Đề luyện thi vào THPT môn Tóan lớp 9 tham khảo

PAGE

Bài 5. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

Chứng minh: MN2 = NF.NA vả MN = NH.

Chứng minh: .

Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên:

Tứ giác MAOB có

Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

Ta có: (so le trong, AE // MO) và

NMF và NAM có:

NMF NAM (g.g)

Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

MO là đường trung trực của AB

AH MO và HA = HB

MAF và MEA có:

MAF MEA (g.g)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, có: MA2 = MH.MO

Do đó: ME.MF = MH.MO

MFH MOE (c.g.c)

Vì là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

Áp dụng hệ thức lượng vào vuông NHA, có: NH2 = NF.NA

.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA, có: HA2 = FA.NA và HF2 = FA.FN

Mà HA = HB

Vì AE // MN nên (hệ quả của định lí Ta-lét)

Bài 5. Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A và C khác B). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D.

Chứng minh rằng: KO2 – KM2 = R2.

Chứng minh rằng tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp.

Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng thuộc một đường tròn.

1Gọi H, P lần lượt là giao điểm của OM với AB, IK.

Ta có: OA = OB = R và MA = MB (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

OM là đường trung trực của AB tại H

MAC có IM = IA và KM = KC

IK là đường trung bình của MAC IK // AC hay IP // AH

MAH có IM = IA và IP // AH PM = PH

Vì IK // AC và OM AC tại P

Các tam giác KPO, KPM vuông tại P Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

OAM vuông tại A (vì MA là tiếp tuyến tại A của (O))

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

Mà

(đpcm).

Vẽ tiếp tuyến KQ của (O) (Q và A nằm cùng phía với MC)

KQO vuông tại Q (định lí Py-ta-go)

Mà

KQD và KAQ có:

KQD KAQ (g.g)

KCD KAC (c.g.c)

Tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDM có

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Mà

Nhưng hai góc ở vị trí so le trong MK // AE AEKM là hình thang

Hình thang AEKM (AE // MK) có IA = IM và NE = NK

IN là đường trung bình của hình thang AEKM (2 góc đồng vị)

Mặt khác:

AIFN là tứ giác nội tiếp

4 điểm A, I, F, N cùng thuộc một đường tròn (đpcm).Bài 5. Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt đường tròn (O) tại M và N, với M nằm giữa S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O).

Chứng minh: SO AB.

Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Chứng minh OI.OE = R2.

a) ∆SAB cân tại S (vì SA = SB - theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

nên tia phân giác SO cũng là đường cao

b) nội tiếp đường tròn đường kính SE.

c) ∆SOI ~ ∆EOH (g.g)

OI . OE = OH . OS = R2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB)

Bài 5. Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.

1) Vì H là trung điểm của AB nên hay . Theo tính chất của tiếp tuyến ta lại có hay . Suy ra các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD  MCD cân tại M  MI là một đường phân giác của . Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ nên sđ = sđ =

 CI là phân giác của . Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

3) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính: . Từ đó S nhỏ nhất  MD + DQ nhỏ nhất. Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ ta có không đổi nên MD + DQ nhỏ nhất  DM = DQ = R. Khi đó OM = hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính .

Bài 5. Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.

Chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông.

Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE.

a) Ta có: (tính chất tiếp tuyến) (1)

AB = AC = R = OB = OC (2).

Từ (1) và (2) suy ra ABOC là hình vuông.

b) Theo bài ra ta có: AD + DE + AE = 2R (3).

Suy ra: DE = BD + CE (4).

Vẽ OM  DE (MDE) (5)

Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BD; suy ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c)

OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c)OM = OC = R

(hai đường cao tương ứng) (6). Từ (5) và (6) suy ra DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).

c) Đặt: AD = x; AE = y (x, y > 0)

Ta có: DE (định lí Pitago).

Vì AD + DE + AE = 2R = 2R (6)

Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có:

(7).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Từ (6) và (7) suy ra:

xy SADE .

Vậy max SADE = x = y∆ADE cân tại A.