Tính nhanh nguyên hàm – tích phân từng phần sử dụng sơ đồ đường chéo – Ngô Quang Chiến

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến Trang 1/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN SỬ DỤNG SƠ ĐỒ ĐƯỜNG CHÉO I. NHẮC LẠI KIẾN THỨC . 1. Công thức : udv vu vdu   2. Áp dụng với các dạng nguyên hàm : ( ). ax b p x e dx  ; ( ).sin( ) p x ax b dx  ; ( ).cos( ) p x ax b dx  ; ( ).ln ( ) n p x ax b dx  ;… 3. Cách đặt : Ưu tiên đặt “u”theo : logarit ln _ đa thức ( ( )) px _ lượng giác sin ,cos xx _ mũ x e . Nhất “log”, nhì “đa”, tam “lượng ”, tứ “mũ ” Phần còn lại là “dv” II. PHƯƠNG PHÁP . 1. Chia thành 2 cột Cột 1 (cộ t trái : cộ t u) luôn lấy đạo hàm tới 0 Cột 2 (cột phải : cột dv) luôn lấy nguyên hàm cho tới khi tương ứng với cột 1 2. Nhân chéo kết quả của hai cột với nhau. 3. Dấu của phép nhân đ ầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu ( -), (+), (-)… III. PHÂN DẠNG VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ . Dạng 1 : ( ). ax b f x e dx  VD1: Tính nguyên hàm : 2 (2 3). x I x e dx  (đạo hàm ) 2 23 ux dấu (nguyên hàm) x dv e dx 4x + x e 4 - x e 0 + x e 2 (2 3) 4 . 4 x x x I e x x e e C 2 (2 4 1) x e x x C VD2: Tính nguyên hàm : 2 3 ( 2 ). x I x x e dx  Ta biến đổ i đưa I về dạng thuần tuý : 22 2 2 2 1 ( 2). . ( 2). ( ) 2 xx I x e xdx x e d x   2 ux 1 ( 2). . 2 u I u e du  NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến Trang 2/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN (đạo hàm ) 2 u dấu (nguyên hàm) u e 1 + u e 0 - u e 2 2 ( 2) 1 .( 1) ( 1) uu ux I e u e C e u C e x C VD3: Tính nguyên hàm 3 2 1 . x I x e dx  Ta biến đổi 3 2 1 1 (2 ) (2 ) 16 x I x e d x  2xu 3 1 3 1 .. 16 16 uu e I u e du u e du   (đạo hàm ) 3 u dấu (nguyên hàm) u e 2 3u + u e 6u - u e 6 + u e 0 - u e 32 . 3 . 6 . 6 16 u u u u e I u e u e u e e C   1 32 ( 3 6 6) 16 u e u u u C 21 32 (8 12 12 6) 16 x e x x x C Dạng 2: ( ).sin( ) ; ( ).cos( ) f x ax b dx f x ax b dx   VD1: Tín h nguyên hàm (2 1).cos I x xdx  (đạo hàm ) 21 x dấu (nguyên hàm) cosx 2 + sin x 0 - cosx (2 1)sin 2( cos ) I x x x C (2 1)sin cos x x x C VD2: Tính nguyên hàm 2 ( 2 ).sin I x x xdx  (đạo hàm ) 2 2 xx dấu (nguyên hàm) sin x 22 x + cosx 2 - sinx 0 + cosx 2 ( cos )( 2 ) (2 2)( sin ) 2cos I x x x x x x C 2 cos ( 2 2) (2 2)sin x x x x x C NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến Trang 3/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN VD3: Tính nguyên hàm 72 ( 2 ).cos( ) I x x x dx  Ta biến đổi 6 2 2 1 ( 2).cos( ) ( ) 2 I x x d x  2 ux 3 1 ( 2).cos 2 I u udu  (đạo hàm ) 3 2 u dấu (nguyên hàm) cosu 2 3u + sinu 6u - cosu 6 + sinu 0 - cosu 32 sin ( 2) 3 ( cos ) 6 ( sin ) 6 cos I u u u u u u u C 32 sin ( 6 2) cos (3 6) u u u u u C 2 6 2 24 sin( ) 6 2 cos( ) 3 6 x x x x x C     Dạng 3 : ( ).ln ( ) n f x ax b dx  Chú ý : Dạng ( ).ln ( ) n f x ax b dx  thì ưu tiên đặt ln ( ) n u ax b vì vậy khi đạo hàm “u” sẽ không bằng 0 được, do vậy cần phải điều chỉnh hệ số rút gọn (nhân ngang  đơn giản tử mẫu) rồi sau đó mới làm tiếp . VD1:Tính nguyên hàm ln I x xdx  (đạo hàm ) lnx dấu (nguyên hàm) x 1 x (đơn giản) 12 + 2 2 x (đơn giản) x 0 - 2 2 x Đơn giản bằng cách nhân kết quả ở 2 cột ta được 2 x tách ra 2 cột (đạo hàm ) (nguyên hàm) 12 x ( Cách hiểu : do 1 x từ cột đạo hàm đã “nhảy ” sang cột nguyên hàm để triệu tiêu với x nên 1 2 phải “nhảy ” ngượ c lại sang cột đạo hàm để bù ) 2 2 2 11 .ln . ln 2 2 2 2 2 x x x I x C x C NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến Trang 4/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN VD2: Tính nguyên hàm 2 .ln I x xdx  (đạo hàm ) 2 ln x dấu (nguyên hàm) x 2.ln x x (đơn giản) lnx + 2 2 x (đơn giản) x 1 x (đơn giản) 12 - 2 2 x (đơn giản) x 0 + 2 2 x 2 2 2 2 2 2 1 .ln .ln . 2 2 2 2 1 . ln ln 22 x x x I x x C x x x C    VD3: Tính nguyên hàm 3 ( 3)ln . I x x dx  (đạo hàm ) lnx dấu (nguyên hàm) 3 3 x 1 x (đơn giản) 1 + 4 43 xx (đơn giản) 3 43 x 0 - 4 16 3 xx 44 3 ln 3 4 16 xx I x x x C         VD4: Tính nguyên hàm 3 (2 1).ln (3 ) I x x dx  (đạo hàm ) 3 ln (3 ) x dấu (nguyên hàm) 21 x 2 3 .ln (3 ) xx (đơn giản) 2 ln (3 ) x + 2 xx (đơn giản) 33 x 2 .ln(3 ) xx (đơn giản) ln(3 ) x - 2 3 2 3 xx (đơn giản) 36 x 1 x (đơn giản) 1 + 2 3 2 6 xx (đơn giản) 3 2 6 x 0 - 2 3 4 6 xx 2 3 2 2 22 3 ln (3 ).( ) ln (3 ).( 3 ) 2 33 ln(3 ).( 6 ) ( 6 ) 24 x I x x x x x xx x x x C NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến Trang 5/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN VD5: Tính nguyên hàm 5 ln (5 ) I x dx  Ta biến đổi 5 1 ln (5 ) (5 ) 5 I x d x  5 ux 5 1 ln 5 I udu  (đạo hàm ) 5 ln u dấu (nguyên hàm) 1 4 ln 5. u u (đơn giản) 4 ln u + u (đơn giản) 5 3 ln 4. u u (đơn giản) 3 ln u - 5u (đơn giản) 20 2 ln 3. u u (đơn giản) 2 ln u + 20u (đơn giản) 60 ln 2. u u (đơn giản) lnu - 60u (đơn giản) 120 1 u (đơn giản) 1 + 20u (đơn giản) 120 0 - 120u 5 4 3 2 1 .[ .ln 5 .ln 20 .ln 5 60 .ln 120 .ln 120 ] I u u u u u u u u u u u C 5 4 3 2 .[ln (5 ) 5ln (5 ) 20ln (5 ) 60ln (5 ) 120ln(5 ) 120] x x x x x x C Dạng 4: Nguyên hàm lặp (tích phân lặp) Nếu khi ta tính nguyên hàm (tích phân) theo sơ đồ đường chéo mà lặp lại nguyên hàm ban đầu cần tính (theo hàng ngang) thì dừng lại luôn ở hàng đó, không tính tiếp nữa. 1. Dấu hiệu khi dừng lại : nhận thấy trên cùng 1 hàng ngang tích của 2 phần tử ở 2 cột (không kể dấu và hệ số) giống nguyên hàm ban đầu cần tính. 2. Ghi kết quả (nhân theo đường chéo) như các ví dụ trên. 3. Nối 2 phần tử (ở dòng dừng lại), có thêm dấu  trước kết quả và coi gạch nối là 1 đường ché o, sử dụng quy tắc đan dấu. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến Trang 6/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN VD1: Tính nguyên hàm sin . . x I x e dx  (đạo hàm ) sin x dấu (nguyên hàm) x e cosx + x e sinx - + x e (dừng lại) sin . cos . ( sin ). x x x I x e x e x e dx C  (sin cos ) sin . xx e x x x e dx C  1 . (sin cos ) 2 x I e x x C VD2: Tính nguyên hàm 2 1 2 .sin ( ) 4 x I e x dx   Ta biến đổi 21 2 1 2 1 2 1 1 1 cos(2 ) 11 2 . .sin(2 ) 2 2 2 4 x x x x x e I e dx e dx e x dx I C           21 1 1 .sin(2 ) (2 ) 4 x I e x d x  2 ux 1 1 1 .sin 4 u I e udu  (đạo hàm ) sinu dấu (nguyên hàm) 1 u e cosu + 1 u e sinu - + 1 u e (dừng lại) 11 1 11 . (sin cos ) sin . 44 uu I e u u u e du C  1 21 1 . (sin cos ) 5 1 . sin(2 ) cos(2 ) 5 u x e u u C e x x C 21 21 1 . sin(2 ) cos(2 ) 45 x x e I e x x C IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG (sưu tầm và biên soạn) . (Nguồn : Thầy Nguyễn Hà Hưng ) Câu 1. Nguyên hàm 2 1 .ln (5 ) ( ) 5 I x xd x F x C  . Giá trị của () Fe bằng : A. 2 2 e B. 2 4 e C. 2 4 e D. 2 2 e Câu 2. Nguyên hàm 2 .sin cos ( ) I x x xdx F x C  . Giá trị của () F  bằng : A. 3  B. 3  C.  D.  Câu 3. Nguyên hàm .cos(2 ) ( ) x I e x dx F x C  . Giá trị của (0) F bằng : A. 1 5 B. 2 5 C. 2 5 D. 1 5 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Ngô Quang Chiến Trang 7/7 GIẢI NHANH TRẮC NHIỆM TOÁN (Nguồn : Thầy Lương Văn Huy) Câu 4. Nguyên hàm ( )cos3 sin 3 ( 2)sin 3 2017 x a x x x xdx bc  thì tổng S ab c bằng : A. 14 S B. 15 S C. 3 S D. 10 S Câu 5. Nguyên hàm 22 . ( ). xx x e dx x mx n e C  thì giá trị của mnlà : A. 6 B. 4 C. 0 D. 4 Câu 6. Biết 1 0 4 15 .ln ln 42 xa I x dx c xb  , với * ,, a b c và phân số a b tối giản Tìm khẳng định đúng : A. 2 a b c B. 3 b b c C. a b c D. 4 a b c Câu 7. Biết 2 2 1 ( ).ln ln 2 3 ab I x x xdx c  , với * ,, a b c và phân số b c tối giản Tính tổng S ab c bằng : A. 806 B. 559 C. 1445 D. 1994 Câu 8. Biết 2 2 0 . .sin(3 ) x a b e I e x dx c    , chọn khẳng định đúng : A. a, b, c là số nguyên tố B. a, c là số nguyên tố C. b, c là số nguyên tố D. a, b là số nguyên tố (Nguồn : Ngô Quang Chiến) Câu 9. Hàm số 2 ( ) ( ) x f x ax bx c e là mộ t nguyên hàm củ a ( ) (1 ) x g x x x e . Tính tổng a + b + c : A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 10. Nguyên hàm 23 ( 3 2)(4cos 3cos ) (cos ) ( ) I x x x x d x F x C  . Giá trị của (0) F bằng : A. 3 64 B. 9 64 C. 9 32 D. Đáp án khác