Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình không gian – Trần Duy Thúc

Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN I. Lý thuyết cần nhớ 1. Cách chọn gốc tọa độ Ưu điểm:Khi ta chọn được tọa độ các điểm thì chỉ cần áp dụng các kiến thức hình giải tích như khoảng cách, góc, chứng minh vuông góc…Tuy nhiên, với một số Em học sinh thì việc tính được tọa độ là vấn đề? Về nguyên tắc thì Em có thể chọn gốc tọa độ nằm bất cứ chổ nào, nhưng chọn chổ nào thì việc tính tọa độ là thuận lợi nhất? Sai lầm của không ít người dẫn đến việc tính tọa độ các điểm phức tạp là cứ thấy chân đường cao của hình chóp là chọn làm gốc tọa độ. Trong một số trường hợp Em chọn như vậy sẽ dẫn đến việc tính tọa độ khó khăn và dễ bị chán nản. Để thuận lợi cho việc tính tọa độ Em nhớ nguyên tắc sau đây. 2.Nguyên tắc chọn gốc tọa độ + Vẽ hình thực của đa giác đáy ra bên cạnh. + Ưu tiên chọn gốc tọa độ là góc vuông của đa giác đáy chứ không phải là ưu tiên chân đường cao. Tất nhiên nếu chân đường cao mà trùng gốc vuông ở đáy thì ta chọn gốc tọa ngay điểm đó luôn là tốt. + Nhìn vào hình thực này để tính tọa độ các điểm trong mặt phẳng đáy trước. Sau đó tính các điểm phát sinh và đỉnh. + Cứ quan tâm vào việc chọn trục ; Ox Oy ở đáy, sau đó gắn trụcOz vào là xong. Chẳng hạn ta có 1 số trường hợp chọn gốc tọa độ như sau: 1. Đáy là hình vuông Chọn tọa độ tại đỉnh nào cũng được. 2. Đáy là hình chữ nhật 3. Hình thoi Chọn góc tọa độ tại tâm I của hình thoi. y x D A B C x y D B C A x y B C I A DTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 2 4. Hình thang vuông Chọn góc tọa độ ngay gốc vuông. 5. Tam giác vuông Chọn góc tọa độ ngay gốc vuông. 6. Tam giác đều Góc tọa độ là trung điểm H một cạnh của tam giác đều. 7. Tam giác cân Góc tọa độ là trung điểm H của cạnh đáy. 8. Hình bình hành Kẻ thêm đường cao BH và góc tọa độ là H. y x B C A D x y C B A y y H B A C y y H B A C y x H D B C ATrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 3 II. Một số yêu cầu thường gặp 1. Chứng minh quan hệ song song,vuông góc 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm 0 0 0 ;; M x y z và mặt phẳng :0 P Ax By Cz D . Khi đó: 0 0 0 2 2 2 ; Ax By Cz D d M P A B C . 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng điểm 12 ;d d có hai vectơ chỉ phương lần lượt là ; ab . Các điểm A và B lần lượt thuộc 12 ;d d .Khi đó: 12 ;. ;d ;     a b AB dd ab . 4. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng điểm 12 ;d d có hai vectơ chỉ phương lần lượt là ; ab .Khi đó: 12 . cos ;d . ab d ab . III. Bài tập mẫu Chú ý: Các ví dụ ở đây, Thầy chỉ sử dụng phương pháp tọa độ để giúp các Em giải quyết triệt để ý sau của bài toán hình không gian thôi. Ý đầu tiên vẩn tính bình thường theo hình không gian thuần túy nhé! Ví dụ 1.(Trích đề THPT Quốc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B; AC= 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC; đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minhg A’B vuông góc B’C. Giải P d(M;(P)) M d1 d2 a b B A y x 2a A B C 45 x y z B' C' H A B C A'Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 4 + Tính . ' ' ' ABC A BC V . Gọi H là trung điểm của AC, ta có  ' A H ABC và 'BH 45 A . Tam giác ABC vuông cân tại B và AC=2a nên ta tính được: BH a và 2 AB BC a . Suy ra:  2 1 2. 2 2 ABC S a a a . Tam giác A’HB vuông tại H và 'BH 45 A có nên tam giác A’HB vuông cân tại H. Suy ra ' A H BH a . Do đó :  23 . ' ' ' ' . . ABC A BC ABC V A HS aa a . + Chứng minh  ' 'C A B B . Dựng hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ, // ; ; Bz AH A Bx C By . Ta có:         2 2 2 2 0;0;0 ; 2;0;0 ; 0; 2;0 ; ; ;0 ; ' ; ; 2 2 2 2 a a a a B A a C a H A a . Ta có: 22 ' ' ' ; ; 22 aa BB AA B a và         2 2 2 2 ' ; ; ; ' ; ; 2 2 2 2 a a a a BA a CB a . Ta có :  2 2 2 2 '. ' . . . 0 ' ' . 2 2 2 2 a a a a CB BA aa A B B C Bình luận: Nhìn có vẻ hơi dài dòng, nhưng khi đã quen Em sẽ tính tọa độ rất nhanh. Trong phần ở trên ta tính các điểm nằm trên các trục tọa độ trước. Sau đó tính các điểm xung quanh, dựa vào các đặc điểm tạo ra chúng. Ví dụ: khi đã tính được tọa độ điểm A và C thì áp dụng tính chất trung điểm Em có ngay tọa độ điểm H. Tung độ và hoành độ của H cũng là tung độ và hoành độ của A’ và chỉ cần thêm độ cao A’H là ta có ngay tọa độ điểm A’. Các tứ giác bên là hình hình bình hành nên 22 ' ' ' ; ; 22 aa BB AA B a . Ví dụ 2. (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc mặt phẳng(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC. Phân tích: Đề bài cho () SA ABCD và ABCD là hình vuông vậy là quá tốt. Ta sẽ chọn ngay A làm góc tọa độ luôn. Giải 45 a z y x D B A C S a a a y x B A D CTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 5 Giải + Tính . S ABCD V . Ta có: ; 45 SC ABCD SCA và ABCD là hình vuông cạch a suy ra 2 SA AC a . 3 2 . 2 11 . . . 2. 3 3 3 S ABCD ABCD a V SAS a a . + Tính ; d AC SB . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có: 0;0;0 ;B ;0;0 ; ; ;0 ; 0;0; 2 A a C a a S a . Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương ; ;0 AC a a cùng phương 1;1;0 u . Đường thẳng SB có vectơ chỉ phương a;0; 2 SB a cùng phương 1;0; 2 v .   ; 2; 2; 1 ; ;0;0 u v AB a . Vậy:     ;. 10 ; 5 ; u v AB a d SB AC uv . Ví dụ 3. (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; 3 2 a SD ;hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). Giải z x y a 3a 2 H D C A B S a a a y x B A D CTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 6 60 y x z C' B' H A C B A' + Tính . S ABCD V . Gọi H là trung điểm của AB, ta có  AH ABCD . Tam giác ADH vuông tại A nên: 22 2 2 2 2 5 44 aa HD AD AH a . Tam giác SHD vuông H nên : 22 22 95 44 aa SH SD HD a . Khi đó : 3 2 . 11 . . . . 3 3 3 S ABCD ABCD a V SHS aa . + Tính ; d A SBD . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, //S Az H . Ta có: 0;0;0 ;B ;0;0 ; ;0;0 ; ;0; ; 0; ;0 22 aa A a H S a D a . Ta có ; ;0 BD a a cùng phương 1;1;0 u ; ;0; 2 a BS a cùng phương 1;0;2 v Mặt phẳng (SBD) đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến   ; 2;2;1 n u v có phương trình: :2 2 2 0 SBD x y z a . Vậy: 2 A; 3 a d SBD . Ví dụ 4.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABC) một góc60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’). Giải y x H C A BTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 7 + Tính . ' ' ' ABC A BC V . Gọi H là trung điểm của AC, ta có  ' A H ABC và 'BH 60 A . Tam giácABC đều cạnh a và H là trung điểm của AB nên 3 2 a CH và  2 3 4 ABC a S . Tam giác A’HC vuông H nên 3 ' .tan60 2 a A H CH . Do đó :  23 . ' ' ' 3 3 3 3 ' . . 2 4 8 ABC A B C ABC a a a V A HS . + Tính B; ' ' d ACC A . Dựng hệ trục tọa độ Hxyz như hình vẽ. Ta có: 33 0;0;0 ; ;0;0 ;B ;0;0 ; 0; ;0 ; ' 0;0; 2 2 2 2 a a a a H A C A . Ta có 3 ' ;0; 22 aa AA cùng phương 1;0;3 u ; 3 ; ;0 22 aa AC cùng phương 1; 3;0 v Mặt phẳng '' ACC A đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến   ; 3 3;3; 3 n v u có phương trình: 33 ' ' :3 3 3 3 0 2 a ACC A x y z . Vậy: 3 13 B; ' ' 13 a d ACC A . Bình luận: Trong bài toán trên để viết phương trình mặt phẳng '' ACC A ta chỉ cần tìm ba điểm thuộc mặt phẳng '' ACC A là được. Như vậy sẽ tiết kiệm thời gian. Ví dụ 5. (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA; BC. Giải + Tính . S ABCD V . Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có  SH BC . Mà  SBC ABC , do đó  SH ABC . x y z H B A C S y x a H B A CTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 8 Tam giác SBC đều cạnh a nên 3 2 a SH . Tam giác ABC vuông cân tại A và BC=a,ta tính được 2 2 a AB AC . Khi đó:  3 . 3 2 2 3 1 1 1 . . . . . 3 3 2 2 2 2 24 S ABCD ABC a a a a V SHS . + Tính ; d SA BC . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với // Az SH . Ta có:                 2 2 2 2 2 2 3 0;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ; ;0 ; ; ; 2 2 4 4 4 4 2 a a a a a a a A H S . Ta có 2 2 3 ;; 4 4 2 aaa AS cùng phương 2; 2;2 3 u ; 22 ; ;0 22 aa BC cùng phương 1; 1;0 v . Ta có   2 ; 2 3;2 3; 2 2 ; ;0;0 2 a u v AB . Vậy:     6 ;. 3 ; 4 ; 32 a u v AB a d SA BC uv . Ví dụ 6. (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; 30 ABC mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Giải + Tính . S ABCD V . Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác SBC đều nên ta có  SH BC . Mà  SBC ABC và  SBC ABC BC ,do đó  SH ABC . x y z H B A C S x a y 30° H A C BTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 9 Tam giác SBC đều cạnh a nên 3 2 a SH . Tam giác ABC vuông A và 30 ABC , ta có: 3 sin60 ; sin30 22 aa AC BC AB BC . Khi đó:  3 . 3 3 3 1 1 1 . . . . . 3 3 2 2 2 2 16 S ABCD ABC a a a a V SHS . + Tính C; d SAB . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với // Az SH . Ta có:             3 3 3 3 0;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ; ;0 ; ; ; 2 2 4 4 4 4 2 a a a a a a a A H S . Ta có 3 ;0;0 2 a AB cùng phương 1;0;0 u ; 33 ;; 4 4 2 a a a AS cùng phương 3;1;2 3 v . Ta có   ; 0; 2 3;1 uv , mặt phẳng SAB đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến 0;2 3; 1 n có phương trình: :2 3 0 SAB y z . Vậy: 3 39 C; 13 a d SAB . Ví dụ 7. (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Giải + Tính . S ABCD V . Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều cạnh a nên ta có  SH AB và 3 2 a SH . Mà  SAB ABCD và  SAB ABCD AB ,do đó  SH ABC . z x y a H D C A B S a a y x H B A C DTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 10 Vậy: 3 2 . 33 11 . . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD aa V SHS a . + Tính A; d SDC . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với // Az SH . Ta có: 3 0;0;0 ;B ;0;0 ;C ; ;0 ;D 0; ;0 ; ;0;0 ; ;0; 2 2 2 a a a A a a a a H S . Ta có ;0;0 DC a cùng phương 1;0;0 u ; 3 ;; 22 aa DS a cùng phương 1; 2; 3 v . Mặt phẳng SDC đi qua điểm D và có vectơ pháp tuyến   ; 0; 3;2 n v u có phương trình: : 3 2 3 0 SDC y z a . Vậy: 21 A; 7 a d SDC . Ví dụ 8. (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; cạnh bên SA vuông góc với đáy; 120 BAD ; M là trung điểm của cạnh BC và 45 SMA . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Giải + Tính . S ABCD V .  120 60 BAD BAC ABC đều 2 33 22 ABCD aa AM S . SAM vuông tại A và  45 SMA SAM vuông cân tại A 3 2 a SA AM . Vậy: 23 . 33 11 . . . . 3 3 2 2 4 S ABCD ABCD a a a V SAS . + Tính D; d SBC . z y x 120° M I D B A C S a a a x y 120° I M D B A CTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 11 Gọi I là tâm của hình thoi. Ta tính được 3 ; 22 aa AI CI IB ID . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với // Iz SA . Ta có:             3 3 3 0;0;0 ;A ;0;0 ;C ;0;0 ;B 0; ;0 ;D 0; ;0 ; ;0; 2 2 2 2 2 2 a a a a a a IS . Ta có 3 ; ;0 22 aa BC cùng phương 1; 3;0 u ; 33 ;; 2 2 2 a a a BS cùng phương 1; 3; 3 v . Mặt phẳng SBC đi qua điểm C và có vectơ pháp tuyến   ; 3; 3;2 3 n u v có phương trình: 3 :3 3 2 3 0 2 a SBC x y z . Vậy: 6 D; 4 a d SBC . Ví dụ 9. (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 2 HA HB . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Giải + Tính . S ABCD V . Gọi I là trung điểm của AB, do tam giác ABC đều nên ta có  3 ; 2 a CI AB CI ; 6 a IH . Góc giữa SC và phẳng (ABC) chính là góc SCH , suy ra 60 SCH . Ta có: 22 7 21 ; .tan60 33 aa HC IC IH SH CH .Do đó:  23 . 21 3 7 11 . . . . 3 3 3 4 12 S ABCD ABC a a a V SHS . 60 B x y z I H A C S y x 60° I C B A HTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 12 + Tính ; d SA BC .Chọn hệ trục tọa độ Ixyz như hình vẽ, với // Iz SH . Ta có:         3 21 0;0;0 ;A ;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ;0;0 ; ;0; 2 2 2 6 6 3 a a a a a a I H S . Ta có 2 21 ;0; 33 aa AS cùng phương 2;0; 21 u ; 3 ; ;0 22 aa BC cùng phương 1; 3;0 v . Ta có   ; 63; 21;2 3 ; ;0;0 u v AB a . Vậy:     ;. 42 ; 8 ; u v AB a d SA BC uv . Ví dụ 10. (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với 2; SA a AB a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của SA trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a. Phân tích:Để chứng minh SC vuông góc mặt phẳng (ABH) ta chỉ cần chứng minh SC vuông góc với một cạnh nữa trong mặt phẳng (ABH). Muốn vậy, chỉ cần tìm tọa độ các điểm và sử dụng tích vô hướng để chứng minh vuông góc.Bài này làm theo cách trực tiếp thì nhanh hơn. Tất nhiên là phương pháp nhanh hay chậm thì phụ thuộc vào bài toán cụ thể. Có thể ở bài này ta thấy phương pháp tọa độ là dài dòng, tuy nhiên cũng sẽ có bài ta thấy rằng phương pháp này là hiệu quả. Tóm lại tùy vào từng bài toán,mỗi phương pháp sẽ thể hiện ưu và khuyết điểm của nó. Các Em nào quan tâm có thể tham khảo tài liệu “Chuyên đề hình không gian” được Thầy biên soạn theo cách giải hình học không gian thuần túy. Giải + Chứng minh  SC ABH . Gọi I là trung điểm của AB; G là trọng tâm của ABC . Ta có  SG ABC và  33 ; ;GC 23 aa CI AB CI . B x y z G I A C S H B x a y x 60° G I C B ATrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 13 SGC vuông tai G, nên 22 33 3 a SG SC GC .Chọn hệ trục tọa độ Ixyz như hình vẽ, với // Iz SG . Ta có:             3 3 3 33 0;0;0 ;A ;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ;G 0; ;0 ; 0; ; 2 2 2 6 6 3 a a a a a a IS . Ta có 3 33 ;0;0 ; 0; ; 33 aa AB a SC . Khi đó,  .0 ABSC SC AB . Mà  SC AH , do đó  SC ABH . + Tính . S ABH V . Mặt phẳng (ABH) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là 3 33 0; ; 33 aa SC cùng phương 0;1; 11 n Ta có được phương trình : 11 0 ABH y z . Khi đó: 7 ; 4 a SH d S ABH và  23 . 33 3 11 11 . . . . 3 3 3 4 12 S ABC ABC a a a V SGS . Mà 3 . .. . 7 7 7 11 . 8 8 96 S ABH S ABH S ABC S ABC V SH a VV V SC . Ví dụ 11.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông;tam giác A’AC và A’C=a. Tính theo a thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’). Giải + Tính '' ABB C V . Tam giác A’AC vuông cân tại A và 2 ' ' AC 2 a A C a AA . Do đó 2 a AB AD . Khi đó:  3 ' ' ' ' 22 1 1 1 . . . . . 3 3 2 2 2 2 48 ABB C BB C a a a a V ABS . + Tính ;' d A BCD . z y x D' C' A' C A D B B' y x B A C DTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 14 Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Ta có: 2 0;0;0 ;B ;0;0 ; ; ;0 ;D 0; ;0 ; ' 0; ; 2 2 2 2 2 2 a a a a a a A C D . Ta có 0; ;0 2 a BC cùng phương 0;1;0 u ; 2 ' ; ; 2 2 2 aaa BD cùng phương 1;1; 2 v . Mặt phẳng ' BCD đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến   ; 2;0;1 n u v có phương trình: 2 ' : 2 0 2 a BCD x z . Vậy: 6 A; ' 6 a d BCD . Ví dụ 12. (Trích KA -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B; 2 AB BC a ; hai mặt mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng chứa SM và song song BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.BCMN và khoảng giữa hai đường thẳng AB và SN. Phân tích:Bài này các Em cần nhớ cách xây dựng mặt phẳng.   // // SMN BC MN BC SMN ABC MN . Khi đó N sẽ là trung điểm của AC. Giải + Tính .MNCB S V . Do các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC) suy ra  SA ABC . Ta có:      BC SA BC SAB BC SB BC AB , do đó SBA là góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) suy ra 60 .tan60 2 3 SBA SA AB a . y x z 60° N M A B C S y x N M A B CTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 15 Ta có:   // // SMN BC MN BC N SMN ABC MN là trung điểm của AC; ; 22 BC AB MN a BM a . Diện tích: 2 3 1 22 MNCB a S MB MN BC . Vậy: 2 3 .MNCB 3 11 . .2 3. 3 3 3 2 S MNCB a V SAS a a . + Tính ; d AB SN . Chọn hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ, với // Bz SA . Ta có: 2 ;0;0 ;B 0;0;0 ;C 0;2 ;0 ; ; ;0 ; 2 ;0;2 3 A a a N a a S a a . Ta có 2 ;0;0 BA a cùng phương 1;0;0 u ; ; ;2 3 NS a a a cùng phương 1; 1;2 3 v ;   ; 0; 2 3; 1 ; ; ;0 u v BN a a . Khi đó:     23 ;. 2 39 AB; 13 ; 13 a u v BN a d SN uv . Ví dụ 13.(Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ 1 1 1 1 . ABCDABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; ;3 AB a AD a . Hình chiếu vuông góc của 1 A trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng 11 ADDA và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ 1 1 1 1 . ABCDABCD và khoảng cách từ điểm 1 B đến mặt phẳng 1 ABD . Giải + Tính 1 1 1 1 . ABCD ABC D V . Gọi I là giao điểm giữa AC và BD  1 AI ABCD ; gọi E là trung điểm của AD IE AD . y x z I E C 1 B 1 D 1 A 1 D C A B y x a a 3 a a 3 E I D C B ATrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 16 Suy ra      11 1 AD IE AD AIE AD AE AD AI . Do đó 1 AEI là góc giữa hai mặt phẳng 11 ADDA và mặt phẳng (ABCD) 11 3 60 .tan60 3 22 a AB AEI AI IE . Diện tích đáy: 2 . 3 3 ABCD S aa a . Thể tích: 1 1 1 1 3 2 .1 33 . . 3 22 ABCD ABCD ABCD aa V AI S a / + Tính 11 B; d ABD . Dựng hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với 1 //A Az I .Ta có:         1 3 3 3 0;0;0 ;B ;0;0 ; 0; 3;0 ; ; ;0 ; ; ; 2 2 2 2 2 a a a a a A a D a I A . Ta có: 1 1 1 3 3 3 ;; 2 2 2 a a a BB AA B . Ta có ; 3;0 BD a a cùng phương 1; 3;0 u ; 1 33 ;; 2 2 2 a a a BA cùng phương 1; 3; 3 v . Mặt phẳng 1 ABD đi qua điểm B và có vectơ pháp tuyến   ; 3; 3;0 n u v có phương trình: 1 :3 3 3 0 ABD x y a . Vậy: 11 3 B; 2 a d ABD . Ví dụ 14. (Trích đề thi thử - THPT Trần phú 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;I là trung điểm của AB; H là giao điểm giữa BD và CI. Hai mặt phẳng (SCI) và (SBD) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD). Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 60 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CI. Giải x y z E H I C A D B S y x E H I B A C DTrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 17 + Tính . S ABCD V . Ta có:      SCI ABCD SBD ABCD SH ABCD SCI SBD SH . Kẻ  HE AB tại E, mà  AB SH , do đó   AB SEH AB SE . Suy ra SEH là góc giữa (SAB) và (ABCD) 60 SEH . Ta có HIB đồng dạng  2 11 2 3 3 a HB IB HCD HB BD HD CD . Ta có : HBE vuông tại E 2 .sin .sin45 33 aa HE HB HBE ; SHE vuông tại H 3 .tan60 3 a SH HE . Vậy: 3 2 . 33 11 . .S . . 3 3 3 9 S ABCD ABCD aa V SH a . + Tính ; d SACI . Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, // Az SH . Ta có: 0;0;0 ;B ;0;0 ; 0; ;0 ; ; ;0 ;I ;0;0 2 a A a D a C a a ; 2 2 3 1 ; ;0 ; ; 3 3 3 3 3 3 a a a a a BH BD H S Ta có: ; ;0 2 a IC a cùng phương 1;2;0 u ; 23 ;; 3 3 3 aaa AS cùng phương 2;1; 3 v Ta có :   ; 2 3; 3; 3 ; ; ;0 u v AC a a . Khi đó:     3 ;. 2 SA; 4 ; 24 a u v AC a d CI uv . Ví dụ 15. (Trích đề thi thử THPT Khoái Châu -2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; 3 ; 22 aa SA SB ; 60 BAD và mặt phẳng (SAB) vuông góc đáy. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của khối tứ diện KSDC và cosin của góc hợp bởi đường thẳng SH và DK. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 18 Giải + Tính KSDC V . Từ giả thuyết:  3 ;; 22 aa AB a SA SB SAB vuông tại S 22 a AB SH . Khi đó  2 a SA SH AH SAH đều. Gọi I là trung điểm của AH  3 ; 4 a SI AH SI . Mặt khác,  SAB ABCD nên ta có được  SI ABCD . Diện tích đáy:  22 33 11 . 2 2 4 8 KDC ABD aa SS . Thể tích :  23 33 11 . . . . 3 3 4 8 32 KSDC KDC a a a V SI S . + Tính cos SH;DK . Gọi F là tâm của hình thoi. Ta tính được 3 ;F 22 aa FB FD A FC . Chọn hệ trục tọa độ Fxyz như hình vẽ, với // Fz SI . Ta có:                         3 3 3 0;0;0 ;B ;0;0 ;D ;0;0 ;A 0; ;0 ;C 0; ;0 ;H ; ;0 ; 2 2 2 2 4 4 3 3 3 3 3 3 ; ;0 ; ; ; ; ; ;0 8 8 8 8 4 4 4 a a a a a a F a a a a a a a I S K . Ta có 33 ;; 8 8 4 a a a SH cùng phương 1; 3; 2 3 u ; 33 ; ;0 44 aa DK cùng phương 3;1;0 v . Khi đó : . 3 cos SH; 4 . uv DK uv . x y 60° I H K F C A D B H C y x z K I F A B D STrung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 19 IV. Bài tập rèn luyện Bài 1. (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; 3 ; 4 BA a BC a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết 23 SB a và 30 SBC . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Bài 2. (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) và 3 SH a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SC. Bài 3. (Trích KB -2010) Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB= a. Góc giữa mặt phẳng (A’BC) và bằng 60 . Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC. Bài 4. (Trích KD -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; cạnh bên SA=a; hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 4 AC AH . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a. Bài 5. (Trích KA -2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; 2, AB AD aCD a . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Bài 6. (Trích KB -2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ' BB a ;góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) ; tam giác ABC vuông tại C và 60 BAC . Hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng vói trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a. Bài 7. (Trích KD -2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại B; , AB a ' 2 ,A'C 3a AA a . Gọi M là trung điểm của A’C’; I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). Bài 8. (Trích KA -2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC vuông tại A; ,3 AB a AC a và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng AA’ và B’C’. Bài 9. (Trích KB -2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a; ,SB 3 SA a a và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM và DN. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 20 Bài 10. (Trích KD -2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông; AB BC a ,cạnh bên '2 AA a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. Bài 11. (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính theo a thể tích của khối tứ diện CMNP. Bài 12. (Trích KB -2007) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE;N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Bài 13. (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, 90 ; ABC BAD ;2 BA BC a AD a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và cạnh bên 2 SA a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDC). Bài 14. (Trích KA -2006) Cho hình trụ có các đáy là hai đường tròn tâm O và O’. Bán kính đáy bằng với chiều cao và bằng a. Trên đường tròn O lấy điểm A và trên đường tròn O’ lấy điểm B sao cho AB=2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB. Bài 15. (Trích KB -2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với ;AD 2; AB a a SA a và SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB theo a. Bài 16. (Trích KD -2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ;2 SA a và SA vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A, AB=2a, AC=a, AA’=3a. Tính thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc đáy và hai đường thẳng SA và SD hợp với đáy một góc 30 . Biết 6; 2 AD a BD avà 45 ADB .Tính thể tích của khối chóp S.ADBC và khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD). Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, 60 BCD ; cạnh SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) vuông góc nhau.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ADBC và khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SBD). Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 21 Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAD là tam giác đều và 2 SB a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và AB. Gọi H là giao điểm của FC và EB. Chứng minh  ; SE EBCH SB và tính theo a thể tích của khối chóp C.SEB. Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân; AD là đáy lớn, 2; AD a AB BC CD a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho 2 HC HA . Góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD. Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là vuông cân tại đỉnh B, , AB a SA a và SA vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SA. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCM). Bài 23. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho 3 HC HA ;góc tạo bởi AA’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và sin của góc hợp bởi đường thẳng A’A và mặt phẳng (A’CD). Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) và 3 SA a . Biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng 3 3 a và 30 ACB . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I; ;BC 3 AB a a , tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng AI. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cáchtừ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; ,AD 2 AB BC a a . Cạnh SA vuông góc với mặt (ABCD); góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 . Gọi M là trung điểm của AD. Tính thể tích của khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD. Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh SA vuông góc đáy và SB hợp với mặt phẳng (ABC) bằng 45 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN). Bài 28. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B; ;AC 10 BC a a . Hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc mặt phẳng (ABC). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC, với M là điểm thuộc đoạn BC sao cho 2 MC MB . Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 22 Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, ;AD 2 2 AB a a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. Bài 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ;BC 2 ; 120 AB a a ACB . Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 30 . Gọi M là trung điểm của BB’. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’. Bài 31. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông với AB AC a . Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’. Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho 2 ,AD ; ; 2 5 AB a a SA BC aCD a . Gọi H là điểm thuộc đoạn thẳng AD sao cho AH a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BH và SC. Bài 33. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc mặt phẳng (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SB và AC. Bài 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với ; 2 2 AB a AC a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc BC sao cho 2 HB HC , góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. Bài 35. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của CC’. Tính theo a thể tích của khối chóp A.BB’C’C và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’N). Bài 36. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C). Bài 37. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có 2 AB . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SC sao cho BM vuông góc DN. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DN và AB. Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều và AB CD BC a. Hai mặt phẳng (SAD) và (SBD) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 23 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD). Bài 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, ; ; 2 SA a AB a AC a ; SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG). Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là hình chữ nhật, 2; AB a AD a ; K là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC; các điểm H,M lần lượt là trung điểm của AK và DC. Cạnh SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng45 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH. Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của của cạnh AB; hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của CI; góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm H đên mặt phẳng (SBC). Bài 42. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc 60 ACB . Mặt phẳng (A’BD) tạo với đáy một góc bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối hộp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD’ và BD. Bài 43. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (ABC); ;2 SA AB a AC a và 90 ASC ABC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). Bài 44. Cho hình chóp S.ABCD có  ;, SA ABCD SA a ABCD là hình chữ nhật có 2 ; 5 AB a AD a . Điểm E thuộc BC sao cho CE=a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ASDE. Bài 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ;2 AB a AD a và  SA ABCD . Gọi M là trung điểm của CD và SC hợp với mặt phẳng đáy một góc sao cho 1 tan 5 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM). Bài 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 3 2 a SD . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD. Bài 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,  SA ABCD . Cạnh SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 . Goi E là trung điểm BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC. Trung tâm SEG.154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM ThS. Trần Duy Thúc . Sđt: 0979.60.70.89 Nơi nào có ý chí,nơi đó có con đường! 24 Bài 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 60 ABC . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD. Bài 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh, 3; 120 a BAD . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC. Bài 50. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C) . Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2; AB a AD a .Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB; SC tạo với đáy một góc bằng 45 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Bài 52. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy tam giác ABC là vuông cân tại A; 2 AB a . Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC. Bài 53. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân // BC AD .Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AD; ; ; 2 SH a AB BC CD a AD a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD. Bài 54. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân; AB AC a và M là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SC với mặt phẳng (ABC) bằng60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Bài 55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và cosin của góc hợp bởi đường thẳng AC và mặt phẳng (SAB). Bài 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết 23 SD a và đường thẳng SC tạo với đáy một góc bằng 30 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). Chúc các Em học tập thật tốt! Thầy Trần Duy Thúc