Đề thi chọn HSG toán lớp 8
PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ
Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
x2- y2=1998
x2+ y2=1999
Giải
Dễ chứng minh x2, y2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên
x2- y2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
x2, y2 chia cho 4 có số dư là 0, 1 nên x2+ y2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
9x+2= y2+y
Giải
Biến đổi phương trình: 9x+2= y(y+1)
Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y(y+1) chia hết cho 3 dư 2.
Chỉ có thể: y=3k+1, y+1=3k+2 với k nguyên
Khi đó: 9x+2=3k+13k+2
⟺9x=9kk+1
⟺x=kk+1
Thử lại: x=kk+1, y=3k+1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Đáp số: x=kk+1y=3k+1 với k là số nguyên tùy ý.
PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG
Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các phương trình, vế phải là tổng của các số chính phương.
Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x2+y2-x-y=8 (1)
Giải
(1)⟺4x2+4y2-4x-4y=32
⟺4x2+4x+1+4y2-4y+1=34
⟺2x-12+2y-12=32+52
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương 32, 52. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:
2x-1=32y-1=5 hoặc 2x-1=52y-1=3
Giải các hệ trên suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: 2;3, 3;2, -1;-2, (-2;-1).
PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức …
1. Phương pháp sắp xếp thứ tự các ẩn:
Ví dụ 1: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.
Giải
Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x + y + z = xyz (1)
Cách 1: Chú ý rằng các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1 ≤ x ≤ y ≤ z
Do đó: xyz = x + y + z ≤ 3z
Chia hai vế của bất đẳng thức xyz ≤ 3z cho số dương z ta được: xy ≤ 3
Do đó xy ∈ {1; 2; 3}
Với xy = 1, ta có x = 1, y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại)
Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2. Thay vào (1) được z = 3
Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3. Thay vào (1) được z = 2 (loại vì y ≤ z)
Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.
Cách 2: Chia hai vế của (1) cho xyz ≠ 0 được: 1yz + 1xz + 1 xy = 1
Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1 ta có:
1 = 1yz + 1xz + 1xy ≤1z2 + 1 z2 + 1z2 = 3z2
Suy ra 1 ≤3z2 do đó z2 ≤ 3 nên z = 1. Thay z = 1 vào (1):
x + y + 1 = xy ⇔ xy – x – y = 1 ⇔ x(y − 1) − (y − 1) = 2 ⇔ (x − 1)(y − 1) = 2
Ta có: x − 1 ≥ y − 1 ≥ 0 nên (x − 1, y − 1) = (2, 1)
Suy ra (x, y) = (3, 2)
Ba số phải tìm là 1; 2; 3
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt
Giải
Vì vai trò của x, y, z, t như nhau nên có thể giả thiết: x ≥ y ≥ z ≥ t
Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10
⇒ yzt ≤ 15 ⇒ t3 ≤ 15 ⇒ t ≤ 2
Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15
⇒ 2yz ≤ 30 ⇒ 2z2 ≤ 30 ⇒ z ≤ 3
Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65
Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là:
(x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).
Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t = 2.
Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của các bộ số này.
2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn:
Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 1x + 1y = 13
Giải
Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x ≥ y. Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là y).
Hiển nhiên ta có 1y < 13 nên y > 3 (1)
Mặt khác do x ≥ y ≥ 1 nên 1x≤1y . Do đó:
13 = 1x + 1y ≤ 1x + 1y = 2y nên y ≤ 6 (2)
Ta xác định được khoảng giá tri của y là 4 ≤ y ≤ 6
Với y = 4 ta được: 1x = 13 − 14 = 112 nên x = 12
Với y = 5 ta được: 1x = 13 − 15 = 215 loại vì x không là số nguyên
Với y = 6 ta được: 1x = 13 − 16 = 16 nên x = 6
Các nghiệm của phương trình là: (4; 12), (12; 4), (6; 6).
3. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:
Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn còn được thể hiện dưới dạng: chỉ ra một hoặc một vài số là nghiệm của phương trình, rồi chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác.
Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2x+3x=5x
Giải
Viết phương trình dưới dạng: (25)x + (35)x = 1 (1)
Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2 ⇒ loại
Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1 ⇒ đúng
Với x ≥ 2 thì (25)x < 25; (35)x < 35 nên: (25)x + (35)x < 25+ 35 = 1 loại
Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1.
4. Sử dụng diều kiện Δ ≥ 0 để phương trình bậc hai có nghiệm:
Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x + y + xy = x2 + y2 (1)
Giải
Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x:
x2 − (y + 1)x + (y2 − y) = 0 (2)
Điều kiện cần để (2) có nghiệm là Δ ≥ 0
△= (y + 1)2 − 4(y2 − y) = −3y2 + 6y + 1 ≥ 0 ⇔ 3y2 − 6y – 1 ≤ 0 ⇔ 3(y − 1)2 ≤ 4
Do đó ⇔ (y − 1)2 ≤ 1 suy ra: y ∈ {0, 1, 2}
Với y = 0 thay vào (2) được x2 – x = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = 1
Với y = 1 thay vào (2) được x2 − 2x = 0 ⇔ x3 = 0; x4 = 2
Với y = 2 thay vào (2) được x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x5 = 1; x6 = 2
Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1)
Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2)
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên (x,y) thỏa mãn : y(x – 1) = x2 + 2
Bài 2: Tìm x,y ∈Z thỏa mãn : 2x2 – 2xy = 5x – y – 192x2.Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 05
Bài 4: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : x < y < z và 5x + 2.5y + 5z = 4500.Bài 5:Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
1x+1y= 14
Bài 6:Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương: x17+ y17= 1917
