Trắc nghiệm khối đa diện có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

Câu 1: (TH P T C h uy ên Hù n g Vươn g - P hú T h ọ - l ầ n 1 - NH 201 7 - 201 8) Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ? A. 3. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn C Đó là các mặt phẳng SAC , SBD , SHJ , SGI với G , H , I , J là các trung điểm của các cạnh đáy dưới hình vẽ bên dưới. Câu 2: (T H PT Ch uy ên Hùng Vươn g - P h ú Th ọ - l ầ n 1 - N H2 017 - 201 8) Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 9 3 4 . B. 27 3 4 . C. 27 3 2 . D. 9 3 2 . Lời giải. Chọn B Diện tích đáy: 1 9 3 .3.3.sin 60 2 4 ABC S   . Thể tích 27 3 . 4 l ABC t V S AA   . Câu 3: (THPT C huyê n Th á i Bìn h - l ầ n 1 - n ă m 20 17 - 201 8) Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2. B. 6 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn D Đó là các mặt phẳng SAC , SBD , SHJ , SGI với G , H , I , J là các trung điểm của các cạnh , AB , CB , CD AD (hình vẽ bên dưới). S A B C D O I G H J A B C A  B  C  Câu 4: (THPT Ho a Lư A - Ni nh B ìn h - l ầ n 1 - nă m 2017 - 201 8) Vật thể nào dưới đây không phải là khối đa diện? A. B. C. D. Lời giải Chọn C Vật thể cho bởi hình A, B, D là các khối đa diện. Vật thể cho bởi hình C không phải khối đa diện, vi phạm điều kiện mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Câu 5: (T HP T L ê H ồ n g P ho ng - Nam Đ ị n h - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8) Cho . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ABCD  và 3 SC a . Tính thể tích của khối chóp . S ABCD . A. 3 3 2 a V . B. 3 3 a V . C. 3 2 3 a V . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn B Ta có 2 2 2 2 3 2 SA SC AC a a a . Vậy 3 2 . 1 . 3 3 S ABCD a V a a . Câu 6: (TH PT Ch u y ên B ắ c Ni n h - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 2 018 ) Thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng 3. A. 2 . B. 2 2 . C. 4 2 9 . D. 9 2 4 . Lời giải Chọn D Cách 1: Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều: 3 3 2 9 2 12 4 V . S A B C D O I G H J A B C D S Cách 2: Khối tứ diện đều . S ABC có đáy là tam giác đều và đường cao SG . 2 3 9 3 4 4 ABC AB S  , 2 2 2 3 3 9 3 6. 3 2 AB AG SG SA AG Vậy . 1 9 2 . . 3 4 S ABC ABC V S SG  . Câu 7: (TH PT Chuyê n B ắ c Ni n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện ABCB C   . A. 3 4 V . B. 2 3 V . C. 2 V . D. 4 V . Lời giải Chọn B Ta có: 2 3 3 3 ABCB C B ABC C B AC V V V V V V      Câu 8: (TH P T Xuâ n Hò a - V ĩn h P h ú c - n ăm 201 7 - 2 018 ) Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây? A.   5;3 B.   4;3 C.   3;3 D.   3;4 Lời giải Chọn D Do các mặt của bát diện đều là tam giác và mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của 4 mặt nên bát diện đều là khối đa diện đều loại   3;4 . Câu 9: (T HP T Sơ n Tây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện? A B C A  B  C  A B C S G A. Hình 4. B. Hình 1. C. Hình 2. D. Hình 3. Lời giải Chọn D Hình 3 không phải là hình đa diện, vì tồn tại hai cạnh của đa giác đáy không phải là cạnh chung của hai mặt của hình. Câu 10: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện A. mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. B. mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh. C. mỗi cạnh của một khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt. D. hai mặt bất kì luôn có ít nhất một điểm chung. Lời giải Chọn D Hình lập phương, hình hộp có các mặt song song với nhau. Câu 11: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Đa diện đều loại   5,3 có tên gọi nào dưới đây? A. Tứ diện đều. B. Lập phương. C. Hai mươi mặt đều. D. Mười hai mặt đều Hướng dẫn giải Chọn D Câu 12: (TH PT Ch u yê n ĐH Vi nh - GK 1 - năm 201 7 - 2 018 ) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có 2 AB a , 3 AA a  . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 4 a . B. 3 4 a . C. 3 3a . D. 3 a . Lời giải Chọn C Do . ABC A B C    là hình lăng trụ tam giác đều nên A B C    là đường cao của khối lăng trụ. Tam giác ABC đều, có cạnh 2 AB a nên 2 2 2 3 3 4 ABC a S a  . Vậy 2 3 . 3. 3 3 ABC V AA S a a a   . Câu 13: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ABCD  và 3 SA a . Thể tích của khối chóp . S ABCD là: Hình 4 Hình 3 Hình 2 Hình 1 A. 3 3 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 3 a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn C C D A B S Ta có: 3 h SA a ; 2 ABCD B S a . 3 1 3 . 3 3 a V B h . Câu 14: ( TH PT Yê n L ạ c - V ĩnh P h ú c - l ầ n 1 - năm 201 7 - 20 18) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích là V , thể tích của khối chóp . C ABC  là: A. 2V . B. 1 2 V . C. 1 3 V . D. 1 6 V . Lời giải Chọn C Gọi h là khoảng cách từ C  đến mặt phẳng ABC và B là diện tích tam giác ABC . Khi đó, thể tích lăng trụ V Bh , thể tích khối chóp . C ABC  là . 1 3 C ABC V Bh  . Do đó, . 1 3 C ABC V V  . Câu 15: (TH PT Yê n L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 201 8) Cho tứ diện ABCD có AB AC và DB DC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB ABC  . B. AC BC  . C. CD ABD  . D. BC AD  . Lời giải Chọn D B D C A E Gọi E là trung điểm của BC . Tam giác ABC cân nên BC AE  ; Tam giác DBC cân nên BC DE  . Do đó BC AED BC AD   . Câu 16: (TH PT Yê n L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là: A. V Bh . B. 1 3 V Bh . C. 1 2 V Bh . D. 4 3 V Bh . Lời giải: Chọn A Công thức tính thể tích khối lăng trụ là: . V B h . Câu 17: (THP T Y ê n L ạ c - V ĩn h P h ú c - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 20 18) Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh SA, SB , SC lần lượt lấy ba điểm A  , B  , C  sao cho 1 2 SA SA  , 1 3 SB SB  , 1 4 SC SC  . Gọi V và V  lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S A B C   . Khi đó tỉ số V V  là: A. 12 . B. 1 12 . C. 24 . D. 1 24 . Lời giải: Chọn D C ' B ' A' A C B S Theo công thức tỉ số thể tích khối chóp, ta được: 1 1 1 1 . . . . 2 3 4 24 V SA SB SC V SA SB SC     . Câu 18: (TH PT Yê n L ạ c - V ĩnh P h ú c - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2 01 8) Cho khối lăng trụ đứng tam giác . ABC A B C    có đáy là một tam giác vuông cân tại A , 2 AC AB a , góc giữa AC  và mặt phẳng ABC bằng 30  . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    là A. 4 3 3 a . B. 3 4 3 3 a . C. 3 2 3 3 a . D. 2 4 3 3 a . Lời giải Chọn B A B A C B  A  C  30 Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC  lên mặt phẳng ABC , 30 AC ABC CAC    Tam giác ACC  vuông tại C có 2 3 .tan 30 3 a CC AC   Khi đó 3 . 4 3 . 3 ABC A B C ABC a V S CC     . Câu 19: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩn h Phú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - năm 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA ABCD  và 3 SA a . Thể tích của khối chóp . S ABCD là: A. 3 3 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 3 a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn C C D A B S Ta có: 3 h SA a ; 2 ABCD B S a . 3 1 3 . 3 3 a V B h . Câu 20: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩn h Ph ú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích là V , thể tích của khối chóp . C ABC  là: A. 2V . B. 1 2 V . C. 1 3 V . D. 1 6 V . Lời giải Chọn C Gọi h là khoảng cách từ C  đến mặt phẳng ABC và B là diện tích tam giác ABC . Khi đó, thể tích lăng trụ V Bh , thể tích khối chóp . C ABC  là . 1 3 C ABC V Bh  . Do đó, . 1 3 C ABC V V  . Câu 21: (TH PT Y ên L ạ c - V ĩn h P h ú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - n ăm 20 17 - 201 8) Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là: A. V Bh . B. 1 3 V Bh . C. 1 2 V Bh . D. 4 3 V Bh . Lời giải: Chọn A Công thức tính thể tích khối lăng trụ là: . V B h . Câu 22: (T HP T Yê n L ạ c - V ĩn h Ph úc - l ầ n 1 - đ ề 2 - nă m 20 17 - 201 8) Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh SA, SB , SC lần lượt lấy ba điểm A  , B  , C  sao cho 1 2 SA SA  , 1 3 SB SB  , 1 4 SC SC  . Gọi V và V  lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S A B C   . Khi đó tỉ số V V  là: A. 12 . B. 1 12 . C. 24 . D. 1 24 . Lời giải: Chọn D C ' B ' A' A C B S Theo công thức tỉ số thể tích khối chóp, ta được: 1 1 1 1 . . . . 2 3 4 24 V SA SB SC V SA SB SC     . Câu 23: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - năm 201 7 - 201 8) Cho khối lăng trụ đứng tam giác . ABC A B C    có đáy là một tam giác vuông cân tại A , 2 AC AB a , góc giữa AC  và mặt phẳng ABC bằng 30  . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    là A. 4 3 3 a . B. 3 4 3 3 a . C. 3 2 3 3 a . D. 2 4 3 3 a . Lời giải Chọn B Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC  lên mặt phẳng ABC , 30 AC ABC CAC    A B A C B  A  C  30 Tam giác ACC  vuông tại C có 2 3 .tan 30 3 a CC AC   Khi đó 3 . 4 3 . 3 ABC A B C ABC a V S CC     . Câu 24: (TH PT Y ê n L ạ c 2 - V ĩ nh Phú c - l ầ n 1 - nă m 2 017 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a . Thể tích V của khối chóp là A. 3 2 6 a V . B. 3 2 4 a V . C. 3 2 V a . D. 3 2 3 a V . Giải: Chọn D a a 2 C A D B S Hình chóp . S ABCD có đường cao 2 SA a ; diện tích đáy: 2 ABCD S a . Thể tích của hình chóp là 3 2 1 1 2 . . . 2. 3 3 3 ABCD a V SA S a a . Câu 25: (T H P T Ngu y ễ n K h uy ế n - Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8 ) Tính thể tích V của khối lập phương . ABCD A B C D     biết 3 AC a  . A. 3 V a . B. 3 4 a V . C. 3 3 6 4 a V . D. 3 3 3 V a . Lời giải Chọn A Ta có 3 AC AB  3 3 AB a AB a . Do đó thể tích V của khối lập phương . ABCD A B C D     là 3 V a . Câu 26: (T H P T Ngu y ễ n K h uy ế n - Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8 ) Khối đa diện đều loại   4; 3 có bao nhiêu mặt? A. 4 . B. 7 . C. 8 . D. 6 . Lời giải Chọn D Khối đa diện đều loại   4; 3 là hình lập phương nên có sáu mặt. Câu 27: (T H P T N gu y ễ n K h uy ế n- Nam Đ ị n h - l ầ n 1 - năm 20 1 7 - 2018) Vật thể nào trong các vật thể sau không phải khối đa diện? A. B. C. D. Lời giải Chọn C Dựa vào định nghĩa khối đa diện : Khối đa diện được giới hạn hữu hạn bởi đa giác thoả mãn điều kiện : Câu 28: Hai đa giác bất kì không có điểm chung, hoặc có 1 điểm chung hoặc có chung 1 cạnh. Câu 29: Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng 2 đa giác. Khối đa diện trong hình C vi phạm điều kiện thứ 2 : có 1 cạnh là cạnh chung của 4 đa giác. Câu 30: (T H P T Ngu y ễ n K h uy ế n - Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8 ) Tính độ dài cạnh bên  của khối lăng trụ đứng có thể tích V và diện tích đáy bằng S : A. V S  . B. 2 V S  . C. V S  . D. 3V S  . Giải Chọn C Cạnh bên cũng là đường cao của lăng trụ đứng. Ta có: . V V S S   . Câu 31: (T H P T Ngu y ễ n K h uy ế n - Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8 ) Hình đa diện nào sau đây không có mặt phẳng đối xứng? A. Hình lăng trụ lục giác đều. B. Hình lăng trụ tam giác. C. Hình chóp tứ giác đều. D. Hình lập phương. Lời giải Chọn B Câu 32: ( TH P T Ha i B à T r ư ng - V ĩnh P h ú c - l ầ n 1 - n ăm 2 017 - 201 8) Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A. Khối đa diện đều loại   ; p q là khối đa diện đều có p mặt, q đỉnh. B. Khối đa diện đều loại   ; p q là khối đa diện lồi thỏa mãn mỗi mặt của nó là đa giác đều p cạnh và mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. C. Khối đa diện đều loại   ; p q là khối đa diện đều có p cạnh, q mặt. D. Khối đa diện đều loại   ; p q là khối đa diện lồi thỏa mãn mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng p mặt và mỗi mặt của nó là một đa giác đều q cạnh. Lời giải Chọn B Theo định nghĩa khối đa diện đều trong sách giáo khoa hình học 12 cơ bản trang 15. Câu 33: (TH PT Vi ệ t Tr ì - Ph ú Th ọ - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2 018 ) Khối chóp đều . S ABCD có mặt đáy là A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông. Lời giải Chọn D Theo định nghĩa, khối chóp đều là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều Do đó, mặt đáy của khối chóp tứ giác là hình vuông. Câu 34: (TH PT V i ệ t Tr ì - Phú Th ọ - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA ABC  và 3. SA a Thể tích khối chóp . S ABC là A. 3 3 . 4 a B. 3 . 2 a C. 3 3 . 8 a D. 3 . 4 a Lời giải Chọn D Ta có thể tích của khối chóp . S ABC là 2 3 . 1 1 3 . . . . 3 . 3 3 4 4 S ABC ABC a a V S SA a  Câu 35: (TH PT Th ạ ch Thàn h - Th an h Hó a - n ă m 201 7 - 201 8 ) Hình bát diện đều có số cạnh là A. 6 . B. 8 . C. 12. D. 10. Lời giải Chọn C Hình bát diện đều có số cạnh là 12. Câu 36: (TH PT Th ạ ch Thàn h - Th an h Hó a - n ă m 201 7 - 201 8 ) Cho các khối hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B HD: có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 và Hình 4. Câu 37: (TT D i ệ u H i ề n - C ầ n T h ơ - th á n g 10 - n ăm 2017 - 201 8) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 2 a V . B. 3 2 3 a V . C. 3 2 a V . D. 3 3 4 a V . Lời giải Chọn D Đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh a 2 3 4 ABC a S . Thể tích khối lăng trụ 2 3 3 3 . 4 4 a a V a . Câu 38: (TT D i ệ u Hi ề n - C ầ n Th ơ - t h án g 10 - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , 60 ACB , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 45  . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 3 18 a V . B. 3 2 3 a V . C. 3 3 9 a V . D. 3 3 6 a V . Lời giải Chọn A A B C A  B  C  Ta có SA ABC  AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng ABC . , 45 SB ABC SBA  tam giác SAB vuông cân tại A SA AB a . Tam giác ABC vuông tại B có 3 .cot 60 3 a BC AB  2 1 3 . 2 6 ABC a S AB BC Khi đó thể tích khối chóp cần tìm là 3 1 3 . 3 18 ABC a V S SA . Câu 39: (T T D i ệu Hi ề n - C ần Thơ - t h áng 11 - nă m 201 7 - 201 8 ) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh. B. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn luôn bằng nhau. C. Tồn tại hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau. D. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau. Lời giải Chọn D Xét hình tứ diện, có 4 mặt và 4 đỉnh nên nó có số đỉnh và số mặt bằng nhau. Câu 40: (TH P T Ch u yê n V ĩnh P h ú c - l ần 2 - nă m 201 7 - 2018) Cho khối lăng trụ đứng .    ABC A B C có  BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 2 a V . B. 3 6 a V . C. 3 3 a V . D. 3 V a . Lời giải Chọn A Thể tích của khối lăng trụ đứng .    ABC A B C là 3 1 . . 2 2 a V a a a . A B C S 45  60  A B C A  B  C Câu 41: (TH P T Chuyên V ĩn h Ph úc - l ầ n 2 - nă m 20 17 - 201 8) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 6 a V . B. 3 11 12 a V . C. 3 14 2 a V . D. 3 14 . 6 a V Lời giải Chọn D Gọi  AC BD O Do . S ABCD là hình chóp đều nên SO là đường cao. Ta có: 2 2 2 2 14 4 2 2 a a SO SA AO a , 2 ADBC S a Vậy: 3 14 6 a V . Câu 42: (T HP T Qu ã n g Xương - T ha n h H ó a - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật với , 2 , AB a AD a SA vuông góc với mặt đáy và 3. SA a Thể tích khối chóp . S ABCD bằng . A. 3 3 a . B. 3 3 3 a . C. 3 2 3 a . D. 3 2 3 3 a . Lời giải Chọn D 3 1 1 2 3 . . .2 . 3 3 3 3 a V S h a a a Câu 43: (TH P T Qu ãn g Xư ơ n g - Th an h H ó a - l ần 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Biết rằng đồ thị của hàm số 3 2018 3 a x a y x b nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a b là A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 6 . Lời giải Chọn C Ta có: 3 2018 lim 3 3 x a x a a x b   3 y a là tiệm cận ngang Mà đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang 3 0 3 a a 3 3 2018 lim 3 x b a x a x b   đồ thị hàm số nhận 3 x b làm tiệm cận đứng S A D C B OĐồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng 3 0 3 b b 3 3 0 a b . Câu 44: ( TH P T B ìn h X uy ên - V ĩn h P h úc - nă m 2 017 - 2018) Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn B Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng như hình vẽ. Câu 45: (TH PT B ìn h X uy ên - V ĩn h Phú c - nă m 2 017 - 201 8) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều loại   3;3 . B. Khối bát diện đều không phải là khối đa diện lồi. C. Lắp ghép hai khối hộp luôn được một khối đa diện lồi. D. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh bằng số mặt. Lời giải Chọn D Khối tứ diện đều có 4 đỉnh và 4 mặt. Câu 46: (TH P T Ng uy ễ n Đ ứ c Th u ậ n - N am Đ ị n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A ; 2 BC a ; 30 ABC . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2 3 a . Thể tích khối lăng trụ là: A. 3 3 a . B. 3 6a . C. 3 3a . D. 3 2 3 a . Lời giải: Chọn C C ' B' A C B A ' Tam giác ABC vuông tại A có .cos 2 .cos30 3 AB BC ABC a a  ; .sin 30 AC BC a  . Hình lăng trụ có chiều cao 2 3 AA a  , diện tích đáy: 2 1 1 3 . . . 3 2 2 2 ABC a S AB AC a a . Thể tích khối lăng trụ là: 2 3 3 2 3. 3 2 a V a a . Câu 47: (THPT T am Phư ớc - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 201 8) Tính thể tích của một khối lăng trụ biết khối lăng trụ đó có đường cao bằng 3a , diện tích mặt đáy bằng 2 4a . A. 2 12a . B. 3 4a . C. 3 12a . D. 2 4a . Lời giải Chọn C Áp dụng công thức thể tích khối lăng trụ ta có được: 2 3 . 4 .3 12 đ V S h a a a . Câu 48: (TH P T Ta m P hư ớ c - Đ ồ ng Na i - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2 018 ) Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số 2 1 1 x y x là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên  . B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1  và 1;  . C. Hàm số đồng biến trên  . D. Hàm số nghịch biến trên   \ 1  . Lời giải Chọn B Hàm số 2 1 1 x y x xác định trên   \ 1 D  và có 2 1 0 1 y x  x D . Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1  và 1;  . Câu 49: (T HP T Ta m Ph ư ớ c - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 201 8) Tính thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có 5 AC a  đáy là tam giác đều cạnh 4 . a A. 3 12 . V a B. 3 20 . V a C. 3 20 3. V a D. 3 12 3. V a Lời giải Chọn D Trong ACC   vuông tại C . A B C A  B  C 2 2 2 AC CC AC   2 2 2 CC AC AC   3 CC a  . Vậy 2 3 . 3 . 3 . 4 . 12 3 4 ABC A B C ABC V CC S a a a       . Câu 50: (TH P T H ậ u L ộ c 2 - Th an h Hó a - ầ n 1 - nă m 201 7 - 20 18) Trong các khối đa diện sau, khối đa diện nào có số đỉnh và số mặt bằng nhau? A. Khối lập phương. B. Khối bát diện đều. C. Khối mười hai mặt đều. D. Khối tứ diện đều. Lời giải Chọn D Khối tứ diện đều có bốn mặt và bốn đỉnh. Câu 51: (T H PT H ậ u L ộ c 2 - T ha nh H ó a - ầ n 1 - nă m 201 7 - 2 018 ) Một khối lăng trụ tam giác có thể phân chia ít nhất thành n khối tứ diện có thể tích bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 n . B. 6 n . C. 4 n . D. 8 n . Lời giải Chọn A C' B' A ' B C A Câu 52: (T HP T C h uy ê n La m - Th anh Hó a - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8 ) Tìm số mặt của hình đa diện ở hình vẽ bên: A. 11. B. 10. C. 12. D. 9 . Lời giải Chọn D Quan sát hình đa diện đã cho ta đếm được tất cả có 9 mặt. Câu 53: (TH PT C ổ Loa - Hà N ộ i - l ần 1 - n aw m - 20 18) Có bao nhiêu loại khối đa diện đều? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn D Dựa vào định lý khối đa diện đều. Câu 54: ( TH PT Ch u yê n Lê H ồ ng Ph o n g - Na m Đ ị nh - l ầ n 2 nă m 201 7 - 20 18) Có bao nhiêu loại khối đa diện đều mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều? A. 3 . B. 1. C. 5 . D. 2 . Lời giải Chọn A Có ba loại khối đa diện đều mà mỗi mặt của nó là một tam giác đều là: khối tứ diện đều, khối bát diện đều và khối hai mươi mặt đều. Câu 55: (TH P T C h uy ên Lê H ồ n g Pho n g - N am Đ ị n h - l ầ n 2 n ăm 20 17 - 2 018 ) Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A. Năm mặt. B. Ba mặt. C. Bốn mặt. D. Hai mặt. Lời giải Chọn B Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba mặt nên Chọn B Câu 56: (SG D V ĩn h Phú c - K SC L l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8) Lăng trụ đều là lăng trụ A. Có tất cả các cạnh bằng nhau. B. Có đáy là tam giác đều và các cạnh bên vuông góc với đáy. C. Đứng và có đáy là đa giác đều. D. Có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Lời giải Chọn C Theo định nghĩa về lăng trụ đều, ta chọn đáp án C. Câu 57: (SG D V ĩn h Phú c - K SC L l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    là: A. 3 3 . 12 a B. 3 3 . 4 a C. 3 . 12 a D. 3 . 4 a Lời giải Chọn B Thể tích khối lăng trụ là . ABC V S AA  2 3 3 3 . 4 4 a a V a . Câu 58: (SG D V ĩn h Ph úc - K SC L l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3 a , SA ABCD  và 6 SA a . Thể tích của khối chóp . S ABCD là. A. 3 6 3 a . B. 3 6 a . C. 3 3 a . D. 3 6 2 a . Lời giải Chọn B a 6 a 3 A D B C S Ta có 2 2 3 3 ABCD S a a . Vậy 2 3 . 1 1 . . . 6.3 6 3 3 S ABCD ABCD V SA S a a a . Câu 59: (SG D V ĩn h Phú c - K SC L l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8) Nếu không sử dụng thêm điểm nào khác ngoài các đỉnh của hình lập phương thì có thể chia hình lập phương thành A. Bốn tứ diện đều và một hình chóp tam giác đều. B. Năm hình chóp tam giác đều, không có tứ diện đều. C. Một tứ diện đều và bốn hình chóp tam giác đều. D. Năm tứ diện đều. Lời giải Chọn A Hình chóp tam giác đều là ACB D   . Bốn tứ diện đều là . D ACD  , . C CB D    , . B ACB  . A AB D    . Câu 60: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Trong một hình đa diện, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng bao nhiêu mặt? A. Không có mặt nào. B. 3 mặt. C. 4 mặt. D. 2 mặt. Lời giải Chọn D Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của 2 mặt. Câu 61: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Khối lập phương thuộc loại khối đa diện nào? Chọn câu trả lời đúng. A.   3; 3 . B.   4; 3 . C.   3; 4 . D.   5; 3 . Lời giải: Chọn B Câu 62: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho một hình đa diện. Khẳng định nào sau đây sai? A. Mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh. B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. D. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất 3 mặt. Lời giải Chọn D Xét tứ diện Quan sát đường tô đậm, ta thấy cạnh đó chỉ có hai mặt. Do đó, khẳng định D sai. Câu 63: [2H1 – 2] (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. là trung điểm và là trọng tâm của tam giác . Gọi , lần lượt là thể tích của các khối chóp và , tính tỉ số A. . B. . C. . D. Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi là thể tích khối chóp . Ta có . Mặt khác . Dễ thấy ; . Vậy . Suy ra, . Cách 2: Câu 64: ( TH PT Lê V ăn Th ị n h - B ắ c Ni n h - l ầ n 1 nă m 2 017 - 201 8 ) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Số các đỉnh hoặc các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng A. lớn hơn hoặc bằng 4 . B. lớn hơn 4 . C. lớn hơn hoặc bằng 5 . D. lớn hơn 5 . Lời giải Chọn A Do ba điểm bất kì đều đồng phẳng nên đáp án đúng là A. Mà tứ diện là khối đa diện có số đỉnh và số mặt đều là 4 . Câu 65: (TH PT Tr i ệ u S ơn 3 - T ha n h Hó a n ăm 201 7 - 201 8 ) Một hình đa diện có tối thiểu bao nhiêu đỉnh? A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn D Một hình đa diện có tối thiểu 4 đỉnh. Câu 66: (THPT Tr i ệu Sơn 3 - Th an h Hó a nă m 2 017 - 201 8) Khối chóp có một nửa diện tích đáy là S , chiều cao là 2h thì có thể tích là: A. . V S h . B. 1 . 3 V S h . C. 4 . 3 V S h . D. 1 . 2 V S h . Lời giải Chọn C Ta có: 1 1 4 . .2 .2 . 3 3 3 V B h S h S h . Câu 67: (Đ ề t h am kh ả o BGD n ăm 201 7 - 201 8) Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. 1 3 V Bh . B. 1 6 V Bh . C. V Bh . D. 1 2 V Bh . Lời giải Chọn A Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 1 3 V Bh . Câu 1: (THPT Tr i ệu Sơn 1 - l ần 1 n ăm 2017 - 201 8) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Bát diện đều. B. Tứ diện đều. C. Lăng trụ lục giác đều. D. Hình lập phương. Lời giải Chọn B Trong các hình đa diện trên, chỉ có tứ diện không có tâm đối xứng. Câu 2: (T H PT Ch u y ên V ĩnh Phú c - MĐ 903 l ần 1 - nă m 20 1 7 - 201 8) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao hình chóp là 2 a . Tính theo a thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 6 12 a V . B. 3 6 4 a V . C. 3 6 a V . D. 3 6 6 a V . Lời giải Chọn A Tam giác ABC đều có cạnh đáy bằng a nên 2 3 4  ABC a S . 2 3 . 1 3 6 . . 2 3 4 12 S ABC a a V a . Câu 3: (TH P T Ch uy ên V ĩ nh Phú c - MĐ 903 l ần 1 - nă m 201 7 - 2018) Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là: A. Ba mươi. B. Mười sáu. C. Mười hai. D. Hai mươi. Lời giải Chọn A Hình mười hai mặt đều có số đỉnh là 20 (SGK HH12). Câu 4: (TH PT Ch u y ên V ĩn h Phú c - l ầ n 1 M Đ 9 04 nă m 201 7 - 20 18) Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a 3 SA a và SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp . S ABCD là. A. 3 a . B. 3 3a . C. 3 3 a . D. 3 6a . Lời giải Chọn A * Diện tích đáy 2 ABCD S a . * Thể tích khối chóp: 2 3 1 1 . 3 . 3 3 ABCD V SA S a a a . B A C S OCâu 5: (TH P T K im L iên - Hà N ội năm 2 017 - 201 8) Khối đa diện có mười hai mặt đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt lần lượt là: A. 30, 20 , 12. B. 20 , 12, 30. C. 12, 30, 20 . D. 20 , 30 , 12. Lời giải Chọn D Câu 6: (T HP T K im L i ên - Hà N ội n ăm 201 7 - 2 0 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Hình chóp này có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn B Theo giả thiết hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy suy ra SA ABCD  . Mặt khác đáy ABCD là hình vuông nên hình chóp . S ABCD chỉ có một mặt phẳng đối xứng là SAC . Câu 7: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có thể tích V . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. . . V AB BC AA  . B. 1 . . 3 V AB BC AA  . C. . . V AB AC AA  . D. . . V AB AC AD . Lời giải Chọn B Ta có . V S h . Trong đó . . ABCD S S AB AD AB BC và h AA  . Vậy . . V AB BC AA  là mệnh đề đúng. Câu 8: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng ABC , 2 SB a . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 4 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn B 2a C A B S a Thể tích khối chóp . S ABC là: 1 . . 3 ABC V S SB 2 1 3 . .2 3 4 a a 3 3 6 a . Câu 9: (TH P T Ch uy ên Lương Vă n T ụy - Ni nh Bình l ầ n 1 n ăm 201 7 - 201 8) Hình đa diện sau có bao nhiêu mặt? A. 11. B. 20 . C. 12. D. 10. Lời giải Chọn A Dựa vào hình vẽ ta thấy hình đa diện trên có 11 mặt. Câu 10: (TH P T Chuyê n Lương Vă n T ụy - N in h B ìn h l ầ n 1 n ăm 2 0 17 - 201 8 ) Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều . ABCD A B C D     có tất cả các cạnh bằng a là A. 3 3a . B. 3 3 2 a . C. 3 a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn C Khối lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là khối lập phương cạnh a nên thể tích 3 V a . Câu 11: ( TH PT Ch u y ên Tr ần P h ú - H ải Phò n g l ần 1 nă m 201 7 - 2018) Khối đa diện đều có 12 mặt thì có số cạnh là: A. 30. B. 60 . C. 12. D. 24 . Lời giải Chọn A Khối đa diện đều có 12 mặt là khối đa diện đều loại   5;3 thì có số cạnh là 30. Câu 12: (TH P T Đo àn Th ư ợ n g - H ải Dươ n g - l ầ n 2 nă m 2017 - 201 8) Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp đó sẽ: A. Không thay đổi. B. Tăng lên hai lần. C. Giảm đi ba lần. D. Giảm đi hai lần. Lời giải Chọn A Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần thì diện tích đáy tăng bốn lần. Vì giảm chiều cao đi bốn lần nên thể tích khối chóp không thay đổi. Câu 13: (TH P T Đo àn T hư ợ n g - H ả i D ương - l ầ n 2 n ăm 201 7 - 201 8)Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai khối lăng trụ có chiều cao bằng nhau thì thể tích bằng nhau. B. Hai khối đa diện có thể tích bằng nhau thì bằng nhau. C. Hai khối chóp có hai đáy là hai đa giác bằng nhau thì thể tích bằng nhau. D. Hai khối đa diện bằng nhau thì thể tích bằng nhau. Lời giải Chọn D + Phương án A sai vì hai khối lăng trụ có chiều cao bằng nhau nhưng diện tích đáy chưa bằng nhau thì thể tích không bằng nhau. + Phương án B sai vì hai khối đa diện có thể tích bằng nhau nhưng có thể đó là một khối chóp và một khối lăng trụ nên hai khối đó không bằng nhau. + Phương án C sai vì hai khối chóp có đáy bằng nhau nhưng chiều cao chưa bằng nhau thì thể tích không bằng nhau. + Phương án D đúng theo khái niệm thể tích khối đa diện “ Nếu hai khối 1 H và 2 H bằng nhau thì 1 2 H H V V ”. Câu 14: (TH P T Đo àn T h ư ợng - H ải Dươ n g - l ần 2 n ăm 201 7 - 201 8) Cho khối tứ diện ABCD . Lấy điểm M nằm giữa A và B , điểm N nằm giữa C và D . Bằng hai mặt phẳng CDM và ABN , ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện nào sau đây? A. MANC , BCDN , AMND , ABND . B. MANC , BCMN , AMND , MBND . C. ABCN , ABND , AMND , MBND . D. NACB , BCMN , ABND , MBND . Lời giải Chọn B A B C D M N Bằng hai mặt phẳng CDM và ABN , ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện: MANC , BCMN , AMND , MBND . Câu 15: (TH PT Đo àn T h ư ợ n g - H ả i D ươn g - l ầ n 2 n ăm 2 017 - 201 8) Khối đa diện đều loại   3;5 là khối A. Tứ diện đều. B. Hai mươi mặt đều. C. Tám mặt đều. D. Lập phương. Lời giải Chọn B Theo SGK Hình học 12 trang 17 thì khối đa diện đều loại   3;5 là khối hai mươi mặt đều. Câu 16: (T H PT Hà Hu y T ập - Hà T ĩn h - l ần 1 nă m 201 7 - 2 018 ) Cho khối lăng trụ đứng . ABC A B C    có BB a  , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA BC a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 V a . B. 3 3 a V . C. 3 6 a V . D. 3 2 a V . Lời giải Chọn D Thể tích khối lăng trụ 3 1 . . . 2 2 ABC a V S BB BA BC BB   . Câu 17: (THP T Tr i ệu T h ị Tr in h - l ầ n 1 n ăm 20 1 7 - 201 8) Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng 2 2a . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 3 4 V a . B. 3 2 3 a V . C. 2 4 3 a V . D. 3 4 3 a V . Lời giải Chọn A A B C A  B  C  a a a Thể tích khối lăng trụ 2 3 2 .2 4 V a a a . Câu 18: (TH P T Tr i ệu T h ị Tr inh - l ần 1 nă m 201 7 - 2 018 ) Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn ……………… số đỉnh của hình đa diện ấy.” A. lớn hơn hoặc bằng. B. bằng. C. lớn hơn. D. nhỏ hơn. Lời giải Chọn C Câu 19: (TH PT T r i ệu T h ị Tr inh - l ần 1 n ăm 2 017 - 201 8) Khối lập phương có diện tích toàn phần bằng 2 150cm . Thể tích của khối lập phương đó bằng: A. 3 125cm . B. 375 3 8 cm 3 . C. 2 125cm . D. 2 375 3 8 cm . Lời giải Chọn A Gọi 0 a là độ dài cạnh của lập phương. Diện tích toàn phần của hình lập phương là 2 6 150 tp S a . Suy ra 5cm a . Vậy thể tích khối lập phương là 3 3 125cm V a . Câu 20: (T HP T Tr i ệu Th ị T r in h - l ần 1 n ăm 2 017 - 201 8) Một khối chóp có diện tích đáy bằng 3 2 và thể tích bằng 50 . Tính chiều cao của khối chóp đó. A. 10. B. 5 3 . C. 10 3 . D. 5 . Lời giải Chọn D Hình chóp có diện tích đáy là S , chiều cao h có thể tích là 1 3 V Bh Suy ra 3 3 50 5 3 2 V h S . Câu 21: (THPT T r i ệ u Th ị Tr in h - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 2 018 ) Hình hộp đứng đáy là hình thoi có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Lời giải Chọn A 2 2 S a 2 h a Câu 22: (THPT Lươn g Th ế Vi nh - Hà N ội n ăm 2 017 - 201 8) Hình vẽ bên dưới có bao nhiêu mặt A. 10. B. 7 . C. 9 . D. 4 . Lời giải Chọn C Từ hình vẽ 1 suy ra có 9 mặt. Câu 23: ( TH PT Đ ứ c Th ọ - H à T ĩn h - l ần 1 nă m 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với , AB a 2 AC a cạnh SA vuông góc với ABC và 3 SA a . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 3 4 a B. 3 3 a C. 3 3 6 a D. 3 3 3 a . Lời giải Chọn D Ta có, 3 . 1 3 . . 6 3 S ABC a V SA AB AC . Câu 24: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy, biết diện tích đáy bằng m . Thể tích V của khối chóp . S ABCD là: A. 1 . 3 V m SA . B. 1 . 3 V m SB . C. 1 . 3 V m SC . D. 1 . 3 V m SD . Lời giải Chọn A S A B CD C B A S SAB ABCD SAD ABCD SA ABCD SAB SAD SA      suy ra SA là đường cao khối chóp . S ABCD . Do đó thể tích khối chóp . S ABCD : 1 . 3 V m SA . Câu 25: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA a , OB b , OC c . Tính thể tích khối tứ diện OABC . A. abc . B. 3 abc . C. 6 abc . D. 2 abc . Lời giải Chọn C Thể tích khối tứ diện OABC : 1 . . 6 6 acb V OAOB OC . Câu 26: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có tam giác ABC vuông tại A , AB AA a  , 2 AC a . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 a . B. 3 2 3 a . C. 3 a . D. 3 2a . Lời giải Chọn C O A B C a b cB C A A' C' B' Lăng trụ đứng . ABC A B C    AA ABC   . Ta có 1 . . 2 V Bh AB AC AA  3 1 .2 . 2 a a a a . Câu 27: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có độ dài cạnh bằng 10. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ADD A   và BCC B   . A. 10 . B. 100 . C. 10. D. 5 . Lời giải Chọn C D C B A D' C' B' A' Ta có // ADD A BCC B     ; d ADD A BCC B     ; d A BCC B   10 AB . Câu 28: ( T H P T C h u y ê n T h á i B ì n h - l ầ n 2 n ă m h ọ c 2 0 1 7 - 2 0 1 8 ) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi. B. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi. C. Khối lập phương là khối đa diện lồi. D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi. Lời giải Chọn B Ví dụ: hai cái hình lập phương có chung 1 cạnh để minh họa đó không phải là đa diện lồi vì không thỏa mãn điều kiện: Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của khối đa diện H luôn thuộc H . Câu 29: (THPT Yê n L ạ c - V ĩnh P húc - l ần 3 năm 201 7 - 201 8) Số đỉnh của một hình bát diện đều là A. 12. B. 8 . C. 14. D. 6 . Lời giải Chọn D Hình bát diện đều có sáu đỉnh. Câu 30: (SG D B ắc Ni nh nă m 201 7 - 2 01 8) Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 . A. 4 . B. 8 3 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn D Khối lập phương có cạnh bằng a có thể tích 3 V a . Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 là 8 V . Câu 31: ( S GD B ắ c Ni n h năm 201 7 - 20 18) Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA vuông góc với ABCD và 3 SA a . Thể tích của khối chóp . S ABCD là: A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 4 a . D. 3 3 a . Lời giải Chọn B Thể tích khối chóp 3 . 1 3 . 3 3 S ABCD ABCD a V S SA . Câu 32: (S G D B ắc Nin h nă m 20 17 - 201 8) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có thể tích là V . Gọi M là điểm thuộc cạnh CC  sao cho 3 CM C M  . Tính thể tích V của khối chóp . M ABC S A B C DA. 4 V . B. 3 4 V . C. 12 V . D. 6 V . Lời giải Chọn A Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C  và M lên mặt phẳng ABC Ta có // C H MK  3 4 MK CM CC CC   . Khi đó . 1 . 3 M ABC ABC V MK S . 1 3 . . 3 4 4 M ABC ABC V V CC S  . Câu 33: (SG D Ni nh Bì nh n ăm 201 7 - 201 8)Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. Lời giải Chọn A Câu 34: (TH PT C huyê n H ạ L o ng - Qu ả ng N in h - l ần 1 n ăm 201 7 - 201 8) Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt? A. 11. B. 12. C. 10. D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn C Hình đa diện bên có 10 mặt. A B C A  B  C  M H KCâu 35: (THPT Chuyên H ạ Lon g - Qu ảng Ni nh - l ần 1 nă m 2 017 - 201 8 ) Cho khối lăng trụ có thể tích , V diện tích đáy là B và chiều cao . h Tìm khẳng định đúng? A. V Bh . B. 1 3 V Bh . C. V Bh . D. 3 V Bh . Hướng dẫn giải Chọn A Theo công thức tính thể tích khối lăng trụ ta có V Bh . Câu 36: (T H PT Ch uy ê n P ha n B ội Châu - Ng h ệ An - l ầ n 1 nă m 20 17 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B , biết 2 SA AC a . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 2 3 a . B. 3 1 3 a . C. 3 2 2 3 a . D. 3 4 3 a . Lời giải Chọn A B A C S Ta có 2 2 2 2 AC a AB BC a . Thể tích khối chóp . S ABC là 2 2 3 1 1 1 1 2 . . . . 2 .2 3 3 2 6 3 ABC V S SA AB SA a a a . Câu 37: (TH P T C h uy ê n Qu ố c H ọc - H u ế năm 201 7 - 2 018 ) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng ? A. Hình lăng trụ tứ giác đều. B. Hình bát diện đều. C. Hình tứ diện đều. D. Hình lập phương Lời giải Chọn C Ta có phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi đó hình H có tâm đối xứng là I suy ra hình lăng trụ tứ giác đều, hình bát diện đều và hình lập phương là các hình đa diện có tâm đối xứng. Câu 38: (TH P T Ch u yê n Q u ốc H ọc - Hu ế n ăm 2 01 7 - 201 8) Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh ? A. 20 . B. 25 . C. 10. D. 15. Lời giải Chọn D Hình vẽ. D' C' B' E' D C A' A B E . Câu 39: (TH P T C huyê n Qu ốc H ọc - Hu ế n ăm 201 7 - 2 018 ) Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ? A. 5 . B. 6 . C. 9 . D. 8 . Lời giải Chọn C . Câu 40: (T H PT C hu yê n Q u ốc H ọ c - Hu ế nă m 2 017 - 201 8) Một hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và có chiều cao bằng 4. Tính thể tích hình chóp đó. A. 4 . B. 4 3 3 . C. 2 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có diện tích tam giác đều cạnh 2 là 1 .2.2.sin 60 2 S  3 . Thể tích của khối chóp là 1 . 3.4 3 V 4 3 3 . Câu 41: (TH P T Ch u yê n Qu ố c H ọc - H u ế n ăm 201 7 - 201 8) Trong không gian, cho hai điểm A , B cố định, phân biệt và điểm M thay đổi sao cho diện tích tam giác MAB không đổi. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng. B. Tập hợp các điểm M là một mặt trụ. C. Tập hợp các điểm M là một mặt nón. D. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu. Lời giải Chọn B Do hai điểm A , B cố định nên khoảng cách giữa hai điểm A , B cố định. Mà diện tích tam giác MAB không đổi nên khoảng cách từ M đến đoạn thẳng AB không đổi Tập hợp các điểm M trong không gian cách đoạn thẳng AB một khoảng không đổi là một hình trụ. Câu 42: (TH PT Ch u y ên Th ái B ình - l ần 3 n ăm 20 17 - 201 8) Khối mười hai mặt đều có bao nhiêu cạnh? A. 30 cạnh. B. 12 cạnh. C. 16 cạnh. D. 20 cạnh. Hướng dẫn giải Chọn A Khối mười hai mặt đều có 20 đỉnh, 30 cạnh và các mặt là những ngũ giác đều. Câu 43: (TH PT Ch uy ê n T h ái B ình - l ần 3 n ăm 201 7 - 201 8) Thể tích của khối cầu ngoại tiếp bát diện đều có cạnh bằng a là: A. 3 3 3 a  B. 3 2 6 a  . C. 3 2 3 a  . D. 3 8 2 3 a  . Hướng dẫn giải Chọn C O D B A C S S' Giả sử hình bát diện đều như hình vẽ. khi đó Bán kính mặt cầu R SO 2 2 SA OA . 2 2 2 4 a R a 2 2 a . Thể tích của khối cầu 3 4 3 V R  3 2 3 a  . Câu 44: (TH P T C huyê n V ĩn h Phú c - l ầ n 3 nă m 201 7 - 2018) Tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình lập phương là A. 16. B. 26 . C. 8 . D. 24 . Lời giải Chọn B Hình lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt. Vậy tổng số đỉnh, số cạnh và số mặt của hình lập phương là 26 . Câu 45: (TH P T Ch uy ê n V ĩnh P h ú c - l ầ n 3 M Đ 234 nă m h ọc 201 7 - 20 18) Số đỉnh của một hình bát diện đều là: A. 6 . B. 8 . C. 12. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Bát diện đều có dạng   3; 4 . 3;4 6. 4 n p n M D M p  Câu 46: (TH PT H ồn g Qu ang - H ải Dươ ng nă m 201 7 - 201 8) Hình mười hai mặt đều có bao nhiêu cạnh ? A. 30. B. 20 . C. 12. D. 18. Lời giải Chọn A Câu 47: (T HPT H ồng Quang - H ải D ươn g nă m 201 7 - 20 18) Cho một hình lăng trụ có diện tích mặt đáy là B , chiều cao bằng h , thể tích bằng V . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. V Bh . B. 1 3 V Bh . C. 3 V Bh . D. V Bh . Lời giải Chọn A Câu 48: (TH PT H ồn g Qu ang - H ải Dương nă m 201 7 - 201 8) Cho một hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, 2 SA a , thể tích của khối chóp là V . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. 3 2 3 V a . B. 3 2 V a . C. 3 1 3 V a . D. 3 V a . Lời giải Chọn A a 2a D C B A S Ta có: 1 .S . 3 ABCD V SA 3 2 3 a . Câu 49: (TH PT K in h Mô n 2 - H ả i D ư ơ n g nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 2 3a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp bằng A. 3 6a . B. 3 2a . C. 3 3a . D. 3 a . Lời giải Chọn B Ta có 2 3 1 1 . 3 .2 2 3 3 đ V S h a a a . Câu 50: (TH PT K in h Mô n 2 - H ả i D ư ơ n g nă m 20 17 - 201 8) Cho hình lăng trụ đứng . ABCD A B C D     có đáy là hình thoi, biết 4 AA a  , 2 AC a , BD a . Thể tích của khối lăng trụ là A. 3 2a . B. 3 8a . C. 3 8 3 a . D. 3 4a . Lời giải Chọn D Ta có 2 1 . 2 đ S AC BD a ; 2 3 . .4 4 đ V S AA a a a  . Câu 51: (TH PT Lê Ho à n - Th an h Hó a - l ầ n 1 n ă m 20 17 - 201 8) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên 2 AA a  . Thể tích của khối lăng trụ là A. 3 6 4 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 12 a . D. 3 6 12 a . Lời giải Chọn B C' B' A C B A ' Ta có 2 3 3 6 . 2. 4 4 ABC a a V Bh S AA a  . Câu 52: (TH PT Lê Ho à n - Th a n h Hó a - l ần 1 n ă m 2017- 201 8) Nếu một khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h thì thể tích V của nó được tính theo công thức ? A. V Bh . B. 3 V Bh . C. 1 2 V Bh . D. 1 3 V Bh . Lời giải Chọn A Theo kiến thức cơ bản thì V Bh . Câu 53: (TH PT Lê Ho à n - Th an h Hó a - l ầ n 1 n ă m 20 17 - 201 8) Thể tích khối lập phương có cạnh 3a là: A. 3 2a . B. 3 27a . C. 3 8a . D. 3 3a . Lời giải Chọn B Thể tích khối lập phương có cạnh 3a là: 3 3 3 27 V a a . Câu 54: (TH P T Ni n h Gi an g - H ả i D ương n ă m 201 7 - 20 18) Hình đa diện đều có tất cả các mặt là ngũ giác có bao nhiêu cạnh? A B C D A  B  C  D  4a 2a aA. 60 . B. 20 . C. 12. D. 30. Lời giải Chọn D Khối mười hai mặt đều có 20 đỉnh, 30 cạnh và các mặt là những ngũ giác đều. Câu 55: (TH P T Tr ần Qu ốc Tu ấ n nă m 20 17 - 201 8) Cho khối lập phương .     ABCD A B C D có thể tích 1 V . Tính thể tích 1 V của khối lăng trụ .    ABC A B C . A. 1 1 3 V . B. 1 1 2 V . C. 1 1 6 V . D. 1 2 3 V . Hướng dẫn giải Chọn B Khối lập phương .     ABCD A B C D và khối lăng trụ .    ABC A B C có cùng chiều cao mà 1 2 ABC ABCD S S nên 1 1 1 2 2 V V . Câu 56: (TH P T Tr ần Qu ốc Tu ấ n năm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết 3 SA a , tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 V a . B. 3 2 V a . C. 3 3 V a . D. 3 3 a V . Hướng dẫn giải Chọn A 2 3 1 1 . . .3 . 3 3 ABCD V SA S a a a . Câu 57: (TH P T Tr ầ n Q u ốc Tu ấn nă m 201 7 - 20 1 8) Khối chóp . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích bằng 2 3 . Tính cạnh của khối chóp. A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt độ dài cạnh hình chóp là x . Ta có: 2 2 2 2 2 2 x x SO SA AO x . 2 3 V 1 2 . . 3 3 ABCD SO 2 1 2 . 3 3 2 x x 2 x . Câu 58: (TH PT Th an h Mi ệ n 1 - H ải Dươ ng - l ần 1 n ăm 20 17 - 201 8) Khi tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng. A. 4 . B. 3. C. 6. D. 5. Lời giải Chọn C. Các mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Câu 59: (TH P T T h anh Mi ện 1 - H ải D ươn g - l ầ n 1 n ăm 2017- 201 8) Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5 , đáy là hình vuông có cạnh bằng 4 . Hỏi thể tích khối lăng trụ là: A. 100 . B. 20 . C. 64 . D. 80 . Lời giải Chọn D Lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5 nên có chiều cao 5 h . Thể tích khối lăng trụ là: 2 . 4 .5 80 ABCD V S h . Câu 60: (TH P T Tr ầ n Hưn g Đ ạo - TP HC M nă m 201 7 - 2 018 ) Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . A. 3 3 4 a V . B. 3 2 3 a V . C. 3 3 2 a V . D. 3 2 4 a V . Lời giải Chọn A Ta có: 2 3 . 3 3 . . 4 4 ABC A B C ABC a a V S AA a      . Câu 61: (TH PT T ứ K ỳ - H ải D ương nă m 201 7 - 201 8) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? A. Lăng trụ lục giác đều. B. Tứ diện đều. C. Hình lập phương. D. Bát diện đều. Hướng dẫn giải Chọn B Dễ thấy hình tứ diện đều không có tâm đối xứng. Câu 62: (TH PT Xu ân T rư ờng - Na m Đ ịn h n ăm 201 7 - 201 8 ) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A , 2cm SA , 4cm AB , 3cm AC . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 12 cm 3 . B. 3 24 cm 5 . C. 3 24 cm 3 . D. 3 24cm . Lời giải Chọn A A C B S 3 . 1 1 1 . . .2. .4.3 4 cm 3 3 2  S ABC ABC V SA S . Câu 63: (TH PT Xu ân T rư ờng - Na m Đ ịn h n ăm 201 7 - 201 8 ) Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện ? A. . B. C. D. Lời giải Chọn C Câu 64: (TH PT Lươ n g Vă n Ch as n h P h u s Yê n n ăm 201 7 - 201 8 ) Trong các mềnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? Số các cạnh của hình đa diện đều luôn luôn: A. Lớn hơn 6 . B. Lớn hơn 7 . C. Lớn hơn hoặc bằng 8 . D. Lớn hơn hoặc bằng 6 . Lời giải Chọn D Hình tứ diện là một hình đa diện nên ta chọn D. Câu 65: (TH PT Đô L ươ ng 4 - Ng h ệ An nă m 201 7 - 20 18) Gọi M , C , Đ thứ tự là số mặt, số cạnh, số đỉnh của hình bát diện đều. Khi đó S M C Đ bằng: A. 24 S . B. 26 S . C. 30 S . D. 14 S . Lời giải Chọn B Ta có bát diện đều có số mặt là 8 , số cạnh là 12 , số đỉnh là 6. Vậy 26 Đ S M C . Câu 66: (TH PT Đô L ươ ng 4 - Ng h ệ An nă m 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , 2 BC a , 2 SA a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính thể tích khối chóp . S ABCD tính theo a . A. 3 8 3 a . B. 3 4 3 a . C. 3 6 3 a . D. 3 4a . Lời giải Chọn B Ta có . ABCD S AB CD 2 2a . Thể tích khối chóp . S ABCD là . 1 . 3 S ABCD ABCD V SA S 3 2 1 4 2 .2 3 3 a a a . Câu 67: (T H PT C h uy ê n B iên Hò a - Hà N am - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện? A. Hình 1. B. Hình 2 . C. Hình 4 . D. Hình 3 . Lời giải Chọn D Có một cạnh là cạnh chung của 3 mặt. Câu 68: (TH P T Ch u yê n B iê n Hò a - Hà N am - l ần 1 n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng SAD tạo với đáy một góc 60  . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 3 3 8 a V . B. 3 4 3 3 a V . C. 3 8 3 3 a V . D. 3 3 3 4 a V . Lời giải Chọn C Ta có: SAD ABCD AD  ; AB AD  , ( ) AD SAB  AD SA  nên góc tạo bởi mặt phẳng SAD và đáy là o 60 SAB . 1 . . 3 SABCD ABCD V S SB 2 0 1 . 2 .2 .tan 60 3 a a 3 8 3 3 a . Câu 69: ( TH PT Y ên Đ ị n h - T h an h Hó a - l ần 1 n ăm 201 7 - 201 8 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ABCD  , SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Tính thể tích khối chóp . G ABCD . A. 3 1 6 a . B. 3 1 12 a . C. 3 2 17 a . D. 3 1 9 a . Hướng dẫn giải Chọn D G N M C A D B S Gọi , M N lần lượt là trung điểm của CD và SD . Ta có , 1 3 , d G ABCD GM SM d S ABCD . Ta có 3 . 1 1 1 , . . . 3 3 3 9 G ABCD ABCD ABCD a V d G ABCD S SA S . Câu 70: (T H PT M ộ Đ ứ c - Quã ng Ng ãi - l ần 1 nă m 201 7 - 2018) Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a thì có thể tích bằng A. 3 3 8 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 12 a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn D Thể tích khối lăng trụ tam giác đều: 2 3 3 3 . . 4 4 a a V h S a . Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 a và khoảng cách giữa hai đáy bằng 3 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 2 V a . B. 3 3 V a . C. 3 V a . D. 3 9 V a . Lời giải Chọn B Ta có chiều cao lăng trụ 3 h a . Thể tích của khối lăng trụ 3 3 V Bh a . Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 3 a và khoảng cách giữa hai đáy bằng a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 V a . B. 3 3 2 V a . C. 3 3 V a . D. 3 9 V a . Lời giải Chọn C Theo đề ta có: diện tích đáy 2 3 B a và chiều cao của lăng trụ h a . Thể tích khối lăng trụ là . V B h 2 3 . a a 3 3 a . Câu 3: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có AB a , AD b , A A c  . Thể tích của khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     bằng bao nhiêu? A. ab c . B. 1 2 abc . C. 1 3 abc . D. 3 ab c . Lời giải Chọn A Thể tích của khối hộp chữ nhật là V abc . Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi? Hình (I) Hình (II) Hình (III) Hình (IV) A. Hình (IV). B. Hình (III). C. Hình (II). D. Hình (I). Lời giải Chọn A N M Ta có đường nối hai điểm MN không thuộc hình IV nên đây không phải là đa diện lồi. Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho lăng trụ đứng . A B C A B C    có đáy tam giác A B C vuông tại B ; 2 A B a , B C a , 2 3 AA a  . Thể tích khối lăng trụ . A B C A B C    là A. 3 4 3 a . B. 3 2 3 a . C. 3 2 3 3 a . D. 3 4 3 3 a . Lời giải Chọn B C ' B ' A B C A ' Vì lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông nên ta có thể tích lăng trụ là . AB C A B C V    1 .2 . .2 3 2 a a a 3 2 3 a . Câu 6: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Hình chóp . S A B C D đáy là hình chữ nhật có A B a , 2 A D a . SA vuông góc mặt phẳng đáy, 3 SA a . Thể tích của khối chóp là A. 3 2 3 3 a . B. 3 2 6 3 a . C. 3 3 a . D. 3 3 3 a . Lời giải Chọn A C A B D S Thể tích khối chóp là 1 . . 3 V S A dt AB C D 1 . . . 3 SA AB A D 3. .2 3 a a a 3 2 3 3 a . Câu 7: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. V Bh . B. 1 3 V B h . C. 1 2 V Bh . D. 1 6 V B h . Lời giải Chọn A Ta có thể tích khối lăng trụ V Bh . Câu 8: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Khối lăng trụ có chiều cao bằng h , diện tích đáy bằng B có thể tích là A. 1 . 6 V B h . B. . V B h . C. 1 . 3 V B h . D. 1 . 2 V B h . Lời giải Chọn B Thể tích khối lăng trụ . V B h . Câu 9: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Gọi n là số hình đa diện trong bốn hình trên. Tìm n . A. 4 n . B. 2 n . C. 1 n . D. 3 n . Lời giải Chọn D Số hình đa diện là 3 vì hình đầu tiên không phải hình đa diện. Câu 10: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A B C có cạnh SA vuông góc với đáy và S A a . Đáy A B C là tam giác đều cạnh bằng a . Tính thể tích khối chóp . S A B C . A. 3 12 a V . B. 2 3 V a . C. 3 3 12 a V . D. 3 4 a V . Lời giải Chọn C A B C S Thể tích khối chóp 1 . 3 ABC V SA S  2 1 3 . 3 4 a a 3 3 12 a . Câu 11: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho khối chóp có thể tích 3 36 cm V và diện tích mặt đáy 2 6 cm B . Chiều cao của khối chóp là A. 72 cm h . B. 1 cm 2 h . C. 6 cm h . D. 18 cm h . Lời giải Chọn D Ta có 3 V h B 3.36 18 6 cm . Câu 12: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây? A.   3;4 . B.   4;3 . C.   3;5 . D.   5;3 . Lời giải Chọn C Khối hai mươi mặt đều có các mặt là tam giác nên thuộc loại   3;5 . Câu 13: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 3 a . A. 3 3 12 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 a . D. 3 a . Lời giải Chọn D Ta có: 2 3 . 1 1 . .3 . 3 3 S ABC D ABCD V h S a a a Câu 14: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng a . A. 3 3 a V . B. 3 V a . C. 3 2 3 a V . D. 3 6 a V . Lời giải Chọn B A B C D D  A  B  C  . . . A B CD A B C D V A B A A A D      3 a . Câu 15: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA A BCD  , 3 SB a . Tính thể tích V của khối chóp . S A B CD theo a . A. 3 2 V a . B. 3 2 6 a V . C. 3 2 3 a V . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn C B C D A S Tam giác S AB vuông tại A nên 2 2 SA SB AB 2 2 3 a a 2 a . Thể tích khối chóp là 1 . 3 AB CD V SA S 2 1 . 2. 3 a a 3 2 3 a . Câu 16: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương có thể tích bằng 8 . Diện tích toàn phần của hình lập phương là A. 36. B. 48 . C. 16. D. 24 . Lời giải Chọn D Giả sử hình lập phương có cạnh a . Ta có 3 8 a 2 a . Diện tích toàn phần của hình lập phương là 2 6 24 a . Câu 17: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Bán kính R của khối cầu có thể tích 3 32 3 a V  là A. 2 R a . B. 2 2 R a . C. 2 a . D. 3 7 a . Lời giải Chọn A Thể tích khối cầu 3 3 3 32 4 32 3 3 3 a a V R    2 R a . Câu 18: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Hình nào sau đây không có trục đối xứng? A. Hình tròn. B. Đường thẳng. C. Hình hộp xiên. D. Tam giác đều. Lời giải Chọn C  Đường tròn có vô số trục đối xứng, các trục này đi qua tâm đường tròn.  Đường thẳng có 1 trục đối xứng trùng với nó.  Tam giác đều có 3 trục đối xứng, các trục này đi qua trọng tâm của tam giác đều.  Hình hộp xiên không có trục đối xứng. Câu 19: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Khối tám mặt đều có tất cả bao nhiêu đỉnh? A. 8 . B. 6 . C. 12. D. 10. Lời giải Chọn B Khối bát diện đều có 6 đỉnh và 12 cạnh. Câu 20: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Một khối lập phương có độ dài cạnh bằng 5 , thể tích khối lập phương đã cho bằng A. 243. B. 25 . C. 81. D. 125. Lời giải Chọn D Ta thấy y  đổi dấu hai lần. Tuy nhiên tại 0 x thì 3 5 125 V . Câu 21: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm 2;1; 1 A , 1;0;4 B , 0; 2; 1 C . Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng đi qua A và vuông góc BC . A. 2 5 0 x y z . B. 2 5 5 0 x y z . C. 2 5 5 0 x y z . D. 2 5 5 0 x y z . Lời giải Chọn B Phương trình mặt phẳng qua 2;1; 1 A nhận 1; 2 5 BC     làm vtpt: 2 2 1 5 1 0 x y z 2 5 5 0 x y z . Câu 22: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là A. 1 3 V Sh . B. 3 V S h . C. 1 2 V Sh . D. V S h . Lời giải Chọn A Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là 1 3 V Sh . 1 d 2 d 3 d 4 d n d d  1 d 2 d 3 dCâu 23: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Hình tứ diện có bao nhiêu cạnh? A. 4 cạnh. B. 3 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6 cạnh. Lời giải Chọn D Hình tứ diện có 6 cạnh. Câu 24: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h là A. 1 2 V B h . B. 1 3 V Bh . C. V B h . D. 2 3 V Bh . Lời giải Chọn C Câu 25: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Người ta ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập như hình dưới. Tính diện tích toàn phần tp S của khối chữ thập đó. A. 2 20 tp S a . B. 2 12 tp S a . C. 2 30 tp S a . D. 2 22 tp S a . Lời giải Chọn D Diện tích toàn phần của 5 khối lập phương là 2 2 5.6 30 a a . Khi ghép thành khối hộp chữ thập, đã có 4.2 8 mặt ghép vào phía trong, do đó diện tích toàn phần cần tìm là 2 2 2 30 8 22 a a a . Câu 26: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Thể tích hình lập phương cạnh 3 là A. 3 . B. 3 . C. 6 3 . D. 3 3 . Lời giải Chọn D Thể tích hình lập phương cạnh 3 là 3 3 V 3 3 . Câu 27: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A B C có tam giác A B C vuông tại A , 2 AB a ; AC a ; 3 SA a ; SA A B C  . Thể tích của hình chóp là A. 3 2 V a . B. 3 6 V a . C. 3 V a . D. 3 3 V a . Lời giải Chọn C Thể tích của hình chóp là 1 1 . . . . 3 2 V A B A B SA 1 1 . .2 . .3 3 2 a a a 3 a . Câu 28: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là 2 3 a , độ dài cạnh bên bằng 2 a . Thể tích khối lăng trụ này bằng A. 3 2 a . B. 3 a . C. 3 3 a . D. 3 6 a . Lời giải Chọn D Thể tích khối lăng trụ là . V B h 2 3 .2 a a 3 6 a . Câu 29: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Cho khối tự diện OA BC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA a ; OB b ; OC c . Thể tích khối tứ diện OA B C được tính theo công thức nào sau đây A. 1 . . 2 V a b c . B. 1 . . 3 V a b c . C. 1 . . 6 V a b c . D. 3 . . V a b c . Lời giải Chọn C 1 1 1 1 . . . . . 3 3 2 6 OA BC V Sh O A OB OC a b c Câu 30: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình vuông cạnh bằng 2 a . Biết 6 S A a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp . S A B C D . A. 3 12 3 a . B. 3 24 a . C. 3 8 a . D. 3 6 3 a . Lời giải Chọn C A D B C S Ta có 2 4 ABC D S a . Do SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên . 1 . . 3 S ABC D ABCD V SA S 3 8 a . Câu 31: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho khối chóp . S AB C có đáy là tam giác vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy và 3 SA BC a . Tính thể tích khối chóp . S AB C . A. 3 3 6 V a . B. 3 3 2 V a . C. 3 3 3 4 V a . D. 3 3 4 V a . Lời giải Chọn D a 3 a 3 C A B S Ta có 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 4 AB C a A B A C B C AB a A B a S  . Suy ra 2 3 . 1 1 3 3 . 3. 3 3 4 4 S AB C AB C a V SA S a a  . Câu 32: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a . Thể tích khối chóp . S ABCD bằng A. 3 3 a . B. 3 2 3 a . C. 3 4 3 a . D. 3 2 a . Lời giải Chọn B . S A BC D V 1 3 AB C D S SA  3 2 1 2 2 3 3 a a a   . Câu 33: Cho hình hộp đứng . ABCD A B C D     có cạnh bên AA h  và diện tích tam giác AB C bằng S . Thể tích của khối hộp . ABCD A B C D     bằng A. 1 3 V Sh . B. 2 3 V Sh . C. V Sh . D. 2 V Sh . Lời giải Chọn D B A S C D. .2 2 A BC D V h S h S Sh . Câu 34: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S AB C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 3 SA a . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 . S AB C V a (đvtt). B. 3 . 2 S ABC a V (đvtt). C. 3 . 3 S ABC V a (đvtt). D. 2 . S ABC V a (đvtt). Lời giải Chọn A Thể tích khối chóp là 1 . 3 ABC V SA S 1 . . .sin 60 6 SA A B A C  1 3 3.2 .2 . 6 2 a a a 3 a . Câu 35: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Khối lăng trụ ngũ giác có bao nhiêu mặt? A. 7 mặt. B. 9 mặt. C. 6 mặt. D. 5 mặt. Lời giải Chọn A E' E D C B A D' C' B' A' Khối lăng trụ ngũ giác . ABCDE A B C D E      có 7 mặt (5 mặt bên và 2 mặt đáy). Câu 36: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. 1 6 V B h . B. 1 3 V B h . C. 1 2 V Bh . D. V Bh . Lời giải Chọn D Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là V Bh . Câu 37: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Trong tất cả các loại hình đa diện đều sau đây, hình nào có số mặt nhiều nhất? A. Loại   3;4 . B. Loại   5;3 . C. Loại   4;3 . D. Loại   3;5 . Lời giải Chọn D Loại   3;4 có 8 mặt. Loại   5;3 có 12 mặt. Loại   4;3 có 6 mặt. Loại   3;5 có 20 mặt. Suy ra kết quả là đáp án D. Câu 38: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy bằng B là A. 1 3 V Bh . B. 1 2 V Bh . C. 1 6 V B h . D. V B h . Lời giải Chọn D Câu 39: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A BCD là hình vuông cạnh a , 3 2 a S D , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng A B C D là trung điểm của cạnh A B . Tính theo a thể tích khối chóp . S A B C D . A. 3 2 a . B. 3 3 a . C. 3 4 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm A B S H AB C D  . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 9 4 4 a a SH SD HD SD A H A D a a     . Vậy: 3 . 1 . 3 3 S AB C D A BCD a V S SH . Câu 40: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho khối lăng trụ đứng . A B C A B C    có BB a  , đáy A B C là tam giác vuông cân tại B và 2 A C a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 2 a V . B. 3 6 a V . C. 3 3 a V . D. 3 V a . Lời giải Chọn A Tam giác A B C vuông cân tại B nên 2 A C A B a . Thể tích khối lăng trụ bằng 3 . . . . 2 2 ABC A B C ABC a a a V BB S a     . Câu 41: (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S A B C D có A B C D là hình vuông cạnh a . Tam giác S A B đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng A B C D . Thể tích của khối chóp . S A B C D là A. 3 3 6 a . B. 3 2 a . C. 3 6 a . D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn A I D B A C S Gọi I là trung điểm của A B suy ra S I A BC D  và 3 2 a SI . Thể tích khối chóp là 3 2 1 3 3 . . 3 2 6 a a V a . Câu 42: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. 1 2 V Bh . B. 1 3 V Bh . C. 1 6 V B h . D. V B h . Lời giải Chọn D Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là V B h . Câu 43: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là A. 4 3 V Bh . B. 1 3 V Bh . C. V B h . D. 1 2 V B h . Lời giải Chọn B Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 1 3 V Bh . Câu 44: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp tứ giác . S A B C D có đáy A B C D là hình vuông cạnh bằng a , S A A B C  , 3 S A a . Thể tích của khối chóp . S A B C D là A. 3 6 V a . B. 3 V a . C. 3 3 V a . D. 3 2 V a . Lời giải Chọn B Thể tích của khối chóp . S A B C D là 2 3 1 1 . .3 3 3 ABC D V S SA a a a . Câu 45: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho tứ diện O A B C có O A, O B , O C đôi một vuông góc với nhau tại O và 2 O A , 4 O B , 6 O C . Thể tích khối tứ diện đã cho bằng. A. 48 . B. 24 . C. 16. D. 8. Lời giải Chọn D Ta có 1 1 . . .2.4.6 8 6 6 O AB C V OA O B O C . Câu 46: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Hình bát diện đều có bao nhiêu cạnh? A. 10. B. 8 . C. 12. D. 20 . Lời giải Chọn C Theo lý thuyết thì hình bát diện đều có 12 cạnh. Câu 47: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 6 và chiều cao bằng 5 . A. 60 V . B. 180 V . C. 50 V . D. 150 V . Lời giải Chọn B Thể tích 2 . 6 .5 180 V S h . Câu 48: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho một khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . Nếu giữ nguyên chiều cao h , còn diện tích đáy tăng lên 3 lần thì ta được một khối chóp mới có thể tích là: A. V B h . B. 1 6 V B h . C. 1 2 V B h . D. 1 3 V B h . Lời giải Chọn A Ta có 3  B B nên thể tích khối chóp mới là 1 3  V B h B h . Câu 49: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Với là số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai? A. 2 10 100 . B. 10 10 . C. 2 10 10 . D. 2 2 10 10 . S A D B C a 3 aLời giải Chọn D Đáp án D sai do với mọi 0 a và , m n  ta có: . n m m n m n a a a . Khi đó 2 2 2 10 10 10 . Câu 50: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng. B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh. C. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4 . D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh. Lời giải Chọn B Khối lập phương và khối bát diện đều có 12 cạnh. Khối tứ diện đều Khối lập phương Khối bát diện đều Khối 12 mặt đều Khối 20 mặt đều Câu 1: ( SGD Th a n h H óa – năm 2017 – 20 18 ) Hình bát diện đều (tham khảo hình vẽ) có bao nhiêu mặt? A. 8 . B. 9. C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn A Tính theo định nghĩa. Câu 2: ( T HP T C huyê n H ù ng V ư ơ n g – G i a L ai – L ần 2 n ăm 20 17 – 20 18 ) Cho hình lăng trụ tứ giác . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3 3a . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho. A. h a . B. 3 h a . C. 9 h a . D. 3 a h . Lời giải Chọn B Ta có: . . ABCD A B C D ABCD V S h     . ABCD A B C D ABCD V h S     3 2 3a a 3a . Câu 3: (TH P T C h u V ăn An – Hà N ộ i - nă m 2 017 - 201 8 ) Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A. Ba mặt. B. Hai mặt. C. Bốn mặt. D. Năm mặt. Lời giải Chọn A Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất của ba mặt. Ví dụ đỉnh của tứ diện. Câu 4: ( S GD B ắc Ni n h – L ần 2 - năm 201 7 - 201 8 ) Khối đa diện đều loại   4;3 có số đỉnh là A. 10. B . 8 . C. 4 . D . 6 . Lời giải Chọn B Khối đa diện đều loại   4;3 là khối đa diện có các mặt là một tứ giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt. Vậy khối đa diện đó là khối lập phương. Do đó, số đỉnh của khối đa diện đều loại   4;3 là 8 đỉnh. Câu 5: ( Ch u yê n Lê H ồ n g P h on g – N am Đ i nh - nă m 201 7 - 201 8) Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại nào ? A.   5;3 . B.   3;4 . C.   4;3 . D.   3;5 . Hướng dẫn giải Chọn B Câu 6: (Ch uy ên Lê H ồ ng P ho ng – Na m Đin h - n ăm 201 7 - 2 01 8) Thể tích khối lăng trụ có chiều cao bằng h , diện tích đáy bằng B là A. 1 . 2 B h . B. 1 . 3 B h . C. . B h . D. 1 . 6 B h . Hướng dẫn giải Chọn C Câu 7: ( TH PT Đ ặn g T h úc H ứa – Ng h ệ A n - nă m 201 7 - 201 8) Hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Lời giải Chọn B Có 4 mặt phẳng đối xứng như hình vẽ sau. . Câu 8: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     . Tính góc giữa hai đường thẳng B D   và A A  . A. 90  . B. 45 . C. 60 . D. 30  . Câu 9: Cho khối chóp . S ABC có đáy là tam giác đều, SA ABC  và SA a . Biết rằng thể tích của khối . S ABC bằng 3 3a . Tính độ dài cạnh đáy của khối chóp . S ABC . A. 2 3a . B. 2 2a . C. 3 3a . D. 2a. Câu 10: Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 11: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     . Tính góc giữa hai đường thẳng B D   và A A  . A. 90  . B. 45 . C. 60 . D. 30  . Lời giải Chọn A D' C' B' A' D C B A Ta có . ABCD A B C D     là hình lập phương nên cạnh A A A B C D       và B D A B C D       Nên A A B D     , 90 A A B D      . Câu 12: Cho khối chóp . S ABC có đáy là tam giác đều, SA ABC  và SA a . Biết rằng thể tích của khối . S ABC bằng 3 3a . Tính độ dài cạnh đáy của khối chóp . S ABC . A. 2 3a . B. 2 2a . C. 3 3a . D. 2a. Lời giải Chọn A Tam giác ABC là tam giác đều cạnh x nên đường cao 3 .sin 60 2 h BC x  . Ta có . 1 . . 3 S ABC ABC V SA S  3 2 . 3 3 3 3 3 S ABC ABC V a S a SA a  . 2 1 . . 3 3 2 h BC a 2 1 3 . 3 3 2 2 x x a 2 2 12 x a 2 3 x a . Câu 13: Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn C Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều có 2 mặt phẳng đối xứng gồm mặt phẳng trung trực của cạnh bên và mặt phẳng trung trực của cạnh đáy của tam giác đáy hình lăng trụ (hình vẽ minh họa). Câu 14: Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 3 và độ dài đường cao bằng 4 là A. 12 V . B. 8 V . C. 4 V . D. 6 V . Lời giải Chọn A C B A S h C B AThể tích khối lăng trụ là . V B h 3.4 12 . Câu 15: Thể tích V của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng 3B là A. 3 V Bh . B. 1 3 V Bh . C. 1 6 V Bh . D. V Bh . Câu 16: Thể tích V của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng 3B là A. 3 V Bh . B. 1 3 V Bh . C. 1 6 V Bh . D. V Bh . Lời giải Chọn D Ta có 1 .3 . 3 V B h Bh . Câu 17: Thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a là A. 3 3 2 a V . B . 3 3 V a . C. 3 3 4 a V . D . 3 3 3 a V . Câu 18: Thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a là A. 3 3 2 a V . B . 3 3 V a . C. 3 3 4 a V . D . 3 3 3 a V . Lời giải Chọn B a 2a A' C' B' B C A Ta có . ABC V S AA  2 2 3 . 4 a a 3 3 a . Câu 19: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , 3 SA a . Thể tích khối chóp . S ABCD bằng A. 3 a . B. 3 9 a . C. 3 3 a . D. 3 3a . Câu 20: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA AB a , SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Thể tích của khối chóp . S ABC bằng A. 3 3 a . B. 3 3 2 a . C. 3 2 a . D. 3 6 a . Câu 21: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , 3 SA a . Thể tích khối chóp . S ABCD bằng A. 3 a . B. 3 9 a . C. 3 3 a . D. 3 3a . Lời giải Chọn A Thể tích khối chóp . 1 . 3 S ABCD ABCD V S SA 2 3 1 . .3 3 a a a . Câu 22: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , SA AB a , SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Thể tích của khối chóp . S ABC bằng A. 3 3 a . B. 3 3 2 a . C. 3 2 a . D. 3 6 a . Lời giải Chọn D Thể tích của khối chóp . S ABC là 3 1 1 1 . . . . . 3 3 2 6 ABC a V S SA AB AC SA  . Câu 23: Thể tích của khối chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 6 3 a và cạnh đáy bằng 3 a bằng: A. 3 3 6 2 a . B. 3 3 2 2 a . C. 3 3 2 4 a . D. 3 6 3 a . Câu 24: Thể tích của khối chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 6 3 a và cạnh đáy bằng 3 a bằng: A. 3 3 6 2 a . B. 3 3 2 2 a . C. 3 3 2 4 a . D. 3 6 3 a . Lời giải S A B C D a 3a Chọn D Ta có : 1 . 3 ABCD V S SO 2 1 6 . 3 . 3 3 a a 3 6 3 a . Câu 25: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD a , 3 SA CD a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Thể tích khối chóp . S ABCD bằng. A. 3 6a . B. 3 1 6 a . C. 3 1 3 a . D. 3 2a . Câu 26: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , 2 BC a , SA ABC  , 3 SA a . Thể tích của khối chóp . S ABC bằng A. 3 a . B. 3 1 3 a . C. 3 3a . D. 3 1 6 a . Câu 27: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB AD a , 3 SA CD a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Thể tích khối chóp . S ABCD bằng. A. 3 6a . B. 3 1 6 a . C. 3 1 3 a . D. 3 2a . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 2 . 3 2 2 2 ABCD AB DC AD a a a S a . Vậy . 1 . 3 S ABCD ABCD V SA S 2 3 1 3 .2 2 3 a a a . Câu 28: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , 2 BC a , SA ABC  , 3 SA a . Thể tích của khối chóp . S ABC bằng A. 3 a . B. 3 1 3 a . C. 3 3a . D. 3 1 6 a . O D B A C S 3a aHướng dẫn giải Chọn A A C B S Thể tích . 1 . 3 S ABC ABC V S SA 1 1 . . . 3 2 BA BC SA 3 1 .2 .3 6 a a a a . Câ u 29: [2 Đ1 - 1]Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ? A. 3 3 1 y x x . B. 3 3 1 y x x . C. 3 3 1 y x x . D. 3 3 1 y x x . Câ u 30: [2 Đ1 - 1]Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ? A. 3 3 1 y x x . B. 3 3 1 y x x . C. 3 3 1 y x x . D. 3 3 1 y x x . Lời giải Chọn A Vì đồ thị có hệ số 0 a và đi qua điểm 1; 1 A . Câu 31: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là A. a . B. 2 2 a . C. 2 a . D. 3 2 a . Câu 32: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB là A. a . B. 2 2 a . C. 2 a . D. 3 2 a . Hướng dẫn giải Chọn C O x y 1 1 1 3 1H I D C B A S Gọi I AC BD  , H là hình chiếu của I lên SB . Ta có AC BD AC SI    AC SBD  AC HI  Ta có HI SB gt HI AC    HI là đoạn vuông góc chung của AC và BD , d AC SB IH BD là đường chéo hình vuông cạnh a 2 BD a 2 2 a BI 2 2 SI SB BI 2 2 2 2 2 2 a a SI a       . Tam giác SBI vuông tại I có IH SB  2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 IH SI IB a a         2 4 a 2 a IH . Câu 33: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S thì có thể tích bằng A. Sh . B. 1 6 Sh . C. 1 3 Sh . D. 1 2 Sh. Câu 34: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S thì có thể tích bằng A. Sh . B. 1 6 Sh . C. 1 3 Sh . D. 1 2 Sh . Lời giải Chọn A Câu 35: Khối lăng trụ tam giác có bao nhiêu đỉnh? A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 1 . Câu 36: Khối chóp có diện tích đáy bằng 2 6 m  , chiều cao bằng 7 m  thì có thể tích là: A. 3 8 m  . B. 3 16 m  . C. 3 14 m  . D. 3 7 m  . Câu 37: Khối lăng trụ tam giác có bao nhiêu đỉnh? A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 1 . Lời giải Chọn B Khối lăng trụ tam giác có 6 đỉnh. Câu 38: Khối chóp có diện tích đáy bằng 2 6 m  , chiều cao bằng 7 m  thì có thể tích là: A. 3 8 m  . B. 3 16 m  . C. 3 14 m  . D. 3 7 m  . Lời giải Chọn C 3 1 .6.7 14 m 3 V  . Câu 39: Nếu có một khối chóp có thể tích và diện tích mặt đáy lần lượt bằng 3 a và 2 a thì chiều cao của nó bằng A. 3a . B. 3 a . C. 2a . D. a . Câu 40: Nếu có một khối chóp có thể tích và diện tích mặt đáy lần lượt bằng 3 a và 2 a thì chiều cao của nó bằng A. 3a . B. 3 a . C. 2a . D. a . Lời giải Chọn A Ta có : 1 3 V Bh 3 2 3 3 3 V a h a B a . Câu 41: Hình nào không phải là hình đa diện đều trong các hình dưới đây? A. Hình tứ diện đều. B. Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau. C. Hình lập phương. D. Hình chóp tam giác đều. Câu 42: Hình nào không phải là hình đa diện đều trong các hình dưới đây? A. Hình tứ diện đều. B. Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau. C. Hình lập phương. D. Hình chóp tam giác đều. Lời giải Chọn D Vì hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân không phải là tam giác đều. Câu 43: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 2 6 a V . B. 3 2 4 a V . C. 3 2 V a . D. 3 2 3 a V . Câu 44: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 2 6 a V . B. 3 2 4 a V . C. 3 2 V a . D. 3 2 3 a V . Lời giải Chọn D 3 2 1 2 . . 2 3 3 a V a a . Câu 45: Khối đa diện có tất cả các mặt là hình vuông có bao nhiêu đỉnh. A. 8 . B. 4 . C. 16. D. 20 . Câu 46: Công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy R là A. 2 1 3 V hR . B. 2 V hR  . C. 2 V hR . D. 2 1 3 V hR  . Câu 47: Khối đa diện có tất cả các mặt là hình vuông có bao nhiêu đỉnh. A. 8 . B. 4 . C. 16. D. 20 . Lời giải Chọn A Khối đa diện có tất cả các mặt là hình vuông là khối lập phương. Do đó khối lập phương có 8 đỉnh. Câu 48: Công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy R là A. 2 1 3 V hR . B. 2 V hR  . C. 2 V hR . D. 2 1 3 V hR  . Lời giải Chọn B Câu 49: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , 2 AC a . Biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 2 a . Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC bằng A. 3 2 4 a . B. 2 2 a . C. 3 2 2 a . D. 2 6 a . Câu 50: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , 2 AC a . Biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 2 a . Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC bằng A. 3 2 4 a . B. 2 2 a . C. 3 2 2 a . D. 2 6 a . Lời giải Chọn C Gọi h là khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC . Thể tích khối chóp 1 1 . . . 3 6 ABC V h S AB AC h 3 6. 6 3 2 2 . 2 . 2 a V a h AB AC a a . Câu 51: Số đỉnh của hình bát diện đều bằng A. 6 . B. 12. C. 8 . D. 5 . Câu 52: Số đỉnh của hình bát diện đều bằng A. 6 . B. 12. C. 8 . D. 5 . Lời giải Chọn A Hình bát diện đều có tất cả 6 đỉnh. Câu 53: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a . Tính theo a thể tích V của khối chóp . S ABCD . A B D C S A. 3 6 a V . B. 3 V a . C. 3 2 a V . D. 3 3 a V . Câu 54: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a . Tính theo a thể tích V của khối chóp . S ABCD . A B D C S A. 3 6 a V . B. 3 V a . C. 3 2 a V . D. 3 3 a V . Lời giải Chọn D Thể tích V của khối chóp . S ABCD là: 1 . . 3 ABCD V S SA 2 1 . . 3 a a 3 3 a . Câu 55: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng 2a , chiều dài 3a , chiều cao khối chóp bằng 4a . Thể tích khối chóp theo a là: A. 3 24 V a . B. 3 9 V a . C. 3 40 V a . D. 3 8 V a . Câu 56: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng 2a , chiều dài 3a , chiều cao khối chóp bằng 4a . Thể tích khối chóp theo a là: A. 3 24 V a . B. 3 9 V a . C. 3 40 V a . D. 3 8 V a . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có : 3 1 .4 .2 .3 8 3 V a a a a . Câu 57: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 10 cm là A. 3 1000 cm V . B. 3 500 cm V . C. 3 1000 cm 3 V . D. 3 100 cm V . Câu 58: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 10 cm là A. 3 1000 cm V . B. 3 500 cm V . C. 3 1000 cm 3 V . D. 3 100 cm V . Lời giải Chọn A Ta có thể tích khối lập phương có cạnh bằng 10 cm là 3 3 10 1000 cm V . Câu 59: Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B được tính theo công thức nào dưới đây? A. 1 3 V Bh . B. 3 V Bh . C. V Bh . D. 1 2 V Bh . Câu 60: Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B được tính theo công thức nào dưới đây? A. 1 3 V Bh . B. 3 V Bh . C. V Bh . D. 1 2 V Bh . Lời giải Chọn C Câu 61: Tính thể tích V của khối hộp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . A. 1 3 V Bh . B. V Bh . C. 1 2 V Bh . D. 1 6 V Bh . Câu 62: Tính thể tích V của khối hộp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . A. 1 3 V Bh . B. V Bh . C. 1 2 V Bh . D. 1 6 V Bh . Lời giải Chọn B Câu 63: Cho hình tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 3 SA a . Hãy tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 3 3 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3a . D. 3 3 4 a . Câu 64: Cho hình tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 3 SA a . Hãy tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 3 3 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn A Thể tích của khối chóp là: 3 2 1 3 . 3 3 3 a V a a Câu 65: Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 3a , chiều cao bằng a có thể tích bằng A. 3 3a . B. 3 3 2 a . C. 3 1 2 a . D. 3 a . Câu 66: Khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 3a , chiều cao bằng a có thể tích bằng A. 3 3a . B. 3 3 2 a . C. 3 1 2 a . D. 3 a . Lời giải Chọn A Thể tích khối lăng trụ 2 3 3 3 V B h a a a   . Câu 67: Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C  sao cho 1 3 SA SA  , 1 3 SB SB  , 1 3 SC SC  . Gọi V và V  lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S A B C   . Khi đó tỉ số V V  là A. 1 6 . B. 1 3 . C. 1 27 . D. 1 9 . Câu 68: Cho khối chóp . S ABC , trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A , B , C  sao cho 1 3 SA SA  , 1 3 SB SB  , 1 3 SC SC  . Gọi V và V  lần lượt là thể tích của các khối chóp . S ABC và . S A B C   . Khi đó tỉ số V V  là A. 1 6 . B. 1 3 . C. 1 27 . D. 1 9 . Lời giải Chọn C S A B C C  B  A Ta có 1 1 1 1 . . . . 3 3 3 27 V SA SB SC V SA SB SC     . Câu 69: Hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có các kích thước là AB x , 2 BC x và 3 CC x  . Tính thể tích của hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     . A. 3 3x . B. 3 x . C. 3 2x . D. 3 6x . Câu 70: Hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có các kích thước là AB x , 2 BC x và 3 CC x  . Tính thể tích của hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     . A. 3 3x . B. 3 x . C. 3 2x . D. 3 6x . Lời giải Chọn D Dễ thấy ba kích thước AB , BC và CC  chính là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp chữ nhật. Do đó, thể tích bằng 3 .2 .3 6 V x x x x . Câu 71: Khối mười hai mặt đều có bao nhiêu cạnh? A. 30 cạnh. B. 12 cạnh. C. 16 cạnh. D. 20 cạnh. Câu 72: Khối mười hai mặt đều có bao nhiêu cạnh? A.30 cạnh. B. 12 cạnh. C. 16 cạnh. D. 20 cạnh. Lời giải Chọn A Câu 73: Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là A. V Bh . B. 1 3 V Bh . C. 1 6 V Bh . D. 1 2 V Bh . Câu 74: Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là A. V Bh . B. 1 3 V Bh . C. 1 6 V Bh . D. 1 2 V Bh . Lời giải Chọn A Câu 75: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành A. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều. B. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. C. các đỉnh của một hình tứ diện đều. D. các đỉnh của một hình bát diện đều. Câu 76: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành A. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều. B. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. C. các đỉnh của một hình tứ diện đều. D. các đỉnh của một hình bát diện đều. Hướng dẫn giải Chọn D Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều. Câu 1: (T HP T Ch uy ên Hùng Vươn g - P hú Th ọ - l ầ n 1 - N H2 017 - 20 18) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho? A. 3 4 7 V a . B. 3 4 7 9 a V . C. 3 4 3 a V . D. 3 4 7 3 a V . Lời giải Chọn D Trong mặt phẳng ABCD , gọi O AC BD  , do hình chóp . S ABCD đều nên SO ABCD  . Đáy là hình vuông vạnh 2a 2 2 AC AO a Trong tam giác vuông SAO có 2 2 7 SO SA AO a Thể tích V của khối chóp trên là 3 2 1 1 4 7 . 74 3 3 3 ABCD a V SO S a a . Câu 2: (T HT T S ố 1 - 48 4 th án g 10 năm 2017 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 45 . Gọi 1 2 ; V V lần lượt là thể tích khối chóp . S AHK và . S ACD với H , K lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp . S ABCD và tỉ số 1 2 V k V . A. 1 ; 4 h a k . B. 1 ; 6 h a k . C. 1 2 ; 8 h a k . D. 1 2 ; 3 h a k . Lời giải Chọn A Do SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy nên SA ABCD  . Ta có CD AD CD SAD CD SD CD SA      . S A B C D O A B C D S H K a Dễ thấy góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD là 45 SDA . Ta có tam giác SAD là tam giác vuông cân đỉnh A . Vậy h SA a . Áp dụng công thức tỉ số thể tích có: 1 2 1 . 4 V SH SK V SC SD . Câu 3: ( T HT T S ố 1 - 48 4 th án g 1 0 nă m 2 017 - 201 8) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , 3 2 a AA  . Biết rằng hình chiếu vuông góc của A  lên ABC là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. A. 3 V a . B. 3 2 3 a V . C. 3 3 4 2 a V . D. 3 3 2 V a . Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm BC . Theo giả thiết, A H  là đường cao hình lăng trụ và 2 2 6 . 2 a A H AA AH   Vậy, thể tích khối lăng trụ là 2 3 Δ 3 6 3 2 . . 4 2 8 ABC a a a V S A H  . Câu 4: (T HP T Ch uy ê n Quang Tr u ng - Bìn h Phư ớc - l ần 1 - n ăm 201 7 - 2 0 18) Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C    có thể tích là V . Gọi I , J lần lượt là trung điểm hai cạnh AA  và BB  . Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC  bằng A. 4 5 V . B. 3 4 V . C. 5 6 V . D. 2 3 V . Lời giải Sai Chọn C Sửa Chọn D A B C A  B  C  HA  A B  B C  C I J K Gọi K là trung điểm của CC  thì hiển nhiên thể tích của khối lăng trụ ABCIJK bằng 2 ABCIJK V V . Thể tích của khối chóp tam giác . C IJK  bằng . 1 3 C IJK V V  . Do đó thể tích của . ABCIJC ABCIJK C IJK V V V   5 2 3 6 V V V 5 6 V . Trình bày lại Gọi K là trung điểm của CC  thì 2 ABCIJK A B C IJK V V V    . Thể tích của khối chóp tam giác . C IJK  bằng . 1 3 6 C IJK A B C IJK V V V     . Do đó thể tích của . ABCIJC ABCIJK C IJK V V V   2 2 6 3 V V V . Câu 5: (T HPT C huyên Qu ang Tr un g - B ìn h P hư ớ c - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 20 18) Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 6 . Lời giải Chọn D Câu 6: (TH P T C h uy ên Thái B ình - l ầ n 1 - n ăm 2017- 201 8) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 3, cạnh bên bằng 2 3 và tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 .  Khi đó thể tích khối lăng trụ là? A. 9 . 4 B. 27 3 . 4 C. 27 . 4 D. 9 3 . 4 Lời giải Chọn C Kẻ C H ABC   tại ; . H CC ABC C CH   Bài ra ; 30 30 CC ABC C CH     1 1 2 3 sin 30 3. 2 2 2 C H C H CC CC      Do đó . . ABC A B C ABC V C H S     1 1 3 27 . . .sin 60 3. .3.3. . 2 2 2 4 C H AB AC   Câu 7: (T H PT Ch uy ên Th ái B ình - l ầ n 1 - nă m 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng , ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có , 3 , . AB a AD a BC a Biết 3, SA a tính thể tích khối chóp . S BCD theo . a A. 3 2 3 . a B. 3 3 . 6 a C. 3 2 3 . 3 a D. 3 3 . 4 a Lời giải Chọn B Ta có . 1 . . 3 S BCD BCD V SA S Lại có BCD ABCD ABD S S S 1 1 . . 2 2 AB AD BC AB AD 2 1 1 . . 2 2 AB BC a Mà 2 3 . 1 3 3 3. . 3 2 6 S BCD a a SA a V a Nhận xét: Nếu đề bài bỏ giả thiết 3 AD a thì sẽ giải như sau: A B C H A  B  C  S A B C DTa có . 1 1 1 . . , . 3 3 2 S BCD BCD V SA S SA d D BC BC 3 1 3 . . 6 6 a SA AB BC . Câu 8: (TH P T Chuyên Thái Bình - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình hộp . ABCD A B C D     thể tích là . V Tính thể tích của tứ diện ACB D   theo . V A. . 6 V B. . 4 V C. . 5 V D. . 3 V Lời giải Chọn D Ta có ngay kết quả sau ' ' '. . ' ' ' '. . ' ' ' . ACB D B ABC C B C D D ACD A A B D V V V V V V Lưu ý '. . ' ' ' '. . ' ' ' . ' ' ' ' ' 1 1 . 4. . 3 3 2 6 3 B ABC C B C D D ACD A A B D ABC A B C ACB D V V V V V V V V V V Câu 9: (TH PT Ho a L ư A - Ni nh B ìn h - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 201 8) Gọi n là số cạnh của hình chóp có 101 đỉnh. Tìm n . A. 202 n . B. 200 n . C. 101 n . D. 203 n Lời giải Chọn B Ta có: khối chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có 1 n đỉnh, 1 n mặt và 2n cạnh. Khi đó khối chóp có 101 đỉnh, do đó đa giác đáy có 100 cạnh, suy ra khối chóp có 200 cạnh. Câu 10: [2H1- 4] (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Mặt phẳng cắt cạnh tại . Tính thể tích khối đa diện . A. B. C. D. Lời giải Chọn B Gọi là giao điểm của các đường ; và . Có ; ; P lần lượt là trung điểm của các cạnh ; và . Vì đều cạnh nên . (1). Vì là trung điểm của nên . Vì là trung điểm của nên (2). Từ (1) và (2) ta có . A B C D A  B  C  D Câu 11: (T HP T H o a Lư A - Ni n h B ìn h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8 ) Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đó. A. 6 V . B. 5 26 V . C. 2 V . D. 5 26 3 V . Lời giải Chọn A Giả sử 5, 10, 13. AC CD AD   Đặt , , . AD x AB y A A z V xyz  Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 10 13 x y BD y z A B z x A D    2 2 2 4 1 6. 9 x y V xyz z  Câu 12: (T HP T Ho a Lư A - Ni n h B ình - l ầ n 1 - n ă m 2017 - 201 8) Cho hình bát diện đều cạnh a . Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Tính S . A. 2 8 S a . B. 2 4 3 S a . C. 2 2 3 S a . D. 2 3 S a . Lời giải Chọn C Hình bát diện đều có tám mặt là tam giác đều cạnh a . Vậy 2 2 3 8. 2 3 4 a S a . Câu 13: ( TH PT Ho a Lư A - Ni nh Bình - l ầ n 1 - nă m 2017 - 201 8) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Đường thẳng AB  hợp với đáy một góc 60  . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 2 a V . B. 3 4 a V . C. 3 3 4 a V . D. 3 2 a V . Lời giải Chọn C A B C D A  B  C  D  Ta có AA A B C      nên ; 60 AB A B C AB A        . Suy ra: .tan 60 3 AA A B a     . Thể tích khối lăng trụ là 2 3 3 3 . 3. 4 4 A B C a a V AA S a      . Câu 14: (TH PT Ho a L ư A - N inh Bì nh - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8) Cho khối hộp . ABCD A B C D     có thể tích bằng 9 . Tính thể tích khối tứ diện . ACB D   A. 3. B. 9 . 2 C. 6. D. 27 . 4 Lời giải Chọn A Gọi h và V lần lượt là chiều cao và thể tích khối hộp. Ta có . 1 1 2 1 9 4 4. . . . 3. 3 2 3 3 3 ACB D ABCD ACB D B CD C ABCD V S h V V V V S h V V V        Câu 15: (TH PT L ê H ồ ng P ho n g - N am Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 201 8) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng AB C   tạo với mặt đáy góc 60  . Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 3 . 8 a V B. 3 3 . 2 a V C. 3 3 3 . 4 a V D. 3 3 . 8 a V Lời giải Chọn A A B C D C  D  A  B  A B C A  B  C  Gọi M là trung điểm ' ' B C . Ta có ' ' ' ' ' ' ' ' A M B C B C AM AA B C     nên góc giữa mặt phẳng ' ' AB C tạo với đáy là góc ' 60 AMA  . Tam giác ' AA M vuông tại ' A nên 0 3 ' ' .tan 60 2 a AA A M Vậy thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C là 3 ' ' ' 3 3 '. . 8 A B C a V AA S Câu 16: (THPT Chuyê n B ắ c Ni n h - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD ; góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 3a . B. 3 6 9 a . C. 3 6 3 a . D. 3 3 2a . Lời giải Chọn C Ta có SAB ABCD SAD ABCD SA ABCD SAB SAD SA      AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ABCD , 60 SC ABCD SCA  Tam giác SAC vuông tại A có .tan 60 6 SA AC a  . Khi đó 3 2 1 1 6 . . . 6. 3 3 3 SABCD ABCD a V SA S a a . Câu 17: (TH P T Xuâ n H ò a - V ĩn h P h ú c - n ăm 2 017 - 2 018 ) Thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là A B C A  B  C  M A B C D SA. 3 2 4 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 6 a . D. 3 2 12 a . Lời giải Chọn D Cách 1: Theo tự luận I O C B A S Gọi O là tâm mặt đáy ABC và I là trung điểm cạnh BC . . S ABC là hình chóp tam giác đều nên SO ABC  . SAO  vuông tại O có: 2 2 3 3 . 3 3 2 3 a a AO AI 2 2 SO SA AO 2 3 a . 2 3 4 ABC a S . Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: . 1 . 3 S ABC ABC V SO S 2 1 2 3 . . 3 4 3 a a 3 2 12 a . Cách 2: Tính bằng công thức tính nhanh. Hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là hình tứ diện đều cạnh a . 3 2 12 a V . Câu 18: (TH P T X uâ n Hò a - V ĩnh P hú c - nă m 2017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . Tính tỉ số . . S ABC S MNC V V . A. 4 . B. 1 2  C. 2 . D. 1 4  Lời giải. Chọn A N C B A M S Ta có . . S ABC S MNC V V . . 4 . . SA SB SC SM SN SC . Câu 19: (TH PT X uâ n Hò a - V ĩn h P h ú c - nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng SAD tạo với đáy một góc 60  . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 3 3 4 a V . B. 3 3 3 8 a V . C. 3 8 3 3 a V . D. 3 4 3 3 a V . Lời giải Chọn C Ta có: SB ABCD SB AD AD ABCD       mà AD AB AD SA   . , , SAD ABCD AD AB AD AB ABCD SA AD SA SAD         ; ; 60 SAD ABCD SA AB SAB  Ta có: .tan 60 2 3 SB BD a  . Vậy 3 2 1 1 8 3 . 2 3.4 3 3 3 ABCD a V SB S a a . S B A D C 60 Câu 20: ( TH PT Xu â n Hò a - V ĩn h P húc - n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng . Tính thể tích của khối chóp . S ABCD theo h và . A. 3 2 3 4 tan h . B. 3 2 4 3tan h . C. 3 2 8 3tan h . D. 3 2 3 8tan h . Lời giải Chọn B Gọi O là tâm của đáy. Do . S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ABCD  , các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Gọi I là trung điểm của AB , ta có SI AB  suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng SIO . Ta có: tan tan SO h OI SIO suy ra 2 2 tan h AD OI . Vậy thể tích hình chóp . S ABCD : 2 3 2 1 1 2 4 . . . 3 3 tan 3tan ABCD h h V SO S h     . Câu 21: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a góc giữa đường thẳng A C  và mặt phẳng đáy bằng 60  . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    theo . a A. 3 3 4 a . B. 3 12 a . C. 3 3 4 a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn A S B C D A O h I Vì AA ABC   nên góc giữa đường thẳng A C  và mặt phẳng đáy là 60 A CA  . tan 60 3. AA a a   Vậy . 2 3 3 3 . 3 . 4 4 ABC A B C a a V a    Câu 22: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Cho khối chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a , 3 SA a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 35 24 a V . B. 3 3 6 a V . C. 3 2 6 a V . D. 3 2 2 a V . Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của BC . O là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng ABC . Ta có 2 3 3 3 ; 4 2 3 ABC a a a S AM AO . Xét tam giác vuông SAO có 2 2 2 6 3 a SO SA AO . Vậy 2 3 . 1 3 2 6 2 . . 3 4 3 6 S ABC a a a V . Câu 23: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2 . B. 3 . C. 6 . D. 9 . Lời giải Chọn C S A B C M O A B C A  B  C  60  Gọi M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA , AD , DC , BD Các mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD là: ABR , BCQ , CAS , ADN , DCM , BDP . Vậy tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng. Câu 24: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng ABC và tam giác SAB vuông cân tại S . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a . A. 3 3 12 a . B. 3 3 24 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB . Khi đó: SH AB SAB ABC SH ABC SAB ABC AB      Vì SAB  vuông tại S nên 1 2 2 a SH AB Vậy 2 3 . 1 1 3 3 . . . . 3 3 4 2 24 S ABC ABC a a a V S SH  Câu 25: (T H PT Chuyê n ĐH Vi nh - GK 1 - năm 2017- 201 8) Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? B C D R A B C D Q A B C D N A B C D M A B C D P A B C D S A S A B C HA. 15. B. 9 . C. 6 . D. 12. Lời giải Chọn B Câu 26: (T HP T C hu yê n ĐH V in h - GK 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình hộp đứng 1 1 1 1 . ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , đường thẳng 1 DB tạo với mặt phẳng 1 1 BCC B góc 30  . Tính thể tích khối hộp 1 1 1 1 . ABCD A B C D . A. 3 3 a . B. 3 2 a . C. 3 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn B Ta có 1 1 DC BCC B  suy ra hình chiếu của 1 DB lên 1 1 BCC B là 1 CB 1 1 1 1 1 1 , , 30 DB BCC B DB CB DB C  Xét 1 DB C  vuông ở C có 1 1 1 1 tan tan 30 3 DC a DB C B C a B C B C  Xét 1 B BC  vuông ở B có 2 2 2 2 1 1 3 2 BB B C BC a a a Thể tích khối hộp 1 1 1 1 . ABCD A B C D là 2 3 1 . 2. 2 ABCD V BB S a a a . Câu 27: (TH P T Ch u yê n Đ H V in h - G K 1 - n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 3 SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 3 a . B. 3 9a . C. 3 a . D. 3 3a . Lời giải Chọn C A D C B 1 A 1 B 1 D 1 C Ta có diện tích đáy ABCD : 2 ABCD S a . Đường cao 3 SA a . Vậy thể tích khối chóp . S ABCD là 1 . 3 ABCD V S SA 2 1 . .3 3 a a 3 a . Câu 28: (TH P T Ch u yê n ĐH V in h - GK 1 - n ăm 201 7 - 20 18) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại , B , AB a 3, BC a góc hợp bởi đường thẳng AA  và mặt phẳng A B C    bằng 45 ,  hình chiếu vuông góc của B  lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 . 9 a B. 3 3 . 3 a C. 3 . a D. 3 . 3 a Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm AC , G là trọng tâm tam giác ABC . Ta được: 45 B BG   (do A B C    song song ABC và AA  song song BB  ). Suy ra BG GB h  . Mặt khác 2 2 2 2 3 2 AC AB BC a a a ; 2 AC BM a . Suy ra 2 3 a h GB GB  ; 2 1 3 . 2 2 ABC a B S BA BC  . Vậy 2 3 . 1 1 3 2 3 . . . 3 3 2 3 9 ABC A B C a a a V B h    . Câu 29: (TH PT Yê n L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8) Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là: B C A A  B  C  G M A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9. Lời giải Chọn C A D B C B' C' A' D' M N Q R S T P O J I L K Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng. Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có các trung điểm của các cạnh như hình bên, khi đó 9 mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là ABC D   , ADC B   , DCB A   , CBA D   , ACC A   , BDD B   , MNOP , QRST , IJKL . Câu 30: (T HPT Yê n L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc  . Thể tích của khối chóp đó bằng A. 3 tan 12 a  . B. 3 cot 12 a  . C. 3 tan 6 a  . D. 3 cot 6 a  . Lời giải Chọn A A C M B S G a  Xét hình chóp tam giác đều . S ABC . Gọi M là trung điểm BC , G là trọng tâm của tam giác đều ABC cạnh a thì 3 2 a AM ; SG ABC  , SG là chiều cao của hình chóp nên SAG  . Ta có: 2 2 1 1 3 3 . 2 2 2 4 ABC a a S AM BC   . Xét tam giác SGA vuông tại G , SAG  , 2 3 3 3 a AG AM : 3 tan .tan 3 a SG AG   Vậy thể tích hình chóp . S ABC : 2 3 1 1 3 tan 3 tan . 3 3 3 4 12 ABC a a a V SG S      . Chọn A Câu 31: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩn h Phú c - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Tính độ dài đường cao . SH A. 2 . 3 a SH B. 3 . 2 a SH C. . 2 a SH D. 3 . 3 a SH Lời giải Chọn C Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Vì . S ABC là hình chóp đều nên SH ABC  . Trong tam giác vuông SHM có 3 .tan 60 . 3 . 6 2 a a SH HM  Câu 32: ( TH PT Y ên L ạ c - V ĩn h P hú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - n ăm 201 7 - 201 8) Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là: A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9. Lời giải Chọn D A D B C B' C' A' D' M N Q R S T P O J I L K Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng. Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có các trung điểm của các cạnh như hình bên, khi đó 9 mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là ABC D   , ADC B   , DCB A   , CBA D   , ACC A   , BDD B   , MNOP , QRST , IJKL . Câu 33: (T HP T Yê n L ạ c - V ĩn h P h ú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - nă m 2 017 - 201 8) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc  . Thể tích của khối chóp đó bằng A. 3 tan 12 a  . B. 3 cot 12 a  . C. 3 tan 6 a  . D. 3 cot 6 a  . Lời giải Chọn A A C M B S G a  Xét hình chóp tam giác đều . S ABC . Gọi M là trung điểm BC , G là trọng tâm của tam giác đều ABC cạnh a thì 3 2 a AM ; SG ABC  , SG là chiều cao của hình chóp nên SAG  . Ta có: 2 2 1 1 3 3 . 2 2 2 4 ABC a a S AM BC   . Xét tam giác SGA vuông tại G , SAG  , 2 3 3 3 a AG AM : 3 tan .tan 3 a SG AG   Vậy thể tích hình chóp . S ABC : 2 3 1 1 3 tan 3 tan . 3 3 3 4 12 ABC a a a V SG S      . Chọn A Câu 34: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - nă m 201 7 - 20 18) Cho hình chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Tính độ dài đường cao . SH A. 2 . 3 a SH B. 3 . 2 a SH C. . 2 a SH D. 3 . 3 a SH Lời giải Chọn C Gọi M là triung điểm của BC Vì : : SBC ABC BC SM SBC SM BC AM ABC AM BC       o 60 SAM . Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Vì . S ABC là hình chóp đều nên SH ABC  . Trong tam giác vuông SHM có 3 .tan 60 . 3 . 6 2 a a SH HM  Câu 35: (T HPT Y ê n L ạ c 2 - V ĩnh Phúc - l ần 1 - n ă m 20 17 - 201 8) Nếu một khối hộp chữ nhật có độ dài các đường chéo của các mặt lần lượt là 5 , 10 , 13 thì thể tích khối hộp đó bằng: A. 8 . B. 4 . C. 6 . D. 5 Lời giải Chọn C Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là , a , b c . Ta có: 2 2 2 2 2 2 13 10 5 a b a c b c  2 2 2 2 2 2 13 5 5 a b a b b c  2 2 2 9 4 1 a b c  3 2 1 a b c  Thể tích khối hộp chữ nhật là . . V a b c 3.2.1 6 (TH P T Y ên L ạ c 2 - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - n ăm 2 01 7 - 201 8 ) Cho khối chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng 3 a . Tính thể tích khối chóp . S ABC biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . A. 3 3 . 6 a B. 3 3 . 4 a C. 3 3 . 12 a D. 3 3 . 6 a Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của BC và H là tâm tam giác đều ABC . Vì khối chóp đều . S ABC nên SH ABC  và 60 SAH  . Tam giác ABC đều có độ dài cạnh là 3 a nên 2 2 3. 3 3 3 2 a AH AM a  Trong tam giác vuông SAH ta có .tan 60 . 3 3. SH AH a a  Vậy thể tích . S ABC là 2 3 . 3 . 3 1 1 3 . . . . 3 . 3 3 4 4 S ABC ABC a a V S SH a  Câu 36: (TH P T Yê n L ạ c 2 - V ĩn h Phú c - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A  cách đều A , B , C biết 3 2 3 AA a  . Thể tích lăng trụ là A. 3 . 10 4 a B. 3 . 4 6 a C. . 3 5 4 a D. 3 . 4 3 a Lời giải Chọn D Gọi O là tâm tam giác đều ABC khi đó O cách đều ba điểm , , A B C . Do đó từ giả thiết A  cách đều A , B , C , ta có A O ABC   . Trong tam giác vuông OAA  ta có 2 2 3 . 3 3 4 a OA a a        Vậy thể tích . ABC A B C    là 2 3 . 3 3 . . . 4 4 ABC A B C ABC a a V S A O a      A A  C  B  O B CCâu 37: (T H P T N gu y ễ n K h uy ế n- Nam Đ ị n h - l ầ n 1 - năm 20 1 7 - 2018) Cho hình chóp tam giác . S ABC có thể tích bằng 8 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA . Tính thể tích khối chóp . S MNP . A. 3 . B. 6 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C P N M C B A S Gọi h là chiều cao hình chóp . S ABC . Ta có . 1 . 8 3 S ABC ABC V h S . Mặt khác 1 4 MNP ABC S S và . 1 . 3 S MNP MNP V h S . Suy ra . . 8 2 4 4 S ABC S MNP V V . Câu 38: (T H P T Ngu y ễ n K h uy ế n - Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8 ) Lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng 4 và diện tích tam giác A BC  bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ đó. A. 8 3 . B. 6 3 . C. 4 3 . D. 2 3 . Lời giải Sai Chọn D Sửa Chọn A Tam giác A BC  là tam giác cân tại A . Gọi H là trung điểm BC . Khi đó, A H  là đường cao của tam giác A BC  . Theo giả thiết, ta có 1 16 16 . . 8 4 2 4 A BC S A H BC A H BC     . Trong tam giác vuông A AH  , ta có 2 2 2 4 3 16 2 2 A A A H AH         . 16 3 4 ABC S  . Vậy . 16 3 . 2. 2 3 4 ABC A B C ABC V A A S      . Trình bày lại : Do ABC  đều , 4 BC nên 2 4 3 4 3 4 ABC S  . Gọi H là trung điểm BC 4 3 2 3 2 AH . Khi đó, A H  là đường cao của A BC   . Theo giả thiết, ta có 1 16 16 . . 8 4 2 4 A BC S A H BC A H BC     . Trong tam giác vuông A AH  , ta có 2 2 2 4 3 16 2 2 A A A H AH         . Vậy . . 2.4 3 8 3 ABC A B C ABC V A A S      Câu 39: (T H P T Ngu y ễ n K h uy ế n - Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8 ) Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu của A  lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60  . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 4 a . B. 3 4 3 a . C. 3 2 3 a . D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn C vẽ lại hình cho thoáng Gọi H là trung điểm cạnh BC và G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có 2 2 2 3 2 3 . 3 3 2 3 a a AG AH . Do A G ABC A AG    là góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. Theo giả thiết, ta có: 60 A AG   . Trong tam giác vuông A GA  , ta có: 2 3 .tan . 3 2 3 a A G AG A AG a   . Vậy 2 3 . 2 3 . 2 . 2 3 4 ABC A B C ABC a V A G S a a      . Câu 40: (T H P T Ngu y ễ n K h uy ế n - Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 2 AD a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60  . Khi đó thể tích của khối chóp . S ABCD bằng A. 3 17 3 a . B. 3 17 3 a . C. 3 17 9 a . D. 3 17 6 a . Giải: Chọn A Gọi H là trung điểm AB S A B C D H 60 Ta có tam giác SAB cân tại S SH AB  Mà SAB ABCD SAB ABCD AB    nên SH ABCD  . HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ABCD . , , 60 SC ABCD SC HC SCH  . Mặt khác Tam giác HBC vuông tại B có 2 2 17 2 a HC BH BC Tam giác SHC vuông tại H có 17 .tan 60 . 3 2 a SH HC  . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD là . 1 . 3 S ABCD ABCD V S SH , với 2 2 ABCD S a Vậy 3 2 1 17 17 .2 . . 3 3 2 3 a a V a . Câu 41: (T H P T Ngu y ễ n K h uy ế n - Nam Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 2 01 8 ) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại A , 2 BC a , 60 ABC  . Gọi M là trung điểm BC . Biết 39 3 a SA SB SM . Tính khoảng cách d từ đỉnh S đến mặt phẳng ABC . A. 3 d a . B. d a . C. 2 d a . D. 4 d a . Lời giải Chọn C 2a H N M A B C S Trong ABC  có .cos 60 AB BC a  ABM  đều và SA SB SM nên hình chiếu của S lên ABC trùng với điểm H là trọng tâm của ABM  d SH . Trong ABM  có 2 3 3 . 3 2 3 a a HM . Suy ra 2 2 2 2 39 3 2 9 9 a a SH SM HM a . Câu 42: (TH P T H ai Bà Tr ưn g - V ĩn h Phú c - l ần 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD . Số mặt phẳng đi qua đỉnh S và cách đều , A , B , C D là A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1. Lời giải Chọn C Có ba mặt phẳng đi qua đỉnh S và cách đều , A , B , C D : Đó là hai mặt phẳng chứa trục của hình chóp tứ giác đều . S ABCD và đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của đáy,mặt còn lại là mặt phẳng đi qua đỉnh S và song song với ABCD Câu 43: (TH P T Vi ệ t Tr ì - P h ú Th ọ - l ầ n 1 - n ăm 20 1 7 - 201 8) Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của một khối hộp chữ nhật lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tương ứng sẽ: A. Tăng 2 lần. B. Tăng 8 lần. C. Tăng 4 lần. D. Tăng 6 lần. Lời giải Chọn B Gọi , , a b c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật thể tích khối hộp là 1 . V abc Tăng các kích thước lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tương ứng là 2 1 2 2 2 8 8 . V a b c abc V Câu 44: (THPT Vi ệ t Tr ì - Phú Th ọ - l ầ n 1 - n ăm 2 017 - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 4 3 a . Khi đó độ dài SC bằng A. 6a . B. 3a . C. 2a . D. 6a . Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm AB . Ta có SAB ABCD AB SAB ABCD SH AB     SH ABCD  3 1 4 . . 3 3 ABCD a V SH S 3 2 4 4 a SH a a . 2 2 5 HC BH HC a ; 2 2 2 2 5 6 SC SH HC a a a Câu 45: (TH PT Vi ệ t Tr ì - Ph ú Th ọ - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2 018 ) Số cạnh của một khối chóp bất kì luôn là A. Một số chẵn lớn hơn hoặc bằng 6 . B. Một số chẵn lớn hơn hoặc bằng 4 . C. Một số lẻ. D. Một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 5 . Lời giải Chọn A Giả sử đa giác đáy của hình chóp có n cạnh, 3 n .Khi đó đa giác đáy có n đỉnh, kết hợp các đỉnh đó với đỉnh của hình chóp ta sẽ có thêm n cạnh bên. Vậy số cạnh của hình chóp là 2 6 n . S A B C D HCâu 46: (TH P T Vi ệ t T r ì - Phú Th ọ - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8 ) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    cạnh đáy 4 a , biết diện tích tam giác A BC  bằng 8 . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 2 3. B. 10 3. C. 4 3. D. 8 3. Lời giải Chọn D ABC  đều cạnh 4 a nên 4 3 ABC S  . Gọi H là trung điểm của BC . Ta có: 2 3 AH và BC A AH   ' BC A H  Và ' 1 . 2 A BC S BC A H   4 A H  A AH   vuông tại A nên 2 2 2 AA A H AH   . . ' ' ' . ABC A B C ABC V AA S   2.4 3 8 3 . Câu 47: (TH PT T h ạ c h Th à nh - T ha nh Hó a - n ă m 201 7 - 20 18) Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m , cạnh đáy dài 230m . Thể tích của nó là: A. 7776300 3 m . B. 3888150 3 m . C. 2592100 3 m . D. 2592100 2 m . Lời giải Chọn C Thể tích khối chóp là 2 1 230 .147 2592100 3 V 3 m . Câu 48: (TT D i ệ u Hi ề n - C ầ n Th ơ - t h án g 10 - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , 2 AC a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 2 a V . B. 3 V a . C. 3 4 a V . D. 3 3 a V . Lời giải Chọn D A B C C  A  B  H 4 Ta có: 3 1 1 . .2 . 3 2 3 a V a a a . Câu 49: (TT Di ệu H i ền - C ần T hơ - t há n g 11 - nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , 1 2 AB BC AD a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp . S ACD . A. 3 . 2 S ACD a V . B. 3 . 3 S ACD a V . C. 3 . 2 6 S ACD a V . D. 3 . 3 6 S ACD a V . Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm cạnh AB Ta có SAB ABCD SAB ABCD AB SH ABCD SH AB      Khi đó 1 . 3 SACD ACD V SA S . với 2 1 1 . 2 2 ACD ABCD ABC S S S AB AD BC AB BC a ; 3 2 a SA Vậy 32 15  . S A B C D H S A B CCâu 50: (TH P T Quãn g Xươn g - Thanh Hó a - l ần 1 - nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC a . Biết SA vuông góc với đáy ABC và SB tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 6 24 a V . B. 3 3 24 a V . C. 3 6 8 a V . D. 3 6 48 a V . Lời giải. Chọn A S A B C 60  Xét ABC  vuông cân tại B với AC a : 2 2 2 AC AB 2 2 a AB . Do SA ABC  nên hình chiếu của SB xuống mặt phẳng ABC là AB . Góc giữa SB và mặt đáy là góc 60 SBA  . Xét SAB  vuông tại A : 6 .tan 60 2 a SA AB  . Vậy 3 2 . 1 1 6 . . 3 6 24 S ABC ABC a V S SA AB SA . Câu 51: (T HPT Quã ng Xươn g - Tha nh H ó a - l ần 1 - nă m 201 7 - 20 18) Cho khối chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên SAB , SAC cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp . S ABC biết 3. SC a A. 3 2 6 9 a . B. 3 6 12 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn B S A B C Ta có SAB ABC SAC ABC SA ABC SAB SAC SA      . Cạnh 2 2 2 2 3 2 SA SC AC a a a 3 2 . 1 1 1 6 . 2. sin 60 . 3 3 2 12 S ABC ABC a V SA S a a  Câu 52: (TH PT Q uã n g Xư ơ n g - Th an h Hó a - l ầ n 1 - n ăm 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB  đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết mặt phẳng SCD tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 30  . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 3 8 a V . B. 3 3 4 a V . C. 3 3 2 a V . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn B 30 ° G E C B A D S Gọi E là trung điểm của AB , 3 2 a SE , SE ABCD  . Gọi G là trung điểm của . CD Suy ra: , 30 SCD ABCD SGE  , 3 3 3 . 3 tan 30 2 2 2 SE a a a EG AD BC  . 2 2 3 3 3 1 1 3 3 3 . . . . . . 2 2 3 3 2 2 4 ABCD ABCD a a a a a S AB CD a V SE S . Câu 53: (T H PT Qu ã n g Xương - T ha n h H ó a - l ầ n 1 - nă m 2 017 - 2 018) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có cạnh 2 BC a , góc giữa hai mặt phẳng ABC và A BC  bằng 60 . Biết diện tích của tam giác A BC  bằng 2 2a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 V a . B. 3 2 3 a V . C. 3 3 V a . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn C Hạ AH BC  tại H , do BC AA BC AA H BC A H       mà 2 2 1 4 . 2 2 2 A BC a S A H BC a A H a BC    . Góc giữa hai mặt phẳng ' A BC và ABC là góc 60 .sin 60 3. AHA AA A H a      Ta có 2 .cos 60 ABC A BC S S a   . Do đó 3 . . 3 ABC A B C ABC V AA S a     . Câu 54: (TH P T B ìn h Xu yê n - V ĩn h P h ú c - n ăm 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SO ABCD  . Cho AB SB a , 6 3 a SO . Số đo góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD bằng với A. 90  . B. 45 . C. 60 . D. 30  . Lời giải Chọn C Trong tam giác SOA , từ điểm O kẻ OE SA  1 . Do   BO AC BO SO BO SAC BO SA SO AC O       2 . Từ 1 và 2 suy ra SA BOE SA BE   3 . Tương tự, ta cũng có SA DE  4 . Từ 3 và 4 suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD chính là góc giữa hai đường thẳng BE và DE . Tam giác SBA cân tại B nên E là trung điểm của SA . Trong tam giác vuông SOA , ta có 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a a a OA SA SO a . Trong tam giác vuông AOB , ta có 2 2 2 2 6 3 3 a a OB AB OA a . Trong tam giác vuông SOA , ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 9 2 2 2 3 a OE OE OA SO a a a . Trong tam giác vuông BOE , ta có ο ο 6 3 tan 3 60 120 2 3 a OB BEO BEO BED OE a . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD bằng 60  . Câu 55: (TH P T B ìn h Xu yê n - V ĩn h P h ú c - n ăm 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và hai mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây? A. , SB SA . B. , SB SO . C. , SB BD . D. , SO BD . Lời giải Chọn C Do hai mặt phẳng , SAC SBD cùng vuông góc với đáy nên SO ABCD  . Khi đó, O là hình chiếu của điểm S xuống đáy ABCD và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD chính là góc giữa SB và BD . Câu 56: (TH PT B ìn h Xu yê n - V ĩn h Phú c - nă m 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: A. 3 a . B. a . C. 2 a . D. 2a . Lời giải Chọn B Ta có , , . DA AB DA SA DA SAB DA d D SAB    Do đó , , , . d SB CD d CD SAB d D SAB DA a Câu 57: (THPT Bình X uy ên - V ĩnh P h ú c - nă m 20 17 - 201 8) Cho khối chóp . S ABCD có đường cao SA và đáy ABCD là hình thoi. Thể tích khối chóp đã cho được tính theo công thức nào sau đây? A. 2 1 . . 3 SA AB B. 1 . . . 3 SA AC BD C. 1 . . . 6 SA AC BD D. 2 1 . . 2 SA AB Lời giải Chọn C Ta có diện tích đáy của hình chóp: 1 . 2 ABCD S AC BD . Ta có thể tích khối chóp . S ABCD là 1 1 1 . . . . . . . 3 3 2 ABCD V S SA AC BD SA Câu 58: (T HPT B ìn h Xuy ê n - V ĩnh P h úc - nă m 201 7 - 201 8) Cho khối hộp . ABCD A B C D     có thể tích bằng 3 24a . Tính thể tích V của khối chóp . A ABCD  ? A. 3 2 V a . B. 3 12 V a . C. 3 4 V a . D. 3 8 V a . Lời giải Chọn D D ' C' B ' C A D B A' Thể tích V của khối chóp . A ABCD  : . 1 3 ABCD A B C D V V     3 1 .24 3 a 3 8a . Câu 59: (T H PT N g ô S ĩ Liên - B ắ c Gi a n g - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60  . Thể tích của khối chóp đó bằng A. 3 3 4 a . B. 3 3 12 a . C. 3 12 a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn A O A C B S Xét hình chóp tam giác đều . S ABC , O là tâm của ABC  , ta có SO ABC  . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ; ; SC ABC SC OC SCO . Ta được: 2 3 . 3. 3 2 OC a a . Suy ra tan 60 . 3 SO OC a  . Diện tích đáy: 2 2 3 3 3 . 3 4 4 ABC S a a . Thể tích của khối chóp: 2 3 1 3 3 3 . 3. 3 4 4 V a a a . Câu 60: (TH PT Ng ô S ĩ L iê n - B ắ c G ia ng - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 20 18) Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn B Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng. Câu 61: (THPT Ng ô S ĩ L iê n - B ắ c Gi a n g - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 30  . Thể tích của khối chóp . S ABCD là A. 3 3 3 a . B. 3 3 6 a . C. 3 9 a . D. 3 3 9 a . Lời giải Chọn D 30° C A D B S , , 30 SD ABCD SD AD SDA . tan SA SDA AD 3 .tan .tan 30 3 a SA AD SDA a  . Thể tích khối chóp . S ABCD là: 3 2 . 1 1 3 3 . . . . 3 3 3 9 S ABCD ABCD a a V S SA a . Câu 62: (TH P T Ng u y ễ n Đ ứ c T h u ậ n - Na m Đ ị n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 20 1 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Thể tích khối chóp . S ABCD là: A. 3 3 6 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 a . Lời giải: Chọn A M C A D B S Gọi M là trung điểm AB . Tam giác SAB đều nên SM AB  , kết hợp với SAB vuông góc với ABCD , ta được SM ABCD  . Diện tích đáy của hình chóp: 2 ABCD S a . Chiều cao: 3 2 a SM . Thể tích hình của hình chóp: 3 2 1 1 3 3 . . . . 3 3 2 6 ABCD a a V SM S a . Câu 63: (TH P T Ng u y ễ n Đ ứ c T h u ậ n - Na m Đ ị n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 20 1 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi E , F lần lượt là trung điểm của SB , SD . Tỉ số . . S AEF S ABCD V V bằng: A. 1 4 . B. 3 8 . C. 1 8 . D. 1 2 . Lời giải: Chọn C F E C A D B S Áp dụng công thức tỉ số thể tích hình chóp, ta có: . . 1 . . 4 S AEF S ABD V SA SE SF V SA SB SC . Suy ra . . . 1 1 1 . . 4 4 2 S AEF S ABD S ABCD V V V . Vậy . . 1 8 S AEF S ABCD V V . Câu 64: (TH P T Ng u y ễ n Đ ứ c T h u ậ n - Na m Đ ị n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 20 1 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , 2 BC a . Hai mặt phẳng SAB và mặt phẳng SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp với mặt đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 15 3 a . B. 3 2 15 a . C. 3 2a . D. 3 2 15 9 a . Lời giải Chọn A Do hai mặt phẳng SAB và mặt phẳng SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy SA ABCD  . Vậy o 60 ; SCA 5 AC a . Xét tam giác vuông SAC có o tan 60 15 SA SA a AC . 2 2 ABCD S a . Vậy . 1 . 3 S ABCD ABCD V SA S 3 1 15.2 3 a a 3 2 15 3 a . Câu 65: (THPT Ng uy ễ n Đ ứ c T hu ậ n - N am Đ ị n h - l ầ n 1 - năm 201 7 - 20 18) Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là: A. 3 2 3 a . B. 3 3 2 a . C. 3 3 4 a . D. 3 2 4 a . Lời giải Chọn C Lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a có đáy là tam giác đều cạnh bằng a nên diện tích đáy 2 1 3 . .sin 60 2 4 a S a a  . Chiều cao lăng trụ bằng a . Do đó thể tích 2 3 3 3 . 4 4 a a V a . Câu 66: (TH P T Ng uy ễ n Đ ứ c Thu ậ n - Na m Đ ị n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2018) Một khối chóp tam giác có đáy là một tam giác đều cạnh 6cm . Một cạnh bên có độ dài bằng 3cm và tạo với đáy một góc 60  . Thể tích của khối chóp đó là: A. 3 27cm . B. 3 27 cm 2 . C. 3 81 cm 2 D. 3 9 3 cm 2 . Lời giải Chọn B Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC Ta có SH ABC AH  là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng ABC , , SA ABC SA AH SAH Tam giác SAH vuông tại H có 3 3 .sin 60 2 SH SH  Khi đó 3 1 27 . cm 3 2 SABC ABC V SH S . Câu 67: (TH P T Ng u y ễ n Đ ứ c T h u ậ n - Na m Đ ị n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 20 1 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc 30 BCA  , SO ABCD  và 3 4 a SO . Khi đó thể tích của khối chóp là A. 3 2 4 a . B. 3 3 8 a . C. 3 2 8 a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn B s A B C D O 30  a 3 4 a Theo giả thiết ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , góc 30 BCA  nên 60 BCD  ; BCD  đều suy ra BD a , 3 2 a CO , 2 3 AC CO a . S A B C H 60 Ta có 1 . 2 ABCD S AC BD 2 1 3 . . 3 2 2 a a a ; . 1 . 3 S ABCD ABCD V SO S với 3 4 a SO suy ra 2 3 . 1 3 3 3 3 4 2 8 S ABCD a a a V   . Câu 68: (TH P T N gu y ễ n Đ ứ c Th u ậ n - N am Đ ị n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , mặt bên BCC B   là hình vuông, khoảng cách giữa AB  và CC  bằng a . Tính thể tích khối trụ . ABC A B C   . A. 3 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 3 a . D. 3 2a . Lời giải Chọn B Vì . ABC A B C    là hình lăng trụ đứng và có đáy là tam giác vuông cân tại A nên BB C A C A ABB A C A A B                . Mặt khác // CC ABB A    nên C A   là khoảng cách giữa AB  và CC  do đó C A A B a     Suy ra 2 B C a   lại do BCC B   là hình vuông nên chiều cao của lăng trụ 2 BB a  . . . ABC A B C A B C V S BB         với 2 1 . 2 2 A B C a S A B A C         . Vậy . ABC A B C V    3 2 2 a . Câu 69: (TH PT Ng u y ễ n K h uy ế n - TP H C M - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABCD  , SC tạo với đáy một góc 45  . Tính thể tích V khối chóp . S ABCD . A. 3 2 V a . B. 3 2 3 a V . C. 3 3 V a . D. 3 V a . Lời giải Chọn B Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên 2 AC a . Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là o 45 SCA . Vậy SAC  vuông cân 2 SA AC a . Thể tích khối chóp là: 2 3 1 2 . 2 3 3 V a a a . Câu 70: (TH PT Ng u y ễ n K h uy ế n - TP H C M - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a , đường thẳng BC  tạo với mặt phẳng ACC A   một góc 30  . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 6 4 V a . B. 3 8 a V . C. 3 3 4 V a . D. 3 3 8 V a . Lời giải Chọn A Ta có: ABC ACC A    , gọi H là trung điểm của AC BH AC BH ACC A     . Vậy BH C H   . Từ đó suy ra góc giữa BC  và ACC A   là góc BC H  . Vậy 30 BC H   . Xét tam giác BHC  vuông tại H có: 3 3 3 tan 30 2 2 BH a a C H    . Xét tam giác C CH  vuông tại C có: 2 2 9 2 4 4 a a CC a  . Thể tích khối lăng trụ là: 2 3 3 6 2 4 4 a V a a  . Câu 71: (TH PT Ng u y ễ n K h uy ế n - TP H C M - nă m 201 7 - 201 8) Cho tứ diện SABC có các cạnh SA , SB , SC vuông góc đôi một và 5 cm AB , 41 cm BC , 34 cm AC . Tìm thể tích V của khối tứ diện . SABC A. 10 2 cm . B. 11 2 cm . C. 12 2 cm . D. 14 2 cm . Lời giải Chọn A Trong tam giác SAB vuông tại , S ta có 2 2 2 25. AB SA SB 1 Trong tam giác SBC vuông tại , S ta có 2 2 2 41. BC SC SB 2 Trong tam giác SBC vuông tại , S ta có 2 2 2 34. AC SC SA 3 Từ 1 , 2 và 3 ta có 3, SA 4, SB 5. SC Do đó . 1 1 . .3.4.5 10 3 2 S ABC V 2 cm . Câu 72: (TH PT Ng u y ễ n K h uy ế n - TP H C M - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên là 2a . M thuộc cạnh SA sao cho 2MS MA . Tính thể tích V của tứ diện . MABC A. 3 11 . 12 V a B. 3 11 . 14 V a C. 3 11 . 16 V a D. 3 11 . 18 V a Lời giải Chọn D Gọi D là trung điểm cạnh BC và , H E lần lượt là hình chiếu vuông góc của , S M lên . AD Ta có 2 2 3 3 . . 3 3 2 3 a a AH AD Trong tam giác vuông SHA có 2 2 2 2 33 4 . 3 3 a a SH SA AH a Mặt khác, ta có ME SH  ( vì cùng vuông góc với AD ). Do đó ta có 2 2 2 33 2 33 . . 3 3 3 3 9 ME AM a a ME SH SH SA Vậy thể tích V của tứ diện MABC là 2 3 1 3 2 33 11 . . . 3 4 9 18 a a a V Câu 73: (THPT T am Phư ớc - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - n ă m 20 17 - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a , SA vuông góc với đáy và 3 SA a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 2 3 a . B. 3 4 3 a . C. 3 4 3 3 a . D. 3 2 3 3 a . Lời giải Chọn C Đáy là hình vuông nên 2 2 2 4 đ S a a . Do SA vuông góc với đáy nên 3 h SA a . Vậy, ta có: 3 2 1 1 4 3 . . .4 . 3 3 3 3 đ a V S h a a . Câu 74: (TH P T Ta m P h ư ớ c - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - nă m 2 017 - 201 8 ) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có , M , N , P Q lần lượt là trung điểm các cạnh , SA , SB , SC SD . Biết khối chóp . S ABCD có thể tích là 3 16a . Tính thể tích khối chóp . S MNPQ theo a . A. 3 2a . B. 3 a . C. 3 8a . D. 3 4a . Lời giải Q P N M A D B C S Chọn A Cách 1: Mặt phẳng SAC chia khối chóp . S ABCD thành hai khối chóp tam giác . S ABC và . S ADC , đồng thời cũng chia khối chóp . S MNPQ thành hai khối chóp . S MNP và . S MQP . Áp dụng phương pháp tỷ số thể tích, ta có: . . 1 8 S MNP S ABC V SM SN SP V SA SB SC   nên . . 1 8 S MNP S ABC V V ; và . . 1 8 S MQP S ADC V V nên . . 1 8 S MQP S ADC V V . Do đó 3 3 . . . . . . . 1 1 1 .16 2 8 8 8 S MNPQ S MNP S MQP S ABC S ADC S MNPQ S ABCD V V V V V V V a a . Cách 2: Ta dễ dàng chỉ ra được tứ giác MNPQ đồng dạng với ABCD theo tỷ số 1 2 nên 2 1 . 2 MNPQ ABCD S S     . Đồng thời 1 , , 2 d S MNPQ d S ABCD . Do đó, ta có: 3 3 . . 1 1 1 1 1 . , . , .16 2 3 3 4 8 8 S MNPQ MNPQ ABCD S ABCD V S d S MNPQ S d S ABCD V a a  . Câu 75: (TH PT Ta m Ph ư ớ c - Đ ồ ng Na i - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 201 8) Tính thể tích khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy? A. 3 3 2 a . B. 3 3 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 6 a . Lời giải Chọn D H D C B A S Gọi H là trung điểm của AB . Theo giả thiết ta có: SH AB SAB ABCD SAB ABCD AB     SH ABCD  . SAB  đều cạnh a 3 2 a SH . 2 ABCD S a . Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: . 1 . 3 S ABCD ABCD V SH S 2 1 3 . . 3 2 a a 3 3 6 a . Câu 76: (T HP T Ta m Phư ớc - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Thể tích của một khối tứ diện đều cạnh bằng a . A. 3 2 24 a . B. 3 2 12 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 12 a . Lời giải Chọn B I O C B A S Gọi O là tâm mặt đáy ABC và I là trung điểm cạnh BC . . S ABC là tứ diện đều nên SO ABC  . SAO  vuông tại O có: 2 2 3 3 . 3 3 2 3 a a AO AI 2 2 SO SA AO 2 3 a . 2 3 4 ABC a S . Vậy thể tích khối tứ diện đều cần tìm là: . 1 . 3 S ABC ABC V SO S 2 1 2 3 . . 3 4 3 a a 3 2 12 a . Câu 77: (TH P T Ta m Ph ư ớ c - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - năm 2 017 - 201 8 ) Cho khối chóp . S ABC có các điểm A , B  , C  lần lượt thuộc các cạnh SA , SB , SC thoả 3SA SA  , 4SB SB  , 5 3 SC SC  . Biết thể tích khối chóp . S A B C    bằng 5 3 cm . Tìm thể tích khối chóp . S ABC . A. 120 3 cm . B. 60 3 cm . C. 80 3 cm . D. 100 3 cm . Lời giải Chọn D C' B' A' S C B A Áp dụng tỉ lệ thể tích ta có: . . . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC       1 1 3 . . 3 4 5 1 20 . . 20 S ABC S A B C V V    100 3 cm . Câu 78: (TH P T T am Ph ư ớc - Đ ồ ng N ai - l ầ n 1 - n ă m 2 0 17 - 201 8) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ACD . A. 6 2 a . B. 3 2 a . C. 6 3 a . D. 2 3 a . Lời giải Chọn C H I O C B A D Cách 1: Sử dụng thể tích. Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: 3 2 12 ABCD a V . ACD  đều cạnh a nên: 2 3 4 ACD a S . Mặt khác: 1 , . 3 ABCD ACD V d B ACD S 3 , ABCD ACD V d B ACD S 3 2 2 3. 12 3 4 a a 6 3 a . Cách 2: Sử dụng khoảng cách thuần tuý. , 3 , d B ACD BH d O ACD (như hình vẽ). Câu 79: (TH P T T am Ph ư ớc - Đ ồ ng N ai - l ầ n 1 - n ă m 20 17 - 201 8) Cho một tứ diện có đúng một cạnh có độ dài bằng x thay đổi được, các cạnh còn lại có độ dài bằng 2 . Tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện này. A. 1 . 2 B. 2 2 . 3 C. 3 3 . 3 D. 1. A B C D M H N Lời giải: Chọn D Gọi các đỉnh hình chóp như hình vẽ: . 1 . 3 A BCD BCD V AH S  . max A BCD V khi max AH Ta có 1 1 . . 2 2 ABM S AH MB MN AB  2 2 2 2 . . MN AB MN AB AH AH MB MB 2 2 2 2 2 . BM BN AB AH MB 2 2 2 4 2 2 3 . 4 12 12 3 12 12 x x x x t t AH     Đặt 2 12 12 t t f t . 12 2 6 12 6 t t f t  2 max 3 3 AH AH Vậy thể tích lớn nhất là 2 max 1 1 3 . . 3.2 . 1 3 3 4 BCD V AH S  . Câu 80: (TH P T Ta m P h ư ớ c - Đ ồ ng Na i - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 20 18) Tính thể tích của khối lập phương có diện tích một mặt chéo bằng 2 2 a . A. 3 2 2 a . B. 3 a . C. 3 2 a . D. 3 4 2 a . Lời giải Chọn B Ta có diện tích mặt chéo của hình lập phương . ABCD A B C D     là: 2 2 ' . 2 2 ACC A S AA AC AA a AA a     Thể tích khối lập phương là: 3 . ABCD A B C D V a     Câu 81: (TH P T Ch uy ên Hù ng Vươn g - Bình Phư ớ c - l ầ n 2 - nă m 20 1 7 - 20 18) Cho hình tứ diện đều. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Đoạn thẳng nối trung điểm của cặp cạnh đối diện cũng là đoạn vuông góc chung của cặp cạnh đó. x 0 6 2 3 y  0 y 0 3 2 3 1 B A M H NB. Thể tích của khối tứ diện bằng một phần ba tích khoảng cách từ trọng tâm của tứ diện đến một mặt với diện tích toàn phần của nó (diện tích toàn phần là tổng diện tích của bốn mặt). C. Các cặp cạnh đối diện dài bằng nhau và vuông góc với nhau. D. Hình tứ diện đều có một tâm đối xứng cũng chính là trọng tâm của nó. Lời giải Chọn D Hình tứ diện đều không có tâm đối xứng. Câu 82: (TH P T Ch uy ê n H ùng V ư ơ n g - B ình Phư ớ c - l ầ n 2 - n ăm 2 017 - 201 8 ) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD và một mặt phẳng P thay đổi. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P là một đa giác có số cạnh nhiều nhất có thể là: A. 5 cạnh. B. 4 cạnh. C. 3 cạnh. D. 6 cạnh. Lời giải SaiChọn B SửaChọn A d I O K Q P N M D A C B S E Hình trên là một minh họa cho trường hợp mặt phẳng P cắt hình chóp tứ giác theo thiết diện là một ngũ giác. Câu 83: (TH P T Ch u yê n Hù n g V ư ơ n g - B ìn h Phư ớ c - l ầ n 2 - năm 201 7 - 201 8) Hai khối đa diện đều được gọi là đối ngẫu nếu các đỉnh của khối đa diện đều loại này là tâm (đường tròn ngoại tiếp) các mặt của khối đa diện đều loại kia. Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. Khối tứ diện đều đối ngẫu với chính nó. B. Hai khối đa diện đều đối ngẫu với nhau luôn có số cạnh bằng nhau. C. Số mặt của một đa diện đều bằng số cạnh của đa diện đều đối ngẫu với nó. D. Khối 20 mặt đều đối ngẫu với khối 12 mặt đều. Lời giải Chọn C Theo định nghĩa thì khối lập phương và khối bát diện đều đối ngẫu với nhau. Nhưng số mặt của hình lập phương bằng 6 và số cạnh của bát diện đều là 12 như vậy khẳng định C là sai. N I M F E J B' C' D' B D C A A' Câu 84: (TH P T H ậ u L ộ c 2 - T ha nh H ó a - ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , 2 AD a , 2 SA a , SA vuông góc với mp ABCD . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 4 3 a (đvtt). B. 3 4a (đvtt). C. 3 2 3 a (đvtt). D. 3 2a (đvtt). Lời giải Chọn D Ta có 3 . 1 1 . .2 . .2 2 3 2 đvtt S ABCD ABCD V SA S a a a a . Câu 85: (T H P T Ch u y ê n L a m - Th an h Hó a - l ần 1 - n ăm 201 7 - 2018) Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 4 . Lời giải SaiChọn A SửaChọn D Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng được mô tả như sau: S A B C D Câu 86: (TH P T Chuyê n Lam - Th an h Hó a - l ần 1 - năm 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC . Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 60  . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 3 24 a V . B. 3 3 3 8 a V . C. 3 3 8 a V . D. 3 3 12 a V . Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của BC . Khi đó  AM BC ,  SA BC . Suy ra  SM BC . Do đó góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC chính là góc SMA . Ta có 3 2 a AM , 3 3 .tan .tan 60 2 2  a a SA AM SMA . A B C C  A  B  A B C C  A  B  A B C C  A  B  A B C C  A  B  A B C M 60  SDiện tích tam giác ABC là 2 3 4 ABC a S . Thể tích khối chóp là 2 3 . 1 1 3 3 3 . . . 3 3 2 4 8 S ABC ABC a a a V SA S (đvtt). Câu 87: (TH PT Ch u y ê n L am - T h an h Hó a - l ần 1 - nă m 201 7 - 20 18) Cho hình lăng trụ tam giác .    ABC A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của  BB ,  CC . Mặt phẳng  A MN chia khối lăng trụ thành hai phần, đặt 1 V là thể tích của phần đa diện chứa điểm B , 2 V là phần còn lại. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 7 2 V V . B. 1 2 2 V V . C. 1 2 3 V V . D. 1 2 5 2 V V . Lời giải Chọn B A B C A  B  C  M N A B B  C  M N C A  K Kẻ // MK AB suy ra // KN AC . Do M , N lần lượt là trung điểm của  BB ,  CC khi đó mặt phẳng MKN chia hình lăng trụ .    ABC A B C làm hai phần bằng nhau. Ta có . . . . 2          ABC A B C ABC MNK MNK A B C MNK A B C V V V V . Mặt khác . . . .          MNK A B C N A B C A MNK N A B M V V V V và . . .       N A B C A MNK N A B M V V V nên 2 . . . 2         N A B C N A B M N A B C V V V V , 1 . 4    N A B C V V . Vậy 1 2 2 V V . Câu 88: (TH PT C ổ Loa - H à N ội - l ần 1 - n aw m - 2 0 18) Cho hình lăng trụ đứng .    ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , góc giữa mặt phẳng  A BC và mặt phẳng ABC bằng 60  . Thể tích khối lăng trụ .    ABC A B C tính theo a là A. 3 3 3a . B. 3 3a . C. 3 3a . D. 3 2 3a . Lời giải Chọn A 2a E C ' B ' A B C A ' Gọi E là trung điểm BC , suy ra góc giữa  A BC và ABC là góc 60   A EA . Trong tam giác vuông  A AE , ta có 3 .tan 60 2 . . 3 3 2   A A AE a a . Vậy 2 3 . 2 . 3 . .3 3 3 4     ABC A B C ABC a V S A A a a . Câu 89: (THPT C ổ Loa - Hà N ộ i - l ần 1 - na wm - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình chữ nhật với 2 AB a , BC a , SA vuông góc với mặt đáy, cạnh SC hợp đáy một góc 30  . Thể tích khối chóp . S ABCD tính theo a là A. 3 2 15 3 a . B. 3 15 3 a . C. 3 2 15 9 a . D. 3 15 9 a . Lời giải Chọn C a 2a A D B C S Theo bài ra ta có 30  SCA ; 2 2 2 5 AC a a a nên tan 30  SA AC 15 3 a . Từ đó suy ra . 1 . 3 S ABCD ABCD V SA S 2 1 15 . .2 3 3 a a 3 2 15 9 a . Câu 90: (TH P T C ổ Loa - H à N ội - l ần 1 - na w m - 201 8) Cho hình chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a . Thể tích khối chóp . S ABC tính theo a là A. 3 26 12 a . B. 3 78 12 a . C. 3 26 3 a . D. 3 78 3 a . Lời giải Chọn A O A C B S Gọi O là tâm của tam giác ABC . Có 2 3 3 . 3 2 3 a a AO . Trong tam giác vuông SOA , ta có 2 2 2 2 78 9 3 3 a a SO SA AO a . Diện tích đáy của hình chóp 2 3 4 ABC a S . Thể tích của khối chóp 2 3 . 1 1 78 3 26 . . . . 3 3 3 4 12 S ABC ABC a a a V SO S . Câu 91: (T HP T Chuyê n L ê H ồ n g Pho n g - Na m Đ ị nh - l ầ n 2 nă m 2017 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC  , tam giác ABC vuông tại B . Biết 2 SA a , AB a , 3 BC a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. A. a . B. 2a . C. 2 a . D. 2 2 a . Lời giải Chọn C Ta có: SA ABC  và tam giác ABC vuông tại B nên BC SA BC SB BC AB     . Do đó các đỉnh A và B cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông. Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm I của cạnh SC và bán kính 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 3 2 2 2 2 R SA AC SA AB BC a a a a . Câu 92: ( TH PT Ch u yê n Lê H ồ ng Ph o n g - Na m Đ ị nh - l ầ n 2 nă m 20 17 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có AA a  . Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 2 a V . B. 3 V a . C. 3 3 a V . D. 3 6 a V . Lời giải Chọn D Theo giả thiết . ABC A B C    là lăng trụ đứng có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A . Suy ra thể tích của khối lăng trụ là 3 1 . . . . 2 2 ABC a V AA S AA AB AC   . Câu 93: (SG D V ĩn h Phú c - K SC L l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có , AB a 3 SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác . SCD Góc giữa đường thẳng BG và đường thẳng SA bằng A. 33 arccos 22 . B. 330 arccos 110 . C. 3 arccos 11 . D. 33 arccos 11 . Lời giải Chọn D y x z G O D C B A S Gọi O là tâm mặt đáy ABCD . Do . S ABCD là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ. 2 2 a OA OB OC OD . Tam giác SAO vuông tại O : 2 2 10 2 a SO SA OA . Ta có: 2 ;0;0 2 a A       , 2 0; ;0 2 a B       , 2 ;0;0 2 a C       , 2 0; ;0 2 a D       , 10 0;0; 2 a S       . G là trọng tâm tam giác SCD nên: 2 2 10 ; ; 6 6 6 a a a G       . 2 10 ;0; 2 2 a a SA          , 2 2 2 10 ; ; 6 3 6 a a a BG           . 2 2 5 . 6 6 33 33 cos , , arccos 11 11 11 . 3. 3 a a SA BG SA BG SA BG a SA BG a               . Câu 94: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho khối chóp . S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 2 AB AC a , 90 SBA SCA  , góc giữa cạnh bên SA với mặt phẳng đáy bằng 60  . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 6 a V . B. 3 4 6 3 a V . C. 3 2 6 3 a V . D. 3 4 a V . Lời giải Chọn B Gọi O và H lần lượt là trung điểm của SA và BC . Do 90 SBA SCA  nên 4 điểm S , A , B , C cùng nằm trên mặt cầu đường kính SA O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABC . Do ABC  vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 60 OH ABC OAH   . Ta có 1 2 .tan 60 2. 3 6 2 AH BC a OH AH a a  . Thể tích của khối chóp . O ABC là 3 . 1 1 1 2 6 . . . 6. .2 .2 3 3 2 3 O ABC ABC a V OH S a a a . Ta có . . 2 S ABC O ABC V SA V OA 3 . . 4 6 2 3 S ABC O ABC a V V . Câu 95: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân tại A , 2 AB AC a . A B  tạo với đáy góc 60  . Thể tích khối lăng trụ là: A. 3 6 a . B. 3 3 3 2 a . C. 3 4 6 a . D. 3 5 3 a . Lời giải Chọn A Ta có AB là hình chiếu vuông góc của A B  lên mặt phẳng ABC , , A B ABC A B AB ABA    Tam giác ABA  vuông tại A có .tan 60 6 AA AB a   . Tam giác ABC vuông cân tại A có 2 1 . 2 ABC S AB AC a . Khi đó thể tích khối lăng trụ là 3 . 6 ABC V S AA a  . Câu 96: (TH P T L ụ c Ng ạ n - B ắ c N in h - l ầ n 1 nă m 20 17 - 20 18) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC , tam giác ABC là tam giác vuông tại B , AB a ; 3 BC a , mặt bên SBC tạo với đáy góc 60  . Thể tích khối chóp . S ABC là: A. 3 6 a . B. 3 3 a . C. 3 2 3 a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn D I H A C B S Gọi H là trung điểm cạnh huyền AC , suy ra HA HB HC . Mặt khác theo giả thiết SA SB SC . Do đó SH ABC  . Gọi I là trung điểm BC . Ta có SBC ABC BC HI BC SI BC     , 60 SBC ABC SIH  . A B C A  B  C  60 Lại có HI là đường trung bình tam giác ABC nên 2 2 AB a HI . Xét tam giác vuông SHI có tan 60 SH HI  3 . 3 2 a SH HI . Vậy thể tích khối chóp . S ABC là: 3 1 1 1 3 . . . . . . 3. 3 2 6 2 4 a a V AB BC SH a a . Câu 97: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh 3 a , 3 A B a  . Thể tích khối lăng trụ là A. 3 7 2 a . B. 3 9 2 4 a . C. 3 6a . D. 3 7a . Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 3 3 3 3 . 4 4 ABC a S a  ; 2 2 2 2 9 3 6 AA A B AB a a a   . Vậy 2 3 . 3 3 9 2 . 6. 4 4 ABC A B C ABC a a V AA S a      . Câu 98: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3 a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp . S ABCD là: A. 3 9 3 2 a . B. 3 2 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 3 a . Lời giải: 3a 3 a C' B' A B C A'a 3 H A B C D S Chọn C Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH là đường cao của hình chóp. Do SAB là tam giác đều nên: 3 3 3 . 3. 2 2 2 a SH AB a . Thể tích của khối chóp . S ABCD là: 3 2 1 1 3 3 . . 3 . 3 3 2 2 ABCD a a V S SH a . ----------HẾT---------- Câu 99: (TH P T L ê V ă n Th ịnh - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và 2 3 SA , 2 SB , 3 SC . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 6 3 V . B. 4 3. V C. 2 3 V . D. 12 3 V . Lời giải Chọn C Thể tích khối chóp . S ABC là 1 . . 6 V SA SB SC 1 .2 3.2.3 2 3 6 . Câu 100: (TH PT Lê V ă n Th ị nh - B ắ c Ni n h - l ầ n 1 nă m 201 7 - 2 018 ) Lăng trụ tam giác đều . ABC A B C   có góc giữa hai mặt phẳng ( ) A BC  và ( ) ABC bằng 30  . Điểm M nằm trên cạnh AA  . Biết cạnh 3 AB a , thể tích khối đa diện MBCC B   bằng: A. 3 3 4 a . B. 3 3 3 2 a . C. 3 3 2 4 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 3 3 3 4 4 ABC AB a S  . Gọi N là trung điểm của BC ; góc giữa hai mặt phẳng A BC  và ABC là góc 30 A NA   và 3 3 2 2 a AN AB nên 3 ' .tan 30 2 a AA AN  . Suy ra 2 3 . ' ' ' 3 3 3 9 . 4 2 8 ABC A B C a a a V và 3 '. 3 8 A ABC a V . Do M AA  mà // AA BB C C    nên , , d M BB C C d A BB C C      . Vì vậy 3 3 . ' ' '. ' ' 6 3 8 4 M BCB C A BCB C a a V V . Câu 101: (TH P T Tr i ệu S ơ n 3 - Th an h Hó a n ăm 201 7 - 201 8) Cho một đa diện có m đỉnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 cạnh. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. m là một số chẵn. B. m chia cho 3 dư 2 . C. m chia hết cho 3 . D. m là một số lẻ. Lời giải Chọn A Gọi Đ là số đỉnh và C là số cạnh của hình đa diện đã cho. Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên 3 2 2 3 C Đ C Đ     hay Đ là số chẵn. Vậy m Đ là số chẵn. Câu 1: (TH PT Tr i ệu Sơn 1 - l ần 1 nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 AB a , BC a , 3 SA a và SA vuông góc với mặt đáy ABCD . Thể tích V của khối chóp . S ABCD bằng A. 3 2 3 V a . B. 3 2 3 3 a V . C. 3 3 V a . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn B a a 3 2a D C B A S Ta có 2 đ . 2 S AB BC a . Vậy 1 . 3 đ V SA S  2 1 3.2 3 a a  3 2 3 3 a . Câu 2: (TH P T T r i ệu S ơ n 1 - l ần 1 n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB AC a , 120 BAC  . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích V của khối chóp . S ABC là A. 3 8 a V . B. 3 V a . C. 3 2 a V . D. 3 2 V a . Lời giải Chọn A . Gọi H là trung điểm của AB . Theo đề ta có SH ABC  . Tam giác SAB đều cạnh a nên 3 2 a SH . H B S C A 120 Tam giác ABC cân tại A , AB AC a , 120 BAC  nên 2 1 3 . .sin120 2 4 ABC a S AB AC   . Thể tích khối chóp . S ABC : 3 1 . 3 8 ABC a V SH S  . Câu 3: (TH P T C hu yê n V ĩnh Phú c - M Đ 903 l ần 1 - nă m 201 7 - 20 1 8) Cho lăng trụ đứng .    ABC A B C đáy là tam giác vuông cân tại B , 2 AC a , biết góc giữa  A BC và đáy bằng 60  . Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. 3 3 2 a V . B. 3 3 3 a V . C. 3 3 6 a V . D. 3 6 6 a V . Lời giải Chọn A Tam giác ABC vuông cân tại B , 2 AC a AB BC a . 2 2  ABC a S . Góc giữa  A BC và đáy là góc 60   A BA . .tan 60 3   A A AB a . 2 3 . 3 . . 3 2 2      ABC A B C ABC a a V S A A a . Câu 4: (TH PT C huyên V ĩn h P h ú c - MĐ 903 l ần 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng A. vô số. B. 8 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn D Hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng chứa một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối. Câu 5: (TH PT Ch uy ên V ĩn h P h ú c - MĐ 903 l ần 1 - nă m 201 7 - 2 018 ) Một hình hộp hình chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a , b , c . Tính bán kính của mặt cầu. A. 2 2 2 a b c . B. 2 2 2 2 a b c . C. 2 2 2 3 a b c . D. 2 2 2 1 2 a b c . Lời giải Chọn D Đường kính của mặt cầu chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu có bán kính 2 2 2 1 2 R a b c . Câu 6: (TH PT Ch u y ên V ĩn h Phú c - l ầ n 1 M Đ 9 04 nă m 201 7 - 20 18) Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng a . A. 3 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn D Lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Ta có: 2 2 1 3 3 . .sin . 2 2 2 4 ABC a a S AB AC A . Vậy: 2 3 . 3 3 . . 4 4 ABC A B C ABC a a V S AA a     . Câu 7: (THPT Ch u y ê n V ĩn h Ph úc - l ầ n 1 MĐ 904 nă m 201 7 - 20 18) Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 6 B. 4 . C. 9 D. 3 . Lời giải Chọn D Mặt phẳng đối xứng của khối chóp trên tạo bởi cạnh bên và trung điểm của cạnh đáy đối diện. Vậy khối chóp trên có 3 mặt phẳng đối xứng. Câu 8: (TH PT K im Liê n - Hà N ội n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm của cạnh AD , cạnh SB hợp với đáy một góc 60  . Tính theo a thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 15 2 a . B. 3 15 6 a . C. 3 5 4 a . D. 3 15 6 3 a . Lời giải Chọn B 60 H A D C B S Gọi H là trung điểm của cạnh AD . Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD nên SH ABCD  . Cạnh SB hợp với đáy một góc 60  , do đó: 60 SBH  . Xét tam giác AHB vuông tại A : 2 2 2 2 5 2 2 a a HB AH AB a     . Xét tam giác SBH vuông tại H : tan SH SBH BH .tan SH BH SBH 5 15 tan 60 2 2 a a SH  . Diện tích đáy ABCD là: 2 ABCD S a . Thể tích khối chóp . S ABCD là: 3 2 . 1 1 15 15 . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V S SH a . Câu 9: ( T HP T K im Liên - Hà N ội năm 201 7 - 201 8) Cho khối lăng trụ . ABCD A B C D     có thể tích bằng 3 36cm . Gọi M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABCD . Tính thể tích V của khối chóp . M A B C D     . A. 3 12cm V . B. 3 24cm V . C. 3 16cm V . D. 3 18cm V . Lời giải Chọn A Gọi h là chiều cao của lăng trụ, A B C D S S     . Ta có: . . ABCD A B C D V h S     ; . 3 . 1 . 12cm 3 3 ABCD A B C D M A B C D V V V h S         . Câu 10: ( TH PT K i m Li ên - Hà N ội năm 201 7 - 2 0 18) Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi V  là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho. Tính tỉ số V V  . A. 2 3 V V  . B. 1 4 V V  . C. 5 8 V V  . D. 1 2 V V  . Lời giải Chọn D H G E F J B D C A I Gọi khối tứ diện đã cho là ABCD . Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của AD , AB , AC , BC , CD , BD . Khi đó ta có: . 4. A FEG V V V  . Mặt khác . 1 8 A FEG V V . Suy ra 1 1 2 2 V V V V V   . Câu 11: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB BC a , ' 3 BB a . Tính góc giữa đường thẳng A B  và mặt phẳng BCC B   . A. 45 . B. 30  . C. 60  . D. 90  . Lời giải Chọn B C B A C' B' A' Hình lăng trụ đứng . ABC A B C    nên BB A B C      BB A B     A B BB     1 Bài ra có AB BC  A B B C      . Kết hợp với 1 A B BCC B      ; A B BCC B A BB      tan ; tan A B BCC B A BB      A B BB    3 a a 1 3 ; 30 A B BCC B    . Câu 12: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có SA ABCD  . Biết 2 AC a , cạnh SC tạo với đáy góc bằng 60  và diện tích tứ giác ABCD bằng 2 3 2 a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC . Tính thể tích khối . H ABCD . A. 3 3 6 8 a . B. 3 6 2 a . C. 3 6 8 a . D. 3 6 4 a . Lời giải Chọn C Gọi I là hình chiếu của H lên ABCD , vì SAC ABCD  nên I AC . Ta có tan 60 6 SA AC a  . Suy ra 2 2 . AS AC AH AS AC 6. 2 8 a a a 6 2 a . S A B C D H I 60 Do đó 2 2 HC AC AH 2 2 6 2 4 a a 2 2 a . Vì vậy 6 2 . . 6 2 2 4 2 a a HA HC a HI AC a . Từ đó suy ra 2 3 . 1 1 6 3 6 . . 3 3 4 2 8 H ABCD ABCD a a a V HI S . Câu 13: (TH PT C huyê n Lươ ng V ăn T ụ y - N i n h B ình l ầ n 1 nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho 2 SE EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . A. 2 3 V . B. 1 6 V . C. 1 3 V . D. 4 3 V . Lời giải Chọn C Ta có: 2 3 SEBD SCBD V SE V SC . Mà: . 1 1 2 2 SBCD S ABCD V V 2 1 1 . 3 2 3 SEBD V . Câu 14: ( TH P T Chu yê n Tr ần Phú - H ải Phò n g l ần 1 nă m 2 01 7 - 201 8 ) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có diện tích tam giác ACD  bằng 2 3 a . Tính thể tích V của khối lập phương. A. 3 4 2 V a . B. 3 2 2 V a . C. 3 8 V a . D. 3 V a . Lời giải Chọn B A B C D A  B  C  D  Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là x . Khi đó: Tam giác ACD  là tam giác đều cạnh 2 x : 2 3 ACD S a   2 2 2 3 1 3 2 2 x a  2 x a . Vậy 3 3 3 2 2 2 V x a a . Câu 15: (TH P T Ch u yê n Tr ần Phú - H ải P h òn g l ần 1 n ăm 2 017 - 201 8 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 60 , gọi I là giao điểm của AC và BD . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của BI . Góc giữa SC và ABCD bằng 45 . Thể tích của khối chóp . S ABCD là: A. 3 39 24 a . B. 3 39 12 a . C. 3 39 8 a . D. 3 39 48 a . Lời giải Chọn A Do SH ABCD  nên góc giữa SC và ABCD là góc 45 SCH  . Có ABCD là hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 60  nên ABD  la tam giác đều cạnh a , suy ra 4 a IH ; 3 2 a IC . Xét IHC  vuông tại I có 2 2 13 4 a CH IH IC . Tam giác SHC vuông cân tại H nên 13 4 a SH . Thể tích 2 3 . 1 1 13 3 39 . . 3 3 4 2 24 S ABCD ABCD a a a V SH S . Câu 16: (TH P T C hu yê n Tr ần Phú - H ải Ph ò ng l ần 1 n ăm 2 017 - 20 18 ) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a . Tính diện tích xung quanh xq S của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A B C D     và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD . A. 2 2 17 xq S a  . B. 2 17 2 xq a S  . C. 2 17 xq S a  . D. 2 17 4 xq a S  . Lời giải Chọn D a 2a a 2 H O C' C B A D B' A ' D' Hình nón tạo thành có bán kính đáy 2 2 AD a r và đường cao 2 h a . Đường sinh của hình nón này là: 2 2 2 2 2 17 17 2 2 4 2 a a a l h r a     . Diện tích xung quanh của hình nón cần tìm là: 2 17 17 . . 2 2 4 XQ a a a S rl    Câu 17: (TH P T Đo àn Thư ợng - H ả i Dươ ng - l ầ n 2 nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại C , 5 AB a , AC a . Cạnh bên 3 SA a và vuông góc với mặt phẳng ABC . Thể tích khối chóp . S ABC bằng: A. 3 2a . B. 3 3a . C. 3 5 3 a . D. 3 a . Lời giải Chọn B S B C A Ta có ABC vuông tại C nên 2 2 2 BC AB AC a . Diện tích tam giác ABC là 2 1 . 2 ABC S CA CB a  . Do cạnh bên 3 SA a và vuông góc với mặt phẳng ABC nên SA là đường cao của hình chóp . S ABC . Thể tích của khối chóp . S ABC là 2 3 . . 1 . 3 . 3 3 S ABC ABC V SA S a a a  . Câu 18: (TH PT Đo à n Th ư ợ n g - H ải D ươ n g - l ần 2 nă m 201 7 - 20 18 ) Cho khối lăng trụ đứng . ABC A B C   có đáy là tam giác cân ABC với AB AC a , góc 120 BAC  , mặt phẳng AB C   tạo với đáy một góc 30  . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 6 a V . B. 3 8 a V . C. 3 3 8 a V . D. 3 9 8 a V . Lời giải Chọn B M C B A' B ' C ' A Gọi M là trung điểm của B C  . Khi đó A M B C     và AM B C    góc giữa hai mặt phẳng AB C   và đáy là 30 AMA   . Trong tam giác vuông ' ' A MB ta có .cos A M A B B A M      2 a . Trong tam giác vuông AA M  có: 3 tan 30 6 a AA A M h    . Diện tích tam giác ' ' ' A B C là 2 3 4 a S . Thể tích khối lăng trụ: 3 . 8 a V S h . Câu 19: (T H PT Đo àn Thư ợ n g - H ải D ương - l ần 2 n ăm 2 017 - 201 8) Gọi 1 V là thể tích của khối lập phương . ABCD A B C D     , 2 V là thể tích khối tứ diện A ABD  . Hệ thức nào sau đây là đúng? A. 1 2 4 V V . B. 1 2 6 V V . C. 1 2 2 V V . D. 1 2 8 V V . Lời giải Chọn B D' D C ' B' A C B A ' Cách 1: Giả sử cạnh của hình lập phương là a , ta có 3 1 V a và 2 1 . 3 ABD V AA S  3 1 6 a suy ra 1 2 6 V V . Cách 2: Ta có 2 1 . 3 ABD V AA S  1 1 . 3 2 ABCD AA S  1 . 6 ABCD AA S  1 1 6 V 1 2 6 V V . Câu 20: Cách 3: Ta có . . 1 2 1 1 6 . 3 6 A ABD ABD A B D ABCD A B C D V V V V V         (TH P T Hà Huy T ậ p - Hà T ĩ nh - l ần 1 n ăm 20 1 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , 3 AD a , SA vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 2 a V . B. 3 3 3 a V . C. 3 V a . D. 3 3 V a . Lời giải Chọn A a 60° a 3 D A B C S Ta có: , 60 ; SBC ABCD BC SBC ABCD SBA SB BC AB BC        . Xét tam giác SAB vuông tại A , ta có .tan 60 3 SA AB a  . Diện tích đáy ABC là 2 1 1 3 . . . 3 2 2 2 ABC a S AB BC a a . Vậy 2 3 . 1 1 3 . 3. 3 3 2 2 S ABC ABC a a V SA S a . Câu 21: (TH P T Hà Hu y T ập - Hà T ĩn h - l ần 1 nă m 2017 - 201 8) Cho lăng trụ . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và 120 ABC . Góc giữa cạnh bên AA  và mặt đáy bằng 60  . Đỉnh A  cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 2 a V . B. 3 3 6 a V . C. 3 3 2 a V . D. 3 3 V a . Lời giải Chọn C a 60° O B' C' A' C D A B D' H Ta có tam giác ABD cân tại A và 60 BAD  nên ABD là tam giác đều. Gọi H là trọng tâm tam giác ABD . Vì A  cách đều A , B , D nên A H  là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Do đó A H ABD   . Suy ra góc giữa A A  và đáy ABCD là góc 60 A AH   . Ta có 2 3 3 2 a AH AO . Do đó 3 .tan 60 2 a A H AH   . Ngoài ra 2 2 3 3 2 2. 4 2 ABCD ABD a a S S . Thể tích khối lăng trụ . ABCD A B C D     là 2 3 3 3 3 3 . . 2 2 8 ABCD a a a V S A H  . Câu 22: (TH P T Tr i ệu T h ị Tr inh - l ần 1 n ăm 201 7 - 2 018 ) Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng 2 . A. 2 . B. 4 2 3 . C. 2 2 3 . D. 2 2 . Giải: Chọn C A B C H S Gọi tứ diện đều là . S ABC . H là tâm đường tròn ngoại tiếp . ABC  Ta có 2 3 . 3 AH Vì . S ABC là tứ diện đều nên SH ABC  . 2 2 2 2 2 3 8 2 . 3 3 SH SA AH       2 . 1 1 8 2 3 8 2 2 . . . 3 3 3 4 3 3 S ABC V S h . Câu 23: (TH PT Tr i ệu Th ị Tr in h - l ầ n 1 nă m 2 01 7 - 201 8) Khi tăng độ dài cạnh đáy của một khối chóp tam giác đều lên 2 lần và giảm chiều cao của hình chóp đó đi 4 lần thì thể tích khối chóp thay đổi như thể nào? A. Tăng lên 2 lần. B. Không thay đổi. C. Tăng lên 8 lần. D. Giảm đi 2 lần. Lời giải Chọn B Ta có thể tích hình chóp là: 1 . 3 đáy V S h . Giả sử cạnh đáy bằng a thì diện tích đáy 2 3 4 đáy a S . Nếu cạnh đáy tăng lên 2 lần, tức là 2a thì diện tích đáy bằng 2 3 a và chiều cao h giảm đi 4 lần, tức bằng 4 h thì thể tích khối chóp bằng 2 2 1 1 3 1 3. . . . 3 4 3 4 3 đáy h a a h S h V . Do đó thể tích khối chóp không thay đổi. Câu 24: ( TH PT L ư ơ n g Th ế V i nh - Hà N ội n ăm 20 17 - 201 8) Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt phẳng BCC B   vuông góc với đáy và 30 B BC  . Thể tích khối chóp . ACC B   là A. 3 3 2 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 18 a . D. 3 3 6 a . Lời giải Chọn D a C' A' B' C B A H 4a Gọi H là hình chiếu của B  trên BC . Từ giả thiết suy ra: B H ABC   . 1 . .sin 2 BB C S BB BC B BC    1 4 . .sin 30 2 a a  2 a . Mặt khác: 1 . 2 BB C S B H BC   2 BB C S B H BC   2 2 2 a a a . . LT ABC V B H S  2 3 2 . 4 a a 3 3 2 a . . . 1 2 A CC B A CC B B V V     1 2 1 . 2 3 3 LT LT V V 3 1 3 . 3 2 a 3 3 6 a . Câu 25: (TH P T Lươ n g Th ế Vi nh - Hà N ội n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có thể tích V . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , MC . Thể tích của khối chóp . N ABCD là A. 6 V . B. 4 V . C. 2 V . D. 3 V . Lời giải Chọn B Đặt ABCD B S , ; d S ABCD h . Suy ra 1 3 V Bh . Vì M là trung điểm của SA nên 1 ; ; 2 d M ABCD d S ABCD , Lại vì N là trung điểm của MC nên 1 ; ; 2 d N ABCD d M ABCD . Suy ra 1 1 ; ; 4 4 d N ABCD d S ABCD h . Từ đó ta có . 1 1 1 ; . . 3 4 3 4 N ABCD V V d N ABCD B Bh . Câu 26: (TH P T Lươ n g Th ế Vi nh - Hà N ội n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có SA ABCD  , ABCD là hình chữ nhật. 2 SA AD a . Góc giữa SBC và mặt đáy ABCD là 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Tính thể tích khối chóp . S AGD là A. 3 32 3 27 a . B. 3 8 3 27 a . C. 3 4 3 9 a . D. 3 16 9 3 a . Lời giải Chọn B S A B C D O M NG M D A B C S Vì góc giữa SBC và mặt đáy ABCD là 60  nên 60 SBA  2 tan 60 3 SA a AB  . Khi đó: 2 2 4 3 . .2 3 3 ABCD a a S AB AD a . Gọi M là trung điểm BC , khi đó: 2 1 2 3 2 3 ADM ABCD a S S . 2 3 . . 2 2 1 2 3 8 3 . .2 . 3 3 3 3 27 S ADG S ADM a a V V a . Câu 27: (TH PT Đ ức T h ọ - Hà T ĩnh - l ầ n 1 n ă m 201 7 - 201 8) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Dùng một mặt phẳng bất kỳ cắt 1 khối bát diện đều ta được khối đa giác đều. B. Mỗi mặt của khối bát diện đều là một tam giác đều. C. Mỗi đỉnh của khối bát diện đều là đỉnh chung của 3 mặt. D. Mỗi mặt của khối bát diện đều là 1 tứ giác đều. Lời giải Chọn B Câu 28: (TH PT Đ ức Th ọ - Hà T ĩnh - l ần 1 n ăm 201 7 - 201 8) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 9 . Gọi B  và C  lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thỏa 3AB AB  và 3AC AC  . Tính thể tích V của khối tứ diện AB C D   . A. 3 V . B. 1 9 V . C. 1 V . D. 1 3 V . Lời giải Chọn C A B D C B' C' * Ta có AB C D ABCD V AB AC AD V AB AC AD       1 1 1 3 3 9  . * Suy ra là 1 1 9 AB C D ABCD V V   . Câu 29: (T H PT Đ ứ c Th ọ - Hà T ĩnh - l ầ n 1 nă m 2 017 - 201 8 ) Tính thể tích V của khối lập phương . ABCD A B C D     , biết 2 . AB a A. 3 6a . B. 3 2a . C. 3 8 3 a . D. 3 8a . Lời giải Chọn D Áp dụng công thức tính thể tích của khối lập phương, ta có 3 3 2 8 V a a . Câu 30: (THPT Th ạ ch Thàn h 2 - Tha nh Hó a - l ần 1 nă m 2 017 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 4 7 3 a V . B. 3 4 7 9 a V . C. 3 4 7 V a . D. 3 4 3 a V . Lời giải Chọn A Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Ta có 2 4 ABCD S a và 2 2 2 2 9 2 7 SO SA AO a a a . Suy ra 3 2 1 4 7 7.4 3 3 a V a a . Câu 31: (T HPT T h ạch Th à n h 2 - Th anh Hó a - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 2018) Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn B Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng như sau: O D B C A S O D B C A S O D B C A S O D B C A S Câu 32: (TH P T T h ạ c h Th àn h 2 - Th a n h Hó a - l ần 1 năm 201 7 - 2 018 ) Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 27 3 2 . B. 27 3 4 . C. 9 3 2 . D. 9 3 4 . Lời giải Chọn B S A B C D OLăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều và cạnh bên đồng thời là đường cao. Diện tích đáy của lăng trụ là 2 3 3 9 3 4 4 S . Đường cao lăng trụ: 3 h . Thể tích khối lăng trụ đã cho: 9 3 27 3 . .3 4 4 V S h . Câu 33: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc. Biết OA a , 2 OB a , 3 OC a . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC . A. 3 2 a . B. 19 a . C. 17 19 a . D. 2 3 19 a . Lời giải Chọn D Cách 1: B O C A 3 1 3 . . 6 3 OABC a V OAOB OC . Tính được 2 2 5 AB OA OB a , 2 2 2 AC OA OC a , 2 2 7 BC OB OC a . 19 2 ABC S p p AB p AC p BC (với 2 AB AC BC p ) Gọi ; h d O ABC . Ta có 3 1 2 3 . 3 19 OABC OABC ABC ABC V V h S h S . Cách 2: Áp dụng công thức tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh O đến mặt phẳng ABC trong tứ diện vuông OABC ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 OH OA OB OC a 2 3 19 a OH Câu 34: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có diện tích các mặt ABCD , BCC B  , CDD C   lần lượt là 2 2a , 2 3a , 2 6a . Tính thể tích khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     . A. 3 36a . B. 3 6a . C. 6 36a . D. 2 6a . Lời giải Chọn B C' D' B' C B A D A' Ta có 2 2 ABCD S a 2 . 2 AB BC a 1 2 3 BCC B S a   2 . 3 BC BB a  2 2 6 CDD C S a   2 . 6 CD CC a  2 . 6 AB BB a  3 Nhân vế theo vế 1 , 2 , 3 ta được 2 6 . . 36 AB BC BB a  3 . . 6 AB BC BB a  . 3 . . . 6 ABCD A B C D V AB BC BB a      . Câu 35: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 6 2 a . B. 3 6 6 a . C. 3 6 a . D. 3 6 3 a . Lời giải Chọn B a 60° O D A B C S Ta có: 60 SBO  . .tan 60 SO OB  2 .tan 60 2 a  6 2 a . 2 ABCD S a Suy ra 1 . 3 SABCD ABCD V SO S 2 1 6 . . 3 2 a a 3 6 6 a . Câu 36: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC , đáy ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy, 3 SA a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 2 a V . B. 3 3 4 a V . C. 3 12 a V . D. 3 4 a V . Lời giải Chọn D S A B C Ta có 1 . 3 ABC V SA S 0 3 1 . . sin 60 3 2 a AB AC 3 4 a . Câu 37: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , biết A A A B A C a    . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C   ? A. 3 3 4 a . B. 3 2 4 a . C. 3 3 4 a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn B B' A C B A' H Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Theo giả thiết ta có ABC là tam giác đều cạnh bằng a và A A A B A C a    nên . A ABC  là tứ diện đều cạnh a A H ABC   hay A H  là đường cao của khối chóp . A ABC  . Xét tam giác vuông A HA  ta có 2 2 A H A A AH   6 3 a . Diện tích tam giác ABC là 1 . .sin 60 2 ABC S a a  2 3 4 a . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    là 2 . 3 6 4 3 ABC A B C a a V    3 2 4 a . Câu 38: (THPT Chuyên Th ái Bình - l ần 2 nă m h ọ c 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD , đáy là hình chữ nhật tâm O , AB a , 3 AD a , 3 SA a , SO vuông góc với mặt đáy ABCD . Thể tích khối chóp . S ABC bằng: A. 3 6 a . B. 3 2 6 3 a . C. 3 6 3 a . D. 3 2 6 a . Lời giải Chọn C O C A B D S Do SO vuông góc với mặt đáy ABCD nên SO là đường cao của hình chóp . S ABC . Ta có 2 2 3 2 AC a a a 2 2 SO SA AO 2 2 9 2 2 a a a . Lại có 2 1 1 3 S . 3 2 2 2 ABC ABCD a S a a . Thể tích khối chóp . S ABC là: 2 3 1 3 6 . .2 2 3 2 3 a a V a . Câu 39: (T HP T Ch u yê n Thái Bìn h - l ần 2 n ăm h ọ c 201 7 - 201 8 ) Lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ; 5; AB AC a A B  tạo với mặt đáy lăng trụ góc 60 . Thể tích khối lăng trụ bằng A. 3 6 a . B. 3 5 15 2 a . C. 3 5 3 3 a . D. 3 4 6 a . Lời giải Chọn B Do . ABC A B C    là lăng trụ đứng nên , 60 A B ABC A BA    . Vậy .tan 60 15 AA AB a   . Thể tích lăng trụ đã cho bằng 3 2 . 1 5 15 15 5 2 2 ABC A B C a V a a    . Câu 40: (TH P T Ch u yê n Thái B ìn h - l ần 2 nă m h ọc 201 7 - 201 8) Thể tích khối tứ diện đều cạnh 3 a bằng: A. 3 6 8 a . B. 3 6 6 a . C. 3 3 2 8 a . D. 3 6 4 a . Lởi giải Chọn D O B D C A Giả sử tứ diện đều ABCD cạnh 3 a có O là trọng tâm của tam giác BCD suy ra AO là đường cao của tứ diện nên 1 . 3 ABCD BCD V S AO  . Có 2 2 3 3 3 3 4 4 BCD a a S  ; 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2 a AO AB OB a a       . Vậy 2 3 1 3 3 6 2 3 4 4 ABCD a a V a   . Câu 41: (TH P T Ch uy ên ĐH SP - Hà N ộ i - l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp . S ABCD là A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 a . D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn A H D A B C S Gọi H là trung điểm của AB SH AB  SH ABCD  . Ta có: 3 2 a SH và 2 ABCD S a . Vậy: 3 2 . 1 1 3 3 . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V S SH a . Câu 42: (TH P T C h uy ê n ĐH SP - Hà N ội - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M , N là trung điểm của SA , SB . Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. tỉ số thể tích hai phần . S MNCD và MNABCD là A. 3 4 . B. 3 5 . C. 4 5 . D. 1. Lời giải Chọn B Ta có . . . 1 2 S ABC S ACD S ABCD V V V ; và . . . 1 4 S MNC S ABC S ABC SM SN SC V V V SA SB SC    ; . . . 1 2 S MCD S ACD S ACD SM SD SC V V V SA SD SC    . Suy ra . . . . . 3 3 4 8 S MNCD S MNC S MCD S ABC S ABCD V V V V V . Đồng thời . . . 5 8 MNABCD S ABCD S MNCD S ABCD V V V V . Vậy tỉ số thể tích hai phần . S MNCD và MNABCD là 3 5 . Câu 43: (TH P T Ch u yê n ĐH SP - Hà N ội - l ầ n 1 n ăm 2017- 201 8) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB AC a , 2 A A a  . Thể tích của khối tứ diện A BB C   là S A B C D M NA. 3 2 3 a . B. 3 2a . C. 3 a . D. 3 3 a . Lời giải Chọn D B' C ' A C B A' Ta có . 1 3 A BB C ABC A B C V V      2 1 1 2 . 3 2 a a 3 3 a . Câu 44: (T HPT Yê n L ạc - V ĩn h P h ú c - l ầ n 3 nă m 20 17 - 201 8) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Biết A G  vuông góc với mặt phẳng ABC và A B  tạo với đáy một góc 45 . Tính thể tích khối chóp . A BCC B    . A. 3 5 9 a . B. 3 5 6 a . C. 3 5 3 a . D. 3 5 4 a . Lời giải Chọn A Ta có: 45 A BG   ; 2 2 2 5 3 2 3 a a BG a A G      . 2 3 A BCC B ABCA B C V V       2 . 3 ABC S A G  2 3 2 5 5 . . 3 2 3 9 a a a . Câu 45: (TH TT S ố 4 - 48 7 thá n g 1 n ăm 20 17 - 201 8) Cho tứ diện . O ABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Biết 2 cm OA , 3 cm OB , 6 cm OC . Tính thể tích của khối tứ diện . O ABC . A. 3 6 cm . B. 3 36 cm . C. 3 12 cm . D. 3 18 cm . Lời giải Chọn A Ta có: OA OB OA OBC OA OC     . Do đó . 1 1 1 . . . . . .2.3.6 6 3 6 6 O ABC OBC V OA S OAOB OC 3 cm . Câu 46: (TH TT S ố 4 - 4 8 7 thá n g 1 n ăm 2 017 - 2 018) Diện tích toàn phần của một khối lập phương là 150 2 cm . Tính thể tích của khối lập phương. A. 125 3 cm . B. 100 3 cm . C. 25 3 cm . D. 75 3 cm . Lời giải Chọn A Gọi cạnh của khối lập phương là a . Ta có diện tích toàn phần của hình lập phương là 2 6 150 a 2 25 a 5 a . Vậy thể tích khối lập phương là 3 V a 3 5 125 3 cm . Câu 47: (TH TT S ố 4 - 48 7 thá n g 1 nă m 2 017 - 20 1 8 ) Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ số thể tích MIJK MNPQ V V bằng A. 1 3 . B. 1 4 . C. 1 6 . D. 1 8 . Lời giải Chọn D K J I N Q P M Ta có: . . 1 1 1 1 . . . . 2 2 2 8 M IJK M NPQ V MI MJ MK V MN MP MQ . Câu 48: (S GD B ắc Ni n h nă m 2017- 201 8) Hình chóp đều . S ABCD tất cả các cạnh bằng a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A. 2 4 a  . B. 2 a  . C. 2 2 a  . D. 2 2 a  . Lời giải Chọn D O I M D C B A S Gọi O là tâm mặt đáy, M là trung điểm SA , kẻ MI SA  , I SO . . S ABCD là hình chóp đều nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R IS . SMI  đồng dạng với SOA  2 2 2 2 2 2 1 . 2 2 2 2 a SA SM SI SM SA a SI SO SA SO SA OA a a . Vậy 2 2 4 2 mc S R a   . Câu 49: (S GD Ni nh B ì n h nă m 20 17 - 20 18) Cho hình chóp . S ABC có A  và B  lần lượt là trung điểm của SA và SB . Biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 24 . Tính thể tích V của khối chóp . S A B C   . A. 12 V . B. 8 V . C. 6 V . D. 3 V . Lời giải Chọn C A' B' A B C S Ta có . . . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC     1 1 . 2 2 1 4 Vậy . . 1 . 4 S A B C S ABC V V   1 .24 4 6 . Câu 50: (SG D Ni n h Bình n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Biết SA a , tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A , 2 AB a . Tính theo a thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 2 a V . B. 3 2 V a . C. 3 6 a V . D. 3 2 3 a V . Lời giải A C B S Chọn D Ta có: 1 . . 3 ABC V SA S  1 1 . . . 3 2 SA AB AC 2 1 . . 2 6 a a 3 2 3 a (dvtt). Câu 51: ( SG D Ni n h B ình n ăm 201 7 - 201 8)Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . A. 3 2 3 a V . B. 3 2 4 a V . C. 3 3 2 a V . D. 3 3 4 a V . Lời giải Chọn D . a a V a 2 3 3 3 4 4 . Câu 52: (SG D Ni nh B ình n ăm 2017- 201 8) Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , 2, AC a mặt phẳng SAC vuông góc với mặt đáy ABC . Các mặt bên SAB , SBC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60 . Tính theo a thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 3 2 a V . B. 3 3 4 a V . C. 3 3 6 a V . D. 3 3 12 a V . Lời giải Chọn D Ta có: SAC ABC  và SAC ABC AC  . Trong mặt phẳng SAC , kẻ SH AC  thì SH ABC  . Gọi I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và AC thì , SAB ABC SIH và , SAC ABC SKH . Mà 60 SIH SKH  nên HI HK tứ giác BIHK là hình vuông H là trung điểm cạnh AC . Khi đó tứ giác BIHK là hình vuông cạnh 2 a và 3 .tan 60 2 a SH HI  . Vậy 1 . 3 SABC ABC V S SH 2 3 2 1 3 3 . . 3 2 4 12 SABC a a a V . Câu 53: (TH PT Ch uy ên ĐH K HT N - Hà N ội nă m 2017 - 201 8) Cho khối lăng trụ . ABCD A B C D     có thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp . A BCO  bằng A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A . . 1 1 , . 1 3 12 A BCO BCO ABCD A B C D V d A BCO S V       . Câu 54: (TH P T C h uy ê n H ạ Lo ng - Qu ả n g Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 201 8 ) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích là V . Gọi M là điểm bất kỳ trên đường thẳng CC  . Tính thể tích khối chóp . M ABB A   theo V . A. 2 V . B. 3 V . C. 2 9 V . D. 2 3 V . S A I B K C H 60  60 Hướng dẫn giải A B B' C A ' C' M Chọn D Gọi 1 h , 2 h lần lượt là đường cao của hai hình chóp . M ABC , . M A B C    thì 1 2 h h h là đường cao của lăng trụ . ABC A B C   . Ta có: . . . M ABC M ABB A M A B C V V V V      1 . 2 1 1 . . . . 3 3 ABC M ABB A A B C S h V S h        1 2 . 1 3 ABC M ABB A S h h V    . 1 3 M ABB A V V   Suy ra . 2 3 M ABB A V V   . Câu 55: (TH PT C hu yê n H ạ L o n g - Qu ả ng Ni nh - l ầ n 1 nă m 2 017 - 201 8) Cho khối chóp . S ABC có SA ABC  , SA a , AB a , 2 AC a và 120 BAC  . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 3 3 a . B. 3 3 2 a . C. 3 3 a . D. 3 3 6 a . Hướng dẫn giải A C B S Chọn D Ta có: 3 . 1 1 1 3 . . . .sin 3 3 2 6 S ABC ABC a V SA S SA AB AC BAC  (đvtt). Vậy thể tích khối chóp . S ABC là 3 3 6 a . Câu 56: (THPT Chuyê n H ạ L on g - Qu ả ng Ni nh - l ần 1 nă m 2017 - 201 8) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai tia , Bx Dy vuông góc với mặt phẳng ABCD và cùng chiều lần lượt lấy hai điểm , M N sao cho ; 4 a BM 2 DN a . Tính góc  giữa hai mặt phẳng AMN và CMN . A. 30  . B. 60   . C. 45   . D. 90  . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Ta có: 0;0;0 B , 0; ;0 A a , ;0;0 C a , 0;0; 4 a M     , ; ;2 N a a a . 0; ; 4 a AM a          , 0;0;2 AN a     , 2 2 2 , 2 ; ; 4 a AM AN a a                 là vectơ pháp tuyến của mp AMN . ; 0; 4 a CM a          , 0; ; 2 CN a a     , 2 2 2 , ;2 ; 4 a CM CN a a                 là vectơ pháp tuyến của mp CMN . Do đó: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 cos 0 4 . 4 16 16 a a a a a a a a a  90   . Cách 2: Tacó: c.c.c AMN CMN   nên kẻ CH MN  tại H thì AH MN  . Mà AMN CMN MN  nên góc  giữa hai mặt phẳng AMN và CMN là góc giữa hai đường thẳng , HA HC . Ta có: 2 2 17 4 a MC BC MB , 2 2 5 NC CD ND a , 2 2 2 2 49 9 2 16 4 a a MN ME EN a . 2 2 2 2 cos . 85 MC NC MN MCN MC NC 9 sin 85 MCN . 2 1 9 . .sin 2 8 MCN a S MC NC MCN . Từ đó: 2 MCN S CH a AH MN . Do 2 2 2 AH CH AC nên tam giác AHC vuông tại H . Vậy góc giữa hai đường thẳng , HA HC bằng 90  . Câu 57: (TH PT Ch u yê n Lê Q uý Đô n - Đà N ẵn g n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60  . Thể tích của hình chóp đã cho. A. 3 3 12 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của BC , O là tâm của ABC  . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc SAM hay 60 SAM  . Ta có: 3 2 a AM nên 3 3 a AO ; Diện tích tam giác ABC là: 2 3 4 ABC a S ; SAO  vuông tại O có: .tan 60 SO AO  3 . 3 3 a a . Thể tích khối chóp tam giác đều . S ABC là: 2 1 1 3 . . . 3 3 4 ABC a V S SO a 3 3 12 a . Câu 58: (TH P T Ch u yê n L ê Qu ý Đ ô n - Đà N ẵ n g nă m 2 017 - 201 8 ) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 a và 2 SA SB SC SD a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD ? A. 3 2 6 a . B. 3 2 2 a . C. 3 3 3 a . D. 3 6 6 a . Lời giải Chọn B Ta có 2 ABCD S AB 2 3 a 2 3a . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó 1 2 BO BD 1 . 3. 2 2 a 6 2 a . Vì . S ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD  . 2 2 SO SB BO 2 2 3 2 2 a a 2 a . . 1 . . 3 S ABCD ABCD V SO S 2 1 . .3 3 2 a a 3 2 2 a (đvtt). Câu 59: (TH P T Chuyê n P h an B ội Ch âu - Ng h ệ A n - l ần 1 năm 201 7 - 20 18) Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó. 60  C B A M S O S A C B D OA. 20 . B. 11. C. 12. D. 10. Lời giải Chọn B Số cạnh bên của hình chóp bằng số cạnh đáy. Suy ra số cạnh bên của hình chóp là: 20 10 2 cạnh. Vậy hình chóp có 10 mặt bên và 1 mặt đáy. Câu 60: (TH PT Ch u y ên Pha n B ội Châu - N g h ệ A n - l ần 1 n ăm 201 7 - 20 18) Thể tích khối bát diện đều cạnh a là: A. 3 2 6 a . B. 3 2a . C. 3 2 3 a . D. 3 2 2 a . Lời giải Chọn C O A B C D E F Vì hình bát diện ABCDEF có các cạnh bằng 2 a EF a . Khi đó 2 3 . 1 2 2 2 2 2. . . . . 3 3 2 3 ABCDEF E ABCD ABCD a V V EO S a a . Câu 61: (T HPT C huyê n P h an B ội Ch â u - Ng h ệ An - l ầ n 1 nă m 201 7 - 201 8) Tính thể tích của khối lăng trụ đều . ABC A B C    có AB AA a  . A. 3 3 4 a . B. 3 3 6 a . C. 3 a . D. 3 3 12 a . Lời giải Chọn D 2 3 3 3 . . 4 4 ABC a a V S AA a  . Câu 62: (TH PT Ch u y ên Qu ốc H ọ c - Hu ế năm 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và 2 SA a . Gọi ;   B D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh , SB SD . Mặt phẳng   AB D cắt cạnh SC tại  C . Tính thể tích của khối chóp .    S AB C D A. 3 3 a . B. 3 16 45 a . C. 3 2 a . D. 3 2 4 a Lời giải Chọn B I O A D C B S D' B' C' Ta có . . 2 1      S AB C D S AB C V V mà . *     SAB C SABC V SB SC V SB SC SAC vuông tại A nên 2 2 2 2 2 2 2 2 6 SC SA AC a a a suy ra 6 SC a Ta có    BC SAB BC AB và   SB AB suy ra   AB SBC nên   AB BC Tương tự   AD SC . Từ đó suy ra        SC AB D AB C D nên   SC AC Mà 2 .  SC SC SA suy ra 2 2 2 2 4 2 6 3  SC SA a SC SC a . Ta cũng có 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 5  SB SA SA a SB SB SA AB a a Từ 8 * 15   SAB C SABC V V suy ra 8 8 1 8 . 15 15 2 30   SAB C SABC SABCD SABCD V V V V mà 3 1 2 . 3 3 SABCD ABCD a V S SA Suy ra 3 3 8 2 8 . 30 3 45   SAB C a a V Từ 1 suy ra 3 . . 16 2 45      S AB C D S AB C a V V . Câu 63: (TH P T Ch u yê n Qu ố c H ọc - Hu ế nă m 201 7 - 201 8 ) Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai ? A. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. B. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C. Thể tích hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau. D. Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Lời giải Chọn B Xét hai khối hộp chữ nhật có ba độ dài là 1; 2 ; 3 . Thì diện tích toàn phần 2 1.2 1.3 2.3 22 tp S thể tích 1 6 V . Xét khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 1; 1; 5. Có diện tích toàn phần 2 1.1 1.5 1.5 22 tp S tuy nhiên thể tích 2 1.1.5 5 V . Câu 64: (TH PT Ch u y ên V ĩn h P h ú c - l ầ n 3 nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm của cạnh AB . Cạnh bên 3 2 a SD . Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 1 3 a . B. 3 3 3 a . C. 3 5 3 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của AB thì SH ABCD  . Ta có 5 2 a HD nên 2 2 9 5 4 4 a a SH a . . 1 . 3 S ABCD ABCD V SH S 3 2 1 . . 3 3 a a a . Câu 65: (TH P T Ch uy ên V ĩn h Phú c - l ần 3 M Đ 234 nă m h ọc 201 7 - 20 18 ) Tính thể tích V của khối chữ nhật . ABCD A B C D     biết rằng AB a , 2 AD a , 14 AC a  . A. 3 14 3 a V . B. 3 2 V a . C. 3 6 V a . D. 3 5 V a . Hướng dẫn giải Chọn C a 14 2a a D ' C ' B ' D B C A A ' Ta có: 2 2 2 2 AC AB AD AA   2 2 2 AA AC AB AD   2 2 2 14 4 3 AA a a a a  . Thể tích khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     là: 3 . . 6 V AB AD AA a  . Câu 66: (T HP T Ch u yê n V ĩ nh P hú c - l ầ n 3 MĐ 23 4 n ăm h ọc 201 7 - 2 018 ) Cho tứ diện . ABCD Gọi ', ' B C lần lượt là trung điểm của , . AB AC Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện ' ' AB C D và khối tứ diện ABCD bằng: A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 6 . Hướng dẫn giải Chọn C B' C' B D C A Ta có ' ' ' ' 1 1 1 . . . 2 2 4 AB C D ABCD V AB AC V AB AC Câu 67: ( TH P T Ch uy ê n V ĩnh Phúc - l ần 3 M Đ 2 34 n ăm h ọc 2 017 - 201 8 ) Tính thể tích của khối bát diện đều có cạnh bằng 2. A. 8 2 3 . B. 16 3 . C. 4 2 3 . D. 16 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi ABCDEF là hình bát diện đều có tâm H (như hình vẽ) có cạnh bằng 2 . Ta có 2 2 2 2 2 AC EH AH . Thể tích của bát diện đều đã cho là 2 . 1 1 8 2 2 2. . . 2. .2 . 2 3 3 3 E ABCD ABCD V V S EH . Câu 68: (TH P T H o ài Ân - H ải Ph ò ng n ăm 201 7 - 201 8) Cho tứ diện OABC có , OA a 2 , OB a 3 OC a đôi một vuông góc với nhau tại O . Lấy M là trung điểm của cạnh ; AC N nằm trên cạnh CB sao cho 2 3 CN CB . Tính theo a thể tích khối chóp OAMNB . A. 3 2a . B. 3 1 6 a . C. 3 2 3 a . D. 3 1 3 a . Lời giải Chọn C Ta có: M O B C A N E A B D F C H 3 1 1 ; . . . 3 6 OABC OBC V d A OBC S OAOB OC a  3 1 1 1 2 1 ; . . . ; . . 3 3 2 3 3 3 MOBC OCN OBC OABC a V d M OBC S d M OBC S V   3 3 3 2 3 3 AOMNB OABC MOBC a a V V V a . Câu 69: (TH PT Ho ài Ân - H ải P h òn g n ăm 2 017 - 2018) Tính theo a thể tích khối lăng trụ đứng . ABCD A B C D     có đáy là hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 60  và cạnh bên AA  bằng a . A. 3 9 2 a . B. 3 1 2 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3a . Lời giải Chọn C a a a O C' D' B' C B A D A' Trong ABCD gọi O AC BD  . Ta có: ABD  là tam giác đều cạnh a . BD a , 2 AC AO 3 a . Thể tích khối lăng trụ là: . ABCD V S AA  1 . . . 2 BD AC AA  1 . 3. 2 a a a 3 3 2 a . Câu 70: ( T H P T Ho à i  n - H ả i P h ò n g n ă m 2 0 1 7 - 2 0 1 8 ) Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy là tam giác cân AB AC a , 120 BAC  , cạnh bên 3 SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp . S ABC . A. 3 3 12 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 4 a . D. 3 1 4 a . Lời giải Chọn D Ta có 1 . .sin 2 ABC S AB AC BAC  2 3 4 a . Vậy thể tích khối chóp . S ABC là 3 . 4 S ABC a V . Câu 71: (TH PT Ho ài  n - H ải P h ò n g n ăm 20 17 - 201 8) Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh 2a A. 3 2 2 3 a . B. 3 2 2a . C. 3 2 4 a . D. 3 2 12 a . Lời giải Chọn A O S A B C Giả sử tứ diện đều SABC . Gọi O là tâm của tam giác ABC . Ta có 1 . 3 V SO dt ABC . 1 . .sin 60 2 dt ABC AB AC  2 3 a , 2 3 3 a OA 2 2 2 6 3 a SO SA OA . 1 . 3 V SO dt ABC 3 2 2 3 a . * Dùng công thức tính nhanh 3 2 . 12 V AB 3 2 2 12 a 3 2 2 3 a . Câu 72: (TH PT Ho ài  n - H ải Phò n g nă m 201 7 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2 y x mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. A. 1 m . B. 3 0 4 m . C. 0 m . D. 0 1 m . Lời giải. Chọn D Ta có: D  . 3 4 4 y x mx  , 0 y  3 4 4 0 x mx 2 0 * x x m   . Hàm số có ba cực trị 0 y  có ba nghiệm phân biệt * có hai nghiệm phân biệt 0 m . S A B CKhi đó 0 y  có ba nghiệm là m ; 0 ; m đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ; A m m ; 0;0 B ; ; C m m . Gọi H là trung điểm AC 0; H m . Ta có: 1 . 2 ABC S AC BH  1 .2 . 2 m m m m . Theo yêu cầu bài toán ta có: 1 m m 3 1 m . Câu 73: (TH P T Ho ài  n - H ải P h òn g nă m 2017 - 201 8) Tìm số nghiệm thuộc đoạn   2 ;4   của phương trình sin 2 0 cos 1 x x . A. 5 . B. 6 . C. 3 . D. 4 . Lời giải. Chọn D Điều kiện: cos 1 x  2 x k    ; k  . Với điều kiện đó ta có phương trình sin 2 0 cos 1 x x sin 2 0 x 2 k x  ; . k  Đối chiếu đều kiện ta được , 2 2 x k k x k        . Do   2 ;4 x   5 2 x  ; 7 2 x  ; 2 x  ; 4 x  . Câu 74: ( TH PT Ho ài  n - H ải Phò ng n ăm 2017 - 201 8) Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? A. 345600. B. 518400. C. 725760 . D. 103680. Lời giải. Chọn D Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng : 3! . Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng : 4! . Số cách xếp 5 viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng : 5! . Số cách xếp 3 nhóm bi thành một dãy bằng : 3! . Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng 3!.4!.5!.3! 103680 cách. Câu 75: (TH PT Ho ài  n - H ải P hò n g nă m 201 7 - 201 8 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 3 AB a , 4 BC a , 12 SA a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . A. 13 2 a R . B. 5 2 a R . C. 17 2 a R . D. 6 R a . Lời giải. Chọn A Ta có: BC AB BC SA    BC SAB  BC SB  SBC  vuông tại B . Tương tự: CD AD CD SA    CD SAD  CD SD  SAD  vuông tại D . SA ABCD  SA AC  SAC  vuông tại A . Gọi I là trung điểm SC ta có IA IB IC ID IS 2 SC I là tâm mặt cầu ngoại tiếp . S ABCD . Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp . S ABCD là 2 SC R . Ta có: 2 2 5 AC AB BC a . 2 2 13 SC SA AC a . Vậy 13 2 a R . Câu 76: (TH P T Ho ài  n - H ải Ph ò n g n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân; AB AC a ; mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp . S ABC . A. 3 1 12 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 12 a . D. 3 1 4 a . Lời giải Chọn A H a C B A S Vì mặt bên SAB vuông cân tại S và vuông góc với ABC nên đường cao của hình chóp là SH với H là trung điểm của AB . Mặt khác tam giác SAB vuông cân tại S nên 1 2 SH AB . Ta có: . 1 . . 3 S ABC ABC V S SH  1 1 1 . . . . 3 2 2 AB AC AB 3 12 a . Câu 77: (T HP T H ồn g Quang - H ả i D ương n ă m 2017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC vuông tại B , BC a , 2 AC a , tam giác SAB là tam giác đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AC . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 6 a V . B. 3 3 a V . C. 3 6 a V . D. 3 3 6 a V . Lời giải Chọn A 2a a M B C A S Tam giác ABC vuông tại B : 2 2 3 AB AC BC a . Tam giác SAB đều nên 3 SA AB a . Tam giác SAM vuông tại M nên: 2 2 2 SM SA AM a . Vậy 1 . . 3 ABC V S SM  d 3 6 a . Câu 78: (THPT K in h Mô n 2 - H ả i Dư ơ n g n ăm 2017 - 201 8) Cho khối chóp OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc tại O và 2 OA , 3 OB , 6 OC . Thể tích khối chóp bằng A. 12. B. 6 . C. 24 . D. 36 . Lời giải Chọn B Thể tích khối chóp: 1 3 OAB V S OC  1 1 . 3 2 OAOB OC     6 . O B A C Câu 79: (TH PT Lê Ho à n - Th an h Hó a - l ầ n 1 n ă m 20 17 - 201 8) Cho khối chóp đều . S ABC cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích khối chóp đó ? A. 3 3 4 a V . B. 3 11 12 a V . C. 3 26 12 a V . D. 3 11 6 a V . Lời giải Chọn C a a a 3a 3a 3a H N M A C B S Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . 1 . 3 ABC V SG S  (do khối chóp . S ABC đều). Ta có 2 3 3 . 3 2 3 a a AG 2 2 26 3 a SG SA AG ; 2 3 4 ABC a S  ; Suy ra 2 3 1 26 3 26 . . 3 4 12 3 a a a V (đvtt). Câu 80: (TH PT Lê Ho à n - Th an h Hó a - l ầ n 1 n ă m 20 17 - 201 8) Hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB a , 2 AD a , SA ABCD  , góc giữa SC và đáy bằng 60  . Thể tích hình chóp . S ABCD bằng A. 3 2a . B. 3 3a . C. 3 6a . D. 3 3 2a . Lời giải Chọn A C A D B S Ta có 2 2 3 AC AB BC a . Góc giữa SC và đáy bằng góc 60 SCA  . Suy ra .tan 60 3 SA AC a  . Thể tích hình chóp bằng 2 3 . 1 1 . 3 . 2 2 3 3 S ABCD ABCD V SA S a a a . Câu 81: (THPT L ê Ho àn - Tha nh Hó a - l ần 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a , AA b  và AA  tạo với mặt đáy một góc 60  . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 2 3 4 a b . B. 2 3 8 a b . C. 2 3 8 a b . D. 2 1 8 a b . Lời giải Chọn B A' B' C' A B C H Kẻ A H ABC   tại H Suy ra góc giữa AA  và đáy bằng 60 A AH   3 sin 60 2 A H A A    3 3 2 2 b A H A A   . Do đó . . ABC A B C ABC V A H S     2 3 1 . sin 60 2 2 b a  2 3 8 a b . Câu 82: (TH PT Lê Ho à n - Th an h Hó a - l ầ n 1 n ă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . SA vuông góc với đáy và tạo với đường thẳng SB một góc 45 . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 3 6 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 12 a . Lời giải Chọn D a A B C S Ta có: SA ABC  SA là chiều cao của hình chóp SA AB  SAB  vuông tại A . , 45 SA SB ASB  SAB  vuông cân tại A SA AB a . Vậy thể tích của khối chóp . S ABC là: 1 . . 3 ABC V S SA 2 1 3 . . 3 4 a a 3 3 12 a . Câu 83: ( TH P T L ê Ho à n - Th a n h Hó a - l ần 1 nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 2a , O AC BD  . Tính độ dài SO của hình chóp: A. 2 a . B. 2 2 a . C. 3 2 a . D. 6 3 a . Lời giải Chọn A A D B C S O Ta có 2 AC AO 2 a ; 2 2 SO SA AO 2 2 4 2 a a 2 a . Câu 84: (THPT Ni nh Gi ang - H ải D ươn g n ă m 201 7 - 201 8) Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh bằng a là A. 2 4a . B. 2 2 3 a . C. 2 4 3 a . D. 2 3 a . Lời giải Chọn B Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 12 cạnh, 8 mặt và các mặt là những tam giác đều bằng nhau. Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh bằng a là: 2 2 3 8. 2 3 4 a S a . Câu 85: (TH PT P h an Đ ăng Lưu - H u ế - l ầ n 1 n ă m 2 017 - 201 8) Số cạnh của hình 12 mặt đều là: A. 30 . B. 16 . C. 12 . D. 20 . Lời giải Chọn A Ta có số cạnh của hình mười hai mặt đều là 30. Câu 86: ( TH PT Ph a n Đăn g L ưu - Hu ế - l ầ n 1 nă m 201 7 - 201 8) Cho H là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích của H bằng: A. 3 2 a . B. 3 3 2 a . C. 3 3 4 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn C a a * Đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh a nên có diện tích là 2 3 4 a S , đường cao h a . * Vậy thể tích khối lăng trụ 3 3 . 4 a V S h . Câu 87: (TH P T P ha n Đăng Lưu - Hu ế - l ần 1 nă m 201 7 - 20 18) Lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB a , biết thể tích của lăng trụ . ABC A B C    là 3 4 3 a V .Tính khoảng cách h giữa AB và B C  . A. 8 3 a h . B. 3 8 a h . C. 2 3 a h . D. 3 a h . Lời giải Chọn A a a h B C A B' A' C' Ta có AB A B C     , , , d AB B C d AB A B C d B A B C         . 2 2 ABC a S  . . ABC V S h  3 2 4 8 3 3 2 ABC a V a h S a  . Câu 88: (TH PT Qu ãn g X ương 1 - T ha n h Hó a nă m 201 7 - 20 18) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC đỉnh S , độ dài cạnh đáy là a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích V của khối chóp . S ABI . A. 3 11 12 a . B. 3 11 24 a . C. 3 11 8 a . D. 3 11 6 a . Lời giải Chọn B I A B C S O Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC) ta có: 2 2 2 2 33 4 3 3 a a SO SB BO a 2 3 1 1 3 33 11 . . . 3 3 8 3 24 ABI a a a V S SO  . Câu 89: (THPT Qu ãng Xư ơ n g 1 - T ha n h Hó a n ăm 2 017 - 201 8) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm tam giác BCD  . Thể tích V của khối chóp . G ABC  là: A. 1 3 V . B. 1 6 V . C. 1 12 V . D. 1 18 V . Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình hộp Ta có G là trọng tâm tam giác BCD  1 3 GO CO nên . . 1 3 G ABC C ABC V V  . Mà . . 1 1 6 6 C ABC ABCD A B C D V V      nên . 1 18 G ABC V  . Câu 90: (TH P T Q u ãn g Xương 1 - T ha nh Hó a n ăm 201 7 - 2018) Cho khối lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng 2 a và mỗi mặt bên có diện tích bằng 2 4a . Thể tích khối lăng trụ đó là A. 3 6 2 a . B. 3 6 a . C. 3 2 6 a . D. 3 2 6 3 a . Lời giải Chọn B C' B' A' A B C Do . ABC A B C    là khối lăng trụ tam giác đều nên ABB A   là hình chữ nhật. Mặt khác mỗi mặt bên có diện tích bằng 2 4a nên 2 . 4 AB AA a  2 4a AA AB  2 4 2 a AA a  2 2 AA a  . A B C D A  B  C  D  G OThể tích khối lăng trụ . ABC A B C    là . 1 . .sin 60 . 2 ABC A B C V AB AB AA      1 2. 2.sin 60 .2 2 2 a a a  3 6 a . Câu 91: (TH PT Tr ần Q u ố c Tu ấn nă m 2 017 - 20 18 ) Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều . S ABCD biết cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 45 . A. 3 2 6 a V . B. 3 6 a V . C. 3 3 a V . D. 3 4 a V . Hướng dẫn giải Chọn B M O D B A S C Gọi O là tâm của hình vuông, vì . S ABCD là hình chóp đều nên  SO ABCD . Gọi M là trung điểm của CD , khi đó 2 a OM và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 45  SMO . Trong tam giác SMO vuông cân tại O có SO OM 2 a . Vậy thể tích khối chóp là 2 1 . . 3 2 a V a 3 6 a . Câu 92: (TH PT Th an h Mi ệ n 1 - H ải Dươ ng - l ần 1 n ăm 20 17 - 201 8) Cho khối chóp tam giác . S ABC có SA ABC  , tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là 5 AB a ; 8 BC a ; 7 AC a , góc giữa SB và ABC là 45 . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 50 3a . B. 3 50 3 3 a . C. 3 50 3 a . D. 3 50 7 3 a . Lời giải Chọn B Ta có nửa chu vi ABC  là 10 2 AB AC BC p a . Diện tích ABC  là 2 10 .5 .3 .2 10 3 ABC S a a a a a  . SA ABC  nên SAB  vuông, cân tại A nên 5 SA AB . Thể tích khối chóp . S ABC là . 1 . 3 S ABC ABC V SA S  2 1 5 .10 3 3 a a 3 50 3 3 a . Câu 93: (TH P T Than h Mi ện 1 - H ải D ương - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho khối đa diện đều loại   3;4 . Tổng các góc phẳng tại 1 đỉnh của khối đa diện bằng A. 180  . B. 240 . C. 324  . D. 360  . Lời giải Chọn B Khối đa diện đều loại   3;4 là khối bát diện đều, mỗi mặt là một tam giác đều và tại mỗi đỉnh có 4 tam giác đều nên tổng các góc tại 1 đỉnh bằng 240 . Câu 94: ( TH PT Tr ần Hưn g Đ ạo - TP HC M n ă m 201 7 - 201 8) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại A, AC a , 60 ACB  góc giữa BC  và AA C  bằng 30  . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 6 V a . B. 3 2 6 a V . C. 3 3 6 a V . D. 3 6 2 a V . Lời giải Chọn A a A B C' A' B' C Tam giác ABC vuông tại A, có tan AB ACB AC .tan 60 AB AC  3 a . Tam giác ABC có diện tích là 1 . 2 ABC S AB AC 2 3 2 a . Ta có AB AC AB AA     AB AA C C    . Do đó AC  là hình chiếu của BC  lên AA C C   . , BC AA C   , BC AC   30 BC A   . Tam giác AC B  vuông tại A, có cot AC AC B AB   .cot 30 AC AB   3. 3 3 a a . Tam giác ACC  vuông tại C , có 2 2 CC AC AC   2 2 9a a 2 2 a . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    là . ABC V S CC  2 3 .2 2 2 a a 3 6 a . Câu 95: (TH P T Tr ần H ưng Đ ạo - TP HC M nă m 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S ABC có thể tích bằng 3 3 3 a , đáy là tam giác đều cạnh 3 a . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. A. 4 3 a h . B. 4 a h . C. 4 h a . D. 3 4 a h . Lời giải Chọn A Ta có: 1 . 3 ABC V S h 3 2 3 3. 3 4 3 3 3 3 . 4 ABC a V a h S a . Câu 96: (TH P T Tr ầ n H ưng Đ ạo - TP HC M nă m 201 7 - 20 18) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác đều, mặt phẳng ( ) SAB vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 3 12 a V . B. 3 3 6 a V . C. 3 3 4 a V . D. 3 3 9 a V . Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm AB , ta có SAB ABCD SH AB    SH ABCD  . Ta có: . 1 . 3 S ABCD ABCD V S SH 2 1 3 . 3 2 a a 3 3 6 a . Câu 97: (THPT T ứ K ỳ - H ải Dươn g nă m 2017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I là trung điểm của BC , góc giữa SBC và ABC bằng 30  . Thể tích khối chóp . S ABC bằng: A. 3 3 8 a . B. 3 6 24 a . C. 3 6 8 a . D. 3 3 24 a . Hướng dẫn giải Chọn D I A C B S Ta có BC SA BC AI    BC SAI  BC SI   , ABC SBC SIA 30  . Do tam giác ABC đều cạnh a nên 3 2 a AI . Xét tam giác vuông SAI có .tan SA AI SIA 1 3 . 2 3 a SA 2 a . Thể tích khối chóp . S ABC là . 1 1 . . . . 3 2 S ABC V BC AI SA 1 3 . . . 6 2 2 a a a 3 3 24 a . Câu 98: (T HP T T ứ K ỳ - H ải Dư ơ n g nă m 201 7 - 2018) Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 2 96cm cm 2 . Thể tích của khối lập phương đó là: A. 3 64cm . B. 3 84cm . C. 3 48cm . D. 3 91cm . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương là: 2 6 96 a 2 16 a 4 a cm. Thể tích của khối lập phương đó là: 3 4 64 V cm 3 . Câu 99: (TH P T T ứ K ỳ - H ải Dương nă m 2 017 - 2 018) Cho khối lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác cân với , AB AC a 120 BAC  , mặt phẳng ( ) A BC   tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho A. 3 3 8 a V . B. 3 9 8 a V . C. 3 3 8 a . D. 3 3 3 8 a V . Hướng dẫn giải Chọn A B' C' A' A C B I Hạ B I A C     . Khi đó ta có , 60 A BC ABC B IB     Vì 120 B A C     60 B A I   . Do đó sin 60 B I B A    3 2 a B I  . Suy ra tan BB B IB B I    tan 60 BB B I    3 3 . 3 2 2 a a BB  Mặt khác 1 1 . . . . 3 2 2 2 ABC a S AI BC a  2 3 4 a . Vậy thể tích khối chóp là 2 3 3 3 3 3 . . 4 2 8 a a a V B h . Câu 100: (TH PT Xu ân Tr ư ờng - Na m Đ ị nh nă m 201 7 - 2018) Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là: A. 3 2 3 a . B. 3 2 2 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn D Ta có 2 3 3 3 . 4 4 a a V Bh a . Câu 101: (TH PT Xu ân Tr ư ờng - Na m Đ ị nh nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SAB  là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính theo a thể tích khối chóp . S ABC biết AB a , 3 AC a . A. 3 2 6 a . B. 3 4 a . C. 3 6 4 a . D. 3 6 12 a . Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB , do tam giác SAB đều nên SH AB  mà SAB ABC  nên SH ABC  . Ta có 3 2 a SH và 2 1 3 . 2 2 ABC a S AB AC nên . 1 . 3 S ABC ABC V SH S 2 3 1 3 3 . . 3 2 2 4 a a a . Câu 102: (TH PT Lươ n g Vă n Ch as n h P h u s Yê n n ăm 201 7 - 201 8 ) Cho hình chóp . S ABCD . Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S MNPQ và . S ABCD bằng A. 1 8 . B. 1 2 . C. 1 4 . D. 1 16 . Lời giải Chọn A Q P N M A B C D S Ta có . . 1 8 S MNP S ABC V V và . . 1 8 S MQP S ADC V V . . . . . . 1 1 1 8 8 8 S MNPQ S MQP S MNP S ABC S ADC S ABCD V V V V V V . . 1 8 S MNPQ S ABCD V V . Câu 103: (TH PT Lươ n g Vă n Ch as n h P h u s Yê n n ăm 201 7 - 201 8 ) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA a  , góc giữa AA  và mặt phẳng đáy bằng 30  . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 8 a . B. 3 3 24 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 12 a . Lời giải Chọn A Kẻ A H ABC   , H ABC . Khi đó góc giữa AA  và mặt phẳng đáy bằng góc giữa AA  và AH bằng 30 A AH   . Trong A AH   vuông tại H , có .sin .sin 30 A H A A A AH a     2 a A H  . Ta có 2 . 3 . . 4 2 ABC A B C ABC a a V S A H     3 . 3 8 ABC A B C a V    . Câu 104: (T HP T Đô L ư ơ n g 4 - Ng h ệ A n nă m 201 7 - 201 8 ) Thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a bằng A. 3 2 6 a . B. 3 2 2 a . C. 3 6 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn A O A D B C S 1 2 2 2 AO AC ; 2 2 SO SA AO 2 2 2 a a 2 2 a . 1 . . 3 ABCD V SO S 2 1 2 . . 3 2 a a 3 2 6 a . Câu 105: (TH PT Đ ô L ươn g 4 - Ng h ệ A n nă m 2 017 - 201 8) Lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . Biết 2 AC a , 2 AA a  . Khi đó thể tích của lăng trụ đó bằng. A. 3 a . B. 3 3 a . C. 3 4a . D. 3 4 3 a . Lời giải Chọn A A' C ' B ' A C B Ta có 2 2 2 AB BC AC 2 2 2 2 AB a AB a . . . ' ABC A B C ABC V S AA    2 1 = . ' 2 AB AA 2 1 = . .2 2 a a 3 a . Câu 106: [2Đ1-2] (T H PT Đô L ươ ng 4 - N g h ệ An nă m 201 7 - 201 8 ) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 1 2 1 x y x . B. 2 1 1 x y x . C. 2 1 1 x y x . D. 2 1 1 x y x . Lời giải Chọn C Ta có đường thẳng 1 x là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nên ta loại đáp án A, B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1  và 1;  nên ta chọn đáp án C vì hàm số 2 1 1 x y x có 2 3 0 1 y x  với 1 x  . Câu 107: (TH P T H ậu L ộc 2 - Tha nh Hó a năm 201 7 - 201 8 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2 , 2. AB a AD a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích V của hình chóp . S ABCD là: A. 3 3 2 . 4 a V B. 3 2 3 . 3 a V C. 3 6 . 3 a V D. 3 2 6 . 3 a V Lời giải Chọn D H D A B C S Gọi H là trung điểm của AB . Vì Tam giác SAB đều nên SA AB  . Ta có: SAB ABCD SAB ABCD AB SH AB     SH ABCD  Tam giác SAB đều 2 AB a nên 2 3 3 2 a SH a . Vậy 3 1 1 2 6 . 3.2 . 2 3 3 3 ABCD a V SH S a a a . Câu 108: (T HP T Ch uy ên B iê n Hò a - Hà Na m - l ầ n 1 nă m 2 01 7 - 2 018 ) Cho hình hộp đứng . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 60 BAD , AB  hợp với đáy ABCD một góc 30  . Thể tích của khối hộp là A. 2 3 a . B. 3 3 2 a . C. 3 6 a . D. 3 2 6 a . Lời giải Chọn B D' B' C ' C B A' D A Góc giữa AB  và ABCD bằng B AB  . Suy ra .tan 3 BB AB B AB a   . Thể tích khối hộp đứng bằng . ABCD V BB S  2 3 3 3 3. 2 2 a a a . Câu 109: (TH PT Chu yê n B iên H ò a - Hà Na m - l ần 1 n ăm 201 7 - 2 01 8) Cho hình chóp . S ABC có 3 . 6 S ABC V a . Gọi M , N , Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA , SB , SC sao cho SM MA , SN NB , 2 SQ QC . Tính . S MNQ V : A. 3 a . B. 2 3 a . C. 3 3a . D. 3 2 a . Lời giải Chọn A Q N M A C B S Ta có . . . . S MNQ S ABC V SM SN SQ V SA SB SC 1 1 2 . . 2 2 3 1 6 . . 1 6 S MNQ S ABC V V 3 1 .6 6 a 3 a . Câu 110: (TH P T Tr ầ n Nhâ n Tô ng - Q u ản g Ni nh - l ần 1 n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình hộp đứng . ABCD A B C D     có đáy là hình vuông, cạnh bên bằng 3 AA a  và đường chéo 5 AC a  . Tính thể tích khối hộp này. A. 3 4 V a . B. 3 24 V a . C. 3 12 V a . D. 3 8 V a . Hướng dẫn giải. Chọn B Ta có 2 2 A C AC AA     2 2 5 3 4 a a a . suy ra 4 2. AC a AB 2 2. AB a . . ' . ABCD A B C D ABCD V S AA      2 3 2 2 .3 24 . a a a Câu 111: (T HPT Tr ầ n Nh ân Tô ng - Qu ả ng Ni nh - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 2 01 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết rằng AB a , 3 AD a và 7 SC a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 V a . B. 3 2 V a . C. 3 3 V a . D. 3 4 V a Hướng dẫn giải. Chọn A D B C A S Ta có SAB ABCD SAC ABCD SA ABCD SAB SAC SA        . 2 2 AC AB BC 2 2 3 2 a a a . 2 2 SA SC AC 2 2 7 2 3 a a a . . 1 . 3 S ABCD ABCD V S SA 3 1 1 . . . . . 3. 3 3 3 AB AD SA a a a a Câu 112: (TH P T Tr ần Nh ân Tô ng - Qu ả ng N i n h - l ần 1 n ăm 201 7 - 20 18 ) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    biết . A ABC  là tứ diện đều cạnh cạnh bằng a . Tính thể tích khối A BCC B    . A. 3 2 a V . B. 3 2 6 a V . C. 3 2 12 a V . D. 3 3 3 a V Hướng dẫn giải. Chọn B a H C B A C' B' A' Ta có . . A BCC B ABC A B C A ABC V V V        . 2 2 . . . 3 3 A BCC B ABC A B C ABC V V S A H        2 3 2 3 6 2 . . 3 4 3 6 a a a . Câu 113: (TH P T Tr ần Nhân Tô n g - Qu ảng N i nh - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 201 8) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại cân A , gọi I là trung điểm của BC , 2 BC .Tính diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AI . A. 2 xq S  . B. 2 xq S  . C. 2 2 xq S  . D. 4 xq S  . Hướng dẫn giải Chọn A I B C A 1 2 BC R , 2 2. 2 l AB AC 2 xq S R   Câu 114: (THPT Tr ần Nhân Tô n g - Qu ảng Ni n h - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp 0 b có đáy ABCD là hình chữ nhật.Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD .Biết rằng AB a , và 60 ASB . Tính diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . A. 2 13 2 a S  . B. 2 13 3 a S  . C. 2 11 2 a S  . D. 2 11 3 a S  . Hướng dẫn giải Chọn B d O A D B C S Gọi 1 2 , R R là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và mặt bên SAB . Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . Khi đó 2 2 1 1 1 3 2 2 R AC a a a và 2 2sin 60 3 2sin AB a a R ASB  . Vì hình chóp đã cho có mặt bên SAB vuông góc với đáy ABCD nên bán kính mặt cầu hình chóp . S ABCD được tính theo công thức: 2 2 2 2 1 2 4 AB R R R 2 2 2 2 13 3 4 12 a a a a . Diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là: 2 2 13 4 3 a S R   . Câu 115: (TH PT Tr ầ n Nhân T ô n g - Q u ản g Ni nh - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 2 01 8) Một thầy giáo muốn tiết kiệm tiền để mua cho mình một chiếc xe Ô tô nên mỗi tháng gửi ngân hàng 4.000.000 VNĐ với lãi suất 0.8% /tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thầy giáo có thể mua được chiếc xe Ô tô 400.000.000 VNĐ? A. 72 n . B. 73 n . C. 74 n . D. 75 n . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 1 1 n n A S r r r    . 1,008 1 . 400000000.0,8% log 1 log 1 73,3 1 4000000 1 0,8% n r S r n A r              . Vậy sau 74 tháng thầy giáo có thể mua được chiếc xe Ô tô 400.000.000 VNĐ. Câu 116: (TH P T Yê n Đ ịn h - Thanh Hó a - l ầ n 1 n ăm 2017 - 201 8) Cho khối lăng trụ đứng . ABC A B C    có BB a  , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và 2 AC a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 6 a V . B. 3 3 a V . C. 3 2 a V . D. 3 V a . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: ABC  vuông cân tại B và 2 AC a . SAO a . Thể tích của khối lăng trụ là: . ABC V S BB  1 . . 2 AB BC BB  3 1 2 a . Câu 117: (TH PT Yê n Đ ịn h - Th an h Hó a - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 20 18) Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 48 . Gọi , , M N P lần lượt là điểm thuộc các cạnh AB , CD , SC sao cho , MA MB 2 NC ND , SP PC . Tính thể tích V của khối chóp . P MBCN . A. 14 V . B. 20 V . C. 28 V . D. 40 V . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt CD a và h là độ dài đường cao hạ từ A xuống CD . Diện tích hình bình hành ABCD là: . ABCD S a h . Diện tích hình thành BMNC là: 1 1 2 7 7 2 2 2 3 12 12 BMNC ABCD a a S BM CN h h ah S     . Suy ra: . . ,( ) ,( ) 1 1 7 1 7 7 . . . .48 14 3 3 12 2 24 24 P MNCB MNCB ABCD S ABCD P MNCP S ABCD V S d S d V . Câu 118: (TH T T s ố 5 - 4 88 thá n g 2 n ăm 20 18) Tính thể tích của một hình hộp chữ nhật biết rằng ba mặt của hình này có diện tích là 2 20cm , 2 10cm , 2 8cm . A. 3 40cm . B. 3 1600cm . C. 3 80cm . D. 3 200cm . Lời giải Chọn A Giả sử hình chữ nhật có ba kích thước là a , b , c . Ta có . 20 . 10 . 8 a b a c b c  2 2 2 . . 1600 a b c . . 40 a b c . Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là 3 40cm . Câu 119: (TH PT M ộ Đ ức - Qu ãng Ng ãi - l ần 1 nă m 2 017 - 201 8) Cho khối chóp đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 3 SA a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 3 V a . B. 3 11 6 V a . C. 3 2 6 9 V a . D. 3 10 6 V a . Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO ABCD  . 2 2 2 2 10 3 2 2 a a SO SA OA a . Thể tích của khối chóp . S ABCD là 1 . . 3 ABCD V SO S 2 3 1 10 10 . . 3 2 6 a a a . Câu 120: (TH PT M ộ Đ ức - Qu ãng Ng ãi - l ần 1 nă m 2 017 - 201 8) Cho lăng trụ đều . ABC A B C    có 3cm AB  và đường thẳng AB  vuông góc với đường thẳng BC  . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 9 cm 2 . B. 3 2 3cm . C. 3 7 6 cm 4 . D. 3 27 6 cm 16 . Lời giải Chọn A N M C ' B ' A C B A' Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra AM BCC B    AM BC   . Mà BC AB B M BC       . Đặt AB a , AA b  . Ta có tan cot B BC BB M    2 2 a b a b b a . Mà 2 2 3 3 AB AB AA   2 2 3 6 2 a a a . Thể tích khối lăng trụ là 2 3 3 9 . 3. 6 . cm 4 2 ABC V AA S  . Câu 121: (TH PT Ho àn g Ho a T há m - Hư ng Y ê n - l ầ n 1 n ăm 20 1 7 - 201 8) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có AB a , BC a , 2 AA a  . Tính thể tích khối ABCDB C D    . A. 3 2a . B. 3 5 3 a . C. 3 10 3 a . D. 3 5 2 a . Lời giải Chọn B Thể tích khối hộp chữ nhật: 3 . . 2 V AA AB BC a  . Thể tích khối chóp . A BCD  : 3 1 1 . . . . 3 2 3 a V AA BC CD   . Thể tích khối ABCDB C D    : 3 5 3 ABCDB C D V V V a     . Câu 122: (TH PT Ho à ng Ho a Thám - H ưn g Yê n - l ầ n 1 n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có ABC và A BC  là các tam giác đều, biết mặt phẳng A BC  vuông góc với mặt phẳng ABC . Có bao nhiêu mặt phẳng P chứa cạnh AA  của hình lăng trụ và tiếp xúc với mặt cầu đường kính BC ? A. 0 . B. 2 . C. Vô số. D. 1. Lời giải Chọn B I B A C A ' B' C ' Gọi I là trung điểm của BC . Theo giả thiết A I ABC   . Ta có 3 2 BC A I AI  . Bán kính mặt cầu đường kính BC bằng 2 BC . AA  nằm ngoài mặt cầu đường kính BC . Có 2 mặt phẳng P chứa cạnh AA  của hình lăng trụ và tiếp xúc với mặt cầu đường kính BC . Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 . 2 a V B. 3 34 . 2 a V C. 3 34 . 6 a V D. 3 2 . 6 a V Lời giải Chọn C Gọi O là tâm mặt đáy A B C D của hình chóp tứ giác đều . S ABCD . Ta có SO A BCD  SO là đường cao của hình chóp. Tam giác SAO vuông tại O có 1 2 2 2 a OA A C , 3 SA a 2 2 34 2 a SO SA OA . Khi đó thể tích khối chóp tứ giác đều là 3 1 34 . 3 6 AB C D a V S SO . Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C   . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B B  và C C  . Mặt phẳng A M N  chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi 1 V là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B và 2 V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 13 3 S . B. 1 2 2 V V . C. 1 2 3 V V . D. 1 2 5 2 V V . Lời giải Chọn B S A B C D ON M B ' C ' A' A C B Đặt thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    là V , khi đó ta có thể tích khối chóp . A A BC  là 3 V thể tích khối chóp 2 . 3 V A BC C B    . Mặt khác thể tích khối chóp . A BCN M  bằng thể tích khối chóp . A B C N M    nên thể tích khối chóp . A BCN M  bằng 3 V . Vậy 1 2 3 V V , 2 3 V V 1 2 2 V V . Câu 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho khối chóp . S A B C D có đáy là hình chữ nhật A B a , 3 A D a , SA vuông góc với đáy và S C tạo với mặt phẳng S A B một góc 30  . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 6 3 a V . B. 3 6 3 a V . C. 3 2 6 V a . D. 3 4 3 a V . Lời giải Chọn A Ta có: BC A B BC SA    B C S A B  . SB là hình chiếu của S C lên mặt phẳng S A B . , , SC SAB SC SB CS B 30 . Xét S B C  vuông tại B , ta có: tan30 BC SB  3 3 3 a 3 a . Xét tam giác S A B vuông tại A , ta có: 2 2 S A S B A B 2 2 9 a a . Thể tích của khối chóp là 1 . . 3 ABCD V S SA 1 . . 3.2 2 3 a a a 3 2 6 3 a . Câu 4: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 6 a V . B. 3 2 2 a V . C. 3 14 2 a V . D. 3 14 6 a V . Lời giải Chọn D O A B D C S Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 a SO SB O B a       14 2 a . 2 1 1 14 . . . . 3 3 2 AB C D a V S SO a 3 14 6 a . Câu 5: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại A ; AB a ; 2 AC a . Đỉnh S cách đều A , B , C ; mặt bên SA B hợp với mặt đáy một góc 60  . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 1 3 V a . B. 3 3 V a . C. 3 3 3 V a . D. 3 V a . Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm của B C , vì A BC  vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB C . Do S cách đều A , B , C SH ABC  . Gọi M là trung điểm của AB thì H M A B  nên SM AB  . Vậy góc giữa SA B và ABC là góc 60 SM H  . Ta có 1 2 HM AC a ; .tan 60 3 SH HM a  . Vậy 3 . 1 1 3 . . 3 2 3 S AB C a V SH A B AC . Câu 6: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang với // AD BC và 2 AD BC . Kết luận nào sau đây đúng? A. . . 4 S AB C D S AB C V V . B. . . 6 S AB C D S AB C V V . C. . . 3 S AB C D S AB C V V . D. . . 2 S AB C D S AB C V V . Lời giải Chọn C D M B C A S Ta có 1 3  ABC ABC D S S . . 1 3 S ABC S ABC D V V . Câu 7: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A B C D đáy là hình vuông cạnh 1 , 3 2 a SD a . Hình chiếu của S lên A B C D là trung điểm H của A B . Thể tích khối chóp . S A B C D là A. 3 2 3 a  B. 3 12 a . C. 3 3 a  D. 3 2 3 a  Lời giải Chọn A Ta có 2 2 HD AH AD 2 2 4 a a 5 2 a . 2 2 SH SD HD 2 2 13 5 4 4 a a 2 a Vậy . S A B CD V 1 . . 3 AB CD SH S 2 1 . 2. 3 a a 3 2 3 a . Câu 8: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB a , 60 B AD , SO A BCD  và mặt phẳng SCD tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 . 3 24 S AB C D a V . B. 3 . 3 8 S AB C D a V . C. 3 . 3 12 S AB C D a V . D. 3 . 3 48 S AB C D a V . Lời giải Chọn B S B A D C O J I Ta có 60 B C D B A D  , do đó tam giác BCD đều cạnh a . Gọi J là trung điểm của C D , khi đó BJ C D  và 3 2 a BJ . Gọi I là trung điểm của DJ , suy ra // OI BJ , do đó OI C D  . Theo định lí ba đường vuông góc suy ra C D SI  . Ta có SCD ABCD CD  ; Trong SCD có SI C D  ; trong A B CD có OI C D  Suy ra góc giữa SCD và A B CD là 60 SI O . Trong tam giác SOI vuông tại O , có 60 SI O , 1 2 OI BJ 3 4 a , do đó .tan 60 SO OI  3 . 3 4 a 3 4 a . Diện tích mặt đáy 2 AB CD BC D S S 2 3 2 4 a 2 3 2 a . Thể tích khối chóp là . 1 . 3 S ABCD ABC D V SO S 2 1 3 3 . . 3 4 2 a a 3 3 8 a . Câu 9: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 a (hình vẽ). Thể tích khối chóp là A. 3 6 6 a . B. 3 2 2 3 a . C. 3 6 3 a . D. 3 3 6 a . Lời giải Chọn A Xét hình chóp tứ giác đều . S A B C D . Ta có: 2 2 a O D , 2 2 2 2 6 2 2 2 a a SO SD O D a . 3 2 . 1 1 6 6 . . . . 3 3 2 6 S ABC D ABC D a a V SO S a . Câu 10: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    , mặt bên A BB A   có diện tích bằng 10. Khoảng cách đỉnh C đến mặt phẳng A B B A   bằng 6 . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 40 . B. 60 . C. 30. D. 20 . Lời giải Chọn C 2 a aA B C C' B ' A' Gọi V là thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    khi đó . . 2 3 C AB B A AB C A B C V V      . . 3 2 ABC A B C C ABB A V V      . Theo đề bài ta có . 1 .10.6 20 3 C ABB A V   . Vậy . 3 .20 30 2 AB C A B C V    . Câu 11: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có góc 60 A SB B SC C SA , 2 SA , 3 SB , 6 SC . Thể tích của khối chóp . S AB C bằng A. 2 2 . B. 3 2 . C. 3 3 . D. K . Lời giải Chọn B Trên cạnh SB , S C lần lượt lấy B , C  sao cho 2 SB SC SA   . Suy ra . S AB C   là tứ diện đều cạnh bằng 2 . Suy ra 3 . 2 2 8 2 2 2 12 12 3 S AB C V   . Mặt khác: . . . 2 2 2 2 2 2 . . . : 3 2 3 6 9 3 9 S AB C S AB C S AB C V SA SB SC V V SA SB SC     . Câu 12: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho khối chóp . S AB C có thể tích V , nếu giữ nguyên chiều cao và tăng các cạnh đáy lên 3 lần thì thể tích khối chóp thu được là A. 3 V . B. 6 V . C. 9 V . D. 12 V . Lời giải Chọn C Gọi a , b , c lần lượt là độ dài các cạnh của A BC  . Đặt 3 2 a b c p thì 1 3. .3 .3 .3 2 a b c S p a p b p c 9 AB C S Thể tích khối chóp thu được là 9 V . Câu 13: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C    có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A  trên mặt phẳng A B C trùng với trung điểm H của cạnh A B . Góc giữa cạnh bên của lăng trụ và mặt phẳng đáy bằng o 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 4 a . B. 3 4 a . C. 3 24 a . D. 3 8 a . Lời giải Chọn D Ta có A H là hình chiếu của A A  trên ABC o 30 A A H  3 . 2 3 a A H  3 6 a . AB C V A H S  2 3 3 . 6 4 a a 3 8 a . Câu 14: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S AB C D có đáy A B C D là hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác A BD . Cạnh SD tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp . S AB C D . A. 3 15 3 a . B. 3 15 27 a . C. 3 15 9 a . D. 3 3 a . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 2 5 2 5 2 2 3 3     a a a DM A D A M a DH DM 5 15 .tan .tan 60 3 3  a a SH D H SDH . 3 2 . 1 1 15 15 . . 3 3 3 9 S AB CD AB CD a a V SH S a . Câu 15: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ tam giác . A B C A B C    có đáy A B C là tam giác đều cạnh 2 2 A B a . Biết 8 A C a  và tạo với mặt đáy một góc 45 . Thể tích khối đa diện A B C C B   bằng A. 3 16 6 3 a . B. 3 8 6 3 a . C. 3 16 3 3 a . D. 3 8 3 3 a . Lời giải Chọn A C' B' A C B A ' H Ta có . . A BC A B C A A B C AB C C B V V V         . . AB C C B AB C A B C A A B C V V V         . Mặt khác . . 1 3 A A B C ABC A B C V V       nên . . AB C C B AB C A B C A A B C V V V         . 2 A A B C V    . Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng A B C    khi đó góc giữa AC  và mặt phẳng đáy A B C    là góc 45 A C H   . Xét tam giác vuông A H C  có 8 A C a  và 45 A C H   nên 4 2 A H a . Thể tích khối chóp . A A B C    là . 1 . 3 A A B C A B C V S AH       2 1 1 . 2 2 .sin 60 .4 2 3 2 a a  3 8 6 3 a S A B C H D MVậy thể tích khối đa diện A B C C B   là . 2 AB CC B A A B C V V      3 16 6 3 a . Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Một hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có ba kích thước là 2cm , 3cm và 6cm . Thể tích của khối tứ diện ACB D   bằng A. 3 12cm . B. 3 8cm . C. 3 6cm . D. 3 4cm . Lời giải Chọn A Thể tích khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     là 3 2.3.6 36 cm V . Ta có . . . . 1 6 A A B D C C B D D DAC B BAC V V V V V         . Nên: 3 . . . . 4 1 1 .36 12 cm 6 3 3 AC B D A A B D C C B D D DA C B BA C V V V V V V V V V           . D' C' A ' D B C A B' Câu 17: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh B C và SA , là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng SB D . Giá trị của tan bằng A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành ABF C . A D C B E M O F STa có // E M SF nên góc giữa EM và SB D bằng góc giữa S F và SB D . // FB AC F B SB D  do đó góc giữa SF và SB D bằng góc F SB . Ta có tan 2 B F A C FSB SB SB . Vậy chọn D. Cách 2: Tọa độ hóa với , , 1 . Ox O C Oy OB O z OS OA    Error! Not a valid link. Ta có 1;0;0 , 1;0;0 C A SB D nhận 2;0;0 AC     là một VTPT. Từ 2 2 2 2 1 SA A B O A SO SA OA 0;0;1 1 1 ;0; . 2 2 1;0;0 S M A      Ta có 1;0;0 1 1 ; ;0 2 2 0;1;0 C E E M B      nhận 1 1 1; ; 2 2 ME         Là một VTCPT 2 2 2 . 2 6 sin ; . 3 1 1 1 .2 2 2 M E A C E M SB D M E A C                 1 cos tan 2 3 . Là một VTCPT 2 2 2 . 2 6 sin ; . 3 1 1 1 .2 2 2 M E A C E M SB D M E A C                 1 cos tan 2 3 . Câu 18: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho khối trụ có bán kính hình tròn đáy bằng r và chiều cao bằng h . Hỏi nếu tăng chiều cao lên 2 lần và tăng bán kính đáy lên 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng lên bao nhiêu lần? A. 18 lần. B. 6 lần. C. 36 lần. D. 12 lần Lời giải Chọn A 2 2 1 2 . 3 18 . 18 V h r h r V   Câu 19: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A BC có đáy A B C là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường thẳng S C tạo với đáy một góc bằng 60 . Thể tích của khối chóp . S ABC bằng A. 3 8 a . B. 3 4 a . C. 3 2 a . D. 3 3 4 a . Lời giải S A M B C D O E x z yChọn B Diện tích A BC  là 2 3 4 AB C a S  . SA ABC  nên A C là hình chiếu của S C lên ABC . , , 60 SC ABC SC AC SCA . SAC  vuông tại A có 60 SCA  , ta có .tan 3 SA A C SC A a . Thể tích khối chóp là 2 3 1 1 3 . . . . 3 3 3 4 4 AB C a a V S SA a  . Câu 20: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng 2 a , góc giữa hai đường thẳng AB  và BC  bằng 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. A. 3 2 3 3 a V . B. 3 2 3 V a . C. 3 2 6 3 a V . D. 3 2 6 V a . Lời giải Chọn D Đặt , 0 AA x x  . Ta có: 2 . . AB BC B B B A BC BB BA BC BB                                            2 2 2 2 . .cos60 2 BA BC BB x a  . 2 2 4 A B B C x a   . Theo đề: 2 2 2 2 2 2 . 2 1 cos60 . 2 4 . 4 A B B C x a A B B C x a x a               2 2 2 2 4 2 2 x a x a 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 4 x a x a x a x a x a   . A S B CVậy 2 3 3 . 2 6 4 A B V A A a  . Câu 21: (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hình chóp . S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 a . Hai mặt phẳng SA B , SA D cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng SB C và A B C D bằng 30  . Tính tỉ số 3 3 V a biết V là thể tích của khối chóp . S ABCD . A. 3 12 . B. 3 2 . C. 3 . D. 8 3 3 . Lời giải Chọn D C A B D S Do SA B A B C D SA A B CD SA D A BC D     . Góc giữa SB C và A B CD bằng góc SB A. Do đó 1 tan 3 SA SB A A B 2 3 a SA . 2 3 . 1 1 2 8 . .4 3 3 3 3 3 S ABCD ABC D a V SA S a a . Câu 22: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp . S A BCD là 3 15 6 a . Góc giữa đường thẳng S C và mặt phẳng đáy A B CD là A. 120  . B. 30  . C. 45 . D. 60 . Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm A B . Ta có ( ) SH AB CD  . 2 AB CD S a . 1 . 3 AB C D V S SH 3 15 2 AB C D V a SH S . 2 2 5 2 a C H A C AH . , , S C A B C D SC CH . tan 3 SH SCH C H . Vậy , 60 SC A B CD  Câu 23: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đó. A. 3 2 9 a V . B. 3 4 2 V a . C. 3 4 2 3 a V . D. 3 2 6 a V . Lời giải Chọn C Gọi cạnh của hình chóp tứ giác đều là x . Xét tam giác vuông SC H ta có 2 2 2 SC H C SH 2 2 2 3 4 x x a 2 x a . Chiều cao 2 2 2 2 3 2 SO SH HO a a a . Thể tích khối chóp là 3 2 1 4 2 . 2.4 3 3 a V a a . Câu 24: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Nếu tăng kích thước của một khối hộp chữ nhật lên 3 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần? A. 27 lần. B. 9 lần. C. 18 lần. D. 3 lần. Lời giải Chọn A Gọi a , b , c ( 0 a , 0 b , 0 c ) là kích thước ban đầu của khối hộp chữ nhật. Khi tăng kích thước kích thước lên 3 lần ta được độ dài ba cạnh là 3 a , 3 b , 3 c . Gọi V và V  lần lượt là kích thước ban đầu của khối hộp chữ nhật và kích thước sau khi tăng lên 3 lần; khi đó: 3 .3 .3 V a b c  27 abc 27 V . Câu 25: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của D D  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng C K và A D  bằng A. 3 3 a . B. 3 2 a . C. 2 3 3 a . D. 3 a . Lời giải Chọn D H K C D A B B' A ' D ' C' Từ D kẻ // DH CK H CC  . Khi đó , , d CK A D d CK A DH   , d C A DH  3 C AH D AD H V S . Ta có 1 . 3 A C DH DHC V A D S    3 12 a . Mà A D a  , 5 2 a DH , 17 2 a A H  . Xét tam giác A DH  có 2 2 2 5 cos 2 . 34 A D A H DH D A H A D A H      3 sin 34 DA H  2 1 3 . 2 4 A DH a S A D A H     . Vậy 3 2 3 12 , 3 3 4 a a d C A DH a  . Câu 26: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Thể tích của khối lập phương . ABCD A B C D     có đường chéo 6 A C  bằng A. 3 3 . B. 2 3 . C. 2 . D. 2 2 . Lời giải Chọn D Gọi a là cạnh của hình lập phương . ABCD A B C D     . Ta có 3 6 2 A C a a  Thể tích của khối lập phương là 3 V a 3 2 2 2 . Câu 27: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S AB C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2 a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC . A. 3 2 a . B. 3 a . C. 2 3 a . D. 6 a . Lời giải Chọn B Gọi trung điểm của A B là I . Suy ra SI AB  . Do đó SI A BC  nên , SI d S ABC . Theo giả thiết tam giác SAB đều nên 2 SB AB a , IB a . Do đó 2 2 3 SI SB IB a . Câu 28: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác cân ABC với 2 AB AC x , 120 B AC  , mặt phẳng AB C   tạo với đáy một góc 30  . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 4 3 x V . B. 3 V x . C. 3 3 16 x V . D. 3 9 8 x V . Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm B C  . Ta có , 30 AB C A B C A IA        , .tan 60 A I A B x     , .tan 30 3 x AA A I    . Trong A B I    : .cos 60 A I A B x     .Trong AA I   : .tan 30 3 x A A A I    . S A C B I A B C A  B  C  I3 . 1 . .2 .2 .sin120 2 3 AB C A B C x V x x x     . Câu 29: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho khối chóp . S AB C , gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Tỉ số thể tích . . S AB C S AG C V V bằng A. 3 . B. 1 3 . C. 2 3 . D. 3 2 . Lời giải Chọn A L G K J A C B S H N O Ta có . . ; 3 ; S ABC AB C S A G C AG C d B A C V S B O B L V S d G A C GN G L   . Chú ý: Ta có thể nhận xét nhanh G là trọng tâm A BC  thì 1 3 GA C BA C S S . Câu 30: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng 1. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A B D  bằng A. 2 2 . B. 3 . C. 3 3 . D. 3 . Lời giải Chọn C A D B C C' B' A' D' Ta có . 1 . . , 3 A A BD A BD V S d A A B D    2 1 1 x y x . . 1 . . 3 A ABD ABD V S A A   1 6 . A BD   là tam giác đều cạnh 2 nên 2 2 . 3 4 A BD S  3 2 . Vậy 1 3. 6 , 3 2 d A A B D  3 3 . Câu 31: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S A BCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 2 AD a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 2 3 a . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng A B CD . A. 30  . B. 60  . C. 45 . D. 75 . Lời giải Chọn C 2 a a C B D A S Ta có . 1 . . 3 S AB C D A BC D V S SA 1 . .2 . 3 a a SA 3 2 3 a SA a . SA A B C D  AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng A B CD . , , SB A BCD SB A B SBA . Xét tam giác SBA vuông tại A có AB SA a nên 45 SB A  . Câu 32: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Khối bát diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 6 . B. 8 . C. 4 . D. 9 . Lời giải Chọn D Hình bát diện AB C DEF có 27216 mặt phẳng đối xứng: 3 mặt phẳng , , A B CD BED F AECF và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng là trung trực của hai cạnh song song. Câu 33: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho lăng trụ tam giác đều . AB C A B C    có cạnh đáy AB a , cạnh bên 2 2 a A A  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng B C  và C A  bằng A. 6 6 a . B. 6 24 a . C. 6 12 a . D. 6 3 a . Lời giải Chọn A A' B' C' C B z A y x O Gắn hệ trục tọa độ Ox y z vào trung điểm O của B C , ta được 1 ;0;0 2 B     ; 1 ;0;0 2 C a     ; 1 2 ;0; 2 2 C a a        ; 3 2 0; ; 2 2 A a a        Ta có 1 3 2 ; ; 2 2 2 A C a a a             ; 2 ;0; 2 B C a a             ; ;0;0 CB a       ; . 6 , 6 ; A C B C CB a d A C B C A C BC                                     . Câu 34: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 . Thể tích của khối chóp bằng A. 3 3 12 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 8 a . Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm B C . Ta có: , 60 SBC A BC SM O  . 1 3 OM A M 3 6 a . tan 60 SO O M  .tan 60 SO O M  3 . 3 6 a 2 a . 2 1 3 . . 3 4 2 a a V 3 3 24 a . Câu 35: Cho hình chóp . S AB C có SA vuông góc với mặt phẳng A B C . Biết 2 SA a và tam giác AB C vuông tại A có 3 AB a , 4 AC a . Tính thể tích khối chóp . S AB C theo a . A. 3 12 a . B. 3 6 a . C. 3 8a . D. 3 4 a . Câu 36: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S AB C có SA vuông góc với mặt phẳng A B C . Biết 2 SA a và tam giác ABC vuông tại A có 3 AB a , 4 AC a . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a . A. 3 12 a . B. 3 6 a . C. 3 8a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn D A C B S Ta có 2 1 .3 .4 6 2 AB C S a a a ; 2 3 1 1 . . .2 .6 4 3 3 S AB C AB C V SA S a a a . Câu 37: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 6 mặt phẳng. B. 3 mặt phẳng. C. 9 mặt phẳng. D. 4 mặt phẳng. Lời giải Chọn B A ' D' C' C D B A B ' Vì ABCD là hình chữ nhật có hai kích thước khác nhau nên ABCD có hai trục đối xứng là các đường trung trực của A B và B C . Tương tự A D D A   có hai trục đối xứng là các đường trung trực của A D và DD . Từ đó suy ra hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     với ba kích thước đôi một khác nhau có đúng 3 mặt phẳng đối xứng. Đó là các mặt phẳng trung trực của các cạnh AB , B C và D D . Câu 38: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho khối lăng trụ đứng . AB C A B C    có B B a  , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và 2 A C a (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 V a . B. 3 6 a V . C. 3 3 a V . D. 3 2 a V . Lời giải Chọn D Do tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B và 2 A C a . Suy ra: 2 A C A B a . Khi đó diện tích đáy: 2 2 1 2 2 a S A B . Thể tích khối lăng trụ: 3 . 2 a V BB S  . Câu 39: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 14 6 a V . B. 3 14 2 a V . C. 3 2 2 a V . D. 3 2 6 a V . Lời giải Chọn A Diện tích đáy: 2 AB CD S a . Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên 2 2 2 a A C a A O . Tam giác SOA vuông tại O nên 2 2 2 2 14 4 2 2 a a SO SA A O a . Do đó: 3 2 1 1 14 14 . . . 3 3 2 6 AB C D a a V SO S a . Câu 40: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho khối chóp tam giác đều . S A B C có cạnh đáy bằng 4 , chiều cao của khối chóp bằng chiều cao của tam giác đáy. Gọi M là trung điểm cạnh S A. Thể tích của khối chóp . M A B C bằng? A. 8. B. 8 3 . C. 16. D. 4 . Lời giải A  C  B  A C BChọn D M K H C B A S Kẻ S H A BC H  là tâm đường tròn ngoại tiếp A B C  . Gọi K A H B C A K B C   . Cạnh 3 2 3 2 3 2 A B A K SH AK 2 . 1 1 1 3 , . . . 4 3 3 2 4 M A B C A B C A B V d M A B C S SH . Câu 41: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a . Góc giữa mặt phẳng A B C  và mặt phẳng A B C là 60  . Tính thể tích V của khối chóp . A BCC B    A. 3 3 8 a V . B. 3 3 3 4 a V . C. 3 3 3 8 a V . D. 3 3 4 a V . Lời giải Chọn D M' M C B A C' B' A' Gọi M là trung điểm của B C , A BC  đều nên AM BC  và 3 2 a A M . Ta có A M B C A A BC     B C A A M   BC A M   . Ta có: ; ; AM B C A M ABC A M BC A M A B C ABC A B C B C           ; ; 60 ABC A BC AM A M A MA       . Ta có: 0 3 3 .tan 60 2 2 a a A A  . 2 3 . . 2 2 2 3 3 3 . . 3 3 3 2 4 4 A BC C B AB C A B C AB C a a a V V A A S           . Câu 42: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho khối chóp . S A B CD có thể tích bằng 3 3. a . Mặt bên S AB là tam giác đều cạnh a thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, biết đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa SA và . C D A. 2 3 a . B. a . C. 6 a . D. 3 a . Lời giải Chọn C D A B C S H K Gọi H là trung điểm của AB D SH A B C  và 3 2 a SH . Kẻ C K AB  Ta có 3 2 3 3 3 6 3 2 ABCD V a S a SH a Mặt phẳng SA B là mặt phẳng chứa SA và song song C D . Do đó , , d SA C D d C SAB Ta thấy CK A B CK SAB CK SH     . Do đó , d C SA B CK 2 6 6 . ABCD S a a A B a Câu 43: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 a và chiều cao bằng 2 2 a . Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 1. B. 1 3 . C. 3 . D. 3 4 . Lời giải Chọn A O B C A D S E Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng SE O ; 2 2 a E O Xét SE O  vuông tại O , ta có tan 1 SO SE O E O . Câu 44: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S A B C D có A BCD là hình vuông cạnh a , S A A B C D  và 2 SA a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: A. 3 6 a  . B. 3 3 a  . C. 3 4 a  . D. 3 4 3 a  . Lời giải Chọn D Ta có: SA B C BC SAB B C SB A B B C        . Tương tự C D S D  . Khi đó 90 SA C SB C SD C . Nên S C là đường kính của mặt cầu S ngoại tiếp khối chóp . S A B C D . Bán kính của S là 2 SC R . Ta có: 2 A C a nên 2 2 2 S C S A AC a R a . Vậy 3 3 4 4 3 3 S V R a   . Câu 45: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho lăng trụ đứng tam giác . A B C A B C    có đáy A B C là tam giác vuông cân tại B với B A B C a , biết A B  hợp với mặt phẳng A B C một góc 60 . Thể tích lăng trụ là: S A B C DA. 3 3 2 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 a . Lời giải Chọn A Ta có: , 60 A B A BC A BA    .tan 60 3 AA A B a   . 2 1 . 2 2 A BC a S B A BC  . Vậy 3 . 3 . 2 ABC A B C A BC a V A A S      . Câu 46: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC và ABCD bằng 45 . Thể tích khối chóp . S A B CD là A. 3 2 6 a . B. 3 2 4 a . C. 3 2 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn D D C B A S Ta có SA A BCD  ; 45 SC ABCD SCA  tan 45 SA AC  2 SA AC a 3 2 . 1 1 2 . 2. 3 3 3 S ABCD A BCD a V SA S a a . Câu 47: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương . A B C D A B C D     có đường chéo bằng 3 a . Tính thể tích khối chóp . A A BC D  . A A  B B  C C A. 3 3 a . B. 3 2 2 3 a . C. 3 a . D. 3 2 2 a . Lời giải Chọn A Gọi x là cạnh của hình lập phương. Đường chéo hình lập phương 3 a 3 3 x a x a . Suy ra . 1 . 3 A ABC D ABC D V S AA   3 1 3 a . Câu 48: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho khối chóp . S ABCD có thể tích V . Các điểm A , B , C  tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC . Thể tích khối chóp . S A B C    bằng A. 8 V . B. 4 V . C. 2 V . D. 16 V . Lời giải Chọn A Ta có . . . 1 8 8 S A B C S A B C S AB C V SA SB SC V V V S A SB SC            . Câu 49: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ đứng . A B C A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 3 A B a , 2 B C a , đường thẳng AC  tạo với mặt phẳng BCC B   một góc 30  (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng C ' B ' A B C A ' A. 2 24 a  . B. 2 6 a  . C. 2 4 a  . D. 2 3 a  . Lời giải Chọn B R I M ' C' B ' A B C A' H M \ Gọi , M M  lần lượt là trung điểm của B C , B C  . Dễ thấy trung điểm I của M M  là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Kẻ A H vuông góc B C ( ) H BC ,( ) 30 A C H A C B CC B      . Ta có: 2 2 2 2 2 3 A C BC A B a a a . . . . AB AC AH BC AB AC AH BC 3. 3 2 2 a a a a . Trong tam giác vuông AH C  , có: 3 2 3 1 sin 30 2 a A H A C a   . Trong tam giác vuông A CC , có 2 2 2 2 3 2 CC A C A C a a a   . Bán kính 2 2 2 2 2 2 2 2 CC B C R IB M I M B          2 2 2 2 2 6 2 2 4 a a a           Diện tích mặt cầu: 2 2 2 6 4 4 . 6 4 a S R a    . Câu 50: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA A BCD  , S C tạo với mặt đáy một góc bằng 60  . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 6 6 a V . B. 3 3 6 a V . C. 3 6 3 a V . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn C Diện tích đáy: 2 AB CD S a . SA A B C D  nên góc giữa S C và mặt phẳng đáy là 60 SCA  . Tam giác SAC vuông tại A nên .tan 2.tan 60 6 SA AC SC A a a  . Vậy 3 1 6 . 3 3 AB CD a V SA S . Câu 51: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B C  . Mặt phẳng A M N  cắt cạnh B C tại P . Tính thể tích của khối đa diện . MBP A B N   A. 3 3 24 a . B. 3 3 12 a . C. 3 7 3 96 a . D. 3 7 3 32 a . Lời giải Chọn C P S M N C B A' B ' C' A Gọi S là giao điểm của A M  và BB  , khi đó P là giao điểm S N và B C . Ta có 1 . . 8 SM BP SA B N V SM SB SP V SA SB SN     . 7 7 8 8 MBP A B N SA B N V V     . 1 . 3 SA B N A B N V SB S       1 1 . . sin 60 3 2 SB A B B N      1 2 . . sin 60 6 2 a a a  3 3 12 a . 3 . 7 7 3 8 96 MB P A B N SA B N a V V     . Câu 52: (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng SA B , SB C , SCD , SDA với mặt đáy lần lượt là 90  , 60  , 60  , 60  . Biết rằng tam giác SAB vuông cân tại S , AB a và chu vi tứ giác ABCD là 9 a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 3 9 a V . B. 3 3 4 a V . C. 3 2 3 9 a V . D. 3 3 V a . Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm AB . Tam giác SAB vuông cân tại S nên SI A B  và 2 2 a SI . Mặt khác SA B A B CD  nên SI A B CD  . Thể tích khối chóp . S ABCD là 1 . 3 A BC D V SI S . Kẻ IH B C  ta có góc giữa SB C và A B CD là SH I Do các mặt SB C , SCD , SD A tạo với A B CD các góc bằng nhau và bằng 60  nên các khoảng cách từ I đến các cạnh C D , DA bằng nhau và bằng IH . Ta có 60 SI H  nên .cot 60 IH SI  2 1 . 2 3 a 6 6 a . AB C D S 1 . 2 BC CD D A HI 1 6 9 . 2 6 a a AB 2 2 6 3 a . Vậy 1 . 3 A BCD V SI S 2 1 2 2 6 3 2 6 a a 3 3 9 a . Câu 1: (S G D Tha n h H óa – năm 2017 – 2018 ) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích bằng 3 9a và M là điểm nằm trên cạnh CC  sao cho 2 MC MC  . Tính thể tích khối tứ diện AB CM  theo a . A. 3 2a . B. 3 4a . C. 3 3a . D. 3 a . Lời giải Chọn A Khối lăng trụ . ABC A B C    được chia thành 3 khối tứ diện . B ABC  ; . A A B C    và . A B C C   . Trong đó . . B ABC A A B C V V     . 1 3 ABC A B C V    3 3a (vì chúng có cùng chiều cao và diện tích đáy với khối lăng trụ) 3 . . . 2 3 A B C C ABC A B C B ABC V V V a      . Ta lại có . . . A B C C A B C M A B CM V V V      và . . 1 2 A B C M A B CM V V    (vì 2 MC MC  nên 1 2 B C M B CM S S    ) Do đó . . 3 2 A B C C A B CM V V    2 . . 2 2 3 A B CM A B C C V V a    . Câu 2: ( T ạp c h í T H T T – T háng 4 năm 20 1 7 – 2 01 8) Cho tứ diện . S ABC có thể tích V . Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của SA , SB và SC . Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giác MNP và đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng ABC bằng A. 2 V . B. 3 V . C. 4 V . D. 8 V . Lời giải Chọn D A B C C  A  B  M A B C C  A  B  M Dễ thấy khoảng cách từ đỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng MNP cũng bằng khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng MNP . Ta có: . . 1 . . 8 S MNP S ABC V SM SN SP V SA SB SC nên . 8 S MNP V V . Câu 3: ( T H P T C hu yê n Nguy ễn Qua ng D i ệ u – Đ ồng T háp – L ần 5 n ă m 20 17 – 20 1 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và 2 2 AB AC a , 3 BC a . Tam giác SAD vuông cân tại S , hai mặt phẳng SAD và ABCD vuông góc nhau. Tính tỉ số 3 V a biết V là thể tích khối chóp . S ABCD . A. 1 4 . B. 3 2 . C. 2 . D. 1 2 . Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AD SH AD  . Ta có SAD ABCD  , SAD ABCD AD  , SH AD  SH ABCD  . Ta có 2 2 2 AB AC CB ACB  vuông tại C 2 ABCD ABC S S 2 3 a . 3 2 a AH , 2 2 3 2 a SH SA AH . Vậy . 1 . 3 S ABCD ABCD V SH S 2 1 3 . . 3 3 2 a a 3 1 2 V a . Câu 4: ( T HP T C h uyê n T hái B ình – T hái B ìn h – L ần 5 năm 20 17 – 2 01 8 ) Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là S A B C M P Q NA. 3 6 12 a . B. 3 3 12 a . C. 3 2 12 a . D. 3 2 24 a . Lời giải Chọn C a a B C D A G Gọi tứ diện đều cạnh a là ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có: AG ABC  . Xét ABG  vuông tại G , ta có: 2 2 AG AB BG 2 2 2 3 . 3 2 a a       6 3 a . Thể tích của khối tứ diện đều là: 1 . . 3 BCD V S AG 2 1 3 6 . . 3 4 3 a a 3 2 12 a . Câu 5: (TH PT C huy ên H ùng Vươ n g – G ia Lai – L ần 2 n ăm 2017 – 2018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng ABCD một góc o 45 . Tính Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . A. 3 4 π 3 V a . B. 3 1 π 3 V a . C. 3 2 π 3 V a . D. 3 π V a . Lời giải Chọn A Góc giữa SC và ABCD là góc SCA bằng o 45 nên tam giác SAC vuông cân tại A nên 2 SC a . Ta có CB SAB  CB SB  SBC  vuông tại B . CD SAD  CD SD  SCD  vuông tại D . Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD là trung điểm SC , bán kính 2 SC R a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD là 3 4 π 3 V a . Câu 6: (TH PT C huy ên H ùng V ươ ng – G ia Lai – L ần 2 năm 2017 – 2018 ) Cho khối chóp . S ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho 2 . SE EC Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . A. 1 3 V . B. 1 6 V . C. 1 12 V . D. 2 3 V . Lời giải Chọn A Ta có . . . . . . S EBD S CBD V SE SB SD V SC SB SD SE SC . . 2 3 S EBD S CBD V V . 2 1 . . 3 2 S ABCD V . 1 1 3 3 S ABCD V . -----------------------------------------------. Câu 7: (TH P T Ch uy ên L ươ ng Th ế Vi nh - H à N ội – L ần 2 năm 2017 – 2018 ) Cho hình chóp . S ABC có đáy tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên SA bằng 2a và vuông góc với đáy. Thể tích V của khối chóp . S ABC là A. 3 3 6 a V . B. 3 3 9 a V . C. 3 3 2 a V . D. 3 3 12 a V . Lời giải Chọn A Diện tích mặt đáy: 2 2 3 3 4 4 ABC AB a S nên hình chóp có thể tích 1 . 3 ABC V SA S 3 3 6 a . Câu 8: ( T H P T C hu yên L ư ơ n g T h ế Vinh - Hà N ội – L ần 2 năm 20 1 7 – 20 1 8) Đa giác lồi 10 cạnh có bao nhiêu đường chéo? A. 35. B. 10. C. 45 . D. 20 . Lời giải Chọn A Mỗi đường chéo được tạo nên từ hai đỉnh bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác (không kể các cạnh của đa giác). Số đường chéo là: 2 10 10 35 C . Câu 9: ( THP T C huyê n L ư ơ n g Th ế Vin h - Hà N ội – L ầ n 2 năm 2 01 7 – 20 1 8) Cho tứ diện đều ABCD cạnh 3a . Khoảng cách giữa hai cạnh , AB CD là A. 3 3 2 a . B. 3 2 a . C. a . D. 3 2 2 a . Lời giải Chọn D Gọi O là trọng tâm ABC  DO ABC  . Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB , CD . Ta có AB DM AB CM      AB DCM  AB MH  . Vì MDC  cân tại M MH CD  . Do đó , d AB CD MH . Xét MHC  vuông tại H, 2 2 MH MC HC 2 2 3 3 3 2 2 a a           3 2 2 a . Câu 10: (S G D H à T ĩn h – L ần 2 năm 2017 – 2018 ) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , 2 AD a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa cạnh SD và mặt phẳng đáy là 60 . Thể tích V của khối chóp . S ABCD là: A. 3 2 3 a V . B. 3 4 3 V a . C. 3 3 a V . D. 3 4 3 a V . Hướng dẫn giải Chọn D Diện tích đáy: 2 . 2 . ABCD S AB AD a Tam giác SAD vuông tại A nên .tan 60 2 3. SA AD a  Thể tích khối chóp . S ABCD là: 3 2 1 1 4 . .2 3.2 3 3 3 ABCD a V SA S a a . Câu 11: (T HP T N gh èn – H à T ĩn h – L ần 2 năm 20 1 7 – 20 18) Khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích bằng 6 . Mặt phẳng A BC   chia khối lăng trụ thành một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác có thể tích lần lượt là: A. 2 và 4 . B. 3 và 3 . C. 4 và 2 . D. 1 và 5. Lời giải Chọn A A' C' A B C B' Gọi h , A B C S     lần lượt là đường cao và diện tích đáy của lăng trụ. Khi đó thể tích của lăng trụ là . 6 A B C V S h     . Thể tích của khối chóp tam giác . B A B C    là 1 1 1 . .6 2 3 3 A B C V S h     . Do đó thể tích khối chóp tứ giác còn lại là 2 1 4 V V V . Câu 12: (THP T Nghè n – Hà T ĩnh – L ần 2 n ăm 2 01 7 – 2 01 8) Cho khối chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA ABC  , cạnh bên SC hợp với đáy góc 45  . Thể tích khối chóp . S ABC tính theo a là: A. 3 2 12 a V . B. 3 6 a V . C. 3 3 12 a V . D. 3 3 a V . Lời giải Chọn C Ta có SA ABC  , 45 SC ABC SCA  . tan 45 SA AC a  . Thể tích khối chóp . S ABC tính theo a là 3 1 1 1 3 3 . . . . . . 3 3 2 2 12 ABC a V SA S a a a . Câu 13: (T HP T N gh è n – H à T ĩnh – L ầ n 2 năm 2 01 7 – 2 01 8) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    với đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , 2 BC a , góc giữa đường thẳng A B  và ABC là 60  . Gọi G là trọng tâm tam giác ACC  . Thể tích của khối tứ diện GABA  là: A. 3 3 9 a . B. 3 2 3 3 a . C. 3 2 3 9 a . D. 3 3 6 a . Lời giải Chọn C a 2 a G A ' C' B' B C A Ta có AB là hình chiếu của A B  lên mặt phẳng ABC . , A B ABC  , A B AB  A BA  60  . AA  .tan 60 AB  3 a . Như vậy: ABA S  1 . . 2 AB AA  2 3 2 a . Mặt khác, ta có: * 2 . 3 GA CA   . * BC AB BC AA AB AA A       BC ABA   . Suy ra , d G ABA  2 , 3 d C ABA  2 . 3 BC 4 3 a . GABA V  1 . . , 3 ABA S d G ABA   2 1 3 4 . . 3 2 3 a a 3 2 3 9 a . Câu 14: (TH PT N gh èn – H à T ĩnh – L ần 2 n ăm 2017 – 2018 ) Lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại . B Biết , 2 , ' 2 3. AB a BC a AA a Thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C là: A. 3 2 3. V a B. 3 3 . 3 a V C. 3 2 3 . 3 a V D. 3 4 3. V a Lời giải. Chọn A Ta có: 3 . ' ' ' 1 1 ' '. '. . . 2 3. . .2 2 3. 2 2 ABC A B C ABC AA ABC V AA S AA AB BC a a a a  Câu 15: (TH P T Ch u V ă n An – Hà N ộ i - nă m 201 7 - 201 8) Một người thợ thủ công làm mô hình đèn lồng bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các que tre có độ dài 8 cm . Hỏi người đó cần bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái đèn (giả sử mối nối giữa các que tre có độ dài không đáng kể)? A. 96 m . B. 960 m . C. 192 m . D. 128 m . Lời giải Chọn A Hình bát diện đều là hình có 12 cạnh. Mỗi cạnh có độ dài 8 cm . Suy ra số que tre để làm được một cái đèn hình bát diện đều là: 8.12 96 cm . Để làm 100 cái đèn như vậy cần số mét tre là: 96.100 9600 cm 96 m . Câu 16: (THPT C huy ên V õ Ng uy ên Gi á p – Qu ản g B ình - n ăm 2 0 17 - 201 8) Cho hình chóp đều . S ABCD với O là tâm của đáy. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên với đáy bằng 0 45 . Thể tích của khối chóp . S ABCD bằng A. 4 2 3 V . B. 8 2 3 V . C. 4 3 3 V . D. 2 3 V . Hướng dẫn giải Chọn B I O A D B C S H Gọi I là trung điểm CD . Khi đó CD OI CD SO    CD SOI  . SCD SOI  Kẻ OH SI  tại . H Suy ra 1 OH và 0 45 . SIO Tam giác SOI vuông cân tại , O có 2 SI SO OI 2. 2. 2 OH Vậy . S ABCD V 2 1 8 2 2 2 . 2 3 3   Câu 17: ( Ch u y ên Lê H ồn g P ho ng – Na m Đin h - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ABCD  , cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 45 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 V a . B. 3 3 3 a V . C. 3 2 3 a V . D. 3 2 6 a V . Hướng dẫn giải Chọn C 45° a B A D C S Ta có: góc giữa đường thẳng SC và ABCD là góc 45 SCA  SA AC 2 a . Vậy 2 . 1 . . 2 3 S ABCD V a a 3 2 3 a . Câu 18: ( Ch uy ên L ê H ồng Ph on g – Na m Đi n h - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD trùng với trung điểm AB . Biết 1, AB 2, BC 10. BD Góc giữa hai mặt phẳng SBD và mặt phẳng đáy là 60  . Tính thể tích V của khối chóp . . S BCD A. 30 4 V . B. 30 12 V . C. 30 20 V . D. 3 30 8 V . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi I là trung điểm của AB , G là chân đường cao kẻ từ A xuống BD , H là trung điểm BG . Khi đó IH BD BD SHI   . Vậy góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng đáy là góc SHI . Ta có 2 2 3 AD BD AB . 2 2 2 1 1 1 3 10 3 10 10 20 AG IH AG AB AD 3 30 .tan 60 20 SI IH  . 1 1 , . . 1 2 2 BCD S d D BC BC AB BC  . Vậy . 1 30 . 3 20 S BCD BCD V SI S  . Câu 19: ( THPT Đ ặn g Thúc H ứa – Ng h ệ An - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 60  . Thể tích khối chóp . S ABCD bằng A. 3 6 3 a . B. 3 3 6 a . C. 3 6 6 a . D. 3 3 3 a . Lời giải Chọn A Ta có góc giữa SC với mặt đáy là 60 SCA  nên .tan 60 6 SA AC a  . Vậy thể tích 3 . 1 6 . 3 3 S ABCD ABCD a V SA S . Câu 20: Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông có cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Giả sử thể tích của cái hộp đó là 3 4800 cm thì cạnh của tấm bìa ban đầu có độ dài là bao nhiêu? A. 36 cm . B. 42 cm . C. 38 cm . D. 44 cm . Câu 21: Hình chóp . S ABCD có đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy và 3 SA a , 2 AC a . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD là A. 3 2 3 a . B. 3 2 2 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 2 a . Câu 22: Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông có cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (hình vẽ). Giả sử thể tích của cái hộp đó là 3 4800 cm thì cạnh của tấm bìa ban đầu có độ dài là bao nhiêu? A. 36 cm . B. 42 cm . C. 38 cm . D. 44 cm . Lời giải Chọn D Gọi x là độ dài của tấm bìa ban đầu 24 x . Khi đó thể tích của cái hộp là 2 12 24 V x . Theo giả thiết ta có 2 44 24 20 12 24 4800 4 24 20 x x x x l x     . Vậy 44 x . Câu 23: Hình chóp . S ABCD có đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy và 3 SA a , 2 AC a . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD là A. 3 2 3 a . B. 3 2 2 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn C Ta có ABCD là hình vuông có 2 AC a suy ra AB a . 2 . 1 1 . 3. 3 3 S ABCD ABCD V SA S a a 3 3 3 a . Câu 24: Gọi V là thể tích của khối hộp . ABCD A B C D     và V  là thể tích của khối đa diện . A ABC D   . Tính tỉ số V V  . A. 2 5 V V  . B. 2 7 V V  . C. 1 3 V V  . D. 1 4 V V  . Câu 25: Nghiệm của phương trình 100 log10 250 x thuộc khoảng nào sau đây? A. 0;2 . B. 2;  . C. ; 2  . D. 2;0 . Câu 26: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a . Góc giữa đường thẳng A B  và mặt phẳng ABC bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 24 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 12 a . Câu 27: Gọi V là thể tích của khối hộp . ABCD A B C D     và V  là thể tích của khối đa diện . A ABC D   . Tính tỉ số V V  . A. 2 5 V V  . B. 2 7 V V  . C. 1 3 V V  . D. 1 4 V V  . Lời giải Chọn C B B' C C' A' D D' A Ta có: . A ABC D V V     . . A AD B BC A B BC V V        . . 1 3 A AD B BC A AD B BC V V         . 2 1 . 3 2 A ADD B BCD V    1 3 V . Vậy 1 3 V V  . Câu 28: Nghiệm của phương trình 100 log10 250 x thuộc khoảng nào sau đây? A. 0;2 . B. 2;  . C. ; 2  . D. 2;0 . Lời giải Chọn B Ta có 100 log10 250 x 100 log10 250 x 100 250 x 250 100 x 5 2 x . Câu 29: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a . Góc giữa đường thẳng A B  và mặt phẳng ABC bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 24 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 12 a . Lời giải Chọn B Theo giả thiết, ta có AA ABC   BA là hình chiếu vuông góc của A B  trên ABC Góc giữa đường thẳng A B  và mặt phẳng ABC là 45 ABA   Do ABA   vuông cân tại A AA AB a  Vậy thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C   .là 3 3 4 a V . Câu 30: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD . Biết AB a , 2 BC a và 3 SC a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 2a . B. 3 a . C. 3 4 3 a . D. 3 2 5 3 a . Câu 31: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD . Biết AB a , 2 BC a và 3 SC a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 2a . B. 3 a . C. 3 4 3 a . D. 3 2 5 3 a . Lời giải Chọn C Ta có AB a , 2 BC a suy ra 5 AC a . Mà tam giác SAC vuông tại A suy ra 2 2 2 SA SC AC a . Vậy 3 . 1 1 4 . .2 . .2 3 3 3 S ABCD ABCD V SA S a a a a . Câu 32: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60  . Thể tích V của khối chóp . S ABCD bằng A. 3 3 2 a V . B. 3 3 3 a V . C. 3 6 6 a V . D. 3 6 3 a V . Câu 33: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60  . Thể tích V của khối chóp . S ABCD bằng A. 3 3 2 a V . B. 3 3 3 a V . C. 3 6 6 a V . D. 3 6 3 a V . Lời giải Chọn C Gọi O AC BD  thì SO ABCD  . Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc 60 SDO  . Mà ABCD là hình vuông nên 2 2 BD AB a . Tam giác SBD đều nên 3 6 . 2 2 a SO BD . Vậy 3 2 . 1 1 6 6 . . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V SO S a . Câu 34: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt phẳng A BC  và mặt phẳng ABC bằng 45 . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 2 a . B. 3 3 8 a . C. 3 3 8 a . D. 3 3 4 a . Câu 35: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt phẳng A BC  và mặt phẳng ABC bằng 45 . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 2 a . B. 3 3 8 a . C. 3 3 8 a . D. 3 3 4 a . Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm BC AM BC  BC AMA   BC MA   Ta có ABC A BC BC   , AM BC  , BC MA   , , ABC A BC AM A M   45 AMA   3 2 a AM AA  . Thể tích khối lăng trụ . ABC V AA S  2 3 3 3 3 . 2 4 8 a a a . Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a và 3 AA a  . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 3 2 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 6 a . Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a và 3 AA a  . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 3 2 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 6 a . Lời giải Chọn C B' C' A C B A' Thể tích khối lăng trụ là . . ABC A B C ABC V S AA     2 1 . 2 AB AA  3 3 2 a . Câu 38: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 2 BC a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và 3 SA a . Thể tích của khối chóp . S ABCD bằng A. 3 2a . B. 3 3a . C. 3 6a . D. 3 a . Câu 39: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C   có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a , góc giữa đường thẳng A C  và mặt phẳng ABC bằng o 30 . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C   bằng: A. 3 6 18 a . B. 3 2 6 3 a . C. 3 6 2 a . D. 3 6 6 a . Câu 40: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 2 BC a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và 3 SA a . Thể tích của khối chóp . S ABCD bằng A. 3 2a . B. 3 3a . C. 3 6a . D. 3 a . Lời giải Chọn A 2a a 3a C B A D S Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có . 1 . .2 .3 3 S ABCD V a a a 3 2a . Câu 41: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C   có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a , góc giữa đường thẳng A C  và mặt phẳng ABC bằng o 30 . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C   bằng: A. 3 6 18 a . B. 3 2 6 3 a . C. 3 6 2 a . D. 3 6 6 a . Lời giải Chọn D a a B ' C ' A B C A ' Ta có o , 30 A C ABC A CA   o .tan 30 A A AC  3 2. 3 a 6 3 a . Vậy . . ABC A B C ABC V S A A     3 2 1 6 6 . 2 3 6 a a a . Câu 42: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA a , 2 OB a , 3 OC a . Thể tích của khối tứ diện OABC bằng A. 3 2 3 a V . B. 3 3 a V . C. 3 2 V a . D. 3 V a . Câu 43: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA a , 2 OB a , 3 OC a . Thể tích của khối tứ diện OABC bằng A. 3 2 3 a V . B. 3 3 a V . C. 3 2 V a . D. 3 V a . Lời giải Chọn D Ta có: 1 . 3 OABC OBC V OA S 1 1 . . 3 2 OA OB OC 3 a . Câu 44: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có AB a , góc giữa AC  và ABC bằng 60 . Tính thể tích V của khối trụ nội tiếp hình lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 108 a V  . B. 3 3 12 a V  . C. 3 3 36 a V  . D. 3 3 72 a V  . Câu 45: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có AB a , góc giữa AC  và ABC bằng 60 . Tính thể tích V của khối trụ nội tiếp hình lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 108 a V  . B. 3 3 12 a V  . C. 3 3 36 a V  . D. 3 3 72 a V  . Lời giải Chọn B Gọi r , h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ nội tiếp hình lăng trụ . ABC A B C    . Ta có: , 60 AC ABC C AC    . .tan 60 3 h CC AC a   , 1 3 3 . 3 2 6 a a r . Vậy: 2 3 2 3 3 3 6 12 a a V r h a          . Câu 46: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A . AC a , 60 ACB . Đường thẳng BC  tạo với mặt phẳng ACC A   một góc 30  . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 a . B. 3 6 a . C. 3 3 3 a . D. 3 6 3 a . Câu 47: Thể tích của khối lập phương . ABCD A B C D     với 3 AD a  . A. 3 a . B. 3 3 3.a . C. 3 2 2.a . D. 3 27 2 2 a . Câu 48: Cho hình hộp . ABCD A B C D     . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D   và khối hộp . ABCD A B C D     . A. 2 3 . B. 1 6 . C. 1 3 . D. 1 2 . Câu 49: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A . AC a , 60 ACB . Đường thẳng BC  tạo với mặt phẳng ACC A   một góc 30  . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 a . B. 3 6 a . C. 3 3 3 a . D. 3 6 3 a . Lời giải Chọn B 2a 2 3a a 3 a 30° 60° C' B' A' C B A Ta có AB AC AB AA C C AB AA        tại A , mà BC AA C C C      nên , , 30 BC AA C C BC AC AC B       . Ta có: .tan 60 3 AB AC a  ; cot 30 . 3 AC AB a   . Suy ra 2 2 2 2 CC AC AC a   . Thể tích lăng trụ là 3 1 2 2. . . 3 6 2 V a a a a . Câu 50: Thể tích của khối lập phương . ABCD A B C D     với 3 AD a  . A. 3 a . B. 3 3 3.a . C. 3 2 2.a . D. 3 27 2 2 a . Lời giải Chọn D Vì ADD   vuông tại D nên 2 2 2 AD AD DD   2 2 2 9 AD a 3 2 2 a AD . Vì . ABCD A B C D     là khối lập phương nên 3 3 . 27 2 4 ABCD A B C D a V AD     . Câu 51: Cho hình hộp . ABCD A B C D     . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D   và khối hộp . ABCD A B C D     . A. 2 3 . B. 1 6 . C. 1 3 . D. 1 2 . Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có ACB D   là tứ diện loại 2 được tách từ hình lập phương nên . 1 3 ACB D ABCD A B C D V V       . Vậy . 1 3 ACB D ABCD A B C D V V       Cách 2: Ta có . . . ABCD A B C D V AB AD AA      , . . 4. ACB D ABCD A B C D B ABC V V V        1 1 . . 4. . . . . 3 2 AB AD AA AB BC BB   2 . . . . . 3 AB AD AA AB AD AA   1 . . 3 AB AD AA  . Suy ra . 1 . . 3 . . ACB D ABCD A B C D AB AD AA V V AB AD AA         1 3 . Câu 52: Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích là V . Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh AA  . Thể tích của khối đa diện . M BCC B   tính theo V là A. 2 3 V . B. 6 V . C. 3 V . D. 2 V . Câu 53: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 3 AB , 4 BC , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABC , 4 SA . Gọi AM , AN lần lượt là chiều cao của các tam giác SAB , SAC . Thể tích khối tứ diện AMNC là A. 128 41 . B. 768 41 . C. 384 41 . D. 256 41 . Câu 54: Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích là V . Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh AA  . Thể tích của khối đa diện . M BCC B   tính theo V là A. 2 3 V . B. 6 V . C. 3 V . D. 2 V . Hướng dẫn giải Chọn A A' A B' B C' C D' D Do // A M BB C C    nên . . 1 1 . , . . , . 3 3 A BB C C BB C C BB C C M BCC B V d A BB C C S d M BB C C S V               . Dễ thấy . 1 3 A ABC V V  và . . 2 3 A BB C C A ABC V V V V     . Vậy . . 2 3 M BCC B A BB C C V V V      . Câu 55: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 3 AB , 4 BC , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABC , 4 SA . Gọi AM , AN lần lượt là chiều cao của các tam giác SAB , SAC . Thể tích khối tứ diện AMNC là A. 128 41 . B. 768 41 . C. 384 41 . D. 256 41 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: . 1 . . . 8 6 S ABC V SA AB BC . . . . A MNC S AMC S AMN V V V . . . S ABC SM SM SN V SB SB SC     2 2 2 . 2 2 2 . . S ABC SA SA SA V SB SB SC     128 41 . Cách 2: Ta có: 2 2 2 1 1 1 12 5 AM AM SA AB ; 2 2 2 1 1 1 20 41 41 AN AN SA AC . 2 2 2 2 12 9 3 5 5 MB AB AM     2 2 2 2 9 481 4 5 5 MC MB BC     . 2 2 2 2 20 41 25 41 5 41 41 NC AC AN       . Ta có: SC AN SC AMN MN SC SC AM      . Suy ra: MNC  vuông tại N 2 2 2 2 481 25 41 4096 5 41 1025 MN MC NC             . 1 1 4096 25 41 160 . . . . 2 2 1025 41 41 MNC S NM NC . Ta có: AM SB AM SBC AM MNC AM BC      . . 1 1 160 12 128 . . . . 3 3 41 5 41 A MNC MNC V S AM . Câu 56: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi tâm O , cạnh đáy bằng 2a . Biết SO vuông góc với đáy, góc 60 ABC  và khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC bằng 2 a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 3 9 a V . B. 3 2 V a . C. 3 2 3 a T . D. 3 2 2 a V . Câu 57: Cho hình chóp . S ABCD với đáy là hình chữ nhật có AB a , 2 BC a , SA ABCD  và 3 SA a . Gọi M là trung điểm SD và P là mặt phẳng đi qua B , M sao cho P cắt mặt phẳng SAC theo một đường thẳng vuông góc với BM . Khoảng cách từ điểm S đến P bằng A. 2 2 3 a . B. 2 9 a . C. 2 3 a . D. 4 2 9 a . Câu 58: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi tâm O , cạnh đáy bằng 2a . Biết SO vuông góc với đáy, góc 60 ABC  và khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC bằng 2 a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 3 9 a V . B. 3 2 V a . C. 3 2 3 a T . D. 3 2 2 a V . Lời giải Chọn C Ta có thể tích khối chóp là 1 . 3 ABCD V SO S Vì 60 ABC  nên tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a . 2 ABCD ABC S S . .sin 60 BA BC  2 2 3 a . Kẻ OM BC  ta có SOM SBC  và SOM SBC SM  . Kẻ OI SM  OI SBC  . Do đó 2 a OI . Ta có 1 , 2 OM d A BC 1 3 3 2 2 2 2 a a . Trong tam giác vuông SOM ta có 2 2 2 1 1 1 OI SO OM 2 2 . 6 4 OM OI a SO OM OI . Thể tích khối chóp 3 2 1 1 6 2 . . .2 3 3 3 4 2 ABCD a a V SO S a . Câu 59: Cho hình chóp . S ABCD với đáy là hình chữ nhật có AB a , 2 BC a , SA ABCD  và 3 SA a . Gọi M là trung điểm SD và P là mặt phẳng đi qua B , M sao cho P cắt mặt phẳng SAC theo một đường thẳng vuông góc với BM . Khoảng cách từ điểm S đến P bằng A. 2 2 3 a . B. 2 9 a . C. 2 3 a . D. 4 2 9 a . Lời giải Chọn A Dễ thấy:  3 BD AC a ; 2 SB a ; 5 SD a 2 2 2 2 2 2 9 4 4 BD SB SD a BM  3 . 1 6 . . 3 3 S ABCD ABCD a V S SA Kẻ BH AC  thì . . BH AC BA BC . 2 3 BA BC a BH AC 2 3 AH AO H là trọng tâm tam giác ABD Gọi G là trọng tâm tam giác SBD thì // GH SA và // NP AC vì BM NP  Ta có:  2 3 SG SO và 2 3 SN SP SA SC ; 2 2 3 3 3 a NP AC .  . . 4 9 S BNP S BAC V V và . . 2 9 S MNP S DAC V V . . . 1 3 S BNMP S ABCD V V . Mặt khác: . 1 . , 3 S BNMP BNMP V S d S P . 3 , S BNMP BNMP V d S P S . Mà 1 . 2 BNMP S BM NP 2 3 2 BNMP a S . 3 , S BNMP BNMP V d S P S 2 2 3 a . Câu 60: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Biết các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy các góc bằng nhau và thể tích của khối chóp bằng 3 4 3 3 a . Tính khoảng cách giữa SA và CD . A. 5a . B. 2a . C. 3a . D. 3 2a . Câu 61: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Biết các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy các góc bằng nhau và thể tích của khối chóp bằng 3 4 3 3 a . Tính khoảng cách giữa SA và CD . A. 5a . B. 2a . C. 3a . D. 3 2a . Lời giải Chọn C S A B C M D N P O G HM O C D B A S H Do các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau nên hình chiếu của S trên mặt đáy cách đều 4 cạnh của hình vuông ABCD . Suy ra SO vuông góc với đáy (O là tâm ABCD ). Suy ra . 3 3 S ABCD ABCD V SO a S . Ta có // // ; ; ; CD AB CD SAB d CD SA d CD SAB d C SAB 2 ; d O SAB . Kẻ OM vuông góc AB tại M và OH SM  tại H . Suy ra ; OH d O SAB . Lại có 2 2 2 1 1 1 3 2 a OH OH OS OM . Vậy ; 3 d SA CD a . Câu 62: Biết rằng tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều bằng 8 3 . Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều. A. 8  . B. 16  . C. 4 3  . D. 8 3  . Câu 63: Biết rằng tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều bằng 8 3 . Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều. A. 8  . B. 16  . C. 4 3  . D. 8 3  . Lời giải Chọn A Gọi cạnh của bát diện đều là a . Hình bát diện đều có tất cả tám mặt đều nên tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều là: 2 1 8. .sin 60 8 3 2 a  2 a . F I D E A B C Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều là: 2 2 1 1 2 2 2 2 2 R IA AC . Diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều là 2 2 4 4 . 2 8 S R    . Câu 64: Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 65: Biết rằng thể tích của một khối lập phương bằng 8 . Tính tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó. A. 16 . B. 24 . C. 36 . D. 27 . Câu 66: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đó theo a . A. 3 10 6 a V . B. 3 2 a V . C. 3 2 3 a V . D. 3 3 3 a V . Câu 67: Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn A Hình tứ diện có tất cả 6 mặt phẳng đối xứng. Câu 68: Biết rằng thể tích của một khối lập phương bằng 8 . Tính tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó. A. 16 . B. 24 . C. 36 . D. 27 . Lời giải Chọn B Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương. Khi đó hình lập phương có thể tích là 3 8 2 V x x . Hình lập phương có tất cả 6 mặt đều là hình vuông có cạnh x . Vậy tổng diện tích các mặt của hình lập phương là 2 2 6. 6.2 24 S x . Câu 69: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đó theo a . A. 3 10 6 a V . B. 3 2 a V . C. 3 2 3 a V . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn A D A B C S Gọi h là chiều cao hình chóp, ta có 2 2 10 3 2 2 a a h a . 1 . 3 ABCD V S h 3 2 1 10 10 . 3 2 6 a a a . Câu 70: Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    cạnh a và có thể tích bằng 3 3 8 a . Tính diện tích tam giác A BC  . A. 2 3 a . B. 2 3 2 a . C. 2 a . D. 2 2 a . Câu 71: Thể tích khối bát diện đều cạnh a bằng A. 3 2 3 a . B. 3 2 3 a . C. 3 2 a . D. 3 2 2 3 a . Câu 72: Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    cạnh a và có thể tích bằng 3 3 8 a . Tính diện tích tam giác A BC  . A. 2 3 a . B. 2 3 2 a . C. 2 a . D. 2 2 a . Lời giải Chọn D a M B C A ' C ' B ' A Ta có : . ABC V AA S   3 2 3 3 . 8 4 a a AA  2 a AA  . Gọi M là trung điểm của BC , ta có : 3 2 a AM , 2 2 2 2 3 2 2 a a A M AA AM a             . Vậy 1 . . 2 A BC S A M BC    1 . . 2 a a 2 2 a . Câu 73: Thể tích khối bát diện đều cạnh a bằng A. 3 2 3 a . B. 3 2 3 a . C. 3 2 a . D. 3 2 2 3 a . Lời giải Chọn B Thể tích khối bát diện đều cạnh a bằng hai lần thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Do đó, thể tích khối bát diện đều cạnh a là 2 1 2 2. . . 3 2 a V a       3 2 3 a . Câu 74: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng 30  . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 30 18 a . B. 3 15 3 a . C. 3 5 12 a . D. 3 15 5 a . Câu 75: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng 30  . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 30 18 a . B. 3 15 3 a . C. 3 5 12 a . D. 3 15 5 a . Hướng dẫn giải Chọn A a H N M O B C A D S H O N D A B C Gọi O AC BD  , ta có SO ABCD  . Gọi H là trung điểm OA , ta có // MH SO MH ABCD  . Do đó , MN ABCD , MN NH MNH 30 . Ta có: 2 2 2 3 1 4 4 NH AD CD         2 5 8 a 10 4 a NH . tan MH MNH NH 10 4 MH a 3 3 30 12 a MH . Mặt khác: 30 2 6 a SO MH . Vậy thể tích khối chóp . S ABCD là: 1 . . 3 ABCD V S SO 2 1 30 . . 3 6 a a 3 30 18 a . Câu 76: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng a và có thể tích bằng 3 6a . Chiều cao của hình chóp bằng A. a . B. 6a . C. 2 6a . D. 18a . Câu 77: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng a và có thể tích bằng 3 6a . Chiều cao của hình chóp bằng A. a . B. 6a . C. 2 6a . D. 18a . Lời giải Chọn D Diện tích đáy là 2 S a . Do đó chiều cao h của hình chóp là: 3V h B 18a . Câu 78: Khối chóp . S ABCD có A , B , C , D cố định và S chạy trên đường thẳng song song với AC . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD sẽ: A. Giảm phân nửa. B. Giữ nguyên. C. Tăng gấp đôi. D. Tăng gấp bốn. Câu 79: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy tam giác ABC vuông, 2 AB BC a , cạnh bên 2 A A a  , M là trung điểm của BC . Tính tang của góc giữa A M  với ABC . A. 10 5 . B. 2 2 3 . C. 3 3 . D. 2 10 5 . Câu 80: Khối chóp . S ABCD có A , B , C , D cố định và S chạy trên đường thẳng song song với AC . Khi đó thể tích khối chóp . S ABCD sẽ: A. Giảm phân nửa. B. Giữ nguyên. C. Tăng gấp đôi. D. Tăng gấp bốn. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi  là đường thẳng qua S và song song AC . Ta có: 1 . 3 V B h +  song song AC nên ABCD   , , d S ABCD d ABCD h  không đổi. + A , B , C , D cố định nên diện tích tứ giác ABCD cũng không đổi. Vì vậy thể tích khối chóp . S ABCD sẽ giữ nguyên. Câu 81: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy tam giác ABC vuông, 2 AB BC a , cạnh bên 2 A A a  , M là trung điểm của BC . Tính tang của góc giữa A M  với ABC . A. 10 5 . B. 2 2 3 . C. 3 3 . D. 2 10 5 . Hướng dẫn giải Chọn A M A ' C ' B' B C A Ta có: A A ABC   nên AM là hình chiếu của A M  lên ABC , , A M ABC A M AM A MA    . 2 2 2 2 2 5 AM AB BM a a a . 2 10 tan 5 5 A A a A MA AM a   . Câu 82: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 3 14 2 a . B. 3 2 6 a . C. 3 14 6 a . D. 3 11 12 a . Câu 83: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 3 14 2 a . B. 3 2 6 a . C. 3 14 6 a . D. 3 11 12 a . Lời giải Chọn B a a O C B D A S Xét khối chóp tứ giác đều . S ABCD có AB a , SA a . Gọi O AC BD  , ta có SO ABCD  . 2 2 SO SA OA 2 2 2 2 a a       2 2 a . Thể tích của khối chóp . S ABCD là . 1 . . 3 S ABCD ABCD V S SO 2 1 2 . . 3 2 a a 3 2 6 a . Câu 84: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Thể tích của khối chóp . S ABCD bằng 3 3a . Biết diện tích của tam giác SAD bằng 2 2a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SAD . A. h a . B. 9 4 a h . C. 3 2 a h . D. 4 9 a h . Câu 85: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Thể tích của khối chóp . S ABCD bằng 3 3a . Biết diện tích của tam giác SAD bằng 2 2a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SAD . A. h a . B. 9 4 a h . C. 3 2 a h . D. 4 9 a h . Lời giải Chọn B Ta có . . 1 2 S ABD S ABCD V V 1 . 3 SAD h S . 3 2 S ABCD SAD V h S 3 2 3.3 9 2.2 4 a a a . Câu 86: Cho tứ diện ABCD có ABC , BCD là các tam giác đều cạnh a . Góc giữa ABC và BCD là 60  . Tính ABCD V . A. 3 2 8 a V . B. 3 2 12 a V . C. 3 3 16 a V . D. 3 8 a V . Câu 87: Cho tứ diện ABCD có ABC , BCD là các tam giác đều cạnh a . Góc giữa ABC và BCD là 60  . Tính ABCD V . A. 3 2 8 a V . B. 3 2 12 a V . C. 3 3 16 a V . D. 3 8 a V . Lời giải Chọn C H M D C B A Gọi M là trung điểm BC ta có ABC , BCD là các tam giác đều cạnh a nên AM BC  và DM BC  , mặt khác ABC BCD BC  Vậy ; ; 60 ABC BCD AM MD AMD    . AM là đường cao của tam giác đều ABC 3 2 a AM . Gọi H là hình chiếu của A lên MD Ta thấy BC AM BC MD    BC AMD  AMD BCD  AH BCD  . 3 3 .sin 60 sin 60 2 4 a a AH AM   Vậy 2 3 1 1 3 3 3 .S . . 3 3 4 4 16 ABCD BCD a a a V AH  . Câu 88: Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại A , AC a , 60 ACB . Đường chéo BC  của mặt bên BCC B   tạo với mặt phẳng AA C C   một góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a . A. 3 6 2 a . B. 3 2 6 3 a . C. 3 6 3 a . D. 3 6 a . Câu 89: Thể tích của khối cầu ngoại tiếp bát diện đều có cạnh bằng a là A. 3 3 3 a  . B. 3 2 6 a  . C. 3 2 3 a  . D. 3 8 2 3 a  . Câu 90: Cho hình chóp đều . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng AEF vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 5 24 a . B. 3 5 8 a . C. 3 3 24 a . D. 3 6 12 a . Câu 91: Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại A , AC a , 60 ACB . Đường chéo BC  của mặt bên BCC B   tạo với mặt phẳng AA C C   một góc 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a . A. 3 6 2 a . B. 3 2 6 3 a . C. 3 6 3 a . D. 3 6 a . Lời giải Chọn D 30° B C A C' B' A' Ta có: (do ) BA AC BA AA AA ABC       BA AA C C    nên , 30 BC AA C C BC A      . ABC  có .tan 60 AB AC  3 a . BAC   có tan 30 AB AC   3a . Suy ra 2 2 CC AC AC   2 2 a . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    là . ABC V AA S  1 2 2. . 3 2 a a a 3 6 a . Câu 92: Thể tích của khối cầu ngoại tiếp bát diện đều có cạnh bằng a là A. 3 3 3 a  . B. 3 2 6 a  . C. 3 2 3 a  . D. 3 8 2 3 a  . Lời giải Chọn C O D B A C S S' Giả sử hình bát diện đều như hình vẽ. khi đó Bán kính mặt cầu R SO 2 2 SA OA . 2 2 2 4 a R a 2 2 a . Thể tích của khối cầu 3 4 3 V R  3 2 3 a  . Câu 93: Cho hình chóp đều . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng AEF vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 5 24 a . B. 3 5 8 a . C. 3 3 24 a . D. 3 6 12 a . Lời giải Chọn A I E F K A C B S H Gọi K là trung điểm của BC và gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Gọi I SK EF  , do E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC nên // EF BC và 1 2 EF BC I là trung điểm của EF và SK . Do SAB SAC   nên AE AF AEF  cân tại A AI EF  . Theo giả thiết mặt phẳng AEF vuông góc với mặt phẳng SBC . AI SK  hay tam giác SAK cân tại K 3 2 a SA AK . Xét tam giác vuông SAH ta có 2 2 SH SA AH 2 2 3 3 2 3 a a             15 6 a . Thể tích khối chóp . S ABC là 1 . 3 ABC V S SH 2 1 3 15 . . 3 4 6 a a 3 5 24 a . Câu 1: ( TH PT Ch u y ê n Hùng Vươn g - P hú Th ọ - l ầ n 1 - NH 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2 SN ND . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN . A. 3 1 12 V a B. 3 1 6 V a . C. 3 1 8 V a . D. 3 1 36 V a . Lời giải Chọn A Cách 1. Ta có 3 . 1 . 3 3 S ABCD ABCD a V SA S 3 2 1 1 1 1 . . . 3 3 3 2 18 NDAC DAC a V NH S a a      3 2 1 1 1 . . . 3 3 2 2 12 MABC ABC a a V MK S a      3 1 , . 3 18 SMN a d A SMN S  Suy ra 3 1 1 2 1 . . . . 3 3 3 2 2 18 NSAM SAM a a V NL S a a      . Mặt khác 3 . 1 1 , . , . 3 3 18 C SMN SMN SMN a V d C SMN S d A SMN S   Vậy . ACMN S ABCD NSAM NADC MABC SCMN V V V V V V 3 3 3 3 3 3 1 3 18 18 12 18 12 a a a a a a . Cách 2. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có 3 . 1 . 3 3 S ABCD ABCD a V SA S . Vì // OM SD nên // SD AMC . Do đó ; ; ; d N AMC d D AMC d B AMC 3 . . . . . 1 4 12 ACMN N MAC D MAC B MAC M BAC S ABCD a V V V V V V . (do 1 ; ; 2 d M ABC d S ABC và 1 2 ABC ABCD S S  ) Câu 2: ( THTT S ố 1 - 48 4 th án g 10 n ăm 2017 - 2 018 ) Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3 288m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ 2 m . Nếu ông An biết xác A B D C M S N H O L Kđịnh các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu? A. 108 triệu đồng. B. 54 triệu đồng. C. 168 triệu đồng. D. 90 triệu đồng. Lời giải Chọn A Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất. Gọi ba kích thước của bể là a , 2a , c . 0, 0 a m c m Ta có diện tích cách mặt cần xây là 2 2 2 4 2 2 6 S a ac ac a ac . Thể tích bể 2 2 144 .2 . 2 288 V a a c a c c a . Vậy 2 2 2 2 3 2 144 864 432 432 432 432 2 6 . 2 2 3. 2 . . 216 S a a a a a a a a a a a . Vậy 2 216 min S m Chi phí thấp nhất là 216 500000 108  triệu đồng. Câu 3: (THPT Ch uy ên Qu ang Tr ung - B ìn h P h ư ớc - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho khối chóp . S ABC có 60 , ASB BSC CSA  , SA a 2 , SB a 4 SC a . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a . A. 3 8 2 3 a . B. 3 2 2 3 a . C. 3 4 2 3 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn B N M C B A S Lấy , M SB N SC thoả mãn: SM SN SA a 1 2 1 4 SM SB SN SC  . Theo giả thiết: 0 60 ASB BSC CSA . S AMN là khối tứ diện đều cạnh a . Do đó: 3 . 2 12 S AMN a V . Mặt khác : . . . S AMN S ABC V SM SN V SB SC 1 1 1 . 2 4 8 3 . . 2 2 8 3 S ABC S AMN a V V . Câu 4: (THPT Chuyê n Th ái B ình - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a , tam giác SBA vuông tại B , tam giác SAC vuông tại C . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 60  . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a . A. 3 3 8 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 4 a . Lời giải. Chọn B Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC , suy ra SD ABC  . Ta có SD AB  và ( ) SB AB gt  , suy ra AB SBD BA BD   . Tương tự có AC DC  hay tam giác ACD vuông ở C . Dễ thấy SBA SCA   (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB SC . Từ đó ta chứng minh được SBD SCD   nên cũng có DB DC . Vậy DA là đường trung trực của BC , nên cũng là đường phân giác của góc BAC . Ta có 30 DAC , suy ra 3 a DC . Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABC là 60 SBD  , suy ra tan tan . 3 3 SD a SBD SD BD SBD a BD . Vậy 2 3 . 1 1 3 3 . . . . 3 3 4 12 S ABC ABC a a V S SD a  . Câu 5: (TH P T Ch u y ê n Thái B ình - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A góc 30 ABC ; tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SAB vuông góc mặt phẳng ABC . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là: A. 6 5 a . B. 6 3 a . C. 3 3 a . D. 6 6 a . Lời giải. Chọn D S D B A C Ta có tam giác ABC vuông tại A góc 30 ABC  và BC a , suy ra 3 , 2 2 a a AC AB . Lại có SAB ABC AC SAB CA AB     , suy ra tam giác SAC vuông tại A . Suy ra 2 2 2 2 3 2 2 a a SA SC AC a     . Tam giác SAB có 3 3 , , 2 2 a a SA AB SB a . Từ đó sử dụng công thức Hê-rông ta tính được 2 2 2 6 3 2 4 3 3 3 SAB SAB S a a a AB S SH BH AB . Suy ra 2 , , . 3 d H SBC d A SBC Từ H kẻ HK BC  . Kẻ HE SK HE SBC   . Ta dễ tính được 3 6 , . 6 9 a a HK d H SBC Vậy 3 3 6 6 , , 2 2 9 6 a a d A SBC d H SBC  . Câu 6: (T HP T Ho a L ư A - Ni nh Bìn h - l ầ n 1 - n ăm 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , 3 BC a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30  . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 6 3 a V . B. 3 2 3 a V . C. 3 3 V a . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn A S B A C K H E S A B C DTa có: BC SA BC SAB BC AB     SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB . , , 30 SC SAB SC SB CSB  . Xét tam giác SBC vuông tại B có tan 30 3 BC SB a SB  . Xét tam giác SAB vuông tại A có 2 2 2 2 SA SB AB a . Mà 2 . 3 ABCD S AB BC a . Vậy 3 1 2 6 . 3 3 ABCD a V S SA . Câu 7: (T HP T Ho a L ư A - Ni nh Bìn h - l ầ n 1 - n ăm 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2 . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho SM SN k SB SD . Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp . S AMN bằng 1 8 . A. 1 8 k . B. 2 2 k . C. 2 4 k . D. 1 4 k . Lời giải Chọn C Ta có 2 . . . . . S AMN S ABD V SA SM SN k V SA SB SD Mà 2 . . . 1 1 1 2 , 1 . 8 2 8 4 S AMN S ABD S ABCD V V V k k Câu 8: (T HP T Ho a Lư A - Ni nh Bình - l ầ n 1 - n ăm 2017- 201 8) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho 3 AE EB . Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo . V A. 4 V . B. 3 V . C. 2 V . D. 5 V . Lời giải Chọn A S A B C D M N . . . . 1 1 . . 4 4 B ECD B ECD E BCD A BCD V BE AC AD V V V V BA AC AD Câu 9: (TH P T Ho a L ư A - Ninh B ình - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 201 8) Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi 1 G , 2 G , 3 G , 4 G lần lượt là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Tính thể tích V của khối tứ diện 1 2 3 4 G G G G . A. 2 4 V . B. 2 18 V . C. 9 2 32 V . D. 2 12 V . Lời giải Chọn D Tứ diện đều 1 . ABCD AG BCD  Ta có ngay 1 2 3 4 2 2 3 4 1 ; 1 / / . 3 d G G G G MG G G G BCD G A MA Cạnh 2 2 1 1 1 1 2 3 4 6 3 6 ; . 3 3 BC CG G A AC G C d G G G G Lại có 2 3 2 2 3 2 2 1 1. 3 3 3 G G AG G G MN BD MN AM Tương tự 3 4 4 2 2 3 3 1, 1 G G G G G G G  là tam giác đều có cạnh bằng 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 0 2 3 3 4 1 2 3 4 1 3 1 2 . sin 60 ; . . 2 4 3 12 G G G G G G G G G G S G G G G V d G G G G S B A C D E A B D C N M 1 G P 2 G 3 G 4 GCâu 10: (TH PT Ho a Lư A - Ni n h Bình - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp đều . S ABCD có 2 AC a , góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABCD bằng 45  . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 3 a V . B. 3 2 3 3 a V . C. 3 2 V a . D. 3 2 a V . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của BC , suy ra OM BC  . Ta có ; 45 SBC ABCD SMO . Ta có 2 2 2 2 4 2 AC AB BC a AB BC a . 1 2 2 2 .tan 45 2 2 2 2 a a a OM AB SO  . Vậy 3 2 . 1 1 2 2 . . . . 2 3 3 2 3 S ABCD ABCD a a V SO S a . Câu 11: (TH PT Ho a L ư A - Ni n h B ình - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 201 8 ) Cho khối lăng trụ đứng, mặt phẳng P đi qua C  và các trung điểm của AA  , BB  chia khối lăng trụ . ABC A B C    thành hai khối đa diện có tỷ số thể tích bằng k với 1. k  Tìm k . A. 1 . 3 B. 2 . 3 C. 1. D. 1 . 2 Lời giải Chọn D Gọi , , D E F lần lượt là trung điểm của , , AA BB CC    và h là độ dài chiều cao của khối lăng trụ . ABC A B C    . Khi đó ta có . 1 1 1 . . . . . . 3 2 6 6 C DEF DEF DEF ABC A B C h V S S h V       C A B A  C  B  D F E S A B C D M OMặt khác . 1 . . 2 A B C DEF ABC A B C V V       Suy ra ' . . 1 1 1 . . 2 3 2 C DEB A C DEB A C DEF ABC A B C C DEB A ABC A B C ABCDC E V V V V V V k V                 Câu 12: (TH PT L ê H ồ ng P ho n g - N am Đ ị nh - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 201 8) Cho khối chóp . S ABC có góc 60 ASB BSC CSA  và 2 SA , 3 SB , 4 SC . Thể tích khối chóp . S ABC . A. 2 2 . B. 2 3 . C. 4 3 . D. 3 2 . Lời giải Chọn A Gọi B  trên SB sao cho 2 3 SB SB  và C  trên SC sao cho 1 2 SC SC  . Khi đó 2 SA SB SC   . S AB C   là khối tứ diện đều. Ta có: 2 3 3 2 AM 2 2 3 3 3 AO AM Nên 2 2 2 6 3 SO SA AO và 3 AB C S   . Khi đó . 1 2 2 . 3 3 S AB C AB C V S SO     . Mà ta lại có: . . S. S. . . 3 3 2 2 S ABC S ABC AB C AB C V SA SB SC V V V SA SB SC       . Cách khác: 2 2 2 . . . . 1 cos cos cos 2cos .cos. .cos 2 2 6 S ABC SA SB SC V ASB BSC CSB ASB BSC CSB Câu 13: (TH PT Ch uy ên B ắ c Ni n h - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2 018 ) Hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại ; 1 ; 2. A AB AC Hình chiếu vuông góc của A  trên ABC nằm trên đường thẳng BC . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC  . A. 3 2 . B. 1 3 . C. 2 5 5 . D. 2 3 . Lời giải Chọn C S A B  C  B C M O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A  lên ABC . Giả sử 0 A H x  ; 5 BC ; 1 . 1 2 ABC S AB AC  . Ta có . 1 1 . . 3 3 A ABC ABC V A H S x    . . 3 2 2 , 1 . 5 5 . 5 2 A ABC A BC V x x d A A BC S x A H      . Câu 14: (TH P T Ch u yê n B ắ c Ni nh - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 20 18) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có thể tích bằng 2018. Gọi M là trung điểm AA  ; , N P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BB  , CC  sao cho 2 BN B N  , 3 CP C P  . Tính thể tích khối đa diện . ABC MNP . A. 32288 27 . B. 40360 27 . C. 4036 3 . D. 23207 18 . Lời giải Chọn D Ta có . . 1 23 3 36 ABC MNP ABC A B C V AM BN CP V AA BB CC           . Vậy . 23207 18 ABC MNP V . Câu 15: (T H PT Ch uy ên B ắ c Ni n h - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ. A. 2017 9 . B. 4034 81 . C. 8068 27 . D. 2017 27 . Lời giải Chọn D A B C H A  B  C  1 2 A B C A  B  C  P N M 1 4 AEFG EFG ABCD BCD V S V S 1 4 AEFG ABCD V V ( Do E , F ,G lần lượt là trung điểm của , BC , BD CD ). 8 . . 27 AMNP AEFG V SM SN SP V SE SE SG 8 8 1 2 . 27 27 4 27 AMNP AEFG ABCD ABCD V V V V Do mặt phẳng // MNP BCD nên 1 1 2 2 QMNP QMNP AMNP AMNP V V V V 1 2 1 2017 . 2 27 27 27 QMNP ABCD ABCD V V V . Câu 16: (TH P T Ch uy ên B ắ c N in h - l ầ n 1 - n ăm 2017 - 201 8) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 6 a V . B. 3 3 12 a V . C. 3 3 3 a V . D. 3 3 24 a V . Lời giải Chọn B Ta có A G ABC   nên A G BC   ; BC AM  BC MAA   Kẻ MI AA   ; BC IM  nên 3 ; 4 a d AA BC IM  Kẻ GH AA   , ta có 2 2 3 3 . 3 3 4 6 AG GH a a GH AM IM A B C M G H I A  B  C  A B C D G E F M P N Q2 2 2 2 2 2 2 3 3 . 1 1 1 . 3 6 3 3 12 a a AG HG a A G HG A G AG AG HG a a   2 2 . 3 3 . . 3 4 12 ABC A B C ABC a a a V A G S     ( đvtt). Câu 17: (T H PT X u ân Hò a - V ĩnh Phú c - n ăm 2 0 17 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy là vuông; mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng 3 7 7 a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 1 3 V a . B. 3 V a . C. 3 2 3 V a . D. 3 3 2 a V . Lời giải Chọn D K D J C B I A S Gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AB ; CD ; K là hình chiếu của I lên SJ Đặt cạnh đáy bằng x khi đó 3 2 x SI , IJ x . Vì // AB CD nên 2 2 . ; ; IS IJ d A SCD d I SCD IK IS IJ 2 2 3 . 3 7 2 7 3 4 x x a x x 3. x a Từ đó suy ra 3 2 1 3 3 3 2 2 x a V x . Câu 18: ( THPT X uâ n Hò a - V ĩnh P h ú c - nă m 2 0 17 - 201 8) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C   , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC  bằng 6 a . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 2 8 a . B. 3 3 2 28 a . C. 3 3 2 4 a . D. 3 3 2 16 a . Lời giải Chọn D Diện tích đáy là 2 3 4 ABC a B S  . Chiều cao là ; h d ABC A B C AA     . Do tam giác ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A lên A I  ta có ; AH A BC d A A BC AH    I A' B' C ' A B C H O K ; 1 3 ; d O A BC IO IA d A A BC   ; ; 3 3 6 d A A BC AH a d O A BC   2 a AH Xét tam giác A AI  vuông tại A ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AA AI  2 2 2 1 1 1 AA AH AI  3 2 2 a AA  3 2 2 a h 3 . 3 2 16 ABC A B C a V    . Câu 19: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng V , thể tích của khối đa diện có đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD bằng V  . Tính tỉ số V V  . A. 1 2 V V  . B. 1 8 V V  . C. 1 4 V V  . D. 3 4 V V  . Lời giải Chọn A A B C D E F I H G JTa có 1 . . 8 AEJF AEJF ABCD V V AE AJ AF V V AB AC AD . Tương tự: 1 8 BIGE V V , 1 8 CIHJ V V , 1 8 DHGF V V . Vậy: 1 1 4. 8 V V  1 2 . Câu 20: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD bằng 45  . Gọi , M N lần lượt là trung điểm , AB AD . Tính thể tích khối chóp . S CDMN theo a . A. 3 5 8 a . B. 3 8 a . C. 3 5 24 a . D. 3 3 a . Lời giải Chọn C Ta có SBC ABCD BC  , BC SAB BC SB   , AB BC  nên góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD là SBA. Do đó 0 tan 45 SA AB a . Mặt khác 2 2 2 2 5 8 4 8 MNDC ABCD AMN BMC a a a S S S S a Vậy 2 3 . 1 1 5 5 . . . . 3 3 8 24 S CDMN CDMN a a V S SA a . Câu 21: (TH PT S ơ n T ây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    , đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh AA  hợp với B C  một góc 60  và khoảng cách giữa chúng bằng , a 2 B C a  . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    theo : a A. 3 . 2 a B. 3 3 . 2 a C. 3 3 . 4 a D. 3 . 4 a Lời giải Chọn B S A B C D N M Vì // CC AA   nên góc giữa AA  và B C  là góc giữa ' CC và B C  và là góc o 60 B CC   Trong B C C    : o o 3 sin 60 .2 3 2 ' 1 cos60 ' .2 ' 2 B C B C a a B C CC CC a a B C        Gọi H là hình chiếu của A lên BC , khi đó , . AH BCC B d AA B C AH a      3 . 1 1 3 . . . 3. . 2 2 2 ABC A B C ABC a V S AA AH BC AA a a a           Câu 22: (TH P T Ch u yê n Đ H V in h - G K 1 - n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết AB a , 2 SA SD , mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp . S ABCD . A. 3 5 2 a . B. 3 5a . C. 3 15 2 a . D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu của S trên AD và K là hình chiếu của H trên BC . Ta có 293,32 SH ABCD  . HK BC BC SK SH BC       . Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc 60 SKH  , tan 60 3 SH HK a  S K B C D H A A C B A  C  B  H2 2 2 1 1 1 SH SA SD 2 2 1 5 3 4 a SD 15 2 a SD , 15 SA a , 5 3 2 a AD . . 1 . 3 S ABCD ABCD V SH S 3 1 5 3 5 3. . 3 2 2 a a a a . Câu 23: ( TH P T Chuy ên ĐH V i nh - GK 1 - nă m 201 7 - 201 8 ) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có 2 SA a , 3 AB a . Gọi M là trung điểm SC . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAB . A. 3 21 14 a . B. 3 3 2 a . C. 3 3 4 a . D. 3 21 7 a . Lời giải Chọn A M O N A C B S H Cách 1: (Nếu chỉ dùng kiến thức lớp 11 có thể xếp bài này vào tham số) Gọi N là trung điểm AB , O là trọng tâm ABC  . Ta có , 1 1 , , 2 2 , d M SAB MS d M SAB d C SAB SC d C SAB . Mà , 3 , 3. , , d C SAB CN d C SAB d O SAB ON d O SAB . Nên 3 , . , 2 d M SAB d O SAB . Kẻ OH SN  tại H . Ta có: AB CN AB SCN AB OH AB SN      . Và OH SN OH SAB OH AB     tại H , d O SAB OH Tính: 2 2 2 3 3 . 3 3 2 1 3 3 2 OA CN a SO SA OA a a CN a ON CN  Tam giác SON  vuông tại O 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 7 21 3 3 7 a OH OH SO ON a a a Vậy 3 3 3 21 3 21 , . , . 2 2 2 7 14 a a d M SAB d O SAB OH . Cách 2: M O N B C A S Gọi N là trung điểm AB , O là trọng tâm ABC  . 2 2 3 . 3 2 3 2 3 a CN OA CN a SO SA OA a . 2 2 2 2 9 7 4 4 2 a a SN SA AN a . Ta có: 2 3 . . . . 3 3 1 1 1 1 1 3 3 . . . . . 2 2 2 3 6 4 8 S ABM S ABM S ABC ABC S ABC a V SM a V V S SO a V SC  2 1 1 7 3 7 . . .3 2 2 2 4 SAB a a S SN AB a  . 3 . 2 3 3 3. 3 3 21 8 , 14 3 7 4 S ABM SAB a V a d M SAB S a  . Câu 24: (TH PT Y ên L ạ c - V ĩnh Phú c - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là ABC  vuông cân ở , B 2, AC a , SA ABC  . SA a Gọi G là trọng tâm của SBC  , mp đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S . Tính . V A. 3 4 . 9 a B. 3 4 . 27 a C. 3 5 . 54 a D. 3 2 . 9 a Lời giải Chọn C Trong mặt phẳng SBC . Qua G kẻ đường thẳng song song với BC và lần lượt cắt , SC SB tại , E F . Khi đó ta được khối đa diện không chứa đỉnh S là . ABCEF Ta có G là trọng tâm của SBC  nên .AF . 2 2 4 . . . . 3 3 9 S E S ABC V SA SF SE V SA SB SC Do đó . .AF . . . 4 4 5 . . . . 9 9 9 S ABC S E S ABC ABCEF S ABC S ABC V V V V V V Vì tam giác ABC  vuông cân ở , B 2 AC a nên . AB BC a Mặt khác 3 . 1 1 . . . 3 2 6 S ABC a V a a a Suy ra 3 3 5 5 . . 9 6 54 ABCEF a a V . Câu 25: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩn h Phú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - năm 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABC có đáy là ABC  vuông cân ở , B 2, AC a , SA ABC  . SA a Gọi G là trọng tâm của SBC  , mp đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S . Tính . V A. 3 4 . 9 a B. 3 4 . 27 a C. 3 5 . 54 a D. 3 2 . 9 a Lời giải Chọn C Trong mặt phẳng SBC . Qua G kẻ đường thẳng song song với BC và lần lượt cắt , SC SB tại , E F . Khi đó ta được khối đa diện không chứa đỉnh S là . ABCEF Ta có G là trọng tâm của SBC  nên .AF . 2 2 4 . . . . 3 3 9 S E S ABC V SA SF SE V SA SB SC Do đó . .AF . . . 4 4 5 . . . . 9 9 9 S ABC S E S ABC ABCEF S ABC S ABC V V V V V V Vì tam giác ABC  vuông cân ở , B 2 AC a nên . AB BC a Mặt khác 3 . 1 1 . . . 3 2 6 S ABC a V a a a Suy ra 3 3 5 5 . . 9 6 54 ABCEF a a V . Câu 26: (TH PT Ng uy ễ n K huy ế n - Nam Đ ị n h - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8) Cho khối hộp . ABCD A B C D     . Gọi , M , N P lần lượt là trung điểm của , AB AD và AA  . Tính tỉ số thể tích k của khối chóp . A MNP và khối hộp đã cho. A. 1 12 k . B. 1 48 k . C. 1 8 k . D. 1 24 k . Lời giải Chọn B Cách 1 : P N M A D B C A' D ' B' C' Ta có: 1 1 1 1 . 4 4 2 8 1 ; ; 2 AMN ABD ABCD ABCD S S S S d P AMN d A ABCD   . Suy ra: 1 1 1 1 . . ; . . ; 3 3 8 2 AMN ABCD S d P AMN S d A ABCD  . . 1 48 A MNP ABCD A B C D V V     . Vậy 1 48 k . Bổ sung cách 2 Ta có 1 8 1 1 48 6 AMNP ABDA AMNP ABDA ABCDA B C D ABCDA B C D V AM AN AP V AB AD AA V k V V V             Câu 27: (T H P T N g u y ễ n K h uy ế n- Nam Đ ị n h - l ầ n 1 - năm 20 1 7 - 2018) Cho tứ diện ABCD có 5 AB CD , 10 AC BD , 13 AD BC . Tính thể tích tứ diện đã cho. A. 5 26 . B. 5 26 6 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D Lồng khối tứ diện ABCD vào một khối tứ diện AMNP sao cho , , B C D lần lượt là trung điểm , , MN NP PM như hình vẽ. Dễ dàng ta có khối AMNP có , , AM AN AP đôi một vuông góc và 2 5; MN 2 10; NP 2 13 AD . Suy ra 4; 2; 6 AM AN AP , nên thể tích 1 . . 8 6 AMNP V AM AN AP . Mà 1 2 4 ABCD AMNP V V . Câu 28: (TH P T Ha i B à Tr ưng - V ĩnh Phú c - l ần 1 - n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 2 BC a , 60 ABC  . Gọi M là trung điểm BC . Biết 39 3 a SA SB SM . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC là: A. 2a . B. 4a . C. 3a . D. a . Lời giải Chọn A Vẽ lại hình,chú ý vị trí điểm H Theo đề ta có: .sin 60 3 AC BC a  và .cos60 AB BC a  . Suy ra tam giác ABM đều cạnh bằng a và hình chóp . S ABM là hình chóp đều. Hạ SH ABC  H là trọng tâm của tam giác ABM . Ta có 2 1 3 . 2 2 ABC a S AB AC  2 3 4 ABM a S  . Mà . . 4 ABM AB AM BM S R  3 3 a HA R Tam giác vuông SAH 2 2 2 SH SA HA a Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC bằng 2a . Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz . Câu 29: (TH P T Ha i B à Tr ưng - V ĩnh P h ú c - l ần 1 - n ăm 2 01 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có 60 ASB BSC CSA , 2 SA , 3 SB , 6 SC . Tính thể tích của khối chóp . S ABC . A. 6 2 (đvtt). B. 18 2 (đvtt). C. 9 2 (đvtt). D. 3 2 (đvtt). Lời giải Chọn D Trên cạnh SB , SC lần lượt lấy E , F sao cho 2 SE và 2 SF . Mặt khác ASB BSC 60 CSA  suy ra hình chóp . S AEF là chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2. Gọi H là trọng tâm AEF  SH AEF  (vẽ thêm bên cạnh hình chóp đều . S AEF cho em nhé đại ca) Gọi 1 A là trung điểm của EF 1 1 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 6 3 AA AH AA SH SA AH  Suy ra . 1 2 2 . 3 3 S AEF AEF V SH S  . Ta có: . . . S AEF S ABC V SE SF V SB SC 2 1 . 3 3 2 9 . . 9 2 S ABC S AEF V V 3 2 . Câu 30: (THPT V i ệ t Tr ì - Ph ú T h ọ - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , SM . Mặt phẳng ABN cắt SC tại E . Gọi 2 V là thể tích của khối chóp . S ABE và 1 V là thể tích khối chóp . S ABC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 1 1 4 V V . B. 2 1 1 3 V V . C. 2 1 1 6 V V . D. 2 1 1 8 V V . Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm của EC nên IM là đường trung bình của tam giác BCE // MI EN Mà N là trung điểm của SM EN là đường trung bình của tam giác SMI suy ra E là trung điểm của SI . 2 2 1 1 1 1 3 3 V SE V V V SC . Câu 31: (TT Di ệ u Hi ề n - C ầ n T hơ - th á ng 10 - nă m 20 17 - 201 8) Thầy Tâm cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3 500 m 3 . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng 2 /m . Khi đó, kích thước của hồ nước như thế nào để chi phí thuê nhân công mà thầy Tâm phải trả thấp nhất: A. Chiều dài 20 m , chiều rộng 15 m và chiều cao 20 m 3 . B. Chiều dài 20 m , chiều rộng 10 m và chiều cao 5 m 6 . C. Chiều dài 10 m , chiều rộng 5 m và chiều cao 10 m 3 . D. Chiều dài 30 m , chiều rộng 15 m và chiều cao 10 m 27 . Lời giải Chọn C x 2x h Giả sử thầy Tâm xây cái hồ dạng khối hộp chữ nhật không nắp như hình vẽ trên. Do khối hộp chữ nhật có thể tích là 3 500 m 3 nên ta có 2 3 500 2 m 3 V x h 2 250 3 h x . Vì giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng 2 /m . Do xây bốn xung quanh và đáy nên giá nhân công để xây xong cái hồ là: 2 2 2 250 2 2.2 2 500000 500000 6 . 2 3 T xh xh x x x x     2 500 500000 2 T x x     . Ta khảo sát hàm 2 500 500000 2 T x x     với 0 x : S A B C E I M N2 500 500000 4 0 5 T x x x      Chiều dài 10 m , chiều rộng 5 m , chiều cao 10 m 3 . Câu 32: (TT Di ệ u Hi ề n - C ần Th ơ - thá ng 11 - nă m 201 7 - 201 8 ) Cho hình chóp đều . S ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC . Mặt phẳng chứa AB và đi qua G cắt các cạnh SC , SD lần lượt tại M và N . Biết mặt bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60  . Thể tích khối chóp . S ABMN bằng: A. 3 3 4 a . B. 3 3 8 a . C. 3 3 16 a . D. 3 3 3 16 a . Lời giải Chọn B a I N G M O C A B D S Vì G là trọng tâm tam giác SAC nên AG cắt SC tại trung điểm M của SC , tương tự BG cắt SD tại trung điểm N của SD . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB . Suy ra góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy ABCD là 60 SIO  . Do đó 3 .tan 60 2 a SO OI  . Suy ra 3 2 . 1 1 3 3 . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V S SO a  . Mặt khác . . 2 S ABCD S ABC V V , ta lại có . . 1 2 S ABM S ABC V SA SB SM V SA SB SC   . . 1 . 2 S ABM S ABC V V . . . 1 1 1 2 2 4 S AMN S ACD V SA SN SM V SA SD SC    . . 1 . 4 S AMN S ACD V V . Vậy 3 3 . . 3 3 3 3 4 4 6 8 S ABMN S ABCD a a V V . Câu 33: (TH P T Ch u yê n V ĩn h P hú c - l ầ n 2 - n ăm 201 7 - 201 8 ) Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A. Năm mặt. B. Bốn mặt. C. Ba mặt. D. Hai mặt. Lời giải Chọn C Mỗi đỉnh của đa giác là giao điểm của ít nhất hai cạnh, mỗi cạnh lại là cạnh chung của hai mặt nên mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. Câu 34: (TH P T Ch u yê n V ĩnh Ph úc - l ầ n 2 - nă m 201 7 - 201 8 ) Cho khối chóp . S ABCD có thể tích bằng 3 2a và đáy ABCD là hình bình hành. Biết diện tích tam giác SAB bằng 2 . a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và . CD A. a . B. 3a . C. 6a . D. 3 2 a . Lời giải Chọn B Ta có // //     DC AB DC SAB AB SAB . Vậy , , d SA DC d DC SAB , d D SAB . Mặt khác: . . . S ABCD S ABD S DBC V V V . Ta có ABD BDC S S ( ABCD là hình bình hành). Vậy 3 . . 1 2 S ABD S ABCD V V a . 3 , S ABD SAB V d D SAB S 3 2 3 3 a a a . Câu 35: (TH P T C h uy ên V ĩn h P h ú c - l ầ n 2 - nă m 2 0 17 - 201 8) Cho khối lăng trụ đứng .    ABC A B C có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng  A BC tạo với đáy góc 30  và tam giác  A BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 8 3 V . B. 16 3 V . C. 64 3 V . D. 2 3 V . Lời giải Chọn A Hình vẽ đánh đỉnh sai,đã đánh lại S A D C B M 30  A B C A  B  C Gọi M là trung điểm của BC . Ta có: , 30 A BC ABC BC AM BC A BC ABC A MA A M BC          Giả sử 0 x là cạnh của tam giác đều ABC ta có: 3 2 x AM . Xét tam giác vuông  A AM ta có: cos30   AM A M 3 3 : 2 2  x A M x . Theo giả thuyết 1 . 2   A BC S A M BC 2 1 8 2 x 4 x . Diện tích đáy: 2 4 3 4 3 4 B . Xét tam giác vuông  A AM ta có: tan 30   AA MA tan 30 .2 3 2   AA . Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: 4 3.2 8 3 V . Câu 36: (T H PT Ch uy ên V ĩn h Phú c - l ầ n 2 - n ăm 201 7 - 2018) Cho hình nón N có đường sinh tạo với đáy một góc 60  . Mặt phẳng qua trục của N cắt N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Tính thể tích V của khối nón . N A. 3 3 .  V B. 9 .  V C. 3 .  V D. 9 3 .  V Lời giải Chọn C Gọi SAB là thiết diện qua trục của hình nón Ta có SAB  đều nên 3 2 SO R ,với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB  . 3 .2 3 2 SO ; 2 2 3 3 AB SO . Khi đó thể tích khối nón 2 1 . 3 đvtt 3 2       AB V SO . Câu 37: (T HP T Qu ã n g Xương - T ha n h H ó a - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho S O 60  A BSM k SA , 0 1 k . Khi đó giá trị của k để mặt phẳng BMC chia khối chóp . S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau là: A. 1 5 4 k . B. 1 5 4 k . C. 1 5 2 k . D. 1 2 2 k . Lời giải Chọn C Gọi giao điểm của BMC với SD là N , khi đó do // BC AD nên // // BCM SAD MN AD BC  SM SN k SA SD . Gọi V là thể tích của khối chóp . S ABCD , 1 V là thể tích của khối chóp . S BCNM , 2 V là thể tích của khối đa diện còn lại. Ta có 1 2 V V V 1 2 2 V V V . Mà 1 . . S MBC S MNC V V V , mặt khác . . S MBC S ABC V SM k V SA . . 1 . 2 S MBC S ABC V k V kV và . . . S MNC S ADC V SM SN k V SA SD 2 2 2 . . 1 . 2 S MNC S ADC V k V k V . 2 2 1 1 5 1 0 2 2 2 V V V k k k k k . Câu 38: (TH PT B ình X uy ên - V ĩn h P h ú c - nă m 201 7 - 201 8) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2 3 a , góc ο 60 ABC . Gọi M là trung điểm của cạnh CD , hai mặt phẳng SBD và SAM cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp đó bằng 3 2 3 a . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB . A. 16 15 a d . B. 15 3 a d . C. 8 3 17 a d . D. 3 17 a d . Lời giải Chọn D Ta có 2 1 3 2 2 sin 2 3 2 3 6 3 2 2 ABCD ABC S S BA BC ABC a a a       . Do SAM ABCD SBD ABCD SE ABCD SAM SBD SE      . Vậy SE chính là chiều cao của khối chóp . S ABCD và từ đó suy ra 3 . 2 3 3.2 3 6 3 S ABCD ABCD V a SE a S a . Qua B kẻ đường thẳng song song với AC . Khi đó, // AC SBG . Do đó, ta có , , , d AC SB d AC SBG d O SBG . Trong tam giác SEG , từ E kẻ EH vuông góc SB . Do   SE BG EB BG BG SEB SEB SBG EH SBG SE EB E        . Vậy EH chính là khoảng cách từ E đến SBG . Tam giác ABC đều, cạnh bằng 2 3 a nên suy ra 3 2 3 3 6 2 OB a a BD a  . Do 2 2 6 4 3 3 EB BD EB a a  . Do   , , d E SBG d O SBG EO SBG B EB OB  . , 3 , 4 BO d E SBG EH d O SBG EB Mặt khác, ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 17 4 17 16 16 17 a EH EH SE EB a a a . Vậy 3 3 , , 4 17 EH a d AC SB d O SBG . Câu 39: (T HPT B ì n h X u yê n - V ĩnh Phú c - nă m 2 017 - 201 8) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC  bằng 6 2 a . Khi đó thể tích khối lăng trụ bằng: A. 3 a . B. 3 3a . C. 3 4 3 a . D. 3 4 3 3 a . Lời giải Chọn B K B' C' C A B A' H Gọi K là trung điểm BC , dựng AH A K H A K    . Ta có AH A BC   , suy ra ; 6 2 A A BC a d AH  . Tam giác ABC đều, có đường cao 3 .2 3 2 AK a a . Xét tam giác AA K  vuông tại A , đường cao AH . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 1 3 6 3 3 AA a AA AH AK a a a   . Thể tích khối lăng trụ: 2 3 3 . 3. . 2 3 4 ABC V AA S a a a  . Câu 40: (TH PT Ng ô S ĩ L iê n - B ắ c G ia ng - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 20 18) Khối đa diện đều loại   ; p q được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số đỉnh là A.   3;3 ,   3;4 ,   5;3 ,   4;3 ,   3;5 . B.   3;3 ,   4;3 ,   3;4 ,   3;5 ,   5;3 . C.   3;3 ,   3;4 ,   4;3 ,   5;3 ,   3;5 . D.   3;3 ,   3;4 ,   4;3 ,   3;5 ,   5;3 . Lời giải Chọn D Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh, M là tổng số mặt của khối đa diện đều loại   ; p q . Ta có: 2 pĐ nM C . Cụ thể:  Xét tứ diện đều loại   3; 3; 6 4 2 3 3 4; p q pM pM Đ C M q  .  Xét khối lập phương đều loại   4; 3 8; 12 6 2 4;3 p q pM pM Đ C M q  .  Xét khối bát diện đều loại   3; 4 6; 12 8 2 3;4 p q pM pM Đ C M q  .  Xét khối mười hai mặt đều loại   5; 3 20; 30 1 5 2 3 2 ; p q pM pM Đ C M q  .  Xét khối hai mươi mặt đều loại   3; 5 12; 30 2 3 0 5 2 ; p q pM qM Đ C M q  . Vậy ta có sắp xếp:   3;3 ,   3;4 ,   4;3 ,   3;5 ,   5;3 . Câu 41: (T H PT Ng ô S ĩ Liên - B ắ c Gi a n g - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , SC ABC  và SC a . Mặt phẳng qua C , vuông góc với SB cắt SA , SB lần lượt tại E và F . Thể tích khối chóp . S CEF là A. 3 2 12 a . B. 3 36 a . C. 3 2 36 a . D. 3 18 a . Lời giải Chọn B Tam giác vuông SCA có SC CA a nên là tam giác vuông cân ở . C Ta có AB AC  và AB SC  suy ra AB SAC  suy ra . AB CE  1 Mặt khác theo giả thiết SB CEF SB CE   . 2 Từ 1 và 2 suy ra SAB CE CE SA   . Do đó E la trung điểm của SA vì tam giác SCA vuông cân ở . C Trong tam giác vuông SCB có 2 2 2 . . SC SF SC SF SB SB SB Từ đó ta có 2 2 . 2 2 2 . 1 1 1 . . . 2 2 2 6 S CEF S CAB V SE SF SC a V SA SB SB a a 3 . . 1 1 1 1 . . . . . 6 6 3 2 36 S CEF S CAB a V V a a a Câu 42: (TH P T Ng uy ễ n Đ ứ c Th u ậ n - N am Đ ị nh - l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác . ABC A B C    là tam giác đều cạnh 4 a và biết diện tích tam giác A BC  bằng 8 . Thể tích khối lăng trụ là A. 2 3 . B. 4 3 . C. 8 3 . D. 16 3 . Lời giải Chọn C Diện tích đáy 2 3 .4 4 3 4 ABC S  . Gọi H là trung điểm của BC , suy ra A H BC   và 3 2 3 2 a AH . Mặt khác 1 . 2 A BC S A H BC    2 . 4 A BC A H S BC    . Trong A AH   vuông tại A , ta có 2 2 2 AA A H AH   Do đó thể tích lăng trụ là 2.4 3 8 3 V . Câu 43: (TH PT Ng u y ễ n K h uy ế n - TP H C M - nă m 201 7 - 201 8) Hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có AB a , góc giữa đường thẳng B D  với mặt phẳng ABCD và mặt phẳng ABB A   lần lượt bằng 30  và 45  . Tính thể tích khối hộp . ABCD A B C D     . A. 3 2a . B. 3 3a . C. 3 2a . D. 3 3a . Lời giải Chọn A Ta có: B B ABCD B B BD     . Từ đó suy ra góc giữa B D  và mặt phẳng ABCD chính là góc 30 B DB B DB    Ta có DA ABB A DA AB      . Vậy góc giữa B D  và ABB A   là góc AB D  . Vậy 45 AB D   . Đặt 2 2 0 AD x x BD a x . Xét tam giác B BD  có: 2 2 2 2 o .tan 30 2 3 3 x a x a B B BD B D   . Mặt khác, xét trong tam giác B AD  có 2 B D x  (vì tam giác vuông cân). Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 2 2 2 3 3 3 3 3 x a x a x x x a x a . Do đó: 2 2 2 2 2 3 3 x a a a B B a  . Vậy: 3 . . 2 2 V a a a a . Câu 44: (TH PT Ng u y ễ n K h uy ế n - TP H C M - nă m 201 7 - 201 8) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M là trung điểm cạnh , AC là góc tạo bởi đường thẳng C M  và mặt phẳng ABB A   . Tính giá trị sin . A. 4 sin . 7 B. 51 sin . 17 C. 2 sin . 5 D. 15 sin . 10 Lời giải Chọn D Gọi , , , N P Q D lần lượt là trung điểm của các cạnh , , , A C B C BC PN     . Khi đó ta có MNPQ ABB A    nên góc giữa C M  và ABB A   bằng góc giữa C M  và MNPQ . Mặt khác ta có C NP   đều (vì có ba cạnh bằng nhau) nên C D NP   , lại có C D MN   nên C D MNPQ   , suy ra . C MD  Ta có C D  là đường cao tam giác đều C NP   nên 3 3 . . 2 2 4 a a C D  Hơn nữa 2 2 5 . 2 a MD MN ND Do đó 3 3 15 4 sin . 10 5 2 5 2 a DC C MD MD a   Câu 45: (TH P T Ta m Phư ớ c - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2018) Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và diện tích của một mặt bên là 2 2 a . A. 3 4 2 3 a . B. 3 4 3 a . C. 3 4a . D. 3 4 3 3 a . Lời giải Chọn B M O C A B D S Gọi O là tâm hình vuông ABCD , M là trung điểm của BC . Chóp tứ giác đều có tất cả mặt bên là các tam giác cân nên SM BC  . Khi đó, ta tính được: 2 2 2. 2 2 2 SBC S a SM a BC a  . Ta có: // , 2 CD OM CD OM a . Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác SMO , ta tính được: 2 2 2 2 2 h SO SM OM a a a . Vậy, 3 2 . 1 1 4 . . 2 3 3 3 đ S ABCD a V h S a a . Câu 46: (THPT T am Phư ớc - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - n ă m 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , hai mặt phẳng , SAB SAD cùng vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc bằng 60  . Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 3 a . B. 3 6 3 a . C. 3 2 6 3 a . D. 3 4 6 3 a . Lời giải Chọn B Ta có 60 tan 60 . 6 SA ABC SCA SA AC a    Do đó thể tích khối chóp . S ABCD là 3 2 1 1 6 . . . 6 . 3 3 3 ABCD a V S SA a a Câu 47: (T HP T Ta m Ph ư ớc - Đ ồ ng Na i - l ầ n 1 - nă m 2 017 - 201 8 ) Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , đường cao SA . Biết đường cao AH của tam giác ABC bằng a , góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC bằng 60  . Tính thể tích khối tứ diện SABC theo a . A. 3 6 3 a . B. 3 3 3 a . C. 3 2 6 3 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn A Ta có 60 tan 60 . 6 BC SAH SHA SA AH a    Do đó thể tích khối chóp . S ABCD là 3 1 1 1 6 . . .2 . 6 . 3 3 2 3 ABC a V S SA a a a     Câu 48: (TH P T Ta m Phư ớ c - Đ ồ n g Na i - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2018) Cho lăng trụ đứng . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình bình hành. Các đường chéo DB  và AC  lần lượt tạo với đáy các góc 45  và 30  . Biết chiều cao của lăng trụ là a và 60 BAD  . Hãy tính thể tích V của khối lăng trụ này. A. 3 2 3 a V . B. 3 3 V a . C. 3 2 a V . D. 3 3 2 a V . Lời giải Chọn D O D' C' B' A' D C B A Đề cho hình lăng trụ đứng các cạnh bên vuông góc với hai đáy và là đường cao của hình lăng trụ. Do đó: ; 45 DB ABCD B DB    ; ; 30 AC ABCD C AC   . BDB   vuông tại B : tan 45 DD BD   a . CAC   vuông tại C : tan 30 CC AC   3 a . Trong tam giác ABD ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos60 2 4 AB AD AB AD BD AB AD BD AO   2 2 2 2 2 2 . 2 AB AD AB AD a AB AD a  AB AD a . Suy ra: ABD  đều cạnh a . Do đó: 2 ABCD ABD S S 2 3 2 a . Vậy thể tích khối lăng trụ cần tìm là: 3 3 2 LT a V . Câu 49: (TH P T C h uy ê n Hùng V ươn g - B ìn h Phư ớ c - l ầ n 2 - nă m 2017 - 201 8) Cho một hình hộp chữ nhật .     ABCD A B C D . Trên các cạnh  AA ,  BB ,  CC lấy lần lượt lấy ba điểm X , Y , Z sao cho 2  AX A X ,  BY B Y , 3  CZ C Z . Mặt phẳng XYZ cắt cạnh  DD ở tại điểm T . Khi đó tỉ số thể tích của khối . XYZT ABCD và khối .     XYZT A B C D bằng bao nhiêu? A. 7 24 . B. 7 17 . C. 17 7 . D. 17 24 . Lời giải Chọn C Xét mặt phẳng qua H và song song mặt phẳng ABCD cắt các cạnh  AA ,  BB ,  CC ,  DD lần lượt tại M , N , P , Q . Khi đó, hai mặt phẳng XYZT ; MNPQ cùng với các mặt bên của hình hộp chữ nhật giới hạn những khối đa diện bằng nhau và đối xứng nhau qua điểm H . Khi đó,         A B C D XYZT A B C D MNPQ V V . Ta có: // MNPQ ABCD nên         A B C D MNPQ A B C D ABCD V EH V EF hay     XYZTABCD A B C D XYZT V HF V EH . Xét hình thang   A XZC có đường trunh bình EH nên 7 2 24   A X C Z EH EF . Do đó 17 24 HF EF hay 7 17 EH HF . Vậy 17 7     A B C D XYZT XYZTABCD V V . Câu 50: (T HP T Ch u yê n Hùng Vươn g - Bìn h P h ư ớ c - l ầ n 2 - n ăm 2 017 - 201 8 ) Cho khối hộp chữ nhật .     ABCD A B C D có thể tích bằng 2016 . Thể tích phần chung của hai khối .   A B CD và .   A BC D bằng A. 1344. B. 336. C. 672. D. 168. Lời giải Chọn B N Q P F M E C ' D ' C A ' B A B ' D Gọi E , F , M , N , P , Q lần lượt là giao điểm của AC và BD ,   A C và   B D ,  AB và  A B ,  BC và  B C ,  CD và  C D ,  AD và  A D . Phần chung của hai khối .   A B CD và .   A BC D là khối EFMNPQ . Thể tích khối EFMNPQ là: 1 1 1 1 1 .S .S . S . 3 3 2016 3 3 6 3 2 6 EFMNPQ MNPQ MNPQ ABCD V EF EF EF . Câu 51: (TH P T C ổ L o a - Hà N ộ i - l ần 1 - na w m - 2 018 ) Cho hình lăng trụ .    ABC A B C có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng   ABB A là tâm của hình bình hành   ABB A . Thể tích khối lăng trụ .    ABC A B C tính theo a là A. 3 2 4 a . B. 3 2 12 a . C. 3 3 a . D. 3 3 4 a . Lời giải a O C A B' A ' C' B Chọn A Gọi O là tâm của hình thoi   ABB A . Theo giả thiết suy ra   CO BA hay tam giác  CBA cân tại C . Tương tự tam giác  CAB cân tại C . Do đó .   C ABB A là hình chóp tứ giác đều, cạnh bằng a . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2       a a CO CA AO a . Khi đó 3 2 . 1 1 2 2 . . 3 3 2 6     C ABB A ABB A a a V S CO a . Ta có . . 1 3       C A B C ABC A B C V V nên . . 2 3      C ABB A ABC A B C V V . Do đó 3 . . 3 2 . 2 4      ABC A B C C ABB A a V V . Câu 52: (TH P T C ổ Loa - Hà N ội - l ần 1 - na wm - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, 3 SC SD a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 2 6 a V . B. 3 6 a V . C. 3 2 V a . D. 3 3 3 a V . Lời giải Chọn A Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD , H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD . Khi đó     AB SM AB MH AB SH . Suy ra H MN . Ta có 3 2 a SM , MN a , 2 2 2 2 11 3 2 2     a a SN SC NC a . Suy ra 2 3 11 2 2 2 4             SMN a a S p p p a p với p là nửa chu vi tam giác SMN và 3 11 2 2 2 a a p (Công thức Hê-rông). Suy ra 2 3 11 2 2 2 4             SMN a a a S p p p a p với p là nửa chu vi tam giác SMN và 3 11 2 2 2 a a a p (Công thức Hê-rông). A B C D H M S N 3 a a aKhi đó đường cao 2 2 2 2 2 4 2 SMN a S a SH MN a . Diện tích đáy 2 ABCD S a . Thể tích khối chóp 3 2 . 1 1 2 2 . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V SH S a . Câu 53: (T HT T S ố 3 - 4 8 6 th áng 12 nă m 2 017 - 201 8 ) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh 2 3 AB và các cạnh còn lại đều bằng x . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD bằng 2 2 . A. 6 x . B. 2 2 x . C. 3 2 x . D. 2 3 x . Lời giải Chọn B Cách 1: Gọi M là trung điểm của CD và H là hình chiếu của A trên BM . ;   CD AM CD BM  CD ABM  AH BCD . Đặt AMB suy ra sin AH AM 3 sin . 2 x AH . 1 . 3 ABCD BCD V AH S 2 1 3 3 sin . 2 2 3 2 4 x x 2 6 512 sin x . M A D C B H A M B A M B H H Xét tam giác AMB ta có: 2 2 2 2 8 cos 1 2 . AM BM AB AM BM x . Ta được phương trình: 2 6 2 512 8 1 1     x x . Giải phương trình ta được 2 2 x . Cách 2: Nhận xét: CD AM CD ABM CD BM     1 2 2 1 2 2. . . 3. . 3 3 3 2 ABCD NBCD BNCD DNC V V V BN S MN DC     trong đó 2 2 2 2 2 2 3 3 12 2 DN AB AN x x MN DN DM  , 0 3 x a . 2 3 3 12 . . 2 2 2 2 3 2 ABCD x V x x . Câu 54: (TH TT S ố 3 - 486 tháng 1 2 n ăm 2017 - 201 8) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD , ABC và E là điểm đối xứng với B qua điểm D . Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V . A. 3 2 96 a . B. 3 3 2 80 a . C. 3 3 2 320 a . D. 3 9 2 320 a . Lời giải Chọn D Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là 3 2 12 a . Gọi  P ME AD ;  T ME AB . Trong mặt phẳng ABC đường thẳng TN cắt AC , BC lần lượt tại Q , F . Khi đó mặt phẳng MNE chia khối tứ diện đã cho phần chứa đỉnh A là tứ diện ATPQ . Gọi I là trung điểm BD . Xét AID ta có: . . 1 ED MI PA EI MA PD (định lý Menelaus) 3 PA PD . Tương tự ta có: 3 QA QC Xét AIB ta có: . . 1 EI TB MA EB TA MI 2 3 TB TA . Mặt khác ta có: 3 3 3 27 . . . . 5 4 4 80 ATPQ ABCD V AT AP AQ V AB AD AC 3 3 27 2 9 2 . 80 12 320 ATPQ a a V . Câu 55: (TH P T Chuyê n Lê H ồ ng P ho ng - Nam Đ ị n h - l ầ n 2 n ăm 2017 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thoả mãn AB a , 3 AC a , 2 BC a . Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC bằng 3 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 3 5 a V . B. 3 3 5 a V . C. 3 3 3 a V . D. 3 5 a V . A B D C F E N M T I P QLời giải Chọn A Ta có 2 2 2 BC AB AC ABC  vuông tại A . CD SC CD SAC CD AC       SAC ABCD  . Kẻ SH AC  , H AC SH ABCD  . Gọi K là trung điểm BC . BC SK BC SHK BC SH       BC HK  . Kẻ , HI SK I SK  HI SBC  ; d H SBC HI . // ; ; AD SBC d A SBC d D SBC . CKH CAB    (g.g) 1 3 HK CH CK AB BC CA 2 2 3 3 3 a HC AC , 3 a HK . ; 3 2 ; d A SBC AC HC d H SBC 2 3 9 a HI . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 81 3 15 2 12 4 15 a SH HI HK SH SH a a a . Thể tích cần tìm là 3 2 1 2 2 . 3 3 15 3 3 a a V a . Câu 56: (TH P T Chuyê n L ê H ồ ng P ho n g - Na m Đ ị n h - l ầ n 2 nă m 2 017 - 2 018 ) Cho khối trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng A BC  tạo với đáy một góc 30  và tam giác A BC  có diện tích bằng 2 8a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 8 3 V a . B. 3 2 3 V a . C. 3 64 3 V a . D. 3 16 3 V a . Lời giải Chọn A S A B C D K H I Gọi H là trung điểm BC AH BC  . Ta lại có: AA ABC BC ABC       BC AA   góc giữa A BC  và ABC là 30  . Gọi 2 BC x , theo đề ta có: 3 .tan 30 AH x AA AH x    2 2 2 A H AA AH x   . 2 8 A BC S a   2 1 . 8 2 BC A H a  2 1 .2 .2 8 2 x x a 2 x a . Vậy thể tích cần tìm: . ABC V S AA   2 3 3 4 . .2 8 3 4 a a a       . Câu 57: ( S G D V ĩ n h P h ú c - K S C L l ầ n 1 n ă m 2 0 1 7 - 2 0 1 8 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ; SA vuông góc với mặt đáy ABCD ; 2 AB a , . AD CD a Góc giữa mặt phẳng SBC và mặt đáy ABCD là 60  . Mặt phẳng P đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh , SA SB lần lượt tại M , N . Thể tích V của khối chóp . S CDMN theo a là A. 3 2 6 . 9 a V B. 3 7 6 . 81 a V C. 3 14 3 . 27 a V D. 3 7 6 . 27 a V Lời giải Chọn D A  B  C  A B C 30 o HA B D C S E G M N Ta có: // G P SAB CD AB   Suy ra: giao tuyến của mặt phẳng P và mặt phẳng SAB là // // MN AB CD . Ta có: 2 3 SM SG SA SE (do // MG AB ). Mặt khác, ta có: 2 3 SN SG SB SE . . . 2 3 S MCD S ACD V SM V SA . . 2 3 S MCD S ACD V V . 1 3 ACD AEC EBC ABCD S S S S hay . . 1 3 S ACD S ABCD V V . . . 2 1 2 . 3 3 9 S MCD S ABCD S ABCD V V V . . . 4 . 9 S MNC S ACB V SM SN V SA SB . . . . 4 4 2 8 . 9 9 3 27 S MNC S ACB S ABCD S ABCD V V V V . . . . . 2 8 9 27 S MCD S MNC S ABCD S ABCD V V V V . . 14 27 S CDMN S ABCD V V . Gọi E là trung điểm của AB . Xét tứ giác ADCE ta có: AD CD , // AE CD , AE CD nên ADCE là hình vuông nên 1 2 CE a AB hay tam giác ACB vuông tại C . Suy ra AC CB  . Mặt khác BC SA  nên BC SAC  . Do đó , 60 SBC ABCD . tan 60 2. 3 6 SA SA a a AC  . Mặt khác 2 . 3 2 2 ABCD AB CD AD a S nên 2 3 . 1 1 3 6 . . 6. 3 3 2 2 S ABCD ABCD a a V SA S a . Vậy 3 3 . . 14 14 6 7 6 . 27 27 2 27 S CDMN S ABCD a a V V . Câu 58: (SG D V ĩn h Phú c - K SC L l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có mặt đáy là tam giác đều cạnh 2 . AB a Hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh . AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và AA  theo a . A. 2 21 7 a . B. 15 5 a . C. 2 15 5 a . D. 39 13 a . Lời giải Chọn C 60° x y z H C' B' C B A A' Theo đề ra ta có: ; 60 AA ABC A AH    . Chọn hệ trục toạ độ Hxyz như hình vẽ. Tam giác A HA  vuông tại H : .tan 60 3 A H AH a   . Tam giác ABC đều cạnh 2 3 a CH a . Ta có: ;0;0 A a , ;0;0 B a , 0; 3;0 C a , 0;0; 3 A a  . ;0; 3 AA a a      , ; 3;0 BC a a     , 2 ;0;0 AB a     . 2 2 2 ; 3 ; 3; 3 AA BC a a a             ; 3 ; . 6 AA BC AB a                 . 3 2 ; . 6 2 15 ; 5 15 ; AA BC AB a a d AA BC a AA BC                              . Câu 59: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SB , SD . Tỷ số thể tích . AOHK S ABCD V V bằng A. 1 12 . B. 1 6 . C. 1 8 . D. 1 4 . Lời giải Chọn C O K H D A B C S Vì H và K , O lần lượt là trung điểm của SB và SD , BD nên 1 4 OHK SBD S S Suy ra . . . . 1 1 1 1 4 4 8 8 AOHK AOHK A SBD S ABD S ABCD S ABCD V V V V V V . Câu 60: (TH PT L ụ c Ng ạ n - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân tại B , 3 AB a . Hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AC sao cho 2 HC HA . Mặt bên ABB A   tạo với đáy một góc 60  . Thể tích khối lăng trụ là: A. 3 6 a . B. 3 3 a . C. 3 3 5 a . D. 3 3 2 a . Lời giải Chọn D Tam giác ABC vuông cân tại B , 3 AB a BC và 2 3 2 ABC a S  . Ta có ABB A   tạo với đáy một góc 60  là 60 A IH   , với // IH BC . Suy ra 1 tan 60 . 3 3 A H IH BC a h   . A  C  B  B C A I H Vậy thể tích khối lăng trụ là: 3 . 3 . 2 ABC A B C ABC a V S h     . Câu 61: (TH P T Tr i ệu S ơn 3 - Than h Hó a nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo của các mặt lần lượt là 5 , 10 , 13 . Tính thể tích của khối hộp đã cho. A. 5. 10. 18 6 V . B. 8 V . C. 6 V . D. 4 V . Lời giải Chọn C C D B B' A' D' C' A Giả sử hình hộp . ABCD A B C D     có độ dài đường chéo các mặt bên lần lượt là 5 AB  , 10 B D   , 13 AD  . Đặt , AA x  A B y   , A D z   ( , , 0 x y z ). Áp dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác vuông A AB   , A B D    , A AD   ta có hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 5 13 10 x y x z y z  . Suy ra 2 2 2 4 2 1 1 3 9 x x y y z z   (vì , , 0 x y z ). Vậy thể tích khối lập phương là 6 V xyz . Câu 62: (T H P T Tr i ệu S ơn 3 - Th an h Hó a n ă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có SA a và 11 24 SAB  . Gọi Q là trung điểm cạnh SA . Trên các cạnh SB , SC , SD lần lượt lấy các điểm M , N , P không trùng với các đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng AM MN NP PQ theo a . A. 11 2 sin 24 3 a  . B. 3 2 a . C. 2 4 a . D. 11 3 sin 12 3 a  . Lời giải Chọn B Do hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên đều là các tam giác cân, theo giả thiết 11 24 SAB  nên 22 24 12 ASB    1 . Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ như trên sao cho khi ghép lại thì A A   . Khi đó, tổng AM MN NP PQ là tổng các đường gấp khúc nên tổng này nhỏ nhất nếu xảy ra các điểm A , Q , M , N , P thẳng hàng. Đồng thời theo 1 ta có 4. 12 3 ASA    2 suy ra tam giác SAA  là tam giác đều. Vậy 3 2 a AQ hay giá trị nhỏ nhất của tổng 3 2 a AM MN NP PQ . A B C D S O Q M N P A  A S Q P N M B C DCâu 1: (TH P T T r i ệu S ơn 1 - l ần 1 n ăm 2017- 201 8) Cho hình chóp tam giác . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC . Thể tích V của khối chóp . A BCNM bằng A. 3 3 . 12 a B. 3 3 . 48 a C. 3 3 . 24 a D. 3 3 . 16 a Lời giải Chọn D Thể tích khối chóp . S ABC là 2 . 1 3 . 3 4 S ABC a V a 3 3 12 a . Do SA AB AC a nên các tam giác , SAC SAB cân tại A . Theo đề bài M , N là hình chiếu của A trên SB , SC nên M , N lần lượt là trung điểm SB , SC . Khi đó: 3 . . . . . 1 1 3 . 4 4 48 S AMN S AMN S ABC S ABC V SM SN a V V V SB SC . Vậy thể tích khối chóp . A BCNM là 3 3 3 . . . 3 3 3 12 48 16 A BMNC S ABC S AMN a a a V V V . Câu 2: (TH PT Tr i ệu Sơn 1 - l ầ n 1 nă m 2 0 17 - 2 018 ) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh SD , DC . Thể tích khối tứ diện ACMN là A. 3 2 4 a . B. 3 8 a . C. 3 3 6 a . D. 3 2 2 a . Lời giải Chọn C Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Góc giữa cạnh bên SAB và mặt đáy là góc 60 SNO . Xét tam giác SNO  , ta có .tan 60 . 3 3 SO NO a a  . Lại có M là trung điểm của SD nên 1 1 3 , , 2 2 2 a d M ABCD d S ABCD SO N là trung điểm của CD nên 2 2 1 1 4 4 4 ACN ABCD S S a a  Do đó, thể tích khối MACN là 3 2 1 1 3 3 . , . . . 3 3 2 6 MACN ACN a a V d M ABCD S a . Câu 3: (T HPT Tr i ệ u S ơn 1 - l ần 1 n ăm 2 0 17 - 201 8) Cho tứ diện ABCD có 2 AB AD a , BC BD a và CA CD x . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ACD bằng 3 2 a . Biết thể tích của khối tứ diện bằng 3 3 12 a . Góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD là A. 60  . B. 45  . C. 90  . D. 120  . Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm cạnh CD và K là trung điểm cạnh AD . Ta có 1 . , 3 ABCD ACD V S d B ACD 3 , ACD V S d B ACD 3 1 3 3 2 . . 2 12 3 a AD CK a 2 2 2x a a x a S A B C D O N M H A B C D H KTam giác ACD có CA CD x a ; 2 AD a tam giác ACD vuông cân tại C HK CD  và 2 a HK . Mà: BC BD BH CD  nên , ACD BCD BHK Mặt khác Tam giác ABD có 2 2 2 2 2 2 4 AB BD AD BK a BK a . Tam giác BHK có 3 2 a BH , 2 a HK và 2 2 2 BH HK BK tam giác BHK vuông tại H 90 BHK  hay , 90 ACD BCD . Câu 4: (TH PT Tr i ệu Sơn 1 - l ầ n 1 nă m 2 0 17 - 2 018 ) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a . Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60  . Mặt phẳng P chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC , SD lần lượt tại M và N . Thể tích khối chóp . S ABMN là A. 3 3 2 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 a . Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm cạnh CD và O là tâm hình vuông ABCD . Ta có . S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau Giả sử , 60 SCD ABCD SHO  Tam giác SHO vuông tại O có .tan 60 3 SO OH a  . 3 . 1 4 3 . . 3 3 S ABCD ABCD a V S SO . Mặt khác: , // // // P SCD MN AB P MN SCD MN CD AB AB CD     Mà G là trọng tâm tam giác SAC nên G cũng là trọng tâm tam giác SBD 1 2 SM SN SC SD . S A B C D O N M P 60  G HTa lại có 1 1 2 4 SABM SABM SABC SABCD SABC V SM V V V V SC 1 1 . 4 8 SAMN SAMN SACD SABCD SACD V SM SN V V V V SC SD Khi đó 3 1 1 3 3 4 8 8 2 SABMN SABCD SABCD a V V V     . Câu 5: (T HPT C huy ê n V ĩnh Phú c - M Đ 903 l ầ n 1 - nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích bằng V . Lấy điểm B  , D  lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD . Mặt phẳng qua AB D   cắt cạnh SC tại C  . Khi đó thể tích khối chóp . S AB C D    bằng A. 3 V .B. 2 3 V . C. 3 3 V . D. 6 V . Lời giải Chọn D S A B C D B  D  C  O H A C  O H S C K d Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thì SO B D H    . Khi đó H là trung điểm của SO và C AH SO   . Trong mặt phẳng SAC : Ta kẻ // d AC và AC  cắt d tại K . Khi đó áp dụng tính đồng dạng của các tam giác ta có : 1 OH OA SK OA SH SK 1 2 SK AC ; 1 2 SK SC AC CC   1 3 SC SC  . Vì . . . 1 . 2 2 S ABD S BCD S ABCD V V V V nên ta có . . 1 4 S AB D S ABD V SA SB SD V SA SB SD       . 1 8 S AB D V V   và . . 1 4 S B C D S BCD V SB SC SD SC V SB SC SD SC           . 8 S B C D SC V V SC      . Suy ra . . . 1 1 8 8 8 6 S AB C D S AB D S B C D SC V V SC V V V V V SC SC                . Lưu ý :Có thể sử dụng nhanh công thức SA SC SB SD SA SC SB SD     Câu 6: (TH PT Ch u y ên V ĩn h Phú c - l ầ n 1 M Đ 9 04 nă m 201 7 - 20 18) Cắt khối hộp . ABCD A B C D     bởi các mặt phẳng AB D   , CB D   , B AC  , D AC  ta được khối đa diện có thể tích lớn nhất là A. A CB D    . B. A C BD   . C. ACB D   . D. AC B D    . Lời giải : Chọn C Khi cắt khối hộp bởi các mặt phẳng trên ta được 5 khối tứ diện AA B D    , B ABC  , CC B D    , D DAC  , . AB D C   Gọi V là thể tích của khối hộp. 1 6 A A B D B ABC CC B D D ADC V V V V V         Suy ra 1 3 ACB D V V   nên tứ diện ACB D   có thể tích lớn nhất. Câu 7: (TH PT Ch u y ên V ĩn h Phú c - l ầ n 1 M Đ 9 04 nă m 201 7 - 20 18) Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất? A. 3 2 180 cm . B. 3 360 cm . C. 3 720 cm . D. 3 180 cm . Lời giải Chọn D Gọi x là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao của hình hộp. Theo bài ra ta có: 2 2 180 180 x h h x . Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất khi diện tích toàn phần S nhỏ nhất. 2 2 4 S x xh 2 2 180 2 4 . x x x 2 720 2 S x x 2 360 360 2x x x 3 2 2 3 360 360 3 2 3 2.360 x x x         . x x hDấu bằng xảy ra khi: 2 3 3 360 2 180 180 x x x x . Khi đó 3 180 h . Câu 8: (TH P T K im L iê n - Hà N ội nă m 201 7 - 20 1 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC . Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SM cắt SB , SC lần lượt tại E , F . Biết . . 1 4 S AEF S ABC V V . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 2 a V . B. 3 8 a V . C. 3 2 5 a V . D. 3 12 a V . Lời giải Chọn B F E M S B C A H Ta có BC SM  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM . Do FE P SBC  FE SM  FE BC  và FE đi qua H . . . 1 4 S AEF S ABC V V 1 . 4 SE SF SB SC 2 1 4 SH SM     1 2 SH SM . Vậy H là trung điểm cạnh SM . Suy ra SAM  vuông cân tại A 3 2 a SA . Vậy 2 1 3 3 . . 3 2 4 SABC a a V 3 8 a . Câu 9: (TH P T K im Li ê n - Hà N ội n ăm 201 7 - 20 18) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a và AB BC    . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 7 8 a V . B. 3 6 V a . C. 3 6 8 a V . D. 3 6 4 a V . Lời giải Chọn C Gọi E là điểm đối xứng của C qua điểm B . Khi đó tam giác ACE vuông tại A . 2 2 4 3 AE a a a . Mặt khác, ta có BC B E AB    nên tam giác AB E  vuông cân tại B . 2 AE AB  3 2 a 6 2 a . Suy ra: 2 2 6 2 2 2 a a AA a        . Vậy 2 2 3 . 2 4 a a V 3 6 8 a . Câu 10: ( TH P T K im Liên - Hà N ội n ăm 2017 - 2 018 ) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông và AB BC a , 2 AA a  , M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách d của hai đường thẳng AM và B C  . A. 2 2 a d . B. 6 6 a d . C. 7 7 a d . D. 3 3 a d . Lời giải Chọn C C B A C' B' A' M A B B' C N M Tam giác ABC vuông và AB BC a nên ABC  chỉ có thể vuông tại B . Ta có ' AB BC AB BCB AB BB      . Kẻ // // MN B C B C AMN   , , , , d d B C MN d B C AMN d C AMN d B AMN   . Tứ diện BAMN là tứ diện vuông 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 7 7 . 7 2 2 2 a d d BA BM BN a a a a         Câu 11: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , 2 AD a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của BC , 2 2 a SH . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S BHD . A. 2 2 a . B. 5 2 a . C. 17 4 a . D. 11 4 a . Lời giải Chọn C Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S BHD và tam giác BHD . Ta có 2 2 a HB , 2 2 2 2 2 6 2 2       a a HD HC DC a và 2 2 3 BD a a a . Áp dụng định lí Cô sin, ta có 2 2 2 3 3 1 2 2 cos 2 6 3 2 . 2 2 a a a BHD a a 2 sin 3 BHD . Diện tích tam giác BHD là 2 1 2 6 2 2 . . . 2 2 2 4 3  BHD a a a S . Do đó 2 2 6 . . 3 . . 3 2 2 2 4 2 2 a a a HB HD BD a r S a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD và M là trung điểm SH . Mặt phẳng trung trực của SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD tại E . Khi đó E là tâm mặt cầu cần tìm. Ta có 2 2 2 2 4 SH R r MH r 2 2 2 2 9 17 4 2 8 4 SH a a a r . Câu 12: (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, 2 2 a OA , OB OC a . Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng ABC . Tính thể tích khối tứ diện OABH . A. 3 2 6 a . B. 3 2 12 a . C. 3 2 24 a . D. 3 2 48 a . Lời giải Chọn D I H C B A O Từ giả thiết suy ra: ABC  cân tại A có: 3 2 2 a AB AC BC a  . Gọi I là trung điểm của BC AI BC  . Giả sử H là trực tâm của tam giác ABC . Ta thấy OA OBC  Vì OB OAC OB AC   và AC BH  nên: AC OBH OH AC   1 . BC OAI OH BC   2 Từ 1 và 2 suy ra: OH ABC  . Có: 1 2 2 2 a OI BC OA . AOI  vuông cân tại O H là trung điểm AI và 1 2 2 a OH AI . Khi đó: 2 1 1 1 1 2 2 . . . . . 2 2 2 4 2 8 ABH ABI a a S S AI BI a . Câu 13: Vậy thể tích khối tứ diện OABH là: 2 3 1 1 2 2 . . . 3 3 2 8 48 ABH a a a V OH S . (TH PT Chuyên Lư ơ n g Vă n T ụy - Nin h B ìn h l ần 1 nă m 20 17 - 20 18) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng a . Gọi O và O  lần lượt là tâm các hình vuông ABCD và A B C D     . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh B C   và CD . Tính thể tích khối tứ diện OO MN  . A. 3 8 a . B. 3 a . C. 3 12 a . D. 3 24 a . Lời giải Chọn D Q P N M O O ' A ' B ' C ' C D A B O ' O M N P Q D ' Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của BC và C D   . Ta có 2 1 1 4 8 8 OPN BCD ABCD a S S S   3 . 8 OPN O MQ a V  . Mà 3 3 3 3 . . . 1 1 . . 8 3 8 3 8 24 OO MN OPN O MQ M OPN N O MQ a a a a V V V V    . Câu 14: (TH P T Ch uy ên Tr ần Phú - H ải P hò n g l ần 1 nă m 201 7 - 20 1 8) Xét khối lăng trụ tam giác . ABC A B C   . Mặt phẳng đi qua C  và các trung điểm của AA  , BB  chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số thể tích bằng: A. 2 3 . B. 1 2 . C. 1. D. 1 3 . Lời giải Chọn B F E B' A' C A C' B Gọi E , F lần lượt là các trung điểm của AA  và BB  khi đó ta có: . C A B FE V    . 1 2 C A B BA V    . 1 2 . 2 3 ABC A B C V    . 1 3 ABC A B C V    . Suy ra . CC ABFE V  . 2 3 ABC A B C V    . Vậy mặt phẳng C EF  chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số thể tích bằng 1 2 . Câu 15: (TH PT Đo àn Th ư ợn g - H ải D ư ơ n g - l ầ n 2 năm 201 7 - 2018 ) Cho tứ diện OABC biết OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, biết 3, OA 4 OB và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng: A. 3. B. 41 12 . C. 144 41 . D. 12 41 . Lời giải Chọn D I C B O A H Ta có: 1 . 3 OABC OAB V OC S 1 1 . . 3 2 OC OAOB 1 . . 6 6 OC OAOB 36 3 . OC OAOB . Vẽ OI BC  , OH AI  suy ra: ; OH ABC OH d O ABC  . Lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 41 12 41 4 3 3 144 41 OH OH OI OA OB OC OA . Câu 16: (THPT Hà Hu y T ập - Hà T ĩnh - l ần 1 nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD . Mặt phẳng P chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng SCD , cắt đường thẳng SD tại E . Gọi V và 1 V lần lượt là thể tích các khối chóp . S ABCD và . D ACE . Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp . S ABCD biết 1 5 V V . A. 60  . B. 120  . C. 45  . D. 90  . Lời giải Chọn A F E M O C A D B S K Gọi M là trung điểm CD . Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là góc SMO . Dựng OK SM  dễ thấy OK SCD  . Vậy OK P  . Kéo dài   CK SD E  . Đây là giao điểm cần tìm. Ta có . . 5 S ABCD E ACD V V , . 5 , . ABCD ACD d S ABCD S d E ABCD S , .2 5 , . ACD ACD d S ABCD S d E ABCD S , 5 2 , d S ABCD d E ABCD . Dựng // EF SO F OD vậy 2 5 DE DF EF DS DO SO . Giả sử AB a , 2 2 a OD , SD b . Xét tam giác vuông SOD . Dễ thấy OE SD  ta có 2 . OD DE DS 2 2 2 5 OD DE DS DS . 5 2 OD DS 5 2 a DS . 2 2 SM SD MD a Xét tam giác vuông SOM vuông tại O có 1 cos 2 OM SMO SM o 60 SMO . Câu 17: (TH P T Tr i ệu Th ị T rinh - l ần 1 nă m 2 017 - 201 8 ) Cho hình chóp . S ABC , có 5 cm AB , 6 cm BC , 7 cm AC . Các mặt bên tạo với đáy 1 góc 60 . Thể tích của khối chóp bằng: A. 3 105 3 cm 2 . B. 3 35 3 cm 2 . C. 3 24 3 cm . D. 3 8 3 cm . Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC và I , J , K là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh BC , CA , AB Ta có SH ABC  ; HI BC  , HJ CA  , HK AB  , SBC ABC SIH ; , SCA ABC SJH , , SAB ABC SKH . Mà các mặt bên tạo với đáy 1 góc 60  nên 60 SIH SJH SKH  . SHI SHJ SHK    (cạnh huyền – góc nhọn) HI HJ HK H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác ABC S p p BC p CA p AB , với 9 2 AB BC CA p 2 6 6 cm ABC S . Mà 2 6 3 ABC S pr r 2 6 3 HI HJ HK . Tam giác SHI vuông tại H có .tan 60 2 2 cm SH HI  . Khi đó . 1 . 8 3 3 S ABC ABC V S SH . Câu 18: (TH P T Tr i ệu T h ị Tr inh - l ầ n 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho khối lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC  bằng 2 a . Thể tích của khối lăng trụ bằng: A. 3 3 2 12 a . B. 3 2 16 a . C. 3 3 2 16 a . D. 3 3 2 48 a . Lời giải Chọn C S A B C I J K H 60  60a I B C A' C' B' A H Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu vuông góc của A trên A I  . Khi đó ta có: , 2 a d A A BC AH  . Trong tam giác vuông AA I  ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AA AI  2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 8 3 3 3 2 2 AA AH AI a a a a a          Suy ra: 6 4 a AA  . Thể tích khối lăng trụ là: 2 3 3 6 3 2 . 4 4 16 ABC a a a V S AA    . Câu 19: (T H PT Tr i ệu Th ị T r in h - l ần 1 nă m 201 7 - 201 8 ) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB  bằng A. 21 7 a . B. 3 2 a . C. 7 4 a . D. 2 2 a . Lời giải Chọn A I A C B C' B' A' H Ta có // BC B C   // BC AB C   suy ra , d BC AB  , d BC AB C   , d B AB C   , d A AB C    . Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A  trên B C   và AI . Ta có B C A I     và B C A A     nên B C A AI     B C A H     mà AI A H   . Do đó AB C A H     Khi đó , d A AB C    A H  2 2 . A A A I A A A I     2 2 3 . 2 3 2 a a a a     21 7 a . Vậy khoảng cách cần tìm là 21 7 a . ( T H P T T h ạ c h T h à n h 2 - T h a n h H ó a - l ầ n 1 n ă m 2 0 1 7 - 2 0 1 8 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB , N thuộc cạnh SD sao cho 2 SN ND . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN . A. 3 1 8 V a . B. 3 1 6 V a . C. 3 1 36 V a . D. 3 1 12 V a . Lời giải Chọn D Cách 1: Phân rã hình: Thể tích khối chóp . S ABCD là: 3 3 1 3 3 a V a  . Thể tích tứ diện SMNC là: . 2 1 2 1 1 1 3 2 3 2 2 6 SMNC S BDC V V V V    . Thể tích tứ diện NACD là: 1 1 1 3 2 6 NADC V V V  . S A N M D N A C C M A B S C N M S C B A N M DThể tích tứ diện MABC là: 1 1 1 2 2 4 MABC V V V  . Thể tích tứ diện SAMN là: . 2 1 2 1 1 1 3 2 3 2 2 6 SAMN S BDC V V V V    . Mặt khác ta có: . SMNC NACD MABC SAMN AMNC S ABCD V V V V V V Suy ra 3 1 1 1 1 1 6 6 4 6 4 12 AMNC SMNC NACD MABC SAMN a V V V V V V V V V V V V     . Cách 2: Dùng hệ tọa độ Oxyz : Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau: Gốc O A  , trục Ox nhận AD     làm véc tơ đơn vị. Trục Oy nhận AB     làm véc tơ đơn vị, trục Oz nhận AS     làm véc tơ đơn vị. Khi đó 0;0;0 A ; 1 1 0; ; 2 2 M     ; 1;1;0 C ; 2 1 ;0; 3 3 N     . 2 1 1 ; ; 3 2 6 MN          ; 1 1 1; ; 2 2 MC          . 1 1 5 , ; ; 3 6 6 MN MC                  , 1 1 0; ; 2 2 MA         . 1 , . 6 ACMN V MN MC MA                  1 12 . Vậy 3 1 12 V a . Câu 20: (TH P T Th ạc h Thành 2 - T han h H ó a - l ần 1 n ăm 2 017 - 201 8 ) Một khối lập phương có độ dài cạnh là 2 cm được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1 cm . Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của các khối lập phương cạnh 1 cm ? A. 2898 . B. 2915 . C. 2876 . D. 2012 . Lời giải Chọn C D S C B N M x z y A a a Từ khối lập phương ban đầu ta nhận được 8 khối lập phương cạnh 1 cm như hình vẽ nên tổng số đỉnh của các khối này là 9.3 27 . Để có một tam giác ta cần chọn 3 trong 27 đỉnh và các đỉnh đó không thẳng. Gọi các mặt của khối lập phương ban đầu theo vị trí tương đối ta có các mặt: trên-giữa-dưới; trước-giữa-sau và trái-giữa-phải. Trên tổng số các mặt này ta có số các bộ ba điểm thẳng hàng là: 8.3 5.3 2.3 4 49 (tam giác). Vậy có 3 27 49 2876 C (tam giác). Câu 21: (TH P T T h ạc h Thàn h 2 - T ha n h Hó a - l ần 1 n ăm 201 7 - 20 18) Cho khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 . Biết A M MA  , 3 DN ND  , 2 CP C P  như hình vẽ. Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng A. 5275 6 . B. 8440 9 . C. 7385 18 D. 5275 12 . Lời giải Chọn A Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng MNP với BB  . A B C D A  B  C  D  M N P A B C D A  B  C  D  M N P QGiả sử A M x AA   , C P y CC   , D N z DD   , B Q t BB   . Khi đó x y z t . . . 3 A B D MQN A B D ABD V x z t V       . . 6 A B D MQN A B C D ABCD V x z t V        . . 3 C B D PQN C B D CBD V y z t V       . . 6 C B D PQN A B C D ABCD V y z t V        . . 1 2 MNPQ A D C B ABCD A D C B V x y V         . . 1 2 MNPQ A D C B ABCD A D C B V A M C P V AA CC                 1 1 1 2 2 3     5 12 . D. 5 5275 . 12 6 MNPQ A D C B ABC A D C B V V         . Câu 22: (TH PT Th ăn g L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , C D   và DD . Tính thể tích khối tứ diện MNPQ . A. 3 8 . B. 1 8 . C. 1 12 . D. 1 24 . Lời giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: D O Ox D A Oy D C Oz D D            Khi đó: 1;0;1 A , 1;1;1 B , 0;1;1 C , 0;0;1 D , 1;0;0 A  , B 1;1;0  , 0;1;0 C  1 1; ;1 2 M     , 1 ;1;1 2 N     , 1 0; ;0 2 P     , 1 Q 0;0; 2     . Ta có: 1 1 ; ;0 2 2 MN          , 1 1 1; ; 2 2 MP         , 1 1 1; ; 2 2 MQ          D  A  B  C  A D B C x y z P M N Q1 1 1 1 , . 4 8 8 4 MN MP MQ                  1 1 . , . 6 24 MNPQ V MN MP MQ                  . Câu 23: (TH PT Th ă ng L on g - Hà N ội - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho tứ diện ABCD có thể tích V , gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD và BCD . Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng A. 4 9 V . B. 27 V . C. 9 V . D. 4 27 V . Lời giải Chọn C Gọi E , F , I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , CD , BD . Ta có 8 8 2 9 9 9 AMNP AMNP AEFI AEFI V V V V V . 1 1 1 1 1 , . , . , . 3 3 2 6 2 9 MNPQ MNP MNP MNP AMNP V V d Q MNP S d A MNP S d Q MNP S V . Câu 24: (S G D B ắ c N i nh nă m 20 17 - 201 8) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 6 a . B. 3 3 24 a . C. 3 3 12 a . D. 3 3 36 a . Lời giải Chọn C N H B' C' M A C B A' G Gọi G là trọng tâm của ABC  , M là trung điểm của BC . A G ABC   . Trong AA M  dựng MN AA   , ta có: BC AM BC A G     BC AA G   BC MN  . , d AA BC MN  3 4 a . Gọi H là hình chiếu của G lên AA  . Ta có: / / GH MN GH AG MN AM 2 3 2 3 GH MN 3 6 a . Xét tam giác AA G  vuông tại G , ta có: 2 2 2 1 1 1 GH GA GA  2 2 2 1 1 1 GA GH GA  2 2 1 1 3 3 6 3 a a         2 27 3a . 3 a GA  . Vậy thể tích của khối lăng trụ là: . ABC V S A G  2 3 . 4 3 a a 3 3 12 a . Câu 25: (S GD N i nh B ình nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABCD . Gọi A , B , C  , D  theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S A B C D     và . S ABCD . A. 1 16 . B. 1 4 . C. 1 8 . D. 1 2 . Lời giải Chọn C D' C' B' A ' D C B A S Ta có . . 1 . . 8 S A B D S ABD V SA SB SD V SA SB SD       . . 1 16 S A B D S ABCD V V    . Và . . 1 . . 8 S B D C S BDC V SB SD SC V SB SD SC       . . 1 16 S B D C S ABCD V V    . Suy ra . . . . 1 1 1 16 1 6 8 S A B D S B D C S ABCD S ABCD V V V V       . . 1 8 S A B C D S ABCD V V     . Câu 26: (T HP T C hu yê n ĐH K H TN - Hà N ội năm 201 7 - 2018) Cho hình hộp . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình thoi cạnh 3 a , 3 BD a , hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng A B C D     trùng với trung điểm của A C   . Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và CDD C   , 21 cos 7 . Thể tích khối hộp . ABCD A B C D     bằng A. 3 3 4 a . B. 3 9 3 4 a . C. 3 9 4 a . D. 3 3 3 4 a . Lời giải Chọn C Do // DCC D ABB A     và // ABCD A B C D     nên góc giữa hai mặt phẳng ABCD và CDD C   cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng nên góc giữa hai mặt phẳng A B C D     và ABB A   và bằng góc OHB với H là hình chiếu của O lên A B   . Trong A B D     có 2 2 2 2 2 2 9 3 3 4 4 a a OA A D OD a     3 2 a OA  3 A C a   . Ta có . . OH A B OA OB     3 3 . 3 2 2 4 3 a a a OH a . 21 cos 7 OH BH 7 3 21 . 4 4 21 a a BH . 2 2 2 2 21 9 3 16 16 2 a a a BO BH OH . 2 1 1 3 3 . 3.3 2 2 2 ABCD a S AC BD a a . Vậy 2 3 3 3 3 9 . 2 2 4 a a a V . Câu 27: (T HP T C h uy ên Lê Qu ý Đ ô n - Đà N ẵn g n ăm 201 7 - 201 8) Xét các hình chóp . S ABC có SA SB SC AB BC a . Giá trị lớn nhất của khối chóp . S ABC bằng A. 3 3 3 4 a . B. 3 4 a . C. 3 4 a . D. 3 8 a . Lời giải Chọn D Gọi D là trung điểm của cạnh AB . Khi đó AB CD  và AB SD  AB SCD  . Gọi H là trung điểm của cạnh SC suy ra DH SC  . Đặt AD x . Ta có 2 2 2 SD a x ; 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 a a DH SD SH a x x . Thể tích khối chóp . S ABC là: . . . 2 2 S ABC S ADC A SDC V V V 1 2. . 3 SDC S AD  1 . . 3 SC DH AD . Do đó 2 2 . 2 3 . 3 4 S ABC a V a x x 2 2 2 3 1 4 . 3 2 a x x a  3 8 a (BĐT Côsi). Dấu “ ” xảy ra khi ABCD 3 8 x a . Vậy giá trị lớn nhất của khối chóp . S ABC là 3 8 a . Câu 28: (TH PT Ch u y ên L ê Qu ý Đô n - Đ à N ẵn g nă m 201 7 - 2018) Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M  , N  , P , Q  lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N , P , Q lên mặt phẳng ABCD . Tính tỉ số SM SA để thể tích khối đa diện . MNPQ M N P Q     đạt giá trị lớn nhất. A. 2 3 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 3 4 . Lời giải Chọn A Đặt SM k SA với   0;1 k . Xét tam giác SAB có // MN AB nên MN SM k AB SA . MN k AB Xét tam giác SAD có // MQ AD nên MQ SM k AD SA . MQ k AD Kẻ đường cao SH của hình chóp. Xét tam giác SAH có: C S B A D H S A C B D H M N P Q M  Q  N  P // MM SH  nên MM AM SH SA  1 1 SA SM SM k SA SA 1 . MM k SH  . Ta có . . . MNPQ M N P Q V MN MQ MM      2 . . . . 1 AB AD SH k k . Mà . 1 . . 3 S ABCD V SH AB AD 2 . . 3. . . 1 MNPQ M N P Q S ABCD V V k k     . Thể tích khối chóp không đổi nên . MNPQ M N P Q V     đạt giá trị lớn nhất khi 2 . 1 k k lớn nhất. Ta có 3 2 2 1 . . 1 2 2 4 . 1 2 2 3 27 k k k k k k k k      . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2 1 k k 2 3 k . Vậy 2 3 SM SA . Câu 29: (T HP T C h uy ê n Ph a n B ội Ch â u - Ng h ệ An - l ần 1 n ăm 2017 - 201 8) Cho lăng trụ . ABC A B C    có thể tích V . Điểm M là trung điểm cạnh AA  . Tính theo V thể tích khối chóp . M BCC B   . A. 2 3 V . B. 3 4 V . C. 3 V . D. 2 V . Lời giải Chọn A M B' C ' A B C A' Gọi: . ABC A B C V V    . ABC AA S   . . M ABC V . M A B C V    1 . . 3 ABC MA S  1 1 . . . 3 2 ABC AA S   1 6 V . Ta có: . . . M BCC B M ABC M A B C V V V V      1 1 2 6 6 3 V V V V . Câu 30: (TH P T Ch u yê n Qu ốc H ọc - H u ế nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2 . Xét đa diện lồi H có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đó. Tính thể tích của H . A. 9 2 . B. 4 . C. 2 3 . D. 5 12 . Lời giải Chọn D Gọi hình chóp tứ giác đều là . S ABCD , có thể tích . 1 2 .1.2 3 3 S ABCD V . Gọi M ; N ; P ; Q ; E ; F ; G ; H là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp (hình vẽ). khi đó . . . . . . MNPQEFGH S ABCD S EFGH F MBQ G QCP H PDN E MAN V V V V V V V , với . 1 1 1 . .1 3 4 12 S EFGH V . Các khối chóp còn lại cùng chiêu cao và diện tích đáy bằng nhau nên thể tích của chúng bằng . 1 1 1 1 1 . . . .1 3 2 2 2 24 E MAN V . Vậy thể tích cần tính 2 1 4 5 3 12 24 12 MNPQEFGH V . Câu 31: (TH PT Ch u yê n T há i B ì n h - l ầ n 3 n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp đều . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng AEF vuông góc với mặt phẳng SBC . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 5 24 a . B. 3 5 8 a . C. 3 3 24 a . D. 3 6 12 a . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M , N lần lượt là trung điểm cạnh BC và EF ; H là trọng tâm tam giác ABC . Ta có 1 AEF SBC AEF SBC EF    S A B C F E H M N S A D C B M N P Q E F G HTrong mặt phẳng SBC , ta có // EF BC SM BC   nên 2 EF SM  . Từ (1) và (2) suy ra SM vuông góc với mặt phẳng AEF tại N Mặt khác Tam giác SHM vuông tại H có cos 3 HM M SM . Tam giác AMN vuông tại N có cos 4 MN M AM Từ (3) và (4) ta có HM MN SM AM . . SM MN HM AM (vì N là trung điểm SM ) 2 2 1 1 2 3 SM AM 2 2 2 3 a SM AM Tam giác SHM vuông tại H có 1 3 . 3 6 a HM AM và 2 2 SH SM HM 5 2 3 a . Khi đó . 1 . . 3 S ABC ABC V S SH 3 5 24 a . Câu 32: (T HPT C h uy ê n Thái B ìn h - l ần 3 n ăm 201 7 - 201 8) Cho khối lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A , AC a , 60 ACB . Đường thẳng BC  tạo với mặt phẳng A C CA   góc 30  . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. A. 3 2 3a . B. 3 6 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 3 a Hướng dẫn giải Chọn B 30 60 a A' B' C B A C ' Ta có 3 AB a , dễ thấy góc giữa đường thẳng BC  tạo với mặt phẳng A C CA   là góc 30 BC A   . Suy ra 3 tan 30 a AC   3 AC a  2 2 C C a  . Vậy . 1 2 2 . . 3 2 ABC A B C V a a a    3 6 a . ----------HẾT---------- Câu 33: (TH P T Ch uy ên V ĩnh P h ú c - l ầ n 3 nă m 201 7 - 20 18) Hình lập phương ABCDA B C D     cạnh a . Tính thể tích khối tứ diện ACB D   . A. 3 . 3 a B. 3 . 2 a C. 3 . 6 a D. 3 . 4 a Lời giải Chọn A D C B A D' C' B' A' Ta có . . . . . ACB D ABCD A B C D B ABC C B C D D ACD A A B D V V V V V V               . Mà 3 . ABCD A B C D V a     và 2 3 . . . . 1 1 1 1 . . . . 3 3 2 6 B ABC C B C D D ACD A A B D A B D V V V V A A S a a a             . Do đó 3 3 3 4 6 3 ACB D a V a a   . Câu 34: (TH P T C hu yê n V ĩnh P h ú c - l ần 3 n ă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, 2 SA a . Gọi  B ,  D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng   AB D cắt SC tại  C . Thể tích khối chóp    SAB C D là: A. 3 2 3 9 a V . B. 3 2 2 3 a V . C. 3 2 9 a V . D. 3 2 3 3 a V . Lời giải Chọn C C' D' O D A B C S B' Ta có: 2 . 1 . . 2 3 S ABCD V a a 3 2 3 a . Vì  B ,  D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD nên ta có    SC AB D . Gọi  C là hình chiếu của A lên SC suy ra   SC AC mà     AC AB D A nên     AC AB D hay     C SC AB D . Tam giác SAC vuông cân tại A nên  C là trung điểm của SC . Trong tam giác vuông  SAB ta có 2 2  SB SA SB SB 2 2 2 3 a a 2 3 . . .        SAB C D SAB C SAC D S ABCD S ABCD V V V V V 1 2         SB SC SD SC SB SC SD SC   SB SC SB SC 2 1 . 3 2 1 3 . Vậy 3 2 9    SAB C D a V . Câu 35: (THPT Chuyê n V ĩn h Phú c - l ầ n 3 MĐ 234 nă m h ọc 2017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC . Tính thể tích khối chóp . S ADMN . A. 3 6 16 a V B. 3 6 24 a V  C. 3 3 6 16 a V  D. 3 6 8 a V  Hướng dẫn giải Chọn A O N M A D B C S Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Khi đó ta có SOA là góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD nên 60 SOA . Khi đó tan 60 SA AO  2 .tan 60 . 3 2 SA AO a  6 2 a . Ta có . . 1 . . 4 S AMN S ABC V SA SM SN V SA SB SC và . . 1 . . 2 S AND S ACD V SA SN SD V SA SC SD . Do đó . . 1 1 1 . 2 4 2 S ADMN S ABCD V V     . 3 . 8 S ABCD V 3 2 3 1 6 6 . . . 8 3 2 16 a a a . Câu 36: (TH P T Ho ài Ân - H ải Phò n g nă m 201 7 - 201 8) Cho hình hộp . ABCD A B C D     . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện A C BD   và khối hộp . ABCD A B C D     . A. 1 3 . B. 1 6 . C. 1 2 . D. 1 4 . Lời giải Chọn. C. D A B C A ' D' B ' C ' Gọi . ABCD A B C D V V     , ta có ' ' ' A C BD C DCB C A B B C A D D V V V V V       1 1 1 6 6 6 V V V V 1 2 V . . 1 2 A C BD ABCD A B C D V V       . Câu 37: (TH P T H ồn g Q ua n g - H ải Dương nă m 201 7 - 2018) Cho hàm số y f x có đồ thị y f x  cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a b c như hình vẽ. mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. f c f a f b . B. f c f b f a . C. f a f b f c . D. f b f a f c . Lời giải Chọn A Từ đồ thị của hàm số y f x  , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau: Từ đó suy ra f a f b , f c f b . (1) Mặt khác, từ đồ thị hàm số y f x  ta cũng có: d d c b b a f x x f x x f c f b f b f a f c f a     . (2) Từ (1) và (2) suy ra f c f a f b . Câu 38: (TH PT H ồn g Qu ang - H ải Dươ ng nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho 2 MA SM , 2 SN NB , là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Mặt phẳng chia khối chóp . S ABC thành hai khối đa diện 1 H và 2 H với 1 H là khối đa diện chứa điểm S , 2 H là khối đa diện chứa điểm A . Gọi 1 V và 2 V lần lượt là thể tích của 1 H và 2 H . Tính tỉ số 1 2 V V . A. 4 5 . B. 5 4 . C. 3 4 . D. 4 3 . Lời giải Chọn A x  a b c  f x  0 0 0 f x f a f c f b P N Q M A B C S Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của với các đường thẳng BC , AC . Ta có // // NP MQ SC . Khi chia khối 1 H bởi mặt phẳng QNC , ta được hai khối chóp . N SMQC và . N QPC . Ta có . . , , N SMQC SMQC B ASC SAC d N SAC V S V S d B SAC  . , 2 3 , d N SAC NS BS d B SAC ; 2 4 . 9 AMQ ASC S AM AQ AM S AS AC AS     5 9 SMQC ASC S S . Do đó . . 2 5 10 3 9 27 N SMQC B ASC V V  . . . , , N QPC QPC S ABC ABC d N QPC V S V S d S ABC  1 1 2 2 3 3 3 27 NB CQ CP SB CA CB             . Do đó . . 1 . . N SMQC N QPC B ASC S ABC V V V V V V 10 2 4 27 27 9 1 1 2 4 9 V V V 1 2 5 4 V V 1 2 4 5 V V . Câu 39: (TH PT H ồn g Qu ang - H ải Dươ ng nă m 201 7 - 201 8) Cho tứ diện ABCD có 4 AB CD ; 5 AC BD ; 6 AD BC . Tính thể tích khối tứ diện ABCD . A. 15 6 4 . B. 15 6 2 . C. 45 6 4 . D. 45 6 2 . Lời giải Chọn A a c b b a c D C B P N M A Xét bài toán tổng quát như hình vẽ. Trong mặt phẳng BCD dựng tam giác MNP sao cho B , C , D theo thứ tự là trung điểm của các cạnh PM , MN và NP . Khi đó 2 MN b , 2 NP c , 2 MP a . Đặt AP z , AM x , AN y , áp dụng công thức đường trung tuyến ta có hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 4 4 2 4 a x z a b x y b c y z c  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x a b c y c b a z a c b  . Xét tam giác AMN có 2 2 2 AM AN MN suy ra tam giác vuông tại đỉnh A . Tương tự các tam giác khác ta được tứ diện AMNP là tứ diện vuông tại A . Suy ra 1 1 1 . . . . 4 4 6 ABCD AMPN V V AM AN AP 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 12 a b c c b a a c b . Áp dụng vào ta được 15 6 4 ABCD V . Câu 40: (THPT Lê H oà n - Than h Hó a - l ần 1 nă m 201 7 - 20 18) Cho khối lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC  bằng 2 a . Tính thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 3 3 2 48 a . B. 3 2 16 a . C. 3 3 2 12 a . D. 3 3 2 16 a . Lời giải Chọn D M A B C A ' B' C' H Gọi M là trung điểm BC , H là hình chiếu của A trên A M  . Nhận xét , d A A BC AH  . Tam giác AA M  vuông tại A nên có: 2 2 2 1 1 1 A A AM AH  2 2 2 1 4 4 3 A A a a  2 2 1 8 3 3 2 2 a AA A A a   . Thể tích của lăng trụ . ABC A B C    là 2 3 3 3 3 2 . 4 16 2 2 a a a V . Câu 41: (TH PT Lê Ho à n - Th an h Hó a - l ầ n 1 n ă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SD . Mặt phẳng chứa MN cắt các cạnh SB , SC lần lượt tại Q , P . Đặt SQ x SB , 1 V là thể tích của khối chóp . S MNQP , V là thể tích của khối chóp . S ABCD . Tìm x để 1 1 2 V V . A. 1 33 4 x . B. 2 x . C. 1 2 x . D. 1 41 4 x . Lời giải Chọn A N M O C A D B S P Q Do // MN BC SBC PQ   // PQ BC . . . 1 S MNQ S NPQ V V V V V V . . . . 1 2 2 2 S MNQ S NPQ S ABD S BCS V V V V . . . . 1 SM SN SQ SP SN SQ SA SD SB SC SD SB 2 1 4 2 x x 2 2 4 0 x x 1 33 4 x (vì 0 x ). Câu 42: (THP T Nin h Gi ang - H ải D ươn g n ă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2 a . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp . S ABCD bằng 3 4 3 a . Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng SCD . A. 3 4 h a . B. 2 3 h a . C. 4 3 h a . D. 8 3 h a . Lời giải Chọn C Ta có chiều cao của khối chóp . S ABCD là SI với I là trung điểm của AD . Suy ra thể tích của khối chóp . S ABCD bằng 3 4 3 a 2 3 1 4 2 . 2 3 3 a SI a SI a . Xét tam giác SCD vuông tại D có: 2 2 3 2 2 a SD SI ID nên 2 1 1 3 2 3 . . . 2 2 2 2 2 SCD a a S SD CD a  . Thấy ngay . . . 2 2 S ABCD S BCD B SCD V V V 3 4 1 4 2. . 3 3 3 SCD a S h h a  . Câu 43: (TH P T Ni nh G ian g - H ải D ương n ă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3 a . Thể tích khối chóp đều . S ABCD bằng ? A. 3 3 3 a . B. 3 4 3 a . C. 3 3 a . D. 3 4 3 3 a . Lời giải Chọn D S A B C D IO S A B C D Gọi O AC BD  , hình chóp đều . S ABCD SO ABCD  và tứ giác ABCD là hình vuông. Ta có // CD AB // CD SAB ; d CD SA ; d C SAB 2 ; d O SAB . Bài ra ; 3 d CD SA a 3 ; 2 a d O SAB . Tứ diện vuông . O SAB 2 2 2 2 1 1 1 1 h OS OA OB với 3 ; 2 a h d O SAB . Cạnh 2 2 AB OA OB a 2 2 2 2 4 1 1 1 3 2 2 a SO a a 3 SO a . Do đó . 1 . 3 S ABCD ABCD V SO S 3 2 1 4 3 3.4 3 3 a a a . Câu 44: ( T HP T Ni n h Gi ang - H ải D ươ ng nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp . S ABCD biết rằng mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 .  A. 3 3 2 a . B. 3 2 3a . C. 3 2 3 3 a . D. 3 4 3 3 a . Lời giải Chọn C Gọi H , M lần lượt là trung điểm A D, BC . Khi đó S H là đường cao của hình chóp . S ABCD . Ta có H M B C  , S M BC  nên góc giữa mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy là 3 0 S M H  . Trong tam giác S HD có 2 2 3 S H S D D H a . Trong tam giác SHM có t a n SH SMH MH tan S H MH a AB S MH . Vậy thể tích khối chóp . S ABCD là 1 . 3 ABCD V SH S 1 . .2 . 3 3 a a a 3 2 3 3 a . Câu 45: (T H PT Ni nh Gi ang - H ải D ương n ăm 2017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30  . Thể tích của khối chóp . S ABCD bằng: A. 3 3 3 a . B. 3 2 4 a . C. 3 2 2 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn D O C B D s A Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên 2 ABCD S a Vì hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy BC SAB  . Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30  30 CSB  . Tam giác SBC vuông tại B có 30 CSB , 60 SCB , BC a . sin sin SB BC SCB CSB 3 SB a . Từ giả thiết SA AB  . Tam giác SAB có 2 2 2 SA SB AB a . 3 1 2 . 3 3 SABCD ABCD a V SA S . Câu 46: (TH P T Ni nh Gi ang - H ải Dươ ng n ăm 2017- 201 8) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , mặt bên là BCC B   hình vuông, khoảng cách giữa AB  và CC  bằng a . Thể tích của khối lăng trụ . ABC A B C    là: A. 3 2 3 a . B. 3 2 6 a . C. 3 2 2 a . D. 3 a . Lời giải Chọn C A ' C ' B A C B ' Ta có: AC AB  (giả thiết), AC AA   ( vì . ABC A B C    là lăng trụ đứng) AC AA B B    . Ta có: / / CC BB   / / CC AA B B    , , , d CC AB d CC AA B B d C AA B B AC a        . Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên 2 2 BC AC a . Mặt khác BCC B   hình vuông nên 2 BB BC a  . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    là: 2 3 2 . 2 2 2 ABC a a V S BB a  . . Câu 47: (TH P T Phan Đăn g L ưu - Hu ế - l ầ n 1 nă m 201 7 - 201 8 ) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x , các cạnh còn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. A. 6 x . B. 14 x . C. 3 2 x . D. 2 3 x . Lời giải Chọn C Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD và AB ; H là hình chiếu vuông góc của A lên BM . Ta có: CD BM CD ABM ABM ABC CD AM        . Mà AH BM  ; BM ABM ABC  AH ABC  . Do ACD và BCD là hai tam giác đều cạnh 3 2 3 2 3 3 2 AM BM  . Tam giác AMN vuông tại N , có: 2 2 2 9 4 x MN AM AN . Lại có: 2 3 2 3 3 3 4 BCD S . 2 2 1 1 36 3 3 3 36 3 3 6 6 ABCD BCD x x V AH S x x    . Ta có: 2 2 2 3 3 36 36 3 3 6 6 2 ABCD x x V x x   . Suy ra ABCD V lớn nhất bằng 3 3 khi 2 2 36 3 2 x x x . Câu 48: (TH P T Q u ãn g Xươn g 1 - Th an h Hó a nă m 201 7 - 201 8) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với CA CB a . Trên đường chéo CA  lấy hai điểm M , N . Trên đường chéo AB  lấy được hai điểm P , Q sao cho MNPQ là tứ diện đều. Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 6 a . B. 3 a . C. 3 2 a . D. 3 2a . Lời giải Chọn C C' B ' A B C A ' N M P Q Do MNPQ là tứ diện đều suy ra AB A C    . Đặt A A x  . Ta có . 0 . 0 AB A C AC CB BB A C                               2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . 0 a x x a x x a x a x a x x a . Vậy 2 . 1 . 2 ABC A B C V a a    3 2 a . Câu 49: (TH P T Tr ần Qu ốc Tu ấn nă m 2017- 201 8) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết AB a , 2 BC a . Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 3 2 a V . B. 3 3 3 2 a V . C. 3 V a . D. 3 2 3 a V . Hướng dẫn giải Chọn A Vì SA ABC  nên . 1 . . 3 S ABC ABC V S SA , góc giữa SC và mặt phẳng đáy ABC bằng góc giữa SC và AC bằng góc 60 SCA  . Trong tam giác ABC vuông tại A có: 2 2 2 2 4 AC BC AB a a 3 AC a . Khi đó: 2 1 1 3 . . . 3 2 2 2 ABC a S AB AC a a Trong tam giác SAC vuông tại A có: .tan 3.tan 60 SA AC SCA a  3 SA a . Do vậy 2 3 . 1 3 3 . .3 3 2 2 S ABC a a V a . Câu 50: ( TH PT Tr ần Q u ốc Tu ấ n n ăm 20 1 7 - 20 18) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , 3 AC a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A  lên ABC trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho 2 CM MA . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A M  và BC bằng 2 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 2 a V . B. 3 V a . C. 2 3 3 a V . D. 3 2 3 3 a V . Hướng dẫn giải Chọn A I K N M H C' A' B' C B A K P T H M N C B A S A B C 60  a 2aKẻ // MN BC , N AB . HK MN  , HI A K   . ; ; ; 2 a d A M BC d BC A MN d H A MN HI HI    . Kẻ // AT HK , AT MN P  2 3 HK PT AT Tam giác ABC vuông tại A 2 2 2 2 1 1 1 4 2 3 3 3 a HK AT AT AB AC a . Tam giác A HK  vuông tại H 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 3 1 A H a A H HI HK a a a   . Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3 1 3 . . . . 3 2 2 ABC a V A H S a a a  . Câu 51: (TH P T T r ần Hưn g Đ ạo - T P HC M nă m 201 7 - 2018) Cho khối lăng trụ . ABC A B C   . Gọi M là trung điểm của BB  , N là điểm trên cạnh CC  sao cho 3 CN NC . Mặt phẳng ( ) AMN chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích 1 V và 2 V như hình vẽ. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 5 3 V V . B. 1 2 3 2 V V . C. 1 2 4 3 V V . D. 1 2 7 5 V V . Lời giải Chọn D Gọi M  là trung điểm của CC  , ta có: 1 2 BCM M BCC B dt dt    , 1 4 M MN BCM M dt dt   1 8 BCC B dt   5 8 BMNC BCC B dt dt   2 .   A BCB C V V 1 , . 3 1 , . 3       BCNM BCB C d A BCB C dt d A BCB C dt 5 8 . . .       A A B C ABC A B C V V 1 ; . 3 ; .             A B C A B C d A A B C dt d A A B C dt 1 3 . . 2 3 A BCC B ABC A B C V V      2 .    ABC A B C V V 5 2 . 8 3 5 12 . Do . 1 2 ABC A B C V V V    1 2 7 5 V V . Câu 52: (TH P T Tr ầ n H ưng Đ ạo - TP HC M nă m 201 7 - 20 18) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp . S AEMF . A. 3 6 36 a V . B. 3 6 9 a V . C. 3 6 6 a V . D. 3 6 18 a V . Lời giải Chọn D F E I M O C A D B S Trong mặt phẳng : SBD EF SO I  . Suy ra , , A M I thẳng hàng. Trong tam giác SAC hai trung tuyến , AM SO cắt nhau tại I suy ra 2 3 SI SO . Lại có 2 // 3 SE SF SI EF BD SB SD SO . Ta có: . 1 3 S AEM SABC V SE SM V SB SC  . . 1 3 S AFM SADC V SF SM V SD SC  . Vậy . . . . . . 1 1 3 3 S AEM S AFM S AEMF S ABC S ADC S ABCD V V V V V V . Góc giữa cạnh bên và đáy của . S ABCD bằng góc 60 SBO  suy ra 6 3 2 a SO BO . Thể tích hình chóp . S ABCD bằng 3 . 1 6 . 3 6 S ABCD ABCD a V SO S . Vậy 3 . 6 18 S AEMF a V . Câu 53: (TH P T T ứ K ỳ - H ải Dư ơ n g nă m 2017 - 201 8) Cho khối chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC , mặt phẳng P chứa AM và song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt 1 V là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và 2 V là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD . Tỉ số 2 1 V V là: A. 2 1 3 V V . B. 2 1 2 V V . C. 2 1 1 V V . D. 2 1 3 2 V V . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt . S ABCD V V . Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD . Gọi I là giao điểm của SO và AM . Do // P BD nên P cắt mặt phẳng SBD theo giao tuyến NP qua I và song song với BD ; ; N SB P SD . Xét tam giác SAC có I là giao điểm hai trung tuyến nên I là trọng tâm. Ta có . . . . S APN S ADB V SP SN V SD SB 2 2 4 . 3 3 9 . . 4 9 S APN S ADB V V 4 1 . 9 2 V 2 9 V . Tương tự . . . . . . S PMN S DCB V SP SM SN V SD SC SB = 2 1 2 2 . . 3 2 3 9 . . 2 9 S PMN S DCB V V 2 1 . 9 2 V 1 9 V . Từ đó 1 . . S APN S PMN V V V 1 3 V . Do đó 2 1 2 V V . Câu 54: (TH PT Xu ân T rư ờng - Na m Đ ịn h n ăm 201 7 - 201 8 ) Cho hình chóp tam giác . S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho 3 AB AD . Gọi H là hình chiếu của B trên CD , M là trung điểm đoạn thẳng CH . Tính theo a thể tích khối chóp . S ABM biết SA AM a và 2 3 BM a . A. 3 3 9 a . B. 3 3 12 a . C. 3 9 a . D. 3 18 a . Lời giải Chọn C A S B C H D M A B C D H M K N I Trong mặt phẳng đáy ABC : Kẻ // Ax BC và Ax CD K  , gọi N là trung điểm của BC . Khi đó do ABC  cân ở A nên AN BC  và tứ giác ANBK là hình chữ nhật. Suy ra CN BN AK ; KB BC  Gọi I là trung điểm của BH , do M là trung điểm đoạn thẳng CH nên // MI BC và 1 2 MI BC (đường trung bình của tam giác BHC  . Vậy // MI AK , MI BK  và MI AK hay tứ giác AMIK là hình bình hành và I là trực tâm của tam giác BMK . Suy ra IK BM  và // AM IK nên AM BM  . Vậy AMB  vuông tại M . Suy ra 1 . 2 ABM S AM BM  . Theo giả thiết ta có: . 1 1 . . . 3 6 S ABM ABM V SA S SA AM BM  ; với SA AM a và 2 3 BM a . Suy ra . 1 1 . . . 3 6 S ABM ABM V SA S SA AM BM  3 9 a . Câu 55: (TH P T Ch u yê n Ho àn g V ăn Th ụ - Hò a B ìn h n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 6 AB , 3 AD , tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng SAB , SAC tạo với nhau góc thỏa mãn 3 tan 4 và cạnh 3 SC . Thể tích khối . S ABCD bằng: A. 4 3 . B. 8 3 . C. 3 3 . D. 5 3 3 . Lời giải Chọn B . . . 2 2 S ABCD S ABC B SAC V V V . Kẻ BH vuông góc với AC tại H . Ta có: 3 AC , 2 BH , 1 HC . tan tan BH BKH KH 4 2 3 KH . 2 2 sin 3 KH SAC HA 1 cos 3 SAC . 2 2 2 2 . .cos SC SA AC AS AC SAC 2 SA . 1 . .sin 2 SAC S SA AC SAC 1 2 2 .2.3. 2 2 2 3 . Vậy . 1 8 2. .2 2. 2 3 3 S ABCD V . Câu 56: (TH PT H ậ u L ộc 2 - Thanh Hó a n ă m 2 017 - 2 018 ) Khi xây nhà, anh Tiến cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích 3 6 V m dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 1.000.000 đ/m 2 và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng 2 9 diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà anh Tiến phải trả (làm tròn đến hàng trăm nghìn)? A. 22000000 đ. B. 20970000 đ. C. 20965000 đ. D. 21000000 đ. Lời giải Chọn D Gọi độ dài chiều rộng, chiều cao hình hộp lần lượt là: , x h m Chiều dài của hình hộp là: 3x . Thể tích khối hộp chữ nhật là: .3 . V x x h 2 2 2 6 3x h h x . Diện tích khối hộp là: 2 . 2.3 . 2. .3 x h x h x x 2 8 6 xh x 2 16 6x x . Diện tích xung quanh phần xây bằng gạch và xi măng là: 2 2 16 2 6 .3 9 S x x x 2 16 16 3 x x 2 3 8 8 16 3 . . 3 x x x 20,96593115 S . Tổng chi phí thấp nhất mà anh Tiến phải trả là: 1000000.20,96593115 21000000  đ. Câu 57: (TH TT s ố 5 - 48 8 thá n g 2 nă m 201 8) Cho hình chóp . S ABCD . Gọi A , B , C  , D  lần là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp . S A B C D     và . S ABCD . A. 1 12 . B. 1 8 . C. 1 16 . D. 1 2 . Lời giải Chọn B D C B A D' C' B' A' S Ta có 1 . . 8 SA B C SABC V SA SB SC V SA SB SC       , 1 . . 8 SA C D SACD V SA SD SC V SA SD SC       Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có . . 1 8 SA B C SA C D SA B C SA C D S A B C D SABC SACD SABC SACD S ABCD V V V V V V V V V V                 Vậy 1 8 SA B C D SABCD V V     . Câu 58: (TH TT s ố 5 - 4 88 thá n g 2 nă m 201 8) Tính thể tích khối chóp . S ABC có AB a , 2 AC a , 120 BAC  , SA ABC  , góc giữa SBC và ABC là 60 . A. 3 21 14 a . B. 3 7 14 a . C. 3 3 21 14 a . D. 3 7 7 a . Lời giải Chọn B 60 o 120 o 2a a A C B S H + Diện tích đáy 1 . .sin120 2 ABC S AB AC  1 3 . .2 . 2 2 a a 2 3 2 a + Tính chiều cao SA : Dựng AH BC  (với H BC ) suy ra SH BC  , do đó góc , 60 SBC ABC SHA  , suy ra .tan 60 SA AH  Tính AH : ta có diện tích 1 . 2 ABC S AH BC 2. ABC S AH BC mà theo định lý hàm côsin thì 2 2 2 2. . .cos BC AB AC AB AC A 2 2 1 4 2. .2 . 2 a a a a     2 7a 7 BC a , suy ra 2 3 2. 21 2 7 7 a AH a a . + KL: Thể tích khối chóp . S ABC là 1 . 3 ABC V S SA 2 1 3 21 . . 3 2 7 a a 3 7 14 a (đvtt). Câu 59: (T H PT Ho à ng Ho a Th ám - Hưn g Yê n - l ần 1 n ăm 201 7 - 2 018 ) Từ hình vuông có cạnh bằng 6 người ta cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó người ta gập thành hình hộp chữ nhật không nắp. Tính thể tích lớn nhất của khối hộp. A. 8 2 . B. 10 2 . C. 9 2 . D. 11 2 . Lời giải Chọn A Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ x yTa có 2 6 2 2 x x y 3 2 x y 3 2 y x với 0 3 2 x . Thể tích của khối hộp tạo thành là 2 2 3 2 V x y x x . Ta có 3 2 2 0 2 2 V x x x  . Ta có bảng biến thiên Vậy: max 8 2 V khi 2 2 x , 2 y . x 0 2 2 3 2 V  – 0 V 8 2 Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Xét tứ diện ABCD có các cạnh 1 AB BC C D DA và , AC BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD bằng A. 2 3 27 . B. 4 3 27 . C. 2 3 9 . D. 4 3 9 . Lời giải Chọn A Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , BD AC . Đặt 2 , 2 BD x AC y , 0 x y . Ta có , C M BD AM BD   B D A M C  . Ta có 2 1 M A M C x , 2 2 1 M N x y , 1 . 2 AM N S M N A C 2 2 1 . 1 2 y x y . 1 . . 3 AB CD AM C V DB S 2 2 1 .2 . 1 3 x y x y 2 2 2 2 2 . . 1 3 x y x y 3 2 2 2 2 1 2 3 27 x y x y  2 3 27 AB C D V  . Câ u 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ tam giác . A B C A B C    . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B B  và CC  . Mặt phẳng A M N chia khối lăng trụ thành hai phần. Gọi 1 V là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B  và 2 V là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 7 2 V V . B. 1 2 2 V V . C. 1 2 1 3 V V . D. 1 2 5 2 V V . Lời giải Chọn B K N M A ' C' B C A B' Gọi K là trung điểm của AA  và V , . AB C KM N V , . A MNK V lần lượt là thể tích khối lăng trụ . A B C A B C    khối lăng trụ . A B C K M N và thể tích khối chóp . A M N K . Khi đó 2 . . AB C KM N A MN K V V V . Lại có . 1 2 ABC KMN V V ; . . 1 1 3 6 A MN K ABC KMN V V V suy ra 2 1 1 1 2 6 3 V V V V từ đó ta có 1 1 2 3 3 V V V V . Vậy 1 2 2 V V . Câ u 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Xét tứ diện A B C D có các cạnh 2 A C C D D B B A và AD , BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện A B C D bằng A . 16 3 9 . B . 32 3 27 . C. 16 3 27 . D . 32 3 9 . Lời giải Chọn B N M A B C D Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Theo giả thiết ta có: AB D và A CD là các tam giác cân có M là trung điểm của AD nên BM AD  và C M A D  AD B M C  . Và có B M C M M B C  cân tại.. Trong tam giác M B C  có M N vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên 2 2 2 4 BC M N M B 2 2 2 2 4 4 AD BC MN AB 2 2 4 4 AD B C M N . Khi đó diện tích tam giác M B C  là 1 . 2 M B C S MN B C  2 2 1 . 4 2 4 A D B C B C Thể tích tứ diện A B C D là 1 . . 3 ABC D M B C V A D S  2 2 1 . . . 4 3 4 AD B C B C A D . Đặt A D x , BC y ta có: 2 2 1 . . . 4 3 4 AB C D x y V x y . Ta có: 2 2 2 x y x y 2 2 4 2 x y xy 2 2 4 2 x y x y  . Do đó: 1 . . . 4 3 2 A B C D x y V x y  2 2 8 6 ABC D V x y x y  . Dấu bằng xảy ra khi x y . Ta lại có: 2 8 xy x y 4. . . 8 2 2 xy xy xy 3 8 2 2 4. 3 x y x y x y          3 4.8 27 . Dấu bằng xảy ra khi 8 2 x y x y 16 3 x y 4 3 x y . Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A B C D là 3 m 2 ax 4.8 6 27 AB C D V 32 3 27 . Câ u 4: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A B C có cạnh bên SA vuông góc với đáy, A B a , 2 B C a , 2 S C a và 60 A SC  . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . S A B C . A. R a . B. 3 2 a R . C. 3 R a . D. 2 a R . L ờ i gi ải Ch ọ n A S A B C O P Ta có sin A SC A C SC 2 A C a sin 60  3 2 3 A C a . Do đó 2 2 2 AB BC AC A B C  vuông tại B . Gọi P là trung điểm của cạnh A C thì P là tâm đường tròn ngoại tiếp A B C  . Gọi O là trung điểm của cạnh S C O S O C . Ta có // OP SA mà S A A B C  O P A B C  . Do đó O P là trục đường tròn ngoại tiếp A B C  O A O B O C . Như vậy 1 2 R OA OB O C O S SC a . Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S. A BC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác S AB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, S C hợp với đáy một góc 30  , M là trung điểm của . AC Tính thể tích khối chóp . S BC M . A. 3 3 48 a . B. 3 3 16 a . C. 3 3 96 a . D. 3 3 24 a . Lời giải Chọn A M H C B A S Gọi H là trung điểm của A B . Theo bài ra SH A BC  . 30 SC H   3 2 a CH . Xét tam giác SC H ta có 3 1 S .tan 30 . 2 2 3 a a H C H  . Diện tích tam giác ABC là 2 3 4 a . 2 3 . 1 3 3 . . 3 4 2 24 S AB C a a a V . 3 . . 1 3 . 2 48 S BC M S BCM a V V . Câu 6: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác . S AB C sao cho 1 2 SM M A , 2. SN NB Mặt phẳng qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi 1 V là thể tích của khối đa diện chứa A , 2 V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 2 ? V V A. 1 2 4 . 5 V V B. 1 2 5 . 4 V V C. 1 2 5 . 6 V V D. 1 2 6 . 5 V V Lời giải j S A C B D Q M N P E Chọn B  Trong mặt phẳng SA C dựng M P song song với SC cắt AC tại P . Trong mặt phẳng SB C dựng NQ song song với S C cắt B C tại . Q Gọi D là giao điểm của MN và P Q . Dựng M E song song với AB cắt SB tại E (như hình vẽ).  Ta thấy: 1 3 SE SM SB SA 1 3 SN NE NB SB Suy ra N là trung điểm của B E và D M , đồng thời 1 3 DB M E AB 1 1 , . 4 2 DB D N DA DM Do 1 / / . 2 D Q DN NQ M P DP D M  Nhận thấy: 1 . . . D AM P D BNQ V V V . . 1 1 1 1 . . . . 4 2 2 16 D BN Q D AM P V D B DN D Q V D A D M D P . . 1 16 D BN Q D AM P V V 1 . . 15 15 . . . 16 16 D AM P M AD P V V V  Do 1 // 3 QB NB NQ SC CB SB ; 1 ; 3 d N D B QB d C A B CB 1 ; . ; 3 d Q DB d C A B 1 . ; . 2 QDB S d Q D B DB 1 1 1 1 . . ; . 2 3 3 9 CAB d C AB AB S 8 . 9 ADP ABC S S Và 2 ; ; 3 d M A D P d S A BC . 1 . ; . 3 M ADP ADP V d M ADP S . 1 2 8 16 . ; . . 3 3 9 27 ABC S ABC d S ABC S V 1 . . 15 16 5 . . . 16 27 9 S AB C S ABC V V V 2 . 1 . 4 . 9 S AB C S AB C V V V V . Vậy 1 2 5 . 4 V V Câu 7: ( THPT P h an Châ u T r in h - DakLa k - l ầ n 2 n ă m 2017 - 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt phẳng SA B và SA D cùng vuông góc với đáy, biết 3 SC a . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB , S D , C D , B C . Tính thể tích khối chóp AM NPQ .(Gõ thiếu yêu cầu đề bài) A. 3 3 a . B. 3 4 a . C. 3 8 a . D. 3 12 a . Lời giải Chọn C Gọi F PQ AC  . Dễ thấy AF PQ  . Mặt khác do // M NP Q SC nên SA C M NPQ E F  // ; E F SC F SA . Dựng A H E F  . Do PQ SAC  nên PQ A H  . Suy ra A H M N P Q  ; A H d A M NP Q . Ta có: 3 3 2 4 4 a A E A C ; 3 4 AF AS 2 2 3 3 4 4 a SC AC Suy ra: 2 2 2 2 . 6 4 A F AE a A H A E A F . Mặt khác do BD SC  nên PQ QM  suy ra tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. . MNPQ S M Q Q P 2 1 6 . 4 4 a B D SC Vậy . 1 . 3 A MN PQ MN PQ V AH S 3 8 a . Câu 8: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều . S A B C D , M là trung điểm của S C . Mặt phẳng P qua AM và song song với B D cắt S B , S D tại N , K . Tính tỉ số thể tích của khối . S A N M K và khối chóp . S A B C D . A. 2 9 . B. 1 3 . C. 1 2 . D. 3 5 . Lời giải Chọn B Gọi H là tâm hình vuông A B C D , E SH A M  E là trọng tâm S A C  SE SK SH SD 2 3 SN SB . Ta có . . . . . . S AK M S ADC V SA SK SM V SA S D SC 2 1 1 . 3 2 3 . . 1 6 S AKM S ABCD V V Tương tự . . 1 3 S A NM S ABC V V . . 1 6 S AN M S ABCD V V . Từ đó . . . S AN MK S ANM S AK M V V V . . 1 1 6 6 S ABC D S ABCD V V . 1 3 S ABC D V . Câ u 9 : (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho khối hộp . A B C D A B C D     có đáy là hình chữ nhật với 3 A B ; 7 A D . Hai mặt bên A B B A   và A D D A   cùng tạo với đáy góc 45 , cạnh bên của hình hộp bằng 1 (hình vẽ). Thể tích khối hộp là A. 7 . B. 3 3 . C. 5. D. 7 7 . Lời giải Chọn A A B C D A  B  C  D  7 3 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng A B CD ; kẻ H K A B  , HI AD  thì , A BB A A BC D H K A    và , AD D A ABC D HIA    Theo giả thiết, ta có 45 H KA HI A    H K A H I A     H I H K tứ giác A IH K là hình vuông cạnh a , 0 a 2 A H a Tam giác A H K  vuông cân tại H có H K H A a  Tam giác A H A  vuông tại H có 2 2 2 AA A H A H   2 2 2 1 a a 1 3 a 1 3 A H  . Khi đó . . AB C D A B C D A BC D V S A H      . 1 7. 3. 3 AB C D A B C D V     . 7 A B C D A B C D V     . Câu 10: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A B C có SA , S B , S C đôi một vuông góc với nhau và S A S B S C a . Sin của góc giữa đường thẳng S C và mặt phẳng A B C bằng A. 6 3 . B. 2 2 . C. 1 3 . D. 2 6 . Lời giải Chọn C S A B C F E K Trong tam giác A B C kẻ đường cao A K và C F và   A K CF E  nên E là trực tâm tam giác A B C . A B C D A  B  C  D  I H KTa có SC SA SC SB    S C S AB  hay S C A B  Mà C F A B  nên A B S C F  A B S E  . Chứng minh tương tự ta được B C S A K  B C S E  . Vậy S E AB C  . Ta có C E là hình chiếu của S C lên mặt phẳng A B C . , S C A B C , S C CE SC E Ta có tam giác S C F vuông tại S nên 2 2 2 1 1 1 SE S C SF . Mặt khác tam giác S A B vuông tại S nên 2 2 2 1 1 1 SF SA S B . Suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 SE SC SA SB 2 2 1 3 SE a 3 a S E . sin S E SC E S C : 3 a a 1 3 . Câ u 11: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện đều có cạnh bằng 3 . M là một điểm thuộc miền trong của khối tứ diện tương ứng. Tính giá trị lớn nhất của tích các khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt của tứ diện đã cho. A. 36. B. 9 64 . C. 6 . D. 6 4 . Lời giải Chọn B Gọi 1 r , 2 r , 3 r , 4 r là khoảng cánh từ điểm M đến bốn mặt của tứ diện. Gọi S là diện tích một mặt của tứ diện 9 3 4 S . Đường cao của tứ diện là 2 2 3 3 6 h . Thể tích của tứ diện là 1 1 9 3 9 2 . . . 6 3 3 4 4 V S h . Mặt khác, ta có 1 2 3 4 1 9 2 . . 3 4 V S r r r r 1 2 3 4 9 2 4 3. . 6 4 9 3 r r r r . Lại có 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 9 6 4 . . . . . . 64 r r r r r r r r r r r r  . Câ u 12: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của C D . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng B C và SM bằng 3 4 a . Tính thể tích của khối chóp đã cho theo a . A. 3 3 4 a . B. 3 3 2 a . C. 3 3 6 a . D. 3 3 12 a . Lời giải Chọn C S O N M A B C D H Gọi N là trung điểm của A B // B C SM N . , , , , d B C SM d BC SM N d B SM N d A SM N . Dựng A H vuông góc với S N tại H AH SM N  . Vậy 3 , 4 a d A SMN A H . Lại có, trong tam giác vuông SAN : 2 2 2 1 1 1 3 2 a SA A H A N AS . Vậy 3 2 . 1 3 3 . . 3 2 6 S AB C D a a V a . Câu 13: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ . A B C A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng A B C trùng với trọng tâm tam giác A B C . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A A  và B C bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . A B C A B C   . A. 3 3 6 a V . B. 3 3 3 a V . C. 3 3 24 a V . D. 3 3 12 a V . Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ MH AA   H B C . Ta có A M B C  , A G B C   B C A AG   B C M H  , d AA B C M H  . 2 2 A H A M M H 2 2 3 3 4 16 a a 3 4 a . Ta có tan MH A G GAH AH AG  . MH A G A G A H  3 3 . 4 3 3 4 a a a 3 a . Vậy . ABC V S A G  2 3 . 4 3 a a 3 3 12 a . Câu 14: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy A B CD trùng với trung điểm A B . Biết AB a , 2 BC a , 10 BD a . Góc giữa hai mặt phẳng SB D và mặt phẳng đáy là 60  . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 3 30 8 a V . B. 3 30 4 a V . C. 3 30 12 a V . D. 3 30 8 a V . Lời giải Chọn D K H A D B S C M Ta có 2 2 3 A D BD A B a . Gọi H là trung điểm A B thì SH A B CD  , kẻ HK B D  (với K B D ), ta có SKH là góc giữa SB D và A B CD , do đó 60 SKH  . Gọi AM là đường cao của tam giác vuông ABD . Khi đó, ta có: . A B A D A M B D .3 3 10 10 a a a a , suy ra 3 2 2 10 A M a HK . Do đó: 3 3 3 tan .tan 60 2 10 2 10 a a SH HK SKH  . Vậy nên: . 1 . 3 S AB C D AB C D V S SH 1 1 . . . 3 2 AD B C AB S H 3 1 3 3 30 3 2 . . 6 8 2 10 a a a a a . Câu 15: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Hình chóp . S A B C D có đáy AB C D là hình vuông cạnh , a S A B là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy A B C D . Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng S CD và A B C D bằng 2 17 17 . Thể tích V của khối chóp . S A B C D là A. 3 13 6 a V . B. 3 17 6 a V . C. 3 17 2 a V . D. 3 13 2 a V . Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm A B S H A BC D  , K là trung điểm C D C D S K  Ta có , S C D A BC D , S K H K S K H . cos H K SK H SK 17 2 a SK 13 2 a SH Vậy 1 . . 3 A B C D V S H S 2 1 13 . . 3 2 a a 3 13 6 a . Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Khối chóp . S A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , S A S B S C a , cạnh S D thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp . S A B C D là A. 3 . 2 a B. 3 . 8 a C. 3 3 . 8 a D. 3 . 4 a Lời giải Chọn D I B A D C S H Gọi I là tâm hình thoi A B C D , H là hình chiếu của S lên mặt phẳng A B C D . Ta có S A S B S C nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng A B C D trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp A B C  hay H BI . Có 2 2 2 2 2 SI SA I A a I A , 2 2 2 2 2 IB AB IA a I A suy ra S I I B . Khi đó tam giác S BD vuông tại S . Hoặc A B C A S C A D C    c c c nên I B I S I D , do đó S B D  vuông tại S . Giả sử S D x . Ta có . . S B S D S H B D . . a x S H B D . a x SH BD Ta có 1 1 1 1 1 . . . . . . 3 2 3 2 6 SABC D ax V SH AC B D A C BD ax AC B D Ta có 2 2 2 2 2 BD S B S D a x suy ra 2 2 2 4 a x IB 2 2 2 2 2 2 3 4 4 a x a x IA a Suy ra 2 A C I A 2 2 3 2 4 a x 2 2 3 a x 2 2 2 3 2 2 1 3 . 3 . 6 6 2 4 S ABC D a x a x a V ax a x  Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp . S A B C D là 3 4 a . Câu 17: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều . A B C A B C    có tất cả các cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng A B C  bằng A. 2 2 a . B. 3 4 a . C. 21 7 a . D. 6 4 a . Lời giải Chọn C Gọi E là trung điểm của BC . Ta có A E BC A A E A B C A E B C        Kẻ đường cao AH H A E AH A BC    2 2 2 2 2 2 2 2 3 . 2 . 21 , 7 3 2 a a A A AE d A A BC AH a A A A E a a            . Câu 18: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có diện tích đáy bằng 4 , diện tích ba mặt bên lần lượt là 9, 18 và 10. Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 4 11951 . B. 4 11951 2 . C. 11951 . D. 11951 2 . Lời giải Chọn D x c b a A' C' B' C B A Đặt , AA x AB c  , , AC b BC a . Ta có: 18 2 9 10 10 9 x c c b x b a b x a   . Ta lại có 4 4 AB C S p p a p b p c , với 37 2 18 a b c p b 37 37 10 37 37 2 4 18 18 9 18 18 b b b b b b b             1296 11951 b . Suy ra 11951 8 x . Vậy thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    : 11951 . 2 AB C V A A S  . Câu 19: (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có thể tích bằng 3 48cm . Gọi , , M N P theo thứ tự là trung điểm các cạnh C C  , B C và B C  , khi đó thể tích V của khối chóp . A M N P  là A. 3 16 cm 3 . B. 3 8cm . C. 3 24cm . D. 3 12cm . Lời giải Chọn B Ta có: + . . . . 1 1 2 . , 3 3 3 A ABC A BC ABC A B C A BC C B ABC A B C V S d A AB C V V V             + . . 1 1 1 1 . , . . , 3 3 4 4 A MNP MN P BB C C A BB C C V S d A MNP S d A B B C C V            (Vì: 1 1 2 4 M N P C C PN BB C C S S S     và , , d A M NP d A BB C C     ) Suy ra: 3 . . 1 8cm . 6 A MNP ABC A B C V V     Câu 20: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn 3 B I I H        . Góc giữa hai mặt phẳng SA B và SB C là 60  . Thể tích của khối chóp . S AB C là A. 3 9 a V . B. 3 6 a V . C. 3 18 a V . D. 3 3 a V . Lời giải Chọn A Cách 1: S A B C I H K Dễ thấy hai tam giác SAB và SAC bằng nhau ( cạnh chung SB ), gọi K là chân đường cao hạ từ A trong tam giác SAB suy ra , SAB SB C A KC . TH1: 60 A KC  kết hợp I là trung điểm AC suy ra 30 IKC  . Ta có 2 2 2 A C a IB IC , 4 2 2 3 3 a B H B I . Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại B ta được AC BI  IC IK  . Trong tam giác ICK vuông tại I có 6 tan tan 30 2 IC I C a IKC I K I K  . Như vậy IK IB ( vô lý). TH2: 120 A KC  tương tự phần trên ta có 6 tan tan 60 6 IC IC a IKC I K I K  . Do SB AKC SB I K   nên tam giác B IK vuông tại K và 2 2 3 3 a B K IB IK . Như vậy tam giác BK I đồng dạng với tam giác B H S suy ra: . 2 3 I K BH a SH BK . Vậy thể tích của khối chóp . S ABC là 2 3 . 1 2 . 3 2 3 9 S AB C a a a V . Cách 2: dùng phương pháp tọa độ hóa. Câu 21: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B D   bằng A. 3 2 a . B. 6 3 a . C. 6 2 a . D. 3 3 a . Lời giải Chọn C Do . ABCD A B C D     là hình lập phương cạnh a nên tam giác A B D   là tam giác đều có cạnh bằng 2 a . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B D   là 2 3 6 2 2 a a A O . Câu 22: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác A B C vuông tại B , A B a , 2 B C a . Tam giác S A B cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , mặt phẳng SA G tạo với đáy một góc 60  . Thể tích khối tứ diện ACG S bằng A. 3 6 36 a V . B. 3 6 18 a V . C. 3 3 27 a V . D. 3 6 12 a V . Lời giải Chọn A K I G N H A C B S Ta có: 2 1 . . 2 ABC S AB BC a  2 1 3 3 ACG ABC a S S   . Gọi H là trung điểm của A B SH A BC  . Gọi N là trung điểm của B C , I là trung điểm của AN và K là trung điểm của AI . Ta có AB BN a BI AN  H K AN  . Do A G SHK  nên góc giữa SA G và đáy là 60 SKH  . Ta có: 1 2 2 2 a B I AN 1 2 2 4 a H K B I , 6 .tan 60 4 a SH SK  . Vậy . AC GS S AC G V V V 3 1 6 . . 3 36 AC G a SH S  . Câu 23: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ 1 1 1 . A B C A B C có diện tích mặt bên 1 1 A B B A bằng 4 ; khoảng cách giữa cạnh 1 CC và mặt phẳng 1 1 A B B A bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ 1 1 1 . A B C A B C . A. 14. B. 28 3 . C. 14 3 . D. 28 . Lời giải Chọn A A 1 A C 1 B C B 1 Gọi thế tích lăng trụ 1 1 1 . A B C A B C là V . Ta chia khối lăng trụ thành 1 1 1 . A B C A B C theo mặt phẳng 1 ABC được hai khối: khối chóp tam giác 1 . C A B C và khối chóp tứ giác 1 1 1 . C A B B A Ta có 1 . 1 3 C AB C V V 1 1 1 . 2 3 C AB B A V V Mà 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 28 . .d ; .4.7 3 3 3 C ABB A ABB A V S A ABB A . Vậy V = 28 3 . 14 3 2 Câu 24: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2 a . Mặt phẳng P qua B  và vuông góc với A C  chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là 1 V và 2 V với 1 2 V V . Tỉ số 1 2 V V bằng A. 1 47 . B. 1 23 . C. 1 11 . D. 1 7 . Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm của A C   , giác A B C     đều nên B H A C     . Trong A C CA   , kẻ HE A C   , H E A A I   . Ta có: B H A C A C B HI HI A C             P B HI   . A EH A C C      # A E A C A H A C      . A C A H A E A C      5 10 a . A I H A C C      # IH A C A H C C    . A C A H IH C C    5 4 a . A C B B  C  A  I E H A  H C  C A I E1 . 2 B HI S B H HI   2 15 16 a . 1 1 . . 3 B HI V S A E   2 1 15 5 . . 3 16 10 a a 3 3 96 a . . . AB C A B C A BC V S A A     2 3 .2 4 a a 3 3 2 a . 3 2 47 3 96 V a do đó 1 2 1 47 V V . Câu 25: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp đều . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , SC . Biết mặt phẳng A E F vuông góc với mặt phẳng SB C . Thể tích khối chóp . S ABC theo a bằng. A. 3 5 24 a . B. 3 5 8 a . C. 3 3 24 a . D. 3 6 12 a . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm B C , N là trung điểm SM . G là trọng tâm tam giác ABC SG A BC  A E F SBC A E F SB C EF A N SBC AN SM A N E F       . Tam giác SAM cân tại A , AN là trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra SAM vuông cân tại A Suy ra 3 2 a SA AM , 2 3 3 a A G A M . 2 2 2 2 3 5 . 4 3 12 a a SG SA AG a . Thể tích khối chóp . S ABC là 3 2 1 5 1 3 5 . . . . 3 12 2 2 24 a V a a . Câ u 26 : (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang vuông tại A và D , 2 A B A D a , P . Gọi I là trung điểm cạnh AD , biết hai mặt phẳng SB I , SCI cùng vuông góc với đáy và thể tích khối chóp . S A B C D bằng 3 3 15 5 a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC , A B C D . A. 30  . B. 36  . C. 45 . D. 60 . L ờ i gi ải Chọn D Diện tích hình thang 1 2 ABCD S AD AB C D 1 2 .3 2 a a 2 3 a , 5 CB A C a . Độ dài đường cao . 3 S ABCD ABC D V S I S 3 2 3 15 3. 3 15 5 3 5 a a a . Vẽ I H CB  tại H BC S I H  B C S H  . Ta có , SBC A BC D , I H SH SH I . ICB AB C D I DC AI B S S S S 2 2 2 2 3 3 2 2 a a a a 2 . 3 IH C B a 3 5 5 a IH . tan SI SH I IH 3 15 5 3 3 5 5 a a 60 S HI  . Câ u 27: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình lập phương . A B C D A B C D     có cạnh bằng 2 . Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng chứa đường chéo A C  . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được. A. 2 6 . B. 6 . C. 4 . D. 4 2 . Lời giải Chọn A A A' C ' H D' C' B' A' D C B A Gọi H là thiết diện của hình lập phương và mặt phẳng chứa AC . + Trường hợp H có một đỉnh thuộc cạnh B B  hoặc D D . Giao tuyến của và A B C D     là đường thẳng d , hình chiếu vuông góc của A  lên d là điểm H . Khi đó góc giữa và A B C D     là A H A . Vì A H d   nên A H A C     , do đó sin sin AA AA AC A A H AC      , do đó cos cos A C A    Hình chiếu vuông góc của hình H lên A B C D     là hình vuông A B C D     , do đó diện tích hình H : .cos A B C D H S S     cos A B C D H S S     . Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi cos lớn nhất, tức là 2 cos cos 3 A C A   . Khi đó diện tích cần tìm là 4 3 2 6 2 H S . + Trường hợp H có một đỉnh thuộc cạnh C D hoặc A B   , chọn mặt phẳng chiếu là BCC B   , chứng minh tương tự ta cũng có cos B B C C H S S   , min 2 6 H S . + Trường hợp H có một đỉnh thuộc cạnh B C hoặc A D   , chọn mặt phẳng chiếu là B AA B   , chứng minh tương tự ta cũng có, min 2 6 H S . Câu 41(SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a , 60 A B C  , SD A BCD  và SA B SB C  (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và B D bằng A. 42 7 a . B. 42 14 a . C. 2 4 a . D. 42 21 a . Lời giải Chọn B Gọi I AC BD  . Dựng IK SB K SB  , 90 SA B SB C A K C  . Dựng hình chữ nhật AIDE . Ta có: // // ; ; ; B D A E BD SA E d B D SA d B D SA E d D SAE . Dựng: DH SE H SE  Vì A E ED A E SE D SE A SED A E SD      ; DH SE A d D SE A DH  . Ta có: SD D B B KI SDB IK KB   # Với: 1 2 2 a KI AC ; 3 BD a ; 2 2 2 2 a KB IB I K 6 2 a SD . Trong tam giác SED có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 14 42 6 3 14 a D H D H DE SD a a a . Vậy: 42 ; 14 a d SA BD . Câu 28: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có SC x 0 3 x , các cạnh còn lại đều bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích khối chóp . S ABCD lớn nhất khi và chỉ khi a x b , a b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? S D C B A A. 2 2 30 a b . B. 2 8 20 a b . C. 2 2 b a . D. 2 2 3 1 a b . Lời giải Chọn B Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng A B CD , vì SA SB SD nên H AO với O là trung điểm của BD Ta xét hai tam giác SBD và A B D có cạnh BD chung, SB AB , SD AD nên SB D A BD   suy ra AO SO OC do đó SAC  vuông tại S . Ta có 2 1 1 1 2 2 AO A C x 2 3 2 x B O 2 2 1 3 2 AB C D x x S 0 3 x Mặt khác 2 2 . SA SC SH SA SC 2 1 x x Vậy . 1 . 3 S ABCD ABCD V SH S 2 2 3 1 6 4 x x  . Thể tích khối chóp . S ABCD lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 3 x x 6 2 x . Vậy 6 2 a b  . Suy ra 2 8 20 a b . Câu 29: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Cho tứ diện AB C D có 6 cm A B CD , khoảng cách giữa AB và C D bằng 12 cm , góc giữa AB và C D bằng 30  . Tính thể tích khối tứ diện ABCD . A. 3 36 cm . B. 3 25 cm . C. 3 60 cm . D. 3 32 cm . Lời giải S A B C DChọn A Dựng hình lăng trụ . AEF BCD suy ra 6 cm E C A B C D Góc giữa hai đường thẳng AB và C D bằng góc giữa E C và C D và bằng 30  Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng C D FE Ta có , , d A B CD d AB CDF E , 12 cm d A CDE F A H . Suy ra . 1 . 3 A CDF E CDF E V AH S 3 1 .12. . .sin , 72 cm 3 E C CD E C CD . Ta có . 1 3 AB CD AE F BCD V V , mặt khác . . AB CD A C DF E AE F BCD V V V . Suy ra 3 . 1 36 cm 2 ABC D A CDF E V V . Câu 30: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có thể tích bằng 3 6 a . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA  , BB  , C C  sao cho 1 2 AM AA  , 2 3 B N C P BB CC   . Tính thể tích V  của đa diện . ABC MNP A. 3 11 27 V a  . B. 3 9 16 V a  . C. 3 11 3 V a  . D. 3 11 18 V a  . Lời giải Chọn C Q P M C B A' C' B' A N Cách 1: Lấy điểm Q AA  sao cho // PQ AC . Ta có 1 6 M Q AQ A M A A  . Dễ thấy . . 2 . 3 ABC MNP ABC A B C V V    , . . 1 . 12 M QNP ABC A B C V V    . Vậy . . 11 18 ABC M N P M QN P V V V V  3 11 3 a . Cách 2: 1 1 1 1 1 7 3 3 2 3 3 18 MN PA B C A BC A B C V A M B N C P V A A B B C C                     3 3 7 11 11 1 .6 18 18 3 AB C MN P A BC A B C V V a a        Câu 31: (SGD Bắc Giang – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S AB C có 3 SA SB SC , tam giác ABC vuông cân tại B và 2 2. A C Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AC và . BC Trên hai cạnh , SA SB lấy các điểm , P Q tương ứng sao cho 1, SP 2. SQ Tính thể tích V của tứ diện MNPQ . A. 7 18 V . B. 3 12 V . C. 34 12 V . D. 34 144 V . Lời giải Chọn A Ta có SA SB SC , MA MB MC SM A B C  Cách 1: Lấy điểm R SB sao cho 1 SR . Gọi S d , R d , Q d lần lượt là khoảng cách từ S , R , Q đến mặt phẳng A B C 2 3 R S d d ; 1 3 Q S d d . Ta có 1 3 SP SR SA SB // P R A B // PR M N . Do đó 1 3 PM N Q RM NQ RM NB Q MNB MN B R Q V V V V S d d 1 1 1 . . 3 4 3 AB C S S d 1 . 36 AB C S S d Với 1 . 2 2 AB C S A B BC , 7 S d SM . Suy ra 7 18 PM N Q V (đvtt) S A C B R Q P M NCách 2: Ta có 2 AB BC , 7. SM Chọn hệ trục Ox y z như hình vẽ. Ta có: 0;0;0 B , 2;0;0 A , 0;2;0 C , 0;1;0 N , 1;1;0 M , 1;1; 7 S 1 4 2 2 7 ; ; 3 3 3 3 SP SA P             ; 1 1 1 7 ; ; 3 3 3 3 B Q B S Q               Ta có: 1;0;0 NM      , 1 2 7 ; ; 3 3 3 NQ           , 4 1 2 7 ; ; 3 3 3 NP           7 2 ; 0; ; 3 3 NM NQ                   . Suy ra 1 1 7 4 7 7 ; . . 6 6 9 9 18 M N PQ V N M NQ NP                 (đvtt). Câu 32: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ đứng . A B C A B C    có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh 6 BC a . Góc giữa mặt phẳng AB C  và mặt phẳng B CC B   bằng 60 . Tính thể tích V của khối đa diện AB C A C   . A. 3 3 a . B. 3 3 3 2 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 3 a . Lời giải Chọn A Khối đa diện AB C A C    là hình chóp . B A C C A    có A B A CC A      . S A C B Q P M N x y zTừ giả thiết tam giác ABC vuông cân tại A , cạnh 6 B C a ta suy ra 3 A B AC a . Gọi M là trung điểm của B C , suy ra AM BC  và 6 2 a A M . Ta có A M BC A M B CC B AM B C A M BB          (1). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên B C  , suy ra M H B C   (2). Từ (1) và (2) ta suy ra B C A M H   . Từ đó suy ra góc giữa mặt phẳng AB C  và mặt phẳng BCC B   là góc giữa A H và M H . Mà tam giác A M H vuông tại H nên 60 A HM . 6 1 2 .cot 60 . 2 2 3 a a M H AM  . Tam giác B BC  đồng dạng với tam giác MH C nên suy ra 2 1 2 sin 6 3 2 a MH H CM MC a 2 2 1 1 3 2 1 tan tan 1 2 2 1 sin 1 3 M C H MCH MCH 2 .tan 6. 3 2 B B B C M CH a a  3 . 1 1 . . . 3. 3. 3 3 3 3 AB C A C B AC C A V V B A AC AA a a a a          . Câu 33: (THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang - Lần 3 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S A B C có đáy A B C là tam giác vuông cân tại A , mặt bên S B C là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC . A. 22 11 a . B. 4 3 a . C. 11 22 a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm B C S H B C S H A BC   Ta có B C SH B C SHA B C A H       . Trong SH A kẻ H K S A  K SA 1 S H K A B CMà B C S H A B C H K   2 Từ 1 và suy ra H K là đoạn vuông góc chung của SA và B C , d S A B C H K Tam giác vuông S H A có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 16 3 3 2 2 HK SH A H a a a         3 4 a H K Vậy 3 , 4 a d SA BC . Câu 34: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp . S A B C có thể tích V . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của S B , S C và G là trọng tâm tam giác A B C . Tính thể tích của hình chóp . G AP Q theo V . A. 1 8 V . B. 1 12 V . C. 1 6 V . D. 3 . 8 V . Lời giải Chọn C Gọi R là trung điểm của BC , ta có . . . . 1 1 4 4 A P QR A PQ R S ABC S A BC V V V V . Mặt khác ta lại có . . . . 2 2 3 3 G APQ G APQ A PQ R A PQR V V V V . Vậy . . 2 1 1 . 3 4 6 G APQ S ABC V V V . Câu 35: (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp . S AB C D có đáy A B C D là hình chữ nhật, 1 A B , 10 A D , S A S B , S C S D . Biết mặt phẳng S AB và S C D vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác S A B  và S C D  bằng 2 . Thể tích khối chóp . S A B C D bằng A. 2 . B. 1. C. 3 2 . D. 1 2 . Lời giải Chọn B R S A Q P G C B Ta có . . 2 S A BC D A S C D V V 2 , . 3 SC D d A SC D S Ta có S AB S C D S x  // AB . Gọi M là trung điểm của C D, N là trung điểm của A B . S M C D  , S N A B  S M S x  , S N S x  . Mặt khác S AB S C D  S N S C D  tại S , 90 N S M  , , d A S C D d N S C D S N . 2 1 . . . . 3 2 S A BC D V SN SM CD . 2 2 2 2 10 S N S M M N A D . 1 1 1 . . 2 2 2 SA B S C D S S S N A B S M CD A B S N S M 4 S N S M 2 2 2 . 16 S N S M S N S M . 3 S N S M . Vậy . 2 1 . .3.1 1 3 2 S AB C D V . Câu 36: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 . Trên các cạnh SA , SB , SC , SD lần lượt lấy các điểm A , B , C  và D  sao cho 1 3 SA SC SA SC   và 3 4 SB SD SB SD   . Tính thể tích V của khối đa diện lồi SA B C D     . A. 4 V . B. 6 V . C. 3 2 V . D. 9 V . Lời giải Chọn D S A N B C D M O x Ta có . . SA B C D S A B D S C B D V V V V           . . . 1 3 3 3 3 4 4 16 S A B D S AB D V SA SB SD V SA SB SD           . . . 3 3 16 32 S A B D S ABD S AB CD V V V    . Tương tự . . . 3 3 16 32 S C B D S C BD S ABC D V V V    . Vậy . 3 3 3 48 9 32 32 16 SA B C D S AB CD V V V          . Câu 37: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho dãy số n u được xác định bởi 1 u a và 1 4 1 n n n u u u với mọi n nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của a để 2018 0 u . A. 2016 2 1 . B. 2017 2 1 . C. 2018 2 1 . D. 3. Lời giải Chọn A Nhận xét: phương trình 2 4 1 4 4 0 x x m x x m có 4 4 0 m   với mọi 0 1 m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 x , 2 x và 1 2 1 x x , 1 2 4 m x x nên 1 2 , 0;1 x x . Ta có: 2018 2017 2017 4 1 0 u u u 2017 2017 0 1 u u   Với 2017 0 u . Suy ra 2017 2016 2016 4 1 0 u u u 2016 2016 0 1 u u   . Với 2017 1 u . Suy ra 2017 2016 2016 4 1 1 u u u 2016 1 2 u . Với 2016 1 2 u . Suy ra 2016 2015 2015 1 4 1 2 u u u có hai nghiệm 2015 u . Từ các kết quả trên, ta thấy hai số hạng liên tiếp k u , 1 k u đều có thể nhận giá trị lần lượt là 1 2 và 1. Do đó ta có tất cả các trường hợp sau:  Với 2 2018 ... 0 u u 0 1 a a   nên có 2 giá trị của a .  Với 2 1 u 2 1 1 4 4 1 u u 1 1 2 u có 0 2 nghiệm 1 u .  Với 3 1 u 2 1 2 u 2 1 1 1 4 4 0 2 u u có 1 2 nghiệm 1 u .  Với 4 1 u 3 1 2 u 2 2 2 1 4 4 0 2 u u có 2 nghiệm 2 0;1 u 2 2 nghiệm 1 u .  .....  Với 2017 1 u có 2015 2 nghiệm 1 u . Vậy có 0 1 2 2015 2 2 2 2 ... 2 2016 2016 2 1 2 2 1 2 1 giá trị của a . Câu 38: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S AB C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a , 2 SA a và SA A B C  . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính thể tích tứ diện . S A H K . A. 3 8 15 a . B. 3 8 45 a . C. 3 4 15 a . D. 3 4 5 a . Lời giải Chọn B 3 2 1 1 1 . . .2 . 3 3 2 3 SAB C A BC a V SA S a a . 2 2 2 2 5 SB SA AB a , 2 2 2 2 6 SC SA AC a . 2 2 2 4 . 5 SH SA SA SH SB SB SB . 2 2 2 2 . 3 SK SA SA SK SC SC SC . 8 . 15 SAH K SAB C V SH SK V SB SC 3 3 8 8 . 15 3 45 S AH K a a V . Câu 39: (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp đều . S AB C có thể tích bằng 3 3 24 a , mặt bên tạo với đáy một góc 60 . S A B C H KKhi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng SB C bằng A. 3 2 a . B. 2 2 a . C. 3 a . D. 3 4 a . Lời giải Chọn D H M A B C S I Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , ta có SH A BC  . Gọi M là trung điểm của B C , ta có B C SA M  . Do đó, ta có góc giữa mặt phẳng SB C và mặt đáy bằng 60 SM H  . Đặt 3 6 x A B x H M ; tan 60 2 x SH HM  . Vậy thể tích khối chóp . S ABC bằng 2 3 3 3 1 3 3 3 3 3 4 2 24 24 24 x x x x a V x a  . Kẻ AI SM  , I SM AI SB C A I d A SB C  ; 2 2 3 12 4 3 a a a SM . . 3 4 S H AH a AI SM . Câu 40: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 60 B AD  và SA vuông góc với mặt phẳng A B CD . Góc giữa hai mặt phẳng SB D và A B CD bằng 45 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của S C . Mặt phẳng M N D chia khối chóp . S ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích 1 V , khối đa diện còn lại có thể tích 2 V (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 12 7 V V . B. 1 2 5 3 V V . C. 1 2 1 5 V V . D. 1 2 7 5 V V . Lời giải Chọn D Goi O AC BD  . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng SB D và A B CD bằng 45  45 SO A  . BA D  đều 3 2 a A O 3 2 6 .tan 45 . 2 2 4 a a SA A O  . Thể tích khối chóp . S ABCD bằng: 1 .2 3 ABD V SA S  2 3 2 6 3 2 . . 3 4 4 8 a a a . Thể tích khối chóp . N MCD bằng thể tích khối chóp . N ABCD bằng: 3 1 2 2 16  a V V . Thể tích khối chóp KMI B bằng: 2 3 1 1 1 6 3 2 . . . . 3 3 9 4 8 96    MB I a a a V SA S . Khi đó: 3 3 3 2 2 2 5 2 16 96 96    a a a V V V ; 3 3 3 1 2 2 5 2 7 2 8 96 96 a a a V V V . Vậy 1 2 7 5 V V . Câu 41: (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABC có mặt phẳng SA C vuông góc với mặt phẳng A B C , S AB là tam giác đều cạnh 3 a , 3 B C a đường thẳng S C tạo với mặt phẳng ABC góc 60 . Thể tích của khối chóp . S AB C bằng A. 3 3 3 a . B. 3 6 2 a . C. 3 6 6 a . D. 3 2 6 a . Lời giải Chọn C 60 o A C B S H Ta thấy tam giác ABC cân tại B , gọi H là trung điểm của AB suy ra . BH AC  Do SA C ABC  nên B H SA C  . Ta lại có BA B C BS nên B thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC SA SC  . Do AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABC 0 60 SCA . Ta có 0 .cot 60 SC SA a , 0 2 sin 60 SA A C a H C a 2 2 2 B H B C HC a . . S AB C V 1 . 3 SA C BH S 1 . . 6 B H SA SC 3 6 6 a . ----------HẾT---------- Câu 1: (T ạp c h í THTT – Thá ng 4 n ăm 2017 – 2018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, 2 SA a . Một mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC lần lượt tại  B ,  D , C  . Thể tích khối chóp . S AB C D    là: A. 3 2 3 9 a V . B. 3 2 2 3 a V . C. 3 2 9 a V . D. 3 2 3 3 a V . Lời giải Chọn C C' D' O D A B C S B' Ta có: 2 . 1 . . 2 3 S ABCD V a a 3 2 3 a . Dựa vào giả thiết ta có B , C  , D  lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SC , SD . Tam giác SAC vuông cân tại A nên  C là trung điểm của SC . Trong tam giác vuông  SAB ta có 2 2 SB SA SB SB  2 2 2 3 a a 2 3 . Tương tự ta có 2 3 SB SB  . . . . . . S AB C D S AB C S AC D S ABCD S ABCD V V V V V        1 2         SB SC SD SC SB SC SD SC   SB SC SB SC 2 1 . 3 2 1 3 . Vậy 3 . 2 9 S AB C D a V    . Chú ý: Chứng minh AB SB   như sau: BC SAB AB BC    , mà AB SC   nên AB SB   Tương tự cho AD SD   Câu 2: (T ạp ch í THT T – Th án g 4 n ăm 2017 – 2018 ) Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D Có 4 mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác: MNP , CDEF , CDHI , EFIH (với M , N , P , C , D , E , F , H , I lần lượt là trung điểm của  AA ,  BB ,  CC , AB ,   A B ,   A C , AC ,   B C , BC ) như hình vẽ sau: P N M C' B' A C B A' F C E D C' B' A' B C A I C H D C' B' A' B C A I F H E C' B' A C B A' Câu 3: ( THP T C h uyê n Th á i B ìn h – T hái B ình – L ần 5 năm 20 17 – 2018) Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích là V . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AC , AD , BD , BC . Thể tích khối chóp AMNPQ là A. 6 V . B. 3 V . C. 4 V . D. 2 3 V . Lời giải Chọn C Ta có 2 AMNPQ APMQ V V (do MNPQ là hình thoi), AB // MQ APMQ BPMQ V V Mặt khác do P là trung điểm của BD nên 1 , , 2 d P ABC d D ABC , đồng thời 1 4 BQM ABC S S 1 , . 3 BPMQ BQM V d P ABC S 1 1 , . 6 4 ABC d D ABC S 1 1 . , . 8 3 ABC d D ABC S 8 V 4 AMNPQ V V . Câu 4: (S G D H à T ĩn h – L ần 2 n ăm 2017 – 20 18 ) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có góc giữa hai mặt phẳng A BC  và ABC bằng 60 , cạnh AB a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 4 V a . B. 3 3 4 V a . C. 3 3 3 8 V a . D. 3 3 V a . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M là trung điểm của BC suy ra AM BC  1 Ta có BC AM BC A M BC AA       2 Mặt khác ABC A BC BC   3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra ; 60 ABC A BC A MA    . Vì tam giác ABC đều nên 2 3 4 ABC a S  và 3 2 a AM . Ta có 3 .tan 60 2 a AA AM   . Vậy 2 3 . 3 3 3 3 . . 2 4 8 ABC A B C ABC a a a V AA S      . Câu 5: (TH P T Chuyê n Võ Ng uy ên Gi á p – Q u ảng B ìn h - n ăm 201 7 - 20 18) Cho tứ diện SABC và hai điểm M , N lần lượt thuộc các cạnh SA , SB sao cho 1 2 SM AM , 2 SN BN . Mặt phẳng P đi qua hai điểm M , N và song song với cạnh SC , cắt AC , BC lần lượt tại L , K . Tính tỉ số thể tích SCMNKL SABC V V . A. 4 9 SCMNKL SABC V V . B. 1 3 SCMNKL SABC V V . C. 2 3 SCMNKL SABC V V . D. 1 4 SCMNKL SABC V V . Hướng dẫn giải Chọn A Chia khối đa diện SCMNKL bởi mặt phẳng NLC được hai khối chóp . N SMLC và . N LKC . Vì SC song song với MNKL nên // // SC ML NK . Ta có: . . 1 d ; . 3 1 d ; . 3 SMLC N SMLC B SAC SAC N SAC S V V B SAC S  . 1 AML SAC S NS BS S       2 2 2 2 10 1 . 1 . 3 3 3 3 27 AM AL AS AC         . . . 1 d ; . 3 1 d ; . 3 KLC N KLC S ABC ABC N ABC S V V S ABC S   . . NB LC CK SB AC CB 1 1 2 . . 3 3 3 2 27 . Suy ra SCMNKL SABC V V . . . . N SMLC N KLC B SAC S ABC V V V V 10 2 27 27 4 9 . Câu 6: ( SGD B ắc Ni nh – L ần 2 - năm 201 7 - 20 18) Cho hình chóp đều . S ABC có 1 SA . Gọi , D E lần lượt là trung điểm của hai cạnh , SA SC . Tính thể tích khối chóp . S ABC , biết đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng AE . A. . 2 12 S ABC V . B. . 21 54 S ABC V . C. . 12 4 S ABC V . D. . 21 18 S ABC V . Lời giải Chọn B Giả sử cạnh đáy có độ dài a ; SH h . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: 0;0;0 I ; ;0;0 2 a A     ; ;0;0 2 a B     ; 3 0; ;0 2 a C       ; 3 0; ; 6 a S h       ; 3 ; ; 4 12 2 a a h D       ; 3 0; ; 3 2 a h E       . Lại có BD AE  6 . 0 7 BD AE a h         2 3 6 . 3 7 a 2 7 3 3 a h . Vậy . 2 . 3 1 7 21 3 . . 3 3 4 54 S ABCD V . Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC  bằng 6 a . Thể tích khối lăng trụ bằng A. 3 3 2 4 a . B. 3 3 2 8 a . C. 3 3 2 28 a . D. 3 3 2 16 a . Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC  bằng 6 a . Thể tích khối lăng trụ bằng A. 3 3 2 4 a . B. 3 3 2 8 a . C. 3 3 2 28 a . D. 3 3 2 16 a . Lời giải Chọn D M C B A' C' B' A H O Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên ' A M . Ta có BC AM BC AA M BC AH BC AA          (1) Mà 2 AH A M   Từ (1) và (2) , d A A BC AH  . Ta có , 1 3 , d O A BC MO MA d A A BC   (do tính chất trọng tâm). , 3 , 2 a d A A BC d O A BC   2 a AH . Xét tam giác vuông ' A AM : 2 2 2 1 1 1 AH AA AM  2 2 2 1 4 4 3 3 2 2 a AA AA a a   . Suy ra thể tích lăng trụ . ' ABC A B C   là: 2 3 3 3 3 2 . . 4 16 2 2 ABC a a a V AA S   . Câu 9: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Biết thể tích của khối chóp . S ABCD bằng 3 3 a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBE . A. 2 3 a . B. 2 3 a . C. 3 a . D. 3 3 a . Câu 10: Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và 120 BCD  . SA ABCD  và SA a . Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp . S AMNP . A. 3 3 42 a . B. 3 2 3 21 a . C. 3 3 14 a . D. 3 3 12 a . Câu 11: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Biết thể tích của khối chóp . S ABCD bằng 3 3 a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBE . A. 2 3 a . B. 2 3 a . C. 3 a . D. 3 3 a . Lời giải Chọn A M H F E D C B A S Ta có 3 1 . 3 3 ABCD a V SA S SA a . Gọi M là trung điểm BC AM BE  tại F . Ta lại có SA ABCD  SA BE  . BE SAF  . Suy ra SBE SAF  theo giao tuyến SF . Trong SAF , kẻ AH SF  thì AH SBE  . Ta có: ABF AMB   ∽ AF AB AB AM 2 2 2 2 5 5 AB a AF AB BM . Tam giác SAF có 2 2 2 1 1 1 AH SA AF 2 2 . 2 3 SA AF AH a SA AF . Câu 12: Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a , tam giác BCD cân tại C và 120 BCD  . SA ABCD  và SA a . Mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích khối chóp . S AMNP . A. 3 3 42 a . B. 3 2 3 21 a . C. 3 3 14 a . D. 3 3 12 a . Lời giải Chọn A Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABD và I là trung điểm BD thì 3 2 a AI ; 1 3 3 6 a OI AI . Tam giác ICD vuông I có 60 ICD  , 1 2 2 a ID BD và 3 .cot 60 6 a IC ID  . O và C đối xứng nhau qua đường thẳng BD 2 3 3 a AC AI IC . Khi đó BD AC BD SAC BD SA     BD SC  Mà SC P  nên // BD P Do đó // P SBD MP MP BD SBD ABCD BD    Lại có BD SAC BD AN AN SAC     AN MP  Tam giác SAC vuông tại A có 2 . SN SC SA 2 2 SN SA SC SC 2 2 2 3 7 SN SA SC SA AC Tam giác ABC có 2 SD a ; 2 2 3 3 a BC IC IB và 2 2 2 AC AB BC tam giác ABC vuông tại B BC SAB  ; AM SAB  BC AM  Lại có tam giác SAB vuông nên AM SB  M là trung điểm SB 1 2 SM SB Mà // MP BD nên 1 2 SP SM SD SB Mặt khác ABCD ABC BCD S S S   2 2 0 3 1 3 . .sin120 4 2 3 a a CB CD . Suy ra 3 . 3 9 S ABCD a V V . Khi đó . . . S AMN S ABC V SM SN V SB SC 3 1 3 . 7 2 14 . 3 28 S ANP V V . Do đó . 3 28 S ANM V V . Vậy . . 3 14 S AMNP S ABCD V V 3 . 3 42 S AMNP a V . S A D C B M N P I O KCâu 13: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Gọi O là điểm bất kỳ trên mặt đáy ABCD . Biết thể tích khối chóp . O MNPQ bằng V . Tính thể tích khối . S ABCD . A. 27 8 V . B. 27 2 V . C. 9 4 V . D. 27 4 V . Lời giải Chọn B Ta có, diện tích 2 2 1 2 . . .S .S 3 9 2 9 MNPQ M N P Q ABCD ABCD S S          . Đường cao của khối . O MNPQ là . . 1 3 O MNPQ S ABCD h h . Suy ra . . 2 27 27 2 S ABCD S ABCD V V V V . Câu 14: Cho khối chóp tứ giác . S ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là 1 V và 2 V 1 2 V V . Tính tỉ lệ 1 2 V V . A. 8 27 . B. 16 81 . C. 8 19 . D. 16 75 . Câu 15: Cho khối chóp tứ giác . S ABCD . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là 1 V và 2 V 1 2 V V . Tính tỉ lệ 1 2 V V . A. 8 27 . B. 16 81 . C. 8 19 . D. 16 75 . Lời giải Chọn C Gọi 1 G , 2 G , 3 G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SAD , SAC . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB , AC thì 3 1 2 3 SG SG SI SJ 1 3 // G G IJ 1 3 // G G ABC . Chứng minh tương tự ta có 2 3 // G G ABC . Suy ra 1 2 3 // G G G ABCD . Qua 1 G dựng đường song song với AB , cắt SA , SB lần lượt tại M , N . Qua N dựng đường song song với BC , cắt SC tại P . Qua P dựng đường song song với CD , cắt SD tại Q . Thiết diện của hình chóp . S ABCD khi cắt bới 1 2 3 G G G là tứ giác MNPQ . Ta có . . S MNP S ABC V V . . . . SM SN SP SA SB SC 8 27 . . 8 27 S MNP S ABC V V (1) Tương tự ta cũng có . . 8 27 S MPQ S ACD V V (2) Từ (1) và (2) suy ra . . 8 27 S MNPQ S ABCD V V 1 8 27 V V 2 1 19 27 V V V V . Vậy 1 2 8 19 V V . Câu 16: Cho hình lăng trụ .    ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . cạnh 2 BC a và 60  ABC . Biết tứ giác   BCC B là hình thoi có  B BC nhọn. Biết   BCC B vuông góc với ABC và   ABB A tạo với ABC góc 45 . Thể tích của khối lăng trụ .    ABC A B C bằng A. 3 7 a . B. 3 3 7 a . C. 3 6 7 a . D. 3 3 7 a . ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D C D D A D C C C C D A D C A B C D A B B A B C A 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 D D D B C C B A A B C D A B B A C A B D A C C D B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 17: Cho hình lăng trụ .    ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . cạnh 2 BC a và 60  ABC . Biết tứ giác   BCC B là hình thoi có  B BC nhọn. Biết   BCC B vuông góc với ABC và   ABB A tạo với ABC góc 45 . Thể tích của khối lăng trụ .    ABC A B C bằng A. 3 7 a . B. 3 3 7 a . C. 3 6 7 a . D. 3 3 7 a . Lời giải Chọn B 60  2a 2a K H C' B' A' C B A Do ABC là tam giác vuông tại , A cạnh 2 BC a và 60  ABC nên AB a , 3 AC a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của  B lên BC H thuộc đoạn BC (do  B BC nhọn)   B H ABC (do   BCC B vuông góc với ABC ). Kẻ HK song song AC K AB  HK AB (do ABC là tam giác vuông tại A ). , 45 (1)         ABB A ABC B KH B H KH Ta có  BB H vuông tại H 2 2 4 (2)  BH a B H Mặt khác HK song song AC BH HK BC AC .2 (3) 3 HK a BH a Từ (1), (2) và (3) suy ra 2 2 .2 4 3   B H a a B H a 12 7  B H a . Vậy 3 . ' ' 1 3 . . . 2 7    ABC A B C ABC a V S B H AB AC B H . Câu 18: Cho khối lăng trụ . ABC A B C   . Gọi E là trọng tâm tam giác A B C    và F là trung điểm BC . Tính tỉ số thể tích giữa khối . B EAF  và khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 1 4 . B. 1 8 . C. 1 5 . D. 1 6 . Câu 19: Cho khối lăng trụ . ABC A B C   . Gọi E là trọng tâm tam giác A B C    và F là trung điểm BC . Tính tỉ số thể tích giữa khối . B EAF  và khối lăng trụ . ABC A B C   . A. 1 4 . B. 1 8 . C. 1 5 . D. 1 6 . Lời giải Chọn D E M F A A' C C' B B' Ta có M là trung điểm của B C   khi đó 1 2 EAF AA MF S S  và , , d B AA MF d B AEF    . Vì . . . B AA MF ABF A B M B ABF V V V      . . 1 3 ABF A B M ABF A B M V V     . 2 3 ABF A B M V   Suy ra . 1 2 B EAF B AA MF V V    . 1 2 . . 2 3 ABF A B M V   . 1 1 . . 3 2 ABC A B C V    . 1 . 6 ABC A B C V    . Câu 20: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC đều cạnh bằng a và chu vi của mặt bên ' ' ABB A bằng 6a . Thể tích của khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C bằng A. 3 3 2 a . B. 3 3 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 6 a . Câu 21: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC đều cạnh bằng a và chu vi của mặt bên ' ' ABB A bằng 6a . Thể tích của khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C bằng A. 3 3 2 a . B. 3 3 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 6 a . Hướng dẫn giải Chọn A A C B B' C' A' Chu vi của hình chữ nhật 2 ' 6 ' 2 AB AA a AA a Thể tích khối lăng trụ 2 3 3 3 .2 4 2 a a V Bh a . Câu 22: Cho hình chóp . S ABC có đường cao 2 SA a , tam giác ABC vuông tại C , 2 AB a , 30 CAB  . Gọi H là hình chiếu của A trên SC , B  là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng SAC . Thể tích của khối chóp . H AB B  bằng A. 3 3 7 a . B. 3 6 3 7 a . C. 3 4 3 7 a . D. 3 2 3 7 a . Câu 23: Cho hình chóp . S ABC có đường cao 2 SA a , tam giác ABC vuông tại C , 2 AB a , 30 CAB  . Gọi H là hình chiếu của A trên SC , B  là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng SAC . Thể tích của khối chóp . H AB B  bằng A. 3 3 7 a . B. 3 6 3 7 a . C. 3 4 3 7 a . D. 3 2 3 7 a . Lời giải Chọn D Xét tam giác ABC ta có cos 3 AC CAB AC a AB và 2 2 BC AB AC a . Xét tam giác SAC ta có 2 2 7 SC SA AC a và 2 2 3 7 . 7 AC a HC SC AC HC SC Xét tam giác SAC ta có sin 1 SA SCA SC Xét tam giác HIC ta có sin 2 HI HCI HC Từ 1 và 2 ta có . 6 7 SA HC a HI SC . Ta có 3 . 1 1 6 1 1 6 1 2 3 . . . . . . . 3.2 3 3 7 2 3 7 2 7 H AB B AB B a a V HI S AC BB a a a    . Câu 24: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên 2 SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng A. 5 5 . B. 3 2 . C. 2 5 5 . D. 2 3 3 . Câu 25: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên 2 SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng A. 5 5 . B. 3 2 . C. 2 5 5 . D. 2 3 3 . Lời giải Chọn C M S B C D A M S B C D AChọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho 1 a sao cho 0;0;0 A , 0;1;0 B , 1;0;0 D , 0;0;2 S Ta có M là trung điểm SD 1 ;0;1 2 M     , 1;1;0 C . 1 ;0;1 2 AM          , 1;1;0 AC     , 1 , 1;1; 2 AM AC                 AMC có một vtpt 2;2;1 n  0;1; 2 SB    , 1;1; 2 SC     , , 0;2;1 SB SC           SBC có một vtpt 0;2;1 k  Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AMC và SBC thì . cos . n k n n     5 3 Do tan 0 nên 2 1 tan 1 cos 2 5 5 . Câu 26: Cho tứ diện ABCD có 3 BC , 4 CD , 90 BCD ABC ADC  . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 60 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . A. 127 127 6  . B. 52 13 3  . C. 28 7 3  . D. 32 3  . Câu 27: Cho lăng trụ đều . ABC EFH có tất cả các cạnh bằng a . Gọi S là điểm đối xứng của A qua BH . Thể tích khối đa diện ABCSFH bằng A. 3 3 3 a . B. 3 6 a . C. 3 3 6 a . D. 3 2 a . Câu 28: Cho tứ diện ABCD có 3 BC , 4 CD , 90 BCD ABC ADC  . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 60 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . A. 127 127 6  . B. 52 13 3  . C. 28 7 3  . D. 32 3  . Lời giải Chọn B 60° 4 3 E D C B A Dựng hình chữ nhật BCDE . Khi đó, ta có: CD AD CD AE CD DE       1 DE AB DE AE BE DE       2 Từ 1 và 2 suy ra AE CDE  . Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCDE , mặt cầu này có đường kính là AC . Lại có , 60 AD BC ADE  6 2 13 AD AC . Do đó, bán kính mặt cầu này là 1 13 2 R AC . Vậy thể tích của mặt cầu là 3 4 52 13 3 3 V R   . Câu 29: Cho lăng trụ đều . ABC EFH có tất cả các cạnh bằng a . Gọi S là điểm đối xứng của A qua BH . Thể tích khối đa diện ABCSFH bằng A. 3 3 3 a . B. 3 6 a . C. 3 3 6 a . D. 3 2 a . Lời giải Chọn A Thể tích của khối lăng trụ đều . ABC EFH là 2 3 3 3 . . 4 4 ABC a a V S AE a . Thể tích khối chóp . A BCHF là . . 1 2 3 3 A BCHF A EFH V V V V V V . Gọi M AS BH  thì M là trung điểm AS nên d , d , A BCHF S BCHF . Do đó . . A BCHF S BCHF V V . Thể tích khối đa diện ABCSFH là . . ABCSFH A BCHF S BCHF V V V 3 4 4 3 . 3 3 4 a V 3 3 3 a . S H F A C B E M Câu 30: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cho biết AB a , 2 SA SD . Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc o 60 . Thể tích khối chóp . S ABCD là A. 3 3 2 a . B . 3 5 2 a . C. 3 5a . D . 3 15 2 a . Câ u 31: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cho biết AB a , 2 SA SD . Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc o 60 . Thể tích khối chóp . S ABCD là A . 3 3 2 a . B . 3 5 2 a . C. 3 5a . D . 3 15 2 a . Lời giải Chọn B a I B C A D S H Gọi H là hình chiếu của S lên cạnh AD , I là hình chiếu của H lên cạnh BC , ta có SH ABCD  và BC SHI  ; SBC ABCD SIH o 60 . Suy ra 3 SH a . Trong tam giác vuông SAD đặt 2 2 SA SD x nên từ . SA SD SH AD ta có 2 3 5 x a . Do đó 15 2 a x . Suy ra 5 AD x 5 3 2 a . Thể tích khối chóp . S ABCD là 1 5 3 . . 3 3 2 a V a a 3 5 2 a . Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng 1 1 1 . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 4 AB , 6 BC ; chiều cao của lăng trụ bằng 10. Gọi K , M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh 1 BB , 1 1 A B , BC . Thể tích khối tứ diện 1 C KMN . A. 15. B. 45 . C. 5 . D. 10. Câu 33: Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính có bán kính bằng 1 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng P . Mặt cầu S bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng trên. Gọi M là điểm bất kỳ trên S , MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng P . Giá trị lớn nhất của MH là A. 123 3 4 . B. 52 9 . C. 30 3 2 . D. 69 3 3 . Câu 34: Cho hình lăng trụ đứng 1 1 1 . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 4 AB , 6 BC ; chiều cao của lăng trụ bằng 10. Gọi K , M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh 1 BB , 1 1 A B , BC . Thể tích khối tứ diện 1 C KMN . A. 15. B. 45 . C. 5 . D. 10. Hướng dẫn giải Chọn A N M K C 1 B 1 B C A A 1 Xem tứ diện 1 C KMN là hình chóp có đỉnh M , đáy 1 NKC ta có 1 1 1 1 ,( ) 3 C KMN NKC V S d M NKC   Ta có 1 1 1 1 1 1 NKC BCC B NKB NC C KC B S S S S S     15 60 15 15 2 45 2 . 1 1 1 , , d M NKC d M BCC B 1 MB 2 (do 1 1 1 MB BCC B  ) Vậy 1 1 45 2 3 2 C KMN V   15 . Câu 35: Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính bằng 1 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng P . Mặt cầu S bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng trên. Gọi M là điểm bất kỳ trên S , MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng P . Giá trị lớn nhất của MH là A. 123 3 4 . B. 52 9 . C. 30 3 2 . D. 69 3 3 . Hướng dẫn giải Chọn D Coi tâm quả ba quả cầu nhỏ là A , B , C và tâm của quả cầu lớn bên trên là S . Ta được chóp đều . S ABC có cạnh đáy là 2 và cạnh bên là 3 . Gọi O là chân dường cao của chóp . S ABC . Suy ra MH lớn nhất khi M , S , O , H thẳng hàng. max 2 1 3 MH SO SO . Ta có: 2 2 2 2 2 69 3 . 3 3 3 SO SA AO     . Suy ra: max 69 3 3 3 MH SO . Câu 36: Cho hình chóp đều . S ABC có góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 6 7 7 . Thể tích V của khối chóp . S ABC bằng A. 8 3 3 V . B. 5 7 3 V . C. 10 7 3 V . D. 5 3 2 V . Câu 37: Cho hình chóp đều . S ABC có góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 6 7 7 . Thể tích V của khối chóp . S ABC bằng A. 8 3 3 V . B. 5 7 3 V . C. 10 7 3 V . D. 5 3 2 V . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I là trung điểm của BC AI BC  , SI BC  BC SAI  . Kẻ IK SA  , IK d SA BC 6 7 7 . Gọi H là trọng tâm tam giác ABC SH ABC   , SBC ABCD SIA 60  . Đặt AB a 3 2 a AI 1 3 IH AI 3 6 a .tan 60 SH IH  2 a 2 2 SA SH AH 21 6 a . Lại có: . . SH AI SA IK 3 21 6 7 . . 2 2 6 7 a a a 4 a 2 SH ; 2 4 . 3 4 ABC S 4 3 . Vậy 1 .2.4 3 3 V 8 3 3 . Câu 38: Chọn ngẫu nhiên 3 đường thẳng chứa 3 cạnh khác nhau của một hình bát diện đều. Tìm xác suất để các véc tơ chỉ phương của 3 đường thẳng đó đồng phẳng. A. 23 55 . B. 7 11 . C. 1 5 . D. 17 55 . Câu 39: Chọn ngẫu nhiên 3 đường thẳng chứa 3 cạnh khác nhau của một hình bát diện đều. Tìm xác suất để các véc tơ chỉ phương của 3 đường thẳng đó đồng phẳng. A. 23 55 . B. 7 11 . C. 1 5 . D. 17 55 . Lời giải Chọn A Hình bát diện đều có 12 cạnh. Số phần từ của không gian mẫu bằng 3 12 220 C . Gọi A là biến cố chọn được 3 cạnh mà các đường thẳng chứa 3 cạnh đó có 3 vectơ chỉ phương đồng phẳng. Cách 1: TH1: Chọn 3 cạnh nằm trong một mặt phẳng: có 8 mặt bên là tam giác đều và 3 mặt chéo là hình vuông. Có 3 3 3 4 8 3 20 C C cách. TH2: Chọn 2 cạnh của một mặt bên và cạnh còn lại song song với mặt mặt đó. Có 8 mặt bên được chọn, ứng với mỗi mặt có 2 3 C cách chọn cặp cạnh, ứng với mỗi cách chọn cặp cạnh đó có 3 cách chọn cạnh còn lại song song với 1 trong 3 cạnh của mặt bên, vậy có 2 3 8. .3 72 C cách. Do đó 20 72 92 n A . Vậy xác suất cần tính bằng: 92 23 220 55 P A . Cách 2: Ta thấy nếu 3 véc tơ của 3 đường thẳng chứa 3 cạnh được chọn đồng phẳng thì: 3 cạnh được chọn không có 2 cạnh nào song song thì 3 cạnh đó phải song song hoặc nằm trong một mặt phẳng, mặt phẳng đó là mặt “bên” ( ABC ; ACB  ; …) của bát diện (TH1) hoặc mặt chéo ( ACA C   ; ABA B   ; BCB C   ) (TH2). 3 cạnh được chọn có 2 cạnh song song, cạnh còn lại bất kì. (TH3) TH1: 3 cạnh song song hoặc nằm trong một mặt bên: ABC : Có các cạnh thỏa mãn là AB , AC , BC , A C   , C B  , B A   . Có các bộ thỏa mãn là: AB BC AC ; AB AC C B   ; AB BC C A   ; AC BC A B   ; AB C B C A     ; AC C B A B     ; BC A B A C     ; A B A C B C       . Tất cả có 8 cặp. Do có 8 mặt bên chia thành 4 (vì có 2 mặt đối song song với nhau) nên suy ra có: 8.4 32 cách. TH2: Với mỗi mặt chéo thì có 4 cạnh nên khi chọn 3 cạnh luôn có 2 cạnh song song nên TH này bị tính ở trường hợp 3 (TH3). TH3: Có 6 cặp cạnh song song ( AB A B   ;…) với mỗi cặp cạnh song song đó sẽ có thêm 10 cách chọn cạnh còn lại. Vậy sẽ có: 60 cách. Tổng hợp lại ta có: 60 32 92 cách. Vậy xác suất cần tính bằng: 92 23 220 55 P A . Câu 40: Một hình đa diện có các mặt là các tam giác có số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãn hệ thức nào dưới đây A. 3 2 C M . B. 2 C M . C. 3 2 M C . D. 2C M . Câu 41: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh 6 BC a . Góc giữa mặt phẳng AB C  và mặt phẳng BCC B   bằng 60  . Tính thể tích khối đa diện AB CA C   . A. 3 3 a . B. 3 3 3 2 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 3 a . Câu 42: Một hình đa diện có các mặt là các tam giác có số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãn hệ thức nào dưới đây A. 3 2 C M . B. 2 C M . C. 3 2 M C . D. 2C M . Lời giải Chọn C Mỗi mặt của đa diện trên là một tam giác (3 cạnh) Số mặt của đa diện là M  tổng tất cả số cạnh tạo nên tất cả tam giác thuộc đa diện đó là 3M . Nếu cắt nhỏ các đa giác ra khỏi khối đa diện, ta thấy mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng hai tam giác  Tổng số cạnh tạo nên tất cả các tam giác là 2C Vậy ta có 3 2 M C . Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh 6 BC a . Góc giữa mặt phẳng AB C  và mặt phẳng BCC B   bằng 60  . Tính thể tích khối đa diện AB CA C   . A. 3 3 a . B. 3 3 3 2 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 3 a . Lời giải Chọn A I a 6 C' B' A' C B A a 6 2 a 6 H I B' B C' C A a Gọi I là trung điểm BC , ta có AI BC AI BB C C AI CC        và 6 2 a AI (trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền). Kẻ IH B C   mà AI B C   suy ra AH B C   Vậy góc giữa mặt phẳng AB C  và mặt phẳng BCC B   là 60 AHI  . Ta có 2 tan 60 2 AI a IH  ; 2 2 CH CI IH a Mặt khác CIH CB B     IH CH B B CB  . 3 IH CB BB a CH  . 3 1 1 6 . . . . 3. 6 3 3 3 2 AB CA C ABB C C BCC B a V V AI S a a a        Câu 44: Cho hình chóp đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBD và SCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. tan 6  . B. 2 tan 2  . C. 3 tan 2  . D. tan 2  . Câu 45: Cho hình chóp đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBD và SCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. tan 6  . B. 2 tan 2  . C. 3 tan 2  . D. tan 2  . Lời giải Chọn D Cách 1 : Ta có: OC BD OC SO    OC SBD OC SD   1 Trong mặt phẳng SBD , kẻ OH SD  tại H 2 Từ 1 và 2 SD COH SD CH   . Ta có: , , SBD SCD SD OH SBD OH SD CH SCD CH SD       ; ; SBD SCD OH CH OHC  . Có 1 2 2 2 a OC AC ; 2 2 2 2 BD SB SD a SBD  vuông cân tại S 1 2 2 2 a SO BD Xét SOD  vuông tại O , đường cao OH : . 2 SO OD a OH SD . Vậy tan 2 OC OH  . Cách 2: Ta có: OC BD OC SO    OC SBD  Do đó tam giác SOD là hình chiếu của tam giác SCD lên mặt phẳng SBD . Suy ra: .cos SOD SCD S S    Tam giác SCD đều cạnh a nên 2 3 4 SCD a S  . Ta có: 2 2 a OD và 2 2 2 2 a SO SD OD nên 2 1 . 2 4 SOD a S OD SD  . Do đó: 1 cos 3 SOD SCD S S    từ đây suy ra sin tan cos    2 1 cos 2 cos   . Câu 46: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC , CD và SA . Mặt phẳng MNP chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là 1 V và 2 V . Biết rằng 1 2  V V , tính tỉ số 1 2 . V V A. 1. B. 1 2 . C. 5 6 . D. 2 3 . Câu 47: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC , CD và SA . Mặt phẳng MNP chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt là 1 V và 2 V . Biết rằng 1 2  V V , tính tỉ số 1 2 . V V A. 1. B. 1 2 . C. 5 6 . D. 2 3 . Lời giải Chọn A Q P B U H A T S Q R P K H N M A B D C S Ta có 1 3 BH AH suy ra B là trọng tâm của tam giác SAT . Do đó, 1 1 2 4 BQ BH BQ BU AB BS . Tương tự ta có, 1 4 DR SD . . . . . 1 3 3 3 . . 2 4 8 32 S PRN S PRN S ADN S ABCD V V SP SR V SA SD V . Tương tự, ta có . . 3 32 S PQM S ABCD V V . Lại có . . . . 1 3 2 16 S PMN S PMN S AMN S ABCD V V SP V SA V . . . 1 8 S MNC S ABCD V V . Suy ra thể tích khối đa diện chứa đỉnh S là 1 3 3 3 1 1 32 32 16 8 2 SABCD SABCD V V V     . Vậy 1 2 1 V V . Câu 48: Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D     có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng ABCD là trung điểm AB , góc giữa mp A CD  và mặt phẳng ABCD là 60 . Thể tích của khối chóp B ABCD  là 3 8 3 3 a . Tính theo a độ dài đoạn thẳng AC . A. 3 2 2 a . B. 2a . C. 2a . D. 2 2a . Câu 49: Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D     có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng ABCD là trung điểm AB , góc giữa mp A CD  và mặt phẳng ABCD là 60 . Thể tích của khối chóp B ABCD  là 3 8 3 3 a . Tính theo a độ dài đoạn thẳng AC . A. 3 2 2 a . B. 2a . C. 2a . D. 2 2a . Lời giải Chọn D 60 ° I C' B' D' H D A B C A' Ta có: ; 60 A CD ABCD A IH    Gọi AB x . Ta có: ' 3 A H x . Mặt khác: 3 3 2 . 1 8 3 1 8 3 . . . 3. 2 3 3 3 3 B ABCD ABCD a a V A H S x x x a   Vậy 2 2 AC a . Câu 50: Cho tứ diện ABCD có 4 AB CD , 5 AC BD , 6 AD BC . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng BCD . A. 3 6 7 . B. 3 2 5 . C. 3 42 7 . D. 7 2 . Câu 26. Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình chữ nhật 12 SA a , SA ABCD  và 3 AB a , 4 AD a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . A. 6,5 R a . B. 13 R a . C. 12 R a . D. 6 R a . Câu 51: Cho tứ diện ABCD có 4 AB CD , 5 AC BD , 6 AD BC . Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng BCD . A. 3 6 7 . B. 3 2 5 . C. 3 42 7 . D. 7 2 . Lời giải Chọn C Dựng M , N , P sao cho B là trung điểm MN , C là trung điểm NP , D là trung điểm MP . Khi đó // MN CD và 2 2 MN CD AB AMN  vuông tại A . // NP BD và 2 2 NP BD AC ANP  vuông tại A . // MP BC và 2 2 MP BC AD AMP  vuông tại A . Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 64 54 100 10 10 144 90 3 10 AM AM AN MN AM AN AP NP AN AN AM AP MP AP AP    . Ta có . 1 . . 15 6 6 A MNP V AM AN AP . 1 15 6 4 4 ABCD A MNP V V . Diện tích tam giác BCD : 15 7 4 BCD S p p a p b p c . Ta có 3 3 42 , 7 ABCD BCD V d A BCD S . Có thể tính thể tích khối tứ diện theo công thức nhanh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 6 12 4 ABCD V a b c b c a a c b . Câu 31. Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình chữ nhật 12 SA a , SA ABCD  và 3 AB a , 4 AD a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD . A. 6,5 R a . B. 13 R a . C. 12 R a . D. 6 R a . Lời giải Chọn A Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm I của SC . B C D D M N P 5 4 6Ta có: 2 2 2 2 AS AC AI         2 2 1 2 AS AC . 2 2 2 1 2 AI AS AB BC 2 2 2 1 12 3 4 6,5 2 a a . Câu 52: Cho hình chóp . S ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các mặt bên SAB , SAC , SBC lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là o 30 , o 45 , o 60 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC . a N B A S C H M A. 3 3 8 4 3 a V . B. 3 3 2 4 3 a V . C. 3 3 4 4 3 a V . D. 3 3 4 3 a V . Câu 53: Cho hình chóp . S ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các mặt bên SAB , SAC , SBC lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là o 30 , o 45 , o 60 . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC . a N B A S C H M A. 3 3 8 4 3 a V . B. 3 3 2 4 3 a V . C. 3 3 4 4 3 a V . D. 3 3 4 3 a V . Hướng dẫn giải Chọn A h a N B A S C H M P Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh BC , AB , AC ; h là chiều cao của khối chóp . S ABC . Khi đó, o 30 SNH , o 45 SPH , o 60 SMH . Mà ABC HAB HAC HBC S S S S     2 3 1 4 2 a a HN NM HP 3 2 a HN NM HP . o o o 3 tan 30 tan 45 tan 60 2 a h o o o 3 tan 30 tan 45 tan 60 2 a h 4 3 3 2 3 a h 3 2 4 3 a h . Thể tích khối chóp . S ABC là 1 . 3 ABC V S h  2 1 3 3 . . 3 4 2 4 3 a a 3 3 8 4 3 a . Câu 54: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh 2 AD CD . Biết hai mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn 6 BD ; góc giữa SCD và mặt đáy bằng 60 . Hai điểm , M N lần lượt là trung điểm của , SA SB . Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng A. 128 15 15 . B. 16 15 15 . C. 18 15 5 . D. 108 15 25 . Câu 55: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh 2 AD CD . Biết hai mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với mặt đáy và đoạn 6 BD ; góc giữa SCD và mặt đáy bằng 60 . Hai điểm , M N lần lượt là trung điểm của , SA SB . Thể tích khối đa diện ABCDMN bằng A. 128 15 15 . B. 16 15 15 . C. 18 15 5 . D. 108 15 25 . Lời giải Chọn C I N M O D B C A S Gọi O AC BD  . Do , SAC ABCD SBD ABCD   SO ABCD  . Theo tính chất hình chữ nhật: 2 2 2 AD CD BD 2 2 6 5 6 5 CD CD và 12 5 AD . Khi đó diện tích đáy: 72 . 5 ABCD S AD CD . Gọi I là trung điểm của CD . Do , CD SO CD OI CD SOI    CD SI  , , 60 SCD ABCD SI OI SIO . Trong tam giác SOI vuông tại O , 6 , 60 2 5 AD OI SIO  có: 6 3 .tan 60 5 SO OI  . Thể tích . S ABCD là 1 1 72 6 3 144 15 . . . . 3 3 5 25 5 ABCD V S SO . Ta có . . 2 S ABD S BCD V V V . Do 1 4 SMN SAB S S   1 1 4 8 SMND SABD V V V . Do N là trung điểm của SB 1 , , 2 d N SCD d B SCD 1 1 2 4 SCDN SBCD V V V . Ta có: . 3 8 S CDMN SMND SCDN V V V V 3 5 18 15 8 8 5 ABCDMN V V V V . Câu 56: Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D     có đáy là hình thoi cạnh bằng a và 120 ABC . Góc giữa cạnh bên AA  và mặt đáy bằng 60  , điểm A  cách đều các điểm A , B , D . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 3 a . B. 3 3 2 a . C. 3 3 12 a . D. 3 3 6 a . Câu 57: Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D     có đáy là hình thoi cạnh bằng a và 120 ABC . Góc giữa cạnh bên AA  và mặt đáy bằng 60  , điểm A  cách đều các điểm A , B , D . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 3 a . B. 3 3 2 a . C. 3 3 12 a . D. 3 3 6 a . Lời giải Chọn B I D' C' B' A' G D C B A Ta có điểm A  cách đều các đỉnh A , B , D cho nên điểm A  sẽ nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD . Ta có 120 ABC  nên 60 ABD  tam giác ABD là tam giác đều Vậy ta có A G ABD   với G là trọng tâm tâm tam giác ABD . Dễ thấy , , A A ABCD A A GA A AG      60  . Tam giác ABD đều, AI là trung tuyến ( I AC BD  ) 3 2 AI a ; 2 3 3 3 a AG AI . Ta có 3 3 . 1 cot 60 3 a AG A G a   . Thể tích khối lăng trụ 1 .S .2S .2. . . .sin 60 2 ABCD ABD V A G A G a a a    3 3 2 a . Câu 58: Cho hình chóp đều . S ABC có 2cm SA và cạnh đáy bằng 1cm . Gọi M là một điểm thuộc miền trong của hình chóp này sao cho 2 3 SM SG         , với G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Gọi a , b , c lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng SAB , SAC , SBC . Tính giá trị của biểu thức P a b c . A. 165 45 P . B. 7 165 45 P . C. 2 165 135 P . D. 2 165 45 P . Câu 59: Cho hình chóp đều . S ABC có 2cm SA và cạnh đáy bằng 1cm . Gọi M là một điểm thuộc miền trong của hình chóp này sao cho 2 3 SM SG         , với G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Gọi a , b , c lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt phẳng SAB , SAC , SBC . Tính giá trị của biểu thức P a b c . A. 165 45 P . B. 7 165 45 P . C. 2 165 135 P . D. 2 165 45 P . Lời giải Chọn D E G P N A B C S M K Cách 1: . S ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC là tam giác đều và G cũng là trọng tâm tam giác ABC . 2 3 3 3 2 3 AG  , 1 3 3 3 2 6 GN  , 2 2 33 3 SG SA AG . , d M SAB , d M SAC , d M SBC 2 , 3 d G SBC 2 3 GK 2 2 2 . 3 SG GN SG GN  2 165 3 45  . Suy ra 2 165 45 P a b c . Cách 2: 2 2 ; 3 3 a b c d G SAC GK 2 2 2 1 1 1 GK GN GS 11 35 GK 11 2 165 3 35 45 a b c . Câu 60: Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 12 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 6 a . Câu 61: Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 12 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 6 a . Lời giải Chọn A G M B' C' A' A C B H Do ABC  đều trọng tâm G và A G ABC   nên . A ABC  là hình chóp đều. Gọi M là trung điểm của BC , khi đó 3 2 a AM 3 3 a AG . Gọi H là hình chiếu của M trên AA  . Khi đó do BC AA M   BC HM  nên HM là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA  và BC . Do đó 3 4 a HM . Đặt AA A B A C x    , khi đó 2 2 3 a A G x  . Do 2 . . AA M S A G AM MH AA     2 2 3 3 . . 2 3 4 a a a x x 2 3 a x . Do 2 3 4 ABC a S  , 3 a A G  3 . 3 . 12 ABC A B C ABC a V A G S      . Câu 62: Cho tứ diện ABCD có thể tích V , hai điểm M , P lần lượt là trung điểm AB , CD , điểm N thuộc đoạn AD sao cho 3 DA NA . Tính BMNP V . A. 16 V . B. 12 V . C. 4 V . D. 6 V . Câu 63: Cho tứ diện ABCD có thể tích V , hai điểm M , P lần lượt là trung điểm AB , CD , điểm N thuộc đoạn AD sao cho 3 DA NA . Tính BMNP V . A. 16 V . B. 12 V . C. 4 V . D. 6 V . Lời giải Chọn A Ta có 1 , . 3 BMNP BNP V d M BNP S 1 2 ABNP V 1 4 DBNP V 1 1 2 . . . 4 2 3 12 V V . Câu 64: Người ta dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 12 m và chiều rộng 6 m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau m x . Tìm x để không gian phía trong lều lớn nhất. A. 3 3 x . B. 3 x . C. 4 x . D. 3 2 x . Câu 65: Người ta dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 12 m và chiều rộng 6 m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau m x . Tìm x để không gian phía trong lều lớn nhất. A. 3 3 x . B. 3 x . C. 4 x . D. 3 2 x . Lời giải Chọn D Ta có thể tích của lều là 2 3 . 36 V x x . Để không gian phía trong lều lớn nhất thì max V . 2 2 2 36 3 . 36 3. 54 2 x x V x x  với mọi 0;6 x . Dấu " " xảy ra khi 2 36 3 2 x x x . Câu 66: Cho hình chóp . S ABC , có các cạnh bên SA , SB , SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30  . Biết 5 AB , 7 AC , 8 BC , tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng SBC . A. 35 13 52 d . B. 35 39 13 d . C. 35 39 52 d . D. 35 13 26 d . Câu 67: Cho hình chóp . S ABC , có các cạnh bên SA, SB , SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30  . Biết 5 AB , 7 AC , 8 BC , tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng SBC . A. 35 13 52 d . B. 35 39 13 d . C. 35 39 52 d . D. 35 13 26 d . Lời giải Chọn C A B C D M P NGọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  . Khi đó ta có SH ABC  và SA SB SC . Ta có 5 7 8 10 2 2 AB BC CA p 10 3 ABC S p p AB p BC p CA  . Mà . . . . 7 3 4 4 3 ABC ABC AB AC BC AB AC BC S R R S   . Ta lại có 3 7 tan 30 . 3 3 SH HC R  . 2 2 2 2 2 1 4 3 BC HM HC MC R 2 2 2 13 3 SM SH HM . . 1 1 . d , . 3 3 S ABC ABC SBC V SH S A SBC S      7 .10 3 . . 35 39 3 d , 1 52 1 2 13 . . .8 2 2 3 ABC ABC SBC SH S SH S A SBC S SM BC       . Câu 68: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng 1, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .  Gọi , , A B C    lần lượt là các điểm đối xứng của , , A B C qua S . Thể tích của khối đa diện ABCA B C    bằng A. 2 3 . 3 V B. 2 3. V C. 4 3 . 3 V D. 3 . 2 V Câu 69: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng 1, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .  Gọi , , A B C    lần lượt là các điểm đối xứng của , , A B C qua S . Thể tích của khối đa diện ABCA B C    bằng A. 2 3 . 3 V B. 2 3. V C. 4 3 . 3 V D. 3 . 2 V Lời giải Chọn A S A B C A' B' C' * Ta có BCB C   là hình bình hành nên . . 2 8 B AB C CA B B C A S ABC C V V V      . 60 A B C S G * Xét tam giác SAG  trong đó G là trọng tâm tam giác ABC  ta có: 3 tan 60 .tan 60 . 3 1 3 SG SG AG AG   . . 1 3 . . 3 12 S ABC ABC V SG S  2 3 . 3 ABCA B C V    Câu 1: (TH P T Chuyên Hù n g Vươn g - Ph ú Th ọ - l ầ n 1 - NH 201 7 - 2 018 ) Cho khối hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có thể tích bằng 2110 . Biết A M MA  ; 3 DN ND  ; 2 CP PC  . Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng A. 7385 18 . B. 5275 12 . C. 8440 9 . D. 5275 6 . Lời giải Chọn D Ta có: . . 1 1 1 1 5 2 2 2 3 12 MNPQ A B C D ABCD A B C D V A M C P V A A C C                     . . . 5 5 5275 2110 12 12 6 nho MNPQ A B C D ABCD A B C D V V V          . Câu 2: ----------------------------------- HẾT ----------------------------------- ( TH P T Ch uy ên Q ua n g Tr ung - B ìn h Phư ớ c - l ần 1 - nă m 2 017 - 201 8) Xét khối tứ diện ABCD , AB x , các cạnh còn lại bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất. A. 6 x . B. 2 2 x . C. 14 x . D. 3 2 x . Giải: Chọn D B  C  D  A  A D B C M N Q P B  C  D  A  A D B C M N P2 3 x 2 H M B D C A [Phương pháp tự luận] Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB và CD . Ta có tam giác ABC , ABD cân lần lượt tại C và D . Suy ra CM AB AB CDM DM AB     . Ta có: . . CAB DAB c c c   suy ra MC MD . Ta được MH CD  . Tứ diện BMCH có đường cao BM , đáy là tam giác MHC vuông tại H . Có 2 x BM ; 2 2 12 3 3 BH BC CH 3 HC ; 2 2 2 9 4 x HM BH BM . Suy ra 2 1 1 . . . 9 . 3 2 2 4 MHC x S MH HC . 2 1 3 2 2.2 4. . . . 9 3 2 2 4 ABCD BMCD BMHC x x V V V 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 3 3 9 . . 9 . . 9 3 4 3 2 4 3 4 4 4 2 x x x x x x      . Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện bằng 3 3 2 , đạt khi 2 2 2 9 18 3 2 4 4 x x x x . [Phương pháp trắc nghiệm] Thực hiện như phương pháp tự luận để có được 2 3 9 3 4 x x V . Nhập hàm số bên vào máy tính. CALC 6 , được 3.872 V  . CALC 2 2 , được 4.320 V  . CALC 14 , được 5.066 V  . CALC 3 2 , được 5.196 V  . Câ u 3: (TH P T Ho a L ư A - Ni n h B ình - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 20 18) Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng a . Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên. (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá đầu). A. 2 2 3 a . B. 2 3 2 a . C. 2 4 a . D. 2 3 4 a Lời giải Chọn D Gọi M , N , P , Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng cắt với cạnh bên SA , SB , SC , SD và H SO MNPQ  . Do SO ABCD SH MNPQ MNPQ ABCD     Đặt SH SM SN SP SQ k SO SA SB SC SD 0 k (Định lý Thales) và . S ABCD V V . Ta có . S MNPQ V V . . . . 2 2 S MPQ S MNP S ABC S ACD V V V V 1 . . . . 2 SM SN SP SM SP SQ SA SB SC SA SC SD     3 3 1 2 k k 3 k Theo ycbt : . 3 1 2 S MNPQ V k V 3 1 2 k . Mặt khác . 1 2 S MNPQ V V 1 . 3 1 . 3 MNPQ ABCD SH S SO S . MNPQ ABCD S k S 1 . 2 MNPQ ABCD S S k 3 2 2 . 2 a 2 3 4 a . Câu 4: (TH P T Ch u y ê n B ắ c Ni nh - l ầ n 1 - nă m 2 01 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, 2 2 2 2 AD AB BC CD a . Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Tính cosin góc giữa MN và SAC , biết thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 3 4 a . A. 5 10 . B. 3 310 20 . C. 310 20 . D. 3 5 10 . Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi là mp đi qua MN và song song với mp SAD . Khi đó cắt AB tại P , cắt SC tại Q , cắt AC tại K . Gọi I là giao điểm của MN và QK I SAC . Suy ra: P , Q , K lần lượt là trung điểm của AB , SC và AC . Lại có: ABCD là hình thang cân có 2 2 2 2 AD AB BC CD a M N P Q S A B C D H O 2 ; AD a AB BC CD a 3 2 a CH ; 2 2 3 3 3 . 2 2 4 ABCD a a a a S . Nên 2 3 1 3 3 3 . . 3 4 4 ABCD a a V SA SA a 1 2 2 a MP SA và 3 2 a NP . Xét tam giác MNP vuông tại P: 2 2 3 10 2 2 2 a a a MN         , MP KQ lần lượt là đường trung bình của tam giác , SAB SAC   // // MP KQ SA KN là đường trung bình của tam giác 1 2 ACD KN AD a  . Xét tam giác AHC vuông tại H: 2 2 3 3 3 2 2 a a AC a           3 2 a KC Suy ra: tam giác KNC vuông tại C C là hình chiếu vuông góc của N lên SAC . góc giữa MN và SAC là góc NIC Khi đó: 2 2 2 10 10 . . 3 3 3 2 3 IN KN a a IN MN MN NP Xét tam giác NIC vuông tạiC : 10 ; 2 3 a a NC IN 2 2 10 31 3 2 6 a a a IC           31 10 310 cos : 6 3 20 IC a a NIC IN . Cách 2. Vì ABCD là hình thang cân có 2 2 2 2 AD AB BC CD a 2 ; AD a AB BC CD a 3 2 a CH ; 2 2 3 3 3 . 2 2 4 ABCD a a a a S . nên 2 3 1 3 3 3 . .SA 3 4 4 ABCD a a V SA a Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ A B C D S M Q N K I H F x z y A B C D S M Q N K I HTa có: 0;0;0 , K ;0;0 , 2 a B     3 0; ;0 , 2 a C       3 0; ;0 , 2 a A       3 ; ;0 , 2 2 a a N       3 0; ; , 2 a S a       3 ; ; 4 4 2 a a a M       3 3 3 ; ; 4 4 2 a a a MN            . Chọn 1 3;3 3; 2 u   cùng phương với MN      Nhận xét: BK SA BK SAC BK AC     ;0;0 2 a BK         là vtpt của SAC .Chọn 1 1;0;0 n   cùng phương với BK     Gọi là góc góc giữa MN và SAC . Ta có 1 1 1 2 . 3 10 sin 20 u n u u          310 cos 20 . Câu 5: (T HP T Sơ n Tây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng m x , sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất. A. 2 4 x . B. 2 3 x . C. 2 2 5 x . D. 1 2 x Hướng dẫn giải Chọn C Từ hình vuông ban đầu ta tính được 1 1 2 , 2 2 x x OM S M S O OM . ( 0 2 x ) Khi gấp thành hình chóp . S ABCD thì 1 S S  nên ta có 1 SM S M . Từ đó 2 2 2 2 2 2 x SO SM OM . (Điều kiện 2 0 2 x ) S S A B D M O 1 S C A B C D O x MThể tích khối chóp . S ABCD : 2 4 5 . 1 1 1 . 2 2 2 2 2 2 3 6 6 S ABCD ABCD V S SO x x x x . Ta thấy SABCD V lớn nhất khi 4 5 2 2 2 , f x x x 2 0 2 x đạt giá trị lớn nhất Ta có 3 4 3 8 10 2 2 4 5 2 f x x x x x  0 0 2 2 5 x f x x      Bảng biến thiên Vậy: . S ABCD V lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 5 x Câu 6: (T HP T Sơ n Tây - Hà N ộ i - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có cạnh SA x còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 2 . Tính thể tích V lớn nhất của khối chóp . S ABCD . A. 1 V B. 1 2 V . C. 3 V . D. 2 V . Lời giải Chọn D Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có: BAD BSD BCD    nên AO SO CO 1 2 SO AC SAC  vuông tại S Do đó: 2 2 2 4 AC SA SC x 2 2 2 2 4 12 4 4 2 x x OD AD AO 2 12 BD x , 0 2 3 x Ta thấy: BD AC BD SAC BD SO     Trong SAC  hạ SH AC  . Khi đó: SH AC SH ABCD SH BD     2 2 2 1 1 1 SH SA SC 2 2 2 . 2. 4 SA AC x SH SA SC x 2 2 2 . 2 1 1 2 1 . 4. 12 . . . 12 3 2 3 4 S ABCD x V x x x x x 2 2 1 12 2 3 2 x x  S A B C D O H a a x x 0 2 2 5 2 2 f x  0 f x max f Dấu " " xảy ra khi 2 2 12 6 x x x . Câu 7: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩnh P h ú c - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 201 8 ) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 . 12 a B. 3 3 . 6 a C. 3 3 . 3 a D. 3 3 . 24 a Lời giải Chọn A Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm . BC Ta có . A H BC AI BC BC A AI BC AA A H AI H           Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên AA  . Khi đó IK là đoạn vuông góc chung của AA  và BC nên 3 = , . 4 a IK d AA BC  Xét tam giác vuông AIK vuông tại K có 3 3 1 = , 30 . 4 2 2 a a IK AI IK AI KAI  Xét tam giác vuông AA H  vuông tại H có 3 3 = .tan30 . . 3 3 3 a a A H AH   Vậy 2 3 . 3 3 V . . 4 3 12 ABC A B C a a a    Câu 8: (THPT Yê n L ạ c - V ĩnh P h ú c - l ầ n 1 - đ ề 2 - nă m 20 17 - 201 8) Cho lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A  lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA  và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 . 12 a B. 3 3 . 6 a C. 3 3 . 3 a D. 3 3 . 24 a Lời giải Chọn A Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm . BC Ta có . A H BC AI BC BC A AI BC AA A H AI H           Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên AA  . Khi đó IK là đoạn vuông góc chung của AA  và BC nên 3 = , . 4 a IK d AA BC  Xét tam giác vuông AIK vuông tại K có 3 3 1 = , 30 . 4 2 2 a a IK AI IK AI KAI  Xét tam giác vuông AA H  vuông tại H có 3 3 = .tan30 . . 3 3 3 a a A H AH   Vậy 2 3 . 3 3 V . . 4 3 12 ABC A B C a a a    Câu 9: (TH P T Vi ệ t T rì - P hú T h ọ - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 201 8) Cắt ba góc của một tam giác đều cạnh bằng a các đoạn bằng , 0 2 a x x     phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. xA. 3 a . B. 4 a . C. 5 a . D. 6 a . Lời giải Chọn D Xét tam giác AMI như hình vẽ, đặt 0, AM x 30 MAI  3 x MI Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy 2 a x , 0 2 a x     , chiều cao 3 x nên thể tích khối lăng trụ là 2 2 2 3 2 3 4 4 . 4 4 3 a x x a x ax x V Ta cần tìm 0; 2 a x     để thể tích V đạt giá trị lớn nhất. Xét 2 2 3 4 4 f x a x ax x , có 2 2 6 12 8 0 2 a x f x x ax a a x l       Từ bảng biến thiên suy ra thể tích V đạt giá trị lớn nhất khi 6 a x . Câu 10: (TH PT Vi ệ t Tr ì - Phú Th ọ - l ầ n 1 - nă m 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác SAB đều có cạnh là 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, 5 SC a và khoảng cách từ D tới mặt phẳng SHC bằng 2 2 a ( với H là trung điểm của AB ). Thể tích khối chóp . S ABCD là A. 3 3 . 3 a B. 3 . 3 a C. 3 4 . 3 a D. 3 4 3 . 3 a Lời giải Chọn D x 0 6 a 2 a f x  0 f x x A M I Gọi E là hình chiếu của D lên CH , ta có DE SCH  , 2 2 DE d D SCH a . Vì SH là đường cao của tam giác đều SAB nên 3 SH a và 2 2 2 2 5 3 2 CH SC SH a a a BC BH a  Ta có: 2 1 1 . 2.2 2 2 2 2 DCH S DE CH a a a  . Đặt 0. AD x 2 .2 2 ABCD a x a S ax a 1 Mặt khác 2 2 2 1 1 5 1 2 2 2 2 2 ABCD BHC CHD AHD S S S S a a ax a ax    2 Từ 1 và 2 : 2 2 5 1 3 . 2 2 a ax ax a x a Vậy 3 2 . 1 1 4 3 . . 4 . 3 . 3 3 3 S ABCD ABCD a V S SH a a Câu 11: (TH P T Th ạ ch Th àn h - T ha n h Hó a - n ă m 201 7 - 20 18) Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 2 1152 m và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường). A. 16 m 24 m  . B. 8 m 48 m  . C. 12 m 32 m  . D. 24 m 32 m  . Lời giải Chọn A Đặt x , y , h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng. Theo giả thiết, ta có 384 .3 1152 x y y x Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất. S A B C E D HTa có 384 576 4 6 3 4 6. 1152 4 1152 tp S xh yh xy xh h h x x x     Vì h không đổi nên tp S nhỏ nhất khi 576 f x x x (với 0 x ) nhỏ nhất. Cách 1: Khảo sát 576 f x x x với 0 x ta được f x nhỏ nhất khi 24 16 x y . Cách 2. BĐT Côsi 576 576 2 . 48 x x x x . Dấu “=” xảy ra 576 24 x x x  . Câu 12: ( T HP T Th ạ ch Th àn h - T ha n h H ó a - nă m 2 017 - 201 8) Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là 3 6 3 cm . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu? A. Cạnh đáy bằng 2 6 cm và cạnh bên bằng 1 cm . B. Cạnh đáy bằng 2 3 cm và cạnh bên bằng 2 cm . C. Cạnh đáy bằng 2 2 cm và cạnh bên bằng 3 cm . D. Cạnh đáy bằng 4 3 cm và cạnh bên bằng 1 cm 2 . Lời giải Chọn B h x C ' B ' A' C B A Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là . ABC A B C    có độ dài AB x , AA h  . Khi đó 2 3 4 ABC S x  và 2 . 3 . 4 ABC A B C ABC V S AA x h     . Theo giả thiết 2 2 3 24 6 3 4 x h h x . Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ . ABC A B C    là nhỏ nhất. Gọi tp S là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ . ABC A B C   , ta có: 2 2 3 3 72 2 3 3 2 2 tp ABC ABB A S S S x hx x x    . Khảo sát 2 3 72 2 f x x x trên 0;  , ta được f x nhỏ nhất khi 2 3 x . Với 2 3 2 cm x h . Câu 13: (Tr ư ờ n g B DV H2 18L TT - k ho a 1 - năm 2017- 201 8) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng 24 3 cm . Gọi E là trung điểm SC . Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp . S AMEN . A. 9 3 cm . B. 8 3 cm . C. 6 3 cm . D. 7 3 cm . Lời giải Chọn B Đặt ; . SM SN a b SB SD Ta có . . . S AMEN S AMN S EMN V V V . Do đó dễ có . 6 6 . S AMEN SM SN V a b SB SD     Ta có SM SN a b SB SD GSM GSN GSB GSD S S S S 3 GSM GSN SBD S S S 3 3 . . SMN SBD S SM SN a b S SB SD 2 3 3 4 a b ab  4 . 3 a b Do đó . 4 6 6. 8. 3 S AMEN V a b Câu 14: (Tr ư ờ n g B DV H2 18L TT - k ho a 1 - năm 2017- 201 8) Trong không gian cho 3 tia , , Ox Oy Oz vuông góc với nhau đôi một. Điểm A cố định thuộc tia Oz và 2 OA . Các điểm M và N lần lượt lưu động trên các tia Ox và Oy sao cho 2 OM ON ( , M N không trùng O ). Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OAMN . A. 2 . B. 1. C. 2 . D. 3 2 . Lời giải Chọn B Trong tam giác vuông OBC , gọi M là trung điểm cạnh BC khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC . Từ H dựng đường thẳng  song song với , OA suy ra  là trục đường tròn tam giác OBC . Mặt phẳng trung trưc của OA qua E và cắt  tại . I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OAMN và bán kính R OI . Ta có 2 2 R OI IH OH 2 2 2 1 . 4 2 OA OH OH Vậy OI nhỏ nhất khi và chỉ khi OH nhỏ nhất khi cà chỉ khi H là hình chiếu vuông góc của O lên BC . Khi đó tam giác OBC là tam giác vuông cân và 1 2 OM ON MN 2 1 1 1. 2 2 2 OH R Câu 15: ( TH PT C huyên V ĩnh Phú c - l ầ n 2 - nă m 201 7 - 201 8 ) Cho khối chóp . S ABC có SA SB SC a và 30  ASB BSC CSA Mặt phẳng qua A và cắt hai cạnh SB , SC tại  B ,  C sao cho chu vi tam giác   AB C nhỏ nhất. Tính . .   S AB C S ABC V k V . A. 2 2 k . B. 4 2 3 k . C. 1 4 k . D. 2 2 2 k . Lời giải Chọn B S A A  B B  C  C S A C C  B B Cắt hình chóp theo cạnh SA rồi trải các mặt bên ra ta được hình như hình vẽ (  A là điểm sao cho khi gấp lại thành hình chóp thì trùng với A ). Khi đó chu vi tam giác   AB C bằng     AB B C C A nhỏ nhất khi A ,  B ,  C ,  A thẳng hàng hay      AB B C C A AA . Khi đó tam giác  SAA có 90        SAA ASB B SC C SA nên vuông cân tại S và có SA a ,   SB SC , 45   SAB . Ta có sin 45 3 1 sin105 sin 45 sin105       SA SB SB SA . Do đó . . . 3 1 3 1 4 2 3     S AB C S ABC V SB SC k V SB SC . Câu 16: (TH P T B ình Xu yê n - V ĩn h P h úc - nă m 2 017 - 20 18) Cho ba tia không đồng phẳng , , Ox Oy Oz đôi một vuông góc. Xét tam giác ABC có các đỉnh A trên tia Ox , B trên tia Oy , C trên tia Oz sao cho tam giác ABC chứa trong nó một điểm M cố định. Thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi: A. OM vuông góc với mặt phẳng . ABC B. MBC MCA MAB S S S    với kí hiệu ABC S  là diện tích tam giác . ABC C. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . D. 2 OMBC OMCA V V với kí hiệu OABC V là thể tích khối chóp OABC . Lời giải Chọn B Đặt ; ; . OA a OB b OC c Vì điểm M cố định và M nằm trong tam giác ABC . Ta gọi ; ; M M M M x y z . Ta có . . . OABC M OAB M OAC M OBC V V V V 1 . 6 M M M abz acy bcx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 2 2 2 2 3 3 1 1 1 36 6 2 2 M M M M M M M M M V abz acy bcx x y z a b c x y z V 2 3 2 3 9 2 36 8 36 . 2 M M M M M M M M M V x y z V V x y z V V x y z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M M M abz acy bcx hay . . . M OAB M OAC M OBC V V V hay MBC MCA MAB S S S    (Do cùng chiều cao). Câu 17: (T HP T Ng ô S ĩ L i ên - B ắ c G ia ng - l ầ n 1 - n ă m 2 017 - 201 8) Cho hình lăng trụ tam giác . ABC A B C    có thể tích là V và độ dài cạnh bên 6 AA  đơn vị. Cho điểm 1 A thuộc cạnh AA  sao cho 1 2 AA . Các điểm 1 B , 1 C lần lượt thuộc cạnh BB  , CC  sao cho 1 1 , BB x CC y , ở đó , x y là các số thực dương thỏa mãn 12. xy Biết rằng thể tích của khối đa diện 1 1 1 . ABC A B C bằng 1 . 2 V Giá trị của x y bằng A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn C Gọi , M N lần lượt thuộc BB  và CC  sao cho 2. BM CN Khi đó ta có 1 1 1 1 1 1 1 . . ABC A B C ABC A MN A MNC B V V V 1 4 3 12 A BCC B x y V V    1 4 2 . 3 12 3 x y V V  Mặt khác theo giả thiết ta có 1 1 1 . 1 2 ABC A B C V V nên suy ra 1 4 2 1 3 12 3 2 x y V V V  1 4 2 1 3 12 3 2 x y  7 x y , kết hợp với 12. xy Ta có 3 4 x y  hoặc 4 3 x y  . Do đó 1. x y Câu 18: (THPT Ng ô S ĩ Li ên - B ắ c Gi a n g - l ầ n 1 - n ăm 201 7 - 2 0 18) Cho khối chóp lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có 8 3 ABC S  , mặt phẳng ABC  tạo với mặt phẳng đáy góc 0 2      . Tính cos khi thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    lớn nhất. A. 1 cos 3 . B. 2 cos 3 . C. 3 cos 3 . D. 2 cos 3 . Lời giải Chọn C Đặt , CC h  , CH b . AB a Khi đó . . ABC A B C ABC V S h     . .cos =8 3 .cos . ABC S h h   Ta có ' 1 1 ' . . . 2 2 sin ABC h S C H AB a  1 2 . . . 2 sin 3 h b 1 . . cot sin 3 h h 2 2 1 . cos . sin 3 h nên 2 2 2 1 sin 8 3 . cos 24. . sin cos 3 h h Từ đó . 8 3 .cos ABC A B C V h    2 2 2 2 2 sin 192 .cos 4608 cos cos V h   2 4608sin cos . 2 3 4608 1 cos cos 4608 cos cos . Đặt   cos , 0;1 t t . Xét hàm số 3 2 1 3 . f t t t f t t  Ta có   2 1 0 1 3 0 . 0;1 3 f t t t t  . Ta có 0 0, f 1 0, f 1 2 . 3 3 3 f     Câu 19: Vậy max 2 1 4608. 3072 3 cos . 3 3 V (THPT Ng u y ễ n K huy ế n - T PH CM - n ăm 2 017 - 201 8 ) Cho tứ diện ABCD có AB CD a . M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC . Biết thể tích của khối ABCD là 3 3 12 a V và ; d AB CD a (giả sử 2 a MN ). Khi đó độ dài đoạn MN là: A. 3 MN a . B. 6 2 a MN . C. 3 2 a MN . D. 2 MN a . Lời giải: Chọn C H N M C B D E A Dựng hình bình hành BDCE . Khi đó ta có ; ; d CD AB d C ABE a . Đặt 2 a MN x x     , suy ra 2 AE x . Gọi H là trung điểm AB , ta có: 2 2 2 2 1 1 . . .2 . 2 2 ABE S AE BH x a x x a x . Nên kí hiệu diện tích tam giác. 3 2 2 1 3 . . . . 3 12 a V C ABE V ABCD a x a x 2 2 2 2 2 4 4 3 16 16 3 4 a x a x x a x a 2 2 2 2 3 4 1 4 x a x a      . Kết hợp điều kiện, được 3 2 a x . Câu 20: (TH PT Ng u y ễ n K h uy ế n - TP H C M - nă m 201 7 - 201 8) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC , 20 ASB  , SA a , M thuộc cạnh SB , N thuộc cạnh SC , D là trung điểm cạnh SA . Khi AM MN ND đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng diện tích các tam giác SAM , SMN , SND là: A. 2 4 a . B. 2 3 4 a . C. 2 2 8 a . D. 2 3 8 a . Lời giải: Chọn D Hình 1 D N M D' A' C B D A C B S A S M N Trải các mặt bên của hình chóp theo đường cắt SA ta được Hình 1. Khi đó, tổng AM MN ND nhỏ nhất khi A , M , N , D  thẳng hàng. Với A  và D  là hai điểm sao cho khi gấp lại thành hình chóp thì trùng với A , D . Khi đó tam giác SAD  có 60 ASD   , 2 SA SD  . Suy ra SAD   là nửa tam giác đều cạnh SA . Ta được SAM SMN SND SAM SMN SND S S S S S S  2 2 1 3 3 . 2 4 8 SAD a a S  Câu 21: (TH P T Ta m P hư ớ c - Đ ồ ng Na i - l ầ n 1 - nă m 201 7 - 2018) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có bằng a . Điểm M thuộc đoạn thẳng BC  , điểm N thuộc đoạn thẳng AB  , MN tạo với đáy một góc bằng 30  . Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng MN . A. 2 a . B. 2 3 a . C. 2 6 1 a . D. 2 6 1 a . Lời giải Chọn D Đặt BE x , B F y  2 2 MH a x y ME HF BF x NF B F y HN x y   Ta có: o 2 2 2 2 o 1 1 tan 30 3 2 2 cos30 3 a x y MH x y HN HN MN MN x y   Từ 1 suy ra 2 2 2 2 3 3 3 6 x y a x y a x y 2 2 3 6 1 a x y Từ 2 suy ra 2 6 1 a MN . A B C D A  D  B  C  N H F y x x E MCâu 22: (TH PT Ch u yê n H ùng V ư ơ n g - B ình P hư ớ c - l ầ n 2 - nă m 201 7 - 2018) Trong mặt phẳng P cho tam giác XYZ cố định. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P tại điểm X và về hai phía của P ta lấy hai điểm A , B thay đổi sao cho hai mặt phẳng AYZ và BYZ luôn vuông góc với nhau. Hỏi vị trí của A , B thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì thể tích khối tứ diện ABYZ là nhỏ nhất. d X Y Z B A F A. 2 XB XA. B. 2 XA XB . C. 2 . XA XB YZ . D. X là trung điểm của đoạn AB . Lời giải Chọn D Cách 1: Thể tích khối tứ diện ABYZ là 1 . 3  XYZ V AB S . Do diện tích tam giác XYZ không đổi nên thì thể tích tứ diện ABYZ là nhỏ nhất khi AB ngắn nhất. Ta có  AYZ BYZ ,  AYZ BYZ YZ . Kẻ  AF YZ , F YZ  AF BYZ  AF BF . Trong tam giác vuông AFB , đặt , 0 2      FAX tan XF AX , cot XF BX . Khi đó 1 1 2 tan cot sin2     XF AB AX BX XF f . 2 4 cos2 sin 2  XF f . 0 4   f . A B F X Do X và F cố định nên đường cao XF của tam giác AXF không đổi. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy AB ngắn nhất khi 4  . Suy ra AX BX XF . Hay X là trung điểm AB . Cách 2: Thể tích khối tứ diện ABYZ là 1 . 3  XYZ V AB S . Do diện tích tam giác XYZ không đổi nên thì thể tích tứ diện ABYZ là nhỏ nhất khi AB ngắn nhất. Dựng  XF YZ , do  YZ AB nên  YZ ABF , suy ra  , , 90  AYZ BYZ FA FB AFB . d X Y Z B A F Xét tam giác vuông ABF có FX là đường cao không đổi(Do XF là đường cao của XYZ cố định) nên 2 . XF XA XB không đổi. Có 2 . 2 AB XA XB XA XB XF không đổi. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi XA XB . Vậy thể tích khối tứ diện ABYZ nhỏ nhất khi X là trung điểm AB . Câu 23: (T HP T Ch u y ên Hù ng Vươ ng - Bình P h ư ớc - l ầ n 2 - n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S ABC có 2 SA , 3 SB , 4 SC . Góc 45  ASB , 60  BSC , 90  CSA . Tính khoảng cách từ B đến SAC . A. 1 2 . B. 3 . C. 1 . D. 3 2 . Lời giải Chọn D Sử dụng công thức giải nhanh: Cho chóp . S ABC có SA a , SB b , SC c và ASB ,  BSC ,  ASC . Thể tích khối chóp . S ABC là: 2 2 2 . 1 2 . . 6     S ABC abc V cos cos cos cos cos cos . A B F X 0 2  f 4  4 f      Áp dụng: Thể tích khối chóp . S ABC là 2 2 2 . 2.3.4 1 cos 45 cos 60 cos 90 2cos 45 .cos 60 .cos90 2 6       S ABC V . Diện tích tam giác SAC là 1 . 4 2 SAC S SA AC . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC là . 3 3 , 2 S ABC SAC V d B SAC S . Câu 24: (TH P T C ổ L oa - Hà N ộ i - l ần 1 - n aw m - 2018) Cho hình chóp . S ABC có độ dài các cạnh SA BC x , SB AC y , SC AB z thỏa mãn 2 2 2 12 x y z . Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp . S ABC là A. 2 2 3 V . B. 2 3 3 V . C. 2 3 V . D. 3 2 2 V . Lời giải Chọn A Cách 1 Trong mặt phẳng ABC dựng D , E , F sao cho A , B , C lần lượt là trung điểm của DE , DF , EF . Khi đó ta có 2 2 DE SA x ; 2 2 DF SB y ; 2 2 SC z . Suy ra SD , SE , SF đôi một vuông góc. Ta có . . 1 1 1 . . . . 4 4 6 S ABC S DEF V V SD SE SF . Mặt khác 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4  SD SE x SD SF y SE SF z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  SD x y z SE x z y SF y z x 2 2 2 2 6 2 6 2 6  SD z SE y SF x . S A C B 45  2 4 3 S A B D C E F x x y y z zKhi đó 2 2 2 . 1 .8. 6 6 6 24 S ABCD V x y z 3 2 2 2 1 6 6 6 3 3      x y z 2 2 3 . Vậy . S ABC V đạt giá trị lớn nhất là 2 2 3 . Cách 2 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Lúc đó MN là đường vuông góc chung của SA và BC . SMN ta có 2 2 2 2 2 2 y z x MN SN SM . 1 . . .sin , 6 V SA BC MN SA BC 2 2 2 2 2 1 . 1 cos , 6 2 y z x x SA BC 2 2 2 2 2 2 2 4 1 . 1 6 2 y z y z x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 x y z y z x z x y 2 2 2 2 12 2 12 2 12 2 12 z x y 2 2 2 2 8 6 6 6 12 z x y 2 2 2 1 6 6 6 3 z x y 3 2 2 2 1 6 6 6 2 2 3 3 3      z y x Dấu bằng xẩy ra khi 2 2 2 12 2  x y z x y z x y z . Lúc đó 2 2 3 V . Câu 25: (TH TT S ố 3 - 486 th án g 1 2 nă m 20 17 - 201 8) Cho khối lăng trụ đứng .    ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , 120  BAC , mặt phẳng A BC   tạo với đáy một góc 60  . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 8 a V . B. 3 9 8 a V . C. 3 3 8 a V . D. 3 3 3 8 a V . Lời giải Chọn C A S C B M N Cách 1: Gọi M , I ,  I lần lượt là trung điểm của   A C , BC ,   B C . D là điểm đối xứng với A qua I ,  D là điểm đối xứng với  A qua  I . Khi đó mặt phẳng      A BC A BDC . góc giữa mặt phẳng A BC   với đáy là góc giữa mặt phẳng   A BDC với đáy. Ta có tứ giác     A B D C là hình thoi Vì 120     B A C nên tam giác    A C D là tam giác đều cạnh bằng a     D M A C . Mà     A C DD Nên    A C DM Vậy góc giữa mặt phẳng   A BDC với đáy là góc 60   DMD Xét tam giác    A C D , có: 3 2 3 2         a D M C I C B a a A I Xét tam giác  MDD vuông tại  D có 60   DMD  DMD là nửa tam giác đều có đường cao  DD 3 . 3 2   a DD D M . 2 1 1 3 . . . 3 2 2 2 4         A B C a a S A I B C a . 2 3 . 1 1 3 3 3 . . . 3 3 4 2 8         ABC A B C A B C a a a V S DD . Cách 2: Hạ B H A C     . Khi đó A C BHB     A B D C A  C  D  B  I I  M A B D C A  C  D  B  I I  M Ta có: 2 o 1 o 1 3 . .sin120 2 4 3 .sin120 2 A B C a S S A B A C a B H A C            Theo công thức tính diện tích hình chiếu 1 1 o 2 cos 60 A BC S S S S   2 2 3 1 3 2 . 3 1 2 2 . 2 a a BH A C BH a A C     . Khi đó 2 2 2 2 3 3 3 4 2 a a BB BH B H a   . Vậy 2 3 . 1 1 3 3 3 . . . 3 3 4 2 8 ABC A B C A B C a a a V S DD         . Câu 26: (T HP T Lê V ăn Th ị n h - B ắ c Ni n h - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho 2 IS IC . Mặt phẳng P chứa cạnh AI cắt cạnh SB , SD lần lượt tại M và N . Gọi V  và V lần lượt là thể tích khối chóp . S AMIN và . S ABCD . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích ' V V bằng A. 4 5 . B. 5 54 . C. 8 15 . D. 5 24 . Lời giải Chọn C A B C A  C  B  H Đặt SB x SM , SD y SN , 1 x y . Do 2 SI IC 3 2 SC SI . Ta có 1 SB SD SC SM SN SI 3 5 1 2 2 x y . Do 2 3 1 5 5 8 2 3 6 15 4 .1. 6 2 2 x y V V xy x y xy      Vậy 8 min 15 V V  khi 5 4 x y . Trình bày lại : Đặt SB x SM , SD y SN , 1 x y . Do 2 SI IC 3 2 SC SI . Ta có 1 SB SD SC SM SN SI 3 5 1 2 2 x y . 1 . . SAMN SABD V SA SM SN V SA SB SD xy * 2 . . 3 SIMN SDCB V SI SM SN V SC SB SD xy ** 1 ; 2 SABD SDCB V V V SAMN SIMN V V V  . Từ * , ** : Do 2 1 2 5 5 8 1 3 6 15 6 2 2 V V xy xy V xy x y V       Vậy 8 min 15 V V  khi 5 4 x y . Câu 27: ( TH PT Lê V ăn Th ị nh - B ắ c Ni nh - l ầ n 1 nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho 150 AHB  , 120 BHC , 90 CHA . Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp . S HAB , . S HBC , . S HCA là 124 3  . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. . 9 2 S ABC V . B. . 4 3 S ABC V . C. 3 . 4 S ABC V a . D. . 4 S ABC V . Lời giải Chọn B O 1 M B A C S H I 1 Gọi 1 1 ; O R là mặt cầu ngoại tiếp của . S HAB và 1 I là hình chiếu của 1 O lên ABC thì dễ thấy 1 I cách đều , , A B H nên nó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH . Theo định lí Sin thì 1 2 2sin150 HAB AB I H R  . Gọi M là trung điểm SH và đặt 2 SH x . Vì 1 1 O H O S nên tam giác 1 O SH cân tại 1 O và 1 O M SH  . Từ đây ta có 1 1 HMO I là hình chữ nhật. Do đó, theo Định lí Pytagores thì 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 R O H O M MH x x . Suy ra diện tích mặt cầu 1 O là 2 1 4 4 S x  . Tương tự, ta tính được diện tích mặt cầu 2 O là 2 2 4 4 3 S x      và 3 O là 2 3 4 1 S x  . Tổng diện tích các mặt cầu là 2 1 2 3 76 12 3 S S S x      . Suy ra: 2 76 124 12 3 3 x       hay 2 3 3 x , dẫn đến 4 3 3 SH . Diện tích tam giác ABC là 2 2 3 3 4 ABC S . Vậy thể tích khối chóp . S ABC là 1 2.2. 3 4 . . 3 3 3 3 V . Câu 28: (Đ ề t h am kh ảo B GD nă m 201 7 - 201 8) Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi S là điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE . Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng. A. 7 6 . B. 11 12 . C. 2 3 . D. 5 6 . Lời giải Chọn D Gọi V là thể tích cần tìm. Ta có . . S CDEF ADF BCE V V V *  Hạ BH CE BH CDEF   . Trong tam giác BEC vuông tại B , ta có: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 BH BH BE BC . . 1 ; . 3 S CDEF CDEF V d S CDEF S . Mà ; ; d S CDEF d B CDEF BH nên . 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 2 2 S CDEF V DC EC       1  . 1 1 . 1. 2 2 ADF BCE BCE V AB S  2 . Thay vào * ta có 1 1 5 3 2 6 V . S A B C D E F HCâu 1: (THPT Ch uy ên V ĩn h Phúc- l ầ n 1 M Đ 90 4 n ăm 20 17 - 201 8) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Các điểm M , N , P theo thứ tự đó thuộc các cạnh BB  , C D   , DA sao cho ' 3 a BM C N DP . Mặt phẳng ( ) MNP cắt đường thẳng ' ' A B tại . E Tính độ dài đoạn thẳng ' . A E A. ' 5 3 A E a . B. ' 3 4 A E a . C. ' 5 4 A E a . D. ' 4 3. A E a . Lời giải Chọn A B' A' C' D ' A D C B E N M P K H Lấy H , K thuộc đoạn DD , AB sao cho 3 a DH BK . Nhận xét // KP BD và // MH BD nên // KP MH , suy ra 4 điểm , , , M K P H đồng phẳng. Tương tự : //A MK B  , //A DC B   ; // DC HN  nên // MK HN suy ra 4 điểm , , , M K H N đồng phẳng. Vậy mặt phẳng MNP chứa các điểm , H K đồng thời mặt phẳng MNP song song với mặt phẳng BDC  . Suy ra mặt phẳng MNP song song với B D  . Xét mặt phẳng A B C D     , qua N kẻ // NE B D   cắt A B   tại E là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có B EDN  là hình bình hành nên 2 3 a B E  suy ra 5 3 a A E A B B E     . Câu 2: ( TH P T K im L iê n - Hà N ội nă m 201 7 - 20 1 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ; 1 2 AB BC AD a . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 2 SA a . Tính theo a khoảng cách d từ B đến mặt phẳng SCD . A. 1 2 d a . B. 1 4 d a . C. d a . D. 2 2 d a . Lời giải Chọn A A D B C E S H I Gọi I là trung điểm của đoạn AD . Ta có // AI BC và AI BC nên tứ giác ABCI là hình vuông hay 1 2 CI a AD ACD  là tam giác vuông tại C . Kẻ AH SC  Ta có AC CD AC SA    CD SCA  hay CD AH  nên AH SCD  , d A SCD AH ; 2 2 2 AC AB BC a . 2 2 . SA AC AH SA AC 2 2 2. 2 2 2 a a a a a . Gọi AB CD E  , mặt khác 1 2 EB BC EA AD nên B là trung điểm của đoạn AE . , 1 2 2 , d B SCD a d A SCD . Vậy 1 2 d a . Câu 3: (TH P T Ch u y ên Lươ n g V ăn T ụy - Ninh Bình l ần 1 n ăm 2 017 - 20 18) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , A C   , BB  . Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng: A. 5 24 V . B. 1 4 V . C. 7 24 V . D. 1 3 V . Lời giải Chọn A G J I P N M A' B ' C' A B C Gọi I là trung điểm AC NP BI J  . Lại có 1 // 2 BP NI suy ra BP là đường trung bình tam giác NIJ . Suy ra B là trung điểm IJ . Suy ra CM BI G  là trọng tâm tam giác ABC . Ta có JCM BCM S JG S BG mà JG BJ BG 2 5 3 3 BI BI BI . 5 5 3 2 2 3 JCM BCM BI S S BI 5 2 JCM BCM S S 5 . 4 JCM ABC S S Ta có 1 . 1 . . 3 N MJC JMC V V h S 5 12 V . 2 P. 1 1 . . . 3 2 MJC JMC V V h S 1 5 5 . . . 3 8 24 ABC h S V . Vậy . 1 2 5 24 N CMP V V V V . Câu 4: (TH P T Ch uy ên Tr ần Phú - H ải Phò n g l ầ n 1 nă m 201 7 - 201 8 ) Cho một tấm bìa hình vuông cạnh 50 cm . Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng: A. 20 2 cm . B. 25 2 cm . C. 15 2 cm . D. 10 2 cm . Lời giải Chọn A Đặt MN x , 50 a cm. Ta có 2 x OI , 2 2 a OA 2 2 2 a x AI . Đường cao 2 2 h AI OI 2 2 2 2 2 2 a x x           2 2 a a x . Vậy thể tích của hình chóp là 2 1 2 3 2 a V x a x 4 1 2 2 2 4 3 8 a a x x . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số thực dương 2 2 4 a x và 4 số x , ta có: 4 2 2 4 a x x 5 2 2 4 4 5 a x x        5 2 2 128 2 . Vậy max V khi 2 2 4 a x x 2 2 5 a x m 20 2 c . Câu 5: (TH P T Đo àn T hư ợ n g - H ả i D ư ơ n g - l ầ n 2 n ăm 201 7 - 2 0 18) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt các cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi 1 V là thể tích khối chóp . S AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V ? A. 1 8 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 3 . x A B C D M N P Q O ILời giải Chọn D I O N M P D C B A S Đặt SM x SB , SN y SD , 0 x , 1 y  . Vì SA SC SB SD SA SP SM SN nên 1 1 1 2 3 1 x y x y x Khi đó . . 1 . . 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 S ANP S AMP S ADC S ABC V V V SA SN SP SA SM SP y x V V V SA SD SC SA SB SC 1 1 4 4 3 1     x x y x x Vì 0 x , 0 y nên 1 1 3 x Xét hàm số 1 4 3 1     x f x x x trên 1 ;1 3      Ta có 2 1 1 1 4 3 1        f x x ; 2 0 3  f x x . Bảng biến thiên x 1 3 2 3 1 y  – 0 y || 1 3 3 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 V V bằng 1 3 . Câu 6: ( TH P T Chuyê n Th á i B ìn h - l ầ n 2 nă m h ọc 201 7 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có SA x , BC y , 1 AB AC SB SC . Thể tích khối chóp . S ABC lớn nhất khi tổng x y bằng: A. 3 . B. 2 3 . C. 4 3 . D. 4 3 . Lời giải Chọn C Gọi H , I tương ứng là trung điểm của SA , BC . ABC SBC   (c.c.c) AI SI Tam giác SIA cân tại I IH SA  . BC SI BC SAI BC AI       ; BC AI BC SA   . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . . 1 4 6 6 4 4 24 SABC x y V SA BC HI xy x y x y  . 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2 2 . 12 3 9 SABC x y x y x y V  . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi 2 3 x y . Vậy SABC V lớn nhất khi 4 3 x y Câu 7: (TH P T Yê n L ạ c - V ĩnh P h ú c - l ần 3 năm 2 017 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có thể tích bằng V , đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng P song song với ABCD cắt các đoạn SA , SB , SC , SD tương ứng tại M , N , E , F ( M , N , E , F khác S và không nằm trên ABCD ). Các điểm H , K , P , Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M , N , E , F lên ABCD . Thể tích lớn nhất của khối đa diện MNEFHKPQ là A. 2 3 V . B. 4 27 V . C. 4 9 V . D. 2 9 V . Lời giải Chọn C S A H B C I Đặt SM k SA . Ta có: MNEF và ABCD đồng dạng với tỉ số SM k SA 0 1 k . Do đó 2 MNEF ABCD S k S . Gọi SI là đường cao của . S ABCD . Ta có: 1 MH MA SA SM k SI SA SA . . MNEFHKPQ MNEF V S MH 2 . .(1 ). ABCD S k k SI 2 3 . .(1 ) V k k 3 . . .(2 2 ) 2 V k k k 3 3 2 2 4 . 2 3 9 V k k k V      . Vậy thể tích lớn nhất của khối đa diện MNEFHKPQ là 4 9 V khi 2 2 2 3 k k k . Câu 8: (SG D B ắc Ni nh n ăm 201 7 - 201 8) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC , BD sao cho AMN luôn vuông góc với mặt phẳng BCD . Gọi 1 V , 2 V lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN . Tính 1 2 V V . A. 17 2 216 . B. 17 2 72 . C. 17 2 144 . D. 2 12 . Lời giải Chọn A Gọi H là tâm tam giác BCD , ta có AH BCD  , mà AMN BCD  nên AH AMN  hay MN luôn đi qua H . Ta có 3 3 BH 2 2 AH AB BH 1 6 1 3 3 . Thể tích khối chóp ABMN là 1 . . 3 BMN V AH S 1 6 1 . . . .sin 60 3 3 2 BM BN  2 . 12 BM BN . Do MN luôn đi qua H và M chạy trên BC nên . BM BN lớn nhất khi M C  hoặc N D  khi đó 1 2 24 V . + . BM BN nhỏ nhất khi // MN CD khi 2 3 BM BN 2 2 27 V . Vậy 1 2 17 2 216 V V . Câu 9: (SG D Ni nh B ì nh nă m 2 01 7 - 2 01 8) Một hình hộp chữ nhật có kích thước (cm) (cm) (cm) a b c   , trong đó , , a b c là các số nguyên và 1 a b c    . Gọi 3 (cm ) V và 2 (cm ) S lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp. Biết V S , tìm số các bộ ba số , , a b c ? A. 4 . B. 10. C. 12. D. 21. Lời giải Chọn B .b.c V a 2 S ab bc ca Ta có V S suy ra 1 1 1 1 2 . . 2 ab bc ca a b c a b c 1 1 1 1 1 1 1 3 1 6 2 2 a a b c a a a a   (do 1 a b c    ). 1 1 1 1 1 1 2 6 2 2 a a b c a  . + Với 3 a ta có 1 1 1 6 6 36 6 b c b c . Suy ra   , 7;42 , 8;24 , 9;18 , 10;15 , 12;12 b c có 5 cách chọn thỏa mãn. + Với 4 a ta có 1 1 1 4 4 16 4 b c b c . Suy ra   , 5;20 , 6;12 , 8;8 b c có 3 cách chọn thỏa mãn. A B C D A  B  C  D + Với 5 a ta có 6 5 1 1 3 3 2 20 , 15 10 10 10 3 2 b b b c b c b c       . Suy ra có 1 cách chọn thỏa mãn. + Với 6 a ta có 1 1 1 6 3 b c b c . Suy ra có 1 cách chọn. Vậy tổng cộng có 10 cách chọn. Câu 10: (SG D Ni nh Bì nh n ăm 201 7 - 201 8) Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều có độ dài bằng 1. Tìm diện tích lớn nhất max S của hình thang. A. max 8 2 9 S . B. max 4 2 9 S . C. max 3 3 2 S . D. max 3 3 4 S . Lời giải Chọn D Gọi , H K lần lượt là hình chiếu của , A B trên cạnh CD . Đặt sin , os ADC DH DH c 1 1 . sin 2 2cos 2 2 ABCD S AH AB CD f 2 cos 2cos 1 0 3 f   Vậy max 3 3 4 S . Câu 11: (TH PT C hu yê n H ạ L o n g - Qu ả ng Ni nh - l ầ n 1 nă m 2 017 - 201 8) Cho khối chóp . S ABC có M SA , N SB sao cho 2 MA MS         , 2 NS NB         . Mặt phẳng qua hai điểm M , N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn ). A. 3 5 . B. 4 9 . C. 3 4 . D. 4 5 . Hướng dẫn giải Chọn D x f x  f x 0 0 0 2  xP Q N M A B C S Cách 1: Ta có mặt phẳng cắt các mặt SAC theo giao tuyến MQ SC  và cắt mặt SBC theo giao tuyến NP SC  . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng với hình chóp là hình thang MNPQ . Do . . MNABPQ N ABPQ N AMQ V V V , gọi . S ABC V V và ABC S S  ta có: . 1 . , . 3 N ABPQ ABPQ V d N ABC S 1 1 1 2 7 . , . 3 3 3 3 27 d S ABC S S V     . . 1 . , . 3 N AMQ AMQ V d N SAC S  1 2 4 8 . , . 3 3 9 27 ASC d B SAC S V  . Vậy . . 5 9 MNABPQ N ABPQ N AMQ V V V V 4 9 SMNPQC V V . Suy ra 4 5 SMNPQC MNABPQ V V . Cách 2: I P Q N M A B C S Gọi I MN AB  ,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB , ta có 1 1 4 MS IA NB IB MA IB NS IA   . Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác AMI  , ta có: 1 BI SA NM BA SM NI   1 NM NI . Tương tự ta có: 1 PI PQ . Vì 2 // 3 AM AQ MQ SC AS AC . Khi đó: . . 1 1 1 1 4 2 2 16 I BNP I AMQ V IB IN IP V IA IM IQ     . . 15 . 16 AMQ NBP I AMQ V V . Mà . . ; ; M AIQ AIQ S ABC ABC d M ABC V S V S d S ABC  với ; 2 3 ; d M ABC MA SA d S ABC và 4 2 8 3 3 9 AIQ ABC S AI AQ S AB AC   . Suy ra . . . 15 2 8 5 16 3 9 9 AMQ NBP S ABC S ABC V V V    . Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: 5 1 4 9 5 5 9 . Câu 12: (TH PT Ch u y ên L ê Qu ý Đô n - Đ à N ẵn g nă m 201 7 - 2018) Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 dm , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là AMB , BNC , CPD và DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất ? A. 3 2 dm 2 . B. 5 dm 2 . C. 2 2 dm . D. 5 2 dm 2 . Lời giải Chọn C Đặt MQ x dm 0 5 2 x . Ta có 5 2 2 2 AC AO , 2 2 MQ x OI , SI AI AO IO 5 2 2 x . Chiều cao của hình chóp: 2 2 2 2 5 2 50 10 2 2 2 2 x x x SO SI OI           . Thể tích của khối chóp: 4 5 2 1 1 50 10 2 1 50 10 2 . . . . 3 3 2 3 2 MNPQ x x x V S SO x . Xét hàm số 4 5 50 10 2 y x x 0 5 2 x . C B D A M N P Q S P M N Q O I O C B D A M N P Q ITa có 3 4 4 5 100 25 2 50 10 2 x x y x x  . Khi đó 3 4 0 0;5 2 0 100 25 2 0 2 2 x y x x x      . Bảng biến thiên Hàm số y đạt giá trị lớn nhất khi 2 2 x . Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi 2 2 x . Câu 13: (TH P T C hu yê n P ha n B ộ i Ch âu - Ng h ệ An - l ần 1 nă m 2 017 - 20 18 ) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi 1 G , 2 G , 3 G , 4 G là trọng tâm của bốn mặt của tứ diện ABCD . Thể tích khối tứ diện 1 2 3 4 G G G G là: A. 27 V . B. 18 V . C. 4 V . D. 12 V . Lời giải Chọn A H 2 H 1 G 3 G 2 G 1 G 4 K J I B C D A Gọi , , I J K lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC . Gọi h là khoảng cách từ A đến BCD , 1 h là khoảng cách từ 4 G đến 1 2 3 G G G . Vì 1 2 3 / / G G G BCD nên 4 1 2 3 1 1 2 , , d G G G G d G BCD G H h  , 1 h AH . 1 1 1 3 h KG h KA 1 3 h h . Gọi S , S  , 1 S lần lượt là diện tích các tam giác BCD , IJK và 1 2 3 G G G . Vì , , I J K lần lượt là trung điểm của BC , BD và DC nên : 1 1 1 1 1 1 . , . . , . . . , 2 2 2 2 4 2 4 BC S JK d I JK d D BC BC d D BC S  1 . Tam giác 1 2 3 G G G đồng dạng với tam giác KIJ với tỉ số đồng dạng là: 1 2 1 2 3 G G AG Ik Ak . 2 1 2 4 3 9 S S      1 4 9 S S  2 (Vì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng). Từ 1 và 2 1 9 S S . x 0 2 2 5 2 y  0 y Thể tích khối từ diện 1 2 3 4 G G G G là: 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . 3 3 9 3 27 3 27 S h V V S h S h     . Câu 14: (TH PT Ch u y ên Pha n B ội Châu - N g h ệ A n - l ần 1 n ăm 201 7 - 20 18) Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ACD , ABD , ABC tại N , P , Q . Giá trị lớn nhất của khối MNPQ là: A. 27 V . B. 16 V . C. 8 V . D. 54 V . Lời giải Chọn A  Tam giác ABN  có // MN AB MN N M AB N B   .  Tam giác ACP  có // MP AC MP P M AC P C   .  Tam giác ADQ  có // QM AD MQ Q M AD Q D   . Khi đó: MN MP MQ N M P M Q M AB AC AD N B P C Q D       Mà 1 MCD MBC MBD BCD BCD BCD S S S N M P M Q M N B P C Q D S S S       nên 1 MN MP MQ AB AC AD Lại có 3 3 3 3 1 3 . . MN MP MQ MN MP MQ AB AC AD AB AC AD           (Cauchy) 1 . . . . 27 MN MP MQ AB AC AD  . . MN MP MQ lớn nhất khi MN MP MQ AB AC AD M là trọng tâm tam giác BCD 1 3 MN MP MQ AB AC AD // NPQ BCD , 2 2 3 NPQ N P Q S S        , Mà 1 4 N P Q BCD S S    nên 1 9 NPQ BCD S S và 1 , , 2 d M NPQ d A BCD A B C D N N  Q  M Q P P Vậy giá trị lớn nhất của khối tứ diện MNPQ là 1 . , 3 MNPQ NPQ V S d M NPQ 1 1 1 . . , 3 9 3 27 MNPQ BCD V V S d A BCD , với 1 . , 3 ABCD BCD V S d A BCD V Câu 15: (TH PT C h uy ê n Thái B ìn h - l ần 3 nă m 201 7 - 2 018 ) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA . Biết thể tích khối chóp . S MNPQ là V , khi đó thể tích của khối chóp . S ABCD là: A. 27 4 V . B. 2 9 2 V     . C. 9 4 V . D. 81 8 V . Hướng dẫn giải Chọn A F E J Q P H N K M I O D S A B C Ta có , 2 3 , d S MNPQ SM SI d S ABCD . Mặt khác gọi ABCD S S ta có 1 1 1 . 4 2 8 DEJ BDA S S   1 16 DEJ S S  . Tương tự ta có 1 4 JAI DAB S S   1 8 JAI S  . Suy ra 1 1 1 1 4. 2. 16 8 2 HKIJ S S S          . Mà 2 2 4 3 9 MNPQ HKIJ S S     2 9 MNPQ ABCD S S . Suy ra . 1 , . 3 S ABCD V d S ABCD S 1 3 9 27 . , . 3 2 2 4 d S MNPQ S V . Câu 16: (TH PT K in h Mô n 2 - H ả i D ư ơ n g nă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA , N là điểm trên đoạn SB sao cho 2 SN NB . Mặt phẳng R chứa MN cắt đoạn SD tại Q và cắt đoạn SC tại P . Tỉ số . . S MNPQ S ABCD V V lớn nhất bằng A. 2 5 . B. 1 3 . C. 1 4 . D. 3 8 . Lời giải Chọn D Đặt SP x SC 0 1 x  . Ta có SM SP SN SQ SA SC SB SD 1 2 1 2 3 6 SQ x x SC 1 6 x     . Mặt khác ABCD là hình bình hành nên có . . . 2 2 S ABCD S ABC S ACD V V V . . 1 . . 3 S MNP S ABC V SM SN SP x V SA SB SC ; . . 1 1 . . 2 6 S MPQ S ACD V SM SP SQ x x V SA SC SD     . Suy ra . . 2 . . . . 1 1 1 1 1 2 2 6 4 6 4 8 S MNPQ S MPQ S MNP S ABCD S ABC S ACD V V V x x x x x V V V     . Xét 2 1 1 4 8 f x x x với 1 1 6 x  ; 1 1 1 1 0 ;1 2 8 4 6 f x x x        Bảng biến thiên: Từ BBT ta có 1 ;1 6 3 max 8 f x      . Vậy . . S MNPQ S ABCD V V đạt giá trị lớn nhất bằng 3 8 . Câu 17: (TH PT Lê Ho à n - Th an h Hó a - l ầ n 1 n ă m 20 17 - 201 8) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng SBC , góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC là 60 , 2 SB a , 45 BSC  . Thể tích khối chóp . S ABC theo a là: A. 3 2 15 a V . B. 3 2 3 V a . C. 3 2 2 V a . D. 3 2 3 15 a V . Lời giải Chọn D x 1 6 1 f x  f x 3 8 A B C D M N P Q SK S A B C I H Thể tích khối chóp 1 . 3 ABC V SA S . Kẻ AH SB  suy ra AH SBC  . Do BC SA  và BC AH  nên BC SAB  , do đó tam giác ABC vuông tại B . Kẻ BI AC  BI SC  và kẻ BK SC  SC BIK  Do đó góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC là 60 BKI . Do 45 BSC  nên 2 SB BC a và K là trung điểm của SC nên 2 2 SB BK a . Trong tam giác vuông BIK có .sin 60 BI BK  3 2 a . Trong tam giác vuông ABC có 2 2 2 1 1 1 BI AB BC 2 2 . BI BC AB BC BI 30 5 a . 1 . 2 ABC S AB BC 2 15 2 a ; 2 2 SA SB AB 2 5 5 a Vậy 1 . 3 ABC V SA S 3 2 3 15 a . Câu 18: (TH P T Lươ n g Vă n C h asn h P hu s Yê n n ăm 2017- 201 8) Cho hình chóp . S ABC có các cạnh bên SA , SB , SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 30  Biết 5 AB , 7 AC , 8 BC tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng . SBC A. 35 39 52 d . B. 35 39 13 d . C. 35 13 52 d . D. 35 13 26 d . Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC Ta có 30 SAH SBH SCH  (theo giả thiết) nên các tam giác vuông SHA , SHB , SHC bằng nhau. Suy ra HA HB HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  . Áp dụng công thức Hê-rông ta có 10 3. ABC S  Mặt khác 7 3 7 3 4 3 3 ABC abc S R HB R  . Xét tam giác vuông SHB : 7 tan 30 3 SH HB  , 14 cos30 3 HB SB  . Suy ra . 1 70 3 . 3 9 S ABC ABC V SH S  . Áp dụng công thức Hê-rông ta có 8 13 3 SBC S  . Do đó . 1 . 3 A SBC SBC V d S  . 3 S ABC SBC V d S  70 3 3 9 8 13 3 35 39 52 . Câu 19: (THPT L ươ ng Vă n Cha sn h P h u s Y ên n ăm 201 7 - 2 018 ) Cho x , y là các số thực dương. Xét các hình chóp . S ABC có SA x , BC y , các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi x , y thay đổi, thể tích khối chóp . S ABC có giá trị lớn nhất là: A. 2 3 27 . B. 1 8 . C. 3 8 . D. 2 12 . Lời giải Chọn A y x N M S B C A Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , BC . Ta dễ dàng chứng minh được MN là đoạn vuông góc chung của SA và BC . Suy ra . . 2 S ABC S MBC V V . Ta có 2 2 2 4 4 MN MB y ; 2 2 1 4 x MB . Thay vào ta được 2 2 2 2 2 4 4 4 MN MB y x y 2 2 4 2 x y MN . Vậy . 2 SABC S MBC V V 1 . . 3 2 x MN BC 2 2 1 4 12 xy x y 2 2 2 2 1 . 4 12 x y x y . Theo bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân ta có 3 2 2 2 2 4 64 . 4 3 27 x y x y      . Vậy . 2 3 27 S ABC V  . Dấu bằng đạt được khi 2 3 3 x y . Câu 20: (TH PT Đô Lư ơng 4 - N g h ệ An nă m 2 0 17 - 201 8 ) Bề mặt một quả bóng được ghép từ 12 miếng da hình ngũ giác đều và 20 miếng da hình lục giác đều cạnh 4,5cm . Biết rằng giá thành của những miếng da này là 150 đồng/ 2 cm . Tính giá thành của miếng da dùng để làm quả bóng (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị)? A. 121500 đồng. B. 220545 đồng. C. 252533 đồng. D. 199 218 đồng. Lời giải Chọn B M B A O * Ở miếng da hình ngũ giác, xét tam giác OAB có o 72 AOB , 4,5cm AB , trung tuyến AM , o 36 BOM . Do đó o tan 36 BM OM o tan 36 BM OM o cm 2 tan 36 AB . 2 o o 1 1 81 . . . cm 2 2 2 tan 36 16 tan 36 ABO AB S OM AB AB . Diện tích miếng da hình ngũ giác là 2 o 405 5 cm 16 tan 36 ABO S . * Ở miếng da hình lục giác cạnh 4,5cm có diện tích cả miếng da là 2 2 4,5 3 243 3 6. cm 4 8 . Vậy giá thành của miếng da dùng làm quả bóng là o 243 3 405 20. 12. .150 220545 8 16 tan 36        (đồng). Câu 21: (THPT Ch uy ên B iên Hò a - Hà Na m - l ần 1 n ăm 201 7 - 201 8) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB , CD thỏa mãn 2 2 18 AB CD và các cạnh còn lại đều bằng 5 . Biết thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất có dạnh max 4 x y V ; * , x y  ; ; 1 x y . Khi đó , x y thỏa mãn bất đẳng thức nào dưới đây? A. 2 4550 x y xy . B. 2 2550 xy x y . C. 2 2 5240 x xy y . D. 3 19602 x y . Lời giải Chọn A Đặt AB a . Gọi M là trung điểm CD CD AM  ,CD BM  CD ABM  . Khi đó ABCD ABMC ABMD V V V 1 1 . . 3 3 ABM ABM S CM S DM 1 . 3 ABM S CD . Do AM là trung tuyến của tam giác ACD nên: 2 2 2 2 2 4 AC AD CD AM 2 2 2 2 5 5 18 4 a 2 82 4 a . Tam giác ABM cân tại M ( vì AM BM ) nên: 2 2 1 . . 2 2 ABM AB S AB AM     1 82 . . 2 4 a 82 4 a . 2 1 82 . . 18 3 4 ABCD a V a 2 2 82 . 18 12 a a 2 2 82 18 . 12 2 a a  3 82 4 3, 82 x y . Câu 22: (THPT Tr ần N h ân Tô ng - Qu ả ng Ni n h - l ần 1 năm 201 7 - 201 8) Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh BC , BD , AC sao cho 4 BC BM , 3 AC AP , 2 BD BN . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp MNP . A. 7 13 . B. 7 15 . C. 8 15 . D. 8 13 . Hướng dẫn giải Chọn A K Q E N B C D A P Gọi E MN CD  , Q EQ AD  , do đó mặt phẳng MNP cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tứ giác MNQP . Gọi I là trung điểm CD thì NI CB  và 1 2 NI BC , do 4 BC BM nên suy ra 2 3 NI MC . Bởi vậy 2 . 3 EN EI NI EM EC MC Từ I là trung điểm CD và 2 3 EI EC suy ra 1 3 ED EC . Kẻ DK AC  với K EP , ta có 1 3 EK KD ED EP AC EC . Mặt khác 3 AC AP nên suy ra 2 3 KD AP . Do đó 2 3 QD QK KD QA QP AP . Từ 2 3 QK QP và 1 3 EK EP suy ra 3 5 EQ EP . Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD , 1 V là thể tích khối đa diện ABMNQP , 2 V là thể tích khối đa diện CDMNQP . Ta có 3 2 1 1 . . 4 3 2 2 CMP CMP CAB CAB S CM CP S S S CB CA     . Vì 1 3 ED EC nên 3 ; ; 2 d E ABC d D ABC . Do đó : . 1 1 1 3 3 1 3 . ; . . . ; . . ; 3 3 2 2 4 3 4 E CMP CMP CAB CAB V S d E ABC S d D ABC S d D ABC V    . . . 1 2 3 2 . . . . 3 3 5 15 E DNQ E CMP V ED EN EQ V EC EM EP , nên suy ra . . 2 2 3 1 . 15 15 4 10 E DNQ E CMP V V V V . Từ đó ta có 2 . . 3 1 13 4 10 20 E CMP E DNQ V V V V V V . Và 1 2 13 7 20 20 V V V V V V . Như vậy : 1 2 7 13 V V Câu 23: (TH P T Tr ầ n Nh ân T ô n g - Qu ả ng N inh - l ần 1 nă m 201 7 - 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB a , 2 AD a . Mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD . Tính khoảng cách giữa AH và SC biết AH a . A. 73 73 a . B. 2 73 73 a . C. 19 19 a . D. 2 19 19 a . Hướng dẫn giải Chọn C K C A D B S H Trong tam giác SAD vuông tại A và đường cao AH , ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 4 AH SA AD SA AH AD a a a nên 2 3 a SA . 2 2 2 2 4 4 4 3 3 a a SD SA AD a . 2 2 2 3 . 4 DH AD AD DH SD SD SD . Kẻ HK SC  với K CD , suy ra 3 1 4 3 HK DK DH CK SC DC DS DK . Khi đó SC AHK  nên 1 ; ; ; ; 3 d AH SC d SC AHK d C AHK d D AHK . Ta có 5 AC a , 19 3 SC a , nên 3 57 4 4 a HK SC . Ta cũng có 3 3 4 4 a DK DC nên 2 2 73 4 a AK AD DK . 2 2 2 2 2 2 73 57 4 57 16 16 cos sin 2 . 73 73 73 2. . 4 a a a AH AK HK HAK HAK AH AK a a . 2 1 1 73 57 57 . .sin . . . 2 2 4 8 73 AHK a S AH AK HAK a a  . Cũng từ 3 3 3 2 3 ; . 4 4 4 2 3 DH a a d H ABCD SA SD . 2 1 1 3 3 . .2 . 2 2 4 4 ADK a a S AD DK a  . Do đó 2 3 1 1 3 3 3 . ; . . 3 3 4 2 8 DAHK ADK a a a V S d H ABCD  . Bởi vậy 3 2 3 3. 3 3 3 3 19 8 ; 19 57 57 8 DAHK AHK a V a a d D AHK S a  . Vậy 1 19 ; ; 3 19 a d AH SC d D AHK . Câu 24: (TH PT Ho àn g Ho a T há m - Hưn g Yê n - l ầ n 1 n ăm 20 17 - 201 8) Cho tam giác ABC vuông tại A có 3 , . AB a AC a Gọi Q là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng ABC . Điểm D di động trên Q sao cho hai mặt phẳng DAB và DAC lần lượt hợp với mặt ABC hai góc phụ nhau. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp . D ABC . A. 3 3 . 4 a B. 3 3 . 13 a C. 3 3 2 . 10 a D. 3 3 . 8 a Lời giải Chọn A Kẻ DH BC DH ABC   . Kẻ ,   HN AB HM AC , ( N AB , M AC ). Ta có , , DAC ABC DM MH DMH , , , DAB ABC DN NH 2 DNH  . 2 . . 1 . . . 3 2 D ABC ABC D ABC a V DH S DH V max khi max DH . 2 .tan .tan .cot . 2      DH HM HN HN DH HM HN Theo Talet 2 2 2 . . . . . , . 4 HM HC HN HB AB AC HB HC AB AC BC HM HN AB BC AC BC BC BC  2 2 . 3 . 4 4 AB AC a DH HM HN  . max 3 2 a DH 2 3 . 3 3 . 2 2 4 D ABC a a a V Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A B , B C . Điểm I thuộc đoạn SA . Biết mặt phẳng M NI chia khối chọp . S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7 13 lần phần còn lại. Tính tỉ số IA k IS ? A. 3 4 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 2 3 . Lời giải Chọn D F E H Q P O N M B J D A S C I F E N M B A D C Dễ thấy thiết diện tạo bởi mặt phẳng M NI với hình chóp là hình ngũ giác IMNJH với // MN J I . Ta có MN , A D , IH đồng qui tại E với 1 3 E A E D và M N , C D , HJ đồng qui tại F với 1 3 FC FD , chú ý E , F cố định. Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có . . 1 HS E D IA H D EA SI 1 .3. 1 3 H S HS k HD H D k . Từ đó , 3 3 1 , d H ABCD HD k SD k d S A BC D . Suy ra . . . HJ I AM N CD H DF E I AE M J NF C V V V V . Đặt . S ABCD V V và AB C D S S , , h d S A B CD ta có 1 8 AEM N FC S S S và , 1 , d I A B C D IA k SA k d S A B C D Thay vào ta được 1 3 9 1 1 . . 2. . . 3 3 1 8 3 1 8     HJI AM N CD k k V h S h S k k 2 1 21 25 . 8 3 1 1 k k V k k . Theo giả thiết ta có 13 20 HJI AMNCD V V nên ta có phương trình 2 1 21 25 13 . 8 3 1 1 20 k k k k , giải phương trình này được 2 3 k . Câu 2: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp . S A B C D có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm của S C . Một mặt phẳng qua A P cắt hai cạnh S B và S D lần lượt tại M và N . Gọi 1 V là thể tích của khối chóp . S A M P N . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 V V . A. 1 3 . B. 1 8 . C. 2 3 . D. 3 8 . Lời giải Chọn A I P N M S O C D A B Đặt SM x SB , S N y SD , 0 , 1 x y  . Ta có . . 1 S AMP S ANP V V V V V . . . . 2 2 S A MP S AN P S ABC S ADC V V V V 1 . . 2 SM SP SN SP SB SC SD SC     1 4 x y (1) Lại có . . 1 S AMN S P M N V V V V V . . . . 2 2 S AMN S PMN S ABD S CBD V V V V 1 . . . 2 SM SN SM SN SP SB SD SB SD SC     3 4 xy (2). Suy ra 1 3 4 4 x y xy 3 x y xy 3 1 x y x . Từ điều kiện 0 1 y  , ta có 1 3 1 x x  , hay 1 2 x . Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích 2 1 3 . 4 3 1 V x V x . Đặt 2 3 1 . , ;1 4 3 1 2 x f x x x      , ta có 2 2 3 3 2 . 4 3 1 x x f x x  , 0 ( ) 0 2 ( ) 3 x L f x x N     . 1 3 1 2 8 f f     , 2 1 3 3 f     , do đó 1 1 ;1 2 min min x V f x V      2 1 3 3 f     . Câu 3: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tam giác nhọn A B C , biết rằng khi quay tam giác này quanh các cạnh A B , B C , C A ta lần lượt được các hình tròn xoay có thể tích là 672  , 3136 5  , 9408 13  .Tính diện tích tam giác A B C . A. 1979 S . B. 364 S . C. 84 S . D. 96 S . Lời giải Chọn C Vì tam giác A B C nhọn nên các chân đường cao nằm trong tam giác. Gọi a h , b h , c h lần lượt là đường cao từ đỉnh A , B , C của tam giác A B C , và a , b , c lần lượt là độ dài các cạnh BC , C A , A B . Khi đó + Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh A B là 2 1 . . . 672 3 c h c   . + Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh BC là 2 1 3136 . . . 3 5 a h a   . + Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh C A là 2 1 9408 . . . 3 13 b h b   . Do đó 2 2 2 1 . 672 3 1 3136 . 3 5 1 9408 . 3 13 c a b c h a h b h  2 2 2 4 672 3 4 3136 3 5 4 9408 3 13 S c S a S b  2 2 2 4 3.672 20 3.3136 52 3.9408 S c S a S b  8 4 1 1 1 . . . 3 9408 28812 a b c a b c b c a c a b S 2 8 4 1 1 1 16 . . . 3 9408 28812 S S 6 16.81.9408.28812 S 84 S . Câu 4: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A B , B C và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng M NE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V . Tính V . A. 3 11 2 216 a . B. 3 7 2 216 a . C. 3 2 18 a . D. 3 13 2 216 a Lời giải Chọn A P Q A C B D E M N Gọi 1 AB CD V V . . AC MNPQ E ACM N E AC PQ V V V . 1 , . 3 E AC M N AM N C V d E A BC S 1 3 , . 3 4 ABC d E A BC S 1 3 , . 3 4 ABC d D ABC S 1 3 2 V . 1 , . 3 E ACPQ AC D QP D V d B A CD S S 1 8 , . 3 9 AC D d B A CD S 1 8 9 V AC MNPQ V 1 1 3 8 2 9 V V 1 11 18 V . Áp dụng công thức giải nhanh thể tích tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a có 3 1 2 12 a V . Vậy 1 11 18 V V 3 11 2 . 18 12 a 3 11 2 216 a . Câu 5: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình đa diện như hình vẽ Biết 6 SA , 3 SB , 4 SC , 2 SD và 60 A SB B SC C SD DSA BSD . Thể tích khối đa diện . S ABCD là A. 6 2 . B. 5 2 . C. 30 2 . D. 10 2 . Lời giải Chọn B Trên SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm A , B , C  sao cho 2 SA SB SC SD    . Ta có 2 A B B C C D DA       . Khi đó hình chóp . S A B D   và hình chóp . S C B D  là các hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2 . 3 . . 2 2 2 2 12 3 S A B D S C B D V V     . Mặt khác . . . . S AB D S A B D V SA SB SD V SA SB SD     3 9 3. 2 2 , nên . . 9 2 S AB D S A B D V V   9 2 2 . 3 2 2 3 . . . 3 . . 2. 3 2 S CB D S C B D V SC SB SD V SC SB SD     , nên . . 3 S C BD S C B D V V   2 2 3. 2 2 3 . Thể tích khối đa diện . S ABCD là . . S AB D S C BD V V V 3 2 2 2 5 2 . A B C D SC ' D C B S B' A' Câu 6: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình thập nhị diện đều (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng có chung một cạnh của thập nhị diện đều bằng A. 5 1 2 . B. 5 1 4 . C. 1 5 . D. 1 2 . Lời giải Chọn C a T B E F C A Bước 1: Lập mối quan hệ giữa bán kính mặt cầu và cạnh khối 12 mặt đều: Gọi O là tâm khối 12 mặt đều, xét 3 mặt phẳng chung đỉnh A là , , AB E FC AC G H D AB JID . Khi đó . A B C D là chóp tam giác đều và O A vuông góc với B CD . Ta có 2 2 2 3 1 5 2 cos 5 2 B C CD D B a a a a      . 2 2 5 1 3 2 3 BC AH A B a . Ta có . . A H A O A B A M 2 3 2 5 1 A B a R AO A H . Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm một mặt đến cạnh của nó: a T M B E F C A Ta có 3 10 BA T  . 2 a AM . Suy ra 3 .tan 10 MT AM  . Bước 3: Tính góc: Gọi tâm của các mặt A B E F C và A B J I D là T , V . Có , O T O V vuông góc với hai mặt này nên góc giữa hai mặt bằng góc giữa O T và O V . Lại có , , , O T M V cùng thuộc một mặt phẳng (trung trực của A B ). V O M T Có O T T M  và O V V M  . 2 2 2 2 3 4 5 1 a a OM OA A M       5 1 2 5 1 a ; 3 .tan 10 MT AM  . Suy ra sin T M T OM O M 5 1 tan 54 5 1  . Vậy 2 cos 1 2sin T O V T OM 5 1 1 5 5 5 . Câu 7: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp S A B C D có đáy là hình chữ nhật, A B a , S A A BC D  , cạnh bên S C tạo với A B C D một góc 60  và tạo với S A B một góc thỏa mãn 3 sin 4 . Thể tích của khối chóp S A B C D bằng A. 3 3 a . B. 3 2 3 4 a . C. 3 2 a . D. 3 2 3 a . Lời giải Chọn C Theo bài ra ta có 3 60 , sin 4 B C SC A BSC SC  . Đặt B C x , ta có 4 3 x SC , 2 2 A C a x . 2 2 2 cos60 3 2 tan 60 2 3 3 A C x a x x a A C a SA AC a SC   . Thể tích khối chóp S A B C D bằng 2 3 1 1 . . .2 3. 3 2 3 3 ABC D V SA S a a a . Câu 8: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện A B C D có các cạnh 3 A D B C ; 4 A C B D ; 2 3 A B C D . Thể tích tứ diện A B C D bằng A. 2047 12 . B. 2470 12 . C. 2474 12 . D. 2740 12 . Lời giải Chọn B Từ các đỉnh của tam giác B C D ta kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng tạo thành tam giác E F G có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác B C D. Các tam giác A E F , A F G, A G E là các tam giác vuông tại A nên ta có: 2 2 2 64 1 A E AF EF ; 2 2 2 36 2 A F A G F G và 2 2 2 48 3 A E A G EG . Từ 1 , 2 , 3 ta có: 2 2 2 2 148 AE AF AG 2 2 2 74 AE AF A G 4 . Từ 1 , 4 ta có: 2 10 AG 10 A G . Từ 2 , 4 ta có: 2 38 AE 38 A E . Từ 3 , 4 ta có: 2 26 AF 38 A F . Thể tích khối chóp . A E F G là : 1 1 1 . . 9880 2470 6 6 3 V A E AF AG  . Do đó thể tích tứ diện A B C D là : 1 2470 4 12 V V  . Câu 9: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2 ,3 ,3 , 2 (đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng A. 5 9 . B. 3 7 . C. 7 15 . D. 6 11 . Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi , , , A B C D là tâm bốn mặt cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử 4 A B , 5 AC BD A D B C . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AB CD . Dễ dàng tính được 2 3 M N . Gọi I là tâm mặt cầu nhỏ nhất với bán kính r tiếp xúc với bốn mặt cầu trên. Vì , IA IB IC ID nên I nằm trên đoạn M N . Đặt IN x , ta có 2 2 3 3 IC x r , 2 2 2 2 3 2 IA x r Từ đó suy ra 2 2 2 2 12 3 3 2 2 2 1 11 x x x , suy ra 2 2 12 3 6 3 3 11 11 r       Cách 2 A E C F B D G Gọi , A B là tâm quả cầu bán kính bằng 2 . , C D là tâm quả cầu bán kính bằng 3 . I là tâm quả cầu bán kính x . Mặt cầu I tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm , , , A B C D nên 2, 3 IA IB x I C ID x . Gọi P , Q lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn AB và C D . 1 IA IB I P I P Q IC ID I Q   . Tứ diện ABCD có 5 DA D B C A C B suy ra MN là đường vuông góc chung của AB và C D , suy ra M N P Q  (2). Từ 1 và 2 suy ra I M N Tam giác IAM có 2 2 2 2 4 IM I A A M x . Tam giác C IN có 2 2 2 3 9 IN IC CN x . Tam giác AB N có 2 2 12 NM NA A M . Suy ra 2 2 6 3 9 2 4 12 11 x x x . Câu 10: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang (không đi qua đỉnh) bao nhiêu khối lập phương đơn vị? A. 16. B. 17 . C. 18. D. 19. Lời giải Chọn D M N 2 B 3 D 3 C 2 A IO M' M C ' B' D ' D B C A A' Gọi . ABCD A B C D     là khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị và O là tâm hình lập phương đó, khối lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng 3 . Ta xét mặt phẳng P đi qua O và vuông góc với AC , cắt AC tại M , cắt A C   tại M  . Ta có 3 3 2 3 2 AM A O AC AC  3 3 9 2 .3 3 4 2 2 2 2 AM A C  3 2 4 CM . Gọi 1 1 1 1 A B C D là mặt phẳng chia lớp 9 khối lập phương mặt trên với 9 khối lập phương ở mặt thứ 2 , gọi 1 1 1 M A C M M   . Ta có 1 1 7 7 3 2 7 2 . 3 3 4 4 A M CM 1 1 1 1 1 1 5 2 4 C M A C A M . Gọi 2 2 2 2 A B C D là mặt phẳng chia lớp 9 khối lập phương mặt thứ 2 với 9 khối lập phương ở mặt thứ 3 , gọi 2 2 2 M A C M M   . Ta có 2 2 5 5 3 2 5 2 . 3 3 4 4 A M CM 2 2 2 2 2 2 7 2 4 C M A C A M . Giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng A B CD cắt các cạnh của 3 hình vuông, giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng 1 1 1 1 A B C D cắt các cạnh của 5 hình vuông (hình vẽ), trong các hình vuông này có 2 cặp hình vuông cùng chung một hình lập phương đơn vị, nên suy ra mặt phẳng P cắt ngang 6 khối lập phương mặt trên. M 1 D 1 C 1 B 1 A 1 D A C B MTương tự mặt phẳng P cắt ngang 6 khối lập phương mặt dưới cùng. Giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng 1 1 1 1 A B C D cắt các cạnh của 5 hình vuông, giao tuyến của mặt phẳng P với mặt phẳng 2 2 2 2 A B C D cắt các cạnh của 5 hình vuông (hình vẽ), trong đó có 3 cặp hình vuông cùng chung với một hình lập phương đơn vị, nên suy ra mặt phẳng P cắt ngang 7 khối lập phương mặt thứ hai. Vậy, mặt phẳng P cắt ngang (không đi qua đỉnh) 6 6 7 19 khối lập phương đơn vị. Cách khác Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là ; ; i j k , với i , j ,   0;1;2;3 k và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là 0;0;0 O và 3;3;3 A . Phương trình mặt trung trực của OA là 9 : 0 2 x y z . Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút ; ; i j k và ( 1; 1; 1) i j k của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với ( ) . Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ ; ; i j k , với i , j ,   0;1;2 k , có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn: 9 0 2 9 1 1 1 0 2 i j k i j k  3 9 1 2 2 i j k . Các bộ ba không thỏa điều kiện 1 , tức là 3 2 9 2 i i k i i k       là   0;0;0 ; 0;0;1 ; 0;1;0 ; 1;0;0 ; 1;2;2 ; 2;1;2 ; 2;2;1 ; 2;2;2 S Vậy có 27 8 19 khối lập phương đơn vị bị cắt bởi . Câu 11: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C    có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N là hai điểm thỏa mãn 2 0 M B M B            ; 3 NB NC             . Biết hai mặt phẳng M CA và NAB vuông góc với nhau. Tính thể tích của hình lăng trụ. A. 3 9 2 8 a . B. 3 9 2 16 a . C. 3 3 2 16 a . D. 3 3 2 8 a . M 2 D 2 C 2 B 2 A 2 M 1 D 1 C 1 B 1 A 1Lời giải Chọn B Chọn hệ tọa độ Ox y z như hình vẽ Ta có 0; ;0 2 a A     , 3 ;0;0 2 a B       , 0; ;0 2 a C     , 3 2 ;0; 2 3 a h M       , 3 ; ; 4 4 3 a a h I       3 ; ;0 2 2 a a A B           , 3 ; ; 4 4 3 a a h B I          2 3 3 , ; ; 6 6 4 ah ah a n AB BI                  0; ;0 AC a     , 3 2 ; ; 2 2 3 a a h A M            2 2 2 3 , ;0; 3 2 ah a n A C AM                      Ta có 2 2 4 1 2 2 3 3 6 . 0 0 6.3 8 4 a h a a NAB MA C n n h       3 . 3 6 1 3 9 2 . . . . 4 2 2 16 AB C A B C a a V a a    . Câu 12: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng A CC  và A B C   bằng 60  . Tính thể tích khối chóp . B A C C A    . A C B A  C  B A. 3 3 a . B. 3 6 a . C. 3 2 a . D. 3 3 3 a . Lời giải Chọn A M B C A' C ' B' A K Gọi M là trung điểm của A C   . Do tam giác A B C    vuông cân tại B  nên B M A C     M B AA C C     . Thể tích khối chóp . B ACC A    là . 1 . . 3 B AA C C V B M A A A C      . Ta có 2 2 a B M  , 2 A C a . Do M B A A C C     MB A C    . Kẻ MK A C   B K AC    . Vậy góc giữa hai mặt phẳng A CC  và AB C   là 60 M KB M K B    . Trong tam giác vuông M KB ta có tan 60 M B M K   MK 6 tan 60 6 MB a   . Trong tam giác vuông M K C  ta có tan M K M C K KC  2 2 MK MC M K 2 2 6 6 2 6 4 36 a a a 2 2 . Mặt khác trong tam giác vuông A A C  ta có .tan A A A C M C K     2 2 2 a a . Vậy . 1 . . 3 B AA C C V B M A A A C      1 2 . . 2 3 2 a a a 3 3 a . Câu 13: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho x , y là các số thực dương thay đổi. Xét hình chóp . S A B C có SA x , B C y , các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi thể tích khối chóp . S ABC đạt giá trị lớn nhất thì tích . x y bằng A. 3 4 . B. 4 3 3 . C. 2 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn A A C B S N M H - Do SB SC 1 AB AC nên các tam giác SBC và ABC cân tại S và A . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của B C và SA , ta có: SM B C A M B C    B C SA M  . Hạ SH AM  tại H thì SH A B C  . - Ta có: 2 1 4 y A M 1 . 2 ABC S A M BC 2 1 1 2 4 y y . Mặt khác: vì SM AM nên tam giác MSA cân tại M 2 2 M N M A A N 2 2 1 4 4 y x . Lại có: . . SH A M MN SA . M N SA SH A M 2 2 2 . 1 4 4 1 4 y x x y 2 2 2 4 4 x x y y . 1 . . 3 S AB C AB C V SH S 2 2 2 2 4 1 1 . . . 1 3 2 4 4 x x y y y y 2 2 1 4 12 x y x y 2 2 2 2 1 4 12 x y x y 3 2 2 2 2 1 4 12 3 x y x y      2 3 27 . Vậy max 2 3 27 V 2 2 2 2 4 x y x y 2 3 x y , do đó 4 . 3 x y . Câu 14: - - - - - - - - - - H Ế T -- --------Cho hình lăng trụ . ABC A B C   . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A A  , B B  , C C  sao cho 2 A M M A  , 2 N B N B  , P C PC  . Gọi 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABC MNP và A B C MNP    . Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 2 V V . B. 1 2 1 2 V V . C. 1 2 1 V V . D. 1 2 2 3 V V . Câu 15: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ . ABC A B C   . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA  , BB  , C C  sao cho 2 AM MA  , 2 N B N B  , P C PC  . Gọi 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMN P và A B C MNP    . Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 2 V V . B. 1 2 1 2 V V . C. 1 2 1 V V . D. 1 2 2 3 V V . Lời giải Chọn C P C B A' C' B' A M N Gọi V là thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    . Ta có 1 . . M AB C M BC PN V V V . . 1 1 2 2 . , . . , 3 3 3 9 M ABC ABC ABC V S d M ABC S d A A BC V  . . 1 1 1 1 . , . . , 3 3 3 9 M A B C A B C A B C V S d M A B C S d M A B C V                . Do BCC B   là hình bình hành và 2 N B N B  , PC PC  nên 7 5 B C PN BCP N S S   . Suy ra . . 7 5 M B C PN M BCPN V V   , Từ đó . . . . M AB C M BCPN M A B C M B C P N V V V V V      . . . 2 1 7 5 9 9 5 18 M B CPN M BCP N M BCP N V V V V V V V . Như vậy 1 2 2 5 1 1 9 18 2 2 V V V V V V . Bởi vậy: 1 2 1 V V . Câu 16: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD , ABC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng M NE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V . A. 3 9 2 320 a V . B. 3 3 2 320 a V . C. 3 2 96 a V . D. 3 3 2 80 a V . Lời giải Chọn A Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , ABCD là tứ diện đều nên A G B CD  . 2 2 2 2 3 6 9 3 a a A G A D DG a . 2 3 1 3 6 2 . . 3 4 3 12 AB CD a a a V . Gọi I , K lần lượt là giao điểm của E N với A D và A B ; F là giao điểm của K M với AC . Khi đó AK IF V V . Ta có:  H M HN HI HF // MN FI , mà // M N CD nên // CD F I A I A F AD A C .  IEA I ND   # 3 A I EA I D ND 3 4 AI AD .  AE K HNK   # 6 A K EA HK H N 3 5 A I AB . Vậy: 3 3 3 3 3 3 3 3 2 9 2 . . . . . 4 4 5 4 4 5 12 320 AB CD a a V V . Câu 17: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB và C D lần lượt lấy các điểm M và N sao cho 0 M A M B          và 2 NC ND         . Mặt phẳng P chứa M N và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V . Tính V . A. 2 18 V . B. 11 2 216 V . C. 7 2 216 V . D. 2 108 V . Lời giải Chọn B Q P M A D C B N Từ N kẻ // N P AC , N AD M kẻ // M Q AC , Q BC . Mặt phẳng P là MP NQ Ta có 1 2 . 3 12 AB CD AB CD V A H S ACM PNQ AM PC MQ N C MP N C V V V V V Ta có . . AM PC ABCD AM AP V V A B A D 1 2 1 . 2 3 3 ABC D ABC D V V 1 1 . . 2 2 M QNC AQ N C AB C D CQ CN V V V CB CD 1 1 2 1 . 2 2 3 2 AB CD AB CD V V 2 2 1 . 3 3 3 M PN C MPCD MAC D V V V 2 1 . . 3 3 ABCD AM V AB 2 1 1 1 . 3 3 2 9 ABC D ABC D V V Vậy 1 1 1 3 6 9 AB CD V V     11 11 2 18 216 ABCD V V . Câu 18: ----------HẾT----------(SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy AB C D là hình vuông cạnh a , mặt bên S AB là tam giác đều, mặt bên SC D là tam giác vuông cân tại S . Gọi M là điểm thuộc đường thẳng C D sao cho B M vuông góc với SA . Tính thể tích V của khối chóp . S BDM . A. 3 3 16 a V . B. 3 3 24 a V . C. 3 3 32 a V . D. 3 3 48 a V . Lời giải Chọn D Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và C D . Gọi H là hình chiếu của S lên IJ . Ta có 3 2 a SI , 2 a SJ , IJ a . Khi đó 2 2 2 SI SJ IJ suy ra tam giác SI J vuông tại S . Ta có 2 2 2 2 . 3 3 4 4 SI SJ a SH a HI SI SH SI SJ và 2 2 13 4 A H SA SH a . A B SI A B I J    AB SI J  AB SH  . Do đó SH AB SH IJ    SH A B CD  SH BD M  . Gọi E A H B M  . Ta có B M SA B M SH    BM A H  . Ta có ABE  đồng dạng với A HI  ( vì  90 I E   và  A chung) nên ta có A E AB AI A H . 2 13 AB AI a A E A H . Ta có A BE  đồng dạng với BMC  ( vì   90 C E  và   B M ) nên ta có A B AE B M BC . 13 2 A B BC a B M A E . BM D BM C BD C S S S    1 3 1 .a. . . 2 2 2 a a a 2 4 a Thể tích V của khối chóp . S BD M là 1 . . 3 BMD V SH S  2 1 3 1 . . 3 4 4 a a 3 3 48 a . Câu 1: (S G D Th an h H ó a – n ăm 2017 – 2018 ) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , 2 SA và SA vuông góc với mặt phẳng đáy A B CD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho mặt phẳng SM C vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng 2 2 1 1 T A N AM khi thể tích khối chóp . S AMCN đạt giá trị lớn nhất. A. 2 T . B. 5 4 T . C. 2 3 4 T . D. 13 9 T . Lời giải Chọn B Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ Ox y z sao cho 0;0;0 A , 2;0;0 B , 0;2;0 D , 0;0;2 S . Suy ra 2;2;0 C . Đặt AM x , AN y ,   , 0;2 x y , suy ra ;0;0 M x , 0; ;0 N y . ;0; 2 SM x     , 2;2; 2 SC     , 0; ; 2 SN y     . 1 , 4;2 4;2 n SM SC x x              , 2 , 4 2 ; 4; 2 n SN SC y y               . Do SM C SNC  nên 1 2 . 0 4 4 4 4 2 4 4 0 n n y x x y      2 8 xy x y . 8 2 2 x y x , do 2 y  nên 8 2 2 1 2 x x x  . 4 2 2 AM C N AB C D BM C DN C S S S S x y x y . Do đó 2 . 1 2 2 8 2 2 8 . 3 3 3 2 3 2 S AM C D AM C N x x V SA S x y x x x     . Xét 2 2 8 3 2 x f x x với   1;2 x , 2 2 2 4 8 3 2 x x f x x  . 2 0 4 8 0 2 2 3 f x x x x  ; 2 2 3 x (loại). Lập BBT ta suy ra   0;2 max 1 2 2 f x f f . Vậy . 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 5 max 2 4 2 1 S AM C N x y V T A M A N x y x y         . Cách 2: Đặt AM x , AN y . Gọi O AC DB  ; E B D C M  ; F BD C N  . H là hình chiếu vuông góc của O trên S C , khi đó: 2 3 HO . Ta có: SC OH SC H E SC HB D SC B D SC H F        . Do đó góc giữa SCM và S CN bằng góc giữa H E và H F . Suy ra H E HF  . Mặt khác . 1 2 . 3 3 S AMC N AMC N V SA S x y . Tính OE , OF : Ta có: 0 x , 0 y và nếu 2 x  , 2 y  thì gọi K là trung điểm của AM , khi đó: 2 4 2 4 2 4 4 O E KM x OE EB O B x O E E B MB x x x x x . Tương tự: 2 4 y OF y . Mà 2 . 2 2 12 OE OF O H x y . Nếu 2 x hoặc 2 y thì ta cũng có 2 . 2 2 12 OE OF OH x y . Tóm lại: 2 2 12 x y . Suy ra: . 1 2 2 2 12 . 2 2 4 2 4 3 3 3 3 2 S AM CN AM CN V SA S x y x y x x         . Do đó . 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 5 max 2 4 2 1 S AM C N x y V T A M A N x y x y         . Câu 2: ( T H P T C huyê n L ươ ng T h ế Vin h - H à N ội – L ần 2 năm 20 17 – 20 18 ) Cho hình chóp . S A B C D có đáy là hình bình hành có , A B a S A S B S C S D 5 2 a (tham khảo hình vẽ). Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp . S A B C D bằng A. 3 3 6 a . B. 3 3 a . C. 3 2 3 3 a . D. 3 6 3 a Lời giải Chọn B Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng A B C D . Ta có: S A O  S B O  S C O  S D O  (tam giác vuông, S O là cạnh chung, SA S B S C S D ). Nên O A O B O C O D suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác A B C D Suy ra A B C D là hình chữ nhật có O là tâm. Đặt A D x 1 2 AO AC 2 2 1 2 a x Nên 2 2 S O S A A O 2 2 2 5 4 4 a a x 2 2 4 x a . 1 . 3 S ABC D V ABCD SO 2 2 1 . . 3 4 x a x a 2 2 1 .2. . 3 2 4 x x a a 2 2 2 1 3 4 4 x x a a          3 1 3 a . Câu 3: (SGD B ắc Ni n h – L ần 2 - n ăm 201 7 - 20 18) Cho hình chóp . S A BCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SB C , với 45   . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 4 a . B. 3 8 3 a . C. 3 4 3 a . D. 3 2 3 a . L ờ i gi ải Chọn C H D' D B C A S Gọi D  là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD . Khi đó DD SA  / / mà SA SBC  (vì SA S B  , SA BC  ) nên D  là hình chiếu vuông góc của D lên SB C . Góc giữa S D và SB C là D SD SDA  , do đó .tan 2 .tan SA AD a . Đặt tan x , 0;1 x . Gọi H là hình chiếu của S lên AB , theo đề ta có 2 . 1 1 . . 4 . 3 3 S ABC ABC V S SH a SH D D . Do đó . S A BC D V đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất. Vì tam giác S AB vuông tại S nên . SA SB SH A B 2 2 . SA A B SA A B 2 2 2 2 4 4 2 ax a a x a 2 2 1 ax x 2 2 1 2 2 x x a a  Từ đó max SH a khi 2 tan 2 . Suy ra 2 3 . 1 4 max . .4 3 3 S ABCD V a a a . Câu 4: (Ch uy ên Lê H ồ ng Ph on g – Na m Đin h - nă m 2017- 2 018 ) Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh B C , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho 3 BC BM , 3 2 BD B N , 2 AC AP . Mặt phẳng M NP chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích là 1 V , 2 V . Tính tỉ số 1 2 V V . A. 1 2 26 13 V V . B. 1 2 26 19 V V . C. 1 2 3 19 V V . D. 1 2 15 19 V V . Hướng dẫn giải Chọn B Q I N M P A B C D Gọi AB CD V V , I MN C D  , Q IP AD  ta có Q A D M NP  . Thiết diện của tứ diện AB C D được cắt bởi mặt phẳng M NP là tứ giác MNQP . Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác BCD và AC D ta có: . . 1 NB ID MC ND IC MB 1 4 ID IC và . . 1 ID PC QA IC PA Q D 4 Q A QD . Áp dụng bài toán tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác, ta có: AN P Q ANCD V V . A P A Q AC A D 2 5 2 5 ANPQ ANCD V V 2 15 V . Suy ra . 1 2 3 15 N PQ DC V V V 1 5 V . và C M N P C BN A V V . CM CP CB CA 1 3 1 3 CM NP CB N A V V 2 9 V . Suy ra 2 . 19 45 N PQ DC C M N P V V V V . Do đó 1 2 V V V 26 45 V . Vậy 1 2 26 19 V V . ---------HẾT--------- Câu 5: (TH P T Đ ặ ng T h úc H ứa – N g h ệ A n - nă m 201 7 - 2 018 ) Cho hình chóp . S AB C có AB a , 3 A C a , 2 SB a và 90 A B C B AS BC S . Sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SA C bằng 11 11 . Tính thể tích khối chóp . S AB C . A. 3 2 3 9 a . B. 3 3 9 a . C. 3 6 6 a . D. 3 6 3 a . Lời giải Chọn C B D A C S H - Dựng SD A B C  tại D . Ta có: B A SA B A SD    BA AD  . Và: B C SD B C CD B C SC     A BCD là hình chữ nhật 2 D A B C a , DC AB a . - Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SA C B SH là góc giữa SB và mặt phẳng SA C 11 sin 11 B SH ; d B SA C B H S B SB ; d D SAC SB 2 2 1 11 ; SB d D SA C 1 . - Lại có : 2 2 2 2 1 1 1 1 ; DS D A DC d D SA C 2 2 2 2 1 1 1 SB BD D A DC 2 2 2 1 3 3 2 SB a a 2 . - Từ 1 và 2 suy ra: 2 11 SB 2 2 2 1 3 3 2 SB a a 2 2 2 2 6 11 3 SB a SB a     6 11 3 SB a SB a     Theo giả thiết 2 SB a 6 3 SB a SD a . Vậy 3 1 1 6 . . 3 2 6 S AB C a V SD B A B C . Câu 6: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 a , tam giác SAB đều, góc giữa SCD và A B C D bằng o 60 . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A B C D nằm trong hình vuông ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC là A. 5 5 a . B. 5 10 a . C. 3 5 10 a . D. 5 3 3 a . Câu 7: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 a , tam giác SAB đều, góc giữa SCD và A B C D bằng o 60 . Gọi M là trung điểm của cạnh A B . Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A B CD nằm trong hình vuông ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC là A. 5 5 a . B. 5 10 a . C. 3 5 10 a . D. 5 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn A H I N M C B A D S Gọi I là trung điểm cạnh C D , khi đó A B SM AB SM I A B M I     . Do // C D AB nên CD SM I  (( ),( )) SC D A B C D SI M . Vẽ SH MN  tại H M N thì SH A B CD  . Tam giác S MI có 2 2 2 2. . .cos SM M I SI M I SI SI M 2 2 2 3 4 2 . a a SI a SI 2 2 2 . 0 SI a SI a SI a . Cách 1: Theo định lý Pythagore đảo thì SMI  vuông tại . 3 2 SM SI a S SH MI . Vẽ SH MN  tại H M N thì SH A B CD  . Gọi N là trung điểm cạnh B C ta có // AC M N S 3 , , , SM NC M N V d AC SM d A C SM N d C SMN S  . Ta có 3 . 1 1 1 3 3 . . . . . . . 3 2 6 2 12 S M N C S MN B a a V V SH BM B N a a . Tam giác SI C có 2 2 2 2 2 SC SI IC a a a . Tam giác SB C có 2 2 2 2 2 2 2 2 4 SB SC BC SN a SN a . Tam giác SM N có nửa chu vi 3 2 2 2 2 SM SN MN a a a p . Và diện tích SM N  là 2 15 4 SM N a S p p SM p SN p BC  . Vậy 3 2 S 3 3 3 5 12 , 5 15 4 SM NC M N a V a d A C SM S a   . Cách 2: Ta thấy 2 2 2 SM SI MI nên SMI  vuông tại S . Suy ra . SM SI SH MI 3 2 a ; 3 2 a HM . Gọi O A C BD  ; N là trung điểm cạnh B C ta có // A C SM N . Do đó, , d AC SM , d A C SM N , d O SM N 2 , 3 d H SM N . Gọi K là hình chiếu của H lên MN , ta có HKM  vuông cân tại K nên 3 2 4 2 H M a HK . Vậy 2 2 2 . , . 3 SH H K d A C SM SH H K 5 5 a . Câu 8: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh 2 a , gọi M là trung điểm của B B  và P thuộc cạnh DD  sao cho 1 4 DP DD  . Mặt phẳng A M P cắt C C  tại N . Thể tích khối đa diện AMNPB C D bằng A. 3 2 V a . B. 3 3 V a . C. 3 9 4 a V . D. 3 11 3 a V . Câu 9: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh 2 a , gọi M là trung điểm của B B  và P thuộc cạnh DD  sao cho 1 4 DP D D  . Mặt phẳng A M P cắt C C  tại N . Thể tích khối đa diện AMNP BC D bằng A. 3 2 V a . B. 3 3 V a . C. 3 9 4 a V . D. 3 11 3 a V . Lời giải Chọn B Cách 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích khối hộp Cho hình hộp . ABCD A B C D     , gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA  , BB  , C C  . Mặt phẳng M PN cắt cạnh DD  tại Q . Khi đó: . . 1 1 . 2 2 MN PQ A B C D AB C D A B C D V M A P C NB Q D V A A CC B B D D                         A D B C P M A  B  C  D  A D B C P M A  B  C  D  Áp dụng, xem khối đa diện . AMNPBCD A M N P AB C D  ta có: ' P M C' D' B' C B D A A . . 1 1 1 1 3 2 2 2 4 8 AM NP ABCD A B C D AB C D V M B PD V B B D D               . Vậy 3 3 . . 3 3 2 3 8 8 AM NP BCD AM N P AB CD A B C D AB CD V V V a a     Cách 2: N K O' O P M C ' D' B ' C A D B A' Thể tích khối lập phương . ABCD A B C D     là 3 3 2 8 V a a . Gọi O , O  lần lượt là tâm hai hình vuông ABCD và A B C D     , gọi K O O MP   , khi đó N AK C C   . Ta có 1 2 OK DP BM 1 3 2 2 4 a a a     . Do đó 3 2 2 a CN OK . Diện tích hình thang B M N C là 1 . 2 BM N C S BM CN B C 2 1 3 5 .2 2 2 2 a a a a     . Thể tích khối chóp . A BMNC là . 1 . . 3 A BMN C BMNC V S AB 2 3 1 5 5 . .2 3 2 3 a a a . Diện tích hình thang D P N C là 1 . 2 DPNC S D P CN CD 2 1 3 .2 2 2 2 2 a a a a     . Thể tích khối chóp . A DPN C là . 1 . . 3 A DP NC DP N C V S A D 3 2 1 4 .2 .2 3 3 a a a . Thể tích khối đa diện AMNPB C D bằng . . A BM N C A DP NC V V V 3 3 3 5 4 3 3 3 a a a . Câu 10: Cho tứ diện A B C D có 4 A B C D , 5 A C B D , 6 A D B C . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng B CD . A. 3 6 7 . B. 3 2 5 . C. 3 42 7 . D. 7 2 . Câu 11: Cho tứ diện A B C D có 4 A B C D , 5 A C B D , 6 A D B C . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng B CD . A. 3 6 7 . B. 3 2 5 . C. 3 42 7 . D. 7 2 . Lời giải Chọn C Xây dựng bài toán tổng quát n m h c b a I N M B C D A Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam giác cân, suy ra: A I N C  , AI D M  ( ) AI C DM N  Ta có: D . D . . 1 1 1 1 .4 2 . . . . 2 2 3 3 ABC A MN C A I MN A IMN V V V V I A IM IN h m n Từ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h m c h n b m n a  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c m a b c n a b c h  Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D 1 6 2 ABC V a b c a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 5 6 4 5 6 4 5 6 6 2 15 6 4 . Ta có 4 5 6 15 2 2 2 B C C D D B p 15 7 4 5 6 4 BC D S p p p p  Ta có . 3 , A BCD BC D V d A BC D S  15 6 3. 4 15 7 4 3 42 7 . Câu 12: Cho tam giác ABC đều cạnh a , gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng A B C . Trên d lấy điểm S và đặt AS x , 0 x . Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC . Biết H K cắt d tại điểm S  . Khi SS  ngắn nhất thì khối chóp . S AB C có thể tích bằng A. 3 6 24 a . B. 3 6 6 a . C. 3 3 8 a . D. 3 2 27 a . ----------HẾT---------- BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A C C A D B C D D D D B A C D B C A D A A D A D C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B B B A A A A A C D A C B A A A D C A B D A A B A HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 13: Cho tam giác ABC đều cạnh a , gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng A B C . Trên d lấy điểm S và đặt AS x , 0 x . Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC . Biết H K cắt d tại điểm S  . Khi SS  ngắn nhất thì khối chóp . S AB C có thể tích bằng A. 3 6 24 a . B. 3 6 6 a . C. 3 3 8 a . D. 3 2 27 a . Lời giải Chọn A Xét tam giác SA S   có H là trực tâm, ta có 2 3 3 . . . 2 3 2 A S AH a a a S A H A A S AS A S A A A H A A A S         ∽ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 2 . 2 2 2 a SS SA AS A S A S a    Dấu “ ” xảy ra khi 2 2 a SA A S x  . Câu 14: Do đó SS’ ngắn nhất khi 2 2 a x . Khi đó 2 3 . 1 1 2 3 6 . . . 3 3 2 4 24 S AB C AB C a a a V SA S . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị C của hàm số 3 3 y x x m cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt. A. 2; m  . B. 2;2 m . C. m  . D. ; 2 m  . Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị C của hàm số 3 3 y x x m cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt. A. 2; m  . B. 2;2 m . C. m  . D. ; 2 m  . Lời giải Chọn B Xét hàm số 3 3 y x x m . Ta có 2 1 2 3 3 0 1 2 x y m y x x y m    . Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt điều kiện cần và đủ là CT . 0 y y C Ñ 2 . 2 0 m m 2;2 m . Câu 16: Cho hình lăng trụ đều . A B C A B C   . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng A B C  bằng a, góc giữa hai mặt phẳng A B C  và BCC B   bằng với 1 2 3 c os (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích khối lăng trụ . A B C A B C    bằng A. 3 2 3 4 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 3 2 a . D. 3 2 3 8 a . Câu 17: Cho hình lăng trụ đều . A BC A B C   . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng AB C  bằng a, góc giữa hai mặt phẳng AB C  và BCC B   bằng với 1 2 3 c os (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích khối lăng trụ . AB C A B C    bằng A. 3 2 3 4 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 3 2 a . D. 3 2 3 8 a . Lời giải Chọn C Gọi O là trung điểm của A B , E là trung điểm của BC Trong mp C CO  kẻ C H C O   tại H Khi đó , d C AB C CH a  Chọn hệ trục tọa độ O xyz như hình vẽ, gọi 2 x là độ dài cạnh của tam giác ABC ta có 2 2 2 1 1 1 ' C H C C C O 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ' 3 2 3 2 x a C C CH CO a a x x     2 2 3 ' 3 x a C C ax Khi đó, ;0;0 A x , ;0;0 B x , 0; 3;0 C x , 2 2 3 ' 0; 3; 3 x a C x ax       , 3 ; ;0 2 2 x x E       VTPT của mặt phẳng AB C  là 1 , n O C A B                2 2 2 2 2 3 0; ;2 3 3 ax x x a       VTPT của mặt phẳng BCC B   là 2 3 3 ; ;0 2 2 n AE x x              1 2 3 cos 1 2 1 2 . 1 2 3 n n n n           3 2 2 2 4 2 2 4 2 2 3 1 3 2 3 12 9 3 12 . 3 4 4 ax x a a x x x x x a x a 3 2 . 6 3 2 .S . 3 2 2 A B C A B C A B C a a V C C a      . Câu 18: Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E , F lần lượt là trung điểm A A  và B B  ; đường thẳng C E cắt đường thẳng C A   tại E  , đường thẳng C F cắt đường thẳng ' C B  tại F . Thể tích khối đa diện EF A B E F     bằng A. 3 6 . B. 3 2 . C. 3 3 . D. 3 12 . Câu 19: Cho hình chóp . S A BCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và S D (tham khảo hình vẽ), là góc giữa hai mặt phẳng AM N và SB D . Giá trị sin bằng M N B D C A S A. 2 3 . B. 2 2 3 . C. 7 3 . D. 1 3 . BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B B C D C D D D C D B A B D C D D D C A C B B D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A C D A A B B B B D A D A C A A C A C B A C A B B HƯỚNG DẪN GIẢI. Câu 20: Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C    có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E , F lần lượt là trung điểm A A  và B B  ; đường thẳng C E cắt đường thẳng C A   tại E  , đường thẳng C F cắt đường thẳng ' C B  tại F . Thể tích khối đa diện E FA B E F     bằng A. 3 6 . B. 3 2 . C. 3 3 . D. 3 12 . Lời giải Chọn A M F ' E' F E B C A' C' B ' A Thể tích khối lăng trụ đều . ABC A B C    là . 3 3 . .1 4 4 AB C A B C AB C V S AA     . Gọi M là trung điểm A B CM A BB A    và 3 2 CM . Do đó, thể tích khối chóp . C AB FE là . . 1 . 3 C AB FE C AB FE V S C H 1 1 3 3 .1. . 3 2 2 12 . Thể tích khối đa diện A B C E FC    là . . A B C EFC AB C A B C C AB FE V V V       3 3 3 4 12 6 . Do A  là trung điểm C E   nên , ' 2 , ' d E B C C B d A BCC B     3 2. 3 2 . ' CC F F B F FB C C S S S      1 FB C FB C C BC C B S S S     . Thể tích khối chóp . E C C F    là . 1 . , ' 3 E C C F CC F V S d E BC C B        1 3 .1. 3 3 3 . Thể tích khối đa diện E FA B E F     bằng . EF A B E F E C C F A B C EF C V V V           3 3 3 3 6 6 . Câu 21: Cho hình chóp . S A BCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và S D (tham khảo hình vẽ), là góc giữa hai mặt phẳng AM N và SB D . Giá trị sin bằng M N B D C A S A. 2 3 . B. 2 2 3 . C. 7 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn B K N M O C A B D S H Gọi O A C BD  , trong mặt phẳng ( ) SAC , gọi K SO MN  , suy ra K là trung điểm của SO . Ta có A M N SB D M N  . Ngoài ra B D A C BD SA C B D SA     mà // MN B D nên M N SA C  , suy ra MN AK  . Mặt khác SO BD  nên SO MN  hay K O M N  . chính là góc giữa K A và K O , suy ra sin sin A KO . Gọi H là hình chiếu của A lên S O . Xét tam giác SAO vuông tại A có A H là đường cao nên 2 2 2 2 2 . . 2 3 2 a a SA A O a A H SA A O a a . Xét tam giác SAO vuông tại A có AK là đường trung tuyến nên 2 2 6 2 2 2 4 a a SO a AK . Xét tam giác A H K vuông tại H ta có 3 2 2 3 sin sin 3 6 4 a A H A KO AK a . Câu 22: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 256 3 3 m , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ 3 m . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu? A. 48 triệu đồng. B. 47 triệu đồng. C. 96 triệu đồng. D. 46 triệu đồng. Câu 23: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 256 3 3 m , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ 3 m . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu? A. 48 triệu đồng. B. 47 triệu đồng. C. 96 triệu đồng. D. 46 triệu đồng. Lời giải Chọn A Gọi m x là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2 m x và m h là chiều cao bể. Bể có thể tích bằng 3 256 m 3 2 256 2 3 x h 2 128 3 h x . Diện tích cần xây là 2 2 2 2 S x h x h x 2 2 2 128 256 6 2 2 3 x x x x x . Xét hàm 2 256 2 , 0 S x x x x 2 256 4 0 S x x x  4 x . Lập bảng biến thiên suy ra min 96 4 S S . Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng min 96 S . Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 96.500000 48000000 đồng. Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cô si để tìm min, cụ thể 2 256 2 S x x 2 128 128 2 x x x 3 2 3 128 .2 96 S min 96 S khi 2 128 2 x x 4 x . Câu 24: Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng B C và B D sao cho 2 3 10 BC B D B M BN . Gọi 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABM N và ABCD . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 V V . A. 3 8 . B. 5 8 . C. 2 7 . D. 6 25 . Câu 25: Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng B C và BD sao cho 2 3 10 B C B D BM BN . Gọi 1 V , 2 V lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABM N và ABCD . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 V V . A B C D M N A. 3 8 . B. 5 8 . C. 2 7 . D. 6 25 . Lời giải Chọn D Ta có 1 2 1 ; .S 3 1 ; .S 3 BM N BM N BCD BCD d A B M N S V V S d A BC D     . Gọi H là hình chiếu của M lên BD và K là hình chiếu của C lên BD , khi đó ta có . . . BM N BCD S MH BN B M B N S CK B D BC BD   25 10 2 3 6. . . 6 B C B D B C B D B C BD B M B N B M BN BM B N  6 . 25 B M B N BC BD . Suy ra 6 25 BM N BCD S S   . Vậy 1 2 V V nhỏ nhất bằng 6 25 . Câu 26: Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C   . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC  bằng a , góc giữa hai mặt phẳng ABC  và B CC B   bằng với 1 cos 3 (tham khảo hình vẽ dưới đây). A' B' C ' A B C Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 15 10 a . B. 3 3 15 20 a . C. 3 9 15 10 a . D. 3 9 15 20 a . A B C D M NCâu 27: Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C   . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC  bằng a , góc giữa hai mặt phẳng ABC  và B CC B   bằng với 1 cos 3 (tham khảo hình vẽ dưới đây). A' B' C ' A B C Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    bằng A. 3 3 15 10 a . B. 3 3 15 20 a . C. 3 9 15 10 a . D. 3 9 15 20 a . Lời giải Chọn B G M C B A C' B' A ' H N Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có: CC AB CM A B     A B CC M   CC M A BC    . Mà CC M ABC C M     nên nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên C M  thì H là hình chiếu của C trên mặt phẳng ABC  ; d C ABC  C H a . Dựng đường thẳng đi qua G và song song với C H , cắt C M  tại điểm K . Ta có GN A B C AG B CC B       nên góc giữa hai mặt phẳng ABC  và B CC B   là góc A G N . 1 3 3 a GN CH ; cos G N AG a 3 3 AB AG a ; 2 2 2 1 1 1 CC CH CM  2 5 9 a 3 5 5 a CC  ; 2 3 3 . 4 AB C S a  2 3 3 4 a . Vậy thể tích khối lăng trụ bằng 1 . 3 ABC CC S   3 3 15 20 a . Câu 28: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P thuộc các cạnh B C , BD , AC sao cho 4 BC BM , 3 AC A P , 2 BD BN . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng M NP . A. 7 13 . B. 7 15 . C. 8 15 . D. 8 13 . BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D D C B A C D A D B C D C D C D A C C D A BB B B B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A B B B A D A D B B A C C C A B B C D A C B C B A HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 29: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P thuộc các cạnh B C , BD , AC sao cho 4 BC BM , 3 AC A P , 2 BD BN . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng M NP . A. 7 13 . B. 7 15 . C. 8 15 . D. 8 13 . Lời giải Chọn A Trong mặt phẳng DB C vẽ MN cắt C D tại K . Trong mặt phẳng A CD vẽ PK cắt A D tại Q . Theo định lý Mennelaus cho tam giác BC D  cát tuyến MNK ta có . . 1 KC ND M B KD N B M C 3 KC KD . Theo định lý Mennelaus cho tam giác AC D  cát tuyến PKQ ta có . . 1 KC Q D PA KD QA P C 3 2 QA QD 3 5 Q A AD . Đặt AB C D V V , ta có  . . 1 . 5 B AP Q AP Q B AC D AC D V S A P A Q V S A C A D . . 1 5 B AP Q B ACD V V . 4 5 B PQ DC V V .  . . P BM N P BCD V V BM N BCD S S 1 . 8 B M BN BC B D và .BCD 2 3 P CP D AC D V S CP V S C A . 1 12 P BM N V V .  . . 1 2 Q PB N PB N Q PB D PB D V S V S và 2 . 15 BQ PD D QP DQ P AD P AC D DA P AC D V S S S V S S S 1 15 QP BN V V . . . . . 7 20 AB M N PQ A BP Q P BN M Q PB N V V V V V V . CD. 7 13 AB MN PQ MNPQ V V . Câu 30: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 3 . Tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất. A. 64 3 . B. 16 6 3 . C. 64 2 3 . D. 16 3 . Câu 31: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 3 . Tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất. A. 64 3 . B. 16 6 3 . C. 64 2 3 . D. 16 3 . Lời giải Chọn A Gọi O AC BD  , M là trung điểm SA và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều . S A BCD . Ta có SM I SO A    SM SI SO SA 2 2 2 3. 2 2 b a b . 3 A S I B C D a a b M OTa có . 1 . . 3 S ABCD ABC D V SO S 2 2 2 1 . . 3 2 a b a 2 2 2 2 36 . 2 18 36 36 18 b b b     3 2 2 2 2 36 36 18 72. 3 b b b            V  64 3 .