Chuyên đề Mệnh đề - Tập hợp - Toán lớp 10

Trang PAGE \* MERGEFORMAT 11

Trang PAGE \* MERGEFORMAT 1

CHUYÊN ĐỀ

CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP

BÀI 1. MỆNH ĐỀ

Mục tiêu

Kiến thức

Nắm vững các khái niệm mệnh đề, mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, các điều kiện cần và đủ

Biết khái niệm mệnh đề chứa biến

Kĩ năng

Xác định được mệnh đề đúng, mệnh đề sai

Nhận biết mệnh đề, mệnh đề chứa biến, mệnh đề tương đương, mệnh đề kéo theo

Lập mệnh đề phủ định, sử dụng các kí hiệu trong suy luận toán học

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Mệnh đề

Mệnh đề là một khẳng định chỉ có tính đúng hoặc sai.

Tính đúng sai của một mệnh đề.

Một câu khẳng định đúng được gọi là mệnh đề đúng.

Một câu khẳng định sai được gọi là mệnh đề sai.

Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là những câu chưa khẳng định được tính đúng sai. Nhưng với mỗi giá trị của biến sẽ cho ta một mệnh đề.

Kí hiệu

- Đọc là “với mọi”.

- “Với mọi x thuộc X, đúng” được kí hiệu là “”.

Kí hiệu

Đọc là “tồn tại” hoặc “có ít nhất một”.

“Tồn tại x thuộc X để đúng” được viết dưới dạng kí hiệu là “”.

Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P.

Kí hiệu .

Nếu P đúng thì sai, nếu P sai thì đúng.

Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.

Kí hiệu:

Mệnh đề chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Mệnh đề đảo

Mệnh đề được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề .

Mệnh đề tương đương

Nếu cả hai mệnh đề và đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Kí hiệu: .Hôm nay trời đẹp quá!

(không là một mệnh đề)72 là một số vô tỉ

(là một mệnh đề)Chú ý: Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Chú ý: Mệnh đề chứa biến không phải mệnh đề.

Ví dụ: “Mọi học sinh lớp 8A đều nặng hơn 45 kg ”.

“”

Đây là dạng viết kí hiệu của mệnh đề “Mọi số thực X thì 2x2 +1 > 0 ”.

Ví dụ: “Tồn tại một học sinh lớp 8A nhẹ hơn 45 kg”.

"".

Đây là dạng viết kí hiệu của mệnh đề “Tồn tại số thực x để

Ví dụ: “Tứ giác ABCD là hình vuông” là mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tứ giác ABCD không phải là hình vuông”.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1:Xác định mệnh đề. Xét tính đúng sai của mệnh đề

Bài toán 1. Xác định mệnh đề và xét tính đúng sai

Phương pháp giải

Bước 1. Kiểm tra câu đã cho có là một câu khẳng định.

Bước 2. Xét khẳng định đó có chắc chắn đúng hoặc chắc chắn sai (khách quan) hay không?

Bước 3. Kết luận là mệnh đề hay không? Và là mệnh đề đúng hay mệnh đề sai.

Một khẳng định đúng là mệnh đề đúng. Một khẳng định sai là mệnh đề sai.Ví dụ 1:

“Thành phố Buôn Ma Thuột ở Đắk Lắk” là mệnh đề đúng.

“2012 là số lẻ” là mệnh đề sai.

“Hôm qua có mưa không?” không phải là mệnh đề.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?

Buôn Ma Thuột là một thành phố của Việt Nam.

Sông Sêrêpôk chảy ngang qua thành phố Buôn Ma Thuột.

Hãy trả lời câu hỏi này!

Bạn có rảnh tối nay không?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Câu a là một câu khẳng định đúng nên là mệnh đề.

Câu b là một câu khẳng định sai nên là mệnh đề (mặc dù mệnh đề này sai).

Câu c không phải là câu khẳng định (câu mệnh lệnh) nên không là mệnh đề.

Câu d là một phép tính, không là khẳng định nên không là mệnh đề.

Câu e là câu khẳng định nên là mệnh đề (mặc dù mệnh đề này sai).

Câu f là câu hỏi, không phải là mệnh đề.

Câu g là một khẳng định những chưa xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề (đây chỉ là mệnh đề chứa biến).

Ví dụ 2. Câu nào sau đây là mệnh đề? Cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

Hồ Gươm thật đẹp!

Phương trình vô nghiệm.

16 không là số chính phương.

Hai phương trình và có nghiệm chung.

Số có lớn hơn 3 hay không?

Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chu vi bằng nhau.

Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hướng dẫn giải

Câu là câu cảm thán và câu là câu hỏi nên câu và câu không phải là một mệnh đề.

Câu và câu là mệnh đề đúng vì

có nên phương trình vô nghiệm.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi.

Câu , câu và câu là mệnh đề sai.

Bài toán 2. Mệnh đề chứa biến

Phương pháp giải

Mệnh đề chứa biến là những câu chưa khẳng định được tính đúng sai. Nhưng với mỗi giá trị của biến sẽ cho ta một mệnh đề.Ví dụ 1: Mệnh đề “x là số tự nhiên chẵn” là mệnh đề chứa biến.

Với , đây là mệnh đề đúng.

Với , đây là mệnh đề sai.

Ví dụ 2: Cho mệnh đề chứa biến .

Mệnh đề là một mệnh đề sai.

Mệnh đề là một mệnh đề đúng

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Câu nào sau đây là mệnh đề chứa biến?

Phương trình vô nghiệm.

Chu vi của hình vuông có độ dài cạnh là a là 4a.

“n chia hết cho 5”.

Hướng dẫn giải

là một mệnh đề (mệnh đề sai).

là một mệnh đề (mệnh đề đúng).

và là một mệnh đề chứa biến vì chưa rõ tính đúng sai tuy nhiên khi thay các giá trị cụ thể của biến thì được một mệnh đề

Mặc dù chứa biến nhưng câu đã khẳng định rõ tính chất đúng sai thì nó không là mệnh đề chứa biến mà là một mệnh đề.

Ví dụ 2. Cho các mệnh đề chứa biến sau, tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai.

: “ n chia hết cho 5 , với ”.

với ”

Hướng dẫn giải

Với thì ta có mệnh đề là mệnh đề đúng.

Với thì ta có mệnh đề là mệnh đề sai.

Với thì “n chia hết cho 5, với ” là mệnh đề đúng.

Với thì “n chia hết cho 5, với ” là mệnh đề sai.

Ta có với mọi nên mọi giá trị thì mệnh đề là mệnh đề đúng.

Bài toán 3. Viết lại mệnh đề toán học chứa kí hiệu ,

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Dùng kí hiệu và để viết các mệnh đề sau.

Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.

Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.

Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó.

Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Xét tính đúng (sai) của mỗi mệnh đề sau.

chia hết cho 4.

là một số chính phương.

Hướng dẫn giải

Mệnh đề sai vì khi ta có

Mệnh đề đúng vì

Mệnh đề “ chia hết cho 4” đúng vì với thì .

Mệnh đề sai vì

Mệnh đề là một số chính phương” đúng vì với thì là một số chính phương.

Để chứng minh mệnh đề chứa với mọi là sai ta chỉ ra một giá trị mà sai.

Để chứng minh mệnh đề chứa tồn tại đúng ta chỉ cần nêu ra một giá trị mà đúng.

Ví dụ 3. Xét tính đúng (sai) của hai mệnh đề sau và đưa ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Mệnh đề đúng vì với ta có

Mệnh đề sai vì với ta có

Nhận xét: hai mệnh đề trên khẳng định hai điều trái ngược nhau.

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Có bao nhiêu câu là mệnh đề?

Hôm nay trời đẹp quá!

Năm 2019 là nám nhuận.

Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền.

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 2: Cho các câu sau đây:

Ở đây đẹp quá!

Phương trình vô nghiệm

16 không là số nguyên tố.

Hai phương trình và có nghiệm chung.

Số có lớn hơn 3 hay không?

Có bao nhiêu câu là mệnh đề, bao nhiêu câu là mệnh đề chứa biến?

A. 4; 1 B. 3; 0 C. 4; 0 D. 3; 1

Câu 3: Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề?

A. là số hữu tỉ.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

C. Các bạn hãy học bài đi!

D.

Câu 4: Trong các câu sau

I. II. III. IV.

Câu nào là mệnh đề chứa biến?

A. II, III B. I, II C. III, IV D. I, III

Câu 5: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu hoặc : “Mọi số thực nhân với 1 đều bằng chính nó”.

A. B.

C. D.

Câu 6: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu hoặc : “Với mọi số thực thì bình phương của nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.

A. B.

C. D.

Câu 7: Viết mệnh đề sau bằng cách sử dụng kí hiệu hoặc : “Có một số nguyên bằng bình phương của chính nó”.

A. B.

C. D.

Câu 8: Mệnh đề khẳng định rằng

A. Bình phương của mỗi số thực bằng 2.

B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2.

C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 2.

D. Nếu x là một số thực thì

Câu 9: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng?

A. là một số hữu tỉ.

B. Tổng của độ dài hai cạnh một tam giác lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.

C. Bạn có chăm học không?

D. Con thì thấp hơn cha.

Câu 10: Cho mệnh đề chứa biến : “ chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét xem các mệnh đề và đúng hay sai?

A. đúng và đúng. B. sai và sai.

C. đúng và sai. D. sai và đúng.

Câu 11: Cặp giá trị x, y nào dưới đây để mệnh đề là mệnh đề sai?

A. , B. ,

C. , D. ,

Câu 12: Cho mệnh đề chứa biến với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. B. C. D.

Bài tập nâng cao

Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào saỉ?

A. chia hết cho 11. B. chia hết cho 4.

C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5. D.

Câu 14: Chọn mệnh đề đúng.

A. là bội số của 3 B.

C. là số nguyên tố. D.

Câu 15: Cho mệnh đề: ; , với a là số thực cho trước. Tìm giá trị của a để mệnh đề đúng.

A. B. C. D.

Dạng 2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề

Bài toán 1. Phủ định một mệnh đề, tính đúng (sai) của mệnh đề phủ định

Phương pháp giải

Để xác định mệnh đề phủ định của một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

là mệnh đề phủ định của P. Khi đó:

Nếu P đúng thì sai

Nếu P sai thì đúngVí dụ: Cho mệnh đề P: “3 là số nguyên tố”: có mệnh đề phủ định là : “3 không phải là số nguyên tố”

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

“Hà Nội là thành phố lớn của Việt Nam.

“Số 6 chia hết cho 2 và 3”.

“2 là số lẻ”.

“3 là số vô tỉ”.

Hướng dẫn giải

“Hà Nội không phải là thủ đô của Singapore”.

“Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3”.

“2 không phải là số lẻ” hoặc “2 là số chẵn”.

“3 là số hữu tỉ” hoặc “3 không phải là số vô tỉ”.

Ví dụ 2. Tìm mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau.

Phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Phương trình vô nghiệm” là mệnh đề nào sau đây?

A. Phương trình có nghiệm

B. Phương trình có hai nghiệm phân biệt

C. Phương trình có nghiệm kép

D. Phương trình không có nghiệm

Hướng dẫn giải

Chọn A

Vì phủ định vô nghiệm là có nghiệm.

Ví dụ 4. Phủ định của mệnh đề “Phương trình có hai nghiệm phân biệt” là mệnh đề nào?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có nghiệm kép.

C. Phương trình không có hai nghiệm phân biệt.

D. Có hai giá trị phân biệt của x để .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Hai đáp án A và B đều thiếu trường hợp.

Ví dụ 5: Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét xem mệnh đề đó đúng hay sai.

Có vô số số nguyên tố.

Phương trình là phương trình bậc hai một ẩn.

3 là số nguyên tố nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Có hữu hạn số nguyên tố. Mệnh đề này sai.

Phương trình không phải ìà phương trình bậc hai một ẩn. Mệnh đề này sai.

3 không phải là số nguyên tố nhỏ nhất. Mệnh đề này đúng.

Chú ý: Mệnh đề phủ định của p có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau

Một số chú ý khi chuyển sang mệnh đề phủ định:

(và ngược lại)

Dễ mắc sai lầm:

Chọn phương án A.

Xét tính đúng sai mệnh đề phủ định có hai cách:

Cách 1. Xét trực tiếp.

Cách 2. Xét tính đúng sai của mệnh đề ban đầu.

Bài toán 2. Phủ định của mệnh đề với mọi và tồn tại

Phương pháp giải

Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu ,

Mệnh đề phủ định của mệnh đề là

Mệnh đề phủ định của mệnh đề là

Lưu ý: Phủ định của “với mọi” là “có ít nhất một”Ví dụ 1: Mệnh đề “Mọi học sinh đều giỏi” có mệnh đề phủ định là “Có ít nhất một học sinh không học giỏi”

Ví dụ 2: Mệnh đề “ chia hết cho 6” có mệnh đề phủ định là

“ không chia hết cho 6”

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho mệnh đề . Hỏi mệnh đề nào là mệnh đề phủ định của mệnh đề trên?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đáp án A đúngTìm mệnh đề phủ đinh của mệnh đề chứa , :

+) Chuyển và ngược lại

+) Lấy phủ định của mệnh đề còn lại

Sử dụng đầy đủ bộ chuyên đề Toán 10-11-12 năm 2021 soạn bởi nhóm giáo viên chuyên Sư Phạm HN ở link dưới

HYPERLINK "https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeMx8-wx2JKY9PctNFmNfA5o42n5Q98sqh54nIb3SEoaVfCqA/viewform" https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSeMx8-wx2JKY9PctNFmNfA5o42n5Q98sqh54nIb3SEoaVfCqA/viewform