Kỹ thuật sử dụng Casio – Vinacal hỗ trợ giải nhanh đề thi môn Toán 12
TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 1 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 1. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT. 1) PHƢƠNG PHÁP - Bƣớc 1: Để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên miền ; ab ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (Lập bảng giá trị) - Bƣớc 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max , giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min - Chú ý: Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step 19 ba (có thể làm tròn để Step đẹp) Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sin ,cos , tan ... x x x ta chuyển máy tính về chế độ Radian 2) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 32 2 4 1 y x x x trên đoạn 1;3 A. 67 max 27 B. max 2 C. max 7 D. max 4 Hƣớng dẫn giải Cách 1: CASIO Sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 1 End 3 Step 31 19 w7Q)^3$p2Q)dp4Q)+1==1 =3=(3p1)P19= Quan sát bảng giá trị FX ta thấy giá trị lớn nhất FX có thể đạt được là 32 f Vậy max 2 , dấu = đạt được khi 3 x Đáp số chính xác là B Cách tham khảo: Tự luận Tính đạo hàm 2 ' 3 4 4 y x x , 2 '0 2 3 x y x Lập bảng biến thiên TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 2 Tài liệu lưu hành nội bộ Nhìn bảng biến thiên ta kết luận max 3 2 f Bình luận: Qua ví dụ 1 ta đã thấy ngay sức mạnh của máy tính Casio, việc tìm Max chỉ cần quan sát bảng giá trị là xong. Phương pháp tự luận tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số được tiến hành theo 3 bước: +)Bước 1: Tìm miền xác định của biến x . +)Bước 2: Tính đạo hàm và xác định khoảng đồng biến nghịch biến. +)Bước 3: Lập bảng biến thiên, nhìn vào bảng biến thiên để kết luận. Trong bài toán trên đề bài đã cho sẵn miền giá trị của biến x là 1;3 nên ta bỏ qua bước 1. Ví dụ 2. [Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Hàm số 3cos 4sin 8 y x x với 0;2 x . Gọi , Mm lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . Khi đó tổng Mm bằng bao nhiêu ? A. 82 B. 73 C. 83 D. 16 Hƣớng dẫn giải Cách 1: CASIO Để tính toán các bài toán liên quan đến lượng giác ta chuyển máy tính về chế độ Radian qw4 Sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 0 End 2 Step 20 19 w7qc3kQ))p4jQ))+8==0= 2qK=2qKP19= Quan sát bảng giá trị FX ta thấy giá trị lớn nhất FX có thể đạt được là 5.2911 12.989 13 fM Ta thấy giá trị nhỏ nhất FX có thể đạt được là 2.314 3.0252 3 fm TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 3 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 16 Mm Đáp số D là chính xác Cách tham khảo: Tự luận Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được : 22 2 2 2 3cos 4sin 3 4 sin cos 25 x x x x 3cos 4sin 5 5 3cos 4sin 5 3 3cos 4sin 8 13 x x x x x x Vậy 3 3cos 4sin 8 13 xx Bình luận: Nếu bài toán liên quan đến các đại lượng lượng giác ta nên chuyển máy tính về chế độ Radian để được kết quả chính xác nhất. Trong Bất đẳng thức Bunhiacopxki có dạng 2 2 2 2 2 ax by a b x y . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ab xy Ví dụ 3. [Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Cho các số , xy thỏa mãn điều kiện 2 0, 12 0 y x x y Tìm giá trị nhỏ nhất : 2 17 P xy x y A. 12 B. 9 C. 15 D. 5 Hƣớng dẫn giải Cách 1: CASIO Từ 2 12 0 x x y ta rút được 2 12 y x x Lắp vào P ta được : 2 2 12 17 P x x x x Để tìm Min của P ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7, tuy nhiên việc còn thiếu của chúng ta là miền giá trị của x . Để tìm điều này ta xét 2 0 12 0 4 3 y x x x Sử dụng MODE 7 với thiết lập Start 4 End 3 Start 7 19 ta được: w7(Q)+2)(Q)d+Q)p12)+ Q)+17==p4=3=7P12= Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất là 1.25 11.6 12 f Vậy đáp số chính xác là A Cách tham khảo: Tự luận Dùng phương pháp dồn biến đưa biểu thức P chứa 2 biến trở thành biểu thức P chứa 1 biến x 2 3 2 2 12 17 3 9 7 P x x x x x x x Đặt 32 3 9 7 f x x x x Tìm miền giá trị của biến x ta có : 2 0 12 0 4 3 y x x x Khảo sát hàm fx ta có : 2 ' 3 6 9 f x x x , 1 '0 3 x fx x So sánh 1 12; 3 20; 4 13; 3 20 f f f f TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 4 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy giá trị nhỏ nhất max 12 f đạt được khi 1 x Bình luận: Một bài tìm Min max sử dụng phương pháp dồn biến hay. Việc tìm cận và tìm giá trị nhỏ nhất có sự đóng góp rất lớn của Casio để tiết kiệm thời gian. Ví dụ 4. [Khảo sát chất lƣợng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] Giá trị lớn nhất của hàm số 21 mx y mx trên đoạn 2;3 là 1 3 khi m nhận giá trị bằng : A. 5 B. 1 C. 0 D. 2 Hƣớng dẫn giải Cách 1: CASIO Ta hiểu nếu giá trị nhỏ nhất của 1 3 y trên đoạn 2;3 có nghĩa là phương trình 1 0 3 y có nghiệm thuộc đoạn 2;3 Thử nghiệm đáp án A với 5 m ta thiết lập 10 1 1 0 53 x x . Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE ap10Q)+1Rp5pQ)$+a1R3q r2.5= Ta thấy khi 1 3 y thì 0.064... x không phải là giá trị thuộc đoạn 2;3 vậy đáp án A sai Tương tự như vậy ta thấy đáp án C đúng với 0 m khi đó y có dạng 1 x a1RpQ)$+a1R3qr2.5= Ta thấy khi 1 3 y khi 3 x là giá trị thuộc đoạn 2;3 đáp án C chính xác Cách tham khảo: Tự luận Tính đạo hàm 2 22 2 2 1 1 21 '0 m m x mx m y m x m x với mọi xD Hàm y luôn đồng biến Hàm y đạt giá trị lớn nhất tại cận trên 3 x Vậy 1 6 1 1 30 3 3 3 m ym m Bình luận: Ta có thể sử dụng máy tính Casio theo VD1 và VD2 với chức năng MODE 7 Ta thấy với đán án C hàm số 1 y x đạt giá trị lớn nhất 1 3 khi 3 x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 5 Tài liệu lưu hành nội bộ w7a1RpQ)==2=3=1P19= Ví dụ 5. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Cho hàm số sin cos y a x b x x 02 x đạt cực đại tại các điểm 3 x và x . Tính giá trị của biểu thức 3 T a b A. 23 T B. 3 3 1 T C. 2 T D. 4 T Hƣớng dẫn giải Cách 1: CASIO Ta hiểu hàm số đạt cực trị tại 0 xx thì 0 x là nghiệm của phương trình '0 y Tính ' cos sin 1 y a x b x . Ta có 13 ' 0 0 3 2 2 3 y a b (1) Lại có ' 0 0 ya a . Thế vào (1) ta được SHIFT SOLVE ap10Q)+1Rp5pQ)$+a1R3q r2.5= Ta thấy khi 1 3 y thì 0.064... x không phải là giá trị thuộc đoạn 2;3 vậy đáp án A sai Tương tự như vậy ta thấy đáp án C đúng với 0 m khi đó y có dạng 1 x a1RpQ)$+a1R3qr2.5= Ta thấy khi 1 3 y khi 3 x là giá trị thuộc đoạn 2;3 đáp án C chính xác Cách tham khảo: Tự luận Tính đạo hàm 2 22 2 2 1 1 21 '0 m m x mx m y m x m x với mọi xD Hàm y luôn đồng biến Hàm y đạt giá trị lớn nhất tại cận trên 3 x Vậy 1 6 1 1 30 3 3 3 m ym m Bình luận: Ta có thể sử dụng máy tính Casio theo VD1 và VD2 với chức năng MODE 7 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 6 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thấy với đán án C hàm số 1 y x đạt giá trị lớn nhất 1 3 khi 3 x w7a1RpQ)==2=3=1P19= BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Gọi , Mm là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 x x y e trên đoạn 1 ;1 . Khi đó A. 1 ;0 Mm e B. ;0 M e m C. 1 , M e m e D. ;1 M e m Bài 2. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 36 y x x A. 3 M B. 32 M C. 23 M D. 23 M Bài 3. [Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2 3 7 y x x A. min 5 y B. min 7 y C. min 3 y D. Không tồn tại min Bài 4. [Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tìm m để hàm số 4 mx y xm đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên 2;6 A. 2 6 m B. 4 5 m C. 3 4 m D. 6 7 m Bài 5. [Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1 năm 2017] Gọi , Mn lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 32 31 y x x trên đoạn 2;1 thì : A. 19; 1 Mm B. 0; 19 Mm C. 0; 19 Mm D. Kết quả khác Bài 6. [Thi thử THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc lần 1 năm 2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 sin 1 cos y x x là : A. min 0 y B. min 1 y C. min 4 2 2 y D. Không tồn tại GTNN Bài 7. [Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017] Cho hàm số 3 3sin 4sin y x x . Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng ; 22 bằng : A. 1. B. 7 C. 1 D. 3 Bài 8. [Thi HK1 THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHSP năm 2017] Gọi , Mn lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 x f x x e trên đoạn 0;2 . Giá trị của biểu thức 2016 2 4 P m M là : A. 0 B. 2016 e C. 1 D. 2016 2 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 7 Tài liệu lưu hành nội bộ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Gọi , Mm là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 x x y e trên đoạn 1 ;1 . Khi đó A. 1 ;0 Mm e B. ;0 M e m C. 1 , M e m e D. ;1 M e m Hƣớng dẫn giải Lập bảng giá trị cho 2 x x y f x e với lệnh MODE 7 Start 1 End 1 Step 2 19 w7aQ)dRQK^Q)==p1=1=2P1 9= Quan sát bảng giá trị thấy ngay 2.7182 Me đạt được khi 1 x và 3 2.6x10 0 m Sử dụng Casio Đáp số chính xác là B Bài 2. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 36 y x x A. 3 M B. 32 M C. 23 M D. 23 M Hƣớng dẫn giải Theo điều kiện xác định thì 30 36 60 x k x Lập bảng giá trị cho 36 y x x với lệnh MODE 7 Start 3 End 6 Step 0.5 w7sQ)+3$+s6pQ)==p3=6=0. 5= Quan sát bảng giá trị thấy ngay 4.2421 3 2 M đạt được khi 1 x và 3 2.6x10 0 m Sử dụng Casio Đáp số chính xác là B Bài 3. [Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2 3 7 y x x A. min 5 y B. min 7 y C. min 3 y D. Không tồn tại min Hƣớng dẫn giải TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 8 Tài liệu lưu hành nội bộ Đề bài không nói gì đến miền giá trị của x . Khi đó ta chọn Start 9 End 10 Step 1 Lập bảng giá trị cho 2 2 2 3 7 y x x với lệnh MODE 7 w7(Q)dp2Q)+3)dp7==p9=10 =1= Quan sát bảng giá trị thấy ngay min 3 y đạt được khi 1 x Đáp số chính xác là C Bài 4. [Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tìm m để hàm số 4 mx y xm đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên 2;6 A. 2 6 m B. 4 5 m C. 3 4 m D. 6 7 m Hƣớng dẫn giải Thử với 2 6 m thì giá trị lớn nhất là 25 A sai w7a2Q)P6p4RQ)+2P6==p2=6 =0.5= Tương tự như vậy với 34 m thì giá trị lớn nhất là 5. Đáp số C chính xác w7a34Q)p4RQ)+34==p2=6=0 .5= Bài 5. [Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1 năm 2017] Gọi , Mn lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 32 31 y x x trên đoạn 2;1 thì : A. 19; 1 Mm B. 0; 19 Mm C. 0; 19 Mm D. Kết quả khác Hƣớng dẫn giải Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thêm lệnh SHIFT HYP. Sử dụng MODE 7 với Start -2 End 1 Step 3 19 w7qcQ)^3$p3Q)d+1==p2=1= 3P19= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 9 Tài liệu lưu hành nội bộ Quan sát bảng giá trị thấy 19; 0 Mm . Đáp số C chính xác Bài 6. [Thi thử THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc lần 1 năm 2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 sin 1 cos y x x là : A. min 0 y B. min 1 y C. min 4 2 2 y D. Không tồn tại GTNN Hƣớng dẫn giải Vì chu kì của hàm sin, cos là 2 nên ta chọn Start 2 End 2 Step 4 19 Lập bảng giá trị cho 1 sin 1 cos y x x với lệnh MODE 7 qw4w7s1+jQ))$+s1+kQ))= =p2qK=2qK=4qKP19= Quan sát bảng giá trị thấy ngay 1.0162 1 M Đáp số chính xác là B Bài 7. [Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017] Cho hàm số 3 3sin 4sin y x x . Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng ; 22 bằng : A. 1. B. 7 C. 1 D. 3 Hƣớng dẫn giải Lập bảng giá trị cho 3 3sin 4sin y x x với lệnh MODE 7 Start 2 End 2 Step 19 qw4w73jQ))p4jQ))^3==pq KP2=qKP2=qKP19= Quan sát bảng giá trị lớn nhất là 1 Đáp số chính xác là A Bài 8. [Thi HK1 THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHSP năm 2017] Gọi , Mn lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 x f x x e trên đoạn 0;2 . Giá trị của biểu thức 2016 2 4 P m M là : A. 0 B. 2016 e C. 1 D. 2016 2 Hƣớng dẫn giải Lập bảng giá trị cho 1 sin 1 cos y x x với lệnh MODE 7 Start 0 End 2 Step 2 19 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 10 Tài liệu lưu hành nội bộ w7(Q)dp3)QK^Q)==0=2=2P 19= Quan sát bảng giá trị ta thấy 5.422 m và 7.389 M 2016 2016 2 4 0.157916 0 P m M Đáp số chính xác là A. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 11 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 2. TÌM NHANH KHOẢNG ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Tính đồng biến nghịch biến : Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng I . Nếu '0 fx với mọi xI (hoặc '0 fx với mọi xI ) và '0 fx tại hữu hạn điểm của I thì hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I 2. Cách 1 Casio : Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio . Quan sát bảng kết quả nhận được , khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng ngịch biến. 3. Cách 2 Casio : Tính đạo hàm, thiết lập bât phương trình đạo hàm, cô lập m và đưa về dạng m f x hoặc m f x . Tìm , Min Max của hàm fx rồi kết luận. 4. Cách 3 Casio : Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đôi với bất phương trình bậc hai, bậc ba) 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Hỏi hàm số 4 21 yx đồng biến trên khoảng nào ? A. 1 ; 2 B. 0; C. 1 ; 2 D. ;0 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO MODE 7 Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start 10 End 1 2 Step 0.5 w72Q)^4$+1==p10=p0.5= 0.5= Ta thấy ngay khi x càng tăng thì fx càng giảm Đáp án A sai Tương tự như vậy, để kiểm tra đáp án B ta cũng sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 9 Step 0.5 w72Q)^4$+1==0=9=0.5= Ta thấy khi x càng tăng thì tương ứng fx càng tăng Đáp án B đúng Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀM Kiểm tra khoảng 1 ; 2 ta tính 1 ' 0.1 2 f TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 12 Tài liệu lưu hành nội bộ qy2Q)^4$+1$pa1R2$p0.1 = Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến) Giá trị 1 0.1 2 vi phạm Đáp án A sai Kiểm tra khoảng ;0 ta tính ' 0 0.1 f !!!!!!oooooo= Điểm 0 0.1 vi phạm Đáp án D sai và C cũng sai Đáp án chính xác là B Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không . Ta tính 1331 ' 1 0.1 125 f Chính xác !!!!!o1+= Cách 3 : CASIO MODE 5 INEQ Hàm số bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm các hệ số này trong đầu. Sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3 wR1238=0=0=0== Rõ ràng 0 x Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm 3 '8 yx Để hàm số đồng biến thì 3 ' 0 0 0 y x x . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; Bình luận : Khi sử dụng Casio ta phải để ý : Hàm số đồng biến trên khoảng ; ab thì sẽ luôn tăng khi x tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng . Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Hàm số 32 3 y x x mx m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là : A. 1 m B. 3 m C. 13 m D. 3 m Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Để giải các bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m Hàm số đồng biến 23 ' 0 3 6 0 3 6 y x x m m x x f x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 13 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy để hàm số y đồng biến trên tập xác định thì m f x hay max mf với mọi x thuộc R Để tìm Giá trị lớn nhất của fx ta vẫn dùng chức năng MODE 7 nhưng theo cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min - max w7p3Q)dp6Q)==p9=10=1= Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn nhất của fx là 3 khi 1 x Vậy 3 m Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm 2 ' 3 6 y x x m Để hàm số đồng biến thì 2 ' 0 3 6 0 y x x m với mọi xR (*) ' 0 9 3 0 3 mm Bình luận : Kiến thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2 : “Nếu tam thức bậc hai 2 ax bx c có 0 thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với a ” . VD3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2 tan x y xm đồng biến trên khoảng 0; 4 A. 0 12 m m B. 2 m C.12 m D. 2 m Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Để bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ : Đặt tanxt . Đổi biến thì phải tìm miền giá trị của biến mới. Để làm điều này ta sử dụng chức năng MODE 7 cho hàm tan f x x . qw4w7lQ))==0=qKP4=(q KP4)P19= Ta thấy 0 tan 1 x vậy 0;1 t Bài toán trở thành tìm m để hàm số 2 t y tm đồng biến trên khoảng 0;1 Tính đạo hàm : 22 2 2 ' t m t m y t m t m TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 14 Tài liệu lưu hành nội bộ 2 2 ' 0 0 2 m ym tm (1) Kết hợp điều kiện xác định 0 0;1 t m m t m (2) Từ (1) và (2) ta được 0 12 m m Đáp án A là chính xác Bình luận : Bài toán chứa tham só m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta. Nếu không tỉnh táo chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số. mt mà 0;1 t vậy 0;1 m . VD4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Với giá trị nào của tham số m thì hàm số sin cos 2017 2 y x x mx đồng biến trên R A. 2017 m B. 0 m C. 1 2017 m D. 1 2017 m Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Tính đạo hàm ' cos sin 2017 2 y x x m sin cos '0 2017 2 xx y m f x Để hàm số luôn đồng biến trên R thì m f x đúng với mọi xR hay max mf Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số ta lại sử dụng chức năng MODE 7. Vì hàm fx là hàm lượng giác mà hàm lượng giác sin ,cos xx thì tuần hoàn với chu kì 2 vậy ta sẽ thiết lập Start 0 End 2 Step 2 19 qw4w7apjQ))pkQ))R201 7s2==0=2qK=2qKP19= Quan sát bảng giá trị của FX ta thấy 4 max 3.9683 5.10 ff Đây là 1 giá trị 1 2017 vậy 1 2017 m Đáp án chính xác là C Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm ' cos sin 2017 2 y x x m . sin cos '0 2017 2 xx y m f x Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì 2 2 2 22 sin cos 1 1 sin cos 2 x x x x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 15 Tài liệu lưu hành nội bộ 2 sin cos 2 xx 22 2017 2 2017 2 fx fx đạt giá trị lớn nhất là 21 2017 2017 2 1 max 2017 mf Bình luận : Vì chu kì của hàm sin ,cos xx là 2 nên ngoài thiết lập Start 0 End 2 thì ta có thể thiết lập Start End Nếu chỉ xuất hiện hàm tan , cot xx mà hai hàm này tuần hoàn theo chu kì thì ta có thể thiết lập Start 0 End Step 19 VD5-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017] Tìm m để hàm số 32 3 y x x mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2. A. 0 m B. 3 m C. 2 m D. 3 m GIẢI Cách 1 : CASIO Tính 32 ' 3 6 y x x m Ta nhớ công thức tính nhanh “Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng thì phương trình đạo hàm có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng ” Với là một số xác định thì m cũng là 1 số xác định chứ không thể là khoảng Đáp số phải là A hoặc C . Với 0 m phương trình đạo hàm 2 3 6 0 xx có hai nghiệm phân biệt 2 0 x x và khoảng cách giữa chúng bằng 2 Đáp án A là chính xác Cách tham khảo : Tự luận Tính 32 ' 3 6 y x x m . Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có 2 nghiệm 12 , xx và 12 0 xx Theo Vi-et ta có 12 12 2 3 xx m xx Giải 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 x x x x x x xx 4 4 4 0 3 m m BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Cho hàm số 42 21 y x x . Mệnh đền nào dưới đây đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 16 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên R A. 3 x y B. 5 3 x y e C. 3x y D. 1 22 x y Bài 3-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 11 2 mx y xm đồng biến trên từng khoảng xác định A. 2 m B. 1 2 m m C. 2 m D. 12 m Bài 4-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 sin cos mx y x nghịch biến trên khoảng 0; 6 A. 5 2 m B. 5 2 m C. 5 4 m D. 5 4 m Bài 5-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 32 2sin 3sin sin y x x m x đồng biến trên khoảng 0; 2 A. 0 m B. 3 2 m C. 3 2 m D. 3 2 m Bài 6-[Thi thử chuyên Lƣơng Văn Tụy lần 1 năm 2017] Tìm m để hàm số 32 32 y mx x x m đồng biến trên khoảng 3;0 ? A. 0 m B. 1 m C. 31 m D. 1 m Bài 7-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2 2 x x em y em đồng biến trong khoảng 1 ln ;0 4 A. 1;2 m B. 11 ; 22 m C. 1;2 m D. 11 ; 1;2 22 m Bài 8-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số 32 2 3 1 6 2 3 y x m x m x nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3. A. 6 0 m m B. 6 m C. 0 m D. 9 m LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Cho hàm số 42 21 y x x . Mệnh đền nào dưới đây đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 17 Tài liệu lưu hành nội bộ C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; Hƣớng dẫn giải Giải bất phương trình đạo hàm với lệnh MODE 5 INEQ wR123p4=0=4=0== Rõ ràng hàm số đồng biến trên miền ;1 và 0;1 Đáp số chính xác là A Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên R A. 3 x y B. 5 3 x y e C. 3x y D. 1 22 x y Hƣớng dẫn giải Hàm số ngịch biến trên R tức là luôn giảm Kiểm tra tính nghịch biến 3 x y của hàm với chức năng MODE 7 Start 9 End 10 Step 1 w7(aqKR3$)^Q)==p9=10=1= Ta thấy fx luôn tăng A sai Tương tự như vậy , với hàm 1 22 x y ta thấy fx luôn giảm Đáp án chính xác là D w7(a1R2s2$$)^Q)==p9=10= 1= Bài 3-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 11 2 mx y xm đồng biến trên từng khoảng xác định A. 2 m B. 1 2 m m C. 2 m D. 12 m Hƣớng dẫn giải Chọn 3 m . Khảo sát hàm 3 1 1 3 x y x với chức năng MODE 7 w7a(p3p1)Q)+1R2Q)p3==p9 =10=1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 18 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm 3 m sai A, B, C đều sai Đáp số chính xác là D Chú ý : Việc chọn m khéo léo sẽ rút ngắn quá trình thử đáp án Bài 4-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 sin cos mx y x nghịch biến trên khoảng 0; 6 A. 5 2 m B. 5 2 m C. 5 4 m D. 5 4 m Hƣớng dẫn giải Chọn 3 m . Khảo sát hàm 2 3 sin cos x y x với chức năng MODE 7 qw4w7a3pjQ))RkQ))d==0= qKP6=qKP6P19= Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm 3 m sai A, D đều sai Chọn 1.3 m . Khảo sát hàm 2 1.3 sin cos x y x với chức năng MODE 7 w7a1.3pjQ))RkQ))d==0=q KP6=qKP6P19= Ta thấy hàm số luôn 1.3 m đúng B là đáp số chính xác (Đáp án C không chứa 1.3 nên sai) Bài 5-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 32 2sin 3sin sin y x x m x đồng biến trên khoảng 0; 2 A. 0 m B. 3 2 m C. 3 2 m D. 3 2 m Hƣớng dẫn giải Chọn 5 m . Khảo sát hàm 32 2sin 3sin 5sin y x x x với chức năng MODE 7 w72jQ))^3$p3jQ))dp5jQ) )==0=qKP2=qKP20= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 19 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thấy hàm số luôn giảm 5 m sai B sai Chọn 1 m . Khảo sát hàm 32 2sin 3sin sin y x x x với chức năng MODE 7 C!!!!oo+===== Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm 1 m sai A sai Chọn 3 2 m . Khảo sát hàm 32 3 2sin 3sin sin 2 y x x x với chức năng MODE 7 C!!!!(3P2)===== Ta thấy hàm số luôn tăng 3 2 m đúng C sai Bài 6-[Thi thử chuyên Lƣơng Văn Tụy lần 1 năm 2017] Tìm m để hàm số 32 32 y mx x x m đồng biến trên khoảng 3;0 ? A. 0 m B. 1 m C. 31 m D. 1 m Hƣớng dẫn giải Tính đạo hàm 2 ' 3 2 3 y mx x . Hàm số đồng biến 2 2 23 3 2 3 0 3 x mx x m f x x Vậy max mf trên miền 3;0 . Tìm max f bằng lệnh MODE 7 w7a2Q)p3R3Q)d==p3=0=3P1 9= Ta thấy 1 max 0.3333... 3 f 1 3 m sai D là đáp số chính xác Bài 7-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2 2 x x em y em đồng biến trong khoảng 1 ln ;0 4 A. 1;2 m B. 11 ; 22 m C. 1;2 m D. 11 ; 1;2 22 m TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 20 Tài liệu lưu hành nội bộ Hƣớng dẫn giải Chọn 1 m . Khảo sát hàm 2 12 1 x x e y e với chức năng MODE 7 w7aQK^Q)$p1p2RQK^Q)$p1 d==h1P4)=0=ph1P4)P19= Ta thấy hàm số luôn tăng trên 1 m nhận A, D có thể đúng Chọn 1 m . Khảo sát hàm 2 12 1 x x e y e với chức năng MODE 7 C$$$$$$(p$)R$$$$$(p$)== === Ta thấy hàm số luôn không đổi (hàm hằng) 1 m loại A sai và D là đáp số chính xác Bài 8-[Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số 32 2 3 1 6 2 3 y x m x m x nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3. A. 6 0 m m B. 6 m C. 0 m D. 9 m Hƣớng dẫn giải Tính 2 ' 6 6 1 6 2 y x m x m . Theo Vi-et ta có : 12 12 1 2 x x m xx m Khoảng nghịch biến lớn hơn 3 2 1 2 1 2 39 x x x x 2 1 2 1 2 4 9 0 x x xx 2 1 4 2 9 0 mm Sử dụng MODE 7 với Start 3 End 10 Step 1 để giải bất phương trình trên w7(1pQ))dp4(Q)p2)p9==p3 =10=1= Ta nhận được 6 0 m m A là đáp số chính xác TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 21 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 3. CỰC TRỊ HÀM SỐ. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1.Điểm cực đại, cực tiểu : Hàm số f liên tục trên ; ab chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên các khoảng 0 ;x a và 0 ; xb . Khi đó : Nếu 0 ' fx đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm 0 x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x Nếu 0 ' fx đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm 0 x thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x 2.Lệnh Casio tính đạo hàm qy 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Cho hàm số 3 2 5 y x x . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Hàm số đạt cực tiểu tại 1 x B. Hàm số đạt cực tiểu tại 2 x C. Hàm số đạt cực tiểu tại 0 x D. Hàm số không có cực tiểu Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Để kiểm tra đáp án A ta tính đạo hàm của y tại 1 x (tiếp tục màn hình Casio đang dùng) !o1= Ta thấy đạo hàm ' 1 0 y vậy đáp số A sai Tương tự với đáp án B (tiếp tục màn hình Casio đang dùng) !!o2= Ta thấy ' 2 0 y . Đây là điều kiện cần để 2 x là điểm cực tiểu của hàm số y Kiểm tra ' 2 0.1 0.1345... 0 y !!p0.1= Kiểm tra ' 2 0.1 0.1301... 0 y TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 22 Tài liệu lưu hành nội bộ !!oooo+0.1= Tóm lại ' 2 0 f và dấu của ' y đổi từ sang vậy hàm số y đạt cực tiểu tại 2 x Đáp án B là chính xác Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm : 3 2 3 3 3 3 2 5 5 2 21 ' 5 . . 3 33 x x x y x x x x x Ta có ' 0 5 2 0 0 y x x 3 20 0 2 52 ' 0 0 0 20 3 0 x x x x y x x x x ' 0 0 2 yx Vậy ' 2 0 y và ' y đổi dấu từ âm sang dương qua điểm 2 x Bình luận : Trong các bài toán tính đạo hàm phức tạp thì cách Casio càng tỏ ra có hiệu quả vì tránh được nhầm lẫn khi tính đạo hàm và xét dấu của đạo hàm. VD2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Với giá trị nguyên nào của k thì hàm số 42 4 5 2017 y kx k x có 3 cực trị A. 1 k B. 2 k C. 3 k D. 4 k Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Tính đạo hàm 3 ' 4 2 4 5 y kx k x Ta hiểu : Để hàm số y có 3 cực trị thì '0 y có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào) Ta chỉ cần giải phương trình bậc 3 : 3 4 2 4 5 0 kx k x với 4 , 0, 8 10, 0 a k b c k d . Để làm việc này ta sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình bậc 3 : MODE 5 Thử đáp án A với 1 k w544=0=8p10=0== Ta thu được 3 nghiệm 1 2 3 22 ; ; 0 22 x x x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 23 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp án A là chính xác Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm 3 ' 4 2 4 5 y kx k x Ta hiểu : Để hàm y có 3 cực trị thì '0 y có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào) 3 2 0 ' 0 4 2 4 5 0 4 10 8 0 2 x y kx k x kx k Để '0 y có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 2 18 8 0 0 2 4 k xk k Vậy 1 k thỏa mãn Bình luận : Đạo hàm là phương trình bậc 3 có dạng 32 00 ax bx cx d a nếu có 3 nghiệm thì sẽ tách được thành 1 2 3 0 a x x x x x x nên vế trái luôn đổi dấu qua các nghiệm. Có 3 cực trị Tuy nhiên nếu đạo hàm là phương trình bậc 3 chỉ có 2 nghiệm thì sẽ tách thành 2 12 0 a x x x x và sẽ có 1 nghiệm kép. có 1 cực trị Mở rộng thêm : nếu đạo hàm là 1 phương trình bậc 3 có 1 nghiệm thì chỉ đổi dấu 1 lần có 1 cực trị VD3-[Thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội lần 1 năm 2017] Số điểm cực trị của hàm số 3 2 43 y x x bằng : A. 2 B. 0 C. 3 D. 4 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : T. CASIO Tính đạo hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 31 3 3 2 2 2 22 3 ' ' ' .2 3 2 x x x x x x x Vậy 3 2 ' 4 3 ' 3 8 y x x x x x Số điểm cực trị tương ứng với số nghiệm của phương trình '0 y . Ta sử dụng chức năng MODE 7 để dò nghiệm và sự đổi dấu của ' y qua nghiệm. w73Q)qcQ)$p8Q)==p9=1 0=1= Ta thấy ' y đổi dấu 3 lần Có 3 cực trị Đáp án C là chính xác VD4-[Khảo sát chất lƣợng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 24 Tài liệu lưu hành nội bộ Tìm tất các các giá trị thực của m để hàm số 3 2 2 2 3 3 1 3 5 y x mx m x m đạt cực đại tại 1 x A. 0 2 m m B. 2 m C. 1 m D. 0 m Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Kiểm tra khi 0 m thì hàm số có đạt cực đại tại 1 x không. qyQ)^3$p3Q)+5$1= !!p0.1= !!oooo+0.1= Vậy ' y đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị 1 x 0 m loại Đáp án A hoặc D sai Tương tự kiểm tra khi 2 m qyQ)^3$p6Q)d+9Q)p7$1= !!p0.1= !!!!!o+= Ta thấy ' y đổi dấu từ dương sang âm hàm y đạt cực đại tại 1 x Đáp án B chính xác Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm : 22 ' 3 6 3 1 y x mx m Ta có 1 '0 1 xm y xm Điều kiện cần : 1 x là nghiệm của phương trình 1 1 2 '0 1 1 0 mm y mm TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 25 Tài liệu lưu hành nội bộ Thử lại với 2 m khi đó 2 ' 3 12 9 y x x . 1 '0 3 x y x 3 '0 1 x y x và ' 0 1 3 yx Vậy ' y đổi dấu từ dương sang âm qua điểm 1 x Hàm y đạt cực đại tại 1 x Bình luận : Việc chọn giá trị m một cách khéo léo sẽ giúp chúng ta rút ngắn quá trình chọn để tìm đâp án đúng. VD5-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Cho hàm số sin cos y a x b x x 02 x đạt cực đại tại các điểm 3 x và x . Tính giá trị của biểu thức 3 T a b A. 23 T B. 3 3 1 T C. 2 T D. 4 T Hƣớng dẫn giải Cách 1 : T. CASIO Tính đạo hàm ' sin cos ' cos sin 1 y a x b x x a x b x Hàm số đạt cực trị tại 13 cos sin 1 0 1 0 3 3 3 2 2 x a b a b (1) Hàm số đạt cực trị tại cos sin 1 0 0 1 0 3 x a b a b (2) Từ (2) ta có 1 a . Thế vào (1) 3 b Vậy 34 T a b Đáp án D là chính xác VD6-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 32 1 23 3 y x x x A. 2 3 9 0 xy B. 2 3 6 0 xy C. 2 3 9 0 xy D. 2 3 6 0 xy Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Gọi 2 điểm cực trị của đồ thị là 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y . Ta không quan tâm đâu là điểm cực đại, đâu là điểm cực tiẻu. Chúng ta chỉ cần biết đường thẳng cần tìm sẽ đi qua 2 điểm cực trị trên. 12 ; xx là nghiệm của phương trình '0 y . Để tìm 2 nghiệm này ta sử dụng chức năng giải phương trình bậc 2 MODE w531=p4=3== TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 26 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta tìm được 12 3; 1 xx Để tìm 12 ; yy ta sử dụng chức năng gán giá trị CALC a1R3$Q)^3$p2Q)d+3Q)r3 = Khi 3 x thì 0 y vậy 3;0 A r1= Khi 1 x thì 4 3 y vậy 4 1; 3 B Ta thấy đường thẳng 2 3 6 0 xy đi qua A và B Đáp án chính xác là B Cách tham khảo : Tự luận Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là phần dư của phép chia y cho ' y Tính 2 ' 4 3 y x x Thực hiện phép chia được : 3 2 2 1 1 2 2 2 3 4 3 2 3 3 3 3 x x x x x x x Vậy phương trình cần tìm có dạng 2 2 2 3 6 0 3 y x x y Bình luận : Cách Casio có vẻ hơi dài hơn nhưng lại có ưu điểm tránh phải thực hiện phép chia y cho ' y . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Hàm số 42 1 y x x đạt cực tiểu tại : A. 1 x B. 1 x C. 0 x D. 2 x Bài 2-[Thi thử THPT Yên Thế – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Giá trị của m để hàm số 32 22 y x x mx m đạt cực tiểu tại 1 x là : A. 1 m B. 1 m C. 1 m D. 1 m Bài 3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Tìm giá trị cực đại của hàm số 3 32 y x x A. 4 B. 1 C. 0 D. 1 Bài 4-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội năm 2017] Đồ thị hàm số 2 35 x y e x x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Bài 5-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội năm 2017] Hàm số 3 2 4 y x x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 27 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 6-[Khảo sát chất lƣợng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] Cho hàm số y f x có đạo hàm 2 ' 1 2 3 f x x x x . Số điểm cực trị của hàm số y f x là : A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Bài 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Cho hàm số 2 12 y x x . Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây. Bài 8-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 32 3 y x x mx có 2 điểm cực trị trái dấu . A. 0 m B. 03 m C. 3 m D. Không có m thỏa Bài 9-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 42 12 y mx m x có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu A. 1 m B. 0 1 m m C. 0 m D. 1 m Bài 10-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Tìm tập hợp tất cả các tham số m để đồ thị hàm số 32 2 y x x mx m có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành A. ;0 B. ; 1 \ 5 C. ;0 D. ;1 \ 5 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Hàm số 42 1 y x x đạt cực tiểu tại : A. 1 x B. 1 x C. 0 x D. 2 x Hƣớng dẫn giải Ngoài cách thử lần lượt từng đáp án để lấy kết quả. Nếu ta áp dụng một chút tư duy thì phép thử sẽ diễn ra nhanh hơn. Đồ thị hàm bậc 4 đối xứng nhau qua trục tung. Nếu hàm số đạt cực tiểu tại 1 x thì sẽ đạt cực tiểu tại 1 x . Đáp án A và B loại vì ta chỉ được chọn 1 đáp án. Thử với 0 x qyQ)^4$+Q)d+1$0=!!p0.1= !!!!!o+= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 28 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thấy ' 0 0 f , ' fx đổi dấu từ âm sang dương 1 x là cực tiểu Đáp án C chính xác Bài 2-[Thi thử THPT Yên Thế – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Giá trị của m để hàm số 32 22 y x x mx m đạt cực tiểu tại 1 x là : A. 1 m B. 1 m C. 1 m D. 1 m Hƣớng dẫn giải Thử đáp án, ưu tiên thử giá trị xác định trước. Với đáp án C khi 1 m 32 22 y x x x qypQ)^3$p2Q)dpQ)p2$p1= !!p0.1=!!!!!o+= Ta thấy ' 1 0 f , ' fx đổi dấu từ âm sang dương 1 x là cực tiểu Đáp án C chính xác Bài 3-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Tìm giá trị cực đại của hàm số 3 32 y x x A. 4 B. 1 C. 0 D. 1 Hƣớng dẫn giải Tính 2 ' 3 3 yx . Tìm điểm cực đại của hàm số là nghiệm phương trình '0 y 1 1 x x Khảo sát sự đổi dấu qua điểm cực trị 1 x bằng cách tính ' 1 0.1 f và ' 1 0.1 f qypQ)^3$p2Q)dpQ)p2$p1= !!p0.1=!!!!!o+= Ta thấy ' fx đổi dấu từ dương sang âm 1 x là điểm cực đại của hàm số Giá trị cực đại 3 1 1 3 1 2 4 f Đáp án chính xác là A chính xác Bài 4-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội năm 2017] Đồ thị hàm số 2 35 x y e x x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Hƣớng dẫn giải Tính 2 ' 3 5 2 3 xx y e x x e x Dùng MODE 7 để tìm điểm cực trị và khảo sát sự đổi dấu qua điểm cực trị TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 29 Tài liệu lưu hành nội bộ w7QK^Q)$(Q)dp3Q)p5)+Q K^Q)$(2Q)p3)==p9=10=1= Ta thấy ' fx đổi dấu 2 lần Hàm số có hai điểm cực trị Đáp án chính xác là A chính xác Bài 5-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội năm 2017] Hàm số 3 2 4 y x x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Hƣớng dẫn giải Tính ' 3 2 y x x x . 0 '0 2 3 x y x . Dùng MODE 7 với thiết lập sao cho x chạy qua 3 giá trị này ta sẽ khảo sát được sự đổi dấu của ' y w73Q)qcQ)$p2Q)=po=p2=2 =1P3= Ta thấy ' fx đổi dấu 3 lần Đáp án chính xác là C chính xác Bài 6-[Khảo sát chất lƣợng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] Cho hàm số y f x có đạo hàm 2 ' 1 2 3 f x x x x . Số điểm cực trị của hàm số y f x là : A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Hƣớng dẫn giải Tính 0 ' 0 1 3 2 x yx x . Dùng MODE 7 với thiết lập sao cho x chạy qua 3 giá trị này ta sẽ khảo sát được sự đổi dấu của ' y w7Q)(Q)p1)d(2Q)+3)==p2= 1.5=0.25= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 30 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thấy ' fx đổi dấu 2 lần Đáp án chính xác là A chính xác Chú ý : Nếu quan sát tinh tế thì ta thấy ngay 2 1 x là lũy thừa bậc chẵn nên ' y không đổi dấu qua 1 x mà chỉ đổi dấu qua hai lũy thừa bậc lẻ x (hiểu là 1 x ) và 23 x (hiểu là 1 23 x ) Bài 7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Cho hàm số 2 12 y x x . Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây. A. 2 4 0 xy B. 2 4 0 xy C. 2 4 0 xy D. 2 4 0 xy Hƣớng dẫn giải Hàm số có dạng 2 3 2 1 ( 2) 3 4 y x x y x x Có đạo hàm 2 ' 3 6 y x x . 20 '0 04 xy y xy Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 2;0 , 0;4 MN . Trung điểm của hai điểm cực trị này là 1;2 I . Điểm này thuộc đường thẳng 2 4 0 xy Đáp số chính xác là B Bài 8-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 32 3 y x x mx có 2 điểm cực trị trái dấu . A. 0 m B. 03 m C. 3 m D. Không có m thỏa Hƣớng dẫn giải Tính 2 ' 3 6 y x x m . Để hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu thì phương trình '0 y có hai nghiệm phân biệt trái dấu Tích hai nghiệm là số âm 00 3 m m Đáp án chính xác là A chính xác Chú ý : Nếu quên định lý Vi-et ta có thể dùng phép thử. Với đáp án A chọn 5 m chẳng hạn sẽ thấy luôn '0 y có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm này đổi dấu. Bài 9-[Thi HK1 THPT Chu Văn An – Hà Nội năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 42 12 y mx m x có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu A. 1 m B. 0 1 m m C. 0 m D. 1 m Hƣớng dẫn giải Tính 3 ' 4 2 1 y mx m x . Để hàm số có đúng 1 cực đại và không có cực tiểu thì '0 y có đúng 1 nghiệm và ' yx đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 31 Tài liệu lưu hành nội bộ Chọn 5 m . Dùng MODE 7 tính nghiệm '0 y và khảo sát sự đổi dấu của ' yx w74O(p5)Q)^3$+2(p5p1)Q) ==p9=10=1= Ta thấy ' fx đổi dấu 1 lần từ dương sang âm 5 m thỏa Đáp án đúng có thể là A, B, C Chọn 5 m . Dùng MODE 7 tính nghiệm '0 y và khảo sát sự đổi dấu của ' yx C$$$$o$$$$$$$$$$o===== Ta thấy ' fx đổi dấu 1 lần từ âm sang dương 5 m loại Đáp án B sai Chọn 0.5 m . Dùng MODE 7 tính nghiệm '0 y và khảo sát sự đổi dấu của ' yx C$$$p0.$$$$$$$$$p0.==== = Ta thấy ' fx đổi dấu 1 lần từ dương sang âm 0.5 m thỏa Đáp án A chính xác Bài 10-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Tìm tập hợp tất cả các tham số m để đồ thị hàm số 32 2 y x x mx m có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành A. ;0 B. ; 1 \ 5 C. ;0 D. ;1 \ 5 Hƣớng dẫn giải Tính 2 ' 3 2 y x x m . Để hàm số có đúng 2 cực đại thì '0 y có 2 nghiệm phân biệt 1 ' 1 3 0 3 mm Cả 4 đáp án đều thỏa Chọn 5 m . Hàm số có dạng 32 53 y x x x . Tính hai điểm cực trị của hàm số bằng lệnh giải phương trình MODE 5 w533=2=p5=== TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 32 Tài liệu lưu hành nội bộ Từ đó suy ra 12 5 256 1 0; 3 27 f x f f x f Để hai cực trị nằm về hai phía trục hoành thì 12 0 f x f x . 5 m loại B hoặc D có thể đúng. Chọn 0 m . Hàm số có dạng 32 2 y x x . Tính hai điểm cực trị của hàm số bằng lệnh giải phương trình MODE 5 w533=2=0=== Từ đó suy ra 12 2 50 ; 0 2 3 27 f x f f x f Để hai cực trị nằm về hai phía trục hoành thì 12 0 f x f x . 0 m loại B là đáp số chính xác TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 33 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 4. TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm : Cho hàm số y f x có đồ thị C và một điểm 00 ; M x y thuộc đồ thị C . Tiếp tuyến của đồ thị C tại tiếp điểm M là đường thẳng d có phương trình : 0 0 0 ' y f x x x y 2.Lệnh Casio : qy 2) VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 ln yx x tại điểm có hoành độ bằng 2 A. 1 ln 2 2 B. 1 4 C. 3 4 D. 1 4 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y Sử dụng máy tính Casio để tính hệ số góc tiếp tuyên tại điểm có hoành độ bằng 2 '2 kf qypa1RQ)$phQ))$2= Ta thấy 1 ' 2 0.25 4 kf . B là đáp án chính xác Bài 2-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Cho hàm số 3 32 y x x có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục tung. A. 21 yx B. 32 yx C. 21 yx D. 32 yx Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y M là giao điểm của đồ thị C và trục tung M có tọa độ 0; 2 Tính ' 0 0 f qypQ)^3$+3Q)p2$0= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 34 Tài liệu lưu hành nội bộ Thế vào phương trình tiếp tuyến có 3 0 2 3 2 y x y x B là đáp án chính xác Bài 3-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 năm 2017] Số tiếp tuyến với đồ thị C : 32 32 y x x đi qua điểm 1;0 M là : A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y Trong đó hệ số góc 2 0 0 0 ' 3 6 k f x x x Thế 0 ' fx vào phương trình tiếp tuyến được 2 3 2 0 0 0 0 0 3 6 3 2 y x x x x x x Tiếp tuyến đi qua điểm 1;0 M 2 3 2 0 0 0 0 0 0 3 6 1 3 2 x x x x x 32 0 0 0 2 6 6 2 0 x x x Sử dụng máy tính với lệnh MODE 5 để giải phương trình bậc 3 trên w5p4p2=6=p6=2= Ta thấy có 1 nghiệm 0 x Chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất. D là đáp án chính xác Bài 4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Cho hàm số 32 32 y x x có đồ thị C . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của C với hệ số góc nhỏ nhất A. 33 yx B. 33 yx C. 3 yx D. 0 y Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y Trong đó hệ số góc 2 0 0 0 ' 3 6 k f x x x Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng chức năng MODE 7 w73Q)dp6Q)==p9=10=1= Ta thấy 0 ' min ' 1 3 3 f f x 32 0 1 3.1 2 0 y Thế vào phương trình tiếp tuyến có 3 1 0 3 3 y x y x D là đáp án chính xác Bài 5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Cho hàm số 2 1 x y x C Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của C đến một tiếp tuyến bất kì của C . Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là : A. 33 B. 3 C. 2 D. 22 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 35 Tài liệu lưu hành nội bộ Hƣớng dẫn giải Cách 1 : T. CASIO Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y Trong đó hệ số góc 0 2 0 1 ' 1 k f x x . Thế 0 , ky vào phương trình tiếp tuyến có dạng : 0 0 2 0 0 2 1 1 1 x y x x x x 00 22 0 00 2 1 0 1 11 xx xy x xx Hàm số có tiệm cận đứng 1 x và tiệm cận ngang 1 y nên giao điểm hai tiệm cận là 1;1 I . Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có : 00 22 0 00 2 2 2 0 2 1 11 1 11 ; 1 1 1 xx x xx h d I d x Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 7 để tính các giá trị lớn nhất này. w7aqcap1R(Q)+1)d$+1pa Q)R(Q)+1)d$paQ)+2RQ)+ 1Rs(a1R(Q)+1)d$)d+1== p9=10=1= Ta thấy max 2 h C là đáp án chính xác Bài 6-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội năm 2017] Hàm số 21 1 x y x H , M là điểm bất kì và MH . Tiếp tuyến với H tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích bằng : A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y Trong đó hệ số góc 0 2 0 1 ' 1 k f x x . Thế 0 , ky vào phương trình tiếp tuyến có dạng : 0 0 2 0 0 21 1 1 1 x y x x x x d Hàm số có tiệm cận đứng 1 x và tiệm cận ngang 2 y và giao điểm 2 tiệm cận là 1;2 I TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 36 Tài liệu lưu hành nội bộ Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng 0 0 2 1; 1 x E x Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang 0 2 1;2 Fx Độ dài 2 0 00 2 2 1 1 2 11 x IE IE xx Độ dài 22 00 2 1 1 2 2 2 1 IF x x Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có : Diện tích IEF 0 0 1 1 2 . . .2 1 2 2 2 1 IEIF x x D là đáp án chính xác BÀI TẬP T Ự LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho hàm số 1 21 x y x . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng : A. 1 3 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 6 Bài 2-[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 năm 2017] Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị C của hàm số 1 1 x y x sao cho tiếp tuyến của C tại M song song với đường thẳng 17 :y 22 dx A. 0;1 , 2;3 B. 1;0 , 3;2 C. 3;2 D. 1;0 Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Cho hàm số 1 2 x y x có đồ thị C . Tiếp tuyến của C tại giao điểm của C và trục hoành có phương trình là : A. 3 yx B. 33 yx C. 3 yx D. 11 33 yx Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 y x x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9 16 yx A. 9 16 yx B. 9 12 yx C. 9 10 yx D. 9 12 yx Bài 5-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5 năm 2017] Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị 2 12 : 33 C y x x sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng 12 33 yx A. 2;0 M B. 16 3; 3 M C. 4 1; 3 D. 19 ; 28 M Bài 6-[Thi tốt nghiệm THPT năm 2012] Cho hàm số 42 1 2 4 y x x C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ 0 xx biết 0 '' 1 fx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 37 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 5 3 4 5 3 4 yx yx B. 5 3 4 5 3 4 yx yx C. 5 3 4 5 3 4 yx yx D. 5 3 4 5 3 4 yx yx LỜI GIẢI BÀI TẬP T Ự LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho hàm số 1 21 x y x . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng : A. 1 3 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 6 Hƣớng dẫn giải Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại tiếp điểm 1 '1 3 kf qyaQ)+1R2Q)p1$$p1= Đáp số chính xác là C Bài 2-[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 năm 2017] Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị C của hàm số 1 1 x y x sao cho tiếp tuyến của C tại M song song với đường thẳng 17 :y 22 dx A. 0;1 , 2;3 B. 1;0 , 3;2 C. 3;2 D. 1;0 Hƣớng dẫn giải Đề bài hỏi các điểm M nên ta dự đoán có 2 điểm , lại quan sát thấy đáp án B được cấu tạo từ đáp án C và D nên ta ưu tiên thử đáp án D trước. Tiếp tuyến song song với d nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng hệ số góc của d và bằng 1 2 Tính 1 '1 2 f Điểm 1;0 M là một tiếp điểm qyaQ)p1RQ)+1$$1= Tính 1 '3 2 f Điểm 3;2 M là một tiếp điểm TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 38 Tài liệu lưu hành nội bộ !!op3= B là đáp án chính xác Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Cho hàm số 1 2 x y x có đồ thị C . Tiếp tuyến của C tại giao điểm của C và trục hoành có phương trình là : A. 3 yx B. 33 yx C. 3 yx D. 11 33 yx Hƣớng dẫn giải Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y M là giao điểm của đồ thị C và trục hoành 1;0 M 00 1; 0 xy Tính hệ số góc '1 kf qyaQ)p1RQ)+2$$1= Thay vào ta có tiếp tuyến 1 1 1 10 3 3 3 y x y x Đáp số chính xác là D Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 y x x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9 16 yx A. 9 16 yx B. 9 12 yx C. 9 10 yx D. 9 12 yx GIẢI Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y với hệ số góc 2 00 ' 3 3 k f x x Tiếp tuyến song song với 9 16 yx nên có hệ số góc 2 00 9 3 3 9 2 k x x Với 00 22 xy Tiếp tuyến : 9 2 2 9 16 y x y x Tính hệ số góc '1 kf Đáp số chính xác là A Bài 5-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5 năm 2017] Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị 2 12 : 33 C y x x sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng 12 33 yx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 39 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 2;0 M B. 16 3; 3 M C. 4 1; 3 D. 19 ; 28 M GIẢI Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y với hệ số góc 2 00 '1 k f x x Tiếp tuyến vuông góc với 12 33 yx nên có hệ số góc 2 00 1 . 1 3 1 3 2 3 k k x x Đáp số chính xác là A Bài 6-[Thi tốt nghiệm THPT năm 2012] Cho hàm số 42 1 2 4 y x x C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ 0 xx biết 0 '' 1 fx A. 5 3 4 5 3 4 yx yx B. 5 3 4 5 3 4 yx yx C. 5 3 4 5 3 4 yx yx D. 5 3 4 5 3 4 yx yx Hƣớng dẫn giải Gọi tiếp điểm là 00 ; M x y Tiếp tuyến 0 0 0 ' y f x x x y với hệ số góc 4 0 0 0 '4 k f x x x Ta có 2 0 '' 3 4 f x x 00 22 00 00 7 1; 4 3 4 1 1 7 1; 4 xy xx xy Với 0 1 x Tính hệ số góc '1 kf qya1R4$Q)^4$p2Q)d$1= Thay vào ta có tiếp tuyến 75 3 1 3 44 y x y x Đáp số chính xác là D Với 0 1 x Tính hệ số góc '1 kf !!!p= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 40 Tài liệu lưu hành nội bộ Thay vào ta có tiếp tuyến 75 3 1 3 44 y x y x Đáp số chính xác là D TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 41 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 5. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1.Quy ƣớc tính giơi hạn vô định : 9 10 xx 9 10 xx 6 00 10 x x x x 6 0 10 o x x x x 6 00 10 x x x x 2.Giơi hạn hàm lƣợng giác : 0 sin lim 1 x x x , 0 sin lim 1 u u u 3.Giới hạn hàm siêu việt : 00 ln 1 1 lim 1,lim 1 x xx x e xx 4.Lệnh Casio : r 2) VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1-[Thi thử THPT chuyên Ngữ lần 1 năm 2017] Tính giới hạn 2 0 1 lim 42 x x e x bằng : A. 1 B. 8 C. 2 D. 4 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Vì 6 0 0 10 xx Sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC aQK^2Q)$p1RsQ)+4$p2r 0+10^p6)= Ta nhận được kết quả 1000001 8 125000 B là đáp án chính xác Chú ý : Vì chúng ta sử dụng thủ thuật để tính giới hạn , nên kết quả máy tính đưa ra chỉ xấp xỉ đáp án , nên cần chọn đáp án gần nhất. Bài 2-[Thi thử chuyên Amsterdam lần 1 năm 2017] Tính giới hạn sin 0 1 lim x x e x bằng : A. 1 B. 1 C. 0 D. Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Vì 6 0 0 10 xx Sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC raQK^jQ))$p1RQ)r0+10 ^p6)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 42 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta nhận được kết quả 1.00000049 1 A là đáp án chính xác Bài 3 : Tính giới hạn : 3 32 45 lim 37 nn nn A. 1 3 B. 1 C. 1 4 D. 1 2 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Đề bài không cho x tiến tới bao nhiêu thì ta hiểu đây là giới hạn dãy số và x aQ)^3$+4Q)p5R3Q)^3$+Q )d+7r10^9)= Ta nhận được kết quả 1 0.3333333332 3 A là đáp án chính xác Bài 4 : Kết quả giới hạn 2 25 lim 3 2.5 n nn là : A. 25 2 B. 5 2 C. 1 D. 5 2 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Đề bài không cho x tiến tới bao nhiêu thì ta hiểu đây là giới hạn dãy số và x . Tuy nhiên chúng ta chú ý, bài này liên quan đến lũy thừa (số mũ) mà máy tính chỉ tính được số mũ tối đa là 100 nên ta chọn 100 x a2p5^Q)+2R3^Q)$+2O5^Q )r100= Ta nhận được kết quả 25 2 A là đáp án chính xác Chú ý : Nếu bạn nào không hiểu tính chất này của máy tính Casio mà cố tình cho 9 10 x thì máy tính sẽ báo lỗi r10^9)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 43 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 5 : Tính giới hạn : 1 1 1 lim 1 ... 1.2 2.3 1 nn A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Ta không thể nhập vào máy tính Casio cả biểu thức n số hạng ở trong ngoặc được, vì vậy ta phải tiến hành rút gọn. 1 1 1 2 1 3 2 1 1 ... 1 ... 1.2 2.3 1 1.2 2.3 1 nn n n n n 1 1 2 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 3 1 1 n n n Đề bài không cho x tiến tới bao nhiêu thì ta hiểu đây là giới hạn dãy số và x 2pa1RQ)+1r10^9)= Ta nhận được kết quả 1.999999999 2 C là đáp án chính xác Bài 6 : Cho 1 1 1 1 1 .... 3 9 27 3 n n S . Giá trị của S bằng : A. 3 4 B. 1 4 C. 1 2 D. 1 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Ta hiểu giá trị của S bằng lim n S Ta quan sát dãy số là một cấp số nhân với công bội 1 3 q và 1 1 3 u Vậy 2 1 1 11 3 . 1 13 1 3 n n q Su q a1R3$Oa1p(pa1R3$)^Q)R 1p(pa1R3$)r10^9)= Ta nhận được kết quả 1 4 B là đáp án chính xác Chú ý : Trong tự luận ta có thể sử dụng công thức của cấp số nhân lùi vô hạn để tính Bài 7: Tính giới hạn : 0 2 lim 5 x xx xx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 44 Tài liệu lưu hành nội bộ A. B. 2 5 C. D. 1 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Đề bài cho 0 x 6 0 10 x a2Q)+sQ)R5Q)psQ)r0+1 0^p6)= Ta nhận được kết quả 1002 1 999 D là đáp án chính xác Bài 8 : Tính giới hạn : 3 2 1 1 lim 3 x x xx A. B. 1 3 C. 0 D. 1 Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Đề bài cho 1 x 6 0 10 x Wsa1pQ)^3R3Q)d+Q)r1p1 0^p6)= Ta nhận được kết quả chứa 4 10 0 C là đáp án chính xác Bài 9 : Tính giới hạn : cot 0 lim cos sin x x L x x A. L B. 1 L C. Le D. 2 Le Hƣớng dẫn giải Cách 1 : CASIO Đề bài cho 0 x 6 0 10 x . Phím cot không có ta sẽ nhập phím tan (kQ))+jQ)))^a1RlQ))r0 +10^p6)= Ta nhận được kết quả chứa 2.718... e C là đáp án chính xác TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 44 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 6. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1.Tiêm cận đứng : Đồ thị hàm số y f x nhận đường thẳng 0 xx là tiệm cận đứng nếu 0 lim xx fx hoặc 0 lim xx fx (chỉ cấn một trong hai thỏa mãn là đủ) 2. Tiệm cận ngang : Đồ thị hàm số y f x nhận đường thẳng 0 yy là tiệm cận ngang nếu 0 lim x f x y hoặc 0 lim x f x y 3. Tiệm cận xiên : Đồ thị hàm số y f x nhận đường thẳng y ax b là tiệm cận xiên nếu lim 0 x f x ax b 4. Lệnh Casio : Ứng dụng kỹ thuật dùng CALC tính giới hạn 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Có bao nhiêu đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 4 2 1 x y xx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 GIẢI Cách 1 : CASIO Giải phương trình : Mẫu số 0 22 4 2 1 0 4 2 1 0 x x x x vô nghiệm Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng Tính 2 11 lim 2 4 2 1 x x xx . Vậy đương thẳng 1 2 y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số aQ)+1Rs4Q)d+2Q)+1r10^ 9)= Tính 2 11 lim 2 4 2 1 x x xx . Vậy đương thẳng 1 2 y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số rp10^9)= Tóm lại đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang và C là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 45 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính 2 2 1 1 11 lim lim 2 21 4 2 1 4 xx x x xx xx đường thẳng 1 2 y là tiệm cận ngang Tính 2 2 1 1 11 lim lim 2 21 4 2 1 4 xx x x xx xx đường thẳng 1 2 y là tiệm cận ngang Bình luận : Việc ứng dụng Casio để tìm tiệm cận sử dụng nhiều kỹ thuật tính giới hạn của hàm số bằng Casio. Các bạn cần học kỹ bài giới hạn trước khi học bài này. Giới hạn của hàm số khi x tiến tới và khi x tiến tới là khác nhau. Ta cần hết sức chú ý tránh để sót tiệm cận ngang 1 2 y VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Đồ thị hàm số 2 2 32 1 xx y x C có bao nhiêu đường tiệm cận ? A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 GIẢI Cách 1 : CASIO Tính 2 2 32 lim 1 1 x xx x aQ)dp3Q)+2R1pQ)dr10^9 )= Tính 2 2 32 lim 1 1 x xx x rp10^9)= Vậy đương thẳng 1 y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Giải phương trình : Mẫu số 0 2 1 10 1 x x x Đến đây nhiều học sinh đã ngộ nhận 1 x và 1 x là 2 tiệm cận đứng của C Tuy nhiên 1 x là nghiệm của phương trình Mẫu số 0 chỉ là điều kiện cần. Điều kiện đủ phải là 2 2 1 32 lim 1 x xx x Ta đi kiểm tra điều kiện dủ TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 46 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính 2 2 1 32 lim 1 x xx x aQ)dp3Q)+2R1pQ)drp1p0 .0000000001= Vậy đương thẳng 1 x là tiệm cận đứng của đồ thị C Tính 2 2 1 3 2 1 lim 12 x xx x r1+0.0000000001= Vậy đường thẳng 1 x không phải là tiệm cận đứng của đồ thị C Tóm lại đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang 1 y và 1 tiệm cận đứng 1 x Đáp số chính xác là B Cách tham khảo : Tự luận Rút gọn hàm số 2 2 12 3 2 2 1 1 1 1 xx x x x y x x x x Tính 2 1 2 lim lim 1 1 1 1 xx x x x x đường thẳng 1 y là tiệm cận ngang Tính 1 23 lim lim 1 11 xx x xx đường thẳng 1 y là tiệm cận đứng Bình luận : Việc tử số và mẫu số đều có nhân tử chung dẫn tới hàm số bị suy biến như ví dụ 2 là thường xuyên xảy ra trong các đề thi. Chúng ta cần cảnh giá và kiểm tra lại bằng kỹ thuật tìm giới hạn bằng Casio VD3-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang ? A. 1 2 x y x B. 2 1 1 x y x C. 2 1 1 x y x D. 1 1 y x GIẢI Cách 1 : CASIO Tính 2 1 lim 1 x x x aQ)d+1RQ)p1r10^9)= Tính 2 1 lim 1 x x x rp10^9)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 47 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy đồ thị hàm số 2 1 1 x y x không có tiệm cận ngang Tóm lại C là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Tính 2 1 1 lim lim 1 1 1 xx x x x x x Tính 2 1 1 lim lim 1 1 1 xx x x x x x Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang Bình luận : Đồ thị hàm số y f x không có tiệm cận ngang nếu lim x y bằng VD4-[Khảo sát chất lƣợng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] Tìm tất các các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 53 21 x y x mx không có tiệm cận đứng A. 1 m B. 1 m C. 1 1 m m D. 11 m GIẢI Cách 1 : CASIO Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng giới hạn hàm số khi x tiến tới nghiệm không ra vô cùng.: Với 1 m . Hàm số 2 53 21 x y xx . Phương trình 2 2 1 0 xx có nghiệm 1 x Tính 2 1 53 lim 1 x x xx . Đáp số A sai a5Q)p3RQ)dp2Q)+1r1+0O oo10^p6)= Với 0 m hàm số 2 53 1 x y x . Phương trình 2 10 x vô nghiệm Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng 0 m D là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 vô nghiệm 2 0 1 0 1 1 mm TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 48 Tài liệu lưu hành nội bộ Trường hợp 2 phương trình mẫu số bằng 0 có nghiệm nhưng bị suy biến (rút gọn) với nghiệm ở tử số. Không xảy ra vì bậc mẫu > bậc tử Bình luận : Việc giải thích được trường hợp 2 của tự luận là tương đối khó khăn. Do đó bài toán này chọn cách Casio là rất dễ làm. VD5-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 2 1 1 x y mx có hai tiệm cận ngang A. 0 m B. Không có m thỏa C. 0 m D. 0 m GIẢI Cách 1 : CASIO Thử đáp án A ta chọn 1 giá trị 0 m , ta chọn 2,15 m . Tính 2 1 lim 2.15 1 x x x aQ)+1Rsp2.15Q)d+1r10^ 9)= Vậy 2 1 lim 2.15 1 x x x không tồn tại hàm số 2 1 2.15 1 x y x không thể có 2 tiệm cận ngang Thử đáp án B ta chọn gán giá trị 0 m . Tính 2 1 lim lim 1 01 xx x x x Q)+1r10^9)= Vậy lim 1 x x hàm số 1 yx không thể có 2 tiệm cận ngang Thử đáp án D ta chọn gán giá trị 2.15 m . Tính 2 1 lim 0.6819... 2.15 1 x x x aQ)+1Rs2.15Q)d+1r10^9 )= Tính 2 1 lim 0.6819... 2.15 1 x x x rp10^9)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 49 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang 0.6819... y Đáp số D là đáp số chính xác Bình luận : Qua ví dụ 4 ta thấy sức mạnh của Casio so với cách làm tự luận. . VD6-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2 2 1 3 56 x x x y xx A. 3 2 x x B. 3 x C. 3 2 x x D. 3 x GIẢI Đường thẳng 0 xx là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì điều kiện cần : 0 x là nghiệm của phương trình mẫu số bằng 0 Nên ta chỉ quan tâm đến hai đường thẳng 3 x và 2 x Với 3 x xét 2 2 3 2 1 3 lim 56 x x x x xx 3 x là một tiệm cận đứng a2Q)p1psQ)d+Q)+3RQ)dp 5Q)+6r3+0.0000000001= Với 2 x xét 2 2 2 2 1 3 lim 56 x x x x xx Kết quả không ra vô cùng 2 x không là một tiệm cận đứng r2+0.0000000001= Đáp số chính xác là B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lƣơng Văn Tụy lần 1 năm 2017] Số tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 x y x là : A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Bài 2-[Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1 năm 2017] Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 4 x y x là : A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 2 23 x x m y xm không có tiệm cận đứng ? TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 50 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 0 m B. 0 1 m m C. 1 m D. 1 m Bài 4-[Thi thử THPT Quảng Xƣơng –Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Hàm số 2 3 1 x x x y xx có bao nhiêu đường tiệm cận ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Bài 5-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số 2 x y xm có 3 đường tiệm cận A. 0 m B. 0 m C. 0 m D. 0 m Bài 6-[Thi thử chuyên Lƣơng Văn Tụy lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 1 y x m x x có đường tiệm cận ngang A. 1 m B. 0 m C. 0 m D. 1 m Bài 7-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 1 1 mx y x có đường thẳng 2 y là một tiệm cận ngang. A. 2;2 m B. 1;2 m C. 1; 2 m D. 1;1 m Bài 8-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2 2 x y x mx m có đúng 1 tiệm cận. A. 04 4 3 m m B. 4 0; 4; 3 m C. 0 4 m m D. Không có m thỏa Bài 8-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số 2 21 1 x mx y x có đúng 2 tiệm cận ngang. A. 0 m B. 03 3 m m C. 0 m D. 0 m A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Bài 10-[Thi HK1 THPT Việt Đức – Hà Nội năm 2017] Hàm số 21 1 x y x H , M là điểm bất kì và MH . Khi đó tích khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của H bằng : A. 4 B. 1 C. 2 D. 5 Bài 11-[Thi thử Sở GD-ĐT Hà Tĩnh năm 2017] Cho hàm số 2 1 mx m y x . Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 51 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 2 m B. 1 2 m C. 4 m D. 2 m LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lƣơng Văn Tụy lần 1 năm 2017] Số tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 x y x là : A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 GIẢI Phương trình mẫu số bằng 0 có 2 nghiệm 1 x Tính 2 1 lim 1 x x x 1 x là tiệm cận đứng aQ)RQ)dp1r1+10^p6)= Tính 2 1 lim 1 x x x 1 x là tiệm cận đứng rp1+10^p6)= Đáp số chính xác là B Bài 2-[Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1 năm 2017] Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 1 4 x y x là : A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 GIẢI Phương trình mẫu số bằng 0 có 2 nghiệm 2 x Tính 2 2 1 lim 4 x x x 2 x là tiệm cận đứng WaqcQ)p1RsQ)dp4r2+10^p 6)= Tính 2 2 1 lim 4 x x x 1 x là tiệm cận đứng rp2p10^p6)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 52 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp số chính xác là C Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 2 23 x x m y xm không có tiệm cận đứng ? A. 0 m B. 0 1 m m C. 1 m D. 1 m GIẢI Với 0 m hàm số 2 23 xx y x , Tính 22 00 2 3 2 3 lim 3, lim 3 xx x x x x xx Không có tiệm cận đứng 0 m thỏa. a2Q)dp3Q)RQ)r0+10^p6)= r0p10^p6)= Tương tự 1 m cũng thỏa Đáp số chính xác là B Chú ý: Nếu chúng ta chú ý một chút tự luận thì hàm số 2 23 xx y x sẽ rút gọn tử mẫu và thành 23 yx là đường thẳng nên không có tiệm cận đứng. Bài 4-[Thi thử THPT Quảng Xƣơng –Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Hàm số 2 3 1 x x x y xx có bao nhiêu đường tiệm cận ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 GIẢI Phương trình mẫu số bằng 0 có 1 nghiệm duy nhất 0 x . Tính 2 3 0 1 lim x x x x xx 0 x là tiệm cận đứng aQ)+sQ)d+Q)+1RQ)^3$+Q) r0+10^p6)= Tính 2 3 1 lim 0 x x x x xx 0 y là tiệm cận ngang r10^9)= Tính 2 3 1 lim 0 x x x x xx 0 y là tiệm cận ngang TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 53 Tài liệu lưu hành nội bộ rp10^9)= Tóm lại đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang B chính xác Chú ý: Học sinh thường mặc định có 2 tiệm cận ngang Chọn nhầm đáp án C Bài 5-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] Tìm tất cả các số thực m để đồ thị hàm số 2 x y xm có 3 đường tiệm cận A. 0 m B. 0 m C. 0 m D. 0 m GIẢI Thử với 9 m Tính 22 lim lim 0 99 xx xx xx Đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận ngang aQ)RQ)dp9r10^9)=rp10^9 )= Phương trình mẫu số bằng 0 có hai nghiệm 3; 3 xx . Tính 22 33 lim ; lim 99 xx xx xx có 2 tiệm cận đứng r10^9)= Vậy 9 m thỏa Đáp số chứa 9 m là C chính xác. Bài 6-[Thi thử chuyên Lƣơng Văn Tụy lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 1 y x m x x có đường tiệm cận ngang A. 1 m B. 0 m C. 0 m D. 1 m GIẢI Với 1 m . Tính 2 1 lim 1 2 x x x x 1 x thỏa Đáp số đúng là A hoặc D Q)psQ)d+Q)+1r10^9)= Với 1 m . Tính 2 1 lim 1 2 x x x x 1 x thỏa Đáp số chính xác là D Q)+sQ)d+Q)+1rp10^9)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 54 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 7. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Phƣơng pháp đồ thị tìm số nghiệm của phƣơng trình : Cho phương trình f x g x (1), số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đồ thị hàm số y g x Chú ý : Số nghiệm của phương trình 0 fx là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và trục hoành 2. Bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình chứa tham số : Ta tiến hành cô lập m và đưa phương trình ban đầu về dạng f x m (2) khi đó số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng ym . Chú ý : Đường thẳng ym có tính chất song song với trục hoành và đi qua điểm có tọa độ 0;m 3. Lệnh Casio : Để tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao diểm ta dùng lệnh SHIFT SOLVE 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017] Tìm tập hợp tất các các giá trị của m để phương trình 22 log log 2 x x m có nghiệm : A. 1 m B. 1 m C. 0 m D. 0 m GIẢI Cách 1 : CASIO Đặt 22 log log 2 x x f x khi đó m f x (1). Để phương trình (1) có nghiệm thì m thuộc miền giá trị của fx hay min max f m f Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 2 End 10 Step0.5 w7i2$Q)$pi2$Q)p2==2= 10=0.5= Quan sát bảng giá trị FX ta thấy 10 0.3219 f vậy đáp số A và B sai. Đồng thời khi x càng tăng vậy thì FX càng giảm. Vậy câu hỏi đặt ra là FX có giảm được về 0 hay không. Ta tư duy nếu FX giảm được về 0 có nghĩa là phương trình 0 fx có nghiệm. Để kiểm tra dự đoán này ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE i2$Q)$pi2$Q)p2qr3= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 55 Tài liệu lưu hành nội bộ Máy tính Casio báo phương trình này không có nghiệm. Vậy dấu = không xảy ra Tóm lại 0 fx 0 m và D là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện : 2 x Phương trình 2 log 2 x m x 2 2 log 1 2 m x Vì 2 x nên 2 2 0 1 1 2 x x 22 2 log 1 log 1 0 2 x Vậy 2 log 1 0 2 m x Bình luận : Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo Chú ý : m f x mà 0 fx vậy 0 m một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp VD2-[Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 32 30 x x m có 3 nghiệm phân biệt A. 40 m B. 40 m C. 04 m D. 01 m GIẢI Cách 1 : CASIO Cô lập m , đưa phương trình ban đầu về dạng 32 3 m x x . Đặt 32 3 x x f x khi đó m f x (1) , số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị y f x và ym Để khảo sát hàm số y f x ta sử dụng chức năng MODE 7 Start 2 End 5 Step 0.5 w7pQ)^3$+3Q)d==p2=5=0 .5= Quan sát bảng giá trị FX ta thấy giá trị cực tiểu là 0 và giá trị cực đại là 4 vậy ta có sơ đồ đường đi của fx như sau : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 56 Tài liệu lưu hành nội bộ Rõ ràng hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu 04 m VD3-[Khảo sát chất lƣợng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] Cho hàm số 22 1 x y x có đồ thị C . Đường thẳng :1 d y x cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt , MN thì tung độ điểm I của đoạn thẳng MN bằng : A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 GIẢI Cách 1 : CASIO Phương trình hoành độ giao điẻm 22 1 1 x x x . Nhập phương trình này vào máy tính Casio và dò nghiệm : a2Q)+2RQ)p1$p(Q)+1)q r5=qrp5= Ta có ngay 2 nghiệm 1 1 1 2 2 2 3 1 4 1 1 0 x y x x y x 12 2 2 I yy y Đáp số chính xác là D VD4-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 3 16 y x mx cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A. 12 m B. 12 m C. 0 m D. Không có m thỏa GIẢI Cách 1 : CASIO Để đồ thị hàm số 3 16 y x mx cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình 3 16 0 x mx (1) có 3 nghiệm phân biệt Với 14 m sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5 w541=0=14=16==== Ta thấy nghiệm 23 ; xx là nghiệm ảo không đủ 3 nghiệm thực 14 m không thỏa A sai TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 57 Tài liệu lưu hành nội bộ Với 14 m sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3 MODE 5 w541=0=4o14=16==== Ta thấy ra 3 nghiệm thực Đáp án đúng có thể là B hoặc C Thử thêm một giá trị 1 m nữa thì thấy 1 m không thỏa Đáp số chính xác là B VD5-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Cho hàm số 42 13 3 22 y x x có đồ thị là C . Biết đường thẳng 43 yx tiếp xúc với C tại điểm A và cắt C tại điểm B . Tìm tung độ của điểm B A. 1 B. 15 C. 3 D. 1 GIẢI Cách 1 : CASIO Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm 42 13 3 4 3 22 x x x . Sử dụng SHIFT SOLVE để dò 2 nghiệm phương trình trên a1R2$Q)^4$p3Q)d+a3R2$ +4Q)p3=qr5=qrp5= Nếu A là tiếp điểm thì '0 A yx , B là giao điểm '0 B yx . qyaQ)^4R2$p3Q)d+a3R2$ $1= 1 4 3 1 B B B x y x Đáp số chính xác là D VD6-[Thi HK1 THPT HN-Amsterdam năm 2017] Cho hàm số 4 2 2 24 y x mx m có đồ thị C . Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị C cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ lớn hơn 1 ? A. 31 m B. 22 m C. 23 m D. 1 3 m m GIẢI Cách 1 : T. CASIO TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 58 Tài liệu lưu hành nội bộ Số nghiệm của đồ thị C và trục hoành là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. 4 2 2 2 4 0 x mx m (1) . Đặt 2 xt thì 22 1 2 4 0 t mt m (2) Ta hiểu 1 nghiệm 0 t sẽ sinh ra 2 nghiệm xt . Khi phương trình (2) có 2 nghiệm 12 0 tt thì phương trình (1) có 4 nghiệm 1 2 2 1 t t t t . Vậy để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm có hoành độ lớn hơn 1 (tức là 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1) thì 21 01 tt (*) Thử với 2.5 m Xét phương trình 22 2 4 0 t mt m w531=p5=2.5dp4=== Thỏa mãn (*) 2.5 m thỏa C là đáp số chính xác BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 32 2 3 12 x x x m có đúng 1 nghiệm dương A. 7 0 m m B. 7 0 m m C. 7 20 m m D. Không có m thỏa Bài 3-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả giá trị m để đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số 32 32 y x x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 2 A. 02 m B. 22 m C. 9 2 8 m D. 22 m Bài 3-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22 2 4 2 6 xx m có 3 nghiệm phân biệt ? A. 3 m B. 2 m C. 23 m D. 23 m Bài 4-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Số nguyên dương lớn nhất để phương trình 22 1 1 1 1 25 2 5 2 1 0 xx mm có nghiệm ? A. 20 B. 35 C. 30 D. 25 Bài 5-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Tập giá trị của tham số m để phương trình 5.16 2.81 .36 x x x m có đúng 1 nghiệm ? A. 0 m B. 2 2 m m C. Với mọi m D. Không tồn tại m Bài 6-[Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm - HN năm 2017] Phương trình 33 3 log log 2 log x x m vô nghiệm khi : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 59 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 1 m B. 0 m C. 01 m D. 1 m LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 32 2 3 12 x x x m có đúng 1 nghiệm dương A. 7 0 m m B. 7 0 m m C. 7 20 m m D. Không có m thỏa GIẢI Đặt 22 2 4 2 6 xx fx . Khi đó phương trình ban đầu f x m (1) . Để (1) có đúng 1 nghiệm dương thì đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số y f x tại đúng 1 điểm có hoành độ dương. Khảo sát hàm số y f x với chức năng MODE 7 w72Q)^3$+3Q)dp12Q)==p4= 5=0.5= Ta thấy đồ thị có giá trị cực đại là 20 và giá trị cực tiểu là 7 và ta sẽ mô tả được đường đi của fx như sau : Rõ ràng 0 7 ym y thì hai đồ thị cắt nhau tại đúng 1 điểm có hoành độ dương. Đáp án B chính xác Bài 3-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả giá trị m để đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số 32 32 y x x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 2 A. 02 m B. 22 m C. 9 2 8 m D. 22 m GIẢI Số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số trên là số giao điểm của phương trình 3 2 3 2 3 2 3 2 0 x x m x x m Thử với 2 m . Giải phương trinh bậc 3 với tính năng MODE 5 4 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 60 Tài liệu lưu hành nội bộ w541=p3=0=2p(p2)=== Ta thấy chỉ có 2 nghiệm 2 giao điểm 2 m không thỏa mãn Đáp án D sai Thử với 1 m . Giải phương trinh bậc 3 với tính năng MODE 5 4 w541=p3=0=3=== Ta thấy có nghiệm 1 2 1 m không thỏa mãn Đáp án B sai Thử với 1 m . Giải phương trinh bậc 3 với tính năng MODE 5 4 w541=p3=0=3=== Ta thấy có nghiệm 1 2 1 m không thỏa mãn Đáp án A sai Đáp án C còn lại là đâp án chính xác Bài 3-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22 2 4 2 6 xx m có 3 nghiệm phân biệt ? A. 3 m B. 2 m C. 23 m D. 23 m GIẢI Đặt 22 2 4 2 6 xx fx . Khi đó phương trình ban đầu f x m Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x với thiết lập Start 4 End 5 Step 0.5 w74^Q)d$p2^Q)d+2$+6==p4 =5=0.5= Quan sát bảng biến thiên ta vẽ đường đi của hàm số TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 61 Tài liệu lưu hành nội bộ Rõ ràng 3 y cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt vậy đáp án A là chính xác Bài 4-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Số nguyên dương lớn nhất để phương trình 22 1 1 1 1 25 2 5 2 1 0 xx mm có nghiệm ? A. 20 B. 35 C. 30 D. 25 GIẢI Cô lập m ta được 22 2 1 1 1 1 11 25 2.5 1 52 xx x m Đặt 22 2 1 1 1 1 11 25 2.5 1 52 xx x fx . Khi đó phương trình ban đầu f x m Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x với thiết lập Start 1 End 1 Step 2 w7a25^1+s1pQ)d$$p2O5^1+ s1pQ)d$$+1R5^1+s1pQ)d$$ p2==p1=1=0.2= Quan sát bảng biến thiên ta thấy 0 25.043... f x f hay 0 mf vậy m nguyên dương lớn nhất là 25 D là đáp án chính xác Bài 5-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Tập giá trị của tham số m để phương trình 5.16 2.81 .36 x x x m có đúng 1 nghiệm ? A. 0 m B. 2 2 m m C. Với mọi m D. Không tồn tại m GIẢI Cô lập m ta được 5.16 2.81 36 xx x m Đặt 5.16 2.81 36 xx x fx . Khi đó phương trình ban đầu f x m TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 62 Tài liệu lưu hành nội bộ Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x với thiết lập Start 9 End 10 Step 1 w7a5O16^Q)$p2O81^Q)R36^ Q)==p9=10=1= Quan sát bảng biến thiên ta thấy fx luôn giảm hay hàm số y f x luôn nghịch biến. Điều này có nghĩa là đường thẳng ym luôn cắt đồ thị hàm số y f x tại 1 điểm C chính xác Bài 6-[Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm - HN năm 2017] Phương trình 33 3 log log 2 log x x m vô nghiệm khi : A. 1 m B. 0 m C. 01 m D. 1 m GIẢI Điều kiện : 2 x . Phương trình ban đầu 3 3 3 3 1 log 2log log log 2 2 2 xx mm xx 33 log log 22 xx mm xx Để phương trình ban đầu vô nghiệm thì đường thẳng ym không cắt đồ thị hàm số 2 x y f x x Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x với thiết lập Start 2 End 10 Step 0.5 w7saQ)RQ)p2==2=10=0.5= Để khảo sát chính xác hơn ta tính giới hạn của hàm fx khi x tiến tới 2 cận là 2 và saQ)RQ)p2r10^9)= Vậy lim 1 x saQ)RQ)p2r2+0.0000001= Vậy 2 lim x fx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 63 Tài liệu lưu hành nội bộ Quan sát bảng giá trị và 2 giới hạn ta vẽ đường đi cả đồ thị hàm số () y f x và sự tương giao Ta thấy ngay 1 m thì 2 đồ thị không cắt nhau hay phương trình ban đầu vô nghiệm TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 64 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 8. ĐẠO HÀM. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Lệnh tính đạo hàm cấp 1 : qy 2. Công thức tính đạo hàm cấp 2 : 00 0 ' 0.000001 ' '' 0.000001 y x y x yx 3. Dự đoán công thức đạo hàm bậc n : Bước 1 : Tính đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2, đạo hàm cấp 3 Bước 2 : Tìm quy luật về dấu, về hệ số, về số biến, về số mũ rồi rút ra công thức tổng quát. 2) VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Tính đạo hàm của hàm số 1 4 x x y A. 2 1 2 1 ln 2 ' 2 x x y B. 2 1 2 1 ln 2 ' 2 x x y C. 2 1 2 1 ln 2 ' 2 x x y D. 2 1 2 1 ln 2 ' 2 x x y GIẢI Cách 1 : CASIO Chọn 1.25 x rồi tính đạo hàm của hàm số 1 4 x x y Ta có : ' 1.25 0.3746... y . Sử dụng lệnh tính tích phân ta có : qyaQ)+1R4^Q)$$$1.25= Nếu đáp án A đúng thì ' 1.25 y cũng phải giống ' y ở trên . Sử dụng lệnh tính giá trị CALC ta có a1p2(Q)+1)h2)R2^2Q)r1 .25= Ta thấy giống hệt nhau Rõ ràng đáp án đúng là A Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Cho hàm số 2 3 x y e x . Đạo hàm của hàm số triệt tiêu tại các điểm : A. 1; 3 xx B. 1; 3 xx C. 1; 3 xx D. 0 x GIẢI Cách 1 : CASIO TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 65 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta hiểu : Đạo hàm bị triệt tiêu tại điểm 0 xx tức là 0 '0 fx Xét ' 1 0 1 fx thỏa Đáp số đúng là A hoặc B qyQK^Q)$(3pQ)d)$1= Xét ' 3 0 3 fx thỏa Đáp số chính xác là A !!op3= Bài 3-[Thi HK1 THPT Kim Liên – Hà Nội năm 2017] Cho hàm số 1 .ln 8 2016. x ye . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. ' 2 ln 2 0 yy B. ' 3 ln 2 0 yy C. ' 8 ln 2 0 yy D. ' 8 ln 2 0 yy GIẢI Cách 1 : CASIO Chọn 1.25 x rồi tính đạo hàm của hàm số 1 .ln 8 2016. x ye . Ta có : ' 1.25 0.3746... y . Lưu giá trị này vào biến A cho gọn. qy2016QK^Q)Oh1P8)$$1. 25=qJz Tính giá trị của y tại 1.25 x . Ta có 1.25 y Nếu đáp án A đúng thì ' 1.25 y cũng phải giống ' y ở trên . Sử dụng lệnh tính giá trị CALC ta có a1p2(Q)+1)h2)R2^2Q)r1 .25= Ta thấy 3 3 ln 2 0 ln 2 A AB B Đáp án chính xác là B aQzRQxh2)= Bài 4-[Thi thử THPT Quảng Xƣơng –Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau 4 12 yx tại điểm 2 x là / A. 81 B. 432 C. 108 D. 216 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 66 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Cách 1 : CASIO Áp dụng công thức 00 0 0 '' '' f x x f x fx x Chọn 0.000001 x rồi tính đạo hàm của hàm số 4 12 yx . Tính ' 2 0,000001 yA . qyQK^Q)$jQ))$0+0.001 =qJz Tính '2 fB . E!!ooooooooo=qJx Lắp vào công thức 00 0 0 '' '' 432 f x x f x fx x Đáp số chính xác là B aQzpQxR0.000001= Bài 5-[Thi Học sinh giỏi tính Phú Thọ năm 2017] Cho hàm số .sin x f x e x . Tính '' 0 f A. 2e B. 1 C. 2 D. 2e GIẢI Cách 1 : CASIO Áp dụng công thức 00 0 0 '' '' f x x f x fx x Chọn 0.000001 x rồi tính đạo hàm của hàm số .sin x f x e x . Tính ' 0 0,001 yA . (Chú ý bài toán có yếu tố lượng giác phải chuyển máy tính về chế độ Rađian) qyQK^Q)$jQ))$0+0.001 =qJz Tính '0 fB . qyQK^Q)$jQ))$0+0=qJx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 67 Tài liệu lưu hành nội bộ Lắp vào công thức 00 0 0 '' '' 2 f x x f x fx x Đáp số chính xác là C aQzpQxR0.000001= Bài 6-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Cho hàm số sin x y e x , đặt '' 2 ' F y y khẳng định nào sau đây đúng ? A. 2 Fy B. Fy C. Fy D. 2 Fy GIẢI Cách 1 : CASIO Áp dụng công thức 00 0 0 '' '' f x x f x fx x Chọn 2, x 0.000001 x rồi tính đạo hàm của hàm số sin x y e x . Tính ' 2 0,001 yA . qw4qyQK^pQ)$jQ))$2+0 .000001=qJz Tính '0 fB . E!!ooooooooo=qJx Lắp vào công thức 00 0 0 '' '' f x x f x f x C x aQzpQxR0.000001= Tính '' 2 ' 2 0.2461... 2 F y y C B y Đáp số chính xác là A Bài 7 : Một vật chuyển động theo quy luật 32 1 9 2 S t t với thời gian ts là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và Sm là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ? A. 216 / ms B. 30 / ms C. 400 / ms D. 54 / ms TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 68 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Cách 1 : CASIO Ta hiểu : trong chuyển động biến đổi theo thời gian thì quãng đường là nguyên hàm của vận tốc hay nói cách khác, vận tốc là đạo hàm của quãng đường 2 3 18 2 v t t t Để tìm giá trị lớn nhất của vt trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 s ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 10 Step 1 w7pa3R2$Q)d+18Q)==0=1 0=1= Ta thấy ngay vận tốc lớn nhất là 54 / ms đạt được tại giay thứ 6 Đáp số chính xác là D Bài 8 : Một vật rơi tự do theo phương trình 2 1 2 S gt với 2 9.8 / g m s . Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm 5 ts là : A. 122.5 / ms B. 29.5 C. 10 / ms D. 49 / ms GIẢI Cách 1 : CASIO Ta hiểu : Vận tốc tức thời trong chuyển động biến đổi tại thời điểm 1 tt có giá trị là 1 St qya1R2$O9.8Q)d$5= Ta thấy vận tốc tại 1 5 t là 49 Đáp số chính xác là D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Tính đạo hàm của hàm số 13 x y A. 1 ' .13 x yx B. ' 13 .ln13 x y C. ' 13 x y D. 13 ' ln13 x y Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Đạo hàm của hàm số 2 .3 xx y bằng : A. 6 ln 6 x B. 6 x C. 23 xx D. 11 23 xx Bài 3-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 năm 2017] Cho hàm số ln cos3 f x x giá trị ' 12 f bằng : A. 3 B. 3 C. 2 D. 1 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 69 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 4 : Cho hàm số 32 32 xx f x x . Khi đó tập nghiệm của bất phương trình '0 fx là : A. 0; B. 2;2 C. ; D.Không có m thỏa Bài 5 : Cho hàm số 2 . x f x xe . Khi đó '' 1 f bằng : A. 10e B. 6e C. 2 4e D.10 Bài 6 : Tính vi phân của hàm số sin yx tại điểm 0 3 x A. 3 2 dy dx B. 1 2 dy dx C. cos dy xdx D.dy coxdx Bài 7 : Đồ thị hàm số 32 3 y ax bx x có điểm uốn 2;1 I khi : A. 13 ; 42 ab B. 3 ;1 2 ab C. 13 ; 42 ab D. 13 ; 42 ab Bài 8 : Cho hàm số 33 sin cos 1 sin cos xx y xx . Khi đó ta có : A. '' yy B. ''yy C. '' 2 yy D. '' 2 yy LỜI GIẢI BÀI TẬP T Ự LUYỆN Bài 1-[Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Tính đạo hàm của hàm số 13 x y A. 1 ' .13 x yx B. ' 13 .ln13 x y C. ' 13 x y D. 13 ' ln13 x y GIẢI Chọn 2 x . Tính 2 ' 2 433.4764... 13 .ln13 y Đáp án chính xác là B qy13^Q)$$2= Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Đạo hàm của hàm số 2 .3 xx y bằng : A. 6 ln 6 x B. 6 x C. 23 xx D. 11 23 xx GIẢI Chọn 3 x tính 3 ' 3 387.0200... 6 ln 6 y Đáp số chính xác là A qy2^Q)$O3^Q)$$3= Bài 3-[Thi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 năm 2017] Cho hàm số ln cos3 f x x giá trị ' 12 f bằng : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 70 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 3 B. 3 C. 2 D. 1 GIẢI Tính 1 ln cos3 ' cos3 ' cos3 xx x Tính 22 2 1 3cos3 sin3 cos3 ' cos 3 ' cos 3 ' cos3 2 cos 3 xx x x x x x 2 3sin 3 cos3 ln cos3 ' cos3 xx x x ' 12 y qw4ap3j3Q))k3Q))Rqck3Q ))$drqKP12= Đáp số chính xác là A Bài 4 : Cho hàm số 32 32 xx f x x . Khi đó tập nghiệm của bất phương trình '0 fx là : A. 0; B. 2;2 C. ; D.Không có m thỏa GIẢI Tính 2 '1 y x x . 2 ' 0 1 0 y x x Nhẩm được luôn hoặc sử dụng tính năng giải bất phương trình MODE INEQ wR1141=1=1== Đáp số chính xác là D Bài 5 : Cho hàm số 2 . x f x xe . Khi đó '' 1 f bằng : A. 10e B. 6e C. 2 4e D.10 GIẢI Tính ' 1 0.000001 f rồi lưu vào A qyQ)OQK^Q)d$$1+0.00000 1=qJz Tính '1 f rồi lưu vào B E!!ooooooooo=qJx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 71 Tài liệu lưu hành nội bộ Thiết lập ' 1 0.000001 ' 1 '' 27.1828... 10e 0.000001 ff y aQzpQxR0.000001= Đáp số chính xác là A Bài 6 : Tính vi phân của hàm số sin yx tại điểm 0 3 x A. 3 2 dy dx B. 1 2 dy dx C. cos dy xdx D.dy coxdx GIẢI Từ sin yx tiến hành vi phân 2 vế : ' sin ' sin ' y dy x dx dy x dx Tính sin ' x tại 0 3 x qyjQ))$aqKR3= Đáp số chính xác là B Bài 7 : Đồ thị hàm số 32 3 y ax bx x có điểm uốn 2;1 I khi : A. 13 ; 42 ab B. 3 ;1 2 ab C. 13 ; 42 ab D. 13 ; 42 ab GIẢI Hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình '' 0 y Tính 2 ' 3 2 y ax bx c '' 6 2 y ax b . 2 ' 0 2 6 6 b y x b a a Đáp số đúng là A hoặc C Với 13 ; 42 ab tính tung độ của điểm uốn : 21 y pa1R4$Q)^3$pa3R2$Q)dpQ) +3rp2= Đáp số chính xác là A Bài 8 : Cho hàm số 33 sin cos 1 sin cos xx y xx . Khi đó ta có : A. '' yy B. ''yy C. '' 2 yy D. '' 2 yy GIẢI TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 72 Tài liệu lưu hành nội bộ Chọn 12 x Tính ' 0.000001 12 y rồi lưu và A qyajQ))^3$+kQ))^3R1pjQ ))kQ))$$aqKR12= Tính ' 12 y rồi lưu và B E!!ooooooooo=qJx Tính '' 12 0.000001 AB y = 1.2247... y aQzpQxR0.000001= Tính 6 12 2 y ajQ))^3$+kQ))^3R1pjQ))k Q))rqKP12= Đáp số chính xác là B TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 73 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 9. TÌM SỐ NGHIÊM PHƯƠNG TRÌNH – LOGARIT (P1). 1) PHƢƠNG PHÁP Bƣớc 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0 . Vậy nghiệm của PT sẽ là giá trị của x làm cho vế trái 0 Bƣớc 2: Sử dụng chức năng CALC hoặc MODE 7 hoặc SHIFT SOLVE để kiểm tra xem nghiệm . Một giá trị được gọi là nghiệm nếu thay giá trị đó vào vế trái thì được kết quả là 0 Bƣớc 3: Tổng hợp kết quả và chọn đáp án đúng nhất *Đánh giá chung: Sử dụng CALC sẽ hiệu quả nhất trong 3 cách Chú ý : Nhập giá trị log a b vào máy tính casio thì ta nhập log : log ab 2)VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Phương trình 2 4 6 2 4 4 6 6 2 log log log log log log log log log x x x x x x x x x có tập nghiệm là : A. 1 B. 2;4;6 C. 1;12 D. 1;48 GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển phương trình về dạng : 2 4 6 2 4 4 6 6 2 log log log log log log log log log 0 x x x x x x x x x Nhập vế trái vào máy tính Casio i2$Q)$i4$Q)$i6$Q)$pi 2$Q)$i4$Q)$pi4$Q)$i6 $Q)$pi6$Q)$i2$Q) Vì giá trị 1 xuất hiện nhiều nhất nên ta kiểm tra xem 1 có phải là nghiệm không. Nếu 1 là nghiệm thì đáp án đúng chỉ có thể là A, C, D. Còn nếu 1 không phải là nghiệm thì đáp án chứa 1 là A, C, D sai dẫn đến B là đáp án đúng. Ta sử dung chức năng CALC r1= Vậy 1 là nghiệm. Ta tiếp tục kiểm tra giá trị 12 có phải là nghiệm không r12= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 74 Tài liệu lưu hành nội bộ Đây là một kết quả khác 0 vậy 12 không phải là nghiệm Đáp án C sai Tiếp tục kiểm tra giá trị 48 có phải là nghiệm không r48= Vậy 48 là nghiệm chứng tỏ D là đáp án chính xác. Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện 0 x Trường hợp 1 : Với 1 x thì 2 4 6 log 0 log 0 log 0 x . Thế vào phương trình ban đầu thấy thảo mãn vậy 1 x là 1 nghiệm. Trường hợp 2 : Với 0; 1 xx Phương trình 1 1 1 1 log 2.log 4.log 6 log 2.log 4 log 4.log 6 log 6.log 2 x x x x x x x x x 1 log 6 log 4 log 2 x x x 1 log 48 x 48 x VD2-[Thi HK1 THPT Liên Hà – Đông Anh năm 2017] Tập nghiệm của phương trình 22 1 3 .5 15 xm x xm (m là tham số) là : A. 3 2; log 5 m B. 3 2; log 5 m C. 2 D. 3 2; log 5 m GIẢI Cách 1 : CASIO Đề bài không cho điều kiện ràng buộc của m nên ta chọn một giá trị m bất kì. Ví dụ 5 m Phương trình trở thành : 2 2 5 2 2 5 11 55 3 .5 15 3 .5 15 0 xx xx xx Nhập phương trình vào máy tính Casio 3^Q)p1$O5^a2Q)p2p5RQ) p5$$p15 Đáp án nào cũng có 2 nên không cần kiểm tra. Kiểm tra nghiệm 33 log 5 5log 5 xm . r5O(g5)Pg3))= Ra một kết quả khác 0 Đáp án A sai Tương tự tra nghiệm 33 log 5 5 log 5 xm r5pg5)Pg3)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 75 Tài liệu lưu hành nội bộ Ra kết quả bằng 0 vậy Đáp án chính xác là D Cách tham khảo : Tự luận Phương trình 2 2 2 2 2 2 1 11 1 1 1 1 3 .5 15 3 .5 3 .5 5 3 x m x m x m x xx x m x m x m 2 2 53 x x xm (1) Logarit hóa hai vế theo cơ số 5. 5 2 (1) 2 log 3 x x xm Trường hợp 1 : Với 2 0 2 xx Trường hợp 2 : 52 5 11 log 2 log 5 log 2 x m x m xm VD3-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai Tp.HCM 2017] Gọi 1 x và 2 x là 2 nghiệm của phương trình 21 5 8.5 1 0 xx . Khi đó : A. 12 1 xx B. 12 2 xx C. 12 2 xx D. 12 1 xx GIẢI Cách 1 : CASIO SHOLVE+CALC Nhập vế trái vào máy tính Casio. Rồi nhấn phím =để lưu lại phương trình = 5^2Q)+1$p8O5^Q)$+1 Vì đáp án không cho 1 giá trị cụ thể nên ta không thể sử dụng được chức năng CALC mà phải sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE. Ta dò nghiệm với giá trị x gần 1 chả hạn qr1= Vậy 1 là nghiệm. Ta lưu nghiệm này vào biến A rồi coi đây là nghiệm 1 x qJz Ta có 1 xA Nếu đáp án A là 12 1 xx đúng thì 2 1 xA phải là nghiệm. Ta gọi lại phương trình ban đầu rồi CALC với giá trị 1 A Er1pQz= Kết quả ra khác 0 vậy 1 A không phải là nghiệm hay đáp án A sai TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 76 Tài liệu lưu hành nội bộ Tương tự như vậy ta CALC với các giá trị 2 x của đáp án B, C, D. Cuối cùng ta thấy giá trị 1 A là nghiệm. Vậy đáp số chính xác là D rp1pQz= Cách 2 : CASIO 2 LẦN SHIFT SOLVE Nhập vế trái vào máy tính Casio. Nhấn nút để lưu vế trái lại rồi SHIFT SOLVE tìm nghiệm thứ nhất và lưu vào A 5^2Q)+1$p8O5^Q)$+1=qr 1=qJz Gọi lại vế trái. SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm thứ hai và lưu vào B Eqrp2= qJx Ta có 1 AB Cách tham khảo : Tự luận Đặt 5 x t khi đó 2 22 55 xx t . Phương trình 2 5 8 1 0 tt 4 11 5 t Với 5 4 11 4 11 4 11 5 log 5 5 5 x tx Với 5 4 11 4 11 4 11 5 log 5 5 5 x tx Vậy 1 2 5 5 5 5 4 11 4 11 4 11 4 11 1 log log log . log 1 5 5 5 5 5 xx VD4-[Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang 2017] Phương trình 9 3.3 2 0 xx có hai nghiệm 12 , xx 12 xx . Giá trị 12 23 A x x là : A. 3 4log 2 B. 1 C. 3 3log 2 D. 2 2log 3 GIẢI Cách 1 : CASIO SHIFT SLOVE + CALC Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi nhấn nút để lưu phương trình 9^Q)$p3O3^Q)$+2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 77 Tài liệu lưu hành nội bộ Vì chưa biết 2 đáp án , mà 2 đáp án vai trò không bình đẳng trong quan hệ ở đáp án. Nên ta phải sử dụng dò cả 2 nghiệm với chức năng SHIFT SOLVE ở mức độ khó hơn . Đầu tiên ta dò nghiệm trong khoảng dương, chả hạn chọn X gần với 1 qr1= Lưu nghiệm này vào giá trị A ta được 1 nghiệm. qJz Vì vừa dò với 1 giá trị dương rồi bây giờ ta dò nghiệm trong khoảng âm, chả hạn chọn X gần 2 . Gọi là phương trình và dò nghiệm Eqrp2= Ta được 1 nghiệm nữa là 0. Vì 0 A nên 12 0; x x A ta có 1 2 3 2 3 2.0 3. 1.8927 3log 2 x x A Vậy đáp số đúng là C Cách 2 : CASIO 2 LẦN SHIFT SOLVE Nhập vế trái vào máy tính Casio. Nhấn nút để lưu vế trái lại rồi SHIFT SOLVE tìm nghiệm thứ nhất và lưu vào A 9^Q)$p3O3^Q)$+2=qr1= qJz Gọi lại vế trái. SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm thứ hai và lưu vào B Eqrp1= Ta có 3 2 3 1.8927 3log 2 AB Cách tham khảo : Tự luận Đặt 3 x t khi đó 2 2 2. 2 9 3 3 3 x x x x t Phương trình 2 1 3 2 0 2 t tt t . Với 1 3 1 0 x tx Với 3 2 3 2 log 2 x tx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 78 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 1 2 3 3 2 3 2.0 3.log 2 3log 2 xx BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử tính Lâm Đồng - Hà Nội 2017] Giải phương trình 2 2 4 1 1 28 x x x A. Vô nghiệm B. 5 2 2 x x C. 5 2 2 x x D. 7 17 4 x Bài 2-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017] Phương trình 2 2 2 2 log log log 4 x x x A. 0; 2;2 B. 0;2 C. 2;2 D. 2 Bài 3-[THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Phương trình 2 1 2 1 2 2 0 xx có tích các nghiệm là : A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 Bài 4-[THPT Nguyễn Gia Thiều -HN 2017] Tích các nghiệm của phương trình 5 24 5 24 10 xx là : A. 1 B. 6 C. 4 D. 1 Bài 5-[THPT Nguyễn Gia Thiều -HN 2017] Tổng các nghiệm của phương trình 25 2 3 .5 2 7 0 xx xx là : A. 1 B. 6 C. 2 D. 9 Bài 6-[THPT Phạm Hồng Thái -HN 2017] Phương trình 21 2 1 log 2 .log 2 x x có hai nghiệm 12 ; xx thỏa mãn biểu thức : A. 12 2 xx B. 12 3 4 xx C. 12 1 2 xx D. 12 1 xx Bài 7-[THPT Phạm Hồng Thái -HN 2017] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 33 log 2 log 3 1 0 x m x m có 2 nghiệm 12 27 xx A. 4 3 m B. 1 m C. 25 m D. 28 3 m LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử tính Lâm Đồng - Hà Nội 2017] Giải phương trình 2 2 4 1 1 28 x x x A. Vô nghiệm B. 5 2 2 x x C. 5 2 2 x x D. 7 17 4 x GIẢI Phương trình 2 2 4 1 1 2 8 0 x x x . Nhập vào máy tính Casio rồi kiểm tra giá trị 2 x 2^2Q)dp4Q)+1$p8^Q)p1r2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 79 Tài liệu lưu hành nội bộ 26 F Đáp số B và C sai Kiểm tra giá trị 7 17 4 x và 7 17 4 x r(7+s17))P4=r(7ps17))P4 = D là đáp án chính xác Bài 2-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017] Phương trình 2 2 2 2 log log log 4 x x x A. 0; 2;2 B. 0;2 C. 2;2 D. 2 GIẢI Phương trình 2 2 2 2 log log log 4 0 x x x . Nhập vào máy tính Casio rồi kiểm tra giá trị 0 x i2$Q)$+i2$Q)d$pi2$4Q)r 0= Không tính được (vì 0 x không thuộc tập xác định) Đáp số A và B sai Kiểm tra giá trị 2 x Vẫn không tính được Đáp số C sai Tóm lại đáp số D chính xác !rp2= Bài 3-[THPT Lục Ngạn – Bắc Giang 2017] Phương trình 2 1 2 1 2 2 0 xx có tích các nghiệm là : A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 GIẢI Nhập phương trình 2 1 2 1 2 2 0 xx vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 1 (s2$p1)^Q)$+(s2$+1)^Q)$ p2s2qr2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 80 Tài liệu lưu hành nội bộ Nếu đáp số A đúng thì nghiệm còn lại là 0 . Sử dụng chức năng CALC để kiểm tra. Ra một kết quả khác 0 Đáp số A sai r0= Tương tự vậy, kiểm tra đáp số B với giá trị 1 x là nghiệm Đáp số B chính xác rp1= Bài 4-[THPT Nguyễn Gia Thiều -HN 2017] Tích các nghiệm của phương trình 5 24 5 24 10 xx là : A. 1 B. 6 C. 4 D. 1 GIẢI Phương trình 5 24 5 24 10 0 xx . Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 1 (5+s24$)^Q)$+(5ps24$)^Q )$p10qr2= Tiếp tục SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm còn lại Nghiệm còn lại là 1 x qrp2= Đáp số chính xác là A Bài 5-[THPT Nguyễn Gia Thiều -HN 2017] Tổng các nghiệm của phương trình 25 2 3 .5 2 7 0 xx xx là : A. 1 B. 6 C. 2 D. 9 GIẢI Phương trình 25 2 3 .5 2 7 0 xx xx . Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 1 25^Q)$p2(3pQ))O5^Q)$+2Q )p7=qr1= Tiếp tục SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm còn lại Nghiệm còn lại là 1 x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 81 Tài liệu lưu hành nội bộ qr5=qrp5= Không còn nghiệm nào ngoài 1 vậy phương trình có nghiệm duy nhất Đáp số chính xác là A Bài 6-[THPT Phạm Hồng Thái -HN 2017] Phương trình 21 2 1 log 2 .log 2 x x có hai nghiệm 12 ; xx thỏa mãn biểu thức : A. 12 2 xx B. 12 3 4 xx C. 12 1 2 xx D. 12 1 xx GIẢI Phương trình 21 2 1 log 2 .log 2 0 x x . Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 2 i2$2Q)$Oi0.5$a1RQ)$$p2 qr1= Tiếp tục SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm còn lại Nghiệm còn lại là 1 x qrp2= Rõ ràng 12 1 . 2 xx Đáp số chính xác là C Bài 7-[THPT Phạm Hồng Thái -HN 2017] Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 33 log 2 log 3 1 0 x m x m có 2 nghiệm 12 27 xx A. 4 3 m B. 1 m C. 25 m D. 28 3 m GIẢI Để dễ nhìn ta đặt ẩn phụ 3 log tx . Phương trình 2 2 3 1 0 t m t m (1) Ta có : 1 2 3 1 2 3 3 1 3 2 1 2 27 log log 27 log log 3 3 xx xx x x t t Khi đó phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm thỏa mãn 12 3 tt 2 12 2 4(3 1) 0 23 mm S t t m (Q)+2)dp4(3Q)p1)r1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 82 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 1 m thỏa mãn hệ phương trình (*) Đáp số chính xác là C TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 83 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƢƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 10. TÌM SỐ NGHIÊM PHƯƠNG TRÌNH – LOGARIT (P1). 1) PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG MODE 7 Tổng hợp phƣơng pháp Bƣớc 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0 Bƣớc 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để xét lập bảng giá trị của vế trái Bƣớc 3: Quan sát và đánh giá : +) Nếu 0 F thì là 1 nghiệm +) Nếu .0 F a F b thì PT có 1 nghiệm thuộc ; ab 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[THPT Phạm Hồng Thái – Hà Nội 2017] Số nghiệm của phương trình 6.4 12.6 6.9 0 x x x là ; A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 GIẢI Cách 1 : CASIO Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm : w76O4^Q)$p12O6^Q)$+6O 9^Q) Thiết lập miền giá trị của X là : Start 9 End 10 Step 1 ==p9=10=1= Máy tính cho ta bảng giá trị : Ta thấy khi 0 x thì 00 F vậy 0 x là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị FX nhưng không có giá trị nào làm cho 0 FX hoặc khoảng nào làm cho FX đổi dấu. Điều này có nghĩa 0 x là nghiệm duy nhất Kết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm Ta chọn đáp án B Cách tham khảo : Tự luận Vì 90 x nên ta có thể chia cả 2 vế cho 9 x Phương trình đã cho 46 6. 12. 6 0 99 xx xx 2 22 6. 12. 6 0 33 xx (1) Đặt 2 3 x là t thì 2 2 2 3 x t . Khi đó (1) 2 2 6 12 6 0 6 1 0 1 t t t t TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 84 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 2 10 3 x x Bình luận : Để sử dụng phương pháp Casio mà không bị sót nghiệm ta có thể sử dụng vài thiết lập miền giá trị của X để kiểm tra. Ngoài Start 9 End 10 Step 1 ta có thể thiết lập Start 4 End 5 Start 0.5 ==p4=5=0.5= Ta quan sát bảng giá trị vẫn có 1 nghiệm 0 x duy nhất vậy ta có thể yên tâm hơn về lựa chọn của mình. Theo cách tự luận ta thấy các số hạng đều có dạng bậc 2. Ví dụ 2 42 xx hoặc 6 2 .3 x x x vậy ta biết đây là phương trình dạng đẳng cấp bậc 2. Dạng phương trình đẳng cấp bậc 2 là phương trình có dạng 22 0 ma nab pb ta giaỉ bằng cách chia cho 2 b rồi đặt ẩn phụ là a t b VD2-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Số nghiệm của phương trình sin 4 tan x ex trên đoạn 0;2 là : A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển phương trình về dạng : sin 4 tan 0 x ex Sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 2 Step 20 19 qw4w7QK^jQ)paQKR4$)$ plQ))==0=2qK=2qKP19= Quan sát bảng giá trị ta thấy 3 khoảng đổi dấu như trên : 0.6613 . 0.992 0 ff có nghiệm thuộc khoảng 0.6613;0.992 1.3227 . 1.6634 0 ff có nghiệm thuộc khoảng 1.3227;1.6534 3.6376 . 3.9683 0 ff có nghiệm thuộc khoảng 3.6376;3.9683 4.6297 . 4.9604 0 ff có nghiệm thuộc khoảng 4.6297;4.9604 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 85 Tài liệu lưu hành nội bộ Kết luận : Phương trình ban đầu có 4 nghiệm Ta chọn đáp án D Bình luận : Đề bài yêu cầu tìm nghiệm thuộc 0;2 nên Start = 0 và End = 2 Máy tính Casio tính được bảng giá trị gồm 19 giá trị nên bước nhảy Step = 20 19 VD3-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Phương trình 3 1 3 2 3 2 x x x có số nghiệm âm là : A. 2 nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. Không có GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển phương trình về dạng : 3 1 3 2 3 2 0 x x x Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm : w7(s3$+s2$)^a3Q)RQ)+1 $$p(s3$ps2$)^Q) Vì đề bài yêu cầu nghiệm âm nên ta hiết lập miền giá trị của X là : Start 9 End 0 Step 0.5 ==p9=0=0.5= Máy tính cho ta bảng giá trị : Ta thấy khi 4 x thì 40 F vậy 4 x là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị FX nhưng không có giá trị nào làm cho 0 FX hoặc khoảng nào làm cho FX đổi dấu. Điều này có nghĩa 4 x là nghiệm âm duy nhất Kết luận : Phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm Ta chọn đáp án C Cách tham khảo : Tự luận Logarit hai vế theo cơ số dương 32 Phương trình 3 1 3 2 3 2 x x x 3 1 3 2 3 2 log 3 2 log 3 2 x x x 32 3 log 3 2 1 x x x 0 33 10 1 3 4 11 x x xx xx xx 4 x thỏa điều kiện. Vậy ta có 4 x là nghiệm âm thỏa phương trình Bình luận : Phương trình trên có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung. Vậy đây là dấu hiệu của phương pháp Logarit hóa 2 vế Thực ra phương trình có 2 nghiệm 0; 4 xx nhưng đề bài chỉ hỏi nghiệm âm nên ta chỉ chọn nghiệm 4 x và chọn đáp án C là đáp án chính xác TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 86 Tài liệu lưu hành nội bộ Vì đề bài hỏi nghiệm âm nên ta thiết lập miền giá trị của x cũng thuộc miền âm 9;0 VD4-[THPT Yến Thế - Bắc Giang 2017] Số nghiệm của phương trình 3 3 5 7 3 5 2 xx x là : A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển phương trình về dạng : 3 3 5 7 3 5 2 0 xx x Khởi động chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio rồi nhập hàm : w7(3ps5$)^Q)$+7(3+s5$)^ Q)$p2^Q)+3 Thiết lập miền giá trị của X là : Start 9 End 10 Step 1 ==p9=10=1= Máy tính cho ta bảng giá trị : Ta thấy khi 0 x thì 00 F vậy 0 x là nghiệm. Tiếp tục quan sát bảng giá trị FX Ta lại thấy 3 . 2 0 ff vậy giữa khoảng 3; 2 tồn tại 1 nghiệm Kết luận : Phương trình ban đầu có 2 nghiệm Ta chọn đáp án A Cách tham khảo : Tự luận Vì 20 x nên ta có thể chia cả 2 vế cho 2 x Phương trình đã cho 3 5 3 5 7 8 0 22 xx Đặt 35 2 x t 0 t thì 3 5 1 2 x t . Khi đó (1) 2 1 1 7. 8 0 8 7 0 7 t t t t t t Với 35 1 1 0 2 x tx Với 35 2 35 7 7 log 7 2 x tx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 87 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm 35 2 0; log 7 xx Bình luận : Nhắc lại một lần nữa nếu .0 f a f b thì phương trình có nghiệm thuộc ; ab Ta nhận thấy 2 đại lượng nghịch đảo quen thuộc 35 2 và 35 2 nên ta tìm cách để tạo ra 2 đại lượng này bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho 2 x VD 5 : Số nghiệm của bất phương trình 22 2 1 2 1 4 2 3 2 3 23 x x x x (1) là : A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển bất phương trình (1) về dạng : 22 2 1 2 1 4 2 3 2 3 0 23 x x x x Nhập vế trái vào máy tính Casio : 22 2 1 2 1 4 2 3 2 3 23 x x x x FX (2+s3$)^Q)dp2Q)+1$+(2 ps3$)^Q)dp2Q)p1$pa4R2 ps3$$ Thiết lập miền giá trị cho x với Start -9 End 9 Step 1 =p9=9=1= Máy tính Casio cho ta bảng giá trị : Ta thấy 1 . 0 0 ff vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc 1;0 Ta thấy 10 f vậy 1 x là nghiệm của phương trình (1) Lại thấy 2 . 3 0 ff vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc 2;3 Kết luận : Phương trình (1) có 3 nghiệm Chọn đáp án C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Số nghiệm của phương trình 2 log 1 2 x là : A. 2 B. 1 C. 0 D. Một số khác Bài 2-[THPT Lục Ngạn - Bắc Giang 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 88 Tài liệu lưu hành nội bộ Số nghiệm của phương trình 2 0.5 2 log 5 6 1 0 x x x là : A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 Bài 3-[THPT Lục Ngạn - Bắc Giang 2017] Phương trình 2 2 2 2 3 3 2 2 5 1 3 3 3 1 x x x x x x A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệm C. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệt Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Tìm số nghiệm của phương trình 1 2 2 3 x x : A. 1 B. 2 C. Vô số D. Không có nghiệm Bài 5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Cho phương trình 21 2 3 1 2log log 1 log 2 2 2 x x x x . Số nghiệm của phương trình là ; A. 2 nghiệm B. Vô số nghiệm C. 1 nghiệm D. Vô nghiệm Bài 6-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] Tìm số nghiệm của phương trình 2 10 log 2 2log log 4 x x x A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Số nghiệm của phương trình 2 log 1 2 x là A. 2 B. 1 C. 0 D. Một số khác GIẢI Phương trình 2 log 1 2 0 x . Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm số nghiệm với Start 9 End 10 Step 1 w7g(Q)p1))od)ps2==p9=10 =1= Ta thấy có hai khoảng đổi dấu Phương trình ban đầu có 2 nghiệm A là đáp án chính xác Chú ý : Để tránh bỏ sót nghiệm ta thường thử thêm 1 hoặc 2 lần nữa với hai khoảng Start End khác nhau Ví dụ Start 29 End 10 Step 1 hoặc Sart 11 End 30 Step 1. Ta thấy không có khoảng đổi dấu nào nữa Chắc ăn hơn với 2 nghiệm tìm được Bài 2-[THPT Lục Ngạn - Bắc Giang 2017] Số nghiệm của phương trình 2 0.5 2 log 5 6 1 0 x x x là : A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 GIẢI Tìm điều kiện của phương trình : 2 5 6 0 xx 3 2 x x wR1111=p5=6== TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 89 Tài liệu lưu hành nội bộ Phương trình 2 0.5 2 log 5 6 1 0 x x x . Vì điều kiện chia hai khoảng nên ta MODE 7 hai lần. Lần thứ nhất với Start 7 End 2 Step 0.5 w7(Q)p2)(i0.5$Q)dp5Q)+ 6$+1)==p7=2=0.5= Ta thấy có 1 nghiệm 1 x Lần thứ hai với Start 3 End 12 Start 0.5 C==3=12=0.5= Ta lại thấy có nghiệm 4 x Phương trình có 2 nghiệm 1 và 4 . Đáp án chính xác là D Bài 3-[THPT Lục Ngạn - Bắc Giang 2017] Phương trình 2 2 2 2 3 3 2 2 5 1 3 3 3 1 x x x x x x A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệm C. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệt GIẢI Phương trình 2 2 2 2 3 3 2 2 5 1 3 3 3 1 0 x x x x x x . Sử dụng MODE 7 với Start 9 End 0 Step 0.5 w73^Q)dp2Q)p3$+3^Q)dp3 Q)+2$p3^2Q)dp5Q)p1$p1== p9=0=0.5= Ta thấy có 1 nghiệm 1 x Tiếp tục MODE 7 với Start 0 End 9 Step 0.5 C==0=9=0.5= Ta lại thấy có thêm ba nghiệm 1;2;3 x Tổng cộng 4 nghiệm Đáp án chính xác là D Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Tìm số nghiệm của phương trình 1 2 2 3 x x : A. 1 B. 2 C. Vô số D. Không có nghiệm TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 90 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Phương trình 1 2 2 3 0 x x (điều kiện 0 x ). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25 w72^a1RQ)$$+2^sQ)$$p3==0=4 .5=0.25= Trên đoạn 0;4.5 không có nghiệm nào Tiếp tục MODE 7 với Start 4.5 End 9 Step 0.25 C==4.5=9=0.25= Dự đoán phương trình vô nghiệm. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1 C==9=28=1= Giá trị của FX luôn tăng đến Phương trình vô nghiệm Đáp án chính xác là D Bài 5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Cho phương trình 21 2 3 1 2log log 1 log 2 2 2 x x x x . Số nghiệm của phương trình là ; A. 2 nghiệm B. Vô số nghiệm C. 1 nghiệm D. Vô nghiệm GIẢI Phương trình 21 2 3 1 2log log 1 log 2 2 0 2 x x x x (điều kiện 01 x ). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 1 Step 0.1 w72i2$Q)$+ia1R3$$1psQ) $$pa1R2$is2$$Q)p2sQ)$+2 ==0=1=0.1= Ta thấy có 1 nghiệm duy nhất thuộc khoảng 0.6;0.7 Đáp án chính xác là C Bài 6-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] Tìm số nghiệm của phương trình 2 10 log 2 2log log 4 x x x A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 GIẢI TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 91 Tài liệu lưu hành nội bộ Phương trình 2 10 log 2 2log log 4 0 x x x (điều kiện 0 x ). Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 4.5 Step 0.25 w7g(Q)p2)d)p2gQ))pis10 $$Q)+4==0=4.5=0.25= Trên đoạn 0;4.5 có 1 nghiệm Tiếp tục MODE 7 với Start 4.5 End 9 Step 0.25 C==4.5=9=0.25= Trên khoảng này không thu được nghiệm nào. Để chắn ăn hơn ta thử lần cuối với Start 9 End 28 Step 1 C==9=28=1= Cũng không thu được nghiệm Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất Đáp án chính xác là C TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 90 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 11. TÌM SỐ NGHIÊM PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT (P2). 1) PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG SHIFT SOLVE Bài toán đặt ra : Tìm số nghiệm của phương trình 2 2 1 3 1 x x x x ? Xây dựng phƣơng pháp : Chuyển bài toán về dạng Vế trái 0 khi đó 2 2 1 3 1 0 x x x x và đặt 2 2 1 3 1 f x x x x x Nhập vế trái vào màn hình máy tính Casio sQ)$+s2Q)+1$pQ)d+3Q)p 1 Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE với nghiệm gần giá trị 3 qr3= Máy tính báo có nghiệm 4 x Để tìm nghiệm tiếp theo ta tiếp tục sử dụng chức năng SHIFT SOLVE, tuy nhiên câu hỏi đƣợc đặt ra là làm thế nào máy tính không lặp lại giá trị nghiệm 4 x vừa tìm đƣợc ? +) Để trả lời câu hỏi này ta phải triệt tiêu nghiệm 4 x ở phương trình 0 fx đi bằng cách thực hiện 1 phép chia 4 fx x +) Sau đó tiếp tục SHIFT SOLVE với biểu thức 4 fx x để tìm nghiệm tiếp theo. +) Quá trình này liên tục đến khi nào máy tính báo hết nghiệm thì thôi. Tổng hợp phƣơng pháp Bƣớc 1: Chuyển PT về dạng Vế trái = 0 Bƣớc 2: Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE dò nghiệm Bƣớc 3: Khử nghiệm đã tìm được và tiếp tục sử dụng SHIFT SOLVE để dò nghiệm 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[THPT Phạm Hồng Thái – Hà Nội 2017] Số nghiệm của phương trình 6.4 12.6 6.9 0 x x x là ; A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 GIẢI Cách 1 : CASIO Nhập vế trái của phương trình 6.4 12.6 6.9 0 x x x vào máy tính Casio : 6O4^Q)$p12O6^Q)$+6O9^ Q) Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE để tìm được nghiệm thứ nhất : qr2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 91 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thu được nghiệm thứ nhất 0 x Để nghiệm 0 x không xuất hiện ở lần dò nghiệm SHIFT SOLVE tiếp theo ta chia phương trình FX cho nhân tử x $(!!)PQ) Tiếp tục SHIFT SOLVE lần thứ hai : qr1= 50 10 ta hiểu là 0 (do cách làm tròn của máy tính Casio) Có nghĩa là máy tính không thấy nghiệm nào ngoài nghiệm 0 x nữa Phương trình chỉ có nghiệm duy nhất. Đáp số chính xác là B VD2: Số nghiệm của bất phương trình 2 2 3 2 2 xx (1) là : A. 3 B. 2 C. 0 D. 4 GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển bất phương trình (1) về dạng : 2 2 3 20 2 xx Nhập vế trái của phương trình 2 2 3 20 2 xx vào máy tính Casio rồi nhất =để lưu vế trái vào máy tính . Dò nghiệm lần thứ nhất với x gần 1 2^Q)dp2Q)$pa3R2$= qrp1= Ta được nghiệm 0.2589... x Tiếp theo ta sẽ khử nghiệm 0.2589... x nhưng nghiệm này lại rất lẻ, vì vậy ta sẽ lưu vào biến A qJz Sau đó gọi lại phương trình và thực hiện phép chia nhân tử xA để khử nghiệm A E$(!!)P(Q)pQz) Tiếp tục SHIFT SOLVE với x gần 1 . Ta được nghiệm thứ hai và lưu vào B qr=1=qJx Gọi lại phương trình ban đầu rồi thực hiện phép chia cho nhân tử xB để khử nghiệm B TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 92 Tài liệu lưu hành nội bộ EE$(!!)P(Q)pQz)P(Q)pQ x) Rồi dò nghiệm với x gần 0 qr=== Máy tính nhấn Can’t Solve tức là không thể dò được nữa (Hết nghiệm) Kết luận : Phương trình (1) có 2 nghiệm Chọn đáp án B VD3 : Số nghiệm của bất phương trình 22 2 1 2 1 4 2 3 2 3 23 x x x x (1) là : A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 GIẢI Cách 1 : CASIO Nhập vế trái phương trình 22 2 1 2 1 4 2 3 2 3 0 23 x x x x vào máy tính Casio , nhấn nút = để lưu phương trình lại và dò nghiệm thứ nhất. (2+s3$)^Q)dp2Q)+1$+(2 ps3$)^Q)dp2Q)p1$pa4R2 ps3= qr1= Khử nghiệm 1 x rồi dò nghiệm thứ hai. qr1=$(!!)P(Q)p1)qr3= Lưu biến thứ hai này vào A qJz Khử nghiệm 1; x x A rồi dò nghiệm thứ ba. Lưu nghiệm này vào B $(!!)P(Q)p1)P(Q)pQz)q r=p1= Khử nghiệm 1; ; x x A x B rồi dò nghiệm thứ tư. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 93 Tài liệu lưu hành nội bộ EEE$(!!)P(Q)p1)P(Q)pQ z)P(Q)pQx)qr==0= Hết nghiệm Phương trình (1) có 3 nghiệm Chọn đáp án C VD4-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Số nghiệm của phương trình sin 4 tan x ex trên đoạn 0;2 là : A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển phương trình về dạng : sin 4 tan 0 x ex . Dò nghiệm thứ nhất rồi lưu vào A QK^jQ)paqKR4$)$plQ)) =qr2qKP4=qJz Gọi lại phương trình ban đầu . Khử nghiệm xA hay 4 x rồi dò nghiệm thứ hai. Lưu nghiệm tìm được vào B E$(!!)P(Q)pQz)qr=2qK P4= Ra một giá trị nằm ngoài khoảng 0;2 . Ta phải quay lại phương pháp 1 dùng MODE 7 thì mới xử lý được. Vậy ta có kinh nghiệm khi đề bài yêu cầu tìm nghiệm trên miền ; thì ta chọn phương pháp lập bảng giá trị MODE 7 VD5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Phương trình 3 1 3 2 3 2 x x x có số nghiệm âm là : A. 2 nghiệm B. 3 nghiệm C. 1 nghiệm D. Không có GIẢI Cách 1 : CASIO Nhập vế trái phương trình : 3 1 3 2 3 2 0 x x x , lưu phương trình, dò nghiệm thứ nhất. w7(s3$+s2$)^a3Q)RQ)+1 $$p(s3$ps2$)^Q) Gọi lại phương trình, khử nghiệm 0 x rồi dò nghiệm thứ hai. Lưu nghiệm này vào biến A TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 94 Tài liệu lưu hành nội bộ E$(!!)PQ)qrp10=qJz Khử hai nghiệm 0; x x A rồi dò nghiệm thứ ba. E$(!!)PQ)P(Q)+2)qrp10 = Ta hiểu 50 10 0 tức là máy tính không dò thêm được nghiệm nào khác 0 Phương trình chỉ có 1 nghiệm âm 2 x (nghiệm 0 x không thỏa) Ta chọn đáp án C VD6-[THPT Yến Thế - Bắc Giang 2017] Số nghiệm của phương trình 3 3 5 7 3 5 2 xx x là : A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 GIẢI Cách 1 : CASIO Nhập vế trái phương trình : 3 3 5 7 3 5 2 0 xx x vào máy tính Casio, lưu phương trình, dò nghiệm thứ nhất . Ta thu được nghiệm 0 x (3ps5$)^Q)$+7(3+s5$)^ Q)$p2^Q)+3=qr1= Khử nghiệm 0 x rồi tiếp tục dò nghiệm thứ hai. Lưu nghiệm thứ hai vào A $(!!)PQ)qr1=qJz Gọi lại phương trình, khử nghiệm 0; x x A rồi dò nghiệm thứ ba. EE$(!!)PQ)P(Q)pQz)qr =p2= Không có nghiệm thứ ba Ta chọn đáp án A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Số nghiệm của phương trình 2 log 1 2 x là : A. 2 B. 1 C. 0 D. Một số khác Bài 2-[THPT Lục Ngạn - Bắc Giang 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 95 Tài liệu lưu hành nội bộ Số nghiệm của phương trình 2 0.5 2 log 5 6 1 0 x x x là : A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 Bài 3-[THPT Lục Ngạn - Bắc Giang 2017] Phương trình 2 2 2 2 3 3 2 2 5 1 3 3 3 1 x x x x x x A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệm C. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệt Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Tìm số nghiệm của phương trình 1 2 2 3 x x : A. 1 B. 2 C. Vô số D. Không có nghiệm Bài 5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Cho phương trình 21 2 3 1 2log log 1 log 2 2 2 x x x x . Số nghiệm của phương trình là ; A. 2 nghiệm B. Vô số nghiệm C. 1 nghiệm D. Vô nghiệm Bài 6-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] Tìm số nghiệm của phương trình 2 10 log 2 2log log 4 x x x A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Số nghiệm của phương trình 2 log 1 2 x là : A. 2 B. 1 C. 0 D. Một số khác GIẢI Dò nghiệm thứ nhất của phương trình 2 log 1 2 0 x rồi lưu vào biến A g(Q)p1)d)ps2=qr1=qJz Khử nghiệm thứ nhất xA rồi dò nghiệm thứ hai. Lưu nghiệm thứ hai vào B EE$(!!)P(Q)pQz)qr=5=qJ x Khử nghiệm ; x A x B rồi dò nghiệm thứ ba. EEE$(!!)P(Q)pQz)P(Q)pQ x)qr==p5= Không có nghiệm thứ 3 A là đáp án chính xác Bài 2-[THPT Lục Ngạn - Bắc Giang 2017] Số nghiệm của phương trình 2 0.5 2 log 5 6 1 0 x x x là : A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 GIẢI TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 96 Tài liệu lưu hành nội bộ Dò nghiệm thứ nhất của phương trình 2 0.5 2 log 5 6 1 0 x x x . (Q)p2)(i0.5$Q)dp5Q)+6$ +1)=qr2.5= Ta được nghiệm thứ nhất 1 x . Khử nghiệm này và tiến hành dò nghiệm thứ hai . $(!!)P(Q)p1)qr5= Ta được thêm nghiệm thứ hai 4 x . Khử hai nghiệm 1; 4 xx và tiến hành dò nghiệm thứ ba . !P(Q)p4)qrp1= Không có nghiệm thứ ba Đáp số chính xác là D Bài 3-[THPT Lục Ngạn - Bắc Giang 2017] Phương trình 2 2 2 2 3 3 2 2 5 1 3 3 3 1 x x x x x x A. Có ba nghiệm thực phân biệt B. Vô nghiệm C. Có hai nghiệm thực phân biệt D. Có bốn nghiệm thực phân biệt GIẢI Dò nghiệm thứ nhất của phương trình 2 2 2 2 3 3 2 2 5 1 3 3 3 1 0 x x x x x x 3^Q)dp2Q)p3$+3^Q)dp3Q) +2$p3^2Q)dp5Q)p1$p1=qr1 = Ta thấy có 1 nghiệm 1 x Khử nghiệm 1 x rồi tiếp tục dò nghiệm thứ hai $(!!)P(Q)p1)qr5= Ta thu được nghiệm 3 x . Khử hai nghiệm trên rồi tiếp tục dò nghiệm thứ ba !P(Q)p3)qr5= Ta thu được nghiệm 2 x . Khử ba nghiệm trên rồi tiếp tục dò nghiệm thứ tư !P(Q)p2)qr p1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 97 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thu được nghiệm 1 x . Khử bốn nghiệm trên rồi tiếp tục dò nghiệm thứ năm !P(Q)+1)qrp3= Không có nghiệm thứ năm Đáp án chính xác là D Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Tìm số nghiệm của phương trình 1 2 2 3 x x : A. 1 B. 2 C. Vô số D. Không có nghiệm GIẢI Dò nghiệm thứ nhất của phương trình 1 2 2 3 0 x x (điều kiện 0 x ). 2^a1RQ)$$+2^sQ)$$p3qr1 = Thấy ngay phương trình vô nghiệm Đáp án chính xác là D Bài 5-[THPT Nhân Chính – Hà Nội 2017] Cho phương trình 21 2 3 1 2log log 1 log 2 2 2 x x x x . Số nghiệm của phương trình là ; A. 2 nghiệm B. Vô số nghiệm C. 1 nghiệm D. Vô nghiệm GIẢI Dò nghiệm thứ nhất của phương trình 21 2 3 1 2log log 1 log 2 2 0 2 x x x x ( 0 x ). Lưu nghiệm thứ nhất vào A 2i2$Q)$+ia1R3$$1psQ)$$ pa1R2$is2$$Q)p2sQ)$+2= qr1=qJz Khử nghiệm xA rồi dò nghiệm thứ hai !!)P(Q)pQz)qr=3= Không có nghiệm thứ hai Đáp án chính xác là C Bài 6-[Thi HK1 chuyên Nguyễn Du – Đắc Lắc năm 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 98 Tài liệu lưu hành nội bộ Tìm số nghiệm của phương trình 2 10 log 2 2log log 4 x x x A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 GIẢI Dò nghiệm thứu nhất của phương trình 2 10 log 2 2log log 4 0 x x x ( 0 x ). Lưu nghiệm này vào A g(Q)p2)d)p2gQ))pis10$$ Q)+4=qr2= qJz Khử nghiệm xA và tiếp tục dò nghiệm thứ hai : EEE$(!!)P(Q)pQz)qr=5= Không có nghiệm thứ hai Đáp số chính xác là D TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 99 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 12. GIẢI NHANH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT (P1). 1) PHƢƠNG PHÁP 1: CALC THEO CHIỀU THUẬN Bƣớc 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái 0 hoặc Vế trái 0 Bƣớc 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . CALC THUẬN có nội dung : Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng ; ab thì bất phương trình đúng với mọi giá trị thuộc khoảng ; ab *Chú ý: Nếu khoảng ; ab và , cd cùng thỏa mãn mà ,, a b c d thì , cd là đáp án chính xác Ví dụ minh họa VD1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Bất phương trình 13 2 21 log log 0 1 x x có tập nghiệm là A. ;2 B. 4; C. 2;1 1;4 D. ; 2 4; GIẢI Cách 1 : CASIO Nhập vế trái vào máy tính Casio ia1R2$$i3$a2Q)+1RQ)p1 Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A +) CALC với giá trị cận trên 2 0.1 X ta được rp2p0.1= Đây là 1 giá trị dương vậy cận trên thỏa +) CALC với giá trị cận dưới 5 10 X rp10^5)= Đây là 1 giá trị dương vậy cận dưới thỏa Tới đây ta kết luận đáp án A đúng Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B thì ta thấy B cũng đúng A đúng B đúng vậy A B là đúng nhất và D là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Bất phương trình 1 3 1 22 21 log log log 1 1 x x (1) TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 100 Tài liệu lưu hành nội bộ Vì cơ số 1 2 thuộc 0;1 nên (1) 3 3 3 2 1 2 1 log 1 log log 3 11 xx xx (2) Vì cơ số 31 nên (2) 4 2 1 2 1 4 3 3 0 0 1 1 1 1 x x x x x x x x Xét điều kiện tồn tại 3 3 3 2 1 2 1 00 1 2 1 2 11 10 2 1 2 1 2 11 log 0 log log 1 11 xx x xx xx x x x xx xx Kết hợp đáp số 4 1 x x và điều kiện 1 2 x x ta được 4 2 x x Bình luận : Ngay ví dụ 1 đã cho chúng ta thấy sức mạnh của Casio đối với dạng bài bất phương trình. Nếu tự luận làm nhanh mất 2 phút thì làm Casio chỉ mất 30 giây Trong tự luận nhiều bạn thường hay sai lầm ở chỗ là làm ra đáp số 4 1 x x là dừng lại mà quên mất việc phải kết hợp điều kiện 1 2 x x Cách Casio thì các bạn chú ý Đáp án A đúng , đáp án B đúng thì đáp án hợp của chúng là đáp án D mới là đáp án chính xác của bài toán. VD2-[Chuyên Thái Bình 2017 ] Giải bất phương trình 2 42 25 xx : A. 2 ; 2 log 5; x B. 2 ; 2 log 5; x C. 2 ;log 5 2 2; x D. 2 ;log 5 2 2; x GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu 2 42 2 5 0 xx Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại Nhập vế trái vào máy tính Casio 2^Q)dp4$p5^Q)p2 Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B và D +)CALC với giá trị cận trên 2 X ta được rp2= +)CALC với giá trị cận dưới 5 10 X rp10^5)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 101 Tài liệu lưu hành nội bộ Số 5 10 là số quá nhỏ để máy tính Casio làm việc được vậy ta chọn lại cận dứoi 10 X !rp10= Đây cũng là một giá trị dương vậy đáp án nửa khoảng ;2 nhận Đi kiểm tra xem khoảng tương ứng 2 ;log 5 2 ở đáp án D xem có đúng không, nếu sai thì chỉ có B là đúng +) CALC với giá trị cận dưới 2 log 5 2 X rh5)Ph2)= +) CALC với cận trên 10 X rp10= Đây cũng là 2 giá trị dương vậy nửa khoảng 2 ;log 5 2 nhận Vì nửa khoảng 2 ;log 5 2 chứa nửa khoảng ;2 vậy đáp án D là đáp án đúng nhất Cách tham khảo : Tự luận Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta được 2 4 2 2 2 2 2 log 2 log 5 4 2 log 5 xx xx 2 2 2 2 2 log 5 0 log 5 2 x xx x Vậy ta chọn đáp án D Bình luận : Bài toán này lại thể hiện nhược điểm của Casio là bấm máy sẽ mất tầm 1.5 phút so với 30 giây của tự luận. Các e tham khảo và rút cho mình kinh nghiệm khi nào thì làm tự luận khi nào thì làm theo cách Casio Các tự luận tác giả dùng phương pháp Logarit hóa 2 vế vì trong bài toán xuất hiện đặc điểm “ có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung” các bạn lưu ý điều này VD3-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0 x x x : A. 2; S B. 0;2 S C. SR D. ;2 GIẢI Cách 1 : CASIO TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 102 Tài liệu lưu hành nội bộ Nhập vế trái vào máy tính Casio 2O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$ +1 Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A +) CALC với giá trị cận trên 10 X ta được r10= Đây là 1 giá trị âm vậy đáp án A loại dẫn đến C sai Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B +) CALC với giá trị cận trên 2 0.1 X r2p0.1= +) CALC với giá trị cận dứoi 0 0.1 X r0+0.1= Cả 2 giá trị này đều dương vậy đáp án B đúng Vì D chứa B nên để xem đáp án nào đúng nhất thì ta chọn 1 giá trị thuộc D mà không B +) CALC với giá trị 2 X rp2= Giá trị này cũng nhận vậy D là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Bất phương trình 2 3 1 2.2 3.3 1 6 2. 3. 1 6 6 6 x x x x x x 1 1 1 2. 3. 1 3 2 6 x x x (1) Đặt 1 1 1 2. 3. 3 2 6 x x x fx khi đó (1) 2 f x f (2) Ta có 1 1 1 1 1 1 ' 2. ln 3. ln ln 0 3 3 2 2 6 6 x x x fx với mọi x Hàm số fx nghịch biến trên R Khi đó (2) 2 x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 103 Tài liệu lưu hành nội bộ Bình luận : Tiếp tục nhắc nhở các bạn tính chất quan trọng của bất phương trình : B là đáp án đúng nhưng D mới là đáp án chính xác (đúng nhất) Phần tự luận tác giả dùng phƣơng pháp hàm số với dấu hiệu “Một bất phƣơng trình có 3 số hạng với 3 cơ số khác nhau” Nội dng của phương pháp hàm số như sau : Cho một bất phương trình dạng f u f v trên miền ; ab nếu hàm đại diện ft đồng biến trên ; ab thì uv còn hàm đại diện luôn nghịch biến trên ; ab thì uv 2) Phƣơng pháp 2 : CALC theo chiều nghịch Bƣớc 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái 0 hoặc Vế trái 0 Bƣớc 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . CALC NGHỊCH có nội dung : Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng ; ab thì bất phương trình sai với mọi giá trị không thuộc khoảng ; ab Ví dụ minh họa VD1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Bất phương trình 13 2 21 log log 0 1 x x có tập nghiệm là : A. ;2 B. 4; C. 2;1 1;4 D. ; 2 4; GIẢI Cách 1 : CASIO Nhập vế trái vào máy tính Casio ia1R2$$i3$a2Q)+1RQ)p1 Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A +) CALC với giá trị ngoài cận trên 2 0.1 X ta được rp2+0.1= Vậy lân cận phải của 2 là vi phạm Đáp án A đúng và đáp án C sai Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B +) CALC với giá trị ngoài cận trên 4 0.1 X ta được !r4p0.1= Đây là giá trị âm. Vậy lân cận tráii của 4 là vi phạm Đáp án B đúng và đáp án C sai Đáp án A đúng B đúng vậy ta chọn hợp của 2 đáp án là đáp án D chính xác. VD2-[Chuyên Thái Bình 2017 ] Giải bất phương trình 2 42 25 xx : A. 2 ; 2 log 5; x B. 2 ; 2 log 5; x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 104 Tài liệu lưu hành nội bộ C. 2 ;log 5 2 2; x D. 2 ;log 5 2 2; x GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu 2 42 2 5 0 xx Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại Nhập vế trái vào máy tính Casio 2^Q)dp4$p5^Q)p2 Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B +)CALC với giá trị ngoài cận trên 2 là 2 0.1 X ta được rp2+0.1= Đây là 1 giá trị dương (thỏa đề bài) mà đáp án B không chứa 2 0.1 X Đáp án B sai Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác VD3-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0 x x x : A. 2; S B. 0;2 S C. SR D. ;2 GIẢI Cách 1 : CASIO Nhập vế trái vào máy tính Casio 2O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$ +1 Kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án A +) CALC với giá trị ngoài cận dưới 2 ta chọn 2 0.1 X r2p0.1= Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) vậy đáp án A sai dẫn đến đáp án C sai Tương tự như vậy ta kiểm tra tính Đúng Sai của đáp án B +) CALC với giá trị ngoài cận dưới 0 ta chọn 0 0.1 X r0p0.1= Đây là 1 giá trị dương (thỏa bất phương trình) Đáp án B sai Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 105 Tài liệu lưu hành nội bộ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Sƣ phạm Hà Nội lần 1 năm 2017 ] Bất phương trình ln 1 2 3 1 0 x x x có tập nghiệm là : A. 1;2 3; B. 1;2 3; C. ;1 2;3 D. ;1 2;3 Bài 2-[THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội 2017 ] Tập xác định của hàm số 1 2 log 1 1 yx là : A. 1; B. 3 1; 2 C. 1; D. 3 ; 2 Bài 3-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Nghiệm của bất phương trình 2 1 log 6 1 x xx là : A. 1 x B. 5 x C. 1; 2 xx D. 1 5, 2 xx Bài 4-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017 ] Giải bất phương trình 2 91 tan tan 77 x x x : A. 2 x B. 4 x C. 24 x D. 2 x hoặc 4 x Bài 5-[THPT HN Amsterdam 2017] Bất phương trình 2 2 .3 1 xx có bao nhiêu nghiệm nguyên : A. 1 B. Vô số C. 0 D. 2 Bài 6-[Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017 ] Tập nghiệm của bất phương trình 32.4 18.2 1 0 xx là tập con của tập A. 5; 2 B. 4;0 C. 1;4 D. 3;1 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Sƣ phạm Hà Nội lần 1 năm 2017 ] Bất phương trình ln 1 2 3 1 0 x x x có tập nghiệm là : A. 1;2 3; B. 1;2 3; C. ;1 2;3 D. ;1 2;3 GIẢI Casio cách 1 Kiểm tra khoảng nghiệm 1;2 với cận dưới 1 0.1 X và cận trên 2 0.1 X h(Q)p1)(Q)p2)(Q)p3)+1)r 1+0.1=r2p0.1= Hai cận đều nhận 1;2 nhận Kiểm tra khoảng nghiệm 3: với cận dưới 3 0.1 X và cận trên 9 10 X EE$(!!)P(Q)pQz)qr=5=qJ x Hai cận đều nhận 3; nhận TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 106 Tài liệu lưu hành nội bộ Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng A là đáp số chính xác Casio cách 2 Kiểm tra khoảng nghiệm 1;2 với ngoài cận dưới 1 0.1 X và ngoài cận trên 2 0.1 X h(Q)p1)(Q)p2)(Q)p3)+1)r 1+0.1=r2p0.1= Hai cận ngoài khoảng 1;2 đều vi phạm Khoảng 1;2 thỏa Kiểm tra khoảng 3: với ngoài cận dưới 3 0.1 X và trong cận dưới (vì không có cận trên) r3p0.1=r3+0.1= Ngoài cận dưới vi phạm, trong cận dưới thỏa Khoảng 3; nhận Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng A là đáp số chính xác Bài 2-[THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội 2017 ] Tập xác định của hàm số 1 2 log 1 1 yx là : A. 1; B. 3 1; 2 C. 1; D. 3 ; 2 GIẢI Điều kiện : 0.5 log 1 1 0 x ( trong căn 0 ) Kiểm tra khoảng nghiệm 1; với cận dưới 1 X và cận trên 9 10 i0.5$Q)p1$p1r1= Cận dưới vi phạm Đáp án A sai Kiểm tra khoảng nghiệm 3 1; 2 với cận dưới 1 0.1 X và cận trên 3 X !r1+0.1=r3P2= Hai cận đều nhận 3 1; 2 nhận Kiểm tra khoảng nghiệm 1; với cận trên 9 10 X Cận trên bị vi phạm C sai D sai r10^9)= Tóm lại A là đáp số chính xác Casio cách 2 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 107 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp án A sai luôn vì cận 1 x không thỏa mãn điều kiện hàm logarit Kiểm tra khoảng nghiệm 3 1; 2 với ngoài cận dưới 1 0.1 X và ngoài cận trên 3 0.1 2 X i0.5$Q)p1$p1r1p0.1= Ngoài hai cận đều vi phạm 3 1; 2 nhận Hơn nữa 3 0.1 2 X vi phạm C và D loại luôn Bài 3-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Nghiệm của bất phương trình 2 1 log 6 1 x xx là : A. 1 x B. 5 x C. 1; 2 xx D. 1 5, 2 xx GIẢI Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu 2 1 log 6 1 0 x xx Kiểm tra khoảng nghiệm 1 x với cận dưới 1 0.1 X và cận trên 9 10 X iQ)p1$Q)d+Q)p6r1+0.1=! r10^9)= Cận dưới vi phạm A sai C và D chứa cận dưới 1 01. X vi phạm nên cũng sai Tóm lại đáp số chính xác là B Casio cách 2 Kiểm tra khoảng nghiệm 1;2 với ngoài cận dưới 1 0.1 X và cận dưới 1 0.1 X h(Q)p1)(Q)p2)(Q)p3)+1)r 1+0.1=r2p0.1= Cận dưới 1 0.1 X vi phạm nên A , C , D đều sai Bài 4-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017 ] Giải bất phương trình 2 91 tan tan 77 x x x : A. 2 x B. 4 x C. 24 x D. 2 x hoặc 4 x GIẢI Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu 2 91 tan tan 0 77 x x x Kiểm tra khoảng nghiệm 2 x với cận dưới 10 X và cận trên 2 X qw4laqKR7$)^Q)dpQ)p9$p laqKR7$)^Q)p1rp10=rp2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 108 Tài liệu lưu hành nội bộ Hai cận đều nhận 2 x nhận Đáp số chính xác chỉ có thể là A hoặc D Kiểm tra khoảng nghiệm 4 x với cận dưới 4 X và cận trên 10 X r4=r10= Hai cận đều nhận 4 x nhận Tóm lại đáp số chính xác là D Casio cách 2 Kiểm tra khoảng nghiệm 2 x với ngoài cận trên 2 0.1 X và cận trên 2 X qw4laqKR7$)^Q)dpQ)p9$p laqKR7$)^Q)p1rp2+0.1=r p2= Ngoài cận trên 2 0.1 X vi phạm nên A nhận đồng thời C sai Kiểm tra khoảng nghiệm 4 x với ngoài cận dưới 4 0.1 X và cận dưới 4 X r4p0.1=r4= Ngoài cận dưới 4 0.1 X vi phạm nên B nhận đồng thời C sai Tóm lại A , B đều nhận nên hợp của chúng là D là đáp số chính xác Bài 5-[THPT HN Amsterdam 2017] Bất phương trình 2 2 .3 1 xx có bao nhiêu nghiệm nguyên : A. 1 B. Vô số C. 0 D. 2 (Xem đáp án ở Bài 5 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn) Bài 6-[Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017 ] Tập nghiệm của bất phương trình 32.4 18.2 1 0 xx là tập con của tập A. 5; 2 B. 4;0 C. 1;4 D. 3;1 (Xem đáp án ở Bài 6 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn) TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 109 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 13. GIẢI NHANH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT (P2). 1) PHƢƠNG PHÁP 3: LẬP BẢNG GIÁ TRỊ MODE 7 Bƣớc 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái 0 hoặc Vế trái 0 Bƣớc 2: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . *Chú ý: Cần làm nhiều bài toán tự luyện để từ đó rút ra kinh nghiệm thiết lập Start End Step hợp lý Ví dụ minh họa VD1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Bất phương trình 13 2 21 log log 0 1 x x có tập nghiệm là : A. ;2 B. 4; C. 2;1 1;4 D. ; 2 4; GIẢI Cách 3 : CASIO Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio w7ia1R2$$i3$a2Q)+1RQ )p1 Quan sát các cận của đáp số là 2;4;1 nên ta phải thiết lập miền giá trị của X sao cho X chạy qua các giá trị này . Ta thiết lập Start 4 End 5 Step 0.5 ==p4=5=0.5= Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng ;2 và 4; làm cho dấu của vế trái dương. Đáp số chính xác là D VD2-[Chuyên Thái Bình 2017 ] Giải bất phương trình 2 42 25 xx : A. 2 ; 2 log 5; x B. 2 ; 2 log 5; x C. 2 ;log 5 2 2; x D. 2 ;log 5 2 2; x GIẢI Cách 3 : CASIO Bất phương trình 2 42 2 5 0 xx .Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio w72^Q)dp4$p5^Q)p2 Quan sát các cận của đáp số là 22 2;2;log 5 2.32;log 5 2 0.32 nên ta phải thiết lập miền giá trị của X sao cho X chạy qua các giá trị này . Ta thiết lập Start 3 End 3 Step 1:3 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 110 Tài liệu lưu hành nội bộ ==p3=3=1P3= Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng 2 ;0.32 log 5 và 2; làm cho dấu của vế trái dương. Đáp số chính xác là C VD3-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0 x x x : A. 2; S B. 0;2 S C. SR D. ;2 GIẢI Cách 3 : CASIO Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio w72O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q )$+1 Quan sát các cận của đáp số là 0;2 nên ta phải thiết lập miền giá trị của X sao cho X chạy qua các giá trị này . Ta thiết lập Start 4 End 5 Step 1 ==p4=5=1= Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng ;2 làm cho dấu của vế trái dương. Đáp số chính xác là C 2) PHƢƠNG PHÁP 4 : LƢỢC ĐỒ CON RẮN Bƣớc 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái 0 hoặc Vế trái 0 Bƣớc 2: Sử dụng CALC tìm các giá trị tới hạn của (làm cho vế trái = 0 hoặc không xác định ) . Dấu của bất phương trình có trong các khoảng tới hạn là không đổi. Dùng CALC lấy một giá trị đại diện để xét dấu. Chú ý : Qua 4 phương pháp ta mới thấy trong tự luận thì lược đồ con rắn là lợi hại nhất nhưng trong khi thi trắc nghiệm thì lại tỏ ra yếu thế vì khó dùng và khá dài dòng Ví dụ minh họa VD1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Bất phương trình 13 2 21 log log 0 1 x x có tập nghiệm là : A. ;2 B. 4; C. 2;1 1;4 D. ; 2 4; GIẢI Cách 4 : CASIO Đề bài xuất hiện các giá trị 2;4;1 ta CALC với các giá tri này để tìm giá trị tới hạn ia1R2$$i3$a2Q)+1RQ)p1 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 111 Tài liệu lưu hành nội bộ Lần lượt CALC với cá giá trị 2;4;1 rp2=!r4=r1= 3 giá trị trên đều là giá trị trên đều là giá trị tới hạn nên ta chia thành các khoảng nghiệm ; 2 ; 2;1 ; 1;4 ; 4; CALC với các giá trị đại diện cho 4 khoảng để lấy dấu là : 3;0;2;5 rp2=!r4=r1= Rõ ràng khoảng nghiệm thứ nhất và thứ tư thỏa mãn Đáp số chính xác là D VD2-[Chuyên Thái Bình 2017 ] Giải bất phương trình 2 42 25 xx : A. 2 ; 2 log 5; x B. 2 ; 2 log 5; x C. 2 ;log 5 2 2; x D. 2 ;log 5 2 2; x GIẢI Cách 4 : CASIO Đề bài xuất hiện các giá trị 22 2;log 5 2;2;log 5 2.32 ta CALC với các giá tri này để tìm giá trị tới hạn 2^Q)dp4$p5^Q)p2rp2=r i5)Pg2)p2=r2=rg5)Pg2) = Ta thu được hai giá trị tới hạn 2 log 5 2 và 2 Đáp số chỉ có thể là C hoặc D Vì bất phương trình có dấu = nên ta lấy hai cận Đáp số chính xác là D VD3-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2.2 3.3 6 1 0 x x x : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 112 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 2; S B. 0;2 S C. SR D. ;2 GIẢI Cách 4 : CASIO Đề bài xuất hiện các giá trị 0;2 ta CALC với các giá tri này để tìm giá trị tới hạn 2O2^Q)$+3O3^Q)$p6^Q)$ +1r0=r2= Ta thu được 1 giá trị tới hạn 2 x Đáp số đúng là A hoặc D CALC với các giá trị đại diện cho 2 khoảng để lấy dấu là : 1;3 rp2=!r4=r1= Ta cần lấy dấu dương Đáp số chính xác là D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Sƣ phạm Hà Nội lần 1 năm 2017 ] Bất phương trình ln 1 2 3 1 0 x x x có tập nghiệm là : A. 1;2 3; B. 1;2 3; C. ;1 2;3 D. ;1 2;3 Bài 2-[THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội 2017 ] Tập xác định của hàm số 1 2 log 1 1 yx là : A. 1; B. 3 1; 2 C. 1; D. 3 ; 2 Bài 3-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Nghiệm của bất phương trình 2 1 log 6 1 x xx là : A. 1 x B. 5 x C. 1; 2 xx D. 1 5, 2 xx Bài 4-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017 ] Giải bất phương trình 2 91 tan tan 77 x x x : A. 2 x B. 4 x C. 24 x D. 2 x hoặc 4 x Bài 5-[THPT HN Amsterdam 2017] Bất phương trình 2 2 .3 1 xx có bao nhiêu nghiệm nguyên : A. 1 B. Vô số C. 0 D. 2 Bài 6-[Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017 ] Tập nghiệm của bất phương trình 32.4 18.2 1 0 xx là tập con của tập A. 5; 2 B. 4;0 C. 1;4 D. 3;1 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Sƣ phạm Hà Nội lần 1 năm 2017 ] Bất phương trình ln 1 2 3 1 0 x x x có tập nghiệm là : A. 1;2 3; B. 1;2 3; C. ;1 2;3 D. ;1 2;3 GIẢI Casio cách 4 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 113 Tài liệu lưu hành nội bộ Kiểm tra các giá trị 1;2;3 h(Q)p1)(Q)p2)(Q)p3)+1)r 1=r2=r3= Cả 3 giá trị trên đều là giá trị tới hạn Chia thành 4 khoảng nghiệm ;1 ; 1;2 ; 2;3 ; 3; CALC với 4 giá trị đại diện cho 4 khoảng này là 35 0; ; ;4 22 EE$(!!)P(Q)pQz)qr=5=qJ x Ta cần lấy dấu dương Lấy khoảng 2 và khoảng 4 A là đáp số chính xác Bài 2-[THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội 2017 ] Tập xác định của hàm số 1 2 log 1 1 yx là : A. 1; B. 3 1; 2 C. 1; D. 3 ; 2 GIẢI Casio cách 4 Tập xác định 2 log 1 1 0 x . Kiểm tra các giá trị 3 1; 2 i0.5$Q)p1$p1r1=!r3P2= Cả 2 giá trị trên đều là giá trị tới hạn Chia thành 3 khoảng nghiệm 33 ;1 ; 1; ; ; 22 CALC với 3 giá trị đại diện cho 4 khoảng này là 0;1.25;2 EE$(!!)P(Q)pQz)qr=5=qJ x Ta cần lấy dấu dương Lấy khoảng 2 B là đáp số chính xác Bài 3-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ] Nghiệm của bất phương trình 2 1 log 6 1 x xx là : A. 1 x B. 5 x C. 1; 2 xx D. 1 5, 2 xx GIẢI Casio cách 3 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 114 Tài liệu lưu hành nội bộ Bất phương trình 2 1 log 6 1 0 x xx . Quan sát đáp số xuất hiện các giá trị 1 ;2; 5 2.23 . Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 3 Step 0.25 w7iQ)p1$Q)d+Q)p6$p1==0 =3=0.25= Rõ ràng 5 2.23 x làm cho vế trái bất phương trình nhận dấu dương B là đáp án chính xác Bài 4-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017 ] Giải bất phương trình 2 91 tan tan 77 x x x : A. 2 x B. 4 x C. 24 x D. 2 x hoặc 4 x GIẢI Casio cách 3 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu 2 91 tan tan 0 77 x x x Quan sát đáp số xuất hiện các giá trị 2;4 . Sử dụng MODE 7 với Start 4 End 5 Step 0.5 qw4w7laqKR7$)^Q)dpQ)p9 $plaqKR7$)^Q)p1==p4=5=0 .5= Quan sát bảng giá trị . Rõ ràng 2 x và 4 x làm cho vế trái bất phương trình 0 D là đáp án chính xác Bài 5-[THPT HN Amsterdam 2017] Bất phương trình 2 2 .3 1 xx có bao nhiêu nghiệm nguyên : A. 1 B. Vô số C. 0 D. 2 GIẢI Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu 2 2 .3 1 0 xx Tìm cận thứ nhất bằng chức năng SHIFT SOLVE 2^Q)d$O3^Q)$p1=qr1= Khử cận thứ nhất và tiếp tục dò cận thứ hai $(!!)PQ)qrp1= Vậy ta dự đoán khoảng nghiệm là 1.5849...;0 . Kiểm tra dấu bằng cách lấy giá trị đại diện 1 x Erp1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 115 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thấy dấu vậy khoảng nghiệm là 1.5849...;0 có 1 nghiệm nguyên 1 x Đáp số chính xác là A Bài 6-[Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017 ] Tập nghiệm của bất phương trình 32.4 18.2 1 0 xx là tập con của tập A. 5; 2 B. 4;0 C. 1;4 D. 3;1 GIẢI Casio cách 3 Sử dụng MODE 7 với Start 6 End 6 Step 1 w732O4^Q)$p18O2^Q)$+1== p6=6=1= Quan sát bảng giá trị . Rõ ràng khoảng nghiệm làm cho vế trái thuộc khoảng 4;0 B là đáp án chính xác. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 116 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 14. TÌM SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT LŨY THỪA. 1) BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Hôm nay tôi lại nhận được 3 bài toán của thầy BìnhKami, 3 bài toán này liên quan đến so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số. Bài toán 1 : So sánh 2 lũy thừa 10 32 và 15 16 Bài toán 2 : So sánh 2 lũy thừa 100 2 và 70 3 Bài toán 3 : So sánh 2 lũy thừa 2017 999 25 Đối với bài toán số 1 thì tôi đã biết cách làm rồi, cơ số 32 và cơ số 16 đều có thể đưa về cơ số 2, vậy 10 10 5 5.10 50 32 2 2 2 và 15 15 4 4.5 60 16 2 2 2 . Vậy 10 15 32 16 Đối với bài số 2 không thể đưa về cùng cơ số 2 hay 3 vì vậy tôi dùng sự trợ giúp của máy tính Casio, tôi sẽ thiết lập hiệu 100 70 23 nếu kết quả ra một giá trị dương thì 100 70 23 , thật đơn giản phải không !! 2^100$p3^70$= Hay quá ra một giá trị âm, vậy có nghĩa là 100 70 23 Tương tự như vậy tôi sẽ làm bài toán số 3 bằng cách nhập hiệu 2017 999 25 vào máy tính Casio 2^2017$p5^999 Và tôi bấm nút = Các bạn thấy đấy, máy tính không tính được. Tôi chịu rồi !! Để so sánh 2 lũy thừa có giá trị quá lớn mà máy tính Casio không tính được thì chúng ta phải sử dụng một thủ thuật, tôi gọi tắt là BSS. Thủ thuật BSS dựa trên một nguyên tắc so sánh như sau : Nếu số A có 1 n chữ số thì luôn lớn hơn số B có n chữ số . Ví dụ như số 1000 có 4 chữ số sẽ luôn lớn hơn số 999 có 3 chữ số. Vậy tôi sẽ xem 2107 2 và 999 5 thì lũy thừa nào có số chữ số nhiều hơn là xong. Để làm được việc này tôi sẽ sử dụng máy tính Casio nhưng với tính năng cao cấp hơn, các bạn quan sát nhé : Đầu tiên là với 2017 2 Q+2017g2))+1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 117 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy tôi biết 2017 2 có 608 chữ số Tiếp theo là với 999 5 Q+999g5))+1= Vậy 999 5 có 699 chữ số Rõ ràng 608 699 hay 2017 999 25 . Thật tuyệt vời phải không !! Bình luận nguyên tắc hình thành lệnh tính nhanh Casio Ta thấy quy luật 1 10 có 2 chữ số, 2 10 có 3 chữ số … 10 k sẽ có 1 k chữ số Vậy muốn biết 1 lũy thừa A có bao nhiêu chữ số ta sẽ đặt 10 k A . Để tìm k ta sẽ logarit cơ số 10 cả 2 vế khi đó log kA . Vậy số chữ số sẽ là 1 log 1 kA Lệnh Int dùng để lấy phần nguyên của 1 số. 2)VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Bài toán số nguyên tố Mersenne] Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn nhất tại thời điểm đó. Số nghuyên tố này là một số có giá trị bằng 74207281 21 M . Hỏi số M có bao nhiêu chữ số. A. 2233862 B. 22338618 C. 22338617 D. 2233863 GIẢI CASIO Ta có 742007281 742007281 2 1 1 2 MM Đặt 1 10 k M 742007281 2 10 k 74207281 log 2 k và số chữ số là 1 k Q+74207281g2))+1= Vậy 1 M có số chữ số là 22338618 Ta nhận thấy 1 M có 22338618 chữ số, vậy M có bao nhiêu chữ số ? Liệu vẫn là 22338618 chữ số hay suy biến còn 22338617 chữ số. Câu trả lời là không suy biến vì M là lũy thừa bậc của 2 nên tận cùng chỉ có thể là 2, 4, 8, 6 nên khi trừ đi 1 đơn vị vẫn không bị suy biến Vậy ta chọn B là đáp án chính xác. Đọc thêm : 74207281 21 M là số nguyên tố lớn nhất thế giới được phát hiện, gồm 22 triệu chữ số, mất 127 ngày để đọc hết Giả sử 1 giây bạn có thể đọc được 2 chữ số, bạn không cần ăn uống, ngủ nghỉ…thì 4 tháng liên tục là quãng thời gian mà bạn cần phải bỏ ra để đọc hết con số nguyên tố lớn nhất thế giới do các nhà toán học phát hiện mới đây. Với tên gọi 74207281 M con số nguyên tố Merssenne được phát hiện bởi các nhà toán học thuộc GIMPS-tổ chức thành lập năm 1996 chuyên đi tìm những con số nguyên tố. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 118 Tài liệu lưu hành nội bộ Câu chuyện đi tìm số nguyên tố bắt đầu từ một nhà toán học, thần học, triết học tự nhiên, Marin Mersenne (1588-1648). Ông là người đã nghiên cứu các số nguyên tố nhằm cố tìm ra một công thức chung đại diện cho các số nguyên tố. Dựa trên các nghiên cứu của ông, các nhà toán học thế hệ sau đã đưa ra một công thức chung cho các số nguyên tố là 21 p p M Năm 1750 nhà toán học Ơ-le phát hiện ra số nguyên tố 31 M Năm 1876 số 127 M được nhà toán học Pháp Lucas Edouard phát hiện ra Năm 1996 số nguyê tố lớn nhất thời đó được phát hiện là 1398268 M VD2-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số 30 2 trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số 2 30 trong hệ nhị phân. Ta có tổng mn là : A. 18 B. 20 C. 19 D. 21 GIẢI CASIO Đặt 30 30 2 10 log 2 k k . Số chữ số của 30 2 trong hệ thập phân là 1 k Q+30g2))+1= Vậy số chữ số của 30 2 trong hệ thập phân là 10 Đặt 2 2 30 900 2 log 900 h h . Số chữ số của 2 30 trong hệ nhị phân là 1 h Q+i2$900$)+1= Vậy số chữ số của 2 30 trong hệ nhị phân là 10 10 10 20 mn Đáp số chính xác là B VD3: Cho tổng 0 1 2 2020 2020 2020 2020 2020 ... M C C C C Khi viết M dưới dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số: A. 608 B. 609 C. 610 D. 611 GIẢI CASIO Theo khai triển nhị thức Newtơn thì 2020 0 1 2 2020 2020 2020 2020 2020 1 1 ... C C C C Vậy 2020 2 M Đặt 2020 2020 2 10 log 2 k k . Số chữ số của M là 1 k Q+2020g2))+1= Vậy số chữ số của M là 609. Ta chọn đáp án B Bình luận : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 119 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài toán này là sự kết hợp hay giữa kiến thức lũy thừa và kiến thức về nhị thức Newtơn. Để làm được bài toán này bằng Casio thì cần có một số kiến thức cơ bản về tổng Nhị thức Newtơn Dạng toán tổng nhị thức Newtơn được tác giả tóm tắt như sau : +)Cho khai triển tổng 0 0 1 1 1 2 2 2 0 ... n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b và khai triển tổng 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 ... n n n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b +)Để quan sát xem tổng nhị thức Newton có dạng là gì ta quan sát 3 thông số : Thông số mũ n thì quan sát tổ hợp 1 n C ví dụ như xuất hiện 1 2020 C thì rõ ràng 2020 n . Thông số a sẽ có số mũ giảm dần, thông số b sẽ có số mũ tăng dần +)Áp dụng 0 1999 1 1998 2 1997 2 3 1996 3 1999 1999 1999 1999 1999 1999 1999 5 5 2 5 2 5 2 .... C 2 C C C C thì rõ ràng 1999 n , số mũ của a giảm dần vậy 5 a , số mũ của b tăng dần vậy 2 b . Ta thu gọn khai triển thành 1999 1999 5 2 3 VD4: So sánh nào sau đây là đúng A. 7123 5864 57 B. 7123 5864 57 C. 400 500 32 D. 1700 1200 49 GIẢI CASIO Đặt 7123 5 10 k 7123 log5 7123log5 4978.76 4978 k 7123g5)= Vậy 7123 4978 5 10 Tương tự đặt ta đặt 5864 5864 7 10 log 7 4955.65 4956 h h 5864g7)= Vậy 5864 4956 7 10 Tóm lại 7123 4978 4566 5864 5 10 10 7 Bình luận : Bài toán này nếu ta thực hiện 1 phép Casio ở đẳng cấp thấp là nhập hiệu 7123 5864 57 rồi xét dấu thì máy tính không làm được vì vượt qua phạm vi 100 10 5^7123$p7^5846= Vậy để so sánh ta 2 đại lượng lũy thừa bậc cao M và N ta sẽ đưa về dạng 10 10 kh MN Tuy nhiên việc so sánh 2 lũy thừa sử dụng Casio ở mức độ đơn giản cũng thường xuất hiện trong đề thi của các trường, vậy ta cũng cần tìm hiểu thêm một chút. Các e xem ở ví dụ số 4 dưới đây. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 120 Tài liệu lưu hành nội bộ VD5-[THPT Ngọc Hồi - Hà Nội 2017] Kết quả nào sau đây đúng : A. 17 18 66 B. 17 18 33 C. 17 18 33 ee D. 17 18 22 ee GIẢI Cách 1 : CASIO Để kiểm tra tính Đúng – Sai của đáp án A ta sẽ thiết lập hiệu 17 18 66 . Vậy bài so sánh chuyển về bài bất phương trình 17 18 0 66 Rồi nhập hiệu trên vào máy tính Casio (aqKR6$)^17$p(aqKR6$)^1 8 Rồi ta nhấn nút = nếu kết quả ra 1 giá trị âm thì đáp án A đúng còn ra giá trị dương thì đáp án A sai Máy tính Casio báo kết quả ra 1 giá trị dương vậy rõ ràng đáp án A sai. Tương tự vậy đối với đáp án B (aqKR3$)^17$p(aqKR3$)^1 8= Vậy đáp số B cũng sai Ta lại tiếp tục với đáp án B (aQKR3$)^17$p(aQKR3$)^1 8= Đây là 1 đại lượng dương vậy 17 18 0 33 ee hay 17 18 33 ee Tới đây ta thấy rõ ràng đáp số C là đáp số chính xác !! Cách 2 : Tự luận Ta có cơ số 0.52 0;1 6 và số mũ 17 18 vậy 17 18 66 Đáp án A sai TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 121 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta có cơ số 1.04 1 3 và số mũ 17 18 vậy 17 18 33 Đáp án B sai Ta có cơ số 0.906 0;1 3 e và số mũ 17 18 vậy 17 18 33 ee Đáp số C sai Bình luận Để so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số u a và v a ta sử dụng tính chất sau : +) Nếu cơ số 1 a và uv thì uv aa (Điều này dẫn tới đáp án B sai) +) Nếu cơ số a thuộc khoảng 0;1 và uv thì uv aa (Điều này dẫn tới đáp án A sai) VD6-[THPT-Hà Nội-Amsterdam 2017] (Bài toán xây dựng để chống lại Casio) Khẳng định nào sau đây sai ? A. 2 1 3 22 B. 2016 2017 2 1 2 1 C. 2016 2017 22 11 22 D. 2017 2016 3 1 3 1 GIẢI Cách 1: CASIO Để kiểm tra tính Đúng – Sai của đáp án A ta sẽ thiết lập hiệu 2 1 3 22 . Vậy bài so sánh chuyển về bài bất phương trình 2 1 3 2 2 0 Rồi nhập hiệu trên vào máy tính Casio 2^s2$+1$p2^3 Rồi ta nhấn nút = nếu kết quả ra 1 giá trị dương thì đáp án A đúng còn ra giá trị âm thì đáp án A sai Máy tính Casio báo kết quả ra 1 giá trị âm vậy rõ ràng đáp án A sai. Tương tự vậy đối với đáp án B (s2$p1)^2016$p(s2$p1)^201 7= Đáp số máy tính báo là 0 điều này là vô lý vì cơ số khác 0 và số mũ khác nhau buộc 2016 21 và 2017 21 buộc phải khác nhau. Như vậy trong trường hợp này thì máy tính chịu !!! Cách 2: Tự luận Ngoài phương pháp so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số được tác giả trình bày ở Ví dụ 3 thì tại Ví dụ 4 này tác giả xin giới thiệu 1 phương pháp thứ 2 vô cùng hiệu quả có tên là Phương pháp đặt nhân tử chung. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 122 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp án B : 2016 2017 2016 2017 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2016 2016 2 1 1 2 1 0 2 2 2 1 0 Dễ thấy 2 2 0 và 2016 2 1 0 vậy 2016 2 2 2 1 0 Đáp số B đúng Bình luận : Theo thuật toán của Casio thì những đại lượng dương mà nhỏ hơn 100 10 hoặc lớn hơn 100 10 thì sẽ được hiển thị là ố 0 . Đây là kẽ hở để các trường ra bài toán so sánh lũy thừa chống lại Casio BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[ Bài toán số nguyên tố Fecmat] Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fecmat 2 21 n n F là một số nghuyên tố với n là số dương không âm. Hãy tìm số chữ số của 13 F A.1243 B. 1234 C. 2452 D. 2467 *Chú ý : Sự dự đoán của Fecmat là sai lầm vì nhà toán học Ơ le đã chứng minh được 5 F là hợp số. Bài 2: Cho tổng 0 1642 1 1641 3 1640 3 1642 1642 1642 1642 1642 1642 3 3 2 3 2 ... 2 M C C C C Khi viết M dưới dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số: A. 608 B. 609 C. 610 D. 611 *Chú ý : 1642 là năm sinh của nhà toán học, vật lý học, thiên văn học, thần học, giả kim thuật vĩ đại người Anh Isaac Newton. Bài 3: So sánh nào sau đây là đúng A. 2003 2500 11 9 B. 693 600 23 25 C. 445 523 29 31 D. 445 523 29 31 Bài 4-[Thi thử THPT Ngọc Hồi - Hà Nội lần 1 năm 2017] Cho ,b a là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn 10 ab và 12 2016 ab là một số tự nhiên có 973 chữ số. Cặp , ab thỏa mãn bài toán là : A. 5;5 B. 6;4 C. 8;2 D. 7;3 Bài 5-[THPT Ngọc Hồi - Hà Nội 2017] Kết quả nào sau đây đúng : A. 17 18 66 B. 17 18 33 C. 17 18 33 ee D. 17 18 22 ee Bài 6-[THPT Nguyễn Trãi - Hà Nội 2017] Mệnh đề nào sau đây đúng : A. 45 3 2 3 2 B. 67 11 2 11 2 C. 34 2 2 2 2 D. 34 4 2 4 2 Bài 7-[THPT Thăng Long - Hà Nội 2017] Khẳng định nào sau đây đúng : A. 11 23 23 33 B. 2 2 3 1 C. 33 2 1 2 1 D. 32 0,3 0,3 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 123 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 1-[Bài toán số nguyên tố Fecmat] Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fecmat 2 21 n n F là một số nghuyên tố với n là số dương không âm. Hãy tìm số chữ số của 13 F trong hệ nhị phân A.1243 B. 1234 C. 2452 D. 2467 GIẢI Casio Số 13 F có dạng 13 2 21 . Ta thấy số 13 2 21 không thể tận cùng là 9 nên số chữ số của 13 2 21 cũng chính là số chữ số của 13 2 2 trong hệ thập phân. Đặt 13 2 13 2 10 2 log 2 k k . Số chữ số của 13 2 2 trong hệ thập phân là 1 k Q+2^13$g2))+1= Đáp số chính xác là D Bài 2: Cho tổng 0 1642 1 1641 3 1640 2 1642 1642 1642 1642 1642 1642 3 3 2 3 2 ... 2 M C C C C Khi viết M dưới dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số: A. 608 B. 1148 C. 2610 D. 911 *Chú ý : 1642 là năm sinh của nhà toán học, vật lý học, thiên văn học, thần học, giả kim thuật vĩ đại người Anh Isaac Newton. GIẢI Casio Rút gọn khai triển nhị thức Newton 1642 1642 3 2 5 M Đặt 1642 5 10 1642log 5 k k . Số chữ số của 1642 5 trong hệ thập phân là 1 k Q+1642g5))+1= Đáp số chính xác là B Bài 3: So sánh nào sau đây là đúng A. 2003 2500 11 9 B. 693 600 23 25 C. 445 523 29 31 D. 445 523 29 31 GIẢI Casio Số chữ số của 2003 11 và 2500 9 trong hệ thập phân lần lượt là : Q+2003g11))+1=Q+2500g9))+1 = Số chữ số của 2500 9 nhiều hơn số chữ số của 2003 11 nên 2500 2003 9 11 A sai Số chữ số của 693 23 và 600 25 trong hệ thập phân lần lượt là : Q+693g23))+1=Q+600g25))+1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 124 Tài liệu lưu hành nội bộ Số chữ số của 693 23 nhiều hơn số chữ số của 600 25 nên 693 600 23 25 B sai Số chữ số của 445 29 và 523 31 trong hệ thập phân lần lượt là : Q+693g23))+1=Q+600g25))+1= Số chữ số của 445 29 nhỏ hơn số chữ số của 523 31 nên 445 523 29 31 B là đáp số chính xác Bài 4: Cho ,b a là hai số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn 10 ab và 12 2016 ab là một số tự nhiên có 973 chữ số. Cặp , ab thỏa mãn bài toán là : A. 5;5 B. 6;4 C. 8;2 D. 7;3 GIẢI Casio Ta có 10 10 a b a b . Khi đó 12 12 2016 2016 10 a b b b Đặt 12 2016 10 10 k bb 12 2016 log 10 12log 10 2016log k b b b b Số chữ số của 12 2016 10 bb là 1 k Với đáp số A : 5 ab . Số chữ số của 12 2016 55 là 1418 khác 973 Đáp số A sai Q+12g5)+2016g5))+1= Với đáp số B : 6; 4 ab . Số chữ số của 12 2016 64 là 1224 khác 973 Đáp số B sai Q+12g6)+2016g4))+1= Tương tự với 7; 3 ab . Số chữ số của 12 2016 77 là 973 Đáp số C chính xác Q+12g7)+2016g3))+1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 125 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 15. TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT. 1) PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ HÓA BIẾN -Bƣớc 1 : Dựa vào hệ thức điều kiện buộc của đề bài chọn giá trị thích hợp cho biến -Bƣớc 2 : Tính các giá trị liên quan đến biến rồi gắn vào ,, A B C nếu các giá trị tính được lẻ -Bƣớc 3 : Quan sát 4 đáp án và chọn đáp án chính xác 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa THPT Quốc gia 2017] Đặt 25 log 3, log 3. ab Hãy biểu diễn 6 log 45 theo a và b A. 6 2 log 45 a ab ab B. 2 6 22 log 45 a ab ab C. 6 2 log 45 a ab ab b D. 2 6 22 log 45 a ab ab b GIẢI Cách 1 : CASIO Tính giá trị của 2 log 3 a . Vì giá trị của a ra một số lẻ vậy ta lưu a vào A i2$3$=qJz Tính giá trị của 5 log 3 b và lưu vào B i5$3=qJx Bắt đầu ta kiểm tra tính đúng sai của đáp án A. Nếu đáp án A đúng thì hiệu 6 2 log 45 a ab ab phải bằng 0. Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio và bấm nút = i6$45$paQz+2QzQxRQzQ x= Kết quả hiển thị của máy tính Casio là 1 giá trị khác 0 vậy đáp án A sai Tương tự như vậy ta kiểm tra lần lượt từng đáp án và ta thấy hiệu 6 2 log 45 a ab ab b bằng 0 i6$45$paQz+2QzQxRQzQ x+Qx= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 126 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 6 2 log 45 a ab ab b hay đáp số C là đúng Cách tham khảo : Tự luận Ta có 23 3 11 log 3 log 2 log 2 a a và 3 1 log 5 b Vậy 2 3 33 6 3 3 3 1 2 log 3 .5 log 45 2 log 5 2 log 45 1 log 6 log 3.2 1 log 2 1 a ab b ab b a Bình luận Cách tự luận trong dạng bài này chủ yếu để kiểm tra công thức đổi cơ số : công thức 1 : 1 log log a x x a (với 1 a ) và công thức 2 : log log log b a a x x x (với 0; 1 bb ) Cách Casio có vẻ nhiều thao tác nhưng dễ thực hiện và độ chính xác 100%. Nếu tự tin cao thì làm tự luận, nếu tự tin thấp thì nên làm Casio vì làm tự luận mà biến đổi sai 1 lần thôi rồi làm lại thì thời gian còn tốn hơn cả làm theo Casio VD2-[THPT Yên Thế - Bắc Giang 2017] Cho 9 9 23 xx . Khi đó biểu thức 5 3 3 1 3 3 xx xx P có giá trị bằng? A. 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 5 2 GIẢI Cách 1 : CASIO Từ phương trình điều kiện 9 9 23 xx ta có thể dò được nghiệm bằng chức năng SHIFT SOLVE 9^Q)$+9^pQ)$p23qr1= Lưu nghiệm này vào giá trị A qJz Để tính giá trị biểu thức P ta chỉ cần gắn giá trị xA sẽ được giá trị của P a5+3^Qz$+3^pQzR1p3^Q) $p3^pQz$$= Vậy rõ ràng D là đáp số chính xác Cách tham khảo : Tự luận Đặt 2 3 3 9 9 2 25 5 x x x x t t t Vì 3 3 0 xx vậy 0 t hay 5 Với 3 3 5 xx . Thế vào P ta được 5 5 5 1 5 2 P Bình luận TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 127 Tài liệu lưu hành nội bộ Một bài toán hay thể hiện sức mạnh của Casio Nếu trong một phương trình có cụm xx aa thì ta đặt ẩn phụ là cụm này, khi đó ta có thể biểu diễn 2 2 2 2 xx a a t và 3 3 3 3 xx a a t t VD3-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Cho 9 12 16 log log log x y x y Giá trị của tỉ số x y là ? A. 15 2 B. 51 2 C. 1 D. 2 GIẢI Cách 1 : CASIO Từ đẳng thức 9 12 log log xy 9 log 12 x y . Thay vào hệ thức 9 16 log log x x y ta được : 9 log 9 16 log log 12 0 x xx Ta có thể dò được nghiệm phương trình 9 log 9 16 log log 12 0 x xx bằng chức năng SHIFT SOLVE i9$Q)$pi16$Q)+12^i9$ Q)$$$qr1= Lưu nghiệm này vào giá trị A qJz Ta đã tính được giá trị x vậy dễ dàng tính được giá trị 9 log 12 x y . Lưu giá trị y này vào biến B 12^i9$Qz=qJx Tới đây ta dễ dàng tính được tỉ số xA yB aQzRQx= Đây chính là giá trị 51 2 và đáp số chính xác là B Cách tham khảo : Tự luận Đặt 9 12 16 log log log x y x y t vậy 9 ; 12 ; 16 t t t x y x y Ta thiết lập phương trình 33 44 x x x x y và 16 4 1 12 3 x x x x x y yy TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 128 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 2 15 1 1 1 0 x x x x x y y y y y y Vì 0 x y nên 15 2 x y Bình luận Một bài toán cực khó nếu tính theo tự luận Nhưng nếu xử lý bằng Casio thì cũng tương đối dễ dàng và độ chính xác là 100% VD4-[THPT Nguyễn Trãi – HN 2017] Cho 1 2 11 22 12 yy K x y xx với 0, 0 xy . Biểu thức rút gọn của K là ? A. x B. 2x C. 1 x D. 1 x GIẢI Cách 1 : CASIO Ta hiểu nếu đáp án A đúng thì Kx hay hiệu 1 2 11 22 12 yy x y x xx bằng 0 với mọi giá trị ; xy thỏa mãn điều kiện 0, 0 xy Nhập hiệu trên vào máy tính Casio (Q)^a1R2$$pQn^a1R2$$) d(1p2saQnRQ)$$+aQnRQ) $)^p1pQ) Chọn 1 giá trị 1.25 X và 3 Y bất kì thỏa 0, 0 xy rồi dùng lệnh gán giá trị CALC r1.25=3= Ta đã tính được giá trị x vậy dễ dàng tính được giá trị 9 log 12 x y 12^i9$Qz= Vậy ta khẳng định 90% đáp án A đúng Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ như 0.55, 1.12 XY r0.55=1.12= Kết quả vẫn ra là 0 , vậy ta chắc chắn A là đáp số chính xác Cách tham khảo : Tự luận Rút gọn 2 11 2 22 x y x y TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 129 Tài liệu lưu hành nội bộ Rút gọn 1 22 12 1 2 1 yx y y y x x x x x y x Vậy 2 2 x K x y x yx Bình luận Chúng ta cần nhớ nếu 1 khẳng định ( 1 hệ thức đúng ) thì nó sẽ đúng với mọi giá trị , xy thỏa mãn điều kiện đề bài . Vậy ta chỉ cần chọn các giá trị ,0 XY để thử và ưu tiên các giá trị này hơi lẻ, tránh số tránh (có khả năng xảy ra trường hợp đặc biệt) VD5-[Thi thử Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Cho hàm số 2 1 2 x fx Tính giá trị của biểu thức 2 1 2 . ' 2 ln 2 2 x T f x x A. 2 B. 2 C. 3 D. 1 GIẢI Cách 1 : CASIO Vì đề bài không nói rõ x thỏa mãn điều kiện ràng buộc gì nên ta có thể chọn một giá trị bất kì của x để tính giá trị biểu thức T . Ví dụ ta chọn 2 x Khi đó 41 2 ' 2 4ln 2 2 Tf 2^p4p1$Oqy2^Q)d+1$$2$ p4h2)+2= Đáp số chính xác là B Cách tham khảo : Tự luận Tính 22 1 2 1 ' 2 .ln 2. 1 ' 2 .ln 2.2 xx f x x x và Thế vào 22 11 2 .2 ln .2 2 ln 2 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 xx T x x x x x Bình luận Với bài toán không cho biểu thức ràng buộc của x có nghĩa là x là bao nhiêu cũng được. Ví dụ thay vì chọn 2 x như ở trên, ta có thể chọn 3 x khi đó 91 2 . ' 3 6ln 2 2 Tf kết quả vẫn ra 2 mà thôi. 2^p9p1$Oqy2^Q)d+1$$3$ p6h2)+2= Chú ý công thức đạo hàm ' .ln . ' uu a a a u học sinh rất hay nhầm VD6-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Rút gọn biểu thức 3 1 2 3 22 22 . aa a (với 0 a ) được kết quả : A. 4 a B. a C. 5 a D. 3 a GIẢI Cách 1 : CASIO TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 130 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta phải hiểu nếu đáp A đúng thì hiệu 3 1 2 3 4 22 22 . aa a a phải 0 với mọi giá trị của a Nhập hiệu trên vào máy tính Casio aQ)^s3$+1$OQ)^2ps3R(Q )^s2$p2$)^s2$+2$$pQ)^ 4 Chọn một giá trị a bất kỳ (ưu tiên A lẻ), ta chọn 1.25 a chả hạn rồi dùng lệnh tính giá trị CALC r1.25= Vậy hiệu trên khác 0 hay đáp án A sai Bắt đầu ta kiểm tra tính đúng sai của đáp án A. Nếu đáp án A đúng thì hiệu 6 2 log 45 a ab ab phải bằng 0. Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio và bấm nút = i6$45$paQz+2QzQxRQzQ x= Kết quả hiển thị của máy tính Casio là 1 giá trị khác 0 vậy đáp án A sai Để kiểm tra đáp số B ta sửa hiệu trên thành 3 1 2 3 22 22 . aa a a !ooo Rồi lại tính giá trị của hiệu trên với 1.25 a r1.25= Vẫn ra 1 giá trị khác 0 vậy B sai. Tương tự vậy ta sẽ thấy hiệu 3 1 2 3 5 22 22 . aa a a TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 131 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy đáp số C là đáp số chính xác Cách tham khảo : Tự luận Ta rút gọn tử số 3 1 2 3 3 1 2 3 3 . a a a a Tiếp tục rút gọn mẫu số 22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 a a a a Vậy phân thức trở thành 3 32 5 2 a aa a Bình luận Nhắc lại một số công thức hàm số mũ cơ bản xuất hiện trong ví dụ : . m n m n a a a , . n m m n aa , m mn n a a a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Cho 2 8 8 2 log log log log xx thì 2 2 log x bằng ? A. 3 B. 33 C. 27 D. 1 3 Bài 2-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] Nếu 12 12 log 6 ,log 7 ab thì : A. 2 log 7 1 a b B. 2 log 7 1 b a C. 2 log 7 1 a b D. 2 log 7 1 b a Bài 3-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Rút gọn biểu thức 3 1 2 3 22 22 . aa a (với 0 a ) được kết quả : A. 4 a B. a C. 5 a D. 3 a Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Biến đổi 5 3 4 0 x x x thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được : A. 20 21 x B. 21 12 x C. 20 5 x D. 12 5 x Bài 5-[Thi thử Chuyên Sƣ Phạm lần 1 năm 2017] Tìm x biết 3 3 3 log 4log 7log x a b : A. 37 x a b B. 47 x a b C. 46 x a b D. 36 x a b Bài 6-[THPT Kim Liên – HN 2017] Cho hàm số 1 .ln 8 2016. x ye . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. ' 2 ln 2 0 yy B. ' 3 ln 2 0 yy C. ' 8 ln 2 0 yh D. ' 8 ln 2 0 yy Bài 7-[THPT Nguyễn Trãi – HN 2017] Cho 1 2 11 22 12 yy K x y xx với 0, 0 xy . Biểu thức rút gọn của K là ? A. x B. 2x C. 1 x D. 1 x Bài 8-[THPT Phạm Hồng Thái – HN 2017] Cho 22 , 0; 1598 a b a b ab Mệnh đề đúng là ; A. 1 log log log 40 2 ab ab B. log log log 40 ab ab C. 1 log log log 40 4 ab ab D. log 2 log log 40 ab ab Bài 9-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Cho các số 0, 0, 0 a b c thỏa mãn 4 6 9 a b c . Tính giá trị biểu thức bb T ac A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 5 2 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 132 Tài liệu lưu hành nội bộ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Cho 2 8 8 2 log log log log xx thì 2 2 log x bằng ? A. 3 B. 33 C. 27 D. 1 3 GIẢI Phương trình điều kiện 2 8 8 2 log log log log 0 xx . Dò nghiệm phương trình, lưu vào A i2$i8$Q)$$pi8$i2$Q)qr 1=qJz Thế xA để tính 2 2 log x i2$Qz$d= Đáp số chính xác là C Bài 2-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] Nếu 12 12 log 6 ,log 7 ab thì : A. 2 log 7 1 a b B. 2 log 7 1 b a C. 2 log 7 1 a b D. 2 log 7 1 b a GIẢI Tính 11 log 6 rồi lưu vào A i12$6=qJz Tính 12 log 7 rồi lưu vào B i2$Qz$d= Ta thấy 2 log 7 0 1 b a Đáp số chính xác là B i2$7$paQxR1pQz= Bài 3-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Rút gọn biểu thức 3 1 2 3 22 22 . aa a (với 0 a ) được kết quả : A. 4 a B. a C. 5 a D. 3 a TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 133 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Chọn 0 a ví dụ như 1.25 a chẳng hạn. Tính giá trị 3 1 2 3 22 22 1.25 .1.25 1.25 rồi lưu vào A a1.25^s3$+1$O1.25^2ps3R( 1.25^s2$p2$)^s2$+2=qJz Ta thấy 5 5 3125 1.25 1024 a Đáp số chính xác là C Bài 4-[THPT HN Amsterdam 2017] Biến đổi 5 3 4 0 x x x thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta được : A. 20 21 x B. 21 12 x C. 20 5 x D. 12 5 x GIẢI Chọn 0 a ví dụ như 1.25 a chẳng hạn. Tính giá trị 5 3 4 1.25 1.25 rồi lưu vào A q^3$1.25^5$Oq^4$1.25=qJ z Ta thấy 21 21 12 12 1.25 Aa Đáp số chính xác là B Bài 5-[Thi thử Chuyên Sƣ Phạm lần 1 năm 2017] Tìm x biết 3 3 3 log 4log 7log x a b : A. 37 x a b B. 47 x a b C. 46 x a b D. 36 x a b GIẢI Theo điều kiện tồn tại của hàm logarit thì ta chọn ,0 ab . Ví dụ ta chọn 1.125 a và 2.175 b Khi đó 33 4log 7log 3 3 3 log 4log 7log 3 ab x a b x . 3^(4i3$1.125$+7i3$2.175 $)= Thử các đáp án ta thấy 47 1.125 1.175 x Đáp số chính xác là B Bài 6-[THPT Kim Liên – HN 2017] Cho hàm số 1 .ln 8 2016. x ye . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. ' 2 ln 2 0 yy B. ' 3 ln 2 0 yy C. ' 8 ln 2 0 yh D. ' 8 ln 2 0 yy GIẢI Chọn 1.25 x tính 1 1.25ln 8 2016. ye rồi lưu vào A TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 134 Tài liệu lưu hành nội bộ 2016OQK^1.25h1P8)=qJz Tính ' 1.25 y rồi lưu vào B qy2016OQK^Q)Oh1P8)$$1. 25=qJx Rõ ràng 3ln2. 0 BA Đáp số chính xác là B Bài 7-[THPT Nguyễn Trãi – HN 2017] Cho 1 2 11 22 12 yy K x y xx với 0, 0 xy . Biểu thức rút gọn của K là ? A. x B. 2x C. 1 x D. 1 x GIẢI Chọn 1.125 x và 2.175 y rồi tính giá trị biểu thức K (1.125^0.5$p2.175^0.5$)d O(1p2sa2.175R1.125$$+a2. 175R1.125$)^p1= Rõ ràng 9 1.125 8 Kx Đáp số chính xác là A Bài 8-[THPT Phạm Hồng Thái – HN 2017] Cho 22 , 0; 1598 a b a b ab Mệnh đề đúng là ; A. 1 log log log 40 2 ab ab B. log log log 40 ab ab C. 1 log log log 40 4 ab ab D. log 2 log log 40 ab ab GIẢI Chọn 2 a Hệ thức trở thành 2 4 3196 bb 2 3196 4 0 bb . Dò nghiệm và lưu vào B Q)dp3196Q)+4qr1=qJx Tính 2 log log 40 40 a b B ga2+QxR40$)= Tính tiếp log log ab TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 135 Tài liệu lưu hành nội bộ g2)+gQx)= Rõ ràng giá trị log log ab gấp 2 lần giá trị log 40 ab Đáp số A là chính xác Bài 9-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Cho các số 0, 0, 0 a b c thỏa mãn 4 6 9 a b c . Tính giá trị biểu thức bb T ac A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 5 2 GIẢI Chọn 2 a Từ hệ thức ta có 22 4 6 6 4 0 bb . Dò nghiệm và lưu vào B 6^Q)$p4^2qr1=qJx Từ hệ thức ta lại có 2 9 4 0 c . Dò nghiệm và lưu vào C ga2+QxR40$)= Cuối cùng là tính 2 2 b b B B T a c C Đáp số chính xác là C aQxR2$+aQxRQc= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 134 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 16. CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG SAI MỆNH ĐỀ MŨ – LOGARIT. 1) PHƢƠNG PHÁP Chứng minh tính đúng sai của mệnh đề mũ – logarit là một dạng tổng hợp khó. Vì vậy để làm được bài này ta phải vận dụng một cách khéo léo các phương pháp mà học từ các bài trước. Luyện tập các ví dụ dưới đây để lấy tích lũy kinh nghiệm xử lý. 1) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa THPT Quốc gia 2017] Cho các số thực , ab với 1 a . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. 2 1 log log 2 a a ab b B. 2 log 2 2log a a ab b C. 2 1 log log 4 a a ab b D. 2 11 log log 22 a a ab b GIẢI Cách 1 : CASIO Ta hiểu, nếu đáp án A đúng thì phương trình 2 1 log log 0 2 a a ab b (1) với mọi giá trị của , ab thỏa mãn điều kiện , ab thực và 1 a . Ta chọn bất kì 1.15 A và 0.73 B chả hạn. Nhập vế trái của (1) vào máy tính Casio rồi dùng lệnh tính giá trị CALC iQzd$QzQx$pa1R2$iQz$ Qxr1.15=0.73= Máy tính báo kết quả là một số khác 0 vậy vế trái của (1) khác 0 hay đáp án A sai. Tương tự ta thiết lập phương trình cho đáp án B là 2 log 2 2log 0 a a ab b Sử dụng chức năng CALC gán giá trị 1.15 A và 0.73 B cho vế trái của (2) iQzd$QzQx$p2p2iQz$Qx r1.15=0.73= Tiếp tục ra một số khác 0 vậy đáp án B cũng sai Tiếp tục phép thử này và ta sẽ tìm được đáp án D là đáp án chính xác iQzd$QzQx$pa1R2$pa1R2 $iQz$Qxr1.15=0.73= Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện 0, 1 0, 1 aa bb TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 135 Tài liệu lưu hành nội bộ Dễ thấy 2 1 1 1 1 log log log log log 2 2 2 2 a a a a a ab ab a b b Bình luận : Chúng ta chú ý phân biệt 2 công thức log log m aa x m x và 1 log log n a a xx n Theo kinh nghiệm làm nhiều trắc nghiệm của tác giả thì đáp án đúng thường có xu hướng xếp ở đáp án C và D nên ta nên thử ngược từ đáp án D trở xuống thì nhanh tìm được đáp án đúng nhanh hơn. VD2-[Đề minh họa THPT Quốc gia 2017] Cho 2 số thực , ab với 1 ab . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng A. log 1 log ab ba B. 1 log log ab ba C. log log 1 ba ab D. log 1 log ba ab GIẢI Cách 1 : CASIO Chọn giá trị , ab thỏa mãn điều kiện , ab thực và 1 ab . Ta chọn 1.15 a và 2.05 b Tính giá trị số hạng log a b iQz$Qxr1.15=2.05= Tính giá trị của số hạng log b a iQx$Qzr2.05=1.15= Rõ ràng log 1 log ba ab Đáp số chính xác là D Cách tham khảo : Tự luận Vì cơ số 1 log log 1 log a a a a a b b (1) Vì cơ số 1 b log log log 1 b b b a b a (2) Kết hợp (1) và (2) ta có : log 1 log ba ab D là đáp án chính xác Bình luận : Chú ý tính chất của cơ số : Nếu 1 a thì log log aa u v u v nhưng nếu 01 a thì log log aa u v u v VD5-[THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng 2017] Cho hệ thức 22 7 , 0 a b ab a b . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. 2 2 2 4log log log 6 ab ab B. 2 2 2 2log log log a b a b C. 2 2 2 log 2 log log 3 ab ab D. 2 2 2 2log log log 3 ab ab GIẢI Cách 1 : CASIO Vì ,0 ab nên ta chọn 1 a , khi đó b sẽ thỏa mãn hệ thức 22 7 3 5 1 7 7 1 0 2 b b b b b . Chọn 7 3 5 2 b Lưu 1 a vào biến A 1=qJz TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 136 Tài liệu lưu hành nội bộ Lưu 7 3 5 2 b vào biến B a7+3s5R2=qJx Nếu đáp án A đúng thì 2 2 2 4log log log 0 6 ab ab Để kiểm tra sự đúng sai của hệ thức này ta nhập vế trái vào máy tính Casio rồi nhấn nút =nếu kết quả ra 0 là đúng còn khác 0 là sai 4i2$aQz+QxR6$$pi2$Qz $pi2$Qx= Kết quả biểu thức vế trái ra khác 0 vậy đáp án A sai Tương tự như vậy với các đáp án B, C, D và cuối cùng ta tìm được đáp án D là đáp án chính xác 2i2$aQz+QxR3$$pi2$Qz $pi2$Qx= Cách tham khảo : Tự luận Biến đổi 2 2 22 79 9 ab a b ab a b ab ab Logarit cơ số 2 cả 2 vế ta được : 2 22 log log 3 ab ab 2 2 2 2log log log 3 ab ab Bình luận : Một bài toán biến đổi tương đối là zic zắc đòi hỏi học sinh phải nhuần nhuyễn các công thức và ác phép biến đổi Logarit VD4-[Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang 2017] Nếu 23 7 7 7 log 8log 2log , , 0 x ab a b a b thì x bằng : A. 46 ab B. 2 14 ab C. 6 12 ab D. 8 14 ab GIẢI Cách 1 : CASIO Chọn giá trị , ab thỏa mãn điều kiện ,0 ab thực. Ta tiếp tục chọn 1.15 a và 2.05 b Ta có 23 77 8log 2log 23 7 7 7 log 8log 2log 7 ab a b x ab a b x 7^8i7$QzQxd$p2i7$Qz^ 3$Qxr1.15=2.05= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 137 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy ta biết được 30616.09068 x Tới đây ta chỉ cần tính giá trị các đáp án A, B, C, D xem đáp án nào bằng 30616.09068 là xong Và ta thấy đáp số B là đáp số chính xác QzdQx^14r1.15=2.05= Cách tham khảo : Tự luận Thu gọn 8 16 82 2 3 8 16 6 2 2 14 7 7 7 7 7 7 7 62 log log log log log log log ab x ab a b a b a b a b ab Vì cơ số 1 b log log log 1 b b b a b a (2) Kết hợp (1) và (2) ta có : log 1 log ba ab D là đáp án chính xác Bình luận : Chú ý tính chất của cơ số : Nếu 1 a thì log log aa u v u v nhưng nếu 01 a thì log log aa u v u v VD5-[THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng 2017] Cho hàm số 2 3 .4 xx fx . Khẳng định nào sau đây sai : A. 2 3 9 2 log 2 2 f x x x B. 2 22 9 log 3 2 2log 3 f x x x C. 9 2 log3 log 4 log9 f x x x D. 2 9 ln3 ln 4 2ln3 f x x x GIẢI Cách 1 : CASIO Từ điều kiện đề bài, ta khai thác để tìm x : 2 9 3 .4 9 0 xx fc (1) Dùng Mode 7 để dò khoảng nghiệm của (1) w73^Q)d$O4^Q)$p9==p9= 10=1= Quan sát bảng giá trị (chú ý lấy phần 0 FX ) Thấy 2,.... x Ta đặt xa Thấy 0,.... x Ta đặt xb Để phóng to khoảng nghiệm và tìm chính xác , ab hơn ta chọn lại miền giá trị của X C==p3=1=0.25= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 138 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 0.75 x và 2.25 x Việc cuối cùng là ta chỉ cần dò khoảng nghiệm xuất hiện ở đáp án A, B, C, D xem khoảng nào trùng với khoảng nghiệm trên thì là đúng. w7Q)d+2Q)i3$2$p2==p3= 1=0.25= Ta thấy đáp án A trùng khoảng nghiệm vậy đáp án A là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Biến đổi 2 22 2 31 9 3 .4 9 3 4 94 x x x x x x fc Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được : 2 2 2 2 3 3 3 3 log 3 log 4 2 log 4 2 log 4 2 xx x x x x Bình luận : Một bài tự luận ta nhìn là biết dùng phương pháp logarit cả 2 vế luôn vì 2 số hạng trong bất phương trình khác cơ số và số mũ có nhân tử chung x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Cho các số dương ,, abc và 1 a . Khẳng định nào đúng ? A. log log log aa b c b c B. log log log a a a b c b c C. log log log a a a b c bc D. log log log a a a b bc c Bài 2-[Thi thử tính Lâm Đồng - Hà Nội 2017] Cho 2 số thực dương , ab với 1 a . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. 3 11 log 1 log 32 a a a b b B. 3 1 log 1 2log 3 a a a b b C. 3 11 log 1 log 32 a a a b b D. 3 1 log 3 1 log 2 a a a b b Bài 3-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017] Nếu 4 3 5 4 aa và 12 log log 23 bb thì ta có : A. 01 ab B. 01 ba C. 01 ab D. 1 ab Bài 4-[THPT Lƣơng Thế Vinh – HN 2017] Khẳng định nào sau đây là đúng ? TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 139 Tài liệu lưu hành nội bộ A.Hàm số 1999x ye nghịch biến trên R B. Hàm số ln yx đồng biến trên 0; C. 3 3 3 log log log a b a b D. log .log .log 1 a b c b c a với mọi ,, a b c R Bài 5-[Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang 2017] Cho 01 a . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau : A. log 0 a x thì 01 x B. log 0 a x thì 1 x C. 12 xx thì 12 log log aa xx D. Đồ thị hàm số log a yx có tiệm cận đứng là trục tung Bài 6-[THPT Lƣơng Thế Vinh – HN 2017] Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau ? A. Hàm số log a yx với 01 a là một hàm số đồng biến trên khoảng 0; B. Hàm số log a yx với 1 a là một hàm số nghịch biến trên khoảng 0; C. Hàm số log a yx 0 ; 1 aa có tập xác định R D. Đồ thị các hàm số log a yx và 1 log 0 ; 1 a y x a a đối xứng nhau qua trục hoành Bài 7-[THPT HN-Amsterdam 2017] Cho , ab là các số thực dương và 1 a . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. 2 log 2 2log a a a ab a b B. 2 log 4log ( ) a a a ab a b C. 2 log 1 4log a a a ab b D. 2 log 4 2log b a a a ab Bài 8-[THPT Kim Liên – HN 2017] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai : A. Hàm số log yx là hàm số logarit B. Hàm số 1 3 x y là hàm số mũ C. Hàm số x y nghịch biến trên R D. Hàm số ln yx đồng biến trên khoảng 0; Bài 9-[Sở GD-ĐT Nam Định 2017] Cho 0; 1 aa và ; xy là 2 số dương. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. log log log a a a x x yy B. log log log a a a x xy y C. log log log a a a x xy y D. log log log a a a x y x y LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Cho các số dương ,, abc và 1 a . Khẳng định nào đúng ? A. log log log aa b c b c B. log log log a a a b c b c C. log log log a a a b c bc D. log log log a a a b bc c GIẢI Chọn 1.25, 1.125, 2.175 a b c rồi lưu các giá trị này vào ,, A B C 1.25=qJz1.125=qJx2.175q Jc TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 140 Tài liệu lưu hành nội bộ Kiểm tra 4 đáp án và ta có đáp án C chính xác vì log log log 0 a a a b c bc iQz$Qx$+iQz$Qc$piQz$Q xQc= Bài 2-[Thi thử tính Lâm Đồng - Hà Nội 2017] Cho 2 số thực dương , ab với 1 a . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. 3 11 log 1 log 32 a a a b b B. 3 1 log 1 2log 3 a a a b b C. 3 11 log 1 log 32 a a a b b D. 3 1 log 3 1 log 2 a a a b b GIẢI Chọn 1.25, 1.125 ab rồi lưu các giá trị này vào , AB 1.25=qJz1.125=qJx Kiểm tra 4 đáp án và ta có đáp án C chính xác vì 3 11 log 1 log 0 32 a a a b b iQz^3$$aQzRsQx$$$pa1R3 $(1pa1R2$iQz$Qx$)= Bài 3-[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017] Nếu 4 3 5 4 aa và 12 log log 23 bb thì ta có : A. 01 ab B. 01 ba C. 01 ab D. 1 ab GIẢI Từ 44 33 55 44 0 a a a a . Tìm miền giá trị của a bằng chức năng MODE 7 01 a w7Q)^a3R4$$pQ)^a4R5==0= 3=0.2= Từ 1 2 1 2 log log log log 0 2 3 2 3 b b b b . Tìm miền giá trị của b bằng chức năng MODE 7 1 b w7iQ)$a1R2$$piQ)$a2R3= =0=3=0.2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 141 Tài liệu lưu hành nội bộ Tóm lại 01 ab Đáp số chính xác là C Bài 4-[THPT Lƣơng Thế Vinh – HN 2017] Khẳng định nào sau đây là đúng ? A.Hàm số 1999x ye nghịch biến trên R B. Hàm số ln yx đồng biến trên 0; C. 3 3 3 log log log a b a b D. log .log .log 1 a b c b c a với mọi ,, a b c R GIẢI Khẳng định A có số mũ quá cao nên ta để lại sau cùng. Kiểm tra khẳng định B bằng chức năng MODE 7. Ta thấy FX luôn tăng B chính xác w7hQ))==0.5=10=0.5= Vì sao đáp án C, D sai thì ta chỉ việc chọn 1.25 a , 3.75 b là rõ luôn (vì điều kiện ràng buộc không có nên để đảm bảo tính tổng quát ta sẽ chọn một giá trị dương một giá trị âm) Bài 5-[Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang 2017] Cho 01 a . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau : A. log 0 a x thì 01 x B. log 0 a x thì 1 x C. 12 xx thì 12 log log aa xx D. Đồ thị hàm số log a yx có tiệm cận đứng là trục tung GIẢI Cho 01 a vậy ta chọn 0.123 a . Kiểm tra đáp số A ta dò miền nghiệm của phương trình log 0 a x xem miền nghiệm có trùng với 01 x không là xong. Để làm việc này ta sử dụng chức năng MODE 7 w7i0.123$Q)==0.2=2=0.2= Quan sát bảng giá trị ta được miền nghiệm 01 x (phần làm cho 0 FX ) , miền nghiệm này giống miền 01 x vậy đáp số A đúng Tương tự cách kiểm tra đáp án A ta áp dụng cho đáp án B thì thấy B đúng Để kiểm tra đáp án C ta chọn hai giá trị 12 25 xx . Thiết lập hiệu 12 log log aa xx . Nếu hiệu này ra âm thì C đúng còn ra dương thì C sai. Để tính hiệu này ta sử dụng chức năng CALC 0.125$2$pi0.125$5= Vậy hiệu 12 log log aa xx lớn hơn 0 hay 12 log log aa xx . Vậy đáp án C là sai Bài 6-[THPT Lƣơng Thế Vinh – HN 2017] Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau ? A. Hàm số log a yx với 01 a là một hàm số đồng biến trên khoảng 0; B. Hàm số log a yx với 1 a là một hàm số nghịch biến trên khoảng 0; C. Hàm số log a yx 0 ; 1 aa có tập xác định R D. Đồ thị các hàm số log a yx và 1 log 0 ; 1 a y x a a đối xứng nhau qua trục hoành TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 142 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Câu D khó hiểu nhất nên ta ưu tiên đi xác định đúng sai các đáp án A , B , C trước Kiểm tra khẳng định đáp án A bằng chức năng MODE 7 với 0.5 a thỏa 91 a . Ta thấy FX giảm A sai Đáp án B cũng sai w7i0.5$Q)==1=10=1= Kiểm tra khẳng định đáp án C bằng chức năng MODE 7. Ta thấy hàm số không xác định khi 0 x Đáp án C cũng sai Tóm lại đáp án chính xác là D w7i2$Q)==p9=10=1= Nếu tím hiểu vì sao hai đồ thị trên đối xứng nhau qua trục hoành thì ta phải hiểu ý nghĩa “nếu đồ thị hàm số y f x và đồ thị hàm số y g x đối xứng nhau qua trục hoành thì f x g x ” Vậy ta sẽ chọn 2; 5 ax rồi tính 2 log 5 2.32... y và 1 2 log 2.32... yx D đúng TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 143 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 17. TÍNH NHANH BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ MŨ – LOGARIT. 1) PHƢƠNG PHÁP Bƣớc 1 : Cô lập m đưa về dạng m g x hoặc m g x Bƣớc 2 : Đưa bài toán ban đều về bài toán giải phương trình, bất phương trình đã học. 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017] Tìm tập hợp tất các các giá trị của m để phương trình 22 log log 2 x x m có nghiệm : A. 1 m B. 1 m C. 0 m D. 0 m GIẢI Cách 1 : CASIO Đặt 22 log log 2 x x f x khi đó m f x (1). Để phương trình (1) có nghiệm thì m thuộc miền giá trị của fx hay min max f m f Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 2 End 10 Step 0.5 w7i2$Q)$pi2$Q)p2==2= 10=0.5= Quan sát bảng giá trị FX ta thấy 10 0.3219 f vậy đáp số A và B sai. Đồng thời khi x càng tăng vậy thì FX càng giảm. Vậy câu hỏi đặt ra là FX có giảm được về 0 hay không. Ta tư duy nếu FX giảm được về 0 có nghĩa là phương trình 0 fx có nghiệm. Để kiểm tra dự đoán này ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE i2$Q)$pi2$Q)p2qr3= Máy tính Casio báo phương trình này không có nghiệm. Vậy dấu = không xảy ra Tóm lại 0 fx 0 m và D là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện : 2 x Phương trình 2 log 2 x m x 2 2 log 1 2 m x Vì 2 x nên 2 2 0 1 1 2 x x 22 2 log 1 log 1 0 2 x Vậy 2 log 1 0 2 m x Bình luận : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 144 Tài liệu lưu hành nội bộ Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo Chú ý : m f x mà 0 fx vậy 0 m một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp VD2-[Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017] Tìm tham số m để phương trình 4 ln x mx có đúng một nghiệm : A. 1 4 m e B. 4 1 4 m e C. 4 4 e D. 4 4 e GIẢI Cách 1 : CASIO Cô lập 4 ln x m f x x ( 0 m ) Tới đây bài toán tìm m trở thành bài toán sự tương giao của 2 đồ thị. Để phương trình ban đầu có đúng 1 nghiệm thì hai đồ thị 4 ln x y x và ym có đúng 1 giao điểm. Để khảo sát sự biến thiên của hàm 4 ln x y x ta sử dụng chức năng MODE với thiết lập Start 0 End 5 Step 0.3 w7ahQ))RQ)^4==0=5=0.3 = Quan sát sự biến thiên của FX ta thấy 0.3 148.6 f tăng dần tới 1.2 0.0875 F rồi giảm xuống 3 5 2,9.10 0 F Ta thấy f cực đại 0.875 . Để hai đồ thị 4 ln x y x và ym có đúng 1 giao điểm thì đường thẳng ym tiếp xúc với đường cong 4 ln x y x tại điểm cực đại 1 0.875 4 m e Vậy đáp án A là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện : 2 x Phương trình 2 log 2 x m x 2 2 log 1 2 m x Vì 2 x nên 2 2 0 1 1 2 x x 22 2 log 1 log 1 0 2 x Vậy 2 log 1 0 2 m x Bình luận : Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo Chú ý : m f x mà 0 fx vậy 0 m một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp VD3-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tìm m để phương trình 2 21 2 4 log log 0 x x m có nghiệm thuộc khoảng 0;1 ? TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 145 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 1 1 4 m B. 1 4 m C. 1 0 4 m D. 1 4 m GIẢI Cách 1 : CASIO Cô lập 2 21 2 4 log log m x x Đặt 2 21 2 4 log log x x f x khi đó m f x (1). Để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng 0;1 thì m thuộc miền giá trị của fx hay min max f m f khi x chạy trên khoảng 0;1 Bài toán tìm tham số m lại được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 0 End 1 Step 0.1 7p4Oi2$sQ)$$d+ia1R2$$ Q)==0=1=0.1= Quan sát bảng giá trị FX ta thấy 1 0.7 0.2497 4 F X f vậy đáp án đúng chỉ có thể là B hoặc D Tuy nhiên vấn đề là 1 4 m có nhận hay không. Nếu nhận thì đáp số D là đúng, nếu không nhận thì đáp số B là đúng. Để kiểm tra tính chất này ta thế 1 4 m vào phương tình 2 21 2 1 4 log log 0 4 xx rồi dùng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để xem có nghiệm x thuộc khoảng 0;1 không là xong. 4Oi2$sQ)$$dpia1R2$$Q) $+a1R4qr0.5= Máy tính Casio báo có nghiệm 0.7071... x thuộc khoảng 0;1 . Vậy dấu = có xảy ra Tóm lại 1 4 m và D là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện : 0 x Ta có 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 4 log log 4 log log log log 2 m x x x x x x Vây 2 2 1 1 1 log 4 2 4 mx Dấu = xảy ra 1 2 22 1 1 1 log 0 log 2 22 2 x x x Bình luận : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 146 Tài liệu lưu hành nội bộ Để xem dấu = xảy ra hay không thì ta sẽ thử cho dấu = xảy ra và sử dụng chức năng dò nghiệm. Nếu xuất hiện nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài thì dấu = xảy ra. VD4-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 12 23 log 2 log 1 x x m có 3 nghiệm phân biệt ? A. 3 m B. 2 m C. 0 m D. 2 m GIẢI Cách 1 : CASIO Đặt 12 23 log 2 log 1 x x f x khi đó m f x (1). Bài toán tìm tham số m trở lại bài toán sự tương giao của 2 đồ thị. Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm thì đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt Ta có ym là đường thẳng song song với trục hoành Để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị TABLE với thiết lập Start 1 End 8 Step 0.5 w7ia1R2$$qcQ)p2$$pia 2R3$$Q)+1==p1=8=0.5= Quan sát bảng giá trị ta mô tả được sự biến thiên của hàm fx như sau Rõ ràng 2 m thì 2 đồ thị trên cắt nhau tại 1 điểm Đáp số B sai 2 m cũng cắt nhau tai 1 điểm Đáp án C và D cùng sai Vậy đáp số chính xác là A Bình luận : Bài toán thể hiện được sức mạnh của máy tính Casio đặc biệt trong việc khảo sát các hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cách tự luận rất rắc rối vì phải chia làm nhiều khoảng để khảo sát sự biến thiên nên tác giả không đề cập. VD5-[Thi HK1 THPT Chu Văn An -HN năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 9 3 0 xx m có hai nghiệm trái dấu A. 0 m B. 08 m C. 81 0; 4 m D. Không tồn tại m GIẢI Cách 1 : CASIO Cô lập 2 93 xx m Đặt 2 93 xx fx khi đó m f x (1) . Bài toán quy về dạng tương giao của 2 đồ thị. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 147 Tài liệu lưu hành nội bộ Để khảo sát sự biến thiên của hàm số y f x và đường đi của đồ thị ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -9 End 10 Step 1. w7p9^Q)$+3^Q)+2==p9=1 0=1= Quan sát bảng giá trị ta mô tả đường đi của đồ thị hàm y f x như sau : Nhìn sơ đồ ta thấy để đường thẳng ym cắt đồ thị y f x tại 2 điểm A và B có hoành độ trái dấu thì 08 m C là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Đặt 30 x tt . Phương trình 2 90 f t t t m (1) Khi 0 x thì 0 31 t . Khi 0 x thì 1 t . Vậy để phương trình ban đầu có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm dương thỏa mãn 12 1 tt Vây 0 81 4 0 0 9 0 08 00 1 0 1. 8 0 m S m Pm af m Dấu = xảy ra 1 2 22 1 1 1 log 0 log 2 22 2 x x x Bình luận : Hai giao điểm có hoành độ trái dấu thì phải nằm về 2 phía của trục tung Đáp án A sai vì 2 đồ thị chỉ cắt nhau tại 1 điểm nằm ở bên phải trục tung Nếu 18 8 m thì 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm đều nằm bên phải trục tung vậy đáp án C sai. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22 2 4 2 6 xx m có 3 nghiệm phân biệt ? A. 3 m B. 2 m C. 23 m D. 23 m Bài 2-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 148 Tài liệu lưu hành nội bộ Số nguyên dương lớn nhất để phương trình 22 1 1 1 1 25 2 5 2 1 0 xx mm có nghiệm ? A. 20 B. 35 C. 30 D. 25 Bài 3-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Tập giá trị của tham số m để phương trình 5.16 2.81 .36 x x x m có đúng 1 nghiệm ? A. 0 m B. 2 2 m m C. Với mọi m D. Không tồn tại m Bài 4-[Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm - HN năm 2017] Phương trình 33 3 log log 2 log x x m vô nghiệm khi : A. 1 m B. 0 m C. 01 m D. 1 m LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22 2 4 2 6 xx m có 3 nghiệm phân biệt ? A. 3 m B. 2 m C. 23 m D. 23 m GIẢI Cách 1: CASIO Đặt 22 2 4 2 6 xx fx . Khi đó phương trình ban đầu f x m Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x với thiết lập Start 4 End 5 Step 0.5 w74^Q)d$p2^Q)d+2$+6==p4 =5=0.5= Quan sát bảng biến thiên ta vẽ đường đi của hàm số Rõ ràng 3 y cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt vậy đáp án A là chính xác Cách tham khảo: Tự luận Đặt 2 2 x t khi đó phương trình ban đầu 2 4 6 0 t t m (1) Ta để ý tính chất sau : Nếu 1 t thì 0 x còn nếu 0; 1 tt thì 2 log xt . Vậy để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm 0 t và 1 nghiệm 0 t TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 149 Tài liệu lưu hành nội bộ Với 1 1 0 3 0 3 t f m m Bài 2-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Số nguyên dương lớn nhất để phương trình 22 1 1 1 1 25 2 5 2 1 0 xx mm có nghiệm ? A. 20 B. 35 C. 30 D. 25 GIẢI Cách 1: CASIO Cô lập m ta được 22 2 1 1 1 1 11 25 2.5 1 52 xx x m Đặt 22 2 1 1 1 1 11 25 2.5 1 52 xx x fx . Khi đó phương trình ban đầu f x m Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x với thiết lập Start 1 End 1 Step 2 w7a25^1+s1pQ)d$$p2O5^1+ s1pQ)d$$+1R5^1+s1pQ)d$$ p2==p1=1=0.2= Quan sát bảng biến thiên ta thấy 0 25.043... f x f hay 0 mf vậy m nguyên dương lớn nhất là 25 D là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Điều kiện 2 1 0 1 1 xx . Ta có 22 1 1 1 1 2 xx Đặt 2 1 1 1 2 5 5 5 5 25 x t t t Phương trình ban đầu trở thành 2 2 2 1 0 t m t m 2 21 2 tt m f t t Vậy max mf Khảo sát sự biến thiên của hàm fx trên miền 5;25 ta được max 25 25.043 ff Vậy m nguyên dương lớn nhất là 25 Bài 3-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Tập giá trị của tham số m để phương trình 5.16 2.81 .36 x x x m có đúng 1 nghiệm ? A. 0 m B. 2 2 m m C. Với mọi m D. Không tồn tại m GIẢI Cách 1: CASIO Cô lập m ta được 5.16 2.81 36 xx x m Đặt 5.16 2.81 36 xx x fx . Khi đó phương trình ban đầu f x m Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x với thiết lập Start 9 End 10 Step 1 w7a5O16^Q)$p2O81^Q)R36^ Q)==p9=10=1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 150 Tài liệu lưu hành nội bộ Quan sát bảng biến thiên ta thấy fx luôn giảm hay hàm số y f x luôn nghịch biến. Điều này có nghĩa là đường thẳng ym luôn cắt đồ thị hàm số y f x tại 1 điểm C chính xác Cách tham khảo: Tự luận Phương trình ban đầu 5.16 .36 2.81 0 x x x m (1) Chia cả 2 vế của (1) cho 81 x ta được : 2 16 36 4 4 5. . 2 0 5 2 0 81 81 9 9 x x x x mm (2) Đặt 4 0 9 x tt (2) 2 5 2 0 t mt (3) Phương trình (3) có 5. 2 10 0 tức là (3) luôn có 2 nghiệm trái dấu (3) luôn có 1 nghiệm dương 1 nghiệm âm Phương trình ban đầu luôn có 1 nghiệm với mọi m Bài 4-[Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm - HN năm 2017] Phương trình 33 3 log log 2 log x x m vô nghiệm khi : A. 1 m B. 0 m C. 01 m D. 1 m GIẢI Cách 1: CASIO Điều kiện : 2 x . Phương trình ban đầu 3 3 3 3 1 log 2log log log 2 2 2 xx mm xx 33 log log 22 xx mm xx Để phương trình ban đầu vô nghiệm thì đường thẳng ym không cắt đồ thị hàm số 2 x y f x x Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y f x với thiết lập Start 2 End 10 Step 0.5 w7saQ)RQ)p2==2=10=0.5= Để khảo sát chính xác hơn ta tính giới hạn của hàm fx khi x tiến tới 2 cận là 2 và saQ)RQ)p2r10^9)= Vậy lim 1 x saQ)RQ)p2r2+0.0000001= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 151 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 2 lim x fx Quan sát bảng giá trị và 2 giới hạn ta vẽ đường đi cả đồ thị hàm số () y f x và sự tương giao Ta thấy ngay 1 m thì 2 đồ thị không cắt nhau hay phương trình ban đầu vô nghiệmTÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 152 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 18. TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ. 1) MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Hôm nay mình nhận được 1 câu hỏi của thầy Bình Kami, một câu hỏi về tính quãng đường của một vật chuyển động thẳng biến đổi đều, câu hỏi đã được xuất hiện trong đề thi minh họa của BGD-ĐT năm 2017 [Câu 24 đề minh họa 2017] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 / ms thì người lái đạp phanh , từ thời điểm đó , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 2 10 v t t / ms , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây , kể từ lúc bắt đầu đạp phanh . Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ? A. 15m B. 20m C. 25m D. 40m Xem nào, khi xe dừng lại vận tốc sẽ về 0 hay 0 2 10 t vậy thời gian xe còn di chuyển thêm được là 5( ) s . Vậy quãng đường . 10.5 50 s v t m mà xe chạy chậm dần vậy sẽ phải nhỏ hơn 50 m , chắc là 40 m phải không nhỉ ? Để chắc chắn, có lẽ mình phải lập 1 bảng mô tả quãng đường : Mốc 0 Hết giây thứ 1 Hết giây thứ 2 Hết giây thứ 3 Hết giây thứ 4 Hết giây thứ 5 Vận tốc 10 8 86 64 42 20 Quãng đường 9 7 5 3 1 Như vậy tổng quãng đường xe đi được khi vận tốc giảm đến 0 là 9 7 5 3 1 25 m Cách này có vẻ tin cậy hơn nhiều, nhưng mất của mình thời gian đến hơn 2 phút !!! Vậy còn cách gì nhanh hơn không nhỉ ? Thầy BìnhKami e làm được rồi. Minh Nguyệt đã giải được bài toán và tìm ra đáp án chính xác 25 m , rất tốt về mặt kết quả nhưng về mặt thời gian tính lại hơi lâu. Bài này ta có thể hoàn thành trong thời gian 20 s nhờ 1 công cụ gọi là tích phân 5 0 2 10 25 S t dt m Ta bấm máy tính như sau : Khởi động chức năng tính tích phân : y Nhập biểu thức cần tính tích phân và nhấn nút = (p2Q)+10)R0E5= Máy tính sẽ cho chúng ta kết quả là 25 m . Chỉ mất 20 s thật tuyệt vời phải không nào !!! Thầy BìnhKami, Tích phân là công cụ gì mà hay vậy ạ ??? TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 153 Tài liệu lưu hành nội bộ Tích phân là 1 trong những công cụ tuyệt vời nhất mà nền toán học đã tạo ra , sử dụng tích phân có thể tính được quãng đường, vận tốc của 1 vật thể hoặc có thể tính được diện tích của 1 hình rất phức tạp ví dụ như hình tròn, hình tam giác, hình e líp … thì còn có công thức nhưng diện tích của mặt ao hồ hình thù phức tạp thì chỉ có tích phân mới xử lý được, hoặc tính thể tích của 1 khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp thì lại phải nhờ đến tích phân. Tích phân hiện đại được nhà toán học Anh Isac Newton và nhà toán học Pháp Laibơnit công bố khoảng cuối thế kỉ 17 nhưng người đặt nền móng cho sự hình thành và phát triển của Tích phân là nhà toán học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-si-met Tích phân chia làm 2 dạng : Tích phân bất định (không cận) thường được biết tới tên là Nguyên hàm và Tích phân xác định (có cận) thường được biết đến với tên Tích phân mà các e sẽ được học ở học kì 2 lớp 12. 2) CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM Xây dựng công thức tính nguyên hàm : Ta có 54 '5 xx vậy ta nói nguyên hàm của 4 5x là 5 x kí hiệu 45 5x dx x C Tương tự sin ' cos xx vậy ta nói nguyên hàm của cos x là sin x , kí hiệu cos sin xdx x C Tổng quát : ' f x dx F x C F x f x VD1-[Sách BT Nâng cao 12] Hàm số 2 x F x e là nguyên hàm của hàm số nào : A. 2x f x e B. 2 2. x f x x e C. 2 2 x e fx x D. 2 2 1 x f x x e GIẢI Thưa thầy, bài này e làm được ạ ! Đầu tiên e tính đạo hàm của Fx , vì Fx là một hàm hợp của e nên em áp dụng công thức ' . ' uu e e u ạ . Khi đó : 2 2 2 2 ' ' . ' 2 . x x x F x e e x x e Vậy Fx là nguyên hàm của hàm của hàm 2 2. x f x x e và ta chọn đáp án B ạ. VD2-[Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm của hàm số 2 . x y x e là : A. 2 22 x e x C B. 2 11 22 x e x C C. 2 1 2 2 x e x C D. 2 1 2 2 x e x C GIẢI Thưa thầy, chúng ta sẽ thử lần lượt , với đáp án A thì 2 22 x F x e x . Nhưng việc tính đạo hàm của Fx là 2 22 x ex thì e thấy khó quá ạ , e quên mất công thức ạ !! Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều khi chúng ta đột nhiên bị quên công thức đạo hàm hay bản thân chúng ta chưa học phần này thì làm sao ?? Thầy sẽ cho các e một thủ thuật Casio để các e quên công thức vẫn biết đâu là đáp án đúng : Ta biết ' ( ) F x f x việc này đúng với mọi x thuộc tập xác định Vậy sẽ đúng với 1 x chẳng hạn . Khi đó ' 1 1 Ff Tính giá trị 1 7,3890... f Q)QK^2Q)r1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 154 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính đạo hàm '1 F với từng đáp án , bắt đầu từ đáp án A là 2 22 x F x e x qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1= Vậy ta được kết quả ' 1 14.7781... F đây là 1 kết quả khác với 1 f Đáp án A sai Tính đạo hàm '1 F của đáp án B với 2 11 22 x F x e x qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2$ )$1= Ta thu được kết quả giống hệt fx vậy ' F x f x hay 2 11 22 x F x e x là nguyên hàm của fx Đáp án B là đáp án chính xác Bình luận : Nếu Fx là 1 nguyên hàm của fx thì F x C cũng là 1 nguyên hàm của hàm fx vì ' ' ' ' 0 ' F x C F x C F x F x f x Việc sử dụng Casio dể tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích đối với với những bài phức tạp, áp dụng nhiều công thức tính đạo hàm cùng một lúc , và tránh nhầm lẫn trong việc tính toán !! VD3-[Câu 23 Đề minh họa năm 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 21 f x x : A. 2 2 1 2 1 3 f x dx x x C B. 1 2 1 2 1 3 f x dx x x C C. 1 21 3 f x dx x C D. 1 21 2 f x dx x C GIẢI Cách 1 : CASIO Nhắc lại 1 lần nữa công thức quan trọng của chúng ta. Nếu Fx là 1 nguyên hàm của fx thì ' F x f x Khi đó ta chọn 1 giá trị xa bất kì thuộc tập xác định thì F a f a Chọn giá trị 2 x chẳng hạn (thỏa điều kiện 1 2 1 0 2 xx ) Khi đó 2 1,732... f s2Q)p1r2=n TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 155 Tài liệu lưu hành nội bộ Theo đúng quy trình ta sẽ chọn đáp án Fx ở 4 đáp án A, B, C, D nếu đáp án nào thảo mãn ' 2 2 1,732... Ff Thử với đáp án A khi đó 2 2 1 2 1 3 F x x x qya2R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2= Vậy ' 2 3,4641... F là một giá trị khác 2 1,732... f điều đó có nghĩa là điều kiện ' F x f x không được đáp ứng. Vậy đáp án A là sai . Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B. Khi này 1 2 1 2 1 3 F x x x qya1R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$2= Ta được ' 2 1,732... F giống hệt 2 1,732... f có nghĩa là điều kiện ' F x f x được thỏa mãn. Vậy đáp án chính xác là B Cách tham khảo : Tự luận Dựa vào đặc điểm của hàm fx ta thấy 21 x về mặt bản chất sẽ có dạng 1 2 21 x . Ta nghĩ ngay đến công thức đạo hàm 1 ' . . ' nn u n u u +)Trong công thức đạo hàm này số mũ của u bị giảm đi 1. Vậy hàm Fx có số mũ lớn hơn hàm fx là 1 đơn vị. Vậy Fx phải có số mũ là 3 2 +)Vậy chỉ có đáp án A hoặc B là thỏa mãn vì 3 2 2 1 2 1 2 1 x x x Ta thực hiện phép đạo hàm 31 22 3 2 1 ' 2 1 2 1 ' 3 2 1 2 x x x x Cân bằng hệ số ta được 3 2 1 2 1 ' 2 1 3 xx . Điều này có nghĩa nguyên hàm 3 2 11 2 1 2 1 2 1 33 F x x x x B là đáp án đúng. Bình luận : Nếu chúng ta có một chút kiến thức cơ bản về đạo hàm thì việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án sẽ nhẹ nhàng hơn. Chúng ta chỉ việc thử với đáp án A và B vì 2 đáp án này mới có số mũ là 3 2 Điều đặc biệt của dạng này là số mũ của nguyên hàm Fx lúc nào cũng lớn hơn số mũ của hàm số fx là 1 đơn vị. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 156 Tài liệu lưu hành nội bộ +) Chúng ta có thể áp dụng 1 cách linh hoạt. Ví dụ tìm nguyên hàm của hàm số m y x thì cũng vô cùng đơn giản. Ta thấy 1 . ym x về mặt bản chất thì 1 x là x mũ 1 2 vậy chắc chắn nguyên hàm phải là x mũ 11 1 22 hay là x +) Ta xét đạo hàm gốc 1 ' 2 x x (*) Việc còn lại chỉ là cân bằng hệ số, để tạo thành m x ta nhân cả 2 vế của (*) với 2m là xong. Khi đó 2' m mx x Thật đơn giản phải không !! VD4- Một nguyên hàm của hàm số 2 32 xx fx x là : A. 2 2 3 2ln x x x B. 2 3 ln 22 xx x C. 2 3 2ln 1 2 x xx D. 2 2 xx x GIẢI Cách 1 : CASIO Ta chọn 1 giá trị x thuộc tập xác định 0 x là 5 x Khi đó 5 7.6 f aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n Với đáp án C ta có 2 3 2ln 1 2 x F x x x có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5 = Ta được ' 5 7.6 5 Ff . Vậy đáp án C là đáp án chính xác. Cách tham khảo : Tự luận Hàm 2 32 xx fx x có tên gọi là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của tử là bậc 2 lớn hơn bậc của mẫu là bậc 1 Phương pháp giải : Thực hiện 1 phép chia tử số cho mẫu số ta được: 2 3 f x x x . Khi đó hàm số trở thành dạng đơn giản và ta dễ dàng tìm được nguyên hàm. +) Có 2 3 ' 3 2 x xx vậy 2 3 2 x x là nguyên hàm của 3 x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 157 Tài liệu lưu hành nội bộ +) Có 1 ln ' x x . Cân bằng hệ số ta có : 2 2ln ' x x vậy 2ln x là nguyên hàm của 2 x Tổng kết 22 2 3 2 3 2ln ' 3 2 x x x x x x xx Hay 2 3 2ln 2 x xx là một nguyên hàm cần tìm thì 2 3 2ln 5 2 x xx cũng là một nguyên hàm Cân bằng hệ số ta được 3 2 1 2 1 ' 2 1 3 xx . Điều này có nghĩa nguyên hàm 3 2 11 2 1 2 1 2 1 33 F x x x x B là đáp án đúng. Bình luận : Tìm nguyên hàm của 1 hàm phân thức hữu tỉ là 1 dạng toán hay nếu chúng ta biết nguyên tắc tư duy, và nếu không biết thì sẽ rất khó khăn. Ta phải nhớ thế này, nếu phân thức hữu tỉ có bậc ở tử lớn hơn hoặc bằng bậc ở mẫu thì ta sẽ thực hiện 1 phép chia tử số cho mẫu số thì sẽ thu được 1 hàm số cực kì dễ tính nguyên hàm. Ngoài ra còn 1 dạng hay nữa khi phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích được thành nhân tử thì ta sẽ xử lý thế nào ? Mời các bạn xem ví dụ tiếp theo . VD5 - Nguyên hàm của hàm số 2 4 4 fx x là : A. ln 2 2ln 2 x x C B. 2ln 2 ln 2 x x C C. 2 ln 2 x C x D. 2 ln 2 x C x GIẢI Cách 1 : CASIO Ta chọn 1 giá trị x thuộc tập xác định 0 x là 5 x Khi đó 5 7.6 f aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n Với đáp án C ta có 2 3 2ln 1 2 x F x x x có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5 = Ta được ' 5 7.6 5 Ff . Vậy đáp án C là đáp án chính xác. Cách tham khảo : Tự luận TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 158 Tài liệu lưu hành nội bộ Hàm 2 4 4 fx x có tên gọi là hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích được thành nhân tử Phương pháp giải : Chia phân thức phức tạp ban đầu thành các phân thức phức tạp +) Có 2 44 4 2 2 x x x +) Ta sẽ tách phân thức lớn này thành 2 phân thức nhỏ đơn giản : 2 4 1 1 .. 4 2 2 mn x x x +) Để tách được ta lại dùng phương pháp hệ số số bất định: 22 22 4 1 1 4 .. 4 2 2 2 2 2 m x n x mn x x x x x x 4 2 2 m x n x 0 4 2 2 x x m n m n 01 4 2 2 1 m n m m n n Vậy 2 4 1 1 4 2 2 x x x Thành công trong việc đưa về 2 phân số đơn giản, ta nhớ đến công thức 11 ln ' , ln . ' x u u xu Dễ dàng áp dụng : 11 ln 2 ' . 2 ' 22 xx xx và 11 ln 2 ' . 2 ' 22 xx xx Tổng hợp 11 ln 2 ln 2 ' 22 xx xx 2 24 ln ' 24 x xx Vậy nguyên hàm của fx là 2 ln 2 x F x C x Bình luận : Qua ví dụ trên chúng ta thấy được sự hữu hiệu của phương pháp hệ số bất định, 1 phân số phức tạp sẽ được chia thành 2 hoặc 3 phân số đơn giản . Về nguyên tắc thì có thể ra 1 bài tích phân hàm phân thức được chia thành hàng chục phân số đơn giản nhưng trong trương trình học THPT thì cùng lắm là chia làm 3 phân thức con. Chúng ta hãy cùng theo dõi phép chia sau : 2 2 2 32 2 4 5 1 4 5 1 4 5 1 2 2 2 1 1 2 1 1 21 x x x x x x m n p x x x x x x x x x xx Tử số vế trái = Tử số vế phải 2 2 2 2 4 5 1 1 2 3 2 x x m x n x x p x x 4 2 1 5 3 2 1 2 1 m n p m n p n m p n Cuối cùng ta thu được : 2 32 4 5 1 1 2 1 2 2 2 1 1 xx x x x x x x Và ta dễ tính được nguyên hàm của 1 2 1 2 1 1 x x x là ln 2 2ln 1 ln 1 x x x C Thật hiệu quả phải không !! VD6-[Báo toán học tuổi trẻ tháng 12-2016] Nguyên hàm của hàm số sin .cos f x x x trên tập số thực là: TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 159 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 1 cos2 4 xC B. 1 cos2 4 xC C. sin .cos xx D. 1 sin2 4 xC GIẢI Cách 1 : CASIO Chuyển máy tính Casio về chế độ Radian (khi làm các bài toán liên quan đến lượng giác) qw4 Chọn 1 giá trị x bất kì ví dụ như 6 x Khi đó giá trị của fx tại 6 x là 0, 4330... 6 f jQ))kQ))rqKP6=n Theo đáp án A thì 1 cos 2 4 F x x . Nếu đáp án A đúng thì ' 66 Ff . Ta tính được 2 0,4430... F là một giá trị khác 6 f . Vậy đáp án A sai qya1R4$k2Q))$aqKR6= Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B. qypa1R4$k2Q))$aqKR6= Ta được ' 0, 4430... 66 Ff . Vậy đáp án chính xác là B Cách tham khảo : Tự luận Dễ thấy cụm sin cos xx rất quen thuộc và ta nhớ đến công thức có nhân đôi : sin2 2sin cos x x x Từ đó ta rút gọn 1 sin 2 2 f x x Cái gì đạo hàm ra sin thì đó là cos !! Ta nhớ đến công thức : cos ' '.sin u u u Áp dụng cos2 ' sin 2 . 2 ' 2sin 2 x x x x Cân bằng hệ số bằng cách chia cả 2 vế cho 4 ta được : 11 cos 2 ' sin 2 42 xx Từ đây ta biết được 1 cos 2 4 F x x Bình luận : Khi sử dụng máy tính Casio để làm bài tập liên quan đến hàm lượng giác thì ta nên đổi sang chế độ Radian để phép tính của chúng ta đạt độ chuẩn xác cao.. Ngoài cách gộp hàm fx theo công thức góc nhân đôi , ta có thể tư duy như sau : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 160 Tài liệu lưu hành nội bộ Nếu ta coi sinxu thì cos ' xu vậy ta nhớ tới công thức 1 ' . . ' nn u n u u Ta thiết lập quan hệ 2 sin ' 2sin cos x x x hay 2 1 sin ' sin cos 2 x x x Vậy ta biết 2 1 sin 2 F x x tuy nhiên so sánh đáp án thì lại không có đáp án giống. Vậy ta tiếp tục biến đổi 1 chút. 2 1 1 1 cos 2 1 1 sin cos 2 2 2 2 4 4 x xx Fx cũng là 1 cos 2 4 x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm 2 4 sin cos x dx x bằng : A. 2 tanxC B. 1 tan 3 xC C. 3 3tanxC D. 3 1 tan 3 xC Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm của hàm số 2016 x fx là : A. 2016 ln 2016 x C B. 2016 .ln 2016 x C C. .2016 .ln 2016 x xC D. 1 .2016 ln 2016 x x C Bài 3-[THPT Quảng Xƣơng I – Thanh Hóa 2017] Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số 2 2 1 xx fx x : A. 2 1 1 xx x B. 2 1 1 xx x C. 2 1 1 xx x D. 2 1 x x Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 2 3 2 x x dc x A. 3 3 4 3ln 33 x x x C B. 3 3 4 3ln 33 x x x C C. 3 3 4 3ln 33 x x x C D. 3 3 4 3ln 33 x x x C Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn tại nguyên hàm : A. 2 1 1 xx dx x B. 2 22 x x dx C. sin 3xdx D. 3x e dx Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] ln x dx x bằng : A. 1 2 2 lnxC B. 3 2 ln 3 xC C. 1 2 ln C x D. 3 3 ln 2 xC Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm của hàm số 2 1 2017 xx f x e e là : A. 2017 xx e e C B. 2017 xx e e C C. 2017 2 xx e e C D. 2017 2 xx e e C Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm của 2 23 21 x dx xx : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 161 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 25 ln 2 1 ln 1 33 x x C B. 25 ln 2 1 ln 1 33 x x C C. 25 ln 2 1 ln 1 33 x x C D. 15 ln 2 1 ln 1 33 x x C LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm 2 4 sin cos x dx x bằng : A. 2 tanxC B. 1 tan 3 xC C. 3 3tanxC D. 3 1 tan 3 xC GIẢI Cách 1: CASIO Chọn chế độ Radian cho máy tính Casio rồi chọn giá trị 6 x chẳng hạn. Ta có 2 4 sin cos x fx x và 4 69 F qw4ajQ))dRkQ))^4rqKP6= Tính đạo hàm của 3 1 tan 3 F x x tại 6 x ta được 4 0,44 4 9 Fx qya1R3$lQ))^3$$aqKR6= Vậy 4 ' 9 F x f x D là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Biến đổi 2 2 42 sin 1 tan . cos cos x x xx Theo công thức đạo hàm 1 ' . . ' nn u n u u . Với tan ux và 3 n Ta có 32 2 1 tan ' 3.tan . cos xx x 32 2 11 tan ' tan . 3 cos xx x . Vậy 3 1 tan 3 F x x là 1 nguyên hàm 3 1 tan 3 xC là họ nguyên hàm cần tìm. Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm của hàm số 2016 x fx là : A. 2016 ln 2016 x C B. 2016 .ln 2016 x C C. .2016 .ln 2016 x xC D. 1 .2016 ln 2016 x x C GIẢI Cách 1: CASIO Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. Ta có 2016 x fx và 2 4064256 F TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 162 Tài liệu lưu hành nội bộ 2016^Q)r2= Tính đạo hàm của 2016 ln 2016 x Fx tại 2 ta được ' 2 4064256 F qya2016^Q)Rh2016)$$2= Vậy ' 4064256 F x f x A là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Theo công thức đạo hàm ' .ln xx a a x . Với 2016 a Ta có 2016 2016 ' 2016 .ln 2016 ' 2016 ln 2016 x x x x . Vậy 2016 ln 2016 x Fx là 1 nguyên hàm 2016 ln 2016 x C là họ nguyên hàm cần tìm. Bài 3-[THPT Quảng Xƣơng I – Thanh Hóa 2017] Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số 2 2 1 xx fx x : A. 2 1 1 xx x B. 2 1 1 xx x C. 2 1 1 xx x D. 2 1 x x GIẢI Cách 1: CASIO Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. Ta có 2 2 1 xx fx x và 8 2 9 f aQ)(Q)+2)R(Q)+1)dr2= Tính đạo hàm của 2 1 1 xx Fx x tại 2 ta được 10 ' 2 1.11 1 9 F qyaQ)d+Q)p1RQ)+1$$2= Vậy ' F x f x 2 1 1 xx Fx x không phải là nguyên hàm của fx A là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 163 Tài liệu lưu hành nội bộ Biến đổi 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x Theo công thức đạo hàm 2 11 ' . ' u uu . Với 1 ux Ta có 2 11 ' 1 1 x x và '1 x 2 11 '1 1 1 x x x 2 2 1 ( 2) ' 1 1 x x x x x x Vậy 2 1 1 xx Fx x là 1 nguyên hàm Đáp số C đúng 2 1 ( ) 2 1 xx Fx x cũng là 1 nguyên hàm Đáp số B đúng 2 ( ) 1 1 x Fx x cũng là 1 nguyên hàm Đáp số D đúng Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số 2 3 2 x x dc x A. 3 3 4 3ln 33 x x x C B. 3 3 4 3ln 33 x x x C C. 3 3 4 3ln 33 x x x C D. 3 3 4 3ln 33 x x x C GIẢI Cách 1: CASIO Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. Ta có 2 3 2 f x x x x và 11 4 2 2 2 f Q)d+a3RQ)$p2sQ)r2= Tính đạo hàm của 3 3 4 3ln 33 x F x x x tại 2 ta được 11 4 2 ' 2 2.6715... 2 F qyaQ)^3R3$+3hQ))pa4R3$s Q)^3$$$2= Vậy 11 4 2 ' 2 F x f x 3 3 4 3ln 33 x F x x x là nguyên hàm của fx C là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Theo công thức đạo hàm 1 ln ' x x 3 3ln ' x x Theo công thức 1 '. nn x n x với 3 2 n 3 1 3 1 3 2 2 2 2 3 4 4 ' . ' 2 ' 2 2 3 3 x x x x x x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 164 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 3 32 43 3ln ' 2 33 x x x x x x hay 3 3 4 3ln 33 x F x x x là 1 nguyên hàm Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn tại nguyên hàm : A. 2 1 1 xx dx x B. 2 22 x x dx C. sin 3xdx D. 3x e dx GIẢI Cách 1: CASIO Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. Ta có 2 22 f x x x và 2 f không tồn tại spQ)d+2Q)p2r2= Vậy hàm số ở đáp số C không tồn tại Cách tham khảo: Tự luận Dễ thấy 2 2 2 2 1 1 0 x x x với mọi giá trị xR Vậy 2 22 xx không tồn tại Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] ln x dx x bằng : A. 1 2 2 lnxC B. 3 2 ln 3 xC C. 1 2 ln C x D. 3 3 ln 2 xC GIẢI Cách 1: CASIO Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. Ta có ln x fx x và 2 0.4162... f ashQ))RQ)r2= Tính đạo hàm của 3 2 ln 3 F x x tại 2 ta được ' 2 0.4612... F qya2R3$shQ))^3$$$2= Vậy ' 0.4162... F x f x 3 2 ln 3 F x x là nguyên hàm của fx B là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Theo công thức 1 ' . . ' nn u n u u với ln ux 3 1 3 1 3 2 2 2 2 3 1 2 1 2 ln ln ' .ln . ' ln . ln ' 2 3 3 x x x x x x x x x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 165 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 3 2 ln ln ' 3 x x x hay 3 2 ln 3 F x x là 1 nguyên hàm Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm của hàm số 2 1 2017 xx f x e e là : A. 2017 xx e e C B. 2017 xx e e C C. 2017 2 xx e e C D. 2017 2 xx e e C GIẢI Cách 1: CASIO Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. Ta có 2 1 2017 xx f x e e và 2 265.5822... f QK^Q)$(1p2017QK^p2Q)$) r2= Tính đạo hàm của 2017 xx F x e e tại 2 ta được ' 2 265.5822... F qyQK^Q)$+2017QK^pQ)$$2 = Vậy ' 265.5822... F x f x 2017 xx F x e e là nguyên hàm của fx A là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Biến đổi 2 1 2017 2017 x x x x e e e e Theo công thức ' xx ee và 2017 2017 x x x x e e e e Vậy 2017 ' 2017 x x x x e e e e hay 2 2017 1 2017 x x x x F x e e e e là 1 nguyên hàm Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm của 2 23 21 x dx xx : A. 25 ln 2 1 ln 1 33 x x C B. 25 ln 2 1 ln 1 33 x x C C. 25 ln 2 1 ln 1 33 x x C D. 15 ln 2 1 ln 1 33 x x C GIẢI Cách 1: CASIO Chọn giá trị 2 x chẳng hạn. Ta có 2 23 21 x fx xx và 7 2 5 f a2Q)+3R2Q)dpQ)p1r2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 166 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính đạo hàm của 25 ln 2 1 ln 1 33 F x x x tại 2 ta được 7 ' 2 1.4 5 F qyap2R3$h2Q)+1)+a5R3$hQ )p1)$2= Vậy 7 ' 5 F x f x 25 ln 2 1 ln 1 33 F x x x là nguyên hàm của fx B là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Vì mẫu số tách được thành nhân tử : 2 2 1 1 2 1 x x x x nên ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để tách phân số : 2 2 3 1 1 . . 2 3 2 1 1 2 1 1 2 1 x m n x m x n x x x x x 5 22 3 2 3 2 34 3 m mn x m n x m n mn n Vậy ta tách được 2 2 3 5 1 4 1 .. 2 1 3 1 3 2 1 x x x x x Theo công thức 1 ln ' . ' uu u 2 5 5 1 4 1 ln 2 1 ln 1 ' 3 3 3 1 3 2 1 xx xx 3 2 ln 3 F x x là 1 nguyên hàm. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 167 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 19. TÍNH NHANH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH. 1) LỆNH TÍNH TÍCH PHÂN Để tính giá trị 1 tích phân xác định ta sử dụng lệnh y 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 25 đề minh họa 2017] Tính giá trị tính phân 3 0 cos .sin I x xdx A. 4 1 4 I B. 4 C. 0 D. 1 4 GIẢI Cách 1 : CASIO Vì bài toán liên quan đến các đại lượng tính nên ta chuyển máy tính về chế độ Radian qw4 Gọi lệnh tính giá trị tích phân y Điền hàm 3 cos .sin f x x x và các cận 0 và vào máy tính Casio kQ))^3$jQ))R0EqK Rồi nhấn nút = ta nhận được ngay kết quả của tích phân là 0 So sánh với các đáp án A, B, C, D thì ta thấy C là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Đặt cos tx khi đó 33 cosxt Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ cos cos ' ' sin x t x dx t dt xdx dt Đổi cận dưới : 0 x khi đó cos0 1 t Đổi cận trên : x khi đó cos 1 t Lúc này tích phân phức tạp ban đầu đã trở thành tích phân đơn giản 1 4 3 1 1 11 0 1 4 4 4 t I t dt TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 168 Tài liệu lưu hành nội bộ Bình luận : Có 10 phép đặt ẩn phụ tính nguyên hàm tích phân. Bài toán trên có tính chết của phép số 2 : “nếu tích phân chứa cụm sin xdx thì đặt ẩn phụ cosxt ” Trong thực tế học tập, việc đổi vi phân (đổi đuôi) thường bị các bạn lãng quên , chúng ta chú ý điều này. PHỤ LỤC : 10 PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ THƢỜNG GẶP Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thường dùng để đưa 1 tích phân phức tạp, khó tính trở về một tích phân đơn giản, dễ tính hơn. Sau đây là 10 phép đặt ẩn phụ với 10 dấu hiệu khác nhau thường gặp. Phép 1 : Nếu xuất hiện căn thức thì đặt cả căn bằng t Phép 2 : Nếu xuất hiện cụm sin xdx thì đặt cosxt Phép 3 : Nếu xuất hiện cụm 2 1 cos dx x thì đặt tanxt Phép 4 : Nếu xuất hiện cụm 2 1 sin dx x thì đặt cotxt Phép 5 : Nếu xuất hiện cụm 1 dx x thì đặt lnxt Phép 6 : Nếu xuất hiện x e dx thì đặt x et Phép 7 : Nếu xuất hiện cụm 22 1 dx xa thì đặt tan xt Phép 8 : Nếu xuất hiện cụm 22 xa thì đặt sin x a t Phép 9 : Nếu xuất hiện cụm 22 ax thì đặt cos a x t Phép 10 : Nếu xuất hiện biểu thức trong hàm ln,log, ... e thì đặt cả biểu thức là t Việc đăt ẩn phụ thƣờng tiến hành theo 3 bƣớc Bƣớc 1 : Đặt ẩn phụ theo dấu hiệu Bƣớc 2 : Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ để đổi đuôi Bƣớc 3 : Đổi cân dưới và cận trên sau đó thế tất cả 3 đại lượng trên vào tích phan ban đầu để tạo thành một tích phân đơn giản hơn. VD2-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Tính tích phân ln 2 2 2 1 1 x x e I dx e A. 2 31 e B. 2 ln 2 1 C. 2 ln 2 1 D. Cả 3 đáp án trên đều sai GIẢI Cách 1 : CASIO Gọi lệnh tính giá trị tích phân y Điền hàm 2 2 1 x x e fx e và các cận 1 và ln 2 vào máy tính Casio Rồi nhấn nút = ta nhận được ngay kết quả của tích phân là 0,7956... yaQK^2Q)RsQK^2Q)$p1$ $$1Eh2)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 169 Tài liệu lưu hành nội bộ Giữ nguyên kết quả này ở máy tính Casio số 1 , dùng máy tính Casio thứ 2 để tính kết qua của các đáp án A, B, C, D ta thấy đáp số C Đây là giá trị giống hệt tích phân, vậy C là đáp số chính xác Cách tham khảo : Tự luận Đặt 2 1 x te Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ' 1 ' 2 2 x x x x x t e t e t dt e dx tdt e dx tdt e dx Đổi cận dưới : 1 x khi đó 2 1 te Đổi cận trên : ln 2 x khi đó 2ln 2 13 te Lúc này tích phân phức tạp ban đầu đã trở thành tích phân đơn giản 22 33 2 2 11 3 1 . 3 1 1 ee I tdt dt t e t e Bình luận : Bài toán trên chứa nội dung của phép đặt ẩn phụ số 1 “nếu tích phân chứa căn thì ta đặt cả căn là ẩn phụ t “ Việc vi phân luôn phương trình đặt ẩn phụ 2 1 x te thường khó khăn vì chứa căn, do đó ta thường khử căn 22 1 x te bằng cách bình phương 2 vế. Sau đó ta mới vi phân VD3-[THP Nguyễn Đình Chiểu – Bình Dƣơng 2017] Giá trị của a để tích phân 2 0 22 1 a xx dx x có giá trị 2 ln 3 2 a a là : A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 GIẢI Cách 1 : CASIO Về mặt bản chất nếu tích phân 2 0 22 1 a xx dx x có giá trị bằng biểu thức 2 ln 3 2 a a thì hiệu của chúng phải bằng nhau. Vây ta thiết lập hiệu 22 0 22 ln 3 12 a x x a dx a x và bài toán trở thành tìm a để hiệu trên bằng 0 Thử với giá trị 5 a Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio hiệu 522 0 2 2 5 5 ln 3 12 xx dx x yaQ)d+2Q)+2RQ)+1R0E5$ p(a5dR2$+5+h33o)) Rồi nhấn phím = TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 170 Tài liệu lưu hành nội bộ Máy tính Casio báo một giá trị khác 0 vậy đáo số A là sai. Sửa vị trí a thành số 4 và số 3 ta đều nhận được kết quả khác 0 vậy đáp án B và C đều sai Thử với giá trị 2 a ta được : yaQ)d+2Q)+2RQ)+1R0E2$ p(a2dR2$+2+h3))= Khi đó hiệu trên bằng 0 tức là A là đáp án chính xác Cách tham khảo : Tự luận Tách tích phân thành : 2 00 2 2 1 1 11 aa xx dx x dx xx Vì 2 '1 2 x xx nên nguyên hàm của 1 x là 2 2 x x Vì 1 ln 1 ' 1 x x nên nguyên hàm của 1 1 x là ln 1 x Tóm lại 2 0 1 1 ln 1 0 12 a a x x dx x x x 2 ln 1 2 a aa Thiết lập quan hệ 2 ln 1 2 a aa 2 ln 3 2 a a ln 1 ln3 2 aa Bình luận : Bài toán này còn có mẹo giải nhanh dành cho các bạn tinh ý, chúng ta quan sát hàm fx chứa thành phần 1 1 x có mối liên hệ với nguyên hàm của nó là ln 1 x . Ta đặc câu hỏi vậy phải chăng ln 1 x khi thế cận sẽ là ln 1 a có mối liên hệ với ln3 ln 1 a suy ra 2 a Hầu hết bài toán chứa tham số tích phân tác giả xin khuyên các bạn nên dùng phương pháp Casio chứ phương pháp tự luận nhiều khi rất loằng ngoằng và dễ sai. VD4-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] So sánh các tích phân 41 2 2 1 0 0 , sin cos , . x I xdx J x xdx K x e Ta có kết quả nào sau đây A. I K J B. I J K C. JIK D. K I J GIẢI Cách 1 : CASIO Tính giá trị tích phân I ta được 4.6666... I và ghi giá trị này ra nháp. ysQ)R1E4=n TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 171 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính giá trị tích phân J ta được 0.3333... J và lại ghi giá trị này ra nháp qw4yjQ))dkQ))R0EaqKR 2= n Tính tiếp giá trị cuối cùng K 1 qw3yQ)OQK^Q)R0E1= Rõ ràng 4.6666 1 0.3333 hay I K J . Vậy đáp án chính xác là A Bình luận : Qua bài toán trên ta thấy rõ hơn sức mạnh của Casio khi giải nhanh những bài tích phân xác định, phương pháp tự luận cũng có nhưng rất dài dòng, tác giả xin không đề cập tới dành thời gian cho các bài khác quan trọng hơn. VD 5-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân 1 0 3 1 2 x x dx bằng A. 1 6 B. 7 6 C. 11 6 D. 0 GIẢI Cách 1 : CASIO Cách gọi lệnh giá trị tuyệt đối qc Khi biết lệnh giá trị tuyệt đối rồi chúng ta nhập tích phân và tính giá trị một cách bình thường y(qc3Q)p1$p2qcQ)$)R0E 1 Nhấn nút =ta sẽ nhận được giá trị tích phân là 0,016666... I Đây chính là giá trị xuất hiện ở đáp số A. Vậy A là đáp số chính xác của bài toán Cách tham khảo : Tự luận TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 172 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 0 3 1 2 x x dx 1 1 3 1 0 3 3 1 2 3 1 2 x x dx x x dx Khi 1 0 3 x thì 1 1 1 2 3 3 3 0 0 0 1 5 3 1 2 1 3 2 1 5 3 2 0 x x x dx x x dx x dx x 1 18 Khi 1 1 3 x thì 1 1 3 3 1 2 x x dx 11 2 11 33 1 2 3 1 2 1 1 29 3 x x x dx x dx x Vậy 1 1 3 1 0 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 18 9 6 I x x dx x x dx Bình luận : Để giải các bài toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải sử dụng phƣơng pháp chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối. Ta biết 1 3 1 0 3 xx và 1 3 1 0 3 xx vậy ta sẽ chia đoạn 0;1 thành 2 đoạn 1 0; 3 và 1 ;1 3 Để tách 1 tích phân thành 2 tích phân ta sử dụng công thức chèn cận : Với giá trị c bất kì thuộc đoạn ; ab thì b c b a a c f x dx f x dx f x dx VD 6-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Cho biết 4 0 cos 1 ln sin cos 4 x dx a b xx 0 1.1 3 ab . Tích ab bằng bao nhiêu ? A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 GIẢI Cách 1 : CASIO Tính 4 0 cos 0.5659... sin cos x dx A xx qw4yakQ))RjQ))+kQ))R 0EaqKR4= Lưu giá trị này vào biến A qJz TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 173 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy ta có : 1 ln 1 4 ln 0.5659... 4 Ab a b A a Nếu đáp số A đúng thì 1 ln 1 1 1 4 . ln 0 2 2 4 2 Ab ab b b A b Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b Q)(Qzpa1R4$QQhQ)))pa qKR2$qr=0.5= Không tìm được b Đáp án A sai Với đáp án B ta có 1 ln 0 44 b A b Q)(Qzpa1R4$hQ)))paqK R4qr=0.5= 1 2 8 ba thỏa điều kiện 0 1.1 3 ab Đáp số B chính xác của bài toán Bình luận : Một bài toán rất hay kết hợp lệnh tính tích phân và lệnh dò nghiệm SHIFT SOLVE Cách Casio có thêm một ưu điểm là tránh được các bài tích phân khó như 4 0 cos sin cos x dx xx BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nếu 6 0 1 sin cos 64 n x xdx thì n bằng : A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Bài 2-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân 3 2 0 31 xx bằng : A. 3 B. 7 C. 5 D. 3 Bài 3-[Group Nhóm Toán 2107] Tích phân ln5 ln3 23 xx dx ee bằng : A. ln 3 B. 3 ln 4 C. 3 ln 2 D. 1 ln 2 Bài 4-[THPT Nho Quan – Ninh Bình 2017] Cho 0 cos 2 1 ln 3 1 2sin 2 4 a x dx x . Tìm giá trị của a : A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 174 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị nào của a để 23 0 3 2 2 a x dx a ?: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Bài 6-[THPT Thuận Thành 1 – Bắc Ninh 2017] Tính tích phân 2 1 2ln e xx I dx x : A. 2 1 2 Ie B. 2 1 2 e I C. 2 1 Ie D. 2 2 e I Bài 1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nếu 6 0 1 sin cos 64 n x xdx thì n bằng : A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 GIẢI Với 2 n tính giá trị tích phân 6 2 0 11 sin cos 24 64 x xdx Đáp án A sai yjQ))dOkQ))R0EaqKR6= Với 3 n tính giá trị tích phân 6 3 0 1 sin cos 64 x xdx Đáp án B chính xác yjQ))^3$OkQ))R0EaqKR6= Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện cụm cos xdx ” ta sẽ đặt sin tx Bài 2-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân 3 2 0 31 x x dx bằng : A. 3 B. 7 C. 5 D. 3 GIẢI Tính tích phân 3 2 0 3 1 7 xx Đáp số chính xác là B y3Q)sQ)d+1R0Es3= Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện căn thức” ta sẽ đặt căn thức là ẩn phụ Đặt 2 2 2 11 t x t x Vi phân hai vế 22 xdx tdt xdx tdt . Đổi biến : 01 32 xt xt . Khi đó tích phân trở thành 2 3 1 2 3 . 7 1 t tdt t TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 175 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 3-[Group Nhóm Toán 2107] Tích phân ln5 ln3 23 xx dx ee bằng : A. ln 3 B. 3 ln 4 C. 3 ln 2 D. 1 ln 2 GIẢI Tính tích phân ln5 ln3 3 0.4054... ln 2 3 2 xx dx ee Đáp số chính xác là C ya1RQK^Q)$+2QK^pQ)$p3R h3)Eh5)= Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện x e ” ta sẽ đặt x e là ẩn phụ Đặt x te Vi phân hai vế x e dx dt . Đổi biến : ln 3 3 ln 5 5 xt xt . Khi đó tích phân trở thành ln5 5 22 ln3 3 3 ... ln 3 2 3 2 2 x xx e dx dt e e t t Bài 4-[THPT Nho Quan – Ninh Bình 2017] Cho 0 cos 2 1 ln 3 1 2sin 2 4 a x dx x . Tìm giá trị của a : A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 GIẢI Thử với 3. a Tính tích phân 3 0 cos 2 1 0.2512... ln 3 1 2sin 2 4 x dx x Đáp số A sai qw4yak2Q))R1+2j2Q))R0E aqKR3= Thử với 4 a Tính tích phân 4 0 cos 2 1 0.2746 ln 3 1 2sin 2 4 x dx x Đáp số C sai $$E$R$o4= Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất hiện cụm cos2xdx ” ta sẽ đặt sin2xt là ẩn phụ Bài 5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị nào của a để 23 0 3 2 2 a x dx a ?: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 GIẢI Thiết lập phương trình 23 0 3 2 2 0 a x dx a . Vì đề bài cho sẵn các nghiệm nên ta sử dụng phép thử TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 176 Tài liệu lưu hành nội bộ Với 1 a vế trái phương trình là : 1 23 0 3 2 1 2 0 x dx Đáp án đúng là B Wy(3Q)d+2)R0E1$p(1+2)= Bài 6-[THPT Thuận Thành 1 – Bắc Ninh 2017] Tính tích phân 2 1 2ln e xx I dx x : A. 2 1 2 Ie B. 2 1 2 e I C. 2 1 Ie D. 2 2 e I GIẢI Tính tích phân 22 1 2ln 1 4.1945... 2 e x x e I dx x Đáp số chính xác là B yaQ)d+2hQ))RQ)R1EQK= Chú ý: Tự luận ta nên tách tích phân thành 2 tích phân con để dễ xử lý : 11 1 2 ln . ee I xdx x dx x Nếu tích phân “xuất hiện cụm 1 dx x “ thì Đặt lnxt Vi phân hai vế 1 dx dt x . Đổi biến : 10 1 xt x e t . Khi đó tích phân trở thành 1 2 1 1 2 2 e o e xdx tdt TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 177 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 20. TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f x , y g x và hai đường thẳng , x a x b được tính theo công thức b a S f x g x dx (1) (Dạng 1) Quy ước : Trong bài học này ta gọi đường thẳng xa là cận thứ nhất , xb là cận thứ hai Chú ý : Khi đề bài không cho hai cận thì hai cận sẽ có dạng 1 xx , 2 xx với 12 , xx là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x f y , x g y và hai cận , y a y b được tính theo công thức : b a S f y g y dy (2) (Dạng 2) 3. Tổng hợp phƣơng pháp (gồm 3 bƣớc) +)Bƣớc 1: Xác định rõ hai hàm , y f x y g x hoặc , x f y x g y +)Bƣớc 2: Xác định rõ 2 cận , x a x b hoặc , y a y b +)Bƣớc 3: Lắp vào công thức (1) hoăc (2) rồi sử dụng máy tính casio 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa môn Toán Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x x và đồ thị hàm số 2 y x x A. 37 12 B. 9 4 C. 81 12 D. 13 GIẢI Ta có hai hàm số 3 y x x và 2 y x x Giải phương trình hoành độ giao điểm 3 2 3 2 0 2 0 1 2 x x x x x x x x x x Ta có 3 cận 0; 1; 2 x x x mà công thức chỉ có 2 cận vậy ta chia thành 2 khoảng cận 20 x và 01 x Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 y x x , 3 yx và hai đường thẳng 2; 0 xx là 0 32 1 2 S x x x x dx Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 y x x , 3 yx và hai đường thẳng 0; 1 xx là 1 32 2 0 S x x x x dx Vậy tổng diện tích 01 3 2 3 2 20 S x x x x dx x x x x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 178 Tài liệu lưu hành nội bộ yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ) d)Rp2E0$+yqc(Q)^3$pQ) )p(Q)pQ)d)R0E1= Vậy 37 12 S ta chọn đáp án chính xác là A Bình luận : Thật tuyệt vời phải không, và tư đây theo 3 bước kết hợp Casio ta sẽ làm mọi bài liên quan đến tính diện tích hình phẳng. VD2-[Đề cƣơng chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hàm số ln 1 , ln 2. , 2 y x y x x . Diện tích miền phẳng D bằng : A. 3 ln 16. 2 1 3ln3 1 B. 4 ln2. 2 1 3ln3 1 3 C. 16 4 ln 2 ln 2 1 27 3 D. 3 2 16 4 ln ln2 1 27 3 GIẢI Ta có hai hàm số ln 1 yx và ln 2. yx Cận đầu tiên là 2 x ta đi tìm cận tiếp theo bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm ln 1 ln 2. ln 1 ln 2. 0 x x x x Để giải nhanh phương trình này ta sẽ sử dụng Casio với chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE hQ)+1)ph2)OsQ)qr2= Ta được nghiệm 1 x Vậy ta tìm được hai cận 1; 2 xx Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số ln 1 yx , ln 2. yx và hai đường thẳng 1; 2 xx là 2 1 ln 1 ln 2. S x x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqchQ)+1)ph2)OsQ)R1E2 = Vậy 0,0646... S Tính giá trị xem đáp án nào có kết quả 0,0646... thì là đáp án chính xac. ta chọn B Bình luận : Việc tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta có thể tính nhanh bằng kỹ thuật dò nghiệm với chức năng SHIFT SOLVE đã được học ở bài trước. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 179 Tài liệu lưu hành nội bộ VD3-[Th thử website Vnmath.com lần 1 năm 2017] Đường thẳng yc chia hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 yx và đường thẳng 4 y thành hai phần bằng nhau. Tìm c A. 3 16 B. 3 9 C. 22 D. 33 GIẢI Hai hàm số 2 yx và 4 y Giải phương trình hoành độ giao điểm 2 4 0 2 xx Vậy cận thứ nhất là 2 x cận thứ hai là 2 x Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2 yx , 4 y và hai đường thẳng 2, 2 xx là : 2 2 2 4 S x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp4Rp2E2= Vậy 32 3 S một nửa diện tích là 16 3 Vì đường thẳng yc chia hình phẳng S thành 2 phần bằng nhau Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 yx , đường thẳng yc có độ lớn là 16 3 Thử với đáp án A ta có 3 16 y . Giải phương trình hoành độ giao điểm 236 16 16 xx 6 6 16 2 3 1 16 16 S x dx yqcQ)dpqs16Rpq^6$16E q^6$16= Vậy 1 16 3 S (đúng) đáp án chính xác là A VD4-[Đề cƣơng chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 1 yx và trục Oy bằng : A. 2 B. 8 3 C. 4 3 D. 16 3 GIẢI Hai hàm số 2 1 xy và trục Oy có phương trình 0 x Giải phương trình tung độ giao điểm 2 1 0 1 yy Vậy cận thứ nhất là 1 y cận thứ hai là 1 y Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2 1 xy , 0 x và hai đường thẳng 1, 1 yy là : 1 2 1 10 S y dy Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp1Rp1E1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 180 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 4 3 S đáp số chính xác là C Bình luận : Bài toán này nên đưa về dạng 2 thì sẽ dễ dàng tính toán hơn. Nếu đưa về dạng 1 ta phải tính 1 yx rồi lại phải tìm cận sẽ khó hơn Ta hiểu với máy tính X hay Y chỉ là kí hiệu nên 11 22 11 1 0 1 0 S y dy x dx Nên ta có thể thực hiện phép tính với máy tính casio như trên VD5-[Sách bài tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 3 xy , đường cong 4 2 xy và trục hoành A. 6 5 B. 8 5 C. 5 5 D. 7 4 GIẢI Hai hàm số 2 3 xy và 4 2 xy Trục hoành có phương trình 0 y cận thứ nhất 0 y Để tìm cần thứ hai ta giải phương trình tung độ giao điểm : 2 4 3 2 yy . Để giải nhanh ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE Q)^a2R3$$+Q)^4$p2qr1= vậy cận thứ hai là 1 y Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2 3 xy , 4 2 xx và hai đường thẳng 0, 1 yy là : 1 2 4 3 0 2 S y y dy Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)^a2R3$$p2+Q)^4R0 E1= Vậy 2 S đáp số chính xác là A Bình luận : Do cài đặt làm tròn của máy tính của mỗi máy là khá nhau nên ta nhanh nhạy trong việc làm tròn để tìm đáp án đúng nhất. VD6-[Thi thử lớp toán thầy Bình lần 2 năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip có phương trình 2 2 1 9 y x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 181 Tài liệu lưu hành nội bộ A. B. 3 C. 9 5 D. 7 3 GIẢI Ta có 2 2 2 22 1 1 1 9 9 9 y y y x x x Hai hàm số 2 1 9 y x và 2 1 9 y x Để tìm hai cận ta giải phương trình tung độ giao điểm : 2 2 2 2 1 1 1 0 9 3 9 9 9 y y y yy . vậy cận thứ nhất 3 y và cận thứ hai 3 y Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2 1 9 y x , 2 1 9 y x và hai đường thẳng 3, 3 yy là : 3 22 3 11 99 yy S dy Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqc2s1paQ)dR9Rp3E3= Vậy 9.4247... 3 S đáp số chính xác là B Bình luận : Trong chương trình lớp 10 sách giáo khoa đã đề cập đến các tính chất cơ bản của hình Elip nhưng chưa đề cập đến công thức tính diện tích của Elip và việc sử dụng tích phân để tính diện tích Elip là một ứng dụng tuyệt vời. VD7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi các cạnh , AB CD đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết 2 AB m , 2 AD m . Tính diện tích đất phần còn lại (đơn vị tính 2 m ) A. 41 B. 41 C. 42 D. 43 GIẢI Diện tích hình chữ nhật ABCD là : 2 1 .4 S AB CD m Hình sin có biên độ 1 và chu kì 2 nên có phương trình là : sin yx Gắn hinh trên lên trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là giao điểm của đồ thị hình sin với trục hoành MN Ta có diện tích hình mầu đen bên phải trục hoành là : 2 0 sin 0 2 S x dx qw4yqcjQ))p0R0EqK= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 182 Tài liệu lưu hành nội bộ Diện tích cần tìm 12 2 4 4 SS đáp số chính xác là B Bình luận : Nếu đề bài thay đổi thành 4 AD như vậy biên độ hình sin là 2 vậy sẽ có phương trình là 2sin yx VD8-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường , 0, 0 x y e y x và ln 4 x . Đường thẳng xk 0 ln 4 k chia H thành hai phần có diện tích 12 , SS như hình vẽ bên. Tìm k để 12 2 SS A. 2 ln 4 3 k B. ln 2 k C. 8 ln 3 k D. ln3 k GIẢI Gọi S là diện tích hình H ta có ln 4 0 03 x S e dx yqcQK^Q)R0Eh4)= Vì 12 2 SS mà tổng diện tích là 3 1 0 22 k x S e dx . Thử các đáp án ta có ln3 k yqcQK^Q)R0Eh3)= Đáp số chính xác là D VD9-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng 1 2 m . Hổi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? (Số tiền làm tròn đến hàng ngàn) A. 7.862.000 B. 7.653.000 C. 7.128.000 D. 7.826.000 GIẢI Xét hệ tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn là 22 1 64 25 xy TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 183 Tài liệu lưu hành nội bộ Xét phần đồ thị Elip nằm phía trên trục hoành có 2 51 64 x y Diện tích S của dải đất cũng chính bằng 2 lần phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x , trục hoành, đường thẳng 4 x , đường thẳng 4 x 4 2 4 2 5 1 0 76.5389182 64 x S dx 2yqc5s1paQ)dR64Rp4E4= Số tiền cần là 100.000S O100000= Đáp số chính xác là B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần 1 năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 yx , đường thẳng 2 yx và trục hoành trong miền 0 x bằng : A. 2 B. 7 6 C. 1 3 D. 5 6 Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 y x x và 4 1 y x x A. 8 15 B. 14 15 C. 4 15 D. 6 15 Bài 3-[Đề cƣơng chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 yx và 3 yx bằng : A. 10 4 B. 20 3 C. 40 3 D. 52 3 Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 x y và đồ thị hàm số 3 yx và trục tung A. 51 2 ln 2 B. 1 3 ln 2 C. 3 5 ln 2 D. 1 2 ln 2 Bài 5-[Đoàn Quỳnh -Sách bài tập trắc nghiệm toán 12] Biết diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường ln yx , 0 y , 1 x e , xe có thể được viết dưới dạng 1 1 Sa e . Tìm khẳng định sai : A. 2 3 2 0 aa B. 2 20 aa C. 2 3 4 0 aa D. 2 2 3 2 0 aa Bài 6-[Đề cƣơng chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 184 Tài liệu lưu hành nội bộ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 : 2 2 P y x x và các tiếp tuyến với P đi qua các điểm 2; 2 A là : A. 8 3 B. 64 3 C. 16 3 D. 40 3 Bài 7-[Thi thử THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội lần 1 năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 20 y ax a , trục hoành và đường thẳng xa bằng 2 ka . Tính giá trị của tham số k A. 7 3 k B. 4 3 k C. 12 5 k D. 6 5 k LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần 1 năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 yx , đường thẳng 2 yx và trục hoành trong miền 0 x bằng : A. 9 2 B. 7 6 C. 10 3 D. 5 6 GIẢI Phương trình hoành độ giao điểm 2 1 2 2 x xx x . Tuy nhiên đề bài yêu cầu tính diện tích trên miền 0 x Ta tính diện tích hình phẳng trên miền 0;1 Cận thứ nhất 0 x , cận thứ hai 1 x . Diện tích cần tính là : 1 2 0 7 2 6 S x x dx yqcQ)dp(2pQ))R0E1= Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu tính diện tích hình phẳng trên miền 0 x thì ta tính trên toàn bộ miền 2;0 . Ta có : 1 2 2 9 2 2 S x x dx Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng trên miền 0 x thì ta tính trên miền 2;0 . Ta có : 0 2 2 10 2 3 S x x dx Các e học sinh chú ý điều này vì rất dễ gây nhầm lẫn. Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 y x x và 4 1 y x x A. 8 15 B. 14 15 C. 4 15 D. 6 15 GIẢI Phương trình hoành độ giao điểm 2 4 4 2 2 2 0 1 1 0 1 1 1 x x x x x x x x x x x . Ta có cận thứ nhất 1 x , cận thứ hai 0 , cận thứ ba 1 x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 185 Tài liệu lưu hành nội bộ Diện tích cần tính là : 01 2 4 2 4 10 4 1 1 1 1 15 S x x x x dx x x x x dx yqc(Q)d+Q)p1)p(Q)^4$+Q )p1)Rp1E0$+yqc(Q)d+Q)p1 )p(Q)^4+Q)p1)R0E1= Đáp số chính xác là C Chú ý: Em nào hiểu phép biến đổi tính diện tích thì có thể bấm máy theo công thức 01 2 4 2 4 10 S x x dx x x dx sẽ rút gọn được thao tác bấm máy. Bài 3-[Đề cƣơng chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 yx và 3 yx bằng : A. 10 4 B. 20 3 C. 40 3 D. 52 3 GIẢI Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 2 1 3 1 3 2 0 x x x x x x (1). Với 0 x (1) 2 2 0 2 x x x (vì 0 x ) Với 0 x (1) 2 2 0 2 x x x (vì 0 x ) Cận thứ nhất 2 x , cận thứ hai 2 x . Diện tích cần tính là : 2 2 2 20 13 3 S x x dx yqcQ)d+1pqcQ)$p3Rp2E2= Đáp số chính xác là B Chú ý: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 2 20 xx có thể giải bằng Casio thay vì chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối. Q)dpqcQ)$p2qrp5= qr5= Ta tìm được hai nghiệm 2; 2 xx Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 x y và đồ thị hàm số 3 yx và trục tung A. 51 2 ln 2 B. 1 3 ln 2 C. 3 5 ln 2 D. 1 2 ln 2 GIẢI TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 186 Tài liệu lưu hành nội bộ Đề bài cho trục tung có phương trình 0 x nên cận thứ nhất là 0 x Phương trình hoành độ giao điểm 23 x x . 1 x là nghiệm duy nhất cận thứ hai 1 x Diện tích cần tính là : 1 0 51 2 3 1.0573... 2 ln 2 x S x dx yqc2^Q)$p(3pQ))R0E1= Đáp số chính xác là A Chú ý: Để giải phương trình 23 x x ta có thể sử dụng máy tính Casio 2^Q)$Qr3pQ)qr1= Ta nhận được nghiệm 1 x . Tuy nhiên vì sao 1 x lại là nghiệm duy nhất thì xem lại ở bài “Sử dụng Casio tìm nghiệm phương trình mũ.” Bài 5-[Đoàn Quỳnh -Sách bài tập trắc nghiệm toán 12] Biết diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường ln yx , 0 y , 1 x e , xe có thể được viết dưới dạng 1 1 Sa e . Tìm khẳng định sai : A. 2 3 2 0 aa B. 2 20 aa C. 2 3 4 0 aa D. 2 2 3 2 0 aa GIẢI Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ln yx , 0 y , 1 x e , xe là : 1 ln 0 1.2642... e e S x dx yqchQ))Ra1RQKEEQK= Vì 1 12 1 1 S S a a e e P(1pa1RQK$)= Chỉ có phương trình ở câu C không chứa nghiệm này đáp án C là đáp án chính xác Chú ý: Bài này không cần dùng đến kiến thức của tích phân vẫn có thể làm được. Đề bài yêu cầu tìm đáp án mà số a không thỏa mãn a không phải nghiệm chung của các phương trình. Mà nghiệm chung của các phương trình là 2 nên đáp số C không thỏa mãn Bài 6-[Đề cƣơng chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 : 2 2 P y x x và các tiếp tuyến với P đi qua các điểm 2; 2 A là : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 187 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 8 3 B. 64 3 C. 16 3 D. 40 3 GIẢI Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 2; 2 A ta thu được Tiếp tuyến thứ nhất 22 yx với tiếp điểm 0;2 B Tiếp tuyến thứ hai 6 14 yx với tiếp điểm 4;10 C Ta hiểu hình phẳng cần tính diện tích là phần đường cong có 3 đỉnh ,, A B C ta thu được ba cận là : 0; 2; 4 x x x 24 22 02 16 2 2 2 2 2 2 6 14 3 S x x x dx x x x dx yqc(Q)dp2Q)+2)p(p2Q)+2 )R0E2$+yqc(Q)dp2Q)+2)p( 6Q)p14)R2E4= Đáp số chính xác là C Chú ý: Để biết được tiếp tuyến tại sao lại là 2 2; 6 14 y x y x thì xem lại bài Casio tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số . Giải thích công thức (1) : Trên miền 0;2 x ta thấy hai cận này được hình thành bởi hai đường cong 2 2 2; 2 2 y x x y x nên diện tích phải được tính theo công thức 2 2 0 2 2 2 2 x x x dx Bài 7-[Thi thử THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội lần 1 năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 20 y ax a , trục hoành và đường thẳng xa bằng 2 ka . Tính giá trị của tham số k A. 7 3 k B. 4 3 k C. 12 5 k D. 6 5 k GIẢI Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành : 2 0 0 ax x Ta được cận thứ nhất 0 x và cận thứ hai xa . Khi đó diện tích hình phẳng là : 0 20 a S ax dx Thiết lập quan hệ 2 0 2 0 20 20 a a ax dx ax dx ka k a . Chọn giá trị dương a bất kì ví dụ 3 a khi đó 0 14 2 3 0 1.33 3 93 a k x dx a1R9$Oy2s3Q)R0E3= Ra một kết quả khác 0 vậy đáp án A sai TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 188 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp số chính xác là B Chú ý: Dù ta chọn giá trị dương a bất kì thì đáp số k đều ra 4 3 ví dụ ta chọn 1.125 a Khi đó 1.125 2 0 14 2 1.125 0 1.33 3 1.125 3 k x dx a1R1.125d$y2s1.125Q)R0E 1.125= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 187 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 21. TÍNH NHANH THỂ TÍCH TRÒN XOAY. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Dạng 1 : Thể tích vật thể có diện tích thiết diện Sx tạo bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x a x b . Giả sử Sx là hàm liên tục thì thể tích vật thể tích theo công thức : b a V S x dx 2. Dạng 2 : Cho hình phẳng H tạo bởi các đường y f x , y g x và các đường thẳng xa , xb . Khi quay hình phẳng H quanh trục Ox thì được vật thể tròn xoay có thể tích tính theo công thức : 22 b a V f x g x dx 3. Dạng 3 : Cho hình phẳng H tạo bởi các đường x f y , x g y và các đường thẳng ya , yb . Khi quay hình phẳng H quanh trục Oy thì được vật thể tròn xoay có thể tích tính theo công thức : 22 b a V f y g y dy 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa môn Toán Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017] Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 21 x y x e , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi hình H quay xung quanh trục Ox A. 42 Ve B. 42 Ve C. 2 5 Ve D. 2 5 Ve GIẢI Hình phẳng được giới hạn bởi trục tung cận thứ nhất là : 0 x Trục hoành có phương trình 0 y . Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường cong 21 x y x e và trục hoành 2 1 0 1 x x e x Vậy cận thứ 2 là : 1 x Thể tích 1 2 2 0 2 1 0 x V x e dx Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(2(Q)p1)QK^Q)$) dR0E1= 2 7.5054... 5 Ve Vậy ta chọn đáp án D Cách tham khảo : Tự luận Thể tích 11 2 2 2 00 2 1 0 4 1 xx V x e dx x e dx TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 188 Tài liệu lưu hành nội bộ Vì biểu thức dưới dấu tích phân có dạng .' u x v x nên ta sử dụng tích phân từng phần. Tuy nhiên làm dạng này rất mất thời gian. Tác giả khuyến khích bạn đọc làm theo casio, dành thời gian cho việc tư duy xây dựng công thức để bấm máy. Bình luận : Qua ví dụ đầu tiên ta cũng đã thấy ngay sức mạnh của Casio khi xử lý các bài tích phân, các bài ứng dụng tích phân so với cách làm tự luận truyền thống. VD2-[Thi thử Group Nhóm toán lần 3 năm 2017] Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 ; 0 y x y quanh trục Ox A. 3 4 B. 4 3 C. 3 4 D. 4 3 GIẢI Hàm thứ nhất : 2 1 yx , hàm thứ hai : 0 y Giải phương trình hoành độ giao điểm 22 1 1 0 1 0 1 x xx x Cận thứ nhất : 1 x , cận thứ hai : 1 x Thể tích 1 2 22 1 10 V x dx Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc1pQ)dRp1E1= 4 3 V Vậy ta chọn đáp án D VD3-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017] Cho D là miền hình phẳng giới hạn bởi sin ; 0; 0; 2 y x y x x . Khi D quay quanh Ox tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay thu được là : A. 1 B. C. 2 D. 2 GIẢI Hàm thứ nhất : sin yx , hàm thứ hai : 0 y Cận thứ nhất : 0 x , cận thứ hai : 2 x Thể tích 2 2 2 0 sin 0 V x dx Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qw4qKyqcjQ))R0EaqKR2 = TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 189 Tài liệu lưu hành nội bộ V Vậy ta chọn đáp án B VD4-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 1 y x y và các đường thẳng 0; 1 yy A. 2 B. 3 C. 1 2 D. 3 2 GIẢI Hàm thứ nhất 2 2 1 y x y , hàm thứ hai : 0 x Cận thứ nhất 0 y , cận thứ hai 1 y Thể tích 2 1 2 2 0 2 0 1 y V dy y Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(as2Q)RQ)d+1$)d R0E1= 1 2 V Vậy ta chọn đáp án C VD5-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 y x x và các đường thẳng 0, 2 yy : A. 5 3 B. 8 3 C. 7 5 D. 3 5 GIẢI Xét 2 2 2 1 1 y x x x y Vì 2 1 0 1 0 1 x y y Khi đó 1 1 1 1 x y x y hàm thứ nhất có dạng 11 xy , hàm thứ hai : 11 xy Phương trình hoành độ giao điểm 1 1 1 1 1 0 1 y y y y Vì 1 y cận thứ nhất 0 x và cận thứ hai 1 y Thể tích 1 22 0 1 1 2 1 V y y dy Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(1+s1pQ)$)dp(1ps 1pQ)$)dR0E1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 190 Tài liệu lưu hành nội bộ 2 8 8,3775... 3 V Vậy ta chọn đáp án B VD6-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tròn tâm 2;0 I bán kính 1 R : A. 4 B. 2 4 C. 5 D. 2 5 GIẢI Hàm thứ nhất là đừng tròn tâm 2;0 I bán kính 1 R có phương trình 2 2 2 2 2 0 1 2 1 x y x y Vì 2 2 1 0 1 0 1 1 x y y Khi đó 22 2 1 2 1 x y x y hàm thứ nhất có dạng 2 21 xy , hàm thứ hai : 2 21 xy Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 2 1 2 1 2 1 1 0 1 y y y y y Cận thứ nhất 1 y cận thứ hai 1 y Thể tích 1 22 22 1 2 1 2 1 V y y dy Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(2+s1pQ)d$)dp(2p s1pQ)d$)dRp1E1= 2 39.4784... 4 V Vậy ta chọn đáp án A VD7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 0 x , 1 x , biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 01 x là một tam giác đều có cạnh là 4 ln 1 x A. 4 3 2ln 2 1 B. 4 3 2ln 2 1 C. 8 3 2ln 2 1 D. 16 2ln2 1 GIẢI Thiết diện của vật thể và mặt phẳng vuông góc với trục Ox là tam giác đều có diện tích 2 3 4 ln 1 4 3 ln 1 4 x S S x x Diện tích S S x là một hàm liên tục trên 0;1 nên thể tích vật thể cần tìm được tính theo công thưc 1 0 4 3 ln 1 2.7673... 4 3 2ln 2 1 V x dx y4s3$h1+Q))R0E1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 191 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta chọn đáp án A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Gọi S là miền giới hạn bởi đường cong 2 yx , trục Ox và hai đường thẳng 1; 2 xx . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi S quay quanh trục Ox : A. 31 1 53 B. 31 1 53 C. 31 5 D. 31 1 5 Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 x y x e và hai trục tọa độ A. 2 2 10 e B. 2 2 10 e C. 2 2 10 e D. 2 2 10 e Bài 3-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường sin ; 0; y x x x . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi mặt phẳng H quay quanh trục Ox bằng : A. 2 B. 2 2 C. 2 4 D. 2 Bài 4-[Thi thử Trung tâm Diệu hiền – Cần Thơ lần 1 năm 2017] Cho hình phẳng H giới hạn bởi 2 2 y x x , 0 y . Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay H xuong quanh trục Ox ta được 1 a V b . Khi đó A. 1; 15 ab B. 7;b 15 a C. 241; 15 ab D. 16; 15 ab Bài 5-[Câu 54b Sách bài tập giải tích nâng cao 12] Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi các đường 3 yx , trục tung và hai đường thẳng 1, 2 yy quanh trục Oy . Khẳng định nào đúng ? A. 5 V B. 2 V C. 4 V D. 3 V Bài 6-Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2 2 y x x C , trục tung . Khi quay hình S quanh trục Oy sẽ tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là bao nhiêu ? A. 5 2 V B. 9 4 V C. 11 4 V D. 8 3 V Bài 7-Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm 2;1 I bán kính 1 R quay quanh trục Oy A. 4 V B. 11 2 V C. 2 11 2 V D. 2 4 V Bài 8-[Bài 29 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 192 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 1 x , 1 x . Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 11 x là một hình vuông có cạnh là 2 21 x A. 17 4 B. 9 2 C. 16 3 D. 5 Bài 9-[Bài 30 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 0 x , x . Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x là một tam giác đều có cạnh là 2 sin x A. 3 B. 23 C. 3 D. 23 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Gọi S là miền giới hạn bởi đường cong 2 yx , trục Ox và hai đường thẳng 1; 2 xx . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi S quay quanh trục Ox : A. 31 1 53 B. 31 1 53 C. 31 5 D. 31 1 5 GIẢI Đương cong thứ nhất 2 y f x x , đường thứ hai là trục hoành có phương trình 0 y g x Hình phẳng giới hạn bởi đường cong thứ nhất 2 yx , trục hoành 0 y và hai đường thẳng 1; 2 xx có thể tích là 22 2 2 2 2 2 11 0 V f x g x dx x dx qKyqc(Q)d)dp0dR1E2= Đáp số chính xác là C Chú ý: Chú ý công thức tính thể tích có và có bình phương của 2 fx , 2 gx . Rất nhiều học sinh thường quên những yếu tố này so với công thức tính diện tích. Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 x y x e và hai trục tọa độ A. 2 2 10 e B. 2 2 10 e C. 2 2 10 e D. 2 2 10 e GIẢI Hình phẳng được giới hạn bởi đường thứ nhất có phương trình 2 2 x y f x x e và đường thứ hai là trục hoành có phương trình 0 y g x .Hình phẳng được giới hạn bởi trục tung nên có cận thứ nhất 0 x . Xét phương trình hoành độ giao điểm đường cong y f x và trục hoành : 2 2 0 2 x x e x Cận thứ hai là 2 x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 193 Tài liệu lưu hành nội bộ Thể tích cần tìm là 2 22 2 2 2 2 10 20 x V f x g x dx x e dx 2 15.0108... 2 10 e qKyqc((2pQ))QK^aQ)R2$$ )dR0E2= Đáp số chính xác là C Bài 3-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường sin ; 0; y x x x . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi mặt phẳng H quay quanh trục Ox bằng : A. 2 B. 2 2 C. 2 4 D. 2 GIẢI Hàm thứ nhất sin y f x x , hàm thứ hai (của trục Ox ) là 0 y . Cận thứ nhất 0 x , cận thứ hai x . Thể tích cần tìm 2 2 2 2 2 00 sin 0 4.9348... 2 V f x g x dx x dx qw4qKyqcjQ))dR0EqK= Đáp số chính xác là B Chú ý: Để tính tích phân hàm lượng giác ta cần chuyển máy tính về chế độ Radian qw4 Bài 4-[Thi thử Trung tâm Diệu hiền – Cần Thơ lần 1 năm 2017] Cho hình phẳng H giới hạn bởi 2 2 y x x , 0 y . Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay H xuong quanh trục Ox ta được 1 a V b . Khi đó A. 1; 15 ab B. 7;b 15 a C. 241; 15 ab D. 16; 15 ab GIẢI Phương trình hoành độ giao điểm 2 0 20 2 x xx x cận thứ nhất 0 x cận thứ hai 2 x Ta được cận thứ nhất 0 x và cận thứ hai xa . Khi đó diện tích hình phẳng là : 0 20 a S ax dx Tính thể tích 2 2 2 2 00 16 2 2 0 15 V f x g x dx x dx qKyqc(2Q)pQ))od)dR0E2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 194 Tài liệu lưu hành nội bộ Mà 1 a V b 16 1 1 1; 15 15 15 aa ab bb Đáp số chính xác là A Bài 5-[Câu 54b Sách bài tập giải tích nâng cao 12] Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi các đường 3 yx , trục tung và hai đường thẳng 1, 2 yy quanh trục Oy . Khẳng định nào đúng ? A. 5 V B. 2 V C. 4 V D. 3 V GIẢI Hình phẳng H giới hạn bởi đường thứ nhất 3 x f y y và đường thứ hai (trục tung) : 0 x .Cận thứ nhất 1 y và cận thứ hai 2 y . Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy : 2 22 1 V f y g x dy 2 2 2 3 1 0 4.099... 4 x dy qKyqc(q^3$Q)$)dp0R1E2= Đáp số chính xác là C Chú ý: Để tính thể tích hình phẳng xoay quanh trục Oy thì phải chuyển phương trình đường cong về dạng x f y và x g y Bài 6-Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2 2 y x x C , trục tung . Khi quay hình S quanh trục Oy sẽ tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là bao nhiêu ? A. 5 2 V B. 9 4 V C. 11 4 V D. 8 3 V GIẢI Xét 2 2 11 2 1 1 11 x y AO y x x x y x y AB với 1 y . Đường cong C chia làm 2 nhánh. Phương trình tung độ giao điểm hai nhánh : 1 1 1 1 1 0 1 y y y y Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy : 1 22 0 8 1 1 1 1 8.3775... 3 V y y dy qKyqc(1+s1pQ)$)dp(1ps1 pQ)$)dR0E1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 195 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp số chính xác là D Bài 7-Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm 2;1 I bán kính 1 R quay quanh trục Oy A. 4 V B. 11 2 V C. 2 11 2 V D. 2 4 V GIẢI Phương trình đường tròn 22 22 ; : 2 1 2 1 I R x y x y 2 21 xy . Đường tròn C chia làm 2 nhánh. 2 2 21 21 x y CB x y CA Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy : 1 22 2 2 2 0 2 2 1 2 1 39.4784... 4 V y y dy 2qKyqc(2+s1pQ)d$)dp(2p s1pQ)d$)dR0E1= Đáp số chính xác là A Bài 8-[Bài 29 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 1 x , 1 x . Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 11 x là một hình vuông có cạnh là 2 21 x A. 17 4 B. 9 2 C. 16 3 D. 5 GIẢI Thiết diện của vật thể tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là hình vuông . Diện tích thiết diện 2 41 S S x x . Vì hàm S S x liên tục trên 1;1 nên vật thể có thể tích là : 1 2 1 16 41 3 V x dx y4(1pQ)d)Rp1E1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 196 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp số chính xác là C Bài 9-[Bài 30 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 0 x , x . Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x là một tam giác đều có cạnh là 2 sin x A. 3 B. 23 C. 3 D. 23 GIẢI Thiết diện của vật thể tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là tam giác đều Diện tích thiết diện 2 3 2 sin 3 sin 4 x S S x x . Vì hàm S S x liên tục trên 0; nên vật thể có thể tích là : 0 16 3 sin 3 V xdx qw4ys3$jQ))R0EqK= Đáp số chính xác là D TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 197 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 22. TÍNH NHANH QUÃNG ĐƯỜNG VẬT CHUYỂN ĐỘNG. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Quãng đường đi được của một vật : Một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian , v f t trong khoảng thời gian từ 0 t đến 1 t thì quãng đường vật đi được là : 1 0 t t S f t dt 2) CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM VD1-[Câu 24 Đề minh họa BGD-ĐT lần 1 năm 2017] Một ô tô đang chạy với vận tố 10 / ms thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 5 10 / v t t m s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lú bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh tới khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ? A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m GIẢI Cách 1 : CASIO Ta có quãng đường . S t v t t . Vi phân 2 vế the t ta được ' . . ' S t dt v t dt S t v t St là 1 nguyên hàm của vt 1 0 t t S t v t dt Khi xe dừng hẳn thì vận tốc tại điểm dừng 0 0 5 10 2 tt Chọn gốc thời gian 0 0 t thì 1 2 t Quãng đường là 2 0 5 10 S t dt Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân y(p5Q)+10)R0E2= Quãng đường 10 Sm . Vậy đáp án chính xác là C Bình luận : Nhắc lại kiến thức quan trọng nhất của Tích phân : Nếu hàm Fx là một nguyên hàm của fx thì ' F x f x Chính áp dụng kiến thức trên ta thấy ' S v t S là một nguyên hàm của vt 1 0 t t S t v t dt VD2-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Lúc 9h sáng, một ô tô bắt đầu xuất phát từ Nhà hát Lớn thành phố Hà Nội đi thành phố Hồ Chí Minh. Trong 1 giờ đầu tiên, vì xe đi trong nội thành nên tốc độ di chuyển chưa nhanh, xe ô tô đi với vận tốc 0,5 0,2.cos v t t (km/phút), trong đó t là thời gian kể từ lúc xe ô tô xuất phát được tính bằng đơn vị phút. Hỏi lúc 9 10' h x ô tô đi được quãng đường bao nhiêu km ? TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 198 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 0,7 B. 5 C. 0,3 D. 5,2 GIẢI Cách 1 : CASIO Ta có quãng đường . S t v t t . Vi phân 2 vế the t ta được ' . . ' S t dt v t dt S t v t St là 1 nguyên hàm của vt 1 0 t t S t v t dt Chọn gốc thời gian lúc 9h là 0 0 t thì lúc 9 10' h là 1 10 t Quãng đường là 10 0 0.5 0.2cos S t dt Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân qw4y(0.5+0.2kqKQ)))R 0E10= Quãng đường 5 Sm . Vậy đáp án chính xác là B Bình luận : Bài toán rất chuẩn mực về phép tính toán, con số ra cũng phản ánh tình trạng tắc xe tồi tệ ở Hà Nội khi 10 s chỉ đi được có 5m VD3-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức 32 v t t , thời gian được tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đó di chuyển được tính theo đơn vị m . Biết tại thời điểm 2 ts thì vật di chuyển được quãng đường là 10 m . Hỏi tại thời điểm 30 ts thì vật di chuyển được quãng đường dài là bao nhiêu ? A. 1410m B. 1140m C. 300m D. 240m GIẢI Cách 1 : CASIO Ta có quãng đường . S t v t t . Vi phân 2 vế the t ta được ' . . ' S t dt v t dt S t v t St là 1 nguyên hàm của vt 1 0 t t S t v t dt Chọn thời gian lúc đầu là 0 t sau 2 giây thì 10 2 tt Quãng đường là 0 0 2 32 t t S t dt Để tìm 0 t ta thiết lập quan hệ 0 0 2 3 2 10 t t t dt m . Ta dự đoán 0 t có thể là 0 ; 1; 2… và ta tiến hành thử với 0 0 t Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân y(3Q)+2)R0E2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 199 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thấy kết quả ra 10 m vậy dự đoán của ta đúng và 0 0 t Quãng đường vật đi được sau 30 giây là : 0 0 30 30 1 0 3 2 3 2 t t S t dt t dt y(3Q)+2)R0E30= Ta thấy 1 1410 Sm và A là đáp án chính xác Bình luận : Mốc thời gian ban đầu không nhất thiết phải bằng 0 tuy nhiên khi sử dụng phép thử để tìm 0 t thì ta luôn ưu tiên 0 0 t VD4-[Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Một vận động viên đua 1 F đang chạy với vận tốt 10 / ms thì anh ta tăng tốc với gia tố 2 6/ a t m s trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu ? A. 1100m B. 400m C. 1010m D. 1110m GIẢI Cách 1 : CASIO Ta có quãng đường . S t v t t . Vi phân 2 vế the t ta được ' . . ' S t dt v t dt S t v t St là 1 nguyên hàm của vt 1 0 t t S t v t dt Vận tốc của xe 0 10 6 v t v a t v t t Chọn gốc thời gian lúc xe bắt đầu tăng tốc là 0 0 t vậy 10 10 10 tt Quãng đường là 10 0 10 6 S t dt Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân y(10+6Q))R0E10= Ta thấy kết quả ra 400 m vậy B là đáp án chính xác Bình luận : Ta có thể giải theo công thức vật lý : 22 0 6.10 10.10 400 22 at S v t m BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – HN lần 2 năm 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 200 Tài liệu lưu hành nội bộ Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi 0 t chuyển động với vận tốc 5 v t t t / ms . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng hẳn A. 125 12 m B. 125 9 m C. 125 3 m D. 125 6 m Bài 2-[Thi thử Group nhóm toán Facebook năm 2017] Học sinh lần đầu thử nghiệm tên lửa tự chế phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc 15 / ms Hỏi sau 2.5s tên lửa lên đến độ cao bao nhiêu ? Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực 2 9.8 / g m s A. 62.25m B. 6.875m C. 68.125m D. 30.625m Bài 3-[Bài 15 trang 153 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 / v m s thì tăng tốc với gia tốc 22 3/ a t t t m s . Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A. 996m B. 1200 C. 1680m D. 3600m Bài 4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Một vật chuyển động với vận tốc sin 1 2 t vt / ms . Quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây chính xác đến 0,01 m là : A. 0,32m B. 0,33m C. 0,34m D. 0,35m Bài 5-[Thi thử nhà sách Lovebook lần 1 năm 2017] Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi ht là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho 2 '3 h t at bt với , ab là các tham số. Ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150 m m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 1100m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. A. 3 8400m B. 3 2200m C. 3 600m D. 3 4200m LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – HN lần 2 năm 2017] Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi 0 t chuyển động với vận tốc 5 v t t t / ms . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng hẳn A. 125 12 m B. 125 9 m C. 125 3 m D. 125 6 m GIẢI Thời điểm 0 0 t vật ở trạng thái nghỉ. Tại thời điểm 1 t 10 tt vật dừng lại hẳn khi đó 0 vt 1 1 1 5 0 5 t t t Vận tốc là một hàm biến thiên theo thời gian, đồng thời vt liên tục trên miền 0;5 Quãng đường vật di chuyển từ trạng thái nghỉ đến khi dừng hẳn là : 1 0 5 0 125 5 6 t t v t dt t t dt yQ)(5pQ))R0E5= D là đáp án chính xác TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 201 Tài liệu lưu hành nội bộ Chú ý : Vận tốc của vật theo thời điểm nếu biểu diễn trên trục tọa độ Oxy sẽ là một Parabol . Dựa vào đó nếu đề bài yêu cầu tìm thời điểm để vật có vận tốc lớn nhất thì ta dựa vào tọa độ đỉnh của Parabol suy ra 5 2 t và vận tốc lớn nhất vật có thể đạt được là 5 25 / 24 v m s Bài 2-[Thi thử Group nhóm toán Facebook năm 2017] Học sinh lần đầu thử nghiệm tên lửa tự chế phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc 15 / ms Hỏi sau 2.5s tên lửa lên đến độ cao bao nhiêu ? Giả sử bỏ qua sức cản của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực 2 9.8 / g m s A. 62.25m B. 6.875m C. 68.125m D. 30.625m GIẢI Phương trình vận tốc theo thời gian 0 15 9.8 v t v gt t Vì hàm vt liên tục trên miền 0;2.5 nên quãng đường vật di chuyển từ thời điểm 0 0 t đến thời điểm 1 2.5 ts được tính theo công thức : 1 0 2.5 0 15 9.8 6.875 t t S v t dt t dt m y(15p9.8Q))R0E2.5=n Nếu chọn thì chọn đáp án B Chú ý : Nếu xét theo phân loại dạng vật lý thì đây là dạng bài chuyển động thẳng đứng Bài 3-[Bài 15 trang 153 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 / v m s thì tăng tốc với gia tốc 22 3/ a t t t m s . Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A. 996m B. 1200 C. 1680m D. 3600m GIẢI Ta có vận tốc 2 0 10 3 v t v at t t t và vt là một hàm biến thiên theo thời gian và liên tục trên R Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm 0 0 t đến thời điểm 1 10 t được tính theo công thức 1 0 10 2 0 10 3 966 t t S S t v t dt t t t dt m y(10+(3Q)+Q)d)Q))R0E10= Đáp số chính xác là D Chú ý : Ta phải nhớ rõ công thức 0 v t v at với 2 3 a t t tránh nhầm lẫn 2 3 at t t 2 10 3 v t t t là sai Bài 4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Một vật chuyển động với vận tốc sin 1 2 t vt / ms . Quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây chính xác đến 0,01 m là : A. 0,32m B. 0,33m C. 0,34m D. 0,35m GIẢI TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 202 Tài liệu lưu hành nội bộ Vận tốc vt là một hàm biến thiên theo thời gian Quãng đường vật di chuyển từ lúc bắt đầu tới thời điểm 1,5 giây là : 1 0 1.5 0 sin 1 0.34 2 t t t v t dt dt s (sau khi làm tròn) qw4y(a1R2qK$+ajqKQ))R qK$)R0E1.5= C là đáp án chính xác Bài 5-[Thi thử nhà sách Lovebook lần 1 năm 2017] Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi ht là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho 2 '3 h t at bt với , ab là các tham số. Ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150 m m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 1100m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. A. 3 8400m B. 3 2200m C. 3 600m D. 3 4200m GIẢI ' ht là một hàm biến thiên theo thời gian và liên tục trên R Thể tích nước bơm được tính theo công thức 1 0 2 3 t t V h t at bt dt Tại thời điểm 1 5 t giây thì 5 23 0 3 150 V at bt dt m 2 3 5 150 0 2 bt at 125 12.5 150 ab Tại thời điểm 1 10 t giây thì 10 23 0 3 1100 V at bt dt m 2 3 5 1100 0 2 bt at 1000 50 1100 ab Giải hệ phương trình 125 12.5 150 1000 50 1100 ab ab w51125=12.5=150=1000=50 =1100=== Vậy tại thời điểm 1 20 t thì thể tích 20 2 0 3 2 8400 V t t dt A là đáp án chính xác y(3Q)d+2Q))R0E20= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 203 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 23. GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO. 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1.Kỹ thuật ép hệ phương trình : Cho hệ thức ,, f x dx f a b c , muốn tìm ,, abc thỏa mãn hệ thức ,, h a b c m . Ta sẽ tính giá trị tích phân f x dx rồi lưu vào A . Vậy ta sẽ ép được hệ phương trình ,, ,, f a b c A h a b c m . Để giải hệ phương trình này ta sẽ sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE hoặc chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio (Xem ví d ụ minh họa 1, 2, 3, 4, 5, 6) 2.Kỹ thuật ép cận nguyên hàm : Cho nguyên hàm gốc f x dx và nguyên hàm hệ quả f u t dt qua phép đổi biến x u t . Để sử dụng được máy tính Casio ta ép hệ số cho nguyên hàm gốc để trở thành tích phân xác định f x dx . Vì nguyên hàm gốc và nguyên hàm hệ quả là tương đương nên ' ' f x dx f u t dx ( ', ' là 2 cận mới) (Xem ví d ụ minh họa 7,8,9) 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Biết 4 2 3 ln 2 ln 3 ln 5 dx a b c xx với ,, abc là các số nguyên. Tính S a b c A. 6 S B. 2 S C. 2 S D. 0 S GIẢI Tính tích phân 4 2 3 dx xx và lưu vào biến A ya1RQ)d+Q)R3E4= qJz Khi đó 16 ln 2 ln 3 ln 5 ln 2 .3 .5 2 .3 .5 15 a b c a b c A A a b c A e QK^Qz= Dễ thấy 4 1 1 16 2.2.2.2 2 .3 .5 2 .3 .5 4; 1 ; 1 2 15 3.5 a b c a b c S Đáp số chính xác là B TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 204 Tài liệu lưu hành nội bộ VD2-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Cho 2 1 ln 1 ln 3 ln 2 I x dx a b c ,, a b c Z . Tính giá trị của biểu thức A a b c A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 GIẢI Tính giá trị tích phân 2 1 ln 1 I x dx rồi lưu giá trị này vào biến A yhQ)+1)R1E2=qJz Khi đó ln 3 ln 2 ln(3 .2 . ) ln 3 .2 . 3 .2 A a b c A a b c A a b c e a b c A e e e e e Để tính được 3 .2 ab ta sử dụng chức năng MODE 7 với hàm 3 .2 A ab c e fX e w7aQK^QzRQK^Q)==p9=1 0=1= Quan sát màn hình xem giá trị nào của fX (cũng là của 3 .2 ab ) là số hữu tỉ thì nhận Dễ thấy với 1 Xc thì 32 27 3 .2 6.75 3 .2 4 ab 3; 2 ab Tóm lại 3 2 1 0 abc Đáp án A là đáp án chính xác VD3-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Cho 2 4 sin cos ln 3 ln 2 sin cos xx I dx a b c xx ,, a b c Q . Tính giá trị của biểu thức : A a b c A. 0 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 GIẢI Tính giá trị tích phân 2 4 sin cos sin cos xx I dx xx rồi lưu giá trị này vào biến A yajQ))pkQ))RjQ))+kQ)) RaqKR4EEaqKR2=qJz TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 205 Tài liệu lưu hành nội bộ Khi đó ln3 ln 2 ln(3 .2 ) ln a b c A a b c A e . Mà ta tính được 2 A e QK^Qz= 1 0 2 1 3 .2 2 3 .2 0; 2 a b c a b c Tóm lại 11 0 22 abc Đáp án B là đáp án chính xác VD4-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Cho 4 4 0 sin I xdx a b , a b Q . Tính giá trị của biểu thức A a b A. 11 32 B. 5 32 C. 4 D. 7 GIẢI Tính giá trị tích phân 2 1 ln 1 I x dx rồi lưu giá trị này vào biến A yjQ))^4R0EaqKR4=qJz Khi đó a b A . Nếu đáp số A đúng thì hệ 11 32 a b A ab có nghiệm hữu tỉ (thuộc Q ) ==$$Rp5P32== Rõ ràng 31 ; 32 4 ab là các số hữu tỉ B là đáp án chính xác VD5-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Cho 2 4 0 1 sin 2 a I x x dx b ,, a b c Z với a b là phân số tối giản. Tính biểu thức A a b A. 20 B. 40 C. 60 D. 10 GIẢI Tính giá trị tích phân 4 0 1 sin 2 I x x dx rồi lưu giá trị này vào biến A TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 206 Tài liệu lưu hành nội bộ yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4= qJz Khi đó 2 a A b . Nếu đáp số A đúng thì 20 20 a b b a 2 20 a A a Sử dụng chức năng SHIFT SOLVE để tìm a (với a là số nguyên ) QzQraqKd+Q)R20pQ)qr =10= Kết quả không ra một số nguyên Đáp số A sai Nếu đáp số B đúng thì 40 40 a b b a 2 40 a A a $$$$R$4qr=20= Vậy 8 32 ab Đáp án A là đáp án chính xác VD6-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017] Cho 2 4 32 1 ln ae b I x xdx c ,, a b c Z với ; ab cc là các phân số tối giản. Tính biểu thức A a b A. 15 B. 28 C. 36 D. 46 GIẢI Tính giá trị tích phân 2 32 1 ln I x xdx rồi lưu giá trị này vào biến A yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4= qJz Khi đó 4 ae b A c . Nếu đáp số A đúng thì 15 c a b 4 15 . . . A a A b A a e b 4 15 . . 1 A a A a e b A Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm a (với a là số nguyên ) w7a15QzpQzQ)pQK^4$Q) RQz+1==p9=10=1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 207 Tài liệu lưu hành nội bộ Kết quả không tìm ra một số nguyên Đáp số A sai Tương tự như vậy với đáp số C đúng thì 4 36 . . 1 A a A a e b A C$$$oo36===== Ta tìm được nghiệm 129 a là một số hữu tỉ Đáp án C là đáp án chính xác VD7-[Trích đề thi ĐH khối B năm 2005] Cho tích phân 2 sin 0 sin 2 x I e xdx . Nếu đổi biến số sin tx thì : A. 2 0 .. t I e tdt B. 1 0 .. t I e t dt C. 1 0 2 . . t I e tdt D. 2 0 2 . . t I e tdt GIẢI Tính giá trị tích phân 2 sin 0 sin 2 x I e xdx yQK^jQ))$j2Q))R0EaqK R2= Nếu đáp án A đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài và cùng bằng 2. Tính 2 0 .. t I e tdt yQK^Q)$Q)R0EaqKR2= Kết quả ra một số khác 2 Đáp số A sai Tương tự như vậy với đáp số C thì 1 0 2 . . 2 t I e t dt 2yQ)QK^Q)R0E1= Đáp án C là đáp án chính xác Chú ý : Đổi cận thì phải đổi biến Dễ dàng loại được đáp án A và D TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 208 Tài liệu lưu hành nội bộ VD8-[Trích đề thi ĐH khối D năm 2011] Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân 4 0 41 2 1 2 x I dx x thành tích phân 5 3 f t dt . Khi đó ft là hàm nào trong các hàm số sau ? A. 2 23 2 t ft t B. 2 2 8 3 2 t t t ft t C. 2 23 22 t ft t D. 2 2 8 3 2 2 t t t ft t GIẢI Tính giá trị tích phân 4 0 41 2 1 2 x I dx x ya4Q)p1Rs2Q)+1$+2R0E4 = Nếu đáp án A đúng thì 2 23 2 t ft t và giá trị tích phân 5 2 3 23 6.2250... 2 t I dt t điều này là sai vì 5 2 3 23 9.6923... 2 t I dt t ya2Q)dp3RQ)+2R3E5= Kết quả ra một số khác 2 Đáp số A sai Tương tự như vậy với đáp số B chính xác ya(2Q)dp8Q)+5)(Q)p2)R Q)R3E5= VD9-Nếu sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, ta đặt 3 1 ln tx thì nguyên hàm của 3 ln . 1 ln xx dx x có dạng : A. 33 31 t t dt B. 33 1 t t dt C. 33 31 t t dt D. 33 1 t t dt GIẢI Để có thể sử dụng máy tính Casio ta phải tiến hành chọn cận để đưa nguyên hàm (tích phân bất định) trở thành tích phân (tích phân xác định) Ta chọn hai cận là 1 và 7 e . Tính giá trị tích phân TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 209 Tài liệu lưu hành nội bộ 7 3 1 ln . 1 ln 43.1785... e xx dx x ahQ))Oq^3$1+hQ))RQ)R1 EQK^7= Khi tiến hành đổi biến thì ta phải đổi cận : 3 3 77 1 1 ln1 1 1 ln 3 2 xt x e t Nếu đáp án A đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài . Tính 2 33 1 31 I t t dt yQK^Q)$Q)R0EaqKR2= Kết quả ra một số khác 2 Đáp số A sai Tương tự như vậy với đáp số C thì 1 0 2 . . 2 t I e t dt y3Q)^3$(Q)^3$p1)R1E2= n Đáp án A là đáp án chính xác Chú ý : Ta có thể chọn cận nào cũng được không nhất thiết phải là 1 và 7 e (chỉ cần thỏa mãn tập xác định của hàm số là được) TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 210 Tài liệu lưu hành nội bộ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân 4 2 0 tan xdx a b , a b Q . Tính giá trị của biểu thức P a b A. 5 4 P B. 3 4 P C. 1 4 P D. 11 4 P Bài 2-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân , a b Q 2 2 2 1 1 .. x x e dx a e b e x , a b Q . Tính giá trị của biểu thức P a b A. 1 P B. 0.5 P C. 1 P D. 2 P Bài 3-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân 2 0 cos3 2cos ln 2 ln 3 2 3sin cos 2 xx dx a b c xx ,, a b c Z . Tính P a b c A. 3 P B. 2 P C. 2 P D. 1 P Bài 4-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân 4 2 1 ln 2 ln 5 ln11 2 5 3 dx a b c xx ,, a b c Z . Tính giá trị của biểu thức P a b c A. 1 P B. 3 P C. 2 D. 0 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 211 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 5-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân 2 2 2 1 22 ln 2 ln 3 xx dx a b c xx ,, a b c Z . Tính giá trị của biểu thức P a b c A. 3 P B. 2 P C. 4 D. 1 Bài 6-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ 2 1 tx đưa tích phân 2 2 2 3 1 dx I xx thành tích phân nào sau đây ? A. 2 2 2 3 1 dt t B. 1 2 1 3 1 dt t C. 2 2 2 3 1 dt tt D. 1 2 1 3 1 dt tt Bài 7-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ 1 3cos tx đưa nguyên hàm sin 2 sin 1 3cos xx I dx x thành nguyên hàm nào sau đây ? A. 2 21 t dt t B. 2 1 2 1 9 t dt t C. 21 t dt t D. 1 2 1 9 t dt t Bài 8-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ 1 3cos tx đưa nguyên hàm sin 2 sin 1 3cos xx I dx x thành nguyên hàm nào sau đây ? A. 2 21 t dt t B. 2 1 2 1 9 t dt t C. 21 t dt t D. 1 2 1 9 t dt t LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân 4 2 0 tan xdx a b , a b Q . Tính giá trị của biểu thức P a b A. 5 4 P B. 3 4 P C. 1 4 P D. 11 4 P GIẢI Tính giá trị tích phân 4 2 0 tan xdx rồi lưu vào biến A qw4ylQ))dR0EaqKR4=qJz Nếu đáp số A đúng ta có hệ phương trình 5 4 a b A ab 1.7334... a không phải là số hữu tỉ Đáp số A sai w511=qK=Qz=1=1=5P4== TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 212 Tài liệu lưu hành nội bộ Tương tự như vậy với đáp án B ta có hệ phương trình 3 4 a b A ab 1 2 a b . B là đáp số chính xác ==$$R3P4=== Bài 2-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân , a b Q 2 2 2 1 1 .. x x e dx a e b e x , a b Q . Tính giá trị của biểu thức P a b A. 1 P B. 0.5 P C. 1 P D. 2 P GIẢI Tính giá trị tích phân 2 2 1 1 x x e dx x rồi lưu vào biến A ya1pQ)RQ)d$QK^Q)R1E2=q Jz Với đáp số A ta có hệ phương trình 2 0.5 ae be A ab 0.5 1 a b w51QKd=QK=Qz=1=1=0.5== = Đáp số A chính xác Bài 3-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân 2 0 cos3 2cos ln 2 ln 3 2 3sin cos 2 xx dx a b c xx ,, a b c Z . Tính P a b c A. 3 P B. 2 P C. 2 P D. 1 P GIẢI Tính giá trị tích phân 2 0 cos3 2cos 2 3sin cos 2 xx dx xx rồi lưu vào biến A yak3Q))+2kQ))R2+3jQ))pk 2Q))R0EaqKR2=qJz TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 213 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy ln 2 ln3 ln 2 .3 . ln a b c A a b c A e e 2 .3 A ab c e e . Tìm 2 .3 ab bằng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với biến Xc w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10= 1= Ta được 2 .3 18 ab với 2 Xc . Vậy 2 18 2.3 2 .3 1 ; 2 ab ab 1 2 2 1 P a b c Đáp số chính xác là D Bài 4-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân 4 2 1 ln 2 ln 5 ln11 2 5 3 dx a b c xx ,, a b c Z . Tính giá trị của biểu thức P a b c A. 1 P B. 3 P C. 2 D. 0 GIẢI Tính giá trị tích phân 4 2 1 2 5 3 dx xx rồi lưu vào biến A ya1R2Q)d+5Q)+3R1E4=qJz Vậy ln 2 ln5 ln11 ln 2 .5 .11 ln a b c A a b c A e 2 1 1 25 5.5 2 .5 .11 5 .2 .11 22 2.11 a b c A e . Rõ ràng 1; 2; 1 a b c 1 2 2 1 P a b c Đáp số chính xác là D Bài 5-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Cho tích phân 2 2 2 1 22 ln 2 ln 3 xx dx a b c xx ,, a b c Z . Tính giá trị của biểu thức P a b c A. 3 P B. 2 P C. 4 D. 1 GIẢI Tính giá trị tích phân 4 2 1 2 5 3 dx xx rồi lưu vào biến A yaQ)d+2Q)+2RQ)d+Q)R1E2 =qJz Vậy ln 2 ln3 ln 2 .3 . ln a b c A a b c A e e 2 .3 . 2 .3 A a b c A a b c e ee e . Tìm 2 .3 ab bằng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với biến Xc TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 214 Tài liệu lưu hành nội bộ w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10= 1= Ta được 31 8 2 .3 2.66 6 2 .3 3; 1 3 ab ab với 1 Xc . 3 1 1 3 P a b c Đáp số chính xác là A Bài 6-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ 2 1 tx đưa tích phân 2 2 2 3 1 dx I xx thành tích phân nào sau đây ? A. 2 2 2 3 1 dt t B. 1 2 1 3 1 dt t C. 2 2 2 3 1 dt tt D. 1 2 1 3 1 dt tt GIẢI Tính giá trị tích phân 2 2 2 3 12 1 dx I xx ya1RQ)sQ)dp1Ra2Rs3EEs2= Tích phân nào có giá trị bằng 12 thì đó là đáp án đúng. Ta có đáp án B có giá trị : 1 2 1 3 12 1 dt t qw4ya1RQ)d+1Ra1Rs3EE1= Đáp số chính xác là A Chú ý : Giá trị tích phân không thay đổi theo phép đổi biến (đặt ẩn phụ) Bài 7-[Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017] Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ 1 3cos tx đưa nguyên hàm sin 2 sin 1 3cos xx I dx x thành nguyên hàm nào sau đây ? A. 2 21 t dt t B. 2 1 2 1 9 t dt t C. 21 t dt t D. 1 2 1 9 t dt t GIẢI Chọn cận 0 và 2 . Tính giá trị tích phân 2 0 sin 2 sin 1 3cos xx I dx x yaj2Q))+jQ))Rs1+3kQ))R0 EaqKR2= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 215 Tài liệu lưu hành nội bộ Tiến hành đổi biến thì phải đổi cận 0 1 cos3 4 1 2 x t x xt Với đáp số D ta có 1 4 1 2 1 9 t dt t a1R9$yap2Q)p1RsQ)R4E1=n n Đáp số chính xác là D Chú ý : Chọn cận thế nào cũng được tuy nhiên nên chọn cận x sao cho t đẹp. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 216 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 24. TÍNH NHANH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG – MẶT. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng Cho hai đường thẳng d và ' d có hai vecto chỉ phương d u và ' d u và có hai điểm ,' MM thuộc hai đường thẳng trên. ' dd nếu ' . dd u k u và có không có điểm chung ' dd nếu ' . dd u k u và có một điểm chung d cắt ' d nếu d u không song song ' d u và ' ' , 0 dd MM u u d chéo ' d nếu d u không song song ' d u và ' ' , 0 dd MM u u 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng P có vecto chỉ phương d u và vecto pháp tuyến P n dP nếu d u P n và không có điểm chung dP nếu d u P n và có điểm chung dP nếu . dP u k n 3. Lệnh Caso Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz đường thẳng 1 1 1 1 : 2 1 3 x y z d và đường thẳng 2 3 2 2 : 2 2 1 x y z d . Vị trí tương đối của 12 , dd là : A.Cắt nhau B.Song song C.Chéo nhauD. Vuông góc GIẢI Ta thấy 1 2;1; 3 d u không tỉ lệ 2 2;2; 1 d u 12 , dd không song song hoặc trùng nhau Lấy 1 1;1; 1 M thuộc 1 d , lấy 2 3; 2; 2 M thuộc 2 d ta được 12 2; 3; 1 MM Xét tích hỗn tạp 12 12 ; dd M M u u bằng máy tính Casio theo các bước : Nhập thông số các vecto 12 12 ,, dd M M u u vào các vecto A, vecto B, vecto C w811p2=p3=p1=w8212=1= p3=w8312=2=p1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 217 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính 12 12 ; dd M M u u Wq53q57(q54Oq55)= Ta thấy 12 12 ;0 dd M M u u hai đường thẳng 12 , dd đồng phẳng nên chúng cắt nhau Đáp số chính xác là A VD2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 2r : 2 3 54 x d y t zt và 73 ': 2 2 12 xm d y m zm A.Chéo nhau B.Cắt nhau C.Song song D.Trùng nhau GIẢI Ta có hai vecto chỉ phương 2; 3;4 d u và ' 3;2; 2 d u không tỉ lệ với nhau Không song song hoặc trùng nhau Đáp án C và D là sai Chọn hai điểm 1; 2;5 M thuộc d và ' 7; 2;1 M thuộc ' d . Xét tích hỗn tạp 12 12 ; dd M M u u bằng máy tính Casio theo các bước : Nhập thông số các vecto 12 12 ,, dd M M u u vào các vecto A, vecto B, vecto C w8117p1=p2p(p2)=1p5=w 8212=p3=4=w8313=2=p2= Tính 12 12 ; dd M M u u Wq53q57(q54Oq55)= Ta thấy 12 12 ; 64 0 dd M M u u hai đường thẳng ,' dd không đồng phẳng nên chúng chéo nhau Đáp số chính xác là A TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 218 Tài liệu lưu hành nội bộ VD3-[Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 15 : 1 3 1 x y z d và mặt phẳng :3 3 2 6 0 P x y z . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. d cắt và không vuông góc với P B. dP C. d song song với P D. d nằm trong P GIẢI Ta có 1; 3; 1 d u và 3; 3;2 P n . Nhập hai vecto này vào máy tính Casio w8111=p3=p1=w8213=p3= 2= Xét tích vô hướng . 10 dP un d u không vuông góc với P n , dP không thể song song hoặc trùng nhau Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B Wq53q57q54= Lại thấy , dP un không song song với nhau d không thể vuông góc với P Đáp số B sai Vậy đáp án chính xác làA VD4-[Câu 63 Sách bài tập hình học nâng cao trang 132] Xét vị trí tương đối của đường thẳng 9 1 3 : 8 2 3 x y z d và đường thẳng : 2 4z 1 0 xy A. d cắt và không vuông góc với P B. dP C. d song song với P D. d nằm trong P GIẢI Ta có 8;2;3 d u và 1;2; 4 P n . Nhập hai vecto này vào máy tính Casio w8118=2=3=w8211=2=p4= Xét tích vô hướng .0 d un d u vuông góc với P n , dP chỉ có thể song song hoặc trùng nhau Đáp số đúng chỉ có thể là C hoặc D Wq53q57q54= Lấy một điểm M bất kì thuộc d ví dụ như 9;1;3 M ta thấy M cũng thuộc d và có điểm chung d thuộc Vậy đáp án chính xác làD TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 219 Tài liệu lưu hành nội bộ VD5-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Tìm m để mặt phẳng : 2 3 6 0 P x my z m song song với mặt phẳng : 3 2 5 1 10 0 Q m x y m z A. 1 m B. 1 m C. 9 10 m D.Không tồn tại m GIẢI Ta có hai vecto pháp tuyến 2; ,3 P nm và 3; 2;5 1 Q n m m Để . PQ P Q n k n 23 3 2 5 1 m k mm (1) Với 1 m ta có 2 k thỏa (1) Thử lại ta thấy hai mặt phẳng có dạng : 2 3 5 0 : 2 2 6 10 0 P x y z Q x y z Nhận thấy PQ Đáp án A sai Với 9 10 m ta có 20 21 k không thỏa mãn (1) 9 10 m không nhận C và B đều sai Đáp án D là chính xác VD6-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng 12 :1 23 xt dy zt và mặt phẳng : 2 2 0 P x y z . Giao điểm M của d và P có tọa độ : A. 3;1; 5 M B. 2;1; 7 M C. 4;3;5 M D. 1;0;0 M GIẢI Điểm M thuộc d nên có tọa độ 1 2 ;1; 2 2 M t t . Điểm M cũng thuộc mặt phẳng P nên tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng P 2 1 2 1 2 3 2 0 tt Công việc trên là ta sẽ nhẩm ở trong đầu , để giải bài toán ta dùng máy tính Casio luôn : 2(1+2Q))+1+(p2p3Q))p2 qr1= Ta tìm được luôn 1 t vậy 1 2 3 xt Đáp án chính xác làA VD7-[Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm 1;0;2 A và đường thẳng 11 : 1 1 2 x y z d . Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc và cắt d A. 12 1 1 1 x y z B. 12 1 1 1 x y z C. 12 2 2 1 x y z D. 12 1 3 1 x y z GIẢI Đường thẳng cắt d tại điểm B . Vì B thuộc d nên có tọa độ 1 ; ; 1 2t B t t TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 220 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta có : . 0 . 0 d d d d u u u u AB u Với 1 1; 0; 1 2 2 AB t t t và 1;1;2 d u ta có : .0 d AB u 1. 1 1 1 0 2 1 2 2 0 t t t Đó là việc nhẩm ở trong đầu hoặc viết ra nháp, nhưng nếu dùng máy tính Casio ta sẽ bấm luôn : 1O(1+Q)p1)+1O(Q)p0)+2 O(p1+2Q)p2)qr1= Ta được luôn 1 2;1;1 1;1; 1 t B u AB Đáp án chính xác làB VD8-[Câu 74 Sách bài tập hình học nâng cao 12 năm 2017] Cho hai điểm 3;1;0 A , 9;4; 9 B và mặt phẳng : 2 1 0 x y z . Tìm tọa độ của M trên sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất. A. 5 1;1; 2 M B. 1 2; ; 2 2 M C. 33 1; ; 22 M D. 55 ; ;3 44 M GIẢI Nếu ,, A B M không thẳng hàng sẽ thì ba điểm trên sẽ lập thành một tam giác. Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có MA MB AB Nếu ba điểm trên thẳng hàng thì ta có MA MB AB nếu , AB nằm khác phía với (điều này đúng) . Theo yêu cầu của đề bài thì rõ ràng ,, A B M thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB và Ta có : 3 12 : 1 3 9 xt AB y t zt 3 12 ;1 3 ; 9 M t t t Tìm t bằng máy tính Casio : 2(3p12Q))p(1+3Q))+p9Q )+1qr1= Ta được 1 3 3 1; ; 6 2 2 tM Đáp án chính xác là C III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng 24 :1 23 yz dx và mặt phẳng : 2 4 6 2017 0 x y z . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 221 Tài liệu lưu hành nội bộ A. d B. d cắt nhưng không vuông góc với C. d D. d nằm trên Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 1 :2 22 xt d y t zt và 2' ': 1 ' 1 xt d y t z . Vị trí tương đối của hai đường thẳng là : A.Chéo nhau B.Cắt nhau C.Song song D.Trùng nhau Bài 3-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình : 10 2 2 5 1 1 x y z Xét mặt phẳng :10 2 11 0 P x y mz với m là tham số thực . Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng A. 2 m B. 2 m C. 52 m D. 52 m Bài 4-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho mặt phẳng : 3 0 P x y z và đường thẳng 12 :2 1 xt yt zt . P và cắt nhau tại điểm có tọa độ A. 1;2; 1 B. 0; 1;3 C. 1;3; 2 D. 3;1;0 Bài 5-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm 1;0;0 A , 0;2;0 B , 0;0;3 C và đường thẳng :2 3 xt d y t zt . Cao độ giao điểm của d và mặt phẳng ABC là : A. 3 B. 6 C. 9 D. 6 Bài 6-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng : 7 6 4 0 P nx y z , :3 2 7 0 Q x my z song song với nhau. Khi đó giá trị , mn thỏa mãn là : A. 7 ,1 3 mn B. 7 9, 3 mn C. 3 ,9 7 mn D. 7 ,9 3 mn LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng 24 :1 23 yz dx và mặt phẳng : 2 4 6 2017 0 x y z . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. d B. d cắt nhưng không vuông góc với C. d D. d nằm trên GIẢI Nhập vecto chỉ phương 1;2;3 d u và vecto pháp tuyến 2;4;6 n vào máy tính Casio w8111=2=3=w8212=4=6= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 222 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính tích vô hướng . 28 0 d un d u không vuông góc n d và không thể song song và không thể trùng nhau Wq53q57q54= Lại thấy tỉ lệ 1 2 3 2 4 6 d un d Vậy đáp số chính xác là C Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 1 :2 22 xt d y t zt và 2' ': 1 ' 1 xt d y t z . Vị trí tương đối của hai đường thẳng là : A.Chéo nhau B.Cắt nhau C.Song song D.Trùng nhau GIẢI Vì Xét hai vecto chỉ phương 1; 1; 2 d u và ' 1; 1;0 d u không tỉ lệ với nhau Hai đường thẳng d và ' d không thể song song hoặc trùng nhau Đáp án C và D loại Lấy hai điểm thuộc hai đường thẳng là 1;2; 2 M và ' 2;1;1 M . Nhập ba vecto vào casio w8112p1=1p2=1p(p2)=w852 11=p1=p2=w8311=p1=0= Xét tích hỗn tạp ' ' ; 0 dd MM u u Wq53q.oq57(q54Oq55)= ,' dd đồng phẳng (nằm trên cùng một mặt phẳng) d cắt ' d Đáp án chính xác là B Bài 3-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình : 10 2 2 5 1 1 x y z Xét mặt phẳng :10 2 11 0 P x y mz với m là tham số thực . Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng A. 2 m B. 2 m C. 52 m D. 52 m GIẢI Ta có vecto chỉ phương 5;1;1 u và vecto pháp tuyến 10;2; P nm Để mặt phẳng P thì P n tỉ lệ với u (song song hoặc trùng nhau) TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 223 Tài liệu lưu hành nội bộ 10 2 5 1 1 m 2 m Vậy đáp số chính xác là B Bài 4-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho mặt phẳng : 3 0 P x y z và đường thẳng 12 :2 1 xt yt zt . P và cắt nhau tại điểm có tọa độ A. 1;2; 1 B. 0; 1;3 C. 1;3; 2 D. 3;1;0 GIẢI Gọi giao điểm là M , vì M thuộc nên 1 2 ;2 ; 1 M t t t Tọa độ M thỏa mãn phương trình mặt phẳng P nên ta có thể sử dụng máy tính Casio tìm luôn ra t w11(1+2Q))p3(2pQ))+(p1+ Q))qr1= 1 3;1 ;0 tM Đáp số chính xác là D Bài 5-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm 1;0;0 A , 0;2;0 B , 0;0;3 C và đường thẳng :2 3 xt d y t zt . Cao độ giao điểm của d và mặt phẳng ABC là : A. 3 B. 6 C. 9 D. 6 GIẢI Mặt phẳng ABC đi qua 3 điểm thuộc 3 trục tọa độ vậy sẽ có phương trình là : 1 1 2 3 x y z 6 3 2 1 0 x y z . Gọi giao điểm là ;2 ;3 M t t t . Sử dụng máy tính Casio tìm t 6O(pQ))+3O(2+Q))+2(3+Q) )p6qr1= Vậy 39 zt Đáp số chính xác là C Bài 6-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng : 7 6 4 0 P nx y z , :3 2 7 0 Q x my z song song với nhau. Khi đó giá trị , mn thỏa mãn là : A. 7 ,1 3 mn B. 7 9, 3 mn C. 3 ,9 7 mn D. 7 ,9 3 mn GIẢI TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 224 Tài liệu lưu hành nội bộ Để 2 mặt phẳng song song với nhau thì 2 vecto chỉ phương của chúng song sóng hoặc trùng nhau ;7; 6 P nn tỉ lệ với 3; ; 2 Q nm 76 33 n k m Ta thu được tỉ lệ 3 k từ đó suy ra 7 9; 3 nm Đáp số chính xác là D TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 225 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 25. TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm 0 0 0 ;; M x y z và mặt phẳng :0 P Ax By Cz D thì khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P được tính theo công thức 0 0 0 2 2 2 ; Ax By Cz D d M P A B C 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm 0 0 0 ;; M x y z và đường thẳng : N N N x x y y z z d a b c thì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được tính theo công thức 2; ; MN u d M d u Trong đó ;; u a b c là vecto chỉ phương của d và ;; N N N N x y z là một điểm thuộc d 3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau : M M M x x y y z z d a b c và ' ' ' ': ' ' ' M M M x x y y z z d a b c thì khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau này được tính theo công thức ' ' .; ;' ; dd dd MN u u d d d uu Trong đó ;; u a b c là vecto chỉ phương của d và ;; M M M M x y z là một điểm thuộc d '; '; ' u a b c là vecto chỉ phương của d và ' ' ' ' ; ; M M M M x y z là một điểm thuộc ' d 4. Lệnh Caso Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng :3 4 2 4 0 P x y z và điểm 1; 2;3 A . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P A. 5 9 d B. 5 29 d C. 5 29 d D. 5 3 d GIẢI Ta nhớ công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng : P TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 226 Tài liệu lưu hành nội bộ 0 0 0 2 2 2 ; Ax By Cz D d M P A B C Áp dụng cho điểm 1 ; 2;3 A và :3 4 2 4 0 P x y z ta sử dụng máy tính để bấm luôn : 5 29 5 ; 29 29 d M P aqc3O1+4O(p2)+2O3+4Rs 3d+4d+2d= Đáp số chính xác là C VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Tìm m để khoảng cách từ 1;2;3 A đến mặt phẳng : 3 4 0 P x y z m bằng 26 A. 7 m B. 18 m C. 20 m D. 45 m GIẢI Thiết lập phương trình khoảng cách : 2 2 2 1.1 3.2 4.4 ; 26 1 2 3 m d A P 2 2 2 1.1 3.2 4.4 26 0 1 2 3 m (việc này ta chỉ làm ở trong đầu) Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập vế trái của phương trình vào rồi sử dụng chức năng SHIFT SOLVE. w1aqc1O1+3O2+4O3+Q)Rs 1d+3d+4d$$ps26qr1= Ta thu được kết quả 7 m Đáp số chính xác là A VD3-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 12 : 1 2 3 x y z d và mặt phẳng : 2 2 3 0 P x y z . M là điểm có hoành độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến P bằng 2. Tọa độ điểm M là : A. 2;3;1 M B. 1;5; 7 M C. 2; 5; 8 M D. 1; 3; 5 M GIẢI Ta biêt điểm M thuộc d nên có tọa độ 1 ; 1 2 ; 2 3 M t t t (biết được điều này sau khi chuyển d về dạng tham số : 1 2 23 xt d y t zt Thiết lập phương trình khoảng cách : ;2 d M P 2 22 2 1 2 2 2 3 3 2 1 2 2 t t t Nghĩ được tới đây thì ta có thể sử dụng Casio để tính rồi. Ta bấm ngắn gọn như sau TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 227 Tài liệu lưu hành nội bộ qcQ)+2(p1+2Q))p2(p2+3 Q))+3R3$p2qrp5= Khi đó 1 1; 3 t x y Đáp số chính xác là D VD4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có tâm 2;1;1; I và mặt phẳng : 2 2 2 0 P x y z . Biết mặt phẳng P cắt mặt cấu S theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 1 . Viết phương trình mặt cầu S . A. 2 2 2 2 1 1 8 x y z B. 2 2 2 2 1 1 10 x y z C. 2 2 2 2 1 1 8 x y z D. 2 2 2 2 1 1 10 x y z GIẢI Mặt cầu 2 2 2 2 x a y b z c R sẽ có tâm ;; I a b c . Vì mặt cầu S có tâm 2;1;1 I nên nó chỉ có thể là đáp án C hoặc D Ta hiểu : Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo một giao tuyến là đường tròn bán kính 1 r sẽ thỏa mãn tính chất 2 2 2 R h r với h là khoảng cách từ tâm I tới mặt phẳng. Tính tâm 2 R bằng Casio. (aqc2O2+1O1+2O1+2Rs2d +1d+2d$$)d+1d= 2 10 R Đáp số chính xác là D VD5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 122 : 1 2 2 x y z d . Tính khoảng cách từ điểm 2;1; 1 M tới d A. 5 3 B. 52 2 C. 2 3 D. 52 3 GIẢI Nhắc lại : Đường thẳng d có vecto chỉ phương 1;2; 2 d u và đi qua điểm 1;2; 2 N có khoảng cách từ M đến d tính theo công thức : ; ; MN u d M d u Để tính khoảng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập hai vecto , d MN u vào máy tính. TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 228 Tài liệu lưu hành nội bộ w8111p(p2)=2p1=p2pp1= w8211=2=p2= Tính 52 ; 2.357022604 3 d M d Wqcq53Oq54)Pqcq54)= Đáp số chính xác là D VD6-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 :1 2 xt d y mt zt và mặt cầu 2 2 2 : 2 6 4 13 0 S x y z x y z . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt S tại hai điểm phân biệt? A. 5 B. 3 C. 2 D.1 GIẢI Mặt cầu 2 2 2 : 1 3 2 1 S x y z có tâm 1; 3;2 I bán kính 1 R Đường thẳng d đi qua 2;1;0 M và có vecto chỉ phương 1; ; 2 um Ta hiểu : Đường thẳng d cắt mặt cầu S tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng cách từ tâm I (của mặt cầu S ) đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (của mặt cầu S ) ; 1 IM u u 22 2 2 22 8 2 0 4 2 1 12 mm m 22 2 2 22 8 2 0 4 2 10 12 mm m Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình : w7as(8p2Q))d+(4pQ))dR sQ)d+5$$p1==p9=10=1= Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của m là 3; 4; 5; 6; 7 Đáp án chính xác là A VD7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 229 Tài liệu lưu hành nội bộ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng 2 :1 2 xt d y mt zt và mặt cầu 2 2 2 : 2 6 4 13 0 S x y z x y z . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt S tại hai điểm phân biệt? A. 5 B. 3 C. 2 D.1 GIẢI Mặt cầu 2 2 2 : 1 3 2 1 S x y z có tâm 1; 3;2 I bán kính 1 R Đường thẳng d đi qua 2;1;0 M và có vecto chỉ phương 1; ; 2 um Ta hiểu : Đường thẳng d cắt mặt cầu S tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng cách từ tâm I (của mặt cầu S ) đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (của mặt cầu S ) ; 1 IM u u 22 2 2 22 8 2 0 4 2 1 12 mm m 22 2 2 22 8 2 0 4 2 10 12 mm m Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình : w7as(8p2Q))d+(4pQ))dR sQ)d+5$$p1==p9=10=1= Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của m là 3; 4; 5; 6; 7 Đáp án chính xác làA VD8-[Câu 68 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho đường thẳng d đi qua điểm 0;0;1 M , có vecto chỉ phương 1;1;3 u và mặt phẳng có phương trình 2 5 0 x y z . Tính khoảng cách giữa d và A. 2 5 B. 4 3 C. 3 2 D. 6 5 GIẢI Ta thấy : . 1.2 1.1 3. 1 0 P un d chỉ có thể song song hoặc trùng với Khi đó khoảng cách giữa d và là khoảng cách từ bất kì 1 điểm M thuộc d đến Ta bấm : aqc0+0p1+5Rs2d+1d+2d= Đáp án chính xác làB VD9-[Câu 92 Sách bài tập hình học nâng cao 12] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 230 Tài liệu lưu hành nội bộ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 3 : 1 2 4 xt yt z . Gọi ' là giao tuyến của 2 mặt phẳng : : 3 0 P x y z và : 4 0 Q x y z . Tính khoảng cách giữa ,' A. 12 15 B. 25 21 C. 20 21 D. 16 15 GIẢI Đường thẳng ' có vecto chỉ phương ' ; 2;2;4 PQ u n n w8111=p3=1=w8211=1=p1 =Wq53Oq54= Và ' đi qua điểm ' 0;2;6 M Đường thẳng có vecto chỉ phương 1;2;0 u và đi qua điểm 3; 1;4 M Ta hiểu : khoảng cách giữa hai đường thẳng chỉ tồn tại khi chúng song song hoặc chéo nhau Kiểm tra sự đồng phẳng của 2 đường thẳng trên bằng tích hỗn tạp ' ; ' MM u u Nhập ba vecto ', , ' MM u u vào máy tính Casio w811p3=3=2=w8211=2=0= w8312=2=4= Xét tích hỗn tạp ' ; ' 40 0 MM u u ,' chéo nhau Tính độ dài hai đường thẳng chéo nhau ,' ta có công thức : ' ; ' 20 4.3640.. 21 ;' MM u u d uu Wqcp40)Pqcq54Oq55)= Đáp án chính xác là C VD9-[Câu 25 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hai đường thẳng 2 1 3 : 1 2 2 x y z d và 1 1 1 ': 1 2 2 x y z d . Khoảng cách giữa hai đường thẳng ,' dd là : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 231 Tài liệu lưu hành nội bộ A.42 B. 42 3 C. 4 3 D.23 GIẢI Đường thẳng d có vecto chỉ phương 1;2;2 u và đi qua điểm 2; 1; 3 M Đường thẳng ' d đi qua điểm ' 1;1; 1 M Dễ thấy hai đường thẳng ,' dd song song với nhau nên khoảng cách từ ' d đến d chính là khoảng cách từ điểm ' M (thuộc ' d ) đến d . Gọi khoảng cách cần tìm là h ta có '; 42 1.8856... 3 MM u h u w811p1=2=2=w8 211=2=2=Wqcq53Oq54)Pq cq54)= Đáp án chính xác là B VD10-[Câu 26 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hai đường thẳng 2 :1 2 xt d y t zt và 2 2 ' ': 3 ' xt dy zt . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và ' d có phương trình : A. 5 2 12 0 x y z B. 5 2 12 0 xyz C. 5 2 12 0 x y z D. 5 2 12 0 x y z GIẢI Đường thẳng d có vecto chỉ phương 1; 1;2 u và đi qua điểm 2;1;0 M Đường thẳng ' d có vecto chỉ phương ' 2;0;1 u và đi qua điểm ' 2;3;0 M Dễ thấy hai đường thẳng ,' dd cheo nhau nên mặt phẳng P cách đều hai đường thẳng trên khi mặt phẳng đó đi qua trung điểm ' MM và song song với cả 2 đường thẳng đó. . Mặt phẳng P song song với cả 2 đường thẳng nên nhận vecto chỉ phương của 2 đường thẳng là cặp vecto chỉ phương. ; ' 1; 5; 2 P n u u w8111=p1=2=w821p2=0=1 =Wq53Oq54= P lại đi qua trung điểm 2;2;0 I của ' MM nên : 5 2z 12 0 P x y Đáp án chính xác là D Bài 1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm 1;2; 1 I và tiếp xúc với mặt phẳng : 2 2z 8 0 P x y ? TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 232 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 2 2 2 1 2 1 3 x y z B. 2 2 2 1 2 1 3 x y z C. 2 2 2 1 2 1 9 x y z D. 2 2 2 1 2 1 9 x y z Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017] Tìm điểm M trên đường thẳng 1 :1 2 xt d y t zt sao cho 6 AM với 0;2; 2 A : A. 1;1;0 2;1; 1 B. 1;1;0 1;3; 4 C. 1;3; 4 2;1; 1 D.Không có M thỏa Bài 3-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho : 2 0 P x y z m và 1;1;3 A . Tìm m để ;6 d A P A. 2 4 m m B. 3 9 m m C. 2 10 m m D. 3 12 m m Bài 4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm 2;3;1 A và 5; 6; 2 B . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số MA MB A. 1 2 MA MB B. 2 MA MB C. 1 3 MA MB D. 3 MA MB Bài 5-[Câu 67 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách từ điểm 2;3; 1 M đến đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 1 0 x y z và ' : 3 2z 2 0 xy . A. 215 24 B. 205 15 C. 205 15 D. 215 24 Bài 6-[Câu 9 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho 1;1;3 A , 1;3;2 B , 1;2;3 C . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ABC là : A. 3 B. 3 C. 3 2 D. 3 2 Bài 7-[Câu 69b Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng 1 3 4 : 2 1 2 x y z d và 2 1 1 ': 4 2 4 x y z d A. 127 4 B. 127 4 C. 386 3 D. 386 3 Bài 8-[Câu 69c Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng 1 2 3 : 1 2 3 x y z d và 2 ': 1 xt d y t zt A. 27 7 B. 42 3 C. 26 13 D. 24 11 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm 1;2; 1 I và tiếp xúc với mặt phẳng : 2 2z 8 0 P x y ? TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 233 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 2 2 2 1 2 1 3 x y z B. 2 2 2 1 2 1 3 x y z C. 2 2 2 1 2 1 9 x y z D. 2 2 2 1 2 1 9 x y z GIẢI Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P khi ; d I P R aqc1p4+2p8Rs1d+2d+2d= 2 ; 3 9 d I P R Đáp số chỉ có thể là C hoặc D Mà ta lại có tâm mặt cầu là 1;2; 1 I 2 2 2 : 1 2 1 9 S x y z Vậy đáp số chính xác là D Bài 2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017] Tìm điểm M trên đường thẳng 1 :1 2 xt d y t zt sao cho 6 AM với 0;2; 2 A : A. 1;1;0 2;1; 1 B. 1;1;0 1;3; 4 C. 1;3; 4 2;1; 1 D.Không có M thỏa GIẢI Gọi điểm M thuộc d có tọa độ theo t là 1 ;1 ;2 M t t t Ta có 2 6 6 6 0 AM AM AM Sử dụng máy tính Casio tìm t (1+Q)p0)d+(1pQ)p2)d+(2Q )+2)dp6qr5=qrp5= Ta tìm được hai giá trị của t Với 0 1;1;0 tM , với 2 1;3; 4 tM Đáp án chính xác là B Bài 3-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho : 2 0 P x y z m và 1;1;3 A . Tìm m để ;6 d A P A. 2 4 m m B. 3 9 m m C. 2 10 m m D. 3 12 m m GIẢI Thiết lập phương trình khoảng cách ;6 d A P 222 2.1 1 3 6 2 1 1 m Đó là khi ta nhẩm, nếu vừa nhẩm vừa điền luôn vào máy tính thì làm như sau (để tiết kiệm thời gian) aqc2p1+3pQ)Rs2d+1d+1d TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 234 Tài liệu lưu hành nội bộ Tìm nghiệm ta sử dụng chức năng CALC xem giá trị nào của m làm vế trái 6 thì là đúng rp2= Chỉ có A hoặc C là đúng r4= Giá trị 4 m không thỏa mãn vậy đáp án A sai Đáp án chính xác là C Bài 4-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm 2;3;1 A và 5; 6; 2 B . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số MA MB A. 1 2 MA MB B. 2 MA MB C. 1 3 MA MB D. 3 MA MB GIẢI Mặt phẳng Oxz có phương trình 0 y Để tính tỉ số MA MB ta sử dụng công thức tỉ số khoảng cách (đã gặp ở chuyên đề hình học không gian ) Ta có : ; ; d A Oxz MA MB d B Oxz bất kể hai điểm , AB cùng phía hay khác phía so với Oxz Ta có thể dùng máy tính Casio tính ngay tỉ số này w1aqc0+3+0Rqc0+p6+0= Ta hiểu cả hai mẫu số của hai phép tính khoảng cách đều như nhau nên ta triệt tiêu luôn mà không cần cho vào phép tính của Casio Đáp số chính xác là A Bài 5-[Câu 67 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách từ điểm 2;3; 1 M đến đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 1 0 x y z và ' : 3 2z 2 0 xy . A. 215 24 B. 205 15 C. 205 15 D. 215 24 GIẢI d là giao tuyến của hai mặt phẳng và ' nên cùng thuộc 2 mặt phẳng này vecto chỉ phương u của đường thẳng d vuông góc với cả 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng trên. ' ; 8; 4;2 u n n w8111=1=p2=w8210=3=2=Wq 53Oq54= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 235 Tài liệu lưu hành nội bộ Gọi điểm ; ;0 N x y thuộc đường thẳng d 53 ; ;0 22 N Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là : ; 205 3.8265... 14 MN u h u w8115P2p2=p3P2p3=0pp1=w 8218=p4=2=Wqcq53Oq54)Pq cq54)= Đáp số chính xác là B Bài 6-[Câu 9 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho 1;1;3 A , 1;3;2 B , 1;2;3 C . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ABC là : A. 3 B. 3 C. 3 2 D. 3 2 GIẢI Vecto pháp tuyến của ABC là ; 1;2;2 n AB AC w811p2=2=p1=w821p2=1=0= Wq53Oq54= :1 1 2 1 2 3 0 ABC x y z 2 3z 9 0 xy Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC là 222 0 0 0 9 3 1 2 2 h Đáp số chính xác là B Bài 7-[Câu 69b Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng 1 3 4 : 2 1 2 x y z d và 2 1 1 ': 4 2 4 x y z d A. 127 4 B. 127 4 C. 386 3 D. 386 3 GIẢI Đường thẳng d đi qua điểm 1; 3;4 M và có vecto chỉ phương 2;1; 2 Đường thẳng ' d đi qua điểm ' 2;1; 1 M và có vecto chỉ phương 4; 2;4 Dễ thấy 2 đường thẳng trên song song với nhau Khoảng cách cần tìm là khoảng cách tứ ' M đến d '; 386 6.5489... 3 M M u u w811p3=4=p5=w8212=1=p2= Wqcq53Oq54)Pqcq54)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 236 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp số chính xác là D Bài 7-[Câu 69b Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng 1 3 4 : 2 1 2 x y z d và 2 1 1 ': 4 2 4 x y z d A. 127 4 B. 127 4 C. 386 3 D. 386 3 GIẢI Đường thẳng d đi qua điểm 1; 3;4 M và có vecto chỉ phương 2;1; 2 Đường thẳng ' d đi qua điểm ' 2;1; 1 M và có vecto chỉ phương 4; 2;4 Dễ thấy 2 đường thẳng trên song song với nhau Khoảng cách cần tìm là khoảng cách tứ ' M đến d '; 386 6.5489... 3 M M u u w811p3=4=p5=w8212=1=p2= Wqcq53Oq54)Pqcq54)= Đáp số chính xác là D Bài 8-[Câu 69c Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng 1 2 3 : 1 2 3 x y z d và 2 ': 1 xt d y t zt A. 27 7 B. 42 3 C. 26 13 D. 24 11 GIẢI Đường thẳng d đi qua điểm 1;2;3 M và có vecto chỉ phương 1;2;3 u Đường thẳng ' d đi qua điểm ' 2; 1;0 M và có vecto chỉ phương ' 1;1;1 u Dễ thấy 2 đường thẳng trên chéo nhau Khoảng cách cần tìm là ' ; ' 26 0.3922... 13 ;' MM u u uu w8111=p3=p3=w8211=2=3=w 831p1=1=1=Wqcq53q57(q54 Oq55))Pqcq54Oq55)= Đáp số chính xác là C TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 235 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 26. TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm 0 0 0 ;; M x y z và mặt phẳng :0 P Ax By Cz D thì hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng P là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng P là đường thẳng qua M và vuông góc với P ( nhận P n làm u ) 2. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một đường thẳng Cho điểm 0 0 0 ;; M x y z và đường thẳng : N N N x x y y z z d a b c thì hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d là điểm H thuộc d sao cho .0 dd MH u MHu 3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng đến một mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng P . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d đến mặt phẳng P là giao điểm của mặt phẳng và mặt phẳng P là mặt phẳng đi chứa d và vuông góc với P nhận d u và P n là cặp vecto chỉ phương chứa mọi điểm nằm trong đường thẳng d 4. Lệnh Caso Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh lần 1 năm 2017] Cho mặt phẳng :3 2 6 0 x y z và điểm 2; 1;0 A . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng có tọa độ A. 2; 2;3 B. 1;1; 2 C. 1 ;0;3 D. 1;1; 1 GIẢI Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên Đướng thẳng AH song song với vecto pháp tuyến 3; 2;1 n của 23 : 1 2 xt AH y t zt Tọa độ điểm 2 3 ; 1 2 ;1 A t t t (Phần này ta dễ dàng nhẩm được mà không cần nháp) Để tìm t ta chỉ cần thiết lập điều kiện A thuọc là xong TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 236 Tài liệu lưu hành nội bộ 3(2+3Q))p2(p1p2Q))+Q) +6qr1= 1 1;1; 1 tH Đáp số chính xác là D VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Tìm tọa độ của điểm ' M đối xứng với điểm 3;3;3 M qua mặt phẳng : 1 0 P x y z A. 111 ' ; ; 333 M B. 111 ' ; ; 333 M C. 777 ' ; ; 333 M D. 777 ' ; ; 333 M GIẢI Tương tự ví dụ 1 ta nhẩm được tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên P là 3 ;3 ;3 M t t t Tính t bằng Casio. 3+Q)+3+Q)+3+Q)p1qr1= Ta thu được 8 1 1 1 ;; 3 3 3 3 tH Ví ' A đối xứng với M qua H nên H là trung điểm của ' MM . Theo quy tắc trung điểm ta suy ra được 777 ' ; ; 333 M . Đáp số chính xác là C VD3-[Thi thử THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 3 1 1 : 2 1 2 x y z d và điểm 1;2; 3 M . Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d là : A. 1;2; 1 H B. 1; 2; 1 H C. 1; 2; 1 H D. 1;2;1 H GIẢI Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d . Đường thẳng d có phương trình tham số 3 1 12 xt yt zt Tọa độ 3 2 ; 1 ;1 2 H t t t MH d .0 d MHu với 2;1;2 d u Sử dụng máy tính Casio bấm : 2(3+2Q)p1)+(p1+Q)p2)+ 2(1+2Q)pp3)qr1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 237 Tài liệu lưu hành nội bộ Khi đó 1 1; 2; 1 tH Đáp số chính xác là B VD4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 2 1 : 1 1 2 x y z d và điểm 2; 1;1 A . Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên . d Viết phương trình mặt cầu C có tâm I và đi qua A A. 22 2 3 1 20 x y z B. 22 2 3 1 5 x y z C. 2 2 2 1 2 1 20 x y z D. 2 2 2 1 2 1 14 x y z GIẢI Điểm I có tọa độ 1 ;2 ; 1 I t t t Thiết lập điều kiện vuông góc .0 d IAu p1(1pQ)p2)+(2+Q)pp1)+ 2(p1+2Q)p1)qr1= 0 1;2; 1 tI Với 1;2; 1 I và 2; 1;1 A ta có : 2 22 14 R IA IA w8112p1=p1p2=1pp1=Wqc q53)==d= Đáp số chính xác là D VD5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017] Cho đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y x d . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng Oxy là : A. 0 1 0 x yt z B. 12 1 0 xt yt z C. 12 1 0 xt yt z D. 12 1 0 xt yt z GIẢI Ta hiểu : Hình chiếu vuông góc ' d của d lên mặt phẳng Oxy là giao tuyến của mặt phẳng chứa d vuông góc với Oxy và mặt phẳng Oxy Mặt phẳng chứa d và vuông góc với Oxy nên nhận vecto chỉ phương 2;1;1 u của đường thẳng d và vecto pháp tuyến 0;0;1 Oxy n là cặp vecto chỉ phương TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 238 Tài liệu lưu hành nội bộ ; 1; 2;0 d Oxy n u n w8112=1=1=w8210=0=1=W q53Oq54= Hơn nữa đi qua điểm có tọa độ 1; 1;2 nên có phương trình : :1 1 2 1 0 2 0 x y z : 2 3 0 xy Phương trình của ' d có dạng : 2 3 0 :0 xy Oxy z . Chuyển sang dạng tham số ta có : ' ; 2; 1;0 d Oxy u n n w8111=p2=0=w8210=0=1= Wq53Oq54= Có 3 đáp án thỏa mãn vecto chỉ phương có tọa độ 2; 1;0 là B , C , D Tuy nhiên chỉ có đáp án B chứa điểm 1 ; 1 ;0 M và điểm này cũng thuộc ' d Đáp số chính xác là B VD6-[Câu 61 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng 7 3 2 :2 2 xt d y t zt trên : 2 2 2 0 x y z A. 3 5 2 4 2 1 y xz B. 3 5 2 4 2 1 y xz C. 3 5 2 2 4 2 1 y xz D. 3 5 2 4 2 1 y xz GIẢI Lập phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với ; 8;4;8 d n u n w8113=p2=p2=w8211=2=p 2=Wq53Oq54= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 239 Tài liệu lưu hành nội bộ đi qua điểm 7 ;0;0 2 nên có phương trình 7 8 8 8z 0 2 xy 2 2 2 7 0 x y z Ta có 2 2 2 7 0 ': 2 2 2 0 x y z d x y z Tính ' ; 8;6;2 d n n n 4;3;2 n cũng là vecto chỉ phương của ' d Đường thẳng ' d lại đi qua điểm 3 5; ;0 2 nên có phương trình : 3 5 2 4 2 1 y xz Đáp án chính xác là A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần 1 năm 2017] Hình chiếu vuông góc của 2;4;3 A lên mặt phẳng : 2 3 6 19 0 P x y z có tọa độ là : A. 1; 1;2 B. 20 37 3 ;; 7 7 7 C. 2 37 31 ;; 5 5 5 D. Kết quả khác Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng : 4 0 P x y z và điểm 1; 2; 2 M .Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng P A. 3;4;8 N B. 3;0; 4 N C. 3;0;8 N D. 3;4; 4 N Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017] Cho 5;1;3 , 5;1; 1 , 1; 3;0 , 3; 6;2 A B C D . Tọa độ của điểm ' A đối xứng với A qua mặt phẳng BCD là : A. 1;7;5 B. 1;7;5 C. 1; 7; 5 D. 1; 7;5 Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 12 : 2 2 3 x y z d và mặt phẳng : x y 2z 3 0 P . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P . A. 2 1 1 1 1 3 x y z B. 2 1 1 3 1 1 x y z C. 2 1 1 3 1 1 x y z D. 2 1 1 1 1 3 x y z Bài 5-[Câu 75 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm 1;3;2 , 4;0; 3 AB , 5; 1;4 C . Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng BC A. 77 9 12 ;; 17 17 17 B. 77 9 12 ;; 17 17 17 C. 77 9 12 ;; 17 17 17 D. 77 9 12 ;; 17 17 17 Bài 6-[Câu 76 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng của 3;1 ; 1 M qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 4 3 13 0 xy và : 2 5 0 yz A. 2; 5; 3 B. 2; 5;3 C. 5; 7; 3 D. 5; 7;3 Bài 7-[Câu 22 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 240 Tài liệu lưu hành nội bộ Cho đường thẳng 112 : 2 1 1 x y z d . Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa đọ Oxy là : A. 0 1 0 x yt z B. 12 1 0 xt yt z C. 12 1 0 xt yt z D. 12 1 0 xt yt z LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần 1 năm 2017] Hình chiếu vuông góc của 2;4;3 A lên mặt phẳng : 2 3 6 19 0 P x y z có tọa độ là : A. 1; 1;2 B. 20 37 3 ;; 7 7 7 C. 2 37 31 ;; 5 5 5 D. Kết quả khác GIẢI Đường thẳng chứa A và vuông góc với P có phương trình : 22 43 36 xt yt zt Điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên P nên có tọa độ 2 2 ;4 3 ;3 6 H t t t Tính t bằng Casio 2(p2+2Q))p3(4p3Q))+6(3 +6Q))+19qr1= Chuyển t về dạng phân thức qJz= Vậy 3 20 37 3 ;; 7 7 7 7 tH Vậy đáp số chính xác là B Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng : 4 0 P x y z và điểm 1; 2; 2 M .Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng P A. 3;4;8 N B. 3;0; 4 N C. 3;0;8 N D. 3;4; 4 N GIẢI Phương trình 1 :2 2 xt yt zt Tọa độ hình chiếu 1 ; 2 ; 2 H t t t Tìm t bằng Casio ta được 1 t 1+Q)p2+Q)p(p2pQ))p4qr1 = TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 241 Tài liệu lưu hành nội bộ Với 1 2; 1; 3 tH 3;0; 4 N Đáp án chính xác là B Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017] Cho 5;1;3 , 5;1; 1 , 1; 3;0 , 3; 6;2 A B C D . Tọa độ của điểm ' A đối xứng với A qua mặt phẳng BCD là : A. 1;7;5 B. 1;7;5 C. 1; 7; 5 D. 1; 7;5 GIẢI Tính vecto chỉ phương của BCD : ; 5; 10; 10 u BC BD w8111pp5=p3p1=0pp1=w821 3pp5=p6p1=2pp1=Wq53Oq54 = BCD qua 5;1; 1 B : 5 5 10 1 10 1 0 BCD x y z 2 2z 5 0 xy Gọi H là hình chiếu của A lên BCD 5 ;1 2 ;3 2 H t t t . Tính t w15+Q)+2(1+2Q))+2(3+2Q) )+5qr1= 2 3; 3; 1 tH ' 1; 7; 5 A Đáp án chính xác là C Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 12 : 2 2 3 x y z d và mặt phẳng : x y 2z 3 0 P . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng P . A. 2 1 1 1 1 3 x y z B. 2 1 1 3 1 1 x y z C. 2 1 1 3 1 1 x y z D. 2 1 1 1 1 3 x y z GIẢI Lập mặt phẳng chứa d và vuông góc với P ; 1; 7;4 dP n u n w8112=2=3=w821p1=1=2=Wq 53Oq54= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 242 Tài liệu lưu hành nội bộ : 1 7 4 2 0 7 4z 9 0 x y z x y Đường thẳng d có phương trình tổng quát 7 4z 9 0 2 3 0 xy x y z . Để so sánh kết quả ta phải chuyển phương trình đường thẳng d về dạng chính tắc Ta có : ; 18; 6; 6 dP u n n 3;1;1 u cũng là vecto chỉ phương của d w8111=p7=4=w821p1=1=2=W q53Oq54= Hơn nữa điểm 2;1; 1 M cũng thuộc d Phương trình chính tắc 2 1 1 : 3 1 1 x y z d Đáp số chính xác là C Bài 5-[Câu 75 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm 1;3;2 , 4;0; 3 AB , 5; 1;4 C . Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng BC A. 77 9 12 ;; 17 17 17 B. 77 9 12 ;; 17 17 17 C. 77 9 12 ;; 17 17 17 D. 77 9 12 ;; 17 17 17 GIẢI Đường thẳng BC nhân vecto 1; 1;7 BC là vecto chỉ phương và đi qua điểm 4;0; 3 B 4 : 37 xt BC y t zt Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên 4 ; t; 3 7 t BC H t Mặt khác .0 AH BC AH BC . w1(4+Q)pp1)p(pQ)p3)+7(p 3+7Q)p2)qr1= Chuyển t về dạng phân số qJz 9 77 9 12 ;; 17 17 17 17 tH Đáp số chính xác là A Bài 6-[Câu 76 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng của 3;1 ; 1 M qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 4 3 13 0 xy và : 2 5 0 yz A. 2; 5; 3 B. 2; 5;3 C. 5; 7; 3 D. 5; 7;3 GIẢI TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 243 Tài liệu lưu hành nội bộ d là giao tuyến của 2 mặt phẳng ; nên có phương trình tổng quát : 4 3 13 0 y 2 z 5 0 xy Vecto chỉ phương của d là ; 6;8;4 d u n n nhận 3;4;2 u là vecto chỉ phương w8114=p3=0=w8210=1=p2=W q53Oq54= Đường thẳng d có vecto đi qua điểm 4;1;3 N nên có phương trình tham số 43 14 32 xt yt zt Điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên có tọa độ 4 3 ;1 4 ;3 2 M t t t Mặt khác .0 MH d MHu w13(4+3Q)pp3)+4(1+4Q)p1 )+2(3+2Q)pp1)qr1= 1 1; 3;1 tH ' M đối xứng M qua d vậy H là trung điểm ' MM ' 5; 7;3 M Đáp số chính xác là D Bài 7-[Câu 22 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho đường thẳng 112 : 2 1 1 x y z d . Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa đọ Oxy là : A. 0 1 0 x yt z B. 12 1 0 xt yt z C. 12 1 0 xt yt z D. 12 1 0 xt yt z GIẢI Dưng mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với Oxy ; 1; 2;0 d Oxy n u n w8112=1=1=w8210=0=1=Wq5 3Oq54= Mặt phẳng chứa điểm 1; 1;2 N nên có phương trình là : : 1 2 1 0 2 0 2 3 0 x y z x y Đường thẳng ' d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng Oxy ' d là giao tuyến của và Oxy 2 3 0 ': 0 xy d z TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 244 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính ; 2; 1;0 d Oxy u n n nhận 2;1;0 u là vecto chỉ phương w8111=p2=0=w8210=0=1=Wq 53Oq54= Lại có ' d qua điểm có tọa độ 1; 1;0 12 ': 1 0 xt d y t z Đáp số chính xác là B TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 245 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 27. TÍNH NHANH THỂ TÍCH CHÓP, DIỆN TÍCH TAM GIÁC. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Ứng dụng tích có hướng tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có diện tích tam giác ABC tính theo công thức 1 ; 2 S AB AC Ứng dụng tính chiều cao AH của tam giác ABC : ; 2. ABC AB AC S AH BC BC 2. Ứng dụng tích có hướng tính thể tích hình chóp Thể tích hình chóp ABCD được tính theo công thức 1 ; 6 ABCD V AB AC AD Ứng dụng tính chiều cao AH của hình chóp ABCD : ; 3. ; ABCD BCD AB AC AD V AH S BC BD 3. Lệnh Caso Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 41 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016] Cho 4 điểm 1;0;1 A , 2;2;2 B , 5;2;1 C , 4;3; 2 . Tính thể tích tứ diện ABCD A. 6 B.12 C. 4 D. 2 GIẢI Nhập thông số ba vecto ,, AB AC AD vào máy tính Casio w8112p1=2p0=2p1=w8215 p1=2p0=1p1=w8314p1=3p0 =p2p1= Áp dụng công thức tính thể tích 1 ;4 6 ABCD V AB AC AD Wqcq53q57(q54Oq55))P6 = TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 246 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp số chính xác là C VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017] Cho 2;1; 1 A , 3;0;1 B , 2; 1;3 C . Điểm D nằm trên trục Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là : A. 0; 7;0 B. 0; 7;0 0;8;0 C. 0;8;0 D. 0;7;0 0; 8;0 GIẢI Ta có : 1 ; 5 ; 30 6 V AD AB AC AD AB AC Tính ; AB AC bằng Casio ta được ; 0; 4; 2 AB AC w8111=p1=2=w8210=p2=4 =Wq53Oq54= Điểm D nằm trên Oy nên có tọa độ 0; ;0 Dy 2; 1;1 AD y Nếu ; 30 AD AB AC w10O(p2)p4(Q)p1)p2O1p 30qr1= Ta thu được 7 0; 7;0 yD Nếu ; 30 AD AB AC !!!o+qr1= Ta thu được 8 0;8;0 yD Đáp số chính xác là B VD3-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 1;2;0 A , 3; 1;1 B , 1;1;1 C . Tính diện tích S của tam giác ABC A. 3 S B. 2 S C. 1 2 S D. 43 1 3 S GIẢI Nhập 2 vecto , AB AC vào máy tính Casio w8112=p3=1=w8210=p1=1 = TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 247 Tài liệu lưu hành nội bộ . Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức: 1 ; 1.732... 3 2 ABC S AB AC Wqcq53Oq54)P2= Đáp số chính xác là A VD4-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017] Cho hai điểm 1;2;0 A , 4;1;1 B . Độ dài đường cao OH của tam giác OAB là : A. 1 19 B. 86 19 C. 19 86 D. 54 11 GIẢI Tính diện tích tam giác ABC theo công thức 1 ; 2 OAB S OA OB w8111=2=0=w8214=1=1=W qcq53Oq54)P2= Vì giá trị diện tích này lẻ nên ta lưu vào biến A cho dễ nhìn qJz Gọi h là chiều cao hạ từ O đến đáy AB ta có công thức 1 . 2 OAB S hAB 2S h AB Tính độ dài cạnh AB AB w8113=p1=1=Wqcq53)= Giá trị này lẻ ta lại lưu vào biến B qJx 2 2.2156... A h B 2QzPQx= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 248 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp số chính xác là D VD5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có 2;3;1 , 4;1; 2 , 6;3;7 , A B C 5; 4;8 D . Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là : A.11B. 45 7 C. 5 5 D. 43 3 GIẢI Ta tính được thể tích cả tứ diện ABCD theo công thức 1 154 ; 63 V AB AC AD w8112=p2=p3=w8214=0=6 =w831p7=p7=7=Wqcq53q5 7(q54Oq55))P6= . Gọi h là khoảng cách từ D 1 . 3 ABC V hS 3 154 ABC ABC V h SS : Tính ABC S theo công thức 1 ; 14 2 ABC S AB AC qcq53Oq54)P2= Khi đó 154 11 14 h Đáp số chính xác là A VD6-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 1;5;0 A , 3;3;6 B và 11 : 2 1 2 x y z d . Điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất có tọa độ là : A. 1;1;0 M B. 3; 1;4 M C. 3;2; 2 M D. 1;0;2 M GIẢI Diện tích tam giác ABM được tính theo công thức 1 ; 2 ; 2 S AB AM S AB AM Với 1 ;1 ;0 M ta có 2 29.3938... S w8112=p2=6=w821p2=p4= 0=Wqcq53Oq54)= Với 3; 1;4 M ta có 2 29.3938... S TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 249 Tài liệu lưu hành nội bộ w8212=p6=4=Wqcq53Oq54 )= Với 3;2; 2 M ta có 2 32.8633... S w821p4=p3=p2=Wqcq53Oq 54)= Với 1 ;0;2 M ta có 2 28.1424... S w8210=p5=2=Wqcq53Oqc4 ooq54)= So sánh 4 đáp số Đáp án chính xác là C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Câu 1 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho 2; 1;6 A , 3; 1; 4 B , 5; 1;0 C , 1;2;1 D . Thể tích tứ diện ABCD bằng : A. 30 B. 40 C. 50D. 60 Bài 2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017] Cho bốn điểm ; 1;6 Aa , 3; 1; 4 B , 5; 1;0 C , 1;2;1 D và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30. Giá trị của a là : A.1B. 2 C. 2 hoặc 32 D. 32 Bài 3-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Viết phương trình mặt phẳng P đi qua 1;2;4 M và cắt các tia ,, Ox Oy Oz lần lượt tại ,, A B C sao cho 36 OABC V A. 1 3 6 12 x y z B. 1 4 2 4 x y z C. 1 6 3 12 x y z D. Đáp án khác Bài 4-[Thi thử THPT Nho Quan – Ninh Bình lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 0;1;0 A , 2;2;2 B , 2;3;1 C và đường thẳng 1 2 3 : 2 1 2 x y z d . Tìm điểm M thuộc d sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 3 A. 3 3 1 15 9 11 ; ; ; ; ; 2 4 2 2 4 2 B. 3 3 1 15 9 11 ; ; ; ; ; 5 4 2 2 4 2 C. 3 3 1 15 9 11 ; ; ; ; ; 2 4 2 2 4 2 D. 3 3 1 15 9 11 ; ; ; ; ; 5 4 2 2 4 2 Bài 5-[Câu 4 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho 0;0;2 A , 3;0;5 B , 1;1;0 C , 4;1;2 D . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 250 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 11 B. 1 11 C.1 D. 11 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Câu 1 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho 2; 1;6 A , 3; 1; 4 B , 5; 1;0 C , 1;2;1 D . Thể tích tứ diện ABCDbằng : A. 30 B. 40 C. 50D. 60 GIẢI Thể tích tứ diện ABCD được tính theo công thức 1 ; 30 6 V AB AC AD w811p5=0=p10=w8213=0=p6 =w831p1=3=p5=Wqcq53q57( q54Oq55))P6= Vậy đáp số chính xác là A Bài 2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017] Cho bốn điểm ; 1;6 Aa , 3; 1; 4 B , 5; 1;0 C , 1;2;1 D và thể tích của tứ diện ABCD bằng 30. Giá trị của a là : A.1B. 2 C. 2 hoặc 32 D. 32 GIẢI Vì điểm A chứa tham số nên ta ưu tiên vecto BA tính sau cùng. Công thức tính thể tích ABCD ta sắp xếp như sau : 1 ; 6 V BA BC BD Tính ; 12; 24;24 BC BD w8118=0=4=w8214=3=5=Wq5 3Oq54= Ta có 1 ; 30 ; 180 6 V BA BC BD BA BC BD Với ; 180 ; 180 0 BA BC BD BA BC BD 2 a w1p12(Q)+3)p24O0+24(6+4 )p180qr1= Với ; 180 ; 180 0 BA BC BD BA BC BD 32 a !!!!o+qr1= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 251 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp án chính xác là C Bài 3-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Viết phương trình mặt phẳng P đi qua 1;2;4 M và cắt các tia ,, Ox Oy Oz lần lượt tại ,, A B C sao cho 36 OABC V A. 1 3 6 12 x y z B. 1 4 2 4 x y z C. 1 6 3 12 x y z D. Đáp án khác GIẢI Trong các đáp án chỉ có mặt phẳng ở đáp án A đi qua điểm 1;2;4 M cho nên ta chỉ đi kiểm tra tính đúng sai của đáp án A Theo tính chất của phương trình đoạn chắn thì mặt phẳng :1 3 6 12 x y z P cắt các tia ,, Ox Oy Oz lần lượt tại 3 điểm 3;0;0 , 0;6;0 , 0;0;12 A B C . Hơn nữa 4 điểm ,,, O A B C lập thành một tứ diện vuông đỉnh O Theo tính chất của tứ diện vuông thì 11 .3.6.12 36 66 OABC V OA OB OC (đúng) Đáp án chính xác là A Bài 4-[Thi thử THPT Nho Quan – Ninh Bình lần 1 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 0;1;0 A , 2;2;2 B , 2;3;1 C và đường thẳng 1 2 3 : 2 1 2 x y z d . Tìm điểm M thuộc d sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 3 A. 3 3 1 15 9 11 ; ; ; ; ; 2 4 2 2 4 2 B. 3 3 1 15 9 11 ; ; ; ; ; 5 4 2 2 4 2 C. 3 3 1 15 9 11 ; ; ; ; ; 2 4 2 2 4 2 D. 3 3 1 15 9 11 ; ; ; ; ; 5 4 2 2 4 2 GIẢI Điểm M thuộc d nên có tọa độ 1 2 ; 2 ;3 2 M t t t Thể tích tứ diện MABC được tính theo công thức 1 ; 6 V AM AB AC Tính ; 3; 6;6 AB AC w8112=1=2=w821p2=2=1=Wq 53Oq54= Ta có 1 ; 3 ; 18 6 V AM AB AC AM AB AC Với ; 18 ; 18 0 AM AB AC AM AB AC w1p3(1+2Q))p6(p2pQ)p1)+ 6(3+2Q))p18qr1=qJz TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 252 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta được 5 3 3 1 ;; 4 2 2 2 tM Với ; 18 ; 18 0 AM AB AC AM AB AC Rõ ràng chỉ có đáp số A chứa điểm M trên A là đáp số chính xác Bài 5-[Câu 4 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho 0;0;2 A , 3;0;5 B , 1;1;0 C , 4;1;2 D . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là : A. 11 B. 1 11 C.1 D. 11 GIẢI Tính thể tích tứ diện ABCD theo công thức 1 ; 0.5 6 V AB AC AD w8113=0=3=w8211=1=p2=w8 314=1=0=Wqcq53q57(q54O q55))P6= Gọi h là chiều cao cần tìm . Khi đó 13 . 3 ABCD ABC ABC S V hS h S Tính diện tích tam giác ABC theo công thức 1 ; 2 ABC S AB AC Wqcq53Oq54)P2=qJz Vậy 31 0.3015... 11 ABC V h S . Đáp số chính xác là B TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 253 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 28. TÍNH NHANH GÓC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Góc giữa hai vecto Cho hai vecto ;; u x y z và '; '; ' v x y z , góc giữa hai vecto , uv được tính theo công thức : 2 2 2 2 2 2 . . ' . ' . ' cos ; . ' ' ' uv xx y y zz uv uv x y z x y z Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng 00 0 ;180 2. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d và ' d có hai vecto chỉ phương d u và ' d u . Góc giữa hai đường thẳng ,' dd được tính theo công thức : ' ' ' . cos cos ; . dd dd dd uu uu uu ( tích vô hướng chia tích độ dài ) Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 00 0 ;90 3. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng P và Q có hai vecto pháp tuyến P n và Q n . Góc giữa hai mặt phẳng , PQ được tính theo công thức : . cos cos ; . PQ PQ PQ nn nn nn Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 00 0 ;90 4. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương u và mặt phẳng P có vecto pháp tuyến n . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng Q được tính theo công thức sin cos ; un Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng 00 0 ;90 5. Lệnh Caso Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm 2;1;0 A , 3;0;4 B , 0;7;3 C . Khi đó cos ; AB BC bằng : A. 14 118 354 B. 14 3 118 C. 798 57 D. 798 57 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 254 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Nhập hai vecto , AB BC vào máy tính Casio w811p1=p1=4=w8213=7=p 1= Tính . 14 cos ; 0.4296... 3 118 ; ABBC AB BC AB BC Wq53q57q54P(qcq53)Oq cq54))= Đáp số chính xác là B VD2-[Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016] Góc giữa hai đường thẳng 11 : 1 1 2 x y z d và 13 ' 2 1 1 x y z d là : A. 0 45 B. 0 90 C. 0 60 D. 0 30 GIẢI Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độ qw3 Đường thẳng d có vecto chỉ phương 1; 1;2 u , đường thẳng ' d có vecto chỉ phương ' 2;1;1 u Gọi là góc giữa hai đường thẳng ;' dd thì .' cos cos ; ' .' uu uu uu w8111=p1=2=w8212=1=1= Wqcq53q57q54)P(qcq53 )Oqcq54))= Ta có 0 cos 0.5 60 Áp dụng công thức tính thể tích 1 ;4 6 ABCD V AB AC AD =qkM)= Đáp số chính xác là C VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017] Tìm m để góc giữa hai vecto 3 1;log 5;log 2 m u , 5 3;log 3;4 v là góc nhọn A. 1 1 2 m B. 1 1 0 2 m m C. 1 0 2 m D. 1 m TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 255 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Gọi góc giữa 2 vecto , uv là thì . cos . uv uv Để góc nhọn thì cos 0 . 0 uv 35 1.3 log 5.log 3 4.log 2 0 log 2 1 0 mm (1) Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 2 End 2 Step 0.5 w7iQ)$2$+1==p0.5=1.5= 0.25= Ta thấy 0.25 0.5 0 f Đáp án C sai Ta thấy 1.25 4.1062 0 f Đáp số B và D sai Đáp số chính xác là A VD4-[Câu 42a trang 125 Sách bài tập nâng cao hình học 12] Tìm để hai mặt phẳng 1 : 5 0 4 P x y z và 3 : sin cos sin 2 0 Q x y z vuông góc với nhau A. 0 15 B. 0 75 C. 0 90 D. Cả A, B, C đều đúng GIẢI Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến 1 1; ; 1 4 P n , mặt phẳng Q có vecto pháp tuyến 3 sin ;cos ;sin Q n Để hai mặt phẳng trên vuông góc với nhau góc giữa P n và Q n bằng 0 90 .0 PQ nn 3 1 sin cos sin 0 4 . Đặt 3 1 sin cos sin 4 P Vì đề bài đã cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án bằng chức năng CALC của máy tính Casio Với 0 15 0 P Đáp án A đúng jQ))pa1R4$kQ))pjQ))^3 r15= Với 0 75 0 P Đáp án B đúng r75= Đáp số chính xác là D TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 256 Tài liệu lưu hành nội bộ VD5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Điểm 2; 1; 2 H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng P .Tìm số đo góc giữa mặt phẳng P và mặt phẳng : 6 0 Q x y A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 GIẢI Mặt phẳng P vuông góc với OH nên nhận 2; 1; 2 OH là vecto pháp tuyến : 2 2 1 1 2 2 0 2 2 9 0 P x y z x y z Mặt phẳng Q có vecto pháp tuyến là 1; 1;0 Q n Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q . cos . Q Q OH n OH n w8112=p1=p2=w8211=p1= 0=Wqcq53q57q54)P(qcq 53)Oqcq54))= Vậy 0 2 cos 0.7071... 45 2 =qkM)= Đáp số chính xác là B VD6-[Câu 47 trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Mặt phẳng Q nào sau đây đi qua hai điểm 3;0;0 A và 0;0;1 B đồng thời tạo với mặt phẳng Oxy một góc là 0 60 A. 26 3 3 0 5 3 3 0 x y z x y z B. 5 3 3 0 26 3 3 0 x y z x y z C. 5 3 3 0 5 3 3 0 x y z x y z D. 26 3 3 0 26 3 3 0 x y z x y z GIẢI Cách Casio Để thực hiện cách này ta sẽ làm các phép thử. Ta thấy tất cả các mặt phẳng xuất hiện trong đáp án đều đi qua 2 điểm , AB . Vậy ta chỉ cần tính góc giữa mặt phẳng xuất hiện trong đáp án và mặt phẳng Oxy là xong. Với mặt phẳng : 26 3 3 0 Q x y z có vecto pháp tuyến 1; 26;3 Q n , mặt phẳng Oxy có vecto pháp tuyến 0;0;1 n Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng trên 0 ; cos 0.5 60 . Q Q nn nn TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 257 Tài liệu lưu hành nội bộ w8111=ps26)=3=w8210=0 =1=Wqcq53q57q54)P(qc q53)Oqcq54))= Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng : 26 3 3 0 Q x y z . Tiếp tục thử với mặt phẳng 5 3z 3 0 xy nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án D đúng Cách t ự lu ận Gọi mặt phẳng Q có dạng 0 Ax By Cz D Q qua A 30 AD , Q qua 0 B C D . Chọn 1 1 1; 3 D C A Khi đó 1 : 1 0 3 Q x By z và có vecto pháp tuyến 1 ; ; 1 3 Q nB Góc giữa hai mặt phẳng trên là 0 60 0 ; 1 cos 60 2 . Q Q nn nn ; 1 0 2 . Q Q nn nn 2 2 2 2 2 2 1 .0 .0 1.1 1 1 1 3 00 22 10 1 1. 0 0 1 9 3 B B B 2 2 2 10 10 26 26 24 9 9 9 3 B B B B Đáp án chính xác là C VD7-[Câu 71 trang 134 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính góc giữa đường thẳng 3 1 3 : 2 1 1 x y z và mặt phẳng : 2 5 0 P x y z A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 GIẢI Đường thẳng có vecto chỉ phương 2;1;1 u và mặt phẳng P có vecto pháp tuyến 1;2; 1 n Gọi là góc giữa giữa 2 vectơ , un . Ta có . cos . un un w8112=1=1=w8211=2=p1= Wqcq53q57q54)P(qcq53 )Oqcq54))= Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng P sin cos 0.5 0 30 qjM)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 258 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp án chính xác là A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Câu 21 trang 119 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho bốn điểm 1;1;0 A , 0;2;1 B , 1;0;2 C , 1;1;1 D . Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD : A. 0 30 B. 0 60 C. 0 90 D. 0 120 Bài 2-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho 1;1; 2 u và 1;0; vm . Tìm m để góc giữa hai vecto , uv là 0 45 A. 26 26 m m B. 26 m C. 26 m D. Không có m thỏa mãn Bài 3-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hai mặt phẳng 22 : 2 2 0 P m x y m z và 2 2 2 1 0 x m y z vuông góc với nhau : A. 2 m B. 1 m C. 2 m D. 3 m Bài 4-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCDA B C D cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung điểm '' BC . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và ' BC A. 1 3 B. 2 5 C. 3 2 D. 2 2 Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Viết phương trình mặt phẳng P chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng : 2 5 0 Q x y z một góc 0 60 A. 30 30 xy xy B. 30 30 xy xy C. 30 30 xy xy D. 30 30 xy xy Bài 6-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho :3 4 5z 8 0 P x y và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 1 0 xy , : 2 3 0 xz . Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P . Khi đó : A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Câu 21trang 119Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho bốn điểm 1;1;0 A , 0;2;1 B , 1;0;2 C , 1;1;1 D . Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và CD : A. 0 30 B. 0 60 C. 0 90 D. 0 120 GIẢI Đường thẳng AB nhận vecto 1;1;1 AB là vecto chỉ phương , đường thẳng CD nhận 0;1; 1 CD là vecto chỉ phương TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 259 Tài liệu lưu hành nội bộ Gọi là góc giữa hai đường thẳng , AB CD và được tính theo công thức : . cos cos ; . ABCD AB CD AB CD Nhập các vecto , AB CD vào máy tính Casio w811p1=1=1=w8210=1=p1= Tính 0 . cos cos ; 0 90 . ABCD AB CD AB CD Wqcq53q57q54)P(qcq53)O qcq54))= Vậy đáp số chính xác là C Bài 2-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho 1;1; 2 u và 1;0; vm . Tìm m để góc giữa hai vecto , uv là 0 45 A. 26 26 m m B. 26 m C. 26 m D. Không có m thỏa mãn GIẢI Ta có 2 . 1 2 cos ; . 6. 1 uv m uv uv m Để góc giữa 2 vecto trên là 0 45 thì 22 1 2 1 1 2 1 0 22 6. 1 6. 1 mm mm Để kiểm tra giá trị m thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC Với 26 m w1a1p2Q)Rs6$OsQ)d+1$$pa 1Rs2r2ps6)= 26 m thỏa Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B Tiếp tục kiểm tra với 26 m r2+s6)= 26 không thỏa Đáp số chính xác là B Bài 3-[Câu 14 trang 143 Sách bài tập hình học nâng cao 12] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 260 Tài liệu lưu hành nội bộ Cho hai mặt phẳng 22 : 2 2 0 P m x y m z và 2 2 2 1 0 x m y z vuông góc với nhau : A. 2 m B. 1 m C. 2 m D. 3 m GIẢI Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến 22 ; 1; 2 n m m , mặt phẳng Q có vecto pháp tuyến 2 ' 2; ; 2 nm Để hai mặt phẳng trên vuông góc nhau thì ' . ' 0 n n nn 2 2 2 2 .2 2 . 2 0 4 0 2 m m m m m Đáp án chính xác là A Bài 4-[Câu 94 trang 140 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCDA B C D cạnh bằng a . Xét hai điểm là trung điểm '' BC . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và ' BC A. 1 3 B. 2 5 C. 3 2 D. 2 2 GIẢI Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là đỉnh A , tia Ox chứa AB , tia Oy chứa AD , tia Oz chứa ' AA . Chọn 1 a khi đó : 0;0;0 A , 0;1;0 B , 0;1;0 D , ' 0;0;1 A , ' 1;0;1 B , ' 1;1;1 C 1 1; ;1 2 P , 1 1; ;1 2 AP , ' 0;1;1 BC Góc giữa 2 đường thẳng ,' AP BC là thì ;' 2 cos 0.7071... 2 .' AP BC AP BC w8111=0.5=1=w8210=1=1=W qcq53q57q54)P(qcq53)Oq cq54))= D là đáp số chính xác Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Viết phương trình mặt phẳng P chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng : 2 5 0 Q x y z một góc 0 60 A. 30 30 xy xy B. 30 30 xy xy C. 30 30 xy xy D. 30 30 xy xy GIẢI Cách Casio Với mặt phẳng : 3 0 P x y có vecto pháp tuyến 1;3 P n , mặt phẳng Q có vecto pháp tuyến 2;1; 5 Q n Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng trên 0 ; cos 0.5 60 . PQ PQ nn nn w8111=3=0=w8212=1=ps5 )=Wqcq53q57q54)P(qcq 53)Oqcq54))= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 261 Tài liệu lưu hành nội bộ Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng 30 xy . Tiếp tục thử với mặt phẳng 30 xy nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án C đúng Cách t ự lu ận Gọi mặt phẳng P có dạng 0 Ax By Cz D . P chứa trục Oz thì P chứa 2 điểm thuộc trục Oz . Gọi hai điểm đó là 0;0;0 A và 0;0;1 B P qua A 0 D , P qua 0 B C D 0 CD Chọn 1 A Khi đó :0 P x By và có vecto pháp tuyến 1; ;0 Q nB Góc giữa hai mặt phẳng trên là 0 60 0 ; 1 cos60 2 . PQ PQ nn nn ; 1 0 2 . Q Q nn nn 22 2 2 2 2 2 1.2 .1 0. 5 2 11 22 10 1 1 0 . 2 1 5 B B B B 2 2 2 2 3 2 2 10 1 4 4 4 10 1 6 16 6 0 1 3 B B B B B B B B B Đáp án chính xác là C Bài 6-[Câu 19 trang 145 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho :3 4 5z 8 0 P x y và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 1 0 xy , : 2 3 0 xz . Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P . Khi đó : A. 0 30 B. 0 45 C. 0 60 D. 0 90 GIẢI d là giao tuyến của hai mặt phẳng , nên nhận d vuông góc với hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng này Vecto chỉ phương ; 4;4;4 d u n n w8111=p2=0=w8211=0=p2=W q53Oq54= Gọi là góc giữa ; dP un ta có . 3 cos 0.8660... 2 . dP dP un un w8114=2=2=w8213=4=5=Wqc q53q57q54)P(qcq53)Oqcq 54))= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 262 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta có 0 3 sin cos 60 2 qjM)= . Đáp số chính xác là C Chính xác là B TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 263 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 29. TÍNH NHANH CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN SỐ PHỨC. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Các khái niệm thường gặp Đơn vị ảo là một đại lượng được kí hiệu i và có tính chất 2 1 i Số phức là một biểu thức có dạng a bi trong đó , ab là các số thực . Trong đó a được gọi là phần thực và b được gọi là số ảo Số phức liên hợp của số phức z a bi là số phức z a bi Số phức nghịch đảo của số phức z a bi là số phức 1 11 z z a bi Môdul của số phức z a bi được kí hiệu là z và có độ lớn 22 z a b 2. Lệnh Caso Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE 2 Lệnh tính Môđun của số phức là SHIFT HYP Lệnh tính số phức liên hợp z là SHIFT 2 2 Lệnh tính Acgument của số phức là SHIFT 2 1 II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa THPT Quốc Gia lần 1 năm 2017] Cho hai số phức 1 1 zi và 2 23 zi .Tính Môđun của số phức 12 zz A. 12 13 zz B. 12 5 zz C. 12 1 zz D. 12 5 zz GIẢI Đăng nhập lệnh số phức w2 (Khi nào máy tính hiển thị chữCMPLX thì bắt đầu tính toán số phức được) Để tính Môđun của số phức ta nhập biểu thức vào máy tính rồi sử dụng lệnh SHIFT HYP 1+b+2p3b=qcM= Vậy 12 13 zz Đáp số chính xác là A VD2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Số phức liên hợp với số phức 22 1 3 1 2 z i i là : A. 9 10i B.9 10i C.9 10i D. 9 10i GIẢI Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dp3(1+2b)d= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 264 Tài liệu lưu hành nội bộ 9 10 zi Số phức liên hợp của z a bi là z a bi : Vậy 9 10 zi Đáp án B là chính xác VD3-[Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần thơ lần 1 năm 2017] Cho số phức z a bi . Số phức 2 z có phần ảo là : A. 22 ab B. 22 2ab C. 2ab D.ab GIẢI Vì đề bài cho ở dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” bài toán bằng cách chọn giá trị cho , ab (lưu ý nên chọn các giá trị lẻ để tránh xảy ra trường hợp đặc biệt). Chọn 1.25 a và 2.1 b ta có 1.25 2.1 zi Sử dụng máy tính Casio tính 2 z 1.25+2.1b)d= Vậy phần ảo là 21 4 Xem đáp số nào có giá trị là 21 4 thì đáp án đó chính xác. Ta có : Vậy 21 2 4 ab Đáp án C là chính xác VD4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Để số phức 1 z a a i (a là số thực) có 1 z thì : A. 1 2 a B. 3 2 a C. 0 1 a a D. 1 a GIẢI Để xử lý bài này ta sử dụng phép thử, tuy nhiên ta chọn a sao cho khéo léo nhất để phép thử tìm đáp số nhanh nhất. Ta chọn 1 a trước, nếu 1 a đúng thì đáp án đúng chỉ có thể là C hoặc D, nếu 1 a sai thì C và D đều sai. Với 1 a Sử dụng máy tính Casio tính z 1+(1p1)b=qcM= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 265 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 1 z Đáp án đúng chỉ có thể là C hoặc D Thử với 0 a Sử dụng máy tính Casio tính z : 0+(0p1)b=qcM= Vậy 1 z Đáp án chính xác là C VD5-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng – Đắc Nông lần 1 năm 2017] Số phức 2 20 1 1 1 ... 1 z i i i có giá trị bằng : A. 20 2 B. 10 20 2 2 1 i C. 10 10 2 2 1 i D. 10 10 22 i GIẢI Nếu ta nhập cả biểu thức 2 20 1 1 1 ... 1 i i i vào máy tính Casio thì vẫn được, nhưng mất nhiều thao tác tay. Để rút ngắn công đoạn này ta tiến hành rút gọn biểu thức Ta thấy các số hạng trong cùng biểu thức đều có chung một quy luật “số hạng sau bằng số hạng trước nhân với đại lượng 1 i “ vậy đây là cấp số nhân với công bội 1 i 21 2 20 1 11 1 1 1 1 ... 1 1. 1 1 1 1 n i q i i i U i Với 21 11 11 i z i Sử dụng máy tính Casio tính z a1p(1+b)^21R1p(1+b)= Ta thấy 10 10 1024 1025 2 2 1 z i i Đáp án chính xác làB VD6-[Thi thử chuyên KHTN lần 1 năm 2017] Nếu số phức z thỏa mãn 1 z thì phần thực của 1 1 z bằng : A. 1 2 B. 1 2 C. 2 D.Một giá trị khác GIẢI Đặt số phức z a bi thì Môđun của số phức z là 22 1 z a b Chọn 0.5 a 22 0.5 1 b . Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b w1s0.5d+Q)d$p1qr0.5= Lưu giá trị này vào b TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 266 Tài liệu lưu hành nội bộ qJx Trở lại chế độ CMPLX để tính giá trị 1 1 z : w2a1R1p(0.5+Qxb)= Vậy phần thực của z là 1 2 Đáp án chính xác là A VD7-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Tìm số phức z biết rằng : 1 2 5 11 i z z i A. 57 zi B. 23 zi C. 13 zi D. 24 zi GIẢI Với 57 zi thì số phức liên hợp 57 zi . Nếu đáp án A đúng thì phương trình : 1 5 7 2 5 7 5 11 i i i i (1) Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (1) (1+b)(5p7b)p2(5+7b)= Vì 2 16 5 11 ii nên đáp án A sai Tương tự như vậy với đáp án B (1+b)(2+3b)p2(2p3b)= Dễ thấy vế trái (1) = vế phải (1) = 5 11i Đáp số chính xác là B VD8-[Đề minh họa của bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Cho số phức z a bi thỏa mãn 1 2 3 2 i z z i . Tính P a b A. 1 2 P B. 1 P C. 1 P D. 1 2 P GIẢI Phương trình 1 2 3 2 0 i z z i (1). Khi nhập số phức liên hợp ta nhấn lệnh q22 Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (1) (1+b)Q)+2q22Q))p3p2b TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 267 Tài liệu lưu hành nội bộ X là số phức nên có dạng X a bi .Nhập 1000 100 Xi (có thể thay ; ab là số khác) r1000+100b= Vậy vế trái của (1) bằng 2897 898i . Ta có : 2897 3.1000 100 3 3 3 898 1000 100 2 2 ab ab Mặt khác đang muốn vế trái 0 3 3 0 13 ; 20 22 ab ab ab Vậy 1 ab Đáp số chính xác là B VD9-Số phức 5 3 3 1 2 3 i z i có một Acgument là : A. 6 B. 4 C. 2 D. 8 3 GIẢI Thu gọn z về dạng tối giản 13 zi a5+3bs3R1p2bs3= Tìm Acgument của z với lệnh SHIFT 2 1 q21p1+s3$b)= Vậy z có 1 Acgument là 2 3 . Tuy nhiên khi so sánh kết quả ta lại không thấy có giá trị nào là 2 3 . Khi đó ta nhớ đến tính chất “Nếu góc là một Acgument thì góc 2 cũng là một Acgument” Đáp số chính xác là D vì 28 2 23 III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017] Cho hai số phức 12 1 ,z 2 3 z i i . Tìm số phức 2 12 . w z z A. 64 wi B. 64 wi C. 64 wi D. 64 wi Bài 2-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho số phức z a bi . Số phức 1 z có phần thực là : A.ab B. 22 a ab C. 22 b ab D.ab Bài 3-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 1 năm 2017] Tìm môđun của số phức 1 2 3 3 2 z i i là : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 268 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 103 2 B. 3 103 2 C. 5 103 2 D. Đáp án khác Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho số phức 2 3 22 1 1 ... 1 z i i i . Phần thực của số phức z là : A. 11 2 B. 11 22 C. 11 22 D. 11 2 Bài 5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho số phức 23 zi . Phần ảo của số phức 12 w i z i z là : A. 9i B. 9 C. 5 D. 5i Bài 6-[Đề thi Đại học –Cao đẳng khối A năm 2009] Cho số phức z a bi thỏa mãn điều kiện 2 2 3 4 1 3 i z i z i . Tìm 2 P a b A.3 B. 1 C.1 D. Đáp án khác Bài 7-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2] Cho số phức z a bi thỏa mãn điều kiện 2 2 3 4 1 3 i z i z i . Tìm 2 P a b A.3 B. 1 C.1 D. Đáp án khác LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017] Cho hai số phức 12 1 ,z 2 3 z i i . Tìm số phức 2 12 . w z z A. 64 wi B. 64 wi C. 64 wi D. 64 wi GIẢI Sử dụng máy tính Casio với chức năng MODE 2 (CMPLX) (1+b)dO(2+3b)= Vậy 64 wi ta chọn D là đáp án chính xác Bài 2-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần 1 năm 2017] Cho số phức z a bi . Số phức 1 z có phần thực là : A.ab B. 22 a ab C. 22 b ab D.ab GIẢI Vì đề bài mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn 1; 1.25 ab . Với 1 1 z z Sử dụng máy tính Casio a1R1+1.25b= Ta thấy phần thực số phức 1 z là : 16 41 đây là 1 giá trị dương. Vì ta chọn 0 ba nên ta thấy ngay đáp số C và D sai. Thử đáp số A có 9 16 1 1.25 4 41 ab vậy đáp số A cũng sai Đáp án chính xác là B Bài 3-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 1 năm 2017] Tìm môđun của số phức 1 2 3 3 2 z i i là : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 269 Tài liệu lưu hành nội bộ A. 103 2 B. 3 103 2 C. 5 103 2 D. Đáp án khác GIẢI Tính số phức 1 2 3 3 2 z i i 2ps3$b(a1R2$+s3$b)= Vậy 3 5 2 zi Dùng lệnh SHIFT HYP tính Môđun của số phức z ta được qc5pas3R2$b= Vậy 103 2 z Đáp số chính xác là A Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho số phức 2 3 22 1 1 ... 1 z i i i . Phần thực của số phức z là : A. 11 2 B. 11 22 C. 11 22 D. 11 2 GIẢI Dãy số trên là một cấp số nhân với 2 1 1 Ui , số số hạng là 21 và công bội là 1 i . Thu gọn z ta được : 21 2 1 11 1 . 1 . 1 1 1 n i q z U i qi Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+ b)= Vậy 2050 2048 zi Phần ảo số phức z là 11 2050 2 2 Đáp số chính xác là C Bài 5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho số phức 23 zi . Phần ảo của số phức 12 w i z i z là : A. 9i B. 9 C. 5 D. 5i GIẢI Dãy số trên là một cấp số nhân với 2 1 1 Ui , số số hạng là 21 và công bội là 1 i . Thu gọn z ta được : 21 2 1 11 1 . 1 . 1 1 1 n i q z U i qi Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+ b)= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 270 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 2050 2048 zi Phần ảo số phức z là 11 2048 2 Đáp số chính xác là A Bài 6-[Đề thi Đại học –Cao đẳng khối A năm 2009] Cho số phức z a bi thỏa mãn điều kiện 2 2 3 4 1 3 i z i z i .Tìm 2 P a b A.3 B. 1 C.1 D. Đáp án khác GIẢI Phương trình 2 2 3 4 1 3 0 i z i z i Nhập vế trái vào máy tính Casio và CALC với 1000 100 Xi (2p3b)Q)+(4+b)q22Q))+(1 +3b)dr1000+100b= Vậy vế trái 6392 2194i với 6392 6.1000 4.100 8 6 4 8 2194 2.1000 2.100 6 2 2 6 ab ab Để vế trái 0 thì 6 4 8 0 2 2 6 0 ab ab 2; 5 ab Vậy 25 zi 21 P a b Đáp số chính xác là C Bài 7-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2] Cho số phức z a bi thỏa mãn điều kiện 2 2 3 4 1 3 i z i z i . Tìm 2 P a b A.3 B. 1 C.1 D. Đáp án khác GIẢI Phương trình 2 2 3 4 1 3 0 i z i z i Nhập vế trái vào máy tính Casio và CALC với 1000 100 Xi (2p3b)Q)+(4+b)q22Q))+(1 +3b)dr1000+100b= Vậy vế trái 6392 2194i với 6392 6.1000 4.100 8 6 4 8 2194 2.1000 2.100 6 2 2 6 ab ab TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 271 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 30. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Các khái niệm thường gặp Hệ trục thực ảo gồm có 2 trục vuông góc với nhau : Trục nằm ngang là trục thực, trục đứng dọc là trục ảo Số phực z a bi khi biểu diễn trên hệ trục thực ảo là điểm ; M a b Môđun của số phức z a bi là độ lớn của vecto OM 2. Lệnh Caso Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE 2 Lệnh giải phương trình bậc hai MODE 5 3 Lệnh giải phương trình bậc ba MODE 5 4 II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 31 Đề minh họa THPT Quốc Gia lần 1 năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn 13 i z i . Hỏi điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm , , , M N P Q A.điểm P B.điểm Q C.điểm M D.điểm N GIẢI Cô lập 31 1 z i Sử dụng máy tính Casio trong môi trường CMPLX để tìm z w2a3pbR1+b= 12 zi và điểm biểu diễn z trong hệ trục thực ảo có tọa độ 1; 2 . Điểm có thực dương và ảo âm sẽ nằm ở góc phần tư thứ IV Điểm phải tìm là Q và đáp án chính xác là B VD2-[Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần thơ lần 1 năm 2017] Điểm biểu diễn số phức 7 z bi với bR , nằm trên đường thẳng có phương trình là : A. 7 x B.yx C. 7 yx D. 7 y GIẢI Điểm biểu diễn số phức 7 z bi là điểm M có tọa độ 7; Mb Ta biết điểm M thuộc đường thẳng d nếu tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d Thử đáp án A ta có 7 1. 0. 7 0 x x y . Thế tọa độ điểm M vào ta được : 1.7 0. 7 0 b (đúng) Vậy điểm M thuộc đường thẳng 7 x Đáp án A là chính xác VD3-[Thi thử Group Nhóm toán – Facebook lần 5 năm 2017] Các điểm ,, M N P lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1 4 ; 1 i z i 2 1 1 2 z i i 3 ; 1 2 zi A. Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác đều TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 272 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Rút gọn 1 z bằng Casio a4bRbp1= Ta được 1 22 zi vậy điểm 2; 2 M Rút gọn 2 z bằng Casio (1pb)(1+2b)= Ta được 2 3 zi vậy điểm 3;1 N Tương tự 2 12 zi và điểm 1;2 P Để phát hiện tính chất của tam giác MNP ta nên biểu diễn 3 điểm ,, M N P trên hệ trục tọa độ Dễ thấy tam giác MNP vuông cân tại P đáp án C chính xác VD4-[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Trong mặt phẳng Oxy , gọi các điểm , MN lần lượt là điểm biểu diễn số phức 12 1 i, 3 2 z z i . Gọi G là trọng tâm tam giác OMN , với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây. A.5 i B. 4 i C. 41 33 i D. 1 2 2 i GIẢI Điểm M biểu diễn số phức 1 1 zi tọa độ 1; 1 M Điểm N biểu diễn số phức 2 32 zi tọa độ 3;2 N Gốc tọa độ 0;0 O TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 273 Tài liệu lưu hành nội bộ Tọa độ điểm 41 ;; 3 3 3 3 M N O M N O x x x y y y G Vậy G là điểm biểu diễn của số phức 41 33 i C là đáp án chính xác VD5-[Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M là điểm biểu diễn số phức 34 zi , điểm ' M là điểm biểu diễn số phức 1 ' 2 i zz . Tính diện tích ' OMM A. ' 25 4 OMM S B. ' 25 2 OMM S C. ' 15 4 OMM S D. ' 15 2 OMM S GIẢI Điểm M biểu diễn số phức 1 34 zi tọa độ 3; 4 M Điểm ' M biểu diễn số phức 1 ' 2 i zz tọa độ 71 ; 22 N a1+bR2$O(3p4b)= Gốc tọa độ 0;0 O Để tínhdiện tích tam giác ' OMM ta ứng dụng tích có hướng của 2 vecto trong không gian. Ta thêm cao độ 0 cho tọa độ mỗi điểm , , ' O M M là xong 3; 4;0 OM , 71 ' ; ;0 22 OM 1 ;' 2 S OM OM Tính ;' OM OM w8113=p4=0=q51217P2=p 1P2=0=Cq53q57q54= Vậy ' 25 1 25 ; ' 12.5 ; ' 2 2 4 OMM OM OM S OM OM A là đáp án chính xác VD6-[Đề thi minh họa bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Kí hiệu 0 z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2 4 16 17 0 zz . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức 0 w iz A. 1 ;2 2 M B. 1 ;2 2 M C. 1 ;1 4 D. 1 ;1 4 M GIẢI Sử dụng lệnh giải phương trình bậc hai MODE 5 3 để giải phương trình 2 4 16 17 0 zz w534=p16=17=== TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 274 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy phương trình 2 4 16 17 0 zz có hai nghiệm 1 2 2 zi và 1 2 2 zi Để 0 z có phần ảo dương 1 2 2 zi . Tính 0 w z i w2(2+a1R2$b)b= Vậy phương trình 1 2 2 wi Điểm biểu diễn số phức w là 1 ;2 2 M B là đáp án chính xác II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Cho số phức 2 zi . Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức 1 w i z A.Điểm M B.Điểm N C.Điểm P D. Điểm Q Bài 2-[Thi thử facebook nhóm toán lần 5 năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn 2 4z 5 iz . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm , , , M N P Q ở hình bên . A.Điểm N B.Điểm P C.Điểm M D. Điểm Q Bài 3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 275 Tài liệu lưu hành nội bộ Trên mặt phẳng tọa độ các điểm ,, A B C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức 4 24 55 i , 1 1 2 ii , 3 2i Khi đó tam giác ABC A.Vuông tại C B.Vuông tại A C.Vuông cân tại B D. Tam giác đều Bài 4-Các điểm ,, A B C , ', ', ' A B C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số : 1 ,2 3 ,3 i i i và 3 ,3 2 ,3 2 i i i có ,' GG lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ' ' ' A B C . Khẳng định nào sau đây đúng A.G trùng ' G B. Vecto ' 1; 1 GG C. 3' GA GA D. Tứ giác ' GAG B lập thành một hình bình hành LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Cho số phức 2 zi . Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức 1 w i z A.Điểm M B.Điểm N C.Điểm P D. Điểm Q GIẢI Tính số phức 1 w i z bằng máy tính Casio (1pb)(2+b)= Vậy tọa độ của điểm thỏa mãn số phức w là 3; 1 . Đây là tọa độ điểm Q Đáp số chính xác là D Bài 2-[Thi thử facebook nhóm toán lần 5 năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn 2 4z 5 iz . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm , , , M N P Q ở hình bên . A.Điểm N B.Điểm P C.Điểm M D. Điểm Q TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 276 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Cô lập 5 2 4z 5 2 5 2 i z i z z i Tìm số phức 5 2 z i ap5R2+b= Vậy tọa độ của điểm thỏa mãn số phức z là 2;1 . Đây là tọa độ điểm M Đáp số chính xác là C Bài 3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Trên mặt phẳng tọa độ các điểm ,, A B C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức 4 24 55 i , 1 1 2 ii , 3 2i Khi đó tam giác ABC A.Vuông tạiC B.Vuông tạiA C.Vuông cân tạiB D. Tam giác đều GIẢI Rút gọn 4 24 55 i được 24i vậy tọa độ điểm 2; 4 A a4Rpa2R5$+a4R5$b= Rút gọn 1 1 2 ii được 3 i vậy tọa độ điểm 3;1 B (1pb)(1+2b)= Rút gọn 32 2 2 . 2 i ii i vậy tọa độ điểm 0;2 C Để phát hiện tính chất của tam giác ABC ta chỉ cần biểu diễn trên hệ trục tọa độ là thấy ngay TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 277 Tài liệu lưu hành nội bộ Dễ thấy tam giác ABC vuông tại C Đáp số chính xác là A Bài 4-Các điểm ,, A B C , ', ', ' A B C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số : 1 ,2 3 ,3 i i i và 3 ,3 2 ,3 2 i i i có ,' GG lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ' ' ' A B C . Khẳng định nào sau đây đúng A.G trùng ' G B. Vecto ' 1; 1 GG C. 3' GA GA D. Tứ giác ' GAG B lập thành một hình bình hành GIẢI Ta có tọa độ các đỉnh 1 ; 1 , 2;3 , 3;1 A B C Tọa độ trọng tâm 2;1 G 2 3 1 3 A B C G A B C G xxx x yyy y Ta có tọa độ các đỉnh ' 0;3 , ' 3; 2 , ' 3;2 A B C Tọa độ trọng tâm 2;1 G ' ' ' ' ' ' ' ' 2 3 1 3 A B C G A B C G xxx x yyy y Rõ ràng ' GG Đáp số chính xác là A TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 276 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 31. QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Mẹo giải nhanh Bài toán quỹ tích luôn đi lên từ định nghĩa. Ta luôn đặt z x yi , biểu diễn số phức theo yêu cầu đề bài, từ đó khử i và thu về một hệ thức mới : Nếu hệ thức có dạng 0 Ax By C thì tập hợp điểm là đường thẳng Nếu hệ thức có dạng 22 2 x a y b R thì tập hợp điểm là đường tròn tâm ; I a b bán kính R Nếu hệ thức có dạng 22 22 1 xy ab thì tập hợp điểm có dạng một Elip Nếu hệ thức có dạng 22 22 1 xy ab thì tập hợp điểm là một Hyperbol Nếu hệ thức có dạng 2 y Ax Bx C thì tập hợp điểm là một Parabol 2. Phương pháp Caso Tìm điểm đại diện thuộc quỹ tích cho ở đáp án rồi thế ngược vào đề bài, nếu thỏa mãn thì là đúng II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 22 z i z i A. 4 2 1 0 xy B. 4 2 1 0 xy C. 4 2 1 0 xy D. 4 6 1 0 xy GIẢI Cách Casio Gọi số phức z có dạng z a bi . Ta hiểu : điểm M biểu diễn số phức z thì M có tọa độ ; M a b . Giả sử đáp án A đúng thì M thuộc đường thẳng 4 2 1 0 xy thì 4 2 1 0 ab Chọn 1 a thì 5 2 b 1 2.5 zi . Số phức z thỏa mãn 22 z i z i thì 2 2 0 z i z i Sử dụng máy tính Casio để kiểm tra qc1+2.5bp2pb$pqc1p2.5 b+2b= Ta thấy ra một kết quả khác 0 vậy 2 2 0 z i z i là sai và đáp án A sai Tương tự với đáp số B chọn 1 a thì 1.5 b và 1 1.5 zi qc1+1.5bp2pb$pqc1p1.5 b+2b= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 277 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta thấy kết quả ra 0 vậy 2 2 0 z i z i là đúng và đáp án chính xác là B Cách mẹo Đặt z x yi (ta luôn đi lên từ định nghĩa) . Thế vào 22 z i z i ta được 2 2 1 2 x y i x y i 2 2 2 2 2 1 2 x y x y 2 2 2 2 2 1 2 x y x y 2 2 2 2 4 4 2 1 4 4 x x y y x y y 4 2 1 0 xy Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 4 2 1 0 xy đáp án B là chính xác Bình luận Trong dạng toán này ta nên ưu tiên dùng mẹo vì tính nhanh gọn của nó Nhắc lại một lần nữa, luôn đặt z x yi rồi biến đổi theo đề bài VD2-[Thi thử sở GD-ĐT Hà Tĩnh lần 1 năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn 21 zi . Chọn phát biểu đúng A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng B.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol C.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn D.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Elip GIẢI Cách mẹo Đặt z x yi . Thế vào 21 zi ta được 21 x yi i 22 22 2 1 1 xy 2 2 2 22 xy Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 2;0 I bán kính 2 R Vậy đáp án C là chính xác VD3-[Đề thi minh họa của bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Cho các số phức z thỏa mãn 4 z . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 34 w i z i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. 4 r B. 5 r C. 20 r D. 22 r GIẢI Cách Casio Để xây dựng 1 đường tròn ta cần 3 điểm biểu diễn của w , vì z sẽ sinh ra w nên đầu tiên ta sẽ chọn 3 giá trị đại diện của z thỏa mãn 4 z Chọn 40 zi (thỏa mãn 4 z ). Tính 1 3 4 4 0 w i i i (3+4b)O4+b= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 278 Tài liệu lưu hành nội bộ Ta có điểm biểu diễn của 1 z là 12;17 M Chọn 4 zi (thỏa mãn 4 z ). Tính 2 3 4 4 w i i i (3+4b)O4b+b= Ta có điểm biểu diễn của 2 z là 16;13 N Chọn 4 zi (thỏa mãn 4 z ). Tính 3 3 4 4 w i i i (3+4b)(p4b)+b= Ta có điểm biểu diễn của 3 z là 16; 11 P Vậy ta có 3 điểm ,, M N P thuộc đường tròn biểu diễn số phức w Đường tròn này sẽ có dạng tổng quát 22 0 x y ax by c . Để tìm ,, abc ta sử dụng máy tính Casio với chức năng MODE 5 3 w5212=17=1=p12dp17d=p1 6=13=1=p16dp13d=16=p11 =1=p16dp11d== Vậy phương trình đường tròn có dạng 2 2 2 2 2 2 399 0 1 20 x y y x y Bán kính đường tròn tập hợp điểm biểu diễn số phức w là 20 Đáp án chính xác là C Cách mẹo Đề bài yêu cầu tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w vậy ta đặt w x yi . Thế vào 1 34 3 4 3 4 x y i wi w i z i z ii . Tiếp tục rút gọn ta được 1 3 4 3 4 4 4 3 3 3 4 3 4 25 x y i i x y x y i z ii 22 2 3 4 4 4 3 3 4 16 16 25 25 x y x y zz 22 2 25 25 25 50 16 25 x y y 22 2 399 x y y 2 22 1 20 xy Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn bán kính 20 r đáp án C là chính xác Bình luận TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 279 Tài liệu lưu hành nội bộ Chức năng MODE 5 2 để tìm phương trình đường tròn được giải thích như sau : Đường tròn có dạng 22 0 x y ax by c Với M thuộc đường tròn thì 22 12 17 12 17 a b c Với N thuộc đường tròn thì 22 16 13 16 13 a b c Với P thuộc đường tròn thì 22 16 11 16 11 a b c Vậy ta lập được hệ phương trình 3 ẩn bậc nhất 22 22 22 12 17 12 17 16 13 16 13 16 11 16 11 a b c a b c a b c Và ta sử dụng chức năng giải hệ phương trình 3 ẩn bậc nhất MODE 5 2 để xử lý Hai cách đều hay và có ưu điểm riêng, tự luận sẽ tiết kiệm thời gian một chút nhưng việc tính toán rút gọn dễ nhầm lẫn, còn casio có vẻ bấm máy nhiều hơn nhưng tuyệt đối không sai. VD4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của 1 z zi bằng 0 là đường tròn tâm I bán kính R (trừ đi một điểm) A. 11 ; 22 I , 1 2 R B. 11 ; 22 I , 1 2 R C. 11 ; 22 I , 1 2 R D. 11 ; 22 I , 1 2 R GIẢI Cách mẹo Đặt z x yi . Thế vào 1 z zi ta được 11 1 1 11 x yi x y i x yi x y i x y i x y i 22 2 2 11 1 x x y y xyi x y i xy Để phần thực của 1 z zi bằng 0 thì 22 22 1 1 1 0 2 2 2 x x y y x y Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường tròn tâm 11 ; 22 I bán kính 1 2 R đáp án B là chính xác III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Cho các số phức z thỏa mãn 1 1 2 z i z i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó. A. 4 6 3 0 xy B. 4 6 3 0 xy C. 4 6 3 0 xy D. 4 6 3 0 xy Bài 2-[Thi thử THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z : 34 z z i là phương trình có dạng A. 6 8 25 0 xy B.3 4 3 0 xy C. 2 25 xy D. 22 3 4 25 xy Bài 3-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Cho các số phức z thỏa mãn 2 z . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 3 2 2 w i i z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. 20 r B. 20 r C. 7 r D. 7 r Bài 4-[Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần 1 năm 2017] TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 280 Tài liệu lưu hành nội bộ Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 11 z i z A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 2; 1 I , bán kính 2 R A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 1;0 I , bán kính 3 R A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 0; 1 I , bán kính 3 R A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 0; 1 I , bán kính 2 R Bài 5-[Thi thử THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 2 zz là : A.Cả mặt phẳng B.Đường thẳng C.Một điểm D.Hai đường thẳng Bài 6-Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 1 2 z z z i là một Parabol có dạng: A. 2 3 6 2 y x x B. 2 2 x yx C. 2 4 3 x y D. 2 1 2 3 y x x LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Cho các số phức z thỏa mãn 1 1 2 z i z i . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó. A. 4 6 3 0 xy B. 4 6 3 0 xy C. 4 6 3 0 xy D. 4 6 3 0 xy GIẢI Cách 1: Casio Giả sử đáp án A đúng, điểm biểu diễn số phức z x yi thuộc đường thẳng 4 6 3 0 xy Chọn 1 x thì 1 6 y và số phức 1 1 6 zi . Xét hiệu 1 1 2 z i z i . Nếu hiệu trên 0 thì đáp án A đúng. Để làm việc này ta sử dụng máy tính Casio qc1pa1R6$b+1pb$pqc1pa1R 6$bp1+2b= Hiệu trên khác 0 vậy đáp án A sai Thử với đáp án B. Chon 1 x thì 1 6 y và số phức 1 1 6 xi . Xét hiệu : qc1+a1R6$b+1pb$pqc1+a1R 6$bp1+2b= Vậy hiệu 1 1 2 0 1 1 2 z i z i z i z i Đáp án chính xác là B Cách 2: Tự luận Vì đề bài yêu cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z nên ta đặt z x yi Theo đề bài 1 1 2 z i z i 1 1 1 2 x y i x y i 2 2 2 2 1 1 1 2 x y x y 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 4 x x y y x x y y 4 6 3 0 xy . Vậy đáp án chính xác là B TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 281 Tài liệu lưu hành nội bộ Bài 2-[Thi thử THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z : 34 z z i là phương trình có dạng A. 6 8 25 0 xy B.3 4 3 0 xy C. 2 25 xy D. 22 3 4 25 xy GIẢI Đặt số phức z x yi . Ta có : 34 z z i 34 x yi x y i 22 22 34 x y x y 2 2 2 2 6 9 8 16 6 8 25 0 x y x x y y x y Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 6 8 25 0 xy Đáp án chính xác là A Bài 3-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần 1 năm 2017] Cho các số phức z thỏa mãn 2 z . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 3 2 2 w i i z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A. 20 r B. 20 r C. 7 r D. 7 r GIẢI Cách 1: Casio Chọn số phức 2 z thỏa mãn 2 z vậy 1 3 2 2 .2 7 4 w i i i . Ta có điểm biểu diễn của 1 w là 7; 4 M Chọn số phức 2 z thỏa mãn 2 z vậy 2 3 2 2 . 2 1 0 w i i i . Ta có điểm biểu diễn số phức 2 w là 1;0 N Chọn số phức 2 zi thỏa mãn 2 z vậy 3 3 2 2 . 2 5 2 w i i i i . Ta có điểm biểu diễn số phức 3 w là 5;2 P 3p2b+(2pb)O2b= Sử dụng máy tính tìm phương trình đường tròn di qua 3 điểm ,, M N P w527=p4=1=p7dp4d=p1=0=1 =p1d=5=2=1=p5dp2d== Vậy phương trình đường tròn cần tìm là 2 22 22 6 4 7 0 3 2 20 x y x y x y sẽ có bán kính là 20 r Đáp án chính xác là B Cách 2: Tự luận Vì đề bài yêu cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w nên ta đặt w x yi TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 282 Tài liệu lưu hành nội bộ Theo đề bài 3 2 2 w i i z 32 2 wi z i 3 2 2 32 2 2 2 x y i i x y i z i i i 2 8 2 1 3 x y x y z Ta có 2 z 22 2 8 2 1 4 55 x y x y 22 2 8 2 1 100 x y x y 22 5 5 30 20 65 100 x y x y 22 6 4 7 x y x y 2 22 3 2 20 xy Bài 4-[Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 11 z i z A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 2; 1 I , bán kính 2 R A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 1;0 I , bán kính 3 R A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 0; 1 I , bán kính 3 R A.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 0; 1 I , bán kính 2 R GIẢI Đặt số phức z x yi . Ta có : 11 z i z 11 x yi x yi i 1 x yi x y x y i 2 2 2 2 1 x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x x y x xy y x xy y 22 2 1 0 x y x 2 2 2 12 xy Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 1;0 I , bán kính 2 R Đáp án chính xác là D Bài 5-[Thi thử THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 2 zz là : A.Cả mặt phẳng B.Đường thẳng C.Một điểm D.Hai đường thẳng GIẢI Đặt số phức z x yi . Ta có 2 2 zz 2 2 x yi x yi 2 2 2 2 2 x y x xyi yi 2 0 2 2 0 0 y y xyi y y xi y ix Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng 0 y và 0 y ix Đáp án chính xác là D Bài 6-Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 1 2 z z z i là một Parabol có dạng: A. 2 3 6 2 y x x B. 2 2 x yx C. 2 4 3 x y D. 2 1 2 3 y x x TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 283 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Đặt số phức z x yi . Nếu đáp số A đúng thì đúng với mọi z x yi thỏa mãn 2 3 6 2 y x x . Chọn một cặp ; xy bất kì thỏa 2 3 6 2 y x x ví dụ 0;2 2 A z i Xét hiệu 2 1 2 z z z i 2qc2bp1$pqc2bp(p2b)+2b= Vậy 2 1 2 6 2 5 0 z z z i 2 1 2 z z z i Đáp số A sai Tương tự với đáp số B chọn 1 1 2 zi . Xét hiệu 2 1 2 z z z i 2qc1pabR2$p1$pqc1pabR2$ p(1+abR2$)+2b= Vậy 2 1 2 0 z z z i 2 1 2 z z z i Đáp số B chính xác TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 284 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 32. CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Bất đẳng thức thường gặp Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các số thực , , , a b x y ta luôn có 2 2 2 2 2 ax by a b x y . Dấu = xảy ra ab xy Bất đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto ; u x y và '; ' v x y ta luôn có u v u v 22 2 2 2 2 ' ' ' ' x y x y x x y y Dấu = xảy ra 0 '' xy xy 2. Phương pháp mẹo sử dụng sử tiếp xúc Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C bán kính R. Với mỗi điểm M thuộc đường tròn C thì cũng thuộc đường tròn ' C tâm gốc tọa độ bán kính 22 OM a b . +)Để z lớn nhất thì OM lớn nhất đạt được khi đường tròn ' C tiếp xúc trong với đường tròn C và OM OI R +)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất đạt được khi đường tròn ' C tiếp xúc ngoài với đường tròn C và OM OI R Dạng 2 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng d . Với mỗi điểm M thuộc d thì cũng thuộc đường tròn ' C +)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó OM vuông góc với d và ; OM d O d TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 285 Tài liệu lưu hành nội bộ Dạng 3 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là Elip có đỉnh thuộc trục lớn ;0 Aa và đỉnh thuộc trục nhỏ 0; Bb . Với mỗi điểm M thuộc d thì cũng thuộc đường tròn E +)Để z lớn nhất thì OM lớn nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và max z OM OA +)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và max z OM OB Dạng 4 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là Hyperbol 22 22 :1 xy H ab có hai đỉnh thuộc trục thực ' ;0 , ;0 A a A a thì số phức z có môđun nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn số phức z này trùng với các đỉnh trên. (môđun lớn nhất không tồn tại) II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017] Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2 z i z i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. 1 zi B. 22 zi C. 22 zi D. 32 zi GIẢI Cách Casio Trong các số phức ở đáp án, ta sẽ tiến hành xắp xếp các số phức theo thứ tự môđun tăng dần : 1 2 2 2 2 3 2 i i i i TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 286 Tài liệu lưu hành nội bộ Tiếp theo sẽ tiến hành thử nghiệm từng số phức theo thứ tự môđun tăng dần, số phức nào thỏa mãn hệ thức điều kiện 2 4 2 z i z i đầu tiên thì là đúng Với 1 zi Xét hiệu : 1 2 4 1 2 i i i i qc(p1+b)p2p4b$pqcp1+b p2b= Ra một giá trị khác 0 vậy 1 zi không thỏa mãn hệ thức. Đáp án A sai Tương tự như vậy với 22 zi qc2+2bp2p4b$pqc2+2bp2 b= Vậy số phức 22 zi thỏa mãn hệ thức Đáp số C là đáp số chính xác Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn 2 4 2 z i z i 2 4 2 a b i a b i 2 2 2 2 2 4 2 a b a b 2 2 2 2 4 4 8 16 4 4 a a b b a b b 4 4 16 ab 40 ab Trong các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn 40 ab Đáp án chính xác là C Cách tự luận Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn 2 4 2 z i z i 2 4 2 a b i a b i 2 2 2 2 2 4 2 a b a b 2 2 2 2 4 4 8 16 4 4 a a b b a b b 4 4 16 ab 4 ab Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki : 2 2 2 2 2 2 2 2 16 1 1 8 a b a b z a b 22 z Dấu = xảy ra 2 2 2 11 4 ab a b z i ab VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Với các số phức z thỏa mãn 1 1 7 2 i z i . Tìm giá trị lớn nhất của z A. max 4 z B. max 3 z C. max 7 z D. max 6 z GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn 1 1 7 2 i z i TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 287 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 1 7 2 a bi i i 1 7 2 a b a b i 22 1 7 2 a b a b 22 2 2 50 12 16 2 a b a b 22 6 8 25 1 a b a b 22 3 4 1 ab Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 3;4 I bán kính 1 R . Ta gọi đây là đường tròn C Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z a bi thì M cũng thuộc đường tròn tâm 0;0 O bán kính 22 ab . Ta gọi đây là đường tròn ' C , Môđun của z cũng là bán kính đường tròn ' C Để bán kính ' C lớn nhất thì ,, O I M thẳng hàng (như hình) và ' C tiếp xúc trong với C Khi đó 5 1 6 OM OI R Đáp số chính xác là D Cách tự luận Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn 1 1 7 2 i z i 1 1 7 2 a bi i i 1 7 2 a b a b i 22 1 7 2 a b a b 22 2 2 50 12 16 2 a b a b 22 6 8 25 1 a b a b 22 3 4 1 ab Ta có 2 22 6 8 24 6 3 8 4 26 z a b a b a b Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 6 3 8 4 6 3 8 4 a b a b 22 22 6 8 3 4 10 ab Vậy 2 36 6 zz đáp án D là chính xác Bình luận Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá z là rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến dạng của nó Trong tình huống của bài toán này, khi so sánh 2 cách giải ta thấy dùng mẹo tiếp xúc tỏ ra đơn giản dễ hiểu và tiết kiệm thời gian hơn. VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn 4 4 10 zz , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là : A.10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3D. 5 và 3 GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn 4 4 10 zz 4 4 10 a bi a bi 22 22 4 4 10 a b a b TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 288 Tài liệu lưu hành nội bộ 22 22 4 10 4 a b a b 2 2 2 2 2 2 8 16 100 8 16 20 4 a a b a a b a b 2 2 20 4 100 16 a b a 2 2 5 4 25 4 a b a 2 2 2 25 8 16 625 200 16 a a b a a 22 9 25 225 ab 22 1 25 9 ab Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn là 5;0 A , đỉnh thuộc đáy nhỏ là 0;3 B Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z a bi thì M cũng thuộc đường tròn tâm 0;0 O bán kính 22 ab . Ta gọi đây là đường tròn ' C , Môđun của z cũng là bán kính đường tròn ' C Để bán kính ' C lớn nhất thì M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và 5;0 MA 5 OM max 5 z Để bán kính ' C lớn nhất thì M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và 0;3 MB 3 OM min 3 z Đáp số chính xác là D Cách tự luận Gọi số phức z có dạng z a bi . z thỏa mãn 4 4 10 zz 4 4 10 a bi a bi 22 22 4 4 10 a b a b 2 2 2 2 4 4 10 a b a b Theo bất đẳng thức vecto ta có : 22 2 2 2 2 10 4 4 4 4 a b a b a a b b 22 10 4 4 ab 10 2 5 zz Ta có 22 22 4 4 10 a b a b Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 100 4 4 1 1 4 4 a b a b a b a b 22 100 2 2 2 32 ab 22 2 2 32 50 ab 22 9 ab Vậy 2 93 zz 35 z đáp án D là chính xác VD4-Trong các số phức z thỏa mãn 2 2 2 zz , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. 13 zi B. 13 zi C. 1 z D. 3 zi TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 289 Tài liệu lưu hành nội bộ GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z x yi . z thỏa mãn 2 2 2 zz 2 2 2 x yi x yi 22 22 2 2 2 x y x y 22 22 2 2 2 x y x y 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 x y x y x y 2 2 1 2 2 x x y 1 1 2 0 2 xx 2 2 2 1 4 4 4 4 x x x x y 2 2 1 3 y x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là Hypebol 2 2 :1 3 y Hx có 2 đỉnh thuộc thực là ' 1;0 , 1;0 AB Số phức z x yi có điểm biểu diễn ; M x y và có môđun là 22 OM a b . Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì M trùng với hai đỉnh của H 1;0 1 M A M z Đáp án chính xác là C II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho các số phức z thỏa mãn 2 2 2 1 zi . Môđun z nhỏ nhất có thể đạt được là bao nhiêu : A. 1 2 2 2 B. 1 2 2 2 C. 21 D. 21 Bài 2-Trong các số phức z thỏa mãn 3 3 10 z i iz . Hai số phức 1 z và 2 z có môđun nhỏ nhất. Hỏi tích 12 zz là bao nhiêu A. 25 B. 25 C.16 D. 16 Bài 3-Trong các số phức z thỏa mãn 32 iz z i . Tính giá trị nhỏ nhất của z . A. 1 2 B. 1 2 C. 1 5 D. 1 5 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho các số phức z thỏa mãn 2 2 2 1 zi . Môđun z nhỏ nhất có thể đạt được là bao nhiêu : A. 1 2 2 2 B. 1 2 2 2 C. 21 D. 21 GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z x yi thỏa mãn 2z 2 2 1 2 2 2 2 1 i x yi i 22 2 2 2 2 1 xy TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 290 Tài liệu lưu hành nội bộ 22 1 11 4 xy Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C có tâm 1; 1 I bán kính 1 2 R Với mỗi điểm ; M x y biểu diễn số phức z x yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán kính 22 ' R z x y . Vì vậy để Rz nhỏ nhất thì đường tròn ' C phải tiếp xúc ngoài với đường ' C Khi đó điểm M sẽ là tiếp điểm của đường tròn C và ' C và 1 2 2 2 z OM OI R s(1p0)d+(p1p0)d$pa1R2= Đáp số chính xác là A Bài 2-Trong các số phức z thỏa mãn 3 3 10 z i iz . Hai số phức 1 z và 2 z có môđun nhỏ nhất. Hỏi tích 12 zz là bao nhiêu A. 25 B. 25 C.16 D. 16 GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z x yi thỏa mãn 3 3 10 z i iz 3 3 10 x y i y xi 22 22 3 3 10 x y y x 22 22 3 10 3 y x x y 2 2 2 2 2 2 3 100 20 3 3 y x x y x y 2 2 20 3 100 12 x y y 22 25 16 400 xy 22 1 16 25 xy Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip 22 :1 16 25 xy E có 2 đỉnh thuộc trục nhỏ là 4;0 , ' 4;0 AA Với mỗi điểm ; M x y biểu diễn số phức z x yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán kính 22 ' R z x y . Vì elip E và đường tròn C có cùng tâm O nên để OM nhỏ nhất thì M là đỉnh thuộc trục nhỏ 1 '4 M A z , 2 4 M A z Tổng hợp 12 . 4 .4 16 zz Đáp số chính xác là D Mở rộng Nếu đề bài hỏi tích 12 zz với 12 , zz có giá trị lớn nhất thì hai điểm M biểu diễn hai số phức trên là hai đỉnh thuộc trục lớn 0; 5 , ' 0;5 BB TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 291 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 '5 M B z i , 2 5 M A z i Tổng hợp 2 12 5 . 5 25 25 z z i i i Bài 3-Trong các số phức z thỏa mãn 32 iz z i . Tính giá trị nhỏ nhất của z . A. 1 2 B. 1 2 C. 1 5 D. 1 5 GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z x yi thỏa mãn 32 iz z i 3 2 1 y xi x y i 2 2 2 2 3 2 1 y x x y 2 2 2 2 6 9 4 4 2 1 y y x x x y y 2 1 0 xy 2 2 20 3 100 12 x y y Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng : 2 1 0 d x y Với mỗi điểm ; M x y biểu diễn số phức z x yi thi z OM OH với H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d và OH là khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng d Tính 22 1.0 2.0 1 1 ; 5 12 OH d O d Vậy 1 5 z Đáp số chính xác là D 2 2 3 2 2 3 2 22 1 1 2 2 x y xyi x xy x x yi y i yi xy x yi x yi x yi x y TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 292 Tài liệu lưu hành nội bộ PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 33. PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC. I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Chuyển số phức về dạng lượng giác Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng cos sin z r i thì ta luôn có : cos sin nn z r n i n Lệnh chuyển số phức z a bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3 Bước 1: Nhập số phức z a bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ 13 zi ) 1+s3$bq23= Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu 2 r và 3 II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017] Gọi 12 , zz là hai nghiệm phức của phương trình 2 10 zz . Giá trị của 12 zz bằng : A. 0 B.1 C. 2 D. 4 GIẢI Cách Casio Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2 10 zz bằng chức năng MODE 5 3 w531=p1=1== Vậy ta được hai nghiệm 1 13 22 zi và 2 13 22 zi . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP w2qca1R2$+as3R2$b$+qc a1R2$pas3R2$b= 12 2 zz ta thấy B là đáp án chính xác VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017] Gọi 12 , zz là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 2 0 zz . Tính giá trị của biểu thức 2016 2016 12 P z z : A. 1009 2 B. 0 C. 2017 2 D. 1008 2 GIẢI Cách Casio 1 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 293 Tài liệu lưu hành nội bộ Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2 2 2 0 zz bằng chức năng MODE 5 3 w531=2=2== Ta thu được hai nghiệm 1 1 zi và 2 1 zi . Với các cụm đặc biệt 1 i , 1 i ta có điều đặc biệt sau: 4 14 i , 4 14 i w2(p1+b)^4= Vậy 504 504 2016 2016 4 4 2016 2016 12 1 1 1 1 P z z i i i i 504 504 504 504 1008 1008 1008 1009 4 4 4 4 2 2 2.2 2 2016 2016 1009 12 2 P z z ta thấy A là đáp án chính xác Cách Casio 2 Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt của cụm 4 1 i ta có thể xử lý 1 i bằng cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3 Với 1 1 cos sin z i r i p1+bq23= Ta nhận được 2 r và góc 3 4 2016 2016 11 3 3 3 3 2 cos sin 2 cos 2016. sin 2016. 4 4 4 4 z i z i Tính 33 cos 2016. .sin 2016. 44 i k2016Oa3qKR4$+bOj2016 Oa3qKR4$))o= 2016 2016 1008 1 22 z Tương tự 2016 1008 1009 2 22 zT VD3-[Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Kí hiệu 1 2 3 ,, z z z và 4 z là bốn nghiệm phức của phương trình 42 12 0 zz . Tính tổng : 1 2 3 4 T z z z z A. 4 T B. 23 T C. 4 2 3 T D. 2 2 3 T GIẢI TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 294 Tài liệu lưu hành nội bộ Cách Casio Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương 42 12 0 zz thì ta coi 2 zt khi đó phương trình trở thành 2 12 0 tt w531=p1=p12== Vậy 4 3 t t hay 2 2 4 3 z z Với 2 z 4 2 z Với 2 3 z ta có thể đưa về 22 33 z i z i với 2 1 i . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình 22 3 3 0 zz w531=0=3== Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm 1, 3 z z i Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP w2qc2$+qcp2$+qcs3$b$+ qcps3$b= Đáp án chính xác là C VD4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Giải phương trình sau trên tập số phức : 32 1 1 0 z i z i z i A.zi B. 13 22 zi C. 13 22 zi D.Cả A, B, C đều đúng GIẢI Cách Casio Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC Q)^3$+(b+1)Q)d+(b+1)Q )+brpb= Vậy zi là nghiệm Tiếp tục kiểm tra 13 22 zi nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất. rp(1P2)+(s3)P2)b= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 295 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 13 22 zi tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng Đáp án chính xác là D Cách tự luận Để giải phương trình số phức xuất hiện số i trong đó ta không thể sử dụng chức năng MODE 5 được mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung Phương trình 3 2 2 10 z z z z z i 2 2 10 10 zi z i z z zz Phương trình 2 10 zz không chứa số i nên ta có thể sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình MODE 5 w531=1=1== Tóm lại phương trình có 3 nghiệm 1 3 1 3 ;; 2 2 2 2 z i z i z i D là đáp án chính xác VD5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm 12 1 3; 1 3 zz A. 2 3 1 0 z i z B. 2 2z 4 0 z C. 2 2z 4 0 z D. 2 2z 4 0 z GIẢI Ta hiểu phương trình bậc hai 2 0 ax bx c nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức ) 12 12 b zz a c zz a Tính 12 2 zz w21+s3$b+1ps3$b= Tính 12 4 zz (1+s3$b)(1ps3$b)= Rõ ràng chỉ có phương trình 2 2z 4 0 z có 2 b a và 4 c a Đáp số chính xác là C TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 296 Tài liệu lưu hành nội bộ VD6-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017] Phương trình 2 10 z iz có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức : A. 2 B.1C. 0 D.Vô số GIẢI Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai 2 0 ax bx c sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu 0 , có hai nghiệm kép nếu 0 , vô nghiệm nếu 0 . Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai 2 0 ax bx c có 1 nghiệm duy nhất nếu 0 , có hai nghiệm phân biệt nếu 0 0 Vậy ta chỉ cần tính là xong. Với phương trình 2 10 z iz thì 2 45 i là một đại lượng 0 vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt Đáp số chính xác là A VD7-Phần thực của số phức z là bao nhiêu biết 5 10 10 13 13 ii z i A. 1 i B.1 C.32i D. 5 2 i GIẢI Để xử lý số phức bậc cao 3 ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa- vơ . Và để dễ nhìn ta đặt 10 5 12 10 3 . zz z z Tính 1 1 cos sin z i r i . Để tính r và ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3 1pbq23= Vậy 1 2 cos sin 44 zi 10 10 1 2 cos10. sin10. 44 zi Tính cos10. sin10. 44 i k10OapqKR4$)+bj10Oapq KR4$)= Vậy 10 10 5 1 2 . 2 . z i i Tương tự 5 5 5 2 31 2 cos5. sin 5. 2 6 6 2 2 z i i 10 10 10 3 2 2 1 3 2 cos10. sin10. 2 3 3 2 2 z i i Tổng hợp 55 10 5 12 10 3 10 31 2 .2 22 . 13 2 22 ii zz z z i TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 297 Tài liệu lưu hành nội bộ a2^5$bO2^5$(pas3R2$+a1 R2$b)R2^10$(pa1R2$pas3 R2$b)= Vậy 1 z Đáp số chính xác là B III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017] Cho phương trình 2 2z 17 0 z có hai nghiệm phức 1 z và 2 z . Giá trị của 12 zz là : A. 2 17 B. 2 13 C. 2 10 D. 2 15 Bài 2-[Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009] Gọi 12 ,z z là hai nghiệm của phương trình 2 2z 10 0 z . Tính giá trị biểu thức 22 12 A z z A. 2 10 B. 20 C.52 D.10 3 Bài 3-[Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017] Kí hiệu 1 2 3 ,, z z z là nghiệm của phương trình 3 27 0 z . Tính tổng 1 2 3 T z z z A. 0 T B. 33 T C. 9 T D. 3 T Bài 4-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Gọi 1 2 3 4 , , , z z z z là bốn nghiệm phức của phương trình 42 2z 3z 2 0 . Tính tổng sau : 1 2 3 4 T z z z z A. 5 B.52 C.32 D. 2 Bài 5-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Xét phương trình 3 1 z trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là : A. 1 S B. 13 1; 2 S C. 13 1; 22 Si D. 13 22 Si Bài 6-Biết z là nghiệm của phương trình 1 1 z z . Tính giá trị biểu thức 2009 2009 1 Pz z A. 1 P B. 0 P C. 5 2 P D. 7 4 P LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017] Cho phương trình 2 2z 17 0 z có hai nghiệm phức 1 z và 2 z . Giá trị của 12 zz là : A. 2 17 B. 2 13 C. 2 10 D. 2 15 GIẢI Cách Casio Tìm hai nghiệm của phương trình 2 2z 17 0 z w531=p2=17== Tính tổng hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP w2qc1+4b$+qc1p4b= TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 298 Tài liệu lưu hành nội bộ Vậy 12 2 17 zz Đáp số chính xác là A Bài 2-[Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009] Gọi 12 ,z z là hai nghiệm của phương trình 2 2z 10 0 z . Tính giá trị biểu thức 22 12 A z z A. 2 10 B. 20 C.52 D.10 3 GIẢI Cách Casio Tìm hai nghiệm của phương trình 2 2z 10 0 z w531=2=10== Tính tổng bình phương hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP w2qcp1+3b$d+qcp1p3b$d= Vậy 22 12 20 A z z Đáp số chính xác là B Bài 3-[Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017] Kí hiệu 1 2 3 ,, z z z là nghiệm của phương trình 3 27 0 z . Tính tổng 1 2 3 T z z z A. 0 T B. 33 T C. 9 T D. 3 T GIẢI Cách Casio Tính nghiệm của phương trình 3 27 0 z bằng chức năng MODE 5 4 w541=0=0=27== Vậy 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3, , 2 2 2 2 z z i z i Tính tổng môđun 1 2 3 T z z z w541=0=0=27====w1w2qcp3 $+qca3R2$+a3s3R2$b$+qca 3R2$pa3s3R2$b= Vậy 9 T Đáp số chính xác là C Bài 4-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Gọi 1 2 3 4 , , , z z z z là bốn nghiệm phức của phương trình 42 2z 3z 2 0 . Tính tổng sau : TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 299 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 2 3 4 T z z z z A. 5 B.52 C.32 D. 2 GIẢI Cách Casio Đặt 2 tz . Tìm nghiệm của phương trình 2 2 3 2 0 tt w532=p3=p2== Vậy 2 2 2 2 1 1 2 2 t z t z Với 2 22 zz Với 2 22 1 22 2 ii z z z Tính tổng môđun 1 2 3 4 T z z z z w2qcs2$$+qcps2$$+qcabR s2$$$+qcapbRs2= Vậy 32 T Đáp số chính xác là C Bài 5-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Xét phương trình 3 1 z trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là : A. 1 S B. 13 1; 2 S C. 13 1; 22 Si D. 13 22 Si GIẢI Cách Casio Giải phương trình bậc ba 3 10 z với chức năng MODE 54 w541=0=0=p1== Phương trình có 3 nghiệm 1 2 3 1 3 1 3 1, , 2 2 2 2 x x i x i Đáp số chính xác là C Bài 6-Biết z là nghiệm của phương trình 1 1 z z . Tính giá trị biểu thức 2009 2009 1 Pz z A. 1 P B. 0 P C. 5 2 P D. 7 4 P GIẢI Cách Casio Quy đồng phương trình 1 0 z z ta được phương trình bậc hai 2 10 zz . Tính nghiệm phương trình này với chức năng MODE 5 3 TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017. Trang 300 Tài liệu lưu hành nội bộ w531=p1=1== Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm z đại diện là được Với 13 22 zi ta chuyển về dạng lượng giác 1 cos sin 33 zi a1R2$+as3R2$bq23= Vậy 2009 2009 1 cos 2009. sin 2009. cos 2009. sin 2009. 3 3 3 3 z i i Tính 2009 z và lưu và biến A Wk2009OaqKR3$)+bj2009Oa qKR3$)=qJz Tổng kết 1 1 PA A Qz+a1RQz= Đáp số chính xác là A M ỤC L ỤC BÀI 1. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT. ........................................................................... 1 BÀI 2. TÌM NHANH KHOẢNG ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN. ............................................................... 10 BÀI 3. CỰC TRỊ HÀM SỐ. .................................................................................................................................. 20 BÀI 4. TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ. ................................................................................................................ 32 BÀI 5. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. ...................................................................................................................... 40 BÀI 6. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. ..................................................................................................... 44 BÀI 7. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ. ............................................................................... 54 BÀI 8. ĐẠO HÀM. ................................................................................................................................................. 63 BÀI 9. TÌM SỐ NGHIÊM PHƯƠNG TRÌNH – LOGARIT (P1). ............................................................... 72 BÀI 10. TÌM SỐ NGHIÊM PHƯƠNG TRÌNH – LOGARIT (P1). ............................................................. 81 BÀI 11. TÌM SỐ NGHIÊM PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT (P2). ..................................................... 90 BÀI 12. GIẢI NHANH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT (P1). .................................................. 98 BÀI 13. GIẢI NHANH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT (P2). ............................................... 108 BÀI 14. TÌM SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT LŨY THỪA. .................................................................................... 114 BÀI 15. TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT. ........................................................... 123 BÀI 16. CHỨNG MINH TÍNH ĐÚNG SAI MỆNH ĐỀ MŨ – LOGARIT. ............................................. 134 BÀI 17. TÍNH NHANH BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ MŨ – LOGARIT. .................................................. 143 BÀI 18. TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ. ............................................................................. 151 BÀI 19. TÍNH NHANH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH. ..................................................................................... 166 BÀI 20. TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. ................................................................................ 176 BÀI 21. TÍNH NHANH THỂ TÍCH TRÒN XOAY. ..................................................................................... 187 BÀI 22. TÍNH NHANH QUÃNG ĐƯỜNG VẬT CHUYỂN ĐỘNG. ........................................................ 197 BÀI 23. GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO. ................................................. 203 BÀI 24. TÍNH NHANH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG – MẶT. ................................................ 215 BÀI 25. TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN. ....................................................... 223 BÀI 26. TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. ...................................................... 235 BÀI 27. TÍNH NHANH THỂ TÍCH CHÓP, DIỆN TÍCH TAM GIÁC. .................................................... 244 BÀI 28. TÍNH NHANH GÓC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT. .......................................................... 252 BÀI 29. TÍNH NHANH CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN SỐ PHỨC. ........................................................... 261 BÀI 30. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC. ...................................................................................... 269 BÀI 31. QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC. .......................................................................... 276 BÀI 32. CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC. ................................................................................................................. 284 BÀI 33. PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC. .......................................................................................................... 292
