Chuyên đề tứ giác nội tiếp - Toán lớp 9

CHUYÊN ĐỀ 4

CHỦ ĐỀ 2. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

- Hai đỉnh cùng nhìn một cạnh

.

A và B là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CD

Đặc biệt

A, B là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh CD.

- Hai góc đối bù nhau

Đặc biệt

Góc trong = góc ngoài tại đỉnh đối diện

là góc ngoài tại C

Cùng cách đều một điểm

OA=OB=OC=OD

1. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Phương pháp giải

a) Phương pháp 1. Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.

Cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD. Nếu chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I, tức là thì điểm I chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D. Hay nói cách khác tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA.

b) Phương pháp 2. Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180º

Cho tứ giác ABCD. Nếu chứng minh được hoặc thì tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn.

c) Phương pháp 3. Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được rằng và bằng nhau và cùng nhìn cạnh DC thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

d) Phương pháp 4: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai cặp góc đối diện bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

Cho tam giác ABCD. Nếu chứng minh được thì tứ giác ABCD cũng nội tiếp trong một đường tròn.

e) Phương pháp 5: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.

Nếu cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A mà bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) thì ABCD cũng nội tiếp đường tròn.

f) Phương pháp 6: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Chú ý: Có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

Định lí Pto-lê-mê:

Trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối diện.

Chứng minh

GTTứ giác ABCD nội tiếp (O)KLLáy sao cho

∆DAE ~ ∆CAB (g.g) (1)

Tương tự: ∆BAE ~ ∆CAD (g.g)

(2)

Từ (1) và (2)

(điều phải chứng minh)

Bài tập mẫu

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp.

Lời giải

a) Xét tứ giác CEHD ta có: (vì BE là đường cao) và

(vì AD là đường cao)

.

Mà là hai góc đối diện của tứ giác CEHD.

Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.

b) Theo giả thiết: BE là đường cao

AD là đường cao .

Do đó E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90°, suy ra E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác AEDB nội tiếp.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn . Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác INQC nội tiếp.

b) Tứ giác BPQC nội tiếp.

Lời giải

a) Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tại M và N nên .

(hai góc đối đỉnh)

Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nên tứ giác này nội tiếp được một đường tròn.

b) Vì INQC là tứ giác nội tiếp nên .

Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) tại N nên hay .

Suy ra . (1)

Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp

Từ (1) và (2) suy ra: nên tứ giác BPQC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, có tâm là O. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh tứ giác NMOP là tứ giác nội tiếp.

Lời giải

Ta có: (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC.

Suy ra .

Lại có

(do AD // BC)

Do đó (1)

Mặt khác

Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD nên:

.

Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC nên:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: do đó tứ giác PMON nội tiếp.

Ví dụ 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt (O’) tại B, tiếp tuyến tại M của (O’) cắt (O) tại A. Gọi P là điểm đối xứng của M qua N. Chứng minh tứ giác MAPB nội tiếp.

Lời giải

Cách 1:

Ta có:

Nên ∆AMN ~ ∆MBN (g.g)

Do đó

∆ANP ~ ∆PNB (c.g.c)

(hai góc tương ứng)

Từ đó suy ra

Vậy tứ giác AMBP là tứ giác nội tiếp.

Cách 2:

Gọi K là điểm đối xứng của M qua trung điểm của OO’.

Ta có tứ giác OMO’K là hình bình hành nên OM // O'K, O'M // OK.

Mặt khác do nên .

Vậy OK, O’K là các đường trung trực của MA, MB nên (1)

Mà ta dễ dàng chứng minh được KN // OO’, .

Do nên tam giác KMP cân tại K, suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Vậy tứ giác AMBP là tứ giác nội tiếp.

2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Lấy điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Khi D di động trên BC, chứng minh rằng tứ giác AEOF luôn là tứ giác nội tiếp.

Câu 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. M, N, P, Q lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD, AD. Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp.

Câu 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau. Các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD sao cho . Nối AD cắt (O), (O’) lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Câu 4: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định năm học 2018-2019 vòng 1)

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. AD là đường kính của đường tròn (O), H là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Đường thẳng MO cắt AB, AC lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường thẳng AD tại P. Chứng minh tứ giác BHPD là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh O là trung điểm của EF.

Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Gọi I là trung điểm của BC. Đường tròn ngoại tiếp ∆BEI và đường tròn ngoại tiếp ∆CDI cắt nhau tại K .

a) Chứng minh rằng:

b) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng tứ giác BKMD nội tiếp.

Câu 6: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm học 2017- 2018)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B (O, O’thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại C, D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và (O’) tại M, N (M, N khác A). Các đường thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Gọi P và Q lần lượt là giao của đường thẳng MN với đường thẳng BC và đường thẳng BD. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD.

b) Tứ giác BCED nội tiếp.

c) Tam giác EPQ là tam giác cân.

Câu 7: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Giang năm học 2018-2019)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với . Gọi M là điểm thuộc cạnh BC (M không trùng với B và C), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD cắt đường thẳng AC tại điểm E khác C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBD cắt đường thẳng AB tại điểm F khác B.

a) Chứng minh rằng tứ giác BECF nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng hai tam giác ECD, FBD đồng dạng và ba điểm E, M, F thẳng hàng

Câu 8: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Sư phạm Hà Nội năm học 2017-2018 vòng 2)

Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, khác B). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.

1. Chứng minh

2. Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp.

3. Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với (O) và N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng tứ giác ANFI là tứ giác nội tiếp.

Gợi ý giải

Câu 1

Ta có: (vì AB là tiếp tuyến với (O) tại B) (gt)

hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.

tứ giác EBOD là tứ giác nội tiếp đường tròn.

(1) (cùng chắn cung OB).

Chứng minh tương tự ta có tứ giác ODCF nội tiếp đường tròn.

(2) (Góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).

Từ (1) và (2)

Suy ra tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).

Vậy tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp.

Câu 2

Xét tứ giác AMOQ có . Suy ra tứ giác AMOQ nội tiếp.

(cùng chắn ).

Chứng minh tương tự .

Chứng minh tương tự:

Vậy tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp.

Câu 3

Lấy M là trung điểm OO’. Hạ .

Vì AB là tiếp tuyến chung của (O), (O’) suy ra OA // O’B

(Từ vuông góc đến song song).

Suy ra tứ giác ABO’O là hình thang.

Mà M là trung điểm OO’, MH // OA

H là trung điểm AB.

Lại có

Chứng minh tương tự ta có

(Định lí đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn).

∆AOM = ∆COM (c.g.c) (hai cạnh tương ứng)

Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.

Câu 4

a) Xét ∆MDB và ∆MCD có:

chung;

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp chắn cung BD)

∆MDB ~ ∆MCD (g.g)

b) Ta có:

Mà (tính chất tiếp tuyến)

H, D nằm trên đường tròn đường kính OM

tứ giác OHDM nội tiếp mà (so le trong) nên

bốn điểm B, H, D, P cùng nằm trên đường tròn đường kính OM hay tứ giác BHPD là tứ giác nội tiếp.

c) Vì tứ giác BDPH nội tiếp nên (góc nội tiếp chắn cung ).

Vì EF // BP (đồng vị) mà (đối đỉnh).

Suy ra

Lại có (góc nội tiếp chắn cung )

Suy ra ∆OAF ~ ∆HBD (g.g) (1).

Ta có: và (góc nội tiếp chắn cung )

Suy ra ∆OAE ~ ∆HCD (g.g) (2)

Lại có (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra O là trung điểm của FE.

Vậy O là trung điểm của FE.

Câu 5

a) Vì .

Mà . Nên .

Suy ra tứ giác AEKD nội tiếp.

Mặt khác, tứ giác AEHD nội tiếp.

Vậy các điểm A, E, H, K, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AH, nên (đpcm)

b) Ta có: , suy ra .

Từ đó , vậy ba điểm A, K, I thẳng hàng.

Lại có

suy ra mà

Vậy tứ giác MEKC nội tiếp

Tứ giác MEKC nội tiếp nên .

Vì

Do A, E, H, K, D nằm trên đường tròn đường kính AH, nên .

Vậy K, H, M thẳng hàng.

c) Do tứ giác DEHK nội tiếp, nên (1)

Tứ giác MEKC nội tiếp nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra , hay tứ giác MBKD nội tiếp (đpcm)

Chú ý:

Sử dụng kiến thức của tam giác đồng dạng ta thấy: Nếu hai cát tuyến AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại M thì

Câu 6

a) Ta có: . Tương tự .

Từ đó CD là trung trực của AE.

b) Dễ thấy

BCED nội tiếp.

c) Gọi K là giao điểm của AB và CD.

Nhận thấy:

CD // PQ .

∆EPQ cân tại E.

Câu 7

a) Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp.

Do tứ giác MBFD nội tiếp nên ta dễ dàng chứng minh được

Tương tự, tứ giác MECD nội tiếp nên chứng minh được .

Do đó . Từ đây ta chứng minh được BECF là tứ giác nội tiếp.

b) Tứ giác ABDC nội tiếp nên ta có (1)

Lại có (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆ECD ~ ∆FBD

Mà nên .

Do vậy 3 điểm E, M, F thẳng hàng.

Câu 8

a) Dễ thấy OM là trung trực của AB nên OM vuông góc với AB. Ta có IK là đường trung bình của tam giác AMC nên IK // AC, từ đó ta có ngay IK vuông OM.

Gọi J là giao điểm của IK và OM. Sử dụng định lý Py-ta-go ta có:

b) Giả sử G, H là giao điểm của KO với (O). Do tứ giác ADGH nội tiếp nên

∆KDG ~ ∆KHA (g.g)

∆KDM ~ ∆KMA (c.g.c)

Suy ra .

Xét đường tròn (O) ta có: .

Xét tứ giác MDCB có: MDCB là tứ giác nội tiếp.

c)

Theo câu b) KM // AE ( vì và là hai góc so le trong).

Từ đây suy ra MAKE là hình thang .

Lại có . Suy ra ANFI là tứ giác nội tiếp (đpcm).