ta-lét) Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: (THPTQG 2017-101) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 . 2 a V B. 3 2 . 6 a V C. 3 14 . 2 a V D. 3 14 . 6 a V Lời giải: Chọn D. Ta có SO ABCD (do . S ABCD là hình chóp đều). Có ABCD là hình vuông cạnh a 2 2 . 2 2 BD a BD a OB Suy ra: 2 2 2 2 2 14 2 . 2 2 a a SO SB OB a Khi đó: 3 2 1 1 14 14 . . . . . 3 3 2 6 ABCD a a V SO S a Chú ý: Có thể áp dụng công thức giải nhanh với chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b là: 2 2 2 4 2 . 6 b a V a trong bài toán này: 3 14 2 . 6 a b a V a O A 2a B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 133 Thể tích khối đa diện Bài toán 2: (THPTQG 2017-103) Cho khối chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 13 . 12 a V B. 3 11 . 12 a V C. 3 11 . 6 a V D. 3 11 . 4 a V Lời giải: Chọn B. Gọi O là tâm của đáy SO ABC (do . S ABC là hình chóp đều). Do ABC là tam giác đều cạnh a 2 3 3 . 3 2 3 a a OA và 2 3 . 4 ABC a S Suy ra 2 2 2 2 3 33 2 . 3 3 a a SO SA OA a Khi đó: 2 3 1 1 33 3 11 . . . . . 3 3 3 4 12 ABC a a a V SO S Chú ý: Có thể áp dụng công thức giải nhanh với chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng b là: 2 2 2 3 . 12 b a V a trong bài toán này: 3 11 2 . 12 a b a V Bài toán 3: (THPTQG 2017-101) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 0 30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 6 . 3 a V B. 3 2 . 3 a V C. 3 2 . 3 a V D. 3 2 . V a Lời giải: Chọn B. Ta có: CB AB CB SAB CB SA Do CB SAB suy ra SB là hình chiếu vuông góc của SC lên SAB 0 , 30 SC SAB CSB Ta có: 0 .cot 30 3. SB CB a 2 2 2 2 3 2. SA SB AB a a a Suy ra: 3 2 1 1 2 . . 2. . 3 3 3 ABCD a V SA S a a O a 2a A B C S 30° A D C B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 134 Thể tích khối đa diện Bài toán 4: (THPTQG 2017-2013) Cho khối lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với 0 , 120 AB AC a BAC , mặt phẳng ' ' AB C tạo với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 . 8 a V B. 3 9 . 8 a V C. 3 . 8 a V D. 3 3 . 4 a V Lời giải: Chọn A. Do ' ' ' ' AA A B C nên kẻ ' ' ' ' ' A I B C I B C Suy ra: 0 ' ' , ' ' ' ' 60 . AB C A B C A IA Xét ' ' A IB có: 0 ' ' 'cos ' ' .cos 60 . 2 a A I A B B A I a Suy ra: 0 3 ' ' .tan ' .tan60 . 2 2 a a AA A I A IA Khi đó: 3 0 1 3 1 3 3 '.S '. . .sin120 . . . . 2 2 2 2 8 ABC a a a V AA AA AC AC a Bài toán 5: (THPTQG 2017-103) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2 . 2 a Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 . 2 a V B. 3 . V a C. 3 . 3 a V D. 3 . 3 a V Lời giải: Chọn D. Kẻ 1 AH SB H SB Có: 2 BC SA BC SAB BC AH BC AB Từ 1 , 2 AH SBC 2 , . 2 a d A SBC AH Ta có: 2 2 2 1 1 1 AH SA AB 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 SA AH AB a a a . SA a Suy ra: 3 2 1 1 . . . . . 3 3 3 ABCD a V SA S a a A D C B H S 120° I B' A B C C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 135 Thể tích khối đa diện Bài toán 6: Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có ' A ABD là hình chóp đều, ' . AB AA a Tính theo a thể tích V của khối hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D . A. 3 3 . 3 a V B. 3 3 . 9 a V C. 3 3 . 6 a V D. 3 2 . 2 a V Lời giải: Chọn D. Gọi H là trọng tâm tam giác ABD . Do ' A A B D là hình chóp đều, nên ' A H ABD hay ' A H ABCD . Tam giác ABD đều cạnh a nên 3 2 2 3 3 . . 2 3 3 2 3 a a a AO AH AO Khi đó 2 2 2 2 3 6 ' ' 9 3 a a A H A A AH a và 2 2 3 3 2 2. 4 2 ABCD ABD a a S S 2 3 . ' ' ' ' 6 3 2 ' . . . 3 2 2 ABCD A B C D ABCD a a a V V A H S Bài toán 7: Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi điểm I thuộc cạnh AB sao cho 2 IA IB và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là trung điểm của CI . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 0 60 . Tính theo a thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 7 . 24 a V B. 3 7 . 8 a V C. 3 3 . 4 a V D. 3 3 . 12 a V Lời giải: Chọn A. Gọi H là trung điểm của CI 0 , 60 . SH ABC SC ABC SCH Ta có: 1 . 3 3 a BI AB Xét tam giác BCI : 2 2 2 2 2 2 0 2 . .cos 7 2. . .cos60 . 3 3 9 CI BC BI BC BI CBI a a a a a 7 7 . 3 2 6 a CI a CI CH Xét tam giác SHC ta có: 0 7 21 .tan .tan 60 6 6 a a SH CH SCH a a A' O H B A D D C C' B' I H C B S ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 136 Thể tích khối đa diện Do ABC là tam giác đều cạnh a nên 2 3 . 4 ABC a S Vậy 2 3 1 1 21 3 7 . . . . . 3 3 6 4 24 ABC a a a V SH S Bài toán 8: Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 0 60 . Gọi M là trung điểm BC và I là trung điểm của AM . Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy ' ' ' A B C là trọng tâm G của tam giác ' ' ' A B C . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . A. 3 3 3 . 16 a V B. 3 3 . 48 a V C. 3 3 . 16 a V D. 3 3 . 4 a V Lời giải: Chọn C. Gọi ' M là trung điểm của ' ' B C . Gọi H là hình chiếu của A trên ' ' A M / / ' ' ' AH IG AH A B C (do ' ' ' IG A B C ). Suy ra 0 ', ' ' ' ' 60 . AA A B C AA H Ta có AIGH là hình chữ nhật, suy ra: ' ' 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 3 2 ' ' ' . 6 AM A M HG AI A M A M A M A H GM A H A M A H Do ' ' ' A B C là tam giác đều cạnh a , nên 2 ' ' ' 3 4 3 3 ' ' ' 2 12 A B C a S a a A M A H Xét tam giác ' A A H , ta có 0 3 ' .tan ' .tan 60 12 4 a a AH A H AA H Khi đó 2 3 . ' ' ' ' ' ' 3 3 . . . 4 4 16 ABC A B C A B C a a a V AH S Bài toán 9: Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B C . Mặt phẳng A NM cắt cạnh BC tại P . Thể tích khối đa diện . MBP A B N bằng A. 3 7 3 32 a . B. 3 3 32 a . C. 3 7 3 68 a . D. 3 7 3 96 a . Lời giải: Chọn D. B M I G H A' B' M' C' C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 137 Thể tích khối đa diện Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của BE Khi đó / / MF AE mà / / AE A N nên / / MF A N . Suy ra các điểm , , , A M F N cùng thuộc một mặt phẳng. Vậy A MN cắt cạnh BC tại P nên P trùng với F . Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện “Thể tích khối chóp cụt là 3 h V B B BB với h là chiều cao, , B B lần lượt là diện tích hai đáy” Vậy thể tích khối đa diện . MBP A B N có chiều cao h BB a Và diện tích đáy 8 8 2 2 ABC MBP A B C A B N S S B S S S B S với 2 3 4 a S . Vậy thể tích khối đa diện . MBP A B N là 3 7 3 . 3 8 2 8 2 96 BB S S S S a V . Bài toán 10: Cho hình chóp . S ABCD có 2 SA SB SC a và đáy ABC là tam giác cân. Biết 0 120 BAC và 2 BC a Tính theo a thể tích V của khối chóp . . S ABC A. 3 2 . 9 a V B. 3 2 . 3 a V C. 3 3 . 2 a V D. 3 3 . 6 a V Lời giải: Chọn A. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , suy ra SH ABC (do SA SB SC ). Do 0 120 BAC nên ABC là tam giác cân tại A Suy ra 0 30 . ABC Gọi M là trung điểm BC 0 3 .tan 30 3 a BM a AM BM Suy ra 2 . 3.2 3 2 3.2 3 ABC AM BC a a a S Áp dụng định lý Sin trong tam giác ABC ta có: 0 2 4 2 2 2 sin120 3 3 sin BC a a a HA R HA BAC Suy ra: 2 2 2 2 4 6 2 3 3 a a SH SA HA a Khi đó 2 3 . 1 1 6 3 2 . . . . 3 3 3 3 9 S ABC ABC a a a V V SH S M E B P A' B' N C' C A C H M A B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 138 Thể tích khối đa diện Bài toán 11: Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C có BB a , góc giữa đường thẳng BB và ABC bằng 60 , tam giác ABC vuông tại C và 60 BAC . Hình chiếu vuông góc của điểm B lên ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện . A ABC theo a bằng A. 3 13 108 a . B. 3 7 106 a . C. 3 15 108 a . D. 3 9 208 a . Lời giải: Chọn D. Gọi , M N là trung điểm , AB AC và G là trọng tâm của tam giác ABC . ; 60 B G ABC BB ABC B BG . . 1 1 . . . . 3 6 A ABC ABC V S B G AC BC B G Xét tam giác B BG vuông tại G , có 60 B BG 3 .cos60 , 2 2 a a B G BB BG Đặt 2 AB x . Trong tam giác ABC vuông tại C , có 60 , 3 BAC AC x BC x Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 2 3 3 4 a BN BG . Xét tam giác BNC vuông tại C , có: 2 2 2 2 2 2 3 2 13 9 3 3 16 4 3 3 2 13 2 13 a AC a x a BN NC BC x x a BC Vậy 3 . 1 3 3 3 3 9 . . . 6 2 208 2 13 2 13 A ABC a a a a V . Bài toán 12: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi tâm O , 2 3, 2 . AC a BD a Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Biết khoảng cách từ tâm O đến SAB bằng 3 . 4 a Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 3 . 9 a V B. 3 3. V a C. 3 3 . 6 a V D. 3 3 . 3 a V Lời giải: Chọn D. G A' 60° B M N A C C' B'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 139 Thể tích khối đa diện +) Gọi AC BD O . Ta có: SAC ABCD SBD ABCD SO ABCD SAC SBD +) Kẻ OI AB I AB và kẻ . OH SI H SI 3 , . 4 a d O SAB OH Vì ABCD là hình thoi nên: 3 2 A C OA a và . 2 BD OB a Xét tam giác vuông : AOB 2 2 . 3. 3 . 2 3 OA OB a a a OI AB a a Xét tam giác vuông : SOI 2 2 2 2 2 2 1 1 1 16 4 4 2 3 3 a SO SO OH OI a a a ABCD là hình thoi nên: 2 1 1 . .2 3.2 2 3 2 2 ABCD S AC BD a a a 3 2 . 1 1 3 . . . .2 3 . 3 3 2 3 S ABCD ABCD a a V V SO S a Bài toán 13: Cho lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có 0 135 ACB , 10 ' , 2 4 a CC AC a và BC a . Hình chiếu vuông góc của ' C lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của đoạn AB . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . A. 3 6 . 24 a V B. 3 3 6 . 8 a V C. 3 6 . 8 a V D. 3 3 . 8 a V Lời giải: Chọn C. Ta có: 2 0 1 1 . .sin 2. .sin135 . 2 2 2 ABC a S CA CB ACB a a Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có: 2 2 2 2 2 0 2 2 . .cos 2 2 2 cos135 5 AB AC BC AC BC ACB a a a a Khi đó: 2 2 2 2 2 . 2 4 4 CA CB AB a CM Suy ra: 2 2 6 ' ' 4 a C M C C CM Suy ra thể tích 2 3 6 6 ' . . . 4 2 8 ABC a a a V C M S I A H O B C D S A' C A M B B' C'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 140 Thể tích khối đa diện Bài toán 14: Cho hình lăng trụ đứng . ’ ’ ’, ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân tại , A , AB AC a BAC . Gọi M là trung điểm của ’, AA tam giác ’ C MB vuông. Thể tích của khối lăng trụ . ’ ’ ’ ABC A B C là: A. 3 sin . cos a B. cos 3 . sin a C. cot 3 . sin a D. 3 tan . cos a Lời giải: Chọn A. Diện tích đáy của khối lăng trụ là: 2 1 sin 2 S a Đặt ' A A x . Suy ra: 2 2 ' 4 x MB MC a . Nên BMC vuông cân tại M 2 2 2 2 2 x BC MB a 1 Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 ' ' BC B C B B BC AA BC x 2 Từ 2 2 2 2 1 , 2 2 2 x BC x a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 2 2 2 cos 2 4 cos 2 cos 2 x AB AC AB AC x a x a a x a x a x a Thể tích của khối lăng trụ là 2 3 1 sin .2 cos sin . cos 2 V a a a . Bài toán 15: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ' ABCD A B C D với ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 3 , , 2. AB a AD a BC a . Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ' A DC bằng 2 5 . 5 a Khi đó thể tích V của khối lăng trụ . ' ' ' ' A B C D A B C D bằng bao nhiêu? A. 3 5 . 3 a V B. 3 5 . V a C. 3 10 . V a D. 3 10 . 3 a V Lời giải: Chọn B. Ta có: / / , ' , ' . AB CD d B A DC d A A DC Kẻ ' ' AH A D AH A DC 2 5 , ' . 5 a d A A DC AH Xét tam giác ' , A AD ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 1 1 ' 4 4 A A AH AD a a a α B' M A B C C' A' H C' D' D A K C B B' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 141 Thể tích khối đa diện ' 2 . A A a Kẻ CK AB ADCK là hình chữ nhật . CK AD a Suy ra 2 2 KB CB CK a 3 2 . DC AK AB KB a a a Khi đó: 3 . ' ' ' ' . 3 2 . ' . ' . 2 . 5 . 2 2 ABCD A B C D ABCD AB DC AD a a a V V A A S A A a a Bài toán 16: Cho hình chóp . S ABC , có 5 AB cm , 6 BC cm , 7 AC cm . Các mặt bên tạo với đáy 1 góc 60 . Thể tích của khối chóp bằng: A. 3 105 3 2 cm . B. 3 35 3 2 cm . C. 3 24 3 cm . D. 3 8 3 cm . (Trích đề thi thử THPT Triệu Thị Trinh lần 1 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC và I , J , K là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh BC ,CA , AB Ta có SH ABC ; HI BC , HJ CA , HK AB , SBC ABC SIH ; , SCA ABC SJH , , SAB ABC SKH . Mà các mặt bên tạo với đáy 1 góc 60 nên 60 SIH SJH SKH . SHI SHJ SHK (cạnh góc vuông– góc nhọn) HI HJ HK H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác ABC S p p BC p CA p AB , với 9 2 AB BC CA p 9.2.3.4 6 6 ABC S . Mà 2 6 3 ABC S pr r 2 6 3 HI HJ HK ( r : bán kính đường tròn nội tiếp ABC ) Tam giác SHI vuông tại H có .tan 60 2 2 SH HI . Khi đó 3 . 1 . 8 3 3 S ABC ABC V S SH cm . H J A K B I C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 142 Thể tích khối đa diện Bài toán 17: Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi 1 G , 2 G , 3 G , 4 G lần lượt là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Tính thể tích V của khối tứ diện 1 2 3 4 G G G G . A. 2 4 V . B. 2 18 V . C. 9 2 32 V . D. 2 12 V . (Trích đề thi thử THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-2017-2018) Lời giải: Chọn D. Tứ diện đều 1 . ABCD AG BCD 2 3 2 4 // ; // G G MN G G MP suy ra: 2 3 4 / / G G G BCD 1 2 3 4 2 1 ; 1 . 3 d G G G G MG G A MA 2 2 1 1 1 2 2 3 3 . 3 6. 3 3 2 CG CP G A AC G C 1 2 3 4 6 ; . 3 d G G G G Lại có 2 3 2 2 3 2 2 1 1. 3 3 3 G G AG G G MN BD MN AM Tương tự 3 4 4 2 1, 1 G G G G 2 3 3 G G G là tam giác đều có cạnh bằng 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 0 2 3 3 4 1 2 3 4 1 3 1 2 . sin 60 ; . . 2 4 3 12 G G G G G G G G G G S G G G G V d G G G G S Bài toán 18: Hình lăng trụ đứng . ABC A B C có diện tích đáy bằng 4 , diện tích ba mặt bên lần lượt là 9, 18 và 10 . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C bằng A. 4 11951 . B. 4 11951 2 . C. 11951 . D. 11951 2 . (Trích đề thi thử THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ lần 2 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Đặt , AA x AB c , , AC b BC a . Suy ra: 18 2 9 10 10 9 xc c b xb a b xa . Ta có 4 4 ABC S p p a p b p c với 37 2 18 a b c p b 37 37 10 37 37 2 4 18 18 9 18 18 b b b b b b b 4 3 2 1 G G G G P N M B C D A a b c x A B C C' B' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 143 Thể tích khối đa diện 1296 11951 b . Suy ra 11951 8 x . Vậy thể tích khối lăng trụ . ABC A B C : 11951 11951 . .4 8 2 ABC V AA S . Bài toán 19: Cho hình chóp . S ABC có AB a , 3 AC a , 2 SB a và 90 ABC BAS BCS . Sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng 11 11 . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 2 3 9 a . B. 3 3 9 a . C. 3 6 6 a . D. 3 6 3 a . (Trích đề thi thử THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Lời giải: Chọn C. - Dựng SD ABC tại D . Ta có: BA SA BA SAD BA SD BA AD . Và: BC SD BC SCD BC CD BC SC ABCD là hình chữ nhật 2 2 2 DA BC AC AB a , DC AB a - Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SA C BSH là góc giữa SB và mặt phẳng SAC 11 sin 11 BSH ; d B SAC BH SB SB ; d D SAC SB 2 2 1 11 ; SB d D SAC 1 . - Lại có : 2 2 2 2 1 1 1 1 ; DS DA DC d D SAC 2 2 2 2 1 1 1 SB BD DA DC 2 2 2 1 3 3 2 SB a a 2 . (do , , DS DA DC đôi một vuông góc với nhau) - Từ 1 và 2 suy ra: 2 11 SB 2 2 2 1 3 3 2 SB a a 2 2 2 2 6 11 3 SB a SB a 6 11 3 SB a SB a Theo giả thiết 2 SB a 6 3 SB a SD a . Vậy 3 1 1 6 . . 3 2 6 SABC a V SD BA BC . D C B H A SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 144 Thể tích khối đa diện II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH GIÁN TIẾP BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP CÁC KHỐI CHÓP Trong nhiều trường hợp, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện bằng phương pháp trực tiếp gặp khó khăn vì hai lí do: khó xác định và tính được chiều cao hoặc khó tính được diện tích đáy. Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp tính thể tích gián tiếp. 1. PHƯƠNG PHÁP Tính thể tích bằng cách chia nhỏ khối đa diện o Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể tính thể tích của chúng. o Sau đó, ta cộng các kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm. Tính thể tích bằng cách ghép thêm khối đa diện khác Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Một hình hộp chữ nhật . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có ba kích thước là 2 , 3 , 6 cm cm cm . Thể tích của khối tứ diện . ’ ’ A CB D bằng. A. 3 8 . cm B. 3 12 . cm C. 3 6 . cm D. 3 4 . cm Lời giải: Chọn B. Ta có: . ' ' ' ' . ' . ' '. ' ' . ' ' ' . ' ' ABCD A B C D B AB C D ACD A B AD C B C D A CB D V V V V V V . ' ' ' ' . ' . ' ' . ' ' . ' ' ' ' . ' 4 4 ABCD A B C D B AB C A CB D A CB D ABCD A B C D B AB C V V V V V V Mà . . 1 1 1 . . . 3 6 6 B BAC ABC ABCD ABCD A B C D V S BB S BB V 3 . ' ' . ' ' ' ' . ' ' ' ' . ' ' ' ' 1 1 1 4. .2.3.6 12 . 6 3 3 A CB D ABCD A B C D ABCD A B C D ABCD A B C D V V V V cm Bài toán 2: Cho hình hộp chữ nhật . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có , , ' AB a BC b AA c . Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của ’ ’ A B và ’ ’. B C Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp ’. D DMN và thể tích khối hộp chữ nhật . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D A. 1 2 B. 1 5 C. 1 8 D. 1 4 6cm 2cm 3cm C' D' A' B' B C D ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 145 Thể tích khối đa diện Lời giải: Chọn C. Thể tích khối chóp ’. D DMN chính là thể tích khối chóp . ’ D D MN Ta có ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' D MN A B C D D A M D C N B MN S S S S S 3 4 4 8 8 ab ab ab ab ab Thể tích khối chóp ’. D DMN là: 1 ' 1 1 3 . ' . . 3 3 8 8 D MN ab abc V S DD c Thể tích của khối hộp chữ nhật . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D là V abc 1 1 8 V V . Bài toán 3: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2 SN ND . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN . A. 3 1 12 V a B. 3 1 6 V a . C. 3 1 8 V a . D. 3 1 36 V a . (Trích đề thi thử Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ lần 1--2017-2018) Lời giải: Chọn A. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Vì OM SD // nên SD AMC // . Do đó ; ; d N AMC d D AMC Vì ; ; BD AMC O d D AMC d B AMC BO DO . . . . ACMN N MAC D MAC B MAC M ABC V V V V V . Kẻ // MH SA H AB MH ABC 3 . 1 1 1 .S . . 3 6 2 12 ABCD ACMN M ABC ABC S V V MH SA a Bài toán 4: Cho khối lăng trụ . ABC A B C . Gọi M là trung điểm của BB , N là điểm trên cạnh CC sao cho 3 CN NC . Mặt phẳng ( ) AMN chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích 1 V và 2 V như hình vẽ. Tính tỉ số 1 2 V V . b a c b a N M B' A' D' C' D C B A N A H O D C B M S B 2 1 V V A' M B' N C' C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 146 Thể tích khối đa diện A. 1 2 5 3 V V . B. 1 2 3 2 V V . C. 1 2 4 3 V V . D. 1 2 7 5 V V . (Trích đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo-TP HCM năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Gọi M là trung điểm của CC , ta có: 1 2 BCM M BCC B S S , 1 4 M MN BCM M S S 1 8 BCC B S 5 8 BMNC BCC B S S 2 . A BCB C V V 1 , .S 3 1 , .S 3 BCNM BCB C d A BCB C d A BCB C 5 8 . . . A A B C ABC A B C V V 1 ; .S 3 ; .S A B C A B C d A A B C d A A B C 1 3 . . 2 3 A BCC B ABC A B C V V 2 . ABC A B C V V 5 2 . 8 3 5 12 . Do . 1 2 ABC A B C V V V 1 2 7 5 V V . Bài toán 5: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 60 BAD và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 45 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC . Mặt phẳng MND chia khối chóp . S ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích 1 V , khối đa diện còn lại có thể tích 2 V (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 12 7 V V . B. 1 2 5 3 V V . C. 1 2 1 5 V V . D. 1 2 7 5 V V . (Trích đề thi thử THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) M' A C C' N B' M A' V V 1 2 BBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 147 Thể tích khối đa diện Lời giải: Chọn D. Goi O AC BD . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 45 45 SOA . BAD đều 3 2 a AO 3 2 6 .tan 45 . 2 2 4 a a SA AO . Thể tích khối chóp . S ABCD: 1 .2 3 ABD V SA S 2 3 2 6 3 2 . . 3 4 4 8 a a a . Ta có: 1 2 BI MB BI AI CD MC ; lại có: 0 60 IAD IBM ; MIB AID (đối đỉnh) Suy ra: IBM IAD Nên: . N MCD V . N ABCD V bằng: 3 1 2 2 16 a V V . K chính là trọng tâm của 1 3 SMC BK SB Thể tích khối chóp KMIB bằng: 1 1 1 1 . , . . , . . 3 3 3 9 MBI MBI MBI V d K MBI S d S MBI S SA S . Ta có: 2 0 1 3 . .sin 60 2 2 8 MBI IAD a a S S a 2 3 1 6 3 2 " . . 9 4 8 96 a a a V Khi đó: 3 3 3 2 2 2 5 2 16 96 96 a a a V V V ; 3 3 3 1 2 2 5 2 7 2 8 96 96 a a a V V V . Vậy 1 2 7 5 V V . Bài toán 6: Cho hình lăng trụ . ABC A B C có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , A C , BB . Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng: A. 5 24 V . B. 1 4 V . C. 7 24 V . D. 1 3 V . (Trích đề thi thử THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần 1 năm 2017-2018) Lời giải: O N M K I A B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 148 Thể tích khối đa diện Chọn A. Gọi I là trung điểm AC và NP BI J . Lại có 1 2 BN IP // suy ra BN là đường trung bình tam giác PIJ . Suy ra B là trung điểm IJ . Suy ra CM BI G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có JCM BCM S JG S BG mà JG BJ BG 2 5 3 3 BI BI BI 5 5 3 2 2 3 JCM BCM BI S S BI 5 2 JCM BCM S S 5 4 JCM ABC S S ( vì 1 1 . .sin ; . .sin 2 2 2 BCM ABC BCM S BC BM B S BC BA B S ) Ta có . 1 1 1 5 5 5 . . . . 3 3 2 4 24 24 N JCM JCM ABC ABC V NB S PI S PI S V . . 1 1 5 5 5 . . . 3 3 4 12 12 P JCM JCM ABC ABC V PI S PI S PI S V . Vậy . . . 5 5 5 12 24 24 N CMP P JCM N JCM V V V V V V . Bài toán 7: Cho hình lăng trụ . ABC A B C . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC sao cho 2 AM MA , 2 NB NB , PC PC . Gọi 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và A B C MNP . Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 2 V V . B. 1 2 1 2 V V . C. 1 2 1 V V . D. 1 2 2 3 V V . (Trích đề thi thử THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Lời giải: Chọn C. J N G I M A B C B' P C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 149 Thể tích khối đa diện Gọi V là thể tích khối lăng trụ . ABC A B C . Ta có 1 . . M ABC M BCPN V V V . . 1 1 2 2 . , . . , 3 3 3 9 M ABC ABC ABC V S d M ABC S d A ABC V . . 1 1 1 1 . , . . , 3 3 3 9 M A B C A B C A B C V S d M A B C S d M A B C V . Do BCC B là hình bình hành và 2 NB NB , PC PC nên 7 5 B C PN BCPN S S . . 7 5 M B C PN M BCPN V V Ta có: . . . . M ABC M BCPN M A B C M B C PN V V V V V . . . 2 1 7 5 9 9 5 18 M BCPN M BCPN M BCPN V V V V V V V . Như vậy 1 2 2 5 1 1 9 18 2 2 V V V V V V . Bởi vậy: 1 2 1 V V . Bài toán 8: Cho tứ diện ABCD có 11 , 20 , 21 . AB CD m BC AD m BD AC m Tính thể tích khói chóp tứ diện . ABCD A. 3 360 . m B. 3 720 . m C. 3 7 70 . m D. 3 340 . m Lời giải: Chọn A. Dựng tam giác MNP sao cho , , C B D lần lượt là trung điểm các cạnh , , . MN MP NP Do BD là đường trung bình tam giác MNP nên 1 2 BD MN hay 1 . 2 AC MN Tam giác AMN vuông tại A (do có trung tuyến bằng một nửa cạnh tương ứng), hay AM AN . Tượng tự ; . AP AN AM AP Ta có 1 1 1 , , . 4 4 4 MBC MNP NCD MNP PBD MNP S S S S S S Suy ra 1 4 BCD MNP S S . Từ đó, 1 4 ABCD AMNP V V . Đặt , , . x AM y AN z AP N A B C M P B' C' A' 11 21 20 21 11 20 z y x B M C N D P ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 150 Thể tích khối đa diện Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4.20 4.21 4.11 x y y z x z 2 2 3 2 160 1 1 1440 1440 360 . 6 4 324 AMNP ABCD AMNP x y V xyz V V m z ( , , AM AN AP đôi một vuông góc nên 1 . . 6 AMNP V AM AN AP ) Bài toán 9: Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có tất cả các cạnh bằng 1 . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AA và BB ; đường thẳng CE cắt đường thẳng C A tại E , đường thẳng CF cắt đường thẳng ' C B tại F . Thể tích khối đa diện EFA B E F bằng A. 3 6 . B. 3 2 . C. 3 3 . D. 3 12 . Lời giải: Chọn A. Thể tích khối lăng trụ đều . ABC A B C là . 3 3 . .1 4 4 ABC A B C ABC V S AA . Gọi M là trung điểm AB CM ABB A và 3 2 CM . Do đó, thể tích khối chóp . C ABFE là . 1 . 3 C ABFE ABFE V S CM 1 1 3 3 .1. . 3 2 2 12 . Thể tích khối đa diện A B C EFC là . . A B C EFC ABC A B C C ABFE V V V 3 3 3 4 12 6 . Gọi H là trung điểm của B C 3 ; 2 A H B C A H BCB C AH Do A là trung điểm C E nên , ' 2 , ' d E BCC B d A BCC B 3 2. 2. 3 2 AH . Ta có: ' 1 CC F F B F FB C C FBC FB C C BCC B S S S S S S . Thể tích khối chóp . E CC F là . 1 . , ' 3 E CC F CC F V S d E BCC B 1 3 .1. 3 3 3 . Thể tích khối đa diện EFA B E F bằng . EFA B E F E CC F A B C EFC V V V 3 3 3 3 6 6 . H F E' B' E F' A M B C C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 151 Thể tích khối đa diện III. PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH 1. PHƯƠNG PHÁP Phương pháp này được sử dụng với bài toán tìm thể tích của khối đa diện mà ta biết được tỉ số thể tích của nó với khối đa diên khác (đa diện này biết trước hoặc tính được thể tích một cách dễ dàng). Phương pháp này sử dụng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác được trình bày sau đây. Công thức tỉ số thể tích đối với hình chóp tam giác: Cho hình chóp Trên các đoạn thẳng lần lượt lấy ba điểm khác với S . Ta có tỉ số thể tích: . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC Chú ý: + Nếu ta có: . ' ' ' . ' ' . S A B C S ABC V SB SC V SB SC + Nếu ', ' A A B B thì: . ' ' ' . ' S A B C S ABC V SC V SC + Nếu ', ', ' A A B B C C thì . ' ' ' . S A B C S ABC V V Chứng minh công thức: Gọi ' ' B SC BSC Ta có: ', ' ' , d A SBC SA AA SBC S SA d A SBC Ta có ' ' . ' ' ' '. ' . . 1 ', ' ' . 3 1 , . 3 SB C S A B C A SB C S ABC A SBC SBC d A SB C S V V V V d A SBC S 1 1 ', . . '. '.sin 3 2 1 1 , . . . .sin 3 2 d A SBC SB SC d A SBC SB SC ' ' ' . . SA SB SC SA SB SC Trong các trường hợp ', ', ' A A B B C C thì suy ra ; ; SA SA SB SB SC SC , suy ra điều phải chứng minh. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Gọi ', ' B D lần lượt là trung điểm của , AB AD . Mặt phẳng ( ' ') CB D chia khối tứ diện thành hai phần. Tính theo V thể tích khối chóp . ' ' C B D DB A. 3 . 2 V B. . 4 V C. . 2 V D. 3 . 4 V Lời giải: . . S ABC , , SA SB SC ', ', ' A B C ' A A α S C' C B' B A' ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 152 Thể tích khối đa diện Chọn A. Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích, ta có: . ' ' . . ' ' ' ' 1 . . 4 4 A B CD A BCD A B CD V AB AC AD V AB AC AD V V . . ' ' . ' ' . ' ' 3 . 4 4 A BCD A B CD C BDD B C BDD B V V V V V V V Bài toán 2: Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm CD , I là giao điểm của AC và . BM Tính tỷ số thể tích (theo thứ tự) các khối chóp . S ICM và . S ABCD . A. 1 . 2 B. 1 . 4 C. 1 . 3 D. 1 . 12 Lời giải: Chọn D. Ta có . 1 , . 3 S ICM ICM V d S ABCD S . 1 , . 3 S ABCD ABCD V d S ABCD S Ta có 1 4 BCM ABCD V S Mà I là trọng tâm của BCD 1 3 ICM BCD S IM BM S . . 1 1 1 3 12 12 S ICM ICM BCM ICM ABCD S ABCD V S S S S V Bài toán 3: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng V , thể tích của khối đa diện có đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD bằng V . Tính tỉ số V V . A. 1 2 V V . B. 1 8 V V . C. 1 4 V V . D. 3 4 V V . (Trích đề thi thử THPT Sơn Tây-Hà Nội-L1/2017-2018) Lời giải: Chọn A. Ta có: ABCD AEJF BIEG DHGF CIJH V V V V V V Ta có 1 1 1 1 . . . . 2 2 2 8 AEJF AEJF ABCD V V AE AJ AF V V AB AC AD . Tương tự: 1 8 BIEG V V , 1 8 CIJH V V , 1 8 DHGF V V . Vậy: 1 1 4. 8 V V 1 2 . B C D B' D' A I A B C M D S E G J B I C H D F ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 153 Thể tích khối đa diện Bài toán 4: Cho khối chóp tứ giác đều . . S ABCD Mặt phẳng ( ) đi qua , A B và trung điểm M của . SC Tỉ số thể tích của hai phần khối chóp (phần trên chứa điểm S chia phần dưới) bị phân chia bởi mặt phẳng đó là. A. 1 . 4 B. 3 . 8 C. 5 . 8 D. 3 . 5 Lời giải: Chọn D. Vì // AB MAB CD SCD AB CD Giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ song song với , AB CD . Kẻ / / ( ), MN CD N CD suy ra hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp. Ta có . . . S ABMN S ABM S AMN V V V Mà . . 1 . 2 S ABM S ABC V SM V SC Suy ra . . . 1 1 2 4 S ABM S ABC S ABCD V V V Và . . . . 1 1 . 4 8 S AMN S AMN S ABCD S ACD V SM SN V V V SC SD Suy ra . . . . 1 1 3 4 8 8 S ABMN S ABCD S ABCD S ABCD V V V V Từ đó suy ra . 5 8 ABMNDC S ABCD V V nên . 3 . 5 S ABMN ABMNDC V V Bài toán 5: Cho hình chóp tam giác . S ABC và có M là trung điểm của , SB N là điểm trên cạnh SC sao cho 2 , NS NC P là điểm trên cạnh SA sao cho 2 . PA PS Kí hiệu 1 2 ; V V lần lượt là thể tích của khối tứ diện BMNP và . SABC Tính tỉ số 1 2 . V V A. 1 2 1 . 9 V V B. 1 2 3 . 4 V V C. 1 2 2 . 3 V V D. 1 2 1 . 3 V V Lời giải: Chọn A. . . 1 . , . 3 ; 1 . , . 3 BMP N BMP C SAB SAB d N SAB S V V d C SAB S Ta có: , 2 3 , d N SAB NS CS SAB S CS d C SAB 1 1 1 1 . . 2 2 3 6 BMP BPS SAB SAB S S S S . Suy ra . . 2 1 1 . . 3 6 9 N BMP C SAB V V M N D C B A S M P A B C N SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 154 Thể tích khối đa diện Bài toán 6: Cho hình chóp tam giác . S ABC và một điểm M nằm trong tam giác . ABC Đường thẳng qua M song song với SA cắt mặt phẳng BCS tại ' A . Tỉ số thể tích giữa khối chóp . M BCS và . S ABC là. A. ' . MA SM B. ' . ' MA SA C. ' . MA SA D. . ' SM SA Lời giải: Chọn C. Trong SAN M kẻ ’ MA song song với SA ; với ' A SN Có: ' MA MN MA SA SA NA // Ta có: . . . . . 1 ; 3 1 ; . 3 M BCS S MBC MBC M BCS MBC S ABC ABC S ABC ABC V V d S ABC S V S V S V d S ABC S Mà . . ( ; ) ' ' . ( ; ) MBC M BCS ABC S ABC S V d M BC MN MA MA S d A BC AN SA V SA Bài toán 7: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông , AB C D ( ) SA ABCD . Mặt phẳng qua AB cắt SC và SD lần lượt tại M và N sao cho SM x SC . Tìm x biết . . 11 . 200 S ABMN S ABCD V V A. 0,25. B. 0,2. C. 0,3. D. 0,1. Lời giải: Chọn D. Ta có: / / / / / / CD AB CD ABMN CD MN Nên SM SN x SC SD Ta có . . . 1 1 2 2 S ACB S ACD S ABCD V V V V Và 2 . . . . . , S AMN S AMB S ACD S ABC V V SM SN SM x x V SC SD V SC 2 2 . . . . . . . . 2 2 11 . 2 200 S AMN S AMB S ABMN S ABMN S ACD S ABC S ABC S ABCD V V V V x x Do x x V V V V x x 2 0 1 0,1 100 100 11 0 x x x x A N D C B M S M A' A B N C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 155 Thể tích khối đa diện Bài toán 8: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Mặt phẳng P qua BC và vuông góc với . SA P cắt SA tại D . Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp . S BDC và . . S ABC A. 5 . 7 B. 5 . 8 C. 5 . 9 D. 5 . 11 Lời giải: Chọn B. Gọi M là trung điểm của . BC Vì . S ABC là hình chóp đều nên hình chiếu của S lên ABC trùng với trọng tâm H của ABC Suy ra ( ) SH ABC SH BC và SM BC nên ( ). BC SAM Từ M kẻ MD vuông góc với SA tại D nên ( ) ( ) SA DBC P Lại có ( ;( )) ( ; ) 60 SA ABC SA AH SAH Do đó 2 3 cos cos60 3 AH AH a SAH SA SA Trong tam giác vuông ADM có: 0 3 3 .cos .cos60 2 4 a a DA AM DAM 2 3 3 5 3 3 4 12 a a a SD SA DA Vậy . . 5 3 5 12 . . . 8 2 3 3 S BDC S ABC a V SD SB SC SD V SA SB SC SA a Bài toán 9: Cho khối hộp . ABCD A B C D . Gọi , M , N P lần lượt là trung điểm của , AB AD và AA . Tính tỉ số thể tích k của khối chóp . A MNP và khối hộp đã cho. A. 1 12 k . B. 1 48 k . C. 1 8 k . D. 1 24 k . (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Lời giải: Chọn B. . . A MNP P AMN V V Ta có: 1 1 1 1 . 4 4 2 8 ; 1 2 ; AMN ABD ABCD ABCD S S S S d P AMN PA A A d A ABCD . Suy ra: P. 1 . . ; 3 AMN AMN V S d P AMN . 1 1 1 . . ; 3 8 2 ABCD S d A ABCD H D A C M B S P N A M B C D C' B' D' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 156 Thể tích khối đa diện . . 1 48 A MNP ABCD A B C D V V . Vậy 1 48 k . Bài toán 10: Cho hình chóp đều . S ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC . Mặt phẳng chứa AB và đi qua G cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại M và N . Biết mặt bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60 . Thể tích khối chóp . S ABMN bằng: A. 3 3 4 a . B. 3 3 8 a . C. 3 3 16 a . D. 3 3 3 16 a . (Trích đề thi thử TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Lời giải: Chọn C. Vì G là trọng tâm tam giác SAC nên G cũng là trọng tâm của tam giác SBD . Suy ra AG cắt SC tại trung điểm M của SC , tương tự BG cắt SD tại trung điểm N của SD Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB . 0 , 60 AB OI SAB ABCD SIO AB SI Do đó 3 .tan 60 2 a SO OI . Suy ra 3 2 . 1 1 3 3 . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V S SO a . . . 1 2 S ABM S ABC V SA SB SM V SA SB SC . . . 1 1 2 4 S ABM S ABC S ABCD V V V . . . 1 1 1 2 2 4 S AMN S ACD V SA SN SM V SA SD SC . . . 1 1 4 8 S AMN S ACD S ABCD V V V . Vậy 3 3 . . . . . 1 1 3 3 3 3 . 4 8 8 8 6 16 S ABMN S ABM S AMN S ABCD S ABCD a a V V V V V . Bài toán 11: Cho hình chóp . S ABC có 60 ASB BSC CSA , 2 SA , 3 SB , 6 SC . Tính thể tích của khối chóp . S ABC . A. 6 2 (đvtt). B. 18 2 (đvtt). C. 9 2 (đvtt). D. 3 2 (đvtt). (Trích đề thi thử THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Trên cạnh SB , SC lần lượt lấy E, F sao cho 2 SE và 2 SF . Mặt khác ASB BSC 60 CSA suy ra hình chóp . S AEF là chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2. a I G N M O D A B C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 157 Thể tích khối đa diện Gọi H là trọng tâm AEF SH AEF Gọi 1 A là trung điểm của EF 1 1 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 6 3 AA AH AA SH SA AH Suy ra . 1 2 2 . 3 3 S AEF AEF V SH S . Ta có: . . . S AEF S ABC V SE SF V SB SC 2 1 . 3 3 2 9 . . 9 2 S ABC S AEF V V 3 2 . Bài toán 12: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích bằng V . Lấy điểm B , D lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD. Mặt phẳng qua AB D cắt cạnh SC tại C . Khi đó thể tích khối chóp . S AB C D bằng A. 3 V B. 2 3 V C. 3 3 V D. 6 V (Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Lời giải: 60° 60° 60° 6 3 2 E F A B C S H 1 F E A S A H C' B' O A B C D' D S (d) H A O C' C K S Chọn D. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 158 Thể tích khối đa diện Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thì SO B D H . Khi đó H là trung điểm của SO và C AH SO . Trong mặt phẳng SAC : Ta kẻ d AC // và AC cắt d tại K . Khi đó áp dụng tính đồng dạng của các tam giác ta có : 1 OH OA SK OA SH SK 1 2 SK AC Lại có: 1 2 SK SC AC CC 1 3 SC SC . Vì . . . 1 . 2 2 S ABD S BCD S ABCD V V V V nên ta có . . 1 4 S AB D S ABD V SA SB SD V SA SB SD . 1 8 S AB D V V . . 1 4 S B C D S BCD V SB SC SD SC V SB SC SD SC . 24 S B C D V V . Suy ra . . . 8 24 6 S AB C D S AB D S B C D V V V V V V . Lưu ý: Có thể sử dụng nhanh công thức SA SC SB SD SA SC SB SD Bài toán 13: Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Mặt phẳng P qua B và vuông góc với A C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là 1 V và 2 V với 1 2 V V . Tỉ số 1 2 V V bằng A. 1 47 . B. 1 23 . C. 1 11 . D. 1 7 . (Trích đề thi thử THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn A. Gọi H là trung điểm của A C , A B C đều nên B H A C B H ACC A . Trong ACC A , kẻ HE A C , HE A A I . Ta có: B H A C A C B HI HI A C P B HI . E I A C C' H A' I E H C' B' A' C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 159 Thể tích khối đa diện A EH A C C ∽ A E A C A H A C . A C A H A E A C 5 10 a . A IH A C C ∽ IH A C A H C C . A C A H IH C C 5 4 a . 1 . 2 B HI S B H HI 2 1 3 5 15 . . 2 2 4 16 a a a . 1 1 . 3 B HI V S A E 2 1 15 5 . . 3 16 10 a a 3 3 96 a . . . ABC A B C ABC V S A A 2 3 .2 4 a a 3 3 2 a . 3 2 . 1 47 3 96 ABC A B C V V V a do đó 1 2 1 47 V V . Bài toán 14: Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng a. Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá đầu). A. 2 2 3 a . B. 2 3 2 a . C. 2 4 a . D. 2 3 4 a (Trích đề thi thử THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Gọi M , N , P , Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng cắt với cạnh bên SA , SB, SC , SD và H SO MNPQ . Do SO ABCD SH MNPQ MNPQ ABCD Đặt SH SM SN SP SQ k SO SA SB SC SD 0 k (Định lý Thales) và . S ABCD V V . Ta có . S MNPQ V V . . . . 2 2 S MNP S MNP S ABC S ABC V V V V . . SM SN SP SA SB SC 3 k A O H P M N B C D Q SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 160 Thể tích khối đa diện Theo giả thiết : . 3 1 2 S MNPQ V k V 3 1 2 k . Mặt khác . 1 2 S MNPQ V V 1 . 3 1 . 3 MNPQ ABCD SH S SO S . MNPQ ABCD S k S 1 . 2 MNPQ ABCD S S k 3 2 2 . 2 a 2 3 4 a . Bài toán 15: Cho tứ diện ABCD có các cạnh , AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi 1 2 3 , , G G G và 4 G lần lượt là trọng tâm các mặt , , ABC ABD ACD và BCD . Biết 6 , AB a 9 AC a , 12 AD a . Tính theo a thể tích khối tứ diện 1 2 3 4 G G G G . A. 3 4a B. 3 a C. 3 108a D. 3 36a Lời giải: Chọn A. Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh được 1 2 3 4 1 27 G G G G ABCD V V . Thật vậy,ta có 2 3 4 ( ) ( ) G G G CBA // và 2 3 4 G G G CBA ∽ (tỉ số đồng dạng 1 3 k ) . Từ đó: 2 3 4 2 1 9 G G G CBA S k S và 1 2 3 4 4 4 1 1 ( ,( )) ( ,( )) ( ,( )) (do ) 3 3 d G G G G d G ABC d D ABC G M DM Suy ra 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 ( ,( )) 1 1 1 ( ,( )) 3 9 27 G G G G G G G ABCD CBA V S d G G G G V d D ABC S 1 2 3 4 3 1 1 1 . . . 4 27 27 6 G G G G ABCD V V AB AC AD a 4 3 2 1 G G G G A B M C DBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 161 Thể tích khối đa diện Bài toán 16: Cho tứ diện . S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho 2 MA SM , 2 SN NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu 1 ( ) H và 2 ( ) H là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện . S ABC bởi mặt phẳng ( ) , trong đó, 1 ( ) H chứa điểm S , 2 ( ) H chứa điểm A ; 1 V và 2 V lần lượt là thể tích của 1 ( ) H và 2 ( ) H . Tính tỉ số 1 2 V V . A. 4 5 B. 5 4 C. 3 4 D. 4 3 Lời giải: Chọn A. Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của ( ) với các đường thẳng BC , AC . Vì chứa MN và song song với SC . Khi đó ta có // // NP MQ SC . Khi chia khối 1 ( ) H bởi mặt phẳng ( ) QNC , ta được hai khối chóp . N SMQC và . N Q P C . Ta có: . . ( ,( )) ( ,( )) N SMQC SMQC B ASC SAC V S d N SAC V d B SAC S ( ,( )) 2 ( ,( )) 3 d N SAC NS d B SAC BS ; 2 4 5 9 9 AMQ SMQC ASC ASC S S AM S AS S . Suy ra . . 2 5 10 3 9 27 N SMQC B ASC V V . . ( ,( )) 1 1 2 2 ( ,( )) 3 3 3 27 N QPC QPC S ABC ABC V S d N QPC NB CQ CP V d S ABC S SB CA CB . .QP 1 1 1 2 . . 1 2 10 2 4 4 5 4 27 27 9 9 N SMQC N C B ASC S ABC V V V V V V V V V V V 1 2 4 5 V V Bài toán 17: Cho hình chóp . S ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng SAB , SAC , SBC cùng tạo với mặt phẳng ABC các góc bằng nhau. Biết 25, 17, 26; AB BC AC đường thẳng S B tạo với mặt đáy một góc bằng 45 . Tính thể tích của V của khối chóp . . S ABC A. 408. V B. 680. V C. 578. V D. 6 0 0 . V N Q M A B P C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 162 Thể tích khối đa diện Lời giải: Chọn B. Gọi J là chân đường cao của hình chóp . ; S ABC , , H K L lần lượt là hình chiếu của J trên các cạnh , , . AB BC CA Suy ra, , , SHJ SLJ SKJ lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng ABC với các mặt phẳng , , . SAB SBC SAC Theo giả thiết, ta có SHJ SLJ SKJ , suy ra các tam giác vuông , , SJH SJL SJK bằng nhau. Từ đó, . JH JL JK Mà J nằm trong tam giác ABC nên J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính được diện tích S của tam giác ABC là 204. S Kí hiệu p là nửa chu vi tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC . Ta có 204 6. 34 S r p Đặt , , . x BH BL y CL CK z AH AK Ta có hệ phương trình 17 25 26 x y x z y z Giải ra được , , 8,9,17 x y z 2 2 2 2 6 8 10. JB JH BH Ta có ( ,( )) 45 , SBJ SB ABC suy ra SJB là tam giác vuông cân tại J. 10. SJ JB Thể tích V của khối chóp . S ABC là 1 1 . .10.204 680. 3 3 ABC V SJ S J K H A B L C S x x y y z z B C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 163 Thể tích khối đa diện IV. BÀI TOÁN MIN MAX THỂ TÍCH 1. PHƯƠNG PHÁP Trong nhiều bài toán, thể tích khối đa diện cần tính phụ thuộc một tham số nào đó (tham số có thể là góc, hoặc là độ dài cạnh). Yêu cầu của bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Sau đây là phương pháp giải tổng quát: Phương pháp giải: Bước 1: Chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc hoặc cạnh thích hợp trong khối đa diện. Bước 2: Áp dụng công thức tính thể tích để đưa thể tích cần tính về hàm số theo x f x . Bước 3: Dùng bất đẳng thức cổ điển ( AM GM hay Cauchy Schwarz ) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên. 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Cho hình hộp chữ nhật . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo ’ AC bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8. B. 8 2. C. 16 2. D. 24 3. Lời giải: Chọn C. Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật là , , 0 a b c Ta có: 2 2 2 2 ' 36; 2 2 2 36 AC a b c S ab bc ca 2 ( ) 72 6 2 a b c a b c 3 3 3 6 2 16 2. 3 3 3 a b c a b c abc abc Vậy 16 2. max V Bài toán 2: Từ hình vuông có cạnh bằng 6 người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Tính thể tích lớn nhất của khối hộp. A. 8 2 . B. 10 2 . C. 9 2 . D. 11 2 . (Trích đề thi thử THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn A. Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ Ta có 2 6 2 2 x x y 3 2 x y 3 2 y x với 0 3 2 x . Thể tích của khối hộp tạo thành là 2 2 3 2 V x y x x . c b a 6 D' C' B' A' D C B A x yBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 164 Thể tích khối đa diện Ta có 3 2 2 0 2 2 V x x x . Ta có bảng biến thiên : x 0 2 2 3 2 V – 0 V 8 2 Vậy: max 8 2 V khi 2 2 x , 2 y . Bài toán 3: (THPTQG 2017 – 102) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. 6. x B. 14. x C. 3 2. x D. 2 3. x Lời giải: Chọn C. Gọi M là trung điểm của CD CD AM CD ABM CD BM Kẻ . AH BM H BM AH ABC Do BCD là tam giác đều cạnh 2 3 2 2 3. 3 3 2 2 3 . 3 3 3 4 BCD AM BM S 1 . 3 BCD V AH S lớn nhất khi AH lớn nhất Mặt khác: max 3 3 AH AM AH khi H M . Khi đó tam giác AMB vuông cân tại M 2 3 2. x AB AM Bài toán 4: Cho tứ diện , ABCD có 6 AB CD , khoảng cách giữa AB và CD là 8, góc giữa AB và CD là . Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất là: A. 48 B. 52 C. 64 D. 36 Lời giải: Chọn A. Dựng hình bình hạnh BCDE Ta có: , , AB CD AB BE 1 . . .sin 18 sin 2 ABE S AB BE , , / / 8 AB CD D ABE CD ABE d d E B C D A H M D C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 165 Thể tích khối đa diện , 1 . 48.sin 3 ABCD ABED ABE D ABE V V S d Do sin 1 đẳng thức 2 . Vậy 48 ABCD MaxV . Bài toán 5: Cho hình chóp . S ABCD có cạnh SA x còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 2 . Tính thể tích V lớn nhất của khối chóp . S ABCD. A. 1 V B. 1 2 V . C. 3 V . D. 2 V . (Trích đề thi thử THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có: BAD BSD BCD nên AO SO CO 1 2 SO AC SAC vuông tại S Do đó: 2 2 2 4 AC SA SC x 2 2 2 2 4 12 4 4 2 x x OD AD AO 2 12 BD x , 0 2 3 x SBD cân tại S SO BD ; ABCD là hình thoi nên : BD AC BD SAC BD SO Trong SAC hạ SH AC . Khi đó: SH AC SH ABCD SH BD 2 2 2 1 1 1 SH SA SC 2 2 2 . 2. 4 SA AC x SH SA SC x 2 2 2 . 2 1 1 2 1 . 4. 12 . . . 12 3 2 3 4 S ABCD x V x x x x x 2 2 1 12 2 3 2 x x Dấu " " xảy ra khi 2 2 12 6 x x x . Bài toán 6: Cho hình chóp . S ABCD có SC x 0 3 x , các cạnh còn lại đều bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích khối chóp . S ABCD lớn nhất khi và chỉ khi a x b , a b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 2 30 a b . B. 2 8 20 a b . C. 2 2 b a . D. 2 2 3 1 a b . (Trích đề thi thử SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Lời giải: S A B C D B x a a H O A D C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 166 Thể tích khối đa diện Chọn B. Gọi O là trung điểm của BD . Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD , vì SB SD nên H AC Ta xét hai tam giác SBD và ABD có cạnh BD chung, SB AB , SD AD nên SBD ABD suy ra AO SO OC do đó SAC vuông tại S . Ta có 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 AO AC SA SC x 2 2 2 3 2 x BO AB OA 2 2 1 3 2 ABCD x x S 0 3 x Mặt khác 2 2 . SA SC SH SA SC 2 1 x x Vậy . 1 . 3 S ABCD ABCD V SH S 2 2 2 2 3 1 3 1 . 6 6 2 4 x x x x . Thể tích khối chóp . S ABCD lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 3 x x 6 2 x . Vậy 6 2 a b . Suy ra 2 8 20 a b . Bài toán 7: Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh bằng a các đoạn bằng , 0 2 a x x phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. A. 3 a . B. 4 a . C. 5 a . D. 6 a . (Trích đề thi thử THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Xét tam giác AMI như hình vẽ, đặt 0, AM x 30 MAI 3 x MI x 1 1 S C D A O H 1 1 x BBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 167 Thể tích khối đa diện Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy 2 a x , 0 2 a x , chiều cao 3 x nên thể tích khối lăng trụ là: 2 2 2 3 2 3 4 4 . 4 4 3 a x x a x ax x V Ta cần tìm 0; 2 a x để thể tích V đạt giá trị lớn nhất. Xét 2 2 3 4 4 f x a x ax x có 2 2 6 12 8 0 2 a x f x x ax a a x l x 0 6 a 2 a f x 0 f x Từ bảng biến thiên suy ra thể tích V đạt giá trị lớn nhất khi 6 a x . Bài toán 8: Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 dm , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là AMB , BNC , CPD và DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất ? A. 3 2 2 dm . B. 5 2 dm . C. 2 2 dm . D. 5 2 2 dm . (Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Lời giải: Chọn C. x I M A I P Q N M O D C B A O N I M Q P S I P Q N M O D C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 168 Thể tích khối đa diện Đặt MQ x dm 0 5 2 x . Ta có 5 2 2 2 AC AO , 2 2 MQ x OI , SI AI AO IO 5 2 2 x . Chiều cao của hình chóp: 2 2 2 2 5 2 50 10 2 2 2 2 x x x SO SI OI . Thể tích của khối chóp: 4 5 2 1 1 50 10 2 1 50 10 2 . . . . 3 3 2 3 2 MNPQ x x x V S SO x . Xét hàm số 4 5 50 10 2 y x x 0 5 2 x . Ta có 3 4 4 5 100 25 2 50 10 2 x x y x x . Khi đó 3 4 0 0; 5 2 0 100 25 2 0 2 2 x y x x x . Bảng biến thiên: x 0 2 2 5 2 y 0 y Hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi 2 2 x . Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi 2 2 x . Bài toán 9: Xét tứ diện ABCD có các cạnh 1 AB BC CD DA và , AC BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD bằng A. 2 3 27 . B. 4 3 27 . C. 2 3 9 . D. 4 3 9 . (Trích đề thi thử SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn A. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , BD AC . Đặt 2 , 2 BD x AC y , 0 x y . Ta có , CM BD AM BD BD AMC . Ta có 2 2 2 1 MA MC AD MD x Dễ dàng chứng minh được: ABD BCD AM CM AMC cân tại M MN AC . 2 2 2 2 1 MN MA AN x y 1 . 2 AMC S MN AC 2 2 2 2 1 .2 1 1 2 y x y y x y N M B C D ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 169 Thể tích khối đa diện 1 1 . . . 3 3 ABCD AMCD AMCB AMC AMC V V V DM MB S DB S 2 2 1 .2 . 1 3 ABCD V x y x y 2 2 2 2 2 . . 1 3 x y x y 3 2 2 2 2 1 2 3 27 x y x y 2 3 27 ABCD V . Bài toán 10: Xét tứ diện ABCD có các cạnh 2 AC CD DB BA và AD , BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng A. 16 3 9 . B. 32 3 27 . C. 16 3 27 . D. 32 3 9 . (Trích đề thi thử SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn B. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Theo giả thiết ta có: ABD và ACD là các tam giác cân có M là trung điểm của AD nên BM AD và CM AD AD BMC . Và có BM CM MBC cân tại M . Trong tam giác MBC có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên 2 2 2 2 2 2 2 4 4 MB MC BC BC MN MB Lại có BM là đường trung tuyến của 2 2 2 2 2 4 AB BD AD ABD MB 2 2 2 2 4 4 AD BC MN AB 2 2 4 4 AD BC MN . Khi đó diện tích tam giác MBC là 1 . 2 MBC S MN BC 2 2 1 4 2 4 AD BC BC Thể tích tứ diện ABCD là 1 . . 3 ABCD MBC V AD S 2 2 1 . . 4 3 4 AD BC AD BC . Đặt AD x , BC y ta có: 2 2 1 4 3 4 ABCD x y V xy . Ta có: 2 2 2 x y xy 2 2 4 2 x y xy 2 2 4 2 x y xy . Do đó: 1 1 4 8 3 2 3 2 ABCD xy V xy xy xy 2 2 8 6 ABCD V xy xy Dấu bằng xảy ra khi . x y N B C D M ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 170 Thể tích khối đa diện Ta lại có: 2 8 xy xy 4. . . 8 2 2 xy xy xy 3 8 2 2 4. 3 xy xy xy 3 4.8 27 . Dấu bằng xảy ra khi 8 2 xy xy 16 3 xy 4 3 x y . Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là 3 2 4.8 6 27 ABCD V max 32 3 27 . Bài toán 11: Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M , N , P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N , P , Q lên mặt phẳng ABCD . Tính tỉ số SM SA để thể tích khối đa diện . MNPQ M N P Q đạt giá trị lớn nhất. A. 2 3 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 3 4 . (Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Lời giải: Chọn A. Đặt SM k SA với 0;1 k . Xét tam giác SAB có MN AB // nên MN SM k AB SA . MN k AB Xét tam giác SAD có MQ AD // nên MQ SM k AD SA . MQ k AD Kẻ đường cao SH của hình chóp. Xét tam giác SAH có: MM SH // nên MM AM SH SA 1 1 SA SM SM k SA SA 1 . MM k SH . Ta có . . . MNPQ M N P Q V MN MQ MM 2 . . . . 1 AB AD SH k k . H N' N P' P M' M Q' Q A B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 171 Thể tích khối đa diện Mà . 1 . . 3 S ABCD V SH AB AD 2 . . 3. . . 1 MNPQ M N P Q S ABCD V V k k . Thể tích khối chóp không đổi nên . MNPQ M N P Q V đạt giá trị lớn nhất khi 2 . 1 k k lớn nhất. Ta có 3 2 2 1 . . 1 2 2 4 . 1 2 2 3 27 k k k k k k k k . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2 1 k k 2 3 k . Vậy 2 3 SM SA . (có thể dùng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN) Bài toán 12: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC . Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi 1 V là thể tích của khối chóp . S AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V . A. 1 3 . B. 1 8 . C. 2 3 . D. 3 8 . Lời giải: Chọn A. Đặt SM x SB , SN y SD , 0 , 1 x y . Ta có . . 1 S AMP S ANP V V V V V . . . . 2 2 S AMP S ANP S ABC S ADC V V V V 1 . . 2 SM SP SN SP SB SC SD SC 1 4 x y (1) Lại có . . 1 S AMN S PMN V V V V V . . . . 2 2 S AMN S PMN S ABD S CBD V V V V 1 . . . 2 SM SN SM SN SP SB SD SB SD SC 3 4 xy (2) Từ 1 , 2 suy ra 1 3 4 4 x y xy 3 x y xy 3 1 x y x . Từ điều kiện 0 1 y , ta có 1 3 1 x x , hay 1 2 x . Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích 2 1 3 . 4 3 1 V x V x . Đặt 2 3 1 . , ;1 4 3 1 2 x f x x x , ta có 2 2 3 3 2 . 4 3 1 x x f x x , 0 ( 0 2 ( 3 x L f x x N ) ) . 1 3 1 2 8 f f , 2 1 3 3 f , do đó 1 1 ;1 2 min min x V f x V 2 1 3 3 f . B O I N M A D C P SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 172 Thể tích khối đa diện C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích . S ABC tăng lên bao nhiêu lần? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 2 . Câu 2. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a . A. 3 2 12 a B. 3 2 4 a C. 3 a . D. 3 6 a Câu 3. Cho . S ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp . S ABCD biết AB a , SA a . A. 3 a B. 3 2 2 a C. 3 2 6 a . D. 3 3 a Câu 4. Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại , 2 A SA cm , 4 , 3 AB cm AC cm . Tính thể tích khối chóp. A. 3 12 3 cm . B. 3 24 5 cm . C. 3 24 3 cm . D. 3 24cm . Câu 5. Cho hình chóp . S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, , 2 AB a AD a . Góc giữa SB và đáy bằng 0 45 . Thể tích khối chóp là A. 3 2 3 a B. 3 2 3 a C. 3 3 a D. 3 2 6 a Câu 6. Hình chóp . S ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, 3, 2 A SA C a a . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD là A. 3 2 2 a B. 3 2 3 a C. 3 3 2 a D. 3 3 3 a Câu 7. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SAB là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính thể tích khối chóp . S ABC biết AB a , 3 AC a . A. 3 6 12 a B. 3 6 4 a C. 3 2 6 a D. 3 4 a Câu 8. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính thể tích khối chóp . S ABCD biết BD a , 3 AC a . A. 3 a . B. 3 3 4 a C. 3 3 12 a D. 3 3 a Câu 9. Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp . S ABC biết AB a , 3 AC a , 2 SB a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 173 Thể tích khối đa diện A. 3 6 6 a B. 3 3 2 a C. 3 3 6 a D. 3 6 2 a Câu 10. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp . S ABCD biết 3 2 a SB . A. 3 3 a B. 3 a . C. 3 2 a D. 3 3 2 a Câu 11. Hình chóp . S ABCD đáy hình thoi, 2 AB a , góc BAD bằng 0 120 . Hình chiếu vuông góc của S lên ABCD là I giao điểm của 2 đường chéo, biết 2 SI a . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD là A. 3 2 9 a B. 3 3 9 a C. 3 2 3 a D. 3 3 3 a Câu 12. Cho khối chóp . O ABC . Trên ba cạnh , , OA OB OC lần lượt lấy ba điểm ’, , A B C sao cho 2 , 4 , 3 OA OA OB OB OC OC . Tính tỉ số . ' ' ' . O A B C O ABC V V A. 1 12 . B. 1 24 . C. 1 16 . D. 1 32 . Câu 13. Cho hình chóp . . S ABC Gọi là mặt phẳng qua A và song song với BC . cắt SB, SC lần lượt tại , M N . Tính tỉ số SM SB biết chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. A. 1 2 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 2 2 . Câu 14. Cho lăng trụ . ' ' ' ' ABCD A B C D có ABCD là hình chữ nhật, ' ' ' A A A B A D . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ' ABCD A B C D biết AB a , 3 AD a , ' 2 AA a . A. 3 3a . B. 3 a . C. 3 3 a . D. 3 3 3 a . Câu 15. Cho lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của ' A lên ABC là trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C biết AB a , 3 AC a , ' 2 AA a . A. 3 2 a B. 3 3 2 a C. 3 3 a . D. 3 3 3 a . Câu 16. Cho lăng trụ . ' ' ' ' ABCD A B C D có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của ' A lên ABCD là trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ' ' ' ABCA B C biết AB a , 0 120 ABC , ' AA a . A. 3 2 a . B. 3 2 6 a C. 3 2 3 a D. 3 2 2 a Câu 17. Cho lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . Tính tỉ số ' ' ' ' ' ABB C ABCA B C V V . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 174 Thể tích khối đa diện A. 1 2 B. 1 6 C. 1 3 D. 2 3 . Câu 18. Lăng trụ tam giác . ABC A B C có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30 0 . Hình chiếu A lên ABC là trung điểm I của BC . Thể tích khối lăng trụ là A. 3 3 6 a B. 3 3 2 a C. 3 3 12 a D. 3 3 8 a Câu 19. Cho lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của ' CC và ' BB . Tính tỉ số . ' ' ' ABCMN ABC A B C V V . A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 2 . D. 2 3 . Câu 20. Cho khối lập phương . ABCD A B C D . Tỉ số thể tích giữa khối . A ABD và khối lập phương là: A. 1 4 . B. 1 8 . C. 1 6 . D. 1 3 . Câu 21. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng SAD tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD. A. 3 3 3 4 a V . B. 3 3 3 8 a V . C. 3 8 3 3 a V . D. 3 4 3 3 a V . Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a , mặt phẳng ' A BC tạo với đáy một góc 30 và tam giác ' A BC có diện tích bằng 2 3 a . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . A. 3 3 8 a . B. 3 3 3 4 a . C. 3 3 3 8 a . D. 3 3 3 2 a . Câu 23. Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của ' A trên ABC là trung điểm của AB . Mặt phẳng ' ' AA C C tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . A. 3 3 16 a V . B. 3 3 8 a V . C. 3 3 4 a V . D. 3 3 2 a V . Câu 24. Cho hình chóp đều . S ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ABC bằng 0 60 , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3 2 7 a . Thể tích của khối chóp . S ABC theo a . A. 3 3 12 a . B. 3 3 18 a . C. 3 3 16 a . D. 3 3 24 a . Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 3 a . B. 3 4 3 a . C. 3 6 3 a . D. 3 8 3 a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 175 Thể tích khối đa diện Câu 26. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có SA ABCD . ABCD là hình thang vuông tại A và B biết 2 AB a . 3 3 AD BC a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a biết góc giữa SCD và ABCD bằng 0 60 . A. 3 2 6a . B. 3 6 6a . C. 3 2 3a . D. 3 6 3a . Câu 27. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng ' A BC bằng 6 a .Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . A. 3 3 2 8 a . B. 3 3 2 28 a . C. 3 3 2 4 a . D. 3 3 2 16 a . Câu 28. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) ABCD bằng 45 , , M N và P lần lượt là trung điểm các cạnh , SA SB và AB . Tính thể tích V của khối tứ diện DMNP . A. 3 6 a V B. 3 4 a V C. 3 12 a V D. 3 2 a V Câu 29. Cho lăng trụ . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 2 AC a ; cạnh bên 2 AA a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C . A. 3 1 2 V a . B. 3 3 a V . C. 3 V a . D. 3 2 3 a V . Câu 30. Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy là vuông; mặt bên ( ) SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) SCD bằng 3 7 7 a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 1 3 V a . B. 3 V a . C. 3 2 3 V a . D. 3 3 2 a V . Câu 31. (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a . A. 3 3 8 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 4 a . Câu 32. (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , 3 BC a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 6 3 a V . B. 3 2 3 a V . C. 3 3 V a . D. 3 3 3 a V . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 176 Thể tích khối đa diện Câu 33. (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho SM SN k SB SD . Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp . S AMN bằng 1 8 . A. 1 8 k . B. 2 2 k . C. 2 4 k . D. 1 4 k . Câu 34. (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ đứng, mặt phẳng P đi qua C và các trung điểm của AA , BB chia khối lăng trụ . ABC A B C thành hai khối đa diện có tỷ số thể tích bằng k với 1. k Tìm k . A. 1 . 3 B. 2 . 3 C. 1. D. 1 . 2 Câu 35. (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Hình lăng trụ . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ; 1; 2. A AB AC Hình chiếu vuông góc của A trên ABC nằm trên đường thẳng BC . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC . A. 3 2 . B. 1 3 . C. 2 5 5 . D. 2 3 . Câu 36. (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ . ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3 4 a . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C . A. 3 3 6 a V . B. 3 3 12 a V . C. 3 3 3 a V . D. 3 3 24 a V . Câu 37. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC bằng 6 a . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C . A. 3 3 2 8 a . B. 3 3 2 28 a . C. 3 3 2 4 a . D. 3 3 2 16 a . Câu 38. (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD bằng 45 . Gọi , M N lần lượt là trung điểm , AB AD . Tính thể tích khối chóp . S CDMN theo a . A. 3 5 8 a . B. 3 8 a . C. 3 5 24 a . D. 3 3 a . Câu 39. (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C , đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh AA hợp với B C một góc 60 và khoảng cách giữa chúng bằng , a 2 B C a . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C theo : a A. 3 . 2 a B. 3 3 . 2 a C. 3 3 . 4 a D. 3 . 4 a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 177 Thể tích khối đa diện Câu 40. (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết AB a , 2 SA SD , mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp . S ABCD . A. 3 5 2 a . B. 3 5a . C. 3 15 2 a . D. 3 3 2 a . Câu 41. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là ABC vuông cân ở , B 2, AC a , SA ABC . SA a Gọi G là trọng tâm của SBC , mp đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnhS . Tính . V A. 3 4 . 9 a B. 3 4 . 27 a C. 3 5 . 54 a D. 3 2 . 9 a Câu 42. (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có 5 AB CD , 10 AC BD , 13 AD BC . Tính thể tích tứ diện đã cho. A. 5 26 . B. 5 26 6 . C. 4 . D. 2 . Câu 43. (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , SM . Mặt phẳng ABN cắt SC tại E . Gọi 2 V là thể tích của khối chóp . S ABE và 1 V là thể tích khối chóp . S ABC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 1 1 4 V V . B. 2 1 1 3 V V . C. 2 1 1 6 V V . D. 2 1 1 8 V V . Câu 44. (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM k SA , 0 1 k . Khi đó giá trị của k để mặt phẳng BMC chia khối chóp . S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là: A. 1 5 4 k . B. 1 5 4 k . C. 1 5 2 k . D. 1 2 2 k . Câu 45. (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC bằng 6 2 a . Khi đó thể tích khối lăng trụ bằng: A. 3 a . B. 3 3a . C. 3 4 3 a . D. 3 4 3 3 a . Câu 46. (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D có AB a , góc giữa đường thẳng B D với mặt phẳng ABCD và mặt phẳng ABB A lần lượt bằng 30 và 45 . Tính thể tích khối hộp . ABCD A B C D . A. 3 2a . B. 3 3a . C. 3 2a . D. 3 3a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 178 Thể tích khối đa diện Câu 47. (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Cho lăng trụ đứng . ABCD A B C D có đáy ABCD là hình bình hành. Các đường chéo DB và AC lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 30 . Biết chiều cao của lăng trụ là a và 60 BAD . Hãy tính thể tích V của khối lăng trụ này. A. 3 2 3 a V . B. 3 3 V a . C. 3 2 a V . D. 3 3 2 a V . Câu 48. (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-năm-2018) Cho hình lăng trụ . ABC A B C có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng ABB A là tâm của hình bình hành ABB A . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C tính theo a là A. 3 2 4 a . B. 3 2 12 a . C. 3 3 a . D. 3 3 4 a . Câu 49. (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-năm-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, 3 SC SD a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 6 a V . B. 3 6 a V . C. 3 2 V a . D. 3 3 3 a V . Câu 50. (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh 2 3 AB và các cạnh còn lại đều bằng x . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD bằng 2 2 . A. 6 x . B. 2 2 x . C. 3 2 x . D. 2 3 x . Câu 51. (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD , ABC và E là điểm đối xứng với B qua điểm D . Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V . A. 3 2 96 a . B. 3 3 2 80 a . C. 3 3 2 320 a . D. 3 9 2 320 a . Câu 52. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thoả mãn AB a , 3 AC a , 2 BC a . Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC bằng 3 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 3 5 a V . B. 3 3 5 a V . C. 3 3 3 a V . D. 3 5 a V . Câu 53. (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ; SA vuông góc với mặt đáy ABCD ; 2 AB a , . AD CD a Góc giữa mặt phẳng SBC và mặt đáy ABCD là 60 . Mặt phẳng P đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh , SA SB lần lượt tại M , N . Thể tích V của khối chóp . S CDMN theo a là A. 3 2 6 . 9 a V B. 3 7 6 . 81 a V C. 3 14 3 . 27 a V D. 3 7 6 . 27 a V Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 179 Thể tích khối đa diện Câu 54. (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo của các mặt lần lượt là 5 , 10 , 13 . Tính thể tích của khối hộp đã cho. A. 5. 10. 18 6 V . B. 8 V . C. 6 V . D. 4 V . Câu 55. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a , 2 BC a , 2 SC a và 60 ASC . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . S ABC . A. R a . B. 3 2 a R . C. 3 R a . D. 2 a R . Câu 56. (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM bằng 3 4 a . Tính thể tích của khối chóp đã cho theo a . A. 3 3 4 a . B. 3 3 2 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 12 a . Câu 57. (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm ' A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C . A. 3 3 6 a V . B. 3 3 3 a V . C. 3 3 24 a V . D. 3 3 12 a V . Câu 58. (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD trùng với trung điểm AB . Biết AB a , 2 BC a , 10 BD a . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và mặt phẳng đáy là 60 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 3 30 8 a V . B. 3 30 4 a V . C. 3 30 12 a V . D. 3 30 8 a V . Câu 59. (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn 3 BI IH . Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC là 60 . Thể tích của khối chóp . S ABC là A. 3 9 a V . B. 3 6 a V . C. 3 18 a V . D. 3 3 a V . Câu 60. (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh SD, DC . Thể tích khối tứ diện ACMN là Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 180 Thể tích khối đa diện A. 3 2 4 a . B. 3 8 a . C. 3 3 6 a . D. 3 2 2 a . Câu 61. (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a . Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60 . Mặt phẳng P chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC , SD lần lượt tại M và N . Thể tích khối chóp . S ABMN là A. 3 3 2 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 a . Câu 62. (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có cạnh đáy bằng a và AB BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 7 8 a V . B. 3 6 V a . C. 3 6 8 a V . D. 3 6 4 a V . Câu 63. (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD . Mặt phẳng P chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng SCD , cắt đường thẳng SD tại E . Gọi V và 1 V lần lượt là thể tích các khối chóp . S ABCD và . D ACE. Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp . S ABCD biết 1 5 V V . A. 60 . B. 120 . C. 45 . D. 90 . Câu 64. (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC bằng 2 a . Thể tích của khối lăng trụ bằng: A. 3 3 2 12 a . B. 3 2 16 a . C. 3 3 2 16 a . D. 3 3 2 48 a . Câu 65. (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho lăng trụ . ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 6 a . B. 3 3 24 a . C. 3 3 12 a . D. 3 3 36 a . Câu 66. (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1 , chiều cao bằng 2 . Xét đa diện lồi H có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đó. Tính thể tích của H . A. 9 2 . B. 4 . C. 2 3 . D. 5 12 . Câu 67. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC . Tính thể tích khối chóp . S ADMN . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 181 Thể tích khối đa diện A. 3 6 16 a V B. 3 6 24 a V C. 3 3 6 16 a V D. 3 6 8 a V Câu 68. (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với CA CB a . Trên đường chéo CA lấy hai điểm M , N . Trên đường chéo AB lấy được hai điểm P , Q sao cho MNPQ là tứ diện đều. Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C . A. 3 6 a . B. 3 a . C. 3 2 a . D. 3 2a . Câu 69. (THPT Trần Quốc Tuấn năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ . ABC A B C có đáy . S ABCD là tam giác vuông tại A , AB a , 3 AC a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên ABC trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho 2 CM MA . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A M và BC bằng 2 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 2 a V . B. 3 V a . C. 3 3 2 a V . D. 3 2 3 3 a V . Câu 70. (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho khối chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC , mặt phẳng P chứa AM và song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt 1 V là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và 2 V là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD . Tỉ số 2 1 V V là: A. 2 1 3 V V . B. 2 1 2 V V . C. 2 1 1 V V . D. 2 1 3 2 V V . Câu 71. (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho khối chóp lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có 8 3 ABC S , mặt phẳng ABC tạo với mặt phẳng đáy góc 0 2 . Tính cos khi thể tích khối lăng trụ . ABC A B C lớn nhất. A. 1 cos 3 . B. 2 cos 3 . C. 3 cos 3 . D. 2 cos 3 . Câu 72. (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-năm-2018) Cho hình chóp . S ABC có độ dài các cạnh SA BC x , SB AC y , SC AB z thỏa mãn 2 2 2 12 x y z . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp . S ABC là A. 2 2 3 V . B. 2 3 3 V . C. 2 3 V . D. 3 2 2 V . Câu 73. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi 1 V là thể tích khối chóp . S ANPM . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V ? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 182 Thể tích khối đa diện A. 1 8 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 3 . Câu 74. (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có SA x , BC y , 1 AB AC SB SC . Thể tích khối chóp . S ABC lớn nhất khi tổng x y bằng: A. 3 . B. 2 3 . C. 4 3 . D. 4 3 . Câu 75. (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC , BD sao cho AMN luôn vuông góc với mặt phẳng BCD . Gọi 1 V , 2 V lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN . Tính 1 2 V V . A. 17 2 216 . B. 17 2 72 . C. 17 2 144 . D. 2 12 . Câu 76. (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA , N là điểm trên đoạn SB sao cho 2 SN NB . Mặt phẳng R chứa MN cắt đoạn SD tại Q và cắt đoạn SC tại P . Tỉ số . . S MNPQ S ABCD V V lớn nhất bằng A. 2 5 . B. 1 3 . C. 1 4 . D. 3 8 . Câu 77. (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho tam giác ABC vuông tại A có 3 , . AB a AC a Gọi Q là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng ABC . Điểm D di động trên Q sao cho hai mặt phẳng DAB và DAC lần lượt hợp với mặt ABC hai góc phụ nhau. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp . D ABC . A. 3 3 . 4 a B. 3 3 . 13 a C. 3 3 2 . 10 a D. 3 3 . 8 a Câu 78. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành có , AB a SA SB SC SD . Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp . S ABCD bằng A. 3 3 6 a . B. 3 3 a . C. 3 2 3 3 a . D. 3 6 3 a Câu 79. (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBC , với 45 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp . S ABCD. A. 3 4a . B. 3 8 3 a . C. 3 4 3 a . D. 3 2 3 a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 183 Thể tích khối đa diện II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1A 2A 3C 4A 5B 6D 7A 8C 9C 10A 11D 12B 13B 14A 15B 16D 17C 18D 19A 20C 21C 22D 23A 24D 25A 26A 27D 28A 29C 30D 31B 32A 33C 34D 35C 36B 37D 38C 39B 40A 41C 42D 43B 44C 45B 46A 47D 48A 49A 50B 51D 52A 53D 54C 55A 56C 57D 58D 59A 60C 61A 62C 63A 64C 65C 66D 67A 68C 69A 70B 71C 72A 73D 74C 75A 76D 77A 78B 79C Câu 1. Chọn A. Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần. Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần. Câu 2. Chọn A. Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a . Gọi H là hình chiếu của A lên BCD . Ta có: 3 3 a BH 2 2 6 3 a AH AB BH 2 3 4 BCD a S 3 2 12 ABCD a V . Câu 3. Chọn C. Gọi H là hình chiếu của S lên ABCD Ta có: 2 2 a AH 2 2 2 2 a SH SA AH 2 ABCD S a 3 . 2 6 S ABCD a V Câu 4. Chọn A. 2 3 . 1 . 6 2 2 1 12 3 3 ABC S ABC ABC S AB AC cm h SA cm V SA S cm Câu 5. Chọn B. 0 2 3 . .tan 45 .2 2 1 2 . 3 3 ABCD S ABCD ABCD SA AB a S a a a a V SA S O C B A S H A B C D S B C A S 45° A B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 184 Thể tích khối đa diện Câu 6. Chọn D. 0 2 3 . 3 .cos 45 1 3 . 3 3 ABCD S ABCD ABCD SA a AB AC a S a a V SA S Câu 7. Chọn A. ABC vuông tại B 2 2 2 BC AC AB a . 2 1 2 . 2 2 ABC a S BA BC Gọi H là trung điểm AB 3 2 a SH Ta có: SAB đều SH AB SH ABC (vì SAB ABC ). 3 . 1 6 . 3 12 S ABC ABC a V SH S Câu 8. Chọn C. Gọi O là giao điểm của AC và BD . ABCD là hình thoi AC BD , O là trung điểm của AC , BD . ABO vuông tại O 2 2 AB AO OB a . 2 1 3 . 2 2 ABCD a S AC BD . Gọi H là trung điểm AB . SAB vuông cân tại S cạnh AB a 2 a SH . Ta có: SAB cân SH AB SH ABCD (vì SAB ABC ). 3 . 1 3 . 3 12 S ABCD ABCD a V SH S . Câu 9. Chọn C. ABC vuông tại A 2 2 2 BC AC AB a . 2 1 3 . 2 2 ABC a S AB AC . 2 2 SH SB BH a . 3 . 1 3 . 3 6 S ABC ABC a V SH S . S D C A B S H D C A B C B H A S S A H B CBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 185 Thể tích khối đa diện Câu 10. Chọn A. ABH vuông tại A 2 2 5 2 a BH AH AB . 2 2 SH SB BH a . 2 ABCD S a . 3 . 1 . 3 3 S ABCD ABCD a V SH S . Câu 11. Chọn D. 2 3 . 2 . .sin 2 3 1 3 . 3 3 ABCD S ABCD ABCD a SI S AB AD BAD a a V SI S Câu 12. Chọn B. Ta có: . ’ . ’ 1 1 1 ; ; 2 4 3 1 1 1 1 2 4 3 24 O AB O C A B C OA OB OC OA OB OC V OA OB OC V OA OB OC Câu 13. Chọn B. Ta có: SM SN MN BC SB SC // Ta có: 2 . . . S AMN S ABC V SM SN SM V SB SC SB Ta có: . . 1 1 2 2 S AMN S ABC V SM V SB Câu 14. Chọn A. Gọi O là giao điểm của AC và BD . ABCD là hình chữ nhật OA OB OD Mà A A A B A D nên ' A O ABD (vì ' A O là trực tâm giác ABD ) ABD vuông tại A 2 2 2 BD AB AD a OA OB OD a ' AA O vuông tại O 2 2 ' ' 3 A O AA AO a 2 . 3 ABCD S AB AD a 3 ' ' ' ' ' . 3 ABCDA B C D ABCD V A O S a . B A C D H S S D C B A I B' C' A' A B C O N M C B A S O D' C' B' A' D C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 186 Thể tích khối đa diện Câu 15. Chọn B. Gọi H là trung điểm của BC ' A H ABC . ABC là tam giác vuông tại A 2 2 2 BC AB AC a 1 2 AH BC a ' A AH vuông tại H 2 2 ' ' 3 A H AA AH a 2 1 3 . 2 2 ABC a S AB AC 3 ' ' ' 3 ' . 2 ABCA B C ABC a V A H S . Câu 16. Chọn D. Gọi H là trọng tâm của ABD ' A H ABCD . Ta có: 0 0 180 60 BAD ABC . ABD cân có 0 60 BAD nên ABD đều. ABD là tam giác đều cạnh a 3 3 a AH ' A AH vuông tại H 2 2 6 ' ' 3 a A H AA AH 2 2 3 3 2 2. 4 2 ABCD ABD a a S S ; 3 ' ' ' ' 2 ' . 2 ABCDA B C D ABC a V A H S Câu 17. Chọn C. Ta có: ' ' BB C C là hình bình hành ' ' ' ' 1 2 BB C BB C C S S . ' ' . ' ' 1 2 A BB C A BB C C V V Ta có: . ' ' ' ' ' ' 1 3 A A B C ABCA B C V V . ' ' ' ' ' . ' ' ' ' ' ' 2 3 A BB C C ABCA B C A A B C ABCA B C V V V V ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 3 3 ABB C ABB C ABCA B C ABCA B C V V V V Câu 18. Chọn D. 0 2 3 . ’ ’ ’ 3 3 .tan 30 2 3 2 3 4 3 . 8 ABC AB B C C A C A B a a A I AI a S a V A I S H C' B' A' C B A H D' C' B' A' D C B A C' B' A' C B A 30° A B C A' B' C' IBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 187 Thể tích khối đa diện Câu 19. Chọn A. Ta có: ' ' BB C C là hình bình hành ' ' 1 2 BCMN BB C C S S . . ' ' 1 2 A BCMN A BB C C V V Ta có: . ' ' ' ' ' ' 1 3 A A B C ABCA B C V V . ' ' ' ' ' . ' ' ' ' ' ' 2 3 A BB C C ABCA B C A A B C ABCA B C V V V V . . ' ' ' ' ' ' 1 1 . 3 3 A BCMN A BCMN ABCA B C ABCA B C V V V V Câu 20. Chọn C. ’. . ’ ’ ’ ’ ’. . ’ ’ ’ ’ 1 . 3 1 1 1 . . . 3 2 6 1 6 1 . 6 ABD ABCD A ABD ABCD A B C D A ABD ABCD A B C D V AA S AA AB AD AA S V V V Câu 21. Chọn C. Ta có: AD AB AD SB AD (SAB) AD SA. 0 60 SAB ; SABCD = 4a 2 . Xét tam giác SAB tại vuông tại B, ta có: 0 tan 60 2 3 SB AB a . Vậy V = 1 3 .4a 2 . 2a 3 = 3 8 3 3 a . Câu 22. Chọn D. V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’. Do BC AB BC A B BC AA . Và ( ) ' ( ) ( ) ( ' ) BC AB ABC BC A B A BC BC ABC A BC ( ),( ' ) , ' ' ABC A BC AB A B ABA Ta có: 2 2. 1 2. 3 . 2 3 2 A BC A BC S a S A B BC A B a BC a . 0 0 .cos 2 3.cos 30 3 ; .sin 2 3.sin 30 3 AB A B ABA a a AA A B ABA a a N M C' B' A' C B A D' C' B' A' D C B A 2a S D C B A α 30° a A B C A' B' C'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 188 Thể tích khối đa diện . ' ' ' 1 . . . . . 2 ABC A B C ABC V B h S AA AB BC AA 3 1 3 3 .3 . . 3 2 2 a a a a . Câu 23. Chọn A. Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, AM. . ' ' ' . ' ABC A B C ABC V S A H . 2 3 4 ABC a S . Ta có IH là đường trung bình của tam giác AMB, MB là trung tuyến của tam giác đều ABC. Do đó: IH MB IH AC MB AC // ' ' ' AC A H AC A HI AC A I AC IH Mà: ( ) ' ( ' ') ( ) ( ' ') AC IH ABC AC A I ACC A ABC ACC A AC ' A IH là góc gữa hai mặt phẳng ' ' AA C C và ABCD ' 45 A IH Trong ' A HI vuông tại H,có: ' tan 45 A H HI 1 3 ' .tan 45 2 4 a A H IH IH MB o . Vậy 2 3 3 3 3 . 4 4 16 a a a V Câu 24. Chọn D. Gọi M là trung điểm của BC . Trong mp SAM , Kẻ ,( ) MH SA H SA . Ta có: BC AM BC SAM BC MH BC SO . Do đó MH là đường vuông góc chung của SA và BC . Suy ra 3 2 7 a MH . Ta có: 0 , 60 SM BC SBC ABC SMA . Đặt 3 , 2 OM x AM x OA x . 0 .tan 60 3 SO OM x và 2 2 3 2 7 SA x x x . Trong SAM ta có: 3 . . 7. 3.3 2 7 2 3 a a SA MH SO AH x x x x Khi đó: 3 3 3. 2 2 3 a a AM x AB a . a I M C' B' A' C B A M H S B C O ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 189 Thể tích khối đa diện 2 2 . 1 1 3 3 . . . . 3 3 4 2 24 S ABC ABC a a a V S SO Câu 25. Chọn A. Gọi M là trung điểm của CD , trong SOM kẻ đường cao OH . OH SCD OH a . Đặt CM x . Khi đó OM x , 3 SM x , 2 2 2 SO SM x x . Ta có: . . SM OH SO OM 6 3. 2. 2 a x a x x x 6, 3 CD a SO a 2 2 3 . 1 1 1 . . . . .6 . 3 2 3 3 3 3 S ABCD ABCD V S SO CD SO a a a . Câu 26. Chọn A. Dựng AM CD tại M . Ta có: 0 60 SMA . 2 . 4 2 ABCD AD BC S AB a 2 2 2 2 CD AD BC AB a 2 1 . 2 ABC S AB BC a ; 2 3 ACD ABCD ABC S S S a 2 1 3 2 . 2 2 ACD ACD S S AM CD AM a CD Ta có: 3 6 .tan 2 SA AM SMA a . 3 . 1 . 2 6 3 S ABCD ABCD V SA S a . Câu 27. Chọn D. Gọi M là trung điểm của BC , ta có ' ' A AM A BC theo giao tuyến ' A M . Trong ' A AM kẻ ' ( ' ) OH A M H A M ' OH A BC Suy ra: , ' 6 a d O A BC OH . 2 3 4 ABC a S . Xét hai tam giác vuông ' A AM và OHM có góc M chung nên chúng đồng dạng. Suy ra: 2 2 2 2 1 3 . 1 3 6 3 2 ' ' ' ' ' 3 ' 2 a a OH OM A A A M A A A A A A AM a A A . x O H M A B C D S M A B C D S H B' O A B M C C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 190 Thể tích khối đa diện 6 ' 4 a A A . Thể tích: 2 3 . ' ' ' 6 3 3 2 . ' . 4 4 16 ABC A B C ABC a a a V S A A . Câu 28. Chọn A. Ta có: 1 4 SMN SAB S SM SN S SA SB . Tương tự, 1 1 , 4 4 BNP AMP SAB SAB S S S S . Suy ra 1 4 MNP SAB S S (có thể khẳng định 1 4 MNP SAB S S nhờ hai tam giác MNP và BAS là hai tam giác đồng dạng với tỉ số 1 2 k ). Do đó . . 1 4 D MNP D SAB V V (1) . . . 1 2 D SAB S DAB S ABCD V V V . (2) 3 . 1 1 4 . .tan 45 . 3 3 3 S ABCD ABCD ABCD a V SO S OP S (3). Từ (1), (2) và (3): 3 3 1 1 4 . . 4 2 3 6 DMNP a a V . Câu 29. Chọn C. Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến BH cũng là đường cao của nó, và 1 2 HB HA HC AC a . 2 2 2 2 2 A H A A AH a a a . 3 . 1 2 ABC A B C ABC V A H S A H BH AC a Câu 30. Chọn D. Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH là chiều cao khối chóp đã cho. Kí hiệu x là độ dài cạnh đáy. Ta có 3 2 SH x và 3 . 3 6 S ABCD V x . Kẻ ( ) HK CD K CD ; Kẻ ( ) HL SK L SK . Suy ra ( ) HL SCD và 2 2 ( ,( )) ( ,( )) 21 7 d A SCD d H SCD HS HK HL x HS HK Theo gt, 21 3 7 3 7 7 a x x a . Suy ra 3 3 3 . 3 3 3 ( 3) 6 6 2 S ABCD V x a a Câu 31. Chọn B. Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC , suy ra SD ABC . M N P O A B C D S a 2 a a a H C A B C' B' A' x L H A B K C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 191 Thể tích khối đa diện Ta có SD AB và ( ) SB AB gt , suy ra AB SBD BA BD Tương tự có AC DC hay tam giác ACD vuông ở C . Dễ thấy SBA SCA (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB SC . Từ đó ta chứng minh được SBD SCD nên cũng có DB DC . Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc BAC . Ta có 30 DAC , suy ra 3 a DC . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC là 60 SBD Suy ra tan tan . 3 3 SD a SBD SD BD SBD a BD . Vậy 2 3 . 1 1 3 3 . . . . 3 3 4 12 S ABC ABC a a V S SD a . Câu 32. Chọn A. Ta có: BC SA BC SAB BC AB SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB . , , 30 SC SAB SC SB CSB . Xét tam giác SBC vuông tại B có tan 30 3 BC SB a SB . Xét tam giác SAB vuông tại A có 2 2 2 2 SA SB AB a . Mà 2 . 3 ABCD S AB BC a . Vậy 3 1 2 6 . 3 3 ABCD a V S SA . Câu 33. Chọn C. Ta có 2 . . . . . S AMN S ABD V SA SM SN k V SA SB SD Mà 2 . . . 1 1 1 2 , 1 . 8 2 8 4 S AMN S ABD S ABCD V V V k k Câu 34. Chọn D. Gọi , , D E F lần lượt là trung điểm của , , AA BB CC và h là độ dài chiều cao của khối lăng trụ . ABC A B C . Khi đó ta có . 1 1 1 . . . . . . 3 2 6 6 C DEF DEF DEF ABC A B C h V S S h V Mặt khác . 1 . . 2 A B C DEF ABC A B C V V D B A C S A B C D S A M B C D N S D A B C A' B' C' E FBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 192 Thể tích khối đa diện Suy ra ' . . 1 1 1 . . 2 3 2 C DEB A C DEB A C DEF ABC A B C C DEB A ABC A B C ABCDC E V V V V V V k V Câu 35. Chọn C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ABC . Giả sử 0 A H x ; 5 BC ; 1 . 1 2 ABC S AB AC . Ta có . 1 1 . . 3 3 A ABC ABC V A H S x . . 3 2 2 , 1 . 5 5 . 5 2 A ABC A BC V x x d A A BC S x A H . Câu 36. Chọn B. Ta có A G ABC nên A G BC ; BC AM BC MAA Kẻ MI AA ; BC IM 3 ; 4 a d AA BC IM Kẻ GH AA , ta có 2 2 3 3 . 3 3 4 6 AG GH a a GH AM IM 2 2 2 2 2 2 2 3 3 . 1 1 1 . 3 6 3 3 12 a a AG HG a A G HG A G AG AG HG a a 2 2 . 3 3 . . 3 4 12 ABC A B C ABC a a a V A G S (đvtt). Câu 37. Chọn D. Diện tích đáy là 2 3 4 ABC a B S . Chiều cao là ; h d ABC A B C AA . Do tam giác ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A lên A I ta có AH A BC ; d A A BC AH ; 1 3 ; d O A BC IO IA d A A BC ; ; 3 3 6 d A A BC AH a d O A BC 2 a AH H C' B' A' C B A I H G A B C A' B' C' M K A' C' C I B A O B' HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 193 Thể tích khối đa diện Xét tam giác A AI vuông tại A ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AA AI 2 2 2 1 1 1 AA AH AI 3 2 2 a AA 3 2 2 a h 3 . 3 2 16 ABC A B C a V . Câu 38. Chọn C. Ta có SBC ABCD BC , BC SAB BC SB , AB BC nên góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD là SBA . Do đó 0 tan 45 SA AB a . Mặt khác 2 2 2 2 5 8 4 8 MNDC ABCD AMN BMC a a a S S S S a Vậy 2 3 . 1 1 5 5 . . . . 3 3 8 24 S CDMN CDMN a a V S SA a . Câu 39. Chọn B. Vì CC AA // nên góc giữa AA và B C là góc giữa ' CC và B C và là góc 60 B CC o Trong B C C : 3 sin 60 .2 3 2 ' 1 60 ' .2 ' 2 B C B C a a B C CC CC a a B C o o cos Gọi H là hình chiếu của A lên BC , khi đó , . AH BCC B d AA B C AH a 3 . 1 1 3 . . . 3. . 2 2 2 ABC A B C ABC a V S AA AH BC AA a a a Câu 40. Chọn A. Gọi H là hình chiếu của S trên AD và K là hình chiếu của H trên BC . Ta có SAD ABCD SAD ABCD AD SH ABCD SH AD HK BC BC SK SH BC . Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc 60 SKH tan 60 3 SH HK a 2 2 2 1 1 1 SH SA SD 2 2 1 5 3 4 a SD 15 2 a SD , 15 SA a , 5 3 2 a AD . . 1 . 3 S ABCD ABCD V SH S 3 1 5 3 5 3. . 3 2 2 a a a a . M S D C B A A' C' C H B A B' K H A B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 194 Thể tích khối đa diện Câu 41. Chọn C. Trong mặt phẳng SBC . Qua G kẻ đường thẳng song song với BC và lần lượt cắt , SC SB tại , E F . Khi đó ta được khối đa diện không chứa đỉnh S là . ABCEF Ta có G là trọng tâm của SBC nên . . 2 2 4 . . . . 3 3 9 S E S ABC V SA SF SE V SA SB SC AF Do đó . . . . . 4 4 5 . . . . 9 9 9 S ABC S E S ABC ABCEF S ABC S ABC V V V V V V AF Vì tam giác ABC vuông cân ở , B 2 AC a nên . AB BC a Mặt khác 3 . 1 1 . . . 3 2 6 S ABC a V a a a Suy ra 3 3 5 5 . . 9 6 54 ABCEF a a V Câu 42. Chọn D. Lồng khối tứ diện ABCD vào một khối tứ diện AMNP sao cho , , B C D lần lượt là trung điểm , , MN NP PM như hình vẽ. Dễ dàng ta có khối AMNP có , , AM AN AP đôi một vuông góc và 2 5; MN 2 10; NP 2 13 AD . Suy ra 4; 2; 6 AM AN AP , nên thể tích 1 . . 8 6 AMNP V AM AN AP . Mà 1 2 4 ABCD AMNP V V . Câu 43. Chọn B. Gọi I là trung điểm của EC nên IM là đường trung bình của tam giác BCE MI EN // Mà N là trung điểm của SM EN là đường trung bình của tam giác SMI suy ra E là trung điểm của SI . 2 2 1 1 1 1 3 3 V SE V V V SC . Câu 44. Chọn C. B C N P D M A F G C M B A E S M N I E C B A SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 195 Thể tích khối đa diện Gọi giao điểm của BMC với SD là N , khi đó do BC AD // nên BCM SAD MN AD BC // // SM SN k SA SD . Gọi V là thể tích của khối chóp . S ABCD, 1 V là thể tích của khối chóp . S BCNM , 2 V là thể tích của khối đa diện còn lại. Ta có 1 2 V V V 1 2 2 V V V . Mà 1 . . S MBC S MNC V V V , mặt khác . . S MBC S ABC V SM k V SA . . 1 . 2 S MBC S ABC V k V kV và 2 . . . S MNC S ADC V SM SN k V SA SD 2 2 . . 1 . 2 S MNC S ADC V k V k V . 2 2 1 1 5 1 0 2 2 2 V V V k k k k k . Câu 45. Chọn B. Gọi K là trung điểm BC , dựng AH A K H A K . Ta có AH A BC , suy ra ; 6 2 A A BC a d AH . Tam giác ABC đều, có đường cao 3 .2 3 2 AK a a . Xét tam giác AA K vuông tại A , đường cao AH . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 1 3 6 3 3 AA a AA AH AK a a a . Thể tích khối lăng trụ: 2 3 3 . 3. . 2 3 4 ABC V AA S a a a . Câu 46. Chọn A. Ta có: B B ABCD B B BD . Từ đó suy ra góc giữa B D và mặt phẳng ABCD chính là góc 30 B DB B DB Ta có DA ABB A DA AB . Vậy góc giữa B D và ABB A là góc AB D . Vậy 45 AB D . Đặt 2 2 0 AD x x BD a x . Xét tam giác B BD có: 2 2 2 2 .tan 30 2 3 3 x a x a B B BD B D o . Mặt khác, xét trong tam giác B AD có 2 B D x (vì tam giác vuông cân). N A B C D S M H B' A B K C C' A' a a B C D A B' C' D' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 196 Thể tích khối đa diện Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 2 3 3 3 3 3 x a x a x x x a x a . Do đó: 2 2 2 2 2 3 3 x a a a B B a . Vậy: 3 . . 2 2 V a a a a . Câu 47. Chọn D. Đề cho hình lăng trụ đứng các cạnh bên vuông góc với hai đáy và là đường cao của hình lăng trụ. Do đó: ; 45 DB ABCD B DB ; ; 30 AC ABCD C AC . BDB vuông tại B : tan 45 DD BD a . CAC vuông tại C : tan 30 CC AC 3 a . Trong ABD có: 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos60 2 4 AB AD AB AD BD AB AD BD AO 2 2 2 2 2 2 . 2 AB AD AB AD a AB AD a AB AD a . Suy ra: ABD đều cạnh a . Do đó: 2 ABCD ABD S S 2 3 2 a . Vậy thể tích khối lăng trụ cần tìm là: 3 3 2 LT a V . Câu 48. Chọn A. Gọi O là tâm của hình thoi ABB A . Theo giả thiết suy ra CO BA hay tam giác CBA cân tại C . Tương tự tam giác CAB cân tại C . Do đó . C ABB A là hình chóp tứ giác đều, cạnh bằng a . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 a a CO CA AO a . Khi đó 3 2 . 1 1 2 2 . . 3 3 2 6 C ABB A ABB A a a V S CO a . Ta có . . 1 3 C A B C ABC A B C V V nên . . 2 3 C ABB A ABC A B C V V . Do đó 3 . . 3 2 . 2 4 ABC A B C C ABB A a V V . Câu 49. Chọn A. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD , H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD . O B C D A D' C' B' A' a O B' A' C' A C BBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 197 Thể tích khối đa diện Khi đó AB SM AB MH AB SH . Suy ra H MN . Ta có 3 2 a SM , MN a , 2 2 2 2 11 3 2 2 a a SN SC NC a . Suy ra 2 3 11 2 2 2 4 SMN a a S p p p a p với p là nửa chu vi SMN và 3 11 2 2 2 a a p (Công thức Hê-rông). Suy ra 2 3 11 2 2 2 4 SMN a a a S p p p a p với p là nửa chu vi SMN và 3 11 2 2 2 a a a p (Công thức Hê-rông). Khi đó đường cao 2 2 2 2 2 4 2 SMN a S a SH MN a . Diện tích đáy 2 ABCD S a . Thể tích khối chóp 3 2 . 1 1 2 2 . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V SH S a . Câu 50. Chọn B. Gọi M là trung điểm của CD và H là hình chiếu của A trên BM . ; CD AM CD BM CD ABM AH BCD . Đặt AMB suy ra sin AH AM 3 sin . 2 x AH . 1 . 3 ABCD BCD V AH S 2 1 3 3 sin . 2 2 3 2 4 x x 2 6 512 sin x . Xét tam giác AMB ta có: 2 2 2 2 8 cos 1 2 . AM BM AB AM BM x . Ta được phương trình: 2 6 2 512 8 1 1 x x . Giải phương trình ta được 2 2 x . Câu 51. Chọn D. a 3 a M S D C N B A H a H M D C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 198 Thể tích khối đa diện Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là 3 2 12 a . Gọi P ME AD ; T ME AB . Trong mặt phẳng ABC đường thẳng TN cắt AC , BC lần lượt tại Q , F . Khi đó mặt phẳng MNE chia khối tứ diện đã cho phần chứa đỉnh A là tứ diện ATPQ . Gọi I là trung điểm BD . Xét AID ta có: . . 1 ED MI PA EI MA PD (định lý Menelaus) 3 PA PD Tương tự ta có: 3 QA QC Xét AIB ta có: . . 1 EI TB MA EB TA MI 2 3 TB TA . Mặt khác ta có: 3 3 3 27 . . . . 5 4 4 80 ATPQ ABCD V AT AP AQ V AB AD AC 3 3 27 2 9 2 . 80 12 320 ATPQ a a V . Câu 52. Chọn A. Ta có 2 2 2 BC AB AC ABC vuông tại A . 0 90 ACD . CD SC CD SAC CD AC SAC ABCD . Kẻ SH AC , H AC SH ABCD . P Q C N M T B I D E F A I H K B C D A SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 199 Thể tích khối đa diện Gọi K là trung điểm BC . Ta có : BC SK BC SHK BC SH BC HK . Kẻ , HI SK I SK HI SBC ; d H SBC HI . ; ; AD SBC d A SBC d D SBC // . CKH CAB ∽ (g.g) 1 3 HK CH CK AB BC CA 2 2 3 3 3 a HC AC , 3 a HK . ; 3 2 ; d A SBC AC HC d H SBC 2 3 9 a HI . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 81 3 15 2 12 4 15 a SH HI HK SH SH a a a . Thể tích cần tìm là 3 2 1 2 2 . 3 3 15 3 3 a a V a . Câu 53. Chọn D. Ta có: G P SAB CD AB // Giao tuyến của mặt phẳng P và mp SAB là MN AB CD // // . Ta có: 2 3 SM SG SA SE (do MG AB // ). Mặt khác, ta có: 2 3 SN SG SB SE . . . 2 3 S MCD S ACD V SM V SA . . 2 3 S MCD S ACD V V . 1 3 ACD AEC EBC ABCD S S S S hay . . 1 3 S ACD S ABCD V V . . . 2 1 2 . 3 3 9 S MCD S ABCD S ABCD V V V . . . 4 . 9 S MNC S ACB V SM SN V SA SB . . . . 4 4 2 8 . 9 9 3 27 S MNC S ACB S ABCD S ABCD V V V V . . . . . 2 8 9 27 S MCD S MNC S ABCD S ABCD V V V V . . 14 27 S CDMN S ABCD V V . Gọi E là trung điểm của AB . Xét tứ giác ADCE ta có: AD CD , AE CD // , AE CD nên ADCE là hình vuông nên 1 2 CE a AB Hay tam giác ACB vuông tại C . Suy ra AC CB . Mặt khác BC SA nên BC SAC . Do đó , 60 SBC ABCD . Ta có: tan 60 2. 3 6 SA SA a a AC . Mặt khác 2 . 3 2 2 ABCD AB CD AD a S nên 2 3 . 1 1 3 6 . . 6. 3 3 2 2 S ABCD ABCD a a V SA S a . G M N E D C A B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 200 Thể tích khối đa diện Vậy 3 3 . . 14 14 6 7 6 . 27 27 2 27 S CDMN S ABCD a a V V . Câu 54. Chọn C. Giả sử hình hộp . ABCD A B C D có độ dài đường chéo các mặt bên lần lượt là 5 AB , 10 B D , 13 AD . Đặt , AA x A B y , A D z ( , , 0 x y z ). Áp dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác vuông A AB , A B D , A AD ta có hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 5 13 10 x y x z y z . Suy ra 2 2 2 4 2 1 1 3 9 x x y y z z (vì , , 0 x y z ). Vậy thể tích khối lập phương là 6 V xyz . Câu 55. Chọn A. Ta có sin ASC AC SC 2 AC a sin60 3 2 3 AC a . Do đó 2 2 2 AB BC AC ABC vuông tại B . Gọi P là trung điểm của cạnh AC thì P là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Gọi O là trung điểm của cạnh SC OS OC . Ta có OP SA // mà SA ABC OP ABC . Do đó OP là trục đường tròn ngoại tiếp ABC OA OB OC . Như vậy 1 2 R OA OB OC OS SC a . Câu 56. Chọn C. Gọi N là trung điểm của AB BC SMN // . , , , , d BC SM d BC SMN d B SMN d A SMN . Dựng AH vuông góc với SN tại H AH SMN . Vậy 3 , 4 a d A SMN AH . Lại có, trong tam giác vuông SAN : 2 2 2 1 1 1 3 2 a SA AH AN AS . Vậy 3 2 . 1 3 3 . . 3 2 6 S ABCD a a V a . A B C D A' D' C' B' A P B C O S A O N H B M C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 201 Thể tích khối đa diện Câu 57. Chọn D. Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ MH AA H BC Ta có AM BC , A G BC BC A AG BC MH , d AA BC MH . 2 2 AH AM MH 2 2 3 3 4 16 a a 3 4 a . Ta có tan MH A G GAH AH AG . MH AG A G AH 3 3 . 4 3 3 4 a a a 3 a . Vậy . ABC V S A G 2 3 . 4 3 a a 3 3 12 a . Câu 58. Chọn D. Ta có 2 2 3 AD BD AB a . Gọi H là trung điểm AB thì SH ABCD , kẻ HK BD (với K BD ), ta có SKH là góc giữa SBD và ABCD , do đó 60 SKH . Gọi AM là đường cao của tam giác vuông ABD . Khi đó, ta có: . AB AD AM BD .3 3 10 10 a a a a Suy ra 3 2 2 10 AM a HK . Do đó: 3 3 3 tan .tan 60 2 10 2 10 a a SH HK SKH . Vậy nên: . 1 . 3 S ABCD ABCD V S SH 1 1 . . . 3 2 AD BC AB SH 3 1 3 3 30 3 2 . . 6 8 2 10 a a a a a . Câu 59. Chọn A. Dễ thấy hai tam giác SAB và SAC bằng nhau (cạnh chung SB), gọi K là chân đường cao hạ từ A trong SAB suy ra , SAB SBC AKC . TH1: 60 AKC kết hợp I là trung điểm AC suy ra 30 IKC . Ta có 2 2 2 AC a IB IC , 4 2 2 3 3 a BH BI . Từ giả thiết ABC vuông cân tại B ta được AC BI IC IK . A M K H B C D S I H K A B C S G M H B' A' C' C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 202 Thể tích khối đa diện Trong ICK vuông tại I có 6 tan tan 30 2 IC IC a IKC IK IK . Như vậy IK IB ( vô lý) TH2: 120 AKC tương tự phần trên ta có 6 tan tan60 6 IC IC a IKC IK IK . Do SB AKC SB IK nên tam giác BIK vuông tại K và 2 2 3 3 a BK IB IK . Như vậy BKI đồng dạng với BHS suy ra: . 2 3 IK BH a SH BK . Vậy thể tích của khối chóp . S ABC là 2 3 . 1 2 . 3 2 3 9 S ABC a a a V . Câu 60. Chọn C. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Góc giữa cạnh bên SAB và mặt đáy là 60 SNO Xét SNO , ta có .tan 60 . 3 3 SO NO a a . Lại có M là trung điểm của SD nên 1 1 3 , , 2 2 2 a d M ABCD d S ABCD SO N là trung điểm của CD nên 2 2 1 1 4 4 4 ACN ABCD S S a a Do đó, thể tích khối MACN là 3 2 1 1 3 3 . , . . . 3 3 2 6 MACN ACN a a V d M ABCD S a . Câu 61. Chọn A. Gọi H là trung điểm cạnh CD và O là tâm hình vuông ABCD . Ta có . S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau Giả sử , 60 SCD ABCD SHO SHO vuông tại O có .tan 60 3 SO OH a . 3 . 1 4 3 . . 3 3 S ABCD ABCD a V S SO . Mặt khác: , P SCD MN AB P MN SCD MN CD AB AB CD // // // Mà G là trọng tâm SAC nên G cũng là trọng tâm SBD 1 2 SM SN SC SD . Ta lại có 1 1 2 4 SABM SABM SABC SABCD SABC V SM V V V V SC S A B C D O N M H S A B C D O N M P 6 0 G HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 203 Thể tích khối đa diện 1 1 . 4 8 SAMN SAMN SACD SABCD SACD V SM SN V V V V SC SD Khi đó 3 1 1 3 3 4 8 8 2 SABMN SABCD SABCD a V V V . Câu 62. Chọn C. Gọi E là điểm đối xứng của C qua điểm B . Khi đó tam giác ACE vuông tại A . 2 2 4 3 AE a a a . Mặt khác, ta có BC B E AB nên tam giác AB E vuông cân tại B . 2 AE AB 3 2 a 6 2 a . Suy ra: 2 2 6 2 2 2 a a AA a . Vậy 2 2 3 . 2 4 a a V 3 6 8 a . Câu 63. Chọn A. Gọi M là trung điểm CD . Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc SMO . Dựng OK SM dễ thấy OK SCD . Vậy OK P . Kéo dài CK SD E . Đây là giao điểm cần tìm. Ta có . . 5 S ABCD E ACD V V , . 5 , . ABCD ACD d S ABCD S d E ABCD S , .2 5 , . ACD ACD d S ABCD S d E ABCD S , 5 2 , d S ABCD d E ABCD . Dựng EF SO F OD // vậy 2 5 DE DF EF DS DO SO . Giả sử AB a , 2 2 a OD , SD b . Xét tam giác vuông SOD . Dễ thấy OE SD ta có 2 . OD DE DS 2 2 2 5 OD DE DS DS . 5 2 OD DS 5 2 a DS ; 2 2 SM SD MD a Xét tam giác vuông SOM vuông tại O có 1 cos 2 OM SMO SM 60 SMO o . A C' A' B' E B C F K A O B C M D E SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 204 Thể tích khối đa diện Câu 64. Chọn C. Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A trên A I . Khi đó ta có: , 2 a d A A BC AH . Trong vuông AA I ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AA AI 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 8 3 3 3 2 2 AA AH AI a a a a a Suy ra: 6 4 a AA . Thể tích khối lăng trụ là: 2 3 3 6 3 2 . 4 4 16 ABC a a a V S AA . Câu 65. Chọn C. Gọi G là trọng tâm của ABC , M là trung điểm của BC A G ABC . Trong AA M dựng MN AA , ta có: BC AM BC A G BC AA G BC MN . , d AA BC MN 3 4 a . Gọi H là hình chiếu của G lên AA . Ta có: / / GH MN GH AG MN AM 2 3 2 3 GH MN 3 6 a . Ta có: 2 2 2 1 1 1 GH GA GA 2 2 2 1 1 1 GA GH GA 2 2 1 1 3 3 6 3 a a 2 27 3a 3 a GA Vậy thể tích của khối lăng trụ là: . ABC V S A G 2 3 . 4 3 a a 3 3 12 a . Câu 66. Chọn D. Q H F E B M A N D P C G S G N H A C M B C' B' A' H I A' B' C' B C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 205 Thể tích khối đa diện Gọi hình chóp tứ giác đều là . S ABCD , có thể tích . 1 2 .1.2 3 3 S ABCD V . Gọi M ; N ; P ; Q ; E ; F ; G ; H là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp (hình vẽ). Khi đó . . . . . . MNPQEFGH S ABCD S EFGH F MBQ G QCP H PDN E MAN V V V V V V V , với . 1 1 1 . .1 3 4 12 S EFGH V Các khối chóp còn lại cùng chiêu cao và diện tích đáy bằng nhau nên thể tích của chúng bằng . 1 1 1 1 1 . . . .1 3 2 2 2 24 E MAN V . Vậy thể tích cần tính 2 1 4 5 3 12 24 12 MNPQEFGH V . Câu 67. Chọn A. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó ta có SOA là góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD nên 60 SOA . Khi đó tan 60 SA AO 2 .tan 60 . 3 2 SA AO a 6 2 a . Ta có . . 1 . . 4 S AMN S ABC V SA SM SN V SA SB SC và . . 1 . . 2 S AND S ACD V SA SN SD V SA SC SD . Do đó . . 1 1 1 . 2 4 2 S ADMN S ABCD V V . 3 . 8 S ABCD V 3 2 3 1 6 6 . . . 8 3 2 16 a a a . Câu 68. Chọn C. Do MNPQ là tứ diện đều suy ra AB A C . Đặt A A x Ta có . 0 . 0 AB A C AC CB BB A C 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . 0 a x x a x x a x a x a x x a . Vậy 2 . 1 . 2 ABC A B C V a a 3 2 a . Câu 69. Chọn A. O A N M B C D S Q P N M A C B C' B' A' P N A K M T H C B I K N H B A M C A' C' B'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 206 Thể tích khối đa diện Kẻ MN BC // , N AB . HK MN , HI A K . ; ; ; 2 a d A M BC d BC A MN d H A MN HI HI . Kẻ AT HK // , AT MN P 2 3 HK PT AT Tam giác ABC vuông tại A 2 2 2 2 1 1 1 4 2 3 3 3 a HK AT AT AB AC a . Tam giác A HK vuông tại H 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 3 1 A H a A H HI HK a a a . Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3 1 3 . . . . 3 2 2 ABC a V A H S a a a . Câu 70. Chọn B. Đặt . S ABCD V V . Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD . Gọi I là giao điểm của SO và AM . Do // P BD nên P cắt mặt phẳng SBD theo giao tuyến NP qua I và song song với BD ; ; N SB P SD . Xét tam giác SAC có I là giao điểm hai trung tuyến nên I là trọng tâm. Ta có . . . . S APN S ADB V SP SN V SD SB 2 2 4 . 3 3 9 . . 4 9 S APN S ADB V V 4 1 . 9 2 V 2 9 V . Tương tự . . . . . . S PMN S DCB V SP SM SN V SD SC SB = 2 1 2 2 . . 3 2 3 9 . . 2 9 S PMN S DCB V V 2 1 . 9 2 V 1 9 V . Từ đó 1 . . S APN S PMN V V V 1 3 V . Do đó 2 1 2 V V . Câu 71. Chọn C. Đặt , CC h , CH b . AB a Khi đó . . ABC A B C ABC V S h . .cos 3 .cos . ABC S h h =8 Ta có ' 1 1 ' . . . 2 2 sin ABC h S C H AB a 1 2 . . . 2 sin 3 h b 1 . . cot sin 3 h h 2 2 1 . cos . sin 3 h Nên 2 2 2 1 sin 8 3 . cos 24. . sin cos 3 h h Từ đó . 3 .cos ABC A B C V h 8 2 2 2 2 2 sin 192 .cos 4608 cos cos V h 2 4608sin cos . 2 3 4608 1 cos cos 4608 cos cos . O M I A P D C B N S H A C B C' B' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 207 Thể tích khối đa diện Đặt cos , 0;1 t t . Xét hàm số 3 2 1 3 . f t t t f t t Ta có 2 1 0 1 3 0 . 0;1 3 f t t t t . Ta có 0 0, f 1 0, f 1 2 . 3 3 3 f Vậy max 2 1 4608. 3072 3 cos . 3 3 V Câu 72. Chọn A. Cách 1: Trong mặt phẳng ABC dựng D , E , F sao cho A , B , C lần lượt là trung điểm của DE , DF , EF . Khi đó ta có 2 2 DE SA x ; 2 2 DF SB y ; 2 2 EF SC z . Suy ra SD, SE, SF đôi một vuông góc. Ta có . . 1 1 1 . . . . 4 4 6 S ABC S DEF V V SD SE SF . Mặt khác 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 SD SE x SD SF y SE SF z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 SD x y z SE x z y SF y z x 2 2 2 2 6 2 6 2 6 SD z SE y SF x . Khi đó 2 2 2 . 1 .8. 6 6 6 24 S ABCD V x y z 3 2 2 2 6 6 6 1 3 3 x y z 2 2 3 . Vậy . S ABC V đạt giá trị lớn nhất là 2 2 3 . Cách 2: Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Lúc đó MN là đường vuông góc chung của SA và BC . SMN ta có 2 2 2 2 2 2 y z x MN SN SM . 1 . . .sin , 6 V SA BC MN SA BC 2 2 2 2 2 1 . 1 cos , 6 2 y z x x SA BC 2 2 2 2 2 2 2 4 1 . 1 6 2 y z y z x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 x y z y z x z x y 2 2 2 2 12 2 12 2 12 2 12 z x y 2 2 2 2 8 6 6 6 12 z x y N M C B A S z y x z y x D A B F C E SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 208 Thể tích khối đa diện 2 2 2 1 6 6 6 3 z x y 3 2 2 2 6 6 6 1 2 2 3 3 3 z y x Dấu bằng xẩy ra khi 2 2 2 12 2 x y z x y z x y z . Lúc đó 2 2 3 V . Câu 73. Chọn D. Đặt SM x SB , SN y SD , 0 x , 1 y . Vì SA SC SB SD SA SP SM SN nên 1 1 1 2 3 1 x y x y x Khi đó . . 1 . . 2 2 S ANP S AMP S ADC S ABC V V V V V V 1 1 . . . . . . 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 2 2 2 2 4 4 3 1 SA SN SP SA SM SP SA SD SC SA SB SC x y x x y x x Vì 0 x , 0 y nên 1 1 3 x . Xét hàm số 1 4 3 1 x f x x x trên 1 ;1 3 Ta có 2 1 1 1 4 3 1 f x x ; 2 0 3 f x x . Bảng biến thiên x 1 3 2 3 1 y – 0 y || 1 3 3 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 V V bằng 1 3 . Câu 74. Chọn C. Gọi H , I tương ứng là trung điểm của SA , BC . ABC SBC (c.c.c) AI SI Tam giác SAI cân tại I IH SA . BC SI BC SAI BC AI ; BC AI BC SA . S A B C H I M N I O D A B C P SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 209 Thể tích khối đa diện 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . . 1 4 6 6 4 4 24 SABC y x V SA BC HI xy x y x y . 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2 2 . 12 3 9 SABC x y x y x y V . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi 2 3 x y . Vậy SABC V lớn nhất khi 4 3 x y Câu 75. Chọn A. Gọi H là tâm tam giác BCD , ta có AH BCD , mà AMN BCD nên AH AMN hay MN luôn đi qua H . Ta có 3 3 BH 2 2 AH AB BH 1 6 1 3 3 . Thể tích khối chóp ABMN là : 1 . . 3 BMN V AH S 1 6 1 . . . .sin60 3 3 2 BM BN 2 . 12 BM BN Do MN luôn đi qua H và M chạy trên BC nên : + . BM BN lớn nhất khi M C hoặc N D khi đó 1 2 24 V . + . BM BN nhỏ nhất khi MN CD // khi 2 3 BM BN 2 2 27 V . Vậy 1 2 17 2 216 V V . Câu 76. Chọn D. Đặt SP x SC 0 1 x . Ta có SM SP SN SQ SA SC SB SD 1 2 1 2 3 6 SQ x x SC 1 6 x . Mặt khác ABCD là hình bình hành nên có . . . 2 2 S ABCD S ABC S ACD V V V . . 1 . . 3 S MNP S ABC V SM SN SP x V SA SB SC ; . . 1 1 . . 2 6 S MPQ S ACD V SM SP SQ x x V SA SC SD . Suy ra . . 2 . . . . 1 1 1 1 1 2 2 6 4 6 4 8 S MNPQ S MPQ S MNP S ABCD S ABC S ACD V V V x x x x x V V V . Xét 2 1 1 4 8 f x x x với 1 1 6 x ; 1 1 1 1 0 ;1 2 8 4 6 f x x x Bảng biến thiên: H N M D C B A P Q S D C B M N A OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 210 Thể tích khối đa diện Từ BBT ta có 1 ;1 6 3 max 8 f x . Vậy . . S MNPQ S ABCD V V đạt giá trị lớn nhất bằng 3 8 Câu 77. Chọn A. Kẻ DH BC DH ABC . Kẻ , HN AB HM AC , ( N AB , M AC ). Ta có , , DAC ABC DM MH DMH , , , DAB ABC DN NH 2 DNH . Ta có: 2 . 1 . . . 3 2 D ABC ABC a V DH S DH . D ABC V max khi max DH . 2 .tan .tan .cot . 2 DH HM HN HN DH HM HN Theo Talet 2 2 2 . . . . . , . 4 HM HC HN HB AB AC HB HC AB AC BC HM HN AB BC AC BC BC BC 2 2 . 3 . 4 4 AB AC a DH HM HN . max 3 2 a DH 2 3 . 3 3 . 2 2 4 D ABC a a a V Câu 78. Chọn B. Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD . Ta có: SAO SBO SCO SDO (tam giác vuông,SO là cạnh chung, SA SB SC SD ). Nên OA OB OC OD suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy ra ABCD là hình chữ nhật có O là tâm. Đặt AD x 1 2 AO AC 2 2 1 2 a x Nên 2 2 SO SA AO 2 2 2 5 4 4 a a x 2 2 4 x a . 1 . 3 S ABCD V ABCD SO 2 2 1 . . 3 4 x a x a 2 2 1 .2. . 3 2 4 x x a a 2 2 2 1 3 4 4 x x a a 3 1 3 a . x 1 6 1 f x f x 3 8 D H N M C B A D O S C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 211 Thể tích khối đa diện Câu 79. Chọn C. Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD . Khi đó DD SA // mà SA SBC (vì SA SB , SA BC ) nên D là hình chiếu vuông góc của D lên SBC . Góc giữa SDvà SBC là DSD SDA .tan 2 .tan SA AD a . Đặt tan x , 0;1 x . Gọi H là hình chiếu của S lên AB , theo đề ta có 2 . 1 1 . . 4 . 3 3 S ABC ABC V S SH a SH D D . Do đó . S ABCD V đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất. Vì tam giác SAB vuông tại S nên . SA SB SH AB 2 2 . SA AB SA AB 2 2 2 2 4 4 2 ax a a x a 2 2 1 ax x 2 2 1 2 2 x x a a Từ đó maxSH a khi 2 tan 2 . Suy ra 2 3 . 1 4 max . .4 3 3 S ABCD V a a a . A H B C D D' SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 212 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển PHẦN MỞ RỘNG: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ , , Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi , , i j k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục , , Ox Oy Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Chú ý: 2 2 2 1 i j k và . . . 0 i j i k k j . 2. Tọa độ vectơ a. Định nghĩa: ; ; u x y z u xi yj zk b. Tính chất Cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ), a a a a b b b b k 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b 1 2 3 ( ; ; ) ka ka ka ka 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b 0 (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1) i j k a cùng phương ( 0) b b ( ) a kb k 1 1 3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3 , ( , , 0) a kb a a a a kb b b b b b b a kb 1 1 2 2 3 3 . a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 0 a b a b a b a b 2 2 2 2 1 2 3 a a a a 2 2 2 1 2 2 a a a a 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos( , ) . . a b a b a b a b a b a b a a a b b b (với , 0 a b ) 3. Tọa độ của điểm a. Định nghĩa: ( ; ; ) . . . M x y z OM x i y j z k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: 0; 0; 0 M Oxy z M Oyz x M Oxz y 0; 0; 0 M Ox y z M Oy x z M Oz x y . O j k i y z xBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 213 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển b. Tính chất: Cho ( ; ; ), ( ; ; ) A A A B B B A x y z B x y z ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : ; ; 2 2 2 A B A B A B x x y y z z M Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD : ; ; 4 4 4 A B C D A B C D A B C D x x x x y y y y z z z z G 4. Tích có hướng của hai vectơ a. Định nghĩa Trong không gian Oxyz cho hai vectơ 1 2 3 ( ; ; ) a a a a , 1 2 3 ( ; ; ) b b b b . Tích có hướng của hai vectơ a và , b kí hiệu là , a b , được xác định bởi 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 , ; ; ; ; a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b. Tính chất [ , ] ; [ , ] a b a a b b , , a b b a , ; , ; , i j k j k i k i j [ , ] . .sin , a b a b a b (Chương trình nâng cao) , a b cùng phương [ , ] 0 a b (chứng minh 3 điểm thẳng hàng) Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. . 0 a b a b ; vµ a b cùng phương , 0 a b ; , , a b c đồng phẳng , . 0 a b c 5. Vấn đề về góc a. Góc giữa hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng , d d có các vectơ chỉ phương lần lượt là: , , ; , , u a b c u a b c . Ta có: 0 2 2 2 2 2 2 . . . cos ; cos , , 0 ; 90 . a a b b c c d d u u d d a b c a b c 1 d u d u 1 d dBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 214 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương , , . u a b c Mặt phẳng P có 1 vectơ pháp tuyến , , . n A B C Ta có: 0 2 2 2 2 2 2 . . . sin ; cos , , 0 ; 90 . a A b B c C d P u n d P a b c A B C c. Góc giữa hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 : 0 A x B y C z D và 2 2 2 2 : 0. A x B y C z D Góc giữa và bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT , n n . Tức là: 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos , cos , . . n n A A B B C C n n n n A B C A B C Đặc biệt: ( ) ( ) ' ' ' 0. P Q AA BB CC 6. Vấn đề về khoảng cách a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm A và đường thẳng A đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u . Ta có: , ; u AM d A u b. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm 0 0 0 0 ( ; ; ) M x y z và mặt phẳng : 0 Ax By Cz D Khi đó khoảng cách từ điểm 0 M đến mặt phẳng ( ) được tính: 0 0 0 0 2 2 2 | | ( ,( )) Ax By Cz D d M A B C Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Cho 2 đường thẳng chéo nhau , . d d o d đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u o d đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u . Ta có: , . ; , u u MM d d d u u Đặc biệt: Nếu // thì ; ; . d d A A d d P u n A u M M d u d M uBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 215 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển 7. Các công thức về tính diện tích và thể tích Diện tích hình bình hành ABCD : , ABCD S AB AD Diện tích tam giác ABC : 1 , 2 ABC S AB AC Thể tích khối hộp ABCDA B C D : . ' ' ' ' [ , ]. ABCD A B C D V AB AD AA Thể tích tứ diện ABCD : 1 [ , ]. 6 ABCD V AB AC AD II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ỨNG DỤNG HÌNH GIẢI TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Bài toán 1: Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có cạnh đáy AB a , cạnh bên 2 2 a AA . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và CA bằng A. 6 6 a . B. 6 24 a . C. 6 12 a . D. 6 3 a . (Trích đề thi thử THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Lời giải: Chọn A. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào trung điểm O của BC , ta được: 1 ;0;0 2 B ; 1 ;0;0 2 C a ; 1 2 ;0; 2 2 C a a ; 3 2 0; ; 2 2 A a a Ta có: 1 3 2 ; ; 2 2 2 A C a a a ; 2 ;0; 2 BC a a ; ;0;0 CB a Suy ra: ; . 6 , 6 ; A C BC CB a d A C BC A C BC . B A C B A D C A B C D A B C D A B C D y B' A' z x C' O C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 216 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển Bài toán 2: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có , AB a 3 SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác . SCD Góc giữa đường thẳng BG và đường thẳng SA bằng A. 33 arccos 22 . B. 330 arccos 110 . C. 3 arccos 11 . D. 33 arccos 11 . (Trích đề thi thử SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Gọi O là tâm mặt đáy ABCD . Do . S ABCD là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ. 2 2 a OA OB OC OD . Tam giác SAO vuông tại O : 2 2 10 2 a SO SA OA . Ta có: 2 ;0;0 2 a A , 2 0 ; ; 0 2 a B , 2 ;0;0 2 a C , 2 0; ;0 2 a D , 10 0;0; 2 a S . G là trọng tâm tam giác SCD nên: 2 2 10 ; ; 6 6 6 a a a G . 2 10 ;0; 2 2 a a SA , 2 2 2 10 ; ; 6 3 6 a a a BG . 2 2 5 . 6 6 33 33 cos , , arccos 11 11 11 . 3. 3 a a SA BG SA BG SA BG a SA BG a . Bài toán 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai tia , Bx Dy vuông góc với mặt phẳng ABCD và cùng chiều lần lượt lấy hai điểm , M N sao cho ; 4 a BM 2 DN a . Tính góc giữa hai mặt phẳng AMN và CMN . A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ: z y x O G A B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 217 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển Ta có: 0; 0; 0 B , 0; ; 0 A a , ; 0; 0 C a , 0; 0; 4 a M , ; ; 2 N a a a . 0; ; 4 a AM a , 0; 0; 2 AN a , 2 2 2 , 2 ; ; 4 a AM AN a a là VTPT của mp AMN ; 0; 4 a CM a , 0; ; 2 CN a a , 2 2 2 , ; 2 ; 4 a CM CN a a là VTPT của mp CMN Do đó: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 cos 0 4 . 4 16 16 a a a a a a a a a 90 . Bài toán 4: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA , là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng SBD . Giá trị của tan bằng A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . (Trích đề thi thử SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Tọa độ hóa với , , 1 . Ox OC Oy OB Oz OS OA Ta có 1; 0; 0 , 1; 0; 0 C A SBD nhận 2;0;0 AC là một VTPT. Từ 2 2 2 2 1 SA AB OA SO SA OA 0; 0;1 1 1 ;0; . 2 2 1; 0;0 S M A Ta có 1;0;0 1 1 ; ;0 2 2 0;1;0 C E B y x z A M B C N z M A y B E C x D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 218 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển EM nhận 1 1 1; ; 2 2 ME là một VTCP 2 2 2 . 2 6 sin sin ; cos , . 3 1 1 1 .2 2 2 ME AC EM SBD ME AC ME AC 1 cos tan 2 3 . Bài toán 5: Cho hình lăng trụ . ABC A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh 2 . AB a Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh . AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B C và AA theo a . A. 2 21 7 a . B. 15 5 a . C. 2 15 5 a . D. 39 13 a . (Trích đề thi thử SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn C. Theo đề ra ta có: ; 60 AA ABC A AH . Chọn hệ trục toạ độ H x yz như hình vẽ. Tam giác A HA vuông tại H : .tan 60 3 A H AH a . Tam giác ABC đều cạnh 2 3 a CH a . Ta có: ; 0; 0 A a , ; 0; 0 B a , 0; 3;0 C a , 0;0; 3 A a . ;0; 3 AA a a , ; 3;0 BC a a , 2 ;0;0 AB a . 2 2 2 ; 3 ; 3; 3 AA BC a a a ; 3 ; . 6 AA BC AB a . 3 2 ; . 6 2 15 ; 5 15 ; AA BC AB a a d AA BC a AA BC . Bài toán 6: Cho hình chóp đều . S ABC có 1 SA . Gọi , D E lần lượt là trung điểm của hai cạnh , SA SC . Tính thể tích khối chóp . S ABC , biết đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng AE . A. . 2 12 S ABC V . B. . 21 54 S ABC V . C. . 12 4 S ABC V . D. . 21 18 S ABC V . (Trích đề thi thử SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Lời giải: Chọn B. Giả sử cạnh đáy có độ dài a ; SH h . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: 60° y z x H A B C B' C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 219 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển 0 ; 0 ; 0 I ; ;0;0 2 a A ; ;0;0 2 a B ; 3 0; ;0 2 a C ; 3 0; ; 6 a S h ; 3 ; ; 4 12 2 a a h D ; 3 0; ; 3 2 a h E . Lại có BD AE . 0 BD AE 6 7 a h 2 3 6 . 3 7 a 2 7 3 3 a h . Vậy . 2 . 3 1 7 21 3 . . 3 3 4 54 S ABCD V . Bài toán 7: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N thuộc cạnh SD sao cho 2 SN ND . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN . A. 3 1 8 V a . B. 3 1 6 V a . C. 3 1 3 6 V a . D. 3 1 12 V a . (Trích đề thi thử THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn D. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau: Gốc O A , trục Ox nhận AD làm véc tơ đơn vị. Trục Oy nhận AB làm véc tơ đơn vị, trục Oz nhận AS làm véc tơ đơn vị. Khi đó 0; 0; 0 A ; 1 1 0; ; 2 2 M ; 1;1; 0 C ; 2 1 ;0; 3 3 N . 2 1 1 ; ; 3 2 6 MN ; 1 1 1; ; 2 2 MC . 1 1 5 , ; ; 3 6 6 MN MC , 1 1 0; ; 2 2 MA . 1 , . 6 ACMN V MN MC MA 1 12 . Vậy 3 1 12 V a . Bài toán 8: Cho hình lập phương . ABCD A B C D có độ dài cạnh bằng 1 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , C D và DD . Tính thể tích khối tứ diện MNPQ . A. 3 8 . B. 1 8 . C. 1 12 . D. 1 24 . (Trích đề thi thử THPT Thăng Long-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) y z x H I A B C S E D x z y A a a N D C B M SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 220 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển Lời giải: Chọn D. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: D O Ox D A Oy D C Oz D D Khi đó: 1; 0;1 A , 1;1;1 B , 0;1;1 C , 0; 0;1 D , 1; 0; 0 A , B 1;1; 0 , 0 ;1 ; 0 C 1 1; ;1 2 M , 1 ;1;1 2 N , 1 0; ; 0 2 P , 1 Q 0;0; 2 . Ta có: 1 1 ; ;0 2 2 MN , 1 1 1; ; 2 2 MP , 1 1 1; ; 2 2 MQ 1 1 1 1 , . 4 8 8 4 MN MP MQ 1 1 . , . 6 24 MNPQ V MN MP MQ . Bài toán 9: Cho hình chóp . S ABC có 3 SA SB SC , tam giác ABC vuông cân tại B và 2 2. AC Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AC và . BC Trên hai cạnh SA , SB lấy các điểm , P Q tương ứng sao cho 1, SP 2. SQ Tính thể tích V của tứ diện MNPQ . A. 7 18 V . B. 3 12 V . C. 3 4 12 V . D. 34 144 V . (Trích đề thi thưt SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Lời giải: Chọn A. Ta có SA SB SC , MA MB MC SM ABC Ta có 2 AB BC , 7. SM Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. Ta có: 0; 0; 0 B , 2; 0; 0 A , 0; 2; 0 C , 0;1; 0 N , 1;1; 0 M , 1;1; 7 S 1 4 2 2 7 ; ; 3 3 3 3 SP SA P ; 1 1 1 7 ; ; 3 3 3 3 BQ BS Q 1;0; 0 NM , 1 2 7 ; ; 3 3 3 NQ , 4 1 2 7 ; ; 3 3 3 NP 7 2 ; 0; ; 3 3 NM NQ . y z x Q P N M D' C' B' A' D C B A x y z Q P A M C N B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 221 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển Suy ra 1 1 7 4 7 7 ; . . 6 6 9 9 18 MNPQ V NM NQ NP (đvtt). Bài toán 10: Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N là hai điểm thỏa mãn 2 0 MB MB ; 3 NB NC . Biết hai mặt phẳng MCA và NAB vuông góc với nhau. Tính thể tích của hình lăng trụ. A. 3 9 2 8 a . B. 3 9 2 16 a . C. 3 3 2 16 a . D. 3 3 2 8 a . (Trích đề thi thử PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Lời giải: Chọn B. Chọn hệ tọa độ yz Ox như hình vẽ Ta có: 0; ; 0 2 a A , 3 ; 0;0 2 a B , 0; ; 0 2 a C , 3 2 ;0; 2 3 a h M , 3 ; ; 4 4 3 a a h I 3 ; ;0 2 2 a a AB , 3 ; ; 4 4 3 a a h BI 2 3 3 , ; ; 6 6 4 ah ah a n AB BI 0; ; 0 AC a , 3 2 ; ; 2 2 3 a a h AM 2 2 2 3 , ;0; 3 2 ah a n AC AM Ta có 2 2 4 1 2 2 3 3 6 . 0 0 6.3 8 4 a h a a NAB MAC n n h 3 . 3 6 1 3 9 2 . . . . 4 2 2 16 ABC A B C a a V a a . Bài toán 11: Cho hình chóp . S A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , 2 SA và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng 2 2 1 1 T AN AM khi thể tích khối chóp . S AMCN đạt giá trị lớn nhất. A. 2 T . B. 5 4 T . C. 2 3 4 T . D. 13 9 T . (Trích đề thi thử SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) z I M O B' A x B C y N C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 222 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho 0; 0; 0 A , 2; 0; 0 B , 0; 2; 0 D , 0 ; 0 ; 2 S . Suy ra 2; 2; 0 C . Đặt AM x , AN y , , 0; 2 x y , suy ra ; 0; 0 M x , 0; ; 0 N y . ;0; 2 SM x , 2; 2; 2 SC , 0; ; 2 SN y . 1 , 4; 2 4; 2 n SM SC x x , 2 , 4 2 ; 4; 2 n SN SC y y . Do SMC SNC nên 1 2 . 0 4 4 4 4 2 4 4 0 n n y x xy 2 8 xy x y . 8 2 2 x y x , do 2 y nên 8 2 2 1 2 x x x . 4 2 2 AMCN ABCD BMC DNC S S S S x y x y . Do đó 2 . 1 2 2 8 2 2 8 . 3 3 3 2 3 2 S AMCD AMCN x x V SA S x y x x x . Xét 2 2 8 3 2 x f x x với 1; 2 x , 2 2 2 4 8 3 2 x x f x x . 2 0 4 8 0 2 2 3 f x x x x ; 2 2 3 x (loại). Lập BBT ta suy ra 0;2 max 1 2 2 f x f f . Vậy . 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 5 max 2 4 2 1 S AMCN x y V T AM AN x y x y . Bài toán 12: Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC bằng a, góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCC B bằng với 1 2 3 cos . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C bằng A. 3 2 3 4 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 3 2 a . D. 3 2 3 8 a . z y x M N D C B A S Chọn B. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 223 Ứng dụng Oxyz giải không gian cổ điển Lời giải: Chọn C. Gọi O là trung điểm của AB , E là trung điểm của BC Trong mp C CO kẻ CH C O tại H Khi đó , d C ABC CH a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, gọi 2x là độ dài cạnh của tam giác ABC Ta có: 2 2 2 1 1 1 ' CH C C CO 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ' 3 2 3 2 x a C C CH CO a a x x 2 2 3 ' 3 x a C C ax Khi đó ; 0; 0 A x , ; 0; 0 B x , 0; 3;0 C x , 2 2 3 ' 0; 3; 3 x a C x ax , 3 ; ;0 2 2 x x E VTPT của mặt phẳng ABC là 1 , n OC AB 2 2 2 2 2 3 0; ; 2 3 3 ax x x a VTPT của mặt phẳng BCC B là 2 3 3 ; ;0 2 2 n AE x x 1 cos 2 3 1 2 1 2 . 1 2 3 n n n n 3 2 2 2 4 2 2 4 2 2 3 1 3 2 3 12 9 3 12 . 4 4 3 ax x a a x x x x x a x a 3 2 . 6 3 2 .S . 3 2 2 ABC A B C ABC a a V C C a . O x z y H B' A B E C C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 224 Nón - Trụ - Cầu Chuû ñeà 5 NOÙN - TRUÏ - cAÀU A. MẶT NÓN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Mặt nón tròn xoay Cho đường thẳng . Xét đường thẳng l cắt tại O và chúng tạo thành góc với 0 0 0 90 . Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón. Khi đó: + Đường thẳng gọi là trục + Đường thẳng l được gọi là đường sinh + Góc 2 gọi là góc ở đỉnh. Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón khác với điểm O thì đường thẳng OM nằm hoàn toàn trên mặt nón đó. Có thể xem mặt nón sinh bởi đường thẳng OM khi quay quanh . Bởi thế, OM cũng được gọi là đường sinh của mặt nón đó. 2. Hình nón tròn xoay Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2). Khi đó: Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. Hình tròn tâm I , bán kính r IM là đáy của hình nón. 3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáyr và đường sinh là l thì có: Diện tích xung quanh: xq S rl Diện tích đáy (hình tròn): 2 ð S r Diện tích toàn phần: 2 tp S rl r Thể tích khối nón: 2 1 1 . 3 3 non ð V S h r h I M β r l O O r M IBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 225 Nón - Trụ - Cầu 4. Giao tuyến của mặt tròn xoay và mặt phẳng Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng P thì giao tuyến sẽ là: Trường hợp 1: Mặt phẳng P đi qua đỉnh : + Nếu mặt phẳng P cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân. + Nếu P tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. Trường hợp 2: Mặt phẳng P không đi qua đỉnh : + Nếu mặt phẳng P vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn. + Nếu mặt phẳng P song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. + Nếu mặt phẳng P song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol. II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. ĐỀ BÀI Câu 1. Cho hình lập phương . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc ’ ’ AC A khi quanh trục ’ AA bằng A. 2 2 a B. 2 3 a C. 2 5 a D. 2 6 a Câu 2. Một hình nón có đường sinh bằng 8cm, diện tích xung quanh bằng 2 240 cm . Đường kính của đường tròn đáy hình nón bằng A. 2 30 cm B. 30cm C. 60cm D. 50cm Câu 3. Cho điểm M cố định thuộc mặt phẳng cho trước, xét đường thẳng d thay đổi đi qua M và tạo với một góc 0 60 . Tập hợp các đường thẳng d trong không gian là A. Mặt phẳng B. Hai đường thẳng C. Mặt nón D. Mặt trụ Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 0 60 . Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là A. 2 3 2 a B. 2 3 4 a C. 2 3 6 a D. 2 3 8 a Câu 5. Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 0 90 . Cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua đỉnh sao cho góc giữa và mặt đáy của hình nón bằng 0 60 . Khi đó diện tích thiết diện bằng A. 2 2 3 a B. 2 3 2 a C. 2 2 3 a D. 2 3 2 a Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 226 Nón - Trụ - Cầu Câu 6. Cho hình lập phương . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có cạnh bằng . a Một hình nón có đỉnh là tâm hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ’ ’ ’ ’ A B C D . Diện tích xung quanh của hình nón đó là A. 2 3 3 a B. 2 2 2 a C. 2 3 2 a D. 2 6 2 a Câu 7. Cho hình nón có đường sinh 4 l r , với r là bán kính đường tròn đáy. Khai triển mặt xung quanh hình nón theo một đường sinh, ta được một hình quạt tròn có bán kính bằng l và góc ở đỉnh của hình quạt là . Trong các kết luận sau đây, kết luận nào đúng? A. 6 B. 4 C. 2 D. 3 Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , 3 , 4 AB cm AC cm . Thể tích khối nón tròn xoay sinh ra khi quay tam giác ABC quanh AB A. 3 80 cm B. 3 80 3 cm C. 3 48 cm D. 3 16 cm Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2 . a Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp . S ABCD bằng A. 2 2 3 a B. 2 3 2 a C. 2 2 3 3 a D. 2 3 3 a Câu 10. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng ABC và cạnh BD vuông góc với cạnh . BC Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh , AB có bao nhiêu hình nón được tạo thành A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 11. Cho hình nón có đỉnh , S độ dài đường sinh bằng 2 . a Một mặt phẳng qua đỉnh S cắt hình nón theo một thiết diện, diện tích lớn nhất của thiết diện là A. 2 2a B. 2 a C. 2 4a D. 2 3a Câu 12. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Khai triển hình nón theo một đường sinh, ta được một hình quạt tròn có góc ở tâm là . Kết luận nào sau đây là đúng? A. π α 2 B. 2 3 C. 3 4 D. Câu 13. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích xung quanh là 1 S và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích 2 S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. 2 1 2 3 S S . B. 1 2 4 S S . C. 2 1 2 S S . D. 1 2 S S . Câu 14. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , có thể tích 1 V và hình cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích 2 V . Khi đó, tỉ số thể tích 1 2 V V bằng? A. 1 2 2 3 V V . B. 1 2 1 V V . C. 1 2 1 2 V V . D. 1 2 1 3 V V . Câu 15. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết bán kính đáy bằng a và đường cao là 3 a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 227 Nón - Trụ - Cầu A. 2 2 a . B. 2 2 3 a . C. 2 a . D. 2 3 a . Câu 16. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a . Tính diện tích xung quanh của hình nón. A. 2 2 4 a . B. 2 2 2 a . C. 2 2 a . D. 2 2 2 3 a . Câu 17. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền bằng 2 a . Diện tích toàn phần tp S của hình nón và thể tích V của khối nón lần lượt là: A. 2 3 (1 2) 2 ; 2 12 tp a a S V . B. 2 3 2 2 ; 2 4 tp a a S V . C. 3 2 2 (1 2); 6 tp a S a V . D. 2 3 ( 2 1) ; 2 12 tp a a S V . Câu 18. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng 2 a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Diện tích xung quanh xq S của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là: A. 3 2 6 ; 12 xq a S a V . B. 2 3 3 ; 2 12 xq a a S V . C. 3 2 6 2; 4 xq a S a V . D. 3 2 6 ; 4 xq a S a V . Câu 19. Một hình nón có đường kính đáy là 2 3 a , góc ở đỉnh là 0 120 . Tính thể tích của khối nón đó theo a . A. 3 3 a . B. 3 a . C. 3 2 3 a . D. 3 3 a . Câu 20. (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8cm bán kính đáy bằng 6cm . Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón N đỉnh S có đường sinh bằng 4cm . Tính thể tích của khối nón N . A. 3 768 cm 125 V . B. 3 786 cm 125 V . C. 3 2 3 0 4 cm 1 2 5 V . D. 3 2358 cm 125 V . Câu 21. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh a . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A B C D . Kết quả tính diện tích toàn phần tp S của khối nón đó có dạng bằng 2 4 a b c với b và c là hai số nguyên dương và 1 b . Tính bc . A. 5 bc . B. 8 bc . C. 15 bc . D. 7 bc . Câu 22. (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng: A. 2 3 2 a . B. 2 2 3 3 a . C. 2 3 3 a . D. 2 3 a . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 228 Nón - Trụ - Cầu Câu 23. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 4 năm 2017 – 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 2 5 a và bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh của hình nón đã cho? A. 5 a . B. 3 2 a . C. 3a. D. 5a . Câu 24. (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - L2 – 2017-2018) Cho hình nón N có bán kính đáy bằng a và diện tích xung quanh 2 2 xp S a . Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón N và đỉnh S trùng với đỉnh của khối nón N . A. 3 2 5 3 a V . B. 3 2 2 3 a V . C. 3 2 3 V a . D. 3 2 3 3 a V . Câu 25. (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Biết rằng 10 AB BC a , 12 AC a , góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 45 . Tính thể tích V của khối nón đã cho. A. 3 3 V a . B. 3 9 V a . C. 3 27 V a . D. 3 12 V a . Câu 26. (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng 2 a . Tính diện tích xung quanh xq S của hình nón đó. A. 2 3 3 xq a S . B. 2 2 2 xq a S . C. 2 2 6 xq a S . D. 2 2 3 xq a S . Câu 27. (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cắt hình nón S bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng 2 a . Thể tích khối nón bằng: A. 2 4 a . B. 3 2 6 a . C. 2 2 12 a . D. 3 2 12 a . Câu 28. Cho hình chóp . S ABC có 4 SA SB SC , 3 AB BC CA . Tính thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón có đỉnh là S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC . A. 3 . B. 13 . C. 4 . D. 2 2 . Câu 29. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh AB a , góc tạo bởi SAB và ABC bằng 60 . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng A. 2 7 3 a . B. 2 7 6 a . C. 2 3 2 a . D. 2 3 6 a . Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Hình nón có đỉnh là S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh là: A. 2 3 2 S a . B. 2 S a . C. 2 7 1 4 a S . D. 2 7 4 a S . Câu 31. Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O . Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác có một góc bằng 0 120 , thiết diện qua đỉnh S cắt mặt phẳng đáy theo dây cung 4 AB a và là một tam giác vuông. Diện tích xung quanh của hình nón bằng Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 229 Nón - Trụ - Cầu A. 2 3a . B. 2 8 3a . C. 2 2 3a . D. 2 4 3a . Câu 32. Cho hình nón đỉnh S, góc ở đỉnh bằng 120 , đáy là hình tròn ; 3 O R . Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua S và tạo với đáy góc 60 . Diện tích thiết diện là: A. 2 2 2R . B. 2 4 2R . C. 2 6 2R . D. 2 8 2R . Câu 33. Xét hình trụ T có bán kính R , chiều cao h thoả mãn 2 3 R h . N là hình nón có bán kính đáy R và chiều cao gấp đôi chiều cao của T . Gọi 1 S và 2 S lần lượt là diện tích xung quanh của T và N , khi đó 1 2 S S bằng: A. 4 3 . B. 1 2 . C. 2 3 . D. 3 4 . Câu 34. Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân. Biết diện tích thiết diện đó là 2 8cm . Tính diện tích toàn phần của hình nón nói trên. A. 2 8 2 cm . B. 2 16 2 cm . C. 2 12 2 cm . D. 2 4 2 2 2 cm . Câu 35. (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu? A. 16000 2 3 V lít. B. 16 2 3 V lít. C. 16000 2 3 V lít. D. 160 2 3 V lít. Câu 36. (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 , diện tích xung quanh bằng 2 6 a . Tính thể tích V của khối nón đã cho. A. 3 3 2 4 a V . B. 3 2 4 a V . C. 3 3 V a . D. 3 V a . Câu 37. (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50 cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là: A. 10 2 cm . B. 50 2 cm . C. 20 c m . D. 25 cm . Câu 38. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng bán kinh đáy và bằng 2a . Mặt phẳng P đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho 2 3 AB a . Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến P . A. 5 a . B. a . C. 2 2 a . D. 2 5 a . Câu 39. (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình nón N có góc ở đỉnh bằng 60 . Mặt phẳng qua trục của N cắt N theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 . Tính thể tích khối nón N . A. 3 3 V . B. 4 3 V . C. 3 V . D. 6 V . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 230 Nón - Trụ - Cầu Câu 40. (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón N có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Tính thể tích V của khối nón N . A. 3 3 27 a V . B. 3 6 27 a V . C. 3 6 9 a V . D. 3 6 27 a V . Câu 41. (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có độ dài cạnh bằng 3 . K là trung điểm BC . Người ta dùng compa có tâm là S, bán kính SK vạch một cung tròn MN . Lấy phần hình quạt gò thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là S, cung M N thành đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính thể tích khối nón trên. A. 105 64 . B. 3 32 . C. 3 3 32 . D. 141 64 . Câu 42. (THPT Thăng Long-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của khối cầu nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính 1 2 V V . A. 4 . B. 2 . C. 8 . D. 16 . Câu 43. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R , phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x. Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất. A. 2 6 3 R x . B. 2 2 3 R x . C. 2 3 3 R x . D. 6 3 R x . Câu 44. (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Người ta đặt được vào trong một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là A. 5a . B. 3a . C. 2 2a . D. 8 3 a . Câu 45. (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho tam giác SOA vuông tại O có // MN SO với M , N lần lượt nằm trên cạnh SA , OA như hình vẽ bên dưới. Đặt S O h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R OA . Tìm độ dài của MN theo h để thể tích khối trụ là lớn nhất. A. 2 h MN . B. 3 h MN . C. 4 h MN . D. 6 h MN . Câu 46. (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm . Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột S M N C B K S O N A MBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 231 Nón - Trụ - Cầu nước trong phễu bằng 10cm (hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây? A. 0,87 cm . B. 10cm . C. 1,07 cm . D. 1,35cm . Câu 47. (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước. A. 3 2 R h . B. 5 2 R h . C. 5 4 R h . D. 4 3 R . Câu 48. Cho hình nón đỉnh N , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh 120 . Trên đường tròn đáy lấy một điểm A cố định và một điểm M di động. Gọi S là diện tích của tam giác NAM . Có bao nhiêu vị trí của M để S đạt giá trị lớn nhất? A. Vô số vị trí. B. Hai vị trí. C. Ba vị trí. D. Một vị trí. Câu 49. (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho mặt cầu đường kính 2 AB R . Mặt phẳng P vuông góc AB tại I ( I thuộc đoạn AB ), cắt mặt cầu theo đường tròn C . Tính h AI theo R để hình nón đỉnh A , đáy là hình tròn C có thể tích lớn nhất? A. h R . B. 3 R h . C. 4 3 R h . D. 2 3 R h . Câu 50. (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc). A. 3 . B. 2 . C. 3 5 2 . D. 1 5 2 . Câu 51. (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho mặt cầu S bán kính R . Hình nón N thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu S . Thể tích lớn nhất của khối nón N là: A. 3 32 81 R . B. 3 32 81 R . C. 3 32 27 R . D. 3 32 27 R . Câu 52. (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Cho mặt cầu S có bán kính R không đổi, hình nón H bất kì nội tiếp mặt cầu S . Thể tích khối nón H là 1 V ; và thể tích phần còn lại của khối cầu là 2 V . Giá trị lớn nhất của 1 2 V V bằng: A. 81 32 . B. 76 32 . C. 32 81 . D. 8 19 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 232 Nón - Trụ - Cầu II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1D 2C 3C 4A 5A 6C 7C 8D 9C 10B 11A 12D 13D 14A 15B 16B 17A 18A 19B 20A 21A 22C 23D 24D 25B 26B 27D 28B 29B 30D 31D 32B 33B 34D 35B 36C 37D 38D 39C 40D 41A 42C 43A 44C 45B 46A 47D 48B 49C 50C 51A 52D Câu 1. Chọn D. Hình nón có: 2 2 ' ' 2 ' ' ' 3 r A C a l AC AA AC a Vậy 2 6 xq S rl a Câu 2. Chọn C. Ta có: 8 l cm . Suy ra: 2 240 240 30 xq S rl cm r cm l Vậy đường kính mặt đáy: 2 60 r cm Câu 3. Chọn C. Tập hợp các đường thẳng d trong không gian là mặt nón có đỉnh M (cố định), đường sinh d, góc ở đỉnh 0 60 (không đổi) Câu 4. Chọn A. Góc giữa SA và mặt đáy là góc SAO . SAO vuông tại O : 6 tan 2 SO a SAO SO AO Ta có: 2 ; ; 2 2 a h SO r OA l SA a Suy ra diện tích đáy của hình nón: 2 2 2 a S r Vậy diện tích toàn phần của hình nón là: 2 2 3 2 xq a S rl r Câu 5. Chọn A. Góc giữa thiết diện và dáy là góc SMO Tam giác SMO vuông tại O: 6 sin 3 SO a SMO SM SM 2 2 3 2 3 2 3 3 a a CM SC SM BC CM Vậy diện tích thiết diện: 2 1 2 . 2 3 a S SM BC D' C' B' A' D C B A A D B C 60° a h O S a 2 2 60° a a B M C O SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 233 Nón - Trụ - Cầu Câu 6. Chọn C. Ta có: 2 2 ' ' ' 2 2 2 6 ' ' ' ' 2 h AA a O A a r a l OA O O O A Vậy 2 3 2 xq a S rl Câu 7. Chọn C. Ta có chu vi đáy của hình nón là 2 C r , cung AB có độ dài là l . Vậy 2 2 2 r l r l , do 4 l r Câu 8. Chọn D. Ta có: 3 4 h AB cm r AC cm . Suy ra: 2 2 1 16 3 V h r cm Câu 9. Chọn C. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC SG ABC Tam giác SAG vuông tại : G 2 2 33 3 2 3 3 a h SG SA AG l SA a a r GA Vậy 2 2 3 3 xq a S rl Câu 10. Chọn B. Ta có: BC DA BC ABD BC AB BC BD Khi quay các cạnh cảu tứ diện ABCD quanh trục AB thì hình thành hai hình nón tròn xoay là hình nón N với đỉnh , B đường sinh BD và hình nón ’ N với đỉnh , A đường sinh . AC Câu 11. Chọn A. Thiết diện là tam giác cân tại S với SA SB l Diện tích thiết diện: 2 2 1 . .sin sin 2 2 2 ABC l l S SA SB ASB ASB Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện bằng 2 2 l khi thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. Lúc đó: 2 2 2 2 max l S a . A S G C M B 2a a 4 3 C B A a O B O' D' A' B' C' C D ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 234 Nón - Trụ - Cầu Câu 12. Chọn D. Ta có chu vi đáy của hình nón là 2 C r , cung AB có độ dài là l . Vậy 2 2 r l r l , do 2 l r Câu 13. Chọn D. Bán kính đáy của hình nón là a . Đường sinh của hình nón là 2a . Do đó, ta có 2 1 3 (1) S Rl a Mặt cầu có bán kính là 3 2 a , nên ta có 2 2 2 3 4 3 (2) 2 a S a . Từ (1) và (2) suy ra 1 2 S S . Câu 14. Chọn A. Hình nón có bán kính đáy là a , chiều cao 3 a . Do đó thể tích 3 2 1 1 3 3 3 3 a V a a . Hình cầu có bán kính 3 2 a nên có thể tích 3 3 1 4 3 3 3 2 2 a a V . Từ đó suy ra 1 2 2 3 V V . Câu 15. Chọn B. Hình trụ có bán kính đáy a và đường cao 3 a nên 2 2 2 . 3 2 3 xq S rh a a a . Câu 16. Chọn B. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cạnh a nên đường sinh của hình nón là a và bán kính đáy là 2 2 a nên 2 2 2 . 2 2 xq a a S a . Câu 17. Chọn A. + Do thiết diện đi qua trục là tam giác S A B vuông cân tại đỉnh S , có cạnh huyền 2 AB a nên suy ra bán kính đáy hình nón là 2 2 a r ; đường sinh hình nón l SA SB a ; đường cao hình nón 2 2 a h SO . + Diện tích toàn phần hình nón là: 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 2) 2 2 2 2 2 tp xq day a a a a a S S S rl r a (đvdt). a 3 2a a a O a a a 2 2 a 2 2 B A S a a OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 235 Nón - Trụ - Cầu + Thể tích khối nón tương ứng là: 3 2 1 1 2 2 3 12 a V Bh r h (đvtt). Câu 18. Chọn A. Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón. Theo giải thiết ta có đường sinh 2 SA a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 0 60 SAO . Trong tam giác vuông SAO , ta có: 0 2 cos60 2 a OA SA ; 0 3 6 .sin 60 2. 2 2 a SO SA a . Diện tích xung quanh hình nón: 2 2 . . 2 2 xq a S rl a a (đvdt). Thể tích của khối nón tròn xoay 2 3 2 1 1 2 6 6 . 3 3 2 2 12 a a a V r h (đvtt). Câu 19. Chọn B. Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy. Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính (cm) 3 R OA a và góc 0 0 120 60 2 ASO . Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có 0 3 tan 60 3 OA a SO a . Do đó chiều cao hình nón là h a Vậy thể tích khối nón là 2 2 3 1 1 .3 . 3 3 V R h a a a . Câu 20. Chọn A. Đường sinh của hình nón lớn là l SB 2 2 h r 2 2 8 6 10cm . Gọi 2 2 2 , , l r h lần lượt là đường sinh, bán kính đáy và chiều cao của hình nón N . 2 4cm l SK Ta có: SOB và SIK đồng dạng nên: 4 2 10 5 SI IK SK SO OB SB . 2 2 2 4 2 10 5 h r l h r l 2 2 2 16 5 5 2 12 . 5 5 h h r r . Thể tích khối nón N là 2 2 3 ( ) 2 2 1 1 12 16 768 . . . . . . cm 3 3 5 5 125 N V r h . O a 2 a 2 S A 60° 60° B A C a 3 (N) K M I O A B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 236 Nón - Trụ - Cầu Câu 21. Chọn A. Ta có bán kính hình nón 2 a r , đường cao h a , đường sinh 5 2 a l . Diện tích toàn phần: tp S 2 rl r 2 2 5 4 4 a a 2 5 1 4 a 5, 1 b c . Vậy 5 bc . Câu 22. Chọn C. Gọi tứ diện đều cạnh a là ABCD , O là tâm đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón là: xq S rl . . BO AD 2 3 . . . 3 2 a a 2 3 3 a . Câu 23. Chọn D. Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón xq S Rl , nên ta có: xq S l R 2 5 a a 5a . Câu 24. Chọn D. Ta có: Diện tích xung quanh 2 2 xp S a 2 2 rl a 2 l a 2 2 3 h l r a . Đáy ABCD nội tiếp đáy của khối nón N có bán kính đáy bằng a 2 AB a . Vậy: 3 1 2 3 3 3 ABCD a V S h . Câu 25. Chọn B. Hạ ID AB , khi đó góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và ABC chính là 45 SDI nên ID SI r h . Lại có . ABC ABC S S p r r p . Tính được 16 p a , 2 48 ABC S p p a p b p c a . Suy ra 3 r a . Vậy 3 2 3 1 1 3 9 3 3 V r h a a . Câu 26. Chọn B. B' A' D' C' D C B A h r D A S l B C O D I A C B SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 237 Nón - Trụ - Cầu Gọi S là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác SAB . Ta có 2 AB a SA a , suy ra l SA a ; 2 2 2 AB a r . Vậy 2 2 2 . . 2 2 xq a a S rl a . Câu 27. Chọn D. Ta có: SAB vuông cân tại S nên 1 2 2 2 1 2 2 2 a r AB a h AB . 2 3 2 1 1 2 2 2 3 3 2 2 12 a a a V h r . Câu 28. Chọn B. Đường cao hình chóp là đường cao hình nón: 2 2 2 2 2 3 3 4 . 13 3 2 h SO SA OA . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : 3 3 AB R OA . Vậy thể tích khối nón cần tìm: 2 1 13 3 V h R . Câu 29. Chọn B. Gọi M là trung điểm AB và gọi O là tâm của tam giác ABC ta có: AB CM AB SO AB SCM AB SM và AB CM Do đó góc giữa SAB và ABC là 60 SMO . Mặt khác tam giác ABC đều cạnh a nên 3 2 a CM . B S A r l h B O A S O C B A S O B M A C SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 238 Nón - Trụ - Cầu Suy ra 1 3 3 6 a OM CM ; .tan60 SO OM 3 . 3 6 a 2 a . Hình nón đã cho có chiều cao 2 a h SO , bán kính đáy 3 3 a R OA , độ dài đường sinh 2 2 21 6 a l h R . Vậy diện tích xung quanh hình nón là 2 3 21 7 . . . . 3 6 6 xq a a a S R l Câu 30. Chọn D. Gọi O là tâm của đáy ABCD , M là trung điểm của BC . Hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD là hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác SOM quanh SO. Ta có: .tan 60 SO OB 2 6 . 3 2 2 a a ; 2 a OM r . 2 2 2 SM SO OM 2 2 2 6 7 2 2 4 a a a 7 2 a l Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là: 7 . 2 2 xq a a S rl 2 7 4 a . Câu 31. Chọn D. Theo đề bài ta có SAB vuông cân tại S , 4 AB a nên 2 2 SB a . Mặt SDC cân tại S và có 120 CSD nên 60 CSO . Xét vuông SOC : sin .sin OC CSO OC SC CSO SC 6 OC a . Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: xq S rl 6.2 2 a a 2 4 3 a . Câu 32. Chọn B. Thiết diện là SAB , gọi M là trung điểm AB OM AB , SAB OAB , 60 OM SM SMO . Góc ở đỉnh hình nón bằng 120 60 OSA , o tan 60 OA SO 3 3 3 R R . Ta có: sin 60 SO SM 3 2 3 2 R R , 2 SM OM R M r 60° l O D C B A S O D A C B S M S B A OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 239 Nón - Trụ - Cầu 2 2 2 2 AM OA OM R . Vậy . SAB S SM AM 2 2 .2 2 4 2 R R R . Câu 33. Chọn B. Diện tích xung quanh hình trụ là 1 2 . . S R h 2 2 2 3 R 2 3 R . Diện tích xung quanh hình nón là 2 . . S R l 2 2 . . R h R 2 2 . . 3 R R R 2 2 3 R . Suy ra 1 2 1 2 S S . Câu 34. Chọn D. Ta có diện tích thiết diện bằng 2 1 8 4 2 l l 2 2 h r . Diện tích toàn phần của hình nón bằng tp xq d S S S 2 rl r 2 2 2 2 4 4 2 2 2 . Câu 35. Chọn B. Đổi 60cm 6dm . Đường sinh của hình nón tạo thành là 6dm l . Chu vi đường tròn ban đầu là 2 16 C R . Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành. Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là 2 .6 2 . 4 dm 3 r 4 2dm 2 r . Đường cao của khối nón tạo thành là 2 2 2 2 6 2 4 2 h l r . Thể tích của mỗi cái phễu là 2 2 3 1 1 16 2 16 2 .2 .4 2 dm 3 3 3 3 V r h lít. Câu 36. Chọn C. Thể tích 2 2 1 1 . . . 3 3 V R h OA SO Ta có 60 30 ASB ASO 1 tan 30 3. 3 OA SO OA SO Lại có 2 2 2 . . . 6 xq S Rl OA SA OA OA SO a O h l r r h l B S A OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 240 Nón - Trụ - Cầu 2 2 2 2 2 3 6 2 6 OA OA OA a OA a 2 3 1 3 3 .3 .3 3 . 3 OA a SO a V a a a Câu 37. Chọn D. Ta có diện tích miếng tôn là 2 .2500 cm S . Diện tích toàn phần của hình nón là: 2 . . tp S R R l . Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có: 2 . . 2500 R R l 2 . 2500 R R l A A l R R . Thể tích khối nón là: 2 1 . 3 V R h 2 2 2 1 . 3 V R l R 2 2 2 1 . 3 A V R R R R 2 2 2 1 . 2 3 A V R A R 2 2 4 1 . . 2 . 3 V A R A R 2 3 2 1 . 2 3 8 4 A A V A R 1 . 3 2 2 A A V . Dấu bằng xảy ra khi 25 4 A R , vậy V đạt GTLN khi 25 R . Câu 38. Chọn D. Gọi I là trung điểm của AB ; đường tròn đáy có tâm O , bán kính R . Kẻ OH SI . Ta có AB SO và AB OI . Suy ra AB OH . Khi đó OH P . Do đó , d O P OH . Ta có 2 2 2 2 4 3 2 AB OI R a a a . Suy ra 2 2 2 2 . 2 . 2 5 4 SO OI a a a OH SO OI a a . Câu 39. Chọn C. Tam giác SAB đều vì có SA SB và 60 ASB . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là: 2 2 3 3 r SO SO . Mà 3 .sin 60 2 3 sin 60 3 2 SO SO SA SA . Vậy bán kính đường tròn đáy của khối nón là: 2 3 3 2 2 AB R . Vậy thể tích khối nón là: 2 1 . 3 .3 3 3 V . 2a 2a H O A B S I O B A SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 241 Nón - Trụ - Cầu Câu 40. Chọn D. Gọi là O tâm của tam giác đều BCD . Ta có AO h , OC r 2 3 3 3 2 3 a a r . Suy ra 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 a a h a r a 2 3 a h . Vậy thể tích khối nón là 2 3 2 1 1 2 6 3 3 3 27 3 a a a V r h . Câu 41. Chọn A. Ta có 3 3 3 2 2 SK SB . Diện tích phần hình quạt là 2 1 1 27 9 6 6 4 8 quat S SK . Gọi r là bán kính đáy của hình nón. Suy ra 1 3 2 2 6 6 4 SK r SK r . Chiều cao của khối nón bằng 2 2 105 4 h SK r . Thể tích bằng 2 1 1 3 105 105 3 3 16 4 64 V r h . Câu 42. Chọn C. Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1 . Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB . Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB , khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là: 2 2 3 3 . 3 3 2 3 R SI SO . Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là 1 1 3 3 . 3 3 2 6 r IO SO . Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là 3 1 4 4 3 3 27 V R . S K N M C B K N M S r h a O D B A C O I M B S ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 242 Nón - Trụ - Cầu Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là 3 2 4 3 3 54 V r . Vậy 1 2 8 V V . Câu 43. Chọn A. Chu vi đường tròn đĩa là: 2 C R ; Chu vi đường tròn đáy của hình nón là: C x Bán kính đường tròn đáy hình nón là: 2 x r . Chiều cao của hình nón là: 2 2 h R r 2 2 2 4 x R . Thể tích khối nón là: 2 1 . . 3 V r h 2 2 2 2 2 1 . . 3 4 4 x x R . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 6 3 4 4 4 x x x V x R x R 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 12 24 4 x x R x R x . 0 V 2 2 2 3 2 2 1 1 4 12 24 x R x x 2 2 2 2 2 4 R x x 2 2 2 8 3 R x 2 6 3 R x . Câu 44. Chọn C. Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác ABC với A là đỉnh của hình nón và BC là đường kính đáy của hình nón có tâm đáy là I . Gọi M và N lần lượt là tâm của hai khối cầu có bán kính 2a và a . H và K lần lượt là điểm tiếp xúc của AC với hai đường tròn tâm M và N . Ta có: NK là đường trung bình trong tam giác AMH suy ra N là trung điểm của AM . 2 AM MN 2 . 3 a 6a 8 AI a . Ta lại có hai tam giác vuông AIC và AHM đồng dạng suy ra IC AI HM AH 2 2 8 . 2 3 6 4 a a I C a a 2 2 a . Vậy bán kính hình nón là 2 2 R a . r R B A C H N M I KBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 243 Nón - Trụ - Cầu Câu 45. Chọn B. Đặt , 0 MN x x và , 0 OA a a , a là hằng số. Ta có MN NA SO OA . MN OA NA SO xa NA h xa ON a h . Khối trụ thu được có bán kính đáy bằng ON và chiều cao MN . Thể tích khối trụ là: 2 . . V ON MN 2 2 . . h x x a h 2 2 2 1 2 2 a x h x h 3 2 2 2 3 2 a h h . Dấu bằng xảy ra khi 2x h x 3 h x . Câu 46. Chọn A. Trước khi lật phễu lên: Theo bài ra ta có 10cm SE , 20cm SH . 1 2 SE ED SCD SAB SH HB ∽ Suy ra 2 2 . 1 7 . 8 8 nuoc khi pheu pheu V ED SE V V V HB SH . Sau khi lật phễu lên: SF FN SMN SAB SH HB ∽ Do 2 3 3 7 7 7 7 . 8 8 8 2 khi pheu FN SF SF V V SF SH HB SH SH . Vậy chiều cao của nước sau khi lật phễu là 3 3 7 7 1 20. 1 0,8706 2 2 FH SH SF SH Câu 47. Chọn D. Gọi chiều cao của hình nón là x , 0 2 x R .Gọi bán kính đáy của hình nón là r ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 r OM OH R x R Rx x x R x . Thể tích của hình nón là 2 2 1 1 . 2 3 3 V r x x R x . H F khí nước nước khí S N M B A H E D C S B A x h N M A O S S M H OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 244 Nón - Trụ - Cầu Mặt khác ta lại có: 3 2 3 2 8 2 2 . . 2 2 2 2 3 4 27 x x R x x x x R R x R x Suy ra 3 2 1 32 2 3 27 R V x R x . Vậy 3 32 max 27 R V , dấu “=” xảy ra khi 4 2 2 3 x R R x x . Chú ý: Ta có thể khảo sát hàm 2 1 2 3 V x R x f x trên 0; 2R để tìm maxV . Câu 48. Chọn D. Gọi l 0 l là độ dài đường sinh của hình nón. Vì góc ở đỉnh bằng 120 nên 60 ANO . Ta có bán kính đường tròn đáy là 3 .sin .sin60 2 l OA NA ANO l . Vì hình nón đã cho có góc ở đỉnh là 120 nên 0 120 ANM Ta có 2 1 1 . . .sin .sin 2 2 S NA NM ANM l ANM . Diện tích S lớn nhất khi và chỉ khi sin ANM lớn nhất sin 1 ANM 90 ANM Tam giác ANM vuông cân tại N . Khi đó 2 AM l . Mà A cố định nên M nằm trên đường tròn ; 2 A l . Mặt khác M nằm trên đường tròn đáy nên M là giao điểm của đường tròn ; 2 A l và đường tròn đáy. Dễ thấy 2 đường tròn này cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Vậy có hai vị trí điểm M . Câu 49. Chọn C. Gọi O là trung điểm AB , M là điểm bất kì trên đường tròn C . Ta có 2 2 2 2 2 2 IM OM OI R h R Rh h . Thể tích hình nón: 2 1 1 . . . . . 2 3 3 C V AI S h Rh h . Đặt 2 3 2 3 f h Rh h ( R là tham số). Tập xác định 0; 2 D R . 2 ' 4 3 3 f h Rh h ; 4 ' 0 3 R f h h . 0 0 f ; 3 . 3 f R R ; 3 4 32 3 81 R f R . Vậy hàm số f h đạt giá trị lớn nhất khi 4 3 R h . O I B A l M O A NBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 245 Nón - Trụ - Cầu Hay thể tích hình nón lớn nhất đạt khi 4 3 R h . Câu 50. Chọn C. Đặt 2 AB a , 2 D C b , 2 O O c . Ta có 1 V là thể tích chiếc cốc, 2 V là thể tích của bi. Ta có 2 CK c , CB a b , BK a b . Do CKB vuông tại K ta có: 2 2 2 CB CK BK 2 2 2 2 2 2 4 2 a b ab c a b ab 2 ab c Mặt khác 2 2 1 2 3 c V a b ab , 3 2 4 3 V c . Theo giả thiết lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu, suy ra 1 2 2 V V 2 2 3 4 c a b ab c 2 2 4 a b ab ab 3 5 2 a b , do a b nên 3 5 2 a b . Câu 51. Chọn A. Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh S . Do đó chỉ cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và đường cao là SI h với h R . Thể tích khối nón được tạo nên bởi N là: 1 . 3 C V h S 2 1 . . 3 h r 2 2 1 . . 3 h R h R 3 2 1 2 3 h h R . Xét hàm số: 3 2 2 f h h h R với ; 2 h R R . Ta có 2 3 4 f h h hR . 0 f h 2 3 4 0 h hR 0 h (loại) hoặc 4 3 R h . Bảng biến thiên: h R 4 3 R 2R f h 0 f h 3 R 3 32 27 R 0 Ta có: 3 32 max 27 f h R tại 4 3 R h . K O O' D I H C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 246 Nón - Trụ - Cầu Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi N có giá trị lớn nhất là 3 3 1 32 32 3 27 81 V R R khi 4 3 R h . Chú ý: Sau khi tính được 3 2 1 2 3 V h h R ta có thể làm như sau: 3 3 3 2 2 1 1 4 2 32 2 2 . . 4 2 3 3 6 6 3 81 h h R h R V h h R h R h h h R h . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 4 2 3 R h R h h . Câu 52. Chọn D. Gọi I , S là tâm mặt cầu và đỉnh hình nón. Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón và AB là một đường kính của đáy. Ta có 1 2 1 1 V V V V V . Do đó để 1 2 V V đạt GTLN thì 1 V đạt GTLN. TH1: Xét trường hợp SI R Khi đó thể tích của hình nón đạt GTLN khi SI R Lúc đó 3 1 3 R V . TH2: SI R I nằm trong tam giác SAB như hình vẽ. Đặt 0 IH x x . Ta có 2 1 1 . 3 V HA SH 2 2 1 3 R x R x 2 2 6 R x R x R x 3 3 4 32 6 3 81 R R . Dấu bằng xảy ra khi 3 R x . Khi đó 1 2 1 1 V V V V V 3 3 3 4 8 3 1 4 32 19 3 81 R R R . I A S B HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 247 Nón - Trụ - Cầu B. MẶT TRỤ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Mặt trụ tròn xoay Trong mp P cho hai đường thẳng và l song song nhau, cách nhau một khoảng r . Khi quay mp P quanh trục cố định thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. + Đường thẳng được gọi là trục. + Đường thẳng l được gọi là đường sinh. + Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 2. Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. + Đường thẳng AB được gọi là trục. + Đoạn thẳngCD được gọi là đường sinh. + Độ dài đoạn thẳng AB CD h được gọi là chiều cao của hình trụ. + Hình tròn tâm A , bán kính r AD và hình tròn tâm B , bán kính r B C được gọi là 2 đáy của hình trụ. + Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ. 3. Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , khi đó: Diện tích xung quanh của hình trụ: 2 xq S rh Diện tích toàn phần của hình trụ: 2 2. 2 2 tp xq Ðay S S S rh r Thể tích khối trụ: 2 . V B h r h 4. Tính chất Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính r ) bởi một mp vuông góc với trục thì ta được đường tròn có tâm trên và có bán kính bằng r với r cũng là bán kính của mặt trụ đó. Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp không vuông góc với trục nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2 sin r , trong đó là góc giữa trục và mp với 0 0 0 90 . l r r D C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 248 Nón - Trụ - Cầu Cho mp song song với trục của mặt trụ tròn xoay và cách một khoảng d . + Nếu d r thì mp cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật. + Nếu d r thì mp tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh. + Nếu d r thì mp không cắt mặt trụ. II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. ĐỀ BÀI Câu 1. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Một khối trụ có thể tích bằng 25 . Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 25 . Bán kính đáy của khối trụ ban đầu là A. 10 r . B. 5 r . C. 2 r . D. 15 r . Câu 2. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết 2 BD a , 60 DAC . Tính thể tích khối trụ. A. 3 3 6 16 a . B. 3 3 2 16 a . C. 3 3 2 32 a . D. 3 3 2 48 a . Câu 3. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Một khối trụ có thể tích bằng 16 . Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 16 . Bán kính đáy của khối trụ ban đầu là A. 1 r . B. 4 r . C. 3 r . D. 8 r . Câu 4. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết 2 AC a , 30 DCA . Tính thể tích khối trụ. A. 3 3 2 16 a . B. 3 3 6 16 a . C. 8 n . D. 3 3 2 48 a . Câu 5. (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. A. 2 9 a h V . B. 2 9 a h V . C. 2 3 a h V . D. 2 3 V a h . Câu 6. (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình trụ có bán kính bằng a . Một mặt phẳng đi qua các tâm của hai đáy và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Thể tích của hình trụ bằng A. 3 2a . B. 3 a . C. 3 2 a . D. 3 2 3 a . Câu 7. (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AD biết 3 AB , 4 AD là A. 48 . B. 36 . C. 12 . D. 72 . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 249 Nón - Trụ - Cầu Câu 8. (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và O , chiều cao 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng đi qua trung điểm của OO và tạo với OO một góc 30 . Hỏi cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? A. 2 2 3 R . B. 4 3 3 R . C. 2 3 R . D. 2 3 R . Câu 9. (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có độ dài cạnh đáy bằng a , chiều cao là h . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ. A. 2 9 a h V . B. 2 3 a h V . C. 2 3 V a h . D. 2 V a h . Câu 10. (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a . Thể tích khối trụ đó bằng A. 3 a . B. 3 2 a . C. 3 3 a . D. 3 4 a . Câu 11. (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình trụ có bán kính đáy là R a , mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2 8a . Diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ lần lượt là A. 2 8 a , 3 4 a . B. 2 6 a , 3 6 a . C. 2 16 a , 3 16 a . D. 2 6 a , 3 3 a . Câu 12. (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình trụ T có đáy là các đường tròn tâm O và O , bán kính bằng 1 , chiều cao hình trụ bằng 2 . Các điểm A , B lần lượt nằm trên hai đường tròn O và O sao cho góc , 60 OA O B . Tính diện tích toàn phần của tứ diện OAO B . A. 4 19 2 S . B. 4 19 4 S . C. 3 19 2 S . D. 1 2 19 2 S . Câu 13. (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , góc giữa AC và mặt phẳng BCC B bằng 30 (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ . ABC A B C bằng: A. 3 a . B. 3 2 a . C. 3 4 a . D. 3 3 a . Câu 14. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 2 36 a . Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ. A. 3 27 3 V a . B. 3 81 3 V a . C. 3 24 3 V a . D. 3 36 3 V a . Câu 15. (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB a và 2 AD a . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AD ; BC . Quay hình chữ nhật đó quanh trục HK , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ là: B C A B C A Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 250 Nón - Trụ - Cầu A. 8 tp S . B. 2 8 tp S a . C. 2 4 tp S a . D. 4 tp S . Câu 16. (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho khối trụ có chu vi đáy bằng 4 a và độ dài đường cao bằng a . Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 2 a . B. 3 4 3 a . C. 3 4 a . D. 3 16 a . Câu 17. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình trụ có tỉ số diện tích xung quanh và diện tích toàn phần bằng 1 3 . Biết thể tích khối trụ bằng 4 . Bán kính đáy của hình trụ là A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . Câu 18. Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a , b , c . Thể tích khối trụ là A. 2 2 1 4 c a b . B. 2 2 1 4 a b c hoặc 2 2 1 4 b c a hoặc 2 2 1 4 c a b . C. 2 2 1 4 a b c . D. 2 2 1 4 b c a . Câu 19. Cho hình trụ có đường cao , bán kính đáy 3cm r . Xét mặt phẳng P song song với trục của hình trụ và cách trục 2cm . Tính diện tích S của thiết diện của hình trụ với mặt phẳng P . A. 2 5 5 cm S . B. 10 5 2 c m S . C. 2 3 5 cm S . D. 2 6 5 cm S . Câu 20. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Một khối gỗ hình lập phương có thể tích 1 V . Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó thành một khối trụ có thể tích 2 V . Tính tỷ số lớn nhất 2 1 V k V ? A. 1 4 k . B. 2 k . C. 4 k . D. 3 k . Câu 21. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 3a , 6a . Người ta muốn tạo tấm bìa đó thành bốn hình không đáy như hình vẽ, trong đó có hai hình trụ lần lượt có chiều cao 3a, 6a và hai hình lăng trụ tam giác đều có chiều cao lần lượt 3a, 6a . Trong 4 hình H1, H2, H3, H4 lần lượt theo thứ tự có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất là A. H1 , H4 . B. H 2 , H3 . C. H1 , H 3 . D. H 2 , H 4 . 5 cm h H 1 H 2 H 3 H 4 3a 3a 6a 6aBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 251 Nón - Trụ - Cầu Câu 22. (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D có 6 , AB 8 , AD 12 AC . Tính diện tích xung quanh xq S của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và A B C D A. 20 11 . xq S B. 10 11 . xq S C. 10 2 11 5 . x q S D. 5 4 11 5 . xq S Câu 23. (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho khối trụ có bán kính đáy R và có chiều cao 2 h R . Hai đáy của khối trụ là hai đường tròn có tâm lần lượt là O và ' O . Trên đường tròn O ta lấy điểm A cố định. Trên đường tròn O ta lấy điểm B thay đổi. Hỏi độ dài đoạn AB lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 2 2 R B. max 4 2 AB R . C. max 4 AB R . D. max 2 AB R . Câu 24. (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-năm-2018) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ 1 AB , đáy lớn 3 CD , cạnh bên 2 BC DA . Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng A. 4 3 . B. 5 3 . C. 2 3 . D. 7 3 . Câu 25. (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng h . Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều nội tiếp hình trụ đã cho. A. 2 3 4 a h V . B. 2 3 3 4 a h V . C. 2 2 2 2 4 3 3 4 3 a h a V h . D. 2 3 3 4 a h V . Câu 26. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Một người dùng một cái ca hình bán cầu (Một nửa hình cầu) có bán kính là 3 cm để múc nước đổ vào một cái thùng hình trụ chiều cao 10 cm và bán kính đáy bằng 6 cm . Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy) A. 10 lần. B. 24 lần. C. 12 lần. D. 20 lần. Câu 27. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh xq S của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện A B C D . A. 16 2 3 xq S . B. 8 2 xq S . C. 16 3 3 xq S . D. 8 3 xq S . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 252 Nón - Trụ - Cầu Câu 28. (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C , biết góc giữa hai mặt phẳng A BC và ABC bằng 45 , diện tích tam giác A BC bằng 2 6 a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ . ABC A B C . A. 2 4 3 3 a . B. 2 2 a . C. 2 4 a . D. 2 8 3 3 a . Câu 29. (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng A. h R . B. 2 h R . C. 3 h R . D. 2 h R . Câu 30. (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội năm 2017-2018). Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4 và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ? A. 6 9 . B. 4 6 9 . C. 6 12 . D. 4 9 . Câu 31. (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là A. 30% . B. 50% . C. 21% . D. 11%. Câu 32. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn O , O bán kính bằng a, chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy. Các điểm A , B tương ứng nằm trên hai đường tròn O , O sao cho 6. AB a Tính thể tích khối tứ diện ABOO theo a. A. 3 . 3 a B. 3 5 . 3 a C. 3 2 3 a D. 3 2 5 . 3 a Câu 33. (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài lăn là 25 cm (như hình dưới đây). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là: A. 1500 2 cm . B. 150 2 cm . C. 3000 2 cm . D. 300 2 cm . Câu 34. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày 1,5 cm , thành xung quanh cốc dày 0,2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 3 480 cm thì người ta cần ít nhất bao nhiêu 3 cm thủy tinh ? Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 253 Nón - Trụ - Cầu A. 3 75,66 cm . B. 3 80,16 cm . C. 3 85,66 cm . D. 3 70,16 cm . Câu 35. (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D , AD CD a , 2 AB a . Quay hình thang ABCD quanh đường thẳng CD . Thể tích khối tròn xoay thu được là: A. 3 5 3 a . B. 3 7 3 a . C. 3 4 3 a . D. 3 a . Câu 36. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích 3 cm V . Hỏi bán kính (cm) R của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất? A. 3 3 2 V R . B. 3 V R . C. 3 4 V R . D. 3 2 V R . Câu 37. (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm và 240 cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây): - Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. - Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu 1 V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và 2 V là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 1 V V . B. 1 2 2 V V . C. 1 2 1 2 V V . D. 1 2 4 V V . Câu 38. (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước Mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là A. 3 h R . B. R h . C. 2 h R . D. 2 R h . Câu 39. (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính R , chứa được 10 quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 254 Nón - Trụ - Cầu đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng va quả dưới cùng tiếp xúc với hai nắp hộp. Tính phần thể tích khối trụ mà thể tích của các quả bóng bàn không chiếm chỗ. A. 0 . B. 3 20 3 R . C. 3 40 3 R . D. 3 R . Câu 40. (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2m . Trong số các cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40cm , sau cây cột còn lại phân bổ đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26cm . Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng một loại sơn giả đá, biết giá thuê là 2 380000 / 1m (kể cả vật liệu sơn và thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy 3,14159 ). A. 11.833.000 . B. 12.521.000 . C. 10.400.000 . D. 15.642.000 . Câu 41. (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2 cm . Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB , A B mà 6cm AB A B , diện tích tứ giác A B B A bằng 2 60cm . Tính bán kính đáy của hình trụ. A. 5cm . B. 3 2 cm . C. 4cm . D. 5 2 cm . Câu 42. (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm . Bán kính của viên billiards đó bằng A. 2,7 cm . B. 4,2cm . C. 3,6cm . D. 2,6cm . Câu 43. (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC ; P , Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là A. 3 91125 cm 4 . B. 3 91125 cm 2 . C. 3 13500. 3 cm . D. 3 108000 3 cm . A B C M N Q PBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 255 Nón - Trụ - Cầu Câu 44. (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Một hình trụ có bán kính đáy 5cm r và khoảng cách giữa hai đáy 7 cm h . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm . Diện tích của thiết diện được tạo thành là: A. 2 56 cm S . B. 2 55 cm S . C. 2 53 cm S . D. 2 46 cm S . Câu 45. THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình trụ đứng có hai đáy là hai đường tròn tâm O và tâm O , bán kính bằng a, chiều cao hình trụ bằng 2a . Mặt phẳng đi qua trung điểm OO và tạo với OO một góc 30 , cắt đường tròn đáy tâm O theo dây cung AB . Độ dài đoạn AB là: A. a . B. 2 3 a . C. 4 3 9 a . D. 2 6 3 a . Câu 46. (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ dưới đây. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa). A. 2 750,25 (cm ) . B. 2 700 (cm ) . C. 2 756,25 (cm ) . D. 2 754,25 (cm ) . Câu 47. Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8 . Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A , B sao cho cung AB có số đo o 120 . Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A , B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Biết diện tích S của thiết diện thu được có dạng π 3. S a b Tính P a b . A. 60 P . B. 30 P . C. 50 P . D. 45 P . Câu 48. (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hình nón N có bán kính đáy 20( ) r cm , chiều cao 60( ) h cm và một hình trụ T nội tiếp hình nón N (hình trụ T có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung quanh của hình nón). Tính thể tích V của hình trụ T có diện tích xung quanh lớn nhất? r O 10cm 35cm 30cmBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 256 Nón - Trụ - Cầu A. 3 3000 ( ). V cm B. 3 32000 ( ). 9 V cm C. 3 3600 ( ). V cm D. 3 4000 ( ). V cm Câu 49. (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo h . A. 2 h x . B. 3 h x . C. 2 3 h x . D. 3 h x . Câu 50. (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-năm-2018) Một khúc gỗ có dạng khối nón có bán kính đáy 30 cm r , chiều cao 120 cm h . Anh thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ dạng khối trụ có thể chế tác được. Tính V . A. 3 0,16 m V . B. 3 0,024 m V . C. 3 0,36 m V . D. 3 0,016 m V . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 257 Nón - Trụ - Cầu II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1B 2B 3B 4A 5C 6C 7B 8A 9B 10D 11A 12A 13C 14B 15C 16C 17D 18B 19B 20C 21A 22A 23A 24D 25B 26D 27A 28C 29A 30B 31C 32A 33A 34A 35A 36D 37B 38C 39B 40A 41C 42A 43C 44A 45D 46C 47C 48A 49B 50D Câu 1. Chọn B. Khối trụ ban đầu có: 25 V 2 25 r h 2 25 1 r h . Khối trụ lúc sau có: 25 x q S 5 25 r h 5 2 rh . Từ (1) và (2) suy ra 5 r . Câu 2. Chọn B. Ta có A B C D là hình chữ nhật A D C vuông tại D và 2 B D A C a . Xét vuông A D C có 6 sin 2.sin 60 2 a D C A C DA C a Suy ra bán kính mặt đáy của hình trụ là 6 4 a r . cos A D DA C A C 2 cos 2 cos60 2 a A D A C DA C a Chiều cao của hình trụ là 2 2 a h . Suy ra thể tích khối trụ: 2 6 2 4 2 a a V 3 3 2 16 a Câu 3. Chọn B. Thể tích khối trụ: 2 16 V r h 2 16 h r . Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy, suy ra: Diện tích xung quanh: 2 2.16 2 . 16 S r r 2.2.16 4 16 r Câu 4. Chọn A. Tam giác A D C vuông tại D có: + .cos 30 D C A C 6 2 a D C . + .sin 30 A D A C 2 2 a A D . Khi đó hình trụ đã cho có h A D , 1 2 r D C . Vậy thể tích khối trụ 2 3 3 2 16 V r h a . Câu 5. Chọn C. 60° A B C D a 2 O' O B D C A 30°Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 258 Nón - Trụ - Cầu Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a là 3 3 a R . Chiều cao khối trụ bằng chiều cao khối lăng trụ bằng h . Thể tích khối trụ là 2 V R h 2 2 3 3 3 a h a V h . Câu 6. Chọn C. Bán kính của hình trụ là r a . Chiều cao của hình trụ là 2 h r 2 a . Vậy thể tích của hình trụ là 2 . V r h 2 .2 a a 3 2 a . Câu 7. Chọn B. Ta có 3 r , 4 h nên thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật A B C D quay quanh cạnh A D là 2 V r h 2 .3 .4 36 . Câu 8. Chọn A. Gọi M là trung điểm của O O . Gọi A , B là giao điểm của mặt phẳng và đường tròn O và H là hình chiếu của O trên A B A B MH O . Trong mặt phẳng M H O kẻ O K M H , K MH khi đó góc giữa O O và mặt phẳng là góc 30 OM K . Xét vuông M H O ta có: tan 30 H O O M tan 30 R 3 3 R . Xét vuông A H O ta có 2 2 A H O A O H 2 2 3 R R 2 3 R . Do H là trung điểm của A B nên 2 2 3 R A B . Câu 9. Chọn B. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Do AB C là đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Ta có 2 3 A G AM 2 3 . 3 2 a 3 3 a . Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là 2 2 3 a h V R h . Câu 10. Chọn D. Bán kính của đường tròn đáy là 2 a r . Chiều cao của hình trụ là h a . Thể tích của khối trụ là 2 V r h 2 . . 2 a a 3 4 a . r h M H K O O' D C B A M B' A C' A' B C GBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 259 Nón - Trụ - Cầu Câu 11. Chọn A. Hình vẽ thiết diện: Theo giả thiết hình trụ có bán kính đáy là R a suy ra I B R a . Vì mp qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2 8 a 2 8 4 2 a h B C a a Vậy 2 2 8 xq S R h a , 2 3 4 V R h a . Câu 12. Chọn A. Gọi B là hình chiếu của B trên mặt phẳng chứa đường tròn O , khi đó , , 60 O A O B O A O B . Suy ra 60 A O B hoặc 120 A O B . Gọi H là là hình chiếu của B trên O A . Trong cả hai trường hợp, ta đề có 3 2 HB 2 2 3 19 4 4 2 B H H B B B . Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện O A O B thì AO O AO B AOB BOO S S S S S 2 AOO AOB S S 1 1 2 . . 2 2 OA O O OA B H 1 1 19 2 .1.2 .1. 2 2 2 4 19 2 . Câu 13. Chọn C. Gọi bán kính của hình trụ là R . Ta có: C C A BC C C A I . Lại có tam giác A B C là tam giác vuông cân tại A nên A I B C do đó A I BC C B hay góc giữa A C và mặt phẳng BC C B là IC A . Xét tam giác A I C ta có: tan A I IC I C A 3 R . Xét tam giác C I C ta có: 2 2 2 I C IC C C 2 2 2 3 4 R R a 2 R a . Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ . A B C A B C là 2 . V R h 3 4 a . Câu 14. Chọn B. H I D C B A O A B B H O I B' A C' A' C BBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 260 Nón - Trụ - Cầu Diện tích xung quanh hình trụ 2 xq S rl 2 2 .2 36 r r a 3 r a Lăng trụ lục giác đều có đường cao 6 h l a Lục giác đều nội tiếp đường tròn có cạnh bằng bán kính của đường tròn Suy ra diện tích lục giác đều 2 3 3 6. 4 a S 2 27 3 2 a . Vậy thể tích 3 . 81 3 V S h a . Câu 15. Chọn C. Quay hình chữ nhật A B C D quanh trục HK ta được hình trụ có đường cao là h A B a , bán kính đường tròn đáy là 1 2 R BK BC a . Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là: 2 2 2 2 4 tp S R h R a . Câu 16. Chọn C. Gọi chu vi đáy là P .bTa có: 2 P R 4 2 a R 2 R a Khi đó thể tích khối trụ: 2 2 3 2 4 . R h a a V a . Câu 17. Chọn D. Gọi bán kính của hình trụ là R . 2 2 4 4 . 4 V h R h R 1 . 1 1 2 2 3 3 3 2 XQ TP R S S Rh R R h h R h h 2 . Từ 1 và 2 suy ra: 2 4 2 2 R R R Câu 18. Chọn B. Khối hộp nội tiếp khối trụ thì ta thấy một kích thức của khối hộp sẽ bằng chiều cao của khối trụ và hai kích thước còn lại sẽ là hai cạnh của đáy Gọi h là chiều cao của khối hộp ta có h a hoặc h b hoặc h c Thể tích sẽ có giá trị 2 2 1 4 a b c hoặc 2 2 1 4 b c a hoặc 2 2 1 4 c a b . a K H D C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 261 Nón - Trụ - Cầu Câu 19. Chọn B. Thiết diện là hình chữ nhật A B C D . Gọi I là trung điểm A B O I A B , 2cm d OO P OI . Xét tam giác A O I vuông tại I : 2 2 5 cm AI r O I 2 2 5 cm AB AI . 2 . 10 5 cm ABCD S A B AD . Câu 20. Chọn C. Để 2 1 V k V lớn nhất 2 V lớn nhất Hình trụ nội tiếp hình lập phương cạnh a Hình trụ có bán kính đáy là 2 2 AB a r O M , chiều cao là h O O A A a . Ta có thể tích khối lập phương là 3 1 V a , thể tích khối trụ lớn nhất là 3 2 2 4 a V r h . Tỷ số lớn nhất là 2 1 4 V k V . Câu 21. Chọn A. Gọi các hình H1 , H2 , H 3, H 4 lần lượt theo thứ tự có thể tích 1 V , 2 V , 3 V , 4 V . Ta có: 2 2 3 1 1 1 6 27 .3 2 a V r h a a (Vì 1 1 6 2 6 2 a r a r ). 2 3 2 2 2 3 27 .6 2 2 a V r h a a (Vì 2 2 3 2 3 2 a r a r ). 3 3 1 3 . 3 . .2 . .2 3 3 2 2 V h B a a a a (Đáy là tam giác đều cạnh 6 : 3 2 a a ). 3 4 1 3 3 3 . 6 . . . . 2 2 2 V h B a a a a (Đáy là tam giác đều cạnh 3 : 3 a a ). Ta có: 1 3 2 4 V V V V . Câu 22. Chọn A. Bán kính đường tròn đáy: 2 2 2 2 1 6 8 5. 2 2 2 AC R AB AD Đưường sinh của hình trụ 2 2 2 2 12 10 2 11. l C C A C A C Vậy xq S của hình trụ là 2 2 .5.2 11 20 11 . xq S Rl A B C D O' O I O O' D' C' B' A' D C B A O I D' C' B' A' D C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 262 Nón - Trụ - Cầu Câu 23. Chọn A. Gọi A EFI là thiết diện đi qua trục của khối trụ. Với mỗi điểm B thay đổi trên đường tròn O , gọi B M là đường sinh của trụ, M thuộc đường tròn O , khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 AB AM M B AM R A E R (dây cung luôn bé hơn hoặc bằng đường kính). Suy ra 2 2 2 2 max 4 8 A B A E R R . Vậy max 2 2 AB R A M A E hay M trùng E , B trùng F . Câu 24. Chọn D. Gọi V là thể tích vật tròn xoay cần tìm. 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A , và đỉnh B , T V là thể tích khối trụ trục O O như hình vẽ. Gọi A , B là hình chiếu vuông góc của A , B trên cạnh C D . Suy ra A A D B B C (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra 2 3 1 2 A D CD A B . Suy ra 1 A D B C . Mặt khác 2 2 1 O C B C B O Ta có 1 A O B O và 1 O D O C nên ta có 1 2 V V . Thể tích vật tròn xoay cần tìm là 2 2 2 1 1 2 2 . 2. . 3 3 T V V V R CD R A O R CD AO . 2 2 7 .1 . 3 3 3 V . Câu 25. Chọn B. Ta có tam giác đều A B C có đường cao 3 3 2 2 C H CO a nên cạnh 2 3 3 CH A C a . Suy ra 2 2 3 3 3 3 4 4 ABC a a S . Lại có CC h . Vậy thể tích khối lăng trụ cần tìm là 2 3 3 . 4 A B C a h V S CC . Câu 26. Chọn D. Thể tích nước cần múc bằng thể tích của trụ: 2 2 3 6 10 360 cm V R h . Thể tích của mỗi ca nước bằng một nửa thể tích khối cầu bán kính 3 cm , nên thể tích nước mỗi lần múc là 3 3 1 4 .3 18 cm 2 3 V . Suy ra số lần cần múc để đổ đầy thùng nước là: 360 20 18 (lần). A M E B F I O' O C O' B' B A' A D O h C' A' B' a H C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 263 Nón - Trụ - Cầu Câu 27. Chọn A. Tam giác B CD đều cạnh 4 có diện tích: 2 4 3 4 3 4 BCD S Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh a là 3 2 16 2 12 3 A B CD a V V . Độ dài đường cao khối tứ diện: 3 4 2 3 ABCD BCD V h S . Bán kính đáy đường tròn nội tiếp B C D : 2 3 3 S r p . Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là 2 3 4 2 16 2 2 2 . . 3 3 3 x q S rh . Câu 28. Chọn C. Gọi M là trung điểm B C . Khi đó ta có B C A M , B C A M Suy ra: , 45 A BC AB C A M A A A A M . Gọi O là trọng tâm tam giác A B C . Đặt B C x , 0 x . Ta có 3 2 x A M A A 6 2 x A M . Nên 2 2 1 6 . . 6 2 4 A B C x S A M B C a 2 x a . Khi đó: 2 2 2 3 2 3 . 3 3 2 3 a a A O A M và 3 A A a . Suy ra diện tích xung quang khối trụ là: 2 . . xq S O A A A 2 2 3 2 . . 3 4 3 a a a . Câu 29. Chọn A. Thể tích hộp sữa là 2 V R h 2 V h R . Ta có diện tích của tấm tôn để làm hộp sữa là 2 2 2 2 xq đáy V S S S Rh R R R . Vậy 2 3 2 2 2 3 2 3 . 3 V V V S R R V R R R . Vậy 3 2 min 3 S V khi 2 V R R 2 V h R R . Câu 30. Chọn B. Vì thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông nên khối trụ có chiều cao bằng 2 r . Ta có: 4 tp S 2 2 2 4 r r l 2 6 4 r 2 3 r A B C D H I O M C A B C B' A' C'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 264 Nón - Trụ - Cầu Tính thể tích khối trụ là 2 V r h 3 2 r 2 2 2 3 3 4 6 9 . Câu 31. Chọn C. Để gỗ bị đẽo ít nhất thì hình hộp đó phải là hình hộp đứng. Gọi h là chiều cao của hình hộp chữ nhật và R là bán kính đáy của hình trụ. Do hình hộp chữ nhật và hình trụ có cùng chiều cao nên thể tích gỗ đẽo đi ít nhất khi và chỉ khi diện tích đáy của hình trụ lớn nhất (thể tích khối trụ lớn nhất). Suy ra 2 a R . Gọi 1 V và 2 V lần lượt là thể tích của khối hộp và thể tích của khối trụ có đáy lớn nhất. Ta có: 2 1 . V a h và 2 2 2 . . . 4 a V R h h . Suy ra: 2 2 2 1 . . 4 78,54% 4 . a h V V a h . Vậy thể tích gỗ ít nhất cần đẽo đi là khoảng 21,46% . Câu 32. Chọn A. Ta có 2 O O a , 2 2 2 2 6 4 2 A B A B A A a a a . Do đó 2 2 2 2 2 A B O B O A a nên tam giác O A B vuông cân tại O hay O A O B O A O B . Khi đó 1 . . , .sin , 6 OO AB V OA O B d O A O B O A O B 3 1 . .2 .sin90 6 3 a a a a . Câu 33. Chọn A. Diện tích xung quanh của hình trụ là 2 .6.25 150 xq S Rh . Khi lăn sơn quay một vòng sẽ quét được một diện tích bằng diện tích xung quanh của hình trụ. Do đó trục lăn quay 10 vòng sẽ quét được diện tích là 10. 1500 x q S S 2 cm . Câu 34. Chọn A. Gọi bán kính và chiều cao hình trụ bên trong lần lượt là r và h . Ta có: 2 1 V r h 2 2 480 V h r r . A O A O B h a R O O'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 265 Nón - Trụ - Cầu Thể tích hình trụ bên ngoài là: 2 2 0,2 . 1,5 V r h 2 2 480 0,2 . 1,5 r r . Thể tích thủy tinh là: 2 2 480 0,2 . 1,5 480 V r r . Xét 2 2 480 0,2 . 1,5 f r r r , 0 r . Khi đó 2 2 3 480 960 2 0,2 1,5 0,2 . f r r r r r 0 f r 2 3 480 960 2 1,5 0,2 . r r r 3 192 3 r 4 r . r 0 4 f r 0 + f r 27783 50 Vậy thể tích thủy tinh người ta cần ít nhất là 27783 480 50 75,66 3 cm . Câu 35. Chọn A. Gọi T là khối trụ có đường cao là 2 a , bán kính đường tròn đáy là a và N là khối nón có đường cao là a , bán kính đường tròn đáy là a . Thể tích khối trụ T là: 2 1 . .2 V a a 3 2 . a . Thể tích khối nón N là: 2 2 1 . . 3 V a a 3 . 3 a . Thể tích khối tròn xoay thu được là: 1 2 V V V 3 3 . 2 . 3 a a 3 5 3 a . Câu 36. Chọn D. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng phải ít nhất. Ta có 2 V R h 2 V h R . Diện tích toàn phần của hình trụ là 2 2 2 tp S R h R 2 2 2 . 2 V R R R 2 2 2 V R R 3 2 2 2 3 2 V V R V R R . Vậy 3 2 min 3 2 t p S V khi 2 2 V R R 3 2 V R . Câu 37. Chọn B. Theo cách 1: Ta thu được hình trụ có chiều cao 50 h , 2 240 R 120 R . 2a a a a C D O B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 266 Nón - Trụ - Cầu Suy ra 2 1 120 . .50 V 3 cm Theo cách 2: Ta thu được hai hình trụ có chiều cao 50 h , 2 120 R 60 R . Suy ra 2 2 60 2 . .50 V 3 cm . Vậy 1 2 2 V V . Câu 38. Chọn C. 2 2 V V R h h R 2 2 2 T P S R Rh 2 2 2 2 . V R R R 2 2 3 2 3. 2 . . V V V V R R R R R R 3 2 3. 2 V T P S đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 2 V R R 2 2 2 R h R R 2 R h Câu 39. Chọn B. Ta có: 20 h R Suy ra thể tích khối trụ 1 V 3 3 20 . . 20 R R R Thể tích 10 quả bóng 3 3 2 4 40 .10 3 3 R V R Thể tích bóng không chiếm chỗ là 3 3 3 3 40 20 20 3 3 R V R R . Câu 40. Chọn A. Cột lớn dạng hình trụ có chiều cao 4,2m h , đáy là đường tròn có bán kính 1 0,2m R nên mỗi cột lớn có diện tích xung quanh là 1 1 2 S R h 2 1,68 m . Cột nhỏ dạng hình trụ có chiều cao 4,2m h , đáy là đường tròn có bán kính 2 0,13m R nên mỗi cột lớn có diện tích xung quanh là 2 2 2 S R h 2 273 m 250 . Diện tích cần sơn cho hai cột lớn và sáu cột nhỏ là 273 2.1,68 6. . 250 2 m . Vậy số tiền cần phải bỏ ra là 273 2.1,68 6. . 25 380000. 0 11.833.000 (đồng). Câu 41. Chọn C. Gọi O , O là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ). Vì A B A B nên ABB A đi qua trung điểm của đoạn O O và A B B A là hình chữ nhật. Ta có . ABB A S A B AA 60 6. A A 10 cm A A . Gọi 1 A , 1 B lần lượt là hình chiếu của A , B trên mặt đáy chứa A và B 1 1 A B B A là hình chữ nhật có 6 cm A B , A B O O B A 1 B 1 A 6 2 6Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 267 Nón - Trụ - Cầu 2 2 1 1 B B BB B B 2 2 10 6 2 2 7 cm Gọi R là bán kính đáy của hình trụ, ta có 2 2 1 1 2 8 R A B B B A B 4 cm R . Câu 42. Chọn A. Gọi r là bán kính của viên billiards snooker. Thể tích viên billiards là 3 4 3 b i V r . Phần thể tích nước dâng lên sau khi bỏ viên billiards vào là 2 . 5,4 . 2 4,5 V r . Vì thể tích nước dâng lên chính là thể tích của viên billiards nên ta có bi n V V Ta có phương trình 2 3 4 . 5,4 . 2 4,5 3 r r 0 4,5 2,7 r r . Câu 43. Chọn C. Gọi I là trung điểm B C . Suy ra I là trung điểm M N . Đặt M N x , 0 90 x . Ta có: M Q BM AI BI 3 90 2 M Q x ; Gọi R là bán kính của trụ 2 x R . Thể tích của khối trụ là: 2 3 2 3 3 90 90 2 2 8 T x V x x x Xét 3 2 3 90 8 f x x x với 0 90 x . 2 3 3 180 8 f x x x , 0 0 60 x f x x . Khi đó suy ra (0;90) 13500. 3 max 60 x f x f . Câu 44. Chọn A. Gọi , O O là tâm của hai đáy của hình trụ và P là mặt phẳng song song với trục và cách trục O O một khoảng 3cm . Mp P cắt hai hình tròn đáy , O O theo hai dây cung lần lượt là , A B C D và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh là , AD B C . Khi đó A B CD là hình chữ nhật. Gọi H là trung điểm của A B . Ta có ; O H A B O H AD O H ABC D , , 3cm d O O P d O A BC D OH . Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 5 3 8 A B A H O A O H ; ' 7cm AD O O h . Diện tích hình chữ nhật A B C D là: 2 . 56 ABC D S A B AD cm . N P Q I B C A M A B O O D C HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 268 Nón - Trụ - Cầu Câu 45. Chọn D. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của O O và A B . Ta có ; ; 30 O O AB M O O M N O M N . Tam giác O M N vuông tại O có: 3 .tan .tan 30 3 a O N OM OM N a . 2 2 2 2 2 6 2 2 2 3 3 a a AB N B OB ON a Câu 46. Chọn C. Ta có tổng diện tích vải cần để làm nên cái mũ là tổng diện tích xung quanh hình trụ và diện tích hình tròn vành nón. Ta có 15 cm 2 r 2 15 2 2 . .30 450 cm 2 x q S rh . Diện tích vành nón là 2 2 35 1225 cm 2 4 . Vậy diện tích vải cần dùng là 2 1225 3025 450 756,25 cm 4 4 . Câu 47. Chọn C. Gọi I là trung điểm của O O , với O , O là tâm của hai đáy; H là trung điểm của O O ; là góc tạo bởi thiết diện với mặt đáy. Ta có 6 3 A B ; 2 2 2 A B OH R 3 ; 4 tan 3 I O O H 3 cos 5 . Đưa hệ trục tọa độ O x y vào mặt phẳng đáy, gốc trùng với tâm O , trục O x vuông góc với A B , trục O y song song với A B . Ta có 3 2 3 2 36 18 3 12 A B C D S x d x . Mặt khác, ta lại có cos ABC D ABE F S S cos ABCD ABEF S S 30 3 20 . Do đó 20 a , 30 b . F E D C y x H B A O' O I A B O' O N MBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 269 Nón - Trụ - Cầu Vậy P a b 50 . Câu 48. Chọn A. Gọi độ dài bán kính hình trụ là 0 20 x cm x , chiều cao của hình trụ là ' h . Ta có: h S I I K h S I AI S I II I K S I AI h h x h r 60 60 20 h x 60 3 h x 60 3 h x . Diện tích xung quanh của hình trụ là: 2 . S x h 2 60 3 x x 2 2 60 3 x x 2 2 100 3 10 x 200 . Diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất khi 10 x . Khi đó thể tích khối trụ là: 2 . V x h 2 .10 .30 3 0 0 0 . Câu 49. Chọn B. Theo định lí Ta-Let ta có: S O h x r S O x h r , 0 x h . Thể tích hình trụ là: 2 2 2 2 2 2 . h x r r V r x x x h x h h . Xét 3 3 2 4 2 2 4. . . 4 2 2 3 27 h x h x x h x h x h M x x h x x Dấu " " xảy ra khi 2 3 h x h x x . Câu 50. Chọn D. Gọi x là chiều cao của khúc gỗ hình khối trụ, R khúc gỗ hình khối trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I là tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I . O A là một đường sinh của hình nón, B là điểm chung của O A với khối trụ. Ta có r h x R h x R r h h . r h R x O I J B A I' I H K A B H' K' S r r' O ' O SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 270 Nón - Trụ - Cầu Thể tích khối trụ là 2 2 2 2 . . r V x R x h x h Xét hàm số 2 2 2 . r V x x h x h , 0 x h . Ta có 2 2 3 0 3 r h V x h x h x x h hay x h . Bảng biến thiên x 0 3 h h V x 0 V x 0 2 4 27 r h 0 Dựa vào BBT, thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là 40 cm 3 h x ; 2 max 4 27 r h V 2 4. .30 .120 27 3 16000 cm 3 0,016 m . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 271 Nón - Trụ - Cầu C. MẶT CẦU I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: ; S O R . Khi đó ; | S O R M OM R 2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu Cho mặt cầu ; S O R và một điểm A bất kì, khi đó: o Nếu ; OA R A S O R . Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho OA OB thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu. o Nếu OA R A nằm trong mặt cầu. o Nếu OA R A nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu ; S O R là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM R 3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu ; S I R và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đó: + Nếu d R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. + Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: P là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm. + Nếu : d R Mặt phẳng P cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I' và bán kính 2 2 r R IH Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Cho mặt cầu ; S I R và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó : + IH R : không cắt mặt cầu. + IH R : tiếp xúc với mặt cầu. là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm. + IH R : cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. H P I R R I P H I' P r d R I A A O B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 272 Nón - Trụ - Cầu * Lưu ý: Trong trường hợp cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau: + Xác định: ; . d I IH + Lúc đó: 2 2 2 2 2 AB R IH AH IH 5. Diện tích và thể tích mặt cầu Diện tích mặt cầu: 2 4 C S R . Thể tích mặt cầu: 3 4 3 C V R . 6. Một số khái niệm về mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện a. Các khái niệm cơ bản: Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó. Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. b. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp. Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. I H R R H I B A I H R Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 273 Nón - Trụ - Cầu II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. ĐỀ BÀI Câu 1. (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho khối cầu S có thể tích bằng 36 ( 3 cm ). Diện tích mặt cầu 1 bằng bao nhiêu? A. 4 . B. 2 18 cm . C. 2 36 cm . D. 2 27 cm . Câu 2. (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho mặt cầu S tâm I . Một mặt phẳng P cách I một khoảng bằng 3 cm cắt mặt cầu S theo một đường tròn đi qua ba điểm A , B , C biết 6 cm AB , 8 cm BC , 10 cm CA . Diện tích của mặt cầu S bằng: A. 2 68 cm . B. 2 20 cm . C. 2 136 cm . D. 2 300 cm . Câu 3. (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương có thể tích bằng 3 64a . Thể tích của khối cầu nội tiếp của hình lập phương đó bằng A. 3 16 3 a V . B. 3 64 3 a V . C. 3 32 3 a V . D. 3 8 3 a V . Câu 4. (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương có cạnh bằng 1 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng A. 3 . B. 12 . C. . D. 6 . Câu 5. (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD đều có 2 AB và 3 2 SA . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng A. 33 4 . B. 7 4 . C. 2 . D. 9 4 . Câu 6. (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau theo giao tuyến . Trên đường lấy hai điểm A , B với AB a . Trong mặt phẳng P lấy điểm C và trong mặt phẳng Q lấy điểm D sao cho AC , BD cùng vuông góc với và AC BD AB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là A. 3 3 a . B. 3 2 a . C. 3 a . D. 2 3 3 a . Câu 7. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết AB AA a , 2 AC a . Gọi M là trung điểm của AC . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C bằng A. 2 4 a . B. 2 2 a . C. 2 5 a . D. 2 3 a . Câu 8. (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, 2 AB a , BC a , 2 SC a và 30 SCA . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . S ABC . A. 3 R a . B. 2 . C. R a . D. 2 a R . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 274 Nón - Trụ - Cầu Câu 9. (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD đều có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60 . Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD. Tính thể tích V của khối cầu S . A. 3 8 6 27 a V . B. 3 4 6 9 a V . C. 3 4 3 27 a V . D. 3 8 6 9 a V . Câu 10. (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB a , 3 BC a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 3 SA a .Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . . S ABC A. . R a B. 3 . R a C. 4 . R a D. 2 . R a Câu 11. (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 3 SA . Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC , SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP . A. 125 6 V . B. 32 3 V . C. 108 3 V . D. 64 2 3 V . Câu 12. (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho khối chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , 1 AB , 2 BC , cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3 SA . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC bằng A. 6 . B. 3 2 . C. 12 . D. 2 . Câu 13. (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho hình lập phương có cạnh bằng 2. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng A. 6 . B. 4 3 . C. 8 . D. 12 . Câu 14. Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa đường chéo của mặt bên và đáy của lăng trụ là 60 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó. A. 2 13 3 a . B. 2 5 3 a . C. 2 13 9 a . D. 2 5 9 a . Câu 15. (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68.5 cm . Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích 2 49.83 cm . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên? A. 40 (miếng da). B. 20 (miếng da). C. 35 (miếng da). D. 30 (miếng da). Câu 16. (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC a và 90 ASB , 60 BSC , 120 CSA . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp . S ABC là A. 2 4 a . B. 2 2 a . C. 2 a . D. 3 4 3 a . Câu 17. (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có các cạnh đều bằng a . Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 275 Nón - Trụ - Cầu A. 2 49 144 a S . B. 2 7 3 a S . C. 2 7 3 a S . D. 2 49 144 a S . Câu 18. (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 và chiều cao 1 h . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là: A. 9 S . B. 6 S . C. 5 S . D. 27 S . Câu 19. (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có 2 SC a , SC vuông góc với mặt phẳng ABC , tam giác ABC đều cạnh 3a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . A. R a . B. 2 R a . C. 2 3 3 R a . D. 3 R a . Câu 20. (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có các cạnh bên SA , SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của hình chóp bằng 3 6 a . Bán kính r mặt cầu nội tiếp của tứ diện là A. 3 3 a r . B. 2 r a . C. 2 3 3 2 3 a r . D. 3 3 2 3 a r . Câu 21. (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10/2017-2018) Một hình lập phương có cạnh bằng 2a vừa nội tiếp hình trụ T , vừa nội tiếp mặt cầu C , hai đáy của hình lập phương nằm trên hai đáy của hình trụ. Tính tỉ số thể tích C T V V giữa khối cầu và khối trụ giới hạn bởi C và T A. 2 2 C T V V . B. 3 C T V V . C. 2 C T V V . D. 3 2 C T V V . Câu 22. (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. 2 3 a . B. 4 3 a . C. 2 3 3 a . D. 4 3 3 a . Câu 23. (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác đều cạnh a , 4 3 AD a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . A. 55 11 a . B. 57 11 a . C. 59 11 a . D. 61 11 a . Câu 24. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1 , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. 5 15 18 V . B. 5 3 V . C. 4 3 27 V . D. 5 15 54 V . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 276 Nón - Trụ - Cầu Câu 25. (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 6a , tam giác SBC vuông tại S và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . A. 3 96 3 V a . B. 3 32 3 V a . C. 3 4 3 27 V a . D. 3 4 3 9 V a . Câu 26. (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ đứng tam giác . ABC A B C có đáy A BC là tam giác vuông tại A và AB a , 3 AC a , 2 AA a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đó. A. 2 2 R a . B. R a . C. 2 R a . D. 2 2 a R . Câu 27. (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 120 BAD . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và 3 SA a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . S BCD . A. 3 3 a R . B. 5 3 a R . C. 5 3 a R . D. 4 3 a R . Câu 28. (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cân với 120 BAC , AB AC a . Hình chiếu của D trên mặt mp ABC là trung điểm BC . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết 3 16 ABCD a V . A. 91 8 a R . B. 13 4 a R . C. 13 2 a R . D. 6 R a . Câu 29. (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tam giác ABC đều cạnh 3 và nội tiếp trong đường tròn tâm O , AD là đường kính của đường tròn tâm O . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD bằng A. 9 3 8 V . B. 23 3 . 8 C. 23 3 24 V . D. 5 3 8 . Câu 30. (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với ABC , AB a , 2 AC a , 45 BAC . Gọi 1 B , 1 C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 1 1 . A BCC B . A. 3 2 3 a V . B. 3 2 V a . C. 3 4 3 V a . D. 3 2 a V . Câu 31. (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có 4 AB a , 6 CD a , các cạnh còn lại có độ dài 22 a . Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . A. 79 3 a R . B. 5 2 a R . C. 85 3 a R . D. 3 R a . A B C D H OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 277 Nón - Trụ - Cầu Câu 32. (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy ; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu ( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh). A. 5 9 . B. 2 3 . C. 1 2 . D. 4 9 . Câu 33. (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật 3, 2 AB AD . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. 32 3 V . B. 20 3 V . C. 16 3 V . D. 10 3 V . Câu 34. (THPT Thăng Long-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a , S là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD . M là một điểm thay đổi trên S . Tính tổng 2 2 2 2 T MA MB MC MD . A. 2 3 8 a . B. 2 a . C. 2 4a . D. 2 2a . Câu 35. (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB a , 2 AC a . Mặt bên SAB , SCA lần lượt là các tam giác vuông tại B , C . Biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 2 3 a . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC ? A. 2 R a . B. R a . C. 3 2 a R . D. 3 2 a R . Câu 36. (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng h không đổi, một đáy là tứ giác ABCD với A , B , C , D di động. Gọi I là giao của hai đường chéo AC và BD của tứ giác đó. Cho biết 2 . . IA IC IB ID h . Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. A. 2h . B. 5 2 h . C. h . D. 3 2 h . Câu 37. (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD . A. 3 7 21 54 a . B. 3 7 21 162 a . C. 3 7 21 216 a . D. 3 49 21 36 a . Câu 38. (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 3 , , AB a AD a SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 278 Nón - Trụ - Cầu A. 2 5 S a . B. 2 10 S a . C. 2 4 S a . D. 2 2 S a . Câu 39. (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình cầu S tâm I , bán kính R không đổi. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp hình cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất. A. 2 h R . B. h R . C. 2 R h . D. 2 2 R h . Câu 40. (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước. A. 3 2 R h . B. 5 2 R h . C. 5 4 R h . D. 4 3 R . Câu 41. (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp đa giác đều có các cạnh bên bằng a và tạo với mặt đáy một góc 30 . Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp? A. 3 4 3 a . B. 3 4 a . C. 3 4 3 3 a . D. 3 4 3 a . Câu 42. (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm . Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 64 cm 39 . B. 5 39 cm 13 C. 32 cm 39 . D. 10 39 cm 13 . Câu 43. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng 9 . Tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất. A. 144 6 . B. 144 . C. 576 . D. 576 2 . Câu 44. Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1 ; 2 ; 4 . Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó bằng. A. 6 . B. 14 . C. 12 . D. 10 . Câu 45. (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Khối cầu nội tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích khối cầu là: A. 3 6 2 16 a . B. 3 3 144 a . C. 3 3 96 a . D. 3 6 124 a . Câu 46. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho đường tròn tâm O có đường kính 2 AB a nằm trong mặt phẳng P . Gọi I là điểm đối xứng với O qua . A Lấy điểm S sao cho S I P và 2 . SI a Tính bán kính R mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm . S S B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 279 Nón - Trụ - Cầu A. 65 . 4 a R B. 65 . 16 a R C. 65 . 2 a R D. 7 . 4 a R Câu 47. (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho mặt cầu đường kính 2 AB R . Mặt phẳng P vuông góc AB tại I ( I thuộc đoạn AB ), cắt mặt cầu theo đường tròn C . Tính h AI theo R để hình nón đỉnh A , đáy là hình tròn C có thể tích lớn nhất? A. h R . B. 3 R h . C. 4 3 R h . D. 2 3 R h . Câu 48. (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a, thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất. A. 3 8 3 a V . B. 3 10 3 a V . C. 3 2 V a . D. 3 32 3 a V . Câu 49. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho khối chóp . S ABCDcó đáy là hình vuông, SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . S ABCDcó diện tích 2 84 cm . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD . A. 2 21 7 cm . B. 3 21 7 cm . C. 21 7 cm . D. 6 21 7 cm . Câu 50. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình nón N có góc ở đỉnh bằng o 60 , độ dài đường sinh bằng a . Dãy hình cầu 1 , S 2 , S 3 ,..., S ,... n S thỏa mãn: 1 S tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón ; N 2 S tiếp xúc ngoài với 1 S và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón ; N 3 S tiếp xúc ngoài với 2 S và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón N . Tính tổng thể tích các khối cầu 1 , S 2 , S 3 ,..., S ,... n S theo a . A. 3 3 . 52 a B. 3 27 3 . 52 a C. 3 3 . 48 a D. 3 9 3 . 16 a Câu 51. (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng 4 3 lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và lượng nước trào ra là 3 337 cm . 3 Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể. A. 3 885,2 cm . B. 3 1209,2 cm . C. 3 1106,2 cm . D. 3 1174,2 cm . Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 280 Nón - Trụ - Cầu II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1C 2C 3C 4A 5D 6B 7C 8C 9A 10D 11B 12A 13D 14A 15D 16A 17C 18A 19B 20A 21B 22A 23A 24D 25B 26C 27C 28A 29B 30A 31C 32A 33A 34D 35C 36B 37A 38A 39A 40D 41A 42D 43C 44B 45A 46A 47C 48D 49D 50A 51B Câu 1. Chọn C. Thể tích khối cầu bằng 36 3 4 36 3 r 3 27 r 3 r . Vậy diện tích mặt cầu S là: 2 2 2 4 4 .3 36 cm S r . Câu 2. Chọn C. Gọi S là diện tích tam giác ABC và R bán kính đường tròn đi qua ba điểm A , B , C . 12 12 6 12 8 12 10 24 S ; 6.8.10 5 4.24 R Khi đó bán kính mặt cầu 2 2 5 3 34 r Diện tích của mặt cầu S bằng 2 2 2 4 4. . 34 136 cm S r . Câu 3. Chọn C. Khối lập phương có thể tích 3 64a nên cạnh bằng 4a . Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính 4 2 2 a R a nên thể tích khối cầu 3 3 3 4 4 32 2 3 3 3 a V R a . Câu 4. Chọn A. Đường chéo hình lập phương bằng 2 2 2 1 1 1 3 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là 3 2 R . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng 2 4 S R 2 3 4 3 2 . Câu 5. Chọn D. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD. Gọi H là tâm đáy thì SH là trục của hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của SD, trong ( ) mp SDH kẻ đường trung trực của đoạn SD cắt SH tại O thì OS OA OB OC OD nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD. Bán kính mặt cầu là R SO . H S A B C D M OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 281 Nón - Trụ - Cầu Ta có 2 . 2 SO SM SD SM SD SMO SHD R SO SD SH SH SH ∽ . Với 2 2 2 18 2 16 SH SD HD 4 SH . Vậy 2 9 2 4 SD R SH . Câu 6. Chọn B. Ta có hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc với nhau theo giao tuyến AB mà CA AB CA ABD suy ra CA AD . Tương tự, ta cũng có DB BC . Hai điểm A , B cùng nhìn đoạn CD dưới một góc vuông nên bốn điểm A , B , C , D nằm trên mặt cầu đường kính CD , tâm I là trung điểm CD . Xét tam giác vuông ACD , ta có 2 2 CD AC AD 2 2 2 3 a a a . Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là 3 2 a R . Câu 7. Chọn C. Gọi I là trung điểm của cạnh B C . Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp A B C . Gọi M là trung điểm của cạnh A C . Khi đó MM A B C . Do 2 MA MC a nên MA C vuông tại M . Do đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp MA C . Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C . Bán kính mặt cầu là 5 2 2 BC a r IB . Do đó diện tích mặt cầu là 2 2 4 5 S r a . Câu 8. Chọn C. Ta có: .cos30 3 AC SC a . 2 2 2 2 2 2 2 3 AB BC a a a AC ABC là tam giác vuông ở B . Gọi H , I lần lượt là trung điểm của AC , SC . Khi đó ta có: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . IH ABC IA IB IC IS Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . Suy ra 1 2 R SC a . Vậy R a . I M' M B C A A ' C' B' a a a A C B D C a 2 a 30° H A S B 2a IBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 282 Nón - Trụ - Cầu Câu 9. Chọn A. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Do . S ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD hay SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy. Trong mặt phẳng SBO kẻ đường trung trực của cạnh SB và gọi I SO khi đó ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . Theo giả thiết ta có . S ABCD là hình chóp đều và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng 60 nên 60 SBO . Ta có SMI SOB ∽ nên SM SI SO SB . SM SB SI SO . Với tan 60 SO OB 6 3 a SO ; cos60 SB OB 2 SB a ; 2 2 a SM Vậy . SM SB SI SO 6 2 a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD là 3 4 3 V R 3 4 6 3 2 a 3 8 6 27 a . Câu 10. Chọn D. Ta có SA ABC nên tam giác SAC vuông tại A điểm A thuộc mặt cầu tâm I đường kính SC (1). Mặt khác ta lại có: BC AB BC SA BC SAB BC SB hay tam giác SBC vuông tại B điểm B thuộc mặt cầu tâm I đường kính SC (2). Từ (1) và (2) ta có bốn điểm , , , A B S C cùng thuộc mặt cầu tâm I đường kính BC . Xét tam giác vuông ABC ta có 2 2 2 2 AC AB BC a . Xét tam giác vuông SAC có 2 2 2 2 16 SC SA AC a 4 SC a . Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC là 2 2 BC R a . Câu 11. Chọn B. Theo giả thiết mặt phẳng vuông góc với SC nên ta có AN SC , AP SC , AM SC Mặt khác BC SAB nên BC AM AM SBC AM MC Tương tự ta cũng chứng minh được AP PC . I M D C B A S I C B S A P N M D C B A S HBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 283 Nón - Trụ - Cầu Từ đó ba điểm M , N , P cùng nhìn AC dưới góc vuông nên bốn điểm C , M , N , P nằm trên mặt cầu đường kính 4 AC . Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là 32 3 V . Câu 12. Chọn A. Gọi I là trung điểm của SC . Tam giác SAC vuông tại A 1 2 IA IS IC SC 1 . Dễ dàng chứng minh được BC SAB BC SB hay tam giác SBC vuông tại B 1 2 IB IS IC SC 2 . Từ 1 và 2 suy ra: 1 2 IA IB IC IS SC hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC có bán kính 2 2 2 2 2 1 1 1 6 2 2 2 2 R SC SA AC SA AB BC . Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là 2 4 6 S R . Câu 13. Chọn D. Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng 2 B D R 2 3 2 3 . Diện tích mặt cầu là: 2 2 4 4 3 12 S R . Câu 14. Chọn A. Gọi H là tâm ABC thì 3 3 a AH . Ta có , A B ABC , A B AB 60 A BA .tan 60 AA AB 3 a . Gọi M là trung điểm AA thì 3 2 a AM . Mặt phẳng trung trực của đoạn AA cắt trục của đường tròn ngoại tiếp ABC tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Ta có 2 2 2 2 R IA IM AM 2 2 AH AM 2 2 3 4 3 a a 2 13 12 a . Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ 2 2 2 13 13 4 4 12 3 a S R a . Câu 15. Chọn D. Vì thiết diện qua tâm là đường tròn có chu vi là 68.5 cm , nên giả sử bán kính mặt cầu là R ta có: 68.5 2 68.5 2 R R I C B S A 2 I C' B' D' D A B C A' C B A H M I B' C' A'Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 284 Nón - Trụ - Cầu Diện tích mặt cầu: 2 2 2 68.5 4 4 1493.59 cm 2 xq S R . Vì mỗi miếng da có diện tích 2 49.83 cm nên để phủ kín được mặt của quả bóng thì số miếng da cần là 1493.59 29.97. 49.83 Vậy phải cần 30 (miếng da). Câu 16. Chọn A. Xét tam giác SAB theo định lí cosin ta có : 2 2 2 2 . cos AB SA SB SA SB ASB 2 2 2 2 . .cos90 2 2 a a a a a AB a Xét tam giác SAC theo định lí cosin ta có : 2 2 2 2 . cos AC SA SC SA SC ASC 2 2 2 2 . .cos120 3 3 a a a a a AC a Xét tam giác SBC theo định lí cosin ta có : 2 2 2 2 . cos BC SC SB SC SB ASB 2 2 2 2 . .cos60 a a a a a BC a Ta có 2 2 2 AB BC AC nên ABC vuông tại B . Gọi O là trung điểm của AC . Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Vì SA SB SC và OA OB OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp ABC SO ABC tại O . Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt SO tại I I là tâm mặt cấu ngoại tiếp chóp . S ABC . Xét 1 SI SE SEI SOC g g SC SO ∽ với 2 a SE , SC a Mặt khác SOC vuông tại O áp dụng định lí pitago 2 2 2 2 4 2 a a SO SB BO SO Thay vào 1 SI a vậy bán kính cầu ngoại tiếp chóp . S ABC là a . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp . S ABC là 2 4 a . Chú ý: Sau khi chứng minh SO ABC tại O thì ta có 2 2 2. 2. 2 SA a R a AC SO . Câu 17. Chọn C. Gọi mặt cầu đi qua 6 đỉnh của lăng trụ là S tâm I , bán kính R . Do IA IB IC IA IB IC R Hình chiếu của I trên các mặt ABC , A B C lần lượt là tâm O của ABC và tâm O của A B C . Mà . ABC A B C là lăng trụ đều I là trung điểm của OO I O A S B C A C B H I O O A C B Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 285 Nón - Trụ - Cầu 2 2 2 OO AA a OI . Do O là tâm tam giác đều ABC cạnh a 2 2 3 3 3 3 2 3 a a AO AH . Trong tam giác vuông OAI có: 2 2 2 2 3 21 2 3 6 a a a R IA IO OA . Diện tích của mặt cầu là: 2 2 2 21 7 4 4 . 36 3 a a S R . Câu 18. Chọn A. Gọi O là tâm của ABC suy ra SO ABC và 1 SO h ; 2 3 6 2 3 2 OA . Trong tam giác vuông SAO , ta có : 2 2 1 2 3 SA SO OA . Trong mặt phẳng SAO kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra IS IA IB IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . Gọi H là trung điểm của SA . Ta có SHI SOA ∽ nên . 3 2 SH SA R IS SO . Vậy diện tích mặt cầu 2 4 9 mc S R . Câu 19. Chọn B. Gọi G là trọng tâm ABC , I là trung điểm cạnh AB . Kẻ đường thẳng d qua G và song song với SC d ABC . Trong SCI , kẻ đường trung trực của cạnh SC , cắt d tại O . Khi đó, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC là 2 2 R OC CG OG với 2 2 3 3 3 3 3 2 a CG CI a ; 1 2 OG MC SC a . Vậy, 2 2 3 2 R a a a . Câu 20. Chọn A. Do SA SB SC nên các tam giác , SAB , SBC SCA vuông cân tạiS, do SA , SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một nên ta có: 3 3 . 1 . . 6 6 6 S ABC SA a V SA SB SC SA SB SC a 2 AB BC CA a . S A B C M O I H G O I M S B C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 286 Nón - Trụ - Cầu Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Gọi , G , H , I K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên , ABC , SAB , SBC SCA ta có OG OH OI OK r Và 2 3 . . . . . 3 3 3 3 6 6 3 3 S ABC O ABC O SAB O SBC O SCA SAB ABC r a r a a V V V V V S S r Câu 21. Chọn B. Xét khối trụ T có 1 2 2 2 T T R OD BD a h OO a 2 3 . 4 T T T V R h a . Xét khối cầu C có : 2 2 2 2 2 3 C R IB IO OB a a a 3 3 4 4 3 3 C C V R a . Do đó 3 C T V V . Câu 22. Chọn A. +) Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SG ABC và SG là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . +) Gọi I là trung điểm SA , đường trung trực của SA qua I và cắt S G tại O O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính mặt cầu R SO . +) Ta có: , 60 SA ABC SAG , 2 3 3 3 a AG AH . O I K H G A C B S I O' D' C' B' A' O D C B A 60° G C B S A O IBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 287 Nón - Trụ - Cầu 3 tan 60 . . 3 3 a SG AG a ; 2 sin 60 3 SG a SA . Ta có: SIO SGA ∽ SI SG SO SA . SI SA SO SG 2 . 2 3 3 3 a a a SO a . Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho 2 3 a R SO . Câu 23. Chọn A. Gọi M là trung điểm của BC suy ra BC AM , BC DM , AM DM ( do ABC và DBC là các tam giác đều). Do đó BC AMD . Trong AMD là mặt phẳng trung trực của , dựng AH MD thì AH BCD , d BCD tại I là trọng tâm của tam giác DBC nên d là trục của đáy BCD . Gọi O là giao của d và MK (O cũng chính là giao điểm của hai trục của hai đáy DBC và ABC ). Mặt khác AMD là mặt phẳng trung trực của BC nên OB OC OA OD hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 3 2 a AM DM ; 1 2 , 2 3 DK AD a 2 2 2 2 2 3 2 11 2 3 6 a a MK MD DK a MK Ta có . 2 33 tan 33 DK OI DK MI a KMD OI MK MI MK 2 2 r OD OI ID với 2 3 3 3 a ID MD suy ra 55 11 a r . Câu 24. Chọn D. Gọi M là trung điểm của AB .Vì SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SM ABC . Gọi G là trọng tâm ABC .Vì ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Dựng đường thẳng d đi qua G và vuông góc với mp ABC . Gọi J là tâm là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB . Dựng đường thẳng d đi qua J và vuông góc với mp SAB . Gọi O là giao điểm của d và d . Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC với r OC . Do SAB và ABC là những tam giác đều cạnh bằng 1 nên ta có: 1 3 3 ' 3 2 6 JM ; 2 3 3 . 3 2 3 GC O I J M B C D A H K d' d O J A C B S M GBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 288 Nón - Trụ - Cầu Xét OGC vuông tại G ta có: 2 2 2 2 3 3 15 3 6 6 OC GC GO . Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là: 3 4 15 5 15 3 6 54 V . Câu 25. Chọn B. Gọi H là trung điểm của cạnh BC . Vì ABC đều nên AH BC . Vì SBC ABC và SBC ABC BC nên AH SBC . Do H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC nên AH là trục đường tròn ngoại tiếp SBC Vì ABC đều nên trọng tâm G chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vậy ta có GA GB GC . Mà G AH nên GS GB GC . Suy ra GS GA GB GC . Vậy G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . S ABC . Bán kính: 2 3 .6 . 2 3 3 2 R GA a a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: 3 3 4 . 2 3 32 3 3 V a a . Câu 26. Chọn C. Ta có tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C là trung điểm I của BC . Gọi trung điểm của B C là I thì tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ . ABC A B C thuộc đường thẳng II . Xét hình chữ nhật BCC B có tâm của hình chữ nhật là trung điểm O của II . Tam giác ICO có 2 2 OC IO IC Mà 2 II AA a , 2 BC a , nên bán kính 2 R O C a . Câu 27. Chọn C. Xét hình thoi ABCD có 120 BAD nên AD AC AB , suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy BCD . Theo giả thiết SA vuông góc với đáy ABCD nên đường thẳng SA là trục của đáy BCD . S I D A B C M d 6a G C B S A H O I' I C' B' A' B C ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 289 Nón - Trụ - Cầu Gọi M là trung điểm SD , trong mặt phẳng SAD kẻ đường thẳng d vuông góc với SD tại M , d cắt SA tại I . Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . S BCD . Lúc đó R IS . Ta có 10 . 10 . 5 2 3 3 a a IS SM SM DS a ISM DSA IS DS SA SA a ∽ . Câu 28. Chọn A. Gọi H là trung điểm BC . Có , 60 ; 2 a AB a BAH AH 3 2 a BH và 3 BC a 1 . 3 ABCD ABC V DH S 3 2 1 1 3 . 16 3 2 2 a DH a 3 4 a DH . Vậy 2 2 7 4 a DA AH DH . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì bán kính đường tròn đó là 2 sin BC R AO a A . Vậy H là trung điểm AO . Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , đường thẳng này cắt AD tại S với D là trung điểm SA . Vậy 3 2 2 a SO DH , 7 2 2 a SA DA và 3 3 7 4 8 a SM SA . Từ trung điểm M của đoạn AD kẻ đường vuông góc với AD , cắt SO tại I . Dễ dàng có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Hai tam giác vuông SAO và SIM đồng dạng nên 3 7 21 . 4 3 8. 2 MI SM a a MI a OA SO a . Bán kính mặt cầu bằng 2 2 91 8 ABCD a R ID MI MD . Câu 29. Chọn B. Gọi 1 V là thể tích của khối cầu có được bằng cách quay hình tròn tâm O quanh trục AD Gọi 2 V là thể tích của khối nón có được bằng cách quay tam giác AHC quanh trục AD . Thể tích cần tìm là 1 2 V V V . Đường tròn tâm O có bán kính 3 R OA . Ta có 3 1 4 3 4 3 3 V . Khối nón có bán kính đáy 3 2 r , chiều cao 3 3 2 h , do đó 2 2 1 3 3 3 9 3 . . 3 2 2 8 V Thể tích cần tìm là 1 2 23 3 8 V V V . Câu 30. Chọn A. S D M I O H C B ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 290 Nón - Trụ - Cầu Ta có 2 2 2 2 2 2. . 2.cos45 BC a a a a a BC a . Suy ra tam giác ABC vuông tại B . BC AB BC SAB BC SA 1 BC AB . 1 1 1 AB CB AB SBC AB SB 1 1 AB CB . Gọi I là trung điểm AC , suy ra IC IA IB . Tam giác 1 A B C vuông tại 1 B suy ra 1 IC IA IB . Tam giác 1 AC C vuông tại 1 C suy ra 1 IC IA IC . Do đó hình chóp 1 1 . A BCC B nội tiếp mặt cầu tâm I , bán kính 2 2 a r IA . Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 1 1 . A BCC B là 3 3 4 2 2 3 2 3 a a V . Câu 31. Chọn C. Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD và AB. Ta có: AB CN AB MN AB DN ; tương tự CD MN . Suy ra MN là đường trung trực và là đoạn vuông góc chung của AB và CD . Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì I thuộc MN . Xét tam giác ANC vuông tại N có: 2 2 2 2 22 4 3 2 CN AC NA a a a . Xét tam giác CMN vuông tại M có: 2 2 2 2 18 9 3 MN CN CM a a a . Lại có: 2 2 2 2 3 IM IN a IM MC IN NA 2 2 2 2 3 IM IN a IM IN NA MC 2 3 5 IM IN a IM IN IM IN a 3 5 3 IM IN a IM IN a 2 3 7 3 IM a IN a . Vậy bán kính cần tìm là 2 2 2 2 4 85 9 9 3 R IM MC a a a . Câu 32. Chọn A. Gọi bán kính đường tròn đáy của hình trụ là R . Theo giả thiết và hình vẽ thì: Hình trụ có bán kính đường tròn đáy là R , chiều cao là 6R . Mặt cầu có bán kính là R . B 1 1 45° I A B C C S I 6a 4a N B C M D ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 291 Nón - Trụ - Cầu Hình nón có bán kính đường tròn đáy là R , chiều cao là 4R. Thể tích lượng nước ban đầu V bằng thể tích khối trụ nên 2 .6 V R R 3 6 R . Thể tích lượng nước tràn ra 1 V bằng tổng thể tích khối nón và khối cầu nên 2 3 1 1 4 .4 3 3 V R R R 3 8 3 R . Thể tích lượng nước còn lại trong cốc là 2 1 V V V 3 3 8 6 3 R R 3 10 3 R . Do đó tỉ số thể tích của lượng nước còn lại và lượng nước ban đầu là: 3 2 3 10 3 6 R V V R 5 9 . Câu 33. Chọn A. Gọi E là trung điểm AB. Dễ thấy SE ABCD . Dựng trục d qua O và song song với SE . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đường thẳng đi qua G vuông góc với mặt phẳng ABC cắt d tại . I I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . Ta có 3 3 2 3 2 3 SE SG SE ; 1 1 2 GI EO AD ; 2 2 4 2 R SI SG GI . Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp là: 3 4 4 32 .8 3 3 3 V R . Câu 34. Chọn D. Gọi I là tâm mặt cầu S , theo giả thiết thì I là tâm của tứ diện đều ABCD .Gọi O là tâm tam giác BCD thì 3 3 6 6 . 4 4 3 4 a a AI AO ; 2 2 2 4 4 AB a R AI . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 T MA MB MC MD MA MB MC MD 2 2 2 2 MI IA MI IB MI IC MI ID 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 MI MI IA IB IC ID IA R IA a Câu 35. Chọn C. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC thì SH là đường cao của hình chóp. Gọi , M I lần lượt là trung điểm của , BC SA . Ta có thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 2 3 a nên ta có 1 1 . 3 2 AB SH 3 2 3 a 2 SH a . d I O G F A B C D S C M B H I A SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 292 Nón - Trụ - Cầu Dễ thấy năm điểm A , B , H , C , S cùng thuộc mặt cầu tâm I ngoại tiếp hình chóp . S ABC Mặt khác A , B , H , C cùng thuộc một mặt phẳng nên tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn. Mà 0 90 BAC 0 90 BHC 5 2 2 BC a HM 2 2 SM HM SH 21 2 a . Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: 2 2 2 2 2 4 SB SC BC SM 2 2 2 2 2 4 SB SC BC SM 2 13 2 a (1) 2 2 2 2 2 2 4 CA SC SA R CI 2 2 2 2 4 2 a SC R R (2) 2 2 2 2 2 2 4 BA SB SA R BI 2 2 2 2 2 a SB R R (3) Từ (1), (2),(3) ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 5 13 4 9 2 2 2 2 2 2 a SB a SC a SB SC a a R a 3 2 a R Câu 36. Chọn B. Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi ; K r là đường tròn ngoại tiếp ABCD . Khi đó 2 2 . . IA IC IB ID r IK (theo phương tích của đường tròn). Suy ra 2 2 2 2 2 2 r IK h r h IK . Gọi , O R là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 4 4 4 2 h h R OA OK r h IK h R . Vậy min 5 2 h R khi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD . Câu 37. Chọn A. Gọi H là trung điểm của AB, suy ra AH ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và O là tâm hình vuông ABCD . Từ G kẻ // GI HO suy ra GI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và từ O kẻ // OI SH thì OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . Ta có hai đường này cùng nằm trong mặt phẳng và cắt nhau tại I . Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . A B C D A B C D K r I A O I G H B C K D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 293 Nón - Trụ - Cầu 2 2 21 6 a R SI SG GI . Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD là 3 3 4 7 21 3 54 V R a . Câu 38. Chọn A. Gọi H là trung điểm AB SH AB (vì SAB đều). Mặt khác SAB ABCD SH ABCD . Gọi O là giao điểm của , AC BD O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Gọi G là trọng tâm SBC G là tâm đường tròn ngoại tiếp đều SBC . Qua O dựng đường thẳng // d SH d là trục của đường tròn O Qua G dựng đường thẳng //OH là trục của đường tròn H . d I IA IB IC ID IS I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp . S ABCD . Xét tam giác đều SAB có cạnh là 3 3 2 a a SH SG a . Mặt khác 2 2 AD a IG OH . Xét tam giác vuông 2 2 2 2 2 2 5 5 : 4 4 4 a a a SIG IS SG IG a IS . Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp . S ABCD là: 2 2 4 5 S R a Câu 39. Chọn A. Ta có 2 2 2 4 h R r 2 2 4 h r R . Mà diện tích xung quanh hình trụ là : 2 2 2 2 4 h S rh h R . Xét hàm số 2 2 4 2 h f h R h 2 2 2 2 1 4 2 h R h R Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 h R . Câu 40. Chọn D. I a 3 G O H A D C B S h R r A B O 1 I O 2Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 294 Nón - Trụ - Cầu Gọi chiều cao của hình nón là x , 0 2 x R . Gọi bán kính đáy của hình nón là r ta có: 2 2 2 r OM OH 2 2 R x R 2 2Rx x 2 x R x . Thể tích của hình nón là 2 1 . 3 V r x 2 1 2 3 x R x . Mặt khác ta lại có 3 2 2 2 . . 2 2 2 3 x x R x x x R x 2 3 8 2 4 27 x R R x Suy ra 3 2 1 32 2 3 27 R V x R x . Vậy 3 32 max 27 R V , dấu “=” xảy ra khi 2 2 x R x 4 3 R x . Chú ý: Ta có thể khảo sát hàm 2 1 2 3 V x R x f x trên 0; 2R để tìm maxV . Câu 41. Chọn A. Ký hiệu hình chóp đa giác đều là 1 2 . ... n S A A A và H là hình chiếu của S trên 1 2 ... n A A A . Ta có: 1 1 2 1 1 1 , ... , 30 n SA A A A SA HA SA H . Xét 1 SA H vuông tại H ta có: 1 .sin 30 2 a SH SA , 1 1 3 .cos 30 2 a A H SA . Gọi I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp. Kẻ 1 IE SA , ta có: 1 SEI SHA ∽ Suy ra: 2 1 1 1 . 2 SE SA SA SE SI SI a SH SA SH SH . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp: 3 4 3 V a . Câu 42. Chọn D. S E I H 1 A 2 A 3 A 4 A n A 1 n A S M H OBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 295 Nón - Trụ - Cầu Gọi P là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón. Khi đó P cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường tròn lớn. Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác SAB . Nửa chu vi tam giác SAB là 13 p . Diện tích tam giác SAB là 2 2 1 1 . , .10. 8 5 5 39 2 2 S AB d S AB . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB : 5 39 13 S r p , do đó đường kinh 10 39 2 13 r Câu 43. Chọn C. Gọi S là mặt cầu có tâm I và bán kính 9 R . Xét hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a 0 9 2 a . Ta có 2 AC OA 2 2 a 2 2 OI IA OA 2 81 2 a . Mặt khác ta lại có SO SI IO 2 9 81 2 a . Thể tích của khối chóp . S ABCD là 2 2 1 9 81 3 2 a V a 2 2 2 1 3 81 3 2 a a a . Đặt 2 a t , do 0 9 2 a nên 0 162 t . Xét hàm số 1 3 81 3 2 t f t t t , với 0 162 t ta có 324 3 3 12 81 2 t f t t ; Giải pt: 0 f t 81 9 2 12 t t 2 108 81 9 2 12 t t t 108 0 144 t t t 144 t . Ta có bảng biến thiên t 0 144 162 f t 0 f t 576 Từ bảng biến thiên ta có max 576 V khi 144 t hay 12 a . Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp nội tiếp hình cầu cầu có bán kính bằng 9 là 576. V Câu 44. Chọn B. A O B D C I SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 296 Nón - Trụ - Cầu Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. Mỗi quả bóng xem là mặt cầu tâm ; ; I a b c . Vì mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà nên chúng tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ , , , 0 d I xOy d I yOz d I zOx R a b c ; ; I a a a . Gọi ; ; M x y z là điểm nằm trên quả bóng có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1 ; 2 ; 4 1; 2; 4 M . M nằm trên quả bóng khi , IM d I xOy a 2 2 2 2 1 2 4 a a a a 2 2 14 21 0 * a a . Vì * có biệt thức 7 0 nên nó có hai nghiệm phân biệt 1 a , 2 a và 1 2 7 a a . Khi đó tổng đường kính của hai quả bóng là 1 2 2 14 a a . Câu 45. Chọn A. Gọi H là trọng tâm tam giác BCD và G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD . Khi đó bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là: , r d G ABC , d G BCD , d G ACD , d G ABD . Ta có: . 1 . . , 3 G BCD BCD V S d G BCD . 3. , G BCD BCD V d G BCD S . Mà . G BCD V . G ABC V . G ABD V . G ACD V (vì BCD ABC ABD ACD S S S S ). Mặt khác . . . . G BCD G ABC G ABD G ACD ABCD V V V V V . 1 4 G BCD ABCD V V . a a a a H B C D A O I y x zBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 297 Nón - Trụ - Cầu 3 3 a BH ; 2 2 6 3 a AH AB BH . 2 3 1 3 6 2 . . 3 4 3 12 ABCD a a a V 3 . 1 2 4 48 G BCD ABCD a V V . , r d G BCD . 3. G BCD BCD V S 3 2 2 3. 48 3 4 a a 6 12 a . Vậy thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện là: 3 3 4 6 3 216 a V r . Câu 46. Chọn A. Nhận xét: SI SAB SAB P SI P . Mặt khác: SAB chứa đường kính của đường tròn tâm O nên SAB cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn lớn đi qua ba điểm S, A , B . Do đó tâm của mặt cầu cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB . Cách 1: Trong mặt phẳng SAB , chọn hệ trục O xy sao cho 0; 0 I ; ; 0 A a ; 3 ; 0 B a ; 0; 2 S a Ta có tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 x a x a y x a y AE BE a AE SE y x a y x y a 7 2 ; 4 a H a . Khi đó mặt cầu qua ba điểm S, A , B có bán kính 65 4 a R AE . Cách 2: Xét SAB có 2 , AB a 2 2 5, SA SI IA a 2 2 13 SB SI IB a . 1 . . . 2 4 SAB SA SB AB S SI AB R . 5 13 65 2 2.2 4 SA SB a a a R SI a . S H A B x y I P R R x a O R x KBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 298 Nón - Trụ - Cầu Cách 3: Gọi mặt cầu tâm H qua đường tròn tâm O và điểm S. Khi đó ta có tứ giác HOIS là hình thang vuông tại O và I . Ta có 2 2 SI OI a OA . Gọi R HA HS HB là bán kính mặt cầu cần tìm. Kẻ HK SI K SI , đặt HO x KI 0 x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 HA HO OA x a HS HK SK a x a Vì HA HS nên 2 2 2 2 2 4 a x a x a 7 4 a x . Vậy 2 2 7 65 4 4 a a R HA a . Câu 47. Chọn C. Gọi O là trung điểm AB , M là điểm bất kì trên đường tròn C . Ta có 2 2 2 2 2 2 IM OM OI R h R Rh h . Thể tích hình nón: 2 1 1 . . . . . 2 3 3 C V AI S h Rh h . Đặt 2 3 2 3 f h Rh h ( R là tham số). Tập xác định 0; 2 D R . 2 ' 4 3 3 f h Rh h ; 4 ' 0 3 R f h h . 0 0 f ; 3 . 3 f R R ; 3 4 32 3 81 R f R . Vậy hàm số f h đạt giá trị lớn nhất khi 4 3 R h . Hay thể tích hình nón lớn nhất đạt khi 4 3 R h . Câu 48. Chọn D. Giả sử SO x ta có: S I x a ; 2 2 2 2 SE x a a x ax S O M N I E a S A O N M B D C B O I ABiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 299 Nón - Trụ - Cầu Xét SEI SON ∽ ta có: SE IE SO NO 2 . 2 IE SO ax NO SE x ax Thể tích khối chóp là 2 2 2 2 1 2 4 . 3 3 2 2 ax a x V x x a x ax Xét hàm số 2 2 x f x x a 0 2a x 2 2 4 2 x ax f x x a ; 0 f x 4 x a (do 0 2a x ) Bảng biến thiên x 2a 4a f x – 0 f x 8a Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích là 3 32 3 a V . Câu 49. Chọn D. Gọi M là trung điểm AB và G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB ,O là tâm của hình vuông ABCD . Ta có OM SAB . Dựng trục của hình vuông ABCD và trục tam giác SAB , khi đó chúng đồng phẳng và cắt nhau tại I tức là OI , GI là các trục hình vuông ABCD và trục tam giác SAB . Bán kính mặt cầu là R SI . Ta có 2 2 4 84 cm R 21 cm R . Đặt AB x cm Trong tam giác vuông SGI ta có 2 2 2 SI SG GI 1 , ta có 2 x GI , 3 3 x SG thay vào 1 tính được 6 x . Dựng hình bình hành ADBE . Khoảng cách d giữa BD và SA là , d d BD SAE , d d B SAE 2 , d M SAE . Kẻ MK AE ta có SAE SMK . A I O M K G E B C D SBiên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 300 Nón - Trụ - Cầu , , d M SAE d M SK 2 2 . SM MK SM MK 2 . Ta có 3 3 3 2 x SM , 2 3 2 4 2 x MK Thay các giá trị vào 2 tính được 3 21 , 7 d M SAE . Vậy khoảng cách giữa SA và BD là 6 21 7 . Câu 50. Chọn A. Gọi 1 2 , I I lần lượt là tâm của mặt cầu 1 S và 2 S . Gọi H là trung điểm của A B . Khi đó ta có SAB đều và 1 1 1 3 3 . 3 3 2 6 a a R SH . Hạ 1 1 I M SA , 2 2 I M SA . Xét 2 2 SI M có ο 2 2 2 sin 30 I M SI 2 2 2 2 SI I M . Khi đó ta có 2 2 SH SI I E EH 1 2 1 3 3 2 r r r 1 2 3 r r . Chứng minh tương tự ta có 2 3 3 r r ,…., 1 3 n n r r . Do đó dãy bán kính 1 r , 2 r ,…, n r ,. lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 3 6 a r và công bội 1 3 q . Suy ra dãy thể tích của các khối cầu 1 S , 2 S , …, n S ,… lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với 3 3 1 4 3 3 . 3 6 54 a V a và công bội 1 1 27 q . Vậy tổng thể tích của các khối cầu 1 2 , ,..., ,... n S S S là: 3 1 3 1 52 V V a q . Câu 51. Chọn B. E 2 2 1 1 M M I I H B A S Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna https://toanhocplus.blogspot.com Trang 301 Nón - Trụ - Cầu Gọi , mc r R lần lượt là bán kính đáy của khối nón và khối cầu; , , a b c lần lượt là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật. Dễ dàng thấy 4 a r , ABC đều cạnh 2r nên 3 3 2 AB BH r 3 2 b r r . 4 3 mc R r 3 4 3 kc mc V R 3 4 4 3 3 r 4 3 4 3 r . 2 1 3 kn V r h 3 1 3 r (do h r ) Ta có phương trình 3 1 3. 3 r 4 3 4 3 r 337 3 3 r 4 mc R . Từ đó 12 a , 6 3 3 b . Gọi , , D E F lần lượt là 3 đỉnh của hình nón thì DEF đều có cạnh bằng 6 và nội tiếp đường tròn có bán kính 6 2 sin 60 HM 2 3 . Từ đó 2 2 IH IM HM 2 2 4 2 3 2 , mc c R IH r 4 2 3 9 . Vậy thể tích nước ban đầu cũng chính là thể tích khối hộp chữ nhật: khcn V abc 12.9. 6 3 3 1209,2 3 cm . I M H r H C B A b a
