Chuyên đề: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và Parabol
PAGE \* MERGEFORMAT 0
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề:
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
2. Ý nghĩa của giải pháp mới:
3. Phạm vi nghiên cứu.
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lý luận.
2. Cơ sở thực tiễn.
3. Các biện pháp tiến hành.
3.1. Nghiên cứu lí thuyết:
3.2. Điều tra và thực nghiệm sư phạm:
4. Thời gian thực hiện.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Mục tiêu.
- Nâng cao được chất lượng dạy và học bộ môn Toán 9.
- Đề tài đưa ra một số kiến thức cơ bản cần sử dụng để giải các bài toán về vị trí tương đối giữa đường thẳng và Parabol.
- Phân loại và đưa ra các bài toán phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS.
- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh những phương pháp cơ bản giải các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol để học sinh vận dụng làm bài tập tương tự.
- Chọn lọc có hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội dung phương pháp.
- Học sinh vận dụng phân loại được các bài toán theo như sự phân loại của đề tài và có kỹ năng giải các bài tập đó thành thạo.
- Lĩnh hội tri thức trong các hoạt động học tập một cách tích cực, chủ động, sáng tạo, theo phương pháp khoa học, say mê, hứng thú, khát khao tìm tòi khám phá.
II. Phương pháp tiến hành
1. Giải pháp của đề tài.
Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, phân loại các dạng toán, nêu phương pháp giải cho từng dạng toán đó, sau đó cho học sinh phân tích vận dụng định hướng giải bài tập. Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể.
KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Hàm số bậc nhất: y = ax + b (a,bR)
+ Tập xác định: x R
+ Tính chất: Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R.
Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R.
+ Đồ thị: Là một đường thẳng cắt trục tung tại (0;b); cắt trục hoành tại(;0)
Nếu b = 0 đường thẳng có dạng :y = ax. Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc O(0;0)
Nếu b 0 đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng y = ax.
Đồ thị đi qua điểm (xo; yo) yo= axo + b
2) Vị trí tương đối của hai đường thẳng (d):y= ax + b và (d’):y = a’x + b’
+ (d) cắt (d’) a a’
+ (d)//(d’)
+ (d) trùng (d’)
+ (d) vuông góc (d’) a. a’ = -1
+ (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ (d) đi qua (;0)
+ (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ (d) đi qua (0;) b =
+ Toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là nghiệm của hệ phương trình(I)
+ (d) cắt (d’) tại một điểm trên trục tung (d) và (d’) cùng đi qua (0;yo)
+ (d) cắt (d’) tại một điểm trên trục hoành (d) và (d’) cùng đi qua (xo;0)
+ (d) cắt (d’) tại một điểm có hoành độ (d) và (d’) cùng đi qua (;yo)
+ (d) cắt (d’) tại một điểm có tung độ (d) và (d’) cùng đi qua (xo; )
+ (d) cắt (d’) tại một điểm có toạ độ nguyên (điểm nguyên)
Hệ phương trình (I) có nghiệm thoả mãn
3) Hàm số và đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 (a0).
Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0) a là số cho trước.
Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của x thuộc R:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
Muốn khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a0) thực hiện qua các bước:
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Tính chất biến thiên.
B3: Lập bảng giá trị.
B4: Dựa vào bảng giá trị vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị vẽ được.
4) Phương trình bậc hai một ẩn dạng ax2+bx+c=0 (a,b,cR;a0)
- Số nghiệm của phương trình có thể: 1 nghiệm, hoặc 2 nghiệm hoặc vô nghiệm
- Cách tìm nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 (1)
Công thức nghiệm:
+ Tìm = b2- 4ac
Nếu < 0 phương trình (1) vô nghiệm
= 0 phương trình (1) có một nghiệm kép x1= x2=
> 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
Công thức nghiệm thu gọn (dùng khi b chẵn; )
+ Tìm ’=b’2- ac
Nếu ’<0 phương trình (1) vô nghiệm
’=0 phương trình (1) có một nghiệm kép
’>0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
;
Hệ thức Vi-et về quan hệ hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 (1)
+ Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thì:
Tổng và tích hai nghiệm là: S = x1+ x2=- và P = x1. x2=
+ Trường hợp nhẩm nghiệm: Phương trình ax2+ bx + c = 0 (1)
Nếu a + b + c = 0 Phương trình (1) có hai nghiệm là x1=1 và x2=
Nếu a – b + c = 0 Phương trình (1) có hai nghiệm là x1=- 1 và x2=
5) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và Parabol
Sự tương giao giữa đường thẳng (d): y= bx+c và Parabol (P): y= ax2 trong cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy
- Toạ độ điểm chung của đường thẳng (d): y = bx + c và Parabol (P): y = ax2 là nghiệm của hệ phương trình:
- Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình ax2 = bx+c (1)
+ (d) không giao nhau với (P) Phương trình (1) vô nghiệm
+ (d) tiếp xúc (P) Phương trình (1) có một nghiệm kép
+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
+ Khi (d) tiếp xúc với(P) ta nói (d) là tiếp tuyến của (P)
Phân loại các dạng toán.
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d):y=bx+c và Parabol (P):y=ax2
Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để (d ): y= bx+c và (P) : y= ax2 cắt nhau; tiếp xúc nhau; không giao nhau:
Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (P):y= ax2
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d): y = bx+c cắt parabol (P): y = ax2 tại hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Dạng 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) và tiếp xúc với parabol (P): y= ax2
Những bài toán cụ thể và hướng dẫn học sinh giải.
Dạng 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = bx + c và Parabol (P): y= ax2
*) Phương pháp giải:
Cách 1: Vẽ đồ thị các hàm số y=bx+c và y= ax2 trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định giao điểm của (d) và (P) trên đồ thị, từ các giao điểm đó hạ các đường vuông góc với trục hoành và trục tung từ đó ta tìm được tọa độ các giao điểm nếu có. Sau đó phải thử lại các tọa độ vừa tìm được có chính xác không.
Giáo viên lưu ý tính bất cập ở cách 1 khi toạ độ các giao điểm mà giá trị hoành độ, tung độ là các số vô tỷ thường dẫn đến việc thiếu chính xác khi tìm chúng trên hệ toạ độ. Từ đó giáo viên hướng dẫn học sinh dùng phương pháp đại số từ mối quan hệ giữa (d) và (P) từ đó tính toạ độ các giao điểm.
Cách 2 (Phương pháp đại số)
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
ax2 = bx +c ax2 - bx - c = 0 (1)
Giải phương trình (1)
Bước 2: Thay nghiệm vừa tìm được (nếu có) vào một trong hai công thức y=bx+c hoặc y= ax2 để tìm tung độ giao điểm. Từ đó tìm được tọa độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
Giáo viên lưu ý học sinh nên dùng cách thứ hai này. Trong đề tài này tôi chỉ tập trung hướng dẫn học sinh dùng cách 2.
*) Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): y = trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu tên bằng phép tính.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Hồ Chí Minh năm học 2016-2017)
Hướng dẫn:b) Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình
x2 +2x-8= 0 x = - 4 hoặc x = 2
Với x = -4 thì y = -4; x = 2 thì y = -1
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (D) là (2; -1); (-4;-4)
Ví dụ 2. Cho hai hàm số y = x2 và y = x –
1) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Đồng Nai năm học 2016-2017)
Hướng dẫn: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là :
x2 = x – . Giải phương trình ta được :
Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2
Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d): y = -x – 2 và (P). Tìm toạ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên tỉnh Khánh Hòa năm học 2015-2016)
Hướng dẫn: Viết phương trình đường trung trực (d’) của AB, tìm giao điểm của (d’) và (P), ta tìm được hai điểm M:
Hoành độ các giao điểm A, B của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
– x2 = – x – 2 x2 – x – 2 =0 x= -1 hoặc x = 2
+ Với x = -1, thay vào (P), ta có: y = –(-1)2 = -1, ta có: A(-1; -1)
+ Với x = 2, thay vào (P), ta có: y = –(2)2 = -4, ta có: B(2; -4)
Suy ra trung điểm I của AB là: hay
Đường thẳng (d’) vuông góc với (d) có dạng: y = x + b;
Vì (d’): y = x + b đi qua I nên:
Vậy (d’): y = x -3
Phương trình hoành độ của (d’) và (P) là: x2 + x - 3 = 0
+ Với
+ Với
Vậy có hai điểm M cần tìm là: và
Ví dụ 4: Cho parabol và đường thẳng .
Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.
Bằng phép tính, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (P) và (d).
Tìm tọa độ điểm M trên cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Tiền Giang năm học 2015-2016)
Hướng dẫn: 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
Ta có:
Phương trình có hai nghiệm:
Với
Vậy: Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là: A(1;1) và B(–2;4)
3. Tìm tọa độ điểm M:
Để AMB có diện tích lớn nhất thì điểm M là tiếp điểm của tiếp tuyến (d’) song song với (d) và tiếp xúc (P) tại M.
Phương trình đường thẳng có dạng:
Ta có:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d’) là:
(d’) tiếp xúc (P) (1) có nghiệm kép
Phương trình đường thẳng
Hoành độ tiếp điểm là: Với
Vậy: thì tam giác AMB có diện tích lớn nhất.
*) Bài tập tương tự:
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho parabol (P): y = x2.
Tìm tọa độ các giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = .
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P) là đồ thị của hàm số
Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d1):
Cho đường thẳng (d 2): Tìm m để (d2) tiếp xúc với (P).
(Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên tỉnh Long An năm học 2016-2017)
Bài 3 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y= xeq \l(\o\ac(2, )) và đường thẳng (D) : y= x +2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Hồ Chí Minh năm học 2015-2016)
Bài 4: Tìm tọa độ các giao của (P): y = x2 và đường thẳng (d): y =2x +3
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu năm học 2015-2016)
Bài 5: a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Hồ Chí Minh năm học 2014-2015)
Bài 6: Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Lạng Sơn năm học 2014-2015)
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng .
a) Hãy vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ .
b) Tìm tọa độ giao điểm của và .
c) Viết phương trình đường thẳng . Biết rằng song song với và cắt tại điểm có hoành độ là .
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Long An năm học 2014-2015)
Bài 8: Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Nam Định năm học 2014-2015)
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P): và đường thẳng
(d): y = x + 2.
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng phép tính.
c) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Tiền Giang năm học 2014-2015)
Bài 10: Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = 2x + 3 có đồ thị là (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên các trục bằng nhau).
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
c) Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc tọa độ O) .
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bến Tre năm học 2013-2014)
Bài 11: Cho đường thẳng (d): và parabol (P): . Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) bằng phép toán.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Hải Phòng năm học 2013-2014)
Bài 12: Cho các hàm số (P): và (d):. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Long An năm học 2013-2014)
Bài 13: Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): y = 2x – 3.
Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Tiền Giang năm học 2013-2014)
Bài 14:Cho hai hàm số : y = –2x2 có đồ thị là ( P ) , y = x – 1 có đồ thị là ( d ) .
Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ) đã cho .
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Đồng Nai năm học 2013-2014)
Tóm lại:
Đối với loại bài tập xác định giao điểm của một đường thẳng và một Parabol trong cùng một hệ toạ độ ta có hai cách xác định : bằng phương pháp đồ thị và bằng phương pháp đại số. Nhưng nếu bài toán không bắt buộc dùng phương pháp đồ thị thì ta nên dùng phương pháp đại số để tránh khó khăn trong việc xác định toạ độ giao điểm đối với số vô tỷ.
Để làm tốt dạng này học sinh phải được rèn kỹ năng lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P), kỹ năng giải phương trình bậc hai một ẩn. Biết thay nghiệm tìm được vào phương trình đường thẳng hoặc parabol để tìm tiếp tung độ, từ đó xác định đươch tọa độ các giao điểm.
Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để (d ): y= bx+c và (P): y= ax2 cắt nhau; tiếp xúc nhau; không giao nhau.
*) Phương pháp giải :
Giáo viên lưu ý học sinh đối với dạng toán này không thể dùng phương pháp đồ thị, chỉ có thể dùng phương pháp đại số bằng cách sử dụng kiến thức về sự tương giao giữa đường thẳng và parabol:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : ax2 - bx - c = 0 (1)
+) (d) và (P) cắt nhau phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
+) (d) và (P) tiếp xúc với nhau QUOTE phương trình (1) có nghiệm kép
+) (d) và (P) không giao nhau QUOTE phương trình (1) vô nghiệm
*) Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho Parabol (P) y=và đường thẳng (d): y=mx- -1(m là tham số )
a.Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b.Với giá trị nào của m thì (d) là tiếp tuyến của (P) viết phương trình tiếp tuyến và tìm toạ độ tiếp điểm.
c. Viết các phương trình đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến của (P) tại các tiếp điểm. Nêu sự tương giao của hai đường thẳng đó với (P)
Hướng dẫn:
Hoành độ các giao điểm (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
= mx - - 1 x2- 2mx + m + 2 = 0 (1)
Xét ’=(- m)2- (m + 2)= m2- m - 2
Do đó (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
’>0 m2 – m –2 > 0
(m+1)(m-2) > 0
m > 2 hoặc m < -1
Vậy với m >2 hoặc m< - 1 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
b. (d): y= mx --1 là tiếp tuyến (P) : y= khi phương trình:
x2- 2mx + m+2= 0 (1) có một nghiệm kép .
’= 0 m2 – m – 2 = 0
(m+1)(m-2) = 0
m =2 hoặc m =-1
Vậy với m =-1 hoặc m=2 thì (d) là tiếp tuyến của (P) .
+ Với m=-1 ta có phương trình tiếp tuyến (d1): y= - x -
Phương trình (1) có nghiệm kép là
Khi x= -1 ta có y=nên toạ độ tiếp điểm là (-1; )
+ Với m = 2 phương trình tiếp tuyến (d2): y = 2x – 2
Phương trình (1) có nghiệm kép là
Với x=2 ta có y=2 nên toạ độ tiếp điểm thứ là (2;2)
c. Gọi (q1) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến (d1) của (P). Phương trình đường thẳng (q1) có dạng y =ax +b
Do (q1) vuông góc với (d1) y=- x-nên a(-1)=-1 a=1
Do (q1) đi qua tiếp điểm (-1; ) nên ta có : =1(-1) +b b =
Vậy phương trình (q1) có dạng: y = x +
Hoành độ giao điểm của (q1) với (P) là nghiệm của phương trình
= x + x2- 2x – 3 = 0
Do các hệ số 1;-3 trái dấu nên phương trình x2 –2x –3 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt vì vậy đường thẳng (q1) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
- Gọi (q2) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến (d2) . Phương trình đường thẳng (q 2) có dạng: y= ax + b
Vì (q2) vuông góc với (d2) nên a. 2 =-1 a=-
Vì (q2) đi qua tiếp điểm (2;2) nên: 2 =- .2 + b b = 3
Vậy phương trình (q2) có dạng: y = -x + 3.
Hoành độ giao điểm của (q2) với (P) là nghiệm của phương trình = -x + 3
x2 +x –6 =0
Có hệ số 1 ;-6 trái dấu nên phương trình x2 + x- 6 =0 luôn có hai nghiệm phân biệt do đó đường thẳng (q2) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt
Ví dụ 2: Cho parabol và đường thẳng .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm học 2016-2017)
Hướng dẫn:Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
(*)
(d) và (P) có đúng một điểm chung
.
Vậy khi m = -4 thì (d) và (P) có đúng một điểm chung.
Ví dụ 3 : Cho parabol (P) : y = x2
Xác định m để đường thẳng ( d) : y = mx – 4 tiếp xúc với (P)
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Vĩnh Long năm học 2014-2015)
Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ( và ( d ):
( 1 )
= b2 – 4ac = (–m )2 – 4. 1.4 = m2 – 16
Để( P ( và ( d )tiếp xúc thì PT ( 1) phải có nghiệm kép
m2 – 16 = 0 m2 = 16 m =
Ví dụ 4: Cho parapol (P)y=2x2 và đường thẳng (d): y = x – m +1 ( m là tham số)
a. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) và (P) có đúng một điểm chung.
b. Tìm toạ độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm học 2014-2015)
Hướng dẫn: a.Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
2x2 – x + m – 1 = 0 (*)
Ta có (P) và (d) có đúng một điểm chung
(P) và (d) tiếp xúc nhau
phương trình (*) có nghiệm kép
Vậy m = thì (P) và (d) có đúng một điểm chung.
b. Goi các điểm M(xM;yM)(P) thỏa mãn xM = 2yM hay
Từ y = 2x2
Với xM = 0 yM = 0 = > M1( 0;0) ;
Với xM = yM = => M2(;)
Ví dụ 5: Cho parabol (P) : và đường thẳng (d) có phương trình: (với m là tham số).
Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Đắk Nông năm học 2013-2014)
Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
Ta có (P) và (d) không có điểm chung phương trình (1) vô nghiệm
Vậy để (P) và (d) không có điểm chung khi và chỉ khi
*) Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y= x + m (với m là tham số)
1) Vẽ parabol (P)
2) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu năm học 2013-2014)
Bài 2: 1) Vẽ đồ thị (P) hàm số
2) Xác định a, b để đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng –3.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Bình Dương năm học 2015-2016)
Bài 3: Cho parabol(P): y = x2 Xác định hệ số n để đường thẳng y=2x+n tiếp xúc (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = mx - 2. a). Vẽ đồ thị (P).
b) Xác định giá trị của m sao cho (d) và (P) có một điểm chung duy nhất. Tìm tọa độ điểm chung này.
(Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên tỉnh Khánh Hòa năm học 2016-2017)
Bài 5. Cho Parabol (P) y=x2 và đường thẳng (d) : y= x+ m (m là tham số)
a.Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b.Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với(d) và tiếp xúc với (P)
Bài 6. Cho đường thẳng (d):y=mx–2m–1 (m là tham số) và Parabol(P) :y=-x2
a.Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b.Tìm m để (d) là tiếp tuyến của (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(2;-1)
Bài 7: Tìm m để các đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ các tiếp điểm đó:
(P) y=x2 và (d) y=(m+3)x-3m-4
(P) y = (m+3)x2 và (d) y= mx - m
c) (P) y = mx2 và (d) y= 2(m + 2)x - 9
Bài 8: Tìm m để các đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung
a. (P) y = 5x2 và (d) y= 2x- m
b. (P) y= mx2 và (d) y= 2(m-1)x-m-1
c. (P) y= 3x2 và (d) y= 2x-m
d. (P) y= 5x2 và (d) y= -18x-m
Bài 9: Tìm m để các đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
a. (P) y = 2x2 và (d) y= 6x-m-7
b. (P) y = 10x2 và (d) y= -40x-m
c. (P) y = mx2 và (d) y= 2(m-1)x-(m+1)
d. (P) y = mx2 và (d) y= 6x-1
Tóm lại:
Đối với loại bài tập tìm giá trị của tham số thoả mãn vị trí đã định cho đường thẳng và Parabol ta cần sử dụng tổng hợp các kiến thức kỹ năng về quan hệ của đường thẳng và Parabol với số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Vì vậy học sinh phải có kỹ năng tìm điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hoặc vô nghiệm, từ đó tìm được điều kiện của tham số để parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau hay không giao nhau.
