Chuyên đề Hình học không gian - Toán lớp 11

PAGE

PAGE \* MERGEFORMAT 108

CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1.1. Kiến thức liên quan

1.1.1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Cho vuông ở A

Định lý Pitago: hay

hay

hay

hay

1.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường

 Định lý hàm số Côsin:

 Định lý hàm số Sin:

1.1.4. Các công thức tính diện tích.

a. Công thức tính diện tích tam giác.





S = pr

 với (Công thức Hê-rông)

Đặc biệt:

vuông ở A:

 đều cạnh a:

b. Diện tích hình vuông cạnh a: (H.1)

c. Diện tích hình chữ nhật: (H.2)

d. Diện tích hình thoi: (H.3)

e. Diện tích hình thang: (H.4)

1.1.5. Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng

 Đường chéo hình vuông cạnh a là (H.5)

 Đường cao tam giác đều cạnh a là (H.6)

 Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì (H.7)

1.1.6. Thể tích khối đa diện

a. Thể tích khối lăng trụ

 Thể tích khối lăng trụ: , với B là diện tích đáy ; h là chiều cao

Thể tích khối hộp chữ nhật: , với a, b, c là chiều dài, rộng, cao

Thể tích khối lập phương: với a là cạnh

b.Thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp: , với B là diện tích đáy, h là chiều cao

1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện

1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp bằng việc sử dụng công thức thể tích

Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao và diện tích đáy dựa trên các công cụ đã học như các hệ thức lượng trong tam giác thường, hệ thức lượng trong tam giác vuông,…

Thể tích khối chóp.

Ví dụ 1. (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.

Lời giải.

Vì nên

*Nhận xét: Trong nhiều bài toán yếu tố quan trọng chính là chiều cao. Với khối chóp cần chính xác hóa đường cao (chân đường cao) của hình chóp. Ở đây ta có thể liệt kê một số trường hợp thường gặp sau:

Ví dụ 2.

Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Lời giải

Gọi H là tâm của hình vuông

Vì là hình chóp đều nên

Do đó,

Vì ABCD là hình vuông nên (đvdt)

Ta có

nên vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên

(đvtt)

*Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao chính là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy

Ví dụ 3.

Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC, biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc .Lời giải

Gọi H là tâm của tam giác , M là trung điểm của BC

Vì là hình chóp đều nên

Do đó,

Vì là tam giác đều nên

Trong tam giác vuông ,

(1)

(đvdt) (2)

Mà ta lại có nên . Do đó, Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc giữa SM và AM hay góc .

Do H là trọng tâm tam giác nên

Trong tam giác vuông ,

(đvtt)

*Ghi nhớ:

+ Cách xác định góc giữa đt d và mặt phẳng :

-Nếu thì góc giữa d và bằng

-Nếu thì góc giữa d và bằng góc giữa d và d’ là hình chiếu của d trên

+Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng và

-Cách 1: Xác định hai đt A, B sao cho thì góc giữa và là góc giữa a và b

-Cách 2: Nếu giao tuyến của và là d thì xác định hai đt A, B lần lượt nằm trong và sao cho thì thì góc giữa và là góc giữa a và b

Ví dụ 6.

Cho tứ diện có là tam giác đều cạnh a, là tam giác vuông cân tại D, mặt phẳng . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Lời giải

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có tam giác ABC đều nên

mà ,

AH .

Ta có là tam giác đều cạnh a nên

Mà là tam giác vuông cân nên

(đvdt)

(đvtt)

*Nhận xét:

Hình chóp có một mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy góc thì chân đường cao thuộc giao tuyến mặt đó với đáy, đường cao nằm trong mặt bên hoặc mặt chéo đó.

*Ghi nhớ:

Ví dụ 7.

Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.Lời giải

Ta có:

Do đó,

Diện tích đáy là:

Do AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng nên góc giữa SC và mặt phẳng là góc

Ta có:

Vậy thể tích khối chóp là: (đvtt)

*Nhận xét:

Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường

cao là giao tuyến của hai mặt đó.

Ví dụ 8.

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại A, . Các cạnh bên . Tính thể tích khối chóp .

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng

vì các đường xiên nên các hình chiếu

tương ứng

Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

mà tam giác vuông tại A nên H là trung điểm của BC.

Vì là tam giác đều cạnh 2a nên đường cao

Theo định lí Pitago, (đvdt)

Nên thể tích khối chóp là: (đvtt)

*Nhận xét:

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hợp đáy góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Ví dụ 9. (Đề TSĐH khối A năm 2009)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính Lời giải.

Gọi H là hình chiếu của I trên BC

Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với mặt đáy. Ta có thể dễ dàng tính được: ,

Ta có

nên .

Từ đó tìm được (đvtt)

Ví dụ 10.

Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?Lời giải

Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt là trung điểm của BC & SA.

Ta có: SA (BCD). Do đó:

mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 –

Suy ra,

Vì vậy, đạt tại x =

b. Thể tích khối lăng trụ.

Với thể tích khối lăng trụ ta vẫn sử dụng những hướng trên để làm đó là tìm cách xác định đường cao và diện tích đáy là được.

Ví dụ 1.

Cho hình hộp chữ nhật có mặt phẳng hợp đáy góc . Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó.Lời giải

Theo ĐL Pitago ta có:(đvdt)

Do

Nên góc giữa mặt phẳng và đáy là góc

Suy ra, tam giác vuông cân nên

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là (đvtt)

*Nhận xét:Với khối lăng trụ và khối đa diện khác ta có thể sử dụng một số hướng sau:

+Sử dụng trực tiếp các công thức đã biết về thể tích khối lăng trụ

+Quy về tính thể tích một khối chóp đặc biệt.

+ Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính

+Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để được khối đa diện dễ tính thể tích.

Ví dụ 2.

Cho lăng trụ đứng tam giác , đáy là tam giác đều cạnh a và diện tích tam giác bằng . Tính thể tích khối lăng trụ.Lời giải

Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có đều nên

Vì AI là hình chiếu của A’I trên mặt phẳng ,

(ĐL ba đường vuông góc)

Do tam giác AIA’ vuông tại A nên

(đvtt)

Ví dụ 3.

Cho lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông tại A với AC = a, , biết BC' hợp với một góc 300. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ.Lời giải

Ta cólà tam giác vuông tại A với AC = a,

.

Ta có: nên AC' là hình chiếu của BC' trên . Vậy góc giữa BC’ và mặt phẳng là góc

Trong tam giác vuông ,

Trong tam giác vuông ,

(đvdt)

Vậy (đvtt)

Ví dụ 4.

Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và , biết AB' hợp với đáy một góc .Tính thể tích của khối hộp .Lời giải

Vì đều cạnh a nên

vuông tại B

Vậy (đvtt)

Ví dụ 5.

Cho lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là và hợp với đáy một góc . Tính thể tích khối lăng trụ.Lời giải

Ta có là hình chiếu của CC' trên (ABC)

Nên góc giữa CC’ và mặt phẳng bằng

Vậy

Ví dụ 6.

Cho hình hộp có đáy là hình chữ nhật với . Hai mặt bên và lần lượt tạo với đáy các góc . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng a.Lời giải

Gọi H là hình chiếu của A’ trên mặt phẳng , M,N lần lượt là hình chiếu của trên AD,AB.

Dễ thấy, góc giữa các mặt và và đáy lần lượt là

Đặt ta có:

Vì là hình chữ nhật nên

mà

Vậy (đvtt)

Ví dụ 7.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a, sao cho . Mặt phẳng (α) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương trình hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó.Lời giải.

Gọi O,O’ là tâm của hình vuông ABCD,A’B’C’D’,

Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB’,DD’ lần lượt tại E,F

Khi đó, thiết diện tạo bởi (α) và hình lập phương chính là hình bình hành

AEKF.

Có OM là đường trung bình tam giác ACK nên

Do đó, . Đặt

Để ý rằng tứ giác BCKF=C’B’EK, mặt phẳng (AA’C’C) chia khối ABEKFDC

thành hai phần bằng nhau nên

Vậy

Ví dụ 8.

Cho hình hộp có các mặt bên hợp và mặt với đáy góc , biết góc . Tính Lời giải.

Gọi H là hình chiếu của A’ trên ,

J,K là hình chiếu của H trên

Áp dụng ĐL cosin cho

Từ giả thiết suy ra hình chóp có các mặt bên hợp đáy góc

Nên H là cách đều các cạnh của

*TH1: Nếu H nằm trong thì H là tâm đường tròn nội tiếp .

Góc giữa mặt bên và đáy bằng

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp thì

Từ đó,

*TH2: Nếu H nằm ngoài thì H là tâm đường tròn bàng tiếp .

Nếu H nằm trong góc , gọi là bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng thì

Từ đó,

Tương tự hai TH còn lại ta được các kết quả:

Ví dụ 9.(Đề dự bị ĐH khối A năm 2006)

Cho hình hộp đứng có các cạnh và . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′.

a) Chứng minh rằng .

b) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Lời giải.

Ta có AC là hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng

và nên (1)

Mà

(2)

Từ (1) và (2) suy ra,

Cách 1: dựa theo câu a) tính chiều cao và

Cách 2:

(đvtt)

(đvtt)

Gọi , kẻ . Dễ thấy

(đvtt) (đvtt)

Bài tập tự luyện

Bài 1. (Đề TN-THPT PB 2007 Lần 2) Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Tính thể tích khối chóp .

Đáp số:

Bài 2. (Đề thi TN THPT 2009) Cho hình chóp có mặt bên là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và góc A của tam giác ABC bằng . Tính thể tích của khối chóp theo a.

Đáp số:

Bài 3. (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết B = và . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Đáp số:

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = SD = 3a, AD = SB = 4a, a > 0. Đường chéo AC(SBD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Đáp số:

Bài 5. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Đáp số:

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB//CD, AB = 2CD = 4a, , biết mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SAB) là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Đáp số: VS.ABCD .

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh 2a, SA = SB = SC = 2a. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD, chứng minh

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp.

Đáp số:

Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD = 2a Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên bằng nhau và bằng . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích khối chóp SABCD là lớn nhất.

Bài 11. Cho hình chóp SABCD có mặt phẳng (SBC) và (SDC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh , , góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 12. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy. Tam giác SAB vuông tại S, góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30o. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD.

Bài 13. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông cạnh , tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 14. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân, , BC = 6a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABC.

1.2.2. Phương pháp sử dụng tỉ số diện tích, thể tích và tính chất khoảng cách

Thông thường, khi tính diện tích đáy ta có thể linh hoạt sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác hay tính toán dựa trên việc thêm bớt các đa giác dễ tính diện tích. Ngoài ra, ta có thể sử dụng thêm tính chất về tỉ số diện tích. Cụ thể:

Cho ΔABC, . Khi đó,

a. Sử dụng tính chất khoảng cách trong tính thể tích

Khi tính thể tích, việc linh hoạt sử dụng các tính chất về khoảng cách

giúp ta có thể giải quyết bài toán khá nhanh gọn. Công cụ thường dùng là các tính chất khoảng cách đó là:

Cho hình chóp

Cho hình chóp

Kết quả được mở rộng cho khối chóp đa giác

Ví dụ 1.(Đề TSĐH khối D năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.Lời giải.

Trong tam giác vuông và

Ta có

Vậy cân tại C mà CM là đường cao hạ từ C của nên M là trung điểm của SA.

Bây giờ ta lại quay trở lại Ví dụ 9 ở phần 2.1.b với cách làm sử dụng kĩ thuật khoảng cách và cách bù thêm khối đa diện.

Ví dụ 2. Xem lại đề bài ở Ví dụ 9 ở phần 2.1.bLời giải.

Gọi dễ dàng chứng minh được A’ là trung điểm của AI nên

(đvtt)

(đvtt)

(đvtt)

Ví dụ 3.(Đề TSĐH khối D năm 2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC.

Lời giải.

Dễ dàng tính được

Ta có I là trọng tâm tam giác AA’C’ nên

nên

Ví dụ 4.

Trên cạnh của hình chóp lần lượt lấy điểm D và E sao cho . Mặt phẳng qua DE và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.Lời giải.

Dễ dạng xác định được thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua DE, song song với SC và hình chóp chính là hình bình hành .

Ta có

Do

Do đó, tỉ số thể tích của hai phần là:

b. Sử dụng tỉ số thể tích

Cho hình chóp S.ABC có . Khi đó,

Lưu ý: Công thức trên chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác,còn với khối chóp đa giác khi áp dụng cần chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối chóp tam giác để tính tỉ số

Ví dụ 1.

Cho tứ diện ABCD có . Tính Lời giải.

Sử dụng định lý Cosin cho các tam giác ta được

Lấy sao cho AM=AN=a

Ta có

Do đó, tam giác BMN vuông tại B.

Vì AB=AM=AN nên hình chiếu của A

trên (BMN) là tâm H của đường tròn

ngoại tiếp , H cũng

chính là trung điểm của MN

Có

(đvtt)

Ví dụ 2.

Cho khối lăng trụ tam giác đều . Các mặt phẳng chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. Lời giải.

Gọi

V là thể tích của lăng trụ. Ta có

Mặt khác:

Vậy

Ví dụ 3. (Đề thi dự bị ĐH khối D năm 2008)

Cho tứ diện lần lượt thuộc sao cho , mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP).Lời giải.

Gọi , kẻ

đồng dạng

Đặt Ta có:

Vậy mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích

Bài tập tự luyện

Bài 1. (Trích đề thi khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.

Đáp số:

Bài 2. (Đề thi ĐH khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, , SA = a và SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

Đáp số:

Bài 3. (Trích đề khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính VSBCNM.

Đáp số:

Bài 4. (Trích đề khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính VSBCNM.

Đáp số: VSBCNM

Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD,trên cạnh CD kéo dài lấy điểm M sao cho , mặt phẳng (P) đi qua M,B và trung điểm của SC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Bài 6. Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tương ứng M, N. Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần tương đương (có thể tích bằng nhau).

Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a, gọi M,N,P lần thuộc các đoạn AA’,BC,CD sao chomặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai phần tính thể tích từng phần

2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

2.1. Các bài toán về chứng minh tính vuông góc

2.1.1. Kiến thức cơ bản cần biết

a. Tiêu chuẩn vuông góc

+ Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông góc với hai đường thẳng giao nhau của (P).

+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi hai mặt phẳng đó bằng 900.

b. Các định lý về tính vuông góc

+ Định lý ba đường vuông góc: Giả sử và d không vuông góc (P), , d’ là hình chiếu của d lên (P). Khi đó d

+ Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau, . Nếu thì

+ Nếu thì Δ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P).

+ Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó thì

+ Nếu và thì

2.1.2. Các dạng toán thường gặp

* Chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:

- Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng .

- Cách 2: Ta chứng minh a//c mà cb.

- Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương .

- Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp() chứa đường thẳng b. (hay dùng)

- Cách 5: Sử dụng định lí ba đường vuông góc

* Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp():

- Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong ().

- Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với ().

- Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.

- Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mp kia.

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

- Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường nào đây ta??)

- Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là .

Ví dụ 1. (ĐH Khối A năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AMBP.Lời giải

Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD

Vì (SAD)(ABCD), suy ra SH (ABCD) suy ra SHBP (1)

Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (3)

Do HC // AN, MN // SC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: (đpcm)

Ví dụ 2. (ĐH khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh .Lời giải

Ta có SEAD là hình bình hành và SE = DA

SEBC cũng là hình bình hành

Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC

ta có MP // EB, PN // AC.

Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1)

Ta có và (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)

Ví dụ 3. (ĐH Khối B năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = , SA = a và . Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh .Lời giải

Giả sử I là giao điểm của AC và MB

Ta có MA = MD và AD // BC

nên theo định lý Talet suy ra

Từ đó suy ra

Vậy AMI là tam giác vuông tại I (1)

Mặt khác (2)

Từ (1), (2) suy ra đpcm

Bài tập tự luyện.

Bài 1. (ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp tứ