Chuyên đề Rút gọn biểu thức - Bài toán phụ
PAGE \* MERGEFORMAT 131/ NUMPAGES \* MERGEFORMAT 201
Nhóm Toán THCSToán học là đam mê
Nhóm Toán THCS:
https://www.facebook.com/groups/606419473051109/
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10
CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ
A. LÝ THUYẾT
1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
1.2.(Với )3.(Với )4.(Với )5.(Với )6.(Với )7.(Với )8.(Với )9(Với )10(Với )11
2. XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC
BIỂU THỨC - ĐKXĐ:VÍ DỤ1. ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ:2.ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ:3.ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ:4.ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ:5.ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ:6.Cho a > 0 ta có: Ví dụ: 7.Cho a > 0 ta có: Ví dụ:
Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
1.Dạng tổng quát 1: với k là hằng số2.Dạng tổng quát 2:3.Dạng tổng quát 3:Trường hợp 1Nếu thì phương trình trở thành Trường hợp 2Nếu thì phương trình trở thành
Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
1.Dạng tổng quát 1:
Đặc biệt với hằng số thì 2.Dạng tổng quát 2:
Đặc biệt với hằng số thì 3.Dạng tổng quát 3:Trường hợp 1Trường hợp 2
Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu “ = ” xảy ra
Ví dụ: cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn
Vì Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
Dấu “ = ” xảy ra
Vậy
Ví dụ: cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn
Cách giải sai: Vì Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
Dấu “ = ” xảy ra (không thỏa mãn vì )
Vậy
Gợi ý cách giải đúng:
Dự đoán đạt được tại mức ta có . Dấu “ = ” xảy ra
Do đó ta có Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
Dấu “ = ” xảy ra (vì )
Vậy
Ví dụ: cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hướng dẫn
Tương tự: Vì Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
Dấu “ = ” xảy ra
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với
Hướng dẫn
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có
Dấu “ = ” xảy ra
3. CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC
Bước 1:Tìm điều kiện xác địnhBước 2:Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tửBước 3:Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫuBước 4:Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn
Ví dụ: Rút gọn biểu thức
Hướng dẫn
Điều kiện:
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức.
a) b) c) d) Hướng dẫn
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức.
a) b) c) d) Hướng dẫn
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức.
a)b)c)
d)
Hướng dẫn
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức.
a) b) c) d) Hướng dẫn
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức.
a) c)b) d) Hướng dẫn
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức.
a) b) c) d) Hướng dẫn
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức.
a) b)c)d) Hướng dẫn
a)
b)
c)
d)
Các bài toán rút gọn chứa ẩn và bài toán phụ
Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC KHI
Phương pháp: Rút gọn giá trị của biến (nếu cần) sau đó thay vào biểu thức đã cho rồi thay vào biểu thức đã cho rồi tính kết quả.
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tính giá trị của khi
Hướng dẫn
a) Ta có
b) Khi ta có:
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi
Hướng dẫn
a)
với ĐKXĐ:
b) Ta có:
Khi Ta có:
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết
Hướng dẫn
a)
với ĐKXĐ:
b) Khi . Ta có
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết
Hướng dẫn
a)
b) Ta có
Khi . Ta có
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết
Hướng dẫn
a)
với ĐKXĐ:
b) Khi . Ta có
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết .
c) Tính giá trị của A biết.
d) Tính giá trị của A biết
Hướng dẫn
a) với ĐKXĐ:
b) Khi . Ta có:
c) Khi . Ta có:
d) Khi
(Loại)
Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp:
• Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A = k thì ta biến đổi A−k = 0 tính kết quả, kết hợp với điều kiện để kết luận.
• Nếu bài toán yêu cầu tìm x để A > k (≥,≤,< k). Ta đi đánh giá dựa vào điều kiện hoặc đi xét hiệu A−k > 0 với điều kiện của đề bài để tìm x.
Ví dụ: Cho biểu thức với Tìm để
Hướng dẫn
Để(thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A = 0.
Hướng dẫn
a)
với ĐKXĐ:
b) Để (không thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ: Cho biểu thức và với
a) Rút gọn P.
b) Tìm x sao cho P= 2.
Hướng dẫn
a)
b) Để (TMĐK)
Ví dụ: Cho biểu thức với Tìm để A > 1.
Hướng dẫn
Để
(TMĐK)
Ví dụ: Cho biểu thức với Tìm để
Hướng dẫn
Cách 1: Để (luôn đúng)
Cách 2: Xét hiệu < 0
Vậy với
Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1.
Hướng dẫn
a) với
b) Để (TMĐK)Ví dụ: Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Giải bất phương trình
Hướng dẫn
a)
với ĐKXĐ:
b) Để (TMĐK)
Ví dụ: Cho biểu thức và với
a) Rút gọn P.
b) Tìm M = P : Q. Tìm giá trị của x để
Hướng dẫn
a)
b)
Để
Kết hợp với ĐKXĐ:
Ví dụ: Cho biểu thức và với
a) Tính giá trị biểu thức A khi
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm giá trị nguyên của x để
Hướng dẫn
a) Khi . Ta có
b)
c) Để
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn.
b) Tìm để
Hướng dẫn: ĐK:
b) Với để thì
Với để thì
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn.
b) Giải bất phương trình
HDG:
ĐKXĐ:
b) Với để thì
Ví dụ: Cho biểu thức: và với
a) Rút gọn
b) Biết Tìm giá trị của để
HDG:
a) Với ta có:
b)
Để
Với để thì
Ví dụ: Cho biểu thức: và với
a) Tính giá trị biểu thức khi
b) Rút gọn biểu thức
c) Tìm giá trị nguyên của để
HDG:
a)Ta có:
Thay vào biểu thức ta có:
b)
Có:
DẠNG 3: SO SÁNH BIỂU THỨC VỚI HOẶC BIỂU THỨC ( là hằng số)
Phương pháp: Nếu đề bài yêu cầu so sánh biểu thức với hằng số hay biểu thức khác là thì ta đi xét hiệu và xét dấu biểu thức này rồi kết luận.
Ví dụ: Cho biểu thức: và với
a) Rút gọn
b) Hãy so sánh với
Hướng dẫn:
a)
b)Ta có:
Xét hiệu: với
Ví dụ: Cho biểu thức: với
a) Rút gọn
b) Hãy so sánh với
HDG:
a) với
b) Xét hiệu:
Vậy
Ví dụ: Cho biểu thức: với
a) Rút gọn
b) Hãy so sánh với
HDG:
Với
Ví dụ: Cho biểu thức: với
a) Rút gọn
b) Hãy so sánh với
Xét hiệu
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Hãy so sánh với
Xét hiệu:
DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dưới dạng phân thức có tử là số nguyên, lí luận chặt chẽ để rồi chỉ ra mẫu phải thuộc ước của tử và kết luận.
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên
Hướng dẫn:
a) Điều kiện:
b) Ta có:
có giá trị nguyên có giá trị nguyên
Ta biết rằng khi là số nguyên thì hoặc là số nguyên (nếu là số chính phương)hoặc là số vô tỉ (nếukhông là số chính phương) Để là số nguyên thì không thể là số vô tỉ, do đólà số nguyên, suy ra là ước tự nhiên của
Ta bảng sau:
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
HDG:
a) ĐK:
b) Ta có:
có giá trị nguyên có giá trị nguyên
Mà nên
Ta có:
Vậy
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Tìm các giá trị của để
c) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.
HDG:
a) ĐK:
b) Với để thì
Vậy với để thì
c)
có giá trị nguyên có giá trị nguyên
Mà nên
Ta có:
Vậy
Ví dụ: Cho biểu thức: và với
a) Rút gọn
b) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên
HDG:
Với
b)Ta có:
có giá trị nguyên có giá trị nguyên
Ta biết rằng khi là số nguyên thì hoặc là số nguyên (nếu là số chính phương)hoặc là số vô tỉ (nếukhông là số chính phương) Để là số nguyên thì không thể là số vô tỉ, do đólà số nguyên, suy ra là ước tự nhiên của
Vậy
DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ CỦA ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
Phương pháp:
Cách 1: Dựa vào điều đánh giá biểu thức để tìm ra khoảng biểu thức nằm trong, biện luận biểu thức nguyên nên ta chỉ được các giá trị nguyên thuộc khoảng đó, với mỗi gía trị của biểu thức ta sẽ tìm ra dược các nghiệm của biến tương ứng.
Cách 2: Đặt biểu thức bằng một tham số nguyên, biến đổi suy ra một vế chỉ còn chứa căn thức bậc hai, dựa vào căn thức để giải bất phương trình để tương ứng, tìm khoảng tham số nằm trong rồi giải với các tham số tương ứng để tìm ra các nghiệm của biến tương ứng.
Ví dụ: với . Tìm các giá trị của để có giá trị nguyên.
Cách 1:Với ta có
Mà
Với thỏa mãn)
Với thỏa mãn)
Cách 2: Đặt
Vì nên
Mà
Với thỏa mãn)
Với thỏa mãn)
Vậy với thì biểu thức có giá trị nguyên.
Ví dụ: Cho biểu thức: và với
a) Rút gọn và tìm tất cả các giá trị của để
b) Tìm các giá trị của để có giá trị nguyên
Hướng dẫn:
a)
Để
vậy để thì
b
mà nhận giá trị nguyên dương nguyên
Với
Với
Với
Vậy để nhận giá trị nguyên dương thì
Ví dụ: Cho biểu thức: và với
a) Tính giá trị của biểu thức khi
a) Rút gọn
b) Tìm các giá trị của để có giá trị nguyên
Hướng dẫn:
b)
c) Ta có đánh giá
Với thỏa mãn)
Với thỏa mãn)
Ví dụ: Cho biểu thức: và với
a) Rút gọn
b) Tìm các giá trị của để có giá trị nguyên.
HDG:
a) Với
b) Ta có:
Có
Có
Nên mà nguyên nên
Vói
Vậy thì có giá trị nguyên.
Ví dụ: Cho biểu thức: với
a) Rút gọn
b) Tìm thực để có giá trị nguyên.
HDG:
a)Với
b)
Có
Nên
Mà nguyên nên
Có
Có
Vậy thì có giá trị nguyên.
DẠNG 6:TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT.
Phương pháp:
Cách 1: Thêm bớt rồi dùng định lí Cô si hoặc đánh giá dựa vào điều kiện.
Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị.
Chú ý:
+ Biểu thức có giá trị lớn nhất là , kí hiệu là nếu với mọi giá trị của biến và tồn tại sao cho ít nhất một giá trị của biến dấu xảy ra.
+ Biểu thức có giá trị lớn nhất là , kí hiệu là nếu với mọi giá trị của biến và tồn tại sao cho ít nhất một giá trị của biến dấu xảy ra.
Ví dụ: Cho biểu thức: với
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn:
a)
b) Cách 1: Thêm bớt rồi dùng Cô- si hoặc đánh giá dựa vào ĐKXĐ.
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị.
Để phương trình có nghiệm thì
Dấu xảy ra khi và chỉ khi (thỏa mãn)
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị lớn nhất của
Hướng dẫn:
a) ĐK:
b) Ta có:
Xét biểu thức ở mẫu: (áp dụng Cô - si)
Ta có: Do đó
Ví dụ: Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị lớn nhất của
Hướng dẫn:
a) với ĐK
b) vì
Ví dụ: Cho biểu thức: với
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn:
a) với ĐK:
b)
MÌNH sửa đề bài biểu thức B đẻ đc kết quả như bài toán yêu cầu.
Ví dụ: Cho biểu thức: và với
a) Chứng minh:
b) Tính giá trị của khi
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
HDG:
Với
b) Ta có:
Thay vào biểu thức ta có:
c)
Có: là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
VậyDấu xảy ra khi
DẠNG 7: CHỨNG MINH BIỂU THỨC LUÔN LUÔN ÂM HOẶC LUÔN LUÔN DƯƠNG VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA ẨN.
Phương pháp:
+ Để chứng minh biểu thức ta chỉ ra với (là hằng số dương)
+ Để chứng minh biểu thức ta chỉ ra với (là hằng số dương)
Ví dụ: Cho biểu thức: với
a) Rút gọn
b) Chứng minh rằng biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị của làm xác định.
Hướng dẫn:
a) Điều kiện
b) Ta có: x > 0 nên
Do đó A < 0 với mọi x > 0.
Ví dụ: Cho biểu thức
Rút gọn A.
Chứng minh rằng biểu thức A luôn luôn âm với mọi giá trị của x làm A xác định.
Hướng dẫn
Điều kiện . Khi đó ta có
Ta có: Vậy A không âm với mọi .
Dạng 8:
CHỨNG MINH BIỂU THỨC THỎA MÃN VỚI ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ
Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Ví dụ: Cho biểu thức: và ( Với ).
Rút gọn biểu thức B.
Tính giá trị của A khi
Cho biểu thức Hãy tìm các giá trị của m để x thỏa mãn P = m
Hướng dẫn
Thay vào .
Với điều kiện
(1)
Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô ghiệm.
Nếu thì từ (1)
Do
Để có x thỏa mãn P = m
Vậy ( Thỏa mãn yêu cầu bài toán)
Ví dụ: Cho biểu thức: và ( Với ).
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của A khi
Tìm x để biểu thưc .
Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn
Ví dụ: Cho biểu thức:
Rút gọn biểu thức A.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
Ví dụ: Cho biểu thức:
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của A khi .
Tìm x sao cho
Ví dụ: Cho biểu thức: và
Chứng minh rằng
So sánh A với 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B.
Ví dụ: Cho biểu thức ( Với )
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn
Cách 1: Với
Vậy
Vì A nguyên nên A = 1 ( Không thỏa mãn).
Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị
Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Với A = 1 => x = 1 ( loại)
Với A = 2 ( loại).
Ví dụ: Cho biểu thức và ( Với ).
Rút gọn biểu thức B.
Tính giá trị của A khi .
Với và . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A.B.
C. LUYỆN TẬP BÀI TẬP GỒM NHIỀU Ý HỎI
Bài I: Cho biểu thức:
với
Chứng minh:
Tính giá trị của A khi:
x là nghiệm của phương trình
x là nghiệm của phương trình
x là giá trị của biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Tìm x để:
; b) ; c)
So sánh:
A với 1 b) A với biểu thức
Tìm x nguyên dương để biểu thức nhận giá trị nguyên .
Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức:
B = 2 - A;
với x > 1.
Tìm x thỏa mãn .
Bài II. Cho biểu thức:
với
Chứng minh:
Tính giá trị của B khi:
x là nghiệm của phương trình
x là nghiệm của phương trình
x là giá trị của biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm x để:
B = 0; b)
So sánh:
B với -2 b) B với biểu thức
Tìm x để B nhận giá trị nguyên .
Xét dấu biểu thức .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức:
G = -3 - B;
Tìm x thỏa mãn .
Bài III. Cho biểu thức:
với
Chứng minh:
Tính giá trị của C khi:
x là nghiệm của phương trình
x là nghiệm của phương trình
x là giá trị của biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Tìm x để:
b)
So sánh C với biểu thức khi x > 9.
Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Biểu thức C với x > 9. b) với
Tìm giá trị lớn nhật của biểu thức:
Tìm x thỏa mãn .
D. MỘT SỐ CÂU VỀ RÚT GỌN VÀ CÂU HỎI PHỤ TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI
Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 – 2013)
1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36
2) Rút gọn biểu thức (với )
3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức là số nguyên.
Giải:
1) Với x = 36, ta có : A =
2) Với ta có :
B = =
3) Ta có: .
Để nguyên, x nguyên thì là ước của 2, mà Ư(2) =
Ta có bảng giá trị tương ứng:
12x17151814Kết hợp ĐK , để nguyên thì .
Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 – 2014)
Với x > 0, cho hai biểu thức và .
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để .
Giải:
1) Với x = 64 ta có
2)
3) Với x > 0 ta có :
Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 – 2015)
1) Tính giá trị biểu thức : khi x = 9.
2) Cho biểu thức với .
a) Chứng minh .
b) Tìm giá trị của x để 2P = .
Giải:
1) Với x = 9 thì
2) a) Chứng minh .
3) - Để 2P = nên
- Đưa về được phương trình
- Tính được thỏa mãn điều kiện
- Vậy với x = thì 2P =
Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 – 2016)
Cho hai biểu thức và với
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm giá trị của để biểu thức đạt GTNN.
Giải:
1) Thay vào biểu thức A ta có:
2) 3)
Theo BĐT Cosi, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy GTNN của P là , đạt được khi
Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 – 2017)
Cho hai biểu thức và với
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh .
3) Tìm để biểu thức có giá trị là số nguyên.
Giải:
1) Thay vào biểu thức A ta có:
2)
3)
+) Ta có: nên
+)
Nên Để
TH1:
TH2:
Vậy để biểu thức có giá trị là số nguyên thì .
Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 – 2018)
Cho hai biểu thức và với
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh .
3) Tìm tất cả các giá trị của để .
Giải:
1) Thay vào biểu thức A ta có:
2) 3)
TH1: Nếu thì (1) trở thành:
TH1: Nếu thì (1) trở thành:
Vậy để thì .
Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 – 2019)
Cho hai biểu thức và với
1) Tính giá trị của biểu thức A khi
2) Chứng minh
3) Tìm tất cả các giá trị của để
Giải:
1) Thay vào biểu thức A ta có:
2)
3)vì
Vậy để thì
CHỦ ĐỀ II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. LÝ THUYẾT
1. Hệ phương trình cơ bản
Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cặp số là một nghiệm của hệ (I) nếu hai phương trình của hệ có chung một nghiệm .
Nếu hệ (I) không có nghiệm thì ta kết luận hệ (I) vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng và . Khi đó:
+) Nếu cắt thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
+) Nếu // thì hệ (I) vô nghiệm.
+) Nếu trùng thì hệ (I) có vô số nghiệm.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Giải hệ phương trình không cơ bản
Phương pháp đặt ẩn phụ
Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa.
Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có.
Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt.
Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm.
3. Giải và biện luận hệ phương trình cơ bản
Phương pháp
Từ một phương trình rút theo rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình
Biện luận:
+) Nếu thì thay vào biểu thức để tìm , khi đó hệ có duy nhất nghiệm.
+) Nếu thì ta có
Nếu thì hệ có vô số nghiệm.
Nếu thì hệ vô nghiệm.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phương pháp: Sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại, ta được phương trình mới chỉ còn một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý: Ở bước 1 ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
Hướng dẫn
Từ phương trình thế vào phương trình
Ta được
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
Đáp số:
HPT VN HPT VSN
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Hướng dẫn
a) Cộng từng vế của hai phương trình của hệ ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
b)
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Đáp án:
HPT VN HPT VSN
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
Đáp án:
Dạng 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CƠ BẢN
Phương pháp: Đặt ẩn phụ:
Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa.
Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn nếu có.
Bước 3: Giải hệ theo các ẩn đã đặt.
Bước 4: Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn
a) Điều kiện:
Đặt Khi đó hệ trên trở thành . Giải hệ phương trình cơ bản này ta được
Trở lại ẩn ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
b) Điều kiện:
Đặt . Khi đó hệ trên trở thành . Giải hệ phương trình cơ bản này ta được
Trở lại ẩn ta có:
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Đáp án:
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Đáp án
Dạng 3. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Phương pháp:
Từ một phương trình rút theo rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình
Biện luận
Nếu thì thay vào biểu thức để tìm , khi đó hệ có nghiệm duy nhất.
Nếu thì ta có
Nếu thì hệ có vô số nghiệm
Nếu thì hệ vô nghiệm
Ví dụ : Giải và biện luận hệ phương trình sau
Ví dụ : Tìm các giá trị của để hệ phương trình sau có nghiệm với
Hướng dẫn
Từ suy ra
Thay vào ta được
Nếu thì phương trình vô nghiệm
Nếu . Khi đó . Từ đó ta được
Trước hết, ta tìm để
. Để thì
Suy ra
Với
Với
Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm nguyên
Ví
