Tuyển tập 500 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 7

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 1

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

TUYỂN TẬP

500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN LỚP 7

TỪ INTERNET

Họ và tên: ........................................................................................................

Lớp: ..................................................................................................................

Trường: ...............................................................................................................

Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 2

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Giáo viên Toán cấp 2 -3 "Hòa Thuận – Tam Kỳ - Quảng Nam"

LỜI NÓI ĐẦU

Sơ lược bản thân, tôi là Hồ Khắc Vũ, Sinh năm 1994, giáo viên sư phạm

Toán cấp 2-3 tốt nghiệp đại học Quảng Nam

Với mong muốn tìm tòi, sưu tầm và tập hợp tất cả các đề Toán lớp 7

của kỳ thi Học sinh giỏi các cấp để các anh chị em đồng nghiệp, các bậc

phụ huynh và các em học sinh có tài liệu để tham khảo, ôn tập và luyện

thi

Với lý do đó, tôi đã sưu tầm được 500 đề thi HSG toán 7 trên mạng

để cho vào file PDF này, file này mang giá trị vô giá, với mục đích tới tận

tay người học mà không tốn một đồng phí nào. Lý do tôi chọn file PDF

chứ không phải file word chỉ đơn giản là để khỏi lỗi font chữ và nếu anh

chị em nào có thể chỉnh sửa font chữ được thì tôi sẵn sàng chia sẻ file

word vô tư

Tôi mong rằng, với tập tài liệu đồ sộ này, hy vọng sẽ giúp các anh

chị em đồng nghiệp ôn tập được tốt hơn và cũng như các em học sinh lớp

7 sẽ luyện nhuần nhuyễn hơn trước khi bước vào kỳ thi

Cuối lời, không có gì hơn tôi xin gửi lời chúc bằng 1 câu thơ tâm đắc mà

thầy tôi đã để lại cho tôi

"Thao trường đổ mồ hôi, chiến trường bớt đổ máu

Cờ lau trận giả nhận thất bại, Bạch Đằng tranh đấu thắng dội vang"

QUẢNG NAM, THÁNG 03-2018 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 3

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 1

C©u1: (2 ®iÓm)

Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2 2 2 2 a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d

           



T×m gi¸ trÞ biÓu thøc: M=

a b b c c d d a

c d d a a b b c

   

  

   

C©u2: (1 ®iÓm) .

Cho S = abc bca cab  .

Chøng minh r»ng S kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.

C©u3: (2 ®iÓm)

Mét « t« ch¹y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 65 km/h, cïng lóc ®ã mét xe m¸y ch¹y tõ B

®Õn A víi vËn tèc 40 km/h. BiÕt kho¶ng c¸ch AB lµ 540 km vµ M lµ trung ®iÓm cña AB.

Hái sau khi khëi hµnh bao l©u th× «t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe

m¸y ®Õn M.

C©u4: (2 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC, O lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c.

a. Chøng minh r»ng: BOC A ABO ACO   

b. BiÕt

0

90

2

A

ABO ACO    vµ tia BO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc B. Chøng minh

r»ng: Tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C.

C©u 5: (1,5®iÓm).

Cho 9 ®­êng th¼ng trong ®ã kh«ng cã 2 ®­êng th¼ng nµo song song. CMR Ýt nhÊt

còng cã 2 ®­êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 20

0

.

C©u 6: (1,5®iÓm).

Khi ch¬i c¸ ngùa, thay v× gieo 1 con sóc s¾c, ta gieo c¶ hai con sóc s¾c cïng mét lóc

th× ®iÓm thÊp nhÊt lµ 2, cao nhÊt lµ 12. c¸c ®iÓm kh¸c lµ 3; 4; 5 ;6 … 11. H·y lËp b¶ng tÇn

sè vÒ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mçi lo¹i ®iÓm nãi trªn? TÝnh tÇn xuÊt cña mçi lo¹i ®iÓm ®ã.

ĐỀ SỐ 2

C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b

C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n:

a, 5x-3  < 2 b, 3x+1  >4 c, 4- x  +2x =3

C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x  + 8 -x 

C©u 4: BiÕt r»ng :1

2

+2

2

+3

3

+...+10

2

= 385. TÝnh tæng : S= 2

2

+ 4

2

+...+20

2

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 4

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

C©u 5 :

Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh

AC t¹i D.

a. Chøng minh AC=3 AD

b. Chøng minh ID =1/4BD

ĐỀ SỐ 3

C©u 1(2®):

a) TÝnh: A = 1 +

3 4 5 100

3 4 5 100

...

2 2 2 2

   

b) T×m n Z sao cho : 2n - 3 n + 1

C©u 2 (2®):

a) T×m x biÕt: 3x - 21 x  = 2

b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50.

C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña

chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã.

C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña

tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B,

I, C th¼ng hµng.

C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x +

1

7

=

1

y

ĐỀ SỐ 4

C©u 1: TÝnh :

a) A =

100 . 99

1

....

4 . 3

1

3 . 2

1

2 . 1

1

    .

b) B = 1+ ) 20 ... 3 2 1 (

20

1

.... ) 4 3 2 1 (

4

1

) 3 2 1 (

3

1

) 2 1 (

2

1

             

C©u 2:

a) So s¸nh: 1 26 17   vµ 99 .

b) Chøng minh r»ng: 10

100

1

....

3

1

2

1

1

1

     .

C©u 3:

213

70TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 5

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3

C©u 4

Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 90

0

. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c

tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 90

0

), vÏ DI

vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng:

a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK.

C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = 1 2001    x x

ĐỀ SỐ 5

C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt:

a,

327

2  x

+

326

3  x

+

325

4  x

+

324

5  x

+

5

349  x

=0

b, 3 5  x 7 

C©u2:(3 ®iÓm)

a, TÝnh tæng:

2007 2 1 0

7

1

........

7

1

7

1

7

1













   











  











  











  S

b, CMR: 1

! 100

99

........

! 4

3

! 3

2

! 2

1

    

c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d­¬ng n th×: 3

n+2

– 2

n+2

+3

n

– 2

n

chia hÕt cho

10

C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao

t­¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo?

C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc

0

60  B hai ®­êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña

tam gi¸c c¾t nhau t¹i I.

a, TÝnh gãc AIC

b, CM : IP = IQ

C©u5: (1 ®iÓm) Cho

3 ) 1 ( 2

1

2

 



n

B . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt.

ĐỀ SỐ 6

C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt :

a)  

5

1  x = - 243 .

b)

15

2

14

2

13

2

12

2

11

2 















 x x x x x

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 6

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

c) x - 2 x = 0 (x 0  )

C©u 2 : (3®)

a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt :

8

1

4

5

 

y

x

b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A =

3

1





x

x

(x 0  )

C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 3 5  x - 2x = 14

C©u 4 : (3®)

a, Cho  ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t­¬ng øng tØ lÖ

víi c¸c sè nµo .

b, Cho  ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 90

0

. KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy

®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh :

1) DE // BC

2) CE vu«ng gãc víi AB

ĐỀ SỐ 7

C©u 1: (2®) Rót gän A=

2

2

8 20

xx

xx





C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A

trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc

5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­

nhau.

C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng

2006

10 53

9



lµ mét sè tù nhiªn.

C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 60

0

vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn

Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.

Chøng minh r»ng:

a, K lµ trung ®iÓm cña AC.

b, BH =

2

AC

c, Δ K M C ®Òu

C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y,

§«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d­íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1

nöa: TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 7

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2.

b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3.

c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4.

Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n.

ĐỀ SỐ 8

C©u 1: (2®) Rót gän A=

2

2

8 20

xx

xx





C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A

trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc

5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­

nhau.

C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng

2006

10 53

9



lµ mét sè tù nhiªn.

C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 60

0

vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn

Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.

Chøng minh r»ng:

a, K lµ trung ®iÓm cña AC.

b, BH =

2

AC

c, Δ K M C ®Òu

C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y,

§«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d­íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1

nöa:

a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2.

b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3.

c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4.

Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n.

ĐỀ SỐ 9

Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

90 72 56 42 30 20 12 6 2

        

Bµi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x x    5 2 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 8

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l­ît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao

®iÓm cña 3 ®­êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng:

a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC

b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO

Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu

thøc (3-4x+x

2

)

2006

.(3+ 4x + x

2

)

2007.

ĐỀ SỐ 10

Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A =

3

5





x

x

a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x =

4

1

b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1

c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 2. (3®)

a) T×m x biÕt: 1 7    x x

b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)

2

+ …+(- 2)

2006

c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x

3

+ 2x

4

– x

2

+ 3x

2

– x

3

– x

4

+ 1 – 4x

3

. Chøng tá r»ng

®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm

Bµi 3.(1®) Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1,

2, 3.

Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 60

0

. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam

gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I.

a) TÝnh gãc AIC

b) Chøng minh IM = IN

Bµi 5. (1®) Cho biÓu thøc A =

x

x





6

2006

. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ

lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã

ĐỀ SỐ 11

C©u I: (2®)

1) Cho

6

5

4

3

2

1 







 c b a

vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c

2) Cho tØ lÖ thøc :

d

c

b

a

 . Chøng minh :

cd d

d cd c

ab b

b ab a

3 2

5 3 2

3 2

5 3 2

2

2 2

2

2 2



 





 

. Víi ®iÒu

kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 9

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

C©u II : TÝnh : (2®)

1) A =

99 . 97

1

....

7 . 5

1

5 . 3

1

  

2) B =

51 50 3 2

3

1

3

1

.....

3

1

3

1

3

1

     

C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau :

a. 0,2(3) ; b. 1,12(32).

C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3)

= 1

C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng

c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE .

a. Chøng minh : BE = CD vµ BE  víi CD

b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n

ĐỀ SỐ 12

Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a) A =

33

0,375 0,3

1,5 1 0,75

11 12

5 5 5

0,265 0,5 2,5 1,25

11 12 3

  





     

b) B = 1 + 2

2

+ 2

4

+ ... + 2

100

Bµi 2 (1,5®):

a) So s¸nh: 2

30

+ 3

30

+ 4

30

vµ 3.24

10

b) So s¸nh: 4 + 33 vµ 29 + 14

Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®­îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi

3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi

5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®­îc bao nhiªu tÊn thãc.

Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt:

a) 34 x   3 b)

1 1 1 1

... 2

1.2 2.3 99.100 2

x



    





Bµi 5 ( 3®): Cho  ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 120

0

. VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c

tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng:

a)

0

120 BMC 

b)

0

120 AMB  TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 10

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu cã:

2

1

( ) 3. ( ) f x f x

x

 . TÝnh f(2).

ĐỀ SỐ 13

C©u 1 (2®) T×m x, y, z  Z, biÕt

a. xx  = 3 - x

b.

2

1 1

6

 

y

x

c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30

C©u 2 (2®)

a. Cho A = ) 1

100

1

)...( 1

4

1

).( 1

3

1

).( 1

2

1

(

2 2 2 2

    . H·y so s¸nh A víi

2

1



b. Cho B =

3

1





x

x

. T×m x Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d­¬ng

C©u 3 (2®)

Mét ng­êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau

khi ®i ®­îc

5

1

qu·ng ®­êng th× ng­êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr­a.

TÝnh qu·ng ®­êngAB vµ ng­êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê?

C©u 4 (3®) Cho ABC  cã

ˆ

A > 90

0

. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña

tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D.

a. Chøng minh CID AIB   

b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ

trung ®iÓm cña MN

c. Chøng minh AIB AIB BIC 

d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC  ®Ó AC CD 

C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P =   





Z x

x

x

;

4

14

. Khi ®ã x nhËn gi¸

trÞ nguyªn nµo?

ĐỀ SỐ 14

Bµi 1:(1®iÓm) H·y so s¸nh A vµ B, biÕt: A=

2006 2007

2007 2008

10 1 10 1

; B =

10 1 10 1





. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 11

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

A=

1 1 1

1 . 1 ... 1

1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2006

     

  

     

      

     

Bµi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng:

x 1 1

8 y 4



Bµi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:

2(ab + bc + ca) > a

2

+ b

2

+ c

2

.

Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã

0

B = C = 50 . Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c

sao cho

00

KBC = 10 KCB = 30

a. Chøng minh BA = BK.

b. TÝnh sè ®o gãc BAK.

ĐỀ SỐ 15

Bµi 1. (4 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng 7

6

+ 7

5

– 7

4

chia hÕt cho 55

b) TÝnh A = 1 + 5 + 5

2

+ 5

3

+ . . . + 5

49

+ 5

5 0

Bµi 2. (4 ®iÓm)

a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng :

2 3 4

a b c

 vµ a + 2b – 3c = -20

b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu

b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê?

Bµi 3. (4 ®iÓm)

a) Cho hai ®a thøc f(x) = x

5

– 3x

2

+ 7x

4

– 9x

3

+ x

2

-

1

4

x

g(x) = 5x

4

– x

5

+ x

2

– 2x

3

+ 3x

2

-

1

4

TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x).

b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau:

A = x

2

+ x

4

+ x

6

+ x

8

+ …+ x

100

t¹i x = -1.

Bµi 4. (4 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 90

0

, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA.

Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D.

a) So s¸nh c¸c ®é dµi DA vµ DE. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 12

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b) TÝnh sè ®o gãc BED.

Bµi 5. (4 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G.

Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng:

a) IK// DE, IK = DE.

b) AG =

2

3

AD.

ĐỀ SỐ 16

Bài 1: (3 điểm): Tính

1 1 2 2 3

18 (0,06: 7 3 .0,38) : 19 2 .4

6 2 5 3 4

   

  





   

Bài 2: (4 điểm): Cho

ac

cb

 chứng minh rằng:

a)

22

22

a c a

b c b







b)

22

22

b a b a

a c a







Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:

a)

1

42

5

x     b)

15 3 6 1

12 7 5 2

xx    

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với

vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên

bốn cạnh là 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có

0

A 20  , vẽ tam giác đều DBC (D nằm

trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

a) Tia AD là phân giác của góc BAC

b) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm , xy  biết:

22

25 8( 2009) yx   

ĐỀ SỐ 17

Bài 1 a. Tính giá trị biểu thức

7 5 5 2 5 18

13 9 9 13 9 13



     





TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 13

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b. Cho

1 1 1 1 2011 2011 2011 2011

... & ...

1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100

AB          

Chứng minh rằng :

B

A

là một số nguyên .

Bài 2 Cho biểu thức

2

x3

A

x2







.

a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.

b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?

c. Tính A khi /x - 3 /= 5

Bài 3 a. Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:

5z 6y 6x 4z 4y 5x

4 5 6

  

 và 3x 2y 5z 96    . Tìm x; y; z.

b. Cho đa thức f(x) = ax

2

+ bx + c

. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c

Bài 4: Cho tam giác ABC, vuông cân tại A. D là một điểm bất kì trên BC. Vẽ hai tia Bx

và Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm A bờ là

đường thẳng BC. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và Cy theo thứ

tự tại M và N. Chứng minh:

a. AM = AD

b. A là trung điểm MN

c. BC = BM + CN

d. Tam giác DMN vuông cân.

ĐỀ SỐ 18

Câu 1: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

266 1 15 2 27 1998 133

; ; ;0; ; ; ;

281 173 31 347 53 1997 141



Câu 2: Trong 3 số x, y, z có 1 số dương , một số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc

loại nào biết:

32

x y y z 

Câu 3: Cho biểu thức:

8x

A

x3







a. Tìm giá trị thích hợp của biến x?

b. Với giá trị nào của x thì A > 0? TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 14

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

c. Tính giá trị của A sao cho :

a b a c

x 13



 và

 

   

2

ac

169

2a b c b c 27







  

Câu 4: Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tia Ax  AB; Ay  AC, Mz 

BC ( M là trung điểm của BC). Trên tia Ax, Ay, Mz lấy các điểm theo thứ tự D, E, O

1

sao cho AD = AB; AE = AC; MO

1

=MB. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại

H và cắt DE ở K. Gọi O

2

, O

3

là trung điểm của BD và CE . Chứng minh rằng:

a. K là trung điểm của DE.

b. Tam giác O

2

MO

3

vuông cân.

c. CO

2

và O

1

O

3

bằng nhau và vuông góc với nhau. Trên hình vẽ có những cặp đoạn

thẳng nào có tính chất tương tự cặp CO

2

và O

1

O

3

?

ĐỀ SỐ 19

Câu 1: (2 điểm)

a) Thực hiện phép tính

32

5

23

23

. .( 1)

34

25

.

5 12

   



   

   

   



   

   

b) Tìm x biết

1 5 3

1 2 1 4,5

4 6 8

x x x

     

     

     

     

Câu 2 (2 điểm):

1) Cho 4

x z a

y t b

   hãy tính

32

32

x z a

A

y t b







2) Cho p = 2 1 ( 5) aa   

a) Rút gọn P

b) Có giá trị nào của a để P = 4 không

Câu 3 (1, 5điểm) :Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau . Chứng minh rằng

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

b c c a a b

a b a c b c b a c a c b a b b c c a

  

    

        

Câu IV: (3 điểm). Cho tam giác ABC Cân tại A, có 

0

A 20 . Từ B và C kẻ các

đườngthẳng BD, và CE cắt các cạnh đối diện tại D , E và F biết. 

0

CBD 60 , 

0

BCE 50 và

CF = BD

a) Tính góc BEC

b) Tính góc BDE

Câu V : (1,5 điểm). Một lớp học sinh có 33 bạn và tổng số tuổi của các bạn là 430 ,

chứng tỏ rằng luôn tìm được 20 bạn trong lớp đó có tổng số tuổi lớn hơn 260 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 15

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 20

Câu 1 ( 1,5 điểm )

Cho x, y, z là các số khác 0 và x

2

= yz , y

2

= xz , z

2

= xy.

Chứng minh rằng: x = y = z

Câu 2( 2 điểm )

a) Tỡm x biết: 5

x

+ 5

x+2

= 650

b) Tỡm số hữu tỷ x,y biết: (3x – 33 )

2008

+ 7 y 

2009

 0

Câu 3 ( 2 điểm )

Cho hàm số : f(x) = a.x

2

+ b.x + c với a, b, c, d Z

Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3 f f f  . Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3

Câu 4( 3,5 điểm )

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N: sao cho

BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC .

a) Chứng minh AM = AN và AH  BC

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm

c) Chứng minh MAN > BAM = CAN

Câu 5 ( 1 điểm )

a) Cho

1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 4 2011 2012 2013

S         và

1 1 1 1

...

1007 1008 2012 2013

P      .

Tính  

2013

SP  .

b) Cho A=

3

1





x

x

Tìm x Z để A có giá trị là một số nguyên

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 16

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 21

C©u1: (1,75 ®)

a) TÝnh: A =

5

11

3

4

2

1

3

2

3

5

42

5

53















b) T×m x; y biÕt: (2x – 1)

2008

+ (y +3.1)

2008

= 0.

C©u 2: (1,5 ®)

Minh ®em ra cöa hµng mét sè tiÒn vµ nhÈm tÝnh nÕu dïng sè tiÒn Êy cã thÓ mua

®­îc 2 kg nho; hoÆc 3 kg lª; hoÆc 5 kg cam. BiÕt r»ng gi¸ tiÒn 2 kg lª th× ®¾t h¬n 3 kg

cam lµ 4 ngh×n ®ång. TÝnh gi¸ tiÒn 1 kg mçi lo¹i.

C©u 3: (1,5 ®)

Rót gän:

19 3 9 4

9 10 10

2 .27 15.4 .9

6 .2 12





C©u 4: (1,25 ®)

Chøng tá:

1 1 1 1 4949

...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 19800

    

C©u 5: (2,5 ®)

Cho tam gi¸c nhän ABC; cã ®­êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC chøa ®iÓm B vÏ

tia AE  AC vµ AE = AC; Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa ®iÓm C vÏ tia AF  AB vµ

AF = AB.

a) Chøng minh: EB = FC.

b) Gäi giao ®iÓm cña EF víi AH lµ N. Chøng minh: N lµ trung ®iÓm cña EF.

C©u 6: (1,5 ®)

T×m c¸c sè tù nhiªn

abc

cã ba ch÷ sè kh¸c nhau sao cho:

3 5 8 a b c 

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 17

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 22

Bài 1: (1,5đ)

a/ Rút gọn:

2 9 5 3 3

2 8 8 3

5 .6 .10 6 .2 .15

5 .6 .10 2.6 .10





b/ Biết 1

4

+ 2

4

+ 3

4

+ ... + 9

4

+ 10

4

= 25333

Tính tổng S = 2

4

+ 4

4

+ 6

4

+ ... + 18

4

+ 20

4

Bài 2: (2,0đ)

Cho tỉ lệ thức

22

22 14

x y x y 



a/ Tính tỉ số

x

y

b/ Tìm x, y biết x

2

+ y

2

= 82

Bài 3: (3,0đ)

a/ Cho M =

22

2

3

1

xy

x

x







N = (x + 1)

2

+ (y - 2 )

2

+ 2008

Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất

b/ Cho A = 2x

4

y

2

– 7x

3

y

5

; B =

1

2

 x

4

y

2

+ 2x

3

y

5

; C = 5x

3

y

5

Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị

không âm với mọi x, y.

c/ Tìm x  N biết 2

x+1

+ 2

x+4

+ 2

x+5

= 2

6

.5

2

Bài 4: (2,5đ)

Cho ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc

với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP.

a/ Chứng minh rằng:

+/ APC BAC 

+/ PC = QC

b/ ABC cần thêm điều kiện gì để CQ  CP

Bài 5: (1,0đ)

Cho ABC có A = 30

0

. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD.

Chứng minh: AD

2

= AB

2

+ AC

2

ĐỀ SỐ 23

Bài 1: (1,5đ)

Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 18

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

a/

5 5 9

11 4 12

4 .9 6 .30

6 8 .3





b/

3 3 3

0,375 0,3 1,5 1

11 12 4

5 5 5 5

0,625 0,5 2,5

11 12 3 4

    



     

Bài 2: (3,0đ)

a/ Cho hai đa thức P(x) = x

2

+ 2mx + m

2

và Q(x) = x

2

– (2m + 1)x + m

2

.

Tìm m biết P(3) = Q(-2)

b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - 7 x  - (2y + 4)

2008

c/ Tìm x biết 2 4 5 xx    

Bài 3: (2,5đ)

a/ Cho a + b + c = 2009 và

1 1 1 1

7 a b b c c a

  

  

Tính S =

a b c

b c a c a b





b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ

hai là

2

3

, giữa số thứ nhất với số thứ ba là

4

9

. Tìm 3 số đó.

Bài 4: (2,0đ)

Cho ABC có A < 90

0

. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax

vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ

AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB.

a/ Chứng minh DC = BE và DC  BE.

b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA =

NM. Chứng minh AB = ME và ABC = EMA

Bài 5: (1,0đ)

Cho ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D

và E. Chứng minh rằng CD

2

– CB

2

= ED

2

– EB

2

.

ĐỀ SỐ 24

Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau:

 

 

12 5 6 2 10 3 5 2

63

93

2 4 5

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14

2 .3 8 .3









Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 19

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

a/ (x – 1)

3

= -8 b/

9 7 5 3 xx   

c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48

Bài 3: (1,5đ)

a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.

Chứng minh rằng: 4

a

+ a + b chia hết cho 6.

b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x

2

+ 5y

2

= 74

Bài 4: (2,0đ)

a/ Cho

ac

bd



. Chứng minh rằng:

22

22

a ac b bd

c ac d bd







b/ Cho x, y, z, t  N. Chứng minh rằng:

M =

x y z t

x y z x y t y z t z t x

  

       

có giá trị không phải là số tự nhiên.

Bài 5: (3,0đ) Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại

A, CAE vuông cân tại A. Chứng minh:

a/ DC = BE; DC  BE

b/ BD

2

+ CE

2

= BC

2

+ DE

2

c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung

điểm của BC.

Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với BAC = 60

0

. Chứng minh rằng:

BC

2

= AB

2

+ AC

2

– AB.AC

ĐỀ SỐ 25

Bài 1. (2,5 điểm)

a) Tính giá trị     ) 121 11 ( 8 2 . 5 7 . 11 ) 2 .( ) 5 ( 1000

2 3 2 3 3

        A

b) Tìm x biết

1

5

4

5

2

1

10

19

: 2

10

9

3   











  











   x

c) Tìm x thỏa mãn 1 11 10

11 10

    x x

Bài 2. (3 điểm)

a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần

lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 20

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác 0 thoả mãn:

2 2 2

2 2 2

c b a

z y x

az cx

zx

cy bz

yz

bx ay

xy

 

 













Bài 3. (2,5 điểm)

a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x

2

+ 2y

b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) , ab ad là hai số nguyên tố;

ii) db + c = b

2

+ d.

Bài 4. (2 điểm)

Cho tam giác ABC có B

ˆ

< 90

0

và C B

ˆ

2

ˆ

 . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho

BE = BH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC ở D.

a) Chứng minh rằng: DA = DC.

b) Chứng minh rằng: AE = HC.

ĐỀ SỐ 26

Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:

1/ A =

1 1 1 3 3 3 3

5

3 7 13 4 16 64 256

.

2 2 2 1 1 1

8

1

3 7 13 4 16 64

    



    

2/ B =

22 21 15 14

10 16 15

2.5 9.5 5.(3.7 19.7 )

:

25 7 3.7





Câu 2: (3đ)

a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16

b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)

2010

+

1

5

y  - 10 đạt giá trị nhỏ nhất.

c/ Cho đa thức f(x) = ax

2

+ bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số

lớn hơn c ba đơn vị

Câu 3: (1,5đ) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 21

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

y

x

100

0

30

0

110

0

A

B

C

Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng

thời

1 1 1 1

2 c b d









. Chứng minh

ac

bd



Câu 4: (2,5đ)

Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc

với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và

N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E.

a/ Chứng minh AMN và BME là những tam giác cân.

b/ Chứng minh BM = CN

c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c.

Câu 5: (1,0đ)

Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh:

MA

2

+ MC

2

= MB

2

+ MD

2

ĐỀ SỐ 27

Bài 1. (1đ) Chứng minh : S = 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 là số chính phương.

Bài 2. (1đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 45 , 1  x - 3

Bài 3. (2đ) Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 114 học sinh. Biết số học sinh lớp 7A bằng

6

5

số học

sinh lớp 7B, số học sinh lớp 7B bằng

4

3

số học sinh lớp 7C. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Bài 4. (2đ) Tìm x biết :

a) 3

x+1

= 243

b)

3

1

5

1

2

1

   x

Bài 5. (2đ) Cho

0

xOy 140  , tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Gọi Om là tia phân giác

của góc xOz, On là tia phân giác của góc yOz. Tính mOn .

Bài 6. (2đ) Cho hình vẽ, biết

0 0 0

A 110 ,ABC 100 ,C 30    .

Chứng minh rằng : Ax Cy.

ĐỀ SỐ 28

Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng:

a)

1

.16 2

8

nn

 ; b) 27 < 3

n

< 243

Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 22

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49

( ... )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2 x 3 x 2   

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x 2007 2006 x    Khi x thay ®æi

Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m

®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng.

Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi

tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA,

qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE =

BC

ĐỀ SỐ 29

C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a4 

C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n

9

10

 vµ nhá h¬n

9

11



C©u 3. Cho 2 ®a thøc

P   x = x

2

+ 2mx + m

2

vµ

Q   x = x

2

+ (2m+1)x + m

2

T×m m biÕt P (1) = Q (-1)

C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:





xy

a / ; xy=84

37

1+3y 1+5y 1+7y

b/

12 5x 4x

C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau :

A = 1  x +5

B =

3

15

2

2





x

x

C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 90

0

. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 23

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.

a. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE

b. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM.

Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA

c. Chøng minh: MA  BC

ĐỀ SỐ 30

C©u 1 ( 2 ®iÓm)

Thùc hiÖn phÐp tÝnh :

a-  1

3

1

( : 1

3

1

. 3

3

1

. 6

2

 

















 











  













b-

 

3 2

2003

2 3

12

5

.

5

2

1 .

4

3

.

3

2























































C©u 2 ( 2 ®iÓm)

a- T×m sè nguyªn a ®Ó

1

3

2



 

a

a a

lµ sè nguyªn

b- T×m sè nguyªn x,y sao cho x - 2xy + y = 0

C©u 3 ( 2 ®iÓm)

a- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th×

d

c

b

a

 víi b,d kh¸c 0

b- CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+ … ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè

gièng nhau .

C©u 4 ( 3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 45

0

, gãc C b»ng 120

0

. Trªn tia ®èi cña tia CB

lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2CB . TÝnh gãc ADE

C©u 5 ( 1®iÓm)

T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x

2

- 2y

2

=1

ĐỀ SỐ 31

Bài 1:(4 điểm)

a) Thực hiện phép tính:

 

 

12 5 6 2 10 3 5 2

63

93

2 4 5

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

A

125.7 5 .14

2 .3 8 .3









TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 24

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

22

3 2 3 2

n n n n 

   chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a.

 

1 4 2

3,2

3 5 5

x     

b.    

1 11

7 7 0

xx

xx



   

Bài 3: (4 điểm)

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1

::

5 4 6

. Biết rằng tổng các bình phương của ba số

đó bằng 24309. Tìm số A.

b) Cho

ac

cb

 . Chứng minh rằng:

22

22

a c a

b c b







Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho

ME = MA. Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba

điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC    H BC  . Biết HBE = 50

o

; MEB =25

o

.

Tính HEM và BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A có

0

A 20  , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC).

Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

c) Tia AD là phân giác của góc BAC

d) AM = BC

ĐỀ SỐ 32

Bài 1 (3đ):

1, Tính: P =

1 1 1 2 2 2

2003 2004 2005 2002 2003 2004

5 5 5 3 3 3

2003 2004 2005 2002 2003 2004

   



   

2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.

Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 25

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

3, Cho: A =

3 2 2

2

3 0,25 4 x x xy

xy

  



Tính giá trị của A biết

1

;

2

xy  là số nguyên âm lớn nhất.

Bài 2 (1đ):

Tìm x biết:

3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117

Bài 3 (1đ):

Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng

cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa

thời gian chạy qua đầm lầy.

Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con

thỏ trên hai đoạn đường ?

Bài 4 (2đ):

Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là

giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:

1, ∆ABE = ∆ADC

2,

0

120 BMC 

Bài 5 (3đ):

Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ

tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.

1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.

2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với

AH cắt AC tại E.

Chứng minh: AE = AB

ĐỀ SỐ 33

Bài 1 (4đ):

Cho các đa thức:

A(x) = 2x

5

– 4x

3

+ x

2

– 2x + 2

B(x) = x

5

– 2x

4

+ x

2

– 5x + 3

C(x) = x

4

+ 4x

3

+ 3x

2

– 8x +

3

4

16

1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)

2, Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 

3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?

Bài 2 (4đ):

1, Tìm ba số a, b, c biết: TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 26

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60

2, Tìm x biết:

2 3 2 x x x    

Bài 3 (4đ):

Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức

1, P =

2

6 m 

có giá trị lớn nhất

2, Q =

8

3

n

n





có giá trị nguyên nhỏ nhất

Bài 4 (5đ):

Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ

đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần

lượt tại D, E.

1, Chứng minh BD = CE.

2, Tính AD và BD theo b, c

Bài 5 (3đ):

Cho ∆ABC cân tại A,

0

100 BAC  . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho

00

10 , 20 DBC DCB  .

Tính góc ADB ?

ĐỀ SỐ 34

Bài 1 (3đ): Tính:

1,

3

1 1 1

6. 3. 1 1

3 3 3



        

   



     

     





2, (6

3

+ 3. 6

2

+ 3

3

) : 13

3,

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 90 72 56 42 30 20 12 6 2

        

Bài 2 (3đ):

1, Cho

a b c

b c a

 và a + b + c ≠ 0; a = 2005.

Tính b, c.

2, Chứng minh rằng từ hệ thức

a b c d

a b c d







ta có hệ thức:

ac

bd



Bài 3 (4đ):

Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh

đó tỉ lệ với ba số nào ? TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 27

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Bài 4 (3đ):

Vẽ đồ thị hàm số:

y =

2 ; 0

;0

xx

xx

 







Bài 5 (3đ):

Chứng tỏ rằng:

A = 75. (4

2004

+ 4

2003

+ . . . . . + 4

2

+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100

Bài 6 (4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 60

0

. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân

giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.

Chứng minh: ID = IE

ĐỀ SỐ 35

Bài 1 (5đ):

1, Tìm n  N biết (3

3

: 9)3

n

= 729

2, Tính :

A =

2

2

2

9

4

















 +

7

6

5

4

3

2

7

3

5

2

3

1

) 4 ( , 0

 

 



Bài 2 (3đ):

Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b

2

= ac. Chứng minh rằng:

c

a

=

2

2

) 2007 (

) 2007 (

c b

b a





Bài 3 (4đ):

Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành

công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2

người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công

nhân ?

Câu 4 (6đ):

Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE.

1, Chứng minh: BE = DC.

2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC.

Bài 5 (2đ):

Cho m, n  N và p là số nguyên tố thoả mãn:

1  m

p

=

p

n m 

.

Chứng minh rằng : p

2

= n + 2. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 28

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 36

Bài 1:(4 điểm)

a) Thực hiện phép tính:

 

 

12 5 6 2 10 3 5 2

63

93

2 4 5

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

A

125.7 5 .14

2 .3 8 .3









b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

22

3 2 3 2

n n n n 

   chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a.

 

1 4 2

3,2

3 5 5

x     

b.    

1 11

7 7 0

xx

xx



   

Bài 3: (4 điểm)

c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1

::

5 4 6

. Biết rằng tổng các bình phương của

ba số đó bằng 24309. Tìm số A.

d) Cho

ac

cb

 . Chứng minh rằng:

22

22

a c a

b c b







Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao

cho ME = MA. Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng

minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC    H BC  . Biết HBE = 50

o

; MEB =25

o

.

Tính HEM và BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A có

0

A 20  , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác

ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

e) Tia AD là phân giác của góc BAC

f) AM = BC TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 29

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 37

Câu1(3điểm).Choa,b,clà ba số thực dương, thoả mãn điều kiện:

b

b a c

a

a c b

c

c b a  



 



 

. Hãy tính giá trị của biểu thức













 











 











 

b

c

c

a

a

b

B 1 1 1 .

Câu 2. (5điểm)

1) Cho:

d

c

c

b

b

a

  . Chứng minh:

d

a

d c b

c b a

 











 

 

3

.

2)Cho

6

5

4

3

2

1 







 c b a

và 5a - 3b - 4 c = 46 . xác định a,b,c

3) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia

cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều

hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.

Câu 3. (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 2013 xx    với x là số nguyên

Câu 4. (7 điểm)

Cho



xAy =60

0

có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H,

kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông

góc với Ay tại M . Chứng minh :

a ) K là trung điểm của AC.

b )  KMC là tam giác đều

c)Cho BK = 2cm. Tính các cạnh  AKM.

Câu 5. (3 điểm)

Cho biết(x-1).f(x)=(x+4) .f(x+8) với mọi x .Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm

ĐỀ SỐ 38

Bài 1: (5,0 điểm) Cho a,b,c,d là 4 số khác 0, thoả mãn điều kiện: b

2

= ac; c

2

= bd;

b

3

+ c

3

+ d

3

≠ 0Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3 3

a b c a

b c d d







2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định

chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận

nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.

Bài 2: (6,0 điểm)1) Cho hai đa thức:

2 2 2

5xy 6x – 3x y 7y 1 A     TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 30

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

2 2 2

5x 13xy 3y – 6x y 5 B     . Tính A+B; A-B

2) Cho đa thức f(x) = (m - 2)x + 2m - 3

a) Tìm nghiệm của f(x) khi m = 1.

b) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm là -4.

c) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.

Bài 3: (2,0 điểm) Tìm GTNN của biểu thức 2013 2014 2015 A x x x      

Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia

MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng

minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC    H BC  . Biết HBE = 50

o

; MEB =25

o

.

Tính HEM và BME

d) Từ H kẻ HF BE    F BE  . CMR: HF BE BH HE   

ĐỀ SỐ 39

Bài 1 ( 5 điểm)

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

5

2

:

4

3

:

6

1

. Biết tổng các bình

phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A

b) Cho

c

a

=

b

c

. Chứng minh rằng :

2 2

2 2

c b

c a





=

b

a

Bài 2 ( 4 điểm) a) Cho

t z y

x

 

=

x t z

y

 

=

y x t

z

 

=

z y x

t

 

CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên

A=

t z

y x





+

x t

z y





+

y x

t z





+

z y

z t





b)Chứng minh rằng: B =

3

1

+

2

3

1

+

3

3

1

+….+

2012

3

1

+

2013

3

1

<

1

2

Bài 3:(2 điểm)Cho đa thức f(x) = x

14

– 14x

13

+ 14x

12

- … + 13x

2

– 14x + 14

Tính f(13) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 31

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Bài 4:(7 điểm)Cho tam giác ABC có AB

đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và

cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng :

a) BE = CF b) AE =

2

AC AB 

c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c

Bài 5:Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó M =

14

4

x

x





ĐỀ SỐ 40

Câu 1: (4,0 ®iÓm) Tính hợp lí

a)

7 18 4 5 19

25 25 23 7 23



   



b)

7 8 7 3 12

19 11 19 11 19

   

c) (-25) . 125. 4 .(-8). (-17) d)

35

2

19

9

35

7

19

10

35

7

   

Câu 2: (3,0 điểm)

Tính giá trị các biểu thức sau:

a. .

2017 . 2015

1

1 ...

5 . 3

1

1

4 . 2

1

1

3 . 1

1

1

2

1













 











 











 











  A

b. B = 2x

2

– 3x + 5 với .

2

1

 x

c. C =     ,

2016

2015

15 13 2 2

0

2 2 2 3













      y x x y y x y x y x biết x – y = 0.

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Tìm x, y biết: . 0 12 3

6

1

2

2

   











 y x

2. Tìm x, y, z biết:

2

3 4

3

4 2

4

2 3 z y x z y x 









và x + y + z = 18.

Câu 4: (3,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0.

2. Cho đa thức f(x) = x

10

– 101x

9

+ 101x

8

– 101x

7

+ … – 101x + 101.

Tính f(100).

Câu 5: (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC

các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.

a) Chứng minh rằng: ADC = ABE.

b) Chứng minh rằng: DIB = 60

0

.

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 32

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

đều.

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3cm, AC=4 cm. Điểm I nằm trong tam

giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC.

Tính MB .

ĐỀ SỐ 41

Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).

a. .

4

9

9

5

3

2

:

4

3















 ;

b.

1

1

1

4

1

3

1

2

1

19

45























































   ;

c.

6 29 19 10

9 20 9 15

27 . 2 . 7 6 . 2 . 5

8 . 3 . 4 9 . 4 . 5





.

Bài 2: (6 điểm)

a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;

b. Tìm x, biết: 3 1 2 :

2

1

 x =

22

21

c. Tìm x, y, z biết:

15

2 3

5

2 z y y x 





và x + z = 2y.

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức

d

c

b

a

 .

Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).

Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối

của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.

a. Chứng minh: CD // AB.

b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .

Chứng minh rằng: ABH = CDH. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 33

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

c. Chứng minh:  HMN cân.

Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11.

ĐỀ SỐ 42

Bài 1: (3,5 điểm)

Thực hiện phép tính:

a)

3 4 7 4 7 7

::

7 11 11 7 11 11

    

  

   

   

b)

1 1 1 1 1

...

99.97 97.95 95.93 5.3 3.1

    

Bài 2: (3,5 điểm)

Tìm x; y; z biết:

a) 2009 – 2009 x  = x

b)

 

2008

2008 2

2 1 0

5

x y x y z



      





Bài 3: (3 điểm)

Tìm 3 số a; b; c biết:

3 2 2 5 5 3

5 3 2

a b c a b c   

 và a + b + c = – 50

Bài 4: (7 điểm)

Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của

CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho CI = CA.

Câu 1: Chứng minh:

a) ABD ICE   

b) AB + AC < AD + AE

Câu 2: Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự tại

M; N. Chứng minh BM = CN.

Câu 3: Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.

Bài 5 (3 điểm):

Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008

a

+ 2008.a + b) = 225 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 34

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 43

Câu 1: (4,5 điểm).

a) Tính giá trị của biểu thức

4 2 2 3 3 2

A : :

7 5 3 7 5 3



   

   

   

   

b) Tính giá trị của biểu thức B = 2x

2

– 3x + 1 với

1

2

x  .

c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng:

xy

37

 ;

yz

25

 và x + y + z = - 110.

Câu 2: (4,5 điểm).

a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng:

5 5 1 31 1

4 : 2 7 x 3 :3,2 4,5.1 : 21

9 18 5 45 2

   

    

   

   

b) T×m x, biÕt: x x x x x x 11

110

1

...

20

1

12

1

6

1

2

1

          

c) Tính giá trị của biểu thức:C = 2x

5

– 5y

3

+ 2015 tại x, y thỏa mãn:

1 x  + (y + 2)

20

= 0

Câu 3: (3,5 điểm).

a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó

tỉ lệ theo 1: 2: 3.

b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2

a

+ 37 = b 45  + b - 45.

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các

tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.

a) Chứng minh rằng: ADC = ABE.

b) Chứng minh rằng: DIB = 60

0

.

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều.

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.

Câu 5: (1,5 điểm)

Cho 20 số nguyên khác 0 : a

1

, a

2

, a

3

, … , a

20

có các tính chất sau:

* a

1

là số dương.

* Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.

* Tổng của 20 số đó là số âm.

Chứng minh rằng : a

1

.a

14

+ a

14

a

12

< a

1

.a

12

.

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 35

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 44

Bài 1 (3đ) Tìm x Z  sao cho

a, x 5 2  b,

2 2 2 2

(x 20)(x 15)(x 10)(x 5) 0     

Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn

a,

mn

2 2 2048  b, 3m 4n mn 16   

Bài 3 (4đ) a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:



       



3 3 3

2 2 3 3 3

3 3 3

y z x x

y xz, z yt và y z t 0 CM :

y z t t

b, Cho x+y – z = a-b; x - y + z = b – c ; -x+y + z = c – a. Chứng minh : x+y+z=0

Bài 4 (4đ) a, Cho đa thức

2015 2014 2013 2012

f(x) x 2000x 2000x 2000x ..... 2000x 1       

Tính giá trị của đa thức tại x=1999

b, Cho đa thức

2

f(x) ax bx c    chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0  nếu 13a b 2c 0   

Bài 5 (5đ)

a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác

vuông cân ABD, ACE

0

ABD ACE 9O 

1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD

vuông góc với BK

2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.

b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý

trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: MA MD MB MC   

ĐỀ SỐ 45

Câu 1: (5 điểm) Cho

ac

cb

 chứng minh rằng:a)

22

22

a c a

b c b







b)

22

22

b a b a

a c a







Câu 2 : (6điểm)

a) Các số a,b và c làm cho giá trị các biểu thức

b

a c

và

a

c b

c

b a   

, bằng nhau . Tính giá

trị đó?

b)Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1

::

5 4 6

. Biết rằng tổng các bình phương của ba số

đó bằng 24309. Tìm số A.

Câu 3 : (2 điểm)

Cho biểu thức A =

x

x





14

2014

. Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị lớn nhất .Tìm Giá

trị lớn nhất đó

Câu 4 (7điểm)

Cho góc xAy = 60

0

vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 36

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

thẳng song song với Ay cắt Az tại C. vẽ BH  Ay, CM Ay, BK  AC. Chứng minh

rằng:

a, K là trung điểm của AC. b, BH =

2

AC

c, Δ K M C đều

ĐỀ SỐ 46

Câu 1: (5 điểm) Cho

d

c

b

a

 Chứng minh rằng:

a) (a + 2c) . (b + d) = (a + c) . (b + 2d) b)

 

 

1005

1005

1005 1005

1005 1005

d c

b a

d c

b a











Câu 2: (6 điểm)

a) Tìm nghiệm của đa thức sau: x

2

+ 8x + 25.

b) Cho ba số dương 1 0     z y x . Chứng minh: 2

1 1 1











 xy

z

xz

y

yz

x

Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2013 2 2 2     x x A

Câu 4: (7 điểm)

Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH trung tuyến AM. Trên tia đối của tia

MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên đia đối của tia CD, lấy điểm I sao cho CI =

CA. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh:

AE = BC.

ĐỀ SỐ 47

Câu 1:( 5điểm): Cho

ac

cb

 chứng minh rằng:

a)

a c c b

a c c b







b)

22

22

a c a

b c b







b)

22

22

b a b a

a c a







Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết:



1+3y 1+5y 1+7y

12 5x 4x

Câu 3:(4 điểm)a).Chứng minh rằng :

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

.......

6 5 6 7 100 4

     

.

b) Tìm số nguyên a để:

2 9 5 17 3

3 3 3

a a a

a a a





  

là số nguyên.

Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

1996

1997

x

A







Câu 5: (7 điểm) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 37

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=30

0

, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D

sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:

a) Tam giác ABD là tam giác đều.

b) AH = CE.

c) EH song song với AC.

ĐỀ SỐ 48

Bài 1 (4 điểm):

a) So sánh hai số: (– 5)

39

và (– 2)

91

b) Chứng minh rằng: Số A = 11

n+2

+ 12

2n+1

chia hết cho 133, với mọi n N

Bài 2 (4 điểm):

a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn:  

2012 2013

2 7 3 0 x y x     

b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng:

1 2 3 . . . n aaa     

Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa

1

3

số học sinh của

lớp 7A

1

,

1

4

số học sinh của lớp 7A

2

và

1

5

số học sinh của lớp 7A

3

đi thi học sinh giỏi cấp

huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7

ở trường K.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có

ˆˆ ˆ

36 A B C  .

a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.

b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD.

Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối

của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng

minh rằng: KC  AC.

ĐỀ SỐ 49

Câu 1 : (........................ điểm)

(1) Cho tỉ lệ thức

d

c

b

a

 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 38

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Cmr : ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)

a)

cd

d c

ab

b a

2 2 2 2







b)

2 2

2

2 2

2

) ( ) (

d c

d c

b a

b a











(2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0  . Biết ab là số nguyên tố và

c

b

bc

ab

 . Tìm

abc

Câu 2 : (........................ điểm)

1) Tìm x, y biết :

a) 6 5

2

  x x

b) 1 6

2 2

  y x (x, y là số nguyên tố)

2) Chứng minh rằng đa thức f(x) = 1

2 5 8

    x x x x không có nghiệm.

Câu 3 : (........................ điểm)

Tìm x z để

x

x

A







11

2 32

đạt GTLN. Tìm GTLN của A.

Câu 4 : (........................ điểm)

Cho  ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I ; J sao cho AB là

trung trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng

minh rằng :

a)  AIJ cân

b) DA là tia phân giác của góc LDK

c) BK  AC ; CL  AB

d) Trực tâm của  ABC chính là giao của 3 đường phân giác của  DLK

e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo

không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.

ĐỀ SỐ 50

Câu 1(5 điểm) Cho tỉ lệ thức

ac

bd

 với ; ; ; 0; ; a b c d a b c d     . Chứng minh:

a) à

b d c d c

v

b a d c a b a





  

b)

2013

2013 2013

2013 2013

a b a b

c d c d

 









Câu 2(6 điểm)

1)Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a)

2

3 3 810

xx 

 b) 3 7 4 x x x    

2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm

10 5 2

1 C x x x x     

Câu 3 (2 điểm)a) Chứng minh với mọi a,b Q ta có a b a b   

b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 28 B x x    

Câu 4 (7 điểm)1) Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB

lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD=CE

a) Chứng minh tam giác ADE cân. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 39

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE.

c) Từ B và C kẻ BH  AD; CK  AE . Chứng minh BH = CK.

d) Chứng minh AM;BH;CK gặp nhau tại một điểm

2) Cho tam giác ABC có AB = AC; góc A bằng 100

0

. Điểm M nằm trong tam

giác ABC sao cho góc MBC bằng 10

0

; góc MCB bằng 20

0

. Tình số đo góc AMB.

ĐỀ SỐ 51

Câu 1. (5điểm )

1. Cho c

2

=ab Chứng minh rằng: a ;

b

a

c b

c a







2 2

2 2

b;

2 2

2 2

c a

a b





=

a

a b 

2. Ba phân số có tổng bằng

70

213

, các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu của

chúng tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó.

Câu 2. (6 điểm )

1. Cho đa thức:f(x) = x

17

- 2000x

16

+ 2000x

15

- 2000x

14

+….+ 2000x – 1

Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.

2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số:

A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn.

Câu 3.(2 điểm ). Tìm số tự nhiên x để phân số

3 2

8 7





x

x

có giá trị lớn nhất.

Câu 4. (7 điểm ). 1. Cho tam giác ABC cân tại A, B  = 50

0

.Gọi K là điểm trong tam

giác sao cho KBC  =10

0

, KCB  = 30

0.

a, Chứng minh BA=BK b, Tính số đo BAK 

2. Cho  xAy = 60

0

có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với

Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM

vuông góc với Ay tại M. Chứng minh :

a, K là trung điểm của AC b,  KMC là tam giác đều

c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh  AKM

ĐỀ SỐ 52

Câu 1 (5 điểm)

a, Cho

b

a

=

d

c

. Chứng minh rằng:

6 6

6 6

3

3

d b

c a





=

6

6

) (

) (

d b

c a





(b +d 

0)

b, Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ

lệ nghịch với 15; 60 và 8.

Câu 1 (3 điểm)

a, Tính giá trị của biểu thức:

b a

b a

3

5 2





với

b

a

=

5

3

. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 40

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b, Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3.

Câu 3 (3 điểm)

a, Tìm các số tự nhiên abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c.

b, Chứng minh đa thức x

2

+ 4x + 10 không có nghiệm.

Câu 4 (2 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

x

x 2 

với x là số nguyên.

Câu 5 (7 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và

góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên

AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

ĐỀ SỐ 53

Câu 1 ( 5 điểm )

a)Cho tỉ lệ thức

d

c

b

a

 Chứng minh rằng :

d c

c

b a

a







(a,b,c,d  0; a  b; c  d)

b)cho 4 số a;b;c;d sao cho a+b+c+d  0

Biết k

d

c b a

c

d b a

b

a d c

a

d c b



 



 



 



 

Tính giá trị của k ?

Câu 2 ( 3 điểm )Cho đa thức f(x) thỏa mãn : f(x) + x.f(-x) = x+1 với mọi giá trị của x

Tính f(1) = ?

Câu 3 (3 điểm )Cho đa thức f(x) = x

2

+mx+2

a) Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm ?

b) Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m ?

Câu 4 (2 điểm )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A=

5 ) 3 2 (

4

2

  x

Câu 5 (7 điểm )Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC, kẻ HP

vuông góc với AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có

QE = QH.

a) Chứng minh rằng : , APE APH AQH AQF      

b) Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng

Chứng minh rằng : BE // CF

ĐỀ SỐ 54

Câu1: (6đ)

a, Tính: B =

51 50 3 2

3

1

3

1

.....

3

1

3

1

3

1

     

b, Chứng minh :

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

.......

6 5 6 7 100 4

      . TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 41

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Câu 2: (5đ)

a, Cho:

d

c

c

b

b

a

  . Chứng minh:

d

a

d c b

c b a

 











 

 

3

.

b, Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của

nó tỉ lệ theo 1:2:3 ?

Câu 3: (7đ)

Cho góc xAy = 60

0

vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ

đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ Bh  Ay,CM Ay,

BK  AC.

Chứng minh rằng:

a, K là trung điểm của AC.

b, BH =

2

AC

c, Δ K M C đều

Câu 4: ( 2đ)

Với giá trị nào của x thì biểu thức : P = -x

2

– 8x +5 có giá trị lớn nhất.

Tìm giá trị lớn nhất đó?

ĐỀ SỐ 55

Câu 1(5điểm)

a, Chứng minh rằng :

Nếu 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x )

Thì

b, Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16

Câu 2(4điểm ). Cho f(x) = ax

3

+ 4x( x

2

– 1 ) + 8

g(x) = x

3

-4x(bx + 1 ) + c -3

Trong đó a , b , c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) .

Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng đa thức :

f(x) = -4x

4

+ 3x

3

– 2x

2

+ x – 1 không có nghiệm nguyên .

Câu 4 (2 điểm). Tìm GTNN của biểu thức sau : | | | |

khi x thayđổi .

Câu 5 (7 điểm). Cho tam giác ABC cântại A , có

̂

. Gọi O là một điểm nằm trên

tia phân giác của góc C saocho

̂

vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc

một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng :

a, Ba điểm C, A, M thẳnghàng.

b, Tam giác AOB cân.

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 42

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 56

Câu1: (5đ)

1. cho tỷ lệ thức ) ; ; 0 ; ; ; ( d c b a d c b a

d

c

b

a

     

Chứng minh rằnga.

d c

d c

b a

b a











b.

2 2

2 2

d c

b a

cd

ab







2. cho ) 0 ; ; (    c b a

a

c

c

b

b

a

. Chứng minh rằng a=b=c

Câu 2: (4đ)1. chứng tỏ rằng với mọi x;y Q  . Thì giá trị của biểu thức sau luôn luôn là số

dươngM=

 

  5

2 1 3

2

2 2 2 2

 

   

y x

y y x x

2. So sánh hai biểu thức sauA =

   

1

1 1

2

2



  

y

x x y

B =

 

2

2 2 1

2

2



  

y

x x y

Câu 3: (2đ)

Tìm x biế ) 0 ; ( 0 4 5 2

1 1 2

     

 

n N n x x x x

n n n

Câu 4(2đ)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP=

2

3

2 2

2 2

 

 

y x

y x

Câu 5 ( 7đ)Cho tam giác ABC vuông ở A. Các tia phân giác của góc B và góc C cắt

nhau ở I. Gọi D;E;F là hình chiếu của điểm I xuống AB;AC;BC.

a. chứng minh rằng AD=AE

b. tính độ dài của đoạn AD,AE nếu biết AB=8cm; AC=15cm

c. trong trường hợp tam giác ABC cân tại A. Hãy chứng minh rằng tam giác DEF là tam

giác cân.

ĐỀ SỐ 57

C©u1: (5 ®iÓm)

T×m c¸c sè x, y, z biÕt: a.

10 6 21

xyz

 và 5x+y-2z =28

b. 3x=2y; 7y=5z và x-y+z =32 c.

2 3 4

3 4 5

x y z

 và x+y+z =49

C©u2: (3 ®iÓm)TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc:

a. A=

2

2 4 3 1 a a a    l ần l ư ợt t ại a=

2

3

; a= -2 b. B =

22

2 3 6 x xy y  t ại

1

2

x  và y=

2

3

C©u3: (3 ®iÓm)

TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc:

a. A =

32

3

ab

ab





v ới

10

3

a

b

 b. B =

84

53

a a b

b a a







v ới a - b =3 và b # 5; b # -4

C©u4: (2 ®iÓm) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 43

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2008 2009 2010 2011 2011 A x x y x         

C©u2: (7 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn c¹nh BC lÇn l­ît lÊy 2 ®iÓm M vµ N

sao cho BM=MN=NC. Gäi H lµ trung ®iÓm BC.

a. Chøng minh: AM=AN vµ AH  BC

b. Chøng minh MAN BAM   

c. KÎ ®­êng cao BK. BiÕt AK= 7cm; AB=9cm. TÝnh ®é dµi BC.

ĐỀ SỐ 58

Câu 1 ( 5 điểm ):

1. Cho

ac

cb

 . Chứng minh rằng: a)

22

22

a a c

b b c







b)

22

22

b a b a

a a c







2. Tổng ba phân số tối giản bằng

25

5

63

các tử của chúng tỉ lệ nghịch với

20; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó.

Câu 2 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x, y biết:

51

48

y

x



Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên biết

1

3

x

A

x







  0 x 

Câu 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2013 2014 2015 A x x x      

Câu 5 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là

điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H, K thuộc AE ).

a) Chứng minh BH AK  .

b) Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao?

ĐỀ SỐ 59

C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt :

a)  

5

1  x = - 243 .b)

15

2

14

2

13

2

12

2

11

2 















 x x x x x

c) x - 2 x = 0 (x 0  )

C©u 2 : (3®)a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt :

8

1

4

5

 

y

x

b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A =

3

1





x

x

(x 0  )

C©u 3 : (5®) 1) Cho

6

5

4

3

2

1 







 c b a

vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c

2) Cho tØ lÖ thøc :

d

c

b

a

 . Chøng minh :

cd d

d cd c

ab b

b ab a

3 2

5 3 2

3 2

5 3 2

2

2 2

2

2 2



 





 

. Víi ®iÒu

kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 44

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

C©u 4: (2 ®iÓm).T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = 1 2001    x x

C©u 5: (7® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia đ ối

cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E

c¾t AB vµ AC lÇn l­ît ë M vµ N. Chøng minh:

a. DM= ED

b. §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN.

c. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D

thay ®æi trªn BC.

ĐỀ SỐ 60

Câu1: (6 điểm) a- Tính (

4

3

- 81)(

5

3

2

- 81)(

6

3

3

- 81). . .(

2003

3

2000

- 81)

b- Tính giá trị của biểu thức : 6x

2

+ 5x - 2 tại x thoả mãn x - 2 =1

Câu 2: ( 5 điểm ) 1/ Tìm x, y, z biết : 



2

1 x

3

2

4

3 



 z y

và x - 3y + 4z = 4

câu 3:(2 điểm)Tìm giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức M =

x

x





5

15

?

Câu4: ( 7 điểm ) Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 30

o

. Trên cạnh AB lấy điểm

M sao cho góc BCM bằng

3

2

góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng

3

2

góc ABC. Gọi giao điểm của CM và BN là K.

1/ Tính góc CKN.

2/ Gọi F và I theo thứ là hình chiếu của điểm K trên BC và AC. Trên tia đối của tia IK lấy điểm

D sao cho IK = ID, trên tia KF lấy điểm E sao cho KF = FE ( E  K).

Chứng minh DBC là tam giác đều.

ĐỀ SỐ 61

Câu 1. (2,5 điểm)

a. Tìm x biết:

11

: 2015x

2016 2015

 .

b. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số M =

1

1 3





n

n

có giá trị là số nguyên.

c. Tính giá trị của biểu thức: N =

2 3 2 3 4 3 4 5 2014 2015 2016

xy z x y z x y z ... x y z     tại:

x -1 ; y -1 ; z -1    .

Câu 2. (2,0 điểm) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 45

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

a. Cho dãy tỉ số bằng nhau

2 3 3 2

23

bz cy cx az ay bx

a b c

  

 . Chứng minh:

23

x y z

a b c

 .

b. Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho : 2

m

+ 2015 = n 2016  + n - 2016.

Câu 3.(1,5 điểm)

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2015 2016 2017      x x x .

b. Cho bốn số nguyên dương khác nhau thỏa mãn tổng của hai số bất kì chia hết cho 2 và

tổng của ba số bất kì chia hết cho 3. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng bốn số này ?

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì

( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.

a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB.

b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.

c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua

trung điểm của DK.

Câu 5. (1,0 điểm)

Có sáu túi lần lượt chứa 18, 19, 21, 23, 25 và 34 bóng. Một túi chỉ chứa bóng đỏ

trong khi năm túi kia chỉ chứa bóng xanh. Bạn Toán lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi. Túi

còn lại chứa bóng đỏ. Biết lúc này bạn Toán có số bóng xanh gấp đôi số bóng xanh của

bạn Học. Tìm số bóng đỏ trong túi còn lại.

ĐỀ SỐ 62

Bµi 1: (3,5 ®iÓm)

Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a)

3 4 7 4 7 7

::

7 11 11 7 11 11

    

  

   

   

b)

1 1 1 1 1

...

99.97 97.95 95.93 5.3 3.1

    

Bµi 2: (3,5 ®iÓm)

T×m x; y; z biÕt:

a) 2009 – 2009 x  = x TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 46

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b)

 

2008

2008 2

2 1 0

5

x y x y z



      





Bµi 3: (3 ®iÓm)

T×m 3 sè a; b; c biÕt:

3 2 2 5 5 3

5 3 2

a b c a b c   

 vµ a + b + c = – 50

Bµi 4: (7 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC c©n (AB = AC ; gãc A tï). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi

cña CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Trªn tia ®èi cña CA lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA.

C©u 1: Chøng minh:

a) ABD ICE   

b) AB + AC < AD + AE

C©u 2: Tõ D vµ E kÎ c¸c ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi BC c¾t AB; AI theo thø tù

t¹i M; N. Chøng minh BM = CN.

C©u 3: Chøng minh r»ng chu vi tam gi¸c ABC nhá h¬n chu vi tam gi¸c AMN.

Bµi 5 (3 ®iÓm):

T×m c¸c sè tù nhiªn a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008

a

+ 2008.a + b) = 225

ĐỀ SỐ 63

Bµi 1: TÝnh

a) A =

2 3 3

2

3 1 3 1

5 2 :

5 4 4 2

     

  

     

     

b) B =

2010

2009

0

2

24

4 1 7 1 8

2:

11 25 22 2 4







   



 



 



Bµi 2 : T×m x biÕt

11

) 1 : 4

55

ax   

) 2 1 4 b x x   

Bµi 3:

a) T×m a , b , c BiÕt: 3a = 2b ; 4b = 5c vµ - a - b + c = - 52 .

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 47

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C =

2

2 5 3

21

xx

x





t¹i

3

2

x 

Bµi 4:

Bèn con Ngùa ¨n hÕt mét xe cá trong mét ngµy , mét con Dª ¨n hÕt mét xe cá trong

s¸u ngµy , hai con Cõu trong 24 ngµy ¨n hÕt hai xe cá . Hái chØ ba con (Ngùa , Dª vµ

Cõu) ¨n hÕt hai xe cá trong mÊy ngµy ?

Bµi 5:

Cho tam gi¸c ABC (AB > AC ) , M lµ trung ®iÓm cña BC . §­êng th¼ng vu«ng gãc víi

tia ph©n gi¸c cña gãc A t¹i M c¾t c¹nh AB , AC lÇn l­ît t¹i E vµ F .

Chøng minh :

a) EH = HF

b) 2BME ACB B  .

c)

2

22

4

FE

AH AE 

.

d) BE = CF .

ĐỀ SỐ 64

Bài 1(4 điểm)

a/ Tính:

A=

3 3 3 1 1 1

4 11 13 2 3 4

5 5 5 5 5 5

7 11 13 4 6 8

   



   

b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:

z

z y x

y

y x z

x

x z y  



 



 

Hãy tính giá trị biểu thức:

B = 111

x y z

y z x



   



    

   



.

Bài 2 (4điểm)

a/ Tìm x,y,z biết:

2

12

0

23

x y x xz      

b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì

22

3 2 3 2

n n n n 

   chia hết cho 10. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 48

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy.

Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3

cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người

cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.

Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy

điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:

a/ AC=EB và AC // BE

b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I,

M, K thẳng hàng.

c/ Từ E kẻ EH  BC (H  BC). Biết góc HBE bằng 50

0

; góc MEB bằng 25

0

, tính các

góc HEM và BME ?

Bài 5(2điểm): Tìm x, y  N biết:  

2

2

36 8 2010 yx   

ĐỀ SỐ 65

Bài 1 (2,0 điểm)

a. Thực hiện phép tính:

M =

3 2 4

1,2 : (1 .1,25) (1,08 ) :

2

5 25 7

0,6.0,5:

1 5 9 36

5

0,64 (5 ).

25 9 4 17







b. Cho N = 0,7. (2007

2009

– 2013

1999

). Chứng minh rằng: N là một số nguyên.

Bài 2: (2,0điểm)Tìm x, y biết:

a.

1 60

15 1

x

x







b.

2 1 3 2 2 3 1

5 7 6

x y x y

x

   



Bài 3: (2,0 điểm)

Cho biểu thức: P = 3 3 2 1 xx   

a. Rút gọn P?

b. Tìm giá trị của x để P = 6?

Bài 4: (2,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB

kẻ hai tia Ax // By. Lấy hai điểm C,E và D,F lần lượt trên Ax và By sao cho AC = BD; TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 49

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

CE = DF. Chứng minh:

a. Ba điểm: C, O, D thẳng hàng; E, O, F thẳng hàng.

b. ED = CF .

Bài 5: (2,0 điểm)

Tam giác ABC cân tại C và

0

100 C  ; BD là phân giác góc B. Từ A kẻ tia Ax tạo

với AB một góc

0

30 . Tia Ax cắt BD tại M, cắt BC lại E. BK là phân giác góc CBD, BK

cắt Ax tại N.

a. Tính số đo góc ACM.

So sánh MN và CE

ĐỀ SỐ 66

Câu 1.(2đ).

a) Rút gọn biểu thức A=

48 30 8 30 49 10

29 8 48

7 .5 .2 5 .7 .2

5 .2 .7



.

b) Cho

35

xy

 . Tính giá trị biểu thức: B =

22

22

53

10 3

xy

xy





.

Câu 2 (2đ)

Cho biểu thức E =

5

2

x

x





. Tính giá trị nguyên của x để:

a)Biểu thức E có giá trị nguyên.

b)Có giá trị nhỏ nhất.

Câu 3(2đ).

Cho ABC  cân tại A, điểm M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuông góc với AB. Gọi E là

một điểm thuộc đoạn thẳng AH.Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AEE = 2 EMH . Chứng

minh FM là tia phân giác của EFC .

Câu 4 (2đ).

a)Tìm x biết:

1 1 1 2 2009

...

3 6 10 ( 1) 2011 xx

    



b)Cho biết (x-1)f(x) = (x+4).f(x+8) với mọi x.

Chứng minh f(x) có ít nhất 2 nghiệm.

Câu 5(2đ).

a)Cho x,y,z  0 và x-y-z =0

Tính giá trị biểu thức A = 1 1 1 .

z x y

x y z



   

  

    

   



c) Cho x,y,z thoả mãn x.y.z =1. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 50

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Chứng minh:

11

1

11

y

xy x yz y xyz yz y

  

     

ĐỀ SỐ 67

C©u 1: (1.75 ®)

a) TÝnh : A =

5

11

3

4

2

1

3

2

3

5

42

5

53















b) T×m x; y biÕt : (2x - 1)

2008

+ (y + 3.1)

2008

= 0

C©u 2: (1.5 ®)

Minh ®em ra cöa hµng mét sè tiÒn vf nhÉm tÝnh nÕu dïng sè tiÒn Êy cã thÓ mua

®­îc 2kg nho; hoÆc 3 kg lª hoÆc 5 kg cam . BiÕt r»ng gi¸ tiÒn 2 kg lª th× ®¾t h¬n 3 kg

cam lµ 4 ngh×n ®ång. TÝnh gi¸ tiÒn 1 kg mçi lo¹i.

C©u 3: (1.5 ®)

Rót gän :

19 3 9 4

9 10 10

2 .27 15.4 .9

6 .2 12





C©u 4: (1.25 ®)

Chøng tá :

1 1 1 1 4949

...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 19800

    

C©u 5: (2.5 ®)

Cho tam gi¸c nhän ABC; cã ®­êng cao AH. Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê AC chøa ®iÓm

B vÏ tia AE  AC vµ AE = AC. Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê Ab chøa ®iÓm C vÏ tia AF  AB vµ

AF = AB.

a) C/M : EB = FC

b) Gäi giao ®iÓm cña EF víi AH lµ N. C/M : N lµ trung ®iÓm cña EF.

C©u 6: (1.5 ®)

T×m c¸c sè tù nhiªn abc cã ba ch÷ sè kh¸c nhau sao cho : 3a + 5b = 8c.

ĐỀ SỐ 68

C©u 1: (1.75 ®) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 51

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

a) TÝnh : A =

5

11

3

4

2

1

3

2

3

5

42

5

53















b) T×m x; y biÕt : (2x - 1)

2008

+ (y + 3.1)

2008

= 0

C©u 2: (1.5 ®)

Minh ®em ra cöa hµng mét sè tiÒn vf nhÉm tÝnh nÕu dïng sè tiÒn Êy cã thÓ mua

®­îc 2kg nho; hoÆc 3 kg lª hoÆc 5 kg cam . BiÕt r»ng gi¸ tiÒn 2 kg lª th× ®¾t h¬n 3 kg

cam lµ 4 ngh×n ®ång. TÝnh gi¸ tiÒn 1 kg mçi lo¹i.

C©u 3: (1.5 ®)

Rót gän :

19 3 9 4

9 10 10

2 .27 15.4 .9

6 .2 12





C©u 4: (1.25 ®)

Chøng tá :

1 1 1 1 4949

...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 19800

    

C©u 5: (2.5 ®)

Cho tam gi¸c nhän ABC; cã ®­êng cao AH. Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê AC chøa ®iÓm

B vÏ tia AE  AC vµ AE = AC. Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê Ab chøa ®iÓm C vÏ tia AF  AB vµ

AF = AB.

a) C/M : EB = FC

b) Gäi giao ®iÓm cña EF víi AH lµ N. C/M : N lµ trung ®iÓm cña EF.

C©u 6: (1.5 ®)

T×m c¸c sè tù nhiªn abc cã ba ch÷ sè kh¸c nhau sao cho : 3a + 5b = 8c.

ĐỀ SỐ 69

C©u I: (2 ®)

a) TÝnh :

1 1 62 4

3 .1,9 19,5: 4 .

3 3 75 25

   



   

   

b) T×m x:

 

1 2 2

3 2 24 4 2 1

x 



    



C©u II: (2 ®)

Häc sinh mét tr­êng THCS cã 4 khèi líp gåm khèi líp 6, líp 7, líp 8 vµ líp 9. Sè TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 52

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

HS tõng khèi líp tû lÖ víi 9,8,7 vµ 6. BiÕt r»ng HS khèi 9 Ýt h¬n HS khèi 7 lµ 70 HS. TÝnh

sè HS mçi khèi .

C©u III: (2 ®)

Cho ABC vµ

/ / /

A B C  cã AB = A

/

B

/

, AC = A

/

C

/

. M thuéc BC sao cho MC = MB,

M

/

thuéc B

/

C

/

sao cho M

/

C

/

= M

/

B

/

vµ AM = A

/

M

/

. Chøng minh : ABC =

/ / /

A B C  .

C©u IV: (2 ®)

1) BiÕ

a b c a

a b c a







. Chøng minh : a

2

= b.c

2) Chøng minh r»ng:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... ...

2 3 4 2000 2001 2002 1002 2002

         

C©u V: (2 ®)

T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x vµ y tho· m·n : 3xy + x – y = 1

ĐỀ SỐ 70

Bµi 1(2 ®iÓm). Cho 5 2 . A x x    

a.ViÕt biÓu thøc A d­íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.

b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.

Bµi 2 ( 2 ®iÓm) a.Chøng minh r»ng :

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

.......

6 5 6 7 100 4

      .

b.T×m sè nguyªn a ®Ó :

2 9 5 17 3

3 3 3

a a a

a a a





  

lµ sè nguyªn.

Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó :     5 6 6 . A n n n   

Bµi 4(2 ®iÓm). Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM +

ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §­êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

Bµi 5(1,5 ®iÓm).T×m ®a thøc bËc hai sao cho :    1. f x f x x   

¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + … + n.

ĐỀ SỐ 71

C©u 1 (2®)

T×m x, y, z  Z, biÕt

a. xx  = 3 - x

b.

2

1 1

6

 

y

x

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 53

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30

C©u 2 (2®)

a. Cho A = ) 1

100

1

)...( 1

4

1

).( 1

3

1

).( 1

2

1

(

2 2 2 2

   

H·y so s¸nh A víi

2

1



b. Cho B =

3

1





x

x

T×m x Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d­¬ng

C©u 3 (2®)

Mét ng­êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót.

Sau khi ®i ®­îc

5

1

qu·ng ®­êng th× ng­êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê

tr­a

TÝnh qu·ng ®­êngAB vµ ng­êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê?

C©u 4 (3®)

Cho ABC  cã A

ˆ

> 90

0

. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB

lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D.

a. Chøng minh CID AIB   

b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. CMR I lµ trung ®iÓm cña

MN

c. Chøng minh AIB < BIC

d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC  ®Ó AC vuông góc với CD

C©u 5 (1®)

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

P =   





Z x

x

x

;

4

14

Khi ®ã x nhËn gi¸ trÞ nguyªn nµo.

ĐỀ SỐ 72

Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:

a)

200

16

1













và

1000

2

1













b) (-32)

27

và (-18)

39

Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết:

a) (2x-1)

4

= 16 b) (2x+1)

4

= (2x+1)

6

c) 20 8 3 x   

Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết :

a) (3x - 5)

2006

+(y

2

- 1)

2008

+ (x - z)

2100

= 0 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 54

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b)

4

z

3

y

2

x

  và x

2

+ y

2

+ z

2

= 116

Bài 4: (1,5 điểm):

Cho đa thức :

A = 11x

4

y

3

z

2

+ 20x

2

yz - (4xy

2

z - 10x

2

yz + 3x

4

y

3

z

2

) - (2008xyz

2

+ 8x

4

y

3

z

2

)

a) Xác định bậc của A.

b) Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.

Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng:

t z x

t

t z y

z

t y x

y

z y x

x

M

 



 



 



 

 có giá trị

không phải là số tự nhiên.( x, y, z, t

*

N  ).

Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D

bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD.

Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:

a) BH = AI.

b) BH

2

+ CI

2

có giá trị không đổi.

c) Đường thẳng DN vuông góc với AC.

d) IM là phân giác của góc HIC.

ĐỀ SỐ 73

Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và c( b

+ d) = 2bd . Chứng minh (

d b

c a





)

8

=

8 8

8 8

d b

c a





Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết:

5. x

3

2

4

3

 - 3,25 = -2{(1,25)

2

– 2,5 . 0,25 + (-0,25)

2

}

b/ Tìm x , y biết: y  3 + y x  2 = 0

Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x

2

- 35x + 42

b/ Đa thức f(x) = ax

2

+ bx + c có a, b, c là các số nguyên , và

a  0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7.

Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.

Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x

2

+ 2x - 8y

2

= 41 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 55

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b/ Biết x Q và 0 < x < 1. Chứng minh x

n

< x với n N, n  2

Bài 5 (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và

AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.

Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.

a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.

b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD.

ĐỀ SỐ 74

Bài 1: (1,5 điểm) Cho

32

2

x x 03y

A

xy







biết

1

x

2

 ; y là số nguyên âm lớn nhất

Bài 2: (2 điểm) Cho

x 16 y 25 z 9

9 16 25



 và

9 x 11 x

2

79



 .Tìm x+y+z

Bài 3: (1,5 điểm)

Tìm x,y Z  biết 2xy+3x = 4

16 - 72 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x

3

+ 4x

2

- 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức.

b/ Tính giá trị của P biết x

2

+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB

cho AE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F.

a/ Chứng minh tam giác BFC

b/ Biết góc ACB bằng 30

0

.Chứng minh tam giác BFE đều.

ĐỀ SỐ 75

Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết:

25

z

9

y

4

x

2 2 2

  , và x – y + z = 4

Bài 2: (1 điểm) Biết 25

3

b

ab a

2

2

   ; 9

3

b

c

2

2

  ; 16 c ac a

2 2

   TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 56

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng:

c a

c b

a

c 2





 .

Bài 3: (2,5 điểm0

a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:

f (x) = (m

2

- 25) x

4

+ (20 + 4m) x

3

+ 7 x

2

- 9

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x

4

- 72 x

2

+ 90.

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác

của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu

của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và

AI.

a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

ĐỀ SỐ 76

Bài 1. (4,0 điểm).

a) Tính: A =

 

2 13 8 19 23

1 . 0,5 .3 1 :1

15 15 60 24









b) So sánh:

20

16 và

100

2

Bài 2. (3,0 điểm).

a) Tìm x biết:

11

2 7 1

22

x   

b) Tìm số tự nhiên n biết:

15

3 .3 4.3 13.3

nn 



Bài 3. (4,5 điểm).

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

d

d c b a

c

d c b a

b

d c b a

a

d c b a 2 2 2 2   



  



  



  

Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =

c b

a d

b a

d c

a d

c b

d c

b a























TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 57

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b) Cho biểu thức

x y z t

M

x y z x y t y z t x z t

   

       

với x, y, z, t là các số

tự nhiên khác 0. Chứng minh

10

1025 M  .

Bài 4. (6,5 điểm).

1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc

đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường

thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:

a) BAM = ACM và BH = AI.

b) Tam giác MHI vuông cân.

2) Cho tam giác ABC có góc  = 90

0

. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia

phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh

BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.

Bài 5. (2,0 điểm).

Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 11 x    , 11 y    ,

11 z    . Chứng minh rằng đa thức

2 4 6

x y z  có giá trị không lớn hơn 2.

ĐỀ SỐ 77

Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:

a)

200

16

1













và

1000

2

1













b) (-32)

27

và (-18)

39

Bài 2: (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C =

2 x

x



với x là nguyên.

Bài 3: Tìm x, y, z biết

a) (3x - 5)

2006

+(y

2

- 1)

2008

+ (x - z)

2100

= 0

b)

4

z

3

y

2

x

  và x

2

+ y

2

+ z

2

= 116

Bài 4: (1,5 điểm):

Cho đa thức A = 11x

4

y

3

z

2

+ 20x

2

yz - (4xy

2

z - 10x

2

yz + 3x

4

y

3

z

2

) - (2008xyz

2

+ 8x

4

y

3

z

2

)

a/ Xác định bậc của A.

b/ Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z.

Bài 5: (1 điểm): Cho x, y, z, t

*

N  .

Chứng minh rằng:

t z x

t

t z y

z

t y x

y

z y x

x

M

 



 



 



 

 có giá trị không phải TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 58

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

là số tự nhiên.

Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D

bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD.

Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:

a) BH = AI.

b) BH

2

+ CI

2

có giá trị không đổi.

c) Đường thẳng DN vuông góc với AC.

d) IM là phân giác của góc HIC.

ĐỀ SỐ 78

Câu 1 (5 điểm)

a, Cho

b

a

=

d

c

. Chứng minh rằng:

6 6

6 6

3

3

d b

c a





=

6

6

) (

) (

d b

c a





(b +d  0)

b, Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với

15; 60 và 8.

Câu 1 (3 điểm)a, Tính giá trị của biểu thức:

b a

b a

3

5 2





với

b

a

=

5

3

.

b, Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3.

Câu 3 (3 điểm)

a, Tìm các số tự nhiên abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c.

b, Chứng minh đa thức x

2

+ 4x + 10 không có nghiệm.

Câu 4 (2 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

x

x 2 

với x là số nguyên.

Câu 5 (7 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và

góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên

AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

ĐỀ SỐ 79

Câu 1: ( 5 điểm)

a) Cho a, b, c là ba số thực dương, thoả mãn điều kiện:

b

b a c

a

a c b

c

c b a  



 



 

.

Hãy tính giá trị của biểu thức













 











 











 

b

c

c

a

a

b

B 1 1 1 . TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 59

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b) Cho tỉ lệ thức

ac

bd

 với d c b a d c b a        ; ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 . Chứng minh:

2013

2013 2013

2013 2013

a b a b

c d c d

 









Câu 2. (6điểm)

a) Cho

t z y

x

 

=

x t z

y

 

=

y x t

z

 

=

z y x

t

 

CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên

A=

t z

y x





+

x t

z y





+

y x

t z





+

z y

x t





b) Tìm x biết: x

2

– 5x +6 = 0

c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1

::

5 4 6

. Biết rằng tổng các bình phương của ba

số đó bằng 24309. Tìm số A.

Câu 3. (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2013 2014 2015 A x x x      

Câu 4. (2 điểm)

Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16.

Câu 5. (5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=30

0

, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D

sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:

a) Tam giác ABD là tam giác đều.

b) AH = CE.

c) EH song song với AC.

ĐỀ SỐ 80

Bµi 1: (2 ®iÓm)

a, Cho 64 , 31 ) 25 , 1 .

5

4

7 . 25 , 1 ).( 8 . 0 7 . 8 , 0 (

2

    A

25 , 11 : 9

02 , 0 ). 19 , 8 81 , 11 ( 

 B

Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ?

b) Sè 4 10

1998

  A cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?

C©u 2: (2 ®iÓm)

Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc

An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 60

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ?

C©u 3:

a) Cho c bx ax x f   

2

) ( víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ.

Chøng tá r»ng: 0 ) 3 ( ). 2 (   f f . BiÕt r»ng 0 2 13    c b a

b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc

x

A





6

2

cã gi¸ trÞ lín nhÊt.

C©u 4: (3 ®iÓm)

Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 90

0

, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt

ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 90

0

. F vµ C n»m ë hai

nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB.

a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE

b) FB  EC.

C©u 5: (1 ®iÓm)

T×m ch÷ sè tËn cïng cña

9

6

9

1

0

9

8

1

9 5

2 19   A

ĐỀ SỐ 81

C©u 1: (2 ®iÓm)

a) TÝnh 115

2005

1890

:

12

5

11

5

5 , 0 625 , 0

12

3

11

3

3 , 0 375 , 0

25 , 1

3

5

5 , 2

75 , 0 1 5 , 1



























   

  



 

 

 A

b) Cho

2005 2004 4 3 2

3

1

3

1

...

3

1

3

1

3

1

3

1

       B

Chøng minh r»ng

2

1

 B .

C©u 2: (2 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng nÕu

d

c

b

a

 th×

d c

d c

b a

b a

3 5

3 5

3 5

3 5











(gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).

b) T×m x biÕt:

2001

4

2002

3

2003

2

2004

1 











 x x x x

C©u 3: (2®iÓm)

a) Cho ®a thøc c bx ax x f   

2

) ( víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2)

cã gi¸ trÞ nguyªn.

Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.

b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 61

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ?

C©u 4: (3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia

CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t

AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng:

a) DM = EN

b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN.

c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay

®æi trªn c¹nh BC.

C©u 5: (1 ®iÓm)

T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè

3 2

8 7





n

n

cã gi¸ trÞ lín nhÊt.

ĐỀ SỐ 82

C©u 1: (2 ®iÓm)

a) TÝnh:

A =













   











   2 , 2 75 , 2

13

11

7

11

:

13

3

7

3

6 , 0 75 , 0

B =





































9

225

49

5

:

3

25 , 0 22

7

21 , 1 10

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x x x 3 1 3    

C©u 2: (2 ®iÓm)

a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng:

a c

c

c b

b

b a

a

M











 kh«ng lµ sè nguyªn.

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: 0    ca bc ab .

C©u 3: (2 ®iÓm)

a) T×m hai sè d­¬ng kh¸c nhau x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît

tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12.

b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian m¸y

bay bay tõ A ®Õn B Ýt h¬n thêi gian « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ 16 giê.

Hái tµu ho¶ ch¹y tõ A ®Õn B mÊt bao l©u ?

C©u 4: (3 ®iÓm)

Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P,

Q sao cho chu vi APQ b»ng 2.

Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 45

0

.

C©u 5: (1 ®iÓm)

Chøng minh r»ng:

20

9

1985

1

...

25

1

15

1

5

1

    

TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 62

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 83

Bµi 1: (2 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d­¬ng ®Òu cã:

A= 91 ) 2 3 ( 6 ) 1 5 ( 5    

n n n n

b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho 14

2

 P lµ sè nguyªn tè.

Bµi 2: ( 2 ®iÓm)

a) T×m sè nguyªn n sao cho 1 3

2

  n n 

b) BiÕt

c

bx ay

b

az cx

a

cy bz 









Chøng minh r»ng:

z

c

y

b

x

a

 

Bµi 3: (2 ®iÓm)

An vµ B¸ch cã mét sè b­u ¶nh, sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi ch­a ®Õn 100. Sè b­u

¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch.

+ B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh

cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b­u ¶nh cña t«i.

+ An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i

gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n.

TÝnh sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi.

Bµi 4: (3 ®iÓm)

Cho ABC cã gãc A b»ng 120

0

. C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF .

a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB.

b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED.

Bµi 5: (1 ®iÓm)

T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:

2 2 2

2

5 1997 5 q

p p

  

ĐỀ SỐ 84

Bµi 1: (2 ®iÓm)

TÝnh:













 













 











 

7

2

14

3

1

12 :

3

10

10

3

1

4

3

46

25

1

230 .

6

5

10

27

5

2

4

1

13

Bµi 2: (3 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng:

33 38

41 36   A chia hÕt cho 77.

b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó 2 1     x x B ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

c) Chøng minh r»ng: P(x) d cx bx ax    

2 3

cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 63

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn.

Bµi 3: (2 ®iÓm)

a) Cho tØ lÖ thøc

d

c

b

a

 . Chøng minh r»ng:

2 2

2 2

d c

b a

cd

ab





 vµ

2 2

2 2

2

d c

b a

d c

b a





 















b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho: 1 2 

n

chia hÕt cho 7.

Bµi 4: (2 ®iÓm)

Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P,

Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 45

0

.

Bµi 5: (1 ®iÓm)

Chøng minh r»ng: 17 10 17 2 3   b a b a    (a, b  Z )

ĐỀ SỐ 85

Bµi 1: (2 ®iÓm)

a) T×m sè nguyªn d­¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a.

b) TÝnh

2004

1

...

3

2002

2

2003

1

2004

2005

1

...

4

1

3

1

2

1

   

   

 P

Bµi 2: (2 ®iÓm)

Cho

z y x

t

y x t

z

x t z

y

t z y

x

 



 



 



 

chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.

z y

x t

y x

t z

x t

z y

t z

y x

P

























Bµi 3: (2 ®iÓm)

Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn

tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h.

TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng

hµng.

Bµi 4: (3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH  BC (H  BC). VÏ AE  AB vµ AE = AB (E vµ

C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AH (M, N 

AH). EF c¾t AH ë O.

Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF.

Bµi 5: (1 ®iÓm)

So s¸nh:

255

5 vµ

579

2 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 64

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 86

Bµi 1: (6 đi ểm): a, T×m x, y, z biÕt:

4 3

y x

 ,

5 3

z y

 vµ 6 3 2    z y x

b, T×m hai sè x, y biÕt r»ng:

5 2

y x

 vµ 40 .  y x

c, T×m x, biÕt: 2 4 5    x x

Bài 2: (3 điểm): Cho

ac

cb

 chứng minh rằng:

22

22

a c a

b c b







Bài 3: (4 điểm): Thực hiện phép tính:

 

 

12 5 6 2 10 3 5 2

63

93

2 4 5

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

A

125.7 5 .14

2 .3 8 .3









Bài 4: (6 điểm):

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao

cho:

ME = MA. Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK.

Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hang.

c) Từ E kẻ EH BC    H BC  . Biết HBE = 50

o

; MEB =25

o

. Tính HEM và BME

Bài 5: (1 điểm): Tìm , xy  biết:

22

25 8( 2009) yx   

ĐỀ SỐ 87

C©u 1: (2 ®iÓm)

TÝnh :

68

1

52

1

8

1

51

1

39

1

6

1

 

 

 A ;

10 3 2

2

512

...

2

512

2

512

2

512

512       B

C©u 2: (2 ®iÓm)

a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6

b) T×m x, y, z biÕt: z y x

y x

z

z x

y

y z

x

  

 



 



  2 1 1

(x, y, z 0  )

C©u 3: (2 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d­¬ng ta cã:

n n n n

S 2 3 2 3

2 2

   

 

chia hÕt cho 10.

b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt:

2 2

23 ) 2004 ( 7 y x   

C©u 4: (3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 65

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa

mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay

sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh:

a) AC // BP.

b) AK  MN.

C©u 5: (1 ®iÓm)

Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn.

Chøng minh r»ng:

n n n

c b a

2 2 2

  ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0.

ĐỀ SỐ 88

A/ PhÇn ®Ò chung

C©u 1 (1,5®iÓm):

a. (0,75®) TÝnh tæng B = 1+5+5

2

+5

3

+ … +5

2008

+5

2009

b. (0,75®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh 











  











  1

25

1

25

1

: 1

5

1

625

1

C©u 2 (2®iÓm):

a. (1®) T×m x, y biÕt :

x

y x y x

6

1 3 2

7

2 3

5

1 2  









b. (1®) T×m x biÕt

14

1

13

1

12

1

11

1

10

1 















 x x x x x

C©u 3 (1,5®iÓm):

VÏ ®å thÞ hµm sè: y = - x

3

2

C©u 4 (3®iÓm):

a. (1,5®) HiÖn nay anh h¬n em 8 tuæi. Tuæi cña anh c¸ch ®©y 5 n¨m vµ tuæi cña em

sau 8 n¨m n÷a tØ lÖ víi 3 vµ 4. Hái hiÖn nay anh bao nhiªu tuæi? Em bao nhiªu

tuæi?

b. (1,5®) Cho ABC  (gãc A=90

0

). KÎ AH  BC, kÎ HP  AB vµ kÐo dµi ®Ó cã

PE = PH. KÎ HQ  AC vµ kÐo dµi ®Ó cã QF = QH.

a./ Chøng minh  APE =  APH vµ  AQH =  AQF

b./ Chøng minh 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng.

B/ PhÇn ®Ò riªng

C©u 5 A (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh chuyªn to¸n)

a. (1,5®) TÝnh tæng TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 66

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

S = 1 + 2 + 5 + 14 + …+

2

1 3

1



 n

(víi n Z

+

)

b. (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x

4

+ 2x

3

– 2x

2

– 6x + 5

Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)

C©u 5 B (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn to¸n)

a. (1,5®) T×m x  Z ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn

A =

2

2 5





x

x

b. (0,5®) Chøng minh r»ng: 7

6

+ 7

5

– 7

4

chia hÕt cho 55

ĐỀ SỐ 89

C©u 1 (1,5®iÓm)

a. (1®) TÝnh tæng: M = -

 n n 4

4

13 . 9

4

9 . 5

4

5 . 1

4



    

b. (0,5®) T×m x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3

C©u 2 (1,5®iÓm)

a. (1®) T×m x, y, z biÕt:

216 64 8

3 3 3

z y x

  vµ x

2

+ y

2

+ z

2

= 14

b. (0,5®) Cho x

1

+ x

2

+ x

3

+ …+ x

50

+ x

51

= 0

vµ x

1

+ x

2

= x

3

+ x

4

= x

5

+ x

6

= … = x

49

+ x

50

= 1

tÝnh x

50

C©u 3 (2®iÓm)

a. (1®) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é, cho 2 ®iÓm M(-3;2) vµ N(3;-2). H·y gi¶i thÝch v× sao

gèc to¹ ®é O vµ hai ®iÓm M, N lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng?

b. (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x 











  

















 

2 4 3

2

2

1

2

1

2

1

2

x x x x

x

a./ T×m bËc cña ®a thøc Q(x)

b./ TÝnh Q















2

1

c./ Chøng minh r»ng Q(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi sè nguyªn x

C©u 4 (3®iÓm)

a. (1®) Ba tæ c«ng nh©n A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh­ nhau. Thêi

gian 3 tæ hoµn thµnh kÕ ho¹ch theo thø tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy. Tæ A nhiÒu

h¬n tæ C lµ 10 ng­êi. Hái mçi tæ cã bao nhiªu c«ng nh©n? (N¨ng suÊt lao ®éng cña c¸c

c«ng nh©n lµ nh­ nhau)

b. (2®) Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®iÓm B bê lµ ®­êng th¼ng

AD vÏ tia AM (M CD) sao cho gãc MAD = 20

0

. Còng trªn nöa mÆt ph¼ng nµy vÏ tia TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 67

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

AN (N BC) sao cho gãc NAD = 65

0

. Tõ B kÎ BH  AN (H AN) vµ trªn tia ®èi

cña tia HB lÊy ®iÓm P sao cho HB = HP chøng minh:

a./ Ba ®iÓm N, P, M th¼ng hµng

b./ TÝnh c¸c gãc cña  AMN

B/ PhÇn ®Ò riªng

C©u 5 A. (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn

a. (1®) Chøng minh r»ng: 222

333

+ 333

222

chia hÕt cho 13

b. (1®) T×m sè d­ cña phÐp chia 109

345

cho 7

C©u 5 B. (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn

a. (1®) T×m sè nguyªn d­¬ng n biÕt

5 5

5 5 5 5 5 5

5 5 5

5 5 5 5

2 2

6 6 6 6 6 6

3 3 3

4 4 4 4



    



 

  

= 2

n

b. (1®) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th×:

3

n+3

+ 2

n+3

– 3

n+2

+ 2

n+2

chia hÕt cho 6

ĐỀ SỐ 90

Câu 1. (2,5 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức

1 1 1 1 1

S ....

1.3 3.5 5.7 47.49 49.51

     

b) So sánh

2011 2012

2012 2013

10 1 10 1

A và B

10 1 10 1







Câu 2.(2,0 điểm)

a) Tìm ba số a, b, c biết

135

2 4 6

a b c   

 và 5 3 4 46 a b c    .

b) Cho tỉ lệ thức

ac

bd

 (với ab > 0).

Chứng minh:

2 2 2 2

22

2 3 5 2 3 5

2 3 2 3

a ab b c cd d

b ab d cd

   





.

Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường phân giác BD. Gọi

H là hình chiếu của D trên BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng

vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K.

a) Chứng minh BA = BH.

b) Tính số đo góc DBK.

Câu 4. (1,5 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 68

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

2011 2012 2013 2014 2015 x x x x x           A

Câu 5. (1,0 điểm) Một cửa hàng có sáu thùng đựng dầu hoặc dấm, trên thùng có ghi

lượng dầu hoặc dấm tính bằng kg: 8; 13; 15; 17; 19; 31. Giá một kg dầu gấp đôi giá một

kg dấm. Một khách hàng mua năm thùng, số tiền mua dầu và số tiền mua dấm đều bằng

560000 đồng.

Hỏi còn lại thùng nào? giá mỗi kg dầu? giá mỗi kg dấm?

ĐỀ SỐ 91

Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng:

a)

1

.16 2

8

nn

 ; b) 27 < 3

n

< 243

Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49

( ... )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2 x 3 x 2   

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x 2007 2006 x    Khi x thay ®æi

Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m

®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng.

Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi

tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA,

qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E.

Chøng minh: AE = BC

ĐỀ SỐ 92

C©u 1: (2 ®iÓm)

TÝnh :

68

1

52

1

8

1

51

1

39

1

6

1

 

 

 A ;

10 3 2

2

512

...

2

512

2

512

2

512

512       B

C©u 2: (2 ®iÓm)

a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6

b) T×m x, y, z biÕt: z y x

y x

z

z x

y

y z

x

  

 



 



  2 1 1

(x, y, z 0  )

C©u 3: (2 ®iÓm) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 69

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d­¬ng ta cã:

n n n n

S 2 3 2 3

2 2

   

 

chia hÕt cho 10.

b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt:

2 2

23 ) 2004 ( 7 y x   

C©u 4: (3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ

AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa

mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay

sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh:

a) AC // BP.

b) AK  MN.

C©u 5: (1 ®iÓm)

Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn.

Chøng minh r»ng:

n n n

c b a

2 2 2

  ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0.

ĐỀ SỐ 93

A/ PhÇn ®Ò chung

C©u 1 (2,5®iÓm):

a. (1,75®) TÝnh tæng: M = 3

1 1 1 761 4 5

4

417 762 139 762 417.762 139

    

b. (0,75®) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau t¹i x = -1

x

2

+ x

4

+ x

6

+ x

8

+ … + x

100

C©u 2 (1®iÓm):

a. (0,5®) Cho tØ lÖ thøc

4

3 3







y x

y x

tÝnh gi¸ trÞ cña

y

x

b. (0,5®) Cho tØ lÖ thøc

d

c

b

a

 chøng minh r»ng

d c

d c

b a

b a

3 2

3 2

3 2

3 2











C©u 3 (2,5®iÓm):

a. (1,5®) Cho hµm sè y = - x

3

1

vµ hµm sè y = x -4

* VÏ ®å thÞ hµm sè y = -

3

1

x

* Chøng tá M(3;-1) lµ giao cña hai ®å thÞ hµm sè trªn

* TÝnh ®é dµi OM (O lµ gèc to¹ ®é)

b. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A  B, vËn tèc «t« con lµ

40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®· ®Õn B tr­íc 45

phót. TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng AB.

C©u 4 (2®iÓm): Cho  ABC cã gãc A = 90

0

, vÏ ph©n gi¸c BD vµ CE (D AC ; E AB) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 70

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

chóng c¾t nhau t¹i O.

a. (0,5®) TÝnh sè ®o gãc BOC

b. (1®) Trªn BC lÊy ®iÓm M vµ N sao cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM

c. (0,5®) Gäi I lµ giao cña BD vµ AN chøng minh  AIM c©n.

B/ PhÇn ®Ò riªng

C©u 5 A (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh chuyªn

a. (1®) Chøng minh r»ng ®a thøc sau kh«ng cã nghiÖm:

P(x) = 2x

2

+ 2x +

4

5

b. (1®) Chøng minh r»ng: 24

54

.54

24

.2

10

chia hÕt cho 72

63

C©u 5 B (2®iÓm): Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn

a. (1®) T×m nghiÖm cña ®a thøc 5x

2

+ 10x

b. (1®) T×m x biÕt: 5

(x-2)(x+3)

= 1

ĐỀ SỐ 94

A/ PhÇn ®Ò chung

C©u 1 (1,5®iÓm):

a. (0,75®) TÝnh tæng M = 5 )

23

4

5 (

47

3

4

47

3

27

23

4

   

b. (0,75®) Cho c¸c sè a

1

, a

2

, a

3

…a

n

mçi sè nhËn gi¸ trÞ lµ 1 hoÆc -1

BiÕt r»ng a

1

a

2

+ a

2

a

3

+ … + a

n

a

1

= 0. Hái n cã thÓ b»ng 2002 ®­îc hay kh«ng?

C©u 2 (2 ®iÓm)

a. (1®) T×m x biÕt

x

y y y

6

6 1

24

4 1

18

2 1 









b. (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32

C©u 3 (1,5®iÓm)

Cho h×nh vÏ, ®­êng th¼ng OA lµ ®å thÞ hµm sè

y = f(x) = ax (a  0)

a. TÝnh tØ sè

4

2





o

o

x

y

b. Gi¶ sö x

0

= 5 tÝnh diÖn tÝch OBC 

C©u 4 (3®iÓm)

a. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A  B, vËn tèc «t« con lµ

40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®· ®Õn B tr­íc 45

phót. TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng AB.

y0

2

1

X0

C

B

A

x o

1 2 3 4 5

y TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 71

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

b. (2®) Cho  ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB. Trªn tia ®èi

cña tia MB lÊy ®iÓm D sao cho MD = MB, trªn tia ®èi cña tia NC lÊy ®iÓm E sao

cho NE = NC. Chøng minh r»ng:

 Ba ®iÓm E, A, D th¼ng hµng

 A lµ trung ®iÓm cña ED

B/ PhÇn ®Ò riªng

C©u 5 A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn

a. (1®) So s¸nh 8 vµ 5 + 1

b. (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x

2

+ 2mx + m

2

vµ Q(x) = x

2

+ (2m+1)x + m

2

T×m m biÕt P(1) = Q(-1)

C©u 5 B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn

a. (1®) So s¸nh 2

300

vµ 3

200

b. (1®) TÝnh tæng A = 1 + 2 + 2

2

+ … + 2

2010

ĐỀ SỐ 95

Bài 1:(4 điểm)

a) Thực hiện phép tính:

 

 

12 5 6 2 10 3 5 2

63

93

2 4 5

2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

A

125.7 5 .14

2 .3 8 .3









b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

22

3 2 3 2

n n n n 

   chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a.

 

1 4 2

3,2

3 5 5

x     

b.    

1 11

7 7 0

xx

xx



   

Bài 3: (4 điểm)

e) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1

::

5 4 6

. Biết rằng tổng các bình phương của

ba số đó bằng 24309. Tìm số A.

f) Cho

ac

cb

 . Chứng minh rằng:

22

22

a c a

b c b







TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 72

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao

cho ME = MA. Chứng minh rằng:

a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng

minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC    H BC  . Biết HBE = 50

o

; MEB =25

o

.

Tính HEM và BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A có

0

A 20  , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC).

Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

g) Tia AD là phân giác của góc BAC

h) AM = BC

ĐỀ SỐ 96

C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a4 

C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n

9

10

 vµ nhá h¬n

9

11



C©u 3. Cho 2 ®a thøc

P   x = x

2

+ 2mx + m

2

vµ

Q   x = x

2

+ (2m+1)x + m

2

T×m m biÕt P (1) = Q (-1)

C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:





xy

a / ; xy=84

37

1+3y 1+5y 1+7y

b/

12 5x 4x

C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau :

A = 1  x +5

B =

3

15

2

2





x

x

C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 90

0

. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD

vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 73

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

a. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE

b. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM.

Chøng minh: AB = ME vµ  ABC =  EMA

c. Chøng minh: MA  BC

ĐỀ SỐ 97

C©u 1 ( 2 ®iÓm)

Thùc hiÖn phÐp tÝnh :

a-  1

3

1

( : 1

3

1

. 3

3

1

. 6

2

 

















 











  













b-

 

3 2

2003

2 3

12

5

.

5

2

1 .

4

3

.

3

2























































C©u 2 ( 2 ®iÓm)

c- T×m sè nguyªn a ®Ó

1

3

2



 

a

a a

lµ sè nguyªn

d- T×m sè nguyªn x,y sao cho x - 2xy + y = 0

C©u 3 ( 2 ®iÓm)

c- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th×

d

c

b

a

 víi b,d kh¸c 0

d- CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+ … ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè

gièng nhau .

C©u 4 ( 3 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 45

0

, gãc C b»ng 120

0

. Trªn tia ®èi cña tia CB

lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2CB . TÝnh gãc ADE

C©u 5 ( 1®iÓm)

T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x

2

- 2y

2

=1

ĐỀ SỐ 98

Bài 1 (3đ):

1, Tính: P =

1 1 1 2 2 2

2003 2004 2005 2002 2003 2004

5 5 5 3 3 3

2003 2004 2005 2002 2003 2004

   



   

2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.

Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 74

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

3, Cho: A =

3 2 2

2

3 0,25 4 x x xy

xy

  



Tính giá trị của A biết

1

;

2

xy  là số nguyên âm lớn nhất.

Bài 2 (1đ):

Tìm x biết:

3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117

Bài 3 (1đ):

Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng

cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa

thời gian chạy qua đầm lầy.

Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con

thỏ trên hai đoạn đường ?

Bài 4 (2đ):

Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là

giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:

1, ∆ABE = ∆ADC

2,

0

120 BMC 

Bài 5 (3đ):

Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ

tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.

1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.

2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với

AH cắt AC tại E.

Chứng minh: AE = AB

ĐỀ SỐ 99

A/ PhÇn ®Ò chung

C©u 1 (1,5®iÓm):

c. (0,75®) TÝnh tæng M = 5 )

23

4

5 (

47

3

4

47

3

27

23

4

   

d. (0,75®) Cho c¸c sè a

1

, a

2

, a

3

…a

n

mçi sè nhËn gi¸ trÞ lµ 1 hoÆc -1

BiÕt r»ng a

1

a

2

+ a

2

a

3

+ … + a

n

a

1

= 0. Hái n cã thÓ b»ng 2002 ®­îc hay kh«ng?

C©u 2 (2 ®iÓm)

c. (1®) T×m x biÕt

x

y y y

6

6 1

24

4 1

18

2 1 









d. (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32

C©u 3 (1,5®iÓm) TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 75

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

Cho h×nh vÏ, ®­êng th¼ng OA lµ ®å thÞ hµm sè

y = f(x) = ax (a  0)

c. TÝnh tØ sè

4

2





o

o

x

y

d. Gi¶ sö x

0

= 5 tÝnh diÖn tÝch OBC 

C©u 4 (3®iÓm)

c. (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« con cïng khëi hµnh tõ A  B, vËn tèc «t« con lµ

40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h. Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« con ®· ®Õn B tr­íc 45

phót. TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng AB.

d. (2®) Cho  ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ AB. Trªn tia ®èi

cña tia MB lÊy ®iÓm D sao cho MD = MB, trªn tia ®èi cña tia NC lÊy ®iÓm E sao

cho NE = NC. Chøng minh r»ng:

 Ba ®iÓm E, A, D th¼ng hµng

 A lµ trung ®iÓm cña ED

B/ PhÇn ®Ò riªng

C©u 5 A (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh chuyªn

c. (1®) So s¸nh 8 vµ 5 + 1

d. (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x

2

+ 2mx + m

2

vµ Q(x) = x

2

+ (2m+1)x + m

2

T×m m biÕt P(1) = Q(-1)

C©u 5 B (2®iÓm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn

c. (1®) So s¸nh 2

300

vµ 3

200

d. (1®) TÝnh tæng A = 1 + 2 + 2

2

+ … + 2

2010

ĐỀ SỐ 100

C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a4 

C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n

9

10

 vµ nhá h¬n

9

11



C©u 3: Trong 3 sè x, y, z cã 1 sè d­¬ng , mét sè ©m vµ mét sè 0. Hái mçi sè ®ã thuéc

lo¹i nµo biÕt:

32

x y y z 

C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:

y0

2

1

X0

C

B

A

x o

1 2 3 4 5

y TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 76

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

xy

a, ; xy=84

37

1+3y 1+5y 1+7y

b,

12 5x 4x





C©u 5: TÝnh tæng:

n1

*

31

S 1 2 5 14 ... (n Z )

2





      

C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 90

0

. VÏ ra phÝa ngãi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD

vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.

d. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE

e. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM.

Chøng minh: AB = ME vµ ABC EMA 

f. Chøng minh: MA  BC

ĐỀ SỐ 101

CÂU 1:(4 điểm)

a) Tìm x biết:

21

12

34

x   

b) Rút gon: A= 1+ 5 +5

2

+ ... + 5

2011

Câu 2: (5 điểm)

a) Cho các số a; b; c 0  ;

bz cy cx az ay bx

a b c

  



Chứng minh rằng:

x y z

a b c



b) P(x) = ax

2

+bx +c thỏa mãn P(x) 7 xZ  Chứng minh rằng: a;b;c đề chia hết

cho 7

Câu 3:(4 điểm):

a)Tìm tất cả các cặp giá trị dương (,y) sao cho: 4x+5y =65

b ) chứng minh rằng:

777 333

555 555

333 777  chia hết cho 10

Câu 4: (5điểm):

cho tam giác ABC có góc B và C nhọn. Dựng ra ngoài tam giác ABC các tam giác

vuông cân tại các đỉnh B và C.Vẽ AH; DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC (

H; I ; K Thuộc B)

a) Chứng minh: BDI ABH    và DI + EK = BC

b) Tính độ dài AH biết AB=3cm : BC=5cm; và 3 điểm D; A; E thẳng hàng

Câu 5: (2 điểm)

cho tam giác ABC là tam giác đề. Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho

MA=1 ; MB=2 ; MC= 3 tình độ dài cạnh AB và số đo goác AMB. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 77

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

ĐỀ SỐ 102

Bài 1: Thực hiện phép tính

a.













  













3

2

15

1

:

9

5

22

5

11

1

:

9

5

b.    

1

1

1

1

5 4 3 2

157

69





















   

c.

6 29 19 9

9 20 9 15

27 . 2 . 7 6 . 2 . 5

8 . 3 . 4 9 . 4 . 5





Bài 2: Tìm x,y,z biết:

a. 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50

b. 3













  1 2

3

1

4 :

2

1

x =

22

21

c.

2

5 2

15

3 5

37

2 3 x z z y y x 









và 10x – 3y – 2z = - 4

Bài 3: a. Cho tỉ lệ thức

d

c

b

a

 . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)

b. Tìm hai số nguyên biết :Tổng, hiệu (số lớn trừ số bé) , thương ( số lớn chia số bé)

của hai số đó cộng lại bằng 38

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; góc C = 30

0

; trung tuyến AM. Trên tia đối của

tia MA lấy D , sao cho MD = MA.

a. Chứng minh CD song song với AB

b. Gọi K là trung điểm của AC ; BK cắt AM tại G; DK cắt CM tại N . Chứng minh rằng

 ABK =  CDK

c. Chứng minh  KGN cân

ĐỀ SỐ 103

Câu 1(2

đ

): Cho tỉ lệ thức 1  

d

c

b

a

với a, b, c  0

Chứng minh rằng:

c

d c

a

b a 





Câu 2(2

đ

): Tìm nghiệm của đa thức sau

f(x)=2x

2

-3x+1

Câu 3(2

đ

): Tìm x biết rằng

6 3 1     x x

Câu 4(2

đ

): Một số A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Biết tổng các lập

phương của ba phần đó là 9512. Hãy tìm A.

Câu 5(2

đ

): Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC. Từ điểm M

trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB; AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 78

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

và E. Chứng minh rằng:

a) MDE ABC   

b) Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

ĐỀ SỐ 104

Bài 1: Tớnh:

1,

3

1 1 1

6. 3. 1 1

3 3 3



        

   



     

     





2, (6

3

+ 3. 6

2

+ 3

3

) : 13

3,

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 90 72 56 42 30 20 12 6 2

        

Bài 2 (3đ): Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả món b

2

= ac. Chứng minh rằng:

c

a

=

2

2

) 2007 (

) 2007 (

c b

b a





Câu 3: a) Cho c bx ax x f   

2

) ( với a, b, c là các số hữu tỉ.

Chứng tỏ rằng: 0 ) 3 ( ). 2 (   f f . Biết rằng 0 2 13    c b a

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

x

A





6

2

có giá trị lớn nhất.

Câu 4: (3 điểm) Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90

0

, B và E nằm ở hai nửa mặt

phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 90

0

. F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng

khác nhau bờ AB.

a) Chứng minh rằng: ABF = ACE

b) FB  EC.

Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ số tận cùng của

9

6

9

1

0

9

8

1

9 5

2 19   A

ĐỀ SỐ 105

Câu 1(3điểm)

1) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là :

17 ; 1 5  ; 5 3

2) Thực hiện phép tính:

A =













 

























 













9

8

25

1931

.

3862

11

1931

7

:

34

33

17

193

.

386

3

193

2

3) Chứng minh rằng: TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 79

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

B =

2

1

99 . 98 98 . 97 97 . 96 .... 4 . 3 3 . 2 2 . 1

1 . 98 2 . 97 3 . 96 .... 96 . 3 97 . 2 98 . 1



     

     

Câu 2 ( 1 điểm).

Tìm x, y biết : ( 2x – 5)

2008

+ ( 3y + 4)

2010

≤ 0

Câu 3 ( 2 điểm):

a) Cho a,b,c ,d là 4 số khác 0 thoả mãn b

2

= ac và c

2

= bd.

Chứng minh rằng:

d

a

d c b

c b a



 

 

3 3 3

3 3 3

b) Cho S = abc bca cab  .

Chứng minh rằng S không phải là số chính phương

Câu 4 ( 4 điểm):

Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C

lấy điểm M sao cho NA = BA và NAB = 90

0

.trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa

điểm B lấy điểm M sao cho MA = CA và MAC = 90

0

.

1) Chứng minh rằng:

a) NC = BM

b) NC  BM.

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt MN tại K. chứng minh rằng K là trung

điểm của đoạn thẳng MN

ĐỀ SỐ 106

Câu 1: Thực hiện phép tính:

a) (-1).(-1)

2

.(-1)

3

......(-1)

2010

b)(1000 -1

3

). (1000 -2

3

). (1000 -3

3

) …….( 1000 -2010

3

).

C©u 2

1) T×m x biÕt: 2

x

+ 2

x+1

+ 2

x+2

+ 2

x+3

= 120

2) T×m x, y biÕt a)

x

y

x

y y

4

7 1

5

5 1

12

3 1 









3) T×m c¸c sè a

1

, a

2

, a

3

, ... a

9

biÕt

1

9

...

7

3

8

2

9

1

9 3 2 1



 









 a a a a

vµ a

1

+ a

2

+ a

3

+ ... + a

9

= 90

Câu 3: TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN

Success has only one destination, but has a lot of ways to go 80

Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III

Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam

--THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo

2 3 1

::

5 4 6

. Biết rằng tổng các bình phương của

ba số đó bằng 24309. Tìm số A.

b) Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b

2

= ac; c

2

= bd; b

3

+ c

3

+ d