Trắc nghiệm giới hạn có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018
Câu 1: (THPT Ch uy ên H ùng V ư ơ n g - Ph ú Th ọ - l ầ n 1 - NH 201 7 - 201 8) Phát biểu nào sau đây là sai ? A. lim n u c ( n u c là hằng số ). B. lim 0 n q 1 q . C. 1 lim 0 n . D. 1 lim 0 k n 1 k . Lời giải Chọn B Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim 0 n q 1 q . Câu 2: (TH P T Ch u yê n Hùng Vươn g - P h ú Th ọ - l ầ n 1 - NH 201 7 - 201 8) Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng ; a b . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn ; a b là ? A. lim x a f x f a và lim x b f x f b . B. lim x a f x f a và lim x b f x f b . C. lim x a f x f a và lim x b f x f b . D. lim x a f x f a và lim x b f x f b . Lời giải Chọn A Hàm số f xác định trên đoạn ; a b được gọi là liên tục trên đoạn ; a b nếu nó liên tục trên khoảng ; , a b đồng thời lim x a f x f a và lim x b f x f b . Câu 3: (THP T Nguy ễ n K h uy ế n- Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8) Tính giới hạn 2 1 lim 3 2 n n . A. 2 3 . B. 3 2 . C. 1 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A Ta có 1 2 2 1 2 lim lim 2 3 2 3 3 n n n n . Câ u 4: (T HP T Ch u yê n V ĩn h Ph ú c - l ầ n 2 - n ăm 2 0 17 - 201 8 ) Tính giới hạn 3 1 1 lim . 1 x x A x A . . A B . 0. A C. 3. A D . . A L ờ i gi ả i Ch ọ n C 3 1 1 lim 1 x x A x 2 1 1 1 lim 1 x x x x x 2 1 lim 1 3 x x x . Câu 5: (TH PT Q uã ng Xươn g - Tha nh Hó a - l ần 1 - năm 201 7 - 201 8) Giá trị của 2 1 lim 3 2 1 x x x bằng: A. . B. 2 . C. 1. D. 3 . Lời giải. Chọn B 2 2 1 lim 3 2 1 3.1 2.1 1 2. x x x Câu 6: (T HP T C h uy ên La m - Th anh H ó a - l ần 1 - nă m 2 017 - 201 8) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 2 3 n n u . B. 6 5 n n u . C. 3 3 1 n n n u n . D. 2 4 n u n n . Lời giải: Chọn A 2 lim lim 0 3 n n n n u (Vì 2 2 1 3 3 ). Câu 7: (Đ ề t ha m k h ả o BGD n ăm 2 017 - 20 18 ) 2 lim 3 x x x bằng A. 2 3 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B Chia cả tử và mẫu cho x , ta có 2 lim 3 x x x 2 1 lim 3 1 x x x 1 1 1 . Câu 1: (TH P T Chuyên V ĩnh Ph úc - MĐ 903 l ần 1 - nă m 201 7 - 20 18) Cho 2 2 sin cos f x x x x . Khi đó ' f x bằng A.1 sin 2 x . B. 1 2sin 2 x . C. 1 sin .cos x x . D. 1 2sin 2 x . Lời giải Chọn B Ta có 2 2 sin cos f x x x x cos 2 x x ' 2sin 2 1 f x x . Câu 2: (TH PT Ch u y ên V ĩn h Phú c - l ầ n 1 M Đ 9 04 nă m 201 7 - 20 18) Tìm giới hạn 2 1 lim 1 n I n . A. 2 I . B. 0 I . C. 3 I . D. 1 I . Lời giải Chọn A 2 1 lim 1 n I n 1 2 lim 1 1 n n 2 . Câu 3: (TH PT Ch u y ên Tr ần Phú - H ả i P hò ng l ầ n 1 nă m 201 7 - 201 8) Tính 2 5 12 35 lim 25 5 x x x x . A. 2 5 . B. . C. 2 5 . D. . Lời giải Chọn C Ta có 2 5 5 5 7 5 12 35 7 2 lim lim lim 25 5 5 5 5 5 x x x x x x x x x x . Câu 4: (TH PT Hà H uy T ậ p - Hà T ĩ nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 4 e n . B. 1 3 n . C. 5 3 n . D. 5 3 n . Lời giải Chọn B Ta có lim 0 n q nếu 1 q . Mặt khác 4 1 e ; 5 5 1 3 3 ; 1 1 3 . Vậy 1 lim 0 3 n . Câu 5: (TH PT Tr i ệu T h ị Tr in h - l ần 1 n ăm 20 17 - 201 8) Tính 2 3 9 lim 3 x x x bằng: A. 3 . B. 6 . C. . D. 3 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 9 lim 3 x x x 3 lim 3 x x 6 . Câu 6: (TH PT T h ạc h Th à n h 2 - T ha nh H ó a - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 2 018 ) Phát biểu nào trong các phát biểu sau là sai? A. lim 0 n q | | 1 q . B. lim n u c ( n u c là hằng số). C. 1 lim 0 k n 1 k . D. 1 lim 0 n . Lời giải: Chọn A A sai vì lim 0 n q khi 1 q . Câu 7: (TH PT T h ạc h Th à n h 2 - T ha nh H ó a - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 2 018 ) Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng? A. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại 0 x thì nó liên tục tại điểm 0 x . B. Nếu hàm số y f x có đạo hàm trái tại 0 x thì nó liên tục tại điểm đó. C. Nếu hàm số y f x có đạo hàm phải tại 0 x thì nó liên tục tại điểm đó. D. Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại 0 x thì nó liên tục tại điểm đó. Lời giải Chọn D Đáp án D đúng vì nó là một định lý trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11. Câu 8: ( T H P T T h ạ c h T h à n h 2 - T h a n h H ó a - l ầ n 1 n ă m 2 0 1 7 - 2 0 1 8) Cho hàm số y f x liên tục trên ; a b . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên ; a b là A. lim x a f x f a và lim x b f x f b . B. lim x a f x f a và lim x b f x f b . C. lim x a f x f a và lim x b f x f b . D. lim x a f x f a và lim x b f x f b . Lời giải Chọn C Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn ; a b . Câu 9: (TH PT Yê n L ạ c - V ĩnh P h ú c - l ầ n 3 n ăm 201 7 - 201 8 ) Tính giới hạn 2 2 5 6 lim 2 x x x I x . A. 1 I . B. 0 I . C. 1 I . D. 5 I . Lời giải Chọn A 2 2 5 6 lim 2 x x x I x 2 2 3 lim 2 x x x x 2 lim 3 1 x x . Câu 10: (TH PT H ồn g Qu ang - H ải Dươ ng nă m 201 7 - 201 8) Tìm 2 3 5 lim 4 1 x x x x . A. 1 4 . B. 1. C. 0 . D. 1 4 . Lời giải Chọn A Ta có 2 3 5 lim 4 1 x x x x 2 3 5 1 1 lim 1 4 4 x x x x . Câu 11: (THPT Lê Ho àn - Th anh Hó a - l ần 1 nă m 201 7 - 2 018 ) Giả sử ta có lim x f x a và lim x g x b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. lim . . x f x g x a b . B. lim x f x g x a b . C. lim x f x a g x b . D. lim x f x g x a b . Lời giải Chọn C Vì có thể 0 b . Câu 12: (TH PT Qu ãn g X ương 1 - T ha n h Hó a nă m 201 7 - 20 18) Cho hàm số f x xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f x liên tục tại x a nếu A. f x có giới hạn hữu hạn khi x a . B. lim lim x a x a f x f x . C. lim x a f x f a . D. lim lim x a x a f x f x a . Lời giải Chọn C Cho hàm số f x xác định trên khoảng K chứa a . Hàm số f x liên tục tại x a nếu lim x a f x f a . Câu 13: (TH PT Ch u y ên Ho àn g V ăn Th ụ - H ò a B ì nh năm 201 7 - 201 8) Giá trị của 2 lim 1 n n bằng A. 1. B. 2 . C. 1 . D. 0 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 lim 1 n n 2 1 lim 1 1 n n 0 1 1 0 1 . Câu 14: (TH PT Ch u y ên Ho àn g V ăn Th ụ - H ò a B ì nh năm 201 7 - 201 8) Giới hạn 2 1 lim 7 x x x bằng ? A. 5 . B. 9 . C. 0 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có 2 1 lim 7 x x x 2 1 1 7 9 . Câu 15: (TH PT M ộ Đ ứ c - Q uã n g Ng ãi - l ầ n 1 n ă m 2 017 - 201 8 ) Tính giới hạn 2 1 lim 1 x x x . A. 1 2 . B. 1. C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn C 2 1 lim 1 x x x 1 2 lim 2 1 1 x x x . Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) 1 lim 6 2 x x x bằng A. 1 2 . B. 1 6 . C. 1 3 . D. 1. Lời giải Chọn B Ta có 1 lim 6 2 x x x 1 1 lim 2 6 x x x 1 6 . Câ u 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) 1 lim 4 3 x x x bằng A. 1 3 . B. 1 4 . C. 3. D. 1. L ờ i gi ải Chọn B Ta có 1 1 1 1 lim lim 3 4 3 4 4 x x x x x x . Câu 3: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) 2 4 1 2 lim 2 3 n n n bằng A. 3 2 . B. 2. C. 1. D. . Lời giải Chọn C Ta có: 2 4 1 2 lim 2 3 n n n 2 2 1 1 2 4 lim 3 2 n n n n 2 0 2 1 . Câu 4: ( TH P T Ph an Châu Trin h - Da kL a k - l ầ n 2 n ă m 2017 - 201 8) Tính 2 2 3 lim 2 3 1 n I n n . A. I . B. 0 I . C. I . D. 1 I . Lời giải Chọn B 2 2 3 lim 2 3 1 n I n n 2 2 2 2 2 3 lim 3 1 2 n n n n n n 2 2 2 3 lim 3 1 2 n n n n 0 . Câu 5: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giá trị của 2 1 lim 2 3 1 x x x bằng A. 2 . B. 1. C. . D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: 2 1 lim 2 3 1 0 x x x . Câu 6: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Giá trị của 2 2 lim x x x bằng A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 2 lim lim 1 1 2 2 x x x x x . Câu 7: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho số phức z a bi , a b và xét hai số phức 2 2 z z và 2 . z z i z z . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? A. là số thực, là số thực. B. là số ảo, là số thực. C. là số thực, là số ảo. D. là số ảo, là số ảo. Lời giải Chọn A Ta có 2 2 z z 2 2 2 2 2 2 a b abi a b abi 2 2 2 a b , do đó là số thực. 2 . z z i z z 2 2 2 2 a b i bi 2 2 2 2 a b b , do đó là số thực. Câu 8: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) 2 2 1 lim 2 1 n n bằng A. 0 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 1 2 . Lời giải Chọn D Ta có 2 2 1 lim 2 1 n n 2 2 1 1 lim 1 2 n n 1 2 . Câu 9: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn 3 3 lim 3 x x L x A. L . B. 0 L . C. L . D. 1 L . Lời giải Chọn B Ta có 3 3 lim 3 x x L x 3 3 0 3 3 . Câu 10: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) 4 1 lim 1 x x x bằng A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 4 . Lời giải Chọn D 4 1 lim 1 x x x 1 4 lim 1 1 x x x 4 . Câu 11: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) 1 2 lim 3 1 n n bằng A. 2 3 . B. 1 3 . C. 1. D. 2 3 . Lời giải Chọn A Ta có 1 2 1 2 2 lim lim 1 3 1 3 3 n n n n . Câ u 12: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn 3 2 lim 2 1 x x x A. . B. . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B Ta có 3 2 3 2 3 1 1 lim 2 1 lim 2 x x x x x x x . Câu 13: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Tính 2 1 lim 1 x x L x . A. 2 L . B. 1 L . C. 1 2 L . D. 2 L . Lời giải Chọn D Ta có 1 2 2 1 lim lim 1 1 1 x x x x x L x x x 1 2 2 0 lim 2 1 1 0 1 x x x . Câu 14: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên ? A. y x . B. 1 x y x . C. sin y x . D. 1 x y x . Lời giải Chọn B Tập xác định của hàm số 1 x y x là \ 1 . Hàm số liên tục trên từng khoảng ;1 và 1; nên hàm số không liên tục trên . Câu 15: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm giới hạn 3 2 lim 3 n I n . A. 2 3 I . B. 1 I . C. 3 I . D. k . Lời giải Chọn C Ta có 2 3 3 2 lim lim 3 3 3 1 n n I n n . Câu 16: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 1 1 u và công bội 1 2 q . A. 2 S . B. 3 2 S . C. 1 S . D. 2 3 S . Lời giải Chọn D 1 1 2 1 1 3 1 2 u S q . Câu 17: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) 1 lim 2 5 x x bằng A. 0 . B. . C. . D. 1 2 . Lời giải Chọn A Câu 18: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) 1 lim 3 2 x x x bằng A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 1 2 . Lời giải Chọn C Ta có 1 1 1 1 lim lim 2 3 2 3 3 x x x x x x . Câu 19: 3 1 lim 5 x x x bằng A. 3 . B. 3 . C. 1 5 . D. 5. Câu 20: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) 3 1 lim 5 x x x bằng A. 3 . B. 3 . C. 1 5 . D. 5. Lời giải Chọn A Ta có 3 1 lim 5 x x x 1 3 lim 3 5 1 x x x . Câu 21: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Giới hạn 2 2 lim x c x a x b bằng? A. a . B. b . C. c . D. a b c . Lời giải Chọn C Ta có 2 2 2 2 0 lim lim 1 0 1 x x a c cx a c x c b x b x . Câu 22: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm 0 1 x . A. 2 1 2 y x x . B. 2 1 1 x y x . C. 1 x y x . D. 2 1 1 x y x . Lời giải Chọn B Ta có 2 1 1 x y x không xác định tại 0 1 x nên gián đoạn tại 0 1 x . Câu 23: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) 2 1 lim 3 x x x bằng. A. 2 . B. 2 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có: 2 1 lim 3 x x x 1 2 lim 3 1 x x x 2 . Câu 24: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn 2 2 1 lim 2 x x x bằng A. . B. 3 16 . C. 0 . D. . Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2 1 1 lim lim . 1 2 2 x x x x x x . Do 2 2 1 lim 2 x x và 2 lim 1 1 0 x x . Câu 1: (S G D Tha nh H óa – n ăm 2017 – 2018 ) Tính giới hạn 4 2018 lim 2 1 n n . A. 1 2 . B. 4 . C. 2 . D. 2018 . Lời giải Chọn C Ta có 2018 4 4 2018 lim lim 2 1 2 1 2 n n n n . Câu 2: ( T HP T Nghè n – Hà T ĩnh – L ần 2 năm 20 17 – 2018) Chọn kết quả đúng của 5 3 lim 4 3 1 x x x x . A. 0. B. . C. . D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có 5 3 lim 4 3 1 x x x x 5 2 4 5 3 1 1 lim 4 x x x x x . Vì 2 4 5 5 3 1 1 lim 4 4 0 lim x x x x x x . Câu 3: (TH PT Ch u y ên V õ Ng uy ên Gi áp – Qu ả ng Bình - nă m 201 7 - 2 0 18) 3 2 lim 3 n n bằng. A. 2 3 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: 3 2 lim 3 n n 2 3 lim 3 1 n n 3 . Câu 4: ( SG D B ắc Ni nh – L ầ n 2 - n ăm 2 01 7 - 201 8) Tính giới hạn 3 2 lim 2 1 x x I x . A. 2 I . B. 3 2 I . C. 2 I . D. 3 2 I . Lời giải Chọn D Ta có 2 3 3 2 3 lim lim 1 2 1 2 2 x x x x I x x . Câu 5: ( Ch uy ên Lê H ồ n g P ho ng – N am Đin h - n ăm 20 17 - 201 8) 2 lim 1 x x x bằng. A. . B. 1. C. . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 2 lim 1 x x x 2 1 lim 0 1 1 x x x . Câu 6: Tính 2 lim 3 x x x . A. 1 . B. 2 3 . C. 2 3 . D. 1. Lời giải Chọn A 2 lim 3 x x x 2 1 lim 3 1 x x x 1 . Câu 7: 2 2 2 2 3 2 lim 4 x x x x bằng A. 5 4 . B. 5 4 . C. 1 4 . D. 2 . Câu 8: 2 2 2 2 3 2 lim 4 x x x x bằng A. 5 4 . B. 5 4 . C. 1 4 . D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có 2 2 2 2 3 2 lim 4 x x x x 2 2 1 2 lim 2 2 x x x x x 2 2 1 5 lim 2 4 x x x . Câu 9: 2 1 lim 1 x x x bằng A. 1 . B. 1. C. 2 . D. 2 . Câu 10: 2 1 lim 1 x x x bằng A. 1 . B. 1. C. 2 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 2 2 1 lim lim 2 1 1 1 x x x x x x . Câu 11: Tính tổng vô hạn sau: 2 1 1 1 1 ... ... 2 2 2 n S . A. 2 1 n . B. 1 1 1 2 . 1 2 1 2 n . C. 4 . D. 2 . Câu 12: Tìm 2 1 lim 2 x x x . A. 1. B. 1 2 . C. 2 . D. . Câu 13: Tính tổng vô hạn sau: 2 1 1 1 1 ... ... 2 2 2 n S . A. 2 1 n . B. 1 1 1 2 . 1 2 1 2 n . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với 1 1 u ; 1 2 q . Khi đó: 1 1 u S q 1 1 1 2 2 . Câu 14: Tìm 2 1 lim 2 x x x . A. 1. B. 1 2 . C. 2 . D. . Lời giải Chọn C Ta có: 2 1 lim 2 x x x 1 2 lim 2 2 1 x x x . Câu 15: 5 2 lim 2018 1 x x x bằng: A. 5 2018 . B. 2 . C. 5 . D. . Câu 16: 5 2 lim 2018 1 x x x bằng: A. 5 2018 . B. 2 . C. 5 . D. . Hướng dẫn giải Chọn A 5 2 lim 2018 1 x x x 2 5 5 lim 1 2018 2018 x x x . Câu 17: 2 1 lim 1 n n n bằng A. 1. B. 2 . C. 1 . D. 2 . Câu 18: 2 1 lim 1 n n n bằng A. 1. B. 2 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 1 lim 1 n n n 1 2 lim 2 1 1 n n n . Câu 19: Tìm 3 2 lim 1 n I n . A. 0 I . B. 2 I . C. 3 I . D. 2 I . Câu 20: Tìm 3 2 lim 1 n I n . A. 0 I . B. 2 I . C. 3 I . D. 2 I . Lời giải Chọn C 3 2 lim 1 n I n 2 3 lim 1 1 n n n n 2 3 lim 1 1 n n 3 . Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1 lim n . B. lim 2 1 n . C. 2 2 lim 3 n n . D. 3 3 lim 2 1 2 n . Câu 22: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 1 lim n . B. lim 2 1 n . C. 2 2 lim 3 n n . D. 3 3 lim 2 1 2 n . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 1 lim 2 1 lim 2 n n n . Câu 23: 2 2 lim 1 x x x bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 2 . Câu 24: 2 2 lim 1 x x x bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn A 2 2 lim 1 x x x 2 2 1 2 lim 1 1 x x x x 0 Câu 25: Tính 2 lim 2 3 x x M x . A. 2 3 M . B. 0 M . C. M . D. 1 2 M . Câu 26: Tính 2 lim 2 3 x x M x . A. 2 3 M . B. 0 M . C. M . D. 1 2 M . Lời giải Chọn D Ta có: 2 lim 2 3 x x M x 2 1 lim 3 2 x x x 1 2 . Câu 27: 3 1 lim 2 n a n A. 1 a . B. 1 2 a C. 3 a . D. 3 2 a . Câu 28: 3 1 lim 2 n a n A. 1 a . B. 1 2 a C. 3 a . D. 3 2 a . Lời giải Chọn C 1 3 3 1 lim lim 3 2 1 2 n n n n 3 a . Câu 29: 2 2 2 3 lim 1 n n bằng A. 3 2 . B. 2 . C. 1. D. 3. Câu 30: 2 2 2 3 lim 1 n n bằng A. 3 2 . B. 2 . C. 1. D. 3. Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 2 2 3 2 2 3 lim lim 2 1 1 1 n n n n . Câu 31: Cho số phức z a bi , a b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của i z . B. Mô đun của z là một số thực dương. C. 2 2 z z . D. Điểm ; M a b là điểm biểu diễn của z . Câu 32: Cho số phức z a bi , a b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của i z . B. Mô đun của z là một số thực dương. C. 2 2 z z . D. Điểm ; M a b là điểm biểu diễn của z . Lời giải Chọn A Ta có: i z ai b a bi z . Do đó số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của i z . 2 2 0 z a b , z . Do đó mô đun của z là một số thực dương là sai. 2 2 z a bi 2 2 2 a b z . Do đó 2 2 z z là sai. Điểm biểu diễn của z là ; M a b . Do đó điểm ; M a b là điểm biểu diễn của z là sai. Câu 33: 2 1 lim 1 3 n n bằng A. 1. B. 0 . C. 1 3 . D. 1 3 . Câu 34: 2 1 lim 1 3 n n bằng A. 1. B. 0 . C. 1 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn B Ta có 2 2 2 1 1 1 lim lim 0 1 1 3 3 n n n n n . Câu 35: 3 2 lim 3 2018 x x x bằng A. . B. . C. 1. D. 0 . Câu 36: 3 2 lim 3 2018 x x x bằng A. . B. . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn A Ta có: 3 2 lim 3 2018 x x x 3 3 3 2018 lim 1 x x x x Do 3 lim x x và 3 3 2018 lim 1 1 0 x x x . Câu 37: Cho lim 2 1 x f x . Tính lim x f x . A. lim 3 x f x . B. lim 3 x f x . C. lim 1 x f x . D. lim 1 x f x . Câu 38: Cho lim 2 1 x f x . Tính lim x f x . A. lim 3 x f x . B. lim 3 x f x . C. lim 1 x f x . D. lim 1 x f x . Lời giải Chọn C Ta có lim 2 1 x f x lim 1 2 1 x f x . Câu 39: Tính giới hạn 2 3 1 2 1 lim 2 2 x x x x . A. . B. 0 . C. . D. 1 2 . Câu 40: Tính giới hạn 2 3 1 2 1 lim 2 2 x x x x . A. . B. 0 . C. . D. 1 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 3 1 2 1 lim 2 2 x x x x 2 2 1 1 lim 2 1 1 x x x x x 2 1 1 lim 2 1 x x x x 0 . Câu 1: (TH TT S ố 1 - 484 t há n g 10 n ăm 20 17 - 201 8) Cho hàm số 1 khi 0 1 khi 0 2 ax e x x f x x . Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại 0 0 x . A. 1 a . B. 1 2 a . C. 1 a . D. 1 2 a . Lời giải Chọn B Tập xác định: D . 0 0 0 1 1 lim lim lim . a x ax x x x e e f x a a x ax . 1 0 2 f ; hàm số liên tục tại 0 0 x khi và chỉ khi: 0 1 lim 0 2 x f x f a . Câu 2: (THTT S ố 1 - 4 84 th áng 10 nă m 201 7 - 2 0 1 8) Cho hàm số 2 3 khi 1 2 1 khi 1 x x f x x x . Khẳng định nào dưới đây là sai? A. Hàm số f x liên tục tại 1 x . B. Hàm số f x có đạo hàm tại 1 x . C. Hàm số f x liên tục tại 1 x và hàm số f x cũng có đạo hàm tại 1 x . D. Hàm số f x không có đạo hàm tại 1 x . Lời giải Chọn D 2 1 1 3 lim lim 1 2 x x x f x và 1 1 1 lim lim 1 x x f x x . Do đó, hàm số f x liên tục tại 1 x . 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 2 1 2 x x x f x f x x x x và 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x x f x f x x x x x . Do đó, hàm số f x có đạo hàm tại 1 x . Câu 3: (T HPT Ch u yê n B ắ c Ni nh - l ầ n 1 - n ăm 2 017 - 20 18) Cho hàm số 2 2 khi 1 1 3 khi 1 x x x f x x m x . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại 1. x A. 2. m B. 1. m C. 2. m D. 3. m Lời giải Chọn B Tập xác định của hàm số là . Hàm số gián đoạn tại 1 x khi 2 1 1 2 lim 1 lim 3 1 x x x x f x f m x 1 1 1 2 lim 3 lim 2 3 3 3 1. 1 x x x x m x m m m x Câu 4: (TH P T Ch u yê n B ắ c Ni nh - l ầ n 1 - n ăm 2 017 - 201 8 ) Cho 0 2 3 1 1 lim x x I x và 2 1 2 lim 1 x x x J x . Tính I J . A. 6. B. 3. C. 6 . D. 0. Lời giải Chọn A Ta có 0 0 0 2 3 1 1 6 6 lim lim lim 3 3 1 1 3 1 1 x x x x x I x x x x . 2 1 1 1 1 2 2 lim lim lim 2 3 1 1 x x x x x x x J x x x . Khi đó 6 I J . Câu 5: (TH PT Xuâ n Hò a - V ĩnh Phú c - n ăm 201 7 - 201 8) Tính giới hạn 1 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 3.4 1 n n . A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 2 . Lời giải Chọn C Ta có: 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 n n n n 1 1 1 n . Vậy 1 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 3.4 1 n n 1 lim 1 1 1 n . Câu 6: (T HP T S ơ n Tây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho hàm số 3 1 khi 0 1 2 1 khi 0 x a x f x x x x . Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên . A. 1 a . B. 3 a . C. 2 a . D. 4 a . Lời giải Chọn C Tập xác định D . Ta có: Hàm số liên tục trên các khoảng ;0 và 0; . 0 0 lim lim 3 1 1. x x f x x a a 0 0 0 1 2 1 2 lim lim lim 1. 1 2 1 x x x x f x x x 0 1. f a Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại điểm 0 1 1 2. x a a Câu 7: (THPT Yê n L ạ c - V ĩnh P húc - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8 ) Chọn kết quả đúng của 2 1 3 lim 2 3 x x x . A. 3 2 2 . B. 2 2 . C. 3 2 2 . D. 2 2 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 1 1 3 3 1 3 lim lim lim 3 3 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x 3 3 2 2 2 . Câu 8: (TH PT Yê n L ạ c - V ĩnh P h ú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - nă m 20 17 - 201 8) Chọn kết quả đúng của 2 1 3 lim 2 3 x x x . A. 3 2 2 . B. 2 2 . C. 3 2 2 . D. 2 2 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 1 1 3 3 1 3 lim lim lim 3 3 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x 3 3 2 2 2 . Câu 9: (T H P T N gu y ễ n K h uy ế n- Na m Đ ị n h - l ầ n 1 - năm 20 1 7 - 2018 ) Cho hàm số 2 2 4 khi 2 2 3 khi 2 x x f x x m m x . Tìm m để hàm số liên tục tại 0 2 x . A. 0 m hoặc 1 m . B. 1 m hoặc 4 m . C. 4 m hoặc 1 m . D. 0 m hoặc 4 m . Lời giải Chọn B Tập xác định D . Ta có 2 lim x f x 2 2 4 lim 2 x x x 2 lim 2 x x 2 2 4 . Hàm số đã cho liên tục tại 0 2 x khi và chỉ khi 2 lim 2 x f x f 2 4 3 m m 2 3 4 0 m m 1 4 m m . Câu 10: (T HP T Nguy ễ n K hu y ế n - N am Đ ị nh - l ầ n 1 - năm 20 17 - 20 1 8 ) Tìm 1 3 2 lim 1 x x x . A. 1 . B. 2 3 . C. 1 4 . D. 5 4 . Lời giải Chọn C Ta có 1 3 2 lim 1 x x x 1 3 2 3 2 lim 1 3 2 x x x x x 1 3 4 lim 1 3 2 x x x x 1 1 lim 3 2 x x 1 1 4 1 3 2 . Câu 11: (TH P T Ha i B à T r ư ng - V ĩ nh P h ú c - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2018) Cho hàm số 2 2 2 khi 2 4 3 khi 2 2 6 khi 2 x x x x f x x a x b x a b x liên tục tại 2 x . Tính I a b ? A. 19 30 I . B. 93 16 I . C. 19 32 I . D. 173 16 I . Lời giải Chọn C Để hàm f x liên tục tại 2 x cần có 2 2 lim lim 2 x x f x f x f Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 3 lim lim lim 4 16 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x . 2 2 2 2 lim 3 lim 3 2 3 4 x x x ax b x ax b a b 2 2 6 f a b Suy ra ta được hệ phương trình: 3 179 2 6 19 16 32 3 32 5 2 3 4 16 a b a a b b a b . Câu 12: (TH P T Vi ệ t Tr ì - Ph ú Th ọ - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Tìm a để hàm số 2 1 5 khi 4 4 2 khi 4 4 x x x x f x a x x liên tục trên tập xác định. A. 3 a . B. 5 2 a . C. 2 a . D. 11 6 a . Lời giải Chọn D * TXĐ: D . NX: Hàm số f x liên tục trên các khoảng ;4 và 4; Do đó, để hàm số liên tục trên ta cần tìm a để hàm số liên tục tại 4 x ĐK: 4 4 lim lim 4 x x f x f x f 4 4 4 2 1 5 2 1 5 1 1 lim lim lim 6 2 1 5 4 2 1 5 x x x x x x x f x x x x x x 4 lim x f x 4 2 lim 4 x a x 2 a 4 f Cần có: 1 11 2 6 6 a a . Câu 13: (T HP T Vi ệ t T r ì - Phú Th ọ - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 2018) Giá trị giới hạn 2 2 4 1 lim 2 3 x x x x x bằng: A. 1 2 . B. . C. . D. 1 2 . Lời giải Chọn D Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 4 4 1 lim lim lim 3 3 2 3 2 2 1 1 1 4 1 0 4 0 1 lim 3 2 0 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Câu 14: (TH PT Th ạ ch Thàn h - Th an h Hó a - n ă m 201 7 - 201 8 ) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? A. 1 n . B. 1 n . C. 1 n n . D. sin n n . Lời giải Chọn C Có 1 1 lim lim1 lim 1 n n n . Câu 15: (THPT Ch uy ê n V ĩnh P h ú c - l ần 2 - nă m 201 7 - 2018) Cho bốn hàm số 1 1 f x x ; 2 f x x ; 3 tan f x x ; 2 4 1 khi 1 1 2 khi 1 x x f x x x . Hỏi trong bốn hàm số trên có bao nhiêu hàm số liên tục trên ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B + Hàm số 1 1 f x x và 3 tan f x x không có tập xác định là nên hàm số không liên tục trên . + Hàm số 2 f x x liên tục trên . + Hàm số 2 4 1 khi 1 1 2 khi 1 x x f x x x có tập xác định là và hàm số liên tục trên các khoảng ;1 và 1; . Ta cần xét tính liên tục của hàm số 4 y f x tại 1 x . Ta có 4 1 2 f và 4 1 lim x f x 2 1 1 lim 1 x x x 1 lim 1 x x 2 4 1 f nên hàm số liên tục tại 1 x . Do đó, hàm số 4 y f x liên tục trên . Vậy trong bốn hàm số trên có 2 hàm số liên tục trên . Câu 16: (T HP T Ch u y ên V ĩn h Phú c - l ầ n 2 - năm 201 7 - 201 8) Cho hàm số 2 khi 0 1 4 1 khi 0 x m x f x x x x . Tìm tất cả các giá trị của m để tồn tại giới hạn 0 lim x f x . A. 2 m . B. 1 m . C. 3 m . D. 1 m . Lời giải Chọn A Ta có 0 0 lim lim 2 x x f x x m m 0 0 0 1 4 1 4 lim lim lim 2 1 4 1 x x x x f x x x Tồn tại giới hạn 0 lim x f x khi và chỉ khi 0 0 lim lim 2 x x f x f x m . Câu 17: (THPT Qu ãn g X ươ n g - Th an h Hó a - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2 018 ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 2 khi 2 2 4 khi 2 x x x f x x m x x liên tục tại 2. x A. 1 m . B. Không tồn tại m . C. 3 m . D. 2 m . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 4 f m ; 2 lim 4 2 4 x m x m ; 2 2 2 2 lim lim 2 2 x x x x x x . Để hàm số liên tục tại 2 x 2 2 lim lim 2 x x f x f x f 2 4 2 3 m m . Câu 18: (TH PT Qu ãn g X ương - Tha nh Hó a - l ần 1 - năm 2 017 - 2018) Cho 2 1 2017 1 lim 2018 2 x a x x ; 2 lim 1 2 x x bx x . Tính 4 P a b . A. 3 P . B. 1 P . C. 2 P . D. 1 P . Lời giải Chọn C Ta có: 2 1 2017 lim 2018 x a x x 2 1 2017 1 lim 2018 1 x x a x x x x 2 1 2017 1 lim 2018 1 x a x x x a . Nên 1 2 a 1 2 a . Ta có: 2 lim 1 x x bx x 2 2 2 1 1 lim 1 x x bx x x bx x x bx x 2 1 lim 1 1 1 x bx b x x x 2 1 lim 1 1 1 x x b x b x x x 2 1 lim 1 1 1 x b x b x x 2 b . Nên 2 2 b 4 b . Vậy 1 4 4 2 2 P . Câu 19: ( TH PT B ình Xu yê n - V ĩn h P h ú c - n ăm 2 01 7 - 201 8) Hàm số 2 1 khi 1 1 khi 1 x x f x x a x liên tục tại điểm 0 1 x thì a bằng? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn C Tập xác định: D . 2 1 1 1 lim lim 1 x x x f x x 1 lim 1 x x 2 ; 1 f a . Để hàm số liện tục tại 0 1 x thì 1 lim 1 x f x f 2 a . Câu 20: (TH PT B ìn h X uy ên - V ĩn h Phú c - nă m 2 017 - 201 8) Giới hạn 2 lim 2 3 n n có kết quả là: A. 2 . B. 0 . C. . D. 4 . Lời giải Chọn B 3 2 2 1 0 lim lim 0. 3 2 3 2 0 2 n n n n Câu 21: (T HP T Ng ô S ĩ Liê n - B ắ c Gi an g - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2018) Giá trị của 2 2 2 lim 2 x x I x bằng A. 2 . B. 1 2 2 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 2 2 2 2 2 2 x x x x x I x x x x . Câu 22: (T HP T Ta m Phư ớ c - Đ ồ ng Na i - l ầ n 1 - nă m 2 017 - 201 8 ) Cho đường cong 3 2 3 3 1 y x x x có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục tung là: A. 8 1 y x . B. 3 1 y x . C. 3 1 y x . D. 8 1 y x . Lời giải Chọn C Tọa độ giao điểm là 0 0 0 0;1 1 x M y nên phương trình tiếp tuyến là: 0 0 0 : . : 3 1 y f x x x y y x Câu 23: (TH PT Ch u yê n Lam - Than h Hó a - l ầ n 1 - nă m 2 017 - 201 8) Cho hàm số 3 2 4 3 khi 1 1 5 khi 1 2 x x x x f x ax x . Xác định a để hàm số liên tục trên . A. 5 2 a . B. 5 2 a . C. 15 2 a . D. 15 2 a . Lời giải Chọn D Với 1 x , ta có 3 2 4 3 1 x x f x x liên tục trên tập xác định. 2 3 2 1 1 3 3 1 4 3 lim lim 5 1 1 x x x x x x x x x . 5 1 2 f a . Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại 1 x . Điều này xảy ra khi 1 lim 1 x f x f 5 5 2 a 15 2 a . Câu 24: (T HT T S ố 3 - 48 6 thá n g 12 n ăm 201 7 - 20 18) Xác định 2 0 lim x x x . A. 0 . B. . C. Không tồn tại. D. . Lời giải Chọn C Ta có 2 2 0 0 0 1 lim lim lim x x x x x x x x . 2 2 0 0 0 1 lim lim lim x x x x x x x x . Vậy không tồn tại 2 0 lim x x x . Câu 25: (TH T T S ố 3 - 486 t há n g 12 n ăm 201 7 - 201 8) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số 2 khi 0 2 khi 0 x m x f x m x x liên tục trên . A. 2 m . B. 2 m . C. 2 m . D. 0 m . Lời giải Chọn C Trên khoảng 0; hàm số 2 f x x m là hàm số liên tục. Trên khoảng ;0 hàm số 2 f x m x là hàm số liên tục. Ta có 0 0 lim lim 2 0 x x f x x m m f và 0 0 lim lim 2 2 x x f x mx . Hàm số f x liên tục trên khi và chỉ khi 0 0 lim lim 0 x x f x f x f 2 2 m m . Câu 26: (S GD V ĩnh Ph ú c - K SC L l ầ n 1 năm 201 7 - 201 8) Cho hàm số 2 2 3 khi 1 1 1 khi 1 8 x x x y f x x . Tính 1 lim x f x . A. 1 8 . B. . C. 0 . D. 1 8 . Lời giải Chọn B Ta có 2 1 1 1 1 2 3 4 3 1 lim lim lim lim 1 1 1 2 3 1 2 3 x x x x x x f x x x x x x x . Câu 27: (TH P T L ê Vă n Th ị n h - B ắ c N in h - l ầ n 1 n ăm 2017- 201 8 ) Hàm số 2 1 khi 1 khi 1 x x f x x m x liên tục tại điểm 0 1 x khi m nhận giá trị A. 1 m . B. 2 m . C. m bất kỳ. D. 1 m . Lời giải Chọn D Ta có 2 1 1 lim lim 1 0 x x f x x ; 1 0 f ; 1 1 lim lim 1 x x f x x m m Hàm số liên tục tại 0 1 x 1 1 lim lim 1 x x f x f x f 1 0 1 m m . Câu 1: (THPT Ch uy ên V ĩn h Phúc- M Đ 9 03 l ầ n 1 - nă m 201 7 - 20 18) Tính 2 1 lim 1 n n được kết quả là A. 2 . B. 0 . C. 1 2 . D. 1. Lời giải Chọn A Ta có 1 1 2 2 2 1 2 0 lim lim lim 2 1 1 1 0 1 1 1 n n n n n n n n . Câu 2: (TH PT Ch u yê n Tr ầ n P h ú - H ải Ph ò n g l ầ n 1 n ă m 20 17 - 201 8) Cho hàm số 2 1 5 khi 4 4 2 khi 4 x x x f x x a x . Tìm tất cả giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục tại 0 4 x . A. 5 2 a . B. 2 a . C. 11 6 a . D. 3 a . Lời giải Chọn C Hàm số liên tục tại 4 x khi 4 4 lim x f f x . Ta có 4 2 f a ; 4 4 4 4 2 1 5 2 1 5 1 1 lim lim lim lim 4 6 2 1 5 4 2 1 5 x x x x x x x x f x x x x x x x Suy ra 4 1 11 4 lim 2 6 6 x f f x a a . Câu 3: ( THPT Đo à n Th ư ợ n g - H ả i D ươ ng - l ầ n 2 nă m 20 17 - 201 8) Giới hạn nào dưới đây có kết quả là 1 2 ? A. 2 lim 1 2 x x x x . B. 2 lim 1 x x x x . C. 2 lim 1 2 x x x x . D. 2 lim 1 x x x x . Lời giải Chọn D Xét: 2 2 2 2 lim 1 lim lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 2 1 1 lim 2 1 1 1 x x . Câu 4: (TH P T H à Hu y T ậ p - Hà T ĩnh - l ầ n 1 n ăm 2 017 - 201 8) Tính 2 3 2 6 lim 3 x x a b x ( a , b nguyên). Khi đó giá trị của P a b bằng A. 7 . B. 10. C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A Ta có 2 2 3 3 3 2 3 2 6 lim lim lim 2 3 4 3 3 3 x x x x x x x x . Suy ra 4 a , 3 b . Vậy 7 P a b . Câu 5: (TH P T Tr i ệu T h ị T r in h - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 2 018 ) Để hàm số 2 3 2 khi 1 4 khi 1 x x x y x a x liên tục tại điểm 1 x thì giá trị của a là A. 4 . B. 1. C. 1 . D. 4 . Lời giải Chọn A Hàm số xác định trên . Ta có 1 0 f . 2 1 1 lim lim 3 2 0 x x f x x x và 1 1 lim lim 4 4 x x f x x a a . Hàm số đã cho liên tục tại 1 x khi và chỉ khi 1 1 lim lim 1 x x f x f x f 4 0 4 a a . Câu 6: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩn h Phú c - l ầ n 3 n ăm 2 017 - 201 8) Cho hàm số 3 1 khi 1 khi 1 x x y x m x , m là tham số. Tìm m để hàm số liên tục trên . A. 5 m . B. 1 m . C. 3 m . D. 3 m . Lời giải Chọn B Ta có hàm số liên tục trên các khoảng ; 1 và 1; . Xét tính liên tục của hàm số tại 1 x . Có 1 1 2 lim x y y và 1 lim 1 x y m . Để hàm số liên tục trên thì 1 1 1 lim lim 2 1 1 x x y y y m m . Câu 7: (S GD B ắc Ni nh nă m 201 7 - 20 18) Tìm m để hàm số 2 16 khi 4 4 1 khi 4 x x f x x m x x liên tục tại điểm 4 x . A. 8 m . B. 8 m . C. 7 4 m . D. 7 4 m . Lời giải Chọn D Ta có: 2 4 4 4 16 lim lim lim 4 8 4 x x x x f x x x . Và: 4 4 lim lim 1 4 1 4 x x f x m x m f . Hàm số f x liên tục tại điểm 4 x nếu 4 4 lim lim 4 x x f x f x f . 7 4 1 8 4 m m . Câu 8: (SG D B ắ c Ni n h nă m 201 7 - 2 018 ) Tính giới hạn 2 2017 lim 3 2018 n I n . A. 2 3 I . B. 3 2 I . C. 2017 2018 I . D. 1 I . Lời giải Chọn A Ta có 2 2017 lim 3 2018 n I n 2017 2 lim 2018 3 n n 2 3 . Câu 9: (SG D Ni n h Bìn h năm 201 7 - 2 018 ) Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại? A. 3 1 lim 3 1 n n . B. 2 1 lim 2 1 n n . C. 4 1 lim 3 1 n n . D. 1 lim 1 n n . Lời giải Chọn C Ta có 1 3 3 1 3 lim lim 1 1 3 1 3 3 n n n n vì 1 lim 0 n ; 1 2 2 1 2 lim lim 1 1 2 1 2 2 n n n n vì 1 lim 0 n 1 4 4 1 4 lim lim 1 3 1 3 3 n n n n vì 1 lim 0 n ; 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 n n n n vì 1 lim 0 n . Câu 10: (TH PT Ch u y ên ĐH K HTN - Hà N ội n ă m 201 7 - 201 8) Giới hạn 2 2 2 lim 2 x x x bằng A. 1 2 . B. 1 4 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B 2 2 2 lim 2 x x x 2 2 lim 2 2 2 x x x x 2 1 1 lim 4 2 2 x x . Câu 11: ( TH PT Ch u y ê n H ạ Lon g - Q u ảng Ni n h - l ần 1 n ăm 2017 - 201 8) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 2 2 2 2 2 2 x x k hi x f x x m k hi x liên tục tại 2 x . A. 3 m . B. 1 m . C. 3 m . D. 1 m . Hướng dẫn giải Chọn C Hàm số f x liên tục tại 2 lim 2 x f x f 2 2 2 2 lim 2 x x x m x 2 3 m 3 m . Câu 12: (T HP T Ch u yê n P ha n B ộ i Châu - N g h ệ A n - l ầ n 1 nă m 2017 - 201 8) Cho hàm số 2 khi 1 3 2 khi 1 1 x m x x f x x x x .Tìm m để hàm số đã cho liên tục tại 1 x . A. 1 3 . B. 3 4 . C. 0. D. 2 . Lời giải Chọn B Nhận xét: 1 1 f m . 2 1 1 lim lim 1 x x f x x mx m . 1 1 1 1 3 2 3 4 1 1 lim lim lim lim 1 4 1 3 2 3 2 x x x x x x f x x x x x . Để hàm số đã cho liên tục tại 1 x thì 1 1 lim lim 1 x x f x f x f 1 1 4 m 3 4 m . Câu 13: (TH PT Ch u y ên Pha n B ộ i Châu - N g h ệ A n - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 20 18) Tính 1 2 lim 3 1 n n . A. 5 . B. 7 . C. 2 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn C 1 2 1 2 2 lim lim 1 3 1 3 3 n n n n . Câu 14: (TH PT Ch u y ên V ĩn h P h ú c - l ầ n 3 nă m 201 7 - 2 018 ) Tìm 5 3 5 2 8 2 1 lim 4 2 1 n n n n . A. 2 . B. 8 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn A Ta có 5 3 5 2 8 2 1 lim 4 2 1 n n n n 5 2 5 5 3 5 2 1 8 lim 2 1 4 n n n n n n = 2 5 3 5 2 1 8 8 lim 2 2 1 4 4 n n n n . Câu 15: (TH PT Ch u y ên V ĩn h P h ú c - l ầ n 3 MĐ 234 nă m h ọ c 20 17 - 201 8) Tìm 2 3 3 2 7 2 1 lim . 3 2 1 n n I n n A. 7 3 . B. 2 3 . C. 0 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 3 3 3 2 3 7 1 2 7 2 1 2 lim lim . 2 1 3 2 1 3 3 n n n n I n n n n Câu 16: (THPT Ho ài  n - H ả i P h òn g nă m 20 17 - 20 18) Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng 0;1 A. 2 2 3 4 0 x x . B. 5 7 1 2 0 x x . C. 4 2 3 4 5 0 x x . D. 2017 3 8 4 0 x x . Lời giải Chọn D Xét hàm số 2017 3 8 4 f x x x . Hàm số liên tục trên đoạn 0;1 và 0 . 1 4. 1 f f 4 0 . 1 0 f f . Vậy phương trình 2017 3 8 4 0 x x có nghiệm trong khoảng 0;1 . Câu 17: (TH P T Ho ài  n - H ả i Ph òn g nă m 2017 - 201 8) Cho hàm số 3 8 2 2 2 1 2 x k hi x f x x m k hi x . Tìm m để hàm số liên tục tại điểm 0 2 x . A. 3 2 m . B. 13 2 m . C. 11 2 m . D. 1 2 m . Lời giải Chọn C 2 2 1 f m . 2 3 2 2 2 2 2 2 2 4 8 lim lim lim lim 2 4 12 2 2 x x x x x x x x f x x x x x . Hàm số liên tục tại 0 2 x 2 11 2 lim 2 1 12 2 x f f x m m . Câu 18: (TH PT K in h Mô n 2 - H ả i D ư ơ n g nă m 20 17 - 201 8) Kết quả của giới hạn 2 2 4 lim 2 x x x bằng A. 0 . B. 4 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 2 2 2 2 4 lim lim lim 2 4 2 2 x x x x x x x x x . Câu 19: (TH P T K inh M ô n 2 - H ả i Dương nă m 2017 - 201 8) Cho dãy số 1 1 u ; 1 2 n n u u , , 1 n n . Kết quả nào đúng ? A. 5 9 u . B. 3 4 u . C. 2 2 u . D. 6 13 u . Lời giải Chọn A Ta có 1 2 n n u u 1 2 n n u u nên dãy n u là một cấp số cộng với công sai d 2 . Nên theo công thức tổng quát của CSC 1 1 d n u u n . Do đó: 2 1 d u u 1 2 3 ; 3 1 2d u u 1 2.2 5 ; 5 1 4d u u 1 4.2 9 ; 6 1 5d u u 1 5.2 11 . Vậy 5 9 u . Câu 20: (TH PT K inh Mô n 2 - H ả i Dươ ng n ăm 20 17 - 201 8) Cho hàm số 2 2 7 6 khi 2 2 1 khi 2 2 x x x x y f x x a x x . Biết a là giá trị để hàm số f x liên tục tại 0 2 x , tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 7 0 4 x ax . A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Tại 0 2 x , ta có: 1 2 4 f a 2 2 1 1 lim lim 2 4 x x x f x a a x . 2 lim x f x 2 2 2 7 6 lim 2 x x x x 2 2 2 3 lim 2 x x x x 2 2 2 3 lim 2 x x x x 2 lim 2 3 1 x x . Để hàm số liên tục tại 0 2 x thì 2 2 2 lim lim x x f f x f x 1 1 4 a 3 4 a . Với 3 4 a , xét bất phương trình 2 3 7 0 4 4 x x 7 1 4 x Mà x nên 1;0 x . Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên. Câu 21: (THPT Lê Ho àn - Th anh Hó a - l ần 1 nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hàm số f x xác định trên ; a b . Tìm mệnh đề đúng. A. Nếu hàm số f x liên tục trên ; a b và 0 f a f b thì phương trình 0 f x không có nghiệm trong khoảng ; a b . B. Nếu 0 f a f b thì phương trình 0 f x có ít nhất một nghiệm trong khoảng ; a b . C. Nếu hàm số f x liên tục, tăng trên ; a b và 0 f a f b thì phương trình 0 f x không có nghiệm trong khoảng ; a b . D. Nếu phương trình 0 f x có nghiệm trong khoảng ; a b thì hàm số f x phải liên tục trên ; a b . Lời giải Chọn C Vì 0 f a f b nên f a và f b cùng dương hoặc cùng âm. Mà f x liên tục, tăng trên ; a b nên đồ thị hàm f x nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên ; a b hay phương trình 0 f x không có nghiệm trong khoảng ; a b . Câu 22: (TH P T L ê H oà n - Than h Hó a - l ầ n 1 nă m 201 7 - 2018) Số nào trong các số sau là bằng 2 3 2 3 lim 3 x x x x ? A. 3 12 . B. 3 12 . C. 7 3 12 . D. 7 3 12 . Lời giải Chọn C Ta có 2 3 2 3 lim 3 x x x x 2 3 2 12 lim 3 2 3 x x x x x x 3 2 3 4 lim 3 2 3 x x x x x x 2 3 4 lim 2 3 x x x x 2 3 4 3 3 2 3 7 4 3 7 3 12 . Câu 23: (TH P T Ni nh Gi ang - H ả i D ương nă m 201 7 - 2018) Giới hạn 2 2 2 2 2 3 1 2 3 4 ... lim 2 7 n n n có giá trị bằng ? A. 2 3 . B. 1 6 . C. 0 . D. 1 3 . Lời giải Chọn D Ta có kết quả quen thuộc 2 2 2 2 1 2 3 ... n 1 2 1 6 n n n . Do đó 2 2 2 2 2 3 1 2 3 4 ... lim 2 7 n n n 3 1 2 1 lim 6 2 7 n n n n n 2 3 1 1 1 2 1.2 1 lim 2 7 6 3 6 1 n n n n . (TH P T P h an Đăng Lưu - H u ế - l ầ n 1 n ăm 2017 - 2 0 18) Tính Câu 24: Giới hạn 1 1 lim 2 1 x x L x . A. 6 L . B. 4 L . C. 2 L . D. 2 L . Lời giải. Chọn C 1 1 1 1 2 1 1 lim lim lim 2 1 2 1 2 1 x x x x x x L x x x . Câu 25: (T H PT Ph a n Đăng L ư u - H u ế - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho bốn hàm số 3 1 2 3 1 f x x x , 2 3 1 2 x f x x , 3 cos 3 f x x và 4 3 log f x x . Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập ? A. 1. B. 3. C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D * Ta có hai hàm số 2 3 1 2 x f x x và 4 3 log f x x có tập xác định không phải là tập nên không thỏa yêu cầu. * Cả hai hàm số 3 1 2 3 1 f x x x và 3 cos 3 f x x đều có tập xác định là đồng thời liên tục trên . Câu 26: (T HP T Ph a n Đ ăn g Lưu- Hu ế - l ần 1 nă m 20 17 - 201 8) Hàm số 2 1 1 1 x k hi x f x x m k hi x liên tục tại điểm 0 1 x khi m nhận giá trị A. 2 m . B. 2 m . C. 1 m . D. 1 m . Lời giải Chọn D Ta có 2 1 1 lim lim 1 2 x x f x x ; 1 1 lim lim 1 x x f x x m m . Để hàm số liên tục tại 0 1 x thì 1 1 lim lim 2 1 1 x x f x f x m m . Câu 27: (TH P T Tha nh Mi ệ n 1 - H ả i Dư ơ n g - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 201 8) Cho các giới hạn: 0 lim 2 x x f x ; 0 lim 3 x x g x , hỏi 0 lim 3 4 x x f x g x bằng A. 5 . B. 2 . C. 6 . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có 0 lim 3 4 x x f x g x 0 0 lim 3 lim 4 x x x x f x g x 0 0 3 lim 4 lim x x x x f x g x 6 . Câu 28: (TH P T T ứ K ỳ - H ả i Dư ơ n g năm 201 7 - 2 018 ) Hàm số 1, 0 ( ) cos sin , 0 ax b k hi x f x a x b x k hi x liên tục trên khi và chỉ khi A. 1 a b . B. 1 a b . C. 1 a b D. 1 a b Hướng dẫn giải Chọn A Khi 0 x thì cos sin f x a x b x liên tục với 0 x . Khi 0 x thì 1 f x ax b liên tục với mọi 0 x . Tại 0 x ta có 0 f a . 0 lim x f x 0 lim 1 x ax b 1 b . 0 lim x f x 0 lim cos sin x a x b x a . Để hàm số liên tục tại 0 x thì 0 lim x f x 0 lim x f x 0 f 1 a b 1 a b . Câu 29: (TH PT T ứ K ỳ - H ả i Dư ơ n g n ăm 2017- 2 018 ) Biết 1 lim ( ) 4 x f x . Khi đó 4 1 ( ) lim 1 x f x x bằng: A. . B. 4 . C. . D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: + 1 lim ( ) 4 0 x f x . + 4 1 lim 1 0 x x và với 1 x thì 4 1 0 x . Suy ra 4 1 ( ) lim 1 x f x x . Câu 30: (TH PT Xu ân T rư ờng - Na m Đ ịn h n ăm 201 7 - 201 8 ) Cho số thực a thỏa mãn 2 2 3 2017 1 lim 2 2018 2 x a x x . Khi đó giá trị của a là A. 2 2 a . B. 2 2 a . C. 1 2 a . D. 1 2 a . Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 3 2017 1 lim 2 2018 2 x a x x 2 3 2017 2 1 lim 2018 2 2 x a x x x 2 1 2 2 a 2 2 a . Câu 31: (T H PT Đô Lư ơng 4 - Ng h ệ An nă m 20 17 - 2 018 ) Tìm giới hạn 2 cos lim 2 x x L x . A. 1 L . B. 1 L . C. 0 L . D. 2 L . Lời giải Chọn B Đặt: 2 t x . Khi 2 x thì 0 t . Vậy 0 0 cos sin 2 lim lim 1 t t t t L t t . Câu 32: (TH PT Ch u y ên Ho àn g V ăn Th ụ - H ò a B ì nh năm 201 7 - 201 8) Giá trị của tham số a để hàm số 2 2 khi 2 2 2 khi 2 x x y f x x a x x liên tục tại 2 x . A. 1 4 . B. 1. C. 15 4 . D. 4 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim lim 2 4 2 2 2 2 2 x x x x x x f x x x x x . Hàm số liên tục tại 2 x 2 lim 2 x f x f 1 4 4 a 15 4 a . Câu 33: (TH PT H ậu L ộ c 2 - Th a n h Hó a nă m 201 7 - 20 18) Tính giới hạn 2 0 4 1 1 lim 3 x x K x x . A. 2 3 K . B. 2 3 K . C. 4 3 K . D. 0 K . Lời giải Chọn A Ta có 2 0 4 1 1 lim 3 x x K x x 0 4 lim 3 4 1 1 x x x x x 0 4 lim 3 4 1 1 x x x 2 3 . Câu 34: (TH PT Ch u y ên B iên Hò a - Hà Na m - l ần 1 n ăm 2 017 - 2 018) Tính giới hạn 2 2 3 lim 2 x x x . A. . B. 2 . C. . D. 3 2 . Lời giải Chọn C Xét 2 2 3 lim 2 x x x thấy: 2 lim 3 2 1 x x , 2 lim 2 0 x x và 2 0 x với mọi 2 x nên 2 3 2 lim 2 x x x . Câu 35: (TH PT Tr ầ n N hân Tô ng - Qu ả ng Ni nh - l ầ n 1 nă m 2 017 - 20 18) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai A. 2 3 lim 1 2 2 x x x x . B. 2 lim 1 2 x x x x . C. 1 3 2 lim 1 x x x . D. 1 3 2 lim 1 x x x . Hướng dẫn giải Chọn C + Với đáp án A ta có: 2 2 2 2 1 4 4 lim 1 2 lim 1 2 x x x x x x x x x x x x 2 2 3 3 3 3 3 lim lim 2 1 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x A đúng. + Với đáp án B ta có: 2 2 2 2 1 4 4 lim 1 2 lim 1 2 x x x x x x x x x x x x 2 2 3 3 3 3 lim lim 1 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x 3 lim 0 x B đúng. + Với đáp án C ta có 1 lim 1 0 x x , 1 0 x với mọi 1 x và 1 lim 3 2 1 0 x x . Vậy 1 3 2 lim 1 x x x C sai. + Với đáp án D ta có 1 lim 1 0 x x , 1 0 x với mọi 1 x và 1 lim 3 2 1 0 x x . Vậy 1 3 2 lim 1 x x x D đúng. Câu 36: (TH TT s ố 5 - 488 th án g 2 n ăm 201 8) Cho dãy số n u thỏa mãn * 2018 2017, n u n n n . Khẳng định nào sau đây sai? A. Dãy số n u là dãy tăng. B. lim 0 n n u . C. * 1 0 , 2 2018 n u n . D. 1 lim 1 n n n u u . Lời giải Chọn A Ta có: 1 2018 2017 2018 2017 n u n n n n . Suy ra: 1 2018 2017 1 2019 2018 n n u n n u n n với mọi * n . Do đó, dãy số n u giảm. Vậy Chọn A Chú ý: + 1 lim lim 0 2018 2017 n n n u n n . + 1 2018 2017 lim lim 1 2019 2018 n n n n u n n u n n . + 1 1 1 0 2018 2017 2 2017 2 2018 n u n n n . Câu 37: (TH PT Ho àn g Ho a T há m - Hưn g Yê n - l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. 0 1 lim x x . B. 0 1 lim x x . C. 5 0 1 lim x x . D. 0 1 lim x x . Lời giải Chọn B Ta có: 0 1 lim x x do 0 lim 0 x x và 0 x . Vậy đáp án A đúng. Suy ra đáp án B sai. Các đáp án C và D đúng. Giải thích tương tự đáp án A. Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Tính 2 lim 4 2 x x x x A. 4 . B. 2 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B 2 lim 4 2 x x x x 2 2 2 4 2 lim 4 2 x x x x x x x 2 4 2 lim 4 2 x x x x x 2 2 4 lim 4 2 1 1 x x x x 2 . Câu 2: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm m để hàm số 2 4 3 khi 1 ( ) 1 2 khi 1 x x x f x x mx x liên tục tại điểm 1 x . A. 2 m . B. 0 m . C. 4 m . D. 4 m . Lời giải Chọn B Ta có: 1 lim x f x 2 1 4 3 lim 1 x x x x 1 1 3 lim 1 x x x x 1 lim 3 x x 2 . 1 lim x f x 1 lim 2 x mx 2 m . 1 2 f m . Để hàm số đã cho liên tục tại điểm 1 x thì 1 1 lim lim 1 x x f x f x f 2 2 m 0 m . Câu 3: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Tìm giới hạn 2 3 lim 1 3 x x x . A. 2 3 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 lim 1 3 x x x 3 2 2 lim 1 3 3 x x x . Câu 4: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tính 2 2 lim 2 1 I n n n . A. I . B. 3 2 I . C. 1,499 I . D. 0 I . Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 lim 2 1 I n n n 2 2 3 lim 2 1 n n n Câu 5: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Giới hạn 3 2 lim 3 5 9 2 2017 x x x x bằng A. . B. 3 . C. 3 . D. . Lời giải Chọn A 3 2 lim 3 5 9 2 2017 x x x x 3 2 3 1 1 1 lim 3 5 9 2 2017 x x x x x . Câu 6: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số 3 1 khi 0 1 2 1 khi 0 x a x f x x x x . Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại điểm 0 x . A. 1 a . B. 3 a . C. 2 a . D. 4 a . Lời giải Chọn C Ta có: 0 0 lim x f f x 0 lim 3 1 1 x x a a . 0 0 1 2 1 lim lim x x x f x x 0 2 lim 1 2 1 x x x x 0 2 lim 1 1 2 1 x x . Hàm số liên tục tại 0 x 0 0 0 lim lim x x f f x f x 1 1 a 2 a . Câu 7: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm 2 2 4 4 lim 2 x x x x . A. Không tồn tại. B. 1 . C. 1 . D. 1. Lời giải Chọn A 2 2 4 4 lim 2 x x x x 2 2 2 lim 2 x x x 2 2 lim 2 x x x . Xét: 2 2 lim 2 x x x 2 2 lim 2 x x x 1 . 2 2 lim 2 x x x 2 2 lim 2 x x x 1 . Ta có: 2 2 2 2 lim lim 2 2 x x x x x x nên không tồn tại 2 2 lim 2 x x x . Câu 8: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) 1 3 2 lim 1 x x x bằng A. 1 4 . B. . C. 1 2 . D. 1. Lời giải Chọn A Ta có: 1 1 1 3 2 3 4 1 1 lim lim lim 1 4 3 2 1 3 2 x x x x x x x x x . Câu 9: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Tìm giới hạn 1 4 3 lim 1 x x x A. . B. 2 . C. . D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có 1 4 3 lim 1 x x x vì 1 lim 4 3 1 x x , 1 lim 1 0 x x , 1 0 x khi 1 x . Câu 10: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn 1 1 lim 16 4 16 3 n n n n T . A. 0 T . B. 1 4 T . C. 1 8 T . D. 1 16 T . Lời giải Chọn C Ta có 1 1 lim 16 4 16 3 n n n T 1 1 4 3 lim 16 4 16 3 n n n n n n 4 3 lim 16.16 4 16.16 3 n n n n n n 3 1 4 lim 1 3 16 16 4 4 n n n 1 4 4 1 8 . Câu 11: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho a , b là hai số thực sao cho hàm số 2 khi 1 1 2 1 khi 1 x ax b x f x x ax x liên tục trên . Tính a b . A. 0 . B. 1 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn D Ta có 1 2 1 f a . Để hàm số liên tục trên thì phải tồn tại 2 1 1 lim lim 1 x x x ax b f x x và 1 lim 1 x f x f . Để tồn tại 2 1 lim 1 x x ax b x thì 2 1 1 0 1 x ax b x a b b a . Khi đó 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 2 1 1 x x x x x x a x ax b f x x a a x x . Do đó để hàm số liên tục trên thì 1 lim 1 x f x f 2 1 2 3 a a a . Suy ra 4 b . Vậy 7 a b . Câu 12: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm giới hạn 2 lim 4 1 x I x x x . A. 2 I . B. 4 I . C. 1 I . D. 1 I . Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có 2 lim 4 1 x I x x x 2 4 1 lim 4 1 x x x x x 2 1 4 lim 4 1 1 1 x x x x 4 2 2 . Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức 2 4 1 x x x tại 10 10 x : Vậy 2 lim 4 1 x I x x x 2 . Câu 13: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Tìm P để hàm số 2 4 3 khi 1 1 6 3 khi 1 x x x y x P x x liên tục trên . A. 5 6 P . B. 1 2 P . C. 1 6 P . D. 1 3 P . Lời giải Chọn C Hàm số y f x liên tục trên y f x liên tục tại 1 x 1 1 lim lim 1 x x f x f x f 2 1 1 1 4 3 lim lim lim 3 2 1 x x x x x f x x x 1 1 lim lim 6 3 6 3 x x f x P x P 1 6 3 f P Do đó 1 1 lim lim 1 x x f x f x f 1 6 3 2 6 P P . Câu 14: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) 3 4 lim 5 2 x x x bằng A. 5 4 . B. 5 4 . C. 4 5 . D. 4 5 . Lời giải Chọn C 3 4 lim 5 2 x x x 3 4 lim 2 5 x x x x x 3 4 lim 2 5 x x x 4 5 . Câu 15: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) lim 1 3 x x x bằng A. 0 . B. 2 . C. . D. . Lời giải Chọn A lim 1 3 x x x 1 3 lim 1 3 x x x x x 4 lim 1 3 x x x 0 . Câu 16: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Tính giới hạn 2 2 4 1 3 lim 3 2 x x x x x x . A. 1 3 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 2 3 . Lời giải Chọn A 2 2 4 1 3 lim 3 2 x x x x x x 2 2 1 1 1 3 4 1 lim 3 2 x x x x x x x x 2 2 1 1 1 3 4 1 lim 2 3 x x x x x x 1 3 . Câu 17: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số khi 0 1 khi 0 x m x f x m x x . Tìm tất cả các giá trị của m để f x liên tục trên . A. 1 m . B. 0 m . C. 1 m . D. 2 m . Lời giải Chọn C Hàm số f x liên tục trên f x liên tục tại 0 x . 0 0 lim lim x x f x x m m ; 0 0 lim lim 1 1 x x f x m x ; 0 f m . f x liên tục tại 0 x 0 0 lim lim 0 1 1 x x f x f x f m m . Câu 18: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Tính 2 1 3 4 lim 1 x x x L x . A. 5 L . B. 0 L . C. 3 L . D. 5 L . Lời giải Chọn D Ta có: 2 1 1 1 1 4 3 4 lim lim lim 4 5 1 1 x x x x x x x L x x x . Câu 19: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Kết quả của 2 lim 3 1 n n bằng A. 1 3 . B. 1 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải. Chọn A Ta có 2 2 1 1 2 1 lim lim lim 1 1 3 1 3 3 3 n n n n n n n n . Câu 20: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) 2 lim 1 x x x x x bằng A. 2 . B. 2 . C. 0 . D. . Lời giải Chọn B Ta có: 2 1 1 1 1 1 lim lim lim 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x . Câu 21: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Nếu hàm số 2 khi 5 17 khi 5 10 10 khi 10 x ax b x f x x x ax b x liên tục trên thì a b bằng A. 1 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A Với 5 x ta có 2 f x x ax b , là hàm đa thức nên liên tục trên ; 5 . Với 5 10 x ta có 7 f x x , là hàm đa thức nên liên tục trên 5;10 . Với 10 x ta có 10 f x ax b , là hàm đa thức nên liên tục trên 10; . Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại 5 x và 10 x . Ta có: 5 12 f ; 10 17 f . 5 lim x f x 2 5 lim x x ax b 5 25 a b . 5 5 lim lim 17 12 x x f x x . 10 10 lim lim 17 27 x x f x x . 10 10 lim lim 10 10 10 x x f x ax b a b . Hàm số liên tục tại 5 x và 10 x khi 5 25 12 10 10 27 a b a b 5 13 10 17 a b a b 2 3 a b 1 a b Câu 22: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Giới hạn 2 2 2 lim 4 x x x bằng A. 2 . B. 4 . C. 1 4 . D. 0 . Lời giải Chọn C . 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim 4 2 2 2 4 x x x x x x x x x . Câu 23: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Tìm giá trị của tham số m để hàm số 3 1 2 khi 1 1 khi 1 x x f x x m x liên tục tại điểm 0 1 x . A. 3 m . B. 1 m . C. 3 4 m . D. 1 2 m . Lời giải Chọn C Ta có 1 3 1 2 lim 1 x x x 2 1 3 1 2 lim 1 3 1 2 x x x x 1 3 3 lim 4 3 1 2 x x . Với 1 f m ta suy ra hàm số liện tục tại 1 x khi 3 4 m . Câu 1: (TH P T C huy ên N gu y ễn Q uang Di ệu – Đ ồng Th áp – L ần 5 n ăm 2017 – 2018 ) Tính giới hạn 2 4 1 lim 1 x x K x . A. 0 K . B. 1 K . C. 2 K . D. 4 K . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 1 1 4 4 4 1 lim lim lim 2 1 1 1 1 x x x x x x x K x x x . Câu 2: ( T H P T Ch uyê n T hái B ì n h – Th á i Bình – L ầ n 5 n ăm 2017 – 2 01 8) Tìm tham số thực m để hàm số y f x 2 12 khi 4 4 1 khi 4 x x x x m x x liên tục tại điểm 0 4 x . A. 4 m . B. 3 m . C. 2 m . D. 5 m . Lời giải Chọn C Tập xác định: D . Ta có: + 2 4 4 12 lim lim 4 x x x x f x x 4 3 4 lim 4 x x x x 4 lim 3 x x 7 . + 4 4 1 f m . Hàm số f x liên tục tại điểm 0 4 x khi và chỉ khi 4 lim 4 x f x f 4 1 7 m 2 m . Câu 3: (T H PT Ch u yê n Lư ơ n g Th ế Vi nh - H à N ộ i – L ần 2 năm 2017 – 2018 ) 2 2 2 5 2 lim 2 x x x x bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 5 2 lim lim lim 2 1 3 2 2 x x x x x x x x x x . Câu 4: ( S GD Hà T ĩnh – L ần 2 năm 20 1 7 – 2 01 8 ) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai A. 2 3 lim 1 2 2 x x x x . B. 1 3 2 lim 1 x x x . C. 2 lim 1 2 x x x x . D. 1 3 2 lim 1 x x x . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 2 lim 1 2 x x x x 2 2 2 1 2 lim 1 2 x x x x x x x 2 3 3 lim 1 2 x x x x x 2 3 3 lim 1 1 2 1 1 x x x x x 3 2 đáp án A đúng. 2 2 1 1 2 lim 1 2 lim 1 1 x x x x x x x x x . Do lim x x và 2 1 1 2 lim 1 1 2 0 x x x x nên 2 1 1 2 lim 1 1 x x x x x đáp án C đúng. Do 1 lim 3 2 1 0 x x và 1 0 x với 1 x nên 1 3 2 lim 1 x x x đáp án B sai. Do 1 lim 3 2 1 0 x x và 1 0 x với 1 x nên 1 3 2 lim 1 x x x đáp án D đúng. Câu 5: (TH PT Ch u Vă n A n – Hà N ội - n ăm 201 7 - 201 8) Giới hạn sin 1 lim x x x bằng A. . B. 1. C. . D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: 1 1 sin 1 1 1 x x x x sin 1 2 0 x x x . Mà 2 lim 0 x x nên sin 1 lim 0 x x x . Câu 6: ( TH P T Đ ặn g Th ú c H ứa – Ng h ệ An - n ă m 201 7 - 2018) Tính 2 3 lim 4 1 2 x x x A. 1 4 . B. 1 2 . C. 3 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 lim 4 1 2 x x x 2 3 lim 1 4 2 x x x x 2 3 1 lim 1 2 4 x x x x 1 2 . Câu 7: Tính giới hạn 2 2 5 2 3 lim 1 x x x x . A. 5 . B. 4 . C. 3. D. 2 . Câu 8: Tính giới hạn 2 2 5 2 3 lim 1 x x x x . A. 5 . B. 4 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 5 2 3 lim 1 x x x x 2 2 2 3 5 lim 1 1 x x x x 5 . Câu 9: Biết 3 2 3 2 4 1 lim 2 2 n n a n với a là tham số. Khi đó 2 a a bằng A. 12 . B. 2 . C. 0 . D. 6 . Câu 10: Biết 3 2 3 2 4 1 lim 2 2 n n a n với a là tham số. Khi đó 2 a a bằng A. 12 . B. 2 . C. 0 . D. 6 . Lời giải Chọn A Ta có 3 3 2 3 3 3 3 1 4 2 2 4 2 1 lim lim 2 2 2 n n n n n a n a n a n . Suy ra 4 a . Khi đó 2 2 4 4 12 a a . Câu 11: 2 2 4 3 4 lim 4 x x x x x bằng. A. 1. B. 1 . C. 5 4 . D. 5 4 . Câu 12: 2 2 4 3 4 lim 4 x x x x x bằng. A. 1. B. 1 . C. 5 4 . D. 5 4 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 4 3 4 lim 4 x x x x x 4 1 lim x x x 5 4 . Câu 13: Giá trị của m sao cho hàm số 2 1 1 1 3 1 x x f x x x m x ne á u ne á u liên tục tại điểm 1 x là A. 5 . B. 1. C. 1 . D. 5 . Câu 14: Giá trị của m sao cho hàm số 2 1 1 1 3 1 x x f x x x m x ne á u ne á u liên tục tại điểm 1 x là A. 5 . B. 1. C. 1 . D. 5 . Lời giải Chọn B Ta có 1 3 f m và 2 1 1 1 lim lim 1 x x x f x x 1 lim 1 x x 2 . Hàm số f x liên tục tại điểm 1 x 1 lim 1 x f x f 3 2 m 1 m . Câu 15: Giá trị của tham số a để hàm số 1 1 1 1 1 2 x khi x x f x ax k hi x liên tục tại điểm 1 x là A. 1 2 . B. 1 . C. 1. D. 1 2 . Câu 16: Giá trị của tham số a để hàm số 1 1 1 1 1 2 x khi x x f x ax k hi x liên tục tại điểm 1 x là A. 1 2 . B. 1 . C. 1. D. 1 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 2 f a 1 1 1 1 lim lim 2 2 x x f x ax a . 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 1 x x x x f x x x . Hàm số liên tục tại 1 x khi 1 1 1 1 1 lim lim 1 2 2 x x f f x f x a a . Câu 17: Giá trị của tham số m sao cho hàm số 4 2 khi 0 5 2 khi 0 4 x x x f x m x x liên tục tại 0 x là A. 3 . B. 4 3 . C. 1 8 . D. 1 2 . Câu 18: Cho biết 2 4 7 12 2 lim 17 3 x x x a x . Giá trị của a bằng A. 3 . B. 3 . C. 6 . D. 6 . Câu 19: Giá trị của tham số m sao cho hàm số 4 2 khi 0 5 2 khi 0 4 x x x f x m x x liên tục tại 0 x là A. 3 . B. 4 3 . C. 1 8 . D. 1 2 . Lời giải Chọn C Có 0 0 4 2 lim lim x x x f x x 0 lim 4 2 x x x x 0 1 1 lim 4 4 2 x x . 0 lim x f x 0 5 lim 2 2 4 x m x m và 0 2 f m . Hàm số liên tục tại 0 x 0 0 lim lim 0 x x f x f x f 1 1 2 4 8 m m . Câu 20: Cho biết 2 4 7 12 2 lim 17 3 x x x a x . Giá trị của a bằng A. 3 . B. 3 . C. 6 . D. 6 . Lời giải Chọn B Ta có 2 4 7 12 lim 17 x x x a x 2 7 12 4 lim 17 x x x x x a x 2 7 12 4 2 lim 17 x x x a a x 2 3 3 a Câu 21: Giá trị của 2 2 1 lim 1 1 x x x bằng A. 0 . B. 2 . C. . D. 2 . Câu 22: Giá trị của 2 2 1 lim 1 1 x x x bằng A. 0 . B. 2 . C. . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 1 lim 1 1 x x x 2 2 1 lim 1 1 1 x x x x 2 1 2 lim 1 1 1 x x x x 2 . Câu 23: Cho 3 2 lim 3 x x a x là một số thực. Khi đó giá trị của 2 a bằng A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 4 . Câu 24: Cho 3 2 lim 3 x x a x là một số thực. Khi đó giá trị của 2 a bằng A. 1. B. 9 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C 3 2 lim 3 x x x 2 3 lim 3 1 x x x 3 a . Suy ra 2 3 a . Câu 25: Giá trị của a để hàm số 2 1 1 khi 2 3 2 2 1 khi 2 6 x x x x f x a x liên tục tại 2 x . A. 2 . B. 1 2 . C. 3 . D. 1. Câu 26: Giá trị của a để hàm số 2 1 1 khi 2 3 2 2 1 khi 2 6 x x x x f x a x liên tục tại 2 x . A. 2 . B. 1 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn D Ta có: 2 1 2 6 a f . 2 2 2 1 1 2 1 lim lim 3 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x . Hàm số liên tục tại 2 x 2 2 1 1 lim 2 1 6 2 x a f x f a . Câu 27: Biết rằng hàm số 2 5 6 khi 2 2 khi 2 x x x f x x m x n x liên tục trên và n là một số thực tùy ý. Giá trị của m (tính theo n ) bằng A. 2 n . B. 1 2 n . C. 1 2 n . D. 1. Câu 28: Biết rằng hàm số 2 5 6 khi 2 2 khi 2 x x x f x x m x n x liên tục trên và n là một số thực tùy ý. Giá trị của m (tính theo n ) bằng A. 2 n . B. 1 2 n . C. 1 2 n . D.1. Lời giải Chọn C Ta có 2 2 2 5 6 lim lim 2 x x x x f x x 2 lim 3 x x 1 . 2 2 lim lim x x f x m x n 2 m n . 2 2 f m n . Để hàm số liên tục tại 2 x thì 2 2 lim lim 2 x x f x f x f 2 1 m n 1 2 n m . Câu 29: Hàm số nào trong các hàm số sau kh ôn g liên tục trên khoảng 1;1 ? A. sin y x . B. cos y x . C. tan y x . D. sin khi 0 ( ) cos khi 0 x x f x x x . Câu 30: Hàm số nào trong các hàm số sau kh ôn g liên tục trên khoảng 1;1 ? A. sin y x . B. cos y x . C. tan y x . D. sin khi 0 ( ) cos khi 0 x x f x x x . Hướng dẫn giải Chọn D Các hàm số sin y x , cos y x và tan y x đều xác định trên khoảng 1;1 nên chúng liên tục trên khoảng 1;1 . Xét hàm số sin khi 0 ( ) cos khi 0 x x f x x x Do 0 0 0 sin 0 0 lim lim cos 1 x x f f x x nên hàm số f x gián đoạn tại 0 x . Vậy sin khi 0 ( ) cos khi 0 x x f x x x không liên tục trên khoảng 1;1 . Câu 31: Cho 2 lim 5 5 x x ax x . Khi đó giá trị a là A. 6 . B. 10. C. 10 . D. 6 . Câu 32: Cho 2 lim 5 5 x x ax x . Khi đó giá trị a là A. 6 . B. 10. C. 10 . D. 6 . Lời giải Chọn C 2 lim 5 x x ax x 2 5 lim 5 x ax x ax x 2 5 lim 5 1 x x a x a x x x x 2 5 lim 2 5 1 1 x a a x a x x . Vậy 10 a . Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 16 khi 4 4 1 khi 4 x x f x x mx x liên tục trên . A. 8 m hoặc 7 4 m . B. 7 4 m . C. 7 4 m . D. 8 m hoặc 7 4 m . Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 16 khi 4 4 1 khi 4 x x f x x mx x liên tục trên . A. 8 m hoặc 7 4 m . B. 7 4 m . C. 7 4 m . D. 8 m hoặc 7 4 m . Lời giải Chọn B Trên các khoảng ;4 và 4; thì hàm số được xác định bởi biểu thức 2 16 4 x f x x . Do đó, nó liên tục trên các khoảng này. Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại điểm 4 x . Ta có: 4 lim x f x 2 4 16 lim 4 x x x 4 lim 4 8 x x . 4 4 1 f m . 4 lim 4 x f x f 4 1 8 m 7 4 m . Vậy giá trị cần tìm của m là 7 4 m . Câu 35: Cho hàm số 2 1 khi 1 1 khi 1 x x f x x m x với m là tham số thực. Tìm m để hàm số liên tục tại tại 1 x . A. 2 m . B. 1. m C. 2 m . D. 1 m . Câu 36: Cho hàm số 2 1 khi 1 1 khi 1 x x f x x m x với m là tham số thực. Tìm m để hàm số liên tục tại tại 1 x . A. 2 m . B. 1. m C. 2 m . D. 1 m . Lời giải Chọn A Tập xác định: D , chứa 1 x . Ta có 1 f m . 1 lim x f x 2 1 1 1 lim lim 1 2 1 x x x x x . Để hàm số liên tục tại tại 1 x thì 1 1 lim x f f x 2 m . Câu 37: Cho dãy số n u xác định bởi 1 2 u , 1 2 n n u u với mọi * n . Tính lim n u . A. 2 . B. 4 . C. 2 . D. 1 . Câu 38: Cho dãy số n u xác định bởi 1 2 u , 1 2 n n u u với mọi * n . Tính lim n u . A. 2 . B. 4 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn A Ta có 1 2 u , 2 1 2 2 u u , 3 2 2 2 u u ,..., 2 n u với mọi * n . Do đó lim n u 2 . Câu 39: Giá trị 2 2 1 (2 ) lim 3 x x x x bằng A. 2 . B. 2 . C. 4 . D. 2 3 . Câu 40: Giá trị 2 2 1 (2 ) lim 3 x x x x bằng A. 2 . B. 2 . C. 4 . D. 2 3 . Lời giải Chọn A Ta có 2 2 1 2 lim 3 x x x x 2 1 2 2 1 lim 2 3 1 x x x x . Câu 41: Cho hàm số 3 1 khi 1 1 2 1 khi 1 x x f x x m x . Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm 0 1 x là: A. 2 m . B. 1 m . C. 0 m . D. 1 2 m . Câu 42: Cho hàm số 3 1 khi 1 1 2 1 khi 1 x x f x x m x . Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm 0 1 x là: A. 2 m . B. 1 m . C. 0 m . D. 1 2 m . Lời giải Chọn B 3 2 1 1 1 lim lim 1 3 1 x x x x x x . 1 2 1 f m . Hàm số liên tục tại điểm 0 1 x 3 2 1 1 m m . Câu 43: Giá trị của tham số a để hàm số 2 2 khi 2 2 2 khi 2 x x f x x a x x liên tục tại 2 x A. 1 4 . B. 1. C. 15 4 . D. 4 . Câu 44: Giá trị của tham số a để hàm số 2 2 khi 2 2 2 khi 2 x x f x x a x x liên tục tại 2 x A. 1 4 . B. 1. C. 15 4 . D. 4 . Lời giải Chọn C Ta có 2 4 f a . 2 2 2 lim 2 x x x 2 2 4 lim 2 2 2 x x x x 2 1 1 lim 4 2 2 x x . Để hàm số liên tục tại 2 x thì 1 4 4 a 15 4 a . Câu 1: (T HP T C h uy ên Hùng Vươn g - Ph ú Th ọ - l ầ n 1 - NH2017 - 201 8 ) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 1 1 khi 0 1 khi 0 1 x x x x f x x m x x liên tục tại 0 x . A. 1 m . B. 2 m . C. 1 m . D. 0 m . Lời giải Chọn B Ta có 0 0 1 lim lim 1 1 x x x f x m m x . 0 0 1 1 lim lim x x x x f x x 0 0 2 2 lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x x . 0 1 f m Để hàm liên tục tại 0 x thì 0 0 lim lim 0 x x f x f x f 1 1 2 m m . Câu 2: (TH PT Ch u y ên B ắ c Ni n h - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 2 018 ) Cho hàm số 2 1 cos khi 0 1 khi 0 x x f x x x . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? A. f x có đạo hàm tại 0 x . B. 2 0 f . C. f x liên tục tại 0 x . D. f x gián đoạn tại 0 x . Lời giải Chọn D Hàm số xác định trên Ta có 0 1 f và 2 2 2 0 0 0 2sin 1 cos 1 2 lim lim lim 2 4. 2 x x x x x f x x x Vì 0 0 lim x f f x nên f x gián đoạn tại 0 x . Do đó f x không có đạo hàm tại 0 x . 0 x 2 1 cos 0 x f x x nên 2 0. f VậyA, B,C sai. Câu 3: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩn h P hú c - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 20 18) Cho hàm số 2 8 2 khi 2 2 0 khi 2 x x f x x x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I 2 lim 0 x f x . II f x liên tục tại 2 x . III f x gián đoạn tại 2 x . A. Chỉ III . B. Chỉ I . C. Chỉ I và II . D. Chỉ I và III . Lời giải: Chọn C Hàm số f x xác định trên nửa khoảng 2; . Ta có: 2 2 2 8 2 lim lim 2 x x x f x x 2 2 8 4 lim 2 2 8 4 x x x x 2 2 2 lim 0 2 8 4 x x x Khẳng định I đúng. Ta có 2 lim 2 0 x f x f , theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên tục tại 2 x . Khẳng định II đúng, khẳng định III sai. Câu 4: (T H PT Yên L ạ c - V ĩn h Phú c - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 2018) Tính giới hạn: 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 ... 1 2 3 n . A. 1. B. 1 2 . C. 1 4 . D. 3 2 . Lời giải Chọn B Xét dãy số n u , với 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 n u n , 2, n n . Ta có: 2 2 1 3 2 1 1 2 4 2.2 u ; 3 2 2 1 1 3 8 4 3 1 1 . 1 . 2 3 4 9 6 2.3 u ; 4 2 2 2 1 1 1 3 8 15 5 4 1 1 . 1 1 . . 2 3 4 4 9 16 8 2.4 u 1 2 n n u n . Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định 1 , 2 2 n n u n n Khi đó 2 2 2 1 1 1 1 1 lim 1 1 ... 1 lim 2 3 2 2 n n n . Câu 5: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho hàm số 2 8 2 khi 2 2 0 khi 2 x x f x x x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: I 2 lim 0 x f x . II f x liên tục tại 2 x . III f x gián đoạn tại 2 x . A. Chỉ III . B. Chỉ I . C. Chỉ I và II . D. Chỉ I và III . Lời giải: Chọn C Hàm số f x xác định trên nửa khoảng 2; . Ta có: 2 2 2 8 2 lim lim 2 x x x f x x 2 2 8 4 lim 2 2 8 4 x x x x 2 2 2 lim 0 2 8 4 x x x Khẳng định I đúng. Ta có 2 2 lim lim 2 0 x x f x f x f , theo định nghĩa hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm số liên tục tại 2 x . Khẳng định II đúng, khẳng định III sai. Câu 6: (TH P T Y ên L ạ c - V ĩn h Phú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - nă m 2 01 7 - 201 8) Tính giới hạn: 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 ... 1 2 3 n . A. 1. B. 1 2 . C. 1 4 . D. 3 2 . Lời giải Chọn B Cách 1: Xét dãy số n u , với 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 n u n , 2, n n . Ta có: 2 2 1 3 2 1 1 2 4 2.2 u ; 3 2 2 1 1 3 8 4 3 1 1 . 1 . 2 3 4 9 6 2.3 u ; 4 2 2 2 1 1 1 3 8 15 5 4 1 1 . 1 1 . . 2 3 4 4 9 16 8 2.4 u 1 2 n n u n . Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định 1 , 2 2 n n u n n Khi đó 2 2 2 1 1 1 1 1 lim 1 1 ... 1 lim 2 3 2 2 n n n . Cách 2: 2 2 2 2 2 1 2 1 1.3 1 2 2 2.2 u 3 2 2 1.2 3.4 1 1 1.3 2.4 1 . 1 . 2 3 2.2 3.3 2.3 2.3 u 4 2 2 2 1.2.3 3.4.5 1 1 1 13 2.4 3.5 1 . 1 1 . . 2 3 4 2.2 3.3 4.4 2.3.4 2.3.4 u 1.2.3.4.... 1 3.4...... 1 1 2.3.4........ 2.3.4..... 2 n n n n u n n n . Vậy 1 1 lim lim 2 2 n n u n Câu 7: (TH PT Ha i B à T rư ng - V ĩnh P hú c - l ần 1 - nă m 201 7 - 2 018 ) Tính 2 1 2 3 lim ? 1 x x x I x A . 7 . 8 I B . 3 . 2 I C. 3 . 8 I D . 3 . 4 I L ờ i gi ả i Ch ọ n A 2 2 1 1 1 2 3 2 3 2 3 4 3 lim lim lim 1 1 1 2 3 1 1 2 3 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x 1 1 1 4 3 4 3 7 lim lim 8 1 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x Câ u 8: (THTT S ố 2 - 48 5 t h án g 1 1 - nă m h ọ c 201 7 - 2 018 ) Dãy số n u nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng? A. 2018 2017 2017 2018 n n u n n . B. 2 2 2018 2016 n u n n n . C. 1 1 2017 1 1 , 1,2,3... 2 n n u u u n . D. 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 1 n u n n . Lời giải Chọn A Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án: +) Đáp án A: 2018 2017 2017 2017 2017 2017 lim lim lim . 2018 2018 n n n n u n n n n 2017 2017 1 2017 lim 1 1 2018 1 n n n . +) Đáp án B: 2 2 2 2 2 2 2018 2016 lim lim 2018 2016 lim 2018 2016 n n n n u n n n n n 2 2 2 2 2 2 lim lim 1 2018 2016 2018 2016 1 1 n n n n n . +) Đáp án C: Cách 1: Ta có 1 1 1 1 2 n n u u 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 n n n u u u 1 2016 1 1 4032. 1 2 2 n n n n u u lim 1 n u . Cách 2: Bước 1: Ta chứng minh n u giảm và bị chặn dưới bởi 1. Thật vậy bằng quy nạp ta có 1 2017 1 u . Giả sử 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 n n n u u u Vậy * 1 n u n . Hơn nữa 1 1 1 0 2 n n n u u u nên n u là dãy giảm Suy ra n u có giới hạn lim n u a Bước 2: Ta có 1 1 1 1 1 1 a lim lim lim 1 lim 2 2 2 2 2 n n n n u u u u a 1 a . +) Đáp án D: Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 1.2 2.3 3.4 1 2 2 3 1 1 1 n n u n n n n n n lim lim 1 1 n n u n . Câ u 9: (TH T T S ố 2 - 485 th án g 11 - n ăm h ọ c 20 17 - 201 8) Xác định giá trị thực k để hàm số 2016 2 khi 1 2018 1 2018 khi 1 x x x f x x x k x liên tục tại 1 x . A. 1. k B. 2 2019. k C. 2017. 2018 . 2 k D. 20016 2019. 2017 k Lời giải Chọn B Ta có 2016 2016 1 1 1 2 2018 1 2018 2 lim lim lim 2018 1 2018 2018 1 2018 x x x x x x x x x f x x x x x 2015 2014 1 1 ... 2 2018 1 2018 lim 2017 1 x x x x x x x x 2015 2014 1 ... 2 2018 1 2018 lim 2 2019 2017 x x x x x x Mà 1 f k Suy ra hàm số liên tục tại 1 x 2 2019 k . Câ u 10: ( TH PT Ng ô S ĩ Liê n - B ắ c Gi ang - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8 ) Cho 2 2 1 1 lim , . 1 2 x x ax b a b x Tổng 2 2 S a b bằng A. 13. S B. 9. S C. 4. S D. 1. S Lời giải Chọn D Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại 1 x nên biểu thức tử nhận 1 x làm nghiệm, hay 1 0 a b . Áp dụng vào giả thiết, được 2 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 2 1 1 2 x x x x a x ax a x x x . 1 1 1 2 1 lim 3 1 2 2 2 x x a a a x . Suy ra 2 b . Vậy 2 2 13 a b . Câ u 11: (TH P T H ậ u L ộ c 2 - Th a nh Hó a - ầ n 1 - n ăm 201 7 - 20 18) Cho hàm số 3 5 khi 2 1 khi 2 x x f x ax x . Với giá trị nào của a thì hàm số f x liên tục tại 2 x ? A. 5 a . B. 0 a . C. 5 a . D. 6 a . Lời giải: Chọn C Ta có: 2 11 f , 2 2 lim lim 3 5 11 x x f x x , 2 2 lim lim 1 2 1 x x f x ax a . Để hàm số liên tục tại 2 x thì 2 2 2 lim lim x x f f x f x 2 1 11 5 a a . Vậy hàm số liên tục tại 2 x khi 5 a . Câu 12: (T HPT C h uy ên Lam - T ha n h Hó a - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho f x là đa thức thỏa mãn 2 20 lim 10 2 x f x x . Tính 3 2 2 6 5 5 lim 6 x f x T x x A . 12 25 T . B . 4 25 T . C. 4 15 T . D . 6 25 T . L ờ i gi ả i Chọn B Cách 1(Đặc biệt hóa ) Chọn 10 f x x , ta có 2 2 2 20 10 2 10 20 lim lim lim 10 2 2 2 x x x f x x x x x x . Lúc đó 3 3 3 2 2 2 2 2 6 5 5 60 5 5 60 5 5 lim lim lim 6 6 2 3 x x x f x x x T x x x x x x 3 2 2 3 3 60 5 5 lim 2 3 60 5 5 60 5 25 x x x x x x 2 2 3 3 60 2 lim 2 3 60 5 5 60 5 25 x x x x x x 2 2 3 3 60 4 lim 25 3 60 5 5 60 5 25 x x x x Cách 2: Chọn 10 f x x , ta có 2 2 2 20 10 2 10 20 lim lim lim 10 2 2 2 x x x f x x x x x x . Sử dụng CASIO, nhập hàm cần tính giới hạn a qs60Q )+5$p 5RQ)d +Q)p6 Màn hình hiển thị Thay giá trị 1,9999999 x vào r 1.999 9999= Màn hình hiển thị Thay tiếp giá trị 2,0000001 x vào r 2.000 0001= Màn hình hiển thị Cách 3: Theo giả thiết có 2 lim 20 0 x f x hay 2 lim 20 x f x * Khi đó 3 2 2 2 2 2 3 3 6 5 5 6 5 125 lim lim 6 6 6 5 5 6 5 25 x x f x f x T x x x x f x f x 2 2 3 3 6 20 lim 2 3 6 5 5 6 5 25 x f x T x x f x f x 10.6 4 5.75 25 T . Câu 1: (THPT Chuyên V ĩn h P húc - M Đ 903 l ần 1 - nă m 2017 - 201 8) Cho 2 lim 5 5 x x a x x thì giá trị của a là một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. 2 11 10 0 x x . B. 2 5 6 0 x x . C. 2 8 15 0 x x . D. 2 9 10 0 x x . Lời giải Chọn D Ta có: 2 lim 5 5 x x a x x 2 2 2 5 lim 5 5 x x a x x x ax x 2 5 lim 5 5 x ax x ax x 2 5 lim 5 5 1 1 x a x a x x 5 2 a 10 a . Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình 2 9 10 0 x x . Câu 2: (TH PT Ch u y ên V ĩn h Phú c - l ầ n 1 M Đ 9 04 nă m 201 7 - 20 18) Tìm giới hạn 2 lim 1 2 x I x x x . A. 1 2 I . B. 46 31 I . C. 17 11 I . D. 3 2 I . Lời giải Chọn D Ta có: 2 lim 1 2 x I x x x 2 2 2 2 lim 1 2 x x x x I x x x 2 2 lim 1 2 x x I x x x 2 2 1 lim 1 1 2 1 1 x x I x x 3 2 I . Câu 3: (TH PT Hà Hu y T ậ p - Hà T ĩn h - l ầ n 1 nă m 2 017 - 201 8 ) Cho hàm số 2 3 2 khi 1 1 1 khi 1 4 x x x f x m m x . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số f x liên tục tại 1 x . A. 0;1 m . B. 0; 1 m . C. 1 m . D. 0 m . Lời giải Chọn B Ta có 1 1 1 3 2 1 1 lim lim lim 1 4 3 2 x x x x f x x x ; 2 1 1 1 lim 4 x f f x m m . Để hàm số f x liên tục tại 1 x thì 2 1 1 4 4 m m 1 0 m m . Câu 4: (TH P T Tr i ệu Th ị T r in h - l ần 1 n ăm 201 7 - 201 8) Biết 2 3 1 2 7 1 2 lim 2 1 x x x x a c b x với a , b , c và a b là phân số tối giản. Giá trị của a b c bằng: A. 5 . B. 37 . C. 13. D. 51. Lời giải Chọn C Ta có 2 2 3 3 1 1 2 7 1 2 2 2 7 1 lim lim 2 1 2 1 x x x x x x x x x x 2 3 1 1 2 2 2 7 1 lim lim 2 1 2 1 x x x x x I J x x . Tính 2 2 1 1 2 2 2 2 4 lim lim 2 1 2 1 2 2 x x x x x x I x x x x 1 1 2 2 1 2 2 3 lim lim 4 2 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x . và 3 2 1 1 3 3 2 7 1 8 7 1 lim lim 2 1 2 1 4 2 7 1 7 1 x x x x J x x x x 2 1 3 3 7 7 lim 12 2 2 4 2 7 1 7 1 x x x . Do đó 2 3 1 2 7 1 2 lim 12 2 1 x x x x I J x Suy ra 1 a , 12 b , 0 c . Vậy 13 a b c . Câu 5: (T HT T S ố 4 - 487 thá n g 1 n ăm 201 7 - 20 1 8) Cho hàm số 4 2 khi 0 1 khi 0 4 x x x f x mx m x , m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có giới hạn tại 0 x . A. 1 m . B. 0 m . C. 1 2 m . D. 1 2 m . Lời giải Chọn B Ta có 0 0 1 1 lim lim 4 4 x x f x mx m m . 0 0 0 0 4 2 4 4 1 1 lim lim lim lim 4 4 2 4 2 x x x x x x f x x x x x . Để hàm số có giới hạn tại 0 x thì 0 0 1 1 lim lim 0 4 4 x x f x f x m m . Câu 6: (THTT S ố 4 - 48 7 th án g 1 n ăm 201 7 - 2 0 18) Cho hàm số 2 2 6 khi 3 3 27 1 khi 3 9 x x x f x x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc khoảng 3;3 . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm 3 x . C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm 3 x . D. Hàm số liên tục trên . Lời giải. Chọn C Ta có 2 3 3 2 6 lim lim 3 27 x x x f x x , vì 3 lim 2 6 12 0 x x và 2 3 lim 3 27 0 x x nên hàm số không có giới hạn tại 3 x . Ta loại hai phương án A và. D. Ta tiếp tục tính giới hạn 2 3 3 3 3 2 3 2 6 2 1 lim lim lim lim 3 27 3 3 3 3 3 9 x x x x x x f x x x x x . Vì 3 1 lim 3 9 x f x f nên hàm số liên tục tại 3 x . Câu 7: (SG D N i nh Bìn h n ăm 20 17 - 201 8) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 lim 0 x x x x . B. 2 lim 2 x x x x . C. 2 1 lim 2 x x x x . D. 2 lim 2 x x x x . Lời giải Chọn C Ta có: 2 lim x x x x nên phương án A sai. Ta có: 2 1 lim 2 lim 1 2 x x x x x x x nên phương án B sai. Ta có: 2 2 1 1 lim lim lim 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x nên đáp án C đúng. Ta có: 2 1 lim 2 lim 1 2 x x x x x x x nên đáp án D sai. Câu 8: (TH PT Ch uy ên V ĩ nh P h ú c - l ầ n 3 n ă m 201 7 - 20 18) Cho hàm số 3 2 1 8 x x y f x x . Tính 0 lim x f x . A. 1 12 . B. 13 12 . C. . D. 10 11 . Lời giải Chọn B Ta có: 3 2 1 8 x x x 3 2 1 2 2 8 x x x 3 2 1 1 2 8 x x x x 2 3 3 2 1 1 1 4 2 8 8 x x x . Do vậy: 0 lim x f x 2 0 3 3 2 1 lim 1 1 4 2 8 8 x x x x 2 0 0 3 3 2 1 lim lim 1 1 4 2 8 8 x x x x x 1 1 12 13 12 . Câu 9: (TH PT H ồn g Q ua n g - H ải Dương nă m 201 7 - 201 8) Tính 2 2 3 2 1 2 3 ... lim 2 7 6 5 n n n n A. 1 6 . B. 1 2 6 . C. 1 2 . D. . Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ... 6 n n n n . Khi đó: 2 2 3 2 1 2 1 1 2 3 ... lim lim 2 7 6 5 12 7 6 5 n n n n n n n n n n 1 1 1 2 lim 7 5 12 1 6 n n n n 1 6 . Câu 10: (TH PT Ni nh G iang - H ả i Dương n ăm 201 7 - 201 8 ) Giới hạn: 5 3 1 4 lim 3 4 x x x có giá trị bằng: A. 9 4 . B. 3 . C. 18 . D. 3 8 . Lời giải Chọn A Ta có 5 5 3 1 16 3 4 3 1 4 lim lim 3 4 9 4 3 1 4 x x x x x x x x 5 3 3 4 lim 3 1 4 x x x 18 9 8 4 . Câu 11: (TH PT Lương Vă n Chasnh Phu s Yê n nă m 2 017 - 201 8 ) Tìm 1 1 1 lim ... 1 1 2 1 2 ... L n A. 5 2 L . B. L . C. 2 L . D. 3 2 L . Lời giải Chọn C Ta có 1 2 3 ... k là tổng của cấp số cộng có 1 1 u , 1 d nên 1 1 2 3 ... 2 k k k 1 2 1 2 ... 1 k k k 2 2 1 k k , * k . 2 2 2 2 2 2 2 2 lim ... 1 2 2 3 3 4 1 L n n 2 2 lim 1 1 n 2 . Câu 12: (THPT H ậu L ộc 2 - T ha n h Hó a n ăm 2 017 - 201 8 ) Cho hàm số 2 2 ( 2) 2 khi 1 ( ) 3 2 8 khi 1 ax a x x f x x a x . Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại 1 x ? A. 1. B. 0 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn D Tập xác định: 3; D . 1 lim x f x 2 1 2 2 lim 3 2 x ax a x x . 1 1 2 3 2 lim 1 x x ax x x . 1 lim 2 3 2 x ax x 4 2 a . 2 1 8 f a . Hàm số đã cho liên tục tại 1 x khi 1 lim 1 x f x f 2 4 2 8 a a 0 4 a a . Vậy có 2 giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại 1 x . Câu 13: (T HP T Yê n Đ ịnh - T han h Hó a - l ần 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho f x là một đa thức thỏa mãn 1 16 lim 24 1 x f x x . Tính 1 16 lim 1 2 4 6 x f x I x f x A. 24. B. I . C. 2 I . D. 0 I . Hướng dẫn giải Chọn C Vì 1 16 lim 24 1 x f x x 1 16 f vì nếu 1 16 f thì 1 16 lim 1 x f x x . Ta có 1 16 lim 1 2 4 6 x f x I x f x 1 16 1 lim 12 1 x f x x 2 . Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính 3 2 3 lim 4 3 8 n n n n . A. . B. 1. C. . D. 2 3 . Lời giải Chọn D Ta có: 3 2 3 lim 4 3 8 n n n n 3 2 3 lim 4 3 2 2 8 n n n n n n 3 2 3 lim 4 3 2 2 8 n n n n n n n . Ta có: 2 lim 4 3 2 n n n 2 3 lim 4 3 2 n n n 2 3 3 lim 4 3 4 2 n . Ta có: 3 3 lim 2 8 n n n n 2 2 3 2 3 3 3 lim 4 2 8 8 n n n n n n n 2 3 3 2 2 1 1 lim 12 1 1 4 2 8 8 n n . Vậy 3 2 3 3 1 lim 4 3 8 4 12 n n n n 2 3 . Câu 1: (TH PT N gh èn – H à T ĩn h – L ần 2 n ăm 2017 – 2018 ) Biết 2 lim 4 3 1 0 x x x ax b . Tính 4 a b ta được A. 3 . B.5 . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có 2 lim 4 3 1 0 x x x ax b 2 lim 4 3 1 0 x x x ax b 2 2 2 2 4 3 1 lim 0 4 3 1 x x x a x b x x ax 2 2 2 4 3 1 lim 0 4 3 1 x a x x b x x ax 2 4 0 0 3 0 2 a a b a 2 3 4 a b . Vậy 4 5 a b . Câu 2: (TH P T Ch u yê n V õ N g u yê n Gi áp – Qu ảng B ìn h - nă m 201 7 - 20 18) Cho các số thực a , b , c thỏa mãn 2 18 c a và 2 lim 2 x ax bx c x . Tính 5 P a b c . A. 18 P . B. 12 P . C. 9 P . D. 5 P . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 lim 2 x ax bx c x 2 2 2 lim 2 x a c x bx a x bx c x . Điều này xảy ra 2 0 , 0 2 a c a c b a c . (Vì nếu 0 c thì 2 lim x ax bx c x ). Mặt khác, ta cũng có 2 18 c a . Do đó, 2 9 2 a c b a c 9 a , 12 b , 3 c . Vậy 5 P a b c 12 . Câu 3: Giới hạn 3 3 1 5 lim 3 x x x x bằng A. 0 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 1 6 . Câu 4: Cho hàm số sin khi cos 0 1 cos khi cos 0 x x f x x x . Hỏi hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 0;2018 ? A. 2018 . B. 1009 . C. 542. D. 321. Câu 5: Giới hạn 3 3 1 5 lim 3 x x x x bằng A. 0 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 1 6 . Lời giải Chọn D Ta có: 3 3 1 5 lim 3 x x x x 3 3 1 2 5 2 lim 3 x x x x 2 3 3 3 3 1 4 5 8 lim lim 3 1 2 3 5 2. 5 4 x x x x x x x x x 2 3 3 3 3 1 1 lim lim 1 2 5 2. 5 4 x x x x x 1 1 4 12 1 6 . Câu 6: Cho hàm số sin cos 0 1 cos cos 0 x x f x x x ne áu ne áu . Hỏi hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 0;2018 ? A. 2018 . B. 1009 . C. 542. D. 321. Lời giải Chọn D Xét hàm số f x trên đoạn 0;2 , khi đó: 3 sin 0; ;2 2 2 3 1 cos ; 2 2 x x f x x x ne áu ne áu Ta có 0 lim 0 0 x f x f ; 2 lim 0 2 x f x f . Hàm số rõ ràng liên tục trên các khoảng 0; 2 ; 3 ; 2 2 và 3 ;2 2 . Ta xét tại 2 x : 2 2 lim lim 1 cos 1 x x f x x ; 2 2 lim lim sin 1 x x f x x ; 1 2 f ; Như vậy 2 2 lim lim 2 x x f x f x f nên hàm số f x liên tục tại điểm 2 x . Ta xét tại 3 2 x : 3 3 2 2 lim lim sin 1 x x f x x ; 3 3 2 2 lim lim 1 cos 1 x x f x x ; Vì 3 3 2 2 lim lim x x f x f x nên hàm số f x gián đoạn tại điểm 3 2 x . Do đó, trên đoạn 0;2 hàm số chỉ gián đoạn tại điểm 3 2 x . Do tính chất tuần hoàn của hàm số cos y x và sin y x suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm 3 2 , 2 x k k . Ta có 0;2018 x 3 0 2 2018 2 k 3 1009 3 320,42 4 4 k . Vì k nên 0,1,2,....,320 k . Vậy, hàm số f có 321 điểm gián đoạn trên khoảng 0;2018 . Câu 7: Cho các số phức z , w thỏa mãn 5 z , 4 3 1 2 w i z i . Giá trị nhỏ nhất của w là : A. 3 5 . B. 4 5 . C. 5 5 . D. 6 5 . Câu 8: Cho các số phức z , w thỏa mãn 5 z , 4 3 1 2 w i z i . Giá trị nhỏ nhất của w là : A. 3 5 . B. 4 5 . C. 5 5 . D. 6 5 . Hướng dẫn giải Chọn B Theo giả thiết ta có 1 2 4 3 1 2 4 3 w i w i z i z i . Mặt khác 1 2 5 5 1 2 5 5 4 3 w i z w i i . Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w là đường tròn tâm 1; 2 I và bán kính 5 5 . Do đó min 4 5 w R OI . Câu 9: Cho hàm số 2 3 2018 ... f x x x x x . Tính 2 2 lim 2 x f x f L x . A. 2018 2017.2 1 L . B. 2017 2019.2 1 L . C. 2018 2017.2 1 L . D. 2017 2018.2 1 L . Câu 10: Cho hàm số 2 3 2018 ... f x x x x x . Tính 2 2 lim 2 x f x f L x . A. 2018 2017.2 1 L . B. 2017 2019.2 1 L . C. 2018 2017.2 1 L . D. 2017 2018.2 1 L . Lời giải Chọn A Ta có 2 2017 1 2 3 ... 2018 f x x x x 2 3 2018 . 2 3 ... 2018 x f x x x x x 2 2 3 3 2017 2017 2018 . 2 3 4 ... 2018 2018 x f x x x x x x x x x x 2 3 2018 2 3 2017 2018 . 1 2 3 4 ... 2018 1 ... 2018 x f x x x x x x x x x x 2018 2018 1 2018 1 x x f x f x x x 2018 2018 2 2018 1 1 1 x x f x x x . Do đó 2018 2018 2018 2 2 lim 2 2018.2 1 2 2017.2 1 2 x f x f L f x . C âu 1: (THTT S ố 1 - 4 84 th án g 10 nă m 201 7 - 20 18) Đặt 2 2 1 1. f n n n Xét dãy số n u sao cho 1 . 3 . 5 ... 2 1 . 2 . 4 . 6 ... 2 n f f f f n u f f f f n Tính lim . n n u A. lim 2. n n u B. 1 lim . 3 n n u C. lim 3. n n u D. 1 lim . 2 n n u L ờ i gi ải Ch ọn D Xét 2 2 2 2 4 2 1 1 2 1 2 4 2 1 1 n n f n g n g n f n n n . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 4 1 4 1 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 1 4 1 4 4 1 4 1 n n n n n n n g n n n n n n n n 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 2 10 26 2 . . .... . 10 26 50 2 1 1 2 1 1 2 1 1 n n n u n n n 2 2 2 1 lim lim . 4 4 2 2 n n n u n n C â u 2 : ( T H P T V i ệ t T r ì - P h ú T h ọ - l ầ n 1 - n ă m 2 0 17 - 2 0 1 8 ) Đặt 2 2 1 1 f n n n , xét dãy số n u sao cho 1 . 3 . 5 ... 2 1 2 . 4 .f 6 ... 2 n f f f f n u f f f n . Tìm lim n n u . A. 1 lim 3 n n u . B. lim 3 n n u . C . 1 lim 2 n n u . D. lim 2 n n u . L ờ i gi ải Ch ọn C Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 1 f n n n n n . Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 ... 2 1 1 4 1 2 1 3 1 4 1 5 1 ... 4 1 2 1 1 n n n u n n 2 2 2 1 1 n u n 2 2 2 2 1 1 n n u n n . lim n u n 2 2 2 lim 2 1 1 n n 2 2 2 1 lim 2 1 1 2 n n . C âu 3: (T HPT C h uy ên V ĩnh Phú c - l ầ n 2 - nă m 201 7 - 201 8 ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình 3 2 3 2 2 3 0 x x m x m có ba nghiệm 1 x , 2 x , 3 x thỏa mãn 1 2 3 1 x x x . A. 5 m . B. 5 m . C. 5 m . D. 6 m . L ờ i gi ải Ch ọn B Đặt 3 2 3 2 2 3 f x x x m x m . Ta thấy hàm số liên tục trên . Điều kiện cần: 1 0 5 0 5 af m m . Điều kiện đủ: với 5 m ta có *) lim x f x nên tồn tại 1 a sao cho 0 f a Mặt khác 1 5 0 f m . Suy ra . 1 0 f a f . Do đó tồn tại 1 ; 1 x a sao cho 1 0 f x . *) 0 3 0 f m , 1 0 f . Suy ra 0 . 1 0 f f . Do đó tồn tại 2 1;0 x sao cho 2 0 f x . *) lim x f x nên tồn tại 0 b sao cho 0 f b Mặt khác 0 0 f . Suy ra 0 . 0 f f b . Do đó tồn tại 3 0; x b sao cho 3 0 f x . Vậy 5 m thỏa mãn yêu cầu bài toán. C âu 4: (TH P T Tr i ệ u S ơn 3 - Th a n h H ó a nă m 201 7 - 201 8) Cho 7 0 lim 1. 4 2 x x a b x x ( a b là phân số tối giản). Tính tổng L a b . A. 43 L . B. 23 L . C. 13 L . D. 53 L . L ờ i gi ải Ch ọn C 7 0 lim 1. 4 2 x x x x 7 0 lim 1. 4 4 4 2 x x x x x x 7 0 lim 4. 1 1 4 2 x x x x x 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 2 0 4 2 1 lim 4. 1 1 4 2 1 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 0 4 2 1 4 lim 9 4 4 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x . Suy ra 4 a , 9 b , 13 L a b . Trình bày lại: Ch ọn A Đặt 7 0 lim 1. 4 2 x x a L b x x thì 7 1 1. 4 2 lim x x b L x a . Ta có 7 7 0 0 0 1. 4 4 4 2 1. 4 4 4 2 lim lim lim x x x b x x x x x x x x a x x x Xét 7 1 0 . 4 1 1 lim x x x L x .Đặt 7 1 t x .Khi đó : 7 1 0 1 x t x t 7 7 1 7 6 5 4 3 2 1 1 3 1 3 2 lim lim 1 7 1 t t t t t L t t t t t t t Xét 2 0 0 0 4 2 4 2 4 2 1 1 lim lim lim 4 4 2 4 2 x x x x x x L x x x x Vậy 2 1 15 7 4 28 b a 28, 15 43 a b a b 43 a b . ---------- H ẾT---------- C âu 1: (TH TT s ố 6 - 489 th án g 3 n ăm 2018 ) Cho dãy số n u xác định bởi 1 0 u và 1 4 3 n n u u n , 1 n . Biết 2 2018 2 2018 2019 4 4 4 2 2 2 ... lim ... n n n n n n n n u u u u a b c u u u u với a , b , c là các số nguyên dương và 2019 b . Tính giá trị S a b c . A. 1 S . B . 0 S . C. 2017 S . D. 2018 S . L ờ i gi ải Ch ọn B Ta có 2 1 3 2 1 4.1 3 4.2 3 ... 4. 1 3 n n u u u u u u n Cộng vế theo vế và rút gọn ta được 1 4. 1 2 ... 1 3 1 n u u n n 1 4 3 1 2 n n n 2 2 3 n n , với mọi 1 n . Suy ra 2 2018 2 2 2 2 2 2 2 2018 2018 2 2 2 2 3 2 2 2 3 ... 2 2 2 3 n n n u n n u n n u n n Và 2 2018 2 4 2 2 2 4 2 2018 2018 4 2 4 4 3 2 4 4 3 ... 2 4 4 3 n n n u n n u n n u n n Do đó 2 2018 2 2018 4 4 4 2 2 2 ... lim ... n n n n n n n n u u u u u u u u 2018 2 2 2018 2 2 2 2018 2 2 2018 2 2 2 1 3 4 3 4 3 2 2.4 ... 2 4 lim 1 3 2 3 2 3 2 2.2 ... 2 2 n n n n n n n n n n n n 2 2018 2 2018 2 1 4 4 ... 4 2 1 2 2 ... 2 2019 2019 1 4 1 1 4 1 2 1 2 2019 2019 1 4 1 3 2 1 2019 2 1 3 . Vì 2019 2 2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên 2 1 3 a b c Vậy 0 S a b c . ---------- H ẾT---------- Câu 1: Với n là số nguyên dương, đặt 1 1 1 ... 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n S n n n n . Khi đó lim n S bằng A. 1 2 1 B. 1 2 1 . C.1. D. 1 2 2 . Câu 2: Với n là số nguyên dương, đặt 1 1 1 ... 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n S n n n n . Khi đó lim n S bằng A. 1 2 1 B. 1 2 1 . C.1. D. 1 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 1 1 n n n n 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 1 n n n n n n . Suy ra 1 1 1 ... 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n S n n n n . 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 1 2 2 3 1 1 n n n . Suy ra lim 1 n S
