Phân dạng phương trình lượng giác – Trần Sĩ Tùng

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011 Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 1 I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: OP OQ AT BT cos sin tan ' cot a a a a = = = = Nhận xét: · , 1 cos 1; 1 sin1 a aa " -£ £ -££ · tana xác định khi k kZ , 2 p ap ¹+Î · cota xác định khi kkZ , ap ¹Î 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin 2 a + cos 2 a = 1; tana.cota = 1 22 22 11 1 tan ; 1 cot cos sin aa aa + = += 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cos aa -= sin( ) sin paa -= sin cos 2 p aa æö -= ç÷ èø sin( ) sin aa - =- cos( ) cos paa - =- cos sin 2 p aa æö -= ç÷ èø tan( ) tan aa - =- tan( ) tan paa - =- tan cot 2 p aa æö -= ç÷ èø cot( ) cot aa - =- cot( ) cot paa - =- cot tan 2 p aa æö -= ç÷ èø CHƯƠNG 0 ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' a T Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 2 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: Cung hơn kém p Cung hơn kém 2 p sin( ) sin paa + =- sin cos 2 p aa æö += ç÷ èø cos( ) cos paa + =- cos sin 2 p aa æö + =- ç÷ èø tan( ) tan paa += tan cot 2 p aa æö + =- ç÷ èø cot( ) cot paa += cot tan 2 p aa æö + =- ç÷ èø 0 6 p 4 p 3 p 2 p 2 3 p 3 4 p p 3 2 p 2p 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 - 2 2 - –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3 - –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 - –1 0 sin( ) sin .cos sin .cos ab a b ba +=+ sin( ) sin .cos sin .cos ab a b ba -=- cos( ) cos .cos sin .sin ab a b ab +=- cos( ) cos .cos sin .sin ab a b ab -=+ tan tan tan() 1 tan .tan ab ab ab + += - tan tan tan() 1 tan .tan ab ab ab - -= + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan p a pa aa aa æö æö +- += -= ç÷ ç÷ -+ èø èø Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 3 III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin2 2sin .cos a aa = 2 2 22 cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin a a a aa = - = - =- 2 2 2 tan cot1 tan2 ; cot2 2 cot 1 tan aa aa a a - == - 2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 a : (*) Đặt: tk tan( 2) 2 a app = ¹+ thì: t t 2 2 sin 1 a = + ; t t 2 2 1 cos 1 a - = + ; t t 2 2 tan 1 a = - IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos .cos cos( ) cos() 2 1 sin .sin cos( ) cos() 2 1 sin .cos sin( ) sin() 2 ab ab ab ab ab ab ab ab ab éù = -++ ëû éù = --+ ëû éù = -++ ëû cos cos 2 cos .cos 22 ab ab ab +- += cos cos 2sin .sin 22 ab ab ab +- - =- sin sin 2sin .cos 22 ab ab ab +- += sin sin 2 cos .sin 22 ab ab ab +- -= sin() tan tan cos .cos ab ab ab + += sin() tan tan cos .cos ab ab ab - -= sin() cot cot sin .sin ab ab ab + += ba ab ab sin() cot cot sin .sin - -= sin cos 2.sin 2.cos 44 pp aa aa æ ö æö + = +=- ç ÷ ç÷ è ø èø sin cos 2 sin 2 cos 44 pp a a aa æ ö æö - = - =-+ ç ÷ ç÷ è ø èø Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a a a a a - = + = - = + 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan a aa a aa aa a a =- =- - = - Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 4 TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ yx sin = : Tập xác định D = R; tập giá trị 1,1 T éù =- ëû ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2 T = p . * y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = p * y = sin(f(x)) xác định () fx Û xác định. yx cos = : Tập xác định D = R; tập giá trị 1,1 T éù =- ëû ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2 T = p . * y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = p * y = cos(f(x)) xác định () fx Û xác định. yx tan = : Tập xác định \, 2 DR kkZ ìü = +Î íý îþ p p ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = p . * y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 T a = p * y = tan(f(x)) xác định () fx Û () 2 k kZ ¹+Î p p yx cot = : Tập xác định { } \, D R kkZ =Î p ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = p . * y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 T a = p * y = cot(f(x)) xác định () () fx k kZ Û ¹Î p . * y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 Thì hàm số 12 () () y fx fx =± có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 5 1. Phương trình sinx = sina a) 2 sin sin () 2 xk x kZ xk é =+ =ÛÎ ê = -+ ë ap a pap b) x a Ñieàu kieäna sin . :11 = - ££ x ak xa kZ x ak arcsin2 sin () arcsin2 p pp é=+ =ÛÎ ê =-+ ë c) sin sin sin sin() u v uv =- Û =- d) sin cos sin sin 2 u v uv æö = Û =- ç÷ èø p e) sin cos sin sin 2 u v uv æö =- Û =- ç÷ èø p Các trường hợp đặc biệt: sin0 () x x k kZ = Û=Î p sin1 2() 2 x x k kZ = Û =+Î p p sin1 2() 2 x x k kZ =- Û =-+Î p p 22 sin 1 sin 1 cos 0 cos0 () 2 x x x x x k kZ =±Û =Û =Û = Û =+Î p p 2. Phương trình cosx = cosa a) cos cos 2() x x k kZ = Û =±+Î a ap b) x a Ñieàu kieäna cos . :11 = - ££ x ax ak kZ cos arccos 2() p = Û =± +Î c) cos cos cos cos() u v uv =- Û =- p d) cos sin cos cos 2 u v uv æö = Û =- ç÷ èø p e) cos sin cos cos 2 u v uv æö =- Û =+ ç÷ èø p Các trường hợp đặc biệt: cos0 () 2 x x k kZ = Û =+Î p p cos1 2() x x k kZ = Û=Î p cos1 2() x x k kZ =- Û =+Î pp x x x x x k kZ 22 cos 1 cos 1 sin 0 sin0 () p =±Û =Û =Û = Û=Î I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CHƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 6 3. Phương trình tanx = tana a) tan tan () x x k kZ = Û =+Î a ap b) tan arctan () x a x a k kZ = Û= +Î p c) tan tan tan tan() u v uv =- Û =- d) tan cot tan tan 2 u v uv æö = Û =- ç÷ èø p e) tan cot tan tan 2 u v uv æö =- Û =+ ç÷ èø p Các trường hợp đặc biệt: tan0 () x x k kZ = Û=Î p tan1 () 4 x x k kZ =± Û =±+Î p p 4. Phương trình cotx = cota cot cot () x x k kZ = Û =+Î a ap cot arccot () x ax a k kZ = Û= +Î p Các trường hợp đặc biệt: cot0 () 2 x x k kZ = Û =+Î p p cot1 () 4 x x k kZ =± Û =±+Î p p 5. Một số điều cần chú ý: a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ). 2 x k kZ ¹+Î p p * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: () x k kZ ¹Î p * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện () 2 xk kZ ¹Î p * Phương trình có mẫu số: · sin0 () x x k kZ ¹ ۹Πp · cos0 () 2 x x k kZ ¹ Û ¹+Î p p · tan0 () 2 x x k kZ ¹ ۹Πp · cot0 () 2 x xk kZ ¹ ۹Πp b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường tròn lượng giác. 3. Giải các phương trình vô định. Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 7 Baøi 1. Giải các phương trình: 1) cos20 6 x æö += ç÷ èø p 2) cos41 3 x æö -= ç÷ èø p 3) cos1 5 x æö - =- ç÷ èø p 4) sin30 3 x æö += ç÷ èø p 5) sin1 24 xæö -= ç÷ èø p 6) sin 21 6 x æö + =- ç÷ èø p 7) ( ) 1 sin31 2 x+= 8) ( ) 0 2 cos 15 2 x-= 9) 3 sin 232 xæö - =- ç÷ èø p 10) 1 cos2 62 x æö - =- ç÷ èø p 11) ( ) tan2 13 x-= 12) ( ) 0 3 cot3 10 3 x+= 13) tan31 6 x æö + =- ç÷ èø p 14) cot21 3 x æö -= ç÷ èø p 15) cos(2x + 25 0 ) = 2 2 - Baøi 2. Giải các phương trình: 1) xx sin(3 1) sin( 2) +=- 2) cos cos2 36 xx æö æö -=+ ç÷ ç÷ èø èø pp 3) cos3 sin2 xx = 4) xx 0 sin( 120) cos20 - += 5) cos2 cos0 33 xx æ ö æö + + -= ç ÷ ç÷ è ø èø pp 6) sin3 sin0 42 x x æö + -= ç÷ èø p 7) tan3 tan 46 xx æ ö æö - =+ ç ÷ ç÷ è ø èø pp 8) cot2 cot 43 xx æ ö æö - =+ ç ÷ ç÷ è ø èø pp 9) xx tan(2 1) cot0 ++= 10) xx 2 cos( )0 += 11) xx 2 sin( 2)0 -= 12) xx 2 tan( 2 3) tan2 + += 13) 2 cot1 x = 14) 2 1 sin 2 x = 15) 1 cos 2 x = 16) 22 sin cos 4 xx æö -= ç÷ èø p Baøi 3. Giải các phương trình: 1) x xx cos3 .tan5 sin7 = 2) xx tan5 .tan21 = 3) x xx 4 cos 2 cos2 cos41 - -= 4) x xx 3 3sin3 3 cos9 1 4sin3 - =+ 5) x x xx 33 2 cos .cos3 sin .sin3 4 += 6) x xx 13 8cos cos sin += Baøi 4. Giải các phương trình: 1) xx 2 cos sin1 -= 2) xx sin cos30 += 3) x x x 2 1 cos tan 1 sin - = - 4) xx x 1 cot tan sin =+ Baøi 5. Giải và biện luận các phương trình: 1) m xm ( 1)sin 20 - + -= 2) mx sin .cos1 = 3) m xm ( 4) tan20 - -= 4) m xm 2 ( 1)sin210 + +-= Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 8 Cách 1: · Chia hai vế phương trình cho 22 ab + ta được: (1) Û 22 22 22 sin cos a bc xx ab ab ab += + ++ · Đặt: ( ) 22 22 sin , cos 0,2 ab ab ab éù = =Î ëû ++ a a ap (1) trở thành: 22 sin .sin cos .cos c xx ab += + aa 22 cos() cos (2) c x ab Û -== + ab · Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: 2 22 22 1. c a bc ab £ Û +³ + · (2) 2 () x k kZ Û = ±+Î abp Cách 2: a) Xét 2 22 x xkk =+ Û =+ p ppp có là nghiệm hay không? b) Xét 2 cos 0. 2 x xk ¹+ Û¹ pp Đặt: 2 22 21 tan, sin , cos, 2 11 x tt t thayxx tt - = == ++ ta được phương trình bậc hai theo t: 2 ( )2 0 (3) b ct at cb + - + -= Vì 2 0, x k bc ¹+ Û +¹ pp nên (3) có nghiệm khi: 2 22 2 22 ' ( )0. a cb a bc = - - ³ Û +³ D Giải (3), với mỗi nghiệm t 0 , ta có phương trình: 0 tan. 2 x t = Ghi chú: 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 22 . a bc +³ 3) Bất đẳng thức B.C.S: 2 2 2 2 22 .sin .cos . sin cos y a xb x ab x x ab = + £+ + =+ 22 22 sin cos min max tan xxa y a b vaø y abx abb Û =-+ = + Û = Û= II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX Dạng: a.sinx +b.cosx = c (1) Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 9 Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) cos 3 sin2 xx += 2) 6 sin cos 2 xx += 3) 3 cos3 sin32 xx += 4) sin cos 2 sin5 x xx += 5) 3 sin2 sin 21 2 xx æö + += ç÷ èø p 6) ( ) ( ) 3 1 sin 3 1 cos 3 10 xx - - + + -= Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) 2 2sin 3 sin23 xx += 2) ( ) sin8 cos6 3 sin6 cos8 x x xx - =+ 3) 31 8 cos sin cos x xx =+ 4) x xx cos 3 sin 2 cos 3 pæö - =- ç÷ èø 5) x xx sin5 cos5 2 cos13 += 6) x x xx cos7 sin5 3(cos5 sin7) - =- 7) x x xx sin8 cos6 3(sin6 cos8) - =+ Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) xx xx 2 (3cos 4sin 6) 2 3(3 cos 4sin 6)0 - - ++ - -= 2) 0 42 ) cos 5 sin 4 ( 13 ) cos 5 sin 4 ( 2 = + - - - x x x x 3) 0 8 14 sin 5 cos 12 5 sin 5 cos 12 = + + + + + x x x x 4) xx xx 6 3 cos 4sin6 3cos 4sin1 ++= ++ Baøi 4. Giải các phương trình sau: 1) xx 3sin 2 cos2 -= 2) xx 3 cos 4sin 30 + -= 3) xx cos 4sin1 + =- 4) xx 2sin 5cos5 -= 5) 5 cos 3 sin 4 = - x x 6) 3 2 cos 2 2 sin 3 = + x x 7) x x x 14 sin 13 2 cos 3 2 sin 2 = + 8) 2 9 sin 3 2 cos 3 = + x x Baøi 5. Giải các phương trình sau: 1) xx 32 2sin sin 4 42 pp æ ö æö + + -= ç ÷ ç÷ è ø èø 2) 3 cos2 sin2 2sin2 22 6 x xx æö + + -= ç÷ èø p Baøi 6. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) m xmx ( 2)sin cos2 + += 2) m xm xm ( 1) cos ( 1)sin 23 + +- =+ 3) m x m xm 2 ( 1)sin 2 cos - += 4) x xm 2 1 3 sin sin2 2 += Baøi 7. Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm: 1) m xm xm (2 – 1)sin ( – 1)cos –3 += 2) xmx sin cos1 += Baøi 8. Tìm x sao cho x y x 1 sin 2 cos + = + là số nguyên. Baøi 9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau: 1) x x y 2 cos 2 sin ) 3 2 ( + - = 2) x x x x x y cos sin 3 2 cos 2 ) cos (sin 2 + + - = 3) 4 sin cos 2 3 sin 2 cos + - + + = x x x x y 4) xx y xx sin 2 cos1 sin cos2 ++ = ++ Baøi 10. Tìm các giá trị của a để phương trình có nghiệm x 0 được chỉ ra: 1) 0 3 cos sin ) 2 sin 3 cos 3 ( ) 3 sin 3 (cos 2 = + - + - - + - + a a a a a a x x ; x 0 1 = . 2) 0 sin ) 3 3 ( cos 2 ) sin 3 ( ) 1 cos sin 2 ( 2 2 2 = - - + - + - a a a a a x x ; x 0 3 = . Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 10 Nếu đặt: 2 sin sin :0 1. t x hoaëct x thì ñieàu kieänt = = ££ (tương tự đối với cosx) Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) 2sin 2 x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin 2 x – 4cosx – 1 = 0 3) 0 3 2 cos 7 2 sin 3 2 = - + x x 4) 0 7 sin 5 cos 6 2 = - + x x 5) 0 3 sin 5 2 cos = - - x x 6) 0 1 cos 2 cos = + + x x 7) 14 12 cos 3 sin 6 2 = + x x 8) 7 cos 12 sin 4 2 4 = + x x 9) 4cos 5 x.sinx – 4sin 5 x.cosx = sin 2 4x 10) ( ) 2 4sin 2 3 1 sin 30 xx - + += Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) ( ) 2 tan 1 3 tan 30 xx +- -= 2) 0 3 cot ) 1 3 ( cot 2 = - - + x x 3) xx 2 cot2 4 cot2 30 - += 4) 12 cot 4 tan 7 = - x x 5) tan 2 x + cot 2 x = 2 6) 3 4 2 tan 2 = ÷ ø ö ç è æ - p x Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) ( ) xx 2 4sin3 2 3 1 cos3 34 + + -= 2) 3 4 cos 3 2 sin2 8cos x xx += 3) 4cos 2 (2 – 6x) + 16cos 2 (1 – 3x) = 13 4) ( ) 2 1 3 3 tan 3 30 cos x x -+ -+= 5) 3 cos x + tan 2 x = 9 6) 9 – 13cosx + 2 4 1 tan x + = 0 7) 2 1 sin x = cotx + 3 8) 2 1 cos x + 3cot 2 x = 5 9) cos2x – 3cosx = 2 4 cos 2 x 10) 2cos2x + tanx = 4 5 Baøi 4. Cho phương trình sin3 cos3 3 cos2 sin 1 2sin25 x xx x x æö ++ += ç÷ + èø . Tìm các nghiệm của phương trình thuộc( ) 0;2p . Baøi 5. Cho phương trình: x x x xx cos5 .cos cos4 .cos2 3cos21 = ++ . Tìm các nghiệm của phương trình thuộc ( ) ; -pp . Baøi 6. Giải phương trình : 4 44 5 sin sin sin 4 44 x xx æ ö æö + ++ -= ç ÷ ç÷ è ø èø pp . Baøi 7. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: 44 1 sin cos sin .cos 2 x x m xx ++= III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng Đặt Điều kiện a x b xc 2 sin sin0 + += t = sinx 11 t - ££ 2 cos cos0 a x b xc + += t = cosx 11 t - ££ 2 tan tan0 a x b xc + += t = tanx () 2 x k kZ ¹+Î p p 2 cot cot0 a x b xc + += t = cotx () x k kZ ¹Î p Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 11 Cách 1: · Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không? Lưu ý: cosx = 0 2 sin 1 sin 1. 2 x k xx Û = + Û =Û =± p p · Khi cos0 x ¹ , chia hai vế phương trình (1) cho 2 cos0 x ¹ ta được: 22 .tan .tan (1 tan) a xb x cdx + +=+ · Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 2 ( ).0 a dt bt cd - + + -= Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1 cos2 sin2 1 cos2 (1). .. 2 22 x xx a b cd -+ Û + += .sin2 ( ).cos22 b x ca x d ac Û +- = -- (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x) Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) 22 5sin 2 3 sin .cos 3cos2 x x xx + += 2) 22 3sin 8sin .cos 4 cos0 x xxx + += 3) ( ) 22 3sin 8sin .cos 8 3 9 cos0 x xxx + + -= 4) x x xx 22 2 cos – 3sin .cos sin0 += 5) 22 4sin 3 3 sin .cos 2 cos4 x xxx + -= 6) 4 2 24 3cos 4sin cos sin0 x x xx - += 7) 22 1 sin sin2 2 cos 2 x xx + -= 8) x x xx 22 cos 3sin sin .cos –10 + += Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) ( ) ( ) 22 2sin 1 3 sin .cos 1 3 cos1 x xxx +- +-= 3) ( ) ( ) x xxx 22 2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos1 -+ +- =- 3) ( ) ( ) 22 2 1 sin sin2 2 1 cos2 xxx - + ++= 4) ( ) ( ) 22 3 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos0 x xxx + - +-= Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) 3 23 sin 2sin .cos – 3cos0 += x x xx 2) 2 21 3 sin .cos sin 2 x xx - -= 3) x x x x xx 32 23 sin 5sin .cos 3sin .cos 3cos0 - - += Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) 22 1 221 m x xx ( )sin – sin cos + += 2) m xm x mx 22 (3 – 2)sin – (5 – 2)sin2 3(2 1) cos0 + += 3) m x x mx 22 sin sin2 3 cos1 + += 4) m x mx 22 ( 2) cos 2 sin2 10 + - += IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d (1) Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 12 Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 · Đặt: t x x xt sin cos 2.sin ;2 4 p æö = ± = ±£ ç÷ èø 22 1 1 2sin .cos sin .cos ( 1). 2 t x x x xt Þ =± Þ =±- · Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa 2. t £ Suy ra x. Lưu ý: · x x xx sin cos 2 sin 2 cos 44 pp æ ö æö + = +=- ç ÷ ç÷ è ø èø · x x xx sin cos 2 sin 2 cos 44 pp æ ö æö - = - =-+ ç ÷ ç÷ è ø èø Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 · Đặt: t xx x Ñkt sin cos 2. sin ; :0 2. 4 p æö = ± = ± ££ ç÷ èø 2 1 sin .cos ( 1). 2 x xt Þ =±- · Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 3: Phương trình đối xứng theo tang và cotang. Đặt t x x x kt tan cot ;2 2 p æö = + ¹³ ç÷ èø Baøi 1. Giải các phương trình: 1) ( ) 2sin2 3 3 sin cos 80 x xx - + += 2) ( ) 2 sin cos 3sin22 x xx + += 3) ( ) 3 sin cos 2sin23 x xx + + =- 4) ( )( ) 1 2 1 sin cos sin2 x xx - + += 5) x x xx sin cos – 4sin .cos –10 += 6) ( )( ) 1 2 sin cos sin2 12 x xx + + - =+ Baøi 2. Giải các phương trình: 1) ( ) sin2 4 cos sin4 x xx - -= 2) x xx 5sin2 –12(sin – cos ) 120 += 3) ( )( ) 1 2 1 sin cos sin2 x xx - + -= 4) x xx cos – sin 3sin2 –10 += 5) xx sin2 2 sin1 4 p æö + -= ç÷ èø 6) xx 11 22 cos3 sin3 -= Baøi 3. Giải các phương trình: 1) ( ) xx xx 33 sin cos 1 2 2 sin .cos + =+- 2) x xx 33 3 1 sin cos sin2 2 + += 3) x x xx 22 3tan 4 tan 3cot 4 cot 20 + + + += 4) x xx 2sin2 3 6 sin cos 80 - + += 5) x xx sin cos 4sin21 - += 6) x xx 1 sin2 cos sin - =+ Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) x x x xm sin .cos 6(sin cos) = ++ 2) x m x xm sin2 2 2 (sin cos ) 140 + - +-= 3) x x m xx 22 tan cot (tan cot) + =- 4) xm xx x 2 2 3 3tan (tan cot ) 10 sin + + + -= V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 13 VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Dạng: A AB B 0 .0 0 é = =Û ê = ë Một trong các phương pháp thường được sử dụng để giải các phương trình lượng giác không mẫu mực là biến đổi đưa về dạng phương trình tích. Các phép biến đổi thường sử dụng: – Dùng công thức biến đổi từ tổng thành tích. – Dùng công thức hạ bậc, rồi biến đổi từ tổng thành tích. – Nếu phương trình có tổng của nhiều biểu thức dạng tích mà không có nhân tử chung thì nên biến đổi các tích thành tổng để ước lược, rồi biến đổi từ tổng thành tích. Ví dụ 1: Giải phương trình: x x x xx 1 sin .cos2 sin2 .cos3 sin5 2 =- (*) · (*) Û x x x xx 11 sin .cos2 (sin5 sin) sin5 22 = -- Û xx sin (2 cos2 1)0 += Û x xk xk x xk sin0 1 cos2 3 23 p p p p éé == êê Û Û= =- =±+ êê ëë Ví dụ 2: Giải phương trình: x xx cos2 cos4 cos60 + += (*) · (*) Û x x x xx 2 cos4 .cos2 cos4 0 cos4 (2 cos2 1)0 + =Û += Û x xk x xk cos40 84 1 cos2 2 3 pp p p é é = =+ ê ê Û ê =- ê ê =±+ ë ë Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 3) sin 3 x + cos 3 x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos 2 x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos 2 x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin 2 3x 8) x xx 33 1 sin cos 1 sin2 2 + =- Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) x xx cos3 2 cos2 cos0 - += 5) x xx cos10 cos8 cos6 10 - - += 6) x xx 1 cos cos2 cos30 + + += Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 3) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos 2 x + 1 5) xx xx 4sin2 .sin5 .sin7 sin4 = 6) x x x x xx 1 cos3 .cos4 sin2 .sin5 cos2 cos4 2 + =+ Baøi 4. Giải các phương trình sau: 1) sin 2 x = sin 2 3x 2) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 3 2 3) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x = 1 4) cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x = 2 5) sin7x + cos 2 2x = sin 2 2x + sinx VI. MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 14 Baøi 5. Giải các phương trình sau: (dùng công thức hạ bậc) 1) xx 66 1 sin cos 4 += 2) xx 88 1 sin cos 8 += 3) xx 66 5 sin cos 8 += 4) x xx 46 cos 2sin cos2 += 5) x xx x 4 42 2 1 sin cos cos 10 4sin2 + - + -= Baøi 6. Giải các phương trình sau: 1) x x xx xx 33 1 sin cos sin2 .sin cos sin3 4 2 p æö ++ + =+ ç÷ èø 2) x x x x x xx 1 sin2 2cos3 (sin cos) 2sin 2cos3 cos2 ++ + = ++ 3) x x x xxx sin sin2 sin3 2(cos cos2 cos3) + + = ++ 4) x x xx 1 sin cos sin2 2 cos20 + + + += 5) xx x xx 2 22 sin 2sin 2sin .sin cot0 22 + - += 6) x x x x x xx 22 sin .cos cos2 sin cos .sin cos0 - +- -= 7) x xxx 2 (2sin 1)(2 cos2 2sin 1) 3 4 cos - + + =- 8) xx x xx sin .sin4 2 cos 3 cos .sin4 6 pæö = -- ç÷ èø Baøi 7. Giải các phương trình sau: 1) x xx sin3 .sin6 sin9 = 2) x x xx 33 sin cos sin cos - =+ 3) x x xx 33 sin cos sin cos + =- 4) x x xx 2 sin (1 cos ) 1 cos cos + =++ 5) x x xx cot tan sin cos - =+ 6) x x xx 2 cos2 sin2 2(sin cos) - =+ 7) x x x 2 1 sin2 1 tan2 cos2 - += 8) x xx (1 tan )(1 sin2 ) 1 tan - + =+ Baøi 8. Giải các phương trình sau: 1) Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 15 VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Dạng: A BA ABB 0;00 00 ìì ³ ³= Û íí +== îî Đặc biệt: · A AB B 22 0 0 0 ì = + =Û í = î · A A B AB B AB AB 1 1, 1 1,1 1 2 (1 ) (1 )0 ìì ì = £ £ ££ ÛÛ í íí = += - + -= î îî Ví dụ: Giải phương trình: x x xx 3 cos2 cos6 4(3sin 4sin 1)0 - + - += (*) (*) Û xk x xx xl x xk 22 cos0 2 cos (sin3 1)02 sin312 2 63 p p p p pp ì =+ ï ì = + + =Û Û Û =+ íí =- î ï =-+ î Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) x x xx 22 1 sin sin3 sin .sin3 4 += 2) x x xx 2 22 1 sin sin3 sin .sin3 4 += 3) x x xx 22 4 cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 40 + - + += 4) x x xx 3 cos2 cos6 4(3sin 4sin 1)0 - + - += Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) x x 2 sin2 sin 20 5 + -= 2) xx 52 sin cos1 -= 3) x x xx sin (cos2 cos4 cos6 )1 + += 4) xx sin2 .cos81 = 5) xx sin7 cos22 + =- 6) xx 33 sin cos1 += 7) x x xx sin 2sin2 3sin3 4sin4 10 + + += Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 16 VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Dạng: AM AM BM BM AB ì ³ ï ì = £Û í í = î ï = î Để sử dụng phương pháp này ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức: A ³ M và B £ M. Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng: · Bất đẳng thức lượng giác cơ bản: xx xx 22 1 sin , cos 1;0 sin , cos1 -£ £££ · Bất đẳng thức Cô–si: Với mọi a, b ³ 0, ta có: ab ab 2 +³ . · Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với 2 cặp số (a, b) và (x, y) ta có: ax by a b xy 2 2 2 22 ( )( )() + £ ++ Đặc biệt: ab ab 2 22 ( ) 2() + £+ Ví dụ: Giải phương trình: xxx sin cos 2(2 sin3) + =- (*) · Ta có: x xx sin cos 2 sin2 4 p æö + = +£ ç÷ èø [ ] xx 2(2 sin3) 21 (1 sin3)2 - = +-³ Do đó: (*) Û xk x xl x 2 sin1 4 4 2 sin31 63 p p p pp ì ìæö =+ ï ï += ç÷ Û íí èø ïï =+ = î î (vô nghiệm) Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) xxx sin cos 2(2 sin3) + =- 2) x xx 2 (cos4 cos2) 5 sin3 - =+ 3) x xx 2 5 sin3 sin 2 cos + =+ 4) x xx 2 2 cos2 sin3 cos3 + =- Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) x xx 2 sin 2 sin 2 1 cos4 +- = ++ 2) x xx 22 cos3 2 cos3 2(1 sin 2) +- =+ 3) x x sin cos p = 4) x x sin 3 cos = 5) x x 2 2 sin = 6) xx x 2 cos 22 3 - =+ 7) xx xx 2 2 2 cos 22 6 - + =+ Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) x xx 2 cos() 45 p = -+ Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 17 VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Dạng: A M BN AM A B MN BN ,ìì £ £= Û íí + =+= îî Ví dụ: Giải phương trình: xx 74 cos sin1 += (*) · Ta có: xx xx 72 42 cos cos sin sin ì ï £ í £ ï î . Suy ra: (*) Û xx xx 72 42 cos cos (1) sin sin (2) ì ï = í = ï î Phương trình (1) cho ta x x cos0 cos1 é = ê = ë . – Khi x cos0 = thì x sin1 =± : nghiệm đúng phương trình (2) – Khi x cos1 = thì x sin0 = : nghiệm đúng phương trình (2) Vậy (*) Û x xk x xk cos0 2 cos1 2 p p p é é = =+ ê Û ê = ê ë = ë Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) xx 4 15 sin cos1 += 2) x xx 3 34 sin cos 2 sin + =- 3) xx 13 14 cos sin1 += Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 18 VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ · Dự đoán nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. · Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Khi đó, với mọi a, b Î (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b. Chú ý: Trong một số trường hợp, ta cần phải dựa vào bảng biến thiên để nhận xét. Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) xx cos1 =+ 2) xx sin = 3) x x 2 cos1 2 =- 4) x xx sin 2 cos, 0; 2 p éù =Î êú ëû 5) x xxx sin tan 2 0,0 2 p + - = £< Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) x m xmx 2 cos (1 )cos 1, (0;) p +- + -Î 2) xx xx mx xx 1 11 sin cos 1 tan cot , 0; 2 sin cos2 p æ ö æö + ++ + + + =Î ç÷ ç÷ èø èø 3) x x xm sin2 4(cos sin) + -= 4) x xm xx 6 6 44 sin cos (sin cos) + =+ Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 19 Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) x xx 1 tan tan3 (1 tan) + =- 2) x x xx x sin6 8.cos .cos2 .cos4 sin = 3) x xx 4 cos .cos2 .cos4 10 += 4) x xx sin 2sin sin3 22 --= 5) x xx 46 cos cos2 2sin0 - += 6) x x x xx 22 cos 4 cos 2 .sin 3 0. - - + += ĐS: 1) xk 82 pp =+ 2) xk 147 pp =+ 3) x k xk 2; 2 p ppp =+ =+ 4) vô nghiệm 5) xkp = 6) x = 0 Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) xx tan2 .tan71 = 2) xx 33 2 sin cos 2 += 3) x x xx xx 3 31 cos .cos .cos sin .sin .sin 22 2 22 -= 4) xxx xx 2 3 cos sin1 1 tan 3cos 1 sin 22 +- =- +- 5) x xx x 4 5cos 2 3 sin tan cos - += 6) x x 2 sin log (1 cos)2 += ĐS: 1) xk 189 pp =+ 2) x kxk 31 2; 2 , cos 4 44 pp p a pa - =+ = ++= 3) x kx k x k xk 5 ; 2; 2;2 4 2 66 p p pp p p pp =-+ =-+ =+ =+ 4) xk xk x k tg 2; 2 2 (tan 5 1); 2 2( 5 1) p a pa b pb = =+ = - =-+ =+ 5) vô nghiệm 6) xk2 3 p p =+ Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) x xx tan tan4 2 tan3 += 2) xx xxx 9cos3 .cos5 7 9cos3 .cos 12 cos4 +=+ 3) x xx 3 34 sin cos 2 sin. + =- 4) xxx x thoûa 3 sin cos 1 sin. 22 2 24 pp - =- -£ 5) xx 39 11 log cos log sin 22 3 69 ++ += 6) xx 1994 1994 sin cos1 += ĐS: 1) x kxk ; 122 pp p = =±+ 2) x k xl 2 2; 2 , cos 21 3 p p a pa =+ =±+ =- 3) xk2 2 p p =+ 4) x 5 , ,2, 22 pp pp = 5) xk 5 2 12 p p =-+ 6) xk 2 p = Baøi 4. Giải các phương trình sau: 1) x x xx 2 3 sin3 2sin 2 3 sin .cos2 -= 2) x x x xx 3 2 cos13 3(cos5 cos3) 8cos .cos4 + += 3) xxx x xx 2 1 cos2 cos5 cos32 2 sin 3 2 cos2 cos1 + ++ =- +- 4) x x x x thoûax 1 2 sin .tan2 3(sin 3.tan2) 33 2 log0 + - = +£ 5) x x xx 22 3cot 4 cos 2 3 cot 4 cos 20 + - - += VI. BÀI TẬP ÔN Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 20 ĐS: 1) x kx k xk 2 ; 2;2 33 pp p pp = =+ =+ 2) xk 12 p = 3) xk2p = 4) x kk,3 62 pp =-+³ 5) xk2 3 p p =+ Baøi 5. Tìm m để phương trình: 1) x mx sin5 .sin = có ít nhất một nghiệm x k kZ () p ¹Î . 2) xx xxm xx 1 11 sin cos 1 tan cot 2 sin cos æö + ++ + + += ç÷ èø có nghiệm x 0; 2 p æö Î ç÷ èø . 3) x x xmx 2 2sin 1)(2 cos2 2sin ) 3 4 cos - + + =- có đúng 2 nghiệm thuộc [ ] 0;p . 4) x xm 44 cos (1 cos) +-= vô nghiệm. 5) x x m xx 33 cos sin .sin .cos += có nghiệm. 6) x xmx 2 22 sin sin3 .cos20 + -= có nghiệm. ĐS: 1) m 5 5 4 - £< 2) m 2( 2 1) ³+ 3) m haym haym 1 3 0. <- >= 4) mm 1 17 18 < Ú> 5) mR "Î 6) m 0. ³ Baøi 6. Tìm m để phương trình: 1) x xm 2 3 cos 2 sin += có nghiệm duy nhất thuộc đoạn ; 44 pp éù - êú ëû . 2) x x xm sin cos 4sin2 - += có nghiệm. 3) x xm 1 2 cos 1 2sin + ++= có nghiệm. ĐS: 1) 2) m 65 24. 16 - ££ 3) m 13 21 2. + £ £+ Baøi 7. Giải các phương trình sau: 1) Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 21 ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi 1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) của phương trình: xx xx x cos3 sin3 5 sin cos23 1 2sin2 æö+ + =+ ç÷ + èø HD: Điều kiện: xm xn 12 7 12 p p p p ì ¹-+ ï í ï ¹+ î . PT Û xx 5cos 2 cos23 =+ Û x 1 cos 2 = Û x x 3 5 3 p p é = ê ê ê = ë . Baøi 2. (ĐH 2002B) Giải phương trình: x x xx 2 2 22 sin3 cos4 sin5 cos6 - =- HD: PT Û xxx cos .sin9 .sin20 = Û xx sin2 .sin90 = Û xk xk 9 2 p p é = ê ê ê = ê ë . Baøi 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình: x xx cos3 4 cos2 3cos 40 - + -= HD: PT Û xx 2 4 cos (cos 2)0 -= Û x cos0 = Û x x xx 357 ; ;; 2 222 p p pp = = == . Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: xx a xx 2sin cos1 sin 2 cos3 ++ = -+ (a là tham số). 1. Giải phương trình khi a 1 3 = . 2. Tìm a để phương trình có nghiệm. HD: 1) xk 4 p p =-+ 2) a 1 2 2 - ££ (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx) Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: x x x x xx 2 tan cos cos sin 1 tan .tan 2 æö + - =+ ç÷ èø . HD: xk2p = . Chú ý: Điều kiện: x x cos0 cos1 ì ¹ í ¹- î và x x x 1 1 tan .tan 2 cos += . Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: ( ) xx x x 2 4 4 2 sin2 sin3 tan1 cos - += . HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û x x k xk 1 2 52 sin3; 2 18 3 183 p p pp = Û =+ =+ . Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: xx x xx 44 sin cos11 cot2 5sin2 2 8sin2 + =- . HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û x x xk 2 9 cos2 5 cos20 46 p p - + = Û =±+ . Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: x x 2 1 sin 8cos = . HD: Điều kiện: x x cos0 sin0 ì ¹ í > î PT Û x k x k x k xk 357 2; 2; 2;2 8 888 p ppp p p pp =+ =+ =+ =+ Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình: Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 22 ( ) x x x xm 44 2 sin cos cos4 2sin20 + + + -= (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; 2 p éù êú ëû . HD: m 10 2 3 - £ £- . Đặt t = sin2x. (*) có nghiệm thuộc 0; 2 p éù êú ëû Û ft t tm 2 () 3 23 = - =+ có nghiệm tÎ[0;1] Baøi 10. (ĐH 2003A) Giải phương trình: x x xx x 2 cos21 cot1 sin sin2 1 tan2 -= +- + . HD: Điều kiện: x xx sin 0, cos 0, tan1 ¹ ¹ ¹- . PT Û x x x xx 2 (cos sin )(1 sin .cos sin )0 - - += Û xk 4 p p =+ . Baøi 11. (ĐH 2003B) Giải phương trình: x xx x 2 cot tan 4sin2 sin2 - += . HD: Điều kiện: x x sin0 cos0 ì ¹ í ¹ î . PT Û xx 2 2 cos2 cos2 10 - -= Û xk 3 p p =±+ . Baøi 12. (ĐH 2003D) Giải phương trình: xx x 2 22 sin tan cos0 242 p æö - -= ç÷ èø . HD: Điều kiện: x cos0 ¹ . PT Û x x xx (1 sin )(1 cos )(sin cos )0 - + += Û xk xk 2 4 pp p p é =+ ê =-+ ê ë . Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: ( ) x xx 2 cos2 cos 2 tan 12 + -= . HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û x xx 2 (1 cos )(2 cos 5cos 2)0 + - += Û x k xk (2 1),2 3 p pp = + =±+ Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: ( ) x x xx 3 tan tan 2sin 6 cos0 - + += . HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û x x x xk 22 (1 cos2 )(3cos sin )0 3 p p + - = Û =±+ Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: x xx 62 3 cos4 8 cos 2 cos 30 - + += . HD: PT Û x x x x k xk 42 cos2 ( 2 cos 5cos 3)0, 42 pp p - + - = Û =+= Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình: ( ) x x x 2 2 3 cos 2sin 24 1 2 cos1 p æö - -- ç÷ èø = - . HD: Điều kiện: x 1 cos 2 ¹ . PT Û x x xk 3 cos sin0 (2 1) 3 p p - + = Û = ++ Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: ( ) xx x xx 2 cos cos1 2(1 sin) sin cos - =+ + . HD: Điều kiện: x sin0 4 p æö +¹ ç÷ èø . PT Û x x x kxk 2 (1 sin ) (1 cos )0 ,2 2 p p pp + + = Û =-+ =+ Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 23 Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: x xx x 2 cos4 cot tan sin2 =+ . HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û x x xk 2 2 cos2 cos2 10 3 p p - - = Û =±+ . Baøi 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình: x xx 2 5sin 2 3(1 sin ) tan - =- . HD: Điều kiện: x cos0 ¹ . PT Û xx 2 2sin 3sin 20 + -= Û xk xk 2 6 5 2 6 p p p p é =+ ê ê ê =+ ë . Baøi 20. (ĐH 2004D) Giải phương trình: x x x xx (2 cos 1)(2sin cos ) sin2 sin - + =- . HD: PT Û x xx (2 cos 1)(sin cos )0 - += Û xk xk 2 3 4 p p p p é =±+ ê ê ê =-+ ë . Baøi 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: ( ) x x xx 33 4 sin cos cos 3sin + =+ . HD: PT Û x xx 32 tan tan 3tan 30 - - += Û x kxk ; 43 pp pp =+ =±+ . Baøi 22. (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: xx 1 sin 1 cos1 - + -= . HD: Đặt ux vx 1 sin 1 cos ì ï=- í =- ï î . PT Û uv uv 22 22 1 (1 ) (1 )1 ì += í - +-= î Û u v 0 1 ì = í = î hoặc u v 1 0 ì = í = î Û x k xk 2;2 2 p pp =+= . Baøi 23. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x xx 11 2 2 cos 4 sin cos p æö + += ç÷ èø . HD: Điều kiện: x x sin0 cos0 ì ¹ í ¹ î . PT Û x xx (cos sin )(1 sin2)0 - += Û xk 4 p p =±+ . Baøi 24. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: x x xx sin4 .sin7 cos3 .cos6 = . HD: x k xk ; 20 102 p pp p =+ =+ . Baøi 25. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: x x x x xx 2sin .cos2 sin2 .cos sin4 .cos += . HD: PT Û xx sin3 (cos2 1)0 -= Û xk 3 p = . Baøi 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: x x xx sin sin2 3(cos cos2) + =+ . HD: PT Û x k xk 22 2; 93 pp pp =+ =+ Baøi 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình: x xx 22 cos 3 .cos2 cos0 -= . HD: PT Û xx 2 2 cos4 cos4 30 + -= Û xk 2 p = . Baøi 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình: x x xx 1 sin cos sin2 cos20 + + + += . HD: PT Û x xx (sin cos )(2 cos 1)0 + += Û x kxk 2 ;2 43 pp pp =-+ =±+ . Baøi 29. (ĐH 2005D) Giải phương trình: x x xx 44 3 cos sin cos sin30 4 42 pp æ öæö + + - - -= ç ÷ç÷ è øèø . Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 24 HD: PT Û xx 2 sin2 sin2 20 + -= Û xk 4 p p =+ . Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: x xx 22 3 4sin 3 cos2 1 2 cos 24 p æö - =+- ç÷ èø . HD: PT Û xx cos2 cos() 6 p p æö + =- ç÷ èø Û x xx 5 175 ;; 18 186 p pp = == . Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: x xx 3 2 2 cos 3 cos sin0 4 p æö - - -= ç÷ èø . HD: PT Û x x x x x x xx 3 322 cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin0 ++ + - -= Xét 2 trường hợp: a) Nếu x cos0 = thì PT Û x xx 3 cos0 sin sin0 ì = í -= î Û xk 2 p p =+ . b) Nếu x cos0 ¹ thì ta chia 2 vế của PT cho x 3 cos . Khi đó: PT Û x x cos0 tan1 ì ¹ í = î Û xk 4 p p =+ . Vậy: PT có nghiệm: xk 2 p p =+ hoặc xk 4 p p =+ . Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình : ( ) x x xxx 223 sin .cos2 cos tan 1 2sin0 + -+= . HD: Điều kiện: x cos0 ¹ . PT Û xx 2 2sin sin 10 + -= Û xk xk 2 6 5 2 6 p p p p é =+ ê ê ê =+ ë . Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : x xx x 2 2 cos21 tan 3tan 2 cos pæö - +-= ç÷ èø HD: Điều kiện: x cos0 ¹ . PT Û x 3 tan1 =- Û xk 4 p p =-+ . Baøi 34. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: x x x 3 sin tan2 2 1 cos pæö -+= ç÷ è ø+ . HD: Điều kiện: x sin0 ¹ . PT Û x 2sin1 = Û xk xk 2 6 5 2 6 p p p p é =+ ê ê ê =+ ë . Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: x x xx sin2 cos2 3sin cos 20 + + - -= . HD: PT Û x xx (2sin 1)(sin cos 1)0 - - -= Û x x 1 sin 2 2 sin 42 p é = ê ê æö ê -= ç÷ ê èø ë Û xk xk xk xk 2 6 5 2 6 2 2 2 p p p p p p pp é =+ ê ê ê =+ ê ê =+ ê ê =+ ë . Baøi 36. (ĐH 2006A) Giải phương trình: ( ) x x xx x 66 2 cos sin sin .cos 0 2 2sin +- = - . Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 25 HD: Điều kiện: x 2 sin 2 ¹ . PT Û xx 2 3sin2 sin2 40 + -= Û xk 4 p p =+ . Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: xm 5 2 4 p p =+ . Baøi 37. (ĐH 2006B) Giải phương trình: x x xx cot sin 1 tan .tan4 2 æö + += ç÷ èø . HD: Điều kiện: x xx sin 0, cos 0, cos0 2 ¹ ¹¹ . PT Û xx xx cos sin 4 sin cos += Û x 1 sin2 2 = Û xk xk 12 5 12 p p p p é =+ ê ê ê =+ ë . Baøi 38. (ĐH 2006D) Giải phương trình: x xx cos3 cos2 cos 10 + - -= . HD: PT Û xx 2 sin (2 cos 1)0 += Û xk xk 2 2 3 p p p é = ê =±+ ê ë . Baøi 39. (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: x x xx 33 2 32 cos3 .cos sin3 .sin 8 + -= . HD: PT Û x 2 cos4 2 = Û xk 162 pp =±+ . Baøi 40. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: xx 2sin2 4sin 10 6 p æö - + += ç÷ èø . HD: PT Û ( ) x xx sin 3 cos sin 20 + += Û xk xk 7 2 6 p p p é = ê =+ ê ë . Baøi 41. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ( ) ( ) x xx 2 22 2sin 1 tan2 3 2 cos 10 - + -= . HD: Điều kiện: x cos20 ¹ . PT Û ( ) xx 2 cos2 tan2 30 -= Û xk 62 pp =±+ . Baøi 42. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: x x xx cos2 (1 2 cos )(sin cos )0 ++ -= . HD: PT Û x x xx (sin cos )(cos sin 1)0 - - += Û xk xk xk 4 2 2 2 p p p p pp é =+ ê ê ê =+ ê ê =+ ë . Baøi 43. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: x xx 3 32 cos sin 2sin1 + += . HD: PT Û x x xx (cos sin )(1 cos )(sin 1)0 + - += Û xk xk xk 4 2 2 2 p p p p p é =-+ ê ê = ê ê =-+ ê ë . Baøi 44. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: x x xx 32 4sin 4sin 3sin2 6 cos0 + + += . HD: PT Û x xx 2 (sin 1)( 2 cos 3cos 2)0 +- + += Û xk xk 2 2 2 2 3 p p p p é =-+ ê ê ê =±+ ë . Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 26 Baøi 45. (ĐH 2007A) Giải phương trình: ( ) ( ) xx xxx 22 1 sin cos 1 cos sin 1 sin2 + ++ =+ HD: PT Û x x xx (sin cos )(1 sin )(1 cos )0 + - -= Û xk xk xk 4 2 2 2 p p p p p é =-+ ê ê ê =+ ê ê = ë . Baøi 46. (ĐH 2007B) Giải phương trình: x xx 2 2sin2 sin7 1 sin + -= . HD: PT Û ( ) xx cos4 2sin3 1)0 -= Û xk xk xk 84 2 183 52 183 pp pp pp é =+ ê ê ê =+ ê ê =+ ê ë . Baøi 47. (ĐH 2007D) Giải phương trình: xx x 2 sin cos 3 cos2 22 æö + += ç÷ èø . HD: PT Û xx 1 sin 3 cos2 + += Û x 1 cos 62 p æö -= ç÷ èø Û xk xk 2 2 2 6 p p p p é =+ ê ê ê =-+ ë Baøi 48. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: xxx xx 11 sin2 sin 2 cot2 2sin sin2 + - -= . HD: Điều kiện x sin20 ¹ . PT Û ( ) x xx 2 cos2 2 cos cos 10 + += Û xk 42 pp =+ . Baøi 49. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: x xx xx 2 2 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos) + +=+ . HD: PT Û xx 2 2 cos 3cos0 66 pp æ ö æö -- -= ç ÷ ç÷ è ø èø Û xk 2 3 p p =+ . Baøi 50. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: 53 sin cos 2 cos 24 242 x xx æ ö æö -- -= ç ÷ ç÷ è ø èø pp HD: PT Û x x 3 cos 2 cos 20 24 p æö æö + += ç÷ ç÷ èø èø Û xk xk xk 2 33 2 2 2 pp p p pp é =+ ê ê ê =+ ê ê =+ ë . Baøi 51. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: xx xx xx sin2 cos2 tan cot cos sin + =- . HD: Điều kiện: x sin20 ¹ . PT Û xx cos cos2 =- Û xk2 3 p p =±+ . Baøi 52. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: xx 2 2 sin cos1 12 p æö -= ç÷ èø HD: PT Û x 5 sin2 cos sin 12 12 12 p pp æö - == ç÷ èø Û x k hayxk 43 pp pp =+ =+ . Baøi 53. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: x xx (1– tan )(1 sin2 ) 1 tan + =+ . Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 27 HD: Điều kiện: x cos0 ¹ . PT Û x xx (cos sin )(cos2 1)0 + -= Û xk xk 4 p p p é =-+ ê ê = ë . Baøi 54. (ĐH 2008A) Giải phương trình: x x x 1 17 4sin sin4 3 sin 2 p p æö + =- ç÷ èø æö - ç÷ èø . HD: Điều kiện: xx 3 sin 0, sin0 2 p æö ¹ -¹ ç÷ èø . PT Û xx xx 1 (sin cos) 220 sin cos æö + += ç÷ èø Û xk xk xk 4 8 5 8 p p p p p p é =-+ ê ê ê =-+ ê ê =+ ê ë Baøi 55. (ĐH 2008B) Giải phương trình: x x x x xx 3 3 22 sin 3 cos sin cos 3 sin cos - =- . HD: PT ( ) xxx cos2 sin 3 cos0 += Û x kxk ; 4 23 p pp p =+ =-+ . Baøi 56. (ĐH 2008D) Giải phương trình: x x xx 2sin (1 cos2 ) sin2 1 2 cos + + =+ . HD: PT Û xx (2 cos 1)(sin2 1)0 + -= Û x k xk 2 2; 34 pp pp =±+ =+ . Baøi 57. (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: x xx 22 3 4sin 3 cos2 1 2 cos 24 p æö - =+- ç÷ èø . HD: PT Û x xx 2 cos 3 cos2 sin2 - =- Û ( ) xx cos2 cos 6 p p æö + =- ç÷ èø Û x k hayxh 527 2 1836 ppp p =+ =-+ Do x (0;) p Î nên chỉ chọn x xx 5 175 ;; 18 186 p pp = ==. Baøi 58. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: x xx 3 2 2 cos 3 cos sin0 4 p æö - - -= ç÷ èø . HD: PT Û x x x x x x xx 3 322 cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin0 ++ + - -= Xét 2 trường hợp: a) Nếu x cos0 = thì PT Û x xx 3 cos0 sin sin0 ì = í -= î Û xk 2 p p =+ . b) Nếu x cos0 ¹ thì ta chia 2 vế của PT cho x 3 cos . Khi đó: PT Û x x cos0 tan1 ì ¹ í = î Û xk 4 p p =+ . Vậy: PT có nghiệm: xk 2 p p =+ hoặc xk 4 p p =+ . Baøi 59. (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: ( ) x x xxx 223 sin cos2 cos tan 1 2sin0 + -+= . HD: Điều kiện: cos0 2 x xk ¹ Û ¹+ p p . Phương trình lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 28 PT Û xx 2 2sin sin 10 + -= Û x k xk 5 2;2 66 pp pp =+ =+ . Baøi 60. (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: x xx x 2 2 cos21 tan 3tan 2 cos pæö - +-= ç÷ èø . HD: Điều kiện: x cos0 ¹ . PT Û x 3 tan1 =- Û xk 4 p p =-+ . Baøi 61. (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: x x x 3 sin tan2 2 1 cos pæö -+= ç÷ è ø+ . HD: Điều kiện: x sin0 ¹ . PT Û xx (cos 1)(2sin 1)0 + -= Û xk xk 2 6 5 2 6 p p p p é =+ ê ê ê =+ ë . Baøi 62. (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin2 cos2 3sin cos 20 x x xx + + - -= HD: PT Û x xx (2sin 1)(sin cos 1)0 - - -= Û x x 1 sin 2 2 sin 42 p é = ê ê æö ê -= ç÷ ê èø ë Û x k x k x k xk 5 2; 2; 2;2 6 62 p pp p p p pp =+ =+ =+ =+ . Baøi 63. (ĐH 2009A) Giải phương trình: xx xx (1 2sin ) cos 3 (1 2sin )(1 sin) - = +- . HD: Điều kiện: xx 1 sin 1, sin 2 ¹ ¹- . PT Û x x xx cos 3 sin sin2 3 cos2 - =+ Û xx cos cos2 36 pp æ ö æö +=- ç ÷ ç÷ è ø èø Û xk 2 183 pp =-+ . Baøi 64. (ĐH 2009B) Giải phương trình: ( ) x xx x xx 3 sin cos .sin2 3 cos3 2 cos4 sin + + =+ . HD: PT Û x xx sin3 3 cos3 2 cos4 += Û xx cos3 cos4 6 p æö -= ç÷ èø Û xk xk 2 6 2 427 p p pp é =-+ ê ê ê =+ ë . Baøi 65. (ĐH 2009D) Giải phương trình: x x xx 3 cos5 2sin3 cos2 sin0 - -= . HD: PT Û x xx 31 cos5 sin5 sin 22 -= Û xx sin 5 sin 3 pæö -= ç÷ èø Û xk xk 183 62 pp pp é =+ ê ê ê =-+ ë . Baøi 66. (ĐH 2010A) Giải phương trình: x xx x x (1 sin cos2 )sin 1 4 cos 1 tan 2 p æö +++ ç÷ èø = + HD: Điều kiện: xx cos 0;1 tan0 ¹ +¹ . PT Û xx sin cos20 += Û x k xk 7 2;2 66 pp pp =-+ =+ . Baøi 67. (ĐH 2010B) Giải phương trình: x x x xx (sin2 cos2 ) cos 2 cos2 sin0 + + -= . Trần Sĩ Tùng Phương trình lượng giác Trang 29 HD: PT Û x xx (sin cos 2) cos20 + += Û xk 42 pp =+ . Baøi 68. (ĐH 2010D) Giải phương trình: x x xx sin2 cos2 3sin cos 10 - + - -= . HD: PT Û x xx (2sin 1)(cos sin 2)0 - + += Û x k xk 5 2;2 66 pp pp =+ =+ . Baøi 69. (ĐH 2011A) 1.