Giải chi tiết các bài toán vận dụng điểm 8 – 9 – 10 trong các đề thi thử môn Toán
Ch ủ đề 1. KHẢO S Á T HÀM S Ố & ỨNG D Ụ NG Câ u 1 : SG D V ĨN H PH ÚC Cho h à m số 3 5 yx mx , m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhấ t b ao nh i êu đi ểm cực trị A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 4 . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B . Ta có: 6 5 y xmx Suy ra: 3 5 5 33 3 3 x mx x ym xx và hàm số khô ng có đạo h àm tại 0 x . TH1 : 0 m . T a c ó: 5 3 5 0 x y x vô nghiệm v à h àm số không có đạ o hàm tại 0 x . x 0 y y Do đó h à m số có đúng m ột cực trị. TH2 : 0 m . T a c ó: 3 5 53 0 03 3 3 x m yxmx x xmx Bản g bi ế n th iên x 0 3 m y 0 y Do đó h à m số có đúng m ột cực trị. TH3 : 0 m . T a c ó: 3 5 53 0 03 3 3 x m yxmx x xmx BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _______________________________x 3 m 0 y 0 y Do đó h à m số có đúng m ột cực trị. Vậy trong mọ i trư ờ ng h ợp hàm s ố có đún g một cực trị v ớ i mọi th a m số m Ch ú ý :Thay v ì trường hợp 2 ta xét 0 m , ta c ó th ể chọ n m là một số dương như 3 m đ ể làm. Tươ ng tự ở trường hợp 3 , ta c h ọ n 3 m đ ể làm sẽ c ho lời giải nhan h hơn. Câ u 2 : SG D VĨN H PH ÚC Cho hàm số 22017 (1) 1 x y x . Mện h đề nào dưới đ ây l à đú ng? A. Đồ thị hàm số 1 không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm c ận đ ứng là đ ư ờng thẳ ng 1. x B. Đồ thị hàm số 1 có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng 2, 2 yy và không có tiệm c ận đứng. C. Đồ thị hàm số 1 có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng 2 y và không có tiệm cận đứng . D. Đồ thị hàm số 1 không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳ ng 1, 1. xx Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B Hàm số 22017 (1) 1 x y x có tập xá c định là , nên đồ th ị không có tiệm cận đ ứn g 2 2017 2 2017 lim 2; lim 2 11 xx xx xx , nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đư ờn g th ẳn g 2, 2 yy . Câ u 3 : SG D V ĨN H PH ÚCTìm tất cả m s ao c h o điể m cực t iểu c ủa đồ t hị h àm s ố 32 1 y xx mx nằm b ê n phải t r ụ c tu ng . A. K h ông tồ n tại m . B. 1 0 3 m . C. 1 3 m . D. 0 m . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D . Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trì nh 0 y có h a i n ghiệm phân biệt 2 32 0(1) xxm có h ai nghiệm ph ân b iệt 1 13 0 3 mm . Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt C Đ x , CT x là hoành độ hai điểm cực trị. Theo định lí Viet ta có 2 0(2) 3 .(3) 3 C Đ C Đ CT CT xx m xx , trong đó C Đ CT x x vì hệ số của 3 x l ớn hơn 0 . Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải c ó: 0 CT x , kết hợp (2) và (3) suy ra (1) có hai ngh i ệm trá i dấu .0 0 3 C C Đ T m xx m . Câ u 4 : NGUYỄN K HUYẾN TP HC M Phươ ng t rì nh 2 32 11 xxx mx c ó nghiệm t hực khi và chỉ kh i : A. 3 6 2 m . B.13 m . C. 3 m . D. 13 44 m . Hướng dẫ n gi ải Sử d ụn g má y tính bỏ túi. 2 32 43 2 11 21 0 xxx mx mx x m x x m Ch ọn 3 m p h ư ơn g t r ình trở t h ành 43 2 35 30 xx xx khô n g có ng h i ệ m thự c n ê n loại đá p á n B, C. Ch ọn 6 m p hư ơng trì n h trở thành 43 2 613 60 xx xx không có nghiệm thực n ê n l oại đáp án A. Kiểm tra với 0 m phương tr ình trở thàn h 32 00 xx x x nên c h ọn đ áp á n D. Tự luậ n Ta có 32 2 32 42 11 21 x xx xxx mx m xx 1 Xé t hà m số 32 42 21 x xx y xx xác đ ịnh trên . 32 4 2 32 4 2 2 42 242 32 3 2 42 65 4 2 2 42 42 2 42 21 21 21 32 1 2 1 4 4 21 221 21 121 21 xx x x x x x x x x y xx xx xx x x x x x xx xx x x x xx xx x xx 42 1 01 210 1 x yx xx x Bản g bi ế n th iên Phương trình 1 có nghiệm thực khi đường thẳng ym cắt đ ồ thị hà m số 32 42 21 x xx y xx 13 44 m . Ch ọn đáp án D. Câ u 5 : NGUYỄN K HU YẾN TPHCM Cho h àm số 9 , 39 x x fxxR . Nếu 3 ab thì 2 fa f b có gi á trị bằng A .1 . B. 2 . C. 1 4 D. 3 4 . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A Ta có: 21 ba 1 1 993 ;2 1 39 39 39 aa aaa fa f b f a 93 21 39 3 9 a aa fa f b Câ u 6 : T.T D IỆU HIỀN V ớ i giá trị nào c ủ a m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 32 32 yx x mx m nằm về ha i ph í a so với trụ c hoành? A. 3 m . B. 12 m . C. 3 m . D. 23 m . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Ta có: 2 36 yx xm . Hàm số có hai điểm cực đ ại và cực tiểu n ên p h ư ơng trì n h 0 y có 2 n ghiệm p hân biệt. Do đ ó 93 0 3 mm . Gọi 1 x , 2 x là đ i ểm cực trị của hà m số và 1 y , 2 y l à các giá trị cự c trị t ư ơng ứng. Ta có: 32 11 2 2 32. 2 2 33 3 3 yx x mx m y x m x m nên 11 1 ykx , 22 1 ykx . Yê u cầ u bài to án 2 12 1 2 1 2 1 2 .0 1 1 0 10 210 3 3 m yy k x x xx x x m . Vậy 3 m thỏa m ã n bài toán. Câ u 7 : TRẦ N HƯNG Đ ẠO – NB Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực ti ểu c ủa đ ồ thị h à m số 3 32 yx mx cắt đường tròn tâm 1;1 , I bán kính bằng 1 tại 2 điểm ph ân biệt , A B sao ch o diện tíc h ta m giác IAB đạ t giá t r ị lớn n hất. A. 23 2 m . B. 13 2 m . C. 25 2 m . D. 23 3 m . H ư ớ n g d ẫ n g i ả i Ch ọ n A . Ta có 2 33 y xm n ên 2 0 y xm . Đồ thị hàm số 3 32 yx mx có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 0 m . Ta có 32 11 32 3 3 2 2 . 2 2 33 yx mx x x m mx xy mx . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 32 yx mx có phương trình :2 2 ymx Ta có: 11 1 .. .sin sin 22 2 IAB SIAIBAIB AIB Δ H B A IDiện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 1 2 khi sin 1 AIB AI BI . Gọi H l à tru ng điểm AB ta có: , 12 22 I IH AB d Mà , 2 212 41 I m d m Suy ra: 2 , 2 212 2 42 24 1 2 41 I m dmm m 2 23 816 20 2 mm m . Câ u 8 : TRẦ N HƯNG Đ ẠO – NB Tìm tất cả các giá trị thực của m đ ể đư ờn g th ẳng 1 yx m cắt đồ thị h àm số 21 1 x y x tại h ai điểm phâ n b iệt , A B sao ch o 23 AB . A. 410 m . B. 43 m . C. 23 m . D. 210 m . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Hoành độ giao điểm là nghiệm PT : 2 220 21 1 1 1 fx x m x m x xm x x . Đường thẳng 1 yx m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 0 fx có ha i ngh i ệ m phân biệ t khác 1 , hay 2 0 2 812 0 * 10 6 10 m mm f m . Khi đó, g ọ i 12 , x x là hai ng hiệm của p hương trìn h 0 fx , ta có 12 12 2 2 xxm xx m Vi ète. Giả sử 11 2 2 2 1 ;1, ; 1 2 A xx m B x x m AB x x . Th eo giả th i ết 2 2 21 1 2 12 23 2 2 3 4 6 8 6 0 AB x x x x x x m m 410 m Kết h ợ p với đ i ều k iện * ta được 410 m . Câ u 9 : LẠNG GIANG SỐ 1 Cho x , y là các số dương thỏa mãn 41 xyy .Giá trị nhỏ nhất của 62 2 ln xy x y P x y là ln ab . G i á trị của tíc h ab là A. 45 . B. 81 . C. 108 . D. 115 . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B . , xy d ương ta c ó : 2 41 1 4 4 1 xy y xy y y 04 x y . Có 12 6 ln 2 yx P xy . Đặt x t y , điều kiện: 04 t thì 6 12 ln 2 Pft t t 2 22 61 6 12 22 tt ft tt t t 321 0 321 t ft t t 0 4 f t P ft 27 ln 6 2 Từ B BT suy ra 27 ln 6 2 GTNN P khi 4 t 27 ,6 81 2 ab ab . Câ u 1 0 : LÝ TỰ T RỌNG – TPHCM Ch o hà m số 2 2 1 49 ax x y xbx có đồ thị C , ab l à các h ằ ng s ố dư ơng, 4 ab . Biết rằng C có tiệm cận ngang y c và có đúng 1 tiệm cận đứng. Tính tổng 324 Tab c A. 1. T B. 4. T C. 7. T D. 11. T Hướng dẫ n gi ải Ch ọn D . lim 4 x a y . T i ệm c ận ngang 4 a yc c . (C) có m ột tiệm cận đ ứng nên p h ươ ng t rì nh 2 490 x bx có nghiệm kép. 2 01440 12 bb . Vì 11 012 312 bb a c . Vậy 11 T . Câ u 11 : NGÔ GIA TỰ ‐ VP Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 32 23 1 6 2 2017 yx m x m x nghịch biến trên khoảng ; ab sao c ho 3 ba là A. 6 m . B. 9 m . C. 0 m . D. 0 6 m m . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D . Ta có 2 66 1 6 2 yx m x m Hàm số nghịc h biến trê n 2 ;1 20; ab x m x m x a b 2 69 mm TH1 : 2 01 20 xm x m x Vô lí TH2 : 03 my có h a i ng hiệm 12 2 1 , x xx x Hàm số luôn ng h ị ch biế n trê n 12 ; x x . Yê u cầu đề bài: 2 2 21 21 39 49 xx xx S P 2 2 6 14 2 9 6 0 0 m mm mm m Câ u 1 2 : CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 32 2 x xmx y đồng biến trên 1, 2 . A. 1 3 m . B. 1 3 m . C. 1 m . D. 8 m . Hư ớng dẫn gi ải Ch ọ n C . Ta có 32 2 32 2 ln2 xx mx yx xm . Hàm số đã cho đồ ng biến trên 2 1, 2 ' 0, 1, 2 3 2 0, 1 , 2 * yx x xm x Vì 2 32 fxx xm có 1 30, 2 23 b a a n ên 12 12 13 0 0 1 0130 3 *1 1 1 11 3 23 1 2 110 10 33 m m m m xx m m m xx Câ u 1 3 : C H U YÊN P H A N B Ộ I C HÂU Biết đ ường t h ẳ ng 31 6 3 ym x m cắt đồ thị hàm số 32 31 yx x t ại b a điểm p h â n biệt s ao ch o một giao điểm c ách đều h a i gi a o điểm còn l ạ i . Khi đ ó m th u ộ c kh oảng nà o dưới đây? A.(1;0) . B.(0;1) . C. 3 (1 ; ) 2 . D. 3 (;2) 2 . Hướn g dẫ n g i ải. Ch ọ n A . Yê u cầ u bài toán tương đ ư ơ ng phương trì nh s a u có b a ng h i ệm phân biệt lập th ành cấ p số cộng 32 3 2 31 3 1 6 3 3 3 1 6 2 0 xx m x m x x m x m . Giả sử p hương tr ì nh 32 33 1 6 20 xx m x m có ba ngh i ệm 12 3 ,, x xx thỏa mãn 13 2 (1) 2 xx x . Mặt kh ác th eo vi et t a có 12 3 3(2) xx x . Từ (1) và (2) suy ra 2 1 x . Tức 1 x là một nghiệm c ủa phươn g trì nh t rên. T h ay 1 x vào ph ư ơ ng trìn h ta được 1 3 m . Th ử lạ i 1 3 m thỏa mãn đề bài. Câ u 1 4 : C H U YÊN PHAN BỘI C HÂU Số đ ường t iệm cận đứng v à ti ệ m cận n gang c ủ a đ ồ thị 22 2 413 2 xx y x x là: A. 2. B.3. C. 4. D.1. Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Tập xác định : 11 ;;11; 22 D Ti ệm cận đ ứn g: 22 11 413 2 lim lim 1 xx xx y xx ; 22 11 413 2 lim lim 1 xx xx y xx Suy ra 1 x là tiệ m cận đ ứng. Ti ệm cận n gan g: 22 24 2 2 41 2 3 413 2 lim lim lim 3 1 1 xx x xx xx x y xx x 3 y là tiệm c ận ngan g 22 24 2 2 41 2 3 413 2 lim lim lim 3 1 1 xx x xx xx x y xx x 3 y là tiệm c ận ngan g Vậy đồ th ị h àm số c ó ha i t iệm c ậ n . Câ u 1 5 : SỞ GD H À NỘ I Cho 22 11 1 1 x x fx e . Biết rằng 1 . 2 . 3 ... 2017 m n f ff f e với , mn là các số tự nhiên và m n tố i g i ản. Tính 2 mn . A. 2 2018 mn . B. 2 2018 mn . C. 2 1 mn . D. 2 1 mn . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Ta có : 2 2 2 22 22 2 1 11 1 1 1 1 111 11 11 xx xx x xx xx x x xxx . Suy ra : 1 . 2 . 3 ... 2017 m n f ff f e 1 2 3 ... 2017 m ff f f n lấ y ln hai vế 2 1 2018 1 2018 2018 2018 mm nn T a chứng m i n h 2 2018 1 2018 là phân s ố tố i gi ả n. Giả sử d là ước chu n g của 2 2018 1 và 2018 Khi đ ó t a có 2 2018 1 d , 2 2018 2018 dd suy ra 11 dd Suy ra 2 2018 1 2018 là ph ân số tố i gi ả n , nê n 2 2018 1, 2018 mn . Vậy 2 1 mn . Câ u 1 6 : C H U YÊN HÙNG V ƯƠN G – GL Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đ ồ th ị h à m số sin cos yx xmx đ ồn g biến t rên . A. 22. m B. 2. m C. 22. m D. 2. m Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D . Ta có: sin cos yx xmx 'cos sin yx xm Hàm số đồng biến trên 0, . yx sin cos , . mx xx max , mx với sin cos . xx x Ta có: sin cos 2 sin 2. 4 xx x x Do đó: max 2. x T ừ đó su y ra 2. m Câu 17: CHUYÊN HÙNG V ƯƠN G – GL Ch o hàm s ố () yfx xác định và liên tục trên đoạn 2; 2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Xác định giá trị của tham số m để phư ơ n g trì nh fx m có số ngh iệm th ực n hiều nhất. A.3 . B.6 . C. 4 . D. 5. H ư ớng dẫ n giải Chọn B . Dựa vào đồ thị ta có đồ thị của hà m số () yfx là: Từ đồ thị ta thấ y rằn g , với m thỏa 02 m thì phương trình fxm có số nghi ệ m nh i ề u nhất l à 6. Câu 18: BIÊN HÒA – HÀ NA M Hàm số 2 4 xx y xm đồn g bi ế n trên 1; thì g iá trị c ủa m là: A. 1 ;2 \ 1 2 m . B. 1; 2 \ 1 m . C. 1 1; 2 m . D. 1 1; 2 m . Giả i Chọn D. 2 4 xx y xm c ó tập xác đị nh là \ Dm và 2 2 24 ' xmx m y xm . Hàm số đã cho đồ ng biến tr ên 2 1 1; 24 0, 1; m xmx m x 2 2 24 0, 1; 2 2 , 1; xmx m x mx x x 1 Do 2 x th ỏ a bất phương trình 2 22 mx x với m ọi m nên ta chỉ cần xét 2 x . Kh i đó 2 2 2, 1;2 2 1 2, 2; 2 x mx x x mx x 2 Xét h àm số 2 2 x fx x trên 1; \ 2 có 2 2 4 2 xx fx x 0 0 4 x fx x B ả ng b iến thiên 1 1 21 1 2 28 m YCBT m m m . Cá ch k h á c 2 4 xx y xm có tập xác định là \ D m và 2 2 24 ' xmx m y xm . Hà m số đ ã ch o đồng b iến trên 2 1 1; 24 0, 1; m xmx m x 2 2 2 2 12 40 0 40 0 4 40 24 0, 1; 0 1 1 41 1 2 m m mm m mm xmx m x m xx mm m m K ế t hợp với đk 1 m ta đư ợc 1 1 2 m . Câ u 1 9 : C H U YÊN ĐHSP H N Ch o các số t hực , , ab c t hỏa mãn 84 2 0 84 2 0 ab c ab c . Số g iao điểm của đồ t hị hàm số 32 y x ax bx c và trục Ox là A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Ch ọ n D . Ta có hàm số 32 y x ax bx c xác đị n h và liên tục trê n . x 1 2 4 y 0 y 1 8 Mà lim x y nên tồn tại số 2 M sao cho 0 yM ; lim x y nên tồn tại số 2 m sao ch o 0 ym ; 284 2 0 yabc và 28 4 2 0 yabc . Do .2 0 ym y suy ra phương trình 0 y có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ;2 m . 2. 2 0 yy suy ra phương trì nh 0 y có ít n hất một ng hiệm t hu ộc kh o ảng 2; 2 . 2. 0 yyM s uy ra phương trìn h 0 y có ít nhất m ộ t nghiệm t h u ộ c k hoả ng 2; M . Vậy đồ th ị h àm số 32 y xax bx c và tr ục Ox có 3 đ iể m chu ng. Câ u 2 0 : C H U YÊN ĐHSP H N Tập hợp các giá trị c ủ a m để đồ thị hàm số 22 21 21 4 4 1 x y mx x x mx c ó đ úng 1 đ ư ờng tiệm c ậ n là A. 0. B. ;1 1; . C. D. ;1 0 1; . Ch ọ n A . Có lim 0 x y . Nên hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang 0 y . Vậy ta tìm điều kiện để h à m số kh ô n g có tiệm cận đ ứng . X é t p h ươ ng t rì nh: 2 22 2 2 1 0 (1) 21 4 4 1 0 44 10 (2) mx x mx x x mx xmx TH1: X é t 0 m , ta đ ược 2 2 21 1 41 21 4 1 x y x xx th ỏ a ycbt TH2 : Xét 0 m . Có: 1 1 m và 2 2 44 m Th2 a . Cả 2 phương trình 1 và 2 đều vô nghiệm: 2 10 1 11 440 m m m m m Th2b : 1 v ô nghiệm, 2 c ó nghiệ m k ép 1 2 x : ta th ấ y trường hợp này vô lí vì 1 m Th2 c: 2 v ô nghi ệ m , 1 có nghi ệm k ép 1 2 x : ta th ấy trườn g h ợp n ày vô lí vì 11 m Câ u 2 1 : NGÔ S Ĩ LIÊN Trên đ oạn 2; 2 , h àm số 2 1 mx y x đạt giá trị lớn nhất tại 1 x khi và chỉ khi A. 2. m B. 0. m C. 2. m D. 0. m Ch ọ n B Cá ch 1 : V ớ i 0 m thì 0 y nê n 2;2 max 0 y khi 1 x . Với 0 m . Đặt tan x t , ta được .sin 2 2 m yt . V ớ i 2; 2 x th ì arctan 2;arctan 2 t . Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại 1 x tương ứ n g với 4 t . Khi 0 m th ì arctan 2;arctan 2 max 2 m y khi và chỉ kh i 4 t . Khi 0 m th ì arctan 2;arctan 2 max 2 m y khi và chỉ kh i 4 t . Vậy 0 m thỏa m ã n bài toán. Cá ch 2 : T a c ó 2 2 2 1 1 mx y x , TH1 : 00 my là h à m hằn g nên cũng coi GTLN củ a n ó bằn g 0 khi 1 x TH2 : 0 m . Khi đ ó : 1( ) 0 1() x n y x n Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại 1 x trên đo ạ n 2;2 kh i v à chỉ kh i 12 y1 2 0 0 11 yy ym m yy do 0 m Vậy 0 m Chú ý: Ngoài cách trên trong TH2 0 m , ta có thể xét 0 m , 0 m rồi lập BBT cũng tìm đ ư ợc kết q u ả n hư trên . Câ u 2 2 : SỞ GD B ẮC N INH Tìm cá c giá trị thực c ủ a t ha m số m để p hương trình 2 21 x xmxx có h ai ngh iệm p h ân biệt. A. 23 5; . 4 m B. 5;6 . m C. 23 5; 6 . 4 m D. 23 5; 6 . 4 m Hướng dẫ n g i ải 2 21 x xmxx 1 Điều kiện:12 x 22 132 2 xxxxm Đặt: 2 ; x xt 2 ;21 fxx xfx x 11 1 12, 2 2, 2; 24 4 ff f t 132 2 2 2 3 ttm t tm 223 mt t Đặt 223 ftt t 11 2 1 22 t ft tt . 01 2 0 1 ft t t Bản g bi ế n th iên 22 0 x xt x x t Để p h ư ơn g trình có hai ng h iệm phân biệt 1 14 0 4 tt Do đ ó để phươn g trìn h có h ai n ghiệm phân b iệt th ì ph ươn g trìn h có nghiệm 1 2; 4 t Từ bảng b i ến th i ên 5;6 m . Ch ọ n B Câ u 2 3 : C H U Y Ê N Q U A N G T R U N G L Ầ N 3 Cho hà m số 3 2 3 4 2017 32 x yxx . Định m để ph ươ ng trình 2 ' y mm có đú ng hai n giệm th uộc đ o ạ n [0; ] m A. 12 ;2 3 . B. 12 2 ;2 3 . C. 12 2 ;2 2 . D. 12 2 ;2 2 . Hướng dẫ n g i ải Ch ọn D Ta có : 22 2 '34 ym m x x m m 23 4 5 6 + 1 4 -1 -2 - f(t) f'(t) tĐặt 2 34 fxx x P Yê u cầ u bài toán : 2 22 22 2 2 3 3 2 2 7 7 34 4 4 34 4 4 3 2 12 2 2 12 2 ;2 2 12 2 2 2 02 m m mm mm m m mm m m mm mm m m m m m m Câ u 2 4 : LÊ HỒ NG P HONG Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 ln 16 1 1 2 yx mxm ng h ịch biến trên khoảng ;. A. ;3. m B. 3; . m C. ;3. m D. 3;3 . m Hướng dẫn gi ải Ch ọ n B . Ta có: 2 ln 16 1 1 2 yx mxm 2 32 1 16 1 x ym x Hàm số nghịch bi ế n trên khi và chỉ kh i 0, yx 2 32 10, 16 1 x mx x Cá ch 1 : 2 32 10, 16 1 x mx x 2 32 1 16 1 0, xm x x 2 16 1 32 1 0, mx x m x 2 2 2 16 1 0 1 16 32 240 0 16 16 1 0 m m mm m 1 3. 5 3 m m m m 3 2 2 ym m 7 4 4 3 2 Cá ch 2 : 2 32 10 16 1 x mx x 2 32 1, 16 1 x mx x 1max (), mgx với 2 32 () 16 1 x gx x Ta có: 2 2 2 512 32 () 16 1 x gx x 1 () 0 4 gx x 11 lim ( ) 0; 4; 4 44 x gx g g Bảng biến th iê n: x 1 4 1 4 g x 0 0 g x 4 0 0 4 Dựa vào b ả ng b iến thiên ta c ó max ( ) 4 gx Do đ ó: 14 3. mm Câ u 2 5 : LÊ HỒNG P HO NG Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số cot 1 cot 1 x y mx đồ ng biến trên k h oản g ; 42 . A. ;0 1; m . B . ;0 m . C. 1; m . D . ;1 m . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n B . Ta có: 22 2 22 1cot cot 1 1cot cot 1 1cot 1 cot 1 cot 1 x mx m x x x m y mx mx . Hàm số đồng b i ến trên khoảng ; 42 kh i và ch ỉ khi: 2 2 cot 1 0, ; 42 01 0 1cot 1 10 0, ; 42 cot 1 mx x mm m xm m yx mx . Câ u 2 6 : NGUYỄN TRà I – HD Phương t rình 32 23 3 2 2.2 1024 23 10 xx x x xx có tổng các nghiệm gần nhấ t với số nào dưới đây A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D Ta có 32 3 2 23 3 2 23 3 10 2 2 .2 1024 23 10 2 23 2 10 xx x x x x x xx x x x Hàm số 2 t ftt đ ồn g biến t rên nên 32 23 3 10 2 3 2 2 23 2 10 23 10 0 xx x xx x x x x x hoặc 52 23 x Tổng các ngh iệm bằn g 10 0, 4347 23 Mẹo: Khi làm trắc n ghiệm có t hể d ù ng “ Định lí Vi ‐ét ch o ph ươn g trình bậc ba ” Nếu p h ương trì n h 32 0( 0) ax bx cx d a có ba ng h iệm 1 x , 2 x , 3 x thì: 12 3 12 23 31 1 3 ;; x bc d xx x xx xx xx xxx aa a Câ u 2 7 : HAI B À TRƯNG – HUẾ Đườn g thẳng :4 dy x cắt đồ thị hàm số 32 234 yx mx m x tại 3 điểm phân biệt 0; 4 , A B và C s ao cho diện t íc h tam giác MBC bằng 4, với 1; 3 . M Tì m tấ t cả các giá trị củ a m thỏ a mã n yêu c ầ u bài toán. A. 2 m hoặc 3. m B. 2 m hoặc 3. m C. 3. m D. 2 m hoặc 3. m Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n C. Phư ơ ng t rì nh h oàn h đ ộ gi ao đ i ểm của d và đồ th ị : C 32 2344 xmx m x 32 2 0 220 2201 x xmx m x xx mx m Với 0, x ta có giao điểm là 0; 4 . A d cắt C tại 3 đ iểm ph ân b i ệ t kh i và c h ỉ khi p hương trình 1 có 2 n ghi ệm ph â n b i ệt kh á c 0. 2 020 (*) 20 m mm Ta gọi các giao đi ể m c ủa d và C lần lượt là ,; 2, ; 2 BB C C AB x x C x x với , B C x x là nghiệm c ủa p hươn g trì nh 1. Th e o đ ị n h l í Viet, ta có: 2 .2 BC BC xxm xx m T a có diện tíc h của tam giác MBC là 1 ,4. 2 SBCdMBC Phư ơng t rình d được vi ết lại l à : :4 40. dy x x y Mà 2 2 13 4 ,, 2. 11 dM BC d M d Do đ ó: 2 88 32 , 2 BC BC dM BC T a lại có : 22 2 2 232 CB C B CB BC xx y y xx 22 4. 16 2 4 2 16 BC BC xx xx m m 2 44 240 3; 2. mm m m Đối chiếu với đi ề u kiện, loại đi g i á trị 2. m Câ u 2 8 : Ch o h à m số 2 sin , 0; 2 x yxx . Hỏ i h à m s ố đồng b i ến trên c á c kho ả ng nào? A. 711 0; ; 12 12 và . B. 711 ; 12 12 . C. 7711 0; ; 12 12 12 và . D. 711 11 ;; 12 12 12 và . Hướng dẫn Ch ọn A. TX Đ: D . 1 'sin2 2 yx . Giải 1 12 '0 sin2 7 2 12 x k yx x k , k Vì 0; x nên có 2 giá trị 7 12 x và 11 12 x thỏa mãn đ iề u kiện. Bản g bi ế n th iên: Hàm số đồng biến 7 0; 12 và 11 ; 12 Câ u 2 9 : Tìm tất cả c ác g iá t rị t h ự c c ủ a tham s ố m s ao c h o h à m số () cos yfx x m x l uôn đồng bi ế n trê n ? x 0 7 12 11 12 y || 0 0 || y A. 1 m . B. 3 2 m . C. 1 m . D. 1 2 m . Hướng dẫn Ch ọn A. Tập xá c định : D . Ta có 1sin ym x . Hàm số đồng biến trên '0, sin 1, yx mx x Trường h ợp 1: 0 m ta có 01, x . Vậy h à m số l u ô n đồng b iến trên Trường h ợp 2: 0 m ta có 11 sin , 1 1 xx m mm Trường h ợp 3: 0 m ta có 11 sin , 1 1 xx m mm Vậy 1 m Câ u 3 0 : Tìm tất cả các gi á t rị t hự c c ủ a t h a m s ố m s ao cho h à m số (3) (2 1)cos ym x m x lu ôn nghị ch bi ế n trên ? A. 2 4 3 m . B. 2 m . C. 3 1 m m . D. 2 m . Hướng dẫn Ch ọn A. Tập xá c định : D . Ta có: '3(2 1)sin ym m x Hàm số nghịch bi ế n trên '0, (2 1)sin 3 , yx m x mx T r ường hợ p 1: 1 2 m ta có 0 7 2 , x . Vậy h à m số l u ô n n g hịch b iến trên . T r ường hợ p 2: 1 2 m ta có 33 sin , 1 21 2 1 mm xx mm 321 4 mm m T r ường hợ p 3: 1 2 m ta có: 33 sin , 1 21 21 mm xx mm 2 32 1 3 mm m . V ậy 2 4; 3 m Câ u 3 1 : Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b s ao ch o hàm số () 2 sin cos yfx x a x b x lu ôn tăng t rên ? A. 11 1 ab . B. 223 ab . C. 22 4 ab . D. 12 2 3 ab . Hướng dẫn Ch ọn C . Tập xá c định D . Ta có: 2cos sin yaxb x Áp d ụn g bấ t đ ẳng thứ c Sc hwartz ta c ó 22 22 22 ab y a b Yê u cầu củ a bài toán đưa đến giải bất phương trì n h 22 2 2 0, 2 0 4 yx ab ab . Câ u 3 2 : Tìm tất cả các giá t rị t hực củ a th am s ố m s ao c h o hàm s ố 32 61 y xx mx đ ồng bi ến trên k hoả ng 0; ? A. 0 m . B. 12 m . C. 0 m . D. 12 m . Hướng dẫn Ch ọn D. Cá ch 1 : Tập x á c địn h : D . Ta có 2 312 yx xm Trường h ợp 1: Hàm số đồng biến trê n 0, yx 30( ) 12 36 3 0 hn m m Trường h ợp 2: Hà m số đ ồng biến t rên 0; 0 y có hai nghiệm 12 , x x thỏa 12 0 xx * Trường hợp 2.1: 0 y có ng hiệm 0 x suy r a 0 m . Nghi ệm còn lại của 0 y là 4 x kh ô n g th ỏ a * Trường h ợp 2. 2 : 0 y có h a i n ghiệm 12 , x x thỏa 12 0 00 0 xx S P 36 3 0 40( ) 0 3 m vl m không có m .V ậy 12 m Cá ch 2 : Hàm số đồn g biế n trên 0; 2 12 3 ( ), (0; ) mx x gx x . Lập bản g biến thiên của () g x trên 0; . x 0 2 ∞ g 0 – g 0 1 2 –∞ Câ u 3 3 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m s ao c h o hà m số 42 2( 1) 2 yx m x m đồng bi ế n trê n kh oả ng (1 ;3) ? A. 5; 2 m . B. ;2 m . C. 2, m . D. ;5 m . Hướng dẫn Ch ọn B. Tập xá c định D . Ta có 3 '4 4( 1) yx m x . Hàm số đồng biến trên (1 ;3) 2 '0, (1;3) () 1 , (1;3) yx gxx mx . Lập b ả ng biến thiên của () g x trên (1 ;3) . x 1 3 g 0 g 2 1 0 Dựa vào bảng b iến thiên , kế t luậ n: min ( ) 2 mgx m . Câ u 3 4 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m s ao cho h à m số 32 11 23 4 32 yx mx mx m n ghịch biến trên m ột đoạ n có đ ộ dài là 3? A. 1; 9 mm . B. 1 m . C. 9 m . D. 1; 9 mm . Hướng dẫn Ch ọn A. Tập xá c định : D . Ta có 2 2 yx mx m T a k hông x ét t rư ờng hợ p 0, yx vì 10 a Hàm số nghịch bi ế n trên mộ t đoạn c ó độ dài là 3 0 y có 2 ng hiệm 12 , x x th ỏ a 2 12 2 2 2 12 080 80 1 3 9 89 949 mm m hay m m xx m mm xx S P Câ u 3 5 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2 tan x y x m đồng biến trên khoảng 0; 4 ? A. 12 m . B. 0;1 2 mm . C. 2 m . D. 0 m . Hướng dẫn Ch ọn B. Điều kiện tan x m . Điều kiện cần để h àm số đồ ng biến trên 0; 4 là m 0;1 y' 2 m cos 2 x(tan x m) 2 . Ta th ấy: 1 cos 2 x(tan x m) 2 0 x 0; 4 ;m 0;1 Để hs đồ ng biến trê n 0; 4 y' 0 m (0;1) m 2 0 m 0;m 1 m 0 h oặc 12 m Câ u 3 6 : Tìm tất cả c ác g iá t r ị t hực của th am s ố m s ao cho h à m s ố 3 2 () 7 14 2 3 mx yfx mx x m giảm trên n ửa k hoảng [1 ; ) ? A. 14 ; 15 . B. 14 ; 15 . C. 14 2; 15 . D. 14 ; 15 . Hướng dẫn Ch ọn B. Tập xá c định D , yêu cầu c ủ a b à i toán đ ư a đ ến giải bất phương trình 2 14 14 0, 1 mx mx x , tươn g đư ơn g với 2 14 () 14 gxm xx 1 Dễ dà ng có đ ược () g x là hàm tăn g 1; x , suy ra 1 14 min ( ) (1) 15 x gx g Kết lu ận: 1 1 14 min ( ) 15 x gxm m Câ u 3 7 : Tất cả các giá trị thực của tham số m s ao ch o h à m số 42 (2 3) yx m x m ngh ịc h bi ến trên k hoả ng 1; 2 là ; p q , tro ng đ ó phân số p q tối giản và 0 q . Hỏi tổn g p q là? A. 5. B. 9 . C. 7. D. 3. Hướng dẫn Ch ọn C . Tập xá c định D . Ta có 3 42(2 3) yx m x . Hàm số nghịc h biến trê n (1 ; 2) 2 3 0, (1 ; 2) ( ), (1 ; 2) 2 yx mx gxx . Lập b ả ng biến thiên của () g x trên (1 ; 2) . () 2 0 0 gx x x Bản g bi ế n th iên x 1 2 g 0 g 5 2 11 2 Dựa vào bảng b iến thiên , kế t luậ n: 5 min ( ) 2 mgx m . Vậy 52 7 pq . Câ u 3 8 : Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m s ao c h o hàm số 2 2(1 ) 1 x mx m y xm đồn g biến trên khoản g (1 ; ) ? A. 3. B. 1 . C. 2. D. 0. Hướng dẫn Ch ọn D. Tập xá c định \ Dm . T a có 22 22 24 2 1 () () ( ) x mx m m g x y xmxm Hàm số đồng biến trên (1 ; ) khi và chỉ kh i () 0, 1 gxx và 1 m 1 Vì 2 2( 1) 0, g mm nên 1 () 0 gx có h a i nghiệm thỏa 12 1 xx Điều kiện tư ơng đương là 2 2(1) 2( 6 1) 0 32 2 0,2 1 2 gm m m S m . Do đ ó không có giá trị n guyên d ư ơng củ a m th ỏ a yêu cầu bài toán. Câ u 3 9 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m s ao cho phương t rình 21 x xm có nghiệm thự c? A. 2 m . B. 2 m . C. 3 m . D. 3 m . Hướng dẫn Ch ọn B. Đặ t 1, 0 tx t . Ph ư ơ ng trình t hành: 22 21 21 tt m m t t Xét hàm số 2 () 2 1, 0; ( ) 2 2 ftt t t ft t Bản g bi ế n th iên của f t : Từ đó suy ra phương tr ình có ngh i ệ m khi 2 m . Câ u 4 0 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 22 45 4 x xm xx có đ úng 2 ngh i ệ m d ươn g? A.13 m . B.35 m . C.53 m . D.33 m . Hướng dẫn Ch ọn B Đặ t 2 () 4 5 tfx x x . Ta có 2 2 () 45 x fx xx . () 0 2 fx x Xét 0 x t a có bảng biến th i ên K hi đó phư ơng trìn h đã cho trở thành 22 55 0 mt t t t m 1 . Nếu phươn g t rì nh 1 có ngh i ệ m 12 , tt thì 12 1 tt . 1 có nh iề u n h ấ t 1 ngh iệ m 1 t . Vậy ph ư ơ ng trình đã c h o c ó đúng 2 nghiệm dương k hi và chỉ khi p hương tr ì nh 1 c ó đúng 1 nghi ệm 1; 5 t . Đặt 2 () 5 gtt t . Ta đi tìm m để phương trình () gtm có đúng 1 nghi ệm 1; 5 t . Ta c ó () 2 1 0, 1; 5 gt t t . Bản g bi ế n th iên: x 0 2 f x 0 f x 5 1 t 0 1 f t 0 f t 1 2 Từ bảng b i ến th i ên suy r a 35 m là các giá tr ị c ầ n tìm. Câ u 4 1 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m s ao c h o phương t rình : 22 33 log log 1 2 1 0 xx m c ó í t nhất m ột nghiệ m t rên đoạ n 3 1; 3 ? A.13 m . B.02 m . C.03 m . D.12 m . Hướng dẫn Ch ọn B. Đặ t 2 3 log 1 tx . Điều kiện: 1 t . Phương t rì nh t hà nh : 2 22 0(*) tt m . K hi 3 1; 3 [ 1 ; 2] xt 2 2 (*) ( ) 2 tt ftm . Bảng biến thiên : Từ bảng b i ến th i ên ta c ó : 02 m Câ u 4 2 : Tìm tất cả các giá t r ị t hực của tham s ố m s ao c h o p h ương t rì nh 2 22 1 x mx x có hai nghiệm thực ? A. 7 2 m . B. 3 2 m . C. 9 2 m . D. m . Hướng dẫn Ch ọn C Điều kiện: 1 2 x t 1 2 f t f t 0 2 t 1 5 g t g t 3 5 Phương t rì nh 2 22 1 x mx x 2 34 1 (*) xx mx Vì 0 x khôn g là n g hiệm nê n * 2 34 1 x x m x Xét 2 34 1 () x x fx x . T a có 2 2 31 1 () 0 ; 0 2 x fx x x x Bản g bi ế n th iên Từ bảng biến th i ên ta có để ph ương trìn h có hai ng hiệm t hì 9 2 m . Câ u 4 3 : Tìm tất cả c ác g iá t rị t h ự c c ủ a th am s ố m s ao cho mọi ngh i ệm c ủ a b ất p h ư ơng trình: 2 32 0 xx c ũ ng là n ghiệm của bất ph ương trình 2 110 mx m x m ? A. 1 m . B. 4 7 m . C. 4 7 m . D. 1 m . Hướng dẫn Ch ọn C . Bất ph ư ơ ng trình 2 32 0 xx 12 x . Bất ph ư ơ ng trình 2 110 mx m x m 2 2 2 (1) 2 1 x mx x x m x x Xét hàm số 2 2 () 1 x fx x x với 12 x . Có 2 22 4x 1 () 0, [1;2] (1) x fx x xx Yêu c ầ u bài toán [1;2] max ( ) mfx 4 7 m Câ u 4 4 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m s ao c h o bất ph ư ơ ng t rình: 3 3 1 32 xmx x nghi ệm đ ún g 1 x ? A. 2 3 m . B. 2 3 m . C. 3 2 m . D. 13 32 m . x 1 2 0 f x + + f x 9 2 Hướng dẫn Ch ọn A. Bpt 32 34 112 32,13 ,1 mx x x m x f x x x xx . Ta có 52 5 2 2 42 2 42 4 2 222 0 fx x x xx x x x s uy r a f x tăng. Yc bt 1 2 3, 1 min 1 2 3 3 x fxmx fx f m m Câ u 4 5 : Bất ph ư ơ ng t r ì n h 32 23 6 16 4 23 xx x x có tập ng hi ệm l à ; ab . H ỏ i tổ ng ab có giá trị là b ao nhi êu? A. 2 . B. 4 . C. 5. D. 3. Hướng dẫn Ch ọn C Điều kiện: 24 x . Xét 32 () 2 3 6 16 4 fxx x x x trên đ o ạ n 2; 4 . Có 2 32 31 1 () 0, 2;4 24 23 6 16 xx fx x x xx x . Do đ ó hà m số đ ồn g biến t rên 2;4 , bp t () (1) 2 3 1 fxf x . So vớ i điều ki ện, tậ p nghiệm của bpt l à [1 ; 4] 5. Sab Câ u 4 6 : Bất ph ương t rình 22 23 6 11 3 1 x xx x x x có tập nghiệm ; ab . Hỏ i hi ệu ba có giá trị là bao nh iêu? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 1 . Hướng dẫn Ch ọn A. Điều kiện:13 x ; bpt 22 12 1 3 2 3 x xx x Xét 2 () 2 ftt t với 0 t . Có 2 1 '( ) 0, 0 2 22 t ft t t t . Do đ ó hà m số đ ồn g biến t rên [0; ) . 1 (1) (3 ) 1 3 2 fx f x x x So vớ i điều ki ện, b p t có t ập n g h iệm là (2;3] S Câ u 4 7 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 42 3 1 2 ym x mx chỉ có cực tiểu mà không c ó cự c đại. A. 1. m B.10. m C. 1. m D.10. m Hướng dẫn Ch ọn B T a xét h ai t rư ờng hợ p sau đâ y: TH1 : 10 m 1 m . Khi đ ó 2 3 2 yx hàm số chỉ có cực tiểu 0 x mà không có cực đại 1 m th ỏ a mã n yêu c ầ u bài toán. TH2 : 10 m 1 m . K h i đ ó h àm số đ ã c h o là h àm số t rùng phương ta có : 32 '4 1 2 4 1 21 m ym x mx m xx m . Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ' y c ó đúng m ột n ghiệm và đ ổi d ấu t ừ âm sang d ư ơng k hi x đ i qu a n ghiệm này 41 0 0 21 m m m 10 m . Kết hợp nh ững giá trị m tìm đ ược, t a có 10 m . Câ u 4 8 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 32 2 22 23 1 33 yx mx m x có h ai điểm cự c tr ị c ó h oành độ 1 x , 2 x sa o c h o 12 1 2 21 xx x x . A. 0. m B. 2 . 3 m C. 2 . 3 m D. 1 . 2 m Hướng dẫn Ch ọn C Ta có : 22 2 2 '2 2 23 1 2 3 1 yx mx m x mx m , 22 31 gx x mx m là tam thức bậc hai có 2 13 4 m . Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi ' y có hai ngh i ệ m phân biệt g x có h a i nghiệm ph â n biệt 0 213 13 213 13 m m . 1 1 x , 2 x là các ng hi ệm c ủ a g x nê n th e o đ ị nh l ý Vi‐ét, t a có 12 2 12 31 xx m xx m . Do đ ó 12 1 2 21 xx x x 2 32 11 mm 2 32 0 mm 0 2 3 m m . Đối chiếu với đi ề u kiện 1 , ta th ấy chỉ 2 3 m thỏa mãn yêu c ầ u b à i to án. Câ u 4 9 : Ch o h à m số 422 21 1 yx m x m . T ì m t ấ t c ả các giá trị củ a th am s ố thực m để h àm số có cự c đại, c ực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác c ó diện tích lớn nhấ t . A. 1 . 2 m B. 1 . 2 m C. 0. m D. 1. m Hướng dẫn Ch ọn C P hư ơn g ph áp tự lu ận 32 '4 41 yx mx '0 y 22 0 1 x x m Hàm số có cự c đại , cực ti ểu k hi và c h ỉ khi : 1 m Tọa độ điể m cự c trị 0; 1 Am 24 2 1; 2 Bm m mm 24 2 1; 2 Cmm mm 2 21 ;0 BC m Phươ ng trình đ ư ờng t hẳn g BC : 42 20 ym m m 42 ,BC 2 1 dA m m , 2 21 BC m 24 2 1 .[ , ] 1 2 1 2 ABC SBCdABC mmm 5 2 11 m Vậy S đạt giá trị lớn nh ất 0 m . P hư ơn g ph áp trắ c ng hiệm 24 2 1; 2 1 AB m m m 24 2 1; 2 1 AC m m m Kh i đó S 1 , 2 ABAC 24 2 121 mm m 5 2 11 m Vậy S đạt giá trị lớn nh ất 0 m . Câ u 5 0 : Tìm tất cả các giá t r ị t hực của th am s ố m để đ ồ thị hàm số 32 23 1 6 yx m x mx có hai điểm cực trị , A B sao ch o đường th ẳng AB v uông góc với đ ườ ng thẳ ng : 2 yx . A. 3 . 2 m m B. 2 . 3 m m C. 0 . 2 m m D. 0 . 3 m m Hướng dẫn Ch ọn C P hương ph áp tự lu ận Ta có : 2 66 16 yx m x m 1 '0 x y x m Điều k iện đ ể hàm số có 2 điểm c ự c trị là : 1 m Ta có : 1; 3 1 Am 32 ;3 Bmm m Hệ số góc đt AB là : 2 1 km Đt AB vu ô ng góc với đ ườn g thẳng 2 yx khi và c h ỉ k hi 1 k 0 2 m m P hư ơn g ph áp trắ c ng hiệm Bước 1 : Bấm Mode 2 CM PLX Bước 2 : 2 32 66 1 6 12 6 1 '. '' 23 1 6 18 36 xy x y x y yy yxyxyx a Bước 3 : Cacl x i , 1000 y Kết quả : 1001000 9980001.i . Ha y : 1001000 9980001. yx Vậy phương trình đt qu a 2 đ i ể m cực t rị AB l à : 2 2 1 y mm m x Có đt AB vuông góc với đ ườn g th ẳ ng 2 yx khi và ch ỉ khi 2 11 m 0 2 m m Câ u 5 1 : Tìm các giá trị c ủ a th am s ố m để đồ thị hàm số: 32 32 yx x mx có điểm cực đại và đ i ể m cực t iể u cách đều đ ường t hẳn g có ph ươn g trình: 1 yx d . A. 0. m B. 0 . 9 2 m m C. 2. m D. 9 . 2 m Hướng dẫn Ch ọn A P hư ơn g ph áp trắ c ng hiệm 2 36 yx xm Hàm số c ó 2 cự c trị 3 m , gọi 12 , x x là hai nghiệm của phương trình 0 y , ta c ó: 12 2 xx Bấm máy tín h : ,1000 32 2 1 3236 33 994 2006 1000 6 2000 6 2 6 6 33 3 3 3 3 xim A x xx mx x xm mm iix Hai đ i ểm c ự c t rị của đ ồ th ị hà m số là: 11 2 2 26 6 2 6 6 ;;; 33 3 3 mm m m Ax x B x x Gọi I là trung đ i ểm củ a 1; ABI m Đường thẳng đi qua h ai điểm cực tr ị là: 26 6 33 mm yx Yê u cầ u bài toán 26 9 // 1 3 2 0 11 m dor d m Id m m K ết hợp vớ i đ iều ki ệ n t h ì 0 m . Câ u 5 2 : Tìm các giá trị của tham s ố m để đồ thị hàm số: 422 4 21 yx mx m có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó cùn g với gốc O tạo th ành 1 tứ giác n ội t iếp . A. 1. m B. 1. m C. K hông tồ n tại m. D. 1. m Hướng dẫn Ch ọn A 32 44 yy x mx Hàm số có 3 điểm cực trị kh i 0 m Khi đó 3 điể m cực trị là: 4 0; 1 , ;1 , ;1 AmBm Cm Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp nếu có của tứ giác ABOC . Do tính chất đối xứng , ta có: ,, AOI thẳng hàng AO là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nếu có của tứ giác ABOC . Vậy 24 .0 0 AB OB AB OB m m 0 1 m m Kết h ợ p đ i ều k iện 1 m t hỏ a m ã n. Câ u 5 3 : Tìm các giá trị củ a tham s ố m để đ ồ thị h à m số: 42 2 yx mx m có b a đ iểm cực trị . Đồng th ời b a điểm c ực t rị đ ó là ba đ ỉ nh c ủa m ột t am giác c ó bán k ính đ ường t ròn nội tiếp l ớn hơ n 1. A. 1. m B. 2. m C. ;1 2; . m D. K h ô ng tồn tại m. Hướng dẫn Ch ọn B P hư ơn g ph áp tự lu ận Hàm số có 3 điểm cực trị kh i 0 m Ba điểm cực trị là 22 0; , ; , ; A mB mm m C mm m Gọi I là tr u ng điểm của 2 0; BCI m m 2 1 . 2 ABC SAIBCmm Chu vi của ABC là: 4 22 pAB BC AC m m m Bán kí nh đ ường trò n nộ i tiếp ABC là: 2 4 ABC S mm r p mm m Th eo bà i r a: 24 2 4 4 11 1 mm m m m mm r m mm m vì 0 m 42 252 2 1 20 2 m mm m m m m m m m m m m So sá nh điều kiện suy ra 2 m thỏa mã n . P hư ơn g ph áp trắ c ng hiệm Sử d ụn g công thức 22 2 23 3 3 4 416 2 4 1616 1 1 bm m rr aa ab m m Th eo bà i r a: 23 2 3 3 3 11 11 111 11 mm m rmm m m 33 2 1 11 11 20 2 m mm mm m m m So sá nh điều kiện suy ra 2 m thỏa mã n . Câ u 5 4 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 32 33 3 ymx mx m có hai đi ểm cực trị , A B sa o c h o 22 2 2( )20 AB OA OB Trong đó O là gốc tọa độ. A. 1. m B. 1 m . C. 1 m h oặc 17 11 m . D. 1 m hoặc 17 11 m . Hướng dẫn Ch ọn D Ta có: 2 (3 6 ) y mx x Với mọi 0 m , ta có 033 0 23 xym y xym . V ậ y h àm số lu ôn có ha i điểm c ực trị. Giả sử (0;3 3); (2; 3) Am B m . Ta có : 22 2 2 1 2( )2011 6 170 17 11 m AB OA OB m m m t hỏ a m ãn Vậy giá trị m cần tìm là: 1 17 11 m m . Câ u 5 5 : Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm 2 , hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng: A.16 3 cm B. 43 cm C . 24 cm D. 83 cm Hướng dẫn Ch ọn A. Cá ch 1 Gọi cạnh của hình ch ữ nhật: a, b ; 0 a, b 4 8 Ta có: 48 48 ab b a . Chu vi : 48 () 2 Pa a a 2 48 () 2 1 Pa a ; () 0 4 3 Pa a Bản g bi ế n th iên: Cá ch 2 Áp dụn g bất đẳn g t h ứ c C ô si: 224883 ab ab a b chu vi nhỏ n h ất: 2( ) 16 3 ab Hình chữ nhật c ó c hu v i nh ỏ nhất bằng 16 3 khi cạnh bằn g 43 . Câ u 5 6 : Tam giác v uông có diện t í ch lớn nhất l à b ao nhiêu n ế u tổng của một cạnh góc v uông v à cạn h h uyề n bằn g hằng số a a 0 ? A. 2 63 a . B. 2 9 a . C. 2 2 9 a . D. 2 33 a . Hướng dẫn Chọn A. Cạ nh góc vuôn g ,0 2 a xx ; c ạ nh huy ền : ax Cạ nh góc vuôn g còn lại l à : 22 () ax x Diện tích tam giác 2 1 () 2 2 Sx x a ax . 2 (3) () ; ( ) 0 3 22 aa x a Sx S x x aax Bản g bi ế n th iên: x 0 3 a 2 a Sx 0 Sx 2 63 a a 0 43 48 P a 0 + P a 16 3 Tam giác có d i ện tích lớn nhất bằn g 2 63 a khi cạn h góc vuông 3 a , cạnh h uyề n 2 . 3 a Câ u 5 7 : Ch o hà m số 2 2cos cos 1 . cos 1 xx y x Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá t rị n hỏ nh ất củ a h àm số đ ã ch o. Khi đó Mm bằng A.– 4. B.– 5 . C.– 6 . D. 3. Hướng dẫn Chọn D. Tập xá c định : D . Đặt cos , 0 1 tx t 2 21 () ,0 1 1 tt y ft t t 2 2 24 () (1) tt ft t ; 0 () 0 20;1 t ft t (0) 1, (1) 2 ff Vậy min 1, max 2 yy Câ u 5 8 : Ch o h à m số 2 sin 1 . sin sin 1 x y x x Gọi M là giá trị lớn nhất và m là gi á trị nhỏ n h ấ t c ủ a h àm số đ ã cho. Chọn mệnh đề đ úng . A. 2 3 Mm . B. 1 Mm . C. 3 2 M m . D. 3 2 Mm . Hướng dẫn Chọn B. Đặt sin , 1 1 tx t 2 1 () 1 t yft tt , 2 2 2 2 () 1 tt ft tt 01;1 () 0 21;1 t ft t 2 (0) 1, ( 1) 0, (1) 3 ff f . Vậ y 1, 0 Mm Câ u 5 9 : Ch o ha i số t hực 0, 0 xy thay đổi và thỏ a m ãn điều kiện 22 () x yxy x y xy . Giá trị lớn nhấ t M c ủa biểu thức 33 11 A x y là: A. 0. M B. 0. M C. 1. M D. 16. M Hướng dẫn Chọn D. 22 33 2 2 3 3 33 33 11 ( )( ) 1 1 x y xy x xy y xy A x yxy xy xy xy . Đặt x ty . Từ giả t hiết ta có: 22 3 2 2 () (1) ( 1) x yxy x y xy t ty t t y Do đ ó 22 2 11 ; 1 tt tt yxty tt t . T ừ đó 2 2 2 2 11 2 1 1 tt A xy t t . Xé t hà m số 22 2 2 2 21 3 3 () () 1 1 tt t ft f t tt tt . Lập bả ng biến thiên ta t ìm giá trị l ớ n nhất của A là: 16 đạ t được khi 1 2 xy . Câ u 6 0 : Đồ thị hàm số 2 39 x y x có đường tiệm cận đứng là x a và đường tiệm cận ngang là yb . Giá tr ị c ủ a số nguyên m n hỏ nhất thỏa mã n ma b là A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Hướng dẫn Ch ọn D T a có đường t i ệm cận đứng là 3 x và đường tiệ m cận ngang l à 1 3 y Nên 1 3, 3 ab Do đ ó 8 2 3 ma b m m Câ u 6 1 : Ch o h à m số 23 () 2 x yC x . Gọi M là điểm bất kỳ trên C, d l à tổng kho ảng cách từ M đến hai đư ờng tiệm cậ n c ủa đ ồ t h ị C . Giá trị n hỏ nhất của d l à A. 5. B. 10. C. 6. D. 2. Hướng dẫn Ch ọn D Tọa độ điể m M có dạng 0 0 0 23 ; 2 x Mx x với 0 2 x Phươ ng t rì nh t i ệm cận đ ứng, ngan g lần lư ợt là 12 20 , 2 0 x dy d . Ta có 120 0 1 ,, 2 2 2 ddMd dMd x x Câ u 6 2 : Ch o hàm số 32 12 : 33 yx mx xm có đồ thị m C . Tất cả các giá trị của tham số m để m C cắt t r ụ c Ox tại ba đi ể m p h â n bi ệ t có h oành độ 12 3 , , x xx th ỏa 22 2 12 3 15 xx x là A. 1 m hoặc 1. m B. 1 m . C. 0 m . D. 1 m . Hướng dẫn Ch ọn A. Ph ương pháp tự luận: Ph ương t rình h oàn h độ giao điểm của () C và đường thẳng d : 32 2 12 01 31 320 33 xmx x m x x m x m 2 () 1 31 3 2 0 (1) gx x xm xm m C cắt Ox tại ba đ i ểm p hân biệt p hương trìn h (1) có ha i ngh i ệ m phân biệ t khác 1 2 0 96 90 0 10 6 0 g mm m gm . Gọi 1 1 x còn 23 , x x là ngh i ệm phương trình 1 nên th e o Viet ta có 23 23 31 32 xx m xx m . Vậy 2 222 12 3 2 3 23 2 2 15 1 2 15 31 23 2 14 0 9 9 0 1 1 xxx x x xx mm m mm Vậy ch ọn 11 mm . Ph ư ơ n g ph á p t r ắ c n g h iệ m : T a kiểm tra n g a y t r ê n đá p á n Với 2 m , ta giải phương trình bậc ba: 32 14 20 33 xx x thu được 3 nghiệm 123 6.37..., 1, 0.62... xxx T a chọn nh ữ ng gi á trị nhỏ hơ n cá c nghi ệm n ày và ki ểm tra điều k iện c ủ a bài toán. Cụ t hể ta tí nh 22 2 6.4 1 0.63 42.3569 15 loại C , D. Với 2 m , ta làm t ương tự thu đ ư ợc 3 n ghiệm 123 6.27..., 1, 1.27... xxx Tính 2 22 6.2 1 1.3 41.13 15 loại B . Vậy ch ọn 11 mm . Câ u 6 3 : Ch o h à m số 1 21 x y x có đồ thị là C . Gọi điểm 00 ; M x y với 0 1 x là điểm thuộc , C biết t iếp tuyến c ủ a C tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm ph ân b iệt , A B và t am giác OAB c ó trọng tâ m G nằm trên đường thẳng :4 0 dx y . Hỏi giá trị của 00 2 x y b ằng bao nh iêu? A. 7 2 . B. 7 2 . C. 5 2 . D. 5 2 . Hướng dẫn Ch ọn A. Gọi 0 0 0 1 ; 21 x MxC x với 0 1 x là đ i ể m cần tìm. Gọi tiếp tuyế n của C tại M ta có p hương trình . 00 00 0 2 00 0 11 1 :'()( ) ( ) 2( 1) 2( 1) 1 xx yf x x x x x xx x . Gọi A Ox 2 00 21 ;0 2 xx A và BOy 2 00 2 0 21 0; 2( 1) xx B x . Khi đ ó tạo với hai tr ục t ọa độ OAB có tr ọng tâm là 22 00 00 2 0 21 2 1 ; 66( 1) xx xx G x . Do G th u ộ c đ ường thẳ ng 40 xy 22 00 00 2 0 21 21 4. 0 66(1) xx xx x 2 0 1 4 1 x vì , A B không trùng O nên 2 00 210 xx 00 00 11 1 22 13 1 22 xx xx . Vì 0 1 x nên chỉ ch ọn 000 113 7 ;2 222 2 xM xy . Câ u 6 4 : Ch o hàm số 1 21 x y x có đồ thị là C , đường t h ẳn g : dy x m . V ớ i mọi m t a luô n có d cắt C tại 2 điểm phân biệt , A B . Gọ i 12 , kk lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại , A B . Tìm m để tổng 12 kk đ ạt giá trị lớn n h ấ t. A. 1 m . B. 2 m . C. 3 m . D. 5 m . Hướng dẫn Ch ọn A. Ph ương t r ì nh hoàn h độ giao điểm của d và C là 1 21 x x m x 2 1 2 22 10(*) x gx x mx m . Th eo địn h lí Viet ta có 12 12 1 ; 2 m xx m xx . Giả sử 11 2 2 ;, ; A xy B x y . Ta c ó 2 1 21 y x , nên tiếp tuyến của C tại A và B có hệ số góc lần lượt là 1 2 1 1 21 k x và 2 2 2 1 21 k x . Vậy 22 12 1 2 12 2 22 12 12 1 2 2 2 4( ) 4( ) 2 11 (2 1) (2 1) 42( )1 48 6 4 1 2 2 xx x x kk xx xx x x mm m Dấu "" x ả y ra 1 m . Vậy 12 kk đạt gi á t rị l ớn nhất bằng 2 kh i 1 m . Câ u 6 5 : Ch o h à m số 21 1 x y x có đồ thị C . Biết khoảng cá ch từ 1; 2 I đến tiếp tuyến của C tại M là lớn n h ấtthì tung độ củ a đi ểm M nằm ở góc p hầ n tư th ứ hai, gần giá trị nào n h ấ t ? A.3e . B. 2e . C. e . D. 4e . Hướng dẫn Ch ọn C . Ph ư ơ n g ph á p tự l u ậ n Ta có 2 3 1 y x . Gọi 0 00 0 21 ;,1 1 x Mx C x x . Ph ư ơ ng trình t iếp tuyế n tạ i M là 0 0 2 00 21 3 () (1) 1 x yxx xx 22 000 3( 1) 2 2 1 0 xx y x x . 0 4 2 0 0 2 0 61 66 ,6 9 9( 1) 29 (1) (1) x dI x x x . Dấ u "" xả y ra khi và chỉ khi 2 00 2 00 2 0 00 13 2 3 9 (1) 1 3 (1) 13 2 3 x yL xx x x yN . Tu ng độ này gần với giá trị e n hất trong cá c đáp á n. Ph ư ơ n g ph á p t r ắ c n g h iệ m Ta có IM 00 121 cx d ad bc x 0 0 13 2 3 13 2 3 x yL x yN . Câ u 6 6 : Ch o hàm số 2 1 x y x có đồ thị C . Phương t r ì n h t iếp tuyế n của đồ thị hàm số C tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ th ị C đến b ằng? A. 3 . B.26 . C.23 . D. 6 . Hướng dẫn Ch ọn D. Ph ư ơ n g ph á p tự l u ậ n Gọi 0 00 0 2 ;, 1,1;1 1 x Mx C x I x . Ph ư ơ ng trìn h t iếp tu yến tại M c ó dạng 0 0 2 0 0 2 3 :() 1 1 x yxx x x . Giao đi ểm của với tiệm cận đứng l à 0 0 5 1; 1 x A x . Giao đi ểm của với tiệm cận ngang là 0 21;1 Bx . Ta c ó 0 0 6 ,2 1 . 12 1 IA IB x IA IB x . Bán kính đ ườn g t ròn ngoại ti ế p IAB là IAB Spr , suy ra 22 .. . 23 6 2. 2.. IAB S IA IB IA IB IA IB r pIAIB AB IA IB IA IB IA IB IA IB . Suy ra 2 0 max 0 0 13 1 3 23 6 1 3 13 1 3 M M xy rIAIBx xy . 3; 3 6 IM IM . Ph ư ơ n g ph á p t r ắ c n g h iệ m IA IB IAB vuông c ân t ại IIM . 13 1 3 112 13 1 3 MM MM MM xy cx d ad bc x xy 6 IM . Câ u 6 7 : Ch o hàm số 23 2 x y x có đ ồ th ị C . Biết r ằng tiếp t uy ến t ại m ột đ iểm M bất kỳ của C luôn cắt h ai tiệm c ậ n của C tại A và B . Độ dài ngắn nhấ t c ủa đo ạn t h ẳng AB là A. 4 . B . 2 . C. 2 . D. 22 . Hướng dẫn Ch ọn D. Lấy điểm 1 ;2 2 Mm m C với 2 m . T a c ó 2 1 ' 2 ym m . Tiếp t uyế n tạ i M có p h ương tr ì nh 2 11 :2 2 2 dy x m m m . Giao điểm của d với tiệm cận đứng l à 2 2; 2 2 A m . Giao điểm của d với tiệm c ậ n n gang là 22;2 Bm . Ta c ó 2 2 2 1 42 8 2 AB m m , suy ra 2 2 AB . Dấu “” xảy ra khi 2 21 m , nghĩ a là 3 m hoặc 1 m . Câ u 6 8 : Ch o h à m số 2 33 2 xx y x có đồ thị C . Tổng k hoảng cách t ừ một điểm M thuộc C đến hai hai trục t ọa độ đạt giá t rị n hỏ nh ấ t bằn g ? A. 1 . B . 1 2 . C. 2 . D. 3 2 . Hướng dẫn Ch ọn D. Điểm 3 0, 2 M nằm trên tr ục Oy . Kh oảng cách từ M đ ến h ai t rục là 3 2 d= . Xé t nh ững đ i ểm M có hoành độ lớn h ơn 3 2 3 2 dx y . Xé t nh ững đ i ểm M có hoành độ nhỏ hơn 3 2 : Với 33 3 0 22 2 xy d x y Với 2 3111 0; 0 1 1 ; ' 0 222 2 xy d xx d xx x . Chứng tỏ hàm số nghịch b i ến. Suy ra 3 min 0 2 dy . Câ u 6 9 : Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị () C của hàm số 4 2 x y x đối xứng nhau qua đường thẳng :2 6 0 dx y là A. 4; 4 và 1; 1 . B. 1; 5 và 1; 1 . C. 0; 2 và 3; 7 . D. 1; 5 và 5;3 . Hướng dẫn Ch ọn B. Gọi đường thẳng vuôn g góc với đ ườn g th ẳ ng 1 :3 2 dy x suy r a :2 yxm . Giả sử cắt () C tại hai điểm phân biệt , A B . Khi đó hoành độ của , A B là nghiệm của phươn g trì nh 2 () 4 2 2( 3) 2 2 40 2 hx x x xm xm x m x . Điều k iện cần: Để cắt () C t ại h ai đ i ể m ph ân b iệt th ì phương t rình () 0 hx có h a i nghiệm p hân biệt khác 2 , tức là 2 0543 10 23 0 (2) 0 60 54 3 m mm h m *. Điều k iện đủ: Gọi I là trung đ i ểm củ a AB , ta có : 3 33 3 4 ; 2 3 42 2 2 AB I I II I m xx x x mm I m yx mym . Để h ai đ i ể m , A B đối xứng nhau qua :2 6 0 dx y khi Id 33 3 2. 6 0 3 42 mm m thỏa điều k iện *. Với 3 m ph ư ơng tr ìn h 2 11 () 0 2 2 0 15 xy hx x xy V ậy tọ a hai điểm cần tì m là 1; 5 và 1; 1 . Câ u 7 0 : C HUYÊN Q U A N G TR UNG Để hàm số 2 1 x mx y x m đ ạt cực đ ại t ại 2 x thì m thuộc khoảng nào ? A. 0;2 . B. 4; 2 . C. 2;0 . D. 2;4 . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n B. Tập xác địn h : \ Dm . x y O 3 1 Đạo h à m: 22 2 21 xmxm y xm . Hàm số đạt c ực t rị tại 2 x th ì 2 2 3 44 1 20 0 1 2 m mm y m m . Với 2 2 2 68 3;0 4 3 x xx my y x x . Lập bản g b iến thi ê n ta t hấy h à m số đ ạt cự c đại tạ i 2 x n ên 3 m ta nhậ n . Với 2 2 0 2 1;0 2 1 x xx my y x x . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại 2 x nên 1 m ta loại. Câ u 7 1 : CH U YÊ N V I N H – L2 Cho cá c số t hực , xy thỏa mãn 23 3 xy x y . Giá trị n h ỏ nhấ t c ủa bi ểu t hức 22 415 P xy xy là A. min 80 P . B. min 91 P . C. min 83 P . D. min 63 P . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n C . Ta có 2 4 2( 3 3) ( ) 4( ) 8 3. 3 4( ) 0 xy xy x y x y xy x y xy xy Mặt khác 2( 3 3) 2 2( ) 8 4;8 xy x y xy xy x y Xét biểu thức 22 2 4( ) 15 4( ) 7 16( ) 7 7 ( 3) 16 5 P x y xy xy xy xy xy xy y x . Mà 30 16(4 ) 5 64 21 4 y P xx x yx , kết hợp với 4 3;7 64 21 83 xy x x Vậy giá trị nh ỏ nhất c ủ a biểu thức P là 83 Câ u 7 2 : CH U YÊ N V IN H – L 2 C h o hà m số bậc ba yf x có đồ t hị như hì nh bên. T ất cả các giá trị của tham số m để hàm số yfx m có ba điểm cực trị là A. 1 m h oặ c 3 m . B. 3 m h oặc 1 m . C. 1 m hoặc 3 m . D. 13 m . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Nh ận xét: Đồ t hị h àm số y fx m gồm h ai p hần : Phần 1 là ph ần đồ th ị h à m số yf x m nằm phía t r ê n t r ụ c hoà n h; Phần 2 là ph ần đối xứn g c ủ a đồ th ị hàm số yf x m n ằm p hía dưới trục hoành qu a tr ụ c hoàn h. Dựa vào đồ thị của hàm số yf x đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số yf x m . Khi đó hàm số y fx m có ba điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số yf x m và tr ục h o ành t ại nhiề u nhấ t hai điểm chun g 10 1 30 3 mm mm . Câu 73: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho hàm số 32 () yfx ax bx cx d có bảng biến thiên như sau: Khi đó |()| fx m có bốn nghiệm phân biệt 12 3 4 1 2 xx x x khi và chỉ khi A. 1 1 2 m . B. 1 1 2 m . C. 01 m . D. 01 m . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có 01 2 10 3 0 00 1 10 f a f b c f d f , suy ra 32 () 2 3 1 yfx x x . NX: 0 0 1 2 x fx x . Bảng biến thiên của hàm số () yfx như sau: Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình |()| fx m có bốn nghiệm phân biệt 12 3 4 1 2 xx x x khi và chỉ khi 1 1 2 m . Câu 74: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Cho hàm số 22 2 () ( 1)( 4)( 9) yfx xx x x . Hỏi đồ thị hàm số () yf x ¢ = cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt? A. 3. B. 5. C. 6. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C x 0 1 y 0 0 y 1 0 Ta có 22 2 3 4 2 7 5 3 14 9 13 36 14 49 36 fx x x x x x x x x x x x x 64 2 7 70 147 36 fx x x x Đặt 2 ,0 tx t Xét hàm 32 7 70 147 36 gt t t t Do phương trình 2 21 140 147 0 gt t t có hai nghiệm dương phân biệt và 0360 g nên 0 gt có 3 nghiệm dương phân biệt Do đó 0 fx có 6 nghiệm phân biệt. Câu 75: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 33 1 ym x x đồng biến trên 0; 1 . A. 2. m B. 2. m C. 1. m D. 1. m Hướng dẫn giải. Chọn B + Tập xác định: ; 1 D . + 22 23 3 3 33 33 31 . 3 2 21 21 xx yx x mx xm xx . 3 0 0 2 3 x y m x . * Trường hợp 1: 2 m , ta có bảng xét dấu: Dựa vào BXD, ta có 0, x 0; 1 y hàm số nghịch biến trên 0; 1 . * Trường hợp 2: 2 m . Để hàm số nghịch biến trên 0; 1 thì 3 2 02 3 m m . Vậy 2 m thì hàm số nghịch biến trên 0; 1 . Câu 76: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Phương trình sin 2 2017 sin 2 cos x xx có bao nhiêu nghiệm thực trong 5 ;2017 ? A. vô nghiệm. B. 2017 . C. 2022 . D. 2023. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có hàm số sin 2 2017 sin 2 cos x yx x tuần hoàn với chu kỳ 2 T . Xét hàm số sin 2 2017 sin 2 cos x yx x trên 0; 2 . Ta có sin sin 22 2sin .cos sin cos .2017 .ln 2017 cos cos . 2017 .ln 2017 1 22 cos 1 sin x x xx x yx x x xx Do vậy trên 0; 2 , 3 0cos 0 22 yx x x . 2017 1 2 0 2 y ; 31 12 0 22017 y Bảng biến thiên x 0 2 3 2 2 y 0 0 y 0 0 Vậy trên 0; 2 phương trình sin 2 2017 sin 2 cos x x x có đúng ba nghiệm phân biệt. Ta có 0 y , nên trên 0; 2 phương trình sin 2 2017 sin 2 cos x x x có ba nghiệm phân biệt là 0, , 2 . Suy ra trên 5 ;2017 phương trình có đúng 2017 5 1 2023 nghiệm. 2 y 3 2 y Chủ đề 2 . LŨ Y TH ỪA – M Ũ – LOGA RIT Câ u 1 : SG D VĨN H PH ÚC Đạo hà m của h à m số 2 ylog 3 1 x là: A. 6 31ln2 y x B. 2 31ln2 y x C. 6 31ln2 y x D. 2 31ln2 y x Hướng dẫn g i ải Ch ọ n C . Điều kiện: 31 0 x 2 31 36 ylog 3 1 31ln2 31ln 2 31ln 2 x xy x xx . Câ u 2 : NGUYỄN K HU YẾN TP HC M B ấ t phương t rình 22 2.5 5.2 133. 10 x xx có tập nghiệm là ; Sab thì 2 ba b ằng A. 6 B.10 C.12 D.16 Hướng dẫ n gi ải Ta có: 22 2.5 5.2 133. 10 50.5 20.2 133 10 x xx x x x chia hai vế b ất phương trình cho 5 x ta đư ợ c : 20.2 133 10 2 2 50 50 20. 133. 55 5 5 x x xx xx 1 Đặt 2 ,( 0) 5 x tt p hươn g trì n h 1 trở thàn h : 225 2 20 133 50 0 54 tt t Khi đ ó t a có : 24 22 25 2 2 2 42 55 4 5 5 5 x x x n ên 4, 2 ab Vậy 210 ba BÌNH LUẬN Ph ương p háp giải b ất p hương tr ình dạng 22 0 ma n ab pb : chia 2 vế của bất phươn g trì nh c ho 2 a hoặ c 2 b . Câ u 3 : NGUYỄN K HU YẾN TPHCM Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 3 32 3log 1 2log aa a . T ì m phầ n nguy ên c ủa 2 log 2017a . A . 14 B. 2 2 C. 16 D. 19 Hướng dẫ n gi ải BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _______________________________Đặt 6 ,0 tat , từ giả thiết ta có 32 3 32 3log 1 2log tt t 32 2 32 log 1 log 0 ft t t t 32 2 32 43 3ln2 2ln3 2ln2 2ln3 2ln3 13 2 2 1 .. ln 3 1 ln 2 ln 2.ln 3. tt tt ft tt t tt t Vì đ ề xé t a n gu yên dương nên ta xét 1 t . Xé t 32 3ln2 2ln3 2ln2 2ln3 2ln3 gt t t Ta có 2 84 8 4 3ln 2ln 3ln 2ln 99 9 9 gt t t t t 9 2ln 4 00 8 3ln 9 gt t . Lập b ả ng biến thiên suy ra hàm số g t giảm trên k ho ản g 1; . Suy ra 1 5ln 2 6ln 3 0 0 gt g f t . Suy ra hàm s ố f t luôn giảm trê n kh o ả ng 1; . Nên 4 t là n ghiệm du y nhất của phương trình 0 ft . Suy ra 6 0 4 4 4 4096 ft ft f t a a . Nên số ngu yên a lớn nh ấ t thỏa mãn giả th iết bà i toán là 4095 a . Lúc đó 2 log 2017 22,97764311 a . Nên phầ n n guyê n của 2 log 2017a bằng 22. Đáp á n: B. Câ u 4 : NGUYỄN K HUYẾN TPHCM Biết 15 2 x là một nghiệm của bất phương trình 2 2log 23 23 log 2 15 a a xxx *. Tập nghiệm T củ a bất phương trìn h * là: A. 19 ; 2 T . B. 17 1; 2 T . C. 2;8 T . D. 2;19 T . Hướng dẫ n gi ải 22 2log 23 23 log 2 15 log 23 23 log 2 15 aaa a xxx x xx Nếu 1 a ta có 2 2 2 23 23 2 15 log 23 23 log 2 15 2 19 215 0 aa xx x xxx x xx Nếu 01 a ta có 2 2 12 23 23 2 15 log 23 23 log 2 15 19 23 23 0 aa x xx x xxx x x Mà 15 2 x là một ngh i ệ m của bất phương tr ìn h.Ch ọ n D. BÌNH LUẬN ‐ S ử d ụn g tính ch ấ t của hàm số logarit log a yb đ ồng bi ế n nếu 1 a ng h ị c h bi ế n n ếu 01 a ‐ 1 0 log log 01 0 aa a gx fxgx fx g x a fx fxgx Câ u 5 : T.T DI Ệ U HIỀN Tìm m để phương t rình : 2 2 11 22 1 1 log 2 4 5 log 4 4 0 2 mx m m x có ngh iệ m trên 5 ,4 2 A. 7 3 3 m . B. m . C. m . D. 7 3 3 m . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Đặt 1 2 log 2 tx . Do 5 ;4 1;1 2 xt 2 41 4( 5) 4 40 mt m t m 2 15 10 mt m tm 22 151 mt t t t 2 2 51 1 tt m tt gmft Xé t 2 2 51 1 tt ft tt v ới 1;1 t 2 2 2 44 0 1 t ft tt 1;1 t H à m số đồng biến tr ên đoạn 1;1 Để p h ư ơng trìn h có n ghiệm khi h a i đồ t hị ; gmf t cắt nhau 1;1 t 7 (1) 1 3 3 fgmf m BÌNH LUẬN Đây là dạng toán ứng dụng hàm số để giải bài toán chứa tham số. Đối với bài toán biện luận nghiệm mà chứa tham số thì phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ sa u đó cô lập m rồi tìm max, mi n h àm số. Câ u 6 : LẠNG GIANG SỐ 1 Số các giá trị nguyên dương để bất phương trình 22 2 cos sin sin 32 .3 x xx m có nghi ệm là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Đặt 2 sin x t 01 t 22 2 1 cos sin sin 32 .3 3 23 t x xx tt m 2 332 2.3 33 3 t tt t t mm Đặt: 32 01 93 t t yt 11 2 2 3. .ln .ln 0 99 3 3 tt y Hàm số luôn ng h ị ch biế n Dựa vào bảng b iến thiên suy r a 1 m thì phư ơng trì nh có nghiệ m Suy ra các g iá trị nguy ê n dương cầ n tì m 1 m . _ 1 1 0 4 f(t) f'(t) tCâ u 7 : LÝ TỰ T R ỌNG – T PHCM Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 22 32 4 63 .3 3 3 xx x x mm c ó đúng 3 nghi ệ m thự c p hân biệt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫ n g i ải Ch ọn A. Đặt. 2 2 32 63 4 3 .3 3 xx x x u uv v . Khi đó p hư ơng trình trở thà nh 2 32 2 2 2 2 3 2 3 110 1 0 1 31 30 1 32 0 2 4log 4log xx x mu v uv m m u v u u m v u vm mm x xx x xm x m Để phương trình có ba nghiệm thì 2 3 4log x m có một nghiệm khác 1; 2 . Tức 3 4log 0 81 mm . Ch ọ n A . Câ u 8 : LÝ TỰ TR Ọ NG – TP H CM Ch o 2 log log log log 0; y ab c b x x pq r ac . Tín h y th eo ,, pq r . A. 2 yq pr . B. 2 p r y q . C. 2 yq p r . D. 2 yq pr . Hướng dẫ n g i ải Ch ọn C . 22 log log log 2log log log 2 log log log log 2 yy bb xx ac ac yx b a c q x p xr x xq p r 2 yq pr do log 0 x . BÌNH LUẬN Sử d ụn g log log log c,log log log ,log log m aa a a a a a a b bc b b c b m b c Câ u 9 : C H U YÊN PHAN B ỘI C HÂU Cho hàm s ố 4 42 x x fx . Tính giá trị biểu thức 1 2 100 ... 100 100 100 Af f f ? A.50 . B. 49 . C. 149 3 . D. 301 6 . Hư ớng dẫn gi ải Ch ọ n D . Cá ch 1 . Bấm máy t ính Casio fx 5 70 t he o côn g th ứ c 100 100 1 100 4 301 6 42 X X X . Cá ch 2 . Sử d ụng tính chất 11 fx f x c ủ a h àm số 4 42 x x fx . T a có 1 2 1 2 1 99 2 98 49 51 50 100 ... 100 100 100 100 100 100 100 100 4 4 301 49 42 6 42 Af f f f f f f f PS: C h ứng m i nh tí n h c h ất c ủa h à m số 4 42 x x fx . Ta có 1 1 44 4 4 4 2 11 42 4 2 42 4 2.4 4 2 2 4 xx x x xx x xx x fx f x . Câ u 1 0 : THTT – 47 7 Nếu 2 84 log log 5 ab và 2 48 log log 7 ab thì giá t rị c ủa ab bằng A. 9 2. B. 18 2. C. 8. D. 2. Hướng dẫn gi ải Ch ọ n A . Đặt 22 log 2 ; log 2 x y xaa y bb . Ta có 2 84 2 48 1 5 log log 5 315 6 3 13 21 3 log log 7 7 3 xy ab xy x xy y ab xy . Suy ra 9 22 xy ab . BÌNH LUẬN Nguyê n tắc t rong b ài n ày là đư a về l ogari t c ơ số 2. Câ u 1 1 : THTT – 477 Cho 1 n là một số nguyên. Giá trị của biểu thức 23 11 1 ... log ! log ! log ! n nn n b ằng A. 0. B. . n C. !. n D. 1. Hướng dẫn gi ải Ch ọ n D . !! ! ! 234 !! 11 1 1 1, ... log 2 log 3 log 4 ... log log ! log ! log ! log ! log 2.3.4... log ! 1 nn n n n nn nn n nn n n nn BÌNH LUẬN Sử d ụn g công thức 1 log log a b b a = , log log log aa a bc b c =+ ,log 1 a a = Câ u 1 2 : C HU YÊN LƯƠNG V ĂN CHÁNH Cho hai số t h ự c dương , xy t hỏa mã n 22 4 xy . T ì m giá trị lớn nhất max P của biểu thức 22 22 9 P xy y x xy . A. max 27 2 P . B. max 18 P . C. max 27 P . D. max 12 P . H ướng dẫn giải Chọn B. Ta có 42 2 2 2 4 2 2 x y xy xy xy . Suy ra 2 1 2 xy xy . Kh i đó 22 33 22 22 9 2 4 10 P xy y x xy x y xy xy . 22 23210 P x y x y xy xy xy 22 22 4 4 3 4 10 16 2 2 1 18 xy xy xy xy xy xy Vậy max 18 P kh i 1 x y . Câ u 1 3 : C HUYÊN PHA N BỘ I C HÂU Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 22 2 1 73 5 7 3 5 2 xx x m có đú ng hai n ghiệm phân b iệt. A. 1 16 m . B. 1 0 16 m . C. 11 216 m . D. 1 0 2 1 16 m m . Ch ọ n D . PT 22 73 5 7 3 5 1 22 2 xx m . Đặt 2 73 5 0;1 2 x t . Kh i đó PT 22 22 02 2 tt m m t t gt 1. Ta có 1 14 0 4 gt t t . Suy ra b ản g b i ến thiên: PT đã cho có đúng 2 ng h i ệm phân biệt 1 có đú ng 1 n g hiệm 0;1 t 1 1 2 16 8 1 12 0 0 2 m m m m . BÌNH LUẬN Trong bài này các em cần lưu ý tìm điều kiện đúng cho t và mối quan hệ số nghiệm giữa bi ế n cũ và biến mới, tứ c là mỗi 0;1 t c h o ta h ai giá trị x . Câ u 1 4 : C H U YÊN ĐHSP HN Số ngh iệm thực p h â n biệt củ a p hương trình 11 44 22 4 x x xx l à A. 2. B. 3 . C. 1. D. 0. Ch ọ n D . Điều kiện 0 x ‐ Nếu 1 01 4 xx x , dấu bằng xẩy ra kh i 1 2 x và 1 1 4 x x , dấu b ằng x ẩ y ra k hi 2 x suy r a 11 44 22 4, 0 x x xx x ‐ Nếu 1 4 11 1 01 12 44 2 x x xx x xx , dấu b ằng xẩy ra khi 1 2 x và 1 4 11 1 112 44 2 x x xx xx , d ấ u bằng x ẩy ra khi 2 x Suy ra 11 44 22 1, 0 x x xx x Vậy ph ư ơ ng trình đã cho vô ng h i ệ m. BÌNH LUẬN Sử d ụng bất đẳng t hức Cô s i c h o hai số dương 2 ab ab , dấu “” xả y ra kh i . ab Câ u 1 5 : C H U YÊN ĐH VINH Số nghiệm của ph ư ơ ng trì nh 22 35 log 2 log 2 2 xx xx là t 0 1 4 1 g t 0 g t 0 1 8 1 A.3. B. 2. C.1. D. 4. Đá p á n: B. ĐK: 0; 2 xx . Đặt 2 2 tx x 2 22 2 x xt 35 log log 2 tt . Đặt 35 log log 2 tt u 3 5 log log 2 tu tu 3 25 u u t t 52 3 uu 52 3 52 3 uu uu 53 2 32 5 uu uu 53 2 (1) . 31 21(2) 55 uu uu Xé t 1:5 3 2 uu Ta t hấ y 0 u là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng mi nh ng hi ệm 0 u là du y nhất. Với 2 01 210 ut x x , p h ương t rìn h này vô ngh i ệm. Xé t 31 2: 2 1 55 uu Ta t h ấ y 1 u là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng mi nh nghi ệm 1 u l à duy nhấ t . Với 2 03 230 ut x x , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa 0; 2 xx . BÌNH LUẬN Ch o 1 fx g x nếu , f xg x đối nghị ch n ha u ng hi ê m n gặt hoặ c g x const và f x t ăng, giảm ngh i êm n gặt th ì 1 có n ghiệm duy nh ất. Câ u 1 6 : C H U YÊN THÁ I BÌNH Tìm tấ t cả c ác g iá t rị t hực của tha m s ố m để p h ư ơng trì n h sau c ó hai nghiệm thực p h ân b iệt: 2 31 3 log (1 ) log ( 4) 0 xxm . A. 1 0 4 m . B. 21 5. 4 m C. 21 5. 4 m D. 1 2 4 m . Ch ọ n C . 2 2 31 2 2 3 33 1;1 10 log (1 ) log ( 4) 0 log (1 ) log ( 4)14 x x xxm xxm xx m Yê u cầ u bài toán 2 50 fx x x m c ó 2 nghiệm p hân b i ệt 1;1 Cá ch 1 : D ù ng đ ị n h l í về dấu t am thức b ậc hai. Để t hỏa yêu cầu bài toán t a phải c ó phư ơ ng t rình 0 fx có hai nghiệm thỏa: 12 11 xx .1 0 50 .1 0 21 30 5 0 4 21 4 0 11 2 af m af mm m S . Cá ch 2 : V ớ i đi ều k iện có n ghiệm, t ìm các ng h iệm củ a phươn g t rình 0 fx rồ i so sán h trực tiếp các ng hiệm với 1 và 1 . Cá ch 3 : Dùng đ ồ thị Đư ờng thẳ ng ym cắt đồ thị hàm số 2 5 yx x t ại h ai đ iểm phân biệt tr ong khoả ng 1;1 khi và chỉ k h i đường t hẳng y m cắt đồ thị hàm số 2 5 yx x tại hai điểm p hâ n bi ệ t có hoành độ 1;1 . Cá ch 4 : Dù ng đạo hà m Xé t hà m số 2 1 5210 2 fx x x f x x x Có 121 ;1 3; 1 5 24 ff f Ta có bản g biến thiên x 1 1 2 1 f x – 0 f x 5 21 4 3 Dựa vào bảng bi ế n thiên, đ ể c ó h ai n g h i ệ m phân b iệt tro n g kh o ả n g 1;1 khi 21 21 55 44 mm . Cá ch 5 : Dùng M TCT Sa u kh i đưa về phương tr ìn h 2 50 xx m , ta n hập ph ương t rình v ào máy tí n h. * Giải kh i 0, 2 m : kh ôn g th ỏa loại A , D . * Giải kh i 5 m : kh ôn g th ỏa loại B . Câ u 1 7 : Tập tất cả các giá trị của m để phương trình 2 1 2 22 2. 2 3 4 . 2 2 xm x log x x log x m có đú ng b a ngh i ệm phân biệt là: A. 13 ;1; . 22 B. 13 ;1; . 22 C. 13 ;1; . 22 D. 13 ;1; . 22 Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D Ta có 2 1 2 22 2. 2 3 4 . 2 2 xm x log x x log x m 1 2 2 2 1 22 2 . 12 2. 2 2 xm x log x log x m 2 Xé t hà m số 2 2. 2 , 0. t ft log t t Vì 0, 0 ft t hàm số đồng b iến tr ên 0; Khi đ ó 22 21 2 12 fxfxm x xm 2 2 41 2 03 214 xx m xm Phươ ng t rình 1 có đúng b a nghi ệm p h ân bi ệt n ế u xảy ra các trường h ợp sau : PT 3 có nghiệm kép k h á c h a i ng h i ệm phân biệt của PT 4 3 2 m , th ay v ào P T 4 thỏa mãn PT 4 có ngh i ệm kép k h á c hai ng h i ệm phân biệt của PT 3 1 2 m , th ay v ào P T 3 thỏa mãn PT 4 có h ai nghiệm p hân biệt v à PT 3 có h ai nghiệm p h ân b i ệt, tr ong đó có một nghiệm c ủa hai P T trùn g nh au 421 xm ,với 13 . 22 m Tha y vào P T 3 tìm đ ư ợ c 1. m KL: 13 ;1 ; . 22 m BÌNH LUẬN B1: Đư a phươn g trìn h v ề dạ n g fufv với , uv là h ai hàm th e o x . B2: Xét hàm số ,. f tt D B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số , f tt D tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D. B4: fufv u v Câ u 1 8 : QU Ả NG X ƯƠNG I Tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3 1)12 (2 )6 3 0 xxx mm c ó nghi ệm đ úng 0 x là: A. 2; . B.(;2] . C. 1 ; 3 . D. 1 2; 3 . Ch ọ n đá p á n B Đặt 2 x t . Do 01 x t . Khi đó t a có : 2 (3m 1) t (2 m) t 1 0, t 1 2 22 2 21 (3t t) m t 2 1 t 1 t 1 3 tt tm tt Xé t hà m số 2 2 21 () ê 1; 3 tt ft tr n tt 2 22 76 1 '(t) 0 (1 ; ) (3t t) tt ft BBT t 1 f'(t) f(t) 1 3 2 Do đó 1 lim (t) 2 t mf thỏa mãn yêu c ầ u bài toán BÌNH LUẬN Sử d ụn g maxf minf m f xx D m xx D mf x x D m x x D Câ u 1 9 : QU Ả NG X ƯƠNG I Trong các ngh i ệm (; ) x y t h ỏ a mãn b ấ t phương t rìn h 22 2 log (2 ) 1 xy xy . G i á trị lớn nhấ t của b iểu t hức 2 Tx y bằn g: A. 9 4 . B. 9 2 . C. 9 8 . D. 9. Ch ọ n đá p án B Bất P T 22 22 22 2 22 2 2 21 0 2 1 log (2 ) 1 ( ), ( ) 22 022 xy xy x y xyI II xyxy xyxy . Xét T 2x y T H1: x; y thỏa m ãn I I khi đó 22 02 2 1 Tx y x y TH2: x; y thỏa mãn I 22 2 2 19 22 ( 1) (2 ) 8 22 xy xy x y . Kh i đó 22 2 119 1 1 99999 22(1) (2 ) (2 )(1)(2 ) . 42 42842 222 22 xy x y x y Suy ra : 9 max 2 T 1 (;y) (2; ) 2 x BÌNH LUẬN ‐ Sử d ụ ng tí nh ch ất c ủ a h àm số l ogarit log a yb đồn g biến nếu 1 a ng h ịch biến n ếu 01 a 1 0 log log 01 0 aa a gx fxgx fx g x a fx fxgx ‐ Sử d ụng bất đẳng t hứ c BCS cho hai bộ số ;, ; ab x y thì 22 2 2 ax by ab x y Dấu “” xảy ra k hi 0 ab xy Câ u 2 0 : MINH HỌA L2 Tì m tập h ợ p các g i á trị c ủ a tha m s ố thực m để p hương trì n h 63 2 0 xx mm có nghiệm th uộc kh o ảng 0;1 . A. 3; 4 . B. 2; 4 . C. 2; 4 . D. 3; 4 .Ch ọ n C . Ta có: 63 2 0 xx mm 1 63.2 21 xx x m Xé t hàm số 63.2 21 x x x fx xác định trên , có 2 12 .ln3 6 .ln 6 3.2 .ln 2 0, 21 xx x x fx x nên h àm số f x đ ồng biến t rên Suy ra 01 0 1 2 4 xf fxf fx vì 02, 1 4. ff Vậy ph ư ơ ng trình 1 có ngh iệm thuộc kh oảng 0;1 kh i 2;4 m . Câ u 2 1 : CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3 Tìm m để bất phương trình 22 55 1 log 1 log 4 x mx x m t hoã mãn với mọ i x . A. 10 m . B. 10 m . C. 23 m . D. 23 m . Hướng dẫ n g i ải Ch ọn C. BPT thoã mã n với mọi x . 2 22 40 51 4 mx x m x xmx xm 2 2 40 545 0 mx x m x mx x m 2 2 0 16 4 0 50 16 4 5 0 m m m m 0 2 2 5 3 7 m m m m m m 23 m . BÌNH LUẬN Sử d ụn g d ấ u tam th ức b ậc h ai kh ô n g đ ổi t rên R : 2 2 0 0 0 0 0 0 a f x ax bx c x R a f x ax bx c x R Câ u 2 2 : CH UYÊN Q UANG T R UNG L ẦN 3 Cho hàm số 4 2017 y 3x x em-1e+1 . Tìm m để hàm số đồ ng biến trên k h oản g 1; 2 . A. 34 31 3 1 em e . B. 4 31 me . C. 23 31 3 1 eme . D. 2 31 me . Hướng dẫ n g i ải Ch ọn B. 3 11 3 44 .ln . 1 1 2017 2017 xx em e xx yeme 3 11 3 44 .ln . 3 1 2017 2017 xx em e x x y em e Hàm số đồ ng biến trên khoảng 1; 2 3 11 3 44 .ln . 3 1 0, 1;2 2017 2017 xx em e xx yemex *, m à 3 11 4 0, 2017 4 ln 0 2017 xx em e x . N ê n * 3 31 0, 1;2 xx em e x 2 31 , 1;2 x emx Đặt 2 31, 1;2 x gx e x , 2 3.2 0, 1;2 x gx e x 12 x gx gx || || . V ậ y * xảy ra khi 2 mg 4 31 me . BÌNH LUẬN Sử dụng '' ln uu aua a và phương pháp hàm số như các bài trên. Câ u 2 3 : C H U YÊN BẮ C GI A NG Trong hình v ẽ dưới đ ây có đồ t h ị củ a các h àm số x y a , x y b , log c yx . . Hãy ch ọn m ệnh đề đún g t rong cá c mện h đề sa u đây? A. . ca b B. . ac b C. . bc a D. . ab c O 1 12 3 1 2 3 x y x ya x yb log c yx Hướng dẫn giải Ch ọn B. Từ đ ồ thị Ta thấy hàm số x ya n ghịch biến 01 a . Hàm số ,log x c yb y x đồn g biến 1, 1 bc , aba c nên loại A, C Nếu bc thì đồ thị hàm số x yb và log c yx phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần t ư thứ nh ất y x . Nhưng ta thấy đồ thị hàm số log c yx cắt đường y x nên loại D. Câ u 2 4 : C H U YÊN BẮC GIANG Biết rằ n g p hương trình 2 log 4 2 3 24.2 x xx có hai nghiệm 1 x , 21 2 x xx . T í nh 12 2x x . A. 1 . B. 3 . C. 5 . D. 1 . Hư ớn g dẫn gi ả i Ch ọn D. Điều ki ệ n 2 x . Ph ư ơ n g t rình th à nh 22 log 4 log 2 3 24.2 x xx 2 2log2 3 2. 2 4. 2 x xx x hay 2 log 2 24.2 x xx . Lấy lôgarit cơ số 2 h a i vế ta đư ợc 22 2 log 2 .log 2 log 4 2 xx x 2 2 22 2 5 log 2 1 log 2 2 log 2 2 log 2 2 6 x x xx x x . Suy ra 1 5 2 x và 2 6. x Vậy 12 5 22.61 2 xx . Câ u 2 5 : C H U YÊN KHTN L 4 Cho , x y là số thực dương thỏa mãn 2 ln n ln l yx xy . T ì m giá trị nhỏ nhấ t của Px y A. 6 P . B. 22 3 P . C. 23 2 P . D. 17 3 P . Hướng dẫ n gi ải: Ch ọ n đ áp á n B. Từ 22 ln nln l xy xy x xy y . Ta x ét: Nếu 01 x th ì 22 0 x yy y x x mâu thuẫn . Nếu 1 x th ì 2 22 1 1 x xy x y y x x x y . Vậy 2 1 x x P x xy . Ta có 2 1 x fx x x x ét t rê n 1; . Có 2 2 22 () 2 2 '0 22 () 41 2 2 1 x loai x fx x x an x nh x Vậy 1; 22 min 2 2 3 2 fx f . Câ u 2 6 : C H U YÊN KHTN L4 Tìm tập hợ p t ấ t cả c ác t ham số m sao c h o phươn g t rìn h 22 21 2 2 4.2 320 xx x x mm có bốn n ghiệm ph â n biệt. A. ;1 . B. ;1 2; . C. 2; . D. 2; . Hướng dẫn giải Đặt 2 (1) 2 1 x tt Phươ ng t rì nh có dạn g : 2 23 20* tmt m Phư ơ ng t rì nh đ ã c h o có 4 ngh i ệm phân b i ệt ph ương tr ì n h * có hai ngh iệm p hân biệ t lớn hơn 1 2 2 2 2 2 22 1,2 32 0 32 0 32 0 10 2 32 1 32 1 32 2 1 mm mm mm mm xm m m mm m mm m m Ch ọn đáp án : D BÌNH LUẬN Trong bài này do đề bài yêu cầu phương trình có 4 nghiệm phân biệt nên ta cần chú ý mỗi 1 t t hì ta nh ận được bao n h iê u g i á trị x Từ phương trình (*) chúng ta có thể cô lập m và ứng dụng hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình thỏa đề bài. Câ u 2 7 : Tì m tấ t cả các giá trị thực củ a th am s ố m để b ất ph ư ơng t rình 22 log (5 1).log (2.5 2) xx m có ng h iệm với mọ i 1 x ? A. 6 m . B. 6 m . C. 6 m . D. 6 m . Hư ớng dẫn gi ải BPT 22 2 2 log (5 1).log (2.5 2) m log (5 1). 1 log (5 1) m xx x x Đặt 2 6 log 1 txx do 1 x 2; t BPT 2 (1 ) ( ) tt m t t m ft m V ới 2 () ftt t , () 2 1 0 ft t với 2; t nên h à m đồng b iến trên 2; t Nên () (2) 6 Minf t f Do đ ó để để bất phương t rìn h 22 log(5 1).log(2.5 2) m xx có ngh i ệ m với mọi 1 x thì : () 6 mMinft m Câ u 2 8 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22 2 21 4 2 log log 3 log 3 xx m x có ng hiệm thuộc 32; ? A. 1; 3 m . B. 1; 3 m . C. 1; 3 m . D. 3;1 m . Hư ớng dẫn gi ải Điều kiện: 0. x Khi đó ph ư ơn g trình tương đương: 2 22 2 log 2log 3 log 3 xx m x . Đặt 2 log tx với 22 32 log log 32 5 xx hay 5. t Phươ ng t rì nh có dạn g 2 2 3 3 * tt mt . K hi đó b à i to á n đư ợc p hát bi ểu lại l à: “ T ì m m đ ể phương trình * có ngh i ệm 5 t ” Với 5 t thì (*) 3 . 1 3 3. 1 3 0 tt mt t t mt 1 130 3 t tmt m t Ta có 14 1. 33 t tt Với 44 51 1 1 3 353 t t ha y 11 131 3 33 tt tt suy ra 13. m V ậy phư ơng trì nh có n g hiệ m với 13. m BÌNH LUẬN Chúng ta có thể d ù n g h àm số đ ể tìm max, min củ a hàm số 1 ,5 3 t yt t Câ u 2 9 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 22 22 log 7 7 log 4 , . xmxxmx A. 2;5 m . B. 2;5 m . C. 2;5 m . D. 2;5 m . Hư ớng dẫn gi ải Bất phương trình tương đươn g 22 77 4 0, xmx xmx 2 2 7 4 7 0 (2) , . 4 0 (3) mx x m x mx x m 7 m : 2 kh ông th ỏa x 0 m : 3 khôn g thỏa x 1 th ỏa x 2 2 2 3 70 7 5 47 0 2 5. 0 0 2 40 m m m m m m m m m Câ u 3 0 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m s ao cho kh oản g 2;3 t h u ộc t ập n gh i ệ m của bất phươn g trì nh 22 55 log 1 log 4 1 (1) xxxm . A. 12;13 m . B. 12;13 m . C. 13;12 m . D. 13; 12 m . Hư ớng dẫn gi ải 2 2 2 2 2 4 4() 1 (1) 5 44 5 () 40 xxm mx x fx x mx x gx xxm Hệ trê n thỏ a m ãn 2;3 x 23 23 ( ) 12 khi 2 12 13. ( ) 13 khi 2 x x mMaxf x x m mMinf x x Câ u 3 1 : Phươ ng trì nh 2 356 23 x xx có hai nghiệm 12 , x x trong đó 12 x x , hãy chọn phát biểu đúng? A . 12 3 32 log8 xx . B . 12 3 23 log8 xx . C . 12 3 23 log54. xx D. 12 3 32 log54. xx Hướng dẫn gi ải Logarit h ó a hai vế của phương trì nh t heo cơ s ố 2 ta đư ợc: 2 356 22 3 log 2 log 3 x xx 2 22 2 3 log 2 5 6 log 3 3 2 3 log 3 0 xxx x xx 2 22 2 3 30 3 3.1 2 log 3 0 1 2 12log3 2log31 log 3 x xx xx x xx 333 3 33 3 log 2 2 log 2 log 9 log 18 xx x xx x Câ u 3 2 : Phươ ng t rình 33 3 3 4 4 3 33 3 3 10 xx x x c ó tổng các nghiệm là ? A . 0. B . 2. C . 3. D . 4 . Hướng dẫn gi ải 33 3 3 4 4 3 33 3 3 10 xx x x 7 333 3 33 27 81 1 1 7 27.3 81.3 10 27. 3 81. 3 10 7' 33 3 3 xx x x xx x x Đặt 11 323. 2 33 xx xx Côsi t 3 332 3 3 23 3 1111 1 3 3 3.3 . 3.3 . 3 3 3333 3 xx x x x xx xx x ttt Khi đ ó : 3 333 10 10 7' 27 3 81 10 2 27 3 tt t t t N Với 10 1 10 3 7 '' 333 x x t Đặt 30 x y . Khi đ ó : 2 3 110 7'' 3 10 3 0 1 3 3 yN yyy y yN Với 33 3 1 x yx Với 11 31 33 x yx Câ u 3 3 : Phươ ng t rình 2 32 3 1 4.3 5 0 xx x x c ó tất cả b ao nhiêu nghiệm k hô ng âm ? A .1. B. 2. C. 0. D.3. Hướng dẫn gi ải 2 3 2 314.3 5 0 xx x x 2 31 2 3 1 4.3 4 0 xx x x 3 1 31 2 4 31 0 xx x x 32 5 3 10 xx x 32 5 0 x x Xé t hà m số 32 5 x fxx , ta có : 10 f . '3ln320; x fx x . D o đó hàm số f x đ ồng biến t rên . Vậy ngh i ệ m duy nhất c ủ a ph ư ơ ng t rình là 1 x BÌNH LUẬN Có th ể đặt 30 x t sa u đó tín h d e l t a the o x Câ u 3 4 : Gọi 12 , x x là hai nghiệm của phương trình 22 22 21 2 2 43 22 2 2 1 xx xx . Khi đó, tổng hai nghiệm bằn g? A . 0. B. 2. C . 2. D . 1. Hướng dẫn gi ải 22 2 2 222 2 21 2 2 21 2 1 431 1 2 2 2 2 1 8.2 2 4.2 4.2 1 xx x x xxx x Đặt 2 1 22 x tt , phươ ng trìn h tr ê n t ương đương v ớ i 22 2 8441 610 310 tt t t t t t vì 2 t . T ừ đó su y ra 2 12 1 22 310 log 2 23 10 310 log 2 x x x Vậy tổn g hai n ghiệm bằn g 0 . Câ u 3 5 : Với giá trị của tha m s ố m thì phương trình 116 2 2 3 4 6 5 0 xx mm m có hai nghi ệm tr ái dấu? A.41. m B. Không tồ n tại m . C. 3 1 2 m . D. 5 1 6 m . Hướn g dẫn gi ải Đặt 40 x t . Phương trình đã cho trở thành: 2 122 3 6 50. ft mt m t m * Yê u cầ u bài toán * có ha i ngh i ệ m 12 , tt th ỏ a mãn 12 01 tt 10 10 11 0 13 12 0 4 1. 16 5 0 16 5 0 mm mf m m m mm mm BÌNH LUẬN Tìm mối quan hệ nghiệm giữa biến cũ và mới, d o 4 4 4log 01 log 0 x tx t tt nên 12 01 tt thì phươ n g t rì nh c ó h ai ng hi ệm trái d ấu. Câ u 3 6 : Với giá trị nào của th a m s ố m thì phương trình 1 4.2 2 0 xx mm có hai nghiệm 12 , x x tho ả mãn 12 3 xx ? A. 4 m . B . 2 m . C . 1 m . D . 3 m . Hướng dẫn gi ải Ta có: 2 1 4 .2 2 0 2 2 .2 2 0 * xx x x mm m m Phươ ng t rình * là p hương trì n h b ậ c hai ẩ n 2 x có: 2 2 '2 2 mmm m . Phươ ng t rình * có ngh i ệ m 2 2 20 2 0 0 m mm mm m Áp dụng đị nh lý V i ‐ é t ta có : 12 1 2 2.2 2 2 2 xx x x mm Do đ ó 3 12 32 2 4 xx m m . Th ử lạ i ta đ ược 4 m thỏ a mãn.Chọn A . BÌNH LUẬN Do p hương trình * là p h ư ơng trình b ậ c hai ẩn 20 x có thể có nghiệm 20 x vô lí nên khi gi ải ra tham số 4 m thì p hải thử lại. Câ u 3 7 : CH U YÊ N VIN H – L2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 33 1 log 4log 3 y mx xm x ác định trê n kh o ả ng 0; . A. ;4 1; m . B. 1; m . C. 4;1 m . D. 1; m . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Đặt 3 log tx , khi đó 0; x t . 2 33 1 log 4log 3 y mx xm trở t h àn h 2 1 43 y mt t m . Hàm số 2 33 1 log 4log 3 y mx xm xác đ ịnh trên k h oảng 0; k hi và chỉ khi hàm số 2 1 43 y mt t m xá c đ ịnh trê n 2 430 mt t m vô nghiệm 2 43 0 4 1 mm m m . Câ u 3 8 : CHUYÊ N V INH – L2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 2 log 1 x m x có ha i ngh i ệm phân biệt. A. 0 1 m . B. 1 m . C. K h ông tồ n tại m . D. 10 m . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n B . Điều kiện: 10 1 11 0 xx xx Xé t hàm s ố 2 33 22 ;1 0, 1;0 0: log 1 1 .ln 3.log 1 fx x f x x xx x Bản g bi ế n th iên O x y 1 C 3 C 4 C T ừ bảng b i ến thiê n suy ra phương t rình 3 2 log 1 x m x có hai nghiệm phâ n b iệt khi và chỉ kh i 1 m Câ u 3 9 : T IÊ N L à N G – HP Cho b ố n h à m số 31 x y , 1 2 3 x y , 4 3 x y , 1 4 4 x y có đ ồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là 12 3 4 ,, , CC C C như hình v ẽ b ên. Tương ứ n g h à m số ‐ đồ th ị đú n g là A. 23 4 1 1,2 ,3 ,4 CC CC . B. 12 3 4 1,2 ,3 ,4 . CC C C C. 41 3 2 1,2 ,3 ,4 CC C C . D. 12 3 4 1,2 ,3 ,4 . CC C C Hướn g dẫ n g i ải Ch ọ n C . Ta c ó 3 x y và 4 x y có cơ số lớn hơn 1 nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị là 3 C hoặc 4 C . L ấ y 2 x ta có 2 2 34 nê n đ ồ thị 4 x y là 3 C và đồ th ị 3 x y là 4 C . Ta có đồ thị hàm số 4 x y và 1 4 x y đối xứ ng nha u q u a Oy nên đồ thị 1 4 x y là 2 C . Còn lại 1 C là đồ th ị c ủa 1 3 x y . Vậy 41 3 2 1,2 ,3 ,4 CC C C Câu 40: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho phương trình 2 91 1 3 3 12 4log log log 0 69 xm x x m ( m là tham số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 x , 2 x thỏa mãn 12 .3 xx . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 12 m . B. 34 m . C. 3 0 2 m . D. 23 m . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: 2 91 1 3 3 12 4log log log 0 69 xm x x m Đk: 0 x x 0 y + + y 1 21 1 2 2 33 3 12 4 log log log 0 69 xm x xm 2 33 3 11 2 4log log log 0 23 9 xm x xm 2 33 12 log log 0 1 39 xm x m Đặt 3 log tx . Khi đó phương trình 1 2 12 02 39 tm tm Phương trình đã cho có hai nghiệm 12 , xx thỏa mãn 12 .3 xx 31 2 log . 1 xx 31 3 2 1 2 log log 1 1 xx tt (Với 131 log tx và 232 log tx ) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình 2 Ta có 12 12 11 1 33 b tt m m a Vậy 3 0 2 m là mệnh đề đúng. Câu 41: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 31 x mx có hai nghiệm phân biệt? A. 0 m . B. 0 ln 3 m m . C. 2 m . D. Không tồn tại m Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: Số nghiệm của phương trình 31 x mx phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số 3 x y và đường thẳng 1 ymx . .ln3 1 yx 3 x y Ta thấy 1 ymx luôn đi qua điểm cố định 0; 1 nên +Nếu 0 m : phương trình có nghiệm duy nhất + Nếu 0 m : 1 ymx là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số 3 x y tại một điểm duy nhất. + Nếu 0 m :Để thỏa mãn ycbt thì đường thẳng 1 ymx phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 x y tại điểm 0; 1 , tức là ln 3 m . Vậy 0 ln 3 m m Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ‐ ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Gọi St là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 12 y xx , 0 y , 0 x , ( 0) xtt . Tìm lim . t St A. 1 ln 2 2 . B. 1 ln 2 2 . C. 1 ln 2 2 . D. 1 ln 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Cách 1: *Tìm ,, abc sao cho 2 2 1 1( 2) 12 abxc xx xx 2 12 1 ax bx c x 22 14 4 ax ax a bx bx cx c 2 14 4 abx ab cx a c 01 40 1 41 3 ab a ab c b ac c . *Vì trên 0;t , 2 1 0 12 y xx nên ta có: Diện tích hình phẳng: 22 00 11 3 dd 1 12 2 tt x St x x x xx x 2 0 0 11 1 1 1 dln 12 2 2 2 t t x x xx x x x 11 1 ln ln 2 22 2 t tt . *Vì 11 lim 1 lim ln 0 22 tt tt tt và 1 lim 0 2 t t Nên 1111 lim lim ln ln 2 ln 2 22 2 2 tt t St tt . Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay. BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _______________________________Diện tích hình phẳng: 2 0 1 d 12 t St x xx Cho 100 t ta bấm máy 100 2 0 1 d 0,193 12 x xx Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta được đáp án B. Câu 2: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho các tích phân 0 1 1tan Idx x và 0 sin cos sin x J dx x x với 0; 4 , khẳng định sai là A. 0 cos cos sin x Idx x x . B. ln sin os IJ c . C. ln 1 tan I . D.IJ . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 11 cos sin 1 tan cos sin 1 cos nên A đúng. 0 00 cos sin cos sin ln cos sin ln cos sin cos sin cos sin dx x xx IJ dx x x xx xx B đúng 0 0 IJ dx x D đúng. Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số 3 1 48 x fxttdt . Gọi , mM lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f x trên đoạn 0;6 . Tính M m . A. 18 B. 12 C. 16 D. 9 Hướng dẫn giải 342 2 1 1 48 4 4 3 x x fxttdtt t x x , với 0 x . 24; 0 2 1;6 fx x f x x . 03; 2 1; 6 15 ff f . Suy ra 15, 1 Mm . Suy ra 16 Mm . Đáp án: C. Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử 2017 11 1d ab xx x xx C ab với , ab là các số nguyên dương. Tính 2ab bằng: A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020. Hướng dẫn giải Ta có: 2018 2019 2017 2017 2017 2018 11 1d 111d 1 1 d 2018 2019 xx x xx x x x x x x C Vậy 2019, 2018 2 2020 ab ab . Chọn D. Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho Fx là nguyên hàm của hàm số 1 3 x fx e và 1 0ln4 3 F . Tập nghiệm S của phương trình 3 3ln 32 Fx x là: A. 2 S . B. 2; 2 S . C. 1; 2 S . D. 2;1 S . Hướng dẫn giải Ta có: d1 1 1d ln 3 33 3 3 x x xx xe Fx x x e C ee . Do 1 0ln4 3 F nên 0 C . Vậy 1 ln 3 3 x Fx x e . Do đó: 3ln 32 2 x Fx e x Chọn A. Câu 6: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho (), ( ) fxgx là các hàm số liên tục trên đoạn 2;6 và thỏa mãn 36 6 23 3 () 3; () 7; () 5 f x dx f x dx g x dx . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng. A. 6 3 [3 () ()] 8 gx f x dx B. 3 2 [3 ( ) 4] 5 fx dx C. 6 ln 2 [2 ( ) 1] 16 e fx dx D. 6 ln 3 [4 ( ) 2 ( )] 16 e fx gx dx Hướng dẫn giải 36 6 23 2 () () f( ) 10 fxdx fxdx xdx Ta có: 666 333 [3 () ( )] 3 () ( ) 15 7 8 g x f x dx g x dx f x dx nên A đúng 33 3 22 2 [3 () 4] 3 f() 4 9 4 5 fx dx xdx dx nên B đúng 6 ln 6 6 6 22 2 2 [2 ( ) 1] [2 ( ) 1] 2 f( ) 1 20 4 16 e f x dx f x dx x dx dx nên C đúng 6 ln 6 6 6 33 33 [4 () 2 ( )] [4 () 2 ( )] 4 f() 2 ( ) 28 10 18 e fx gx dx fx gx dx xdx gxdx Nên D sai Chọn đáp án D Câu 7: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử 23 2 3 2 2 (2 5 2 4) ( ) xx e x x x dx ax bx cx d e C . Khi đó ab c d bằng A. ‐2 B. 3 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 23 2 3 2 2 (2 5 2 4) ( ) xx e x x x dx ax bx cx d e C nên 32 2 2 2 2 32 32 2 32 2 ()'(32)2() 2(3 2) (2 2) 2 (2 5 2 4) xxx x x ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d ax a b x b c x c d e xx x e Do đó 22 1 32 5 1 22 2 2 24 3 aa ab b bc c cd d . Vậy 3 abc d . Câu 8: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho biết 5 1 () 15 fxdx . Tính giá trị của 2 0 [(5 3 ) 7]dx Pf x A. 15 P B. 37 P C. 27 P D. 19 P Hướng dẫn giải Để tỉnh P ta đặt 53 3 05 21 dt txdx xt xt nên 15 5 5 51 1 1 11 [ ( ) 7]( ) [ () 7]dt () 7 33 3 11 .15 .7.(6) 19 33 dt P ft ft ftdt dt chọn đáp án D Câu 9: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số sin 2 cos 2 fxa xb x thỏa mãn '2 2 f và 3 b a adx . Tính tổng ab bằng: A.3. B. 4. C.5. D.8. Hướng dẫn giải Chọn C. '2cos2 2sin2 fxa x b x '2 2 2 1 2 faa 1 313 4 bb a adx dx b b Vậy 14 5. ab Câu 10: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Biết rằng: ln 2 0 11 5 dln2 ln2 ln. 21 2 3 a x xx bc e Trong đó ,, abc là những số nguyên. Khi đó Sa b c bằng: A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn C. ln 2 ln 2 ln 2 000 11 dd d 21 21 xx x xxx x ee . Tính ln 2 ln 2 22 0 0 ln 2 d 22 x xx Tính ln 2 0 1 d 21 x x e Đặt d 21 d 2d d 1 xx t te tex x t . Đổi cận : ln 2 5, 0 3 x tx t . ln 2 5 5 5 3 03 3 1d 11 5 d d ln 1 ln ln 4 ln 5 ln 2 ln 3 ln 2 ln 21 1 1 3 x t xttt ett tt . ln 2 2 0 11 5 dln2ln2ln 2, 1, 1 21 2 3 x xx abc e Vậy 4 ab c . Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C của hàm số 2 1 43 2 yx x và hai tiếp tuyến của C xuất phát từ 3; 2 M là A. 8 . 3 B. 5 . 3 C. 13 . 3 D. 11 . 3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 1 24 2 2 yx x . Gọi 00 ; x y là tọa độ tiếp điểm. Khi đó, 2 00 0 1 43 2 yx x và 00 2 yx x . Phương trình của tiếp tuyến của C tại điểm có tọa độ 00 ; xy là 2 00 00 1 243 2 yx xx x x Vì tiếp tuyến đi qua điểm 3; 2 M nên 0 2 00 00 0 11 1 223 4 3 5311 2 xyx xx xx xyx Diện tích hình phẳng cần tìm 35 22 13 11 8 43 1d 43 3 11 d 22 3 Sxx x x xx x x Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân 4 0 dln2 1cos2 x xa b x , với a, blà các số thực . Tính 16 8 ab A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt dd d 1 d tan 1cos2 2 ux ux x v vx x . Ta có 4 0 11 1 11 1 1 1 tan tan d ln cos ln ln 2 , 44 2 2 82 82 8 4 8 4 2 00 Ix x xx x a b Do đó, 16 8 4 ab . Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử 1 0 d3 fx x và 5 0 d9 fz z . Tổng 35 13 dd ftt ft t bằng A. 12. B. 5. C. 6. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 11 00 d3 d 3 f xx ft t ; 55 00 d9 d 9 f zz ft t 5 1 35 35 0 0 13 13 35 13 9 d dd d3 dd dd6. ftt ft t ftt ft t ft t ft t ft t f t t Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân ln 2 21 0 1 d x x ea xe eb . Tính tích . ab. A. 1. B. 2. C. 6. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn B. ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 21 11 00 0 0 0 1 dd dd1 d x xx x x x e x ex e x e x e x e ln 2 ln 2 1 0 0 11 21 22 x x ee ee e 1, 2 2 ab ab . Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết 32 3 63 3 sin 3 d3 1 x xcd ab xx với ,, , abcd là các số nguyên. Tính ab c d . A. 28 ab c d . B. 16 ab c d . C. 14 ab c d . D. 22 ab c d . Hướng dẫn giải Chọn A. 63 33 3 63 66 63 33 3 1sin sin 1sin 1 1 xx x x Idx dx xxxdx xx xx . Đặt t x dt dx . Đổi cận 33 33 xt xt . 33 3 63 63 6 3 33 3 1 sin 1 sin 1 sin I t t t dt t t tdt x x xdx Suy ra 33 33 33 22sin sin IxxdxI xxdx . 3 x (+) sinx 2 3x (–) cosx 6x (+) sinx 6 (–) cosx 0 sinx 32 32 3 3 3 sin3 cos 6sin6sin 2 63 27 3 Ix x x x x x x Suy ra: 27, 3, 2, 6 abc d . Vậy 28 ab c d . Câu 16: (NGÔ GIA TỰ ‐ VP) Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn ;2 4 thỏa mãn 0 sin 2 d 3 13cos a x x x . A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt 2 13cos 1 3cos 2d 3sin d. txt xtt xx Đổi cận: + Với 2 0 t x + Với . cos 3 1 A a t a x Khi đó 2 2 0 sin 2 2 2 2 dd 2 1 13cos 1cos 0 33 3 3 13cos a A A x xt t A A a a x 2 akk . Do 0 13 ;2 2 1 442 4 2 k ak k k . Bình luận: Khi cho 2 a thì tích phân không xác định vì mẫu thức không xác định (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải là B, nghĩa là chỉ chấp nhận 2 a . Câu 17: (NGÔ GIA TỰ ‐ VP) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường: 2, 3 x yy x và 1 y là: A. S 11 ln 2 2 . B. 1 1 ln 2 S . C. 47 50 S . D. 1 3 ln 2 S . Hướng dẫn giải Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm của các đường. Ta có: 23 1 x x x 21 0 x x 31 2 xx Diện tích cần tìm là: 12 12 2 01 01 211 21d 3 1d 2 ln 2 2 ln 2 2 x x x Sxx x x x Câu 18: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có bao nhiêu số 0;20 a sao cho 5 0 2 sin sin 2 . 7 a xxdx A. 20. B.19. C.9. D.10. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 56 6 7 7 0 00 0 22 2 sin sin 2 2 sin cos 2 sin sin sin sin . 77 7 aa a a x xdx x xdx xd x x a Do đó 7 sin 1 sin 1 2 2 aa a k . Vì 0;20 a nên 1 0 2 20 10 22 kk và k nên có 10 giá trị của k Câu 19: (THTT – 477) Giá trị của 1 1 lim d 1 n x n n x e bằng A. 1. B. 1. C. . e D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: 1 1 d 1 n x n Ix e Đặt 1d d xx te tex . Đổi cận: Khi 1 1; 1 1 nn x nt ex n t e Khi đó: 11 1 11 1 1 1 11 111 1 d d ln 1 ln 1 ln 11 1 nn n n nn ee n e n e ee e It ttt tt t t e Mà 1 1 1 11 1 1 n n n n e e ee e e khi n , Do đó, 1 lim 1 ln 0 n I e Câu 20: (THTT – 477) Nếu 6 0 1 sin cos d 64 n xxx thì n bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt sin d cos d tx t xx . Đổi cận: khi 1 00; 62 xt x t Khi đó: 1 1 1 1 2 2 0 0 11 1 d. 112 64 n n n t Itt nn . Suy ra 1 11 264 n n có nghiệm duy nhất 3 n (tính đơn điệu). Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số 32 ,,, , 0 yfx ax bx cx dabc a có đồ thị C . Biết rằng đồ thị C tiếp xúc với đường thẳng 4 y tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số yf x cho bởi hình vẽ dưới đây: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và trục hoành. A. 9 S . B. 27 4 S . C. 21 4 . D. 5 4 . Hướng dẫn giải Chọn B. Từ đồ thị suy ra 2 33 fx x . 23 33 3 fx f xdx x dx x x C . Do C tiếp xúc với đường thẳng 4 y tại điểm có hoành độ 0 x âm nên 2 00 0 03 3 0 1 fx x x . Suy ra 14 2 fC 3 :32 Cy x x Xét phương trình 3 2 32 0 1 x xx x . Diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 3 2 27 32 4 xx dx . Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho yfx là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn 6;6 . Biết rằng 2 1 d8 fx x và 3 1 2d 3 fxx . Tính 6 1 d Ifxx A. 11. I B. 5. I C. 2. I D. 14. I Hướng dẫn giải Chọn D. Vì fx là hàm số chẵn nên 22 11 d0 d d 8 a a fx x f x x f x x 33 11 2d 2d 3 fxx f xx Xét tích phân 3 1 2d 3 Kf xx Đặt d 2d 2d d 2 u ux u x x Đổi cận: 12; 3 6 xu x u . 66 6 22 2 11 dd3 d6 22 Kfuu fxx fxx Vậy 66 2 6 11 1 2 ddd d8614. Ifxx fxx fxx fxx Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng 1 13 2 0 3 ,, 53 x ab e dx e e c abc . Tính 23 bc Ta . A. 6. T B. 9. T C. 10. T D. 5. T Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt 2 13 13 2 3 txt xtdtdx Đổi cận: + 01 x t + 12 x t 12 2222 13 22 2 111 01 1 32 2 2 22 2. xt t t tt edx tedt te edt te e e ee e e 10 10 0 a T bc nên câu C đúng. Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số yfx liên tục trên đoạn ; ab . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị : Cy fx , trục hoành, hai đường thẳng x a , x b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử D S là diện tích hình phẳng D. Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? A. 0 0 dd b D a Sfxx fxx . B. 0 0 dd b D a Sfxxfxx . C. 0 0 dd b D a Sfxx fxx . D. 0 0 dd b D a Sfxxfxx . Hướng dẫn giải Chọn B. + Nhìn đồ thị ta thấy: Đồ thị () C cắt trục hoành tại 0;0 O Trên đoạn ;0 a , đồ thị () C ở dưới trục hoành nên fx fx Trên đoạn 0;b , đồ thị C ở trên trục hoành nên fx f x + Do đó: 00 00 dd d d d bb b D aa a S fxx fx x fxx fx x fx x Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Biết 5 1 221 4ln2 ln5 x Idxab x , với , ab là các số nguyên. Tính . Sa b A. 9. S B. 11. S C. 5. S D. 3. S Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: 52 5 11 2 221 2 21 221 dd d xx x Ix x x xx x 25 25 12 12 22 1 2 2 1 52 2 3 xx xx dx dx dx dx xx x x 25 2 5 12 12 53 2 5ln 2 3ln xdx dx x x x x xx 8ln 2 3ln5 4 8 11. 3 a ab b Câu 26: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết 4 0 ln 2 1 d ln 3 , a Ix x x c b trong đó , , ab c là các số nguyên dương và b c là phân số tối giản. Tính . Sa b c A. 60. S B. 70. S C. 72. S D. 68. S Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 4 0 ln 2 1 d Ix x x Đặt 2 2 ud ln 2 1 21 dd 2 dx ux x x vxx v 4 2 44 2 00 0 ln 2 1 ln 2 1 221 xx x Ix x dx dx x 4 4 2 0 0 11 1 1 63 8ln9 16ln3 ln 2 1 ln3 3 24 42 1 4 4 8 4 xx dx x x x 63 63 ln 3 ln 3 3 4 70 4 3 a a cbS b c . Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 1 yx và ,0 1. yk k Tìm k để diện tích của hình phẳng H gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. 3 4. k B. 3 21. k C. 1 . 2 k D. 3 41. k Hướng dẫn giải Chọn D. Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 1, , 0 yxykx bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 22 1, 1, , 0. yxyx ykx 11 1 22 2 01 1 1 1d 1 d 1d 1 1 1 1 3 kk k xkx k x x k x x k k k k 11 1 1 1 1 11 11 1 1 11 33 3 3 k k kk k k k k kk 24 11 33 kk 3 12 k 3 41. k Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số () yfx có đồ thị () yfx cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ abc như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. () ( ) ( ). fc f a f b B. () ( ) ( ). fc f b f a C. () ( ) ( ). fa fb f c D. () ( ) ( ). fb f a f c Hướng dẫn giải Chọn A. Đồ thị của hàm số () yfx liên tục trên các đoạn ; ab và ; bc , lại có () fx là một nguyên hàm của () fx . Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: () 0 yfx y xa xb là: 1 ()d ( )d bb b a aa Sfxx fxx fx fa fb . Vì 1 0 Sfafb 1 Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: () 0 yfx y xb xc là: 2 ()d ( )d cc c b bb Sfxx fxxfx fc fb . 2 0 Sfcfb 2 . Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: 12 S S f a fb f c fb f a f c 3 . Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A. (có thể so sánh fa với fb dựa vào dấu của () fx trên đoạn ; ab và so sánh fb với fc dựa vào dấu của () fx trên đoạn ; bc ). Câu 29: Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 3quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành. A. 2. V p = B. . V p = C. 7 . 4 V p = D. 7 . 8 V p = Hướng dẫn giải Đáp án A 32 ABC SABBCCA = = = = . Chọn hệ trục vuông góc Oxy sao cho () ( ) () 0;0, 1;0, 0; 3 OA B - với O là trung điểmAC . Phương trình đường thẳng AB là () 31 yx =- , thể tích khối tròn xoay khi quay ABO quanh trục AC (trùngOx) tính bởi () 1 0 31 Vxdx pp ¢=- = ò . Vậy thể tích cần tìm 22 VV p ¢ == . Câu 30: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của 2 1 2 2.cos d 12 x x x x p p - - + ò A. 1 2 . B. 0. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: () () () 22 2 1 00 2 2 cos 2 cos 2 cos dd d1 12 12 .2 12 .2 xx x x xx xx x xx x pp p p - - - =- + ++ òò ò Đặt xt =- ta có 0 x = thì 0,x 2 ==- t p thì 2 t p = và dd xt =- () () () () () () 22 2 2 00 0 0 2cos 2 cos cos cos dd dd 1 2 .2 1 2 .2 1 2 .2 1 2 .2 t x xt t x t xtx xt t x pp p p - - - = - =- =- ++ + + òò ò ò Thay vào (1) có () () 22 2 1 00 2 2 cos 2 cos cos dd 12 12 .2 12 .2 - - =+ + ++ òò ò xx x xx xx x xx dx pp p p () () 22 2 0 00 12 cos cos sin 1 dd 22 2 12 .2 + == == + òò x x x xx xx pp p Vậy 2 1 2 2 cosx 1 d 2 12 x x x p p - - = + ò Câu 31: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f ,g là hai hàm liên tục trên 1; 3 thỏa: 3 1 3d10 fx gx x . 3 1 2d6 fx gx x . Tính 3 1 d fxgx x . A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 333 111 3d10 d3 d10 f x gx x f x x gx x . Tương tự 333 111 2d62d d6 f x gx x f x x gx x . Xét hệ phương trình 310 4 26 2 uv u uv v , trong đó 3 1 d ufxx , 3 1 d vgxx . Khi đó 33 3 11 1 dd d426 f x gx x f x x gx x . Câu 32: (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn 22 (): ( 3) 1 Cx y xung quanh trục hoành là A. 6 V . B. 3 6 V . C. 2 3 V . D. 2 6 V . Hướng dẫn giải ChọnD. 22 2 (3) 1 3 1 xy y x . 11 22 22 2 11 31 3 1 12 1 Vx xdx xdx . Đặt sin cos . xt dx tdt . Với 1 2 11 2 xt xt . 22 222 22 12 1 sin .cos 12 cos 6 Vttdt tdt . Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho E có phương trình 22 22 1, , 0 xy ab ab và đường tròn 22 :7. Cx y Để diện tích elip E gấp 7 lần diện tích hình tròn C khi đó A. 7 ab . B. 77 ab . C. 7 ab . D. 49 ab . Hướng dẫn giải Chọn D. 22 22 22 1, , 0 xy b ab y a x a ab . Diện tích E là d d 22 22 00 44 aa E ba x x b Saxx aa Đặt tt d tdt sin , ; cos 22 xa xa . Đổi cận: tt 00; 2 xxa a.costdt 1+cos2t dt 22 00 42 aa E b Sab ab a Mà ta có 2 .7. C S πR π Theo giả thiết ta có 7. 49 49. EC S S ab ab Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân 1 2017 0 .ln 2 1 d ln3 b xx xa c . Với phân số b c tối giản. Lúc đó A. 6057. bc B. 6059. bc C. 6058. bc D. 6056. bc Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 11 2017 00 .ln 2 1 d 2017 .ln 2 1 d Ix x x x x x . Đặt 2 2 dd ln 2 1 21 1 dd 28 ux ux x x vxx v Do đó 1 11 22 00 0 112 .ln 2 1 d ln 2 1 d 28 28 2 1 xx x xx x x x 1 2 0 33 ln 3 ln 3 84 8 xx 1 2017 0 3 6051 .ln 2 1 d 2017 ln 3 ln 3. 88 Ix x x Khi đó 6059. bc Câu 35: (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2, my x 2 1 , 2 mx y 0 m . Tìm giá trị của m để 3 S . A. 3 . 2 m B. 2. m C. 3. m D. 1 . 2 m Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có 22 1 20 2 my x y x m (do 0 m ). và 22 20 1 2 2 20 ymx mx y y mx ymx . Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 2my x và 2 1 2 mx y ta có 22 43 0 1 222 8 0 2 2 x x mxx m mxx mx xm m . Khi đó 22 22 00 11 2d 2 d 22 mm S x mx x x mx x mm 2 32 0 122 4 . 23 3 3 m xm m xx m . Để 2 2 493 33 34 2 m Smm (do 0 m ). Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi H là phần giao của hai khối 1 4 hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của H . A. 3 2 3 H a V . B. 3 3 4 H a V . C. 3 2 H a V . D. 3 4 H a V . Hướng dẫn giải Chọn đáp án A. Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao H là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a, thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích 22 Sx a x Thể tích khối H là 3 22 00 2 3 aa x a Sxdx a dx . x y Câu 37: (CHUYÊN KHTN L4) Với các số nguyên , ab thỏa mãn 2 1 3 21lnd ln 2 xxxa b . Tính tổng Pa b . A. 27 P . B. 28 P . C. 60 P . D. 61 P . Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt ln d2 1d ux vx x ta có 2 1 dd ux x vx x 22 22 2 1 11 2 2 2 1 1 1 21lnd ln . d 33 6ln2 1 d 6ln2 6ln2 4 4 ln64 222 xxxxxx xx x x x xx x 464 60 Pa b . Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 22 2 16 25 yx x như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. A. 2 125 6 Sm B. 2 125 4 Sm C. 2 250 3 Sm D. 2 125 3 Sm Hướng dẫn giải Chọn D. Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tương ứng với 4 lần diện tích của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy. x y O a M H 4 K Từ giả thuyết bài toán, ta có 2 1 5 4 yx x . Góc phần tư thứ nhất 2 1 25 ; 0;5 4 yx xx Nên 5 23 () 0 1 125 125 25 d ( ) 412 3 I Sx xx S m Câu 39: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường yx , 0 y và 4 x quanh trục Ox. Đường thẳng 04 xa a cắt đồ thị hàm yx tại M (hình vẽ bên). Gọi 1 V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng 1 2 VV . Khi đó A. 2 a . B. 22 a . C. 5 2 a . D. 3 a . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có 00 xx . Khi đó 4 0 d8 Vxx Ta có ; Maa Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: Hình nón 1 N có đỉnh là O, chiều cao 1 hOK a, bán kính đáy R MK a; Hình nón 2 N thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao 2 4 hHK a, bán kính đáy R MK a Khi đó 22 11 2 11 4 33 3 VRh Rh a Theo đề bài 1 4 28 2. 3 3 VV a a . Câu 40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: 2 44 yx x , trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng d đi qua điểm 0; 4 A có hệ số góc k chia H thành hai phần có diện tích bằng nhau. A. 4 k . B. 8 k . C. 6 k . D. 2 k . Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 44 yx x và trục hoành là: 2 44 0 2 xx x . OBI x y d 4 1 Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số: 2 44 yxx , trục tung và trục hoành là: 22 22 00 44d 4 4d Sxx x x x x 2 3 2 0 8 24 33 x xx . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm 0;4 A có hệ số góc k có dạng: 4 ykx . Gọi B là giao điểm của d và trục hoành. Khi đó 4 ;0 B k . Đường thẳng d chia H thành hai phần có diện tích bằng nhau khi BOI và 14 23 OAB SS . 4 02 2 6 1144 6 ..4. 22 3 OAB k k k k SOAOB k . Câu 41: (CHUYÊN TUYÊN QUANG –L1) Tính tích phân 62 42 3 4 1 43 2 d3 4 18 xx xa bc x . Với a, b, c là các số nguyên. Khi đó biểu thức 24 ab c có giá trị bằng A. 20. B. 241. C. 196. D. 48. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 62 62 62 62 42 2 2 22 22 44 4 11 11 43 1 1 d4 d4d d 11 1 xx x x x xx xIJ xx x . Tính 62 2 62 2 1 1 4d 4 26224 Ixx . Tính 62 62 6 2 222 2 22 2 4 2 11 1 2 11 11 1 dd d. 1 1 1 2 x xx J xx x x x x x x Đặt 2 11 1d tx dt x xx . Khi 10 62 2 2 xt xt . Khi đó 2 2 2 0 d 2 t J t . Đặt 2 2tan d 2 1 tan d tut uu . Khi 00 2 4 tu tu . Suy ra 2 44 4 2 00 0 21 tan 22 2 du du 22 8 21 tan u Ju u . Vậy 62 42 2 4 1 16 43 2 d16316 4 1 18 ab xx x c x . Vậy 24 241 ab c . Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu 1 S , 2 S có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của 1 S thuộc 2 S và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi 1 () S và 2 () S . A. 3 VR . B. 3 2 R V . C. 3 5 12 R V . D. 3 2 5 R V . Hướng dẫn giải Chọn C Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ Khối cầu , SOR chứa một đường tròn lớn là 22 2 : Cx y R Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là 33 22 2 2 2 5 2d2 312 R R R R x R VRxx Rx . Câu 43: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số 42 3 yxx m có đồ thị m C với m là tham số thực. Giả sử m C cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ : O R 2 R 22 2 (): Cx y R y x Gọi 1 S , 2 S và 3 S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để 12 3 SS S . A. 5 2 m . B. 5 4 m . C. 5 2 m . D. 5 4 m . Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử x b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình 42 30 xx m . Khi đó ta có 42 30 bb m (1) Nếu xảy ra 12 3 SS S thì 54 42 3 2 0 3 d 0 0 0 (2) do 0 55 b bb xx mx b mb b m b Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được 42 2 45 2 0 (do 0) 52 bb b b . Thay trở ngược vào (1) ta được 5 4 m . O x y 3 S 1 S 2 S m CChủ đề 4. SỐ PHỨC Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho các số phức 12 , zz khác nhau thỏa mãn: 12 . zz Chọn phương án đúng: A. 12 12 0 zz zz . B. 12 12 zz zz là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0. C. 12 12 zz zz là số thực. D. 12 12 zz zz là số thuần ảo. Hướng dẫn giải Chọn D. Phương pháp tự luận: Vì 12 zz và 12 zz nên cả hai số phức đều khác 0. Đặt 12 12 zz w zz và 12 zz a , ta có 22 22 1 1 21 2 1 2 1 2 12 2 12 12 aa zz zz z z zz ww aa zz z z zz zz Từ đó suy ra w là số thuần ảo. Chọn D. Phương pháp trắc nghiệm: Số phức 12 , zz khác nhau thỏa mãn 12 zz nên chọn 12 1; zz i , suy ra 12 12 1 1 zz i i zz i là số thuần ảo. Chọn D. Câu 2: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 34 2. zi Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức 21 wz i là hình tròn có diện tích A. 9 S . B. 12 S . C. 16 S . D. 25 S . Hướng dẫn giải Chọn C. 1 21 2 wi wz i z 1 34 2 3 4 2 1 6 8 4 7 9 4 1 2 wi zi i w i i w i Giả sử , wx yi xy , khi đó 22 17 916 xy Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm 7; 9 I , bán kính 4. r Vậy diện tích cần tìm là 2 .4 16 . S BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _______________________________Câu 3: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 32. zi z i Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. 12 zi . B. 12 55 zi . C. 12 55 zi . D. 12 zi . Hướng dẫn giải Chọn C. Phương pháp tự luận Giả sử , zx yixy 22 2 2 32 3 2 1 3 2 1 zi z i x y i x y i x y x y 6 9 4 4 2 1 48 4 0 21 0 2 1 yx y xy xy xy 2 2 22 2 2 21 5 21 5 4 1 5 55 5 zx y y y y y y Suy ra min 5 5 z khi 21 55 yx Vậy 12 . 55 zi Phương pháp trắc nghiệm Giả sử , zx yi xy 22 2 2 32 3 2 1 3 2 1 zi z i x y i x y i x y x y 69 4 4 2 1 4 8 4 0 2 1 0 yx y xy xy Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện 32 zi z i là đường thẳng :2 1 0 dx y . Phương án A: 12 zi có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A. Phương án B: 12 55 zi có điểm biểu diễn 12 ; 55 d nên loại B. Phương án D: 12 zi có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại B. Phương án C: 12 55 zi có điểm biểu diễn 12 ; 55 d Câu 4: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn 338 zz . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất . z Khi đó M m bằng A. 47. B. 47. C. 7. D. 45. Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi zx yi với ; xy . Ta có 83 3 3 32 4 zz z z z z . Do đó 4 Mmaxz . Mà 22 22 338 3 3 8 3 3 8 zz x yix yi x y x y . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 22 2 2 2222 2 2 81. 3 1. 3 1 1 3 3 x yxy x yx y 22 22 822 2 18 22 2 18 64 xy x y 22 22 77 7 xy xy z . Do đó 7 Mminz . Vậy 47 Mm . Câu 5: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn 23 1 zi . Giá trị lớn nhất của 1 zi là A. 13 2 . B. 4. C. 6. D. 13 1 . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi zx yi ta có 23 2 3 2 3 zixyi ix y i. Theo giả thiết 22 231 xy nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm 2;3 I bán kính 1 R . Ta có 22 11 11 1 1 zi xyi i x yi x y . Gọi ; M xy và 1;1 H thì 2 2 11 HM x y . Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn. Phương trình 23 : 32 x t HI yt , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: 22 1 941 13 tt t nên 32 3 2 2;3 , 2 ;3 13 13 13 13 MM . Tính độ dài MH ta lấy kết quả 13 1 HM . Câu 6: (THTT – 477) Cho 12 3 , , zz z là các số phức thỏa mãn 12 3 0 zz z và 12 3 1. zz z Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. 333 3 3 3 1 2 312 3 . zzz z z z B. 333 3 3 3 12 3 1 2 3 . zzz z z z C. 333 3 3 3 12 3 1 2 3 . zzz z z z D. 333 3 3 3 12 3 1 2 3 . zzz z z z Hướng dẫn giải M1 I H M2Chọn D. Cách 1: Ta có: 12 3 2 3 1 0 zz z z z z 3 33 3 12 3 1 2 3 12 13 12 3 23 2 3 33 z z z z z z zz zz z z z zz z z 33 3 12 3 123 3 zzz zzz 33 3 12 3 123 3 zzz zzz . 333 12 3 123 1 2 3 33 3 zzz zzz zzz Mặt khác 12 3 1 zz z nên 33 3 12 3 3 zz z . Vậy phương án D sai. Cách 2: thay thử 12 3 1 zz z vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 7: (THTT – 477) Cho 12 3 ,, zz z là các số phức thỏa 12 3 1. zz z Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. 12 3 12 23 31 . zz z zz zz zz B. 12 3 12 23 31 . zz z zz zz zz C. 12 3 12 23 31 . zz z zz zz zz D. 12 3 12 23 31 . zz z zz zz zz Hướng dẫn giải Chọn A. Cách 1: Kí hiệu Re: là phần thực của số phức. Ta có 2 12 3 zz z 22 2 12 3 12 23 31 2Re zz z zz zz zz 12 2 3 3 1 32Re zz zz zz (1). 2 12 2 3 3 1 zz zz zz 22 2 1 2 23 3 1 1 2 23 23 3 1 3 1 1 2 2Re zz zz zz zzzz zzzz zzzz 22 2 2 2 2 2 2 2 12 2 3 3 1 12 3 23 1 31 2 .. . 2Re zz z z z z zz z zz z zz z 13 21 3 2 1 2 3 3 3 1 32Re 32Re zz zz zz zz zz zz (2). Từ 1 và 2 suy ra 12 3 12 23 31 zz z zz zz zz . Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C. Chọn 12 3 zz z A đúng và D sai Cách 2: thay thử 12 3 1 zz z vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 8: (THTT – 477) Cho P z là một đa thức với hệ số thực.Nếu số phức z thỏa mãn 0 Pz thì A. 0. Pz B. 1 0. P z C. 1 0. P z D. 0. Pz Hướng dẫn giải Chọn D. Giả sử P z có dạng 2 01 2 0 1 2 ... ; ; ;...; ; 0 n nnn Pz a az az az a a a a a 22 01 2 0 1 2 0 ... 0 ... 0 nn nn Pz a az az az a az az az 2 01 2 ... 0 0 n n aaz az az Pz Câu 9: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn 1 z . Đặt 2 2 zi A iz . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 A . B. 1 A . C. 1 A . D. 1 A . Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt Có 22 ,, 1 aa bi ab a b (do 1 z ) 2 2 2 2 22 1 4 2 1 2 22 2 ab i a b zi A iz b ai ba Ta chứng minh 2 2 2 2 42 1 1 2 ab ba . Thật vậy ta có 2 2 22 2222 2 2 42 1 14 2 1 2 1 2 ab ab b a ab ba Dấu “=” xảy ra khi 22 1 ab . Vậy 1 A . Câu 10: (CHUYÊN ĐH VINH) Cho số phứcz thỏa mãn 2 2 z và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức 1 w iz là một trong bốn điểm M , N , P, Q. Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là A. điểm Q. B. điểm M . C. điểm N . D.điểm P. Hướng dẫn giải Đáp án: D. Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi (, 0) za biab . Do 2 2 z nên 22 2 2 ab . Lại có 22 22 1 ba wi iz ab ab nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy. 11 22 2 . wzOA iz i z . Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P. O A Q M N P y xCâu 11: Cho số phức z thỏa mãn 1 z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 1. i A z A. 5. B. 4. C. 6. D. 8. Hướng dẫn giải Ta có: 55 5 11 1 6. ii A zz z Khi 6. zi A Chọn đáp án C. Câu 12: Gọi M là điểm biểu diễn số phức 2 23 2 zz i z , trong đó z là số phức thỏa mãn 23 iz i i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho ,2 Ox ON , trong đó , Ox OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải Ta có: 51 51 1 23 1 ;tan. 44 44 5 iz i i z z i w i M Lúc đó: 2 22 2tan 5 1 tan 12 sin2 0; cos2 0 13 13 1tan 1tan . Chọn đáp án A. Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1 z . Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức 23 11. Mz z z A. max min 5; 1. MM B. max min 5; 2. MM C. max min 4; 1. MM D. max min 4; 2. MM Hướng dẫn giải Ta có: 23 115 Mz z z , khi max 15 5. zM M Mặt khác: 33333 3 11111 11, 22 2 1 zzzzz Mz z khi min 11 1. zM M Chọn đáp án A. Câu 14: Cho số phức z thỏa 2 z . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức zi P z . A. 3 . 4 B.1. C.2. D. 2 . 3 Hướng dẫn giải Ta có 13 11 . || 2 i P zz Mặt khác: 11 11 . || 2 i zz Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 1 2 , xảy ra khi 2; zi giá trị lớn nhất của P bằng 3 2 xảy ra khi 2. zi Chọn đáp án A. Câu 15: Gọi 12 3 4 , ,, zz z z là các nghiệm của phương trình 4 1 1. 2 z zi Tính giá trị biểu thức 2222 1 234 1111 Pzzzz . A. 2. P B. 17 . 9 P C. 16 . 9 P D. 15 . 9 P Hướng dẫn giải Ta có phương trình 44 210. fz z i z Suy ra: 12 3 4 15 fz z z zz zz zz . Vì 2 11 1 . 11. 225 fi f i zzizi P Mà 444 4 15; 3 1 85. fi i i f i i i Vậy từ 17 1. 9 P Chọn đáp án B. Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn 12 3 zi . Tìm môđun lớn nhất của số phức 2. zi A. 26 6 17. B. 26 6 17. C. 26 8 17. D. 26 4 17. Hướng dẫn giải Gọi ;; 2 2 zx yi x y z i x y i . Ta có: 22 12 9 1 2 9 zi x y . Đặt 13sin; 2 3cos; 0;2 . xty tt 2 22 2 1 3sin 4 3cos 266sin 4cos 26617sin ; . zi t t t t t max 26 6 17 2 26 6 17 2 26 6 17. zi z i Chọn đáp án A. Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn 1 z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 131 . Pz z A. 315 B. 65 C. 20 D. 220. Hướng dẫn giải Gọi ;; zx yi x y . Ta có: 22 2 2 11 1 1;1. zxy y xx Ta có: 22 22 131 1 31 21 321 Pz z x y x y x x . Xét hàm số 21 3 21 ; 1;1. fx x x x Hàm số liên tục trên 1;1 và với 1;1 x ta có: 13 4 01;1. 5 21 21 fx x xx Ta có: max 4 12; 1 6; 220 220. 5 ff f P Chọn đáp án D. Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn 1. z Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 11. Pz z z Tính giá trị của . Mm. A. 13 3 . 4 B. 39 . 4 C. 33. D. 13 . 4 Hướng dẫn giải Gọi ;; zx yi x y . Ta có: 1. 1 zzz Đặt 1 tz , ta có 01 1 12 0;2. zz z t Ta có 2 2 2 11 1. 22 . 2 t tz z zzzz xx Suy ra 2 22 2 1. 1 2121 3 zz z zzz zz z x x t . Xét hàm số 2 3, 0;2 . ft t t t Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra 13 13 3 max ; min 3 . . 44 ft f t Mn Chọn đáp án A. Câu 19: Gọi điểm , AB lần lượt biểu diễn các số phức z và 1 ;0 2 i zzz trên mặt phẳng tọa độ ( , , AB C và , , AB C đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại . O C. Tam giác OAB vuông cân tại . B D. Tam giác OAB vuông cân tại . A Hướng dẫn giải Ta có: 11 2 ;. . . 22 2 ii OA z OB z z z z Ta có: 11 2 .. 22 2 ii BA OA OB BA z z z z z z Suy ra: 22 2 OA OB AB và AB OB OAB là tam giác vuông cân tại . B Chọn đáp án C. Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 42 . zz Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 31 3 1 . 66 z B. 51 5 1. z C. 61 6 1. z D. 21 2 1 . 33 z Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức , uv u v ta được 22 2 24 4 4 2 40 51. zz z z z z 22 22 24 4 240 51. zz z z z z z Vậy, z nhỏ nhất là 51, khi 5 zii và z lớn nhất là 51, khi 5. zi i Chọn đáp án B. Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn 12 2 zi . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z A. 945. B. 11 4 5 C. 645 D. 565 Hướng dẫn giải Gọi ;; zx yi x y . Ta có: 22 12 2 1 2 4. zi x y Đặt 12sin; 2 2cos; 0;2 xty tt . Lúc đó: 2 22 22 1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4 8 sin ; zt t t t t 2 945sin 945; 945 ztz max 945 z đạt được khi 525 10 45 . 55 zi Chọn đáp án A. Câu 22: Cho , ,, AB C D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức 1 2;1 3 ;1 3 ;1 2 ii i i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm . I Tâm I biểu diễn số phức nào sau đây? A. 3. z B. 13. zi C. 1. z D. 1. z Hướng dẫn giải Ta có AB biểu diễn số phức 3; i DB biểu diễn số phức 33i . Mặt khác 33 3 3 i i i nên .0 ABDB . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox), .0 DC AC . Từ đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua , ,, . AB C D Vậy 1;0 1. Iz Chọn đáp án C. Câu 23: Trên mặt phẳng tọa độ , Oxy lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức 2 24 zi i và gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ . OM Tính cos2 . A. 425 . 87 B. 475 . 87 C. 475 . 87 D. 425 . 87 Hướng dẫn giải Ta có: 2 13 2 4 16 13 16;13 tan . 16 zi i iM Ta có: 2 2 1 tan 425 cos2 . 87 1tan Chọn đáp án D. Câu 24: Cho 12 , zz là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 1 2 2 z z và 12 23. zz Tính môđun của số phức 1 . z A. 1 5. z B. 1 3. z C. 1 2. z D. 1 5 . 2 z Hướng dẫn giải Gọi 12 ;; z a bi z a bi a b . Không mất tính tổng quát ta gọi 0. b Do 12 23 2 2 3 3. zz bi b Do 12 , zz là hai số phức liên hợp của nhau nên 12 . zz , mà 3 3 11 1 22 2 12 . zz z z zz Ta có: 3 33223 23 2 1 22 0 33 3 0 1. 3 b z a bi a ab abb i abb a ab Vậy 22 1 2. zab Chọn đáp án C. Câu 25: Cho số phức 26 , 3 m i z i m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị 1;50 m để z là số thuần ảo? A.24. B.26. C.25. D.50. Hướng dẫn giải Ta có: 26 (2 ) 2 . 3 m mmm i zii i z là số thuần ảo khi và chỉ khi 21, mk k (do * 0; zm ). Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. Chọn đáp án C. Câu 26: Nếu 1 z thì 2 1 z z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 11 . zzz zz z zz zz zz z là số thuần ảo. Chọn đáp án B. Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn 162 10 iz i . Tìm môđun lớn nhất của số phức . z A. 45 B. 35. C. 3. D. 35 Hướng dẫn giải Gọi ;; zx yi x y . Ta có: 22 62 162 10 1. 10 24 5 2 4 5. 1 i iz i i z z i x y i Đặt 25sin; 45cos; 0;2 xty tt . Lúc đó: 22 2 2 2 2 5sin 4 5cos 25 4 5sin 8 5cos 25 4 5 8 5 sin ; zt t t t t 2 25 20sin 5;3 5 ztz max 35 z đạt được khi 36. zi Chọn đáp án B. Câu 28: Gọi , zx yixy là số phức thỏa mãn hai điều kiện 22 2226 zz và 33 22 zi đạt giá trị lớn nhất. Tính tích . xy A. 9 . 4 xy B. 13 . 2 xy C. 16 . 9 xy D. 9 . 2 xy Hướng dẫn giải Đặt ,. zx iyxy Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 22 36. xy Đặt 3cos , 3sin . xty t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có 33 18 18sin 6. 4 22 Pz i t Dấu bằng xảy ra khi 33232 sin 1 . 44 22 tt z i Chọn đáp án D. Câu 29: Có bao nhiêu số phức z thỏa 1 1 z iz và 1? 2 zi z A.1. B.2. C.3. D.4. Hướng dẫn giải Ta có : 1 3 1 1 33 2 . 42 3 3 22 2 1 2 2 z x ziz xy iz zi xy zi zi z y z Chọn đáp án A. Câu 30: Gọi điểm , AB lần lượt biểu diễn các số phức 1 z ; 212 ;. 0 zzz trên mặt phẳng tọa độ ( , , AB C và , , AB C đều không thẳng hàng) và 22 12 12 . zz zz . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác OAB đều. B. Tam giác OAB vuông cân tại . O C. Tam giác OAB vuông cân tại . B D. Diện tích tam giác OAB không đổi. Hướng dẫn giải Ta có: 2 22 2 12 12 1 1 2 1 1 1 2 1 .;. zz zz z zz z z z z z . Do 2 2 121 1 0; z zzz z (1) Mặt khác: 2 2 1 2 1 2 12 1 2 12 12 2 . z z z zz z z z z zz z (do 2 0 z ) (2) Từ (1) và (2) suy ra: 22 21 12 12 zz zz zz . Vậy ta có: 12 2 1 zz z z OAOBAB . Chọn đáp án A. Câu 31: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 24 2 zizi . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 2. zi A. 5 B. 35. C. 32 D. 32 Hướng dẫn giải Gọi ;; zx yi x y . Ta có: 22 2 2 24 2 2 4 2 4 0 4 . zizi x y x y xy y x Ta có: 2 22 2 22 2 2 2 6 2 12 36 2 3 18 18 zi x y x x x x x min 21832 zi khi 3. zi Chọn đáp án C. Câu 32: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực , mn để phương trình 42 0 zmz n không có nghiệm thực. A. 2 40. mn B. 2 40 mn hoặc 2 40 0 0 mn m n . C. 2 40 0. 0 mn m n D. 2 40 mn hoặc 2 40 0 0 mn m n . Hướng dẫn giải Phương trình 42 0 zmz n không có nghiệm thực trong các trường hợp: TH 1: Phương trình vô nghiệm, tức là 2 40. mn TH 2: Phương trình 42 2 0; tmt n t z có hai nghiệm âm 2 040 00 . 00 mn Sm Pn Chọn đáp án D. Câu 33: Nếu ;0 za a thì 2 za z A. lấy mọi giá trị phức. B. là số thuần ảo. C. bằng 0. D. lấy mọi giá trị thực. Hướng dẫn giải Ta có: 22 2 2 2 . za a az az zz z zz zz zz z là số thuần ảo. Chọn đáp án B. Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn 12 3 zi . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 1. zi A. 4. B. 22. C. 2. D. 2. Hướng dẫn giải Gọi ;; 1 1 1 zx yi x y z i x y i . Ta có: 22 12 9 1 2 9 zi x y . Đặt 13sin; 2 3cos; 0;2 . xty tt 2 22 min 13sin 13cos 106cos 2 24 1 2 zi t t t z i z i , khi 1. zi Chọn đáp án C. Câu 35: Gọi M là điểm biểu diễn số phức 2 21 zz i zi , trong đó z là số phức thỏa mãn 12 iz i i z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho ,2 Ox ON , trong đó , Ox OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ (I). B. Góc phần tư thứ (II). C. Góc phần tư thứ (III). D. Góc phần tư thứ (IV). Hướng dẫn giải Ta có: 7 19 7 19 19 12 3 ; tan . 82 82 82 82 7 iz i i z z i w i M Lúc đó: 2 22 2tan 133 1 tan 156 sin2 0; cos2 0 205 205 1 tan 1 tan . Chọn đáp án C. Câu 36: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 34 5 zi và biểu thức 22 2 Mz z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức . zi A. 241 zi B. 35. zi C. 52 zi D. 41. zi Hướng dẫn giải Gọi ;; zx yi x y . Ta có: 22 34 5 : 3 4 5 zi Cx y : tâm 3;4 I và 5. R Mặt khác: 22 2 2 22 2 2 1 4 23 :4 23 0. Mz z i x y x y x y d x y M Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C có điểm chung 23 ; 5 23 10 13 33 25 M dId R M M 22 max 42 30 0 5 33 5 4 41. 5 345 xy x Mziizi y xy Chọn đáp án D. Câu 37: Các điểm , , AB C và , , AB C lần lượt biểu diễn các số phức 12 3 , , zz z và 12 3 , , zz z trên mặt phẳng tọa độ ( , , AB C và , , AB C đều không thẳng hàng). Biết 12 3 1 2 3 zz z z z z , khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai tam giác ABC và ABC bằng nhau. B. Hai tam giác ABC và ABC có cùng trực tâm. C. Hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm. D. Hai tam giác ABC và ABC có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. Hướng dẫn giải Gọi 11 1 2 2 2 3 3 3 ;; ;; ;1;3 kk zx yiz x yiz x yi x y k . Khi đó: 11 2 2 3 3 ;; ; ; ; Ax y B x y C x y , gọi G là trọng tâm 12 3 1 2 3 ;. 33 xx x y y y ABC G Tương tự, gọi 11 1 2 2 2 3 3 3 ;; ;; ;1;3 kk zx yiz x yiz x yi x y k . Khi đó: 11 2 2 3 3 ;; ; ; ; Ax y B x y C x y , gọi G là trọng tâm 12 3 1 2 3 ;. 33 xx x y y y ABC G Do 1 2 3 1 2 3 12 3 1 2 3 12 3 1 2 3 zz z z z z x x x y y y i x x x y y y i 12 3 1 2 3 12 3 1 2 3 . xx x x x x GG yy y y y y Chọn đáp án C. Câu 38: Trên mặt phẳng tọa độ , Oxy lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức 23 1 zi i và gọi là góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ . OM Tính sin2 . A. 5 . 12 B. 5 . 12 C. 12 . 5 D. 12 . 5 Hướng dẫn giải Ta có: 1 2 3 1 5 5; 1 tan . 5 zi i iM Ta có: 2 2tan 5 sin2 . 12 1tan Chọn đáp án A. Câu 39: Cho số phức , 12 mi zm mm i . Tìm môđun lớn nhất của . z A. 1. B. 0. C. 1 2 . D.2. Hướng dẫn giải Ta có: 22 2 max 1 11 ;0. 12 11 1 mi m i zzzzim mm imm m Chọn đáp án A. Câu 40: Cho số phức z có ;0 zm m . Với ; zm tìm phần thực của số phức 1 . mz A. . m B. 1 . m C. 1 . 4m D. 1 . 2m Hướng dẫn giải Gọi Re z là phần thực của số phức . z Ta xét: 2 11 1 1 2 . m z mz mz z mz m z mz m z mz m z mzz mzmz 2 22 1 11 Re . 2 2 2 mz z m z z mmz m mm z z mmzmz Chọn đáp án D. Câu 41: Cho số phức 12 , zz thỏa mãn 1 3 z = , 2 2 z = được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các điểm , MN . Biết ( ) , 6 OM ON p = , tính giá trị của biểu thức 12 12 zz zz + - . A. 13 B. 1 C. 73 2 D. 1 13 Hướng dẫn giải Dựng hình bình hành OMPN trong mặt phẳng phức, khi đó biểu diễn của : 12 12 ì ï += ï ï í ï -= ï ï î zz OP zz MN () () 22 0 12 1 2 12 22 0 12 1 2 1 2 2cos150 1 2 cos 30 1 ì ï ï += + + = ï ï í ï ï -= + - = ï ï î zz z z zz zz z z zz 12 12 12 12 1 + + == - - zz zz zz zz . Chọn B. Câu 42: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho thỏa mãn z thỏa mãn 10 212 iz i z . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức 34 1 2 wiz i là đường tròn I , bán kính R. Khi đó. A. 1; 2 . ,5 IR B. 1; 2 , . 5 IR C. 1; 2 , 5. IR D. 1; 2 , 5. IR Hướng dẫn giải ChọnC.(đã sửa đề bài) Đặt za bi và 0 zc , với ;; abc . Lại có 12 34 1 2 34 wi wiz iz i . Gọi wx yi với ; xy . Khi đó 12 12 12 5 34 34 wi wi zc c c x yi i c ii 22 22 2 125 1 225 xy c x y c . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn 1; 2 I . Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó 55 5 1 Rc c . Thử 1 c vào phương trình (1) thì thỏa mãn. Câu 43: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ: x O 1 1 y z Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức i z ? A. B. B. D. Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi ;, . za biab Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm ở góc phần tư thứ nhất nên ,0 ab . Ta có 22 22 22 ia bi ii b a i abi a b a b a b z Do ,0 ab nên 22 22 0 0 b ab a ab điểm biểu diễn số phức nằm ở góc phần tư thứ hai. Vậy chọn C. Câu 44: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong các số phức zthỏa 34 2 zi ++ = , gọi 0 z là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức 0 z . B. 0 2 z = . C. 0 7 z = . D. 0 3 z = . x y 1 1 O x O 1 1 y x O 1 1 y x O 1 1 y Hướng dẫn giải. Chọn D Cách 1: Đặt ( , ) za bi ab =+ Î . Khi đó 22 34 2 ( 3) ( 4) 4 zi a b ++ = + + + = . Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn C tâm 3; 4 I và bán kính 5 R . Gọi M z là điểm biểu diễn số phức z. Ta có: MzC . 3 zOM OI R . Vậy z bé nhất bằng 3 khi MzC IM . Cách 2: Đặt 32cos 3 2cos 42sin 4 2sin aa bb jj jj ìì += =- + ïï ïï íí ïï += =- + ïï îî . 22 2 2 (2cos 3) (2sin 4) 29 12cos 16sin za b jj j j = + = - + - = - - . 34 29 20 cos sin 29 20cos( ) 9 55 jj aj æö ÷ ç =- + = - - ³ ÷ ç ÷ ç èø . 0 3 z = Câu 45: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: 22 1 zi . Số phức zi có môđun nhỏ nhất là: A. 51 B. 51 C. 52 D. 52 . Hướng dẫn giải Chọn A. y x 1 1 O I MGọi zx yi , , xy . Ta có: 22 2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1 zi x y i x y Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxybiểu diễn của số phức z là đường tròn () C tâm (2;2) I và bán kính 1 R . 2 2 1 zi x y IM , với 2; 2 I là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm 0;1 , 2; 2 NOyI với đường tròn (C). min 51 IM IN R Câu 46: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện: 4 4 10. zz A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm 0;0 O và có bán kính 4. R . B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 22 1. 925 xy C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm ; M xy trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình 22 22 44 12. xy x y D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 22 1. 25 9 xy Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: Gọi ; M xy là điểm biểu diễn của số phức . zx yi Gọi 4;0 A là điểm biểu diễn của số phức 4. z Gọi 4;0 B là điểm biểu diễn của số phức 4. z Khi đó: 4 4 10 10. z z MA MB (*) Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận , A B là các tiêu điểm. Gọi phương trình của elip là 22 22 2 22 1, 0, xy ab a b c ab Từ (*) ta có: 210 5. aa 22 2 282 4 9 AB c c c b a c Vậy quỹ tích các điểm M là elip: 22 :1. 25 9 xy E Câu 47: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tính 2 3 2017 1009 2 3 ... 2017 Siii i . A. S 2017 1009i. B. 1009 2017 . i C. 2017 1009 . i D. 1008 1009 . i Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 2 3 4 2017 4 8 2016 5 9 2017 2 6 10 2014 3 7 11 2015 504 505 504 504 11 1 1 1009 2 3 4 ... 2017 1009 4 8 ... 2016 5 9 ... 2017 2 6 10 ... 2014 3 7 11 ... 2015 1009 4 4 3 4 2 4 1 1009 nn n n Siiii i ii i i i i i ii i i i i i i ni n n i n 509040 509545 508032 508536 2017 1009 . ii i Cách khác: Đặt 2 3 2017 22016 2 3 2017 1 .... 1 2 3 ... 2017 2 3 ... 2017 1 fx x x x x fx x x x xf x x x x x Mặt khác: 2018 2 3 2017 2017 2018 2 2017 2018 2 1 1 .... 1 2018 1 1 1 2018 1 1 .2 1 x fx x x x x x xx x fx x xx x xf x x x Thay x i vào 1 và 2 ta được: 2017 2018 2 2018 1 1 2018 2018 2 1009 . 1009 2017 1009 2 1 ii i i Si i i i i Câu 48: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa 21 zi zi . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với 1, 3 A . A.3 i . B.13i . C.23i . D. 23i . Hướng dẫn giải Gọi , M xy là điểm biểu diễn số phức , zx yixy R Gọi 1, 2 E là điểm biểu diễn số phức 12i Gọi 0, 1 F là điểm biểu diễn số phức i Ta có : 21 z i z i ME MF Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục :20 EF x y . Để MA ngắn nhất khi MAEF tại M 3,1 3 M zi => Đáp án A. Câu 49: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa 11 2 zi là hình vành khăn. Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu ? A. 4 P . B.P . B. 2 P . D. 3 P . Hướng dẫn giải Gọi , M xy là điểm biểu diễn số phức , zx yixy R Gọi 1,1 A là điểm biểu diễn số phức 1 i 11 2 zi 12 MA . Tập hợp điểm biểu diễn là hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là 12 2, 1 RR 12 1 2 22 PP P R R => Đáp án C. Lưu ý cần nắm vững lý thuyết và hình vẽ của dạng bài này khi học trên lớp tránh nhầm lẫn sang tính diện tích hình tròn. Câu 50: Trong mặt phẳng phức Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn 2 2 2 216 zz z là hai đường thẳng 12 , dd . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng 12 , dd là bao nhiêu ? A. 12 ,2 dd d . B. 12 ,4 dd d . C. 12 ,1 dd d . D. 12 ,6 dd d . Hướng dẫn giải Gọi , M xy là điểm biểu diễn số phức , zx yixy R Ta có : 2 2 2222222 216 2 2 2 2 16 zz z x xyiy x xyiy x y 2 416 2 xx 12 ,4 dd d Ta chọn đáp án B. Ở đây lưu ý hai đường thẳng x = 2 và x = ‐2 song song với nhau. Câu 51: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho số phức z thỏa mãn 2 25 1 2 3 1 zz z iz i . Tính min | | w , với 22 wz i . A. 3 min | | 2 w . B. min | | 2 w . C. min | | 1 w . D. 1 min | | 2 w . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 2 2 5 12 3 1 12 1 2 12 3 1 z z zizi ziz i zizi 12 0 12 3 1 zi zi zi . Trường hợp 1: 12 0 zi 11 ww 1 . Trường hợp 2: 12 3 1 zizi Gọi za bi (với , ab ) khi đó ta được 22 1 12 1 3 2 3 2 ab i a b i b b b . Suy ra 2 393 22 2 2 242 wz ia i w a 2 . Từ 1 , 2 suy ra min | | 1 w . Câu 52: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : 12 5 zi và 1 wz i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 25. B. 32. C. 6. D. 52. Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi ,1212 zx yi xy z i x y i Ta có: 22 22 12 5 1 2 5 1 2 5 zi x y x y Suy ra tập hợp điểm ; M xy biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm 1; 2 I bán kính 5 R như hình vẽ: Dễ thấy OC , 1; 1 NC Theo đề ta có: ; M xy C là điểm biểu diễn cho số phức zthỏa mãn: 11 1 1 wz i x yi i x y i 22 11 1 zi x y MN Suy ra 1 zi đạt giá trị lớn nhất MN lớn nhất O x y 1 2 I 1 1 N Mà , MNC nên MNlớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C I là trung điểm 2 2 3; 3 3 3 3 3 3 2 MN M z i z Câu 53: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Giả sử , A B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức 1 z , 2 z . Khi đó độ dài của AB bằng A. 21 zz . B. 21 zz . C. 12 zz . D. 12 zz . Hướng dẫn giải. Chọn B. Giả sử 1 zabi , 2 zcdi , ,, , abcd . Theo đề bài ta có: ; A ab , ; Bcd 22 ABca db . 21 zz ac d bi 22 21 zz ca d b . Câu 54: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 12 z . Tìm giá trị lớn nhất của 2 Tzi z i . A. max 8 2 T . B. max 4 T . C. max 4 2 T . D. max 8 T . Hướng dẫn giải Chọn B 211 11 Tzi z i z i z i . Đặt 1 wz . Ta có 1 w và 11 Tw i w i . Đặt . wx yi . Khi đó 2 22 2 wx y . 22 2 2 22 2 2 22 22 11 1 1 1. 1 1 1. 1 1 11 1 1 1 1 22 2 4 4 Tx yi x y i xy x y xy x y xy Vậy max 4 T . Câu 55: (CHU VĂN AN – HN) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2210 zz . A. Đường tròn 22 22100 xy . B. Elip 22 1 25 4 xy . C. Đường tròn 22 2210 xy . D. Elip 22 1 25 21 xy . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi ; M xy là điểm biểu diễn số phức zx yi , , xy . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 Gọi B là điểm biểu diễn số phức 2 Ta có: 2 2 10 10 zz MBMA . Ta có 4 AB . Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là 2;0 A , 2;0 B , tiêu cự 42 AB c , độ dài trục lớn là 10 2a , độ dài trục bé là 22 22 2254 221 bac . Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2210 zz là Elip có phương trình 22 1. 25 21 xy A' C' B' C A B D D' H a 2a M A B C S Ch ủ đề 5. KHỐI Đ A DIỆN Câu 1: SGD V ĨNH PH Ú C Ch o h ìn h h ộp ch ữ nh ật . ABCD ABCD có ,3. AB a AD a Tính kh oảng c ách g i ữa h ai đ ườn g th ẳ ng BB và . AC A. 3 4 a . B. 3 a . C. 3 2 a . D. 2 2 a . Hướng dẫn gi ải Chọn C. Ta có: 22 2. AC AB BC a Kẻ . BH AC ..3 3 . 22 AB BC aa a BH BC a Vì // BB ACCA nên ,, dBB AC d BB ACCA 3 ,. 2 a dBB ACCA BH Nên 3 ,. 2 a dBB AC Câu 2: SGD V ĨN H PH ÚC Cho hình c hó p . S ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông cân tại B , 2 AC a và . SA a Gọi M là trun g đ i ể m cạn h SB . T í nh thể tí ch k h ối chóp .. SAMC A. 3 6 a . B. 3 3 a . C. 3 9 a . D. 3 12 a . Hướng dẫn gi ải Chọn A . Xét t a m giá c vuông c ân ABC có: 2 2 AC AB BC a 2 1 . 2 ABC SABBCa 3 2 . 11 ... 33 3 S ABC ABC a VSAS aa Áp d ụng đị nh lí Sim‐So n ta có: . 1 .. 2 SAMC S ABC V SA SM SC VSASBSC BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _______________________________K I C B C 1 B 1 A 1 A H 3 .. 1 26 SAMC SABC a VV Câ u 3 : SG D V ĨNH PH ÚC Ch o hì nh lăn g t r ụ đ ứ n g 11 1 . ABC ABC có ABa , 2 ACa , 1 25 AAa và 120 . BAC Gọi K , I lần lượt là trung điểm của các cạnh 1 CC , 1 BB . Tính k hoảng cách t ừ đi ểm I đ ến mặ t ph ẳ ng 1 . ABK A. 5 3 a . B. 15 a . C. 5 6 a . D. 15 3 a . H ư ớ n g d ẫ n g i ả i Ch ọ n C . Ta có 22 0 11 2 . . os120 7 IK BC BC AB AC AB ACc a Kẻ 11 AHBC khi đó AH l à đường cao của tứ diện 1 ABIK Vì 0 1111111 1 21 . . .sin120 7 a AHBC AB AC AH 1 23 . 11 1 .35 15() 22 6 IKB A IBK SIKKBa V a dvtt Mặt kh ác á p dụng định lý P i t ago và công thức Hê‐rôn g ta tín h đ c 1 33 ABK S a dvdt Do đ ó 1 1 1 3 5 , 6 AIBK ABK V a dI ABK S . Câ u 4 : NGUYỄN K HUYẾN TPHC M Ch o h ì n h c hóp . SABCD có đá y là h ình c h ữ n h ật. Tam giác SAB vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và 42 SB . Gọi M là trung điểm c ủa cạnh SD . Tính khoảng cách l từ đ i ể m M đ ến mặt phẳng SBC . A . 2 l B. 22 l C. 2 l D. 2 2 l Hướng dẫ n gi ải N M B D C A P Th eo giả th i ết, ta có , SAB ABCD SAB ABCD AB SA AB SA ABCD . Gọi ,, NHK l ầ n lượt là trung điểm các cạnh , SA SB và đoạn SH . Ta có BC SA BC SAB BC AH BC AB . Mà AHSB ABC cân tại A có AH l à trung tu yến. Suy ra AHSBC , do đó KNSBC vì || KNAH , đường tr ung b ì nh. Mặt kh ác || || MNBC MN SBC . Nên 1 ,, 22 2 dM SBC d N SBC NK AH . Đáp á n: B. Câ u 5 : NGUYỄN K HUYẾN TPHCM Cho tứ d iện đều ABCD c ó cạnh bằn g 3. Gọ i , M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,. ADBD L ấy đ iểm không đổ i P trên c ạnh AB khác , A B. Thể tích khối chóp PMNC bằng A. 92 16 B. 83 3 C. 33 D. 27 2 12 Hướng dẫ n gi ải Ch ọn A Do ABCMN nê n ,A,D, d P CMN d CMN d CMN Vậy 1 4 PCMN DPMN MCND ABCD VV V V Do diện tí c h đá y và c h i ều cao đều bằng một nửa. 42 M K N H A B C D S8a 2a 2 C' B' A C B A' H Mặt kh ác 2 23 2 13 2 272 . 3 4 12 12 3 ABCD aaa Va nên 127 2 9 2 . 412 16 MCND V Câ u 6 : N GUYỄN K HU YẾN TPHC M Cho tứ d iện ABCD có 14, 6 AD BC . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , ACBD và 8 MN . Gọi l à góc giữa h ai đ ườn g t h ẳ n g BC và MN . T í nh sin . A . 22 3 B. 3 2 C. 1 2 D. 2 4 Hướng dẫn gi ải Gọi Plà trung điểm của cạnh CD , ta có ,, MNBC MNNP . Trong tam giác MNP , ta có 22 2 1 cos 2. 2 MN PN MP MNP MN NP . Suy ra 60 MNP . Suy ra 3 sin 2 . Câ u 7 : N GUYỄN K HU YẾN TP HC M Cho lăng trụ tam giác .' ' ' ABC A B C có đáy ABC là đều cạnh 22 ABa . B i ế t '8 ACa v à tạo vớ i mặ t đáy một góc 0 45 . T h ể t í c h k h ố i đ a d i ệ n '' ABCC B bằn g A. 3 83 . 3 a B. 3 86 . 3 a C. 3 16 3 . 3 a D. 3 16 6 . 3 a Hướng dẫ n gi ải Gọi H là hình c hiếu của A lên '' ' mp A B C 0 '45 HC A ' AHC v u ô ng c ân tại H . '8 42. 22 AC a AH a NX: 2 3 .'' .''' 22 .3 22 2 166 ..42. . 33 3 4 3 A BCC B ABC A B C ABC a a VV AHS a Ch ọn D. Gọi H là hình c hiếu của A lên '' ' mp A B C 0 '45 HC A 3 7 14 8 6 M P N B C D A6 cm 2 cm 3 cm B D C D' B' C' A' A ' AHC v u ô ng c ân tại H . '8 42. 22 AC a AH a NX: 2 3 .'' .''' 22 .3 22 2 166 ..42. . 33 3 4 3 A BCC B ABC A B C ABC a a VV AHS a Câ u 8 : T.T D I Ệ U HI ỀN Cho hì nh l ập p h ương .' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a . Tính k h o ảng cách g iữa h a i đường thẳ n g ' BC và ' CD . A. 2 a . B. 3 3 a . C. 2a . D. 2 3 a . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B Gọi '' ' ' OAC BD và từ ' B kẽ ' BHBO Ta c ó ' CD //(' ') BA C nên '. ' 3 ( '; ') ( ';( ' ')) ( ';( ' ')) ' 3 BBBO a dBC CD dD BAC dB BAC BH BO Câ u 9 : T.T D IỆU HIỀN Một hình hộp chữ nhật . ABCD ABCD c ó ba k ích th ư ớ c là 2cm , 3cm và 6cm . T h ể tích c ủa k hối tứ diện . ACBD b ằng A. 3 8 cm . B. 3 12 cm . C. 3 6 cm . D. 3 4 cm . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B . Ta có : O B D C D' A' C' B' A HP N M H K F E A B C D .. . . . . .. . .. . .. . .. 4 4 1 4. 6 11 .2. 33 ABCD ABCD B ABC D ACD A BAD C BCD ACBD ABCD ABCD B ABC ACBD ACBD ABCDABCD BABC ACBD ABCDABCD ABCDABCD ACBD ABCDABCD VV V V V V VVV VV V VV V VV 3 3.6 12cm Câ u 1 0 : LẠNG GIANG SỐ 1 Cho khối tứ diện đều ABCD cạn h bằn g 2. cm Gọi ,, M NP lần lượt là trọng tâm c ủ a b a tam gi á c ,, . ABC ABD ACD Tính thể tích V củ a kh ối ch ó p . AMNP A. 3 2 162 Vcm . B. 3 22 81 Vcm . C. 3 42 81 Vcm . D. 3 2 144 Vcm . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Tam giác BCD đều 23 3 3 DE DH 22 26 3 AH AD DH EF ,D,BC 111 1 3 .. . . 222 2 4 K EFK Sd FK d BC EF 112632 .. . 33346 SKFE K VAHS . Mà 2 3 AM AN AP AEAK AF Lại có: 88 42 .. 27 27 81 AMNP AMNP AEKF AEKF V AM AN AP VV VAEAKAF . Câ u 1 1 : LÝ TỰ T RỌNG – T PHCM Ch o h ình h ộp . ABCD ABCD có 60 , 7, 3, BCD AC a BD a AB AD ,đường ché o BD hợp với mặt phẳng ADDA góc 30 . Tính th ể tích V của k hối h ộ p . ABCD ABCD . A. 3 39 . a B. 3 39 . 3 a C. 3 23 . a D. 3 33 . a Hướng dẫ n gi ải Ch ọn D. Đặt Áp dụng đị nh lý hàm cos và p h â n giác trong tam g i á c BCD và Với và Vậy V hình h ộ p Câ u 1 2 : NGÔ GIA TỰ ‐ VP Cho hình chóp tứ giác đều . SABCD có thể tích 2 6 V . Gọi M là trung điểm của cạnh SD . Nếu SB SD t h ì k hoảng cách t ừ B đến mặt phẳng MAC bằng: A. 1 2 . B. 1 2 . C. 2 3 . D. 3 4 . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A Giả sử h ì n h c h óp có đáy ABCD là h ì nh vuông cạn h a . Kh i đó, 2 BD a . Tam giác SBD vuôn g cân tại S nê n SD SB a và 2 22 BD a SO . 30° y x O A C B C' A' B' D' D ;y x CD BC x y 22 2 3ax y xy 22 2 5 x ya 2; x aya 22 x ya 60 C BDAD ';(ADD'A') 30 BD '3 DDa 2 .sin 60 a 3 ABCD Sxy 3 33 a O M A S D C BSuy ra các tam giác , SCD SAD là c á c tam giác đề u cạnh a và SD MAC t ại M . Th ể tích khối c h óp là 3 12 .. 36 ABCD a VSOS Mà 3 22 1 66 a a Vì O l à trung điểm BD nên 1 ,, 2 dB MAC d D MAC DM . Câ u 1 3 : THTT – 477 Mộ t h ì nh l ăng trụ c ó đ áy l à ta m giác đ ều cạnh bằ ng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặ t phẳng đá y một góc . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đ ỉ n h l à một đ i ể m bất kì trên đáy còn l ạ i l à A. 2 3 sin . 12 ab B. 2 3 sin . 4 ab C. 2 3 cos . 12 ab D. 2 3 cos . 4 ab Hướng dẫn gi ải Ch ọ n A . Gọi H l à hình chi ếu của A trên ABC . Kh i đó AAH . Ta có .sin sin AH AA b nên thể tích khối lăng trụ là 2 . 3sin . 4 ABC ABC ABC ab VAHS . Lại có c h i ều cao của chóp t heo yêu cầu đề bài c h í nh l à chiều c a o của lăng trụ và bằng AH nên thể tí ch khối chóp l à 2 .. 13sin 312 S ABC ABC ABC ab VV . Câ u 1 4 : THTT – 477 Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng , , ab c . T h ể tích c ủa khố i hộp đó là A. 22 2 2 2 2 2 2 2 . 8 bc a c a b a b c V B. 22 2 2 2 2 2 2 2 . 8 bc a c a b ab c V C. . Vabc H' C B A B' C' A' H SD. . Va b c Hướng dẫn gi ải Ch ọ n A . Giả sử h ì n h hộp c h ữ nh ật có ba kích thước : ,, xyz . Th eo yêu cầu bà i t oán ta có 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 xy a y a x y a x yz c y z c a x b x c xz b z b x z b x 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 28 2 ab c y ac b a b c b c a ab c xV bc a z Câ u 1 5 : SỞ GD H À NỘI Ch o h ì nh lăng tr ụ ABCABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hì nh chiếu vuô n g góc c ủa A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết k hoản g cách g iữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABCABC A. 3 3 . 24 a V B. 3 3 . 12 a V C. 3 3 . 3 a V D. 3 3 . 6 a V Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n B . M l à trung điể m c ủa BC th ì BC AAM . Gọi MH là đư ờng cao của tam giác AAM thì MH AA và HM BC nê n HM là kh oả ng c á c h z c b a x y A' C' D' C B D A B' H G M B C A C' B' A'AA và BC . Ta có .. AAHM AGAM 2 2 33 . 42 3 aa a AA AA 22 2 22 2 2 44 2 43 . 33 9 3 aa a a AA AA AA AA AA Đường cao của l ă ng trụ l à 22 43 99 3 aa a AG . Th ể tích 23 33 . 34 12 LT aa a V . Câ u 1 6 : SỞ GD H À NỘI Cho hì nh chó p . SABC có 0 60 ASB CSB , 0 90 ASC , SA SB SC a . Tính khoảng cách d từ điểm A đế n mặt phẳng SBC . A. 26 da . B. 6 3 a d . C. 6 da . D. 26 3 a d . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n B . Ta có: SAB , SBC là các đều cạnh a nê n ABBCa Ta có: SAC vuôn g cân tại S nê n 2 ACa Ta có: 22 2 ACAB BC nên ABC vu ô n g t ại B có 2 2 ABC a S Gọi H là trung điểm của AC . Ta có: HA HB HC và SA SB SC nên SH ABC và 2 22 AC a SH . H S B C A Vậy 2 . 2 2 . 3. 6 22 ; 3 3 4 S ABC ABC SBC SBC aa VSHS a dA SBC SS a Câ u 1 7 : C H U YÊN HÙ NG V ƯƠNG – GL Cho hình c hó p . SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 23 a , góc BAD bằng 120 0 . H a i mặt phẳn g SAB và SAD c ùng vuông g ó c với đáy. Góc gữa mặt phẳng SBC và ABCD bằng 45 0 . Tính k hoảng cách h từ A đến mặt ph ẳn g . SBC A. 22. ha B. 22 . 3 a h C. 32 . 2 a h D. 3. ha Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Gọi H là chân đ ư ờn g cao h ạ từ A của t am g i á c . ABC Xét tam giá c : ABH 0 sin 2 3.sin 60 3 . AH BAHa a AB 0 cos 2 3.cos 60 3. BH BBHa a AB Xét tam giá c SAH vuông t ại : A 0 tan 3 tan 45 3 . SA SHA SA a a AH Trong tam giác SAH vuông t ại A , kẻ AISH tại . I Ta có AISBC n ên AI là khoảng cách từ A đ ến m ặt p hẳng . SBC Xét tam giá c SAH , ta có : 22 22 2 2 11 1 1 1 2 . 9 33 AISA AH a aa 32 ,. 2 a dA SBC AI Câ u 1 8 : C H U YÊN LƯƠNG VĂN C H ÁNH Khi chiều cao c ủ a một hìn h c hóp đều tăn g l ên n lần n h ưng mỗi cạnh đ áy gi ả m đ i n lầ n thì t hể t ích c ủ a nó. A. Không thay đ ổi. B. T ăng lên n lần . C. Tă n g lê n 1 n lần. D. Giảm đ i n lần. H ướng dẫn giải Chọn D . Ta có: 1 .. 3 VhS , với h là ch iều cao, S l à diệ n t ích đá y 2 0 180 4tan xa S a v ới x là độ d ài c ạnh c ủ a đ a giác đều , a là số đ ỉnh c ủ a đa giác đ ề u. A S D C B H IYcbt 2 1 0 1111 .. . .. . 33 180 4tan x a n Vnh hS V nn a . Câ u 1 9 : B I ÊN H ÒA – HÀ NA M Ch o hình ch ó p tứ giác đ ề u . SABCD có cạnh đá y bằng a , c ạnh b ê n h ợ p với đá y một góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm . SC Mặt phẳ n g BMN chia khối chóp . SABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần p hần lớn trên ph ầ n b é b ằ ng: A. 7 5 . B. 1 7 . C. 7 3 . D. 6 5 . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A. Giả sử các đ iểm như h ì nh vẽ. E SD MN E là tr ọn g tâm tam giác SCM , // DFBC F là tru n g điểm BM . Ta có: 6 ,60 2 a SD ABCD SDO SO , 22 7 2 a SF SO OF 2 61 7 ,;. 24 27 SAD aa dO SAD OH h S SFAD 1 6 MEFD MNBC V ME MF MD VMNMBMC 3 551 1 5 1 56 ,4 663 2 18 2 72 BFDCNE MNBC SBC SAD a VV dMSADS hS 33 .. 16 76 . 36 36 S ABCD ABCD SABFEN S ABCD BFDCNE aa VSOS V V V Suy ra: 7 5 SABFEN BFDCNE V V E N M F O A B C D S HCâ u 2 0 : C HUYÊN P H AN BỘI C H U Cho hình hộp chữ nhật . ABCDABCD c ó t ồ ng d iện tíc h c ủa tất cả c ác m ặt là 36 , độ dài đường chéo AC bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nh iêu? A. 8 . B. 82 . C. 16 2 . D. 24 3 . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n C . Gọi chiều dài 3 cạnh c ủa hình hộ p chữ nhậ t lầ n l ượt là: a , b , 0 c Ta có 22 2 22 36; 2 2 2 36 ( ) 72 6 2 a b c S ab bc c AC a a b c a b c 3 3 3 62 16 2 333 ab c a bc abc abc . V ậ y 16 2 Max V Câu 21 : CHUYÊN Đ HSP H N Cho hình c hó p đều . S ABC c ó đ á y c ạ n h b ằ n g a , g ó c gi ữa đ ườn g t hẳ ng SA v à m ặ t phẳn g ABC bằng 60 . Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích của khối bát diện có các mặt , ABC ABC , ABC , BCA , CAB , ABC , BAC , CAB là A . 3 23 3 a . B . 3 23a . C . 3 3 2 a . D . 3 43 3 a . Ch ọ n A . Cá ch 1 : Ta t ính thể tích khối chóp . SABC : Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a 3 3 a CH . Góc giữa đường thẳng SA và mặt ph ẳn g ABC b ằng 0 60 23 . 11 3 3 60 .S . . . 33412 o SABC ABC aa SCH SH a V H S a 3 .'' .ACS . 23 22.4 8 3 B ACA C B S ABC a VV V V . Cá ch 2 : Ta c ó thể tích k hối chóp . S ABC l à: 3 . 3 12 S ABC a V . Diện tích tam giác SBC là: 2 39 12 SBC a S . Khoảng các h t ừ A đến mặt phẳng SBC là: 3 , 13 a dA SBC . Tứ giác '' BCB C l à hình chữ nhật vì c ó hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đư ờng. H B' A' C' C A B SCó 23 23 39 '' 33 3 aa a SB BB B C . Diện tích '' BCB C là: 2 '' 39 3 BCB C a S . Th ể tích k hối 8 m ặ t cần tìm là: 3 '' 123 2. , . . 33 BCB C a VdASBCS Cá ch 3 T h a m k h ả o lờ i giả i củ a N g ọ c H u y ề n L B . Th ể tích khối b á t diện đã cho là '' ' '. . 1 22.4 8 8.. 3 A B C BC A SBC S ABC ABC VV V V SGS Ta có: 0 ;60. SA ABC SAG Xét SGA vuông tại G : tan .tan . SG SAG SG AG SAG a AG Vậy 23 11 323 8. . 8. . . . 334 3 ABC aa VSGS a Câ u 2 2 : C H U YÊN THÁI BÌNH Ch o kh ố i c hóp . SABC có SA a , 2 SB a , 3 SC a . T h ể tíc h lớn nhấ t của khối chóp là A. 3 6 a . B. 3 6 2 a . C. 3 6 3 a . D. 3 6 6 a . Ch ọ n D . Gọi H là hình c h i ếu của A lên 1 () . 3 SBC SBC V AH S . Ta có AHSA ; dấ u “” xảy ra khi ASSBC . 11 ..sin . 22 SBC S SBSC SBC SBSC , dấ u “ ” xảy ra k hi SB SC . Khi đ ó , 111 1 . 332 6 SBC V AH S AS SB SC SA SB SC . Dấu “” xả y ra k hi ,, SA SB SC đôi một vuông góc với nha u . Suy ra t hể t ích l ớ n n h ấ t của k h ố i ch ó p là 3 16 .. 66 a VSASBSC . a a2 a3 A S B C HH I A D B C C â u 23: C H U YÊN THÁ I BÌNH C h o hình c hóp . SABCD có đáy là hình vuông cạnha , 17 2 a SD , h ì n h c h i ế u v u ô n g g ó c H c ủ a S l ê n m ặ t ABCD l à t r u n g đ i ể m c ủ a đ o ạ n AB . T í nh c h i ều c a o củ a kh ối ch ó p . HSBD theo a . A. 3 5 a . B. 3 7 a . C. 21 5 a . D. 3a 5 . Ch ọ n A . Ta có SHD vuông tại H 2 2 22 2 17 3 22 aa SH SD HD a a . Cá ch 1 . Ta có 12 ,, 24 a d H BD d A BD . Ch iều cao của c h óp . HSBD là 2 2 2 2 2 ., , , 2 3. 6.2 2 3 4 . 4.5 5 3 8 SH d H BD dH SBD SH d H BD a a aa a a a C á c h 2 . 3 13 .. 33 ABCD SABCD SHS a .. . 3 . 11 1 22 24 3 1 H SBD A SBD S ABC S ABCD VV V V a . Tam giác SHB vu ô n g tạ i H 2 22 2 13 3 42 aa SB SH HB a . Tam giác SBD có 13 17 ;2; 22 aa SB BD a SD 2 5 4 SBD a S . . 3 3 ,. 5 SHBD SBD V a dH SBD S Cá ch 3 . Gọi I là trung điểm BD . Chọ n h ệ trục Oxyz với ; ; ; . O H Ox HI Oy HB Oz HS Ta có 0;0;0 H ; 0; ;0 2 a B ; 0;0; 3 Sa ; ;0;0 2 a I Vì SBD SBI H B S A D C y x O H z I B C D A S 22 3 :122 0 3 3 xy z SBD x y z a aa a . Suy ra 3 2.0 2.0 .0 3 3 ,. 5 1 44 3 a a dH SBD Câ u 2 4 : C H U YÊN PHAN B Ộ I C HÂU Ch o khối chóp . SABCD c ó thể tích bằng 3 a . Mặ t b ê n SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a k hoảng các h g i ữ a SA và CD . A. 23a . B. 3 a . C. 2 3 a . D. 2 a . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Vì đáy ABCD là hình bìn h hành 3 . 1 22 SABD SBCD S ABCD a VV V . Ta có: Vì tam g iác SAB đều cạ nh a 2 3 4 SAB a S Vì CD AB CD SAB nê n ,, , dCDSA dCD SAB d D SAB 3 2 3. 3 2 23 3 4 SABD SBD a V a S a . Câ u 2 5 : LÝ TỰ T R ỌNG – TPHCM Tìm max V là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đ ường chéo bằn g 32cm và diện tích toàn phần bằng 2 18 . cm A. 3 max 6. Vcm B. 3 max 5. Vcm C. 3 max 4. Vcm D. 3 max 3. Vcm Hướng dẫ n gi ải Ch ọn C . Đặt ,, abc là kích th ư ớc c ủa h ình hộ p thì ta có hệ 22 2 18 9 ab c ab bc ac . Suy ra 6. abc C ần tìm GTLN củ a . Vabc Ta có 69 96. bc a bc abc a a Do 22 46 49 6 0 4. bc bc a a a a a A D C B STương tự 0, 4 bc . Ta lại có 96 Va a a . Khảo sát hà m số n ày t ìm được GTL N c ủa V là 4. Câ u 2 6 : C HU YÊN PHAN BỘI C HÂU Khố i ch ó p . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SA SB SC a , Cạn h SD thay đổi. T hể tí c h lớn nhất của k hối chóp . S ABCD l à: A. 3 8 a . B. 3 4 a . C. 3 3 8 a . D. 3 2 a . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Kh i SD th a y đ ổ i thi AC th a y đổi. Đặ t ACx . Gọi OAC BD . Vì SA SB SC nên ch ân đư ờng ca o SH trùn g v ớ i tâm đường trò n ng oại tiếp tam giác ABC . HBO . Ta có 2 22 2 2 2 44 24 2 x ax ax OB a 22 22 114 4 .. 22 2 4 ABC ax x a x SOBAC x 22 22 22 .. 4 44 4. 4 ABC aax a x a HB R S x ax ax . 422 22 2 22 22 3 4 4 aaax SH SB BH a ax ax 22 22 .. 22 123 4 22. . . . 33 4 4 S ABCD S ABC ABC aa x x a x VV SHS ax 22 2 3 22 113 .3 332 2 x ax a ax a x a Câ u 2 7 : THTT – 477 C h o khối đ a diện đ ều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng . S K hi đ ó , t ổng c á c kh oản g c á c h t ừ một điểm b ất k ì bên tro n g khối đa diện đó đến các mặt của nó b ằng A. . nV S B. . V nS C. 3 . V S D. . 3 V S Hướng dẫn gi ải Ch ọ n C . Xét tron g tr ườ ng hợ p k hối tứ diện đều. Cá c trường h ợp khác hoàn toàn t ương tự . . 1 .2 . 3 .4 11 1 1 .; .; .; . 33 3 3 H ABC H SBC H SAB H SAC V hSV hS V hSV hS x a O A S D C B H A C B S H 3 12 4 12 3 4 12 3 4 1 234 3 33 3 ;; ; 3 3 V VV V hh h h SSS S VV V V V hh h h SS Câ u 2 8 : LƯƠNG Đ ẮC B ẰN G Cho hình lập phương . ABCD ABCD có cạnh bằng a , một mặt ph ẳn g cắt các cạnh AA , BB , CC , DD lần lượt tại M , N , P , Q . Bi ết 1 3 AMa , 2 5 CP a . Thể tích khối đ a d iệ n . ABCDMNPQ l à: A. 3 11 30 a . B. 3 3 a . C. 3 2 3 a . D. 3 11 15 a . HD: T ứ giác MNP Q là hình bìn h hành c ó tâ m là I thuộc đoạn O O’. Ta có: 11 230 2 AMCP a OI a Gọi O 1 là điểm đ ố i xứng O qua I t hì : OO 1 2 OI 11 15 a a . Vậy O 1 nằm trong đoạn OO ’ . Vẽ m ặt p hẳn g qua O 1 song song với ABCD c ắ t các cạnh AA’; BB’; CC’ ; DD’ l ần lượt t ại A 1 , B 1 ,C 1 , D 1 . Khi đ ó I là tâm củ a h ì n h h ộp ABCD.A B 1 C 1 D 1 . Vậy V ABCD. MNPQV MNPQ.A 1 B 1 C 1 D 1 23 11 1 1 1 1111 (. ) 2230 V ABCD ABC D a OO a Câ u 2 9 : CHUYÊN V ĨNH PHÚC Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó tức l à khối c ó cá c đỉnh l à các tâm củ a cá c mặ t kh ố i l ậ p ph ư ơ ng. B iết các cạnh của khối lập phương bằn g a . Hãy tính t hể tíc h củ a khối t á m m ặ t đề u đó : A. 3 a 4 B. 3 a 6 C. 3 a 12 D. 3 a 8 Đáp án B Dựng được hình như h ì n h b ê n Thấ y đ ược thể tí ch k hố i cầ n tính b ằn g 2 l ầ n th ể tí ch của hì nh c hó p S .AB CD Nhiệm v ụ bây giờ đ i tìm thể tích c ủ a S. A BCD Q O 1 I O' O A' C' D' C B D A B' N M P B D C S A A B CD là h ì nh vuông có tâm O đồ n g thời chính là h ình chiếu c ủ a S lê n mặt đáy a SO 2 ; BD c ạnh củ a hình lậ p p hương a . Su y r a các cạnh c ủ a h ìn h vuông 2 ABCD a 2 3 3 S.ABCD 111 2 2 a VSh.. a 332 2 2 12 . V khố i đ a d i ện 3 S.ABCD a 2.V 6 . Câ u 3 0 : Cho t ứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G l à trọn g tâm ta m giác BCD . Tín h t hể t ích V của khối chóp . AGBC . A. 3 V . B. 4 V . C. 6 V . D. 5 V . Ch ọ n B . Cá ch 1 : Ph â n t íc h : tứ diện ABCD v à kh ối c hóp . AGBC có cùng đư ờng c a o l à k h o ảng cách t ừ A đến mặt phẳng BCD . Do G l à trọ ng tâm t a m giác BCD nên ta có BGC BGD CGD SS S 3 BCD BGC SS xem p hần chứng minh . Áp dụng cô ng thức t h ể tích hình c h óp ta có: . . 1 1 . . 3 3 3 1 1 . . 3 3 ABCD BCD BCD ABCD BCD AGBC GBC GBC AGBC GBC VhS hS VS VS hS VhS . 11 .12 4 33 AGBC ABCD VV . Ch ứ n g m i n h : Đặ t ; DN h BC a . Từ h ì n h vẽ có: 11 // 22 2 MFCM h MF ND MF DN MF DN CD . 22 2 // . 33 323 GE BG h h GE MF GE MF MFBM 11 . 22 33 11 . 223 BCD BCD GBC GBC DN BC ha S SS h S GEBC a Chứ ng m inh tương tự có 33 BCD GBD GCD SS S BGC BGD CGD SS S . Cá ch 2 : G B C D A H 1 G I D C B A H F E G M N B C D ; 11 ;; 33 ; d G ABC GI d G ABC d D ABC DI dD ABC . Nên . 11 ;. . 4. 33 G ABC ABC DABC VdGABCS V Câ u 3 1 : Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 , diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán kín h bằn g 1 . Tí nh th ể tí ch V khối trụ đ ó . A. 4 V = . B. 6 V = . C. 8 V = . D. 10 V = . Đáp án B , BD nhìn AC dưới m ộ t góc 90 . 22 5; ; 55 AD a a SD a KD SD a == = = 22 6 SC SA AC a =+ = Ta có: () 22 2 11 1 2 1 5 a AK SA AD AK += = 22 2 SC SD CD =+ tam g i á c SCD vu ô ng tạ i D . Khi đ ó t am giá c KDC vu ô ng tại D . 22 6 5 a KC CD KD = + = Ta c ó: 22 2 AK KC AC += . V ậy 90 AKC= . Tươn g tự 0 90 AHC = Vậy AC chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK . 2 2 a AC a OA = = . 3 33 44 2 33 3 22 a VOA a pp p == = Câ u 3 2 : Ghép 5 kh ố i lập p h ương c ạ nh a đ ể đượ c k hối hộp c h ữ th ập như h ình v ẽ . T í nh d i ện tí ch to àn phầ n tp S củ a khối ch ữ thập A. = 2 20 tp Sa . B. = 2 30 tp Sa . C. = 2 12 tp Sa . D. = 2 22 tp Sa . E O A B C D S H K Diện tích mỗi mặt khối lập p h ư ơn g: = 2 1 Sa Diện tích toàn phầ n các khối lập p h ư ơng: = 2 2 6 Sa Diện tích toàn phần khối chữ th ậ p: =- = 2 21 58 22 SS S a Câ u 3 3 : Cho hình chóp tứ giác đều . SABCD c ó cạnh đ áy b ằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điể m đối xứng với C qua D ; N l à trung điểm của SC , m ặ t p h ẳng BMN chia khối chóp . SABCD thành h ai ph ầ n. Tính tỉ số thể tích gi ữ a hai p h ần đó . A. 1 5 . B. 7 3 . C. 1 7 . D. 7 5 . Đáp án D Đặt 1 1 2 2 ? SABIKN NBCDIK VV V VV V ì ï = ï = í ï = ï î * 23 . 16 6 . 32 6 SABCD a Vaa == * . 3 11 .. . . 332 161 6 ...2 34 2 12 NBMC BMC BMC SO VNHS S a aa a DD == == * N h ậ n thấ y K là trọn g tâm của tam giá c S MC 2 3 MK MN = * . . 11 2 1 .. .. 22 3 6 MDIK MCBN V MD MI MK VMCMBMN === 33 2. . .CBN 556 56 . 6612 72 MCBN MDIK M VV V V a a = - = = = a a 60° H K N M I O A S B C D 3 33 3 1 1. 2 2 3 76 656 76 7 72 672 72 5 56 72 SABCD a V VV V a a a V a = - = - = = = Câ u 3 4 : Ch o hình c hóp tứ g i á c . S ABCD có SA ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A và B bi ế t 2 ABa , 33 ADBC a . Tính thể tích khối chóp . SABCD theo a , biế t k h o ả ng cách t ừ A đế n mặt ph ẳng () SCD b ằn g 36 4 a . A. 3 66a . B. 3 26a . C. 3 23a . D. 3 63a . Hướng dẫ n gi ải Dựng AMCD tại M . Dựng AHSM tại H . Ta có: 36 4 AHa . 2 .4 2 ABCD AD BC SABa 2 2 22 CD AD BC AB a 2 1 . 2 ABC SABBCa 2 3 ACD ABCD ABC SS S a 2 132 . 22 ACD ACD S SAMCDAM a CD Ta có: 22 2 22 11 1 . 36 2 AH AM ASa AH AM AS AM AH 3 . 1 .26 3 S ABCD ABCD VSAS a Câ u 3 5 : Cho lăng trụ tam giác .' ' ' ABC A B C có ' BBa , góc gi ữa đ ường t hẳng ' BB và ABC bằn g 60 , tam giá c ABC vuông tạ i C và gó c 60 BAC . Hình chiếu vuông góc của điểm ' B lên ABC trù ng với trọ n g tâm củ a ABC . Thể tí ch củ a khối tứ diệ n '. A ABC th eo a bằng A. 3 13 108 a . B. 3 7 106 a . C. 3 15 108 a . D. 3 9 208 a . Hướng dẫ n gi ải M A D B C S K60° 60° C' A' G M N B C A B' Gọi , M N là trung đ i ểm c ủ a , ABAC và G là trọng tâm c ủ a ABC . ' BG ABC 0 ', ' 60 BB ABC B BG . '. 11 ..' . . .' 36 A ABC ABC V S BG ACBCBG Xét ' B BG vuôn g tạ i G , có 0 '60 BBG 3 ' 2 a BG . nửa tam gi ác đề u Đặt 2 ABx . T r ong ABC vuông tạ i C có 0 60 BAC ta m giác ABC là n ữ a tam giác đ ều , 3 2 AB ACxBCx Do G là trọng tâm ABC 33 24 a BN BG . Trong BNC vuô ng tại C : 22 2 BN NC BC 22 2 22 3 213 993 3 16 4 52 213 33 213 a AC ax a a xx x a BC V ậy, 3 ' 13 3 3 3 9 .. . 6 2 208 213 2 13 A ABC aa a a V . Câ u 3 6 : Ch o h ì nh lă n g tr ụ đứn g .' ' ' ABC A B C , b i ết đ áy ABC là tam giác đều cạnh a . K h o ảng c ác h từ t âm O củ a tam giác ABC đến mặt phẳng ' A BC bằng 6 a .Tính thể tí ch k hối lăng t rụ .' ' ' ABC A B C . A. 3 32 8 a . B. 3 32 28 a . C. 3 32 4 a . D. 3 32 16 a . Hướng dẫ n gi ải Gọi M là trung đ i ểm c ủ a BC , ta c ó '' A AM A BC theo g iao tuy ế n ' A M . Trong ' A AM kẻ '( ' ) OH A M H A M . ' OH A BC Suy ra: ,' 6 a dO ABC OH . 2 3 4 ABC a S . Xé t ha i tam giá c v uông ' A AM và OHM có góc M chung n ê n c h ún g đồ ng d ạng. Suy ra: 22 2 2 13 . 13 632 '' ' ' ' 3 ' 2 aa OH OM AA AM AA AA AA AM a AA . 6 ' 4 a AA . T h ể tích: 23 .' ' ' 633 2 .' . 44 16 ABC A B C ABC aa a VSAA . Câ u 3 7 : Ch o hình c h ó p tứ g iác đề u . SABCD có cạnh đáy bằng a . Biết thể tích khối chóp bằng 3 2 6 a . Tín h kh o ảng cá ch h giữa ha i đường thẳn g BC và SA . A. . 6 a B . . a C . 2 . 6 a D. . 2 a Hướng dẫ n gi ải Gọi O là tâm hình vuông . SABCD , suy r a ( ) ^ SO ABCD . Đặt = SO x . T a có == = = 3 2 . 11 2 2 .. . . 33 6 2 S ABCD ABCD aa VSSOax x Ta có BC AD nê n ( ) BC SAD . Do đó ( ) ( ) ( ) éùé ù é ù éù == = êúêúê ú ê ú ëûëûë û ë û ,, , 2, d BC SA d BC SAD d B SAD d O SAD . Kẻ ^ OK SE . Kh i đó () éù == = êú ëû + 22 . , 6 SOOE a dO SAD OK SO OE . O C' B' M A B A' C H E O C D A B S KVậy éù == êú ëû 2 ,2 . 6 a dBCSA OK Ch ọ n C . Câ u 3 8 : ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017 Cho hình chóp tứ giác . SABCD có đáy là hình vuô n g cạnh bằng 2. a Tam giác () SAD cân tại S và mặt bên () SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Bi ế t th ể tíc h khối chó p . SABCD bằng 3 4 . 3 a Tí n h kh oản g cách h từ B đ ến m ặt phẳng ( ) SCD . A. = 2 . 3 ha B. = 4 . 3 ha C . = 8 . 3 ha D. = 3 . 4 ha Hướng dẫ n gi ải Gọi H là trung đ i ểm AD . Suy ra () ^ ^ . SH AD SH ABCD Đặt = SH x . Ta có () === 2 3 14 .. 2 2 33 Vxa a x a . Ta có ( ) ( ) éù é ù = êú ê ú ëû ë û ,, dB SCD dA SCD () éù === êú ëû 4 2, 2 3 a dH SCD HK . Ch ọ n B . Câ u 3 9 : Cho h ìn h c h óp . SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a . Cạnh b ên SA vu ôn g góc với đáy, góc = 0 60 SBD . T í nh theo a k h o ả n g cá ch giữa h ai đ ư ờn g t hẳng AB và SO . A. 3 3 a . B . 6 4 a . C . 2 . 2 a D. 5 . 5 a Hư ớng dẫn gi ải Ta có D=D SAB SAD () -- cg c , suy ra = SB SD . Lại có = 0 60 SBD , suy ra DSBD đ ều c ạ n h == = 2 SB SD BD a . Trong tam gi á c vuông SAB , ta có =- = 22 SA SB AB a . Gọi E là tr ung điểm AD , suy ra OE AB và ^ AE OE . Do đ ó ( ) ( ) éùé ù éù == êúêúê ú ëûëûë û ,, , . dABSO dAB SOE dA SOE H A B C D S K E O A S B C D KKẻ ^ AK SE . Khi đ ó () éù == = êú ëû + 22 .5 , 5 SAAE a dA SOE AK SA AE . Ch ọ n D. Câ u 4 0 : Ch o h ì nh h ộp ch ữ n hật . ''' ' ABCDA B C D có đáy ABCD l à h ì nh v uông c ạnh 2 a , = '2 AA a . Tính khoảng cách g iữ a hai đường thẳn g BD và ' CD . A. 2. a B. 2. a C . 25 . 5 a D. 5 . 5 a Hướng dẫ n gi ải Gọi I là điểm đối xứng của A qu a D , suy ra BCID l à hì nh b ì n h h à n h n ê n . BD CI Do đ ó ( ) ( ) éùé ù éù == êúêúê ú ëûëûë û ,' , ' , ' . dBDCD dBD CDI dD CDI Kẻ ^ DE CI tại E , kẻ ^ ' DK D E . Khi đ ó () éù = êú ëû ,' . dD CDI DK Xét tam giác IAC , ta c ó DE AC d o c ùn g vu ông góc với CI và c ó D là trung điểm của AI nên su y ra DE là đường tr ung bình củ a tam g i ác. S uy r a == 1 . 2 DE AC a Tam giác vu ô n g ' DDE , có == + 22 '. 2 5 . 5 ' DDDE a DK DD DE Chọn C . Câ u 4 1 : Ch o khối chóp tứ giác đều . SABCD . Mặt ph ẳng ( ) a đi qua , AB và trung điểm M của SC . Tỉ số th ể tích của hai phần kh ối chóp bị p h â n chia bởi mặ t p hẳn g đó là: A. 1 4 . B. 3 8 . C. 5 8 . D. 3 5 . Hướng dẫn gi ải Kẻ MN CD () Î NCD , suy r a h ìn h th an g ABMN là th i ết d iệ n củ a kh ối chóp . Ta có =+ .. . S ABMN S ABM S AMN VV V . E I B D C D' B' C' A' A K M N D S C B AMà == . . 1 2 SABM SABC V SM VSC . Suy ra == .. . 11 . 24 SABM SABC SABCD VV V Và == = . .. . 11 .. 48 SAMN SAMN SABCD SACD V SM SN VV VSCSD Suy ra =+ = .. . . 11 3 . 48 8 SABMN SABCD SABCD SABCD VV V V Từ đó suy ra = . 5 8 ABMNDC S ABCD VV nê n = . 3 . 5 SABMN ABMNDC V V Ch ọ n D . Câ u 4 2 : Ch o lă ng t r ụ đ ứ n g .' ' ' ' ABCD A B C D c ó đáy là h ì n h th oi c ạ n h b ằ ng 1 , 0 120 BAD = . Gó c giữa đư ờng thẳn g ' AC và mặ t ph ẳng () '' ADD A bằ ng 0 30 . Tín h t hể tích khối lăng trụ. A . 6 V = . B . 6 6 V = . C . 6 2 V = . D . 3 V = . Hướng dẫ n gi ải Hình thoi ABCD có 0 120 BAD = , suy ra 0 60 ADC = . D o đó tam giác ABC và ADC là các tam giác đề u . Vì N là trun g đ i ể m '' A D nê n ''' CN AD ^ và 3 '. 2 CN = Suy ra () 0 30 ', ' ' ', ' AC ADD A AC AN C AN == = . Tam giác , có '3 2 tan ' CN AN CAN == . Tam giác , c ó 22 '' 2 AA AN A N =- = . Diện tích h ì nh thoi 2 3 .sin 2 ABCD SAB BAD == . Vậy .' ' ' ' 6 .' 2 ABCD A B C D ABCD VSAA == đvtt. Ch ọ n C. Câ u 4 3 : Ch o h ì n h chóp . SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳ n g vuông góc với đá y. T í n h k h oả ng c ác h giữa hai đ ư ờng thẳ ng SA và BD . A. 21 . 14 a B. 2 . 2 a C. 21 . 7 a D. . a Hướng dẫ n gi ải ʹ CAN ʹ AA N N D B C B' A' C' D' AGọi I là trung điểm của AD nên suy ra () SI AD SI ABCD ^ ^ . Kẻ Ax BD . Do đ ó [ ]() () () ,, , 2, d BD SA d BD SAx d D SAx d I SAx éùé ù é ù == = ëûë û ë û . Kẻ IE Ax ^ , kẻ IK SE ^ . Khi đ ó () , dI SAx IK éù = ëû . Gọi F là hình chiếu của I trên BD , ta c ó 2 24 AO a IE IF == = . Tam giác vu ô n g SIE , có 22 .21 14 SI IE a IK SI IE == + . Vậy [] 21 ,2 . 7 a dBDSA IK == Chọn C . Câ u 4 4 : CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3 Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục gi á c đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặ t đá y là 60 . T í nh thể t ích k h ối l ăn g trụ A. 3 27 8 Va . B. 3 3 4 Va . C. 3 3 2 Va . D. 3 9 4 a . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D. Ta có ABCDEF là lụ c giác đề u nên góc ở đ ỉn h bằn g 120 . ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam gi á c cân tại E . 2 13 . .sin120 24 ABC DEF a SS aa 22 2. . .cos ACAB BC ABBC B 22 1 2... 3 2 aa aa a 2 .3. 3 ACDF SACAFaaa 22 2 2 3333 3 44 2 ABCDEF ABC ACDF DEF aa a SS S S a 3 '60 ' '.sin60 2 a BBH BH BB Suy ra Câ u 4 5 : NGUYỄN TRÃI – HD Một cốc nước có dạ ng h ình trụ đựng nước ch i ề u ca o 12cm , đườ n g kính đ áy 4cm , lư ợng nước t rong c ốc cao 8cm . Th ả vào cốc nước 4 v i ê n bi có cù ng đ ường k ín h 2cm . Hỏi nước d â n g cao c á c h m é p c ốc bao nh iêu xăng‐ti ‐ mét? l à m tr òn s au d ấu p h ẩ y 2 c h ữ số t hập phân, b ỏ qu a độ dày của cốc A. 2,67cm . B. 2,75cm . C. 2, 25cm . D. 2,33cm . 2 3 33 9 '. 3. 44 ABCDEF a VBHS a a x E F I O D C B A S K 60° C' E' F' A' D' E F B C D A B' HHướng dẫ n gi ải Ch ọ n A. Lượn g n ư ớc d âng lên chính là tổn g th ể tích c ủa 4 viên bi t hả v à o bằng 3 4 4. 3 bb Vr 3 16 cm 3 . Dễ thấy ph ần nước dâ ng l ê n là hì nh trụ có đ áy bằng với đá y cốc nước và th ể tí ch là 3 16 cm 3 . Ch iều cao của phần nư ớ c dâng lên l à d h th ỏa mãn: 2 16 3 d rh nên 4 cm 3 d h . Vậy nước dâng cao các h mé p cốc l à 48 12 8 2,67 33 cm. Câu 46: CHU YÊN BẮC GIANG Cho tứ diện đều cạnh a và điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện. A. 2 a . B. 6 3 a . C. 3 2 a . D. 34 2 a . Hướng dẫ n gi ải Chọn B 22 3 3 . 332 3 aa AH AM . 2 22 2 6 33 aa SH SA AH a . Ta có 23 1136 2 .. . 334312 SABC ABC aa a VSSH . Mặt khác, SABC ISAB IABC ISAC ISBC VV V V V 1 .; ; ; ; 3 ABC S dISAB dI ABC dISAC dI SBC 3 ;; ; ; SABC ABC V dI SAB d I ABC dI SAC d I SBC S 3 2 2 3. 6 12 3 3 4 a a a . Câu 47: CHU YÊN KHTN L 4 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, ABAC a , SC ABC và SC a . Mặt phẳng qua C , vuông góc với SB cắt , SA SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp . SCEF . A. 3 2 36 SCEF a V . B. 3 18 SCEF a V . C. 3 36 SCEF a V . D. 3 2 12 SCEF a V . Hướng dẫ n gi ải M C B A S I HChọn đáp án C. Từ C hạ , CF SB F SB , , CE SA E SA Ta có AB AC AB SAC AB CE CE SAB CE SB AB SC Vậy mặt phẳng qua C và vuông góc SB là mặt CEF . Ta có . SCEF SCAB V SE SF VSASB Tam giác vuông SAC vuông tại C ta có: 22 2 SA SC AC a và 22 22 1 2 2 SE SC a SE SA SA SA a Tam giác vuông SBC vuông tại C ta có: 22 3 SB SC BC a và 22 22 1 3 3 SF SC a SF SB SC SB a Do đó 3 11 1 1 1 1 1 ... 23 6 6 63 36 SCEF SCEF SABC ABC SCAB V VV SAS a V . Câu 48: CH U YÊ N V IN H – L 2 Cho hình lăng trụ . ABC ABC có thể tích bằng V . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA , BB , CC sao cho 1 2 AM AA , 2 3 BN CP BB CC . Thể tích khối đa diện . ABCMNP bằng A. 2 3 V B. 9 16 V C. 20 27 V D. 11 18 V Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt 1. 1 ,. 3 122 ,. 339 M NPCB NPCB CCBB VV dM CCBB S dM CCBB S V 2. 1 ,. 3 11 1 ., . 32 6 M ABC ABC ABC VV dM ABC S dA ABC S V Vậy .12 21 11 96 8 ABC MNP VVV VV V a a a B A C S F E M C B A B' C' A' P N C h ủ đề 6 . K H ỐI T R ÒN XO A Y Câu 1 : SGD V Ĩ N H PH ÚC C h o hì n h c hó p . S ABC có SA ABC , 1 AB , 2 AC và 60 . BAC Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của A trên SB , SC . Tính b án k ính R của mặt cầu đi qua các điể m A , B , C , M , N . A. 2 R . B. 23 3 R . C. 4 3 R . D. 1 R . Hướng dẫn gi ải Chọn D . *Gọi K l à trung điểm của AC suy ra : 1 AK AB KC *Lạ i c ó 60 60 ; 30 90 1 BAC ABK KBC ABC *Th e o giả thiêt 90 2 ANC * Ch ứng minh 90 3 AMC Thật vậy, ta c ó: ; BC SA BC AB BC SAB SBC SAB AM SB AM SBC AM MC Từ 1; 2 ; 3 suy ra các điểm A , B , C , M , N nội ti ếp đ ư ờ ng t r ò n t â m K , b á n kí n h 1 1 2 KA KB KC KM KN AC . Câu 2: NGU YỄN KH UYẾN T P H CM Ch o đoạn t h ẳ ng A B có đ ộ dài bằng 2a ,vẽ tia Ax v ề phía điểm B sa o ch o điể m B lu ô n c á c h t i a Ax một đoạn bằng a . Gọi H là h ình chiếu c ủ a B lên tia , khi tam g i á c A H B qua y qu an h trụ c AB thì đ ườn g gấ p khúc AHB vẽ thành m ặt tròn xoay có d i ệ n tí ch xu n g qu an h bằng A . 2 (2 2) 2 a B. 2 (3 3) 2 a C. 2 (1 3) 2 a D. 2 32 2 a Hướng dẫn gi ải Chọn B. Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn x o a y. D iện t ích m ặt trò n xo ay này bằng t ổ ng diện tích xung qu anh hai h ì n h n ón đ ườn g sinh AH và BH. BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _______________________________ Ta có 22 3 AHAB BH a .3. 3 22 AH BH a a a HK AB a Diện tích x u n g quanh hình nón có đường si n h A H l à 2 1 33 .3 22 aa Sa Diện tích x u n g quanh hình nón có đường si n h B H l à 2 2 33 . 22 aa Sa Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là 2 12 (3 3) 2 a SS S . Câ u 3 : LÝ TỰ T R ỌNG – T PHCM Cho hình chó p . SABC có đáy là tam giác vuông tại A , cạnh huy ền 6 BC cm , các cạnh b ê n c ù ng tạo với đáy một g ó c 60 . Diện t ích mặt c ầ u n goại tiếp hình chó p . SABC là A. 2 48 cm . B. 2 12 cm . C. 2 16 cm . D. 2 24cm . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC . Gọ i O là tr ung điểm của BC . Tam giác ABC vuông tại A , O là trung điểm của cạnh huy ền BC , suy ra (1) OA OB OC . Xé t các tam giác ,, SHA SHB SHC có: 90 ( . . ) (2) 60 SH SHA SHB SHC SHA SHB SHC g c g HA HB HC SAH SBH SCH chung . Từ 1 và 2 suy ra H trùng O . Khi đó SH là trục đ ường tr ò n ng oại tiế p ABC . Trong SAH dựng tru ng trực của SA cắt SH tại I . Khi đ ó IA IB IC IS . V ậ y I là tâm mặt cầu ngoại ti ế p hình c h ó p . SABC . SBC đề u cạnh b ằ ng 6 cm 22 33 . .3 3 2 3 33 SO SI SO . Diện tích mặt cầu ngo ạ i ti ếp h ình c h óp . SABC là: 2 2 423 48 Scm . Câ u 4 : NGÔ GIA TỰ ‐ VP Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn O và O , chi ề u c ao b ằng 2R v à bán kí nh đ áy R . Một mặt p h ẳ ng đ i qu a t rung điểm của OO v à tạo với OO một g ó c 30 , cắt đ ườn g tròn đá y th eo một d ây cun g. Tính độ d ài d ây cu n g đó theo R . A. 4 33 R . B. 22 3 R . C. 2 3 R . D. 2 3 R . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B . Dự ng OH AB ABOIH OIH IAB IH l à h ì n h c h i ế u c ủ a OI lên IAB Th eo b ài t a đư ợc 30 OIH Xét ta m giác v u ô ng OIH vuông tại O 3 tan 30 3 R OH OI Xé t ta m gi ác OHA vuông tại H 22 626 33 RR AH OA OH AB Câ u 5 : CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU C h o khối n ón đ ỉnh O , trục OI . Măt phẳ n g tr u n g trực của OI chia khối ch óp t hành h a i p hầ n. T ỉ s ố thể t ích củ a h a i ph ần là: A. 1 2 . B. 1 8 . C. 1 4 . D. 1 7 . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Gọi R là bán kí nh đ áy c ủa k hối nó n tr ục OI . 2 1 . 3 VROI Giả sử mặ t p hẳng trung trực củ a OI cắt tr ục OI tại H , cắt đường si nh OM tại N . Khi đó m ặt p hẳn g này chi a k h ối nó n thà n h 2 phần, phần t rên là k hối nó n m ớ i c ó bán kính 2 R r , có chiều ca o là 2 OI 2 2 1 1.. 32 2 24 R OI R OI V . Phần dướ i l à khối nó n cụt có t hể tí c h 22 2 21 .. 7. 324 24 R OI R OI R OI VV V . V ậ y tỉ số thể tích l à: 2 1 2 2 . 1 24 7. 7 24 ROI V ROI V Câ u 6 : SỞ GD H À NỘI Ch o hình chó p . SABCD có đáy là hình vuông cạnh 22 , cạn h bên SA vuô n g gó c với mặt p h ẳng đáy v à 3 SA . Mặt p h ẳn g qua A v à vu ông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD l ần lư ợ t tại các điểm M , N , P . T h ể tích V của khối cầu ngoạ i tiếp tứ di ện CMNP . A. 32 3 V . B. 64 2 3 V . C. 108 3 V . D. 125 6 V . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Ta có: ,1 CB SAD AM SAB AM CB ,2 SC AM AM SC Từ 1, 2 90 AM SBC AM MC AMC . Ch ứng mi n h tư ơ ng tự ta có 90 APC Có 90 AN SC ANC Ta có: 90 AMC APC APC khối cầu đ ư ờng k í nh AC là kh ố i c ầ u n goại tiếp tứ diện CMNP . Bán kí nh c ầu này l à 2 2 AC r . Th ể tích c ầu: 3 432 33 Vr Câ u 7 : SỞ GD H À NỘI Cho mặt c ầ u S bán kính R . Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h t h e o b á n kính R s ao cho diện t í ch xung quanh hìn h trụ lớn nhấ t A. 2 hR . B. hR . C. 2 R h . D. 2 2 R h . Hướng dẫ n g i ải C A D B S M N P Ch ọ n A . Ta có 2 22 ;, 4 h OO h IA R AO r r R . Diện tích xu ng quanh c ủ a h ình trụ 22 2 22 4 24 2 hR h Srh h R h , dùn g BĐT 22 2 ab ab . Vậy 22 2 2 max 24 2 SR h Rh hR . Câ u 8 : BẮC YÊN THÀNH Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ cạnh đáy của tam giác trên đi qua các trung điểm hai cạnh bên củ a tam gác dư ới. T ính theo a th ể tíc h của k h ối t ròn xoay t ạo thà nh k hi quay c húng xung q uan h đường thẳng d . A. 3 13 3 96 a . B. 3 11 3 96 a . C. 3 3 8 a . D. 3 11 3 8 a . Ch ọ n B . Nếu ba h ì nh tam gi ác k hông c hồ ng l ên n h a u thì thể tí ch củ a khối tròn xoay là 3 1 3 8 a V Th ể tích phầ n bị chồng lên là 3 2 3 96 a V T hể tíc h cần tính là 3 12 11 3 96 a VV V Hoặc làm nh ư sau: Đặt 1 234 ;; ; VV V V lần lư ợt là th ể tích: kh ố i nón sinh bởi tam giácOAB qu ay qua nh OB , khối tròn xoa y sinh bởi hình ; BCFE GCHK , khối nón s i n h b ở i tam giác DEB k hi quay q u an h BC . Khi đ ó : Th ể tích khối cần tìm là: 22 3 12 3 1 4 1313113 32 3 2 . 34 2 3 16 4 96 aa a a a VV V V V V Câ u 9 : C H U YÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH Cho h ì nh t ha ng cân ABCD có đáy nhỏ 1 AB , đáy lớ n 3 CD , c ạ n h bên 2 AD quay qu anh đường thẳng AB . T ính t hể t í ch V của khối tròn xoay tạo thành . A. 3 V . B. 4 3 V . C. 7 3 V . D. 5 3 V . H ướng dẫn giải Chọn C . Theo h ình vẽ: 1 AHHD . Thể tíc h kh ố i tròn xoay tạ o th à nh b ằng th ể tí ch khối trụ có bán kính 1 rAH , chi ề u cao 3 CD tr ừ đ i th ể tích hai k h ố i n ó n bằn g nha u k h ối nón đỉnh A , đỉnh B và đá y là đ áy của h ình trụ. Vậy 22 127 .. 2. .. 3 333 VAHCD AHHD . Câ u 1 0 : C H U YÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH C h o h ình nón đ ỉn h S , đáy là h ì n h trò n t âm O , góc ở đỉnh bằng 120 . Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí đ i ểm củ a đ iể m M để d iện tích ta m giác SAM đạt giá t rị l ớn nhất ? A. 2 . B. 3. C. 1 . D. vô số. H ướng dẫn giải Chọn A. Gọi r là bán kí nh đáy c ủa hình nón. V ì góc ở đ ỉnh 120 60 ASA ASO . Suy ra .cot 3 r SO OA ASO . Gọi H là trung điểm của AM và đặ t x OH . Ta có: 2 22 2 3 r SH SO OH x , 22 2 2 22 2 AM AH OA OH r x . Diện t ích tam giác SAM b ằn g 2 22 2 2 12 .. . 23 3 r s SH AM x r x r 2 max 2 3 s r đạt được khi 22 22 2 2 33 3 rrr xr x x x . Tức là OH SO . Theo tính c h ất đố i xứ ng củ a của đư ờng tròn ta có h ai vị trí củ a M thỏ a yê u cầu. Câ u 1 1 : P H A N ĐÌNH P HÙ N G – HN Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán k í n h mặt đáy của hì nh nó n c ó thể tí ch lớn nhấ t. A. Đ á p án k hác . B. 42. R C. 2. R D. 22. R Hư ớng dẫn gi ải Ch ọ n D . Giả sử chóp đỉnh A như h ình vẽ là hì nh c hó p có thể tích lớn nhấ t. AKM vuông t ại . K Ta th ấy IKr là b á n kính đáy của chó p, AIh là ch iều cao của ch óp. 22 .6. IKAIIM r h h 22 11 60 6. 33 Vrh h h h 2 max 1 6max 3 Vh h 32 6max yh h trên 0;6 Câ u 1 2 : C H U YÊN ĐH V INH Cho nửa đ ư ờng tròn đ ường k ính 2 ABR và điểm C t ha y đổi trê n nử a đường tròn đ ó, đ ặt CAB và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . T ì m sao c h o th ể tích v ật t h ể t ròn xoay t ạo th àn h khi q u ay t a m gi á c ACH quanh t rục AB đạt giá trị lớn nhất. A. 60 . B. 45 . C. 1 arctan 2 . D. 30 . Hư ớng dẫn gi ải Đá p án: C. 2 .cos 2 .cos .sin 2 .cos .sin ; .cos 2 .cos ACAB R CH AC R AHAC R T h ể tích v ật t hể t ròn xo ay t ạo t hàn h khi qua y t am giác ACH q uanh t r ụ c AB là 23 4 2 18 ..cos.sin 33 VAHCH R . Đặt 2 cos 0 1 tt 32 8 1 3 VRt t 3 33 88 22 .. 2 2 66 3 tt t Rtt t R Vậy V lớn nh ấ t khi 2 3 t kh i 1 arctan 2 . Chú ý: có thể d ùng PP hà m số đ ể tìm GTNN củ a h àm 2 1 ftt t Câ u 1 3 : SỞ GD BẮC NINH C h o mộ t hình nón N có đáy là hình tròn tâmO . Đườ ng kín h 2a và đư ờng cao SO a . Cho đ i ểm H thay đ ổi t r ê n đoạ n t h ẳ ng SO . Mặt phẳng P vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn C . Khối n ón có đỉn h l à O và đáy là hình tròn C có thể tích lớn nhất bằng b a o nh i ê u ? A. 3 2 . 81 a B. 3 4 . 81 a C. 3 7 . 81 a D. 3 8 . 81 a Hư ớng dẫn gi ải Gọi là m ặt phẳng q u a tr ục của h ì n h nón N cắt hình n ón N theo thiết là tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S và có đáy là đường tròn C theo thiết diện là tam giác SCD, gọi I là giao điểm của SO và CD.Ta có: 2 ABa OA a SO .Do đó tam giác SOA vuông cân tại S .Suy ra t am gi ác SIC vu ô n g cân tại I .Đặ t (0 ) SI AC x x a OI a x Th ể tích khối nón có đỉnh là O và đá y l à hình t rò n C là: 22 32 11 1 .. . . . ( ) 33 3 VICOI xax xax . 2 1 '..3 2 3 Vx x ax 0 '0 . 2 3 x Vx a x Bảng b iến th i ê n: Ch ọ n đá p á n B Câ u 1 4 : SỞ GD B ẮC N INH Ch o hìn h chó p . SABC có SA vu ôn g góc với mặt phẳng ,, ABC SA a AB a , 2, ACa 0 60 . BAC Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . A. 2 5 . 3 a . B. 2 20 a . C. 2 20 3 a . D. 2 5 a . Hư ớng dẫn gi ải Gọi H l à tâ m đường tr ò n ngoại t iếp tam giác ABC , d là đường thẳn g đi q u a H và vuông góc với m ặt p hẳ n g () ABC , gọi là mặ t p h ẳ ng tru n g trực củ a SA , O là giao điểm c ủa d và . Khi đ ó O là tâm c ủ a hình cầ u ngoại tiếp hì nh c h ó p . S ABC . Theo đ ịnh lí hà m số cosin ta c ó : 22 2 20 2.AC.cos 2 2 .2 .cos 60 3 BC AB AC AB BAC aa aa a Diện t ích tam giác ABC : 2 1.3 .AB.AC.sin 22 ABC a S BAC Bán kín h đườn g tròn ngoại tiếp tam giác ABC : 2 .. .2.a 3 4. 3 4. 2 ABC AB BC AC a a AHa S a Bán kín h của mặ t cầu ngoại tiếp h ì n h c h ó p . SABC : 2 2 22 5 22 aa ROA AH OH a Diện t ích h ì n h cầu n goại tiếp hình chóp . SABC 2 22 5 44. 5 2 a SR a C h ọ n đ áp á n D Câ u 1 5 : C H U YÊN LƯƠNG VĂ N CHÁN H Ch o tứ diện đều ABCD có cạn h bằn g a . Tậ p hợp cá c đi ểm M sao cho 22 2 2 2 2 MAMB MC MD a là A. Mặt cầu có tâm là tr ọng tâm củ a tam gi ác ABC và b á n kính b ằng 2 2 a . B. Mặt cầu có tâ m là trọn g tâm củ a tứ diện và bán kính bằng 2 4 a . C. Mặt cầu có tâm l à trọng tâm của tứ d iện và b án k ín h bằn g 2 2 a . D. Đường t ròn có tâm là trọn g tâm tam giác ABC và bán kính bằng 2 4 a . Hướng dẫn giải Chọn B . Gọi , I J lần lượt là trung điểm của , ABCD . Gọi K là trung điểm IJ . Lú c nà y , K là trọng tâm tứ diệ n. Áp d ụ ng đị n h lý đường trung tu y ế n tro n g tam giác, ta c ó: 22 22 2 2 22 22 2 2 22 22 22 22 ABa MA MB MI MI CD a MC MD MJ MJ 22 2 2 2 2 2 2 MAMB MC MD MI MJ a 2 22 22 2 IJ MKa Ta có: 2 22 2 2 2 2 22 3 24 4 2 42 IC ID CD a a a a IJ IC 2 22 2 2 2 3 4 2 a MA MB MC MD MK . Do đó: 2 22 2 2 2 2 2 32 24 2 24 aa MA MB MC MD a MK a MK . Vậ y tập hợp cá c điểm M th oả mãn h ệ th ức đ ề bài là mặt c ầu t âm K , bán kính bằng 2 4 a . Câ u 1 6 : C H U YÊN LƯƠNG VĂ N CHÁNH Cho hình chó p . SABC có ,2 SA ABC SA a , tam giác ABC c ân t ại ,22 A BC a , 1 cos . 3 ACB Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .. S ABC A. 2 97 . 4 a S B. 2 97 . 2 a S C. 2 97 . 3 a S D. 2 97 . 5 a S Hướng dẫ n giải Chọn A. Gọi H là trung đ i ể m của BC 2 2 BC HC a . Do ABC cân tại A AHBC . 1 cos 3 3 2 3 ACB AC HC AC a . 22 2 2 18 2 4 AHAC HC a a a . Gọi M là trung đ i ểm AC , tron g mp ABC vẽ đ ườn g tru ng t rực AC cắt AH tại O O là t âm đường tròn ngo ạ i tiếp ABC . Ta có 11 22 cos sin cos 33 3 ACH CAH CAH . Trong AMO vuô ng tại M 2 3 9 2 4 22 cos 3 a AMa AO CAH Gọi N là trung điểm SA . Trong m p SAH vẽ trung trực SA cắt đ ư ờ ng t hẳng q ua O và vuông góc mp ABC tại I . Chứng m i nh đ ư ợ c I l à tâm mặt c ầ u ngoại t iếp hình c h ó p .. S ABC Ta có ANIO là hình ch ữ nhật đ ườn g chéo 22 22 2 81 97 97 16 16 4 aa AIAO AN a a . Vậy d i ệ n tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . SABC là 2 22 97 97 44 16 4 a SR a đv dt. Câ u 1 7 : LƯƠNG T  M Ch o mặt cầu S Có tâm I , bán kín h 5 R . Một đ ư ờn g thằng cắt S tại 2 điểm M , N p hân biệt n hưng k hông đ i qua I . Đ ặt 2 MNm . Với gi á trị nào c ủ a m thì diện tíc h tam giác IMN lớn nhấ t? A. 52 2 m . B. 10 2 m . C. 5 2 m . D. 52 2 m . Hướng dẫ n g i ải Gọi H là trung điểm MN, ta có : 2 25 IHm Diện tích tam giác I MN : 2 22 22 1 .25 2 25 (25 ) 2 IMN SIHMNm m mm mm Suy ra 25 2 IMN S . Dấu ‘ ’ xã y ra k hi 22 5 25 2 mm m Ch ọ n D Câ u 1 8 : Ch o hì nh c hóp . SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 , mặt bên SAB là tam giác đ ề u v à nằm trong mặ t p h ẳng vuông gó c với mặt phẳng đáy. T ính thể tích V của khối cầu ng oại ti ế p h ình chóp đã c h o. A. 515 18 V p = . B. 515 54 V p = . C. 43 27 V p = . D. 5 3 V p = . Hư ớng dẫn gi ải Đáp án B Gọi O l à tâm đường trò n t am g i á c ABC suy ra O là trọng tâm, H là trung điểmAB , kẻ đư ờn g thẳng qu a O song song SH cắt SC tại N ta được () NO ABC ^ , gọi M là trung đi ểmSC , HM cắt NO tạ i . I Ta có HS HC = nên HM SC IS IC IA IB r ^ = = = = Ta có 0 2266 6 1 45 , , 3323 4 6 CN CO NIM HCS CN SM SN CS CH = = = = = = = = Suy ra 6 12 NM SM SN =- = NMI D vu ô ng tạ i M 0 6 tan45 12 NM IM NM IM = = = Suy ra 22 5 12 rIC IM MC == + = Vậy 3 4515 354 Vr p p == . Cách khác: Gọi , PQ lần l ượt là trọng t âm các t am giác SAB và ABC . D o các tam g i á c SAB và ABC l à các tam giác đ ều c ạnh bằ ng 1 nên , PQ lần lư ợ t tâm đư ờng tròn ngoại tiếp tam giác đó . Qua P đường thẳng vuông góc với mặt p hẳng () , SAB qua O d ự n g đường thẳng vu ông góc với mặ t ph ẳn g () . ABC Hai t rục này c ắt nh au tại , I suy r a IA IB IC IS == = . V ậy I là tâm mặ t cầu ngoại ti ế p h ì nh c hó p . SABC và RIC = . Xét 22 22 13 2 3 15 :IC . . 32 32 6 IQC IG GC æö æ ö ÷÷ çç ÷÷ çç D= + = + = ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç èø è ø Vậy 3 4515 354 VR p p == . Câ u 1 9 : C h o h ì nh trụ c ó ch iề u ca o 2, h = bán k í n h đ á y 3. r = Một mặt ph ẳng ( ) P k h ô ng v u ô n g gó c v ớ i đá y c ủ a h ì nh t rụ , l à n lư ợt c ắt hai đ áy t heo đoạ n giao tu yến AB v àCD s ao c h oABCD l à hì n h vuông. Tí n h diệ n t íc hS củ a h ìn h v u ô n gABCD . A. 12 . S p = B. 12. S = C. 20. S = D. 20 . S p = Hư ớng dẫn gi ải Kẻ đ ườn g si nh BB’ củ a h ìn h trụ. Đặt độ dài cạnh c ủ a hình vuông ABCD là x , x 0 . Do '' ' CD BC CD B C B CD CD BB ì ï ^ ï ^ D í ï ^ ï î vuô n g tại C. Khi đó , B’D là đường kính của đư ờng Tròn () ' O . X ét ' BCD D vuông t ại C 22 2 2 2 2 ''4 (1) B D CD CB r x CB = + =+ Xét tam giá c 'C BB D vuông t ại B 22 2 2 2 2 '' '(2) BC BB CB x h CB = + = + Từ 1 và 2 22 2 4 20 2 rh x + = = . Suy ra diện tích h ình v u ông ABC D l à 20 S = . Câ u 2 0 : Ch o hì nh c hó p đều S. ABC c ó AB a , SB a 2 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: A . 2 3 11 a S B . 2 3 11 a S C. 2 12 11 a S D. 2 12 11 a S Hư ớng dẫn gi ải 1 Xác định tâm và bán k ính mặt cầu n g oại tiếp tứ diện . Xác đ ị n h t âm mặt cầu Gọi O là tâ m đư ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC , do . S ABC l à hình ch ó p đều nên SO là trục đ ường tròn ng oạ i tiế p ta m giác ABC .T rong tam giá c SOA dựng đườn g trung trực củ a cạn h bên SA , cắt SO tại I và cắt SA tại t rung điểm J . Ta có: ISO IA IB IC IA IB IC IS IIAIS Vậy I l à tâm của mặt cầ u ngoại tiếp hình c hóp . S ABC . Tín h b án kính mặt cầu Gọi M AO BC thì M là tru ng điểm củ a BC . Ta có: 33 22 AB a AM 23 33 a AO AM . Trong tam gi á c vuông SOA ta có 2 22 2 333 4 93 aa SO SA AO a Xé t ha i tam gi á c vuông đồng dạ ng SJI và SOA ta có: 22 4233 211 33 2. 3 SI SJ SA a a RSI SA SO SO a 2 Tính diện tích mặt cầu và thể t ích khối cầu Diện tích mặt cầu là: 2 2 2 233 12 44 11 11 aa SR . Câ u 2 1 : Ch o hình chóp đều S.AB C có đ ường cao SH a ; góc SAB bằng 45 độ. Bán kính mặt cầu n goạ i t i ế p hình chóp S .ABC l à A . 2 a B . a C. 3 2 a D. 2a Hư ớng dẫn gi ải Gọi I là tâm của m ặt cầ u ngoại t iếp hì nh c hop S. ABCD Khi đ ó IA IB IC ID IS hay (1) (2) IA IB IC ID IA IS Gọi H là g iao điểm c ủ a AC và BD.Từ 1 suy r a (*) ISH Trong mặt phẳ n g SA H dựng đường thẳn g là tru ng trực của SA. Từ 2, suy ra (2*) (*) (2*) I SH I Gọi M là trun g đ i ể m của SA, k hi đ ó: 2 ... 22 SI SM SM SA SA SA SA RSI SA SH SH SH SH .Do SAB cân tại S v à có 0 45 SAB nên SAB vuông cân tại S. Đặt SA x , kh i đó 36 2; 33 ABx AB x HA Trong tam giác vuông SHA có: 22 2 2 22 22 2 633 3 922 x aa SA HA SH x a x a R a . Đáp án C Câ u 2 2 : Cho hình chó p S.A BCD , đáy A BCD là hì nh vuôn g, cạnh 2a, t âm O, m ặt bên SAB là tam giác đều v à SAB ABCD . X ác định tâm v à bán kí nh c ủa m ặt cầ u ngo ại ti ế p hình chó p đó. 1 2 A. 21 3 a R B. 3 3 a R C. 3 2 a R D. 6 3 a R Hư ớng dẫn gi ải Qu a O , kẻ 1 ABCD thì 1 là trụ c của đường tròn ngoại tiếp hình vu ô n g ABCD. Do SAB ABCD n ên k ẻ SH AB thì SH ABCD Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB và kẻ 2 SAB tại E t h ì 2 là t rục củ a đư ờng tròn ngoại tiếp tam giác SAB. 1 cắt 2 tại I : tâm củ a mặt cầu ng o ạ i ti ế p h ìn h chóp S.ABCD. Tứ g iác O H EI có 3 góc vu ôn g O, H, E nên là hình chữ n h ậ t 33 2. 3 23 a SH a a EH Trong aa AIO R AI OA OI a 2 22 2 321 :2 93 . Đáp án A . Câ u 2 3 : Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R và hình trụ tròn xoay nội tiế p trong hình c ầu . Hãy tìm kích th ư ớc củ a h ình trụ khi nó c ó thể tí ch đạt giá t rị lớ n nhất . A. 6 3 R r B. 2 3 R r C. 2 3 R r D. 2 3 R r Hư ớng dẫn gi ải Gọi h và r l à chiều cao và b án k ính đáy của hình trụ. Bài toán q u y về vi ệ c tính h v à r phụ t h uộc theo R khi h ì nh c hữ n hật ABCD nội tiếp trong hình t ròn O, R thay đ ổ i về 2 Vrh đạ t giá trị lớn nhất Ta có : 22 2 2 2 2 44 AC AB BC R r h 22 3 2 22 11 02 44 32 ʹ 4 3 VR hh hRh h R R VhRh Vậy 3 max 42 3 9 3 R VV R h Lúc đó 22 22 14 2 6 . 43 3 3 RR R rR r . Chọn A . h Câ u 2 4 : Cho hình cầu S tâm O, bán kính R. Hình cầu S ngoại tiếp một h ì n h trụ tròn xo ay T có đư ờng cao bằng đ ường k ính đáy và h ì n h cầ u S lại nội tiếp t r o n g một nón tr òn xoay N có góc ở đ ỉn h bằ ng 60 . Tín h t ỉ số t hể t ích của hìn h tr ụ T và hình nón N. A. 2 6 T N V V B. 2 3 T N V V C. 62 2 T N V V D. Đáp án k há c. Hư ớng dẫn gi ải Bài toán quy về hình nón tâm O ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp tam giác đều SEF mà EF // AB.Vì OA B l à ta m giác vuông câ n n ê n 2 AB BC R .Suy ra 2 3 2 22 T AB R VBC Ta thấy, tâm O của hình tròn cũng chính là tâm của hình vuông A B C D đồng t hời cũ ng là trọn g tâ m của tam giác đề u S EF. Như vậy, đ ường c ao của t am g i á c SEF là 33 SH OH R Trong tam gi á c EOH vuông tại H, 30 EOH . Ta có : .3 3 EH OH R Th ể tích của h ình nón 22 3 11 .3.33 33 N VEHSH RR R Vậy 3 3 2 2 2 6 3 T N R V V R . Ch ọ n A. Câ u 2 5 : Ch o hình n ón N có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi P mà mặt phẳng vuông gó c với SO tại O 1 s ao cho 1 1 3 SO SO . Một mặt ph ẳn g qu a trụ c h ình nón cắt ph ần k hối nón N nằm giữa P và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng P và mặt phẳng chứa đáy hình nó n N . A. 3 7 9 R B. 3 9 R C. 3 26 81 R D. 3 52 81 R H ư ớ ng d ẫ n g iả i Gọi thiết diện t hu đượ c là 11 AAB B Vì 1 1 3 SO SO n ên 11 11 .2 33 ABAB R Mặt kh ác 11 ABAB t ại I nên 111 11 , 22 IOABIO AB Vậy 1 4 33 RR OO R Dễ thấy 11 12 23 R SO OO Từ đ ó 2 SO R Gọi thể tí ch p hần hình nón phải tí nh l à V* th ì 12 * VV V , trong đó: V 1 là thể tích của hình nón N . V 2 là th ể tích h ình n ó n đ ỉ n h S và đáy là th i ế t diện của N được cắt bởi P. Ta có thể tí ch ph ầ n hình n ón p hải tín h là 22 12 11 1 11 *. . 33 V V V OBSO OBSO 23 2 1252 .2 . 393 81 RR R RR Câ u 2 6 : Ch iều cao của khối trụ có thể tí ch lớn n hấ t nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là A. 3 R . B. 3 3 R . C. 43 3 R . D. 23 3 R . Hư ớng dẫn gi ải Giả sử 2x là chiều cao hìn h trụ (0 ) x R xe m h ì n h v ẽ Bán kí nh c ủa k hối trụ l à 22 rR x . Thể tích khối trụ là: 22 ()2 VR x x . Xét hàm số 22 () ( )2 ,0 Vx R x x x R Ta có : 22 3 '( ) 2 ( 3 ) 0 3 R Vx R x x . B ảng biến thiên: Dựa và o B B T, t a th ấy t h ể t ích khối t rụ l ớn n hất kh i c h iều cao c ủa k hối trụ là 23 3 R ; 3 max 43 9 R V . Câ u 2 7 : Ch o h ì nh n ón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình n ó n th e o h . A. 2 h x . B. 3 h x . C. 2 3 h x . D. 3 h x . Hư ớng dẫn gi ải Gọi , rR t h e o thứ tự l à b á n kính đ áy h ì nh nón và k h ố i trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I l à tâm của đáy h ì nh n ón, J l à tâm c ủ a đáy hình t r ụ v à khác I . OA là một đường sinh của hình nón, B là điểm chung củ a OA với kh ố i trụ . Ta có: () rh x R rhx Rh h . Thể tích k hối trụ l à : 2 22 2 () R VxR x hx h Xé t hà m số 2 2 2 () ( ) ,0 R Vx x h x x h h . Ta có 2 2 '( ) ( )( 3 ) 0 hay . 3 Rh Vx h x h x x x h h Bản g bi ế n th iên: Dựa và o BBT, ta t hấy th ể tích k h ố i trụ lớn nh ất k h i c h i ều c ao c ủa k hối trụ là 3 h x ; 2 max 4 27 R h V . Câ u 2 8 : Ch o hình n ón đ ỉ n h O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đ ã ch o hì n h vẽ. T ính chiều cao x của k hối nón này để thể tích củ a n ó l ớn n hất, biết 0 x h . A. 3 h x . B. 3 x h . C. 2 3 h x . D. 3 3 h x . Hư ớng dẫn gi ải Từ h ì n h vẽ t a có () JBOJ h x Rh x JB IA OI h h . Th ể tích khối nón cầ n tìm l à : 2 2 2 1 () 3 R Vhxx h . Xé t hà m số 2 2 2 1 () ( ) ,0 3 R Vx h x x x h h . Ta có 2 2 1 '( ) ( )( 3 ) 0 hay . 33 R h Vx h x h x x h x h Bản g bi ế n th iên: Dựa vào BBT, ta t hấy thể tích k hối nón cần tìm lớn nhất k hi chiều cao của nó là 3 h x ; 2 max 4 81 R h V . Câ u 2 9 : Ch o một hình n ón c ó bá n kính đ áy l à R , ch i ề u cao là 2R , ngoại t iếp một hình c ầ u (; ) SO r . K hi đó , thể t í ch của k h ối trụ ngoại t iếp hì nh c ầu (; ) SO r là A. 3 3 16 51 R . B. 3 4 12 5 R . C. 3 3 16 15 R . D. 3 4 25 1 R . H ư ớ ng d ẫ n g iả i Giả sử h ì n h nón có đỉnh O v à đường kí nh đáy là AB . Ta có 22 (2 ) 5 OA OB R R R . Tam giác OAB có diện tích là 2 2 SR , chu vi là 22(1 5) pR . Do đó bán kính kh ố i cầu (; ) SO r là 2 15 SR r p . Thể tích k hối trụ c ầ n tì m là: 3 23 3 16 2 15 tru R Vrh r . Câ u 3 0 : H ì n h n ó n c ó t h ể t í c h l ớ n n h ấ t n ộ i ti ế p m ộ t m ặ t c ầ u b á n k í n h R cho trư ớ c b ằ ng : A. 3 64 81 R B. 23 32 81 R C. 3 32 81 R D. 23 64 81 R Hư ớng dẫn gi ải Kí h iệu b á n kính đ áy h ình n ó n l à x , chiều cao hình nón là y 0,0 2 xRy R . Gọi ' SS là đ ư ờng kính của m ặt cầu n goà i t iếp hình nón thì t a có 2 2 xy R y . Gọi 1 V là thể tích k hối nón t h ì 2 1 11 .2 33 Vxy yyRy 42 .. 6 Ryyy 3 3 42 32 63 81 R yyy R Vậy thể tích 1 V đạt giá trị lớn nhất bằng 3 32 81 R khi và chỉ khi 42 Ry y 4 3 R y , t ừ đó 2 2 44 8 2 33 9 RR R xR ha y 22 3 R x . Ch ọ n C. Câu 31: Tìm hình nón c ó th ể tí ch n hỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu b á n kí nh r c ho trư ớc c ó th ể tí ch b ằng: A. 3 1 6 r B. 3 8 3 r C. 3 2 3 r D. 3 4 3 r H ư ớ ng d ẫ n gi ả i Xét mặt phẳ n g chứa t rụ c của h ì n h n ón, mặt p h ẳng n à y c ắ t hìn h n ón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nộ i tiếp h ìn h n ón theo đ ư ờ ng t rò n b án kí nh r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB .79 hb K í h i ệ u bán kính đ á y h ìn h nón l à x , chiều cao hình nón là 0, 2 yx y r thì 1 . 2 AH SA r AB SH \ Vậy th ể tích hình nón n g oại tiếp mặt cầu b án kính r là 2 22 2 11 : 33 2 y Vxy r yr Ta có 22 2 2 2 44 4 2 22 2 yy r r r yr yr yr yr 2 22 2 2 ry xx y r xy x yr 2 4 24 2 r yr r yr 2 4 22. 4 8 2 r yr r r yr Từ đ ó 3 2 1 .8 3 Vr , tứ c l à 2 V đạt giá t r ị b é nhất k h i và chỉ k h i 2 4 24 2 r yr y r yr từ đó 2 x r . Câ u 3 2 : Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệ u 12 , VV lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón. Kh i r và h thay đổi, tìm giá trị bé nhấ t của tỉ số 1 2 V V A. 2 B. 22 C. 1 3 D. 2 Hư ớng dẫn gi ải Gọi P là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì P cắt h ìn h nó n. T heo ta m giác câ n SAB , cắt mặt cầu t h e o đư ờng tròn lớn, đư ờng tròn n ày nội ti ếp tam giác c ân . Khi đ ó, bán kín h 1 r của hì n h cầ u nội tiếp hình n ó n đư ợc tí n h bởi công thức 1 22 rh r rh r 3 2 3 2 1 2 2 2 11 11 11 44 h x r V hVx r , ở đ ó 2 2 0 h x r Xé t 32 2 11 1 1 2 21 ,' 4 4.2 1 x xx x fx f x x xx Vì 2 2 11 0 4.2 1 x xx nê n kh i xét d ấu của f x , ta chỉ c ầ n xét dấ u củ a 22 1 gxx x . Ta có 1 '1 1 gx x . Dễ th ấy '0 gx vì khi 0 x th ì 1 1 1 x , đ ồng thời 08 gx x Vậy gx l à hàm tăng t rên mi ề n 0 x và 80 g nê n Với 08 x thì 0; gx Câ u 3 3 : Ch o khối n ó n t ròn xoa y có đư ờng cao 20 hcm , bán kính đ áy 25 rcm . Một mặt phẳ n g P đi qua 2 đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Khi đó diện tích th i ết d i ệ n của P với khối n ón bằng: A. 2 500 cm B. 2 475 cm C. 2 450 cm D. 2 550 cm Hư ớng dẫn gi ải Gọi S là đ ỉnh c ủ a khố i nón. M ặt phẳng P đi qu a đỉnh S cắt kh ố i nón th eo ha i đ ường s i n h bằn g n h au là SA SB nên ta có t hiết d iện là tam giác cân SAB. Gọi I là trun g đ iể m của đ o ạn AB, ta có OI AB . Từ tâm O của đáy ta kẻ OH SI tại H, ta có OH SAB và do đ ó theo giả th i ết t a có 12 OH cm . Xét tam giác vu ô ng S OI ta có: 22 2 2 2 11 1 1 1 12 20 OI OH OS 15 OI cm Mặt kh ác , xét tam giác v u ô ng SOI t a còn có : .. OS OI SI OH Do đ ó . 20.15 25 12 OS OI SI cm OH Gọi S t l à diện tích củ a th iết d i ệ n SAB. Ta có: 1 . 2 t SABSI , trong đó 2 AB AI Vì 22 2 2 2 2 25 15 20 AI OA OI nên 20 AIcm và 40 ABcm Vậy thiết d i ện S AB có d i ện tích là: 2 1 .40.25 500 2 t Scm . Chọn A . Câ u 3 4 : Ch o lăng t r ụ đ ứ n g . ''' ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng () '' AB C tạo với mặt đáy góc 0 60 và điểm G l à trọ n g tâm tam giác ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .' ' ' GABC bằn g: A. 85 . 108 a B. 3 2 a . C. 3 . 4 a D. 31 . 36 a Hư ớng dẫn gi ải Gọi M là trun g điểm '' BC , ta có ()( ) == = 0 60 '', ''' , ' ' AB C A B C AM A M AMA . Trong D ' AA M , có = 3 ' 2 a AM ; == 3 ''.tan ' 2 a AA A M AMA . Gọi ' G l à trọng tâm tam giác đ ều ''' ABC , s uy r a ' G cũng là tâm đư ờng tròn ngoại tiếp D '' '. ABC Vì l ặng trụ đứng nê n () ^'''' GG A B C . Do đ ó ' GG là tr ục của t am giác ''' ABC . Trong mặt phẳng ( ) '' GC G , kẻ t rung t rực d của đoạn thẳng ' GC cắt ' GG tại I . K h i đó I là tâm mặt cầu ng oại tiếp khố i chóp .' ' ' GABC , b á n kính = . RGI Ta c ó DD = ' ÿ'' ' GP GG GPI GG C GI GC + = = = = = 22 2 .' ' ' ' ' 31 '2 ' 2 ' 36 GPGC GC GG G C a RGI GG GG GG . Ch ọ n D . Câ u 3 5 : Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng 3. R Hai điểm , AB lần lượt n ằm t rên h a i đường trò n đ á y s ao cho gó c giữa AB v à tr ục của h ìn h trụ bằng 0 30 . Khoảng cách giữ a AB và tr ục của hìn h trụ bằn g : A . . R B . 3. R C . 3 . 2 R D . 3 . 4 R Hư ớng dẫn gi ải Từ h ìn h vẽ k ết hợp với giả th i ết, ta có == '. OA O B R Gọi ' AA l à đường sinh củ a hình t rụ thì == '' , ' 3 OA R AA R và = 0 '30 BAA . Vì () '' OO ABA nê n ( ) () () éùé ùé ù == êúê úê ú ëûë ûë û ', ', ' ', ' . dOOAB dOO ABA dOABA Gọi H là trun g điểm ' AB , suy r a () ü ï ^ ï ^ ý ï ^ ï þ '' '' '' OH AB OH ABA OH AA nê n ( ) éù = êú ëû ', ' ' dO ABA O H . Tam giác ' ABA vuông tại ' A nê n == 0 ''tan30 . BA AA R Suy ra tam gi á c '' ABO đ ều có cạn h bằng R nên = 3 '. 2 R OH Ch ọ n C . Câ u 3 6 : Ch o hình c hóp . SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉ nh S trên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm H của cạnh BC . Góc gi ữa đ ườ ng t hẳn g SA và m ặt phẳ ng () ABC bằng 0 60 . Gọi G l à trọng tâm tam giá c SAC , R l à b á n kính m ặt c ầ u có tâm G và tiế p x úc với mặ t ph ẳng ( ) SAB . Đẳng thức nào sa u đây sai? A. () éù = êú ëû ,. RdGSAB B. = 313 2 . RSH C. D = 2 43 . 39 ABC R S D. = 13. R a Hư ớng dẫn gi ải Ta có () == = 0 60 , , SA ABC SAHA SAH . Tam giác ABC đ ều c ạnh a nê n = 3 2 a AH . Trong tam gi á c vuông SHA , ta có == 3 .tan 2 a SH AH SAH . Vì mặt cầu c ó tâm G và t i ếp xúc v ới ( ) SAB nên bán kín h mặt cầu () éù = êú ëû ,. RdGSAB Ta c ó () () () éù éù é ù == êú êú ê ú ëû ëû ë û 12 ,, ,. 33 dG SAB dC SAB dH SAB Gọi , ME lần lượt là tru ng đ i ể m AB và MB . Suy ra ì ï ^ ï ï ï í ï = ï ï ï î 3 2 CM AB a CM và ì ï ^ ï ï ï í ï == ï ï ï î 13 24 HE AB a HE CM . Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra ^ HK SE . () 1 Ta c ó () ì ï ^ ï ^ ^ í ï ^ ï î . HE AB AB SHE AB HK AB SH () 2 Từ () 1 và () 2 , suy ra ( ) ^ HK SAB nên ( ) éù = êú ëû , dH SAB HK . Trong tam gi á c vuông SHE , ta có == + 22 .3 213 SHHE a HK SH HE . Vậy == 2 3 13 a RHK . Chọn D. Câ u 3 7 : Ch o hì n h c h ó p tam gi á c đ ều . SABC c ó c ạ n h đ áy b ằ n g a và cạnh bên bằng 21 6 a . Gọi h là chiều cao c ủ a khối ch ó p và R là b á n kính mặt c ầu ngoại tiếp khối chóp. T ỉ s ố R h b ằng: A. 7 12 B. 7 . 24 C. 7 . 6 D. 1 . 2 Hư ớng dẫn gi ải Gọi O là tâm DABC , suy r a ( ) ^ SO ABC và = 3 . 3 a AO Trong SOA , ta có == - = 22 . 2 a hSO SA AO Trong mặt phẳ n g SOA , kẻ trung t rực d của đ oạn SA cắt SO tại I , su y ra ● Î Id nên = IS IA . ● Î ISO nê n == IA IB IC . Do đ ó == = IA IB IC IS nên I là tâm mặt c ầ u ngo ạ i tiếp k hố i chóp . SABC . Gọi M là tung đ iểm SA , ta có DD ÿ SMI SOA nên == = = 2 .7a . 212 SMSA SA RSI SO SO V ậy = 7 . 6 R h Ch ọ n C. Câ u 3 8 : Ch o h ì nh chóp tứ giác đều . SABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 0 60 . Thể tí ch của khối cầu ngoại tiếp khối ch óp . SABCD là: A. p 3 4 . 3 a B. p 3 26 . 9 a C. p 3 86 . 9 a D. p 3 86 . 27 a Hư ớng dẫn gi ải Gọi =Ç OAC BD , suy ra ( ) ^ SO ABCD . Ta c ó () == 0 60 = , , SB ABCD SBOB SBO . Trong DSOB , ta c ó == 6 .tan 2 a SO OB SBO . Ta c ó SO là trục của hình vu ông ABCD . Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB . Gọi ìì ïï Î=== ïï =Ç íí ïï Î= ïï îî ISO IA IB IC ID ISO d I d IS IB = = = = = IA IB IC ID IS R . Xét DSBD c ó ì ï = ï ï í ï == ï ï î 60 o SB SD SBD SBO DSBD đề u . Do đ ó d c ũ ng là đ ườn g tru ng t uyến của DSBD . Suy ra I là trọng tâm DSBD . Bán kí nh m ặt cầu == = 26 33 a RSI SO . Suy ra p p == 3 3 48 6 . 327 a VR Chọ n D . Câ u 3 9 : Ch o hì nh c hóp tứ giác đề u . SABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a . Kh i đó m ặt cầu nộ i tiếp h ì nh c h ó p . SABCD c ó bán kính b ằn g: A . () + 13 . 2 a B . ( ) - 62 . 4 a C . ( ) + 62 . 4 a D . () - 31 . 2 a Hư ớng dẫn gi ải Gọi H là tâ m của hình vuông ABCD . Ta c ó SH là trục đ ườn g tròn ngoại tiếp đ á y. Gọi M l à trun g đ i ể m của CD và I là chân đường phân giác trong củ a g ó c Î () SMH I SH . Suy ra I l à tâ m của mặt cầu nộ i ti ếp h ì n h c h óp, bán kính = rIH . Ta c ó =- = == 22 2 ; 2 3 ; . 22 a SH SA AH aa SM MH Dựa vào tính chấ t c ủ a đường phâ n giác ta có: = IS MS IH MH ( ) - + = = = = + + 62 . . 4 26 a SH MS MH SHMH a IH IH MH MS MH Ch ọ n B . Câ u 4 0 : CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình như h ì nh v ẽ quan h tr ụ c DF A. 3 10 9 a . B. 3 10 7 a . C. 3 5 2 a . D. 3 3 a . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A. Ta có 3 .tan .tan30 3 a EF AF a Khi qua y q u anh trục DF , tam giác AEF t ạo ra m ột h ìn h nón có thể tích 2 3 2 1 11 3 .. . . 333 9 aa VEFAF a Khi qua y q u anh trục DF , h ì nh vuông ABCD tạo ra một h ình trụ có t hể t ích 22 3 2 .. .. VDCBC aa a Th ể tích c ủa vậ t thể tròn xoay kh i q u a y mô h ình như h ình vẽ q ua nh trục DF là 3 33 12 10 99 a VVV a a Câ u 4 1 : NGÔ QUYỀ N – HP Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang ABCD quanh trục OO , biết 80, OO 24, OD 12, OC 12, OA 6 OB . A. 43200 . V B. 21600 . V C. 20160 . V D. 45000 . V Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n C. Côn g th ứ c tín h thể tích khối nón cụt 22 12 12 1 3 V hRRRR . Trong đó h l à độ dài đường cao, 12 ; R R lần lượt là bán kính hai đáy. Gọi 1 V l à thể tí ch k hối nó n cụt k h i q u ay h ìn h tha ng AOO D quanh trục OO . Gọi 2 V là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang BOO C quanh trục OO . Khi đ ó 12 VV V . Ta có 22 1 1 . . . 26880 3 VOOODOAODOA và 22 2 1 . . . 6720 3 VOOOCOBOCOB . Vậy 12 26880 6720 20160 VV V . Câ u 4 2 : C H U YÊN B Ắ C GI A NG C h o h ì nh n ón c ó độ dài đ ường k ính đá y là 2R , độ dài đư ờ ng s inh l à 17 R và hình trụ có chiều cao và đường kính đáy đều bằng 2R , l ồng v ào nha u như hìn h vẽ. . Tính th ể t ích phần kh ố i trụ kh ôn g g i a o với khối nón A. 3 5 12 πR . B. 3 1 3 πR . C. 3 4 3 πR . D. 3 5 6 πR . H ư ớng dẫ n giải Chọn D. Ta có 22 2 2 17 4 2 , 2 R SI SB IB R R R SE R EF . Th ể tí ch k h ối nó n lớ n c ó đườ n g cao SI là 23 1 14 .4 R 33 V πR πR . Thể tí ch khối n ó n nh ỏ có đường cao SE l à 2 3 2 11 .2 32 6 R V π R πR Thể tích phần khối giao n h au g iữ khối nón và kh ố i trụ là 3 31 22 7 6 VV VV πR . Thể tí ch kh ố i trụ là là 23 4 .2 2 V πRR πR . V ậ y thể tích ph ầ n k h ố i trụ k hô ng gi a o vớ i k h ối nón l à 3 43 5 6 VV V πR . Câu 43: CHUYÊN K HTN L 4 Một nút ch ai t hủy tin h là một khối t ròn xo ay H , một mặt ph ẳng chứa t r ụ c c ủ a H cắt H t he o một thiết diện như tro n g hình v ẽ bên. T ính thể tíc h c ủa H đ ơ n vị 3 cm . A. 23 H V . B. 13 H V . C. 41 3 H V . D. 17 H V . Hướng dẫ n gi ải : C h ọ n đ á p á n C. Thể tí ch kh ố i trụ là 2 1. . 54 9 tru VBh . Th ể tí ch k hối nó n là 2 1 2. 16 3 4 3 non V . Thể tích phần giao là: . 2 1 3 2 1.2 3 pgiao V . Vậy 16 2 41 3 9 33 H V . Câ u 4 4 : C H U YÊN KHTN L 4 Ch o một mặt cầu bán kín h bằng 1 . Xét các hình chóp tam giác đ ều n goạ i tiế p m ặt cầu trên . H ỏi t hể t ích nh ỏ nhất củ a chúng l à bao n hiêu? A. min 8 3 V . B. min 4 3 V . C. min 9 3 V . D. min 16 3 V . Hướng dẫ n gi ải: Chọn A. Hướn g dẫn giải Gọi cạ nh đ áy của hình ch óp là a Ta c ó SIJ SMH ~ 22 2 222 22 2 2 2 2 1 12 2 0 2 12 12 SI IJ MHSH IH IJ SH HM SM MH MH SH SH HM aSH aSH a SH a a 4 2 24 132 31 . 112 36126 ABC a SS SH a aa . T a có 24 112 1 48 aa 83 S Câ u 4 5 : C H U YÊN KHTN L4 Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối H như hì n h vẽ b ên. Bi ết rằng th i ế t diện là một hình elip có đ ộ dài trục lớ n b ằ ng 8, khoản g các h từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa m ặ t đ áy n hấ t tớ i mặt đáy lần lư ợt l à 8 và 14 xe m hình vẽ . Tính th ể t ích của H . A. () 192 H V . B. () 275 H V . C. () 704 H V . D. () 176 H V . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D. Đường kí nh đáy c ủa k hố i trụ l à 22 10 6 8 Bán kí nh đá y của k hối trụ l à 4 R Thể tích c ủa khố i trụ 1 H là 22 11 . . .4 .8 128 VRh . Thể tích c ủa khố i trụ 2 H là 22 22 .. .4.6 96 VRh . T h ể tích c ủa H là 12 11 128 .96 176 22 VV V . Câ u 4 6 : CHUYÊ N V INH – L2 Ch o lă ng trụ . ABC A B C có ,3 ABAC aBC a . Cạnh b ên 2 AAa . Bán kín h mặt cầu ngoạ i t iế p tứ d iện ABC C bằn g A. a . B. 2a . C. 5a . D. 3a . Hướng dẫ n gi ải: Ch ọ n B . Dễ t hấ y tâ m mặt c ầ u ngo ạ i tiếp t ứ diện ABCC cũng l à t âm m ặt cầu n goại t i ế p khối l ăng trụ đứng đã cho. Gọi O là tâm đường tròn ngo ại ti ế p ta m giác ABC . Đường thẳng qua O vuô ng góc với ABC cắt mặt phẳn g trung trực của AA tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại ti ế p . Mặt kh ác 22 2 1 cos 2. . 2 AB AC BC A AB AC Ta có: 0 3 2sinA 2sin120 ABC BC a R a do đ ó 22 2 2 2 RIA OI OA a a a . Câ u 4 7 : Ch o khối chó p . SABC có ^() SA ABC ; tam gi ác ABC cân tại A , = AB a ; = 120 BAC . Gọi , HK lần lượt là hình chiếu của A lên , SB SC . Tính bán kính mặt cầu đi qua 5 điểm ,,, , ABCKH . A. = 3 Ra B . = Ra C. = 2 Ra D . K hô ng t ồ n tại m ặt cầ u n hư vậy Hướng dẫ n g i ải Gọi I là tâm đường tr òn n goạ i ti ế p ta m giác ABC và AD là một đườn g kính của đ ường tròn () I . Tam giác ACD vu ô n g tại C , su y ra: ^ DC AC m à ^ DC SA nên ^() DC SAC . T a lại có : ì ï ^ ï ^ í ï^^ ï î (( ) AK KC AK KC AK DC doDC KCD . Suy ra tam gi á c AKD vuông t ại K , suy ra : == IA ID IK . Tương tự như tr ê n ta cũn g có: == IA ID IH . Vậy thì == = = IA IB IC IK IH , do đ ó 5 đ i ểm ,,, , ABCKH c ù ng nằm trên một m ặ t cầu đ pcm . Bán kí n h R của mặt cầu cũng là bán kín h đư ờng trò n ngo ại ti ế p tam giác ABC . Áp dụng đị nh lý cos ta có: =+ - = 22 2 . .cos120 3 BC AB AC ABAC a . Áp dụng đị nh lý sin ta có: = = = = 3 2 sin 2sin 3 2. 2 BC BC a RR a AA . Ch ọn B. Câ u 4 8 : Ch o khối chóp . SABCD có ^() SA ABCD ; đáyABCD l à hình th a ng v uông t ại A và B với == ; AB BC a = 2 AD a ; = SA a . Gọ i E là trung đ iểm của AD . Tìm tâm và bán k ín h mặ t cầu ng oại tiếp hình ch ó p . SECD . A. = 7 2 a R B . = 7 Ra C . = 11 2 a R D . = 11 Ra Hướng dẫn gi ải Gọi O là trung đ iểm củ a CD . Kẻ tia Ox SA th ì ^() Ox ABCD . Ta c ó: O l à tâm đường tròn n goại t iếp tam giác v uông CDE và ^() Ox ABCD , n ê n Ox là trục của đư ờng tròn () CDE . Gọi , MN lần lượt là trung điểm của , AB SC . Ta có: =+ = 22 5 2 a SM SA AM ; =+ = 22 5 2 a MC MB BC nê n s uy r a = SM MC . Do đó tam giác SMC cân tại M , suy ra ^ MN SC . Dễ thấy ()//( ) MNO SAD và ^() CE SAD nên su y ra ^() CE MNO và do đó ^ CE MN . Vậy nên ^() MN SEC , do đó MN l à trục của đường t rò n () SEC . Gọi I là giao điểm của MN và SO thì I chín h là tâm mặt cầu ng oạ i tiếp hình chóp . SECD . Bán kí nh m ặt cầu n goại tiếp hình c hóp . SECD là == + 22 RIC IO OC . Trong đó = 5 2 a OC và == = 3 33. 22 SA a IO NP P là giao điểm của MO và AC . x x O P M N O C D S B A A B S D C E I E Vậy thì æö æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ =+ = ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ç ÷ èø ç èø 2 2 53 11 22 2 aaa R . Chọn C. Câ u 4 9 : Ch o khối c hóp . SABC có tam giác ABC vuông tại , B biết 1 AB = ; 3 AC = . Gọi M là trung điểm BC , biết () SM ABC ^ . T ổ ng diện t ích các mặt cầu ngoại t iếp các tứ d i ệ n SMAB vàb SMAC bằn g 15 . Diện tích mặt cầu ng o ạ i t iế p h ì nh c hóp . SABC là : A. 21 4 B . 20 C. 25 4 D . 4 Hướng dẫ n g i ải Dễ k iể m tra được 2 BCa và tam giác MAB đ ều cạnh a . Đặt SM h . Gọi 12 , RR và R lần lượt là bán k ính các mặt cầu ng oạ i ti ế p củ a các h ình SMAB , SMAC và . SABC . Gọi 12 , rr và r lần l ượt là b án kính các đư ờng tròn ngo ại tiếp của c á c tam giá c MAB , MAC và ABC . Ta có: 1 3 2 r và 2 1 2.sin120 AC r . Vì () SA MAB , () SA MAC nên dễ ki ể m tra được: 2 2 22 11 3 244 hh Rr và 2 2 22 22 1 24 hh Rr . Th eo giả th i ết tổng diệ n tích các mặt cầu th ì : 22 12 415 RR Suy ra: 22 315 1 444 4 hh . T ừ đây tìm được 2 h . Dựng trung trực của SC , cắt SM tạ i I th ì I là tâm mặt c ầ u ngo ạ i ti ếp của . SABC . Dễ k iể m tra .. SI SM SN SC , suy ra .5 4 SN SC RSI SM . Vậ y thì d iện tích mặt c ầu ngoại tiếp hình ch ó p . SABC là 2 525 4 44 S . Ch ọ n C . N M A B C S I Câ u 5 0 : Ch o hình l ậ p p hương . ABCDABCD ¢¢ ¢ ¢ cạnh . a Gọi , MN lần l ư ợ t là t rung đi ể m c ủ a các cạnh AB vàBC ¢¢ . Mặt ph ẳng () DMN chia h ì nh lập p h ư ơng th àn h 2 ph ần. Gọ i 1 V là thể tích của p h ần c hứa đỉnh 2 , A V là thể tích củ a p hần còn lại. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 2 3 . B. 55 89 . C. 37 48 . D. 1 2 . Hướng dẫ n g i ải Gọi H AB DN ; MH cắt ' B B tại K , cắt ' A A tại S ; SD cắt '' A D tại E . Th iết diện tương ứ n g là n gũ giác DNKME . Ph ầ n đa diện chứa A có thể tí ch là : 1. .' . SADH SA EM K BNH VV V V . D ù ng tam gi á c đồng dạng kiểm tra đ ư ợ c: BABH ; 4' AHAM ; 4' ADAE và 1 '' ' 3 SA B K A A . Đặt độ d ài cạnh h ì nh l ập phương bằng 1 thì : 12 '; 33 SA KB . Ta có: . 111 4 .. 1 .1.2 663 9 SADH VSAADAH . .' . 11 64 144 SA EM S ADH VV ; .. 11 818 KBNH S ADH VV Vậy thì phần đa d i ện ch ứ a A có thể tích là: 41 1 55 9 144 18 144 . Suy ra ph ầ n đa diện kh ông chứa A có th ể tí ch là: 3 55 89 1 144 144 . Chọn B. E K N M A' A N M A' A D C B B' C' D' D' C' B' B C D S HC h ủ đề 7 . T Ọ A Đ Ộ TR O N G K H Ô N G G IA N O X YZ Câu 1: SGD VĨNH PH ÚC Tr o n g k h ông g i an v ới h ệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm () A1;2;0 , () B3;4;1 , ( ) D1;3;2 - . Tì m tọa độ điểm C sa o cho ABCD là hình thang có hai cạnh đáy AB , CD và có góc C bằng 45 . A. () C 5;9;5 . B. () C1;5;3 . C.() C 3;1;1 - . D. () C3;7;4 . Hướng dẫn gi ải Chọn D . Cách 1 . AB (2;2;1) = . Đư ờn g thẳn g CD c ó phươn g trình là x12t CD: y 3 2t z2 t ì ï =- + ï ï ï =+ í ï ï =+ ï ï î . Suy ra () C 1 2t;3 2t;2 t -+ + + ;CB (4 2t;1 2t; 1 t), =- - -- CD ( 2t; 2t; t) =- - - . Ta có 22 2 2 2 2 (4 2t)( 2t) (1 2t)( 2t) ( 1 t)( t) cosBCD (4 2t) (1 2t) ( 1 t) ( 2t) ( 2t) ( t) -- + - - +-- - = -+ -+-- - +- +- Hay 22 2 2 2 2 (4 2t)( 2t) (1 2t)( 2t) ( 1 t)( t) 2 2 (4 2t) (1 2t) ( 1 t) ( 2t) ( 2t) ( t) -- + -- +-- - = - + - +-- -+-+- 1. Lầ n lượt t ha y t bằng 3;1; 1;2 - tham số t tương ứng với toạ độ điểm C ở các phương án A, B, C, D, ta thấy t2 = thoả 1 . Cách 2 . Ta có AB (2;2;1),AD ( 2;1;2) ==- . Suy ra AB CD ^ và AB AD = . Th eo giả thiết, s uy ra DC 2AB = . Kí hiệu C(a;b;c) , t a có DC (a 1;b 3;c 2) =+ - - , 2AB (4;4;2) = . Từ đ ó C(3;7;4) . D C B A BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _______________________________ z y x m n m D' C' B' A' D C B A O Câu 2 : SGD V ĨN H PH ÚC Trong không gian v ới hệ tọ a độ Oxyz , cho ba đư ờ ng t hẳng 1 1 xt d: y 0 z0 ì ï = ï ï ï = í ï ï = ï ï î , 22 x1 d: y t z0 ì ï = ï ï ï = í ï ï = ï ï î , 3 3 x1 d: y 0 zt ì ï = ï ï ï = í ï ï = ï ï î . V i ết p hương trì nh mặt phẳng đi qua đ iểm ( ) H3;2;1 và cắt ba đường thẳ ng 1 d , 2 d , 3 d lần lượt tại A , B , C s ao ch o H l à tr ực t âm tam g i á c ABC . A. 2x 2y z 11 0 ++ - = . B. xy z 6 0 ++ - = . C. 2x 2y z 9 0 +- - = . D. 3x 2y z 14 0 ++ - = . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n A . Gọi () Aa;0;0 , ( ) B 1;b;0 , ( ) C1;0;c . ( ) ( ) ( ) ( ) AB 1 a;b;0 , BC 0; b;c ,CH 2;2;1 c , AH 3 a;2;1 =- = - = - = - . Yê u cầ u bài toán () ( )() 23 AB,BC .CH 0 2bc 2c a 1 1 c b a 1 0 b0 AB.CH 0 a b 1 9b 2b 0 9 b c2b 2 BC.AH 0 ìéù ï ï= êú ì ï ï + -+- - = é ëû = ï ï ï ê ï ï ï ê ==+ - = íí ê ïï = ïï ê = ïï ë = ïï î ï ï î Nếu b0 = suy ra AB º loại. Nếu 9 b 2 = , tọa độ 11 A;0;0 2 æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø , 9 B1; ;0 2 æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø , () C1;0;9 . Suy ra p hương trìn h mặt phẳn g ( ) ABC là 2x 2y z 11 0 ++ - = . Câu 3 : N GUYỄN K HU YẾN TP HC M Tr o n g không gi an v ới h ệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D ¢¢ ¢ ¢ có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉn h B(m;0;0) , D(0;m;0) , A(0;0;n) ¢ với m,n 0 > và mn 4 += . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ¢ . Khi đó thể tích tứ diện BDA M ¢ đạt giá trị lớn nhất b ằng A. 245 108 . B. 9 4 . C. 64 27 . D. 75 32 . Hướng dẫn gi ải Tọa độ điể m n C(m;m;0),C(m;m;;n),M m;m; 2 æö ÷ ç ¢ ÷ ç ÷ ç èø () ( ) n BA m;0;n ,BD m;m;0 ,BM 0;m; 2 æö ÷ ç ¢ ÷ =- = - = ç ÷ ç èø () 2 BA,BD mn; mn; m éù ¢ =--- êú ëû 2 BDA M 1mn VBA,BD.BM 64 ¢ éù ¢ == êú ëû Ta có 3 2 m m 2n 512 256 m.m.(2n) m n 327 27 æö ++ ÷ ç ÷ £=£ ç ÷ ç èø BDA M 64 V 27 ¢ £ Ch ọ n đ áp á n: C Câu 4 : N GUYỄN K HU YẾN TP HC M Trong kh ô ng gian v ới h ệ tọa độ Oxyz , h ai mặt p h ẳn g 4x 4y 2z 7 0 -+ - = và 2x 2y z 1 0 -+ + = chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phư ơ ng đó là A. 27 V 8 = B. . 81 3 V 8 = . C. 93 2 V D. 64 27 V Hướng dẫn gi ải Theo bài ra hai mặt phẳng 44 2 7 0 xy z và 22 1 0 xy z chứa hai mặt của hình lập phương. Mà hai mặt phẳng ():4 4 2 7 0 Px y z và ():2 2 1 0 Qxy z song song với nh au nê n kh o ả ng c á ch giữa h ai mặ t ph ẳng sẽ bằn g cạnh của h ìn h l ập phương . Ta có (0;0; 1) ( ) M Q nên 22 2 27 3 (( ),( )) ( ,( )) 2 4(4) 2 dQ P dM P Vậy thể tí ch khối lập phương là: 222 8 .. 333 27 V . Câu 5 : N GUYỄN K HUYẾN TP HCM Tr on g kh ô n g gi an v ới h ệ trục t ọa độ , Oxyz ch o đ i ể m (2;3;0), A (0; 2;0), B 6 ;2;2 5 M và đường thẳng:0. 2 xt dy zt Đi ểm C thu ộ c d sao ch o chu vi t am giác ABC là nh ỏ nh ấ thì độ dàiCM bằng A.23. B. 4. C. 2. D. 26 . 5 Hướng dẫn gi ải Do AB có đ ộ dài kh ông đ ổi nên chu vi ta m giác ABC nh ỏ nh ất khi ACCB nhỏ nhất. Vì 22 ;0;2 2 2 2 9, 2 2 4 Cd Ct t AC t BC t 22 222 9 2 2 4. AC CB t t Đặt 222;3, 2 2;2 ut v t áp d ụ ng bấtđẳ ng t hứ cuv u v 22 2 222 9 2 2 4 2 22 25. tt Dấub ằngxả yrakhivàch ỉ khi 22 222 3 7 7 3 6 7 3 ;0; 2 2 2. 25 55 55 5 22 t tC CM t Ch ọ n C. Câu 6 : T.T DIỆU HIỀN Tron g kh ôn g gian với h ệ trục t ọa độ Oxyz , cho 1;1;1 A , 0;1 ; 2 B , 2;0;1 C :10 Px y z . Tìm điểm NP sao cho 22 2 2 SNA NB NC đ ạt g iá trị n hỏ n hất. A. 15 3 ;; 244 N . B. 3;5;1 N . C. 2;0;1 N . D. 31 ;;2 22 N . Hư ớng dẫn gi ải Ch ọ n A . Gọi I là trung đ i ểm BC và J l à trung điể m AI . Do đó 13 1; ; 22 I và 35 0; ; 44 J . Khi đ ó 22 2 2 2 2 11 22 4 22 SNA NI BC NJ IJ BC . Do đ ó S n hỏ n hất kh i NJ nhỏ nh ấ t. Suy r a J là hình chiếu củ a N trên P . Phư ơng trình đ ư ờng t hẳn g 3 : 4 5 4 xt NJ y t zt . Tọa độ điể m J là ngh i ệm của hệ: 10 1 2 5 3 4 4 3 5 4 4 xy z x xt y yt z zt Câu 7 : LẠNG GIANG SỐ 1 Tron g kh ôn g gian v ới h ệ tọa độ , Oxyz cho ba đường thẳng 1 1 :1, ; x dy t zt 2 2 :, ; 1 x dyu u zu 11 :. 11 1 xyz Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả 12 , dd và có t âm th u ộ c đường thẳ ng ? A. 22 2 111 xy z . B. 22 2 11 15 22 22 xy z . C. 22 2 31 31 22 22 xy z . D. 22 2 51 5 9 44 416 xy z . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n A . Đường thẳng 1 d đ i qu a đ i ể m 1 1;1 ; 0 M và có v éc tơ ch ỉ ph ươn g 1 0;0;1 d u . Đường thẳng 2 d đi qua điểm 2 2;0;1 M và có v éc tơ ch ỉ ph ươn g 2 0;1;1 d u . Gọi I là tâm c ủ a mặt cầ u. Vì I nên ta th am số h óa 1;;1 I tt t , từ đ ó 12 ;1 ; 1 , 1 ; ; IM t t t IM ttt . Th eo giả th i ết ta có 12 ;; dI d d I d , tươn g đư ơn g với 12 12 22 2 12 ;; 121 0 1 2 dd dd IM u IM u tt t t uu Suy ra 1; 0;1 I và bán kính m ặ t c ầu là 1 ;1 Rd Id . Phương t rình mặt c ầ u cần tìm l à 22 2 111 xy z . Câu 8 : LẠN G GIANG SỐ 1 Tr o n g không gi a n v ới h ệ tọa độ cho hai đi ể m và mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho nhỏ nh ất? A. . B. . C. . D. 21118 ;; 55 5 M . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n D . Th ay tọa độ vào ph ư ơ ng trình mặt p hẳng , ta được hai điểm , A B cùng ph ía với đ ối v ới m ặ t phẳng . Gọi là đ i ể m đ ối x ứn g c ủa A q ua P . T a có . Nên min MAMB AB khi và chỉ khi M l à giao điểm c ủ a A B với P . , Oxyz 1; 0; 2 ; 0; 1 ; 2 AB :2 2 12 0. Px y z M P MAMB 2; 2;9 M 61825 ;; 11 11 11 M 77 31 ;; 66 4 M 1; 0; 2 ; 0; 1 ; 2 AB P 0 PA P B P A MAMB MA MB AB H M B A' A P Ph ư ơ ng t rình đi q ua và có véctơ ch ỉ phương 1; 2; 1 P n . Gọi H l à giao điểm c ủa AA trên P , suy ra t ọa độ của H là 0; 2;4 H , suy ra 1; 4; 6 A , nê n phươn g trình :13 24 xt A B y t zt . Vì M là giao điểm của A B vớ i P nên ta tín h được tọa độ Câu 9 : LẠN G GIANG SỐ 1 Trong không gian v ới h ệ tọa độ c h o đư ờn g thẳn g v à mặt phẳn g P hương trình đường th ẳng nằ m trong sao cho c ắ t và vuông góc với đường th ẳ ng l à A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n C . Vectơ chỉ ph ư ơ ng của , vectơ pháp tuyến của P là 1; 2; 2 P n . Vì . Tọa độ giao đi ể m l à ng hiệm của h ệ . Lại có , mà . Suy ra . Vậy đường thẳng đi qua và có VTCP nên có phương trình . Câu 1 0 : LÝ TỰ T R ỌNG – TPHCM Trong không gian c h o đ iểm (1 ; 3; 2) M .C ó bao nhiêu mặt phẳ n g đi qua M và cắt c á c trục tọa độ tạ i ,, A BC mà 0 OA OB OC A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn gi ải Ch ọn C. 1 :2 22 x t AAy t zt AA 1; 0; 2 A 21118 ;; . 55 5 M , Oxyz 12 : 11 1 xy z :2 2 4 0. Px y z d P d 3 :12 1 xt dy tt zt 3 :2 22 xt dy tt zt 24 :13 4 xt dy tt zt 1 :33 32 xt dy tt zt :1;1;1 u ;4;3;1 d dP dP d uu uun dP un HP 1 22;1;4 2 22 4 0 xt yt tH zt xy z ;dPd HP H d d 2; 1; 4 H 4; 3;1 d u 24 :13 4 xt dy tt zt Giả s ử mặt p h ẳn g () cần tìm cắt ,, Ox Oy Oz lần l ượt tạ i (a,0,0),B(0,b,0),C(0,0c)(a,b,c 0) A (): 1 xy z ab c ; () q ua (1 ; 3; 2) M nên: 13 2 (): 1(*) ab c (1) (2) 00 (3) (4) abc ab c OA OB OC a b c ab c ab c Th ay (1) vào * ta có p hươn g trình vô n ghiệm Th ay (2),(3),(4) và o * ta được tương ứn g 3 4, 6, 4 aa a Vậy có 3 mặt phẳng. Câu 1 1 : LÝ TỰ T R ỌNG – TPHCM Trong không gian v ới h ệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) .V iết ph ương t rình m ặ t p hẳn g () qua E và cắt nửa trục dương ,, Ox Oy Oz lần lượt tại ,, A BC sao cho OG nh ỏ n hất với G là tr ọng tâm tam giác ABC . A. 211 0 xy z . B. 866=0 xy z . C. 2180 xy z . D. 22 12 0 xy z . Hướng dẫn gi ải Ch ọn D. Cách 1 : Với đá p á n A: 2 11 11 11 11 121 (11;0;0);B(0;11;0);C(0;0; ) ( ; ; ) OG 2336 4 AG Với đá p á n B: 2 33 11 15609 ( ;0;0);B(0;66;0);C(0;0;66) ( ;22;22) OG 44 16 AG Với đá p á n C : 2 18 18 (9;0;0);B(0;18;0);C(0;0;18) (3; ; ) OG 81 33 AG Với đá p á n D : 2 ( 12;0;0); B(0;6;0);C(0;0;6) ( 4; 2; 2) OG 24 AG Cá ch 2 : Gọi ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; AaBb C c với ,, 0 abc . Th eo đ ề bài ta c ó : 81 1 1 ab c . Cần tì m gi á trị nh ỏ n h ất của 22 2 abc . Ta có 22 22 2 2 2 2 41 1 .2 .1 .1 6. 2 abc a b c abc a b c Mặt kh ác 22 2 2 41 1 .2 .1 .1 81 1 2 41 1 36 abc a b c ab c abc Suy ra 22 2 3 6 abc . Dấ u '' '' x ảy ra khi 2 22 22. 4 a b c abc Vậy 22 2 abc đạt gi á trị nh ỏ n h ấ t b ằng 216 khi 12, 6 abc . Vậy phương trình mặt phẳng l à : 1 1266 x yz hay 22 12 0 xy z . Câu 1 2 : CHU YÊN PHA N BỘI C H U Tr ong không gian v ới h ệ tọa độ Oxyz , cho đườ n g thẳ ng 2 : 214 x yz d và mặt cầu 22 2 :1 2 1 2 Sx y z . Hai m ặ t phẳng P và Q chứa d v à tiếp xúc với S . Gọi , M N l à tiếp đi ểm . T ính độ dài đoạn th ẳ ng . MN A. 22. B. 4 . 3 C. 6. D. 4. Hướng dẫn gi ải Ch ọ n B . Mặ t cầu S có tâm 1; 2;1 , 2 IR Đường thẳn g d nhận 2; 1;4 u làm vectơ chỉ phươ ng Gọi H là h ình chiếu của I lên đường thẳng d . 22; ;4 H dH t tt Lại có : .0 2 1; 2;4 1.2;1;4 0 IH u t t t 22 1 2 4 4 1 0 0 tt t t Suy ra tọ a độ điểm 2;0;0 H . Vậy 14 1 6 IH Suy ra: 62 2 HM Gọi K là hì nh c hiếu v uôn g góc của M l ê n đ ườn g thẳng HI . Suy ra: 22 2 11 1 113 42 4 MK MH MI . Suy ra: 24 33 MK MN . Câu 1 3 : CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Tr on g không gian v ới h ệ tọa độ Oxyz , c h o điểm 1; 2;1 M . M ặt phẳng P t ha y đổi đi qua M l ần l ượt cắt các tia ,, Ox Oy Oz tại ,, AB C khác O . Tính giá t rị nh ỏ nh ất c ủa thể tích khối tứ diện OABC . A. 54. B. 6. C. 9. D. 18. Hướng dẫn gi ải Ch ọ n C . Gọi ;0;0 , 0; ;0 , 0,0, AaBb C c với ,, 0 ab c . Phư ơ ng t rì nh m ặt p hẳng P : 1 xy z ab c . Vì : 12 1 1 MP ab c . Thể tích k hố i tứ diện OABC là : 1 6 OABC Vabc Áp dụng bấ t đẳng t h ứ c C a uc h y ta c ó : 3 12 1 121 3. abc abc Hay 3 254 13 1 abc abc Suy ra : 1 54 9 6 abc abc Vậy : 9 OABC V . Câu 1 4 : THTT – 477 C h o h a i đường thẳn g 1 2 :1 2 x t dy t zt và 2 22 :3 x t dy zt . Mặt p h ẳng các h đ ề u h ai đư ờng thẳn g 1 d và 2 d có p h ương trình là A. 5 2 12 0. xy z B. 52 12 0. xyz C. 5 2 12 0. xy z D. 52 12 0. xy z H ư ớ ng d ẫ n g iả i Ch ọ n D . 1 d q ua 2;1;0 A và có VTCP là 1 1; 1;2 u ; 2 d qua 2;3;0 B và có VTCP là 2 2;0;1 u . Có 12 ,1;5;2 uu ; 0;2;0 AB , suy ra 12 ,. 10 uu AB , nên 12 ; dd là chéo n hau. Vậy mặ t phẳ ng P cách đều hai đường th ẳng 12 , dd l à đường th ẳng song s ong với 12 , dd và đi qua trung đi ể m 2;2;0 I củ a đ o ạ n th ẳng AB . Vậy phương trình mặt phẳng P c ầ n lập là: 52 12 0 xy z . Câu 1 5 : THTT – 477 Cho hai điểm 3;3;1 , 0; 2;1 AB và m ặt p h ẳ n g :70 xy z . Đườn g thẳ ng d nằ m trên sao ch o mọ i đ i ểm của d cách đều 2 đ i ểm , AB có ph ương trìn h là A. 73. 2 xt yt zt B. 73. 2 xt yt zt C. 73. 2 xt yt zt D. 2 73. xt yt zt Hướng dẫn gi ải A B M P Ch ọ n A . Mọi đ i ểm tr ê n d cách đều hai đ i ểm , AB nên d nằ m trê n mặt p h ẳn g tru ng trực của đ oạn AB . Có 3; 1;0 AB và trung đ i ể m AB là 35 ;;1 22 I n ên m ặt phẳng t r u ng trực của AB là: 35 30370 22 xy xy . Mặt kh ác d n ên d là giao tuyến của hai mặt p h ẳng : 370 73 70 2 xy y x xy z z x . Vậy phươn g trình :73 2 xt dy tt zt . Câu 1 6 : SỞ GD H À NỘI Trong kh ôn g gian , Oxyz cho các điểm 1; 0; 0 , A 2;0;3 , B 0;0;1 M và 0;3;1 . N Mặt p h ẳn g P đi qua các điểm , M N s ao ch o khoản g cá ch t ừ đi ể m B đến P gấp h a i lần khoảng các h từ điểm A đế n . P Có b ao mặt p h ẳng P thỏa m ãn đầu b ài ? A. Có vô số mặt phẳng . P B. Chỉ có một mặt phẳn g . P C. Kh ôn g có mặ t ph ẳng P nà o. D. Có hai m ặ t p h ẳ ng . P Hướng dẫn gi ải Chọn A . Giả sử P có p h ương trì nh là: 22 2 z0 0 ax by c d a b c Vì 0. M Pcd d c Vì 30 NP b c d hay 0 b vì 0. cd :0. Pax cz c T heo b ài ra: ,2 , dB P d A P 22 22 23 2 ac c a c ac ac ca a c Vậy c ó vô s ố mặt p h ẳ ng . P Câu 1 7 : SỞ G D HÀ N ỘI Trong không gian Oxyz , ch o điểm 13 ;;0 22 M và mặt cầu 22 2 :8 Sx y z . Đườn g thẳ ng d t hay đổi , đ i qua đ iểm M , cắt mặt c ầ u S tại hai điểm , A B phân b i ệt. Tính di ệ n tích l ớn nhất S của tam g i á c OAB . A. 7. S B. 4. S C. 27. S D. 22. S Hướng dẫn gi ải Chọn A . Cá ch 1 : M ặ t c ầu S có tâm 0;0;0 O và bán kín h 22 R . Có 2 2 13 1 22 OM nên M nằ m trong m ặt c ầ u Khi đó diện tích AOB lớn nhất khi OM AB. Khi đó 22 227 AB R OM và 1 .7 2 AOB SOMAB Cá ch 2 : gọi H là hình chiếu của O xuống đường thẳng d, đặt 01 OH x x Khi đó 22 2 228 ABR OH x và 2 1 .8 2 AOB SOHABx x . Khảo sát h à m số 2 8 fxx x trên 0;1 thu được giá trị lớn nhất của hàm số là 7 Đạt đư ợc t ại 1 x Câu 1 8 : BẮ C YÊ N THÀNH Có bao nhiêu mặt phẳ n g đi qua đ iể m (1; 9; 4) M và cắt các trục tọa độ tại các đi ể m A , B , C khá c gốc tọa độ sao cho OA OB OC . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n D . Giả sử mặ t phẳng () cắt c ác trục tọ a độ tại các điểm khác gố c tọ a độ l à (;0;0), (0; ;0), (0;0; ) Aa B b C c với ,, 0. ab c Phư ơng t rì nh m ặt p hẳ ng () c ó dạng 1. xy z ab c Mặ t ph ẳn g () đi qua điểm (1 ;9; 4) M n ên 19 4 1(1). ab c Vì OA OB OC nên , ab c d o đó xảy r a 4 trường h ợp sau: TH1: . abc Từ (1) su y ra 19 4 114, a aaa n ên phương trình m p() là 14 0. xy z TH2: . ab c Từ (1) su y ra 19 4 16, a aa a nê n p t mp() là 60. xy z TH3: . ab c Từ (1) su y ra 19 4 14, a aa a nê n p t mp() là 40. xy z TH4: . ab c T ừ (1) có 19 4 112, a aaa nên p t m p() là 12 0. xy z V ậy c ó 4 mặt phẳng th ỏ a mãn. Câu 1 9 : BIÊN HÒA – HÀ NAM Trong kh ôn g gian v ới h ệ tọa độ Oxyz , cho ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; AaBb C c với ,, ab c dương. Biết ,, A BC d i độ ng t rê n cá c tia ,, Ox Oy Oz sao cho 2 ab c . Bi ết r ằng khi ,, ab c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc m ặt p hẳng P cố đ ị n h . Tính khoản g cách từ 2016;0;0 M tới mặt p h ẳ ng P . A. 2017 . B. 2014 3 . C. 2016 3 . D. 2015 3 . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n D. Gọi là mặ t phẳng trun g trự c củ a đoạn OA đi qua điểm ;0;0 2 a D và có VTPT ;0;0 1;0;0 OA a a :0 2 a x . Gọi là mặt p h ẳng tr u n g trực của đ oạn OB đi qu a đ i ể m 0; ;0 2 a E và có VTPT 0; ;0 0;1;0 OB a a :0 2 a y . Gọi l à mặt phẳng tru ng trực của đ oạn OC đ i qu a đ iểm 0;0; 2 a F và có V TPT 0;0; 0;0;1 OC a a :0 2 a z . Gọi I là tâm mặt cầu ngo ạ i ti ếp tứ diện OABC ;; 222 aaa II . Mà theo giả th iế t, 21 : 1 22 2 ab c ab c I P x y z . Vậy, 2016 1 2015 , 33 dM P . Câu 2 0 : SỞ BÌNH P HƯỚC Trong kh ôn g gian v ới h ệ tọa độ , Oxyz cho điểm ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , AaBb C c trong đó 0 a , 0 b , 0 c và 12 3 7. abc Biết mặt phẳng ABC t i ế p xúc với mặt cầu 22 2 72 :1 2 3 . 7 Sx y z Thể tích của khối tứ diện OABC l à A. 2 . 9 B. 1 . 6 C. 3 . 8 D. 5 . 6 Hướng dẫn gi ải Ch ọ n A . Cá ch 1 : Ta c ó :1. xy z ABC ab c Mặ t cầu S có tâm 1; 2; 3 I và b á n kính 72 . 7 R Mặ t ph ẳn g ABC tiếp xú c với 22 2 12 3 1 72 ;. 7 11 1 ab c S d I ABC R abc Mà 22 2 12 3 1 1 1 7 7. 2 abc a b c Áp dụn g BĐT Bu nh i a cop s ki ta có 2 22 2 2 22 2 2 2 2 11 1 1 2 3 11 1 7 12 3 7 . 2 abc a b c a b c Dấu "" xảy ra 12 3 11 1 2 2, 1, , 3 12 3 7 ab c ab c ab c khi đ ó 12 . 69 OABC V abc Cá ch 2 : Ta c ó :1, xy z ABC ab c mặ t cầu S có tâm 72 (1 ; 2;3), 7 IR . Ta có ABC tiếp x ú c với mặt cầu S 22 2 12 3 1 72 ,( ) 7 11 1 ab c dI P R ab c 22 2 2 2 2 22 2 71 72 11 1 7 11 1 7 7 72 2 11 1 abc ab c ab c 22 2 11 1 1 2 3 7 2 abc a b c 22 2 11 1 1 3 10 22 ab c 2 1 2 3 a b c 12 . 69 OABC Vabc Cá ch 3 : Gi ống Cá ch 2 k h i đế n 22 2 11 1 7 2 ab c . Đến đâ y ta có thể tìm a , b, c bằng bất đẳng t h ức như sau: Ta có 22 2222 22 2 2 2 2 12 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 71.2.3.123 2 a b c a b c abc abc Mà 22 2 11 1 7 2 ab c Dấu “” của BĐT xảy ra 11 1 12 3 abc , kế t hợp với gi ả thiết 12 3 7 abc ta được 2 a , 1 b , 2 3 c . V ậ y: 12 . 69 OABC Vabc Ta có 2 1 2 3 a b c 12 . 69 OABC V abc Cá ch 4 : Mặ t c ầ u S c ó tâm 1; 2; 3 I và bán kí nh 72 . 7 R Phư ơng t rì nh m ặt p hẳ ng (): 1 x yz ABC ab c . Ta có: 12 3 12 3 77 7 71 abc a b c n ên 12 3 ;; 77 7 M ABC Th ay tọa độ 12 3 ;; 777 M vào phương trình mặt cầu () S ta thấy đ úng nê n () M S . Suy ra: () ABC ti ế p xúc với () S th ì M là tiếp đ iể m. Do đ ó: () ABC q ua 12 3 ;; 77 7 M , có V TPT là 61218 ;; 1;2;3 77 7 MI n () ABC có ph ươn g t rình : 23 2 0 1 2 2 21 3 xy z xy z a , 1 b , 2 3 c . Vậy 12 69 Vabc Câu 2 1 : LƯƠNG T  M Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm 1; 2; 3 M và cắt ba tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho thể tíc h tứ di ện OABC nhỏ n hất? A. 63 2 18 0 xy z . B. 63 3 21 0 xy z . C. 63 3 21 0 xy z . D. 63 2 18 0 xy z . Hướng dẫn gi ải Giả sử (;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( , , 0) Aa B b C c abc ABC: 1 xy z ab c 1 M 1;2;3 t huộc ABC : 12 3 1 ab c . Th ể tích tứ diện OAB C : 1 6 V abc Áp dụng BD T Côsi ta có: 3 1 2 3 6 27.6 1 13 1 27 27 6 abc V a b c abc abc T a có : V đạt giá t rị n hỏ n hất 3 12 3 1 27 6 3 9 a Vb abc c Vậy ABC : 63 2 18 0 xy z . Ch ọ n D Câu 2 2 : PHAN ĐÌNH P H Ù NG – HN Tr on g kh ô n g gi a n v ới h ệ trụ c t ọa đ ộ , Oxyz cho mặt phẳng :3 5 0 Px y z và hai điểm 1; 0; 2 A , 2; 1 ;4 . B Tìm tập hợp các điểm ;; M xy z nằm trên mặt phẳng P sao cho tam giác MAB có d i ện tích nh ỏ nh ất. A. 74 7 0 . 350 xy z xy z B. 74 14 0 . 350 xy z xy z C. 74 7 0 . 350 xy z xy z D. 37 45 0 . 350 xy z xy z Hướng dẫn gi ải Ch ọ n C . Ta thấy hai điểm , A B nằm c ùng 1 p h í a v ới m ặt phẳng P và AB song song với P . Điểm M P sao cho tam giác ABM có d i ệ n tích nhỏ nhất .( ; ) 2 ABC ABd M AB S n hỏ nh ấ t ; dM AB nhỏ n hất, h ay , M PQ Q là mặt phẳng đi q ua AB và vu ôn g góc với P . Ta có 1; 1; 2 AB , vt pt của P 3;1 ; 1 P n Suy ra v tpt c ủ a Q : ,1;7;4 QP nABn PTTQ :1 1 7 4 2 0 Qx y z 74 7 0 xy z Qu ỹ tích M là 74 7 0 . 350 xy z xy z Câu 2 3 : CHU YÊN ĐH V INH Trong kh ông gian v ới h ệ tọa độ Oxyz , c h o h a i điểm 2; 2;1 M , 1; 2; 3 A v à đư ờn g thẳng 15 : 22 1 x yz d . T ì m véctơ c h ỉ p h ư ơ ng u của đường thẳng đi q ua M , vuông góc với đường thẳn g d đồng th ời cách điểm A một kh oảng b é nh ấ t. A. 2;1;6 u . B. 1; 0; 2 u . C. 3; 4; 4 u . D. 2; 2; 1 u . Hướng dẫn gi ải Đáp án : B. Gọi P l à mặt phẳng qu a M v à vuông góc với d . Phư ơ ng t rì nh của 22 9 0 P: x y z . Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên ,P . Ta có 32 1 K ;; d( A, ) AH AK Vậy kh o ả n g cách từ A đến bé nhất khi đi qua M ,K . có véctơ chỉ phươn g 1; 0; 2 u Câu 2 4 : MINH HỌA L2 Tron g khôn g gi an v ới h ệ tọa độ , Oxyz xét các điểm 0;0;1 A , ;0;0 Bm , 0; ;0 Cn , 1;1;1 D với 0; 0 mn và 1. mn Bi ết rằng k hi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố đ ịnh tiếp xú c với mặt p h ẳ ng ABC và đi qua d . Tính bá n kính R c ủ a mặt cầu đó? A. 1 R . B. 2 2 R . C. 3 2 R . D. 3 2 R . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n A . Gọi 1;1 ; 0 I l à hình chi ếu vuôn g góc của D lên m ặt p hẳn g () Oxy Ta có : P hương trì nh theo đoạn chắ n của mặt ph ẳn g () ABC l à: 1 xy z mn Suy ra ph ư ơng trìn h tổ ng q uát c ủ a () ABC là 0 nx my mnz mn Mặt kh ác 22 22 1 ;1 mn dI ABC mnmn vì 1 mn và 1(; . IDdIABC Nên tồn tại mặt c ầ u t â m I là h ình chiếu vuôn g góc của D lên mặt p h ẳ ng Oxy tiếp xú c v ới () ABC và đi qua D . Kh i đó 1 R . Câu 2 5 : Ch o b a đ iểm () ( ) ( ) 3;1;0 , 0; 1;0 , 0;0; 6 AB C -- . Nếu tam giác ABC ¢¢ ¢ thỏa mãn hệ thức 0 AA BB CC ¢¢ ¢ ++ = th ì có tọa độ t rọn g tâm là: A. () 1;0; 2 . - B. ( ) 2; 3;0 . - C. ( ) 3; 2;0 . - D. () 3; 2;1 . - Hướng dẫn gi ải Đáp án A * Cách diễn đ ạt th ứ nhất: Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong không gian có: () ()( )( ) 1: ' ' ' 0 ' ' ' 0 A A B B C C TA TA TB TB TC TC ++ = - + - + - = () '' ' 2 TA TB TC TA TB TC + + = + + d M H K A P Hệ thức 2 chứng tỏ . Nếu TG º tức là 0 TA TB TC ++ = thì ta cũng có '' '0 TA TB TC ++ = hay ' TG º hay 1 là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng t âm. T a có tọ a độ củ a G là : () 3001 1 00 0 6 ;; 1;0;2 33 3 G æö ++ - + + - ÷ ç ÷ ==- ç ÷ ç ÷ ç èø Đó cũ ng l à tọa độ trọng tâm G’ củ a ''' ABC D * Cách diễn đ ạ t th ứ hai: Ta có: '' '0 AA BB CC ++ = 1 ()( )( ) '' ' ' ' ' '' ' 0 AG GG GA BG GG GB CG GG GC + + + + + + + + = ()( ) '' '' '' 3 ' 0 GA GB GC A G B G C G G G + + + + + + = 2 Nếu G, G’ theo th ứ tự lần lượt là t rọn g tâm tam giác ABC, A ’ B’ C’ nghĩa là '' ' ' '' GA GB GC AG B G C G ++ = + + th ì () 2' 0 ' GG G G = º T óm lạ i 1 là hệ thức cần và đ ủ để h ai tam giá c AB C, A ’B ’C’ c ó cùng trọng tâm. T a có t ọa độ c ủ a G là: () 3001 1 00 0 6 ;; 1;0;2 33 3 G æö ++ - + + - ÷ ç ÷ ==- ç ÷ ç ÷ ç èø . Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của '' ' ABC D Câu 2 6 : AN Là O Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (2; 2;1), A 1; 2; 3 B và đư ờng thẳn g 15 : 22 1 x yz d . Tìm vectơ chỉ p h ương u của đường th ẳng q ua A , vuô n g góc với d đồn g thời cá ch đ iể m B một kh oảng bé nh ấ t. A. (2;1;6) u B. (2;2; 1) u C. (25; 29; 6) u D. (1 ;0; 2) u Hướng dẫn gi ải C á c h 1 Tự luận Gọi P l à m ặt p hẳ ng q ua A v à vuô ng góc với d, B’ là hìn h chiếu của B lên P K hi đó đườ n g thẳn g chính là đư ờ n g thẳng A B ’ và B'A u Ta có Pd Qua A( 2; 2;1) P: (P):2x 2y z 9 0 VTPT n u (2;2; 1) Gọi d’ là đ ường t hẳn g q ua B và son g so n g d’ x1 2t d' y 2 2t z3t B’ là giao đ i ể m của d’ và P B'( 3;2;1) u B'A (1;0;2) Chọn D Cá ch 2 : K h ô ng cần viết phươn g trì nh mặt ph ẳ ng P q u a A và vuông góc vớ i d. Gọi d’ là đường th ẳn g q u a B và son g so ng d’ x1 2t d' y 2 2t z3t B’ d’ B'A 2t 3; 2t 4;t 4 AB’ d d u.B'A 0 t 2 u B'A (1;0;2) Ch ọ n D Câu 2 7 : AN L à O Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 21 : 12 1 x yz d . V i ết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d và cắt các trục O x, Oy lần lượt tại A và B sao cho đườ n g thẳ ng AB vuông góc v ới d . A. :2 5 4 0. Px y z B. :2 5 5 0. Px y z C. :2 4 0. Px y z D. :2 3 0. Px y Hướng dẫn gi ải C á c h 1 Tự luận Đường thẳng d qua M2;1;0 và có VTC P 1; 2; 1 d u Ta có: AB d và AB Oz nên AB có V TCP là: ,2;1;0 AB d uuk P chứa d v à AB nên P đi qu a M2;1; 0 , có VTPT l à : ,1;2;5 dAB nuu :2 5 4 0 Px y z Ch ọ n A Cá ch 2 : D ù ng ph ư ơng trình mặ t ph ẳn g th e o đ oạn chắ n. Đường th ẳng d qua 2 điểm M2;1;0 và N3;3;‐ 1 Giả sử mp P c ắ t Ox, Oy, Oz lầ n lư ợt tại Aa;0 ; 0 , B0;b;0, C 0 ;0;c :1 x yz P ab c AB d .0 2 d ABu a b 1 P chứa d n ê n d cũ ng đi qua M, N 21 1 ab 2 , 33 1 1 ab c 3 T ừ 1, 2, 3 a 4, b 2, c 4 5 :2 5 4 0 Px y z Ch ọ n A Câu 2 8 : Trong khôn g gian v ới h ệ tr ụ c t ọa độ Oxyz , cho b a đ iểm 3;0;0 , , ,0 , 0;0; M Nmn P p . Biết 0 13, 60 MN MON , thể tích t ứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức 22 2 A mn p bằng A. 29. B. 27. C. 28. D. 30. Hướng dẫn gi ải 3; 0; 0 , ; ; 0 . 3 OM ON m n OM ON m 0 22 .1 1 ..cos60 22 . OM ON m OM ON OM ON OM ON mn 2 2 313 MN m n Suy ra 2; 2 3 mn 1 , . 63 63 3 3 6 OM ON OP p V p p Vậy 22.12 3 29. A Câu 2 9 : Trong kh ôn g gian v ới h ệ tọa độ Oxyz , ch o hình v uông ABCD , (3;0;8) B , (5; 4;0) D . Bi ết đ ỉn h A th u ộc mặ t p hẳng Oxy và có tọa độ là những số n guyên, k h i đó CA CB b ằng: A. 510. B. 610. C. 10 6. D. 10 5. Hướng dẫn gi ải Ta có trun g đ i ểm BD là (1; 2;4) I , 12 BD và đi ể m A thuộc mặt phẳng () Oxy nên (; ;0) A ab . ABCD l à hình v uô ng 22 2 2 1 2 AB AD AIBD 22 2 2 2 222 (3) 8 ( 5) ( 4) (1) ( 2) 4 36 ab a b ab 22 42 (1) (6 2) 20 ba aa 1 2 a b h oặc 17 5 14 5 a b A1; 2; 0 hoặc 17 14 ;;0 55 A loại. Với (1 ; 2; 0) A (3; 6;8) C . Câu 3 0 : Trong khôn g gian v ới h ệ to ạ độ Oxyz , cho 4 điểm (2;4; 1) A , (1 ; 4; 1) B , (2;4;3) C (2;2; 1) D . Biết ;; M xy z , để 22 2 2 MAMB MC MD đạt giá t rị n hỏ n hấ t t h ì x yz b ằng A. 7. B. 8. C . 9. D . 6. Hướng dẫn gi ải Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: 714 ;;0 33 G . Ta có: 22 2 2 2 2 2 2 2 4 MAMB MC MD MG GA GBGC GD 22 2 2 GA GB GC GD . D ấu bằn g xảy r a khi M 714 ;;0 7 33 Gxyz . Câu 3 1 : Ch o hình c hóp . SABCD biết 2;2;6 , 3;1 ;8 , 1 ;0;7 , 1 ; 2;3 AB C D . Gọ i H là trung điểm của , CD SH ABCD . Để k h ố i chóp . SABCD có thể tí ch bằng 27 2 đvtt thì có hai điểm 12 , SS th ỏ a mãn yêu cầ u bài toán . Tìm tọa độ trung điểm I c ủa 12 SS A. 0; 1 ; 3 I . B . 1; 0; 3 I C . 0;1 ;3 I . D . 1; 0; 3 . I Hướng dẫn gi ải Ta có 133 1; 1 ; 2 , 1; 2;1 , 22 ABC AB AC S AB AC 2; 2; 4 , 1; 1; 2 2. DC AB DC AB ABCD là hình th a ng v à 93 3 2 ABCD ABC SS Vì . 1 .33 3 S ABCD ABCD VSHS SH Lại có H là trun g đ i ểm của 0;1 ;5 CD H Gọi ; ; ;1 ;5 , 3;3;3 3 ;3 ;3 S a b c SH a b c SH k AB AC k k k k Suy ra 222 33 9 9 9 1 kkk k V ớ i 1 3;3;3 3; 2;2 kSH S V ớ i 1 3;3;3 3;4;8 kSH S Suy ra 0;1 ;3 I Câu 3 2 : Ch o đi ể m 1; 7; 5 I và đường thẳng 16 : 21 3 x yz d . Phương t rình m ặt c ầ u có tâm I và cắt đư ờng thẳn g d t ại hai đ iểm A, B sao ch o tam giác diện tíc h ta m giác IA B b ằng 26015 là: A. 22 2 1 7 5 2018. xy z B. 22 2 1 7 5 2017. xy z C. 22 2 1 7 5 2016. xy z D. 22 2 1 7 5 2019. xy z Hướng dẫn gi ải Gọi H là hình chiế u của 1; 7; 5 I trên d 0;0; 4 H ;23 IH d I d 2 . 8020 2 AIB AIB S IH AB SAB IH 2 22 2017 2 AB RIH Vậy phương trình mặt cầu l à : 22 2 1 7 5 2017. xy z Lự a chọn đáp á n B. Câu 3 3 : Ch o điểm (0;0;3) I và đ ường t hẳng 1 :2 . 2 x t dy t zt Phươ ng trình m ặt c ầ u S có t â m I và cắt đư ờng thẳn g d tại h ai đ iểm , A B sao cho ta m giác IAB vuông là: A. 2 22 3 3. 2 xy z B. 2 22 8 3. 3 xy z C. 2 22 2 3. 3 xy z D. 2 22 4 3. 3 xy z Hướng dẫn gi ải Gọi 1;2;2 H tt t d là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d 1;2;1 IH t t t Ta c ó vectơ chỉ p h ương c ủ a d : 1; 2;1 d a và IHd 1227 .0 1 4 1 0 26 0 ;; 3333 d IH a t t t t t H 222 222 23 333 3 IH Vì tam giác IAB vuông tại I và IAIB R . Suy ra t am giác IAB vuông cân tại I , d o đ ó bán kính: 0 22326 cos 45 2 . 2 2. 233 RIAAB IH IH Vậy ph ươn g trình mặt cầu 2 22 8 :3 3 Sx y z . Lự a chọn đáp á n B. Câu 3 4 : Ch o điểm 2;5;1 A và mặt phẳng ():6 3 2 24 0 Px y z , H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng P . Phương t rình m ặt c ầu () S có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng P tại H , sa o ch o điểm A nằ m trong m ặt c ầ u là: A. 22 2 8 8 1 196. xy z B. 22 2 8 8 1 196. xy z C. 22 2 16 4 7 196. xy z D. 22 2 16 4 7 196. xy z Hướng dẫn gi ải Gọi d là đường th ẳng đi q u a A và vuông gó c v ớ i P . Suy ra 26 :53 12 x t d y t zt Vì H là h ìn h ch iếu vuông góc của A trên P n ên () Hd P . Vì Hd nên 26;5 3;1 2 H tt t . Mặt kh ác, () HP nên t a c ó: 62 6 3 5 3 2 1 2 24 0 1 tt t t Do đ ó, 4;2;3 H . Gọi , IR lần lư ợ t là tâm và bán kính mặt c ầ u . Th eo giả th i ết d iệ n tích mặt cầu bằng 784 , suy ra 2 4 784 14 RR . V ì m ặt cầu t i ế p xúc v ớ i mặt phẳng P tại H nê n () IH P I d . Do đó tọa độ điểm I có d ạ ng 26;5 3;1 2 I tt t , với 1 t . Th eo giả t h iết , t ọa độ điểm I th ỏ a mãn : 22 2 22 2 62 6 3 5 3 2 1 2 24 1 14 (,( )) 14 63 (2) 1 3 14 22 63 2 14 tt t t dI P t t AI t tt t Do đ ó: 8;8; 1 I . Vậy phương trìn h mặ t cầu 22 2 ( ) : 8 8 1 196 Sx y z . Lự a chọn đáp á n A. Câu 3 5 : Ch o mặt phẳng :2 2 10 0 Px y z và hai đường thẳng 1 21 : 11 1 x yz , 2 23 : 11 4 xyz . Mặt c ầ u S có tâm thu ộ c 1 , tiếp xúc với 2 v à mặt ph ẳn g P , có phươ ng trì nh: A. 22 2 (1)( 1) ( 2) 9 xy z h oặ c 22 2 11 7 5 81 . 22 2 4 xy z B. 22 2 (1) ( 1) ( 2) 9 xy z h oặc 22 2 11 7 5 81 . 22 2 4 xy z C. 22 2 (1) ( 1) ( 2) 9. xy z D. 22 2 (1) ( 1) ( 2) 3. xy z Hướng dẫn gi ải 1 2 : 1 x t yt zt ; 2 đi qu a đ i ểm (2;0; 3) A v à c ó vectơ chỉ p h ư ơng 2 (1 ;1 ; 4) a . Giả s ử 1 (2 ; ;1 ) Itt t là tâ m và R là bán kính của mặt cầu S . Ta có: (; ;4 ) AItt t 2 ,(54;45;0) AIa t t 2 2 2 , 54 ; 3 AI a t dI a 2 2 2(1 ) 10 10 (,( )) 3 14 4 tt t t dI P . S tiếp xú c với 2 và P 2 (, ) ( ,( )) dI dI P 54 10 tt 7 2 1 t t . V ới 7 2 t 11 7 5 ;; 22 2 I , 9 2 R 22 2 11 7 5 81 : 22 2 4 Sx y z . V ới 1 t (1 ; 1 ; 2), 3 IR 22 2 :( 1) ( 1) ( 2) 9 Sx y z . Lựa chọn đáp án A. Câu 3 6 : Trong kh ôn g gi an v ới h ệ toạ độ Oxyz ,cho :4 2 6 0 Px y z , :2 4 6 0 Qx y z . Lập ph ương t rì nh m ặ t p hẳn g ch ứ a giao tuyến c ủ a , P Q v à cắt các trục t ọ a đ ộ tại các điể m ,, A BC sa o cho hình ch óp . O ABC l à hình chó p đề u. A. 60 xy z . B. 60 xy z . C. 60 xy z . D . 30 xy z . Hướng dẫn gi ải Ch ọn 6;0;0 , 2;2; 2 MN thuộc giao tu yến của , P Q Gọi ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; AaBb C c l ần lượt là gi a o điểm của với các t rục ,, Ox Oy Oz :1,,0 xy z abc ab c chứa , M N 6 1 22 2 1 a ab c Hình chóp . O ABC là h ì n h c hóp đều OA OB OC a b c Vây phươn g trình 60 xy z . Câu 3 7 : Trong kh ông gi a n v ới h ệ trụ c t oạ đ ộ Oxyz ,cho t ứ di ện ABCD có điểm 1;1;1 , 2; 0; 2 AB , 1; 1; 0 , 0; 3 ; 4 CD . Trên các cạnh ,, ABAC AD lần lượt lấy các điểm ', ', ' B CD t h ỏa : 4 '' ' AB AC AD ABAC AD . Viết p h ư ơn g trình mặ t phẳ ng '' ' BC D b iết tứ d iện '' ' ABC D có thể tích n hỏ nhất ? A.16 40 44 39 0 xy z . B.16 40 44 39 0 xy z . C.16 40 44 39 0 xy z . D.16 40 44 39 0 xy z . Hướng dẫn gi ải Áp dụn g bất đẳn g t h ứ c AMGM ta có : 3 .. 43 '' ' '. '. ' ABAC AD ABACAD ABAC AD ABACAD '. '. ' 27 .. 64 AB AC AD ABAC AD '' ' '. '. ' 27 .. 64 AB C D ABCD V AB AC AD VABACAD '' ' 27 64 AB C D ABCD VV Để '' ' ABC D V nh ỏ nhấ t khi và chỉ kh i '' '3 4 AB AC AD ABAC AD 3 717 '';; 4 444 AB AB B Lúc đó mặt phẳng '' ' BC D song son g với mặ t ph ẳ ng BCD và đi qua 71 7 '; ; 44 4 B ' ' ' :16 40 44 39 0 BC D x y z . Câu 3 8 : Trong kh ông gian v ới h ệ toạ độ Ox yz , cho mặ t phẳ ng () a đi qua đ i ể m ( ) 1; 2; 3 M và cắ t cá c tr ục Ox , O y , O z lần lượt tại A , B ,C k h á c gốc toạ độ O sao cho M là trực tâm tam giác ABC . M ặt phẳng () a có p hương t rình là: A . 23 14 0 xy z + +-= . B . 10 12 3 xy z ++ - = . C .32 10 0 xy z ++ - = . D . 23 14 0 xy z + ++= . Hướng dẫn gi ải Cá ch 1 :Gọi H là h ì n h c h iếu vu ông góc củ a C trê n AB , K là h ình ch iếu vu ôn g góc B trên AC . M là trực t âm củ a tam giác ABC kh i và chỉ kh i M BK CH =Ç Ta có : () (1) AB CH AB COH AB OM AB CO ü ^ ï ï ^ ^ ý ï ^ ï þ 1 Ch ứng min h t ương tự, ta có: ACOM ^ 2 . Từ 1 và 2, ta có: () OM ABC ^ Ta có: ( ) 1; 2; 3 OM . Mặ t phẳng () a đi q ua đ iểm ( ) 1; 2; 3 M và có một VT PT là ( ) 1; 2; 3 OM n ên c ó phương t rình là: () ( ) ( ) 12 2 3 3 0 2 3 14 0 xy z xyz - + - + - = + +-= . Cá ch 2 : D o C B A , , lần l ượt th uộc c á c trục Oz Oy Ox , , nên ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) AaBb C c ,, 0 ab c . Phư ơ ng t rì nh đ o ạn c hắn của m ặ t p h ẳ ng ) (ABC là : 1 xy z ab c . D o M là tr ự c tâm tam giác ABC n ên .0 .0 () AM BC BM AC M ABC . Giải hệ điều kiện t rên ta đ ược ,, abc Vậy phương trình mặt phẳng: 23 14 0 xy z . Câu 3 9 : Trong khôn g gian v ới h ệ toạ độ Oxyz , cho điểm 1;1;1 N . V i ết p hư ơng trình m ặ t phẳn g P cắt các trụ c ,, Ox Oy Oz lần lượt tại ,, A BC không trùng với gốc tọa độ O sao c h o N là tâm đư ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC A .:30 Px y z . B. :10 Px y z . C. :10 Px y z . D . :2 4 0 Px y z . M K H O z y x C B AHướng dẫn gi ải Gọi ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; AaBb C c l ần lượt là gi a o điểm của P với các t rục ,, Ox Oy Oz :1,,0 xy z P abc ab c Ta có : 11 1 1 11 3 30 11 NP ab c NA NB a b a b c x y z NA NC a c Câu 4 0 : Trong không gian v ới h ệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng 12 , dd l ần lượt c ó phương t rì nh 1 22 3 : 21 3 x yz d , 2 12 1 : 21 4 x yz d . Phương trình mặt phẳng cách đều hai đư ờng thẳn g 12 , dd là: A.72 4 0 xy z . B.72 4 3 0 xy z . C. 2330 xy z . D.14 4 8 3 0 xy z . Hướng dẫn gi ải Ta có 1 d đi qua 2;2;3 A và có 1 2;1;3 d u , 2 d đi qua 1; 2;1 B và có 2 2; 1; 4 d u 12 1;1; 2 ; ; 7; 2; 4 dd AB u u ; 12 ;10 dd uu AB nên 12 , dd chéo n h au. Do c ác h đề u 12 , dd nên song song v ới 12 , dd 12 ;7;2;4 dd nuu c ó dạng 72 4 0 xy z d Th eo giả th i ết th ì ,, dA d B 21 3 2 69 69 dd d :14 4 8 3 0 xy z Câu 4 1 : Trong kh ô ng gian v ới h ệ tọa độ , Oxyz gọi d đ i qua 3; 1;1 A , n ằ m trong mặt phẳn g :50 Px y z , đồng t hời tạo với 2 : 12 2 xy z một góc 0 45 . Phương trình đường thẳ ng d là A. 37 18 . 115 x t yt zt B. 3 1. 1 x t yt z C. 37 18. 115 x t yt zt D. 3 1 1 x t yt z và 37 18. 115 x t yt zt Hướng dẫn gi ải có vectơ chỉ phương 1; 2; 2 a d c ó vec t ơ ch ỉ phương ;; d aabc P có vectơ p h áp t uy ến 1; 1;1 P n 00 22 2 2 22 2 ; 1 ,45 cos, cos45 22 2 2 3 2 2 2 9 ; 2 dP dP a n b ac dd ab c ab c ab c a b c Từ 1 và 2 , ta c ó: 2 0 14 30 0 15 7 0 c cac ac Với 0 c , ch ọn 1 ab , phương trình đ ường thẳ ng d là 3 1 1 x t yt z Với 15 7 0 ac , ch ọn 715; 8 ac b , phươn g trì nh đường t hẳng d là 37 18 115 x t yt zt Câu 4 2 : Trong khô ng gian v ới h ệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua điểm 1; 1; 2 A , song s o n g với :2 3 0 Px y z , đồ ng t hời tạo với đư ờng th ẳ n g 11 : 12 2 x yz một góc lớn nhất. Phư ơng trình đ ư ờng t hẳn g d là. A. 11 2 . 15 7 xy z B. 11 2 . 45 7 xy z C. 11 2 . 45 7 xy z D. 11 2 . 15 7 xy z Hướng dẫn gi ải có vectơ ch ỉ phương 1; 2; 2 a d c ó vec t ơ ch ỉ phương ;; d aabc P có vectơ p h áp t uy ến 2; 1; 1 P n Vì // dP nê n .0 2 0 2 dP dP a n a n ab c c ab 2 22 22 54 54 1 cos , 35 4 2 35 4 2 ab ab d aab b aab b Đặt a t b , ta có: 2 2 54 1 cos , 35 4 2 t d tt Xé t hà m số 2 2 54 54 2 t ft tt , ta s uy r a đư ợc: 153 max 53 ft f Do đ ó: 53 1 1 max cos , 27 5 5 a dt b Ch ọn 15,7 ab c Vậy phương trình đường thẳ ng d là 11 2 15 7 xy z Câu 4 3 : Trong khôn g gian v ới h ệ tọa độ , Oxyz gọi d đi qua 1; 0; 1 A , cắt 1 12 2 : 21 1 xy z , sao ch o góc giữ a d và 2 32 3 : 12 2 xy z là nhỏ n h ất. Phương trìn h đường thẳ ng d là A. 11 . 22 1 xyz B. 11 . 45 2 xyz C. 11 . 45 2 xyz D. 11 . 22 1 xyz Hướng dẫn gi ải Gọi 1 12;2 ; 2 MdM tt t d c ó vec t ơ ch ỉ phương 22; 2;1 d aAM t t t 2 có vectơ chỉ p h ương 2 1; 2; 2 a 2 2 2 2 cos ; 36 14 9 t d tt Xé t hà m số 2 2 614 9 t ft tt , ta su y ra được min 0 0 0 ftf t Do đ ó min cos , 0 0 2;2 1 dt AM Vậy phương trình đường thẳ ng d là 11 22 1 xy z Câu 4 4 : Trong không gi a n v ới h ệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 : 21 1 xyz d và 2 12 2 : 13 2 xy z d . Gọi l à đư ờn g thẳ n g son g s ong v ớ i :70 Px y z và cắt 12 , dd lần lư ợt tại ha i điểm , A B sao cho AB ng ắ n nhất. Phương trìn h của đường thẳn g là. A. 12 5. 9 x t y zt B. 6 5 . 2 9 2 x t y zt C. 6 5 . 2 9 2 x yt zt D. 62 5 . 2 9 2 x t yt zt Hướng dẫn gi ải 1 2 12; ; 2 1;2 3;2 2 Ad A aa a Bd B b b b có vectơ chỉ ph ư ơ ng 2;3 2; 2 4 AB b a b a b a P có v ectơ phá p tu yến 1;1;1 P n Vì // P nên .0 1 PP ABn ABn b a .Khi đ ó 1; 2 5 ; 6 ABa a a 22 2 2 2 12 5 6 6 30 62 549 72 6 ; 22 2 ABa a a aa aa Dấu "" xảy ra kh i 559 77 6; ; , ;0; 222 22 aA AB Đường thẳng đi qua điểm 59 6; ; 22 A và vec tơ chỉ p h ương 1; 0 ;1 d u Vậy phươn g trình c ủa là 6 5 2 9 2 x t y zt Câu 4 5 : Trong khôn g gi a n v ới h ệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 : 21 1 xy z d và 2 12 :1 3 x t d y t z . Phư ơng t rình đ ườ ng thẳng vuô ng g ó c với :7 4 0 Px y z và cắt hai đư ờng thẳn g 12 , dd là: A. 74 . 21 1 xyz B. 21 . 71 4 xyz C. 21 . 71 4 xyz D. 21 . 71 4 xyz Hướng dẫn gi ải Gọi d là đường thẳng c ầ n tìm Gọi 12 , A ddB d d 1 2 2;1 ; 2 12;1 ;3 22 1; ; 5 Ad A a a a Bd B b b AB a b a b a P có vectơ phá p tu yến 7;1 ; 4 P n , p dP ABn cù ng phương c ó m ộ t số k th ỏa p ABkn 2 2 1 7 22 71 1 02 54 4 5 1 ab k a b k a ab k a b k b ak ak k d đi qua điểm 2;0; 1 A v à c ó vectơ chỉ p hương 7;1 4 dP an Vậy phươn g trình c ủa d là 21 71 4 xy z Câu 4 6 : Trong kh ô n g gian v ới h ệ tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng 1 12 1 : 31 2 xy z và 2 11 : 12 3 xy z . P h ương t rình đ ường t hẳng s ong song v ới 3 :1 4 x d y t zt và cắt hai đường thẳ ng 12 ; l à: A. 2 3. 3 x y t zt B. 2 3. 3 x y t zt C. 2 3. 3 x y t zt D. 2 3. 3 x y t zt Hướng dẫn gi ải Gọi là đư ờng thẳng c ầ n tìm Gọi 12 , AB 1 2 13;2 ;1 2 1;2;1 3 32; 22;232 AA aa a BBbb b AB a b a b a b d c ó vec t ơ ch ỉ phương 0;1 ;1 d a // , d dABa cù ng phương có một số k thỏa d ABka 320 3 2 1 22 2 2 1 23 2 2 3 2 1 ab a b a ab k a b k b ab k a b k k Ta có 2;3 ;3 ; 2;2;2 AB đ i qu a đ i ể m 2;3 ;3 A và có v ectơ chỉ phương 0; 1 ; 1 AB Vậy phươn g trình c ủa là 2 3 3 x y t zt Câu 4 7 : Trong kh ô ng gian v ới h ệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 9 1 :, 43 1 xy z d v à mặt thẳng :3 5 2 0 Px y z . Gọi ' d là h ình chiếu của d lên . P Phư ơ ng t rì nh t ham số của ' d là A. 62 25 . 261 x t yt zt B. 62 25 . 261 xt yt zt C. 62 25 . 261 xt yt zt D. 62 25 . 261 xt yt zt Hướng dẫn gi ải Cá ch 1 : Gọi A dP 12 4 ;9 3 ;1 30;0;2 A dA a a a AP a A d đi qua điểm 12;9;1 B Gọi H là h ì nh chiếu của B l ên P P có vectơ phá p tu yến 3;5; 1 P n BH đ i qu a 12;9;1 B v à c ó vectơ chỉ p hươn g 3;5; 1 BH P an 12 3 :95 1 12 3 ;9 5 ;1 78 186 15 113 ;; 35 35 7 35 186 15 183 ;; 35 7 35 xt BH y t zt HBH H t t t HP t H AH ' d đ i qu a 0;0; 2 A và có vec tơ c hỉ p hươ ng ' 62; 25;61 d a Vậy phươn g trình t ha m số của ' d là 62 25 261 xt yt zt Cá ch 2 : Gọi Q q ua d và vuông góc với P d đi qua điểm 12;9;1 B và có v ectơ chỉ p hương 4;3;1 d a P có vectơ p h áp t uy ến 3;5; 1 P n Q qua 12;9;1 B có ve c t ơ ph áp t uyến ,8;7;11 QdP nan :8 7 11 22 0 Qx y z ' d là giao tuyến củ a Q và P Tì m m ộ t đi ểm t huộc ' d , bằng cách c h o 0 y T a có hệ 32 0 0;0; 2 ' 811 22 2 xz x M d xz y ' d đ i qu a điểm 0;0; 2 M và có vectơ ch ỉ ph ư ơ ng ;62;25;61 dPQ ann Vậy phươn g trình t ha m số của ' d là 62 25 261 xt yt zt Câu 4 8 : Trong khôn g gian v ới h ệ tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 12 :24 3 x t d y t zt . Hình chiếu song song của d lên mặ t ph ẳng Oxz the o p hương 162 : 11 1 xy z có p h ương trìn h l à : A. 32 0. 14 x t y zt B. 3 0. 12 x t y zt C. 12 0. 54 x t y zt D . 32 0. 1 x t y zt Hướng dẫn gi ải Giao điểm của d và mặt phẳng Oxz là : 0 (5;0;5) M . Trên 12 :24 3 x t d y t zt chọn M bất k ỳ kh ôn g trù n g với 0 (5;0;5) M ; ví d ụ: (1 ; 2;3) M . Gọi A là hì nh c hiếu so n g song c ủa M lên m ặ t ph ẳ ng Oxz th eo phương 16 2 : 11 1 xy z . / Lập phương trình d’ đi qua M và song song h o ặc t rùn g v ới 16 2 : 11 1 xy z . / Điểm A c hính là gia o điểm củ a d’ và Oxz / Ta tìm được (3;0;1) A H ình chiếu song s ong của 12 :24 3 x t dy t zt lên mặt phẳng Oxz th eo p h ư ơn g 162 : 11 1 xy z l à đ ường thẳn g đ i qua 0 (5;0;5) M và (3;0;1) A . Vậy phươn g trình là : 3 0 12 x t y zt Câu 4 9 : Trong kh ông gian Oxyz , cho hai điểm 3;0; 2 A , 3;0; 2 B và mặt cầu 22 2 (2) ( 1) 25 xy z . Phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A , B v à cắt mặ t cầu S theo một đư ờng tròn b án kính nhỏ nhấ t l à: A. 4 5 17 0 xy z . B. 3 2 7 0 xy z . C. 4 5 13 0 xy z . D. 3 2 – 1 1 0 xy z . Hướng dẫn gi ải Mặ t cầu S có tâm 0; 2;1 I , b án kính 5 R . Do 17 R IA nên AB luôn cắt S . Do đ ó () luôn cắt S theo đường tròn C có bán kí n h 2 2 , rR dI . Đề bán k ín h r nhỏ nh ất , dI P l ớn nhất. Mặt ph ẳn g đ i qu a h ai đ i ể m A , B và vuôn g góc với mp ABC . Ta có AB (1;1;1) ,AC ( 2;3;2) suy ra ABC có véctơ pháp tuyến ,(1;4;5) nABAC α có v éctơ ph á p tuyến ,(96;3)3(3;2;1) nnAB Phư ơng t rình : 3 – 2 2 –1 1 – 3 0 3 2 –11 0 xy z xyz . Câu 5 0 : Trong kh ông gian Oxyz , cho điểm 3;3 ; 3 A thuộc mặt phẳng 2–2 1 :50 xy z và m ặt cầu 22 2 :(x2)(y3)(z5) 100 S . Đường th ẳn g qua A, nằm trên mặt phẳng cắt () S tại A , B . Để độ dài AB lớn nh ấ t th ì ph ương trình đ ườn g thẳng là: A. 33 3 14 6 xy z . B. 33 3 16 11 10 xy z . C. 35 3 38 x t y zt . D. 33 3 11 3 xy z . Hướng dẫn gi ải Mặ t cầu S có tâm 2;3;5 I , bán kí nh 10 R . Do (I,( )) R d nê n luôn cắt S tại A , B . Khi đ ó 2 2 (I, ) AB R d . Do đ ó, AB lớn nhất t hì , dI nhỏ nhất nên qua H , với H là hình chiếu vuôn g góc c ủ a I lê n . Phươ ng trình x2 2t y3 5 :2 zt Bt H () 2 2 2 23–2 5 15 0 Ht tt 2; 7; t2 3 H . Do vậy AH (1;4;6) là véc tơ chỉ phương củ a . Ph ươn g trình của 33 3 14 6 xy z Câu 5 1 : Trong không gian Oxyz , cho m ặt phẳn g 22 9 0 xy z và mặt cầu 22 2 ():( 3) ( 2) ( 1) 100 Sx y z . Tọa độ đ iểm M nằm trên mặt cầu () S sao cho khoảng cách từ điểm M đ ến m ặt phẳ ng () P đ ạt giá trị nhỏ nhất là: A. 11 14 13 ;; 33 3 M . B. 29 26 7 ;; 33 3 M . C. 29 26 7 ;; 33 3 M . D. 11 14 13 ;; 33 3 M . Hướng dẫn gi ải Mặ t cầu () S có tâm (3; 2;1) I . Khoảng cách từ I đ ến m ặt phẳng () P : (;( )) 6 dI P R n ên () P cắt () S . Khoảng cách từ M thuộc () S đế n () P l ớn nhất () M d đi qua I và vuông góc với () P Phư ơng t rình 32 (): 2 2 1 x t dy t zt . Ta có : () (3 2; 2 2;1 ) M dM t t t Mà : () M S 1 2 10 29 26 7 ;; 3333 10 11 14 13 ;; 3333 tM tM Th ử lạ i ta th ấy : 12 (,()) ( ,()) dM P d M P nê n 11 14 13 ;; 33 3 M th ỏa yêu cầ u bài toán Câu 5 2 : Trong không gi a n Oxyz , cho hìn h h ộp c hữ nhật . ABCD A B C D có điểm A trùng với gốc của hệ tr ụ c tọa độ , (;0;0) Ba , (0; ;0) D a , (0;0; ) A b (0, 0) ab . Gọi M là tr ung đi ểm của cạ nh CC . Giá trị củ a tỉ số a b để h a i m ặ t phẳng () A BD và MBD vuông g ó c với nhau l à : A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1 . D. 1. Hướng dẫn gi ải Ta có ;;0 ' ;; ;; 2 b AB DC C a a C aa b M aa Cá c h 1 . Ta có 0; ; 2 b MB a ; ;;0 BDaa và ';0; ABa b Ta có 2 ;;; 22 ab ab uMBBD a và 222 ;; ;' BD A a Ba a Ch ọn 1;1;1 v là VTP T của ' A BD 2 '.0 0 1 22 ab ab a ABD MBD uv a a b b Cá c h 2. '' ' ABAD AX BD AB AD BC CD a MBMD MX BD với X l à trun g điểm BD '; '; A BD MBD A X MX ;;0 22 aa X l à tru n g điể m BD ';; 22 aa AXb ;; 22 2 aa b MX '' A BD MBD A X MX '. 0 AX MX 22 2 0 22 2 aa b 1 a b Câu 5 3 : Trong khôn g gian Oxyz , cho mặt phẳng (): 2 2 4 0 Px y z và mặt cầu 22 2 (): 2 2 2 1 0. Sx y z x y z G i á trị của đ i ểm M trên S s ao c ho , dM P đạt GT NN là: A. 1;1; 3 . B. 57 7 ;; 33 3 . C. 111 ;; 333 . D. 1; 2;1 . Hướng dẫn gi ải Ta có: (,( )) 3 2 ( ) ( ) . dM P R P S Đường thẳng d đ i qu a I và vuông góc với P c ó pt: 1 12, . 12 xt ytt zt T ọa độ giao đi ểm của d và S là: 57 7 ;; 33 3 A , 11 1 ;; 33 3 B Ta có: (,( )) 5 ( ,( )) 1. dA P d B P ( ,( )) ( ,( )) ( ,( )). dA P d M P d B P Vậy: min (,( )) 1 . dM P M B Câu 5 4 : Trong khô ng gian v ới h ệ trụ c t oạ độ Ox yz , cho điểm 10;2;1 A và đường thẳng 11 : 21 3 x yz d . Gọ i P l à mặt phẳng đi q u a đ i ể m A , song s ong với đường th ẳn g d sao cho kh oảng c á c h giữa d và P lớn n h ất. K h oảng cá ch từ đ i ể m 1; 2; 3 M đến m p P là A . 97 3 . 15 B . 76 790 . 790 C . 213 . 13 D . 329 . 29 Hướng dẫn gi ải P là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với đư ờng thẳ ng d nên P ch ứ a đường thẳng d đi qua điểm A và son g song với đường thẳn g d . Gọi H là hình chiếu của A trên d , K là hình chiếu củ a H trên P . Ta có , dd P HK AH AH không đổi GT L N c ủ a (,( )) dd P l à AH , dd P lớn nhất kh i AH vuông gó c với P . Khi đ ó , n ế u gọi Q là mặt p h ẳng c h ứa A và d thì P vuông gó c với Q . ,98;14;70 97 3 :7 5 77 0 , . 15 Pd Q nun Px y z dM P Câu 5 5 : Trong khô ng gian v ới h ệ tr ụ c t oạ độ , Oxyz cho điểm 2;5;3 A và đường thẳn g 12 : 21 2 xyz d . Gọi P l à mặt phẳn g chứa đ ườn g t hẳng d sao cho kh oả ng cách t ừ A đến P lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm 1; 2; 1 M đ ến m ặt p hẳ ng P . A . 11 18 . 18 B .32. C . 11 . 18 D . 4 . 3 Hướng dẫn g i ải d' d K H A P d H K A P Gọi H là hì nh chiếu củ a A trên d ; K là hình chiếu của A tr ê n P . Ta có , dA P AK AH K h ôn g đ ổ i GT L N c ủ a (,( )) dd P l à AH ⟹ , dA P l ớn n h ất k h i K H . Ta có 3;1 ; 4 H , P q ua H và AH :4 3 0 Px y z Vậy 11 18 , 18 dM P . Câu 5 6 : Trong khôn g gian v ới h ệ trụ c t oạ độ , Oxyz cho mặt phẳng :20 Px y z và hai đường thẳ ng 1 : 22 x t dy t zt ; 3 ': 1 . 12 x t dy t zt Biết rằng có 2 đường t h ẳ ng c ó các đ ặ c điểm : so ng s o n g với P ; cắt , dd và tạo với d góc O 30 . Tính cos in góc tạo bởi hai đường thẳng đó . A . 1 . 5 B . 1 . 2 C . 2 . 3 D . 1 . 2 Hướng dẫn gi ải Gọi là đườ ng t h ẳng cầ n t ì m, P n là VTPT c ủa mặt ph ẳ ng P . Gọi 1;;2 2 M tt t là gi a o điểm của và d ; là giao điểm củ a và Ta có: Ta có Vậy, có 2 đường thẳng th oả mã n l à . Khi đ ó , Câu 5 7 : Trong kh ôn g gi an v ới h ệ tr ục t oạ đ ộ cho 3 điểm . G ọi là mặt phẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ và đến lớn nh ất b iết rằn g không cắ t đoạn . K h i đó , đi ể m nà o sau đây thu ộ c mặt p h ẳ n g ? A. B . C. D.. H ư ớ ng d ẫ n g iả i 3;1 ;12 M tt t ' d '2 ;1 ; 1 2 2 MMtt tt t t MM // 24;1;32 P MP P tMM t t t MM n O 2 4 69 3 cos30 cos , 1 2 36 108 156 d t t MM u t tt 12 5 :4 ; : 1 10 x xt yt y zt zt 12 1 cos , . 2 , Oxyz 1; 0;1 ; 3 ; 2; 0 ; 1 ; 2; 2 AB C P A B C P P BC P 2; 0; 3. G 3; 0; 2 . F 1;3;1. E 0;3;1 HGọi l à trung điểm đoạ n ; các điểm lần lượ t là hì nh c hiếu c ủa trên . Ta có tứ giác là hình thang và là đường trung b ì nh. Mà với k hông đổi Do vậ y , l ớn nh ấ t kh i đi q u a và vu ô n g góc với Câu 5 8 : Trong không gi an với hệ trục toạ đ ộ cho các điểm trong đó d ương v à mặt phẳng . Biết r ằng v u ô ng g óc v ới và , mệ nh đề n ào s a u đâ y đúng ? A . B. C. D . Hướng dẫn gi ải Ta có phương trình mp là T a có Từ 1 và 2 . Câu 5 9 : T r ong khôn g gian với h ệ tr ục to ạ đ ộ cho 3 điểm . Điểm sao cho giá trị của biểu thức nhỏ nhất. K hi đó , điểm cách m ột khoả ng bằ n g A. B. C. D. Hướng dẫn gi ải Gọi . Ta có với n hỏ nhất khi n hỏ nhất là h ìn h c h iếu vu ông g ó c củ a trên I BC , , B CI , , BCI P BCC B II , , 2 . dB P d C P BB CC II II IA IA , , dB P d C P IA P A IA 2;0; 1 . I : 2 1 0 1;3;1 . Px z E P , Oxyz 1;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A Bb C c , bc :10 Py z mp ABC mp P 1 , 3 d O ABC 1. bc 21. bc 31. bc 33. bc ) ABC 1 1 xy z bc 11 0(1) ABC P b c bc 22 22 11 111 ,8(2) 33 11 1 dO ABC bc bc 1 1 2 bc b c , Oxyz 1; 2; 3 ; 0;1;1 ; 1 ; 0; 2 AB C :20 MP x y z 22 2 23 TMA MB MC M :2 2 3 0 Qx y z 121 . 54 24. 25 . 3 101 . 54 ;; M xy z 22 2 66 6 8 8 6 31 Tx y z x y z 22 2 2 2 1 145 6 33 2 6 Tx y z 2 145 6 6 TMI 22 1 ;; 33 2 I T MI M I P A I' C' B' I C B P . Câu 6 0 : Đề m inh họa L1 Tro ng không gian v ới h ệ tọa độ c h o bố n điểm và . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đi ể m đó? A .1. B . 4. C .7. D . Có v ô số m ặt phẳng. Hướng dẫn gi ải Ta có: Suy ra: 4 điểm A , B , C, D k hông đồng p h ẳ n g. Khi đ ó , mặt phẳn g cách đều cả 4 đ i ểm A , B, C, D sẽ có h ai loạ i: Loại 1 : Có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại đi qua các trung đ iểm của 3 cạnh c hu ng đỉ nh có 4 mặt ph ẳn g nh ư th ế. Loại 2 : C ó 2 điểm nằm k h á c phía v ới 2 đ iểm còn lại đ i qua các t ru ng đ iểm của 4 cạn h t huộc h a i cặp c ạ n h ch é o nh au có 3 mặt phẳng nh ư thế. Vậy có t ất cả 7 mặ t p h ẳn g th ỏ a mãn yêu cầu bài toán. Ch ọ n đá p á n C. Câu 6 1 : Đề m inh h ọ a L1 Tr o ng kh ôn g gian v ới h ệ tọa độ cho điểm và đ ư ờ n g t hẳn g có phương trình: . Viết phương trình đường thẳng đi qua , vu ông góc và cắt . 55 13 ;; 18 18 9 M , Oxyz 1; 2;0 , 0; 1;1 , AB 2;1; 1 C 3;1;4 D 1;1;1 ; 1;3; 1 ; 2;3;4 . AB AC AD ,4;0;4 ,. 240 AB AC AB AC AD 4 3 2 1 A B C D D C B A A B C D D C B A 7 6 5 A B C D D C B A A B C D , Oxyz 1;0;2 A d 11 11 2 y xz A dB. . D. . Hướng dẫn gi ải Do cắt n ên t ồn tại g ia o điểm giữa chúng. Gọi . Ph ư ơ ng t rì nh t ham số của : . D o , suy r a Do n ên là ve ct ơ ch ỉ phươ ng củ a . Theo đề bài, vuông góc nên là vector chỉ phương của . Suy ra . Giải đ ược . V ậ y Ch ọ n đá p á n B . Câu 6 2 : Đề thử nghiệm 2017 Tron g k hôn g gian với hệ t ọa độ Ox yz , cho hai điểm và . Đường th ẳn g cắt mặt phẳ ng tại điểm . Tính tỉ số . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn gi ải Ta có: ; ; và Ta có: th ẳ ng hàng và Ch ọ n đá p á n A . Câu 6 3 : Đ ề th ử n g h i ệ m 2 01 7 Tro n g khôn g gian v ới h ệ tọa độ Ox yz , viết p hươ n g trìn h m ặt p h ẳ ng song son g và cách đều h a i đường thẳng và A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn gi ải T a có : đi q ua điểm và có V T C P . 12 : 11 1 y xz 12 : 13 1 y xz d B Bd Bd d 1 , 1 xt yt t zt Bd 1; ; 1 Bt tt ;;2 3 AB t t t , AB AB d AB u (1;1;2) u d .0 ABu t1 1;1; 1 AB 12 :. 11 1 y xz 2;3;1 A 5; 6; 2 B AB Oxz M AM BM 1 2 AM BM 2 AM BM 1 3 AM BM 3 AM BM ;0; MOxz Mx z ;; 731 59 AB AB ;; 23 1 AM x z ,, ABM . AM kAB k 27 9 33 1 10 xk x kk zk z ;0; 90. M ;; 14 6 2 118 2 . BM BM AB P 1 2 : 11 1 y xz d 2 1 2 :. 21 1 yxz d :2 2 1 0 x Pz :2 2 1 0 y Pz :2 2 1 0 x Py :2 2 1 0 y Pz 1 d 2;0;0 A 1 1;1;1 u và đi qua điểm và có VTCP Vì song songvới hai đường thẳng và nên VTPT của là Khi đ ó có d ạng l oại đ áp á n A và C. Lại có cách đ ều và nên đ i qu a tru ng đ i ểm của . Do đ ó Ch ọ n đá p á n B . Câu 6 4 : Tạp chí THT T L ần 5 Trong kh ô n g gian v ới h ệ tọa độ cho điể m Viết ph ương tr ì nh mặt p hẳ ng đi q u a gốc tọa độ và cách một khoảng lớn nhất. A. B. C. D. Hướng dẫn gi ải Gọi là hì nh c hiếu c ủa trên vuông t ại . Khi đó đi qua và vuông góc với là vecto pháp tu yến c ủ a ph ư ơng trì n h của mặ t phẳng là hay Ch ọ n đá p á n A . Câu 6 5 : THPT H ai B à Trư n g Lần 1 Trong kh ô n g gian v ới h ệ tọa độ cho đi ể m Tìm điểm trong mặt phẳng có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện bằng 2 và khoảng cách từ đến mặt ph ẳng bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm thỏa mã n bà i toán là: A. B. C. D. Hướng dẫn gi ải V ì , do cao độ âm nên Khoảng cách t ừ đ ến m ặt phẳng bằn g 1 Suy ra tọ a độ . Ta có: Mà . C họn đáp án Ch ọ n đá p á n A . 2 d 0;1;2 B 2 2; 1; 1 . u P 1 d 2 d P 12 , 0;1; 1 nuu P 0 yz D P 1 d 2 d P 1 0; ;1 2 M AB :2 2 1 0 y Pz , Oxyz 1;2; 1 . M 0;0;0 O M 20. xyz 1. 12 1 y xz 0. xyz 20. xyz H M () P MHO H MH MO max MH MO () PMMO (1;2; 1) MO () P () P 1( 0) 2( 0) 1( 0) 0 xy z 20. xyz , Oxyz 2;0; 2 , 3; 1 ; 4 , 2;2;0 . AB C D Oyz ABCD D Oxy D 0;3; 1 . D 0; 3; 1 . D 0;1; 1 . D 0; 2; 1 . D 0; ; D Oyz D b c 0. c 0; ; D bc :0 Oxy z 11do0. 1 c cc 0; ; 1 Db 1; 1; 2 , 4; 2; 2 ; 2; ;1 ABAC ADb ; 2;6; 2 ; . 4 6 26 66 1 AB AC AB AC AD b b b 1 ;. 1 6 ABCD VABACADb 0;3; 1 3 212 1 0; 1 ; 1 ABCD D b Vb b D 0;3; 1 . D Câu 66: THPT H ai B à Trư ng Lần 1 Tron g kh ông gian v ới h ệ tọa độ cho điểm . M ặt phẳng đi q ua đi ể m cắt t ại sao c h o là t rực tâm của ta m giá c . Ph ương trình của mặt phẳng là A. B. C. D. Hướng dẫn gi ải Do tứ diện c ó ba c ạnh đôi m ột vuông góc nên nếu là trực tâm của tam giác d ễ dàn g chứng mi n h được hay . Vậy mặt phẳng đi qua điểm và có VTPT nên phương trình là Chọn đ áp á n D. Câu 67: THPT Chuyên ĐHKH Huế Lần 1 Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , điểm nằm trê n mặt phẳng và . Gọi là h ình ch iếu vuông góc của lên và là t r ung điểm củ a . Bi ế t đ ường t hẳng luôn t i ế p xú c với một m ặt cầu c ố đị nh. Tín h b án kính mặt cầu đ ó . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn gi ải Ta có tam giác lu ôn vuôn g tại . G ọi là t rung đ iểm của Đi ểm cố định . Ta có tam giác vuông tại có là đư ờn g tru ng tuyến nên T a có là đ ường t rung b ìn h của tam giác n ê n s on g song v ới m à Mặt khác tam giác cân tại . Từ đó suy ra là đường trung trự c c ủa Nên Vậy luôn ti ếp x úc với m ặ t cầu tâ m b án kính Chọn đ áp á n A. Câu 68: CHUYÊN ĐHK H TN HU Ế Trong k h ông gia n v ới hệ tọ a độ Oxyz , c h o điể m 0;0; 4 A , đ i ể m M nằm trên mặt phẳng Oxy và MO . Gọ i D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là tru n g đi ểm của OM . Biết đ ường t hẳn g DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kín h m ặt cầu đó. A. 2 R . B. 1 R . C. 4 R . D. 2 R . Hướng dẫn gi ải Chọn A . Ta có tam giác OAM luôn vuông tại O . Gọ i I là trun g điểm c ủ a OA Điểm I cố đ ị nh Ta có tam giác ADO vuôn g tại D có ID là đường trung tuyến nên 1 21 2 ID OA , Oxyz 1; 2; 3 H P , H ,, Ox Oy Oz ,, A BC H ABC P ():3 2 11 0. Px y z ():3 2 10 0. Px y z (): 3 2 13 0. Px y z (): 2 3 14 0. Px y z OABC ,, OA OB OC H ABC OH ABC OH P P 1; 2; 3 H 1; 2; 3 OH P 1 2 2 3 3 0 2 3 14 0. xy z xyz Oxyz 0;0;4 A M Oxy M O D O AM E OM DE 2 R 1 R 4 R 2 R OAM O I OA I ADO D ID 1 21 2 ID OA IE OAM IE AM OD AM OD IE EOD E IE OD ;90 2 DOE ODE IOD IDO IDE IOE ID DE DE I 2 2 OA R A D ITa có IE là đường trung bìn h c ủ a ta m giác OAM nên IE song son g với AM m à OD AM OD IE Mặt kh ác ta m gi á c EOD cân tại E . Từ đó s u y ra IE là đư ờn g tru ng trự c c ủ a OD Nên ;90 2 DOE ODE IOD IDO IDE IOE ID DE Vậy DE luôn tiếp x úc với m ặ t cầu tâm I bán k ín h 2 2 OA R Câu 6 9 : CHU YÊN ĐHKHTN HUẾ Cho đ iểm (0;8;2) A và mặt cầu () S có p h ư ơng trì n h 22 2 ():( 5) ( 3) ( 7) 72 Sx y z và điểm (9; 7;23) B . Viết p hươ ng trình m ặt phẳn g () P qu a A tiếp xúc với () S sa o ch o khoản g cách t ừ B đến () P là lớn nhất. Giả sử (1 ; ; ) nmn là một vectơ p h áp tuy ến củ a () P . Lúc đó A. .2. mn B..2. mn C. .4. mn D..4. mn Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Mặt phẳ n g () P q ua A có dạng (0) ( 8) ( 2) 0 8 2 0 a x b y c z ax by cz b c - + -+ -= + + - - = . Điều kiện ti ế p x úc: 22 2 22 2 53 7 8 2 5 11 5 (;( )) 6 2 6 2 6 2 ab c b c a b c dI P ab c a b c -+ - - - + = = = ++ ++ . * Mà 22 2 22 2 97 23 8 2 9 15 21 (;( )) ab c b c a b c dB P ab c a b c -+ - - - + == ++ ++ 22 2 511 5 4( 4) ab c ab c ab c -+ + -+ =£ ++ 22 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 511 5 4 1(1) 4. 4624 182 ab c ab c ab c ab c ab c a b c -+ -+ +- + + + £+ £+ = ++ ++ ++ . Dấ u bằng xả y ra k h i 11 4 ab c == - . Ch ọn 1; 1; 4 ab c ==- = th ỏ a m ã n *. Khi đ ó (): 4 0 Px y z -+ = . Suy ra 1; 4 mn =- = . Suy ra: .4. mn =- Câu 7 0 : CHU YÊN ĐHK H TN H UẾ Trong không gian ch o đ ường t h ẳ ng 31 : 12 3 x yz và đường thẳ ng 31 2 : 31 2 xy z d . Viết p h ư ơn g trìn h mặt p h ẳn g P đ i qua và tạo với đư ờng thẳ ng d một g óc l ớn nh ấ t. A. 19 17 2 77 . 00 xy z B. 19 17 2 34 . 00 xy z C. 31 8 5 91 . 0 xy z D. 31 8 5 98 . 0 xy z Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Đường thẳng d có VTCP l à 1 3;1; 2 u . Đường thẳng đi qua điểm 3; 0; 1 M và có V TC P là 1; 2; 3 u . Do P n ên M P . Gi ả sử V TP T c ủa P là 22 2 ;; , 0 nABC A B C . Phươ ng t rình P c ó dạng 310 Ax By C z . Do P n ên .0 2 3 0 2 3 un A B C A B C . Gọi là góc gi ữa d và P . Ta có 1 22 2 2 22 1 . 32 3 2 32 . 14. 14. 2 3 un BC B C AB C sin un AB C B CB C 2 22 22 57 57 1 512 10 14 14. 5 12 10 BC BC B BC C BBC C . TH1 : V ới 0 C thì 570 14 14 sin . TH2 : V ới 0 C đặt B t C ta có 2 2 57 1 512 10 14 t sin tt . Xé t hà m số 2 2 57 512 10 t ft tt trên . Ta có 2 2 2 50 10 112 512 10 tt ft tt . 2 88 75 55 14 0 50 10 112 0 77 0 55 tf ft t t tf . Và 2 2 57 lim lim 5 512 10 xx t ft tt . Bản g bi ế n th iên Từ đ ó ta có 75 14 Maxf t k hi 88 55 B t C . Khi đ ó 18 75 . 514 14 sin f . So sá nh TH1 v à Th 2 ta có sin lớ n n hấ t là 75 14 sin kh i 8 5 B C . Ch ọn 85 31 BC A . Phươ ng t rình P l à 31 3 8 5 1 0 31 8 5 98 0 xy z xyz . Câu 7 1 : CHU YÊN ĐHKHTN H U Ế Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 22 2 :1 2 3 9 Sx y z và mặt phẳng :2 2 3 0 Px y z . Gọi ;; M ab c là điểm trên mặt cầu S sao cho khoảng c á ch t ừ M đến P là lớ n nhất. K h i đó A. 5. ab c B. 6. abc C. 7. ab c D. 8. abc Hướng dẫn gi ải Ch ọ n C . Mặt cầu 22 2 :1 2 3 9 Sx y z có tâm 1; 2; 3 I và b á n kính 3. R Gọi d là đường thẳng đi q u a 1; 2; 3 I và v u ô ng gó c P Su y ra ph ư ơng trìn h th am s ố c ủ a đường th ẳ n g d là 12 22 3 x t yt zt . Gọi , A B l ần l ượt là g i ao củ a d và S , khi đó t ọa độ , A B ứng với t là nghiệm của phươn g trì nh 22 2 1 12 1 2 2 2 3 3 9 1 t tt t t Với 13 1 3;0;4 ;( ) . 3 tA dAP Với 5 11;4;2 ;() . 3 tB dBP 0 0 Với mọi đ i ểm ;; M ab c trên S ta lu ô n có ;( ) ;( ) ;( ) . dB P d M P d A P Vậy kh oảng cách từ M đến P là l ớ n nh ất b ằng 13 3 khi 3;0; 4 M Do đ ó 7. ab c Câu 7 2 : LÊ HỒNG P HONG Trong không gi a n v ới h ệ tọa độ Oxyz , ch o đ ư ờ n g thẳn g 13 : 12 1 xyz d và mặt c ầu S tâm I có p hương trình 22 2 :1 2 1 18 Sx y z . Đường thẳng d cắt S tại h ai đ iểm , A B . T í nh d i ện tí ch t am gi ác IAB . A. 811 . 3 B. 16 11 . 3 C. 11 . 6 D. 811 . 9 Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Đường thẳng d đi qua điểm 1; 0; 3 C và có ve c tơ c hỉ phương 1; 2; 1 u Mặt cầu S c ó tâm 1; 2; 1 I , bán kín h 32 R Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d . Khi đó: , IC u IH u , với 0; 2; 2 IC ; ,6;2;2 IC u Vậy 22 2 62 2 66 3 14 1 IH Suy ra 22 4 6 18 33 HB Vậy, 116686811 . 2233 3 IAB SIHAB Câu 7 3 : HAI BÀ TRƯ N G – HUẾ Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữ a ha i mặt p h ẳ n g và . ABD BCD A. 3 . 3 B. 3. C. 3 . 2 D. 2 . 3 Hướn g dẫ n gi ải Ch ọ n A. Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập p h ươn g có tọa độ như s au : A' D' C' B' B C D A 0;0;0 2;0;0 2; 2;0 0; 2;0 0;0; 2 2;0; 2 2; 2; 2 0; 2; 2 AB C D AB C D 2;0;2 , 0;2; 2 , 2; 2;0 , 0; 2; 2 AB AD BD BC * Mặt ph ẳng ABD qua 0;0;0 A v à nhận v éctơ 1 ,1;1;1 4 nABAD làm véctơ p h áp tuyến. Ph ươn g trìn h ABD là : 0. xy z * Mặ t p h ẳng BCD qua 2;0;0 B và nhận véctơ 1 ,1;1;1 4 mBDBC làm véctơ ph á p tuyến. Phươ ng t rình BCD là : 20. xy z Suy r a hai m ặ t p h ẳ ng ABD và BCD s ong song v ới n h a u nên khoả ng cách giữa h ai mặ t phẳn g ch í n h là k h oảng c á c h t ừ điểm A đến mặt phẳng BCD : 223 ,. 3 3 dA BCD Cách k h á c: Thấy kho ả ng cách cần tì m 11 23 ,.23. 33 3 dABD BCD AC Câu 7 4 : HAI BÀ TRƯNG – HUẾ Trong k h ông gian Oxyz , cho đ i ểm 2;0; 2 , 3; 1; 4 , 2; 2;0 . AB C Điểm D trong mặt phẳng Oyz có cao độ âm sao cho thể tích của k h ối tứ diện ABCD bằng 2 v à kh oản g cách từ D đến mặt p h ẳng Oxy bằng 1. K hi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn b à i toán l à: A. 0;3; 1 . D B. 0; 3; 1 . D C. 0;1; 1 . D D. 0; 2; 1 . D Hướng dẫn gi ải Ch ọ n A. Vì 0; ; DOyz D bc , do c ao độ âm nên 0. c Khoảng cá ch từ 0; ; Dbc đến mặt phẳng :0 Oxy z bằng 1 11do0. 1 c cc Suy ra tọ a độ 0; ; 1 Db . T a có : 1 ; 1 ; 2 , 4; 2; 2 ; 2; ;1 ABAC ADb ,2;6;2 AB AC ,. 46 26 66 1 AB AC AD b b b 1 ,. 1 6 ABCD VABACADb Mà 0;3; 1 3 212 1 0; 1; 1 ABCD D b Vb b D . Chọ n đáp á n 0;3; 1 . D Câu 7 5 : Trong khôn g gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm () 2;11; 5 A - và mặ t ph ẳng () () ( ) 22 :2 1 1 10 0 Pmx m y m z ++ + - - = . Biết r ằ ng kh i m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳ ng () P và cùn g đ i qu a A . Tìm tổ ng bán kí n h của hai mặ t cầu đó. A.22 . B. 52 . C. 72 . D. 12 2 . Lời giải tha m khả o : Gọi () ;; , I abc r lần lư ợt l à tâm và bán kí n h c ủ a mặt cầu . D o mặt cầu tiếp xú c v ới () P nê n ta có () () () ( ) () () () 22 2 22 21 110 210 , 12 12 ma m b m c bcm ma b c rdI P mm ++ + - - -+ +-- == = ++ () () () () () () 2 22 2 2 2 2 1001 210 12 22 21002 bc r m ma b c r bcm ma b c rm bc r m ma b c r é +- + + - - - = ê ê ++ +-- = + ê ++ + + - + - = ê ë TH1: () () 2 2 2 2 1001 bc r m ma b c r +- + + - - - = Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với () P nên yêu cầu bài toán trờ thành tìm điều kiện ,, abc sao cho () 1 kh ông ph ụ thuộc vào m . Do đ ó () 1 luôn đún g với mọi 20 0 210 0 bc r a bc r ì ï +- = ï ï ï = í ï ï ï -- - = ï î 25 0 0 5 br a c ì ï =+= ï ï ï = í ï ï ï =- ï î Suy ra () () () () 2 2 22 0;5 2; 5 : 5 2 5 Ir Sx y r z r +-=> + -- + + = . Lại có () AS Î nê n s u y ra : () 2 22 22 4115 2 122 400 10 2 r rr r r r é = ê +- - - = - + = ê = ê ë TH2: () 2 22 2100 bc r m ma b c r ++ + + - + - = làm tư ơng tự T H1 trường h ợ p nà y khô n g thỏa đ ề b ài Tóm lại : Khi m thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng () P và cùng đi qua A và có tổ ng bán kí n h l à : 12 2 suy ra c h ọn D Câu 7 6 : Trong khôn g gian v ới h ệ tọa độ Oxyz , ch o bốn điểm () ( ) ( ) 3;0;0 , 0;2;0 , 0;0;6 AB C và () 1;1;1 D . Kí hi ệu d là đường th ẳng đi q u a D s ao c h o tổng k h oảng cách t ừ các điểm , , A BC đến d lớn nh ất . Hỏi đường t hẳn g d đi qu a đ i ể m nà o d ưới đây ? A. () 1; 2;1 M -- . B. () 5;7;3 N . C. () 3;4;3 P . D. () 7;13;5 Q . Lời giải tham khảo: Ta có phư ơng trình mặ t phẳng qua A ,B,C là : ():123 60 32 6 xy z ABC x y z ++ = + + - = . Dễ thấy () D ABC Î .Gọi ', ', ' A BC l ầ n lượt là h ình chiếu vu ôn g góc của ,, A BC trên d . Suy ra () () ( ) ,, , ' ' ' dAd d Bd d Cd AA BB CC AD BD CD ++ = + + £ + + .Dấu b ằng xảy ra khi '' ' A BC D ºº º . Hay t ổng k hoảng cá ch t ừ các điểm , , A BC đến d lớn nhất khi d là đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳ ng () 12 :13; 1 xt ABC d y t N d zt ì =+ ï ï ï ï => = + Î í ï ï ï =+ ï î su y ra chọn B Câu 7 7 : Trong không gi a n v ới h ệ tọa độ Oxyz , cho ba đ iể m () ( ) ( ) 5;5;0 , 1;2;3 , 3;5; 1 AB C - và mặt phẳng ():50 Px y z ++ + = . Tính t hể t í c h V của khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộ c mặt phẳ n g () P và SA SB SC == . A. 145 6 V = . B. 145 V = . C. 45 6 V = . D. 127 3 V = . Lời giải tham khảo: Gọi ()() () ;; 5 01 S abc P a b c Î=> +++= . Ta có : () ( ) 22 2 55 , AS a b c =- + - + () ( ) ( ) () ( ) ( ) 22 2 2 2 2 12 3, 3 5 1 BS a b c CS a b c = - + - + - = - +- ++ Do () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) 22 2 2 2 2 22 22 2 2 12 3 3 5 1 46 8 21 0 42 15 0 55 3 5 1 ab c a b c ab c SA SB SC ac ab c a b c ì ï ï - +- + - = - + - ++ ì +- -= ï ï ïï == íí ïï +- = ï ïî -+ -+ = - + -+ + ï ï î T a có hệ : 6 4 6821 0 23 13 9 42 15 0 6; ; 222 50 9 2 a ab c ac b S ab c c ì ï ï ï = ï ì +- - = ï ï ï ï æö ï ï ïï ÷ ç +- = =- = - - ÷ íí ç ÷ ç ïï èø ïï ïï ++ + = ï î ï ï =- ï ï ï î . Lại có : () ( ) 4; 3;3 , 2;0; 1 AB AC -- - - () () . 23 9 145 3; 10; 6 ; 1 ; ; 145 22 6 S ABC AB AC AS AB AC AS V æö ÷ ç => = - - = - - => = => = ÷ ç ÷ ç èø Câ u 7 8 : Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm và () 43 SA SB SC cm == = .Gọi D là đ i ểm đối x ứn g của B qua C .Khi đ ó b á n kính mặt cầu ngoại tiếp h ìn h ch óp SABD b ằng ? A. 5cm B .32cm C. 26cm D . 37cm Lời giải tham khảo : Cá ch 1 : Dựng CG vuông góc với () ABC , Qua E dựng mặt phẳng vuông góc với SB , m ặt ph ẳ n g này cắt CG t ại F . Su y ra F là tâm mặt c ầ u n goại tiếp hình chóp S.ABD . Đặ t SF R = Xé t hình chữ nh ậ t : () 22 1 FGSH FC SH FG SH R CH => = - = - - Lại có : () 22 2 FC R CB =- .T ừ 1 và 2 s uy r a 22 2 2 SH R CH R CB -- = - () 22 2 612 365 120 37 RR R R cm -- = - - - ==> = Suy ra c họn D C á c h 2 : Ch ọn h ệ trục tọa độ n hư h ìn h vẽ . Ta có : () ()()() 0;0;0 , 3 3; 3;0 , 3 3;3;0 , 2 3;0;6 CA B S -- - - () () 2 2 0;0; 36 12 6 FCG F t FA FS t t Î=> = + = + - () 137 tSC cm = => = su y ra c h ọ n D Chủ đề 8. TOÁN THỰC TẾ Câu 1: SGD V ĨNH PH ÚC S ố s ản ph ẩm c ủa một h ãng đ ầu D V D s ản xuấ t đư ợc tro ng 1 ngà y l à giá trị của hà m số: 21 33 ,. f mn m n , t r ong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu khách hàng. Biết r ằng mỗi ng ày h ãn g đó p hải tr ả lương c h o một n h â n v iên là 6 USD và cho một lao động chính là 24 USD . Tìm giá trị nh ỏ nhất chi phí t ron g 1 n gày của hã ng sả n xuất n ày . A. 1720 USD . B. 720 USD . C. 560 USD . D. 600 USD . Hướng dẫn gi ải Chọn B . Ta có giả thiết: 21 33 .40 mn 2 64000 mn với , mn . Tổ ng số tiền phải chi tr o n g một ng ày là: 32 6 24 3 3 24 3 216 720 mn m mn mn Dấu "" xảy ra khi và chỉ k hi 324 mn 8 mn Do đó, 2 64000 mn 3 64 64000 n 10 n Ta ch ọ n 10 80 nm . Vậy chi phí th ấp nh ấ t để trả cho 8 0 nhâ n viên và 10 lao đ ộ n g ch ính để sản xuất đ ạt yêu cầu là 720 USD Câu 2: SGD V ĨN H PH ÚC Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng 1 mét. K h i đó h ình than g đ ã ch o c ó diện tích lớ n n hất bằng? A. 2 33 m . B. 2 33 2 m . C. 2 33 4 m . D. 2 1 m . Hướng dẫn gi ải Chọn C. Kí h iệu x là độ d ài đ ường cao suy r a 01 x Tí nh đượ c đáy lớ n bằ ng 2 12 1 x . Diện tí ch hình tha ng 2 11 Sxx . Xét hàm số 2 () 1 1 fx x x trên 0;1 . Ta có: 22 2 21 1 () 1 xx fx x . 3 () 0 2 fx x . Lậ p bản g biế n th iê n. Su y ra 0;1 333 max ( ) 24 fx f BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _______________________________Câ u 3 : NGUYỄN K HUYẾN TP HCM C h o mộ t cây nến h ì nh lăng tr ụ l ụ c gá c đều có chiều cao và đ ộ dài cạnh đáy lần lượt là 15cm và 5cm . Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng h ình hộp c h ữ nhật s ao cho cây nến nằ m khít t ron g h ộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng A. 1500 ml . B. 600 6 ml . C. 1800 ml . D. 750 3 ml . Hướng dẫ n gi ải Ta có 10 cm,AD=5 3 cm AB 50 3 ABCD S . 750 3 ABCD VS h Ch ọn đáp á n: D Câ u 4 : N GUYỄN K HU YẾN TP HC M Người ta t h a y nước mói cho một bể bơi dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu 1 280 hcm . Giả sử () ht cm là chiều cao của mực nước b ơm đ ược tạ i thời đ iểm t giây, bết r ằ ng tốc độ t ăng c ủ a ch i ề u cao nước tại giây thứ t là 3 1 () 3 500 ht t . Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được 3 4 độ sâu của hồ b ơi? A. 7545, 2 s . B. 7234,8s . C. 7200,7 s . D. 7560,5s . Hướng dẫ n gi ải Sau m giây mức nước của bể là 4 3 4 3 33 00 0 133 3 (m) ( )dt= 3dt= 3 3 3 500 2000 2000 m mm t hht t m Yê u cầ u bài toán, ta có 4 3 3 33 3 3 3 280 2000 4 m 3 4 4 3 33 3 140000 3 3 140000 3 3 3 7234,8 mm . Chọn B Câ u 5 : N GUYỄN K HU YẾN TP HC M Một chất điểm chuyển động theo quy luật 32 617 s tt t , với t giây là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s mé t l à quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Khi đó vận tốc v / ms của c h u yển động đạt giá trị lớn nhất trong k h o ảng 8 gi â y đầu ti ê n bằn g: A .17 / ms . B.36 / ms . C. 26 / ms D. 29 / ms . Hướng dẫ n gi ải Vận tốc của chất điểm l à 2 2 312 17 3 2 29 29 vs t t t . Vậy vận tố c c ủ a chuyể n đ ộ n g đạt gi á trị lớn n h ất bằng 2 9 k hi 2 t . Ch ọ n D. Câu 6 : TRẦ N HƯNG Đ ẠO – NB B ạ n H ù ng t r ú ng t u y ển v à o đ ại h ọc nhung v ì không đủ nộp ti ề n học ph í Hùn g quyết đ ịnh va y n g ân hàn g trong 4 năm mỗi năm 3.000.000 đồng để nộp học với lãi suất 3% / nă m . S au k hi tố t ng hi ệ p đạ i họ c H ùn g p hả i t rả góp h àn g t h án g số ti ề n T kh ô ng đổi c ùn g vớ i lãi suất 0, 25% / tháng trong vòng 5 n ă m . S ố t i ề n T m à H ù n g p h ả i t r ả c h o n g â n hà ng làm tr òn đ ến hàng đơn vị là A. 232518 đồng. B. 309604 đồng. C. 215456 đồng. D. 232289 đồng. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D . Tí nh tổ n g số t iền m à Hùng nợ s a u 4 năm họ c: S a u 1 năm số t i ền Hùng n ợ là: 3 3r 31 r S a u 2 năm số t i ền Hùng n ợ là: 2 31 3 1 rr Tương tự : Sau 4 năm số ti ề n Hù ng nợ là: 432 3 1 3 1 3 1 3 1 12927407,43 rr rr A T í n h số tiề n T mà Hùng ph ả i trả tr ong 1 tháng : Sa u 1 th áng số tiền còn nợ l à : 1 A Ar T A r T . Sa u 2 th áng số tiền còn nợ l à : 2 11 . 1 1 A rT A r T r T A r T rT Tương tự s a u 60 tháng số tiền còn nợ là: 60 59 58 11 1 1 TT Arr r T Tr . Hùn g trả hết n ợ khi và chỉ kh i 60 59 58 60 59 58 60 60 60 60 60 60 11 1 1 0 11 1 110 11 10 11 10 1 11 11 232.289 TT T T T Ar r r r T Ar r r r r Ar r Ar Ar r T r T r T r Câ u 7 : TRẦ N HƯNG Đ ẠO – NB Một đám vi t rùng t ại ngày thứ t có số lượng là . N t Biết rằng 4000 10,5 Nt t và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là b ao nhiêu ? A. 258 959 con . B. 253 584 con . C. 257 167 con . D. 264 334 con . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D . Ta có: 4000 d d 8000.ln 1 0,5 10,5 Nt N t t t t C t Mà s ố lượng vi trùng b an đầ u bằn g 250000 con n ên 250000 C . Do đ ó: 8000.ln 1 0,5 250000 Nt t . Vậy sau 10 ngà y số lượn g vi tr ùng bằng: 10 8000.ln 6 250000 264334 N con. Câ u 8 : TRẦ N HƯNG Đ ẠO – NB Ngư ờ i ta cần đ ổ mộ t ố n g thoát n ư ớ c hình t r ụ v ới chiều cao 200cm , độ dày của thành ống là 15cm , đườn g kính củ a ố ng l à 80cm . L ư ợng b ê t ôn g c ầ n p h ải đổ là A. 3 0,195 m . B. 3 0,18 m . C. 3 0,14 m . D. 3 m . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Gọi 12 V,V lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngoài và b ê n tro ng Do đó lư ợng bê tông cầ n ph ải đổ l à : 22 3 3 12 .40 .200 .25 .200 195000 0,195 VV V cm m Câ u 9 : LẠNG GIANG SỐ 1 M ộ t ngô i biệ t thự nhỏ có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều c a o bằng 4, 2m . Trong đó c ó 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột còn lại b ê n th ân nh à c ó đường kính b ằng 26cm . Ch ủ nh à dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là 2 380.000 / đ m kể cả phần thi công thì người chủ phả i chi í t nh ất bao nh iêu tiền đ ể sơn cột 10 cây cột nhà đó đơn vị đồng? A. 15.845.000. B. 13.627.000. C. 16.459.000. D. 14.647.000. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Diện t ích xung q uan h 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm : 1 4. 2 .0, 2.4, 2 S . Diện tích xung quanh 6 cây cột trước cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm : 2 62 .0,13.4,2 S . Số tiền đ ể sơn m ười câ y cột nh à là 12 .380.000 SS 15.845.000. Câ u 1 0 : LẠNG GI A NG SỐ 1 Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hì nh bởi h à m số 2 1000 ,0 10,3 Bt t t , trong đó Bt là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày t h ứ t . Số l ượng vi khuẩn b an đầu là 500 con trên một ml nư ớc. Biết r ằ n g mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước . Hỏi vào n gày th ứ b a o n h i ê u th ì nước trong hồ kh ô n g còn an toàn nữ a? A. 9 B. 10. C. 11. D. 12. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B Ta có 2 1000 1000 'd d 0,3 1 0,3 10,3 B tt t C t t Mà 10000 11500 0 500 500 31 0,3.0 3 BCC Do đ ó: 10000 11500 31 0,3 3 Bt t Nước trong hồ vẫn an toàn khi chỉ kh i 10000 11500 3000 3000 10 31 0,3 3 Bt t t Vậy kể từ ng ày th ứ 1 0 , nước hồ khôn g còn a n toàn . Câ u 1 1 : LẠNG GI ANG SỐ 1 Một lon nước soda 80 F đ ược đưa và o mộ t máy làm l ạ n h ch ứ a đá tại 32 F . Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức ( ) 32 48.(0.9) t Tt . P h ải làm mát so d a tro n g bao lâu để nh i ệt độ là50 F ? A. 1,56. B. 9,3. C. 2. D. 4. Hướng dẫ n g i ải Ch ọn B. Gọ i o t là thời đ iể m n h iệt đ ộ lon n ước 80 F 32 48. 0,9 80 o t o Tt 1 Gọi 1 t là th ời đ iểm nh iệt độ lon nước 50 F 1 32 48. 0,9 50 o t Tt 2 1 0,9 1 o t 0 o t 2 1 3 0,9 8 t 10,9 3 log 9,3 8 t Câ u 1 2 : LẠNG GIANG SỐ 1 Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu c ho thuê mỗi căn hộ với giá 2000000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tă ng giá c h o t hu ê mỗi căn h ộ t hêm 50000 đ ồ n g một tháng th ì có t h ê m một căn hộ bị b ỏ trố n g. C ông ty đ ã tìm ra p hương á n c ho t h u ê đạt l ợ i nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhấ t cô n g ty c ó thể đạt đư ợc tr o ng 1 th á ng là bao nhiêu ? A. 115 250 000 . B. 101 250 000 . C. 100 000 000 . D. 100 250 000 . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n B . Gọi x đồng/th á ng () 0 x > là giá cho th u ê m ới. Số căn hộ bị bỏ trống l à 50 000 x c ăn h ộ Số tiền cô n g ty t huê đư ợc () ( ) 2 000 000 50 50 000 x Tx x æö ÷ ç =+ - ÷ ç ÷ ç èø Khảo s á t hà m số ( ) Tx trên () 0; +¥ () 10 25 000 x Tx ¢ =- ( ) 0 Tx ¢ = 250 000 x = . Bản g bi ế n th iên Vậy thu nhậ p cao n h ất c ông ty có thể đ ạ t đ ư ợc tron g 1 th á ng là: 101 250 000 T . Câ u 1 3 : LÝ TỰ T R ỌNG – TPHCM Một cái ly c ó dạng h ình n ó n đư ợc r ót nư ớ c vào với chiều cao mực nước bằng chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống th ì tỷ số chi ề u cao mực nư ớc và chiều cao h ì nh nón xấ p xỉ bằng bao nh i ê u? A. . B. . C. . D. Hướng dẫ n gi ải Ch ọn B . Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đ áy của cái ly lầ n lư ợt là và . Khi để cốc t he o chiều xuôi t h ì l ư ợ ng nước trong cốc là h ình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là và Do đó thể tích lượng nước trong bình là Phần không chứa nước chiếm Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi v à lúc đó p hần kh ông chứa nư ớc l à hình nón v à ta g ọ i và lần lượt l à ch i ề u cao và b án k í nh đ ư ờ ng t rò n đ áy của p h ần h ìn h nón kh ôn g ch ứ a nước đó. Ta có và phần thể tích hình nón không chứa nước là 2 3 0,33 0,11 0, 21 0,08 h R 2 3 h 2 . 3 R 8 27 V 19 . 27 V ' h ' R '' R h R h 19 27 V 3 3 22 '19 ' 19 '19 .' . . . 3273 27 3 hh h h RR hh Do đ ó tỷ l ệ ch i ề u cao của phầ n c hứa nước v à chiều c a o c ủ a cái l y tro n g trường h ợp ú p ngư ợc ly l à Câ u 1 4 : LÝ TỰ T R ỌNG – TPHCM Giả sử vào cuối năm thì một đơn vị tiền tệ mất 10% giá trị so với đầ u năm . Tìm số nguyên dư ơ ng nhỏ nhấ t sao cho sau n năm, đơn vị tiề n tệ sẽ mất đi ít n h ất 90% giá trị c ủa nó? A. 16 B. 18. C. 20 . D. 22 . Hướng dẫ n gi ải Chọn D . Gọi 0 xx l à gi á trị tiền t ệ l ú c ban đ ầ u. Th e o đề bài thì s a u 1 n ăm, giá trị tiề n tệ sẽ c òn 0,9x . Cu ối năm 1 cò n 0,9x Cu ối năm 2 cò n 2 0,9.0,9 0,9 x x ……… … … … ……… …… Cu ối năm n còn 0,9 n x Ycbt 0,9 0,1 21,58 n xx n . Vì n n g uyê n dư ơng nên 22 n . Câ u 1 5 : NGÔ GIA T Ự ‐ VP Một ngôi biệ t t h ự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2 m . Tron g đó, 4 cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm , 6 cây cột còn l ạ i b ê n thân nhà c ó đường kính b ằng 26cm . C h ủ n h à dùng loạ i sơn giả đá đ ể sơn 10 cây cột đó. Nếu giá củ a mộ t l oại s ơ n gi ả đ á l à 2 380.000 / đ m kể cả phần thi công thì người chủ p h ải c h i ít nh ất bao n h iê u t i ền đ ể sơ n 10 cây c ột nhà đó đơn vị đồng? A. 15.844.000 . B. 13.627.000 . C. 16.459.000 . D. 14.647.000 . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Diện tích x u n g quanh c ủ a một c á i cộ t được tính b ởi công thức: 2 xq SRh Tổng d iện tích x ung quan h của 1 0 c á i cột là : 4. 2 .0, 2.4, 2 6. 2 .0,13.4, 2 13, 272 T ổng số tiền c ần chi l à: 13,272 380.000 15.844.000 . Câ u 1 6 : NGÔ GIA TỰ ‐ VP Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quã ng đư ờng s mét đ i được c ủ a đ oàn t àu l à một h à m s ố c ủ a t h ờ i gian tgiây , hàm số đ ó là 23 6– s tt . Th ời đ iể m tgiây mà tại đó vận tốc / vms của chuyển động đạt giá trị lớn nhấ t l à A. 4 ts . B. 2 ts . C. 6 ts . D. 8 ts . Hướng dẫ n g i ải Ch ọn B. Hàm s ố vận tốc là 2 312 vs t t t , có GTLN là max 12 v tại 2 t Câ u 1 7 : LÝ THÁI T Ổ ‐HN Một nhà máy sản xuất c ần t hiết k ế một thùn g sơn dạng h ình trụ c ó nắp đậy với du ng t ích 3 1000cm . Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nh ấ t bằng 3 '3 19 1. 3 h h A. 3 500 cm . B. 3 5 10. cm . C. 500 cm . D. 5 10. cm . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A. Gọi h cm là ch iều ca o hình trụ và R cm là bán kí nh n ắp đ ậy. Ta có: 2 1000 VRh . Suy ra 2 1000 h R . Để nhà sả n xuấ t tiết k iệ m nguyê n v ật liệu n h ất t hì diện tíc h to àn phần tp S của hình trụ nhỏ nhấ t . Ta có: 22 2 1000 22 2 2. tp SR Rh R R R 3 22 2 3 1000 1000 1000 1000 2 3. 2 . . 3 2 .1000 RR RR R R Đẳng th ứ c xảy ra kh i và ch ỉ khi 2 3 1000 500 2RR R . Câ u 1 8 : LÝ THÁ I T Ổ ‐HN Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng của nước ta giảm x phần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau 4 năm d i ệ n tí ch r ừng củ a nước t a sẽ l à bao nhiêu lần diện t íc h hi ện nay? A. 4 1. 100 x B. 4 1. 100 x C. 4 1. 100 x D. 4 1. 100 x Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n C Gọi 0 S l à diện tích rừng h i ệ n tại. Sa u n n ăm, di ện tích rừng sẽ là 0 1 100 n x SS . Do đ ó, s au 4 n ăm d iện tích rừng sẽ là 4 1 100 x lần d iện tích rừng hiện tại. Câ u 1 9 : CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Mộ t c ố c nước h ình tr ụ có c hiều c ao 9cm , đường k í nh 6cm . Mặt đáy phẳng và d ày 1cm , th ành cốc dày 0,2cm . Đổ v ào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên b i có đ ường k ính 2cm . Hỏi mặt nước t rong c ốc c ách mép cốc b a o n h iêu cm . Làm trò n đến h a i c h ữ số sau dấ u p hẩy. A. 3,67cm . B. 2,67cm . C. 3, 28cm . D. 2,28cm . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Th ành cốc dà y 0,2cm n ê n bán kính đ áy t rụ bằng 2,8cm . Đáy cốc dày 1cm nên ch i ề u cao hì nh t rụ bằ n g 8cm . Thể tí ch khối tr ụ là 2 3 . 2,8 .8 197,04 Vcm . Đổ 120ml v ào cố c, thể tích c òn lại là 3 197,04 120 77,04 cm . Th ả 5 viên bi vào cốc, t h ể tích 5 viên bi bằ ng 33 4 5. . .1 20,94 ( ) 3 bi Vcm . Th ể tích c ốc còn l ạ i 3 77,04 20,94 56,1 cm . Ta có 2 56,1 '. . 2,8 ' 2,28 hh cm . Cách k h á c: Dù ng tỉ s ố thể tích 2 8. 2,8 . 8 5,72 4 120 5. . 3 Tr coc nuoc bi nuoc bi nuoc bi nuoc bi Vh h VV h h Ch iều cao còn lại củ a trụ là 85,72 2,28 . Vậy mặt nư ớc tro ng cố c cách mép cố c l à 2,28cm . Câ u 2 0 : CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Một ch iếc xô h ình nón c ụ t đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao 20 , cm đường kính hai đáy lần lượt là 10cm và 20cm . C ô g iá o giao cho bạn An sơn mặt ngoài của xô trừ đáy. Tính di ệ n t í c h b ạ n A n p hả i sơn làm t ròn đến hai chữ số sau dấ u phẩ y . A. 2 1942,97 . cm B. 2 561,25 . cm C. 2 971,48 . cm D. 2 2107,44 . cm Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n C . Ta có 12 xq Srrl Với 1 5 r , 2 10 r 22 22 21 20 10 5 5 17 lh r r Vậy 5 10 5 17 75 17 971,48 xq S Câ u 2 1 : C H U YÊN P H A N B ỘI C HÂU Một ôtô đang chạ y đều với vận tốc 15 m/s thì phía trư ớc xu ất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 2 / ms . Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc kh o ả ng nào dư ới đây. A. 3; 4 . B. 4;5 . C. 5;6 . D. 6;7 . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n C . Gọi x t là hàm biểu d iễ n quã ng đ ường, vt là hàm v ậ n tốc. Ta có: 0 0d t vt v a t at 15 vt at . 2 00 1 0d 15d 15 2 tt xtx vt t at t at t 2 1 15 2 xtat t Ta có: 2 15 0 0 1 15 20 20 2 at vt at t xt 15 8 45 15 20 238 tt t a . Câ u 2 2 : CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Mộ t nguồn âm đ ẳng hướn g đặt tại điểm O có công suất tru y ền â m không đổi. M ức c ường đ ộ âm t ại đ iểm M cách O một khoảng R được tính bởi công t h ứ c 2 log M k L R Ben với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ â m tại A và B lần lượt là 3 A L Ben và 5 B L Ben. T ính mức cư ờng độ â m tại tru ng điểm AB là m tròn đ ến 2 c hữ số sau d ấ u ph ẩy. A. 3,59 Ben. B. 3,06 Ben . C. 3,69 Be n. D. 4 Ben. Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n C . Ta có: AB L LOAOB . Gọi I là trung đ i ểm AB . T a có: 22 log 10 10 A A L A L kk k LOA OA OA 22 log 10 10 B B L B L kk k LOB OB OB 22 log 10 10 I I L I L kk k LOI OI OI Ta có: 1 2 OI OA OB 11111 22 10 10 10 10 10 10 IA B I A B LL L L L L kk k 11 1 2log 2 10 10 AB I LL L 3,69 I L . Câ u 2 3 : CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 năm thì ông An được tăng lương 40% . Hỏi sa u tròn 20 n ă m đi làm tổng t iền lương ô n g An nh ậ n được l à b a o nhiêu làm t ròn đến hai chữ số thập phân sau dấ u phẩ y ? A. 726,7 4 tr iệu. B. 7 1674 tri ệ u. C. 8 58,72 tr iệu. D. 768,37 triệu . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Mức l ư ơng 3 n ă m đ ầ u: 1 t riệu T ổn g lươn g 3 n ă m đầu: 36. 1 Mức l ư ơn g 3 n ă m tiếp t h e o: 2 1. 1 5 Tổng lươn g 3 nă m tiếp the o : 2 36 1 5 Mức l ư ơn g 3 n ă m tiếp t h e o: 2 2 1. 1 5 T ổng l ương 3 năm t iếp theo : 2 2 36 1 5 Mức l ư ơn g 3 n ă m tiếp t h e o: 3 2 1. 1 5 T ổng lương 3 năm ti ế p t h e o: 3 2 36 1 5 Mức l ư ơn g 3 n ă m tiếp t h e o: 4 2 1. 1 5 Tổng lương 3 năm tiếp theo: 4 2 36 1 5 Mức l ư ơn g 3 n ă m tiếp t h e o: 5 2 1. 1 5 T ổng lương 3 năm ti ế p t h e o: 5 2 36 1 5 Mức l ư ơn g 2 n ă m tiếp t h e o: 6 2 1. 1 5 Tổng lương 2 năm tiếp theo: 6 2 24 1 5 Tổng lư ơ n g sau tròn 20 nă m là 25 6 6 6 22 2 2 36 1 1 1 ... 1 24 1 55 5 5 2 11 1 5 2 36. 24 1 768,37 2 5 11 5 S Câ u 2 4 : CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một h ò n đảo ở C nh ư h ình vẽ. Khoản g cách từ C đến B là 1 km. Bờ biể n ch ạ y th ẳng từ A đến B với khoảng cách là 4 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu đồ ng, cò n trên đ ấ t l iền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công v iệ c trên l à m tròn đến hai chữ số sau d ấu p h ẩ y. A. 106,25 triệu đồng. B. 120 tri ệ u đồ n g. C. 164,92 triệu đồn g. D. 114,64 triệu đồng. Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Gọi M là điểm trên đoạn AB đ ể lắp đặt đư ờng dây đi ện r a bi ển n ố i với đi ểm C . Đặt 2 2 414 178,0;4 BM x AM x CM x x x x Khi đ ó tổng ch i ph í lắp đặt là : 2 .20 40 8 17 yx x x đ ơn vị là triệu đồn g. 2 22 817 2 4 4 20 40. 20. 817 8 17 xx x x y xx xx . 2 12 3 081724 2 yxx xx Ta có 12 3 80 20 3 114,64; 0 40 17 164,92; 4 120 3 yy y . Vậy ta chọn đáp án D. Câ u 2 5 : SỞ GD H À NỘI Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5% một năm . B i ế t rằng , cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền t ố i thi ể u x triệu đồn g, x ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ để mu a mộ t c h iếc xe gắn m áy trị giá 30 triệu đồng A. 154 tr i ệu đ ồng. B. 150 triệu đồ ng. C. 140 tri ệu đ ồ ng. D. 145 tri ệu đ ồng. Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Áp dụng cô ng thức lãi kép : 1 n n P xr Trong đó n P là tổ ng giá t rị đạ t đư ợ c v ố n v à lã i sau n kì. x là vốn gố c, r là lã i suất mỗi kì. Ta cũng tính được số t i ề n l ã i t hu được sau n kì là : 111 nn n Px x r x x r * Áp dụng cô ng thức * với 3, 6,5% nr , số ti ền lãi l à 30 tri ệu đ ồng. Ta đ ược 3 30 1 6,5% 1 144, 27 xx Số tiền tối thiểu là 14 5 t riệu đồn g. Câ u 2 6 : SỞ GD HÀ NỘI M ột ô tô b ắt đ ầ u c huy ể n độ ng nhanh dầ n đều v ới vận tốc 1 () 7 vt t m /s. Đi đ ược 5s, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiế p t ục c huy ể n độ ng chậm d ần đ ề u với gi a tố c 70 a m/s 2 . Tính quãng đường S m đi đ ược của ô tô từ lúc b ắt đ ầu chuyển bánh cho đến k hi d ừn g h ẳ n. A. 95,70 S m. B. 87,50 S m . C. 94,00 S m. D. 96, 25 S m. Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D . Qu ãng đường ô tô đ i được từ lúc x e lăn bánh đ ế n k h i đư ợc phanh: 5 55 2 11 00 0 ( )d 7 d 7 87,5 2 t Svtt tt m. Vận tốc 2 () vt m / s c ủa ô tô từ lúc đ ư ợ c ph anh đế n khi dừng hẳ n t ho ả m ãn 2 ( ) ( 70)d = 70 vt t t C , 21 (5) (5) 35 385 vv C . Vậy 2 () 70t 385 vt . Th ời điểm xe dừng h ẳ n tương ứn g với t thoả mãn 2 () 0 5,5 vt t s. Quã ng đ ường ô tô đ i đ ược t ừ lúc x e đư ợ c p h anh đ ế n kh i dừng hẳn: 5,5 5,5 21 55 ( )d ( 70 385)d 8,75 Svtt t t m. Quã ng đ ường cần tí nh 12 96, 25 SS S m. Câ u 2 7 : SỞ GD H À NỘI Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có d ung tí ch 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m 2 , chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m 2 . Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản x u ất đư ợ C. giả sử chi phí cho các m ố i n ối khô ng đ áng kể. A. 57582 th ù ng. B. 58135 th ùng . C. 18209 thùng . D. 12525 th ùng . Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n B . Gọi chiều cao hình trụ l à 0 hh m. Bán kí nh đ á y hình trụ l à 0 xx m . Thể tích k hối trụ l à : 2 2 55 1000 1000 Vxh h x m. Diện tích mặt xu ng quanh là : 1 2 100 xq Sxh x . Diện tích h a i đáy là : 2 2 đ Sx Số tiền cần làm mộ t thùng s ơ n là : 2 1000 240000 0 fx x x x Ta có : 2 3 1000 1 480000 0 480 fx x f x x x . Bản g bi ế n th iên : x 0 3 1 480 f x 0 f x 17201.05 Vậy với số ti ề n 1 tỉ đ ồ n g th ì côn g ty có thể sản xuấ t t ối đ a là : 9 10 58135 17201.05 thùng . Câ u 2 8 : CHU YÊN HÙNG V Ư Ơ NG – GL Một bình đ ựn g nước dạng hình nón không có nắp đáy, đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo đ ư ợ c thể tí ch n ư ớ c tr ào r a ng oài l à 3 16 () 9 dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón như hình vẽ dưới. Tính bán kính đáy R của bình nướ c. A. 3( ). Rdm B. 4( ). Rdm C. 2( ). Rdm D. 5( ). Rdm Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Gọi ,' hh lần lượt là chiều cao củ a khối nón và k hối trụ. , Rr lần lư ợ t là b á n kính củ a khối nón v à kh ối tr ụ . Th eo đề ta c ó: 3, ' 2 . hRh R Xét tam giá c SOA ta có: '3 2 1 33 rIM SI h h R R ROASO h R 1 3 rR . T a l ại có : 23 2 trô 216 '2 99 9 RR Vrh R 3 82 . RRdm Câ u 2 9 : C H U YÊN HÙNG V ƯƠN G – GL Ôn g Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất là 12% một năm. Sau n năm ông Nam rút toàn bộ tiền cả vốn lẫn l ã i . Tìm n n gu yên dư ơng n h ỏ nhấ t đ ể số t i ề n lãi nhận đ ư ợ c hơn 40 triệu đ ồ n g. Giả sử rằn g lãi su ấ t h à ng năm không thay đ ổ i. A. 5 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n D Số tiền thu được cả gốc lẫn lãi sau n năm là 100(1 0,12) n C Số t iền lãi thu đượ c sa u n năm l à 100(1 0,12) 100 n L 1,12 77 100(1 0,12) 100 40 1,12 log 2,97 40 5 . 5 nn n L Câ u 3 0 : C H U YÊN HÙNG V Ư Ơ N G – GL Một chuyến xe buýt có sức chứa tối đa là 60 h àn h k h ách. Nếu một c h uyến x e bu ýt chở x h ành kh ác h thì gi á tiền cho m ỗi h ành kh ách l à 2 3 40 x U SD. Khẳn g đ ị n h nào sau đ ây là khẳn g đ ị n h đún g? A. M ột ch u yến xe buýt th u được lợi nhuận cao n h ất k h i có 45 h àn h kh ác h. B. M ộ t c h uy ến xe buýt t hu được lợi nhuận cao nhấ t b ằng 135 US D. C. M ột c huy ến x e b uýt t h u đư ợc l ợi n h u ận c ao nhấ t khi c ó 60 h àn h khác h . D. M ột chu yến xe b u ý t thu đ ư ợc lợi n hu ận c a o nh ấ t bằng 160 U S D. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D Số tiền thu đ ư ợc k h i có x kh ách là 2 () 3 40 x fx x Ta có 2 13 '( ) 3 2. 3 3 3 3 3 40 40 40 40 40 20 40 40 x xx xx x x fx x 120 3 '( ) 0 3 3 0 40 40 40 x xx fx x (40) 160 (60) 135 f f Vậy [0;60] max ( ) (40) 160 x fx f . Câ u 3 1 : C H U YÊN HÙNG V ƯƠN G – GL Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc b an đầu 29,4 / ms . Gi a tố c tr ọng trư ờ ng là 9,8 2 / ms . T í nh qu ãng đ ư ờng S viên đ ạ n đ i đư ợc từ lú c bắn lên cho đến khi ch ạm đất. A. 88,2 . Sm B. 88,5 . Sm C. 88 . Sm D. 89 . Sm Hướng dẫ n gi ải Chọn A. Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quảng đường đ i được l à 22 0 2 vv as nên qu ãng đường đi đ ược từ lú c b ắ n lên đ ến k h i dừng lại là : 22 0 vv s . 22 2 0 029,4 44,1 2 2.9.8 vv s a Quã ng đ ường đi đượ c từ lúc bắn đến k h i chạ m đất l à 44,1.2 88, 2 Sm . Câ u 3 2 : B ẮC Y ÊN T HÀN H Cho một tấm nhô m hình chữ nhật ABCD có 60 ADcm , 40 ABcm . Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ v ào p hía trong c h o đến k h i AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để dược một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng tr ụ với thể tích l ớn n hấ t b ằng A. 4000 3 3 cm B. 2000 3 3 cm C. 400 3 3 cm D. 4000 2 3 cm Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Đáy củ a lăng trụ là t a m giác câ n có cạn h bên bằ ng x , cạnh đ áy bằng 60 2x Đường cao tam giác đó là 2 2 60 2 60 900 2 x AH x x , với H là tr ung điểm NP Diện tích đá y l à 11 . 60 900. 30 60 900 900 30 900 30 230 ANP SS AHNP x x x x x 3 2 1 900 100 3 30 3 Scm Diện tích đá y l ớ n nhất l à 2 100 3cm n ên thể t í ch lớn nhấ t l à 3 40.100 3 4000 3 Vcm . Câu 33 : BẮC Y ÊN T HÀ N H Ôn g A gử i số t iền 100 triệu đồng vào ngân hàn g với lãi suất 7% trên năm, bi ết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ đ ược nhập vào vốn ban đầu. sau thời gian 10 năm nếu không rút lãi lần nào thì số tiền mà ông A n h ận được tí n h cả gố c lẫn lãi là A. 810 10 .(1 0,07) . B. 810 10 .0,07 . C. 810 10 .(1 0,7) . D. 810 10 .(1 0,007) . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . T h eo cô n g t h ứ c l ãi kép 1 N CA r với giả t hiết 8 100.000.000 10 ; 7% 0,07 và 10 Ar N . Vậy số t iề n n hận đ ược … 810 10 .(1 0,07) , nê n chọn A. Câ u 3 4 : C H U YÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một th ùng hình t r ụ t r ò n xoay có hai đáy với thể tíc h V cho trước hai đáy cũng dùng chính vật li ệu đ ó. Hãy xác định c hiều c ao h v à b á n kí nh R của h ình tr ụ theo V để tốn ít vật li ệ u nhấ t. A. 3 22 2 V Rh . B. 22 2 V Rh . C . 22 2 V hR . D . 3 22 2 V hR . H ướng dẫn giải Chọn D. Để vậ t liệu tốn ít n hất thì d i ện tí c h toàn phần c ủ a h ì nh trụ nh ỏ nh ất. Ta có: 2 22 tp SR Rh . Do 2 VRh nên 2 V h R . Suy ra 3 22 2 2 3 2 22. 2 3.2 .. 3.2 tp VVV VV SR R R R V RRR RR . Đẳng thức xảy ra khi 2 3 2 2 VV RR R . Khi đó 3 2 2 V h . Câ u 3 5 : BIÊN HÒA – HÀ NAM Một viên p hấn bảng c ó dạ ng m ột k hối tr ụ với b á n kính đ áy b ằn g 0,5cm , ch iề u dà i 6cm . Người ta l àm m ột h ình hộ p c h ữ nhật b ằng carton đ ự ng các vi ê n p h ấn đ ó với kích t hước 65 6 cm cm cm . Hỏi cần ít nhất bao n h iêu h ộ p kích t hước n hư trên để xếp 460 viên phấn ? A. 17 . B. 15 . C. 16 . D. 18 . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C. M A B C H 1 H 2 H 3 Có 3 cách x ế p phấn t heo h ì nh vẽ dư ới đây: Nếu xếp theo h ì n h 1 H : vì đường kính viên ph ấ n là 2.0,5 1cm nên mỗi hộp xếp đ ược tối đ a s ố viên phấ n là: 6.5 30 . Nếu xế p theo h ình 2 H : hà ng 6 viên xen kẽ h àn g 5 v iê n. Gọi số hàn g xếp đ ược là 1, nn . Ta có ΔABC đều c ạnh bằng 1 3 2 CM . Ta p hải có 38 2.0,5 . 5 2 3 nn xế p tối đa đ ư ợc 5 h àng mỗi hộp xế p được tối đ a số viên ph ấ n là:3.6 2.5 28 . Nếu xế p theo h ình 3 H :hà ng 5 viên xen kẽ hàng 4 vi ê n. Gọi số hàng x ế p đượ c là 1, mm . Ta p hải có 310 2.0,5 . 6 2 3 mm xếp tối đa được 6 h àng nê n mỗi h ộp xếp đ ư ợc tối đ a số viên ph ấn l à:3.5 3.4 27 . Vậy, x ếp theo h ì nh 1 H thì xếp được nhiều p h ấn nhất, n ên c ầ n ít hộp nhất. Ta có 460 : 30 15,3 cần ít nhất 16 h ộp để x ế p hết 460 vi ê n ph ấn. Câ u 3 6 : BIÊN HÒA – HÀ NAM Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc 0 15 / vms thì tăng vận tố c với gia tố c 22 4/ at t t m s . Tính q uãng đ ường c hất đi ể m đ ó đi đ ược tron g khoảng thờ i gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăn g v ận tốc. A. 68,25m . B. 70,25m . C. 69,75m . D. 67, 25m . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C. 232 1 4d 2 3 vt t t t t t C . Mà 015 15 vC nê n 32 1 215 3 vt t t 3 32 4 3 3 0 0 1 1 2 279 2 15 d 15 69,75 3123 4 St t t t t t t m . Câ u 3 7 : BIÊN HÒA – HÀ NAM Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn c ó nắ p, có thể tíc h là 3 64 m . T ìm bán kí nh đáy r c ủa h ình trụ s a o c h o hìn h tr ụ đượ c làm ra tốn ít nh iên liệu n hất. A. 3 rm . B. 3 16 rm . C. 3 32 rm . D. 4 rm . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C. G ọ i hình trụ c ó c h iều c a o h , đ ộ d ài đ ườn g sinh l , bán kí nh đ á y r . Ta có: 2 22 2 64 64 64 Vrh h l rr r Để tốn í t nhiên liệu n hất thì di ệ n tích toàn phần nhỏ nhất. Ta có: 22 128 2222 tp day xq SS S r rl r r . Xét h àm số 2 128 2 fr r r với 0 r . Ta có 3 2 128 4; 0 32 fr r f r r r . Lậ p bảng biến th iê n ta có f r đạt G T N N k h i 3 32 r . Câ u 3 8 : BIÊN HÒA – HÀ NAM Một người th ả 1 lá bèo v ào mộ t cái ao, s au 1 2 giờ thì bèo sinh sô i p h ủ kín mặt a o . Hỏi sau mấy giờ thì bèo ph ủ kín 1 5 mặt ao, biết rằng sau mỗi giờ t hì lượng bèo tăng g ấp 10 l ầ n lượng b è o tr ư ớ c đó và tố c độ tăng kh ông đổ i. A. 12 log 5 giờ. B. 12 5 giờ. C. 12 log 2 g i ờ. D. 12 ln 5 giờ. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A. Ta gọi i u là s ố l á bèo ở giờ thứ . i Ta có 02 12 01 2 12 1 10 , 10, 10 ,....., 10 . uu u u Ta c ó số lá bèo để p hủ k ín 1 5 mặt hồ là 12 1 .10 5 t h ờ i gian m à số l á bèo phủ kín 1 5 mặt hồ là 12 log5. Câ u 3 9 : SỞ BÌNH P HƯỚC Một người nuôi cá thì nghiệm trong hồ. Người đó thấy rằng nếu m ỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng 480 20 Pnn gam . Hỏ i phải t hả bao nhiê u cá tr ê n một đơn vị d iện tích của mặt h ồ để sau một vụ t hu hoạc h đ ư ợc nh i ề u c á nhất? A. 12. B. 14. C. 10. D. 18. Hư ớng dẫn gi ải Ch ọ n A . Cá ch 1 : T hế đáp án: Số cá trên m ỗi đ ơn v ị di ện tích 12 14 1 0 18 Số cân nặng: 28 80 2 8 00 2 8 0 0 2 1 60 480 20 ( ) n n gam Cá ch 2 : Số cân nặng của n con cá là: 22 ( ) 480 20 20 480 20( 12) 2880 2880 fn n n n n n Vậy giá trị lớn n h ất c ủ a () f n là 2880 đạt được khi 12 n . Ch ú ý : hà m f như một h àm số the o biến số th ự c, chứ không phải biến s ố ngu y ê n dươ n g Câ u 4 0 : SỞ BÌNH P HƯỚC Một khố i c ầu có bán kí n h l à 5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt ph ẳng son g so n g cùng v uông gó c đường k ính và cách tâm một khoản g 3 dm đ ể làm một ch iếc lu đ ựng nước n h ư hì nh v ẽ. T í nh t hể t íc h mà chiếc l u chứa được . A. 3 100 3 dm B. 3 43 3 dm C. 3 41 dm D. 3 132 dm Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D . Cá ch 1 : Trên h ệ tr ục t ọ a đ ộ Oxy , xét đường trò n 22 ():( 5) 25 Cx y . Ta t hấy nếu cho nử a t r ên t r ụ c Ox của C qua y q u an h trục Ox ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hì nh phẳng H gi ớ i hạ n bởi nửa tr ên t rụ c Ox của C , trụ c Ox , h ai đ ư ờn g thẳng 0, 2 xx q uay x ung q uan h t rục Ox t a sẽ đ ư ợ c kh ối t ròn x oay c h í n h l à phần c ắt đ i củ a khối cầu tro ng đề b à i . Ta có 22 2 (5) 25 25 ( 5) xy y x Nử a t rên t r ục Ox c ủa C có p h ương trì nh 22 25 ( 5) 10 yx xx T hể tíc h vậ t th ể trò n x oay k hi c ho H qua y qua nh Ox là: 2 2 3 22 1 0 0 52 10 d 5 33 x Vxxx x Th ể tích k hối cầ u là : 3 2 4 500 V.5 33 Th ể tích c ần tìm: 3 21 500 52 2 2. 132 33 VV V dm Câ u 4 1 : SỞ BÌNH P H Ư ỚC Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức . rt SAe , trong đó A l à số lư ợng vi khuẩn b a n đầu, r là tỉ l ệ tăng t rưởn g, t l à thời gi an tăn g trư ởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi số con vi khuẩn sa u 10 giờ ? A. 1000 . B. 850 . C. 800 . D. 900 . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D . Trước tiên, ta t ìm tỉ lệ t ăng trưởng m ỗi g iờ c ủ a loại vi kh uẩn này. Từ g iả t hiết ta có: 5 ln 300 ln100 ln 3 300 100. 55 r er Tức t ỉ lệ tă n g trư ởng củ a loại vi khu ẩ n này là ln3 5 r mỗi g i ờ. Sa u 10 giờ, từ 100 co n vi khuẩ n sẽ có ln3 10. 5 100. 900 e con. Câ u 4 2 : C HUYÊN PHAN B ỘI C H U Mộ t m i ếng bìa hình t am gi á c đề u ABC , cạnh b ằng 16 . Học s i nh T rang c ắt m ột h ình chữ nhật MNPQ t ừ miếng b ì a trên đ ể l à m b i ển t rông xe ch o l ớ p tro ng buổi n goại k h ó a với , M N thuộc cạnh BC ; P , Q lần lượt thuộc cạnh AC và AB . Diện t í c h hình c h ữ n h ậ t MNPQ lớn nhấ t b ằng b ao nhiêu? A. 16 3. B. 83. C. 32 3. D. 34 3. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Đặt 16 ,0 16 2 x MN x x BM 3 tan 60 16 2 QM QM x BM Xé t hà m số 2 33 16 16 max 32 3 22 Sx x x x x S khi 8 x . Câ u 4 3 : C H U YÊN ĐHSP H N Một đám vi t rùn g t ạ i ngày thứ t có số lượng () Nt , biết r ằng 7000 () 2 Nt t và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng bao nh iêu c o n? A. 302542 c on. B. 322542 con. C. 312542 co n . D. 332542 co n . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Ta có 7000 ( ) ( )d d 7000ln | 2 | 2 Nt N t t t t C t Do (0) 300000 300000 7000ln 2 NC Khi đ ó (10) 7000ln12 300000 7000ln 2 312542 N . Chọ n C Câ u 4 4 : C H U YÊN ĐHSP H N Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ông vua hứa sẽ thưởng cho một vị quan món quà mà vị quan được chọn. Vị quan tâu: “Hạ thần chỉ xi n Bệ Hạ thư ởng cho m ột số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: Bàn cờ vua có 64 ô thì với ô thứ n h ất xin nhậ n 1 h ạ t, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ 2, … ô s au nhận số h ạt t h ó c gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước”. Giá trị nhỏ nhất của n đ ể tổng s ố hạ t thóc m à v ị qua n từ n ô đ ầu t iê n từ ô thứ nh ất đến ô th ứ n lớn hơn 1 triệu là A. 18 . B. 19. C. 20 . D. 21 . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Bài toán dùng tổ ng n s ố h ạ ng đ ầu tiên của m ộ t cấp số nhâ n. Ta có: 21 12 21 ... 1 1.2 1.2 ... 1.2 1. 2 1 21 n nn nn Su u u 66 2 2 1 10 log 10 1 19.93. n n Sn Vậy n nh ỏ nh ấ t thỏa yê u cầ u bài là 20. Câ u 4 5 : C H U YÊN Đ H SP H N Một người gửi ng ân h àn g 1 00 triệu đồn g t heo h ì nh t hức lãi ké p, lãi suất một tháng kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phầ n trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng trước đó. Sau ít nhất bao nhiêu tháng, n gư ời đ ó có nh i ều hơn 1 2 5 t riệ u . A. 45 th á n g. B. 47 th áng. C. 44 thá ng. D. 46 tháng . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Áp dụng cô ng thức lãi kép gửi 1 lầ n: 1 n NA r , V ớ i 6 100.10 A và 0 0 0,5 r . Th eo đề bài ta tìm n b é nhất sao cho: 86 10 1 0,5% 125.10 n 5 10,5% 4 n 201 200 5 log 44,74 4 n Câ u 4 6 : P H A N ĐÌNH P HÙNG – HN Áp suất khôn g kh í P đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmH g tại độ cao x đo bằng mét so với mực nước biển được tính theo công thức 0 xl P Pe , trong đó 0 760 P mmHg là áp suất không khí ở mức nước biển, l là hệ số suy giảm. Biết r ằng ở độ ca o 1000 mét thì áp suất không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất ở đỉ nh F anxipan cao mé t l à b ao nhiêu? A. 22,24 mmHg. B. 519,58 mmHg. C. 517,94 mm Hg. D. 530,23 mmHg. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D . Ở độ c ao 1000 m ét áp suất khôn g khí là 672,71 mmHg Nên 1000 672,71 760 l e 1000 672,71 760 l e 1 672,71 ln 1000 760 l Áp suất ở đỉnh Fanxipan 1 672,71 3143. ln 3143 1000 760 760 760 717,94 l Pe e Câ u 4 7 : C H U YÊN ĐH V INH Tạ i một n ơ i k h ông có gió, một ch i ế c khí cầu đang đ ứng yên ở độ cao 162 mét so v ới m ặt đ ất đ ã được p hi công cài đặt ch o nó c h ế đ ộ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vậ n tốc tuân t heo quy l u ậ t 2 10 vt t t , trong đó t phút là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, vt được tính t h e o đ ơ n vị m ét/ p hú t / mp. Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là A. 5/ vmp . B. 7/ vmp . C. 9/ vmp . D. 3/ vmp . Hướng dẫ n gi ải Đáp án: C. Gọi thời đ iểm khí cầu b ắ t đầ u c h uy ển đ ộng là 0 t , thời đ iểm khinh khí cầu bắt đầu ti ế p đ ất là 1 t . Quã ng đư ờ n g khí cầ u đi đ ược từ t hời đi ểm 0 t đến thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là 1 t là 1 3 22 1 1 0 10 d 5 162 3 t t tt t t 493 1093 9 t, t , t Do 00 10 vt t nên ch ọ n 9 t . Vậy kh i bắt đ ầ u tiếp đ ất vậ n tốc v của k hí cầu là 2 910.9 9 9 / vmp Câ u 4 8 : C H U YÊN Đ H V INH Tr o n g nông n ghiệp bèo h oa dâ u được d ùng l à m phân b ón, n ó r ất t ố t cho cây trồ ng. M ới đ ây các nhà k hoa h ọ c Việt N am đ ã phát h iện r a b è o h oa dâu c ó t hể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một l ư ợng bèo hoa d â u chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nh au . Sau bao nhiêu n g à y bèo sẽ vừ a phủ k ín m ặ t hồ? A. 3 7log 25 . B. 25 7 3 . C. 24 7 3 . D. 3 7 log 24 . Hướng dẫ n gi ải Đáp án: A. 23 cm 5 cm Th eo đề bài số lượn g b èo ban đ ầu chiếm 0,04 diện tích mặt hồ. Sa u 7 ng ày s ố lượng b è o l à 1 0,04 3 d iện tí ch m ặt hồ. Sa u 1 4 ngày số lượn g bèo là 2 0,04 3 d iện tích m ặt h ồ. … Sa u 7 n n gày s ố l ượng b èo l à 0,04 3 n d iện tích mặ t hồ. Để b èo p hủ k ín m ặt hồ t h ì 3 0,04 3 1 3 25 log 25 nn n . Vậy sau 3 7log 25 ngày th ì b è o vừ a phủ kín mặt hồ. Câ u 4 9 : CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU Một ôtô đang chạy với vận tốc 19 / ms t hì người lái h ãm p h anh, ô tô chuy ể n độn g ch ậm dần đều với vậ n tố c 38 19 / , vt t m s trong đó t là khoảng th ời g ian tính bằng giây k ể từ l úc bắ t đ ầu h ãm p h a n h . Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn , ôtô còn di chuyển b a o nh i ê u mé t? A. 4,75 . m B. 4,5 . m C. 4, 25 . m D. 5. m Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Ta có thời gian ô tô bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là : 1 38 19 0 2 tt s . Trong khoảng thời gia n n ày ô t ô di chu yển một đ o ạ n đ ường : 1 1 2 2 2 0 0 19 38 19 d 19 19 4,75 4 s tx t t m m . Câ u 5 0 : C H U YÊN NGU Y ỄN Q UA NG D IỆU Một cái t ụ c lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều dài lăn l à 23cm hình bên. Sau khi lăn trọ n 15 vò n g th ì tr ục lăn t ạo nên sân phẳng một di ệ n diện tí ch là A. 2 1725 . cm B. 2 3450 . cm C. 2 1725 . cm D. 2 862,5 . cm Hướng dẫn gi ải Ch ọ n B . Diện tích x u n g quanh c ủ a mặt trụ là 2 2 2 .5.23 230 xq SRl cm . Sa u kh i l ă n 15 vòng thì di ệ n tích phầ n sơn được là: 2 230 .15 3450 Scm . Câu 51 : NGÔ S Ĩ LI ÊN M ộ t n g ư ờ i l ái x e ô tô đ a n g c h ạ y v ới v ậ n tố c 20 / ms th ì n g ư ờ i l á i x e p h á t h i ệ n có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45m tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào vì vậy, ng ười lái xe đ ạp phanh. Từ t hời điểm đó xe c huyển độ ng c hậm dần đều với vận tốc 520 vt t / ms , t ro ng đ ó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp ph an h. H ỏi t ừ lúc đạp phanh đến khi dừ ng hẳn, xe ô t ô còn cách hà ng r ào n găn cách b ao n h iêu mét t ính từ vị trí đầu xe đến hàn g rào ? A. 5 m . B. 4 m . C. 6 m . D. 3 m . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . X e đ ang c h ạ y vớ i vận tố c 20 / vms tương ứng với thời điểm 0 ts Xe đừng lại tương ứ n g với th ời điểm 4 ts . Quả ng đ ường xe đ ã đ i là 4 4 2 0 0 5 5 20 d 20 40 2 St t t t m . Vậy ô tô cách hàn g rà o một đoạn 45 40 5 m . Câ u 5 2 : NGÔ S Ĩ LI ÊN Biết thể tích khí 2 CO năm 1998 là 3 Vm . 10 n ăm t iếp the o , thể t í ch 2 CO tăng % a , 10 n ăm tiếp th eo nữa, th ể tích 2 CO tăn g % n . Thể tích khí 2 CO năm 2016 là A. 10 8 3 2016 36 100 . 100 .. 10 an VV m B. 18 3 2016 .1 . VV an m C. 10 3 2016 20 100 100 .. 10 an VV m D. 18 3 2016 .1 . VVV an m Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Ta có: Sa u 1 0 năm t hể tích khí 2 CO là 10 10 2008 20 100 1 100 10 a a VV V Do đ ó, 8 n ăm t iế p theo t h ể t ích kh í 2 CO l à 10 88 2016 2008 20 10 8 10 8 20 16 36 100 11 100 10 100 100 100 100 . 100 10 10 10 a nn VV V an a n VV Câ u 5 3 : NGÔ S Ĩ LIÊN Cho tam giác đều và hình vuông cùng có cạnh bằng 4 đ ư ợ c xếp ch ồng l ê n nh au s ao c h o một đỉnh c ủa t am g iác đều trùng với tâm của hình vu ô ng, trục củ a t am giá c đề u trù ng với t rục của hình vuông như hình vẽ. Thể tích của vật thể tròn xoay si nh bởi hình đã cho kh i qua y q u an h tr ục AB là A. 136 24 3 . 9 B. 48 7 3 . 3 C. 128 24 3 . 9 D. 144 24 3 . 9 Hướn g dẫ n gi ải Ch ọ n D h R' R H C A KKhi x o a y qu a n h t rục AB thì : Ph ần hình vu ôn g p h ía trên trở th ành lăng trụ có bán kính R 2 , ch iều ca o h 4 2 1 2.4 16 V Phầ n dưới trở thàn h hì nh nó n c ụt v ới 23 2 2 3 1 hHK AK AH ; 2 R '21 2 ' 23 3 3 3 RAH R R RAK Áp dụn g 22 24 3 8 ' ' ... 1 3 ... 9 hR R VRR Vậy 12 24 3 136 9 VV V . Đáp án là câu D Câ u 5 4 : NGÔ S Ĩ LIÊN Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ 5km , trên bờ biển có một kho hàng ở vị trí C cách B một khoảng 7km . Người canh hải đăng có thể chèo thuyề n t ừ A đến M t rê n b ờ b iển với vận tốc 4/ km h rồi đi bộ từ M đến C với vận tốc 6/ km h . X ác đ ị nh đ ộ dài đoạn BM để người đó đi từ A đ ến C nh a nh n hất. A. 32 . km B. 7 . 3 km C. 25km. D. 7 . 2 km Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Gọi BM x km , 07 x . Kh i đ ó: 2 25 AMx và 7 MCx Th eo đề bài ta có: 2 25 7 46 x x fx 2 2 3225 425 x x fx x Ch o 2 2 0 0 0225 3 25 20 25 x x fx x x x x x Khi đ ó : 29 0 12 f , 74 7 4 f và 14 5 25 12 f Vậy 0;7 14 5 min 2 5 12 x fx f . Câ u 5 5 : C H U YÊN TH ÁI B Ì N H B ạ n A có một đoạn dâ y d ài 20m . Bạn chia đoạn dây thà nh h ai p hần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài p h ần đ ầ u b ằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trê n là nh ỏ nhất? A. 40 . 94 3 m B. 180 . 94 3 m C. 120 . 94 3 m D. 60 . 94 3 m Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B . Bạn A chia sợi d ây thàn h h ai phần có đ ộ dài x m và 20 x m , 020 x như h ình vẽ. Ph ần đ ầu uốn thành tam giác đ ề u có cạnh 3 x m , di ện tích 2 2 2 1 33 . 34 36 xx Sm Ph ần còn lại u ốn th à nh h ìn h vuông có c ạ nh 20 4 x m , di ện t ích 2 2 2 20 4 x Sm Tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi 2 2 320 36 4 x x fx nhỏ nhất trên khoảng 0; 20 . Ta có: 320 180 '0 18 8 43 9 xx fx x . Bản g bi ế n th iên: x 0 180 43 9 20 f x 0 f x Dựa vào b ả ng b iến thiên ta được 180 43 9 x . Câ u 5 6 : C H U YÊN THÁI BÌNH Một qu ả bóng b à n v à một chiếc c h én h ình trụ có c ùng chiều c a o. Người ta đ ặt q uả bó n g lên chiếc chén th ấy phầ n ở ngo ài c ủa quả bó ng có chiều cao bằng 3 4 chiều cao c ủ a nó . Gọi 1 V , 2 V lần lượt là th ể tích c ủ a quả bón g và chiếc ch é n, khi đ ó: A. 12 98 VV . B. 12 32 VV . C. 12 16 9 VV . D. 12 27 8 VV . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n A . Gọi 1 r là b á n kính quả b óng, 2 r là bán kính chiếc ché n, h là chiều cao ch i ế c chén. Th eo giả th i ết ta có 11 22 hr r h và 1 24 r h OO . Ta có 22 22 2 3 24 16 hh rh . Th ể tích c ủa quả bó n g là 3 33 11 44 1 33 2 6 h Vr h và t hể t ích của chén nước là 23 22 3 . 16 VBh rh h 1 2 8 . 9 V V Câ u 5 7 : C H U YÊN THÁI BÌNH Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước n h ư nhau . Phần kh ô ng gian còn trốn g tron g hộp chiếm: A. 65,09% . B. 47,64% . C. 82,55% . D. 83,3% . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B . Gọi đường kín h quả bón g bàn l à d . K h i đó kí ch thước của hình h ộ p chữ n hật là ,,3 dd d . Vậy thể tí ch của hìn h hộp chữ nh ật là 3 1 ..3 3 Vdd d d Th ể tích c ủa ba q u ả bó ng bàn: 33 3 2 4 34 382 dd Vr . Thể tích p h ầ n khô n g gian còn trố ng: 31 2 VV V Phầ n k hông gian c òn tr ống trong h ộp c h i ế m : 3 3 3 3 1 33 22 47,64% 33 d d V Vd . Câ u 5 8 : C H U YÊN THÁI BÌNH Một bể n ư ớ c có d ung tí ch 1000 lít .Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạ n nước. Tro ng giờ đầu v ận tố c nước chảy v à o b ể là 1 lít/1phút. Tro ng các giờ tiếp t heo vận tốc nước c h ả y giờ sau gấp đôi giờ liền t r ư ớ c. H ỏ i s au k hoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nướ c kết quả gần đ úng n h ất. A. 3,14 gi ờ . B. 4,64 giờ. C. 4,1 4 giờ. D. 3, 64 giờ. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n C . Trong giờ đầu ti ên, vòi nước chảy được 60.1 60 lí t nước . Giờ thứ 2 vòi chả y với vận tốc 2 lít/ 1 ph út nên v òi chả y được 60 2 120 lí t nước . Giờ thứ 3 vòi chả y với vận tốc 4 lít/ 1 ph út nên v òi chả y được 60 4 240 lít n ước. Giờ thứ 4 vòi chả y với vận tốc 8 lít/ 1 ph út nên v òi chả y được 60 8 480 lít n ước. r R D C A B R=5 r=2 M C F B E Trong 4 giờ đầu tiên, v ò i chảy đư ợc: 60 120 240 480 900 lí t nước . Vậy tro n g gi ờ thứ 5 vòi phải chảy l ư ợng nư ớc là 1000 900 100 lí t nước . Số p hú t chảy trong giờ t hứ 5 là100 :16 6, 25 phút Đổi 6, 25 : 60 0,1 giờ V ậy thời gian chảy đ ầy bể là k ho ản g 4,1 giờ. Câ u 5 9 : C H U YÊN THÁI BÌNH Mộ t vật c h u y ển đ ộng c h ậm d ần v ới v ận t ốc ( ) 160 10 ( / ). vt t m s Tìm quã ng đ ường S mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm 0( ) ts đến thờ i điểm vật dừ ng lại. A. 2560 . Sm B. 1280 . Sm C. 2480 . Sm D. 3840 . Sm Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B . T a có , v ật dừng lại khi () 0 160 10 0 16 vt t t s . Khi đó , quã ng đư ờ ng S mà vật di c h u yể n trong khoả ng thời gian từ th ời điểm 0( ) ts đến th ời đ iểm vật d ừ n g lại là 16 0 160 10 1280 . Stdt m Câ u 6 0 : SỞ GD BẮC NINH Phần k hô ng gian b ê n tr ong củ a ch ai nước ng ọt có h ì n h dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng 5, R cm bán kính cổ 2, 3 , rcmAB cm 6, BCcm 16 . CD cm Thể tích phần không gian bên trong của ch ai nước ngọt đó bằng: A. 3 495 cm . B. 3 462 cm . C. 3 490 cm . D. 3 412 cm . Hướng dẫn gi ải Thể tích k hối trụ c ó đườ ng cao CD : 23 1 .400 VRCD cm . Thể tích k hối trụ c ó đườ ng cao AB : 23 2 .12 VrAB cm . Ta có 5 4 2 MC CF MB MBBE Th ể tích p hầ n g i ới h ạn giữa BC : 22 3 3 .. 78 3 VRMCrMB cm . Suy ra: 3 12 3 490 VV V V cm . Ch ọn C Câ u 6 1 : SỞ GD BẮC NINH Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên t ro ng dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp có thể tích là 2 62,5dm . Đ ể t iế t kiệm vậ t l iệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là n hỏ nhấ t, S b ằng A. 2 106,25dm . B. 2 75dm . C. 2 50 5dm . D. 2 125dm . I M P N Q S B A O Hướng dẫ n gi ải Gọi a là đ ộ dà i cạnh đáy của hình lăn g trụ . Th eo bài ta có ch i ề u cao c ủ a lăn g trụ là 2 62,5 a . Suy r a 22 2 2 3 2 62.5 250 125 125 125 125 4. . 3 . . 75 S aa aaa aa aa aa . Dấu bằng xảy r a kh i 3 125 5 a . V ậ y S là nhỏ nhất bằng 75 . C họn đáp án B Câ u 6 2 : SỞ GD BẮC NINH Cho biết sự tăng dân số đ ược ước tính theo công thức . . Nr SAe trong đó A là d ân s ố của n ă m lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăn g d â n s ố hàng năm. Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người , tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên th ì đầu n ă m 2 0 2 5 d ân số của tỉnh nằ m trong k hoảng nà o? A. 1.424.300;1.424.400 . B . 1.424.000;1.424.100 . C. 1.424.200;1.424.300 . D . 1.424.100;1.424.200 . Hướng dẫ n gi ải Gọi 1 S l à dân s ố năm 2015 , t a có 1 1.153.600, 5, 1.038.229 SNA Ta có: 1 .. 1 1 ln . 5 Nr Nr S S A SAe e r A Gọi 2 S là dân s ố đầu năm 2025, ta có ln 15. 15. 5 2 . 1.038.229. 1.424.227,71 S A r SAe e Ch ọ n đá p á n C Câ u 6 3 : QU Ả NG X ƯƠNG I Một bình đựng nước dạng hình nón không đáy đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nư ớc tràn r a ngo à i là 3 16 9 dm . Biết r ằng một mặ t của kh ối t rụ n ằm t rên mặt trên c ủa h ìn h nón, c ác đ iểm trên đ ư ờ n g t ròn đáy còn lại đều thu ộc c á c đường sinh của hình nón như hình vẽ và khối trụ có chiều cao bằng đ ư ờn g kính đ áy của hình n ó n. D iện tí ch xun g q u an h xq S của b ình n ư ớc là: A. 2 910 2 xq Sdm . B. 2 410 xq Sdm . C. 2 4 xq Sdm . D. 2 3 2 xq Sdm . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B 6m O Xé t hình n ón : 3 hSO r , , rOBl SA . Xét hình trụ : 1 2 hr NQ , 1 rON QI SQI SBO 1 1 33 QI SI r r BO SO Thể tích khối trụ là : 3 2 11 216 26 99 t r Vrh r h 22 210 lh r 2 410 xq Srl dm Câ u 6 4 : QU Ả NG X ƯƠNG I Một mảnh v ư ờ n h ì nh t ròn tâm O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng , biết k i n h phí trồng c â y là 70000 đồng 2 / m . Hỏi cần b a o nhiêu tiền đ ể trồn g câ y trên d ải đ ất đ ó số ti ền đ ược làm tròn đ ế n hàn g đơn vị A. 8412322 đồn g. B. 8142232 đồng. C. 4821232 đ ồn g. D. 4821322 đ ồng. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n D Xé t h ệ tr ụ c tọ a độ o xy đ ặt vào tâ m khu vườn , kh i đ ó phương trì nh đường tròn tâm O là 22 xy 36 . Khi đó ph ầ n nửa cun g t ròn ph ía trê n trụ c Ox c ó phư ơng t r ình 2 36 (x) y x f Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới h ạn bởi tr ục hoà n h, đồ thị (x) yf và hai đường thẳng 3; 3 xx 3 2 3 236 xdx S Đặt 6sin 6cos x tdx tdt . Đổi cậ n : 3 6 xt ; 3 6 xt 6 66 2 66 6 2 36cos 36 (cos2t+1)dt 18(sin 2 t 2 t) 18 3 12 Stdt Do đ ó số tiề n cầ n d ù n g là 70000. 4821322 S đồng Câ u 6 5 : QU Ả NG X ƯƠNG I Bạ n Hù ng t rún g tu y ển v ào trường đại h ọ c A n h ưng vì d o kh ôn g đủ nộ p h ọ c ph í nên Hùng q u y ết đ ịn h vay ngân h àn g trong 4 năm mỗi nă m v ay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học bạn Hùng phải trả góp hàng thá ng s ố tiền T không đổi cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T h à n g thán g m à bạn Hùng ph ả i trả cho ngâ n h àng l à m trò n đến kết q u ả h àng đ ơ n vị là: A. 232518 đ ồn g . B. 309604 đồn g. C. 215456 đ ồn g. D. 232289 đ ồn g. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n đá p á n D Vậy sa u 4 năm bạn Hùn g n ợ ng ân hàng số tiền là: 43 2 3000000 3% 3% 3% 12927407,43 s Lúc n à y ta coi như b ạn Hùn g n ợ ngân hàn g khoản tiền ban đầu là 12.927.407,43 đồ ng, số tiền n ày bắt đ ầu đ ược tính lãi và được trả g óp trong 5 nă m . Ta có côn g thức: 60 60 . 12927407, 4 0,0025 .0,0025 232289 0,0025 n n Nr r r Câ u 6 6 : QUẢNG X ƯƠNG I Kh i cắt mặt cầu , SO R bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu , SO R nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đư ờng tròn đ áy k i a l à giao tuyế n củ a hình t r ụ v ới nửa m ặt c ầu . Biết 1 R , tính b án kính đ áy r v à chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu , SO R để khối trụ có thể tích l ớn nhấ t. A. 36 , 22 rh . B. 63 , 22 rh . C. 63 , 33 rh . D. 36 , 33 rh . Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n đá p á n C . Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy O'. Suy ra h ìn h trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: 22 2 hr R 01 hR 22 1 rh Thể tí ch k hố i trụ l à : 22 (1 h ) h (h) Vrh f 2 3 '(h) (1 3h ) 0 h 3 f h 0 3 3 1 f'(h) 0 f(h) 23 9 0 0 Vậy: 0;1 23 9 MaxV đvtt khi 6 3 r và 3 3 h Câ u 6 7 : LƯƠNG ĐẮC BẰNG Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệ u là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 cm . B ạ n m u ố n c ắt m ảnh tô n hìn h chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB để t ạo th àn h h ì nh t rụ c ó chiều cao b ằ ng MQ . Thể tích lớ n n h ất c ủ a chiếc thùng m à bạn A có thể làm đ ược là: A. 3 91125 4 cm . B. 3 91125 2 cm . C. 3 108000 3 cm . D. 3 13500. 3 cm . Hướng dẫ n gi ải Gọi I là trung đi ể m BC. Suy ra I là trung điểm M N Đặt MNx 090 x ; 3 (90 ) 2 MQ BM MQx AIBI Gọi R là bán k ính của tr ụ 2 x R 232 33 () (90 ) ( 90 ) 22 8 T x Vxxx Xé t 32 3 () ( 90 ) 8 fxx x vớ i 090 x . Khi đ ó : (0;90) 13500. 3 max ( ) x fx khi x 6 0 . Câ u 6 8 : C H U YÊN VĨNH P HÚC Một ngư ời gửi ti ế t kiệm ngân hàn g, mỗi tháng gử i 1 triệu đồng, với lãi suất kép 1% trên tháng. Gửi được hai năm 3 tháng người đó c ó công v iệc nê n đã r út toàn b ộ gốc và lãi về. S ố tiền ngườ i đ ó đ ư ợc r út l à A. 27 101. 1,01 1 triệ u đồng B. 26 101. 1,01 1 triệu đ ồn g C. 27 100. 1,01 1 tr i ệu đ ồng D. 100. 1,01 6 1 triệu đ ồn g Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Phương ph á p: Quy b à i toá n v ề tính tổng cấ p số n hâ n, rồi á p dụ ng c ông thức t í nh tổng cấp số n h â n: Dãy 12 3 n U ; U ; U ;...; U đ ược gọi là 1 C SN c ó công bội q n ếu: kk1 UU q T ổng n s ố h ạ ng đ ầ u ti ê n: n n1 2 n 1 1q s u u ... u u 1q Á p dụ ng công th ứ c tí nh tổ n g củ a cấp số nh â n Cá ch g iả i: Gọi số tiền n gười đ ó gửi hàng t h á n g là a1 tri ệu Đầu tháng 1: n gư ời đó có a Cuối thá ng 1 : ngư ờ i đó có a. 1 0,01 a.1,01 Đầ u tháng 2 ngư ờ i đó có : aa.1,01 A B C M N Q P8m Cu ối t hán g 2 n gười đ ó có: 2 1, 01 a a.1 , 01 a 1, 01 1, 01 Đầ u tháng 3 ngư ờ i đó có: 2 a 1 1, 01 1, 01 Cu ối t hán g 3 n gười đ ó có: 223 a 1 1,01 1,01 .1,01 a 1 1,01 1,01 …. Đến cuối t háng th ứ 27 n gười đ ó có: 227 a 1 1, 01 1, 01 ... 1 , 01 T a c ần t ính tổng: 227 a 1 1, 01 1, 01 ... 1 , 01 Áp dụng công thức cấp số nhân trên với công bội là 1,01 ta được 27 27 11,01 100. 1,01 1 10,01 triệu đồ ng. Câ u 6 9 : MINH HỌA L2 Ô ng An có một mản h v ườn hình e lip có đ ộ dà i trục l ớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m v à nh ận t r ụ c bé c ủ a e li p làm trục đối xứng như hình vẽ. Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 2 1m . Hỏ i ô n g A n cần bao n h iêu tiền đ ể trồng hoa trên dải đất đó? Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn. A. 7.862.000 đ ồn g. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đ ồn g. D. 7.826.000 đ ồng. Hướng dẫ n gi ải Ch ọ n B . Giả sử elip c ó phương trình 22 22 1 xy ab , với 0 ab . Từ g iả t hiết ta có 216 8 aa và 210 5 bb Vậy ph ư ơ ng trình c ủa e lip l à 2 22 1 2 1 5 64 8 1 5 64 25 64 8 yyE xy yyE Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường 12 ;; 4; 4 EE x x và diện tích c ủa dải v ườn là 44 22 40 55 264 d 64 d 82 Sxx xx Tính tích phâ n n ày bằn g phép đổi biến 8sin x t , ta được 3 80 64 S K h i đó số tiền l à 3 80 .100000 7652891,82 7.653.000 64 T . X Y Câu 70: MINH HỌ A L2 Ch o hai h ì n h v uôn g c ó cù ng c ạn h b ằ n g 5 được xếp c h ồn g lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại như hìn h v ẽ. Tính thể tíc h V của vật thể tròn xoay kh i qu ay mô hình trên xung qua n h trục XY . A. 125 1 2 6 V . B. 125 5 2 2 12 V . C. 125 5 4 2 24 V . D. 125 2 2 4 V . Hướng dẫ n gi ải Chọn C. Cách 1 : K h ố i trò n xoay gồm 3 p hần: Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng 5 2 có thể tí ch 2 1 5 125 5 24 V . Phần 2 : khối nón có ch iều cao và bán kín h đáy bằng 52 2 c ó thể tích 2 2 1 5 2 5 2 125 2 32 2 12 V Phần 3 : khối n ón cụt c ó thể tích là 2 2 3 5 2 1 125 2 2 1 1525525 32 2 2 22 24 V . Vậy thể tích khối trò n xo a y là 12 3 125 2 2 1 125 5 4 2 125 125 2 412 24 24 VV V V . Cách 2 : Th ể tích h ình trụ được t ạo th à nh từ h ình vuông ABCD l à 2 125 4 T VRh Th ể tích khối trò n xoay được tạo th àn h từ h ìn h vuô ng XEYF là 2 2 2 125 2 36 N VRh Th ể tích khối trò n xoay được tạo th àn h từ tam giác XDC là 2 1125 324 N VRh Th ể tích c ần tìm 2 54 2 125 24 TN N VV V V . Câ u 7 1 : Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3 Vm , hệ s ố k cho trước k ‐ t ỉ số g i ữ a ch iề u cao củ a h ố v à ch i ề u rộng của đ áy. G ọi ,, 0 xy h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. Hãy xác định ,, 0 xy h xây tiết kiệm nguyên vật li ệ u nhấ t. ,, x yh lần lượt là A. 3 3 3 2 2 21 2 1 2 2; ; . 44 21 kV k k V kV xy h k k B. 3 3 3 2 2 21 21 2 ;;2 . 44 21 kV k k V kV xy h k k C. 3 3 3 2 2 21 21 2 ;2 ; . 44 21 kV k k V kV xy h k k D. 3 3 3 2 2 21 21 2 ;6 ; . 44 21 kV k k V kV xy h k k Hướng dẫ n gi ải Đáp án C. Gọi () ,, ,, 0 xyh xyh > lần lượt là chiều rộng , c h i ề u dài và chiều cao của hố g a. Ta có: h khkx x = = và 2 VV Vxyh y xh kx = = = . Nên diện tích toàn phần của h ố g a là: ( ) 2 21 22 2 kV Sxy yh xh kx kx + =+ + = + x y hÁp dụng đạ o h à m ta có S nhỏ nhất khi () 3 2 21 4 kV x k + = Khi đó () () 3 3 2 21 2 2, 4 21 kk V kV yh k + == + . Câ u 7 2 : Khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm x m so với độ dài tự nhiên là 0,15 m của lò xo thì chiếc lò x o trì lại ch ố ng l ại với một lực 800 . fxx Hãy tìm công W sinh ra khi kéo lò xo t ừ độ d ài từ 0,15 m đ ến 0,18 . m A. 2 36.10 . WJ B. 2 72.10 . WJ C. 36 . WJ D. 72 . WJ Hướng dẫ n gi ải Đáp án A . C ôn g đ ư ợc sinh ra k hi kéo căn g lò x o từ 0 ,15 m đ ến 0 ,18m là: 0,03 20,03 2 0 0 800 .d 400 36.10 . Wxx x J - == = ò Chú ý: N ếu l ực là mộ t giá trị biến t h iê n n h ư nén lò xo và được xá c đ ịnh bởi hàm () Fx thì công si n h ra theo tr ục Ox từ a tới b là () d. b a AFxx = ò Câ u 7 3 : Nh ân ngày quốc tế p hụ nữ 8 ‐ 3 năm 201 7 , ông A qu yết địn h m u a t ặ ng vợ một món quà và đặt nó v ào trong một c h iếc h ộ p có t h ể t ích là 3 2 đvtt có đá y hình vuông và không có nắp . Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng với giá trị của nó ông quyết định mạ vàng cho chi ếc hộp , biế t rằng độ dạy l ớp mạ tại mọi điểm trên hộ p là như nhau . Gọ i chiề u cao và c ạ nh đáy củ a chiếc h ộ p lần l ư ợt l à . Để l ượng v àng tr ên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của p h ả i l à ? A. B . C . D . Hướng dẫ n gi ải Đáp án B . h;x h;x x2;h 4 == x4;h 2 == 3 4; 2 == xh 1; 2 == xh x x hTa có , để lượng vàng cần dùng là nhỏ nhấ t t hì D i ện tí ch S p hả i nhỏ nh ất t a có , Câ u 7 4 : Một đạ i lý x ăn g d ầ u cần làm một cái bồn dầu h ì nh t rụ b ằn g tôn c ó th ể t í ch 3 16 m . Tì m bán kín h đáy r củ a h ình trụ sao cho h ì n h t rụ được làm r a ít tốn ngu y ên vật li ệu n h ấ t. A. 0,8 . m B. 1, 2 . m C. 2. m D. 2, 4 . m Hướng dẫ n gi ải Đáp án C. Gọi () xm là bán kính của hình trụ ( ) 0 x > . T a có: 2 2 16 .. Vxh h x p == D iện tích toàn phầ n củ a hình t r ụ là: () () 22 32 22 2 , 0 Sx x xh x x x p pp p =+ = + > Khi đó: () 2 32 '4 Sx x x p p =- , ch o () '0 2 Sx x = = . L ậ p b ả n g b i ến t hi ê n, t a t hấ y d i ệ n tíc h đ ạ t g i á t rị n hỏ n hấ t khi () 2 xm = n ghĩ a l à b á n kí nh l à 2m . Câ u 7 5 : Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng m. Na m muốn mắc một bóng điện ở p h ía t r ê n và ch í n h giữ a chiếc bàn sao ch o m é p bàn nh ận đ ược n h iều á nh s án g nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c ‐ hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện . Khoảng cách nam cần tre o bóng đ i ệ n tí nh t ừ mặt bàn l à A. 1m B. 1 , 2 m C. 1.5 m D . 2m Hướng dẫ n gi ải Sxh x Sx. x x V x Vxh h x xx ì ï =+ ï ï ï = + = + í ï == = ï ï ï î 2 22 2 2 22 4 32 128 4 32 () () Sxfxf ʹxx x x x =+ = = - == 2 2 128 128 20 4 2 2 sin Cc l Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn h 0; Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn. M N là đ ườn g kính của mặt bàn . như hình vẽ Ta c ó và , su y ra cường độ s á n g là : . Lập b ả ng biến thiên ta th u được kết quả C l ớ n n h ất kh i , khi đ ó Câu 76: An h Phong có m ột c á i a o với diện tích 2 50m để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 2 20con /m và thu được 1, 5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình a nh t hấ y cứ t hả g iảm đi 2 8 con /m thì mỗi con cá thành phầm thu được tăng thêm 0,5kg . Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu c á giống để t hả ? giả sử kh ô ng c ó h a o hụt tro n g quá trì n h n u ô i A. 4 88 con. B. 658 c on. C. 342 con . D. 5 12 con . Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Số cá a n h Phong th ả tr ong vụ vừ a q ua l à 50.20 1000 = c o n K h ố i lượ ng tru ng bình mỗi co n cá t hàn h p h ần l à 1500 1, 5 / 1000 kg con = Gọ i 0 x > là số cá anh cần thả ít đ i cho vụ tới nên sẽ tăng 0,0625x k g/c on Ta có p h ương tr ì nh t ổng khối lượng cá thu đ ư ợc () ( )( ) 1000 1,5 0,0625 Tfx x x == - + () () () 0,125 61 0 488 max 16384 488 0,125 fx x x fx x fx ì ï ¢ =- + = = ï ï == í ï ¢¢ =- ï ï î Vậy ở vụ sau a nh c hỉ cần thả 1000 488 512 -= con c á g i ống . 2 α l N M Đ I h sin h l 22 2 hl 2 3 2 () ( 2) l Cl c l l 2 42 6 '. 0 2 .2 l Cl c l ll '0 6 2 Cl l l 6 l Câu 77: Với một đĩ a tròn bằn g t h é p t rán g c ó bán kính = 6 Rm p h ả i l à m một cái phễu b ằn g cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình q u ạt bị cắt đi phải bằn g b ao nhiêu đ ộ để hình nón có th ể t íc h c ực đạ i ? A. » 66 B. » 294 C. » 12,56 D. » 2, 8 Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Ta c ó th ể nh ận t hấy đườn g si n h c ủa h ình nón là b án k ính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau : Gọ i () xm là đ ộ dà i đ áy c ủ a hình nón phần còn lại sau khi cắt c ung hìn h quạ t của dĩa. Kh i đó p p == 2 2 x xr r Chiề u cao của hì nh nó n tí n h t h eo đị n h l í PIT AGO là p =- =- 2 22 2 2 4 x hR r R Thể tí ch k h ối nó n sẽ l à : pp pp == - 22 22 22 11 3344 xx Vrh R Đến đây c á c em đ ạo h àm h àm () Vx tìm được GTLN của () Vx đạt được khi p p == 2 64 3 xR Suy r a đ ộ d à i cung t ròn bị c ắt đi là :pp - 24 R pp a p - = » 00 26 4 360 66 26 Câu 78: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ c ó c ạ nh MN nằm trê n cạ n h BC, h a i đỉnh P và Q theo t h ứ tự nằm trê n h a i c ạ nh A C và A B của tam giác. X á c định g i á trị lớn nhấ t c ủa h ình chữ nh ật đó? A. B . O N 6 m 2 3 a 8 2 3 a 4C. D. Hướng dẫ n gi ải Gọi H là trung điểm của B C BH C H . Đ ặt BM x , ta có: Tam giác M BQ v uông ở M , và BM x Hình chữ n hật MNPQ c ó diện tích: Sx M N.Q M x 0 S’ 0 S V ậy khi x Câ u 7 9 : Ch o một tấ m nh ô m hình vu ông cạnh 6 cm. Người ta mu ốn cắt m ột hì nh t ha ng như hình v ẽ . Tì m tổn g x y đ ể diện t ích h ì n h than g EFGH đ ạ t giá trị nhỏ nh ấ t. A . 7 B . 5 C . D . . Hướng dẫ n gi ải 0 2 3 a 2 a 2 a §iÒu kiÖn 0 x 2 a MN 2MH 2(BH BM) 2 x a 2x 2 0 B60 QM x 3 2 (a 2x)x 3 3(ax 2x ) aa S'(x) 3(a 4x); S'(x) 0 x 0; 42 a 4 a 2 2 3 a 8 2 a x0; 2 3 max S(x) a 8 a 4 x cm y cm 3 cm 2 cm H G F E D C B A 72 2 42Đáp án C T a có nhỏ nhất lớn nhất. Tính đ ược 1 Mặt kh ác đồng dạng nên 2 Từ 1 và 2 suy ra . Ta có 2S l ớ n nhất k h i và c h ỉ khi n hỏ n h ất. Biểu thức nhỏ nh ấ t . Câ u 8 0 : Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể t í ch 3 96000cm . Người th ợ dù ng l oại k ính để s ử d ụ ng l àm m ặt b ên c ó g i á thàn h 70000 VNĐ/m 2 v à loại kính đ ể l à m mặt đ á y có gi á t hà nh 100000 VNĐ/m 2 . Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá. A. 320000 VNĐ. B. 32000 VNĐ. C. 832000 VNĐ. D. 83200 V NĐ. Hướng dẫ n gi ải Đáp án D Gọi ( ) ( ) ,0,0 xym x y >> là chiều dài và chiều rộng của đáy bể, khi đó theo đề ta suy r a 0,16 0,6 0,096 xy y x == . Giá th àn h của bể cá được xác định theo h àm số sau: () 0,16 0,16 2.0,6 .70000 100000 fx x x xx æö ÷ ç ÷ =+ + ç ÷ ç ÷ ç èø () 0,16 84000 16000 fx x x æö ÷ ç ÷ = + + ç ÷ ç ÷ ç èø VNĐ () () 2 0,16 84000 1 , 0 0,4 fx f x x x æö ÷ ç ¢¢ ÷ =- == ç ÷ ç ÷ ç èø T a có b ảng biến thiên s au: D ựa vào b ả ng biến thiên su y ra c hi p hí thấ p nhấ t để ho àn thà nh bể cá là () 0,4 83200 f = VNĐ EFGH S AEH CGF DGH SS S S 22 3 (6 )(6y) xy4x3y36 Sx y x AEH CGF 6 AE AH xy CG CF 18 242(4x ) S x 18 4x x 18 4x x 18 3 2 422 2 xx y x – Câ u 8 1 : Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là: () ( ) () sin 1 / 2 t vt m s p pp =+ . T ính quãng đường vật đó di chuyển được trong khoảng thời gian 5 giây làm tròn kết quả đến hàn g p hầ n t răm. A. 0,9 . Sm » B. 0,998 . Sm » C. 0,99 . Sm » D. 1. Sm » Hướng dẫ n gi ải Đá p án D Ta có ( ) 5 0 sin 1 0,99842 2 t Sdtm p pp æö ÷ ç ÷ ç =+ » ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç èø ò . V ì làm tròn kết q u ả đến hàng phần t ră m nên 1 Sm » . Câ u 8 2 : Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đườ ng trò n bán kí nh , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đườ ng t ròn. A. B. C . D. Gọi l à độ d ài cạn h hình chữ n hật không nằm dọc th eo đ ường k ín h đường tr ò n . Khi đó độ d à i cạnh h ình chữ nhật nằm dọc trên đư ờng trò n l à : Diện tích h ì nh chữ nh ậ t: Ta có . Suy ra l à điểm cực đại của hàm . Vậy diện t ích lớn nhất của hình ch ữ nhật là: 10cm 10 cm x 2 80cm 2 100cm 2 160cm 2 200cm () x cm ( ) 010 x << ( ) 22 210 . x cm - 22 210 Sx x =- 2 22 2 2 22 2 210 2.10 4 10 x Sx x x ¢ =-- = - - () () é ê = ê ê ¢ = ê ê =- ê ë 10 2 thoûa 2 0 10 2 khoâng thoûa 2 x S x 10 2 84020 2 SxS æö ÷ ç ÷ ¢¢ ¢¢ =- = - < ç ÷ ç ÷ ÷ ç èø 10 2 2 x = ( ) Sx () 2 22 10 S 10 2. 10 100 2 cm =-=Câ u 8 3 : Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm Hải Vân Đà Nẵng được cho bởi côn g t hức () 2 290,4 v 0,36 13,2 264 fv vv = ++ xe/giây, trong đó ( ) / vkm h l à v ậ n tốc trun g bình của các xe khi vào đường hầm. Tính lưu lượng xe là lớn nhất. Kết quả thu được gần với giá trị nào sau đâ y nhấ t ? A. 9 . B. 8,7 . C. 8,8 . D. 8,9 . Hướng dẫ n gi ải Đáp án D Ta có () () () 2 2 2 290,4 0,36 264 ' 0,36 13,2 264 v fv vv -+ = ++ với 0 v > . () 264 '0 0,6 fv v = = Khi đ ó () () 0; 264 8,9 0,6 v Max f v f Î+¥ æö ÷ ç ÷ ç =» ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø x e /giây Câ u 8 4 : Mộ t màn ảnh hình c h ữ n hậ t cao 1, 4m và đặt ở độ cao 1, 4m so với tầm mắt tính từ đầu mép dưới của màn hình. Để nhìn rõ n hấ t phải x ác đ ị n h vị t rí đ ứng sao c h o g ó c nhìn lớn n h ất. Hãy x á c định v ị trí đ ó ? Biết rằ ng g óc BOC nhọ n. A. 2,4 AO m = . B. 2 AO m = . C. 2,6 AO m = . D. 3 AO m = . Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Đặt độ d ài cạn h ( ) ( ) ,0 AO x m x => Suy ra 22 3,24 , 10,24 BO x CO x =+ = + T a sử dụng đ ịnh lí co s in tro ng t am giác OBC ta có: ()( ) ()( ) 22 22 2 22 3,24 10,24 1 ,96 cos 2. 23,24 10,24 xx OB OC BC BOC OBOC xx ++ + - +- == ++ ()( ) 2 22 5,76 3,24 10,24 x xx + = ++ Vì góc BOC n ê n b à i t o á n t r ở t h à n h t ì m x đ ể () ()( ) 2 22 5,76 3,24 10,24 x Fx xx + = ++ đ ạ t g i á t r ị n h ỏ nhất. Đặt ( ) ( ) 2 3,24 , 3,24 xtt += > . Suy ra () () () 63 25 63 25 725 7 t t Ft tt tt + + == ++ Ta đi tìm t để Ft đạt giá trị nh ỏ nh ất. () () ()() () () 27 25 7 25 63 27 25 63 1 ' 25 7 25 7 t tt t tt t Ft tt tt æö æö ÷ ç÷ ç ÷ ÷ + ç ç ÷ ÷ ç ç +- + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ç+÷ èø ÷ ç == ÷ ç ÷ ç ÷ + ç + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 50 7 25 63 2 7 1 1 49 441 25 25 27 7 2 7 7 tt t t t tt tt tt tt æöæ ö ÷÷ çç +- + + ÷÷ - çç ÷÷ çç ==÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ++ ++ çç÷÷ ÷÷ çç èøè ø () '0 9 Ft t = = Bảng biến th iê n t 3,24 9 +¥ () ' Ft ‐ 0 ( ) Ft min F Th ay vào đ ặ t ta có: ( ) 22 144 3,24 9 2, 4 m 25 xx x += = = Vậy để nhìn rõ nhấ t thì 2, 4 AO m = Câ u 8 5 : Một công ty nhận làm những chiếc thùng phi kín hay đáy với thể tích t heo yêu cầu là 3 2 m p mỗi chiếc yêu cầu tiết kiệm vật liệu nhất. Hỏi thùng phải có b án k ính đáy R và chiều cao h l à bao nh i ê u ? A. 1 2, 2 Rmh m == . B. 1 ,8 2 Rmh m == .C. 1 4, 8 Rmh m == . D. 1, 2 Rmh m == . Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Gọi R l à bán kính đ áy thùn g m , h : là ch i ề u cao c ủ a thùng m . ĐK: 0, 0 Rh >> Thể tích của thùng là: 22 2 2 R2 2 Vh Rh h R pp == == D iện tích toàn phầ n củ a th ù ng l à : () 2 2 2 22 2R 2R 2 R 2 R 2 tp Sh hR R R R R pp p p p æö æ ö ÷÷ çç ÷÷ =+ = + = + = + çç ÷÷ çç ÷÷ çç èø è ø Đặt () () 2 2 20 ft t t t p æö ÷ ç ÷ =+ > ç ÷ ç ÷ ç èø với tR = () () () 3 3 22 41 1 '4 ,'1 0 1 1 t ft t f t t tt p p - æö ÷ ç ÷ =- = = == ç ÷ ç ÷ ç èø Bảng biến thiên: t -¥ 0 1 +¥ ( ) ' ft ‐ 0 ( ) ft Min V ậy ta cần c h ế tạo th ùng với kích th ư ớc 1, 2 Rmh m == Câ u 8 6 : Mộ t cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ m ỗi c ái . Cửa hàng nên đặt hà ng bao n h iêu lần tro n g mỗ i năm và m ỗi l ần bao nh i ê u c ái đ ể chi phí h à ng t ồ n kho l à n hỏ nhấ t ? A. Đ ặt hàng 25 l ầ n, mỗi lần 100 c ái ti vi. B. Đặt hàn g 20 lần, mỗi lầ n 100 cái ti vi. C. Đ ặt h àng 25 lần, m ỗ i l ần 90 cái ti vi. D. Đ ặt h àng 20 lần , mỗi lầ n 90 cái ti vi. Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Gọi x là số ti vi m à c ừa hàng đặ t m ỗi lần 1;2500 x éù Î êú ëû , đơn vị cái S ố lượng ti v i trung bìn h gửi trong k ho là 2 x nên chi phí l ưu kho t ương ứ ng là 10. 5 2 x x = S ố lần đặt hàng mỗi năm là 2500 x và chi p h í đặt hàng là: () 2500 20 9x x + Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là: () () 2500 50000 20 9x 5x 5x 22500 Cx xx =++=+ + Lập b ảng biến t hiên t a được : ( ) min 100 23500 CC== K ết lu ậ n: đ ặt h àn g 25 lần, m ỗi lần 100 cái tivi. Câ u 8 7 : Tính đến đầu năm 2011 , dân số t oàn t ỉnh Bình P h ư ớc đ ạt g ần 905300 , mức tăng d ân s ố là 1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương 100% Trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1 . Đến n ă m học 2024 2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho họ c sinh lớp 1 , m ỗi phò ng dành cho 35 học sinh? Gi ả sử t rong năm si n h của lứa họ c s inh vào l ớ p 1 đó toàn tỉn h có 2400 n gư ời chết , số trẻ tử v ong trư ớc 6 t uổi không đ á ng k ể A. 459 . B. 222 . C. 458 . D. 221 . Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Ch ỉ nh ững em sinh n ă m 2 0 1 8 mới đ ủ tuổi đi h ọ c 6 tuổi vào lớp 1 năm học 2 024‐20 25 . Áp dụng cô ng thức 1 100 n n r SA để tính dân số n ăm 201 8. Trong đó: 905300; 1,37; 8 Ar n Dâ n số năm 2018 là: 8 1,37 905300. 1 1009411 100 A Dâ n số năm 2017 là: 7 1,37 905300. 1 995769 100 A Số trẻ vào lớp 1 là: 1009411 995769 2400 16042 Số p hòng học cần chuẩn b ị là : 16042:35 458,3428571 . Câ u 8 8 : Mộ t ô tô đ a ng c h ạy v ới v ận t ốc 10 / ms thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc () ( ) 510 / vt t m s =- + , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạ p pha nh đến k h i dừ ng h ẳn ô tô còn di chuyể n b ao n hi êu m ét? A. 0,2m . B. 2m . C. 10m . D. 20m . Hướng dẫ n gi ải Đáp án C T a có ô tô đi đ ượ c thêm 2 gi â y nữa với vận tố c chậm dần đ ều () ( ) 510 / vt t m s =- + ứ ng dụ ng tí ch ph â n, ta có qu ã ng đường cần t ìm là: () ( ) () 2 22 2 00 0 5 d510d 10 10 2 Svtt t t t t m æö ÷ ç ÷ ==-+ =-+ = ç ÷ ç ÷ ç èø òò * L úc dừng thì ta có : ( ) 05 10 0 2 vt t t =- + = = T ừ lúc đ ạp phanh đế n lúc dừ ng h ẳ n, ô tô đ i được quãng đ ườ ng: 2 0 1 2 Svt at =+ Với () ( ) 2 0 5 1 2 10.2 5 .2 10 2 10 a tS m v ì ï =- ï ï ï = = + - = í ï ï = ï ï î * Á p dụng c ô n g thứ c lý 10 t a c ó: 22 21 2. . vv as -= T a còn có c ông th ứ c l iên h ệ giữa vận tốc và gi a tốc: 0 . vv at =+ D ựa vào phươ ng t rình chuy ển độ ng t hì () 2 5/ ams =- K hi d ừn g h ẳn thì ta có ( ) 2 0/ vms = T heo cô ng t hứ c b an đầu, ta được ( ) () 22 2 21 010 10 2 2. 5 vv sm a - - == = - . Câ u 8 9 : Mộ t công ty bất độ ng s ản có 50 căn h ộ ch o th u ê . B i ết r ằng n ế u c h o thuê m ỗi căn h ộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đ ồn g mỗi th áng th ì có t hể 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhậ p cao nhất, côn g ty đó ph ả i cho th u ê với giá mỗi căn hộ l à b ao nh i ê u ? A. 2.250.000. B. 2.350.000. C. 2.450.000. D. 2.550.000. Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Gọi x là giá cho thuê thực tế c ủ a mỗi căn h ộ, x – đ ồn g; 2000.000 x ³ đ ồn g . Số căn h ộ cho thuê đư ợ c ứ n g với gi á cho thu ê : () () 11 50 2000000 90, 1 50000 50.000 xx -- =- + Gọi () Fx là hàm lợi nhuận t hu được khi cho th u ê cá c c ă n hộ , () Fx : đồng. Ta có () 2 11 90 90x 50.000 50.000 Fx x x x æö ÷ ç ÷ =- + =- + ç ÷ ç ÷ ç èø Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của () 2 1 90x 50.000 Fx x =- + với điều kiện 2000.000 x ³ () 1 '90 25.000 Fx x =- + () 1 ' 0 90 0 2.250.000 25.000 Fx x x =- + = = T a lập b ảng biến thiên: x 2000.000 2.250.000 +¥ () ' Fx 0 - () Fx max F Suy ra () Fx đ ạt g iá trị lớn n hấ t khi 2.250.000 x = Vậy công ty phải ch o thu ê với giá 2.250.000 đ ồ ng m ỗi c ă n h ộ thì đ ư ợc lãi l ớn nh ấ t. Nhận x ét: L à m sao ta có thể t ìm đ ược h ệ số 1 50000 tron g biểu thức () 1 ? Ta có thể hiểu đơn giản như sau: Số căn hộ cho thuê mỗi tháng ứng với số tiền cho thuê; () 50 2000.000 2.000.000 mx x -- = thì số căn hộ được thuê là50 . Nếu số tiền cho thuê tăng lê n l à 2.100.000 x = thì c ó 2 căn hộ đ ể trố n g, nghĩ a là có 48 người thuê. Ta có: () 1 50 2.100.000 2.000.000 48 50000 mm -- == . Câu 90: Cần phải làm c ái c ử a s ổ mà , ph í a t rê n là h ì n h b á n nguyệt, ph í a dư ới là h ìn h c h ữ nhậ t , có c h u v i là () am a c hín h là c h u vi h ình b á n nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nh ật là dâ y cun g c ủ a h ì n h bán nguyệt. H ã y x á c địn h c á c kí ch t h ước của nó để di ện tích c ửa sổ l à lớn nhấ t ? A. c hi ều rộng bằng p + 2 4 a , c hiều c ao b ằng p + 4 a B. c hiề u rộ ng bằng p + 4 a , chiều cao b ằng p + 2 4 a C. chiều rộng bằng p + (4 ) a , chi ều cao bằng p + 2(4 ) a D. chiều rộng bằ ng (4 ) - a p , chi ều cao bằng 2(4 ) - a p Hướng dẫn g i ải Đáp án A Gọ i x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán ngu yệt là px , t ổ n g b a cạnh c ủa hì n h chữ nhật là p - ax . Diện tích cửa sổ là: pp pp p -- = + = + =-+ = + - + 2 2 12 2 2(2)(2)( ) 22 2 2 2 2 xaxx a SS S x ax x x x . Dễ t h ấ y S lớn nhất khi p =- +2 2 a xx hay p = + 4 a x .Có t hể d ù ng đạo h à m hoặc đ ỉnh Pa rab o l Vậy để max S thì các k ích th ước của nó là: c hiều c ao b ằng p + 4 a ; chiề u rộng b ằn g p + 2 4 a Câ u 9 1 : Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước d ạng "Thu ỷ động h ọc" Ký h i ệ u diệ n tích t i ế t di ện ngang c ủa mư ơ ng là S, l à độ dài đường b i ên giới hạn của tiết di ện n ày, ‐ đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ đ ộng học nếu với S xác đ ị nh, là nhỏ nhất. Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? nếu mương dẫn n ước c ó t iết di ệ n ngang là h ì n h c h ữ n h ậ t A.== 4, 4 S xSy B.== 4, 2 S xSy C.== 2, 4 S xSy D.== 2, 2 S xSy Hướng dẫ n gi ải Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra t a có: S xy; =+ = + 2 2 S yx x x . Xét h àm số = () x + 2S x x . T a có ' () x - 2 2S x 1 - 2 2 2 xS x . ' () x 0 - = = 2 20 2 xS x S , khi đ ó y S x 2 S . Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là = 2 xS , y 2 S t hì mươn g có dạ ng t huỷ động h ọc. Câ u 9 2 : Mộ t thợ x â y muố n sử dụng 1 tấm sắt có c h iều dài là 4m , ch iề u rộng 1m để uốn th ành 2m khung đúc bê t ông, 1 khung hình trụ có đáy là hình vuông và 1 khung hình trụ có đáy là hình tròn. Hỏi phải chia tấm sắt thành 2 phần theo chiều dài như thế nào để tổng thể tích 2 khung là n h ỏ nhất ? A. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 42 , 44 pp ++ . B. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là 24 , 44 p pp ++ . x yC. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt c ó chiều dài là 24 14 , 44 p pp + ++ . D. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt c ó chiều dài là 414 2 , 44 p pp + ++ . Hướng dẫ n gi ải Gọi 12 , VV lần lượt là thể tích của khung hình trụ có đáy là hình vuông v à khu n g hình t r ụ có đáy là hình tròn. Gọi a l à chiều dài của cạnh h ình vuông và r là bán kính của hình tròn. Ta có: 22 12 VV a r p += + đơn vị thể tíc h. Mà () 12 42 4 2 ,0 2 ar a r r pp p += = - << . Su y ra () () 2 2 12 1 2 4 Vr V V r r pp =+ = + - . () () () () 12 22 , 0 4 4 Vr r r Vr r pp p p ¢¢ =- - = = + . L ậ p b ả n g biến thi ê n suy ra min 4 4 V p æö ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç + èø . Vậy, phải chia tấm sắt thành 2 phần: phần làm lăng trụ có đáy là hình vuông là () () 4 4 m p p + . Câ u 9 3 : Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 3 27cm với chiều cao là h và bán kín h đáy l à r đ ể lượng giấ y tiêu thụ là í t nhất th ì giá trị củ a r là: A. 6 4 2 3 2 r p = . B. 8 6 2 3 2 r p = . C. 8 4 2 3 2 r p = . D. 6 6 2 3 2 r p = . Hướng dẫ n gi ải Đáp án B T h ể tích c ủ a cốc: 22 2 181811 27 . Vrh rh h r p pp == = = 3 Lượn g giấy tiêu t hụ í t nh ất kh i v à ch ỉ khi d i ệ n tích xu ng qua n h nh ỏ nhất. 22 22 2 4 24 2 2 81 1 81 1 22 2 2 xq Srl rrh rr r rr pp p p pp == + = + = + 22 2 2 44 3 22 22 22 22 81 1 81 1 81 1 81 1 223.. 22 2 2 rr rr r r pp pp p p =+ + ³ 4 6 4 81 23 4 p p = the o BĐT Ca uchy xq S nhỏ nhất 28 8 46 6 22 2 2 81 1 3 3 22 2 rr r rpp p = = = . Câ u 9 4 : Giả sử tỉ lệ lạm p hát của Việt Nam trong 10 năm qua là 5% . Hỏi nếu năm 2007, g i á xăn g l à 12000 VND/lít . H ỏi năm 201 6 gi á ti ền x ăng là bao nh i êu tiề n một lít. A. 11340,000 VND/lít . B. 113400 VND/lít . C. 18615,94 VND/lít . D. 186160,94 VND/lít . Hướng dẫ n gi ải Đáp án C Gi á xăng nă m 2 00 8 là ( ) 12000 1 0,05 + Gi á xăng nă m 2 00 9 là () 2 12000 1 0,05 + … Gi á xăng nă m 2 01 6 là () 9 12000 1 0,05 18615,94 VND/lit +» . Câ u 9 5 : Ch o một tấm nh ôm h ì n h chữ nhật ABCD có 60 AD cm = . Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đ ến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lă ng tr ụ kh uyết hai đáy. Tìm x đ ể thể tích khối lăn g trụ lớn n hấ t ? A. 20 x = . B. 15 x = . C. 25 x . D. 30 x = . Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Ta có 60 2 PN x =- , gọi H l à trun g đ i ểm củ a PN suy r a 60 900 AH x =- () () ( ) () 1 . 60 2 60 900 60 2 15 225 2 ANP Sxx xx fx D =- - = - - = , do chiều cao của khối lăn g trụ khôn g đổi n ên t hể tích khối lăn g trụ ma x khi () fx max. () ( ) () () 45 20 ' 0 20, 20 100 3, 15 0 15 225 x fx x f f x -- === = = - () max f 100 3 x = khi 20 x = Câ u 9 6 : Mộ t lão nô ng chia đất ch o con trai đ ể người con c a n h t ác r iêng, biế t người con sẽ đ ược chọn m iếng đ ất h ình ch ữ nhật có chu vi bằng 800( ) m . Hỏi an h ta c h ọ n mỗi k í ch t hước c ủ a nó b ằng bao nhi êu đ ể d i ện tí ch ca n h t ác lớ n n hất? A. ´ 200 200 mm B. ´ 300 100 mm C. ´ 250 150 mm D. Đáp án khác Hướng dẫ n gi ải Đáp án A Gọi chiều dài và chiều r ộng của miếng đất lần lư ợt l à: và Diện tích miế ng đ ấ t: Th eo đề bài thì: h ay . D o đó: với Đạo hàm: . C ho . Lập b ả ng biến thiên ta được: k hi . Kết l u ận : Kích th ư ớc của miến g đ ất h ình chữ nh ật là là hìn h vu ô ng. Lư u ý: C ó thể đánh giá bằng BĐT Cô‐Sy. Câ u 9 7 : Mộ t trang c h ữ c ủ a một tạp c h í cần di ện t í ch l à 2 384cm . Lề trên, lề dưới là 3cm; lề phải, lề trái l à 2cm. Khi đó chiề u ng a ng v à ch iề u d ọc tối ưu của tran g g iấy lầ n lượt là: A.24 , 25 . cm cm B.15 , 40 . cm cm C.20 , 30 . cm cm D. 22,2 , 27 . cm cm Hướng dẫ n gi ải Đáp án C Gọi ( ) ( ) ,0,0 ab cm a b >> là độ dài chìu dọc và chìu ngang của trang chữ suy ra kích th ư ớ c trang giấy là 6, 4 ab ++ Ta có: () 384 .384 1 ab b a == Diện tích trang sách là: ()( ) 2304 6 4 4 408 Sa b S a a =+ + = + + T h e o b ấ t đẳng thức CA UC H Y ta c ó : 2304 2 4 . 408 600 Sa a ³ + = Suy ra 2304 600 4 24 MinS a a a = = = , suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu là: 30 ,20 cm cm Câ u 9 8 : Ông Bình muốn thiết kế mái cho một xưởng may có diện tích 2 20000 m có hai đồ án như sau: x y C=800 m () xm ()(, 0). ymxy > Sxy = 2( ) 800 xy += 400 y x =- 2 (400 ) 400 Sx x x x =-=-+ 0 x > ʹ( ) 2 400 Sx x =- + ʹ 0 200 y x = = max 40000 S = 200 200 xy == 200 200 ´ ‐ Công ty A thiết kế dạng hình vuông với mái là hình chóp tứ g iác đều có c h i ều c ao b ằ n g 70m . ‐ C ông ty B t h i ế t kế d ạ ng hìn h tr òn v ới má i là nửa mặt cầu ú p xuốn g . H ỏi thiết k ế của côn g ty A giúp tiết kiệm d iện tích má i h ơn ba o nh iêu 2 m ? A. 2 11857 . m B. 2 20000 . m C. 2 9000 . m D. 2 5000 . m Hướng dẫ n gi ải Đáp án A P h ư ơn g á n A : Hình chóp tứ giác đ ề u C hiề u dài c ủa cạnh b ê n là () () 2 2 50 2 4900 5000 30 11 70 hh += + = = Độ dài cạnh đáy là: 20000 ch iều ca o mặt bên . cạ n h đ áy () 2 2.30 11.100 2 6000 22 m == Phương án B: Mặt cầu: D iện tích h ình tròn lớn bằ ng 22 2 2 20000 20000 20000 20000 ; 2 2 40000 mat mR R S R m ppp pp = = = = = K ết lu ận: Vậ y ph ư ơn g á n A g iú p tiết k iệ n d i ệ n t ích mái h ơ n 22 2 40000 6000 22 11857 mm m -= Câ u 9 9 : Trên cán h đồng c ỏ có 2 con b ò được cột v ào 2 cây cọc kh ác n h a u. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tín h phần d iện tíc h m ặt cỏ lớn nhấ t mà 2 c o n b ò có th ể ăn c hung lấy g i á trị gần đ ú ng nh ấ t. A. 1,034 m 2 B. 1, 574 m 2 C. 1,989 m 2 D. 2,824 m 2 Hướng dẫ n gi ải Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi 2 sợi dây được kéo că ng v à là p hần giao củ a 2 đường tròn . Xét h ệ t rục tọa độ như h ình v ẽ , gọi , OM là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích p h ần đ ược tô màu. Ta có phương trình đường tròn tâm ( ) 22 2 :3 += Ox y và phương trình đường tròn tâm ( ) ( ) 2 22 :4 2 -+ = Mx y Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: 2 9 =- yx và () 2 44 =- - yx P h ương tr ì nh hoàn h độ giao điểm : () 2 2 21 44 9 48169 8 -- = - + - = = xx x x Diện tích phần được tô màu là: () 21 3 8 2 2 221 8 24 4 9 1,989 éù êú êú = --+ -» êú êú êú ëû òò Sxdx xdx . Ta c ó thể giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm má y. Chọn C . Câ u 1 0 0 : Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m 3 có 3 chú nhện con rất hay cãi vã nên phải sống riêng. Mùa đông đến, vì đói rét nên ch úng đành q uyết đ ịnh h ợ p tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ gi ăn g một mản h l ưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì có thể mép giữa 2 bức tường, g i ữ a tư ờng với trần, hoặc gi ữ a tường với nền r ồ i p h ó ng những sợi tơ làm khung đến vị trí cũng 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Nhưng vì vốn đã có hiềm khích từ lâu, nên trước khi bắt đầu, ch ún g quy đ ịnh để t ránh x ô xát, không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường , nền h oặc t rần nh à. Tính c h u v i nh ỏ nhất c ủa m ảnh lư ới đ ược giăng biết các sợi tơ khu ng căng và khô ng nh ùn. A.15 6 mét B.230 m ét C.12 10 mé t D.10 2 m ét Hướng dẫ n gi ải Bài toán này ta s ẽ giải quyế t b ằ ng cá ch ứng d ụ ng p h ương p há p t ọ a độ trong k hông gi a n. Đặt h ệ t r ụ c tọa độ như h ì n h vẽ. K h ô n g mất tí nh t ổng q u át, và d ự a vào yêu cầ u về v ị trí 3 co n nh ện t a xá c định là cá c điểm ,, MNP nằm trên cá c cạnh '', ', AB CC AD như h ình v ẽ . Yê u cầ u bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm ,, MNP để chu vi tam giác MNP nhỏ n hấ t. Đặt ()( ) ( ) ;10;0 , 0;0; , 10; ;10 Mx P z N y . Chu vi tam giác MNP là : () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ++ = - + - + + + + - + + + =- + - + + + - + + +- + MN NP PQ x y y z x z xy y z z x Áp dụng bấ t đẳng t hức ve c t o : ()( ) () ()( )( ) () ( ) 22 2 22 2 22 2 22 10 20 20 10 10 10 10 10 10 10 2 5 450 10 10 10 15 6 MN NP PM x y y z z x xy z y z x yz x + + ³ -+ + +- + + +- + ³ -++ + - + - - + + + =+-- + + + + ³ Dấu bằng x ảy ra k h i 5 10 10 10 25 5 10 10 10 10 20 20 10 ì ï ï ï +- = ì ï ï = ï ï ï ï -- ï ï ï == -==== íí ïï - ïï += ïï ïï -+ + - î ï == ï ï - ï î yz x yz xy yx x y z yz xy xy y z zx Vậy gi á trị cần tìm là 15 6 . Chọn A . Câ u 1 0 1 : Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10 m được đặt song song và cách mặt đất () hm . Nh à có 3 trụ tại ,, AB C vuông gó c với ABC . Trê n t rụ A người ta lấy hai điểm , M N sao cho , AM x AN y == và gó c g i ữ a MBC và ( ) NBC bằn g 90 để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ng ôi nhà . (d) 10 x y B C M A N I A. 53 . B. 10 3 . C. 10 . D. 12 . Hướng dẫ n gi ải Đáp án B Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn N nằm trên mặt đất. Chiều cao của nhà là NM x y =+ . Gọi I là trung điểm của BC . T a c ó ABC D đều AI BC ^ , vì ( ) MN ABC MN BC ^ ^ , từ đ ó su y ra () 0 90 MI BC BC MNI MIN NI BC ì ï ^ ï ^ = í ï ^ ï î IMN D vu ô ng tạ i I n hận AI l à đường cao n ê n 2 2 10 3 .75 2 AMAN AI xy æö ÷ ç ÷ ç = = = ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø Theo bất đẳng thức Côsi: 2 2. 75 103 53 xy xy x y +³ = = = = D o đó chiều cao th ấ p n hấ t c ủ a n h à là 10 3. Câ u 1 0 2 : N H O Q UA N A Mộ t đư ờng d ây điện đ ư ợ c nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đ ảo ở C. k ho ả ng cách ng ắn nhấ t t ừ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5 000 U SD, còn đặt d ư ới đ ấ t m ất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là í t tố n ké m nhất. A. 15 4 km B . 13 4 km C . 10 4 D. 19 4 Hướng dẫ n gi ải Trước tiên, ta xâ y dựng hàm số f x là hàm số tính tổng c h i phí sử dụ ng. Đặt BS x thì ta được: 2 4, 1 SA x CS x . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 50 00 USD, còn đ ặt d ưới đ ấ t mất 3 0 0 0 U S D , nh ư v ậy ta có hà m số f x được xác định n hư sau : 2 3000. 4 5000. 1 fx x x với 0;4 x Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được vị trí điểm S. 2 ' 3000 5000. . 1 x fx x 2 2 2 2 ' 0 3000 5000. 0 3000 1 5000 0 1 315 3 16 9 3 . 4 4 0 0 x fx x x x xx x x x x x Hàm số f x liên tục trên đoạ n 0; 4 . Ta có: 3 0 17000, 16000, 4 20615,52813. 4 ff f Vậy gi á trị nh ỏ n h ất của f x là 16 000 và tại 3 . 4 x K hi đó ch i phí l à thấp nhấ t v à đi ểm S nằm cách A một đoạn 313 44 . 44 SA x Vậy đáp án là B . Câ u 1 0 3 : TH TT S Ố 6 73 Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại h a i vị t rí ,. AB B iết kh oảng cách giữa hai c ọ c b ằ ng 24m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đấ t n ằm giữ a hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc như hình vẽ. Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắ n n hất ? A. 6, 18 . AM m BM m == B. 7, 17 . AM m BM m == C. 4, 20 . AM m BM m == D. 12 , 12 . AM m BM m == Hướng dẫ n gi ải Đặt =< < = - (0 24) 24 AM x x BM x . Ta có =+ = + 22 2 100 CM CA AM x () =+ = - + 2 22 24 900 MD MB BD x .Suy ra tổ n g độ dài hai sợi dây là : () += - + + + = << 2 2 24 900 100 ( ),(0 24) CM MD x x f x x Khảo s á t hà m ta được: ( ) ( ) ==> 6=18 xm BM m . Chọn A . Câ u 1 0 4 : H À N Ộ I – AMSTERDAM C h o hai vị t rí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 1 18m v à 4 8 7m. Một người đi t ừ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đư ờn g ngắn nh ất m à ngườ i đó có t hể đi là: A. 5 6 9 ,5 m B . 6 71,4 m C. 779,8 m D. 7 41,2 m Hướng dẫn gi ải Giả sử n gười đ ó đi t ừ A đến M để lấy n ước và đ i từ M về B. dễ d àng tí nh đ ược 369, 492. BD EF == T a đặt , EM x = kh i đó ta được: () 2 22 2 492 , 118 , 492 487 . MF x AM x BM x =- = + = - + Nh ư vậy ta có hàm số () fx đ ược xác đ ị nh b ằ ng tổng quãn g đ ư ờ n g AM và M B: () () 2 22 2 118 492 487 fx x x =+ + - + với 0;492 x éù Î êú ëû T a cần tìm gi á trị nhỏ nhấ t của () fx đ ể có đ ược quãng đườn g ngắn n hất và từ đó xác định đư ợc v ị trí đ i ểm M . () () 22 2 2 492 '. 118 492 487 xx fx x x - =- + -+ () () () () () () ()() () ( ) 22 2 2 22 2 2 2 222 22 22 22 22 492 '0 0 118 492 487 492 118 492 487 492 487 492 118 492 487 492 118 0 492 487 58056 118 0 492 58056 58056 605 369 0 xx fx x x xx x x xx xx xx xx x xx x x hay x x - = - = + -+ - = + -+ -+ = - + ì éù ï ï -+ = - + êú ï êú ëû í ï ££ ï ï î ì ï ï= - ï í ï ££ ï ï î ==- ££ 58056 605 492 x ì ï ï ï = í ï ï ï î Hàm số () fx liên tục trê n đ oạn 0;492 éù êú ëû . So sán h các giá trị c ủ a (0) f , 58056 605 f æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø , ( ) 492 f t a có giá t rị n hỏ nhất là 58056 779,8 605 fm æö ÷ ç ÷ » ç ÷ ç ÷ ç èø Khi đó qu ã ng đường đ i ngắn nh ấ t là xấp xỉ 779,8m. Vậy đáp án là C . Câ u 1 0 5 : Anh Thái gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Sau mỗi tháng, chú Tư đến n gân h à ng rú t mỗi thá ng 3 triệu đồng đ ể chi tiêu c h o đ ến k h i hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì chú Tư rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết tron g suốt t hời gian đ ó , ngoài s ố tiền rút mỗi tháng c hú Tư không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đ ổ i. Vậy t hán g cuối cùng ch ú Tư sẽ rú t được số tiền là bao nh iê u làm t ròn đến đồng? A. 1840270 đồng. B . 3000000 đồng. C. 1840269 đồng. D . 1840268 đồng. Hướng dẫ n gi ải Ph ư ơ ng p h á p tự lu ậ n Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau n tháng () 11 100 19 100 100 n n n r r SA X r æö ÷ ç ÷ +- ç ÷ ç æö ÷ ç èø ÷ ç ÷ =+ - ç ÷ ç ÷ ç èø Với 50 A = triệu đồng, 0,6 r = và 3 X = triệu đồng ta được 1, 006 1 50.1,006 3. 0,006 n n n S - =- . Để rút hết số tiền thì ta tìm số nguyên dương n n h ỏ n hất sao cho 1,006 1,006 1 500 0 50.1,006 3. 500 450.1,006 0 log 18 0,006 450 n nn n Snn - < - - < > = Khi đ ó s ố ti ền t háng cuối cù ng mà Anh Th ái rút l à 17 17 17 1,006 1 .1,006 50.1,006 3. .1,006 1,840269833 0,006 S éù - êú =- » êú ëû triệu đồng 1840270 » đồ ng Phương ph áp trắ c nghiệm Nhập lên màn hình máy tính 1,006 1 50.1,006 3. 0,006 X X - - , tính giá trị chạy từ 10 đến 20 với step bằng 1 ta đ ược bằn g giá t rị tư ơ ng ứ ng và s ố t iền còn lại n hơ hơn 3 ứ n g với 17 X = . Từ đ ó tính đ ư ợ c số t iền rút ra ở t háng cuối c ù ng là 17 17 17 1,006 1 .1,006 50.1,006 3. .1,006 1,840269833 0, 006 S éù - êú =- » êú ëû triệu đồng 1840270 » đồ ng Câ u 1 0 6 : Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số % người xem mua sản phẩm là 0.015 100 () , 0 149 x Px x e . Hã y tính s ố q u ảng cáo đư ợc p h át t ối th i ểu đ ể số người mu a đ ạt h ơn 75% . A. 333 . B. 343 . C. 330 . D. 323 . Hướng dẫ n gi ải Khi có 100 quản g cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản ph ẩm l à: 1.5 100 100 9.3799% 149 P e Khi có 200 qu ả ng cáo phát ra th ì tỉ lệ người xem mua sản ph ẩm l à : 3 100 200 29.0734% 149 P e Khi có 500 qu ả ng cáo phát ra th ì tỉ lệ người xem mua sản ph ẩm l à : 7.5 100 500 97.3614% 149 P e Đáp án : A. Câ u 1 0 7 : CH U YÊ N Q UANG TRUNG LẦN 3 Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. Đường co n g trong hình v ẽ là các đ ường Par a b ol. A. 3 19m . B. 3 21m . C. 3 18 . m D. 3 40m . Hướng dẫ n g i ải Chọn D. Chọn hệ tr ục Oxy như h ì n h vẽ. Ta có Gọi 2 1 : P yax c là Para bol đi qua h ai điểm 19 ;0 , 0;2 2 AB Nên ta c ó h ệ p hư ơng t r ình sau: 2 2 1 8 19 0. 2 8 :2 361 2 361 2 2 a a Py x b b Gọi 2 2 : Py ax c là Parabol đ i q u a hai đ iểm 5 10;0 , 0; 2 CD Nên ta c ó h ệ p hư ơng t r ình sau: 2 2 2 1 5 0.10 15 40 2 : 5 5 40 2 2 2 a a Py x b b Ta có thể tích của bê tông là: 19 10 22 3 2 00 15 8 5.2 2 40 40 2 361 Vxdx xdxm Câ u 1 0 8 : NGUYỄN TRà I – HD Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao củ a chiếc cốc là 20cm , bán kính đáy cốc là 4cm , bán kính m iện g c ốc l à 5cm . M ộ t con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B . Quãng đường ngắn nhấ t để c on k i ế n có thể thực hi ện đư ợ c dự đị nh của m ì nh g ần đ ú n g nh ất với k ết q uả n ào dướ c đây? 0,5m 0,5m 19m 5m 2m 0,5m A. 59,98cm B. 59,93cm C. 58,67cm D. 58,80cm . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n D. Đặt ,, ba h l ần l ượt là bán k í n h đá y cốc, m iệng c ốc v à c h iều ca o củ a cốc, là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳn g sẽ đ ư ợ c một hình quạt củ a mộ t khuyên với cung n h ỏ "4 BBb và cung lớ n "4 AA a . Độ dài ngắ n nh ất c ủa đường đi của c on k iến là độ dài đoạn thẳ ng BA” . Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: 22 2. .cos2 (1). lBO OA BOOA 22 () . BAAB a b h 4( ) . 11 2 42 (AA ) aalBB OAOBAB AB AB b b b OB OB b l 22 2( ) 2 ( ) (). () ab ab a AB ab h 22 () 1() ba b h AB a a b OB b OB b b a b . 22 22 () () (). ba b h OA OB BA a b h c ab Th ay a , b, c vào 1 ta tì m được . l 58,79609 58,80 lcm Ghi ch ú. Để tồn tại lời g i ả i t rên thì đoạn BA ” p hải không cắt cung BB t ạ i đ iểm nào khác B , tứ c là B A” nằm dưới tiếp t uyế n của BB tại B. Điề u này t ư ơ ng đ ương với 1 2cos . b a T uy nhiên, trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này và đề bài cũng đ ã c ho t hỏa m ãn yêu c ầ u đó. Câ u 1 0 9 : NGÔ Q U Y ỀN – HP Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng gi á bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý t h ấ y rằng nếu t ừ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đ ồng thì mỗi t h áng sẽ bán í t h ơ n 100 chiế c. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000 . Hỏi cơ sở sản x u ất p hải b án với gi á mới là ba o n hiêu đ ể đạ t lợi nhu ận lớn n hất. A. 42.000 đồn g. B. 40.000 đ ồng. C. 43.000 đ ồn g. D. 39.000 đồng. Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n D. Gọi số t iền cầ n tăng g iá mỗi chiếc k h ăn là x ng hìn đồng. Vì cứ tăng giá thêm 1 ngh ì n đồng thì số k h ă n b á n ra g i ả m 100 c hiếc n ên t ă n g x ngh ì n đồ ng thì số xe khăn b án ra giảm 100x chiế c. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 100x chiế c. Lúc đầ u bán với gi á 30 ngh ì n đồng , m ỗi c h i ếc k h ă n có l ã i 12 nghìn đồng. Sau khi tăng giá, m ỗi ch i ếc k h ă n thu được s ố lãi là: 12 x ng h ì n đồ ng. D o đó t ổng số lợi nhuận m ột th áng thu đư ợc sau khi tăng giá là: 3000 100 12 fxxx n ghìn đồng . Xé t hà m số 3000 100 12 fxxx trên 0; . Ta có: 2 2 100 1800 36000 100 9 44100 44100 fx x x x . Dấ u bằng xả y ra k h i và chỉ khi 9 x . Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9.000 đ ồng, tức là mỗi ch iếc khăn bán v ới giá mới l à 39.000 đ ồn g. Câ u 1 1 0 : CH U YÊ N VINH – L2 C á c khí thải gây h iệu ứ n g nh à kí nh l à ngu y ên nhân c h ủ yếu làm t rái đất nóng lên. Theo OECD Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới, khi nhiệt độ trái đất t ă ng l ên t hì t ổ ng giá t r ị ki nh t ế toà n cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tă ng t h ê m 2 C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5 C thì t ổng giá trị ki nh t ế t oàn cầu giả m 10% . Biết r ằng nếu n h iệt độ t rái đất tă ng t hêm tC , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f t % thì () . t ftka trong đó , ak là các hằng số dương. Nh iệt độ trái đấ t tăn g t hêm bao n h iêu độ C t h ì tổn g g i á trị kin h tế to à n cầu giảm 20% ? A. 9,3 C . B. 7,6 C . C. 6,7 C . D. 8, 4 C . Hướng dẫn gi ải Ch ọ n C . Th eo đề bài ta có: 2 5 .3% 1 . 10% ka ka . Cần tìm t th ỏ a m ã n . 20% t ka . 13,2cm 13,2cm 1cm 1cm Từ 2 3% 1 k a và 3 10 3 a . Kh i đó . 20% t ka 2 2 3% 20 . 20% 3 tt aa a 6,7 t . Câ u 1 1 1 : CH U YÊ N V IN H – L2 Một x ư ởng sản xuấ t m uốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ , p hầ n c h ứa c át l à h a i nử a hình c ầu bằng n h a u . Hình v ẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này phần giới hạn bởi hình trụ và p h ần h ai nữa h ình c ầ u ch ứ a cát. K h i đ ó, l ượ ng t hủy ti nh làm ch i ế c đ ồ ng h ồ cát gần nhất v ới g iá t rị n ào tron g các giá trị sau A. 3 1070,8 . cm B. 3 602, 2 . cm C. 3 711,6 . cm D. 3 6021,3 . cm Hướng dẫ n g i ải Ch ọ n A . Ta có thể tích của khối trụ là 2 1 .13,2.6,6 1086, 4 V . Đường kín h h ìn h cầu l à 13, 2 2.1,0 11, 2 cm , suy ra t h ể t í ch c ủa hai nửa khối cầu l à 3 2 4 .5,6 735,619 3 V Vậy lư ợng thủ y t inh làm chiếc đ ồ n g h ồ gần nhất với g iá trị 3 1070,8 cm .
