Giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính Casio – Hoàng Văn Bình
Hoàng Văn Bì nh NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1. NGUYÊN HÀM I. Lý thuy ết 1. Nguyên hàm f x dx F x C 2. Tính chất - ' f x dx f x và f x dx f x C - . k f x dx k f x dx 0 k - f x g x dx f x dx g x dx 3. Bảng nguyên hàm kdx kx C k const 1 1 1 x x dx C 1 1 u u dx C 1 ln dx x C x 1 ln dx u C u xx e dx e C uu e dx e C ln x x a a dx C a ln u u a a dx C a cos sin xdx x C cos sin udx u C sin cos xdx x C sin cos udx u C 2 1 tan cos dx x C x 2 1 tan cos dx u C u 2 1 cot sin dx x C x 2 1 cot sin dx u C u 2 2 2 22 arcsin 22 a x x a x a x dx C a 22 1 arcsin x C a ax 22 1 ln 2 dx a x C a x a a x 22 1 arctan dx x C a x a a 2 2 2 2 2 2 ln 22 xa x a dx x a x x a C 2 2 ln dx x x k C xk Hoàng Văn Bì nh 4. Các phương pháp tìm nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số Nếu f x dx F x C thì .' f u x u x dx F u x C Đặt ' t u x dt u x dx . Khi đó f t dt F t C F u x C Cách đặt biến: Dạng 1: Đặt biến thường f ax b dx đặt t ax b fx dx x đặt tx 1 . n f x xdx đặt 1 n tx sin cos f x xdx đặt sin tx cos sin f x xdx đặt cos tx tan f x dx đặt tan tx cot f x dx đặt cot tx ln fx dx x đặt ln tx xx f e e dx đặt x te Dạng 2: Đặt lượng giác: 22 22 22 tant 1 cot 1 ax xa x a t ax ax 22 22 sin 1 cos ax x a t x a t ax 22 22 sin 1 cos a xa x t a x xa t Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào fx . b. Phương pháp nguyên hàm từng phầnHoàng Văn Bì nh Cho hai hàm số u u x và v v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn ; ab thì khi đó ta có udv uv vdu Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ” c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ - Nguyên hàm dạng: d1 ln x ax b C ax b a - Nguyên hàm dạng: 1 2 1 2 2 d1 ln xx x C ax bx c a x x x x với 0 - Nguyên hàm dạng: d Px x Gx Nếu Qx là tích các nghiệm đơn 12 ... n Q x x x x x x x thì ta tách 12 12 d ... n n Px A AA x G x x x x x x x dx Nếu Qx là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như 1 2 3 n Q x x x x x x x thì ta tách 1 1 2 1 2 21 1 2 3 3 3 3 d ... d nn nn Px BB A A B B xx G x x x x x x x x x x x x x Nếu Qx là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử 22 12 , 4 0 x x x x x px q p q thì ta tách 12 2 12 dd Px AA Bx C xx G x x x x x x px q d. Dạng nguyên hàm vô tỉ - Nguyên hàm dạng 22 , R x a x đặt sin cos x a t x a t - Nguyên hàm dạng 22 , R x a x đặt tant xa - Nguyên hàm dạng 22 , R x x a đặt cos a x t - Nguyên hàm dạng , ax Rx ax đặt cos2 x a t - Nguyên hàm dạng , n ax b Rx cx d đặt n ax b t cx d Hoàng Văn Bì nh - Nguyên hàm dạng 2 1 n R ax b x x đặt 1 t ax b e. Dạng nguyên hàm lượng giác - Nguyên hàm dạng sin .cos d , nm x x x m n , mn chẵn thì dùng công thức hạ bậc m lẻ thì đặt sin ux ,n lẻ thì đặt cos ux f. Mộ t số dạng tích phân đặ c biệ t - Cho hàm số fx liên tục là hàm chẵ n trên ; aa thì ta có 0 2 aa a f x dx f x dx . - Cho hàm số fx liên tục là hàm lẻ trên ; aa thì ta có 0 a a f x dx . - Cho hàm số fx liên tục là hàm chẵ n trên ; thì ta có 0 1 a x fx dx f x dx a . - Cho hàm số fx liên tục trên 0; 2 thì ta có 22 00 sin cos f x dx f x dx . II. S ử d ụng máy tính c ầm tay Bấm máy tính như sau: xX d DA DB dx 1. Tích phân hữ u tỉ Dạng Px Qx trong đó bậ c của P x Q x . Ta thực hiện phép chia đa thứ c. Áp dụng phương pháp r100 Ta giả sử 1 2 3 Q x x x x x x x (nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự ): 1 2 3 Px A B C Rx Q x x x x x x x trong đó Rx là biểu thức dư của phép chia. Tìm 1 23 2 13 3 12 Px d A xx dx x x x x Px d B xx dx x x x x Px d C xx dx x x x x . Hoàng Văn Bì nh Tìm 1 2 3 1 2 3 100 Px d A B C Rx x dx x x x x x x x x x x x x sử dụng cách tách 100 Dạng 12 ax b fx x x x x cần tách đưa về dạng 12 AB x x x x Cách 1. Bấm: 12 xX aX b d X x X x dx r 1 X x A r 2 X x B Cách 2. Bấm: 1 12 . aX b Xx X x X x r 1 0,0000001 X x A r 2 0,0000001 X x B Cách 3: Bấm 1 2 2 1 d ax b A xx dx x x d ax b B xx dx x x Cả ba cách trên nếu tìm nguyên hàm đều cho dạng: 12 ln ln A x x B x x C . VD. Tách 2 32 26 7 14 8 xx Fx x x x thành các phân thức tối giản 22 32 2 6 2 6 7 14 8 1 2 4 1 2 3 x x x x A B C Fx x x x x x x x x x Bấm: 2 26 1 2 4 xX XX d X X X dx r 1 X hệ số 3 A r 2 X hệ số 7 B Hoàng Văn Bì nh r 4 X hệ số 5 C Vậ y 2 32 2 6 3 7 5 7 14 8 1 2 3 xx Fx x x x x x x VD. Tính 3 d 11 x x Đặt 2 3 1 3 d d t x t t x 2 3 d 1 t t t Thực hiệ n phép chia bằng máy tính: 2 3 1 t t Ta nhẩm lấy hệ số cao nhất của tử chia cho mẫu ta được 2 3 3 t t t Nhậ p màn hình: r 100 X ta được Ta để ý vì bậ c tử chia bậ c mẫu ra bậ c nhất nên ta tách 300 101 được hệ số tự do là 3 . Sử a màn hình: Ta được 33 101 1 t Vậ y 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3ln 1 1 1 1 2 t t t t t t C t t t Hoàng Văn Bì nh 2 3 33 31 3 1 3ln 1 1 2 x x x C VD. Tính nguyên hàm 34 1 2sin d 2sin .cos cos x x x x x Ta biến đổi: 3 4 3 4 4 1 2sin 1 2sin cos 1 2sin cos 1 d d . d 2sin .cos cos 2sin cos cos 2 tan 1 cos x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 1 2 tan 1 tan 1 2 tan cos . d d tan 2 tan 1 cos 2 tan 1 x xx x xx x x x Ta thực hiệ n phép chia đa thức tử chia cho mẫu: Đặt 2 21 tan 21 XX Xx X Ta chia bậ c cao nhất của tử cho mẫu ta được 2 1 22 X X X Nhậ p màn hình: r 100 X Vì thương của phép chia là bậ c 1, mà hạng tử chứa bậ c 1 đã là 1 2 X nên tiếp theo ta sẽ được 150 3 201 4 Sử a màn hình: r 100 X Tách 1 1 1 . 804 4 2 1 X Vậ y ta được thương là 1 3 1 1 1 3 1 1 . tan . 2 4 4 2 1 2 4 4 2 tan 1 Xx Xx Suy ra 2 1 3 1 1 1 3 1 tan . d tan tan tan ln 2 tan 1 2 4 4 2 tan 1 4 4 8 x x x x x C x Ta thực hiệ n Hoàng Văn Bì nh Tách phân thức ax b a K cx d c cx d Nhậ p máy tính: 10 aX b a cX d CALC X K cX d c Khi đó: ln ax b a K ax dx dx Kc cx d cx d c cx d c VD. Tách 21 21 x Fx x 21 1 2 1 2 1 xK xx Bấm 21 1 2 1 21 x x x r 10 x 2 K Vậ y 2 1 2 1 2 1 2 1 x Fx xx Tách phân thức dạng: 1 1 2 1 2 21 1 2 3 3 3 3 d ... d nn nn Px BB A A B B xx G x x x x x x x x x x x x x VD. Phân tích hàm số 2 11 x Fx xx thành các phân thức tối giản Ta có 22 11 1 1 1 x A B C xx x x x Ta sẽ tìm được , AC dễ hơn tìm B Bấm: 2 11 xX x d xx dx Tìm A r 1 X ta được 1 4 A Để tìm C ta bấm 2 2 1 11 x x xx r 1,00001 X ta được 1 2 C Hoàng Văn Bì nh Để tìm B ta bấm: 2 2 1 11 x x xx r 1,00001 X ta được sau đó trừ đi 1 2 đem chia cho 1 x xấp xỉ 1 4 vậ y 1 4 B Vậ y 22 1 1 1 4 1 4 1 1 1 2 1 x Fx xx x x x Bài này khá phức tạp vì tìm B không r được như bình thường. Các bạn chú ý theo dõi kỹ chỗ tìm B : khi r được kết quả nào thì trừ cho phần nguyên của số đó. Rồi đem chia cho mẫu của phân thức ta cần tìm hệ số. VD. Tách 3 1 1 Fx x thành các phân thức tối giản 32 1 1 1 1 A Bx C Fx x x x x Tìm hệ số A bấm 3 1 11 3 1 x d x dx Tìm Bx C ta có: 2 2 3 2 3 1 11 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 x x Bx C x Bx C x x Bx C x x x x x x 2 1 11 3 1 xx Bx C x . Đến đây để tìm , BC ta vào hệ w2 nhậ p hàm bên r xi Vậ y 12 33 Bx C x Hoàng Văn Bì nh Vậ y 32 12 11 33 1 3( 1) 1 x Fx x x x x III. Ví d ụ VD. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 21 f x x x A. 3 1 2 3 F x x x x C B. 32 1 3 F x x x x C C. 22 F x x C D. 32 1 2 3 F x x x x C Ta có: 3 2 2 2 2 1 2 1 3 x f x dx x x dx x dx xdx dx x x C . Chọn B. VD. Nguyên hàm của hàm số 2 11 fx xx là A. 2 ln ln x x C B. 1 lnxC x C. 1 lnxC x D. 1 lnxC x Ta có: 22 1 1 1 1 1 ln f x dx dx dx dx x C x x x x x VD. Nguyên hàm của hàm số 1 51 fx x là A. 1 ln 5 1 5 xC B. ln 5 1 xC C. 1 ln 5 1 5 xC D. ln 5 1 xC Ta có: 11 ln dx ax b C ax b a Áp dụng: 11 ln 5 1 5 1 5 dx x C x VD. Tìm nguyên hàm của 4 3 f x x là: A. 5 3 5 x C B. 5 3 5 x C C. 5 43xC D. 5 43xC Ta có: 1 1 u u dx C Hoàng Văn Bì nh Áp dụng: 5 4 3 3 5 x x dx C VD. Biết Fx là mộ t nguyên hàm của hàm số 2 1 32 fx xx và thỏa mãn 3 0. 2 F Tính 3. F A. 3 ln 2 F B. 3 2ln 2 F C. 3 2ln 2 F D. 3 ln 2 F Ta có: 2 11 3 2 1 2 1 2 AB fx x x x x x x Đồng nhất thức ta được 2 1 1 2 1 2 1 2 A B x A B AB x x x x x x 01 2 1 1 A B A A B B Ta có 11 ln 1 ln 2 12 dx dx x x C xx 3 00 2 fC . Vậ y 3 ln 2 f . Qua ví dụ trên ta lưu ý: Có thể nhớ nhanh công thức: 11 ln xb dx C x a x b b a x a hay tổng quát hơn cho trường hợp 11 ln ax b dx C ax b cx d ad bc cx d VD. Xét 5 34 4 3 . I x x dx Bằng cách đặt 4 43 ux . Khẳng định nào sau đâu đúng? A. 5 1 4 I u du B. 5 1 12 I u du C. 5 1 16 I u du D. 5 I u du Đặt 4 43 ux 33 16 16 du du x dx x dx thay vào 5 34 4 3 . I x x dx ta được 5 1 . 16 u du VD. Giả sử 2 x F x ax bx c e là mộ t nguyên hàm của hàm số 2 x f x x e . Tính S a b c A. 1 S B. 0 S C. 5 S D. 2 S Ta có 2 2 2 ' 2 2 x x x x F x ax b e e ax bx c e ax a b x b c e x 11 2 0 2 02 aa a b b b c c Hoàng Văn Bì nh Hoặc mộ t cách khác: dựa vào bản chất của nguyên hàm từng phần mà ta có: Tạm ký hiệu như sau: ', '', ''',... u u u là đạo hàm lần 1, 2, 3 …. Của ux . 1 2 3 , , ,... v v v là nguyên hàm lần 1,2,3… của vx . Ta có được: 1 2 3 ' '' ... ... uv u v u v Áp dụng: 2 ' 2 , '' 2 u x u x u ; 1 2 3 ,, x x x x v e v e v e v e 22 . 2 . 2 2 2 x x x x x e xe e e x x vậ y ta cũng đã xác định được ,, abc nhanh chóng. Vậ y 1 2 2 1 S a b c Bấm máy tính như sau: y Tách: 2 9802 10000 200 2 2 2 1 2 2 1. x x F x Chọn A. VD. Tìm nguyên hàm của hàm số cos2 f x x A. 1 sin 2 2 xC B. 1 sin 2 2 xC C. 2sin2xC D. 2sin2xC Đặt 22 2 dt t x dt dx dx thay vào 1 cos cos sin 22 dt xdx t t C Thay ngược lại ta được 1 sin 2 2 xC Ta có công thức nhanh: 1 cos sin ax b dx ax b C a ; 1 sin sin ax b dx ax b C a VD. Cho , ab là hai số thực thỏa mãn cos sin x F x a x b x e là nguyên hàm của hàm số cos x f x e x . Tính P a b A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Đây là dạng nguyên hàm lặp lại, vì khi ta nguyên hàm hai lần sẽ quay lại đề bài ban đầu. Đặt 1 ' sin , '' cos cos x x u x u x ux v e dx dv e dx (ở đây có một quy ư ớ c nhỏ là 12 , vv là nguyên hàm)Hoàng Văn Bì nh Ta có 11 cos . sin . cos 2 cos sin cos sin 22 x x x x x I xe xe e xdx I e x x I e x x Vậ y 1 1 2 a b S a b Ta có công thức giải nhanh: 22 cos cos sin ax ax e e bxdx a bx b bx C ab 22 sin sin cos ax ax e e bxdx a bx b bx C ab VD. Biết 2 2 2 , x x x xe dx axe be C a b .Tính ab A. 1 4 ab B. 1 4 ab C. 1 8 ab D. 1 8 ab Đặt 2 2 1 2 x x du dx ux ve dv e dx Ta có: 2 2 2 2 11 2 2 2 4 x x x x xx e e dx e e C 1 1 2 1 8 4 a ab b Bấm máy tính như sau: Tách: 199 200 1 2 1 1 1 . 4 4 4 4 2 4 8 xx ab VD. Cho 3 1 3 Fx x là mộ t nguyên hàm của hàm số . fx x Tìm nguyên hàm của hàm số ' ln f x x . A. 32 ln 1 5 x C xx B. 32 ln 1 5 x C xx C. 32 ln 1 3 x C xx D. 32 ln 1 5 x C xx Hoàng Văn Bì nh 43 11 ' fx F x f x x x x Xét nguyên hàm ' ln f x xdx đặt 1 ln ' ux du dx x dv f x dx v f x 33 ln 1 ' ln ln . 3 fx f x xdx x f x dx C x x x VD. Cho Fx là mộ t nguyên hàm của hàm số 2 x f x e x thỏa mãn 3 0 2 F . Tìm Fx . A. 2 3 () 2 x F x e x B. 2 1 ( ) 2 2 x F x e x C. 2 5 () 2 x F x e x D. 2 1 () 2 x F x e x Ta có: 2 22 xx e x dx e x C 02 3 3 1 00 2 2 2 F e C C . Vậ y 2 1 () 2 x F x e x VD. Cho hàm số y f x thỏa mãn '1 x f x x e và x f x dx ax b e C vớ i ,. ab Tính ab A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Ta có x F x ax b e C là nguyên hàm của fx và '1 x f x x e Đặt '' ' F x f x '1 xx f x dx x e dx xe C f x 1 xx f x dx xe dx x e C Vậ y 1, 1 0 a b a b VD. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 3 21 1 x dx xx bằng A. 2 1 lnxC x B. 2 1 lnxC x C. 2 1 lnxC x D. 2 1 lnxC x Hoàng Văn Bì nh Sử dụng phương pháp tách 32 3 3 21 1 1 x A Bx xx xx r 0,000001 X hệ số 1 A r 1,0000001 X hệ số 3 B Suy ra: 32 3 3 2 1 1 3 1 1 xx xx xx Khi đó: 3 32 33 3 1 2 1 1 3 1 11 1 dx xx dx dx dx x x x x xx 3 32 11 ln ln 1 ln ln x x x C C x C xx Bấm máy trực tiếp: qy VD. Tìm nguyên hàm fx của hàm số 2 cos ' 2 sin x fx x A. 2 sin 2 sin x C x B. 1 2 cos C x C. 1 2 sin C x D. sin 2 sin x C x Ta có: 22 2 sin cos 1 2 sin 2 sin 2 sin dx x dx C x xx . Chọn C VD. Giả sử mộ t nguyên hàm của hàm số 2 2 3 1 1 1 x fx x xx có dạng 3 1 1 b ax x . Tính ab A. 2 B. 8 3 C. 2 D. 8 3 Hoàng Văn Bì nh Ta có 2 2 3 1 1 1 x f x dx dx dx x xx Tính 2 3 1 x dx x đặt 32 1 2 3 t x tdt x dx 2 3 1 3 2 2 2 2 1 3 3 3 3 1 x dx dt t C x A x Tính 2 22 1 1 2 2 1 2 1 11 dx d x C B x x x x Vậ y 8 3 ab VD. Gọi Fx là mộ t nguyên hàm của hàm số 2 x fx , thỏa mãn 1 0 ln 2 F . Tính giá trị biểu thức 0 1 2 ... 2017 T F F F F A. 2017 21 1009. ln 2 T B. 2017.2018 2 T C. 2017 21 ln 2 T D. 2018 21 ln 2 T Ta có 2 2 ln 2 x x F x dx C Mà 12 00 ln 2 ln 2 x F C F x 0 1 2017 2018 2018 2 2 2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 ... 2017 ... ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 ln 2 T F F F F Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được 2 ln 2 x Fx Bấm: qi ta được bấm gán vào A, lấy A trừ đi đáp án đã rút gọn . Chọn D. Hoàng Văn Bì nh Bài 2. TÍCH PHÂN I. Lý thuy ết 1. Tích phân b a f x dx F b F a 2. Tính chất Tích phân của tổng thì bằng tổng các tích phân: b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx Có thể đưa hằng số ra ngoài tích phân: bb aa kf x dx k f x dx Tích phân tại một điể m bằng 0: 0 a a f x dx Chèn điểm ; c a b vào cận ta có: b c b a a c f x dx f x dx f x dx Tính bất biến của tích phân: ... b b b a a a f x dx f t dt f y dy II. S ử d ụng máy tính c ầm tay Sử dụng chức năng y để tính tích phân. III. Ví d ụ 1. Tích phân dạng hàm VD. Cho hàm số fx có đạo hàm trên 1;4 và thỏa mãn 11 f , 4 1 '2 f x dx . Giá trị 4 f là A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Ta có: 4 4 1 1 ' 4 1 2 4 3. f x dx f x f f f VD. Cho hàm số fx liên tục trên và Fx là nguyên hàm của fx , biết 9 0 d9 f x x và 03 F . Tính 9 FHoàng Văn Bì nh A. – 6 B. – 12 C. 12 D. 6 Ta có d b a f x x F b F a từ đó ta có thể tính đượ c mộ t yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại. 9 0 d 9 9 0 9 9 3 6 f x x F F F . Chọn D. VD. Cho hàm số fx liên tục trên 1;4 , 4 1 4 2017, ' d 2016 f f x x . Tính 1 f A. 13 f B. 11 f C. 11 f D. 12 f Ta có: 4 1 ' d 4 1 2017 1 2016 1 1 f x x f f f f . Chọn B. VD. Cho hàm số fx liên tục trên 1;2 và Fx là nguyên hàm của fx , biết 2 1 d1 f x x và 11 F . Tính 2 F A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 Chọn A. VD. Cho hàm số fx thỏa mãn 5 2 10 f x dx . Tính 2 5 24 I f x dx A. 32 I B. 34 I C. 36 I D. 40 I Từ 2 2 2 5 2 5 5 5 5 2 2 4 2 4 2 4 6 40 34 I f x dx dx f x x f x Hoặc Mẹo: b a K f x dx K f x ba Áp dụng: 5 2 10 10 3 f x dx f x 22 55 10 2 4 2 4. 34 3 I f x dx VD. Cho hàm số fx thỏa mãn 10 0 7 f x dx và 6 2 3 f x dx . Tính 2 10 06 I f x dx f x dx Hoàng Văn Bì nh A. 10 I B. 4 I C. 7 I D. 4 I Áp dụng tính chất b c b a a c f x dx f x dx f x dx Ta có: 10 2 6 10 2 10 2 10 0 0 2 6 0 6 0 6 7 3 4 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx VD. Cho 24 22 1, 4 f x dx f t dt . Tính 4 2 . I f y dy A. – 5 B. – 3 C. 3 D. 5 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 1 4 5 f y dy f y dy f y dy f x dx f t dt VD. Tính '0 F của hàm số 2 0 0 cos x F tdt 0. x A. 0 B. – 2 C. 2 D. 2 Đặt 2 y t ydy dt Đổi cậ n tích phân: 2 0 0 t y yx tx Ta được: 2 00 cos 2 cos xx F x tdt y ydy Đặt 22 cos sin u y du dy dv ydy v y Ta có: 0 0 0 0 2 sin 2 sin 2 sin 2cos 2 sin 2cos 2 x x x x y y ydy y y y x x x F x Ta có ' 2 cos 0 0 f x x x f VD. Cho hàm số fx liên tục trên và thỏa mãn 4 2 2. f x dx Khẳng đinh nào sau đây sai? A. 2 1 21 f x dx B. 3 3 12 fx C. 2 1 22 f x dx D. 6 0 1 21 2 f x dx Hoàng Văn Bì nh Ta có: 4 2 21 2 4 2 3 f x dx f x Bấm: Đáp án A. Đáp án B Đáp án D Chọn C vì ở câu A ta đã loại được C. VD. Cho fx liên tục trên 0;2 thỏa mãn 2 2 2 . f x f x x Tính 2 0 d. f x x A. 4 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 2 Cách 1: Từ 2 2 2 0 0 0 2 2 2 d 2 2 d 2 d 4 f x f x x f x x f x x x x 22 00 4 3 d 4 d 3 f x x f x x Cách 2: Chọn 1 x thay vào 2 2 2 1 2 1 2 f x f x x f f 2 2 2 0 0 0 2 2 4 4 3 1 2 1 1 d d d 3 3 3 3 f f f x x f x x VD. Cho 1 1 d4 12 x fx x trong đó y f x là hàm số chẵ n trên 1;1 . Khi đó 1 1 d f x x bằng A. 2 B. 16 C. 4 D. 8 Vì y f x là hàm số chẵ n nên ta chọn 2 f x x . Bấm máy như sau:Hoàng Văn Bì nh Ta thấy tích phân sau gấp đôi tích phân trướ c, suy ra 1 1 d 4.2 8 f x x VD. Cho fx là hàm số chẵ n, liên tục trên và 5 0 1 2 d 15 f x x . Tính 5 5 d I f x x A. 10 B. 5 C. 30 D. 15 2 Ta có: 5 5 5 5 5 0 0 0 0 5 1 2 d 1 d 2 d 15 d 5 d 5.2 10 f x x x f x x f x x f x x Bấm máy tính: VD. Cho hàm số y f x liên tục và nhậ n giá trị dương trên 0; thỏa mãn 11 f , ' 3 1 f x f x x , vớ i mọi 0. x Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 4 5 5 f B. 2 5 3 f C. 3 5 4 f D. 1 5 2 f Từ '' 11 ' 3 1 d d 3 1 3 1 f x f x f x f x x x x f x f x xx 2 31 3 d 22 3 1 ln 3 1 33 xC fx x C f x x C f x e fx Ta có 24 .4 33 4 1 1 5 3,794 3 f C f e Chọn C. Cách khác: 55 11 '' 1 1 4 d d d d 3 3 1 3 1 f x f x x x x x f x f x xx Hoàng Văn Bì nh 5 5 4 3 1 1 d 5 44 ln ln 5 3 1 3 fx f f x f e f x f VD. Cho hàm số fx thỏa mãn 1 0 ' 2 d 1 . x f x x f Tính 1 0 d I f x x A. 0 I B. 1 I C. 1 I D. 2 I Từ 1 1 1 1 0 0 0 0 ' 2 d 1 . ' d 2 d 1 . ' d 1 1 x f x x f x f x x x x f x f x x f Xét 1 0 . ' d x f x x Đặt 1 1 0 0 dd d 'd u x u x xf x f x x dv f x x v f x 11 00 1 d 1 1 d 1 f f x x f f x x . Chọn B VD. Cho hàm số y f x thỏa mãn 1 0 1 ' d 10 x f x x và 2 1 0 2 ff . Tính 1 0 d I f x x A. 12 I B. 8 I C. 12 I D. 8 I Đặt 1 1 0 0 1 d d 1 d 10 d ' d u x u x x f x f x x v f x x v f x 11 00 2 1 0 d 10 d 8 f f f x x f x x 2. Tích phân bình thườ ng Sau khi tìm nguyên hàm bằng các phương pháp. Ta áp dụng công thức của tích phân để tính giá trị tích phân. Bấm máy trực tiếp y. 3. Tích phân chống máy tính cầm tay Đây là mộ t dạng bài rất hay, tuy nhiên khả năng ra các bài toán về bản chất tích phân vẫn là dạng bài được ra nhiều hơn. Các cách thường áp dụng cho tích phân chống máy tính cầm tay: giải hệ phương trình bậ c nhất, Table, mũ hóa,…. Hoàng Văn Bì nh Về nguyên tắc cơ bản: cần lưu trướ c tích phân vào biến nhớ. Thườ ng thì các ẩn là số nguyên hoặc hữ u tỉ . VD. Cho 1 2 2 4ln 1 ln 2 ln 2 , x dx a b a b x . Tính 4. ab A. 3 B. 9 C. 7 D. 5 Gán 1 2 4ln 1 x dx A x Giải hệ phương trình 2 ln 2 ln 3 4 a b A a b K vớ i K là các đáp án. Lần lượt thử với các đáp án, vì đề bài nói , ab nên máy tính báo số nguyên mớ i nhậ n. Vớ i 9 K ta được Vậ y 2, 1 4 9. a b a b VD. Cho 4 0 cos 1 ln sin cos 4 x dx a b xx 0 1,1 3, , a b a b Tính tích . ab A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 Gán tích phân vào A Từ 4 0 1 ln cos 1 4 ln sin cos 4 Ab x dx a b a xx (rút a theo b ) Hoàng Văn Bì nh Vào w7 Coi hàm của ta là 1 ln 4 Ax y , do 13 b nên ta chọn START 1 END 3 STEP 0,25 Ta thấy tại 2 Ta được 1 2, 0,125 8 xy hay 11 2, 84 b a ab . VD. Biết 4 2 3 ln 2 ln3 ln5 , , . dx a b c a b c xx Tính S a b c . A. 6 B. – 2 C. 2 D. 0 Gán 4 2 3 dx A xx . Khi đó ln 2 ln 3 ln 5 ln 2 ln 3 ln 5 a b c A a b c Sử dụng tính chất ln ln aa a e e ta có: ln ln 2 3 5 2 3 5 A a b c A a b c ee Bấm: tách 4 4 1 5 16 2 2 .3 .5 15 3.5 (Sử dụng chức năng FACT) Vậ y 4, 1 2 a b c S a b c VD. Biết 5 2 3 1 d ln 12 x x b xa x vớ i , ab là các số nguyên. Tính 2 ab A. – 2 B. 5 C. 2 D. 10 Gán tích phân vào AHoàng Văn Bì nh Ta có: ln ln 2 2 2 2 A a A a b b b A a A a e e b Sử dụng w7 nhậ p hàm số START – 9, END 9, STEP 1 Vậ y 8, 3 2 2 a b a b . Chọn C. VD. Biết 1 ln e x dx a e b x vớ i ,. ab Tính . P ab A. 4 P B. 8 P C. 4 P D. 8 P Lưu tích phân vào A Ta có A a e b A a e b Sử dụng w7 nhậ p hàm số START – 9, END 9, STEP 1 Vậ y 2; 4 . 8 a b P ab . Chọn B VD. Cho tích phân: 5 3 42 4 2 ln 2 ln 3 ln 5 ln 7 , , , . 54 x I dx a b c d a b c d xx Tìm , , , . a b c d Hoàng Văn Bì nh (bài này sử dụng trên máy tính VINACAL vì máy tính casio không xử lý được) Lưu tích phân vào A Ta có 2 3 5 7 A a b c d e Ở đây ta không thể tách được về dạng tích các thừa số nguyên tố. (vì điều kiệ n cho hữ u tỉ nên số mũ của ta không nguyên) Ta sử dụng phương pháp w7 nhậ p hàm số AX F X e X (vì , , , a b c d nên ta nhân cho số nào đó sẽ làm cho các hệ số có thể phân tích đư ợc ra thừa số nguyên tố) Tại 63 13 4287 4287 250047 3 .7 6, 6 40960 40960 40960 2 .5 X F X 13 1 1 , 1, , 6 6 2 a b c d . VD. Tính tích phân 2017 2 2019 1 2 x I dx x A. 2018 2018 32 2018 B. 2018 2018 32 4036 C. 2017 2018 32 4034 2017 D. 2021 2021 32 4040 Mẹo: Bấm máy số mũ to như vậ y máy sẽ không xử lý được ta sẽ thu gọn biểu thức lại. bài toán của ta thu lại được 17 2 19 1 2 x I dx x A. 18 18 32 18 B. 18 18 32 36 C. 17 18 32 34 17 D. 21 21 32 40 Bấm tích phân Bấm 4 đáp án Hoàng Văn Bì nh Chọn B. VD. Cho 4 0 12 I x xdx và 21 ux . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. 3 22 1 1 1 2 I x x dx B. 3 22 1 1 1 2 I u u du C. 3 53 1 1 2 5 3 uu I D. 3 22 1 1 I u u du Ta có 2 2 1 2 1 2 1 2 u u x u x x udu dx Đổi cậ n: 01 43 xu xu 4 3 3 2 22 0 1 1 11 1 2 1 22 u I x xdx udu u u du Bấm máy: đầu tiên ta bấm 4 0 12 I x xdx Sau đó bấm 4 đáp án, thấy đán án nào có cùng kế t quả là đúng Loại câu A, vì chưa đổi biến. Đáp án B đúng. VD. Biết 5 2 3 1 ln 12 x x b dx a x vớ i , ab là các số nguyên. Tính 2 S a b Hoàng Văn Bì nh A. 2 S B. 5 S C. 2 S D. 10 S Ta biến đổi 55 5 2 2 3 33 1 1 1 3 ln 1 8 ln 1 1 2 2 xx dx x dx x x xx Bấm máy: Gán 5 2 3 1 ln ln 1 2 2 x x b b dx A A a a A x w7 ta được 3, 8 ba Vậ y 2 8 2.3 2 ab VD. Kết quả tích phân 2 0 1 2 1 sin 1 x x dx ab , ab . Khẳng định nào sau đây sai? A. 28 ab B. 5 ab C. 2 3 2 ab D. 2 ab Gán: 1 1 11 Aa A ab b Table: Hoàng Văn Bì nh ợc 2, 4 ba . Suy ra khẳng định B sai. VD. Biết 1 ln e x dx a e b x vớ i ,. ab Tính ab A. 4 ab B. 8 ab C. 4 ab D. 8 ab Gán A a e b b A a e w7: 2, 4 ab Vậ y 8 ab . VD. Biết 2 3 1 1 ln 1 ln 2 e a e b c xx vớ i ,, abc là các số hữ u tỉ . Tính . S a b c A. 1 S B. 1 S C. 0 S D. 2 S Gán Hoàng Văn Bì nh 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 e e e e e e dx A B x dx dx dx dx dx x x x x x x x x 22 1 1 1 1 ln ln 1 ln 1 ln 2 1 2 2 2 e x x e 1 abc VD. Giả sử 2 3 2 3 2 2 2 5 2 4 d xx e x x x x ax bx cx d e C . Khi đó a b c d bằng A. – 2 B. 2 C. 3 D. 5 Bấm như sau: tách 32 1009803 2 3 x x x Vậ y 3 a b c d . Chọn C. VD. Cho 2 1 2ln 1 d ln 2 ln 1 e xb I x a c xx vớ i , , , b a b c Z c tối giản. Tính S a b c A. 3 S B. 5 S C. 0 S D. 7 S Gán tích phân vào A ln 2 ln 2 bb A a a A cc . Ta w7 Ta thấy tại 1 2 2, 1, 2 5. 2 b a a b c a b c c Chọn B. VD. Cho 1 3 42 0 d ln ln , , , . 32 x I x a b c a b c xx Tính 2 S a b c Hoàng Văn Bì nh A. 3 B. 2 C. 0 D. – 3 Gán tích phân vào A Ta có ln ln . Ab A a b c e ac Vì ,, abc nên ta chọn hàm như sau Ax x bx e a c . Ta nhân thêm x vào mũ vì khi đó ta sẽ nhậ n được kết quả đẹp hơn. Vào w7 Ta được Khi đó 2 2 2 3 93 3 .2 3, , 2 2 2 82 b a c a b c S a b c VD. Cho d 2 1 ln 2 1 4 2 1 4 x I a x b x C x . Tính ab A. – 2 B. – 3 C. 1 D. 2 Ta gán cận cho nguyên hàm: 1 1 2 d ln 5 ln 4 ln 5 ln 4 2 1 4 x a b b a b A x Vớ i A Hoàng Văn Bì nh Đến đây, ta có thể chọn phương trình ab ĐÁ rồi giải hệ hoặc chọn tiếp mộ t cặp cậ n nữ a thay vào. Ở đây xin phép dựa vào đáp án và chọn đáp án nào cho ra hệ số , ab đẹp. Vậ y 1, 4 ab . Vậ y 3 ab . Bài 3. ỨNG D ỤNG TÍCH PHÂN I. Lý thuy ết 1. Tính diệ n tích hình phẳng Cho hàm số y f x liên tục không âm trên đoạn ; ab . Khi đó diệ n tịch của hình thang cong giớ i hạn bởi , 0, , y f x y x a x b là b a f x dx Diệ n tích S của hình phẳng D giớ i hạn bởi , 0, , y f x y x a x b là b a S f x dx Diệ n tích S của hình phẳng D giớ i hạn bởi , , , y f x y g x x a x b là b a S f x g x dx Tính f x g x có các nghiệ m 1 2 3 , , ,.... ; x x x a b . Khi bài toán không cho cận thì c ậ n chính là hai nghiệ m 1 x và n x . 2. Tính thể tích vậ t tròn xoay Thể tích tròn xoay tạo bởi mặt phẳng tròn xoay giớ i hạn bởi đường , 0, , y f x y x a x b quay quanh trục Ox là 2 b a V f x dx Thể tích tròn xoay tạo bởi mặt phẳng tròn xoay giớ i hạn bởi đường , , , y f x y g x x a x b quay quanh trục Ox là 22 b a V f x g x dx 3. Tính quãng đườ ngHoàng Văn Bì nh Cho phương trình vậ n tốc V f t quãng đường là nguyên hàm của vậ n tốc b a S f t dt 4. Mộ t số ứng dụng khác Tính diệ n tích chỏm cầu có bán kính R và đường cao h : 22 2 R Rh S R h Thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2 : C x y R khi quay quanh trục Ox : 3 2 2 2 2 0 4 2 3 RR R R V R x dx R x dx Thể tích hình elip 22 :1 xy E ab khi quay quanh trục Oy 2 2 2 2 2 22 22 0 4 2 3 bb b a y a y a b V a dy a dy bb I. Ví d ụ VD. Tính diệ n tích hình phẳng giớ i hạn bởi đồ thị của 2 2 yx và 3 yx A. 2 B. 3 C. 1 2 D. 1 6 2 1 3 2 0 2 x xx x . Diệ n tích cần tính bằng 2 2 1 1 32 6 x x dx . VD. Tính diệ n tích hình phẳng S giớ i hạn bởi 3 y x x và 2 y x x A. 37 12 S B. 9 4 S C. 81 12 S D. 13 S 32 0 1 2 x x x x x x x . Bấm 1 32 2 37 2 12 x x x dx VD. Cho đồ thị y f x như hình vẽ sau đây. Diệ n tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi A. 2 2 S f x dx B. 12 21 S f x dx f x dx Hoàng Văn Bì nh C. 22 11 S f x dx f x dx D. 12 21 S f x dx f x dx Diệ n tích có giá trị dương nên 1 1 2 1 2 2 1 2 S f x dx f x dx f x dx f x dx Chọn C. VD. Diệ n tích hình phẳng giớ i hạn bởi các đường thẳng 3 1, 0, 0, 2 y x y x x bằng A. 5 2 B. 7 2 C. 3 D. 9 2 Bấm 2 3 0 7 1 2 x dx VD. Diệ n tích hình phẳng giớ i hạn bởi các đường thẳng 2 32 y x x và 1 yx . A. 4 3 S B. 37 14 S C. 799 300 S D. 2 S Phương trình hoành độ giao điểm 2 3 2 1 1, 3 x x x x x Ta có 3 2 1 4 4 3d 3 S x x x . Chọn A. VD. Diệ n tích hình phẳng giớ i hạn bởi các đường 2 1 yx và 5 yx là A. 73 6 B. 12 C. 73 3 D. 14 PTHĐGĐ: 2 1 5 3 x x x Bấm 3 2 3 73 15 3 xx www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01Hoàng Văn Bì nh VD. Gọi S là diệ n tích hình phẳng giớ i hạn bởi parabol P , tiếp tuyến của nó tại 1 ; 1 A và đường thẳng 2 x . Tính diệ n tích S A. 1 S B. 4 3 S C. 2 3 S D. 1 3 S Phương trình parabol 2 yx (vì đi qua 0.0 , 1; 1 , 1; 1 ) Phương trình tiếp tuyển của P tại A là 21 yx Vậ y diệ n tích giớ i hạn 22 22 11 1 2 1 d 2 1 d 3 S x x x x x x VD. Cho hình phẳng giớ i hạn bởi các đường ln , 0, y x x y x e quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích 3 2 be a . Tìm , ab A. 27, 5 ab B. 26, 6 ab C. 24, 5 ab D. 27; 6 ab ĐK: 0 x Phương trình hoành độ giao điểm ln 0 1 x x x 2 2 3 1 ln 5 2 27 e V x xdx e suy ra 27, 5 ab VD. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giớ i hạn bởi các đường 2, yx ,0 y x y quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây? A. 12 2 01 2 V x dx x dx B. 2 0 2 V x dx Hoàng Văn Bì nh C. 12 01 2 V xdx xdx D. 12 2 01 2 V x dx x dx Phương trình hoành độ giao điểm của 21 0 2 0 2 x x x x xx ; Vậ y ta có: 12 2 01 2 V x dx x dx VD. Gọi H là hình phẳng giớ i hạn bởi đồ thị hàm số 2 yx đường thẳng 1 x và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay H quanh trục Ox . A. 3 V B. 1 3 V C. 5 V D. 1 5 V Ta bấm: VD. Gọi H là hình phẳng giớ i hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 x y x , trục Ox và đường thẳng 1 x . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H quanh Ox A. 4 ln 23 B. 14 ln 23 C. 3 ln 24 D. 4 ln 3 Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 2 00 4 x x x Thể tích giớ i hạn: 2 1 2 0 4 d ln 4 2 3 x Vx x . Chọn A. VD. Gọi H là hình phẳng giớ i hạn bởi hai trục đồ thị, đường thẳng 1 x và đồ thị hàm số 3 1 yx . Tính thể tích khối tròn xoay do H sinh ra khi quay quanh trục Ox A. 5 3 B. 23 14 C. 9 14 D. 2 Hoàng Văn Bì nh Bấm máy tính: . Chọn B VD. Gọi H là hình phẳng giớ i hạn bởi đồ thị hàm số 2, 2, 1 y x y x x . Tính thể tích V của vậ t thể tròn xoay khi quay hình phẳng H quanh trục hoành. A. 27 2 V B. 9 2 V C. 9 V D. 55 6 V Vì đồ thị 2 yx nằm dướ i Ox nên bị âm. Ta lấy đối xứng lên Ox . Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 0 1 x xx x Ta có: 11 2 2 21 55 1 d 2 d 6 V x x x x . Chọn D. VD. Một đám vi trùng tạ i ngày thứ t có số lượng là Nt . Biết rằng 4000 ' 1 0,5 Nt t và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu? A. 258.959 con B. 253.584 con C. 257.167 con D. 264.334 con Ta có số lượng vi trùng bằng số lượng ban đầu cộ ng vớ i số lượng đã tăng trong 10 ngày được tính như sau: 10 0 4000 250000 d 1 0,5 t t Chọn D. VD. Trong một đợ t xả lũ, nhà máy thủy điện đã xã lũ trong 40 phút với lưu lượng nướ c tại thời điểm t giây là 3 10 500 / v t t m s . Hỏi sau khi xã lũ trên thì hồ thoát được một lượng nướ c là bao nhiêu? A. 43 5.10 m B. 63 4.10 m C. 73 3.10 m D. 63 6.10 mHoàng Văn Bì nh Ta có lượng nướ c thoát ra là: 2400 73 0 10 500 3.10 tm VD. Một ô tô đang chuyển độ ng vớ i vậ n tốc 15 m/s thì người lái đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển độ ng chậ m dần vớ i vậ n tốc 5 15 / v t t m s . Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn thì còn di chuyển được bao nhiêu m ? A. 22,5 m B. 45 m C. 2,25 m D. 4,5 m Quãng đường là nguyên hàm của vậ n tốc. Ta có, tại thời điểm xe dừng hẳn thì vậ n tốc bằng 0, suy ra 3 t . Vậ y quãng đường đi được là 3 0 5 15 22,5 m t dt VD. Mộ t mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhậ t, chiều dài là 16 m chiều rộ ng là 8 m . Các nhà toán học dung hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điể m của mộ t cạnh dài và đi qua hai đầu mút của cạnh dài đối diệ n. Phần mảnh vườn nằm ở miền trong được giớ i hạn bởi hai parabol được trồng hoa hồng. Biết chi phí trồng hoa hồng là 45.000 2 / VND m . Hỏi các nhà toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh vườn đó? A. 3322000 VND B. 3476000 VND C. 2715000 VND D. 2159000 VND Ta gán hệ trục tọa độ cho mảnh vườn như hình vẽ. Ta cần phải xác định được phương trình hai đường parabol sau đó tính diệ n tích rồi mới tìm đượ c số tiền. Cách viết phương trình parabol bằng máy tính cầm tay: Ta sử dụng chương trình thống kê w3 trong máy tính:Hoàng Văn Bì nh Để bắt đầu sử dụng ta ấn w3= Ta viết phương trình của parabol úp trước. Nhìn đồ thị ta thấy, parabol úp đi qua ba điểm 0;4 , 8;4 , 8; 4 Bấm máy tính w33 . Ta thấy có hai cộ t x nhậ p hoành độ ba điểm parabol đi qua và y nhậ p tung độ tương ứng của ba điểm ở cộ t x . Ta nhập như sau: . Nhậ p xong rồi ấn nút AC . Lưu ý: Phương trình parabol của ta thường là 2 y Ax Bx C , nhưng trong máy tính thì ngượ c lại 2 y Cx Bx A . Chúng ta sẽ hiểu theo máy tính. Ấn q15 để tìm các hệ số ,, C B A Chọn 3 C Chọn 2 B Chọn 1 A Vậ y phương trình parabol úp là 2 1 1 4 8 yx Phương trình parabol ngữ a có thể viết tương tự, tuy nhiên do hai đồ thị đối xứng nhau qua 2 2 1 4 8 Ox y x Đến đây ta áp dụng bài toán tích phân tích diệ n tích giớ i hạn bởi hai đồ thị. Hoàng Văn Bì nh Tìm giao điểm của hai parabol: 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0 4 4 0 8 0 4 2 8 8 8 y y y y x x x x Ta tính diệ n tích nửa trên sau đó nhân 2 ta đượ c diệ n tích phần giớ i hạn của hai parabol Sau đó ta nhân vớ i số tiền trồng hoa Vậ y số tiền các nhà toán học phải trả là 2715000 VND. Chọn C. VD. Ông B có một khu vườ n giớ i hạn bởi một đườ ng parabol và một đườ ng thẳng. Nếu đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ thì parabol có phương trình 2 yx và đường thẳng 25 y . Ông B dự định dung mộ t mảnh vườn nhỏ được chia từ khi vườn bởi mộ t đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diệ n tích mảnh vườn nhỏ là 9 . 2 A. 25 OM B. 15 OM C. 10 OM D. 3 10 OM Gọi H là điểm có hoành độ a là hình chiểu của điểm M lên Ox . Suy ra phương trình : tan . OM OM y x ax OH . Ta có 2 3 3 2 0 0 2 3 6 a a ax x a ax x dx Ta có 3 9 3 3 10 63 a a OM VD. Người ta dựng mộ t cái lều vải H có dạng chóp lục giác cong đều như hình vẽ. Đáy là mộ t hình lục giác có cạnh bằng 3m. Chiều cao 6 SO m SO vuông góc đáy. Các sợi dây 1 2 3 4 5 6 , , , , , c c c c c c nằm trên các đường hình parabol có trục đối xứng song song vớ i SO . Giả sử giao tuyến của H vớ i mộ t mặt phẳng P vuông góc với đáy tạ i trung điểm SO thì được lục giác có cạnh bằng 1 m. Tính thể tích phần trong của lều H . Hoàng Văn Bì nh A. 2 135 3 5 m B. 2 96 3 5 m C. 2 135 3 4 m D. 2 135 3 8 m Ta xét mộ t mặt phẳng đi qua SO và 1 c . Ta thấy 1 c đi qua ba điểm 0;6 , 1 ;3 , 3;0 A B C 2 1 17 :6 22 c y x x . Rút 71 :2 24 x y x y . Thể tích của lều: 2 6 0 6 3 7 1 135 3 2 4 2 4 8 V y dy Hoàng Văn Bì nh VD. Mộ t chất điểm đang chuyển độ ng vớ i vậ n tốc 0 15 / v m s thì tăng tốc vớ i gia tốc 22 4 / a t t t m s . Tính quãng đườ ng chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. 70,25 m B. 68,25 m C. 67,25 m D. 69,75 m 3 2 2 3 t v t a t dt t C mà 3 2 0 15 2 15 3 t v C t Bấm . VD. Cho hàm số . y f x Đồ thị hàm số y f x như hình bên. Đặt 2 2. h x f x x Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 4 2 2 h h h B. 4 2 2 h h h C. 2 4 2 hhh D. 2 2 4 h h h Ta có ' 2 ' ' 0 ' h x f x x h x f x x Đường thẳng yx đi qua ba điểm 2; 2 ; 2;2 ; 4;4 trên đồ thị Gọi 12 , SS lần lượt là diệ n tích phần bên trên và bên dướ i của đường thẳng yx 2 1 2 0 ' 0 2 2 0 2 2 S h x dx h h h h 4 2 2 0 ' 0 2 4 0 2 4 S h x dx h h h h Mà 12 2 2 2 4 4 2 S S h h h h h h Suy ra 2 4 2 hhh Hoàng Văn Bì nh VD. Mộ t vậ t chuyển độ ng trong 3 giờ vớ i vậ n tốc v (km/h) phụ thuộ c thời gian t (h) có đồ thị của vậ n tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị có mộ t phần là đường parabol có đỉ nh là 2;9 I và trục đối xứng song song vớ i trục tung, khoảng thời gian còn lại của đồ thị là một đoạ n thẳng song song vớ i trục hoành. Tính quãng đườ ng s mà vậ t di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 23,25 s km B. 21,58 s km C. 15,50 s km D. 13,83 s km Hoàng Văn Bình Phương trình parabol của chuyển độ ng là 2 5 54 4 y x x Ta có 31 1 4 v phương trình đường thẳng của chuyển độ ng là 31 4 y Ta có quãng đường vậ t chuyển động đư ợc tính theo 13 2 01 5 31 5 4 21,58 3 44 x x dx dx Đọc thêm: công thức Walliss 22 00 1 !! 1 !! cos sin 1 !! . 2 !! 2 nn n n xdx xdx n n lẻ dùng 1 , chẵ n dùng 2 . !! n đọc là nWalliss và được hiểu dựa vào n chẵ n hay lẻ . VD. 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5 VD. 2 11 0 10!! 2.4.7.8.10 256 cos 11!! 1.3.5.7.9.11 693 xdx VD. 2 10 0 9!! 63 sin . 10!! 2 512 xdx
