Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn – Nguyễn Tiến
Trang 1 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 MỤC LỤC PHẦN A.................................................................................................................................................. 3 NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ......................................................... 3 KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ..................................................... 4 PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP ................................................................................................................ 6 I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ ............................................................................. 6 A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai. .................................... 6 B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát 2 ax 0 bx c ...................................................... 7 C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c ............................................................................. 11 D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( 12 11 xx ; 22 12 xx …) .. 11 E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. ............................................... 13 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ ................................................................................................................................................... 15 A. Giải và biện luận phương trình. ................................................................................................ 15 B. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch đảo, ( , ) ; , …) ................................................................................................................................... 17 C. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình. ... 19 D. Lập hệ thức liên hệ giữa 12 ; xx sao cho 12 ; xx độc lập đối giá trị tham số của phương trình. . 19 E. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm: (: 12 xx ; ... 19 F. Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất. ............................................................................................................................... 19 G. Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại. ........... 19 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ. ....... 20 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .. 28 1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG .................................................................................... 28 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC ....................................................................... 31 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: 0 .0 0 A AB B ....................................................................... 33 IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................ 35 Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): ........................................................... 35 Dạng 2: Phương trình: , x a x b x c x d e trong đó a+b=c+d ................................. 35 Dạng 3: Phương trình 2 , x a x b x c x d ex trong đó ab cd . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho 2 0 xx . Phương trình tương đương: .................................................... 35 Trang 2 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Dạng 4: Phương trình 44 x a x b c . ta đưa về phương trình trùng phương .................... 35 Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai ............................................................ 37 BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ............................................ 40 HƯỚNG DẪN GIẢI – PHẦN A ........................................................................................................ 41 I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ ........................................................................... 41 B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát .................................................... 41 C. Giải phương trình bậc hai khuyết hoặc ............................................................................. 42 D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( ; …) .. 43 E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. ............................................... 44 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ ................................................................................................................................................... 46 BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. ............................................................ 46 III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .. 79 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: ....................................................................... 79 IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................ 81 PHẦN B PHẦN B: CÁC DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO PHỨC TẠP .......................................... 88 I. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................... 88 II. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC................................................................................ 91 III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: ......................................................................................... 92 V. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ................................................................................................... 99 VI. NHIỀU CĂN BẬC LẺ:............................................................................................................. 101 VII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ ....................................... 102 2 ax 0 bx c b c 12 11 xx 22 12 xx 0 .0 0 A AB B Trang 3 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 PHẦN A NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình bậc nhất một ẩn: Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: 0 ax b trong đó x là ẩn số ; a , b là các số cho trước gọi là các hệ số 0 a . Phương pháp giải: 0 ax b ax b b x a . Ví dụ minh họa Bài 1: Giải các phương trình: a) 2 1 0 x . b) 2018 0 x . c) 2 3 2 0 x . Giả i a) 2 1 0 x 1 2 x . Vậy phương trình có nghiệm 1 2 x . b) 2018 0 x 2018 x . Vậy phương trình có nghiệm 2018 x . c) 2 3 2 0 x 2 3 2 3 xx . Vậy phương trình có nghiệm 3 x . Bài 2: Giải các phương trình: a) 11 1 24 xx b) 2 15 3 xx c) 2 1 1 3 x x Giả i a) 11 1 24 xx 2 2 4 1 xx 1 x .Vậy pt có nghiệm 1 x . b) 2 15 3 xx 1 6 18 3 xx . Vậy phương trình có nghiệm 18 x . c) 2 1 1 3 x x 9 59 5 xx . Vậy phương trình có nghiệm 9 5 x . BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 6 3 9 x . b) 3 2 3 xx . c) 3 4 2 x . d) 2 1 4 xx . e) 5 6 3 xx . f) 2 1 3 5 xx . g) 2 1 3 xx . h) 3 5 1 xx . i) 2 4 6 x . Đáp s ố: a) 5 x . b) 1 2 x . c) 2 x . d) 2 3 x . e) 3 x . f) 6 x . g) 5 3 x . h) 3 x . i) 64 2 x . Trang 4 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Đị nh nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax bx c 2 0 , trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . 2. Công thức nghiệm của phương trình b ậ c hai Đối với phương trình bậc hai ax bx c a 2 0 ( 0) và biệt thức b ac 2 4 : Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt bb xx aa 12 ; 22 . Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép b xx a 12 2 . Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax bx c a 2 0 ( 0) và bb 2 , b ac 2 : Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt bb xx aa 12 ; . Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép b xx a 12 . Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. 4. Hệ thức Viet Đị nh lí Viet: Nếu xx 12 , là các nghiệm của phương trình ax bx c a 2 0 ( 0) thì: bc x x x x aa 1 2 1 2 ; Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X SX P 2 0 (Điều kiện để có hai số đó là: SP 2 40 ). 5. Dấ u nghiệm số của phương trình b ậ c hai Cho phương trình bậc hai: ax bx c a 2 0 ( 0) (1) (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 Trang 5 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0 (1) có hai nghiệm dương phân biệt P S 0 0 0 (1) có hai nghiệm âm phân biệt P S 0 0 0 Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: Nếu nhẩm được: x x m n x x mn 1 2 1 2 ; thì phương trình có nghiệm x m x n 12 , . Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm c xx a 12 1, . Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm c xx a 12 1, . Trang 6 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai . Phương pháp: Học sinh xác định đúng dạng của phương trình bậc hai là ax bx c 2 0 và các hệ số , , a b c tương ứng với điều kiện 0 a . Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số , , a b c của mỗi phương trình ấy. 2 3 2 2 22 1 ) 5 0 b) x 3 6 0 c) 2 5 0 2 ) x 3 0 e) 2x - 5 = 0 f) -3x 2 4 0 a x x x x d x x Giả i: Phương trình bậc hai là các phương trình a; c; d; f Phương trình 2 50 x có các hệ số 1 ; 0, 5 a b c Phương trình 2 1 2 5 0 2 xx có các hệ số 1 2; 5; 2 a b c Phương trình 2 x 3 0 x có các hệ số 1 ; 3; 0 a b c Phương trình 2 -3x 2 4 0 x có các hệ số 3; 2; 4 a b c Lưu ý: Dạng toán này đơn giản nhưng cần khắc sâu cho học sinh trung bình, yếu phải chỉ rõ được đúng hệ số để khi giải bài toán bằng công thức nghiệm thay số chính xác. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài A.1: Chỉ ra hệ số a,b,c trong các phương trình sau: 6x 2 +9x + 1= 0 8x 2 -12x + 3 = 0 2x 2 - 3x - 2 = 0 2x 2 - (4- 5)x -2 5 = 0 5x 2 + 3x - 2 = 0 x 2 - x 11 = 0 1 2 x 2 + 3 4 x = 0 - x 2 + 3x - 4 = 0 Trang 7 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát 2 ax 0 bx c Phương pháp 1: Đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình tích đó. (Lớp 8) Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn) để giải phương trình bậc hai. Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm c xx a 12 1, . Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm c xx a 12 1, . Bài tậ p minh hoạ: Bài 1: Giải phương trình sau: a) 2 3 5 2 0 xx b) 2 5 6 1 0 xx Giả i: a) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 22 3 5 2 0 3 6 2 0 3 ( 2) ( 2) 0 1 3 1 0 (3 1)( 2) 0 3 20 2 x x x x x x x x x x xx x x Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 2; 3 S Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai. Ta có 3; b = 5; c = -2 a 22 4 5 4.3.( 2) 25 24 49 0 b ac Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: 1 5 49 5 7 2 1 2 2.3 6 6 3 b x a ; 2 5 49 5 7 12 2 2 2.3 6 6 b x a Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 2; 3 S Trang 8 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 22 5 6 1 0 5 5 1 0 5 ( 1) ( 1) 0 1 5 1 0 (5 1)( 1) 0 5 10 1 x x x x x x x x x x xx x x Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 1; 5 S Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn (công thức nghiệm tổng quát) để giải: Ta có 6 5; b = 6 b' = = = -3; c = 1 22 b a 22 ' ( 3) 5.1 9 5 4 0 b ac Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: 1 ' ' ( 3) 4 3 2 1 55 b x a 2 ' ' ( 3) 4 3 2 1 5 5 5 b x a Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩ m nghiệm. Ta có 5; b = 6; c = 1 a và 5 ( 6) 1 0 abc vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là 1 1 x và 2 1 5 c x a . * Những lưu ý khi giải phương trình bậc 2 Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường. (không cần giải theo công thức ) VD : 2 2 1 0 xx 2 1 0 x x = 1 Phải sắp xếp đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình 2 0 ax bx c rồi mới áp dụng công thức : VD: 5 24 xx 2 5 24 xx 2 5 24 0 xx Áp dụng CT giải tiếp............. Không phải lúc nào x cũng là ẩ n số mà có thể là ẩ n t , ẩ n b , ẩ n a ... tùy vào cách ta chọn biến : VD: 2 10 16 0 bb áp dụng CT giải tiếp với ẩ n là b ..................................................... PT bậc 2 chứa căn ở các hệ số , , a b c thì ở ∆ ta buộc phải rút căn bậc hai VD: 2 (2 3) 2 3 0 xx ( 1; (2 3); 2 3 a b c ) Trang 9 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 (2 3) 4.1.2 3 7 4 3 ..... (Xem chuyên đề căn bậc 2: Dạng biểu thức trong căn là Hằng đẳng thức) BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN Bài B.1: Giải các phương trình: a) 2 5 6 0 xx . b) 2 2 1 0 xx . c) 2 2 10 0 xx . d) 2 9 12 4 0 xx . Bài B.2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: a) 2 1 2 2 0 xx . b) 2 2 3 2 3 0 xx . c) 2 60 xx . d) 2 9 20 0 xx . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài B.01: Giải các phương trình sau: a) 2 2 5 5 0 xx . b) 2 9 10 0 xx . c) 2 2 3 5 0 xx . d) 2 6 14 0 xx . e) 2 3 16 x . f) 2 8 15 0 xx . g) 2 2 3 1 3 1 x x x . h) 2 4 4 1 0 xx . i) 2 7 8 9 0 xx . j) 2 16 40 25 0 xx . k) 2 2 2 2 0 xx . l) 2 8 19 0 xx . m) 2 2 3 1 2 3 0 xx . n) 2 2 3 27 0 xx . o) 2 7 8 9 0 xx . p) 2 2 2 4 3 2 x x x . q) 2 3 10 3 0 xx . r) 2 30 xx . Đáp s ố: a) 5 x . b) 1,2 9 41 2 x . c) Vô nghiệm.. d) Vô nghiệm. e) 1 7 x x . f) 3 5 x x . g) 3 3 3 3 3 6 x x . h) 1,2 22 4 x . i) Vô nghiệm.. j) 5 4 x . k) 1,2 2 2 5 4 x . l) Vô nghiệm.. m) 33 31 x x . n) 9 2 3 x x . o) 1,2 4 79 7 x . p) 21 22 x x . q) Vô nghiệm... r) 0 3 x x . Trang 10 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài B.02. Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: a) 2 3 11 8 0 xx . b) 2 1 3 3 0 xx . c) 2 3 19 22 0 xx . d) 2 5 24 19 0 xx . e) 2 3 19 22 0 xx . f) 2 10 21 0 xx . g) 2 2018 2017 0 xx . h) 2 12 27 0 xx . i) 2 5 17 12 0 xx . j) 2 1 2 2 1 2 1 3 2 0 xx k) 2 1 3 2 3 3 1 0 xx . Đáp s ố: a) 1 8 3 x x . b) 1 3 x x . c) 1 22 3 x x . d) 1 19 5 x x . e) 1 22 3 x x . f) 3 7 x x . g) 1 2017 2018 x x . h) 3 9 x x . i) 1 12 5 x x . j) 1 1 3 2 12 x x k) 1 31 13 x x . Trang 11 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c Phương pháp: Dạng khuyết b : đối với phương trình 2 ax 0 0 ca ta biến đổi 2 c x a . Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi 0 c a . Lúc này nghiệm của phương trình là c x a Dạng khuyết c : Đối với phương trình 2 ax 0 bx ta có thể biến đổi về phương trình tích 2 ax 0 (ax + b) = 0 bx x để giải. Lúc này phương trình có 2 nghiệm là 0 x và b x a . Ví dụ minh hoạ: Giải phương trình: a) 2 28 x b) 2 50 xx Giả i: a) 2 2 2 42 8 2 8 4 2 2 4 xx x x x x x . Kết luận nghiệm. b) 2 00 5 0 ( 5) 0 5 0 5 xx x x x x xx . Kết luận nghiệm. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN Bài C1: Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 . 5 3 0 . 2 – 6 0 . 7 – 5 0 . 4 – 16 0 . – 0,4 1,2 0 . 3,4 8,2 0 a x x b x x c x x d x x e x x f x x D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( 12 11 xx ; 22 12 xx …) Phương pháp: Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các nghiệm từ đó tính được giá trị biểu thức. Các hệ thức thường gặp: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 . 2 . 2 . 2 x x x x x x x x x x x x S P . 2 2 1 2 1 2 1 2 44 x x x x x x S P . 2 2 2 1 1 2 1 2 44 x x x x x x S P . 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 . 4 x x x x x x x x x x x x S S P . Trang 12 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 3 3 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 . 3 . . 3 x x x x x x x x x x x x x x S S P . 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . 2 2 x x x x x x x x x x x x x x . 2 22 22 S P P . 12 1 2 1 2 11 xx S x x x x P . 2 2 1 2 1 2 21 1 2 1 2 1 2 4 1 1 4 x x x x xx SP x x x x x x P . 2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 4 .4 x x x x x x x x x x x x x x S S P x x x x x x x x P 2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 .. x x x x x x x x x x x x x x . 22 22 1 2 1 2 1 2 1 2 4 . 4 x x x x x x x x S P S P 22 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . 4 x x x x x x x x S P S S P Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình: 2 2 2 0 xx . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau: 12 11 A xx . 22 12 B x x . 12 C x x . 33 12 D x x . Giả i Ta có: 12 12 1 22 b S x x a c P x x a 21 1 2 1 2 1 1 1 22 xx A x x x x . 22 12 B x x 2 1 2 1 2 x x x x 1 2 2 3 2 . 2 1 2 1 2 C x x x x 2 1 2 1 2 4 x x x x 1 4 2 2 2 2 1. 33 12 D x x 3 1 2 1 2 1 2 3 x x x x x x 1 3 2 2 7 3 2 . Trang 13 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN Bài D.1. Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình: 2 3 7 0 xx . Không giải phương trình Tính các giá trị của các biểu thức sau: 12 11 11 A xx . 22 12 B x x . 12 C x x . 33 12 D x x . 44 12 E x x . 1 2 2 1 33 F x x x x . Bài D.2. Cho phương trình 2 4 3 8 0 xx có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính 22 1 1 2 2 33 1 2 1 2 6 10 6 Q 55 x x x x x x x x Bài D.3: Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình: 2 3 5 6 0 xx . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau: 1 2 2 1 3 2 3 2 A x x x x . 21 12 11 xx B xx . 12 C x x 12 12 22 xx D xx . E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Phương pháp: Áp dụng: nếu 1 2 1 2 ; x x S x x P thì 12 ; xx là nghiệm của phương trình 2 0 X SX P Ví dụ minh hoạ Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 10 72 và 1 10 6 2 . Giải: Ta có: 1 1 5 7 10 72 10 6 2 1 1 1 . 28 10 72 10 6 2 S P Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 10 72 và 1 10 6 2 là : 2 51 0 7 28 XX Bài 2: Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình: 2 3 7 0 xx . Không giải phương trình Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 1 1 x và 2 1 1 x . Trang 14 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Giả i: Ta có .0 ac Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 21 1 2 1 2 1 2 12 2 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 . 1 1 9 xx S x x x x x x P xx Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 1 1 x và 2 1 1 x là: 2 11 0 99 XX . BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN Bài E.1. Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình: 2 3 7 4 0 xx . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1 p q và 1 q p . Bài E.2: Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình: 2 3 5 6 0 xx . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm 1 y ; 2 y thỏa mãn: 1 1 2 2 y x x và 2 2 1 2 y x x . Bài E.3: Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình: 2 2 3 1 0 xx . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm 1 y ; 2 y thỏa mãn: a) 11 22 2 2 yx yx . b) 2 1 1 2 2 2 2 1 x y x x y x . Bài E.4: Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình: 2 10 xx . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm 1 y ; 2 y thỏa mãn: a) 12 12 21 12 12 21 33 xx yy xx yy xx yy . b) 22 1 2 1 2 22 1 2 2 1 5 5 0 y y x x y y x x . Bài E.5: Cho phương trình : 2 3 2 0 xx có 2 nghiệm phân biệt 12 ; xx . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩ n là y thoả mãn : 12 1 1 yx x và 21 2 1 yx x Trang 15 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ A. Giải và biện luận phương trình. Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Với tham số ở hệ số của phương trình bậc 2. Cho phương trình : 2 – 2 2 –3 0 mx m x m với m là tham số . Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình Giải: Bước 1: + Nếu m = 0 thay vào ta có : 4x – 3 = 0 x = 4 3 Bước 2 + Nếu 0 m .Lập biệt số 2 / – 2 – 3 4 m m m m / < 0 4 0 m m > 4 : phương trình vô nghiệm / = 0 4 0 m m = 4 : phương trình có nghiệm kép 12 / 2 4 2 1 2 2 bm x a x m / > 0 4 0 m m < 4: phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 24 mm m x ; 2 24 mm m x Vậy : m > 4 : phương trình vô nghiệm m = 4 : phương trình Có nghiệm kép x = 2 1 04 m : phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 24 mm m x ; 2 24 mm m x m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = 4 3 Bài 2: Với hệ số của phương trình bậc 2 đã cho khác 0. Cho phương trình: 2 2 1 0 x x m ( m là tham số). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình. Giả i: Ta có ’2 1 – 1 2 – mm 0 2 0 2 mm thì phương trình vô nghiệm. Trang 16 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 0 2 0 2 mm thì phương trình có nghiệm kép 12 1 b xx a 0 2 0 2 mm thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 12 b xm a ; 2 12 b xm a Kết luận: Vậy 2 m phương trình vô nghiệm. 2 m thì phương trình có nghiệm kép 12 1 b xx a 2 m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 12 b xm a ; 2 12 b xm a Bài 3: Giải và biện luận phương trình : 2 – 2 1 2 10 0 x m m Giải. Ta có 2 2 1 – 2 10 – 9 m m m + Nếu / > 0 2 – 9 0 m 3 m hoặc 3 m .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: 2 1 1 9 m m x ; 2 2 1 9 m m x + Nếu / = 0 m = 3 - Với 3 m thì phương trình có nghiệm là 1.2 4 x - Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là 1.2 2 x + Nếu / < 0 33 m thì phương trình vô nghiệm Kết kuận: Với 3 m thì phương trình có nghiệm x = 4 Với 3 m thì phương trình có nghiệm 2 x Với 3 m hoặc 3 m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = m + 1 - 9 2 m x2 = m + 1 + 9 2 m Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm Chú ý: Khi giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số ta cần lưu ý trường hợp tham số nằm ở phần hệ số của lũy thừa bậc hai của ẩn. Trang 17 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 B. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch đảo, ( , ) ; , …) Ta lập bảng xét dấu sau: Dấ u nghiệm x1 x2 12 S x x 12 P x x Điều kiện chung trái dấu P < 0 0 0 ; P < 0. cùng dấu, P > 0 0 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S < 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S < 0. Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta xét 0 ; còn nếu đề bài chỉ nói chung chung phương trình có 2 nghiệm thì ta xét 0 Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình 2 0 ax bx c (a 0) có: 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0 2. Vô nghiệm < 0 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S > 0 (ở đó: S = x1+ x2 = a b ; P = x1.x2 = a c ) Trang 18 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Cho phương trình: x 2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩ n số x – tham số m) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm. d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn 22 12 10 xx Giả i a) Ta có: ’ = (m-1) 2 – (– 3 – m ) = 4 15 2 1 2 m Do 0 2 1 2 m với mọi m; 0 4 15 > 0 với mọi m. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 – 3 – m < 0 m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: 12 1) ( 2 S x x m và 1. 2 3 P x x m Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0 3 3 1 0 ) 3 ( 0 ) 1 ( 2 m m m m m Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: 12 1) ( 2 S x x m và 1. 2 3 P x x m Khi đó 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 2 3 4 – 6 10 A x x x x x x m m m m Theo bài A 10 2 4 – 6 0 mm 2 0 23 mm 0 2 3 2 3 0 2 3 0 0 3 2 0 0 3 2 0 m m m m m m m m m m Vậy m 2 3 hoặc m 0 Trang 19 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 2: Cho phương trình: 2 2 1 0 x x m ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 12 3 2 1 xx Giả i a) Ta có ’ = 1 2 – (m-1) = 2 – m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 2 2 2 1 1 0 2 1 0 ' m m m m m P Vậy m = 2 b) Ta có ’ = 1 2 – (m-1) = 2 – m Phương trình có nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2) Theo bài: 12 3 2 1 xx (3) Từ (1) và (3) ta có: 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 5 5 3 2 1 3 2 1 2 7 x x x x x x x x x x x x x Thế vào (2) ta có: 5 7 1 m 34 m (thoả mãn (*)) Vậy 34 m là giá trị cần tìm. C. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình. Phương pháp: Ta chỉ ra phương trình có .0 ac hoặc 0 ; 0 D. Lập hệ thức liên hệ giữa 12 ; xx sao cho 12 ; xx độc lập đối giá trị tham số của phương trình. Phương pháp: Ta thường biến đổi để đưa về dạng SP với S và P là tổng và tích 2 nghiệm. ,, là các số thực. E. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm : (: 12 xx ; 1 2 1 2 () x x x x ; 1 1 2 x x x …) F. Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm lớn nhất, nhỏ nhất. Phương pháp: Mục E và F ta thường sử dụng hệ thức Vi-et để biến đổi. G. Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệ m còn lại. Phương pháp: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình từ đó tìm ra tham số. Từ tham số vừa tìm được áp dụng giải phương trình bậc hai tìm ra nghiệm còn lại. Trang 20 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ. Câu 1: Cho phương trình 2 2 1 2 1 0 m x mx . Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng 1 ;0 . Câu 2: Cho phương trình 22 2 1 1 0 x m x m ( x là ẩ n số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm 1 x , 2 x của phương trình đã cho thỏa mãn: 2 1 2 1 2 3 x x x x . Câu 3: Tìm m để phương trình 2 5 3 1 0 x x m ( x là ẩ n số, m là tham số) có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn 33 1 2 1 2 3 75 x x x x Câu 4: Cho phương trình 2 10 9 0 x mx m ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với 1 m . b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa điều kiện 12 90 xx Câu 5: Cho phương trình 22 2( 1) 1 0 x m x m m ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với 0 m . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x thỏa mãn điều kiện 12 11 4 xx Câu 6: Cho phương trình 2 2 (2 1) 1 0 x m x m ( m là tham số). Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x thỏa mãn 12 3 4 11 xx Câu 7: Cho phương trình 22 2( 1) 3 0 x m x m ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Câu 8: Cho phương trình 22 11 4 1 0 22 x mx m m ( m là tham số). a) Giải phương trình đã cho với 1 m . b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn 12 12 11 xx xx Câu 9: Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình 22 10 x m x m ( m là tham số) có nghiệm nguyên. Câu 10: Cho phương trình 2 2( 1) 3 0 x m x m ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 12 P x x (với 1 x , 2 x là nghiệm của phương trình đã cho) Trang 21 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 11: Cho phương trình 2 10 x mx m ( m là tham số). a) Gọi hai nghiệm của phương trình là 1 x , 2 x . Tính giá trị của biểu thức 22 12 22 1 2 1 2 1 xx M x x x x . Từ đó tìm m để 0 M . b) Tìm giá trị của m để biểu thức 22 12 1 P x x đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 12: Cho phương trình 2 2 2 2 0 x m x m ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn 12 2 xx Câu 13: Cho phương trình 2 10 x m x m ( m là tham số). Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để 22 1 2 1 2 2007 A x x x x đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 14: Cho phương trình 2 2 2 1 0 x mx m ( m là tham số). Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để 22 1 2 1 2 A x x x x đạt giá trị lớn nhất. Câu 15: Cho phương trình 2 2 1 2 5 0 x m x m ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn 12 1 xx . Câu 16: Cho phương trình 2 20 x mx m ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Định m để hai nghiệm 1 x , 2 x của phương trình thỏa mãn 22 12 12 22 .4 11 xx xx . Câu 17: Cho phương trình 2 10 x mx (1) ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. b) Gọi 1 x , 2 x là các nghiệm của phương trình (1): Tính giá trị của biểu thức: 22 1 1 2 2 12 11 x x x x P xx Câu 18: Cho phương trình 22 2 1 1 0 x m x m 1 ( m là tham số). a) Tìm điều kiện của m để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm 1 x , 2 x của phương trình 1 thỏa mãn: 2 1 2 1 2 3 x x x x . Câu 19: Tìm m để phương trình 2 2 2 1 0 x x m ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1) ( 1) 8 x x x x . Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình 2 80 x x m để 43 là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại. Câu 21: Cho phương trình 22 2 1 1 0 x m x m m ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho 1 2 2 1 22 A x x x x đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Trang 22 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 22: Cho phương trình 22 1 20 2 x mx m ( m là tham số). a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau. c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. Câu 23: Cho phương trình 2 2 3 0 x x m ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình có nghiệm 1 x . Tính nghiệm còn lại. b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x thỏa mãn hệ thức 33 12 8 xx Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 22 2 1 1 0 x m x m có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x sao cho biểu thức 22 12 P x x đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 25: Cho phương trình 2 5 2 6 0 x m x m ( x là ẩ n số) a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 12 , xx thỏa mãn: 22 12 35 xx . Câu 26: Cho phương trình 2 2 2 0 x x m 1 ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm b) Tìm m để phương trình 1 có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm còn lại Câu 27: Cho phương trình 2 10 x mx m 1 với x là ẩ n số a) Giải phương trình khi 2 m b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . c) Gọi 12 , xx là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức 22 12 1 1 2016 A x x . Câu 28: Cho phương trình 2 2 1 2 0 x m x m với x là ẩ n số; m là tham số. Tìm m để phương trình có nghiệm 2 x . Tìm nghiệm còn lại. Câu 29: Cho phương trình 2 1 2 0 x m x m ( x là ẩ n số, m là tham số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 12 , xx b) Tính tổng và tích của hai nghiệm 12 , xx của phương trình theo m c) Tính biểu thức 22 1 2 1 2 6 A x x x x theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất Câu 30: Cho phương trình: 2 2 1 4 0 x m x m ( x là ẩ n số, m là tham số). a) Giải phương trình với 1 m . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 31: Cho phương trình 22 2 1 0 x x m ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m . c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: 12 3 xx Câu 32: Cho phương trình: 2 2 1 0 x m x m ( m là tham số) a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có 22 1 2 1 2 13 x x x x . Trang 23 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 33: Cho phương trình 2 20 x x m với m là tham số và x là ẩ n số a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Giả sử 12 , xx là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 33 1 2 1 2 10 x x x x Câu 34: Cho phương trình 2 4 3 0 x x m ( x là ẩ n) a) Tìm m để phương trình có nghiệm 12 , xx b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 12 , xx thỏa 2 2 2 2 1 2 1 2 51 x x x x Câu 35: Cho phương trình: 22 2 3 3 1 0 x m x m m ( x là ẩ n số, m là tham số) a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Tìm m để 1 2 2 1 A x x x đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩ n x : 2 2 2 1 0 x mx m 1 a) Chứng tỏ phương trình 1 luôn có nghiệm 12 , xx với mọi giá trị của m b) Đặt 22 1 2 1 2 25 A x x x x , tìm m sao cho 27 A Câu 37: Cho phương trình 2 3 5 0 x m x m ( x là ẩ n) a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 22 1 1 2 2 4 4 11 x x x x Câu 38: Cho phương trình: 2 2 4 0 x mx m ( x là ẩ n số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m c) Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình. Định m để 22 12 5 xx Câu 39: Cho phương trình 2 2 4 1 0 x x m ( x là ẩ n số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm 12 , xx thỏa 22 1 2 1 2 2 2 12 x x x x Câu 40: Cho phương trình bậc hai: 2 – 2 4 – 4 0 x mx m ( x là ẩ n) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m b) Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để 2 12 2 8 5 0 x mx m Câu 41: Cho phương trình: 2 2 4 6 0 x m x m a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tính theo m biểu thức 12 11 A xx rồi tìm m để A . Câu 42: Cho phương trình: 2 2 2 2 0 x m x m 1 với x là ẩ n số. a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt 12 , xx b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2 2 1 1 x x x . Câu 43: Cho phương trình: 22 2 2 0 x x m 1 với x là ẩ n số. a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 22 12 4 xx . Trang 24 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 44: Cho phương trình: 22 3 2 2 3 0 x m x m m 1 ,(với x là ẩ n số). a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . b) Gọi 12 , xx là các nghiệm của 1 . Tìm m để 12 3 xx . Câu 45: Cho phương trình: 22 2 2 0 1 x m x m với x là ẩ n số. a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm 12 , xx thỏa mãn 22 1 2 1 2 2 1 1 1 2 x x x x x x . Câu 46: Cho phương trình: 22 2 1 3 0 x m x m 1 ( với x là ẩ n số) a) Tìm điều kiện để 1 có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm 12 , xx thỏa mãn 22 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 14 x x x x x x . Câu 47: Tìm m để phương trình 2 3 0 x mx ( m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 12 36 xx Câu 48: Cho phương trình 22 5 1 6 2 0 x m x m m 1 ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Gọi 12 , xx là nghiệm của phương trình. Tìm m để 22 12 1. xx Câu 49: Cho phương trình: 2 2( 1) 3 0 x m x m 1 a) Chứng minh rằng phương trình 1 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi 12 , xx là 2 nghiệm của phương trình 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 12 P x x . c) Tìm hệ thức giữa 1 x và 2 x không phụ thuộc vào m . Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩ n x , tham số m ): 2 – 2 2 1 0 x mx m 1 Với giá trị nào của m thì phương trình 1 có hai nghiệm 12 , xx thỏa mãn 12 3 xx Câu 51: Cho phương trình ẩ n x : 2 – 2 4 0 x mx 1 a) Giải phương trình đã cho khi 3 m . b) Tìm giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm 12 , xx thỏa mãn: 22 12 1 1 2 xx . Câu 52: Cho phương trình ẩ n x : 2 – 2 1 0 x mx 1 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 1 x và 2 x . b) Tìm các giá trị của m để: 22 1 2 1 2 –7 x x x x . Trang 25 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 53: Cho phương trình ẩ n x : 2 – 1 0 x x m 1 a) Giải phương trình đã cho với 0 m . b) Tìm các giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm 12 , xx thỏa mãn: 1 2 1 2 1 2 – 2 3 x x x x x x . Câu 54: Cho phương trình 4 2 2 ( 4 ) 7 1 0 x m m x m . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10 Câu 55: Cho phương trình 2 2 2 1 1 0 x m x m . Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x thỏa mãn 12 3 4 11 xx . Câu 56: Cho phương trình: 22 2 1 3 0 1 x m x m ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm. b) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Câu 57: Cho phương trình: 2 10 x mx m . a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 12 22 1 2 1 2 23 21 xx P x x x x . Câu 58: Cho phương trình 22 22 4 1 0 1 2 3 2 3 x mx m m a) Giải phương trình 1 với 1 m . b) Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm thỏa mãn 12 12 11 xx xx . Câu 59: Xác định các giá trị của tham số m để phương trình: 2 5 6 0 x m x m . Có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. b) 12 2 3 13 xx . Câu 60: Cho phương trình: 2 2 1 3 0 1 x m x m a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 1 mà không phụ thuộc vào m . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 22 12 P x x (với 1 x , 2 x là 2 nghiệm của pt 1 Trang 26 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 61: Cho phương trình: 22 2 1 6 0 * x m m m a) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm. b) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn 33 12 50 xx . Câu 62: Cho phương trình có ẩ n x : 2 10 x mx m ( m là tham số ) 1. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm 1 x , 2 x với mọi m . 2. Đặt 22 1 2 1 2 6. A x x x x a) Chứng minh 2 88 A m m b) Tìm m sao cho 8 A . c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. d) Tìm m sao cho 12 3 xx . Câu 63: Cho phương trình bậc 2 có ẩ n x : 2 2 2 1 0 x mx m 1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm 1 x , 2 x với mọi m . 2. Đặt 22 1 2 1 2 25 A x x x x a) Chứng minh 2 8 18 9 A m m b) Tìm m sao cho 27 A . c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm m sao cho 12 3 xx . Câu 64: Cho phương trình bậc hai ẩ n x ( m tham số ): 2 2 1 2 5 0 1 x m x m 1. Giải và biện luận số nghiệm của 1 x , 2 x của m theo tham số m . 2. Tìm m sao cho 1 x , 2 x thỏa mãn: a) 12 21 2. xx xx b) 1 2 1 2 26 x x x x c) 12 2 3 5. xx d) Tìm m sao cho 22 1 2 1 2 12 10x x x x đạt giá trị lớn nhất. Câu 65: Cho phương trình: 22 2 1 3 0 x m x m ( m là tham số ) a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị của m để 22 12 4, xx với 1 x , 2 x là hai nghiệm của phương trình. Câu 66: Cho phương trình: 2 10 x mx m (1) ( m là tham số ) a) Chứng minh phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi m . b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn hệ thức 22 1 2 1 2 2 x x x x . Trang 27 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 67: Cho phương trình: 2 2 2 3 0 x mx m a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m . c) Tìm m để 1 2 1 2 23 x x x x ( 1 x , 2 x là nghiệm của phương trình trên ). Câu 68: Cho phương trình: 2 2 2 2 5 0 x m x m ( x là ẩ n số ) a) Chứng tỏ phương trình trên có 2 nghiệm 1 x , 2 x với mọi m . b) Tìm m để 22 1 2 1 2 A x x x x đạt giá trị lớn nhất. Câu 69: Cho phương trình: 2 2 1 0 x m x m ( m là tham số ) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm m để 2 1 1 2 1 2 2 A x x mx x x đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 70: Cho phương trình: 22 2 3 1 0 x m x m m ( x là ẩ n ) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Cho 22 1 2 1 2 5 B x x x x tìm m để B đạt giá trị lớn nhất. Câu 71: Cho phương trình: 22 2 1 4 3 0 x m x m m a) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 1 2 2 A x x x x và giá trị của m tương ứng. Câu 72: Cho phương trình: 2 2 2 1 1 0 x m x m a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm 1 x , 2 x . b) Viết tổng và tích hai nghiệm theo m. c) Tìm m để 2 nghiệm 1 x , 2 x của phương trình thỏa mãn: 12 21 4 1 4 1 9 xx xx Câu 73: Cho phương trình 2 2 2 1 0 x mx m a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm 1 x , 2 x với mọi m . b) Đặt 22 1 2 1 2 25 A x x x x . Tìm m sao cho A = 27. Câu 74: Cho phương trình 2 2 2 0 1 x mx m ( x là ẩ n số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Định m để hai nghiệm 1 x , 2 x của phương trình (1) thỏa mãn: 22 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x Câu 75: Cho phương trình: 2 2 0 1 x mx m ( x là ẩ n số) a) Chứng minh phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . b) Định m để hai nghiệm 1 x , 2 x của 1 thỏa mãn: 22 12 12 22 .4 11 xx xx . Trang 28 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 76: Cho phương trình 2 2 1 0 1 mx x ( x lầ ẩ n số). a) Chứng minh phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . b) Gọi 1 x , 2 x là hai nghiệm của phương trình 1 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 4 2 4 2 2 A x x x x x x III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG Cho phương trình: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a 0) (1) PP1: Ẩn phụ: Đặt t = x 2 (t 0) Ta được phương trình: at 2 + bt + c = 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0 P0 S0 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 0 P0 S0 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có một một nghiệm kép dương hoặc có ai nghiệm trái dấu 0 S0 P0 Phương trình (1) có 1 nghiệm (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm 0 S0 P0 S0 Phương trình (1) có 1 nghiệm (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm 0 0 P0 S0 Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a. PP2: Giải trực tiếp: Biến đổi đưa về dạng phương trình tích 0 .0 0 A AB B Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình: 42 13 36 0 xx (1) Giả i: Trang 29 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Cách 1: Đặt t = x 2 t 0 phương trình (1) có dạng : 2 13 36 0 tt Ta có 4 2 5 13 ; 9 2 5 13 5 25 36 . 4 13 2 1 2 t t Với t1 = 9 x 2 = 9 3 9 x Với t2 = 4 x 2 =4 2 4 x Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3. Cách 2: 42 13 36 0 xx 4 2 2 2 2 2 22 2 2 ( 12 36) 0 ( 6) 0 ( 6 )( 6 ) 0 60 60 x x x xx x x x x xx xx Giải phương trình : x 2 –6 –x = 0 ta được 2 nghiệm: 2; 3 xx . Giải phương trình : x 2 – 6 +x = 0 ta được 2 nghiệm 2; 3 xx . Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : 1 2 3 4 3; 2; 2; 3 x x x x . Bài 2: Giải phương trình: 42 5 6 0 xx (2) Giả i: Cách 1: Đặt t = x 2 t 0 phương trình (2) có dạng : 2 5 6 0 tt Ta có: 2 2 1 5 ; 3 2 1 5 1 1 6 . 4 5 2 1 2 t t Với t1 = 3 x 2 = 3 3 x Với t2 = 2 x 2 =2 2 x Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= 3 ; x2= - 3 ; x3= 2 ; x4 = - 2 . Cách 2: 42 5 6 0 xx Trang 30 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 4 2 2 4 2 2 2 2 2 22 2 2 – 2 – 3 6 0 – 2 3 6 0 – 2 3 – 2 0 – 2 – 3 0 – 2 0 – 3 0 x x x x x x x x x xx x x Giải phương trình : x 2 –2= 0 ta được 2 nghiệm: x= 2 ; x=- 2 . Giải phương trình : x 2 –3= 0 ta được 2 nghiệm x= 3 ; x= - 3 . Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= 2 ; x2=- 2 ; x3= 3 ; x4= - 3 . Bài 3: Giải phương trình: 42 –10 9 0 3 xx Giả i: Đặt 2 4 2 0 x t x t , phương trình (3) có dạng 2 10 9 0 3’ tt Giải phương trình (3’) , có 12 1 10 9 0 1, 9 a b c t t Với t = t1 = 1 thì x 2 = 1 x1 = 1 ; x2 = - 1 Với t = t2 = 9 thì x 2 = 9 x3 = 3 ; x4 = -3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau: 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 1). 3 – 4 0 2). 4 3 0 3).5 3 – 2 0 4). – 5 6 0 5).2 – 3 – 2 0 6). 10 24 0 x x x x x x x x x x x x Trang 31 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Cách giải: Thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ minh hoạ: Bài 1: Giải các phương trình sau a. b. Giải : a. ĐKXĐ : x 3 14 = (x – 3)(x + 3) + (x + 3) x 2 – 9 + x + 3 – 14 = 0 x 2 + x – 20 = 0 Ta có: = b 2 – 4ac = 1 2 – 4.1.( – 20) = 1 + 80 = 81 > 0 PT có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt : (tm ĐK) (tm ĐK) Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: 12 4; – 5 xx b. ĐKXĐ: x – 1 & x 4 2x(x – 4) = x 2 – x + 8 2x 2 – 8x – x 2 + x – 8 = 0 x 2 – 7x – 8 = 0 2 14 1 1 x 9 3 x 2 2x x x 8 x 1 (x 1)(x 4) 2 14 1 1 x 9 3 x 2 14 1 1 x 9 3 x 14 1 1 (x 3)(x 3) x 3 14 (x 3)(x 3) (x 3) (x 3)(x 3) (x 3)(x 3) 81 9 1 b 1 9 x4 2a 2.1 2 b 1 9 x5 2.a 2.1 2 2x x x 8 x 1 (x 1)(x 4) 2 2x x x 8 x 1 (x 1)(x 4) 2 2x(x 4) x x 8 (x 1)(x 4) (x 1)(x 4) Trang 32 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ta có: a – b + c = 1 – (– 7) + (– 8) = 0 PT có 2 nghiệm : x1 = – 1 (không tm ĐKXĐ) x2 = = 8(tm ĐKXĐ) Vậy PT đã cho có 1 nghiệm: x = 8 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau: a. ( 12 3; 7 xx ) b. ( vô nghiệm) c a 12 8 1 x 1 x 1 2 2x x 8x 8 x 2 x 4 x 2x 8 Trang 33 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: 0 .0 0 A AB B Bài tập: Giải các phương trình sau: a. 1,2x 3 – x 2 – 0,2x = 0 b. x 3 + 3x 2 – 2x – 6 = 0 c. (x 2 + 2x – 5) 2 = (x 2 – x + 5) 2 d. (2x 2 + 3) 2 – 10x 2 – 15x = 0 Giải: a. 1,2x 3 – x 2 – 0,2x = 0 12x 3 – 10x 2 – 2x = 0 x(12x 2 – 10x – 2) = 0 x = 0 hoặc 12x 2 – 10x – 2 = 0 +) x1 = 0 +) 12x 2 – 10x – 2 = 0 Ta có: a + b + c = 12 – 10 – 2 = 0 PT có 2 nghiệm: x2 = 1; x3 = Vậy PT đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = 1; x3 = b. x 3 + 3x 2 – 2x – 6 = 0 x 2 (x + 3) – 2(x + 3) = 0 (x + 3)(x 2 – 2) = 0 x + 3 = 0 hoặc x 2 – 2 = 0 +) x + 3 = 0 x1 = – 3 +) x 2 – 2 = 0 x 2 = 2 = ( ) 2 x = x2 = ; x3 = – Vậy PT đã cho có 3 nghiệm : x1 = – 3; x2 = ; x3 = – c. (x 2 + 2x – 5) 2 = (x 2 – x + 5) 2 (x 2 + 2x – 5) 2 – (x 2 – x + 5) 2 = 0 (x 2 + 2x – 5 + x 2 – x + 5)(x 2 + 2x – 5 – x 2 + x – 5)= 0 (2x 2 + x)(3x – 10) = 0 x(2x + 1)(3x – 10) = 0 x = 0 hoặc 2x + 1 = 0 hoặc 3x – 10 = 0 +) x1 = 0 +) 2x + 1 = 0 x2 = +) 3x – 10 = 0 x3 = Vậy PT đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = 1 2 ; x3 = 10 3 d. (2x 2 + 3) 2 – 10x 3 – 15x = 0 (2x 2 + 3) 2 – 5x(2x 2 + 3) = 0 (2x 2 + 3)(2x 2 + 3 – 5x) = 0 2x 2 + 3 = 0 hoặc 2x 2 – 5x + 3 = 0 +) 2x 2 + 3 = 0 2x 2 = 0 – 3 x 2 = – 1,5 (vô nghiệm) c 2 1 a 12 6 1 6 2 2 2 2 2 2 1 2 10 3 Trang 34 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 +) 2x 2 – 5x + 3 = 0 Ta có: a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 PT có 2 nghiệm: x1 = 1 ; x2 = Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3 2 BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN: Bài T.1: Giải các phương trình: a) 42 10 20 0 x x x . b) 42 22 8 77 0 x x x c) 4 3 2 6 8 2 1 0 x x x x . d) 4 3 2 2 5 6 3 0 x x x x . Bài T.2: a) Giải phương trình: 42 4 12 9 0 x x x (1). b) Giải phương trình: 42 13 18 5 0 x x x c) Giải phương trình: 4 3 2 2 10 11 1 0 x x x x (4) c3 a2 Trang 35 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): 4 3 2 2 00 ax bx cx kbx k a k . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho 2 0 xx ta được: 2 2 2 0 kk a x b x c xx . Đặt k tx x với 2 tk ta có: 2 2 22 2 22 kk x x k t k xx thay vào ta được phương trình: 2 20 a t k bt c Dạng 2: Phương trình: , x a x b x c x d e trong đó a+b=c+d Phương trình 22 x a b x ab x c d x cd e . Đặt 2 t x a b x , ta có: t ab t cd e Dạng 3: Phương trình 2 , x a x b x c x d ex trong đó ab cd . Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho 2 0 xx . Phương trình tương đương: 2 2 2 ab cd x a b x ab x c d x cd ex x a b x c d e xx Đặt ab cd t x x xx . Ta có phương trình: t a b t c d e Dạng 4: Phương trình 44 x a x b c . Đặt 2 ab xt ta đưa về phương trình trùng phương Bài 1: Giải các phương trình: 1) 4 3 2 2 5 6 5 2 0 x x x x 2) 44 1 3 2 xx 3) 1 2 3 24 x x x x 4) 2 2 3 4 6 6 0 x x x x x Lời giải: 1) Ta thấy 0 x không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho 2 x ta được: 2 2 11 2 5 6 0 xx xx . Đặt 2 22 2 1 1 1 , 2 2 2 t x t x x t x x x . Ta có: 22 2 2 2 5 6 0 2 5 2 0 1 2 t t t t t t . Với 2 1 2 2 2 1 0 t x x x x 2) Đặt 2 xt ta được: 44 42 1 1 2 6 0 0 2 t t t t t x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2 x . Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có BĐT: Trang 36 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 4 44 24 a b a b với 0 ab . Áp dụng BĐT này với: 1, 3 a x b x VT VP . Đẳng thức xảy ra khi 2 x . 3) Ta có phương trình: 22 3 3 2 24 x x x x . Đặt 2 3 t x x . Ta được: 2 2 24 2 24 0 6, 4 t t t t t t * 2 6 3 6 0 t x x phương trình vô nghiệm * 2 4 3 4 0 1; 4 t x x x x . Vậy phương trình có hai nghiệm 1 ; 4 xx . 4) Phương trình 2 2 2 2 12 12 6 0 x x x x x Vì 0 x không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho 2 x ta được: 12 12 4 1 6 0 xx xx . Đặt 12 tx x , ta có: 2 1 4 1 6 0 3 2 0 2 t t t t t t * 2 4 12 1 1 12 0 3 x t x x x x x * 2 2 2 12 0 1 13 t x x x Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: 3; 4; 1 13 x x x Bài 2) a) Giải phương trình: 2 2 23 3 1 2 1 5 1 x x x x b) Giải phương trình: 6 5 4 3 2 3 6 21 6 3 1 0 x x x x x x c) Giải phương trình: 2 1 2 3 4 5 360 x x x x x d) Giải phương trình: 3 33 5 5 5 24 30 0 x x x x . Lời giải: a) Vì 1 x không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho 3 1 x ta được: 2 2 11 32 11 x x x x x x . Đặt 2 2 1 2 1 3 5 3 5 2 0 2, 13 xx t t t t t t xt * 2 3 13 2 3 1 0 2 t x x x * 2 1 3 2 4 0 3 t x x phương trình vô nghiệm Trang 37 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng. Ta thấy 0 x không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho 3 x ta được: 32 32 1 1 1 3 6 21 0 x x x x x x . Đặt 1 ,2 t x t x . Ta có: 2 2 3 2 23 11 2; 3 x t x t t xx nên phương trình trở thành: 22 3 3 2 6 21 0 t t t t 2 32 3 3 9 27 0 3 3 0 3 t t t t t t t * 2 1 3 5 3 3 3 1 0 2 t x x x x x * 2 35 3 3 1 0 2 t x x x . Vậy phương trình có bốn nghiệm 3 5 3 5 ; 22 xx . c) Phương trình 2 2 2 6 5 6 8 6 9 360 x x x x x x Đặt 2 6 t x x , ta có phương trình: 5 8 9 360 y y y 22 0 22 157 0 0 6 0 6 x y y y y x x x Vậy phương trình có hai nghiệm: 0; 6 xx . d) Ta có: 33 5 30 5 5 5 5 x x x x x nên phương trình tương đương 3 3 3 3 5 5 5 24 24 30 0 x x x x x x . Đặt 3 55 u x x . Ta được hệ: 3 22 3 55 60 55 u u x u x u ux x u x x x u . 32 4 5 0 1 5 0 1 x x x x x x . Vậy 1 x là nghiệm duy nhất của phương trình. Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai a) Phương trình: 22 ax bx c x mx p x nx p với 0 abc . Phương pháp giải: Nhận xét 0 x không phải là nghiệm của phương trình. Với 0 x , ta chia cả tử số và mẫu số cho x thì thu được: Trang 38 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 ab c pp x m x n xx . Đặt 2 22 2 2 2 2 kk t x t x k k k xx . Thay vào phương trình để quy về phương trình bậc 2 theo t . b) Phương trình: 2 2 ax xb xa với 0, a x a . Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức 2 22 2 a b a b ab . Ta viết lại phương trình thành: 2 2 2 2 2 2 . 2 0 ax x x x x a b a b x a x a x a x a . Đặt 2 x t xa quy về phương trình bậc 2. Bài 1) Giải các phương trình: a) 2 2 2 25 11 5 x x x . (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013). b) 22 12 3 1 4 2 2 2 xx x x x x . (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010). c) 2 2 2 3 6 3 2 x xx x (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008). d) 32 3 3 3 20 1 1 xx x x x Giả i: a) Điều kiện 5 x Ta viết lại phương trình thành 2 2 2 2 2 5 10 10 11 0 11 0 5 5 5 5 x x x x x x x x x . Đặt 2 5 x t x thì phương trình có dạng 2 1 10 11 0 11 t tt t Nếu 1 t ta có: 2 2 1 21 1 5 0 52 x x x x x . Nếu 2 11 11 5 x t x 2 11 55 0 xx phương trình vô nghiệm. b) Để ý rằng nếu x là nghiệm thì 0 x nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho x thì thu được: 12 3 1 22 42 xx xx . Đặt 2 2 tx x thì phương trình trở thành: 22 1 12 3 1 12 3 6 2 7 6 0 6 2 t t t t t t t t tt . Trang 39 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Với 1 t ta có: 2 2 2 1 2 0 x t t x vô nghiệm. Với 6 t ta có: 2 2 2 6 4 2 0 2 2 x x x x x . c) 2 2 2 2 1 0 3 3 1 0 2 2 2 x x x x x x x x x x . Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là 33 6; 3 xx . d) Sử dụng HĐT 3 33 3 a b a b ab a b ta viết lại phương trình thành: 3 3 2 2 2 3 3 33 2 0 3 2 0 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x hay 3 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 0 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 1 1 x x x x x xx x x x x x . Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. Trang 40 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Giải các phương trình sau: 1) 22 2 3 6 x x x x . 2) 2 6 7 3 4 1 1 x x x . 3) 44 1 3 82 xx . 4) 1 2 4 5 10 x x x x . 5) 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x . 6) 2 2 1 8 4 4 x x x x x . 7) 22 2 2 2 3 2 1 2 3 1 5 0 x x x x x . 8) 4 3 2 3 4 5 4 3 0 x x x x . 9) 4 3 2 2 21 34 105 50 0 x x x x . 10) 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 x x x x x . 11) 4 4 8 8 8 1 1 2 2 3 x x x x x x x x . 12) 2 2 2 1 6 2 5 2 12 35 4 3 10 24 x x x x x x x x x x x x . 13) 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x . 14) 22 43 1 4 8 7 4 10 7 xx x x x x 15) 2 2 2 2 3 1 2 5 1 9 x x x x x . 16) 2 22 5 1 4 6 1 x x x x . 17) 4 3 2 9 16 18 4 0 x x x x . 18) 2 2 2 12 3 6 3 2 x xx x . 19) 22 2 13 6 3 5 2 3 2 xx x x x x . 20) 2 4 2 1 2 1 0 x x x . 21) 22 2 2 2 2 4 20 5 20 0 1 1 1 x x x x x x . Trang 41 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 HƯỚNG DẪN GIẢI – PHẦN A BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát Bài B.1: a) 2 5 6 0 xx 22 4 5 4.1.6 1 0 b ac Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 51 3 22 b x a , 2 51 2 22 b x a . b) 2 2 1 0 xx 22 1 1 2 0 b ac Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 12 b x a , 2 12 b x a . c) 2 2 10 0 xx 22 1 10 9 0 b ac Phương trình vô nghiệm. d) 2 9 12 4 0 xx 22 6 9.4 0 b ac Phương trình có nghiệm kép: 12 62 93 b xx a . Bài B2: a) 2 1 2 2 0 xx Ta có: 1 1 2 2 0 a b c nên phương trình có hai nghiệm: 1 1 x ; 2 2 c x a . b) 2 2 3 2 3 0 xx Ta có: 2 3 2 3 0 abc nên phương trình có hai nghiệm: 1 1 x ; 2 3 c x a . c) 2 60 xx Ta có: 12 12 1 6 b S x x a c P x x a suy ra 1 2 x ; 2 3 x . d) 2 9 20 0 xx . Ta có: 12 12 9 20 b S x x a c P x x a suy ra 1 4 x ; 2 5 x . 2 ax 0 bx c Trang 42 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 C. Giải phương trình bậc hai khuyết hoặc Bài C.1: a. 5x 2 + 3x = 0 x(5x + 3) = 0 x0 5x 3 0 0 3 5 x x Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 3 5 b. 2x 2 – 6x = 0 2x(x – 3) = 0 20 30 x x 0 3 x x Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 3 c. 7x 2 – 5x = 0 x(7x – 5) = 0 0 7 5 0 x x 0 5 7 x x Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 5 7 d. 4x 2 – 16x = 0 4x(x – 4) = 0 4x 0 x 4 0 x0 x4 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 4 e. – 0,4x 2 + 1,2x = 0 – 0,4x(x – 3) = 0 0,4x 0 x 3 0 x0 x3 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 3 f. 3,4x 2 + 8,2x = 0 0,2x(17x + 41) = 0 0,2x 0 17x 41 0 0 41 17 x x Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 0; x2 = 41 17 b c Trang 43 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm ( ; …) Bài D.1. a) Ta có: 12 12 3 7 b S x x a c P x x a 21 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 9 xx A x x x x x x . 22 12 B x x 2 1 2 1 2 x x x x 23 . 2 1 2 1 2 C x x x x 2 1 2 1 2 4 37 x x x x . 33 12 D x x 3 1 2 1 2 1 2 3 72 x x x x x x . 2 4 4 2 2 12 2 2 527 E x x S P P 22 1 2 2 1 1 2 1 2 3 3 10 3 1 F x x x x x x x x . Bài D.2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 33 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17 Q 5 5 80 5.8 (4 3) 2.8 52 x x x x x x x x x x x x x x x x x x Bài D.3: a) Ta có: 12 12 5 3 2 b S x x a c P x x a 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 200 3 2 3 2 13 6 13 6 2 3 A x x x x x x x x P S P 2 2 1 1 2 2 1 21 1 2 1 2 1 2 22 38 1 1 1 3 x x x x x x xx B x x x x x x . 2 1 2 1 2 C x x x x 2 1 2 1 2 97 4 3 x x x x . 1 2 1 2 12 1 2 1 2 22 22 11 3 x x x x xx D x x x x . 12 11 xx 22 12 xx Trang 44 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. Bài E.1. Ta có .0 ac Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. 7 3 4 . 3 b S p q a c P p q a Suy ra: 47 2 2 15 33 47 1 1 1 14 1 33 2 . 1 1 1 7 pq p q pq q p pq p q p q pq q p pq p q Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 p q và 1 q p là : 2 15 2 0 14 7 XX . Bài E.2: Ta có .0 ac Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Có : 12 12 5 3 176 9 S y y P y y Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 y ; 2 y là : 2 5 176 0 39 XX . Bài E3: Ta có .0 ac Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Ta có: 12 12 11 2 13 2 S y y P y y Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 y ; 2 y là : 2 11 13 0 22 XX . b) Ta có: 12 12 9 8 1 2 S y y P y y Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 y ; 2 y là : 2 91 0 82 XX . Trang 45 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài E.4: Ta có .0 ac Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. a) Ta có: 12 12 12 2 1 1 2 12 1 2 1 2 12 21 21 3 3 3 9 33 xx yy yy x x y y yy y y y y xx yy yy Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 y ; 2 y là : 2 3 9 0 XX . b) 22 12 1 2 1 2 1 2 22 22 12 12 1 2 2 1 3 3 2 5 5 5 0 yy y y x x y y yy yy y y x x . Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 y ; 2 y là : 2 3 2 0 XX . Bài E.5: Ta có 0 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức VI- ÉT ta có: 12 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 9 ( ) ( ) 3 22 xx S y y x x x x x x x x x x x x 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 9 ( )( ) 1 1 2 1 1 22 P y y x x x x x x x x Vậy phương trình cần lập có dạng: 2 0 y Sy P hay 22 99 0 2 9 9 0 22 y y y y Trang 46 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. Câu 1: Xét 1 2 1 0 2 mm phương trình trở thành 1 0 1 1 ;0 xx Xét 1 2 1 0 2 mm khi đó ta có: 2 22 ' 2 1 2 1 1 0 m m m m m mọi m . Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m . Ta thấy nghiệm 1 x không thuộc khoảng 1 ;0 Với 1 2 m phương trình còn có nghiệm là 11 2 1 2 1 mm x mm Phương trình có nghiệm trong khoảng 1 ;0 suy ra 12 1 0 0 1 1 0 0 2 1 2 1 21 2 1 0 2 1 0 m m mm m mm Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng 1 ;0 khi và chỉ khi 0 m . Câu 2: 2 2 2 1 4. 1 5 4 m m m Phương trình có hai nghiệm phân biệt 5 4 m a) Phương trình hai nghiệm 5 4 m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 12 2 12 21 1 x x m x x m Theo đề bài: 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 12 12 3 43 2 1 4 1 3 3 5 4 x x x x x x x x x x m m x x x x m Ta có hệ phương trình: 1 12 12 2 1 21 2 3 5 4 3( 1) 2 m x x x m x x m m x Trang 47 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 22 2 1 3( 1) 1 22 3 1 4 1 10 1 mm m mm m m Kết hợp với điều kiện 1 m là các giá trị cần tìm Câu 3: 2 5 4.1. 3 1 29 12 mm Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 29 0 12 m Áp dụng hệ thức Vi-ét 12 12 5 31 xx x x m Ta có: 33 1 2 1 2 3 75 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 75 x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 25 3 75 x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 25 3 75 x x x x x x x x 12 3 xx Kết hợp 12 5 xx suy ra 12 1; 4 xx Thay vào 12 31 x x m suy ra 5 3 m Vậy 5 3 m là giá trị cần tìm Câu 4: a) Với 1 m phương trình đã cho trở thành 2 10 9 0 xx Ta có 0 abc nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 1 2 1 9 x x b) 2 2 ' 5 1.9 25 9 m m m m Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 2 ' 0 25 9 0 mm (*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 10 10 10 9 0 9 9 9 ,(*) 1 99 0 9 9 0 1 x x m x m x m x m x x x x x m x m m x x m x x m m mm m Trang 48 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 5: a) Với 0 m , phương trình đã cho trở thành: 2 2 1 0 xx 1,2 ' 2 ; x 1 2 Vậy với 0 m thì nghiệm của phương trình đã cho là 1,2 12 x . b) '2 m Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 0 2 0 2 mm Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 12 2 12 2( 1) 1 x x m x x m m Do đó: 12 2 1 2 1 2 22 22 1 1 2( 1) 4 4 4 1 1 1 0 1 0 3 1 2( 1) 2 3 0 2 xx m x x x x m m m m m m m m m m m m m Kết hợp với điều kiện 3 1; 2 m là các giá trị cần tìm. Câu 6: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x thì 0 2 2 1 4.2. 1 0 mm 2 2 4 12 9 0 2 3 0 3 2 mm m m Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có: 12 12 12 2m 1 x x 2 m1 x .x 2 3x 4x 11 2 1 13- 4m x 7 7m 7 x 26 -8m 13- 4m 7m 7 3 4 11 7 26 -8m Giải phương trình 13- 4m 7m 7 3 4 11 7 26 -8m Ta được 2 4,125 m m . Vậy 2 4,125 m m là các giá trị cần tìm Trang 49 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 7: Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ' 0 2 2 1 1. 3 0 mm 2 4 0 m 2 m Vậy 2 m là các giá trị cần tìm a) Với 2 m thì phương trình đã cho có hai nghiệm. Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2 3 2 2 .3 3 a a m a a m 2 2 11 33 22 mm am 2 6 15 0 mm 3 2 6 m (thỏa mãn điều kiện) Vậy 3 2 6 m là các giá trị cần tìm. Câu 8: a) Với 1 m phương trình trở thành 22 19 0 2 9 0 22 x x x x 1 2 1 10 1 10 x x b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì 0 2 2 1 1 1 4. . 4 1 0 8 2 0 2 2 4 m m m m m Để phương trình có nghiệm khác 0 2 1 4 1 0 2 mm 1 2 4 3 2 4 3 2 m m Ta có 12 1 2 1 2 1 2 12 12 0 11 10 10 xx x x x x x x xx xx 2 0 20 4 19 8 3 0 4 19 m m m mm m Trang 50 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Kết hợp với điều kiện ta được 0 4 19 m m Vậy 0 4 19 m m là các giá trị cần tìm. Câu 9: 2 24 4.1. 1 4 4 m m m m Phương trình có nghiệm nguyên khi 4 44 mm là số chính phương Nếu 0 1 m m thì 0 (loại) Nếu 2 m thì 2 42 (nhận) Nếu 3 m thì 2 2 2 5 2 4 5 0 m m m m 2 4 2 4 22 22 2 4 5 4 4 21 1 m m m m m m mm không là số chính phương. Vậy 2 m là giá trị cần tìm Câu 10: a) 2 2 '2 37 1 1. 3 3 4 0 24 m m m m m , m Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 2( 1) 2 2 3 2 2 6 x x m x x m x x m x x m 1 2 1 2 2 4 0 x x x x không phụ thuộc vào m . c) 22 22 1 2 1 2 1 2 2 4 1 2 3 P x x x x x x m m 2 5 15 15 2 2 4 4 m , m Do đó min 15 4 P và dấu "" xảy ra khi 55 20 24 mm . Vậy min 15 4 P với 5 4 m . Trang 51 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 11: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 12 12 1 x x m x x m Ta có 2 2 22 1 2 1 2 12 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 x x x x m m xx M x x x x x x x x m m 2 2 1 21 11 m mm m m m m Để 2 0 10 1 1 0 0 1 0 0 1 0 10 m m m m M m m m mm m m a) Ta có 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 P x x x x x x m m 2 2 2 1 1 0 m m m , m Do đó min 0 P và dấu "" xảy ra khi 1 0 1 mm Vậy min 0 P với 1 m . Câu 12: Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm 1 x , 2 x là 12 12 '0 0 0 xx xx 2 10 2( 1) 0 0 20 m mm m Theo hệ thức Vi-ét: 12 12 21 2 x x m x x m Ta có 12 2 xx 1 2 1 2 22 x x x x 2 2 2 2 2 0 m m m (thoả mãn) Vậy 0 m là giá trị cần tìm. Câu 13: Ta có 2 2 2 [-(m+1)] 4 2 1 ( 1) m m m m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 0 1 0 1 mm Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 12 12 1 x x m x x m Ta có 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2007 2007 A x x x x x x x x Trang 52 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 22 1 1 3 1 2007 2007 2. . 2006 2 4 4 m m m m m m 2 1 8027 8027 2 4 4 m , m Dấu "" xảy ra 11 0 22 mm Vậy min 8027 4 A với 1 2 m . Câu 14: Ta có 22 2 2 4.1. 2 1 4 8 4 4 1 m m m m m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 0 1 0 1 mm Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 12 12 2 21 x x m x x m Ta có 22 1 2 1 2 1 2 1 2 A x x x x x x x x 22 1 1 2007 2 1 2 4 2 4 2 m m m m m m m m 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2. . 4 4 16 16 4 4 4 m m m , m Dấu "" xảy ra 11 0 44 mm . Vậy max 1 4 A với 1 4 m . Câu 15: Ta có 2 2 2 1 4.1. 2 5 4 12 22 m m m m 22 2 2.2 .3 9 13 2 3 13 0 m m m , m Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 12 12 22 25 x x m x x m (I) Theo giả thiết 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 10 1 1 1 0 1 0 10 x x x x x x x x x x (II) Thay (I) vào (II) ta có: 2 5 2 2 1 0 0. 2 0 m m m , đúng với mọi m . Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn 12 1 xx . Trang 53 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 16: a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 2 2 2 4.( 2) 4 8 ( 2) 4 4 0 m m m m m , m Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . b) Vì 1 2 1 0 a b c m m , m nên phương trình có 2 nghiệm 12 ,1 xx , m . Phương trình 22 2 0 2 x mx m x mx m Ta có 22 1 2 1 2 1 2 1 2 22 . 4 . 4 1 1 1 1 x x mx m mx m x x x x 2 2 12 12 ( 1)( 1) 4 4 2 ( 1)( 1) m x x mm xx Vậy 2 m là các giá trị cần tìm. Câu 17: Ta có . 1. 1 1 0 ac , với m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m . a) Ta có 2 11 2 22 1 1 x mx x mx do 1 x , 2 x là nghiệm của phương trình (1). Do đó 22 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x x mx x mx x P x x x x 12 12 11 1 1 0 x m x m mm xx vì 1 x , 2 x 0 . Vậy 0 P . Câu 18: 2 2 2 1 4.1. 1 4 5 m m m Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 5 0 4 5 0 4 mm a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 12 2 12 21 1 x x m x x m Ta có 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 4 4 x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 33 2 1 4 1 2 1 4 6 6 4 0 2 m m m m x m x x Suy ra 1 1 2 m x Do đó 22 1 3 3 . 1 1 0 1 22 mm m m m (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) Vậy 1 m là các giá trị cần tìm. Trang 54 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 19: 2 2 4.1. 2 1 8 mm Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 8 0 0 mm Theo hệ thức Vi-ét, ta có 12 12 2 21 xx x x m (I) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 8 2 ( ) 8 x x x x x x x x 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 8 x x x x x x (II) Thay (I) vào (II) ta có: 22 2( 2 1) 4 2 2 1 8 2 3 2 0 m m m m 1 2 2 m m So với điều kiện có nghiệm 0 m . Vậy 2 m là giá trị cần tìm. Câu 20: Do 43 là nghiệm của phương trình nên thỏa: 2 4 3 8 4 3 0 m 13 0 13 mm Thay 13 m vào phương trình ta được phương trình: 2 8 13 0 xx * 2 ' 4 1.13 3 Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là: 1 2 43 43 x x Vậy 43 x là giá trị cần tìm. Câu 21: Ta có 2 2 2 1 4.1. 1 5 0 m m m , m . Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 12 2 12 21 1 x x m x x m m Ta có 2 22 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 5 2 9 2 A x x x x x x x x x x x x 2 22 9 1 2 2 1 11 m m m m m Trang 55 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 2 1 1 1 1 45 45 2. . 11 2 4 4 2 4 4 m m m , m Dấu "" xảy ra 11 0 22 mm Vậy min 45 4 A với 1 2 m . Câu 22: a) 2 '2 11 1. 0 22 mm , m . Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Hai nghiệm của phương trình là 1 2 2 2 2 2 xm xm Theo đề bài ta có 22 2 2 1 1 22 2 2 2 2 m m m m m m 2 2 0 0 mm c) Theo định lý Pitago ta có: 22 22 2 22 9 2 8 0 4 0 2 22 m m m m m m Vậy 2 2 m m là các giá trị cần tìm. Câu 23: Vì phương trình 2 2 3 0 x x m có nghiệm 1 x nên ta có: 2 ( 1) 2.( 1) 3 0 6 0 6 m m m Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 2 2 2 1 2 3 x x x x Vậy 6 m và nghiệm còn lại là 3 x . a) 2 ' 1 1. 3 2 mm Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 02 m Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 12 12 2 3 xx x x m Ta có Trang 56 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 33 12 3 1 2 1 2 1 2 3 8 ( ) 3 ( ) 8 2 3.( 3).2 8 6( 3) 0 30 xx x x x x x x m m m 3 m (thỏa mãn điều kiện) Vậy 3 m là giá trị cần tìm. Câu 24: 2 2 2 1 4.1. 1 4 5 m m m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 5 0 4 m . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 12 2 12 21 1 x x m x x m Ta có 2 22 1 2 1 2 1 2 2 P x x x x x x 2 22 2 1 2 1 2 4 3 m m m m 2 2 2 2. .1 1 1 3 2 1 1 1 m m m , m Dấu "" xảy ra 1 0 1 mm (nhận) Vậy min 1 P khi 1 m . Câu 25: 2 Δ m 5 4 . 1 . 2 m 6 2 5 4. 2 6 mm 2 10 25 8 24 m m m 2 21 mm 2 1 0; mm Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm. a) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 5; 26 b S x x m a c P x x m a Ta có: 22 12 35 xx 2 1 2 1 2 2 35 x x x x 2 5 2 2 6 35 mm 2 10 25 4 12 35 0 m m m Trang 57 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 6 22 0 1 mm 2 ' 3 1. 22 9 22 31 0 Vì '0 nên phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt: 12 3 31; 3 31 mm Vậy 3 31; 3 31 m Câu 26: Phương trình 1 có nghiệm : '0 1 2 0 m 30 m 3 m Vậy phương trình 1 có nghiệm khi 3 m a) Do phương trình 1 có 2 là một nghiệm nên thỏa: 2 2 2.2 2 0 m 60 m 6 m Thay 6 m vào phương trình 1 ta được phương trình: 2 2 8 0 xx * 2 ' 1 1. 8 1 8 9 0, ' 9 3 Do '0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: 12 1 3 1 3 2; 4 11 xx Vậy 6 m và nghiệm còn lại là 4 là các giá trị cần tìm. Câu 27: a) Khi m = 2, phương trình 1 trở thành: 2 2 1 0 xx 2 Ta có 1 2 1 0 a b c nên phương trình 2 có hai nghiệm: 12 2 1; 2 1 c xx a Vậy khi 2 m , tập nghiệm của phương trình 2 là 1 ; 2 S b) 2 22 4.1. 1 4 4 2 0; m m m m m với mọi m . Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . c) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 1 b S x x m a c P x x m a Ta có: 22 12 1 1 2016 A x x 2 12 1 1 2016 A x x 2 1 2 1 2 1 2016 A x x x x 2 1 1 2016 A m m 2 0 2016 A 2016 A Trang 58 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 28: Do phương trình có nghiệm 2 x nên thỏa: 2 2 2 1 .2 2 0 mm 4 4 2 2 0 mm 2 2 0 m 22 m 1 m Thay 1 m vào phương trình ta được phương trình: 2 3 2 0 xx * Ta có 1 3 2 0 abc nên phương trình * có hai nghiệm: 12 2 1; 2 1 c xx a Vì 2 2 x nên nghiệm còn lại là 1 1 x Vậy 1 m và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm. Câu 29: 2 1 4.1. 2 mm 2 1 4 2 mm 2 2 1 4 8 m m m 2 29 mm 2 2 1 8 mm 2 1 8 0 m ; với mọi m Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt 12 , xx với mọi m . a) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 1 2 b S x x m a c P x x m a b) Ta có 22 1 2 1 2 6 A x x x x 2 1 2 1 2 8 x x x x 2 1 8 2 mm 2 2 1 8 16 m m m 2 6 17 mm 2 6 9 8 mm 2 3 8 8 m ; với mọi m Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 m Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: 8 MinA khi và chỉ khi 3 m . Câu 30: Với 1 m phương trình trở thành: 2 4 4 0 xx * 2 ' 2 1.4 0 Vì '0 nên phương trình * có nghiệp kép: 12 '2 2 1 b xx a Vậy với 1 m , tập nghiệm của phương trình * là 2 S a) Ta có 2 ' 1 1. 4 mm 2 14 mm 2 2 1 4 m m m 2 21 mm 2 1 m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 ' 0 1 0 1 0 1 m m m Vậy 1 m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Trang 59 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 31: a) Ta có 22 ' 1 1. 1 m 2 11 m 2 20 m , với mọi m Vì '0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 2 2 12 2 2 1 1 1 1 b S x x a cm P x x m a c) Ta có 12 2 xx (do trên) và 12 3 xx nên ta có hệ phương trình sau: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 0 3 0 2 1 2 3 * 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Thay * vào biểu thức 2 12 1 x x m ta được: 22 3 .1 1 2 2 m m m Vậy 2 m là các giá trị cần tìm. Câu 32: Ta có 2 2 4.1. 1 mm 2 4 4 4 4 m m m 2 80 m , với mọi m . Vì 0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . a) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 2 2 1 1 1 1 m b S x x m a cm P x x m a Theo đề bài, ta có: 22 1 2 1 2 13 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 13 0 x x x x x x 2 1 2 1 2 3 13 0 x x x x 2 2 3 1 13 0 mm 2 2 3 1 13 0 mm 2 4 4 3 3 13 0 m m m 2 60 mm * 2 1 4.1. 6 1 24 25 0; 25 5 Do 0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: 12 1 5 1 5 2; 3 2.1 2.1 mm Vậy 12 2; 3 mm là các giá trị cần tìm . Trang 60 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 33: Ta có 2 1 4.1. 2 m 1 4 8 m 94m Để phương trình có nghiệm 9 0 9 4 0 4 9 4 m m m Vậy 9 4 m thì phương trình có nghiệm . a) Với 9 4 m thì phương trình trên có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 1 1 1 2 2 1 b S x x a cm P x x m a Ta có 33 1 2 1 2 10 x x x x 22 1 2 2 1 10 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 10 0 x x x x x x 2 1 . 1 2. 2 10 0 m 1 2 4 10 0 m 1 2 4 10 0 m 2 5 0 m 25 m 5 2 m Vậy 5 2 m thì phương trình trên có nghiệm. Câu 34: Ta có 2 ' 2 1. 3 m 43 m 1 m Để phương trình có nghiệm 12 , xx ' 0 1 0 1 mm a) Theo câu a, ta có 1 m thì phương trình có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 4 4 1 3 3 1 b S x x a cm P x x m a Ta có 2 2 2 2 1 2 1 2 51 x x x x 22 1 2 1 2 1 2 2 51 0 x x x x x x 22 4 2. 3 3 51 0 mm 2 16 2 6 6 9 51 0 m m m 2 4 32 0 mm * Trang 61 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 ' 2 1. 32 4 32 36 0; ' 36 6 Do ∆’ > 0 nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt: 1 26 4 1 m (loại); 2 26 ;8 1 m (nhận) Vậy m8 là giá trị cần tìm . Câu 35: Ta có 2 2 ' 3 1. 3 1 m m m 22 6 9 3 1 m m m m 98 m Để phương trình luôn có nghiệm với mọi m 8 ' 0 9 8 0 9 8 9 m m m Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi 8 9 m . a) Theo câu a, với mọi 8 9 m thì phương trình luôn luôn có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét: 12 2 2 12 23 23 1 31 31 1 m b S x x m a c m m P x x m m a Ta có 1 2 2 1 A x x x 1 2 1 2 x x x x 1 2 1 2 x x x x 2 3 1 2 3 m m m 2 3 1 2 6 m m m 2 7 mm 2 1 27 44 mm 2 1 27 27 2 4 4 m , với mọi m (vì 2 1 0 2 m , với mọi m ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 m . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: 27 4 MinA khi và chỉ khi 1 2 m Câu 36: Ta có 2 ' 1. 2 1 mm 2 21 mm 2 10 m ; với mọi m Do '0 (với mọi m) nên phương trình 1 luôn có nghiệm 12 , xx với mọi giá trị của m . a) Theo câu a, với mọi m thì phương trình 1 luôn có nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 2 2 1 21 21 1 bm S x x m a cm P x x m a Ta có 22 1 2 1 2 25 A x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 2 5 x x x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 4 5 x x x x x x 2 1 2 1 2 29 x x x x 2 2 2 9 2 1 mm 2 8 18 9 mm Do A = 27 nên thỏa: 2 8 18 9 27 mm 2 8 18 18 0 mm Trang 62 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 4 9 9 0 mm * Ta có 2 9 4.4. 9 81 144 225 0; 225 15 Do 0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: 12 9 15 9 15 3 3; 2.4 2.4 4 mm Vậy 12 3 3; 4 mm là các giá trị cần tìm. Câu 37: Ta có 2 3 4.1. 5 mm 2 3 4. 5 mm 2 6 9 4 20 m m m 2 10 29 mm 2 10 25 4 mm 2 5 4 0 m ; với mọi m . Vì 0 (với mọi m ) nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m a) Theo câu a, ta có với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 12 , xx thỏa hệ thức Viet: 12 12 3 3 1 5 5 1 m b S x x m a cm P x x m a Ta có 22 1 1 2 2 4 4 11 x x x x 22 1 2 1 2 4 11 0 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 4 11 0 x x x x x x 2 3 2 5 4 3 11 0 m m m 2 6 9 2 10 4 12 11 0 m m m m 2 12 20 0 mm * Ta có 2 ' 6 1.20 36 20 16 0; ' 16 4 Do ∆’ > 0 nên phương trình (6) có 2 nghiệm phân biệt: 12 6 4 6 4 10; 2 11 mm Vậy 12 10; 2 mm là các giá trị cần tìm. Câu 38: Ta có: 2 4.1. 2 4 mm 2 8 16 mm 2 40 m ; với mọi m . Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . a) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 24 b S x x m a c P x x m a Ta có 22 12 5 xx 2 1 2 1 2 2 5 0 x x x x 2 2. 2 4 5 0 mm 2 4 8 5 0 mm 2 4 3 0 mm * Vì 1 4 3 0 abc nên phương trình * có hai nghiệm: 12 3 1; 3 1 c mm a Trang 63 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Vậy 12 1; 3 mm là các giá trị cần tìm. Câu 39: Ta có 2 ' 1 1. 4 1 m 1 4 1 m 24m Để phương trình có nghiệm 1 ' 0 2 4 0 4 2 2 m m m . Vậy 1 2 m thì phương trình có nghiệm. a) Theo câu a, với 1 0 2 m thì phương trình có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi- ét: 12 12 2 2 1 41 41 1 b S x x a cm P x x m a Ta có 22 1 2 1 2 2 2 12 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 2 12 0 x x x x x x 2 2 2 4 1 2.2 12 0 m 4 8 2 4 12 0 m 8 2 0 m 1 4 m (thỏa) Vậy 1 4 m là giá trị cần tìm. Câu 40: Ta có 2 ' 1. 4 4 mm 2 44 mm 2 2 0, mm Do ' 0, m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . a) Theo câu a) ' 0 2 m nên phương trình luôn có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 2 2 1 44 44 1 bm S x x m a cm P x x m a Do 1 x là nghiệm của phương trình nên thỏa: 2 11 2 4 4 0 x mx m 2 11 2 4 4 x mx m * Ta có 2 12 2 8 5 0 x mx m 12 2 4 4 2 8 5 0 mx m mx m (do * ) 12 2m x x 12m 9 0 2m.2m 12m 9 0 (do hệ thức Vi-ét) 2 2 4m 12m 9 0 2m 3 0 2m 3 0 3 2m 3 m 2 Vậy 3 m 2 là giá trị cần tìm. Câu 41: Ta có: 2 ' 4 6 mm Trang 64 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2 ' 4 6 mm 2 ' 8 16 6 m m m 2 ' 9 22 mm 2 97 ' 0, 22 mm Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 2 4 2 4 2 8 .6 b x x m m m a c x x m a Có: 12 1 2 1 2 2 6 12 8 1 1 2 8 . 6 6 m xx m A x x x x m m 2 6 4 2 6 44 2 6 6 6 6 mm m m m m Để A thì 4 6 m suy ra 46 m hay 6 m Ư(4)= 4; 2; 1 ;1 ;2;4 Lập bảng: 6 m -4 -2 -1 1 2 4 m 2 4 5 7 8 10 Vậy 2;4;5;7;8;10 m thì A . Câu 42: Ta có: 2 ' 2 2 mm 2 22 mm 2 4 4 2 m m m 2 24 mm 2 1 3 0, mm Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 12 2 2 2 2 2 4 .2 b S x x m m m a c P x x m a Ta có: 2 2 1 1 x x x 2 1 1 2 2 2 x x m x m 1 1 1 2 4 2 2 2 m x x m x m 11 4 2 2 4 x m x 1 42 2 2 1 x mm Trang 65 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Thay 1 2 1 x m vào 1 ,ta được: 2 22 2 2 2 0 11 mm mm 2 2 2 2 4 2 1 2 1 4 0 1 1 1 m m m m m m m 22 4 4 3 2 2 1 2 0 m m m m m 2 2 3 4 4 12 8 2 4 2 0 m m m m m 32 2 8 14 12 0 m m m 32 4 7 6 0 m m m 2 2 2 3 0 m m m 2 m Vậy m2 là giá trị cần tìm. Câu 43: Ta có: 2 22 ' 1 2 1 2 0, m mm Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 2 12 22 . 2 3 b S x x a c P x x m a Có: 12 22 12 12 2 4 2 xx xx xx TH1: 1 12 12 2 4 2 3 22 3 x xx xx x thay vào 3 .Ta được: 2 42 2 33 m (vô lý) TH2: 1 2 1 1 2 2 24 22 x x x x x x thay vào 3 . Ta được: 22 4 2 2 4 2 m m m . Vậy m2 là giá trị cần tìm . Câu 44: Ta có: 2 2 3 2 4 2 3 m m m 2 2 3 2 8 4 12 m m m 22 9 12 4 8 4 12 m m m m 2 2 8 16 4 0, m m m m Do 0, m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Trang 66 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 a) Theo câu a, 04 m nên phương trình luôn có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 2 12 3 2 3 2 . 2 3 3 b S x x m m a c P x x m m a Ta có hệ phương trình sau: 1 12 12 2 96 3 4 3 2 3 2 4 m x xx x x m m x , thay vào 3 , ta được: 2 9 6 3 2 23 44 mm mm 2 9 6 3 2 16 2 3 m m m m 22 27 36 12 32 16 48 m m m m 2 5 20 60 0 mm 2 4 12 0 mm 2, 6 mm Vậy 2, 6 mm là giá trị cần tìm. Câu 45: Ta có: 22 22 ' 2 2 0, m m m m m Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Theo câu a, ' 0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 2 12 2 2 4 2 . 3 b S x x m m a c P x x m a Ta có: 22 1 2 1 2 2 1 1 1 2 x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 12 x x x x x x x x 22 4 2 1 4 2 2 m m m m 2 2 3 2 2 5 4 2 2 m m m m m 32 2 5 2 5 0 m m m 2 2 5 2 5 0 m m m 2 2 5 1 0 mm 5 2 m Vậy 5 2 m là giá trị cần tìm. Câu 46: Trang 67 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ta có: 2 2 ' 1 3 mm 2 2 13 mm 22 2 1 3 m m m 24 m Để 1 có nghiệm thì ' 2 4 0 2 mm a) Theo câu a) ' 0 2 m nên phương trình luôn có hai nghiệm 12 , xx thỏa hệ thức Vi-ét: 12 2 12 2 1 2 2 . 3 3 b S x x m m a c P x x m a Ta có: 22 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 14 x x x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 14 x x x x x x x x x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 14 x x x x x x x x 2 1 2 1 2 1 2 6 16 0 x x x x x x 2 2 2 2 6 3 2 2 16 0 m m m 22 4 8 4 6 18 2 2 16 0 m m m m 2 2 6 36 0 mm 2 3 18 0 mm 3, 6 mm Vậy 6 m là giá trị cần tìm. Câu 47: Ta có: 2 12 m Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì 0 23 m hoặc 23 m Kết hợp với hệ thức Viét ta có : 12 12 12 (1) 3 6 (2) 3 (3) x x m xx xx Giải hệ 1 , 2 ta được 1 6 2 m x ; 2 36 2 m x Thay 1 6 2 m x , 2 36 2 m x vào 3 ta được : 6 3 6 3 22 mm 6 3 6 12 mm 4 m Vậy 4 m là giá trị cần tìm . Câu 48: Trang 68 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ta có: 2 2 5 1 4 6 2 m m m 22 25 10 1 24 8 m m m m 2 2 1 mm 2 1 0, mm Vì 0, m nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. a) Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình Ta có: 1 5 1 1 31 2 mm xm ; 2 5 1 1 2 2 mm xm Theo đề bài: 22 12 1 xx 22 3 1 2 1 mm 22 9 6 1 4 1 0 m m m 2 13 6 0 mm 0 m 6 ; 13 m Vậy 0 m ; 6 13 m là giá trị cần tìm. Câu 49: Ta có: 2 ' ( 1) 3 mm 2 ' 2 1 3 m m m 2 ' 3 4 mm 22 2 3 3 3 ' 2. . 4 2 2 2 mm 2 37 ' 0, 24 mm Do ' 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. a) Gọi 12 , xx là hai nghiệm của phương trình 1 Áp dụng định lý Vi-ét: 12 12 2 1 2 3 3 b S x x m a c P x x m a Theo đề bài ta có: 22 12 P x x 22 1 2 1 2 1 2 22 P x x x x x x 2 1 2 1 2 2 P x x x x 2 4 1 2 3 P m m 2 4 8 4 2 6 P m m m 2 4 10 10 P m m Trang 69 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 22 2 5 5 5 2 2.2 . 10 2 2 2 P m m 2 5 15 15 2, 2 2 2 P m m Dấu "" xảy ra 55 20 24 mm Vậy 22 12 15 2 Min x x khi 5 4 m . b) Từ 3 12 3 m x x Thay 12 3 m x x vào 2 , ta được: 1 2 1 2 2 3 1 x x x x 1 2 1 2 24 x x x x Câu 50: Ta có: 2 ' 2 1 mm 2 ' 2 1 mm 2 ' 1 0, mm Với 1 m thì phương trình 1 có hai nghiệm 12 , xx Áp dụng Định lý Vi-ét: 12 12 2 2 2 1 3 b S x x m a c P x x m a Giải hệ: 12 12 2 30 x x m xx 2 12 42 30 xm xx 2 1 2 4 3 2 m x m x Thay 4 vào 3 , ta được: 2 3 21 4 m m 2 3 8 4 0 mm * 2 ' 4 3.4 '4 ' 2 0 Nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt: 12 2 2; 3 mm Vậy 12 2 2; 3 mm là giá trị cần tìm. Trang 70 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 51: Với m = 3 phương trình 1 trở thành: 2 – 6 4 0 xx 2 Giải 2 ra ta được hai nghiệm: 12 3 5, 3 5 xx . a) Ta có: 2 '4 m . Phương trình 1 có nghiệm 2 '0 -2 m m * Theo hệ thức Vi-ét ta có: 12 12 2 4 b S x x m a c P x x a Ta có : 22 12 1 1 2 xx 22 1 1 2 2 2 1 2 1 2 x x x x 22 1 2 1 2 2 0 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 x x x x x x 2 2 2.4 2.2 0 mm 2 4 4 8 0 mm 2 20 mm 1 2 1 2 m m . Đối chiếu với điều kiện * ta thấy chỉ có nghiệm 2 2 m thỏa mãn. Vậy 2 m là giá trị cần tìm. Câu 52: Ta có: 2 ' 1 0, mm Do đó phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt 1 x và 2 x . a) Theo định lí Vi-ét: 12 12 S 2 1 b x x m a c P x x a Ta có: 22 1 2 1 2 –7 x x x x 2 1 2 1 2 37 x x x x 2 2 3 1 7 m 2 4 3 7 m 1 m Vậy 1 m là giá trị cần tìm. Câu 53: Với 0 m phương trình 1 trở thành 2 – 1 0 xx 2 Ta có : 2 1 4.1.1 3 0 , nên phương trình 2 vô nghiệm. a) Ta có: 2 1 – 4 1 3 – 4 mm Để phương trình có nghiệm thì 4 0 3 4 0 3 mm * Theo hệ thức Vi-ét ta có: Trang 71 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 12 12 1 P= 1 b S x x a c x x m a Thay vào đẳng thức: 1 2 1 2 1 2 – 2 3 x x x x x x ta được: – 1 2 1 .1 3 mm – 1 13 mm 2 13 m 2 4 m 2 m Đối chiếu với điều kiện * suy ra chỉ có 2 m thỏa mãn. Vậy 2 m là giá trị cần tìm. Câu 54: Đặt 2 0 X x X Phương trình trở thành 4 2 2 ( 4 ) 7 1 0 X m m X m (1) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương 0 0 0 S P 22 2 ( 4 ) 4(7 1) 0 40 7 1 0 m m m mm m (I) Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương 1 X , 2 X . Phương trình đã cho có 4 nghiệm 1,2 1 xX ; 3,4 2 xX 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 2( ) 2( 4 ) x x x x X X m m Vậy ta có 22 1 2( 4 ) 10 4 5 0 5 m m m m m m Với 1 m , (I) thỏa mãn Với 5 m , (I) không thỏa mãn. Vậy 1 m là giá trị cần tìm. Câu 55: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x khi 0 2 2 1 4.2. 1 0 mm 2 4 4 1 8 8 0 m m m 2 4 12 9 0 mm 2 2 3 0 m Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x với mọi 3 1 2 m . Trang 72 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Theo định lí Vi-et, ta có: 1 12 1 2 2 12 13 4 21 7 2 1 7 7 * 2 26 8 3 4 11 13 4 7 7 3. 4. 11 7 26 8 m m x xx mm x x x m xx mm m Giải phương trình * ta được: 2 4,125 mm . So với điều kiện 1 , ta được: 2 4,125 mm . Câu 56: Tìm m để phương trình 1 có nghiệm. Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi 0 2 2 2 1 4. 3 0 mm 22 4 8 4 4 12 0 m m m 2 m . Vậy với 2 m phương trình 1 luôn có nghiệm. a) Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Với 2 m phương trình 1 có 2 nghiệm. Gọi a là một nghiệm thì nghiệm kia là 3a . Theo Vi-et, ta có: 2 3 2 1 .3 3 a a m a a m Giải hệ phương trình trên, ta được: 3 2 6 m thỏa mãn điều kiện. Vậy 3 2 6 m phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Câu 57: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Phương trình luôn có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi 0 2 4 1 0 mm 2 20 m Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m . a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 12 22 1 2 1 2 23 21 xx P x x x x . Theo Vi-et, ta có: 12 12 .1 x x m x x m . Khi đó: 2 21 2 m P m Tìm điều kiện để P có nghiệm theo ẩ n Suy ra 1 1 2 P . Vậy giá trị lớn nhất bằng 1 khi 1 m , giá trị nhỏ nhất bằng 1 2 khi 2 m . Trang 73 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 58: Giải phương trình 1 với 1 m . Thế 1 m vào phương trình 1 ta được 2 2 9 0 xx . Giải phương trình này ta được: 1 2 1 10 1 10 x x . a) Tìm m để phương trình 1 có 2 nghiệm thỏa mãn 12 12 11 xx xx . Để phương trình có 2 nghiệm thì 0 8 2 0 m 1 * 4 m . Để phương trình có nghiệm khác 0 thì: 2 2 4 1 0 23 mm Hay 1 2 4 3 2 ** 4 3 2 m m . Theo đề bài, ta có: 12 12 11 xx xx 1 2 1 2 10 x x x x 12 12 0 10 xx xx 2 20 8 3 0 m mm 0 4 19 4 19 m m m . Kết hợp với điều kiện * và ** , ta được 0 4 19 mm . Câu 59: Để phương trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thì 0 2 5 4 6 0 mm 2 14 1 0 mm 7 4 3 7 4 3 * mm a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. Giả sử 12 xx , theo Vi-et, ta có: 21 12 12 1 5 6 xx x x m x x m . Giải hệ trên ta được: 0 14 mm thỏa mãn * . b) Theo giả thiết ta có: 12 12 12 2 3 13 5 6 xx x x m x x m Giải hệ trên ta được: 01 mm thỏa mãn * . Trang 74 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 60: Để phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt thì: 0 2 1 3 0 mm 2 3 4 0 mm 2 37 0 24 m luôn đúng với mọi m . Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm với mọi m . a) Theo Vi-ét: 12 12 21 .3 x x m x x m 12 12 22 2 . 2 6 x x m x x m . d) Suy ra 1 2 1 2 24 x x x x hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình 1 mà không phụ thuộc vào m . 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 2 2 2 2 6 4 10 10 2 4 4 2 P x x x x x x m m m m m Vậy min 4 P khi và chỉ khi 5 4 m . Câu 61: Để phương trình * có hai nghiệm thì: 0 2 2 2 1 4 6 0 m m m 25 0 Vậy phương trình * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . Để phương trình * có hai nghiệm âm thì: 12 12 .0 0 xx xx 2 60 2 1 0 mm m 32 1 2 mm m 3 m Vậy với 3 m thì phương trình * luôn có hai nghiệm âm. a) Với 25 suy ra 12 2; 3 x m x m Theo giả thiết, ta có: 33 12 50 xx 33 2 3 50 mm 2 5 3 3 7 50 mm 2 10 mm 1 2 15 2 15 2 m m . Câu 62: Để phương trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thì 0 2 4 1 0 mm 2 20 m Vậy với 2 m phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt. 1. 22 1 2 1 2 6. A x x x x a) 22 1 2 1 2 6. A x x x x 2 1 2 1 2 8 x x x x 2 81 mm 2 88 mm b) Với 8 A 2 8 8 8 mm 80 mm Trang 75 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 c) 2 2 8 8 4 8 8 A m m m Vậy min 8 A khi và chỉ khi 4 m . d) Theo Vi-et, ta có: 12 12 12 1 3 x x m x x m xx 1 2 4 4 3 m m . Câu 63: Chứng tỏ phương trình có nghiệm 1 x , 2 x với mọi m . Để phương trình có 2 nghiệm thì 0 2 4 4 2 1 0 mm 2 2 2 0 m Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm 1 x , 2 x với mọi m . 1. 22 1 2 1 2 25 A x x x x 2 1 2 1 2 1 2 2 2 5 A x x x x x x 2 1 2 1 2 29 A x x x x Theo Vi-et, ta có: 12 12 2 21 x x m x x m . a) 2 2 2 2 9 2 1 8 18 9 A m m m m (đpcm). b) Theo giả thiết, ta có: 27 A 2 8 18 9 27 mm 2 4 9 9 0 mm 1 2 3 3 4 m m . c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất: 2 2 9 9 9 8 18 9 2 2 88 22 A m m m Vậy min 9 8 A khi 9 8 m . d) Tìm m sao cho 12 3 xx . Theo Vi-et, ta có: 12 12 12 2 21 3 x x m x x m xx 1 2 2 2 3 m m . Câu 64: Giải và biện luận số nghiệm của 1 x , 2 x của 1 theo tham số m . 2 2 1 2 5 4 m m m . - Nếu 0 2 40 m 22 m Phương trình 1 vô nghiệm. - Nếu 0 2 40 m 2 2 m m Phương trình 1 có nghiệm duy nhất 1 x . - Nếu 0 2 40 m 22 m Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. Trang 76 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 1. Tìm m sao cho 1 x , 2 x thỏa mãn - Theo Vi-et, ta có: 12 12 21 25 x x m x x m - Điều kiện nghiệm khác 5 0* 2 m a) 12 21 2 xx xx 22 1 2 1 2 2 x x x x 2 1 2 1 2 40 x x x x 2 4 1 8 20 0 mm 2 m b) 1 2 1 2 26 x x x x 2 1 4 10 6 mm 1 m c) Theo giả thiết, ta có: 12 12 12 21 25 2 3 5 x x m x x m xx 12 13 2 6 mm d) Tìm m sao cho 22 1 2 1 2 12 10x x x x đạt giá trị lớn nhất. Ta có: 22 1 2 1 2 12 10x x x x 2 1 2 1 2 12 8x x x x 2 12 8 2 5 4 1 mm 2 4 24 32 mm 2 4 3 23 92 m Đẳng thức đạt giá trị lớn nhất bằng 92 khi 3 m . Câu 65: Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 24 m 2 m a) Theo Vi-et, ta có: 12 2 12 22 12 21 3 4 x x m x x m xx 13 mm Câu 66: 2 2 4 4 2 0 m m m với mọi m . a) 22 1 2 1 2 2 x x x x 1 2 1 2 2 x x x x 12 mm 2 20 mm 12 mm . Câu 67: 2 2 2 3 1 2 0 m m m Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . a) Theo Vi-et, ta có: 12 12 2 23 x x m x x m b) 1 2 1 2 23 x x x x 23 m 3 2 m . Trang 77 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 68: 22 2 2 5 3 0 m m m Vậy với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm 1 x , 2 x . a) 2 22 22 1 2 1 2 1 2 1 2 9 3 3 2 5 4 2 2 2 4 4 A x x x x x x x x m m m Vậy max 3 4 A khi 9 4 m . Câu 69: 22 2 2 1 4 4 8 4 4 1 0 m m m m m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . a) Theo Vi-et, ta có: 12 21 x x m và 12 x x m Khi đó: 2 33 4 22 Am . Vậy min 3 2 A khi 0 m . Câu 70: 2 2 2 3 4 1 m m m 85 m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 5 8 m . a) 2 1 2 1 2 7 B x x x x 2 2 2 3 7 1 B m m m 2 5 49 49 3 6 36 12 Bm Vậy max 49 12 B khi 5 6 m . Câu 71: 2 2 1 4 3 2 2 m m m m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 0 1 m . a) Theo Vi-et, ta có: 12 21 x x m và 2 12 43 x x m m Khi đó: 2 4 3 4 1 A m m m 2 11 Am Vậy min 1 A khi 0 m . Trang 78 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 72: 2 2 1 4.2. 1 mm 2 2 3 0 m Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm 1 x , 2 x . a) Theo Vi-et, ta có: 12 21 2 m xx và 12 1 2 m xx \. b) Điều kiện để 1 x và 2 x khác 0 là 1 m Theo giả thiết, ta có: 12 21 4 1 4 1 9 xx xx 2 1 2 1 2 1 2 40 x x x x x x 2 21 2 1 1 0 2 m mm 2 8 4 0 mm 02 mm thỏa điều kiện 1 m . Câu 73: 2 2 17 20 24 m m m Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm với mọi m . a) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 5 2 9 8 18 9 A x x x x x x x x m m Theo giả thiết, có: 27 A 2 8 18 9 27 mm 2 8 18 18 0 mm 3 3 4 mm . Câu 74: 2 2 13 20 22 m m m Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . a) Theo Vi-et, ta có: 12 2 x x m và 12 2 x x m Theo giả thiết, ta có: 22 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x 2 1 2 1 2 20 x x x x 2 4 2 2 0 mm 1 1 2 mm . Câu 75: 2 22 4.( 2) 4 8 2 4 0 m m m m m Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . a) Theo Vi-et, ta có: 12 x x m và 12 2 x x m . Theo giả thiết: 22 12 12 22 .4 11 xx xx 22 1 2 1 2 1 2 2 4 0 x x x x x x 2 2 2 2 4 0 m m m 2 m . Trang 79 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Câu 76: Phương trình 2 1 2 2 0 x mx a) 2 20 m . Vậy phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Theo Vi-et, ta có: 12 2 x x m và 12 2 xx . Theo giả thiết, ta có: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 4 2 4 2 2 A x x x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 8 16 4 A x x x x x x x x x x 2 4 16 16 32 4 A m m m 2 4 32 28 A m m . III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: Bài T.1: a) Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: Khi đó phương trình trở thành: Ta có . Ta viết lại phương trình thành: . và . b) Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: Khi đó phương trình trở thành: . Ta có . Ta viết lại phương trình thành: c) Phương trình có dạng: Ta tạo ra vế trái dạng: Tức là thêm vào hai vế một lượng là: phương trình trở thành: . Ta cần 0 .0 0 A AB B 4 2 4 2 10 20 0 10 20 x x x x x x 22 2mx m 4 2 2 2 2 2 (10 2 ) 20 x mx m m x x m 2 9 1 4( 20)(10 2 ) 0 2 VP m m m 2 2 2 4 2 2 2 9 1 9 1 90 2 4 2 2 x x x x x x 22 1 17 ( 5)( 4) 0 2 x x x x x 1 21 2 x 4 2 4 2 22 8 77 0 22 8 77 x x x x x x 22 2mx m 4 2 2 2 2 2 (22 2 ) 8 77 x mx m m x x m 2 1 4(22 2 )( 77) 0 9 VP m m m 2 2 4 2 2 2 18 81 4 8 4 9 2 2 0 x x x x x x 22 1 2 2 ( 2 7)( 2 11) 0 1 2 3 x x x x x x 4 3 2 4 3 2 6 8 2 1 0 6 8 2 1 x x x x x x x x 2 2 4 3 2 2 ( 3 ) 6 (9 2 ) 6 x x m x x m x mx m 22 (9 2 ) 6 m x mx m 2 2 2 2 ( 3 ) (2 1) (6 2) 1 x x m m x m x m Trang 80 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 . Phương trình trở thành: d) Phương trình đã cho được viết lại như sau: Ta tạo ra phương trình: Ta cần: Phương trình trở thành: Bài T.2: a) Ta có phương trình (1.1) . Vậy phương trình có hai nghiệm b) Phương trình Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm . c) Ta có phương trình . 2 ' (3 1) (2 1)( 1) 0 0 VP m m m m 2 2 2 ( 3 ) ( 1) x x x 22 23 23 ( 4 1)( 2 1) 0 12 12 x x x x x x x x 4 3 2 2 5 6 3 x x x x 2 2 2 2 ( ) (2 6) (2 6) 3 x x m m x m x m 22 2 6 0 1 ' ( 3) (2 6)( 3) 0 VP m m m m m 2 2 2 ( 1) (2 2) x x x 22 3 21 2 ( 3 3)( 1) 0 3 21 2 x x x x x x 2 4 2 3 0 xx 2 22 2 2 3 0 2 3 2 3 0 1; 3 2 3 0 xx x x x x x x xx 1 ; 3 xx 4 2 2 4 4 9 18 9 0 x x x x 2 2 2 2 2 2 3 3 0 3 5 3 1 0 x x x x x x 2 2 3 29 3 5 0 2 3 1 0 35 2 x xx xx x 3 29 3 5 ; 22 xx 22 2 2 2 2 5 1 1 3 9 1 3 1 2 3 1 0 2 4 4 4 16 2 4 2 x x x x x x x x x 2 2 22 2 4 1 0 2 3 1 0 3 13 2 x xx xx x Trang 81 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 1) Đặt 2 2 x x t . Phương trình đã cho thành 2 16 3 t tt t . Với 2 t thì 22 2 2 0 0 x x x x x hoặc 1 x . Với 3 t thì 22 1 21 2 3 5 0 2 x x x x x . Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 21 1 21 1;0; ; 22 S . 2) Biến đổi phương trình thành 22 36 84 49 36 84 48 12 x x x x . Đặt 2 36 84 48 t x x thì phương trình trên thành 3 1 12 4 t tt t . Với 3 t thì 22 3 36 84 48 3 36 84 45 0 2 x x x x x hoặc 5 6 x . Với 4 t thì 22 36 84 48 4 36 84 52 0 x x x x , phương trình này vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là 53 ; 62 S . 3) Đặt 1 yx thì phương trình đã cho thành 42 10 24 48 216 82 12 yx yy yx . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 2;0 S . 4) Đặt 1 2 4 5 3 4 x x x x yx thì phương trình trở thành: 2 2 4 2 6 6 3 4 1 10 5 6 0 6 6 3 yx y y y y yx . Vậy tập nghiệm của phương trình là 6 3; 6 3 S . 5) Do 0 x không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho 2 x ta được 22 1 2 2 xx xx . Đặt 2 yx x thì phương trình trở thành 2 0 01 1 2 2 3 2 2 3 x yx x yy yx x x . Trang 82 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 6) Biến đổi phương trình thành 2 2 2 2 2 4 1 8 4 6 8 9 8 4 x x x x x x x x x x . Do 2 x không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho 2 x ta được: 88 6 9 4 xx xx . Đặt 8 yx x thì phương trình trở thành 2 5 6 9 4 15 50 0 10 y y y y y y . Với 5 y thì 2 8 5 5 8 0 x x x x (vô nghiệm). Với 10 y thì 2 5 17 8 10 10 8 0 5 17 x x x x x x . Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 17;5 17 S . 7) Do 0 x không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho 2 x ta được 22 11 3 2 2 3 5 0 xx xx . Đặt 1 yx x , phương trình trở thành: 22 2 1 3 2 2 3 5 0 1 0 1 y y y y y . Suy ra 1 15 1 2 1 15 1 2 x x x x x x . Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 1 5 ; 22 S . 8) Phương trình không nhận 0 x là nghiệm, chia hai vế cho 2 x được 2 2 11 3 4 5 0 xx xx . Đặt 1 tx x thì phương trình trở thành 2 3 4 1 0 tt 2 3 4 1 0 1 t t t hoặc 1 3 t . Với 1 t thì 2 1 1 5 1 1 0 2 x x x x x hoặc 15 2 x . Với 1 3 t thì 2 3 1 1 1 37 3 3 0 32 x x x x x hoặc 4 1 37 2 x . Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 5 1 5 1 37 1 37 ; ; ; 2 2 2 2 S . 9) 4 3 2 2 21 34 105 50 0 x x x x (8). Lời giải: Trang 83 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Ta thấy 105 5 21 k và 2 50 25 2 k nên phương trình (8) là phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ. 2 2 25 5 8 2 21 34 0 xx xx . Đặt 5 tx x suy ra 22 2 25 10 tx x . Phương trình (9) trở thành 2 2 21 54 0 6 t t t hoặc 9 2 t . Với 6 t thì 22 5 6 6 5 6 5 0 x x x x x x . Phương trình có hai nghiệm 12 3 14; 3 14 xx . Với 9 2 x thì 2 59 2 9 10 0 2 x x x x . Phương trình có hai nghiệm 34 9 161 9 161 ; 44 xx . Vậy PT (8) có tập nghiệm 9 161 9 161 3 14;3 14; ; 44 S . 10) Điều kiện 1 ; 2; 3; 4;0 x . Ta biến đổi phương trình thành 22 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 00 4 1 3 2 4 4 3 2 xx x x x x x x x x x x 2 2 2 1 1 1 0 4 4 3 2( 4 4) x x x x x x . Đặt 2 4 u x x , phương trình trở thành 1 1 1 0 3 2 4 u u u 2 25 145 5 25 24 10 0 2 3 4 25 145 10 u uu u u u u . Do đó 2 2 25 145 4 10 25 145 4 10 xx xx . Tìm được tập nghiệm của phương trình là 15 145 15 145 15 145 15 145 2 ; 2 ; 2 ; 2 10 10 10 10 S . 11) Biến đổi phương trình thành 22 5 5 10 10 8 10 40 8 1 1 2 2 3 1 4 3 x x x x x x . Đặt 2 1, 4; 0 u x u u u dẫn đến phương trình 2 16 4 65 16 0 1 4 u uu u . bTìm được tập nghiệm của phương trình là 11 ; 4; ;4 22 S . Trang 84 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 12) Điều kiện 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 ;0 x . Biến đổi phương trình thành 1 6 2 5 2 5 7 1 3 4 6 x x x x x x x x x x x x 1 1 1 6 1 1 2 2 2 5 7 xx x x x x 2 1 1 5 1 1 2 1 3 4 6 xx x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 7 1 3 4 6 x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 7 2 5 1 6 3 4 x x x x x x x x x 2 2 2 2 1 1 1 1 2 7 0 7 7 10 7 6 7 12 x x x x x x x x 2 2 2 2 7 2 1 1 1 1 0(*) 7 7 10 7 6 7 12 x x x x x x x x x . Đặt 2 7 u x x thì phương trình (*) có dạng 1 1 1 1 1 1 1 1 00 10 6 12 6 10 12 u u u u u u u u 2 18 90 0 uu . Mặt khác 2 2 18 90 9 9 0 u u u với mọi u . Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 7 2 x . 13) . Lời giải: Điều kiện 4; 3; 2; 1 x . Biến đổi phương trình thành 1 2 3 4 1 4 2 3 00 1 2 3 4 1 4 2 3 x x x x x x x x 22 31 0 5 4 5 6 x x x x x 22 0 31 0(*) 5 4 5 6 x x x x x . Đặt 2 5 u x x thì phương trình (*) trở thành 3 1 11 0 4 6 2 u uu . Từ đó ta có 2 53 2 10 11 0 2 x x x . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 5 3 5 3 0; ; 22 S . Trang 85 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 14) Do 0 x không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức ở vế trái của phương trình cho x , rồi đặt 7 4 yx x ta được 43 1 8 10 yy . Phương trình trên có 2 nghiệm 16, 9 yy . Với 9 y thì 2 7 4 9 4 9 7 0 x x x x . Phương trình này vô nghiệm. Với 16 y thì 2 7 4 16 4 16 7 0 x x x x . Phương trình này có hai nghiệm 12 17 ; 22 xx . Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 17 ; 22 S . 15) Đặt 2 21 t x x , phương trình (1) thành 2 2 2 2 2 2 4 4 9 16 9 25 5 t x t x x t x x t x t x hoặc 5 tx . Với 5 tx thì 22 37 2 1 5 2 6 1 0 2 x x x x x x . Với 5 tx thì 22 22 2 1 5 2 4 1 0 2 x x x x x x . Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 3 7 2 2 ; 22 . 16) Lời giải: Đặt 1 ux đưa phương trình (2) về dạng tổng quát 2 2 2 7 3 2 3 6 u u u u u . Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau Viết phương trình đã cho về dạng 2 22 4 5 5 4 6 1 0 x x x x . Đặt 2 4 tx , phương trình thành 2 5 5 6 6 1 0 6 6 1 0 t x t x x t x t x 22 22 37 6 6 4 6 6 6 2 0 1 21 1 4 1 5 0 2 x t x x x x x tx x x x x x . Trang 86 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Vậy tập nghiệm của PT(2) là 1 21 1 21 ;3 7; ;3 7 22 S . 17) PTtương đương với 4 2 2 9 2 16 4 0 x x x x . Đặt 2 2 tx thì 2 4 2 44 t x x , PT trên thành 22 9 20 0 4 5 0 t xt x t x t x 22 22 26 4 2 4 4 2 0 5 33 5 2 5 5 2 0 2 x t x x x x x tx x x x x x . Vậy tập nghiệm của phương trình là 5 33 5 33 2 6; ;2 6; 22 . 18) Điều kiện 2 x . Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương: 4 3 2 4 2 2 3 6 16 36 12 0 3 6 6 16 12 0 x x x x x x x x . đặt 2 6 tx thì 2 4 2 12 36 t x x , suy ra 4 2 2 3 3 36 108 x t x , PT trên thành 2 3 6 20 0 3 6 20 0 0 t xt t t t x t hoặc 3 6 20 tx . Với 0 t thì 2 60 x , suy ra 6 x (thỏa mãn đk). Với 3 6 20 tx ta có 2 3 18 6 20 xx hay 2 3 6 2 0 xx suy ra 33 3 x (thỏa mãn đk). Vậy tập nghiệm của PT(4) là 3 3 3 3 ; 6; ; 6 33 S . 19) 22 2 13 6 3 5 2 3 2 xx x x x x (5). Lời giải: Đặt 2 32 tx PT(5) trở thành 2 13 6 5 xx t x t x . ĐK: 5, t x t x . Khử mẫu thức ta được PT tương đương 22 2 13 11 0 2 11 0 t tx x t x t x tx hoặc 11 2 tx (thỏa mãn ĐK) Với tx thì 22 3 2 3 2 0 x x x x phương trình vô nghiệm. Với 11 2 tx thì 2 11 1 3 2 6 11 2 0 22 x x x x x hoặc 4 3 x .Vậy tập nghiệm của PT(5) là 14 ; 23 . Trang 87 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 20) PT 2 2 2 2 1 1 2 1 0 x x x x 4 2 4 2 2 1 0 x x x x 2 4 2 4 2 2 1 0 x x x x 2 4 2 4 2 1 0 1 0 x x x x . Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là 5 1 5 1 ; 22 . 21) Lời giải: Điều kiện 1 x . Đặt 22 ; 11 xx yz xx , PT có dạng: 2 22 20 5 20 0 5 2 0 2 y z yz y z y z Dẫn đến 22 2. 2 2 1 2 1 11 xx x x x x xx 2 2 2 2 6 4 3 2 9 2 0 x x x x x x 9 73 2 x hoặc 9 73 2 x (thỏa mãn điều kiện). Vậy tập nghiệm của PT(2) là 9 73 9 73 ; 22 . Trang 88 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 PHẦN B: CÁC DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO PHỨC TẠP I. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1). Dạng có bả n B A A B A A B A B B A B A B A 0 0 0 2 2). Các dạng khác - Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó. - Có thể đặt ẩ n phụ 3). Mộ t số bài tậ p mẫu Bài 1: Giải phương trình: 1 1 2 x x Giải 1 1 2 x x 0 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x Vậy x=1; x= 0 Bài2 :Giải phương trình 2 2 4 3 1 x x x Giải: + Xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp: Trường hợp 1: 0 12 x x ta có: 22 35 (1) 3 4 3 3 1 0 2 x x x x x . Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm. Trang 89 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trường hợp 2:01 x ta có 22 15 (1) 4 3 1 0 2 x x x x x . Ta thấy 15 2 x thỏa mãn. Trường hợp 3: x > 2 ta có 22 1 29 (1) 4 3 7 0 2 x x x x x . Ta thấy 1 29 2 x thỏa mãn. Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm 15 2 1 29 2 x x . Bài 3: Giải phương trình: 9 5 6 2 x x x Giải 9 5 6 2 x x x 3 1 9 5 6 9 5 6 2 2 x x x x x x x x Vậy: x= 1; x= 3 Bài 4: Giải phương trình: (|x|+ 1) 2 = 4|x|+ 9 Giải (|x|+ 1) 2 = 4|x|+ 9 Đặt t= |x| với 0 t PT: (t+ 1) 2 = 4t + 9 ) ( 2 4 0 8 2 2 loai t t t t Với t= 4 thì |x|= 4 4 x Vậy x= 4; x= – 4 Trang 90 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 5: Giải và biện luận |x 2 – 2x +m|+x=0 Giải |x 2 – 2x +m|+x=0 m m có Ta m x x m x x x x m x x x x m x x 4 1 4 9 ) 2 ( 0 ) 1 ( 0 3 0 2 0 2 2 1 2 2 2 2 Biện luận + 2 4 1 1 2 4 9 3 0 m x m x m + m> 0: Vô nghiệm 4). Bài tậ p tự luyện. Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1). 2 1 2 1 4 xx ( 1) x 7). 8 2 1 2 2 x x x 9 () 2 x 2). 2 3 4 xx 19 ( ; ) 22 x 8). x x x 2 1 2 13 () 2 x 3). 2 2 2 1 5 xx (PTVN) 9). 5 2 3 2 2 3 x x x x 23 3 ( ; ) 9 23 x 4). 2 4 3 x x 1 ( 3; ) 2 x 10). 2 11 2 ( 2) xx xx (x=5) 6). 1 1 2 x x (x=0; – 1; 1) 11). 1 2 2 3 2 x x x ( 5 21) x Bài 2: Giải các phương trình sau 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 17 1 1) 2 2 ( ; ) 5) 2 2 1 ( 1; ; 1 2) 3 4 3 2) 2 2 1 ( 1;3;5) 6) 3 2 2 1 ( 5 21) 3) 4 3 3 ( 0; 5) 7) 12 2 ( 5; 7) 1 1 3 17 4) 2 3 ( 1; ; ) 24 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x Trang 91 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau 0 2 2 4 ). 2 1 3 ). 1 2 m m x x x x m x Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x 2 – 2x + m| = x 2 + 3x – m – 1 II. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC 1). Các dạng cơ bả n 3 3 2 0 ) 0 ( 0 B A B A B A B B A B A B hay A B A 2). Các dạng khác - Đặt điều kiện cho 0 2 A là A n , nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn thức Lưu ý: 1 2 1 2 2 2 0 . n n n n B A B A B A B A B A - Đặt ẩ n phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản 3). Các bài tậ p mẫu Bài 1: Giải các phương trình sau 2 2 2 1). 4 2 2 2). 25 1 3). 3 9 1 2 x x x xx x x x Giải 2 2 2 2 1). 4 2 2 2 0 2 4 2 ( 2) 3 0 2 3 03 x x x xx x x x x x x x xx 2 2 2 2 2). 25 1 1 0 1 1 4 43 25 ( 1) 2 2 24 0 xx xx x x xx x x x x Trang 92 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 22 2 2 2 3). 3 9 1 2 3 9 1 2 2 2 0 2 3 1 3 3 9 1 ( 2) 2 5 3 0 2 x x x x x x x xx x xx x x x x x Bài 2: Giải các phương trình : 2 0 0 1) 2 3 0 2 3 3 13 23 x x x x x x x xx xx 2 2) 4 1 1 2 4 1 2 1 11 44 22 4 1 2 (1 )(1 2 ) 1 2 (1 )(1 2 ) 2 1 1 4 11 2 1 22 0 7 2 0 (1 )(1 2 ) 4 4 1 2 x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx xx x x x x III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp. 1. Các bài tậ p mẫu Bài 1: Cho phương trình : 1 ( 3)( 1) 4( 3) (1) 3 x x x x m x . a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: Đặt 2 1 ( 3) ( 3)( 1) 3 x X x X x x x nên pt (1) đưa về :X 2 +4X-m=0 (2) a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành 2 1 4 3 0 3 X XX X + Nếu 2 3 3 1 1 1 ( 3) 1 ( 3)( 1) 3 2 4 0 3 15 15 x x x Xx xx x xx x x x Trang 93 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 + Nếu 2 3 3 1 3 3 ( 3) 9 ( 3)( 1) 3 2 12 0 3 1 13 1 13 x x x Xx xx x xx x x x b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm 0 4 0 4 mm . Giả sử nghiệm là X0 thì 0 1 ( 3) 3 x xX x . + Nếu X0 = 0 thì x = – 1 + Nếu X0 > 0 thì 2 0 2 0 3 14 ( 3)( 1) x xX x x X + Nếu X0 < 0 thì 2 0 2 0 3 14 ( 3)( 1) x xX x x X Vậy với 4 m thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm. Bài 2: Giải phương trình 3 6 (3 )(6 ) 3 x x x x . Hướng dẫn: Đặt 36 X x x .Đưa về phương trình:X 2 – 2X – 3 = 0 Bài 3: Giải phương trình 3 3 1 2 2 1 xx . Hướng dẫn: Đặt 3 3 3 3 12 2 1 1 2 12 xy y x y x yx .Đáp số: x=1; 15 2 x Bài 4: Giải bất phương trình 51 5 2 4 2 2 xx x x . Hướng dẫn: Đặt 1 2 tx x . Bất phương trình trở thành 2 2 2 5 2 0 1 2 t tt t Trường hợp 1: 3 2 2 2 3 02 2 x t x Trường hợp 2: 1 2 t .Bất phương trình vô nghiệm. Trang 94 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 5: Giải phương trình – 4 ) 2 )( 4 ( x x = 2 x – 2x – 8 (1) Hướng dẫn: Đặt t = ) 2 )( 4 ( x x (t 0) (1) trở thành: – 4t = – 2 t 4 t 0 t * Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ, khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình. Cụ thể: + Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức chính phương ( = ) x ( g 2 , g(x) là một đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; nếu phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty. Bài 6: Giải phương trình (4x – 1) 1 x 2 = 2 2 x + 2x + 1 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 1 x 2 (t 1) (1) trở thành (4x – 1)t = 2 2 t + 2x – 1 = 2 ) 3 x 4 ( (chính phương) t = 4 ) 3 x 4 ( ) 1 x 4 ( 1 x 2 1 x 2 1 1 x 2 2 Bài 7: Giải phương trình 2 2 x – 3x + 2 = x 2 x 3 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 2 x 3 (t 0) (1) trở thành 2 t + xt – 2 2 x = 0. Cách 1: = 9 2 x (chính phương) t = 2 x 3 x x 2 2 x 3 x 2 x 3 Cách 2: phương trình đẳng cấp đặt x = ty: 2 t + y 2 t – 2 2 y 2 t = 0 2 t (1 + y – 2 2 y ) = 0. Bài 8: Giải phương trình 2(1 – x) 1 x 2 x 2 = 2 x – 2x – 1. + Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và cũng không chính phương thì coi t và x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình. Trang 95 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 9: Giải phương trình 2 x + 5 x = 5 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 5 x (t 0) Ta có hệ phương trình 5 x t 5 t x 2 2 Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0. 1 x t x t 1 x 5 x x 5 x Bài 10: Giải phương trình 2 x + 4x = 6 x (1) Hướng dẫn: Nếu đặt t = 6 x (t 0) ta được hệ 6 x t t x 4 x 2 2 khó khăn Ta dự kiến đặt 6 x = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng: Ta có hệ phương trình: 2 2 2 2 b 6 x abt 2 t a b at x 4 x hệ này đối xứng nếu 2 2 b 6 b 1 a 4 ab 2 1 a 2 b 1 a . Như vậy ta đặt t + 2 = 6 x (t – 2) Khi đó có hệ pt đối xứng: 2 x t 4 t 2 t x 4 x 2 2 (ĐS 3 17 5 13 ;) 22 x Bài 11: Giải phương trình 7 2 x + 7x = 28 9 x 4 (x > 0) Hướng dẫn: Dự đoán đặt 28 9 x 4 = at + b ta tìm được a = 1, b = 2 1 để có hệ phương trình đối xứng. Như vậy sẽ đặt t + 2 1 = 28 9 x 4 . Trang 96 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 12: Giải phương trình 1 x x + x 1 x = 2 3 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 1 x x x 1 x = t 1 (t > 0) (1) trở thành: t + t 1 = 2 3 2 2 t – 3t + 2 = 0. Bài 13: Giải phương trình 1 x + x 4 + ) x 4 )( 1 x ( = 5 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 1 x + x 4 ) x 4 )( 1 x ( = 2 5 t 2 (1) trở thành: t + 2 5 t 2 = 5. Bài 14: Giải phương trình x x 2 + ) x 1 ( x 7 = 3 + 2 (1) Hướng dẫn: Đặt x x 2 = t (t 0) (1) trở thành: t + 7 t 2 = 3 + 2 7 t 2 = 3 + 2 – t (dạng 1 căn) 2 2 ) t 2 3 ( 7 t 0 2 3 Bài 15: Giải phương trình x x 2 + 7 x x 2 = 3 + 2 (1) Hướng dẫn: Đặt 7 x x v x x u 2 2 (1) trở thành: u + v = 3 + 2 . Ta có hệ phương trình 7 u v 2 3 v u 2 2 Trang 97 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 16: Giải phương trình 3(2 + 2 x ) = 2x + 6 x Hướng dẫn: Đặt 6 x v 2 x 3 u 2). Bài tậ p tự luyện Bài 1:Giải các phương trình 2 2 2 27583 1)3 34 3 3 1 : 9 1 1 1 1 2) 5 5 : 17; 21 2 2 2 2 1 3) 3 9 1 2 0 : 2 11 4) 2 9 4 3 1 : ; 0 3 5) 5 1 3 2 1 0 : 2 6) 2 3 5 2 4 6 0 : 2 x x kq x x x kq x x x x x kq x x x x kq x x x x x kq x x x x x kq x 7). 3 1 4 1 : 5 47 8). 3 4 2 7 : 24 x x kq x x x x x kq x x x x 2 1 1 4 ). 9 x=0 Bài 2: Giải các phương trình 1) 4 2 x x (x=6) 2) 0 2 1 9 3 2 x x x 1 (x ) 2 3) 5 2 3 4 2 x x x ( 5 14 x ) 4) 7 1 2 2 x x ( 5 x ) 5) 1 2 3 2 2 x x x ( ) 3 15 3 x 4) 2 4 4 4 2 2 x x ( 2 2 x ) Trang 98 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 3: Giải các phương trình sau 1) 1 3 4 9 2 x x x ( 11 x 0 x ) 3 2) 0 1 2 3 1 5 x x x (x=2) 3) 1 7 2 3 x x ( 9 x ) 4) 3 8 x x x ( 1 x ) 5) 2 1 x x x ( 3 3 2 3 x ) 6) 4 3 1 x x ( 0 x ) Bài 4: Giải các phương trình 1) (x + 5)(2 – x) = 3 x 3 x 2 . (x=1;x=-4) 2) x 3 + 1 x – 4 3 x x 4 2 = – 2. (x=2) 3) 2 x + 7 x = 7. x=2 ; ( 11 29 22 x ) 4) 3 2 ) x 2 ( + 3 2 ) x 7 ( – 3 ) x 7 )( x 2 ( = 3. ptvn 5) 19 3 3 2 7 2 2 2 x x x x x x (x=1;x=-2) 6) 3 6 3 3 3 2 2 x x x x (x=1;x=2) 7) 1 2 3 2 2 x x x x ( 11 5 22 x ) 8) 1 6 5 2 2 2 5 2 2 2 x x x x ( 7 1; 2 xx ) 9) 11 26 26 2 2 x x x x (x=1;x=5) 10) 2 2 4 3 2 4 x x x x (x=2;x=0; 21 14 33 x ) 11) 2 5 3 2 9 4 1 2 3 2 x x x x x (x=2) 12) 1 2 2 1 1 4 2 2 x x x x ( 4 3 x ) Trang 99 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 5: Giải các phương trình 1) x x x x 3 3 ) 2 )( 5 ( 2 (x 1 x 4) 2) 5 ) 4 )( 1 ( 4 1 x x x x (x 0 x 3) 3) 0 1 3 1 2 2 x x x (x 1 x 2 2) 4) 1 1 2 3 x x (x 1 x 2 x 10) 5) 4 ) 5 )( 2 ( 5 2 x x x x ( 2 5 3 3 x ) 6) 16 2 12 2 4 4 2 x x x x (x=5) 7) 3 6 3 3 3 2 2 x x x x (x=1;x=2) 8) 2 5 3 2 9 4 1 2 3 2 x x x x x (x=2) V. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 1). Mộ t số bài tậ p mẫu Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 24 y x x và áp dụng để giải phương trình: 2 2 4 6 11 x x x x . Giải: Áp dụng bất đẳng thức : 2 2 2 2( ) ( ) a b a b .ta có: 2 2( 2 4 ) 2 4 2 x x x x y . Do đó y lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi: 2 4 3 x x x .Mặt khác 22 6 11 ( 3) 2 2. x x x x nên: 2 2 2 4 2 2 4 6 11 3 6 11 2 xx x x x x x xx Bài 2: Giải phương trình x 3 + x 1 = 4 8 x (1) Giải. MXĐ: x > 0 Có 4 x 1 x 3 = 8 x 1 x 1 x x x x x x 8 x (2) x > 0 (BĐT Côsi) Vậy (1) dấu “=” ở (2) xảy ra x = x 1 x = 1. Trang 100 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 3: Giải phương trình 2 x + x 4 = 2 x – 6x + 11. (1) Giải. * Cách 1 2 ) 1 ( VT ( 2 1 + 2 1 )(x – 2 + 4 – x) = 4. (BĐT Bunhiacopxki) VT 2. VP(1) = 2 ) 3 x ( + 2 2. Vậy (1) 2 ) 1 ( VP 2 ) 1 ( VT 0 3 x 1 x 4 1 2 x x = 3. * Cách 2 Đặt A x 2 4 x 2 2 2 A 2 2 (x 2)(4 x) A 2 (x 2) (4 x) A 4 (BĐT Côsi) VT 2 với 2 x 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x – 2 = 4 – x x = 3 Mặt khác VP = 22 x 6x 11 (x 3) 2 2 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3 Suy ra phương trình đã cho tương đương với hệ 2 x 2 4 x 2 x3 x 6x 11 2 Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình Bài 4: Giải phương trình 3 x 7 x 3 2 + 4 x 3 x 2 = 2 x 2 + 1 x 5 x 3 2 (1) Giải. Viết 3 x 7 x 3 2 = ) 2 x ( 2 1 x 5 x 3 2 4 x 3 x 2 = ) 2 x ( 3 2 x 2 Vậy (1) 0 1 x 5 x 3 0 2 x 0 2 x 2 2 x = 2. Trang 101 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Bài 5: Giải phương trình 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x (1) Giải. 2 2 2 (1) 3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1) VT(1) 5, VP(1) 5, x VT(1) 5 (1) x 1 0 x 1 VP(1) 5 Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình VI. NHIỀU CĂN BẬC LẺ: * Nâng lũy thừa: 3 A + 3 B = 3 C A + B + 3 3 AB ( 3 A + 3 B ) = C A + B + 3 3 AB 3 C = C (Bước này không tương đương) 3 3 ABC = C – A – B 27ABC = 3 ) B A C ( Bài 1. Giải phương trình 3 1 x 2 + 3 1 x = 3 1 x 3 . (1) Giải: (1) 22 33 33 2x 1 x 1 3 (2x 1) . x 1 3 2x 1. (x 1) 3x 1 33 3 33 3 3 3 32 3x 2 3 (2x 1)(x 1) 2x 1 x 1 3x 1 3 (2x 1)(x 1) 2x 1 x 1 1 (2x 1)(x 1). 3x 1 1 (2x 1)(x 1)(3x 1) 1 6x 7x 0 x 0 (loai) 7 x 7 6 x (nhan) 6 Bài 2. Giải phương trình 3 1 x + 3 2 x = 3 3 x 2 (1) Giải. (1) x – 1 + x – 2 + 3 3 1 x 3 2 x ( 3 1 x + 3 2 x ) = 2x – 3 Trang 102 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 2x – 3 + 3 3 ) 2 x )( 1 x ( 3 3 x 2 = 2x – 3 1 2 3 () 2 x x x loai Vậy x= 1; x=2 * Đặt ẩn phụ: Bài 1. Giải phương trình 3 x 10 + 3 1 x = 3. (1) Giải. Đặt u = 3 x 10 v = 3 1 x Ta có hệ 9 v u 3 v u 3 3 (ĐS x= 9; x= 2) VII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ * Cách 1: Làm mất căn lần 1: đặt 1 ẩn phụ. Làm mất căn lần 2: nâng lũy thừa. * Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ. 1). Bài tậ p mẫu Bài 1. Giải phương trình 3 7 x – x = 1 (1) Hướng dẫn +Cách 1: Đặt t = x (t 0) (1) trở thành 3 2 7 t = t + 1 2 t + 7 = 3 t + 3 2 t + 3t + 1 (t – 1)( 2 t + 3t + 6) = 0 (ĐS x=1) +Cách 2: Đặt x v 7 x u 3 có hệ 7 v u 1 v u 2 3 Bài 2. Giải phương trình 3 x – 3 x = 1 (1) Trang 103 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Hướng dẫn + Cách 1: Đặt t = 3 x , (1) trở thành: 1 t 3 = t + 1 + Cách 2: Đặt 3 x v 3 x u có hệ 3 v u 1 v u 3 2 (ĐS 1; 2 2) xx TÀI LIỆU ĐƯỢC SOẠN LÀ TỔNG HỢP KIẾN THỨC TẤT CẢ CÁC NGUỒN CỦA SÁCH VÀ CÁC TÁC GIẢ TRÊN CẢ NƯỚC. Với năng lực có hạn, bài viết chưa được test lại kết quả nên rấ t mong các thầy cô giáo, các em học sinh đóng góp bổ sung. Xin chân thành cảm ơn!
