Đề thi thử đại học môn toán khối A đề 3 có giải chi tiết

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010

Môn thi: TOÁN, Khối A ĐỀ 3

(Thời gian làm bài: 180 phút)

A. PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH

Câu I (2 điểm).

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 4x2 + 3

Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm.

Câu II (2 điểm).

Giải bất phương trình:

Giải phương trình:

Câu III (2 điểm)

Tính giới hạn sau:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy một góc . Cạnh SA = a. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu IV (1 điểm). Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng:

B. PHẦN TỰ CHỌN: Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb

Câu Va (3 điểm). Chương trình cơ bản

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng và hai điểm A(1; 0), B(3; - 4). Hãy tìm trên đường thẳng một điểm M sao cho nhỏ nhất.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: và . Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1; 0; 1) và cắt cả d1 và d2.

Tìm số phức z thỏa mãn:

Câu Vb. (3 điểm). Chương trình nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 cắt nhau tại A(2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: và . Lập phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2.

3. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm số phức z có modun nhỏ nhất.

…Hết…

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ 3

CâuýNội dungĐiểm

I211

TXĐ D =

Giới hạn :

Sự biến thiên : y’ = 4x3 - 8x

y’ = 0

Bảng biến thiên

x 0 y’ - 0 + 0 - 0 +y

3

-1 -1

Hàm số đồng biến trên các khoảng và nghịch biến trên các khoảng

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 3. Hàm số đạt cực tiểu tại x = , yCT= -1

Đồ thị y

3

1

-1 O x

025

025

025

02521Đồ thị hàm số y

3 y = log2m

1

x

O

-1 1

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = log2m.

Vậy phương trình có 4 nghiệm khi và chỉ khi log2m = 0 hoặc

hay m = 1 hoặc 2

025

025

025

025 II211Viết lại bất phương trình dưới dạng

Đặt t = khi đó

Bất phương trình có dạng

t +

025

025

025

02521Điều kiện :

Phương trình tương đương với (*)

Đặt . Khi đó (*) có dạng : x2 – x(y - 1) – 2y – 2y2 = 0

025

025

05III

211

025

05

02521Kẻ đường cao SI của tam giác SBC. Khi đó AI BC

(Định lí 3 đường vuông góc) do đó S

AI = a.cot, AB = AD =, SI =

A D

Sxq = SSAB + SSAD SSBC + SSCD B I C

=

025

025

025

025IV

1Ta có

Mặt khác

Do đó

025

025

05

Va

311Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của IB. Khi đó I(1 ; -2), J()

Ta có :

Vì vậy nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của J trên đường thẳng

Đường thẳng JM qua J và vuông góc với có phương trình : 2x – y – 8 = 0.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ vậy M()

025

025

025

025

21Đường thẳng d1 đi qua A(1; 0; -2) và có vecto chỉ phương là , đường thẳng d2 đi qua B(0; 1; 1) và có vecto chỉ phương là .

Gọi là các mặt phẳng đi qua M và lần lượt chứa d1 và d2. Đường thẳng cần tìm chính là giao tuyến của hai mặt phẳng

Ta có

là các vecto pháp tuyến của

Đường giao tuyến của có vectơ chỉ phương và đi qua M(1;0;1) nên có phương trình x= 1 + 4t, y = 8t, z = 1 + t025

025

025

02531Gọi z = x + y.i. Khi đó z2 = x2 – y2 + 2xy.i,

Vậy có 4 số phức thỏa mãn z = 0, z = - 2 và z = 1025

025

025

025Vb

311Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) lần lượt là M và N

Gọi M(x; y) (1)

Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y).

Do N (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

Giải hệ ta được (x = 2 ; y = 3) ( loại) và (x = ; y = ). Vậy M( ; )

Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0

025

025

025

02521Gọi M (1- t ; 2t ; -2 + t) , N(t’ ; 1+3t’ 1- t’)

Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là , đường thẳng d2 có vecto chỉ phương là .

MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

Do đó M(), N().

Mặt cầu đường kính MN có bán kính R = và tâm I() có phương trình

025

025

025

02531Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z.

Đường tròn (C) : có tâm (-1;-2) O

Đường thẳng OI có phương trình y = 2x

I

Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm

Biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa độ O nhất, đó chính là một trong hai

giao điểm của đường thẳng OI và (C)

Khi đó tọa độ của nó thỏa

mãn hệ

Chon z =

025

025

025

025