Tuyển tập các bài toán hình học không gian – Châu Ngọc Hùng

CÁCBÀITOÁNHÌNHKHÔNGGIANCHOTHIĐẠIHỌC 1 -Khốichóp Bài1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và ƒ SADÆ 90 0 . J làtrungđiểm SD.Tínhtheo athểtíchkhốitứdiện ACDJ vàkhoảngcáchtừ D đếnmặtphẳng (ACJ). Giải: A B D C I S J + ( AD?SA AD?AB )AD? (SAB) +Gọi I làtrungđiểm ABthì AD?SI (1).Mà¢SABđềunên SI?AB(2) Từ(1)và(2)suyra SI? (ABCD).Dođó d(J,(ACD))Æ 1 2 d(S,(ABCD))Æ 1 2 SIÆ a p 3 4 TừđósuyraV ACDJ Æ 1 3 . 1 2 .a 2 . a p 3 4 Æ a 3 p 3 24 . ¢BCI vuôngtại Bnên CI 2 ÆCB 2 ÅBI 2 Æ 5a 2 4 ¢SIC vuôngtại I nên SC 2 ÆSI 2 ÅIC 2 Æ 2a 2 Tươngtự SD 2 ÆSC 2 Æ 2a 2 ¢SCD có CJ làđườngtrungtuyếnnên CJ 2 Æ SC 2 ÅCD 2 2 ¡ SD 4 4 Æa 2 Xét¢JAC có JAÆ a p 2 ;ACÆa p 2;CJÆanêntínhđược cosAÆ 3 4 Từđó sin ƒ JACÆ p 7 4 nên dt(JAC)Æ 1 2 . a p 2 . p 7 4 Æ a 2 p 7 8 Vậy d(D,(JAC))Æ 3. a 3 p 3 24 a 2 p 7 8 Æ a p 21 7 Nhậnxét:CóthểtínhdiệntíchtamgiácJACbằngcáchlấyhìnhchiếucủaJtrênmặtđáy(là trungđiểmHcủaDI).Trongmặtđáy,kẻHKvuônggócvớiAC(hayHKsongsongvớiBD)với KthuộcACthìchỉrađượcJKvuônggócvớiACvàtínhđượcJKlàđườngcaotamgiácJAC. Bài1.2. ChohìnhchópS.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthoi;haiđườngchéo ACÆ 2 p 3a,BDÆ 2avàcắtnhautạiO;haimặtphẳng (SAC)và (SBD)cùngvuônggócvớimặtphẳng (ABCD). BiếtkhoảngcáchtừđiểmOđếnmặtphẳng (SAB)bằng a p 3 4 ,tínhthểtíchkhốichópS.ABCD theo a. http://boxmath.vn/ 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comGiải: D A C B O S H K I Từ giả thiết ACÆ 2a p 3;BDÆ 2a và AC,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AOÆa p 3;BOÆa, do đó ƒ ABDÆ 60 o hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)nêngiaotuyếncủachúnglà SO? (ABCD). Dotamgiác ABDđềunênvớiHlàtrungđiểmcủa AB,K làtrungđiểmcủaHBtacóDH?AB và DHÆa p 3;OK//DH và OKÆ 1 2 DHÆ a p 3 2 )OK?AB)AB? (SOK)Gọi I làhìnhchiếucủa O lên SK ta có OI?SK;AB?OI)OI? (SAB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O,OI là đường cao ) 1 OI 2 Æ 1 OK 2 Å 1 SO 2 )SOÆ a 2 Diện tích đáy S ABCD Æ 4S ¢ABO Æ 2.OA.OBÆ 2 p 3a 2 ;đườngcaocủahìnhchóp SOÆ a 2 . Thểtíchkhốichóp S.ABCD :V S.ABCD Æ 1 3 S ABCD .SOÆ p 3a 3 3 Bài1.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 3cm , các cạnh SAÆ SBÆSCÆ 3cm.Tamgiác SBD códiệntíchbằng 6cm 2 .Tínhthểtíchcủakhốichóp S.ABCD. Giải: D A C B O S H GọiHlàhìnhchiếucủaStrên (ABCD)suyraHnằmtrênBD(VìSAÆSBÆÆSC,BDlàtrung trựccủa AC).Dođó SH đườngcaocủahìnhchópcũnglàđườngcaocủatamgiác SBD;GọiO làgiaođiểmcủa AC và BD.Vì SAÆSCÆDAÆDC nên SOÆDO suyratamgiác SBD làtam giácvuôngtại S.Vì dt(SBD)Æ 6và SBÆ 3nên SDÆ 4;suyra BDÆ 5,SHÆ 12 5 . ABCD làhìnhthoicó ADÆ 3,DOÆ 5 2 nên AOÆ p 11 2 suyra dt(ABCD)Æ 5 p 11 2 . http://boxmath.vn/ 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comV S.ABCD Æ 1 3 SH.dt(ABCD)Æ 2 p 11. Vậythểtíchkhốichóp S.ABCD bằng 2 p 11(cm 3 ). Bài1.4. ChohìnhchópS.ABC cóSAÆ 3a(vớiaÈ 0);SA tạovớiđáy (ABC)mộtgócbằng 60 0 . Tam giác ABC vuông tại B, ƒ ACBÆ 30 0 .G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC)cùngvuônggócvớimặtphẳng (ABC).Tínhthểtíchhìnhchóp S.ABC theo a. Giải: A C B K G S Gọi K làtrungđiểm BC.Tacó SG? (ABC); ƒ SAGÆ 60 0 ,AGÆ 3a 2 . Từđó AKÆ 9a 4 ;SGÆ 3a p 3 2 . Trongtamgiác ABC đặt ABÆx)ACÆ 2x;BCÆx p 3. Tacó AK 2 ÆAB 2 ÅBK 2 nên xÆ 9a p 7 14 VậyV S.ABC Æ 1 3 SG.dt(ABC)Æ 243 112 a 3 . Bài1.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 45 0 , góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữahaiđườngthẳng CD và SA bằng a p 6. Giải: A B C D M N H S P Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB cântại S nên SM vuônggócvới ABvàkếthợpvới SH vuônggócvớiđáysuyra ABvuônggóc vớimặtphẳng SMN nêntheogiảthiếttađược: á (SA,(ABCD))Æ ƒ SAHÆ 45 0 )SAÆSH p 2. á ((SAB),(ABCD))Æ á (SM,MH)Æ ƒ SMHÆ 60 0 )SMÆSH. 2 p 3 . http://boxmath.vn/ 3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTừđiểm N kẻ NP vuônggócvới SM thìdễthấy NP làkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng SA và CD suyra NPÆa p 6.Tacó SH.MNÆNP.SM () SH.ABÆa p 6.SH () ABÆ 2 p 2a Trongtamgiác SAM tacó SA 2 ÆAM 2 ÅSM 2 () 2.SH 2 Æ 4SH 2 3 Å2a 2 () SHÆa p 3. VậyV S.ABCD Æ 1 3 SH.dt(ABCD)Æ a p 3.8a 2 3 Æ 8 p 3a 3 3 . Bài1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABÆa,BCÆ 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SAÆa. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích khối chóp H.ACD theo avàcôsincủagócgiữahaimặtphẳng (SBC)và (SCD). Giải: A B C D S H E K Kẻ HE//SA(E2AB))HE? (ABCD). TrongtamgiácSABcó AB 2 ÆBH.SB) BH SB Æ AB 2 SB 2 Æ 1 2 Æ HE SA )HEÆ a 2 Diệntích¢ACD là S ¢ACD Æ 1 2 AD.CDÆa 2 )thểtích H.ACD làV H.ACD Æ 1 3 HE.S ¢ACD Æ a 3 6 SA? (ABCD))SA?BC mà BC? AB nên BC? (SAB))BC?HA mà HA?SB nên HA? (SBC) tương tự gọi K là hình chiếu của A trên SD thì AK? (SCD) do vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC)và (SCD)làgócgiữa AH và AK. trongtamgiácvuôngSABcó 1 AH 2 Æ 1 AB 2 Å 1 SA 2 )AHÆ a p 2 2 ,SA 2 ÆSH.SB)SHÆ a p 2 2 tươngtự AKÆ 2a p 5 ,SKÆ a p 5 cos ƒ BSDÆ SB 2 ÅSD 2 ¡BD 2 2.SB.SD Æ SH 2 ÅSK 2 ¡HK 2 2.SH.SK )HK 2 Æ a 2 2 Trong¢AHK có cos ƒ AHKÆ AH 2 ÅAK 2 ¡HK 2 2.AH.AK Æ p 10 5 È 0)cos( á (SBC),(SCD))Æ p 10 5 Bài 1.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác cântại S,mặtphẳng (SAB)vuônggócvớiđáy,mặtphẳng (SCD)tạovớiđáygóc 60 0 vàcách đườngthẳng AB mộtkhoảnglà a.Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD theo a. Giải: http://boxmath.vn/ 4 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comA B C D H I S K Gọi H,I lầnlượtlàtrungđiểm ABvàCD DoSABcântạiSnênSH?ABmà (SAB)? (ABCD) do đó SH? (ABCD))SH?CD,HI?CD nên CD? (SHI), kẻ HK?SI,CD?HK nên HK? (SCD))HKÆd(H,(SCD))Æd(AB,(SCD))Æa CD? (SHI)) HI?CD SI?CD CDÆ (SCD)\(ABCD) 9 > > = > > ; ) ( á (SCD),(ABCD)Æ ( à HI,SI)Æ  SIHÆ 60 0 Trong¢HKI có HIÆ HK sin60 0 Æ 2a p 3 ÆBC.Trong¢HSI có SHÆHI.tan60 0 Æ 2a diệntíchABCDlà S ABCD ÆBC 2 Æ 4a 2 3 ThểtíchS.ABCDlàV S.ABCD Æ 1 3 SH.S ABCD Æ 8a 3 9 . Bài 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn ABÆ 2a,BCÆ a p 2,BDÆa p 6. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tamgiácBCD.Tínhtheo®thểtíchkhốichópS.ABCD,biếtrằngkhoảngcáchgiữahaiđường thẳng AC và SB bằng a. Giải: D C A B O M H S K Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa S lênmặtphẳng (ABCD),M làtrungđiểmCD vàOlàtâm củađáy ABCD.Do AOlàtrungtuyếncủatamgiác ABD nên AO 2 Æ AB 2 ÅAD 2 2 ¡ BD 2 4 Æ 3a 2 2 ) AOÆ a p 6 2 )AHÆAOÅ AO 3 Æ 2a p 6 3 BM 2 Æ BD 2 ÅBC 2 2 ¡ CD 2 4 Æ 6a 2 Å2a 2 2 ¡ 4a 2 4 Æ 3a 2 )BMÆa p 3)BHÆ 2a p 3 3 http://boxmath.vn/ 5 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTacó AH 2 ÅBH 2 Æ 4a 2 ÆAB 2 )AH?BH,kếthợpvới AHvuônggócvớiSHtađược AH? (SHB). Kẻ HK vuông góc với SB, theo chứng minh trên ta được AH? (SHB) suy ra AH?HK)HK làđoạnvuônggócchungcủa AC và SB suyra HKÆa. TrongtamgiácvuôngSHBtacó 1 HK 2 Æ 1 SH 2 Å 1 HB 2 )SHÆ 2a TacóV S.ABCD Æ 1 3 SH.S ABCD Æ 1 3 SH.4.S OAB Æ 4 3 SH. 1 2 OA.BHÆ 4 p 2a 3 3 2 -Khốilăngtrụ Bài 2.1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A 1 cách đều ba điểm A,B,C. Cạnh bên A 1 A tạo với mặt phẳng đáy một góc ®. Hãy tìm ® , biết thểtíchkhốilăngtrụ ABC.A 1 B 1 C 1 bằng 2 p 3a 3 . Giải: A B C I H G A 1 B 1 C 1 TacótamgiácABCđềucạnh 2anên S ABC Æa 2 p 3 Mặtkhác A 1 AÆA 1 BÆA 1 C)A 1 .ABC làhìnhchóptamgiácđềuđỉnh A 1 . GọiG làtrọngtâmtamgiác ABC,tacó A 1 G làđườngcao. Trongtamgiác ABC có AGÆ 2 3 AHÆ 2a p 3 3 Trongtamgiácvuông A 1 AG có: à A 1 AGÆ®;A 1 GÆAG.tan®Æ 2a p 3 3 .tan®. ThểtíchkhốilăngtrụVÆA 1 G.S ABC Æ 2 p 3a 3 )tan®Æ p 3)®Æ 60 o . Bài 2.2. Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác cân với ABÆ ACÆa, góc ƒ BACÆ 120 0 , cạnh bên BB 0 Æa . Gọi I là trung điểm của CC 0 . Chứng minh tam giác AB 0 I vuôngtại A vàtínhcosincủagócgiữahaimặtphẳng (ABC)và (AB 0 I). Giải: http://boxmath.vn/ 6 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comA B C A 0 B 0 C 0 I Tacó BCÆa p 3.ÁpdụngđịnhlíPitagotrongtamgiácvuông ACI,ABB 0 ,B 0 C 0 I Suyra AIÆ p 5 2 a,AB 0 Æ p 2a,B 0 IÆ p 13 2 a Dođó AI 2 ÅAB 02 ÆB 0 I 2 Vậytamgiác AB 0 I vuôngtại A S AB 0 I Æ 1 2 AI.AB 0 Æ p 10 4 a 2 ,S ABC Æ p 3 4 a 2 .Gọi®làgócgiữahaimặtphẳng (ABC)và (AB 0 I).Tam giác ABC làhìnhchiếuvuônggóccủatamgiác AB 0 I. suyra S A 0 BI cos®ÆS ABC , p 10 4 cos®Æ p 3 4 , cos®Æ r 3 10 Bài 2.3. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có ABÆa,ACÆ 2a,AA 1 Æ 2a p 5 và ƒ BACÆ 120 0 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB? MA 1 và tính khoảng cáchtừđiểm A tớimặtphẳng (A 1 BM). Giải: A B C A 1 B 1 C 1 M +Tacó A 1 M 2 ÆA 1 C 2 1 ÅC 1 M 2 Æ 9a 2 , BC 2 ÆAB 2 ÅAC 2 ¡2AB.AC.cos120 0 Æ 7a 2 ; BM 2 ÆBC 2 ÅCM 2 Æ 12a 2 ; A 1 B 2 ÆA 1 A 2 ÅAB 2 Æ 21a 2 ÆA 1 M 2 ÅMB 2 )MB vuônggócvới MA 1 +Hìnhchóp MABA 1 và CABA 1 cóchungđáylàtamgiác ABA 1 vàđườngcaobằngnhaunên thểtíchbằngnhau. )VÆV MABA 1 ÆV CABA 1 Æ 1 3 AA 1 .S ABC Æ 1 3 a 3 p 15 )d(a,(MBA 1 ))Æ 3V S MBA 1 Æ 6V MB.MA 1 Æ a p 5 3 http://boxmath.vn/ 7 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài2.4. Cholăngtrụtamgiác ABC.A 1 B 1 C 1 cótấtcảcáccạnhbằng a,góctạobởicạnhbên và mặt đáy bằng 30 0 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh A trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 ) thuộc đường thẳng B 1 C 1 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 và tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng AA 1 và B 1 C 1 theo a. Giải: A 1 B 1 C 1 H A C B D à AA 1 HÆ 30 0 , AHÆAA 1 .sin30 0 Æ a 2 Thểtíchkhốilăngtrụ ABC.A 1 B 1 C 1 :VÆAH.dt(A 1 B 1 C 1 )Æ a 3 p 3 8 ¢AA 1 H vuông, A 1 HÆa.cos30 0 Æ a p 3 2 . Do ¢A 1 B 1 C 1 đều cạnh a,H thuộc B 1 C 1 và A 1 HÆ a p 3 2 nên A 1 H?B 1 C 1 Có AH?B 1 C 1 dođóB 1 C 1 ?(AA 1 H).KẻđườngcaoHK của¢AA 1 HthìHK chínhlàkhoảngcách giữa AA 1 và B 1 C 1 Tacó AA 1 .HKÆAH.A 1 H,)HKÆ A 1 H.AH AA 1 Æ a p 3 4 . Bài2.5. Chohìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáylàtamgiácđềucạnh a,hìnhchiếuvuônggóc của A 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứaBC vàvuônggócvới AA 0 ,cắtlăngtrụtheomộtthiếtdiệncódiệntíchbằng a 2 p 3 8 .Tính thểtíchkhốilăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 theo a. Giải: A B C M O A 0 B 0 C 0 H GọiMlàtrungđiểmcủaBC,gọiHlàhìnhchiếuvuônggóccủaMlên AA 0 ,Khiđó (P)´ (BCH). Dogóc à A 0 AM nhọnnên H nằmgiữa AA 0 .Thiếtdiệncủalăngtrụcắtbởi (P)làtamgiácBCH. http://boxmath.vn/ 8 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comDotamgiác ABC đềucạnh anên AMÆ a p 3 2 ,AOÆ 2 3 AMÆ a p 3 3 Theobàira S BCH Æ a 2 p 3 8 ) 1 2 HM.BCÆ a 2 p 3 8 )HMÆ a p 3 4 , AHÆ p AM 2 ¡HM 2 Æ s 3a 2 4 ¡ 3a 2 16 Æ 3a 4 Dohaitamgiác A 0 AO và MAH đồngdạngnên A 0 O AO Æ HM AH suyra A 0 OÆ AO.HM AH Æ a p 3 3 a p 3 4 4 3a Æ a 3 Thểtíchkhốilăngtrụ:VÆA 0 O.S ABC Æ 1 2 A 0 O.AM.BCÆ 1 2 a 3 a p 3 2 aÆ a 3 p 3 12 . 3 -Khốitrònxoay Bài3.1. Chohìnhtrụcóbánkínhđáybằng avàđườngcaobằng a p 2. a) M và N là hai điểm lưu động trên hai đáy sao cho góc của MN và đáy bằng ® . Tính khoảngcáchtừtrụcđến MN. b)Tínhthểtíchvàdiệntíchxungquanhcủalăngtrụtamgiácđềungọaitiếphìnhtrụ Giải: C A B O M N 0 O 0 A 0 B 0 C 0 N H a) Kẻ đường sinh NN 0 ta có à NMN 0 Æ®, kẻ OH?MN 0 thì OH bằng khỏang cách giữa trục OO 0 và MN. Tacó: MN 0 ÆNN 0 .cot®Æa. p 2.cot® ¢OMH vuông:OH 2 ÆOM 2 ¡MH 2 Æa 2 ¡ a 2 2 cot 2 ®Æ a 2 2 (2¡cot 2 ®) )OHÆa s 2¡cot 2 ® 2 b)Gọi xlàcạnhcủatamgiácđềungọaitiếpđườngtrònđáycủahìnhtrụ. Tacó:O 0 NÆRÆ 1 3 ANÆ 1 3 x p 3 2 Æ x p 3 6 )xÆ 6R p 3 Æ 6a p 3 V ABC.A 0 B 0 C 0Æ x 2 p 3 4 .OO 0 Æ 36a 2 p 3 12 .a p 2Æ 3a 2 . p 6. http://boxmath.vn/ 9 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comS xq Æ 3x.OO 0 Æ 18a p 3 .a p 2Æ 6a 2 p 6. Bài3.2. Chohìnhnónđỉnh S cóđườngsinhlà a,gócgiữađườngsinhvàđáylà®. a)Tínhthểtíchvàdiệntíchxungquanhcủahìnhnón. b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 60 0 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB. Tínhdiệntíchtamgiác SAB vàkhoảngcáchtừtâmcủađáyhìnhnónđếnmặtphẳngnày. Giải: O S A B H K a)TínhVvà S xq . ¢SAO vuông: SOÆa.sin®,AOÆa.cos® VÆ 1 3 ¼.AO 2 .SOÆ 1 3 ¼.a 3 .cos 2 ®.sin® SxqƼ.AO.SAƼ.a 2 .cos® b)+Tính S SAB KẻOH?AB)SH?AB,dođó ƒ SOHÆ 60 0 ¢SOH vuông:OHÆSO.cot.60 0 Æ a p 3.sin® 3 AOHvuông: AH 2 ÆAO 2 ¡OH 2 Æa 2 .cos 2 ®¡ 3a 2 .sin® 9 )AHÆ a p 3 p 3cos 2 ®¡sin 2 ® Vậy S SAB Æ 1 2 AB.SHÆ 2a 2 .sin® p 3cos 2 ®¡sin 2 ® 3 +Tính d(O,(SAB)) KẻOK?SH)OK?(SAB) OKHvuông:OKÆOH.sin60 0 Æ a p 3sin® 3 . p 3 2 Æ a.sin® 2 Bài 3.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên SA vuông gócvớiđáy. a)Xácđịnhtâmmặtcầungọaitiếphìnhchóp SABCD. b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt AB,SC,SD lần lượt tại B 0 ,C 0 ,D 0 . Chứngtỏrằngbảyđiểm A,B,C,D,B 0 ,C 0 ,D 0 cùngnằmtrênmộtmặtcầu. Giải: http://boxmath.vn/ 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comA B C D S B 0 D 0 O C 0 I a)Tacó: BC?AB BC?SA ) )BC?SB Tươngtự CD?SD Vậycácđiểm A,B,DđềunhìnđọanSCdướimộtgócvuông,dođótâmmặtcầungọaitiếphình chóp S.ABCD làtrungđiểm I của SC. b)Tacó: AC 0 ?SC tại C 0 AB 0 ?SC và AB 0 ?BC (vì BC?(SAB))nên AB 0 ?(SBC))AB 0 ?B 0 C Tươngtự AD 0 ?D 0 C VậycácđiểmB 0 ,C 0 ,D 0 ,D,Bcùngnhìnđọan ACdướimộtgócvuông,dođóbảyđiểm A,B,C,D,B 0 ,C 0 ,D 0 cùngnằmtrênmặtcầuđườngkính AC. 4 -Bàitậptựluyệncóđápsố 1. (CĐ2012)ChokhốichópS.ABCcóđáy ABClàtamgiácvuôngcântại A, ABÆa p 2,SAÆ SBÆSC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC vàbánkínhmặtcầungoạitiếphìnhchóp S.ABC theo a. *Đápsố:VÆ p 3a 3 3 ,RÆ 2a p 3 3 2. (D2012)Chohìnhhộpđứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cóđáylàhìnhvuông,tamgiác A 0 ACvuông cân, A 0 CÆa. Tính thể tích của khối tứ diện ABB 0 C 0 và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD 0 )theo a. *Đápsố:VÆ a 3 p 2 48 ,dÆ a p 6 6 3. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SAÆ 2a,ABÆa. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thểtíchcủakhốichóp S.ABH theo a. *Đápsố:VÆ 7 p 11a 3 96 4. (A2012)Chohìnhchóp S.ABC cóđáylàtamgiácđềucạnh a.Hìnhchiếuvuônggóccủa S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HAÆ 2HB. Góc giữa đường thẳng SC vàmặtphẳng (ABC)bằng 60 0 .Tínhthểtíchkhốichóp S.ABC vàtínhkhoảng cáchgiữahaiđườngthẳng SA và BC theo a. *Đápsố:VÆ a 3 p 7 12 ,gÆ a p 42 8 http://boxmath.vn/ 11 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.com5. (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,ABÆa,SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30 0 . Gọi M làtrungđiểmcủacạnh SC.Tínhthểtíchcủakhốichóp S.ABM theo a. *Đápsố:VÆ a 3 p 3 36 6. (A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,ABÆBCÆ 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữahaiđườngthẳng ABvà SN theo a. *Đápsố:VÆa 3 p 3,dÆ 2a p 39 13 7. (B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, ABÆ a,ADÆa p 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tíchkhốilăngtrụđãchovàkhoảngcáchtừđiểm B 1 đếnmặtphẳng (A 1 BD)theo a. *Đápsố:VÆ 3a 3 2 ,dÆ a p 3 2 8. (D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BAÆ 3a,BCÆ 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SBÆ 2a p 3 và  SBCÆ 30 0 . Tính thểtíchkhốichóp S.ABC vàkhoảngcáchtừđiểm Bđếnmặtphẳng (SAC)theo a. *Đápsố:VÆ 2 p 3a 3 ,dÆ 6a p 7 7 9. (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuônggócvớimặtphẳng (ABCD)vàSHÆa p 3.TínhthểtíchkhốichópS.CDNMvàtính khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng DM và SC theo a. *Đápsố:VÆ 5 p 3a 3 24 ,dÆ 2 p 3a p 19 10. (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SAÆa; hìnhchiếuvuônggóccủađỉnhStrênmặtphẳng (ABCD)làđiểmHthuộcđoạn AC,AHÆ AC 4 . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tínhthểtíchkhốitứdiện SMBC theo a. *Đápsố:VÆ a 3 p 14 48 11. (CĐ2010)Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnh a,mặt phẳng (SAB)vuônggócvớimặtphẳngđáy, SAÆSB,gócgiữađườngthẳng SC vàmặtphẳngđáybằng 45 0 .Tínhtheo athểtíchkhốichóp S.ABCD. *Đápsố: a 3 p 5 6 12. (B2010)Cholăngtrụtamgiácđều ABC.A 0 B 0 C 0 có ABÆa,gócgiữahaimặt phẳng (A 0 BC)và (ABC)bằng 60 0 .GọiG làtrọngtâmtamgiác A 0 BC.Tính thểtíchkhốilăngtrụđãchovàtínhbánkínhmặtcầungoạitiếptứdiệnGABC theo a. *Đápsố:VÆ 3a 3 p 3 8 ,RÆ 7a 12 http://boxmath.vn/ 12 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.com13. (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABÆa,SAÆa p 2. Gọi M,N và P lần lượtlàtrungđiểmcủacáccạnh SA,SBvàCD.Chứngminhđườngthẳng MN vuônggóc vớiđườngthẳng SP.Tínhtheo athểtíchkhốitứdiện AMNP. *Đápsố:VÆ a 3 p 6 48 14. (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; ABÆ ADÆ 2a,CDÆa;gócgiữahaimặtphẳng (SBC)và (ABCD)bằng 60 0 .Gọi I làtrungđiểm củacạnh AD.Biếthaimặtphẳng (SBI)và (CSI)cùngvuônggócvớimặtphẳng (ABCD), tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD theo a. *Đápsố:VÆ 3 p 15a 3 5 15. (B2009)Chohìnhlăngtrụtamgiác ABC.A 0 B 0 C 0 cóBB 0 Æa,gócgiữađườngthẳngBB 0 và mặtphẳng (ABC)bằng 60 0 ;tamgiác ABC vuôngtại C và ƒ BACÆ 60 0 .Hìnhchiếuvuông góc của điểm B 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tíchkhốitứdiện A 0 ABC theo a. *Đápsố:VÆ 9a 3 208 16. (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, ABÆa,AA 0 Æ 2a,A 0 CÆ 3a. Gọi M làtrungđiểm củađoạnthẳng A 0 C 0 , I làgiaođiểmcủa AM và A 0 C.Tínhtheo a thểtíchkhốitứdiện IABC vàkhoảngcáchtừđiểm A đếnmặt phẳng (IBC). *Đápsố:VÆ 4a 3 9 ,dÆ 2a p 5 5 17. (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ƒ BADÆ ƒ ABCÆ 90 0 ,ABÆ BC Æ a,AD Æ 2a,SA vuông góc với đáy và SA Æ 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a. *Đápsố:VÆ a 3 3 18. (A 2008) Cho lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,ABÆ a,ACÆ a p 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A 0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A 0 .ABC và tính cosin củagócgiữahaiđườngthẳng AA 0 ,B 0 C 0 . *Đápsố:VÆ a 3 2 ,cos'Æ 1 4 19. (B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SAÆa,SBÆa p 3 vàmặtphẳng (SAB)vuônggócvớimặtphẳngđáy.Gọi M,N lầnlượtlàtrung điểmcủa cáccạnh AB,BC.Tínhtheo athểtíchkhốichóp S.BMDN vàtínhcosincủagócgiữahai đườngthẳng SM,DN. *Đápsố:VÆ a 3 p 3 3 ,cos'Æ p 5 5 20. (D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông, ABÆBCÆa, cạnh bên AA 0 Æa p 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối http://boxmath.vn/ 13 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 vàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng AM,B 0 C. *Đápsố:VÆ a 3 p 2 2 ,dÆ p 7a 7 21. (A2007)Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhvuôngcạnh a,mặtbên SAD làtamgiác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của cáccạnhSB,BC,CD.Chứngminh AMvuônggócvớiBP vàtínhthểtíchcủakhốitứdiện CMNP. *Đápsố:VÆ p 3a 3 96 22. (B2007)Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCD cóđáylàhìnhvuôngcạnh a.Gọi E làđiểm đối xứng của D qua trung điểm của SA,M là trung điểm của AE,N là trung điểm của BC.ChứngminhMN vuônggócvớiBDvàtínhtheoakhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng MN và AC. *Đápsố: dÆ a p 2 4 23. (D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ƒ ABCÆ ƒ BADÆ 90 0 ,BAÆBCÆ a,ADÆ 2a.Cạnhbên SA vuônggócvớiđáyvà SAÆa p 2.Gọi H làhìnhchiếuvuônggóc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặtphẳng (SCD). *Đápsố: dÆ a 3 24. (A2006)ChohìnhtrụcóđáylàhaihìnhtròntâmO vàO 0 ,bánkínhđáybằng chiềucaovàbằng a.TrênđườngtrònđáytâmO lấyđiểm A,trênđườngtròn đáytâmO 0 lấyđiểm Bsaocho ABÆ 2a.TínhthểtíchcủakhốitứdiệnOO 0 AB. *Đápsố:VÆ p 3a 3 12 25. (B2006)chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhchữnhậtvới ABÆa, ADÆa p 2,SAÆavà SA vuônggócvớimặtphẳng (ABCD).Gọi M và N lần lượtlàtrungđiểmcủa AD và SC;I làgiaođiểmcủa BM và AC.Chứngminh mặtphẳng (SAC)vuônggócvớimặtphẳng (SMB).Tínhthểtíchcủakhốitứdiện ANIB. *Đápsố:VÆ p 2a 3 36 26. (D2006)Chohìnhchóptamgiác S.ABC cóđáy ABC làtamgiácđềucạnh a,SAÆ 2avà SA vuônggócvớimặtphẳng (ABC).Gọi M và N lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa A trêncácđườngthẳng SBvà SC.Tínhthểtíchcủakhốichóp A.BCNM. *Đápsố:VÆ 3 p 3a 3 50 27. (B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng '((0 0 Ç'Ç 90 0 ). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo'.Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD theo avà'. *Đápsố: tan®Æ p 2tan',VÆ p 2a 3 tan' 6 28. (D2003)Chohaimặtphẳng (P)và (Q)vuônggócvớinhau,cógiaotuyếnlàđườngthẳng ¢. Trên ¢ lấy hai điểm A,B với ABÆ a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt http://boxmath.vn/ 14 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comphẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD cùng vuông góc với¢ và ACÆBDÆAB. Tính bán kínhmặtcầungoạitiếptứdiện ABCD vàtínhkhoảngcáchtừ A đếnmặtphẳng (BCD) theo a. *Đápsố: RÆ a p 3 2 ,dÆ a p 2 2 29. (B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có cạnh bằng a. a) Tính theo a khoảng cáchgiữahaiđườngthẳng A 1 BvàB 1 D.b)Gọi M,N,P lầnlượtlàcáctrungđiểmcủacác cạnh BB 1 ,CD,A 1 D 1 .Tínhgócgiữahaiđườngthẳng MP và C 1 N. *Đápsố: dÆ a p 6 ,gÆ 90 0 30. (D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);ACÆ ADÆ 4cm;ABÆ 3cm;BCÆ 5cm.Tínhkhoảngcáchtừđiểm A tớimặtphẳng (BCD). *Đápsố: dÆ 6 p 34 17 31. (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có ABÆa,ACÆ 2a,AA 1 Æ 2a p 5 và ƒ BACÆ 120 0 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB?MA 1 và tính khoảng cách từđiểm A tớimặtphẳng (A 1 BM). *Đápsố: dÆ a p 5 3 32. (DB2 A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 ,haitamgiác ABC và SBC làcáctamgiácđềucạnh a.Tínhtheo akhoảngcáchtừB đếnmặtphẳng (SAC). *Đápsố: dÆ 3a p 13 33. (DB1 B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy. Cho ABÆa,SAÆa p 2. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SD. Chứngminh SC? (AHK)vàtínhthểtíchkhốichópOAHK. *Đápsố:VÆ 2a 3 27 34. (DB2 B 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính ABÆ 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho ACÆR. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60 0 . Gọi H,K lần lượt là hìnhchiếuvuônggóccủa A trên SB,SC.Chứngminhtamgiác AHK vuôngvàtínhthể tíchkhốitứdiện SABC theo R. *Đápsố:VÆ R 3 p 6 12 35. (DB1D2007)Cholăngtrụđứng ABC.A 1 B 1 C 1 cóđáy ABC làtamgiácvuông ABÆACÆ a,AA 1 Æa p 2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA 1 ,BC 1 . Chứng minh MN là đường vuônggócchungcủacácđườngthẳng AA 1 và BC 1 .Tínhthểtíchkhốitứdiện MA 1 BC 1 . *Đápsố:VÆ a 3 p 2 12 36. (DB2D2007)Cholăngtrụđứng ABCA 1 B 1 C 1 cótấtcảcáccạnhđềubằng a. M làtrung điểm của AA 1 . Chứng minh BM?B 1 C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM http://boxmath.vn/ 15 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comvà B 1 C. *Đápsố: dÆ a p 30 10 37. (DB1A2008)Chohìnhchóp S.ABC cóđáylàtamgiác ABC vuôngcântại B, BAÆBCÆ 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SEÆ 2a. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của EC,SC;M là điểm di động trên tia đối của tia BA saochogóc ƒ ECMÆ®(®Ç 90 0 )và H làhìnhchiếuvuônggóccủa S trên MC.Tính thểtíchkhốitứdiện EHIJ theo a,®vàtìm®đểthểtíchđólớnnhất. *Đápsố:VÆ 5a 3 sin2® 8 38. (DB2A2008)Chohìnhchóp S.ABC màmỗimặtbênlàmộttamgiácvuông, SAÆSBÆSCÆa.Gọi M,N,E lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh AB,AC, BC;D làđiểmđốixứngcủa S qua E; I làgiaođiểmcủađườngthẳng AD với mặtphẳng (SMN).Chứngminh AD?SI vàtínhtheo athểtíchcủakhốitứ diện MBSI. *Đápsố:VÆ a 3 36 39. (DB1 B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SAÆa p 3 và SA vuônggócvớimặtphẳngđáy.Tínhtheo a thểtíchkhốitứdiện SACD vàtínhcosin củagócgiữahaiđườngthẳng SB và AC. *Đápsố:VÆ a 3 p 3 6 ,cos®Æ p 2 4 40. (DB2 B 2008) Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD vàtínhsốđocủagócgiữahaiđườngthẳng AD,BC. *Đápsố:ĐSVÆ a 3 p 2 12 ,gÆ 60 0 5 -Cácbàitoánvềkhoảngcách Phạmvinhữngbàitậpnàytôisẽđềcậpmộtphươngphápxuyênsuốtđểgiảicácbàitoánvề khoảngcáchtrongkhônggianđólàquyvềbàitoáncơbản:Tínhkhoảngcáchtừchânđường caođếnmộtmặtcủahìnhchóp. Trước hết ta cần nắm chắc bài toán: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC. Tínhkhoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (SBC) ²Việctínhkhoảngcáchnàylàrấtđơngiảnnhưngnólàchìakhóađểgiảiquyếtmọibàitoán liênquanđếnkhoảngcách: Takẻ AM?BC,AH?SM)AH?(SBC))d A/(SBC) ÆAH Trongtamgiácvuông SAM tacó 1 AH 2 Æ 1 AS 2 Å 1 AM 2 )AHÆ AS.AM p AS 2 ÅAM 2 ²Tínhchấtquantrọng -Nếuđườngthẳng (d)songsongvớimặtphẳng (P) thìkhoảngcáchtừmọiđiểmtrên (d)đếnmặtphẳng (P)lànhưnhau http://boxmath.vn/ 16 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.com-Nếu ¡¡! AMÆk ¡¡! BM thì d A/(P) Æjkjd B/(P) trongđó (P)làmặtphẳngđiqua M -Nếu a,blàhaiđườngthẳngchéonhau. Gọi (P)làmặtphẳngchứa bvà (P)kathì d a/b Æd a/(P) Æd M2a/(P) Trêncơsởcáctínhchấttrên.Khicầntínhkhoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtmặtphẳng, haytínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhautaluônquyđượcvềbàitoáncơbản. Taxétcácbàitoánsau: Bài5.1. Chohìnhchóp SABCD cóđáy ABCD làhìnhthang ƒ ABCÆ ƒ BADÆ 90 o , BAÆBCÆa,ADÆ 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAÆa p 2, góc tạo bởi SC và (SAD) bằng 30 o . Gọi G là trọngtâmtamgiác (SAB).TínhkhoảngcáchtừG đếnmặtphẳng (SCD) Giải: Kẻ CE vuônggócvới AD thì E làtrungđiểmcủa AD và CE?(SAD) )C ˆ SEÆ 30 0 )SEÆCE.tan60Æa p 3)SAÆa p 2 Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AE. Ta có BE song song với (SCD), MN cũngsongsongvới (SCD).Tacó NDÆ 3 4 AD GSÆ 2 3 MS)d G/(SCD) Æ 2 3 d M/(SCD) Æ 2 3 .d N/(SCD) Æ 2 3 . 3 4 d A/(SCD) Æ 1 2 d A/(SCD) Vìtamgiác ACD vuôngcântại C nên CD vuônggócvới (SAC). Hạ AH vuônggócvới SC thì AH?(SCD))d A/(SCD) ÆAHÆ SA.SC p SA 2 ÅSC 2 Æa (Tacũngcóthểlậpluậntamgiác SAC vuôngcânsuyra AHÆa) Bài5.2. Chohìnhlăngtrụ ABCA 0 B 0 C 0 cóđáy ABC làtamgiácvuôngcântại A cạnhhuyềnBCÆa p 2 cạnh bên AA 0 Æ 2a, biết A 0 cách đều các đỉnh A,B,C . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA 0 ,AC.Tínhthểtíchkhốichóp C 0 MNB vàkhoảngcáchtừ C 0 đếnmặtphẳng (MNB) Giải: -Tínhthểtích: Vì A 0 cách đều A,B,C nên chân đường cao hạ từ A 0 lên mặt phẳng (ABC) là tâm vòng tròn ngoạitiếptamgiác ABC.Gọi H làtrungđiểmcủa BC suyra A 0 H?(ABC) Gọi KÆMN\AC 0 )AKÆ 1 3 C 0 K)V C 0 MNB Æ 3V AMNB Gọi E làtrungđiểmcủa AH)ME?(ABC))V MANB Æ 1 3 ME.dt(ANB) Tínhđược: MEÆ 1 2 A 0 HÆ 1 2 a p 14 2 Æ a p 14 4 Suyra:V MANB Æ 1 3 . a p 14 4 . a 2 4 Æ p 14a 3 48 .VậyV C 0 MNB Æ p 14a 3 16 Ta thấy rằng việc tính trực tiếp khoảng cách từ điểm C 0 đến mặt phẳng (BMN) là tương đối khó.Đểkhắcphụckhókhănnàytasẽtạorabàitoáncơbảntínhkhoảngcáchtừchânđường caođếnmặtphẳng (BMN)bằngcáchdựngđườngcao ME củakhốichóp ABMN. -Tínhkhoảngcách: d C 0 /(BMN) Æ 3d A/(BMN) .Gọi F làtrọngtâmtamgiác ABC Tacó: AFÆ 2 3 AH;EHÆ 1 2 AH)EFÅ 1 3 AHÆ 1 2 AH)EFÆ 1 6 AH)d A/(BMN) Æ 4d E/(BMN) Nhưvậy d C 0 /(BMN) Æ 3d A/(BMN) Æ 12d E/(BMN) http://boxmath.vn/ 17 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comHạ ( EP?BN EQ?MP. )EQ?(MNB))d E/(MNB) ÆEQÆ EP.EM p EP 2 ÅEM 2 Tacó¢EPF đồngdạngvới¢BHF) EP BH Æ EF BF )EPÆ BH.EF BF Tínhđược BHÆ a p 2 2 ; EFÆ 1 4 AFÆ 1 4 . 2 3 AHÆ 1 6 AHÆ a p 2 12 ; BFÆ a p 5 3 Suyra: EPÆ a p 5 20 )EQÆ EP.EM p EP 2 ÅEM 2 Æ p 994a 284 Vậy d C 0 /(BMN) Æ 12d E/(BMN) Æ 12. p 994a 284 Æ 3 p 994a 71 Quavídụtrêntathấyrõtầmquantrọngcủabàitoáncơbản Bài5.3. Chohìnhchóp SABC cóđáy ABC làtamgiácđềucạnhbằng a.Chânđườngcaohạtừ S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho ¡¡! HAÆ¡2 ¡ ¡ ! HB. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC)bằng 60 o .TínhthểtíchkhốichópSABC vàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSA,BC theo a. Giải: -Tínhthểtích: Vì SH?(ABCD)nên HC làhìnhchiếuvuônggóccủa SC lênmặtphẳng (ABCD). Góctạobởi SC vàmặtphẳng (ABCD)là ƒ SCHÆ 60 o . Xéttamgiác BHC theođịnhlýhàmsốcosintacó HC 2 ÆHB 2 ÅBC 2 ¡2HB.BC.cos ƒ HBCÆHB 2 ÅBC 2 ¡2HB.BC.cos60 o Æ a 2 9 Åa 2 ¡2. a 3 .a. 1 2 Æ 7a 2 9 Suyra HCÆ a p 7 3 )SHÆHC.tan ƒ SCHÆ a p 7 3 . p 3Æ a p 21 3 Tasuyra V SABC Æ 1 3 SH.S ¢ABC Æ 1 3 a p 21 3 . 1 2 a.a.sin60 o Æ p 7a 3 12 (ĐVTT) -Tínhkhoảngcách: Gọi E làtrungđiểmcủa BC , D làđỉnhthứtưcủahìnhbìnhhành ABCD Tacó AD//BC nên d SA/BC Æd BC/(SAD) Æd B/(SAD) Æ 3 2 d H/(SAD) Kẻ ( HF?AD HK?SF )HK?(SAD))d H/(SAD) ÆHK Trongtamgiácvuông SHF tacó 1 HK 2 Æ 1 HF 2 Å 1 HS 2 )HKÆ HF.HS p HS 2 ÅHF 2 Mặtkhác HFÆ 2 3 AEÆ 2 3 a p 3 2 Æ p 3a 3 . Suyra HKÆ HF.HS p HS 2 ÅHF 2 Æ p 3a 3 . a p 21 3 r 3 9 a 2 Å 21 9 a 2 Æ p 42 12 a Vậy d SA/BC Æ 3 2 . p 42 12 aÆ p 42 8 a 6 -GiảitoánHìnhkhônggianbằngPhươngpháptọađộ A.TÓMTẮTLÝTHUYẾT JPhươngpháp http://boxmath.vn/ 18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.com• Bước 1: Chọn hệ trục tọa Oxyz. Xác định một góc tam diện vuông trên cơ sở có sẵn của hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều ...), hoặc dựa trên các mặtphẳngvuônggócdựngthêmđườngphụ. • Bước2:Tọađộhóacácđiểmcủahìnhkhônggian.Tínhtọađộđiểmliênquantrựctiếp đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vuônggóccùngcácdữliệucủabàitoán. • Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên quan.Xácđịnhtọađộcácđiểm,véctơcầnthiếtchokếtluận. • Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu cầucủabàitoánhìnhkhônggian. Chúýcáccôngthứcvềgóc,khoảngcách,diệntíchvàthểtích... JCáchchọnhệtọađộmộtsốhìnhkhônggian. HTamdiệnvuông,hìnhhộpchữnhật,hìnhlậpphương. • Xéttamdiệnvuông S.ABC có SAÆa, SBÆb, SCÆc.Chọnhệtrụctọađộ Oxyz saocho S´O, ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SB, ¡ ¡ ! SC lầnlượtcùnghướngvớicáctiaOx, Oy, Oz.Tọađộcácđiểmkhiđólà S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). •Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có độ dài các cạnh là ABÆ a, AD Æ b, AA 0 Æ c. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A´ O, ¡ ¡ ! AB, ¡ ¡ ! AD, ¡¡! AA 0 lần lượt cùng hướng với các tia Ox, Oy, Oz.Tọađộcácđiểmkhiđólà A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A 0 (0; 0; c), C(a; b; 0), B 0 (a; 0; c), D 0 (0; b; c), C 0 (a; b; c). HHìnhchóptứgiácđều,tamgiácđều. • HìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcóOlàgiaocủahaiđườngchéovàSOÆh, ACÆ 2a, BDÆ 2b.Chọnhệtrụctọađộ Oxyz saocho ¡ ¡ ! OA, ¡ ¡ ! OB, ¡ ¡ ! OS lầnlượtcùnghướngvớicáctia Ox, Oy, Oz. Tọađộcácđiểmkhiđólà O(0; 0; 0), S(0; 0;h), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(¡a; 0; 0), D(0;¡b; 0). • Hình chóp tamgiác đều S.ABC có O là tâm củatam giác ABC và SOÆh, BCÆa. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho ¡ ¡ ! OA, ¡ ¡ ! CB, ¡ ¡ ! OS lần lượt cùng hướng với các tia Ox, Oy, Oz. Tọa độ cácđiểmkhiđólà O(0; 0; 0), S(0; 0;h), A à a p 3 3 ; 0; 0 ! , B à ¡ a p 6 3 ; a 2 ; 0 ! , C à ¡ a p 6 3 ;¡ a 2 ; 0 ! . JTùyvàotừngbàitoánmàcóthểthayđổilinhhoạtcáchchọnhệtọađộ.Trongnhiềutrường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thugọnlờigiải.. B.CÁCBÀITOÁNMINHHỌA Bài6.1. Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt đáy ABC. Đáy là tam giác cân tại A, đồ dài trung tuyên ADÆa,; cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc ® và tạo với mặt phẳng (SAD)góc¯.Tìmthểtíchhìnhchóp S.ABC. Giải: http://boxmath.vn/ 19 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comChọnhệtrụctọađộOxyz nhưhìnhvẽ.Tọađộcácđỉnh A(0; 0; 0),B(a; 0; 0),D(0; a; 0),A 0 (0; 0; a), C(a; a; 0),D 0 (0; a; a),B 0 (a; 0; a),C 0 (a;a; a). a)Tacó ¡¡! A 0 B(a; 0;¡a), ¡¡! B 0 D(¡a; a;¡a), ¡ ¡¡ ! A 0 B 0 (a; 0; 0)) h ¡¡! A 0 B, ¡¡! B 0 D i Æ (a 2 ; 2a 2 ; a 2 ) Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳnglà d(A 0 B,B 0 D)Æ ¯ ¯ ¯ h ¡¡! A 0 B, ¡¡! B 0 D i . ¡ ¡¡ ! A 0 B 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h ¡¡! A 0 B, ¡¡! B 0 D i¯ ¯ ¯ Æ a p 6 . b)Tọađộcácđiểm M,N,P là M ³ a; 0; a 2 ´ , N ³ a 2 ;a; 0 ´ , P ³ 0; a 2 ; a ´ . Dođó ¡¡! MP ³ ¡a; a 2 ; a 2 ´ , ¡ ¡¡ ! NC 0 ³ a 2 ; 0; a ´ ) ¡¡! MP. ¡ ¡¡ ! NC 0 Æ 0. Vậygócgiữahaiđườngthẳngbằng 90 0 . c)Tacó ¡¡! MP ³ ¡a; a 2 ; a 2 ´ , ¡ ¡¡ ! MC 0 ³ 0; a; a 2 ´ , ¡ ¡¡ ! MN ³ ¡ a 2 ; a;¡ a 2 ´ ) h ¡¡! MP, ¡ ¡¡ ! MC 0 i Æ µ ¡ a 2 4 ; a 2 2 ;¡a 2 ¶ . Thểtíchkhốitứdiện C 0 MNP làV C 0 MNP Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h ¡¡! MP, ¡ ¡¡ ! MC 0 i . ¡ ¡¡ ! MN ¯ ¯ ¯Æ 3 16 a 3 . Bài6.2. (Đềthituyểnsinhđạihọc,khốiAnăm2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.Chứngminh AM vuônggócvới BP vàtínhthểtíchcủakhốitứdiện CMNP. Giải: Vì tam giác SAD là tam giác đều và (SAD)?(ABCD) nên gọi O là trung điểm của AD thì SO?(ABCD).ChọnhệtrụctọađộOxyz nhưhìnhvẽ(Oysongsongvới AB).Tọađộcácđỉnh O(0; 0; 0),S à 0; 0; a p 3 4 ! ,D ³ a 2 ; 0; 0 ´ ,A ³ ¡ a 2 ; 0; 0 ´ ,C ³ a 2 ; a; 0 ´ ,B ³ ¡ a 2 ; a; 0 ´ . Nêncáctrungđiểm P ³ a 2 ; a 2 ; 0 ´ ,N (0; a; 0),M à ¡ a 4 ; a 2 ; a p 3 4 ! . Tacó ¡¡! AM à a 4 ; a 2 ; a p 3 4 ! , ¡ ¡ ! BP ³ a;¡ a 2 ; 0 ´ nên ¡¡! AM. ¡ ¡ ! BPÆ a 2 4 ¡ a 2 4 Å0Æ 0. Vậy AM vuônggócvới BP.Mặtkhác ¡ ¡¡ ! NM à ¡ a 4 ;¡ a 2 ; a p 3 4 ! , ¡ ¡ ! NC ³ a 2 ; 0; 0 ´ , ¡ ¡ ! NP ³ a 2 ;¡ a 2 ; 0 ´ ) h ¡ ¡¡ ! NM, ¡ ¡ ! NC i Æ Ã 0; a 2 p 3 8 ; a 2 4 ! . Dođóthểtíchkhốitứdiện CMNP làV CMNP Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡¡ ! NM, ¡ ¡ ! NC i . ¡ ¡ ! NP ¯ ¯ ¯Æ a 3 p 3 96 . http://boxmath.vn/ 20 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài6.3. Chohìnhlăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáy ABC làtamgiácvuông, ABÆACÆa, AA 0 Æa p 2. Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcủađoạn AA 0 và BC 0 .Chứngminh MN làđườngvuônggóc chungcủa AA 0 và BC 0 .Tínhthểtíchkhốitứdiện MA 0 BC 0 . Giải: ChọnhệtrụctọađộOxyz nhưhìnhvẽ.Tọađộcácđiểmlà A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;a;0)A 0 (0;0;a), B 0 (a;0;a), C 0 (0;a;a), M ³ 0;0; a 2 ´ , N ³ a 2 ; a 2 ; a 2 ´ . Tacó ¡ ¡¡ ! MN ³ a 2 ; a 2 ; 0 ´ và ¡¡! BC 0 (a;¡a; a p 2), ¡¡! AA 0 (0; 0; a p 2).Dođó 8 < : ¡¡! BC 0 . ¡ ¡¡ ! MNÆ 0 ¡¡! AA 0 . ¡ ¡¡ ! MNÆ 0 , hay MN làđườngvuônggócchungcủahaiđườngthẳng AA 0 và BC 0 . Mặtkhác ¡ ¡¡ ! MA 0 à 0; 0; a p 2 2 ! , ¡¡! MB à 0; a;¡ a p 2 2 ! , ¡ ¡¡ ! MC 0 à a; 0; a p 2 2 ! Dođó h ¡ ¡¡ ! MA 0 , ¡¡! MB i Æ Ã a 2 p 2 2 ; 0; 0 ! , nênthểtíchkhốitứdiện MA 0 BC 0 làV MA 0 BC 0Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡¡ ! MA 0 , ¡¡! MB i . ¡ ¡¡ ! MC 0 ¯ ¯ ¯Æ a 3 p 2 2 . Bài6.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD có AB Æ BC Æ CD Æ a, SA?(ABCD), SA Æ a p 3. Điểm M chia đoạn SB theo tỷ số ¡3, điểm I chia đoạn DS theo tỷsố¡ 4 3 .Mặtphẳng (AMI)cắt SC tại N. a)Chứngminh N làtrungđiểmcủa SC. b)Chứngminh SD?(AMI)và AMNI thuộcmộtđườngtròn. c)Tínhkhoảngcáchtừtrungđiểmcủa AD đếnmặtphẳng (AMNI). Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, gốc tọa độ là trung điểm của AD, trục Ox là trục đối xứngcủahìnhthang ABCD,trụcOz songsongvới SA.Tọađộcácđiểmlà A(0;¡a; 0)B à a p 3 2 ;¡ a 2 ; 0 ! ,D(0; a; 0),C à a p 3 2 ; a 2 ; 0 ! ,S ³ 0;¡a; a p 3 ´ . Vì ¡¡! MSÆ¡3 ¡¡! MB, ¡! IDÆ¡ 4 3 ¡ ! IS nên M à 3 p 3a 8 ;¡ 5a 8 ; p 3a 4 ! , I à 0;¡ a 7 ; 4 p 3a 7 ! . a)Tacó ¡¡! AM à 3 p 3a 8 ; 3a 8 ; 2 p 3a 8 ! , ¡ ! AI à 0; 6a 7 ; 4 p 3a 7 ! Nênmặtphẳng (AMI)cóphươngtrình 2y¡ p 3zÅ2aÆ 0. Trungđiểmcủa SC là N à p 3a 4 ;¡ a 4 ; p 3a 2 ! thuộcmặtphẳng(AMI). Vậymặtphẳng (AMI)cắt SC tạitrungđiểmcủa SC. b)Tacó ¡ ¡ ! SD(0; 2a;¡a p 3),~ n (AMI) (0; 2;¡ p 3)) ¡ ¡ ! SDÆa.~ n (AMI) nên SD?(AMI). Vì ¡ ¡ ! IM à 3 p 3a 8 ;¡ 27a 56 ;¡ 9 p 3a 28 ! nên ¡¡! AM. ¡ ¡ ! IMÆ 0,hay ƒ AMIÆ 90 o .Tươngtự  ANIÆ 90 o . http://boxmath.vn/ 21 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comVậycácđiểmtứgiác AMNI nộitiếptrongđườngtrònđườngkính AI. c)Khoảngcáchcầntìmlà d(O, (AMI))Æ j2aj q 0 2 Å2 2 Å(¡ p 3) 2 Æ 2 p 7 7 a. Bài6.5. Chohìnhchóp S.ABC có ƒ ASCÆ 90 o ,  CSBÆ 60 o ,  BSAÆ 120 o ,SAÆSBÆSCÆa. a)Tínhgócgiữahaimặtphẳng (SAC)và (SBC). b)Gọi M,N lầnlượtchiađoạnSB, CStheotỷsố¡3.Tínhkhoảngcáchvàgócgiữahaiđường thẳng AN, CM. Giải: Tacó CAÆa p 2, CBÆa, ABÆa p 3nêntamgiác ABC vuôngtại C. Mặtkhác SAÆSBÆSC nênhìnhchiếucủađiểm S trênmặtđáylàtrungđiểmO của AB. ChọnhệtrụctọađộOxyz (hìnhvẽ),Ox//BC, Oy//AC. Tọađộcácđỉnhcủahìnhchóplà S ³ 0; 0; a 2 ´ , A à a 2 ;¡ a p 2 2 ; 0 ! , B à ¡ a 2 ; a p 2 2 ; 0 ! , C à a 2 ; a p 2 2 ; 0 ! . a)Tacó h ¡ ¡ ! SB, ¡ ¡ ! SC i Æ Ã 0;¡ a 2 2 ;¡ a 2 p 2 2 ! )~ n (SBC) Æ (0; 1; p 2), h ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SB i Æ Ã a 2 p 2 2 ; a 2 2 ; 0 ! )~ n (SAB) Æ ( p 2; 1; 0). Gọi'làgócgiữahaimặtphẳng (SAC)và (SBC). Khiđó cos'Æ ¯ ¯ cos(~ n (SAB) ,~ n (SBC) ) ¯ ¯ Æ 1 3 )'Æ arccos 1 3 . b)Vì ¡¡! MSÆ¡3 ¡¡! MB, ¡ ¡ ! NCÆ¡3 ¡ ¡ ! NS nêntọađộcácđiểm M,N là M à ¡ 3a 8 ; 3a p 2 8 ; a 8 ! , N à a 8 ; a p 2 8 ; 3a 8 ! . Tacó ¡¡! AN à ¡ 3a 8 ; 5a p 2 8 ; 3a 8 ! , ¡¡! CM à ¡ 7a 8 ;¡ a p 2 8 ; a 8 ! , ¡ ¡ ! AC ³ 0; a p 2; 0 ´ ) h ¡¡! AN, ¡¡! CM i Æ Ã p 2a 2 8 ;¡ 9a 2 32 ; 19 p 2.a 2 32 ! . Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng d(AN, CM)Æ ¯ ¯ ¯ h ¡¡! AN, ¡¡! CM i . ¡ ¡ ! AC ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h ¡¡! AN, ¡¡! CM i¯ ¯ ¯ Æ 9 r 2 835 . Gócgiữahaiđườngthẳng cos á (AN, CM)Æ ¯ ¯ ¯cos( ¡¡! AN, ¡¡! CM) ¯ ¯ ¯Æ 7 p 221 1768 )'Æ arccos 7 p 221 1768 . http://boxmath.vn/ 22 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài6.6. ChohìnhchópS.ABCD cóđáylàhìnhthoitâmOcạnha, ƒ BADÆ 60 o .ĐườngthẳngSOvuông gócvớimặtphẳng (ABCD)và SOÆ 3a 4 .Gọi E, F lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC, BE. a)Tínhkhoảngcáchtừ A đếnmặtphẳng (SBC). b)Tínhgócgiữahaiđườngthẳng AE và SF. c)Mặtphẳng (®)chứa AD vàvuônggócvới (SBC)cắthìnhchóp S.ABCD theomộtthiếtdiện. Tínhdiệntíchthiếtdiệnđó. Giải: VìOA, OB, OS đôimộtvuônggócnênchọnhệtrụctọađộOxyz (hìnhvẽ).Tọađộcácđiểm A à a p 3 2 ; 0; 0 ! ,D ³ 0;¡ a 2 ; 0 ´ ,C à ¡ a p 3 2 ; 0; 0 ! ,B ³ 0; a 2 ; 0 ´ ,S µ 0; 0; 3a 4 ¶ . a)Tacó ¡ ¡ ! SB µ 0; a 2 ;¡ 3a 4 ¶ , ¡ ¡ ! SC à ¡ a p 3 2 ; 0;¡ 3a 4 ! nên h ¡ ¡ ! SB, ¡ ¡ ! SC i Æ a 2 p 3 8 ¡ ¡ p 3; 3; 2 ¢ Phươngtrìnhmặtphẳng (SBC)là (SBC) : ¡2 p 3xÅ6yÅ4z¡3aÆ 0. Khoảngcáchcầntìm d(A, (SBC))Æ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡2 p 3. a p 3 2 Å6.0Å4.0¡3a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q (¡2 p 3) 2 Å6 2 Å4 2 Æ 3 4 a. b)Vì E, F lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC, BE nên E à ¡ a p 3 4 ; a 2 ; 0 ! , F à ¡ a p 3 8 ; a 2 ; 0 ! . Dođó ¡ ¡ ! AE à ¡ 3a p 3 4 ; a 2 ; 0 ! , ¡ ¡ ! BF à ¡ a p 3 8 ; 0; 0 ! ,nên cos á (AE, BF)Æ ¯ ¯ ¯cos( ¡ ¡ ! AE, ¡ ¡ ! BF) ¯ ¯ ¯Æ 3 p 93 31 )'Æ arccos 3 p 93 31 . c)Phươngtrìnhmặtphẳng (®)là (®) : 2x¡2 p 3yÅ4 p 3z¡a p 3Æ 0. Phươngtrìnhcácđườngthẳng SB : 8 > > > > < > > > > : xÆ 0 yÆ 2t zÆ 3a 4 ¡3t , SC : 8 > > > > < > > > > : xÆ 2t yÆ 0 zÆ 3a 4 Å p 3t . Dođó (®)\SBÆM µ 0; a 4 ; 3a 8 ¶ , (®)\SCÆN à ¡ a p 3 4 ; 0; 3a 8 ! . Thiếtdiệnlàhìnhthang ADNM cóchiềucaobằngkhoảngcáchtừ A đến (SBC) nêndiệntíchcủathiếtdiệnlà S ADNM Æ 1 2 (ADÅMN).d(A, (SBC))Æ 9a 2 16 . Bài6.7. Chohìnhchóp S.ABC cóđáylàtamgiácvuôngcântại A,BCÆBSÆa, BS?(ABC).Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcáccạnh SA và BC. a)Tínhđộdàiđoạnthẳng MN. b)Tínhgócvàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng AB,MN. Giải: http://boxmath.vn/ 23 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comChọnhệtrụctọađộOxyz (hìnhvẽ),vớiO´B,trụcOzchứa BS,trụcOychứa BC. Tọađộcácđiểm B(0; 0; 0), C(0;a; 0),S(0; 0;a), A ³ a 2 ; a 2 ; 0 ´ ,M ³ a 4 ; a 4 ; a 2 ´ ,N ³ 0; a 2 ; 0 ´ . a)Tacó ¡ ¡¡ ! MN ³ ¡ a 4 ; a 4 ;¡ a 2 ´ Nên MNÆ a p 6 4 . b)Vì ¡ ¡ ! BA ³ a 2 ; a 2 ; 0 ´ nên h ¡ ¡ ! BA, ¡ ¡¡ ! MN i Æ µ ¡ a 2 4 ; a 2 4 ; a 2 4 ¶ . Tacó ¡ ¡ ! BA. ¡ ¡¡ ! MNÆ 0nên á (AB, MN)Æ 90 0 . Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳnglà d(AB, MN)Æ ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! BA, ¡ ¡¡ ! MN i . ¡¡! BM ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! BA, ¡ ¡¡ ! MN i¯ ¯ ¯ Æ a p 3 4 . Bài6.8. Chohaiđườngthẳng¢,¢ 0 chéonhauvàvuônggócvớinhaunhận AB làmđườngvuônggóc chung (A2¢, A 0 2¢ 0 ).Gọi M,N làcácđiểmdichuyểntrên¢vࢠ0 saocho MNÆAMÅBN. a) Chứng minh rằng tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lượng không đổi. b)Chứngminhrằng MN luôntiếpxúcvớimặtcầuđườngkính AB. Giải: Chọnhệtrụctọađộ Oxyz (hìnhvẽ),với O´A,trục Oz chứa AB,trục Oxchứađườngthẳng a, trụcOy//b.Đặt ABÆh, AMÆa,và ANÆb, (h,a,bÈ 0). Tọađộcácđiểm A(0; 0; 0), B(0; 0;h),M(a; 0; 0),N(0; b;h). Vì MNÆAMÅBN nên p h 2 Åa 2 Åb 2 ÆaÅb, 2a.bÆh 2 . a)Tacó +) AM.BNÆa.bÆ h 2 2 . +) ¡ ¡ ! AB(0; 0;h), ¡¡! AM(a; 0; 0), ¡¡! AN(0;b;h)) h ¡ ¡ ! AB, ¡¡! AM i Æ (0; ah; 0). Thểtíchkhốitứdiện ABMN làV ABMN Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! AB, ¡¡! AM i . ¡¡! AN ¯ ¯ ¯Æ 1 6 abhÆ 1 12 h 3 . Vì hÆ AB không đổi nên tích AM.BN và thể tích khối tứ diện ABMN là những đại lương khôngđổi. b)Gọitrungđiểmcủa ABlà I µ 0; 0; h 2 ¶ . Tacó ¡ ¡¡ ! MN(¡a; b; h), ¡ ¡ ! IM µ a; 0; h 2 ¶ nên h ¡ ¡¡ ! MN, ¡ ¡ ! IM i Æ µ ¡ hb 2 ; ha 2 ;¡ab ¶ . Khoảngcáchtừđiểm I đếnđườngthẳng MN là d(I, MN)Æ ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡¡ ! MN, ¡ ¡ ! IM i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¡ ¡¡ ! MN ¯ ¯ ¯ Æ s h 2 b 2 Åh 2 a 2 Å4a 2 b 2 4(a 2 Åb 2 Åh 2 ) Æ s 2ab 3 Å2ba 3 Å4a 2 b 2 4(a 2 Åb 2 Åh 2 ) Æ s ab 2 Æ h 2 Æ AB 2 . Vậyđườngthẳng MN tiếpxúcvớimặtcầuđườngkính AB. http://boxmath.vn/ 24 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài6.9. Trên các tia Ox,Oy,Oz của góc tam diện vuông Oxyz lần lượt lấy các điểm A,B,C sao cho OAÆa,OBÆa p 2,OCÆc, (a,cÈ 0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. Mặt phẳng (®) qua A,M cắt mặt phẳng (OCD) theo một đườngthẳngvuônggócvớiđườngthẳng AM. a)Gọi E làgiaođiểmcủa (®)vớiđườngthẳngOC.TínhđộdàiđoạnthẳngOE. b)TínhtỷsốthểtíchcủahaikhốiđadiệnđượctạothànhkhicắtkhốichópC.AOBD bởimặt phẳng (®). c)Tínhkhoảngcáchtừđiểm C đếnmặtphẳng (®). Giải: ChọnhệtrụctọađộOxyz (hìnhvẽ).Tọađộcácđiểm O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; a p 2; 0), D(a; a p 2; 0), C(0; 0; c). a)Vì M làtrungđiểmcủa BC nên M à 0; a p 2 2 ; c 2 ! . Tacó ¡ ¡ ! OC(0; 0; c), ¡ ¡ ! OD(a; a p 2; 0)) h ¡ ¡ ! OC; ¡ ¡ ! OD i Æ (¡ac p 2; ac; 0). Mộtvéctơpháptuyếncủamặtphẳng (OCD)là~ n (OCD) (¡ p 2; 1; 0). Gọi FÆ (®)\CD thì EF làgiaotuyếncủa (®)với (OCD),tacó EF?AM. Vì ¡¡! AM à ¡a; a p 2 2 ; c 2 ! nên h ~ n (OCD) , ¡¡! AM i Æ c 2 (1; p 2; 0), dođómộtvéctơchỉphươngcủa EF là~ u EF (1; p 2; 0). Tacó h ~ u EF , ¡¡! AM i Æ 1 2 (c p 2;¡c; 3 p 2a)nênphươngtrìnhmặtphẳng (®)là p 2cx¡cyÅ3 p 2az¡ac p 2Æ 0. Dođó (®)\OzÆE ³ 0; 0; c 3 ´ )OEÆ c 3 . b)Tacó (®)\CDÆF à 2a 3 ; 2 p 2a 3 ; c 3 ! ) CF CD Æ 2 3 .MàV COADB Æ 2V CAOD Æ 2V CBOD nên V CEAFM V COADB Æ V CAEF 2V CAOD Å V CMEF 2V CBOD Æ 1 2 µ CE CO . CF CD Å CM CB . CE CO . CF CD ¶ Æ 1 3 DođótỷsốthểtíchhaikhốiđadiệnđượctạothànhkhicắtkhốichópC.AODBbởimặtphẳng (®)là 1 2 (hay 2). c)Khoảngcáchcầntìm d(C, (®))Æ ¯ ¯ 3 p 2ac¡ac p 2 ¯ ¯ p 2c 2 Åc 2 Å18a 2 Æ 2 p 6ac 3 p c 2 Å6a 2 . Chúý: +)Nếuđểý EF//OD thìviệctìmvéctơchỉphươngcủa EF sẽgọnhơn. +) Hoàn toàn có thể tính tỷ số của câu b bằng phương pháp hình giải tích nhưng sẽ dài và phứctạp. http://boxmath.vn/ 25 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài6.10. Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo), ABEF (AE là đường chéo) không cùng nằm trong một mặt phẳng và thỏa mãn các điều kiện ABÆa, ADÆAFÆa p 2, đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF. Gọi HK là đường vuông góc chung của AC,BF (H thuộc AC,K thuộc BF). a)Gọi I làgiaođiểmcủađườngthẳngDF vớimặtphẳngchứa AC vàsongsongvớiBF.Tính tỷsố DI DF . b)Tínhđộdàiđoạn HK. c)Tínhbánkínhmặtcầunộitiếptứdiện ABHK. Giải: ChọnhệtrụctọađộOxyz (hìnhvẽ).Tọađộcácđiểm A´O(0; 0; 0),B(0; 0; a),D(0; a p 2; 0), C(0; a p 2; a). Gọi F(x; y; 0), xÈ 0.Tacó AF 2 Æx 2 Åy 2 Æ 2a 2 . Mặtkhác AC?BF và ¡ ¡ ! AC(0; a p 2; a), ¡ ¡ ! BF(x; y;¡a)nên ¡ ¡ ! AC. ¡ ¡ ! BFÆ 0,y.a p 2¡a 2 Æ 0 Dođó yÆ a p 2 2 )xÆ a p 6 2 ,hay F à a p 6 2 ; a p 2 2 ; 0 ! ,E à a p 6 2 ; a p 2 2 ; a ! . a)Mặtphẳng (®)chứa AC vàsongsongvới BF cóphươngtrình p 3x¡yÅ p 2zÆ 0. Đườngthẳng DF 8 > > > < > > > : xÆ p 3t yÆa p 2¡t zÆ 0 Vìthế DF\(®)ÆI nên I à a p 6 4 ; 3a p 2 4 ; 0 ! . Dođó DI DF Æ 1 2 ,hay I làtrungđiểmcủa DF. b)Đườngthẳng AC và BF cóphươngtrìnhlà AC : 8 > > > < > > > : xÆ 0 yÆ p 2.t zÆt , BF : 8 > > > < > > > : xÆ p 3.t yÆt zÆa¡ p 2.t . Vìvậy H(0; p 2m; m), K( p 3n;n; a¡ p 2n)nên ¡¡! HK( p 3n; n¡ p 2m;a¡ p 2n¡m) MàHK làđườngvuônggócchungnên 8 < : ~ u AC . ¡¡! HKÆ 0 ~ u BF . ¡¡! HKÆ 0 , 8 < : p 2n¡2mÅa¡ p 2n¡mÆ 0 3nÅn¡ p 2m¡ p 2aÅ2nÅ p 2mÆ 0 Giảihệphươngtrìnhtacó mÆ a 3 , nÆ a p 2 6 ) ¡¡! HK à a p 6 6 ;¡ a p 2 6 ; a 3 ! Vậyđộdàiđoạn HK là HKÆ a p 3 3 . c)Tacó ¡ ¡ ! AB(0; 0;a), ¡¡! AH à 0; a p 2 3 ; a 3 ! , ¡ ¡ ! AK à a p 6 6 ; a p 2 6 ; 2a 3 ! , ¡¡! HK à a p 6 6 ;¡ a p 2 6 ; a 3 ! , ¡ ¡ ! BH à 0; a p 2 3 ;¡ 2a 3 ! . Thểtíchkhốitứdiện ABHK làV ABHK Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! AB, ¡¡! AH i . ¡ ¡ ! AK ¯ ¯ ¯Æ a 3 p 3 3 . Diệntíchcácmặt S AHK Æ a 2 6 , S BHK Æ a 2 6 , S ABH Æ a 2 p 2 6 , S ABK Æ a 2 p 2 6 )S tp Æ a 2 (1Å p 2) 3 . Bánkínhmặtcầunộitiếptứdiện ABHK là rÆ 3V ABHK S tp Æ a( p 6¡ p 3) 6 . http://boxmath.vn/ 26 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài6.11. Chohìnhlậpphương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 vàmặtcầu (S)nộitiếptronghìnhlậpphươngđó.Mặt phẳng (P) quay quanh A, tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt hai cạnh A 0 B 0 và A 0 D 0 lần lượt tại M,N.Tìmtậphợptâmmặtcầungoạitiếptứdiện AA 0 MN. Giải: Giảsửcạnhcủahìnhlậpphươnglà 1đơnvị.ChọnhệtrụctọađộOxyz (hìnhvẽ). TọađộcácđỉnhO´A 0 , B 0 (1; 0; 0),D 0 (0; 1; 0), A(0; 0; 1). Xéthaiđiểmbấtkỳ M,N nằmtrongcáccạnh A 0 B 0 , A 0 D 0 tacó M(m; 0; 0), N(0; n; 0),0Çm,nÇ 1. Phươngtrìnhmặtphẳng (AMN)là (AMN) : x m Å y n ÅzÆ 1. Mặtcầunộitiếphìnhlậpphươngcóphươngtrình (S) : µ x¡ 1 2 ¶ 2 Å µ y¡ 1 2 ¶ 2 Å µ z¡ 1 2 ¶ 2 Æ 1 4 . Tứdiện AA 0 MN cógóctamdiệnđỉnh A 0 vuông nêntọađộtâmmặtcầungoạitiếp AA 0 MN là I µ m 2 ; n 2 ; 1 2 ¶ . Mặtphẳng (AMN)tiếpxúcvớimặtcầu (S)khivàchỉkhi d(I, (AMN))Æ 1 2 , ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2m Å 1 2n Å 1 2 ¡1 ¯ ¯ ¯ ¯ r 1 m 2 Å 1 n 2 Å1 Æ 1 2 , µ 1 m Å 1 n ¡ 1 2 ¶ 2 Æ 1 m 2 Å 1 n 2 Å1,mÅnÆ 1 Tứclà x I Åy I Æ 1 2 Æz I 0Çx I , y I Ç 1 nênquỹtíchcủađiểm I làđoạnthẳng I 1 I 2 trừhaiđiểm I 1 µ 1 2 ; 0; 1 2 ¶ ; I 2 µ 0; 1 2 ; 1 2 ¶ Cácđiểm I 1 ; I 2 đóchínhlàtrungđiểmcácđoạnthẳng AB 0 , AD 0 . Bài6.12. Tứdiệnđều ABCD cótâmlà S vàcóđộdàicáccạnhbằng 2.Gọi A 0 , B 0 , C 0 , D 0 theothứtựlà hình chiếu của các đỉnh A,B,C,D trên đường thẳng nào¢ đó đi qua S. Tìm tất cả các vị trí củađườngthẳng¢saocho SA 0 4 ÅSB 0 4 ÅSC 0 4 ÅSD 0 4 đạtgiátrịlớnnhất. Giải: Ngoạitiếptứdiệnđều ABCD bằnghìnhlậpphương AB 1 CD 1 .C 1 DA 1 B. ChọnhệtrụctọađộOxyz (hìnhvẽ). Tọađộcácđiểm A( p 2; 0; 0),B(0; p 2; 0),C(0; 0; p 2), Và D( p 2; p 2; p 2), S à p 2 2 ; p 2 2 ; p 2 2 ! .Suyra ¡ ¡ ! SA à p 2 2 ;¡ p 2 2 ;¡ p 2 2 ! , ¡ ¡ ! SB à ¡ p 2 2 ; p 2 2 ;¡ p 2 2 ! , ¡ ¡ ! SC à ¡ p 2 2 ;¡ p 2 2 ; p 2 2 ! , ¡ ¡ ! SD à ¡ p 2 2 ;¡ p 2 2 ;¡ p 2 2 ! . Gọi~ e(x; y; z)làvéctơđơnvịcủađườngthẳng¢.Khiđó SA 0 Æ ¯ ¯ ¯~ e. ¡ ¡ ! SA ¯ ¯ ¯, SB 0 Æ ¯ ¯ ¯~ e. ¡ ¡ ! SB ¯ ¯ ¯, SC 0 Æ ¯ ¯ ¯~ e. ¡ ¡ ! SC ¯ ¯ ¯, SD 0 Æ ¯ ¯ ¯~ e. ¡ ¡ ! SD ¯ ¯ ¯ http://boxmath.vn/ 27 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comVì x 2 Åy 2 Åz 2 Æ 1nên 4TÆ 4(SA 0 4 ÅSB 0 4 ÅSC 0 4 ÅSD 0 4 ) Æ (¡xÅyÅz) 4 Å(x¡yÅz) 4 Å(xÅy¡z) 4 Å(xÅyÅz) 4 Æ 4Å16(x 2 y 2 Åy 2 z 2 Åz 2 x 2 )· 4Å 16 3 (x 2 Åy 2 Åz 2 ) 2 Hay T· 7 3 . Dấuđẳngthứccókhivàchỉkhi x 2 Æy 2 Æz 2 Æ 1 3 ,jxjÆjyjÆjzjÆ p 3 3 . Vậygiátrịlớnnhấtcủa T là 7 3 đạtđượckhi¢làcácđườngthẳngđiquacácđỉnhcủatứdiện đều ABCD. C.BÀITẬP Bài6.13. ChohìnhchópO.ABC cóOA, OB, OC đôimộtvuônggócvàOAÆa, OBÆb, OCÆc. a)ChứngminhrằngOH?(ABC), H2 (ABC)khivàchỉkhi H làtrựctâmcủatamgiác ABC. b)TínhkhoảngcáchtừO đếnmặtphẳng (ABC). c)TínhkhoảngcáchtừO đếntâmđườngtrònngoạitiếp I củatamgiác ABC. d) Cho M là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng (ABC), không trùng với A,B,C,H (H trực tâm tamgiác ABC).Chứngminhrằng AM 2 AO 2 Å BM 2 BO 2 Å CM 2 CO 2 Æ 2Å HM 2 HO 2 . e)Gọi®, ¯,°lầnlượtlàgócgiữacácmặtbênvớimặtđáy. Chứngminhrằng sin 2 ® 1Åsin¯sin° Å sin 2 ¯ 1Åsin°sin® Å sin 2 ° 1Åsin®sin¯ ¸ 6 5 . Giải: Kếtluận: Bài6.14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có ABÆa,ADÆ 2a, AA 0 Æa p 2,M là một điểm thuộc đoạn AD, K làtrungđiểmcủa B 0 M. a) Đặt AMÆm (0·m· 2a). Tính thể tích khối tứ diện A 0 KID theo a và m, trong đó I là tâm củahìnhhộp.Tìmvịtrícủađiểm M đểthểtíchđóđạtgiátrịlớnnhất. b)Khi M làtrungđiểm AD.Tínhdiệntíchthiếtdiệncắthìnhhộpbởimặtphẳng (B 0 CK). c)Khi M làtrungđiểm AD.Chứngminhrằngđườngthẳng B 0 M tiếpxúcvớimặtcầuđường kính AA 0 . Giải: Kếtluận: Bài6.15. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có ABÆa, ACÆ 2a, AA 0 Æ 2a p 5 và ƒ BACÆ 120 o . Gọi M làtrungđiểmcủaCC 0 .Chứngminh MB?MA 0 vàtínhkhoảngcáchtừđiểm A tớimặtphẳng (A 0 BM). Giải: http://boxmath.vn/ 28 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comKếtluận: Bài6.16. (Đềthituyểnsinhđạihọc,khốiDnăm2007) Chohìnhchóp S.ABCD cóđáylàhìnhthang,BAÆBCÆa, ADÆ 2a, ƒ ABCÆ ƒ BADÆ 90 0 .Cạnh bên SA vuônggócvớiđáyvà SAÆa p 2.Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa A trên SB.Chứng minhtamgiác SCD vuôngvàtínhkhoảngcáchtừ H đếnmặtphẳng (SCD). Giải: Kếtluận: Bài6.17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp.Cho ABÆa, SAÆa p 2.Gọi H,K lầnlượtlàhìnhchiếucủa A trênSB,SD.Chứngminh SC?(AHK)vàtínhthểtíchkhốichópOAHK. Giải: Kếtluận: Bài6.18. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnh a, SAÆa p 3vàvuônggócvớiđáy. Tínhtheo athểtíchkhốitứdiện SACD vàtínhcosincủagócgiữahaiđườngthẳng SB, AC. Giải: Kếtluận: Bài6.19. (Đềthituyểnsinhđạihọc,khốiDnăm2008) Chohìnhlăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáy ABC làtamgiácvuông, ABÆBCÆa, AA 0 Æa p 2. Gọi M làtrungđiểmcủacạnh BC.Tínhtheo a thểtíchkhốilăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 vàkhoảng cáchgiữahaiđườngthẳng AM, B 0 C. Giải: Kếtluận: Bài6.20. (Đềthituyểnsinhđạihọc,khốiDnăm2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B,ABÆ a, AA 0 Æ 2a, A 0 CÆ 3a.Gọi M làtrungđiểmcủađoạnthẳng A 0 C 0 ,I làgiaođiểmcủa AM và A 0 C.Tính theo athểtíchkhốitứdiện IABC vàkhoảngcáchtừđiểm A đếnmặtphẳng (IBC). Giải: Kếtluận: Bài6.21. Chohìnhchópđều S.ABC cócạnhđáybằng a.Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcủa SA,SC. Tínhthểtíchkhốichópvàbánkínhmặtcầungoạitiếphìnhchóp S.ABC biếtrằngBM?AN. Giải: Kếtluận: http://boxmath.vn/ 29 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài6.22. Cho tam giác ABC vuông tại C. Tìm các điểm M trong không gian thỏa mãn MA 2 ÅMB 2 · MC 2 . Giải: Kếtluận: Bài6.23. Cho tứ diện đều A 1 A 2 A 3 A 4 có cạnh bằng c. Gọi (P) là mặt phẳng quay quanh tâm của tứ diện. Gọi B 1 , B 2 , B 3 , B 4 lần lượt là hình chiếu của A 1 , A 2 , A 3 , A 4 trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng TÆ A 1 B 4 1 ÅA 2 B 4 2 ÅA 3 B 4 3 ÅA 4 B 4 4 theo c và xác định vị trí của mặt phẳng (P)khiđó. Giải: Kếtluận: Bài6.24. Cho tứ diện đều ABCD. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cáchtừđóđếncácmặtcủatứdiệnbằng k 2 chotrước. Giải: Kếtluận: . 7 -Mộtsốbàitoántổnghợp Bài7.1. Chohìnhlăngtrụ ABC.A 1 B 1 C 1 có M làtrungđiểmcạnh AB,BCÆ 2a, ƒ ACBÆ 90 o và ƒ ABCÆ 60 o ,cạnhbênCC 1 tạovớimặtphẳng (ABC)mộtgóc 45 o ,hìnhchiếuvuônggóccủaC 1 lênmặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặtphẳng (ABC)và (ACC 1 A 1 ). Giải: Gọi H làtrungđiểm CM.Từgiảthiết)C 1 H?(ABC)) à C 1 CHÆ á (CC 1 ; (ABC))Æ 45 o . Từtamgiácvuông ABC với BCÆ 2a, ƒ ABCÆ 60 o )ACÆ 2a p 3,AMÆ 4a, CMÆ 1 2 ABÆ 2a )CHÆa)C 1 HÆCH tan45 o Æa.V ABC.A 1 B 1 C 1 ÆC 1 H.S ABC Æa.2a 2 p 3Æ 2 p 3a 3 . Kẻ HK?AC)đườngxiên C 1 K?AC) á ((ABC); (ACC 1 A 1 ))Æ à C 1 KH. Tamgiác MCA cântại M) ƒ MCAÆ ƒ MACÆ 30 o )HKÆHC.sin30 o Æ a 2 ) tan( à C 1 KH)Æ CH HK Æ 2) á ((ABC); (ACC 1 A 1 ))Æ arctan2. Bài7.2. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, ADÆDC, ABÆ 2AD, mặtbênSBC làtamgiácđềucạnh 2avàthuộcmặtphẳngvuônggócvớimặtphẳng (ABCD). Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD vàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng BC và SA theo a. http://boxmath.vn/ 30 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comGiải: Gọi M làtrungđiểm AB, H làtrungđiểm BC.Tacó SH?BC)SH?(ABCD), SHÆa p 3. Tứgiác AMCD làhìnhvuôngnên CMÆAMÆMB.Suyra4CMBvuôngcân. Dođó CMÆa p 2, ABÆ 2a p 2, CDÆa p 2. Diệntích S ABCD Æ (ABÅCD).CM 2 Æ 3a 2 . ThểtíchV S.ABCD Æ 1 3 SH.S ABCD Æ p 3a 3 . Kẻđườngthẳng¢điqua A,¢//BC.Hạ HI?¢ (I2¢). Suyra BC//(SAI).Dođó d(BC, SA)Æd(BC, (SAI))Æd(H, (SAI)). Hạ HK?SI (K2SI).Suyra HK?(SAI).Dođó d(H, (SAI))ÆHK. Tacó CMÆAMÆMBnêntamgiác ACBvuôngtại C.Suyra HIÆACÆ 2a. Dođó d(BC, SA)ÆHKÆ HI.SH p HI 2 ÅSH 2 Æ 2 p 21a 7 . Bài7.3. Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Biết góc giữa haimặtphẳng (SBC)và (ABC)bằng 45 o .TínhthểtíchkhốichópS.ABCvàkhoảngcáchgiữa haiđườngthẳng AB và SM theo a. Giải: Gọi H,K lầnlượtlàtrungđiểm AB,BM.Tacó SH?(ABC), HKkAM suyra HK?BC) ƒ SHKÆ 45 o nên SHÆHKÆ AM 2 Æ a p 3 4 . Diệntích S ABC Æ 1 2 AM.BCÆ a 2 p 3 4 . ThểtíchV SABC Æ 1 3 SH.S ABC Æ a 3 16 . GọiNlàtrungđiểm AC)MNkAB)ABk(SMN))d(AB, SM)Æd(AB, (SMN))Æd(H, (SMN)). Gọi I làgiaođiểmcủa CH là MN.Suyra I làtrungđiểmcủa CH và MN?CH. Hạ HJ?SI)HJ?(SMN))d(H, (SMN))ÆHJ.Tacó HIÆ 1 2 CHÆ a p 3 4 nên d(AB, SM)ÆHJÆ HI.SH p HI 2 ÅSH 2 Æ a p 6 8 . Bài7.4. Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi cạnh a, ƒ BADÆ® với cos®Æ 3 4 , cạnh bên AA 0 Æ 2a. Gọi M là điểm thỏa mãn ¡¡! DMÆk. ¡ ¡ ! DA và N là trung điểm của cạnh A 0 B 0 . Tính thểtíchkhốitứdiện C 0 MD 0 N theo avàtìm k để C 0 M?D 0 N. Giải: *TacóV C 0 MD 0 N Æ 1 3 d(M, (A 0 B 0 C 0 D 0 )).S C 0 ND Æ 1 3 d(M, (A 0 B 0 C 0 D 0 )). 1 2 S ABCD Æ 1 3 .2a. 1 2 .a.a.sin®Æ a 3 3 r 1¡ 9 16 Æ a 3 p 7 12 . *Đặt ¡ ¡ ! ABÆ ¡ ! x , ¡ ¡ ! ADÆ ¡ ! y , ¡¡! AA 0 Æ ¡ ! z .Tacó ¡ ¡¡ ! C 0 MÆ ¡ ¡¡ ! C 0 D 0 Å ¡ ¡¡ ! D 0 DÅ ¡¡! DMÆ¡ ¡ ! x ¡ ¡ ! z ¡k ¡ ! y ¡ ¡¡ ! D 0 NÆ ¡ ¡¡ ! D 0 A 0 Å ¡ ¡¡ ! A 0 NÆ¡ ¡ ! yÅ 1 2 ¡ ! x . Khiđó C 0 M?D 0 N, ¡ ¡¡ ! C 0 M. ¡ ¡¡ ! D 0 NÆ 0, ¡ ¡ ! x Åk ¡ ! yÅ ¡ ! z ¢ µ 1 2 ¡ ! x ¡ ¡ ! y ¶ Æ 0 , 1 2 ¯ ¯ ¡ ! x ¯ ¯ 2 ¡k ¯ ¯ ¡ ! y ¯ ¯ 2 Å µ k 2 ¡1 ¶ ¡ ! x ¡ ! y Æ 0, 1 2 a 2 ¡ka 2 Å µ k 2 ¡1 ¶ .a.a. 3 4 Æ 0,kÆ¡ 2 5 . http://boxmath.vn/ 31 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài7.5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có ABÆa, ADÆa p 2, AA 0 Æ 2a. Gọi M là điểm thỏa mãn ¡¡! DMÆk. ¡ ¡ ! DA và N là trung điểm của cạnh A 0 B 0 . Tính thể tích khối tứ diện C 0 MD 0 N theo avàtìm k để C 0 M?D 0 N. Giải: TacóV C 0 MD 0 N Æ 1 3 d ¡ M, (A 0 B 0 C 0 D 0 ) ¢ .S C 0 ND 0Æ 1 3 d ¡ M, (A 0 B 0 C 0 D 0 ) ¢ . 1 2 S ABCD Æ 1 3 .2a. 1 2 .a.a p 2Æ a 3 p 2 3 . Đặt ¡ ¡ ! ABÆ ¡ ! x , ¡ ¡ ! ADÆ ¡ ! y , ¡¡! AA 0 Æ ¡ ! z . Tacó ¡ ¡¡ ! C 0 MÆ ¡ ¡¡ ! C 0 D 0 Å ¡ ¡¡ ! D 0 DÅ ¡¡! DMÆ¡ ¡ ! x ¡ ¡ ! z ¡k ¡ ! y ¡ ¡¡ ! D 0 NÆ ¡ ¡¡ ! D 0 A 0 Å ¡ ¡¡ ! A 0 NÆ¡ ¡ ! yÅ 1 2 ¡ ! x . Khiđó C 0 M?D 0 N, ¡ ¡¡ ! C 0 M. ¡ ¡¡ ! D 0 NÆ 0, ¡ ¡ ! x Åk ¡ ! yÅ ¡ ! z ¢ µ 1 2 ¡ ! x ¡ ¡ ! y ¶ Æ 0 , 1 2 ¯ ¯ ¡ ! x ¯ ¯ 2 ¡k ¯ ¯ ¡ ! y ¯ ¯ 2 Æ 0, 1 2 a 2 ¡2ka 2 Æ 0,kÆ 1 4 . Bài7.6. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnh a p 3,tamgiác SBC vuôngtại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Giải: Vì (SBC)?(ABCD), CD?BC, CD½ (ABCD)nên CD?(SBC)) ƒ DSCÆ (SD; (SBC))Æ 60 o )SCÆCD.cot60 o Æa.Suyra SBÆa p 2.Kẻ SH?BC)SH?(ABCD). Từtamgiác SBC vuôngtacó SHÆ a p 2 p 3 .SuyraV SABCD Æ 1 3 SH.S ABCD Æ a 3 p 6 3 . Kẻ SK?BD.Khiđóhìnhchiếu HK?BD.Suyra (SBD, ABCD)Æ ƒ SKH. Từtamgiácvuông SBC tacó BHÆ SB 2 BC Æ 2a p 3 )HKÆBH.sin45 o Æ a p 2 p 3 . Suyra¢SHK vuôngcântại H.Dođó ƒ SKHÆ 45 o .Vậy (SBD, ABCD)Æ 45 o . Bài7.7. Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnhacó ƒ BADÆ 120 o .ĐườngthẳngSA tạovớimặtphẳng (SBD)mộtgócbằng®với cot®Æ 3. Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD vàkhoảngcáchtừ B đếnmặtphẳng (SAC)theo a. Giải: GọiOÆAC\BD.Từgiảthiếtsuyra AC?(SBD)tạiOnên ƒ ASOÆ (SA; (SBD)Æ®. ƒ BADÆ 120 o ) ƒ ADCÆ 60 o )4ADC đềucạnh a.Suyra S ABCD Æ 2S ADC Æ a 2 p 3 2 và DOÆ a p 3 2 , AOÆ a 2 . Dođó SOÆAO.cot®Æ 3a 2 )SDÆ p SO 2 ¡OD 2 Æ a p 3 p 2 . Suyra V SABCD Æ 1 3 SD.S ABCD Æ a 3 2 p 2 Æ a 3 p 2 4 . Kẻ DH?SO.Vì AC?(SBD)nên AC?DH.Suyra DH?(SAC) (1) Tacó4SDO vuôngtại D nên DHÆ a p 2 2 (2) VìO làtrungđiểm BD nên d(B; (SAC))Æd(D; (SAC)) (3) Từ (1),(2)và (3)tasuyra d(B; (SAC))Æ a p 2 2 . http://boxmath.vn/ 32 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài7.8. ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhthangcân (ABkCD),ABÆ 2CDÆ 4a,BCÆa p 10. GọiOlàgiaođiểmcủa ACvàBD.BiếtSOvuônggócvớimặtphẳng (ABCD)vàmặtbênSAB làtamgiácđều.Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD vàtínhcosingócgiữahaiđườngthẳng SD và BC. Giải: Gọi H làhìnhchiếucủa C trên AB; M,N làtrungđiểmcủa AB,CD. Tacó HBÆ AB¡CD 2 Æa)CHÆ 3a)OMÆ 2a, ONÆanên¢OABvuôngcân. SuyraOAÆOBÆ 2a p 2.Dođó SOÆOBÆ 2a p 2.SuyraV S.ABCD Æ 1 3 SO.S ABCD Æ 6a 3 p 2. BCkDM nên á (SD, BC)Æ á (SD, DM)Æ®2 [0, ¼ 2 ]. Tacó DMÆBCÆa p 10, SDÆ p SO 2 ÅOD 2 Æa p 10, SMÆ 2a p 3. Suyra cos ƒ SDMÆ 2 5 .Vậy cos®Æ 2 5 . Bài7.9. Chohìnhlăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 có ACÆa, BCÆ 2a, ƒ ACBÆ 120 o vàđườngthẳng A 0 C tạo vớimặtphẳng (ABB 0 A 0 )góc 30 o .Gọi M làtrungđiểmBB 0 .Tínhthểtíchkhốilăngtrụđãcho vàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng AM, CC 0 theo a. Giải: Kẻ CH?AB.Vì AA 0 ?(ABC)nên AA 0 ?CH)CH?(ABB 0 A 0 )) à CA 0 HÆ (A 0 C, (ABB 0 A 0 ))Æ 30 o . Sửdụngđịnhlícosinvàcôngthứcdiệntíchcho¢ABC tacó ABÆA p 7, CHÆ 2S ABC AB Æ A.2A.sin120 o A p 7 ÆA r 3 7 .)CA 0 Æ 2CHÆ 2A r 3 7 )AA 0 Æ p A 0 C 2 ¡AC 2 ÆA r 5 7 . ThểtíchlăngtrụlàVÆAA 0 .S ABC Æa r 5 7 . a 2 p 3 2 Æ a 3 p 105 14 . Mặtphẳng (ABB 0 A 0 )chứa AM vàsongsong CC 0 )d(AM,CC 0 )Æd(C,(ABB 0 A 0 ))ÆCHÆa r 3 7 Æ a p 21 7 Bài7.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABÆa, ADÆa p 2, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD)bằng 60 o . Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB là tamgiáccântạiđỉnhS vàthuộcmặtphẳngvuônggócvớimặtphẳngđáy.Tínhthểtíchkhối chóp S.ABCD vàtínhbánkínhmặtcầungoạitiếphìnhchóp S.AHC. Giải: Từgiảthiếtsuyra SH?(ABCD).Vẽ HF?AC (F2AC))SF?AC (đlíbađườngvuônggóc). Suyra ƒ SFHÆ 60 o .Kẻ BE?AC (E2AC).Khiđó HFÆ 1 2 BEÆ a p 2 2 p 3 . Tacó SHÆHF.tan60 o Æ a p 2 2 .SuyraV S.ABCD Æ 1 3 SH.S ABCD Æ a 3 3 . Gọi J,r lầnlượtlàtâmvàbánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiác AHC. Tacó rÆ AH.HC.AC 4S AHC Æ AH.HC.AC 2S ABC Æ 3a p 3 4 p 2 .Kẻđườngthẳng¢quaJvà¢kSH. Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHC là giao điểm của đường trung trực đoạn SH và¢trongmặtphẳng (SHJ). Tacó IHÆ p IJ 2 ÅJH 2 Æ s SH 2 4 År 2 .Suyrabánkínhmặtcầulà RÆa r 31 32 . http://boxmath.vn/ 33 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài7.11. Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có độ dài tất cả các cạnh đều bằng aÈ 0 và ƒ BADÆ à DAA 0 Æ ƒ A 0 ABÆ 60 o .Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa AA 0 , CD.Chứngminh MNk(A 0 C 0 D)vàtính cosincủagóctạobởihaiđườngthẳng MN và B 0 C. Giải: Gọi I làtrungđiểm DC 0 .Vì NIkCC 0 và NIÆ 1 2 CC 0 nên NIÆMA 0 và NIkMA 0 . Suyra MNkA 0 I.Dođó MNk(DA 0 C 0 ).Vì MNkAI,B 0 CkA 0 D nên á (MN, B 0 C)Æ á (A 0 I, A 0 D) (1) Sửdụnggiảthiếtvàđịnhlícosinchocáctamgiáctathuđược A 0 DÆa, DC 0 Æ A 0 C 0 Æa p 3. Suyra A 0 I 2 Æ A 0 D 2 ÅA 0 C 0 2 2 ¡ DC 0 2 4 Æ 5a 2 4 )A 0 IÆ a p 5 2 . Trong4A 0 DI tacó cos ƒ DA 0 IÆ A 0 D 2 ÅA 0 I 2 ¡DI 2 2A 0 D.A 0 I Æ 3 2 p 5 (2) Từ (1)và (2)suyra cos(MN, B 0 C)Æ jcos ƒ DA 0 Ij Æ 3 2 p 5 Æ 3 p 5 10 . Bài7.12. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SAÆSBÆ SCÆ 2a, ABÆ 3a, BCÆa p 3 (aÈ 0).Tínhdiệntíchcủamặtcầungoạitiếphìnhchóptheo a. Giải: Kẻ SH?AC.Do SAÆSC nên H làtrungđiểm AC (1) Vì (SAC)?(ABC)nên SH?(ABC))HAÆHCÆHB (2) Từ (1)và (2)suyra4ABC vuôngtại Bcó H làtâmđườngtrònnộitiếp. Dođó ACÆ p AB 2 ÅBC 2 Æ 2 p 3a)SHÆ p SA 2 ¡AH 2 Æa. SH làtrụcđườngtrònngoạitiếp4ABC,trongmặtphẳng (SAC)đườngtrungtrựccủaSAcắt SH tại O là tâm mặt cầu. Gọi K là trung điểm SA. Khi đó hai tam giác vuông SOK và SAH đồngdạngnên SO SA Æ SK SH .Suyrabánkínhmặtcầu RÆSOÆ SK.SA SH Æ 2a. Suyradiệntíchmặtcầulà SÆ 4¼R 2 Æ 16¼a 2 . Bài7.13. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O 0 ; OO 0 Æa. Gọi A,B là hai điểm thuộc đường tròn đáy tâm O, điểm A 0 thuộc đường tròn đáy tâm O 0 sao cho OA, OB vuông góc với nhauvà AA 0 làđườngsinhcủahìnhtrụ.Biếtgócgiữađườngthẳng AO 0 vàmặtphẳng (AA 0 B) bằng 30 o .Tínhthểtíchkhốitrụtheo a. Giải: Gọi B 0 thuộcđườngtròn (O 0 )saocho BB 0 kAA 0 ; M làtrungđiểmcủa A 0 B 0 . Tacó4A 0 B 0 O 0 vuôngcântạiO 0 .SuyraO 0 M?A 0 B 0 .DođóO 0 M?(AA 0 B).Suyra à O 0 AMÆ 30 o . Tacó AO 0 Æ O 0 M sin30 o Æ 2.O 0 M.MàO 0 MÆ p 2 2 O 0 A 0 nên A 0 OÆ p 2.O 0 A 0 . Trongtamgiác AA 0 O tacóAO 0 2 ÆAA 0 2 ÅA 0 O 0 2 ,O 0 A 0 Æa.VậyVƼa 3 . Bài7.14. Cho hình lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 có AA 1 Æ 3a, BCÆa, AA 1 ?BC, khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và B 1 C bằng 2a (aÈ 0).Tínhthểtíchkhốilăngtrụtheo a. Giải: Từgiảthiếtsuyra BB 1 C làtamgiácvuôngtại Bvà S BB 1 C Æ 1 2 BB 1 .BCÆ 3a 2 2 . http://boxmath.vn/ 34 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comMặtphẳng (BB 1 C)chứa B 1 C vàsongsongvới AA 1 nên d(AA 1 ; B 1 C)Æd(A ; BB 1 C)Æ 2a. Suyra V A.BB 1 C Æ 1 3 d(A ; BB 1 C).S BB 1 C Æa 3 . VìchungđáyvàchungđườngcaonênVlăngtrụÆ 3.V B 1 .ABC Æ 3.V A.BB 1 C Æ 3a 3 Bài7.15. Cho hình chóp S.ABC có SC?(ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Biết rằng ABÆa, ACÆ a p 3 (aÈ 0) và góc giữa hai mặt phẳng (SAB),(SAC) bằng ® với tan®Æ r 13 6 . Tính thể tích khốichóp S.ABC theo a. Giải: Gọi H,K làhìnhchiếucủa C lên SA,SB.Tachứngminhđược CK?(SAB), SA?(CHK). Suyra4CHK vuôngtại K và SA?KH.Dođó®Æ ƒ CHK. Từ tan®Æ r 13 6 ) sin®Æ r 13 19 , CK 2 CH 2 Æ 13 19 (1) Đặt SCÆxÈ 0.Trongtamgiácvuông SAC tacó 1 CH 2 Æ 1 CA 2 Å 1 CS 2 )CH 2 Æ 3a 2 x 2 3a 2 Åx 2 . Tươngtự,trongtamgiácvuông SBC tacó CK 2 Æ 2a 2 x 2 2a 2 Åx 2 . Dođótừ (1)) 2(3a 2 Åx 2 ) 3(2a 2 Åx 2 ) Æ 13 19 ,xÆ 6a,vì xÈ 0. SuyraV SABC Æ 1 3 SC.S ABC Æ 1 3 SC. 1 2 AB.BCÆ p 2a 3 . Bài7.16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, b AÆ b D Æ 90 o , ABÆ AD Æ 2a, CDÆa, góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD) bằng 60 o , mặt bên SAD là tam giáccântạiS,mặtphẳng (SAD)vuônggócvớimặtđáy.TínhthểtíchcủakhốichópS.ABCD vàkhoảngcáchtừđiểm D đếnmặtphẳng (SBC)theo a. Giải: Vì¢SAD cântại S,nêngọi H làtrungđiểmcủa AD thì SH?AD, mặtkhác (SAD)?(ABCD)nên SH làđườngcaohìnhchóp S.ABCD. Kẻ HK?BC thì SK?BC,tức ƒ SKH làgócgiữahaimặtphẳng (SBC)và (ABCD). Suyra: ƒ SKHÆ 60 o Tacó: SHÆHK.tan60 o ÆHK p 3. Dễthấy BCÆa p 5vàdo HK.BCÆ 2S HBC ,S HBC ÆS ABCD ¡(S HAB ¡S HCD )nên HKÆ 3a p 5 5 . Suyra: SHÆ 3a p 15 5 Dođó:V S.ABCD Æ 1 3 .S ABCD .SHÆ 1 6 (ABÅCD).AD.SHÆ 3a 3 p 15 5 Kẻ HI?SK(I2SK),suyra: HI?(SBC).Gọi E làgiaođiểmcủa AD và BC. Dễthấy: DEÆ 2 3 HE)d (D;(SBC))Æ 2 3 d (H;(SBC))Æ 2 3 HI Do 1 HI 2 Æ 1 SH 2 Å 1 HK 2 Æ 250 135a 2 )HIÆ 9a p 2 10 .Vậy d (D;(SBC))Æ 3a p 2 5 . Bài7.17. Cho hình chóp S.ABCD,đáy là hình chữ nhật cóABÆ 3,BCÆ 6,mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy,các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) các góc bằngnhau.BiếtkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSAvàBDbằng p 6.Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD vàcôsingócgiữahaiđườngthẳng SAvà BD. Giải: http://boxmath.vn/ 35 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comHạ SH?AB)SH?(ABCD)(do (SAB)?(ABCD)ÆAB) Kẻ HK?CD)tứgiác HBCK làhìnhchữnhật. Tathấy BC?(SAB)) ƒ SBHÆ ((SBC),(ABCD)), CD?(SHK)) ƒ SKHÆ ((SCD),(ABCD)) theogt ƒ SBHÆ ƒ SKH)¢SHBÆ¢SHK (gcg) )HBÆHKÆBCÆ 6dođó A làtrungđiểm HB. Tathấy ABDKlàhìnhbìnhhành)BDkAK)BDk(SAK) mà SA2 (SAK))d (BD,SA)Æd (BD,(SAK))Æd (D,(SAK))Æd (H,(SAK))Æ p 6Æh Dotamdiện H.SAK vuôngtại H) 1 h 2 Æ 1 HS 2 Å 1 HA 2 Å 1 HK 2 1 6 Æ 1 HS 2 Å 1 9 Å 1 36 )SH 2 Æ 36)SHÆ 6)V S.ABCD Æ 1 3 SH.dt ABCD Æ 1 3 .6.3.6Æ 36(đvịdt). Gọi¯làgócgiữahaiđườngthẳng BD và SA)¯Æ (BD,SA)Æ (AK,SA) Tacó SKÆ 6 p 2,SAÆAKÆ 3 p 5. Trongtamgiác SAK: cos ƒ SAKÆ AS 2 ÅAK 2 ¡SK 2 2AS.AK Æ 45Å45¡72 2.3 p 5.3 p 5 Æ 1 5 Vậy¯Æ ƒ SAKÆ arccos 1 5 Bài7.18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SAÆSBÆa, SDÆa p 2 và mặtphẳng (SBD)vuônggócvớimặtphẳng (ABCD).Tínhtheo a thểtíchkhốichóp S.ABCD vàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng AC và SD. Giải: Theo giả thiết (ABCD)\ (SBD) theo giao tuyến BD. Do đó nếu dựng AO?(SBD) thì O2BD. Mặtkhác ASÆABÆAD)OSÆOBÆOD hay SBD làtamgiácvuôngtại S. Từđó: BDÆ p SB 2 ÅSD 2 Æ p a 2 Å2a 2 Æa p 3 AOÆ p AB 2 ¡OB 2 Æ s a 2 ¡ 3a 2 4 Æ a 2 Suyrathểtíchkhốichóp S.ABD đượctínhbởi: V S.ABD ÆV A.SBD Æ 1 3 S SBD .AOÆ 1 6 SB.SD.AOÆ 1 6 a.a p 2. a 2 Æ a 3 p 2 12 )V S.ABCD Æ 2V S.ABD Æ a 3 p 2 6 (đvtt). Trong4SBD dựngOH?SD tại H (1),nên H làtrungđiểmcủa SD. Theochứngminhtrên AO?(SBD))AO?OH (2) (1)và (2)chứngtỏOH làđoạnvuônggócchungcủa AC và SD Vậy d(AC,BD)ÆOHÆ 1 2 SBÆ a 2 Bài7.19. Cho lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A 0 B 0 C 0 )trùngvớitrọngtâmG của4A 0 B 0 C 0 .Mặtphẳng (BB 0 C 0 C)tạovới (A 0 B 0 C 0 )góc 60 o . Tínhthểtíchlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 theo a. Giải: Gọi M,M 0 lần lượt là trung điểm BC,B 0 C 0 ) A 0 ,G,M 0 thẳng hàng và AA 0 M 0 M là hình bình hành. A 0 M 0 ?B 0 C 0 ,AG?B 0 C 0 )B 0 C 0 ?(AA 0 M 0 M).Suyragócgiữa (BCC 0 B 0 )và (A 0 B 0 C 0 )làgócgiữa A 0 M 0 và MM 0 bằng à M 0 MAÆ 60 o . Đặt xÆAB.Tacó4ABC đềucạnh xcó AM làđườngcao.)AMÆ x p 3 2 ÆA 0 M 0 ,A 0 GÆ x p 3 3 . Trong4AA 0 G vuôngcó AGÆAA 0 sin60 o Æ a p 3 2 ; A 0 GÆAA 0 cos60 o Æ a 2 Æ x p 3 3 ,xÆ a p 3 2 . http://boxmath.vn/ 36 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comS 4ABC Æ 1 2 AB.AC.sin60 o Æ x 2 p 3 4 Æ p 3 4 à a p 3 2 ! 2 Æ 3a 2 p 3 16 . V ABC.A 0 B 0 C 0ÆAG.S ¢ABC Æ a p 3 2 3a 2 p 3 16 Æ 9a 3 32 . Bài7.20. ĐềthithửĐHlần1khốiD-2012-THPTChuyênNguyễnQuangDiêu-ĐồngTháp ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhthoicạnhavàcógóc ƒ ABCÆ 60 0 ,haimặtphẳng (SAC)và (SBD)cùngvuônggócvớiđáy,gócgiữahaimặtphẳng (SAB)và (ABCD)bằng 30 0 . Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD vàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng SA, CD theo a. Giải: A B C D I S M H K Gọi I là tâm hình thoi ABCD, khi đó (SAC)\ (SBD)ÆSI. Vì hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùngvuônggócvớiđáy ABCD nênsuyra SI?mp(ABCD). 4ABCcânđỉnhBvà ƒ ABCÆ 60 0 nên4ABClàtamgiácđềucạnha.Dođógọi M làtrungđiểm ABthì BIÆCMÆ a p 3 2 . Kẻ IH?ABtại H,thìtacó SH?AB.Bởivậy: á (mp(SAB);mp(ABCD))Æ  SHIÆ 30 0 và IHÆ 1 2 CMÆ a p 3 4 SIÆIH tan  SHIÆ a p 3 4 tan30 0 Æ a 4 Vậy:V S.ABCD Æ 1 3 dt(ABCD).SIÆ 1 3 .AC.BI.SIÆ 1 3 .a. a p 3 2 . a 4 Æ a 3 p 3 24 . Kẻ IK?SH tại K,khiđó IK?mp(SAB). Trongtamgiácvuông SIH,tacó: 1 IK 2 Æ 1 SI 2 Å 1 IH 2 Æ 16 a 2 Å 16 3a 2 Æ 64 3a 2 Suyra: IKÆ a p 3 8 . Do CDÒmp(SAB) nên d(SA;CD)Æd(CD;mp(SAB))Æd(C;mp(SAB))Æ 2d(I;mp(SAB))Æ 2IK Vậy: d(SA;CD)Æ 2 a p 3 8 Æ a p 3 4 Kếtluận:V S.ABCD Æ a 3 p 3 24 ; d(SA;CD)Æ a p 3 4 http://boxmath.vn/ 37 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài7.21. ĐềthithửĐHQX4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo ACÆ 2 p 3a, BDÆ 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a p 3 4 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải: A B C D O M S H Vì mp(SAC)\mp(SBC)ÆSO và mp(SAC)?mp(ABCD), mp(SBD)?mp(ABCD) nên suy ra SO?mp(ABCD) Kẻ OM? AB tại M, kẻ OH? SM tại H. Khi đó AB? mp(SOM)Æ) AB?OH, do đó OH? mp(SAB). Bởivậy:OHÆd(O;mp(SAB))Æ a p 3 4 . TrongtamgiácvuôngOAB,tacó: 1 OM 2 Æ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Æ 1 3a 2 Å 1 a 2 Æ 4 3a 2 Trongtamgiácvuông SOM,tacó: 1 OH 2 Æ 1 OM 2 Å 1 SO 2 Æ) 1 SO 2 Æ 1 OH 2 Å 1 OM 2 Æ 16 3a 2 ¡ 4 3a 2 Æ 4 a 2 . Hay: SOÆ a 2 . Vậy:V S.ABCD Æ 1 3 .dt(ABCD).SOÆ 1 3 . 1 3 .AC.BD.SOÆ a 3 p 3 3 .Kếtluận:V S.ABCD Æ a 3 p 3 3 Bài7.22. ĐềthiĐH-CĐ2012-THPTĐôLương4-NghệAn Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết ABÆ 2a, ADÆa, DCÆ a(aÈ 0) và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 45 0 .Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD vàkhoảngcáchtừ B đến mp(SCD)theo a. Giải: Từgiảthiếttacó BC?AC và BC?SA,nên BC?mp(SAC).Dovậy: á ((SBC);(ABCD))Æ ƒ SCAÆ 45 0 . Từ SA?mp(ABCD)suyra4SAC vuôngtại A,kếthợpvới ƒ SCAÆ 45 0 ,tacó SAÆACÆa p 2 Vậy:V S.ABCD Æ 1 3 dt(ABCD).SAÆ 1 6 .(ABÅCD).AD.SAÆ a 3 p 2 2 . Kẻ AH?SD tại H,dễdàngchứngminhđược AH?mp(SCD).Trongtamgiác SAD vuôngtại http://boxmath.vn/ 38 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comA,tacó: 1 AH 2 Æ 1 SA 2 Å 1 AD 2 Æ 3 2a 2 .Suyra: AHÆ a p 6 3 Do ABÒCDÆ)ABÒmp(SCD),nên: d(B;mp(SCD))Æd(A;mp(SCD))ÆAHÆ a p 6 3 Kếtluận:V S.ABCD Æ a 3 p 2 2 và d(B;mp(SCD))Æ a p 6 3 A B C D S H Bài7.23. ĐềthithửĐH-CĐ2012-THPTTriệuSơn4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60 0 . Mặt phẳng (P) chứa AB và tạo với mặt đáy một góc 30 0 cắt SC, SD lầnlượttại M và N.Tínhthểtíchkhốichóp S.ABMN. Giải: A B C D S L K O H M N GọiOlàtâmhìnhvuông ABCD thìSO?mp(ABCD).GọiK,Llầnlượtlàtrungđiểm AB,CD, gọi H làtrungđiểm SL,khiđó AB?mp(SKL).Dođó: ƒ SKHÆ á (mp(SAB);mp(ABCD))Æ 60 0 . http://boxmath.vn/ 39 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comHìnhchóp S.ABCD làhìnhchópđềunên SKÆSL,kếthợpvới ƒ SKHÆ 60 0 )tamgiác SKL là tamgiácđềucạnh a.Bởivậy HKÆ a p 3 2 Æ KL p 3 2 và SH?KL, ƒ HKLÆ 30 0 . Từđótacó á mp(ABH);mp(ABCD)Æ ƒ HKLÆ 30 0 ,hay mp(P)trùngvới mp(ABH). Vì ABÒCD và H là trung điểm SL nên mặt phẳng (P) cắt SC, SD lần lượt tại M và N thì M, N lầnlượtlàtrungđiểm SC, SD.Suyra MNÆ CD 2 Æ a 2 .Mặtkhác,do AB?mp(SKL)nên HK?AB, HK?CD. Vậy:V S.ABMN Æ 1 3 .dt(ABMN).SHÆ 1 6 .(ABÅMN).HK.SHÆ 1 6 .(aÅ a 2 ). a p 3 2 . a 2 Æ a 3 p 3 16 . Kếtluận:V S.ABMN Æ a 3 p 3 16 Bài7.24. ĐềthithửĐHQX4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo ACÆ 2 p 3a, BDÆ 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a p 3 4 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải: A B C D O M S H Vì mp(SAC)\mp(SBC)ÆSO và mp(SAC)?mp(ABCD), mp(SBD)?mp(ABCD) nên suy ra SO?mp(ABCD) Kẻ OM? AB tại M, kẻ OH? SM tại H. Khi đó AB? mp(SOM)Æ) AB?OH, do đó OH? mp(SAB). Bởivậy:OHÆd(O;mp(SAB))Æ a p 3 4 . TrongtamgiácvuôngOAB,tacó: 1 OM 2 Æ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Æ 1 3a 2 Å 1 a 2 Æ 4 3a 2 Trongtamgiácvuông SOM,tacó: 1 OH 2 Æ 1 OM 2 Å 1 SO 2 Æ) 1 SO 2 Æ 1 OH 2 Å 1 OM 2 Æ 16 3a 2 ¡ 4 3a 2 Æ 4 a 2 . Hay: SOÆ a 2 . Vậy:V S.ABCD Æ 1 3 .dt(ABCD).SOÆ 1 3 . 1 3 .AC.BD.SOÆ a 3 p 3 3 .Kếtluận:V S.ABCD Æ a 3 p 3 3 http://boxmath.vn/ 40 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài7.25. ĐềthithửĐH-CĐ2012-THPTChuyênNguyễnHuệ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. SAÆa, SBÆa p 3, ƒ BADÆ 60 0 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích tứ diện NSDC vàtínhcosincủagócgiữahaiđườngthẳng SM và DN. Giải: A B C D S M K N L I H Từ ABÆ 2a, SAÆa, SBÆa p 3)4SABvuôngtại S. Kẻ SH?ABtại H,do mp(SAB)?mp(ABCD)nênsuyra SH?mp(ABCD)) SH làđườngcao củatamgiácvuông SAB.Từđó: SHÆ SA.SB AB Æ a.a p 3 2a Æ a p 3 2 . Mặtkhác: dt(4CDN)Æ 1 2 .CD.CN.sin ƒ DCNÆ 1 2 .2a.a.sin60 0 Æ a 2 p 3 2 . Dovậy:V NSDC ÆV S.CDN Æ 1 3 .dt(4CDN).SHÆ 1 3 . a 2 p 3 2 . a p 3 2 Æ a 3 4 . GọiK làtrungđiểm AD,Llàtrungđiểm AK,IlàtrungđiểmML.DoSAÆSMÆavàSH?AB nênsuyra H làtrungđiểm AM. Tacó: BK 2 ÆBA 2 ÅAK 2 ¡2.BA.AK.cos ƒ BAKÆ 3a 2 )BKÆa p 3. Từđó: BK 2 ÅAK 2 Æ 3a 2 Åa 2 Æ 4a 2 ÆAB 2 )4ABK vuôngtại K )BK?AD)ML?AD)ML? HI Từ ML?HI và ML?SH )ML?SI.Bởivậy: cos ƒ SMLÆ MI SM Æ ML 2SM Æ BK 4SM Æ p 3 4 Vì MLÒBKÒDN nên á (SM;DN)Æ á (SM;ML)Æ ƒ SML,với cos ƒ SMLÆ p 3 4 . Kếtluận:V NSDC Æ a 3 4 và á (SM;DN)Æ ƒ SML,với cos ƒ SMLÆ p 3 4 . Bài7.26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, điểm M nằm trên cạnhSC saocho MCÆ 2MS, ABÆa,BCÆ 2ADÆ 2a p 3.Tínhthểtíchkhốichóp M.ABCD theo a.Biếtrằng SAÆSBÆSC vàgóctạobởicạnhbên SC vàmặtđáylà 60 0 . http://boxmath.vn/ 41 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comGiải: A B C N D S H M Gọi N là trung điểm BC thì DN ? BC và DN Æ ABÆ a, CN Æ BC 2 Æ a p 3. Bởi vậy: CD 2 Æ DN 2 ÅCN 2 Æa 2 Å(a p 3) 2 Æ 4a 2 )CDÆ 2a)BDÆ 2a. Gọi H là trung điểm BD, do tam giác ABD vuông tại A nên HAÆHBÆHD, kết hợp với giả thiết SAÆSBÆSD suyra SH?mp(ABCD).Từđó: á (SC;mp(ABCD))Æ á (SC;CH)Æ ƒ SCHÆ 60 0 . Mặtkhác: CH 2 Æ BC 2 ÅDC 2 2 ¡ BD 2 4 Æ 7a 2 )CHÆa p 7. Dođó: SHÆCH tan ƒ SCHÆa p 7.tan60 0 Æa p 21. Vì MCÆ 2MS nên: d (M;mp(ABCD))Æ 2 3 .d (S;mp(ABCD))Æ 2 3 .SHÆ 2a p 21 3 . Bởivậy: V M.ABCD Æ 1 3 .dt(ABCD).d (M;mp(ABCD))Æ 1 3 . (ADÅBC).AD 2 . 2 3 .SHÆa 3 p 7 Kết luận:V M.ABCD Æ a 3 p 7 Bài7.27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết ABÆ 2a, ADÆ CDÆa, SAÆ 3a(aÈ 0)và SA vuônggócvớimặtphẳngđáy.Tínhthểtíchkhốichóp S.BCD và tínhkhoảngcáchtừđiểm B đếnmặtphẳng (SCD)theo a. Giải: D A B C S Tacó: dt(4BCD)Æ 1 2 .CD.ADÆ a 2 2 . http://boxmath.vn/ 42 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comNên:V S.BCD Æ 1 3 .dt(4BCD).SAÆ 1 3 . a 2 2 .3aÆ a 3 2 . Do 8 < : CD?SA CD?AD nên CD?SD. Mặtkhác: SDÆ p SA 2 ÅAD 2 Æa p 10)dt(4SCD)Æ 1 2 .CD.SDÆ a 2 p 10 2 . Từđó: d(B;mp(SCD))Æ 3V S.BCD dt(4SCD) Æ 3a p 10 10 Kếtluận:V S.BCD Æ a 3 2 và d(B;mp(SCD))Æ 3a p 10 10 Bài7.28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABÆ 2a, BCÆa. Các cạnh bên củahìnhchópbằngnhauvàbằng a p 2. 1. Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD theo a. 2. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh SN?mp(MEF) Giải: A B C D S F E N H I K 1. Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD. Vì SA Æ SB Æ SC Æ SD Æ a p 2 nên suy ra SI ? mp(ABCD). Tacó: ACÆBDÆ p AB 2 ÅBC 2 Æ p (2a) 2 Åa 2 Æa p 5)IAÆ AC 2 Æ a p 5 2 . Trongtamgiácvuông SIA,tacó: SIÆ p SA 2 ¡IA 2 Æ a p 3 2 Dovậy: V S.ABCD Æ 1 3 .dt(ABCD).SIÆ 1 3 .AB.BC.SIÆ a 3 p 3 3 2. Gọi K làgiaođiểmcủa EF với SN thì K làtrungđiểmcủa SN. Tacó: SM 2 ÆSA 2 ¡AM 2 Æ (a p 2) 2 ¡a 2 Æa 2 )SMÆMNÆa)tamgiác MSN cânđỉnh M. Dovậy: MK?SN. Mặtkhác,tamgiác SCD cânđỉnh S và N làtrungđiểm CD nênsuyra SN?CD. Mà EFÒCD)SN?EF. http://boxmath.vn/ 43 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comTừ 8 < : SN?MK SN?EF )SN?mp(MEF) Kếtluận:V S.ABCD Æ a 3 p 3 3 Bài7.29. Chohình chóptứ giác S.ABCD cóđáy ABCD làhình bìnhhành, ADÆ 4a,các cạnhbên của hình chóp bằng nhau và bằng a p 6. Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khithểtích S.ABCD lớnnhất. Giải: A B C D S O GọiOlàtâmhìnhbùnhhành ABCD.DoSAÆSBÆSCÆSDÆa p 6nênsuyraSO?mp(ABCD). TừSAÆSBÆSCÆSDÆa p 6vàSO?mp(ABCD),suyraOAÆOBÆOCÆOD)ABCDlàhình chữnhật. Giảsử ABÆb,khiđó BDÆ p 16a 2 Åb 2 )OAÆ p 16a 2 Åb 2 2 . Dovậy: SO 2 ÆSA 2 ¡OA 2 Æ 6a 2 ¡ 16a 2 Åb 2 4 Æ 8a 2 ¡b 2 4 )SIÆ p 8a 2 ¡b 2 4 . Từđó:V S.ABCD Æ 1 3 .AB.AD.SOÆ 2 3 .2a.b. p 8a 2 ¡b 2 · 2 3 .a.(b 2 Å8a 2 ¡b 2 )Æ 16a 3 3 . Dấuđẳngthứcxảyrakhi bÆ 2a. Vậythểtích S.ABCD lớnnhấtkhi ABÆ 2a,khiđó SOÆa. ChọnhệtrụctọađộOxyz saocho:O(0;0;0);S(0;0;a);B(2a;a;0);C(¡2a;a;0);D(¡2a¡a;0). Tacó: ¡ ¡ ! SB(2a;a;¡a), ¡ ¡ ! SC(¡2a;a;¡a), ¡ ¡ ! SD(¡2a;¡a;¡a) h ¡ ¡ ! SB; ¡ ¡ ! SC i Æ (0;4a 2 ;4a 2 ), h ¡ ¡ ! SC; ¡ ¡ ! SD i Æ (¡2a 2 ;0;4a 2 ) Từđótatìmđượcvectơpháptuyếncủa mp(SBC)là ¡ ! n (0;1;1),vectơpháptuyếncủa mp(SCD) là ¡ ! n (1;0;¡2).Góc'giữahaimặtphẳng (SBC)và (SCD)là: cos'Æ j1.0Å0.1Å(¡2).1j p 0Å1Å1. p 1Å0Å(¡2) 2 Æ 2 p 10 Kếtluận: cos'Æ 2 p 10 http://boxmath.vn/ 44 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài7.30. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Điểm A 0 cách đều ba điểm A, B, C; cạnh bên AA 0 tạo với mặt đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ vàchứngminhmặtbên BCC 0 B 0 làhìnhchữnhật. Giải: A B C A 0 B 0 C 0 M H M 0 Gọi H làtrọngtâmtamgiác ABC,dotamgiác ABC đềuvà A 0 AÆA 0 BÆA 0 C nên A 0 H?mp(ABC).Dođó: á (AA 0 ;mp(ABC))Æ à A 0 AHÆ 60 o . Nên: A 0 HÆAH tan à A 0 AHÆ 2 3 .AM.tan60 o Æa Từđó,tacó:V ABC.A 0 B 0 C 0Ædt(4ABC).A 0 HÆ a 2 p 3 4 .aÆ a 3 p 3 4 .VậyV ABC.A 0 B 0 C 0Æ a 3 p 3 4 Gọi M, M 0 lầnlượtlàtrungđiểm BC, B 0 C 0 ,khiđó MM 0 ÒBB 0 ÒAA 0 . Tamgiác ABC đềunên AM?BC. A 0 H?mp(ABC))A 0 H?BC. Từ ( AM?BC A 0 H?BC )BC?AA 0 )BC?BB 0 .Nên BCC 0 B 0 làhìnhchữnhật. Bài7.31. Cho hình hộp đứng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có các cạnh ABÆADÆ 2, AA 1 Æ p 3 và góc ƒ BADÆ 60 0 . Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh A 1 D 1 và A 1 B 1 . 1.Chứngminhrằng AC 1 vuônggócvớimặtphẳng (BDMN). 2.Tínhthểtíchkhốichóp A.BDMN Giải: http://boxmath.vn/ 45 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comA B C D C 1 B 1 D 1 A 1 E M N F K 1. Do hình bình hành ABCD có ABÆ ADÆ 2 và góc ƒ BADÆ 60 0 nên ABCD là hình thoi và BDÆ 2, BD?AC. Từ ( BD?AC BD?AA 1 suyra BD?AC 1 (1). Tacó: ¡¡! MD. ¡ ¡¡ ! AC 1 Æ ³ ¡¡¡! MA 1 Å ¡ ¡¡ ! A 1 AÅ ¡ ¡ ! AD ´³ ¡ ¡ ! ABÅ ¡ ¡ ! ADÅ ¡ ¡¡ ! AA 1 ´ Æ 1 2 ¡ ¡ ! AD. ¡ ¡ ! ADÅ 1 2 ¡ ¡ ! AD 2 ¡ ¡ ¡¡ ! AA 1 2 Æ 1 2 .2.2.cos60 0 Å 1 2 .2 2 ¡ ¡p 3 ¢ 2 Æ 0 Suyra AC 1 ?MD (2). Từ(1)và(2)suyra AC 1 ?mp(BDMN). 2.Gọi E làgiaođiểmcủa AC và BD, F làgiaođiểmcủa A 1 C 1 và MN. Do BD?mp(ACC 1 A 1 )nên BD?EF, MN?EF. Kẻ A 1 KÒEI (K thuộc AC)thì K làtrungđiểm AE Gọi I là giao điểm của A 1 K và AC 1 ; H là giao điểm của AC 1 và EF, thì I là trung điểm của AH. Trongtamgiác A 1 AK vuôngtại K,tacó: A 1 K 2 ÆA 1 A 2 ÅAK 2 ÆA 1 A 2 Å µ AE 2 ¶ 2 Æ ¡p 3 ¢ 2 Å Ã 2 p 3 4 ! 2 Æ 15 4 Suyra EFÆA 1 KÆ p 15 2 Từđó dt(BDMN)Æ 1 2 (BDÅMN).EFÆ 3 p 15 4 . Mặtkhác AIÆ AA 1 .AK A 1 K Æ 3 p 15 Nên AHÆ 2AIÆ 6 p 15 VậyV A.BDMN Æ 1 3 dt(BDMN).AHÆ 3 2 http://boxmath.vn/ 46 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài7.32. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuônggócvới AA 0 ,cắtlăngtrụtheomộtthiếtdiệncódiệntíchbằng a 2 p 3 8 .Tínhthểtíchkhối lăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 . Giải: A B C A 0 B 0 C 0 M O H Do tam giác ABC đều và hình chiếu của A 0 trùng với tâm O của tam giác ABC nên suy ra A 0 AÆA 0 BÆA 0 C. Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu của M trên AA 0 , khi đó mp(BCH)? AA 0 , suy ra mp(P)chínhlà mp(BCH). Vìhìnhchóp A 0 .ABC làhìnhchópđềunên à A 0 AM nhọn,suyra H nằmgiữa AA 0 . dt(4BCH)Æ a 2 p 3 8 Æ 1 2 BC.HM Æ)HMÆ a p 3 4 AHÆ p AM 2 ¡HM 2 Æ 3a 4 Vìtamgiác ABC đềucạnh anênOAÆ 2 3 AMÆ a p 3 3 Tacó4MHAv4A 0 OA nên HM OA 0 Æ AH OA Æ)OA 0 Æ HM.OA AH Æ a 3 Vậy:V ABC.A 0 B 0 C 0Ædt(4ABC).A 0 OÆ a 2 p 3 4 . a 3 Æ a 3 p 3 12 Bài7.33. Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho BMÆCNÆx. Xác định vị trí điểm M sao cho khoảng cách giữahaiđườngthẳng A 1 C và MN bằng a 3 . Giải: Do MNÒBC nên MNÒmp(A 1 BC). Kẻ MK?A 1 Bvới K nằmtrên A 1 B,)MK?mp(A 1 BC). Bởivậy: d(A 1 C;MN)Æd(MN;mp(A 1 BC))Æd(M;mp(A 1 BC))ÆMK http://boxmath.vn/ 47 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comGọi I làgiaođiểmcủa AB 1 với A 1 B,thì MKÒA 1 I và: MKÆAI. BM AB Æa p 2. x a Æx p 2 Vìthế d(A 1 C;MN)Æ a 3 () x p 2Æ a 3 () xÆ a p 2 6 Hay BMÆ a p 2 6 A B C D C 1 B 1 D 1 A 1 I M N K Bài7.34. Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có ABÆa, ACÆ 2a, AA 1 Æ 2a p 5 và ƒ BACÆ 120 0 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB? MA 1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mp(A 1 BM). Giải: Tacó: ¡¡! MB. ¡¡¡! MA 1 Æ ( ¡¡! MCÅ ¡ ¡ ! AB¡ ¡ ¡ ! AC)( ¡¡¡! MC 1 Å ¡ ¡¡¡ ! C 1 A 1 )Æ¡ ¡¡! MC 2 ¡ ¡ ¡ ! AB. ¡ ¡ ! ACÅ ¡ ¡ ! AC 2 Æ¡(a p 5) 2 Åa 2 Å(2a) 2 Æ 0 )MB?MA 1 Kẻ CH?ABtại H thì CH?mp(ABA 1 ) )d(M;mp(ABA 1 ))ÆCHÆAC.sin ƒ HACÆa p 3 dt(4ABA 1 )Æ 1 2 .AB.AA 1 Æ 1 2 .a.2a p 5Æa 2 p 5 Bởi vậy: V ABA 1 M Æ 1 3 dt(4ABA 1 ).d(M;mp(ABA 1 ))Æ a 3 p 15 3 Tacó: MBÆ p MC 2 ÅBC 2 Æ p MC 2 ÅAB 2 ÅAC 2 ¡2AB.AC cos ƒ BACÆa p 12 MA 1 Æ q MC 2 1 ÅC 1 A 2 1 Æ 3a )dt(4MA 1 B)Æ 1 2 .MB.MA 1 Æ 3a 2 p 3 Từđó:d(A;mp(A 1 BM))Æ 3V ABA 1 M dt(4MA 1 B) Æ a p 5 3 http://boxmath.vn/ 48 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comA B C C 1 A 1 B 1 H M Bài7.35. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác đều cạnh 2a, điểm A 1 cách đều ba điểm A,B,C. Cạnh bên A 1 A tạo với mặt đáy góc ®. Hãy tìm ®, biết thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 bằng 2 p 3a 3 . Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Do điểm A 1 cách đều ba điểm A,B,C và ABC là tam giác đềunênsuyra A 1 G?mp(ABC) Bởivậy: á (A 1 A;mp(ABC))Æ á (A 1 A;AG)Æ à A 1 AGÆ® Tacó: dt(4ABC)Æ (2a) 2 p 3 4 Æa 2 p 3 )A 1 GÆ V ABC.A 1 B 1 C 1 dt(4ABC) Æ 2 p 3a 3 a 2 p 3 Æ 2a AGÆ 2 3 2a p 3 2 Æ 2a p 33 Trongtamgiácvuông A 1 GA,tacó: tan à A 1 AGÆ A 1 G AG Æ p 3) tan®Æ p 3)®Æ 60 0 http://boxmath.vn/ 49 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comA B C C 1 A 1 B 1 M G Bài7.36. Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có các cạnh AA 1 Æ 3a, ABÆa p 3, ACÆ 2a và góc ƒ BCAÆ 60 0 . Gọi M làtrungđiểmcạnh BB 1 , N làtrungđiểmcạnh A 1 B 1 ,G làtrọngtâmtamgiácBB 1 C 1 . Hãytínhthểtíchkhốitứdiện AMNG. Giải: Tacó: AB 2 ÆAC 2 ÅBC 2 ¡2AC.BC.cos ƒ BCA () BC 2 ¡2a.BCÅa 2 Æ 0 () BCÆa Tamgiác ABC có AC 2 ÆAB 2 ÅBC 2 nêntamgiác ABC vuôngtại B)C 1 B 1 ?mp(ABB 1 A 1 ) KẻGH?BB 1 (với H nằmtrêncạnh BB 1 ),khiđóGHÒC 1 B 1 . Bởivậy:GH?mp(ABB 1 A 1 )vàGHÆ a 3 . dt(4AMN)Ædt(ABB 1 A 1 )¡dt(AA 1 N)¡dt(B 1 NM)¡dt(ABM)Æ 3a.a p 3¡ 1 2 .3a. a p 3 2 ¡ 1 2 . 3a 2 . a p 3 2 ¡ 1 2 .a p 3. 3a 2 Æ 9 p 3a 2 8 Vậy:V AMNG Æ 1 3 dt(4AMN).GHÆ 1 3 . 9 p 3a 2 8 . a 3 Æ a 3 p 3 8 http://boxmath.vn/ 50 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comA B C C 1 A 1 B 1 M N G H Bài7.37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A,B. Hai mặt phẳng (SAB),(SAD) cùng vuông góc với đáy. Biết AB Æ 2a,SA Æ BC Æ a,CD Æ 2a p 5. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.Xácđịnhtâmvàbánkínhmặtcầungoạitiếptứdiện SACD. Giải: 2a p 5 R a 2a 4a J A B C D S E I O Qua C kẻđườngthẳngsongsongvới ABcắt AD tại E, suyratứgiác ABCE làhìnhchữnhậtnên AEÆavà4CED vuôngtại E. TheođịnhlíPitagotacó: DE 2 ÆCD 2 ¡CE 2 Æ 20a 2 ¡4a 2 Æ 16a 2 )DEÆ 4a. Vậy AD làđáylớncủahìnhthangvà AEÆaÅ4aÆ 5a. Diệntíchhìnhthang ABCD là S ABCD Æ (BCÅAD)AB 2 Æ (aÅ5a).2a 2 Æ 6a 2 (đvdt). http://boxmath.vn/ 51 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comThểtíchkhốichóp S.ABCD là:VÆ 1 3 SA.S ABCD Æ 2a 3 . Tamgiác ACD vuôngởC,trongmp(SAD)gọiOlàgiaocủađườngthẳngvuônggócvới SA tại trungđiểm I của SA vàđườngthẳngvuônggócvới AD tạitrungđiểm J của AD suyra O là tâmmặtcầungoạitiếptứdiện SACD (O làtrungđiểmcủa SD), suyra: RÆOAÆ p OI 2 ÅAI 2 Æa p 26 2 . Bài7.38. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A 0 cách đều các điểm A,B,C.Mặtphẳng (P)chứa BC vàvuônggócvới AA 0 cắtlăngtrụtheomộtthiếtdiệncódiện tíchbằng a 2 p 3 8 .Tínhtheo athểtíchkhốilăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 . Giải: A B C A 0 B 0 C 0 O M H Do A 0 AÆA 0 BÆA 0 Cnênhìnhchiếuvuônggóccủa A 0 lên (ABC)trùngvớitrọngtâmOcủatam giác ABC.Gọi H làhìnhchiếuvuônggóccủa Blên AA 0 ,Khiđó (P)´ (BCH). Gọi M là trung điểm của BC thì MH?AA 0 và à A 0 AM nhọn H nằm giữa AA 0 . Thiết diện của lăngtrụkhicắtbởi (P)làtamgiác BCH. 4ABC đềucạnh anên AMÆ a p 3 2 ,AOÆ 2 3 AMÆ a p 3 3 ; HBÆHCÆ p a 2 ÅAH 2 )HM?BC Theobàira: S BCH Æ a 2 p 3 8 ) 1 2 HM.BCÆ a 2 p 3 8 )HMÆ a p 3 4 . AHÆ p AM 2 ¡HM 2 Æ s 3a 2 4 ¡ 3a 2 16 Æ 3a 4 Haitamgiác A 0 AO và MAH đồngdạng A 0 O AO Æ HM AH Suyra A 0 OÆ AO.HM AH Æ a p 3 3 a p 3 4 4 3a Æ a 3 . Thểtíchkhốilăngtrụ:VÆA 0 O.S ABC Æ 1 2 A 0 O.AM.BCÆ 1 2 a 3 a p 3 2 aÆ a 3 p 3 12 (đvtt) Bài7.39. ChohìnhchópOABC có 3cạnhOA,OB,OC vuônggócvớinhauđôimộttạiO, OBÆa,OCÆOAÆa p 3.GọiMlàtrungđiểmcủacạnhBC. a. TínhkhoảngcáchtừđiểmO đếnmặtphẳng (ABC). b. Tínhkhoảngcáchgiữa 2đườngthẳng AB vàOM. Giải: http://boxmath.vn/ 52 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comz x y a p 3 a p 3 a O A B C M N Trongtamgiác OBC,vẽđườngcao OK.Trongtamgiác OAK,vẽđườngcao OH.Chứngminh OH vuônggócmp (ABC). 1 OH 2 Æ 1 OA 2 Å 1 OK 2 Æ 1 OA 2 Å 1 OB 2 Å 1 OC 2 Æ 5 a 2 . Suyra d(O,(ABC))ÆOHÆ a p 5 5 . Chọnhệtrụctọađộnhưhìnhvẽ.KhiđóO(0;0;0),A(0; 0;a p 3); B(a; 0; 0), C(0;a p 3; 0), M à a 2 ; a p 3 2 ; 0 ! , N à 0; a p 3 2 ; a p 3 2 ! , ¡¡! OMÆ Ã a 2 ; a p 3 2 ; 0 ! , ¡¡! ONÆ Ã 0; a p 3 2 ; a p 3 2 ! h ¡¡! OM; ¡¡! ON i Æ Ã 3a 2 4 ; a 2 p 3 4 ; a 2 p 3 4 ! ¡ ! n Æ ( p 3; 1; 1)làVTPTcủamp(OMN) Phươngtrìnhmặtphẳng (OMN)quaO vớivectơpháptuyến ¡ ! n : p 3xÅyÅzÆ 0 Tacó: d(B; (OMN)) Æ ¯ ¯ p 3.aÅ0Å0 ¯ ¯ p 3Å1Å1 Æ a p 3 p 5 Æ a p 15 5 . Vậy: d(B; (NOM)) Æ a p 15 5 . MN làđườngtrungbìnhcủatamgiác ABC)ABkMN)ABk(OMN) )d(AB;OM)Æd(AB;(OMN))Æd(B; (NOM)) Æ a p 15 5 . Bài7.40. Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangvuôngtại A,B với ABÆBCÆa;ADÆ 2a. Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết góc giữa haimặtphẳng (SAB)và (ABCD)bằng 60 o .Tínhthểtíchkhốichópvàkhoảngcáchgiữahai đườngthẳng CD và SB. Giải: Gọi HÆAC\BD)SH?(ABCD)&BHÆ 1 3 BD Kẻ HE?AB)AB?(SHE))g((SAB);(ABCD))Æ ƒ SEHÆ 60 o . Mà HEÆ 1 3 ADÆ 2a 3 )SHÆ 2a p 3 3 )V SABCD Æ 1 3 .SH.S ABCD Æ a 3 p 3 3 GọiO làtrungđiểm AD)ABCO làhvcạnh a)4ACD cótrungtuyến COÆ 1 2 AD CD?AC)CD?(SAC)và BOkCD hay CDk(SBO)&BO?(SAC). d(CD;SB)Æd(CD;(SBO))Æd(C;(SBO)). Tínhchấttrọngtâmtamgiác BCO)IHÆ 1 3 ICÆ a p 2 6 )ISÆ p IH 2 ÅHS 2 Æ 5a p 2 6 kẻ CK?SI mà CK?BO)CK?(SBO))d(C;(SBO))ÆCK Trongtamgiác SIC có: S SIC Æ 1 2 SH.ICÆ 1 2 SI.CK)CKÆ SH.IC SI Æ 2a p 3 5 http://boxmath.vn/ 53 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comVậy d(CD;SB)Æ 2a p 3 5 Bài7.41. Chohìnhchóp S.ABCD đáy ABCD làhìnhthangđáylớn ABÆ 2,tamgiác ACBvuôngtạiC, các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh bằng p 3 . Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. Giải: Vìtamgiác SAC và SBD đềucạnh p 3nên ACÆBD haytứgiác ABCD làhìnhthangcân. Lạicógóc ACBvuôngnênhìnhthang ABCD nộitiếpđườngtrònđườngkính AB. Gọi H làtrungđiểm ABkhiđó SH vuônggóc (ABCD)hay SH làđườngcaocủahìnhchóp. Tacó BCÆ p 4¡3Æ 1nên SHÆ p SB 2 ¡HB 2 Æ p 2. Lạicó S ABCD Æ 3 p 3 4 (Do ABCD lànửalụcgiácđều) VậyV S.ABCD Æ 1 3 . 3 p 3 4 . p 2Æ p 6 4 (đvtt). Bài7.42. ChohìnhchópS.ABCDcóđáylàhìnhchữnhật, ADÆa p 2,CDÆ 2a,SA?(ABCD).Mặtphẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 o . Gọi M là trung điểm của CD, N là giao điểm của BM và AC. Tínhthểtíchkhốichóp S.ABM.Chứngminhcácđiểm S,A,D,M,N thuộcmộtmặtcầu. Giải: Kếtluận: Bài7.43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B, ABÆBCÆa;ADÆ 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SAÆa. Gọi E là trung điểm của AD. Tính thể tíchkhốichóp S.CDE vàtìmtâm,bánkínhmặtcầungoạitiếpkhốichóp S.CDE. Giải: DễdàngtínhđượcVÆ a 3 6 .Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcủa SE và SC tacómặtphẳng (ABNM)làmặtphẳngtrungtrựccủa SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng (ABMN) và trụcđườngtrònngoạitiếpđáy CDE. Gọi¢ là đường thẳng qua I là trung điểm của CD và song song với SA. Gọi K là trung điểm của ABthì KNkAM. KN và¢đồngphẳngsuyra KN\¢ÆO làđiểmcầntìm. TamgiácOIK vuôngcânnênOIÆIKÆ BCÅAD 2 Æ 3a 2 ; CDÆa p 2;ICÆ CD 2 Æ a p 2 2 . TacóOC 2 ÆOI 2 ÅIC 2 Æ 9a 2 4 Å 2a 2 4 Æ 11a 2 4 )RÆOCÆ a p 11 2 . Bài7.44. Cho hình hộp đứng ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có ABÆADÆa;AA 1 Æ a p 3 2 (aÈ 0); ƒ BADÆ 60 o . M, N lần lượtlàtrungđiểmcủa A 1 D 1 và A 1 B 1 . a. Chứngminh: AC 1 ?(BDMN) b. Tínhthểtíchkhốichóp A.BDMN. Giải: http://boxmath.vn/ 54 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comKếtluận: Bài7.45. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy ABCD là hình bình hành có góc BAD bằng 45 o .Cácđườngchéo AC 0 và DB 0 lầnlượttạovớimặtphẳngchứađáycácgóc 45 o và 60 o .Biết AA 0 Æ 2a.Tínhtheo athểtíchkhốilăngtrụđãcho. Giải: Kếtluận: Bài7.46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,BCÆ 2a. Hình chiếu vuông góccủađiểm S lênmặtphẳng (ABC)trùngvớitrungđiểmBC,mặtphẳng (SAC)tạovớiđáy (ABC) một góc 60 o . Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) theo a,với I làtrungđiểm SB. Giải: Gọi H,J lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC,AC,Tacó SH?(ABC) HJ?AC ) )AC?SJ, nên ƒ SJHÆ 60 o . ABÆ BC p 2 Æ p 2a, HJÆ AB 2 Æ p 2a 2 , SHÆHJ.tan60 o Æ p 6 2 a V S.ABC Æ 1 3 SH. AB.AC 2 Æ 1 6 . p 6 2 . ¡p 2 ¢ 2 .a 3 Æ p 6a 3 6 . Gọi E làhìnhchiếucủa H lên SJ,khiđótacó HE?SJ HE?AC ) )HE?(SAC). Mặtkhác,do IHkSC)IHk(SAC), nên d(I,(SAC))Æd(H,(SAC))ÆHEÆHJ.sin60 o Æ p 6 4 a. Bài7.47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo ACÆ 2 p 3a,BDÆ 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a p 3 4 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải: Kếtluận: Bài7.48. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có ACÆa,BCÆ 2a, ƒ ACBÆ 120 o và đường thẳng A 0 C tạo với mặt phẳng ¡ ABB 0 A 0 ¢ góc 30 o . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đườngthẳng A 0 B,CC 0 theo a. Giải: Trong (ABC),kẻ CH?AB(H2AB),suyra CH? ¡ ABB 0 A 0 ¢ nên A 0 H làhìnhchiếuvuônggóccủa A 0 C lên (ABB 0 A 0 ). Dođó: á [A 0 C,(ABB 0 A 0 )]Æ á (A 0 C,A 0 H)Æ à CA 0 HÆ 30 0 . S ¢ABC Æ 1 2 AC.BC.sin120 0 Æ a 2 p 3 2 , http://boxmath.vn/ 55 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comAB 2 ÆAC 2 ÅBC 2 ¡2AC.BC.cos120 0 Æ 7a 2 )ABÆa p 7,CHÆ 2.S ¢ABC AB Æ a p 21 7 . Suyra: A 0 CÆ CH sin30 o Æ 2a p 21 7 .Xéttamgiácvuông AA 0 C tađược: AA 0 Æ p A 0 C 2 ¡AC 2 Æ a p 35 7 . Suyra:VÆS ¢ABC .AA 0 Æ a 3 p 105 14 .Do CC 0 //AA 0 )CC 0 // ¡ ABB 0 A 0 ¢ . Suyra: d ¡ A 0 B,CC 0 ¢ Æd ¡ CC 0 , ¡ ABB 0 A 0 ¢¢ Æd ¡ C, ¡ ABB 0 A 0 ¢¢ ÆCHÆ a p 21 7 . Bài7.49. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A 0 lênmặtphẳngtrùngvớitâmO củatamgiác ABC.Mộtmặtphẳng (P)chứaBC vàvuônggóc với AA 0 , cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng a 2 p 3 8 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 . Giải: Gọi M là trung điểm của BC, do A 0 O?(ABC) nên BC?(A 0 AM). Gọi K là điểm thuộc AA 0 sao cho KB?AA 0 ,nối KC thì AA 0 ?(KBC))AA 0 ?KMAOÆ 2 3 . a p 3 2 Æ a p 3 3 ; KBC códiệntích a 2 p 3 8 nên KM.BC 2 Æ a 2 p 3 8 )KMÆ a p 3 4 Xét A 0 AM có2đườngcao A 0 M và MK nên A 0 O.AMÆKM.AA 0 (¤): đặt A 0 OÆxÈ 0 khi đó từ (¤) ta có: x.AMÆAA 0 .KM,x. a p 3 2 Æ s x 2 Å a 2 3 . a p 3 4 ( Do A 0 AO vuông tạiO và AOÆ a p 3 3 )hay 2xÆ s x 2 Å a 2 3 , 4x 2 Æx 2 Å a 2 3 , 3x 2 Æ a 2 3 ,xÆ a 3 . Tacódiệntíchđáy ABC bằng 1 2 .a. a p 3 2 Æ a 2 p 3 4 (Diệntíchtamgiácđềucạnh a). VậyV ABC.A 0 B 0 C 0ÆA 0 O.S ABC Æ a 3 . a 2 p 3 4 Æ a 3 p 3 12 . Bài7.50. Cho hình hộp đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 , cạnh ABÆ ADÆ 2,AA 0 Æ p 3, góc ƒ BADÆ 60 o . Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcáccạnh AD,AB.Chứngminh A 0 Cvuônggócvớimặtphẳng (B 0 D 0 MN). Tínhthểtíchkhốichóp A 0 B 0 D 0 MN. Giải: Giảsử A 0 C cắtO 0 J tại H (hìnhvẽ))H làgiaođiểmcủa A 0 C vớimp(B 0 D 0 MN) Xéthìnhchữnhật ACC 0 A 0 có A 0 C 0 Æ 2AA 0 A 0 O 0 OA làhìnhvuông. Từđóchứngminhđược A 0 I?O 0 J hay A 0 C?O 0 J (4).Từ(3)và(4): A 0 C?mp(B 0 D 0 MN)đpcm Tứgiác B 0 D 0 MN làhìnhthangcâncóđườngcaolàO 0 J.Tacó: B 0 NÆ p B 0 B 2 ÅBN 2 Æ 2 TínhđượcO 0 JÆ p 15 2 )S B 0 D 0 MN Æ 1 2 (B 0 D 0 ÅMN).O 0 JÆ 3 p 15 4 (5) 4A 0 O 0 I vuôngtạiO 0 có A 0 O 0 Æ p 3,O 0 IÆ p 3 2 . Từđótínhđược:O 0 H 2 Æ 3 5 )A 0 H 2 ÆA 0 O 0 2 ¡O 0 H 2 Æ 3¡ 3 5 Æ 12 5 )A 0 HÆ 2 p 3 p 5 Từđó:V A 0 B 0 D 0 MN Æ 1 3 A 0 H.S B 0 D 0 MN Æ 3 2 . http://boxmath.vn/ 56 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài7.51. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng bốn lần đáy nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a. Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhauvàbằng b.Tínhthểtíchcủakhốichóptheo a,b. Giải: Gọi H làchânđườngcaocủachópthì H phảicáchđềucáccạnhcủađáyvàtrongtrườnghợp nàytachứngminhđược H nằmtrongđáy. Suyrahìnhthangcân ABCD cóđườngtrònnộitiếptâm H làtrungđiểmđoạn MN với M,N lầnlượtlàtrungđiểmcáccạnh AB,CD và MNÆa Đườngtrònđótiếpxúcvới BC tại E thì HMÆHNÆHEÆ a 2 làbánkínhđườngtròn và SEÆSMÆSNÆb ³ bÈ a 2 ´ )SHÆ 1 2 p 4b 2 ¡a 2 Đặt CNÆxthì BMÆ 4x, CEÆx, BEÆ 4x.Tamgiác HBC vuôngở H nên HE 2 ÆEB.EC, a 2 4 Æ 4x 2 ,xÆ a 4 )CDÆ a 2 , ABÆ 2a,suyra S ABCD Æ 5a 2 4 . VậyV S.ABCD Æ 1 3 . 5a 2 4 . 1 2 p 4b 2 ¡a 2 Æ 5a 2 24 p 4b 2 ¡a 2 (đvtt) Bài7.52. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; ABÆBCÆ 2a,ADÆ 4a. Cạnh SAÆ 4avuônggócvớiđáy.Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcủa SAv˘ aSD.Tínhthểtích khốichóp S.BCNM. Giải: Kẻ SH?BM.Vì MNkAD;AD?(SAB)nên MN?(SAB))MN?SH. Từđó SH?(BCNM).Vậy SH làđườngcaohìnhchóp S.BCNM. Kẻ AK?BM,suyra AKÆSH.Tamgiác ABM vuôngcântại A suyra ABÆAMÆ 2a)AKÆSHÆa p 2. BCNM làhìnhchữnhậtvớidiệntích: S BCNM ÆBC.BMÆ 2a.2a p 2Æ 4a 2 p 2. Vậy:V SBCNM Æ 1 3 S BCNM .SHÆ 4a 2 p 2.a p 2Æ 8a 3 . Bài7.53. HuỳnhBảoToàn ChohìnhchópS.ABCcóđáy ABClàtamgiácvuôngtại Avà ƒ ABCÆ 60 o .MặtbênSBClàtam giác cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAÆa. Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BMÆ 2MC. Mặt phẳng (®) qua SM và song song với AB cắt SC tại N. Tính khoảng cáchtừ C tớimặtphẳng (®)vàthểtíchkhốichóp S.BMN. Giải: Chọnhệtrụctọađộ AxyzcócácđiểmB,C,S lầnlượtnằmtrêncáctia Ax,Ay,Aznhưhìnhvẽ. Tronghệtrụcnày,tacó A (0;0;0), S (0;0;a)vàđặt B(t;0;0),với tÈ 0. Khiđó, ACÆABtan60 o Æt p 3)C ¡ 0;t p 3;0 ¢ , ¡ ¡ ! CBÆ ¡ t;¡t p 3;0 ¢ . Do ¡¡! AMÆ ¡ ¡ ! ACÅ ¡¡! CMÆ ¡ ¡ ! ACÅ 1 3 ¡ ¡ ! CBnên M ³ t 3 ; 2 p 3 3 t;0 ´ . 4SBC cântạiCnên CBÆCS, q t 2 Å ¡p 3t ¢ 2 Æ q ¡p 3t ¢ 2 Åa 2 ,tÆa. Mặt phẳng (®) qua SM và song song với AB cắt SC tại N nên MN song song với AB và ¡¡! ANÆ 2 3 ¡ ¡ ! AC, suyra N ³ 0; 2 p 3 3 a;0 ´ .Tacó ¡¡! SMÆ ³ a 3 ; 2 p 3 3 a;¡a ´ , ¡ ¡ ! SNÆ ³ 0; 2 p 3 3 a;¡a ´ , h ¡¡! SM; ¡ ¡ ! SN i Æ ³ 0; 1 3 a 2 ; 2 p 3 9 a 2 ´ , ¡ ¡ ! SBÆ (a;0;¡a). http://boxmath.vn/ 57 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comPhươngtrình (SMN)là 3yÅ2 p 3z¡2 p 3aÆ 0. Khoảngcáchtừ C tới (SMN)là d(C,(SMN))Æ ¯ ¯ 3 p 3a¡2 p 3a ¯ ¯ q 3 2 Å ¡ 2 p 3 ¢ 2 Æ a p 7 7 . Thểtíchkhốichóp S.BMN làV S.BMN Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ ¡ ¡ ! SB. h ¡¡! SM; ¡ ¡ ! SN i¯ ¯ ¯Æ a p 3 27 (đvtt). Bài7.54. HuỳnhBảoToàn ChohìnhchópS.ABCcóđáylàtamgiácvuôngtại A, ABÆa.CạnhbênSAvuônggócvớiđáy vàSAÆa p 3.TrêncáccạnhSB,BC vàCS lầnlượtlấycácđiểm M,N vàP saochoSMÆ 2 3 SB, BNÆ 2 3 BC và CPÆ 1 3 CS.Biếthìnhchóp A.MNP cóthểtíchbằng a 3 p 6 27 .Hãytínhthểtíchcủa hìnhchópđãchovàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng SA và NP. Giải: Đặt ACÆtÈ 0vàchọnhệtrụctọađộ Axyz nhưhìnhvẽ. Tronghệtrụcnày, A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;t;0), S(0;0;a p 3). Ngoàira, ¡¡! AMÆ ¡ ¡ ! ABÅ ¡¡! BMÆ ¡ ¡ ! ABÅ 1 3 ¡ ¡ ! BSÆ Ã 2a 3 ;0; a p 3 3 ! nên M à 2a 3 ;0; a p 3 3 ! , ¡¡! ANÆ ¡ ¡ ! ABÅ ¡ ¡ ! BNÆ ¡ ¡ ! ABÅ 2 3 ¡ ¡ ! BCÆ µ a 3 ; 2t 3 ;0 ¶ nên N µ a 3 ; 2t 3 ;0 ¶ , ¡ ¡ ! APÆ ¡ ¡ ! ACÅ ¡ ¡ ! CPÆ ¡ ¡ ! ACÅ 1 3 ¡ ¡ ! CSÆ Ã 0; 2t 3 ; a p 3 3 ! nên P à 0; 2t 3 ; a p 3 3 ! . h ¡¡! AM, ¡¡! AN i Æ Ã ¡ 2a 2 p 3 9 ; a 2 p 3 9 ; 4at 9 ! và h ¡¡! AM, ¡¡! AN i . ¡ ¡ ! APÆ 2a 2 t p 3 9 . Thểtíchkhốichóp A.MNP làV A.MNP Æ 1 6 ¯ ¯ ¯ h ¡¡! AM, ¡¡! AN i . ¡ ¡ ! AP ¯ ¯ ¯Æ a 2 t p 3 27 Æ a 3 p 6 27 ,tÆa p 2. Tadễdàngtínhđượcthểtíchkhốichóp S.ABC làV S.ABC Æ a 3 p 6 6 (đvtt). Bâygiờ,tasẽtínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng SA và NP. Tacó ¡ ¡ ! NPÆ Ã ¡ a 3 ;0; a p 3 3 ! , h ¡ ¡ ! AS, ¡ ¡ ! NP i Æ Ã 0;¡ a 2 p 3 3 ;0 ! , h ¡ ¡ ! AS, ¡ ¡ ! NP i . ¡¡! ANÆ¡ 2a 3 p 6 9 . Khoảngcáchcầntính d(SA,NP)Æ ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! AS, ¡ ¡ ! NP i . ¡¡! AN ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! AS, ¡ ¡ ! NP i¯ ¯ ¯ Æ 2a p 2 3 . Bài7.55. HuỳnhBảoToàn Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 o và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) bằng 6a p 13 13 . Tính thể tích khối chóp đã cho và cosin của góc tạobởihaimặtbên. Giải: GọiO làtâmcủatamgiácđều ABC,M làtrungđiểmcủa BC. Chọnhệtrụctọađộvuônggóc Mxyz nhưhìnhvẽ.Gọi t (tÈ 0)làđộdàicủacạnh AB. Tacó M (0;0;0), A à 0;¡ t p 3 2 ;0 ! , B µ t 2 ;0;0 ¶ , C µ ¡ t 2 ;0;0 ¶ vàO à 0;¡ t p 3 6 ;0 ! . Vì SO?(ABC)nêngócgiữa SA vàmặtphẳng (ABC)bằnggóc ƒ SAO. Dođó SOÆAO.tan60 o Ætnên ¡ ¡ ! OSÆ (0;0;t)và ¡¡! MSÆ ¡¡! MOÅ ¡ ¡ ! OSÆ Ã 0;¡ t p 3 6 ;t ! http://boxmath.vn/ 58 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comhay S à 0;¡ t p 3 6 ;t ! .Khiđó h ¡¡! MB, ¡¡! MS i Æ Ã 0;¡ t 2 2 ;¡ t 2 p 3 12 ! nênphươngtrìnhmặtphẳng (SBC)là 6yÅ p 3zÆ 0. Vậynên d(A,(SBC))Æ 3t p 3 p 39 Æ 6a p 13 13 ,tÆ 2a. Lúcnày ¡ ¡ ! SAÆ Ã 0;¡ 2a p 3 3 ;¡2a ! , ¡ ¡ ! SBÆ Ã a; a p 3 3 ;¡2a ! , ¡ ¡ ! SCÆ Ã ¡a; a p 3 3 ;¡2a ! , h ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SB i Æ Ã 2 p 3a 2 ;¡2a 2 ; 2a 2 p 3 3 ! , h ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SC i Æ Ã 2 p 3a 2 ;2a 2 ;¡ 2a 2 p 3 3 ! . ThểtíchkhốichópS.ABClàV S.ABC Æ 1 6 . ¯ ¯ ¯ ¡ ¡ ! SB. h ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SC i¯ ¯ ¯Æ 2 p 3 3 a 3 (đvtt). Gọi®làgócgiữa(SAB)va(SAC)thì cos®Æ ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SB i . h ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SC i¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SB i¯ ¯ ¯. ¯ ¯ ¯ h ¡ ¡ ! SA, ¡ ¡ ! SC i¯ ¯ ¯ Æ 5 13 . Bài7.56. HuỳnhBảoToàn Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa AC và SD bằng a p 3 3 . Hãy tính thể tích của hình chóp đã cho và góc giữa haiđườngthẳng AC và SD. Giải: Kếtluận: Bài7.57. HuỳnhBảoToàn ChohìnhchópS.ABCD cóđáy ABCD làhìnhchữnhật, ABÆa,SA vuônggócvớimặtphẳng (ABCD). Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45 o . Biết rằng khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD)bằng 2a p 21 7 .Gọi M,N lầnlượtlàtrungđiểmcủa ABvàSD.Tínhthểtíchkhối chóp S.ABCD vàcosincủagócgiữahaiđườngthẳng MN và AC. Giải: Kếtluận: Bài7.58. HuỳnhBảoToàn Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích mặt bên bằng a 2 p 3, cạnh bên hợp với đáy một góc 45 o . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính thể tích của khối chóp S.MND, từ đósuyrakhoảngcáchtừđiểm D tớimặtphẳng(SMN). Giải: Kếtluận: Bài7.59. HuỳnhBảoToàn Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A và ABÆa. Hình chiếu của A 0 trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC, cạnh bên AA 0 tạo với đáy mộtgóc 60 0 và A 0 CÆ 2a. a.Tínhthểtíchkhốilăngtrụđãcho. b.Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng AB và A 0 C. http://boxmath.vn/ 59 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comGiải: Kếtluận: Bài7.60. HuỳnhBảoToàn Cholăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 cótấtcảcáccạnhđềubằng a.Gọi M làtrungđiểmcủacạnh AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho ANÆ 2CN, E là giao của BN và CM. Đường thẳng đi qua E, song song với BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối chóp A 0 .B 0 PQ,vàtínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng A 0 P và C 0 Q. Giải: Kếtluận: 8 -Mộtsốbàitậptổnghợp Bài8.1. Diễnđànonluyentoan.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là trung điểm AB. Hai mặt phẳng (SHD),(SHC)cùngvuônggócvớiđáy.Tínhthểtíchkhốichóp S.ABCD,biếtkhốichóp cóbamặtbênlàbatamgiácvuông. ĐS:VÆ a 3 6 đvtt Bài8.2. Diễnđànboxmath.vn Chohìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 .GọiG làgiaođiểmcủa AC 0 vớimp(A 0 BD). Tínhtỉsố kÆ V G.CB 0 D 0 V ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . ĐS: kÆ 1 6 Bài8.3. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABÆa,ADÆa p 2,SAÆa và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tínhthểtíchcủakhốitứdiện ANIB. ĐS:VÆ a 3 p 2 36 Bài8.4. Diễnđànonluyentoan.vn Chohìnhtrụcócácđáylàhaihìnhtròntâm O và O 0 ,bánkínhđáybằngchiềucaovàbằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O 0 lấy điểm B sao cho ABÆ 2a.TínhthểtíchcủakhốitứdiệnOO 0 AB. ĐS:VÆ a 3 p 3 12 http://boxmath.vn/ 60 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.5. Diễnđànonluyentoan.vn Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SAÆ 2a và SA vuông gócvớimặtphẳng (ABC).Gọi M và N lầnlượtlàhìnhchiếuvuônggóccủa A trêncácđường thẳng SB và SC.Tínhthểtíchcủakhốichóp A.BCNM. ĐS:VÆ 3a 3 p 3 50 Bài8.6. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.Chứngminh AM vuônggócvới BP vàtínhthểtíchcủakhốitứdiện CMNP. ĐS:VÆ a 3 p 3 96 Bài8.7. Diễnđànonluyentoan.vn Chohìnhchóptứgiácđều S.ABCD cóđáylàhìnhvuôngcạnh a.Gọi E làđiểmđốixứngcủa D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuônggócvới BD vàtính(theo a)khoảngcáchgiữahaiđườngthẳng MN và AC. ĐS: HQ 2 Bài8.8. Diễnđànonluyentoan.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ƒ ABCÆ ƒ BADÆ 90 o ,BAÆBCÆa,ADÆ 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAÆa p 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứngminhtamgiác SCD vuôngvàtính(theo a)khoảngcáchtừ H đếnmặtphẳng (SCD). ĐS: d(H;(SCD))Æ a 3 Bài8.9. Diễnđànboxmath.vn Cho lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABÆa,ACÆa p 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A 0 trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A 0 .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA 0 ,B 0 C 0 . ĐS:'Æ ƒ B 0 BH, cos'Æ 1 4 Bài8.10. Diễnđànonluyentoan.vn ChohìnhchópS.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnh 2a,SAÆa,SBÆa p 3vàmặtphẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM,DN. ĐS:'Æ ƒ SME, cos'Æ 1 p 5 Bài8.11. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên độ dài bằng a p 5, các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cảcácmặtcủahìnhchóp S.ABCD theo a. http://boxmath.vn/ 61 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comĐS: RÆ a p 3 3 Bài8.12. Diễnđànboxmath.vn Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 0 B 0 C 0 . Biết 4ABC vuông tại B. ABÆ a;BCÆ b;AA 0 Æ c(a 2 Åb 2 Çc 2 ).Gọi (P)làphẳngđiqua A vàvuônggócvới A 0 C.Xácđịnhthiếtdiệncủalăng trụkhibịcắtbởiphẳng (P).Tínhdiệntíchthiếtdiệntheo a,b,c. ĐS: SÆ ab p a 2 Åb 2 Åc 2 2c Bài8.13. Diễnđànboxmath.vn Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao là a. Dựng thiếtdiệncủalăngtrụtạobởimặtphẳngđiquaB 0 vàvuônggócvớicạnh A 0 C.Tínhdiệntích củathiếtdiện. ĐS: SÆ 3 p 15 8 a 2 Bài8.14. Diễnđànonluyentoan.vn Cho lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuônggócvới AA 0 cắtlăngtrụtheo1thiếtdiệncódiệntích a 2 p 3 8 Tínhthểtíchkhốilăngtrụ. ĐS:VÆ a 3 p 3 36 Bài8.15. Diễnđànonluyentoan.vn Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên AA 0 Æ 3a,Q,I lầnlượtlàtrungđiểmcácđườngthẳngDD 0 ,OB.mặtphẳng®qua IQ song songvới AC chiahìnhhộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 thành2phần.Tínhtỉsốthểtích2phầnđó. ĐS: V 1 V 2 Æ 25 119 Bài8.16. Diễnđànonluyentoan.vn Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông với ABÆBCÆa, cạnh bên AA 0 Æ 3a p 2 . M là điểm trên cạnh AA 0 sao cho AA 0 Æ 3AM. Tính thể tích của khối tứ diện MB 0 BC 0 .Tínhkhoảngcáchtừ B 0 đếnmặtphẳng (C 0 BM). ĐS: d(B 0 ,(BC 0 M))Æ a p 3 2 Bài8.17. Diễnđànonluyentoan.vn Cho lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có A 0 AÆA 0 B, đáy ABC là một tam giác vuông tại B, BCÆa, ABÆ a p 3.Mặtbên (ACC 0 A 0 )vuônggócvớiđáy,góctạobởimặtphẳng (A 0 BC)và (ACC 0 A 0 )là®sao cho tan®Æ 2.Tínhthểtíchcủakhốichóp A 0 .BCC 0 B 0 vàkhoảngcáchgiữa A 0 B và B 0 C theo a. ĐS: d(A 0 B;B 0 C)Æ a p 3 2 http://boxmath.vn/ 62 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.18. Diễnđànonluyentoan.vn Cholăngtrụtamgiác ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáylàtamgiácvuôngtại B, ƒ BACÆ 30 o ,cạnh AC bằng 2a.Cạnhbên AA 0 tạovớiđáymộtgóc 60 o vàchânđườngvuônggóchạtừ A 0 xuốngmặtphẳng (ABC)trùngvớitâmđườngtrònngoạitiếpđáy.Tínhtheoathểtíchkhốilăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 vàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng B 0 C 0 và AA 0 ĐS: a p 3 Bài8.19. Diễnđànboxmath.vn Chohìnhlăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáy ABC làtamgiácvuôngtạiBvàBAÆBCÆa.Góc giữađườngthẳng A 0 Bvớimặtphẳng (ABC)bằng 60 o .Tínhthểtíchkhốilăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 theo a. ĐS: a 3 p 3 2 Bài8.20. Diễnđànboxmath.vn Cho hình nón đỉnh S nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính R và đáy là đường tròn giao tuyến của mặt cầu đó với một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OS tại H sao cho SHÆx(0ÇxÇ 2R). Tính theo R và x thể tích V và diện tích xung quanh S của hình nón đó; từđótìmmộthệthứcliênhệgiữabađạilượngV,S và R. ĐS: S 2 V Æ 6¼R Bài8.21. Diễnđànonluyentoan.vn Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn ADÆa p 2. BiếtgóchợpbởiBC 0 và (ABCD)bằng 60 o ,góchợpbởi A 0 D với (ABCD)là'saocho tan'Æ p 3 2 , CD?(ABB 0 A 0 ), A 0 B 0 ?(CDD 0 C 0 ). Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 và khoảng cáchgiữahaiđườngthẳngchéonhau AB 0 và CD 0 . ĐS:VÆ 3 p 6a 3 16 . d((AB 0 ),(CD 0 ))Æ 3 p 78a 26 Bài8.22. Toánhọctuổitrẻsố400 Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, ABÆa,ACÆa p 3,DAÆDBÆDC. Biết rằng DBC làtamgiácvuông.Tínhthểtíchtứdiện ABCD. ĐS:VÆ p 3 6 a 3 Bài8.23. Toánhọctuổitrẻsố401 Tínhthểtíchkhốichóptamgiácđều S.ABC cóđáybằng avàkhoảngcáchgiữacạnhbênvà cạnhđốidiệnbằng m. ĐS:VÆ a 3 m 6 p 3a 2 ¡4m 2 à ĐK mÇ a p 3 2 ! Bài8.24. Toánhọctuổitrẻsố402 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi SAÆ 2a. http://boxmath.vn/ 63 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comĐS:VƼa 3 p 6 Bài8.25. Toánhọctuổitrẻsố403 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, đường cao SA. Gọi M là trung điểm SC; N,P lần lượt nằm trên SB và SD sao cho SN SB Æ SP SD Æ 2 3 . Mặt phẳng (MNP) chia hình chópthànhhaiphần.Tínhtỉsốthểtíchhaiphầnđó. ĐS: 1 2 Bài8.26. Toánhọctuổitrẻsố404 Cho hình chóp S.ABC có ABÆBCÆa; ƒ ABCÆ 90 o ; SA?(ABC); số đo góc nhị diện cạnh SC là 60 o .Kẻ AM?SB,AN?SC.Tínhthểtíchcủahìnhchóp S.AMN ĐS:VÆ a 3 36 Bài8.27. Toánhọctuổitrẻsố405 Chohìnhchóp S.ABC cóđáy ABC làtamgiácvuôngtại A,cạnh BCÆa ƒ ABCÆ 30 o .Haimặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60 o . Biết rằng hình chiếu của đỉnh S trên mặtđáythuộccạnh BC.Tínhthểtíchkhốichóp S.ABC theo a. ĐS:VÆ (3¡ p 3)a 3 32 Bài8.28. Toánhọctuổitrẻsố406 Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhthangvuôngtại A vàB.Haimặtphẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy . Biết ABÆ 2a,SAÆBCÆa,CDÆ 2a p 5. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD. ĐS:VÆ 2a 3 ,RÆ a p 26 2 Bài8.29. Toánhọctuổitrẻsố408 Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 o . Khoảng cách giữamặtbênvàđỉnhđổidiệnbằng 6.Hãytínhthểtíchhìnhchóp. ĐS:VÆ 26 p 39 3 Bài8.30. Toánhọctuổitrẻsố412 Chohìnhchóptứgiác S.ABCD,cóđáy ABCD làhìnhbìnhhành, ADÆ 4a,cáccạnhbêncủa hình chóp bằng nhau và bằng a p 6. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khithểtíchcủakhốichóp S.ABCD lớnnhất. ĐS: cos'Æ 2 p 10 Bài8.31. Toánhọctuổitrẻsố413 Cho hình chóp S.ABC có SAÆ 3a (với aÈ 0); SA tạo với đáy (ABC) một góc 60 o . Tam giác ABC vuông tại B, ƒ ACBÆ 30 o . G là trong tâm của tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC)cùngvuônggócvớimặtphẳng (ABC).Tínhthểtíchhìnhchóp S.ABC theo a. http://boxmath.vn/ 64 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comĐS:VÆ 243 112 a 3 Bài8.32. Toánhọctuổitrẻsố414 Cho hình trụ với đáy là hai đường tròn (O;R);(O 0 ;R 0 ); có chiều cao OO 0 Æ 2R 3 và đường sinh AB.Tínhthểtíchtứdiệnđều ABCD biếtrằng C,D nằmtrênmặttrụ. ĐS:VÆ 2R 3 81 (3Å2 p 2) Bài8.33. Toánhọctuổitrẻsố415 Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 . M và N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB và AD sao cho AMÆ 2 3 AB;ANÆ 3 4 AD. E và F là hai điểm lần lượt thuộc cạnh B 0 N và A 0 M sao cho EFkAC. Hãyxácđịnhtỉsố EB 0 NB 0 . ĐS: EB 0 NB 0 Æ 12 29 . Bài8.34. Toánhọctuổitrẻsố416 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ƒ ABCÆ 120 o . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SAÆa. Gọi C 0 là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (®) đi qua AC 0 và song song với BD cắt các cạnh SB,SD lần lượt B 0 ,D 0 . Tính thể tích khối chóp S.AB 0 C 0 D 0 . ĐS:VÆ a 3 p 3 18 Bài8.35. Toánhọctuổitrẻsố417 Cho hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có cạnh ABÆ a p 3 2 và các cạnh còn lại đều bằng a. Tínhthểtíchhìnhcầuđó. ĐS:VÆ 13 p 13 162 ¼a 3 Bài8.36. Toánhọctuổitrẻsố418 ChohìnhchóptứgiácS.ABCD,đáy ABCD làhìnhvuôngcạnha,mặtbên (SAB)làtamgiác đềuvàvuônggócvớimặtphẳngđáy (ABCD).Tínhthểtíchkhốinóncóđườngtrònngoạitiếp tamgiác ABC vàđỉnhcủakhốinónnằmtrênmặtphẳng (SDC). ĐS:VÆ 2¼a 3 27 Bài8.37. Toánhọctuổitrẻsố419 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 , đáy ABC là tam giác vuông có CAÆCBÆa, góc giữa đường thẳng BA 1 và mặt phẳng (ACC 1 A 1 ) bằng 30 o . Gọi M là trung điểm cạnh A 1 B 1 . Tính khoảngcáchtừđiểm M đếnmặtphẳng (A 1 BC). ĐS: a p 6 6 http://boxmath.vn/ 65 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.38. Toánhọctuổitrẻsố420 ChohìnhchópS.ABCcóđáy ABClàtamgiácvuôngtại A,ABÆa,ACÆ 2a.Mặtbên (SBC)là tamgiáccântại S vànằmtrongmặtphẳngvuônggócvớiđáy.Biếtgócgiữahaimặtphẳng (SAB) và (ABC) bằng 30 o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a. ĐS:VÆ a 3 p 3 9 ,d((SC),(AB))Æa Bài8.39. ĐềdựbịIkhốiA-2006 Chohìnhhộpđứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cócạnh ABÆADÆa,AA 0 Æ a p 3 2 vàgóc (BAD)Æ 60 o .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A 0 D 0 và A 0 B 0 . Chứng minh AC 0 vuông góc với mặtphẳng (BDMN).Tínhthểtíchkhốichóp A.BDMN. ĐS:VÆ 3a 3 16 Bài8.40. ĐềdựbịIIkhốiB-2006 Chohìnhlăngtrụ ABC.A 0 B 0 C 0 có A 0 .ABC làhìnhchóptamgiácđều,cạnhđáy ABÆa,cạnh bên AA 0 Æb. Gọi ® là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A 0 BC). Tính tan® và thể tích khối chóp A 0 BB 0 CC 0 . ĐS: tan®Æ 2 p 3b 2 ¡a 2 a ;VÆ a 2 p 3b 2 ¡a 2 6 Bài8.41. Dựbị2khốiA-2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ABÆa,ADÆ 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy một góc 60 o . Trên SA lấy điểm M sao cho AMÆ a p 3 3 . Mặt phẳngmặt BCM cắt SD tại N.Tínhthểtíchkhốichóp S.BCNM. ĐS:VÆ 10 p 3a 3 27 Bài8.42. Đềdựbị2khốiA-2007 ChohìnhchópS.ABCcógóc ( á SBC,ABC)Æ 60 o , ABClàSBClàcáctamgiácđềucạnha.Tính khoảngcáchtừđỉnh B đếnmặtphẳng (SAC). ĐS: 3a p 13 Bài8.43. ĐềthihsgtỉnhBìnhPhước-2012 Chohìnhlậpphương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a.Gọi E và F lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC và CD. a.Dựngthiếtdiệntạobởimặtphẳng (A 1 EF)vàhìnhlậpphương. b. Tính thể tích hai phần của hình lập phương do mặt phẳng (A 1 EF) cắt ra và tỉnh tỉ số thể tíchhaiphầnđó. ĐS:VÆ 47a 3 72 & VÆ 25a 3 72 http://boxmath.vn/ 66 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.44. ĐềthihsgvòngtỉnhBìnhPhước-2011 Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh bằng a. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OC lấyđiểm N,trên A 0 D 0 lấyđiểm P saocho AMÆCNÆD 0 PÆx (0·x·a). a.Chứngminhrắngtamgiác MNP đều.Tínhdiệntíchtamgiác MNP theo avà x.Tìm xđể diệntíchấynhỏnhất. b. Cho xÆ a 2 , tính thể tích khối tứ diện B’MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện này. ĐS:a.VÆ 3a 2 p 3 8 khi xÆ a 2 . b.VÆ 3a 3 16 ,RÆ 5a p 3 12 Bài8.45. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng AK cắt SB,SD tại M,N.ĐặtV 0 ÆV SAMNK vàVÆV SABCD .Chứngminh: 1 3 · V 0 V · 3 8 HD:Dùngđạohàmvàbảngbiếnthiênđểchứngminh Bài8.46. ĐềthithửTHPTPhanBộiChâu–PhúYên Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo ACÆ 2 p 3a;BDÆ 2a cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a p 3 4 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. ĐS:VÆ a 3 p 3 3 Bài8.47. ĐềthithửTHPTLêLợi-ThanhHóa Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhchữnhật,với ABÆ 3a,ADÆ 2a.Cạnhbên SA vuônggócvớiđáy.Gócgiữamặtphẳng (SBC)vàđáybằng 60 o .Gọi M làtrungđiểmcủaCD. Tínhthểtíchkhốichóp SABM vàkhoảngcáchgiữa 2đườngthẳng SB và AM. ĐS:VÆ 3 p 3a 3 8 Bài8.48. ĐềthithửTHPTHồngQuang-HảiDương Cho lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 , biết A 0 .ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa hai mặt phẳng (A 0 BC) và (BCC 0 B 0 ) bằng 90 o .Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 và khoảng cáchgiữahaiđườngthẳng AA 0 và B 0 C theo a. ĐS:VÆ a 3 p 2 8 .Khoảngcáchbằng a 2 Bài8.49. ĐềthithửTHPTMinhKhai–HàTỉnh Cho hình trụ có đáy lần lượt là các đường tròn (O),(O 0 ) . Mặt phẳng (®) đi qua trung điểm I củađoạnthẳngOO 0 tạovớiđáygóc 60 o cắtđáytrêntheodâycung AB,cắtđáydướitheodây cung CD biết ABCD làhìnhvuôngcạnh a.Tínhdiệntíchtoànphầncủahìnhtrụtheo a. ĐS: SÆ 2¼ p 5a 2 16 (2 p 3Å p 5) http://boxmath.vn/ 67 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.50. ĐềthithửTHPTTrầnHưngĐạo-HưngYên Chohìnhchóp S.ABCD cóđáy ABCD làhìnhvuôngcạnhbằng 2a.Mặtphẳng (SAD)vuông gócvớimặtphẳng (ABCD),tamgiác SAD vuôngtại S và ƒ SADÆ 60 o .Điểm M làtrungđiểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chóp M.BCD và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng AC và DM. ĐS:VÆ a 3 p 3 6 ,cos®Æ p 14 28 Bài8.51. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết đường thẳng BD chia mặt phẳng (ABCD) thành hai nữa mặt phẳng, hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) thuộcnữamặtphẳngchứađiểm A.CạnhbênSBvuônggócvớiBD vàcóđộdàilà 2a p 2,mặt phẳng (SBD)tạovớimặtđáygóc 60 o .Tínhthểtíchhìnhchóp S.ABCD vàkhoảngcáchgiữa haiđườngthẳng BD và SC theo a. ĐS:VÆ a 3 p 6 3 ,khoảngcáchbằng a p 14 7 . Bài8.52. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,SC. Biết góc tạo bởi đường thẳng BM và ND bằng 60 o . Tính thể tíchkhốichóp S.ABCD theo a. ĐS: p 30a 3 18 Bài8.53. Diễnđànboxmath.vn Chohìnhlăngtrụđứng ABC.A 0 B 0 C 0 cóđáy ABC làtamgiácvuông ABÆBCÆa,mặtphẳng (AB 0 C) tạo với mặt phẳng (BCC 0 B 0 ) góc ® sao cho tan®Æ r 3 2 . Gọi M là trung điểm của BC.Tính thể tích khối chóp MA 0 B 0 C và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B 0 ACM theo a. ĐS:VÆ p 2a 3 12 Bài8.54. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a đường chéo BDÆa p 3 Biết SA vuônggócBD,cạnhbênSBvuônggóc AD và (SBD)tạovớimặtđáygóc 60 o .Tínhthểtích hìnhchóp S.ABCD vàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳng AC và SB theo a. ĐS:VÆ 3a 3 4 ,K/cáchbằng 3 p 30 20 a Bài8.55. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B. Biết ABÆBCÆa;ADÆ 2a,SAC làtamgiáccântại S và (SAC)vuônggócvớiđáy.GọiO làgiaođiểmcủa AC vàBD. Giảsửmặtphẳng (P)quaO songsongvới SC cắt SA ở M.Tínhthểtíchkhốichóp MBCD và khoảngcáchtừđiểm M đếnmặtphẳng (SCD). ĐS:VÆ a 3 p 6 54 ,K/cáchbằng a p 2 6 http://boxmath.vn/ 68 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.56. Diễnđànboxmath.vn Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai đườngthẳng AB và A 0 C bằng a p 15 5 .Tínhthểtíchcủakhốilăngtrụ. ĐS:VÆ a 3 4 Bài8.57. Diễnđànboxmath.vn Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh AA 0 Æa. Đường thẳng B 0 C tạo với đường thẳng AD một góc 60 o , đường chéo B 0 D tạo với mặt bên (BCC 0 B 0 ) một góc 30 o . Tính thể tích khốichóp ACB 0 D 0 vàcosingóctạobởi AC và B 0 D. ĐS:VÆ p 3a 3 27 , cosÆ 1 4 p 7 . Bài8.58. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có SA?(ABCD). Gọi O là tâm của hình thoi. M là trung điểm của SC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. Biết SOÆ 2 p 2,ACÆ 4,ABÆ p 5. ĐS: Bài8.59. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành với ABÆa,ADÆ 2a, có SC vuông góc (ABCD), góc ƒ BADÆ 60 o ;SA hợp với (ABCD) góc 45 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảngcáchgiữa SA và BD. ĐS:VÆ a 3 p 21 3 , K/cách a p 77 11 . Bài8.60. Diễnđànboxmath.vn ChohìnhchópS.ABCDcóđáy ABCDlàhìnhthangvuôngtại A(ADkBC),ABÆBCÆ 2a,ADÆ 3a. Gọi M là trung điểm AD,N là trung điểm CM, biết (SNA) và (SNB) cùng vuông góc với mặtphẳngđáyvàkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngSB,CD bằng a 2 .Tínhthểtíchkhốichóp đãchovàkhoảngcáchtừ M đếnmặtphẳng (SCD). ĐS:VÆ 25a 3 3 p 236 , K/cách 15a 4 p 41 . Bài8.61. Diễnđànboxmath.vn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với ABÆa,ADÆ 2a, ƒ BADÆ 60 o . Cạnh SA Æ a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi AM,AN,BP lần lượt vuông góc với BC,DC,SC tươngứng (M 0 BC,N 0 DC,P 0 SC).Tínhthểtíchkhốitứdiện AMNP vàkhoảngcách giữahaiđườngthẳng NP,AC theo a. ĐS:VÆ 5a 3 p 3 64 , K/cách 10a p 2829 943 . Phươngpháptínhthểtíchtrựctiếp http://boxmath.vn/ 69 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.62. Tínhthểtíchkhốichóptagiácđều S.ABC trongcáctrườnghợpsau: a.Cạnhđáybằng a,góc ƒ ABC b. ABÆa,SAÆm. c. SAÆm,Gócgiữamặtbênvớimặtđáybằng® ĐS:a.V SABC Æ a 3 p 2 12 ;b.V SABC Æ a 2 p 3 12 s m 2 ¡ a 2 3 ;c.V SABC Æ p 3 3 . m 2 sin® sin 2 ®Å4) p sin 2 ®Å4 Bài 8.63. Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có đọ dài cạnh bên bằng 2a, tam giác ABC vuông tạiA,AB=a, ACÆa p 3.HìnhchiếuvuônggóccủaA’trên(ABC)làtrungđiểmcủaBC.Tính V A 0 ABC . ĐS: a 2 2 Bài8.64. Cho hình chóp SABC có SA?(ABCD), SA =a. ±ABC vuông cân có ABÆBCÆa. B’ làtrungđiểmcủaSB.C’làchânđườngcaohạtừAcủa¢SAC. a.TínhV SABC b.Chứngminh AB?(AB 0 C 0 ).TínhV SAB 0 C 0. ĐS:a.V SABC a 3 6 b.V SAB 0 C 0Æ a 3 36 Bài8.65. Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’, đáy ABC là tam giác đầu có tâm O. Hính chiếu của C’ lên (ABC) trùng O. TÍnh thể tích khối lăng trụ biết khảng cách từ O đến CC’ là a và góc giữa(ACC’A’)và(BCC’B’)bằng 2® ĐS: 27a 3 tan 3 ® 4 p 2tan 2 ®¡1 Bài8.66. ChohìnhlăngtrụđứngABCA’B’C’cóđáyABClàtamgiácvuôngtạiAvớiAC=a và ƒ ACBÆ®.ĐườngchéoBC’củamặtbên(BCC’B’)hợpvớimặtbên(ACC’A’)mộtgóc¯.Tính thểtíchlăngtrụ. ĐS: 1 2 . a 3 tan® p sin(®¡¯)sin(®Å¯) cos®sin¯ Bài8.67. ChohìnhhộpABCDA’B’C’D’cóđáylàhìnhthoiABCDcạnha,Góc AÆ®vàchân đườngvuônggóchạtừB’xuốngđáy(ABCD)trùngvớigiaođiểmOcủahaiđườngchéo.Cho BB’=a.Tínhthểtíchvàdiệntíchxungquanhhìnhhộp. ĐS:VÆa 3 cos ® 2 sin®;S xq Æ 4a 2 cos ® 2 r 1Åsin 2 ® 2 Bài 8.68. Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có đáy ABC là tam giác vuông AB=AC =a,AA 1 Æ a p 2.GọiM,Nlầnlượtlàtrungđiểmcủađoạn AA 1 vàBC 1 .ChứngminhMNlàđườngvuông gócchưngcủacácdườngthẳng AA 1 và BC 1 .TínhV MA 1 BC 1 ĐS: Bài8.69. ChohìnhnóncóđỉnhlàS,đáylàđườngtrọntâmO,SAvàSBlàhaiđườngsinh biết SO=3cm, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng 1cm, diện tích tam giác SAB bằng18 cm 2 .Tínhthểtíchvàdiệntíchxungquanhcủahìnhnónđãcho. ĐS: http://boxmath.vn/ 70 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.70. ChohìnhchópS.ABCcóđáyABClàtamgiácvuôngtạiB,canhSAvuônggócvới đáy . ƒ ACBÆ 60 0 ,BCÆa,SAÆa p 3. Gọi M là trung điểm của của cạnh SB. Chứng minh rằng (SAB)?(SBC).TÍnhthểtíchkhốitứdiệnMABC. ĐS: Bài8.71. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (®) đi qua A và vuông góc với SC cắtSB,SClầnlượttạiB’,C’.biếtC’làtrungđiểmcủaSC,tínhtỉsốgiữaSB’vàB’B. ĐS: SB 0 B 0 B Æ 2 Bài 8.72. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABÆ ACÆa,BCÆ a 2 .SAÆa p 3,  SABÆ ƒ SACÆ 30 0 . Tínhthểtíchkhốichóp S.SABC . ĐS: a 3 16 Bài8.73. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD =2a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Trên SA lấyMsaocho AMÆ a p 3 3 ,mặtphẳng(BCM)cắtcạnhSDtạiN.TínhthểtíchchópSBCMN. ĐS: 10 p 3a 3 27 Bài 8.74. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB= SA =a, BC =2a. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại H và cắtSBtạiK.TínhdiệntíchtamgiácAHKtheoa. ĐS: a 2 p 6 12 Bài8.75. chohìnhchópSABCDcó SBÆa p 2cáccạnhcònlạiđềubằnga.Tínhthểtíchkhối chóptheoa. ĐS: Bài 8.76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật SA?(ABCD);ABÆSAÆ 1;ADÆ p 2. Gọi M, N là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tíchkhốitứdiệnANIB. ĐS: p 2 36 Bài8.77. Chohìnhhộp ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 ,đáyABCDlàhìnhthoicạnha, AA 0 Æ a p 3 3 và ƒ BADÆ ƒ BAA 0 Æ à DAA 0 Æ 60 0 .Tínhthểtíchkhốihộptheoa. ĐS: a 3 p 6 6 Bài 8.78. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’, có AB =a, BC=2a, AA’ =a. Lấy M trên AD sao cho AM=3MD.TínhthểtíchkhốichópM.AB’CvàkhoảngcáchtừMđến(AB’C). ĐS:V M.AB 0 C Æ a 3 4 ;d(M,(AB 0 C))Æ a 2 http://boxmath.vn/ 71 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài 8.79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. ƒ BADÆ 60 0 . Hai mặt phẳng(SAC)và(SBD)cùngvuônggócvớiđáy.GọiM,NlầnlượtlàtrungđiểmcanhBCvà SD.Mặtphẳng(AMN)cắtcạnhbênSCtạiE.BiếtMNvuônggócvớiAN.Tínhthểtíchkhối đadiệnADN.MCEtheoa. ĐS: 5a p 3 9 Bài8.80. ChotứdiệnABCDcóAB=6,CD=7,khoảngcáchgiữaABvàCDbằng8,gócgiữa ABvàCDbằng 60 0 .TínhthểtíchkhốitứdiệnABCD. ĐS:28 p 3 Bài8.81. Chohìnhlăngtrụđứng ABCA 0 B 0 C 0 cóđáyABClàtamgiácvuôngvớiAB=BC=a, canh bên AA 0 Æ a p 2. M là điểm trên AA’ sao cho ¡¡! AM Æ 1 3 ¡ ¡ ! AA 0 . Tính thể tích khối tứ diện MA’BC’. ĐS: a 3 p 2 9 Bài8.82. CholăngtrụABC.A’B’C’cócạnhbênbằnga,đáyABClàtamgiácđều,hìnhchiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của tam giác A’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’)góc 60 0 .TínhthểtíchlăngtrụABC.A’B’C’theoa. ĐS:V ABC.A 0 B 0 C 0Æ 9a 3 32 Bài8.83. ChokhốilăngtrụtamgiácABC.A1B1C1cóđáylàtamgiácđềucạnh2a,điểmA1 cách đều ba điểm A, B, C. Cạnh bên A1A tạo với mặt phẳng đáy một góc ®. Hãy tìm ®, biết thểtíchkhốilăngtrụABC.A1B1C1bằng 2 p 3a 3 . ĐS:®Æ 60 0 Bài 8.84. Cho hình chóp S.ABCD có ˜ náy là hình thang vuông tại A, AB =AD=a, DC=2a , ,SA=a3haimặtbên(SDC)và(SAD)cùngvuônggócvớimặtphẳng(ABCD). 1.TínhthểtíchcủakhốichópS.ABCDtheoa. 2.GlàttrọngtâmcủatamgiácDBC.TínhkhoảngcáchtừGđếnmặtphẳng(SBC) ĐS:1.V SABCD Æ a 3 p 2 2 ;2. a 3 Bài 8.85. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳngABvàSCbằnga. ĐS: a 3 7 p 7 18 LĂNGTRỤXIÊN Lưuý:Cầnnắmvữngkĩthuậtxácđịnhchânđườngcaođãhọc. Bài8.86. Cho lăng trụ ABC A’B’C’có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp vớiđáyABCDmộtgóc 45 o .Tínhthểtíchlăngtrụ. ĐS:VÆa 3 p 2 http://boxmath.vn/ 72 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comBài8.87. Cho lăng trụ ABCD A’B’C’D’có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng8hợpvớiđáyABCmộtgóc 30 o .Tínhthểtíchlăngtrụ. ĐS:VÆ 336 Bài 8.88. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’có AB =a;AD =b;AA’ = c và\BADÆ 30 0 và biết cạnh bênAA’hợpvớiđáyABCmộtgóc 60 o .Tínhthểtíchlăngtrụ. ĐS:VÆ abc p 3 4 Bài8.89. Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cáchđềuA,B,Cbiết AA 0 Æ 2a p 3 3 .Tínhthểtíchlăngtrụ. ĐS:VÆ a 3 p 3 4 Bài 8.90. : Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’ có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên (BB’C’C) hợp với đáy(ABC)mộtgóc60 o . 1)ChứngminhrằngBB’C’Clàhìnhchữnhật. 2)TínhthểtíchlăngtrụABCA’B’C’. ĐS:VÆ 3a 3 p 3 8 Bài 8.91. Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC’ = a hợpvớiđáy(ABC)1góc 60 o vàC’cóhìnhchiếutrênABCtrùngvớiO. 1)ChứngminhrằngAA’B’Blàhìnhchữnhật.TínhdiệntíchAA’B’B. 2)TínhthểtíchlăngtrụABCA’B’C’. ĐS: 1.SÆ a 2 p 3 2 ,2.VÆ 3a 3 p 3 8 Bài8.92. CholăngtrụABCA’B’C’cóđáyABClàtamgiácđềucạnhabiếtchânđườngvuông góchạtừA’trênABCtrùngvớitrungđiểmcủaBCvàAA’=a. 1)Tìmgóchợpbởicạnhbênvớiđáylăngtrụ. 2)Tínhthểtíchlăngtrụ. ĐS: 1.30 0 ;VÆ a 3 p 3 8 Bài8.93. Cho lăng trụ xiên ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C’ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC’ là a và2mặtbênAA’C’CvàBB’C’Chợpvớinhaumộtgóc 90 o http://boxmath.vn/ 73 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comĐS:VÆ 27a 3 4 p 2 Bài 8.94. Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhaumộtgóc60 o . 1)ChứngminhrằngHnằmtrênđườngchéoACcủaABCD. 2)TínhdiệntíchcácmặtchéoACC’A’vàBDD’B’. 3)Tínhthểtíchcủahộp. ĐS: S ACC 0 A 0Æa 2 p 2;S BDD 0 B 0Æa 2 ,VÆ a 3 p 2 2 Bài8.95. ChohìnhhộpABCDA’B’C’D’cóđáyABCDlàhìnhthoicạnhavàgóc AÆ 60 o ,chân đườngvuônggóchạtừB’xuôngABCDtrùngvớigiaođiểm2đườngchéođáybiếtBB’=a. 1)Tìmgóchợpbởicạnhbênvàđáy. 2)Tínhthểtíchvàtổngdiệntíchcácmặtbêncủahìnhhộp. ĐS: 1.60 0 ,VÆ 3a 3 4 &SÆa 2 p 15 Bài8.96. B–2002:Chohìnhlậpphương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cócạnhbằnga 1)Tínhtheoakhoảngcáchgiữa2đườngthẳng A 1 B và B 1 D. 2)GọiM,N,PlầnlượtlàcáctrungđiểmcủacáccạnhBB 1 ,CD,A 1 D 1 .Tínhgócgiữa2đường thẳng MP và C 1 N. ĐS: 1.d(A 1 B,B 1 D)Æ a p 6 6 ,2.90 0 Bài8.97. B2009:ChohìnhlăngtrụtamgiácABC.A’B’C’cóBB’=a,gócgiữađườngthẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 ; tam giác ABC vuông tại C và\BACÆ 60 0 . Hình chiếu vuônggóccủađiểmB’lênmặtphẳng(ABC)trùngvớitrọngtâmcủatamgiácABC.Tínhthể tíchkhốitứdiệnA’ABCtheoa. ĐS: 9a 3 /208 Bài8.98. D-09:ChohìnhlăngtrụđứngABC.A’B’C’cóđáyABClàtamgiácvuôngtạiB,AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C.TínhtheoathểtíchkhốitứdiệnIABCvàkhoảngcáchtừđiểmAđếnmặtphẳng(IBC). ĐS:VÆ 4a 3 9 ,dÆ 2a p 5 5 Bài 8.99. (B-11) cho hình lăng trụ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 có đáy BAC là hình chữ nhật, AB=a, ADÆa p 3.Hìnhchiếuvuônggóccủa A 1 lên(ABCD)trungvớigiaođiểmcủaACvàBD.Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1 A 1 ) và (ABCD) bằng 60 0 . TÍnh thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảngcáchtừ B 1 đếnmặtphẳng (A 1 BD)theoa. http://boxmath.vn/ 74 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.comĐS:VÆ 3a 3 2 ,dÆ a p 3 2 Bài 8.100. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểmcủaC’B’vàC’D’. 1.Dựngthiếtdiệncủakhốilậpphươngkhicắtbởimp(AEF). 2.Tínhtỉsốthểtíchhaiphầncủakhốilậpphươngbịchiabởimặtphẳng(AEF). http://boxmath.vn/ 75 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nh ỏ - www.toanmath.com